اِسْتَخْرِجْ الصِيغَاتَ بِصُورَةِ الْمَاتِكْسِ لِحِسَابِ رُجُوعِ الْمَحْفَظَةِ وَالْمُخَالَفَةِ فِي نَظْرَةِ الْمَحْفَظَةِ الْمُجَدَّدَةِ https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
Context:يَظُنُّ الْمُدَبِّرُونَ أَنَّ الْمُدَبِّرِينَ يَكْرَهُونَ الْمَخَاطِرَ، بِمَعْنَى أَنَّهُمْ يُفَضِّلُونَ الْمُدَبِّرَ الْأَقَلَّ مِنَ الْمَخَاطِرِ إِذَا وُجِدَ لَهُمْ مِثْلُ الْمُدَبِّرِ. كَذَلِكَ، سَيَأْخُذُ الْمُسْتَثْمِرُ مَخَاطِرَ مَزْدَادَةً إِذَا عَوَّضَهَا عَنْ عَوَائِدَ مُتَوَقَّعَةٍ. وَعَكْسُ ذَلِكَ، مُستثمِرٌ يُريدُ عَائِدَةً مُتوقَعَةً أعلى يَجِبُ أَنْ يَتَحَمَّلَ رَهْبَةً. لَنْ يَكُونَ التَّفَاضُلُ الصَّحِيحُ مُتَسَاوِيًا لِكُلِّ الْمُسْتَثْمِرِينَ. سَيَقِيْمُ الْمُسْتَثْمِرُوْنَ الْمُتَبَايِعَ بِالْمُتَبَايِعِ بِالْمُتَبَايِعِ. فَمَعْنَى هَذَا أَنَّ الْمُسْتَثْنِيَ الرَّشِيدَ لَا يَسْتَثْنِي فِي صَفَةٍ إِذَا كَانَتْ صَفَةٌ ثَانِيَةٌ بِمُخَيَّرٍ مُتَوَقَّعٍ مِنْ مُخَاطَرَةِ الْعَائِدَةِ، أَيْ إِذَا كَانَ لِهَذَا الْمُخَاطَرَةِ صَفَةٌ خِلَافِيَّةٌ بِمُخَيَّرَةِ عَائِدَةٍ مُتَوَقَّعَةٍ.  تَحْتَ الْمِثَال:  عَوْدُ الْحِفْظِ هُوَ الْجَمْعُ الْمُقَدَّرُ مِنْ عَوْدِ الْأَمْوَالِ الْمُؤَلَّفَةِ تَقَلُّبُ عَائِدَةِ الْحِصَابِ \سِجْمَا _{p} دَلِيلٌ عَلَى الْمُتَعَلِّقَاتِ ρij مِنَ الْأَمْوَالِ الْمُتَعَلِّقَةِ، لِجَمِيعِ أَزْوَاجِ الْأَمْوَالِ (i، j). تُعْطِي التَّقَلُّبُ بَصِيرَةً فِي الْخَطَرِ الْمُتَعَلِّقِ بِالْإِسْتِثْمَارِ. كُلَّمَا كَانَتْ تَقَلُّبُهَا كَانَتْ الخَطَرُ
- عَوْدَةٌ مُتَوَقَّعَة: $$ مَنْ \mathrm{E}\left(R_p\right) =\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right) لَوْ كُنْتُ أَعْلَمُ بِهَا لَكُنْتُ أَعْلَمُ بِهَا $$ مَنْ حَيْثُ $R_p$ عَوْدُ الْمَحْفَظَةِ، $R_i$ عَوْدُ الْأَمْوَالِ $i$ وَ $w_i$ وَزْنُ الْأَمْوَالِ الْمُتَعَلِّقَةِ $i$ (أَيْ نَصِيبُ الْأَمْوَالِ "i" فِي الْمَحْفَظَةِ، حَتَّى $\sum_i w_i=1$)). مَوْضُوعُ رَجْعِ الْمَحَافِظِ $$ مَنْ \sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j} وَلَوْ كُنْتُ أَعْلَمُ بِهَا لَكُنْتُ أَعْلَمُ بِهَا $$ مَنْ حَيْثُ $\sigma_i$ هُوَ الْمُعَيَّنُ الْمُعَيَّنُ لِلْعَوَائِدِ الْمُتَوَاتِرَةِ عَلَى الْأَمْوَالِ $i$، وَ $\rho_{i j}$ هُوَ مُؤَكِّدُ الْمُتَعَلِّقِ بَيْنَ عَوَائِدِ الْأَمْوَالِ $i$ وَ $j$. وَيُمْكِنُ أَيْضًا أَنْ تُكْتَبَ: $$ مَنْ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_i \sigma_i \sigma_j \rho_{i j} وَلَوْ كُنْتُمْ تَعْلَمُونَ $$ مَنْ حَيْثُ $\rho_{i j}=1$ لِ$i=j$، أَوْ $$ مَنْ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_i \sigma_{i j} وَلَكِنْ لَمْ يَكُنْ هُنَا $$ مَنْ حَيْثُ $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ هُوَ (عِبْرَةٌ) مُتَغَايِرُ الْعَائِدَاتِ الدَّائِمَةِ عَلَى الْأَمْوَالِ، أَوْ يُشَارُ إِلَيْهِ كَ $\sigma{i, j) $، $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ أَوْ $\operatorname{cov}{i, j) $. - تَقَلُّبُ عَوْدِ الحِفْظِ (التَّحَيُّرُ القَيْسِيُّ): $$ مَنْ \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2} وَلَكِنْ لَمْ يَكُنْ هُنَاكَ $$ مَنْ لِحِفْظِ اثْنَيْنِ: - عَوْدُ الْحِفْظِ: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right) $$  - مَوْضُوعَةُ الْحِفْظ: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$ وَلَكِنْ لَمْ يَكُنْ هَذَا مُتَعَلِّقًا لِمَحْفَظَةِ ثَلَاثَةِ أَمْوَالٍ: - عَوْدُ الْحِفْظِ: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) +w_C \mathrm{E}\left(R_C\right) $$ - مَوْضُوعَةُ الْحِفْظ: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$