4 - Modelo de um período - Finanças | Portal Action
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Nesta seção, vamos apresentar o modelo de período. Este, é o modelo mais simples para precificação de opções. Contudo, é fundamental pelo fato de que muito dos conceitos apresentados aqui, serão utilizados em modelos mais complexos como, por exemplo, no modelo de Black e Scholes.
No mercado de 1 período, vamos trabalhar com dois ativos bases. Considere o conjunto de tempos , ou seja temos apenas um tempo inicial e um tempo final.
Seja o valor do ativo livre de risco no tempo . Definimos como
A taxa representa o quanto o ativo livre de risco cresce em uma unidade de tempo.
Seja o valor do ativo de risco no tempo . Supomos que o preço do ativo de risco no tempo assume apenas dois valores
com respectivas probabilidades
no qual é o preço inicial da ação.
No modelo de um período, o ativo de risco é uma variável aleatória sobre um espaço de probabilidade que pode assumir apenas dois valores no tempo , ou seja, em uma unidade de tempo ou o preço do ativo sobe uma taxa ou cai uma taxa .
Para este modelo de mercado fazer sentido, vamos fazer a seguinte suposição,
A justificativa para tal suposição é: se por exemplo , não faria sentido investir no Bond sendo que por menor que seja o rendimento da ação, ainda assim é maior do que o rendimento do Bond.
O objetivo desta seção é calcular o preço e o de uma opção, em particular o preço e o de uma . Para podermos precificar e fazer o de um derivativo, precisamos saber quanto o mesmo rende no tempo de maturidade. Chamamos de função o rendimento do derivativo no tempo de maturidade. A seguir definimos formalmente a função .
A função de um derivativo, é uma variável aleatória -mensurável.
Como já apresentado na seção de derivativos, a função para uma no tempo de maturidade é dada por
A função da é uma variável aleatória que pode assumir apenas dois valores. Por que para o cálculo do valor inicial da opção, simplesmente não calculamos a média da variável aleatória e descontamos a valor presente?
A justificativa para não utilizarmos tal método é que a média do preço da opção depende diretamente da probabilidade de alta e de baixa do preço do ativo. Assim, para diferentes probabilidades temos diferentes preços para a opção. Queremos uma abordagem que evite este tipo de problema e para alcançarmos tal objetivo, os conceitos procedentes são fundamentais.
No mercado de um período, podemos trabalhar com dois ativos. Assim, o conceito de estratégia se faz necessário.
Definição 4.2:
Uma estratégia é um par tal que
: representa a quantidade investida na ação no tempo ;
: representa a quantidade investida no bond no tempo .
Ao investir nestes dois ativos, estamos montando um . Uma questão de interesse é saber qual o valor do portfólio no tempo , o que motiva a definição abaixo.
Definição 4.3:
Seja uma estratégia no mercado de um período. O valor do portfólio no tempo é definido por
Dado o valor do e a estratégia , podemos obter a estratégia por
Definição 4.4:
Uma estratégia é auto-financiável, se
Seja uma estratégia, então
A estratégia é auto-financiável, se
Ou seja, uma estratégia é auto-financiável se não existe investimento e nem retirada de dinheiro do .
Definimos o valor do portfólio descontado como
Proposição 4.1:
Seja uma estratégia auto-financiável. Então
Como a estratégia é auto-financiável, vale que
Note que o preço do descontado, depende somente da estratégia agora.
Para calcularmos o , vamos supor que existe uma estratégia auto-financiável tal que o valor do descontado
Resolvendo o sistema de equações na variável , temos que
Se considerarmos uma probabilidade de tal forma que
Chamamos a probabilidade de probabilidade de risco neutro.
Preço e da
Assumimos que o preço atual de um ativo e de , e depois de três meses o preco do ativo pode subir para ou declinar para . Qual o preco justo e o para uma com tempo de maturidade de 3 meses, strike price e uma taxa de juros 5% para os três meses?
Suponha que o investidor trabalhe com uma probabilidade de 80% para queda do valor do ativo e 20% para subida do valor do ativo.Com esta probabilidade em mãos, o preco final do ativo pode ser visto como uma variavel aleatoria que assume dois valores e tem funcão de probabilidade
Com isso, temos a seguinte função payoff
Desta forma, o valor esperado da função payoff descontado a taxa de juros é dado por
Obviamente que o valor esperado acima depende da probabilidade associada ao payoff. Como comentado acima, esta estratégia de precificação não é conveniente para o mercado. Abaixo, calculamos a estrategia e o preço inicial com os resultados obtidos ao decorrer deste capítulo.