不严谨地说,如果没有原始的基的参照,向量是无法"感觉"到基的变化的,x\bold xx在基E\bold EE下的坐标为(12)(12)(12),而b\bold bb在基A\bold AA下的坐标也为(12)(12)(12).到现在为止我们还没有讨论运算b=Ax\bold b = \bold A \bold xb=Ax起到什么作用,这个矩阵乘法其实起到了一个"翻译"功能.正式的说,它将b\bold bb的在基A\bold AA下的坐标转化为基E\bold EE的坐标.
此时小红认为,自己看到的向量是b\bold bb,但其实x\bold xx和b\bold bb都是指同一个向量,只是从不同基的世界中看到的表现不一样而已.可以看出,矩阵乘法在这里起到了同一个向量基与基之间"翻译"的作用.
这里可以有一点造物主的感觉,毕竟我们可以知道小红和小蓝生活的世界的基的绝对坐标,但小红和小蓝都认为他们生活的世界的基为(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)(10 01 )(不知道笔者处的世界的基是什么样子,但起码笔者认为是(1001)\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)(10 01 )).他们对彼此世界的评判,都是基于自身所在世界的基.上面我们讨论了小红看小蓝世界的中向量b\bold bb的坐标,但是如果是小蓝看小红的呢?