原文地址:[原创]两向量的数量积的归类作者:大罕 两向量的数量积的归类 大罕 [问题]已知正四面体a1a2a3a4,点a5,a6,a7,a8,a9,a10分别是所在棱的中点,如图,则当1≤i≤10,1≤j≤10,且i≠j时,数量积a1a2·aiaj 的不同数值的个数为. [解析]注意到夹角1a2,aiaj的可能值为0°, 60°, 90°,120°, 180°,| aiaj |的可能值为12,1, 所以,数量积 a1a2·aiaj=|a1a2|·|aiaj|cos1a2,aiaj =|aiaj|cos1a2,aiaj =0,±12, ±14,±1, ±√3, 只有以上9个不同的值. [评论]数学题有时就是这么牛逼.看似一团乱麻,细想只有90个数值.一个一个计算显然笨拙了,那么就归类.发现无非是9个不同的数值而已.当然,也可以将所有的点都投影到a1a2上考虑,只有9种情况,其余都重复了.这个方法更妙.