شو بعض التطبيقات العملية لحكيمة بيرنسايد في علم التركيبات بناءً على هذا المقطع؟
Context:ليمة بيرنسايد، والتي تسمى أحيانًا أيضًا نظرية عد بيرنسايد، أو نظرية كوشي فروبنيوس، أو نظرية عد المدار، أو الليما التي ليست ليرنسايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات والتي غالباً ما تكون مفيدة في أخذ التناظر في الاعتبار عند عد الأجسام الرياضية. أسماءها المختلفة تستند إلى ويليام بيرنزايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة مش مستحقة لبرنسايد نفسه، واللي بيقلها بس في كتابه "على نظرية المجموعات من النظام المحدود"، ويعزلها بدلا من ذلك لفروبنيوس (1887). برنسايد ليمما بيعد "المدارات"، وهو نفس العد للأشياء المختلفة مع مراعاة التماثل. طرق تانية لقولها هي عد الأشياء المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الأشياء اللي في شكل قانوني.  في التالي، خلي G تكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G، خلي Xg تشير لمجموعة العناصر في X التي ثابتة بواسطة g (يقال أيضاً إنها تُترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X. g.x = x }. ليمة بيرنسايد بتقول الصيغة التالية لعدد المدارات، واللي بتتعرف X/G:       = واحد    <unk>  ∈       {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} Berry X^{g} Berry.} وبالتالي عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المحددة عن طريق عنصر من G (وهو أيضاً عدد طبيعي أو لا نهائي). اذا G هو لانهائي، القسمة على G ممكن ما تكون محددة بشكل جيد؛ في هذه الحالة القول التالي في الحساب الرئيسي ينطبق:          = <unk>  ∈       {\displaystyle \GgadgadgadgadX/Ggadgad=\sum _{g\in G}gadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على تطبيقات التعداد قلادة في ثمانية متجهات بت ممكنة بطول 3، لكن أربع عقدات ملونة متمايزة بطول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 يعادل 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 يعادل 011. الصيغة مبنية على عدد الدورات، واللي في هذه الحالة هي 3 (بما في ذلك الدورة الصفرية) ، وعدد متجهات البتات اللي بقي دون تغيير من كل دورة. كل متجهات 8 بتات ما بتتغير عن طريق الدوران الصفري، واثنين (000 و 111) ما بتتغير عن طريق كل من الدورانين التانيين، ويعطي: 4 = واحد 3  8 + 2 + 2 ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  بالنسبة للطول 4، هناك 16 متجه بيت ممكن؛ 4 دورانات؛ التدوير الصفري يترك كل متجه بيت 16 بدون تغيير؛ التدوير 1 و التدوير 3 كل واحد يترك متجه بيتين بدون تغيير (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 يترك متجه بيت 4 بدون تغيير (0000, 0101, 1010 و 1111) ؛ يعطي: 6 = واحد 4  16 + 2 + 4 + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هي: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و1111.  ملونات للمكعب يمكن تحديد عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من هذه الصيغة على النحو التالي.  خلي إكس هو مجموعة من 36 تركيب لون وجه ممكن يطبق على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على إكس بطريقة طبيعية. بعدين عنصرين من X بتنتمي لنفس المدار بالتحديد لما يكون واحد ببساطة دوران للآخر. العدد من التلوينات المتميزة بالتناوب هو بالتالي نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق عد أحجام المجموعات الثابتة للعناصر الـ 24 من G.   مكعب وجوه ملونة عنصر هوية واحد يبقي كل 36 عنصر من X بدون تغيير ستة تدويرات وجهية 90 درجة، كل واحد منها بترك 33 من عناصر X دون تغيير ثلاث تدويرات وجهه 180 درجة، كل منها بترك 34 من عناصر X بدون تغيير ثمانية تدويرات للقمة ب120 درجة، كل واحدة منها تترك 32 من عناصر X دون تغيير ستة تدويرات حواف 180 درجة، كل واحد منها بترك 33 من عناصر X بدون تغيير يمكن العثور على دراسة مفصلة لهذه الأتومورفيزم هنا.  متوسط حجم التثبيت هيك  واحد 24  3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = 57. {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. وبالتالي، في 57 لون متميز بدورية من وجوه المكعب في ثلاثة ألوان. عموماً، عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني على وجوه المكعب بألوان n، يعطيه  واحد 24   6 + 3  4 + 12  3 + 8  2 )  {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز ثمانية ملكات، هناك 92 حلول، منها 12 حلول أساسية متميزة حتى دوران وعكس اللوحة. في ثمانية مجموعات من الدوران والانعكاسات، بما فيهم عمل الصفر. الإجراء الصفري بترك كل الحلول الـ92 بدون تغيير. أربعة من الحلول الـ92 متناظرة، ما تغيرت عن طريق دوران 180 درجة. ده يعطي: 12 = واحد 8  92 + 4 ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكلة عد القلادة: عد القلادات المختلفة بدورها من مختلف الأطوال حيث كل حبة ممكن تكون من اللونين. المادة بتحسب قلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * ملونات مكعب مسألة: عد ملونات مختلفة بشكل دوراني من وجوه مكعب. المقال بيعتبر حالة يستخدم فيها 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: نسخة كلاسيكية من المشكلة هي عد الطرق المختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث لا تهاجم أي ملكة ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة بيرنسايد، المقال بيحسب عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل إلى 12 كجواب.