我已给你了一般方法,要不你就没看懂,要不你就没看.
由(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1得,(k+1)^3-k^3=3*k^2+3*k+1令k=123..n代入上式得.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将上面n个式子相加得.
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+..n^2)+3(1+2+3+..n)
利用等式1+2+3+..n=n(n+1)/2代入上式.
3(1^2+2^2+3^2+..n^2)=3(1+2+3+..n)-(n+1)^3+1=3n(n+1)/2-(n+1)^3+1
解得1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6
设s(nn)=1+2^n+3^n···n^n要计算s(nn)可按下面给出的方法建立递推公式,由newton2项式定理得.
(m+1)^(k+1)-m^(k+1)=c(k+11)m^k+c(k+12)m^(k-1)+.c(k+1k)m^1+c(k+1k+1)其中c(k+1i)是组合数c(k+1i)=(k+1)!)k+1-i)!
2^(k+1)-1^(k+1)=c(k+11)1^k+c(k+12)1^(k-1)+.c(k+1k)1^1+c(k+1k+1)3^(k+1)-2^(k+1)=c(k+11)2^k+c(k+12)2^(k-1)+.c(k+1k)2^1+c(k+1k+1)4^(k+1)-3^(k+1)=c(k+11)3^k+c(k+12)3^(k-1)+.c(k+1k)3^1+c(k+1k+1)(n+1)^(k+1)-n^(k+1)=c(k+11)n^k+c(k+12)n^(k-1)+.c(k+1k)n^1+c(k+1k+1)将上面n个式子相加得,左边除两项外其他项抵消得.
此题就要看n的取值了.有一定的难度.
1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个结论在高中要记住,证明过程如下.
1^2+2^2+3^2+......n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式.
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加.
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
用1^2+2^2+3^+...n^2=1/6n(n+1)(2n+1)2㎡第15项到24项的和.
我是这么做的:设该数列为{tn}所以t1=2^1-1,t2=2^2-1,...,tn=2^n-1所以{tn}的前n项和sn等于t1+t2+tn=(2^1+2^2+2^3+...+2^n)-n=2*(1-2^n)/1-2 -n=2^(n+1)-2-n所以sn+n+2=2^(n+1)
记一个等比数列为an=2`(n-1),前n项和就有了,记为tn
则上面这个数列为,an=1+an,sn=n+tn
数列a1=1a2=1+2a3=1+2+2^2,.an=1+2+2^2+2^(n-1)的前几项和为sn
由于an=2^n - 1
所以sn=(2^1+2^2+..2^n) -n=2^(n+1) -n+2)
这个数列的第n项是1+2+2²+...2(n-1)=[1-2^n]/(1-2)=2^n-1.
则sn+n+2=(2-1)+(2²-1)+(2^3-1)+...2^n-1]+n+2
=(2+2²+2^3+...+2^n)-(1+1+...+1)+n+2=2^(n+1).
这不是裂项,是分组求和.
注:裂项适用于分式型的通项公式.
首先分组求和 分别求an=2n 和bn=n/2^(n-1)的前n项和 然后相减.
an是个等差数列 bn通过错位相减法求和.
*∑bn就是bn的前n项和.
这是一个发散级数 当n无限大时 和也为无限大 但是可以用ln(n)+ 来估计这个数列和的值.
常数约为.