那么∇与基本张量g相容当且仅当(M,F)是黎曼流形.此时∇归结为通常的列维-齐维塔联络.
证明 (i)把(3.78)代入(3.62)式,再利用(3.15)式便有(3.79)式.
(ii)∇与g相容等价于ωij
+ωji
=0.由(3.61)式它也等价于Hijκ
=0,即(M,F)有消失的嘉当张量. □
§3.4 SM的水平子丛和垂直子丛
设SM是芬斯勒流形(M,F)的射影球丛.以p:SM→M表示自然投影.记
Sx
M:=p-1
(x).
于是
TSx
M={ωi
=0},
这里ω1
,...,ωn
是n维芬斯勒流形(M,F)上一个适当标架场的对偶标架场.考虑
{X∈TSM|ωn
α
(X)=0},
它关于SM上的黎曼度量