为了避免零做分母的情况发生,定义了满元向量:所有分量都不是零的多元向量是满元向量.乘法不会产生零,所以满元向量乘法群似乎没问题.群在不涉及坐标轴的空间成立.不知妥否.
我的回复(2013-4-7 14:21):所有非零分量的向量集合在你那个乘法定义下是个交换群.
你必须保证在你的应用中都不会出现那些有零分量的向量,不然就失去了应用的价值.
有数学问题请您帮忙.上次您巧妙地答复,收益匪浅.我为做'草原退化趋势预测'研发了'超球面模型'.现在我想证明多元向量对'分量对应的乘法'组成一个群,但不够自信.希望请您,并携您数学专业的学生,朋友来指点,推敲我博文
不胜感谢.
我的回复(2013-4-7 05:00):如果你的乘法想定义在所有实数分量上,它们不是一个群,因为任何分量是零的向量没有逆.
很欣赏您的这句话:"科学中真正的新思想和创意都是玩出来的!"
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"在上述理论的基础上,康托尔又系统地研究了序数理论,提出了良序原理,即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系,使得任意两个元素都可以比较大小,且该集合的任意子集都有最小元素."
我的回复(2013-3-23 11:12):哦,那是另一个东西."序"或"偏序"是一个比较关系,在点集拓扑里也就是一小节内容,在网上查一下这些术语的介绍也许就够了.良序原理,则是一个公理与选择公理等等价.
中文如有"点集拓扑"的教科书大约也是在头一两章.
好的,谢谢.应老师,本来讨论好好的,完全是那个zzjjgshux的马甲,惹了一堆是非,把事情完全搞乱了.我觉得您应该劝劝程老师.
我的回复(2013-3-23 00:17):我也希望不要把问题拔高扩大到一堆谈不清的问题,而是集中在具体的学术问题,不过现在曹教授把问题变成怎么处理学术争论的问题.恐怕这争论是免不了了.但我希望尽量淡化吴在这个争论中部分,以免他承受不了.
应老师,我想了想还是有点疑惑.我感觉虽然这种曲线很多,可不可能都能写出x^n+y^n=1的形式呢?
我的回复(2013-3-22 23:03):先自己构造出几个函数,代入试一试,这也是做研究探索的过程.虽然费事,但是收获比得来的答案大.
谢谢,应老师.我明白了.
应老师,谢谢您百忙之中回复我的留言.我忘记写定义域了x属于[01],f(x)属于[01]这函数还唯一吗?谢谢.
即使是连续的,想像一下在f(0)=1f(1)=0之间有多少类似于双曲线形状的对称曲线.
应老师: 您好! 我是您博文的忠实读者,我叫张凯.我现在遇到一个数学问题,希望能得到您的指点.已知函数f(x)满足下式: x=f(f(x))f(0)=1 能否得出x^n+f(x)^n等于一个常数(n为常 数).能求出f(x)的解析式吗? 谢谢,盼复. 此致 敬礼!
从f(0)=1,代入x=f(f(x))得f(1)=0,其他如果定义f(k)=k k=234...都能符合条件,所以x^n+f(x)^n等于一个常数不成立.
我们还能定义f(2)=3 f(3)=2,如此等等符合条件,所以这函数不是唯一的.
我的回复(2013-3-14 11:54):是的.即使是无穷集合的元素,但我们考察它时,也必须是具体的,不能是含糊说不清的.
有心训练自己的抽象思维能力,做一下"无穷大能比大小吗"里的习题会有帮助的.
老师,我还是理解不上去啊.我尝试通过对角线法证明一下无限高度的二叉树中无限长度的路径的数目是不可数的,请老师指正我的错误.
老师,这样是不是可以证明不可数了?
我的回复(2013-3-13 13:42):这个无穷序列的集合是不可数的,正如你的证明一样.
但是节点的集合,枝的集合,每个到节点路径的集合却是可数的.可数集可以逼近不可数的点集.
老师,如果把边按照如下规则标记为一个自然数,会不会找到一个V与2^N之间的一一映射呢:把根节点的边依次标记为N中某个数,除根节点外的其他节点必然有一条路径到达它,记路径出现的数的集合为S,S中最大的数为a,于是把当前节点的边依次标记为N\{1 ... a}中某个数,这样每个结点会不会对应为一个N的子集
我的回复(2013-3-13 11:00):没有回路树的枝一一对应着它指向的节点,节点也对应着它的路径,节点可数,它门也是可数的.这路径和经过的节点虽然可以看成是节点的子集,但它们的全体只是部分的子集,所以也是可数的.
有回路的图,边是由两个节点决定的,可数集的乘积也是可数的.你最好自己先动一下脑筋再提问.这些都是很简单可以推理的.
我的回复(2013-3-13 08:53):不一样.任何给出的节点都是对应着一个有限的自然数.所有节点的子集的集合才对应着2^N.无穷集合不能凭直觉,一切按定义来逻辑推理.
当然,这不难证明.
昨天想了下,好像不是可数的.如果每个结点都有可数无穷条边,而每个节点引出来的路径的长度又是可数无穷的,那么可以构建一个树节点与自然数的所有子集的集合之间的一个一一映射
我的回复(2013-3-13 08:27):这不是和子集对应的事,仔细看看证明中的逻辑,这里只用到双向一一映射的定义.
我的回复(2013-3-13 00:08):当然,这不难证明.从根开始,每一层逐个数过,这将自然数一一映射到树中的节点,反过来考察树的任何一个节点,都能和一个自然数对应.所以这个树中的节点是可数的.即这无穷个节点的集合是可数的.
但是如果把这树看成无穷小数来逼近实数,被逼近的实数集却不是可数的.那是因为实数虽然可以被逼近,但不是有限小数,它不是树的节点,它没有被这样的映射"数"到.这就是何教授用分叉树表示实数,想以此证明是可数的错误之处.