شو هيي بعض التطبيقات العملية لمثال بيرنسايد في علم التجميع بناء على هالمقطع؟
Context:ليمة بيرن سايد، وبتتسمى كمان نظرية العد بيرن سايد، أو نظرية كوشي فروبنيوس، أو نظرية العد المدار، أو الليما اللي مش بيرن سايد، هيدي نتيجة في نظرية المجموعات واللي غالبًا ما بتكون مفيدة في مراعاة التماثل عند العد الأجسام الرياضية. كتير من أسمائها المختلفة بتعتمد على ويليام برنسايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة مش مسؤولة عن بيرنسايد بحد ذاته، اللي بس نقل عنها في كتابه "عن نظرية المجموعات من النظام المحدود"، وبيخصها بدل من كدا لفروبنيوس (1887). ليمة بيرنسايد بتحسب "المدارات"، واللي هيي نفس الحساب للكائنات المتميزة مع مراعاة التماثل. طرق تانية للقول هيدي عد الأشياء المتميزة حتى علاقة تعادل R، أو عد الأشياء اللي في شكل قانوني.  في اللي بعدي، خلي G يكون مجموعة محدودة بتعمل على مجموعة X. لكل g في G، خلي Xg يشير لمجموعة العناصر في X اللي ثابتة بواسطة g (ويقال كمان إنها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي، Xg = { x ∈ X. g.x = x }. ليمة بيرنسايد بتقول الصيغة التالية لعدد المدارات، المعروفة X/G:  .    . = 1 .  . <unk>  ∈  .   .  {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} Berry X^{g} Berry.} عشان كدا، عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المحددة عن طريق عنصر من G (واللي هو كمان عدد طبيعي أو لا نهائي). إذا G هيي لانهائية، القسمة على G ممكن ما تكون محددة بشكل كويس؛ فالحالة هيدا البيان التالي في الحساب الكاردينالي صحيح:  .  . .    . = <unk>  ∈  .   .  {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على التطبيقات للتعداد قلادة في 8 متجهات بت ممكنة من الطول 3، بس بس أربع عقدات ملونتين متمايزين من الطول 3: 000, 001, 011 و 111، لأن 100 و 010 يعادلوا 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 يعادلوا 011. الصيغة بتعتمد على عدد الدورات، واللي هيي في الحالة هيي 3 (بضمنها الدورة الصفرية) ، وعدد متجهات البتات اللي بقي ما تغيرش من كل دورة. كل متجهات 8 بت ما بتتغير عن طريق التناوب الصفري، واثنين (000 و 111) ما بتتغير عن طريق كل من التناوبين التانيين، وبتعطينا: 4 = 1 3 ( 8 + 2 + 2 ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  بالنسبة للطول 4، في 16 متجه بيت ممكن؛ 4 تدويرات؛ التدوير الصفري بيحط كل متجه بيت 16 دون تغيير؛ التدوير 1 و التدوير 3 بيحط كل واحد متجه بيتين دون تغيير (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 بيحط متجه بيت 4 دون تغيير (0000, 0101, 1010 و 1111) ؛ وبتعطينا: 6 = 1 4 ( 16 + 2 + 4 + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هيدا: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111 و 1111.  ملونات المكعب عدد الألوان المختلفة بدورية على وجوه المكعب باستخدام تلات ألوان ممكن يتحدد من الصيغة اللي بعد.  خلي إكس يكون مجموعة من 36 تركيب لون الوجه المحتمل اللي ممكن يطبق على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على إكس بطريقة طبيعية. بعدين عنصرين من X بتنتمي لنفس المدار بالتحديد لما واحد ببساطة دورة للآخر. عدد الألوان المميزة بالتناوب هيداك هو نفس عدد المدارات ويمكن يلاقيه عن طريق عد أحجام المجموعات الثابتة للعناصر ال 24 من G.   المكعب مع وجوه ملونة عنصر هوية واحد اللي بترك كل 36 عنصر من X ما تغيرش ستة تدويرات وجهه 90 درجة، كل واحد منهم بترك 33 من عناصر X ما تغيرش تلات تدويرات وجهية ب180 درجة، كل واحد منها بترك 34 من عناصر X ما تغيرش تمانة تدويرات رأسية ب120 درجة، كل واحد منها بترك 32 من عناصر X ما تغيرش ستة تدويرات حواف ب180 درجة، كل واحد منهم بترك 33 من عناصر X ما تغيرش يمكن التوصل لفحص مفصل لهذه الأتومورفيزم.  متوسط حجم التثبيت هوي:  1 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = 57. {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) =57. عشان هيك، في 57 لون متميز بدوران وجوه المكعب بتلات لونات. عموماً، عدد الألوان المختلفة بدورية على وجوه المكعب بألوان n بيتعطى عن طريق  1 24 (  6 + 3  4 + 12  3 + 8  2 )  {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملوك التمانة في 92 حل، من بينهم 12 حل أساسي متميز حتى الدوران وعكس اللوحة. في 8 مجموعات من الدوران والانعكاسات، ومنها عمل الصفر. الإجراء الصفري بيبقي كل الحلول التسعين ما تغيروا. أربعة من الحلول التسعين متناظرين، ما تغيروا عن طريق الدوران بمقدار ١٨٠ درجة. هيك: 12 = 1 8 ( 92 + 4 ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكلة عد القلادات: عد القلادات المختلفة من طول مختلف بحيث كل حبة ممكن تكون من اللونين. المادة بتحسب قلادة طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * ملونات مكعب مسألة: عد ملونات مختلفة بشكل دوراني من وجوه مكعب. المقال بتتحدث عن حالة بيستخدموا فيها تلاتة ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: نسخة كلاسيكية من المشكلة بتعد طرق مختلفة لوضع 8 ملكات على لوح شطرنج 8 × 8 بحيث ما بتهاجم أي ملكة ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة بيرنسايد، المقال بيعد عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل ل 12 كجواب.