问题 1. 假设三个人站成一个圈. 如果把相邻两个人的年龄取平均算作这个人的新年龄 问这样一直做下去 各人的年龄是否会趋于一样?
李群的同态与李代数的同态有密切关系:
5. One paramenter subgroup 左不变向量场的积分曲线就是单参数变换群.
左不变向量场在李括号下形成的代数.
利用指数映射的自然性 我们特别有:
关于一般线性群的指数映射: 可以证明 指数映射就是将函数$e^x$作taylor展开 然后将矩阵代入展开式($e^{A}$称为矩阵$A$的指数) 事实上只需验证$e^{tA}$是单参数变换群即可. 利用指数映射(单参数变换群) 我们可以很方便的求得一般线性群的李代数$\gl(n\R)$:
利用这个办法 可以很方便的求一般线性群的子群的李代数.
Dykin公式的证明.
定理 5. 李群的任一闭子群一定是一个闭李群.
定理 8 (Lie III). 对任意一个有限维李代数 都存在唯一一个与之对应的连通且单连通的李群.
9. 群在流形上的作用 向量场与李代数的无穷小作用相对应.