设(a,m)=1(或存在x0和y0,使得ax0+my0=1),m≥2. 若有正整数d,使得m∣ad+1(即ad≡-1(mod m)), 记δ-m(a)是满足以上性质的最小正整数d,称为a对模m的半阶.性质1.: 当m=2时,δ+2(a)=δ-2(a)=1. 证略. 性质2.: 当m2时,δ+m(a)=2δ-m(a). 证: 若δ+m(a)≤δ-m(a), ∵aδ-m(a)+1=aδ+m(a)(aδ-m(a)-δ+m(a)+1), ∴m∣(aδ-m(a)-δ+m(a)+1),即aδ-m(a)-δ+m(a)≡-1(mod m). 由δ-m(a)的最小性,知: δ-m(a)-δ+m(a)=0. 但m2,不可能. ∴δ+m(a)δ-m(a). ∵a2δ-m(a)≡1(mod m), ∴δ+m(a)∣2δ-m(a). 又∵δ+m(a)δ-m(a), ∴δ+m(a)=2δ-m(a). 证完. 性质3.: 当m2时, m∣ah+1(即ah≡-1(mod m)),充要条件是δ-m(a)∣h,hδ-m(a)是奇数. 证: 设h=qδ-m(a)+r,0≤rδ-m(a), ∴ah+1=ar(a qδ-m(a) - (-1)q)+(-1)q ar+1. ∴m∣ar+(-1)q,即ar≡-(-1)q(mod m). ∵m2,δ-m(a)的最小性, ∴q不可能为偶数. ∴q= hδ-m(a)是奇数. ∵δ+m(a)δ-m(a)r,δ-m(a)的最小性, ∴r=0. ∴δ-m(a)∣h. 证完. 性质4.: 当m∣ah+1(即ah≡-1(mod m)),或m∣ah-1(即ah≡1(mod m))时, 均有δ-m(a)∣h. 证略.