دَلِّنِي عَلَى أَنَّ جِذْرَ 2 مُعَدَّلٌ
هَا هُنَا إِثْبَاتٌ بِالتَّناقُضِ أَنَّ جَذْرَ 2 مُعَدَّلٌ. أَوَّلًا، تَذَكَّرُوا أَنَّ الأَعْدَادَ الْعَدَمِيَّةَ أَعْدَادٌ لاَ تُكْتَبُ بِp / q لِلْأَعْدَادِ p و q. تَأَمَّلْ لِلتَّنَاقُضِ أَنَّ الجَذْرَ المُرَبَّعَ مِنْ 2 عَدَلِيٌّ، وَمَعْنَاهُ أنَّ sqrt(2) = p / q لِبَعْضِ الأَعْدَادِ الصَّحِيحَةِ p و q. وَأَيْضًا يَتَوَهَّمُ بِلَا فَوَاتِ عُمُومٍ أَنَّ هَذَا الْكَسْرَ فِي شَكْلٍ مُخْتَصَرٍ، يَعْنِي أَنَّ p و q لَا يَشْتَرِكَانِ فِي عُمُولٍ مُشْتَرَكٍ. نَسْتَطِيعُ أَنْ نَتَأَمَّلَ هَذَا لأَنَّ كُلَّ كَسْرِ عَدَدٍ كَامِلٍ يُمْكِنُ أَنْ يُكْتَبَ بِهَذَا الشَّكْلِ الْمُخَفَّفِ، فَوُجُودُ كُلِّ تَمْثِيلٍ عَدَدِيٍّ لِسُكُونِ ((2)) يَقْتَضِي وُجُودَهُ بِشَكْلٍ مُخَفَّفٍ. وَالآنَ نُرَبِّعُ الجَانِبَيْنِ مِنَ المعادِلَةِ،  2 = p^2 / q^2 لَوْ كُنْتَ  لِبَعْضِ الأَعْدَادِ الصَّحِيحَيْنِ p و q لاَ يَشْتَرِكَانِ فِي أَيِّ مُعَدِّلٍ. وَالآنَ نُضَرِّبُ بِq^2 لِنَحْصُلَ  2 * كُوْتَرْ = بُوْتَرْ  تَعَلَّمُوا أَنَّ الْيَسَارَ زَوِيٌّ بِسَبَبِ 2، فَيَسَارُ الْيَمِينَ p^2 زَوِيٌّ أَيْضًا. يَعْنِي أَنَّ p يَجِبُ أَنْ تَكُونَ زَوْجَةً أَيْضًا، وَإِلَّا فَلَا تَكُونُ p^2 زَوْجَةً. فَيُمْكِنُ أَنْ نَكْتُبَ p كَ2 * x لِكُلِّ عَدَدٍ x بِتَبْدِيلِ هَذَا فِي الْمُعَادَلَةِ فَنَحْصُلُ  2 * ق ^ 2 = (2 * إكس) ^ 2 = 2 ^ 2 * إكس ^ 2  تَعَيَّنَ أَنَّ جَانِبَيِ الْمُعَادَلَةِ لَهُمَا ضَرُورَةُ 2 نَحْنُ نُلْغِيهَا. فَنَحْصُلُ عَلَى  q^2 = 2 * x^2 لَوْ كُنْتُ أَعْمَلُ  بِدَلِيلٍ مُتَشَابِهٍ لِلْمَذْكُورِ فَقَدْ نَقْتَصِرُ أَنَّ q زَوْجٌ. بَلْ هَذَا يُخَالِفُ إِسْنَادَنَا بِأَنَّ p و q لَمْ يَشْتَرِكَا فِي عُمَرَ. وَلِذَلِكَ فَإِنَّ مُقْتَضَانَا الْأَوَّلَ بِأَنَّ sqrt ((2)) رَشِيدٌ كَانَ كَاذِبًا، وَهُوَ مَا نَوَدَّ أَنْ نُثْبِتَهُ.