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Árvores Binárias Estrutura de Dados Marco Antonio Montebello Júnior
2 Fundamentos sobre árvores
Uma árvore é um conjunto finito de n >= 0 nós Se n = 0 temos uma árvore nula Se n > 0 temos uma árvore com as seguintes características: Existe um nó especial chamado raiz; Os demais são particionados em T1, T2, . . ., Tk estruturas disjuntas de árvores As estruturas T1, T2, . . ., Tk denominam-se árvores Estrutura de Dados
3 Conceitos importantes sobre árvores
Grau Representa o número de subárvores de um nó. Nó folha ou terminal É o nó que possui grau 0, ou seja, não possui subárvores. Grau de uma árvore (n-aridade) É definido como sendo igual ao máximo dos graus de todos os seus nós. Nós filhos São as raízes das subárvores de um nó. E este nó é o pai delas. Estrutura de Dados
4 Conceitos importantes sobre árvores
Nós irmãos São os nós filhos que apresentam o mesmo pai (existem ainda nó ancestral, descendente, descendente esquerdo ou direito); Nível A raiz da árvore tem nível 0 (em alguns livros é considerado igual à 1). Qualquer outro nó apresenta um nível a mais que seu nó pai Altura (em alguns livros é profundidade) É o máximo dos níveis de todos os nós da árvore. Isso equivale ao tamanho do passeio mais distante da raiz até qualquer folha Estrutura de Dados
5 Conceitos importantes sobre árvores
6 Conceitos importantes sobre árvores
Valor A B C D E F G Estrutura de Dados
7 Conceitos importantes sobre árvores
Valor A Nó 'a' grau 3. Nó 'h' grau 2 B 'e', 'g', 'k', 'l', 'm', 'i', e 'j' C Grau 4 D 'z', 'e', 'f' e 'g' filhos 'b'. 'b' filho 'a' E 'z', 'e', 'f' e 'g' mesmo pai 'b' F 'b', 'c' e 'd' nível 1. 'z', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i' e 'j' nível 2. 'k', 'l' e 'm' nível 3 G Altura: 4 Estrutura de Dados
8 Árvores Binárias É uma árvore que pode ser nula, ou então apresentar as seguintes características: Um nó especial chamado raiz; Os demais nós são particionados em T1, T2 estruturas disjuntas de árvores binárias; A estrutura T1 é chamada subárvore esquerda e T2 subárvore direita da raiz. Estrutura de Dados
9 Árvores Binárias Árvore binária estritamente binária
Ocorre quando todo nó que não é folha, tiver subárvores esquerda e direita não vazias. Uma árvore estritamente binária com n folhas contém sempre 2n - 1 nós Árvore binária completa É uma árvore estritamente binária de profundidade (altura) d, cujas folhas estejam no nível n. Considerando tn como o número total de nós numa árvore binária completa de profundidade d, observamos a seguinte relação : tn = 2d - 1 Estrutura de Dados
Observamos que uma árvore binária é um caso especial de árvore cujos nós não têm grau superior a 2 Nenhum nó tem mais do que dois filhos Existe um forte senso de posição pela existência de uma subárvore direita e esquerda Cada subárvore caracteriza uma definição recursiva Estrutura de Dados
Será que as árvores binárias apresentadas abaixo são iguais ou distintas? Por que? Exemplo de duas árvores binárias com subárvores nulas Estrutura de Dados
Um exemplo de árvore estritamente binária Estrutura de Dados
Um exemplo de árvore binária completa de nível 3 e altura 4 Estrutura de Dados
14 Árvores de Busca Binárias
15 Árvores de busca binária
É aquela que tem a propriedade de todos os elementos na subárvore esquerda de um nó n serem menores que o conteúdo de n, e todos os elementos na subárvore direita de n serem maiores ou iguais ao conteúdo do nó n Estrutura de Dados
16 Árvores de busca binária
