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利用随机过程对金融时间序列进行建模是一项具有挑战性的任务,也是金融数学研究的中心领域.作为另一种选择,我们引入Quant-GANs,这是一种数据驱动模型,其灵感来自于生成性对抗网络(GANs)最近的成功.量化机构由生成器和鉴别器函数组成,它们利用时间卷积网络(TCN),从而实现捕获长期依赖性,如波动性集群的存在.生成函数被明确构造,使得诱导随机过程可以过渡到其风险中性分布.我们的数值结果强调,小滞后和大滞后的分布特性非常一致,并且依赖性特性,如波动率簇,杠杆效应和序列自相关,可以通过量子根的生成函数生成,表现出高保真度.
关于机器学习研究的所有方面的论文(有监督的,无监督的,强化学习,强盗问题,等等),包括健壮性,解释性,公平性和方法论.对于机器学习方法的应用,CS.LG也是一个合适的主要类别.
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Quant GANs:金融时报系列的深层次发展Magnus Wiese1,2,,*Robert Knoblochlalf Korn1,2Peter Kretschmer1,2TU Kaiserslautern,Gottlieb Daimler Strasse 48,67663 Kaiserslautern,GermanyFraunhofer ITWM,Fraunhofer Platz 1,67663 Kaiserslautern,GermanyAbstractcentral area of research in Financial mathematics.作为另一种选择,我们引入了Quant-GANs,这是一种数据驱动模型,其灵感来自于最近成功的生成性对抗网络(GANs).量化机构由一个生成器和鉴别器函数组成,该函数利用时间卷积网络(TCN),从而实现捕获长期依赖性,如波动性集群的存在.生成函数被显式构造,使得诱导随机过程可以过渡到其风险中性分布.我们的数值结果强调,小滞后和大滞后的分布特性具有很好的一致性,并且依赖性特性,如波动性集群,杠杆效应和序列自相关,可以通过量化机构的生成函数生成,这一点很明显.1简介自从AlexNet(Krizhevsky et al.,2012)在ImageNet竞赛中取得突破性成果以来,神经网络(NNs)在各个领域都表现出色,包括产生逼真的音频波(van denthe Go比赛世界冠军(Silver et al.,2016)).虽然NNs已经成为图像分析的标准工具,但在金融领域的应用仍处于早期阶段.Buehler et al.(2019a,b)引用了一些,使用NNs对冲大型衍生品投资组合,Becker et al.(2018)解决了最优止损问题,Schreyer et al.
(2017,2019a,b)检测会计数据中的异常情况,并显示审计公司如何受到深度假货的攻击.在本文中,我们考虑使用NNS和对抗性训练技术来逼近真实资产价格模拟器的问题.这种路径模拟器很有用,因为它可以用来扩展和丰富有限的真实世界数据集,而这些数据集又可以用来确定或稳健金融交易策略.为了模拟数据驱动的路径模拟器,我们提出了量化算法.量化机构基于生成性对抗网络(GAN)的应用(Goodfello et al.,2014),位于纯数据方法(如历史模拟)和模型驱动方法(如蒙特卡罗模拟)之间,假设基础股价模型(如Black-Scholes模型)(Black and Scholes,1973),Heston随机波动率模型(Heston,1993)或基于过程的L'evy建模(Tankov,2003).使用两个不同的NN作为对手是GANs的基本原则.一个神经网络,即所谓的生成器,负责生成股票价格路径,另一个神经网络,即*通讯作者:quant.Xiv:1907.06673v2[q-fin.MF]2019年12月21日鉴别器,必须判断生成的路径是合成的还是来自与数据相同的基础分布(即过去的价格).在同时优化bothnetworks时,训练GANs时存在各种陷阱,从有限的收敛到有限的收敛(参见Arjovsky和Bottou(2017);Mescheder et al.(2018))推断使用循环发电方案时的问题.为了解决后一个问题,我们建议使用时态卷积网络(TCN),也称为波网(van den Oord et al.,2016),作为生成器架构.
TCN生成器具有多个好处:它特别适合建立远程依赖关系的模型,允许并行化并保证稳定性.0 500 1000 1500 200000.20.40.60.811.2T(编号属于天)日志路径(a)标准普尔500日志路径0 500 1000 1500 200000.20.40.60.811.2T(编号属于天)日志路径(b)量化GAN的生成日志路径图1:将标准普尔500指数在日志空间(a)中与已校准量化GAN的生成日志路径(b)进行比较.我们的主要贡献之一是首次在不熟悉神经网络专门语言的领域对TCN进行了严格的数学定义.在第3节介绍了NNs(尤其是TCN)和第4节介绍了GANs后,我们在第5节定义了SVNN.本着随机波动率模型的精神,SVNN体系结构包括在其风险中性分布下进行评估的acan,作为特例,其约束条件为显式正态对数回报.-0.06-0.04-0.02 0.02 0.0401023050607080GeneratedHistoricalLog返回密度(a)日日志返回直方图0 50 100 150 200 25000.10.20.30.4生成历史记录AG(编号属于天)绝对对数回归的自相关(b)ACF SS&P 500(橙色)样本.对于SVNNs,我们从理论上证明了所有P空间相关的主张,这些主张证明了使用归一化高斯数据方法的所有矩.在第7节中,我们介绍了一项数值研究,该研究将Quant-GANs应用于来自Maya的标准普尔500指数,并将合成路径的一些样本属性与标准普尔500指数进行了比较.2金融时间序列的生成性建模在本节中,我们简要收集了金融时间序列的一些事实和建模问题,这是金融时间序列的建模.由其相对回报率得出,eitherRt=(St-St公司-1) /圣-1或其日志返回RT=日志(St)-日志(St-1).因此,产生资产收益是本文的主要目标.
