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Neste capítulo, discutiremos diferentes estratégias para efetuarmos a busca de um elemento num determinado conjunto de dados. A operação de busca é encontrada com muita freqüência em aplicações computacionais, sendo portanto importante estudar estratégias distintas para efetuá-la. Por exemplo, um programa de controle de estoque pode buscar, dado um código numérico ou um nome, a descrição e as características de um determinado produto. Se temos um grande número de produtos cadastrados, o método para efetuar a busca deve ser eficiente, caso contrário a busca pode ser muito demorada, inviabilizando sua utilização.
Neste capítulo, estudaremos algumas estratégias de busca. Inicialmente, consideraremos que temos nossos dados armazenados em um vetor e discutiremos os algoritmos de busca que podemos empregar. A seguir, discutiremos a utilização de árvores binárias de busca, que são estruturas de árvores projetadas para darem suporte a operações de busca de forma eficiente. No próximo capítulo, discutiremos as estruturas conhecidas como tabelas de dispersão (hash) que podem, como veremos, realizar buscas de forma extremamente eficiente, fazendo uso de espaço de memória adicional.
16.1. Busca em Vetor
Nesta seção, apresentaremos os algoritmos de busca em vetor. Dado um vetor vet com n elementos, desejamos saber se um determinado elemento elem está ou não presente no vetor.
Busca linear A forma mais simples de fazermos uma busca num vetor consiste em percorrermos o vetor, elemento a elemento, verificando se o elemento de interesse é igual a um dos elementos do vetor. Esse algoritmo pode ser implementado conforme ilustrado pelo código a seguir, considerando-se um vetor de números inteiros. A função apresentada tem como valor de retorno o índice do vetor no qual foi encontrado o elemento; se o elemento não for encontrado, o valor de retorno é –1.
int busca (int n, int* vet, int elem)
for (i=0; i<n; i++) { if (elem == vet[i]) return i;
/* elemento encontrado */
Esse algoritmo de busca é extremamente simples, mas pode ser muito ineficiente quando o número de elementos no vetor for muito grande. Isto porque o algoritmo (a função, no caso) pode ter que percorrer todos os elementos do vetor para verificar que um determinado elemento está ou não presente. Dizemos que no pior caso será necessário realizar n comparações, onde n representa o número de elementos no vetor.
Portanto, o desempenho computacional desse algoritmo varia linearmente com relação
ao tamanho do problema – chamamos esse algoritmo de busca linear.
Em geral, usamos a notação "Big-O" para expressarmos como a complexidade de um algoritmo varia com o tamanho do problema. Assim, nesse caso em que o tempo computacional varia linearmente com o tamanho do problema, dizemos que trata-se de um algoritmo de ordem linear e expressamos isto escrevendo O(n).
No melhor caso, se dermos sorte do elemento procurado ocupar a primeira posição do vetor, o algoritmo acima necessitaria de apenas uma única comparação. Esse fato, no entanto, não pode ser usado para fazermos uma análise de desempenho do algoritmo, pois o melhor caso representa um situação muito particular.
Além do pior caso, devemos analisar o caso médio, isto é, o caso que ocorre na média.
Já vimos que o algoritmo em questão requer n comparações quando o elemento não está
presente no vetor. E no caso do elemento estar presente, quantas operações de comparação são, em média, necessárias? Na média, podemos concluir que são necessárias n/2 comparações. Em termos de ordem de complexidade, no entanto, continuamos a ter uma variação linear, isto é, O(n), pois dizemos que O(k n), onde k é uma constante, é igual a O(n).
Em diversas aplicações reais, precisamos de algoritmos de busca mais eficientes. Seria possível melhorarmos a eficiência do algoritmo de busca mostrado acima? Infelizmente,
se os elementos estiverem armazenados em uma ordem aleatória no vetor, não temos
como melhorar o algoritmo de busca, pois precisamos verificar todos os elementos. No
entanto, se assumirmos, por exemplo, que os elementos estão armazenados em ordem crescente, podemos concluir que um elemento não está presente no vetor se acharmos um elemento maior, pois se o elemento que buscamos estivesse presente ele precederia um elemento maior na ordem do vetor.
O código abaixo ilustra a implementação da busca linear assumindo que os elementos
do vetor estão ordenados (vamos assumir ordem crescente).
int busca_ord (int n, int* vet, int elem)
else if (elem < vet[i]) return -1;
/* interrompe busca */
No caso do elemento procurado não pertencer ao vetor, esse segundo algoritmo apresenta um desempenho ligeiramente superior ao primeiro, mas a ordem dessa versão do algoritmo continua sendo linear – O(n). No entanto, se os elementos do vetor estão ordenados, existe um algoritmo muito mais eficiente que será apresentado a seguir.
Busca binária No caso dos elementos do vetor estarem em ordem, podemos aplicar um algoritmo mais eficiente para realizarmos a busca. Trata-se do algoritmo de busca binária. A idéia do algoritmo é testar o elemento que buscamos com o valor do elemento armazenado no meio do vetor. Se o elemento que buscamos for menor que o elemento do meio, sabemos que, se o elemento estiver presente no vetor, ele estará na primeira parte do vetor; se for maior, estará na segunda parte do vetor; se for igual, achamos o elemento no vetor. Se concluirmos que o elemento está numa das partes do vetor, repetimos o procedimento considerando apenas a parte que restou: comparamos o elemento que buscamos com o elemento armazenado no meio dessa parte. Este procedimento é continuamente repetido, subdividindo a parte de interesse, até encontrarmos o elemento ou chegarmos a uma parte do vetor com tamanho zero.
O código a seguir ilustra uma implementação de busca binária num vetor de valores
inteiros ordenados de forma crescente.
int busca_bin (int n, int* vet, int elem)
/* no inicio consideramos todo o vetor */ int ini = 0; int fim = n-1; int meio;
/* enquanto a parte restante for maior que zero */ while (ini <= fim) { meio = (ini + fim) / 2; if (elem < vet[meio])
fim = meio – 1;
/* ajusta posicão final */
else if (elem > vet[meio]) ini = meio + 1;
/* ajusta posicão inicial */
else return meio;
/* não encontrou: restou parte de tamanho zero */ return -1;
O desempenho desse algoritmo é muito superior ao de busca linear. Novamente, o pior
caso caracteriza-se pela situação do elemento que buscamos não estar no vetor. Quantas vezes precisamos repetir o procedimento de subdivisão para concluirmos que o elemento não está presente no vetor? A cada repetição, a parte considerada na busca é dividida à metade. A tabela abaixo mostra o tamanho do vetor a cada repetição do laço do algoritmo.
Sendo assim necessárias log n repetições. Como fazemos um número constante de comparações a cada ciclo (duas comparações por ciclo), podemos concluir que a ordem desse algoritmo é O(log n).
O algoritmo de busca binária consiste em repetirmos o mesmo procedimento
recursivamente, podendo ser naturalmente implementado de forma recursiva. Embora a implementação não recursiva seja mais eficiente e mais adequada para esse algoritmo, a
implementação recursiva é mais sucinta e vale a pena ser apresentada. Na implementação recursiva, temos dois casos a serem tratados. No primeiro, a busca deve continuar na primeira metade do vetor, logo chamamos a função recursivamente passando como parâmetros o número de elementos dessa primeira parte restante e o mesmo ponteiro para o primeiro elemento, pois a primeira parte tem o mesmo primeiro elemento do que o vetor como um todo. No segundo caso, a busca deve continuar apenas na segunda parte do vetor, logo passamos na chamada recursiva, além do número de elementos restantes, um ponteiro para o primeiro elemento dessa segunda
parte. Para simplificar, a função de busca apenas informa se o elemento pertence ou não
ao vetor, tendo como valor de retorno falso (0) ou verdadeiro (1). Uma possível implementação usando essa estratégia é mostrada a seguir.
int busca_bin_rec (int n, int* vet, int elem)
/* testa condição de contorno: parte com tamanho zero */ if (n <= 0) return 0; else { /* deve buscar o elemento entre os índices 0 e n-1 */ int meio = (n - 1) / 2;
if (elem < vet[meio]) return busca_bin_rec(meio,vet,elem);
else if (elem > vet[meio]) return busca_bin_rec(n–1-meio, &vet[meio+1],elem); else
Em particular, devemos notar a expressão &vet[meio+1] que, como sabemos, resulta num ponteiro para o primeiro elemento da segunda parte do vetor.
