1,设函数 在区间 上二阶可导,且 , ,证明: , 证明:对 ,将 在 点展开,然后分别取 ,由泰勒公式得 两式相减得, ,两边取绝对值 因为当 时, ,于是当 时, . 2. 在 上连续,且 ,求证: .(提示:类似于上例) 3,设 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件 ,其中 都是非负数, 是(0,1)内任意一点,证明 [分析] 如果函数高阶可导,并给定了函数的导数或函数的值,要求估计一个函数的界,往往要用taylor展开式. 证明: 因 在 上具有二阶导数,故存在 使得 同理存在 使得 将上面的两个等式两边分别作差,得 即 因此 而 ,故 . 4,设 当设 时,设 ,证明: (提示:类似于上例) 5,设函数 具有一,二阶导数, ,且 ,证明: 证明:由于 , ,所以存在 ,使得 将 分别在 点泰勒展开,并注意到 , , 两式相加得 ,记 注意到 ,于是 ,所以 , . 6,f(x)在[0,1]上二阶导数存在,且f(0)=0,f(1)=1, ,证明:在(a,b)内至少存在一点 ,使得 证明:一方面 , 另一方面 , 从而有 ,设 ,所以 . 7,设函数 在 上二阶可导, ,且 ,试证:在 内至少存在一点 ,使得 证:由题设知,存在 ,使得 ,且 将 分别在 处展开 两式变形为 (1)当 时,取 ,有 ; (2)当 时,取 ,有 8,设 在 上具有三阶连续导数,且 ,试证:存在 ,使得 证明:分别将 和 在 处展开 两式相减,得 由于 ,则 在区间 上有最大值 和最小值 可以看出 ,由介值定理得,存在 有 9,(2005年市赛)设函数 在 上具有连续的二阶导数,证明:存在 使得 [分析]由于题目所证结论中含有二阶导数以及 ,结合对称性,可以考虑将函数 在点 处作泰勒展开进行证明 证明:将函数 在点 处作泰勒展开,并分别取 和 得到 ,其中 ; ,其中 . 两式相加得到 由于 连续,由介值定理知,存在 ,使得 ,从而得: 即: . 10,设 在 上二阶可导,且 ,则在 内至少存在一点 ,使得 证明:将 分别在 处展开 两式相减,移项,同除以 ,并取绝对值,考虑到 11.设 在 上三阶可导, .求证: ,使 . 证明: 由泰勒公式得 在上式中令 ,和 得 (1) (2) (2)式减(1)式得 ,从而 故 ,使 12,(2001年市赛)设 在区间 上具有二阶导数,且 , ,证明: 证明:对 及 ,使 ,于是有 ,从而 ,于是 若对 ,上式都要成立,则只要 13.设 在 内二阶可导且 ,证明:对于 内任意两点 及 ,有 . [分析] 设 ,由条件可知 ,于是 在 具有一阶泰勒公式,由此证明结论. 证明: 设 ,则 ,且 在 处的一阶泰勒公式为 ( 介于 与 之间). 因为 ,所以 ,从而 对任意 ,有 用 乘 式加上 乘 式,整理化简便有 [评注]12,13,14,15,16,17题证明方法类似. 14,设 在 内二阶可导,且 ,证明:对任意 个不同的点 有 证明:取 ,将 分别在 处展开 将上式从1加到 ,考虑到任意 个不同的点,得到 ,得证. 15,证明:对任意 个不同的点 , 16,设 在区间 内二阶可导,且 ,则对任意的 17,设函数 在 上 ,证明: 证明:取 ,由泰勒公式得 取 得到 ,两边从 到 积分 考虑到 ,得知后一项的值为0,从而得证! 18,设 ,对于 成立,试证: . 证明:由泰勒中值定理得 , 两边关于 从 到 积分得并注意到 = . 19,设函数 在 上有连续的二阶导数,证明:在 内存在一点 使 . 提示:把 在 点展开后 积分即得. 20,设 在 上的正值函数, ,证明: . 提示:把 在 点展开后根据二阶导数大于等于0得到不等式后 积分即得.