title: Máximo común divisor polinómico

text: El máximo común divisor puede definirse y existe, de manera más general, para polinomios sobre un cuerpo numérico o sobre el anillo de los números enteros, y también sobre un dominio de factorización única. Existen algoritmos para calcularlos si se dispone de un algoritmo para calcular el MCD en el anillo de coeficientes. Estos algoritmos proceden mediante una recursión sobre el número de variables para reducir el problema a una variante del algoritmo euclidiano. Son una herramienta fundamental en cálculo simbólico, porque los sistemas algebraicos computacionales los usan sistemáticamente para simplificar fracciones. Por el contrario, la mayor parte de la teoría moderna del MCD polinómico se ha desarrollado para satisfacer la necesidad de eficiencia de los sistemas de álgebra por computadora.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sean y dos polinomios con coeficientes en un dominio de integridad , normalmente un cuerpo o el anillo de los números enteros.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Un máximo común divisor de y es un polinomio que divide a y que divide a , y tal que cada divisor común de y de también divide a . Cada par de polinomios (ambos no nulos) tiene un MCD si y solo si es un dominio de factorización única.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si es un cuerpo y y no son ambos cero, un polinomio es un máximo común divisor si y solo si divide tanto a como a , y tiene el mayor grado entre los polinomios que tienen esta propiedad. Si , el MCD es 0. Sin embargo, algunos autores consideran que en este caso el MCD no está definido.


title: Máximo común divisor polinómico

text: El máximo común divisor no es único: si es un MCD de y , entonces el polinomio es otro MCD si y solo si hay un elemento invertible de tal que


title: Máximo común divisor polinómico

text: En otras palabras, el MCD es único excepto si se considera la multiplicación por una constante invertible.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En el caso de los enteros, esta indeterminación se ha resuelto eligiendo como MCD el único que es positivo (hay otro, que es su contrario). Con esta convención, el MCD de dos enteros también es el divisor común más grande (para el orden habitual). Sin embargo, dado que no existe orden total natural entre los polinomios sobre un dominio integral, no se puede proceder de la misma manera aquí. Para polinomios de una sola variable sobre un cuerpo, se puede requerir adicionalmente que el MCD sea un polinomio mónico (es decir, que tenga 1 como su coeficiente del grado más alto), pero en casos más generales no existe una convención general. Por lo tanto, las igualdades como o son abusos comunes de notación que deben leerse como " es un MCD de y de "; y como que " y tienen el mismo conjunto de MCD que y que ". En particular, significa que las constantes invertibles son los únicos divisores comunes. En este caso, por analogía con el caso entero, se dice que y son polinomios coprimos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Para encontrar el MCD de dos polinomios usando su factorización, basta con factorizar los dos polinomios por completo. A continuación, se selecciona el producto de todos los factores comunes. En esta etapa, no necesariamente se obtiene un polinomio mónico, por lo que finalmente se debe multiplicar por una constante para convertirlo en un polinomio mónico. Este será el MCD de los dos polinomios, ya que incluye todos los divisores comunes, y es mónico.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Factorizar polinomios puede ser difícil, especialmente si los polinomios tienen un grado grande. El algoritmo de Euclides es un método que funciona para cualquier par de polinomios. Hace un uso repetido de la división euclídea. Cuando se usa este algoritmo con dos números enteros, el tamaño de los números disminuye en cada etapa. Con polinomios, el grado de los polinomios disminuye en cada etapa. El último resto distinto de cero, transformado en mónico si es necesario, es el MCD de los dos polinomios.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Más específicamente, para encontrar el mcd de dos polinomios y , se puede suponer que (de lo contrario, el MCD es ), y


title: Máximo común divisor polinómico

text: permite repetir la división euclidiana para obtener nuevos polinomios y así sucesivamente. En cada etapa se tiene que


title: Máximo común divisor polinómico

text: Dado que es el último resto distinto de cero, es un MCD de los polinomios originales y el polinomio mónico MCD es .


title: Máximo común divisor polinómico

text: En este ejemplo, no es difícil evitar la introducción de denominadores factorizando 12 antes del segundo paso. Esto siempre se puede hacer usando secuencias de pseudo-resto, pero si no se tiene cuidado con las operaciones, se pueden generar números enteros muy grandes durante el cálculo. Por lo tanto, para los cálculos con computadora, se utilizan otros algoritmos, que se describen a continuación.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Este método funciona solo si se puede probar la igualdad a cero de los coeficientes que aparecen durante el cálculo. Entonces, en la práctica, los coeficientes deben ser números enteros, números racionales, elementos de un cuerpo finito, o deben pertenecer a alguna extensión de cuerpos de uno de los cuerpos anteriores. Si los coeficientes son valores con coma flotante que representan números reales que se conocen solo aproximadamente, entonces se debe conocer el grado del MCD para obtener un resultado de cálculo bien definido (es decir, un resultado provisto de estabilidad numérica; en estos casos se pueden utilizar otras técnicas, generalmente basadas en descomposición en valores singulares.


title: Máximo común divisor polinómico

text: El caso de polinomios de una variable sobre un cuerpo es especialmente importante por varias razones. En primer lugar, es el caso más elemental y, por tanto, aparece en la mayoría de los primeros cursos de álgebra. En segundo lugar, es muy similar al caso de los números enteros, y esta analogía es la fuente de la noción de dominio euclídeo. Una tercera razón es que la teoría y los algoritmos para el caso de varias variables y para los coeficientes en un dominio de factorización única están fuertemente basados en este caso particular. Por último, pero no menos importante, los algoritmos de MCD polinómicos y los algoritmos derivados permiten obtener información útil sobre las raíces de un polinomio, sin calcularlas.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La división euclídea de polinomios, que se usa en el Algoritmo de Euclides para calcular el MCD, es muy similar a la división euclídea de números enteros. Su existencia se basa en el siguiente teorema: Dados dos polinomios de una variable "a" y "b" ≠ 0 definidos sobre un cuerpo, existen dos polinomios "q" (el "cociente") y "r" (el "resto") que satisfacen


title: Máximo común divisor polinómico

text: donde "deg (...)" denota el grado; y el grado del polinomio cero se define como negativo. Además, "q" y "r" se definen de forma única por estas relaciones.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La diferencia con la división euclidiana de números enteros es que, para los números enteros, el grado se reemplaza por el valor absoluto, y que para tener unicidad se tiene que suponer que "r" no es negativo. Los anillos para los que existe tal teorema se denominan dominios euclídeos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Al igual que para los números enteros, la división euclídea de los polinomios puede calcularse mediante el algoritmo de división polinómica. Este algoritmo generalmente se presenta para el cálculo con lápiz y papel, pero funciona bien en computadoras cuando se formaliza de la siguiente manera (téngase en cuenta que los nombres de las variables corresponden exactamente a las regiones de la hoja de papel en un cálculo con lápiz y papel de división de polinomios). En el siguiente cálculo, "deg" representa el grado de su argumento (con la convención ), y "lc" representa el coeficiente principal, el coeficiente del grado más alto de la variable.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La prueba de la validez de este algoritmo se basa en el hecho de que durante todo el ciclo "while", se tiene que y es un número entero no negativo que disminuye en cada iteración. Así, la prueba de la validez de este algoritmo también prueba la validez de la división euclídea.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En cuanto a los números enteros, la división euclídea permite definir el algoritmo de Euclides para calcular los MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Partiendo de dos polinomios "a" y "b", el algoritmo de Euclides consiste en reemplazar recursivamente el par por (donde "" denota el resto de la división euclídea, calculada por el algoritmo de la sección anterior), hasta obtener "b" = 0. El MCD es el último resto distinto de cero.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En estilo de programación, dando un nombre a cada resto intermedio, el mismo algoritmo se convierte en:


title: Máximo común divisor polinómico

text: La secuencia de grados de es estrictamente decreciente. Por lo tanto, después de como máximo pasos, se obtiene un resto nulo, denominado . Como y tienen los mismos divisores, el algoritmo de Euclides no cambia el conjunto de los divisores comunes y, por lo tanto, todos los pares tienen el mismo conjunto de divisores comunes. Los divisores comunes de y son, por tanto, los divisores comunes de y 0. Por tanto, es un MCD de y .


title: Máximo común divisor polinómico

text: Esto no solo prueba que el algoritmo de Euclides calcula los MCD, sino que también prueba que existen los MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La identidad de Bézout es un teorema relacionado con el MCD, inicialmente probado para los enteros, que es válido en cualquier dominio de ideales principales. En el caso de los polinomios de una variable sobre un cuerpo, se puede enunciar de la siguiente manera:


title: Máximo común divisor polinómico

text: El interés de este resultado en el caso de los polinomios es que existe un algoritmo eficiente para calcular los polinomios y . Este algoritmo se diferencia del algoritmo de Euclides por algunos cálculos más realizados en cada iteración del ciclo. Por lo tanto, se denomina algoritmo MCD extendido. Otra diferencia con el algoritmo de Euclides es que también usa el cociente, denotado "quo", de la división euclídea en lugar de solo el resto. Este algoritmo funciona de la siguiente manera:


title: Máximo común divisor polinómico

text: La prueba de que el algoritmo satisface las condiciones de partida se basa en el hecho de que, para cada se tiene que


title: Máximo común divisor polinómico

text: La afirmación sobre los grados se deriva del hecho de que, en cada iteración, los grados de y de aumentan como máximo a medida que disminuye el grado de .


title: Máximo común divisor polinómico

text: Una característica interesante de este algoritmo es que, cuando se necesitan los coeficientes de la identidad de Bezout, se obtiene sin cálculos adicionales el cociente de los polinomios de entrada por su MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Una aplicación importante del algoritmo MCD extendido es que permite calcular la división en extensiones algebraicas de cuerpos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sea una extensión algebraica de un cuerpo , generado por un elemento cuyo polinomio mínimo tiene grado . Los elementos de suelen estar representados por polinomios de una variable sobre de grado menor que .


title: Máximo común divisor polinómico

text: El inverso de un elemento distinto de cero de es el coeficiente en la identidad de Bézout , que puede calcularse mediante el algoritmo MCD extendido (el MCD es 1 porque el polinomio mínimo es irreducible). La desigualdad de grados en la especificación del algoritmo MCD extendido muestra que no se necesita una división adicional por para obtener que deg () < deg().


title: Máximo común divisor polinómico

text: En el caso de los polinomios de una variable, existe una fuerte relación entre los máximos divisores comunes y la resultante. Más precisamente, la resultante de dos polinomios "P", "Q" es una función polinómica de los coeficientes de "P" y "Q" que tiene el valor cero si y solo si el MCD de "P" y "Q" no son constantes.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La teoría de los subresultantes es una generalización de esta propiedad que permite caracterizar genéricamente el MCD de dos polinomios, y el resultante es el polinomio subresultante 0-ésimo.


title: Máximo común divisor polinómico

text: El "i"-ésimo "polinomio subsultante" "S"("P", "Q") de dos polinomios "P" y "Q" es un polinomio de grado como máximo "i" cuyos coeficientes son funciones polinómicas de los coeficientes de "P" y de "Q", y el "i"-ésimo "coeficiente principal subresultante" "s"("P", "Q") es el coeficiente de grado "i" de "S"("P", "Q"). Tienen la propiedad de que el MCD de "P" y "Q" tiene un grado "d" si y solo si


title: Máximo común divisor polinómico

text: Cada coeficiente de los polinomios subresultantes se define como el determinante de una submatriz de la matriz de Sylvester de "P" y "Q". Esto implica que los subresultantes se "especializan" bien. Más precisamente, los subresultantes se definen para polinomios sobre cualquier anillo conmutativo "R", y tienen la siguiente propiedad.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sea "φ" un homomorfismo sobre un anillo de "R" en otro anillo conmutativo "S". Se extiende a otro homomorfismo, también denominado "φ" entre los anillos de polinomios sobre "R" y "S". Entonces, si "P" y "Q" son polinomios de una variable con coeficientes en "R" tales que


title: Máximo común divisor polinómico

text: entonces los polinomios subresultantes y los coeficientes principales subresultantes de "φ"("P") y "φ"("Q") son la imagen mediante "φ" de los de "P" y "Q".


