不久前我就在知乎上提过这个问题, 有答主给出了一个例子[1], 之后我在StackExchange上找到了进一步的结论, 下面这三种构造证明都相当复杂, 这里不再给出证明, 有兴趣的读者可以自己尝试.
命题一: 在  时是是  而不是  .[2]命题一中涉及的环与高斯类数猜想(Gauss class number problem)有关, 关于这个猜想可以在网上查找有关内容. Wikipedia上有不同于上述环的例子, 即:
命题二: 是  而不是  .[3]命题二中涉及的环具有代数几何背景(可参考刘青"代数几何与算数曲线(Algebraic Geometry and Arithmetic Curves)"第二章的练习1.3).
命题三:设  是域, 则  是  而不是  .[4]上面的双中括号"[[]]"表示形式幂级数环, 如  表示实数域上所有一元形式幂级数关于一般加法和一般乘法(即柯西形式的乘积)构成的环, 更多内容可以参考[5]. 类似于前面几篇文章可以证明域上的一元形式幂级数环是  .  是  上的二元形式幂级数环, 而  .