假设a是一个m*n的矩阵,那么a.a 就是一个半正定矩阵.我们不做严格证明,只用mathematica加以验证.先构造随机的5*7的矩阵. a = randominteger[{-5, 5}, {5, 7}];a与a的转置的积是一个5*5的矩阵: a.transpose[a]positivesemidefinitematrixq可以实现半正定矩阵的判定: positivesemidefinitematrixq[a.transpose[a证明,矩阵a.transpose[a]所确定的二次型,都是非负数: p = {a, b, c, d, e}; q = f llsimplify[p.a.transpose[a].p]; red ce[forall[{a, b, c, d, e}, element[{a, b, c, d, e}, reals], q = 0如果a是2*n的矩阵,那么,a.transpose[a]是2*2的矩阵,对应的二次型可以确定一个二次曲面: p = {x, y}; plot3d[p.a.a.transpose[a].p, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] 整个图形,都在xoy平面上面,也就说明,没有小于0的可能.