اعطيني دليل ان الجذر التربيعي لـ 2 غير معقول
هذا دليل على التناقض ان الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. اولا، تذكري ان الأعداد غير العقلانية هي أرقام لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من اجل التناقض ان الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، والذي يعني ان sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبالإضافة الى ذلك، افترض بدون فقدان التعميمية ان هذا الكسر في شكل مخفض، بمعنى ان p و q لا يشتركوا في عوامل مشتركة. نقدر نفترض هذا لان اي كسر صحيح يمكن ان يكتب في شكل مخفض، لذلك وجود اي تمثيل منطقي ل sqrt(2) يعني وجود واحد في شكل مخفض. الان نربع كلا جانبي المعادلة اللي فوق، ونتحصل على  2 = p^2 / q^2  لبعض الأعداد الصحيحة p و q لا يشتركوا في أي عوامل مشتركة. الان اضرب ب q^2 ليحصل  2 * q^2 = p^2  لاحظ ان الجانب الايسر حتى بسبب عامل 2، لذلك الجانب الايمن p^2 حتى كذلك. هذا يعني ان p لازم يكون زوجي كمان، وإلا p^2 ما راح يكون زوجي. اذاً p يُمْكِنُ أَنْ يُكْتَبَ كـ 2 * x لبعض الأعداد الصحيحة x. بدل هذا في المعادلة اللي فوق، نحصل  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2 ^2 * x^2  لاحظ ان كلا جانبي المعادلة عندهم عامل 2 نقدر نلغي. بفعل هذا، نحصل  q^2 = 2 * x^2  من خلال حجة مماثلة للذي اعلاه، نقدر نستنتج ان q زوجي. لكن هذا يتناقض مع افتراضنا بإن p و q ما يشتركوا في عوامل مشتركة. لذلك افتراضنا الابتدائي ان sqrt(2) عقلاني كان غلط، وهو ما حددنا ان نثبت.