有一部车子,全电脑装置,有里程仪 (Odometer) 与速率仪 (speedometer),而且都是用坐标图形来表达.假设速率仪故障,只剩里程仪.交通警察拦下这部车子,说是超速,驾驶辩称:我没有超速,若有的话,请警察先生拿出证据.
警察说:由你的里程仪的图形知道 的斜率大于限速, 并且 t0 时刻的切线斜率(即车子的速率)等于 的斜率,故你在 t0 时刻超速. 这位警察懂得微积分,上述的论证用到了平均值定理:
它的特例是 Rolle 定理,但是我们可以利用 Rolle 定理来证明平均值定理,因此,两者等价.
注:泰勒定理是对一类相当好的函数作剖析,所得到的函数的结构定理.
Cauchy 的平均值定理:
注:Cauchy 的平均值定理是 L'Hospital规则 的理论基础.
推广的平均值定理:
我们可以证明平均值定理与 Newton-Leibniz 公式等价.