可以构造不同的趋近方式 如果得到不同的极限 则说明极限不存在.
和一元函数一样 极限存在且极限值等于函数值 则连续;
如果函数连续 极限值等于函数值.
多元初等函数在定义域内连续 且满足有界性 最大最小值定理 介值定理 一直连续性(忘了是啥了).
对谁求偏导 就把剩下的看成常量.
混合偏导在偏导连续的条件下与求导次序无关.
初等函数的偏导是初等函数 初等函数是连续函数 所以初等函数高阶偏导与求导次序无关.
故判断一个多元函数是否可微的步骤是:
微分$dz$是各个方向"引"的曲线上x点处函数的变化率(口胡 可能是错的 这么理解一下) 可以用"切平面"来理解.
的原因就是偏导只保证了平行于坐标轴的切直线存在 但是没有保证其他方向上的. 下图就是个例子:
图来自知乎@马同学回答怎么从几何上理解偏导数连续函数必可微?
的直观理解如下:
由于偏导连续 所以在很小的一块区域里可以看成偏导相等.