ESCOLA NACIONAL DE CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS. GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Monografia de Final de Curso - PDF
ESCOLA NACIONAL DE CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS. GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Monografia de Final de Curso
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Esther Castelhano Gama
1 ESCOLA NACIONAL DE CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Monografia de Final de Curso PREVISÃO DE SEGUROS DE AUTOMÓVEIS UTILIZANDO MODELAGEM ESTRUTURAL LINCOLN TEIXEIRA DA SILVA TIAGO MENDES DANTAS Orientadora SANDRA CANTON CARDOSO Rio de Janeiro Julho
2 ESCOLA NACIONAL DE CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Monografia de Final de Curso PREVISÃO DE SEGUROS DE AUTOMÓVEIS UTILIZANDO MODELAGEM ESTRUTURAL LINCOLN TEIXEIRA DA SILVA TIAGO MENDES DANTAS Monografia apresentada como exigência para a obteção do título de Bacharel em Estatística, sob a orientação da professora Sandra Canton Cardoso Rio de Janeiro Julho
3 ESCOLA NACIONAL DE CIÊNCIAS ESTATÍSTICAS GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Monografia de Final de Curso PREVISÃO DE SEGUROS DE AUTOMÓVEIS UTILIZANDO MODELAGEM ESTRUTURAL Autores Lincoln Teixeira da Silva Tiago Mendes Dantas Aprovado por: Orientadora Sandra Canton Cardoso, Mestre Escola Nacional de Ciências Estatísticas Banca Examinadora Daniel Takata Gomes, Mestre Escola Nacional de Ciências Estatísticas Rio de Janeiro Julho
4 Agradecimentos Gostaríamos de agradecer as pessoas que nos deram força e apoio em praticamente todos os momentos do nosso caminho pela Escola Nacional de Ciências Estatísticas. Neste grupo encontra-se a nossa orientadora Sandra Canton, que nos incentivou e norteou nosso trabalho de forma sublime. Obrigado pelos bons momentos de discussões construtivas e pela ajuda dada prontamente sempre que buscamos. Um obrigado a todos os professores, que dividiram seus ensinamentos conosco que certamente não serão esquecidos. Em especial uma que marcou de maneira muito significativa com seu jeito todo particular e incentivador, professora Elaine Machtyngier. As primeiras integrais a gente nunca esquece. Obrigado Cássio pelas conversas e bom humor. Obrigado a todos os amigos da ENCE. Em especial, Breno, Marcel, Mariana, Rachel e Sandra. Vocês têm uma contribuição muito grande pelo que realizamos na faculdade. Vocês serviram de exemplo sempre nas nossas decisões. Obrigado a ENCE, pelo excelente ensino. Lincoln Teixeira da Silva & Tiago Mendes Dantas
5 Agradecimentos Individuais Obrigado aos meus pais pelo apoio incondicional aos meus estudos. Gostaria de agradecer muito a minha mãe, pois sem ela não teria realizado nem metade das coisas que realizei até agora. Isso se deve principalmente a sua força de vontade e por mostrar que o estudo é a herança mais importante que ela poderia me deixar. Obrigado ao meu irmão, que sempre me serviu de exemplo para buscar algo a mais. Por ser aquela pessoa que eu gostaria de ser no futuro. Obrigado por tudo e um muito obrigado pela ajuda na construção dessa monografia. Obrigado a minha namorada, que me apoiou e tem me apoiado no momento mais difícil da minha vida. Por ser a minha melhor amiga e estar sempre presente nos momentos durante esses quatro anos. Obrigado ao Tiago, meu amigo e co-autor. Obrigado pelo aprendizado durante os quatro anos de curso, pela compreensão e pelo apoio na realização deste trabalho. Lincoln Teixeira da Silva
6 Agradecimentos Individuais Obrigado a todos que contribuíram e incentivaram o desejo de me tornar estatístico. Não posso aqui deixar de citar o professor Mauricio Lila e a conversa no primeiro período sobre estatística que foi fundamental para que eu continuasse no curso. Além dos amigos que incentivaram meus estudos em séries temporais, Alex Calixto e Erika Medici. Obrigado ao co-autor dessa monografia e amigo, Lincoln. Agradeço também aos que estiveram presentes nos momentos mais difíceis desses quatro anos em especial a minha família: Célia, Sidnei, Carol, Jorge, Teresa e Alex. Tiago Mendes Dantas
7 Resumo O presente trabalho tenta quantificar as expectativas de crescimento do mercado de seguros de automóveis no Brasil no curto prazo. Para tal, utilizaremos a metodologia de modelos estruturais na forma clássica proposta por Harvey para modelar a série temporal de prêmios diretos de seguros de automóveis, considerando o Brasil com observações mensais de março de 2003 a dezembro de 2008 e faremos previsões mensais para os meses seguintes até dezembro de Palavras-chave: Seguros, Automóveis, Modelos Estruturais, Previsão.
8 Sumário Introdução 11 1 Descrição dos dados 14 2 Metodologia Componentes Não-Observáveis Tendência Sazonalidade Representação na forma de Espaço de Estados Filtro de Kalman Atualização Derivação do Filtro de Kalman Predição Suavização Variáveis de Intervenção Máxima Verossimilhança Goodness of Fit Testes de Diagnóstico Teste de Heterocedasticidade Teste de Normalidade de Bowman Shenton Teste de Ljung-Box & Box-Pierce Mean Absolute Percentage Error U de Theil Teste de Durbin-Watson Teste de Jarque-Bera Teste de Shapiro-Wilk Análise Exploratória dos Dados 31 4 Modelagem Modelo Modelo Intervenções Modelo Validação
9 4.3.2 Previsão Conclusão 50 Bibliografia 51
10 Lista de Figuras 1 Distribuição dos Segmentos de Seguros no Brasil Série de Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Monthplot da Série de Prêmio Direto de Seguro de Automóveis Função de Autocorrelação dos Dados Função de Autocorrelação dos Dados Após Uma Diferença Histograma dos Dados BoxPlot dos Dados QQPlot dos Dados Análise de Resíduos para o Modelo Análise de Resíduos para o Modelo Análise de Resíduos nas Componentes de Nível e Irregularidade Análise de Resíduos para o Modelo Análise de Resíduos nas Componentes de Tendência e Irregularidade Previsão Dentro da Amostra Previsão Fora da Amostra Crescimento Anual
11 Lista de Tabelas 1 Segmentos e Grupos de Seguros no Brasil Teste de Hipótese de Normalidade dos Dados Estatísticas do Modelo 1 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Estatísticas do Modelo 2 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Teste de Ljung Box para o Modelo Estimativa dos Coeficientes das Intervenções Estatísticas do Modelo 3 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Teste de Ljung Box para o Modelo Análise Sazonal Estimativa dos Coeficientes dos Vetores de Estado Estatísticas de Qualidade do Ajuste Estatísticas U de Theil e Mape Previsões para Validação Dentro da Amostra Previsões para Validação Dentro da Amostra e Erro Previsões para o Ano de
12 11 Introdução A indústria de seguros movimenta bilhões de dólares no mundo inteiro. Em alguns países como França, Japão e o Reino Unido, as operações referentes a seguros representam mais de 10% dos seus respectivos PIB s. No Brasil, este mercado ainda é pouco explorado, representando aproximadamente 3,0% do Produto Interno Bruto em Entretanto, com a recente elevação da renda e estabilização da economia interna, o mercado de seguros brasileiro vive um momento extremamente singular aliado a grandes expectativas de crescimento. O mercado segurador brasileiro é constituído em sua maioria por empresas privadas que são reguladas pela SUSEP (Superintendência de Seguros Privados). A instituição tem o objetivo de garantir transparência e prover segurança ao mercado e aos seus participantes. Para tal, todas as seguradoras privadas devem se reportar ao órgão. Desta maneira, o mercado se mantém supervisionado e situações de insolvência são minimizadas. A distribuição dos seguros no Brasil apresenta-se de maneira bastante concentrada e a maior parte dos prêmios de seguros está principalmente nos ramos de automóvel, saúde e VGBL. Ver tabela 1 e gráfico 1. Figura 1: Distribuição dos Segmentos de Seguros no Brasil 1 Swiss Re, sigma No 3/2008, pg. 41.
13 12 Tabela 1: Segmentos e Grupos de Seguros no Brasil Segmentos / Grupos Arrecadação R$ Milhões Market Share Automóvel ,9% Cascos 503 0,5% Crédito 503 0,5% DPVAT ,0% Habitacional 718 0,7% Patrimonial ,6% Responsabilidades 611 0,6% Riscos Especiais 209 0,2% Riscos Financeiro 658 0,7% Rural 791 0,8% Transporte ,9% Outros 0 0,0% Segmentos de Seguros Gerais ,6% Vida Individual/ Grupo/ APC/ Outros ,2% Acidentes Pessoais ,3% VGBL ,4% PGBL ,2% Planos Tradicionais ,4% Segmento de Pessoas ,5% Saúde ,6% Segmento Saúde ,6% Segmento de Capitalização ,3% Mercado de Seguros, Previdência Privada, Capitalização e Saúde Suplementar ,0%
14 13 É importante ressaltar que fatores macroeconômicos têm grandes impactos no mercado segurador interno. Como exemplo, podemos citar um caso fictício de aumento excessivo na taxa de juros, que poderia hipoteticamente causar uma diminuição na venda de carros novos no país e por consequência um desaquecimento no segmento de seguros de automóveis. O objetivo deste trabalho é fazer previsões doze passos à frente para a série do total de Prêmios diretos de seguros de automóveis no Brasil, utilizando modelos estruturais na visão clássica proposta por Harvey. O estudo poderá fornecer subsídios de maneira antecipada para que a tomada de decisão seja precisa e esteja baseada em um modelo estatístico de série temporal. No capítulo I, faremos uma breve descrição do banco de dados além de dar algumas explicações quanto a utilização da variável a ser modelada além das variáveis que a compõem. No capitulo II, serão explicados todos os testes utilizados, bem como uma descrição sucinta da metodologia de modelos estruturais. O capitulo III, conterá a análise exploratória e a aplicação dos modelos será apresentada no capítulo IV. O capitulo V apresentará a conclusão e as considerações finais do trabalho.
15 14 Capítulo 1 Descrição dos dados A base de dados para o estudo foi obtida através do sistema SES (Sistema Gerador de Estatísticas dos Mercados Supervisionados), desenvolvido pela SUSEP. O sistema é atualizado mensalmente, cabendo a cada seguradora informar a SUSEP o valor de suas diversas operações. Tal sistema é a referência do mercado segurador para o acompanhamento detalhado de seu funcionamento e tem acesso livre, de maneira que qualquer cidadão tenha acesso ao banco de dados. A base de dados do sistema SES reúne diversas variáveis relevantes para o acompanhamento do mercado. Entretanto, para o presente estudo, as únicas variáveis necessárias são Damesano, Prêmio direto e Coramos. Estas foram utilizadas da seguinte forma: Damesano: Informa o ano e o mês da observação com início em março de 2003 e fim em dezembro de 2008 (70 observações). Prêmio direto: Informa o valor em R$ do Prêmio direto em determinada observação. Coramos: Informa o ramo do seguro. Os ramos utilizados obedeceram aos critérios adotados pela SUSEP para grupos de automóveis. A definição de grupo de seguros de automóvel seguirá a definição da SUSEP, padronizando assim o estudo e possibilitando futuras análises comparativas entre os resultados do mercado e o modelo desenvolvido neste trabalho. O período a ser modelado será de janeiro de 2009 até dezembro de 2009, caracterizando um ano completo.
16 15 Capítulo 2 Metodologia A análise de um modelo estrutural de séries temporais é formulada ligada aos termos de suas componentes de interesse. Termos estes que possuem uma intuição lógica e que facilita o entendimento entre o pesquisador e a série temporal. As componentes não-observáveis de interesse podem ser decompostas em quatro partes que serão explicadas mais detalhadamente: Tendência, Sazonalidade, Ciclo e Irregular. A tendência representa o movimento básico da série. A sazonalidade representa uma repetição que pode ocorrer em um ano, semana, mês, trimestre e etc. O ciclo representa períodos de repetições mais longos como décadas, períodos de eleições presidenciais. A componente irregular indica movimentos não sistemáticos na série temporal. O modelo de componentes não-observáveis pode ser escrito na forma aditiva, equação 2.1, e na forma multiplicativa, equação 2.2: y t = µ t + φ t + ϕ t + ɛ t (2.1) y t = µ t φ t ϕ t ɛ t (2.2) Onde: µ t representa o nível da série (componente de tendência) φ t representa a componente cíclica ϕ t representa a componente sazonal ɛ t representa a componente estocástica (irregular)
17 Componentes Não-Observáveis Tendência A componente de tendência assimila o movimento de longo prazo da série temporal. O objetivo na análise da componente não-observável da tendência é interpretar a principal fonte de movimento que a série temporal adquire e que pode ser extrapolada para o futuro. Modelos para previsões de séries temporais mais simples eram feitos usando somente a componente de tendência mais um ruído aleatório. A tendência pode ser dividida em duas partes: nível e declive. Assume-se que a série temporal tenha um nível e que a partir desse nível um declive é traçado. Supondo o modelo mais simples com as componentes de tendência e de irregularidade, temos: y t = µ t + ɛ t (2.3) Onde: t = 1,..., T µ t = tendência ɛ t = irregular ɛ t é não correlacionado com qualquer elemento estocástico de µ t Assumindo que a tendência é linear e determinística, temos: µ t = α + βt, t = 1,..., T (2.4) y t = α + βt + ɛ t, t = 1,..., T (2.5) Tomando que α e β seguem um passeio aleatório, obtemos um modelo satisfatório que é usado em grande parte das séries temporais para produzir um modelo de ajuste que pode ser estimado de forma recursiva. Portanto: µ t = µ t 1 + β t 1 + η t (2.6) β t = β t 1 + ζ t, t =, 1, 0, 1, (2.7) η t e ζ t são mutuamente não correlacionados e seguem um ruído branco com média zero e variância σ 2 η e σ 2 ζ, respectivamente. O efeito de η t afeta o nível da tendência, enquanto que ζ t afeta a mudança de inclinação.
18 Sazonalidade A sazonalidade indica a repetição de um determinado padrão dentro de um mesmo período. Ao retirar o efeito sazonal de uma série temporal, podemos comparar seus valores com valores passados sem nos preocuparmos com sua influência sazonal. Dummy Sazonal A componente não-observável sazonal denotada por ϕ j é definida como a soma de s fatores sazonais ϕ j (j = 1, 2, 3,, s). Uma forma de inserirmos a componente sazonal em um modelo na forma estrutural é através do uso de variáveis dummy. Seja ϕ j,t o fator sazonal correspondente ao fator j no instante t, j = 1, 2, 3,..., s; t = 1, 2, 3, 4,. O modelo estocástico sazonal proposto por Harrison & Stevens é definido por: ϕ j,t = ϕ j,t 1 + ω j,t, j = 1,, s (2.8) O pressuposto para que o componente sazonal na função de previsão tenha soma igual a zero é dada pela restrição: s ϕ j,t = j=1 s ω j,t = 0 (2.9) j=1 De acordo com Harvey (1984), a formulação acima pode ser expressa de forma equivalente: s 1 ϕ t j = 0 (2.10) j=0 Onde: ϕ t j o fator sazonal correspondente ao tempo t j, j = 0, 1, 2,, s 1 ω t o ruído branco associado a sazonalidade no instante t, supostamente com as seguintes propriedades: Tendo i j e i, j = 1, 2, E(ω i, ω j ) = 0, ω i N(0, V ω ) Sazonalidade Trigonométrica Uma outra forma de modelar uma sazonalidade é a trigonométrica. ( ϕj,t ϕ j,t ) ( cos λj sin λ = j sin λ j cos λ j ) ( ϕj,t 1 ϕ j,t 1 ) + ( ωj,t ω j,t ) j = 1,, [s/2] (2.11)
19 18 Onde: ϕ j,t é a componente associada a ϕ j,t correspondente a harmônica λ j. A harmônica λ j é igual a uma dada frequência sazonal, definida por: λ j = 2πj s (2.12) Com isso, o efeito sazonal é obtido pela contribuição individual de cada uma das j harmônicas na frequência j correspondente: s/2 ϕ j = ϕ j,t (2.13) j=1 A formulação para a sazonalidade, proposta acima é bastante útil devido a possibilitar a variação lenta dos coeficientes no tempo. 2.2 Representação na forma de Espaço de Estados O modelo geral para espaço de estados pode ser aplicado a séries temporais multivariadas. Sua versão clássica pode ser escrita da seguinte forma: y t = Z t α t + d t + ɛ t, ɛ t N(0, H t ) (2.14) Equação de observação α t = T t α t 1 + c t + R t η t, η t N(0, Q t ) (2.15) Equação de Transição onde y t é um vetor N x 1 de variáveis observadas no tempo t d t é um vetor N x 1 Z t é um vetor N x m, conhecido para todo o t = 1, 2, 3, T t é uma matriz m x m, conhecida para todo o t = 1, 2, 3, R t é um vetor m x g c t é um vetor m x 1 Em geral, os elementos de t são não-observáveis. É conhecido que estes elementos são gerados por um processo de Markov de primeira ordem. Harvey (1984), também considera a possibilidade de inclusão de variáveis causais que façam parte do vetor de variáveis independentes, assim como intervenções nas componentes do modelo. Para o uso do modelo, alguns pressupostos devem ser atendidos para que as predições e o ajuste do modelo sejam significativos, como:
20 19 Na equação de observação, os distúrbios de ɛ t deve ser um vetor com distúrbios não correlacionados com média zero e matriz de variância e covariância H t. E(ɛ t ) = 0, V ar(ɛ t ) = H t Na equação de transição, os distúrbios de t deve ser um vetor com distúrbios não correlacionados com média zero e matriz de variância e covariância Q t. E(η t ) = 0, V ar(η t ) = Q t O vetor de estado inicial, α 0, tem média a 0 e matriz de variância e covariância P 0. E(α t ) = 0, V ar(α t ) = P 0 O termos de erro ɛ t e η t são não correlacionados um com o outro em todos os períodos do tempo, e não correlacionados com o estado inicial. E(ɛ t, η t) = 0, t t = 1,, T. E(ɛ t, α 0) = 0, V ar(η t, α 0) = 0, t = 1,, T. As matrizes Z t, d t e H t na equação de observação e as matrizes T t, c t, R t e Q t na equação de transição serão referenciadas como um sistema matricial. Como resultado o sistema é linear para qualquer valor de t, y t pode ser expressado como combinação linear do presente e passado ɛ t s e t s e do vetor de estado inicial α 0. Se o sistema de matrizes Z t, H t, T t, R t, c t e Q t não mudam no tempo, então o modelo é dito de tempo invariante ou tempo homogêneo. Modelos estacionários são casos especiais. A equação de transição em um modelo de tempo invariante é um processo de vetor autoregressivo de primeira ordem. 2.3 Filtro de Kalman Posto o modelo na forma de espaço de estado, é aberta uma aplicação de muitos algoritmos e o principal é o filtro de Kalman. Este é um procedimento recursivo de computação para escolher o estimador ótimo de um vetor de estado em um tempo t. A metodologia de modelos estruturais (Harvey, 1989) foi, a princípio, menosprezada devido à dificuldade computacional envolvida na implementação do filtro de Kalman. Para o ajuste do modelo estrutural à série, devemos estimar os hiperparâmetros, que são as variâncias das componentes não-observáveis presentes no modelo.
