的可以表示成关于该方阵的某一行的各元素与其对应的乘积之和,即:
或表示成关于该方阵的某一列的各元素与其对应的乘积之和:
这种计算行列式的方法称为拉普拉斯展开(Laplace expansion).
(1)从最简单的情况说起,如果如下:
(2)再来看看下面这种情况,如果如下,第行除外的元素都为:
可以通过把的第行依次与行,行,,第行对换,对换次数为,使得:
再把列依次与列,列,,第列对换,对换次数为,使得:
此时的行列式值为:
根据,每次对换都会变号,总的变号可以如下计算:
之前介绍过的其实就是按照第一列进行了拉普拉斯展开:
如果像下面这样改变展开式的系数,那么相当于将中的第行进行了改变,从而得到一个新的:
可看到,中的第行和第行是相同的,根据可知: