Equações Diferenciais e Equações das Diferenças - Estudo introdutório de EDO
aquinorow
aquino carvalho | comentários
xy −x2 y = cey/x
Os problemas 7 ao 1 sao um teste a sua intuicao (a ¡¡intuicao¿¿ so se obtem depois de alguma pratica e por isso e importante analizar estes problemas e as suas solucoes). Em cada caso tente adivinhar uma solucao; faca alguma tentativa e verifique se e ou nao solucao. Diga se a solucao que descobriu e geral ou particular.
dx = y (a funcao cuja derivada e igual a si propria)
8. dy dx = y2 (derivada igual ao quadrado da funcao)
10. dy dx +y = ex
Verifique que a funcao dada e solucao do problema de valor inicial
Determine se o teorema de Picard implica a existencia de uma solucao unica dos seguintes problemas de valor inicial, numa vizinhanca do valor inicial x dado.
1.4 Problemas 5
(b) Demonstre que se (c e um parametro positivo, a seguinte familia de funcoes (ver figura) sao tambem solucoes
Porque nao pode ser c negativo? (c) Interprete estes resultados em relacao ao teorema de Picard.
6 Introducao 6 Introducao
Equacoes diferenciais de primeira ordem
Existem alguns tipos de equacoes ordinarias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente. Comecemos por estudar o caso mais simples das equacoes diferenciais de primeira ordem: Equacoes da forma dy
resolvem-se facilmente, usando o teorema fundamental do calculo integral
em que c e uma constante arbitraria que sera determinada segundo a condicao inicial do problema.
2.1 Equacoes de variaveis separaveis
para resolver este tipo de equacao primeiro observemos que a primitiva da funcao g(y) pode ser calculada da seguinte forma ∫
dx dx (2.4) a equacao diferencial pode ser escrita como
a primitiva em ordem a x do lado esquerdo e igual a primitiva em ordem a y de g(y) como acabamos de ver ∫
As equacoes do tipo dy
8 Equacoes diferenciais de primeira ordem onde a e b sao constantes, nao sao equacoes de variaveis separaveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituicao
2.2 Equacoes lineares
Para resolver este tipo de equacao podemos tentar transforma-la na forma simples do caso 1 acima. No caso particular em que a funcao p e uma constante a, o lado esquerdo e semelhante a seguinte derivada dy
consequentemente, podemos multiplicar os dois lados da equacao diferencial por exp(ax) e obtermos
No caso geral em que p depende de x, usamos a primitiva de p(x) em vez de ax e o factor integrante pelo qual deveremos multiplicar a equacao e
multiplicando os dois lados da equacao diferencial por µ obtem-se
Exemplo 2.1 Encontre a solucao da equacao diferencial dx = y
A equacao nao e de variaveis separaveis, nem linear, mas se invertermos a equacao obtemos
a qual e uma equacao linear; escrita na forma padrao
2.3 Equacoes exactas 9 vemos que o factor integrante e
multiplicando os dois lados da equacao por µ obtemos
Para calcular o valor da constante de integracao, substituimos a condicao inicial
2.3 Equacoes exactas
. Qualquer equacao de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial:
Esta equacao sugere-nos admitir que existe uma funcao F(x,y) cujas derivadas parciais sao iguais a M(x,y) e N(x,y); no entanto a segunda derivada parcial de F seria
Assim, para que a conjectura da existencia da funcao F(x,y) seja consistente, e necessario que as funcoes M e N verifiquem a seguinte condicao
A funcao F calcula-se encontrando a funcao cujas derivadas parciais sejam iguais a M(x,y) e N(x,y).
