اعطيني إثبات إنو الجذر التربيعي لثنين غير منطقي
هذي برهانة بالمتناقض ان الجذر التربيعي لثنين غير منطقي. أولًا، نتذكر إن الأعداد غير العقلانية هي أرقام ما نجموش نكتبوها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. نفترض على التناقض إن الجذر التربيعي من 2 هو عقلاني، واللي يعني إن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبالإضافة إلى هذا، افترض من غير فقدان التعميم إن الكسر هذا في شكل مخفض، بمعنى إن p و q ما عندهمش عوامل مشتركة. نجمو نضمنوا هذا لأن أي كسر صحيح يمكن أن يكتب في شكل مخفض، لذلك وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2)) يعني وجود واحد في شكل مخفض. توا نحط كلا الجانبين من المعادلة الي فوق في التربيع،  2 = p^2 / q^2  بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة p و q ما عندهمش عوامل مشتركة. توا نضرب ب q^2 باش نلقى  2 * q^2 = p^2  نلاحظ إنو الجانب الايسر زوجي بسبب عامل 2، لذلك الجانب الايمن p^2 زوجي زادة. هذا يعني إن p لازم يكون حتى، وإلا p^2 ما يكونش حتى. إذاً p يُمْكِنْ يِتْكْتَبْ ك2 * x لعدد كامل x. وبدلا من هذا في المعادلة الي فوق، نحصل  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2^2 * x^2  نلاحظ إنو كلا الطرفين من المعادلة عندهم عامل 2 نجمو نلغيوهم. عملنا هذا، نحصل  q^2 = 2 * x^2  من خلال حجة مماثلة للي فوق، نجمو نخلصوا إلي إن q زوجي. بالرغم من هذا، هذا يتناقض مع افتراضنا إن p و q ما عندهمش عوامل مشتركة. إما إفتراضنا الأولي إنو sqrt ((2)) عقلاني كان خاطئ، وهو ما قررنا نثبتوه.