形如y=a{x/b}(b≠0)的函数叫做余数函数,即x除a的余数.也记做xmodb,读作x余b.定义 {a.b}[a.b]的意义 {a.b}是指a.b的小数部分;[a.b]指a.b的整数部分,a.b={a.b}+[a.b] 若a.b ≧0,则{a.b}=0.b,[a.b]=a 若a.b ≦0,则{a.b}=1-0.b,[a.b]=a-1 性质 b0 b0 定义域 x∈(-∞,+∞) 值域 y∈[0,b) 增减性 在[kb,(k+1)b)增 在[kb,(k+1)b)减 过定点 (0,0) 奇偶性 f(-x)=b-f(x)是非奇非偶函数 图像 组成 fe(x)=x-eb fe(x)=eb-x 周期 T=b 方程与不等式 直接 xmoda=c x=ka+c(k∈Z) xmodac ka+cx(k+1)a(k∈Z) xmodac kaxka+c(k∈Z) 间接 1,axmodb+c=0 设xmodb=y转化成ay+c=0求解. 2,axmodb+cxmodb+d=0 设xmodb=y转化成ay+cy+d=0求解. 3. ∑e=1a1ex1modb =c1 ∑e=1xa2ex2 modb=c2  ∑e=1anexnmodb=cn 设xemodb=ye转化成 ∑e=1a1e y1=c1 ∑e=1a2ey2 =c2  ∑e=1aneyn=cn 求解. 4. ∑e=1a1exmodb1 =c1 ∑e=1xa2exmodb2 =c2  ∑e=1anexmodbn=cn 设xmodbe=ye转化成 ∑e=1a1e y1=c1 ∑e=1a2ey2 =c2  ∑e=1aneyn=cn 求解. 求得 ye=c'e时 得x=k[be]+[ce ](则[be]是be的最小公倍数.) 运算 公式 (x+y)modb=(xmodb+ymodb)modb (xy)modb =(xmodbymodb)modb (y)modb=(ymodb)modb (x)modb=(xmodb)modb y=A(wx+v)modb+z(A0,v0) 图像:先把 y=xmodb的图像向左(v0)或向右(v0)平移v个单位,再把所得的点的横坐标缩短(w1)或伸长(0w1)到原来的1  w个单位长度,再把所得的点的纵坐标缩短(A1)或伸长(0A1)到原来的1  A个单位长度,向上(z0)或向下(z0)平移z个单位. 微积分 y=xmodb不可导; ∫xmodb=2x+c 应用区域 (1)星期,b=7 (2)时间,b=24,12 (3)三角函数,b=360°∪180° (4)循环的东西 例题 方程与不等式 例1:解方程:xmod4=0 解:x=4k(k∈Z) 例2:解不等式:4xmodb +3xmodb+30 解:a=40,又△=9-3×4=-30,原不等式的解集是. 运算 例:计算1xmod3(x1) 解:=x^-1mod3 =(xmod3)^-1 应用 例1:今天是星期二,再过12天是星期几? =(2+12)mod7=14mod7-=0 再过12天是星期日. 例2:今天是11月12日,再过30天是几月几日? =(12+30)mod30=12 再过30天12月12日 例3:会议23:30开始,开了2h,几时结束? =(23.5+2)mod24=1.5 1:30结束