经过最近半个月的持续努力 , 我终于完成了在高中时的一大愿望 . 数学的皇冠是数论 , 而需要魔法师来为她加冕 .  -  - 题记参考文献 :
[0] 数论导引 华罗庚 .
[1] Lecture Notes on Diophantine Analysis by Umberto Zannier .
[2] On the diophantine equation  by Leo J. Alex and Lorraine L. Foster . 我来卖个萌
不要打我qwq , 虽然这个标题看上去非常的民科 . 但内容却涉及到货真价实的二十世纪的数学 !
让我们从好多个小故事开始介绍我们的旅程 , 当然 , 不定方程也叫丢番图方程 , 就是强调只研究这种方程的整数解 , 比如真 · 小学二年级学过的 :
[一群小朋友排队放学 , 三人一行多两个 , 五人一行多三个 , 请问一共有多少个小朋友呢 ? ]
这个问题转化成数学的语言 , 就是  个小朋友 ,  , 已知  都是正整数 , 求  的可能值 .
非常简单 , 注意到  ,  就是  的倍数 , 也就是说  必须是它们公倍数  的倍数 , 于是  , 小朋友的个数可能是  .
可能你还在因解决了这个简单的问题在心里偷笑 : 哼哼 , 列出方程一看 , 就是一次的嘛 , 次数这么低 , 怎么能难得住号称天才 ( 琪露诺 ) 的我呢 ? ( 大雾 ) 当然没有这么简单 , 请看 :
[请找出所有边长为正整数的直角三角形]
你的内心想法 : 我小学一年级就学过了 , 勾股方程的所有本原 ( 就是互质 ) 的解可以写成  , 只要乘一个正整数 , 就可以自然得到所有解了 , cyb酱怎么连这么简单的题目都不会 , 好笨啊 .
[请找出所有含  角的整数边长三角形]
这也难不倒你 , 知乎上还真有人问过这个问题 , 回答说先利用余弦定理 ,  所以还是二次的不定方程 , 经过奇奇怪怪的操作可以证明本原解是  ,  ,  , 和勾股问题类似 , 所有的解还是它们的倍数 , 不过这次不一定是整数倍了 , 但经过简单的讨论还是可以算出来 !如何求所有三边长均为整数,有且仅有一个内角为 60 度的三角形(通解)?
上面三个问题有一个共同点 , 就是最后所有的整数解都可以用简单的式子表示出来 , 数学家们发现 , 变量很少的二次的不定方程 , 解起来都特别简单 , 又例如著名的Pell方程 :
[小明和小红每个人都有一些糖果 , 它们都有正方形的盘子 , 可以将自己的糖果整整齐齐摆成正方形 ( 也就是个完全平方数 ) , 小红对小明说 , 我的糖果比你的两倍还多一颗 , 请问分别可能是多少糖果 ? ]简单的例子 , 猜猜看糖都是什么口味的当然 , 我们可以将问题转化成  , 它的所有解和  关系密切 , 且看下面这个对应 : 原方程的所有解是  , 而  ,  还有更高次的幂 , 原因是什么 , 学过的读者自然明白 , 没学过的读者也不是一两句话能说明白的 .
姑且就从这里看出 , 原方程可能有很大的解 . 比如 , 小明可能有  颗糖而小红有  颗糖 , 这非常过分 , 因为小红的糖总质量加起来可能比太阳的质量还要大 .
另外还有几个很著名的问题 , 比如小明和小红仍然用正方形的盘子 , 但是现在已知他们的糖加起来是某个数 -  - 比如  颗糖 , 那么怎么求分别有多少颗呢 ? 这就和费马平方和问题密切相关 . 实际上用一定的算法不难得知 , 两人的糖只可能分别是  和  颗 , 因为总糖数是模  余  的素数 . 刚才见到和太阳差不多重量的糖 , 现在少得只能填满一个房间的糖甚至无法引起你的注意 .
但是 ! 时代变了 !
[小明和小红都用立方体的盒子装糖 , 小红还是对小明说 , 我的糖果比你的两倍还多一颗 , 请问分别可能是多少糖果 ? ]
这个问题的味道全然变了 ! 看起来只是次数高了一次变成了  , 但是数学家们见到都会觉得头疼 ! 因为我们不再有确定形式的公式可以轻易得到这种方程的所有解了 ! 这个时候 , 一位在黑暗中像灯塔一般发出醒目光芒的数学家站了出来 , 他叫Thue , 他说 :
我虽然不能告诉你小明和小红有多少颗糖 , 但是我知道存在这样一个数  , 他们的糖不会超过这个数 . 换句话说 , 就是有一个无形的天花板 , 他们的糖再怎么堆起来 , 也不会高过这个天花板 .
