我们知道数列  的极限是无理数  ,它也叫欧拉数,然而这并不是一个容易得到的结论.我们先来证明一个子结论:数列  单调递增.
证明数列递增一般是相减或者相除,看这形式,还是试试相除吧:
,即数列递增.其中  用到了伯努利不等式([9]Bernoulli Inequality:(1+x)^n>=1+nx).
如果不巧,你化简的第一步和上面不一样,那就会稍微麻烦一点点:  .伯努利不等式依然在化简中至关重要.
我在网上还看到一个很有创意的证明方法,大家一起欣赏一下吧.考虑如下  个正数:  ,其中包含  和  个  .它们的算数平均数为  ;它们的几何平均数为  ;再根据几何平均数与算数平均数的关系可得:  ,即  .真是简单明了啊!这证明也有点太机智了吧,赞.