Dear Abby 是 1956 年开始发行,流传甚广的美国顾问专栏,起初的作者 Pauline Phillips 已在 2013 年过世,现由她女儿继续以同名执笔经营.Dear Abby 经常为读者提供咨商,为他们解决各种疑难杂症.下面这封读者来函曾被列入统计学教科书里,我也常用来作为基本统计学的教材.
你在专栏写过女人怀胎266天.这是谁说的?这一点都不容置疑,因为我知道宝贝是哪天开始怀的.我老公在海军服役,上次我们只见面一个钟头,而且之后就一直到生产前一天再见面,因此宝贝一定是在那个时候怀的.我不喝酒也没乱劈腿,宝贝不可能不是老公的,请务必修正女人怀胎 266 天的说法,否则我的麻烦大了.
我把这个材料给学生看,然后引用医学知识,说受孕至生产时间呈常态分配,其平均数为 266 天,标准差为 16 天,要他们计算女人怀胎最少 310 天的几率,他们算出答案为 0.003 时,都发出会心的微笑.
现在我把这题目略改如下:
某贝氏统计学家与老婆婚姻生活一向平静无波.某年元旦,两人庆祝新年,决定生产报国,嗣后依然恢复平静无波的生活.该年 11 月 7 日,老婆产下一女.
老公是一位统计学家,善于数算,老婆生产后,他推算如果此女确为从他所出,则老婆怀孕时间长达 310 天.根据医学知识,一般妇女怀孕时间呈常态分配,其平均数为 266 天,标准差为 16 天.老公推算怀胎至少 310 天的几率是 0.003.
统计学家看着刚出生的女儿,再推算老婆的孕期,觉得越想越不对劲.图/mil
统计学家老公算出这个几率后,不禁眉头一皱.他想:0.003是小几率事件,比统计推论的显著水平0.05还小很多,怎么就发生在自己家里?此几率是由老婆受孕日期在 1 月 1 日的假设推算出来,因几率甚小,依"以否定后件来否定前件"(modus tollens)的命题逻辑,不能接受这个假设,然则难道自己戴绿帽了!当下咬牙切齿,拍桌大骂老婆.
不过老公毕竟有些学问,他再仔细一想:0.003 的几率虽然小,但若样本够大,这么小的几率也会发生在很多人身上.以台湾每年大约有 20 万新生儿来说,假设大多数为单胞胎自然生产,则每年约有 600 个妈妈怀孕时间会长达 310 天或更久.
大乐透每注中头奖的几率 0.00000007 比 0.003 要小很多,而经常都有人中奖.相较之下,老婆中到 0.003 几率的大奖,也没什么好奇怪的啊.统计学家老公想到这里,不禁笑开了嘴:这宝贝女儿,说不定还会给自己带来财运呢.立马到彩券行买了十张乐透.
难道要当成中到0.003几率的大奖.图/pixabay
第二天乐透开奖,十张全部杠龟,统计学家老公又懊恼起来了.他想:虽然说经常都有人中乐透,偏偏自己从来没中过,连每期对几十张统一发票都难得中到 200 元的小奖,哪有说这 0.003 几率的事件就轮到我?毕竟"个人中奖"和"有人中奖"是不同的事件,不能一概而论.那怎么办呢?究竟我该不该相信老婆?还是干脆去查验 DNA 算了?
贝氏统计学家老公灵光一闪,发现自己面临的难题其实并没有那么简单,而应该用贝式定理来推算.他这样想:0.003 是在老婆未出轨的假设下计算的,因此它是一个条件几率:
但对一个贝氏统计学家而言,更该问的问题其实是:既然小孩是在 11 月 7 日出生,那老婆未出轨的几率为何?换句话说,更重要的几率应该是上面那个几率的反几率:
这就是老婆未出轨的后验几率.以贝氏统计学家的专长,老公知道要算这个后验几率需要考虑两个变数:
另外,如果我们以D来代表怀孕时间,则不论受孕期X是哪天,小孩在11月7日出生时,D都等于310-X.我们以D<310-X代表产期在11月7日之前,D≥310-X代表产期在11月7日这天或这天之后.
