假设某选区里的选民有三分之一是40岁以下,三分之二是40岁或以上;民意调查显示,40岁以下的选民有36%支持建制派,64%支持非建制派;40岁或以上的选民,有54%支持建制派,46%支持非建制派.在该选区里随意找一个支持建制派的选民,他是40岁以下的机会是多少?
为方便计算,可设选区里有选民300人(这假设对计算结果没有影响),即40岁以下的有100人,其中36%即36人支持建制派;40岁或以上的有200人,其中54%即108人支持建制派.即是说,支持建制派的选民合共有36+108=144人,其中40岁以下的占了36人,即144的25%.由此可知,任意找一个支持建制派的选民,他是40岁以下的机会是25%.
这类问题叫"条件概率".一般地,如果事件A及事件B同时发生的机会是x,而事件B发生的机会是u,那末已知事件B发生的条件下,事件A发生的机会是x除以u.
上次在本栏提出的"谁获钦点"问题,可以用这个办法去求解.甲获钦点的机会是三分一;而倘若甲获钦点,乙丙二人有相等的机会被丁点名,即机会各为二分一.所以,甲获钦点且丙被点名的机会是三分一的二分一,即六分一.把这比率叫x.
乙获钦点的机会也是三分一;但倘乙获钦点,丙必被点名,所以乙获钦点且丙被点名的机会仍是三分一.把这比率叫y.
丙获钦点的机会当然也是三分一,而倘若获钦点的是丙,他就不会被点名,所以丙获钦点且被点名的机会是0.把这叫z.
丙在所有情况下被点名的机会就是x+y+z,等如二分一.把这叫u.
现在已知丙被点名,所以甲获钦点的机会是 x除以u,即三分一;乙获钦点的机会是y除以u,即三分二.
蒙提霍尔问题也是计算条件概率.把三道门分别叫A,B和C,设游戏者选择了A,然后主持人打开C,显示那里没有车.A有车的机会是三分一;倘A有车,主持人打开B或C的机会各为一半,所以A有车且主持人打开C的机会是六分一.倘B有车,主持人一定要打开C,所以B有车且主持人打开C的机会是三分一.凭以上钦点问题相同的计算,得知B有车的机会是A的两倍.