1. Jacobson 环即是指每个素理想都是一族极大理想的交的一个环.此时,每个素理想也是所有包含他的极大理想的交.从商环的理想的结构,可知 Jacobson 环的商环还是一个 Jacobson 环.
Proof. k[x]k[x]k[x] 是主理想整环,所以每个非零素理想都是极大理想.只要证明 (0)(0)(0) 是非零素理想的交即可.由于 k[x]k[x]k[x] 是唯一分解整环,它的每一个非零元素 fff 都可以分解成唯一的几个素元的乘积,即 fff 只可能同时处于有限个素理想之中.所以只要素理想有无数个,则所有素理想的交就不能有非零元.而这是古希腊人就知道的结论:假设素元有有限个,记作 p1p_1p1   ⋯\cdots⋯  pnp_npn  ,则 1+p1p2⋯pn1+p_1p_2\cdots p_n1+p1 p2 ⋯pn  不能被 p1p_1p1   ⋯\cdots⋯  pnp_npn  整除,也是素的,矛盾.
当 RRR 是一个域,这个命题就变成了Zariski引理.