ما هي بعض التطبيقات العملية لحكم بيرنسايد في التركيبيات بناء على هذا المقطع؟
Context:ليمة بيرن سايد, احيانا تُسمى ايضا نظرية العد لبرن سايد, ليمة كوشي فروبينيوس, نظرية العد للمدار, او ليمة ليست لبرن سايد, هي نتيجة في نظرية المجموعات التي غالبا ما تكون مفيدة في الاعتبار للتناظر عند العد للكائنات الرياضية. اسماءها المختلفة مبنية على ويليام بيرنزايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة ليست بسبب بيرنسايد نفسه، الذي بقتل يقتبس منها في كتابه "على نظرية المجموعات من النظام المحدود"، ويعزوها بدلا من ذلك لفروبنيوس (1887). برنسايد ليمما يعد "المدارات"، وهو نفس الشي كعد كائنات مميزة مع مراعاة التماثل. طرق اخرى لقولها هي عد الكائنات المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، او عد الكائنات التي في الشكل القانوني.  في ما يلي، دعو G تكون مجموعة محدودة التي تعمل على مجموعة X. لكل g في G، دعو Xg تشير لمجموعة العناصر في X التي ثابتة بواسطة g (يقال ايضا انها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X ❏ g.x = x }. مبدأ بيرنسايد يطرح الصيغة التالية لعدد المدارات، والتي تتميز بـ X/G:  هَذَا  /  هَذَا = واحد هَذَا  هَذَا <unk>  ∈  هَذَا   هَذَا  {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{ Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} ولهذا عدد المدارات (عدد طبيعي او +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المحددة عن طريق عنصر من G (الذي هو ايضاً عدد طبيعي او اللانهاية). اذا G لامتناهي، القسمة على G ممكن ما تكون محددة بشكل جيد؛ في هذه الحالة القول التالي في الرياضيات الكاردينال صحيح:  هَذَا  هَذَا هَذَا  /  هَذَا = <unk>  ∈  هَذَا   هَذَا  {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على التطبيقات على التعداد قلائد اكو ثمانية متجهات بت ممكنة بطول 3، لكن فقط اربع حلقات مميزة ثنائية اللون بطول 3000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 تعادل 001 بالدوران؛ وبالمثل 110 و 101 تعادل 011. الصيغة مبنية على عدد الدورانات، والذي في هذه الحالة هو 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البيت التي تبقى بدون تغيير من كل دوران. كل متجهات ثمانية بتات ما تغيرت من دوران الصفر، واثنين (000 و 111) ما تغيرت من دوران الاثنين الاخرين، يعطي: اربعة = واحد 3 ( ثمانية + اثنين + اثنين ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  للطول 4، هناك 16 متجه بيت ممكن؛ 4 تدويرات؛ التدوير الصفري يترك كل متجه بيت 16 بدون تغيير؛ التدوير 1 و التدوير 3 كل واحد يترك متجه بيتين بدون تغيير (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 يترك 4 متجه بيت بدون تغيير (0000، 0101، 1010، و 1111) ؛ يعطي: 6 = واحد اربعة ( 16 + اثنين + اربعة + اثنين ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هذي: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و1111.  ملونات مكعب يمكن تحديد عدد الالوان المميزة بالدوران على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من هذه الصيغة كما يلي.  خلي X هو مجموعة من 36 تركيبة لون وجه ممكنة يمكن تطبيقها على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقه طبيعية. بعدين عنصرين من X ينتمون لنفس المدار بالتحديد عندما يكون واحد ببساطة دوران للآخر. العدد من الالوان المميزة بالتناوب هو بالتالي نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق عد أحجام المجموعات الثابتة للعناصر الـ24 من G.   المكعب مع وجوه ملونة واحد عنصر هوية يترك كل 36 عنصر من X بدون تغيير ستة تدويرات للواجهة 90 درجة، كل واحد منها يترك 33 من عناصر اكس بدون تغيير ثلاثة تدويرات وجهها 180 درجة، كل واحد منها يترك 34 من عناصر اكس بدون تغيير ثمانية تدويرات من 120 درجة لكل منها تترك 32 من عناصر X بدون تغيير ستة تدويرات حواف 180 درجة، كل واحد منها يترك 33 من عناصر اكس بدون تغيير فحص مفصل لهذه التشكيلات الذاتية يمكن العثور عليه هنا.  متوسط حجم التثبيت هو هكذا  واحد أربع وعشرون ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 اربعة + ثمانية ⋅ 3 اثنين + 6 ⋅ 3 3 ) = 57. {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. ولهذا فان هناك 57 تلوين متباين تناوبياً من وجوه المكعب بثلاثة ألوان. عموماً، عدد الالوان المميزة بالدوران على وجوه المكعب في n لون يعطيها  واحد أربع وعشرون (  6 + 3  اربعة + اثني عشر  3 + ثماني  اثنين )  {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملوك الثمانية هناك 92 حل، منها 12 حل أساسي مميز حتى الدوران والانعكاس من اللوح. اكو ثمانية مجموعات من الدوران والانعكاسات، بضمنها عمل الفراغ. الإجراء الغيّر يترك كل الحلول الـ92 بدون تغيير. اربعة من ال 92 حل متناظرين، غير متغيرين من دوران 180 درجة. هذا يعطي: اثني عشر = واحد ثمانية ( 92 + اربعة ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4) }.
* مشكلة عد القلادة: عد القلادات المختلفة بدورها من مختلف الطول حيث كل حبة ممكن تكون من الوانين. المادة تحسب قلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * ملونات مكعب مسألة: احصي ملونات مختلفة بشكل دوراني من وجوه مكعب. المقال يناقش حالة عندما يستخدم 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: نسخة كلاسيكية من المشكلة تحسب طرق مختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة برنسايد، يعد المقال عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل إلى 12 كجواب.