之前的"总结合集"放出来之后仍然继续争论,而现在我是下决心斩断讨论了!吴老师课的作业已经布置下来,其它作业可能也要临近,还是专心我现在的事务吧~
这个合集除了我和igeli,恐怕没有别的读者会有兴致读吧.不过其中涉及的一些问题却可能包含更深层的意义,可以做进一步的哲学或逻辑学的阐发,将来若有机会,我可能还能用得到.
2008年11月29日0:55
哦,碰死的最大概率不是1-a.
但可以这样弥补:
我们看4号是否可以选这4个数字之外的数!
如果4号选a代表的那个数字,他的存活概率为1-a
如果他选4个数字之外的数字,他就只有等5号和1-3号中的一个碰死,而他们碰死的最大概率不超过b
由于1-a>=b
并且由于选之外的数字还可能额外增加他的死亡率,故4号一定不会选4个数字之外的数字,只能选a.(这样一个疏忽你应该给我指出来)
还有其他错误吗?
你的论证从一开始犯了一个显而易见的错误.而且这个问题我也早就提示过多次了.
不过,哼哼哼!我忍住!我忍!我不说了!你自己琢磨去吧!如果想不到就假设我在故弄玄虚好了!我真的不想再纠缠了.
在这个地方的评论将会被删除,交流记录将在"合集"中保存.与你的交流很高兴,也欢迎以后交流其它问题,但最近决不再讨论数学问题了!
我实际上发现了你的论述和计算中非常多的漏洞:),但我真的没有耐心去写出来 - 而且我知道自己也会有许多漏洞,比如上次那个博弈计算 - 只是可惜,你竟然纠正的时候也犯了错误:),按你当时的思路,5号存活率是0%而不是1%;而且,如果按照你的另一条思路,4号应该有办法给5号让路吧,那样5号就实现理想了(我的这些想法完全没有去验证,懒得去看那些数字了)
我现在忽然有了一个想法,似乎可以证明5号并不存在你说的舍命策略,需要有以下2个共识:
1)如果5号执行所谓的舍命策略,最终结果仍然不能让他获得更高的存活率,那么,他的所谓舍命策略就不成立,而应该放弃.
现在,我们看1-4号怎样选,好像非常简单,1号一定100%选d他存活机会最大=1-d
3号100%选b存活机会1-d
4号100%选a存活机会1-a
1-4号都不会选这4个数字之外的数,因为那样的存活机会只有一个,就是等待5号和某个人撞死,而撞死的最大机率也就是1-a不仅如此,选了之外的数字,反而有可能增加自己的死亡率,所以,上面的结果是必然的.
a=1怎么办呢?
a=1时,第4个人似乎没有理由一定选a代表的那个数,他现在的情形和第5人最原始的情形一样,于是,他也要同第5人一样,开始舍命策略了 - 是要无限循环吗?当然不会,事件发生是有时序的,1号必须先选,他现在要选的4个数都被舍命者占据了,但是1号仍然不会去选这4个数之外的数字,那样当然就是自杀,于是,他首先执行了自己的舍命计划.可以推断,之后,5号的命没法保全.
如果5号在自己的舍命方案中仍然得不到好处,根据1),我们认为它的舍命方案是不成立的.
以上只是忽然的想法,我没有仔细想,他们是不是一定要纠缠着15,16,17,18这4个数字,难道不能是别的什么数字吗?这个时候似乎和他们原始的那个概率没有关系了阿.
你的看法呢?能不能让这个论述更严密些呢?
如果把原题微调一下,把总共100颗豆子变为101颗.按你原先的思路,4号的存活率就变为17/35,小于50%.而如果5号的逼迫策略成功,4号的存活率仍为50%.那样的话4号就有充分的理由配合5号的策略了吧!而你原先的思路中恐怕料想不到100和101竟有如此差别吧!
我试图说明的是5号有可能存在某种逼迫策略.如果你不能一劳永逸地证明一切逼迫策略都不可能,那么你的论证就是不严密的.
哦,101颗的情况仍旧有在一次性博弈中前三人取完时成为既定事实后的策略是否可能贯彻的问题.算我没说吧~~
(不过101颗的情况下,如果是无限次反复赌博,那么第4人将配合第5人的策略就不成问题了.)
我自始自终承认我的方案有很多暧昧之处,但问题是你的批评没有抓住重点.
我的方案的暧昧之处关键还是在一开始我就提过了的一个问题:5号能否"拒绝摸清剩余绿豆数"作为自己的最佳策略的一部分.看来你对此并没有足够重视,所以没有理解我刚才的说法.我刚才说的"所以5号没有理由改变原先的策略",指的是5号根本没有理由去摸清剩余绿豆数,因为在可能留给5号的任何一个既定的事实下,摸清剩余豆数也不会增加自己的存活率.所以从我提出这个"可笑的方案"的一开始,我所提议的5号的最佳策略就一直是"不管三七二十一,就选16或17",千万不要忘了这一点.
而如果原问题不是一次性的处决事件,而是无限多次的赌博游戏,似乎可以消除这种不稳定.因为可以有充足的理由支持5号即便在知道自己必败的情况下也坚持选择16或17,因为他的坚持将影响前两人在之后无限轮赌博中的考虑.但现在这里的问题是赌博只有一次,当前几人的选择成为既定事实后,5号为啥不能瞧一眼呢?这才是我的提案最大的困难所在,这个困难也是我在一开始就明确了的.
我的方案确实有点可笑,不过这样说来为了这个可笑方案争论不休的你才更可笑了.我并没有特别认真地提出这个方案,只不过是通过展示这个方案,以说明这道题目并不那么简单 -  - 即便这个方案不成立,你怎么能证明不存在别的成立的方案呢?你没有证明,你的方案就是不严密的.我只是希望你承认你的方案是不严密的.至于说我的方案,我从一开始就承认它是不严密的了.
首先你提出一个5号要选16,17的舍命方案,让1,2号给他让步;然后又提出要求4号为他考虑一下,给自己留条生路的方案 - 这两个方案真的是太可笑了,能提出这样方案的人,真的是神志不清了:)
别生气啊!
我看你才神志不清了 - 本来不想写得这样详细,觉得你一下就能懂:
由于5号清楚地知道4号的策略,所以,当摸出剩余31颗豆子时,他知道一定是两种情况中的一种发生了:或者是15,18,17,19;或者是15,18,16,20.如果是前者,他只有选中16才能生存,如果是后者,他选择17,19都能生存,他不知道发生了那种情况,于是就在可能使自己生存的16,17,19中选一个,这3个数字没有哪个比另一个优越,也没有哪一个比另一个更差,所以你没有理由让他必须选哪个,必须不选哪个,因为每一个提供给5号的存活率都是一样的.
但对4号就不一样了,他的存活率已经下降了,所以他一定不会这样选!
对了,你说5号不会改变自己的策略 - 5号的策略当然是根据前4人的情况确定的,至少,第4个人一定要这样想,他会拿自己的生命开玩笑吗,你有什么理由能说服第4个人可以放心地去冒险呢?甚至还可以问:你有什么理由在4号得不到任何好处的情况下配合你呢?
我都说了几遍了!作为5号,即便他摸了剩余绿豆总数,他也没有办法判断之前人选的酒精是15,18,16,20的情况,还是15,18,17,19的情况!因为这两种情况的总和是相等的.而在前两人选择15,18的情况下,3号选择16或17是等价的,只有4号能实际地摸出3号的选择,但5号却揣测不出,而4号与5号在中途不能交流,所以5号不能确信19究竟有没有空出来!在5号看来19空出来的概率也只有一半,和16或17空出来的概率一样,所以5号没有理由改变原先的策略.4号知道5号没有理由改变策略,所以他知道选20的话存活率仍是50%.
好了,不要再争了.反正我也没有想证明我的答案就是对的,你想证明的话自己慢慢琢磨吧~~
关键就是4号留下空挡后就让自己的死亡率上升,他绝不会冒这个风险.
啊?4号怎么会这样选?他这样的存活率就会下降到了33%,他怎么肯?他肯定要选3号没选的那个16(或17),肯定获得50%的活命率更好!
比如出现15,18,16,20的情况时,5号知道自己选16会死,但选17,19都能活,他当然不会放弃选19的可能,这样就算没增加自己的总存活率,但4号存活率就下降了,4号当然不干!
说明白了吗?
我当然考虑过了,而且我在之前的表述中已经提到过了,你不要让我总是重复了好吧?我也反复提到第4人的处境非常微妙.
当3号选16时,4号选14或20;3号选17时,4号选13或19.这样即便5号摸清剩余豆数,也无法确定究竟前面是16-14还是17-13的情况.所以他选择14的话仍是50%的存活率.同样是50%的存活率,4号为什么非要选17而不是14或20?因此我们还是认为4号有不选17的可能.当然,我也提到过,4号如果死盯着16,17选,就能够使5号的策略失败.然而使5号的策略失败有什么好处?5号迫使1号的策略失败的好处是大大提升存活率.但4号无论在哪种情形下都是50%存活率,他有什么理由专和5号过不去?
对了,我原来对你的计算根本没有去考虑验证,现在回过头来看,你对5号各50%选16,17的方案有巨大漏洞:
4号必选16,17中剩下的那个,有50%的机会.[4号不会像你说的,会选这4个数字之外的数字 - 他如果选14,19,5号可以算出3号选了哪个;如果选19以上,14以下,5号只要选19或14就100%活了(他终于不需要闭着眼睛选了!),而4号都要100%死]
由于5号以50%选16,17,所以他的存活率为0%
我不想更细致地研究问题,我只是想告诉你这道题目并不简单,你说问题已经如此清晰之类的话我不能同意,问题并不像你说的那么清晰简单.我想说的只是这个.
 -  - 如果你同意这一点,讨论就此结束~
至少有两种情况都会让这种说法找不到支持:
1)通往5号的所有所谓最佳策略的路径都不是唯一的,我没有想到好的办法证明这一点,但你并没能证明哪怕是一种相反的情况.
2)更为可怕的是,如果真的存在这种唯一路径,仍然不能确定不会出现无限循环的情况,比如5号采取某种策略要挟4号让步,4号又要挟3号.最后,1号仍然要选择最初的方案,反过来要挟5号.
我哪知道!所以我并没有断言说16和17恰好就是最佳策略.但关键是它有可能更大,有可能更小,但并不会处处均等毫无差别,所以第五人的最佳策略是存在的.
因为每一种情形下第五人都有一个存活率,而存活率在0和100%之间.现在我们知道至少有一种情形(比如坚定不移地只抓1颗)下5号存活率为0,也至少有一种情形(比如以各半的几率选择16或17)下5号的存活率不为0(假定为x吧).那么其余的无数种策略中,要么全都介于0到x之间,要么有某些高于x.无论如何,假定最高为y.y在x到100%之间.不会是开区间,因为如果最大值不存在而是有一个极限的话,那么就定这个极限为最大值好了.
如果达到y或趋近y的策略有不止一条,那么就要把这好几条都去掉.因为在最优策略等价的情况下,由于前人无法判断究竟5号会选哪一条.接着考虑去掉y后剩余的最大值y2,如果y2还是重复,就再看次大的y3等等.最后如果有一个yn恰好只对应于一条唯一的策略(比如各半的几率选择16或17),那么这条策略就是5号的最佳策略.
在考虑5号选择A策略时的存活率时,我们就把5号放在一边考虑剩下四个人的博弈,假定这四个人都了解5号的策略,然后看这四个人如何博弈,当这四个人的博弈达到平衡时,5号的存活率就是对应于A策略的值.
计算A情形下前四人的博弈,也可以再从4号着手考虑,分别以在四号可能采取的所有策略为前提计算四号的生存率,与上述相似.
最后能够得出"5号采取p1策略,4号q1策略,3号r1策略,2号s1策略"的情形下,1号的最佳策略,这就一目了然了.假定在"p1q1r1s1"情形下1号的最佳策略是t1,此时2号的存活率是Xs1.而在"p1q1r1"情形下,令2号的所有策略为集合S,其中每一条策略s对应一个Xsi,而在所有Xt中除去对应于多个s的值外,若最大的那个Xs2对应的策略是s2,那么s2就是2号在"p1q1r1"情形下的最佳策略.然后假定1号在此时的最佳策略是t2.那么我们就计算"p1q1r1s2t2"情况下3号的存活率,而这个存活率就是3号在"p1q1r1"情形下的存活率,令其为Xr1.而在3号的全部策略Xri中找到一个对应着最大Xr2的策略r2,那么这个策略就是3号在"p1q1"情形下的最佳策略.假定在"p1q1r2"情形下2号和1号的最佳策略分别是s3和t3,那么计算"p1q1r2s3t3"情形下4号的存活率,这个存活率就是4号在"p1q1"情形下的存活率,令其为Xq1.找出在全部Xqi中对应一个qi的最大值Xq2,对应策略q2,那么q2就是4号在"p1"情形下的最佳策略......最后再套一次,就找出5号在全部情形中的最佳策略了!
igeli
那这时的结果会比他选16,17小吗?
对啊,问题是4号舍命时,5号能得到的生存率是多少呢?如果说因逼迫4号舍命而使5号得到更高的生存率,那么5号就会逼迫,但问题是如果即便逼迫4号舍命,5号也捞不到好处,那么5号就不会选择100%选18这个策略.
各方的策略最终会趋向稳定.就像赌博类博弈问题那样.
也许你没有明白我的意思 - 每个人的存活几率是随着策略不同而变化的,比如当5号100%选择18这个方案时,对4号来说,他已经没有你说的已经拥有50%的那样的存活率了...也许,1%的存活率就足以让他舍命了.
所以说我希望你冷静想一想再说,不要让我不断重复已经说过的事情.3号,4号当然可能有舍命方案,但是他现在的存活率就有50%了,任何舍命方案可以使他的存活率略微提高吗?不行的话就不会考虑.对于前四人来说,他们的存活率基本都不小于50%,而任何舍命方案换来的存活率基本都不大于50%,因此他们不会考虑.只有第5个人有理由考虑舍命方案.而且现在在他的方案,前几个人的存活率也都在50%以上,那么前几个人还有什么可选呢?之所以说5号不得不选取舍命方案,是因为如果他不选,存活率为0,选了则能提高,因此他才会选,其他人没有进一步提高的余地,因此就不会再变,博弈达到"平衡"就是这个意思.
博弈达到平衡意味着:每个人的策略都是最优的,也就是说,如果我的策略做任何调整,别人可以做出相应的某个调整使得他的胜率有所提高而我的胜率也不会提高.这样的话我就不会做出任何调整,策略达到稳定.
而未达到平衡的博弈意味着:有某些人可以对他的策略做出某些调整,导致别人如果要尽量保住自己的胜率的话,就没办法采取任何改进策略,使得我的胜率不提高.也就是说,只要其他人首先为了自己的胜率考虑,即便他们知道我的新策略,也拦不住我用这个策略为自己提高胜率.
我刚才举的那个计算例子是错误的,但不代表那个想法是错误的,我可以举出能印证这个想法的正确例子 - 我要说的是,按照你的5号闭着眼睛都要选那个方案,迫使别人让步的逻辑,5号可以有既不纠缠16,17号,又能比你说的有更大存活率的方案,这样你的论断就是错误的了.
你的判断是5号有最佳方案,而我认为没有.否则就可以推出4号也有舍命方案,3号,2号,1号都有,形成无限循环了.
看起来貌似100%选16的话就会几乎不死(这时候4号扮演随机数发生器的角色了),然而问题是100%选17的话也完全等价!这个时候才出现你所说的,前几个人无法判断5号的策略时,就只能认定他以平均的几率采取其中的选项了.
或者更有趣的是,让他100%选18,问题会不会变成该4号要挟前面的人了呢?
我从来没有试图找到这道题的最终答案,也没有试图证明它存在,我只是说它很可能存在,我相信它存在,甚至我倾向于相信恰好就是16或17.但我并没有想要给予证明.这道题目本身出得就多有暧昧不明之处,我本来想强调的也就是这一点.