特征性重要的程式化事实包括(例如,见Chakraborti等人(2011年));Cont(2001)):-资产回报率比正态分布具有更大的尾部,-资产回报率的分布似乎比正态分布更为高峰,-资产回报率在价格变化方面具有高活动和低活动的阶段,这一效应被称为波动性聚集效应,-资产回报率的波动性与回报过程呈负相关,一种被称为平均效应的效应 -  - 经验资产收益率被认为是不相关但不独立的.存在大量金融时间序列模型文献,从各种离散时间GARCHinspired模型(Bollerslev,1986)到连续时间模型,如Black和Scholes(1973),Heston(1993)和rough extensions(El-Euch et al.,2018).然而,发展和创新模型(development and innovationmodel)考虑了随机波动性和杠杆效应.使用NNs的纯数据驱动建模是一个相对较新的研究领域,它有可能建模复杂的统计(可能未知)动态.因此,文学作品相当稀少,可归纳为四大手稿.Koshiyama等人(2019年)使用GANs近似条件模型,并确定分数以选择模拟器/参数候选人.Pardo(2019)使用了Wasserstein和相对论性GANs(参见Gulrajani et al.(2017);(参见Pardo和L'opez(2019)).Takahashi等人.
(2019)证明,通过使用对抗性训练和离散局部波动性,GANs可以近似满足静态套利约束的股权期权市场(Buehler和Ryskin,2017).没有说明他们提出的算法是近似于条件分布还是无条件分布.由于再现性有限.3神经网络拓扑在本节中,我们介绍构建SVNN所必需的NN拓扑.首先,定义多层感知器(MLP).之后,我们提供了TCN的正式定义.3.1多层感知器MLP是深度学习模型的核心.它是通过用所谓的激活函数组成一个精细变换来构建的;按元素应用的非线性.图3显示了具有两个隐藏层的MLP的构造,其中输入是三维的,输出是一维的.我们首先将激活功能作为关键成分,然后正式定义MLP.定义3.1(激活功能).A函数φ:R→ R是Lipschitz连续的,单调的称为激活函数.备注3.2.定义3.1包括深度学习文献中使用的一大类函数.定义3.1意义上的激活函数示例包括tanh,recti fier线性单位(Reet al.,2013)和文献Clevert et al.(2016)中的大量其他函数;Klambauer等人(2017年);LeCun等人(1998年);Xu等人(2015).请注意,φ(0)=0是优化网络参数的理想属性(参见Karpathy(2019)),并通过上述激活功能得到满足.定义3.3(多层感知器).LetL,N,NL+1∈ N, φ激活函数,ΘanEuclidean向量空间和anyl∈ {1 . . .
,L+1}全部:RNl-1.→ RNlbe是一个精确的映射. RNL+1,定义为f(x,θ)=aL+1o 佛罗里达州o · · · o f(x),其中o 表示复合运算符,fl=φo alfor all l公司∈ {1,...,L}和φ按组件应用,称为具有隐藏层的多层感知器.INNL+1N,NL尺寸标准+1输出层.此外,对于anyl∈ {1,...,L+1}函数形式为:x 7→ 某些权重矩阵的W(l)x+b(l)xW(l)∈ RNl×Nl-1和biasb(l)∈ RNl.使用该表示法,MLP的参数由θ定义:=W(1),W(L+1),b(1),b(L+1)∈ Θ.备注3.4.我们称函数f:Rd×Θ→ Rdwith parameter spaceΘa network,if it isLipschitz continuous.证明MLP高度适用性的一个众所周知的结果是输出维度D=1的单层感知器的通用近似定理,参见Hornik(1991)中的定理1和定理2或Buehler等人(2019a)中的定理4.2.让我们指出,普适近似定理很容易推广到输出维数大于1且有多个隐藏层的MLP的情况,这与本文所考虑的情况相对应.3.2时间卷积网络由于市场中存在波动性集群,对数回归过程通常被分解.我们建议使用TCN.TCN是卷积体系结构,最近在许多与序列相关的建模任务上显示出竞争力,Bai等人(2018).特别是,经验结果表明,TCN能够比众所周知的复发1997年)或GRU(Chung等人,2014年)更有效地捕获序列中的长期依赖性.与recurrent2013相比,TCN的主要优势之一),这也是RNN难以优化的主要问题之一.
