顺便说一句,我们可以直接证实式(113)和式(114)的同构的像和位于内,即它们是反对称矩阵.因此用·表示点积,得出:
这是一个反对称矩阵,因为对a·b=b·c=a·c=0关于时间求微分,我们可以得出等结果.最终,我们从的事实得出是反对称的,且反对称性通过g的共轭保持.
我们通过两个附带的备注来结束这个小节(它们不会被运用到以后的内容).
(1)在 2.1.1小节,我们本可以详细说明从辛流形到辛矢量空间的讨论,即一个具有非简并的反对称双线性形式ω:Z×Z→的(实数的,有限维)矢量空间.由此得出的结论是,Z是偶数维的.问题是线性映射A:Z→Z通过式(4)保持正则形式ω.很明显地,这和保持哈密顿方程形式的A是等价的,因此