[评注]  (1)在有限区间上,以f(x)或f′(x)有界为条件,只有下述命题是正确的:"设f′(x)在(a,b)上有界,则f(x)在(a,b)上有界".

(2)在有限区间上,以f(x)或f′(x)无界为条件,只有下述命题是正确的:"设f(x)在(a,b)上无界,则f′(x)在(a,b)上必无界".(3)在无穷区间上,以f(x)或f′(x)无界为条件,分别推不出f′(x)或f(x)关于有界,无界的结论.

[例9]  设0<a<b,证明 .

[证明]  要证明 ,只要证明

记f(x)=(1+x)lnx-2(x-1),则f(1)=0,

f′(1)=0.当x>1时

所以当x>1时,f′(x)>0;当x>1时,f