Modelagem Dengue via Edos | Equações diferenciais | Equações
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CENTRO DE ENSINO PESQUISA E EXTENSÃO SOCIOAMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS AMBIENTAIS – PPCA
Modelagem de Transmissão de Dengue e Problemas Ambientais Similares Via Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias
Dissertação apresentada ao PPGCA - Programa de Pós Graduação em Ciências Ambientais da UESB - para a obtenção de Título de Mestre em Ciências Ambientais com Área de Concen- tração em Meio Ambiente e Desenvolvimento.
D.Sc. Ronaldo Silva Thibes
Santos, Djan Almeida. Modelagem de transmissão de dengue e problemas ambientais similares via sistemas de equações diferenciais ordinárias. / Djan Almeida Santos . - Itapetinga: UESB, 2013.
Dissertação de mestrado do Programa de Pós-Graduação em
Ciências Ambientais da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB – Campus de Itapetinga. Sob a orientação do Prof. D.Sc Ronaldo Silva Thibes
1. Modelagem Matemática – Sistemas Ambientais – Métodos Numéricos. 2. Modelo SIR - Transmissão de dengue – Equações Diferenciais. 3. Impacto ambiental - Simulação computacional numérica. I. Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais. II. Thibes, Ronaldo Silva. III. Título.
CDD (21): 577.27
Adalice Gustavo da Silva – CRB/5-535 Bibliotecária – UESB – Campus de Itapetinga-BA
Índice Sistemática para Desdobramento por Assunto:
1. Modelagem Matemática – Sistemas Ambientais – Métodos Numéricos
2. Modelo SIR - Transmissão de dengue – Equações Diferenciais
3. Impacto ambiental - Simulação computacional numérica
As peças fundamentais da minha vida:
Meus queridos pais, Valdelino e Maurisa,
meu irmão Ialy
e minha namorada Jéssica.
Primeiramente, a Deus pela vida. Ao Professor Dr. Ronaldo S. Thibes pela orientação, compreensão e dedicação. A minha família e namorada, pelo amor, paciência e incentivo. Aos vários amigos e colegas de trabalho, equipe da Aíboa Produções, do If Baiano (campus Itape- tinga) e do futebol dos coroas. Amigos são sempre fundamentais na minha vida e nesses anos
de mestrado não poderiam ser diferentes. Aos colegas da turma não só pelas discussões cien- tíficas mas, também, pela preocupação em sempre nos mantermos motivado, principalmente ao amigo Murilo Scaldaferri. A equipe da 14 a Dires, na pessoa de Amarildo, e da Secretaria de Saúde de Itapetinga-BA, especialmente Cosme Leonardo Coy, pela colaboração nos dados da pesquisa. A Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB), juntamente ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais (PPGCA), por me oferecer essa oportunidade. Ao pro- fessor Nemesio Matos que participou da minha banca de qualificação e as professoras Simara Santos e Selma Rozane que participaram da banca de defesa e contribuíram significativamente para este trabalho. Aos demais professores do PPGCA (UESB) pelo conhecimento passado
e a todos que de alguma forma me acompanharam durante esta caminhada sinceros MUITO OBRIGADO!
SANTOS, Djan A. Modelagem de Transmissão de Dengue e Problemas Ambientais Similares Via Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Itapetinga - BA: UESB, 2013. 103 páginas. Dissertação - Mestrado em Ciências Ambientais. Área de Concentração em Meio Ambiente e Desenvolvimento 1 .
Resumo: Desde a antiguidade a civilização humana utiliza da matemática para desenvolver modelos, resolver problemas e fazer previsões a respeito do comportamento dos fenômenos
naturais. Com a evolução tecnológica e o uso de computadores, essa tarefa foi facilitada. O desenvolvimento de modelos matemáticos, aliado ao uso de técnicas de programação, apre- senta resultados significativos quanto à complexidade de resolução dos cálculos matemáticos
e na geração de modelos que representem o comportamento dos fenômenos do mundo real.
