设*是定义在集合S上的一个二元运算,如果有一个元θl∈S,使得对于任意的元素x∈A都有θl*x=θl,则称θl为S中关于运算*的左零元;如果有一元素θr∈S,对于任意的元素x∈S都有x*θr=θr,则称θr为S中关于运算*的右零元;如果S中有一元素θ,它既是左零元又是右零元,则称θ为S中关于运算*的零元.设是一个代数系统,是集合A上的一个二元运算.(1) 若存在元素,对一切都有,则称为A中关于运算的左零元(left zero);(2) 若存在元素,对一切都有,则称为A中关于运算的右零元(right zero);(3)若存在元素,对一切都,则称为A中关于运算的零元(zero element).定理1设是一个代数系统,是集合A上的一个二元运算.若A中有关于运算的左零元与右零元,则,且A中零元唯一.证明:.假设A中有两个零元与,则.定理2设是一个代数系统,是集合A上的一个二元运算,且A中元素的个数不小于2.若该代数系统中存在幺元e和零元,则.证明:假设,则对任意a∈A,有于是,集合A中所有元素都相同,这与A中元素的个数不小于2相矛盾.例1设代数系统,其中P(A)是有限集合A的幂集,是集合的交与并运算.则的幺元为A,零元为;则的幺元为,零元为A.例2设代数系统,其中R是实数集,+与×是实数加与乘运算.则+的幺元为0,且没有零元;则×的幺元为1,零元为0.例3设,定义集合A上的两个二元运算和△分别如表1与表2所示.则1,2均是运算的右零元.2是△运算的零元.表1123411241212343123441234表2△123412214222223123441243