Mat sc conicas 002
Geometria analítica,, by Meire Souza 11025 views
1. Geometria Analítica: Estudos das CônicasTemos como base o uso de duas estratégias matemática (mudança de coordenadas):translação e rotação de eixos.1)Translação de eixos:
2. Rotação de eixos:Observe que a mudança de base indica que:
3. Atenção! Usaremos a formulação genérica: Para estudar as cônicas em nosso curso de Geometria Analitica. 1) Por meio de rotação elimina-se os temos de primeiro grau (chamada técnica de completamento de quadrados), a versão tradicional é a seguinte:
4. O termo misto Bxy, é eliminado via uma rotação adequada.
5. Esboço do gráfico de uma cônicaDada a cônica de equação:esboce o seu gráfico no sistema de coordenadas xy .Solução 1: Esboço do gráfico no sistema de coordenadas originais usandoas transformações inversas1. Obtenção da forma padrão em um novo sistema de coordenadasO primeiro passo é encontrar um sistema de coordenadas apropriado que nospermita identificar a cônica que estamos estudando. Para isso, usamos oprocesso de diagonalização de matrizes para rotacionarmos a cônica e depois,se for o caso, uma translação.
6. Primeiro escrevemos a equação da cônica em forma matricial:Primeiramente, vamos achar os autovalores da matriz A . O seu polinômiocaracterístico écujas raízes são ou que são os autovalores de A.Agora, para cada valor de encontrado, vamos achar o autoespaçocorrespondente, que é solução do sistema:Para obtemos = ~A matriz acima representa o sistema de duas variáveis de somente umaequação:Teremos, portanto, uma variável livre, por exemplo de modoque . Logo, o autoespaço associado a é
7. O vetor (1,1) gera este subspaço; para obtermos uma base ortonormal para osubespaço, basta dividi-lo pela sua norma:Logo, as matrizes D e P são : D= eP=Portanto, a equação no novo sistema de coordenadas éPortanto, a equação no novo sistema de coordenadas é + + 82 = 0ouCom a equação acima, ainda é difícil identificar a cônica. Porém, já sabemosque foi efetuada uma rotação em todo o sistema de coordenadas xy . Assim,essa cônica já está com os seus eixos paralelos aos eixos do plano cartesiano.Falta apenas efetuar uma translação nessa elipse para que seu centro coincidacom o centro do sistema de coordenadas e ela se encontre na formapadrão.Para encontrar a translação apropriada, usamos o método de completarquadrados: 2 x ² - 12 x + 8 y ² + 48 y ² + 82 = 0 2 ( x ² - 6 x + 9 ) + 8 ( y ² + 6 y ² + 9) + 82 = 0 + 18 + 72 2 ( x - 3 )² + 8 ( y + 3 )² = 8
8. Substituindoficamos com a equação Achar o novo centro, novo termo independente e novos coeficientes dos termos do segundo grau resume o problema de trabalhar com as cônicas.