对于无穷数列,记,若数列满足:存在,使得只要(且),必有,则称数列具有性质. (1) 若数列满足判断数列是否具有性质?是否具有性质?(只需写出判断结果) (2) 求证:是有限集是数列具有性质的必要不充分条件; (3) 已知是各项均为正整数的数列,且既具有性质,又具有性质,求证:存在整数,使得是等差数列. (1) 数列不具有性质,具有性质. (2) 不充分性 对于周期数列是有限集,但是由于,,所以不具有性质. 必要性 因为数列具有性质,所以一定存在 且,满足,即. 记,由性质的含义可得对任意,均有 所以数列中至多有个不同的项,进而集合中至多有个元素, 故是有限集. (3) 设.不影响问题的本质,将从数列中去掉,然后将所有项都减去得到新的数列,记为那么有考虑到于是,,其中.这样我们就有接下来证明.由于 因此用数学归纳法可知该命题成立.也可以令得到. 最后我们证明.设,那么必然存在,使得,从而有此时考虑到记那么因此,从而,这就意味着. 综上所述,原命题得证. 未经许可禁止转载,转载请联系公众号数海拾贝.