例6 化简(a0). 解 原式= = = ∵a0. ∴a22b2, ∴原式= 例7 求证: 证明:∵ = ∴原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明:∵ ∴ 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得(x+y+z)3=27xyz. 例9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 ∴a+b= = = 由 a+b=a, 得 ∴ (2) 比较系数法 例10 求满足条件的自然数a,x,y. 解 将等式两边平方得 ∵x,y,a都是自然数. ∴只能是无理数,否则与等式左边是无理数相矛盾. ∴x+y=a,xy=6. 由条件可知 xy且x,y是自然数. 当x=6时,y=1,得a=7. 当x=3时,y=2,得a=5. 故x=6,y=1,a=7. 或x=3,y=2,a=5. 例11 化简 分析 被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+2 =x+y+z+2 比较系数,得 ① ② ③ ④ 由②有,代入③,得代入④,得y2=52,∴y=5(x,y,z非负), ∴=1, ∴原式=1+ (4)设参法 例12 (1986年数理化接力赛题) 设(a1,a2..,an,b1,b2..,bn都是正数).求证: = 证明 设 且a1=b1k,a2=b2k..,an=bnk. 左边= = 右边= · = ∴左边=右边 (5)公式法,代数变换及其他 例13 已知x=求x3+12x的值. 解 由公式(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b)可得 · =8-3 =8-12x. ∴x3+12x=8. 例14 设 求x4+y4+(x+y)4. 解 由条件知 ∴x+y=5,xy=1. ∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4 =[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4 =(25-2)2-2+54 =1152. 例15 (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈r,确定的所有可能的值. 解 记y=. ① 先假定a≥0,这时y≥0,把①两边平方得 ② 即 ③ 再平方,整理后得 ④ 从而 ≥0. 由②知 y22a2+2-2=2. 再由⑤知 y2≤1,∴0≤y1. 反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a,并且这时2a2+2-y20,故可由⑤逆推出②和①,因而在a≥0时,的值域为(0,1). 同样在a0时,的值域为(-1,0),综上的值域是(-1,1).