在自然数的群星中,完全幂特别闪耀,因为在所有数学领域都会用到它们.从最初的几个 -  - 1,4,8,9,16,25,27,32和36 -  - 不容易看出相继的间隔会有多大或多小.如果用an表示第n个完全幂,哥德巴赫证明的一个漂亮公式表明这些数遵循公式:
最近,又证明了
1844年,尤金·卡塔兰猜想9是唯一与另一个完全幂刚好相差1的完全幂,也就是说,32-23=1.以2和3为底的特殊情形已经在1343年被吉尔松尼德证明.20世纪70年代,利用数论中的高级工具证明了,如果还有其他解,则底不会超过一个很大的数B=exp(exp(exp(exp(730)))),这个数的大小已经超出了人类的理解范围(exp(730)已经远远超出了宇宙中估