刘: 早上我读了其中一篇 谈到你接受媒体访谈 但你说的一些有趣的数学却只播了几秒.
N: 没错 我接受过几次访问.不知怎的 在 NYU 每当媒体询问关于几率或统计的问题 我就是校方指定应答的人 即便我几乎不懂统计. 一次 纽约有人二度中了乐透 我接受地方电视台的访问 他们想知道这样是如何非比寻常 如何出人意表. 我同意受访 当天稍早 出去买了张乐透 因为我不知道它长什么样子 还做了些简单的计算 以便稍后做一些讨论. 我花了好几个小时 因为要决定是否真那么让人惊讶还满有趣的. 结果并不令人讶异 因为乐透已有二,三十年的历史 每周开奖两次 有许多中奖人平分奖项 所以数以千计的中奖人会有很多很多钱买更多彩券. 他们当中有人再度中奖并不意外 其实以前就发生过 这可能是第二次.我最骄傲的是我的预测: 不会有人中奖三次. 但如同你说的 所有关于这点的有趣讨论都被删除 我在电视上只出现了 7 秒. 我记得不是很清楚 $\cdots$ 全是些没营养的内容 不过是电视台借此在新闻中放一道闪电 :"这是否比被雷劈到的几率还低?"
刘: 特定的人中奖两次很罕见 但真的有这样的幸运儿.
刘: 有一道问题 一个房间里要有多少人 才能使得其中至少两人的生日在同一天的几率大于二分之一? 答案是多少?
N: 大概是 28 人 确切我不记得了 27 或 28 吧! 听来很令人惊讶 但道理是一样的 是不特定的两个人 不是我们心里通常想的跟自己同一天生日的人. 其实我才刚和一个我早就知道 但一周前才遇到的人讨论了这个现象. 几年前我收到妹夫的 email 恭喜我纽约时报刊登了我的投书. 我查了纽时 有封来自 Charles Newman 写给编辑,谈论政治的信. 但那不是我 是另一个 Charles Newman. 我决定了解一下他到底是什么人 我发现纽约有位律师与我同名 甚至中间名的首字母也一样是 M. 就是他写了那封信. 凑巧 几周前我去律师事务所办事 进门后接待人员问我姓名 我说 Charles Newman 他们以奇怪的表情看着我 : "我们这里也有一位 Charles Newman."结果就是那位 Charles Newman 他也在这间律师事务所工作. 下一次我再去竟然碰到他 相谈甚欢 他年轻时是学工程的 知道 Courant Institute 他问了我这道生日的问题.
刘: 从这个小故事和我从其中一篇关于你的文章看到的 你的兴趣广泛 很乐意花时间思考周遭发生的事 很多数学家并不是这样.
N: 我原先并不是数学家 起初是物理学家.大学我主修物理 却修了许多数学课. 那时我在 MIT 大家的数学都很好 但在几十年前 很多人高中没修过微积分 却也有不少人修过. 我高中读的是一所小学校 没有微积分.所以一方面 我必修微积分 但入学考试我的数学分数很高. 开的特殊微积分 他一年之前才开始开这门课. 他教微积分与一般主要为工程学生开设不甚严谨(rigorous)的课不同 这门是特别开给可能主修数学的学生 从开头就很严谨. 因为那门课 我对数学的兴趣比一般主修物理的学生来得多 开始修更多数学课. 不过后来物理和数学我都做 再逐渐从物理转向数学. 我想由于这样的背景 与一些打从开始一直做数学的数学家相较 我的视野可能比较开阔.
刘: 我想我们也看过有人主修工程 但后来发现他们的真爱是数学.其中有些人研究非常抽象的东西 像是研究动力理论的Ukai3 3 Seiji Ukai 日本数学家.
N: 我一直对由物理问题产生的数学概念上的议题感兴趣.
刘: 可以给个例子吗?
N: 我将要在这星期演讲的 是我在拿到博士后开始研究 直到现在才得出一些结果的主题 也就是了解欧基里得量子场论在二维空间的情形. 其中一维是空间 一维原先为时间 但当你从真实物理时间转换到纯虚拟时间 (pure imaginary time) 如同热方程之于 Schrodinger 方程 就变为欧基里得场. 特别是 出现像易辛模型 (Ising model) 之类的临界统计力学模型的尺度极限 (scaling limit). 这个主题早在 1970 年代我就很感兴趣 做了些工作. 但由于近期与形式不变量 (formal invariants) 和 Schramm-Loewner 演化相关 这些在二维临界模型的发展 我们比过去有更多的工具 所以现在对连续场的尺度极限这类物件 有一种随机几何的表现 (stochastic geometric representation). 这是从过去主要兴趣在量子场论时 我就一直很有兴趣而且试图了解的东西.我想这是个例子 说明了上述提到的 物理问题引发数学的概念 同时显示出 有时有些东西要花上几十年的时间才能有所进展 或达到希望的目标.
N: 我大学主修物理 一开始修很多数学的课.实际上比一般需要修的课还多 因为大一在 MIT 时 我计算学费除以每周的上课时数 得出每堂课的费用实在贵得吓人 虽然现在还是很贵 但在那个年代学费是固定的 修课数目没有限制 所以唯一可以降低每堂课学费的方式 就是修更多门课. 于是 我开始修更多课 让每堂课的学费更合理. 因为上述的那门特殊微积分 我觉得自己是喜欢数学的 因此大多数额外修的课都是数学. 大约一年后 我发现这些多修的课足以让我拿到双学位 不是双主修得一个学位 而是双学位 只要再多修一些课 可能不是我自己已经选修的数学课 就可以拿到正式的双学位. 于是我就这么做 在大学拿到数学和物理双学位.不过我还是把自己定位为以物理为主 但对数学很感兴趣. 事实上我的博士训练是在普林斯顿的物理系 拿的学位正式来说是物理 实际却非常数学 任何正统的物理学家都不会接受我是物理学家.
N: 他非常和蔼可亲 不是那种会处处操控学生的人. 他会给大方向的建议 很乐意和学生谈话 $\cdots$ 至少对我如此 或许要看做的问题而定. 这样的方式很适合我 我大多能自己决定要做什么 只要经常向他报告进度 这样的方式运作得很好.
刘: 刚才你谈到 你会修更多的课让学费花得有价值. 我记得 J. J. Stoker 曾说 教育是唯一一种顾客不想多占便宜的生意. 你正好是个反例 不是一般的消费者. 我可以将话题转到其它地方吗? 你担任 Courant Institute 的所长多久?
R: 在那之前你是数学系的系主任?
N: 对 不过系主任的权责要少的多. 事实上那时比现在还少 现在比较像一般的数学系系主任 负责招生找人等等的事务. 但在 Courant 系主任要做的比一般少 因为许多事都由所长负责 担任系主任不用花太多个人的时间 所长则多得多.
刘: 说不定现在是Courant有史以来几率最强的时期.
N: 可能真的是这样 在过去的五到十年 几率变得越来越受欢迎.
R: 那些菲尔兹奖得主即便不是几率学家 做的问题却多少与几率相关.
N: 近两年的菲尔兹奖 有不少几率或与它密切相关的工作. 我记得刚到 Courant 时听 Monroe Donsker 说起 几率在数学里有复杂的历史 在我拿到博士的几年前 许多人不真的把几率看作数学. 或许因为历史上 几率可算是从赌博而来 原先的动机来自乐透或赌博. 这就是为何有名的初等几率论被称作赌徒破产理论 (Gambler's ruin) 倾家荡产或是 (赌赢)让银行破产 需要多久? 几率多大? 这类问题通常用在初阶课程.
刘: 这对赌徒很重要 但我想几率对很多人来说是很困难的科目.
