原文地址:不等式问题研究43:2005年国家集训队一道测验题的类似与推广(有更新)作者:数贝偶拾2005年国家集训队一道测验题类似与推广(有更新) 1.2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验(一)第6题为 问题0. 设且,求证 此题证明不难,可以先证明:设,则 这由 知(2)成立. 由(2),有 2.最近,安老师(安振平问题1551:关于4正实数的一个条件不等式)给出了三个类似的不等式: 问题1. 设且,求证 问题2. 设且,求证 问题3. 设且,求证 先给出这三题的证明; 问题1:由,有 所以 问题2:由(2)有 所以 问题3:由,有 ,所以 3.问题1,问题2可由问题0直接得出.首先将问题0中的条件""变为 ""结论仍然成立,即有 问题0-1. 设且,求证 证明:设,当时,由问题0 知结论成立; 当时,设,则,由问题0 有 问题1,问题2中,分别由,均易得,由 问题0-1的结论易得结论成立. 4.问题0中还可以推广为 问题0-2. 设且,求证 当然由问题0-2也可以证明得问题1和问题2. 综合问题0-1,0-2,得到问题0的推广: 设,则 当,有 当,有 不等式(8)是"cr x mathematicor m "2004第6期问题栏的2969题(罗马尼亚ploiesti大 学的vasile cirtoaje提供,见"cr x mathematicor m"[2004:371]) 推广到n个字母,有 设,则, 当时,有 当时,有 在[3]中本博主曾讨论过这个问题.