由切比雪夫不等式得
P{μnn
-p ≥ε}≤
12D(μn)=pqε
n
nε2
因此
limP{μn-p
≥ε}=0,limP{μnn→∞
n
n→∞
n
-p <ε}=1
伯努利大数定律表明:当重复试验次数n充分大时,事件A发生的频率nA
依概率收敛于事件A
发生的概率p.定理以严格的数学形式表达了频n
率的稳定性.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.
如果事件A的概率很小,则由伯努利大数定律知,事件A发生的频率也是很小的,或者说事件A很少发生.
定理4 (辛钦大数定律)设随机变量X1,X2,...,Xn,... 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,