这个定义与定义 5.1.12 是一致的,参见习题 6.1.7.
回顾引理 5.1.15 可知,每一个有理数的柯西序列都是有界的.通过观察引理 5.1.15 的证明过程可知,对于实数也有同样的结论:每一个实数的柯西序列都是有界的.特别地,从命题 6.1.12 中我们得到如下推论.
推论 6.1.17 每一个收敛的实数序列都是有界的.
例 6.1.18 序列  是无界的,从而它是不收敛的.
现在我们可以证明常用的极限定律.
定理 6.1.19(极限定律) 设  和  都是收敛的实数序列,并且设 x,y 分别为实数  和 .
(a) 序列  收敛于x+y,即
(b) 序列  收敛于xy,即
(c) 对于任意的实数 c,序列