你问Thue , 这个天花板有多高呢 ? 他却回答到 : 鬼才知道有多高 , 我只告诉你天花板是存在的 , 至于求出这个高度 , 就不要来找我了 .
这果然是纯数学家2333 , 告诉了我们一个看起来没有用却不平凡的事实 .
故事还没有结束 , 刚才这部分还有后话 , 其实小红在骗小明 , 因为严格细致而复杂的推导可以得出 , 并不存在这样两个正整数满足那个方程 . 但这并不违反Thue的结果 , 他只是说万一他们真的有糖 , 不会超过这么多 , 甚至不能保证这个方程到底有解还是没有 . 这个定理简直无用至极了 !
但这个定理的一大意义在于 , 暗示我们很可能不像二次的方程那样 , 能找到一条万能的表达式 , 代入不同的整数可以得到取之不尽的解 , 也不能像  那样递推得算出越来越大的解 . 很有可能 , 三次或者更高次的方程就是数字的尽头 , 山穷水尽 .
实际上 ,  这种形状的方程只有有限组解 , 甚至 ,  在确定了其中的常数  后 , 也只有有限多组解 . ( 为了阅读的连续性 , 作者可以跳过下面这个复杂的定理 ) 补充知识 : Thue定理不仅可以用到  这种齐次的式子上 , 还可以用到一些椭圆曲线甚至其推广上 , 这个看似简单的定理证明 ( 下面写得比较简略 ) 不容易 , 读者可以跳过 .
对于  的四个整数 , 不定方程  只有有限组解 .
配方后 , 变为  , 也就是  , 分类讨论  是否是平方数如下 :
这样  , 那么  , 其中  只能取到  素因子的  到  次幂 , 于是  化为其次的情形 .
对于非平方数 , 设  , 其中根号取  所在的分支 , 根据丢番图逼近的熟知结论 , 存在整数  使得  , 其中  . 设  那么  , 还有  .
这时令  , 因为  不是平方数 , 于是  , 但是  , 所以我们有  是一个整数 , 而且  , 于是  . 因此如果题目的  给定 ,  就只有有限个取值 .
再令  以及  , 那么  ( 这只需代入  的定义 ) 那么 :  可写作  . 于是  可以写作  , 因为  , 因此其可以写作  , 其中  是整数 . 因此可写出  .
可以放缩到上界  , 于是  是其上界 , 其中  是只与  有关的常数 . 另一方面  也有上界  , 因此  可写作  ,  也只与  有关 . 这表明整数  只有有限种可能的取值 .
于是由上面两个有限性 , 关于  的方程  只有有限种  取法 .  , 于是  ( 这是整系数的 ! ) , 当  已知的时候 , 只能解出有限组解  , 继而  也只有有限个不同者 , 但需直到这一定理的使用条件为  不能是一个多项式的  或  次方 . 否则假如  有公共解  必然有  , 这与  相矛盾欢迎回来 !
实际上 , 这其中暗示了更多的秘密 : 比如我们考虑一类数字 , 不妨起个名字 , 叫做  形数 , 其包含的素因子只有  四种 , 比如  就是这样的数字 , 但是  就不是 , 因为他们有  以外的素因子 . Thue告诉我们 : 随着数的逐渐增大 , 相邻两个这种数间的距离会变得越来越稀疏 , 到最后 , 每个  形数都是孤零零的 . 这就是这种数的宿命了 .
没有什么是永恒的 , 除了 ...... 孤独 !
比如假设两个  形数的差是  , 那么  , 我们可以证明这种方程的解数是有限的 , 证明很简单 , 因为每个  除以  都有个余数 , 无非是  , 减掉这个余数后 ,  们将变成  的倍数 . 每个指数都是  的倍数 , 意味着这个数是一个完全立方数 , 因为余数只有三种可能 ,  的这些余数次幂的乘积也只有有限种组合 , 到头来 , 变成了一个  形状的方程 , 而系数组合只有有限种 , 根据我们前面提到的结果 , 终究只有有限组解 .
这意味着 , 对每个  , 只有有限多组  形数的差是  , 当超过了这些解中最大的那个 , 两个这样的数的差就再也不可能是  了 , 当  的解都用完了 , 以后就再也不会有了 , 换而言之 , 再往后两个  形数的差必须大于  . 随着小的解快速消耗 , 故人各在天一方 , 相望落落如晨星 .
数字的宿命就是这样 , 即使我们考虑的是  形数 , 也就是说我们考虑所有素因子都小于  的数 , 它们终究还是逃脱不了孤独的宿命 , 因为[有限]的耐心和品性 , 永远无法和[无限]相比 , 那种永远也到不了尽头的无力感 , 超出了我们所有文字的想象力 . 但是却没有超出数学的想象力 , 只有数学才能精确地刻画无限 .
那么故事看起来到这里就结束了 , 是这样吗 ? 其实正相反 , 才刚刚开始 . 现在我们知道解的数量是有限的 , 但是怎么求出来呢 ? 最简单的方法就是同余 ! 比如以  形数作为例子吧 ! 我们只解最简单的  作为例子 , 让读者真实地感受解决这种问题的传统方法是怎样的 , 当然这并不是文章的核心内容 , 读者可以斟酌阅读 .
两个这种数差为  , 表示这两个数是互质的 , 否则它们的差应该整除它们公共的因子 , 就不可能是  了 . 所以我们考虑的情况只有下面六种 ( 每个绝对值表示可以交换被减数和减数两者的顺序 ) :  . 我们先猜一些解 :  ;  ;  看起来就止于此了 , 但还是看起来非常多 ! 怎么讨论才能尽量简单呢 ? 并没有什么好办法 , 最有效的就是不断尝试适合的数来同余 .Δ 对  , 枚举  知只有  , 由此  , 于是问题变成  , 这时候考察  只有  这些可能 , 而  先是  , 之后陷入了无尽的  循环 , 因此  是所有解 .
Δ 而  , 对  的奇偶性讨论 : 要么  是偶数 , 则可以将右边因式分解出  , 就变成上面的问题 , 因此只能  ; 要么  是奇数 , 就只有  , 即  , 问题变成  , 这时仍然是研究  , 先是  , 然后陷入无尽的  , 于是只有  是解 .
Δ 方程  类似 , 只有  , 因此  : 对于  ,  推出  是偶数  是零或者奇数 , 于是研究不定方程  , 其所有解由  给出 , 其中  分别是  的幂次 , 而二项式展开后  , 其应该是  的幂次 , 因此要么  应该是  的倍数 , 要么  , 前者成立时在  中 ,  幂次严格最低的是  的情形 , 矛盾 , 推出  , 因此所有解是  ; 对于  ,  推出  , 于是只有  .
Δ 方程  ,  推出  为偶数或  :  偶的情况类似只有  , 而  也符合条件 .
Δ 再看  ,  , 推出  或  , 这两种情形在前文中已经讨论过 ( 分别对应第二种情况  和第四种情况  ) , 于是解只有  三者 .
Δ 最后只剩下  ,  , 推出  或者  是偶数 , 于是解只有  三项 , 至此 , 方程所有的解已被我们讨论完成 , 经过比对我们一开始确实把所有解都猜出来了 , 棒 !
你看 , 上面这么一个简单的差为  情况 , 我们来回推导了好多行 , 也就是说 , 传统方法必须要辛苦验证所有情况 , 不能有丝毫的差错 . 不过实际上仅仅对于差  这种极特殊的情况 , 著名的Zsigmondy定理和Stormer定理也能推出很强悍的结果 , 限于篇幅 , 我们就不介绍它们了 , 留给读者自行了解 .
经过数学家的努力 , 这种方程最有效的结果叫Baker定理 , 他的功劳在于给出了一个便于计算的上界 , Thue只告诉你这个界存在 , 而Baker给算了出来 . 不过不愧是数学家 , 这个界虽然能算 , 但是大的可怕 , 随便代入几个小数字就是至少  这种量级的 , 无论如何 , 人们借助于这个界 , 还是给出了求这种方程的解的有效方法 , 例如著名的 lattice basis reduction类的方法和LLL算法 , 同样本文也不作具体介绍 .
介绍完这些不定方程 , 我们回到Thue的定理 , 我们将会给出一个初等书写的证明 , 这也是这篇文章的核心 , 半个月来的努力也就是为了将过程完全理顺 .
首先我们对这个方程做一些变形 :  , 其中  都是正整数 .
因为  的情况很好验证 , 所以我们考虑  , 左右就可以除以  , 这样方程化为  , 虽然我们感兴趣的是正整数解 , 但是很有用的技巧是在实数范围内因式分解 :  , 我们这时候代入  , 于是问题化为  .
做一点简单的放缩 ,  , 因此  , 其中  是只与  有关的常数 , 因此我们的目标集中在这个不等式  , 下面就是本文的主角 : 设  是代数实数 , 次数  . 那么对任意  , 只有有限个有理数  使得  成立 .
代数实数就是一个实的代数数 , 什么是代数数后面会讲 . 在这之前 , 我们知道  是一个三次方根 ,  , 比如在这个定理中代入  , 只要  那么  , 也就是说 ,  的解只有有限个 . 当然读者不难发现  的解也只有有限个 ( 为什么 ? ) , 也就是方程只有有限个解 .
