Equação Geral da Reta - Matemática
Na Matemática, pode-se definir equação como uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. As equações na forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são números constantes e a e b não são simultaneamente nulos, representam retas no plano cartesiano, e, por esse motivo, recebem o nome de Equação Geral da Reta.
É possível estabelecer a equação geral de uma reta utilizando-se de conhecimento de matrizes. Sabe-se que é possível obter uma reta a partir de dois pontos alinhados. Conhecendo-se os pares ordenados – valores constantes - desses pontos (Xa,Ya) e (Xb,Yb), e valendo-se de um terceiro ponto alinhado aos outros dois, de coordenadas desconhecidas (X,Y), pode-se construir uma matriz quadrada de ordem 3:
Matriz quadrada de ordem 3, formada a partir dos pares
ordenados de três pontos alinhados de uma reta.
Para essas matrizes, pode-se aplicar a Regra de Sarrus para o cálculo do determinante. Segundo essa regra, a matriz deve ser escrita repetindo-se as duas primeiras colunas ao lado direito:
Primeiro passo da aplicação da regra de Sarrus para o cálculo da determinante de matrizes de ordem 3.
Em seguida, deve-se determinar e somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das secundárias:
Diagonais principais e secundárias.
Produtos das diagonais.
Exemplo: Determinar a equação geral da reta "r", que contém os pontos A (1,1), B (4,6) e P (X,Y).
O primeiro passo é montar a matriz quadrada de ordem 3.
?(111461XY1)=0
Em seguida, deve–se reescrever as duas primeiras colunas à direita da matriz para aplicar a Regra de Sarrus:
?(111461XY1)14X{}{}{}16Y=0
?6+X+4Y−6X−Y−4=0
?−5X+3Y+2=0
Representação gráfica da reta de equação geral -5X + 3Y + 2 = 0.
Existem, ainda, outras formas de representar a equação de uma reta r.
Como já foi dito, a chamada Equação Geral da Reta é representada, genericamente, como ax + by + c = 0. Se isolarmos Y, teremos:
?y=−dfracabx−dfraccb
Considerando que a, b e c são constantes, -a/b e -c/b serão constantes também, e podem ser substituídos por m e n, respectivamente.
?y=mx+n
Essa é a Equação Reduzida da Reta. Essa forma de equação é importante devido aos dois coeficientes ela apresenta: m e n, coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente.
Conhecendo a inclinação da reta, ou seja, o ângulo que a reta forma em relação ao eixo x e um dos pontos pertencentes à ela, é possível determinar a sua equação reduzida. No exemplo acima:
Isolando Y:
?Y=dfrac53X−dfrac23
Pela análise dos elementos gráficos:
Determinação da equação reduzida da reta,a partir da inclinação da mesma.
O conceito de tangente surgiu no Egito, com a necessidade de calcular as sombras projetadas nos relógios de Sol. Naquela época, percebeu-se que, para uma mesma altura de vara, a sombra projetada no chão era cada vez menor quanto maior fosse a inclinação do Sol. Assim, a relação entre o tamanho da sombra e a tangente do ângulo foi determinada:
?tanθ=m=dfracYb−YaXb−Xa
?tanθ=m=dfrac6−14−1
?m=dfrac53
O coeficiente linear n representa o valor numérico onde a reta cruza o eixo y, ou seja, o valor de y quando x = 0.