如图,在平面内取一点作  OA ⃗  = a ⃗  , AB ⃗  = a ⃗  , BC ⃗  = a ⃗   则  OC ⃗  = a ⃗  + a ⃗  + a ⃗  .
这个向量  OC ⃗   的方向与  a ⃗   的方向相同;它的长度是 ∣ a ⃗  ∣ 的三倍,即  ∣ ∣ ∣   OC ⃗   ∣ ∣ ∣  =3∣ a ⃗  ∣
相似的,设(- a ⃗  )+(- a ⃗  )+(- a ⃗  )= b ⃗  ,则  b ⃗   的方向与  a ⃗   的相反;它的长度是 ∣ a ⃗  ∣ 的三倍,即  ∣ ∣ ∣   b ⃗   ∣ ∣ ∣  =3∣ a ⃗  ∣. b ⃗  =(− a ⃗  )⋅3=-(3 a ⃗  )=-3 a ⃗  .
即(- a ⃗  )+(- a ⃗  )+(- a ⃗  )=-3 a ⃗  
一般地,设 n 为正整数, a ⃗   为向量,那么我们用:
n a ⃗   表示 n 个  a ⃗   相加;
-n a ⃗   表示 n 个 - a ⃗   相加.
当 m 为正整数时, m  n   a ⃗   表示与  a ⃗   同向,且长度为  m  n  ∣ a ⃗  ∣ 的向量.
设 k 是一个实数, a ⃗   是向量,那么 k 与  a ⃗   相乘所得的积是一个向量,记作 k a ⃗  .
如果 k=0 或  a ⃗  =0,那么 k a ⃗  =0.
如果 k≠0,且  a ⃗  ≠0,那么 k a ⃗   的长度为丨 k a ⃗   丨=丨 k 丨丨  a ⃗   丨;
k a ⃗   的方向:当>0 时,k a ⃗   与  a ⃗   同方向;
结合律,m(n a ⃗  )=(mn) a ⃗  
分配律,(m+n) a ⃗  =m a ⃗  +n a ⃗  , m( a ⃗  + b ⃗  )=m a ⃗  +m b ⃗  