PublicouVítor Bruno Alterado mais de 4 anos atrás
Perdão - 40% Desterro - 35% Execução - 25% E se a votação fosse apenas entre Perdão e Desterro? Ou apenas entre Perdão e Execução? Ou apenas entre Desterro e Execução? Ou com a agenda: Desterro/Execução/Perdão?
Sistemas de votação Expresso, suplemento Economia Sábado, 11 de Maio de 2002 Sistema de Hare Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s) alternativa(s) com o menor número de primeiros lugares, sendo as alternativas ordenadas por ordem inversa de eliminação. O SISTEMA de eleição presidencial francês produziu este ano a situação insólita de que a maioria dos franceses possa não se rever neste acto eleitoral. O resultado da lotaria da primeira volta… Este sistema é usado na Irlanda para as eleições presidenciais desde 1938, e apresento de seguida os resultados oficiais da eleição de 1990, para o leitor poder ver como funciona na prática. Neste caso, Mary Robinson ganhou a Brian Lenihanl na segunda contagem, porque a maioria dos eleitores que colocaram Austin Currie em primeiro lugar a tinham colocado em segundo.
Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de A versus B. 1ª Eleição 7 4 A C B 2ª Eleição 7 4 A B C C: 8 B: 11 A: 14 C: 4 B: 15 Resultados: Vê-se assim que a posição relativa de A e B é alterada de uma eleição para a outra.
Do breve estudo que realizamos a contagem de Borda parece ser a ideal. Questionemo-nos sobre esta contagem para o caso de termos três candidatos; estudar casos com mais de três candidatos é uma generalização deste caso. Mas o que acontece em geral? Há exemplos das disposições de preferências dos eleitores, chamados perfis, para os quais a contagem de Borda é fraca? Porque não usar outros pesos, tais como (6; 5; 0) ou (4; 1; 0), em vez da escolha de Borda de (2; 1; 0)? Registando os métodos que atribuem um número de pontos ao primeiro, ao segundo, e ao terceiro candidato ordenados pela ordem de preferência do eleitor, são chamados métodos eleitorais posicionais.
31 Matemática Quando normalizados para atribuir um único ponto ao candidato mais preferido de um eleitor, o ponto atribuído define um vector de voto: Por exemplo, os formulários normalizados de (6; 5; 0) e a contagem de Borda são, respectivamente, O sistema plural "um Homem um voto" é representado pelo vector: Qual o sistema representado representa o vector Este vector representa o método antiplural, pois um eleitor vota contra o seu candidato menos preferido!
32 Matemática A normalização do Wp torna claro que há uma continuidade de métodos de registo onde cada um é caracterizado pelo peso (o valor de p ) colocado no candidato segundo posicionado de um eleitor. Defrontado com todas estas possibilidades, era natural que os colegas matemáticos de Borda, tais como Laplace, Condorcet, e outros, questionassem qual o método Wp que era óptimo no sentido de que os seus resultados melhor reflectissem as opiniões os eleitores. O debate que começaram continua hoje! Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, matemático francês, filósofo, e político, acrescentou à controvérsia em 1780, o seu método, que produzia o chamado "vencedor de Condorcet". Este vencedor estava aceite como escolha universal. Mas tem problemas!!!
33 Matemática Votos Preferência 5
Para ilustrar as dificuldades vejamos um exemplo: Uma escola pretende comprar um livro de um lote de três possíveis {A, B, C}. Os 15 membros do Conselho Pedagógico têm que decidir… Uma maneira natural para seleccionar o livro é por eliminação, onde após ter comparado duas escolhas, {A, B}, o vencedor é comparado com a escolha restante, C. Suponha-se que as opiniões do conselho Pedagógico são: Votos Preferência 5
34 Matemática Votos Preferência 5 Total A B 5 10 A C 5 10
Contemos os votos: Votos Preferência 5 Total A B 5 10 A C 5 10 Em ambas as eleições o vencedor vence com dois terços dos votos, portanto parece seguro dizer que o resultado da votação do Conselho Pedagógico é:
35 Matemática Votos Preferência 5 Total B C 5 10
Embora o resultado pareça ser inquestionável, vamos questioná-lo. Nós sabemos já que C vence A e A vence B, assim só falta determinar se C vence B. Podemos não esperar surpresas, mas… Votos Preferência 5 Total B C 5 10 … na verdade encontramos uma: B bate C pelos mesmos dois terços dos votos.
