证明 假如结论不成立(附图12),就在OaOb的同一侧,自点M作OaOb的一条垂线.设OaOb与a和b分别交于P和Q.由于PO<PQ+QO,故有POa<POb,以及QOb<QOa.因之M必须在a和b所成平面区域的内部,则在点M所作的垂线必与a或b相交.如果它与a相交于A点,则将推出AOa=AO以及AOa=AOb,因之AO=AOb,即A也是b上一点,此与定理的假设相矛盾(5).
附图 12引理5 如果a,b和c是三条直线,它们有公共端点ω,且关于此三直线的反射分别用Sa,Sb和Sc来表示.于是存在具有端点ω的一直线d,而使关于a,b,c陆续所作反射的结果与关于d所作反射Sd相同,亦即证明 首先假设直线b位于直线a与c所