从上面的介绍来看我们有了切身的体会 , Thue定理是一个重大的突破 . 因为这个具有跨时代意义的定理 , 可以看作继Pell方程 ( 和二次连分数 , 周期连分数 ) 的研究之后 , 第一个对一大类方程作出定性分析的结果 . 不仅如此 , 为解决问题Thue所提出的解决方案具有很大的启发性 , 这一系想法的精细化直接带来了后面Roth , Baker等人的结果 , 说是现代丢番图逼近论的起源也不为过 .
在学数学竞赛的时候 , 我也曾思考过有没有办法能证明代数数不能被有理数很好地逼近 , 曾独立推导出刘维尔trivial的估计 , 而后再无进展 , 后来听说了这一系列的结论 , 从此对丢番图逼近论也产生了浓厚的兴趣 , 竞赛时期的一大梦想就是看懂Roth定理至少是Thue定理的证明 . 但是当时自己太菜了 , 无法理解Roth的结果 , 而Thue的原始论文是德语的 , 看不懂qwq . 直到最近我才找到了参考文献[1] , 这份Lecture notes是我见到的第一个详尽介绍Thue定理的文章 , 半个月后 , 于是有了这篇知乎文章 .
终于 , 我们要来介绍这个定理了 , 接下来全程硬核 :
长文警告 ( 进度条警告 ) :我们需要的前置知识只有下面这些 , 换而言之 , 一个非常优秀 ( 了解一点点超纲知识 ) 的高中生或者一个学过高等数学的大学生就能完全理解这个证明 .作者的工作就是将原文的工作转化成这种内容 , 加以整理 . 如果读者只是对于前面科普的内容感兴趣 , 而不希望阅读具体的证明内容 , 那么走到这里 , 也算是一个完满的旅程了 . 前置知识列表 :
一,熟悉组合数的定义和基本的恒等式 .
二,关于代数数  , 只要知道它是某一个有理数系数的多项式  的根即可 , 它的次数  指的是满足  的多项式  的次数之最小值是  . 其他性质我们会作为引理证明 .
三,熟悉求导的基本知识 , 了解多项式的求导 , 求多次导以及其重要法则 : Leibnitz法则 ( 也就是一个很像二项式定理的乘积求高次导法则 ) .
四,熟悉有理数,素数的基本性质 .
再次提示读者 , 这真的是一个非常非常长的证明 , 请做好心理准备 . 过程中虽穿插了七个引理 , 不过我们都给了详尽的证明 .
在给出证明的想法之前 , 要先知道 , 因为解决方案复杂到超乎想象 , 我们可能事先用字母待定很多系数 , 直到后面需要 , 发现这些系数应该满足某些条件的时候 , 再将他们具体确定下来 . 这是在很多证明中常见的技术 , 比起一开始就提出莫名其妙的系数更容易让人理解和信服 ,希望读者能习惯这一点 .
证明的想法大概是这样的 : 首先我们假设有无穷多个这种逼近 , 不妨称为[优秀的逼近]. 我们先随便取其中的两个  , 并且假设  . 看似两个没什么关系的分数 , 但是 , 我们要有一种感觉 : 我们借助它们的定义 , 可以从中得到点什么更精细的结论 .
我们记  再记分母的幂次  然后试图放缩得到一个上界一个下界 :  以及结合两式 , 立刻得到  之间的关系  . 这表明了两个优秀的逼近的分母其实不是同一个量级的 , 这一个特点我们称之为 gap principle , 或许翻译作[隔阂原则]比较合适 .
接下来就是Thue的想法中很核心的构造 . 如果我们能整两个次数不超过  的整系数多项式  使得  在  处有非常多重的零点 , 因为  和  非常接近 , 照理来说 , 多重零点的多项式代入附近的值  结果也会很小 ( 读者可以想象在十重零点的  中代入  的场景 ) , 我们遂有理由认为有理数  也是  比较好的逼近 .
同时运用一些技术手段 , 将两个多项式的系数都弄得很小 , 这样新产生的分数  不会有很大的分子分母 , 这能保证它们也是不错的逼近 . 这样就可以从一个优秀的逼近衍生出一系列的逼近 , 而且因为多项式的次数可以调节 , 这意味着分子分母的量级可以调节 , 我们或许可试图取一合适的  , 将  推进gap里 , 根据前面的隔阂原则 ,  与  足够接近时产生矛盾 , 这逼迫  .
于是我们只剩下最后一步 , 就是证明它们不相等 , 产生一个矛盾 . 这最后一步看起来容易 , 却是极其精巧的 ( 甚至在Roth定理前数学家们也是卡在这里 ).
