ما هو الدليل على أن هناك رقمين غير منطقيين حيث إن رفع واحد إلى قوة الآخر ينتج عنهم رقم منطقي؟
وهنا دليل على وجود عددين غير منطقيين a و b بحيث يكون a^b منطقيًا. أولاً، فكر في a = b = sqrt ((2). نتذكر أن sqrt ((2)) غير منطقي، لذا إذا كان a^b = sqrt ((2) ^ sqrt ((2)) منطقي، انتهينا لأننا وجدنا a و b غير منطقيين مع a^b كونه عدد منطقي. وإلا، فإن sqrt(2) ^ sqrt(2) غير منطقي. دعونا نقول a = sqrt(2) ^ sqrt(2) و b = sqrt(2). إذن a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2، والذي هو عقلاني. إذن، في كلتا الحالتين، يمكن لنا نجد a و b غير عقلانيين مع a^b عقلاني.