原文地址:不等式问题研究27:莫斯科mo 1997中的不等式及几个类似不等式的推广作者:数贝偶拾 莫斯科mo 1997中的不等式及几个类似不等式的推广 moscow mo 1997 grade 11 problem 5(莫斯科mo 1997 11年级问题5)为 设,且,求证: 当条件稍作改变,上题变为2005年罗马尼亚奥林匹克中的一个题目 题1. 设,且,求证: 类似的还有 题2. 设,求证 (2004,波罗地海奥林匹克) 题3.设,且,,求证: 并指出等号成立的条件. (1996,第37届imo备选题) 题4. 设,求证:. (1997,美国数学奥林匹克题) 下面给出以上几题的统一形式: 命题1设,则 (i)当且时,有 (1) (ii)且或且时,有 (2) 证明:(i)由],,知,所以 由,有,所以函数与在的增减性相反, 因而与异号.所以 于是, 同理有 三式相加即得(1). ( 2)的证明与(1)类似,从略. 注记:在(1)中取 ,即得题1; 在题2中记 ,则原不等式等价于 ,这就是题1; 在题3中的不等式可化为在(1)取,即得. 在题4中令,原不等式可化为 ,这显然是题1. 下面给出(1),(2)的元推广,我们有 命题2:设,则 (i)当时,有 (3) (ii)当时,有 (4) 证明:当时,由,,有,因此 其中, 由均值不等式及幂平均不等式有 即 所以 于是 即不等式(3)成立. 当时,由,,有,因此 其中(由,知). 由均值不等式,并注意到,有 又,由幂平均不等式有 所以 即 所以 于是, 即不等式(4)成立. 注记:对比时的结论,我们猜测: (1)当,时,不等式(3)成立; (2)当,时,不等式(3)反 向成立.