对于ε=-1,±i,结果与上面类似.
顺便说一下,什么样的正整数n可以表示为两个平方数的和:
如果上式成立,那么
将x+yi,x-yi在Z
[i]中分解为素因数的乘积,若
那么
从而
如果bj
=0(1≤j≤k),那么
是Z
中平方数.如果bj
=0(1≤j≤k),那么
一定是Z
中的素数(不然的话,
c∈Z
,d∈Z
并且c,d都不是±1.将c,d在Z
[i]中分解,便得到
的一个在Z
[i]中的分解式,它是两个有理整数c,d的积或者是三个以上的素因数的积.但
已有另一种不同的分解式,即(aj
+bj
i)(aj
-bj
i).这与Z
[i]的唯一分解定理矛盾).前面已经说过
决不是Z
中4m+3形的数,所以,在n