不过其实我们真正在证明的时候 , 并不会完全采取这个思路 , 而是更高层面的 ,用这种思想来推出矛盾 , 例如 : 实际进行表达式估计的时候 , 不一定直接使用隔阂原则 , 但隔阂原则会暗示我们这里应该能推出一个  或者  方向的不等式 , 我们可能会尝试其他的方法来得到它 , 像一张藏宝图 .
这一系列看似华丽的操作将问题先分而后治 , 然而 , Thue定理始终只是一个定性分析的结果 : 万一好的逼近只有一个 , 我们怎么也没法推出矛盾 , 如果不巧这个好的逼近分子分母都很大呢 ? 我们暂时是没有办法对它的界进行有效估计的 . 实际上 , 在Thue之后的Siegel , Gelfond和Dyson乃至最后Roth不断将  改进为更小的数  乃至  , 这个定性的框框还是没有跳出 , 无论是将估计更精细化 , 增加变元的数量还是提高零点的阶数 , 都依赖于最初足够量并且足够好的[优秀的逼近]的存在性来推矛盾 . 用这方面的术语 , 这种方法也称[非实效性方法]( 其中的ineffectivity不可避 ) .
嘛但是不管怎么说定性结果也是结果了 , 因此我们方才不会把这种方法叫做[无效方法]喵 .
在上面思想的指导下 , 我们把证明分成三部分 : 一,构造在  处多重根的多项式  , 用[魔法]将多项式的整系数限制得很小 , 具体来说是Siegel引理 .
二,设  , 现在我们要研究  转而去看  , 利用这种思想给出  的一个上界 . 这个界是用系数给出的 .
三,给出  的一个下界 , 这个界是用 类似[隔阂原则]的方法卡出来的 , 两个界足够紧 : 迫使如果  两者不等 , 这个下界将大于上界造成矛盾 . 最后证明两者真的是不等的 . 万一两者相等 , 我们 尝试研究  关于  的导数 , 因为仍然具有高阶的零点 , 同时系数也被限制住了 , 可以作为  的替代品 .
上面这三个步骤显然比起我们最初的想法已经成熟了不少 , 分别较具体地给出了实施方案 , 其重要性不言而喻 , 但真正的研究进程和我们这样草率介绍的思路显然是完全不同的 . 很多情况下 , 思路会随着精确的符号和数值计算的确立而向前延展 , 读者可以自己体会下面我们的证明中哪些技术是随着计算而提出的 .
另外 , 我们基本将所有需要归纳法和技巧的过程全部写成了引理 , 如果读者觉得某个引理是显然的或者熟知的 , 可以考虑跳过它的证明 . 因为证明的一大部分版面由这些独立的 ( 不需要上下文的 ) 引理构成 , 每次见到都去阅读证明会影响思维连贯性 , 读者可以选择现在就阅读自己需要的证明 . 然后正式开始时在心中默认它们都是对的 .
首先我们开始第一步 , 这一步漫长而艰辛 .
我们需要一个整系数的  , 其中  的次数不超过  , 而且我们希望  是  的  阶零点 . 关于零点的阶数有下面很重要的引理 : ( 推广的因式定理 ) . 如果  是一个关于  的实系数多项式 , 而且  一直到  值都是  , 那么我们可以将  因式分解为  .
使用归纳法 , 根据因式定理 , 对于  的情形 ,  所以  有因子  . 假设在某  时成立 , 那么  可以写作  , 同时  可作  求导得  这应当等于  , 这表明  , 于是  的  因子至少是  重的这个有用的引理可以帮助我们利用导数判断是否是高阶零点 , 为了方便 , 我们引入一个记号  : 表示对  求  阶导数后除以  的阶乘 , 关于这个记号有一个显然的性质 : 对整系数多项式  来说  还是整系数的 . 这一点只要研究一个单项式  , 而这个系数刚好可以写成组合数  ( 记号  ) , 因为组合数是整数 , 于是结论得证 .
现在我们对  求导看看 , 是  阶零点这要求  代入  等于  在  时成立 . 但是含有  到底是怎样一回事呢 ? 我们需要对代数数做一点简单的刻画 .
我们知道的事仅限于  是一个  次有理系数多项式的根 , 除法除掉首项系数后 , 我们不妨设  成立 , 其中  都是有理数 . 也就是  可以用  的有理数倍表示出来 , 自然会问  这样更高的次数能不能有类似的表示呢 ?答案是肯定的 , 我们甚至可以对这些系数给出一个好的界 : 存在只与  有关的常数  和正整数  :  的表出方法存在 , 而且  是整数对一切  成立 , 同时  成立 .
当然是使用归纳法啦 ! 先解决  的情形 , 显然取  是所有  的公倍数 , 这样  是整数的问题解决了 , 同时再取  为  , 于是界的问题也解决了 .