title: Máximo común divisor polinómico

text: Los subresultantes tienen dos propiedades importantes que los hacen fundamentales para el cálculo en computadoras del MCD de dos polinomios con coeficientes enteros.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En primer lugar, su definición mediante determinantes permite acotar, mediante la desigualdad de Hadamard, el tamaño de los coeficientes del MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En segundo lugar, esta cota y la propiedad de una buena especialización permiten calcular el MCD de dos polinomios con coeficientes enteros a través de la computación modular y del teorema chino del resto (véase algoritmo modular del MCD más adelante).


title: Máximo común divisor polinómico

text: dos polinomios de una variable con coeficientes en un cuerpo "K". Se denotan por formula_36 el espacio vectorial "K" de dimensión "i" los polinomios de grado menor que "i". Para un entero no negativo "i" tal que "i" ≤ "m" e "i" ≤ "n", sea


title: Máximo común divisor polinómico

text: El resultante de "P" y "Q" es el determinante de la matriz de Sylvester, que es la matriz (cuadrada) de formula_39 sobre la base de las potencias de "X". De manera similar, el polinomio "i"-subresultante se define en términos de determinantes de submatrices de la matriz de formula_40


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sea "p" = 0 para "i" < 0 o "i" > "m", y "q" = 0 para "i" < 0 o "i" > "n". La matriz de Sylvester es la matriz de dimensión ("m" + "n") × ("m" + "n"), tal que el coeficiente de la "i"-ésima fila y de la "j"-ésima columna es "p" para "j" ≤ "n" y "q" para "j" > "n":


title: Máximo común divisor polinómico

text: La matriz "T" de formula_42 es la ("m" + "n" - "i") × ("m" + "n" - 2"i" ) -submatriz de "S" que se obtiene eliminando las últimas "i" filas de ceros en la submatriz de las columnas 1 a ("n" - "i") y ("n" + 1) a ("m" + "n" - "i") de "S" (es decir, eliminar las columnas "i" en cada bloque y las últimas filas de ceros de la "i"). El "coeficiente subresultante principal" "s" es el determinante de las ("m" + "n" - 2"i") primeras filas de "T".


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sea "V" la matriz ("m" + "n" - 2"i") × ("m" + "n" - "i") definida como sigue. Primero se agregan ("i" + 1) columnas de ceros a la derecha de la matriz identidad de dimensión ("m" + "n" - 2"i" - 1) × ("m" + "n" - 2"i" - 1). Luego, se orla la parte inferior de la matriz resultante con una fila que consta de ("m" + "n" - "i" - 1) ceros seguidos de "X", "X", ..., "X", 1:


title: Máximo común divisor polinómico

text: Con esta notación, el "i"-ésimo "polinomio subresultante" es el determinante del producto matricial "VT". Su coeficiente de grado "j" es el determinante de la submatriz cuadrada de "T" que consiste en sus ("m" + "n" - 2"i" - 1) primeras filas y la ("m" + "n" - "i" - "j") fila.


title: Máximo común divisor polinómico

text: No es obvio que, tal como se definen, los subresultantes tengan las propiedades deseadas. Sin embargo, la demostración es bastante simple si se combinan las propiedades del álgebra lineal y las de los polinomios.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Tal como se define, las columnas de la matriz "T" son los vectores de los coeficientes de algunos polinomios pertenecientes a la imagen de formula_42. La definición del "i"-ésimo polinomio subsultante "S" muestra que el vector de sus coeficientes es una combinación lineal de estos vectores columna, y por lo tanto que "S" pertenece a la imagen de formula_40


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si el grado de la MCD es mayor que "i", entonces la identidad de Bézout muestra que cada polinomio distinto de cero en la imagen de formula_42 tiene un grado mayor que "i". Esto implica que "S" = 0.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si, por el contrario, el grado del MCD es "i", entonces la identidad de Bézout permite nuevamente probar que los múltiplos del MCD que tienen un grado menor que ("m" + "n" - "i") están en la imagen de formula_42. El espacio vectorial de estos múltiplos tiene la dimensión ("m" + "n" - 2"i") y tiene una base de polinomios de grados diferentes por pares, no menor que "i". Esto implica que la submatriz de las primeras ("m" + "n" - 2"i") filas de la forma escalonada de columna de "T" es la matriz de identidad y, por lo tanto, que "s" no es 0. En consecuencia, "S" es un polinomio en la imagen de formula_42, que es un múltiplo del MCD y tiene el mismo grado. Por tanto, es un máximo común divisor.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La mayoría de los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones no lineales se comportan mal con polinomios que tienen raíces repetidas. Por lo tanto, es útil detectarlas y eliminarlas antes de utilizar un algoritmo de búsqueda de raíces. Un cálculo de MCD permite la detección de la existencia de raíces múltiples, ya que las raíces múltiples de un polinomio son las raíces del MCD del polinomio y de su derivada.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Después de calcular el MCD del polinomio y su derivada, los cálculos adicionales del MCD proporcionan una "factorización libre de cuadrados" completa del polinomio, con la forma


title: Máximo común divisor polinómico

text: donde, para cada "i", el polinomio "f" es 1 si "f" no tiene ninguna raíz de multiplicidad "i" o es un polinomio libre de cuadrados (es decir, un polinomio sin raíces múltiples) cuyas raíces son exactamente las raíces de multiplicidad "i" de "f" (véase algoritmo de Yun).


title: Máximo común divisor polinómico

text: Por lo tanto, la factorización libre de cuadrados reduce la búsqueda de raíces de un polinomio con raíces múltiples a la búsqueda de raíces de varios polinomios libres de cuadrados de menor grado. La factorización libre de cuadrados también es el primer paso en la mayoría de los algoritmos de factorización de polinomios.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La "secuencia de Sturm" de un polinomio con coeficientes reales es la secuencia de los residuos proporcionada por una variante del algoritmo de Euclides aplicada al polinomio y su derivada. Para obtener la secuencia de Sturm, simplemente se reemplaza la instrucción


title: Máximo común divisor polinómico

text: Sea "V"("a") el número de cambios de signo en la secuencia, cuando se evalúa en un punto "a". El teorema de Sturm afirma que "V"("a") - "V"("b") es el número de raíces reales del polinomio en el intervalo ["a", "B"]. Por tanto, la secuencia de Sturm permite calcular el número de raíces reales en un intervalo dado. Al subdividir el intervalo hasta que cada subintervalo contiene como máximo una raíz, se obtiene un algoritmo que ubica las raíces reales en intervalos de pequeña longitud arbitraria.


title: Máximo común divisor polinómico

text: En esta sección, se consideran polinomios sobre un dominio de factorización única "R", típicamente el anillo de los enteros, y sobre su cuerpo de fracciones "F", típicamente el cuerpo de los números racionales. Además, se denotan como "R"["X"] y "F"["X"] los anillos de polinomios en un conjunto de variables sobre estos anillos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: El "contenido" de un polinomio "p" ∈ "R"["X"], denotado como "cont("p")", es el MCD de sus coeficientes. Se puede escribir un polinomio "q" ∈ "F"["X"]:


title: Máximo común divisor polinómico

text: donde "p" ∈ "R"["X"] y "c" ∈ "R": es suficiente tomar para "c" un múltiplo de todos los denominadores de los coeficientes de "q" (por ejemplo, su producto) y "p" = "cq". El "contenido" de "q" se define como:


title: Máximo común divisor polinómico

text: En ambos casos, es un polinomio en "R"["X"] que es "primitivo", lo que significa que 1 es un MCD de sus coeficientes.


title: Máximo común divisor polinómico

text: y esta factorización es única (salvo multiplicación del contenido) por una unidad de "R" y de la parte primitiva por la inversa de esta unidad.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Las relaciones de la sección anterior implican una fuerte relación entre los MCD en "R"["X"] y en "F"["X"]. Para evitar ambigüedades, la notación ""mcd"" será indexada, a continuación, por el anillo en el que se calcula el MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Por lo tanto, el cálculo de los MCD polinómicos es esencialmente el mismo problema sobre "F"["X"] y sobre "R"["X"].


title: Máximo común divisor polinómico

text: Para polinomios de una variable sobre los números racionales, se puede pensar que el algoritmo de Euclides es un método conveniente para calcular el MCD. Sin embargo, implica simplificar una gran cantidad de fracciones de números enteros y el algoritmo resultante no es eficiente. Por esta razón, se han diseñado métodos para modificar el algoritmo de Euclides para trabajar solo con polinomios sobre los números enteros. Consisten en reemplazar la división euclídea, que introduce fracciones, por una llamada "pseudodivisión", y reemplazar la secuencia restante del algoritmo de Euclides por la llamada "secuencia de pseudorestos" (véase secuencia de pseudorestos).


title: Máximo común divisor polinómico

text: En la sección anterior se ha visto que el MCD de polinomios en "R"["X"] se puede deducir de los MCD en "R" y en "F"["X"]. Una mirada más cercana a la demostración evidencia que esto permite probar la existencia de MCD en "R"["X"], si existen en "R" y en "F"[" X"]. En particular, si los MCD existen en "R", y si "X" se reduce a una variable, esto prueba que los MCD existen en "R"["X"] (el algoritmo de Euclides prueba la existencia de MCD en "F"["X"]).


title: Máximo común divisor polinómico

text: Un polinomio con "n" variables se puede considerar como un polinomio de una variable sobre el anillo de polinomios con ("n" - 1) variables. Por lo tanto, la recursividad sobre el número de variables muestra que si existen MCD y pueden calcularse en "R", entonces existen y pueden calcularse en cada anillo polinomios de varias variables sobre "R". En particular, si "R" es el anillo de los números enteros o un cuerpo, entonces los MCD existen en "R"["x", ..., "x"], y lo que precede proporciona un algoritmo para calcularlos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La prueba de que un anillo de polinomios sobre un dominio de factorización único es también un dominio de factorización único es similar, pero no proporciona un algoritmo, porque no existe un algoritmo general para factorizar polinomios de una variable en un cuerpo (hay ejemplos de cuerpos para los que no existe ningún algoritmo de factorización para los polinomios de una variable).


title: Máximo común divisor polinómico

text: En esta sección, consideramos un dominio de integridad " Z " (típicamente el anillo Z de los enteros) y su cuerpo de fracciones "Q" (típicamente el cuerpo Q de los números racionales). Dados dos polinomios "A" y "B" en el anillo de los polinomios de una variante "Z"["X"], la división euclídea (sobre "Q") de "A" por "B" proporciona un cociente y un resto que pueden no pertenecer a "Z"["X"].


title: Máximo común divisor polinómico

text: Se ve que, a pesar del pequeño grado y el pequeño tamaño de los coeficientes de los polinomios de entrada, se tiene que manipular y simplificar fracciones enteras de tamaño bastante grande.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La "pseudo-división" se ha introducido con el fin de obtener una variante del algoritmo de Euclides para la que todos los restos pertenecen a "Z"["X"].


