(恭喜NIP拿下IEM欧洲区冠军,恭喜阿汤哥获得了他加盟NIP之后的第一个大赛MVP,不禁让人感叹这就是TOP3啊)
感谢尚岸群做题群某位群友分享的一道名古屋大学过去问原题,让我有了做这一期的灵感,同时也是帮助我复习了一下这个方面的知识点.Gamma函数和Beta函数相关的问题是日本大学院入试出题非常喜欢考的问题,但是在国内的大学数学学习中其实这并不是一个重点.所以借着这个机会来简单聊聊这两个函数是什么,以及有什么样的用途.1.Gamma函数形式:
性质:
(1)
(2) 若
(3)
其中前两个性质依靠分部积分就能得到结论,这里就不多加赘述.下面对第三个性质进行证明:
令,(注意到这里的A显然是一个正数)
因此结论(3)得证.
2.Beta函数
形式:
性质:
3.在研究三角函数时的应用
下面我们来看看Gamma函数和Beta函数在研究三角函数的时候有什么样的作用:
令  ,令则有:
运用Beta函数可以大大减少三角函数积分的计算量,下面我们来看个例子:
(1)  其实就是一个Beta函数,而通过前文对Beta函数的阐述我们可以发现  ,因此交换n,m的次序并不影响Beta函数的取值.
下面分n为奇数和n为偶数两种情况讨论:(用了上文中Gamma函数的三条性质)
原式PS:利用这种方式同样可以求得 5.一些思考
Beta函数和Gamma函数作为一种求解定积分的新工具,有着非常优秀的性质.对于Gamma函数性质的一些证明是需要掌握的,在过去问中出现频率相当高.