عطيني إثبات إنو الجذر التربيعي من 2 غير منطقي
هيدا دليل عن طريق التناقض إن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. أولًا، تذكر إن الأعداد غير العددية هيدي أرقام مش ممكن تكتب زي p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من أجل التناقض إن الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، واللي بيعني إن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. بعدين افترض من غير فقدان التعميم إن هالكسر في شكل مخفض، بمعنى إن p و q ما بيحملوا عوامل مشتركة. فينا نفترض هيك عشان أي كسر عدد صحيح ممكن يكتب في شكل مخفف، إذاً وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2) بيطرح وجود واحد في شكل مخفف. هلأ، نحط الطرفين من المعادلة علطول، وبنحصل  2 = p^2 / q^2  لبعض الأعداد الصحيحة p و q ما بتتشاركش أي عوامل مشتركة. هلق نضرب ب q^2 وناخد  2 * q^2 = p^2  لاحظ إنو الجانب الأيسر زوجي بسبب عامل 2، إذاً الجانب الأيمن p^2 زوجي كمان. يعني إن p لازم يكون زوجي كمان، وإلا p^2 ما رح يكون زوجي. إذاً p ممكن يكتب زي 2 * x لعدد صحيح x. إذا بديلنا هيدا في المعادلة اللي فوق، نحصل  2 * q ^ 2 = (2 * x) ^ 2 = 2 ^ 2 * x ^ 2  لاحظ إنو كل جانبي المعادلة عندهم عامل 2 فيمكننا نلغي. بعمل هيك، نحصل  q^2 = 2 * x^2  بحجة زي اللي فوق، فينا نستنتج إن q زوجي. وبالرغم من كدا، بيخالف افتراضنا إن p و q ما بتشتركوا في عوامل مشتركة. عشان هيك، افتراضنا الابتدائي إن sqrt(2) عقلاني كان غلط، وهو اللي بدنا نثبتو.