时,P0是f的条件极小值点;
时,P0是f的条件极大值点.
d2L如(8)式所示,而dxi(1≤i≤n)则受到方程组(9)的限制.
证明 仍以n=4,m=2情形为例.
设从约束条件(7)中确定了唯一的一组函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入拉格朗日函数中,所得函数记为F(x,y):
利用一阶微分的形式不变性
dF=dL=Lxdx+Lydy+Ludu+Lvdv
二阶微分
d2F=d2L=dLx·dx+dLy·dy+dLu·du+dLv·dv+Lud2u+Lvd2v
因为在P0处,Lu=Lv=0
所以
等式右端是视x,y,u,v为独立变量时,L的二阶全微分.f在约束条件(7)之下的条件极值即是F的无条件极值.依定理