然后试着往原来的证明过程中套 看看会发生什么.
第一步用到了名字巨长的恒等式 这个等式说两个平方和的乘积还是一个平方和 在代数学中有个术语叫封闭性. 比如整数集里面任取两个元素出来进行加减乘运算 结果还是整数 (除就不一定了) 那么加减乘这三种运算 (三个二元函数) 对于整数集就是封闭的. 类似的 上述恒等式说明在所有能表示成两个整数平方和的数的集合内 乘法是封闭的.
虽然 p2 + u * q2 这么个不对称的形式肯定会让强迫症加数学美学狂热者想要砸显示器 不过也没办法 将就着到第二步:
如果想挑战一下 别继续滚页面 自己推演一下.
答案将在三行之后开始揭晓.
第一行. 回头再看一眼命题第一句 是"给定任意正整数 u". 这个正是很重要的 虽然第一步恒等式对于任意整数 u 都能成立 但若 u 不是正数 这一步证明会有一个不严格的地方 而第四步中若 u 不是一个正数则完全是硬伤.
显然等式左边是一个整数 右边有两项 其中第一项根据假设是一个整数 那么第二项也得是个整数 因此? 第二项似乎正好是 ux2 的形式 证明搞定?
这样就安全通过第二步了.
这一步是反证法 没什么好说的 跟 Wiki 上证明的说辞类似.
激动人心的最后一步终于来了.
不过 u=3 的时候能证明一个特性命题 虽然不那么完美. 后述.
就是这个不等式右边坏事了 不等式右边必须是一个严格小于 x 的数 这样才使得 z < x 必然成立 后面的证明用到的无穷下降法才能进行下去. 如此以来只有 u < 3 时才行. 但是 u 又不能是负数 特别负得太厉害的时候 会导致右边是个负数 这样与 x 乘在一起的另外的因子也必须是负数 当把这个校正成正数的时候 硬伤来了: 不等式的不等号由 <= 变成了 >= 这还怎么下降怎么收场?!
最后说一下 u=3 时的特别情况.