(4)若四边形一个外角等于其内对角,则四边形的四顶点共圆.
(5)要证明若干点共圆,先证其中四点共圆,然后再证其余点都在此圆上.
例156
(2012"北约")求证:若圆内接五边形的每个内角都相等,则它为正五边形.
(☆☆☆)
指针:
利用四点共圆计算出三角形各个内角.
解:
如图22.2所示,连接BD,依题意,∠A=∠ABC=∠C=∠CDE=∠E=108°.因为A,B,D,E四点共圆,且∠A=108°,所以∠BDE=72°,而∠CDE=108°,故∠CDB=∠CBD=36°.所以CD=CB,同理其他各边也都相等,从而ABCDE是正五边形.
图22.2
反思:
本题结论可以推广到一般情况,若圆内接2n+1边形各个内角