(a)在黑板上任意写下2007个大于1的正整数.试证:您必定可以擦掉黑板上的某一个数使得剩下的2006个数的乘积可表示为a^2-b^2其中ab为正整数. (二分)
(b)在黑板上有2007个大于1的正整数其中一个数为2006且已知这2007个数中恰好只能找到一个数使得擦去这个数后剩下的2006个数的乘积可表示为a^2-b^2其中ab为正整数. 试证:这个唯一的数是2006. (二分)
这题其实只要利用a^2-b^2=(a+b)(a-b).
其中设a+b=x a-b=y x和y必须奇偶性相同即可.
如果有两个以上的偶数.我们就能将擦去某数余下的2006数(除那两个偶数外)的积分成二组.分别去乘其他两个偶数就行了.
若只有一偶数就必须擦掉它.否则擦去一奇数所余下的2006数无论怎么分都是偶乘奇的情况.(b部分的2006就是如此所以当然要擦2006啦)
想要得到什么就必须付出相同的代价...这就是炼金术中所说的"等价交换原则".
剩下相乘为8*9*7*4=72*28=(50+22)(50-22)=50^2-22^2
因为我还是有说明可以擦某个数使题目成立.
且我也有写如果不擦2006就会形成偶乘奇的情况.