某光滑闭曲线围成闭区域,定义在闭区域上的向量场,它的分量具有一阶连续偏导数,则关于的通量,可通过闭区域上的散度求出:
之前已经求出:
先看看左边,左边就是通量,它可以通过曲线积分来计算:
而右边的散度可以写作偏导的形式(具有一阶连续偏导数,保证了散度是连续函数):
以上并非严格证明,严格证明过于复杂,这里就省略了.
这里需要额外说明的一点是,在浴缸问题中,现实中的水龙头和出水口这两个地方,流量场是会发生突变的,不满足一阶偏导连续,不过不妨碍此处的大致意思.希望大家有所了解.
某光滑闭曲线围成闭区域,定义在闭区域上的向量场,它的分量具有一阶连续偏导数,则关于的环量,可通过闭区域上的旋度求出:
先看看左边,左边就是环量,它可以通过曲线积分来计算:
而右边的旋度可以写作偏导的形式(具有一阶连续偏导数,保证了旋度是连续函数):
以上并非严格证明,严格证明过于复杂,这里就省略了.同济大学"高等数学(第七版)"中的格林公式给的就是环量形式.
格林公式的总体思想是将内部的作用(平面区域上的双重积分)用边界的结果来表示(沿封闭曲线 为边界 的线积分)