Coluna - A distribuição dos números primos - Só Matemática
"Suponhamos que o conjunto dos números primos, P, seja finito. Seja r o número exato de números primos, ou seja, a cardinalidade do conjunto P. Nesse caso , ... até que é o maior (e último) dos números primos. Dessa forma enfatizamos que o conjunto P contém todos os números primos existentes. Consideremos agora um novo inteiro n = O TFA afirma que n pode ser fatorado em primos, n = , onde os primos são elementos do conjunto P e k > 1. Segue que ½n onde é um primo do conjunto P. Portanto para algum j onde 1£ j £ r. Conseqüentemente ½ . Sendo assim ½n e ½ ; logo ½n - . Por outro lado, n - = 1 e, dessa forma, ½n - = 1, ou seja, ½1, contrário à definição de número primo. Essa contradição mostra que nenhum conjunto finito P pode conter todos os números primos.
Outra questão bastante interessante relacionada aos números primos diz respeito à freqüência de ocorrência dos números primos em sua ordem natural de aparição no conjunto dos números naturais. Em outras palavras, quantos primos existem entre os números naturais 1, 2, ..., X quando X é um número grande? Esse número que, em geral, depende de X, é denotado por p (X), ou seja, p (X) é o número de primos menores ou iguais a X. Por exemplo, p (4) = 2, p (7) = 4.
ou seja, p (X) é aproximadamente X / log X quando X é um número natural muito grande. Essa conjectura sugere que o quociente de p (X) por X / log X tende ao limite 1 quando X tende a infinito. Essa formulação é conhecida como o Teorema do Número Primo e foi demonstrada, independentemente, por de la Vallée – Poussin e Hadamard em 1896 utilizando-se de novos e poderosos métodos analíticos da teoria das variáveis complexas. Em 1948 Atle Selberg e Paul Erdös deram outra demonstração sem a utilização de teoria das variáveis complexas. Muitos matemáticos contribuíram para a demonstração do Teorema do Número Primo: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée–Poussin, Tchebychev, etc. Essa foi uma das maiores aquisições da matemática do Século XIX e deu origem à Teoria Analítica dos Números.