Dessa forma, podemos realizar as seguinte observações: Todo elemento armazenado na subárvore esquerda é menor que n; Nenhum elemento armazenado na subárvore direita é menor que n; As subárvores esquerda e direita também são árvores de busca binária A definição de árvore de busca binária também é recursiva Estrutura de Dados
17 Árvores de busca binária
Abaixo está o exemplo de uma árvore de busca binária e uma árvore que não pode ser considerada como tal. Árvores Binárias ordenada Árvore Binária não ordenada (busca binária) Estrutura de Dados
18 Mais um Exemplo de Árvore de Busca Binária
Veja mais um exemplo de árvore de busca binária, dessa vez, com valores numéricos e considerando a seguinte seqüência de entrada : 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17, 9, 14 e 5. Estrutura de Dados
19 Outro exemplo Uma outra aplicação é a representação de uma expressão contendo operandos e operadores A + B * C (A + B) * C Estrutura de Dados
20 Operações básicas em árvores de busca binária
Representando um nó: struct arv { char obj; struct arv *esq, *dir; }; typedef struct arv *AVRPTR; Estrutura de Dados
21 Operações básicas em árvores de busca binária
Uma árvore binária de busca binária vazia é representada por uma variável ponteiro nula A utilização de uma lista encadeada tem a vantagem de não necessitar nenhuma movimentação de dados quando um novo elemento precisa ser inserido Basta o ajuste adequado dos ponteiros para colocar o novo elemento na posição adequada Observamos que a inserção de elementos novos é ainda mais eficiente porque eles entram sempre na condição de folhas, pois, um nó não pode entrar numa árvore e já "assumir" filhos Estrutura de Dados
22 Operações básicas em árvores de busca binária
Abaixo está a estrutura de representação interna de uma árvore de busca binária na memória: Representação interna de árvore binária Estrutura de Dados
23 Inserção de um elemento numa árvore de busca binária
Acompanhe as operações de inserção realizadas na árvore de busca binária, para observar que basta movimentar adequadamente os ponteiros para a realização das inserções Estrutura de Dados
24 Inserção de um elemento numa árvore de busca binária
25 Observações sobre a inserção de elementos numa árvore de busca binária
Observando os exemplos anteriores, podemos considerar que a inserção é uma operação trivial Basta verificar se a árvore não está vazia, em seguida, se o novo elemento é menor do que a raiz, a inserção é na subárvore esquerda, caso contrário, a inserção é na árvore direita Estrutura de Dados
26 Exemplo de uma rotina para inserir elementos numa árvore binária de busca
void tins(AVRPTR *plist, char x) { if((*plist)== NULL) *plist=(AVRPTR) malloc(sizeof(struct arv)); (*plist)->obj= x; (*plist)->esq=NULL; (*plist)->dir=NULL; } else if(x<(*plist)->obj) tins(&((*plist)->esq),x); tins(&((*plist)->dir),x); Estrutura de Dados
27 Pesquisa de um elemento
T é uma árvore nula Não fazemos nada A raiz de T armazena o elemento X A solução é imediata X é menor que o valor da raiz de T Prossegue-se com a busca na subárvore esquerda de T X é maior ou igual à T Prossegue-se com a busca na subárvore direita de T Estrutura de Dados
28 Exemplo de uma rotina para pesquisar um elemento numa árvore de busca binária
AVRPTR tfnd(AVRPTR *plist, char x) { if(*plist==NULL)/*elemento nao encontrado*/ return (NULL); else if(x==(*plist)->obj)/*elem. encontrado na raiz*/ return(*plist); if(x<(*plist)->obj)/*procura-o numa subarvore*/ return(tfnd(&((*plist)->esq),x)); return(tfnd(&((*plist)->dir),x)); } Estrutura de Dados
