反之,当AB是对称阵,即(AB)T
=AB时,因(AB)T
=BA,故有AB=BA,即A,B可交换.
例3.14
A是任一n阶矩阵,证明:
(1)A+AT
是对称阵,A-AT
是反对称阵;
(2)任何n阶方阵都可以表示成一个对称阵和一个反对称阵的和.
证明
(1)(A+AT
)T
=AT
+(AT
)T
=A+AT
,故A+AT
是对称阵;
(A-AT
)T
=AT
-(AT
)T
=AT
-A=-(A-AT
),故A-AT
是反对称阵.
(2)方法一
由(1)知,对任意方阵A,
(A+AT
)是对称阵,
(A-AT
)是反对称阵,故有
其中,A是任意n阶矩阵.
方法二
设A可表示成
其中,B是对称阵,BT
=B,C