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笛卡儿积得名于笛卡儿,因为这概念是由他建立的解析几何引申出来.
一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律.
笛卡儿平方和n元乘积[编辑]
为了帮助枚举,可绘制一个表格.一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格.
对最常用的数学应用而言,上述定义通常已经足够.但是,也可以在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积.
是实数的无限序列的搜集,可视之为带有无限个构件的向量或元组.另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候,类似于"笛卡儿指数".这样,在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从I到X的所有函数的集合.
在别的情况,无限笛卡儿积就不那么直观了;尽管在高等数学中的应用有其价值.
"非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空"这一陈述等价于选择公理.
函数的笛卡儿积[编辑]
跟之前类似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况.