设 n 是大于1的自然数,d1,d2,..,dm 是其所有正约数,用ψ(n)=1/d1+1/d2+....+1/dm 表示其所有正约数的倒数的和.如果对于任意小于 n 的自然数k ,ψ(n)>ψ(k) 恒成立,则称 n 为强力数.最初的几个强力数为 2,4,6,12,...设 n 是大于1的自然数,d1,d2,..,dm 是其所有正约数,用ψ(n)=1d1+1d2+....+1dm 表示其所有正约数的倒数的和.如果对于任意小于 n 的自然数k ,ψ(n)ψ(k) 恒成立,则称 n 为强力数.最初的几个强力数为 2,4,6,12,... 强力数有无穷多个. 定理的证明:(反证法)假如强力数只有有限个 n1,n2,...,nm ,且 n1...=ψ(nm) .考察自然数 k=nm!=nm(nm-1)(nm-2)...*2*1 ,显然有 ψ(k)1+12+13+...+1nmψ(nm) ,与 对任意自然数n,ψ(n)=ψ(nm) 矛盾.因此,强力数有无数多个. 设 n1,n2,...,nm,...是所有的强力数,则无穷级数 ∑(m=1,∞) 1nm 发散.