若f(c)>f(a),则在[a,c]上f(x)满足拉格朗日中值定理条件,
因此至少存在一点ξ∈(a,c)
(a,b),使得
若f(c)<f(a)=f(b),则在[c,b]上应用拉格朗日中值定理,
因此至少存在一点ξ∈(c,b)
(a,b),使得
综上所述命题得证.
[评注]
本题也可用反正法进行证明,即假设对
x∈(a,b),有f′(x)≤0,于是f(x)单调不增,因此有f(a)≥f(x)≥f(b),而f(a)=f(b),故有f(a)=f(x)=f(b),即f(x)为常数.这与题设矛盾.
9. [详解]
,由积分中值定理知,存在ξ∈(a,x),使得F′(x)=
,由f′(x)≤0,故f(x)在(a,b)上单调不增,知