Conjugados Isogonais
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Applet Interativo
Você pode mover os pontos A, B e C (clique no ponto e arraste-o).
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Este applet foi construído com o software de geometria dinâmica gratuito e multiplataforma C.a.R..
O conjugado isogonal X-1 de um ponto X no plano do triângulo ΔABC é construído através das reflexões das retas AX, BC e CX com relação às bissetrizes dos ângulos em A, B e C, respectivamente. Estas retas refletidas são concorrentes no conjugado isogonal X-1 de X.
As coordenadas trilineares do conjugado isogonal do ponto com coordenadas trilineares α : β : γ são dadas por
α-1 : β-1 : γ-1.
As coordenadas baricêntricas do conjugado isogonal do ponto com coordenadas baricêntricas x : y : z são dadas por
a2/x : b2/y : c2/z.
Um par famoso de conjugados isogonais é formado pelo ortocentro e o circuncentro. O conjugado isogonal do incentro é o próprio incentro. Mais geralmente, um ponto X é o seu próprio conjugado isogonal com relação ao triângulo ΔABC se, e somente se, X é o incentro ou um dos três excentros do triângulo ΔABC. O conjugado isogonal de um ponto sobre o circuncírculo é um ponto no infinito e vice-versa.
O aplicação isogonal leva retas em circuncônicas. O tipo da cônica é determinado pelo número de intersecções da reta l com o circuncírculo K. Se l não intercepta K, a imagem isogonal da reta é uma elipse, se l é tangente a K, a imagem isogonal da reta é uma parábola e se l intercepta K em dois pontos, a imagem isogonal da reta é uma hipérbole, que é uma hipérbole retangular se a reta passa pelo circuncentro.
No applet abaixo, P e Q são conjugados isogonais. A seguinte relação se verifica: s/r = x/y, onde s = d(P,S), r = d(P,R), x = d(Q,X) e y = d(Q, Y). Também, os ângulos indicados no applet são congruentes.
Ross Honsbeger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America, 1996.
Eric W. Weisstein, Isogonal Conjugate. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IsogonalConjugate.html.
Este é um trabalho conjunto de
Humberto José Bortolossi, Lis Ingrid Roque Lopes Custódio e Suely Machado Meireles Dias.
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