Mr Thursday在介绍几率的一篇文章中,谈及人们可以利用期望值的概念,对不确定的事情的价值进行估算.这次我想谈谈一个和期望值有直接关系的悖论 - 圣彼德堡悖论﹝St Petersburg Paradox﹞ 圣彼德堡悖论所提及的情形是这样的,如果现在有一个游戏,首先掷一个铜板,如果掷出正面,你便会得到1元,这样游戏便结束了.但如果掷出反面,便要再掷一次,如果在这个时候掷出正面,便赚2元﹝2^1﹞,同样,掷出反面的话便要再掷一次.在如果在这次才掷到正面,你便得到4元﹝2^2﹞,如果是反面则再掷,一直继续,直到掷出正面才结算. 总括而言便是"出现反面便再掷,如果出现正面你便得到x元,x是2的n-1次方(x=2^(n-1)),而n则是一共掷了多少次". 这个游戏的结果是一种"不确定的事情"﹝因为我不知道会出现多少次反面啊﹞,人们如何估量这种事情的价值?换句话说,就假设这个个铜板真是是1/2 机会出现正面,1/2 机会出现反面,你会愿意付出多少钱来换取可以参加这个游戏的权利?
Posted by Mr. Saturday 我们都看过一些统计数据,说台湾民众之中,有超过七成或是八成认为媒体是台湾的乱源,这些人完全不相信媒体. 这些统计数据三不五时总是会被搬出来,久而久之,经过民众的再三确认,媒体跟乱源画上等号似乎是天经地义的事情,社会的共识,也好像是这样子没错.好吧,我直接告诉各位,这些统计荒谬得可笑,错得离谱.看到这边,你可能会以为我居然要跳出来帮媒体说话.不是,我只是要跟你讲,为什么台湾人民痛恨媒体,但是媒体却一天比一天猖狂.
你看到一套防毒软件,这个软件声称会对你下载的所有档案都扫描一次,病毒侦测准确度达99%. 这个"99%"令你眼前一亮,心想︰"这个软件看来相当可靠,准确度99%呢﹗﹗"于是你便把它买下,并成功把它安装了. 安装了这个软件一段日子,有一天,这个软件突然响起警报,这个时候最正常的问题便是"我下载的档案真的带有病毒吗?"又或者说,这个软件误鸣的几率有多高?现在你的眼前有三扇门1 2 3 ,其中一扇门背后的是巨额奖金,另外两扇门的背后则是"很感谢你参加这个游戏,祝你下次好运",游戏主持人示意你选择其中一扇.在主持人和观众的喧闹声之中,你战战兢兢地选择了1号 .这个时候游戏主持人问︰"你真的要选择1号门吗?"你说︰"是的."在这个时候,游戏主持人没有立刻揭盅,他把2号门打开了,你很紧张的往里面看,幸而2号门并没有你在造梦时也想得到的奖金,正当你松一口气的时候,主持人对你说︰"我现在给你多一次机会,你要坚持选你的1号门,还是转为选3 号门呢?" 这个便是十分有名的Monty Hall problem,这个名字来自当年美国一个类似游戏的节目主持Monty Hall. 你会怎么选?
在算术平均数(上)文中,我一开始便说算术平均数(Arithmetic mean)是以删掉资讯来换取简洁的表达,但文中只简单提及了在用平均数时我们失去了方差(Variance)的资讯,这次就让大家看看平均数在不同的情况下,分别删掉了什么吧. 还记得Windows XP 和Mac OS X的例子吗?如果你为你的程式在Windows XP 和Mac OS X 的环境下分别进行了1000次测试,得出的结果是︰在Windows XP中程式运行所需时间平均30秒,而在Mac OS X中则平均10秒.当有人问及你相关的资料时,你可以有以下三种回答方法︰ (1)XP 第1次︰32秒,XP第2次︰29 秒,XP第3次︰31秒.....OS X 第1次︰8秒,OS X第2次︰12 秒...........................(把所有测试的结果通通列出来) (2)OS X 的1000 次测试中,平均时间10 秒,Windows XP 的1000 次测试中,平均时间30秒 (3)在Windows XP 和Mac OS X 的2000 次测试中,平均时间20 秒. 有看算术平均数(上)的读者们,应该知道我又想说"(3) 的资讯比(2)少,(2)的资讯比(1)少"和"三个答案没有谁对谁错,答哪一个才好是取决于对方想要什么"但如果我们是知道对方想要什么资料的话,这三个答案便有好坏之分.
统计学工具,可以协助我们把多余的资讯删减,令人们可以更清楚方便地看到他们需要的资讯.以大家一定懂得的"算术平均数"(Arithmetic Mean)为例,如果你编写了一个改图程式,为了测试它的速度.你在不同的环境,不同的时间,重复运行某功能1000次,然后把所需时间记下来.这个时候,如果有人问及你一些有关你的程式的运行速度的资料,你可以把你的测试告诉他.在报告测试结果的时候,你可以选择说︰ 1. 第1次︰38秒,第2次︰36秒,第3次︰37秒,第4次︰38秒....(把所有记下来的时间读出来)........... 或 2. 平均运行时间是37秒. 这两个答案没有谁对谁错,要回答哪一个就取决于对方想要什么?想要仔细的资讯?还是想要一个简洁,但又具代表性的数字?但可以肯定的是,2.的资讯比1. 的要少.因为如果我得到1. 中的资讯,我可以把2.所提及的平均数计出来,但我只知道2.的话,却不可以把1.的资料计出来.换句话说,为了换取简洁,我们使用"平均数"这个工具,把一些我们认为是多余的资讯删去了. 读者可能会说,这只是小朋友都懂的算术题,有必要说得这样复杂吗?如果这些说话只是在一般朋友间的对话中,可能问题不大,反正大家在很多时候都只是想看个大概,细节上有什么误解也无伤大雅.但当这些平均数被广泛用在广告,公共资讯(如天气预告)和资讯纪绿(如成绩单)中,我们就得费点工夫去了解,这些平均数是在说些什么了,或者他们删除了什么了.