已知函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)\left(\omega > 0,-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$, 将 $y=f(x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 然后横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 $y=g(x)$ 的图象. 若 $g(x)$ 为奇函数,且最小正周期为 $\pi$, 则下列说法正确的是
$ \text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 中心对称 $ \text{B.}$ 函数