等于角DEG ,所以余下的角AMB 等于角DEF .相似地,可以证明角LNB 等于角DFE ,所以剩下的角MLN 等于角EDF [命题1.32].所以,三角形LMN 与DEF 等角,且它外切于圆ABC .综上,在已知圆外作一个与给定三角形等角的外切三角形.这就是命题3的结论.

命题4

作给定三角形的内切圆.

已知ABC 是给定三角形.求作三角形ABC 的内切圆.分别作角ABC 和ACB 的角平分线BD 和CD [命题1.9],且两线交于点D ,过点D 作DE,DF 和DG 分别垂直于AB,BC 和CA [命题1.12].因为角ABD 等于角CBD ,直角BED 等于直角BFD ,所以在三角形EBD 和三角形FB