证明题(2022年中国科学技术大学)
设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明:存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J,其中J= 是n阶Jordan块.
设AB都是n阶复方阵,C=A+B,则det(C-AB)=det(C-BA).
设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.
设A是n阶复方阵,V1是A的行向量生成的Cn的子空间,V2是A的列向量生成的Cn的子空间,则V1=V2.
任意置换方阵可复相似于对角阵.
设A,B都是n(n≥2)阶复方阵,则rank(AB)=rank(BA).
设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.
设=QR,其中Q是正交方阵,R是对角线元素大于0的上三角方阵,则R=________.
设A=,则A-1=__________,A2022=__________,A的最大奇异值σ1=__________.
设A=(aij)n×n,且行列式≠01≤k≤n.证明存在下三角形矩阵Bn×n,使BA为上三角形矩阵.
设f(x)=x3+6x2+3px+8,试确定p的值使f(x)有重根并求其根.
计算积分∬Sx3 dydz+y3 dzdx+z3 dxdy,其中S为球面x2+y2+z2=a2 (a>0)的外侧.
在平面直角坐标系中,椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________,位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.
多项式f(x)=中x3项的系数为______.
五阶行列式D5==__________.
三阶行列式有2个元素为4,其余为±1,则此行列式可能的最大值为________.