Projectieve ruimte
In wiskunde is een projectieve ruimte een verzameling van elementen die opgevat kan worden als de verzameling formula_1 van lijnen door de oorsprong van een vectorruimte formula_2. Als formula_3 of formula_4, spreekt men respectievelijk van de projectieve lijn en het projectieve vlak. Een projectieve ruimte bestaat als het ware uit alle richtingen in een vectorruimte.

Het idee van een projectieve ruimte houdt verband met perspectief, in het bijzonder met de manier waarop het oog of het objectief van een camera een driedimensionale scène projecteert als een tweedimensionaal beeld. Alle punten die op een zichtlijn liggen, dat wil zeggen op een projectielijn die door het oog of de intreepupil van de camera gaat, worden geprojecteerd op een gemeenschappelijk beeldpunt. In dit geval is formula_5 de vectorruimte met het oog of de intreepupil van de camera in de oorsprong, en correspondeert de projectieve ruimte met de beeldpunten.
Projectieve ruimten kunnen worden bestudeerd als een apart deelgebied binnen de wiskunde, maar worden ook in verschillende toepaste gebieden, vooral in de meetkunde gebruikt. Meetkundige objecten, zoals punten, lijnen of vlakken, kunnen worden weergegeven als elementen in projectieve ruimten, die zijn gebaseerd op homogene coördinaten. Als gevolg daarvan kunnen diverse relaties tussen deze objecten eenvoudiger worden beschreven dan mogelijk is zonder gebruik te maken van homogene coördinaten. Bovendien kunnen verschillende stellingen in de meetkunde consistent en veelomvattender worden gemaakt. Om een voorbeeld te geven, in de standaardmeetkunde van het vlak snijden twee lijnen elkaar altijd in een zeker punt, behalve als deze lijnen parallel aan elkaar lopen. In een projectieve representatie van lijnen en punten bestaat een dergelijk snijpunt echter ook voor parallelle lijnen, en kan dit snijpunt op dezelfde wijze worden berekend als andere snijpunten.

Andere wiskundige deelgebieden waar projectieve ruimten een belangrijke rol spelen zijn de topologie, de theorie van de Lie- en de algebraïsche groepen en hun representatietheorieën.

Projectieve ruimten geven ook de aanleiding tot de studie van polaire ruimten.
Q395
wiskunde
Concept
Q36161
verzameling
Concept
Q379825
element
Concept
Q37105
lijn
Concept
Q40735
oorsprong
Concept
Q125977
vectorruimte
Concept
Q764115
projectieve lijn
Concept
Q1475760
projectieve vlak
Concept
Q1900281
perspectief
Concept
Q15328
camera
Concept
Q3474217
zichtlijn
UNK
Q359518
intreepupil
Concept
Q8087
meetkunde
Concept
Q246672
Meetkundige object
Concept
Q17285
vlak
Concept
Q528525
homogene coördinaten
UNK
Q1191139
een dergelijk snijpunt
Concept
Q42989
topologie
Concept
Q622679
Lie-
Concept
Q1695400
algebraïsche groep
Concept
Q3058226
polaire ruimten
UNK
Q877775
Projectieve ruimte
Concept
Q877775
Projectieve ruimte
Concept
+1^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
1
NUMBER
+2^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
2
NUMBER
+3^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
3
NUMBER
+4^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
4
NUMBER
+5^^http://www.w3.org/2001/XMLSchema#decimal
5
NUMBER
part of
part of