FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas são muito úteis na modelagem de fenômenos periódicos observados na natureza. Conceitos como amplitude e período, além das transformações possíveis em seus gráficos, permitem aplicações na astronomia, na geografia, na medicina e em inúmeros outros campos do conhecimento humano.
2 I. A função seno É definida como a relação f:  que associa a cada valor real x um valor real y = sen x, correspondente à coordenada yC do ponto C, extremidade dos arcos côngruos a x na circunferência trigonométrica, de tal modo que: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3 I. A função seno Gráfico de f(x) = sen x Para valores do domínio 0 e 2 (1a volta positiva no centro), a função sen x assume todos os valores reais no intervalo [–1, 1]. Esse comportamento se repete nos intervalos com extremidades cujos calores são múltiplos inteiros de 2. Ex.: Em [–2, 4], existem seis valores de x cuja imagem vale –0,5 (indicados no gráfico por setas vermelhas). FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4 I. A função seno O valor 2 é chamado período da função seno, pois, a cada intervalo correspondente a 2 percorrido no domínio, os valores de f(x) percorrem novamente o intervalo de –1 a 1, como na 1a volta da circunferência, e assim sucessivamente, tanto no sentido anti-horário da circunferência trigonométrica como no sentido horário. Veja que f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = f(x + 6) e assim por diante, pois cada 2 corresponde a uma volta completa. O intervalo de variação da imagem de y = sen x é y  [–1, 1], e sua amplitude é igual a 1, o que representa o quanto os valores de sen x variam acima e abaixo de zero. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5 II. A função cosseno É definida como a relação f:  que associa a cada valor real x um valor real y correspondente à abscissa xC do ponto C, extremidade dos arcos côngruos a x na circunferência trigonométrica, de tal modo que: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6 II. A função cosseno  Observe o gráfico da função y – cos x, para x 
I. as curvas das funções seno e cosseno têm o mesmo formato, embora defasadas (deslocadas) unidades uma em relação a outra; II. ambas têm amplitude igual a 1, com a imagem variando no intervalo fechado [–1, 1]; III. ambas têm período igual a 2.  2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7 III. A função tangente É definida como a relação f:  que associa a cada valor real x um valor real t, que corresponde à ordenada do ponto T, obtido a partir do arco x que pertence à circunferência trigonométrica, de tal modo que t = AT = tg x. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
8 III. A função tangente  Gráfico da função f(x) = tg x
Nesse gráfico, merecem destaque os pontos em que a curva não é contínua, pois para os valores de x = k, com k inteiro, a função não está definida.  2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
9 IV. Comentários gerais Vamos partir da função seno e introduzir parâmetros, um de cada vez, observando as consequências geométricas sobre o gráfico. A função geral tem o formato: y = a sen(bx + c) + d Gráficos de y = sen x e y = 2 . sen x (a = 2; b = c = d = 0) O coeficiente a influi na amplitude da função. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
10 IV. Comentários gerais Gráficos de y = sen x e y = sen 2x (a = c = d = 0; b = 2) O coeficiente b altera o período da função. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
11 IV. Comentários gerais Gráficos de y = sen x e y = sen(x + 1) (a = b = d = 0; c = 1) O parâmetro denotado pela letra c provoca uma translação horizontal no gráfico da função. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
12 IV. Comentários gerais Gráficos de y = sen x e y = sen x + 1 (a = b = c = 0; d = 1) Nesse caso, o parâmetro d desloca o gráfico verticalmente. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Clique na imagem para ver a animação. Professor: essa animação visa rever os conceitos discutidos no tópico e fornece uma boa visualização da construção das funções seno e cosseno no plano cartesiano e de suas características. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
14 a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)).
1 (UFC-CE) Considere as funções definidas f:  e g:  , respectivamente, por f(x) = x2 + 1 e g(x) = cos x - sen x. a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)). b) Determine o valor máximo da função composta h(x) = f(g(x)). EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
15 2 (PUC-Campinas-SP) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metro. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a  sen (b  t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metro, então: RESPOSTA: A FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
16 RESPOSTA: B 5 (PUC-SP) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de em , definida por f(x) = k . sen (mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8л. 3 EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
17 8 (Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma f(t) = A + B sen com o argumento medido em radianos. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio. RESPOSTA: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
18 a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
12 1 (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen	definida para todo x real a) Dê o período e o conjunto imagem da função f. b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais que y = 1. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR
19 1 15 (UFPB) Considere um corpo, preso a uma mola, oscilando em torno da sua posição de equilíbrio O, como na figura ao lado. No instante t, a posição x = x(t) desse corpo, em relação à sua posição de equilíbrio, é dada pela função x(t) = cos , t ≥ 0. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS Dessa forma, o gráfico que melhor representa a posição x desse corpo, como função do tempo t, em relação ao ponto O, é: RESPOSTA: B Comparemos as funções: f(t) = cos t e g(t) = cos (at + b) em que, a =  e b , analisando a influência dos coeficientes a e b no gráfico de f(t): ■ a > 1 altera o período diminuindo-o; isso descarta as alternativas d e e; ■ b > 0 desloca o gráfico horizontalmente para a direita; ■ g (t) = 0; ■ À medida que t aumenta, a partir de t = 0, g(t) também aumenta; portanto, ela é crescente no início, e a alternativa a está descartada. Portanto, o gráfico que melhor representa a função x(t), respeitando as considerações anteriores, está na alternativa b. 3 2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – NO VESTIBULAR