\section*{Agradecimentos}
\par\vspace*{50pt} Ao Prof. Dr. Marcos Amaku, pela orientação, sabedoria, paciência e confiança;
\par\vspace*{20pt} Ao Prof. Dr. Fernando Ferreira, por toda a ajuda, sugestões, apoio e amizade;
\par\vspace*{20pt} Aos colegas Raul e Rísia, pelo trabalho em equipe sem o qual esta tese não seria a mesma;
\par\vspace*{20pt} À todos os colegas do LEB que fazem deste um excelente local de trabalho;
\par\vspace*{20pt} À minha família, por tudo;
\par\vspace*{50pt} Projeto financiado pela FAPESP e CNPq.
\par\vspace*{20pt} Ao Instituto de Defesa Agropecuária do Estado do Mato Grosso, pela disponibilização de dados essenciais ao trabalho.
\par\vspace*{50pt} À todos que contribuíram, de forma direta ou indireta, para a conclusão desta tese.

\newpage
\setlength{\parindent}{50pt}
\setlength{\parskip}{1.5ex}
\chapter*{RESUMO}
\thispagestyle{empty}
\begin{singlespace} \noindent
GRISI-FILHO, J. H. H. \textbf{Caracteriza\c{c}\~{a}o de circuitos pecu\'{a}rios com base em redes de movimenta\c{c}\~{a}o de animais.} [Characterization of production zones based on animal movement networks.] 2012. \pageref{LastPage} f. Tese (Doutorado em Ciências) - Faculdade de Medicina Veterinária e Zootecnia, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012.
\end{singlespace}
\begin{doublespace} \noindent
Uma rede é um conjunto de nós conectados entre si por um conjunto de arestas. Redes podem representar qualquer conjunto de objetos que possuam relações entre si.
Comunidades s\~{a}o conjuntos de n\'{o}s relacionados de uma maneira significativa, provavelmente compartilhando propriedades e/ou atuando de forma similar dentro de uma rede.
Quando a análise de redes é aplicada ao estudo de padrões de movimentação animal, as unidades epidemiológicas de interesse (propriedades, estabelecimentos, municípios, estados, países, etc) são representadas como nós, enquanto a movimentação animal entre elas é representada por arestas de uma rede.
Descobrir a estrutura de uma rede, e portanto as prefer\^{e}ncias e rotas comerciais, pode ser \'{u}til para um pesquisador ou gestor de sa\'{u}de animal.
Foi implementado um algoritmo de detec\c{c}\~{a}o de comunidades para encontrar grupos de propriedades que \'{e} consistente com a defini\c{c}\~{a}o de circuito pecu\'{a}rio, assumindo que uma comunidade \'{e} um grupo de nós (fazendas, abatedouros) no qual um animal vai mais provavelmente permanecer durante sua vida.
Este algoritmo foi aplicado na rede interna de movimenta\c{c}\~{a}o animal de 2007 do Estado do Mato Grosso. Esse banco de dados cont\'{e}m informa\c{c}\~{a}o sobre 87.899 propriedades e 521.431 movimenta\c{c}\~{o}es durante o ano, totalizando 15.844.779 de animais movimentados.
O algoritmo de detec\c{c}\~{a}o de comunidades encontrou uma parti\c{c}\~{a}o da rede que mostra um claro padr\~{a}o geogr\'{a}fico e comercial, duas importantes caracter\'{i}sticas para aplica\c{c}\~{o}es em medicina veterin\'{a}ria preventiva, al\'{e}m de possuir uma interpreta\c{c}\~{a}o clara e significativa em redes de com\'{e}rcio onde liga\c{c}\~{o}es se estabelecem a partir da escolha dos nós envolvidos.\\
Palavras-chave: Epidemiologia. Análise de redes. Análise de comunidades. Circuito pecuário. Movimentação animal.
\end{doublespace}
\chapter*{ABSTRACT}
\thispagestyle{empty}
\begin{singlespace}\noindent
GRISI-FILHO, J. H. H. \textbf{Characterization of production zones based on animal movement networks.} [Caracteriza\c{c}\~{a}o de circuitos pecu\'{a}rios com base em redes de movimenta\c{c}\~{a}o de animais.] 2012. \pageref{LastPage} f. Tese (Doutorado em Ciências) - Faculdade de Medicina Veterinária e Zootecnia, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012.
\end{singlespace}
\begin{doublespace}\noindent
A network is a set of nodes that are linked together by a set of edges. Networks can represent any set of objects that have relations among themselves.
Communities are sets of nodes that are related in an important way, probably sharing common properties and/or playing similar roles within a network.
When network analysis is applied to study the livestock movement patterns, the epidemiological units of interest (farm premises, counties, states, countries, etc.) are represented as nodes, and animal movements between the nodes are represented as the edges of a network.
Unraveling a network structure, and hence the trade preferences and pathways, could be very useful to a researcher or a decision-maker.
We implemented a community detection algorithm to find livestock communities that is consistent with the definition of a livestock production zone, assuming that a community is a group of farm premises in which an animal is more likely to stay during its life time than expected by chance.
