Application of the multiple scales method in physics
http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172009000400020
Aplicação do método das escalas múltiplas em física
Lucas Stori de Lara1; Taiza A. Sauer do Carmo
Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, Brasil
Neste trabalho, concentramo-nos em um método específico na teoria de perturbação, o método das escalas múltiplas. Desenvolvido na mecânica clássica para o tratamento de equações diferenciais não-lineares, este método é aplicado como uma ferramenta matemática na descrição de efeitos perturbativos em vários sistemas físicos. Desta forma queremos mostrar a aplicação deste método, tanto no contexto clássico como quântico utilizando a equação de Duffing.
Palavras-chave: métodos assintóticos, método das escalas múltiplas.
In this work, we focus on a specific method of perturbation theory, the method of multiple scales. Developed in classical mechanics for the treatment of non-linear differential equations, this method is applied as a mathematical tool in the description of perturbative effects in several physical systems. Therefore, in order to exemplify this method, we apply it to the Duffing equation both in the classical and quantum contexts.
O método das escalas múltiplas (MEM) é um dos métodos assintóticos de grande eficiência. Seus desenvolvimentos principais incluem oscilações não-lineares, problemas de camadas limites, dinâmica dos fluídos, aerodinâmica e a teoria de movimento de astronave [1].
Diretamente, podemos dizer que o MEM tem como idéia central a transformação das equações diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa.2
É importante ressaltar que este método não se restringe apenas aos domínios da física clássica, mas pode ser aplicado, considerando-se modificações adequadas, em problemas no campo da mecânica quântica, com o propósito de se obter soluções, tanto das equações de Heisenberg como da equação de Schrödinger [2].
Em problemas relacionados à óptica quântica, por exemplo, o MEM permite estudar de forma analítica o efeito da modulação da amplitude em um feixe monocromático, produzido pela excitação de um modelo de átomos acoplados através de dois lasers com freqüências diferentes [3] como também em problemas relacionados com a interação e quantização em cavidades quânticas com paredes oscilantes [2].
Em especial, aplicamos o MEM na solução de equações diferenciais lineares diretamente no problema de evolução temporal das soluções dinâmicas do tipo oscilador harmônico, tanto no tratamento clássico como quântico (eq. Duffing) [3,4].
O MEM é um poderoso método perturbativo, pois analisa quantitativamente os comportamentos físicos característicos em diferentes escalas de tempo associadas a um dado sistema dinâmico.
2. Método das escalas mútiplas
Portanto, nesta seção, vamos considerar uma breve revisão dos aspectos gerais do MEM em problemas de física clássica e quântica. Em geral, para as equações diferenciais de sistemas não lineares, utilizamse métodos assintóticos para se obter suas soluções aproximadas [5-7]. Um exemplo interessante é o do movimento oscilatório unidimensional sob ação de uma força restauradora (sistema massa-mola). Para este sistema consideramos a equação para a posição u do oscilador, dada na forma geral
onde f(u) pode ser uma função linear ou não. Da equação acima podemos assumir equações do tipo oscilador harmônico, equação de Duffing etc. Portanto f(u) é um caso geral onde podemos identificar o tipo de linearidade que a equação diferencial pode assumir em um determinado sistema físico.
Consideremos então os dois casos descritos pela equação de Duffing, sua versão clássica e quântica.
2.1. Equação de Duffing clássica
A equação de Duffing apresentou-se como um modelo físico concreto para a aplicação do método das escalas múltiplas. É uma equação importante no problema de oscilações não lineares [8], como por exemplo no estudo do oscilador anarmônico de massa unitária (p = ), cuja hamiltoniana está dada por
sujeito a condição ε 1. Vamos aplicar o método das escalas múltiplas para um determinado problema de valor inicial. As equações do movimento deste sistema são dadas por
onde {g(x, p), H(x, p)} são parênteses de Poisson.3 O sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem (3)-(4) pode ser reduzido a uma equação diferencial de segunda ordem, conhecida por equação de Duffing. Temos, então, para o sistema (2) a equação
onde x(t) é a variável clássica para a posição. Para a Eq. (5) consideremos, por exemplo, as condições iniciais
Nesta primeira análise, utilizamos uma solução usual para a equação de Duffing usando uma série de potências em termos do parâmetro ε [1], ou seja
Substituindo esta série na Eq. (5) obtemos as equações de ordem zero e um para o parâmetro ε
onde não modificamos a ordem das derivadas, mas classificamos perante sua ordem de perturbação ε. Assim a solução geral para a Eq. (8) é da forma
e com as condições iniciais obtemos a solução
Logo, substituindo a Eq. (11) na Eq. (9) obtemos a equação
onde na Eq. (12) fazemos uso das seguintes identidades trigonométricas
para simplificar o termo não homogêneo da equação diferencial. Dessa forma temos
que, substituído na Eq. (12), resulta na equação diferencial não homogênea na forma
Mediante as condições iniciais (6) obtemos uma solução particular da Eq. (13)
Facilmente verificamos que a solução (14) possui um termo secular dado por t sen t. No limite t ,a solução particular é divergente, contrariando a condição física de que o sistema, expresso pela Eq. (5), tem uma energia finita: o sistema não está acoplado com nenhum potencial externo e portanto pode ser tratado como um sistema isolado com energia constante E0
Justificada a condição física para eliminarmos termos seculares, podemos considerar a expansão (7) sob o ponto de vista das escalas múltiplas.
