本文中对  直接写作  ,如有例外,会写出上下限;
最近见到了这么个玩意:
,那就来试着证一下x先考虑  ,很自然的想法是令  ,这样消掉了复合函数,得,我们要处理掉这个  ,首先我们知道一个结论:
,这个结论有114514种证明方法,我们对其稍作推广就有,其中我们取了  ,则,进而代入  ,再交换含参量积分号的次序,交换完后我们要严格验证是否满足交换条件:
积分值算出来了,接下来我们需要验证积分次序的合法性:
用一个小技巧,引入  ,构造积分并对其交换次序:
这里的合法性:
对  一致收敛,  对  一致收敛,且  收敛,故有  收敛,故交换积分次序合法.
又由  和  收敛,有  对  一致收敛,再由  收敛(无关与  ,故对  一致收敛,再根据  对  单调且关于  一致有界:  ,故由Abel判别法,有对  一致收敛(那我们到底为什么要引入这个收敛因子呢?)
因为当  时,只要保证合法性,这个参变量积分实际上就相当于原积分:
,故再考虑  ,引入收敛因子  ,则  ,以同样的方法可以得到左边的积分对  一致收敛,右边的积分对  一致收敛,故类似方法可以得到  ,接下来我们验证积分可以交换次序:
但如果它一致收敛,那  ,就有那么考虑令再令  ,那么就有  ,什么玩意啊?
取  ,我们用Weierstrass判别法,就不难得到(这样交换次序的合法性就很好证了,直接略了)
,这个阴间玩意的结果是,这时候我们令  ,就成功证出了  式,故.