バナッハ環
数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 または 複素数体 ）上の結合多元環 であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して
: 劣乗法性: formula_1
を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。

上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。

バナッハ環は、乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 は適当な単位的バナッハ環（つまり の「単位化」） にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、 を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。

実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。

-進数体 上のバナッハ代数（-進バナッハ代数）は、-進解析の一部として研究される。
Q395
数学
Concept
Q190549
関数解析学
Concept
None
完備ノルム体
UNK
Q12916
実数
Concept
Q11567
複素数
Concept
Q744960
結合多元環
Concept
Q194397
バナッハ空間
Concept
Q956437
ノルム
Concept
Q848569
完備
Concept
Q2361953
劣乗法性
UNK
Q170058
連続性
Concept
Q180217
ステファン・バナッハ
PER
Q194397
バナッハ空間
Concept
Q726210
ノルム空間
Concept
Q1999917
ノルム環（ノルム線型環）
Concept
Q185813
乗法単位元
Concept
Q165474
可換
Concept
Q93344
三角関数
Concept
Q1365748
スペクトル
Concept
Q311627
-進数
Concept
Q2845236
-進解析
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
Q806066
バナッハ環
Concept
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バナッハ環
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