,且
为1阶正齐性函数.对于局部射影平坦Randers度量F=α+β,由于β是闭的,由习题三第7题,我们有
其中
为α的测地系数.由于α是常曲率的,由第2题知它是局部射影平坦的,从而可令
且
直接计算,并利用bi|j
=bj|i
,有
利用
直接计算便有
另一方面,由F是局部射影平坦的知F具有标量曲率κ,所以有
结合上式便有
又由命题4.4.5,若F具有迷向S曲率,且β是闭的,则bi|j
=2c(aij
-bi
bj
),所以
因而
6.证 在文献[37]中,作者证明了如下结论:
设F=α+β为局部射影平坦的具有常里奇曲率Ric=(n-1)λF2
的n维Randers度量,β=0.则λ≤0,且若λ=0,则F是局部闵可