每日一题[996]投影长度
2017-10-10 19:30
来源:数海拾贝
原标题:每日一题[996]投影长度
证明:棱长为的正四面体的棱在任一平面上的投影长度的平方之和为定值.
分析与证明先证明
引理已知非零空间向量
两两垂直,为空间任意非零向量且与
的夹角分别为,则
证明不妨设
均为单位向量,且
,则
类似的,有,,于是
引理得证.
将正四面体放入棱长为
的正方体中研究,如图.
记,,,为投影面的单位法向量,且与
的夹角分别为,则所求棱的投影长度的平方和
为定值,因此原命题得证.
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