اعطيني دليل ان الجذر التربيعي لـ 2 غير معقول
هذا دليل من خلال التناقض ان الجذر التربيعي لـ 2 غير معقول. أولاً، تذكّر أن الأعداد غير العددية هي أرقام لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من اجل التناقض ان الجذر التربيعي لـ 2 هو عقلاني، والذي يعني ان sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبالإضافة إلى ذلك، افترض بدون فقدان التعميم أن هذا الكسر في شكل مخفض، بمعنى أن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. نستطيع ان نفترض هذا لان اي كسر صحيح يمكن ان يكتب في شكل مخفض، لذلك وجود اي تمثيل منطقي ل sqrt ((2) يعني وجود واحد في شكل مخفض. الان نربع كلا الجانبين من المعادله اللي فوق، ونتحصل على  2 = p^2 / q^2  لبعض الأعداد الصحيحة p و q لا يشتركون في أي عوامل مشتركة. الان نضرب ب q^2 ليحصل  2 * q^2 = p^2  لاحظ ان الجانب الايسر زوجي بسبب عامل 2، اذاً الجانب الايمن p^2 زوجي ايضاً. هذا يعني ان p لازم يكون زوجي ايضا، والا p^2 ما كانش زوجي. اذاً p يمكن ان يكتب كـ 2 * x لعدد صحيح x. لو بدلناه في المعادله اللي فوق، نحصل  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2^2 * x^2  لاحظ ان كلا الجانبين من المعادله عندهم عامل 2 يمكننا ان نلغي. بفعل هذا، نحصل  q^2 = 2 * x^2  بحجة مشابهة لهذه اللي فوق، يمكننا ان نستنتج ان q زوج. ومع ذلك هذا يتناقض مع افتراضنا ان p و q ما يتشاركان في عوامل مشتركة. لذلك افتراضنا الاولى ان sqrt ((2)) هو عقلاني كان خاطئ، وهو ما حاولنا ان نثبت.