尽管LSTM涉及学习基准(Bai等人,2018年).TCN的构造很简单.关键因素是所谓的扩展因果卷积.因果卷积是卷积,其中输出仅取决于过去的序列元素.HiddenLayerHiddenLayerInputLayerRouttLayerFigure 3:具有三维输入空间(N=3)和一维输出空间(N=1)的两层MLP.第一层和第二层的隐藏尺寸为11(N=N=11).说明了一个普通的TCN(参见定义3.11),有四个隐藏层,内核大小为2(K=2)D=1等于2(K=D=2).请注意,asD=2时,膨胀增加了2倍,这对于捕获和建模长期依赖关系非常重要.下面我们正式定义了TCN以及相关概念.我们首先给出了因果卷积算子的定义,它是卷积层的基本构造块.由几个卷积层(连同激活函数)组成,就得到了普通的TCN.对于本节的其余部分,让NI,NO,K,D,T∈ N, 定义3.5(*变压器).莱克斯∈ RNI×Tbe anNI lengthTandW变量序列∈RK×NI×NOa张量.然后是堡垒∈ {D(K- 1) + 1 . . .  T}和m∈ {1...,NO}运算符*D, 定义人(W*DX)m,t:=KXi=1NIXj=1Wi,j,m·Xj,t-D(K-i) ,称为扩张因果卷积算子,具有扩张D和核大小K.图4给出了不同扩张和核大小的算子的可视化.ForK=D=1(见图4a),输出序列的每个元素仅取决于同一时间步的输入序列的元素.在k=2和d=1的情况下,outputsequence的每个元素都源自同一时间步和前一时间步的输入序列元素.
在K=D=2的情况下,传递信息的元素之间的距离为2.(a) K=D=1(b)K=2,D=1(c)K=D=2图4:不同膨胀和核大小的扩展因果卷积算子KDe定义3.6(因果卷积层).按照定义3.5和b∈ RNO. RNO×(T-D(K-1) )定义为t∈ {D(K- 1) + 1 . . .  T}和m∈ {1,...,NO}byw(X)m,t:=(W*DX)m,t+bmis称为具有扩张D的因果卷积层.备注3.7.四元组(NI,NO,K,D)将被称为因果卷积的参数,分别表示输入维,输出维,核大小和膨胀.输入层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏.例3.8(1×1协同层).莱克斯∈ RNI×Tbe  具有参数(NI,NO,1,1)的RNO×Ta因果卷积层.我们称这种层为1×1卷积层.在上一节中,我们通过使用activationfunctions组合af fine转换来构建MLP.Vanilla TCN构造遵循类似的方法:扩展因果卷积TCN使用块模块构造,从而推广Vanilla TCN.为完整起见,以下给出了这两个定义.定义3.9(块模块).让∈ N, 函数ψ:RNI×T→ RNO×(T-S) 也就是说,Lipschitzcontinuous被称为带参数(NI,NO,S)的块模块.定义3.10(时间卷积网络).LetT,L,N,NL+1∈ N, 此外,forl∈ {1,...,L}让Sl∈ N使PLL=1Sl≤ T- 因此,对于Tl:=Tl-1.- 狭缝支架STL=T-LXl=1Sl≥ 1.(1) 此外,设ψl:RNl-1×Tl-1.→ RNl×Tlforl∈ {1,...,L}表示块模和w:RNL×TL→ RNL+1×TLa1×1转换层.
 RNL+1×TL,由f(X,θ)=w定义o ψLo · · · o ψ(X),注意,使用a1×1卷积相当于沿X的时间维度应用一个精细变换.称为带隐藏层的时间卷积网络.从RDT映射到RDL的具有lHiddenLayers的TCN类将由TCNd,d,L(d=N,d=NL+1)表示.定义3.11(香草TCN).Letf公司∈ TCNN,NL+1,L所有∈ {1,...,L}每个块模块ψ被定义为具有参数(Nl)的因果卷积层的组成-1,Nl,Kl,Dl)φψl=φo  {1,...,L}fw具有膨胀因子D.当所有L的Kl=K时∈ {1,...,L},我们说f的核大小为K.输入层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层嵌入层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏层隐藏.图5和图6显示了两个香草TCN.在图5中,网络是序列元素数量的函数,TCN可以捕获接受域大小并给出以下形式定义:定义3.12(接受域大小).Letf公司∈ TCNd,d,土地出租,SLbe如定义3.10所示.康斯坦特(f):=1+LXl=1 LIS,称为接受野大小(RFS).备注3.13.对于粒径和膨胀系数大于1的香草TCN,RFST(f)可以使用有限长度几何序列之和的公式计算:T(f)=1+(K- 1) ·DL- 1D- 1..因此,RFST(f)是inputX的最小初始时间维度∈ RN×Tsuchthat序列X可以推断(比较方程式1).备注3.14.请注意,MLP可以被视为普通TCN,其中每个因果卷积都是a1×1卷积.