21 20 Com o avanço da informática, o filtro de Kalman se tornou uma ferramenta poderosa que abrange vários modelos de séries temporais, uma vez que o modelo está escrito na forma de espaço de estados e pode ser usado para suavizações e predições. O filtro de Kalman é um algoritmo recursivo que otimiza o estimador do vetor de estados no tempo t, baseado na informação disponível até o tempo t. Portanto, assim que uma nova informação é disponibilizada, ele recalcula todos os hiperparâmetros necessários para a estimação do modelo. Uma importante característica deste filtro é que quando os distúrbios e o vetor de estados inicial são normalmente distribuídos, possibilita que a função de máxima verossimilhança seja calculada. Isto permite a estimação de qualquer parâmetro desconhecido no modelo, além de fornecer as bases estatísticas para os testes de especificação e construção de intervalos de confiança. É um estimador ótimo que minimiza o erro médio quadrático dentre a classe de todos os estimadores lineares. Quando é assumido que seus distúrbios e seu vetor inicial de estados são normalmente distribuídos, o filtro possibilita o cálculo da função de máxima verossimilhança. Com isso, temos as bases para os testes estatísticos e especificação do modelo Atualização Suponhamos que a t 1 seja o estimador ótimo de α t 1 baseado nas informações disponíveis e incluindo y t 1. Denotemos P t 1 uma matriz de variância e covariância mxm do estimador dos erros, então: P t 1 = E[(α t 1 a t 1 )(α t 1 a t 1 ) ] (2.16) Dado a t 1 e P t 1, o estimador ótimo de α t é dado por: a t t 1 = T t a t 1 + c t (2.17) Isso nos leva a matriz de variância e covariância dos erros: P t t 1 = T t P t 1 T t + R t Q t R t (2.18) Uma vez que novas observações são acrescentadas no modelo, o estimador α t e a t t 1 são atualizados. As equações de atualização são: e a t = a t t 1 + P t t 1 Z tf 1 t (y t Z t a t t 1 d t ) (2.19) P t = P t t 1 P t t 1 Z tf 1 t Z t P t t 1 (2.20) Onde:
22 21 F t = Z t P t t 1 Z t + H t t = 1,, T (2.21) Quando novas informações são acrescidas, o filtro de Kalman automaticamente calcula o novo estimador ótimo. Isto é muito útil dada a necessidade de atualizações cada vez mais frequentes no mundo econômico globalizado. Os valores de H t e Q t são estimados via máxima verossimilhança (no nosso caso, pois abordamos a metodologia clássica proposta por Harvey) ou por métodos bayesianos através da distribuição a posteriori e não são atualizados automaticamente Derivação do Filtro de Kalman Supondo a existência da normalidade, o vetor de estados inicial possui distribuição normal multivariada com média a 0 e matriz de variância e covariância dado por P 0. O vetor de estado no tempo t = 1 é dado por: α 1 = T 1 α 0 + c 1 + R 1 η 1 (2.22) Desta maneira, como α 1 é uma combinação linear de dois vetores de variáveis aleatórias com distribuição normal multivariada e um vetor de constantes, logo também é normal multivariado, com média e matriz de variância e covariância a 1 0 = T 1 a 0 + c 1 (2.23) P 1 0 = T 1 P 0 T 1 + R 1 Q 1 R 1 (2.24) A notação a 1 0 indica a média da distribuição α 1 condicionada a informação no tempo t = 0. Podemos então reescrever y 1 da seguinte forma: α 1 = a (α 1 a 1 0 ) (2.25) y t = Z t a d 1 + Z 1 (α 1 a 1 0 ) + ɛ t (2.26) A segunda equação é uma simples rearrumação da equação de medida. Como pode ser visto, o vetor (α 1, y 1) segue distribuição normal multivariada com média e matriz de covariância dadas, respectivamente, por: ( ) ( ) a 1 0 P1 0 P e 1 0 Z 1 (2.27) Z 1 a d 1 Z 1 P 1 0 Z 1 P 1 0 Z 1 + H 1 A distribuição de α 1, condicionada a y 1, é normal multivariada com média a 1 = a P 1 0 Z 1F 1 1 (y 1 Z 1 a 1 0 d 1 ) (2.28)
23 22 e P 1 = P 1 0 P 1 0 Z 1F 1 1 Z 1 P 1 0 (2.29) onde F 1 = Z 1 P 1 0 Z 1 + H 1 (2.30) Repetindo os passos acima de t = 2,, T temos o filtro de Kalman. Esta derivação nos permite interpretar a t e P t como média e matriz de variância e covariância de α t. O estimador a t é não viciado, além disso, ele é o estimador de mínimo erro médio quadrático de α t Predição Para a predição do modelo um passo a frente baseado em todas as informações disponíveis, temos: a T +1 T = T T +1 a T + c T +1 (2.31) ỹ T +1 T = Z T +1 a T +1 T + d T +1 (2.32) Assumindo que estamos utilizando um modelo Gaussiano, podem ser feitos intervalos de confiança para as predições. Consideremos agora que queremos predizer muitos passos a frente, de ordem T + 2, T + 3, T + 4 e assim por diante. Então, fazendo repetidamente na equação de transição no tempo T + k, temos: [ k ] [ k 1 k ] α T +k = T T +j α T + T T +i [R T +j η T +j + c T +j ] + R T +k η T +k + c T +k (2.33) j=1 j=1 i=j+1 k = 2, 3, O erro médio quadrático de y T +k pode ser obtido através da equação da esperança condicional da equação de observação T + k passos a frente, dado por: MSE(ỹ T +k T ) = Z T +k P T +k T Z T +k + H T +k (2.34)
24 Suavização O objetivo da atualização é estimar o vetor de estado α t condicionado a informação disponível até o tempo t. O objetivo da suavização é estimar o vetor de estados para o período amostrado com a finalidade de se obter as melhores estimativas para as componentes do modelo e para isto o filtro de Kalman é aplicado no sentido inverso. O estimador de suavização, conhecido simplesmente por smoother e denotado por a t T, é baseado em mais infomação que o estimador de atualização, e ainda terá uma matriz MSE, P t/t, que, em geral, é menor que a do estimador de atualização. Existem basicamente três algoritmos de suavização em um modelo linear. A suavização de ponto fixo (fixed-point) está focada em computar estimadores suavizados do vetor de estado em um ponto fixo do tempo. A suavização de lag fixo (fixed-lag) computa estimadores para um atraso fixo, a t j t, para j = 1, 2, 3,, M, onde M é um dado lag máximo. Ambos algoritmos, ponto fixo e lag fixo, podem ser usados em uma situação on-line. A suavização de intervalo fixo, por outro lado, está destinada a computar um conjunto cheio de estimadores suavizados para um período curto de tempo fixo. O algoritmo de suavização de intervalo fixo consiste em um conjunto de recursões que começam com as quantidades finais, a t e P t, dadas pelo filtro de Kalman e trabalha de trás para frente. As equações são as seguintes: e a t T = a t + P t (a t+1 T T t+1 a t c t+1 ) (2.35) P t T = P t + Pt (P t+1 T P t+1 t )Pt (2.36) onde Pt = P T T t+1p 1 t+1 t, t = T 1,, 1 (2.37) Variáveis de Intervenção As intervenções podem ser feitas com base em inferências sobre eventos conhecidos. Essas intervenções são realizadas ao incluir uma variável dummy no modelo. O modelo aditivo com todas as componentes não-observáveis e mais as variáveis de intervenção podem ser feitas da seguinte forma: y t = z t α t + d t + λw t + ɛ t (2.38) Onde: w t é uma variável dummy que representa o tipo de intervenção (transiente, mudança de nível, mudança de inclinação, mudança na sazonalidade). A intervenção transiente representa a intervenção feita em um período de tempo t = τ, então w t é dita uma variável de pulso da forma:
