平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和.设平行四边形ABCD,作DE⊥AB于E,CF⊥AB,交AB延长线于F ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ ABDC,AB=DC,AD=BC ∴ DE = CF(平行线间的距离相等) ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)(两个直角三角形完全相同) ∴ AE = BF 根据勾股定理 AC² = AF²+CF² =(AB+BF)²+ CF² BD² = BE²+DE² =(AB-AE)²+ DE² =(AB-BF)²+CF² AC² + BD² =(AB+BF)² + CF² +(AB-BF)² +CF² = (AB² + 2AB*BF + BF²)+ CF² +(AB² - 2AB*BF + BF²)+ CF²= 2AB² + 2BF² + 2CF² ∵ BF² + CF² = BC²(勾股定理) ∴ AC² + BD² = 2AB² + 2BC² = AB² + CD² + BC² + AD² 利用余弦定理. 在平行四边形ABCD中,有:AB=DC,AD=BC,∠A=180°-∠B,∴cosA=-cosB. 由余弦定理,有: AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cosB① BD²=AD²+AB²-2AD×AB×cosA② ①+②,得:AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2. 利用向量点积. 在平行四边形ABCD中,有: 向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=-向量AB+向量AD. ∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,·③ |BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2向量AD·向量AB.·④ ③+④,得:|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2. 显然有:AD=BC,AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.