Esta é a página de revisões do capítulo 3 referente ao grupo identificado no título desta página. P.f., não altere esse título. A ideia é as respostas às questões que se seguem reflectirem o que pensa o grupo como um todo. Apenas no caso de não ser possível chegar a um consenso é que poderá haver respostas alternativas a uma mesma questão. O prazo para o preenchimento desta página decorre até ao dia 11 de Abril (inclusive), data a partir da qual será desactivada a capacidade de edição. Só após essa data é que o professor fará aqui algum comentário, incluindo uma apreciação sobre o nível a que a matéria em causa se encontra dominada pelos alunos (embora, se solicitado, possa antes disso esclarecer alguma dúvida sobre o que se pretende com cada pergunta). Referindo-se o comentário meramente ao desempenho do grupo, deve cada um dos seus elementos retirar dele as ilações que entender, de acordo com a sua contribuição no grupo. Em particular, e embora cada um possa ver as respostas de qualquer outro grupo e qualquer pessoa seja livre de copiar sem pensar algo que viu ou ouviu de outros, fazê-lo extensivamente significa estar a enganar-se a si próprio, pois nos testes estará por sua conta e, portanto, se não tiver entretanto aprendido a pensar por si, não será nessa altura que será capaz de o fazer.
Cada elemento do grupo poderá usar o botão "Edit", no rodapé da página, para escrever as respostas nos locais assinalados. Cada rectângulo de resposta pode ser aumentado deslocando o seu canto inferior direito. Se necessário, o mesmo ou outro elemento do grupo pode editar o que já tiver sido escrito. Por questões de coerência, o sistema não permite que dois utilizadores diferentes estejam a editar a mesma página simultaneamente. No caso de haver uma tentativa nesse sentido, o sistema emitirá um correspondente aviso. Eventualmente, numa primeira fase, antes de passarem à escrita das respostas, poderão preferir trocar ideias através da escrita de "comentários" — ver parte inferior da página —, em especial se tiverem dificuldade em encontrar um tempo em comum para discussão verbal. Uma nota sobre os exemplos que se pedem nalgumas questões: se nada for exigido em contrário na questão em causa, podem ser usados exemplos das aulas ou exercícios das folhas.
Apesar de os rectângulos de resposta não mostrarem nenhuma barra de ferramentas, podem usar dentro desses rectângulos o mesmo código markup que usam na janela de comentários. Assim, por exemplo, código LaTeX escrito entre [[$ e $]] ou entre [[math]] e [[/math]] reproduz adequadamente a expressão matemática que se pretende. Quem não esteja muito familiarizado com a estrutura do código LaTeX pode obter o que pretende através do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões. Se, ainda assim, o grupo achar complicado ou demasiado demorado usar este processo para responder às questões que envolvam a escrita de várias expressões matemáticas, pode optar por resolver essas questões em papel a entregar ao professor dentro do prazo estabelecido em cima, quer fazendo a entrega nesse suporte, quer digitalizando-o e carregando o ficheiro para esta página aqui (após entrar no modo de edição desta página, seleccionando "Edit"):
As alterações que fizerem no modo de edição (inclusive um eventual ficheiro carregado para a página) só ficarão guardadas após seleccionarem o botão "Save" no fundo da página.
O que entende por uma série de Fourier e pelos coeficientes de Fourier (tanto relativos a uma função definida em $\mathbb R$ como a uma função cujo domínio é um intervalo de $\mathbb R$)? Exemplifique, apresentando também os principais cálculos necessários à determinação do termo geral da série.
O que entende por uma série de senos e por uma série de cossenos? Exemplifique, indicando também como proceder para obter tais séries para uma dada função integrável num intervalo.
O que entende por uma série de Fourier em notação complexa. Exemplifique, apresentando também os principais cálculos necessários à determinação do termo geral da série.
Qual a relação entre convergência uniforme de funções contínuas e convergência na norma do supremo para tais funções?
O que entende por uma função seccionalmente contínua? E por uma função seccionalmente suave? Dê um exemplo de uma função que seja seccionalmente contínua mas não seja seccionalmente suave e um exemplo de uma que nem seccionalmente contínua seja (se preferir, os exemplos podem ser gráficos).
Ainda em relação ao Teorema da representação por séries de Fourier: indique pelo menos um argumento que tenha achado interessante na demonstração feita na aula (o que inclui o ex. extra 2). Em alternativa (caso não tenha achado nenhum argumento interessante), indique uma técnica aí usada que já tinha sido usada anteriormente.
Prove que é válido para séries de Fourier o seguinte teorema de derivação termo a termo: Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica de período $2\pi$ e tal que $f'$ é contínua e seccionalmente suave. Então a série obtida por derivação termo a termo da série de Fourier de $f$ é a série de Fourier de $f'$ e tem por soma $f'$. Depois dê um exemplo de aplicação.