权方和不等式 是一个数学中重要的不等式.权方和不等式 是一个数学中重要的不等式.对于xi,yi0,当m(m+1)0时: (x +x +x +...+x ++x ) (y +y +y y ++y ) ≤{[x y ]+[x y ]+[x y ][x y ]++[x y ]}. m(m+1)=0时: (x +x +x +...+x ++x ) (y +y +y y ++y ) ={[x y ]+[x y ]+[x y ][x y ]++[x y ]}. m(m+1)0时: (x +x +x +...+x ++x ) (y +y +y y ++y ) ≥{[x y ]+[x y ]+[x y ][x y ]++[x y ]}. 其中n是正整数. 取等号的条件:x y =x y =x y ==x y ==x y .其证明需要用到 赫尔德(Holder)不等式.(特殊情形) 对于 实数p和q,若p≥1,q+∞,且1p+1q=1. 则对于所有实数或 复数a1,a2,a3aian和b1,b2,b3bibn 恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|++|aibi|++|anbn|≤ [(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p++|ai|^p++|an|^p)^(1p)]* [(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+...+|bi|^q++|bn|^q)^(1q)] 当且仅当a1^pb1^q=a2^pb2^q=a3^pb3^q=...=ai^pbi^q==an^pbn^q时,等号成立.:因为m(m+1)0,所以m0或m-1. 设ai=xiyi^[m(m+1)] bi=yi^[m(m+1)] p=m+1 q=(m+1)m m0时,p1,q+∞成立,且1p+1q=1. 所以对于ai,bi0,恒有: |a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+...+|aibi|+...+|anbn|≤ [(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+..+|ai|^p++|an|^p)^(1p)]* [(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+....+|bi|^q++|bn|^q)^(1q)] 也就是x1+x2+x3xi++xn≤{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+ [x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}^[1(m+1)] *{(y1+y2+y3yi++yn)^[m(m+1)]} 不等式两边同时取(m+1)次幂,得到: (x1+x2+x3xi++xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+ [x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}* (y1+y2+y3yi++yn)^m 不等式两边同除(y1+y2+y3yi++yn)^m,就得到 (x1+x2+x3++xi++xn)^(m+1)(y1+y2+y3yi++yn)^m≤{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+[x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}.得证. 另设ai=yixi^[(m+1)m],bi=xi^[(m+1)m] p=-m q=m(m+1) 当m1,q+∞成立,且1p+1q=1. 所以对于ai,bi0,恒有: |a1b1|+|a2b2|+|a3b3||aibi|++|anbn|≤ [(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p|ai|^p++|an|^p)^(1p)]* [(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q|bi|^q++|bn|^q)^(1q)]. 也就是y1+y2+y3yi++yn≤(x1+x2+x3xi++xn)^[(m+1)m] *{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+[x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}^(-1m). 不等式两边同时做m次幂,此时不等号方向改变: (y1+y2+y3yi++yn)^m≥(x1+x2+x3xi++xn)^(m+1) *{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+[x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}^(-1) 不等式两边取倒数(不等号方向改变)再同乘(x1+x2+x3xi++xn)^(m+1),即得: (x1+x2+x3+...+xi++xn)^(m+1)(y1+y2+y3yi++yn)^m≤{[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+[x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]}. 第一式得证.m就-1和0两种取值. m=0时,原式简化为x1+x2+x3xi++xn=x1+x2+x3xi++xn显然成立; m=-1时,原式简化为y1+y2+y3yi++yn=y1+y2+y3yi+yn显然成立. 第二式得证.设ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1). p=-1m,q=1(m+1). 当m(m+1)m-1. 此时p1,q+∞成立,且1p+1q=1. 也就是[x1^(m+1)y1^m]+[x2^(m+1)y2^m]+[x3^(m+1)y3^m][xi^(m+1)yi^m]++[xn^(m+1)yn^m]≤[(x1+x2+x3xi++xn)^(m+1)][(y1+y2+y3yi++yn)^m]. 第三式得证. 证毕.赫尔德不等式取等号的条件是: 当且仅当a1^pb1^q=a2^pb2^q=a3^pb3^q==ai^pbi^q==an^pbn^q时等号成立. 所以第一式中,取等号的条件分别是: m0时候: x1^(m+1)y1^(m+1)=x2^(m+1)y2^(m+1)=x3^(m+1)y3^(m+1)== xi^(m+1)yi^(m+1)==xn^(m+1)yn^(m+1). m-1时候: x1^my1^m=x2^my2^m=x3^my3^m==xi^myi^m==xn^myn^m. 第三式中,取等号的条件是: 0m-1时候: y1x1=y2x2=y3x3==yixi==ynxn. 由于xi,yi都是正数(也正因为这样,利用赫尔德不等式证明权方和不等式时才能把绝对值符号去掉),所以可以分别通过开(m+1),m,-1次方简化为: x1y1=x2y2=x3y3==xiyi==xnyn时等号成立.权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式,常用来处理分式不等式. 它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系. 其中m称为不等式的 权,特点是 分子次数比 分母高一次.可用于处理 分式不等式,放缩求最值( 极值),证明 不等式等方面,对高中 数学竞赛有帮助.