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O "acelera"
por jap em Terça Maio 08, 2007 6:06 pm
Aqui está um problema de enunciado simples e de resolução igualmente simples, mas um pouco "tricky"...
Um motociclista circula numa trajectória circular de raio . O atrito estático entre as rodas e o solo, horizontal, é constante. O motociclista parte do repouso. Qual é a distância mínima que o motociclista terá de percorrer para atingir a velocidade máxima a que é possível circular na pista sem "derrapar"?
Nota: não se considera aqui a possibilidade de o ciclista se inclinar para o interior da curva, como fazem os profissionais. . Portanto, apenas a força de atrito actua como força centrípeta!
por pmp em Domingo Maio 20, 2007 5:40 pm
Será ? Um quarto de volta?
por jap em Domingo Maio 20, 2007 8:35 pm
pmp Escreveu: Será ? Um quarto de volta?
A reposta correcta é , ou seja, um oitavo de volta.
Haverá um factor de dois perdido nas tuas contas?
por pmp em Segunda Maio 21, 2007 5:40 pm
Não foram as contas desta vez.
Se a força de atrito estático permanece constante posso dizer que:
É válido partir daqui?
por jap em Segunda Maio 21, 2007 9:03 pm
pmp Escreveu: Não foram as contas desta vez.
Até aqui tudo bem, Pedro!
por pmp em Terça Maio 22, 2007 10:59 pm
Eu depois livro-me do , ao dizer que:
Depois derivo ambos os membros em ordem a .
E termino numa chata equação diferencial que vai dizer-me que a dependência da velocidade sobre a distância percorrida é um seno ou coseno, pelo menos até atingir a velocidade máxima.
por jap em Terça Maio 22, 2007 11:31 pm
pmp Escreveu: Eu depois livro-me do , ao dizer que:
Não estou a ver bem qual é a equação diferencial a que chegaste, queres explictar aqui essa equação e como chegaste lá para eu verificar se está certa?
Se estiver, podemos sempre resolver a equação, nem que seja numericamente - o miguel pais dá uma ajudinha a programar isso.
No entanto conheço duas maneiras de obter a resposta:
1) usando um truque e obtém-se a resposta em duas linhas !
2) obtendo e resolvendo uma equação diferencial que a mim me dá (já me livrei do tempo!):
Esta equação não é dificil de resolver (é só integrar!), mas talvez tenha de dar uma ajuda...
por pmp em Terça Maio 22, 2007 11:47 pm
Ah... é que eu tentei não usar o coeficiente de atrito, como não vinha no enunciado. Sendo assim, chego naturalmente a essa equação, que não me parece um integral fácil, pelo menos indo pela intuição.
por jap em Terça Maio 22, 2007 11:50 pm
pmp Escreveu: Ah... é que eu tentei não usar o coeficiente de atrito, como não vinha no enunciado. Sendo assim, chego naturalmente a essa equação, que não me parece um integral fácil, pelo menos indo pela intuição.
Na realidade, o coeficiente de atrito não é necessário, acaba por desaparecer nos cálculos...
O resultado é independente do coeficiente de atrito e, portanto, basta assumir que a força de atrito é uma certa constante, com componentes radial e centípeta, tal como tu fizeste!
Na equação diferencial ficaria então em vez de , ...
Se não conseguires resolver o integral eu dou uma ajuda...ou talvez outro quarkiano que gosta de matemática (Diogo?) queira dar uma dica...
por pmp em Segunda Maio 28, 2007 12:19 pm
Fui ler o meu livro de cálculo e consegui resolver o integral, pelo menos cheguei ao resultado certo, mas fiz duas substituições, era por aí que se resolvia?
por jap em Segunda Maio 28, 2007 1:06 pm
pmp Escreveu: Fui ler o meu livro de cálculo e consegui resolver o integral, pelo menos cheguei ao resultado certo, mas fiz duas substituições, era por aí que se resolvia?
Indo por essa via, a de calcular o integral, a melhor forma é fazer duas substituições de variáveis, pelo que imagino que terás o problema certo!
por jap em Segunda Maio 28, 2007 9:51 pm
Aqui vai a resolução deste problema....
Método I (o mais trabalhoso, foi o que o Pedro seguiu e conseguiu resolver, com êxito , apesar dos integrais!)
e rearranjando os termos obtemos
Façamos uma primeira mudança de variável, . A equação anterior toma a forma
A velocidade máxima atinginda pelo móvel pode ser calculada pela equação
No instante em que se atinge a velocidade máxima a variável toma o valor 1.
A distância nesse instante é
Como calcular este integral?
Há um truque que torna o cálculo trivial.
Façam uma nova mudança de variável, de para um ângulo , tal que . Assim, quando , , e quando , .
Mais uma vez parabéns ao Pedro por ter levado a bom porto o cálculo dos integrais...
Mas há uma outra forma de resolver este problema de forma bem mais simples e sem recorrer a integrais...uma resolução realmente simples e elegante...
Re: O "acelera"
por hexphreak em Sexta Jan 23, 2009 12:22 pm
Não sei se será este o segundo método, é um bocadinho mais que duas linhas e tecnicamente usa um integral Mas de qualquer maneira, parece-me mais simples e foi o primeiro em que pensei.
Consideremos o ângulo que a partícula, digo, o motociclista percorreu desde a posição inicial, e o ângulo que a força de atrito faz com o raio da pista na posição actual. A velocidade máxima será atingida quando toda a força for radial, ou seja . Por outro lado:
onde é a força de atrito. Uma vez que , podemos substituir no sistema e derivar a primeira equação em ordem ao tempo, obtendo:
Dividindo a primeira equação pela segunda, ficamos com . Isto diz-nos que diminui duas vezes mais rapidamente do que aumenta*. Sabendo então que e , temos que quando teremos , pelo que a distância percorrida será um oitavo de volta.