和高等代数相似地,将复数看作复平面上的线性变换,即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z由复数的性质我们有下图(i将点列逆时针旋转90度),此处不再赘述.
再看看z\mapsto w = f(z)=z^n的变换:
在这里,若z=re^{i\theta}w就是w=r^ne^{in\theta},表示距离变为n次幂,角度也放大n倍.
卡西尼曲线被定义为:曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.
这是复平面中的等高线图,颜色越亮数值越大,从图中看到两个奇点(-10)(10).
按照椭圆的定义,很显然的,卡西尼曲线的焦点正好是上面这个多项式的解.
那么可以推广为,
如果具有n焦点a_1a_2...a_n的卡西尼曲线: 此点与各交点距离的乘积恒为常数.