Sexta-feira, 27 de Maio, 2016
Isaac Newton nas Finanças
O mercado financeiro derrotou Isaac Newton, transformando sua fortuna quase em pó com a crise das ações da Companhia dos Mares do Sul em 1711. Mas essa infeliz experiência não fez Newton se abalar com a Ciência e continuou a pesquisar, criando fantásticas ferramentas matemáticas para resolução de problemas. As teorias não podem nunca serem abandonadas ou esquecidas sob pena de cairmos sempre na roda que gira e retorna ao mesmo ponto. Conhecer como foram desenvolvidas as teorias é que permite a humanidade avançar (ler nosso texto " O fantástico legado das teorias").
Newton sempre usava a conhecida Navalha de Occam, onde se afirma que " Se tudo for idêntico para várias explicações de um fenômeno, a explicação mais simples é a melhor". (ver nosso texto A Navalha de Occam). E Newton tinha o dom para fazer e construir fórmulas simples para resolver problemas complexos.
Uma das soluções mais engenhosas e bonitas que Newton resolveu foi sobre seu método para achar raízes de funções. O que se chama raíz de uma equação é o número, cujo valor dentro de determinada função, torna a mesma nula. Para o leitor que está muito tempo sem "ouvir" ou "ler" esses termos, é só lembrar de equação de segundo grau.
Para se conhecer as raízes de uma equação de segundo grau, utilizamos o famoso Baskara, ou mais simplesmente conhecido como o "delta de Baskara". Com ele encontramos dois números que indicam por onde a função de segundo grau corta o eixo horizontal. Ou não, pois a função pode não cortar o eixo quando o delta de Baskara é negativo. Os pontos marcados em vermelho na figura à seguir é que são conhecidos como raízes de uma equação, pois passam pelo eixo horizontal.
Mas e quando se tem funções mais complicadas do que as simples equações de parábolas como as anteriores? Foi nisso que Newton trabalhou e encontrou uma maneira de resolver o problema. Seu método encontra pelo menos uma das raízes de qualquer função contínua, com poucas iterações. Uma função como a seguinte, que corta o eixo horizontal três vezes, é conhecida como equação cúbica e sua solução é bem mais complicada do que a equação do segundo grau.
No entanto, com uma simples calculadora de bolso, em menos de quatro passos de cálculos é possível descobrir esse "segredo" escondido dessa função. Descobre-se com relativa facilidade as raízes, esses pontos mágicos importantes utilizando-se a equação recursiva a seguir.
Essa equação nos diz que o futuro (x(n+1)) depende do passado anterior (x(n)) e de uma correção na velocidade da aproximação, uma correção na derivada da função "f".
Mas e as finanças? O que isso tem a ver com as finanças? Bem, os economistas, adminstradores e contadores, enfim, todos os financistas, usam esse método sempre que necessitam prestar suas consultorias nas empresas. E eles nem tem ideia de quanto Newton foi importante para essa área. O método de Newton descrito antes, tem a ver com as finanças, com uma ligação relativa a conhecida taxa interna de retorno ou TIR. Sim, essa é a taxa que faz com que a equação que balanceia custos e receitas das empresas torna-se nula.
A TIR está relacionada com o VPL - Valor Presente Líquido conforme equação ao lado. O termo "i" significa taxa de juros e o termo "j" o número de meses ou anos, que o caixa de uma empresa será analisado para viabilidade ou não de um projeto.
Se um projeto de empresa necessita de uma avaliação sobre os retornos financeiros para três anos, teremos então que resolver uma equação cúbica. Sabendo-se o valor "j" e a taxa de juros que será usada no projeto, sem problemas: a solução é fácil.
Mas e se o termo "i" é uma incógnita, uma variável desconhecida na equação do VPL? Quando é viável um determinado projeto para uma tabela de disponibilidades de uma empresa?
É nessa hora que entra a busca pelo TIR, que torna a primeira equação ao lado nessa segunda equação, com igualdade nula.