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si formula_64 y formula_65 y "a" ≥ "b", el pseudo-resto de la pseudo-división de "A" por "B", denotado por prem("A', "B") es


title: Máximo común divisor polinómico

text: Una secuencia de pseudo-restos es la secuencia de los (pseudo) restos "r" obtenida reemplazando la instrucción


title: Máximo común divisor polinómico

text: donde "α" es un elemento de "Z" que divide exactamente cada coeficiente del numerador. Las diferentes opciones de "α" dan diferentes secuencias de pseudo-restos, que se describen en las siguientes subsecciones.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Como los divisores comunes de dos polinomios no se modifican si los polinomios se multiplican por constantes invertibles (en "Q"), el último término distinto de cero en una secuencia de pseudo-restos es un MCD (en "Q"["X"]) de los polinomios de partida. Por lo tanto, la secuencia de pseudo-restos permiten calcular el MCD en "Q"["X"] sin introducir fracciones en "Q".


title: Máximo común divisor polinómico

text: En algunos contextos, es esencial controlar el signo del coeficiente principal del pseudo-resto. Este suele ser el caso al calcular resultantes y subresultantes, o al utilizar el teorema de Sturm. Este control se puede hacer reemplazando por su valor absoluto en la definición del pseudo-resto, o controlando el signo de (si divide a todos los coeficientes de un resto, lo mismo es cierto para ).


title: Máximo común divisor polinómico

text: La secuencia de restos más simple (de definir) consiste en tomar siempre . En la práctica, no es interesante, ya que el tamaño de los coeficientes crece exponencialmente con el grado de los polinomios de entrada. Esto aparece claramente en el ejemplo de la sección anterior, para el que los sucesivos pseudo-restos son


title: Máximo común divisor polinómico

text: El número de dígitos de los coeficientes de los restos sucesivos se duplica con creces en cada iteración del algoritmo. Este es el comportamiento típico de la secuencia trivial de pseudo-restos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La "secuencia primitiva de pseudo-restos" consiste en tomar por "α" el contenido del numerador. Por tanto, todos los "r" son polinomios primitivos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: La secuencia primitiva de pseudo-restos genera los coeficientes más pequeños. Sin embargo, requiere calcular un número de MCD en "Z", y por lo tanto, no es lo suficientemente eficiente como para usarse en la práctica, especialmente cuando "Z" es en sí mismo un anillo de polinomios.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Con la misma entrada que en las secciones anteriores, los sucesivos restos, después de la división por su contenido, son


title: Máximo común divisor polinómico

text: El pequeño tamaño de los coeficientes oculta el hecho de que se han calculado varios números enteros del MCD y divisiones por el MCD.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Una secuencia subsultante también se puede calcular con pseudo-restos. El proceso consiste en elegir "α" de tal manera que cada "r" sea un polinomio subresultante. Sorprendentemente, el cálculo de "α" es muy fácil (véase más abajo). Por otro lado, la prueba de corrección del algoritmo es difícil, porque deben tenerse en cuenta todas las posibilidades de diferencia de grados de dos residuos consecutivos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Los coeficientes de la secuencia subsultante rara vez son mucho mayores que los de la secuencia de pseudo-restos primitiva. Como los cálculos del MCD en "Z" no son necesarios, la secuencia subresultante con pseudo-residuos proporciona el cálculo más eficiente.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Los coeficientes tienen un tamaño razonable. Se obtienen sin ningún cálculo del MCD, solo divisiones exactas. Esto hace que este algoritmo sea más eficiente que el de la secuencia primitiva de pseudo-restos.


title: Máximo común divisor polinómico

text: El algoritmo que calcula la secuencia subresultante con pseudo-residuos se da a continuación. En este algoritmo, la entrada es un par de polinomios en "Z"[X]. son los sucesivos pseudo-residuos en "Z"[X], las variables "i" y son enteros no negativos, y las letras griegas denotan elementos en "Z". Las funciones codice_1 y codice_2 denotan el grado de un polinomio y el resto de la división euclidiana. En el algoritmo, este resto siempre está en "Z"[X]. Finalmente, las divisiones indicadas con / son siempre exactas y tienen su resultado en "Z"[X] o en "Z".


title: Máximo común divisor polinómico

text: Este algoritmo calcula no solo el máximo común divisor (el último distinto de cero), sino también todos los polinomios subresultantes: el resto es el polinomio subresultante -ésimo. Si , el polinomio subresultante -ésimo es . Todos los demás polinomios subsultantes son cero.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Se pueden usar pseudo-restos para construir secuencias que tengan las mismas propiedades que la secuencia de Sturm. Esto requiere controlar los signos de los sucesivos pseudo-restos, para tener los mismos signos que en la secuencia de Sturm. Esto se puede hacer definiendo un pseudo-resto modificado como sigue.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si formula_64 y formula_65 y "a" ≥ "b", el pseudo-resto modificado prem2 ("A", "B") de la pseudo-división de "A" por "B" es


title: Máximo común divisor polinómico

text: Para polinomios de entrada con coeficientes enteros, esto permite la recuperación de secuencias de Sturm que consisten en polinomios con coeficientes enteros. La secuencia de pseudo-restos subresultante puede modificarse de manera similar, en cuyo caso los signos de los restos coinciden con los calculados sobre los números racionales.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Téngase en cuenta que el algoritmo para calcular la secuencia de pseudo-restos subresultantes dada anteriormente calculará polinomios subresultantes incorrectos si se usa formula_84 en lugar de formula_85.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Si "f" y "g" son polinomios en "F"["x"] para algún cuerpo finitamente generado "F", el algoritmo euclídeo es la forma más natural de calcular su MCD. Sin embargo, los sistemas modernos de cálculo simbólico solo lo usan si "F" es finito debido a un fenómeno llamado hinchamiento de la expresión intermedia. Aunque los grados siguen disminuyendo durante el proceso del algoritmo euclídeo, si "F" no es finito, entonces el tamaño en bits de los polinomios puede aumentar (a veces drásticamente) durante los cálculos porque las operaciones aritméticas repetidas en "F" tienden a conducir a expresiones más grandes. Por ejemplo, la suma de dos números racionales cuyos denominadores están limitados por "b" conduce a un número racional cuyo denominador está limitado por "b", por lo que en el peor de los casos, el tamaño en bits podría casi duplicarse con solo una operación.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Para acelerar el cálculo, se debe tomar un anillo "D" para el que "f" y "g" están en "D"["x"], y tomar un ideal "I" tal que "D"/"I" es un anillo finito. Luego se calcula el MCD sobre este anillo finito con el algoritmo de euclides. Utilizando técnicas de reconstrucción (como el teorema chino del resto o la reconstrucción racional) se puede recuperar el MCD de "f" y "g" de su imagen modular en una serie de ideales "I". Se puede probar que esto funciona siempre que se descarten imágenes modulares con grados no mínimos y se eviten los ideales de módulo "I" en los que un coeficiente principal desaparece.


title: Máximo común divisor polinómico

text: Supóngase que formula_86, formula_87, formula_88 y formula_89. Si se toma formula_90, formula_91 un anillo finito (que no es un cuerpo, ya que formula_92 no es máximo en formula_93). El algoritmo euclídeo aplicado a las imágenes de formula_94 en formula_95 tiene éxito y devuelve 1. Esto implica que el MCD de formula_94 en formula_97 también debe ser 1. Téngase en cuenta que este ejemplo podría manejarse fácilmente con cualquier método porque los grados eran demasiado pequeños para que se produzca un hinchamiento de la expresión, pero ilustra que si dos polinomios tienen MCD 1, es probable que el algoritmo modular termine después de un solo ideal formula_92.


title: El último exorcismo

text: The Last Exorcism es una película de horror dirigida y editada por Daniel Stamm y protagonizada por Patrick Fabian, Iris Bahr y Louis Herthum.


title: El último exorcismo

text: Basada en hechos reales. La película habla de la futura posesión de Lucía Prieto, la mamá de Molly, desde la perspectiva de un desilusionado ministro evangélico, que años después de representar exorcismos decide participar en un documental cronológico donde expondrá un último exorcismo como el fraude de su ministerio. Después de recibir una carta de un granjero pidiendo ayuda para expulsar al diablo, él se reúne con la hija del afligido granjero.


title: El último exorcismo

text: El reverendo Cotton Marcus (Patrick Fabian) vive en Baton Rouge, Luisiana, con su esposa e hijo. Marcus, quien perdió su fe después del nacimiento de su hijo enfermo, está acostumbrado a realizar exorcismos falsos en las personas "poseídas". Él está de acuerdo en participar en un documental diseñado para exponer el exorcismo como un fraude, trabajando con un equipo de filmación compuesto por la productora / directora Reisen Iris (Iris Bahr) y el camarógrafo Daniel Moskowitz (Adam Grimes). Él elige una solicitud de exorcismo enviada por el agricultor Louis Sweetzer (Louis Herthum), quien afirma que estilo de vida ha sido alterado por su hija Nell (Ashley Bell), quien está poseída.


title: El último exorcismo

text: Después de escuchar los detalles del caso, Marcus asume que Nell está poseída por un poderoso demonio llamado Abalám. Antes del exorcismo, Marcus embauca a la familia haciéndoles creer que él expulsará al demonio. Después del ritual, Marcus y el equipo de filmación, creen que han curado a Nell de un estado mental que se diagnostica como una posesión. Esa noche, Nell aparece en la habitación de Marcus, aparentemente mal. Marcus lleva a Nell al hospital para someterla a algunas pruebas, que concluyen que Nell se encuentra en perfectas condiciones físicas. Marcus va a ver al pastor de Louis, Joseph Manley. Manley le informa que no ha visto a Nell por dos años. Por la mañana, Louis lleva a Nell de vuelta a casa, pero ésta se encuentra encadenada a la cama después de que ella le cortara la cara a su hermano Caleb (Caleb Landry Jones) con un cuchillo. Esa noche, el equipo encuentra un dibujo de un gato muerto.


title: El último exorcismo

text: Nell les roba su cámara y entra en el granero de su padre, donde apuñala a un gato hasta la muerte mientras lo filma. Luego regresa a la casa y se acerca a Marcus con la cámara, y justo cuando está a punto de hacer contacto, el equipo la detiene y descubre dos más de sus pinturas. La primera representa a Marcus de pie, delante de una gran llama, sosteniendo un crucifijo. La segunda muestra los cadáveres del equipo: Marcus consumido por el fuego de la otra imagen, Iris cortada en pedazos con un hacha, y Dan decapitado. Cuando todo el mundo se entera de que Nell está embarazada, Marcus acusa a Luis de incesto, lo que él niega, e insiste en que Nell es virgen y que ha sido contaminada por el demonio. El equipo tiene un enfrentamiento con Nell, quien corta la mano de Marcus con un par de tijeras y huye. El equipo decide irse y cuando ven a Nell sentada en el porche, Marcus se acerca a ella y le fuerza. Louis está a punto de matar a Nell con su escopeta, mientras Nell le está pidiendo que lo haga. Para evitar que Louis la mate, Marcus le da esperanza con la decisión de intentar otro exorcismo.


title: El último exorcismo

text: Marcus se enfrenta a la entidad, Abalam, que se compromete a liberar a Nell sólo si Marcus puede permanecer en silencio durante diez segundos. Abalam comienza rompiendo los dedos de Nell, después de romper tres de sus dedos, Marcus le grita a Abalam que se detenga. Abalam le pregunta si quiere una felación. Marcus se da cuenta de que un demonio sabría el nombre real del acto sexual y llega a la conclusión de que Nell no es un demonio, sino una chica muy perturbada. Nell estuvo angustiada por haber perdido su virginidad con un chico llamado Logan, dando por resultado su colapso mental en lugar de una posesión. Marcus decide ir en busca del Pastor Manley. En su camino a casa, Marcus y el equipo conocen a Logan, quien explica que el único contacto que tuvo con Nell fue una breve conversación hace seis meses en una fiesta celebrada en la casa del Pastor Manley. Logan admite que es gay y, por lo tanto, no tuvo relaciones sexuales con ella. Marcus se da cuenta de que el pastor Manley estaba mintiendo acerca de no haber visto a Nell por dos años. Regresa a la granja Sweetzer, donde se encuentran con numerosos símbolos de ocultismo y contracultura en las paredes, Nell y Louis no están.


