当p,q都是奇质数时,由pp
+1≡0(modq)知
另一方面,根据费马小定理得pq-1
≡1(modq),由例3,p(2p,q-1)
≡1(modq).
若(2p,q-1)=2,则p2
≡1(modq),于是,p≡1(modq)或p≡-1(modq).从而,
0≡pp-1
-pp-2
+...-p+1≡1或p(modq),
矛盾.
若(2p,q-1)=2p,即q≡1(modp),则
0≡pp
+qq
+1≡pp
+1+1≡2(modp),
同样导致矛盾.
因此,所求的所有满足条件的质数对为(2,5)和(5,2).
12.首先证明:(x+1)∣(y4
-1).
其中,(a,b)=1,(c,d)=1,且b,d>0.由条件知