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一个非线性差分方程的隐函数解
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笔者经常学习的数学研发论坛曾有一帖讨论下述非线性差分方程的渐近求解:
$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2},\, a_1=1$$
原帖子在这里,从这帖子中我获益良多,学习到了很多新技巧.主要思路是通过将两边立方,然后设$x_n=a_n^3$,变为等价的递推问题:
$$x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1$$
然后可以通过巧妙的技巧得到渐近展开式:
$$x_n = 3n+\ln n+a+\frac{\frac{1}{3}(\ln n+a)-\f