SEARA - FÍSICA - DONA FIFI - O NÚMERO FI - 03
O número F, por si mesmo, já tem algumas propriedades curiosas. Como vimos, ele é irracional, como seu colega mais famoso, o número . Isto significa que esses números não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros. Só que, no meu modo de ver, o número F é mais sofisticado e imprevisível. Ele pode surgir de expressões matemáticas bastante curiosas. Por exemplo, considere a expressão abaixo:
Parece muito complicado, mas, na verdade, é bem fácil mostrar que esse número x é justamente nosso F. Tome o quadrado de ambos os lados dessa expressão:
x2 = 1 + x.
Portanto, como vimos anteriormente, resulta que x = F.
Outra expressão curiosa que leva a F é essa:
Deixo a vocês a tarefa simples de mostrar que esse x também é nosso querido F. Mas, quero aproveitar essa fração que não acaba nunca para comentar que o número F talvez seja o mais irracional dos números irracionais. Pois essa fração converge tão vagarosamente para F que parece nos mostrar a relutância de F em se associar a uma fração, mesmo que a fração não seja de inteiros.
O quadrado de F, isto é, FF, vale 2,6180339887 ...
Como vemos, o número FF é o próprio número F acrescido de 1. Além disso, o inverso de F, isto é, 1 / F é igual a 0,6180339887 ..., que é F -1 e, como vemos, é o outro f, definido anteriormente. Portanto, o número F f é igual a 1.
Podemos construir uma seqüência que chamarei de "seqüência de Fifibonacci", formada pelos quadrados dos números de Fibonacci. Ela é:
1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, 3025, 7921, ...
É claro que a fração entre dois números consecutivos dessa seqüência converge para o número FF = 2,6180339887 ... Deixo para vocês a tarefa de encontrar uma regra de formação para essa seqüência.
Além dessas propriedades numéricas o número F também tem algumas curiosas propriedades geométricas, como veremos a seguir.