题(几何吧):已知△ABC,E,F分别在AB,AC边上,分别过E,F作BF,CE的平行线,两线交于G点,平行四边形EGFD的对角线交于N,M为BC的中点,连AG,MN,求证:AG∥MN.
分析:要证AG∥MN,必须添加辅助线让它们产生联系才行,而联系它们的辅助线正是这道题的难点.但依然有信息,N为DG的中点,M为BC的中点,延长AG后会怎样?如图2所示.当NM为△DGH的中位线时,AG是底边GH直线上的一线段,问题就解决了.
证明:延长DM到H点,使MH=DM,再由BM=MC,那么,DBHC是平行四边形.连接GH,下面证A,G,H三点共线.
再补全图形,延长EG交AC于X,延长FG交AB于Y,延长BH交AC延长于Z,延长CH交AB延长线于R,连RZ.如图3所示由BHZ∥EDC∥YGF,EGⅩ∥BDF∥RHC知,△AEF以及点G和△ARZ以及点H为位似图形.所以,A,G,H三点共线.关于这一点,也可证明AE/AR=EG/RH成立,得A,G,H三点共线,但过程复杂,略.
几何吧有人帖出自己发现的这个命题,很优美,但不建议中学生去做.