title: Alejandra de Dinamarca

text: Al príncipe Cristián se le dio el título de príncipe de Dinamarca y su familia se mudó a una nueva residencia oficial, el palacio Bernstorff. Aunque la condición de la familia se había elevado, no hubo siquiera un pequeño incremento en sus ingresos y no participaban en la vida cortesana de Copenhague, ya que se negaron a conocer a la tercera esposa y antigua amante de Federico, Louise Rasmussen, porque tenía un hijo ilegítimo de un anterior amante. Alejandra compartía una habitación en el ático con su hermana —que más tarde sería emperatriz de Rusia—, hacía su propia ropa y servía la mesa junto con sus hermanas. Durante su estancia en Bernstorff, Alejandra creció hasta convertirse en una joven mujer; el capellán inglés en Copenhague le enseñó el idioma inglés y fue en el palacio de Christiansborg. Fue devota toda su vida y siguió las prácticas de la Alta iglesia. Junto con su hermana Dagmar recibió clases de natación de la pionera sueca de la natación femenina Nancy Edberg.


title: Alejandra de Dinamarca

text: La reina Victoria y su esposo, el príncipe Alberto, estaban preocupados por encontrar una novia para su hijo y heredero, Alberto Eduardo, príncipe de Gales y decidieron solicitar a su hija, la princesa heredera Victoria de Prusia, que los ayudara a buscar una candidata adecuada. Alejandra no fue su primera elección, ya que los daneses estaban en desacuerdo con los prusianos en el asunto de Schleswig-Holstein y la mayor parte de los parientes de la familia real británica eran alemanes. Finalmente, después de rechazar otras posibilidades, resolvieron que Alejandra era «la única opción posible».


title: Alejandra de Dinamarca

text: El 24 de septiembre de 1861, la princesa Victoria presentó a su hermano Alberto Eduardo con Alejandra en Espira, pero no fue hasta casi un año más tarde el 9 de septiembre de 1862 —después de su romance con


title: Alejandra de Dinamarca

text: Nellie Clifden y la muerte de su padre— que Alberto Eduardo le propuso matrimonio a Alejandra en el Castillo Real de Laeken, la casa de su tío abuelo, el rey Leopoldo I de Bélgica.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Unos meses más tarde, Alejandra de Dinamarca viajó al Reino Unido a bordo del yate real "Victoria and Albert II" y desembarcó en Gravesend, Kent, el 7 de marzo de 1863. Sir Arthur Sullivan realizó una composición musical especial por su llegada y Alfred Tennyson, el poeta laureado, escribió una oda en su honor:


title: Alejandra de Dinamarca

text: La pareja se casó el 10 de marzo de 1863, en la capilla de St. George en el Castillo de Windsor, en una ceremonia oficiada por Thomas Longley, arzobispo de Canterbury. La elección de la sede fue criticada por la prensa —ya que como estaba fuera de Londres sería difícil que el espectáculo fuera presenciado por grandes multitudes de público—, los potenciales invitados —porque era difícil de llegar y se trataba de un lugar pequeño, algunas personas que esperaban invitación finalmente no fueron invitadas— y los daneses —ya que solo los parientes más cercanos de Alejandra fueron invitados—. La corte todavía estaba de luto por la muerte del príncipe Alberto, por lo que las señoras fueron restringidas a usar gris, lila o malva. Durante su luna de miel en Osborne House en la isla de Wight, los alumnos del vecino Colegio Eton, que incluían a Lord Randolph Churchill, pudieron observar ocasionalmente a la pareja.


title: Alejandra de Dinamarca

text: A finales del año siguiente, el padre de Alejandra había ascendido al trono de Dinamarca, su hermano Jorge se había convertido en , su hermana Dagmar se había comprometido con el zarévich de Rusia, Nicolás Aleksándrovich, y Alejandra había dado a luz a su primer hijo. El ascenso al trono de Cristián IX dio lugar a nuevos conflictos por la suerte de Schleswig-Holstein. La Confederación Alemana invadió exitosamente Dinamarca y redujo su área en dos quintas partes. Con gran irritación de la reina Victoria y la princesa heredera de Prusia, Alejandra y Alberto Eduardo apoyaron al reino danés durante la guerra. La conquista prusiana de antiguas tierras danesas incrementó la profunda aversión de Alejandra hacia los alemanes, un sentimiento que permaneció con ella el resto de su vida.


title: Alejandra de Dinamarca

text: El primer hijo de los príncipes de Gales, Alberto Víctor, nació a principios de 1864, dos meses antes de tiempo. Alejandra se dedicó con devoción a sus hijos, según la niñera principal, la señora Blackburn: «Se sentía en la gloria cuando podía correr hasta la habitación de los niños, ponerse un delantal de franela, bañarlos por sí misma y verlos dormir en sus pequeñas camas». La pareja tuvo seis hijos en total: Alberto Víctor, Jorge, Luisa, Victoria, Maud y Alejandro. Al parecer, todos los hijos de Alejandra nacieron antes de tiempo; el biógrafo Richard Hough pensaba que la princesa engañaba deliberadamente a la reina Victoria sobre su fecha probable de parto, ya que no quería que estuviera presente en los nacimientos. El nacimiento de su tercer hijo en 1867, se complicó con un ataque de fiebre reumática que amenazó su vida y la dejó con una cojera permanente.


title: Alejandra de Dinamarca

text: En público, Alejandra era digna y encantadora, en privado, cariñosa y alegre. Disfrutaba las actividades sociales como el baile y el patinaje sobre hielo, era una experta jinete y conductora de carruajes. También disfrutaba de la caza, para consternación de la reina Victoria, quien le pidió sin éxito que dejara de practicarla. Incluso después del nacimiento de su primer hijo siguió socializando tanto como antes, esto provocó algunas fricciones entre la reina y la joven pareja, lo que se agravaba todavía más por el odio que Alejandra sentía por los prusianos y la parcialidad de la reina hacia ellos.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alberto Eduardo y Alejandra visitaron Irlanda en abril de 1868. Después de haber estado enferma el año anterior, la princesa empezaba a caminar de nuevo sin la ayuda de los dos bastones de madera y estaba embarazada de su cuarto hijo. Llevaron a cabo una gira de seis meses por Austria, Egipto y Grecia entre 1868 y 1869. Esta gira incluyó la visita a su hermano, el rey Jorge I de Grecia, a los campos de batalla de Crimea y, para ella solamente, al harén del Jedive Ismail. En Turquía se convirtió en la primera mujer en sentarse a cenar con el sultán —Abdülaziz—.


title: Alejandra de Dinamarca

text: La residencia preferida de los príncipes de Gales era Sandringham House y Marlborough House era su base en Londres. Los biógrafos coinciden en que su matrimonio fue feliz en muchos sentidos, sin embargo, algunos afirman que Alberto Eduardo no le daba a su esposa toda la atención que ella deseaba y que poco a poco la pareja se fue alejando, hasta que a finales de 1871 el príncipe sufrió un ataque de fiebre tifoidea —la enfermedad que se cree mató a su padre—, lo que produjo una reconciliación. Estas afirmaciones son cuestionadas por otros escritores, que señalan los embarazos frecuentes de Alejandra a lo largo de este período y usan las cartas familiares para negar la existencia de una grave fisura. Sin embargo, Alberto Eduardo fue duramente criticado desde muchos sectores de la sociedad, por su aparente falta de interés en la grave enfermedad de su mujer, la fiebre reumática. A lo largo de su matrimonio, el príncipe de Gales siguió manteniendo relaciones con otras mujeres, entre ellas la actriz Lillie Langtry; Daisy Greville, condesa de Warwick; Agnes Keyser y la distinguida mujer de sociedad Alice Keppel. La mayoría de sus romances fueron del pleno conocimiento de Alejandra, que incluso más tarde permitió que Alice Keppel visitara al rey en su lecho de muerte. La princesa se mantuvo fiel durante todo su matrimonio.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra se fue aislando socialmente debido al agravamiento de su sordera, causada por la otosclerosis hereditaria, y cada vez pasaba más tiempo en casa con sus hijos y mascotas. Su sexto y último embarazo terminó en tragedia, cuando su hijo recién nacido murió después de solo un día de vida. A pesar de que la princesa suplicó privacidad, la reina Victoria insistió en anunciar un período de luto en la corte, lo que condujo a que los elementos hostiles de la prensa describieran el nacimiento como un «desdichado aborto» y los arreglos del funeral como una «mascarada repugnante».


title: Alejandra de Dinamarca

text: Durante ocho meses entre 1875 y 1876, el príncipe de Gales estuvo ausente de Gran Bretaña mientras realizaba un viaje por la India, pero, para su consternación, Alejandra tuvo que quedarse en casa. El príncipe había planeado un viaje con un grupo de varones y tenía la intención de dedicar la mayor parte del tiempo a la caza y el tiro. Durante la gira, uno de los amigos que viajaba con el príncipe, Lord Aylesford, fue informado por su esposa que iba a dejarlo por otro hombre: Lord Blandford, que a su vez estaba casado. Aylesford estaba consternado y decidió pedir el divorcio. Mientras tanto, el hermano de Lord Blandford, Lord Randolph Churchill, convenció a los amantes de no fugarse. Preocupada por la amenaza de divorcio, Lady Aylesford trató de disuadir a su marido de llevar a cabo el procedimiento, pero Lord Aylesford se mostró inflexible y se negó a reconsiderarlo. En un intento de presión para que Lord Aylesford abandonara su demanda de divorcio, Lady Aylesford y Lord Randolph Churchill acudieron con Alejandra y le dijeron que si el divorcio procedía, el príncipe sería citado como testigo e implicado en el escándalo. Afligida por las amenazas y siguiendo el consejo de Sir William Knollys y la duquesa de Teck, Alejandra informó a la reina, quien luego escribió al príncipe de Gales. El príncipe se indignó. Finalmente, los Blandford y los Aylesford se divorciaron en privado. Aunque Lord Randolph Churchill se disculpó más tarde, durante muchos años el príncipe de Gales se negó a hablarle o verle.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra pasó en Grecia la primavera de 1877, mientras se recuperaba de un período de mala salud y visitaba a su hermano el rey Jorge de Grecia. Durante la Guerra Ruso-Turca (1877-1878), era claramente parcial contra Turquía y a favor de Rusia, donde su hermana estaba casada con el zarévich, y presionó para que se realizara una revisión de la frontera entre Grecia y Turquía que favoreciera a los griegos. Alejandra y sus dos hijos pasaron los próximos tres años separados, en gran medida porque los jóvenes fueron enviados en un crucero por todo el mundo como parte de su educación naval y general. La despedida estuvo llena de lágrimas y, como lo demuestra su correspondencia regular, los echó de menos terriblemente. En 1881, Alejandra y Alberto Eduardo viajaron a San Petersburgo tras el asesinato de Alejandro II de Rusia, tanto para representar a Gran Bretaña, como para que la princesa pudiera confortar a su hermana Dagmar, que se había convertido en la zarina.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra asumió muchas responsabilidades en eventos públicos; en palabras de la reina Victoria, «me quitó la tensión y la fatiga de muchas funciones. Abre bazares, asiste a conciertos, visita hospitales en mi lugar... no solo nunca se queja, sino que se esfuerza por demostrar que ha disfrutado lo que para otro sería un deber agotador». Tomó un interés especial en el Hospital de Londres, que visitaba con regularidad. Durante sus visitas al hospital conoció entre otros pacientes a Joseph Merrick, el llamado «Hombre Elefante». Por lo general las multitudes aplaudían con entusiasmo a Alejandra, pero durante una visita a Irlanda en 1885, sufrió un raro momento de hostilidad pública cuando visitaba la ciudad de Cork, semillero del nacionalismo irlandés. Alberto Eduardo y Alejandra fueron abucheados por una multitud de dos o tres mil personas que blandían palos y banderas de color negro. Alejandra superó sonriente la difícil prueba y la prensa británica describió la visita desde una óptica positiva y calificó a la multitud como «entusiasta». Como parte de la misma visita recibió un Doctorado en Música por el Trinity College de Dublín.


title: Alejandra de Dinamarca

text: La muerte de su hijo mayor, el príncipe Alberto Víctor, duque de Clarence y Avondale, en 1892, fue un duro golpe para la bondadosa Alejandra. La habitación y las posesiones personales del príncipe se mantuvieron tal como los había dejado, al igual que se hizo con las pertenencias del príncipe Alberto después de su muerte en 1861. La princesa de Gales confesó: «He enterrado a mi ángel y con él mi felicidad». La correspondencia entre Alejandra y sus hijos que todavía sobrevive indica que eran muy unidos. En 1894, falleció su cuñado, Alejandro III de Rusia, y su sobrino, Nicolás, se convirtió en el zar. Durante esos días fue un sostén para su hermana, la emperatriz viuda; Alejandra durmió, rezó y permaneció junto a ella por las siguientes dos semanas hasta el entierro de Alejandro.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Con la muerte de la reina Victoria en 1901, Alberto Eduardo se convirtió en rey con el nombre de Eduardo VII y Alejandra en la reina consorte. Dos meses después, su hijo Jorge y su nuera María de Teck partieron en una extensa gira por el imperio y dejaron a sus pequeños hijos al cuidado de Alejandra y Eduardo, que adoraban a sus nietos. Al regreso de la pareja, los preparativos estaban a punto y la coronación de Eduardo y Alejandra estaba cercana. Sin embargo, solo unos días antes de la fecha prevista en junio de 1902, Eduardo cayó gravemente enfermo de apendicitis. Alejandra lo sustituyó en un desfile militar y asistió a las carreras de la Royal Ascot, en un intento por evitar la alarma social. Finalmente, la coronación tuvo que ser pospuesta y Eduardo sometido a una operación para extirpar el apéndice infectado. Después de su recuperación, Alejandra y Eduardo fueron coronados juntos en agosto: él por el arzobispo de Canterbury, Frederick Temple, y ella por el arzobispo de York, William Dalrymple Maclagan.


title: Alejandra de Dinamarca

text: A pesar de haberse convertido en reina, las responsabilidades de Alejandra cambiaron muy poco y mantuvo a muchos de los servidores que tenía. La encargada de la alcoba de Alejandra, Charlotte Knollys, permaneció lealmente a su servicio durante muchos años. El 10 de diciembre de 1903, Charlotte, hija de Sir William Knollys, amaneció y halló su habitación repleta de humo. Despertó a Alejandra y la guio a un lugar seguro. En palabras de la gran duquesa Augusta de Mecklemburgo-Strelitz: «Debemos darle crédito a la vieja Charlotte por salvarle "realmente" la vida [a Alejandra]».


title: Alejandra de Dinamarca

text: La reina volvió a hacerse cargo de sus nietos cuando Jorge y María partieron en una segunda gira, esta vez a la India británica, durante el invierno de 1905-1906. Su padre, el rey Cristián IX de Dinamarca, murió en enero de 1906. Deseosas de conservar sus vínculos familiares, tanto entre sí como con Dinamarca, Alejandra y su hermana, la emperatriz viuda de Rusia, compraron una casa al norte de Copenhague en 1907, Hvidøre, una especie de refugio privado.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Los biógrafos afirman que a Alejandra le fue negado el acceso a los documentos informativos del rey y se le excluyó de algunos de los viajes al extranjero para evitar su intromisión en asuntos diplomáticos. Desconfiaba profundamente de los alemanes y se opuso siempre a cualquier cosa que favoreciera su expansión o sus intereses. En 1890, por ejemplo, escribió un memorando distribuido a los altos ministros británicos y al personal militar, advirtiéndoles contra el previsto intercambio de la isla británica Heligoland, situada en el mar del Norte, por la colonia alemana de Zanzíbar. En el memorando señalaba la importancia estratégica de la isla, que podría ser utilizada por Alemania para lanzar un ataque o por Gran Bretaña para contener una agresión alemana. A pesar de esto, el intercambio siguió adelante. Los alemanes fortificaron la isla y, en palabras de Robert Ensor y como Alejandra había predicho, «se convirtió en la piedra angular de la posición marítima de Alemania para la ofensiva, así como para la defensa». El "Frankfurter Zeitung" condenó abiertamente la conducta de Alejandra y su hermana, la emperatriz viuda de Rusia, y afirmó que ambas fueron «el centro de la conspiración internacional antialemana». La reina despreciaba y le tenía desconfianza a su sobrino, Guillermo II de Alemania, en 1900 lo llamaba «nuestro enemigo interno».


title: Alejandra de Dinamarca

text: En 1910, Alejandra se convirtió en la primera reina consorte en visitar la Cámara de los Comunes durante un debate. En una extraordinaria situación sin precedente, durante dos horas, se sentó en la Galería de las Damas con vistas a la cámara mientras que se debatía el proyecto de ley del Parlamento, que pretendía reformar el papel de la Cámara de los Lores. En privado, Alejandra estaba en desacuerdo con el proyecto de ley. Poco después fue a visitar a su hermano, el rey Jorge I de Grecia, en Corfú. Una vez ahí, le llegó la noticia de que el rey Eduardo estaba gravemente enfermo, regresó de inmediato y llegó justo un día antes de la muerte de su marido. En las últimas horas de Eduardo, le administró personalmente el oxígeno de un cilindro de gas para ayudarlo a respirar. Le contó a Frederick Ponsonby: «Me siento como si hubiera sido convertida en piedra, incapaz de llorar, incapaz de comprender el significado de todo esto». Más tarde ese mismo año, se mudó del palacio de Buckingham a Marlborough House, pero retuvo la posesión de Sandringham House. El nuevo rey, su hijo Jorge, pronto se enfrentó a tener que tomar una decisión sobre el proyecto de ley del Parlamento. A pesar de sus puntos de vista personales, Alejandra apoyó la decisión del rey, para ayudar a dar fuerza al proyecto de ley en el Parlamento a petición del primer ministro, pero en contra de los deseos de la Cámara de los Lores, cuando el partido reformador ganó las elecciones de la Cámara de los Comunes.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra no asistió a la coronación de su hijo en 1911, porque no era costumbre que una reina coronada asistiera a la coronación de otro rey o reina, pero por lo demás siguió el lado público de su vida, dedicando tiempo a sus causas benéficas. Una de las tantas causas era el llamado «Día de la rosa de Alejandra», en el cual mujeres voluntarias vendían rosas artificiales hechas por personas discapacitadas para apoyar a los hospitales. Durante la Primera Guerra Mundial, la costumbre de colgar las banderas de los príncipes extranjeros investidos con la más alta orden de caballería británica, la Orden de la Jarretera, en la capilla de St. George en el Castillo de Windsor, fue objeto de críticas, ya que los miembros alemanes de la orden estaban ahora luchando contra Gran Bretaña. Alejandra se unió a los llamados de «tumbar las odiosas banderas alemanas». Impulsado por la opinión pública, pero en contra de sus propios deseos, el rey retiró las banderas, pero para consternación de Alejandra no solo quitó «esas viles banderas prusianas», sino también las de los parientes hessianos de su madre, que en opinión de esta, eran simplemente «soldados o vasallos bajo las órdenes del brutal emperador alemán». El 17 de septiembre de 1916, Alejandra se encontraba en Sandringham cuando se produjo un ataque aéreo desde un Zepelín, pero lo peor fue lo que le sucedería a otros miembros de su familia. En Rusia, el zar Nicolás II fue derrocado y después asesinado por los revolucionarios junto a su esposa e hijos. En 1919, la emperatriz viuda fue rescatada de Rusia por el "HMS Marlborough" y llevada a Inglaterra donde vivió durante un tiempo con su hermana Alejandra.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra conservó una apariencia juvenil hasta la vejez, pero durante la guerra envejeció notablemente. Esto la llevó a usar elaborados velos y mucho maquillaje, los chismosos describían que parecía tener la cara «esmaltada». No volvió a realizar más viajes al extranjero y comenzó a sufrir problemas de salud cada vez mayores. En 1920, le estalló un vaso sanguíneo en un ojo, dejándola temporal y parcialmente ciega. Hacia el final de su vida, su memoria y habla se fueron deteriorando. Murió el 20 de noviembre de 1925 en Sandringham, después de sufrir un ataque al corazón y fue enterrada en una elaborada tumba junto a su marido en la capilla de St. George en el Castillo de Windsor.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Después de la boda de Alejandra con el príncipe de Gales en 1863, se inició la construcción de un nuevo parque y un «palacio del pueblo» en una colina en el norte de Londres, que incluía un centro de artes y una sala de exhibiciones pública, y que en honor de la princesa fueron nombrados Alexandra Park y Alexandra Palace. El palacio, llamado coloquialmente "Ally Pally", alberga además una sala de conciertos, una sala de conferencias, un museo, una biblioteca, un teatro y salones para eventos y banquetes, de hecho, su salón de banquetes es considerado el más grande de Londres.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Alejandra fue muy popular entre el pueblo británico. A diferencia de su marido y de su suegra nunca fue castigada por la prensa. Los fondos que ayudó a recolectar fueron utilizados para comprar una embarcación de río que fue llamada "Alexandra" y que se utilizó para transportar a los heridos durante la campaña de Sudán, además para adaptar un buque hospital de nombre "The Princess of Wales", que llevaba de regreso a los heridos de la Guerra de los Bóer. Durante la Guerra de los Bóer también fundó el Queen Alexandra's Imperial Military Nursing Service, posteriormente rebautizado como Queen Alexandra's Royal Army Nursing Corps —Cuerpo de enfermería de la Armada Real reina Alejandra—.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Tenía poca comprensión del manejo del dinero. La administración de sus finanzas se dejó en manos del leal contralor, Sir Dighton Probyn, que realizó una función similar para el rey Eduardo VII. En palabras de su nieto, Eduardo VIII —más tarde, duque de Windsor—: «Su generosidad era una fuente de apuros para sus asesores financieros. Cada vez que recibía una carta solicitando dinero, enviaba un cheque de inmediato, independientemente de la autenticidad de los mendicantes y sin que el caso fuera investigado». Aunque no siempre fue extravagante —zurcía las medias usadas para reutilizarlas y sus vestidos viejos eran reciclados como fundas para muebles—, desestimaba las protestas sobre sus fuertes gastos con un movimiento de la mano o afirmaba que no había escuchado.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Acostumbraba esconder una pequeña cicatriz en el cuello, que probablemente fue resultado de una operación de la infancia, con el uso de collares tipo gargantilla y escotes altos, con lo que estableció modas que se usarían durante cincuenta años. El efecto de Alejandra sobre la moda fue tan profundo, que las damas de sociedad incluso copiaban su modo de caminar «cojeando», después de la grave enfermedad que la dejó con una pierna rígida en 1867. Prefería sobre todo las casas de moda de Londres, su favorita era Redfern, pero compraba ocasionalmente en Doucet y Fromont de París.