统计学家暗忖,只要知道孕期,出生日,就有机会推算出可能受孕日.图/freestockphotos
D≥310-X 的几率显然与X有关,我们用p(X)来代表此一条件几率:p(X)=Pr(D≥310-X|X).因为怀孕时间呈常态分配:D~N(266162),我们可以导出:
这里Erf()是误差函数;当 X=0时,p(0)=0.003.考虑这些变数后,我们可以用下列矩阵来呈现这个贝氏定理问题:
"行"的条件几率 老婆 1/1后未出轨:X=0
(受孕期=1/1 后第X天)
要求这个几率,首先必须把上表中"行"的条件几率转化成联合几率.这个只要记得"联合几率等于条件几率乘以条件本身的边际几率"的口诀就可算出如下:
联合几率 老婆 1/1后未出轨:X=0
算出联合几率之后,再用"条件几率等于联合几率除以条件本身的边际几率"的口诀就可算出所要求的"列"的条件几率:
把前面算出 p(0) 和 p(X) 套入上式之后,我们可以看到后验几率 Pr(X=0|D≥310-X) 是X和Y的函数,为了更容易分析这函数,我们先把 Y值固定,再看它如何随 X值变化.
首先,假设老公对老婆只有Y=0.5的信心,则后验几率的函数图形如下:
这个图显示如果老公本来就对老婆疑信参半,则当老婆在1月1日之后的一个半月之内有出轨的机会时,老公对老婆的信心会随着X的增加而急速下降.当出轨的机会X 增加到预产期(1月1日后第 X+266 天)越接近 11 月 7 日时,X>0 显得越"正常"而 X=0 显得越"不正常", 因此老公的信心会越低,疑心越重.特别是当老婆在二月 (X>30) 有出轨的机会时,那意谓著 11 月 7 日正是预产期的一个标准差(16天)之内,老公的信心会降至几乎为0.
这图显示如果老公平常对老婆有充分的信心,则这信心随着 X 的增加会下降得比较缓慢.即使到二月初才有出轨机会,也就是预产期开始接近 11 月 7 日时,老公对老婆仍然维持着 0.6 以上的信心.甚至当 X=44,即预产期恰恰为 11 月 7 日时,老公的信心仍在 0.37 的水平.
虽然信心不至于完全崩溃,但毕竟也会随着 X 的增加而减小.老公算出贝氏后验几率后应该了解,310 天是超乎寻常的怀孕时间,除非本来对老婆就有百分之百的信心,否则信心一定会下降的.虽说这只是"信者恒信,不信者恒不信"的贝氏诠释,但在这个案例,信者却必须要完全相信才能恒信,而不信者只要心中有点疑窦,终究会不信.
贝氏统计学者数算到这里,长叹了一口气:"还是去查验DNA吧!"
台大电机系毕业,美国明尼苏达大学政治学博士, 现任教于美国德州大学奥斯汀校区政府系. 林教授每年均参与中央研究院政治学研究所及政大选研中心 "政治学计量方法研习营"(Institute for Political Methodology)的教学工作, 并每两年5-6月在台大政治系开授"理性行为分析专论"密集课程. 林教授的中文部落格多为文学,艺术,政治,社会,及文化评论.
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在一般印象中,"美" 是与艺术,哲学,文学,音乐这些人文领域相连的.受到教育制度的影响,理工与人文,在普遍认知中是二元对立的.而数学,是理工科目中最硬核的部分.物理,化学实验中,各种颜色的液体,晃动的单摆或本生灯的火焰,也许还隐隐约约带有一丝美的影子,但冷冰冰的数学公式,在许多人的求学经验中,与美根本就是互斥的概念.
但是,懂数学的人都知道,数学是美的.甚至可以说,美是数学中不可或缺的部分.
