Janeiro 2018 - Medidas e medições para todos
Incerteza da área e do volume
A medição do volume é, frequentemente, indireta. Isto é, correntemente, o volume é obtido por cálculo a partir de grandezas medidas diretamente no sólido.
Por exemplo, para medir o volume de um cilindro, mede-se-lhe o diâmetro e mede‑se-lhe a altura e seguidamente calcula-se-lhe o volume: diz-se que o volume é medido indiretamente. Contudo, o diâmetro e a altura são medidos diretamente.
Dependendo dos tamanhos do diâmetro e da altura, poderemos até usar diferentes tipos de instrumentos: por exemplo, um paquímetro para o diâmetro do cilindro, e uma régua para a altura, em conformidade (também) com a incerteza (a precisão?) que desejamos.
Não há, correntemente, instrumentos de medir o volume (metros cúbicos, m3, ou seus múltiplos e submúltiplos): só há instrumentos comuns de medir a capacidade, em litros, L, ou seus múltiplos e submúltiplos, pese embora a equivalência do litro ao decímetro cúbico (dm3).
Quem diz cilindro, diz cubo ou outro sólido de que seja fácil (por exemplo, através de uma fórmula simples) determinar o volume. Optativamente, em alguns casos, talvez se pudesse fazer o que fez Arquimedes, quando descobriu como podia medir o volume de um corpo (ou do seu próprio corpo), após mergulho na banheira! Estando a banheira cheia, o transbordo que ocorre depois do mergulho de um corpo é o volume desse mesmo corpo.
Para a determinação das áreas, também se recorre frequentemente a expressões algébricas que permitem medir (indiretamente) a área a partir de parâmetros geométricos simples, por exemplo, de figuras geométricas regulares, ou polígonos regulares.
Para figuras geométricas irregulares poder-se-á usar o(s) planímetro(s) e fazer medições diretas das áreas, mesmo que sejam áreas de contornos irregulares.
Se for a o lado de um quadrado e i a incerteza da medida (do lado), teremos como incerteza da área do quadrado:
(a+i)2-a2=a2+2∙a∙i+i2-a2=2∙a∙i+i2≈2∙a∙i,
por i2 (em geral) ser muito pequeno e desprezável em comparação com as outras parcelas.
Este resultado obtém-se de forma mais rápida, cómoda e elegante, diferenciando a2 (sendo a2 a expressão para o cálculo da área do quadrado de lado a). Assim,
d(a2)=2∙a∙(da)=2∙a∙i, por termos designado a incerteza de a (da) por i.
Para conhecer a incerteza do volume (calculado) de um cubo de aresta a e incerteza da (ou i), procedemos de modo idêntico, diferenciando a3 (sendo a3 a expressão para o cálculo do volume do cubo de aresta a).
d(a3)= 3∙a2∙(da)=3∙a2∙i, sendo i (ou da) a incerteza de a*.
*O valor do intervalo de incerteza do volume do cubo de aresta a com incerteza i seria então ±3∙a2∙i.
MENSURANDAS PROBLEMÁTICAS
Medir a costa
Medir a costa e mais algumas entidades, isto é, grandezas associadas a estas mesmas entidades, é uma necessidade praticamente incontornável.
Há mensurandas (mensurandos, em brasileiro, uma norma do português) problemáticas, difíceis de caraterizar com simplicidade, facilidade e comodidade, com rigor; com rigor geométrico, com exatidão.
Por exemplo, a determinação do comprimento, ou extensão da costa de um país, frequentemente uma linha poligonal com lados de diferentes tamanhos e ângulos de inflexão variáveis, não é fácil, nem simples, nem um problema clássico.
A costa marítima, uma fronteira natural de muitos países, é irregular, inconstante e dinâmica (instável): varia de comprimento e, localmente, de forma.
É irregular por que não é desenhada à régua; e é instável pelos efeitos das ondas e das marés, e pelos efeitos da subida ou descida do nível médio do mar, a prazo mais longo do que os dos períodos das ondas e das marés.
A irregularidade da costa é muito particular: as irregularidades mantêm-se aparentemente idênticas, quaisquer que sejam a ampliações (zoom positivo) ou reduções (zoom negativo) que façamos dela.
A costa é irregular a qualquer escala que escolhamos para a observar: em tamanho real, ampliada e reduzida, seja vista do espaço, vista no local, ou vista à lupa. Cada parte apresenta irregularidades idênticas às do todo.
