=AT
-(AT
)T
=AT
-A=-(A-AT
),故A-AT
是反对称阵.
(2)方法一
由(1)知,对任意方阵A,
(A+AT
)是对称阵,
(A-AT
)是反对称阵,故有
其中,A是任意n阶矩阵.
方法二
设A可表示成
其中,B是对称阵,BT
=B,C是反对称阵,CT
=-C,则
①+②得,
,①-②得,
,其中
故得证:
.
[注
] 这和高等数学中任一函数f(x)一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和类同.
例3.15
设A是n阶矩阵,E+A是可逆矩阵,记
f(A)=(E-A)(E+A)-1
.
若A满足条件AAT
=E,证明:f(A)是反对称阵.
分析
即证f(A)T
=-f(A).
证明
由题设条