29 Pesquisa de um elemento
Quando os elementos que a árvore armazena estão distribuídos de forma equilibrada em todas as subárvores, a busca binária aproxima-se muito, em eficiência, da busca binária realizada em tabelas seqüenciais. Por que? Estrutura de Dados
30 Remoção de um elemento A raiz não possui filhos
A solução é imediata. Podemos removê-la e anular T A raiz possui um único filho Podemos remover o nó raiz, substituindo-o pelo seu nó filho; A raiz possui dois filhos Não é possível que os dois filhos assumam o lugar do pai; escolhemos então o nó que armazena o maior elemento na subárvore esquerda de T, este nó será removido e o elemento armazenado por ele entrará na raiz da árvore T Estrutura de Dados
31 Exemplo de uma rotina para remover um elemento numa árvore de busca binária
AVRPTR getmax(AVRPTR *plist) { AVRPTR t; t = *plist; if(t->dir == NULL) *plist = (*plist)->esq; return(t); } else return(getmax(&((*plist)->dir))); Estrutura de Dados
32 Exemplo p = getmax(&(t->esq));/*desliga o nó com maior valor*/
t->obj = p->obj;/*armazena o valor na raiz da árvore*/ free(p); Estrutura de Dados
33 Uma rotina de remoção mais genérica
A rotina tRem( ) é essencialmente igual àquele utilizado para pesquisa A diferença é que, caso o elemento seja encontrado (na raiz da árvore), ele será removido Estrutura de Dados
34 Uma rotina de remoção mais genérica
int tRem(AVRPTR *plist, char *x) { AVRPTR p; if(*plist == NULL) return(1); /*elemento não encontrado*/ if((*x == (*plist)->obj) == 1) /*elem. encontrado na raiz*/ p = *plist; if((*plist)->esq == NULL) *plist = (*plist)->dir; /*raiz nao tem filho esq.*/ else if((*plist)->dir == NULL) *plist = (*plist)->esq; /*a raiz nao tem filho dir.*/ else /*a raiz tem ambos os filhos*/ p = getmax(&((*plist)->esq)); (*plist)->obj=p->obj; } free(p); printf("\nElemento achado e removido!!!"); if((*x<(*plist)->obj) == 1) tRem(&((*plist)->esq), x); /*procura na subarvore esq.*/ tRem(&((*plist)->dir), x); /*procura na subarvore dir.*/ Estrutura de Dados
35 Passeio em Árvores Binárias
36 Passeio em árvores binárias (percurso ou atravessamento)
Realizar um passeio numa árvore binária deve ser entendido como visitar de forma sistemática, cada um de seus nós, desenvolvendo um certo processamento. Podemos considerar quatro tipos de passeios: Em-ordem Pré-ordem (também conhecido como passeio em profundidade) Pós-ordem Em-nível Estrutura de Dados
37 Facilitando a compreensão com uma analogia
Para facilitar a compreensão dos três primeiros tipos, vamos utilizar um analogia com as notações que uma expressão aritmética pode ser escrita : infixa, prefixa e pósfixa. Considerando a expressão infixa A + B, podemos utilizar a seguinte representação: + A B Estrutura de Dados
38 Analogia A tabela abaixo ilustra as possibilidades de exibir os nós da árvore anterior: Tipo da notação Seqüência Equivalência de passeio Infixa Exibir a folha esquerda (E) Em-ordem Exibir a raiz (R) Exibir a folha direita (D) Prefixa Pré-ordem Exibir a folha esquerda (E) Pósfixa Pós-ordem Estrutura de Dados
39 Resolva: Formas de Passeio Saídas Em-ordem (ERD) Pré-ordem (RED)
Pós-ordem (EDR) B A C Estrutura de Dados
40 Resultado Formas de Passeio Saídas Em-ordem (ERD) A, B, C
Pré-ordem (RED) B, A, C Pós-ordem (EDR) A, C, B B A C Estrutura de Dados
41 Exemplo mais complexo de uma árvore binária com subárvores
Formas de Atravessamento Saídas Em-ordem (ERD) Pré-ordem (RED) Pós-ordem (EDR) D B E A C F Estrutura de Dados
42 Resultado Formas de Atravessamento Saídas Em-ordem (ERD)
