استخراج الصيغة بتنسيق علامة اللاتكس الرياضي لحساب عوائد المحفظة والإختلاف في نظرية المحفظة الحديثة https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
Context:ايم بي تي بيفتكر إن المستثمرين بيكرهوا المخاطرة، بمعنى إن لو كان في محفظتين يقدمان نفس العائد المتوقع، فستفضل المستثمرين المحفظة الأقل خطورة. عشان كدا، المستثمر رح يتحمل زيادة المخاطرة بس إذا كان بيتعوض عن طريق عوائد متوقعة أعلى. وبالعكس، المستثمر اللي بيريد عوائد متوقعة أعلى لازم يقبل مخاطر أكتر. المقايضة الدقيقة ما رح تكون نفسها لكل المستثمرين. المستثمرين المختلفين بيقيموا التفاضل بشكل مختلف بناءً على خصائص الامتناع عن المخاطرة الفردية. الضرورة هيي إن المستثمر العقلاني ما بيستثمر في محفظة إذا كانت موجودة محفظة ثانية مع ملف تعويض متوقع للمخاطر أكثر ملاءمة، أي إذا كان موجود محفظة بديلة بتحصل على عوائد متوقعة أحسن لمستوى المخاطر.  تحت الموديل:  عوائد المحفظة هيي الجمع المرجح نسبياً لعوائد الأصول المكونة. تقلب عائد المحفظة \sigma _{p} عبارة عن دالة على الترابطات ρij للأصول المكونة، لكل أزواج الأصول (i، j). التقلب بيدي نظر في المخاطرة اللي بتتعلق بالاستثمار. كلما ارتفعت التقلبات، كلما ارتفعت المخاطر.
- العودة المتوقعة: $$ \mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right) $$ وين $R_p$ هيي العائد على المحفظة، $R_i$ هيي العائد على الأصل $i$ و $w_i$ هيي وزن الأصل المكون $i$ (يعني نسبة الأصل "i" في المحفظة، بحيث $\sum_i w_i=1$). - تباين عائد المحفظة: $$ سيغما بي 2=سوم سيغما بي 2+سوم سيغما بي $$ وين $\sigma_i$ هو الانحراف المعياري (العينة) للعوائد الدورية على أصل $i$، و $\rho_{i j}$ هو معامل الترابط بين العوائد على الأصول $i$ و $j$. وبالإضافة، ممكن نكتب التعبير زي: $$ سيغما_ب^2=سوم_سوم_سوم_سوم_سوم $$ وين $\rho_{i j}=1$ عشان $i=j$، أو $$ سيغما بي 2=سوم سيغما جي $$ وين $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ هيدي (عينة) التباين في العوائد الدورية على الأصولين، أو بتتعرف بديلًا باسم $\sigma{i, j)$، $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ أو $\operatorname{cov}{i, j)$. - تقلب عائد المحفظة (الانحراف المعياري): $$ \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2} $$ لحافظة مع اثنين من الأصول: - عائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right) $$  - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$ بالنسبة لمحفظة بتلاتة أصول: - عائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) +w_C \mathrm{E}\left(R_C\right) $$ - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$