إيه بعض التطبيقات العملية لليما بيرنسايد في علم التركيبات بناءً على المقطع ده؟
Context:ليمة بيرنسايد، واللي بتتسمى أحيانًا نظرية عد بيرنسايد، أو ليمة كوشي فروبينيوس، أو نظرية عد المدار، أو الليمة اللي مش ليمة بيرنسايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات اللي غالبًا ما تكون مفيدة في أخذ التناظر في الاعتبار عند عد الأجسام الرياضية. أسماءها المختلفة مبنية على ويليام بيرنزايد وجورج بوليا وأوغستين لويس كوشي وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة مش بسبب بيرنزايد نفسه، اللي بس اقتبسها في كتابه "على نظرية المجموعات من النظام المحدود"، ويعزوها بدل كده لفروبينيوس (1887). بيعد برنسايد ليمما "المدارات"، واللي هو نفس العد للأجسام المتميزة مع مراعاة التماثل. طرق تانية لقولها هي عد الكائنات المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الكائنات اللي في الشكل القانوني.  في اللي بعده، خلي G تكون مجموعة محدودة بتعمل على مجموعة X. لكل g في G، خلي Xg تدل على مجموعة العناصر في X اللي ثابتة بواسطة g (ويقال أيضا إنها متبقية ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X ❏ g.x = x }. بتؤكد ليمة بيرنسايد الصيغة التالية لعدد المدارات، واللي بتتعرف X/G:    /   = 1 1    <unk>  ∈      . {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} وبالتالي عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط اللي ثابت عن طريق عنصر من G (وهو بردو عدد طبيعي أو لا نهائي). لو كانت G لانهائية، فالقسمة على G ممكن ما تكون مش محددة بشكل كويس؛ في الحالة دي القول التالي في الحساب الأساسي صحيح:       /   = <unk>  ∈      . {\displaystyle \Gkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmr G មានកម្រិត / G មានកម្រិត =\sum _{g\in G} មានកម្រិត X^{g} មានកម្រិត} أمثلة على تطبيقات للتعداد قلادة هناك 8 متجهات بت ممكنة من طول 3، لكن أربع قلائد مختلفة من لونين من طول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 معادلين لـ 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 معادلين لـ 011. الصيغة بتعتمد على عدد الدورات، واللي في الحالة دي هي 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البت اللي بقت غير متغيرة من كل دورة. كل متجهات 8 بت مش بتتغير عن طريق التناوب الصفري، واثنين (000 و 111) مش بتتغير عن طريق كل من التناوبين التنين التانيين، وبتعطينا: 4 = 1 1 3 ( 8 اتنين + 2 + 2 ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  بالنسبة للطول 4، هناك 16 متجه بت ممكن؛ 4 دورانات؛ التدوير الصفري بيبقى كل متجهات 16 بت غير متغيرة؛ التدوير 1 و التدوير 3 كل واحد بيبقى متجهين بتين غير متغيرين (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 بيبقى 4 متجه بتين غير متغيرين (0000، 0101، 1010، و 1111) ؛ مع إعطاء: 6 = 1 1 4 ( 16 + 2 + 4 + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. دول: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, و 1111.  ملونات مكعب ممكن نحدد عدد الألوان المتميزة بشكل دوري على وجوه المكعب باستخدام تلات ألوان من الصيغة دي زي ده.  خلي X هو مجموعة من 36 تركيب لون وجه ممكن ممكن يتم تطبيقه على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. بعدين عنصرين من X بتنتمي لنفس المدار بالتحديد لما يكون واحد ببساطة دوران للآخر. وبالتالي عدد الألوان المتميزة بشكل دوراني هو نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق حساب أحجام المجموعات الثابتة لعناصر 24 من G.   مكعب مع وجوه ملونة عنصر هوية واحد بيبقى كل عناصر 36 من X بدون تغيير ستة تدويرات وجهه 90 درجة، كل واحد منها بيبقى 33 من عناصر X غير متغيرة تدويرات الوجوه بثلاثة 180 درجة، كل واحد منها بيبقى 34 من عناصر X غير متغيرة ثمانية تدويرات قمة 120 درجة، كل منها بترك 32 من عناصر X غير متغيرة ستة تدويرات حافة 180 درجة، كل واحد منها بترك 33 من عناصر X غير متغيرة ممكن تتشاف دراسة مفصلة لهذه الأوتومورفيزم هنا.  متوسط حجم التثبيت هو كده  1 1 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 اتنين ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = سبعة وتسعين. {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. وبالتالي في 57 لون مختلف بشكل دوراني من وجوه المكعب في ثلاثة ألوان. عموماً، عدد الألوان المتميزة بشكل دوراني لواجهات المكعب في n ألوان بيتم إعطاؤها عن طريق  1 1 24 (  6 + 3  4 + 12  3 + 8 اتنين  2 ) . {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملكات التمانية هناك 92 حل، منها 12 حل أساسي متميز حتى دوران وعكس اللوحة. في 8 مجموعات من الدوران والانعكاسات، بضمنها عمل الفراغ. العمل الباطل بيبقى كل الحلول التسعة وتسعين بدون تغيير. أربعة من الحلول الـ 92 متناظرة، مش بتتغير عن طريق دوران 180 درجة. ده بيدي: 12 = 1 1 8 اتنين ( 92 + 4 ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكلة عد القلادة: عد القلادات المختلفة بشكل دوراني بأطوال مختلفة حيث كل حبة ممكن تكون واحدة من اللونين. المادة بتحسب قلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * ملونات المكعب مشكلة: عد ملونات مختلفة بشكل دوراني لوجوه المكعب. المقال بيدور على حالة استخدمت فيها 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: النسخة الكلاسيكية من المشكلة هي عد طرق مختلفة لوضع 8 ملكات شطرنج على لوحة 8 × 8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة بيرنسايد، المقال بيعد عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل إلى 12 كجواب.