设m,n为正整数,p为素数,则C(下m+n上m)含p的幂次等于m+n在p进制下的进位次数.简要证明 组合数 所含p的幂次数为 = 这是因为组合数公式 以及n!含有素数p的幂次公式vp(n!)= .对于某个p^i, 等于m在p进制表示下去掉后i位,在第i+1位上,m+n在这一位上进位的充要条件是 =1,不进位则 =0.因此 就是m+n在p进制下的进位次数. 应用举例 例 (2014 CMO [1] 30,4,21分)求具有下述性质的所有整数k:存在无穷多个正整数n,使得n+k不整除 .解 ∵ = = ,∴ = - 是整数,∴n+1| 对任意正整数n成立,从而1不满足要求.当k≤0时,取n=p-k(p为奇素数,p-2k),满足要求.当k≥2时,取k的一个素因子p,选取正整数m使得p^mk,令n=p^m-k,我们证明:n+k不整除 .显然有n0,由n∴2n=n+n最多进位m-1次. 由库默尔定理, 最多有m-1个p,∵n+k=p^m,∴n+k不整除 .从而存在无穷多个n满足要求.综上,k是整数且k≠1. V百科往期回顾 词条统计 浏览次数:次 编辑次数:6次历史版本 最近更新: Andyqian7(2020-07-22) 突出贡献榜 hwh97 1 简要证明 2 应用举例