ايش بعض التطبيقات العملية لليما برنسايد في الجمعيات بناء على هذا المقطع؟
Context:ليمة بورنسايد، احيانا تُسمى ايضا نظرية عد بورنسايد، ليمة كوشي فروبينيوس، نظرية عد المدارات، او ليمة ليست ليمة بورنسايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات التي غالبا ما تكون مفيدة في أخذ التناظر في الاعتبار عند عد الكائنات الرياضية. أسماءها المختلفة مبنية على ويليام بيرنزايد، جورج بوليا، أوغسطين لويس كوشي، وفرناند جورج فروبينيوس. النتيجة ليست بسبب بيرنسايد نفسه، الذي بقتل يقتبسها في كتابه "عن نظرية المجموعات من النظام المحدود"، ويعزوها بدلا من ذلك لفروبينيوس (1887). ليمة بيرنسايد تحسب "المدارات"، وهو نفس الحساب للكائنات المختلفة مع مراعاة التماثل. طرق اخرى لقولها هي عد الكائنات المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الكائنات التي في شكل قانوني.  في ما يلي، دعو G تكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G، دعو Xg تدل على مجموعة العناصر في X التي ثابتة بواسطة g (يقال أيضا أنها تُترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X. g.x = x }. قاعدة بيرنسايد تُؤكّد الصيغة التالية لعدد المدارات، المعروفة ب X/G:       = واحد    <unk>         {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} وهكذا عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط الثابتة عن طريق عنصر من G (وهو أيضاً عدد طبيعي أو لا نهائي). اذا G هو لانهائي، القسمة على G ممكن لا تكون محددة بشكل جيد؛ في هذه الحالة القول التالي في الحساب الكاردينالي صحيح:          = <unk>         {\displaystyle \GgadgadgadgadX/Ggadgad=\sum _{g\in G}gadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على تطبيقات التعداد قلاده هناك 8 متجهات بت ممكنة بطول 3، لكن فقط اربع قلادات مميزة من لونين بطول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 يعادل 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 يعادل 011. الصيغة مبنية على عدد الدورانات، والذي في هذه الحالة هو 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البتات المتبقية دون تغيير من كل دوران. كل متجهات ثمانية بتات ما تغيرش من خلال الدوران الصفري، واثنين (000 و 111) ما تغيرش من خلال كل من الدورانين الاخرين، مما يعطي: اربعة = واحد 3 ( 8 + 2 + 2  {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  للطول 4، هناك 16 متجه بيت ممكن؛ 4 تدويرات؛ التدوير الصفري يترك كل متجه بيت 16 بدون تغيير؛ التدوير 1 و التدوير 3 يترك كل واحد متجه بيتين بدون تغيير (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 يترك 4 متجه بيت بدون تغيير (0000, 0101, 1010 و 1111) ؛ يعطي: 6 = واحد اربعة ( 16 + 2 + اربعة + 2  {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هذا هو: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و 1111.  ملونات للمكعب يمكن تحديد عدد الالوان المميزة للدوران على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من هذه الصيغة على النحو التالي.  خلي X يكون مجموعة 36 من مجموعات ألوان الوجوه الممكنة التي يمكن تطبيقها على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. بعدين عنصرين من X ينتمون لنفس المدار بالضبط عندما يكون واحد ببساطة دوران للآخر. عدد الالوان المميزة بالتناوب هو بالتالي نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق عد أحجام المجموعات الثابتة للعناصر الـ 24 من G.   المكعب مع وجوه ملونة عنصر هوية واحد يترك كل 36 عنصر من X بدون تغيير ستة تدويرات وجهه 90 درجة، كل واحد منها يترك 33 من عناصر X بدون تغيير ثلاث تدويرات وجهه 180 درجة، كل منها تترك 34 من عناصر X بدون تغيير ثمانية تدويرات قمة 120 درجة، كل منها تترك 32 من عناصر X بدون تغيير ستة تدويرات حافة 180 درجة، كل واحد منها يترك 33 من عناصر X بدون تغيير يمكن العثور على فحص مفصل لهذه التشكيلات الذاتية هنا.  متوسط حجم التثبيت هو هكذا  واحد 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 اربعة + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3  = خمسه وتسعين {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. من هنا هناك 57 تلوينات متميزة بشكل دوراني من وجوه المكعب في ثلاثة ألوان. عموماً، عدد الالوان المميزة للدوران على وجوه المكعب في n ألوان يعطيه  واحد 24 (  6 + 3  اربعة + 12  3 + 8  2   {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملوك الثمانية هناك 92 حلول، منها 12 حلول أساسية متميزة حتى دوران وعكس اللوحة. به ثمانية تركيبات من الدوران والانعكاسات، بما فيهم عمل الصفر. الفعل الغيّر يترك كل الحلول الـ92 بدون تغيير. اربعة من ال 92 حلول متناظرة، غير متغيرة عن طريق دوران 180 درجة. هذا يعطي: 12 = واحد 8 ( 92 + اربعة  {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
مشاكل عد القلادات: عد القلادات المختلفة بدورها من مختلف الطول حيث كل حبة يمكن ان تكون من الوان. المادة تحسب قلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6، على التوالي. * لون مكعب مسألة: احصي لونات مختلفة بشكل دوراني من وجوه مكعب. المقال بيعتبر حالة عندما يستخدم 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: نسخة كلاسيكية من المشكلة هي عد طرق مختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة بيرنسايد، المقال يحصي عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل إلى 12 كجواب.