Neste contexto, surge a preocupação com os problemas ambientais, a exploração dos recursos naturais, a extinção de espécies, os impactos ambientais causados pelos humanos, entre outros. Descrever matematicamente sistemas reais para ajudar a entender e, assim, interpretar proble- mas relacionados ao meio ambiente, é um grande desafio para os pesquisadores. Este trabalho, utilizou a simulação computacional numérica de sistemas ambientais representada por modelos matemáticos caracterizados pela dinâmica populacional, tais como, população de recurso na- tural não renovável (modelo de exploração constante), população de espécies predador e presa (modelo de Lotka e Volterra), população de humanos e vetores susceptíveis e infectados pelo vírus da dengue (modelo SIR), bem como equações diferenciais, programação de aplicativos
e construção de modelos matemáticos aplicados a este cenário ambiental, a fim de se obter
soluções analíticas e numéricas que poderão integrar um processo de estudo dos impactos am- bientais.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Sistemas Ambientais, Equações Diferenciais, Mé- todos Numéricos, Modelo SIR.
1 Orientador: Ronaldo Silva Thibes, D. Sc. UFRJ
SANTOS, Djan A. Environmental Systems Modelling with Ordinary Diferential Equations - Applied Computational and Mathematical Tools. Itapetinga - BA: UESB,2012. 103 pages. Dissertation - MSc in Environmental Sciences. Specialization in Environment and Develop- ment 1 .
Abstract: Since ancient times, human civilization has been using mathematical models. To solve problems and make predictions about the behavior of natural phenomena. This issue has been considerably facilitated by the recent devenlopments in technology and the use of com- puters. The development of mathematical models with the use of programming techniques has shown significant results for the complexity of solving the mathematical calculations and ge- nerating models that represent the behavior of real-world phenomena. Mathematical models consist of one or more equations that describe or approximate the behavior of a system. In this context, there is a concern about environmental problems, exploration of natural resources, spe- cies extinction, environmental impacts caused by humans, among others. Mathematically des- cribing real systems to help understand and thus interpret issues related to the environment is a big challenge wire for mathematicians and engineers. In this work, systems were modeled and simulated, characterized by the interdependence of its components, the feedback information and time lags between cause and effect. The use of mathematical models enables the correction of existing problems, but also estimate the anticipated effects and impacts of hypothetical future situations by means of simulations. Differential equations, application programming, graphic generation and constructing mathematical models applied to this environmental scenario were utilized to obtain analytical and numerical solutions that can be utilized to study the environ- mental impacts.
Keywords: Mathematical Modelling, Environmental Systems, Differential Equations, Numeri- cal Methods, Model SIR.
