اعطيني دليل على ان الجذر التربيعي ل 2 غير منطقي
هاهي الدليل بالمتناقض على أن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. أولاً، تذكر أن الأعداد غير العددية هي أرقام لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. لنفترض على سبيل التناقض أن الجذر التربيعي لـ 2 هو عقلاني، مما يعني أن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبالإضافة إلى ذلك، افترض دون فقدان التعميم أن هذا الكسر في شكل مخفض، بمعنى أن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. يمكننا افتراض ذلك لأن أي كسر صحيح يمكن كتابته في شكل مخفض، وبالتالي فإن وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2)) يعني وجود واحد في شكل مخفض. ديك اللحظة، غادي نربع الطرفين من المعادلة، و غادي نلقى  2 = p^2 / q^2  بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة p و q التي لا تشترك في أي عوامل مشتركة. دابا ضربو ب q^2 باش نلقى  2 * q^2 = p^2  لاحظ أن الجانب الأيسر هو حتى بسبب عامل 2، وبالتالي الجانب الأيمن p^2 هو حتى كذلك. وهذا يعني أن p يجب أن تكون زوجية أيضا، وإلا فإن p^2 لن تكون زوجية. فيمكن كتابة p على شكل 2 * x لعدد صحيح x. واغديرو هاد الشي في المعادلة اللي فوق، غنحصلو  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2^2 * x^2  لاحظ أن كلا الجانبين من المعادلة عندهم عامل 2 يمكن لنا أن نقوم بإلغاءه. من خلال هذا، نحصل  q^2 = 2 * x^2  ويمكننا أن نستنتج من خلال حجة مماثلة لتلك الموجودة أعلاه أن q زوجية. ومع ذلك، يتناقض هذا مع افتراضنا بأن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. وبالتالي كان افتراضنا الأولي بأن sqrt ((2)) عقلاني خاطئ، وهو ما قررنا إثباته.