如果一个实数满足,对任意正整数,存在整数,其中有就把叫做刘维尔数.刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数,第一次说明了超越数的存在.容易证明,刘维尔数一定是无理数.若不然,则.取足够大的使,在时有与定义矛盾.即这是一个刘维尔数.取那么对于所有正整数所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对.例如,著名的e和就不是刘维尔数.实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数.刘维尔定理:若无理数是代数数,即整系数次多项式的根,那么存在实数,对于所有有证明:令,记的其它的不重复的根为,取这样的A如果存在使定理不成立的,就有那么,据拉格朗日中值定理,存在和之间的使得有是多项式,所以由于和矛盾.证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数,它是无理数,如果它是代数数则取满足的正整数,并令,存在整数其中 有与上式矛盾.故刘维尔数是超越数.