Aula 02 – Técnicas usando a Imagem das funções – Noic
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Aula 02 - Técnicas usando a Imagem das funções
Nesta aula analisaremos com mais cuidado o domínio e o contradomínio de cada função, tentando explorar estas propriedades. Toda função pode ser classificada como injetora, sobrejetora, bijetora ou simplesmente nenhuma destas. Através de cada uma dessas definições podemos solucionar problemas de forma mais eficaz. Segue abaixo cada definição e exemplos de sua utilização. Começarmos novamente com um exemplo para aquecer:
Determine todas as funções tais que:
Usaremos um pouco do que aprendemos na aula anterior. Primeiramente vejamos que nesta função podemos colocar e então e como , a função possui em sua Imagem qualquer número inteiro que queremos, já que varia nos inteiros, logo o Contradomínio da função é igual a sua Imagem, logo a função é sobrejetora. Vejamos também que nesta mesma função se colocarmos obteremos e se:
Para quaisquer e portanto a função é chamada de injetora. Agora vejamos que se colocamos temos:
E que se e temos:
Logo , mas , logo e portanto e se sabemos os valores de e podemos escrever por indução e deixamos para o leitor terminar o restante da solução com as técnicas conhecidas na aula 01.
Conhecidas as definições, vamos ao trabalho:
Dizemos que uma função é sobrejetora quando a sua Imagem é igual ao seu Contradomínio, ou seja, para todo , existe tal que , onde é o domínio da função. As duas principais vantagens ao provarmos a sobrejetividade de uma função são o fato de podermos usar que existe tal que ou outro valor muito importante no problema e que se encontrarmos uma equação em função de podemos usar que percorre todos os reais. Para melhores esclarecimentos segue o exemplo:
(Banco IMO/2002) Encontre todas as tais que:
Primeiramente provaremos que a função é sobrejetora, mas isto é simples, pois colocando na equação principal:
Portanto ao variarmos pelos reais vemos que se e constante então:
E assume todos os valores reais pois percorre todos os reais quando variamos e portanto para todo , existe tal que . Logo é sobrejetora. Como é sobrejetora, existe tal que então colocando na equação principal:
Mas pelo fato de ser sobrejetora, novamente temos que percorre todos os reais então podemos colocar onde é um real, logo de :
Onde é qualquer real e fazendo uma troca de variável então:
Logo onde e é uma constante qualquer, verificando vemos que esta é de fato a solução única.
Dica: Vejamos que se onde é qualquer expressão em função de variáveis, a própria variável do problema e constantes então é sobrejetora nos reais. Relembre disto, pois este caso representa boa parte das vezes que provamos que é sobrejetora.
Dizemos que uma função é injetora se implica que . A principal vantagem ao provarmos a injetividade de uma função é que podemos "cortar" os , por exemplo, se então cortando os dos dois lados teremos que , mas se NÃO podemos dizer que , pois só podemos cortar os quando os mesmos abrangem totalmente os dois lados da igualdade. Para melhores esclarecimentos segue o exemplo:
(EGMO 2012) Encontre todas as funções tais que:
Como em toda equação funcional, testando os casos iniciais, vejamos que colocando na equação principal temos:
De colocando a função nos dois lados temos:
E colocando em :
Colocando temos que obrigatoriamente , pois caso contrário e temos um absurdo. Colocando na equação original temos:
Mas de temos;
Então . E consequentemente . Agora colocando na equação principal temos:
Mas vejamos que e portanto:
Agora usaremos a injetividade! Mas antes devemos prová-la. Suponha que de fato existam e no domínio, tais que , então temos que:
Logo se e portanto é injetora. Se é injetora podemos cortar os em :
Verificando vemos que esta é de fato solução única.
Dica: Vejamos que se onde é a própria variável do problema e constantes então é injetora nos reais. E também sobrejetora! 🙂 Relembre disto, pois este caso representa boa parte das vezes que provamos que é injetora.
Bjetividade:
Dizemos que uma função é bijetora quando a mesma é injetora e sobrejetora. A principal vantagem ao provarmos a bijetividade de uma função é que sabemos que esta possui inversa, onde . Devido ao pouco uso desta ferramenta, segue dois problemas que usam esta ideia, porém não iremos exemplificar, já que na quase totalidade dos casos a bijetividade é usado como injetividade e sobrejetividade separadamente.
Basicamente estas técnicas aparecem em mais de 50% dos problemas de equações funcionais olímpicos e se você está curioso para explorar ainda mais este mundo de equações funcionais e aprender técnicas para resolver cerca de 80% dos problemas, segue a aula 03.