N: 其中一个原因 举例来说 很多学生即使在其它数学课程上表现亮眼 修几率时还是会碰到问题 因为很多思维不太一样.
R: 关键是直觉 不然做几率就跟分析学家做PDE或ODE没有两样.但是要有不同的直觉.
刘: 没错 许多人不了解这个 soul. 其实在台湾 我想真的理解这个 soul 的人不够多 我们面临一些问题. 某方面来说 几率在现代科学中非常重要 而我们确实在这方面不够强. 你可以发现这次会议中 台湾的讲者非常少 只有一两个人.每个人都知道这个不足 却束手无策. 无论如何 可以再问一些关于这个 soul 的事吗? 它是什么?
N: 嗯 $\cdots$ 在几率论的许多情况下 可以尝试从问题背后的某种分析技巧上着手. 譬如研究马可夫过程(Markov processes) 考虑连续的马可夫过程 它们可由空间中具有生成元 (generators) 的半群算子 (semi-group operators) 描述 泛函分析的所有工具都可以运用; 或者也可以尝试从比较偏几率而非分析的观点探究 试着了解所探讨的各种问题在几率里的意义 而不是将问题重新陈述为分析的问题. 有时 分析是得到结果较快或较好的方式; 有时 几率的思维方式给了你对的想法. 所以我会说 $\cdots$ 当然我有点偏颇 我会将 soul 形容为 以比较几率的思维思考 而不是把它转为分析的问题 从而忘记各种量的几率意义.
R: 几率论里半群性质变为马可夫性质 就是这种直觉最基本的例子.
N: 教基础的大学课程 最让学生头痛的 就是让他们有太多选择 他们偏好那些强制他们做些什么的问题.如果要求证明哪些向量是线性独立 他们会做而且做得很好. 但是如果要求给出三个线性独立的向量 他们就毫无头绪 无从下手 因为太自由了.
R: 我教微积分 如果出是非题 全班都会卡住;给一个叙述 学生必须知道它是否正确 认为不对要给反例.无论问题有多简单 都是他们的克星. 相对于要求学生推导或证明一道公式 是非常不一样的游戏.
N: 我接触到真正的是非题是在 MIT 大学部的分析课. MIT 有个传统 大学部的分析和拓朴考试 会出很难的是非题 不管是找一个证明或反例 都危机四伏. 那时候考试没有时间限制 可以带书和笔记 想考多久就多久 曾有人通宵苦战 第二天才交卷. 但每道问题都必须战战兢兢 确认一切 $\cdots$ 对大学生来说 我想这是最接近做研究的课业活动之一 因为你一开始并不知道答案. 有个出名的例子是在我修课的前一年 不是分析而是在拓朴课上 某次考试的全班平均是 -7 分 我想那表示如果你没有回答任何问题得 0 分 可能会拿到 B.
R: 所以随着年纪渐增,变得保守 最终我放弃了 不再出是非题 学生答错不扣分 但还是有很多抱怨.
N: 上学期我教大学部的分析 程度跟我在 MIT 修的课不同 但我也出了一些是非题 不过不倒扣. 从是非题中确实可以知道学生是否了解课程的内容.
R: 大学部的课我已经知道答案 --- 大部分的课学生都搞不清楚状况 不幸的是我使不上力 所以我放弃了.
刘: 你害怕发现真相 让我想到有人说过 最不会错的气象预报是 今天的天气跟昨天一样 因为 0 分就可以得 B.
Q: 你在做论文的时候已经做几率了吗?
