[解] (1)A有特征值λi (i=1,2,...,n),则aE+A有特征值a+λi (i=1,2,...,n),由题设条件知
a+λ1 <a+λ2 <...<a+λn ,
当a+λ1 >0时,即a>-λ1 时,有a+λi >0(i=1,2,...,n),aE+A是正定矩阵.
(2)A有特征值λi ,则E+εA有特征值1+ελi (i=1,2,...,n). 因ε是正数,故ε>0,由题设条件知
1+ελ1 <1+ελ2 <...<1+ελn .
当λ1 ≥0时,对任意的ε>0,E+εA正定;
当λ1 <0时,只需1+ελ1 >0,即
从而E+εA正定.
[例17]  A是n阶正定阵,
(1)B是n阶可逆矩阵,证明BT AB也是正定阵;
(2