استخراج الصيغ في شكل علامة تخفيض اللاتكس الرياضي لحساب عوائد المحفظة والتباين في نظرية المحفظة الحديثة
Context:بيفترض MPT إن المستثمرين بيكرهوا المخاطرة، بمعنى إنه عند إعطاء محفظتين بيعرضوا نفس العائد المتوقع، بيفضل المستثمرين المحفظة الأقل خطورة. وبالتالي، المستثمر هيتحمل زيادة المخاطر بس لو مكافأها عوائد متوقعة أعلى. وبالعكس، المستثمر اللي عايز عوائد متوقعة أعلى لازم يقبل مخاطر أكتر. التفاوض الدقيق مش هيبقى هو نفسه لكل المستثمرين. بيقوم المستثمرين المختلفين بتقييم المقايضة بشكل مختلف بناءً على خصائص كره المخاطر الفردية. يعني دا إن المستثمر العقلاني مش بيستثمر في محفظة إذا كان هناك محفظة ثانية مع ملف عائد متوقع أكثر ملاءمة للمخاطر - أي إذا كان هناك محفظة بديلة عند مستوى المخاطرة ده ليها عوائد متوقعة أحسن.  تحت الموديل:  عوائد المحفظة هي الجمع المرجح النسبي لعوائد الأصول المكونة. تقلبات عوائد المحفظة سيغما _{p} هي دالة على الترابطات ρij من الأصول المكونة، لكل أزواج الأصول (i، j). بتعطينا التقلبات نظرة ثاقبة على المخاطر المرتبطة بالاستثمار. كلما ارتفعت التقلبات، كلما ارتفعت المخاطر.
- العودة المتوقعة: $$ \mathrm{E}\left(R_p\right) =\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right) $$ فين R_p$ هو عائد المحفظة، R_i$ هو عائد الأصل $i$ و w_i$ هو وزن الأصل المكون $i$ (يعني نسبة الأصل "i" في المحفظة، علشان $\sum_i w_i=1$). - تباين عوائد المحفظة: $$ سغما بي 2 = سغما بي 2 + سغما بي $$ فين $\sigma_i$ هو الانحراف المعياري (العينة) للعوائد الدورية على الأصل $i$، و $\rho_{i j}$ هو معامل الترابط بين العوائد على الأصول $i$ و $j$. أو ممكن نكتب التعبير زي: $$ سيكما_ب^2=سيكما_ج سيكما_ج $$ حيث $\rho_{i j}=1$ لـ $i=j$، أو $$ سيغما بي 2=سوم زي سوم زي $$ حيث $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ هو (عينة) تقارب العوائد الدورية على الأصولين، أو من ناحية تانية دلول على أنه $\sigma{i, j) $، $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ أو $\operatorname{cov}{i, j) $. - تقلب عوائد المحفظة (الانحراف المعياري): $$ \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2} $$ بالنسبة لمحفظة اثنين من الأصول: - عائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right) $$  - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$ بالنسبة لمحفظة ثلاث أصول: - عائد المحفظة: $$\mathrm{E}\left(R_p\right) =w_A \mathrm{E}\left(R_A\right) +w_B \mathrm{E}\left(R_B\right) +w_C \mathrm{E}\left(R_C\right) $$ - تباين المحفظة: $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$