其中k1 ,k2 ,k3 是由向量a,b,c,r所唯一确定的实数.

图1-12证明 因为a,b,c不共面,所以a,b,c都不是零向量,也不相互平行.将向量a,b,c,r移至同一始点O,设 如图1-12所示.过R点作三张平面分别平行c与b,a与c,a与b所张成的平面,并与a,b,c所在的三条直线的交点分别记为A,B,C.由向量的加法的定义可得

另一方面, 分别与a,b,c共线,则存在实数k1 ,k2 ,k3 使得

所以r=k1 a+k2 b+k3 c.再证实数k1 ,k2 ,k3 是唯一确定的.假设存在另一分解r=λ1 a+λ2 b+λ3 c,则(k1 -λ1 )a+(k2 -λ2 )b+(k3 -λ3 )c=0