Há uma estreita relação entre a distribuição Exponencial e a distribuição de Poisson. O modelo de distribuição de probabilidade que descreve o tempo, ou espaço, entre dois sucessos consecutivos de uma variável de Poisson é a distribuição exponencial. Assim, por exemplo, o tempo entre falhas de equipamentos, o tempo entre chegadas de clientes a um shopping, a área entre dois defeitos consecutivos de uma peça de tecido, etc., são descritos pela distribuição Exponencial.
Uma variável aleatória contínua X, que assuma todos os valores reais não negativos, terá uma distribuição Exponencial com parâmetro >0 se a sua função densidade de probabilidade for dada por:
Média e Variância da Distribuição Exponencial
Se uma variável X possui distribuição Exponencial com parâmetro , então:
Média ou Esperança da Exponencial
Variância da Exponencial
Desvio Padrão da Exponencial
Cálculo de Probabilidades na Distribuição Exponencial
Lembrando que a probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do gráfico da função densidade de probabilidade, podemos calcular as probabilidades da distribuição Exponencial utilizando a função densidade juntamente com uma integral definida.
Porém, podemos, também, utilizar as seguintes fórmulas para o cálculo:
Logo, podemos definir a probabilidade do evento complementar:
Fazendo um esboço gráfico da função densidade da Exponencial temos:
Suponha que, em determinado período do dia, o tempo médio de atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de um cliente:
a) esperar mais do que 5 minutos;
b) esperar menos do que 4 minutos;
c) esperar entre 3 e 8 minutos.
Seja a variável aleatória X: tempo de atendimento. Foi dado que o tempo médio de atendimento é de 5 minutos. Vimos que a média, ou esperança, de uma variável com distribuição exponencial é
que é o parâmetro da distribuição.
a) Vimos que:
P(X>5) = e-0,2.5 = 0,3679 ou 36,79%.
b) Vimos que
P(X ≤ 4) = 1 – e-0,2.4 = 0,5507 ou 55,07%.
c) Graficamente, esperar entre 3 e 8 minutos corresponde à região hachurada:
Essa área (probabilidade) pode ser calculada da seguinte forma:
P(3 < X < 8) = P(X > 3) – P(X > 8) = e–0,2.3 – e–0,2.8 = 0,5488 – 0,2019 = 0,3469.
Distribuição Exponencial aplicada à Teoria da Confiabilidade
Na teoria da confiabilidade de componentes, ou sistemas, calculam-se as probabilidades de que o componente, ou sistema, não venha a falhar durante um intervalo [O, t0], ou seja: a probabilidade de que o componente ainda esteja funcionando na época t0. Uma das mais importantes leis de falhas é aquela cuja duração até falhar é descrita pela distribuição exponencial. Admite-se que a taxa de falhas é constante, isto é, depois que a peça (equipamento, sistema etc.) esteja em uso, sua probabilidade de falha não se altera. Logo, não se considera o efeito do desgaste quando o modelo exponencial é admitido. Por exemplo, considerando-se uma taxa de falhas constante, o funcionamento de um rolamento, a qualquer momento, é tão bom quanto novo, e nestes casos o modelo de distribuição de tempo até falhar é exponencial.
Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas.
a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso?
b) Qual o número de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto é, 90% de probabilidade de não falhar)?
a) P(X>150) = e–0,01.150 = 0,2231 ou 22,31%.
b) Queremos encontrar um valor t de modo que:
P(X > t) = 0,90
e–0,01.t = 0,90
Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade temos:
ln e–0,01.t = ln 0,90
–0,01.t = ln 0,90
t = –ln 0,90 / 0,01
t = 10,54 horas.
Ou seja, há 90% de confiabilidade de o dispositivo não falhar antes de 10,54 horas.
Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através da distribuição exponencial e possui, para t ≥ 0, a seguinte função densidade de probabilidade:
Qual a porcentagem de lâmpadas que essa indústria deverá repor a seus clientes, a título de garantia?
Comparando com a função densidade da distribuição Exponencial
percebemos que o nosso parâmetro vale
Queremos calcular a seguinte probabilidade:
Ou seja, a proporção de trocas por defeito de fabricação será de aproximadamente 0,6%. Esse número é relativamente pequeno, algo natural, visto que como o parâmetro vale
a média da distribuição é
Lista de Exercícios - Distribuição Exponencial
Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir:
a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000 horas;
b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média;
c) o desvio padrão da distribuição.
O tempo de atendimento numa oficina é aproximadamente exponencial com média de quatro minutos. Qual é a probabilidade de:
a) espera superior a quatro minutos?
b) espera inferior a cinco minutos?
c) espera de exatamente quatro minutos?
Sabemos que o intervalo entre ocorrências sucessivas de uma doença contagiosa é uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com média de 100 dias. Qual é a probabilidade de não se ter registro de incidência da doença por pelo menos 200 dias a partir da data em que o último caso for registrado?
Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com a média de uma interrupção por mês (quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de:
a) menos de uma semana?
b) entre 10 e 12 semanas?
c) exatamente um mês?
d) mais de três semanas?
DICA: calcule o parâmetro da distribuição de Poisson. Ele será o mesmo na Exponencial.
A duração de certo tipo de condensador tem distribuição exponencial com média de 200 horas. Qual a proporção de condensadores que duram:
Uma companhia fabrica lâmpadas especiais com uma duração média de 100 horas e distribuição exponencial.
a) Qual deve ser a garantia do fabricante para repor apenas 5% da produção?
b) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar de 163 a 185 horas?
O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, após sua aplicação em um pomar, é uma variável aleatória Exponencial de parâmetro 2 (em anos). O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, vento e umidade da região. Tendo em vista esse comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação.
a) Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais contaminada após 1 ano da pulverização.