شنيا بعض التطبيقات العملية لليما برنسايد في الجمعيات على أساس المقطع هذا؟
Context:ليمة بيرن سايد، واللي في بعض الاوقات تسمى نظرية العد برن سايد، ليمة كوشي فروبينيوس، نظرية العد المدارية، أو ليمة مش برن سايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات واللي في الغالب مفيدة في الاعتبار للمناظر عند العد للأشياء الرياضية. أسمائها المختلفة تستند إلى ويليام برنسايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة ما تعودش لبرنسايد بحد ذاته، واللي يقتصر على اقتباسها في كتابه "على نظرية المجموعات من النظام المحدود" ، ويعزوها بدلا من ذلك لفروبينيوس (1887). ليمة برنسايد تحسب "المدارات"، واللي هي نفس الشي كحساب الأجسام المختلفة مع الأخذ في الاعتبار التماثل. طرق أخرى لتقوله هي عد الكائنات المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الكائنات الموجودة في شكل قانوني.  في ما يلي، خلي G يكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G، خلي Xg تشير لمجموعة العناصر في X التي ثابتة بواسطة g (يقال أيضا إنها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X. g.x = x }. ليمة برنسايد تثبت الصيغة التالية لعدد المدارات، واللي تتم إشارة إليها X/G:  مَا نَاشْ  /  مَا نَاشْ = واحد مَا نَاشْ  مَا نَاشْ <unk>  ∈  مَا نَاشْ   مَا نَاشْ . {\displaystyle X/G Berber={\frac {1}{ Berber Berber}}\sum _{g\in G} Berber X^{g} Berber.} إزاي عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المثبتة عن طريق عنصر من G (وهو أيضاً عدد طبيعي أو لا نهائي). إذا G هو لا نهائي، القسمة على G ممكن ما تكونش محددة بشكل جيد؛ في الحالة هاذي، القول التالي في الحساب الكاردينال صحيح:  مَا نَاشْ  مَا نَاشْ مَا نَاشْ  /  مَا نَاشْ = <unk>  ∈  مَا نَاشْ   مَا نَاشْ . {\displaystyle \Gkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmrkhm_Khmr G មានកំហុស X/G មានកំហុស =\sum _{g\in G} មានកំហុស X^{g} មានកំហុស} أمثلة من التطبيقات لعدد طوقات فما ثمانية متجهات بت ممكنة من طول 3، ولكن أربعة فقط من القلائد المختلفة من لونين من طول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 يعادلوا 001 عن طريق الدوران؛ وبالمثل 110 و 101 يعادلوا 011. الصيغة تستند لعدد الدوران، واللي في الحالة هاذي هو 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) وعدد متجهات بيت متبقية بدون تغيير في كل دوران. كل متجهات ثمانية بتات ما تغيروش من خلال الدوران الصفري، واثنين (000 و 111) ما تغيروش من خلال كل من الدورانين التانيين، ويعطي: أربعة. = واحد ثلاثة ( ثمانية + 2 + 2 ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  للطول 4، فما 16 متجه بيت ممكنة؛ أربعة تدويرات؛ التدوير الصفري يترك كل متجه بيت ستة عشر ما تغيروش؛ التدوير بواحد و التدوير بثلاثة يترك كل واحد متجه بيتين ما تغيروش (0000 و 1111) ؛ التدوير بواحد يترك أربعة متجه بيت ما تغيروش (0000، 0101، 1010، و 1111) ؛ يعطي: ستة = واحد أربعة. ( 16 + 2 + أربعة. + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هذا هو: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و 1111.  لون الكعكة نجمو نحددو عدد الألوان المختلفة على الطرفين من المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من الصيغة إلي تلي.  خلي X يكون مجموعة من 36 تركيب لون للوجه ممكن يطبق على مكعب في اتجاه معين، و خلي مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. إثنين من العناصر من X ينتميو لنفس المدار بالتحديد وقتلي واحد هو ببساطة تدوير للآخر. العدد من الألوان المختلفة في الدوران هو بالتالي نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق عد أحجام المجموعات الثابتة ل 24 عنصر من G.   مكعب مع وجوه ملونة عنصر واحد متطابق يخلق 36 عنصر من X ما تغيروش. ستة تدويرات على الوجه ب90 درجة، كل واحد يخلّى 33 من العناصر في X ما تغيرش تثلاثة تدويرات على الوجه ب180 درجة، كل واحد يترك 34 من عناصر X ما تغيرش ثمانية تدويرات في القمة ب120 درجة، كل واحد يترك 32 من عناصر X ما تغيرش ستة تدويرات على الحواف ب180 درجة، كل واحد يترك 33 من عناصر X ما تغيرش فحص مفصل لهذه الأوتومورفيزم يمكن تلاقيه هنا.  متوسط حجم التثبيت هو  واحد 24 ( ثلاثة ستة + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة + ثلاثة ⋅ ثلاثة أربعة. + ثمانية ⋅ ثلاثة 2 + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة ) = خمسة وعشرين. {frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right}=57. من هنا، فما 57 لون مختلف في الوجهين من المكعب في ثلاثة ألوان. في العموم، العدد من الألوان المختلفة من الدوار على وجوه المكعب في n ألوان هو:  واحد 24 (  ستة + ثلاثة  أربعة. + 12  ثلاثة + ثمانية  2 ) . {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لعبة 8 ملكات في لغز ثمانية ملكات، فما 92 حلول، من بينهم 12 حلول أساسية مختلفة حتى الدوران والانعكاس من اللوحة. فما ثمانية تركيبات من الدوران والانعكاسات، متضمنة عمل الصفر. الفعل الصفري يترك كل الحلول ال 92 بلا تغيير. أربعة من 92 حلول متناظرين، ما تغيروش من دوران 180 درجة. هذا يعطي: 12 = واحد ثمانية ( 92 + أربعة. ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكلة العد للقلادة: العد للقلادات المختلفة من طول مختلف حيث كل حبة ممكن تكون واحدة من اللونين. المادة تحسب القلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * لون المكعب مسألة: احصي لونات متمايزة بشكل تناوب من وجوه المكعب. المقال يناقش الحالة الي فيها 3 ألوان والجواب هو 57. * لعبة 8 ملكات: النسخة الكلاسيكية من المشكلة هي إحصاء الطرق المختلفة لإحداث 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث ما توجدش ملكة تهاجم ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة برنسايد، المقال يحسب عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل ل 12 كجواب.