一个天文数字(\(10^{100}\))是一个庞大的数字:1后面跟着100个0;\(100^{100}\)更是无法想像的大:1后面跟着200个0.但不论它们有多大,它们的每位数字之和都只有1.
考虑一下自然数a和b,它们都小于100,请问\(a^b\)最大的数位之和是多少?
在逛解题论坛的时候,本来希望找到一个更快的方法,但是无果.有一位赞数最多的,说可以利用评估每位数字之和的均值/期望值来缩小搜索范围到a和b都大于等于90.老实说我是没有看明白......他的部分推理过程我是能搞明白的.
还有这样的打开方式!其实还真的是可以的.宏观来讲,一个c位数的每位的数字(0至9)的出现的概率真的是有均值回归的分布的.现实世界中还有对这种现象的应用 -  - 用来辅助会计审计,查账:如果一份财务报表的数字(0至9)出现的概率的分布不合理,是有可能认为这份报表有造假嫌疑!不过在现实世界中,数字(0至9)出现的概率不是均等的,而是服从本福特定律[2].英文字母出现的概率也有类似的现象,这里就不介绍了.
至于为什么a和b肯定大于等于90,这个逻辑我就搞不懂了.
他列举了:
然后他就以880到990这个跨度比较大为理由,推断最大的每位数字之和肯定在这个范围之间,所以认为a和b肯定大于等于90是一个合理的推断.
当然,不是说这种利用概率分布的方式进行推理不好,他的问题不在概率上,而是在确定范围的过程上.他也提到,满足题目要求的是\(99^{95}\),它的每位数字之和的均值达到5.12这么大 -  - 比均值5大,显然是一个不那么常见的数字.这种利用概率的方法其实真的可以应用到很多领域.
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