A, B, C, D, E, F Pré-ordem (RED) D, B, A, C, E, F Pós-ordem (EDR) A, C, B, F, E, D D B E A C F Estrutura de Dados
43 Observações importantes
Pela análise na figura da representação da expressão A + B como árvore binária e a analogia realizada a partir dela, percebemos que a seqüência básica de acesso ERD pode ser generalizada Na verdade, cada subárvore não precisa se restringir a uma única folha: Exibir a subárvore esquerda (E) Exibir a raiz (R) Exibir a subárvore direita (D) + A B Estrutura de Dados
Podemos observar que a seqüência ERD tornou-se recursivas Ambas as subárvores devem ser impressas também em-ordem e a recursão pára quando chegamos a subárvores nulas As seqüências pré-ordem e pós-ordem podem ser generalizadas segundo o mesmo raciocínio + A B Estrutura de Dados
45 Rotina para passeio em-ordem
void emordem(AVRPTR t) { if(t != NULL) emordem(t->esq); printf(" %c,",t->obj); emordem(t->dir); } Estrutura de Dados
46 Rotina para passeio em pré-ordem
void preordem(AVRPTR t) { if(t != NULL) printf(" %c,",t->obj); preordem(t->esq); preordem(t->dir); } Estrutura de Dados
47 Rotina para passeio em pós-ordem
void posordem(AVRPTR t) { if(t != NULL) posordem(t->esq); posordem(t->dir); printf(" %c,",t->obj); } Estrutura de Dados
48 O passeio tipo em-nível
Parece ser o de mais fácil compreensão Entretanto, sua implementação é a mais complexa. Supondo que ele fosse aplicado à árvore da figura abaixo, obteríamos s seqüência : D, B, E, A, C, F Observe que agora os nós são acessados, por nível, da esquerda para a direita D B E A C F Estrutura de Dados
49 Desenvolvendo um algoritmo para o passeio em-nível
Podemos usar uma fila contendo inicialmente apenas o nós raiz A partir daí, enquanto a fila não se tornar vazia, retiramos dela um nós cujos filhos deverão ser colocados na fila, aí então, o nó retirado da fila pode ser exibido Como podemos observar, a rotina emnivel faz uso de uma fila Também estão listadas as rotinas para implementar uma fila circular Estrutura de Dados
50 Rotina void emnivel(AVRPTR t) { AVRPTR n; NODEPTR q; if(t != NULL)
qinit(&q); insert(&q,t); while (empty(&q) != 1) n = remove(&q); if(n->esq != NULL) insert(&q,n->esq); if(n->dir!=NULL) insert(&q,n->dir); printf(" %c,", n->obj); } Estrutura de Dados
51 Fila Circular void qinit(NODEPTR *pq) { *pq = NULL; }
void insert(NODEPTR *pq, AVRPTR x) NODEPTR p; p =(NODEPTR) malloc(sizeof (struct fila)); p->info=x; if(empty(pq) == 1) *pq=p; else p->next=(*pq)->next; (*pq)->next=p; Estrutura de Dados
52 Fila Circular AVRPTR remove(NODEPTR *pq) { AVRPTR x; NODEPTR p;
if(empty(pq) == 1) printf("Underflow da fila\n"); getch(); exit(1); } p = (*pq)->next; x = p->info; if(p == *pq) /*somente um no' na fila*/ *pq = NULL; else (*pq)->next = p->next; free(p); return(x); int empty(NODEPTR *pq) return((*pq == NULL)?1:0); Estrutura de Dados
53 Destruição de uma árvore
A rotina tDestruir() utiliza o atravessamento pré-ordem e, para cada nó acessado, o processamento consiste numa comparação que avalia se o elemento armazenado pelo nó é aquele procurado. Muitos outros algoritmos importantes no tratamento de árvores são baseados nestes tipos de atravessamento Abaixo está o exemplo do algoritmo tDestruir( ), para destruir árvores Ele utiliza um atravessamento do tipo pós-ordem, cujo processamento é a liberação do nó acessado Estrutura de Dados
54 Destruição de uma árvore
void tDestruir(AVRPTR *plist) { if(*plist != NULL) tDestruir(&((*plist)->esq)); /*libera subarvore esquerda*/ tDestruir(&((*plist)->dir)); /*libera subarvore direita */ free(*plist); } Estrutura de Dados