Determinante
In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix formula_1 sind formula_2, formula_3 oder formula_4.

Zum Beispiel kann die Determinante einer formula_5-Matrix
: formula_6
mit der Formel
: formula_7
berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man formula_8 Vektoren im formula_9 als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die formula_8 Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des "n"-Parallelotops (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung formula_11 durch die Matrix formula_1 repräsentiert und ist formula_13 eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von formula_14 durch formula_15 gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung formula_16 durch die formula_17-Matrix formula_1 repräsentiert und ist formula_19 eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das formula_8-dimensionale Volumen von formula_14 durch formula_22 gegeben ist.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für formula_23-Matrizen mit formula_24. Für formula_25 verkommt es zur Trivialität formula_26: So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall formula_25 aus einer Gleichung formula_28. Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls formula_29, setze formula_30.
Q82571
linearen Algebra
Concept
Q1289248
Skalar
Concept
Q44337
Matrix
Concept
Q207643
linearen Abbildung
Concept
Q1340800
Endomorphismus
Concept
Q11203
lineares Gleichungssystem
Concept
Q322666
Cramerschen Regel
MISC
Q11203
Koeffizientenmatrix
Concept
Q190109
Körper
Concept
Q242188
invertierbar
Concept
Q189569
Basis
Concept
Q1193832
Vorzeichen
Concept
Q1477782
Orientierung
Concept
Q17295
euklidischen Räumen
Concept
Q120812
Absolutbetrag
Concept
Q27678359
"n"-Parallelotops
Concept
Q207643
lineare Abbildung
Concept
Q827230
messbare
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
Q178546
Determinante
Concept
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