目标与步骤:
  1. 爸爸去哪儿[问题引入];
  2. 先来一口试试[De Rham上同调初探];
  3. 简单才好[微分形式和de Rham上同调的定义];
  4. 来揉橡皮泥吧[同胚与同伦];
  5. 互相帮助,共同进步[上同调的计算]
  6*. 由弱变强之道[Hodge分解]
前情提要:
de Rham上同调的同胚和同伦不变性.
  最近一直不太好,老毛病反复发作,情绪不稳.再加上最近一年内事情很多,我本身也忙得不可开交,所以一度有了关闭专栏的想法.但是想到倘若直接关栏,可能有些对不住大家,所以也就咬牙决定将第三章弄完再说.(可能又有一大段时间我不会写新东西,而只是回答一些问题了.)昨天刚刚出差回家,趁着今天休息就赶紧补上一节.
  上次Yuhang Liu君提到我写拓扑的难度和深度比不上分析的文章.这确实如此:其一,我专业主攻方向并不是拓扑,所以能力所限无法达到太深的内容.其二,我写这章的主要动机是有学弟表示学上同调太难,上课都基本上"划水".所以我尽量压低难度,在流形,定向,链复形等一些基本概念的都没有介绍的情况下,只将一些主要的内容进行大致介绍,甚至于略过证明.从某种意义上而言,我只是在介绍一个工具,而不是探讨它的原理.所以对于希望继续在这个方向深入的朋友,我推荐阅读Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
进行学习.事实上我挺讨厌列书单的行为的,但是这本书基本上是这个方向入门书中圣经级别的了,所以不得不推荐~  上次(其实是很久很久以前)我们谈到了,de Rham上同调在同伦意义下是不变的.这让我们在计算它们的时候方便了不少:我们只需要计算一些标准的模型就行.对于一般的情况,我们就寻找和它同伦的标准模型就好啦~  比如,我们首先来计算一个超级简单的东东吧:. 显而易见,在上的光滑函数只有常值函数.因而根据定义我们很容易知道因而对于所有和一个点同伦的开集,比如单位球,比如我们前面提到的星形区域,都满足就这样,通过同伦等价的关系,duang一下子我们就知道了好多好多信息了~ 各位小伙伴们,是不是很开心啊?Are you OK?(雷军脸)
  (事实上这里我省略了一些东西,比如严格地来说我需要将单点嵌入到对应的欧式空间中之类的,但是由于我就是打死也不愿意介绍流形的定义,所以......所以就这样得过且过啦哈哈哈哈~)[你们来打死我呀~ 来呀~快活呀~~~( ̄▽ ̄~)(~ ̄▽ ̄)~]
  当然生活总不是那么容易的.虽然我们知道可以算一些标准模型就好了,但是我们也还是需要算一些模型的啊.那么怎么计算呢?这时候我们就要祭出大杀器了:Mayer-Vietoris定理(Mayer-Vietoris sequence).[顺带膜一下Viectoris老爷子:下面是他110岁的照片]
  这个定理是这么说的:假如是两个开集,并且. 那么是恰当的(exact)的.其中是线性空间(或者群)的直和.
  我们暂时不要关注这个序列里面那些奇奇怪怪的记号什么的,因为它们只是一些(对应链复形上的映射诱导出的)线性映射而已啦.如果我们只想要应用,就只需要理解这里最重要的词语"恰当的":它告诉我们我们的计算就全靠它了.
  自然我也是不可能去吭哧吭哧地证明这个定理的(有兴趣的读者可参加Hatcher的书);它里面所需要的名词就够我写两三篇文章的了.但是,据说这个定理好用,那么我们就来拿个例子试试吧~[这叫做,咳咳......实践是检验真理的唯一标准]
  考虑平面上的,即一个圆环.我们将它拆成两个开集和的并.为啥选这俩开集呢?[因为它们长得帅啊]
咳咳,我们选它们的原因之一是,分别同胚于矩形,而矩形是星形区域,所以我们知道它们的de Rham上同调是什么样子的.其二是,是由两个分别同胚于矩形的区域组成的.同样我们也能够计算它们的de Rham上同调.(不难验证,两个不相交区域的并集的上同调和它们上同调的直和同构.)
这里图片下方的红字表明的就是我们已经知道的de Rham上同调的维数.根据这个信息以及这个序列的正则性,简单的推理[此时应有 音乐]可以知道, . (提示:通过前一个的映射的像集维数得到后一个映射的核维数,从而得到这个映射的像集维数,以此类推.)因此我们有类似的方法,我们可以得到对于, 我们有因为同伦于,我们也知道  同胚(或同伦)可以帮助我们计算de Rham上同调.反过来,de Rham上同调也可以帮助我们判断两个空间是否同胚.所谓"互相帮助,共同进步"嘛啊哈哈哈哈哈~[抄作业专用语]
  现在让我们来考虑一个"显然"的结论吧:和并不同胚.
(1)同胚要求是一一映射啊,但是里面点的个数少于里面点的个数啊~ (错,参见1.1)
(2)没有从到的连续映射啊~(错,参见Peano曲线及其相关)
(3)和的维数不一样啊~(请注意你所指的维数是线性空间的维数,还是拓扑维数.线性空间是线性代数的东西,和拓扑空间没有直接的关系.)
  所以啊,这个问题其实并不简单.不过在有了de Rham上同调以后,我们就可以很容易地证明和并不同胚啦:如果存在同胚映射,那么复合上一个平移运算以后,我们不妨假设. 既然是同胚,那么也是一个同胚.但是两个同胚区域的的de Rham上同调是相同的啊.然而根据我们上面的运算,我们发现从而得到了矛盾.
  由此我们可以看出,de Rham上同调可以帮助我们判断两个拓扑空间是否同胚.这是它的一个大作用.关于它更多的应用,就请期待我们下一节(也是最后一节)的介绍啦.
  最后再次跟诸位说声抱歉:由于这一年剩下的日子里我非常可能会忙得不可开交,所以会有很长一段时间不会有太多作为.还请诸位海涵海涵喵喵喵~~[附上马猴烧酒一只,敬请诸位绅士(hentai)享用~]