Colocando em fórmulas, podemos correlacionar o marginal VaR \(\triangle VAR_{i}\) e o Beta \(\beta\), que mede a contribuição de um ativo para o risco total do portfólio, como:
O marginal VaR pode ser usado com diferentes formas e propósitos de gerenciamento de risco. Pode-se supor, como exemplo, que um investidor tenha uma carteira com diferentes tipos de ativos e ele deseje reduzir o VaR. Ele pode ranquear todos os marginais VaRs e pegar aquele com maior \triangle VAR porque será o que trará o maior efeito de hedging.
A metodologia do marginal var pode ser estendida para calcular o total impacto de uma mudança em um portfólio p. Um novo trade é realizado, agora através da adição de uma posição a.
Deve ser medida a adição deste novo trade, para chegar no incremental var, através da medição do VaR do portfólio inicial \(VAR_{p}\) juntamente com o cálculo do VaR com a nova posição \(VAR_{p+a}\). O var incremental é obtido usando a fórmula abaixo:
Esse antes e depois é bastante informativo. Se o VaR diminuir, estamos fazendo um hedging, ou redução de risco, se o VaR aumentar estamos aumentando o risco.
Um grande ponto dessa técnica é que ela requer uma reavaliação total do novo portfólio VaR com o novo trade a. E isso pode ser bastante difícil para grandes portfólios, por que pode demorar para calcular o novo VaR.
Mas, caso o gestor prefira uma melhor aproximação do resultado real para poupar tempo de computação, pode-se tomar um atalho. O Incremental VaR é capaz de ser calculado utilizando-se do marginal VaR:
Ao invés disso, precisamos de um aditivo de decomposição do VaR que reconhece os poderes de diversificação. E, por isso, utilizamos a marginal VaR como uma ferramenta para medir a contribuição de risco de cada ativo existente no portfólio.
O Component VaR indica quanto do portfólio VaR irá se alterar, aproximadamente, caso um componente seja removido do portfólio. Os componentes do VaR adicionados juntos dão o valor do portfólio total:
O cálculo pode ser simplificado tomando em consideração que \(\beta_{i}\) é igual a correlação \(\rho\) vezes o desvio padrão do ativo \(\sigma_{i}\) dividido pelo desvio padrão do portfólio \(\sigma_{p}\).
O gráfico abaixo, traz uma sumarização das VaR Tools. Na posição de 1 milhão, o VaR do portfólio é de $257.738. O Marginal VaR é a mudança no VaR devido a adição de $1 em euro. Isso é representado pela inclinação da linha reta que é tangente ao VaR da curva.
O Incremental VaR é a mudança no VaR devido a eliminação da posição em euro, que é de $92,738 e medido ao longo da curva. Isso é aproximado com o Componente VaR, que é simplesmente o marginal VaR vezes a posição corrente de 1 milhão, ou $152,108.