那么就可以通过多次对 加上 的倍数来降低 的次数.
问题转化成了快速地求 ,只要将 普通快速幂 中的乘法与取模换成 多项式乘法 与 多项式取模 就可以在 的时间复杂度内解决这个问题了.
发现若能将两边的 消去后得到多项式 满足 其中 为一个 的零矩阵.
假设我们要求 可以构造多项式 那么 ,而现在我们可将 写成 而其中零矩阵是没有贡献的,那么 .
但是注意矩阵乘法不满足消去律,此处我们定义矩阵 的特征多项式为 ,其中 为一个 的单位矩阵.Cayley-Hamilton 定理指出 ,我们观察 的形式较为特殊,为下 Hessenberg 矩阵,其特征多项式比起一般矩阵更容易计算.
我们关注 的第一行就是 已知,那么 可在 时间简单得到.求出 则可用快速幂和多项式取模与上述解释是一样的.该算法常数较大,使用生成函数可以得到一个常数更小的算法,见 一种新的线性递推计算方法.