title: Alejandra de Dinamarca

text: El 8 de junio de 1932 —el día de la rosa de Alejandra—, se desveló un monumento llamado Queen Alexandra Memorial, realizado por el escultor Alfred Gilbert y ubicado en Marlborough Gate, Londres. En la inauguración se interpretó una oda en su memoria «So many true princesses who have gone», con música compuesta por el entonces Master of the King's Music —Maestro de la música del rey— Sir Edward Elgar y letra del poeta laureado John Masefield, el propio Elgar se encargó de la dirección musical.


title: Alejandra de Dinamarca

text: La reina Alejandra ha sido representada en la televisión británica por Deborah Grant y Helen Ryan en "Edward the Seventh", Ann Firbank en "Lillie", Maggie Smith en "All the King's Men" y Bibi Andersson en "The Lost Prince". En el cine fue representada por Pamela Abbott en la película de 1979, "Murder by Decree", y por Helen Ryan en la película de 1980, "The Elephant Man". En la obra de teatro de 1980, "Motherdear", escrita por Royce Ryton, fue interpretada por Margaret Lockwood en su última actuación.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Por nacimiento, Alejandra fue princesa de Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg, con el tratamiento de "", como nieta del duque Federico Guillermo de Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg. El 31 de julio de 1853, su padre, el príncipe Cristián, fue nombrado príncipe de Dinamarca, por lo cual, como princesa de Dinamarca, Alejandra recibió el tratamiento de "Su Alteza Real". Después de su matrimonio el 10 de marzo de 1863 y antes de que su marido accediera al trono fue princesa de Gales con el tratamiento de "Su Alteza Real". Tras el fallecimiento de la reina Victoria, el 22 de enero de 1901, Eduardo VII ascendió al trono y Alejandra se convirtió en consorte del Reino Unido y emperatriz de la India, recibiendo los tratamientos de "Su Majestad" y "Su Majestad Imperial".


title: Alejandra de Dinamarca

text: En 1901, Alejandra se convirtió en la primera mujer en ser investida como Dama Compañera de la Orden de la Jarretera desde 1495, como tal, su bandera de armas estuvo colgada durante toda su vida en la Capilla de San Jorge del Castillo de Windsor. Algunos otros de los honores que recibió fueron: Dama de primera clase de la Real Orden de Victoria y Alberto, Dama (grande cruz) de la Orden Imperial de San Carlos, Dama de la Imperial Orden de la Corona de la India y Dama de Justicia de la Orden de San Juan de Jerusalén. Así mismo el 11 de febrero de 1872 fue nombrada dama de la Orden de las Damas Nobles de la Reina María Luisa. Además el 1 de julio de 1889 fue nombrada dama de la Orden del León dorado del gran ducado de Hesse y del Rin.


title: Alejandra de Dinamarca

text: Las armas de la reina Alejandra después del ascenso al trono de su marido en 1901, eran el Real Escudo de Armas del Reino Unido empalado con las armas de su padre, el rey Cristián IX de Dinamarca. El escudo está surmontado por la corona imperial y sostenido por el león coronado de Inglaterra y un hombre salvaje típico del Real Escudo de Armas de Dinamarca.


title: Onda mecánica

text: Las ondas mecánicas son perturbaciones de las propiedades mecánicas, densidad y presión, que generan oscilaciones locales de los átomos de un medio material, propagándose a otros átomos del medio. La propiedad más importante de las ondas, en general, incluidas las de naturaleza mecánica, es que, al propagarse, transportan información y energía. La energía transportada por las ondas puede llegar a ser catastrófica como sucede con las ondas sísmicas o con el oleaje en una tormenta marina.


title: Onda mecánica

text: Ejemplos de ondas mecánicas son las ondas sísmicas o las ondas superficiales en fluidos y sólidos. El caso más importante de onda mecánica es el sonido.Con las ondas sonoras, los requisitos anteriores corresponden a: 1) el aire a través del cual viaja normalmente el sonido, 2) la voz o el instrumento (en el caso de la música, instrumento musical) generadores del sonido y 4) el oído que recibe e interpreta el sonido.


title: Onda mecánica

text: Las ondas son función del tiempo y también función del espacio ya que se están propagando a su través. Por consiguiente se pueden describir como una doble oscilación en el espacio y en el tiempo; y de ahí la doble periodicidad, espacial y temporal, de las ondas periódicas. La función matemática más básica que reproduce esta doble periodicidad viene dada por las ondas armónicas.Las ondas, en general, admiten varias clasificaciones entre las que se puede destacar en ondas electromagnéticas y ondas mecánicas. Las primeras se pueden propagar por el vacío y son las responsables, por ejemplo, de la transmisión de la energía del sol a la tierra, de la radio o de la televisión, pero no van a ser consideradas aquí. Las segundas, en cambio, requieren de un medio material para propagarse.


title: Onda mecánica

text: Lo mismo que para analizar el movimiento de un cuerpo que oscila es necesaria la aplicación de las Leyes de Newton, en especial la segunda ley de Newton, para analizar las ondas y su propagación, es necesario conocer, entender y manejar la ecuación de ondas. En ella figura su marca de identidad, la velocidad de propagación de la onda.


title: Onda mecánica

text: Las soluciones de la ecuación de ondas no son solo las ondas viajeras sino también las ondas estacionarias. Las ondas estacionarias juegan un papel importante en las aplicaciones de la física, ingeniería, medicina o incluso en la vida real; a partir de ellas se forman los modos normales de vibración característicos de las cuerdas, fluidos y sólidos.Los modos normales, propios de sistemas de tamaño limitado, tienen importancia en muy diversos entornos, como pueden ser los instrumentos musicales de cuerda o de viento o bien en aplicaciones, que van desde los fundamentos del láser, pasando por fenómenos de resonancia, hasta algunas aplicaciones en matemáticas a la teoría de grupos de tan importante aplicación en la espectroscopía vibracional y Raman.


title: Onda mecánica

text: Dentro de las ondas mecánicas las que más repercusión tienen en la vida real, y en las aplicaciones de la ciencia e ingeniería, son las ondas sonoras, el sonido. El sonido además de constituir la forma básica de la comunicación y de la música, presenta otras muchas aplicaciones científicas y técnicas, por ejemplo en la sanidad ( ecografías ), en la industria para la inspección de equipos mecánicos (ultrasonidos) o en aplicaciones de microscopía e interferometría acústicas.


title: Onda mecánica

text: El movimiento ondulatorio es un fenómeno de especial interés que abarca además, orígenes muy diferentes. Desde las ondas electromagnéticas , pasando por las ondas gravitacionales, hasta las ondas mecánicas , en especial, las ondas sonoras, son ejemplos muy importantes. Algunas ondas pueden ser observadas en la vida ordinaria y cobran, por ello, mayor atractivo. La generación de vibraciones en los medios materiales (medios de propagación de las ondas) ya sean fluidos o sólidos, son de forma general, las responsables de las ondas sonoras, esto es, de las ondas materiales que percibe el oído. Ondas sonoras son, pues, las que se generan al vibrar una cuerda tensa o al soplar por un tubo las que pueden circular a través de un fluido al crear compresiones y expansiones en el mismo, o bien, las que provienen de un sólido al ser golpeado por una fuerza externa. Las ondas que viajan por la superficie del agua también se propagan en un medio material. Tanto la superficie del agua, la cuerda, el tubo, el fluido o el sólido, juegan el papel de medios capaces de transmitir o mantener ondas de naturaleza material, es decir, las ondas mecánicas. Esta observación permite reflexionar sobre el fenómeno físico ondulatorio, extraer las ideas comunes a los diferentes casos e introducir algunos hechos básicos necesarios para entender, describir y poder implementar las ondas y las funciones matemáticas que las representan.


title: Onda mecánica

text: La experiencia indica que una piedra lanzada a la superficie del agua en reposo provoca la aparición de ondas. Las ondas en la superficie del agua se desplazan con una velocidad lenta y, por tanto, fácil de apreciar. No obstante lo que viaja con la onda no son las moléculas de agua sino el estado de la perturbación, transportando energía . Las moléculas del agua oscilan en torno a sus posiciones de equilibrio, sin embargo, no se trasladan ni se alejan de sus posiciones iniciales. Una vez ha pasado la onda, y cesada la perturbación, la superficie vuelve a su posición horizontal y las moléculas a sus posiciones de equilibrio.


title: Onda mecánica

text: Al mantener una cuerda tensa y aplicar en un extremo una pequeña y brusca sacudida, se observa cómo esta comienza rápidamente a vibrar en toda su extensión. Esto sucede debido a que la elasticidad de la cuerda tensa, al estirarla levemente y soltarla, provoca una oscilación en el extremo, generándose así una onda que se propaga a su través, transmitiendo también las oscilaciones al medio que le rodea. Finalmente puede llegar a nuestros oídos al propagarse en el aire. Por otro lado, se puede observar que cuanto más tensa esté la cuerda más rápido se desplaza el efecto. Después del paso de la perturbación y cesada la excitación, la cuerda vuelve a adoptar su posición recta inicial. En su caracterización será muy importante la noción de velocidad de propagación. Para describir una onda e implementar una función matemática sencilla que la represente, resulta útil la idea del pulso a lo largo de una cuerda, porque ayuda a comprender lo que es una onda y cómo se propaga.


title: Onda mecánica

text: Las ondas, en general, se pueden desplazar a lo largo de largas distancias, por los elementos del medio. ya sea la superficie del agua, una cuerda tensa o la masa de un fluido o de un sólido, tan sólo efectúan un movimiento limitado de vaivén u oscilación; cada elemento del medio atravesado por la onda oscila en torno a sus posiciones de equilibrio (cuando el medio estaba sin perturbar). Por consiguiente, aunque una onda no propaga materia, el patrón de onda, es decir la perturbación inicial producida en el medio puede viajar a lo largo de la materia. Como se ha mencionado, un aspecto importante de las ondas, en cambio, es que trasportan energía de un lugar a otro; la energía que inicialmente ha generado la fuerza exterior aplicada al medio y que ha producido la perturbación. Por ejemplo, la energía que se imparte a una onda superficial en el agua, se realiza mediante el golpe, en la superficie del agua, producido por una piedra o por el viento que sopla mar adentro. Tanto la noción y el fenómeno de onda como su implementación matemática son más complejos que el concepto y descripción de una oscilación en los sistemas mecánicos. Las oscilaciones más básicas son las del movimiento armónico simple (MAS) o más realista, el armónico amortiguado (debido a la fricción) que tienen lugar en numerosos sistemas físicos más o menos limitados. En las oscilaciones, la variable independiente de las funciones que las representan, es solamente una, el tiempo. Así, las posiciones espaciales que describen la oscilación son función únicamente del tiempo. Sin embargo, ahora, con el fenómeno ondulatorio, la función que lo describe posee una nueva variable independiente esta vez espacial, la posición, ya que una onda al propagarse, puede entenderse como una doble oscilación en el espacio y en el tiempo. Este hecho junto a la condición de periodicidad de las ondas, lleva asociado la necesidad de que en las funciones ondulatorias figuren parámetros característicos de naturaleza temporal como son el periodo y la frecuencia (inversa del periodo) y otros de naturaleza espacial como son la longitud de onda o el número de onda (proporcional al inverso de la longitud de onda).


