这里,若η0 =0,则由定理7第一式知
,于是
因而,
由定理7第二式知
因η=(η0 ,η1 ,...,ηm )>0,η0 =0,故(η1 ,...,ηm )>0.由Slater条件知对所有的i,都有gi (x0 )<bi ,于是有
矛盾!
定理10(库恩塔克条件的充分性): 假定f,g连续可微,f为凹函数,且gi 对所有的i均为凸函数.若x* 满足库恩塔克条件,则其必为(NLP)的最大解.
证明: 定义集合I,J如下
I(x* )={i|gi (x* )=bi };J(x* )={j|gj (x* )<bj }
对任意满足b≥g(x)的x以及所有的i∈I(x* ),有bi =gi (x* )≥gi (x).由于gi 是凸