专题回顾1.2 等差等比数列 同步练习一,选择题1.已知数列an中,a11,a23,anan1n3,则a5等于A. B. C.4 D.5[答案]A[解析]a3a2314,a4a34,a5a4.2.等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为A.1 B.2 C.3 D.4[答案]B[解析]a1a52a310,a35,da4a3752.3.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a1116,则a5等于A.1 B.2 C.4 D.8[答案]A[解析]a3a11a16,a74,a51.4.等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2a8a11是一个定值,则下列各数也为定值的是A.S7 B.S8 C.S13 D.S15[答案]C[解析]a2a8a11a1da17da110d3a118d3a16d为常数,a16d为常数.来源Z|xx|k.ComS1313a1d13a16d也为常数.5.在等差数列an中,已知a4a816,则该数列前11项的和S11等于A.58 B.88 C.143 D.176[答案]B[解析]S1188.6.等比数列an中,a29,a5243,则an的前4项和为A.81 B.120 C.168 D.192[答案]B[解析]由a5a2q3得q3.a13,S4120.7.数列1nn的前2 017项的和S2 017为A.2 015 B.1 009 C.2 015 D.1 009[答案]B[解析]S2 017123452 0162 017123452 0162 017111 0081 009.8.若an是等比数列,其公比是q,且a5,a4,a6成等差数列,则q等于A.1或2 B.1或2C.1或2 D.1或2[答案]C[解析]由题意得2a4a6a5,即2a4a4q2a4q,而a40,q2q20,即q2q10.q1或q2.9.一个首项为23,公差为整数的等差数列,从第7项开始为负数,则它的公差是A.2 B.3 C.4 D.6[答案]C 10.设an是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S6,S6S7S8,则下列结论错误的是A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值[答案]C[解析]由S5S6,得a6S6S50.来源Zxxk.Com又S6S7a70,所以d0.由S7S8a80,因此,S9S5a6a7a8a92a7a80,即S9S5.11.在数列an中,已知a11,an12an1,则其通项公式为an等于A.2n1 B.2n11C.2n1 D.2n1[答案]A[解析]等式两边加1,an112an1,所以数列an1是以a112为首项,q2为公比的等比数列,所以an122n12n,所以an2n1.学科-网12.某人为了观看2018年世界杯足球赛,从2014年起,每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱元的总数为A.a1p4 B.a1p5C.1p41p D.1p51p[答案]D[解析]设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a1,a2,a3,a4.则a1aapa1p,a2a1p1pa1pa1p2a1p,a3a21pa1pa1p3a1p2a1p,a4a31pa1pa1p41p31p21pa1p51p.二,填空题13.在数列an中,an1canc为非零常数,且前n项和为Sn3nk,则实数k________.[答案]1[解析]当n1时,a1S13k,当n2时,anSnSn13nk3n1k3n3n123n1.来源学科网来源学科网ZXXK由题意知an为等比数列,所以a13k2,所以k1.14.如果数列an的前n项和Sn2an1,nN*,则此数列的通项公式an________.[答案]2n1 15.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________.[答案][解析]设三边为a,aq,aq2q1,则aq22aq2a2,q2.较小锐角记为,则sin .16.定义如果一个列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个量,那么这个列叫作等差列,这个量叫作等差列的公差.已知向量列an是以a113为首项,公差为d10的等差向量列,若向量an与非零向量bnxn,xn1nN*垂直,则________.[答案][解析]易知an13n10n3,因为向量an与非零向量bnxn,xn1nN*垂直,所以,所以.三,解答题17.10分设an是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.1求数列an的公比;2证明对任意kN*,Sk2,Sk,Sk1成等差数列. 1解设数列an的公比为qq0,q1,由a5,a3,a4成等差数列,得2a3a5a4,即2a1q2a1q4a1q3,由a10,q0,得q2q20,解得q2或q1舍去,所以q2.2证明方法一对任意kN*,Sk2Sk12SkSk2SkSk1Skak1ak2ak12ak1ak120,所以对任意kN*,Sk2,Sk,Sk1成等差数列.方法二对任意kN*2Sk,Sk2Sk1,则2SkSk2Sk121qk2qk2qk1q2q20,因此,对任意kN*,Sk2,Sk,Sk1成等差数列.18.12分已知数列log2an1nN*为等差数列,且a13,a39.1求数列an的通项公式;2证明1. 1解设等差数列log2an1的公差为d.由a13,a39,得log291log2312d,则d1.所以log2an11n11n,即an2n1.2证明因为,所以11.19.12分某市2016年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制汽车总量,从2016年开始,每年电动型汽车牌照按50增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.学_科网1记2016年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an,每年发放的电动型汽车牌照数构成数列bn,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式.a110a29.5a3____a4____b12b2____b3____b4____2从2016年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张解1a110a29.5a39a48.5b12b23b34.5b46.75当1n20且nN*时,an10n10.50.5n10.5;当n21且nN时,an0.所以an而a4b415.2515,所以bn2当n4时,Sna1a2a3a4b1b2b3b453.25.当5n21时,Sna1a2anb1b2b3b4b5bn来源Zxxk.Com10nn4n217n,由Sn200得n217n200,即n268n8430,得34n21.所以结合实际情况,可知到2032年累积发放汽车牌照超过200万张.20.12分已知等比数列an满足|a2a3|10,a1a2a3125.1求数列an的通项公式;学_科网2是否存在正整数m,使得1若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由. 2设Sm,若an3n1,则n1,则数列是首项为,公比为的等比数列.从而Sm1.若an51n1,则1n1,故数列是首项为,公比为1的等比数列,从而Sm故Sm1.综上,对任何正整数m,总有Sm1.故不存在正整数m,使得1成立.