Differentieerbare variëteit
Een differentieerbare variëteit is een variëteit waarop wiskundige analyse (differentiëren en integreren) mogelijk is. Een variëteit kan worden beschreven met behulp van een collectie van kaarten, die ook bekendstaat als een atlas. Op een differentieerbare variëteit kan men op de kaarten de differentiaal- en integraalrekening toepassen. De reden hiervoor is dat kaarten in euclidische ruimten liggen, waarop de gebruikelijke regels van de differentiaal- en integraalrekening van toepassing zijn. Als de kaarten voldoende compatibel zijn (wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is), dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart.

Formeel is een differentieerbare variëteit een topologische variëteit met een globaal gedefinieerde differentieerbare structuur. Door gebruik te maken van homeomorfismen in zijn atlas en de standaard differentieerbare structuur op de euclidische ruimte kan aan elke topologische variëteit "lokaal" een differentieerbare structuur worden meegegeven. Om een globale differentieerbare structuur op te leggen aan het lokale door homeomorfismen geïnduceerde coördinatensysteem, moeten hun functiecomposities op kaartdoorsneden in de atlas differentieerbare functies in de euclidische ruimte zijn. Met andere woorden, waar de domeinen van de kaarten overlappen, zijn de coördinaten die door elke kaart worden gedefinieerd, verplicht differentieerbaar met betrekking tot de coördinaten die door elke kaart in de atlas worden gedefinieerd. De afbeeldingen die de coördinaten, gedefinieerd door verschillende kaarten, aan elkaar relateren, worden "transitieafbeeldingen" genoemd.

Differentieerbaarheid betekent in verschillende contexten steeds iets anders: voorbeelden zijn: continue differentieerbaarheid, "k"-maal differentieerbare en holomorfe functies. Bovendien maakt de mogelijkheid om een dergelijke gedifferentieerde structuur op te leggen aan een abstracte ruimte het mogelijk om de definitie van differentieerbaarheid uit te breiden tot ruimten zonder globale coördinatenstelsels. Een differentiële structuur maakt het mogelijk om globaal differentieerbare raakruimten, differentieerbare functies en differentieerbaar tensor- en vectorvelden te definiëren. Differentieerbare variëteiten zijn zeer belangrijk in natuurkunde. Speciale soorten differentieerbare variëteiten vormen de basis voor natuurkundige theorieën zoals de klassieke mechanica, de algemene relativiteitstheorie en de Yang-Mills-theorie Het is mogelijk om voor differentieerbare variëteiten een calculus te ontwikkelen. Dit leidt tot zulke wiskundige machinerie als de uitwendige calculus. De studie van de calculus op differentieerbare variëteiten staat bekend als differentiaalmeetkunde.
Q203920
variëteit
Concept
Q149999
differentiëren
Concept
Q150008
integreren
Concept
Q203920
kaart
Concept
Q1303310
atlas
UNK
Q149999
differentiaal-
Concept
Q150008
integraalrekening
Concept
Q2721559
topologische variëteit
Concept
Q1957365
differentieerbare structuur
Concept
Q202906
homeomorfisme
Concept
Q11210
coördinatensysteem
Concept
Q244761
functiecompositie
Concept
Q868473
continue differentieerbaarheid
Concept
Q207476
holomorfe functie
Concept
Q748349
structuur
Concept
Q472971
ruimte
Concept
Q11210
coördinatenstelsel
Concept
Q909601
raakruimte
Concept
None
tensor-
UNK
Q186247
vectorveld
Concept
Q413
natuurkunde
Concept
Q11397
klassieke mechanica
Concept
Q11452
algemene relativiteitstheorie
Concept
Q1192873
Yang-Mills-theorie
Concept
Q1754547
uitwendige calculus
UNK
Q188444
differentiaalmeetkunde
Concept
Q3552958
Differentieerbare variëteit
Concept
subclass of
part of
part of
part of