1 Leader-Teacher: Ronaldo Silva Thibes, D. Sc. UFRJ
1.2 Equações Diferenciais Ordinárias .
1.2.1 Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a Ordem
1.2.2 Sistemas de EDO Acopladas
1.3 Simulação Computacional Via Métodos de Integração Numérica
1.3.1 Método de Euler
1.3.2 Método de Runge-Kutta
1.4 Modelo de Exploração Constante .
1.4.1 Integração Numérica Via Método de Euler
1.4.2 Integração Numérica Via Método de Runge-Kutta .
1.5 Sistema de Lotka-Volterra
1.5.1 Integração Numérica Via Método de Euler
1.5.2 Integração Numérica Via Método Runge-Kutta
2 Modelo SIR Generalizado Aplicado a Epidemiologia de Dengue em Microrregião Brasileira
2.2 O Modelo Matemático
2.4 Pontos de Equilíbrio do Modelo
2.6 Referências Bibliográficas.
3 Análise de Dependência Temporal de Parâmetros em Modelo de Transmissão de Dengue
3.2 Variação de Parâmetros
3.2.1 Taxa de Mortalidade do vetor
3.2.2 Taxa de picadas do vetor
3.2.3 Taxa de Recrutamento do vetor
3.2.4 Variação Simultânea de Parâmetros
3.4 Referências Bibliográficas.
Apêndice A -- Implementação do Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem em Linguagem de Programação C
Apêndice B -- Redução Dimensional do Sistema de Equações Diferenciais do Modelo SIR Generalizado
Apêndice C -- Pontos de Equilíbrio do Modelo
1 Aproximação da solução em um PVI .
2 Gráfico ilustrativo comparando simulação numérica via método de Runge-Kutta,
método de Euler e Solução Exata do PVI y = 0, 2 t y, y(0) =
3 Comportamento qualitativo esperado para o modelo (1.26) utilizando P 0 dife-
4 Gráfico da solução exata (1.26) para população de Baleias da Antártida, utili- zando diferentes valores de P 0 . Valores dos parâmetros H = 6.000 baleias por ano, r = 0, 08 baleias por ano e K = 400.000
5 Comparação entre os gráficos da simulação numérica via método de Euler do
modelo (1.20) e da solução exata obtida de (1.26), considerando população ini-
cial P 0 = 150.000
6 Ampliação da Figura 5 - Comparação entre os gráficos da simulação numérica via método de Euler do modelo (1.20) e da solução exata obtida de (1.26), considerando população inicial P 0 = 150.000 baleias e t de 1990 a
7 Erro percentual associado a aproximação pelo método de Euler do modelo (1.20) comparado com solução exata obtida de (1.26) relativo à Figura
8 Comparação entre os gráficos da simulação numérica via método de Runge- Kutta de 4 a Ordem do modelo (1.20) comparado com solução exata obtida de (1.26), considerando população inicial P 0 = 150.000
9 Erro percentual associado a aproximação pelo método de Runge-Kutta de 4 a
Ordem do modelo (1.20) com a solução exata obtida de (1.26) baseado na Fi-
10 Comparação entre os gráficos da simulação numérica via métodos de Euler e Runge-Kutta de 4 a Ordem do modelo (1.20) comparado com solução exata ob-
tida de (1.26), considerando população inicial P 0 = 150.000 baleias e faixa de
tempo de exibição de 1990 a
Erro associado à aproximação pelo método de Runge-Kutta de 4 a Ordem e mé-
todo de Euler relativo a Figura 10
12 Gráfico da simulação numérica via método de Euler do modelo predador-presa (1.39). Dado x 0 = 20.000 presas, y 0 = 5.000 predadores e t 0 = 0 com passo
h = 1 ano
13 Gráfico da simulação numérica em sistemas via método de Runge-Kutta do
modelo predador-presa (1.39). Dado x 0 = 20.000 presas, y 0 = 5.000 predadores
e t 0 = 0 com incremento h = 1 ano .
14 Gráfico comparativo da simulação numérica do número de presas realizada via método de Euler e Runge-Kutta do modelo predador-presa (1.39). Dado x 0 =
presas, y 0 = 5.000 predadores e t 0 = 0 com incremento h = 1 ano
15 Gráfico comparativo da simulação numérica do número de presas realizada via método de Euler e Runge-Kutta do modelo predador-presa (1.39). Dado x 0 =
presas, y 0 = 5.000 predadores e t 0 = 0 com incremento h = 0, 1 ano
16 Gráfico da solução numérica via método de Runge-Kutta do modelo predador - presa utilizando h suficientemente pequeno h = 0,
17 Simulação de humanos infectados na microrregião de Itapetinga-BA
18 Simulação de humanos infectados no município de Itapetinga-BA
19 Simulação de humanos infectados no município de Itororó-BA
20 Simulação de humanos infectados no município de Iguaí-BA
21 Simulação de vetores infectados na microrregião de Itapetinga-BA
22 Simulação de humanos susceptíveis na microrregião de Itapetinga-BA
23 Gráfico de simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando µ V variável e µ V constante.
24 Gráfico de simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando µ V variável, µ V constante e dados reais.
25 Gráfico de simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando b variável e comparando com dados reais.
26 Gráfico de simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando b variável comparado com b contante.
27 Gráfico de simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga- BA utilizando o parâmetro A variável e constante comparado com dados
28 Valores dos parâmetros variáveis durante o período simulado
29 Gráfico da simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando o melhor ajuste comparado com dados reais.
30 Gráfico da simulação numérica de humanos infectados no município de Itapetinga-
BA utilizando os parâmetros constantes e variáveis.
