1,本文档共44页,可阅读全部内容.
第29页,共44页,编辑于2022年,星期五 第30页,共44页,编辑于2022年,星期五 例 4 设 求A的特征值与特征向量. 解 第31页,共44页,编辑于2022年,星期五 第1页,共44页,编辑于2022年,星期五 §1 向量的内积,长度及正交性 第2页,共44页,编辑于2022年,星期五 1. 定义: 内积 一,内积的定义及性质 第3页,共44页,编辑于2022年,星期五 说明 1 维向量的内积是3维向量内积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义. 第4页,共44页,编辑于2022年,星期五 2. 内积的运算性质 (施瓦兹不等式) 第5页,共44页,编辑于2022年,星期五 1. 定义: 令 长度 范数 2. 性质: 二,向量的长度及性质 第6页,共44页,编辑于2022年,星期五 3. 单位向量: 4. n维向量间的夹角 第7页,共44页,编辑于2022年,星期五 1. 正交的概念 2. 正交向量组的概念 三,正交向量组的概念及求法 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向 量组为正交向量组. 第8页,共44页,编辑于2022年,星期五 证明: 3. 正交向量组的性质 第9页,共44页,编辑于2022年,星期五 4. 向量空间的正交基 例 是二维向量空间的一个正交基 第10页,共44页,编辑于2022年,星期五 5. 规范正交基 例如 第11页,共44页,编辑于2022年,星期五 第12页,共44页,编辑于2022年,星期五 同理可知 第13页,共44页,编辑于2022年,星期五 (ⅰ) 正交化: (2) 求规范正交基的方法 步骤: 取 , 第14页,共44页,编辑于2022年,星期五 (ⅱ)单位化: 取 施密特正交化 过程 第15页,共44页,编辑于2022年,星期五 例1 用施密特正交化方法,将向量组 正交规范化. 解: 取 先正交化. 第16页,共44页,编辑于2022年,星期五 再单位化, 得规范正交向量组如下: 第17页,共44页,编辑于2022年,星期五 1. 正交矩阵 (2)定理: 四,正交矩阵与正交变换 (1)定义: A的列(或行)向量都是单位向量且两两正交. A 为正交矩阵 注: 正交矩阵A的 n 个列(或行)向量构成向量空 间Rn 的一个规范正交基. 第18页,共44页,编辑于2022年,星期五 (3)性质: 正交变换保持向量的长度不变. 若 为正交阵,则线性变换 称为正交变换. 2. 正交变换 (1)定义: (2)性质: 第19页,共44页,编辑于2022年,星期五 例2 判别下列矩阵是否为正交阵. 解: 所以它不是正交矩阵. 考察矩阵的第一列和第二列, 由于 第20页,共44页,编辑于2022年,星期五 所以它是正交矩阵. 由于 解: 第21页,共44页,编辑于2022年,星期五 §2 方阵的特征值与特征向量 第22页,共44页,编辑于2022年,星期五 注: 一,特征值与特征向量的概念 第23页,共44页,编辑于2022年,星期五 2. 特征方程与特征多项式 第24页,共44页,编辑于2022年,星期五 3. 特征值的性质 例1 第25页,共44页,编辑于2022年,星期五 解 例2 第26页,共44页,编辑于2022年,星期五 第27页,共44页,编辑于2022年,星期五 例 3 解 第28页,共44页,编辑于2022年,星期五