定义最小逼近误差为
式(8.17)可写为
将式(8.13)代入式(8.20),可得闭环动态方程
该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数θf 之间的关系.自适应律的任务是为θf 确定一个调节机理,使得跟踪误差E和参数误差
达到最小.
定义Lyapunov函数
式中,γ是正常数,P为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程
ΛT P+PΛ=−Q (8.23)
式中,Q是一个任意的2×2正定矩阵,Λ由式(8.16)给出.
V的导数为
将自适应律式(8.14)代入上式,得
由于
,通过选取最小逼近误差ω非常小的模糊系统,可实现
8.2.4 仿真实例
被控对象取单级倒立摆,其动态方程如下
x1 和x2 分别为摆角和摆速,g=9.8