TEDE: Colorações em grafos com restrições de distância: caracterizações, politopos e estratégias em programação matemática
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Title: Colorações em grafos com restrições de distância: caracterizações, politopos e estratégias em programação matemática
Other Titles: Graph coloring problems with distance constraints: characterizations, polytopes and mathematical programming strategies
???metadata.dc.contributor.referee2???: Moura, Edleno Silva de
???metadata.dc.contributor.referee3???: Mateus, Geraldo Robson
???metadata.dc.contributor.referee4???: Campêlo Neto, Manoel Bezerra
???metadata.dc.contributor.referee5???: Marenco, Javier Leonardo
???metadata.dc.description.resumo???: Coloração em grafos constitui uma das classes de problemas de otimização combinatória de maior relevância teórica e prática, com variações envolvendo restrições adicionais nos vértices ou arestas. Uma das aplicações mais importantes ocorre em telecomunicações, envolvendo a alocação de canais em redes móveis sem fio, na qual canais devem ser atribuídos a um conjunto de dispositivos, de modo a se evitar interferências. O problema de coloração em largura de banda (do inglês, Bandwidth Coloring Problem - BCP) modela o caso geral de tal aplicação, onde vértices adjacentes recebem cores diferentes mas tais cores devem respeitar uma separação imposta por meio de pesos nas arestas, generalizando o problema clássico de coloração de vértices em grafos (do inglês, Vertex Coloring Problem - VCP). No entanto, esse modelo não aborda todos os casos aplicáveis à alocação de canais, possibilitando a utilização de outros ferramentais teóricos para identificar novos modelos. Sendo assim, nesta tese, são caracterizados novos problemas de coloração de vértices com restrições adicionais de distâncias, baseados em conceitos de geometria de distâncias e teoria dos grafos, com tipos de restrições de adjacência envolvendo igualdades e desigualdades, e valores arbitrários e uniformes para representar as distâncias, aplicáveis a diferentes características da alocação de canais, como comunicação uni- e bidirecional. Esses modelos teóricos definem uma grande subclasse de problemas de colorações com distâncias em grafos, para a qual foram estabelecidas algumas propriedades de factibilidade e complexidade computacional. Formulações de programação por restrições foram propostas com base nas definições dos problemas abordados, com o uso de restrições globais para tratar de vértices que requeiram mais de uma cor, bem como formulações em programação inteira, onde uma já existente foi refinada e outras duas novas foram propostas, baseadas em orientações do grafo de entrada e nas distâncias entre cores atribuídas. Ambas as formulações propostas possuem tamanho polinomial, ao contrário dos modelos existentes que são pseudo-polinomiais. Um estudo poliedral foi realizado onde, para os novos politopos correspondentes, são definidas propriedades e algumas famílias de desigualdades válidas que induzem a facetas sob determinadas condições. Para avaliar o impacto de tais formulações matemáticas, estratégias computacionais exatas foram utilizadas, com destaque para um algoritmo cut-and-branch desenvolvido com base no politopo de orientação e nas desigualdades válidas propostas. Experimentos realizados utilizando instâncias do BCP e de alocação de canais da literatura (onde os vértices podem necessitar de uma cor ou de mais cores) permitiram estabelecer melhores limites superiores para determinadas instâncias, com a prova de otimalidade de soluções heurísticas apresentadas na literatura, e principalmente a obtenção de novos ótimos para outros casos. Foi realizada uma análise comparativa entre as estratégias de programação inteira e por restrições, considerando se os vértices demandam uma ou mais cores. Por fim, foi possível verificar que as novas formulações, em especial a baseada em orientação e o método cut-and-branch, permitiram a obtenção de soluções ótimas em menor tempo de execução para diversas instâncias utilizadas, estabelecendo assim que os novos modelos têm bom potencial para solucionar problemas de colorações com distâncias. Os resultados obtidos fornecem contribuições importantes em geometria de distâncias, combinatória poliédrica e teoria dos grafos para a classe de problemas de colorações de vértices em grafos.
Abstract: Graph coloring constitute a class of combinatorial optimization problems of great theoretical and practical relevance, with variations involving additional constraints to vertices or edges. One of its most important applications is in telecommunications, involving channel assignment in mobile wireless networks, where channels must be attributed to a set of devices while avoiding interferences. The Bandwidth Coloring Problem (BCP) addresses the general scenario of this application, where adjacent vertices receive different colors, which in turn must respect a separation that is imposed using weighted edges, generalizing the classic Vertex Coloring Problem (VCP). However, this model does not take into account all scenarios of channel assignment, creating the possibility of using other theoretical approaches to identify new models. In this thesis, we characterize new coloring problems with additional distance constraints, based on distance geometry and graph theory concepts, involving equalities and inequalities, and arbitrary and uniform values to represent distances, which can be applied to different characteristics of channel assignment, such as uni- and bidirectional communication. These theoretical models define a subclass of colorings with distances in graphs, for which we establish feasibility and computational complexity properties. We propose constraint programming formulations based on such problem definitions, using global constraints when vertices need more than one color. Also, we explore integer programming models for BCP, improving an existing one and proposing two new others, based on orientations of the input graph and distances between colors assigned to vertices. Both new models have polynomial size, in contrast to existing ones that are pseudopolynomial. A polyhedral study is made where, for the new corresponding polytopes, we present their properties and some families of valid inequalities which define facets under certain conditions. To evaluate these new mathematical formulations, we developed exact computational strategies, including a cut-and-branch algorithm based on the orientation polytope and its valid inequalities. Experiments made using literature instances for BCP and channel assignment (where vertices may need one color or more colors) led to new better upper bounds for some instances and optimality proofs of heuristic solutions presented in the literature, and, principally, to new optimal solutions in other cases. Through these experiments, a comparative analysis between integer and constraint programming is presented, considering if vertices demand one or more colors. We observed that the new formulations, specially the orientation-based model and the cut-and-branch developed with it, were able to obtain optimal solutions in less time for many instances, establishing that the models have good potential to solve distance coloring problems. Our results provide important contributions for Graph Theory, Distance Geometry and Polyhedral Combinatorics for the graph coloring problems class.
???metadata.dc.subject.cnpq???: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO: TEORIA DA COMPUTAÇÃO: ANALISE DE ALGORITMOS E COMPLEXIDADE DE COMPUTAÇÃO
CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA: MATEMÁTICA: MATEMÁTICA APLICADA: MATEMÁTICA DISCRETA E COMBINATÓRIA
ENGENHARIAS: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO: PESQUISA OPERACIONAL: TEORIA DOS GRAFOS
???metadata.dc.subject.user???: Coloração de vértices
Citation: DIAS, Bruno Raphael Cardoso. Colorações em grafos com restrições de distância: caracterizações, politopos e estratégias em programação matemática. 2019. 175 f. Tese (Doutorado em Informática) - Universidade Federal do Amazonas, Manaus. 2019.