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Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 4
Seja f ( x ) = x + l n ( x ) que possui um zero no intervalo I = [ 0.2,2 ] .
Se o objetivo for obter uma aproximação x k para esta raiz de tal forma que | x k - ϵ | < 1 0 - 5 , é aconselhável usar o método da posição falsa tomando I como intervalo inicial? Justifique gráfica e analiticamente sem efetuar iterações numéricas.
Cite outros métodos nos quais esse objetivo possa ser atingido.
Então pessoal, vamos começar fazendo apenas iterações geométricas.
Se fizermos o gráfico de f ( x ) , após a primeira iteração vamos ter isso daqui:
Na segunda iteração, teremos:
Daqui podemos observar que o limite inferior sempre ficará parado, enquanto que o limite superior vai variar, ou seja, a sequência gerada não vai oscilar em torno da raiz!
Então, a única possibilidade disso daqui dar certo é se ( b - a ) < 1 0 - 5 , já que não podemos garantir que essa sequência vai convergir.
Como ( b - a ) = 2 - 0.2 = 1.8 > 1 0 - 5 então essa sequência não vai convergir!
Como f ( a ) f ( b ) < 0 , e a função é contínua dentro do intervalo [ 0.2,2 ] , podemos utilizar o método da bissecção e o método de Newton-Raphson, já que a f ( x ) é derivável, e sua derivada é contínua , além da derivada não assumir valores nulos dentro do intervalo de análise.