Retomar o conceito de polígonos, na perspectiva de composições de mosaicos regulares;
Fazer composições com polígonos regulares para formar mosaicos regulares;
Discutir, coletivamente, sobre polígonos regulares e suas possibilidades de formação de mosaicos regulares;
Pontuar características dos mosaicos regulares;
Compor mosaicos regulares, reconhecendo os polígonos que os compõem.
Atividades impressas da atividade principal - 3º momento (uma cópia para cada trio);
Atividade raio x (uma cópia por estudante);
Apresentação dos 5 slides da Atividade Principal (para ser colocada nos computadores de uso discente e para serem projetadas quando em trabalhos coletivos, como nos momentos 1, especialmente, e 2);
Tempo sugerido: 7 minutos.( slides de 3 a 5)
Utilize os slides 3, 4 e 5 como recurso às reflexões acerca das características de um mosaico regular e dos polígonos regulares que o compõem.
Embora esta aula esteja prevista para ser realizada em um laboratório de informática ou com recursos individuais discentes de acesso à internet, se necessário, use o quadro para complementações. Em síntese, busque fazer com que todos saibam (relembrem) o que é uma composição de polígonos.
Estando em um laboratório de informática, faça um apresentação dos slides desta aula, para que todos possam acompanhar, em trio, em seus computadores, nos momentos que envolvem toda a turma e apenas os grupos.
Apenas como sugestão, questione se os estudantes conhecem letra e música de "Se essa rua fosse minha" e, principalmente, o verbo ladrilhar. Fale um pouco, se desejar, desta música popular infantil, de domínio público, e, também se desejar, sugira que ouçam ou assistam algum vídeo, que tenha alguma versão da música. Também como sugestão, existe uma versão rock, com crianças de 5 a 8 anos, que você pode conhecer e, se quiser, indicar para a turma. Para assistir, no YouTube, clique aqui.
Vá ao Discuta com a turma para ver intervenções, ponderando as mais relevantes ao seu contexto, no momento..
Propósito: Retomar o conceito de polígonos regulares e suas possibilidades de composição em um plano, formando mosaicos.
Slide 3 - Foco nos 360º que preenchem um plano: Peça para que os estudantes leiam, silenciosamente, o slide; use as "falas" para puxar a discussão:
Pode me mostrar, com sua mão, o que a garota quis dizer com "cobrir os 360º"?
Você pode definir, com suas palavras, o que é um mosaico?
Para você, por que podemos formar mosaicos (360º) com polígonos? Poderíamos formar com círculos, por exemplo?
Na ilustração com o mosaico quadrado, o que representa 90º?
Quantos ângulos de 90º tem um quadrado? Por quê?
Por que, ainda no mosaico quadrado, os 4 quadrados, lado a lado, unidos por um vértice comum, forma um mosaico?
E no mosaico formado por 3 hexágonos, o que representa 120º?
Por que no mosaico de quadrados, para uni-los lado a lado por um vértice comum, nós precisamos de 4 quadrados?
Por que no mosaico de hexágonos regulares, para uni-los lado a lado por um vértice comum, nós precisamos apenas de 3 figuras?
O quadrado e o hexágono, utilizados no exemplo deste slide, são polígonos regulares? Por quê?
Slide 4 - Foco nos ângulos dos polígonos para formarem mosaicos: Peça para que os estudantes analisem o slide para puxar a discussão, a exemplo de:
Pode me mostrar, nas figuras de mosaicos deste slide, qual a medida do ângulo que rodearia um ponto qualquer? Por que a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos, neste vértice, tem que dar 360º?
Poderia me explicar os cálculos feitos pela garota? (Ela multiplicou o valor de um ângulo interno do polígono para ver se pode juntar esses ângulos em um único vértice para preencher um plano de 360º, se o produto da multiplicação der 360º, há o preenchimento. Desse modo, o multiplicador indica, portanto, quantos polígonos são utilizados no preenchimento).
Por que a garota afirma que "precisamos de 6 triângulos de 60º"? (Porque 6 vezes 60º é igual a 360º).
Você sabe quanto mede a soma dos ângulos internos de um triângulo? Existe triângulo com 3 ângulos de 60º? Como ele se chama?
Slide 5 - Foco nos polígonos regulares que formam mosaicos regulares: Peça para que os estudantes analisem o slide para puxar a discussão:
Você pode fazer um esboço de um polígono regular qualquer? Quais as características principais desta figura para que ela seja classificada como regular?
