每一个导出子图,最小着色数皆等于最大团点数,就是完美图.(1961)
原图和补图要嘛同时是完美图,要嘛同时不是完美图.(1972)
原图暨补图都不含长度大于3的奇洞,就是完美图.(2002)
完美图的补图是完美图.完美图随意删去一些点(以及所有邻边),仍是完美图,具有递归的性质.
判断一张图是否是完美图,时间复杂度O(V⁸).这是2020年的结果,尚在进化当中!
是否包含奇洞O(V⁸).寻找最短奇洞O(V¹⁴).
是否包含偶洞O(V⁹).寻找最短偶洞O(V³¹).
原图的Clique,补图的Independent Set,一一对应.
一般图的情况下,上述两组东西没有直接关联.完美图的情况下,这两组东西被绑在一起了──但是只有极值而已:
我只知道极值是相等的,但是不知道是如何相互对应的.
要求出这四个东西,有着O(V+E)一次规划算法.目前还没有纯粹的图论解法.
可以用Greedy Method求出最小点着色的图,而且每个生成子图都是最小点着色.时间复杂度O(V+E).
顺带一提,弦图本身也有线性时间算法,可以求出最小点着色,最小图覆盖,最大团,最大独立集.
弦图的任何一个PEO颠倒过来,用Greedy Method着色,必定得到最小点着色.[Maffray 2003]
Skew Partition