接下来假设在某  的时候成立 , 那么  时 ,  可以写作  , 再将  用我们的奠基拆成  的线性组合 . 于是系数变为了  ( 常数项 ) 和  (  项系数 ,  ) 显然乘积中一个的分母是  的因子 , 另一个是  的因子 , 遂为整数 . 而看成求和一个不超过  另一个不超过  , 遂得其界有了这个引理作为工具 ,  , 首先我们知道  时它们仍然是整系数多项式 , 代入  时 , 将  全部写成  的有理线性组合 , 具体一点 , 设  ,  并且求导代入展开 ( 我们设它们的次数都不超过  ) .
简单化简得到  前的系数是  . 也就是说 , 每一个  相当于给出了一个  们的有理系数的线性方程组 . 注意到 , 根据引理 , 用  来左乘每一个方程组 , 可以将系数全都变成整的 , 利用我们熟悉的求和式  我们知道 ,  成立 , 结合  以及  绝对值不超过  , 于是 :
我们现在得到了  条 ( 别忘了每个导数限制带来的是  条方程 ) 整系数的方程 , 这些方程是关于  个系数  的 , 而且每个方程的参数不超过  , 其中  , 因为  只与  有关 , 故  也是只与  有关的常数 .
真正的魔法是下面这个引理 : 设有  个关于  个未知量的整系数方程 ( 要求  ) , 写作  ,  可以从  取到  . 已知所有  都是整数且不超过  , 那么存在一组不是全零的整数解满足各  成立 .
证明其实非常初等 , 设  这里方括号表示取整 , 现在我们考虑一系列  元组 :  , 让每个  取遍  , 于是一共有  个 . 将它们代入那些线性函数  中去 ( 将其看作一个关于  元组  的函数 ) , 于是每一个输入  可以自然对应到一个  元组  作为输出 .
如果我们设  表示  中所有非负数的求和 , 用  表示其中非正数的求和 . 那么  就得到了它们的绝对值之和 , 因为正的被加了负的被减了 . 而且因为每一者绝对值不超过  因此  . 更有意义的是 , 不难证明  , 因为每个正  最大凑上  相乘 , 最小就是让正的  全部乘  , 负的刚好反过来 .
于是每个  的值域不过是  个正整数 , 因此  的取值至多只有  种可能 . 因为  成立 ( 由  变形不难得到 ) , 表明输入数量多于输出数量 , 这根据抽屉原理必然有两个不同的输入  对应同一个输出 . 将它们做差 , 令  , 我们就得到了一个绝对值不超过  (  的绝对值本身就不超过  ) 的不是全零的解立刻将这个引理应用到我们的问题中去 , 我们有  个未知数 ,  个方程 , 系数绝对值不超过  , 于是存在不全为零的整数  解 , 其绝对值不超过  .
这个数看起来非常复杂 , 我们过一会儿再来处理它 .
终于 , 我们来到了第二部分 . 很真切地 , 前一个部分中我们体会到为了处理过程中的每一个细节 , 我们要付出多大的努力 .
还是如一开始那样 , 我们记分母的幂次  , 并且取两个优秀的逼近  且满足  与  . 为了方便 , 我们后面也时常用  以及  代表这两个分数 .
更进一步的 , 我们希望给出  的上界 , 以备不时只需 . 因为零点至少有  阶 , 我们写  这样一来  写开就有  .
现在对其使用  , 不难验证 , 一个多项式如果在  处有  阶零点 , 求一次导数后零点至少还会有  阶 , 进一步可归纳到求  阶导数的情形 , 这正是我们需要的 :  , 其中  是一系列多项式 .
不要忘记在前一部分我们已然证明  的各系数绝对值不会超过  , 今后为了行文方便 , 对多项式  , 我们用记号  表示  的各项系数绝对值的最大值 . 由前文 ,  , 由前文 , 作用  会让系数乘上组合数  ( 还记得证明系数是整数那里讲过 ) 并且  , 由于  次数不超过  , 于是  , 类似的 , 同批出现的  也成立 , 我们首先根据定义  , 于是善用绝对值不等式 ,  , 也就有  . 现在是时候处理  了 . 这时候 , 我们需要一种以除代乘的思想 ( 其实简单来说就是在形式幂级数环里研究问题 ) . 设  , 其中  且  是  次多项式 , 那么  . 其中  是多项式 , 且首先我们证明  , 其中  是多项式 , 将  看作一个整体  , 于是只要证明  等于 加上  乘上一个多项式 . 证明只需使用归纳法 ,  时系数全  构成了显然的奠基 . 而由  ( 为什么此恒等式成立 ? 此恒等式成立后有什么用 ? 提示 : 可以对  归纳 ) 可以直接由  推出  的情形 .
