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\begin{document}
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\small

\begin{center}
\large{\textbf{Die weltweit erste Messung einer Lotabweichung in der Länge}}

\vspace{2\parskip}
\small{Andreas Schrimpf (Marburg)}
\end{center}
\vspace{-\parskip}

{\footnotesize
\baselineskip9.5pt
\noindent
\textbf{Abstract.}
During the summer of $1837$ Christian Ludwig Gerling, a former student of Carl Friedrich Gauss,
organized the world wide first determination of a vertical deflection in longitude.
From a mobile observatory at the Frauenberg close to Marburg (Hessen) he measured the
astronomical longitude difference between the observatory of C.F.\ Gauss at Göttingen and
the observatory of F.G.B.\ Nicolai at Mannheim. By comparing these astronomical results with
the geodetic determined longitude differences, which he just had measured as a part of the
triangulation of Kurhessen, he was able to extract a combined value of the vertical deflection
of Göttingen and Mannheim. His results are in very good agreement with modern vertical deflection
data.

\noindent
\textbf{Zusammenfassung.}
Im Sommer $1837$ führte Christian Ludwig Gerling, Schüler von Carl Friedrich Gauß, die weltweit
erste Bestimmung einer Lotabweichung in der Länge durch. Vom Frauenberg bei Marburg aus ermittelte
er den astronomischen Längenunterschied der Sternwarte von C.F.\ Gauß in Göttingen zu seiner
Messstation am Frauenberg und zur Sternwarte von F.G.B.\ Nicolai in Mannheim. Durch Vergleich
mit den von ihm im Rahmen der Kurhessischen Triangulierung gemessenen geodätischen
Längendifferenzen erhielt er die Lotabweichungen in der Länge. Möglich wurde dieses Ergebnis
nur durch Gerlings höchst sorgfältige Arbeitsweise, durch ein Ausnutzen der maximalen Möglichkeiten
der ihm zur Verfügung stehenden Messgeräte. Seine Ergebnisse stimmen gut mit den heutigen Daten der
Lotabweichungen überein.

}

\section{Einleitung}
Die Erforschung und Diskussion der Gestalt der Erde hat in der Geschichte der Menschheit sehr
deutliche Spuren hinterlassen. Ohne sehr präzise Messinstrumente spricht die Erfahrung der
Menschen für eine flache, ebene Welt. Jedoch sind bereits in der Antike die Hinweise auf eine
kugelförmige Form der Erde weitgehend anerkannt. Interpretiert man die Beobachtung der täglichen
Bewegung der Gestirne am Himmelsfirmament als eine scheinbare Bewegung aufgrund der
Eigendrehung der Erde, dann ermöglicht die Rotationsachse der Erde die Definition einer
Himmelssphäre, des äquatorialen (sphärischen) Koordinatensystems, in dem alle Gestirne mit
zwei Winkeln platziert werden können. Durch eine Vermessung der Höhen der Sterne (z.B. der Polhöhe)
kann man die geographische Breite und durch eine Bestimmung der Durchgangszeit der Sterne
im Zenitbogen die geographische Länge auf der Oberfläche der angenommenen Erdkugel berechnen.
Vergleicht man nun diese aus astronomischen Beobachtungen erhaltenen Koordinaten mit solchen,
die durch eine Landvermessung der Erdoberfläche selber bestimmt wurden, so ergibt sich ein
differenziertes Bild der Gestalt der Erde: zunächst ist unser Heimatplanet im Mittel durch ein
an den Polen abgeplattetes Rotationsellipsoid geometrisch beschreibbar, der Abstand von Pol zu
Pol ist um etwa $43$ km geringer als der Durchmesser am Äquator. Weiterhin findet man vertikale
Abweichungen der physikalischen Erdfigur (dem Geoid) von diesem Rotationsellipsoid im Bereich
von etwa $\pm 100$~m. Das Geoid entspricht der Niveaufläche des mittleren globalen Meeresspiegels,
die man sich unter den Kontinenten fortgesetzt vorstellen kann. Den Winkelunterschied zwischen
der auf dem Geoid senkrecht stehenden physikalisch definierten Lotlinie von der geometrisch
definierten Ellipsoidnormalen nennt man Lotabweichung; diese lässt sich sehr präzise durch eine
Vermessung der tatsächlich im Zenit stehenden Sterne im Vergleich zu den auf dem Referenzellipsoid
erwarteten Zenitsternen bestimmen.
Ist schon die Abplattung der Erde ein kleiner Effekt im Bereich nur einiger Promille, so sind die
Abweichungen des Geoids vom Referenzellipsoid nochmals um etwa $3$ Größenordnungen kleiner. Die
Entdeckung und Vermessung der Lotabweichungen ist daher sehr durch die in der jeweiligen Zeit
erreichbare Empfindlichkeit der Messmethoden geprägt.

\section{Die Erde als Rotationsellipsoid}
\indent
Die Vermessung der Gestalt der Erde stellte für viele Jahrhunderte eine große Herausforderung dar.
In der Antike war es Eratosthenes (um $240$ v.Chr.), der die Kugelgestalt der Erde zu Grunde legte
und ihren Radius aus einer gleichzeitigen Messung des Zenitwinkels der Sonne an zwei
verschiedenen Orten und der Weglänge, d.h. der Bogenlänge auf einem Meridian zwischen
diesen beiden Orten abschätzte. Damit legte Eratosthenes die Grundlage der so genannten
,,Gradmessung'': Man ermittelt den Abstand zweier Orte, die zueinander genau in Nord-Südrichtung
gelegen sind, auf der Erdoberfläche und vergleicht dies mit dem aus den zugehörigen Polhöhen von
Gestirnen vermessenen Himmelsbogen. Man erhält dadurch eine Information über die geometrische
Gestalt der Erde längs eines Meridians, konkret bezüglich der Streckenlänge eines geographischen
Breitenunterschiedes. Eratosthenes selber führte die astronomische Breitenmessung durch und
übernahm die Angaben zur Länge des Bogens auf der Erde vermutlich aus Angaben von Schrittzählern
des ägyptischen Katasters (Torge $2009$). Im Vergleich zu heutigen Daten ermittelte er den Radius
mit einer Genauigkeit von etwa $10$ \%. Eine etwas genauere Messung beauftragte im frühen
Mittelalter der Bagdader Kalif Al-Ma’mun (um $820$). Er ließ einen $2$ Grad langen Bogen möglichst
exakt bestimmen und erhielt den Erdradius mit einem Fehler von nur etwa $1$--$2$ \%.

