مَا هِيَ بَعْضُ التَّنْفِيذَاتِ الْمَعْرُوفَةِ لِلْمَنْزِلَةِ الْبَرْنْسَايِدِيَّةِ فِي الْمُجَرَّدَاتِ؟
Context:بَرْنْسَايْدْ لَمْمَا، وَيْنْدُو بَرْنْسَايْدْ تَعْدِيَةْ، كُوشِي فْرُوبِنْيُسْ لَمْمَا، بَرْنْسَايْدْ تَعْدِيَةْ، أَوْ بَرْنْسَايْدْ لَمْمَا، هِيَ نَتْجَة فِي تِورِيَةْ الجَمَاعَاتْ الْمُفِيدَةْ فِي تَعْدِيَةْ التَّشْبِيهْ عِنْدَ تَعْدِيَةْ الأَجْسَامْ الْمَالِكِيَّةْ. مَنْ أَسْمَعَهَا بِأَسْمَائِهَا: وِلْمَامُ بُرْنْسِيدُ، وَجُورِجُ بُولِيَا، وَأُغْسِتَانُ لُوِي كُوشِي، وَفِرْدِنَادُ جُورْجُ فُرُوبِنِيُس. النَّتِيجَةُ لَيْسَتْ بِسَبَبِ بُرْنْسِيْدَ نَفْسِهِ، فَإِنَّمَا يَقُوْلُهَا فِي كِتَابِهِ "عَنْ نَظَرِ المَجَامِعِ ذَاتِ الطَّرِيْقَةِ المُنْتَهَى"، وَيَنْسُبُهَا لِفُرُوْبِيْنِيُسَ (1887). لِمَةُ بُرْنْسِيْدَ تَعُدُّ "المَدارَاتِ"، وَهِيَ مِثْلُ عِدَّةِ الأَجْسَامِ المُتَمَيِّزَةِ مُتَعَلِّقَةً بِالتَّشَابُهِ. طُرُقٌ أُخْرَى لِقَوْلِهَا تَعُدُّ الأَجْسَامَ المُتَمَيِّزَةَ إِلَى نِسْبَةِ تَكَافُؤٍ R، أَوْ تَعُدُّ الأَجْسَامَ الَّتِي فِي شَكْلِ الْقَانُونِيِّ.  فَلْيَكُنْ ج ج جَمْعًا مُنْتَهَى يَتَصَرَّفُ عَلَى جَمْعٍ X. لِكُلِّ ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج يَدُلُّ عَلَى ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج ج بَرْنْسَايْدْ لَمْمَا تَقُولْ النَّصْطَوْرَةْ التَالِيْةْ لْعَدَدْ المَدارَاتْ، تَشْكُرْ X/G:  مِنْ  / مَنْ  مِنْ = مَنْ 1 مِنْ مِنْ  مِنْ <unk>  ∈ لَ  مِنْ   مِنْ مِنْ {\displaystyle X/G Bertahan={\frac {1}{ Bertahan G Bertahan}}\sum _{g\in G} Bertahan X^{g} Bertahan.} وَلَكِنْ لَيْسَ لَهُ أَنْ يَكُونَ مُتَعَلِّقًا بِهِ. فَعَدَدُ المَدارَاتِ (عَدَدٌ طبيعيٌّ أَو +∞) يَسْتَوِي إِلَى عَدَدِ النُّقُوشِ المُثَبَّتَةِ بِعَنَصٍ مِنْ G (وَهُوَ عَدَدٌ طبيعيٌّ أَو لَا حَدَّ). إِذَا كَانَتْ غَيْرُ مُنْتَهَى، فَقِسْمَةُ غَيْرِ مُنْتَهَى لَا تَكُونُ مَعْلُومَةً جَيِّدَةً، فَفِي هَذِهِ الْحَالَةِ يَصِحُّ الْقَوْلُ التَّالِي فِي الْحِسَابِيَّةِ الْكَرْدَالِيَّةِ:  مِنْ  مِنْ مِنْ  / مَنْ  مِنْ = مَنْ <unk>  ∈ لَ  مِنْ   مِنْ مِنْ {\displaystyle \Gkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmr ក្តារកណ្តាល X/G ក្តារកណ្តាល =\sum _{g\in G} ក្តារកណ្តាល X^{g} ក្តារកណ្តាល} أَمْثِلَةُ تَطْلِيقِ التَّعْدِيدِ أَقْلَادُ هُنَاكَ ثَمَانِيَةُ مُمْكِنَاتِ بِتِلْكَ الْمُتَقَدِّمَاتِ مِنْ طُولِ 3، لَكِنْ أَرْبَعَةُ قَلَائِدَ مُتَمَيِّزَةٍ مِنْ أَلْوَانِ طُولِ 3: 000، 001، 011، و 111، لأَنَّ 100 و 010 