希望对没来的但感兴趣的读者有用~不知道大家进门前有没有抬头看一看这个没有被隔壁物理所插上九十周年大旗的楼顶有心的同学会发现这样一个标志:
这个东东呢,就叫作"赵爽弦图" .
"勾三股四弦五",这样的直角三角形的三边都是有理数,我们称它为"有理直角三角形".比较凑巧的是,这个"勾三股四弦五"的直角三角形的面积又恰好是一个整数.
下面问题来了:
这样子的有理直角三角形有多少呢?其面积n都是些什么样的整数呢?
这里给大家写几个我们已知的n,大家可以来找一找这些n对应的三角形的三边,找到了,我就给你送书,年龄小的优先哈~n=5,6(划掉),6不行,它太巧了,就是勾三股四弦五,这不算.7,13,14,15,21,22,23......暂时就这样么多吧.
这样的n,我们称为"同余数".事实上,关于同余数,最早的记载其实和直角三角形没有什么鬼关系的.最开始,我们是在一位历史书不愿意透露姓名的人类手里发现这个问题的.
时间大概在公元972年......好吧,这个时间太精确了,所以或者更早以前吧,一个不知名的阿拉伯的手稿留下了这样的问题 -  -  给定某一个整数n,求一个平方数  ,使得  都是平方数.
这样子的n呢,我们就称为同余数啦~[一名小学的小朋友:啊我知道,我们上奥数课的时候讲过,就是除以一个数余数相等吧?]
[我:嗯不是哦~这里的同余不是mod来mod去那个同余哦~]
这里的"同余",不是小学奥数和高联数论那个同余的哈,它是"和谐"的意思,英文名叫"congruent number",congruent这个词直译过来是"一致的,全等的"的意思,也可以说是"吻合的".
好的,乍一看,这种数的数量必须很少,因为这相当于找平方数的等差序列.在座即使是小学的小朋友应该也知道等差序列是什么了吧?我就不多加解释了,直接举个例子!
比如我们说24是个同余数,因为我们有:
OK,两边啪嚓一个相除4,则有我们刚刚说的勾三股四弦五的直角三角形面积6是同余数,所以我们考虑同余数,只需要考虑没有平方因子的就好啦~那么问题又来了,刚才我已经提示到了,我们的同余数n我最小的只给了一个5,为什么1, 2, 3, 4不是呢?
接下来的八卦就直接快进到500以后了,是1220年.食堂招牌例汤的鼻祖斐波那契,嗯,差不多是那个时代最伟大的数学家.此时,同余数的问题进化成了伽利略把球丢下去的那个城市,比萨,的八卦,更准确的说,是斐波那契和意大利国王御前学者们的八卦,总之,找到一个有理数的等差数列,其公差为5,即事实上,5应该是刚刚我写的那堆数里最简单的了,大家可以一边听八卦,一边尝试自己证一下~证出来就送书啊,年龄小的优先!
其实最开始呢,斐波那契自己都没证出来5到底是不是同余数,但他猜想是的,却没给出证明.包括后面的7也是他猜的,同样没给证明.故事在费马的年代被推进.
[小朋友:这个费马是费马大定理那个吗?]
[我:嗯对,就是那个嫌弃空白太小写不下证明,害得大家浪费三百年时光去弥补他的玩笑的那个费马.]
[学生家长:那这个同余数什么的是不是和费马大定理有关系啊?我看费马大定理好像也用了勾股定理的表述.]
[我:嗯是的,有关系的,比如证明1不是同余数的时候就等价于4次方幂的费马大定理情况,就是这个方程  没有正整数解.不过同余数这个应该还是跟千禧年问题中的BSD猜想,Birch and Swinnerton-Dyer,关系更紧密一点.]
[一位水平疑似较高的吃瓜群众:你能不能讲一下BSD猜想?或者介绍一下最近的进展?]
[我:哈哈,不好意思,这个恐怕不能,我不是做数论的~万一楼上有做这个的冲下来怼我班门弄斧就很尴尬了~不过BSD猜想简单地说就是,关于这么一个方程  的有理解的情况描述,也就是关心这条椭圆曲线上的有理点的结构,目前的进展应该是能证明很多无穷族的非复乘椭圆曲线有完整BSD公式成立?应该是这样,大概是楼上的人去年新出炉的结果?啊......这个讲错了我不负责任的,希望楼上不要有人听到下来打我......]
[该名(不愿放过我的)吃瓜群众:无穷族的非复乘椭圆曲线是什么?然后BSD猜想和同余数的联系是什么呢?]
[我:讲清楚这个无穷族的非复乘......要扯到郎兰兹纲领了,这个真的严重超出了我的能力范围,您就放过我吧.至于跟同余数问题的关系最主要的一点就在于,在BSD猜想成立的情况下,模8余5, 6, 7的n是同余数,这里的模就是刚刚有个小朋友说的除以一个数的意思了.]
