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令 为一个 阶矩阵,非零向量 ,有:
则 是 的特征值, 是对应的特征向量.
由(1.1)可得:
故 的零空间 (或称对应 的特征空间)包括非零向量 ,所以 是不可逆矩阵,即
定义 的特征多项式为:
即为 的根.
设 有 个相异的特征值 ,特征多项式可以分解为:
其中特征值 的重根数 称为代数重数(algebraic multiplicity).
次多项式 有 个根(包含重根),则: .
特征空间 的维数 称为 的几何重数(geometric multiplicity),也就是对应 的最大线性无关的特征向量数.
几何重数不大于代数重数
下面参考文献 [3] 给出此命题的证明方