为另一方,它们之间必定有某些关系.通过微分上面三个方程和一些代数步骤,就发现这关系是K
=K
′.
对于n
元的情形,克里斯托费尔用的是同一个方法.他从
出发.变换是
他让
.如果
是
在行列式里的余子式,就让
.像黎曼一样,他独立地引进了四指标记号(没有逗点)
然后他推出关于x
i
作为y
i
的函数的n
(n
+1)/2个偏微分方程.有代表性的一个是
这些方程是使F
=F
′的变换存在的必要充分条件.
部分是为了讨论这组方程的可积性,部分是由于克里斯托费尔愿意考虑dx
i
的高于两次的形式,所以他作了许多微分和代数推导,证明了
其中α
,β
,γ
和δ
取1到n
的所有值.总共有
个这种形式的方程.这些方程是两个