Dirichletsche L-Funktion
Unter Dirichletschen L-Funktionen versteht man eine Familie spezieller mathematischer Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielen. Ihr Namensgeber Peter Gustav Lejeune Dirichlet verwendete sie erstmals beim Beweis des sog. Dirichletschen Primzahlsatzes. Bezeichnet werden sie üblicherweise mit dem Symbol formula_1, wobei formula_2 ein Dirichlet-Charakter und formula_3 eine komplexe Zahl ist.

Für Werte formula_4 mit Realteil größer als 1 sind alle Dirichletschen L-Funktionen über eine Dirichlet-Reihe definiert – nämlich die Dirichlet erzeugte Funktion von formula_5. Ist der Charakter zudem nicht-prinzipal, d. h., er nimmt auch Werte außer 0 und 1 in den ganzen Zahlen an, gilt die Reihendarstellung sogar für Werte mit positivem Realteil. Mittels analytischer Fortsetzung kann formula_6 zu einer auf formula_7 holomorphen Funktion ausgeweitet werden, wobei im Falle eines Hauptcharakters in formula_8 ein Pol erster Ordnung vorliegt. In allen anderen Fällen ist sogar eine ganze Fortsetzung möglich. Die formula_6 erfüllen wichtige Funktionalgleichungen.

Bedeutsam für die Zahlentheorie ist, dass aufgrund der vollständigen Multiplikativität der Charaktere jede Dirichletsche L-Funktion in ein Euler-Produkt entwickelt werden kann. Dies liefert die entscheidenden Informationen und Anwendungen auf die Theorie der Primzahlen und gab Dirichlet die Mittel zum Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes. 

Das Verhalten der Dirichletschen L-Funktionen gilt in den Bereichen formula_10 und formula_11 als weitgehend verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des "kritischen Streifens" formula_12 weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilungen. Nach heutigem Wissensstand beschreiben die Dirichletschen L-Funktionen im Streifen formula_13 im Wesentlichen Chaos. Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).

Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie sind die Dirichletschen L-Funktionen nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So bilden Produkte dieser Funktionen Dedekindsche Zeta-Funktionen zu abelschen Erweiterungen. Wichtige Spezialfälle dirichletscher L-Funktionen sind die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichletsche Beta-Funktion. 
Q867707
spezieller
Concept
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mathematischer Funktionen
Concept
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analytischen Zahlentheorie
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Mathematik
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Peter Gustav Lejeune Dirichlet
PER
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Dirichletschen Primzahlsatzes
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