1.设A是m×n阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则( ).(B)
解析:因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式,而余子式为n-1阶子式,
C. 若A不可逆,则A=0
D. 若A可逆,则A=E
解析:因为A2=A,所以A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n,若A可逆,则r(A)=n,所以r(E-A)=0,A=E,选D.
D. 矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em 解析:显然由r(A)=m<n,得r(A)=r(A)=m<72,所以方程组AX=b有无穷多个解.选C.
经过了A的第1,2两行对调与第1,3两列对调,P1= =E12,
P2=
B-1=P-11P-12A-1,注意到E-1ij=Eij于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1,选C.
A. 当t=6时,r(Q)=1
B. 当t=6时,r(Q)=2
C. 当t≠6时,r(Q)=1
D. 当t≠6时,r(Q)=2
解析:因为Q≠O,所以r(Q)≥1,又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3,当t≠6时,r(P)≥2,
10.设A,B都是三阶矩阵,A=
+2A2,注意到A可逆,得- B=BA+2A或-B=3BA+6A,则B=-6A(E+3A)-1,
11.设矩阵A,B满足A*BA=2BA-8E且A=
于是-2B=2AB-8E,(A+E)B=4E,所以B=4(A+E)-1=
因为E-1ij=Eij,所以E2ij=E,
又r(A)≥1,r(A)=1,于是t=6.
设A=E-aaT,其中a为n维非零列向量.证明:
15.A2=A的充分必要条件是a为单位向量;
16.当a是单位向量时A为不可逆矩阵.
当a是单位向量时,由A2=A得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=aaT≠O,所以r(E-A)≥1,于是r(A)≤n-1<n,故A是不可逆矩阵.
设A为n阶非奇异矩阵,a是n维列向量,b为常数,P= ,Q=
18.证明:PQ可逆的充分必要条件是aTA-1≠b.
19.设矩阵A满足(2E-C-1B)AT=C-1,且B= ,C=
20.设a,β是n维非零列向量,A=aβT+βaT.证明:r(A)≤2.
r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT),
而r(αβT)≤r(α)=1,r(βαT)≤r(β)=1,
所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2.
21.设a是n维单位列向量,A=E-aaT.证明:r(A)<n.
22.设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=
当r(A)<n-1时,由于A的所有,n-1阶子式都为零,所以A*=O,故r(A*)=0.
23.设A为n阶矩阵,证明:r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量a,β,使得A=aβT.
设r(A)=1,则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例,
令α=[*],β=[*],故A=αβT,显然α,β为非零向量.设A=αβT,其中α,β为非零向量,则A为非零矩阵,于是r(A)≥1,又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,故r(A)=1.
24.设A为n阶矩阵且r(A)=n-1.证明:存在常数k,使得(A*)2=kA*.
26.设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=0.证明:r(A)+r(B)≤n.