P:我可以证明台中市一定有两个人头发一样多!
P:我有一个学生数学向来不错几年前吧他参加数学系甄试据说当时教授问他"为什么 7/23 一定可以化为循环小数?"
这基本的数学原理课本不提考试不考当然老师不教(可能也没时间教)于是他被打败了!你能不能解释为什么 7/23 一定可以化为循环小数吗?
Q:我是可以算出来啦只是我不懂你所说的"解释"到底是什么意思?
P:我问你"7只鸽子飞回鸽笼如果鸽笼只有6个则有一个笼子里会至少会有两只鸽子."这句话你相信吗?
Q:那当然想也知道.可是循环小数这问题和鸽子有关系吗?
P:嗯你先听听我们称刚刚这句话为"鸽笼原理"也有人把它叫"抽屉原理".
比较数学化的说法是这样的若把kn+1(k>=1)物件放入n个盒子那么一定有一个盒子中至少有k+1个物件.
Q:所以说如果台中市人口超过100万人而每个人的头发最多1万根就至少有101个人的头发会一样多啰?
P:因为余数一定小于除数所以你把7除以23多除几次(小数位多一些)就23次吧假如余数都不相同则余数是123...22中的几个;但是鸽笼原理说这是不可能的其中一定至少有两个余数相同所以余数相同的地方就产生循环!简单吧!
Q:喔~我知道了.另外前一阵子我被"圣经密码"这本书惊吓到了呢!.
P:先考考你陈水扁总统说:统一不是唯一的选项时中共与美国都很生气谁在暗爽?
Q:是李登辉吗?
Q:原来是脑筋急转弯!
P:在平面上随便画5个点任3点不共线则其中一定会有4个点形成一凸4边形你相信吗?
Q:还是脑筋急转弯吗?还是说你是要告诉我这跟圣经密码有关?
P:这是一位匈牙利数学家Paul Erdös小时候玩的游戏.1935年他和George Szekeres证明了只要点数够多我们就可以找到任意的凸n边形.
Q:这有什么特殊的涵义吗?
P:那解释了我们可以在夜空找到一些星座.
Q 学生:意思是说我洒一把芝麻在桌上我就可以把某些点连起来让它看起来就像是一只小白兔?
P:聪明!只要你洒的芝麻够多.
Q:数学有点好玩耶也许我可以考虑念数学系.但这跟圣经密码有关系吗?
P:后来Erdös发现他的定理只不过是Ramsey定理的特例.
拉姆西(Frank Plumpton Ramsey 1903~1930)是一个非常聪明的英国数学家不幸年青早逝.Ramsey定理的数学形式很抽象他本人倒是举了一个有名的例子:世界上任意6个人中总有3个人相互认识或3个人互相皆不认识.
Q:也许我的脑筋要转好几圈才能理解.
P: 另外把12345作任意重排则其中至少有3个数是递增或递减(例如排成14532则145是递增).
Q:这也是小时候玩的游戏吗?
P:没错!长大后就变成"在前n2+1个自然数中至少必定有n+1个是有序的"(由小到大或由大到小).
Q:这大概很难证明吧!我看我还是不要念数学系的好...你还没有告诉我圣经密码的事哩.
P:Ramsey定理说"不可能完全无序"意思就是说只要点数够多我们就可以在里面"看出"你要的任何图像所以你可以在夜空中看到各种星座;同理叫一只猩猩在打字机上乱打只要字母够长你可以找到你要的任意有意义的句子Drosnin用电脑做所谓等距密码其实道理是一样的.
Q:你的意思是说我用其它书也可以找到"密码"例如莎士比亚全集也可以啰?
P:对如果你还想念数学系我建议你用尤拉全集.无独有偶地一位高中生O'Leary把 写成小数点对应到26进位数每一个数对应一个英文字母.在"不可置信的Pi码"一文中他把3.14 15 9 26 5对应到C.N O I S E而NOISE是一个有意义的字;接着他把 Pi 用二进制表示做了许多花样后也找到了"密码"宣称可以预测股票市场并且宣称其中一个图像是下一届总统的侧面图(当然他找到隐而不宣的理由).
其实这些都是无稽之谈. 这些就是李国伟先生所谓的伪科学你可以看看李先生的书"一条画不清的界线".在科学与伪科学之间画一条清楚的界线不是一件容易的事.
Q:听你这样讲我还是不懂Ramsey定理但总算是松了一口气了.
Ramsey定理的证明用到了鸽笼原理Ramsey定理是鸽笼原理的推广这是组合学的范畴.
可别小看了组合学李国伟先生先专攻数理逻辑后来转攻组合学使台湾成为一个坚强的组合学研究团队而扬名国际.
6. 座标平面上有相异的10个点,其中没有三点在同一条直线上,每一点均为格子点,试证明这10个点两两之间的连接线段中,必有一个异于这10个点的格子点.( 点A为格子点的意思,就是点A座标(m  n)中,m  n均为整数) --中学生通讯解题第三期 88301
7. 边长为1的正三角形边上有10点则必定有2点其距离小于或等于 1/3
8. 在边长=1的正方形内任取5个点 试证至少有两个点的距离小于或等于 1/sqrt(2)
9. 在边长=1的正方形内任意放入9个点则其中至少有3个点其所围成的三角形面积不超过 1/8
10. 已知ABC的面积=1D是AB上任一点E是AC上任1点F是DE上任一点;则 BDFCEF中至少有1个面积小于或等于 1/8
11. 从1到100的正整数中任取51个数则其中会有1个数是另外1个数的倍数(然后改成从1到2n的正整数中任取n+1个数)
13. 会议中有n个人参加每一个人至少认识其中另一个人则n个人中至少有2人认识的人数相同为什么?
15. 在一圆上取6个点在每两点间作连线段如果把每个线段任意地涂成咖啡色或蓝色则有一个 三角形它的三边同色. 世界上任意6个人中总有3个人相互认识或互相皆不认识[解答15] --Frank Plumpton Ramsey 1903~1930
16. 在前n^2+1个自然数中至少必定有n+1个是有序的(由小到大或由大到小) ( 1913~1996)
17. 由算术数列147...100中任取20个数其中必有两个其和为104
1 <=a1<= a2 <=... <=am <= m
a_1+a_2+...+a_m=2m
试证:一定可以把这m个数分成两组使得每一组的和都是m
[解答1] 因为余数一定小于除数所以你把23除以7多除几次就23次吧假如余数都不相同则余数是 123...22;但是抽屉原理说这是不可能的其中一定至少有 两个余数相同(就是说现在你把23个 蛋放入22个碗中)余数相同的地方就产生循环!
如果我们"认定"有限小数也是一种循环小数则我们可以说所有的分数都是循环小数所有的循环 小数都是分数.
一个可以化为有限小数的分数长什么样子?
[解答6] 因为10个点座标均为格子点,根据整数的奇偶性来分类,可分为(奇偶),(偶奇),(奇奇),(偶偶)四个情形,故必有二个顶点的座标其奇偶性一样,设这两个点为AB,则线段AB的中点M必为格子点,因为10点中任3点不共线,所以M必异于这10点.