Como calcular o número cardinal dos conjuntos |
Como calcular o número cardinal dos conjuntos
Por Carlos Mano Atualizado em 21 fevereiro, 2017 Traduzido por Carlos Nascimento
A nossa moderna compreensão de cardinalidade vem do trabalho de Georg Cantor na década de 1890. Os conjuntos podem ter três tipos de cardinais: finito, contável e incontável. Os conjuntos finitos poderão ter um número específico atribuído, como sua cardinalidade: o número de itens no conjunto. Tanto os conjuntos contável como o incontável são infinitos. Cantor foi o primeiro matemático a apontar que a característica de um conjunto infinito é que ele poderá ser posto em uma correspondência de um para um, com um subconjunto próprio dele mesmo.
O infinito é mais complicado do que parece (Phil Ashley/Lifesize/Getty Images)
Dê um número específico para um conjunto de cardinalidade se ele for finito. Para esses conjuntos, a cardinalidade é o número de objetos dentro dele. Para os infinitos, é impossível designar um número específico para a cardinalidade – nós podemos apenas utilizar uma palavra descritiva. Um subconjunto próprio de um conjunto é aquele que contém alguns – mas não todos – dos números do conjunto, mas nenhum que não esteja dentro dele. Por exemplo, um subconjunto de letras do alfabeto português são as letras na palavra "banana". Para os conjuntos finitos, os subconjuntos próprios são menores que o conjunto. O que não é verdade para os conjuntos infinitos.
Comece com um elemento específico do conjunto e fique contanto para sempre, em uma forma específica, para enumerar todos os elementos de um conjunto. Essa é a definição da contabilidade de um conjunto infinito. A característica chave é que existe um algorítimo para listar todos os elementos eternamente. O conjunto infinito contável arquetípico é o de números inteiros. Comece contando com "um" e continue com o próximo número sequencial. Você não poderá dar um número para a cardinalidade, somente dirá que é eterna. Note que para cada número inteiro existe um número par correspondente que será duas vezes maior. Existem tantos números inteiros, como pares. Há uma correspondência de um para um, entre o conjunto e um subconjunto próprio desse conjunto.
Compare um conjunto com os números entre zero e um, para ver se ele é infinito incontável. Você não poderá começar contando-os, pois não existe "próximo" número após um número entre zero e um. Cantor deu um exemplo para ajudar com o entendimento intuitivo dos conjuntos incontáveis: pontos e linhas. Os pontos não têm comprimento ou largura, ainda que uma linha seja feita de pontos. Se as linhas forem uma infinidade de pontos, o comprimento da linha seria 0 + 0 + 0 e assim por diante, para sempre. As linhas devem ter um incontável número de pontos.
O teste de Cantor é para ver se dois conjuntos têm a mesma cardinalidade, se os elementos do conjunto poderão ser postos em correspondência, um para um, com o outro.
A aritmética só funcionará para os conjuntos finitos. Se N for tanto contável como incontável infinito, N + 1 = 200N = N + N = N.