每日一题[1053]立体几何中的动态问题
2017-12-06 19:30
来源:数海拾贝
原标题:每日一题[1053]立体几何中的动态问题
在棱长 为正四面体 中, 为 的中心,过点 作直线分别与线段 交于 (可以是线段的端点),连接 ,点 为 的中点,则下列说法正确的是(  )
A.存在某一位置,使得 面
B. 面积的最大值为
C. 的最小值为
D.棱锥 与棱锥 的体积之比的取值范围是
正确答案是BD.
对于选项A,若 面 ,则 在底面上的投影与 垂直,因此 在底面上的投影只能为 ,也即 ,对应的 为 的中点;但此时 点在平面 上的投影为 的中心,不为中线 的中点.因此不存在任何一个位置,使得 面 ,所以选项A不正确.
对于选项B, 底边 上的高
.由于 过点 ,所以有
而 三点共线,于是有
于是
考虑到
的取值范围是
,于是 的取值范围是
.因此
其取值范围是
.于是 面积的最大值为
所以选项B正确.
对于选项C,根据题意有
当 为 边 上的中线时,有
所以选项C不正确.
对于选项D,考虑 与 的面积之比
其取值范围是
,于是所求体积之比的取值范围为
,所以选项D正确.
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