استخراج الصيغة في صيغة التسجيل الرياضي لتحسب عوائد المحفظة والتباين في نظرية المحفظة الحديثة
Context:كايضمن MPT بلي المستثمرين ما بيحبوش المخاطرة، ويعني داكشي بلي عند وجود محفظتين يقدمان نفس العائد المتوقع، يفضلو المستثمرين المحفظة الأقل خطورة. وبالتالي، فان المستثمر غي يتحمل مخاطر اكبر إلا إذا كان يعوض عن طريق عوائد متوقعة أعلى. وعلى العكس، المستثمر اللي بغى عوائد متوقعة أعلى لازم يتقبل مخاطر اكبر. المقايضة المحددة لن تكون نفسها لكل المستثمرين. المستثمرين المختلفين غادي يقيمو التفاضل بشكل مختلف بناء على الخصائص الفردية لعدم المغامرة. فالنتيجة هي أن المستثمر العقلاني ما يستثمرش في محفظة إذا كانت هناك محفظة ثانية ذات ملف تعريف للمخاطر والعائد المتوقع الأكثر ملاءمة، أي إذا كان هناك محفظة بديلة لهذا المستوى من المخاطر والتي تملك عوائد متوقعة أفضل.  تحت النموذج:  عوائد الحافظة هي المزيج المرجح بالتناسب من عوائد الأصول المكونة. تقلبات العائد ديال البورتفوليو \sigma _{p} هي دالة على الترابطات ρij من الأصول المكونة، لجميع أزواج الأصول (i، j). التذبذب يعطي نظرة ثاقبة على الخطر المرتبط بالاستثمار. كلما ارتفعت التقلبات، كلما ارتفعت المخاطر.
- العودة المتوقعة: $$ \mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right) $$ حيث $R_p$ هو العائد على المحفظة، $R_i$ هو العائد على الأصول $i$ و $w_i$ هو وزن الأصول المكونة $i$ (أي النسبة من الأصول "i" في المحفظة، بحيث $\sum_i w_i=1$). - الاختلاف في عوائد المحفظة: $$ "السيغما_ب^2=السيغما_س^2+السيغما_س^2" "السيغما_س^2" $$ حيث $\sigma_i$ هو الانحراف المعياري (العينة) للعوائد الدورية على الأصول $i$، و $\rho_{i j}$ هو معامل الارتباط بين العوائد على الأصول $i$ و $j$. ويمكن كتابة التعبير على النحو التالي: $$ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j} $$ حيث $\rho_{i j}=1$ لـ $i=j$، أو $$ \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j} $$ حيث $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ هو (عينة) التباين في العوائد الدورية على الأصولين، أو يُشار إليها باسم $\sigma{i, j) $، $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ أو $\operatorname{cov}{i, j) $. - تقلبات العائد ديال البورتفوليو (الابتعاد المعياري): $$ \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2} $$ بالنسبة لحافظة من اثنين من الأصول: - عوائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right) $$  - تباين المحفظة: $\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$ بالنسبة لحافظة من ثلاثة أصول: - عوائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) +w_C \mathrm{E}\left(R_C\right) $$ - تباين المحفظة: $\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$