对了,如果修改一下5号的方案,让他100%选16,你说该怎么办?
对,这是我计算的一个巨大错误.但是,你得证明5号有最佳方案而且唯一,你怎样证明呢?
事实上尽管五个人在抓豆上有先后次序,但是博弈是同时进行的,在题目给出时,每个人的最佳策略就同时确定下来.
由于第五人的选择最终决定谁死谁活的结果,所以对第五个人的选择概率的考察当然是解题的突破口.33/34的推理也是如此,只不过那个推理没有考虑第五人的策略,而是径直把第五人当作一个随机数生成器.
恰当的推理思路应该先从第五人着手思考.在什么情况下第五人可能存活?当然,只有两种,一是前四人的选择有空隙可钻;而是前四人中有两人重复.那么要想求生,只有努力让自己选择的策略促成这两种情况的发生了.
// -  - 第五人当然能够促成前面的人达成某种选择,正如前面的人所选择的策略也将促成后面的人达成某种选择.因为,再重申一遍:博弈本身是没有先后的,每个人的策略都在同时确定下了并同时影响别人.比如在33/34的推理中,为什么第五个人会被迫随便选择?按照那个推理的思路,他也并不是受到他到手的是34颗绿豆这一结果影响而被迫放弃希望的,而是前面几个人的最佳策略让他失去了希望,也就是说,第五个人不是等到前四人都选择完毕后才失去希望,而是在一开始就确定了结局 -  - 五个人参与者之间的影响是共时的,没有时间次序.因此,当然,正如前四人的策略将影响第五个人的选择,第五个人的策略也同时影响前四人的选择.而对某个人而言所谓的最佳策略,就是通过对其他四人的影响,最大限度地争取自己的存活率.
因此,我再再重申一遍:最佳策略的选择本身是没有先后次序的,五个人的最佳策略是同时确定的.而先推理出谁的策略,后推理出谁的策略,这只是推理中的先后次序,并不是必然的次序.
而我的推理是真正从第五人着手推理.如果你的脑子还是转不过来的话,不妨让我们先略为修改一下题目:
还是5个人抓100颗绿豆.不过现在第二个人不能了解第一个人抓取多少颗绿豆,后几个人也只能了解到从第二个人开始一共抓走了多少颗绿豆,除非他要抓的绿豆超过了剩余的总数,这样的话就从第一个人已抓走的绿豆拿回来补.那么先抓的第一个人的最佳策略是什么?存活率是多少?
事实上,这个改动过的题目中的第一个人的地位与原题中放弃了解剩余绿豆个数的第五个人的地位是完全一样的.
而为什么这里的第一个人要集中选择16或17,道理也与原先的第一个人的考虑类似 -  - 因为只有16或17处于某种"中间"地位,也就是说,只有以极大的概率选取16和17,才能迫使后面的人不得不占据15和18,也就是说,先手者只有尽量占据16或17,才能保证自己有最大的概率不至于成为最大的或最小的.
而之前的第五人或现在的第一人将无法期待其他人撞车而保送自己,因此只有尽量争取中间位置才能获得更高的生存率.比如他的最佳策略显然不会是在2或3之间选一个,如果那样的话,无论他的策略对后人的影响如何,后人也不会傻到去选择1;类似,他也不会是一口气选33个,因为无论他的策略对后人的影响如何,也不会再有人去选34.只有选择16或17这一策略非但可以对他人产生影响,而且还能迫使别人分别选走更大和更小的把自己夹在中间.
而由于16和17在中间位置的意义上是等价的,所以现在的第二个人无从揣测第一个人究竟是选择16还是17,他就只能选择15或18.而15和18尽管相比16和17而言,有较大的几率成为最大或最小的,然而他却可以期待因其他人撞车而获得保送.因此两项权衡,选18或15的存活率仍要高于50%,因此现在的第二和第三人都不会冒着50%与第一人撞车的危险而选择16或17,而是会选择18或15,这样的话既有可能被夹在中间而存活,又有可能因别人撞车而保送,又没有可能与别人撞车,所以对现在的第二和第三人而言,18或15才是最佳选择.
问题到了后两人,第四个人(原题的第三个人)可以选择19或14,这样的话他将注定成为最大的或最小的,他将只能期待最后一个人与第一个人撞车而保送自己.最后一个人(原题的第四人)没有别的活路,只有选16或17碰运气,这样他有50%存活率.这样的话前一个人也是50%的存活率.前一个人也可以不选19或14而是选16或17,那么只要他不撞车就一定是处于中间,存活率仍是50%,此时最后一个人无论是选择17或16(他能了解前一个人的选择,因此他将避免和前一个人撞车,但仍会有50%几率与第一人撞车)还是选择14以下或19以上期待前人撞车,都是50%的存活率,所以他没有理由盯着16或17选,所以选择16或17的第一个人总有一定的存活率.
当然这里比较微妙的问题是最后一个人(原题的第四人),如果他说我横竖都是50%存活率,我就盯着17或16选,导致第一个人(原题第五个人)的存活率变为零,从而迫使第一个人(原题第五个人)放弃这一策略,可能吗?当然,有可能!然而他的处境却和原先的那个最后一个人的处境完全不同,原先那个第五人一旦采取逼迫策略,将获得更高的存活率,而原先几乎是0,所以他是有理由这么做的.然而现在的第五个人即便采取舍身逼迫的手段吓阻第一个人,或者也放弃摸清情况的权利,都不能让自己的存活率比50%更高.所以他没有理由那样做.
由于第五个人(原题第四个人)的微妙,所以最终的答案还比较可疑,不过大致思路就是这样了.
你错了,你博弈问题的解法根本没搞清楚!
如果"5号的策略是:以99%的概率选择16,1%的概率选择18",那么"2号的最佳策略是以99%的概率选18,1%的概率选16"绝对是错误的.试想2号的以100%的概率选择18的话,碰死的概率只有1%,比你所算出的1.98%就要低得多!事实上2号的最佳策略是以100%的概率选择15,这样他100%存活!然后3号的最佳策略是以100%的概率选18,99%存活!最后4号除非选16,选其它的都必死,所以4号必定选16,存活率1%.而5号99%要和4号撞死,存活率仅仅1%!
我关闭评论是暂时的,意图是希望你冷静下来多想一会再说,另外我是懒得多说了.
事实上,4号也许不该选16,18 - -因为如果2号,5号碰死了,他选这两个数中的一个,就有一半可能和他们一起死,不如选这4个数之外的数字,肯定得到2人碰死时的好处.这样,5号活命概率还要大些,但这些已经无关紧要了.
为什么只有你一个人可以讲话?快打开评论,我们只是在讨论问题,虽然激烈一点,但不是很有趣吗?:)
借这里先发表一下观点,你不要再关闭这里啊:)
按你的逻辑,可以设想出5号有无数更加优越的"策略",而不必在16,17中选择,却能使自己存活率远大于50%,且能逼迫前4人不得不做出让步,比如(随便举个例子):
5号的策略是:以99%的概率选择16,1%的概率选择18,(假设他根本不考虑还有几颗,闭着眼睛都要这样选),这样:
1号的最佳策略是选17
2号的最佳策略是以99%的概率选18,1%的概率选16
3号的策略:为简化计算,假设他100%选15(他可以分很小的比例给其他数字,那样不影响整个结论,只是使计算更加复杂化.)
4号,他不会选17,也不选会15,因为那样必死;选择其他数字活命的可能性虽然小,但毕竟还有可能活.但他无论把选择放在18还是16上,或者把选择放在这4个数字之外,他唯一存活的希望是2号和5号碰死.
2号和5号碰死的概率是多大呢?
同时选16的概率是99%*1%=0.99%
1.假设4号选了18以上的数字,此时,5号只在与2号碰死时倒霉,概率小于2%
2.假设4号选了14以下的数字,5号选18时的死亡概率又增加了,但不超过1%
这样5号总的死亡概率不超过2%+1%+3%=6%
存活概率94%强.
请问,你的那个闭着眼睛都要选16,17的结论还可能存在吗?
