如果d是无理数,c是任意实数,那么对于任给正数ε,有整数m,n存在,使
和狄利克雷定理一样,我们可以假定m是正整数,并且满足(2)式的m,n有无穷多对.
7.8 幂的前n位数字
现在我们可以解决第3节中提出的问题了.
设自然数a不是10的整数幂,b是一个n位数,要证明在
中有一个数,它的前n位数字组成b.
我们在上节的定理中,取
d=lga(d是无理数!),
于是有正整数m及整数n'存在,使
即
n'+lgb<mlga<n'+lg(b+1),
也就是
我们可以取m为很大的正整数(因为m的个数是无限的),从而由(2)式左边的不等式看出n'也是正整数,这时am
的前n位数字组成b.
7.9 马勒的定理
1981年,联邦德