楕円有理関数
楕円有理関数 ()とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路の一種である楕円フィルタの設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数があるので注意が必要。
楕円有理関数は正の次数"n"と選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数"n"で選択係数がformula_1で変数が"x"の楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数を用いた表示を持つ:

formula_2

* この式で，formula_3 は母数がformula_4の ヤコビの楕円余弦関数であり，formula_5はその逆関数、formula_6 は 母数がformula_4の第一種完全楕円積分を表わす。
* formula_8 は 弁別係数と呼ばれ、formula_9における formula_10 の最小値に等しい。
* この表示がn次の有理関数であるためには，formula_11 とするとき、条件formula_12の成立が必要である。 つまり，ｎを与えたとき，formula_1とformula_14の間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数formula_15を用いるとその関係はformula_16と表せる。そうしてformula_1を与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値としてformula_18が求まる（楕円nome関数formula_19の逆関数formula_20の値はformula_21のとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる）。 

多くの場合、特に"n"が = 2"a"3"b"、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。
楕円有理関数は、チェビシェフ多項式と密接な関係にあり、三角関数がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。
Q41237
有理関数
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フィルタ回路
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楕円フィルタ
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ヤコビの楕円余弦関数
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楕円積分
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チェビシェフ多項式
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三角関数
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