大家好,我是宝刀君,是一名将军,也许你不了解我,但你只要知道我是像令狐冲大侠那样潇洒自由的将军就足够了,很高兴,我们又在知乎上见面了.
是不是有点看不清晰?
算了,重新上传个高清的吧,诺,就是这样:
在攻打完上一仗:洛必达法则失效的情况有哪些? - 知乎之后,我和我的小伙伴们经过短暂的调理休息,我们又重新出发了.
本来我们大部队是按计划继续往前走的,但谁知走到五霸岗这个地儿,我们就收了同伴发来的的大雕传书.
雕哥平时很威猛的,不知为啥,这次一见到我们,显得很疲惫,我们走进去一看,才发现大雕哥的脚丫子那儿充满了血迹,带来的传书也被鲜血浸泡的成为了黑红色.
"辣眼睛啊,好怕好怕"!助理惊叫了一声.
此情此景,我马上吩咐助理:"让队伍停止前进,就地安营,等候前进命令",我自己走到雕哥面前,伸手打开了传书,看看伙伴到底是遭遇了什么事?
信纸打开,上面的第一行"第二型曲线积分的计算"赫然在目,紧跟其后的第二行字是"含奇点的格林公式怎么破?"!
刹那间,我突然明白为什么伙伴们会发出求助信号了,我突然明白为什么雕哥会疲惫不堪的躺在那儿了.
又是那魔头考研数学派的小弟!
真没想到这厮这次竟然大下黑手,派出对大部分人来讲都挺难的家伙(格林公式)来坑害我的同伴!真是可恶至极!
不行,我不能坐视不理,我的同伴既然能像我发出求救信号,这说明他信得过我,毕竟人在危难时刻发出求救时的对象,都是他自己觉得最能帮他的人.
原来这就是信任的力量!我瞬间觉得自己有一种使命感!
"助理,去叫一下咱们的智囊团,我们接下来研究研究对策,记住,一定要把格林前辈请来".
"是的,将军"
不一会儿,我的营帐里坐满了所有的智囊团,所有数学系的顶尖大牛聚集在一起,场面异常壮观!
很快,我就发表了自己针对此事的观点:
"各位数学系的大牛老师们,咱们这次遇到了了同行伙伴的求助,这次敌人"考研数学"派出了2大悍将,一个是"第二型曲线积分的计算,另一个是含奇点的格林公式怎么破?相信诸位已经看到了,同伴已被敌方打的伤痕累累,既然咱们都是同道中人,那就应该同仇敌忾,互相帮助,本将军打算先就地解决完这个问题再走,不知各位前辈意下如何?诸位给出点意见!"
"第二型曲线积分的计算,根据我的研究,它在真题中历年只考2个点".格林前辈坚定的说道.
"哦,2个点,哪2个点呢?"
"一个是考利用格林公式来计算曲线积分的问题,另一个是考做功与路径无关的问题,敌人虽然抛出来的是第二型曲线积分的计算,但是但凡真正遇到敌人(真正考试)那一天,要考这个点,那肯定是考格林公式的相关应用"
"格林老师,您的意思是:其实最终还是在围绕着格林公式在考?"
"对的,是这样的呢".
格林前辈说完后,我马上陷入了沉思,我在回忆当初格林老师教我那套他自己自创的"格林公式"的刀法套路.
我还记得格林老师当时教完我之后,顺便给我说了他这套刀法的使用条件:
条件1是封闭且正向,条件2是保证函数及其偏导数在域内连续有定义,这些我都还能记得.
"格林前辈,我记得您上次讲过你创造的这套刀法,我课后亲自用过,确实很方便呢,要不我现在就拿你这套刀法上阵杀敌?"
"将军,万万不可啊!实不相瞒,我跟敌人(考研数学)也打交道了多年,对方每年怎么给我使绊子,我是一清二楚啊"
"哦,使绊子?这个怎么讲?"
"哎,将军有所不知啊!早年我在磨坊工作时,白天工作,晚上自学从布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍,经过自己的潜心研究,终于自成体系!研究出专门针对第二型曲线积分的计算办法 - 格林公式法,这套刀法,对第二型曲线积分的计算时带来了大大的方便!"
"恩恩,格林前辈勤勉的工作,大家有目共睹,我一直很钦佩!"
"可是渐渐的,我发现,我的这套刀法使用起来有条件限制,不能随随便便乱用,如果乱用,只会导致练武之人自己走火入魔!况且近一二十年来,敌方考研数学也发现了我这个刀法的使用限制,因此经常给我使绊子".
"奥,原来是这样啊,那老贼给你使啥绊子呢"?
"将军请看,他们经常这样限制我"
我仔细看了下,原来对方是以牙还牙啊.格林公式是用来计算第二类曲线积分的,由于它的使用有两个条件,因此敌人经常去破坏这两个条件,"格林前辈,那您有办法破解这个吗?"
"有是有,只不过我需要支持"
"需要什么你随便讲,无论是人力,资金,我都可以尽全力去支持你"
"资金上倒是不需要,我只需要个援手,援手先给我打头阵,先帮我扫清了前方的障碍之后,我就可以施展拳脚,展现我的刀法了!"
"哦,原来是这样,那就由我来打这个头阵吧,不管怎么说,最后一次和敌人(考研数学)应战时,都是我一个人去解决的,该来的躲不去,未来这场未来3小时的厮杀,在所难免,倒不如现在就开始和他过过招!"
"将军说的在理,不过将军不要担心,只要你接下来按我说的做,咱们两联手,就可以顺利解决这类问题的呢"
"好的,没问题"
接下来,营帐里一片安静,都在听格林前辈讲话.
"老夫创造的这套刀法,凡练武之人在使用时,一定要摸着胸口问自己三个问题:
一封闭吗?
二正向吗?
三连续吗?
如果不封闭,那就加线减线,如果不正向,那就添个负号就可以,这两个都不会给我造成什么困难,真正会给我造成威胁的,其实是第三个条件的破坏 - 不连续!"
助理,你将大雕兄弟传来的题目拿过来,我给将军解释什么是第三个条件的破坏".
助理呈上了敌人给的这道题:
"诸位请看,敌人这套题,积分函数是一个分式,这个函数在积分区域D内不连续,甚至无定义,这个原点就是大家平时听到的"奇点"(qi dian),我把它称为内奸.
这个内奸的存在啊,极大地限制了我这套刀法的使用,于是身边有同僚建议,把这个内奸给我挖去,把这个内奸给扣掉,把这个内奸给我阉割了!
同僚们怎么做的呢?
老夫是个有菩萨心肠的人呐,同僚们阉割奇点阉割内奸的做法让我下不了手啊,虽然同僚们是想让我出出风头,去解决这个二型曲线积分的问题,但是手刃二型曲线积分的原始办法是转化成定积分,犯不着因为要重用我一个人而造成不必要的伤亡啊!
后来,我在夜晚油灯下,仔细研究同僚的招数,惊人的发现,原来他们所谓的"挖去,扣掉,阉割" 并不是真正意义上的"挖去,扣掉,阉割"啊,这只是虚晃一枪,这里面有个循序渐进的过程,给大家造成了错觉.
诸位不妨回想一下第二型曲线积分产生的物理背景:变力沿曲线做功!
功等于什么?力乘以位移.
对于上面这个题,假设力沿着曲线做功,从起点A出发开始走,走到B点时,它其实是沿着向下的那条线往下走,绕着咱们构造的这个曲线C一圈,然后回到B点,再继续沿着原来的方向走!因为力沿着曲线向下,转一圈后又沿着曲线向上,力的大小相等,方向相反,所以这两段一下一上做功刚好抵消掉.因此,这就给大家造成一种错误的感觉:"哇,这是个奇点我取不到,所以我把它给挖去了啊"!
用图表示就是这样:
因此,事实上这里根本就没有"挖掉奇点"这一说,它本质上是对做功相等的一种路径的恒等变形!
因为对于同样一个力,沿着曲线L和沿着曲线L+C做功,数值是相等的!即:
"格林前辈,我有个问题:你里面的这个椭圆,沿着沿着图中标的逆时针方向,这是正向还是负向啊?"
一旁的助理答道:"逆时针为正向,顺时针为负向"
"这种回答是错误的",格林前辈振振有词的说道,"正负向的判别不是以顺时针逆时针来看的,而是根据你这条曲线围成的区域,你沿着曲线走时,你的左手是不是一直在区域D内!如果是,那就是正向,如果不是,那就是负向!与顺逆时针没有一点关系!"
用图表示,就是这样:
听到这里,我明白自己该怎么做了,"前辈,我去打头阵,我在L内补这样一个曲线C,就按你的同僚的打法做"
于是乎,我和格林前辈联手在众人面前打出了如下的刀法:
"不错不错,真是精彩!大将军和格林前辈并肩作战,真是勇猛!分分钟灭敌人!"助理连连拍手称赞道.
"格林前辈,小女子跟随将军多年,对您的这套刀法也有所耳闻,也曾学过一段时间,不知小女子可否和您合作,就这道题发表下我的看法?"
"完全可以啊!都知道大将军勤学好问,没想到就连身边的助理也都熏陶养成了如此好的习惯,这对于提升部队的整体实力,有很大的鼓舞啊!"