A idéia principal é aplicar uma transformação na equação diferencial em estudo, sendo ela linear ou não, gerando uma série de equações diferenciais lineares acopladas. Para tornar mais explícito esta definição, o método define n variáveis Tn de tempo, dadas por
onde estas variáveis são interpretadas como diferentes escalas de tempo (múltiplas escalas) e tomadas como independentes, desde que o parâmetro ε assuma um valor pequeno, ε 1.
Para estas diferentes escalas de tempo, observamos que a derivada total na variável t também deve ser reescrita em termos das derivadas parciais de Tn na forma
As derivadas são separáveis pela expansão dos termos, de acordo com diferentes ordens de potências de ε. Procurando uma solução aproximada para o problema até correções de primeira odem no parâmetro ε4 , tomemos x(t, ε) como uma função das variáveis independentes T0 e T1, onde T1 = εt, na forma
Substituindo a solução (19) na Eq. (5), tomamos para cada uma das ordens em ε as correspondentes equações diferenciais
Note que utilizamos a mudança de escala também nas ordens das derivadas conforme a Eq. (17). Com este reescalonamento a re solução da Eq. (20) é bastante simples e sua solução é dada na forma
substituímos a Eq. (22) na Eq. (21), considerando as amplitudes A(T1) e B(T1) como termos dependentes apenas de T1 (as soluções estão sendo consideradas até primeira ordem). Resolvendo de forma explícita a Eq. (21) temos que
que pode ser reescrita na forma
Para determinarmos as amplitudes A(T1)e B(T1), é necessário identificar os termos seculares. No entanto, o que são estes termos seculares? Uma resposta plausível é verificada quando primeiramente estamos buscando soluções que não divirjam para tempos t > 0, pois interessa-nos soluções regulares para o nosso problema. Estes termos podem ser identificados e entendidos fazendo-se uma analogia ao problema da ressonância em um oscilador harmônico de frequência ω sujeito a ação de uma força externa g cos φt, cuja frequência da força aplicada φ iguala-se à frequência natural do oscilador. Para este sistema temos a equação do movimento para a posição y dada por
A solução da equação homogênea é igual a
onde a1 e a2 são constantes arbitrárias. A solução particular yp é uma função do tipo tsen φt e t, onde a independência linear é respeitada. Então a solução particular da equação diferencial (23) tem a forma
Da solução (24) observamos que, no decorrer do tempo t, a amplitude do oscilador aumenta até alcançar uma amplitude limite, na qual o sistema colapsa antes da oscilação se tornar infinita [10]. E justamente este tipo de comportamento que deveremos eliminar na aplicação do método das escalas múltiplas, pois são os termos seculares que levam às soluções não regulares e devem portanto ser iguais a zero. Mediante esta justificativa, fica claro que os termos que envolvem sen T0 e cos T0, são parte da solução da equação homogênea associada. Com isto chegamos às seguintes equações seculares para A(T1)e B(T1)
Multiplicando a Eq. (25) por B(T1) e (26) por A(T1) estas equações podem ser reescritas na forma
e somando-se estas duas equações, encontramos que
onde C(T1) está definido como
Portanto C(T1) é uma constante de movimento, de forma que atua como um invariante do sistema em relação a escala de tempo T1. Assim, reescrevemos as Eqs. (25) e (26) em termos de C(T1) de tal modo que
onde é obtido a partir das condições (6) juntamente com as Eqs. (22) e (28). Consequentemente, as amplitudes A(T1)e B(T1) são dadas por e que substituídas na equação diferencial descrita em termos de X1 fornecem a solução particular, sem o termo secular,
como também a solução geral para X0(T0,T1) ,
Portanto, o efeito anarmônico atua na correção de ordem um, ou seja, há uma mudança pequena na amplitude identificada pelos coeficientes A(T1)e B(T1), que substituídas na Eq. (22) temos a solução (32). Finalmente, com as soluções das Eqs. (22) e (31) temos para correção final em primeira ordem a seguinte solução geral
Podemos verificar que a solução (32) é coerente com a solução direta na Eq. (14) a menos do um fator secular. Vamos prosseguir então a nossa análise para a equação de Duffing, agora para o caso quântico onde as coordenadas escalares dão lugar aos operadores posição e momenta , conforme os princípios da quantização canônica.
2.2. Equação de Duffing quântica
O análogo quântico do sistema clássico abordado na seção anterior está definido pela equação de Duffing quântica na forma
e do mesmo modo que no caso clássico, é necessário estabelecer as condições iniciais para o problema. A Eq. (34) pode ser deduzida a partir do operador Hamiltoniano
na representação de Heisenberg e eliminando o operador momento de modo similar ao procedimento realizado no caso clássico. Além disso, temos que e com a relação de comutação canônica
Aplicamos o método das escalas múltiplas como solução geral do operador posição (T0,T1), ou seja,
de forma que o operador posição do oscilador agora depende explicitamente de duas escalas de tempo independentes. Substituindo a Eq. (37) na Eq. (34) e separando os termos das diferentes ordens de ε, resulta
A solução da Eq. (38) é bastante simples e de modo similar ao caso clássico é dada na forma
e de acordo com a Eq. (40) escrevemos também o operador momento em função de T0 e T1 como
A diferença fundamental entre o sistema clássico e quântico é que os termos independentes de T0 são agora operadores e satisfazem a relação de comutação canônica
De acordo com as Eqs. (40) e (41) devemos ter para os operadores Â(T1)e (T1) as condições iniciais
Substituindo a solução (40) na Eq. (39) temos para o operador 1, a equação
que com a ajuda da relação de comutação (42) pode ser reescrita na forma
onde e . Para determinarmos os operadores amplitudes e , é necessário identificar os termos seculares. O que é trivial, pois como no caso clássico também recaímos nos termos que envolvem sen T0 e cos T0. Com isto chegamos a uma relação do tipo
Estas equações podem ser reescritas definindo um operador (T1) como,
pois, aplicando na Eq. (43) e na Eq. (44) e somando-as mutuamente, obtemos uma equação para o operador na forma
Assim, utilizando as relações de comutação canônica expostas pelas condições iniciais e pela equação de comutação em (42), podemos reescrever as Eqs. (43) e (44) de um modo mais simplificado, utilizando a forma da Eq. (45) para o operador . Ainda observamos que ele é uma constante, tal qual . Logo
onde são conhecidos como anticomutadores [4]. As soluções para estas equações diferenciais são dadas por
e de acordo com as condições iniciais, a solução para 0(T1,T0) é tal que
Uma vez que T1 = εT0, podemos reescrever a solução utilizando o ordenamento de Wely [11] (ver apêndice A) na forma
O método pode ser aplicado a qualquer sistema dinâmico e fornece uma solução aproximada para descrever o comportamento do mesmo, ao menos nos primeiros instantes do movimento.
Em síntese, mostramos que o método das escalas múltiplas transforma as equações diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa. Como vimos, a identificação das ordens de perturbações do problema fornecem os elementos necessários para a correta determinação das equações diferenciais. Para a equação de Duffing, apresentamos um valor muito pequeno para a perturbação (ε 1), cujos efeitos estão inteiramente determinados por suas amplitudes A(T1)e B(T1).
A Ordenamento de Wely
De acordo com as soluções (49) e (50) vamos utilizar o ordemento de Wely para o produto de operadores
onde utilizaremos uma nova notação: , onde uma função. Nosso objetivo agora é a simplificação formal da solução e para voltar a reescreve-la em uma forma fechada. Os senos e cosenos são combinações lineares das funções exponenciais, assim, primeiramente vamos considerar o ordemento de Wely como uma expansão de operadores como
Para cada potência de T1 nos ordenamos os operadores para comutar com 0 simetricamente. Assim podemos identificar os seguintes produtos de operadores
e seguem as demais ordens. Generalizando, nós identificamos alguns polinômios de Euler [12], assim o ordenamento de Wely pode ser escrito na forma compacta como
logo utilizando a transformação da exponencial em senos e cosenos obtemos
Os autores agradecem a UFABC pelo apoio financieiro. E LSL, agradece ao prof. Dr. Antonio Sérgio M. de Castro, pela orientação e discussões acadêmicas.
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Recebido em 11/5/2009
Revisado em 30/7/2009
1 E-mail: lucas.lara@ufabc.edu.br
2 Interativa no sentido que as soluções são obtidas de forma recorrente, ou seja, a correção em primeira ordem depende da solução em ordem zero; a correção em segunda ordem, depende das correções de ordem zero e um e assim sucessivamente.
3 O parênteses de Poisson de u e v pode ser definido como onde xi e pi são variáveis dinâmicas conjugadas [9].
4 Pois para correção de ordem zero ε = 0, tem-se T0 = t, ou seja, não está incluído o efeito anarmônico expresso pela equação de Duffng. Para isto deveremos ter pelo menos, ε = dt 1, correção em primeira ordem.