Preferências do Translog
O que são preferências de translog? O artigo da wikipedia apenas esclarece que representa preferências logarítmicas transcendentais e que elas são uma generalização das preferências de Cobb-Douglas.
Eles têm recursos especiais que o tornam mais atraente? Eu nunca vi isso sendo usado em macroeconomia.
A função translog pode ser usada não apenas nas preferências, mas também nas funções de produção e custo. Não estou muito familiarizado com suas implicações na teoria do consumidor, mas do ponto de vista da produção, eu a vi amplamente utilizada.
A função Translog não impõe aditividade e homogeneidade e, portanto, constante elasticidade de substituição. Isso é interessante porque não requer uma substituição "suave" entre os insumos (na análise de produção). Eu acho que na teoria do consumidor a interpretação seria semelhante.
Então, basicamente, a função translog é menos restritiva que um cobb-douglas. Se você impuser algumas restrições ao calcular os parâmetros da função translog, obtém uma função cobb-douglas. É por isso que é uma "generalização". Em outras palavras, o cobb-douglas é um caso específico da função Translog que impõe aditividade e homogeneidade (isto é, impondo elasticidade constante de substituição).
Editar: eu adicionei mais informações para responder seu comentário.
Eu acho que a outra resposta é mais completa que a minha. Mas vou adicionar algo que considero útil para você ter uma compreensão mais ampla. Presumo que você esteja familiarizado com as curvas de indiferença. Refiro-lhe a este site (de onde tirei os gráficos), caso você não esteja.
Uma curva de indiferença é apenas um mapeamento de todas as combinações de dois (ou mais) bens que lhe dão a mesma utilidade ou "fazem você feliz no mesmo nível".
Primeiro, veja esta curva de indiferença:
Fig 1: fonte
Essa configuração é conhecida como "complementos". Como você pode ver, adicionar mil unidades de x bom (que está se movendo para a direita), sem adicionar y bom (que não se move para cima) não o deixa mais feliz: você se move ao longo da curva de indiferença. Pense nisso como o sapato esquerdo e o sapato direito. É inútil ter mil sapatos esquerdos adicionais sem adicionar um sapato direito porque são complementos perfeitos .
Agora, veja este: Fig 2: source
Este é chamado "substitutos". É o caso oposto aos complementos. Você pode pensar nisso como carne e frango. Você pode cozinhar usando apenas carne bovina ou substituir e cozinhar usando apenas frango. Mas você também pode cozinhar com certa combinação, digamos 150 gramas de carne e 100 gramas de frango, porque eles são substitutos perfeitos (desculpe, eu não poderia ter um exemplo melhor, mas esse é o ponto).
Agora, esses casos extremos tornam mais fácil imaginar todas as configurações "no meio". Ou seja, dois tipos de bens que não são perfeitos complementam nem substituem perfeitos. Pense em comida e bebida. Eles não podem ser substitutos perfeitos, porque você não pode ter muita comida sem bebidas. Eles não são complementos perfeitos porque a mistura de alimentos e bebidas não é fixa. Para essa configuração, o cobb-douglas poderia ser uma boa aproximação, como pode ser visto na próxima figura:
Fig 3: fonte
Agora, a função de utilitário Cobb-Douglas não resolve tudo, pois impõe certas restrições por construção. Por exemplo, a linha que vai da origem a todas as curvas (o caminho de expansão) é de 45 ° e reta por construção : não pode ser alterada. Isso significa que, à medida que você fica mais rico (mesmo que seja infinitamente rico), suas preferências sobre esses produtos permanecem constantes. O nome formal é homoteticidade ou preferências homotéticas . Isso é empiricamente falso, pois foi demonstrado que, quanto mais rico você é, usa uma parcela menor de sua renda como alimento. Com as preferências de Cobb-Douglas, isso não pode acontecer. As preferências de translog relaxam essa suposição.
Na figura a seguir, você tem um mapa de utilidade relaxando a suposição de homoteticidade:
Fig 4: fonte
Pense deste gráfico tão bom y sendo comida e bom x sendo entretenimento. À medida que você ficar mais rico (ou mais distante da origem), você destinará mais de sua renda ao entretenimento.
Finalmente, falarei sobre a elasticidade da substituição, conhecida como (sigma), que pode ser imaginada como sendo a curvatura da curva de indiferença. Na figura 1, o complemento perfeito : sem curvatura. Nos substitutos perfeitos, : linha reta. Em Cobb-Douglas, : uma ligeira curvatura. No entanto, à medida que você fica mais rico (distante da origem), essa elasticidade de substituição permanece constante nas três configurações. Mesmo nas preferências não homotéticas vistas na Fig. 4, a elasticidade da substituição permanece constante. Estas são as preferências de ** Elasticidade constante da substituição (CES) **. Mas e se você permitir que a curva tenha formas diferentes à medida que fica mais rica? Veja a Fig 5:σσσ=0σ=0σ=infinityσ=infinityσ=1σ=1
Neste exemplo, as curvas de indiferença ficam menos elásticas a cada vez. Portanto, eles não são preferências da CES. A vantagem das preferências do Translog é que, como você não impõe nem o CES nem a homoteticidade, é possível testar essa hipótese com os dados observados. Você pode ver que a função do utilitário Translog é muito menos restritiva que as preferências do Cobb-Douglas.
Como observação final, direi que pode ser que você não rejeite a hipótese de homoteticidade, CES e em um conjunto de dados de comportamento observado. Isso deixaria você em uma configuração de preferências Cobb-Douglas. Então, usando o Translog, você não está necessariamente descartando a Cobb-Douglas.σ=1σ=1
— Ulises Genis
E mais uma: suponho que a falta de aditividade significa que a agregação é mais complicada (como não precisa ser verdadeira). Isso está correto? F(K1+K2,L1+L2)=F(K1,L1)+F(K2,L2)F(K1+K2,L1+L2)=F(K1,L1)+F(K2,L2)
Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS e Solow, RM (1961). Substituição capital-trabalho e eficiência econômica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
os autores introduziram a função CES para generalizar a função de produção Cobb-Douglas no que se refere ao parâmetro elasticidade da substituição, que no caso do CES não é limitado a ser igual à unidade, como no caso do CD. Mas é constante em todo o espaço de entrada.
12 anos depois, Christensen, LR, Jorgenson, DW e Lau, LJ (1973). Fronteiras da produção logarítmica transcendental. A revisão de economia e estatística, 28-45.
introduziu a especificação " translog " escrevendo na introdução (em negrito minha ênfase),
"... a classe de fronteiras de possibilidade de produção homogênea e aditiva .... coincide com a classe de fronteiras com constantes elasticidades de substituição ... Para mais de um produto ou mais de dois fatores de produção , constância de elasticidades de substituição e transformação são altamente restritivas ... Nossa abordagem é representar a fronteira de produção por funções quadráticas nos logaritmos das quantidades de entradas e saídas. Essas funções fornecem uma aproximação local de segunda ordem a qualquer fronteira de produção ... "
"Nosso objetivo é desenvolver testes da teoria da produção que não empregam aditividade e homogeneidade como parte da hipótese mantida ".
Observe com atenção que, por "homogeneidade", os autores esclarecem que significam homogeneidade de grau um (ou seja, "retornos constantes de escala"), enquanto fala de forma adequada e matematicamente, uma função homogênea pode ter qualquer grau de homogeneidade.
Christensen et al. observe que a "aditividade" em sua abordagem é equivalente ao conceito de "forte separabilidade" no contexto da utilidade.
Em um contexto de utilidade, a "saída" é uma utilidade e, na macroeconomia, a abordagem predominante tem apenas uma entrada (consumo). Nesse quadro, não faz sentido usar o translog.
No caso em que queremos modelar também a escolha da mão-de-obra de lazer, e tornamos a função de utilidade bivariada, então na especificação teórica usamos predominantemente preferências separáveis .
A especificação translog tem mais foco empírico. Ao estimar uma especificação de translog, obtém-se estimativas de coeficientes que podem ser usados ​​para testar se a aditividade e a homogeneidade se mantêm nos dados, enquanto nas funções CD e CES, essas propriedades não são testáveis. Outra vantagem é que a especificação translog é adequada para uma situação de muitas entradas / muitas saídas.
Jorgenson e Lau se mudaram para aplicar a função translog a um contexto Utility em Jorgenson, Dale W. e Lawrence J. Lau. (1975), "A estrutura das preferências do consumidor". Annals of Economic and Social Measurement, Volume 4, número 1. NBER, 1975. 49-101.
"Empregando funções de utilidade de translog direta e indireta com preferências variadas no tempo, podemos testar restrições de aditividade, homoteticidade e estacionariedade, em vez de manter essas restrições nas preferências como parte de nosso modelo econométrico".