证明  假如结论不成立(附图12),就在O a O b 的同一侧,自点M 作O a O b 的一条垂线.设O a O b 与a 和b 分别交于P 和Q .由于PO <PQ +QO ,故有PO a <PO b ,以及QO b <QO a .因之M 必须在a 和b 所成平面区域的内部,则在点M 所作的垂线必与a 或b 相交.如果它与a 相交于A 点,则将推出AO a =AO 以及AO a =AO b ,因之AO=AO b ,即A 也是b 上一点,此与定理的假设相矛盾 (5) .
附图 12引理5  如果a ,b 和c 是三条直线,它们有公共端点ω ,且关于此三直线的反射分别用Sa ,Sb 和Sc 来表示.于是存在具有端点