是方程①的整数解,当然满足ax0
+
by0
= c,
②
因此
ax + by = a(
x0
- bt) + b(
y0
+ at)
=
ax0
+
by0
= c.
这表明( Ⅰ) 式是方程①的解.
反之,若 x,y是方程①的任一整数解,则有
ax + by = c.
③
由③ -②得
a( x -
x0
) + b( y -
y0
) =0,
④
即
a( x -
x0
) = - b( y -
y0
) .
因为( a,b) =1,所以 a∣( y -
y0
) ,即
y -
y0
= at,y =
y0
+ at ( 其中 t是整数) .
将 y =
y0
+ at代入④式,得 x =
x0
- bt.