看到了今天上午的专业组A类试题,其中的第三题是这样的:
设  ,矩阵  与  可交换,其元素均为正整数且行列式为1,证明存在正整数  使得标准答案做法非常巧妙,反正我在考场上不易想到,我这里提供一个比较直白的做法.首先观察到,所有与 可交换的矩阵构成了n阶矩阵空间的一个子空间  ,简单计算可以得知  是二维的,显然  与  并且线性无关,我们设  ,也就是根据题意可得  ,这里的  都是正整数,直接解这个不定方程,根据判别式可知  ,不妨设  ,这是一个广义佩尔方程,较于一型二型佩尔方程的求解更为复杂,我们可以根据  求得此方程的三组基本解  ,所有的  有三组迭代解系,将  改写成  ,又因为 是正整数,所以b是负整数,将基本解泛化成负的再用上  这个条件可以舍掉由 迭代而成的解系,所以最后我们得到所有满足条件的  为接着我们注意到  的最小多项式  ,不妨设  ,于是因此关于  的递推式为显然  ,把递推式写成矩阵的形式立马可以知道对于所有的  一定存在  使得  .所以说大力出奇迹,没有巧劲我就直接暴力算出来就完事了.