图/Pexels
著名的英国数学家哈代(Godfrey Harold Hardy)说:"数学家的创造形式,与画家及诗人一样,必须是美的: 将概念(就像颜色及词语)以和谐的方式组合起来.美是最重要的条件,丑陋无法长存于数学之中.".哈代的著作 "一个数学家的辩白"(A Mathematician's Apology),在数学圈外有一定的名气,前面的那段话也出自本书.但让他"出圈"的主要原因,是他发掘了传奇数学天才拉马努金(Srinivasa Ramanujan).这个故事在 2015 年被拍成了电影 "天才无限家" The Man Who Knew Infinity).
这也不是哈代独创之见解,法国最伟大的数学家之一庞加莱(Henri Poincare)说:"研究自然不是因为有用,而是因为喜悦.而喜悦是因为美.".其他比方像是罗素(Bertrand Russell),艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少关于数学与美的金句.
数学的美,不只是许多伟大的数学家的共同体验.绝大多数的数学爱好者,数学工作者都有相同的体验,只是比较不容易留下知名金句.Danica McKellar 也许不是能和罗素,庞加莱,艾狄胥比肩齐名的数学家,但她说过一句很有意思的话: "数学是唯一一个真与美是同义词的世界".
McKellar 是一位有知名度的美国演员,她曾演出过白宫风云(The West Wing),也曾在 NCIS,宅男行不行(The Big Bang Theory)及追爱总动员(How I Met Your Mother)中客串.但真正让她出名的,是 80 末,90 初的影集两小无猜(The Wonder Years),故事主轴是主角凯文回忆少年成长的过程,而 McKellar 饰演主角的邻居温妮,两人发展出分分合合的恋爱关系.用现代的话来讲, McKellar 可以说是当时少年界的国民女友.另外 2010 开始,她也在系列动画片少年正义联盟中为火星小姐配音.
演员什么会与数学扯上关系呢?其实她大学就是学数学的,而且学得很好,在 1998 年以最杰出的成绩取得加州大学洛杉矶分校的数学学士学位.她表示,她想让女孩们觉得数学是"可亲,有意义,甚至有点迷人",用来对抗这个社会传达"女孩不适合数学"的这类负面讯息.除此之外,她也参与影集 Project Mc2 的演出. 这部影节的目标是向全球的青少女们证明,科学,科技,STEAM(Science Technology Engineering Arts Mathematics)是有趣且平易近人的.
回到前面那句"数学是唯一一个真与美是同义词的世界".追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化这些词,常常带了一点隐藏真实的意味.像是修图软件,美颜相机,化妆(与素颜对比),医美,Autotune.当然明显太假也不符合多数人的审美观,真正美之极致,往往也需要展现事物的本质与真实特色.但现实是资源有限,平庸普通还是多数,不然,也不会有"这里的风景美得像幅画"一样的形容词方式了.一般日常中,美的实际执行过程还是得靠挑选和遮掩."真"与"美"是需要取舍的.这也就是这句话耐人寻味的地方了,因为这句话如果成立,那在数学,也许就提供了现实世界中"真"与"美"之间内在冲突的解法了.
但问题是,数学家们感受到的美感是否真的是美?定理与证明真的可以用美或不美来形容呢?还是只是数学家们普遍缺乏人文熏陶产生的代偿性错觉呢?
在其研究中发现,人们对数学的"美感",就跟对古典钢琴乐曲及风景画产生的美感相似,有其内在的一致性.另外也发现这种数学美感的评判,跟与音乐,画作美感一样,和优雅性,深度,清楚性有关.
就像十九世纪英国数学家 James Joseph Sylvester 说的:"数学就是论证的音乐".爱因斯坦也说:"纯数学是一首以其自有方式将逻辑概念写成的诗".这句话出自他写给 Emmy Noether 的讣闻. Noether 是有名的德国数学家,对抽象代数有极大的贡献,巧妙的利用升链条件来研究代数性质,此后符合这个条件的数学物件我们都会冠以 Noetherian 来称呼,以纪念 Noether 的贡献.此外,她的 Noether Theorem 也被称之为影响物理学最重要的定理之一.
