话说昨天上数论课被虐爆了...各种听不懂啊...老师说某题"简单",于是写了整整两黑板的步骤... 高兴的是还能发现一道会做的题目... 题目:求素数对(p,q)满足p7+q=q3+p 分析:首先移项:p7-p=q3-q 然后分解因式:左=p(p6-1) =p(p3+1)(p3-1) =p(p+1)(p2-p+1)(p-1)(p2+p+1) =p(p-1)(p+1)(p2-p+1)(p2+p+1) 右=q(q2-1) =q(q-1)(q+1) 由题意得p=2,q=2. 易知当p为2或者q为2时,原方程无解. 所以p和q都为奇数. 那么p+1,p-1,q+1,q-1都为偶数, p2-p+1, p2+p+1都为奇数 明显地,p2-p+11, p2+p+11,所以pq. 即 p+1=q 又因为q是质数,所以q不能为p,(p+1),(p+1)及它们的约数. q为(p2-p+1),(p2+p+1)或它们的约数. 若q为(p2-p+1)的约数,则q=(p2-p+1), 那么q-1(p2-p+1),q(p2-1),q+1(p2+p+1),又p1,所以,q(q-1)(q+1) p(p2-1) (p2-p+1) (p2+p+1)= (p-1)(p+1)(p2-p+1)(p2+p+1)p,不符题意. 所以q为(p2+p+1)的约数.即q= p2+p+1 如果q p2+p+1,且p2+p+1为奇数,那么q= (p2+p+1)3.则q-1= (p2+p-2)3(p2-p+1), q+1=(p2+p+4)3.当(p2+p+4)3=(p2-1) 时,p的最大整数解为2,又p2,所以无解.即q+1(p2-1),那么q(q-1)(q+1) (p2+p+1) (p2-p+1) (p2-1)p= p(p-1)(p+1)(p2-p+1)(p2+p+1), 不符题意. 由此,得q= p2+p+1. q-1=p2+p=p(p+1) 所以,q+1=(p-1) (p2-p+1)=p3-p2+p-p2+p-1=p3-2p2+2p-1 将q= p2+p+1代入,得p3-2p2+2p-1= p2+p+1+1, p3-3p2+p-3=0,(p-3)(p2+1)=0 又p2+10,所以p=3. q=p2+p+1=32+3+1=13 符合题意. 综上所述,p=3,q=13. {p.s.这题我先用电脑算的...验证511以内的正整数中只有这一组解,再大就要高精度了...