利用Galois理论证明代数学基本定理:复数域上多项式至少有一个根  .
pf:对  ,有  ,  有一根当且仅当  有一根,又  是实数域上多项式,所以只须对实数域上的多项式进行证明.
由sylow定理,  有sylow-2子群  , 设 对应域 (在  作用下不动的域) ,有  为奇数([F:R]=[G:H]=m),由于  没有奇数阶的域扩张(每个奇数次多项式必有一根),所以  ,所以  ,有  ,若  ,则其有指数为  的子群,对应  有  次扩张,而  上二次多项式总是分裂的,所以  ,于是有  ,所以  为  上任意多项式的分裂域,综上 是代数闭的,定理证毕.