商群
数学において、商群（しょうぐん、）あるいは剰余群、因子群とは、群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。例えば、を法とした加法の巡回群は、整数から、差が の倍数の元を同一視し、そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる。群論と呼ばれる数学の分野の一部である。

群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。得られる商は と書かれる、ただし はもとの群で は正規部分群である。（これは「（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。）

商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。第一同型定理は任意の群 の準同型による像はつねに のある商と同型であると述べている。具体的には、準同型 による の像は と同型である、ただし は の核 を表す。

商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。任意の正規部分群 は、大きい群から部分群 の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。
Q395
数学
Concept
Q130998
同値関係
Concept
Q83478
群
Concept
Q319400
を法とした加法
Concept
Q245462
巡回群
Concept
Q12503
整数
Concept
None
合同類
UNK
Q874429
群論
Concept
Q185813
単位元
Concept
Q1211071
同値類
Concept
Q743179
正規部分群
LOC
Q751969
剰余類
Concept
Q868169
準同型
Concept
None
第一同型定理
UNK
Q860623
像
Concept
Q742064
同型
Concept
Q574844
核
Concept
Q40749639
双対
UNK
Q466109
部分群
Concept
Q217413
圏論
Concept
Q2547089
商対象
MISC
Q2547089
部分対象
MISC
Q2361385
双対
Concept
Q619436
商環
Concept
Q1393796
商線型空間
Concept
Q1139111
商位相空間
Concept
Q1211071
商集合
Concept
Q1138961
商群
Concept
Q1138961
商群
Concept
Q1138961
商群
Concept
Q1138961
商群
Concept
Q1138961
商群
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