高考数学题参考解答 (21)设pi=(xi,yi)[坐标],a=p1,b=p2,p=p3,q=p4. (i)为了证明p在椭圆上,只要证明p满足方程,即x3^2+y3^22=1. 但是由条件,x3=-x1-x2, y3=-y1-y2, 而p1,p2是椭圆和直线的二个 交点.所以, x1^2+y1^22=1 x2^2+y2^22=1 y1=1-(√2)x1 y2=1-(√2)x2. 由此解得 p1=((√2)4+(√6)4,12-(√3)2), p2=((√2)4-(√6)4,12+(√3)2). 将此结果代入p3的表达式,即得 p3=(-(√2)2,1),显然p=p3满足椭圆方程,故其在椭圆上. (ii)为了证明4个点在同一圆上,应该证明向量pa与pb的夹角同向量 qa与qb的夹角互补,即成立等式: cos(pa,pb)+cos(qa,qb)=0.(*) 根据公式 cos(pa,pb)=pa·pb(pa^2*pb^2)^(12), cos(qa,qb)=qa·qb(qa^2*qb^2)^(12), 将上面计算得到的分量代入,经过容易而并不复杂的计算,就可以得 到等式(*).