如图,△acb和△ecd都是等腰直角三角形,ca=cb,ce=cd,△acb的顶点a在△ecd的斜边de上,若ae=√2,ad=√6,求两个三角形重叠部分的面积.[分析]连接bd,作ch⊥de,根据等腰直角三角形的性质可得∠acb=∠ecd=90°,∠adc=∠cab=45°,再由同角的余角相等可得∠dcb=∠ace;由sas得△dcb≌△eca,根据全等三角形的性质知db=ea,∠cdb=∠e=45°,从而得∠adb=90°,在rt△abd中,根据勾股定理得ab=2√2,同理可得ac=bc=2,cd=ce=√3+1;由相似三角形的判定得△cao∽△cda,根据相似三角形的性质:面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.解:如图,连接bd,作ch⊥de,设ab与cd的交点为o.∵△acb和△ecd都是等腰直角三角形,∴∠acb=∠ecd=90°,∠adc=∠cab=45°,即∠acd+∠dcb=∠acd+∠ace=90°,∴∠dcb=∠ace,在△dcb和△eca中,∵ dc=ec,∠dcb=∠ace,ac=bc.∴△dcb≌△eca,∴db=ea=√2,∠cdb=∠e=45°,∴∠cdb+∠adc=∠adb=90°,在rt△abd中,∴ab=√(bd^2+ad^2)=2√2.在rt△abc中,由勾股定理得:∴ac^2+bc^2=2ac^2=ab^2=8,∴ac=bc=2,同理,在rt△ecd中,由勾股定理得:∴2cd^2=de^2=(ad+ae)^2=(√6+√2)^2.∴cd=ce=√3+1,∵∠aco=∠dca,∠cao=∠cda,∴△cao∽△cda,∴ s△caos△acd=(accd)^2=4-2√3.又∵ s△ecd= ce^22=de·ch2,∴ch=ce^2de=ce^2(ae+ae)=(√2+√6)2.∴ s△acd=ad·ch2= (3+√3)2∴ s△cao=(4-2√3)×s△acd =3-√3.即阴影部分的面积为3-√3.[本题考点]1. 三角形的面积,2. 全等三角形的判定与性质,3. 勾股定理,4. 相似三角形的判定与性质,5. 等腰直角三角形的性质.