已知凸四边形的四个内角a,b,c,d满足tga+tgb+tgc+tgd=0.问:这是一个怎样的四边形? [题说]1979年上海市赛一试题6. [解]由tga+tgb+tgc+tgd=0,得 因为 a+b+c+d=2. 所以 sin(c+d)=-sin(a+b) (2) 将(2)代入(1),得sin(a+b)=0,或 (3) cosacosb-cosccosd=0 (4) 当(3)成立时,a+b=π 当(4)成立时, cos(a+b)+cos(a-b)-[cos(d+c)+cos(d-c)]=0 (5) 因为cos(a+b)=cos[2π-(d+c)]=cos(d+c) 所以由(5)得cos(a-b)=cos(d-c) 从而a-b=±(d-c) a+c=π或a+d=π 因此,四边形abcd为梯形或圆内接四边形(每一个内角都不能取直角).