现在,我们把全部平方数分为两组,那么,在442,1172,2402 这三个数中,一定有两个数在同一组(也可能三个数都在同一组),而这两个数的和是一个平方数.于是,我们使得到这样的结果:要是把平方数分成两组,那么,一定有一组中有两个数的和是平方数.再进一步,考虑无穷多个(44n)2,(117n)2,(24(n)2(n=1,2,3,......),我们又得到这样的结果:要是把平方数分成两组,那么,一定有一组中有无限多个数的和是平方数.
更进一步,还可以考虑把全体自然数(或者平方数)分为三组,四组,......K 组,是不是一定有一组中有两个数的和是平方数呢?不过,这个问题太难了.我们不准备,也不可能解决所有的问题,只能说留下一点问题,供你在今后学习时思考.其实,所有这本书已经解决过的问题,都可以进一步考虑:能不能少走弯路?有没有更好的解法?能不能得到更好的或者更一般的结论?