广州丽光堂 黄连璧著 定理16.2.60 设aúb,a~p,则 b~p,b∈p,b畃,b琾为矛盾组合. 证明:(búa~p)?búp) (15.1.21),但又有 b~p,b∈p,b畃,b琾,故矛盾. 定理16.2.61 设aúb,a∈p,b∈p,则 a-b∈p为真. a∧b∈p为真. a∨b∈p为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.29,16.1.30,仅有上式为真. a-b~c,a甤,c∈p. a∧b琤,b∈p. a∈p,b∈p,a∨b∈p. 定理16.2.62 设aúb,a∈p,b畃,则 a-b∈p为真. a∧b∈p为真. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.29,16.1.45,仅有上式为真. a-b~琤,b畃,琤∈p. a∧b琣,a∈p,a∧b∈p. a∨b产,b畃,a∨b畃. 定理16.2.63 设aúb,a∈p,búp,则 a-b∈p为真. a∧b∈p为真. a∨búp为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.29,16.1.75,仅有上式为真. a-b~琤,ab,a∈p,琤∈p. a∧b琣,a∈p,a∧b∈p. a∨b产,búp,a∨búp. 定理16.2.64 设a"b,a∈p,则 a~p,b琾为矛盾组合. 证明:(aúb~p)?aúp) (15.1.21),矛盾于a∈p. (aúb琾)?a∈p)为假 (15.1.24),矛盾于a∈p. 定理16.2.65 设aúb,a畃,b∈p,则 a-b~p可真可假. a-b畃可真可假. a∧b∈p为真. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.13,16.1.43,16.1.29,16.1.45,仅有上式可真可假和为真. 设a~cd,b~de,p~c,有cd-de~c,c~c. 设a~cdf,b~de,p~c,有cdf-de~cf,cf 甤. a∧b琤,b∈p,a∧b∈p. a∨b产,a畃,a∨b畃. 定理16.2.66 设aúb,a畃,b畃,则 a-b∈p为真. a∧b~p可真可假. a∧b畃可真可假. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.14,16.1.44,16.1.45,仅有上式可真可假和为真. a-b~琤,b畃,琤∈p. 设a~cde,b~cdf,p~cd,有cde∧cdf~cd,cd~p. 设a~cde,b~cdf,p~c,有cde∧cdf~cd,cd甤. a∨b产,a畃,a∨b畃. 定理16.2.67 设aúb,a畃,búp,则 a-b琾可真可假. a-búp可真可假. a∧b琾可真可假. a∧búp可真可假. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.58,16.1.73,16.1.59,16.1.74,16.1.45,仅有上式可真可假和为真. 设a~cdf,b~dfe,p~cf,有cdf-dfe~c,c琧f. 设a~cdh,b~dfe,p~dh,有cdh-dfe~ch,chúdh. cdf∧dfe~df,dfúcf. cdh∧dfe~d,d琩h. a∨b产,a畃,a∨b畃. 定理16.2.68 设aúb,a畃,则 a~p,b琾为矛盾组合. 证明:(aúb~p)?aúp) (15.1.21),矛盾于a畃. (aúb琾)?a畃)为假 (15.1.24),矛盾于a畃. 定理16.2.69 设aúb,a琾,b琾,则 a-b琾为真. a∧b琾为真. a∨b~p可真可假. a∨b琾可真可假. 证明:据定理16.1.58,16.1.59,16.1.15,16.1.60,仅有上式为真和可真可假. a-b~琤,ab,a琾,琤琾. a琾,b琾,a∧b琾. 设a~cd,b~df,p~cdf,有cd∨df~cdf,cdf~cdf. 设a~cd,b~df,p~cdfh,有cd∨df~cdf,cdf 琧dfh. 定理16.2.70 设aúb,a琾,búp,则 a-b琾为真. a∧b琾为真. a∨b畃为真. a∨búp为真. 证明:据定理16.1.45,16.1.58,16.1.59,16.1.75,仅有上式为真. a-b琣琾. a∧b琣琾. a∨b产,búp,a∨búp. 定理16.2.71 设aúb,a琾,则 a~p,b∈p,b畃为矛盾组合. 证明:(aúb~p)?aúp) (15.1.21),矛盾于a琾. (aúb∈p)?a琾)为假 (15.1.22),矛盾于a琾. (aúb畃)?a琾)为假 (15.1.23),矛盾于a琾. 定理16.2.72 设aúb,aúp,b~p,则 a-b∈p为真. a∧b琾为真. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.59,16.1.45,仅有上式为真. a-b~琤,琤∈p. a∧b琤,a∧b琾. a∨b产,a∨b畃. 定理16.2.73 设aúb,aúp,b∈p,则 a-b琾可真可假. a-búp可真可假. a∧b∈p为真. a∨búp为真. 证明:据定理16.1.58,16.1.73,16.1.29,16.1.75,仅有上式可真可假和为真. 设a~cdeg,b~cdf,p~eh,有cdeg-cdf~eg,egúeh. 设a~cde,b~cdf,p~eh,有cde-cdf~e,e琫h. a∧b琤,b∈p. a∨b产,aúp. 