Poderíamos tentar eliminar estes problemas fotografando a costa. Porém, a fotografia é um instantâneo datado. Após a fotografia, as coisas mudam, a costa altera‑se. Além disso, a fotografia não mostra todos os pormenores – a sua resolução é finita.
Medir a costa com uma régua de um metro (1 m) daria um resultado diferente do da medição feita com uma régua, por exemplo, de um decímetro (1 dm), se estes procedimentos fossem razoáveis, exequíveis e úteis.
A costa é uma entidade difícil de caraterizar geometricamente, algo entre uma linha e uma superfície: é um fra(c)tal.
Uma linha que represente a variação da cotação das ações – produtos financeiros –, em geral tem caraterísticas idênticas às da linha da costa: é um fra(c)tal.
Mas, não é só a costa que apresenta estas caraterísticas: uma superfície rugosa – como são todas as superfícies –, e, por exemplo, uma couve‑flor, e também os brócolos (uma couve) apresentam padrões de irregularidade de natureza idêntica ao da costa marítima. Cada parte é tão irregular como o todo.
Um pulmão, como os dos sistemas de respiração de muitos animais, parece ter esta caraterística: a sua estrutura é idêntica a qualquer escala, redução ou ampliação.
A dificuldade com algumas grandezas da couve-flor, ou dos brócolos, será pouco relevante, contudo, a rugosidade de algumas superfícies de muitos artefactos, pelo seu interesse em tecnologia(s) da manufatura e do desempenho de componentes de máquinas, é uma grandeza muito importante.
A estrutura de um pulmão, geometricamente um fra(c)tal), também é um aspeto muito importante, entre outras caraterísticas, pelo volume de ar que o mesmo pulmão pode acondicionar e para a eficiência das reparações, por cirurgiões, e pela eventual reprodução que se desejasse fazer dele, para eventuais implantes, por exemplo, nos seres humanos.
E nove "litros quadrados"?
Sabemos que 3 m x 3 m, três metros vezes três metros, são nove metros quadrados, 9 m2, a expressão, por exemplo, de uma área. Mas, não sabemos o que são nove litros quadrados, 9 L2, 3 L x 3 L, três litros vezes três litros.
Saber, sabemos, mas, que significado é que isso tem?, nove litros quadrados, 9 L2?!
Que utilidade tem, ou poderia ter, a unidade "litro quadrado", L2? Em que circunstâncias é usada, ou já foi usada, ou poderia ser usada?
Assim, de repente, não se vislumbra a utilidade, o significado, a pertinência de tal unidade. Metrologicamente legítima, deve ser!
E por que não, se for pertinente, metrologicamente lícita e útil?!
E um segundo (ao) quadrado?, 1 s2, um segundo vezes um segundo, 1 s x 1 s, faz sentido? Que utilidade tem?
Contudo, a aceleração exprime-se, no Sistema Internacional de Unidades (SI), em metros por segundo quadrado (m/s2)!
Um metro por segundo quadrado é uma variação de velocidade de 1 m/s, de qualquer velocidade, num intervalo de um segundo (ou por segundo): 1 ms−1/s =1 ms−2 = 1 m/s2.
Se alguém, caminhando a 1 m/s (3,6 km/h), passa, num lapso de tempo de um segundo (1 s), a correr a 2 m/s (7,2 km/h), submete-se a uma aceleração de 1 m/s2: (2 m/s – 1 m/s)/(1 s) = 1 ms−1/s = 1 ms−2.
Se um carro passa da velocidade de 50 km/h* para 51 km/h*, num intervalo de tempo de um segundo (1 s), sofre uma aceleração de 0,278 m/s2**. Se, no mesmo período (1 s), a velocidade tivesse passado de 50 km/h para 52 km/h, a aceleração seria 0,556 m/s2 (2∙0,278 m/s2)
E a velocidade quadrada?, faz sentido? A energia cinética de uma massa, m, em movimento, à velocidade v, exprime-se por E=1/2mv2. E, segundo Einstein, mc2 (c é a velocidade da luz) seria a energia que poderia ser extraída da massa "m".
3 dm x 3 dm x 3 dm = 27 dm3 é, por exemplo, o volume de um cubo de 3 dm de aresta (27 dm3 é equivalente a 27 L).
Mas, 3 m x 3 m x 3 m x 3 m = 81 m4, ou 9 m2 x 9 m2 = 81 m4 faz sentido prático? Poderia ser o "volume" de um hipercubo?
