知识拓展2 Jensen不等式
定理2:
设函数f(x)为区间(a,b)上的凸函数,则对∀x1
,x2
,...,xn
∈(a,b),∀λ1
,λ2
,...,λn
∈(0,1),
,有Jensen不等式
f(λ1
x1
+λ2
x2
+...+λn
xn
)≤λ1
f(x1
)+λ2
f(x2
)+...+λn
f(xn
),
特别地
例38
利用凸函数证明:n个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(☆☆☆)
指针:
考虑对数函数y=ln
,它在x∈(0,+∞)上是凸函数.
证明:
对数函数y=ln
=-lnx在x∈(0,+∞)上是凸函数.从而∀x1
,x2
,...,xn
∈(0,+∞),有
反思:
算术平均数大于等于几何平