مُسَاوِيَةٌ لِ001 مِنْ طَرِيقِ الْدَوْرِ، وَمِثْلُهُ 110 و 101 مُسَاوِيَةٌ لِ011. الصِيغَةُ مُسْتَنِدَةٌ عَلَى عَدَدِ الْمُدَوَّرَاتِ، وَهُوَ فِي هَذِهِ الْحَالِ 3 (بِمَعْنَاهَا الْمُدَوَّرَةُ الْعَدَمِيَّةُ) ، وَعَدَدُ الْوُجُوهِ الَّتِي تَبْقَى مُتَغَيِّرَةً بِكُلِّ دَوَرَةٍ. كُلُّ ثَمَانِيَةِ بِتِينَ مُسَافِرَةٍ لَا تَتَغَيَّرُ بِالتَّحَوُّلِ الْعَدَمِيِّ، وَاثْنَانِ (000 و 111) لَا تَتَغَيَّرُ بِكُلِّ تَحَوُّلَيْنِ، مَعَ: أَرْبَعٌ = مَنْ 1 مِنْ ثَلاثَة ( ثَمَانِي + أَنْتَ إِثْنَانِ + أَنْتَ إِثْنَانِ ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2) }.  لِطُولِ 4، فَهُنَاكَ 16 مُمْكِنُ بِيتِ وَكْتَرٍ؛ 4 دَوَرَاتٍ؛ يَتْرُكُ التَّدَوُّرُ الصَّفْحِيُّ كُلَّ 16 بِيتِ وَكْتَرٍ مُتَغَيِّرٍ؛ وَيَتْرُكُ التَّدَوُّرُ الْوَاحِدُ وَالتَّدَوُّرُ الثَّالِثُ وَكُلُّ وَكْتَرٍ وَكْتَرَيْنِ مُتَغَيِّرَيْنِ (0000 و 1111) ؛ وَيَتْرُكُ التَّدَوُّرُ الثَّانِي 4 بِيتِ وَكْتَرٍ مُتَغَيِّرٍ (0000, 0101, 1010 و 1111) ؛ مُعْطِيًا سَادِسُ = مَنْ 1 مِنْ أَرْبَعٌ ( سَادِسَةٌ + أَنْتَ إِثْنَانِ + أَنْتَ أَرْبَعٌ + أَنْتَ إِثْنَانِ ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2) }. هَذِهِ: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و1111  أَلْوَانُ مُكَعَّبٍ يُمْكِنُ أَنْ يُحَدَّدَ عَدَدُ أَلْوَانِ وُجُوهِ مُكَوَّنَةٍ مُتَدَارِجَةٍ بِثَلَاثِ أَلْوَانٍ مِنْ هَذِهِ الصِّيغَةِ كَمَا يَلِي.  لِيَكُنْ X جُمْلَةَ 36 مُمْكِنَةَ مِنْ أَلْوَانِ الْوُجُوهِ الَّتِي يُمْكِنُ تَعْمِلُهَا عَلَى مِكْيُوبٍ فِي تَوْجِيهٍ مُعَيَّنٍ، وَلْتَتَأَثَّرْ جَمَاعَةُ الدُّرُوْبِ G مِنْ مِكْيُوبِ X بِطَرِيْقَةِ الطَّبِيْعِ. ثُمَّ عَنْ مَوْضِعَيْنِ مِنْ X يَنْتَمِي لِنَفْسِ الْمُدَوَّرَةِ بِالتَّحْقِيقِ وَاحِدٌ مِنْهُمَا دَوَرَةُ الْآخَرِ. فَعَدَدُ الْمُلَوَّنَاتِ الْمُتَمَيِّزَةِ مُدَوَّرًا هُوَ عَدَدُ الْمُدَوَّرَاتِ وَيُمْكِنُ أَنْ يُوجَدَ بِعَدَدِ أَحْمَالِ الْمَجْمُوعَاتِ الثَّابِتَةِ لِلْعَنَاصِرِ الْمُتَقَدِّمَةِ الْمُتَقَدِّمَةِ الْمُتَقَدِّمَةِ.   مكعبٌ بِوُجُوهٍ مُلَوَّنَة وَاحِدَةٌ مِنَ العَنَوَاتِ تَتْرُكُ كُلَّ 36 عَنَوَةٍ مِنَ X سِتَّةَ تَدَارُرَاتِ وَجْهٍ بِتِسْعِينَ دَرَجَةً، كُلُّ وَاحِدَةٍ مِنْهَا تَتْرُكُ 33 مِنْ أَلْفَاظِ X مُتَّصِلَةً ثَلَاثَةُ دَوَرَاتِ وَجْهٍ بِ180 دَرَجَةٍ، كُلُّ وَاحِدَةٍ مِنْهَا تَتْرُكُ 34 مِنْ أَلْفَاظِ X مُتَغَيِّرَةً ثَمَانُ تَدَارُرَاتِ قِمَمِ 120 دَرَجَةٍ، تَتْرُكُ كُلُّ وَاحِدَةٍ مِنْهَا 32 مِنْ أَلْفَاظِ X مُتَغَيِّرَةً سِتَّةُ دَوَرَاتِ حَافِيَةِ 180 دِرْهَمٍ، كُلُّ وَاحِدَةٍ مِنْهَا تَتْرُكُ 33 مِنْ أَلْفَاظِ X مُتَّسِعَةً تَفْصِيلُ فَحْصِ هَذِهِ الْأَتْمُورْفِيزَاتِ يُوجَدُ هُنَا.  متوسطُ حجمِ الإثباتِ هُوَ  1 مِنْ 24 مِنْ ( ثَلاثَة سَادِسُ + أَنْتَ سَادِسُ ⋅ ثَلاثَة ثَلاثَة + أَنْتَ ثَلاثَة ⋅ ثَلاثَة أَرْبَعٌ + أَنْتَ ثَمَانِي ⋅ ثَلاثَة إِثْنَانِ + أَنْتَ سَادِسُ ⋅ ثَلاثَة ثَلاثَة ) = مَنْ 57. مَنْ {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) =57. لَوْ كُنْتُ أَعْلَمُ بِهَذَا لَكُنْتُ أَعْلَمُ بِهَذَا وَلِذَلِكَ فِي الْكُعْبَةِ 57 لَوْنَةٌ مُتَمَيِّزَةٌ مُتَدَارِجَةٌ فِي وُجُوهِهَا بِثَلَاثِ أَلْوَانٍ. عَامَةً، عَدَدُ أَلْوَانٍ مُتَمَيِّزَةٍ مُتَدَارِجَةٍ لِوُجُوهِ مُكَعَّبٍ بِأَلْوَانِ n يُعْطَى بِ  1 مِنْ 24 مِنْ (  سَادِسُ + أَنْتَ ثَلاثَة  أَرْبَعٌ + أَنْتَ 12 مِنْ  ثَلاثَة + أَنْتَ ثَمَانِي  إِثْنَانِ ) مِنْ {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right) فَإِنْ كَانَتْ لَا تَكُونُ لَهَا أَحَدٌ فَلَا تَكُونُ لَهُ أَحَدٌ 8 مَلِكَاتِ اللغزِ فِي لَغْزِ الْمَلِكَاتِ الثَّمَانِيَةِ ثَمَانِيَةٌ وَثَمَانِيَةٌ وَثَمَانِينَ حَلَّةً، مِنْهَا اثْنَا عَشَرَ حَلَّةً أَسَاسِيَّةً مُتَمَيِّزَةً إِلَى دَوْرِ اللَّوْحِ وَعَكْسِهِ. هُنَاكَ ثَمَانُ مَزَاجِمِ دَوَرَاتٍ وَ انْعِكَاسَاتٍ، بِمَعْنَاهَا الْعَمَلُ الْعَدِيمُ. فَالْعَمَلُ الْبَاطِلُ يَتْرُكُ كُلَّ الْحُلُولِ التِّسْعَةِ وَالتِّسْعِينَ أَرْبَعَة مِنْ 92 حَلَالَة مُتَقَابِلَة، مَا تَغَيَّرَتْ بِدَوْرِ 180 درجة. يَعطِيكَ: 12 مِنْ = مَنْ 1 مِنْ ثَمَانِي ( 92 مَنْ + أَنْتَ أَرْبَعٌ ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4) }.
*مَسْأَلَةُ عَدِّ الْقَلَائِدِ: عَدُّ قَلَائِدٍ مُتَمَيِّزَةٍ مُتَدَوِّرَةٍ بِطُولٍ مُتَفَاوِتٍ حَيْثُ كُلُّ حَبْلَةٍ تَكُونُ أَحَدَ اللُّونَيْنِ. فَالْمَوْضُوعُ يَعُدُّ عُقَدَاتٍ مِنْ أَطْوَالِ 3 وَ 4، وَالْجَوَابُ 4 وَ 6 مُتَّصِلاً. تَلَوُّنَاتُ مُكَوَّنَةٍ مَسْأَلَةٌ: اعْدِدْ تَلَوُّنَاتَ وُجُوهِ مُكَوَّنَةٍ مُتَقَلِّبَةً. تَنْظُرُ المَقَالَةُ حَالَةً يُسْتَعْمَلُ فِيهَا ثَلَاثَةُ أَلْوَانٍ وَالْجَوَابُ 57. * 8 مَلَكَاتِ مُلْهَمَة: إصْلَة كَلاسِيكِيَّة مِنْ المَسْأَلَةِ تَعُدُّ طُرُقَ مُتَفَرِّقَة لِوَضْعِ 8 مَلَكَاتِ شَطرَجِيَّة عَلَى لَوْحِ 8x8 حَتَّى لا تَهْجُمَ مَلَكَةٌ عَلَى مَلَكَةٍ أُخْرَى (الجَوَاب 92). بِتَنْبِيهِ لَمْمَةِ بُرْنْسِيدَ تَعُدُّ المَقَالَةُ عَدَدَ مَوَاضِعِ المَلِكَاتِ المُتَغَيِّرَةِ حَتَّى يَدُورَ وَيَتَرَدَّدَ، وَيَصِلُ إِلَى 12 كَجَوَابٍ.