假设费马大定理不成立,可以推导出以下成立,其中  ,  为奇素数.
因此对于给定的  只需要验算  次,如果验算不存在满足上述条件的  ,则费马大定理对于第一情形和第二情形均成立,即证明费马大定理对于该奇素数指数  成立.
参见新之韧:同余与费马大定理第一种情形新之韧:同余与费马大定理第二种情形当  时,  ,  不成立,根据前述证明,当  时,费马大定理成立.
当  时:  ,不成立;
,不成立;
,不成立;
根据前述证明,当  时,费马大定理成立.
当  时:  ,不成立;
,不成立;
根据前述证明,当  时,无法否定假设:费马大定理不成立.
则若 不等于  ,则利用结论  ,其中  是整数多项式的剩余部分.则可以推导出矛盾.
从而将  取值限定仅剩的  ,即得出  ,目前计算机暴力破解的数据表明,该同余成立的  极其稀有,迄今为止仅发现2个,但是素数个数是无限的.