We applied this algorithm to the network of within animal movements made inside the State of Mato Grosso, for the year of 2007. This database holds information about 87,899 premises and 521,431 movements throughout the year, totalizing 15,844,779 animals moved.
The community detection algorithm achieved a network partition that shows a clear geographical and commercial pattern, two crucial features to preventive veterinary medicine applications, and also has a meaningful interpretation in trade networks where links emerge from the choice of trader nodes.\\
Keywords: Epidemiology. Network analysis. Community analysis. Livestock production zone. Animal movement.

\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{myheadings}

\chapter*{1 INTRODUÇÃO}
\addcontentsline{toc}{chapter}{1 INTRODUÇÃO}\stepcounter{chapter}
\markboth{}{}
\doublespacing
\section{Redes}
Uma rede é um conjunto de nós (ou vértices) conectados entre si por um conjunto de arestas (ou ligações), como demonstrado na figura~\ref{fig:exemplo1}. Redes podem representar qualquer conjunto de objetos que possuam relações entre si. Podem, por exemplo, representar as relações sociais entre indivíduos (figura~\ref{fig:dolphins2003}). Em uma rede ponderada cada aresta possui um valor, que representa a intensidade da ligação entre dois nós. Redes podem ser direcionadas e não-direcionadas: uma rede direcionada apresenta a direção da relação entre dois nós, sendo portanto uma ligação de saída para um e uma ligação de entrada para o outro; uma rede não-direcionada assume que a relação entre dois nós é sempre recíproca. Em uma rede direcionada e ponderada, o grau de entrada de um nó ($k_i^{in}$) é o número de nós conectados a este por ligações de entrada, enquanto o grau de saída ($k_i^{out}$) é o número de nós conectados a este por ligações de saída. Analogamente, o grau ponderado de entrada ($kw_i^{in}$) é a soma dos valores das arestas que um nó recebe, e o grau ponderado de saída ($kw_i^{out}$) é a soma dos valores das arestas que um nó envia. O grau ponderado total ($kw_i$) é igual à soma dos graus ponderados de entrada e de saída, enquanto o grau total ($k_i$) é o número de nós ligados ao nó de interesse, independente da direção da ligação.
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Exemplo de rede não-direcionada]{Ilustração de uma rede, com indicação de nós e arestas}
\includegraphics[scale=0.4]{exemplorede}
\label{fig:exemplo1}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Rede de associações entre golfinhos]{Rede de associações frequentes entre 62 golfinhos de Doubtful Sound, New Zealand \citep{Lusseau2003a}}
\includegraphics[scale=0.4]{dolphins2003}
\label{fig:dolphins2003}
\end{figure}
\par Quando a análise de redes é aplicada ao estudo da movimentação animal dentro de um sistema produtivo, as unidades epidemiológicas de interesse (propriedades, estabelecimentos, municípios, estados, países, etc) são representadas como nós, enquanto a movimentação animal entre elas é representada por arestas de uma rede, onde o valor de cada aresta traz o número de animais comercializados entre dois nós. Assim, o grau de entrada de um nó equivale à quantidade de unidades que enviaram animais para este e o grau de saída equivale à quantidade de estabelecimentos para os quais um nó enviou animais. O grau ponderado de entrada equivale à quantidade de animais comprados e o grau ponderado de saída equivale à quantidade de animais vendidos por uma propriedade.
A análise de redes têm sido utilizada para estudar uma grande variedade de problemas dentro da medicina veterinária, incluindo análises de epidemias \citep{Gibbens2001}, análises etológicas \citep{Lusseau2004}, padrões de distribuição de doenças, modelos preditivos \citep{Harvey2007b}, análises de risco, eficácia de sistemas de vigilância entre outros. \citet{Martinez-Lopez2009} fazem uma revisão sobre o assunto.
\section{Análise de Comunidades em Medicina Veterinária}
Comunidades são conjuntos de nós relacionados entre si de uma maneira significativa, provavelmente compartilhando propriedades e/ou atuando de forma similar dentro de uma rede. Estudos recentes utilizaram a análise de comunidades em redes de trânsito animal com o intuito de revelar a estrutura subjacente da rede \citep{Green2009a,Green2011,Lentz2011}.
\par Descobrir essa estrutura e portanto as preferências de comércio entre propriedades pode se mostrar útil para um pesquisador ou tomador de decisão.
Em primeiro lugar, permite a identificação dos fluxos de comércio entre zonas de produção, possibilitando um melhor entendimento do sistema de produção animal. A existência e funcionalidade de grupos dentro de uma rede pode influenciar o espalhamento de doenças, alterando a velocidade de espalhamento, o tamanho final e a duração de uma epidemia \citep{Jones2010}. Análises de comunidade poderiam ser usadas para determinar os grupos de uma amostra estratificada que visa levar em consideração o trânsito animal, ou ajudar no planejamento de um sistema de vigilância voltado ao risco, escolhendo grupos de nós sob risco que possuam intenso comércio entre si. Seria possível, na ocasião de erradicação de uma doença específica, dividir um programa sanitário em etapas nas quais um grupo de municípios é sanitizado por vez, caso esses municípios apresentem baixo risco de reinfecção devido a movimentos oriundos de fora do grupo. Propriedades que compartilham preferências comerciais podem compartilhar práticas de manejo e biossegurança, e serem selecionadas para um programa sanitário direcionado. A Organização Mundial de Saúde Animal (OIE), define em seu Terrestrial Animal Health Code \citep{OIE2010}, os conceitos de zoneamento, regionaliza\c{c}\~{a}o e compartimento. Dada a dificuldade de estabelecer e manter uma condição livre de doença para o território de um país inteiro, pode ser vantajoso estabelecer e manter uma subpopulação com condição sanitária diferenciada dentro de seu território. Assim, a delimitação de zonas sanitárias dentro de uma região pode levar em consideração não apenas municípios com as mesmas condições sanitárias, mas também regiões que possuam intenso comércio com estes. A análise de comunidades pode ajudar no planejamento da fronteira deste tipo de área, caso haja isolamento de uma subpopulação (p.ex, com restrição de movimentação), bloqueando o comércio entre fazendas de áreas diferentes: essa abordagem poderia otimizar a divisão de tal região e avaliar quanta perda econômica é esperada devido a restrição de comércio após uma zona específica ser estabelecida.\par Esses são apenas alguns exemplos. Como uma técnica exploratória, suas aplicações são virtualmente infinitas, facilitando a formulação de novas hipóteses, a avaliação de premissas, a seleção de futuras ferramentas analíticas e o planejamento de futuras coletas de dados.
\section{Definição de Comunidade e Circuitos Pecuários}
A tarefa de dividir uma rede em comunidades, intuitiva a princípio, não é realmente bem definida. Os principais elementos do problema, i.e. os conceitos de comunidade e cluster, não são rigorosamente definidos, requerendo um grau de arbitrariedade e/ou bom senso. Uma grande variedade de algoritmos e ferramentas foram desenvolvidos para revelar a estrutura comunitária de uma rede \citep{Fortunato2010}, e a escolha de qual algoritmo utilizar deve levar em consideração as definições e premissas do modelo, e se os mesmos são adequados para resolver o problema em questão.
\par Como notado por \citet{Bigras-Poulin2006}, em redes de movimentação de gados de corte as fazendas agem no geral como produtoras (algumas com grau de entrada igual a zero, chamadas de ``fazendas de cria") de gado, e abatedouros agem como escoadouros. Esses dois tipos de comportamento impõem um fluxo direcionado à rede. É portanto razoável assumir que a direção dos movimentos não pode ser ignorada sem a perda de informação importante, e é melhor usar ferramentas que levem em consideração essa direção sempre que possível.
\par As poucas aplicações recentes de detecção de comunidades em redes de trânsito animal que consideram a direção dos movimentos \citep{Green2009a,Green2011} usam a definição de comunidade dada por \citet{Newman2004c} e adaptada a redes direcionadas por \citet{Leicht2008b}: um conjunto de nós é uma comunidade se o número de ligações internas a este exceder o esperado para um mesmo conjunto de nós no modelo nulo \citep{Fortunato2010}. O que equivale a dizer que os nós que formam uma comunidade são mais densamente conectados entre si do que um conjunto similar que não forma uma comunidade. Essa definição é bastante útil e intuitiva, mas não é a única definição de comunidade possível.
\par \citet{Kim2010} desenvolveram um método para detecção de comunidades que leva em consideração a direcionalidade e o peso das ligações, e que possui melhor desempenho que o método desenvolvido por~\citet{Leicht2008b} em alguns casos, trazendo uma definição de comunidade mais adequada em algumas situações.
Esse método é baseado no cálculo do LinkRank, um conceito derivado do PageRank do Google \citep{Page1999a}. Nessa definição, uma comunidade é definida como um grupo de nós nos quais um passeador aleatório permanece mais provavelmente do que o esperado pelo acaso. Se definirmos um circuito pecuário como o conjunto de localidades pelas quais um animal passará durante o ciclo produtivo (figura~\ref{fig:circuito}), então essa definição de comunidade é mais adequada para encontrar tais grupos, especialmente se desejamos compreender os fluxos entre zonas de produção de uma região ou país. Uma comunidade seria então definida como um grupo de locais onde um animal permanecerá mais provavelmente durante sua vida (o ciclo produtivo) do que o esperado pelo acaso.\par
Assim, o objetivo deste estudo foi implementar e testar um método de detecção de comunidades que identifique circuitos pecuários em uma rede de movimentação de animais.
