استخراج خصائصين كافيتين لإظهار أن مجموعة فرعية من الفضاء الأقليدي مكثفة. قدم هذي الممتلكات في قائمة بالرصاصات.
Context:ممكن ينطبق تعريفات مختلفة للتكثيف، حسب مستوى التعميم. مجموعة فرعية من الفضاء الأقليدي على وجه الخصوص تسمى متكاملة إذا كانت مغلقة ومحدودة. هاد يعني، من خلال نظرية بولزانو <unk> ويرستراس، إن أي تسلسل لانهائي من المجموعة لديه تسلسل ثانوي يتقارب مع نقطة في المجموعة. ممكن تطوير مفاهيم مختلفة متكافئة للتكثيف، مثل التكثيف التسلسلي وتكثيف نقطة الحد، في المساحات المترية العامة.  بالعكس، مفاهيم التكثيف المختلفة مش متساوية في المساحات الطوبولوجية العامة، ومفهوم التكثيف الأكثر فائدة <unk> المسمى أصلاً بتكثيف ثنائي <unk> يعرف باستخدام أغطية تتكون من مجموعات مفتوحة (انظر تعريف الغطاء المفتوح أدناه). الشكل ده من التضيق ينطبق على المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة للمساحة الأقليدية، والمعروفة باسم نظرية هاين بوريل. الكمال، لما يتم تعريفه بهذه الطريقة، غالبًا ما يسمح للمرء بأخذ المعلومات المعروفة محليًا <unk> في منطقة قريبة من كل نقطة في الفضاء <unk> وتوسيعها لمعلومات صالحة عالمياً في كل مكان. مثال على هذه الظاهرة هي نظرية ديريتشليت، والتي تم تطبيقها أصلاً من قبل هاين، وهي أن الوظيفة المستمرة على فترة ثابتة مستمرة بشكل موحد؛ هنا، الاستمرارية هي خاصية محلية للدالة، والاستمرارية الموحدة هي خاصية عالمية متوافقة.
وفقًا لنظرية هاين-بوريل، الخصائص التالية كافية لإظهار أن مجموعة فرعية من الفضاء الأقليدي مكثفة: - المجموعة مغلقة - المجموعة محدودة