[这位水平颇高的吃瓜群众放过了我......]
好的好的,我们接着说费马.费马当时使用无穷递降法,给予出一个并不难的证明,这个证明一会我会讲.
但就是这个看起来如此简单的证明,为什么费马之前无人做到?用现在的话,说白了就是心态问题 -  - 数学归纳法是往上走,但费马往下走.这就是费马非常得意的地方.
这个方法是数学归纳法的变形方式.但是,在心理上是个更大的挑战.要用费马无穷递降法,首先要给出一个度量,比如面积.
不过至此,同余数的问题就变成了最开始我们说的那个表述:找一个面积为n的有理直角三角形.现在还没有人做出来的话,我开始讲技巧了哈~我们可以把三边互素的直角三角形的三边用很简单的公式表示出来:
于是我们就有了构造同余数的秘方了:
这里的p,q只需要考虑整数,而框框是个平方数.
[一个小姐姐:啊!我知道了!你这个就相当于降维吗?]
[我:对.本来是三个的,现在只需要找两个了,而且只需要考虑整数范围就好了.]
[后来此名小姐姐和她的小伙伴发现了我接下来想说的p,q和n需要有共同的素因子的事情2333]
此时,我们考虑p,q尽可能多的平方数,并且尽量让p,q,(p+q),(p-q)能构成n的素因子即可.
 -  - 当时现场由于时间和观众来往的问题,我只讲完了以上部分 -  - 于是,我们现在可以复制费马当时证明1不是同余数的场景了.
我这里重复一下他是怎么证明1不是同余数的.
使用反证法.否则,一个有理直角三角形,面积为一个平方数  ,上面那个关于p,q的式子中,分子的四个因子必然均为平方数.
不妨令  ,从而有故,存在整数r, s,使得  ,也就得到了三边边长为 的直角三角形,其面积为  ,根据无穷递降法,这是不行的!
于是,1就狗带了.
我知道在大家的印象中,说到数论问题就想mod来mod去,这里给出两个不(我)加(不)证(会)明(证)的定理和相关八卦,有兴趣的读者自己去找paper~一个定理:p为素数.若  ,则 p不是同余数,但2p是同余数;如果  ,则 p是同余数;若  ,则 p和2p都是同余数.
作为一个做统计的,我比较喜欢看到方程有解,然后零解or非零解一致收敛,那就简直棒极了!可是做数论的跟我审美就很不一样,他们好像很喜欢看到方程无解的样子(求辟谣),然后据说是有解的情况他萌反而不好证.听起来真可怜......[题外话:如果能讲到这里,目测上面提到的那名水平颇高的吃瓜群众会戏份+max]
我们除了平方数的等差序列和有理三角形外,还有一种刻画同余数的方式,也就是椭圆曲线.
沿用上面的a,b,  表示三边,则  ,令则有椭圆曲线方程此时,n是同余数,则等价于这个椭圆曲线有无穷多个有理数解.
这里我们需要搞清楚的一件事是,椭圆曲线和椭圆的曲线是两码事儿~椭圆的曲线,大家都知道就是  嘛,但这个不是哟~这个叫"椭圆曲线".
它的来历是这样子的.我们都知道,椭圆是圆被一脚踩扁的嘛,然后椭圆的面积好求,但周长难求,一求的话,就会出现根号带三次的东东.OK,高中的同学都知道,如果只是带平方的话,我们可以用三角换元从而简化运算,但是三次方就......狗带了,没戏!
可是爱折腾的数学家哪里会善罢甘休?既然如此,那就像当初定义三角函数一样来定义一个椭圆函数吧!
由计算椭圆周长的式子,我们得到椭圆积分,其中,c是一个常数,R是由椭圆两个参数的有理函数,P是一个无重根3或4阶多项式的平方根,两边平方,则可定义我们的椭圆函数.如同三角函数中,正弦求导得到余弦;椭圆函数和它导数的关系恰好是三次,而椭圆函数满足的方程就叫椭圆曲线.
这个椭圆曲线有什么用呢?用处多了去了!比如现在密码学里头就常常用椭圆曲线来进行加密.大致的处理方式就是给定一个椭圆曲线E,然后利用它的有理解去建立密钥.
考虑这些有理解的问题,就可以开始谈庞加莱的猜想和千禧年大奖问题之一的BSD猜想了.但这些太难了,不适合今天这个场景,我更是根本讲不来,就不展开了.
当然,那天也和一些人讲了贝叶斯,还和更小的小朋友(小学二三年级)说起了三角形内角和180°的来由,以及质因子分解唯一定理.
总之,那天我玩得很开心,好像看到了自己想要的人生的样子.
这里的参考文献就不列了,希望在知乎上的大家也喜欢这个故事,哪怕只有其中一小段.尽管你可能不喜欢数学也不喜欢我~