每一个收敛的实数序列都是有界的.
例 6.1.18
序列
是无界的,从而它是不收敛的.
现在我们可以证明常用的极限定律.
定理 6.1.19
(极限定律) 设
和
都是收敛的实数序列,并且设
x
,
y
分别为实数
和
.
(a) 序列
收敛于
x
+
y
,即
(b) 序列
收敛于
xy
,即
(c) 对于任意的实数
c
,序列
收敛于
cx
.即
(d) 序列
收敛于
x
-
y
.即
(e) 假设
,且对于所有的
都有
,那么序列
收敛于
.即
(f) 假设
,且对于所有的
都有
,那么序列
收敛于
x
/
y
.即
(g) 序列
收敛于
,即
(h) 序列
收敛于
,即
证明:
参见习题 6.1.8.
习题