你才太犟呢,你怎么就不肯多想一层呢?我已经说过,16和17不是随便的两个数字,第5人只能靠选16或17威胁第一第二人.事实上第五人的威胁只有针对前两人才管用,第五人如果减少选16或17的概率,增加选15或18的概率,就将不会给第一第二人造成逼迫.如果第5人各以30%的概率选择16,17,各以20%的概率选择18或15,那么他就威胁不到第一第二人,因为尽管第一人选16或17将只有80%的存活率,但选15或18的话存活率更低,所以不会受到逼迫而改选.而如果第5人不逼迫前两人,他就没有别的办法.事实上第三,第四人是不会受第五个人逼迫的.因为他们就算知道自己被第五人盯上,他们的存活率也仍旧至少是50%,而如果他们改变策略,存活率反而不如50%,所以第五人不可能通过威胁第三第四人的方式迫使他们让道.关键在于只有第一第二人优势比较大,他们有机会获得远远高于50%的存活率,因此威胁才是有效的.第三第四人的存活率本来就在50%左右,再怎么威胁,由于对称性,威胁的死亡率也一般不回超过50%,所以第三第四人不是威胁的对象.因此第五人的唯一手段就是舍身攻击的威胁,而这一手段唯一可能奏效的对象就是前两人,而这一手段对前两人产生影响的唯一方式是以极大的概率选择16或17 -  - 而如果选择1或2等对前两人没有任何威胁.所以聪明的第一个人当然能够知道威胁16和17是第五个人必然采取的唯一手段.你明白了没有?没明白就算了,我也不再说了.
暂时关闭评论.
更正:"如果第5人各以30%的概率选择16,17,各以20%的概率选择18或15,那么他就威胁不到第一第二人,因为尽管第一人选16或17将只有80%的存活率,但选15或18的话存活率更低,所以不会受到逼迫而改选."
应为"如果第5人各以20%的概率选择16,17,各以30%的概率选择18或15,那么他就威胁不到第一第二人,因为尽管第一人选16或17将只有80%的存活率,但选15或18的话存活率更低(70%),所以不会受到逼迫而改选."
而此时第一第二人不会改选而是仍旧选16,17,但第三第四人也不会改选,因为他们照旧选15或18的存活率反而提高到70%,正好高兴,绝不可能给第五人让道.
所以第五个人有可能威胁到前两个人的策略决不是无限的,事实上是非常少的.必须以极大的概率选择16或17才有威胁,这个概率只要少于某个值,就不会具有威胁.
所以第五人的策略首先是必须使16或17的概率足够大以至于威胁到前两个人的选择,其次再考虑如何可能让自己活得最大的存活率.这个增加存活率的考虑将进一步筛选出最优的策略.比如说各以50%的概率选择16或17的话能够使自己获得x%的存活率(由于第四个人的微妙,似乎达不到50%).而如果各以49%的概率选择16或17,以2%的概率选择1,尽管仍足以威胁到前两人,但第五人得到的存活率将决不会比x大,因为额外的选1的可能性对局势没有影响,只是单纯的自杀而已.
所以根据最终给第五人带来的存活率的高低,我们可以在第五人所有可以威胁到前两人的策略中排个序.其中必有某个策略将带来的存活率是最大的.那么这一条策略就是第五人的最佳策略.这条策略是唯一确定的,任何聪明人都可以算得出来,所以不需要第五人声明,其他聪明人就能够知道第五人必然采取的最佳策略.
问题已经如此清晰,你还没有意识到吗?
比如按照你的想法,我们可以给5号设定无数最佳策略,它们的结果(按你的推理)都会让5号得到50%的生存机会,例如:5号可以有最佳策略2:分别以50%的概率选15,16,或者最佳策略3,分别以85%,15%的概率选18,15...等等,你凭什么说他一定死抱着16,17而迫1,2号让路呢?
至于你多次提到博弈原理,逻辑学计算,想必你对这方面很有研究,但现在你哪怕把整个教科书都搬过来,也救不了5号的命,因为真理是越辩越明的:)
对不起,说话冲了点,觉得你太犟:)
A:前两人将分别选16,17颗,前四人将选走15,16,17,18颗.
B:第五人放弃任何特定策略,在剩余豆子中随便乱选一个数目.
但这两个结论是怎么论证出来的呢?事实上,对A的论证中需要以B的必然性为前提,事实上A的推理过程包含着形如:"B是必然的;前四人是聪明的;所以前四人知道B;所以前四人将在B的情况下计算自己相应选择的生存率;所以前四人必将做出如此这般的权衡;所以A".
而另一方面,B又是怎么来的呢?事实上B又以A的必然性为前提,它的推理过程形如:"A是必然的;第五人是聪明的;所以第五人知道A;所以第五人将知道自己必死;所以B".
但这一循环的论证并不能真正证明A或B的必然性.顶多只是说明它们不矛盾.事实上,"非A且非B"也并不导出矛盾.
如果学过模态逻辑,用模态逻辑的语言来表达一下,或许就更清楚了:Igeli证明的是"A→B"(如果必然A则B)和"B→A"(如果必然B则A).但我证明了,"◇~A→~B/或写作~A→~B"(可能非A则非B);"~B→~A"(必然非B则非A)和"~B→~A"(并非必然B则并非必然A,换言之可能并非B则可能并非A)
而对于第五人来说,他有选择的能力,他可以选择B这种行为方式,也可以选择~B的行为方式.他可以选择总是B,亦即B,但也可以在任何情况下(他可以通过拒绝摸清剩余的豆子,而拒绝对情况的充分把握)都拒绝B,亦即~B.
而条件说第五人是绝顶聪明的人,所以他一定会选择最佳策略.
而对于他来说,只要他选择~B,乃至~B,就可以获得生存的可能.而如果他选择B,则必死.所以聪明的他一定不会使B成立.如此一来A也不再成立.
这道问题的形式化还需要附加一些模态词,比如以"1,2,3,4,5"分别表示"第一个人知道......","第二个人知道......"而"聪明人"的精确定义可以是:"p→1p" -  - 亦即聪明人能够知道一切必然的事情.但这里的必然性指逻辑上的必然性,而不是事实上的必然性,也就是说即便当第五人进行选择时事实上他已经必死,他仍可以选择不知道这件事,如果他事实上的必死境况并非逻辑上的必然的话.
总而言之我至少能够证明Igeli的证明是错误的,这一点在逻辑上是清楚的.当然,我猜想出题人的本意并不想搞成这样复杂,但这是另一回事.
你没有理解博弈问题的原理.反正现在我作为第五人,选取的策略就是抽16或17个,你作为第一个人,策略也是选取16或17个.好了,现在我的策略是达到平衡了,因为无论我即便调整策略也不能获得一丝生机,所以我的策略就稳定在16或17上.但此时对于你来说并没有达到稳定点,你仍有更佳的选择,所以博弈还要继续进行,你稍微调整策略增加一点选15或18的概率,将导致你的胜率提升一点,所以你会继续调整策略.
当然,我已经把该说的都说了.还不理解的话恐怕是因为你对博弈论的概念不够清楚.当然我也没太多的了解,不过我觉得这个问题并不需要过于深入的博弈论知识就能理解.
如果你仍有疑问,可以向某个权威机构去咨询.
当然,博弈论的一些假设,以及这类题目中"绝顶聪明"之类的概念,都是可以质疑的.如果你有针对性地对这些概念提出质疑,我还愿意再多看看,不然的话这个讨论就到此为止吧.
也不要再和我讨论别的数学问题了,至少最近我不想再折腾了.
对了,你不妨再好好想想那个"司令,工兵"对"炸弹,排长"的博弈.其它规则不变,我们改变一条规则:那就是如果排长碰上工兵只有一半的几率杀死对方,一半的机会则仍被工兵杀死.如果两个人都是聪明人也都知道对方是聪明人,会发生什么结果?采取什么策略?
以下的推理哪里错了:
乙出炸弹必死,所以聪明的乙不会出炸弹.乙必然出排长.
所以甲出司令必活,出工兵的话有死的风险.聪明的甲当然必出司令.
乙知道甲绝顶聪明,所以乙知道甲必然出司令.
所以乙知道即便自己出排长也是必死.
