24.边长为1的正方形ABCD中,点E在AB上.点F在CD上.且EF平行于BC.点G在AD上.点H在BC上.且GH平行于AB 也即直线EF垂直于GH,EF交GH于点P,连接AH,AF 问(1)若AG=AE,求证AH=AF (2)若角HAF=45度,求证AE+AG=FH (3)若三角形EBH周长为1,求四边形GPFD面积 解答:(1)证明:显然三角形ABH与三角形ADF全等(角B=角D=90度,AB=AD,BH=FD)(2)延长FD到F',使DF'=AG,连AF'.易证三角形ABH全等与三角形ADF'.所以角F'AD=角BAH,AF'=AH 角FAF'=角FAD+角F'AD=角FAD+角BAH=90度-角HAF=45度 即角FAF'=角HAF ,AF'=AH,AF=AF 故三角形AHF全等于三角形AFF' 所以AG+AE=FF'=FH 证毕(3)分析:将几何条件转化为代数条件,再求解答: 设EB=y,BH=x,对三角形EBH用勾股定理及条件得x+y+跟号下(x^2+y^2)=1 欲求S=(1-x)(1-Y) 观测条件及待求,先去跟号再凑 x+y+跟号下(x^2+y^2)=1 跟号下(x^2+y^2)=1-(x+y)两边平方 x^2+y^2=1-2(x+y)+(x+y)^2 1-2(x+y)+2xy=0 2-2(x+y)+2xy=1两边除2 1-(x+y)+xy=1/2 (1-x)(1-y)=1/2 所以四边形GPFD面积S=1/2.24.边长为1的正方形ABCD中,点E在AB上.点F在CD上.且EF平行于BC.点G在AD上.点H在BC上.且GH平行于AB 也即直线EF垂直于GH,EF交GH于点P,连接AH,AF 问(1)若AG=AE,求证AH=AF (2)若角HAF=45度,求证AE+AG=FH (3)若三角形EBH周长为1,求四边形GPFD面积 解答:(1)证明:显然三角形ABH与三角形ADF全等(角B=角D=90度,AB=AD,BH=FD) (2)延长FD到F',使DF'=AG,连AF'.易证三角形ABH全等与三角形ADF'.所以角F'AD=角BAH,AF'=AH 角FAF'=角FAD+角F'AD=角FAD+角BAH=90度-角HAF=45度 即角FAF'=角HAF ,AF'=AH,AF=AF 故三角形AHF全等于三角形AFF' 所以AG+AE=FF'=FH 证毕 (3)分析:将几何条件转化为代数条件,再求解答: 设EB=y,BH=x,对三角形EBH用勾股定理及条件得x+y+跟号下(x^2+y^2)=1 欲求S=(1-x)(1-Y) 观测条件及待求,先去跟号再凑 x+y+跟号下(x^2+y^2)=1 跟号下(x^2+y^2)=1-(x+y)两边平方 x^2+y^2=1-2(x+y)+(x+y)^2 1-2(x+y)+2xy=0 2-2(x+y)+2xy=1两边除2 1-(x+y)+xy=12 (1-x)(1-y)=12 所以四边形GPFD面积S=12 25:题目:有一抛物线y=x^2+px+q(p0) 交x轴与A,B两点.A在点B左边.交y轴于点C(0,-1)且三角形ABC面积为54. 问(1)求函数解析式 (2)设点M在y轴上运动.过点M作y轴垂线L.而L与三角形ABC外接圆不相离,求M纵坐标的取值范围 (3)问在抛物线上是否存在点D使得ACBD是直角梯形,若存在求出D坐标,若不存在,说明理由 解答:(1)易得q=-1,AB=52 则设A,B点横坐标分别为x1,x2.则|x1-x2|=52 平方得(x1-x2)^2=254 变形为(x1+x2)^2-4x1x2=254 由韦达定理p^2+4=254 又p0 得p=-32 故y=x^2-32x-1 (2)A(-12,0) B(2,0) C(0,-1)先算出AB,BC,AC 发现三角形ABC为直角三角形,且AB为斜边.故半径=12AB =54 圆心为AB中点在x轴上,圆心到L距离d即为点M纵坐标绝对值 即d=|y|=54 (相交或相切) 即-54=y=54 (3)假设存在.得出的四边形应该是ACBD或ABCD.即(A与C,B与C是相邻的点)或(A与B,B与C,C与D,D与A相邻) 后者是不成立的,这里大家画图可体会到,具体证明从略 那么,只需角CAD或角CBD为直角 一,角CAD为直角:先算出直线BC的解析式,得k=12,设直线AD方程为y=12x+b把A点坐标代入得b=14 即y=12x+14 与抛物线联立得x^2-32x-1=12x+14 整理得x^2-2x-54=0 由于点A横坐标为-12 由韦达定理算得D点横坐标应为52,把x=52代入y=12x+14 得y=32 故此时点D(52,32) 二,角CBD为直角 用完全相同的方法得D(-52,9) 故这样的点D存在.为(52,32)或(-52,9) 严禁些还有必要证明AC不等与BD(因为有可能为距形