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Exemplo de circuito pecuário]{Exemplo de circuito pecuário}
\includegraphics[scale=0.2]{CircuitoPec2}
\label{fig:circuito}
\end{figure}

\chapter*{2 MATERIAIS E MÉTODOS}
\addcontentsline{toc}{chapter}{2 MATERIAIS E MÉTODOS}\stepcounter{chapter}
\section{Base de dados}
Foi analisada a rede interna de movimentação de bovinos do Estado do Mato Grosso do ano de 2007 (movimentos realizados entre 01/01/2007 e 31/12/2007), fornecida pelo INDEA (Instituto de Defesa Agropecuária do Estado do Mato Grosso). Essa base de dados contém informações sobre 87.899 propriedades (fazendas, frigoríficos, eventos, etc) e 521.431 movimentos ao longo do ano, totalizando 15.844.779 de animais movimentados. Essa base foi analisada previamente por \citet{Negreiros2010}, que fez uma extensa busca para eliminar inconsistências cadastrais. O Estado do Mato Grosso é o terceiro maior do Brasil, com uma área de 903.357 km$^{2}$ e o maior rebanho nacional, com aproximadamente 28.757.438 bovinos (13\% do rebanho nacional em 2010), sendo em sua maioria rebanhos de exploração de corte \citep{InstitutoBrasileirodeGeografiaeEstatistica2010}. Está localizado na região centro oeste do país e possui 141 municípios.
\par Foram extraídas informações sobre as propriedades de origem e destino e sobre o número de animais movimentados. Essas informações foram então resumidas para a menor divisão pública administrativa, agrupando os movimentos feitos por propriedades que pertenciam ao mesmo município. A rede analisada possui portanto 141 nós (municípios) e 3.980 arestas, estas últimas ponderadas pelo total de animais movimentados entre dois municípios durante o ano de 2007. A figura~\ref{fig:redemt} traz uma representação dessa rede, onde cada nó está localizado no centróide no respectivo município (aproximadamente).
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Rede de movimentação de animais do Mato Grosso]{Rede de movimentação interna de animais do Mato Grosso durante o ano de 2007. Movimentos agrupados por municípios}
\includegraphics[scale=0.4]{mtsimples2}
\label{fig:redemt}
\end{figure}
\section{Detecção de circuitos pecuários}
Uma partição $C$ é uma divisão de um conjunto de $N$ objetos em clusters (ou grupos) não vazios e não sobrepostos. Os termos clusters, grupos e comunidades serão utilizados como sinônimos no presente trabalho. É possível representar uma partição $C$ como um vetor de tamanho $N$, no qual o i-ésimo elemento de $C$ é igual o grupo ao qual pertence o objeto $i$. Assim, uma partição $C = \{\{1\},\{1\},\{2\},\{2\}\}$ é a divisão de um conjunto de 4 objetos em dois grupos, nos quais os dois primeiros objetos foram designados ao primeiro grupo e os dois últimos objetos foram designados ao segundo grupo.
Da definição de comunidades emerge uma função chamada modularidade, a qual reflete a qualidade de qualquer partição em descrever a estrutura modular presente em uma rede. Quanto maior o valor de modularidade de uma partição, melhor essa partição descreve a estrutura da rede.
A função de modularidade proposta por \citet{Kim2010} pode ser calculada usando a seguinte equação:
\begin{equation} \label{eq:qlr}
Q^{lr} = \sum_{ij} [L_{ij} - \pi_i \pi_j] \delta_{g_i g_j} ,
\end{equation}
onde $Q^{lr}$ é a modularidade de uma dada partição; $L_{ij}$ é o valor de LinkRank da aresta que conecta os nós $i$ e $j$; $\pi_i$ é o valor de PageRank do nó $i$; $\pi_j$ é o valor de PageRank do nó $j$; e $\delta_{g_i g_j} = 1$ caso os nós $i$ e $j$ sejam designados à mesma comunidade e $\delta_{g_i g_j} = 0$ caso contrário. O valor do LinkRank de uma dada aresta entre os nós $i$ e $j$ é uma medida de sua importância, dada por:
\begin{equation} \label{eq:lr}
L_{ij} = \pi_i G_{ij} ,
\end{equation}
onde $\pi_i$ é o valor de PageRank \citep{Page1999a} do nó $i$ e $G$ é a Matriz Google (``Google Matrix", no original), uma matriz de probabilidade para o processo de passeio aleatório. A equação~\ref{eq:qlr} pode então ser formulada da seguinte maneira:
\begin{equation} \label{eq:gqlr}
Q^{lr} = \sum_{ij} \pi_i * [G_{ij} - \pi_j] \delta_{g_i g_j} .
\end{equation}
\par O PageRank é um algoritmo de análise de ligações que produz um ranking global da importância de todos os nós de uma rede, baseado na matriz de probabilidade do processo de passeio aleatório (também chamado de ``caminhada do bêbado"). Tradicionalmente, o cálculo do PageRank leva em consideração o grau de entrada de um nó e o grau de entrada de seus vizinhos. Alternativamente, o PageRank pode ser calculado levando em consideração o grau ponderado de entrada de um nó e o grau ponderado de entrada de seus vizinhos, o que foi feito neste trabalho, dada a importância do número absoluto de animais movimentados para a definição de circuito pecuário. O PageRank é uma medida propagada através da rede, baseada na premissa de que nós importantes recebem ligações de nós importantes (figura~\ref{fig:pagerankex}). Para maiores detalhes, veja \citet{AmyN.Langville2006} e \citet{Kim2010}.
