Was ist die Intuition hinter der Homologie? Ich weiß, dass wir versuchen, eine Gruppe zu bauen, die mit Topologie verbunden ist, die homotope Invariant ist, aber warum sind Kettenkomplexe der richtige Weg, um sie zu bauen? Gibt es andere Möglichkeiten, diese Invarianten zu bekommen?
Die Intuition hinter der Homologie ist, dass wir die "Löcher" oder "Höhlen" in einem topologischen Raum auf algebraische Weise erkennen können. Homologie ist ein wichtiges Werkzeug in der algebraischen Topologie, das es uns erlaubt, Abelian-Gruppen mit topologischen Räumen zu verknüpfen, und diese Gruppen geben Informationen über die topologischen Eigenschaften des Raumes in Frage. Im Allgemeinen ist ein Kettenkomplex eine Sammlung von Abelian- und Homomorphismusgruppen unter ihnen, die Informationen über den topologischen Raum in Frage kodieren. Abelian-Gruppen in einem Kettenkomplex werden Kettengruppen genannt, und Homomorphismen zwischen ihnen werden Grenzoperatoren genannt. Diese Grenzoperatoren erlauben uns, Zyklen und Kanten zu definieren, die wichtige Objekte in der Homologie sind. Die Idee hinter der Homologie ist, dass Zyklen Elemente sind, die geschlossene Objekte im topologischen Raum darstellen (zum Beispiel, eine geschlossene Sphäre), während die Kanten Objekte darstellen, die einen Rand haben (zum Beispiel einen Kreis). Im Allgemeinen passen die Zyklen und Kanten nicht zusammen, und wir können messen, wie viel "fehlen" mit dem Bild des topologischen Operators. In anderen Worten können wir an Homologie