11 transformações e gráficos
CAPÍTULO 11 • TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS
DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO HORIZONTAIS
O gráfico de y ϭ f(ax), para a Ͼ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) contraído em relação ao eixo x, por um fator a. O gráfico de y ϭ f(ax), para 0 Ͻ a Ͻ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) dilatado em relação ao eixo x, por um fator 1/a.
Exemplo 11.4 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ f(2x) no mesmo no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-9). sistema de coordenadas (Fig. 11-8); e de y ϭ f(x) e
REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM EIXO COORDENADO
O gráfico de y ϭ Ϫf(x) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo x. O gráfico de y ϭ f(Ϫx) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo y.
Exemplo 11.5 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ Ϫf(x) no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-10); e de y ϭ f(x) e y ϭ f(Ϫx) no mesmo sistema de coordenadas (Fig.11-11).
11.1 Explique por que, para h positivo, o gráfico de y ϭ f(x)ϩh é transladado para cima h unidades em relação ao gráfico de y ϭ f(x), enquanto o gráfico de y ϭ f(xϩh) é transladado para a esquerda h unidades.
HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado
8 - Raízes Primitivas e Índices
David M. Burton Grupo Gen PDF Criptografado
RAÍZES PRIMITIVAS E ÍNDICES
…demonstrações matemáticas, como diamantes, são tão difíceis quanto claras, e serão abordadas com nada mais que o raciocínio rigoroso.
8.1 A ORDEM DE UM INTEIRO MÓDULO n
φ ( n)
De acordo com o teorema de Euler, sabemos que a ≡ 1( mod n ) , sempre que mdc(a, n) = 1.
No entanto, há, frequentemente, potências de a menores que aφ ( n ) que são congruentes a 1 módulo n. Isso nos leva à seguinte definição.
Definição 8.1. Seja n > 1 e mdc(a, n) = 1. A ordem de a módulo n (em terminologia mais antiga: o expoente a que pertence módulo n) é o menor inteiro positivo k tal que a k ≡ 1( mod n ) .
Considere as potências sucessivas de 2 módulo 7. Para este módulo, obtemos as congruências
das quais resulta que o número inteiro 2 tem ordem 3 módulo 7.
Observe que, se dois inteiros são congruentes módulo n, então eles têm a mes‑ ma ordem módulo n. Pois, se a ≡ b ( mod n ) e a k ≡ 1( mod n ) , o Teorema 4.2 implica que a k ≡ b k ( mod n ) , daí b k ≡ 1( mod n ) .
5: Conversão de Radianos paraGraus, Minutos e Segundosou Frações de Graus
Conversão de Radianos para
Graus, Minutos e Segundos ou Frações de Graus
Graus Min
Frações de Graus
Diana Maia de Lima, Luis Eduardo Fernandes Gonzalez Grupo A PDF Criptografado
Capítulo 6 - Aplicações da integral definida na geometria, nas ciências e na engenharia
Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen L. Davis Grupo A PDF Criptografado
NAS CIÊNCIAS E NA
O Cálculo é essencial nas contas que devem ser feitas para pousar um astronauta na Lua.
No capítulo anterior, introduzimos a integral definida como o limite de somas de Riemann, no contexto de encontrar áreas. No entanto, as somas de Riemann e as integrais definidas têm aplicações que se estendem muito além dos problemas de área. Neste capítulo, mostraremos como as somas de Riemann e as integrais definidas surgem em problemas como obter o volume e a superfície de um sólido ou o comprimento de uma curva plana, calcular o trabalho feito por uma força, encontrar o centro de gravidade de uma região plana, encontrar a pressão e a força exercidas por um fluido sobre um objeto submerso e encontrar as propriedades de cabos suspensos.
Embora esses problemas sejam diversos, todos os cálculos requeridos podem ser abordados pelo mesmo procedimento utilizado para encontrar áreas, ou seja, quebrando os cálculos em "partes pequenas", fazendo uma aproximação boa porque a parte é pequena, somando as aproximações das partes e obtendo uma soma de Riemann que aproxime a quantidade toda a ser calculada, para então tomar o limite da soma de Riemann e obter um resultado exato.
7 Logaritmo natural
"Calculo1" — 2012/5/8 — 9:25 — page 209 — #209
Os logaritmos foram inventados no in´ıcio dos anos 1600 com o objetivo de facilitar c´alculos num´ericos. Naquela ´epoca, havia necessidade de realizar c´alculos trabalhosos, na elabora¸c˜ao de cartas n´auticas, mapas e no pr´oprio com´ercio. E os logaritmos realmente ajudaram muito, permitindo que opera¸c˜oes mais complexas, como multiplica¸c˜ao e divis˜ao, pudessem ser substitu´ıdas por adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao, que s˜ao bem mais simples. Essa utilidade dos logaritmos perdurou at´e aproximadamente 1960, quando os grandes computadores come¸caram a se tornar populares nas universidades e grandes empresas. Mas, a partir de ent˜ao, os logaritmos foram rapidamente caindo em desuso; mais ainda depois de 1980, quando come¸caram a surgir as calculadoras manuais e os microcomputadores. N˜ao obstante isso, a fun¸c˜ao "logaritmo natural" tem enorme importˆancia no C´alculo e em v´arios ramos da Matem´atica e outras ´areas cient´ıficas. E ´e interessante observar desde j´a que o logaritmo de um n´umero em qualquer base ´e sempre o produto de uma constante pelo logaritmo natural desse n´umero. Da´ı a importˆancia de estudarmos esse logaritmo.