(4)其中右端函数f1,f2,...,f1在某区域D Rn+1内连续,关于y1,...,yn可微,设函 数Φ( x,y1,...,yn)在G D内可微,不是常数,但沿着(4)的任一解 C: y1=y1(x),...,yn=yn(x)(x∈J),Φ≡c,C为常数,则称 Φ <c为(4)的一个首次积分 .首 次积分在常微分方程中可算 一 个独立课题,也可通过它求解常微分方程组,例如前述的二体问题.
1841 年 J.刘维尔证明黎卡提方程 除υ = 0,1,2 ,... 时有初等解 ,其他情况一般没有初等解,从理论上结束了求通解的尝试.相继发明了数值计算法(发展为计算数学的一部分),定性理论,稳定性理论,在近代发展成若干前沿分支:分支理论,动