1 Amostra de valores da integração numérica via método de Euler do modelo
(1.20) comparado com valores obtidos pela solução exata (1.26), população
inicial P 0 = 150.000 baleias .
2 Amostra de valores da integração numérica via método de Runge-Kutta do mo-
delo (1.20) comparado com valores obtidos pela solução exata (1.26), popula-
ção inicial P 0 = 150.000 baleias
3 Amostra de valores da integração numérica via método de Euler e Runge-Kutta
de 4 a Ordem do modelo (1.20) comparado com valores obtidos pela solução
exata (1.26), população inicial P 0 = 150.000 baleias
4 Valores de amostra da integração numérica do modelo predador presa (1.39) via
método de Euler. Dado x 0 = 20.000 presas, y 0 = 5.000 predadores e t 0 = 0 com
passo h = 1
5 Valores de amostra da integração numérica via método de Runge-Kutta do mo-
delo predador-presa (1.39). Dado x 0 = 20.000 presas, y 0 = 5.000 predadores e
t 0 = 0 com incremento h = 1 ano .
6 Parâmetros utilizados na simulação - SIR
7 Valor de R 0 para os municípios da microrregião
8 Tabela com os erros quadrado médio obtidos das simulações numéricas de (3.3)
envolvendo os parâmetros com valores constantes e
A palavra modelo possui muitas nuanças em seu significado. De modo geral, compreende-
se como sendo qualquer representação simplificada da realidade ou de um aspecto do mundo real que surja como de interesse ao pesquisador, que possibilite reconstruir a realidade, prever um comportamento, uma transformação ou uma evolução.
Desde a antiguidade, a matemática vem servindo como instrumento para interpretar os fenômenos. Através da experiência vivida, os homens constroem modelos e fazem uso da matemática como uma das ferramentas em busca de soluções. A matemática estuda quanti- dades, medidas, espaços, estruturas, variações, formula conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de sentenças e definições, estabelece novos resultados. A matemática evoluiu de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos, até alcançar a forma geral axiomática atual abrangendo teoria de conjuntos, relações, aplicações, morfismos e categorias.
O trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como ima-
ginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma das técnicas matemáticas mais utilizadas como ferramenta de apoio interdis- ciplinar é a da modelagem matemática, utilizada para efetuar prognósticos sobre um fato real e para encontrar soluções aos problemas.
Para que a modelagem seja implementada como instrumento de análise no estudo dos siste- mas ambientais, no contexto das diversas escalas de grandeza espacial e temporal, estabelecem- se as características desses sistemas, discernindo os elementos componentes, definindo as va- riáveis relevantes e considerando os fluxos de matéria e energia nos eco e geossistemas que são entidades representativas de sistemas ambientais (RUBIN, 2001).
Os modelos matemáticos representam, o mais próximo possível da realidade, a estrutura
e funcionamento dos sistemas ambientais, explorando as relações entre seus fatores físicos, biológicos e socioeconômicos.
Os estudos dos impactos ambientais consistem no processo de predizer e avaliar as ati- vidades humanas sobre as condições do meio ambiente e delinear os procedimentos utilizados preventivamente para evitar os efeitos considerados negativos (CHRISTOFOLETTI, 1999). Muitas vezes, os estudos dos impactos ambientais feitos sob um cenário amplo ou genérico apresen- tam dificuldades para serem solucionados, pois, em geral, a literatura não dispõe de modelos apropriados para o tratamento de tais problemas. Torna-se cada vez mais urgente pensarmos que estes problemas ambientais podem ter consequências catastróficas para as gerações futu- ras. Fica evidente a necessidade de integração da matemática com as ciências ambientais na modelagem de cenários prejudicados pelos impactos gerados pelo homem.
