即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂(其中n是大于1的正整数m是整数).
幂是指数值如2的1/2次幂就是根号2
将有理数用分数的形式表示即可,容易证明.
证明这三个命题之前,首先可以确认, a^b*a^c=a^(b+c) (a^b)^c=a^(bc) 在bc是整数时成立 (a*b)^c=a^c*b^c在c为整数时成立 证明和a是整数是完全一样,不再赘述 1. 由bc有理数,设b=u/vc=x/y(uv)=1(xy)=1 a^b*a^c=a(u/v)*a(x/y) 设s=a(u/v)t=a(x/y) s^v=a^ut^y=a^x s^vy=a^uyt^vy=a^xv 所以s^vy*t^vy=(st)^vy=a^uy*a^vx=a^(uy+vx) st=a^((uy+vx)/vy)=a^(u/v+x/y)=a^(b+c) 得证 2. 设b=u/vc=x/y(uv)=1(xy)=1 (a^b)^c=(a^(u/v))^(x/y)设为t t^y=(a^(u/v)^x 设s=(a^(u/v)) 那么s^v=a^u s^vx=a^ux=(s^x)^v=(t^y)^v=t^(yv) 所以t=a^(ux/yv)=a^(bc)得证 3. 设c=x/y(xy)=1 设(ab)^c=t (ab)^(x/y)=t (ab)^x=t^y=a^x*b^x 当mn是有理数,y是整数时,(mn)^(1/y)=m^(1/y)*n^(1/y)仍成立 因左边^y=mn右边^y=(m^(1/y)^y)*(n^(1/y))^y=mn 所以t=(a^x*b^x)^(1/y)=(a^x)^(1/y)*(b^x)^(1/y)=a^(x/y)*^b(x/y)=a^c*b^c 所以(ab)^c=a^c*b^c得证