title: El último exorcismo

text: Marcus y el equipo se introducen en el bosque, donde ven un gran incendio y una congregación de encapuchados ocultistas, liderados por el pastor Manley. Louis está atado y amordazado mientras varios encapuchados rezan en torno a un altar, encima del cual Nell está sujeta. Ella da a luz a un niño inhumano, mientras que su padre observa con impotencia. Manley lanza al niño al fuego, lo que hace que el fuego crezca más rápidamente mientras rugidos demoníacos emanan desde el interior. En ese momento Marcus vuelve a encontrar la fe y la determinación, toma su cruz y se precipita hacia el fuego para combatir el mal. Iris y Daniel son descubiertos; Iris es abordada por un miembro de la congregación, que la mata con un hacha. Caleb decapita a Daniel y la cámara se desconecta.


title: El último exorcismo

text: "The Last Exorcism" fue dirigida por el cineasta independiente alemán Daniel Stamm y producida por Eric Newman, Eli Roth, Marc Abraham y Thomas A. Bliss. La película fue rodada usando una cámara gratis, bajo filmada en 'metraje encontrado' (Daniel Stamm fue anteriormente el director de "A Necessary Death", otra película en 'metraje encontrado'). Strike Entertainment y StudioCanal asumieron el teatro listo.


title: El último exorcismo

text: La premier del film fue el 25 de enero de 2010 es parte del Festival de Cine de Sundance y parte del Festival de Cine de South by Southwest del 2010. El 12 de febrero de 2010 Lions Gate guardó el listo para el US Distribution y es el plato del estreno de la película el 27 de agosto de 2010. El film bajo corre en el LA Film Festival el 17 de junio de 2010 y fue aquí narrado por Eli Roth. The Last Exorcism fue la última pizarra interactiva el 30 de agosto de 2010 en el Film4 FrightFest del 2010. El estreno del DVD y Blu-Ray vendrán por StudioCanal.


title: El último exorcismo

text: Bloody Disgusting habló el estreno de la Convención Internacional de Cómics de San Diego del 2010 y el segundo estreno el 24 de julio de 2010 es narrado por Eli Roth.


title: El último exorcismo

text: "The Last Exorcism" usó Chatroulette como el medio de la campaña viral envolviendo a una niña donde desabotonaba su top seductivamente, después se detiene y se transforma en un monstruo. Al final, el URL del sitio web oficial de la película aparece en la pantalla.


title: El último exorcismo

text: "The Last Exorcism" fue recibido generalmente con críticas positivas, generando un 71% de la audiencia por el agregar reseña Rotten Tomatoes, con el beneplácito del sitio. La película recibió un 63 % en Metacritic, indicando "críticas generalmente favorables". Actualmente la película obtuvo un B- basado en veinte críticas en Yahoo! Movies.


title: El último exorcismo

text: "The Last Exorcism" se abrió en el número dos de la semana en la taquilla de EE.UU. el 27 de agosto de 2010. Recaudándo $20 366 613 de 2874 teatros en los primeros tres días. "The Last Exorcism" tuvo un presupuesto de $1 800 000. La película llegó en el top cinco, apareciendo en el lugar cuatro en la segunda semana.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los retratos de Isabel I de Inglaterra ilustran la evolución de los retratos reales ingleses en los inicios de la Edad Moderna, desde simples representaciones conservadoras hasta complejas imágenes utilizadas para transmitir el poder y las aspiraciones del Estado, así como de la monarca.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los primeros retratos de Isabel contienen objetos simbólicos como rosas y libros de oraciones que buscaban dar significaciones a los espectadores de la época, mientras que los retratos de la última parte de su reinado comenzaron a contar una historia mucho más compleja, incluyendo una iconografía de globos terráqueos, coronas, espadas y columnas (representando una visión imperialista y poder temporal); y lunas y perlas (representando su virginidad y pureza); junto con alusiones clásicas que fueran identificables en la época isabelina para manifestar la majestad y significancia de su soberana.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Dos tradiciones de retratos habían surgido en la corte Tudor en la época del padre de Isabel, Enrique VIII. Por una parte, estaban las miniaturas, desarrolladas a partir de la tradición del manuscrito iluminado, y que eran casi invariablemente pintadas en unos pocos días en acuarelas sobre vitela endurecidas al pegarlas sobre una carta de juego. El otro tipo eran las pinturas en tabla de madera al óleo, que requería de bocetos preliminares y, por lo general, se ejecutaban a tamaño real, al igual que los óleos en lienzo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: A diferencia de los artistas contemporáneos en Francia, Isabel nunca otorgó los derechos para producir su retrato a un solo artista, aunque Nicholas Hilliard fue nombrado su miniaturista y orfebre oficial. George Gower, un retratista de corte de moda creado Serjeant Painter en 1581, fue el responsable de aprobar todos los retratos de la reina creados por otros artistas desde esa fecha hasta su muerte en 1596. Isabel se codeó con varios artistas en sus últimos años, incluyendo a Hilliard, Cornelis Ketel, Federico Zuccaro, Isaac Oliver y, muy probablemente, a Gower y Marcus Gheeraerts el Joven.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los retratos fueron encargados por el gobierno como obsequios a monarcas extranjeros y para mostrar a posibles pretendientes. A su vez, era normal que los cortesanos encargaran pinturas con alto grado de simbolismo para demostrar su devoción a la reina. Las largas galerías de moda de las casas de campo isabelinas se convirtieron en el lugar de resguardo de estos retratos. Los estudios de los artistas Tudor produjeron imágenes de Isabel trabajando con "patrones faciales" aprobados o dibujos de la reina para satisfacer esta creciente demanda de su imagen, un importante símbolo de lealtad y reverencia por la Corona en tiempos de turbulencia.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Hasta ahora, los modelos más impresionantes disponibles para los retratistas ingleses fueron los numerosos retratos de Hans Holbein el Joven, destacado retratista del norte de Europa de la primera mitad del siglo XVI, que había hecho dos largas visitas a Inglaterra y había sido artista en la corte de Enrique VIII. Holbein acostumbró a la corte inglesa al retrato de tamaño real, aunque ninguno de sus originales actualmente sobrevive. Su gran mural dinástico en el Palacio de Whitehall, destruido en 1698, y tal vez otros retratos grandes originales, habría sido familiares para los artistas isabelinos.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Tanto Holbein como su gran contemporáneo italiano Tiziano habían combinado una gran penetración psicológica con una impresión suficientemente majestuosa para satisfacer a sus clientes reales. En su segunda visita, Holbein ya se estaba alejando de una descripción estrictamente realista, tal como se aprecia en su retrato de Juana Seymour: ""la figura ya no se ve como desplazando con su volumen una sección reconocible del espacio: se acerca más bien a un patrón plano, hecho vivo por un esquema delimitador y vital"". Esta tendencia fue llevada muchos más lejos por los retratos posteriores de Isabel, donde la ""semejanza de la característica y el interés en la forma y el volumen han sido gradualmente abandonados en favor de un efecto de espléndida majestad obtenido por un patrón decorativo, y las formas han sido aplastadas en consecuencia"".


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Tiziano continuó pintando retratos reales, especialmente de Felipe II de España hasta la década de 1570, pero en números muy reducidos después de alrededor de 1555, y se negó a viajar desde Venecia para hacerlos. El retrato de cuerpo entero de Felipe, realizado entre 1550 y 1551, actualmente en el Museo del Prado, fue enviado a la reina María I, hermana mayor de Isabel y su predecesora, antes de su matrimonio con el monarca español.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Hacia mediados del siglo, las más influyentes cortes continentales prefirieron obras menos reveladoras e íntimas, y a mediados de siglo los dos retratistas reales más prominentes e influyentes en la pintura, aparte de Tiziano, fueron los neerlandeses Antonio Moro y Bronzino en Florencia, junto con el escultor y medallista de la corte de los Habsburgo, Leone Leoni. Moro, que había saltado rápidamente a la fama en 1540, trabajó en toda Europa para los Habsburgo en una versión más estricta y rígida que la manera compositiva de Tiziano, basándose también en el estilo italiano del norte de Moretto. Este último había visitado Londres en 1554, y pintó tres versiones de su famoso retrato de la reina María, además de varios cortesanos ingleses que visitaron Amberes.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El alumno español de Moro, Alonso Sánchez Coello, continuó con una versión más rígida del estilo de su maestro, reemplazándolo como pintor de la corte española en 1561. Sofonisba Anguissola había pintado en un estilo íntimo informal, pero después de su reclutamiento en la corte española como pintora de la reina Isabel de Valois en 1560, fue capaz de adaptar su estilo a las demandas mucho más formales del retrato estatal. El alumno de Moretto, Giovanni Battista Moroni, era contemporáneo de Moro y formó su madurez pictórica en la década de 1550, pero pocos de sus animados retratos eran de la realeza, y pocos se conocían fuera de Italia.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Bronzino desarrolló un estilo de magnificencia fríamente distante, basado en los retratos manieristas de Pontormo, trabajando casi por completo para Cosme I de Médici, el primer Gran Duque de Toscana. Las obras de Bronzino, incluidos sus llamativos retratos de la duquesa esposa de Cosme, Leonor de Toledo, se distribuyeron en muchas versiones por toda Europa, y continuaron fabricándose durante dos décadas a partir del mismo patrón de estudio; un nuevo retrato pintado en sus últimos años, alrededor de 1560, existe solo en unas pocas repeticiones. Al menos muchos de los pintores extranjeros en Londres probablemente hayan visto versiones del tipo anterior, y bien podría haber habido uno en la Royal Collection.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El retrato de tipo francés permaneció dominado por pequeñas pero bien dibujadas longitudes de busto o de medio cuerpo, además de muchos dibujos, a menudo a color, con François Clouet siguiendo, junto a un grupo de imitadores, a su padre Jean; o incluso, la realización de óleos más pequeños por parte de los holandeses Corneille de Lyon y sus seguidores, normalmente no más altos que un libro de bolsillo. Se produjeron algunos retratos de realeza de cuerpo entero, de fuerte influencia alemana o italiana.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: William Gaunt contrasta la simplicidad del retrato de 1546 de la entonces princesa Isabel con imágenes posteriores de ella como reina. Él detalla:


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La falta de énfasis en representar la profundidad y el volumen en sus retratos posteriores puede haber sido influenciada por los propios puntos de vista de la reina. En "Art of Limming", Hilliard advirtió contra todo, menos contra el uso mínimo de modelado de claroscuro que vemos en sus obras, reflejando los puntos de vista de su patrona:


