如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.证明 如图,已知a⊥OP,a⊂α,PA⊥α于A.求证a⊥OA 几何证明 ∵PA⊥α,a⊂α ∴PA⊥a ∵PO⊥a∴a⊥面OPA ∴a⊥OA 向量证明 设a的方向向量为a,取 , , ∵PA⊥α,即 是α的法向量,且a⊂α ∴ ⊥a,∴ ·a=0 ∵ ⊥a,∴ ·a=0 ·a=( - )·a= ·a- ·a=0 ∴AO⊥a 三余弦定理证明 在a上另取一点Q,由三余弦定理得cos∠POQ=cos∠POA*cos∠AOQ ∵PO是斜线 ∴cos∠POA≠0 ∵PO⊥a ∴cos∠POQ=0 ∴cos∠AOQ=0 ∴AO⊥a