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3.1 证明括号引理:对于任何,在中出现的左括号个数等于在中出现的右括号个数.
证明:记表示的左括号数目,为的右括号数,以下即证.
解: 为了使得-项与变量间能互相区分,下文约定可以对其添加下标作为记号,如.
其具有唯一的归约分支:无穷-化归链.
(2)反证法,假设,不妨取,此时就不能进行归约,并且,由命题3.14和定理3.20,
与的事实矛盾.
证明:是的自反,传递和对称闭包,即.
与题3.7类似完成证明,唯一不同在于该"链条"有允许两个方向.
证明:二元关系,是的合拍,自反,对称和传递闭包.
与形式理论中的公理或者规则互相等价,如,既无遗漏也无多余.
证明:同题3.10,是的合拍,自反,对称和传递闭包,因此类似地,再引入一条表现形式:
,即该条转换形式与形式理论中的公理等价,同理原命题亦得证.
3.12 证明:对于任何的,若,则存在使且.这就是对于的CR性质.
故存在,故存在使得且,所以有通过依次收缩可以得到.
构造收缩过程,显然其可以将归约到,以下要证明这个过程是一个mcd
3.23 设为习题1.16中定义的函数,试构造使对成立.
(其中,定义见定理3.23,定义见引理3.31,的定义参考引理3.33,定义见题3.19)
证明:由定理3.41,已知存在枚举子,使得对于任何,有.