Venus Transit Background - Extended InfoSheet B4
... Folha Informativa B4
Cálculo aproximado da paralaxe (com exemplos) [1]
Nível: Alto, Ensino Secundário, Universitário
Objectivo: Compreender como se calcula a paralaxe do Sol, i.e. a partir da observação do trânsito de Vénus, em dois locais diferentes na Terra, calcular a distância Terra – Sol.
Aproximação a considerar: Apresenta-se um método simplificado de cálculo, em virtude de ser impossível fazer um cálculo directo e rigoroso sem o recurso a várias iterações. Assim, admitimos serem conhecidos, à partida, alguns valores sobre o movimento de rotação da Terra e de Vénus, no seu movimento de translação em volta do Sol. As observações devem ser simultâneas.
Material necessário: máquina de calcular
Pré-requisitos: Os estudantes deverão saber
Ângulos, trigonometria e vectores
Movimento da Terra e de Vénus
Neste trabalho, apresenta-se uma forma de cálculo simplificado da paralaxe média equatorial do Sol. Para simplificar, admite-se que duas observações são feitas em simultâneo, a partir das quais, se calcula a distância entre os dois centros aparentes de Vénus sobre o disco solar. Indicaremos todas aproximações e as simplificações feitas.
Considerando duas observações feitas em M1 e M2, suficientemente afastadas uma da outra; Dois observadores registarão ao mesmo tempo T, a posição do centro aparente do planeta Vénus sobre o disco solar. Usando os dois valores observados, será possível determinar a distância entre estes dois centros aparentes. Os valores da distância entre os dois centros, exprimem-se em "raios solar", i.e. irão permitir calcular π0 a paralaxe equatorial do Sol. Esta medida está longe de ser simples, como iremos constatar.
Figura 1. – Observações simultâneas do trânsito de Vénus a partir de dois locais
Seja 0 o centro da Terra, C o centro do Sol, V o centro de Vénus, V1 e V2 os centros aparentes de Vénus sobre o disco solar, vistos respectivamente de M1 e M2. Traçam-se os ângulos CM1V=D1 e CM2V= D2 formados pelas rectas (direcção) que unem os dois observadores ao centro do Sol e Vénus, e πS o ângulo centrado no Sol e extremidades no segmento M1M2 e πv o ângulo centrado em Vénus e extremidades no segmento M1M2. Estes dois ângulos são as paralaxe do Sol e de Vénus vistos a partir de M1 e M2 (Figura 1).
Os dois lugares M1 e M2 são escolhidos ao acaso, dentro da zona de visibilidade do trânsito de Vénus, os quatro pontos M1, M2, V e C não estão no mesmo plano. Assim, as linhas M1C e M2V, de uma maneira geral, não estão no mesmo plano nem se interceptam. Não podemos desta forma utilizar a geometria plana. Figura 1.
A relação seguinte: D1-D2 = πS-πv é falsa. Só seria verdadeira, se os quatro pontos fossem coplanares.
Por outro lado, a diferença das paralaxe é igual à distância angular entre os centros aparentes de Vénus (Figura 2).
Figure 2. – Posições aparentes de Vénus no disco solar.
É fácil verificar que esta diferença é igual a D2 - D1 só quando os quatro pontos são coplanares i.e. quando V1, V2 e C se encontrem na mesma linha num plano.
Desta forma, o valor das medidas dos observadores Δπ entre os dois centros aparentes de Vénus, e a relação Δπ= πv-πS permite-nos calcular as paralaxe.
Para se fazer isso, há que exprimir as duas paralaxes em relação às distâncias entre o centro da Terra, o centro de Vénus e o Sol. Se RV for a distância entre o centro do Sol e o centro de Vénus e RT a distância entre o centro da Terra e o centro do Sol, então a distância Terra-Vénus será RT - RV. Para exprimir esta paralaxe teremos também que saber a projecção d da distância entre os dois pontos M1 M2 no plano normal Terra – Sol (Figura 3).
Figura 3. – Paralaxe solar relativamente aos pontos M1 e M2.
Como o raio da Terra e a distância entre os dois pontos M1 e M2 é pequena quando comparado com a distância Terra-Sol ou mesmo Terra – Vénus, podem usar-se com bom rigor as formas aproximadas das funções trigonométricas para pequenos ângulos. Assim, as paralaxes são calculadas a partir das seguintes fórmulas simplificadas:
Na realidade as paralaxes são calculadas a partir de:
Os valores calculados dão-nos o valor de d em função do diâmetro solar, pelo que seria necessário calcular o diâmetro do Sol atendendo a que a distância Terra –Sol é desconhecida.