\begin{figure}[h]
\centering
Figura 2.2 - PageRank calculado em rede simples\\
\includegraphics[scale=0.4]{PageRank}
\caption[PageRank calculado em rede simples]{Legenda:\\
Os nós A, B e C recebem o mesmo número de ligações (i.e. grau de entrada igual a 1). No entanto, o nó C possui um maior valor de PageRank que A e B, porque a ligação que C recebe provém de um nó importante (com maior grau de entrada, nó D), elevando assim seu PageRank. \label{fig:pagerankex} }
\end{figure}
\subsection{Número de Bell, máximos locais e máximos globais}
\par Como pode ser visto na equação \ref{eq:qlr}, a modularidade depende da alocação de $N$ nós em $0<g \le N$ comunidades não-vazias. Para encontrar a partição de maior modularidade, seria preciso calcular a modularidade de todas as partições possíveis. O número de partições possíveis para um conjunto de $N$ objetos é dado pelo número de Bell:
\begin{equation} \label{eq:bell}
B_N = \sum_{n=0}^{N-1} B_n \dbinom{N-1}{n} .
\end{equation}
\par Utilizando a equação \ref{eq:bell}, conclui-se que o número de partições possíveis para um conjunto de 141 objetos, é de:
28.\-911.\-910.\-353.\-139.\-891.\-247.\-190.\-947.\-943.\-924.\-637.\-289.\-025.\-637.\-429.\-885.\-820.\-537.\-824.\-520.\-005.\-904\-648.\-590.\-799.\-334.\-719.\-349.\-750.\-642.\-778\-141.\-473.\-707.\-684.\-781.\-558.\-911.\-314.\-718.\-429.\-702.\-080.\-529.\-710.\-551.\-046.\-049.\-912.\-485.\-833.\-910.\-034.\-612.\-983.\-281.\-492.\-385.\-095, ou aproximadamente $2.89 * 10^{178}$.
Considerando que o cálculo da modularidade de cada partição leve em média 5 milissegundos, o que parece ser uma boa estimativa, demoraria cerca de $1.6 * 10^{168}$ anos para calcular a modularidade de todas as partições possíveis. Se fossem utilizados 1.000 computadores apenas para essa tarefa, o tempo seria reduzido para $1.6 * 10^{165}$ anos. Se o cálculo fosse otimizado para ser realizado a cada ciclo do processador de um computador, utilizando um processador moderno capaz de realizar 5 milhões de cálculos por segundo (5GHz), ainda assim seriam necessários $6.4 * 10^{160}$ anos, utilizando 1.000 computadores apenas para essa tarefa.
Se faz necessário, portanto, um método para descobrir partições com altos valores de modularidade sem ter de calcular a modularidade de todas as partições existentes.
\par Um método possível seria começar com uma partição qualquer, digamos $C = \{\{1\},\{2\},...,\{N\}\}$ e calcular a modularidade dessa partição. Então em cada passo poderíamos sortear um nó e verificar se a mudança desse nó para uma comunidade aleatória forma uma partição de maior modularidade. Caso a nova partição possua uma modularidade maior, passamos a utilizar essa nova partição. Propomos então uma nova mudança e continuamos até que não seja possível, com qualquer mudança, aumentar a modularidade.
\par A desvantagem desse método é que existe a possibilidade de obtermos uma partição de baixa modularidade, mas que a partir dela nenhuma mudança única resulte em aumento de modularidade. Essa situação é conhecida como ``máximo local" (figura~\ref{fig:maximos}). O máximo de uma função é chamado de ``máximo global". É necessário, portanto, um método capaz de encontrar o máximo global de uma função sem que seja necessário calcular a modularidade de todas as partições possíveis do conjunto de dados.
\begin{figure}[h]
\centering
Figura 2.3 - Exemplo de função com dois máximos locais e um global\\
\includegraphics[scale=0.5]{max}
\caption[Exemplo de função com dois máximos locais e um global]{Legenda:\\
Os pontos 1 e 3 indicam máximos locais. O ponto 2 indica o máximo global da função. \label{fig:maximos} }
\end{figure}
\subsection{Otimização da função de modularidade}
Para otimizar a função de modularidade e encontrar uma partição ótima da rede, foi utilizado o algoritmo de Arrefecimento Simulado (Simulated Annealing - SA) \citep{Kirkpatrick1983a}. Esse algoritmo é um método de otimização baseado em um procedimento probabilístico que evita que a solução encontrada pertença a um máximo local, e já foi aplicado para a otimização de modularidade anteriormente \citep{Guimera2005,Kim2010,Good2010}.
\par No estado inicial, cada n\'{o} \'{e} designado \`{a} sua própria comunidade. Em cada passo do algoritmo, um nó aleatório é designado \`{a} uma comunidade aleatória, e a mudança $\Delta Q^{lr}$ na modularidade é computada:
\begin{equation} \label{eq:dqlr}
\Delta Q^{lr} = Q^{lr}_n - Q^{lr}_o ,
\end{equation}
onde $Q^{lr}_n$ é a modularidade da nova partição e $Q^{lr}_o$ é a modularidade da partição anterior. Se $\Delta Q^{lr} > 0$, a mudança é aceita e a nova partição é assimilada para o próximo passo. Se $\Delta Q^{lr} \le 0$ então há uma probabilidade $P(\Delta Q^{lr})$ de que a mudança será aceita:
\begin{equation} \label{eq:pdqlr}
P(\Delta Q^{lr})=exp(\frac{\Delta Q^{lr}}{T}) ,
\end{equation}
onde $T$ \'{e} um n\'{u}mero real positivo, representando a temperatura atual do sistema.
