代数拡大
抽象代数学において、体の拡大 は次を満たすときに代数的（）であると言う。 のすべての元は 上代数的である、すなわち、 のすべての元は 係数のある でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 , すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 や は代数的である。ここで は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

 が 上代数的であれば、 係数の による多項式全体の集合 は環であるだけでなく体である： 上有限次の の代数拡大である。逆もまた正しく、 が体ならば は 上代数的である。特別な場合として、 が有理数体のときは、 は代数体の例である。

非自明な代数拡大をもたない体は代数的閉体と呼ばれる。例は複素数体である。すべての体は代数的閉であるような代数拡大をもつ（これは代数的閉包と呼ばれる）が、これを一般に証明するには選択公理が必要である。

拡大 が代数的であることと のすべての部分 -代数が体であることは同値である。
Q159943
抽象代数学
Concept
Q577835
体の拡大
Concept
Q162608
代数的
UNK
Q43260
多項式
Concept
Q162608
超越元
UNK
Q1244890
有理数
Concept
Q12916
実数
Concept
Q11567
複素数
Concept
Q168817
代数的数
Concept
Q616608
代数体
Concept
Q1047547
代数的閉体
Concept
Q11567
複素数
Concept
Q428290
代数的閉包
Concept
Q179692
選択公理
Concept
Q550791
代数拡大
Concept
Q550791
代数拡大
Concept
Q550791
代数拡大
Concept
Q550791
代数拡大
Concept
Q550791
代数拡大
Concept
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