Impactos ambientais são presenciados constantemente em ambientes regionais ou através da mídia (jornais, revistas, programas jornalísticos). Com isto, existe uma demanda de pes- quisas que aborda a temática e pode produzir resultados que auxiliem na adoção de políticas ambientais, propondo métodos e/ou soluções para resolver os problemas, bem como identifi-
car ambientes susceptíveis a possíveis desastres ambientais. A modelagem ambiental, através de modelos matemáticos, auxilia no processo de implantação de políticas ambientais, tomando como base os resultados obtidos a partir dos cálculos, que possibilitam a formulação de mé- todos de correção para problemas existentes, como também estimativa antecipada de efeitos
e impactos de situações hipotéticas futuras por meios de simulações. Sob essa perspectiva, a
construção de modelos é considerada um procedimento inerente à pesquisa científica e a sua elaboração é realizada acompanhada de critérios e normas da metodologia científica (CHRISTO- FOLETTI, 1999).
A modelagem matemática em sistemas ambientais é importante, pois possibilita construir pontes entre os níveis da observação e proposições teóricas. E este é o objeto deste estudo:
discutir e generalizar modelos matemáticos aplicando-os a sistemas ambientais (baseados em equações diferenciais ordinárias), realizar simulações computacionais via métodos de integra- ção numérica (desenvolvidas em linguagem de programação C) e comparar soluções numéricas com dados reais objetivando otimização de modelos. Neste trabalho, mostraremos como sis- temas de equações diferenciais ordinárias são aplicados a problemas de interesse ambiental, levando ao desenvolvimento de modelos descritivos e preditivos do fenômeno.
Neste capítulo 1, efetuamos uma breve revisão bibliográfica sobre equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações diferenciais ordinárias acopladas, métodos numéricos e si- mulação computacional. Apresentaremos, a título de exemplo, dois modelos matemáticos co-
nhecidos na literatura (sistema predador-presa e sistema de exploração constante) aplicando
as ferramentas matemáticas e computacionais. No capítulo 2, trataremos do modelo matemá-
tico SIR generalizado, aplicado ao estudo da disseminação da dengue em uma microrregião
do estado da Bahia. Considerar-se-á a evolução dinâmica de subconjuntos das populações de
seres humanos e mosquitos transmissores. Compararemos as soluções obtidas numericamente
com dados experimentais e discutiremos o controle das populações humana e do inseto, além
de caracterizarmos situações de epidemia através do estudo dos pontos de equilíbrio do mo-
delo. No capítulo 3, detalharemos os resultados encontrados na solução numérica do modelo
SIR generalizado, aplicado ao estudo da epidemia de dengue em uma microrregião do estado
da Bahia. Alterações realizadas no modelo original permitiu variações nos parâmetros como
função do tempo. O correspondente sistema de equações diferenciais ordinárias deixa de ser
autônomo com a introdução da função degrau para descrever variações externas nos parâmetros
1.2 Equações Diferenciais Ordinárias
As hipóteses sobre um sistema ambiental envolvem frequentemente uma taxa de variação
de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou
mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma
equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais (ZILL, 2003). Um modelo nada
mais é do que uma abstração matemática de processo real. As equações diferenciais são usadas
para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos, sistemas ambientais, entre outros.
Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso tanto na matemática pura
quanto na matemática aplicada. Podemos classificá-las por tipo, ordem e linearidade.
Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém somente derivadas ordinárias de uma ou
mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente. Por exemplo
dx dy + 5y = 0,
onde y é uma grandeza dependente da variável independente x. A variável dependente y é
considerada uma função incógnita a ser determinada. Em modelos ambientais, geralmente as
equações estão em função do espaço ou do tempo (variável independente). Já a equação dife-
rencial parcial (EDP) contém funções com mais de uma variável independente e suas derivadas
parciais. Por exemplo, ∂ f
∂x + ∂ f
sendo x e y variáveis independentes e f a variável dependente. Nesse caso, F = f (x, y) repre-
senta a função incógnita. A ordem de uma equação diferencial (seja ela uma EDO ou EDP)
é a ordem de maior derivada da função incógnita na equação. por exemplo, a equação abaixo
representa uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
dy dx 3
−4y = e x .
Em símbolos, podemos expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma
y (n) ) = 0, onde F é uma função real
variável dependente x na forma geral dada por F(x, y, y ,
dependente de n + 2 variáveis reais, x, y, y ,
, y (n) , e onde y (n) = d n y/dx n .
Por fim, uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se F for linear na função y
y (n−1) . Isso significa que uma EDO de n-ésima ordem é linear se todos os
coeficientes são funções de x e a função y e as suas derivadas têm todos expoentes 1 ou 0. Uma
e nas derivadas y ,
equação diferencial é dita não linear simplesmente quando ela não for linear. Por exemplo, a
EDO (1.3) é não-linear pois contém uma derivada primeira de y elevada a um expoente três.
Existem pelo menos duas abordagens para resolver uma equação diferencial: analítica e
numérica. A analítica é quando todas equações em um modelo são resolvidas algebricamente,
de forma exata. Como os problemas ambientais são, com frequência, altamente não lineares,
nem sempre essa solução é possível. Nestes casos utilizamos as soluções numéricas, que dão
uma aproximação da solução verdadeira.
Considere uma equação diferencial ordinária de 1 a ordem como
f (t, y),
onde f é uma função real dada de duas variáveis, sendo y a variável dependente e t a variável
independente. Uma função diferenciável y = π(t) que satisfaz essa equação para todo t em
algum intervalo real é chamada de solução neste intervalo. O objetivo é determinar se tais
funções existem e, nesse caso, desenvolver métodos para encontrá-las.
Uma solução particular de uma equação diferencial (1.4) em um intervalo real I é uma
função y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y (t) está definida no intervalo I e
satisfaz a equação (1.4) neste intervalo
onde y 0 é o valor de y no ponto t 0 .
Equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem descrevem diversos sistemas ambientais,
como o modelo de exploração constante, que será discutido em seção posterior.
Frequentemente, em diversas aplicações ambientais, lidamos com sistemas de equações
diferenciais. Em um sistema de equações diferenciais ordinárias, duas ou mais equações en-
volvem as derivadas de duas ou mais funções desconhecidas em relação a uma única variável
Uma solução de um sistema de equações diferenciais é um conjunto de funções diferen-
x n = φ n (t), definidas em um intervalo I, que satisfazem cada
equação do sistema nesse intervalo. Uma solução é um conjunto de equações paramétricas em
um espaço vetorial de dimensão n. Para cada valor de t dado, as equações fornecem valores para
x n de um ponto neste espaço. À medida que t varia, as coordenadas,
ciáveis x 1 = φ 1 (t),x 2 = φ 2 (t),
as coordenadas x 1 ,x 2 ,
em geral, também mudam.
Então, a classificação de equações diferenciais depende do número de funções desconheci-
das. Se existe uma única função incógnita, uma equação é suficiente. Se existem duas ou mais
funções desconhecidas precisamos de um sistema de equações. Considerando que podemos
reduzir a ordem de um sistema de EDO à custa de introdução de variáveis auxiliares e novas
equações, limitar-nos-emos a sistemas de 1 a ordem.
