[问题]m为有理数,且方程x^2-3(m-2)x+2m^2-5m+k=0有有理根,求k的值. 问题来源 [解法一]△=[3(m-2)]^2-4[2m^2-5m+k]=m^2-16m+36-4k=(m-8)^2-(28+4k),据题意可知 √△ 必须是有理数. 由于m为任意给定的有理数,所以必须存在有理数p,q,有△=(pm+q)^2. 于是可得 28+k=0,k=-7. [解法二]对于任意给定的有理数m,方程x^2-3(m-2)x+2m^2-5m+k=0若有两个有理数根,必然是am+b和pm+q,其中a,b,p,q必为有理数. 从而a+p=3,b+q=-6,ap=2,aq+bp=-5,解得a=b=1,p=2,q=-7或者p=q=1,a=2,b=-7, 总之 k=bq=-7.