title: Onda mecánica

text: Si la fuente vibra de forma sinusoidal, describiendo un movimiento armónico simple (MAS), entonces la onda generada presentará una forma matemática sinusoidal tanto en el espacio como en el tiempo. Para analizar como se propaga una onda al variar la posición y el tiempo es conveniente realizarlo observando por separado el comportamiento de las dos variables. En el espacio: si se toma una fotografía de la onda que se propaga a lo largo de un eje que puede ser considerado como eje formula_1, en un instante dado, la onda seguirá la ley de un seno o coseno como función de la posición formula_1. En el tiempo: si se observa el movimiento de un pequeño elemento del medio en una posición determinada durante un largo periodo de tiempo el movimiento de vaivén de ese pequeño elemento de agua o de cuerda corresponderá a un movimiento armónico simple en la variable tiempo formula_3. Lo mismo sucederá si se observan todos y cada uno de los pequeños elementos del medio en las diferentes posiciones, afectados por la propagación de la onda. Al trabajar con funciones armónicas para representar las ondas resulta sencillo introducir algunas magnitudes básicas como son la longitud de onda formula_4 y el periodo formula_5, velocidad de propagación formula_6 y otras magnitudes asociadas.


title: Onda mecánica

text: Se puede observar otro ejemplo de interés cuando se tiene una masa sólida y se golpea con un martillo; el efecto se propaga por toda ella debido a sus propiedades elásticas. A consecuencia del golpe se ha producido un desplazamiento local forzado de los átomos del material que se manifiesta al cabo de un cierto tiempo, diferente para los diferentes puntos de del sólido. El efecto producido en los diferentes puntos consiste en pequeños desplazamientos atómicos en torno a la posición que tenían en reposo (o equilibrio) y se propaga con una cierta velocidad. Cuando se les golpea con fuerza, los materiales pueden deformarse y no recuperar su condición inicial, incluso romperse. Sin embargo, para el proceso de generar ondas en medios materiales, se requieren pequeñas fuerzas exteriores que lo mantienen dentro del límite elástico del material, sin llegar a romperse ni a deformarse. Al tratarse de pequeñas fuerzas y pequeños desplazamientos es posible considerar aproximaciones lineales y obtener, en consecuencia, una ecuación de ondas lineal. Las ondas en los diferentes medios, como cuerdas, fluidos y sólidos, se crean y se propagan de forma similar y son consecuencia de sus propiedades elásticas. Estas propiedades se manifiestan por medio de magnitudes físicas como son la tensión en cuerdas, el módulo de compresibilidad en fluidos o el módulo de Young en sólidos. Casi cualquier objeto en vibración es capaz de producir ondas. La expresión más sencilla de una onda es, como se ha comentado, una sinusoidal, es decir, a la generada por una fuente que describe un movimiento armónico simple. Las ondas sinusoidales ya sean viajeras o estacionarias, son las soluciones más básicas de la ecuación de ondas. En razón, pues, del análisis de los fenómenos reales básicos y de la simplicidad matemática, se utilizan las ondas sinusoidales (las ondas armónicas más básicas). Conocidas y comprendidas éstas, resulta más sencillo ampliar el estudio a otras ondas más complejas. Otro medio material privilegiado para la propagación de las ondas mecánicas, es el interior de un fluido. Para estos propósitos, y con la finalidad de incluir la fuente de las ondas, se utiliza el modelo de un tubo cilíndrico relleno de un fluido y limitado solo por una base plana donde se puede mover un émbolo para generar ondas viajeras (ondas progresivas o regresivas), sin otra limitación. Si por el contrario se incluye la segunda base plana del cilindro para confinar el fluido, se generarán ondas estacionarias y modos normales provenientes de la superposición de una onda generada por el émbolo con otra generada por reflexión en la segunda base plana del cilindro.


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text: Para comprender el fenómeno ondulatorio, es necesario distinguir entre ondas viajeras y ondas estacionarias. Las primeras se propagan en un medio que se considera en regiones amplias (por ejemplo, propagación a lo largo de un eje de coordenadas) para que esa propagación prosiga. Las segundas son el resultado de la superposición de una onda incidente y otra reflejada en un límite o frontera del medio material en el que se propagan y por eso suelen asociarse a sistemas de dimensiones limitadas como pueden ser los tubos de fluido confinados o los instrumentos musicales de cuerda, de percusión y de viento. Las ondas estacionarias obedecen también a la ecuación general de ondas. Sin embargo su expresión analítica presenta una formulación matemática peculiar donde las variables temporal y espacial están separadas (variables separadas).


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text: Desde el punto de vista geométrico, de la simetría de la fuente y del medio, también es posible clasificar las ondas. Dos tipos básicos de ondas son las ondas planas y las ondas esféricas. Las primeras presentan un tratamiento matemático más simple (en una dimensión) si bien incorporan ya las formulaciones y parámetros físicos y matemáticos característicos de las ondas. Estas ondas se caracterizan por viajar en una determinada dirección (por ejemplo, a lo largo del eje formula_1) y por ello se simplifica su estudio enormemente.


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text: La fuente que origina un pulso de onda en una cuerda tensa es, por ejemplo, una sacudida producida en un extremo. Las propiedades elásticas son las que contribuyen a desplazar el pulso, debido a las fuerzas de cohesión existentes entre las secciones adyacentes de la cuerda. En cuanto a la energía que transmite el pulso procede del trabajo realizado por la fuerza que el individuo realiza en la sacudida. En una pieza sólida puede generarse la onda mediante un golpe de martillo. La energía suministrada por la fuerza aplicada, provoca vibraciones en el sólido al propagarse la onda, transmitiendo de esta forma, a los átomos del sólido, la energía obtenida en el golpe inicial.


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text: Otro aspecto a destacar cuando se consideran las ondas en una dimensión, es su interés en las situaciones prácticas del mundo que nos rodea. Ejemplo de ello es la cuerda tensa, que resulta muy interesante para la deducción de la ecuación de ondas o para analizar cómo se propaga la energía debido al movimiento ondulatorio. Muy importante también es dar a conocer las magnitudes de medida de la energía que transportan las ondas como la intensidad del movimiento ondulatorio o el concepto de la energía por unidad de volumen o densidad de energía en la región donde tiene lugar el fenómeno ondulatorio.


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text: Un aplicación muy importante de las ondas materiales es el sonido, caracterizado por las ondas de desplazamiento de las partículas del medio, las ondas de densidad y las ondas de presión. Los tres tipos de onda y la variación de las magnitudes físicas correspondientes, están relacionadas; siendo las ondas de presión las más relevantes. Para el estudio y comprensión de las ondas sonoras son aplicables los conocimientos comentados en párrafos anteriores sobre las ondas mecánicas. También son aplicables al sonido las medidas de la energía que transporta la onda, adaptando las escalas de medida, en este caso, al sistema receptor humano, el oído.


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text: Una onda viajera es una perturbación que se propaga por un medio con una determinada velocidad formula_6. El paso de una onda a través de un medio genera unas alteraciones en ese medio que cesan tras el paso de la onda. La función matemática que va a representar la onda expresa esas variaciones con respecto al medio sin perturbar, dependiendo de la posición de las partículas del medio en el que se propaga y del tiempo. Además, la velocidad de propagación de la onda formula_6 va a depender de las propiedades del medio y, en el caso de las ondas materiales, de alguna propiedad elástica, por ejemplo, de la tensión en una cuerda tensa al oscilar, del módulo de elasticidad de un sólido o del módulo de compresibilidad de un fluido al paso de la onda, como se verá en la sección 4. En los estudios y ejemplos relativos a las ondas presentados aquí formula_6 es constante porque los medios materiales que se presentan, son lineales homogéneos e isótropos.


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text: Para abordar el estudio de las ondas viajeras , se debe analizar en primer lugar la relación que existe entre las variables espaciales y el tiempo al avanzar la onda. Hay que considerar que la onda al desplazarse por el medio, como es el caso de un pulso, no cambia de forma si se compara en un instante inicial y en instantes posteriores. Algo análogo sucede con cualquier onda viajera, por ejemplo, con las ondas armónicas que al avanzar en el medio se vuelve a encontrar la misma forma de la onda para otras posiciones en instantes posteriores al considerado. Para ilustrarlo, se pueden construir dos sistemas de referencia uno que viaje con la onda, sistema móvil, que se denominará formula_11 y otro sistema fijo formula_12 donde se encuentra el experimentador que realiza la observación. Por sencillez para facilitar la descripción de la onda viajera, se tomará uno de los ejes de referencia de los dos sistemas coincidiendo con la dirección de propagación de la onda, y que se considera, el eje formula_13. La forma de la perturbación del medio viene expresada mediante una función formula_14.


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text: Se consideran, por tanto, los dos sistemas de referencia formula_15 y formula_16 con los ejes formula_17 e formula_18 paralelos y los ejes formula_13 y formula_20 se encuentren sobre una misma recta, la que se va a hacer coincidir con la dirección de propagación de la onda. Inicialmente para formula_21 los dos sistemas de referencia coinciden. Al cabo de un tiempo formula_3 el sistema de referencia formula_11 se encuentra desplazado respecto a formula_12 en una distancia formula_25 hacia la derecha con formula_26, de modo que se define la traslación mediante la siguiente transformación de coordenadas


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text: La forma de la perturbación en formula_21 vendrá descrita por formula_30. Al mantener la forma, característica de la onda viajera, en un instante posterior formula_3, la onda vendrá descrita sobre el sistema formula_11 por una curva formula_33 representativa de la forma en que se está alterando el medio o sea la perturbación sufrida por el medio al paso de la onda. Si ahora, en el instante t se elige un punto arbitrario formula_34 situado sobre la curva, sus coordenadas en el sistema móvil formula_11 serán formula_36 e formula_37 y sus coordenadas en el sistema fijo formula_12 serán formula_1 e formula_40. Y la función anterior expresada en el sistema formula_12 será formula_42 , de forma que,


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text: Si con estos dos sistemas de referencia fijo y móvil, se representa el movimiento de la onda viajera, lo que sucede es que el sistema formula_11 se está moviendo respecto al formula_12 con una velocidad formula_6 constante (la velocidad de propagación de la onda) y, si se empieza a contar el tiempo cuando los orígenes formula_12 y formula_11 coinciden, entonces se puede expresar un desplazamiento formula_25 del sistema formula_11 al sistema formula_12 como formula_52. Por lo tanto, las ecuaciones de traslación y la función formula_14 al cabo de un tiempo formula_3 , son las siguientes,


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text: La perturbación formula_14 que se desplaza con una velocidad formula_6 respecto al sistema de referencia formula_12 y, además mantiene la forma en su desplazamiento espacial y temporal representa la noción básica de una onda viajera.


