Геометрия Римана
Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула
formula_1
где formula_2 — сумма углов треугольника, formula_3 — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

250px|thumb|Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.

Именно, рассмотрим сферу formula_4 с центром в точке formula_5 в трёхмерном пространстве formula_6. Каждая точка formula_7 вместе с центром сферы formula_5 определяет некоторую прямую formula_9, то есть некоторую точку formula_10 проективной плоскости formula_11. Сопоставление formula_12 определяет отображение formula_13, большие круги на formula_4 (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости formula_11, при этом в одну точку formula_16 переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой formula_7 и диаметрально противоположная ей точка formula_18 (см. рисунок).
Евклидовы движения пространства formula_6, переводящие сферу formula_4 в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости formula_11, которые являются "движениями" геометрии Римана.
В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка "C" лежит между точками "A" и "B"» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости formula_11 отображается большой круг на сфере formula_4, причём две диаметрально противоположные точки сферы formula_24 и formula_25 переходят в одну точку formula_26. Аналогично, точки formula_27 переходят в одну точку formula_28 и точки formula_29 переходят в одну точку formula_30.
Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка formula_31 "лежит между" formula_10 и formula_33 и что она "не лежит между" ними (см. рисунок).
Q42299
Римана
PER
Q233858
неевклидовых геометрий
Concept
Q945953
кривизны
Concept
Q209306
геометрия Лобачевского
Concept
Q326905
сферическая геометрия
Concept
Q945953
гауссовой кривизной
Concept
Q1475760
проективной плоскости
Concept
Q12507
сфере
Concept
250px|thumb|Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана
UNK
Q326905
сферическую геометрию
Concept
Q1475760
проективная плоскость
Concept
Q1332450
Геометрия Римана
Concept
+1^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
1
NUMBER
+2^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
2
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
+250^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
250
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+5^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
5
NUMBER
+6^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
6
NUMBER
+7^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
7
NUMBER
+5^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
5
NUMBER
+9^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
9
NUMBER
+10^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
10
NUMBER
+11^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
11
NUMBER
+12^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
12
NUMBER
+13^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
13
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+11^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
11
NUMBER
+16^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
16
NUMBER
+7^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
7
NUMBER
+18^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
18
NUMBER
+6^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
6
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+11^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
11
NUMBER
+11^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
11
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+24^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
24
NUMBER
+25^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
25
NUMBER
+26^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
26
NUMBER
+27^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
27
NUMBER
+28^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
28
NUMBER
+29^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
29
NUMBER
+30^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
30
NUMBER
+31^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
31
NUMBER
+10^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
10
NUMBER
+33^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
33
NUMBER
subclass of
part of
subclass of