我们现在交换积分次序,可以发现积分区域是两个部分,一个部分是 $y=2$ 之下的部分,另一个部分是 $y=2$ 之上的部分.表示出来就是:
所以结果就是:
二重积分换序,其实就是对待积分区域的方向的改变,一种是上下看,一种是左右看.
y=0\to y=1-x\\z=0\to z=x+y
交换 $yz$ 后,和二重积分一样,积分区域(上面的梯形)分成了两个,一个是上面的三角区,一个是下面的矩形区:
得到一个中间结果:
之后再交换 $xz$ 方法是一模一样的,就不浪费口舌了.最终结果是:
可以发现,三重积分换序,就是转化为多次的二重积分换序.