Talvez valha a pena mencionar que $T$ n\~{a}o se trata de uma temperatura real. O m\'{e}todo de arrefecimento simulado foi inspirado na termomecânica, e a repetição desse processo durante tempo suficiente simula o movimento de \'{a}tomos de um material sob processo de recozimento \`{a} uma temperatura $T$, utilizado para obtenção de estados de baixa energia de um sólido, da\'{i} o termo.
\par Depois de $I$ iterações
o sistema \'{e} ``resfriado", multiplicando a temperatura presente $T$ por um fator de resfriamento $c$ ($0 < c < 1$). Este processo se repete até que o sistema esteja ``congelado", ou seja, nenhuma mudança proposta é aceita durante o ciclo de uma temperatura.
Isso significa que em altas temperaturas o sistema ir\'{a} explorar muitas configurações, e à medida em que o algoritmo avança e a temperatura decresce, o sistema passa a se concentrar nas melhores soluções, evitando mudanças que decresçam muito o valor de modularidade. Um esquema simplificado se encontra na figura~\ref{fig:SA2}
\begin{figure}[p]
\centering
\caption[Esquema de funcionamento do algoritmo de Arrefecimento Simulado]{Esquema de funcionamento do algoritmo de Arrefecimento Simulado}
\includegraphics[scale=0.2]{Arrefecimento}
\label{fig:SA2}
\end{figure}
\par O número limite de iterações $I$, o valor da temperatura inicial $T_i$ e o fator de resfriamento $c$ devem ser ajustados para cada função específica a ser otimizada. Neste trabalho foram inicialmente utilizados os valores sugeridos por \citet{Guimera2005}, posteriormente ajustados até a obtenção de um desempenho satisfatório, de maneira que o algoritmo teste um conjunto suficientemente grande de soluções. Os valores foram ajustados em $I = N^2$ ($N$ = número de nós da rede), $T_i = 1.000$ e $c = 0,95$.
Para reduzir o tempo gasto pelo algoritmo, foi gerada uma matriz de Modularidade $Mm$, de tamanho $N$ x $N$ onde $Mm_{ij}$ é o resultado de $L_{ij} - \pi_i\pi_j$, o termo dentro dos colchetes da equação~\ref{eq:qlr}. Assim, essa matriz $Mm$ contém a contribuição à modularidade total caso os nós $i$ e $j$ sejam designados à mesma comunidade, possibilitando o cálculo direto de $\Delta Q^{lr}$, evitando o cálculo da modularidade total da partição testada a cada passo.
\subsection{Obtenção de uma solução única}
\citet{Good2010} mostraram que redes com estrutura modular apresentam frequentemente um alto número de degenerações, partições de alta modularidade que escondem a partição situada no máximo global (melhor solução). Assim, frequentemente redes exibirão não apenas um claro máximo global de modularidade, mas um platô de soluções, todas com alta modularidade, não muito diferentes entre si. Embora isso pareça impor um obstáculo para a detecção de comunidades dentro de uma rede, na verdade mostra a possibilidade de escolher uma divisão da rede que atenda necessidades específicas de uma situação sem violar a definição de comunidade previamente definida. Ao invés de analisar todas as partições de alta modularidade, pode ser útil extrair padrões comuns dessas partições, revelando onde elas concordam, i.e. quais nós aparecem juntos em todas as soluções encontradas. A solução final pode ser encarada como ``blocos de construção" (``building blocks"), os quais podem ser submetidos posteriormente a um método de aglomeração adequado.
\par Para resumir a informação obtida, foram selecionados os melhores resultados (partições com valores de modularidade até 1\% abaixo do máximo encontrado) e identificados como comunidades os grupos de municípios que foram designados para o mesmo cluster em todas as partições selecionadas. Essa solução foi obtida pela multiplicação elemento a elemento (produto Hadamard) das matrizes de similaridade de cada partição selecionada:
\begin{equation} \label{eq:cores}
Sm = Sm_1 \circ Sm_2 \circ ... \circ Sm_n ,
\end{equation}
onde $Sm$ é a matriz de similaridade correspondente à partição final $C$ e $Sm_n$ é a matriz de similaridade correspondente à partição $C_n$. Uma matriz de similaridade é uma matriz esparsa de tamanho $N$ x $N$, onde o elemento $Sm_{ij} = 1$ se os nós $i$ e $j$ pertencem ao mesmo cluster e $0$ caso contrário. Tendo como estrutura comunitária a partição $C$, foi possível analisar o comércio de animais intra e intercomunitário.
\section{Avaliação do desempenho do algoritmo}
Uma maneira útil de avaliar se as partições obtidas são similares ou diferentes entre si é a distância de Variação de Informação (Variation of Information - VI) \citep{Meila2007a}. A distância VI é uma métrica baseada em teoria da informação e entropia, e mede a quantidade de informação não compartilhada entre duas partições.
