原文地址:已知函数f(x)的定义域为r,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12..作者:米粉兔兔 已知函数f(x)的定义域为r,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12,且f(12)=0,当x12时,f(x)0. 1) 求f(1). 2) 求和f(1)+f(2)+...+f(n),(n∈n+). 3) 判断函数f(x)的单调性并证明. (1)f(12)=0,f(1)=f(12+12)=f(12)+f(12)+12=12 (2)f(2)=2f(1)+12=1+12=32 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+12=2+12=52 f(4)=f(1)+f(3)+12=72 ... 猜想f(n)=n-12,用数学归纳法证明:f(1)=1-12成立. f(k+1)=f(k)+f(1)+12=k-12+12+12=(k+1)-12成立. 所以f(1)+...+f(n)=n(n+1)2-n2=(12)n^2 (3)因为f(m+n)=f(m)+f(n)+12,所以f(m+n)-f(m)=f(n)+12 不妨设x1x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+12 =f(x2-x1)+f(1) =f(x2-x1+1)-12 =f[(x2-x1+12)+12]-12 =f(x2-x1+12)+f(12)+12-12 =f(x2-x1+12) 注意到x2-x10,x2+x1+1212,所以f(x2-x1+12)0,即f(x2)-f(x1)0,所以f(x)为r上的增函数.