在已知△ABC三内角的三等分线中,分别与BC,CA,AB相邻的每两线相交于点D,E,F,则三角形DFE是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形.·.证明过程 AE CE交E BD CD交D AF BF交F 记A=3α,B=3β,C=3γ,AE=m,AF=n,△ABC的三边长为a,b,c. 由于3α+3β+3γ=180°. 所以α+β+γ=60°.α+β=60°-γ 而nsin(α+β)=csinβ 所以n=csinβsin(α+β)=csinβsin(60-γ) 类似地m=bsinγsin(60-β) 在△ABC中有bsin3γ=csin3β, 从而 mn =(sin3β*sinγ*sin(60-γ))(sin3γ*sinβ*sin(60-β)) =(sin(60+β))(sin(60+γ)) 由于α+β+γ=60°. 所以存在以60°+β,60°+γ和α为内角的三角形, 夹α角的两边之比为 (sin(60+β))(sin(60+γ))=mn △EAF与这三角形相似, 从而 ∠AFE=60°+β ∠AEF=60°+γ 同法可证∠BFD=60°+α, 而 ∠AFB=180°-(α+β) 因此 ∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300° 所以∠DFE=60°. 结论 类似地,△DEF的另两个内角也为60°. 因此△DEF是等边三角形.