在明知两个选项都必死的情况下,乙没有理由偏向哪一个.所以乙将以各半的几率出炸弹或排长.(这里已经出现矛盾了)
结果甲将有一半的几率被炸死.
但聪明的甲知道乙只能以各半的几率出炸弹或排长.
所以甲知道如果出工兵,将有3/4的存活率.
聪明的乙了解聪明的甲的选择,所以乙必出排长.
哪里出问题了?关键是"当明知两个选择都必死时,就将以均等的几率随便选一个"这一假设是可疑的.关键在于,何谓"明知必死"?特别是,如果说这一必死的境况本身就与他在必死情况下将做出的选择有关,那么怎么就在没有决定自己在必死情况下将做出的选择之前就能够明确知道自己必死呢?特别是,如果规则允许蒙着眼睛,不充分了解可以了解得情报的情况下就做选择的话.那么当你还没有做出选择之前,你怎么就能够明知自己必死呢?
你不能额外诉诸一个旁观者来看待这个问题,对旁观者而言,当第五人开始选择时,前四人的选择当然已经成为既定事实.然而关键在于,第五个人"可以""不知道".第五个人有权决定在不知道充足的情报时就做出选择.而问题是,你认定第一个人必选16或17时所用的推理中,是用到了第五个人只能随便乱选这一假设的.但这一假设并不成立,第五个人有充足的理由并不随便乱选,所以第一个人必定选16或17的推理是不成立的.
那个"司令,工兵"对"炸弹,排长"中的一个悖论还是挺有意思的 -  - 在原题中再改动一下,比如乙手中有两张炸弹一张排长.如果乙是一个无可救药的白痴,他根本分不清炸弹和排长的意思,只会随便丢一张牌出来,也就是说2/3炸弹和1/3排长.而甲知道乙是个白痴,知道乙会乱丢一气,那么甲就将100%地选择工兵以确保最高的存活率即2/3(如果选司令就只有1/3存活率了).于是白痴乙也获得了1/3的存活率.但是,如果乙不是白痴而是绝顶聪明的人,他将了解到出炸弹的话无论如何都是自杀,于是他决不会出炸弹.而甲若知道乙是个聪明人,他就知道乙必定只会出排长(注意,这是可疑的),于是甲就肯定出司令,结果比起1/3存活的白痴乙,聪明的乙反而必死无疑.这就是聪明反被聪明误吗?但聪明人为了求生有没有权放弃自己的知识呢?为什么白痴能做到的事,绝顶聪明的人反而做不到?
我认为你的最大问题是虚拟了5号会有一个最佳策略,但前4人却看出,在既定事实的情况下,5号是没有最佳策略的,用你的话说:"对手即便知道其策略,也将无可奈何,因为即便知道了对手的策略他也无法调整新的策略以提高胜率,此时博弈达到了平衡状态."
我觉得这个问题没有必要再讨论了,因为一切逻辑都已经非常清晰,平衡点也已经解出了,在这个平衡点下,任何参与者都不可能再改进自己的胜率.你如果对这个结论有疑问,可以向某个权威机构去咨询,我觉得这个问题还没有复杂到常人不能理解的程度.
一道博弈问题如果有解,那么每人的策略都恰恰是最优的,并且其对手即便知道其策略,也将无可奈何,因为即便知道了对手的策略他也无法调整新的策略以提高胜率,此时博弈达到了平衡状态.
比如说猜拳游戏的最佳策略是什么?就是各以1/3的概率出石头,剪子或布,平衡时胜率是50%.这一平衡位置可以理解为在无限次重复的赌博中达到的平衡.比如说你一开始采取的策略是100%出石头,那么经过许多回合后,我发现了你的策略,然后我按照你的出招概率重新调整策略,我就会越来越增加出布的概率.但再经过许多回合后,当你发现我越来越增加出布的概率时,你又会越来越增加出剪刀的概率......如此双方的策略不断调整,但这个调整却不是无序的,而是有方向的.你会发现双方为了提高胜率考虑而调整策略时,总是越来越接近于最佳策略,即1/3,1/3,1/3.最终当双方的策略都趋近于调整至1/3,1/3,1/3时,博弈就趋于平衡,双方即便看出对方的策略,也无可奈何 -  - 即便我知道你的策略是1/3,我也找不到更好的策略.当然,如果我知道你的策略是1/3,那么我重新回到100%石头的策略也能获得同样的胜率咯?那么怎么叫平衡呢?但没办法,博弈问题的平衡就是这个意思,这个就是最佳策略,你说达到平衡时再变回去,是胡搅蛮缠了.
抓绿豆的博弈如果也按照一般博弈问题来理解,问题也就是这个策略的最终平衡在哪里?是否存在这一平衡点.现在第五个人就是采取16或17这一策略,你第一个人怎么办?第一个人肯定会朝着更高胜率的策略调整,而后面的几个人知道第一个人调整后的新策略后则又为了更高的胜率而调整自己的策略,后几个人调整策略后第一个人如果还有提高胜率的余地就还会调整策略......总之,最后如果有解,将会是一个平衡,此时每个人都知道别人的策略也无济于事,不可能再据以改进自己的策略了,这就是博弈问题的解.而在这里,即便说16或17并不是第五人的最终的平衡的策略,但如果它是博弈的中间状态,那么显然他的策略没有理由趋近于随便乱选这一策略.
对啊,他没有办法提前宣称自己100%选16号.因为前人预测不出他的这一策略,因为似乎16与17具有某种对称性(当然我没有详细论证对称的是16和17,或许是15和16,不管,但很有可能是16和17),也就是说"如果前人知道第五人必定选16时"第五人的存活率,与"如果前人知道第五人必定选17时"第五人的存活率是相同的.那么前人就揣测不出第五人究竟是选16还是17.不过第五人选16号和他选1个的效果显然是不一样的,它们是不对称的,所以聪明的第五人有理由以更多的概率放在16和17上.
在博弈问题中,一方的最佳策略之所以必须以某种概率的方式给出,是因为在相关情势下必须要增加自己的招法不确定性而增加自己的胜率.而如果增加一个选项的可能性将不会提高自己的胜率,那么这个选项就不会被考虑.也就是说,比如,拿1颗豆,2颗豆之类的选项是不会被第五人考虑的,因为即便增加这一选择的可能性,也不会给对手造成任何扰乱,从而也不会增加自己的胜率.然而16和17的选项却能够最大限度地扰乱对手,从而为自己增加胜率,因此第五人一定会偏重于选择16或17.这一策略是第一个人足以预见的.
你对博弈问题缺乏了解吗?博弈问题可以转换为赌博问题.比如在这里抓绿豆的后果不是一次性地失去生命,而是负者输钱,游戏反复多次进行.那么如果让你做第一个人,而我做第五个人,你会采取怎样的策略?如果说你固执地坚持总是选16或17,那么你100次游戏中只能胜50次左右,而如果你愿意换一种方案,你的胜率将大大提高到75%,所以这就是你的最佳方案.如果你明知有75%这一更好的策略而固执地不采取,你怎么算聪明人呢?而我能够在貌似必输的绝境下获得一定的胜率,难道说这不是聪明人?你是说绝顶聪明人的胜率将不如一个只会抓16或17颗的傻帽吗?那么你关于"聪明"的定义究竟是什么?
当然,这句话"如果他有机会活,摸清了也是50%,不摸清也是50%",我也没去想是否为真.:)
这个显然牵强 - 5号为什么选择16,17呢,当然就是他已经盘算过了,这和最后摸不摸清楚剩下多少已没差别也没有关系了,这也意味着,5号早就知道自己的命运了.如果他能够提前威胁其他人,比如宣称自己100%要选16号,他也许就会有很大的存活期望,可惜,他没法做到这一点.
哈哈,你漏看一个条件!
条件说每个人可以摸出剩余的绿豆数,但没有说每个人"必须"摸出剩余得绿豆数.
第五个人的策略是只要有足够的绿豆,就摸出16或17颗,而不再去管剩余多少绿豆.这样的做法才是最理性的.
