(一)三角代换
6.(第18届莫斯科数学奥林匹克竞赛试题)设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证:
.
分析 由题设中的|x|<1,|y|<1,自然联想到三角代换.
证 设x=sinα,y=sinβ,α,β∈
,则需证明的不等式即是
即需证
因为
又1-sinαsinβ-cosαcosβ=1-cos(α-β)≥0,即
注意到②式,③式等号成立的时刻一致,所以①式显然成立.故原命题得证.
(二)构造向量
7.(第36届国际数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c为正实数,且abc=1,求证:
.
分析 由abc=1,联想到1的代换,然后根据题目模式,联想到向量的工具作用,进行整体变换.
证 所证不等式即为
构造向量