本文的阅读等级:高级 假设我们有一笔维数等于 ,样本大小为 的数据 ,也就是说每一个数据点 包含 个变数的量测值.沿用统计学与数据科学的惯例 (见"数据矩阵的列与行"),定义 阶数据矩阵 , 其中 代表第 个变数的第 个量测值,,.在不造成混淆的情况下,以下用 表示第 个变数.如果数据包含大量的变数 ( 很大) 或者变数之间存在显著的共线性关系[1],你可以设计一个从向量空间 映至 的线性映射,,数据点 经映射后的像 (image) 构筑另一笔变数较少且两两变数不存在线性相关性的新数据,这个方法称为主成分分析 (principal components analysis).从统计学的观点,主成分分析的目的是找到少量的新变数,称为降维 (dimension reduction),同时尽可能地保留变数的总变异量.从线性代数的观点,主成分分析其实是一种矩阵近似法,我们希望得到一个最近似于原数据矩阵 的低秩 (low rank) 同尺寸矩阵.本文证明证明主成分分析与低秩矩阵近似在本质上是相同的问题. Advertisements
本文的阅读等级:初级 给定平面上的两点 和 ,如何求出穿越此两点的直线?如果你是一位行列式迷,那么必定知晓这个神奇的公式: . 展开并化简,可得直线方程式 .本文以这个简单的例子作为引子,介绍如何利用行列式求平面上穿越两点的直线,空间中包含三点的平面,以及平面上穿越三点的圆.
本文的阅读等级:初级 梅林 (Merlin) 是美国 Parker Brothers 公司于1978年生产的一款掌上型游戏机 (见图),内含六种益智游戏,魔术方块是其中之一[1].游戏机面板设有九个按键,布置成 阵列.每一个按键内装一颗LED灯泡,灯号有两种:闪烁或熄灭.按下任一按键可切换灯号,同时邻近的按键灯号也一并自动切换.设 表示切换按键, 表示邻近按键, 表示非邻近按键.每一切换按键的邻近按键定义如下: 游戏开始时,系统产生一组随机图案,游戏的目的要将初始图案变换为生产商预设的目标图案──除中心按键外,所有的周边按键都在闪烁状态.梅林魔术方块的游戏规则存在多样的变化,譬如,目标图案可以任意设定.往下阅读前,建议读者先体会游戏过程.请进入线上梅林魔术方块游戏网站 Merlin Magic Square Game,画面左边显示目标图案,先点选方框设计个人喜好的图案 (打勾代表灯号闪烁).按下"Enjoy new game",画面右边即出现随机图案,点选右图的方框切换灯号,直到产生与左图相同的图案即告获胜.
本文的阅读等级:初级 给定三次多项式 , 如何求得 的三个根?你可以购买一套商用数学软体或使用校园授权软体 (费用已经隐藏在缴交的学费中).例如,MATLAB,输入两个指令: p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p) 马上就得到答案: r = 12.1229 -5.7345 -0.3884 如果你近来阮囊羞涩或无法取得校园授权软体,是否还有其他不用花钱的便捷方法?易经曰:"穷则变,变则通,通则久."下面我介绍一个穷人的多项式求根法.首先我们要备妥一个免费的矩阵特征值计算程式,譬如,具有多种功能的线上矩阵计算器 Online Matrix Calculator.在主画面视窗键入三次多项式 的 阶相伴 (companion) 矩阵 , 勾选 Eigenvalues/eigenvectors,按下 Calculate,可得三个特征值,此即为三次多项式 的根.事实上,MATLAB 采用完全相同的多项式求根算法[1].有钱或没钱的差别待遇往往仅在于外表包装不同而已.
本文的阅读等级:中级 英国统计学家,演化生物学家与遗传学家费雪 (Ronald Fisher) 是现代统计学的创建者之一.今天我们使用的许多统计方法,例如,变异数分析 (方差分析,简称ANOVA),最大似然估计与费雪线性判别等,都是他的发明贡献.本文要探讨的主题是在实验设计时碰到的一个组合数学问题.考虑包含 个元素的集合 .令 为 的 个相异非空子集合.令 代表一集合 的基数 (cardinal number),即所包含的元素个数. 费雪不等式:若所有的 满足 ,则 . 费雪的原始论文以组合数学解释[1],本文讨论多种线性代数证法,使用的基本工具包括矩阵秩,行列式,特征值,线性独立与正定 (类似应用见"有限体与模算术").