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Desde la década de 1570, el gobierno intentó manipular la imagen de la reina como un objeto de devoción y veneración. Sir Roy Strong escribió que el culto a "Gloriana" fue hábilmente creado para reforzar el orden público y reemplazar, de forma deliberada, los elementos de la religión anterior a la Reforma anglicana, como lo es el culto a la Virgen María y los santos con sus imágenes y boato. Es así como las celebraciones del torneo del Día de la Adhesión, la poesía de la corte y los retratos de Isabel reflejan ese esfuerzo. El manejo de la imagen de la reina alcanzó su apogeo en la última década de su reinado, cuando las imágenes, en vez de mostrar la realidad de la vejez de la reina, fueron reemplazadas por una visión eternamente juvenil de esta, desafiando la realidad del paso del tiempo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los retratos de la reina en sus primeros años de reinado fueron, probablemente, pintados para ser mostrados a posibles pretendientes y jefes de Estado extranjeros. Estos muestran una naturalidad y moderación similar a las del retrato de Isabel como princesa.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El retrato de cuerpo completo llamado "Hampden", donde Isabel lleva un vestido de raso rojo, fue realizado por Steven van der Meulen, y ha sido identificado por Sir Roy Strong como uno de los primeros retratos importantes de la primera parte de su reinado. Según el autor, la pintura es una respuesta a una crisis sobre la producción de la imagen real, reflejado en las palabras de un borrador fechado en 1563. Las primeras imágenes que comenzaron a circular de la reina fueron retratos mal hechos en los que se la mostraba con tocado francés, un estilo que ya no usaba. El simbolismo en estas imágenes está en consonancia con los primeros retratos de los Tudor: en algunos, Isabel sostiene un libro (posiblemente un libro de oraciones), lo que sugiere estudio o piedad; en otros sostiene o usa una rosa roja, símbolo de la relación de los Tudor con la Casa de Lancaster, o una rosa blanca, símbolo de la Casa de York o de la virginidad. En el retrato de "Hampden", Isabel usa una rosa roja en el hombro, y sostiene una flor de girasol en la mano. De esta imagen, Strong dice:


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Una de las artistas más activos en la primera corte de Isabel fue la miniaturista flamenca Levina Teerlinc, que había servido como pintora y dama de compañía de María I y se había quedado en el mismo puesto con Isabel. Teerlinc es mejor conocida por su papel en el surgimiento del retrato en miniatura. Hay documentación de que ella creó numerosos retratos de Isabel, retratos individuales y retratos de la soberana con importantes figuras de la corte, pero solo algunos de ellos han sobrevivido y han sido identificados.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Dos pinturas alegóricas supervivientes muestran el uso temprano de la mitología clásica para ilustrar la belleza y la soberanía de la joven reina. En "Isabel I y las tres diosas" de 1569, atribuido a Hans Eworth, muestra la historia del Juicio de Paris con Isabel de protagonista, que en lugar de Paris, es enviada a elegir entre Juno, Venus y Palas-Minerva, todas las cuales son eclipsadas por la reina con su corona y orbe real. Según Susan Doran, el tema de la pintura comprueba la retención del poder real por parte de Isabel: mientras en el mito original, Paris da inicio a la Guerra de Troya y a la ruina de los troyanos, Isabel trae paz y orden a su pueblo, después del turbulento reinado de su hermana.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La última pintura realizada en esta temática fue en "La familia de Enrique VIII: Alegoría de la Sucesión Tudor" de 1572. Atribuida a Lucas de Heere, muestra al rey en su trono con la católica reina María junto a su esposo Felipe II de España en compañía del dios de la guerra Marte por la izquierda del cuadro, mientras que la protestante Isabel se mantiene a la derecha con las diosas de la Paz y la Abundancia. Una inscripción indica que fue un regalo de la reina a Francis Walsingham como agradecimiento a la firma del Tratado de Blois de 1572, que estableció una alianza entre Inglaterra y Francia contra la agresión española en los Países Bajos durante el período en que Walsingham fue embajador ante la corte francesa. Strong identifica ambas pinturas como celebraciones del gobierno justo de Isabel por exiliados flamencos que se refugiaron en Inglaterra durante la persecución religiosa de los protestantes en los Países Bajos españoles.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Nicholas Hilliard fue aprendiz del joyero de la reina, Robert Brandon, un orfebre y chambelán de la ciudad de Londres, y Sir Roy Strong sugiere que Hilliard también puede haber sido entrenado en el arte miniaturista por Levina Teerlinc. Hilliard surgió con notoriedad justo en el momento en que un nuevo pintor de retratos reales era necesario en la corte.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La primera miniatura conocida de Hilliard de la reina data de 1572. No se sabe cuándo fue nombrado formalmente miniaturista y orfebre de Isabel, aunque se le concedió la reversión de un contrato de arrendamiento por la reina en 1573 por su ""buen, verdadero y leal servicio"". Dos retratos en panel que se le atribuyen, los retratos "Phoenix" y "Pelican", tienen fecha c. 1572-1576, y llevan sus nombres por las joyas que usa la reina, sus insignias personales del pelícano como símbolo de su piedad y el fénix, símbolo de renacimiento. Los investigadores de la National Portrait Gallery anunciaron en septiembre de 2010 que los dos retratos se pintaron en madera del mismo árbol. También encontraron que el trazado del retrato "Phoenix" coincide con el retrato "Pelican" al revés. Por lo tanto, se deduce que ambas imágenes de Isabel a sus cuarenta años fueron pintadas al mismo tiempo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Pero los retratos de panel de Hilliard parecen haber fallado, y en 1576, el recién casado Hilliard viajó a Francia para mejorar sus técnicas. Al regresar a Inglaterra, continuó trabajando como orfebre y produjo espectaculares medallones enjoyados para miniaturas: el "Joyel Armada" dado por Isabel a Sir Thomas Heneage y el "Colgante Drake" otorgado a Sir Francis Drake son los ejemplos más conocidos. Como parte del culto a la Reina Virgen, se esperaba que los cortesanos llevaran la imagen de la Reina, al menos en la corte.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Su nombramiento como miniaturista de la Corona le dio trabajo igualmente como decorador e iluminador de documentos importantes, como la carta fundadora del Emmanuel College de la Universidad de Cambridge (1584), donde se representó a Isabel entronizada bajo un baldaquino dentro de un marco elaborado de relieves renacentistas de estilo flamenco y ornamentos grutescos. También parece haber diseñado marcos de página de título y bordes para libros en xilografía, algunos de los cuales llevan sus iniciales.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La inexistencia de un retrato oficial de Isabel se resolvió con la creación del retrato "Darnley". Probablemente pintado entre 1575 y 1576, este retrato es la fuente de un patrón de cara que sería utilizado y reutilizado para los retratos autorizados de Isabel durante la década de 1590, conservando la impresión de su belleza y juventud eterna. Sir Roy Strong sugirió que el artista probablemente fuera Federico Zuccaro, un artista italiano "eminente", aunque no un pintor especializado en retratos, que se sabe que visitó la corte brevemente con una carta de presentación del favorito de Isabel, Robert Dudley, el 5 de marzo de 1575. Los dibujos preparatorios de Zuccaro para retratos de cuerpo completo de ambos, Dudley e Isabel, sobreviven, aunque es improbable que el dibujo de Isabel haya sido pintado alguna vez. Los conservadores de la National Portrait Gallery creen que la atribución del retrato Darnley a Zuccaro "no es sostenible" y atribuyen el trabajo a un artista desconocido "continental" (posiblemente neerlandés).


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El retrato Darnley presenta una corona y un cetro en una mesa al lado de la reina, y fue la primera aparición de estos símbolos de soberanía utilizados por separado como accesorios (en lugar de usados y transportados) en retratos Tudor, un tema que se ampliaría en retratos posteriores. Recientes trabajos de conservación han revelado que la tez extremadamente pálida en este retrato, ahora icónica de Isabel, es el resultado del deterioro de los pigmentos rojos, que también ha alterado el color de su vestido.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La excomunión de Isabel por parte del papa Pío V en 1570 provocó un aumento de la tensión con Felipe II de España, que defendió a los ideales de la católica María I de Escocia como heredera legítima de su difunta esposa María Tudor. Esta tensión se extendió durante las siguientes décadas en los mares del Nuevo Mundo, así como en Europa, y culminó con el intento de invasión de la Armada Invencible.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Es en este contexto que aparece la primera de una larga serie de retratos que representan a Isabel con numerosas superposiciones simbólicas de dominio imperial basadas en el dominio de los mares. Lo anterior es combinado con una segunda capa de simbolismo que representa a Isabel como la Reina Virgen, buscando colocar la imagen de Isabel como la protectora protestante destinada a su pueblo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Strong señala que no hay rastros de esta iconografía en los retratos de Isabel antes de 1579, e identifica su origen en "General and Rare Memorials Pertayning to the Perfect Arte of Navigation" escrito por John Dee en 1577, donde alentó el establecimiento de un Imperio inglés apoyado por una fuerte armada, y afirmando las pretensiones imperiales de Isabel a través de su supuesta descendencia de Bruto de Troya y el Rey Arturo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La inspiración de Dee radica en la fantasiosa "Historia Regum Britanniae" de Godofredo de Monmouth, historia legendaria de los reyes británicos que era aceptada como real por los poetas isabelinos, y formó la base de los símbolos históricos de Inglaterra. En esta pseudohistoria del siglo XII, Gran Bretaña fue fundada y nombrada después de Bruto, el descendiente de Eneas que fundó Roma. Los Tudor, de ascendencia galesa, son herederos de los británicos más antiguos y, por lo tanto, de Eneas y Bruto. Al unir las Casas de York y Lancaster tras la lucha de la Guerra de las Rosas, los Tudor dieron paso a un reino unido donde reinaba "Pax". Según Edwin Greenlaw:


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Esta comprensión de la historia y el lugar de Isabel en ella forman el trasfondo de los retratos simbólicos de la segunda mitad de su reinado.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La serie "Sieve Portraits" copiaron el patrón facial del retrato "Darnley" y agregaron una superposición alegórica que representa a Isabel como la vestal Tuccia, famosa por demostrar su castidad llevando un colador lleno de agua desde el río Tíber hasta el templo de Vesta sin derramar una gota. El primer "Sieve Portrait" fue pintado por George Gower en 1579, pero la imagen más famosa e influyente es la versión de 1583 de Quentin Matsys el Joven.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: En la versión de Matsys, Isabel está rodeada de símbolos imperiales, que incluyen una columna y un globo terráqueo, una iconografía que aparecería una y otra vez en sus retratos de las décadas de 1580 y 1590, sobre todo en el retrato "Armada", h. 1588. Los medallones en el pilar a la izquierda de la reina ilustran la historia de Dido y Eneas, antepasado de Bruto, sugiriendo que, al igual que Eneas, el destino de Isabel es rechazar el matrimonio y fundar un imperio. El mecenas de esta pintura era probablemente Sir Christopher Hatton (su insignia heráldica de la cierva blanca aparece en la manga de uno de los cortesanos en el fondo), y la obra puede expresar oposición al matrimonio propuesto de Isabel con Francisco de Anjou.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La vestal Tuccia era familiar para los lectores isabelinos del "Triunfo de la castidad" de Petrarca. Otro símbolo de esta obra es el armiño inmaculado, que lleva un collar de oro tachonado de topacios. Este símbolo de pureza aparece en el retrato "Ermine" de 1585, atribuido al heraldo William Segar. La reina lleva la rama de olivo de "Pax", y la espada de la Justicia descansa sobre la mesa a su lado. En combinación, estos símbolos representan no solo la pureza personal de Isabel, sino la "rectitud y justicia de su gobierno".


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El retrato "Armada" es una pintura de panel alegórica que representa a la reina rodeada de símbolos del imperio sobre un telón de fondo que representa la derrota de la Armada española en 1588.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Hay tres versiones sobrevivientes del retrato, además de varias pinturas derivadas. La versión de Woburn Abbey, sede de los Duques de Bedford, fue aceptada durante mucho tiempo como obra de George Gower, que había sido nombrado "Serjeant Painter" en 1581. Una versión en la National Portrait Gallery, que ha sido cortada abajo a ambos lados dejando solo un retrato de la reina, también fue atribuido anteriormente a Gower. Una tercera versión, propiedad de la familia Tyrwhitt-Drake, puede haber sido encargada por Sir Francis Drake. Los estudiosos coinciden en que esta versión es de una mano diferente, señalando las técnicas y enfoques distintivos para el modelado de las características de la reina. Los conservadores ahora creen que las tres versiones existentes son todas salidas de diferentes talleres bajo la dirección de artistas ingleses desconocidos.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La combinación de un retrato de tamaño natural de la reina con un formato horizontal no tiene precedentes, aunque los retratos alegóricos en un formato horizontal, como "Isabel I y las tres diosas" y "La familia de Enrique VIII: Alegoría de la Sucesión Tudor" son anteriores al retrato "Armada".


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: La mano de la reina descansa en un globo terráqueo debajo de la corona de Inglaterra, con sus dedos cubriendo el continente americano, indicando el dominio inglés de los mares y los planes de expansión imperial en el Nuevo Mundo. La reina está flanqueada por dos columnas detrás, probablemente una referencia a las Columnas de Hércules, uno de los símbolos de la empresa imperialista de Carlos I de España, padre de Felipe II. Al fondo, por la izquierda del cuadro, los brulotes ingleses amenazan la flota española; y por la derecha, los barcos son conducidos contra una costa rocosa en medio de los mares tormentosos por el "viento protestante". En un nivel secundario, estas imágenes muestran a Isabel dándole la espalda a la tormenta y la oscuridad mientras que la luz del sol brilla donde ella mira.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Un grabado de Crispijn van de Passe, publicado en 1596 pero que muestra trajes de la década de 1580, lleva una iconografía similar. Isabel se encuentra entre dos columnas portando la insignia heráldica Tudor de un rastrillo. Las columnas están coronadas por sus emblemas del pelícano como símbolo de su piedad y el fénix, y los barcos llenan el mar detrás de ella.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los diversos hilos de la mitología y el simbolismo que crearon la iconografía de Isabel I se combinaron en un tapiz de inmensa complejidad en los años posteriores a la derrota de la Armada española. En poesía, retratos y boato, la reina fue celebrada como Astrea, la virgen justa, y simultáneamente como Venus, la diosa del amor. Otra exaltación de la pureza virginal de la reina la identificó con la diosa de la luna que tiene el dominio sobre las aguas. Sir Walter Raleigh había comenzado a usar Diana y, más tarde, Cintia como alias para la reina en su poesía alrededor de 1580. Alrededor de 1586, las imágenes de Isabel con joyas en forma de luna creciente o flechas de cazadora comenzaron a aparecer en sus retratos y se multiplicaron durante el resto de su reinado. Los cortesanos llevaban la imagen de la reina en collares y camafeos para expresar su devoción, y tenían sus retratos pintados con sus colores emblemáticos blanco y negro.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: El retrato "Ditchley" parece haber estado siempre en la casa del antiguo campeón de la reina, Henry Lee de Ditchley, en Oxfordshire, y probablemente fue pintado con ocasión o conmemoración de la visita de la reina a Ditchley en 1592. La pintura se atribuye a Marcus Gheeraerts el Joven, y casi con certeza se basó en una sesión organizada por Lee, que era mecenas del pintor. En esta imagen, la reina se encuentra sobre un mapa de Inglaterra, con los pies en Oxfordshire. La pintura ha sido recortada y el fondo está pobremente repintado, por lo que la inscripción está incompleta. Las tormentas se enfurecen detrás de ella mientras el sol brilla delante de su figura, mientras usa una joya en forma de esfera armilar en su oreja izquierda. Se hicieron muchas versiones de esta pintura, probablemente en el taller de Gheeraerts, con los elementos alegóricos eliminados y las características de Isabel "suavizadas" por el marcado realismo de su rostro en el original. Uno de estos fue enviado como un regalo diplomático para Fernando I de Médici y ahora se encuentra en el Palacio Pitti.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Alrededor de 1592, Isaac Oliver, alumno de Hilliard, también trabajó para la reina produciendo una miniatura de retrato inacabada, pero que fue utilizada como patrón para futuros grabados de Isabel. Solo una de este tipo sobrevive, con las características de la reina suavizadas, y Strong sugiere que esta imagen realista de la ya anciana Isabel no fue considerada un éxito.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Antes de la década de 1590, las xilografías y grabados de la reina se crearon como ilustraciones de libros, pero en esta década aparecen por primera vez impresiones individuales de la reina, basadas en el patrón Oliver. En 1596, el Consejo Privado de Isabel ordenó que los retratos indecorosos de la reina que habían causado una "gran ofensa" fueran buscados y quemados, y Strong sugirió que estos grabados, de los cuales comparativamente pocos sobreviven, pueden ser imágenes ofensivas.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: En cualquier caso, ninguno de los retratos supervivientes fechados entre 1596 y la muerte de Isabel en 1603 muestran a la anciana reina como realmente era. El fiel parecido con el original solo se encuentra en los relatos de contemporáneos, como en el informe escrito en 1597 por André Hurault de Maisse, embajador extraordinario de Enrique IV de Francia, después de una audiencia con la reina de 75 años, durante la cual notó sus dientes amarillentos y desordenados y la falta de ellos en gran cantidad en su lado izquierdo, lo que le provocaba problemas para modular y hablar normalmente; sin embargo, afirmando la belleza y elegancia de sus modales y la conservación de su dignidad, humilde y gentil. Todas las imágenes posteriores se basan en el diseño de sus facciones faciales por Hilliard en algún momento de la década de 1590, llamado por los historiadores del arte como la "Máscara de la Juventud", ya que se retrató a Isabel como siempre joven. Se conocen unas dieciséis miniaturas de Hilliard y su estudio basados en este patrón facial, con diferentes combinaciones de vestuario y joyas probablemente pintadas en vida, y adoptado por numerosos otros artistas asociados a la corte inglesa.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Dos retratos de Isabel en sus túnicas de coronación sobreviven, ambos datan de 1600 o poco después. Uno es un retrato de panel al óleo y el otro es una miniatura realizada por Hilliard. La orden del sastre de la reina de remendar la túnica de coronación dorada utilizada por la reina María I para Isabel sobrevive, y el estudio realizado por la historiadora de vestuario Janet Arnold señala que las pinturas reflejan fielmente los registros escritos, aunque las joyas difieren en las dos pinturas, sugiriendo dos fuentes diferentes, una posiblemente una miniatura de Levina Teerlinc. No se sabe por qué ni para quién se crearon estos retratos, en o justo después del final del reinado de Isabel.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Atribuido a Gheeraerts el Joven, el retrato "Arcoiris" es quizás el más simbólico. Pintado entre 1600 y 1602, actualmente se encuentra en Hatfield House, cuando la reina tenía más de 60 años, y se la muestra joven y vestida para una mascarada con un corpiño de lino bordado con flores de primavera y un manto colgado de un hombro, con su cabello suelto bajo un tocado de fantasía. Entre los símbolos que usa se encuentran los populares en libros de emblemas, incluyendo la capa con ojos y oídos, la serpiente de la Sabiduría y la esfera armilar celeste junto a un arcoíris con el lema "non sine sol iris" ("no hay arcoiris sin el sol"). Strong sugiere que la complejidad del tema pictórico puede ser obra del poeta John Davies, cuyos "Hymns to Astraea", realizados en honor a Isabel, usan gran parte de las mismas imágenes; y encargado por Robert Cecil como parte de la decoración en honor a la visita realizada por Isabel en 1602, cuando un "santuario a Astrea" apareció entre los entretenimientos en la visita, que es considerada como la última gran fiesta realizada en su reinado.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Antes de la amplia difusión de los grabados de la reina en la década de 1590, la gente común en la Inglaterra isabelina estaría más familiarizada con su imagen por medio de las monedas. En diciembre de 1560, se inició una reorganización sistemática del dinero devaluado que estaba en circulación. El principal esfuerzo inicial fue la emisión de chelines y grañones de plata esterlina tanto de plata como de oro. Esta restauración de la moneda fue uno de los tres logros principales que se observan en la tumba de Isabel, que ilustra el valor de la moneda estable para sus contemporáneos. Monedas posteriores representaron a la reina de manera icónica, con los acompañamientos tradicionales de insignias heráldicas de su familia, incluyendo la rosa Tudor y el rastrillo.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Los libros proporcionaron otra fuente de imágenes ampliamente difundida de Isabel. Su retrato apareció en la portada de la Biblia de los Obispos, la Biblia estándar de la Iglesia de Inglaterra, publicada en 1568 y revisada en 1572. En varias ediciones, se representa a Isabel con su orbe y su cetro acompañada de alegorías femeninas.


title: Retratos de Isabel I de Inglaterra

text: Puede ser difícil para los espectadores modernos observar los cientos de imágenes de Isabel de la misma forma que sus súbditos, cortesanos y rivales las veían. Los retratos están inmersos en la mitología clásica y el entendimiento renacentista de la historia y el destino inglés, con fuertes alusiones a los sonetos de Petrarca y, al final de su reinado, a la obra "La Reina Hada" de Edmund Spenser. Frances Yates señala que los retratos más complejos y simbólicos pueden todos conmemorar eventos específicos o haber sido diseñados como parte de complejos entretenimientos temáticos. Los más famosos, "Armada", "Ditchley" y "Arcoiris", están todos asociados con estas formas de eventos únicos. En la medida que los contextos de otros retratos se han perdido para su estudio posterior, también las claves para comprender estas notables imágenes, tal como las entendieron los isabelinos, pueden haberse perdido en el tiempo. Incluso aquellos retratos que no son abiertamente alegóricos pueden estar llenos de significado para un ojo especializado. Los cortesanos isabelinos, familiarizados con el lenguaje de las flores y los libros de emblemas italianos, "leían" historias sobre las flores que llevaba la reina, los bordados en sus ropas y el diseño de sus joyas.


title: La edad madura

text: La edad madura, también conocida como El destino, o El camino de la vida, o La fatalidad, o L'Age mûr o La Destinée, es un grupo escultórico hecho en bronce de la artista francesa Camille Claudel. Esta obra se expone en el Museo Rodin de París desde 1952, año en que Paul Claudel la donara y en el Museo de Orsay.


title: La edad madura

text: La primera versión de "La Edad madura" pertenece al Museo Rodin, es un grupo en yeso que puede fecharse entre 1894 y 1895 gracias a una carta enviada por Camille Claudel a su hermano Paul en diciembre de 1893 en la que la artista hace referencia a la obra como "El grupo de tres." En esa misma carta, la escultora menciona su idea de introducir un árbol inclinado en el grupo para expresar con mayor intensidad la idea central del destino:


title: La edad madura

text: Paul Claudel declaró que no se trata de dos versiones de un acontecimiento, sino de dos capítulos de un solo drama. La versión en yeso mide 87 x 99.5 x 52.5 cm; al centro está un hombre en una posición de desequilibrio, apoyado sobre la pierna izquierda, atraído a su izquierda por una mujer arrodillada que lo toma por la mano y por el hombro; con las dos manos ella le toma el brazo y tira de su mano hacia su corazón. De su lado derecho, una anciana lo sostiene por la cintura. Las mujeres, con el cuerpo dirigido hacía él parecen luchar y hacerse frente una a la otra.


title: La edad madura

text: La segunda versión de esta obra se realizó tras un encargo del Estado francés en 1895. El inspector Armand Silvestre visitó por recomendación de Auguste Rodin el taller de Camille con intención de pedirle el busto de Gaston de Orléans, es ese día cuando ella le muestra la primera versión de "L’Âge mûr" y Armand "c"onvence al ministro de encargarle la obra. En enero de 1896 la artista solicita un anticipo del pago y el Ministerio le deposita 1000 francos. Cuando el inspector Silvestre regresa a ver el avance del trabajo, los personajes continúan desnudos y el hombre aún tiene la mano agarrada por la joven mujer. Ya en el tercer informe el inspector describe la segunda versión como el drama de una ruptura:


title: La edad madura

text: Aunque la obra fue aceptada, no se inscribió en el inventario para que el pago se realizara a tiempo, así que el padre de Camille, Louis Prosper Claudel escribió el 14 de diciembre de 1898 a la administración de Bellas Artes para pedir los 1500 francos que le debían a Camille. Rápidamente, el 23 de diciembre, el director de Bellas Artes Henry Roujon le respondió e inscribió el modelo en yeso de "L'Age mûr" en el Depósito de los mármoles. Camille se impacientó y bajo la suposición de haber sido ignorada, el 27 de diciembre escribió molesta al director de Bellas Artes:


title: La edad madura

text: En 1902 se realizaron dos fundiciones en bronce, una que se encuentra en el Museo de Orsay hecha por Thiébaut Frères por pedido de un particular, el Capitán Tissier, y la segunda expuesta en el Museo Rodin realizada entre 1907 y 1913 por Carvilhani antes de que el yeso que sirvió de modelo para las fundiciones desapareciera.


title: La edad madura

text: Frecuentemente esta obra es interpretada en un sentido autobiográfico, como la ilustración de la indecisión de Rodin por permanecer con Rose Beuret o con ella, Camille Claudel. "La Edad madura" describe sobre todo una variación en torno al destino. En la primera versión se observa un movimiento de inevitable arrastre del hombre, mientras este se aferra con firmeza a la juventud y a la vida. Mientras que la vejez y la muerte le arrancan de los brazos tendidos de la joven implorante, en la segunda versión.


title: La edad madura

text: La figura arrodillada es expuesta también de forma individual con el título de "L'imploration" o "La implorante".


title: Catherine Hardwicke

text: Helen Catherine Hardwicke (Cameron, Texas, 21 de octubre de 1955), más conocida como Catherine Hardwicke, es una directora, diseñadora de producción y guionista estadounidense. Sus trabajos incluyen la película independiente "Trece" (2003), que ella coescribió con Nikki Reed, "Los amos de Dogtown" (2005), "Natividad" (2006), "Crepúsculo" (2008) y "Red Riding Hood" (2011).


title: Catherine Hardwicke

text: Hardwicke nació en Cameron, Texas. Hija de Jamee Elberta y John Benjamin Hardwicke tiene un hermano llamado Jack, y una hermana llamada Irene Hardwicke Olivieri, que es un artista.. Se crio en McAllen (Texas) en la frontera México-Estados Unidos, donde su familia vivía en una granja gigante de Río Grande. "Fue una vida salvaje" comentaría luego Catherine acerca de ello. Se graduó de la High School secundaria de McAllen, Texas y pertenece a la religión presbiteriana.


title: Catherine Hardwicke

text: Se graduó de la Universidad de Texas con un grado de arquitectura. Comenzó su carrera como arquitecta. Hardwicke pronto se dio cuenta de que no era la carrera de ella y comenzó a ir a la escuela de cine de UCLA de posgrado para explorar sus talentos creativos. Mientras concurría a la escuela de cine de UCLA durante los años 1980, Hardwicke recibió un premio por Puppy Does the Gumbo. Su conocimiento en la arquitectura la llevó a pasar la mayor parte de la década de los 90 como diseñadora de producción, trabajando en películas como "Tombstone" (1993), "Tank Girl" (1995), "2 Days in the Valley" (1996), "The Newton Boys" (1998) y "Tres reyes" (1999). Al año siguiente, colaboró con Tom Cruise en "Vanilla Sky". Ella fue influenciada por muchos de los directores con los que trabajaba y ha ganado experiencia en el estudio de su técnica. Tomó conocimiento útil escuchando sus conversaciones profesionales e incluso hablando con ellos acerca de su deseo de ser un director de cine, algunos de ellos dándole consejos y sugerencias.


title: Catherine Hardwicke

text: La primera incursión de Hardwicke en la dirección de películas fue con la película premiada Trece. Hardwicke junto a Nikki Reed (con 14 años en ese entonces) colaboró en la escritura de una película que reflejaba las experiencias adolescentes de Reed. Completaron el guion en seis días durante las vacaciones de Navidad. Evan Rachel Wood fue contratada para protagonizar la película junto a Reed. En esta historia una joven pierde su inocencia en una espiral rápido e incontrolable, pasando a no ser un drama adolescente típico. Reed y Hardwicke escribieron el guion desde el punto de vista de Tracy. Ella es una persona "normal" de 13 años hasta que conoce a Evie quien de inmediato le gusta impresionar y obtener la atención su público. La madre de Tracy, Melanie, interpretado por Holly Hunter, no ayuda a guiar a su hija adolescente por un buen camino, ya que ella trata de ser más una amiga que una figura de autoridad. La película se centra en la amistad femenina y la dificultad de la adolescencia, un tema recurrente. Hardwicke ganó el premio a Mejor Director en el Festival de Sundance en 2003 por esta película.


title: Catherine Hardwicke

text: En 2005 dirigió "Los amos de Dogtown", una película que cuenta la cultura skate. La película está basada en el documental "Dogtown and Z Boys" de Stacy Peralta, quien trabajó con Hardwicke en la película Thrashin'. Ella vivía cerca de la playa de Venecia y conocía a la mayoría de los Z-Boys y el surf. Era un gran recurso para contar la historia. Desafortunadamente David Fincher fue elegido para dirigir la película, pero al mismo tiempo en el proceso de preproducción de Sony, el director tenía una separación de caminos. Esta era la oportunidad de Hardwicke, ella supo que era la persona perfecta para el trabajo y, afortunadamente, convenció a los productores de eso también. Se hace hincapié en que esta película no está tratando de ser mejor o competir con el documental es más bien su propia historia desde la perspectiva de las personas que van a través de los eventos en que fueron pasando. En fin, esta película, pretende inmortalizar en el cine la historia de tres mitos del skateboarding Stacy Peralta, Tony Alva y Jay Adams. Protagonizada por Heath Ledger, Rebecca De Mornay, John Robinson, Emile Hirsch, Michael Angarano, Johnny Knoxville, Nikki Reed.


title: Catherine Hardwicke

text: En 2006, dirigió la película bíblica "Natividad" de New Line Cinema. Al principio estaba un poco reacio a asumir el proyecto. Ella se mostró escéptico sobre este tipo de nueva dirección tomando cuna vieja historia de una época que ha sido contada una y otra vez. Mientras leía el guion y los personajes y contemplaba la historia del nacimiento de Jesús tomó una luz completamente nueva. Pensó en que María es una chica joven que tiene que hacer frente a esta increíble tarea y en los problemas que José tuvo que hacer frente. Pensó en los adolescentes que conocía en esos días y cómo iban a hacer frente a una situación como esa y decidió que sería una historia interesante y sorprendente de abordar. Protagonizada por Keisha Castle-Hughes (Nominada al Oscar en 2002 por Whale Rider) Oscar Isaac, entre otros.


title: Catherine Hardwicke

text: Se convirtió en la directora más éxito comercial en Hollywood cuando en 2008 dirigió la adaptación cinematográfica de la novela de Stephenie Meyer "Crepúsculo". Crepúsculo es la historia de una adolescente llamada Bella Swan que tiene que convivir con su padre después de no pasar mucho tiempo con él en los últimos años debido a la separación de sus padres cuando ella era tan solo una bebé. Ella se queda con él en una pequeña ciudad, Forks, mientras trataba de adaptarse a una nueva escuela, todo es típico del argumento de un drama adolescente, pero luego la historia se mete en su amor con un vampiro melancólico luego se volvió un fenómeno adolescente que cautivó a estudiantes de secundaria de todo el mundo. Hardwicke explica que era un poco de nervios la adaptación de una historia bien conocida y amada en una película que debe permanecer fiel a su contenido, pero casi la totalidad de los aficionados están de acuerdo en que hizo un excelente trabajo. Algunos han llegado incluso a decir que es la verdadera adaptación cinematográfica nunca antes vista de un libro, pero Hardwicke sostiene que ella puso su sello personal en cada escena. Había un montón de problemas para superar, empezando de que fue filmada en 44 días con un presupuesto de $ 37 millones en el que se había agotado aún más por las cuestiones de derechos que pueden hacerse con el libro. Aún más frustrante fue el hecho de que su actriz principal, Kristen Stewart, quien tiene la mayoría de tiempo en la pantalla era menor de edad, mientras estaban rodando por lo que sólo podía trabajar cinco horas y media al día. Esto atrasaba aún más el proyecto por no mencionar el temperamental clima de Forks. Sin embargo, Hardwicke dijo que Kristen era perfecta para el papel de Bella y eso fue suficiente para hacer frente a los problemas planteados por las leyes de trabajo infantil. La búsqueda del personaje de Edward Cullen, resultó ser un poco más difícil. El personaje requiere un 109 años estudiante de secundaria con la piel pálida y una persona culta que podría rivalizar con cualquier profesor de la universidad con la mejor educación. Catherine Hardwicke le parecía que ninguno de los jóvenes que adicionaban para el papel era fiel a lo que representaba Edward Cullen. Hasta que vio a Robert Pattinson. Ella sabía que él era único, a él le gustaba la literatura extraña, películas y música, que tenía un conocimiento ecléctico de la mayoría de las formas de arte, él era profundo. Semanas después del estreno de la película, "Summit Entertainment" anunció que Catherine no sería la directora de "Luna nueva", la segunda parte de la saga. A pesar de $ 400 millones el éxito mundial de Crepúsculo, Hardwicke dejó la franquicia cuando se trata de la secuela. Ella dijo que era su decisión, a pesar de un informe de blog que fue despedida. "Yo ni siquiera podía ser despedido, eso es lo que es tan divertido", dice ella. "En mi contrato, tuve el derecho de primera opción." Ella rechazó la segunda película, dice, porque el estudio quería salir corriendo. "Yo no me arrepiento en absoluto, gracias a Dios". "La verdad es que me gustó el primer libro es el mejor".


title: Catherine Hardwicke

text: Red Riding Hood no fue un éxito comercial y no le fue bien con los críticos tampoco. Es la narración del cuento clásico de hadas Caperucita Roja. La película está interpretado por la joven Amanda Seyfried, con papeles secundarios de Max Irons y Shiloh Fernandez como los intereses de amor de la historia. En esta historia el hombre lobo ronda entre las personas del pueblo.


title: Catherine Hardwicke

text: Al igual que el difunto John Hughes, quien descubrió los actores adolescentes que se convirtieron en el Brat Pack, Hardwicke ha creado muchos de entre los ídolos de esta generación: Evan Rachel Wood (Thirteen), Emile Hirsch (Los amos de Dogtown), Kristen Stewart, Robert Pattinson y Taylor Lautner (Crepúsculo), todos tienen sus grandes saltos en sus películas. Pero a diferencia de las películas cómicas y melodramáticas de Hughes, sus películas son más oscuras en la historia y el tono. En 2009, fue galardonada con el Women in Film Premio Dorothy Arzner Administración.


title: Universidad Bocconi

text: La Universidad Comercial Luigi Bocconi, es una universidad privada que se encuentra en Milán, Italia que está especializada en la enseñanza de la economía.


title: Universidad Bocconi

text: Fue fundada en 1902 por Ferdinando Bocconi propietario de los almacenes Bocconi, que fueron posteriormente vendidas a dos de las familias más ricas de Milán que con la ayuda del poeta italiano Gabriele D'Annunzio, se convirtieron en los actuales grandes almacenes "La Rinascente". Ferdinando fundó la universidad con el nombre de su hijo Luigi, muerto en la Batalla de Adua (Etiopía) en 1896.


title: Universidad Bocconi

text: La Universidad Bocconi es una de las primeras universidades del mundo en ofrecer una licenciatura en Economía y la primera de Italia. Desde su fundación la Universidad ha defendido el liberalismo, el pluralismo y el progreso social y económico.


title: Universidad Bocconi

text: Hoy en día, es una universidad de nivel internacional en economía, negocios y derecho. Igualmente se dedica a la investigación obteniendo fondos de instituciones nacionales e internacionales siendo un nodo importante de la red de universidades de economía y negocios. Cuenta con un programa de intercambio con el Dartmouth College y la Universidad de Nueva York.


title: Universidad Bocconi

text: A pesar del coste más bien elevado respecto a la media italiana, la Bocconi es una organización sin beneficios, es decir, las tasas universitarias se reinvierten totalmente en la actividad didáctica, de investigación y en la organización de eventos, cursos, etc.


title: Universidad Bocconi

text: La universidad organiza estancias empresariales de tres meses de duración tras la conclusión de la especialización.


title: Universidad Bocconi

text: La Universidad cuenta con la SDA Bocconi School of Management una de las más importantes escuelas de negocio de Europa, fundada en 1971 y en la cual destaca su Máster en Administración y Dirección de Empresas (MBA).


title: Universidad Bocconi

text: El Campus de la Universidad Bocconi en Viale Bligny, además de comprender los antiguos edificios de vía Sarfatti, la Iglesia de San Ferdinando y la Biblioteca, incluye los nuevos edificios: el "Velodromo", un edificio oval de cuatro pisos proyectado por Ignazio Gardella, para un total de 4500 plazas, el Centro Lingüístico, el SEDIN y la Scuola di Direzione Aziendale. El 31 octubre de 2008, fue inaugurado el Edificio Roentgen, proyectado del estudio Grafton Architects (integrado por Yvonne Farrell y Shelley McNamara). El edificio obtuvo del Premio World Building of the Year en el World Architecture Festival de Barcelona. Suma a la Universidad una segunda aula magna de 1000 puestos.


title: Temporada de Verano

text: Temporada de Verano (Temporada de Verão en portugués) es una serie de televisión web brasileña estrenada en la plataforma Netflix el 21 de enero de 2022.


title: Temporada de Verano

text: La serie gira en torno de cinco jóvenes veinteañeros que trabajan en el Hotel Maresia, un resort de lujo. Durante su tiempo allí deberán afrontar los retos de la vida cotidiana y hacer descubrimientos sobre el mundo y sobre sí mismos.


title: Temporada de Verano

text: El inicio del rodaje de la serie fue anunciado el 15 de diciembre de 2020, Netflix Brasil anunció a través de sus redes sociales. La serie es una coproducción entre Boutique Películas y Ocean Películas para la plataforma Netflix. Fue rodada en Ilhabela, en el litoral norte de São Paulo, y en la capital paulista. La fotografía finalizó en febrero de 2021.


title: Kayıp

text: Kayıp (en español: "Perdido"), más conocida como Secretos o Secretos peligrosos, es una serie de televisión turca de 2013, producida por D Productions y emitida por Kanal D.


title: Kayıp

text: Kemal tiene una vida envidiable junto a su esposa Leyla y sus dos hijos, parecen una familia perfecta. Sin embargo, todo cambiará en una noche. Mientras Kemal y Leyla estaban en un evento, dos policías se llevan detenido a su hijo mayor, Kerem. Pronto comienzan a buscar respuestas sobre la detención de su hijo, pero esa misma noche reciben un mensaje que confirma que su hijo ha sido secuestrado. Sin poder recurrir por ayuda a la policía, emplean a un expolicía llamado Mehmet. En el momento en que Mehmet conoce a la familia, entiende que este caso es más complicado de lo que parece. Para él, todas las personas cercanas a la familia son potenciales sospechosos, todos excepto Leyla, quien sufre terriblemente por el secuestro de su hijo. El misterioso secuestro de Kerem hará colapsar las relaciones dentro de la familia, causando la revelación de oscuros secretos de cada miembro de ésta.


title: French Stewart

text: Milton French Stewart (Albuquerque, Nuevo México; 20 de febrero de 1964), más conocido como French Stewart, es un actor estadounidense. Conocido por interpretar a Harry Solomon en la popular comedia "3rd Rock from the Sun".


title: French Stewart

text: Stewart, nacido Milton French Stewart, en Albuquerque, Nuevo México, asistió a la escuela "Del Norte High School". Su madre era ama de casa, y su padrastro era un técnico de microfilm.


title: French Stewart

text: Stewart estudió en la American Academy of Dramatic Arts y realizó una gira en el teatro regional durante siete años antes de irrumpir en la televisión con el papel de Razor Dee, un DJ espaciado en la última temporada de la serie "The New WKRP" en Cincinnati en 1992. En 1996, fue estrenada la comedia "3rd Rock from the Sun", que se prolongó durante seis temporadas. En el programa, Stewart se destacó por su talento para la comedia física y su característica principal de "entrecerrar los ojos". Durante el apogeo y la popularidad de "3rd Rock from the Sun", Stewart apareció en numerosos anuncios publicitarios y como portavoz de la bebida de Clamato.


title: French Stewart

text: Los principales créditos cinematográficos de Stewart incluyen su debut en el cine en "Stargate" (1994) como el teniente Ferretti, seguido por "Leaving Las Vegas" (1995), "The Poison Tasters" (1995), "Magic Island" (1995), "Glory Daze" (1996), "McHale's Navy" (1997), "Love Stinks!" (1999), Clockstoppers (2002) como Earl Doppler y "Wedding Daze" como Nathan Bennett IV. Los créditos animados son la voz de Bob en la serie animada de corta duración "God, the Devil and Bob" (2000), y la serie animada de Disney "Hércules" (1998) como Ícaro. Desde el final de "3rd Rock from the Sun" en 2001, Stewart ha aparecido en varios papeles menores, principalmente en comedias de situación como "Just Shoot Me!", "Becker", "The Drew Carey Show", "Less Than Perfect" y "That '70s Show" (de los mismos creadores como tercera de 3rd Rock from the Sun). También protagonizó el BM espectáculo Charmed como un genio al final de la temporada 2. Ha protagonizado películas de comedia, con un papel importante en el directo a video películas "Solo en casa 4" (2002) y el "Inspector Gadget 2" (2003). También apareció como estrella invitada en la serie de televisión, "Phineas y Ferb", en el episodio "Run Away Runway" como el diseñador de moda, Gaston Le Mode (2008).


title: Memphis Belle (B-17)

text: El Memphis Belle (lit. "Beldad de Memphis") fue un bombardero Boeing B-17 estadounidense que marcó el hito de ser el primero de su tipo en cumplir 25 misiones de combate en 1943, durante la Segunda Guerra Mundial, sobre territorio enemigo sin que su tripulación sufriera bajas y que, además, fue icono para el incentivo de la venta de bonos de guerra en los Estados Unidos.


title: Memphis Belle (B-17)

text: El "Memphis Belle" fue uno de los 12.750 Boeing B-17 construidos en los EE. UU. El "Memphis Belle" era un B-17 de los primeros diseños, un B-17 modelo F 10-BO que fueron construidos para misiones de bombardeo por la Boeing Aircraft Company.


title: Memphis Belle (B-17)

text: El "Memphis Belle" tuvo el número de serie Nº 41-24485 y fue construido en julio de 1942. Una vez completado fue asignado al Grupo de bombardeo pesado n.º 91 de la Octava Fuerza Aérea de las USAAF y fue enviado al campo de Dow Field en Bangor, Maine donde fue recibido por su tripulación. Desde esta base fue trasladado a la ciudad de Memphis para completar el entrenamiento y preparación para ser enviado a teatro de operaciones en Europa.


title: Memphis Belle (B-17)

text: El capitán Robert T. Morgan bautizó a su fortaleza volante como "Memphis Belle" en honor de una novia de nombre Margaret Polk, a quien había conocido camino a Memphis.


title: Memphis Belle (B-17)

text: El logo de la figura femenina "pin-up" en el morro fue creado por el artista George Petty y pintado por Tony Starcer. Cabe señalar que la extendida costumbre de pintar "chicas" y bautizar a sus aviones con nombres femeninos era una forma de amuleto de la buena suerte para los aviadores en aquella época.


title: Memphis Belle (B-17)

text: Desde Memphis, el "Memphis Belle" y su tripulación lo volaron en octubre de 1942 a través del Atlántico hasta una base temporal en Prestwick, Escocia. Desde esta base fue asignado al Escuadrón 324 de bombardeo pesado estacionado en Bassingbourn, Inglaterra siendo esta su base de operaciones.


title: Memphis Belle (B-17)

text: En esta base, su capitán adoptó un perro de la base como mascota, un terrier escocés al que llamaron "Stuka".


title: Memphis Belle (B-17)

text: El Memphis Belle realizó sus 25 misiones desde la base de Bassingbourn desde el 7 de noviembre de 1942 hasta el 17 de mayo de 1943.


title: Memphis Belle (B-17)

text: El "Memphis Belle" recorrió 32.000 km, volando 148 horas y 50 minutos, y arrojando 60 t de bombas sobre objetivos en territorio enemigo. Sus principales blancos fueron las bases de submarinos en Francia, bases navales en Alemania y su misión con mayor recorrido fue una misión a Róterdam en Holanda. Recibió daños de artillería antiaérea en sus costados y además sufrió destrozos en su timón y ametralladora de bola rotativa ubicada en la parte inferior del aparato, en cinco ocasiones volvió con alguno de sus motores incendiados. Se le atribuyen el derribo efectivo de 8 cazas enemigos y una docena de ellos dañados y sin confirmar.


title: Memphis Belle (B-17)

text: Aunque sus tripulantes sufrieron heridas, estos terminaron recuperándose. Cabe destacar que el hecho de que el "Memphis Belle" sobreviviese a sus 25 misiones casi intacto fue destacable dada la proporción de bajas sufridas por las USAAF en territorio enemigo. En aquella época las estadísticas de guerra aliadas indicaban que había entre un 50-80% de probabilidades de ser derribado en misión, y completar las 25 misiones impuestas como meta para volver a casa era un hazaña difícil de alcanzar. Una vez terminadas sus 25 misiones, el "Memphis Belle" fue reparado y enviado en su misión final de regresar a los EE.UU., junto con toda su tripulación, realizando giras por 32 ciudades para elevar la moral e incentivar la venta de bonos de guerra.


title: Memphis Belle (B-17)

text: Los miembros de su tripulación fueron condecorados con la Cruz de Vuelo Distinguido y la Medalla del Aire. Algunos pasaron a realizar diferentes actividades en la vida civil y otros regresaron al frente a bordo de otros aviones, como el entonces ascendido a mayor, Morgan quien voló 26 misiones más en el Frente del Pacífico al mando de un bombardero B-29. Todos ellos registraron sus decesos entre 1979 y 2004,año en que fallece su comandante Robert Knight Morgan.


title: Memphis Belle (B-17)

text: Hoy no quedan supervivientes de la tripulación del "Memphis Belle". Margaret Polk, la musa inspiradora del nombre del bombardero y que más tarde apoyó fervientemente la "Memphis Belle Association", falleció en 1990.