第五个人有足够的理由支持他必须不去摸清剩余的豆数,并且有足够的理由支持他选择某些特定的数目.这才是最理性和最佳的策略.
就像那个司令,工兵对抗炸弹,排长的博弈.如果说条件规定乙必须看过牌之后才选择出牌,那么他无论如何不会选择炸弹这一自杀行为,所以乙只能出排长,于是甲总是出司令就好了,乙难逃一死.但是如果条件允许乙在不看牌的情况下瞎摸一张牌,而甲又知道乙可以这么做,那么最后博弈的结果就是乙有1/4的存活率.
在那个题目中由于条件含混不清,所以答案也说不清楚.但是在抓绿豆问题中的条件却是清楚的 -  - 我就是可以闭着眼睛摸!如果我闭着眼睛摸比我看清楚再摸生存率更高,我就不会多费功夫愣要去看清楚,这才理性!
第五个人多费力去摸清剩余的绿豆数是不理性的,因为如果他必死,无论摸清不摸清都会死,如果他有机会活,摸清了也是50%,不摸清也是50%,所以摸清楚剩余的绿豆数毫无意义,第五个人不会干这个事.而第一个人知道第五个人是理性的.
我觉得应该这样理解问题 - 这样理解应该是理性的:
1)由于5号没有办法将自己的选择概率分部告知前4个人,前4个人应该按照对自己最有利的方式选择.
2)一旦形成17,16,18,15的情形后,5号所谓的报复策略将不再起作用,因为他已经没有最佳策略让自己逃脱死亡,这时他故意选择17,16的理由已经不再存在 - 如果你这时非要说他会选择17或16,那就不是理性的了,而是赌气:),而我们讨论的问题是不考虑感情因素的.
3)前4人都清楚这一点,所以他们的选择是稳定的,从而致5号于死地,换取自己最大利益.
这个结论应该是正确的.我们可以讨论其他问题了:)
不是啊,前4人知道第五个人一定会采取最佳策略,这是这道题的前提.正如前三人知道第四人必然采取最佳策略,前二人知道第三人必然采取最佳策略......在此前提下,你才可能推理出前四人将得到17,16,18,15的结果.然而你的推理没有考虑第五人的最佳策略,你认为第五人只是绝望地放弃了任何策略.然而不是这样,第五人也是博弈的参与者.第五人将采取以极大的几率选择16,17这一舍身攻击的策略.这一策略对于第五人来说总是最佳的 -  - 如果必死,那么他选择任何数目结果都是一样的,也就是说,他选择其它数目时也不会比选择16或17更好,所以他总有充足的理由贯彻这一策略.第一个人了解到这一点,所以就不得不放给第五人一线生机.
而第五人的策略之所以必然是以极大的几率选择16或17(或许是16和15?但总有某几个数是重心),并不是随便找了两个数字.如果第五人以一定的几率选择其它数字,平衡状态将可能会被打破,他将不可能获得50%的生存率.想要有可能获得50%的生存率,第五人没有其它办法.
简而言之,在这个人人都绝顶聪明的博弈中,前四人是有可能知道第五人的概率分布的.虽然我没有证明第五人的50%存活率是最高的,但是他至少有这样的存活率.
好了,这道问题到此为止.
当然我这个肯定不是最终答案.因为这里还是会有问题,那就是第四个人似乎未必会给第五人留活路.前三人选18,15,17时,第四人选13或16的存活率都是50%,而他似乎不像第五个人那样,即便在存活率相等的情况下也有额外的理由支持特定的选择,而且第四人即便是在原先你的思路下的存活率也恰好是50%,他的处境是比较微妙的,所以看来这个平衡还不稳定.但我们毕竟看到了第五个人存活的希望.或许第五个人的最优策略中还要带有13和20等选项,通过微妙的逼迫使得第四人不得不让道?无论如何,即便说第四个人在存活率同等的情况下将以同等的概率做出选择,对于第五人来讲仍旧有理由始终贯彻舍身策略.
对前4人来讲,由于不知道第5人的概率分布,那他们就只能根据自己的主观判断 - 信念,来进行决策,这样将得到17,16,18,15的结果,不是吗?
第五人的最佳策略没准并不复杂,或许就是以各半的几率选择16或17(只要剩下足够数目可选).然后前两人都知道第五人的最佳策略,如果第一个人选16或17就只有不到50%的存活率,但选择15或18则将有超过50%的存活率,所以第一人的最佳策略是选择15或18,第二人则依据第一人的结果选择18或15.然后第三个人可以选择16或17,这样可以得到50%的存活率,也可以选择14或19,这样的话最后还是50%的存活率.第四个人依据第三个人的选择,如果第三个人选择16或17,那么第四个人就得选择14或19,反之第三个人选择14或19时第四个人选择16或17,这样第四个人也是50%的存活率.第五个人也是50%的存活率.如果第五个人死了,那么第一第二个人都将存活,如果第五个人没死,那么第一第二个人中间将有一个人死.也就是说前两个人的存活率是75%.
噢对了第四个人的策略不能是选14或19,不然的话第三个人究竟是选的16还是17将被第五个人算出.所以第四个人应该选择在13或14以下或19或20,第三个人选16时第四个人选14或20,第三个人选17时第四个人选13或19.使得第五个人无法揣摸究竟是16还是17被占.这样存活率仍是75%,75%,50%,50%,50%.除了第五个人的策略是凑出来的,其余四人看起来都不得不按此方案选择,否则难以获得更高的存活率.
第三个人不可以采取摸走大多数绿豆只剩两颗的策略.因为这样的话他得到的将不是50%的存活率,而是来自必死的第四人的"报复"(第三人如果不给第四个人活路,第四个人必定拖他垫背,所以第三个人必须给第四个人留出活路才行.)
如果找不到这个平衡点,估计选择就会混乱了,出题者也许根本就没想这么多.
我觉得讨论有点引人入胜了:)
假如5号公布出一个剩余数字和自己选择概率的对照表,那么,他真的可能活下来,但是这个工作量似乎大概太大了,我想不出好办法解决这个问题哦,你能否想出好的办法给出确切的解答:)
另外一个没有考虑成熟的想法:
公布一个对照表,估计很容易找到一个平衡点;但是,如果不存在一个事实上稳定的平衡点怎么办呢?因为囚徒之间不能进行信息交流,也就是说,5号要想人为制造一个平衡点(公布一个表格)是不可能的.
我再出一个相关的简单题目看看:
甲乙两个人博弈,甲手中有两张牌:司令和工兵.乙手中有排长连长团长营长旅长师长军长和炸弹(工兵能拆除炸弹,司令则与炸弹同归于尽).双方的最佳策略是什么?
如果甲出司令,那么乙无论出什么都难逃一死.那么是否甲的最佳策略就是出司令,而乙只能在手中的牌里随机乱摸了吗?当然不是.乙的最佳策略是以较大的概率出炸弹.这样甲一旦出司令就有较高可能会被炸死.而甲所考虑的首先当然是自己的活命,所以他不会贸然出司令.当然乙不可能以100%的概率出炸弹,这样的话甲总是出工兵好了.于是最佳策略是双方博弈的平衡点.假设甲乙x的概率出司令,1-x的概率出工兵.乙以y的概率出炸弹,1-y的概率出其它牌.对甲而言,达到平衡状态时应有xy=(1-x)(1-y).而对乙而言,应争取存活率即(1-x)(1-y)达到最大.结果解得x=y=1/2.也就是说,乙的最佳策略是以50%的概率出炸弹,这样如果甲是一个聪明人,乙将获得25%的存活率.
抓绿豆问题复杂得多.但未必找不到类似的平衡点.
不过在更复杂的抓绿豆问题中,是大有可能出现真正的博弈问题的解的.关键是最后一人决不会乖乖扮演被动的角色,而要以舍身攻击来威慑前面的人不得不为最后的人留出生机.事实上在这场博弈中第一个人比最后一个人而言并没有太大的优势.事实上第一个人的优势仅仅是先手,但后手也有后手的优势,最后一个人将参考前四人的结果后作出选择,而对第一个人而言后四人的选择则仍然是不确定的概率状态.
