史坦纳定理及应用定理
2018-02-08 17:09
来源:52数学网
原标题:史坦纳定理及应用定理
史坦纳定理:
设△ABC的垂心为H,点D为△ABC外接圆上异于三角形顶点的任意一点,则点D关于△ABC的西姆松线通过线段DH的中点.
史坦纳定理应用定理:
△ABC的外接圆上的一点D的关于边BC,CA,AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西姆松线平行的)直线上.这条直线被叫做点D关于△ABC的镜象线.
证明:
如图,EFG是D关于△ABC的西姆松线
由对称性,易知EF,EG分别是△DPR和△DRQ的中位线,所以PQR三点共线
由对称性和垂心性质可知∠BPC=∠BDC=∠BAC=180°-∠BHC,所以B,P,C,H四点共圆
同理A,Q,C,H四点共圆,A,B,R,H四点共圆
所以∠CHP+∠CHQ=∠CAD+∠CBD=180°,所以H在直线PQ上
又由中位线性质,可知D关于△ABC的西姆松线过DH中点
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