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任何一个三维流形,如果佢嘅所有同伦群都同三维球面嘅同伦群无分别(第一同第二个同伦群都要系零),咁佢就同三维球面同胚 -- 即系系拓扑学上冇分别.
阿 Jules Henri 本系1900年希望同调群零(唔使同伦群零,一个弱啲嘅条件)就够, 但佢自己好快发现咗个反例 -- 著名嘅庞加莱同调球(又叫正十二面体空间).
任何一个三维流形,如果佢系一个单连通流形(即渠上面所有闭曲线都可缩成一点),咁佢就同三维球面同胚.
可能因为条问题太简单,所以难入手. 虽然佢嘅高维数姐妹题, 分别由两位天才 Stephen Smale(五维以上,1960's) 同Michael Freedman(四维,1982)解决;但系𠮶的方法喺三维行唔通.(想知详情嘅读者可问一问丘成桐教授)
William Thurston出场:三维流形几何化构想[编辑]
1970年代,William Thurston 提出:任何一个三维流形都可以被切成几旧,每旧都属于佢指定嘅八种类型几何之一.
Hamilton 嘅构想唔太难理解.佢要个三维流形嘅度量 gij 沿一特定方向变化 (即系 Ricci 流; "Ricci" 指Ricci张量 Rij;可变量 t 系"时间"),尝试令到个三维流形平平均均,睇渠到极限时变成点样.但一边平另一边又可能会突起,所以中途可能会产生 奇异集 (singularity),咁就要切开佢.到最后, 你会得到三维流形嘅自然分解,实现 Thurston 嘅构想.
但实行起来就有好多技术问题,例如:中途会产生边种奇异集? 点样控制? 想知详情嘅读者可问一问专家.(例如,写个电邮畀Grisha).
系2002年,圣彼得堡Steklov数学院嘅Grigory Perelman(一位研究Alexandroff 空间同埋 Ricci 流嘅专家)系  出咗篇文章,入面第三页话:
Grisha后又来登咗两篇文章补充, 但到底佢有无完全证明庞加莱猜想,就好难讲;佢短短三篇文,非常难理解,好多专家研究到现今,先至出咗几篇几百页嘅论文. 总之,佢贡献好大,好关键.
Grisha 系2003年春天,访问咗麻省理工学院一个星期,跟住访问纽约石溪州立大学两个星期,讲咗十几场报告.