最小二乘平面拟合:Ax+By+Cz+D=0
三维平面的表达方式有很多种,通常采用的形式为$$Ax+By+Cz+D=0$$其中\(\begin{bmatrix}A\\B\\C \end{bmatrix}\)为平面法向量.
已知:采样点集\(\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}\),欲求一平面\(p\),使得所有采样点到\(p\)的距离的平方和\(f\)最小.
$$f=\sum_{i=1}^n (\frac{|Ax_i+By_i+Cz_i+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})^2$$
因为\(A,B,C\)的关联性,我们可以令\(||(A,B,C)^T||=1.\)那么
$$