N: 事实上我接触几率的过程有点另类. 大学时我曾试着选了一门几率 结果是灾难一场. 上课内容老掉牙 授课老师用的是他20年前写的书 记得的只有一两周后我就退选 还有他开头第一个主题讲的是不同类型的 $\beta$ 分布 有一些明确的式子等等.所以我没有真的上过几率 试过但不喜欢. 接着研究所我念物理 修了一些数学课 大多是分析那类的. 后来我开始做关于数学物理的论文 原本应该是关于量子场论 但我在一个有点怪的模型上 做了逸出常轨的工作 结果很快就变成不折不扣的几率模型 于是我开始阅读一些相关文献. 我读的第一本书算是几率的书 但不是一般几率的入门书 是 Gelfand 和 Vilenkin 合著的 Generalized Functions 谈的是广义随机场(generalized random fields) 所以那时我不知道随机变数是什么 但我知道广义随机场. 事实上 我在这次会议演讲中要谈的就是广义随机场. 而随机变数的定义 则是几年后才知道 为了教大学几率课不得不学. 不过在研究所的最后一年 我修了一门 Ed Nelson9 9 Edward Nelson (1932$\sim$2014) 普林斯顿大学数学系教授 以在数学物理及数学逻辑的工作著称. 的课 第一学期是相当进阶的几率 关于布朗运动 (Brownian motion)及它的细部性质 大多是随机过程等等的标准内容.到了第二学期 那时他正在发展欧基里德场论 其实就是因应量子场论而来的几率论.就如我前面提到的 实际教了 才确实学到比较传统的几率论 所以我对几率论的接触了解与一般人顺序颠倒 照理说 我应该更为关注分析面向而非几率面向. 但在我终于学了几率后 不知怎地 我真的很喜欢几率解读事情的方式 比较会用这样的方式来思考 而不是聚焦在分析.
刘: 所以大多时候或许我可以说 并不是教育使你走上这一行 而是你对于几率的思维很感兴趣 深深着迷.
N: Varadhan 众多特点之一是 他在几率的思维和分析上都很强 在其它事情上也是如此.
刘: 我试过教几率 其实大学部的几率我教过很多次. 我必须承认我并不真的在行 但显然我教得还可以 所以多年来他们老是要我教几率. 我发现这是个有点难的科目 $\cdots$.
N: 要有不一样的直觉.
刘: 有一次我从 Mark Freidlin10 10 Mark Freidlin (1938$\sim$) 俄籍美国几率论学家. 那里得知 如果你在二维空间有一个随机漫步 (random walk) 几乎必然会回到这个给定的边界 在三维空间不会回来的几率为正. 后来是透过 PDE 的分析方法证明 但我想它原先是从几率的思维发现的.
N: 可能是这样 $\cdots$ 我想那是对的. 我指的是标准的论证 很自然会注意可能返回的次数 可以用分析或几率的方式思考. 用几率的方式看待和思考较为自然 那是古典的事实之一. 在统计力学的模型里 当然会有这种维度依赖 (dimension dependence) 以及不同的事物如何随着维度而变化 在 PDE 里也有.
刘: 最近大众越发意识到几率的重要性和核心地位 特别是在科学或数学上.
N: 从与公众有关的实际角度来看 Werner11 11 Wendelin Werner(1968$\sim$) 法国数学家 2006 年菲尔兹奖得主 现任教苏黎世联邦理工学院.得菲尔兹奖也许带来了重大的改变. 我想那是菲尔兹奖第一次颁给几率方面的工作 算是对这个领域的某种肯定. Gerard Ben Arous告诉我 他记得担任巴黎高等师范学校 (Ecole Normale Superieure ENS) 的系主任时 遇到一些问题: 代数几何是人人想进的领域 最优秀的学生都去做代数几何 他们很难说服好的学生做其它领域的研究 偶尔可以成功说服一些学生去做 PDE 或分析等其它领域 愿意做几率的更是凤毛麟角.但近年来特别是在法国 Werner 得奖可说带来了很大的转变. 排名数一数二的学生进入 ENS 选择做几率 因此 在法国有为数极多的后起顶尖年轻几率学家. 我想这个菲尔兹奖 还有 Varadhan 获得的阿贝尔奖 大大影响了学生和博士后对重要领域的认知. 但如你所说 身为这个领域的人 总不免认为它重要.另外有件事 我不太明白为什么几率比以前受到认可 不过几率似乎的确从数学的其它领域中窜出头来 在许多出乎意料的情况下 $\cdots$.
