وشوا بعض التطبيقات العملية لمفهوم بيرنسايد في علم التركيبات بناء على هذا المقطع؟
Context:حجة برنسايد، والتي تسمى أحيانًا أيضًا نظرية عد برنسايد، أو نظرية كوشي فروبنيوس، أو نظرية عد المدار، أو الحجة التي ليست برنسايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات التي غالباً ما تكون مفيدة في أخذ التناظر في الاعتبار عند عد الأجسام الرياضية. أسماءها المختلفة مبنية على ويليام بيرنزايد، جورج بوليا، أوغستين لويس كوشي، وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة لا تعود إلى بيرنسايد نفسه، الذي يقتصر على اقتباسها في كتابه "عن نظرية المجموعات ذات النظام المحدود"، ويعزوها بدلاً من ذلك إلى فروبينيوس (1887). برنسايد يعد "المدارات"، وهو نفس الشيء مثل عد الأشياء المختلفة مع الأخذ في الاعتبار التماثل. طرق أخرى لقولها هي عد الأشياء المتميزة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الأشياء التي في شكل قانوني.  في ما يلي، دعو G تكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G، دعو Xg تشير إلى مجموعة العناصر في X التي ثابتة بواسطة g (يقال أيضًا إنها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X │ g.x = x }. مبدأ بيرنسايد يفترض الصيغة التالية لعدد المدارات، والتي تتمثل في X/G:       = واحد    <unk>  ∈      .. {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} وبالتالي عدد المدارات (عدد طبيعي أو +∞) يساوي متوسط عدد النقاط المحددة عن طريق عنصر من G (وهو أيضًا عدد طبيعي أو اللانهاية). إذا كانت G لانهائية، فإن القسمة على G قد لا تكون محددة بشكل جيد؛ في هذه الحالة، القول التالي في الحساب الأساسي صحيح:          = <unk>  ∈      .. {\displaystyle \GgadgadgadgadX/Ggadgad=\sum _{g\in G}gadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على تطبيقات التعداد قلادة هناك 8 متجهات بت ممكنة بطول 3، لكن فقط أربع قلائد مميزة من لونين بطول 3: 000، 001، 011، و 111، لأن 100 و 010 تعادل 001 بالدوران؛ وبالمثل 110 و 101 تعادل 011. الصيغة مبنية على عدد الدورات، والذي في هذه الحالة هو 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البت التي تبقى دون تغيير من كل دورة. كل متجهات ثمانية بتات غير متغيرة من خلال الدوران الصفري، واثنين (000 و 111) غير متغيرين من خلال كل من الدورانين الآخرين، مما يعطي: أربعة. = واحد ثلاثة ( ثمانية + اثنين + اثنين ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  لطول 4، هناك 16 متجه بيت ممكن؛ 4 دورانات؛ التدوير الصفري يترك كل متجه بيت 16 دون تغيير؛ التدوير 1 و التدوير 3 يترك كل واحد متجه بيتين دون تغيير (0000 و 1111) ؛ التدوير 2 يترك متجه بيت 4 دون تغيير (0000, 0101, 1010 و 1111) ؛ يعطي: ستة = واحد أربعة. ( 16 + اثنين + أربعة. + اثنين ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هذه هي: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و 1111.  ملونات مكعب يمكن تحديد عدد الألوان المختلفة بدورية على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من هذه الصيغة على النحو التالي.  خلي X هو مجموعة من 36 تركيبات لون الوجه المحتملة التي يمكن تطبيقها على مكعب في اتجاه معين، ودع مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. بعدين عنصرين من X ينتميان لنفس المدار بالضبط عندما يكون واحد ببساطة دوران للآخر. وبالتالي عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني هو نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق حساب أحجام المجموعات الثابتة لعناصر 24 من G.   مكعب وجوه ملونة عنصر هوية واحد يترك كل عناصر 36 من X بدون تغيير. ستة تدويرات وجهه 90 درجة، كل منها يترك 33 من عناصر X دون تغيير ثلاث تدويرات وجهه 180 درجة، كل منها يترك 34 من عناصر X دون تغيير ثمانية تدويرات للقمة بـ 120 درجة، كل واحد منها يترك 32 من عناصر X دون تغيير ستة تدويرات حواف 180 درجة، كل واحد منها يترك 33 من عناصر X دون تغيير يمكن العثور على دراسة مفصلة لهذه التشكيلات الذاتية هنا.  متوسط حجم التثبيت هو هكذا  واحد أربع وعشرين ( ثلاثة ستة + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة + ثلاثة ⋅ ثلاثة أربعة. + ثمانية ⋅ ثلاثة اثنين + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة ) = 57. {\frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. وبالتالي، هناك 57 لون متباين بشكل دوراني من وجوه المكعب في ثلاثة ألوان. عموماً، عدد الألوان المميزة للدوران على وجوه المكعب بألوان n يعطينا  واحد أربع وعشرين (  ستة + ثلاثة  أربعة. + اثني عشر  ثلاثة + ثمانية  اثنين ) .. {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملوك الثمانية هناك 92 حلول، منها 12 حلول أساسية متميزة حتى دوران وعكس اللوحة. فيه ثمانية مجموعات من الدورات والانعكاسات، بما في ذلك عمل الصفر. الإجراء الفارغ يترك جميع الحلول الـ92 دون تغيير. أربعة من الحلول الـ92 متناظرة، غير متغيرة بتدوير 180 درجة. هذا يعطي: اثني عشر = واحد ثمانية ( 92 + أربعة. ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* مشكلة عد القلادات: عد القلادات المختلفة بدورها من مختلف الأطوال حيث يمكن لكل حبة أن تكون واحدة من اللونين. المادة تحسب قلائد طولها 3 و 4، والجواب هو 4 و 6 على التوالي. * تلوينات مكعب مشكلة: احصي تلوينات مختلفة بشكل دوراني من وجوه مكعب. المقال يناقش حالة استخدم فيها 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: النسخة الكلاسيكية للمشكلة هي عد طرق مختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8×8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق ليمة بيرنسايد، يعد المقال عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس، ويصل إلى 12 كجواب.