Um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem tem a forma normal
f 1 (t,x
f 2 (t,x
f n (t,x 1 ,x 2 ,
, x n são funções incógnitas, a serem determinadas, as funções
equações (1.7) caracteriza um sistema dinâmico no sentido que descreve a evolução das funções
, f n são dadas, caracterizando cada sistema particular (1.7). Dizemos que o conjunto de
Enquanto as funções x 1 , x 2 ,
, x n em relação a variável independente t que em geral representa o tempo.
f n em (1.7) for linear nas variáveis dependentes
neares de 1 a ordem, caso contrário, o sistema é dito não linear. De forma compacta, podemos
reescrever (1.7) como
f i (t,x i ), i = 1, 2,
n , obteremos a forma normal de um sistema de equações diferenciais ordinárias li-
Quando cada uma das funções f 1 , f 2 ,
dt n o sistema linear será chamado de homogêneo e, do contrário,
Quando f i (t, 0) = 0 , i = 1, 2,
de não homogêneo.
Um exemplo clássico de sistemas envolvendo equações diferenciais ordinárias descrevendo
sistemas ambientais é o modelo predador-presa conhecido como sistema de equações de Lotka-
Volterra (LOTKA, 1925; VOLTERRA, 1926) que será discutido em seção posterior.
1.3 Simulação Computacional Via Métodos de Integração Nu- mérica
Há muitos anos pesquisadores vêm desenvolvendo estudos ligados a modelagem matemá-
tica. Entretanto, os recursos tecnológicos disponíveis alguns anos atrás eram bastante precários,
o que vinha a dificultar o avanço dos modelos, considerando que a grande dificuldade centrava
na complexidade numérica. Devido ao uso dos computadores isso tornou-se mais prático.
Os computadores têm pelo menos três utilidades importantes quando consideramos mode-
los representados por equações diferenciais. A primeira é a facilidade de efetuar cálculos e gerar
aproximações numéricas precisas das soluções. A segunda é a velocidade com que produz estes
resultados, o que tomaria muito tempo se fossem resolvidas à mão. Finalmente, a terceira é a
habilidade de traduzir os resultados numéricos em gráficos, de modo que o comportamento das
soluções seja facilmente visualizado.
O grande benefício da modelagem matemática é poder, através dos cálculos, validar o mo-
delo, fazer previsões e simulações sobre o comportamento do sistema, bem como controlá-lo.
Com o desenvolvimento da computação, a modelagem matemática tornou-se um dos instru-
mentos científicos mais poderosos que dispomos. Tipicamente, as aplicações científicas têm
estrutura de dados simples, mas exigem um grande número de computações aritméticas com
números reais (SEBESTA, 2002).
"Simulação é o processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e con-
duzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou
avaliar estratégias para sua operação "(FILHO, 2008). Simulação numérica via computador é
um processo mais amplo, compreende não somente a construção do modelo matemático, mas, também, todo o método experimental buscando descrever o comportamento do sistema, cons-
truir teorias e hipóteses, comparar observações e prever comportamentos futuros. A simulação tem sido cada vez mais aceita e empregada como uma técnica que permite aos analistas dos mais diversos seguimentos (administradores, engenheiros, biólogos, profissionais de informá- tica, etc.) verificar ou encaminhar soluções, com a profundidade desejada, aos problemas com
os quais lidam diariamente.
Um sistema de suporte à decisão que utiliza simulação de sistemas e modelagem mate- mática pode servir para o planejamento ambiental propiciando informações e conhecimentos complexos, processados de forma adequada no tocante ao estado do meio ambiente sobre uma área ou região específica. Os modelos de suporte à decisão surgem baseados em sistemas de informações e servem como instrumento às tomadas de decisões pelos planejadores, empresá- rios e políticos, é "um sistema interativo que proporciona ao usuário acesso fácil a modelos decisórios e dados a fim de dar apoio a atividades de tomada de decisões semi-estruturadas ou não-estruturadas" (FILHO, 2008). O principal apelo para o uso dessa ferramenta computacio- nal, principalmente nas ciências ambientais, é que ele permite que questões sejam respondidas sem que os sistemas sob investigação sofram qualquer pertubação, uma vez que os estudos são realizados no computador.
