所有偏序集合都是自身的上闭集合.上闭集合的交集还是上闭集合.任何上闭集合的补集都是下闭集合,反之亦然.
给定偏序集合 (X≤),用包含关系排序的 X 的下闭集合的家族是完全格,下闭集合格 O(X).
给定有序集合 X 的任意子集 Y,包含 Y 的最小的上闭集合使用上箭头指示为 ↑Y.对偶的,包含 Y 的最小下闭集合使用下箭头指示为 ↓Y.下闭集合被称为主要的,如果它有 ↓{x} 的形式,这里的 x 是 X 的一个元素.一个有限有序集合 X 的所有的下闭集合 Y 等于包含 Y 的所有极大元的最小下闭集合:Y = ↓Max(Y),这里的 Max(Y) 指示包含 Y 的极大元素的集合.
有向下闭集合叫做序理想.
任何上闭集合的极小元形成一个反链(antichain).反过来任何反链 A 确定一个上闭集合 {x:对于 A 中某个 y x ≥ y}.对于满足降链条件的偏序,在反链和上闭集合之间这种对应是一对一的,但对于更一般的偏序这不为真.