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text: Se puede considerar idéntico razonamiento, si la perturbación avanza con una velocidad formula_6 esta vez hacia la izquierda (existen dos posibilidades de desplazamiento para un movimiento en una dirección), se tendrá por el mismo razonamiento con una traslación formula_62 de forma que al propagarse la onda con una velocidad formula_6, en un instante formula_3, el parámetro formula_25 tome un valor formula_66 pero ahora las ecuaciones de la traslación de coordenadas son


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text: de modo que la función que representa a la onda en un instante formula_3 tendrá la expresión formula_70.


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text: Se ha comprobado, por tanto, que si la onda viajera se propaga en una dimensión, puede avanzar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda y las variables formula_71 estarán relacionadas en la forma formula_72 (para su propagación hacia la derecha) o formula_73 (para su propagación hacia la izquierda). Una expresión tan básica para representar matemáticamente la onda viajera reúne las propiedades determinantes para poder representar el citado movimiento en una dimensión: formula_74 es la forma de la onda o estado de perturbación del medio por el que se propaga la onda, formula_6 es la velocidad de propagación, formula_1 representa la dirección de propagación y, el signo de formula_77 indica el sentido de propagación de la onda. ,


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text: Por otro lado, se observa como la onda depende de dos variables independientes la posición formula_1 y el tiempo formula_3. En cuanto a la variable dependiente y, representativa del estado de perturbación debe reflejar otra propiedad básica de las ondas. Su carácter transversal o longitudinal al propagarse. Si la perturbación varía en una dirección perpendicular a la dirección de avance de la onda, en el párrafo anterior el eje formula_13, es lo que se conoce como onda transversal. Un caso importante de onda transversal es la que se propaga a lo largo de una cuerda tensa tras una pequeña sacudida en un extremo. En tal caso la función formula_81 representativa del estado de perturbación en la posición formula_1 y tiempo formula_3, es perpendicular a la variable formula_1 representativa de la dirección de propagación. En la segunda forma de oscilar, la perturbación varía en la misma dirección de avance de la onda, es la denominada onda longitudinal. La onda sonora es un caso importante de onda longitudinal donde, al avanzar la onda (por ejemplo en la dirección del eje formula_13), las moléculas del medio (un fluido o bien, un sólido) oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio (a lo largo del eje formula_13) generando, en la región de propagación, zonas de compresión (de mayor densidad) alternando con zonas de expansión (de menor densidad). Esta perturbación en forma de onda longitudinal , se manifiesta como la variación de tres magnitudes físicas que entran en el juego al perturbarse el medio:


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text: 1) un desplazamiento de las moléculas respecto de su posición de equilibrio en la dirección de avance de la onda (onda longitudinal) formula_87, es la onda de desplazamiento,


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text: 2) una variación de presión respecto de la presión del medio sin perturbar formula_88, es la onda de presión y finalmente


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text: 3) una variación de densidad formula_89 respecto a la densidad del medio sin perturbar, es la onda de densidad.


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text: Obsérvese que tanto en las ondas transversales como en las longitudinales propagándose por un medio a una velocidad formula_6 constante, existe un movimiento local de las partículas del medio sujeto a unas leyes dinámicas que responden a las fuerzas que actúan en los medios elásticos.


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text: Las ondas viajeras de mayor interés son las ondas periódicas. Presentan una doble periodicidad. Por un lado, la periodicidad temporal en la que fijada una posición formula_91, al cabo de un cierto tiempo el valor de la función vuelve a ser el mismo formula_92 . Si los tiempos formula_93 son consecutivos, entonces la diferencia formula_94. Ese valor común formula_95, es el periodo o el menor tiempo en el que la función vuelve a tomar el mismo valor.


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text: Como la función de onda depende también de la posición, la onda periódica tiene además una periodicidad espacial, llamada longitud de onda formula_4. Fijado un tiempo formula_97 se define formula_4 como la menor distancia en la que la función vuelve a tomar el mismo valor. Así: formula_99 o sea formula_100.


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text: cuyo argumento debe estar necesariamente radianes. En consecuencia la constante multiplicativa formula_102 introducida en el argumento de la función y para cumplir con tal condición, tiene las dimensiones de radianes/m y el producto formula_103 las de radianes/s. La forma habitual de presentar la función sinusoidal es


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text: En esta expresión común de las ondas sinusoidales, formula_102 es un parámetro característico relacionado con la periodicidad espacial como formula_106 denominado número de onda y formula_107 es un parámetro característico temporal llamado frecuencia angular o pulsación, relacionado con la periodicidad espacial en la forma formula_108.


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text: Cuando un medio material es atravesado por ondas periódicas , las partículas del medio oscilan describiendo una combinación de movimientos armónicos simples. Las ondas sinusoidales son básicas ya que cualquier onda periódica puede escribirse como una combinación de ondas sinusoidales según se demuestra en el Teorema de Fourier. ,


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text: Cuando la onda se propaga produciendo una oscilación periódica de las partículas del medio, perpendicular a la dirección de propagación, se denomina onda periódica transversal. Un caso muy ilustrativo de este tipo de ondas es la onda sinusoidal producida en una cuerda que tiene en su extremo un resorte, situado con el eje perpendicular a la misma. El resorte se hace oscilar siguiendo un movimiento armónico simple (MAS), de una determinada amplitud (formula_25), pulsación formula_110 , periodo formula_95 y frecuencia formula_112 . En la cuerda se observa una sucesión de crestas y valles, describiendo un patrón que se va repitiendo en forma de sinusoide u onda armónica. El MAS generador de la onda le ha proporcionado a esta sus características temporales formula_110 , formula_95 y formula_112.


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text: Por otro lado, la cuerda, que es el medio de propagación de la onda, completa la descripción suministrando dos parámetros espaciales formula_116 y formula_117. El primero, llamado longitud de onda corresponde a la longitud de un patrón completo, en un instante de tiempo; por ejemplo, la distancia entre dos crestas o dos valles consecutivos. Cada patrón de la onda viaja a una velocidad formula_118 de propagación recorriendo una distancia igual a la longitud de onda en el tiempo de un periodo formula_95 , por lo que la velocidad de la onda viene dada por la siguiente relación: formula_120 y también formula_121 o formula_122.


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text: La onda se denomina longitudinal cuando la oscilación de las partículas del medio se realiza en la misma dirección que la de propagación de la onda. La forma de propagarse una onda longitudinal en un medio material se efectúa mediante la compresión y expansión periódicas del medio elástico. Para comprenderlo se puede considerar el ejemplo de un tubo cerrado con un fluido en su interior y un émbolo que comprime o expande alternativamente el fluido siguiendo un MAS. El tubo está colocado horizontalmente (donde está situado el eje x) y la superficie del émbolo, que genera las oscilaciones de izquierda a derecha, colocado verticalmente.


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text: Cuando el émbolo comprime el fluido en contacto con él, aumenta la presión en esa zona, y, a su vez, esa región empuja a la inmediata propagándose así la onda por el tubo, transmitiendo así la perturbación de izquierda (desde el lugar donde está el émbolo) a derecha a lo largo del fluido. Cada partícula del fluido oscila en la dirección de propagación de la onda con las mismas características que el MAS del émbolo. Si se atiende a la periodicidad de la onda, como depende de la variable espacial, formula_123, y del tiempo, en el caso de ondas periódicas, al igual que con las ondas transversales, se hablará de una periodicidad temporal caracterizada por el periodo formula_95 y una periodicidad espacial caracterizada por la longitud de onda formula_116.


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text: Al considerar las ondas longitudinales que se propagan en un tubo de fluido, la forma de determinar experimentalmente la longitud de onda consistirá ahora en, fijado un tiempo t, medir la distancia entre dos máximos ( o mínimos ) consecutivos de la onda de presión en el tubo de fluido.


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text: Como ya se comentó al introducir las ondas periódicas, el ejemplo más básico de onda periódica es la onda armónica. La función armónica que representa a la onda viajera, en una dimensión, describiendo el movimiento hacia la derecha a lo largo del eje x, puede venir dada por una expresión de forma coseno:


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text: también de la forma seno o bien, añadiendo al argumento de cualquiera de las dos funciones trigonométricas, seno o coseno, una fase arbitraria constante formula_127. La formulación matemática es la misma para las ondas transversales y para las ondas longitudinales, poniendo especial atención en el argumento espacial de la onda y en la propia variable dependiente que define a la onda; ambas variables escalares deben cumplir con la relación longitudinal o transversal de que se trate. Para distinguirlas es preciso tener claro el sentido físico de la onda que se está tratando en cada caso. En las primeras, las partículas de la cuerda realizan movimientos armónicos normales a la dirección de propagación y en las segundas las partículas del fluido realizan movimientos armónicos en la misma dirección de propagación.


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text: Por último, resulta de interés introducir el parámetro formula_102 llamado número de onda que está relacionado con la longitud de onda en relación inversa, a través de la expresión: formula_129. En tres dimensiones, el vector de onda, es la extensión natural del número de onda formula_102. Sin embargo, como vector, el vector de onda, lleva además la información de la dirección y el sentido de la velocidad de propagación de la onda.


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text: En función de los parámetros formula_102 y formula_110, una formulación muy utilizada para expresar la onda es:


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text: (las unidades de la pulsación formula_110 son rad/s y las del número de onda formula_102 son rad/m). Ambas magnitudes están relacionadas con la velocidad de propagación de la onda como formula_136 .


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text: Una onda armónica está originada por un MAS en la fuente. La dirección de propagación es el eje formula_1. Cada punto del medio adquiere describe entonces también un MAS. de la misma frecuencia y amplitud que el MAS original. Si es una onda transversal, la oscilación de las partículas del medio es perpendicular al eje formula_1. Es el caso de una onda en una cuerda. En cambio si es una onda longitudinal, la dirección de oscilación es la misma que la dirección de avance (eje formula_1) .


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text: La expresión obtenida corresponde a las ondas que se desplazan en el sentido formula_140. Si la onda se desplazase en el sentido formula_141 se obtendría:


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text: Por tanto la expresión general para una onda armónica que se propaga a lo largo del eje formula_1 es:


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text: Debido a que la función representativa de una onda depende de dos variables independientes formula_1 y formula_3, se pueden obtener dos representaciones gráficas distintas: o bien en función del tiempo fijando un valor de la posición formula_1, o bien en función de la posición fijando un valor temporal formula_3, como se aprecia en la figura.


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text: Para observar la periodicidad temporal (formula_40 vs formula_3): se fija un valor formula_152 para la posición y se describe como oscila en el tiempo la partícula situada en formula_152, formula_154.


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text: Para mostrar la periodicidad espacial (formula_40 vs formula_1): se fija un valor formula_157 para el tiempo y se describe la forma de la onda en ese instante determinado formula_157, formula_159.


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text: Como las magnitudes asociadas a cada proceso físico están gobernadas por leyes dinámicas que pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, el objetivo es presentar la ecuación diferencial que caracterice al movimiento ondulatorio en una dimensión. Dicha ecuación es una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales de segundo orden en el espacio, con propagación en la dirección del eje formula_1, y en el tiempo formula_3, que se expresa como:


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text: Representa la superposición de una onda propagándose en sentido positivo del eje formula_1, (formula_171, alejándose del origen con velocidad formula_6 hacia la derecha, la onda progresiva, y otra onda propagándose hacia la izquierda, en sentido negativo del eje formula_1 , formula_174, también con velocidad formula_6, la onda regresiva. Basta cambiar el sentido de la velocidad formula_6 por formula_177 en el argumento de la onda para cambiar el sentido de propagación de la onda y una onda que se propagaba hacia la derecha con argumento formula_178, se propague hacia la izquierda con argumento formula_179.


