JK=C.于是,π是辛变换当且仅当πε1
,...,πεm
,πε-1
,...,πε-m
是以J为度量矩阵的辛正交基,当且仅当C=J,当且仅当KT
JK=J.
数域
上2m阶矩阵A如果满足AT
JA=J,则称A为辛方阵.记
为数域
上2m阶辛方阵全体构成的集合.可证
关于矩阵的乘法是封闭的,且每个辛方阵的逆矩阵也是辛方阵.通常,
称为2m阶辛群.
总结上面的讨论,即有:
命题8 设(V,f)是辛空间,则V的由辛正交基到辛正交基的自同构是辛变换当且仅当自同构在辛正交基下的对应方阵是辛方阵.
令
其中A,B,C,D均为m阶方阵,则KT
JK=J当且仅当CT
A=AT
C,DT
B=BT
D,AT
D-CT
B=Em
.因此,有