Assim, para saber a paralaxe solar, é então necessário saber a razão entre as distâncias Sol-Terra e Sol-Vénus, razão que pode ser calculada a partir das leis de Kepler.
Cálculo da razão das distâncias ao Sol usando as leis de Kepler
A primeira lei de Kepler diz que, os planetas descrevem órbitas elípticas à volta do Sol ocupando este astro um dos focos da elipse. Até certos valores o raio vector rp que une o centro do Sol a um planeta p é calculado a partir da seguinte fórmula. rp = ap ( 1 - ep cos E) (4)
Sendo a o semi-eixo da elipse, e a excentricidade da elipse e E o ângulo de posição que permite localizar o planeta na sua órbita.
A partir da terceira lei de Kepler, é possível calcular a relação entre o semi-eixo maior e o período de translação dos planetas. Assim, para o mesmo corpo central todas as órbitas dos planetas que girem à volta dele obedecem à seguinte relação;
As leis de Kepler descrevem as órbitas do sistema solar, independentemente do factor de escala. Conhecendo o período de translação dos planetas, é possível calcular a razão dos semi-eixos das órbitas de Vénus e da Terra a partir de:
E qualquer que seja o T a razão entre os vectores raios é de :
Como tal, as leis de Kepler permitem calcular a razão entre os raios vector para qualquer instante T.
As nossas medidas permitem-nos calcular o valor π, logo iremos passar para o paralaxe equatorial do Sol π0.
Cálculo da paralaxe média do Sol
A paralaxe média do Sol π0 define-se como sendo a diferença de posição angular desse astro quando observado de dois pontos da Terra que distam entre si de um raio terrestre. Alternativamente, pode ser visto como metade do diâmetro angular da Terra se observada do Sol.
R raio equatorial da Terra e a valor da unidade astronómica.
Contudo, a equação (1) dá-nos um valor da paralaxe solar πS em termos de RT distância Terra – Sol e d distância entre dois pontos no plano normal de Terra-Sol.
É necessário exprimir d em termos do raio da Terra e da distância Terra–Sol em unidades astronómicas, para ter a relação entre πS e π0.
Só nos falta-nos calcular a razão entre d e R . O valor da razão a/RT é obtido a partir da lei de Kepler (cf. Eq. 4). Contudo se calcularmos o produto externo dos dois vectores and obtemos :
Como o produto da medida do primeiro pelo seno do ângulo formado pelos dois vectores é e igual à distância d. do mesmo modo a medida de é igual à distância RT (figura 4).
Figura4. – Paralaxe solar em relação aos pontos M1 e M2.
Resolvendo a equação 10 obtemos o valor de d.
Nota: Desconhecendo -se o conceito de produto de vectores, utiliza-se o produto escalar dos mesmos vectores, permitindo assim o cálculo do coseno do ângulo, e depois, do seu seno, usando a relação:
Este cálculo necessita das coordenadas cartesianas dos dois pontos M1 e M2 e, do centro do Sol C, marcadas num sistema de referência ortogonal (O,x,y,z ), com origem no centro da Terra. Usaremos o sistema equatorial geocêntrico aparente de referência para estes cálculos.
O sistema de referência é definido, como sendo o plano do equador da Terra no tempo T da observação (plano Oxy) e pela direcção do pólo Norte celeste do eixo de rotação (Oz). Neste sistema de referência podemos definir o sistema de referência cartesiano (x, y, z) e o sistema polar de referência (α, δ, R) os dois ângulos são chamados de "ascenção recta" e " declinação" (Figure 5). Passamos de um sistema para outro usando as seguintes relações:
E as relações de conversão:
A direcção do eixo (Ox) no tempo T é a direcção do equinócio Vernal naquela data. As tabelas astronómicas (i.e. leis de Kepler) dão-nos as coordenadas equatoriais geocêntricas do centro do Sol (α, δ); A distância não é conhecida mas não é muito importante porque o vector pode ser substituído pelo seu vector unitário na equação 11. O problema mais complicado é a determinação das coordenadas cartesianas dos pontos M1 e M2 neste sistema equatorial.
Figure 5. – Coordenadas equatoriais geocêntricas .
