动点最值:难度逆天,求当S▲BCD最大时,∠CBD=?
原标题:动点最值:难度逆天,求当SBCD最大时,∠CBD=? 题目:如图,半圆弧上一动点C,做直径AB垂线于点D,连接BC,求,当BCD面积最大时,∠CBD的度数? 解法1: 转换为命题: 求圆内接三角形ABC的面积, 当为正三角形时面积最大. SABC =absinC/2 =(2rsinA)(2rsinB)sinC/2 =2r*r*sinAsinBsinC, 转化成求sinAsinBsinC的最大值. sinAsinBsinC ≦ ((sin+AsinB+sinC)/3)3 ≦(sin((A+B+C)/3))3. 当A=B=C时等号成立. 即ABC为正三角形时面积最大. 则对于原题来说, 将半圆补乘整圆即可求得, 故,原题中: 当BCD面积最大时,∠CBD=30°. 解法2: 令∠CBD=β,AB=2R 则BD=2R*cosβ*cosβ, CD=2R*cosβ*sinβ, SBCD=2R2*cosβ2*cosβ*sinβ. 由均值不等式可得到: 1⁄3*cos2β*1/3cos2β*1/3cos2β*sinβ2≤1/256, 仅当1⁄3*cos2β=sin2β,即tgβ=√3/3, 故:β=30度. 解法3: 如有其它解题思路欢迎评论区分享.