分析与解 如图.将$13$个数排成一圈,其中任何相邻的数都不能同时取.从$1$开始逆时针顺序把数染成实心和空心,则所有空心圈对应的数符合题意,共$6$个.且若$k$超过$6$个,则必然会出现两个数相邻,因此$k$的最大值为$6$.
下面给出一道练习:
可以将这$99$个数排成一圈,从$1$开始,将$1$染成实心点,与$1$的和为$99$或$100$的点染成空心点,与空心点和为$99$或$100$的点染成实心点,如下图:
满足条件的$50$个数只可能为所有标为空心点的数,即$505152\cdots9899$,所以它们的和为$$50+51+\cdots+98+99=3725.$$
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