算术基本定理最早的准确表述与证明 应该是出自 Gauss 的名著算术研究. 但是 在这之前很久 人们似乎就已经知道这个定理的具体内容 并且已经广泛使用.
定理不是显然的. 流行的证明 大家都知道 是利用 Bézout 恒等式还有归纳法. 罕见的一个证明来自英国大数学家 Hardy 的数论导引 如今名为哈代数论 的第二章的最后: 利用最小数原理.
陈省身说 好的数学就是可以引导出很多后来发展的数学! 所以 题外话是: 竞赛数学不是好的数学!
中不成立. 众所周知的一个事情是: 如果唯一分解总是成立的的话 著名的 Fermat 大定理就太 easy 了.
关于理想 ideal 倒是有一个相应的唯一分解定理: \(O_k\) 的任意非零真理想可以唯一写成质理想的积 不考虑顺序的话.