设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(XY)=tr(XT SY),其中S∈R2×2.
(1)求所有S,使得ρ是R2×2上的内积;
(2)求所有S,使得A(X)=XT是内积空间(R2×2ρ)上的正交变换.
设α1...αn和β1...βn是线性空间V的两组基,V上的线性变换A把每个αi映成βii=1...n.证明:A在α1...αn下的矩阵和在β1...βn下的矩阵相等.
设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明:存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J,其中J= 是n阶Jordan块.
设AB都是n阶复方阵,C=A+B,则det(C-AB)=det(C-BA).
设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.