Tudo sobre retas no plano: definição, posições e classificação
Retas no plano: definição, posições e classificação
As retas podem ser classificadas de acordo com sua posição num plano (horizontal, vertical e diagonal) ou de acordo com outra reta próxima a ela (paralela ou concorrente).
As retas, juntamente com o ponto e o plano, é considerada um ente primitivo na geometria plana. Ou seja, é algo que aceitamos como verdade, sem necessidade de demonstração.
Apesar de esses entes não possuírem definições, temos uma ideia intuitiva do que cada um deles é. A partir dessa ideia intuitiva, somos capazes de estudar as possíveis posições que as retas possuem no plano e aprender sobre retas paralelas cortadas por reta transversal. Vamos começar?
Retas e suas posições
Na matemática, representamos as retas através de letras minúsculas do nosso alfabeto, sendo as mais frequentes as letras r, s e t.
Veja na imagem em seguida as diferentes representações gráficas de uma reta.
Diferentes representações gráficas de uma reta no plano.
Quando pensamos em retas no plano temos duas opções: pensamos em uma reta sozinha ou em várias retas. Para cada uma dessas opções, temos diferentes posições para as retas. Quando estamos tratando de apenas uma reta, temos 3 posições possíveis:
Veja cada uma dessas posições na imagem em seguida:
Retas paralelas e retas concorrentes
Se considerarmos duas retas no plano, elas podem ser ou paralelas ou concorrentes. Neste vídeo, o professor Sarkis explica, através de um exercício, como resolver o problema com as retas paralelas e transversais.
As retas paralelas são definidas como sendo aquelas que estão sempre a mesma distância uma da outra. Por outro lado, retas concorrentes são definidas como aquelas que se cruzam em um único ponto.
No caso de elas serem paralelas, existe a distinção entre retas paralelas distintas e retas paralelas coincidentes. Para o primeiro tipo, a distância entre elas é maior do que zero. Já para o segundo tipo, essa distância vale zero.
Logo, retas paralelas distintas não possuem nenhum ponto em comum, enquanto retas paralelas coincidentes possuem todos os pontos em comum.
Veja as diferentes posições na imagem abaixo.
Perceba que utilizamos o símbolo ≡ para nos referirmos às retas paralelas coincidentes e o símbolo // para nos referirmos às retas paralelas distintas.
Vale ressaltar que as retas concorrentes formam um ângulo entre si. Caso esse ângulo formado seja de 90°, elas são chamadas de perpendiculares.
Ou seja, retas perpendiculares são um caso especial de retas concorrentes. Veja sua representação na imagem abaixo:
Não se prenda no fato de ser apenas uma ou duas retas no plano, os exercícios podem facilmente tratar de três ou mais retas. Inclusive, retas paralelas cortadas por reta transversal é um assunto frequente em vestibulares.
Não sabe o que é isso? Fique tranquilo/a, até o final do post você vai entender, pois explicarei logo abaixo.
Retas paralelas cortadas por reta transversal
Considere duas retas paralelas distintas, r e s, cortadas por uma reta transversal t. Essa disposição das retas gera 8 ângulos, conforme mostrado na imagem abaixo.
Os ângulos que estão entre as retas paralelas (3, 4, 5 e 6) são chamados de ângulos internos. Enquanto isso, os que estão do lado de fora das retas paralelas (1, 2, 7 e 8) são chamados de ângulos externos.
Ainda, ângulos que estão de um mesmo lado da reta transversal são chamados de colaterais (1, 4, 5 e 8, bem como 2, 3, 6 e 7), e ângulos que estão em lados opostos da reta transversal são chamados de alternos (1 e 3, por exemplo).
Então é só isso que podemos retirar de informações a respeito dessa disposição? Não! Veja abaixo mais informações sobre isso:
Os pares de ângulos 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7 e 4 e 8 são chamados de ângulos correspondentes.
Os pares de ângulos 1 e 8 e 2 e 7 são chamados de ângulos colaterais externos.
Os pares de ângulos 4 e 5 e 3 e 6 são chamados de ângulos colaterais internos.
Os pares de ângulos 1 e 7 e 2 e 8 são chamados de ângulos alternos externos.
Os pares de ângulos 3 e 5 e 4 e 6 são chamados de ângulos alternos internos.
Os pares de ângulos 1 e 3, 2 e 4, 5 e 7 e 6 e 8 são ângulos opostos pelo vértice.
Também vale ressaltar que os ângulos que compõem cada par de ângulos correspondentes são congruentes. O mesmo ocorre com os pares de ângulos alternos internos, alternos externos e ângulos opostos pelo vértice.
Além disso, cada par de ângulos colaterais externos e colaterais internos são suplementares.
Se você não sabe o que significa ângulos congruentes e/ou suplementares, dê uma olhada na nossa aula sobre tipos de ângulos.
Na figura abaixo, encontre o valor de x.
Perceba pela imagem acima que o ângulo é correspondente ao ângulo 4 e, assim, tais ângulos são congruentes.
Perceba ainda que o ângulo 4 e o ângulo 75° são suplementares, ou seja, ângulos cuja soma vale 180°.
Agrupando essas duas informações, chegamos a uma equação. Assim, somos capazes de encontrar o valor procurado, conforme a seguir:
x + 45º + 75º = 180º
x = 180º – 75º – 45º
Achou divertido resolver? Espero que sim, mas fique ligado! Nem sempre os exercícios vão cobrar duas retas paralelas. Podem aparecer três ou mais e, nesses casos, o exercício se torna mais elaborado. Você vai se deparar com essa situação nos exercícios abaixo, então vamos praticar?
Mas antes uma última pergunta: gostou do assunto e quer saber mais? Então assista à aula do professor Ferretto:
1 – (UniRV GO – 2014)
A figura a seguir contém retas paralelas r e s e uma transversal t. Determine os valores dos ângulos indicados. Colocar V para as alternativas corretas e F para as alternativas falsas.
a) na figura o ângulo a vale 100° e o ângulo b vale 80°;
b) na figura o ângulo a vale 80° e o ângulo b vale 100°;
c) na figura o valor de x é 50°;
d) na figura o ângulo a vale 80° e o ângulo b vale 110°.
2- (UNIMONTES MG – 2010)
Supondo que a' // a e b' // b.
3- (IFGO – 2011)
Se r // s, então o valor de x, na figura abaixo, é
a) 52°.
c) 72°.
d) 58°.
4- (UEG GO – 2010)
A figura acima representa o disparo de um projétil de arma de fogo a partir de dois pontos distintos, A e B. Em ambos os casos, eles colidem com um anteparo rígido e são ricocheteados em um ângulo q1 de 7°. Esse projétil, de 120g, é posteriormente recolhido em um recipiente contendo 20 mL de água, provocando um deslocamento de 10 mL.