啊对了对了.作为一场博弈,最后一个人为什么会乖乖地听天由命随便乱选?事实上在这道题中,既然五个人都是绝对聪明的人,也就意味着前面的人将能够了解最后的人的最佳策略.而最后一个人的最佳策略绝对不是在1到34之间随便任选,而是,比如说以极大的概率选择16或17,或者以极大的概率选择18或15.......这并不是因为他与前几人有私仇之类,而是只有采取这样的策略,才可以保证自己获得存活的可能.第五个人是聪明人,所以他一定会选择更可能让自己存活的策略,而第一个人既然知道第五个人的策略,那么他就不会贸然选择16或17,因为这样的话他将很有可能被第五个人害死.所以他必须以一定的概率选择其它的个数,而这样的话就将给第五个人留下生存的空隙.
因此这个博弈是可能找到平衡点的.那就是第一个人以某个概率选择16或17,又以某个概率选择19或14.而最后一个人以某个概率选择16或17,以某个概率选择18或15,等等.
这样一来,比如当第一个人选择19时,第二个人也不会注定选18,因为第五个人还可以在剩下不是34颗,而是30颗时采取另一种策略,就是一旦剩下30颗,就意味着很可能是第一个人选19第二个人选18的情况,那么第五个人的策略可以是当剩下30颗时以巨大的概率选18力争害死第二个人,这样的话第二个人就不会贸然选18了. -  - 第二个人的策略也是在18或14等几个选择之间的某种概率分配.于是,一旦出现第一个人选19第二个人选14,第五个人选16或17的情况,第五个人就得以存活.
总之第五个人是有存活的可能的,博弈的平衡点是可能找到的.
另外,这道题的枚举论证仍是可能的,那就是假设每个人以Xi%的概率选择I颗豆,然后把各种结果展开出来,最后按博弈问题的解法找鞍点......不过这似乎太过庞大了.
不过我所说的这个博弈方案无论如何只是一个伪装的方案,博弈的话最终如果达到平衡点,则每一个选项的胜率应该是一样的.但这里显然达不到.但关键是证明啊.
哦对了,可以对称一下,第一个人可以以同样微小的概率选择4或29,以及15或18.第二个人的应对也是对称.这样的话就可以使得16和17有同样的几率被第三个人占据,并且留给第五人的总是34.嗯.
呃,第一个人不需要增加选29的可能,而只需要增加18这一选项就行,而第二个人则增加4+31这一微小的可能性~
当然这道题无论第一人选择4还是29之类,到了第二个人这里已成既定事实的话,第二个人似乎是不可能与之配合的.但有没有可能逼迫他不得不配合呢?我找不出对于这种策略不可能存在的证明.用枚举法一一验证是不行的,因为现在的策略不仅仅是一个单一的选择,而是一套微妙分配的概率方案,它的可能性是无穷的.
关于如何变成博弈问题,我可以举一个例子:就按着这道题来举吧:
第一个人采取如下策略:99.999......%的概率选16,然后0.00001%的概率选4,以0.0001%的概率选15;第二个人则与第一个人配合,当第一个人选4时,以99%的概率选27,以1%的概率选29(如果他选别的,死亡率也都极高,他可能不得不配合,尽管我还没有仔细分析.).当第一个人选15时,第二个人当然选16.
如果前两人选15+16或4+27时,三四人会选17,18.而前两个人都是抓走16+17或4+29时,第三和第四个人会选15,18(我都没有仔细分析).
关键到了是最后一个人,留给他的总是34颗豆,然而现在他的存活率不是0%了,而是有一线生机,尽管比0.00001%更小.如果第一个人选的是4,那么最后一个人选择5,6,7,......等,都将存活.然而他却不会选16或17,因为即便当第一人选4的时候,由于第二个人有99%的概率选27,也就是说16和17被前四人中某个人占据的可能性要远远高于5,6,7等被占据的可能性,因此最后一个人将更倾向于选5,6,7等,而几乎不可能选17.
也就是说,尽管对第一个人来说,选择4颗是近乎自杀的行为,然而他只要给自己增加0.000000......1%的选4颗的可能性,就可以促使第五人极大地降低选16或17的可能性.也就是说,第一个人的存活率就此从33/34提高到99.9999......%!
即便这个策略仍有漏洞而不可行.但我讲出来主要是为了展示某种可能性 -  - 通过某种复杂的博弈,有可能给于第五人以一线生机从而减少与第五人重复而处死的可能性.
即便我举不出这样的例子,但如果你并没有论证出这种例子必然不存在,所以你的论证是不严密的.
我想那种完美的策略是不可能存在的.
事实上,由于有非常多的可能,所以我们之前定性地排除了1号选20以上的情况,那样他成为最大的可能性很大,你若有时间,也可以一一给他定量:),当然,也可以把15以下的情况都计算一番.至于是不是要在某些可能性里按概率加权 - 如你说的成为一个博弈问题,我没有想出这样做的理由,把1号的最优策略分出一部分进行劣化,无论这个比例有多大,都会使1号整体存活概率降低吧?你能想出相反的例子吗?
一旦涉及到概率,策略问题就有可能成为"博弈问题",也就是说,一旦涉及到概率,"最佳策略"就未必是一个确定的选择,而是一组概率的选择.比如说"某个人的最佳策略是以90%的概率选择A和10%的概率选择B".
我也相信最佳策略是16或17颗绿豆,问题是论证不够严密.毕竟第一人选16或17颗绿豆时存活率也并不是100%.但会否有这样的情况:因为我们并没有证明当第一人选的不是16或17颗时,后几人也必定会选择连续的数字,所以或许当第一人选A颗时,最终导致前四个人的选择中仍有空隙,于是第五个人仍有一线生机,那样的话第五个人就不会乱选,而是会,比如说他必须在B或C中博一博运气,而如果A既不是最大或最小,也没有与第五人撞车的危险,那么第一人的存活率就100%了.
直觉上看这种完美的策略似乎不太可能,不过仅按你所给出的解法并不足以证明这种策略不存在.
想通了,那个数字问题几乎是个纯数学的问题,没啥意思,不再这里讨论了.
但是由于那些方案都不是最佳策略,因此都不会作为可能来考虑,也不会加权到结果中.
有意思的想法.不过,由于这些人都是极聪明的,4号发现前面不是最佳组合17,16,18时,他应该能判断一定有人玩花招,最可能的就是3号,因为17,16对1,2号是最优的,那么,他可能判断出3号的数目,从而致3号最不利地位.3号因此不敢冒险,否则就不太理智了.
除17,16的组合应该是不可能出现的,否则他们就不是聪明的(与题设相矛盾),或者就是有人耍花招,那样冒太大风险,也是不理智不聪明的,由于可以被后面的人算出,所以都应排除在外.
我对那个100个数字的题目有了些想法,等下写出来和你商讨:)
你的解法和答案都和我一样.不过我自我感觉似乎不太严密.
关键是后三个人何以能够断定前面的人选择的是连续的号码?因为他们只能摸出前三人的摸走的总数,如果说不假思索地认定前三人一定选连续的数,第四人可能要上当.
比如说前两人选了17,16,而第三个人耍阴招选个21.这样的话第四人是否会错以为前三人选的是19,18,17?这样的话第四人就会选16,从而与第二人撞死,那么第三人选了21存活下来了,而他选15的存活率只有19/34.
附注:几个有趣的特例:
1)1号选100,他自己死,救了其他4人;
3)1号选98,2号必死,但可以选1号或3号垫背.