根据这个结论 ,  就是  , 化简得  , 于是现在我们可以通过乘一个多项式 , 复原其中一个因子的系数 . 虽然会带来一个讨厌的余项 , 但是并不会影响我们研究  的值 . 对于次数不超过  的多项式  ,  是显而易见的 . 因为  的每一个系数都是至多  个  系数的乘积求和 , 然后根据绝对值不等式容易得到需要的结果 .
现在这两个工具直接给出了  的一个上界 :  . 后者仍然是用传统的技术 :  , 于是非常粗犷地 , 我们可以放到  , 因为这仍然可以写成一个仅与  有关的常数的幂次 . 总而言之  . 那么前面我们求出复杂的  是不是也有希望变得更简单一些呢 ?这时应该考虑将  取成一些可爱的数值 . 我们先设 ( 后面我会解释这里的  的来源 )  , 这样指数可写作  , 如果我们事先固定  要求其只与  (  是题目里的一个字母 , 还记得吗 ? ) 有关 , 那么我们就存在只与  有关 ( 也就是说题目中的常数确定下来后它们就固定了 ) 的常数  : 放缩  , 于是可以写  , 再令  , 于是  都不超过  , 这是一个很好的界 .
现在精确地估计  即  , 这时候前面的结论起了作用 , 次数不超过  的  有  , 由此得到  . 实际上因为  都与  足够接近 , 容易证明  . 于是设  当然也仅仅与  有关 , 因为 , 因此  成立 , 第二部分就此完成 .
接下来是第三部分 , 首先咱简单研究  的下界 , 企图构造矛盾 . 因为  是整系数的 , 因此代入  两个有理数后分母是  的因子 . 于是要么  , 要么就是  .
假设很不幸 , 真的有很多  , 有多少呢 ? 假设  这个值都是  ( 注意一下当然还有极端的  也就是一个  也没有以及  也就是怎么求导都是  ) . 按照定义 , 约去  就是说现在咱有  , 其中上面的  表示求导  次 .
这就明示  ,  是小于  的自然数 . 先定义其中一个特殊情形 :  . 这个特殊情形有一个重要的应用由下面的引理给出 ( 其实熟悉分析的同学应该知道这叫做多项式  的Wronskian行列式 ) :
这次要用到多次求导的关键性引理Leibnitz法则 : 也就是  , 证明和二项式定理的证明是类似的 , 就是使用归纳法 , 我们就将细节留给读者 .
将这个法则运用在  与  上 , 得到  在  时成立 , 于是结论得证我们知道 , 如果看成多项式意义下  , 这恒等于  的直接推论是  两个多项式线性相关 . 对于不熟悉Wronskian行列式的读者我们这里补充一个证明 :  , 如果恒等于  , 要么  , 这表明  , 是线性的 ; 要么  是常数 ( 否则求导不会是  ) 也就是存在  使得  .
下面我们首先证明  看成多项式不是线性相关的 , 否则我们会按照下面的方式推出矛盾 :
因为  , 如果  线性相关 , 它将变成  中非零者的常数倍 . 共同地 , 它们有  的  阶因子 , 同时它们都还是整系数的 , 这里就需要我们对代数数有另外一个基本认知 : 如果有理系数多项式  是使得代数数  满足  中次数最低的非零的之一 , 如果  , 则存在多项式  使得  .
如果  不是  的倍数 , 那么我们存在有理系数的多项式  与  , 其中  的次数低于  的次数 , 使得  . 这一性质也叫做多项式的带余除法 , 证明是如下 :
假设某  是使得上带余除法式中  取到最低次数的有理系数多项式之一 , 但是超过了  的次数 , 设有理系数的  使得  . 假设  的首项是  ,  ,  的首项是  ,  . 这时候 , 我们有恒等式  , 可是  将首项  消掉了 , 这与我们前面假设的  的最低次数相矛盾 , 不难验证新多项式的系数也是有理的 .
当然 , 表达式  意味着  的存在性得以保障 ( 用大白话说 , 万一没有任何有理系数的多项式  符合上面的式子 , 那么我们的证明从[一个既有式]推出次数更低的也变成了莫须有的 )
现在 , 在  中代入  , 这样一来  这推出  , 但是  的次数比起  要低 , 如果  非零 , 这将与我们题目中的假设  是次数最低的非零多项式之一矛盾 , 这胁迫  恒等于  , 但这又与开始假设的不是倍数相矛盾 , 因此结论得证要注意 : 这个次数最低的多项式  只能有  阶的  零点 , 否则如果阶数超过  , 那么对  求导 , 其导函数  也至少有一阶  零点 ( 这件事我们在  那里讲过 ) , 而  不可能是常数 , 这表明存在比  次数更低的非零  拥有  作为零点且有理系数而矛盾 .