刘: 但几率非常国际化 环顾莫斯科,法国,日本和美国等地的主要学术中心 几乎都有非常重要的几率学家 不受地域所限.
N: 常常是集中在各国的某些地方 但有许多不同的国家在几率方面都很强.
刘: 这个问题不好 : 你怎么预测几率研究的未来?
N: 嗯 $\cdots$ 这个问题要答得前后一致不容易 我想我对几率一直在发展的方式乐观其成 因为几率的东西除了用于数学 也用在其它许多方面 在物理上的应用已经司空见惯. 但现在几率和统计的东西在生物上变得极为重要 当然近几十年来在金融上,长期在工程上也是. 所以我想那意味着 几率将持续帮助数学和应用领域的成长.我认为几率还没有达到颠峰 $\cdots$ 几率领域始终活跃而且具有影响力.
N: 我对通常出现在物理中 几率模型的数学结构 还是很感兴趣. 所以我在这里的演讲 要讲一些模型 它们是从统计力学模型的临界点而来的例子. 基本上是关于二维模型 主要的进展 --- 数学上的进展是在近几年做出来的 高维的则更早. 就像拓朴里 一旦超过某个维度 情形其实会变得更简单. 所以对特定类型的模型 如易辛模型 (Ising model) 在四维或高于四维的时候 情形开始变得简单 而在二维 有针对二维非常特别的方法 可以导出非常特别的东西 像 Schramm-Loewner evolution 及保角不变量 (conformal invariance).不过 介于二维和开始变简单的高维之间的情形最难 譬如三维. 因此这里已知的极少 是完全没有经过开发 可以发展一些技巧的.我要谈二维的一个原因在于 虽然我们只探讨二维的情形 但比起仅针对二维的保角不变量方法 我们的看法似乎有可能应用在三维. 这套东西在我们的研究中并不是主角 技术上是但在整体观点上不是. 我喜欢它的原因是 它在三维最终可能是有用的 但这是完全没有定论而且没有人有很多想法. 另一类模型是我在这个会议里不会谈到 但今天很多讲者已提到的一个广泛的领域 --- 这类系统是自旋玻璃模型 (spin glass models) 在物理文献中有长远的历史. 但同样地 短程模型少有进展 这也是我深感兴趣有待开发的领域 但是我怀疑要得到主要的结果需要相当长的时间 我不确定我能看到多少.
刘: Parisi 是开启这个领域的人之一.
N: 其中一个我颇感兴趣的问题是 $\cdots$ Parisi 提出的方法主要来自于 $\cdots$ 平均场模型 (mean-field models) 可以说是某些维度空间里有短程作用模型的某种简化 在这个简化的模型里 大致说来 对随着相互距离越来越长而越发衰弱的作用取极限 在这个极限中所有东西彼此作用 作用强度几乎相当. 即便 Parisi 为自旋玻璃模型做了这样的拟设(ansatz)12 12 拟设 (德语:ansatz)是数学和物理学术语. 意思是先作出一个假设 并且按照这个假设去进行一系列的演算 用所得到的结果来检验最初的假设是否成立. 当一个问题难以用直接的方法解决的时候 拟设经常是解决问题的出发点.  这个模型还是非常难分析 过去几年经过严谨证明的结果也不多. 而对于平均场模型 Parisi 拟设的各种性质是否都能应用于短程模型 是个我们很感兴趣 而且大有可为的问题. 然而大体而言 对于任何维度的短程模型 相对来说已得出的严谨,事实上不要说严谨 任何结果都非常少. 这是我们期盼最终能有所发展的东西 我们在二维的某些特定问题上有一些进展 但与我们想了解的东西相较 非常渺小.
刘: 这是很好的情况.
