ユークリッドの補題
ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、）とは素数に関する次の基本的な性質について述べた補題である：

たとえば、、、 の場合、 について、 は で割り切れるので、ユークリッドの補題から , の少なくとも一方は で割り切ることができる。実際、 であり は で割り切れる。

この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる。
; 注意: 一般の代数学において上記「積を割り切るならば何れか一つの因子を割り切る」という性質は素元、すなわち任意の可換環における一般化された素数の定義に用いられる。一方、素数の定義「自分自身と単数以外に因子を持たない」を満たすものは既約元という。そのうえで、任意の可換環（特に整域） において「任意の既約元は素元である（したがって素元と既約元は同値な概念となる）」という主張を一般に「ユークリッドの補題」と呼ぶ。

ユークリッドの補題は合成数に対しては成り立たない。
たとえば、、、 の場合、合成数 は積 を割り切るにもかかわらず、 は を割り切れないし も割り切ることができない ()。

ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。
Q49008
素数
Concept
Q207505
補題
Concept
Q670235
整数論の基本定理
Concept
Q3968
代数学
Concept
Q240651
素元
Concept
Q858656
可換環
Concept
Q2989575
既約元
Concept
Q50707
合成数
Concept
Q8747
エウクレイデス
PER
Q172891
原論
ORG
Q206793
ユークリッドの補題
Concept
Q206793
ユークリッドの補題
Concept
Q206793
ユークリッドの補題
Concept
Q206793
ユークリッドの補題
Concept
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