半序格的运算∩就是集合的交运算,故与(S,∩,·)等价的半序格的部份序就是集合之间包含关系.对任意A∈S,B∈S,C∈S,如果A B, 任取u∈A·(C∩B),于是,u = a·d,其中d∈C∩B,a∈A,而A A·C,故 u=a·d∈(A·C)∩B,即 A·(C∩B) (A·C)∩B. 任取u∈(A·C)∩B,于是,u∈B,u∈A·C.令u = a·d(其中a∈A,d∈C),于是,d = a-1·u.因为a-1∈A B,u∈B,故a-1·u∈B,即d∈B.故d∈C∩B.因此,u = a·d∈A·(C∩B),即 (A·C)∩B A·(C∩B), 所以有 A·(C∩B)=(A·C)∩B 由定义知,(S,∩,·)是模格. 定理8.4.3 格(L,≤)是模格的充分必要条件是:对任意a,b,c∈L,如果 a≤b,a×c=b×c,a c=b c 则必有a=b. 证明:必要性.若格(L,≤)是模格,则对任意a,b,c∈L,如果 a≤b,a×c=b×c,a c=b c, 则 a = a (a×c)= a (b×c) = b×(a c)= b×(b c)= b 充分性.任取a,b,c∈L,且a≤b. 因为(a (b×c)) c = a ((b×c) c) = a c 又因为a≤b,所以a≤b×(a c),故 a c≤(b×(a c)) c ≤(a c) c = a c 所以,(b×(a c)) c = a c. 因此 (a (b×c)) c =(b×(a c)) c (1) 亦即,在格(L,≤)中,若a≤b,则有(1)式.根据对偶原理2,对任意a,b,c∈L,若a≥b,则有 (a×(b c))×c =(b (a×c)) ×c 因此,当a≤b,即b≥a时,有 (b×(a c))×c =(a (b×c)) ×c (2) 由格的分配不等式知,当a≤b时,有 a (b×c)≤b×(a c) (3) 由(1),(2),(3)式及此定理的条件,得 a (b×c)= b×(a c) 故(L,≤)是模格.