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text: A excepción de las ondas estacionarias que son la superposición de una onda progresiva y una onda regresiva que se propagan con la misma velocidad y sentidos opuestos, en general en las descripciones y ejemplos, se suele utilizar la onda viajera progresiva con el argumento formula_178.


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text: en esta expresión, además del argumento característico de la onda, con número de onda formula_117 y pulsación formula_183, lleva incorporado un ángulo genérico de fase formula_145 para mayor generalidad. Las dos constantes independientes de la onda armónica, la amplitud formula_185 y la fase formula_145 son consecuencia de satisfacer una ecuación diferencial de segundo orden. Una vez conocidas ambas (mediante condiciones iniciales), proporcionan una onda armónica que es solución única a la ecuación de ondas.


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text: Cuando dos ondas se propagan en el mismo medio coincidiendo en el espacio y en el tiempo y sus contribuciones no lineales son pequeñas entonces obedecen al principio de superposición. Si se desplazan a lo largo de una cuerda tensa con amplitudes pequeñas, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda y en cualquier instante, se obtiene sumando el desplazamiento que tendría el punto si sólo estuviera presente la primera onda, con el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la segunda; es lo que se conoce como el principio de superposición para el movimiento ondulatorio. Es una consecuencia importante de la Ecuación de Ondas que, como se ha explicado más arriba, es una ecuación diferencial lineal de segundo orden en las variables espaciales y el tiempo. Al ser una ecuación lineal, la superposición , o combinación lineal, de dos funciones (ondas) que son solución de la Ecuación de Ondas, también es solución de la misma ecuación y , por tanto, también su resultado es una onda. Así, la función de onda formula_187 que describe el movimiento resultante de la superposición en una dimensión, se obtiene sumando las dos funciones de onda de las dos ondas individuales que inciden en una posición x, en un instante t. De forma general,


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text: siendo formula_189 dos soluciones linealmente independientes de la Ecuación de Ondas en una dimensión; formula_190 y formula_191 son dos constantes reales.


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text: Hasta ahora se han explicado las ondas propagándose en una dimensión por la facilidad para explicar los fundamentos de las ondas. Sin embargo, si una onda se propaga en un espacio de dos o tres dimensiones es necesario extender la ecuación de ondas de acuerdo con las correspondientes dimensiones del espacio en el que se propaga, así como tener en cuenta la geometría de la fuente y las características del medio en el que se propaga la onda (condiciones de isotropía y homogeneidad).


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text: Aquí se describirán las soluciones a la ecuación de ondas de acuerdo con la geometría resultante para su propagación. Por ello es necesario introducir dos nociones geométricas para describirla. La primera es la noción del frente de onda como las superficies definidas por todos los puntos del espacio que presentan el mismo estado de perturbación en un mismo tiempo. La segunda es la noción de rayo definido como aquellas direcciones que son perpendiculares a un frente de onda y que definen, a su vez, la dirección de la velocidad de propagación de la onda. Atendiendo a la forma del frente de onda aparecen las tres formas de onda más importantes, las ondas planas (fuente plana), las ondas esféricas (fuente puntual) y las ondas cilíndricas (fuente lineal). En el primer caso, las ondas planas, los frentes de ondas son planos paralelos, en las ondas esféricas los frentes de onda son esferas concéntricas; y si se trata de ondas cilíndricas, los frentes de onda son cilindros concéntricos con la fuente.


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text: Una Onda plana es un tipo de onda que se propaga en una única dirección del espacio. Esto significa que el estado de la perturbación es el mismo en cada uno de los planos perpendiculares a esa dirección. Los frentes de onda son los planos perpendiculares a la dirección de propagación y los rayos son las rectas paralelas a la dirección dada. Tanto la velocidad de propagación como el vector de onda tienen la dirección perpendicular a los frentes de onda. Las ondas planas, al avanzar en una sola dirección, son la representación en 3 dimensiones de la onda analizada en una dimensión.


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text: Las ondas esféricas se producen en medios isótropos a causa de una perturbación inicial puntual (la fuente). La perturbación generada en el punto se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones del espacio trazadas desde el punto. Los frentes de onda son, pues, superficies esféricas concéntricas, alternando vientres (máximos) y nodos (ceros) de la onda, construidas con el mismo punto como centro. Los rayos serán todas las direcciones radiales que pasan por el punto generador. Tanto la velocidad de propagación como el vector de onda , tienen la dirección radial, perpendicular a su vez a los frentes de onda.


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text: Las ondas estacionarias son también solución a la ecuación de ondas y se forman por la superposición de dos ondas viajeras, una progresiva que se aleja del origen y otra regresiva que se acerca al mismo, de forma que el origen es un extremo fijo. En concreto, la superposición de una onda viajera progresiva formula_192 con otra regresiva formula_193, ambas con la misma velocidad de propagación pero de sentidos opuestos, dan lugar a lo que se conoce como una onda estacionaria. Como resultado, para determinadas posiciones la amplitud de la onda es siempre nula para cualquier instante. Esta propiedad es la que le confiere la estructura de onda estacionaria.


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text: De este modo, la superposición de dos ondas armónicas que viajan en sentidos opuestos con la misma velocidad de propagación, frecuencia y amplitud:


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text: da como resultado una onda estacionaria de amplitud doble y en forma de producto de funciones con las variables espacial formula_1 y temporal formula_3 separadas. La onda resultante de la superposición ha perdido su carácter de onda viajera. De este modo, una onda estacionaria se caracteriza por tener una condición determinada, en el origen, en su parte espacial de máximo (extremo fijo abierto), como en el ejemplo propuesto (formula_197), o cero (extremo fijo cerrado).


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text: Si además se impone una segunda condición en otro extremo (segundo extremo fijo), por ejemplo en, formula_198 entonces se forman los modos normales en esa región del espacio entre ambos extremos, desde formula_199 a formula_198. De esta forma un modo normal es una onda estacionaria con dos extremos fijos, quedando confinada la onda entre ambos. Además al imponer el segundo extremo, no todas las longitudes de onda y frecuencias de la onda van a ser posibles. Solamente van a ser posibles aquellas frecuencias que son múltiplo entero de la frecuencia fundamental. Son modos normales en una dimensión, pero también se extienden a dos y tres dimensiones.


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text: Aplicaciones de interés sobre los modos normales abarcan muchos ámbitos y especialidades, no son exclusivos de las ondas mecánicas aunque si especialmente importantes. En los diferentes sistemas físicos que se pueden generar, tienen la propiedad común y universal de ver limitadas las posibles longitudes de onda siendo éstas múltiplos de las dimensiones del sistema en el que se producen y propagan. Por ejemplo, los modos normales en cuerdas y tubos de fluido, como ocurre con los instrumentos musicales, ambos ejemplos de ondas sonoras. En el caso de las ondas electromagnéticas, los modos normales de cavidades Laser. En mecánica cuántica, los modos normales de vibración en las moléculas que sirven de base para las operaciones de simetría en la teoría de grupos. Y si se considera la gravedad cuántica caben mencionar los cuasi modos normales de agujeros negros y estrellas de neutrones, así como en diversas aplicaciones de la ciencia con entornos muy diferentes.


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text: Cuando, por ejemplo, se frota con el arco una cuerda del violín al aire, las ondas transversales se propagan hacia los dos extremos donde la cuerda se mantiene fija, en el puente y en la nuez superior; en estos dos extremos fijos las ondas se reflejan de nuevo. En el puente y en la nuez, las dos ondas opuestas (la que llega y la que vuelve reflejada) deben encontrarse en oposición de fase para ser canceladas entre sí, puesto que esos dos puntos están fijos y necesariamente debe existir un nodo en cada uno de ellos. A mitad de recorrido entre dos nodos hay un antinodo, o vientre, donde las dos ondas se "potencian" mutuamente al máximo. Son los modos normales de vibración que se producen en los instrumentos de cuerda. O en tubos de fluido como los tubos sonoros de los instrumentos musicales de viento. En cualquier medio material con dos extremos fijos se pueden formar modos normales. En los modos normales en cuerdas o en tubos de fluido, hay una energía neta almacenada que permite excitar a las moléculas de aire del entorno y propagar así el sonido al medio exterior. La energía en los nodos (en reposo en cualquier instante) es nula y en el antinodo o vientre es máxima (variando en función del tiempo).


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text: La situación que se ha descrito en la cuerda del violín corresponde al llamado modo fundamental de vibración que consta de la alternancia nodo-vientre-nodo a lo largo de la cuerda. Además del modo fundamental aparecen los armónicos que se caracterizan por tener una frecuencia que es un múltiplo entero del modo fundamental manteniendo la misma velocidad de propagación. El primer armónico tendría la siguiente sucesión: nodo-vientre-nodo-vientre-nodo. El segundo armónico sería nodo-vientre-nodo-vientre-nodo-vientre-nodo. Y así sucesivamente. Para facilitar el lenguaje, al fundamental se le llama primer modo, al primer armónico, segundo modo, al segundo armónico tercer modo y así sucesivamente.


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text: Para deducir la Ecuación de Ondas(cuando la onda se origina en una cuerda estirada para pequeñas amplitudes), se va a disponer de una cuerda tensa sujeta por sus extremos, situada en el eje formula_1 y estando sometida a una tensión formula_5. Inicialmente se encuentra en estado de equilibrio en la dirección del eje formula_1. Si se realiza un movimiento perpendicular al eje formula_1 y se toma como referencia una porción formula_205 de la cuerda, de masa formula_206, en cada uno de sus extremos actuará la fuerza tangencial formula_5 debida a la tensión inicial de la cuerda. Las componentes verticales de la fuerza formula_5 en los extremos formula_25 y formula_210 son:


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text: La fuerza resultante sobre la porción formula_205 se debe solo a la pequeña diferencia entre las componentes verticales formula_214 :


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text: Si la curvatura de la cuerda provocada al paso de la onda es pequeña, los ángulos formula_216 y formula_217 son también pequeños y, por ello, la función seno se puede aproximar por su tangente quedando la anterior expresión de la siguiente manera:


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text: Esta fuerza transversal debe ser igual a la masa formula_206 de la porción de cuerda formula_205 multiplicada por su aceleración formula_224 en la dirección del eje formula_40, formula_226, y la ecuación del movimiento transversal de este segmento de cuerda quedaría: formula_227. La densidad lineal de la cuerda es formula_228 por lo tanto formula_229. Combinando esta ecuación con la formula_230 anterior se llega a la ley del movimiento para la perturbación formula_231:


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text: Esta expresión representa una relación entre la derivada segunda espacial y la derivada segunda temporal de formula_81 por medio de una constante que es , precisamente, el cuadrado de la velocidad de propagación formula_234 de la onda que, como consecuencia importante, debe aparecer en las soluciones de dicha ecuación diferencial. Se trata de una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales de segundo orden. Por ello, las soluciones formula_235 pertenecen a un espacio vectorial de dimensión dos. Cualquier solución depende de la coordenada espacial formula_1 y del tiempo formula_3 y es una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes: una onda viajera progresiva y una onda viajera regresiva, explicadas más arriba.