25 24 w t = { 0, t τ 1, t = τ (2.39) Quando há mudança no nível da série, ela será capturada, na equação 2.38, por uma variável do tipo: { 0, t < τ w t = (2.40) 1, t τ Esse tipo de efeito pode aparecer como uma variável de pulso, equação 2.39, na equação de nível da componente não-observável da tendência: µ t = µ t 1 + β t 1 + λw t + η t (2.41) Uma mudança na inclinação é um choque transiente da inclinação na equação de tendência. β t = β t 1 + λw t + η t (2.42) Esse tipo de efeito também pode ser capturado, na equação 2.38, definindo uma variável da forma, na equação: { 0, t < τ w t = (2.43) t τ, t τ Máxima Verossimilhança Suponha-se que tenhamos T observações de uma série temporal y 1,, y t e que elas sejam independentes e identicamente distribuídas. Então, a função de máxima verossimilhança baseada nesta situação é dada por: L(y; ψ) = T p(y t ) (2.44) p(y t ) é a função de densidade de probabilidade da t-ésima observação. Feito isso, a função de máxima verossimilhança é feita e o estimador é encontrado maximizando-se esta função. Porém, vale lembrar que a principal característica de uma série temporal é que suas observações presentes dependem de informações passadas. Com isso, a função de máxima verossimilhança na equação 2.44 não é aplicada. Definindo então uma função de probabilidade condicional, pode-se resolver esse problema. t=1 L(y; ψ) = T p(y t Y t 1 ) (2.45) t=1
26 25 Se os distúrbios do modelo e seu vetor de estado inicial seguem uma distribuição normal multivariada, então a distribuição de y t condicional a Y t 1 também o é. Reescrevendo a equação de observação, equação 2.14, obtemos: Calculando sua média: y t = Z t a t t 1 + Z t (α t a t t 1 ) + d t + ɛ t (2.46) E(y t t 1 ) = ỹ t t 1 = Z t a t t 1 + d t (2.47) Supondo um modelo Gaussiano, a função de máxima verossimilhança 2.45, pode ser escrita como: onde log L = NT 2 log 2π 1 2 T log F t 1 2 t=1 T t=1 v tf 1 t v t (2.48) v t = y t ỹ t t 1, t = 1,, T Goodness of Fit Em um modelo de regressão linear, definimos como coeficiente de determinação ajustado R 2 o quanto o modelo explica dos dados analisados. Um R 2 alto sugere a boa aderência do modelo em relação aos dados reais. Em uma série temporal univariada (não sazonal), o coeficiente de determinação compara os resíduos estimados pelo modelo contemplado com aqueles obtidos pelo modelo univariado mais simples, ou seja, passeio aleatório com taxa de crescimento constante β, dado por: Z t = Z t 1 + β + ɛ t (2.49) O coeficiente de determinação R 2 D é dado por: R 2 D = 1 SQE (2.50) T ( Z t Z t ) 2 T =2 Onde: Z t é a média da série da primeira diferença simples. Em uma série univariada sazonal, consideramos o período sazonal S, a versão sazonal do modelo comparativo simples ( passeio aleatório ):
27 26 Z t = S γ t V tj (2.51) j=1 Onde: γ t são os fatores sazonais correspondentes; V tj = 0 t 0 Podemos aplicar MQO à equação acima e seja SQE 0 a soma do quadrado dos resíduos correspondentes e SQE a soma dos quadrados dos resíduos do modelo, o coeficiente de determinação pode ser expresso por: R 2 S = 1 SQE SQE 0 (2.52) 2.4 Testes de Diagnóstico Teste de Heterocedasticidade Os resíduos de um modelo são denominados heterocedásticos quando é constatada a presença de mudança na variância dos dados ao longo da série. A estatística utilizada para testar a presença de heterocedásticidade é a seguinte: Onde: e t = v t ft H(h) = T e 2 t t=t h+1 h e 2 t t=1 são os resíduos estimados normalizados (2.53) h( T/3) é o tamanho do grupo T é o tamanho da série utilizada Valores elevados de H indicam a presença de heterocedasticidade nos resíduos. É mostrado em Harvey (1981) que, se H 0 corresponde a hipótese nula do modelo (resíduos homocedásticos), então a distribuição assintótica da estatística h x H condicional a H 0, será: (H H 0 verdade) F (h, h)
28 Teste de Normalidade de Bowman Shenton O teste de Bowman Shenton é baseado na curtose e assimetria dos dados. Ele parte do pressuposto que uma distribuição normal possui curtose 3 e assimetria 0. Através do seu excesso de curtose e assimetria que o teste elabora seu resultado. Em uma distribuição assintoticamente normal, teremos: b1 N(0, 6 T ) (2.54) b 2 N(3, 24 T ) (2.55) As hipóteses testadas são: { H 0 : Os dados seguem uma distribuição normal H 1 : Os dados não seguem uma distribuição normal (2.56) Quando o modelo é corretamente especificado, o teste utilizado para verificação da normalidade é dado pela seguinte estatística: ( ) ( ) T T N = b 1 + (b 2 3) 2 (2.57) 6 24 Sob a hipótese nula, esta estatística tem distribuição Qui-quadrado com dois graus de liberdade Teste de Ljung-Box & Box-Pierce O teste sugerido por Ljung & Box advém de uma modificação do teste proposto por Box e Pierce em Este sugeria testar as autocorrelações dos resíduos estimados. O teste é capaz de detectar grandes violações no comportamento de um ruído branco, entretanto não detecta quebras especificas no comportamento de ruído branco. As hipóteses testadas são: { H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ k = 0 H 1 : Pelo menos um ρ k 0 (2.58) A estatística de teste: Q(K) = n(n + 2) K j=1 r 2 j (n j) (2.59) Tem distribuição χ 2 m. A distribuição assintótica é obtida sob a hipótese K = K(n), quando n, além das condições definidas por Box e Pierce (1970):
29 28 ψ j = (n 1 2 ), j K(n), onde os ψ j são coeficientes na expansão em médias móveis de W t. K(n) = O(n 1 2 ), n. A hipótese de ruído branco é rejeitada para valores altos de Q(K) Mean Absolute Percentage Error Também conhecido como MAPE, é uma medida de ajuste de um modelo em séries temporais. É expresso na forma de porcentagem da seguinte forma: Onde: A t é o valor atual F t é o valor predito MAP E = 1 n n A t F t A t (2.60) t= U de Theil O coeficiente de U de Theil avalia o desempenho das previsões contra os valores da previsão ingênua. Previsão ingênua é a estimativa futuro é igual a estimativa do valor atual. U > 1, significa que o erro do modelo é maior do que da previsão ingênua U < 1, significa que o erro do modelo é menor que da previsão ingênua Quanto mais próximo de zero for a estatística de U de Theil, melhor será o resultado da previsão do modelo. N (A t F t ) 2 Onde: A t é o valor atual F t é o valor predito UT heil = j=1 (2.61) N (A t A t 1 ) 2 j=1
30 Teste de Durbin-Watson A estatística de Durbin-Watson é usada para detectar a presença de autocorrelação serial dos resíduos de um modelo. Hipóteses { H 0 : ɛ t iid RB(0, σ 2 ) H 1 : ɛ t = ρɛ t 1 + µ t, onde µ t RB(0, σ 2 ) (2.62) Estatística de teste DW = n (e t e t 1 ) 2 t=2 n e 2 t t=1 (2.63) A estatística de Durbin-Watson segue uma distribuição aproximadamente N(2, 4/T ), onde T é o número de observações da série temporal Teste de Jarque-Bera Jarque-Bera é um teste estatístico utilizado para testar se os dados são normalmente distribuídos. A estatística mede a diferença da assimetria e curtose das séries com os valores de uma distribuição normal. Hipótese: { H 0 : A série é normalmente distribuída H 1 : A série não é normalmente distribuída (2.64) Estatística de teste JB = N k 6 (S (K 3)2 ) (2.65) Onde JB χ 2 2, S é a assimetria, K é a curtose e k representa o número de coeficientes estimados na modelagem da série. Rejeita-se H 0, ao nível de significância α = 5%, se JB > χ 2 tab
31 Teste de Shapiro-Wilk O teste elaborado por Samuel Shapiro e Martin Wilk em 1965, testa a hipótese de que um conjunto de dados segue uma distribuição normal. Hipóteses { H 0 : A série é normalmente distribuída (2.66) H 1 : A série não é normalmente distribuída Estatística de teste W = ( n ) 2 a i x i i=1 n (2.67) (x i x) 2 i=1 Onde: x (i) é o i ésimo menor número na amostra x é a média amostral A constante a i é dado por (a 1,, a n ) = m V 1 (m V 1 V 1 m) 1 2 (m 1,, m n ) correspondem aos valores esperados de uma amostra normal independente e identicamente distribuída. V é a matriz de variância e covariância desta estatística de ordem. Rejeita-se H 0 a um nível de significância α, se W calc < W α.
32 31 Capítulo 3 Análise Exploratória dos Dados Ao modelar uma série temporal, o primeiro passo é a análise descritiva dos dados. Essa análise é importante, pois nos dá inúmeras informações essenciais ao entendimento do fenômeno. A construção do gráfico da série de dados nos fornece informações sobre as componentes não observáveis de uma série como: tendência, sazonalidade e o componente cíclico da série. Contudo, existem testes estatísticos para a comprovação da existência dessas componentes. A série em estudo apresenta tendência crescente, e indícios da presença da componente sazonal. Figura 3.1: Série de Prêmio Direto de Seguros de Automóveis
33 32 Podemos verificar a presença de sazonalidade analisando o gráfico da série além do monthplot e da análise da função de autocorrelação.é possível verificar que o mês de fevereiro apresenta uma média menor em relação à média dos outros meses, bem como o mês de dezembro apresenta média maior que os outros meses do ano. Além disso, a série apresenta um padrão estranho durante 2008, principalmente no fim do ano, decorrente das incertezas do mercado motivadas pela crise internacional. Figura 3.2: Monthplot da Série de Prêmio Direto de Seguro de Automóveis Analisando a função de autocorrelação da série, Figura 3.3, observamos a presença da componente sazonal. É possível notar que nos lags múltiplos de 12, a função de autocorrelação (FAC) apresenta picos, evidenciando a presença de sazonalidade anual na série. Figura 3.3: Gráfico da Função de Autocorrelação dos Dados
34 33 Foi feita uma diferença na série de dados para retirar o efeito da tendência. Assim, as autocorrelações observadas, Figura 3.4, não teriam o efeito da tendência em sua interpretação. Podemos perceber que o decaimento suave entre os lags da série desaparece após a aplicação da primeira diferença, e fica mais evidente os picos nos lags múltiplos de 12, o que confirma a presença da componente sazonal. Figura 3.4: Gráfico da Função de Autocorrelação dos Dados Após Uma Diferença Conhecido o padrão da série, outra análise descritiva muito útil é verificar se a série segue uma distribuição conhecida. Através da análise do histograma, Figura 3.5, vemos que a série apresenta uma distribuição aparentemente simétrica e se aproxima da distribuição gaussiana sem grandes desvios. O gráfico boxplot, Figura 3.6, também não indica nenhuma presença marcante de outliers além de evidenciar que a média dos dados se encontra próximo da sua mediana. Analisando também o QQ-Plot, Figura 3.7, verificase a suposição de que os dados seguem a distribuição normal já que os mesmos se mantêm ao longo da reta da distribuição normal.
35 34 Figura 3.5: Histograma dos Dados Figura 3.6: BoxPlot dos Dados
36 35 Figura 3.7: QQPlot dos Dados A suposição da hipótese de normalidade dos dados verificada através de gráficos é também confirmada através dos testes paramétricos de Shapiro-Wilk e Jarque-Bera, além do não paramétrico Kolmogorov-Smirnov, Tabela 3.1, que apresentam p-valor maior que 5%, indicando a não rejeição da hipótese de normalidade considerando este nível de significância. Portanto, não houve necessidade de transformação da série em estudo para que a hipótese de normalidade fosse atendida. Tabela 3.1: Teste de Hipótese de Normalidade dos Dados Teste de Hipótese Valor da Estatística de Teste P-valor Kolmogorov-Smirnov 0,0762 0,8697 Shapiro-Wilk 0,9884 0,8580 Jarque-Bera 0,6919 0,7076
37 36 Capítulo 4 Modelagem A série em estudo apresenta nível não estacionário conforme verificado, ou seja, a série dos dados é crescente ao longo do tempo e isso se deve tanto a componente de nível quanto a componente de inclinação. Existe também a forte presença da componente sazonal na série, visto que picos com intervalos anuais regulares são registrados ao longo do fenômeno, como foi observado através dos gráficos da função de autocorrelação e monthplot. A modelagem será feita partindo de um modelo mais simples até um modelo mais complexo, à medida que a modelagem exija, considerando as duas componentes não observáveis inicialmente. O programa utilizado para a modelagem será o STAMP (Structural Time Series Modeller and Predictor). 4.1 Modelo 1 O primeiro modelo proposto será feito utilizando as componentes não observáveis: Tendência, Sazonalidade e Irregularidade. Para tal modelo, consideraremos a componente tendência como estocástica, sendo composta por um nível estocástico e uma inclinação estocástica. Além disso, a componente sazonal será especificada como tendo efeito trigonométrico, conforme 4.1. y t = µ t + ϕ t + ɛ t, ɛ t N(0, σ 2 ɛ ) (4.1) µ t = µ t 1 + β t 1 + η t, η t N(0, σ 2 η) ( ϕt ϕ t β t = β t 1 + ζ t, ζ t N(0, σζ) 2 ) ( ) ( ) ( cos λj sin λ = j ϕt 1 ωt + sin λ j cos λ j ϕ t 1 ω t ), ω t N(0, σ 2 ω)
38 37 O modelo proposto apresentou bom desempenho quanto a normalidade dos resíduos e o teste de Bowman-Shenton para a normalidade residual não rejeitou, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula. O teste de heterocedasticidade não rejeitou, ao nível de 5%, a hipótese nula de que os resíduos são homocedásticos e, portanto o modelo não apresenta nenhum problema de variância residual não constante. Porém, os resíduos possuem autocorrelação serial de acordo com os testes de Durbin-Watson e Ljung-Box. Logo, representam problemas na modelagem, Tabela 4.1. Tabela 4.1: Estatísticas do Modelo 1 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Estatísticas do Modelo Estimativas P-Valor Decisão Erro Padrão Normalidade 2,3135 0,3145 Não rejeito Ho H(19) 1,7512 0,1155 Não rejeito Ho Durbin-Watson 2,5329 0,0258 Rejeito Ho Q(9,6) 26,233 0,0002 Rejeito Ho R 2 s 0, A análise dos gráficos dos resíduos comprovam que realmente não temos uma violação da hipótese de normalidade e que, aparentemente, a variância se mantém constante. Entretanto, os resíduos não seguem um ruído branco, ou seja, apresentam problema de autocorrelação atestando que o presente modelo não está bom. Ver figura 4.1. Figura 4.1: Gráficos de Análise de Resíduos para o Modelo 1
39 Modelo 2 O modelo a ser testado agora considera as mesmas componentes não observáveis do modelo 1. Porém, considera-se neste caso uma variável dummy sazonal ao invés da sazonalidade trigonométrica, já que a primeira em geral consegue captar mudanças bruscas nos fatores sazonais. Portanto, o modelo pode ser escrito como: y t = µ t + ϕ t + ɛ t, ɛ t N(0, σ 2 ɛ ) (4.2) µ t = µ t 1 + β t 1 + η t, η t N(0, σ 2 η) β t = β t 1 + ζ t, ζ t N(0, σ 2 ζ) ϕ t = ϕ t 1 + ω t, ω t N(0, σ 2 ω) O modelo apresentou desempenho superior ao primeiro modelo. Ao nível de significância de 5%, a hipótese de normalidade não foi violada e os resíduos são não heterocedasticos. O problema de autocorrelação serial apresentado no primeiro modelo e evidenciado pelo teste de Ljung-box foi resolvido e portanto, nenhum teste de diagnóstico do modelo foi rejeitado. É importante notar também que o modelo 2 apresentou uma diminuição do erro padrão e aumento do coeficiente de correlação, de acordo com a Tabela 4.1 e a Tabela 4.2. Tabela 4.2: Estatísticas do Modelo 2 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Estatisticas do Modelo Estimativas P-Valor Decisão Erro Padrão 4, Normalidade 0, ,6763 Não rejeito Ho H(19) 1,4568 0,2098 Não rejeito Ho Durbin-Watson 2,0626 0,7934 Não rejeito Ho Q(9,6) 10,295 0,1128 Não rejeito Ho R 2 s 0, A análise gráfica dos resíduos do modelo 2, mostra que mesmo com a nenhuma violação de hipótese nos testes de diagnóstico, ainda temos um problema de autocorrelação residual. Podemos ver que o lag 3 apresenta ainda um alto valor de correlação, Figura 4.2. Podemos verificar também que o teste de Ljung-Box só começa a aceitar a hipótese de que os resíduos são ruído branco a partir do 9 o lag, possivelmente motivado pelo alto valor de correlação nos lags inferiores, Tabela 4.3. Os gráficos dos resíduos nas componentes irregular, Figura 4.3, apontam que o modelo tem valores que ainda não estão bem captados. Portanto, agora tentaremos melhorá-lo incluindo variáveis de intervenção na componente irregular com o intuito de explicar melhor o fenômeno.
40 39 Tabela 4.3: Teste de Ljung Box para o Modelo 2 Lag G. L. Corelação Serial BoxLjung P-valor 1 0-0, , , , ,0210 5,5227 0, ,0996 6,1763 0, ,2103 9,1513 0, ,0718 9,5051 0, , ,2951 0, , ,1024 0, , ,4046 0, , ,4628 0, , ,4892 0, , ,9450 0,2268 Figura 4.2: Gráficos de Análise de Resíduos para o Modelo 2
41 40 Figura 4.3: Gráficos Auxiliares de Análise de Resíduos nas Componentes de Nível e Irregularidade Intervenções Primeiro ano do governo Lula O ano de 2003 foi marcado como o primeiro ano do governo Lula. Os primeiros 12 meses de seu governo foram recebidos com surpresa já que para muitos, grandes mudanças e oscilações eram esperadas. O período foi considerado por críticos como muito conservador e cauteloso, o que por um lado era bom já que no final do ano de 2002, o risco país alcançava valores bastante altos em meio às incertezas sobre um novo governo declaradamente de esquerda. Alguns economistas e revistas especializadas citam como pontos positivos, embora não seja consenso, o início da discussão da reforma tributária e da previdência, os programas sociais, além do acordo com o FMI e da aprovação para colheita de soja transgênica. Talvez o principal trunfo do primeiro ano de governo tenha também sido um dos principais problemas já que o excesso (para alguns necessário) de conservadorismo visando conter a inflação elevou a taxa de juros e amarrou a economia. Além disso, mais de um milhão de vagas de trabalho foram fechadas. O mercado de seguros é extremamente sensível aos resultados da economia, portanto a elevação do desemprego e o aumento da taxa de juros em 2003 impactaram os mercados, em especial o de automóveis nos últimos meses do ano e portanto faremos uma intervenção no mês de novembro.
42 41 Crise Econômica Mundial A crise econômica, iniciada em março de 2007 com os primeiros problemas gerados pelos empréstimos no setor imobiliário norte americano, teve seu pico no ano de 2008 com diversas empresas decretando falência e a crise instalada no mundo inteiro. O bom desempenho do mercado imobiliário americano, antes da crise, proporcionou a falsa confiança por parte de financeiras em pessoas que não possuíam bom histórico no pagamento de dívidas. Somado a isso, boas condições de pagamento e juros baixos impulsionaram o endividamento relacionado à compra de imóveis tendo o próprio imóvel como garantia. Além do grande risco dos empréstimos, um fator agravante e decisivo para que a crise tivesse dimensões mundiais foi o fato dos bancos transformarem os empréstimos hipotecários em papéis e repassarem os mesmos a outras instituições, espalhando assim o risco pelo mercado. Quando os primeiros sinais de que os empréstimos não estavam sendo pagos apareceram, o caos já tinha se espalhado e diversos bancos norte-americanos anunciaram prejuízos na ordem dos bilhões. Conseqüentemente no mundo globalizado em que vivemos, esses prejuízos causaram um efeito dominó afetando as principais economias mundiais. Podemos citar como grandes fatos na cronologia da crise: Junho/2007: Créditos imobiliários fazem o banco Bearn-Stearns ter redução de 30% nos lucros do 2 o trimestre. Julho/2007: A Countrywide Financial, maior empresa americana de crédito hipotecário anuncia queda nos lucros. Setembro/2007: Ações do Northern Rock, provedor de hipotecas do Reino Unido, despencam na Bolsa e clientes sacam US$ 4 bilhões. Outubro/2007: O Citigroup anuncia queda de 57% no terceiro trimestre de 2007 em relação a 2006, tendo como principal causa os ativos lastreados em hipotecas. Fevereiro/2008: O Credit Suisse apresenta queda de 72% em seu lucro líquido no quarto trimestre de Março/2008: A maior seguradora do mundo, a AIG, anuncia perdas bilionárias no quarto trimestre de O JP Morgan compra o Bear Stearns por US$ 236,2 milhões, ou US$ 2 por ação. Valor quase simbólico considerando o valor há um ano atrás, US$ 70 por ação. Julho/2008: O banco norte-americano IndyMac anuncia a quebra. Setembro/2008: As bolsas dos Estados Unidos registram a maior queda desde os atentados de 11 de setembro de 2001 devido ao pedido de proteção a lei de falências pelo banco Lehman Brothers. Setembro/2008: O FED nacionaliza a seguradora AIG. Os seis principais bancos centrais do mundo anunciam uma medida coordenada injetando bilhões de dólares no mercado financeiro.
