Teorema de Morera
En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, que recibe el nombre del matemático italiano Giacinto Morera (1856-1909), proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa.

Sea formula_1 una función de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo formula_2 en el plano complejo que satisface

:formula_3

para cada curva formula_4 que sea formula_5 a trozos en formula_2"," entonces formula_1 debe ser holomorfa en formula_2.

La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que formula_1 tiene una primitiva en formula_2.

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que uno imponga hipótesis adicionales. El inverso sostiene, por ejemplo, que el dominio formula_2 deber ser simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, el cual declara que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.

El contraejemplo estándar es la función f(z) = formula_12, la cual es holomorfa en formula_13. En cualquier entorno simplemente conexo U en formula_13, formula_12 tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = reiθ. Debido a la ambigüedad de θ hasta la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de formula_12 en U. Y porque la derivada de una constante aditiva es 0, cualquier constante puede ser añadida a la primitiva y es todavía una primitiva de formula_12.

En un sentido seguro, el formula_12 es el contraejemplo universal: para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que formula_12 no tiene primitiva en formula_13.
Q193756
análisis complejo
Concept
Q395
matemáticas
Concept
Q1522040
Giacinto Morera
PER
Q11348
función
Concept
Q207476
holomorfa
Concept
Q213363
conjunto abierto
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conexo
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simplemente conexo
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teorema integral de Cauchy
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