10 Equacoes diferenciais de primeira ordem
Exemplo 2.2 Resolva a seguinte equacao
e verifica-se facilmente que e uma equacao exacta:
existe uma funcao F(x,y) tal que
comparando os dois resultados para F vemos que
e a funcao F(x,y) e (para alem de uma constante que nao e importante ca)
2.3.1 Equacoes homogeneas Uma equacao de primeira ordem diz-se homogenea se tiver a seguinte forma geral
dx = f para resolver este tipo de equacao usa-se a substituicao
a qual torna a equacao numa equacao de variaveis separaveis. Para reconhecer facilmente se uma funcao racional e da forma f(y/x) observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de x mais o expoente de y) os quais deverao ser iguais. Por exemplo das duas funcoes seguintes a primeira tem a forma f(y/x) mas a segunda nao
Existem outras equacoes que podem ser reduzidas a equacoes homogeneas. Um exemplo tıpico e
a equacao dy dx = f onde a,bc,p,q e r sao constantes dadas. Se as constantes c e r fossem nulas, a equacao seria homogenea; definimos um novo sistema de coordenadas (u,v) para substituir (x,y), de forma a obter
a solucao deste sistema de equacoes lineares pode ser obtido por meio da regra de Cramer
como os lados direitos das equacoes 2.42 e 2.43 sao constantes, tambem temos que dx = du, dy = dv e a equacao diferencial converte-se numa equacao homogenea
( au+bv pu +qv
Exemplo 2.3 Resolva o problema de valor inicial
Esta equacao pode ser reduzida a uma equacao homogenea, mudando as variaveis (x,y) para (u, v) definidas por
12 Equacoes diferenciais de primeira ordem
com estas substituicoes, a equacao diferencial torna-se uma equacao homogenea
e para a reduzir a equacao de variaveis separaveis definimos uma nova variavel dependente z
substituindo na equacao diferencial z +u dz
esta equacao de variaveis separaveis pode ser integrada∫ 1 − z
2.4 Equacao de Bernoulli
Um tipo de equacao diferencial que pode ser reduzida a equacao linear, e a chamada equacao de
Bernoulli, definida como dy
onde n e um numero racional, diferente de 0 e de 1. A substituicao
2.5 Equacao de Riccati 13 2.5 Equacao de Riccati
Outra equacao redutıvel a equacao linear e a equacao de Riccati:
ticular da equacao, por exemplo y1, a seguinte mudanca de variavel transformara a equacao em equacao linear
v =⇒ dy dx
e conveniente nao substituir y1 pela funcao dada, ja que o facto desta ser solucao da equacao simplificara os resultados. Substituindo na equacao de Riccati obtemos
como y1 e solucao, o termo nos parentesis no lado esquerdo e zero e obtem-se a seguinte equacao linear para v(x) o factor integrante desta equacao linear e
multiplicando os dois lados da equacao linear por µ e seguindo os passos explicados na seccao sobre equacoes lineares
uv = cotx + c v = ex sin2 x(cotx + c) = ex sinx(cosx + csinx)
sinx cosx + csinx y = e−xsinx − ccosx cosx + csinx a solucao geral esta constituıda por esta ultima famılia de funcoes, junto com a solucao particular y1.
14 Equacoes diferenciais de primeira ordem 2.6 Problemas
Resolva as seguintes equacoes diferenciais ordinarias (todas sao de variaveis separaveis, exactas, lineares ou redutıveis a elas)
10. dy dt
12. dy dx = x
Resolva as seguintes equacoes de Riccatti, sabendo que y = y1(x) e uma solucao particular:
Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem
3.1 Crescimento demografico
O aumento da populacao num instante dado e igual ao produto da populacao nesse instante vezes a taxa de aumento da populacao; se a populacao no instante t for representada pela funcao P(t), o aumento da populacao sera tambem igual a derivada de P
Para poder resolver esta equacao e preciso conhecer a dependencia de a com o tempo. Veremos dois casos simples
3.1.1 Modelo de Malthus Se a taxa de aumento da populacao (a) for constante a equacao diferencial anterior sera uma equacao de variaveis separaveis ∫ dP
Onde P0 e a populacao em t = 0. Este modelo pode ser uma boa aproximacao em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a populacao cresce sim limite.
3.1.2 Modelo logıstico
Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta directamente proporcional a populacao, com taxas de natalidade e migracao constantes. A taxa de aumento da populacao e assim
16 Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem com b e k constantes. A equacao diferencial obtida e uma equacao de Bernoulli
Neste modelo a populacao nao cresce indiscriminadamente, pois a medida que P aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento P permanece constante. Por meio da substituicao u = 1/P obtem-se uma equacao linear
Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo factor integrante exp(bt)
b + C e−bt
A populacao aproxima-se assimptoticamente do valor limite b/k.
3.2 Decaimento radioactivo
Numa substancia radioactiva, cada atomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num atomo mais leve emitindo radiacao nuclear no processo. Se p representa essa probabilidade, o numero medio de atomos que se transmutam, por unidade de tempo, e pN, em que N e o numero de atomos existentes em cada instante. O numero de atomos transmutados por unidade de tempo e tambem igual a menos a derivada temporal da funcao N
A massa dos correspondentes atomos, x, e directamente proporcional a N e assim obtemos a seguinte equacao diferencial dx
onde p e uma constante, designada de constante de decaimento. A solucao geral desta equacao e uma funcao que diminui exponencialmente ate zero
A meia-vida da substancia define-se como o tempo necessario para a massa diminuir ate 50% do valor inicial; a partir da solucao obtida temos
x0 e -pt
1/p Figura 3.1: Decaimento exponencial de uma substancia radioactiva.
Quanto maior for a constante de decaimento p, mais rapido diminuira a massa da substancia (ver figura 3.1).