43 42 Outubro/2008: O Senado dos EUA aprovou pacote de resgate financeiro, que mantém os gastos de até US$ 700 bilhões. Junho/2009: General Motors recorre à lei de falências e anuncia um radical plano de reestruturação com ajuda do governo norte americano. No Brasil, todas as expectativas de crescimento foram reduzidas. O Banco Central atuou vendendo dólares no mercado à vista tentando reduzir a cotação da moeda. É importante ressaltar que tal medida não era utilizada desde Com as notícias pessimistas e a falta de confiança do consumidor na economia, a venda de automóveis foi seriamente afetado e consequentemente o mercado de seguros de automóveis também. Entretanto, o governo anunciou medidas como a redução do IPI em dezembro de 2008 que conseguiram restabelecer o nível de vendas. Faremos intervenções para os meses de setembro e novembro de A análise econômica feita anteriormente é importante para justificar as intervenções que serão feitas no modelo seguinte. 4.3 Modelo 3 O modelo 3 contará com a presença de três intervenções, na componente irregular. Logo, o novo modelo considera uma tendência estocástica, a sazonalidade expressa por variável dummy, três intervenções e a componente de irregularidade. y t = µ t + ϕ t + W t + ɛ t, ɛ t N(0, σ 2 ɛ ) (4.3) µ t = µ t 1 + β t 1 + η t, η t N(0, σ 2 η) β t = β t 1 + ζ t, ζ t N(0, σ 2 ζ) ϕ t = ϕ t 1 + ω t, ω t N(0, σ 2 ω) As intervenções foram feitas no mês de novembro de 2003 e nos meses de setembro e novembro do ano de O modelo anterior sugeria essas intervenções e as mesmas possuem embasamentos econômicos para que sejam aplicadas conforme mostrado anteriormente. Todas as intervenções se mostraram significativas no modelo, conforme a tabela 4.4. Tabela 4.4: Estimativa dos Coeficientes das Intervenções Intervenção Componente Coeficiente R.m.s.e. Valor T P-valor Irregular ,21 0, Irregular ,07 0, Irregular ,46 0,0169
44 43 Os resultados para o modelo foram bastante satisfatórios e se mostraram superiores ao modelo 2 no que se refere ao problemático efeito de autocorrelação nos resíduos. O modelo apesar de apresentar uma diminuição no p-valor para o teste de normalidade de Bowman-Shenton, ainda aceitamos a hipótese nula dado um nível de significância de 5%. O teste de heterocedasticidade também não apresenta problemas. Podemos perceber através do teste de Ljung-Box que tivemos uma pequena melhora no p-valor do teste, Tabela 4.5. Tabela 4.5: Estatísticas do Modelo 3 para Prêmio Direto de Seguros de Automóveis Estatisticas do Modelo Estimativas P-Valor Decisão Erro Padrão Normalidade 5,0573 0,0798 Não rejeito Ho H(19) 1,0813 0,4332 Não rejeito Ho Durbin - Watson 2,1473 0,5378 Não rejeito Ho Q(9,6) 11,16 0,0836 Não rejeito Ho R 2 s 0, Através da análise gráfica, podemos perceber que houve uma diminuição no lag 3 que apresentava elevado valor no modelo 2, Figura 4.4. Podemos confirmar essa percepção analisando o teste de Ljung-Box, onde além de observar que há diminuição da autocorrelação no lag 3, podemos perceber que a partir do quinto lag já é possível aceitar a hipótese de ruído branco nos resíduos, Tabela 4.6. A análise do gráfico das componentes indica também que conseguimos resolver o problema na componente irregular ao introduzirmos as variáveis de intervenção, Figura 4.5. Figura 4.4: Gráficos de Análise de Resíduos para o Modelo 3
45 44 Tabela 4.6: Teste de Ljung Box para o Modelo 3 Lag G. L. Correlação Serial Ljung Box P-valor 1 0-0, , , , ,0291 3,5510 0, ,197 6,1101 0, ,1868 8,4566 0, ,1081 9,2587 0, , ,1599 0, , ,3966 0, , ,3974 0, ,074 13,8069 0, , ,2273 0, , ,1208 0,1277 Figura 4.5: Gráficos Auxiliares de Análise de Resíduos nas Componentes de Tendência e Irregularidade Embora algumas estimativas para as contribuições sazonais se mostrem não significantes, Tabela 4.8, podemos perceber que a componente sazonal é extremamente significativa, Tabela 4.7. Podemos perceber também que ao nível de 5% rejeitamos a hipótese nula de que os coeficientes das intervenções são iguais a zero, Tabela 4.4. Os resultados sobre qualidade do ajuste também atestam que o modelo está bom, Tabela 4.9 e portanto as previsões serão feitas seguindo o modelo 3.
46 45 Tabela 4.7: Análise Sazonal (No Fim do Período) Variável Chi 2 11 P-valor Sazonal 22327,1 0,0000 Tabela 4.8: Estimativa dos Coeficientes dos Vetores de Estado Variáveis Coeficiente R.m.s.e. Valor T P-valor Nível ,78 0,0000 Inclinação ,41 0,0012 Sazonal ,09 0,0001 Sazonal ,56 0,1232 Sazonal ,49 0,6261 Sazonal ,95 0,0564 Sazonal ,12 0,0000 Sazonal ,00 0,0000 Sazonal ,31 0,1959 Sazonal ,11 0,0000 Sazonal ,98 0,0002 Sazonal ,83 0,0000 Sazonal ,90 0,0000 Tabela 4.9: Estatísticas de Qualidade do Ajuste Qualidade do Ajuste Coeficiente de Determinação R 2 0,956 Baseado na 1 a Diferença RD 2 0,873 Baseado na 1 a Diferença Sazonal RS 2 0,618 Critério de Informação Akaike AIC 35,495 Critério de Informação Bayesiano BIC 36,105
47 Validação Com o objetivo de validar o modelo, foi feita uma previsão do período de 2008, onde se pode comparar com os valores observados para o mesmo período. As tabelas 4.11 e 4.12 mostram que o modelo 3 se apresentou bastante eficaz na validação apresentando bom desempenho com poucos valores ultrapassando os limites de confiança. Além disso, o coeficiente U de Theil, que mede o quanto os resultados estão melhores que uma previsão ingênua, e o erro percentual médio (MAPE) apresentaram valores satisfatórios, Tabela Tabela 4.10: Estatísticas U de Theil e Mape Estatísticas Valores U 0,79 Mape 5,32% Tabela 4.11: Previsões para Validação Dentro da Amostra Período Ajuste Observado Limite Inferior Limite Superior em milhões em milhões em milhões em milhões , , , , , ,7 945, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1
48 47 Tabela 4.12: Previsões para Validação Dentro da Amostra e Erro Período Ajuste Observado % Erro em milhões em milhões ,58% ,13% ,53% ,72% ,98% ,29% ,87% ,80% ,54% ,09% ,27% ,06% A análise gráfica da figura 4.6 mostra que, de certa maneira, as previsões para o período que já possuíamos (janeiro a dezembro de 2008) obtiveram um bom nível de precisão. É importante ressaltar que o ano de 2008 foi bastante atípico e o comportamento do fenômeno sofreu significativa modificação e isto impactou na diminuição da aderência do modelo aos dados, resultando em alguns pontos fora do intervalo de confiança nos meses de julho e setembro. Figura 4.6: Gráfico de Previsão Dentro da Amostra (Período Janeiro a Dezembro de 2008)
49 Previsão Como nenhuma hipótese básica do modelo 3 foi violada e a validação se mostrou satisfatória, agora podemos seguir para o objetivo final e prever com qualidade o fenômeno 12 passos a frente. Os valores da previsão obtidos, bem como os intervalos de confiança de 95% obtidos pelo modelo 3, podem ser observados na tabela Os gráficos da previsão obtida pelo modelo, bem como das componentes tendência e sazonalidade também podem ser observados, Figura 4.7. Tabela 4.13: Previsões para o Ano de 2009 Período Ajuste Limite Inferior Limite Superior em milhões em milhões em milhões , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7
50 49 Figura 4.7: Gráficos de Previsão Fora da Amostra (Período de Janeiro a Dezembro de 2009) A figura 4.8 mostra o crescimento percentual entre um ano e o ano anterior referente ao acumulado até o mês de dezembro. O resultado aponta para um crescimento da ordem de 15,8% no comparativo com o ano de Figura 4.8: Crescimento Anual