اخرج الصيغ في شكل علامة التخفيض الرياضي لحساب عوائد المحفظة والتباين في نظرية المحفظة الحديثة
Context:MPT تفترض ان المستثمرين لا يحبوا المخاطرة، بمعنى ان اثنين من المحافظ يقدمون نفس العائد المتوقع، المستثمرين يفضلون المحفظة الأقل خطورة. ولهذا، المستثمر سيقوم بتحمل مخاطر اكبر فقط اذا تعوضه عوائد متوقعة اكبر. بالعكس، المستثمر الذي يريد عوائد متوقعة اعلى لازم يقبل مخاطر اكبر. المقايضة الدقيقة لن تكون نفسها لكل المستثمرين. المستثمرين المختلفين سيقيمون التفاضل بشكل مختلف بناء على خصائص الامتناع عن المخاطرة الفردية. هذا يعني ان المستثمر العقلاني ما سيهتم في محفظة اذا كانت هناك محفظة ثانية مع ملف تعويض متوقع للمخاطر اكثر ملاءمة، أي اذا كان هناك محفظة بديلة لهذا المستوى من المخاطر لديها عوائد متوقعة افضل.  تحت النموذج:  عوائد المحفظة هي المزيج المرجح النسبي لعوائد الأصول المكونة. تذبذب عوائد المحفظة \sigma _{p} هي دالة على الترابطات ρij من الأصول المكونة، لكل أزواج الأصول (i، j). التذبذب يعطي نظرة ثاقبة على المخاطرة المرتبطة بالاستثمار. كلما ارتفع التقلب، كلما ارتفع الخطر.
- العودة المتوقعة: $$ \mathrm{E}\left(R_p\right) =\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right) $$ حيث $R_p$ هو العائد على المحفظة، $R_i$ هو العائد على الأصل $i$ و $w_i$ هو وزن الأصل المكون $i$ (أي نسبة الأصل "i" في المحفظة، بحيث $\sum_i w_i=1$)). - تباين عوائد المحفظة: $$ \sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j} $$ حيث $\sigma_i$ هو الانحراف المعياري (العينة) للعوائد الدورية على الأصول $i$، و $\rho_{i j}$ هو معامل الارتباط بين العوائد على الأصول $i$ و $j$. وبالبديل، التعبير ممكن يكتب: $$ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j} $$ حيث $\rho_{i j}=1$ لـ $i=j$، او $$ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j} $$ حيث $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ هو (عينة) التباين في العوائد الدورية على اثنين من الأصول، او بالعكس اشارته على شكل $\sigma(i, j) $، $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ او $\operatorname{cov}(i, j) $. - تقلب عوائد المحفظة (الانحراف المعياري): $$ \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2} $$ لمحفظة اثنين من الاصول: - عوائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right) $$  - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$ لمحفظة ثلاثة أصول: - عوائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) +w_C \mathrm{E}\left(R_C\right) $$ - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$