Se quisermos que a função tenha como valor de retorno o índice do elemento, devemos
acertar o valor retornado pela chamada recursiva na segunda parte do vetor. Uma
implementação com essa modificação é apresentada abaixo:
/* testa condição de contorno: parte com tamanho zero */ if (n <= 0) return -1; else { /* deve buscar o elemento entre os índices 0 e n-1 */ int meio = (n - 1) / 2;
if (elem < vet[meio]) return busca_bin_rec(meio,vet,elem); else if (elem > vet[meio])
int r = busca_bin_rec(n-1-meio, &vet[meio+1],elem); if (r<0) return -1;
return meio+1+r;
Algoritmo genérico A biblioteca padrão de C disponibiliza, via a interface stdlib.h, uma função que faz a busca binária de um elemento num vetor. A função disponibilizada pela biblioteca independe do tipo de informação armazenada no vetor. A implementação dessa função genérica segue os mesmos princípios discutidos no capítulo anterior. O protótipo da função de busca binária da biblioteca é:
void* bsearch (void* info, void *v, int n, int tam, int (*cmp)(const void*, const void*) );
Se o elemento for encontrado no vetor, a função tem como valor de retorno o endereço do elemento no vetor; caso o elemento não seja encontrado, o valor de retorno é NULL. Análogo a função qsort, apresentada no capítulo anterior, os parâmetros de entrada dessa função são:
• info: o ponteiro para a informação que se deseja buscar no vetor – representa a chave de busca;
• v: o ponteiro para o primeiro elemento do vetor onde a busca será feita. Os elementos do vetor têm que estar ordenados, segundo o critério de ordenação adotado pela função de comparação descrita abaixo.
• n: o número de elementos do vetor.
• tam: o tamanho, em bytes, de cada elemento do vetor.
• cmp: o ponteiro para a função responsável por comparar a informação buscada e um elemento do vetor. O primeiro parâmetro dessa função é sempre o endereço da informação buscada, e o segundo é um ponteiro para um dos elementos do vetor. O critério de comparação adotado por essa função deve ser compatível com o critério de ordenação do vetor. Essa função deve ter como valor de retorno –1, 0, ou 1, dependendo se a informação buscada for menor, igual, ou maior que a informação armazenada no elemento, respectivamente.
Para ilustrar a utilização da função bsearch vamos, inicialmente, considerar um vetor de valores inteiros. Neste caso, os dois ponteiros genéricos passados para a função de comparação representam ponteiros para int.
/* Ilustra uso do algoritmo bsearch */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h>
/* função de comparação de inteiros */
int comp_int (const void* p1, const void* p2)
/* converte ponteiros genéricos para ponteiros de int */ int *i1 = (int*)p1; int *i2 = (int*)p2; /* dados os ponteiros de int, faz a comparação */ if (*i1 < *i2) return –1; else if (*i1 > *i2) return 1; else return 0;
/* programa que faz a busca em um vetor */ int main (void)
int v[8] = {12,25,33,37,48,57,86,92};
int e = 57; int* p;
/* informação que se deseja buscar */
p = (int*)bsearch(&e,v,8,sizeof(int),comp_int);
if (p == NULL) printf("Elemento nao encontrado.\n"); else printf("Elemento encontrado no indice: %d\n", p-v); return 0;
Devemos notar que o índice do elemento, se encontrado no vetor, pode ser extraído subtraindo-se o ponteiro do elemento do ponteiro do primeiro elemento (p-v). Essa aritmética de ponteiros é válida aqui pois podemos garantir que ambos os ponteiros armazenam endereços de memória de um mesmo vetor. A diferença entre os ponteiros representa a "distância" em que os elementos estão armazenados na memória.
Vamos agora considerar que queremos efetuar uma busca num vetor de ponteiros para alunos. A estrutura que representa um aluno pode ser dada por:
struct aluno { char nome[81]; char mat[8]; char turma; char email[41];
}; typedef struct aluno Aluno;
Considerando que o vetor está ordenado segundo os nomes dos alunos, podemos buscar a ocorrência de um determinado aluno passando para a função de busca um nome e o vetor. A função de comparação então receberá dois ponteiros: um ponteiro para uma cadeia de caracteres e um ponteiro para um elemento do vetor (no caso será um ponteiro para ponteiro de aluno, ou seja, um Aluno**).
/* Função de comparação: char* e Aluno** */ int comp_alunos (const void* p2, const void* p2) /* converte ponteiros genéricos para ponteiros específicos */ char* s = (char*)p1; Aluno **pa = (Aluno**)p2; /* faz a comparação */ return strcmp(s,(*pa)->nome);
Conforme observamos, o tipo de informação a ser buscada nem sempre é igual ao tipo do elemento; para dados complexos, em geral não é. A informação buscada geralmente representa um campo da estrutura armazenada no vetor (ou da estrutura apontada por elementos do vetor).
Devemos finalmente salientar que se tivermos os dados armazenados em uma lista encadeada, só temos a alternativa de implementar um algoritmo de busca linear, mesmo se os elementos estiverem ordenados. Portanto, lista encadeada não é uma boa opção para estruturarmos nossos dados, se desejarmos realizar muitas operações de busca. A estrutura dinâmica apropriada para a realização de busca é a árvore binária de busca que será discutida a seguir.