形如,其中,为常数的递推式,称为常系数线性递推式.
对于矩阵,是一个次多项式,称为A的特征多项式(characteristic polynomial),记为.
存在多项式,,满足,且的次数小于m.
通常而言,我们是构建一个k阶的矩阵,称A为递推式的伴随矩阵(adjoint matrix);构建一个向量,其中,而就是的值.构建和都是平凡的,这里不再赘述.
那么问题转化为求的值,而主要的瓶颈在于求的值.
设,其中为模的余多项式.容易发现.由Cayley-Hamilton定理,,于是我们只需要关注,也就是说我们只需要求出模.这是简单的快速幂模多项式,使用FFT可以在的时间内完成它.
最终我们得到.注意到我们现在仅关心,而对于,都直接表示的值,这也就是递推的初值,于是答案就是.