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───────────────────────────────────────────────── 1. 有 2018 个算式: 1 (1000 1)− ,(1000−2)2,...,(1000−n)n,...,(1000−2018)2018. 请问在这些算式的值中总共有多少个值是负数? (A)509 (B)510 (C)1009 (D)1018 (E)1019 [参考解法] 因任意一个数的偶幂次恒非负数,正数的任意幂次恒为正数,故知(1000−n)n是 负数当且仅当底数1000−n是负数且指数 n 是奇数,即 n 为大于 1000 的奇数.故选(A). 答案:(A)
[参考解法] 观察可知 (i) 与下图中阴影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 个: (ii) 与下图中阴影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 个: (iii) 与下图中阴影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 个: (iv) 与下图中阴影三角形相同但位置不同的三角形共有 3 个: 因此图中总共有9+ + + =9 9 3 30个不在相同位置的三角形. 答案:30 个
若数码 a,b,c 都是 9,则 dcba 的末两位数为 99,此时 abcd 与 dcba 之和的末两 位数为99 90+ + =d 189+d的末两位数.因1≤ ≤d 9,故189+d 的十位数码为9, 故不合;
若a,b 不都是9,则abcd≤9899. 因此 abcd 的最大值是9959. [参考解法2] 若数码a,b 不同时为9,则abcd ≤9899;若a= =b 9,则可判断出a+ =d 18, 1 15 b+ + =c ,即d =9,c=5,因此abcd =9959.故 abcd 的最大值是9959.请问至少 要再加入多少个同样大小且仅为白色的小正方形才 能使得所得到的图形是中心对称的图案? [参考解法] 由于只有2 个黑色小正方形,且不再加入黑色小 正方形,故所得图形的对称中心必为这两个黑色 小正方形的对称中心,从而可知在原图的右方与 下方共加入6 个白色小正方形后,如右图所示, 即可成为中心对称的图案. 答案: 6 个 9. 若一个三位数可以被6 整除,且将它的十位码与个位码交换后所得到的三位 数也可以被 6 整除,我们称这样的三位数为"幸运数".请问总共有多少个 不同的"幸运数"? [参考解法] 被6 整除等价于同时可被2 与3 整除,故知"幸运数"的末两位数码均为偶数, 且三个数码之和可被3 整除.在"幸运数"的末两位数码中,每一位都可选择0, 2,4,6,8共有 5种选法.而在非零数码中,被3 除之后余数为 1的数共有 1, 4,7 这三个数,被3 除之后余数为 2 的数共有 2,5,8 这三个数,被 3 除之后 余数为 0 的数共有 3,6,9 这三个数,因此当末两位数码选定并得知它们的数 码和除以 3 的余数后,选择首位数码时都有 3 种选法使得三个数码之和可被 3 整除.作等腰直角三角形 EBD,使得∠BED= °90 且 E,C 在 BD 的两侧,如下图所示.