我们称满足上面条件的函数为 Gowers 一致函数 简称 Gowers 函数.
基于这个结论与 Szemerédi 定理我们就能给出定理1.2.1的证明.
这就完成了 G-T-S 定理的证明.
注. 可以看到为了估计主项 Szemerédi 定理在此处的使用是难以避免的 所以 Green-Tao 定理的证明并不蕴涵 Szemerédi 定理.
现在我们只需要证明定理 4.1.1. 我们将使用能量增量方法.
注. 在 Szemerédi 定理的遍历论证明中 这一步骤的停止用 Zorn 引理来说明更方便 但实际上 Furstenberg 在原始论文中证明了循环只会重复有限次.
先利用上面的循环步骤给出定理 4.1.1 的证明.
证明. 取定  并令 . 我们将看到 是理论上循环次数的上限. 像上面定理中那样取 足够小 足够大. 我们将依照下面的步骤构造一列 及 并从中得到所需要的 和 .
循环步骤的证明. 设 如命题中所述.