N: 我最好少说话 以免自找麻烦. 我来说一些让自己陷入不同麻烦 跟 soul 有关 但跟数学物理或数学没什么关系的事 是关于 NYU 和它在阿布扎比 (Abu Dhabi) 校区的活动. 这些事已进行了许多年 非常有趣而且可能可以发展地很好. 有些人对于 NYU 是否该做这件事提出许多质疑. 过去几年 外人有时会认定 NYU 这样做的唯一原因 是因为从阿布扎比拿了很多钱. 他们觉得这样非常不妥 NYU 唯利是图. 真相是 虽然阿布扎比确实在这个校区投入不少经费 除此之外并没有真的给很多钱."这是一般对于把灵魂交予恶魔以换得某种短期利益的说法. 他们的问题是基于 NYU 得到很多钱 一定有些利益交换. 我不确定是否真的有这样的利益交换 时间会证明一切. 事实上 NYU 并没有拿到很多钱 所以我告诉他们 如果确实有 讨论是否应该出卖灵魂才有意义. 但情形并非如此 事实上 NYU 是奉献了灵魂. 我不得不祈祷这篇访谈不会被(某些人)读到 $\cdots$ NYU 同时在上海成立一个分校 $\cdots$ 否则会惹上麻烦.
刘: 或许在座各位有话想说.
Q: 嗯 他们做的非常重要. 不够严谨但无妨 对其他人有很大的帮助.
N: 不 我对不够严谨这件事没有意见.他对平均场模型的预测看来颇为正确 有些正在证明中. 我们的问题是 同样的定性行为(qualitative behavior)会在短程模型中发生的主张是否正确. 证据非常少 可说只有相互抵触的证据. 至少有过一次 Parisi 涉入其中一个不严谨而有趣 但没有确证的主张 是针对不同领域 同样是无序系统 (disordered system) 中与维度约化 (dimensional reduction) 有关的主张; 关于是否该将特定维度的无序系统与非无序系统 (non-disordered system) 比较. 有些人有一套论证 主张非无序系统维度需少一维; 另一批人声称要少二维 不论 Parisi 主张的是哪一个 都是错的. 所以物理学家的预测不见得都正确 大家只记得对的 却忘了那些不对的. 这是数学上而不是概念上的观点 非但不严谨还有点怪异 不是基于物理的论证 而是根据奇怪的数学论证.
R: 我想这是个重点 对于这些非数学的论证 有两种可能 : 一个是有方法解决 找其它办法来做; 或者即使失败 也能从已知的东西中学到为什么这样的假设不对 明明看起来正确的为何却是错的.这是个很好的起点.
Q: 很有意思 我们不久前才讲到 几率在数学里有一些奇怪的名声 因为它从赌博而来 而且有很多不严谨的论证. 上面谈到的不过是个现代版本 很可能是几率是否体质良好的征兆 它能否和一些够有趣, 而且可以用各式方法处理的问题紧密连结 其中某些方法非常严谨 有些非常不严谨,却能帮助你了解发生了什么事.
R: 几率没有那么受到数学家欢迎的另一个原因在于 几率对非几率学家来说有些地方太过抽象 难以理解 我听到不少人在我的演讲后这么说. 通常我们一听到 Martingale 之类的东西五分钟不到就投降 因为这些东西我们压根儿没有概念.
刘: 你应该在天气好点的时候再来作客 稍微放松一下.
刘: 我不相信演讲多有用.N: 类似的事有一次也发生在我身上 但数目没那么多 25 年前我访问莫斯科 在那里 大概在第一场演讲之后的场合见到 Sinai 他说他们想邀我在大学的研讨会演讲 问我可以讲什么. 我就列出四,五个题目 想着他会从中挑一个 结果他说很好 你礼拜一讲这个 礼拜二讲那个 $\cdots$.
---本文访问者刘太平任职中央研究院数学研究所尤释贤任教新加坡国立大学 Jeremy Quastel 任教多伦多大学 Fraydoun Rezakhanlou 任教加州大学柏克莱分校 整理者黄馨霈为中央研究院数学研究所助理---