已知四边形ABCD为菱形,连接BD,点E为菱形ABCD外任一点.
(1)如图(1),若∠A=45°,AB= ,点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点,BE,AD交于点F,求DE的长.
(2)如图(2),若2∠AEB=180°﹣∠BED,∠ABE=60°,求证:BC=BE+DE
(1)首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形,然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长,从而得到DF的长,然后在Rt△EDF中,可求得DE的长;(2)延长DE至K,使EK=EB,连结AK.首先证明∠AEB=∠AEK,然后依据SAS证明△AEB≌△AEK,由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形,于是得到KD=BC,通过等量代换可得到问题的答案;(3)记AB与DE的交点为O.首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD,然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE,最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案.
∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB= ,AB∥CD.∴∠A=∠ADE=45°.∵AD⊥BE,∴∠AFB=DFE=90°.∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形.∴BF2+AF2=AB2,即:2BF2=6,∴BF=AF= .∵△EFD为等腰直角三角形,∴EF=DF=AD﹣AF= ﹣ .∴DE= EF= ( ﹣ )=2 ﹣ .(2)如图2所示:延长DE至K,使EK=EB,联结AK.
∵2∠AEB=180°﹣∠BED,∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK.∴∠AEB=∠AEK.在△AEB和△AEK中 ,∴△AEB≌△AEK.∴∠K=∠ABE=60°,Ak=AB.又∵AB=AD,∴AK=AD.∴△AKD为等边三角形.∴KD=AD.∴KD=BC.∵KD=KE+DE,∴CB=EB+DE.(3)如图3所示:记AB与DE的交点为O.
∵四边形ABCD为菱形,∴AB∥DC,∠ABC=2∠ABD.∴∠CDE=∠BOE.∵∠ABC=∠BED+∠EOB,∴2∠ABD=∠BED+∠CDE.