Noether 与兄弟们的合照.图/WIKIPEDIA
除了主观上对于美的感受外,数学与艺术之间,也有很多直接的关联性.以音乐来说,音律就与数学上的对数(也就是大家所认识的 \(\log\))有关.人类发展音律有很长的历史,因为这不是一个简单的问题.我们现在知道,和弦时,不同音阶的频率要接近简单的有理数倍声音才会悦耳.传说毕达哥拉斯经过一家铁店,听到铁锤打铁的声音,觉得很悦耳,他走入店里,发现四个铁锤的重量比为 12:9:8:6,其中 9 是 6 与 12 的算术平均,8 是 6 与 12的调和平均 9 8 与 6 12 的几何平均相等这些巧妙的关系.这些铁锤之间的声音配合起来非常悦耳.他进一步用弦乐器实验验证,得到的结论是,弦长为一些简单有理数比的时候,会得到和谐的声音.而后来更进一步改进而成的十二平均律,也反映出中国及欧洲在计算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的历史进展.这背后还有更深刻的问题,因为很容易可以发现,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 并不是个有理数.对音乐或数学有兴趣的朋友,可以继续深入了解一下背后的学问.
另一个大家也观察到的现象是,数学能力和艺术能力之间似乎有一些相关性,特别是音乐能力.常被拿来说的是爱因斯坦喜爱音乐且从小学习小提琴.可能你认识的人中,应该也有许多同时精通数理及音乐的人.过去一些研究也发现发现了数理能力及音乐能力中的相关性.但是,这个相关性会不会与能力本身无关呢?比方显而易见,学科能力与学习音乐的条件,都与家庭背景与社经地位有关.
音乐教育学者 Martin J. Bergee 原本也是这样认为的.他觉得只要能控制相关的根本性变因,如种族,收入,教育背景,就能够破除音乐与数学能力相关性的迷思.于是他就设计并展开了研究.结果让他非常震惊,两者的关联性不但没有消失,而且还非常强.他们调查了不同学区背景的一千多位中学生,在尽可能排除其他因素的干扰下,他们不得不承认音乐及数学能力之间的有统计上显著的关联.
音乐与数学能力被证实有很高的相关性.图/Pixabay
他表示很抱歉实验设计得非常复杂,"因为排除所有的相关影响并不容易,可能从个人,教室,学校,学区等等不同层级来产生影响.".虽然他原本是支持相反的结论,但这个结果让他思考了很多,"微观技术来说,可能在音乐中的音准,音程,节拍,可能语言认知的基础相关,而巨观技术上的调式与调性,可能在心理学或神经学上与数学认知有关."
除此之外,还有非常多的例证.比方 2015 年神经科学家 Semir Zeki 及艾提亚爵士(Michael Atiyah 当代最伟大数学家之一,费尔兹奖得主)发表的论文指出,经由 fMRI 扫描 15 名数学家的脑部,发现数学家在评断数学式子美感时,动用到眼额皮质外侧的 A1 区域,与察觉其他来源美感所动用到的区域一样.而前面比较没有提到数学与视觉艺术的关联,因为这部分更为大家所熟知.像是从古希腊几何就知道的黄金分割比,绘画中的用到的透视原理,对称性.可以说,美与数学并不是感性与理性的对立,而是互相包含.就像浪漫派诗人约翰济慈所说:"美即是真,真即是美.这就是你在世上所知道和需要知道的一切",而数学以及其背后的逻辑,就是人类对于"真"的具像.
评断数学式子美感或观察其他美感事物时,数学家大脑活耀的区域相同.图/Pexels
可以说在知识分子阶层中,数学即美是个主流观点.当然主流不一定代表唯一或正确,像前述 Bergee 也试图证明相关的主流看法是个迷思.但一旦理解了这种切入点,人工智能是否能创造艺术作品这个问题,至少在心理层面就不是太大问题了.人工智能遵照一些算法运作,可以说就是数学及逻辑的程式码实作.以近几年最主流的深度学习神经网络来说,就是许多线性映射与激活函数的合成函数,借由梯度下降法,收敛到的稳定数学解.既然数学即美,那由数学建构的人工智能,能产生美的事物,也不是太不能接受的事.