E há que saber o que é 3 L x 3 L? Faz sentido a expressão 3 L x 3 L? Fará sentido teórico, embora não pareça fazer sentido prático.
Sentido prático pareceria ser uma questão relevante.
A utilidade de muitos conceitos não é imediatamente vislumbrável, nem é prática, nem é banal. Mas, estes conceitos não devem ser proscritos, eliminados, repudiados. Antes pelo contrário!
A Metrologia é um sistema que permite estruturar, formalizar, operacionalizar experiência, conhecimento e necessidades práticas. Mas, uma vez elaborada, aceite e testada a utilidade do corpo desta área, algumas deduções poderão ser inspiradoras, oportunas e legítimas.
9 L2 não tem significado ou utilidade imediatos para as necessidades do dia‑a‑dia. Não tem utilidade prática banal, mas tem legitimidade metrológica.
Desde que correto, oportuno e útil, quase tudo faz sentido em Metrologia.
*50 km/h = 50 000 m/(3600 s) = 50 000/3600 m/s ≈ 13,889 m/s
*51 km/h = 51 000 m/(3600 s) ≈ 14,167 m/s
**51 km/h – 50 km/h ≈ 14,167 m/s – 13,889 m/s = 0,278 m/s
**(0,278 m/s)/(1 s) = 0,278 ms−1/s = 0,278 ms−2 = 0,278 m/s2
MEDIR A IDADE DO UNIVERSO
O universo faz anos?
Tudo faz anos! Tudo tem o seu aniversário. Embora os aniversários da maior parte das coisas não sejam conhecidos.
Por exemplo, aquele calhau branco rolado, na praia, nasceu; o peixe que há pouco veio à superfície não estava cá há cem anos; uma oliveira, no montado, poderá ser de provecta idade – talvez tenha visto Afonso Henriques a passar!
Para a nossa escala do tempo, os coelhos nascem, mas, as pedras vão nascendo.
Contudo, vários seres vivos só fazem meses; outros só fazem dias; outros só fazem horas; outros só fazem minutos. Tudo é efémero por que o Universo, e as suas partes, estão em evolução. Até o Universo teve começo. Teve?! Não estávamos lá para o documentar, mas muitos acreditam que sim, quer os crentes, quer os que aceitam a narrativa científica vigente mais corrente. O tempo e o espaço, como os conhecemos, são conceções nossas; conceções mutáveis; conceções variantes!
Tudo está mergulhado no tempo e … no espaço que, por sua vez, também nasceram. Ou, de modo talvez simplista, o tempo e o espaço são propriedades dos corpos; um e outro parecem não existir fora deles, dos corpos.
Aparentemente, um calhau não nasce, vai nascendo, vai ganhando individualidade, de modo longo e talvez fortuito e arbitrário. A gestação de um calhau é longa, mas podemos estabelecer critérios para fixar a respetiva idade.
Também os seres humanos, que se vão alterando (crescendo, envelhecendo e morrendo), não nascem de um ato, mas vão nascendo, de um processo. Dar à luz é um processo mais ou menos demorado. E a conceção, o momento que, para alguns povos, seria o início da contagem da idade do novo ser, também é um processo não identificável com um momento.
Até Deus teria levado (só) sete dias (seis, por que no sétimo descansou!) a criar o mundo. (Como contar os dias com a máquina ainda incompleta?). Porém, parece haver ainda coisas a nascer no Universo!
Aparentemente, segundo a melhor narrativa científica atual, só o Universo teria nascido de um ato, ou quase: um big bang#. Um balão que começou a encher e de que conhecemos a velocidade de crescimento.
Todos os corpos têm idade e, entre outras caraterísticas, têm temperatura, embora esta possa subir, descer e manter-se constante. A idade, não – em princípio, ao que consta, só cresce.
O pai, o gato, a sogra fazem anos; e o Universo?
Sabemos o que aconteceu, por exemplo, no primeiro segundo* e nos três primeiros minutos** da vida do Universo, mas não sabemos quando faz anos!
Todavia, para a Terra, há muitos anos, havia pelo menos uma resposta perentória: a Terra foi criada no dia 23 de outubro de 4004 a.C., às nove horas da manhã, na Mesopotâmia***.
#Antes da teoria do big bang já havia histórias com génios e outras entidades que, inopinadamente, apareciam do nada e desapareciam no vazio.