证明:我们知道在模奇素数 p 意义下,12\dots p-1 都存在逆元且唯一,那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为(同余意义下)1,但前提是这个数的逆元不等于自身.那么很显然 (p-1)!\bmod p 就是逆元等于其自身的数的乘积,这两个数为 \pm 1.在 p 为 2 时单独讨论即可.
依然考虑配对一个数与其逆元,也就是考虑关于 m 的同余方程 m^2\equiv 1\pmod{p^q} 的根的乘积,当 p^q=2 时方程仅有一根,当 p=2 且 q\geq 3 时有四根为 \pm 12^{q-1}\pm 1 其他时候则有两根为 \pm 1.