Третья проблема Гильберта
Третья проблема Гильберта — третья из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эта проблема посвящена вопросам равносоставленности многогранников: возможности разрезания двух многогранников равного объёма на конечное число равных частей-многогранников.

Постановка такого вопроса была связана с тем, что, с одной стороны, на плоскости любые два многоугольника равной площади равносоставлены — как утверждает теорема Бойяи — Гервина. С другой стороны, имевшиеся способы доказательства формулы для объёма тетраэдра (1/3 произведения высоты на площадь основания) так или иначе были связаны с предельными переходами, и тем самым с аксиомой Архимеда. Хотя буквально в предложенной Гильбертом формулировке речь шла о равносоставленности тетраэдров (а, точнее, о доказательстве невозможности такого разбиения в общем случае), она немедленно и естественно расширяется до вопроса о равносоставленности произвольных многогранников заданного объёма (а, точнее, о необходимых и достаточных для этого условиях).

Третья проблема оказалась самой простой из проблем Гильберта: пример неравносоставленных тетраэдров равного объёма был предъявлен уже через год, в 1901 году, в работе ученика Гильберта М. В. Дена. А именно, им была построена (принимающая значения в некоторой абстрактной группе) величина — инвариант Дена — значения которой на равносоставленных многогранниках равны, и предъявлен пример тетраэдров равного объёма, для которых значения инварианта Дена различаются.

В дальнейшем, в своей работе 1965 года показал, что совпадение объёма и инварианта Дена являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равносоставленности многогранников.
Q273167
проблем
Concept
Q41585
Давидом Гильбертом
PER
Q860611
II Международном Конгрессе математиков
LOC
Q765035
равносоставленности
Concept
Q172937
многогранник
Concept
Q834211
теорема Бойяи — Гервина
LOC
Q634579
аксиомой Архимеда
Concept
Q61732
М. В. Дена
PER
Q83478
группе
Concept
Q2667025
Третья проблема Гильберта
Concept
1900-01-01T00:00:00Z^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#dateTime
в 1900
DATE
1901-01-01T00:00:00Z^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#dateTime
в 1901
DATE
+1^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
1
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
part of
named after