故在E的所有点上,F(x)有导数,其右边为0,且同样可以看到一个左侧为0的导数.因此对任意包含在0和1之间的x,有
F′(x)=f(x).
因此,函数f(x)是导函数,且黎曼不可积.这是因为,函数不连续点的集合有非零测度.
这个黎曼不可积函数的例子来自于Volterra的Giornale de Battaglini,第19卷
[35]
.
§30.我们刚才找到的原函数,具有有界变差
[36]
.我们将证明:
一个可微函数导函数(有界或无界)的不定积分存在的充要条件是这个函数具有有界变差.如果这样,则这个函数就是其导函数的不定积分之一.
因为f′(x)可和,所以为了计算它的积分需要继续我们在§24的做法.设所有的e
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