好久好久没有写知乎,感觉应该要写点什么,但又不知道写什么,所以就打算在这里整理几个这学期碰到的(指自己碰到的,想到的,别人问的)好玩的问题.泰勒展开的某种套路题有俩高中同学问我中值定理,泰勒定理的构造之类的问题(Chen & Zhou, 2022),感觉实在是太过套路了,所以我就顺便扩展一下: 给定一个函数  ,假设有  问考虑  则根据基本不等式,所以,当然了,还有其他各种各样的情况,比如给定一些别的高阶导的绝对值的范围求某阶的范围. 无非就是按某个点展开然后加加减减对称的消干净然后三角不等式,没发现什么可以深入的东西,懒得算了.可能出错了的高数题有个初中同学问他的一个高中同学这题(Yu, 2022),然后那位又来问我了(Huang, 2022). 我觉得它实在有点不像一道高数题,像是出错了. 已知  存在且连续,  ,解方程难点在于:为什么二阶导存在?
一开始觉得特别难,因为我没看到  是连续的. 已知连续,那就好办了,连续函数的多项式还是连续的,连续函数的变上限积分是可导的,所以左右两边导数是存在的!然后左边就变成了但是这样写的前提是:  .
现在假设  对于某个  成立,这些零点构成集合  ,假设  ,由连续性知  ,考虑原方程:  因此这样的  是空的. 同样定义  ,也是空的.
因此  . 这样就可以两边求导然后解方程了. 我觉得是个人都会做,结果是 同时,一位物理大神(Zhan, 2022)对不存在二阶导的函数的存在性表示鄙夷. 某个矩阵的逆 这是一位高中同学问的(Shi, 2022). 求一开始我给的方法一看就不能用,那就是:
[形式幂级数法]. 令  相当于求用形式幂级数  ,得到  这种技巧对于一个大一学生来讲还是太离谱了. 所以我们还是考虑点别的:
[Cayley Theorem]. 众所周知,一个方阵  的特征多项式满足  . 从这个式子可以显然地给出  用  的多项式表出的方式.
做一些trivial的计算可以得到:  所以  代入暴力计算就能出结果啦.
[Sherman-Morrison Theorem]. 之前在网上冲浪的时候看到过这个,看到这道题突然想起来.
在发现了这个之后, 我又去冲了个浪,发现有个更强的:
(Woodbury Matrix Identity) 若  ,那么 它还有个推论 (第一个等号的除环形式似乎是叫华定理...就是华罗庚的 定理):
好吧, 长见识了...一道秩不等式 设方阵  满足  (定义和上面一样),证明  .
证明和讨论见我的提问如何证明X+X^T=J-I的解一定满足rank(X)\geq n-1?一般线性群的联通分支这个问题来自Artin的Algebra. 用  表示path-connected关系.  1. 假设  ,  ,证明考虑  ,那么  2. 证明首先单位元  ;其次根据1. 有  ;然后  总有  满足  ,那么  ,  ,说明  ;最后  ,有  . 这就完成了证明. 3. 证明  是一个路连通群根据这样一个事实:  是由矩阵 (定义  是仅第  行第  列为1,其他为0的矩阵)生成的. 我们可以找到这样的路:  ,那么对于任意的  有  4. 证明  是两个connected component的并若  ,假设它们是路连通的,也就是有一个连续的  使  ,但是  ,也就是说存在  使得  ,  . 因此它们不连通.
若  ,那么令  于是  ,于是  因此这两个connected component就是由  划分的两支.
[从后到前]. 从后面得到的结论可以看出2. 的另一个证明方法: 令  那么 一道看似简单的积分不等式一个高中同学问了我这道题(Zhang, 2022),看起来能用柯西不等式的题居然不能用,这无疑让人感到沮丧. 证明[重积分].