VPL geral
Busca pela TIR
Vitória de Joaquim Cruz em 1984 - Los Angeles - EUA
A solução recomendada muitas vezes é "chutar" diversos valores para a taxa de juros "i" e então computar os valores do VPL correspondentes. Após isso, faz-se o gráfico da taxa "i" pelo VPL, conforme ao lado. Então, se busca onde a curva corta o eixo horizontal, onde está indicado pela seta vermelha.
Mas essa é uma aproximação nem sempre possível. Se pagamentos são realizados durante a execução do projeto, a curva de tentativa e erro ao lado não fornecerá, com diversos valores de TIR, uma parábola. E aí, a análise se complica.
Ao retornar para o VPL original, cabe então descobri,r sem fazer a tentativa e erro do chute, qual o valor de "i" que torna o VPL nulo. Se a análise for para 10 anos, tem-se então uma curva de grau 10. Tem-se que encontrar 10 raízes da função de receitas e despesas.
Existem algumas metodologias em finanças corporativas que conseguem, mas com muitas aproximações, se livrar da tentativa original de buscar as raízes do VPL.
Mas seria muito mais seguro, encontrar todas as 10 raízes pelo método de Newton e então escolher o intervalo mais adequado de juros para a execução do projeto.
Sim, a TIR está programada no Excel, sem problemas. Inclusive existe um botão para estimativas de valores de VPL dentro da própria função TIR do Excel. E o que a TIR do Excel usa? Sim, o nosso Método de Newton.
Mesmo essa função já programada no Excel não salva o problema no analista se a curva de receitas e custos não indicar parábola. Ou ele aproxima por uma série de alterações na tabela do projeto, ou ele terá que resolver o problema de encontrar diversos "i" para o VPL. E nessa hora, Isaac Newton deve se deleitar nos observando a usar seu método.
Mesmo para quem acha que o "botão direito do mouse" poderá resolver tudo em termos de linha de tendência está enganado. Os métodos de interpolação (as chamadas linhas de tendência do Excel) são limitados. Funções com curvas complicadas e não programadas como as tradicionais lineares, polinomiais ou exponenciais vão deixar seu Excel maluco.
Qual a solução? Os métodos de interpolação, os quais também Newton estudou e resolveu quatrocentos anos atrás. Newton explicou seu método das raízes no artigo "De analysi per a equationes numero terminoraum infinitas" publicado em 1671. Hoje temos calculadoras e Excel, mas em 1700 esses cálculos demandavam tempo e uma enorme paciência para construir as tabelas de cálculos. Por exemplo, para uma equação cúbica, uma solução publicada em 1685 seguia essa tabela:
Quanta coisa mudou no mundo! Quanta evolução! Mas não em finanças, sobretudo no Brasil. Ainda existem pessoas que insistem em escrever e dizer que o método de Newton é moderno e muito complicado. Simplesmente as faculdades de Admnistração e Economia no Brasil praticamente aboliram o assunto "cálculo numérico" e insistem em ficar ensinando "decorebas" de botões das calculadoras HP. Ou ainda, confiando nas funções do Excel, como se fossem o que tem de mais moderno. O Excel usa ferramentas de 1671!
Enquanto isso, por exemplo nos EUA, existe uma linha quente, ardente e produtiva de uma comunidade cientifica ávida por estudos novos, por interligações, por soma de ideias como no Santa Fe Institute. Esse instituto é responsável por unir biólogos, matemáticos, cientistas da computação, filósofos, economistas e administradores para entender o comportamento humano sob todos os pontos de visão no mundo financeiro. Esse grupo não se restringe a ficar olhando Excel.
Pelo contrário, abominam o Excel. Fazem seus próprios programas junto com matemáticos, rodam simulações com dados do mundo inteiro, simulam empresas crescendo, quebrando, competindo e vão discutindo novos e mais atraentes métodos numéricos de resolução de problemas.
Olhando por esse orifício do tempo, os financistas do Brasil estão quatrocentos anos atrás da verdadeira e moderna finanças do mundo. Talvez por isso o novo (mas velho e arcaico) governo extinguiu o Minstério da Ciência e Tecnologia. Para que perder dinheiro com pesquisa, se HP e Excel fazem o que queremos?