已知cos⁡(θ)=3−12\cos(\theta)=\frac{\sqrt{3}-1}2cos(θ)=23 −1 那么请问θ\thetaθ用度数表示是否是无理数,或者说θ\thetaθ如果用弧度表示,是否θπ\frac{\theta}{\pi}πθ 是无理数?
zeroieme于2011年4月 提问:
没人会算于2011年4月在百度数学吧 提问:
hejoseph于2016年12月 提问:
设 aaa 是有理数,0≤a≤900\leq a\leq 900≤a≤90.
若 cos⁡a∘\cos a^{\circ}cosa∘ 也是有理数,则 a=0a=0a=0 或 a=60a=60a=60 或 a=90a=90a=90.
若 cos⁡a∘\cos a^{\circ}cosa∘ 是一个不可约整系数二次方程的根,则 a=30a=30a=30 或 a=36a=36a=36 或 a=45a=45a=45 或 a=72a=72a=72.
若 cos⁡a∘\cos a^{\circ}cosa∘ 是一个不可约整系数三次方程的根,则 aaa 可能是哪些值呢?
百度贴巴中jerry_science提议用分圆多项式 解决这个问题,最终我们证明了: 一个正有理数平方根和另外一个有理数的和差如果不是整数角度的余弦值,那么就不可能是有理数角度的余弦值.
无心人通过数值计算得出这个角度为68.529298567560044851501529672774°,所以至少不是整数度数.
假设x为32i\sqrt{\frac{\sqrt{3}}2}i23   i,那么题目就相当于证明f(n)=(−12+x−x2)nf(n)=(-\frac12+x-x^2)^nf(n)=(−21 +x−x2)n,对于n>1n\gt 1n>1时,f(n)≠1f(n)\ne 1f(n) =1.
我们看到f(n)总可以表示成为A+Bx+Cx2+Dx3A+Bx+Cx^2+Dx^3A+Bx+Cx2+Dx3的形式,例如f(0)到f(5)的{ABCD}分别为:{1 0 0 0},{-1/21-10},{1-12-2},{-7/23-34},{7-88-8}和{-31/217-1920}. 其中B列的系数0,1,-1,3,-8,17,-39......满足递推关系Bk+4=−2Bk+3+2Bk+1+BkB_{k+4}=-2B_{k+3}+2B_{k+1}+B_kBk+4 =−2Bk+3 +2Bk+1 +Bk ,(这是因为−x2+x−12-x^2+x-\frac12−x2+x−21 是方程x4+2x3+2x+1=0x^4+2x^3+2x+1=0x4+2x3+2x+1=0的根.)我们可以看到B列的系数的绝对值是越来越大的,不难证明它再也回不到0了. 而如果B列的数不为0,f(n)是不会得实数的(因为x是不能用1,x2x^2x2,x3x^3x3来线性表示的).所以就证明了上面预期的结论.
百度贴吧中jerry_science提议 :
z=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)z=cos(θ)+isin(θ)的一个零化多项式是f(z)=(z2+z+1)2−3z2f(z)=(z^2+z+1)^2-3z^2f(z)=(z2+z+1)2−3z2
如果z是单位根的话,那么z的最小多项式必然是分圆多项式 p(z).
但是次数≤4\le 4≤4的分圆多项式很少,可以列举出来的,之后就出现矛盾.
根据分圆多项式的理论,它是一个次数为φ(n)\varphi(n)φ(n)的不可约多项式,其中φ(n)\varphi(n)φ(n)是欧拉函数,代表和n互素的n的同余类的数目, 于是我们可以直到,只有n=12345681012时φ(n)≤4\varphi(n)\le 4φ(n)≤4所以我们得出了推广的结论:
一个正有理数平方根和另外一个有理数的和差如果是有理角度的余弦值,那么必然是整数角度的余弦值.(事实上必然是3°角的倍数的余弦值)
liangbch贴出了6°角倍数的正弦值:
而关于余弦值和角度都是有理数的特殊情况,百度数学吧中链接 通过使用第一类切皮雪夫多项式 来解决:
于是马上可以得出Sn(x)S_n(x)Sn (x)在n≥1n\ge 1n≥1时是一个次数为n最高项系数为1的整系数多项式.
所以2cos⁡(qπ)2\cos(q\pi)2cos(qπ)是首1整系数多项式S2v(x)−2=0S_{2v}(x)-2=0S2v (x)−2=0的根,所以如果是有理数,必然是整数.