A entropia associada a uma partição $C$ é dada pela seguinte equação:
\begin{equation}
H(C) = - \sum_{g=1}^g P(g) \log P(g) ,
\end{equation}
onde $P(g)$ é a probabilidade de escolher um objeto aleatório da partição $C$ que pertença à comunidade $g$:
\begin{equation}
P(g) = \frac{n_g}{N} ,
\end{equation}
onde $n_g$ é o número de objetos pertencentes à comunidade $g$.
Logo $H(C)$ provê a incerteza total a respeito de $C$. Define-se $P(g,g')$ como a probabilidade de um objeto pertencer à comunidade $g$ na partição $C$ e simultaneamente à comunidade $g'$ na partição $C'$, ou seja, a distribuição conjunta das variáveis aleatórias associadas às duas partições:
\begin{equation}
P(g,g') = \frac{| C_{g} \cap C'_{g'} |}{N} .
\end{equation}
Então a informação mútua entre as partições $C$ e $C'$ é dada por:
\begin{equation}
I(C,C') = \sum_{g=1}^G \sum_{g'=1}^{G'} P(g,g') \log \frac {P(g,g')} {P(g)P'(g')} ,
\end{equation}
e essa é a quantidade de incerteza sobre $C'$ que é reduzida se conhecermos $C$. A Variação de Informação (figura~\ref{fig:vimeila}) pode então ser definida da seguinte maneira:
\begin{equation}
VI(C,C') = H(C) + H(C') - 2I(C,C') .
\end{equation}
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Representação gráfica da Variação de Informação]{Representação gráfica da Variação de Informação \citep{Meila2007a}}
\includegraphics[scale=0.2]{vimeila}
\label{fig:vimeila}
\end{figure}
\par Quando aplicada a duas partições iguais $VI=0$. Quando aplicada a partições extremas que não compartilham nenhuma informação, como por exemplo a partição onde cada nó pertence à sua própria comunidade $C = \{\{1\},\{2\},...,\{N\}\}$ e a partição onde todos os nós pertencem à mesma comunidade $C'=\{g\}$, o valor de VI é o máximo possível, $VI = \log N$ (onde $N$ é o tamanho das partições analisadas).
Essa distância foi calculada entre a solução final, todas as soluções dadas pelo algoritmo SA e 50 partições aleatórias.
Esse conjunto de distâncias pode ser organizado em uma matriz de distância simétrica $D$, onde $D_{ij} = D_{ji}$, que representa a VI entre as partições $C_i$ e $C_j$.
\subsection{Escalonamento multidimensional}
Para facilitar a interpretação da magnitude das distâncias encontradas, optou-se por projetar a matriz $D$ em um plano euclidiano utilizando a técnica de escalonamento multidimensional. O escalonamento multidimensional (Multidimensional Scaling - MDS) constrói uma configuração de $N$ pontos em um espaço euclidiano tal que as distâncias entre pontos coincida, tanto quanto possível, as dissimilaridades originais entre $N$ objetos \citep{Cox2000}.
\section{Softwares utilizados}
A função de modularidade, o algoritmo SA e o código para obtenção de uma solução única foram implementados no software R \citep{R2010}. Os mapas foram produzidos no software R \citep{R2010}, utilizando os seguintes pacotes: ``PBSmapping'' \citep{Schnute2010}, ``maptools" \citep{Lewin-Koh2011}, ``sp" \citep{Bivand2008} e ``foreign" \citep{RDevelopmentCoreTeam2011}. As representações gráficas de redes foram produzidas no software Gephi  \citep{Bastian2009}. As distâncias VI  foram calculadas utilizando o pacote ``mcclust" \citep{Fritsch2009}.

\chapter*{3 RESULTADOS}
\addcontentsline{toc}{chapter}{3 RESULTADOS}\stepcounter{chapter}
Após 50 iterações, o algoritmo SA foi capaz de identificar 24 partições únicas que maximizam a função de modularidade. Essas partições são muito similares entre si, tanto em termos de informação como em valores de modularidade (figura~\ref{fig:surface} e figura~\ref{fig:supmods}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
Figura 3.1 - Partições amostradas e superfície de modularidade.\\
\includegraphics[scale=0.5]{surface}
\caption[Superfície de modularidade]{Legenda:\\
Distância entre os pontos nos eixos $x$ e $y$ representam a distância VI (stress = 23.89). Pontos verdes são partições obtidas pelo algoritmo SA, pontos pretos são partições aleatórias e o pronto azul claro é a partição final. A superfície colorida é a função de modularidade, reconstruída a partir de todas as partições analisadas. Partições obtidas pelo algoritmo SA estão localizadas no máximo da função de modularidade, muito próximas umas das outras quando comparadas com as partições aleatórias. Ainda, a partição final permanece perto das soluções do SA, e sua flexibilidade é obtida com o sacrifício de uma pequena parcela de sua modularidade.