Im $17$. Jahrhundert begannen die Wissenschaftler sich im Zusammenhang mit der Entwicklung des
Konzepts der Gravitation Gedanken um den inneren Aufbau der Erde, deren mittleres spezifisches
Gewicht und ihrer genauen Form zu machen. Mit einem Fadenpendel, dessen Schwingungsperiode
proportional zur Wurzel aus dem Verhältnis von Länge und Gravitationsfeldstärke (Erdbeschleunigung)
ist, wurden erste Anzeichen systematischer Abweichungen im Schwerefeld der Erde an Orten
unterschiedlicher geographischer Breite festgestellt. Die Interpretation dieser Hinweise lieferte
Isaac Newton: ein homogener, flüssiger und rotierender Erdkörper sollte die Gestalt eines
Rotationsellipsoides annehmen, also am Äquator und an den Polen
unterschiedliche Krümmungen aufweisen. Zur Bestätigung dieser Vermutung veranlasste die französische Akademie der
Wissenschaften Gradmessungen in hoher und niedriger geographischen Breite, durchgeführt $1736$/$37$
von Pierre-Louis Moreau de Maupertuis und Alexis-Claude Clairaut in Lappland und von $1735$--$1744$
von Pierre Bouguer, Charles-Marie de la Condamine und Louis Godin in Peru (Torge $2009$). Die
Ergebnisse dieser Expeditionen ergaben eine an den Polen leicht abgeflachte ,,Kugel'' mit einer
Abplattung von etwa $1$/$300$ –-- das Rotationsellipsoid als geometrische Form der Erde war geboren!

Wohl war den Wissenschaftlern bewusst, dass Gebirge und Meerestiefen nicht durch einen
rotationsymmetrischen Körper beschrieben werden konnten, aber im Mittel, so die Idee,
sollte die Erde, die sich ja mit sehr hoher Präzision gleichmäßig dreht, einem geometrischen
Rotationskörper sehr nahe kommen. Mit dieser Idee und einer verbesserten Messtechnik
ausgestattet führten Pierre Méchain und Jean- Baptiste Joseph Delambre wiederum im Auftrag
der französischen Akademie der Wissenschaften von $1792$ bis $1798$ eine große Gradmessung durch
(Alder $2005$). Ihr Ziel war es, die Streckenlänge für einen etwa $10${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ }  großen Meridianbogen der
Erde durch Dreiecksmessungen möglichst exakt zu bestimmen und aus dem Vergleich mit den
astronomisch ermittelten Polhöhen der Enden dieses Bogens und deren daraus abgeleiteten
Breiten nicht nur die Größe der Erde mit bisher ungekannter Präzision zu bestimmen, sondern
daraus auch ein Normmaß, das Meter, als Maßstab abzuleiten, welches überall auf der Erde durch
eine vergleichbare Messung ebenso bestimmt werden kann.

So erfolgreich diese Messung in ihrer Methodik, in der Anwendung neuer Messgeräte war, so
offenbarte sie doch ein überraschendes Ergebnis: der durch Paris verlaufende vermessene
Meridianboden zeigte eine etwa doppelt so große Krümmung, eine Abplattung von
$1$/$150$ (Laplace $1799$, S.\ $138$ ff), wie der aus bisherigen Messungen
ermittelte Wert. So kombinierte Delambre die Daten der französischen Gradmessung
mit denen der Gradmessung in Peru und verwendete für die Berechnung des Meters eine Abplattung von $1$/$334$ (Torge $2009$). Méchain und
Delambre und in den folgenden Jahren weitere Wissenschaftler fanden sich zunehmend mit der
Erkenntnis ab, dass jeder Meridian der Erde eine eigene Krümmung aufweise, dass die genaue
Gestalt der Erde sich nicht durch einen rotationssymmetrischen Körper beschreiben ließe.
Dennoch konzentrierte sich die Wissenschaft im auslaufenden $18$. und beginnenden $19$. Jahrhundert
zunächst erst einmal auf eine möglichst gute Bestimmung des Referenzellipsoids als
Beschreibung der mittleren Gestalt der Erde. Der von Henrik Johan Walbeck aus 5 Gradmessungen
bestimmte Wert von $1$/$302,78$ (Gauß $1828$) wurde u.a.\ sowohl von Gauß als auch von Gerling
für deren Ausgleichsrechnungen verwendet. Mit hoher Sorgfalt bestimmte $1841$ Friedrich Wilhelm
Bessel aus $10$ verschiedenen Gradmessungen und einer Korrektur der Berechnungen der französischen
Meridianmessung die mittlere Abplattung zu $1$/$299,1528$ (Bessel $1837$ und Bessel $1841$) und
seit $1979$ stellt das GRS$80$-Ellipsoid mit $1$/$298,257222101$ die allgemein empfohlene beste
Beschreibung des globalen Referenzellipsoids dar.

\section{Christian Ludwig Gerling}

\begin{wrapfigure}{r}{0.46\textwidth}
\vspace{-22pt}
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,width=0.44\textwidth]{Fig_1_Gerling}
\vspace{-8pt}
\caption{Christian Ludwig Gerling ($1788$--$1864$)}
\end{center}
\vspace{-20pt}
\end{wrapfigure}

Christian Ludwig Gerling (Abb.\ $1$) wurde $1788$ in Hamburg als Sohn eines Pfarrers geboren. Im Gymnasium lernt er
seinen langjährigen Freund Johann Franz Encke, später Direktor der Berliner Sternwarte, kennen.
Nach dem Abitur studierte Gerling zunächst in Helmstedt Theologie, nahm dann aber nach der Auflösung
dieser Universität $1810$ sein Studium in Göttingen auf. Dort begegnete er Carl Friedrich Gauß und
wechselte
unter dessen Einfluss zu den Fächern Mathematik, Astronomie, Physik und Chemie. Er
arbeitete unter Leitung
von Gauß und Karl Ludwig Harding in der Göttinger Sternwarte, besuchte im Sommer $1811$ die
Sternwarten in
Gotha, Halle und Leipzig und beendete $1812$ seine Promotion über die Berechnung des Verlaufs der
Sonnenfinsternis von $1820$ durch Europa.

Während Gerlings Zeit in Göttingen traf er seinen alten
Schulfreund Encke wieder, und begegnete u.a.\ auch Friedrich Gottfried Bernhard
Nicolai ($1793$–-$1846$), der später die Leitung der Sternwarte in Mannheim übernahm. Gerling
nahm nach
seiner Promotion eine Stelle als Lehrer eines Gymnasiums in Kassel an und erhielt schließlich
$1817$ einen
Ruf als ordentlicher Professor der Mathematik, Physik und Astronomie an die Philipps-Universität Marburg.
Er bliebt der Universität Marburg bis zu seinem Tode im Jahre $1864$ treu (Madelung $1996$).
Gerlings wissenschaftliches Werk ist von zwei Dingen geprägt: in seiner frühen Zeit in Marburg beschäftigte
ihn sehr stark die Triangulation Kurhessens. Parallel dazu bewegten Gerling auch weiterhin astronomische
Themen. Er konnte allerdings erst $1841$ ein eigenes Institutsgebäude mit einer
Sternwarte\footnote{Die Sternwarte prägt auch heute noch weit sichtbar das Gesicht des Fachbereichs
 Physik der Philipps-Universität Marburg.
Siehe Webseite http://www.parallaxe-sternzeit.de des Fördervereins, der sich um Bewahrung und
Nutzung des Erbes Gerlings bemüht (Schrimpf/Lipphardt/Heckmann $2010$).} in Marburg in
Betrieb nehmen und widmete sich daher vor allem in der späteren Phase seines Schaffens etwas stärker
astronomischen Fragen der Zeit, wie z.B. der Beobachtung von Planeten und Asteroiden, der genaueren
Vermessung der astronomischen Einheit und der Verbesserung der Sternkarten.

