اعطني دليل ان الجذر التربيعي لـ 2 غير معقول
هذا دليل على ان الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. أولًا، تذكر أن الأعداد غير العددية هي أرقام لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من أجل التناقض أن الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، والذي يعني أن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبالإضافة إلى ذلك، افترض دون فقدان التعميم أن هذا الكسر في شكل مخفض، بمعنى أن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. نقدر نفترض هذا لأن أي كسر صحيح يمكن كتابته في شكل مخفض، لذلك وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2)) يعني وجود واحد في شكل مخفض. و الان نربع كلا الجانبين من المعادلة اللي فوق،  2 = p^2 / q^2  بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة p و q لا يشتركون في أي عوامل مشتركة. الان نضرب ب q^2 و نحصل  2 * q^2 = p^2  لاحظ ان الجانب الايسر زوجي بسبب عامل 2، لذلك الجانب الايمن p^2 زوجي ايضا. هذا يعني ان p لازم يكون زوجياً ايضاً، وإلا p^2 لن يكون زوجياً. اذاً p يمكن ان يكتب كـ 2 * x لعدد صحيح x. لو بدلناه في المعادلة، نحصل  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2 ^2 * x^2  لاحظ ان كلا الجانبين من المعادلة عندهم عامل 2 يمكننا ان نلغي. بفعل هذا، نحصل  q^2 = 2 * x^2  بحجة مماثلة لتلك أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن q زوجي. لكن هذا يتناقض مع افتراضنا بأن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. لذلك افتراضنا الأولي بأن sqrt ((2)) عقلاني كان خاطئ، وهو ما حاولنا إثباته.