Аналитическая теория чисел
Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга. 

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
: formula_1
где formula_2 — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при formula_3)
: formula_4
и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом
: formula_5
где formula_6 — число решений изучаемого уравнения.

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида
: formula_7
которые положили начало использованию тригонометрических сумм. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
: formula_8,
которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения formula_9 лежат на так называемой "критической прямой" formula_10, где formula_11 — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
: formula_12,
при этом функция formula_13, получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих formula_14, обозначенное как formula_15, стремится к бесконечности по следующему закону:
: formula_16, где formula_17 и formula_18.

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.
Q12479
теории чисел
Concept
Q12503
целых чисел
Concept
Q149972
математического анализа
Concept
Q485520
Гольдбаха
EVE
Q657903
Варинга
Concept
Q7604
Эйлером
PER
Q484637
линейного уравнения
Concept
Q21199
натуральные числа
Concept
Q170198
сходящихся рядов
Concept
Q173523
геометрической прогрессии
Concept
Q472883
квадратичным законом взаимности
Concept
Q6722
Гаусс
PER
Q4446020
тригонометрических сумм
Concept
Q184337
Харди
PER
Q353426
Литтлвудом
PER
Q451330
Виноградовым
PER
Q205966
гипотезы Римана о нулях дзета-функции
Concept
Q187235
дзета-функция Римана
Concept
Q29193
Дирихле
PER
Q620595
ряды Дирихле
Concept
Q3968
алгебре
Concept
Q42989
топологии
Concept
Q4455174
теории функций
UNK
Q193756
комплексного анализа
Concept
Q49008
простых чисел
Concept
Q10843274
Аналитическая теория чисел
Concept
+1^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
1
NUMBER
+2^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
2
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+5^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
5
NUMBER
+6^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
6
NUMBER
+7^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
7
NUMBER
+8^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
8
NUMBER
+9^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
9
NUMBER
+10^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
10
NUMBER
+11^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
11
NUMBER
+12^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
12
NUMBER
+13^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
13
NUMBER
+14^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
14
NUMBER
+15^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
15
NUMBER
+16^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
16
NUMBER
+17^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
17
NUMBER
+18^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
18
NUMBER
subclass of
studies