和q
是两数,它们的算术平均值A
是
,几何平均值G
是
,而调和平均值H
,即1/p
和1/q
的算术平均值取倒数,是
.但我们可看出G
是A
和H
的几何平均值.
这个比例便叫完全比例,而
这个比例他们称之为音乐比例.
毕达哥拉斯派所说的数仅指整数.和现代人不一样,他们不把两个整数之比看成是一个分数而是另一类数.实际的分数是用于商业上的,以表示钱币或度量单位的若干部分,但算术在商业上的这类应用是属于正统希腊数学范围之外的.因此当毕达哥拉斯派发现有些比 -  - 例如等腰直角三角形斜边与一直角边之比或正方形对角线与其一边之比 -  - 不能用整数之比表达时,他们就感到惊奇不安.由于毕达哥拉斯派关心能形成直角三角形三边的三元整数组,