[题目]若两个连续的正整数的三次方的差是n^2,n0,证明:n是两个完全平方数的和. [解答] (x+1)^3-x^3=n^2,因此3x^2+3x+1=n^2. 配方得(2n)^2-3(2x+1)^2=1,(2n,2x+1)是佩尔方程x^2-3y^2=1的正整数解. 这个佩尔方程的最小正整数解是(2,1). 4n=(2+√3)^k+(2-√3)^k,这是一个递归数列,递归方程是x_{k+2}=4x_{k+1}-x_k,模4发现k必须是奇数,因此4n=(2+√3)^{2t+1}+(2-√3)^{2t+1}=((1+√3)^{4t+2}+(1-√3)^{4t+2})2^{2t+1}. 2^{2t+3}n=(1+√3)^{4t+2}+(1-√3)^{4t+2}=((1+√3)^{2t+1}+(1-√3)^{2t+1})^2+2^{2t+2},是两个正整数的平方和,说明2^{2t+3}n的素因子分解式中,4s+3型的素数幂次都是偶数,因此n的素因子分解式中,4s+3型的素数幂次也是偶数,n是两个完全平方数的和.