命题21[4]

构成一个立体角的所有平面角的和小于四个直角和.

已知立体角A 由平面角BAC,CAD 和DAB 构成.可证角BAC,CAD 和DAB 的和小于四个直角和.

分别在直线AB,AC 和AD 上任取点B,C 和D ,连接BC,CD 和DB .因为立体角B 由三个平面角CBA,ABD 和CBD 构成,所以任意两个角的和大于第三个角[命题11.20].所以,角CBA 与ABD 的和大于角CBD .同理,角BCA 与ACD 的和大于角BCD ,且角CDA 与ADB 的和大于角CDB ,所以六个角CBA,ABD,BCA,ACD,CDA 和ADB 的和大于角CBD,BCD 和CDB 的和.但角CBD,BDC 和