radiano_ou_grau
Ao examinar o triângulo retângulo e depois um triângulo qualquer, definimos três funções: Sen, Cos e Tg, cujo domínio é um subconjunto dos números reais. Essas funções foram estendidas também para a circunferência trigonométrica. Com elas, dado um número real x, representando a medida em graus de determinado ângulo ou arco orientado, determinamos o valor de Sen x, Cos x e Tg x - nesse último caso, com algumas restrições a respeito do valor de x, pois Tg não está definida para todos os reais.
As funções sen, cos e tg - com inicial minúscula - foram definidas na circunferência trigonométrica, com domínio real, exceção feita para a função tg, que, novamente, não está definida para todos os reais. Para todas elas, dado um número real x, representando a medida em radianos de determinado ângulo ou arco, determinamos o valor de sen x, cos x e tg x, com a devida restrição nesse último caso.
Qual é a diferença entre as funções de mesmo nome, por exemplo, sen e Sen?
Examinando o gráfico, podemos ter a clareza necessária.
A figura mostra os gráficos de y=sen x e de y=Sen x. Ambas as funções têm domínio real e imagem o intervalo [-1, 1]. É preciso observar, entretanto, a dificuldade operacional existente ao executar esses dois gráficos, no mesmo sistema de eixos. De fato, Sen 90=1 e , o que dificulta sobremaneira o estabelecimento de uma escala adequada - não esqueça que !
O que é razoavelmente visível na comparação dos dois gráficos é o fato de que a reta tangente ao gráfico de Sen na origem tem uma inclinação muito pequena, pois é uma reta quase horizontal. Entretanto, o coeficiente angular da reta tangente na origem, ao gráfico de sen, é 1 - isso não está perfeitamente visível na figura, devido aos problemas da escala.
Esse fato, algebricamente, pode ser tornado claro, pois , onde x é um número real que representa a medida de um arco ou do correspondente ângulo central, em radianos.
Mas , onde a é um número real que representa a medida em graus de um ângulo central ou do correspondente arco, não tem um resultado tão interessante. De fato,
Observe que utilizamos o fato que , que é a maneira pela qual as medidas em graus e em radianos se relacionam.
Por outro lado, observe também que usamos o fato que Sen a=sen x, pois a é um número real que indica a medida em graus de um arco ou do correspondente ângulo central e x é um outro número real que representa a medida de um arco ou do correspondente ângulo central, em radianos.
O fato de acarreta que a derivada da função f(x)=sen x em qualquer , é dada por
f'(x)=cos x. Entretanto, considerando a função g(a)=Sen a, pela Regra da Cadeia, tem por derivada , justamente porque . Todas as fórmulas utilizadas, por exemplo, na Física, envolvendo a derivada da função seno, ficariam muito mais complicadas se utilizássemos a função Seno.
É interessante ter em mente mais uma observação: o sistema que utiliza graus é arbitrário, no sentido da decisão de dividir a circunferência em 360 partes iguais que foi tomada no passado. O sistema que utiliza radianos é um exemplo de um sistema de medida natural.
No decorrer do curso de Cálculo, sempre que nos referirmos às funções trigonométricas estaremos falando daquelas que são definidas na circunferência trigonométricas, cujo argumento é um número real que denota o comprimento de um arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.