当  时,对原级数加括号得交错级数因此只需要证明上述加完括号后的级数的收敛即可 这里利用了如下的结论:
若收敛级数去掉括号后的通项仍以0为极限,则去掉括号后的级数也收敛,且和不变我们期望可以采用莱布尼兹判别法说明该交错级数的收敛性记  ,容易证明接下来我们证明  是递减数列方法一参考蒲和平"大学生数学竞赛教程"p286(采用的是暴力作差证明 ),但是书中的计算步骤是有错误的,读者可自行尝试纠正,我们这里分享另外两个巧妙的解法方法二故这说明由极限保号性知:  ,当  时有证毕方法三该方法具有一定的技巧性: