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Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 2.Problemas - Ex. 112
A haste de madeira redonda uniforme de 5 m de comprimento da Figura P2.112 está presa ao fundo por um fio. Determine (a) a tração no fio e (b) a densidade da madeira. É possível, com as informações dadas, determinar o ângulo de inclinação theta? Explique.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.
Nesse problema, temos uma haste de madeira redonda uniforme de 5 m de comprimento e diâmetro D = 8 c m , presa ao fundo por um fio, como mostra a figura que ilustra o problema.
Além disso, pra entender melhor o problema, dá uma olhadinha no esquema abaixo:
Na figura acima, estão expostas as forças envolvidas no problema: o empuxo E o peso W da haste de madeira e a tensão T que prende a haste.
O enunciado nos pede para calcular a tensão do fio e também a densidade d da madeira. Pra fazer isso, devemos fazer um balanço com essas três forças:
T = E - W
Ou seja, a tensão no fio deve ser suficiente para impedir que a madeira flutue.
Nos próximos passos, e vou te ensinar a calcular o empuxo E o peso W e com eles calcular T e d .
Vem comigo pra resolver a questão!
Mostrar Solução Completa
Passo 2
Pra começo de conversa, nós não temos com calcular o peso W diretamente. Porém, temos calculá-lo se fizermos um balanço de momento das forças peso e empuxo com relação ao fio que prende a haste.
Como a barra está fixa, isso significa dizer que o somatório de momento das forças aplicadas no fio é zero. Ou seja, nosso balanço de momentos é:
∑ M f i o = W × l W + E × l E = 0
Sendo: l W e l E as linhas de aplicação com relação ao fio do peso e do empuxo, respectivamente.
Pra saber como calcular as linhas de aplicação, vamos ver esse outro esquema do problema:
Como você pode ver pela figura, podemos calcular as linhas de aplicação a partir a partir de relações trigonométricas.
Primeiro, devemos lembrar que segundo o enunciado a haste de madeira é uniforme. Portanto, podemos considerar que todo o peso e o Empuxo estão concentrados em um ponto: no caso do peso, no meio da haste, e do empuxo, no meio da parte submersa.
Dessa forma, podemos definir a distância de aplicação da força peso W com relação ao fio será 5 m 2 cos ⁡ θ e a distância de aplicação do empuxo E será 4 m 2 cos ⁡ θ .
Para resolver o balanço de momento, devemos calcular o valor do empuxo a partir da equação abaixo:
E = γ V d e s l
Sendo: γ = 9790 N / m ³ ³ o peso específico da água; e V d e s l o volume de haste submersa.
Logo, o empuxo é igual a:
E = 9790 N / m ³ π 4 0,08 c m 2 4 m = 196,8 N ³
Agora, podemos substituir esses valores no balanço de momento:
W × 5 m 2 cos ⁡ θ + 196,8 N × 4 m 2 cos ⁡ θ = 0
W = 393,6 cos ⁡ θ 2,5 cos ⁡ θ = 157,4 N
Como vocês podem ver pelo resultado acima, não é possível calcular o ângulo θ pois ele se cancela no balanço de momento.
Passo 3
Agora, já podemos calcular a tração T no fio voltando pra aquela equação que eu te mostrei lá no Passo 1:
T = B - W
T = 196,8 N - 157,4 N
T = 39,4 N
Pronto, agora só falta um passo pra gente terminar!
Passo 4
Pra finalizar a questão, vamo calcular a densidade d da barra. Pra isso, vamos definir a equação para cálculo da força peso:
W = d γ V h a s t e
Sendo V h a s t e = π 4 0,08 m 2 5 m = 0,025 m ³ ³ é o volume de toda a haste de maneira.
Sendo assim, podemos calcular a densidade da haste de madeira:
d = W γ V h a s t e = 157,4 N 9790 N / m ( 0,025 m ³ ) = 0,64 ³
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
(a) A tração no fio é T = 39,4 N
(b) A densidade da madeira é d = 0,64
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