\(145\)是一个好奇数,因为\(1!+4!+5!=1+24+120=145\),求所有这样的好奇数字之和.
分析:这道题的解题思路和第三十题的非常相似,也就是先通过好奇数需要满足的条件确定一个合理的上界,然后在上界之内寻找符合要求的值并求和即可.回忆我们在第三十题中的分析思路,假设符合要求的数字\(n\)总共有\(d\)位,则\(10^{d-1}<n<10^d\).此外,由于该数字等于它各位数的阶乘之和,则各位数的阶乘之和最大只能为\(d\cdot9!\),即\(n<d\cdot9!\),综合上面的两个条件我们有:
根据上式,所求数字的首位数只能是1或者2,则可进一步把上界缩小为\(2!+6\cdot9!=2177282\),经过分析,我们还可以进一步缩小上界,不过对于题目中的数字规模,这个上界已经足够了.