考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排. n个元素的错排数记为D(n). 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题.
把第nnn个元素放在一个位置,比如位置k一共有n−1n-1n−1种放法.
放编号为k的元素,此时有两种情况.
讨论情况1,当第k个元素放在位置n后,还剩有 n−2n-2n−2 个元素,它们进行错排有D(n-2)种方法.
再讨论情况2,当第k个元素不放在位置n,这是,对于未排的 n−1n-1n−1个元素,有D(n-1)种方法.