利用这个引理 , 我们可以不妨假定我们第一个部分中讨论的  满足的  是次数最低的 . 这样由我们的引理 ,  那  阶  的因子给他们带来了一个整整  次的有理系数多项式因子 : 每次提取出一个有理系数的  因子后将其除掉 , 商只会少一阶  的零点 ( 我们证明了次数最低的  只能包含  的  阶零点 ) , 同时保持是有理系数的 ( 多项式的除法过程只涉及加减乘除 , 不会产生无理系数 ) , 于是这一过程能一直进行下去 .
这样一来 ,  至少是  次的多项式 ( 因为非零而且有一个  次的多项式因子 ) , 而  , 我们一开始要求  ( 读者可以翻回前面看看 ) 就是这个用意 , 这样使得  而矛盾 .
终于 , 这表明  不是线性相关的 ,  不是恒  的 ( 还记得这能推出前者 ) . 也就是说  是  的因子 ( 这是引理五和引理一的共同推论 , 后者提供了一系列导数为零 ) 当然  是整系数的 , 而  是因子将推出  整除  的首项系数 :
这不是显然的 , 我们指出下面的引理 : 整系数多项式若能在有理数多项式范围内分解, 必然可以在整系数多项式范围内分解.
设整系数多项式  分解为  , 不妨设  都是有理多项式 , 可能非整系数 . 设  其中  为  各系数既约分母的最小公倍数, 这样  整系数 , 这也就是通分的过程 . 类似的, 设  , 若  结论已然成立 , 下考虑如果至少一者大于  的情形 , 不妨就设  .
那么  必然存在一个素因子  , 而恒等式  成立 , 因  是  的倍数 , 故  整除  的每一个系数 . 不妨设出所有整系数 :  ,  , 我们证明要么诸  都是  的倍数要么诸  都是  的倍数 , 这样就可以提出因子  消去分母  中的一个素因子 , 这操作一直进行下去终可以将  变成  .
若不成立 , 假设  为使得  不是  倍数的最大的下标 , 类似  为使得  不是  倍数的最大的下标, 考虑乘积中  的系数 :
该系数是一系列  的和 , 其中  取遍一切使得  的下标 , 按照  整除  的每个系数知道它是  的倍数 , 除开  唯一一项 ( 两个非素数  倍数的数乘积也不是其倍数 ) , 要么  要么  ( 为什么 ? ) , 因为  之最大性 , 其余  者均是  的倍数唯  不是 , 这导致最后求和亦不是  的倍数, 矛盾在这一工具的帮助下 ,  可以在整系数内因式分解 , 说明  整除  ( 因为可以不断匀出素因子将所有分母的  化解掉 ) , 因此  整除  的首项系数 , 这表示  , 但是另一方面根据绝对值不等式  , 运用我们前面关于乘积的 : 次数不超过  的多项式  ,  . 还有第二部分辛苦得到的  ( 包括  也就是不求导和这里需要的  ) .
于是  , 仍然 , 我们的  只与  有关 . 所以 , 我们推出  , 取对数就是  . 完事具备 , 开始放缩 !
最开始 , 我们把证明分成三个部分 , 实则还有最后的隐藏部分 , 就是利用这些不等式综合推出矛盾 , 请看我们最后的表演吧 ! 第二部分得出  对任意  都成立 . 第三部分得出  , 其中  . 第三部分还得出要么  , 要么就是  .
这里总结了我们前面文章辛苦得到的所有本部分需要的结果 . 现在我们取  , 很明显我们希望  , 这样就能导出反例来 . 我们决定最后变量的顺序是  , 这些是自变量 , 其他常数是可以由它们和题目给定的  确定的 .
首先左边还是有点复杂 , 如果我们要求  是满足  还有  , 那么  成立 . 现在我们希望  , 于是希望  . 取对数得到  . 代入  , 我们希望  . 因为  , 将  的表达式代入第一个  , 如果我们记  , 现在我们希望  .
因为  在题目中的常数和  ( 但是后文我们会先将  依据  确定下来 , 继而也就可以看成只和题目中的常数有关了 ) 确定下来后 , 它们就固定了 , 如果  足够大 , 大到可以使得  , 我们希望成立有  , 而优秀逼近被假设是无穷多的 , 所以总能找到分母足够大的 ( 为什么 ) 以至满足这个条件 .
最后我们希望  , 这可以取  足够接近  的有理数而得到 , 这样就有想要多大就有多大的  使得  是整数 ( 为什么总能约去  的分母呢 ? ) , 然后就可以按照上一段确定  . 最后只需选取足够大的优秀逼近  使之不小于  , 再选取  使得  . 于是总存在足够大的整数  使得终于经过我们漫长的努力 , 终于解决了Thue定理 !