一个复数 x 叫做超越数(transcendental number) 的意思是说,对于任何 Q 上的多项式 f(T),若 f(x)=0,则 .否则,就叫做代数数(algebraic numnbers).
不难看出,x 是代数数的充分必要条件是 . 因为,若 [Q(x):Q]=n,则 1,x,...,xn+1,不可能在 Q 上线性独立. 所以可以找到不全为零的有理数 , ,..., ,使得 .所以 x 是代数数.
所有代数数形成的集合,变成一个体.(证明不是很容易,但是读者值得自己做做看.) 5
超越数和无理数并不一样.有理数是可以写成 型式的数,其中 p 与 q 是整数, .
法国数学家 Joseph Liouville(