有一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q,则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心.1, 在三角形ABC的 外接圆⊙O中,另有一圆⊙M分别与其内切,并和AB,AC相切于D,P,Q,则PQ中点为三角形ABC的内心. 2, 在三角形ABC的外接圆⊙O外,另有一圆⊙M分别与其外切,并和AB,AC延长线相切于D,P,Q,则PQ中点为三角形ABC的 旁心. 当两圆内切时,过D作两圆外公切线上与B同侧一点为E,与C同侧一点为F 设PQ中点为I,连结AD,ID,MD,IC,MQ,AM(与PQ交于I),CD,DQ 可证得∠CDQ=∠ADQ=12∠ADC=12∠B, 三角形AMD∽三角形DMI,∠MID=∠MDA,∴∠PID=∠ADE=∠QCD,则IDCQ共圆, ∠ICQ=∠IDQ=∠IDM+∠MDQ=∠IDM+90度-∠DPQ=∠IDM+90度-(∠90度+∠MAD-∠PDA)=∠IDM-∠MAD+∠PDA=∠PDA=12∠BDA=12∠C 命题得证. 当两圆外切时,类似可证.