β表示一个无穷小量[22],由此可推出
(6) Δy=(dy+β)α
设z是变量x的第二个函数,同样地,有
Δz=(dz+γ)α,
γ也表示一个无穷小量.立即得到
取极限有
因此,变量x的两个函数的不同的无穷小函数值之比的极限就是它们的微分或导数之比.
现在,假设函数y和z由方程
(8) z=F(y)
相联系.可以推出
取极限并且联立公式(7),,得到
(9) dz=F′(y)dy,z′=y′F′(y).
方程(9)的第二项与上一讲的方程(3)一致.
而且,如果在第一个表达式中用F(y)替换z,得到
(10) dF(y)=F′(y)dy,
形式上与方程(4)相同,即使y不是一个独立变量,也可用于求y的函数的微分.
例