وصف الجبر للي
Context:في الرياضيات، مجموعة ليه بسيطة هي مجموعة ليه غير آبيلية متصلة G التي لا تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية متصلة غير تافهة. يمكن استخدام قائمة مجموعات لي البسيطة لقراءة قائمة جبرات لي البسيطة والمساحات التماثلية الريمانية.  جنبًا إلى جنب مع مجموعة لي التبديلية للأرقام الحقيقية، \mathbb {R} ، وذلك من الأرقام المركبة الوحدة الكبيرة، U(1) (الدوائرة الوحدة) ، مجموعات لي البسيطة تعطي "البلوك" الذري الذي يشكل كل مجموعات لي (المحدودة الأبعاد) المتصلة عبر عملية تمديد المجموعة. العديد من مجموعات لي الشائعة هي بسيطة أو "قريبة" من كونها بسيطة: على سبيل المثال، ما يسمى "الجماعة الخطية الخاصة" SL ((n) من n × n المصفوفات مع المحدد يساوي 1 بسيطة لجميع n > 1.  كان أول تصنيف لمجموعات ليه بسيطة من قبل فيلهلم كيلينج، وتم تكمل هذا العمل لاحقًا من قبل إيلي كارتان. غالبًا ما يشار إلى التصنيف النهائي باسم تصنيف كيلينغ-كارتان.
لسوء الحظ، لا يوجد تعريف مقبول عالمي لمجموعة Lie البسيطة. وعلى وجه الخصوص، لا يتم تعريفه دائمًا كمجموعة ليه بسيطة كمجموعة تجريدية. يختلف المؤلفون حول ما إذا كانت مجموعة لي البسيطة يجب أن تكون متصلة، أو ما إذا كان مسموح لها أن يكون لها مركز غير تافه، أو ما إذا كانت  \mathbb {R} هي مجموعة ليه بسيطة.  ويعني التعريف الأكثر شيوعًا أن مجموعة لي هي بسيطة إذا كانت متصلة، غير آبيلية، وكل مجموعة فرعية طبيعية مغلقة متصلة هي إما الهوية أو المجموعة بأكملها. وعلى وجه الخصوص، يسمح للمجموعات البسيطة أن يكون لها مركز غير تافه، ولكن  ماشي بسيط.  في هذه المقالة، تم إدراج مجموعات لي البسيطة المتصلة مع مركز تافه. وبمجرد معرفة هذه، فمن السهل إدراج تلك التي لها مركز غير تافه على النحو التالي. أي مجموعة ليه بسيطة مع مركز تافه لها غطاء عالمي، مركزها هو المجموعة الأساسية لمجموعة ليه بسيطة. ويمكن الحصول على مجموعات لي البسيطة المقابلة مع مركز غير تافه كمشاركات من هذا الغطاء العالمي بواسطة مجموعة فرعية من المركز.  البدائل تعريف مكافئ لمجموعة لي بسيطة يتبع من مراسلة لي: مجموعة لي متصلة بسيطة إذا كانت جبر Lie بسيط. وهناك نقطة تقنية مهمة هي أن مجموعة لي البسيطة قد تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية منفصلة. ولهذا السبب، لا يعادل تعريف مجموعة لي البسيطة تعريف مجموعة لي البسيطة كمجموعة تجريدية.  وتشمل مجموعات ليه البسيطة العديد من مجموعات ليه الكلاسيكية، والتي توفر دعمًا لنظرية المجموعات للهندسة الكروية والهندسة الإسقاطية والهندسة ذات الصلة بمعنى برنامج إيرلانجن فيليكس كلاين. وظهر في عملية تصنيف مجموعات لي البسيطة أن هناك أيضًا العديد من الاحتمالات الاستثنائية التي لا تتوافق مع أي هندسة مألوفة. تمثل هذه المجموعات الاستثنائية العديد من الأمثلة والتكوينات الخاصة في فروع أخرى من الرياضيات، بالإضافة إلى الفيزياء النظرية المعاصرة.  كمثال مضاد، المجموعة الخطية العامة ليست بسيطة ولا شبه بسيطة. ويرجع ذلك إلى أن مضاعفات الهوية تشكل مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة، وبالتالي تتجنب التعريف. وبشكل متساوي، فإن الجبر الليلي المقابل له شكل كيللينغ المتدهور، لأن مضاعفات هوية الخريطة إلى العنصر الصفري للجبر. وبالتالي، فإن جبر لي المقابل ليس بسيطًا ولا شبه بسيطًا. مثال مضاد آخر هو المجموعات المستقيمة الخاصة في البعد الزوج. هادو عندهم المصفوفة -  أنا في الوسط، وهذا العنصر مرتبط بالمسار لعنصر الهوية، وبالتالي هادي المجموعات تتجنب التعريف. وكلاهما مجموعات تخفيضية.