射影多様体
代数幾何学において，代数閉体 上の射影多様体（しゃえいたようたい，）とは， 上の（ 次元）射影空間 の部分集合であって，素イデアルを生成する 係数 変数斉次多項式の有限族の零点集合として書けるものをいう．そのようなイデアルは多様体の定義イデアルと呼ばれる．あるいは同じことだが，代数多様体が射影的であるとは， のザリスキ閉部分多様体として埋め込めるときにいう．

1次元の射影多様体は射影曲線と呼ばれ，2次元だと射影曲面，余次元 1 だと射影超曲面と呼ばれる．射影超曲面は単独の斉次式の零点集合である．

射影多様体 が斉次素イデアル によって定義されているとき，商環
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は の斉次座標環と呼ばれる．次数や次元のような基本的な不変量は，この次数環のヒルベルト多項式から読み取ることができる．

射影多様体は多くの方法で生じる．それらはであり，荒っぽく言えば「抜けている」点がない．逆は一般には正しくないが，はこの2つの概念の近い関係を記述する．多様体が射影的であることは直線束や因子を調べることによって示される．

射影多様体の顕著な性質の1つは，層コホモロジーの有限性である．滑らかな射影多様体に対して，セール双対性はポワンカレ双対性の類似と見なせる．それはまた射影曲線，すなわち 1 の射影多様体に対するリーマン・ロッホの定理を導く．射影曲線の理論は特に豊かで，曲線のによる分類を含む．高次元の射影多様体の分類問題は自然に射影多様体のモジュライの構成を導く．ヒルベルトスキームは所定のヒルベルト多項式をもつ の閉部分スキームをパラメトライズする．ヒルベルトスキームは，グラスマン多様体は特別な場合であるが，それ自身射影スキームでもある．幾何学的不変式論は別のアプローチを提供する．古典的なアプローチはタイヒミュラー空間やを含む．

古典にさかのぼる特に豊かな理論が，複素射影多様体，すなわち を定義する多項式が複素係数を持つ場合にある．大まかには，GAGA の原理により，射影複素解析空間（あるいは多様体）の幾何学は射影複素多様体の幾何学と等しい．例えば， 上の正則ベクトル束（より一般に連接解析的層）の理論は，代数的ベクトル束の理論と一致する．Chow の定理により，射影空間の部分集合が正則関数の族の零点集合であることと斉次多項式の零点集合であることは同値である．複素射影多様体に対する解析的な手法と代数的な手法の組合せはホッジ理論のような分野に通じる．
Q180969
代数幾何学
Concept
Q1047547
代数閉体
Concept
Q877775
射影空間
Concept
Q863912
素イデアル
Concept
Q1474074
斉次多項式
Concept
Q648995
代数多様体
Concept
Q147978
ザリスキ閉
Concept
None
部分多様体
UNK
Q619436
商環
Concept
Q5891327
斉次座標環
UNK
None
次数
UNK
None
次元
UNK
Q15534632
次数環
Concept
Q56351362
ヒルベルト多項式
UNK
Q1509762
直線束
Concept
Q909669
因子
UNK
Q11095962
セール双対性
Concept
Q2063099
ポワンカレ双対性
Concept
Q379048
リーマン・ロッホの定理
MISC
Q5761225
ヒルベルトスキーム
Concept
None
グラスマン多様体
UNK
Q5535491
幾何学的不変式論
Concept
None
タイヒミュラー空間
UNK
Q11567
複素
Concept
Q4724004
GAGA の原理
UNK
Q9289328
正則ベクトル束
Concept
Q906907
連接解析的層
Concept
Q1317202
ホッジ理論
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
Q3554818
射影多様体
Concept
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