Абелево расширение
Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Например, расширение formula_1 является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа formula_2 и formula_3. Расширение formula_4 не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена formula_5 и его автоморфизмы, фиксирующие formula_6, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени formula_7, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени formula_7 из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.
Q190109
поля
Concept
Q2020004
расширение Галуа
Concept
Q730384
группа Галуа
Concept
Q181296
абелевой
Concept
Q782566
автоморфизм
Concept
Q1996100
полем разложения многочлена
Concept
Q43260
многочлен
Concept
Q849512
симметрической группой
Concept
Q756747
корней из единицы
Concept
Q1244890
рациональных чисел
Concept
Q1554628
круговые поля
Concept
Q1369453
теореме Кронекера — Вебера
Concept
Q4349566
первообразный корень из единицы
Concept
Q1548483
расширение Куммера
UNK
Q245462
циклической
Concept
Q3062526
конечное расширение
UNK
Q603880
конечного поля
Concept
Q318705
Абелево расширение
Concept
+1^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
1
NUMBER
+2^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
2
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+5^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
5
NUMBER
+6^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
6
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
+7^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
7
NUMBER
+7^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
7
NUMBER
subclass of
part of
facet of