原文地址:[原创]分母为n的所有最简真分数的和作者:大罕分母为n的所有最简真分数的和 大罕 [@林世杰问]分母为2015的所有最简真分数的和是多少?有没有什么结论? [大罕回答] 先介绍e ler函数. 设正整数n的标准素分解式n=p1^α1×p2^α2×...×pk^αk,那么,所有小于n的正整数中与n互素的整数的个数叫e ler(欧拉)函数,记为φ(n),且φ(n)=n(1-1p1)(1-1p2)...(1-1pk). 再给出如下 定理:以正整数n为分母的最简真分数的和为(12)φ(n). 证明:∵与n互素的整数有φ(n)个,其中φ(n)是e ler函数, 又∵以n为分母的最简真分数是成对出现的,且每一对之和为1, 即若有一个真分数xn,则必有另一个真分数(n-x)n,且xn +(n-x)n =1, ∴分母为n的所有最简真分数的和为(12)φ(n).(证毕) 当n=2015时,2015=5×13×31, ∴φ(2015) = 2015(1-15)(1-113)(1-131)=1440. ∴分母为2015的所有最简真分数的和是720.