Este texto apresenta a 2.o versão das notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Esta apostila foi elaborada em 2008 e não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área [7], [5], [10], [11] ou [15], mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas. Assim, é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complementar e reforçar o assunto. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente, sendo assim, sugestões, correções e comentários são muito bem vindos1. Gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Milton Dias Junior da FEM/UNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1. Também agradeço ao Prof. Geraldo Carvalho Brito Jr. pela cuidadosa leitura da 1.o versão desta apostila e por seus comentários e correções. Boa leitura e estudo!
2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 30 2.1 Vibrações livres não-amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Vibrações livres amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 57 3.1 Vibração causada por excitação harmônica . . . . . . . . . . . 58
3.3 Função de resposta ao impulso (IRF) . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário . . . . . . . . 69 3.5 Método da integral de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Função de transferência e métodos freqüênciais . . . . . . . . . 72
por vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.9 Métodos numéricos para solução de equações do movimento . 85
4 Isolamento de Vibrações, Tipos de Amortecimento e Técni- cas de Medição 103 4.1 Isolamento de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Técnicas de Medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.1 Medição em campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.2 Medição em laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.3 Transdutores para medição de vibrações . . . . . . . . 115
5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 117 5.1 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Solução via modos normais: análise modal analítica . . . . . . 121
5.2.1 Vibrações livres: sistema sem amortecimento . . . . . . 122 5.2.2 Vibrações livres: sistema com amortecimento propor-
um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1
um sistema com 1 grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . 79 3.10 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico. . . 80 3.11 Exemplo de um sinal estacionário. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.12 Distribuição de partes de um sinal estacionário. . . . . . . . . 82 3.13 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma
excitação harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação F (t)
A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas. Inicialmente, apresenta-se uma lista de al- gumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta dis- ciplina, com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações. Em seguida, destaca-se formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações, como graus de liberdade, elementos de um sistema vi- bratório, forças de excitação, análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático. Por fim, é mostrada uma forma de classificar os proble- mas de vibrações. Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos.
A análise vibro-acústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de ruído ou vibração ex- cessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em pro- jetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo.
Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel. O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel. O es-
tudante deve lembrar do conceito de ressonância1, estudado em física básica. Assim, se a freqüência de rotação do motor coincidir com alguma freqüência natural da estrutura do automóvel, como as freqüências naturais do capo, pode ocorrer um efeito trágico. Portanto, durante o projeto de um carro, os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as freqüências naturais do sistema como um todo e de seus componentes, para se evitar ressonância, ou mesmo ruído indesejável em painéis, interior, etc2.
Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em estruturas aeronáuticas [2]. Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação (ocasionadas sobretudo devido ao despreendi- mento de vortíces). Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante de uma interação entre forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas. Assim, para uma aeronave ser certificada pelo CTA/FAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre freqüências de ressonância em função das velocidades de vôo, peso, altitude, pressão, etc. Conseqüentemente, as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas, muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório.
A análise modal experimental (AME) consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico. Os parâmetros modais são pa- râmetros característicos do sistema e são compostos por freqüências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Se forem corretamente obtidos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático.
A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáu- tica. Um exemplo interessante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores [8]. Nesta aplicação, a empresa fabricante do automóvel constatou que em determina- das velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista, o que poderia provocar desconforto, além do risco de acidente. Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em ve- locidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor, vista na figura (1.1). Depois de extraído os modos naturais,
1O Cap. 2 irá definir formalmente o que é ressonância. 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente?
vistos na figura (1.2), constatou-se que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades. A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema.
Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3, como ro- lamentos, mancais, conexões, etc. apresentam algum defeito, como desali- nhamento, desbalanceamento, trinca, etc. o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão. Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados: referência (sem dano) e com dano. Assim, é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não. Adicionalmente, com aplicação de análise espectral, pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apre- senta. As unidades de geração de usinas hidrelétricas, como as de Itaipu, são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas.
Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmi- cas de estruturas como pontes, fuselagens de aeronaves, estruturas offshore, barragens, etc. visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas. Esta é uma área multidisciplinar, que compreende estudo de materi- ais, ferramentas estatísticas, reconhecimento de padrões, análise de tensões e
principalmente vibrações mecânicas. Assim, como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações, a medição de vibração mecâ- nica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia.
Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississipi, na cidade de Mineápolis nos Estados Unidos, figura 1.3. A ponte tinha sido inspecionada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado, porém um estudo conduzido anteriormente emi2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades. O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos.
de uma partícula, um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio. A seguir alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas.
O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes ne- cessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um con- junto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.
Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amor- tecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é
sendo v̄ a velocidade do centro de massa do corpo, ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo e Ī é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa.
Já um componente de rigidez (uma mola linear) tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo
onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento. A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento. No SI6 a unidade de rigidez é N/m.
Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos po- dem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma
5Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e, assim, o momento de inércia deve ser levado em conta.
sendo c o coeficente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. que serão descritos mais a frente durante este curso.
Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada ge- neralizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torsional, figura (1.4).
O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional à sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional à velocidade angular. Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente são determinados pelo cálculo da energia cinética to- tal, energia potencial, e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada
De acordo com a força de excitação que age em um sistema mecânico as respostas de vibração podem ter características diferentes. A seguir os tipos
sendo F a amplitude da excitação e ω a freqüência de excitação em rad/s. Também é usual descrever as freqüências em Hertz Hz7. A freqüência em Hz é nomeada de f e descrita por
sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir seu padrão), medidos em s. A relação entre as freqüên- cias em Hz e rad/s é dada por
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do co- nhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. A figura (1.5) mostra um exemplo gráfico de uma força deste tipo.
Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma exatamente igual, conforme o exemplo da figura (1.6). Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação.
Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descre- vem este tipo de força: explosão, impacto, etc. A figura (1.7) ilustra graficamente este tipo de excitação.
Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas exci- tados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. A figura(1.8) ilustra um sinal típico de excitação aleatória.
7Em homenagem ao cientista alemão Hertz, o primeiro a estudar as ondas de rádio, que também são vibrações, porém de origem elétrica.
Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor simples, como a figura (1.9), onde meq, keq e ceq são a massa equivalente, rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente.
O trabalho realizado pela força de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas localizações arbitrárias x1 e x2 podem ser escritas como
Molas em paralelo: O sistema da figura (1.10) tem molas em paralelo que são fixadas a um bloco com massa m. A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas visando modelar o sistema com uma única mola, similar ao da figura (1.9).
Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrário x, todas as molas sofrem este deslocamento, assim x = x1 = x2 = · · · = xn. Assim a força exercida é
Analisando a Eq. (1.13) observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por:
Molas em série: Já o sistema da figura (1.11) tem molas em série que são fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas.
Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na extre- midade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. Assim a força em cada mola é
A partir da Eq. (1.17) pode-se concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por
Sistemas mecânicos, como os da figura (1.9), têm elementos elásticos que estão sujeitos a forças quando o sistema está em equilíbrio. A deflexão re- sultante no elemento elástico é chamada de deflexão estática, geralmente nomeada por ∆st. O efeito de deflexão estática de um elemento elástico em um sistema linear não tem efeito na rigidez equivalente do sistema.
1.3 Classificação das vibrações mecânicas Há diferentes formas de classificar as vibrações em sistemas mecânicos:
8O sistema vibra nas suas freqüências naturais e não há força de excitação externa. 9O sistema vibra na freqüência de excitação.
Quanto às propriedades físicas: O sistema pode ser discreto, neste caso tem um número finito de gdl, ou contínuo10, neste caso tem um número infinito de gdl.
Quanto às equações envolvidas: O sistema pode ser linear (potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas) ou não-linear, quando não é válido o princípio da superposição.
1.4 Exercícios resolvidos Exemplo 1.1 Determine o número de graus de liberdade (gdl) para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura (1.12), e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise.
Solução: Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade. Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ, deslocamento angular da barra medido positivo no sentido anti-horário da posição de equilíbrio do sistema.
Exemplo 1.2 Determine o número de gdl necessários para analisar o sis- tema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura (1.13), e especifique um conjunto de coordenadas generaliza- das que pode ser usado nesta análise de vibrações.
Solução: Assume-se x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida, medido a partir da posição de equilíbrio. Infelizmente, o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o
deslocamento de qualquer partícula na barra. Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade. Para descrever totalmente este movimento deve-se considerar também a rotação angular θ no sentido anti-horário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio. Se θ é pequeno11, então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x + (L/2)θ. Portanto, o sistema tem 2 gdl, e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas, como ilustrado na figura (1.14).
Exemplo 1.3 Dado o sistema da figura (1.15) encontre um modelo equiva- lente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m.
Solução: Primeiro deve-se substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a Eq. (1.14). Este primeiro resultado é
Como resultado tem-se o sistema da figura (1.16b). Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x, os deslocamentos em cada mola da figura (1.16b) são os mesmos, e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas. Assim estas duas molas se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por
Exemplo 1.4 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura (1.17) usando o deslocamento do bloco como uma coordenada gene- ralizada.
Solução: A deflexão da viga engastada-livre na sua extremidade livre é devido a uma carga concentrada neste ponto e é definida como δ =
A rigidez da viga e a mola superior que está presa agem como se estives- sem em paralelo, pois a força na viga provocada pelo efeito de rigidez na viga é Fb = kbx e a força na mola superior é F1 = k1x, assim a força total é Fb − F1. Assim a deflecção no ponto de junção da extremidade livre da viga e da mola é: