行列式的概念和性质,拉普拉斯(Laplace)定理.向量的线性组合和线性关系,向量组的秩,矩阵的概念,运算,初等变换和性质,矩阵的秩,矩阵的相抵,相似,合同和正定,半正定性;线性方程组的解的结构与求解.
线性空间,线性映射(变换)的概念及性质,直和,线性映射的矩阵,像空间,核空间,线性变换(矩阵)的特征值,特征向量和特征子空间,不变子空间,有理标准型,Jordan 标准型理论.
数域和其上的一元和多元多项式及性质,多项式的互素,不可约的概念及判定,中国剩余定理和对称多项式的性质与计算.
二次型的矩阵表示,秩,惯性定理,标准型和规范型内积空间的定义和性质,Schmidt 正交化方法,自伴随算子,正规算子,酉算子,正交算子及其矩阵的性质.
群,环,域的概念及性质,群的陪集概念及性质,群作用的轨道概念及性质,正规子群和商群,理想和商环的概念与性质,有限域上的向量空间,商空间,多项式的概念和性质,群的 Sylow 定理,有限生成的 Abel 群的结构定理和合成群列的 Jordan-Holder 定理.
曲线的曲率,挠率,曲线论基本定理.
曲面的第一,二基本型高斯曲率平均曲率曲面论基本定理 Gauss-Bonnet公式.
整体曲面论初步,极小图的Bernstein定理球面刚性定理.
本试卷总分满分为150分.
试卷分为三个部分,"高等代数"(满分为105分)为必答部分.
"抽象代数"和"微分几何"为选答部分,两门中任选一门解答.
"抽象代数"部分满分为45分,"微分几何"部分满分为45分.