Mit Carl Friedrich Gauß
verband Gerling eine lebenslange Freundschaft, zunächst mehr als seinem Lehrer und Mentor, in den
späteren Jahren aber beiderseitig als Freunde und Ratgeber. Ein intensiver Briefverkehr zwischen beiden
enthält neben wissenschaftlichen Details, die in Publikationen nicht zu finden sind, auch ein beredtes
Zeugnis der Beziehung der beiden (Schäfer $1927$, Gerardy $1964$).
Gerling lernte bei Gauß nicht nur den sehr sorgfältigen Umgang mit Messgeräten, die Beachtung und
Berücksichtigung aller Messfehler, sondern auch die mathematischen Methoden, die zur Auswertung
geodätischer und astronomischer Messungen notwendig sind. Gerling ist nicht nur der Herausgeber eines
Lehrbuches der ebenen und sphärischen Trigonometrie (in mehreren Auflagen, die letzte posthum $1865$),
sondern auch der Vermittler vieler von Gauß entwickelter Methoden, so u.a.\ der Methode der kleinsten
Fehlerquadrate in der Anwendung für geodätische Aufgaben (Gerling $1843$). So schreibt Johann
Jacob Baeyer ($1864$) als Nachruf auf Gerling:

„\textit{Die mitteleuropäische Gradmessung hat in ihm einen
Geodäten ersten Ranges mit reichen Erfahrungen verloren. Er war der einzige noch lebende Mitarbeiter
von Gauss an der Hannöverschen Gradmessung, und mit der Methode seines grossen Lehrers, der selbst
nichts darüber hinterlassen, vollständig vertraut, so dass er manchen Aufschluss hätte geben können
über Fragen, die nun vielleicht für immer im Dunkeln gehüllt bleiben.}''

\section{Die kurhessische Triangulierung}
Im Frühjahr $1821$ bat Kurfürst Wilhelm II von Hessen Gerling um ein Gutachten über eine
Vermessung zur Grundlage einer topographischen Karte Kurhessens. Nach einer ersten
geowissenschaftlichen Erkundung im Herbst $1821$ und Frühjahr $1822$ erhielt Gerling $1822$
dann den Auftrag zu Erstellung eines Hauptdreiecknetzes von Kurhessen (Gerling $1839$,
Reinhertz $1901$). Er führte die Vermessungen in zwei Perioden von $1822$-$1824$ und $1835$-$1837$
durch und schloss im Norden an die Hannoversche Gradmessung seines Lehrers an; dabei bezog er
u.a.\ auch das große Gaußsche Dreieck Brocken-Hohehagen-Inselsberg mit ein. Im Süden
verband Gerling sein Netz mit einigen Punkten der alten bayerischen und der alten
großherzoglich-hessischen Landestriangulation.

Für seine Messungen verwendete Gerling einen $12$-zölligen Repetitionstheodoliten von
Rei-chenbach-Ertel und mindestens ein $10$-zölliges Universalinstrument von Breithaupt. Als
Längenreferenz bei den lokalen Zentrierungsmessungen diente eine Kopie der Toise von Peru
(auf der die damalige Meter-Definition beruhte), die er sich vor der zweiten Messperiode von
Fortin aus Paris beschafft hatte\footnote{Das Breithauptsche Universalinstrument und die
Toise befinden sich heute in der Physikalischen Sammlung der Philipps-
Universität Marburg.}. Gerlings Triangulation umfasst $24$ Punkte I.\ Klasse und $17$
Punkte II.\ Klasse. Als Basislänge nutzte Gerling die von Gauß aus Heinrich Christian
Schumachers Messungen in Holstein abgeleitete Linie ,,Sternwarte-Meridianzeiche'' in Göttingen.
Gerling legte seiner Haupttriangulation das Ellipsoid von Walbeck zu Grunde und orientierte sein
Netz mit den von Gauß in Göttingen durchgeführten Polhöhen- und Azimutbestimmungen. Er berechnete
alle $24$ Punkte I.\ Klasse in einem Guss durch Netzausgleichung\footnote{Die Punkte II. Klasse
konnten wegen des hohen Aufwandes nicht in die Ausgleichsrechnung eingeschlossen werden und
wurden nachträglich hinzugefügt. Auch wurden sie mit geringerer Genauigkeit vermessen.},
ein enormer rechnerischer Aufwand,
für den Gauß ihm großen Respekt zollte (Brief Nr.\ $290$ von Gauß, Schäfer $1927$). Gerling berechnet
den mittleren Fehler seiner Richtungen zu $\pm 0,88${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }; eine kritische Nachrechnung von Börsch im
Zuge der mitteleuropäischen Gradmessung ergibt einen mittleren Winkelfehler von $\pm 0,946${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
(Baeyer $1866$). Gerlings Arbeiten stellen für Hessen die erstmalige Berechnung eines
Triangulationsnetzes auf einem Rotationsellipsoid dar (Heckmann $2012$).

Fast $175$ Jahre nach Gerlings Pionierarbeit hat das Hessische Landesamt für Bodenmanagement und
Geoinformationen (HLBG)eine Bestandsaufnahme der im amtlichen Festpunktnachweis enthaltenen
kurhessischen Hauptdreieckspunkte Gerlings durchgeführt (Heckmann $2012$). Da Gerling seine
Messpunkte zum Teil mit tonnenschweren Steinen markierte, sind diese heute noch gut erhalten.
Das Ergebnis ist erstaunlich: $14$ Punkte I.\ Klasse und $6$ Punkte II.\ Klasse sind noch an originaler
Lage identitätssicher erhalten. Gezielte Nachforschungen ermöglichten dann sogar die
Identifizierung von $2$ weiteren noch vorhandenen Punkten I.\ Klasse, einem erhaltenen
Punkt II.\ Klasse sowie der exakten Rekonstruktion eines dritten Punktes I.\ Klasse.
Anschließend ergab ein Vergleich der Gerlingschen kurhessischen Positionsangaben mit den
hochgenauen Koordinaten des heutigen geodätischen Bezugssystems über ganz Hessen betrachtet
eine Lagequalität von meist besser als $20$~cm und nur in seltenen Ausnahmen (an den Netzrändern)
von schlechter als $30$~cm (Heckmann $2012$).

\captionsetup{justification=centering}
\begin{figure}[t]
\begin{minipage}[b]{0.38\textwidth}
\caption{Netzbild der Kurhessischen\\ Triangulierung von $1822$ -– $1837$\\ (Gerling $1839$)}
\end{minipage}
\hspace{2em}
\begin{minipage}[b]{0.55\textwidth}
\includegraphics[angle=0,width=\textwidth]{Fig_2_Netzkarte.pdf}
\end{minipage}
\end{figure}

\section{Die Anfänge der Lotabweichungsmessungen}
Die Gradmessungen im $18$.\ und beginnenden $19$.\ Jahrhundert offenbarten in immer stärkerem Maße
lokale Abweichungen der Erdfigur von einem Rotationsellipsoid. Wegen des starken Einflusses der
Abplattung auf die Bestimmung des Mondortes schlägt z.B.\ Johann Georg von Soldner vor, für die
Beobachtung eine Sternwarte am Äquator in Afrika zu errichten und den zugehörigen Meridian
genau zu vermessen (Torge $2009$). Pierre-Simon Laplace und von Soldner regen auch die
Einführung einer breiten- bzw. längenabhängigen Abplattung an (Torge $2009$).
Jedoch waren die bisherigen Ergebnisse eher zusätzliche Erkenntnisse aus Messungen, die
eigentlich der genaueren Bestimmung der rotationssymmetrischen Gestalt der Erde dienen sollten.

