Matemática - Clube de SPM - Janeiro de 2017
Diagonais por Rui Gonçalves - O Quarto Momento Central, uma Trágica História
Título: O quarto momento central, uma trágica história
Em cursos introdutórios de estatística lecionados nas licenciaturas e mestrados integrados cientifico-tecnológicos das universidades e politécnicos é obrigatório falar-se em estatística descritiva. O estudo de qualquer fenómeno que envolva incerteza começa pelo método estatístico que explora os dados e os descreve.
A descrição envolve o cálculo de momentos estatísticos e alguns destes estão relacionados com as características da distribuição dos dados. Por exemplo, a média e mediana são medidas de localização do centro da distribuição. O desvio padrão, a variância, o desvio absoluto médio e o range (entre outros) são medidas de dispersão absolutas. Existem ainda os coeficientes que não são momentos, mas que se exprimem como uma razão destes, por exemplo, o coeficiente de assimetria é a razão do terceiro momento central com o desvio padrão ao cubo e o coeficiente de curtose, é a razão do quarto momento central com a variância ao quadrado.
Pode o leitor interrogar-se, e os momentos de grau superior ao quarto?
É verdade que os momentos de ordem superior ao quarto não têm interpretação descritiva e isso de deve às complicações da matemática envolvida no seu cálculo.
Considere-se o exemplo simples da soma X+Y de 2 variáveis aleatórias independentes, X e Y. Designando-se o primeiro momento ordinário, média por μ e os momentos centrais seguintes variância, μ2 e superiores μ3 etc, obtém-se,
Mas para o quarto momento central a simplicidade desaparece e a coisa complica-se…
Se tomarmos a média de um conjunto de n variáveis aleatórias i.i.d. o valor esperado e os dois momentos centrais de ordem superior a 1 relativos à média,
Já o momento central de ordem 4 é,
Mais uma vez, a simplicidade e a interpretação são perdidas…
No que toca à estimação o panorama é semelhante. Dada uma amostra i.i.d. de n observações, X1,X2,…,Xn, os estimadores não enviesados dos principais momentos são,
A simplicidade acaba no quarto momento central pois o seu estimador é,
Os resultados apresentados mostram que a teoria nos dá bonitas e elegantes fórmulas para os 3 primeiros momentos, mas que isso não acontece para o quarto momento.
Já antes do artigo onde se baseia este texto outros autores chamaram a atenção para a falta de interpretação da curtose e não existe uma concordância naquilo que ela mede.
Pode-se perguntar, então, porque é que andamos a medir a curtose se não a conseguimos interpretar?
Para os que querem saber mais podem consultar o artigo, Dodge, Yadolah, Rousson, Valentin (1999), The Complications of the Fourth Central Moment, The American Statistician, 53:3, 267-269. E as referências nele contidas.