点击上方 超级数学建模 可加关注 传播数学干货,学会理性的方式去思考问题 小编有话说: 最近一段时间有小伙伴跟小编吐槽题目太简单,可怜小编搜索能力有限,现向超级数学建模平台全体成员征集think题目,欢迎各位投稿至 ,欢迎来稿! 上期题目( 戳进" 阅读原文 "回顾 ) 一个完全图k_n是指一个有n个顶点的图,其中每两个点之间都有一条边相连.一个完全二分图是指这样一种图,图中的顶点分为两个点集l和r,l里的每个顶点都和r里的所有点相连.上图显示了一种把k_5划分为四个完全二分图的方法(分别用红蓝绿灰四种颜色来表示这四个子图).你觉得,最少可以把完全图k_n划分成多少个完全二分图?给出一种划分方案,并证明这个数目已经不能再少了. 答案揭晓 和你想象的一样,这个答案就是 n-1 . 一个完全图k_n永远不可能被拆分为n-2个或更少的完全二分图. 拆成n-1个是很好办的:从k_n中随便取出一个点作为l集,其余n-1个点作为r集,把这n-1条边从图中取出来形成一个完全二分图,然后继续递归地处理k_(n-1);当规模降到k_2时,我们已经得到了n-2个二分图,并且图中就只剩下一条边了,合起来正好是n-1个完全二分图.现在的关键是,如何证明n-1个已经是最少的了? 这个证明牛b就牛b在,它根本就不是用组合数学的方法证明的.它居然是 用线性代数来证明的 !这可以说是我见过的最诡异的证明了.假设我们把k_n划分为了m个完全二分图,第i个二分图的左右两个点集分别记作l_i和r_i.给图中的每个顶点设置一个变量,第i个顶点上的数就记作x_i.于是呢,有 现在,让我们假设mn-1.考虑下面这个线性方程组: 这个线性方程组的式子个数比未知量少,因此它一定有一组非零解c_1, c_2, ..., c_n.既然每个l_i里面的变量和都为0了,根据前面的那个恒等式,我们得知 考虑所有c_i的和的平方,展开后有 但是,一方面,由线性方程组的第一个方程知c_i的总和为0,其平方当然也等于0;另一方面,c_i是非零解,它的平方和是大于0的.矛盾产生. 今日问题 一个四位数能比10大,比20小的所有偶数整除.这个四位数加上自己所有数字之和等于一个完全平方数.求这个四位数!!  赶紧带着你的朋友到 留言区 秀智商吧!!! 也欢迎分享给爱烧脑的伙伴们!