任意整系数方程的有理根的定理. 有理根定理: 设,一有理系数方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0. 若有一有理数x 是f(x)的根,显然x =s/t,其中s,t∈Z且(s,t)=1,则|t|整除|a ,且|s|整除|a |. (注:不等价).有理根定理: 设,一有理系数方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0. 若有一有理数x 是f(x)的根,显然x =st,其中s,t∈Z且(s,t)=1,则|t|整除|a ,且|s|整除|a |. (注:不等价) 例:求f(x)=x-6x+15x-14的全部复数根 解 设f(x)存在有理根st,则t|1,s|14.因此t=1. 又当x0,恒有f(x)0.则f(x)的实根只能大于0, ∴s∈1,2,7,14. 带入f(x)试验知道2是f(x)的根,有x-2除f(x)得到q(x)=x-4x+7. 易得q(x)的根为2±√3i ∴f(x)的根是2,2±√3 i P(x) =anx+an−1x+ ... +a1x+a0,a0, ...,an∈Z,P(pq) = 0 ,p,q∈Z: -a0qn整除p,因为p,q互质所以a0整除p,p是a0的因子.同理可证明q是an的因子.