生成模型也是近几年深度学习热门的领域之一.常见的生成任务就是借由观察抽样的样本,设法模仿出一样的几率分布.白话一点来讲,就是给电脑看一些李白的诗,希望电脑能创造出新的李白风格的诗.给电脑听一些贝多芬的音乐,希望电脑能创造出新的贝多芬音乐.现在的深度学习技术,已经能让人工智能能借由学习,"创造"出视觉,音讯及语言的"作品".
Inception 网络是一个有名的深度学习模型,其名称取自于同名的电影(全面启动),当时主要是在图片辨识任务上,取得很好的成果.2015 年时, Google 工程师 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先训练好 Inception 模型,让他将图片变成梦一般的迷幻风格.他把这种方法取名叫 DeepDream.不久后,Leon Gatys 等人用类似的方法,设计一套算法,能将画家的画风转移到照片上,典型的例子是将风景,建筑照片,转成梵高的星空风格.后面有很多后续的研究,一般称为 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的画作,拍卖得到进十万美元.而其实早在 2014 年时, Ian Goodfellow 等人就提出了生成对抗网络(Generative Adversarial Network),是一个更广泛而通用的生成模型.这个模型后续开启了极大量的相关研究,现在的深度学习模型,在一些领域中,已经能生出非常高品质的成品.比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出几可乱真的人脸.现在,在手机上,能使用 APP,将你的照片转成迪士尼的画风.
让生成模型想像生气的亚洲人老医生(自行 CLIP StyleGAN2 生成)
2021 年时, OpenAI 释出了 CLIP 模型,这是一个能整合图片视觉及文字语意的模型.很多人尝试利用 CLIP 和文字控制,来产生独特和有创意的画作.举例来说,如果你画了一张画,或者拿到一张照片,你可以利用文字"更有喜感一点,更有亚洲风味一点",来修改这张图片让人感受到"喜感"和"亚洲风".在众多尝试中,大家试出了许多像"咒语"般的技巧,比方有个著名的 "unreal engine trick",就是当你在控制产生图片的句子中,加入 "unreal engine" 这个词(unreal engine 是一个游戏引擎),常常会让产生品质更高的图片. 乍看之下有点不明所以,但仔细一想,因为网络上会特别标明 unreal engine 的图片,往往是强调其游戏高清,久而久之, CLIP 看到这个词,很自然就与高品质的含意产生连结.除了图片外,人工智能也能产生其他具有美的形式的作品,特别是文字作品.Open AI 开发的 GPT-3,已经能在用户给出简单的指示后,产生非常复杂的文字作品,除了诗,笑话,故事外,甚至连食谱,程式码都可以.
让生成模型想像亚洲的小甜甜布兰妮(自行 CLIP StyleGAN2 生成)
但这些,真的算是人工智能的创作吗?
在 2018 年时,由生成对抗网络生成的画作 Edmond de Belamy,以美金 432500 元卖出.这幅画是谁创作的?这幅画是由巴黎艺术集体 Obvious 生成的.而名称 Belamy 的法语意思为"好朋友",以致敬提出生成对抗网络的学者 Ian Goodfellow.而图片右下角的签名则是
所以,这幅画到底是谁的创作?物理学家海森堡曾说,即使在没有足够证据的支持下,"当自然引导我们得到极简与美的数学式时","我们会不由自主的感受到,这就是自然真相被揭露的一角".也许,真正创作者不是人工智能,也不是人类,我们只是自然的一部分,有幸释放了,并且有幸感受到了自然散发出的美之一角.
海畔有逐臭之夫.为什么有人觉得数学美却被认为奇怪呢?
由策展人沈伯丞筹画之艺术计划"再・创世 Cybernetic",尝试从演化控制学的理论基础上,探讨仿生学,人工智能,嵌合体与赛伯格以及环境控制学等新知识技术所构成的未来生命图像.
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