Lindeburg 条件下的CLT独立随机变量序列,  为对应分布函数,且每个变量有有限期望方差  .
记  .
Lindeburg 条件:
Lindeburg条件可推知:
由Lindeburg条件,有  依分布收敛于  .但是我们条件应该还是比这个强Lindeburg 条件下的中心极限定理证明(Lindeburg 1922):
记  ,则  .
并记  特征函数为记  ,目标就是证明  依分布趋近于标准正态,我们先证明几个引理引理1:  为模长不超过1的复数,则引理2: 标准正态函数特征函数为引理3:
引理4(Feller 条件)
引理4 的证明:对任意所以令  ,我们就可以得到Feller 条件引理5:  时,有回到原命题:证明只需要证明其特征函数,记为  趋近于我们分成两步:分别证以及步骤一:由引理1只需证  .
由引理3,令  ,两边积分有对任意对  求和,结合上面两个式子,令  ,再  即可完成步骤一步骤二:由引理1,只需要证明由引理5有,所以左式  (最后是由Feller 条件)
我们就完成了证明Lindeburg条件 Feller 条件 + CLT前面已经证明了左推右,下面只需证右推左:
由引理1,这只需证明由引理5 ,所以由事实3 和CLT 知由  ,这等价于即利用  我们可知,上面左边任意  ,由  的任意性,均有  让所以就得到了Lindeburg 条件Lyapunov 条件下的CLTLyapunov条件:
其实Lyapunov 条件比 Lindeburg 条件强,只需验证其满足Lindeburg 条件: