Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou - Física Computacional
Oscilações Acopladas/Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou
4.4 Gráfico das energias do FPUT quadrático
Figura 13. Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação numérica). Percebe-se claramente o comportamento discutido no parágrafo acima. O sistema inicia no primeiro modo, depois de um tempo passa a uma mistura dos cinco primeiros modos, e por volta de t=10000 retorna quase inteiramente ao primeiro modo de vibração. Ou seja, não houve termalização: a energia não foi distribuída entre os demais modos.
O comportamento do sistema ilustrado pela Figura 13 corresponde ao que foi observado pelos autores do artigo original.[1] Esse é o caso para baixa amplitude e, consequentemente, baixa energia inicial do sistema (na simulação da Figura 13, a amplitude inicial é igual a 1). Entretanto, caso o sistema possua energia inicial alta, o sistema atinge a termalização. Isso pode ser observado na Figura 14:
Figura 14. Esse gráfico corresponde às energias alocadas por modo de vibração em um sistema unidimensional com N=32 partículas do FPUT quadrático, conforme calculado a partir de nossas simulações (ver uma explicação sobre como o gráfico foi feito na seção sobre implementação numérica). Nesse caso, diferentemente da Figura 13, o sistema atinge termalização. Isso ocorre porque a amplitude e a energia inicial do sistema é alta (aqui, a amplitude inicial é igual a 10)
O paradoxo ou problema de FPUT consiste justamente no comportamento de recorrência do sistema e da não termalização.[1][4] Como pode ser observado nas simulações, após um determinado tempo, o sistema volta a uma configuração de modos semelhante à inicial (no nosso caso, o primeiro modo). Note-se que o tempo de recorrência das simulações apresentadas é o mesmo do tempo de recorrência que pode ser visto na Figura 13. O código está na seção dos programas.
O programa em Python possui vários tipos diferentes de condições iniciais, porque esse programa (na verdade, conjunto de programas) implementa osciladores lineares acoplados e fput quadrático unidimensionais e bidimensionais tanto em deslocamentos horizontais quanto em deslocamentos verticais da posição de equilíbrio.
A primeira coisa que é inicializada são as posições de equilíbrio de cada partícula. No caso unidimensional, distribuem-se igualmente as posições de equilíbrio das partículas no espaço unidimensional de tamanho L. Depois são calculadas as posições iniciais, de acordo com o modo de oscilação, em relação às posições de equilíbrio.
No caso bidimensional, algo semelhante é feito, mas as posições de equilíbrio das partículas são igualmente espaçadas em um grid quadrado de L x L. O tamanho L é calculado pela função a partir do número de partículas N, que deve ser um quadrado perfeito (N=4, N=9, N=16, N=25, N=49,...).
Foi criada uma função modo_de_osc() que faz a inicialização em qualquer modo. Essa função é chamada pelas funções condicao_inicial_1d() e condicao_inicial_1d_vertical().
Parâmetros da simulação da Figura 14 e da Figura 15: .
Figura 14. Primeira parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Essa simulação mostra que o sistema foi inicializado no modo 1. Já podemos perceber, no final da simulação, que o sistema começa a sair do modo 1 e entrar em uma mistura de modos.
Figura 15. Segunda parte da simulação do oscilador acoplado com N=32 partículas com deslocamento limitado à vertical. Nessa simulação é possível perceber a recorrência do primeiro modo de oscilação. Após ter oscilado por um tempo considerável com uma mistura de modos, o sistema retorna ao modo inicial.
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Fermi, E.; Pasta, J.; Ulam, S. (1955). "Studies of Nonlinear Problems" (PDF). Document LA-1940. Los Alamos National Laboratory. [Acessado 02 Maio 2022]. [1]
Marion, J.B., Thornton, S.T. "Classical Dynamics of Particles and Systems". 5th Edition. Thomson Learning, Belmont, 2004.
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