点连续,那么它在这点邻近是有界的.这是一个局部性质.对于在闭区间连续的函数,我们来讨论相应的整体性质.
定理3 设函数f在闭区间[a,b]连续,则f在[a,b]上有界.
证明 用反证法.假设f在[a,b]上无界.考查[a,b]的两个闭子区间
和
可以断定f至少在一个闭子区间上无界,我们记这闭子区间为[a
1
,b
1
].然后以[a
1
,b
1
]代替[a,b],重复上面的讨论,又可得到闭子区间[a
2
,b
2
],函数f在这闭子区间上无界.继续这样的手续,我们得到一串闭区间
满足条件
(1)
,
(2)函数f在[a
n
,b
n
]上无界.
闭区间套{[a
n
,b
n
]}收缩于唯一的一点
因为函数f在c点连