(2)求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关?
(3)问X与|X|是否相互独立?为什么?
(3)对给定0<a<+∞,显然事件{|X|≤a}包含在事件{X≤a}内,且P{X≤a}<1,0<P{|X|≤a},故
P{X≤a,|X|≤a}=P{|X|≤a}.
但
P{X≤a}P{|X|≤a}<P{|X|≤a},
所以
P{X≤a,|X|≤a}=P{X≤a}P{|X|≤a}.
因此,X与|X|不独立.
[评注]
本题也是一个真题. 我们想通过这题考核E(X),D(X)的计算,协方差,相关系数的计算,独立与不相关的关系,为了减少不必要的计算,我们选择的密度函数
,-∞<x<+∞是具有对称性的偶函数. 所以在计算过程中一