自明群
数学において、自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。すべてのそのような群は同型であるので、英語などではしばしば定冠詞をつけて "the" trivial group などと呼ばれる。自明群のただ1つの元は単位元であるので普通 0, 1, "e" のように文脈に応じて表記される。群の演算が ∗ であれば によって定義される。

同様に定義される自明モノイド (trivial monoid) もまた群である。その唯一の元がそれ自身の逆元でありしたがって自明群と同じであるからである。

自明群を空集合と混同してはならない。（これは元を全くもたず、単位元を欠くため、群にはなりえない。）

任意の群 "G" が与えられると、単位元のみからなる部分集合は、それ自身が自明群である "G" の部分群であり、"G" の自明な部分群 (trivial subgroup) と呼ばれる。また、"G" 自身も明らかに "G" の部分群であるので、"G" も自明な部分群と呼ばれることがあるが、これは著者によって異なるので注意が必要である。群によってはこれら以外にも自明に部分群になるものがあるが、それらは自明な部分群とは呼ばれない。

""G" は非自明な真の部分群をもたない" ("G" has no nontrivial proper subgroups) という言い回しが意味するのは、"G" のすべての部分群は自明群 {"e"} および群 "G" 自身であるということである。
Q395
数学
Concept
Q83478
群
Concept
Q189112
同型
Concept
Q185813
単位元
Concept
Q226183
空集合
Concept
Q466109
部分群
Concept
Q568687
自明群
Concept
Q568687
自明群
Concept
Q568687
自明群
Concept
Q568687
自明群
Concept
Q568687
自明群
Concept
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自明群
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