对于公式2)可由二项式展开叠加求和:因为, (n+1)𠆢3-n𠆢3=3·n𠆢2+3n+1 n𠆢3-(n-1)𠆢3=3·(n-1)𠆢2+3(n-1)+1 ⋯ ⋯ ⋯ +) 2𠆢3-1𠆢3 =3·1𠆢2+3·1+1一 (n+1)𠆢3-1𠆢3=3sn+3·12·n(n+1)+n所以,整理得:sn=16·n(n+1)(2n十1)同样公式3)可由4次二项式依次裂项,然后相加,并用公式1),2)的结果求得sn=[12·n(n十1)]𠆢2下面介绍公式3)的另一种有趣的列举推导方法:如下列数表 1 2 1 1 2 (1+2)𠆢2=1+8=1𠆢3+2𠆢3 2 2 4 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 (1+2+3)𠆢2=1+8+27=1𠆢3+2𠆢3+3𠆢3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 (1+2+3+4)𠆢2=1+8+27+64=1𠆢3+2𠆢3+3𠆢3+4𠆢3 同样我们可以得到(1+2+3+4+5)𠆢2=1+8+27+64+125=1𠆢3+2𠆢3+3𠆢3+4𠆢3+5𠆢3 因此,我们可以推断出:1𠆢3+2𠆢3+3𠆢3+⋯+n𠆢3=(1+2+3+⋯+n)𠆢2=[12·n(n+1)]𠆢2例题:用公式2),3)证明i)1𠆢2+3𠆢2+5𠆢2+⋯+(2n+1)𠆢2=13·(n+1)(2n+1)(2n+3)ii)1𠆢3+3𠆢3+5𠆢3+⋯+(2n+1)𠆢3=(n+1)𠆢2·(2·n𠆢2+4n+1)因为,1𠆢2+2𠆢2+3𠆢2+⋯+(2n+1)𠆢2=13·(n+1)(2n+1)(4n+3) (1) 2𠆢2+4𠆢2+6𠆢2+⋯+(2n)𠆢2=23·n(n+1)(2n+1) (2) (1)-(2)得:1𠆢2+3𠆢2+5𠆢2+⋯+(2n+1)𠆢2=13·(n+1)(2n+1)(2n+3)同样,1𠆢3+2𠆢3+3𠆢3+⋯+(2n+1)𠆢3=(2n+1)𠆢2·(n+1)𠆢2 (1) 2𠆢3+4𠆢3+6𠆢3+⋯+(2n)𠆢3=2·n𠆢2·(n+1)𠆢2 (2) (1)-(2)得:1𠆢3+3𠆢3+5𠆢3+⋯+(2n+1)𠆢3=(n+1)𠆢2·(2·n𠆢2+4n+1),证毕.