首先引入我们熟知的三个式子:
两式作差得到无穷小替换中的:
其次本文将以三角套娃展开,阐述换元,拉格朗日以及加项减项在极限运算上的一些基本运用(注:解法多样不一定是最简便的,单纯引入一种做法) ;
公知:若函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得
成立,即拉格朗日中值定理.
显然欲使用Lagrange解决问题就得找到两个同一函数的不同取值即  且知识完备直接见题如下:
看题很明显存在:
,那么分子根据Lagrange有:
则原极限等价于  ,其中那么交换一下位置,显然不存在满足Lagrange的两项,则不妨做以下处理:
,对于  显然有则  ;对于  可令则  ,得如果以上两题的处理方法,你已经学会了的话,那么一重三角套娃你应该能够独立解决了;
接下来这题为一道经典三角套娃极限铺垫,这里采用予佬(知乎ID:予一人)的变量换元显然原极限=注意到:
同理  ,于是原极限如果你很敏感的话,很自然就察觉到该法是不是能够推到n次,即上文提到的经典套娃(自佰亿经典50题)如下: