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Justificar as resoluções é uma habilidade essencial – e mal explorada – em Matemática
Beatriz Vichessi e Victor Malta
Matemática não é só sobre números, contas armadas e equações. Embora a notação tradicional dessa área de conhecimento se utilize primordialmente de elementos como esses, é pre- ciso que toda solução de problema seja demonstrada - e comprovada de algum modo no que diz respeito à eficácia e validade. Só então o caminho proposto é efetivamente aceito. Funciona assim na comunidade científica. Os matemáticos não calculam coisas simplesmente em busca de resultados: têm de pensar sobre eles, compreender o passo a passo do que estão fazendo, defender suas escolhas e o porquê de estarem fazendo de uma determinada maneira e não de outra.
Em sala de aula, deveria ser assim também. O ideal seria ver professores preocupados em fazer a turma pensar em vez de apenas buscar a resposta certa, e alunos empenhados em explicar a resolução que propõem com justificativas, em lugar de somente acertar o resultado.
Infelizmente, esse é um trabalho pouco sistemático. Geralmente, os alunos são desafiados a explicar o que e como pensaram quando fazem cálculo mental. Mas o trabalho costuma ficar restrito a esse conteúdo, típico dos anos iniciais do Fundamental. Depois, acaba esquecido.
"Existe um problema com argumentação matemática em todas as faixas etárias", diz Samuel Feitosa, professor da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e membro da Comissão Nacional da Olimpíada da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Para ele, quase todos os procedimentos matemáticos aprendidos no currículo do Ensino Fundamental podem ser justificados com argumentos elementares. Isso já seria um importante mecanismo para habituar a classe e instigá-la a exercitar o pensamento próprio.
O fruto desse esquecimento é um efeito social alarmante. Dados do Indicador de Alfabetismo Funcional (Inaf) do Instituto Paulo Montenegro, revelam que somente 8% dos entrevistados com idade entre 15 e 64 anos são proficientes em Matemática - ou seja, são capazes de resolver situações-problema que envolvem diversas etapas de planejamento, controle e elaboração, que exigem retomada de resultados parciais e o uso de inferências. Inferir é um trabalho intelectual sofisticado, em que se afirma a verdade de uma proposição em decorrência de sua ligação com outras já reconhecidas como verdadeiras.
O desenvolvimento dessa habilidade está diretamente relacionado à prática argumentativa. Sua ausência, por outro lado, ao esquecimento desse trabalho durante a escolarização. Segundo a pesquisadora portuguesa Ana Boavida, da Universidade de Lisboa e autora da tese Argumentação em Matemática, aulas que valorizam o raciocínio têm a explicação e a justificação como aspectos-chave da atividade dos alunos - em resumo, focam a construção de boas argumentações.
Um debate sobre ângulos internos dos quadrados (clique em cada uma das opções abaixo para ler mais):
Se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 graus, como saber a soma dos ângulos internos do quadrado sem medi-los?
Dentro de um quadrado, cabem dois triângulos. É só traçar uma diagonal que eles aparecem. Daí, é só somar 180 mais 180 que dá 360 graus.
Pensei diferente. Só de olhar, sei que o quadrado tem 4 ângulos retos, que medem 90 graus cada um. Então, a soma interna é 360.
Sim, isso funciona também e pensando desse jeito, também sei que os ângulos internos de um retângulo também somam 360 graus.
Quem concorda com as argumentações dos colegas?
Eu concordo, mas acho a segunda forma de pensar melhor, porque é mais rápida.
No argumento, a necessidade da prova
Argumentar é um procedimento que se aprende. Não se trata de algo intuitivo do tipo "deixe a turma falar", equívoco comum no trabalho com oralidade em todas as disciplinas. No artigo Explicar na Aula de Matemática, um Desafio Que as Crianças Enfrentam com Prazer, a argentina Patricia Sadovsky diz que "produzir explicações matematicamente pertinentes, conseguir relacionar dedutivamente relações matemáticas para produzir novas relações não é uma aquisição espontânea dos alunos. É produto de um trabalho intencional". E deixa claro que se espera que a turma lance mão, com o passar do tempo, do caráter antecipatório para formular as explicações.
O início do trabalho pode provocar estranhamento. Na maioria das vezes em que os professores pedem que os estudantes expliquem o que fizeram, ouvem falas como estas: "Não sei, só fiz a conta e deu isso" e "Fiz como você ensinou". Mesmo tendo acertado o resultado, eles não sabem falar das propriedades que usaram, revelando um fazer mecânico. E quando usam um recurso como a calculadora mas por um descuido na digitação erram a conta, não são capazes de desconfiar de um resultado muito fora do previsto.
Quando propõe que o estudante explique como pensou para resolver determinada questão, o professor está dando um impulso para ele aprender a elaborar um raciocínio demonstrativo e compreender o poder explicativo e a necessidade da prova em Matemática. "É preciso ensinar os alunos a explicar, uns aos outros, o que estão pensando usando provas, confrontando e refutando ideias", diz Célia Carolino Pires, professora da Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul). É conversando que todos vão compreender se o argumento que está em cena é uma prova ou só uma coleção de fatos desconexos que não conclui o que foi pedido no enunciado, por exemplo.
Para isso, o debate de estratégias usadas por cada um é o melhor caminho didático (veja os dois exemplos nos quadros que acompanham esta reportagem). Outra sugestão é incluir a obrigatoriedade de justificar algumas resoluções. Uma terceira, boa para fortalecer o hábito, é reservar 10 minutos de aula para propor desafios e estimular o debate coletivo oral sobre as soluções.
Ensinar a turma a explicar o raciocínio com recursos próprios tem de estar no planejamento. Com o passar dos anos, os alunos se apropriam de padrões de argumentação e dos símbolos e ampliam o repertório de propriedades, podendo recorrer a ele para justificar as escolhas e rebater outras colocações. É um longo caminho para chegar até lá ? e tudo começa com um primeiro passo, o incentivo ao debate. "No início, qualquer forma de comunicação que rompa o silêncio é válida", conclui Célia Carolino.
Uma conversa sobre números divisíveis por quatro (clique em cada uma das opções abaixo para ler mais):
Como posso fazer para saber se um número é divisível por 4 sem fazer a conta? Por exemplo, 144.
Acho que 144 não é divisível por 4 porque 144 é igual a 70 + 74 e esses números não são múltiplos de 4.
144 é divisível por 4, sim! Porque 144 = 72 + 72 e esse número é múltiplo de 4!
Podemos concluir que se somarmos dois números que não são múltiplos de 4, não temos um número divisível por 4?
Não! 5 + 15, que não são múltiplos de 4, dá 20, que é múltiplo de 4. Temos sempre de tentar fazer o número virar dois números que estão na tabuada do 4! Se der, ele é divisível por 4.
Também acho que se dividir o número por dois, duas vezes, e as contas derem exatas, vai ser divisível por 4, porque 4 é o dobro de 2. Por exemplo, 144 : 2 = 72. E 72 : 2 = 36. Então, é.
Ilustrações: Victor Malta
Texto adaptado do artigo Explicar na Aula de Matemática, um Desafio que as Crianças Enfrentam com Prazer de Patrícia Sadovsky.