Na tabela de lados e ângulos de polígonos regulares, como se chama a figura que tem 3 lados? Quantos ângulos ela tem?
Qual a medida desses ângulos?São todos iguais ou há diferenças? Pode esboçar este triângulo regular e me mostrar esses ângulos? Como se chama este triângulo regular? Há triângulos não regulares? Quais? Por quê? Na mesma tabela, qual é a figura de 4 lados e com ângulos de 90º? Pode esboçá-la? Conhece outra figura de 4 lados e 4 ângulos de 90ºm que não seja um polígono regular?
Por que é importante observar "os ângulos dos polígonos que são divisores de 360º", quando desejamos formar mosaicos?
O pentágono regular tem que medida dos seus ângulos internos? (Conforme tabela, 108º) É divisor de 360º? Formaria um mosaico? Pode mostrar, com base no mosaico de pentágonos regulares do slide, o que acontece se quisermos formar um mosaico com eles?
Pode mostrar, com base no mosaico de heptágonos regulares do slide, o que acontece se quisermos formar um mosaico com heptágonos?
E se tentarmos com um octógono, ou um decágono?
Por que a garota achou que esses dados da tabela eram suficientes e não pesquisou mais valores de ângulos internos de polígonos regulares com maior número de lados?
Você pode explicar a afirmação da garota de que "quanto maior o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos"? (É esperado que concluam que quanto maior o número de lados, maior é a abertura dos ângulos dos segmentos de reta que fecham o polígono).
Tempo sugerido: 25 minutos.( slides 6 a 10)
Utilize o slide 6 para pontuar, brevemente, os 3 momentos da atividade, explicando que os dois primeiros serão cumpridos coletivamente, por toda a turma, e o terceiro, em trios, no GeoGebra.
Esta aula considera que os estudantes já tiveram algum contato anterior com o GeoGebra, mas se não tiveram, sugerimos que oriente os estudantes, em aulas anteriores, que experimentem o aplicativo em casa e que ele dá 2 opções de uso, on line ou baixando no computador.
Esta aula deve ser desenvolvida, preferencialmente, em um laboratório de informática, que comporte 3 estudantes por computador, e com um projetor; alternativamente, podem ser usados recursos tecnológicos individuais, com acesso à internet, mas é interessante o projetor, para que sejam realizados os 2 primeiros momentos, coletivamente, com todos da turma.
Em seguida, vá para o slide 7, utilizando-o para apresentar a proposta do primeiro momento da atividade com toda a turma, de modo coletivo.
Projete a apresentação do slide 7 para que todos acompanhem e participem; todos devem estar com o mesmo slide em seus computadores.
Faça mediações para toda a turma, iniciando pela numeração dos polígonos e pela questão por que esses polígonos são convexos?.
Explique que reconhecerão, dentre esses polígonos convexos, os regulares, com base em medidas e número de lados, ângulos e vértices, preenchendo o quadro de respostas, que será exibido no próximo slide.
Em seguida, vá para o slide 8 e, com o quadro de resposta projetado, vá mediando o seu preenchimento e inserindo os dados solicitados.
Confira, em Discuta com a Turma, abaixo, algumas questões provocativas para reflexões acerca do conteúdo em pauta, e as expectativas de respostas dos estudantes, entre parênteses, ponderando a relevância para o seu contexto, no momento.
Não exceda mais de 5 minutos para esta etapa de análise dos polígonos, reconhecimento dos regulares e preenchimento do quadro-resposta.
Utilize o slide 9 apenas para dizer que assistirão a um vídeo sobre as condições para os polígonos regulares formarem mosaico.
Exiba o vídeo, com duração de 2:58 min, para todos e diga que os comentários serão feitos em seguida.
Confira, em Discuta com a Turma, abaixo, algumas questões provocativas para reflexões acerca do conteúdo do vídeo, ponderando a relevância.
Não exceda mais que 3 minutos na discussão acerca do conteúdo do vídeo.
Vá para o slide 10 e explique que trabalharão em trio e que farão mosaicos regulares.
Observe se todos estão conectados à internet com o aplicativo GeoGebra.
Explique que o objetivo da atividade é utilizar o GeoGebra para preencher com polígonos um determinado plano, cobrindo os seus 360º.
Explique que devem seguir as orientações contidas na própria atividade, mas enfatize que, no GeoGebra, devem usar o ambiente Geometria.
Observe que, na atividade, é sugerida a exibição de uma malha quadriculada para fazer o desenho, mas que esta escolha é opcional.
