Cálculo Interativo: 5.1 Funções trigonométricas
Vários processos que ocorrem na natureza são periódicos e representados por funções trigonométricas. Há duas formas usadas para representar as entradas de funções trigonométricas: em graus ou radianos. Usualmente, no estudo de Cálculo, utilizamos a segunda forma.
Um ângulo de um radiano é definido como sendo o ângulo, medido no sentido anti-horário, que subentende um arco de comprimento igual ao raio da circunferência que o contém (que no caso da trigonometria, vale 1). Uma rotação completa da circunferência unitária (360º) subentende um arco de comprimento 2π, o que implica que 180º = π radianos.
As duas funções trigonométricas básicas (seno e cosseno) são definidas usando o círculo unitário. Um ângulo θ medido no sentido anti-horário ao redor do círculo unitário a partir do ponto (1,0) corresponde a um ponto P de coordenadas (x,y) tais que x = cosθ e y = senθ. Como a equação da circunferência unitária é x² + y² = 1 temos que, para qualquer valor de θ, sen²θ + cos²θ = 1, fato conhecido como identidade fundamental da trigonometria.
Os valores máximos e mínimos do seno e cosseno são -1 e 1, porque são os valores máximos e mínimos de x e y no círculo unitário. A imagem dessas funções é, portanto, o intervalo [-1,1] e a amplitude (metade da distância entre os valores máximo e mínimo) para ambas é 1. Depois que P se mover ao redor do círculo uma vez, os valores de senθ e cosθ começam a se repetir e daí dizemos que as funções são periódicas, de período 2π. Logo, temos que senθ = sen(θ + 2π) e cosθ = cos(θ + 2π). Além disso, y = cosθ é par, pois cosθ = cos(-θ), e y = senθ é ímpar, pois senθ = - sen(-θ).
Confira aqui algumas simetrias do círculo trigonométrico!
A determinação dos valores de senθ e cosθ em alguns valores notáveis, seus simétricos e em pontos sobre os eixos coordenados do ciclo trigonométrico posicionado sobre o sistema cartesiano ajuda a visualizar o gráfico das funções y = senθ e y = cosθ ou, mais usualmente no estudo de funções f(x), y = senx e y = cosx. No gráfico abaixo você pode deslizar o ângulo em vermelho (lembrando que está em radianos e não em graus):
Autor: raizeditora
Observe que o gráfico do seno e do cosseno têm a mesma forma, apenas deslocados horizontalmente um do outro. Podemos dizer que o gráfico do cosseno é o gráfico do seno deslocado π/2 para a esquerda, ou seja, cosθ = sen(θ + π/2), e, de modo equivalente, o gráfico do seno é o gráfico do cosseno deslocado π/2 para a direita, assim, senθ = cos(θ - π/2).
Utilizando transformações já estudadas anteriormente, podemos prever o comportamento dos gráficos de funções trigonométricas, por exemplo, seja a função cosseno dada por:
Manipulando os parâmetros a, b, c e d no gráfico abaixo, você pode conferir uma série de alterações que eles são capazes de fazer na curva!
Assim, por exemplo, y = -2senx + 1 é obtido a partir da sequência de transformações:
i) Expansão de 2 unidades na imagem, seguido do reflexo em relação ao eixo x devido ao sinal de negativo;
ii) Deslocamento de 1 unidade para cima.
Observando o gráfico de f(x) podemos estimar, graficamente, suas função derivada. Comecemos identificando pontos de máximo e mínimo, ou seja, onde:
x = {± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2...}
Em seguida, usamos o fato de que, onde f é crescente, devemos ter f '(x) negativa (π/2 < x < 3π/2, por exemplo). Onde f é crescente, devemos ter f ' (x) positiva (- π/2 < x < π/2, por exemplo).
Um esboço do gráfico que leva em conta tais propriedades leva-nos a intuir que o gráfico da derivada de y = senx é algo semelhante ao gráfico do cosseno. De fato, podemos provar isso algebricamente!
No gráfico abaixo, você pode manipular o incremento "h", que no vídeo acima foi chamado de Δx:
Como a função cosseno é a seno deslocada π/2 para a esquerda, esperamos que a derivada do cosseno seja, analogamente, a derivada do seno deslocada π/2 para a esquerda, ou seja:
Mas, esse é o gráfico de y = senx refletido no eixo x. Daí, temos que:
A demonstração de que nossa hipótese está certa pode ser conferida neste vídeo!
Conhecidas as derivadas dessas funções, podemos também escrever que e .
Dispondo desses resultados básicos e de conceitos já vistos anteriormente, podemos explorar uma gama de problemas envolvendo funções trigonométricas e suas aplicações. As tarefas propostas a seguir são exemplos disso.
A regra do quociente pode ser utilizada para obter fórmulas para outras funções trigonométricas, além do seno e do cosseno. Por exemplo, aplicando a regra do quociente à relação , temos:
Imagine agora que queiramos medir a taxa segundo a qual o comprimento da sombra de um prédio varia em relação ao ângulo de elevação do sol.
As variáveis s e θ estão relacionadas :
Se θ for medido em radianos, temos:
Supondo H = 25 m e θ = π/6 radianos temos:
Ou seja, quando θ = π/6 = 30º, a sombra decresce 1,74 m com o aumento de 1 grau de elevação no ângulo de incidência solar.
Exemplo 2: Aplicação da Regra da Cadeia
Seja y = f(u(x)), então
Um exemplo de utilização dessa regra de derivação aparece no estudo do movimento harmônico simples. Considerando um sistema massa-mola que obedeça à Lei de Hooke e desprezando as forças dissipadoras, o deslocamento do equilíbrio da mola em função do tempo é dado por:
y = Acos(wt)
onde A é o deslocamento inicial, em t = 0, e w é uma constante.
Trata-se de uma composição do tipo y = f(u(t)), com f(t) = Acos(t) e u(t) = wt. Daí, a velocidade dessa sistema é escrito como f '(t):
f '(t) = f '(u(t)) . u'(t) = -Asen(wt) . w = -A.w.sen(wt)
E a aceleração como f ''(t):
f ''(t) = -Awcos(wt) . w = -Aw²cos(wt)
Exemplo 3: Integração por substituição
As substituições mais fáceis ocorrem quando o integrando é derivada de uma função conhecida, exceto por uma constante somada ou multiplicando a variável. Um exemplo é:
Veja mais exemplos aqui: Integral por substituição
Exemplo 4: Utilizando a identidade fundamental da trigonometria
O método da substituição é relativamente direto quando o integrando contém uma parte que seja uma composição f(u(x)) e outra que seja um múltiplo constante de g(x). Se isso não ocorrer, algum tipo de manipulação pode ser necessária, como no exemplo a seguir: