اعطيني دليل ان الجذر التربيعي لـ 2 غير معقول
هاي دليل من خلال التناقض ان الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي. أولًا، تذكر إن الأعداد غير العددية هي أرقام لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض من أجل التناقض إن الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، والذي يعني إن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. زيادة من دون فقدان التعميم، افترض ان هذا الكسر في شكل مخفض، بمعنى ان p و q ما بيحملوا عوامل مشتركة. ممكن نفترض هذا لأن أي كسر صحيح يمكن كتابته في شكل مخفض، لذلك وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2) يعني وجود واحد في شكل مخفض. هلأ نربع كلا جانبي المعادلة اللي فوق، ونتحصل على  2 = p^2 / q^2  لبعض الأعداد الصحيحة p و q ما بتشتركش في أي عوامل مشتركة. هلأ، نضرب ب q^2 عشان نحصل  2 * q^2 = p^2  لاحظ إن الجانب الأيسر زوجي بسبب عامل 2، لذلك الجانب الأيمن p^2 زوجي كمان. هاد يعني ان p لازم يكون زوجي كمان، والا p^2 مش هيكون زوجي. عشان كده p ممكن يكتب على شكل 2 * x لعدد صحيح x. اذا بدأنا بعمل هذا في المعادلة اللي فوق، نحصل  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2 ^2 * x ^2  لاحظ إن كلا الطرفين من المعادلة عندهم عامل 2 نقدر نلغي. بالقيام بهاد، نحصل  q^2 = 2 * x^2  بحجة تشبه الحجة أعلاه، فيمكننا نستنتج إن q زوجي. وبالرغم من كده، هذا يتناقض مع افتراضنا بأن p و q ما بيحتويشوا على عوامل مشتركة. عشان كده افتراضنا الابتدائي بإن sqrt(2) عقلاني كان غلط، وهو ما بدنا نثبتوه.