إعطيني دليل إن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي
هنا دليل عن طريق التناقض إن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. أولًا، تذكر إن الأعداد غير العقلانية هي أرقام مش ممكن تكتب على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من أجل التناقض إن الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، واللي هيعني إن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. أكتر من كده افترض من غير فقدان التعميم إن الكسر ده في شكل مخفض، يعني إن p و q مش بتشترك في عوامل مشتركة. ممكن نفترض ده لأن أي كسر صحيح ممكن يكتبه في شكل مخفض، علشان كده وجود أي تمثيل منطقي ل sqrt(2) هيعني وجود واحد في شكل مخفض. دلوقتي بنربع كلا جانبي المعادلة اللي فوق، ونتحصل على  2 = p^2 / q^2  بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة p و q مش بتشترك في أي عوامل مشتركة. دلوقتي نضرب ب q^2 علشان نحصل  2 * q^2 = p^2  لاحظ إن الجانب الأيسر زوجي بسبب عامل 2، علشان كده الجانب الأيمن p^2 زوجي كمان. ده معناه إن p لازم تكون حتى كمان، وإلا p^2 مش هيكون حتى. p ممكن نكتب زي 2 * x لعدد صحيح x. إذا بدلنا ده في المعادلة اللي فوق، بنحصل  2 * q ^ 2 = (2 * x) ^ 2 = 2 ^ 2 * x ^ 2  لاحظ إن كل من جانبي المعادلة عندهم عامل 2 نقدر نلغي. بفعل ده، نحصل  q^2 = 2 * x^2  من خلال حجة مشابهة للحجة اللي فوق، نقدر نستنتج إن q زوجي. ومع كدا، ده بيتناقض مع افتراضنا إن p و q ما كانش عندهم عوامل مشتركة. عشان كده، كان افتراضنا الأول إن sqrt(2) عقلاني، غلط، وهو اللي بدنا نثبتوه.