Orlando Porto Lage
1 NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 2 RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO Edição de janeiro de 2009
2 CAPÍTULO 2 RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO ÍNDICE 2.1- Radiação Térmica 2.2- Corpo Negro 2.3- Teoria Clássica da Radiação de Cavidade de Rayleigh - Jeans 2.4- Teoria de Planck da Radiação de Cavidade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 2 aulas de quatro créditos. 2
34 Lista de Exercícios 1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100K. Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível. 3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região do espectro eletromagnético a lei de Rayleigh Jeans não se verifica e que fato ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico da termodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck? Essa alteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clássicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como, por exemplo, a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia também é quantizada? Explique. 6- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima? 7- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 10 7 K. Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima. 8- A uma dada temperatura, λ max = 650nm para uma cavidade de corpo negro. Qual será λ max se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada? 9- O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0μ m (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada ata que a potência total irradiada se torne três vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da terra é 1,36 10 W / m, a chamada constante solar. (a) Supondo que a terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura de equilíbrio da terra. (b) Se o diâmetro do sol é da ordem de 1, m e a distância da terra ao sol é de aproximadamente 1, m e supondo que o sol irradie como um corpo negro use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfície. 11- A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 40W é 3300K. (a) Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, determine o comprimento de onda λ máx no ponto de máximo da distribuição espectral. (b) Supondo que λ máx seja uma boa aproximação para o valor médio do comprimento de onda dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número de fótons produzidos por segundo pela lâmpada. (c) Se um observador está olhando para a lâmpada a 5m de distância, quantos fótons penetram por segundo nos olhos do observador, sabendo-se que o diâmetro da pupila humana é, aproximadamente, 5mm. 12- Um radiador de cavidade a 6000K tem um orifício de 0,10mm de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 550nm a 551nm. Resp.: 7,53 W. (Sugestão: Use o fato que R ( λ) T 551 R = dλ é, aproximadamente, a área de um retângulo estreito no 550 T 34
35 gráfico RT ( λ ) λ, de largura λ nm λ = ( )/ 2 = 550,5nm, usando a fórmula de Planck) 13- Utilizando a relação P ( ε ) máximo da função P ( ) Δ = =. Encontre a altura do retângulo RT ( ) B e = kt ε kt ε ε ocorre para ε = kt B. B mostre que ( ) 0 λ, com ε = εp ε dε = k T. Mostre também que o ponto de 14- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da eqüipartição da energia. De acordo com essa lei, moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T, a energia cinética média por grau de liberdade da molécula é 1 kt. Essa lei poderia ser aplicada ao problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de 2 B oscilador harmônico para as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinação da energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origem as vibrações dos campos elétricos associados às ondas eletromagnéticas transversais. Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdade deveria ser kt B, isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partícula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é mv + kx 2, onde k é a constante elástica da mola, m é a massa da partícula, v sua velocidade e 2 2 x = x 0 cosωt sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energia total é o dobro da energia cinética média. B 15- Obtenha a lei do deslocamento de Wien, λ máx T espectral de um corpo negro obtida por Planck ( ) 5 variável hc x = λ B ρ = 2,898 10, a partir da função distribuição 8π hc 1 λ =. (Sugestão: faça a substituição de λ B λ e π kt B x ρt λ = g 4 3 ( x), onde g( x) = x hc e 1 T hc k T 3 K m kt, e reescreva a função distribuição na forma ( ) ( ) descreve a forma universal do espectro de um corpo negro para qualquer temperatura. Encontre o valor x máx para o qual a função gx é máxima, derivando-a em relação à x e igualando a zero. Use esse valor na equação x máx hc = λ kt máx B bg e obtenha o resultado procurado). 16- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a 5000K está sendo examinada através de um filtro passa banda de Δ λ = 2nm centrado no comprimento de onda λ máx, do pico do espectro. Se o orifício da cavidade é um círculo de raio r = 1cm, encontre a potência P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a 581nm potência irradiada seria calculada por R R ( λ) T = dλ multiplicada pela área do orifício. Entretanto, λ 579nm T RT área abaixo da curva RT máx pequeno o suficiente para permitir uma aproximação do tipo ( λ ) Δ é = Δ λ, em que λ pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.:. máx P 25,3W 35
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