(1)求过点 的 的切线方程;
[题目]如图所示的自动通风设施.该设施的下部 是等腰梯形,其中 为2米,梯形的高为1米, 为3米,上部 是个半圆,固定点 为 的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和 平行.当 位于 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形 (阴影部分均不通风).
(2)当 与 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积 取得最大值?
[题目]已知 为函数 的导函数,且 .
(1)判断函数 的单调性;
[题目]已知动圆 过定点 ,且在 轴上截得的弦长为 .
(1)求动圆 的圆心点 的轨迹方程 ;
(2)过点 的动直线与曲线 交于 两点,平面内是否存在定点 ,使得直线 分别交 于 两点,使得直线 的斜率 ,满足 ?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
[题目]已知四边形 为等腰梯形,  沿对角线将 旋转,使得点 至点 的位置,此时满足 .
(1)判断 的形状,并证明;
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
[题目]某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试,试卷满分120分,现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩,其茎叶图如下图所示:
(1)已知10名学生的平均成绩为88,计算其中位数和方差;
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布 ,某校实验班学生30人.
①依据(1)的结果,试估计该班学业水平测试成绩在 的学生人数(结果四舍五入取整数);
②为参加学校举行的数学知识竞赛,该班决定推荐成绩在 的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为 ,用随机变量 表示通过预选赛的人数,求 的分布列和数学期望.
(Ⅰ)求函数 图象恒过的定点坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,证明: 存在唯一的极小值点 ,且 .
[题目]设 为坐标原点,动点 在椭圆 上,过 作 轴的垂线,垂足为 ,点 满足 .(Ⅰ)求点 的轨迹方程 ;
[题目]高中生在被问及"家,朋友聚集的地方,个人空间"三个场所中"感到最幸福的场所在哪里?"这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占 ,朋友聚集的地方占 ,个人空间占 .美国高中生答题情况是:家占 ,朋友聚集的地方占 ,个人空间占 .为了考察高中生的"恋家(在家里感到最幸福)"是否与国别有关,构建了如下 列联表.
(Ⅰ)请将 列联表补充完整;试判断能否有 的把握认为"恋家"与否与国别有关;
(Ⅱ)从中国高中生的学生中以"是否恋家"为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的"恋家"人数为 ,求随机变量 的分布列及期望.