1.用r种颜色对mxn的棋盘的格染色,使每个棋盘的格染且只染一种颜色,称为棋盘的r-染色. 在r-色棋盘中,若干同色格的中心间的连线构成的多边形称为r-色棋盘的同色多边形.
对给定的自然数k,哪些自然数n能使任何k-色nxn棋盘中都有同色矩形?
对给定的自然数k,把满足条件的最小的n记作R(k).
2.已知实数: a+b+c+d=0 ,
3.组合数学,在帕斯卡三角形当中,不等于1的任何正整数,只能出现有限次,猜想上界为8.
已知有无限个数会出现2次,3次,4次和6次,但是,5次和7次的情况未知.
4.数论当中的猜想:
存在无数个素数,使得1/p的小数循环节位数等于p-1.
5.是否存在一个长方体,它的长,宽,高,每个面的对角线,主对角线的长度都是整数?
6.数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,将其二染色,证明:一定存在1个3项的等差数列,它的三个数字同色.
7.在一个拍卖场中,一位奇葩的拍卖者打算拍卖1000元钱,规则是这样的:拍卖价从1元开始,每次最少加价1元,出价最高的人可以获得这1000元,然而与一般竞拍不同的是,除了出价最高者需要支付他的竞拍价之外,出价次高者(第二高的)也要付给拍卖者他的竞拍价.假设拍卖场中参与者足够多,智力一般,且相互直接不能串通,那么最后会发生什么事呢?
通俗得讲,就是在一个简单有向图中,必存在一个顶点,走至多两步能达到的顶点数量至少为走一步能达到的顶点数量的 2 倍.
注:简单有向图指任两点之间至多一条边.
证明,这个函数将不同的非负整数对(a,b)映射成不同的非负整数,并且值域包括全部的非负整数.
10.对于一个奇素数p,如果满足k=1(mod p),则对于任意的正整数n,几何级数的和 1 + k + k^2 + ... + k^(n-1) 的因数分解所包含的p的最高幂指数与n的因素分解所包含的p的最高幂指数相等.