两条直线垂直的一个充要条件,即等差幂线定理. 等差幂线定理:PM⊥AB的充要条件是:若PM⊥AB,则有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2.等差幂线定理:PM⊥AB的充要条件是:若PM⊥AB,则有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2.证明:AP^2 一AN^2 = PN^2;AM^2 一AN^2 = MN^2.以上两式相减得①同理,BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2.②由式①,②得AP^2 一AM^2 = BP^2 一BM^2 .③证毕.反之,若有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2成立,则PM⊥AB.证明:设∠ANP=α,则∠BNP=π - α.故AP^2 一AM^2= AN^2 + PN^2  -  2AN·PNcosα+2AN·MNcosα一AN^2 一MN^2= PN^2 一MN^2 一2AN·PNcosα+2AN·MNcosα.BP^2 一BM^2= PN^2 + BN^2 一2PN·BNcos(π - α) 一MN^2 一BN^2 + 2MN·BNcos(π - α).= PN^2 一MN^2 + 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα.由式③得2AN·MNcosα一2AN·PNcosα= 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα,即MN(AN + BN)cosα= PN(AN + BN)cosα.从而,(PN 一MN) cosα=0,即PM cosα=0.因此,cosα=0.又因为0απ,所以α= π2.故PM⊥AB.