"谢谢前辈,小女子献丑了!"
话说完,只见助理腾空一跃,用手中的剑勾勒出如下的破解法:
我仔细查看助理的剑法,发现和我的非常像啊,只不过他这里使用的是特殊值,取得椭圆方程很特殊,就用一个常数就可以了,看着更简单一些,最终答案也和我一样,哎,我要是早知道这个题还可以这样做,我想我会选助理的方法,它的太简单了.
"对了,好奇怪啊,为什么曲线方程要这样添加呢?为啥要添加一个椭圆?我添加正方形,长方形,三角形或者任意的曲线不行吗?"我的心里突然顿生出这样的疑问.
格林前辈好像看出了我在思考什么,这个老头,不得不服,每次我想啥,他好像都知道,尤其是他熟悉的东西.
"将军,你是不是在思考辅助曲线方程添加的原则是什么?"
"恩恩,是的呢"
"哈哈,被我猜中了,其实呢,理论上说,我们在曲线L里面可以添加任意的曲线C,只要你这个曲线方程C是在这个L内就行,但是我们不能忘记添加曲线C的目的:简化计算!
像之前给将军讲授的曲线积分,曲面积分,它们和二重积分,三重积分最大的不同就是:
"我的被积函数方程f(x,y)是可以用曲线方程y=y(x)代替的!"
因为这个被积函数f(x,y)是定义在某段曲线,某个平面上的,既然是定义在这里,那么当然可以带进去计算!而且是必须得代入,否则你没法算.
因此,出于简化计算的考虑,我们添加什么样的曲线C,就取决于这个曲线L的分母长什么样!
换句话说,在曲线L里面添加曲线C的核心目的是:去掉被积函数中的分母!
辅助曲线方程添加的原则是:分母长啥样,我就添加啥样的曲线C!
"格林前辈,您今天讲的内容比较多,像您创的这套刀法,为什么让别人帮你打个头阵(内部取同方向的曲线C)就可以了呢?您可以从理论上给证明下吗?"
"完全可以",格林前辈说完,快步走向前方,用大刀挥洒自如的给出证明:
挥舞完大刀,格林前辈对着大伙说道:如何选取这个辅助曲线C0(L1)呢?
选取的标准就是你可以把那个被积函数的分母给去掉!
说完后,继续表演,给出了结论:
看着格林前辈精彩的表演,我突然意识到:原来这就是所谓的转化啊!
一条路走不通了,我试着换一条路,两条路走的"功效"是一模一样的!
"感谢格林前辈精彩的讲解!您讲的这套刀法的使用条件,如何除掉内奸,转化的思想我已完全弄懂,非常感谢!"
"哈哈,将军不用客气,懂了就好,现在快去解救你的同伴吧!"格林前辈哈哈大笑.
"好的",顺着刚才的格林前辈的教导,我又重新推演了一遍,将信纸交给雕哥的爱侣 - 雕妹,让她寄给我的同伴.
"好了,现在同伴的危难已经解除,今天下午大家也耗费了不少精力,尤其是格林前辈,现在临近晚饭时间,不如开始准备晚饭吧!今天请大家吃羊肉!,助理,顺便再来3大坛上等的女儿红,奏上笑傲江湖!,明天继续赶路!"
好嘞!
笑傲江湖之五霸岗聚会_腾讯视频在大家一篇欢歌笑语中,我注意到一个细节:雕兄和高斯前辈一直在交谈,从今天雕兄和我们汇合后,他好像就一直和高斯前辈探讨什么问题,而且最关键的是:格林前辈在给大家讲解那套刀法的限制使用条件时,高斯前辈在那一刻好像也露出一丝焦虑.
格林公式是将第二类曲线积分(也叫对坐标的曲线积分)转化成二重积分来计算;
高斯公式是将第二类曲面积分(也叫对坐标的曲面积分)转化成三重积分来计算;
换句话说,现在是将这种单独的曲线,曲面积分转化成了他们所围成的某个区域的积分.
算了,先让本将军在五霸岗吃了这坛酒和羊肉,保持充足的体力,再迎接明天未知的战斗吧!
1这篇文章的正经的讲法在宝刀君之前在zhi hu上发的帖子挖洞法?抠点法?阉割法?格林公式究竟怎么玩?(含奇点的第二类曲线积分,格林公式如何用?) - 知乎专栏)中,由于在准备高斯公式的讲法,为了保持连贯性,故这里又将旧文重新改版,写成了武侠范儿,纯属娱乐,考研学习中的润滑剂,希望大家能够喜欢~2 这篇文章在微信公众号上的形式为(内附视频):急报!雕兄传来书信:计算第二型曲线积分的格林公式怎么破?
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