多元统计之Cochran定理承前,本文讨论正态随机向量  二次型的独立性:若  是对称矩阵,则  .几何意义 -  - 投影对于对称矩阵  ,通过Moore-Penrose广义逆得到  和  .由  可得  和  ,进而  ;同理可得  .
若  ,则  ,进而  .在正态总体下,有  ,分别作用函数  和  ,即得  .Craig-Sakamoto定理后续技术细节较为繁乱,主要借鉴Reid&Driscoll[1]的思路.设  且  对称,则  的累积量生成函数  在原点附近展开为  .
证明:谱分解得到  ,其中  且  构成规范正交基.记  ,令  和  ,则  且  .当  时,有矩母函数  ,于是  .在  附近成立  和  ,所以  ,其中  且  . [推论] 给定对称矩阵  ,任意固定  ,若  ,则在原点附近成立  ,比较幂级数展式中  的系数,有  .
⚠我们希望划归到  的情况,亦即推导出  .[符号约定] 设  中的非零特征值为两两不同的  ,矩阵  对应特征值  的重数(允许=0)为  ,谱分解 中的投影矩阵为  ,记  .此时有  和  ,从而取  ,则有下面说明系数矩阵可逆,易见其行列式为  ,其中  是广义Vandermonde矩阵,我们利用多项式的性质来避免繁重的计算[2].
证明:假设  适合  ,则  满足  .而  两两不同,于是  ,注意到  ,只能有  ,即得  . 我们现在得到了  ,所以