3. 有一个三十边形A_1 A_2A_3....A_30内接于半径为2的圆内.试证恒可以在弧A_kA_k-1 (其中29>=k>=1 )上找出一个点B_k ;在弧 A_30A_1上找一个点 B_30,使得六十边形A_1B_1A_2B_2....A_30B_30 的面积之数值等于三十边形 A_1 A_2A_3....A_30的周长之数值.(四分)
PeterJiang
设圆心为O,线段A1A2=x,当B1离线段A1A2最远时A1B1A2O的面积最大,也就是A1A2垂直B1O,此时面积为2*x/2=x,数值等于线段A1A2,因此当O点在A1A2......A30内部时,A1B1A2B2......A30B30的面积最大值数值等于A1A2......A30周长数值.
因此必然有一个60边形的面积数值等于A1A2......A30周长数值.