(接上,第3部分)没想到要分3块才行:)
方案三(1号选17)
对4号来说,由于16/38<19/34(参考方案二中选18),所以他不会选14,而会选18,出现17,16,15,18排列;3号当然知道,如果出现17,16,15这样的排列,4号一定不会选14而会选18,这样3号存活几率就只有17/34,由于17/34<19/34,所以他会放弃选15,抢先选18,从而逼迫4号只能选15,这样1号达到了逼迫别人把自己夹在中间的目的:最终前4人的选择是17,16,18,15
结论:1号选17(或16),2号选16(或17),活命几率最大,约97%
据上述推理,1号选19时,将出现19,18,17,16这样的排列,此时5有30种选择:
1死=(5选19,或小于16的数字)共16种,1号存活几率14/30(显然1号最不利)
方案二(1号选18)
1号选18,将出现18,17,16,15的排列(没人选19,因14/30会最小),此时5有34种选择:
可能是太长了,我只能分两部分试试:
我的结论一样,是自己的解答,不知道推理中有无漏洞,请指教:)
显然,处于两端(最大数或最小数)的人死亡概率较高.1号最先选,他不应选超过20的数目,否则,他会给2号留下非常好的策略:选一个比他小1或接近的较小数目(在特殊情况下,2号甚至可以保证自己不死,比如1号选了35,他就选34或33,因为剩下的总数比他小,2号就不会死了.1号若选21,他就选20,这样可保证后面有人比自己小),这样2号就处在一个非常优越的地位,至少保证自己不是最大或最小,而1号就面临可能是最大数的危险.同样道理,234都不会第一个去选超过20的数目,20会是前4个数字中最大的一个,1号的策略就是选一个数字,逼迫后面的人把他夹在中间,显然,选20对他是不明智的.
1号选择一个数目后,2号如果可能,一定会选择一个和1号紧临的数字,这样他就不会给3号留下中间数的极佳位置;据此,3号可以判断前两个数字是什么组合,根据同样的理由,他也会紧邻这两个数字选一个;同样,4号也会在上述三个连续数字的两端选一个(这4人不会选重复数字,那样意味着自杀);这样可以确定,前4个数字是4个连续数字.5号无论选什么数字,都必死 - 他如果选两端,就是最大或最小,如果选中间,就会和1234中的一个重复;由于每次都是死两人,所以5号会随机选一个数目,就会有一个(且只有一个)垫背的和他一起死.
发表不了评论,网站有问题?
你公布答案吧~
是的,后面的人只知道前面的人一共拿了多少颗.
但是那个50%的概率显然不是最大的,因为这样的话,第4,第5个人的存活概率已经是100%了.我想你说的那种走投无路的情况下,他的选择应该是随机的 - 因为题目没有说他特别恨那些人,只是说,他们喜欢杀人,如果能让更多的人和他一起死,他肯定不会放过的.
抓绿豆问题的条件是否给全?
是不是说抓的时候只能知道剩下几颗,也就是说,比如第三个人抓豆时能知道前两个人总共抓走了多少,却不知道他们分别抓走了多少?另外,这是个概率问题?那么如果当某人走投无路时(知道自己抓几个都是死)他将以何种概率进行选择?是说此时每一种选择的概率是平均的?
你的题目似乎有点难,而且现在我也早没有不眠不休琢磨数学题的兴致了,想了一个钟头也没任何思路,罢了.
你果然头脑非凡,那个念头(乙丙看法不一)在我脑中闪现了一下,但随即丢弃了,现在看来,很悬:)
我倒是有一个一直没有好办法解决的问题,你愿不愿意做做消遣?
说是在100人前额上随机写一个1-100的自然数,他们彼此能看到别人的数字,但看不到自己的数字,他们该采取怎样的策略,保证至少有一个人能猜对自己头上的数字?写数字之前大家可以商量,写上之后,彼此就不能再透漏其他信息了.
5个囚犯,分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋中抓绿豆,规定每人至少抓一颗(被动选0的囚犯自动免死),在没有重复数目的情况下,抓得最多和最少的人将被处死,而且,他们之间不能交流,但在抓的时候,可以摸出剩下的豆子数.问他们中谁的存活几率最大?
请多交流,很高兴和你讨论问题:)
嗯,貌似你的方法没错.
哦,似乎D可以一步分完?按你之前说的方法略为改动一下就行了?
你的办法看起来还算不错,不过关键是被裁去的部分还有待分割,剩下来的这个D还需要重新分配,这样的话就无法确保在有限步内完成分配,尽管分歧确实能够越来越小.
把叙述稍微简化一下:
现在让丙从A-BC中选择,如果丙没有选择A-则乙必须选择A-剩下一份留给甲.
你真的没明白?规定乙选A-只有在丙选了C的时候.而A-当然是乙裁出来的.
他裁的均不均匀没有关系,只要他认为均匀就可以了,丙绝不会说你裁的多了还是少了,因为丙第一个选.
你的下面那个留言的第一句话,作为一个条件又错了(如果一个人愿意选择某一部分,他肯定要确信这一部分不小于三分之一.)这个结论在完全分配完毕后才正确,而在中间的分配中,每个人只关心我得到的总量不比其他两人少,要>=总数的1/3,还得等下一轮分配.
而且,你这个"规定第二个人必须选A-(他认为A-=B>C)"中,这个A-是谁裁减的?如果说乙减去A使之等于B,丙可未必认同,丙可能说乙减得远远不够,非但不等于B(在丙看来最小的),而且仍旧比C还大嘛!你没办法解除分歧.如果是丙裁减的,乙当然也可能不认同:减掉太多了!
要注意,在你的条件下,如果一个人愿意选择某一部分,他肯定要确信这一部分不小于三分之一.因为如果他知道自己得到的小于三分之一,那么他就会认为另两个人中至少有一个人得到的大于三分之一,也就是比自己多.
总之你必须解决这样的情况:甲分成A,B,C后,乙丙两人都认为A是最大的,同时都认为B,C两块都不到1/3,而且关于B,C之间谁更大并不一致.
如何保证第三个人认为A-比C小?
哈哈,你果然头脑非凡!
但是这样丝毫不影响分配,第三个人可以选择C(在第二人看来最少的那份),但是规定第二个人必须选A-(他认为A-=B>C)从而留给第一个人B之后分配原理和上述一样.
真巧,我正想来说明那个对n个人的解法存在同样问题,您已经发现了:)
解释一下3个人分桃汁的问题:
假设第一个人按自己认为均等的方式分成了ABC三份,现在由后两人选择,出现两种情况:
一,一个选A另一个选B非常好,C归第一个人,大家相安无事.
那么,由第二个人将A的一小部分倒出到容器D中剩下的记为A-第二人认为A-=B
现在由第三人在A-与B中选择,剩者归第二人,C归第一人,三人都不认为有人比自己多.
现在,由拿了B的那个人(假设是第二人,若是第三人,情况与此相仿)将D分成相等的三份,由第三人首先选,然后第一人选,最后由第二人选,这样,三人都不认为别人比自己分得多:
第一人认为第三个人(A-)拿到所有的D也不过和自己相同(C=D+A-)现在他只拿到其中一部分,其总数还不如自己的C而自己又可以选剩下两份中较多的,不会比第二个人少.
第二个人认为自己的B不少于A-和C自己最后拿的那一小份与其他俩人一样,所以没有人比自己多.
另外,这个问题当时被推广到n人的情形:见http:// .不过按照那个通解,也是绝对不能满足阁下"假设每人都不希望别人比自己多"的附加条件的,不过那个通解的好处在于每个人拿到手的都是他自己认为恰好是1/n的那部分,不多不少.然而显然不能保证其他人也都分得恰好一样,所以最后结果肯定会发现有人自己更多,这无法避免.我实在看不出在加上你的条件后这道题还有可能有解,请指教!
哦,对不起.看来确实是我的问题(睡梦中惊醒.),出题的时候太久远了,忘记审查问题了.题目中应当限定说每个人最终所关心的只是自己所得那份是公正的.不过如果不加这条设定,而是如你所说假设"每人都不希望别人比自己多",将有什么办法分桃汁呢?
偶然看到你的博客,真不错,很喜欢那些趣味题目.哈哈,终于被我发现一个错误:
分桃汁问题:"如果丙认为最大的是B+或C+,不妨设丙认为最大的是B+,则把C+分给甲,把A-分给乙,即可."是不可以的,比如:乙把桃汁分成1/8,4/8,3/8(数字夸大是为了举例清晰),而把3/8分给甲时甲是不会满意的(假设每人都不希望别人比自己多).再往下就没有想了.
唉,怀旧得实在够多了,毕竟数学已经不再是我的主业了.
不再折腾这道题目了!
此讨论已中止.不可能继续.因为我变成傻瓜了.嗯.