1. 命题
左边等号成立当且仅当  ,右边等号成立当且仅当  . 2. 命题等号成立当且仅当  . 3.命题两边等号成立均当且仅当  . 4.命题两边等号成立均当且仅当  .
推论5. 命题6.  不等式
7.均值不等式
有 均方根QM  算术平均AM  几何平均GM  调和平均HM,即:
当且仅当  时,取等号.
推论由算术平均  调和平均,化简即可得.
注:均值不等式"均方根QM  算术平均AM"可以由柯西不等式推出. 还可以这样:
取算术平均有:
所以:
即 :
8.三角(Triangular)不等式
一般形式: 对  维向量  ,利用两边之和大于第三边:
当且仅当  时,等号成立.
即:
特别地,当维数为  时,有:
左边等号成立当且仅当  ,右边等号成立当且仅当  .
和左边等号成立当且仅当  ,右边等号成立当且仅当  .
9.柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式
等号成立当且仅当  为常数或  .
注: 上式即:在  维欧式空间  中,向量  ,有:
连续函数上的柯西-施瓦茨不等式 设  在  上可积,则有:
等号成立的必要条件是存在常数  使得  .
多元函数上的柯西-施瓦茨不等式 设二元函数  在平面区域  上可积,则有:
10. 琴生(Jensen)不等式
如果函数 在区间  上是向下凸的(二次导数大于 ),且  ,就有:
对于严格凸函数,等式成立当且仅当  .
更一般地,加权的琴生不等式,如果 ,且 ,就有:
连续函数上的琴生不等式函数 在 上连续,且  ,又 是  上的连续的凸函数,则有:
11.切比雪夫(Chebysev)不等式
又叫马尔可夫不等式,通俗说法:顺序和 均值和 逆序和.
而排序不等式:顺序和 乱序和 逆序和.所以两者基本表达差不多意思.
证明方法:先证顺序和大于一个乱序的乱序和,再由数学归纳法,得出结论.
连续函数上的切比雪夫不等式若函数 是 上的连续函数,且  在 上单调性一致,则有:
对于实数  且 和正实数 ,有当且仅当 时取等号证明:记
对于实数  且 和正实数 ,有注:幂平均不等式是多变量的广义形式的均值不等式.