外積代数
数学におけるベクトルの外積（がいせき、）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。

外積代数（がいせきだいすう、）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、）としても知られ、与えられた体 上のベクトル空間 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。

形式的には、外積代数は あるいは で表され、 を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる で表される乗法を持つ、体 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法

:formula_1

であり、 上の交代性
:(1) 任意の formula_2 に対して formula_3
を持つものである。これは以下の性質
:(2) 任意の formula_4 に対して formula_5
:(3) formula_6 が一次従属ならば formula_7
を特別の場合として含む。

圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
Q395
数学
Concept
Q178192
クロス積
Concept
Q36248
スカラー三重積
Concept
Q162886
ユークリッド幾何学
Concept
Q11500
面積
Concept
Q39297
体積
Concept
Q82571
線型代数学
Concept
Q207643
線型変換
Concept
Q178546
行列式
Concept
Q1341061
小行列式
Concept
Q656784
階数
Concept
Q27628
線型独立性
Concept
Q77219
ヘルマン・グラスマン
PER
Q190109
体
Concept
Q125977
ベクトル空間
Concept
Q11430623
多元環
UNK
Q1197190
多重線型代数
Concept
Q1047080
微分形式
Concept
Q188444
微分幾何学
Concept
Q180969
代数幾何学
Concept
Q728435
線型部分空間
Concept
Q177251
結合的
Concept
Q1086961
双線型
Concept
Q17123932
交代性
UNK
Q217413
圏論
Concept
Q1417809
普遍構成
Concept
Q864475
函手
Concept
Q91323680
双対空間
Concept
Q1930346
重線型形式
Concept
Q23924662
内積
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
Q1196652
外積代数
Concept
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