令函数是在开区间上可微的,若函数的导函数是开区间上的连续函数,则称函数在开区间上连续可微,记作. 设向量空间,.则对于任意,是到的线性映射.若把到的所有线性映射的集合记为.则是从到的映射,若这个映射是连续映射,则称是从到的连续可微映射.一般把上的所有连续可微映射的集合记为,这样.设向量空间,.则对于任意,是到的线性映射.若把到的所有线性映射的集合记为.则是从到的映射,若这个映射是连续映射,则称是从到的连续可微映射.一般把上的所有连续可微映射的集合记为,这样.设向量空间,函数在上n阶连续可微记作,它的定义是的所有偏导数存在且都是中的元素,即,和分别是和的分量.克莱罗定理(1阶)设向量空间,,则当且仅当的所有偏导数存在且连续.从这个定理可以看出,到的所有连续函数可以记为.这样结合前面那个高阶连续可微的递归定义,可以得到连续可微的另外一个等价定义:是从到的连续可微映射,那指的是的所有偏导数存在且连续.克莱罗定理(n阶)设向量空间,,若,则的n阶偏导数交换求导顺序时保持不变,即在重排时保持不变,是微分算子而.