如图,在矩形oabc中,已知a,c两点的坐标分别为a(4,0),c(0,2),d为oa的中点.设点p是∠aoc平分线上的一个动点(不与点o重合). (1)试证明:无论点p运动到何处,pc总与pd相等; (2)当点p运动到与点b的距离最小时,求p的坐标; (3)已知e(1,-1),当点p运动到何处时,△pde的周长最小?求出此时点p的坐标和△pde的周长. (1)证明:∵a(4,0),c(0,2),d为oa的中点, ∴d点坐标为(2,0), ∴oc=od, 又∵点p是∠aoc平分线上的一个动点(不与点o重合), ∴∠cop=∠dop=45°, ∴△poc≌△pod, ∴pc=pd, 即无论点p运动到何处,pc总与pd相等; (2)解:过b作bp垂直∠aoc的平分线于p点,过p点作pn⊥x轴于n,交bc于m点,op交bc于h点,如图, ∵op平分∠aoc, ∴∠cop=∠nop=45°, ∴△phm,△coh和△pon都是等腰直角三角形, ∴△phb是等腰直角三角形, ∴pm垂直平分bh, ∴ch=co=2, ∴bh=4-2=2, ∴pm= 1 2 bh=1, ∴on=pn=1+2=3, ∴p点坐标为(3,3); ((3)解:连ce交∠aoc的平分线于p点,连pd,cd,ed,如图, ∵oc=od,op平分直角aoc, ∴op垂直平分cd, ∴pc=pd, ∴pd+pe=pc+pe=ce, 此时△pde的周长最小, 设直线ce的解析式为y=kx+b, 把c(0,2),e(1,-1)分别代入得,b=2,k+b=-1,解得k=-3,b=2, ∴直线ce的解析式为y=-3x+2, 而p点的横纵坐标相等,设p(a,a),把p点坐标代入y=-3x+2得,a=-3a+2,解得a= 1 2 -12, ∴p点坐标为( 1 2 12, 1 2 12),∵ce= √3²+1² √ 32+12 =√ 10 10 ,de= √1²+1² 12+12 = √2 2 , 32+12 ∴此时△pde的周长= √2 2 + √10 10 . 如图,已知抛物线y= 1 2 x2-2x+1的顶点为p,a为抛物线与y轴的交点,过a与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为b,与抛物线对称轴交于点o′,过点b和p的直线l交y轴于点c,连接o′c,将△aco′沿o′c翻折后,点a落在点d的位置. (1)求直线l的函数解析式; (2)求点d的坐标; (3)抛物线上是否存在点q,使得s△dqc=s△dpb?若存在,求出所有符合条件的点q的坐标;