托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,其推论是任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且当ABCD四点共圆时取等号.托勒密定理的推论:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,而且当ABCD四点共圆时取等号.证明如下:在四边形ABCD中,连接AC,BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD则△ABE∽△ACD∴ BECD=ABAC,ABAC=AEAD∴BE*AC=AB*CD ①,ABAE=ACAD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BAC=∠DAE又∵ABAE=ACAD,∴△ABC∽△AED∴BCED=ACAD∴ED*AC=AD*BC②①+②,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又∵BE+ED≥BD∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC从而命题得证,且仅当E点落在线段BD上时,等号成立此时∠ABD=∠ACD∴ABCD四点共圆