此处p 跑遍无限及有限素点. 即范数剩余符号: ,若a 是二次域k 中的p -adic范数; ,若a 不是p -adic范数.这样的表述可以被有效地推广,使希尔伯特猜测到高次互反律的一般公式(虽然他未能对所有情形证明其猜测).
希尔伯特在1898年发表的纲领性文章"相对阿贝尔域理论"(Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkorper)中,概括了一种广泛的理论 -  - 类域论."类域",是一种特别重要的代数数域:设代数数域k 的伽罗瓦扩张为K ,若K 关于k 的维数等于k 的类数,且k 的任何理想在K 中都是主理想,就称K 为k 的类域.希尔伯特当初定义的"类域",相当于现