Im Zuge der Diskussion um die Ableitung eines einheitlichen Maßstabs aus dem Umfang der Erde
wurde als alternative Messmethode das so genannte Sekundenpendel weiter entwickelt und
perfektioniert. Da die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels nur von dessen Länge und
der Schwerebeschleunigung abhängt, kann man damit bei bekannter Beschleunigung ein Längennormmaß
konstruieren oder aber auch bei bekannter Länge des Pendels die Schwerebeschleunigung absolut
messen. Man hatte bereits im $18$.\ Jahrhundert begonnen, parallel zu Gradmessungen auch die
lokale Schwerefeldstärke mit solchen Pendeln zu vermessen. Ist die Erde kein rotationssymmetrischer
Körper, dann müssen sich die Höhenabweichungen auch in Differenzen der Schwerefeldstärke äußern.
Dies ist die Grundidee der Gravimetrie, die zweite wichtige Methode neben der
Astrogeodäsie (=Vergleich astronomischer und geodätischer Ortsbestimmungen) zur genauen
Vermessung der Form Erde. $1818$ beschrieb Henry Kater zum ersten Mal die Nutzung eines
verbesserten Sekundenpendels, eines Reversionspendels (Kater $1818$). Eine begrenzte Anzahl von
Messungen wurde ab etwa $1860$ ausgeführt, als endlich transportable Geräte entwickelt waren.
Jedoch erst im $20$.\ Jahrhundert verhalfen so genannte Freifall-Gravimeter der Schweremessung
zum wirklich großen Durchbruch.

Vermutlich die erste bewusste Bestimmung einer lokalen Anomalie der Oberfläche der Erde führte
C.F.\ Gauß $1827$ durch und erläutert diese in seinem Bericht über die Bestimmung des
Breitenunterschieds zwischen den Sternwarten Göttingen und Altona (Gauß $1828$). Gauß bestimmte
an beiden Standorten mit einem Ramsdenschen Zenitsektor die Zenitdistanzen einiger Sterne.
Dann verglich er die daraus gewonnenen astronomischen bestimmten Breiten mit den bei seiner
Gradmessung im Königreich Hannover von $1821$–$1824$ ermittelten geodätischen Breiten. Es ergab
sich ein um $5,52${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } geringerer astronomischer Breitenunterschied. Unter Ausnutzung einer von
Franz Xaver von Zach auf dem Brocken gemessenen astronomischen Polhöhe findet er zwischen
Göttingen und dem Brocken einen um $10$-$11${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } größeren astronomischen Breitenunterschied und
daraus zwischen Altona und dem Brocken eine Breitendifferenz von $16${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}! Gauß stellt in seiner
Publikation fest, dass solch ein Unterschied nichts Außergewöhnliches sei, ja dass man dies,
wenn nur die Genauigkeit der Messmethoden um ein bis zwei Größenordnungen höher sei, sicher
an jedem Punkt der Erde feststellen könne. Jedoch verweist er darauf, dass erst
,,\textit{die künftigen Jahrhunderte die mathematische Kenntniss der Erdfigur
sehr viel werden weiter bringen können}'' (Gauß $1828$; näheres hierzu siehe z.B.\
Wittmann et al.\ $2010$).

Mit dieser nicht gerade ermutigenden Anmerkung lag Gauß sehr richtig. Auffallend ist an all den
bisher aufgeführten astro-geodätischen Messungen, dass diese immer nur den astronomisch und
geodätisch ermittelten Breitenunterschied im Fokus hatten und jeweils auf demselben
Meridianbogen vermessen wurden. Um die unregelmäßige Form der Erde zu beschreiben, führte
man den Begriff der Lotabweichung ein: das gemessene Lot einer Beobachtungsstation differiert
um die Lotabweichung von der Richtung des Lots auf dem Referenzellipsoid
(Definition nach Helmert, Torge $2003$). Dabei wird die Abweichung auf der Referenzfläche im
Allgemeinen durch zwei Koordinatenrichtungen beschrieben, zum Beispiel (und am sinnvollsten)
durch eine Lotabweichung in der Breite (d.h.\ in Süd-Nord-Richtung) und eine in der Länge (d.h.\
in West-Ost-Richtung). Heute gibt man die Lotabweichungskomponenten
$\xi$ und $\eta$ wie folgt an (Torge $2003$):
\[ \xi = \phi - \varphi \mbox{\hspace*{1cm}}  \eta = (\Lambda - \lambda)
\cos\phi
\]

\noindent
Dabei bedeuten 	\hspace*{2mm} $\phi$   die astronomische Breite,\\
\hspace*{2.3cm} $\varphi$	  die geodätische Breite,\\
\hspace*{2.3cm} $\Lambda$	 die astronomische Länge und\\
\hspace*{2.3cm} $\lambda$	 die geodätische Länge.

Während man für eine Breitenmessung die Zenithöhen von Sternen (bzw.\ die Polhöhe des
Beobachtungsortes) feststellt, muss bei einer Längenbestimmung die Durchgangszeit von Sternen
im Meridian notiert werden. Längenbestimmungen sind also Zeitmessungen. Sind schon
Breitenmessungen mit der erforderten Präzision sehr aufwendig, so gilt dies umso mehr für
Längenmessungen. Um eine Längenmessung mit einer Genauigkeit von etwa einer Zehntel
Bogensekunde ($0,1${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}) durchzuführen, bedarf es einer Genauigkeit in der
Zeitmessung von $0,1$/$15$ sec = $0,006$ Sekunden! Mit dieser Genauigkeit muss eine
Zeitdifferenz an verschiedenen Orten der Erde bestimmt werden, um eine Präzision
von $0,1${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } in der Lotabweichung der Länge zu erreichen, keine sehr einfache Aufgabe
im $19$.\ Jahrhundert!

Im Jahr $1824$ unternahm Nicolai eine Längenbestimmung in der Gegend von Mannheim, die man als
Vorläuferarbeit zu Gerlings Messungen werten kann (Nicolai $1825$). Als Teil einer von der
französischen Regierung vorgeschlagenen Vermessung eines Längenbogens ermittelte Nicolai
gemeinsam mit dem französischen Ingenieur-Obristen Henry sowie mit Johann Gottlieb
Friedrich von Bohnenberger und Friedrich Magnus Schwerd die astronomischen Längendifferenzen
von Straßburg über Tübingen und Speier bis nach Mannheim. Mittels Pulversignalen wurden die
Uhren der vier Sternwarten synchronisiert und die jeweilige lokale Sternzeit anhand des
Durchgangs einiger Bessel‘scher Fundamentalsterne gemessen. Die Differenz der Sternzeiten
entsprach dann den gesuchten Längenunterschieden. Ein Vergleich ergab
,,\textit{eine vortreffliche Übereinstimmung}'' (so Nicolai) der geodätischen und
astronomischen Daten für die Differenz Mannheim-Straßburg (geodätisch $2${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $54,05${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}), einen
Unterschied von $0,35${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } für die Längendifferenz
von Mannheim zu Tübingen (geodätisch $2${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $21,91${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}) und eine Abweichung von $0,16${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } für die
Längendifferenz von Mannheim zu Speier (geodätisch $4,90${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}). Nicolai verstand die astronomischen
Messungen als Bestätigung der geodätischen Daten und erwartete ganz offensichtlich auch keinen
Unterschied!

\section{Gerlings Längendifferenz-Messungen am Frauenberg im Sommer 1837}
Zum Abschluss der kurhessischen Triangulierung beabsichtigte Gerling --- genau
wie auch Nicolai zuvor, eine Kontrollmessung durchzuführen, eine astronomische
Längenbestimmung über das von ihm geschaffene Dreiecksnetz (Gerling $1838$). Da
Sternwarten mit größeren standfesten Geräten präzisere Ergebnisse ermöglichen,
wählte er die Sternwarten Göttingen im Nordosten und Mannheim, etwa auf der gleichen Länge wie der am südwestlichen Netzrand befindliche Feldberg gelegen, aus.
Bei diesen Messungen halfen in Göttingen Gauß und dessen Assistent Carl Benjamin Goldschmidt, in
Mannheim unterstützte ihn Nicolai. Gerling selber verfügte $1837$ noch nicht über eine Sternwarte
und wählte daher als Messpunkt in der Nähe von Marburg den Frauenberg, eine kleine Erhöhung etwa
$6$~km südöstlich von Marburg gelegen.
Am Frauenberg hatte Gerling im Rahmen seiner kurhessischen Triangulierung mithilfe eines
Stangensignales einen Dreieckspunkt II.\ Klasse auf der dortigen Ruine festgelegt. Für die nun
geplanten weitergehenden Messungen stellte Gerling zunächst einen schweren Steinpfeiler auf,
den er als Standort für den $10$-Zoll Theodolit nutzen wollte. Ein weiterer sehr wichtiger Teil
seiner Messstation war ein Box-Chronometer von Kessels, eine Präzisionsuhr, die er kurz zuvor
angeschafft hatte und die ihm später als Sternwartenuhr diente.
Die Aufgabe bestand darin, die Uhren der drei Sternwarten höchst präzise zu synchronisieren und
dann an jedem Standort eine Sternzeitbestimmung vorzunehmen, um daraus den astronomischen
Längenunterschied zu ermitteln. Gerling wählte die Zeit zwischen dem $24$.\ August und dem $9$.\
September $1837$ für das geplante Messprogramm aus.

Die Sternzeitmessungen waren eine Routinetätigkeit der damaligen Sternwarten. Die aus
Durchgangsmessungen ermittelten lokalen Sternzeiten von Göttingen und Mannheim erhielt Gerling
von Gauß und Nicolai. Der Steinpfeiler am Frauenberg stellte sich als unsicheres Fundament
für den Theodolit heraus, da er zu frisch gesetzt war und der Boden noch etwas nachgab. So hat
Gerling die lokale Zeit anhand von korrespondierenden Sonnenhöhen vermessen; diese Ergebnisse
waren genauer als die Durchgangsmessungen mit dem Theodoliten auf dem noch unstabilen Steinpfeiler.

Die wirkliche Herausforderung bestand in der Synchronisation der Uhren. Diese konnte nur durch
Lichtsignale hergestellt werden, war also sehr wetterabhängig. Da der Hohe Meißner in
Nordhessen von Göttingen und von Marburg aus bei klarem Wetter sichtbar ist, und der Feldberg
im Taunus von Mannheim und Marburg aus erspäht werden kann, nutzte Gerling diese beiden Berge
als Signalstationen. Dort stationierte Mitarbeiter hatten die Aufgabe, in der späten
Nachmittagssonne mit Heliotropen Signalfolgen im Abstand von $8$ Minuten gleichzeitig an die
jeweils benachbarten Sternwarten zu schicken. Mit der einbrechenden Nacht wurden dann
Pulversignale gezündet. Die Signale vom Hohen Meißner und vom Feldberg wurden um $4$ Minuten
versetzt verschickt, so dass am Frauenberg alle $4$ Minuten ein Lichtsignal aus der südwestlichen
oder nordöstlichen Richtung ankam. Dies wurde während des angesetzten Zeitrahmens im
Spätsommer $1837$ an jedem möglichen Nachmittag und Abend wiederholt. Tagsüber wurde die Zeit
mit korrespondierenden Sonnenhöhenmessungen und nachts mit Sterndurchgangsmessungen festgehalten
und so der Gang der Uhren kontrolliert.
Wetterbedingt waren natürlich nicht alle verschickten Signale beobachtbar. Von den insgesamt
vermessenen $256$ Signalen vom Meißner und $136$ vom Feldberg bildeten $116$ korrespondierende Signale
beider Stationen die sicherste Basis für die Synchronisation der Uhren.

Ein weiterer wichtiger Bestandteil von Gerlings Projekt war die Verringerung der Messfehler
durch eine sehr präzise Bestimmung der Reaktionszeit der Beobachter, der so genannten
persönlichen Gleichung. Zeitmessungen erfolgten immer durch visuelle Beobachtung eines Durchgangs.
Der Beobachter sieht den auf eine Linie zulaufenden Stern und gibt genau beim Durchgang ein
Zeichen, bei dem ein Mitarbeiter die Zeit an einer Uhr abliest. Solch eine Messung ist nicht
wiederholbar, kann nicht überprüft werden. Man kann nur hoffen, den Messfehler durch
Wiederholungen statistisch ermitteln zu können. Gerling hat dazu die beobachtenden Kollegen
in Göttingen und Mannheim besucht und mit ihnen gleichzeitig Sterndurchgänge und Durchgänge
eines Pendels vermessen. Dadurch bestimmte er nicht nur die Größe des Messfehlers jedes der
Beobachter, sondern auch deren persönliche Reaktionszeit, ein Offset der Zeitmessung. Der
Offset war beträchtlich, so dass Gerling dies in einem Brief an Gauß (Brief Nr.\ $294$,
Schäfer $1927$)
besonders erwähnt und damit frühere Längenbestimmungen zwischen Helgoland und Greenwich und Paris
und Greenwich in Frage stellt!

Zum Abschluss erhielt er als Ergebnis folgende Längenunterschiede, von ihm angegeben im Zeitmaß:

\vspace*{-2ex}
\begin{tabbing}
Göttingen-Frauenberg: \hspace*{3em} \= $4$\raisebox{0.2em}{\footnotesize m}  $36,19$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s}  $\pm$ $0,0152$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s} \\
Frauenberg-Mannheim:  \> $1$\raisebox{0.2em}{\footnotesize m}  $19,67$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s}  $\pm$ $0,0208$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s} \\
Göttingen-Mannheim:	  \>	$5$\raisebox{0.2em}{\footnotesize m}  $55,86$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s}  $\pm$ $0,0258$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s} .
\end{tabbing}

\vspace*{-2ex}
Gerling schaffte es also immerhin, den Messfehler auf etwa $0,025$ Sekunden in der Zeitmessung und
damit auf ca.\ $0,4${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } in Winkeleinheiten zu begrenzen.

Mit diesem Ergebnis endet die Publikation Gerlings in den Astronomischen Nachrichten --- und die
wirkliche Bedeutung dieser Messungen wird ihm erst im folgenden Briefkontakt mit Carl Friedrich
Gauß klar!
Er äußert Gauß gegenüber die deutliche Abweichung der astronomischen Längenbestimmung von der
geodätischen. Daraufhin verweist Gauß auf seine Lotabweichungsmessung zwischen Altona und
Göttingen und die von ihm bereits $1828$ veröffentlichten Gedanken zur erwarteten Unregelmäßigkeit
der Erde (Brief Nr.\ $296$, Schäfer $1927$). Es ist diese Anmerkung, die Gerling die Augen vollends
öffnet: er hat die erste Lotabweichungsmessung in der Länge durchgeführt und die gefundene
Differenz der astronomischen und geodätischen Längen stellt ein neues Ergebnis dar. Diese
Messung hat eine Tür zu einer neuen Qualität von Messungen aufgestoßen! Er schreibt in seiner
Antwort an Gauß (Brief Nr.\ $297$, Schäfer $1927$):

,,\textit{Wenn ich mich hier also eines großen Irrtums und eines Mangels an Gründlichkeit in
Benutzung
Ihrers § \em [gemeint ist ein Abschnitt aus Gauß' Publikation von $1828$] \em selbst anklagen muß, so
kann ich mich doch vielleicht damit trösten, daß wahrscheinlich keine ,,$\mathit{5}$ Menschen in Europa
existieren'', welche den § in diesem Sinne beherzigt haben. \ldots Ich sehe mich deshalb zunächst
veranlaßt, von meiner eigenen Arbeit in dieser Beziehung einen anderen und vernünftigeren Gebrauch
zu machen, als ich anfangs nach nicht gehörig aufgeklärten Begriffen beabsichtigte; und ist
dieses ein neues großes Verdienst, welches Sie um dieser Arbeit haben.}''

\captionsetup{justification=justified}
\begin{figure}[t]
\begin{minipage}[b]{0.40\textwidth}
\caption[normal]{Auszug aus dem Manuskript von Gerlings Veröffentlichung zur Längendifferenzmessung
(Gerling $1839$): Es handelt sich um den Anfang des $5$.\ Kapitels. Links am Rand ist eine nicht
maßstabsgerechte Skizze zu finden, die nicht in der Publikation enthalten ist.
(Universitätsbibliothek Marburg, Nachlass von Christian Ludwig Gerling.
Ms.\ $35$2, Blatt $3$v; Nachdruck mit freundlicher Genehmigung).}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{0.57\textwidth}
\includegraphics[angle=0,width=\textwidth]{Fig_3_X-352-03b_manuskript_publikation_gerling.pdf}
\end{minipage}
\end{figure}

In der $1839$ erschienenen Veröffentlichung der Resultate der kurhessischen Triangulierung fand
Gerling dann andere sehr deutliche Worte (Gerling $1839$, Seite $204$ ff) als in seiner Publikation
von $1838$. Diesmal weist er auf den qualitativen Unterschied der astronomischen und geodätischen
Messung hin und führt als Ergebnis die gefundenen Differenzen in den Längen auf:
\pagebreak

\addtocounter{footnote}{1}
\footnotetext[\value{footnote}]{Gerling hat diese Zahl nicht angegeben. Sie wurde der Vollständigkeit halber
aus den anderen Daten der Tabelle errechnet.}
\addtocounter{footnote}{1}
\footnotetext[\value{footnote}]{Das gleiche gilt für diese Angabe.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3.2cm}|p{2.23cm}|p{2.23cm}|p{2.23cm}|}
\hline
 	& astronomische Längendifferenz & geodätische\ \ \  Längendifferenz & Abweichung \\ \hline
 Göttingen-Frauenberg &	$1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $09${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $02,85${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &	$1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $09${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $19,49${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &	 -- $16,6${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\\ \hline
 Frauenberg-Mannheim  &	\hspace{1em} $19${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $55,05${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
 \addtocounter{footnote}{-1}$^{\decimal{footnote}}$\addtocounter{footnote}{1} &
 \hspace{1em}   $19${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $42,85${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } $^{\decimal{footnote}}$
  &  $+12,2${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\\ \hline
 Göttingen-Mannheim	  & $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $28${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $57,90${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &	$1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $29${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $02,32${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &	 -- $4,4${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Die gefundenen Unterschiede zwischen astronomischen und geodätischen Längendifferenzen sind im
Rahmen von Gerlings angegebenen Fehlern signifikant und passen gut zur Größenordnung der
von Gauß festgestellten Breitenabweichungen in Norddeutschland.

\section{Vergleich mit späteren Messungen}
In den folgenden Jahren ergänzten Gerling und seine Mitarbeiter diese ersten Messungen der
Längendifferenzen noch um Angaben zur Lage der $1841$ in Betrieb genommenen Sternwarte am
Renthof, am Schlossberg in Marburg. Nach ihrer Einrichtung bestimmte Gerling zunächst durch
eine kleine Triangulation die geodätische Position der Beobachtungssäule seiner Sternwarte
(Gerling $1843$, $2$) wie folgt: Länge von Ferro\footnote{Zu Gerlings Zeiten wurden die
geographischen Längen noch auf den Meridian von Ferro (El Hierro) bezogen, der
westlichsten der  Kanarischen Inseln. Der  (damals angenommene!) Meridian von Ferro
liegt \linebreak $17${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ }\hspace{-0.5ex}$40${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ }$\hspace{-0.5ex}00${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } westlich von Greenwich,
dem heutigen (astronomischen) Nullmeridian.} = $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $2,1${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex},
Breite = $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $46,9${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}.

Die astronomische Länge der Sternwarte ermittelte Ernst Wilhelm Klinkerfues, ein Student von
Gerling und späterer Nachfolger von Gauß als Direktor der Sternwarte in Göttingen,
aus vergleichenden Sternbedeckungen mit Bezug auf Berlin als Referenz (Gerling $1855$).
Er fand die astronomische Länge der Sternwarte Gerlings: $18$\raisebox{0.2em}{\footnotesize m}  $28,38$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s}  westlich von Berlin.
Interessant ist, dass Klinkerfues in dieser Publikation mit folgender Anmerkung zitiert
wird: ,,\textit{Da es aber nur sehr wenig Orte gibt, deren Länge eben so gut
oder gar besser bestimmt ist, als die von Marburg, so erschien es mir nicht gut gethan,
alle Beobachtungen, für den Zweck wenigstens, auf welchen ich mich beschränkte, zu
berücksichtigen. Selbst die an Hauptsternwarten angestellten correspondierenden Beobachtungen
habe ich nicht zugezogen, wenn, wie in zwei Fällen, die Correctionen der Tafeln durch
Greenwicher Meridianbeobachtungen bekannt waren.}''
Damit wird erneut die Schwierigkeit guter Längenmessungen hervorgehoben.

Und schließlich unternimmt Richard Mauritius im Rahmen seiner Dissertation (Mauritius $1862$)
eine astronomische Breitenbestimmung der Sternwarte Gerlings mithilfe von Messungen im 1.\ Vertikal,
einer von Bessel und anderen eingeführten sehr fehlerarmen und somit genauen Methode zur
Bestimmung der Polhöhe. Mauritius fand für die astronomische Breite der Sternwarte
Gerlings: $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $44,09${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}.

Die astronomische Länge berechnet er mit dem Ergebnis von Klinkerfues und einer Angabe der Länge
von Berlin aus dem Berliner Jahrbuch. Allerdings verwendet er dazu die geodätische Position der
Sternwarte in Berlin ($30${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $03${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $30${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } östlich von Ferro) statt der ebenfalls angegebenen
zeitlichen Lage östlich von Greenwich ($53$\raisebox{0.2em}{\footnotesize m}  $35,5$\raisebox{0.2em}{\footnotesize s}  entsprechend
$30${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $03${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $53,375${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } östlich von
Ferro). Er fand also die astronomische Länge der Sternwarte Gerlings bezogen auf
Ferro: $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $24,3${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}. Somit konnte Mauritius nun für die Sternwarte in Marburg eine
Abweichung der Längendifferenzen zu Berlin von $+22,2${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } und eine Lotabweichung in der
Breite von $+2,81${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } angeben.

Die Ergebnisse der Längendifferenzmessungen sind nicht zu verwechseln mit Angaben zur
Lotabweichung, denn es sind ja Vergleiche der Messdaten zweier entfernter Messstationen.
Um die wahren Lotabweichungen zu erhalten, muss man offensichtlich ein möglichst dichtes Netz
von Messstationen über das ganze Land legen. Jede Messstation muss ein Ergebnis für eine
geodätische und eine astronomische Lagebestimmung liefern. Genau dies war ein wichtiger
Aspekt der mitteleuropäischen Gradmessung (Baeyer $1861$), zu der Baeyer ab $1862$ viele
europäische Länder gewinnen konnte. Im Unterschied zu Gerlings Messungen konnten die
Wissenschaftler sich nun allerdings schon der Telegrafie bedienen, d.h.\ die sehr aufwendige
Synchronisation der Uhren über Lichtsignale entfiel komplett. Gerlings Messung ist in
dieser Hinsicht einmalig. Es blieb aber im $19$.\ Jahrhundert nach wie vor die Schwierigkeit
der visuellen Beobachtung, d.h. der Eliminierung von Reaktionszeiten der Beobachter.
Argelander hatte daher sehr deutlich angeregt, ,,\textit{sämtliche Polhöhen und
Längenbestimmungen über das ganze zu untersuchende Areal der Gradmessung von denselben
Beobachtern, etwa $\mathit{4}$ an der Zahl, und mit völlig gleichen Instrumenten ausführen zu lassen}'',
was leider in der Praxis nicht ,,\textit{in aller Strenge hat durchgeführt werden können}''
(Hilfiker $1885$). Albrecht, Bruns und Hilfiker beschäftigten sich mit der Berechnung
des Längennetzes in Europa und veröffentlichten die Ergebnisse zu den astronomischen
Längenbestimmungen der Sternwarten (Hilfiker $1885$). Aber das Netz dieser Längenmessungen
war immer noch nicht ausreichend dicht. Erst im $20$.\ Jahrhundert gelang es mit modernen
Gravimetern und Zenitkameras sowohl gravimetrisch als auch astronomisch ein wesentlich
dichteres Netz von Messpunkten zu realisieren und so Karten von Lotabweichungen zu erstellen.

Die folgende Tabelle $1$ enthält eine Aufstellung von Gerlings Messungen und einen Vergleich
mit den Längenbestimmungen der mitteleuropäischen Gradmessung sowie mit modernen Daten.

Die geodätischen Koordinaten auf dem heutigen globalen Referenzellipsoid GRS$80$ beziehen sich
auf das Europäische Terrestrische Referenzsystem $1989$ (ETRS$89$) und wurden vom Hessischen
Landesamt für Bodenmanagement (HLBG) vom Landesamt für Geoinformation und Landentwicklung
Niedersachsen (LGLN) sowie vom Landesamt für Geoinformation und Landeentwicklung
Baden-Württemberg (LGL) zur Verfügung gestellt. Die Lotabweichungen auf dem GRS$80$ wurden vom
Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG) aus dem aktuellen Geoidmodell für Deutschland
unter zusätzlicher Berücksichtigung der lokalen Massenverteilungen im Umfeld der betreffenden
Stationen ermittelt. Die astronomische Länge der Sternwarte Marburg berechnete Mauritius
aus der von Klinkerfues ermittelten astronomischen Längendifferenz zu Berlin, verwendete
dazu jedoch die Angabe der geodätischen Lage im Berliner Jahrbuch. Zur Einschätzung der
Qualität der Marburger Messungen sind nur die jeweils grau schattierten Angaben zu den
astronomischen Breiten und den astronomischen Längendifferenzen relevant. Zum einen zeigt
die Tabelle den Fortschritt in der Erhebung der Daten. Die Abweichungen der einzelnen
Positionsangaben liegen in der Regel über den angegebenen Messfehlern --- was für darin
versteckte systematische Fehler spricht.

Die astronomische Längendifferenz zwischen Göttingen und Mannheim wurde von Gerling sehr
präzise ermittelt, die Abweichung zu den heutigen Daten beträgt $0,75${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }\hspace{-0.5ex}! Eine deutliche
Abweichung von $10,07${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } zeigt sich jedoch bei der Längendifferenz zum Frauenberg hin.
Gerling errechnete die gesamte Differenz zwischen Göttingen und Mannheim aus der Summe
der Werte von Göttingen zum Frauenberg und der vom Frauenberg nach Mannheim. Daher
spricht eine zu große Differenz jeweils zum Frauenberg hin deutlich für einen Offset
in der Bestimmung der lokalen Sternzeit bzw.\ mittleren Zeit am Frauenberg. Gerling selber
erwähnte zu genau diesem Punkt, dass der eigens für die Zeitmessungen errichtete Steinpfosten
sich nicht als stabil genug erwies und die dort aus Sterndurchgängen ermittelten Zeiten
keine Verbesserungen zu seinen aus korrespondierenden Sonnenhöhen bestimmten Zeiten ergaben.
Die Sonnenhöhen hat Gerling mit einem Steinheilschen Prismenkreis und einem künstlichen
Horizont gemessen. Mit der daraus berechneten mittleren Zeit kontrollierte er den Lauf
seiner Präzisionsuhr. So konnte er einen Sprung in der täglichen Gangdifferenz im Bereich
von $0,2$ Sekunden nach einem stürmischen und kalten Tag nachweisen; aber vermutlich ist der
Fehler letztendlich doch in der mit dem Prismenkreis bestimmten Zeit zu suchen. Solch
präzise Zeitmessungen sind mit standfesten und größeren Geräten sehr viel besser durchzuführen
als mit einem relativ kleinen Prismenkreis. So sind die Zeitbestimmungen in Göttingen und
Mannheim sehr gut und eine ganz wesentliche Grundlage für Gerlings Ergebnis!

Gerlings astronomische Längendifferenzmessung zwischen Göttingen und Mannheim ist aber
beispiellos perfekt und zu bewundern; der große Aufwand zur Synchronisation der Uhren hat
sich gelohnt. Gerling konnte entgegen der zurückhaltenden Meinung von Gauß zeigen, dass
es mit den Methoden in der ersten Hälfte des $19$.\ Jahrhunderts wirklich möglich war, den
Lotabweichungen auf die Spur zu kommen. In diesem Sinne gebührt ihm neben C.F. Gauß ein
respektabler Platz in der Geschichte der Erforschung der Lotabweichungen unserer Erde.

\newpage

\begin{sidewaystable}
\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.33}|C{0.945}|C{0.945}|C{0.945}|C{0.945}|C{0.945}|C{0.945}|}
\hline
 & Göttingen, Sternwarte & Frauenberg, Steinpfeiler & Marburg, Sternwarte & Mannheim, Sternwarte &
 Längendifferenz Göttingen-Mannheim & Längendifferenz Göttingen-Frauenberg \\ \hline
geodätische Breite, Walbeck & $51${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $3$1{\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $47,850${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $45${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $27,751${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $46,884${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $49${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $29${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $14,681${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & \\
astronomische Breite, $1862$ & & &\cellcolor[gray]{0.9} $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $44,09${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
(Mauritius $1862$) & & &\\
geodätische Breite, GRS$80$ & $51${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $31${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $42,943${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $4$5{\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $23,494${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &
$50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $42,583${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $49${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $29${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $11,385${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & \\
Lotabweichung $\xi$,\ \ \ \  BKG $2012$ & $+4,813${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $-0,168${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } &
$+0,765${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $-0,013${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & \\ \hline astronomische Breite, heute & $51${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ }
$31${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $47,756${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $45${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $23,326${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & \cellcolor[gray]{0.9} $50${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $48${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $43,348${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }& $49${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $29${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $11,372${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & \\ \hline
geodätische Länge (Ferro), Walbeck & $27${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $36${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $28,200${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $27${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $08,712${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $02,100${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $07${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $27,712${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $29${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ }
$02,32${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $09${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $19,49${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } \\
astronomische Länge, $1839$/$1862$ & $27${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $36${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $26,40${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } (Ref.\ \ \ Mannheim)
& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $27${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $23,55${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } (Ref.\ \ \ Mannheim)
& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $24,3${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } ($1862$, Ref.\ Berlin)& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $07${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $28,5${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } (Nicolai/Wurm)
& \cellcolor[gray]{0.9} $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $28${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $57,90${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & \cellcolor[gray]{0.9} $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $09${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $02,85${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } \\
astronomische Länge, $1885$& $27${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $36${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $35,944${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $07${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $38,689${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $28${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $58,255${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & \\
geodätische Länge (Ferro), GRS$80$ & $27${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $36${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $34,022${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $27${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $15,677${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $09,080${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $07${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $34,912${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $28${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $59,110${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & \\
Lotabweichung $\eta/\cos\varphi$, BKG $2012$ & $-0,775${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $+4,651${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $+6,566${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $+1,184${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & & \\ \hline
astronomische Länge (Ferro), heute & $27${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $36${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $33,247${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $27${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $20,328${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $26${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $15,646${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } & $26${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $07${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $36,096${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& \cellcolor[gray]{0.9} $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $28${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $57,151${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ }
& \cellcolor[gray]{0.9} $1${\raisebox{0.4em}{\tiny $\circ$}\ } $09${\raisebox{-0.0em}{\small \grq}\ } $12,919${\raisebox{-0.0em}{\small \grqq}\ } \\ \hline
\end{tabularx}
\caption{Zusammenstellung verschiedener Breiten- und Längenmessergebnisse}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
\end{sidewaystable}

\clearpage
{
\footnotesize
\baselineskip9.5pt
\parindent0em
\textbf{Danksagung:}
Am $9$.\ September $2012$ jährte sich das Ende von Gerlings Längendifferenzmessungen am Frauenberg
zum $175$.\ Male. Herr Hans-Jürgen Will, ehemaliger Mitarbeiter im Hessischen Landesamt für
Bodenmanagement und Geoinformation Wiesbaden (HLBG), regte aus diesem Anlass am Tag des
offenen Denkmals 2012 eine öffentliche Präsentation von Gerlings astronomisch-geodätischen
Aktivitäten an. Dies war auch der Anstoß zur Aufbereitung der historischen Unterlagen für
diese Publikation, dafür sei ihm herzlichst gedankt. Herr Bernhard Heckmann (HLBG) trug durch
fundierte Diskussionsbeiträge sowie durch die Beschaffung der aktuellen Positions- und
Lotabweichungsdaten wesentlich zur Klärung und Einordnung von Gerlings Messungen
bei --- auch dafür herzlichen Dank. Und nicht zuletzt sei auch dem Bundesamt für Kartographie
und Geodäsie (BKG) -- Außenstelle Leipzig --- Dank für die Ermittlung und Bereitstellung
aktueller Lotabweichungsangaben ausgesprochen.

\vspace{-1.0em}
\noindent
\section*{Literatur:}
\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{3.5mm}%
\setlength{\listparindent}{-3.5mm}%
\setlength{\itemindent}{-3.5mm}%
\setlength{\parsep}{0.3\parskip}%
}%
\item[]
Alder, Ken ($2005$): ,,\textit{Das Maß der Welt – Die Suche nach dem Urmeter}'',
	 Goldmann Verlag, München, $1$.\ Aufl.

Baeyer, Johan Jacob ($1861$): ,,\textit{Über die Größe und Figur der Erde}'',
	Verlag von Georg Reimer, Berlin.

Baeyer, Johann Jacob ($1864$): ,,\textit{General-Bericht über die mitteleuropäische
	Gradmessung pro $1863$}'', Verlag von Georg Reimer, Berlin.

Baeyer, Johann Jacob ($1866$): ,,\textit{General-Bericht über die mitteleuropäische Gradmessung für das
	Jahr $1865$}'', Verlag von Georg Reimer, Berlin.

Bessel, Friedrich ($1837$): ,,\textit{Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches
	den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht}'', Astron.\
	Nachr.\ $14$, $333$.

Bessel, Friedrich ($1841$): ,,\textit{Über einen Fehler in der Berechnung der französischen Gradmessung
	und seinen Einfluss auf die Bestimmung der Figur der Erde}'',
	Astron.\ Nachr.\ $19$, $97$.

Gauß, Carl Friedrich ($1828$): ,,\textit{Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den
	Sternwarten von Göttingen und Altona}'', Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen.
	Nachdruck in: C.F. Gauß Werke, $9$.\ Bd., B.G.\ Teubner, Leipzig $1903$.

Gerardy, Theo (Hrsg.) ($1964$); ,,\textit{Christian Ludwig Gerling an Carl Friedrich Gauss. Sechzig
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\end{list}
}

\vspace*{3ex}
\noindent
Anschrift des Verfassers:

\noindent
Priv.\ Doz.\ Dr.\ Andreas Schrimpf\\
Fachbereich Physik der Philipps-Universität Marburg\\
Renthof $5$\\
D-$35032$ Marburg\\
e-mail: andreas-schrimpf@physik.uni-marburg.de

\end{document}

Abstract: During the summer of 1837 Christian Ludwig Gerling, a former student of Carl
Friedrich Gauss, organized the world wide first determination of a vertical
deflection in longitude. From a mobile observatory at the Frauenberg close to
Marburg (Hessen) he measured the astronomical longitude difference between the
observatory of C.F. Gauss at G\"ottingen and the observatory of F.G.B. Nicolai
at Mannheim. By comparing these astronomical results with the geodetic
determined longitude differences, which he just had measured as a part of the
triangulation of Kurhessen, he was able to extract a combined value of the
vertical deflection of G\"ottingen and Mannheim. His results are in very good
agreement with modern vertical deflection data.