Explique, também, que, a partir do desenho dos polígonos, os trios devem escolher Polígonos Regulares.
Diga-lhes que estará presente para acompanhar o trabalho dos grupos.
Explicite que a construção dos mosaicos não deve exceder 15 minutos.
Imprima previamente a Atividade Principal.
Considere as seguintes Atividades Complementares, para você ver mais possibilidades pedagógicas para o assunto mosaico com polígonos:
1ª) Para saber mais sobre ladrilhos, sugerimos a leitura do artigo "Ladrilhamentos", de Elvia Mureb Sallum, da Matemateca do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP). Leia o artigo na íntegra, clicando aqui.
2ª) Para conhecer mais sobre mosaicos, leio o material "Mosaicos" do Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade de Brasília (LEMAT-UnB), disponível aqui.
3ª) Material complementar do LEMAT-UnB de Solução das atividades com mosaicos", disponível aqui.
Lembre-se de que você dispõe de questões provocadoras, no Guia de Intervenção, que pode ser acessado aqui.
Confira a Atividade Principal, acessando aqui.
Propósito: Fazer composições com polígonos para formar mosaicos regulares.
Que características deve ter um polígono regular?
Quais os polígonos regulares apresentados? Por quê?
Para o polígono ser regular, como deve ser o preenchimento do quadro-resposta?
Quais das figuras são, portanto, regulares?
Slide 9 (durante a discussão, exponha o slide 7 com os polígonos regulares e não regulares)
Pode me dizer o valor dos ângulos internos do triângulo equilátero?
Qual a soma da medida dos ângulos internos de um triângulo?
Qual a soma da medida dos ângulos internos de um quadrado, que tem 4 lados e é regular?
Slide 9 - Discussão para construção do mosaico: questões provocadoras (pertinente à atividade):
Como cobrir, lado a lado, sem sobrepor?
Quais características deve ter um polígono para que, unido lado a lado com outros por um mesmo vértice, sirva para cobrir 360º de um tipo qualquer de plano, sem sobreposição?
Quais polígonos regulares têm essas características e formam um mosaico?
Quais polígonos regulares não têm essas características e não formam um mosaico?
Utilize este slide apenas para falar que a atividade no GeoGebra irá começar, pois as provocações já foram colocadas anteriormente.
Como a atividade foi composta de 2 momentos de resultados e um de reflexão e discussão sobre a relação entre o conteúdo do momento 1 (polígonos regulares) e a construção de mosaicos, no momento 3, já houve discussões durante o percurso e a expectativa é que, durante a 2ª atividade, envolvendo todo o grupo, essa discussão tenha sido calorosa e proveitosa de aprendizagens.
Peça para que 4 trios (quantitativo é uma sugestão), espontaneamente, apresentem suas produções, mas compartilhe todos os mosaicos.
Como sugestão, se a escola tiver um site, ou blogue, ou página no Facebook, peça autorização dos artistas para publicar os mosaicos construídos.
Durante a exposição dos 4 trios, reforce as questões já mencionadas no Discuta com a Turma dos 4 primeiros slides da Atividade Principal.
Propósito: Discutir, coletivamente, sobre polígonos regulares e não regulares e sobre a formação de mosaicos regulares ou irregulares.
Mostrem-nos por que o seu mosaico é regular.
Apresentem-nos as características dos polígonos utilizados, que justifiquem que ele seja regular.
Orientações: Este silde pontua o conteúdo trabalhado e sua apresentação deve ser muito breve, mas busque enfatizar as características de um mosaico regular e de sua composição com polígonos regulares.
Tempo sugerido: 8 minutos.(slides 13 e 14)
O slide 13 visa a apresentação breve da avaliação.
Utilize o slide 13 para explicar a atividade, mas não estenda mais de 1 minuto.Imprima, previamente, a atividade (slide 14) para que seja realizada individualmente.
Sem muito rigor na organização da sala, peça aos estudantes para se afastarem ou se arrumarem separadamente, porque vão fazer uma atividade que exigirá deles reflexão, atenção e conhecimento sobre polígonos regulares e sobre sua pertinência em mosaicos regulares.
Propósito: Demonstrar conhecimentos sobre mosaicos regulares e irregulares e sobre os polígonos que os compõem.
Faça provocações de modo que o estudante seja levado a refletir sobre a qualidade da composição de mosaicos regulares a partir do tipo de polígonos que os compõem.