例i) f(x)=x𠆢2,求sf(x).因为c.=)0,1,4 c1=) 1, 3 c2=) 2所以,f(x)=c.g.(x)+c1·g1(x)+c2·g2(x)=g1(x)+2·g2(x)=x+2·12·x(x-1)=x𠆢2 sf(x)=c.·g1+c1·g2+c2·g3=g2+2·g3=12·x(x-1)+26·x(x-1)(x-2)=16·x(x-1)(2x-1)如果令x=n+1,则可得到自然数序列{n𠆢2}的求和公式sn=16·n(n+1)(2n十1)例ii)f(x)=x𠆢3,求sf(x)因为,c.=)0, 1, 8, 27 c1=) 1, 7, 19 c2=) 6, 12 c3=)6f(x)=c.g.+c1·g1+c2·g2+c3·g3=g1+6g2+6g3=x𠆢3所以,sf(x)=g2+6·g3+6·g4=14·[x(x-1)]𠆢2同样令x=n+1,则可以得到自然数序列{n𠆢3}的求和公式sn=14·[n(n+1)]𠆢2下面我们用这种方法来求自然数序列{n𠆢4}的求和公式sn.首先求多项式f(x)=x𠆢4的求和公式sf(x)因为c.=)0, 1, 16, 81, 256 c1=) 1, 15, 65, 175 c2=) 14, 50, 110 c3=) 36, 60 c4=) 24f(x)=g1+14·g2+36·g3+24·g4=x𠆢4所以,sf(x)=g2+14·g3十36·g4+24·g5=12·x(x-1)+14·13!·x(x-1)(x-2)+36·14!·x(x-1)(x-2)(x-3)+24·15!·x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=130·x(x-1)(6·x𠆢3-9·x𠆢2+x+1)=130·x(x-1)(2x-1)(3·x𠆢2-3x-1)如果令x=n+1,则自然数序列{n𠆢4}的求和公式sn=130·n(n+1)(2n+1)(3·n𠆢2+3n-1)下面用数学归纳法这个求和公式i)当n=1时,左边=1𠆢4=1=右边;ii)假设当n=k时,sk=130·k(k+1)(2k+1)(3·k𠆢2+3k-1)成立;iii)当n=k+1时,右边=130·(k+1)(k+2)(2k+3)(3·k𠆢2+9k+5)左边=sk+(k+1)𠆢4=130·k(k+1)(2k+1)(3·k𠆢2+3k-1)+(k+1)𠆢4 =130·(k+1)(k+2)(2k+3)(3·k𠆢2+9k+5)左边=右边所以对一切自然数n该求和公式成立.利用多项式代数的求和方法,我们能找出一些特型自然数序列的求和公式如,f(x)=x(x-1),可取c.=0,c1=0,c2=2f(x)=2·g2sf(x)=2·g3=13·x(x-1)(x-2) (1)对于自然序列{an=n(n-1)} 令(1)中x=n+1,则sn=13·(n-1)·n·(n+1)又如,f(x)=x(x-1)(x-2),我们取c.=0,c1=0,c2=0,c3=3!得f(x)=c3·g3所以sf(x)=3!·g4=14·x(x-1)(x-2)(x-3) (2)对于自然数序列{an=n(n-1)(n-2)},令(2)式中x=n+1,则sn=14·(n-2)(n-1)n(n+1)以此类推对于f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ,sf(x)=16·x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)如果令x=x+4,则多项式f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的求和公式sf(x)=16·x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x-1).