二重积分及线积分间有一重要的关系 即可将在平面上一区域的二重积分 以此区域的边界的线积分来表示.定理1.(Green 定理). 设 为平面上一开集合 为 中一逐段平滑的简单封闭曲线 且其内点亦在 中.又设 及 为二实值函数 且在 中有连续的一阶偏导数.其中 为平面上 及其内点所构成之集合.
同理若 为一第二型的区域 亦可证明 (4.3) 成立.故若一区域同时为第一型及第二 型 则 Green 定理成立.至于对较一般的区域 Green 定理仍成立 但其证明超出这里的范围 我们不拟多讨论.
例 4.设 及 皆为连续的实值函数 其一 阶偏导数皆存在且连续 且对所有 属于平面上某开集合 
其中 为 中任一逐段平滑的简单封闭曲线 且 的内部亦在 中.