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(问候来自整数序列在线百科全书!)
中心阶乘数的讨论N, 斯隆2011年2月1日:(开始)
以下是Riordan对组合恒等式中给出的中心阶乘数t(n,k)的定义,第6.5节:
t(n,k)并不总是整数.n偶数和n奇的情况最好分开处理.
对于n=2m,我们有:
E, g.x^[8]=x^2(x^2-1^2)(x^2-2^2)(x^2-3^2)=x^8-14x^6+49x^4-36x^2,
对应于当前三角形的第4行.
所以现在三角形的第m行给出了乘积{i=0..m-1}(x^2-i^2)展开式中系数的绝对值.
等价且更简单的是,第n行给出了乘积{i=1..n-1}(x+i^2)展开式中的系数,最高幂优先.
对于n奇数,n=2m+1,我们有:
x^[2m+1]=x*乘积{i=0..m-1}(x^2-((2i+1)/2)^2)=和{k=0..m}t(2m+12k+1)*x^(2k+1).
对应于中三角形的第2行A008956号.
现在,我们通过用x/2替换x并乘以2^(2m+1)得到整数(从示例中得到1,-10,9).
结果是三角形的m行A008956号给出了x*乘积{i=0..m}(x^2-(2i+1)^2)展开式中的系数.
等价的,更简单的,第n行A008956号给出了乘积{i=0..n-1}(x+(2i+1)^2)展开式中的系数.
注意第n行邮编:A182867给出乘积{i=1..n}(x+(2i)^2)展开式中的系数,最高幂优先.
来自约翰内斯W.梅杰2009年6月18日:(开始)
M, Abramowitz和I.A.Stegun编辑.,数学函数手册国家标准局,应用数学.55系列,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页.
R, H.波尔斯,三粒子超弦振幅与大质量支腿, th],2012年.
M, W.科菲,M.C.莱丁顿,关于m次方和的Fibonacci多项式表达式及其对Faulhaber公式和Fermat定理的启示,
P, A.麦克马洪,分拆理论中数的除数及其连续性,过程.伦敦数学.第19卷(1919年),第75-113页;科尔.论文二,第303-341页.
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米尔恰·梅尔卡,广义Girard-Waring公式的一个特例J, 整数序列,第15卷(2012年),第12.5.7条.
第n行给出乘积{i=1..n-1}(x+i^2)展开式中的系数,最高幂优先(见注释部分).
三角形以:
如果k==n:返回阶乘(n)^2
a008955第n行=a008955表格!n
v=u+1