由于A,B均为常数,而ε可以任意给定,由式(1.3),只有A=B.
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{yn}收敛,则数列{yn}必有界.
证
 设limyn=A,根据极限的定义,不妨给定正数ε=1,则存在着正整数N使得当n>
n→∞
N 时的一切yn 都有
|yn-A|<1
于是当n>N 时, |yn|=|(yn-A)+A≤|yn-A|+|A|<1+|A|.
取M =max{|y1|,|y2|,|y3|,...,|yN|,1+|A|},则对所有n都有
|yn|≤M
由定理2,如果数列{yn}无界,则它一定发散;但如果数列{yn}有界,却不能说明它收敛.例如,数列{(-1)n}显然有界,但却是发散的;又如,数列{sin