No presente trabalho, para obter soluções numéricas de modelos matemáticos aplicados a sistemas ambientais, desenvolvemos algoritmos na linguagem de programação C, utilizando-se métodos de integração numérica com vistas a possibilitar comparações e validações de resulta- dos experimentais. A linguagem C é uma linguagem de programação compilada, estruturada, multiplataforma das mais populares no mundo. É uma das mais utilizadas em ambientes científi- cos, pois fornece acesso de baixo nível à memória do computador e exige baixos requerimentos de hardware.
Os dados obtidos nas soluções numéricas, a partir das aplicações em C, foram plotados no gerador de gráficos Gnuplot. O Gnuplot é um programa open source voltado para a área das ci-
ências exatas, possui várias ferramentas para a manipulação de dados, com ele é possível plotar gráficos de funções de uma ou mais variáveis (2D ou 3D) e trabalhar com modelos numéricos.
O programa é multiplataforma, isto é, compatível com a maioria dos computadores e sistemas
operacionais (Linux, UNIX, Windows, Mac OSX, etc.) podendo gerar saídas diretamente na tela, ou em muitos formatos de arquivos gráficos, incluindo PNG, EPS, SVG, JPEG e muitos outros. Ele também é capaz de produzir código LaTeX.
A modelagem ambiental através de modelos matemáticos auxilia no processo de implanta-
ção de políticas ambientais, tomando como base os resultados obtidos a partir de métodos de
integração numérica realizados com auxílio do computador.
Um modelo matemático busca representar com a maior exatidão possível o problema real
e ter sua resolução analítica bem caracterizada. Porém, quanto mais detalhado o modelo, mais
complicada é a sua resolução e, na maioria dos casos, não é possível obtermos uma solução
analítica. Quando não podemos resolver as equações diferenciais ordinárias analiticamente, é
necessária a utilização de um método de integração numérico. Considere o seguinte problema
de valor inicial (PVI)
y = dy dt y(t 0 )
f(t,y),
ou seja, temos uma equação diferencial ordinária para y em função de t, caracterizada por uma
função f real de duas variáveis, tal que, o valor de y no ponto t 0 é dado por y 0 . Em geral a
variável independente t representa o tempo. Procuramos uma solução y(t) para (1.9) em um
intervalo contendo t 0 .
Usualmente, um método numérico para a solução de uma equação diferencial produz um
conjunto de valores. Em nosso caso, para o problema (1.9), teríamos os pares (t 0 ,y 0 ),(t 1 ,y 1 ),
como apresentado na Figura 1.
,(t n ,y n )
Figura 1: Aproximação da solução em um PVI.
Ou seja, a ideia é discretizar a EDO em (1.9) transformando-a em uma equação de diferen-
ças finitas.
A primeira tentativa de resolução numérica de uma equação diferencial foi feita por Euler 1 ,
por volta de 1768 (EULER, 1768). O método de Euler consiste em um método de integração numérica onde, conhecendo uma condição inicial e utilizando uma variação temporal ∆t sufici- entemente pequena, é possível obter uma aproximação para uma função a partir de sua derivada em relação a t.
A ideia do método de Euler é calcular aproximações para as diferentes soluções da equação
(1.9) a partir da equação da reta tangente num dado ponto. Mais precisamente, efetuamos a construção da reta tangente a y(t) no ponto (t 0 ,y 0 ) a partir da equação
y = y 0 + f(t 0 ,y 0 )(t − t 0 ).
Esta reta tangente é considerada uma boa aproximação para a curva solução em questão em um intervalo de tempo relativamente curto ∆t = t − t 0 para que a reta tangente não se distancie demasiadamente da solução real. Assim, para valores de t 1 relativamente próximos a t 0 , é possível estimar y 1 , como