+4A+E=O
于是
A(A+4E)=-E,则A可逆;
A2
+4A+3E=2E⇒(A+E)(A+3E)=2E,则A+E,A+3E可逆;
A2
+4A+4E=3E⇒(A+2E)2
=3E,则A+2E可逆.
故本题选(D).
例6 设A,B都是n阶矩阵,已知A-E,B都可逆,且(A-E)-1
=B*
-E,证明:A可逆,并求它的逆矩阵.
分析:矩阵乘法不满足交换律,与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式.因此,在计算或证明中,若涉及到矩阵相交换的情形,则应尽量从逆矩阵的定义着手分析.
证:由(A-E)-1
=B*
-E可得(A-E)(B*
-E)=E,即AB*
-A-B*
=O.
所以有A(B*
-E)=B*
.因为