设函数在闭区间上连续,且与异号(即),则在开区间内至少有一点使得.
零点定理说的是,比如下面函数在闭区间上连续,其两个端点位于轴的异侧,那么该函数曲线必然与轴至少有一个交点,也就是下图中的:
设函数在闭区间上连续,且在此区间的端点取不同的函数值:
则对于与之间的任意一个数,在开区间内至少有一点使得:
设,易知在闭区间上连续,且与异号.根据零点定理可知,开区间上至少有一点使得:
介值定理说的是,只要位于,之间,那么必然有:
在闭区间上连续的函数,其值域为闭区间,其中和依次为在的最小值与最大值 设以及,其中.在(或)运用介值定理可知可取到区间的一切值,又以及,所以的值域.
上述推论说的就是在闭区间上,连续函数的函数值会在和之间变化: