虽然我们主要感兴趣的是紧流形情况,但是非紧的情况也是无法避免的,所以最好把非紧的情况也包括进来. 在形式上,用 表示 上具有紧支集的 形式的全体. 由外微分运算 的定义,  所以有链复形
这个链复形的第 个上同调群记作 称为具有紧支集的de Rham群.
上面的论证似乎没有用到可定向性,但事实上用了.我们有一个类 使得 . 即为 的基底,如果没有可定向性,就不能在 上积分.从下面不可定向的情况的证明就可以清楚地看到不可定向的后果. 若 是 上的一个 形式,我们想证明  且 均有紧支集,利用单位分解,只需考虑  的情况. 若  由 上的结果即得所求,所以设  如果和前面一样作一串局部坐标  我们设 已经按一定方式定向,而且适当选定 的定向使得 为保持定向的,这里只对 选定向而不是对 选定向. 但若 不可定向,则至少有一族 使得  而 逆转定向,取形式 使 和前面一样,使得 和前面一样,有
它与 无关,因为换一个 必有 而代入上式时,常数 会消去,所以我们得到映射 的一个不变量,称之为 的映射度(degree) 记作 . 由定义,这是一个实数,如果你不知道前因后果,看到下面的定理,也许会大吃一惊.