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text: Esta ecuación tiene como solución ondas planas que se propagan a lo largo de la dirección del eje formula_13; es la "Ecuación de Ondas en una dimensión". La velocidad de propagación de la onda es formula_6, la raíz cuadrada de la constante positiva formula_241 que aparece en el segundo miembro, como ya se ha mencionado.


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text: La velocidad de propagación de una onda mecánica es la velocidad con la que avanza la perturbación a través del medio. En general depende de las propiedades mecánicas del mismo por lo que es constante, si estas no varían. En general, la velocidad de propagación puede expresarse en la forma:


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text: En el caso de una onda material, cuando esta se propaga por el medio, se genera un movimiento local de átomos o moléculas. Al avanzar la onda por el medio, varía el estado de movimiento de las partículas que oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Si bien las partículas del medio realizan pequeños desplazamientos alrededor de posiciones fijas y , por tanto, no son transportadas al avanzar la perturbación, sin embargo, la onda en su avance, transporta energía que va suministrando a los átomos y moléculas a su paso en forma de energía cinética. Es decir, no se propaga la materia sino una energía que permite el movimiento de las partículas del medio, una condición dinámica. De otro modo: en un movimiento ondulatorio se transmiten o propagan un momento lineal y una energía.


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text: Para generar un pulso en una cuerda debe aplicarse una energía al extremo. Y sólo es necesario suministrar energía durante un corto intervalo de tiempo, el de duración del pulso. Por el contrario, si se quiere producir un tren continuo de ondas, es necesario suministrar energía de forma continuada.


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text: De acuerdo con la definición de onda, se trata de una perturbación que propaga energía sin desplazamiento de materia. Para generar una onda se necesita desarrollar una fuerza que produzca una perturbación en el medio que, de esta manera, ejerza un trabajo sobre el medio. Al propagarse esta perturbación las partículas del medio van sufriendo fuerzas y pequeños desplazamientos locales y, por tanto, ejerciéndose trabajo sobre el mismo. De esta forma se va transmitiendo la energía de un punto a otro del sistema. Esta propagación de energía se puede ver materializada en determinados efectos producidos por las ondas como por ejemplo la erosión la erosión de las olas al golpear la costa, los destrozos de las ondas sísmicas (terremotos). Dentro de las magnitudes energéticas empleadas en física habitualmente, la naturaleza dinámica de las ondas conduce al uso preferente de las nociones de potencia y de intensidad.


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text: Para encontrar una expresión de la potencia transportada por una onda, se analizará lo que sucede en un pequeño fragmento de una cuerda de longitud formula_254 al pasar una onda transversal formula_255 a su través viajando en el sentido positivo del eje formula_256 (mismas condiciones para el fragmento que se consideraron al deducir la ecuación de ondas).


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text: El fragmento formula_254 forma un ángulo formula_190 (en la deducción de la ecuación de ondas se le llamó θ ) con el eje formula_256 y sus componentes son formula_260 y formula_261. Como se observa en el dibujo, la parte de la cuerda a la izquierda del fragmento ejerce una fuerza (tensión) con las componentes formula_262 y formula_263. La pendiente de la cuerda es muy pequeña y puede expresarse como formula_264 que a su vez representa formula_265 en el paso al límite cuando el pequeño intervalo considerado tiende al punto de posición formula_123. Además, dada la pequeñez del ángulo formula_190 se puede tomar con buena aproximación formula_268. En función de las componentes de las fuerzas formula_269.


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text: Igualando las dos expresiones para la pendiente se obtiene: formula_270 . La fuerza formula_271 realiza un trabajo en su pequeño desplazamiento transfiriendo energía al segmento de cuerda.


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text: Así la potencia formula_272, energía transmitida por unidad de tiempo al siguiente fragmento de cuerda, es el producto de formula_273 por la velocidad del fragmento según la dirección vertical:


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text: Esta expresión representa la potencia instantánea transmitida a lo largo de una cuerda en función de la posición formula_1 y del tiempo formula_3.


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text: La ecuación de la potencia deducida anteriormente para una cuerda tensa es aplicable a otros tipos de ondas, por ejemplo a las ondas longitudinales en los fluidos.


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text: La expresión de la potencia se puede aplicar a una onda sinusoidal, por ejemplo a la onda formula_277 que se propaga a lo largo de la dirección formula_278 en sentido positivo.


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text: Al derivar la función de onda tanto respecto al tiempo como respecto a la posición, para obtener los dos factores de la fórmula de potencia hallada anteriormente, se obtiene:


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text: es la potencia instantánea transportada por la onda armónica y representa también una condición dinámica de naturaleza ondulatoria, donde formula_283 es la potencia máxima que se obtiene cuando la función formula_284 es máxima.


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text: Por otro lado el valor medio de la función formula_284 vale formula_286 y, por tanto, se obtiene otra magnitud de interés, la potencia media como:


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text: Se puede apreciar cómo la potencia media depende de la amplitud al cuadrado de la onda, es decir, la energía transportada en la unidad de tiempo por la onda promediada en un periodo es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Por tanto a mayor amplitud, mayor energía transportada.


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text: En la siguiente gráfica se establece una posición x fija y se estudia la ley de variación de la potencia con el tiempo en dicha posición. Además, puede observarse que si bien el periodo de la onda es formula_5 como se indica en la figura, la periodicidad de la potencia instantánea tiene lugar con un periodo formula_289.


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text: Otra forma de calcular, de forma sencilla, la potencia media transportada por ondas armónicas planas en una varilla o en un tubo de fluido , se basa en observar los movimientos armónicos que realizan las partículas del medio al pasar la perturbación. Por ello, se van a considerar las ondas armónicas planas longitudinales propagándose a lo largo de un medio material. Una varilla en el caso de un sólido o un tubo relleno en el caso de un fluido. La sección de la varilla o del tubo es la misma, formula_290.


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text: A escala microscópica las moléculas realizan movimientos armónicos simples al paso de la onda. Cada una de ellas, de masa formula_291 , desarrolla una energía de formula_292, siendo formula_293 el desplazamiento máximo de las moléculas al oscilar. Por tanto, la energía media que corresponde a una lámina (de varilla o de fluido contenido en el tubo) de medio material de masa formula_294 con las partículas realizando movimientos armónicos simples, es formula_295. Las dimensiones de la lámina son, superficie formula_290 y grosor formula_297 , por tanto, su volumen es formula_298.


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text: Donde formula_300 representa la energía media por unidad de volumen , formula_6 es la velocidad de propagación de la onda y formula_302 es el tiempo que emplea la onda en efectuar el recorrido formula_297.


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text: Es interesante observar que en esta formulación, la potencia transportada por la onda es directamente proporcional a la energía de la unidad de volumen contenida en el material y a la velocidad formula_6 de propagación de la onda.


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text: La respuesta de un detector de ondas cuando es alcanzado por una onda depende de la magnitud física llamada intensidad o potencia recibida por unidad de superficie. Esto sucede, por ejemplo, con el oído humano que es sensible a la intensidad de la onda sonora que le impacta. La intensidad se mide en formula_305.


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text: Es evidente que si en una onda plana la superficie de los frentes de onda se mantiene constante también lo hará la intensidad. En las ondas esféricas, sin embargo, la potencia emitida por la fuente se distribuye sucesivamente en superficies de áreas crecientes al avanzar la onda, por lo tanto la intensidad disminuirá al aumentar la distancia.


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text: La intensidad, formula_306, de una onda se define como la potencia promedio formula_307 transferida a través de la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación:,


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text: Donde formula_290 es la superficie atravesada por la onda. Esta expresión para la intensidad del movimiento ondulatorio, es válida en general tanto para ondas planas que se propagan en una dimensión como para ondas en dos (por ejemplo las generadas en la superficie del agua o en la superficie de un tambor) o tres dimensiones como las ondas esféricas, o de otra geometría. En la cuerda, al propagarse una onda plana, la sección formula_290 de la expresión anterior, será constante (la sección de la cuerda, perpendicular a la dirección de propagación). Lo mismo sucede con cualquier onda plana donde la intensidad de la misma se mantiene constante.


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text: Volviendo al caso de la varilla sólida o del tubo relleno con un fluido, ambos de sección formula_25, por donde se está propagando una onda plana longitudinal con una densidad de energía formula_300, el cálculo de la intensidad es inmediato:


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text: Obsérvese que la intensidad del movimiento ondulatorio es proporcional a la densidad de energía del medio y a la velocidad de propagación de la onda.


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text: Si el medio es isótropo, entonces se producirá una onda esférica a partir de un foco puntual. La superficie de un frente de onda esférico de radio formula_314 es formula_315. La intensidad de la onda esférica a la distancia formula_314 del foco será;


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text: Si la potencia media es constante, la intensidad disminuye como el cuadrado inverso de la distancia desde el foco, como lo expresa la siguiente ecuación:.


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text: El sonido es una onda longitudinal que se propaga por un medio, sólido, líquido o gaseoso, capaz de ser escuchada por el oído humano. La gama audible es el conjunto de frecuencias que el oído humano es capaz de detectar. Se extiende de 20 a 20.000 Hz, aunque el término sonido también se emplea para referirse a ondas similares con frecuencias ultrasónicas e infrasónicas.


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text: Ampliando, pues, la noción de sonido, las ondas sonoras se pueden dividir en tres categorías según los márgenes de frecuencia:


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text: Al considerar las ondas mecánicas en general se observó que la velocidad de estas responde a una expresión de la forma:,


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text: La fuerza de restitución representa la facilidad para comprimir y expandir el material que constituye el medio a estudiar, está medida por unidad de volumen y en un fluido viene expresada por el módulo de compresibilidad formula_210. La inercia viene representada por la masa inercial formula_321, que al referirse a la unidad de volumen se transforma en la densidad formula_248, de manera que la velocidad de las ondas sonoras viene dada por la expresión formula_323


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text: Si la Onda_sonora onda sonora se propaga a través de un sólido, en lugar del módulo de compresibilidad del fluido se debe emplear el módulo de elasticidad, también llamado módulo de Young del sólido, para obtener la velocidad de propagación de las ondas longitudinales formula_324, siendo formula_247 el módulo de Young (propiedad elástica) y formula_248 la densidad del sólido (propiedad inercial).


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text: La expresión general de la velocidad del sonido en los fluidos se puede transformar en una expresión práctica para el caso de los gases formula_327 donde la primera expresión aparece más arriba al exponer las ondas mecánicas en general y es aplicable a líquidos y gases. La segunda expresión, aplicable solo a fase gas, se deduce de la anterior suponiendo una propagación en condiciones adiabáticas , formula_5 es la temperatura del gas en Kelvin, formula_251 el coeficiente adiabático del gas (1.4 para el caso del aire), formula_252 la constante de los gases ideales y formula_253 la masa molecular del gas. Para el aire en condiciones normales de presión y temperatura se obtiene formula_332


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text: Las ondas sonoras se pueden propagar en todas las direcciones del medio a partir de la fuente generadora. Para comenzar su análisis conviene centrar la atención en el caso de la propagación en una sola dirección y en el sentido positivo de un eje, por ejemplo, del eje formula_1. Unos modelos físicos sencillos que pueden responder a esa restricción de ondas en una dimensión, pueden ser el de una varilla constituida por un material sólido o el de un tubo largo lleno de un fluido. Para una mayor facilidad de la propagación se deben considerar ambos sistemas indefinidos (sin límites) para que no afecten las reflexiones de la onda en los límites del sistema. Por el contrario, si los sistemas son de longitud definida (tienen extremos), las ondas sonoras se reflejarán en los extremos creando una nueva situación, produciendo ondas estacionarias.


