ما هي بعض التطبيقات العملية لليما بيرنسايد في الجمعيات على أساس هذا المقطع؟
Context:الليما دي بيرنسايد، أحيانًا كيتسمى أيضًا نظرية العد دي بيرنسايد، أو نظرية كوشي فروبينيوس، أو نظرية العد في المدار، أو الليما التي ليست دي بيرنسايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات التي غالباً ما تكون مفيدة في أخذ التماثل في الاعتبار عند العد للأجسام الرياضية. أسماءها المختلفة تستند إلى ويليام بيرنسايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. لا تُعزى النتيجة إلى بيرنسايد نفسه، الذي يقتصر على اقتباسها في كتابه "عن نظرية المجموعات ذات النظام المحدود"، ويعزوها بدلاً من ذلك إلى فروبينيوس (1887). الليما برنسايد تحسب "المدارات"، واللي هي نفسها كحساب الأجسام المختلفة مع مراعاة التماثل. وهناك طرق أخرى لقولها هي عد الكائنات المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الكائنات الموجودة في شكل قانوني.  في ما يلي، دعو G تكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G، دعو Xg تشير إلى مجموعة العناصر في X التي يتم تحديدها بواسطة g (وتقال أيضًا إنها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X │ g.x = x }. مقولة بيرنسايد تدعي الصيغة التالية لعدد المدارات، المعروفة باسم X/G:    /   = 1 1    <unk>  ∈       {\displaystyle {\X/G Berry ={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} Berry X^{g} Berry.} وبالتالي فإن عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المحددة عن طريق عنصر من G (والذي هو أيضًا عدد طبيعي أو اللانهاية). إذا كانت G غير محدودة، فربما لا يكون القسمة على G محددة بشكل جيد؛ وفي هذه الحالة، فإن البيان التالي في الرياضيات الأساسية ساري:       /   = <unk>  ∈       {\displaystyle \GgadgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على تطبيقات التعداد حلقات ثمانية متجهات بت ممكنة من الطول 3، ولكن أربعة فقط من القلادات المميزة من لونين من الطول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 يعادل 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 يعادل 011. تستند الصيغة على عدد الدورانات، والتي في هذه الحالة هي 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البيت التي تبقى دون تغيير في كل دوران. جميع متجهات 8 بتات غير متغيرة من خلال التناوب الصفري، واثنين (000 و 111) غير متغيرين من خلال كل من التناوبين الآخرين، مما يعطي: 4 = 1 1 3 ( 8 + 2 + 2 ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  بالنسبة للطول 4، هناك 16 متجه بيت ممكن؛ 4 دوران؛ التناوب الصفري يترك كل المتجهات ب 16 بت دون تغيير؛ التناوب 1 و التناوب 3 يترك كل واحد متجهين بثنين بت دون تغيير (0000 و 1111) ؛ التناوب 2 يترك 4 متجهين بيت دون تغيير (0000، 0101، 1010، و 1111) ؛ مما يعطي: 6 = 1 1 4 ( 16 + 2 + 4 + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هادي هي: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و 1111.  لون المكعب يمكن تحديد عدد الألوان المختلفة بشكل دوري على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من خلال الصيغة التالية.  دعو X يكون مجموعة 36 من تركيبات ألوان الوجه المحتملة التي يمكن تطبيقها على مكعب في اتجاه معين، ودعوا مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. عندها يقع عنصرين من X في نفس المدار بالتحديد عندما يكون أحدهما ببساطة دوران للآخر. وبالتالي فإن عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني هو نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق حساب أحجام المجموعات الثابتة للعناصر ال 24 من G.   المكعب مع وجوه ملونة عنصر هوية واحد يترك جميع العناصر ال 36 من X دون تغيير ستة تدويرات للوجهات ب 90 درجة، كل واحدة منها تترك 33 من عناصر X دون تغيير ثلاث دورانات على الوجه ب180 درجة، كل واحد منها يترك 34 من عناصر X دون تغيير ثمانية تدويرات في القمة ب 120 درجة، كل منها تترك 32 من عناصر X دون تغيير تدويرات الحواف الستة ب180 درجة، وكل منها يترك 33 من عناصر X دون تغيير يمكن العثور على دراسة مفصلة لهذه الأوتومورفيزم هنا.  متوسط حجم الإصلاح هو بالتالي  1 1 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = 57. {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) =57. وبالتالي، توجد 57 لون مختلفة من وجهات المكعب بثلاثة ألوان. بشكل عام، يعطى عدد الألوان المختلفة من ناحية الدوران على وجوه المكعب بألوان n من خلال  1 1 24 (  6 + 3  4 + 12  3 + 8  2 )  {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملوك الثمانية هناك 92 حل، منها 12 حل أساسي متميز حتى الدوران والانعكاس من اللوحة. كاين 8 تركيبات من الدوران والانعكاسات، بما في ذلك العمل الصفري. يترك الإجراء الباطل جميع الحلول الـ 92 دون تغيير. أربعة من الحلول الـ 92 متناظرة، دون تغيير من خلال دوران 180 درجة. داك الشي كايعطي: 12 = 1 1 8 ( 92 + 4 ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكل حساب القلادة: حساب القلادات المختلفة من مختلف الأطوال حيث يمكن لكل حبة أن تكون واحدة من اللونين. المادة تحسب القلائد اللي طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * تلوينات مكعب مسألة: عد التلوينات المختلفة بدورها من وجوه المكعب. المقال يناقش حالة عندما يتم استخدام 3 ألوان والإجابة هي 57. * لغز 8 ملكات: النسخة الكلاسيكية من المشكلة هي حساب الطرق المختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). باستخدام تطبيق ليمة بيرنسايد، تعتبر المقالة عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ووصلت إلى 12 كجواب.