定理16.2.74 设aúb,aúp,b畃,则 a-b∈p为真. a∧búp可真可假. a∧b琾可真可假. a∨b畃为真. 证明:据定理16.1.28,16.1.74,16.1.59,16.1.45,仅有上式可真可假和为真. a-b~琤,b畃,琤∈p. 设a~cde,b~cdf,p~df,有cde∧cdf~cd,cdúdf. 设a~de,b~cdf,p~df,有de∧cdf~d,d琩f. a∨b产,b畃,a∨b畃. 定理16.2.75 设aúb,aúp,b琾,则 a-b∈p可真可假. a-búp可真可假. a∧b琾为真. a∨búp可真可假. a∨b畃可真可假. 证明:据定理16.1.28,16.1.73,16.1.59,16.1.75,16.1.45,仅有上式可真可假和为真. 设a~cd,b~df,p~dfh,有cd-df~c,c∈dfh. 设a~cde,b~df,p~cdfh,有cde-df~ce,ceúcdfh. a∧b琤琾. 设a~cd,b~df,p~dfh,有cd∨df~cdf,cdfúdfh. 设a~cde,b~df,p~cdf,有cde∨df~cdef,cdef甤df. 定理16.2.76 设aúb,aúp,búp,则 a-b∈p可真可假. a-b琾可真可假. a-búp可真可假. a∧b∈p可真可假. a∧b琾可真可假. a∧búp可真可假. a∨b畃可真可假. a∨búp可真可假. 证明:据定理16.1.28,16.1.58,16.1.73,16.1.29,16.1.59,16.1.74,16.1.45, 16.1.75,仅有上式可真可假. 设a~cdf,b~dfe,p~dfg,有cdf-dfe~c,c∈dfg. 设a~cdfh,b~dfhg,p~cdfg,有cdfh-dfeg~c,c琧dfg. 设a~cdfh,b~dfe,p~cdfg,有cdfh-dfe~ch,chúcdfg. 设a~cdf,b~dfe,p~ce,有 cdf∧dfe~df∈ce,cdfúdfe,cdf"ce,dfeúce. 设a~cdf,b~dfe,p~dfg,有cdf∧dfe~df,df琩fg. 设a~cdfh,b~dfhe,p~cdfg,有cdfh∧dfhe~dfh,dfhúcdfg. 设a~cdfh,b~dfhg,p~cdfg,有cdfh∨dfhg~cdfhg甤dfg. 设a~cdfh,b~dfe,p~cdfg,有cdfh∨dfe~cdfheúcdfg. 下面总结三三五式成立的对应组合条件. 定理16.2.77 若满足下列任一组对应组合条件,则 a-b~p成立. 一,a~b,a∈p,b∈p.(p~k) (可真可假) (根据定理16.2.3) 二,a∈b,a~p,b∈p.(16.2.11) 三,a产,a畃,b∈p.(16.2.36) (可真可假) 四,a琤,a∈p,b∈p.(p~k) (16.2.47) 五,aúb,a畃,b∈p.(16.2.65) (可真可假) 定理16.2.78 若满足下列任一组对应组合条件,则 a∧b~p成立. 一,a~b,a~p,b~p.(16.2.1) 二,a∈b,a∈p,b∈p.(p~k) (16.2.14) (可真可假) 三,a产,a畃,b~p.(16.2.32) 四,a琤,a~p,b畃.(16.2.43) 五,aúb,a畃,b畃.(16.2.66) (可真可假) 定理16.2.79 若满足下列任一组对应组合条件,则 a∨b~p成立. 一,a~b,a~p,b~p.(16.2.1) 二,a∈b,a琾,b琾.(16.2.21) (可真可假) 三,a产,a~p,b琾.(16.2.28) 四,a琤,a琾,b~p.(16.2.51) 五,aúb,a琾,b琾.(16.2.69) (可真可假) 定理16.2.80 若满足下列任一组对应组合条件,则 a-b∈p成立. 一,a~b,a~p,b~p.(16.2.1) 二,a~b,a∈p,b∈p.(16.2.3) (可真可假) 三,a~b,a畃,b畃.(16.2.5) 四,a~b,a琾,b琾.(16.2.7) 五,a~b,aúp,búp.(16.2.9) 六,a∈b,a∈p,b~p.(16.2.13) 七,a∈b,a∈p,b∈p.(16.2.14) 八,a∈b,a∈p,b畃.(16.2.15) 九,a∈b,a∈p,b琾.(16.2.16) 十,a∈b,a∈p,búp.(16.2.17) 十一,a产,a∈p,b∈p.(16.2.30) 十二,a产,a畃,b~p.(16.2.32) 十三,a产,a畃,b畃.(16.2.33) 十四,a产,aúp,b琾.(16.2.39)(可真可假) 十五,a产,aúp,búp.(16.2.40)(可真可假) 十六,a琤,a~p,b畃.(16.2.43) 十七,a琤,a∈p,b畃.(16.2.45) 十八,a琤,a∈p,búp.(16.2.46) 十九,a琤,a∈p,b∈p.(16.2.47) 二十,a琤,a畃,b畃.(16.2.49) 二十一,a琤,a琾,b~p.(16.2.51) 二十二,a琤,a琾,b畃.(16.2.52) 二十三,a琤,a琾,b琾.(16.2.53) 二十四,a琤,a琾,búp.(16.2.54) 二十五,a琤,aúp,b畃.(16.2.56) 二十六,a琤,aúp,búp.(16.2.57) 二十七,aúb,a∈p,b∈p.(16.2.61) 二十八,aúb,a∈p,b畃.(16.2.62) 二十九,aúb,a∈p,búp.(16.2.63) 三十,aúb,a畃,b畃.(16.2.66) 三十一,aúb,aúp,b~p.(16.2.72) 三十二,aúb,aúp,b畃.(16.2.74) 三十三,aúb,aúp,b琾.(16.2.75)(可真可假) 三十四,aúb,aúp,búp.