Modelo de extração de minérios
Crescimento com uma Fonte Não Renovável (NONRENEW):
Um estoque é uma fonte não renovável, uma quantidade de energia disponível limitada. Podemos citar o caso de uma reserva de mineral (E) que sustenta uma população. A população (Q) cresce exponencialmente enquanto houver mineral disponível nas minas, porém devido à extração o estoque de mineral irá diminuir e se esgotar. Quando o estoque de mineral se reduz ele diminui sua capacidade de fornecer os meios de vida para a população em volta e essa população vai diminuir junto com o estoque.
No diagrama mostrado a seguir, temos uma fonte não renovável: uma mina (E). A extração do mineral varia em forma proporcional à quantidade de mineral disponível (E) e ao trabalho humano, o qual depende da população (Q). A equação para a variação do estoque do mineral é:
DE = - K*E*Q.
Após um tempo de extração a quantidade de mineral remanescente será a quantidade que havia no início mais a alteração ocorrida (DE):
E = E + DE.
Em um dado instante, o número de habitantes no povoado mineiro (Q) depende da quantidade de mineral (E) e da população existente (Q). A população cresce em função da produtividade do sistema (K2*E*Q) e decresce em função do trabalho necessário para obter o recurso (K3*E*Q). A equação do crescimento líquido da população é:
DQ= K2*E*Q - K3*E*Q = (K2-K3)*E*Q = K1*E*Q
A mortalidade faz diminuir a população, esse decréscimo é proporcional ao tamanho da população (K4*Q).
A mudança na população (DQ) decorre do crescimento e da perda de população. A equação é:
DQ = K1*E*Q - K4*Q.
Ao final de um período, a população mineira será o número que havia no início mais o valor da mudança ocorrida:
Ao representar a variação das quantidades do minério (E) e de mineiros (Q), obtém-se o gráfico seguinte.
Enquanto o minério é extraído a cidade cresce com o retorno econômico obtido. Quando as jazidas se exaurem, a economia da cidade diminui, até que toda a população a abandona e se torne uma "cidade fantasma".
Pulso e Reciclagem (PULSE)
Este modelo de produção-consumo conta dois tipos de consumo e um laço de reciclagem. Um exemplo é uma plantação que sofre o ataque de insetos que podem ter um consumo lento e um consumo frenético. Por várias razões a quantidade de insetos aumenta lentamente, comendo somente uma pequena porção da biomassa acumulada. Quando há vegetação acumulada suficiente ocorre surto de reprodução dos insetos e então o consumo da biomassa passa a ser muito rápido e eles acabam com o recurso.
Neste modelo os materiais da reciclagem dos resíduos do consumo são usados para a produção. Os materiais são conservados no sistema: materiais totais (TM) incluem aqueles disponíveis para produção (M), aqueles incorporados aos produtores (FI*Q) e aqueles nos consumidores (F2*C).
M = MT - F1*Q - F2*C;
O estoque Q cresce em função dos recursos renováveis disponíveis (R) e dos materiais disponíveis (M). Existem dois fluxos de consumo lento, ambos são proporcionais à quantidade dos produtores (K2*Q e K4*Q), um deles corresponde à degradação natural do estoque (Q) e outro ao consumo linear. O consumo acelerado deve-se ao crescimento dos consumidores. Matematicamente, isto corresponde a um laço auto-catalítico quadrático (K3*Q*C*C), o qual indica que os processos ocorrem mais rápido devido as auto-interações.
DQ = K1*R*M - K2*Q - K4*Q - K3*C*C*Q;
O modelo possui dois consumos, o lento (gradual) e o epidêmico (destrutivo). Esta seqüência pulsante é o padrão característico de muitos ecossistemas, entre eles os sistemas econômicos. O crescimento de qualquer sistema pode chegar a um nível que leva a um pulso de consumo e depois há um esgotamento do recurso. O ciclo pode se repetir de tempo em tempo. Existe uma degradação dos materiais do estoque C que corresponde ao termo K7*C (depreciação e reciclagem).
DC = K5*Q + K6*Q*C*C - K7*C.
O surto de consumo é iniciado automaticamente sem interrupções quando o termo matemático para o retorno do fluxo do consumidor (K3*Q*C*C) excede o termo para a reciclagem e depreciação pelo consumidor (K4*C). Neste programa os fatores de escala são divididos por um fator de ajuste de escala (Q/Q0).
O mundo segue um padrão pulsante.
Enquanto os combustíveis fósseis são gerados (por processos geológicos), alguns incêndios ocasionais os consumiam lentamente. Quando o acúmulo de combustíveis fósseis foi grande o suficiente, os humanos construíram uma civilização que consome esses recursos freneticamente. Quando nós os tivermos esgotado quanto tempo levará para que o seja produzido um volume suficiente para abastecer outra civilização? Talvez, no mínimo de 2 milhões de anos!