36 Matemática Ou seja noutras palavras, este perfil define os resultados eleitorais cíclicos, Representando por um grafo esta eleição vemos que não existe nem vencedor nem perdedor de condorcet! Portanto, seja qual for o candidato votado em último (nesta eleição por agenda aos pares), vence decididamente. Em particular, não há nenhum vencedor ou perdedor de Condorcet. Condorcet compreendeu que os ciclos poderiam acontecer em caso de votação entre pares; ele demonstrou este comportamento introduzindo o exemplo anterior. Tal exemplo é conhecido agora como um perfil de Condorcet. Os ciclos não permitem seleccionar um candidato "óptimo"!!!
37 Complexidade e Geometria
Qual o melhor método? Os estudos no campo da Teoria Matemática das eleições fora retardados pela complexidade do cálculo combinatório envolvido! Uma maneira tradicional para comparar procedimentos é construir perfis que mostrem como um método tem uma falha provocada por outro. Mas para construir exemplos, necessitamos determinar quantos eleitores devemos ter de cada tipo de modo que os resultados resultantes da eleição exprimam o fenómeno desejado.
38 Complexidade e Geometria
Questões: Podem os vencedores de Borda e de Condorcet ser diferentes? Existe alguma explicação para que os resultados de uma eleição mudem com o uso de diferentes vectores Wp? Há perfis dos eleitores onde cada candidato é o "vencedor" para um Wp apropriado? Os exemplos que os suportam são fracos ou fortes? Podemos caracterizar todos os exemplos possíveis? Qual é o número mínimo de eleitores necessários para criar cada particularidades interessantes em eleições?
39 Complexidade e Geometria
Procurando respostas… Recentemente, o progresso no estudo da matemática das eleições foi sendo feito com base na procura de respostas para as questões anteriores substituindo o método combinatório tradicional por uma perspectiva geométrica. Nesta apresentação tentaremos mostrar como a geometria reduz assuntos anteriormente complicados a formas mais simples para assim poderem ser apresentados aos estudantes que as podem representar graficamente com equações algébricas elementares. Donald Saari, um matemático da Universidade de Califórnia em Irvine que se tem dedicado a estudar os problemas eleitorais, mostrou, usando a geometria, que pequenas mudanças em qualquer sistema eleitoral podem trazer grandes alterações nos resultados das eleições. Saari é um dos matemáticos e especialistas de ciência política que se têm dedicado a estudar os problemas da chamada escolha pública, uma área que sofreu um grande desenvolvimento na segunda metade do século XX.
40 Geometria (Donald Saari)
Tipos de Eleitores O "tipo" de eleitor é definido pela forma como os candidatos {A, B, C} são ordenados. Por conveniência denotem-se os tipos pelos números de 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Estes tipos estão reflectidos na geometria do triângulo equilátero, onde cada candidato está identificado como um vértice. Tipo Preferência 1 2 3 4 5 6
42 Geometria – Exemplos de Condorcet
Dos seis tipos de preferências que referimos para três candidatos vamos estudar só três tipos. Das vinte hipóteses que temos de escolher três tipos, a nossa escolha recai sobre os tipos que geram o perfil de Condorcet. O perfil de Condorcet é gerado pelos tipos: 1, 3 e 5. Estes três tipos de perfis geram uma configuração simétrica – em moinho de vento – no triângulo considerado.
43 Geometria – Exemplos de Condorcet
Consideremos n eleitores. Sejam nj o número de eleitores do tipo j, o número de eleitores é então n1+n2+n3 = n. Em vez de trabalharmos com inteiros, dividimos por n de modo que: representam as fracções de todos os eleitores que são de cada tipo. A restrição x+y+z = 1, ou z = 1– (x+y), permite-nos representar todos os perfis possíveis como pontos – racionais – do triângulo: Para um ponto (x, y) T1, a fracção de todos os eleitores com preferências do tipo 1 e 5 são dadas, respectivamente, pelos valores de x e de y; a fracção de todos os eleitores do tipo3 é 1– x– y.
45 Eleições um contra um…
49 Teoria Matemática das Eleições
50 Teoria Matemática das Eleições Resultados de eleições entre pares
51 Teoria Matemática das Eleições Resultados de eleições entre pares - Paradoxos
52 Teoria Matemática das Eleições Resultados de eleições entre pares - Paradoxos
53 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos
54 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos
55 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos
56 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos
57 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos
58 Teoria Matemática das Eleições Paradoxos
59 Teoria Matemática das Eleições
60 Lewis Carrol (1876) (as eleições) "são mais um jogo de habilidade que um teste real aos desejos dos eleitores." "na minha opinião é preferível que as eleições sejam decididas de acordo com os desejos da maioria do que os daqueles que têm mais habilidade no jogo, por isso penso ser desejável que todos devam saber as regras pelas quais este jogo se pode ganhar."