A localização de um ponto sobre a superfície na Terra é dado pela sua latitude e longitude (coordenadas geográficas); A ascensão recta e a declinação são equivalentes na esfera celeste à longitude e à latitude, respectivamente, sobre a superfície da Terra. Precisamos então de saber para cada data o ângulo compreendido entre a direcção do eixo Ox e a direcção da projecção do meridiano zero, no plano equatorial (cf. Figura 5). Este ângulo está relacionado com o eixo de rotação da Terra: é chamado "tempo sideral do meridiano de Greenwich por cada volta completa 360º gasta 23h 56m 4s (rotação sideral da Terra, ou dia real).
Assim, é suficiente saber o tempo sideral de Greenwich TG às 0h UTC do dia do trânsito e assim saber o tempo sideral de Greenwich a qualquer instante t , e então, o tempo sideral de qualquer ponto na Terra sabendo a sua longitude λ.
Passamos do tempo sideral de Greenwich para o tempo sideral no ponto M sabendo a longitude λ, adicionando ou subtraindo esta mesma longitude.
Mas cuidado! O tempo sideral aumenta quando nos deslocamos para leste a partir do meridiano de Greenwich ; é então necessário ter cuidado com a convenção usada nas longitudes.
Se a longitude é considerada negativa para leste então a relação a utilizar para o tempo sideral local para a linha do meridiano do local de longitude λ e o tempo sideral com o meridiano de Greenwich será: Tλ = TG - λ (15)
Note-se que os dois ângulos têm de estar expressos nas mesmas unidades (graus ou horas). Então as coordenadas cartesianas do ponto M, com as coordenadas geográficas T (φ1, λ1) no tempo t será dado por:
O valor de ||M1 M2|| do vector (em módulo) e as suas coordenadas (X, Y, Z) são dadas por :
As coordenadas do vector com a direcção "centro da Terra –Sol " é dado por:
O vector produto e o seu módulo será então :
Finalmente, usando a equação (11), teremos:
E o valor da paralaxe equatorial é dada por (de acordo com Eq. (9)) por :
Exemplo 1: observação da posição dos centros
Tomaremos como exemplo a observação feita por Antananarivo (Madagáscar) e em Helsínquia (Finlândia) às t=8h 30min em 8 de Junho, 2004.
As coordenadas geográficas em Antananarivo são :
Latitude :18° 52' Sul, longitude : 47° 30' Este então φ1 = -18.866667° e λ1 = -47.5
As coordenadas geográficas em Helsínquia são :
Latitude :60° 8' Norte, longitude : 25° 3' Este, então φ2 = 60.133333° e λ2 = -25.05°.
As coordenadas equatoriais geocêntricas do Sol às 8h 30m UTC dadas pelas tabelas astronómicas :
Ascensão recta do Sol αs = 76 graus ; 49' 36.493"
Declinação do Sol δs = +22° 53' 16.237"
O tempo sideral em Greenwich às t horas no UTC é obtido pela seguinte fórmula :
Então o tempo sideral em Greenwich às 8h 30min é igual a :
É necessário converter para graus antes de calcular o tempo sideral local para as duas cidades.
TG = 1h 38m 15.09s = 24.562875°.
A partir daqui, deduz-se o tempo sideral local às 30m em Antananarivo:
Tλ1 = 24.562875 - (-47.5°) = 72.062875°
E o tempo sideral local às 8h 30m em Helsínquia :
Tλ2 = 24.562875 - (-25.05°) = 49.612875°
Deduzimos as coordenadas cartesianas equatoriais para estes dois lugares:
As coordenadas do vector unidade da direcção Terra – Sol são obtidas pela equação 18 :
O vector tem as coordenadas:
A partir da fórmula 20 calcula-se o valor de d :
As tabelas dão-nos a razão entre os vectores raios e , a razão entre as distâncias Terra –Sol e a medida do semi – eixo da órbita da Terra, na data considerada rT / rV = 1.397795 and rT / a = 1.015087
Agora, sobre os valores medidos só nos falta admitir , i.e. no caso Δπ e no caso do diâmetro solar: iremos admitir Δπ= 0.015 φ and φ = 31.51'. que nos dá um valor de Δπ : 28.359"
A equação 3 dá –nos o valor da paralaxe solar :
E a equação 21 dá-nos o valor da paralaxe equatorial médio:
O valor encontrado pode ser considerado relativamente próximo da realidade, só dependendo da separação aparente dos centros de Vénus, sobre o disco solar e, do tamanho do diâmetro solar. O diâmetro aparente solar pode ser medido com boa precisão; já a separação entre os dois centros aparente de Vénus não é tão fácil. Através de uma simples fotografia a medida do diâmetro aparente é cerca de 20mm, a distância entre os centros é de 0.3mm e a precisão de um para mil corresponde a uma medida de 0,02mm.
Na descrição anterior ignoramos um certo número de dificuldades, de forma a poder resolver o problema de uma forma simplificada. Segue-se no entanto, uma lista de dificuldades que poderão surgir se o quisermos resolver com cálculos rigorosos.
As leis de Kepler não têm em consideração as interferências existentes nas órbitas para mais do que dois corpos.
Não é a Terra que tem uma órbita elíptica à volta do Sol, mas sim o baricentro do sistema Terra-Lua.
Acompanhando o movimento do eixo de rotação da Terra (precessão e nutação), a origem OX do sistema equatorial de referência varia com o tempo.
Considerando que a velocidade da luz é finita, a posição do Sol e de Vénus num dado instante t não é uma posição geométrica mas a posição de dois corpos no tempo t - τp, τp que é o tempo que leva a luz a ir de cada um dos corpos até à Terra. Como estas distâncias não são sabidas, há necessidade de fazer iterações para este cálculo.
Cálculo da paralaxe a partir do instante do primeiro contacto
ou a partir da duração do trânsito:
Vimos no trabalho InfoSheet n° 4b, que há duas maneiras simplificadas que permitem o cálculo directo da paralaxe por comparação de tempos do mesmo contacto visto em dois lugares diferentes (método de Delisle) ou comparando o tempo de duração do trânsito observado em dois lugares diferentes (método de Halley).
Vamos estudar estes dois exemplos
A paralaxe equatorial solar média π0 Obtém-se por comparação de dois contactos idênticos usando a seguinte fórmula:
Se desprezarmos as incertezas e os erros, a fórmula fica:
Da mesma forma, a paralaxe equatorial solar media é obtida comparando dois tempos de duração, usando a seguinte fórmula:
i e j são índices relativos aos contactos: i = 1, j = 4 para o contacto exterior e i = 2, j = 3 para o contacto interior
Os coeficientes A, B, C e o termo dD/dt são calculados para cada contacto e é dado pela seguinte tabela:
Descrição do contacto A B C dD/dt
Primeiro contacto exterior (index 1) 2.2606 -0.0194 1.0110 -3.0846
Primeiro contacto interior (index 2) 2.1970 0.2237 1.1206 -2.9394
Último contacto interior (index 3) -1.0929 -1.1376 1.9090 2.9391
Último contacto exterior (index 4) -0.9799 -1.3390 1.8383 3.0842
Exemplo 2: observação dos tempos de contacto
Tomemos mais uma vez o exemplo dos mesmos dois lugares de observação nas seguintes hipóteses:
Cidade n°1 : Antananarivo (φ1 = -18.866667° e λ1 = -47.5°)
Data do primeiro contacto interior observado (índice 2) : t2 = 5h 35m 30s UTC.
Data do último contacto interior observado (índice 3) : t3 = 11h 8m 4s UTC
Duração do trânsito observado: 5h 32m 34s.
Cidade n°2 : Helsínquia (φ2 = 60.133333° e λ2 = -25.05°)
Data do primeiro contacto interior observado (índice 2) : t2 = 5h 38m 38s UTC.
Data do último contacto interior observado (índice 3) :t3 = 11h 2m 20s UTC
Duração do trânsito observado (interno) : 5h 23m 42s.
Nas equações (22) e (23) Os factores dos coeficientes A, B,C são idênticos e podem ser calculados separadamente:
Cálculo da paralaxe usando o primeiro contacto:
As diferenças entre os valores do primeiro contacto é 3m 8s (-3.1333m), e o uso dos valores dos coeficientes A2, B2, C2 e dD/dt na fórmula (22) leva-nos à seguinte equação :
Que dá π0=8.945'.
Cálculo da paralaxe usando o período interior do trânsito.
A diferença na duração dos trânsitos interior é 8m 52s (8.866m), e o uso dos valores dos coeficientes A2, B2, C2, A3, B3, C3 e dD/dt na equação (23) fornece-nos a seguinte equação:
Notar que é o valor de:
Que nos dá π0=8.822'.
Mais uma vez, chama-se atenção que estes métodos não são completamente exactos pelo que deveremos usar fórmulas mais completas, de forma a reduzir os erros das observações.