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text: Una onda sonora armónica, se puede describir como una onda senoidal progresiva (se aleja del origen con sentido positivo de la velocidad de propagación), avanza en la dirección del eje formula_1 con una frecuencia formula_14 y una longitud de onda formula_4, mediante la ecuación


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text: donde la variable formula_40 representa la elongación en la dirección longitudinal, de las moléculas del medio producidas al paso de la onda, formula_25 es la elongación máxima, formula_340 y formula_341.


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text: En cambio si la propagación se produjese acercándose al origen (onda regresiva) en el sentido negativo del eje formula_1, en el argumento de la onda aparecería un signo positivo,


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text: como se ha visto anteriormente (ondas progresivas y regresivas). La distinción fundamental entre la onda sonora armónica y otra onda mecánica armónica general, además de su rango de frecuencias, es su velocidad de propagación, característica del medio elástico en el que se propaga.


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text: Las ondas sonoras al ser perturbaciones del medio producidas por una fuerza externa, se pueden describir de tres formas, como pequeños desplazamientos de las partículas del medio alrededor de sus posiciones de equilibrio, "ondas de desplazamiento", como pequeñas fluctuaciones de la densidad del medio respecto a la densidad de equilibrio, "ondas de densidad", o como pequeñas fluctuaciones de la presión del medio, producidas en los diferentes puntos de su recorrido, "ondas de presión". La magnitud de más interés de las tres es la onda sonora de presión. El oído humano es capaz de reconocer esta variación de presión en torno a la presión atmosférica y traducir estas fluctuaciones en impulsos nerviosos por medio del tímpano y otros elementos del aparato auditivo. Por tanto, la representación de las ondas sonoras como ondas de presión es fundamental.


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text: Las pequeñas fluctuaciones de la presión (las ondas sonoras de presión) se suelen representar, para una posición formula_1 y en un tiempo formula_3 determinados, con respecto de la presión atmosférica formula_346 o presión barométrica, como formula_347, también llamada presión manométrica. La presión absoluta será, por tanto, formula_348. La unidad de medida es el pascal (Pa) , es decir, formula_349. Si la presión de 1 atmósfera son formula_350 pascales, las pequeñas variaciones de la presión al propagarse la onda, son tan solo del orden del pascal.


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text: Para la obtención de las ondas sonoras de presión, se toma un pequeño cilindro de fluido de longitud formula_351, sección formula_290 y material cualquiera (sólido, líquido o gas) con su eje en la dirección formula_13 de propagación de la onda sonora y situado a partir de la coordenada formula_1. Antes del paso de la onda sonora, el cilindro está en equilibrio y mantiene su longitud formula_351 y su volumen formula_356.


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text: Si el cilindro comienza a verse afectado por una onda sonora y llamando formula_357 a la onda de desplazamiento, el extremo que se encontraba en formula_1 se verá desplazado en una cantidad formula_359 y el extremo que estaba en formula_360 se verá desplazado una cantidad formula_361. Además cuando formula_362 el volumen del cilindro aumentará, disminuyendo la presión, al contrario que cuando formula_363. Y si formula_364 no habrá cambio de volumen ni variación de presión.


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text: Al ser la onda longitudinal, la longitud formula_351 del cilindro habrá sufrido una pequeña variación formula_366 pero la sección formula_290 no habrá variado. De modo que la variación del volumen del cilindro será


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text: Con estas consideraciones se va a relacionar el cambio relativo de volumen formula_369 del cilindro al paso de la onda (al considerar su longitud muy pequeña, es decir cuando formula_370) con la primera derivada espacial de la onda por un lado y con la variación de presión formula_371 que tiene lugar, por otro.


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text: Por otro lado es importante tener en cuenta que el cambio relativo de volumen está relacionado con la variación de presión formula_371 mediante el módulo de compresibilidad formula_210 a través de la propia definición de este,


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text: Esta ecuación muestra que la cantidad formula_383 representa la máxima variación de presión manométrica y desempeña el papel de amplitud de la onda de presión, es la "presión acústica máxima", formula_384. Se observa que es proporcional al desplazamiento máximo formula_25, al módulo de compresibilidad del medio formula_210 y depende de la longitud de onda, pues formula_387.


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text: Una forma muy empleada para la relación anterior entre las amplitudes de elongación formula_25 y de presión formula_389 de la onda, se obtiene al despejar formula_210 de la fórmula formula_323, quedando


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text: También es importante observar que la onda expresada para la presión acústica formula_347 presenta una diferencia de fase de formula_394 con respecto a la misma onda expresada para el desplazamiento o elongación formula_81. Si una se expresa en forma de seno la otra es coseno y viceversa. En el caso analizado la elongación obedece a la ley del coseno y la presión a la ley del seno, teniendo ambas funciones el mismo argumento formula_396. Dicho de otra forma, los máximos o mínimos de presión se corresponden con los ceros de elongación y viceversa, los máximos o mínimos de elongación se corresponden con los ceros de presión.


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text: Las ondas sonoras armónicas están generadas por una fuente o foco en vibración. Si son de una única frecuencia, la fuente realiza un movimiento armónico simple (MAS). El foco provoca la oscilación de las moléculas del fluido más próximas, por lo que desarrollan, a su vez, un MAS respecto a su posición de equilibrio. Un modelo con el que se puede visualizar fácilmente este proceso es el de un tubo con un fluido en su interior, que se comprime al empujar con un pistón situado en uno de sus extremos, descrito en la sección 2. De esta forma se aumenta la presión en esta región. Al ir desplazándose la onda a lo largo del tubo, va comprimiendo progresivamente la región inmediata y propagando la llamada zona de ‘compresión’. Así cada zona de compresión va propagándose a regiones contiguas de modo que el efecto se repite de manera reiterada en el tiempo y el espacio. Conforme pasa la perturbación, los valores de presión, densidad y temperatura van variando ligeramente alrededor de los valores del fluido en equilibrio, generándose de esta manera un pulso de compresión que se propaga por el interior del tubo. En el caso contrario, si se tira del pistón, el fluido más próximo se expande, reduciéndose sus valores de densidad y presión, por debajo del equilibrio. Como consecuencia, se genera un pulso de expansión que se propagará conforme la onda viaja por el tubo, igual que lo hizo el pulso de compresión.


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text: Si el émbolo oscila siguiendo un MAS, se alternarán las compresiones y expansiones, generando ondas sinusoidales que se propagan por el tubo.


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text: La compresión (aumento de presión) implica un aumento de densidad del fluido y la expansión una disminución. Si la onda sonora se mide como la fluctuación de la densidad del medio formula_89 su representación matemática presentará la misma función y argumento que la presentación de la onda de presión formula_347. Por ello ambas formas ondulatorias poseen la importante característica de estar en fase.


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text: para fluctuaciones de presión (desfasada formula_401. respecto a la onda de desplazamiento), con dimensiones de presión y unidad el Pascal , Pa.


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text: Es importante destacar que se trata una variación en forma de onda de tres magnitudes diferentes: elongación, presión y densidad (con diferentes unidades) y que, por tanto, son tres ondas diferentes, estando las de presión y densidad en fase y ambas desfasadas formula_394 respecto a la de elongación. Si bien cada una tiene su ecuación de ondas, las tres tienen una velocidad común: la velocidad de propagación del sonido en el tubo de fluido.


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text: Las nociones de geometría de las ondas (frentes de onda y rayos) expuestas al considerar las ondas en general son completamente aplicables al caso de las ondas sonoras. Lo mismo sucede con las nociones básicas sobre la energía transportada por las ondas.


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text: Dada la trascendencia de las ondas sonoras, conviene recordar aquí ,por tanto, las dos magnitudes físicas más importantes para cuantificar la energía que transportan las ondas mecánicas, que son la potencia y la intensidad. La primera empleada especialmente para describir las fuentes sonoras y el aporte energético de las ondas sonoras que generan. La segunda, para cuantificar el efecto producido en el oído y, en general, en el receptor de las ondas sonoras. Adaptada especialmente a la escala audible del oído humano hay una tercera magnitud, el nivel de intensidad del sonido que utiliza una escala logarítmica.


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text: La forma preferente para expresar las ondas sonoras como ondas de presión, en el caso de ondas planas se escriben como:


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text: permite presentar las expresiones de la intensidad para los ambos casos, utilizando las ondas de presión. Hay que observar que la amplitud de la onda de presión para la onda plana formula_389 es constante , sin embargo, no lo es para la onda esférica. La amplitud de esta última tiene la forma formula_407 donde aparece explícitamente la ley de disminución de la amplitud con la distancia formula_314. Respecto a la constante formula_409, se puede observar que su dimensión necesariamente debe ser de presión multiplicada por longitud (su valor numérico corresponde al de la presión a un metro de distancia de la fuente puntual). De este modo, la Intensidad del sonido es proporcional a la amplitud de la onda de presión al cuadrado,


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text: Según la estructura geométrica de las ondas puede haber una dependencia de la intensidad con la distancia. Las ondas planas mantienen el valor de la intensidad a lo largo de su propagación mientras que en las esféricas disminuye con el cuadrado de la distancia radial.


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text: Si se considera una fuente idealmente puntual que emite ondas sonoras por igual en todas las direcciones posibles, se obtendrá el esquema de la figura superior. Como ya se ha visto, la intensidad de la onda sonora disminuirá conforme se aleje de la fuente. Las ondas formarán unos frentes de ondas esféricos caracterizados porque en todos los puntos de cada esfera la fase de onda es la misma. La distancia, medida radialmente, entre dos frentes de onda adyacentes que tienen la misma fase es la longitud de onda formula_116 de la onda. Las líneas radiales que se dirigen hacia afuera desde la fuente son los rayos y la potencia promedio que emite la fuente debe tener una distribución uniforme sobre cada frente de onda esférico, siendo la intensidad de la onda la misma para todas las orientaciones situadas a una distancia formula_314 determinada.


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text: La intensidad sonora en función de la potencia promedio formula_34 para ondas esféricas se expresa, como ya se vio en el caso general:


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text: comprobándose que la intensidad disminuye, en efecto, en razón al cuadrado de la distancia medida desde la fuente. Sus unidades son vatios por metro cuadrado formula_416 .


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text: La intensidad formula_306 de una onda, o la potencia por cada unidad de área, se define como la rapidez a la que la energía transportada por la onda se transfiere a través de una unidad de área formula_25 perpendicular a la dirección de propagación de la onda; se observa, de nuevo, como la intensidad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia desde la fuente.


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text: (La potencia media formula_307 es la rapidez de transferencia de energía de dicha onda o la energía por unidad de tiempo promediada en un periodo de la onda).


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text: Debido al amplio margen de intensidades que puede detectar el oído humano, es conveniente emplear una escala logarítmica, en la que formula_423 va a representar el nivel de intensidad sonora o nivel sonoro de una onda sonora al propagarse. Se define como: