19.★(本小题满分10分)已知数列{an},{bn}都是无穷等差数列其中a1=3b1=2b2是a2与a3的等差中项且 .求极限 的值.
分析 首先需求出an,bn的表达式以确定所求极限的表达式为此关键在于求出两个数列的公差"b2是a2与a3的等差中项"已给出一个等量关系"an与bn之比的极限为 "又给出了另一个等量关系故可考虑先设出公差用二元方程组求解.
解 设{an},{bn}的公差分别为d1,d2
∵2b2=a2+a3即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1)
联立①②解得d1=2d2=4.
∴an=a1+(n-1)d1=3+(n-1)·2=2n+1
18.(本小题满分10分)已知数列{an},{bn}其中an=1+3+5+...+(2n+1)bn=2n+4(n≥5)试问是否存在这样的自然数n使得an≤bn成立?
分析 对n赋值后比较几对an与bn的大小可作出合理猜测再用数学归纳法予以证明.
解 an=1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)2
当n=5时a5=36b5=25+4=36此时a5=b5;
当n=6时 a6=49b6=26+4=68此时a62(k+1)2-4=2k2+4k-2
而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6∴k2>6)
即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2.
由不等式的传递性知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1.
由①②可知对一切n∈N且n≥6都有an<bn.
综上所述可知只有当n=5时an=bn;当n≥6时an<bn.因此存在使an≤bn成立的自然数n.
17.(本小题满分8分)某校有教职工150人为了丰富教工的课余生活每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计每次去健身房的人有10%下次去娱乐室则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问随着时间的推移去健身房的人数能否趋于稳定?
分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.