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微分拓扑学(Differential Topology)是处理微分流形和可微映射的一个数学分支,与微分几何密切相关,共同构成了可微流形的几何理论.微分拓扑考虑定义流形上的平滑结构的性质和结构,光滑流形比具有额外几何结构的流形更"软",它可以作为微分拓扑中存在的某些类型的等价和变形的障碍.
流形为可微(平滑)函数和映射的一般研究提供了自然环境,而微分拓扑则着眼于它们的基本属性,并提供了一些用于研究流形的基本工具.例如 Brouwer 不动点定理,该定理断言任何从闭合球到自身的连续映射都必须有一个不动点,以及定义和研究紧致可定向流形的欧拉特性.完成微分拓扑学的参与者将能够:
流形出现在数学的许多分支中,例如代数中的李群,相对论中的时空,力学中的相空间,动力学和微分方程中的状态空间.从拓扑的角度来看,流形没有局部不变量,它们在每一点看起来都一样,并且在同一连接组件中,给定点与任何其他点之间存在对称性.因此,人们在微分拓扑中提出的各种问题是全球性的.
微分拓扑在数学中具有核心重要性,在复杂分析和几何,微分几何,几何拓扑,全局分析,数学物理,偏微分方程和理论物理的所有领域都有核心应用,是每位研究数学家和理论物理学家所需的背景知识.