\label{fig:surface}}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\caption[Partições obtidas com Arrefecimento Simulado e superfície de modularidade]{Partições obtidas com Arrefecimento Simulado e superfície de modularidade}
\includegraphics[scale=0.5]{supmods}
\label{fig:supmods}
\end{figure}
\par A solução final, que resume a informação de todas as outras partições, retém um bom valor de modularidade, apresentando uma alta flexibilidade para a definição de clusters sem violar a definição de comunidade escolhida. Esta possui 11 comunidades, sendo que 2 municípios permaneceram desagrupados, dado que eles foram designados a comunidades distintas por duas ou mais partições (figuras ~\ref{fig:communitynetwork} e~\ref{fig:mapa}). Apenas três municípios foram designados a comunidades não adjacentes, mostrando que a solução em questão possui um claro padrão geográfico.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
Figura 3.3 - Circuitos pecuários do Mato Grosso (detalhado)\\
\subfigure[Movimentos internos]{
\includegraphics[scale=0.16]{mtcloop}
\label{fig:loop}}
\subfigure[PageRank]{
\includegraphics[scale=0.16]{mtcpr}
\label{fig:pagerank}}
\caption[Mapa de comunidades]{Legenda:\\
A posição dos nós é dada pelo centroide do município correspondente (aproximado). As cores dos nós identificam as 11 comunidades encontradas. Nós brancos permaneceram desagrupados. O tamanho da aresta é proporcional ao número de animais movimentados entre dois municípios, e sua cor identifica a comunidade de origem de uma ligação. Na figura~\ref{fig:loop} o tamanho dos nós é proporcional ao número de animais comercializados internamente. Na figura~\ref{fig:pagerank} o tamanho dos nós é proporcional ao valor de PageRank.}
\label{fig:communitynetwork}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
Figura 3.4 - Circuitos pecuários do Mato Grosso.\\
\subfigure[Municípios]{
\includegraphics[scale=0.30]{mapa}
\label{fig:counties}}
\subfigure[Fluxo de animais]{
\includegraphics[scale=0.15]{mapacom}
\label{fig:flow}}
\caption[Mapa de comunidades]{Legenda:\\
A figura~\ref{fig:counties} mostra as 11 comunidades encontradas (municípios em branco permaneceram desagrupados). A figura \ref{fig:flow} mostra o comércio entre comunidades: números representam a identificação de cada comunidade (correspondendo às Tabelas \ref{outgoing} e \ref{ingoing}); a intensidade da cor e o tamanho das arestas estão correlacionados com o número de animais comercializados entre duas comunidades; o tamanho dos nós depende do número de animais transitados dentro de uma comunidade; e a intensidade de cor dos nós depende da probabilidade de que um animal vendido permaneça em sua própria comunidade (diagonal da Tabela~\ref{outgoing}). }
\label{fig:mapa}
\end{center}
\end{figure}
\par A partição encontrada mostra também um claro padrão comercial. Comunidades detectadas preferem comercializar animais internamente (Tabelas \ref{outgoing} e \ref{ingoing}). Em 10 das 11 comunidades encontradas um animal vendido têm mais chance de permanecer em sua própria comunidade (comprado por um nó interno à comunidade) do que ir para outra comunidade (Tabela~\ref{outgoing}). Embora a comunidade 3 mostre uma fraca preferência em comercializar animais internamente, devido em grande parte ao seu intenso comércio com a comunidade 5 e 6 (Tabelas~\ref{outgoing} e~\ref{ingoing}), o comércio interno é ainda maior do que o comércio desta com qualquer outra comunidade.
\input{outtable}
\input{ingtable}

\chapter*{4 DISCUSSÃO}
\addcontentsline{toc}{chapter}{4 DISCUSSÃO}\stepcounter{chapter}

\par Ao enfrentar o desafio de definir de comunidades, a escolha de qual algoritmo utilizar deve levar em consideração as definições e premissas do modelo, e se os mesmos são adequados para resolver o problema em questão.
\par O método desenvolvido por \citet{Kim2010} é baseado no cálculo de LinkRank, uma medida baseada no PageRank e na matriz Google. O PageRank pode ser interpretado como a probabilidade de que um passeador aleatório encontre um determinado nó (utilizando uma taxa mínima fixa $\alpha$, chamada de probabilidade de teletransporte, para maiores detalhes consultar \citet{AmyN.Langville2006}). Já a matriz Google traz as probabilidades de caminhos de saída de um nó para um passeador aleatório que esteja percorrendo a rede. Portanto, quando aplicado a uma rede ponderada e direcionada de trânsito animal entre municípios, o método calcula os caminhos possíveis a serem percorridos por um animal aleatório, a quantidade de animais comercializados, a preferência comercial das propriedades de cada município, e a probabilidade de um animal aleatório transitar por um determinado município. Por ser uma medida propagada através da rede, nós que se encontram no fim do ciclo produtivo, como municípios contendo frigoríficos e fazendas de engorda, acumulam uma maior fração de PageRank.
\par Uma alteração no cálculo do Pagerank poderia ajustar de maneira mais precisa a distribuição de probabilidades referida, bastando para isso alterar a taxa $\alpha$ para um valor que reflita a reposição de animais no sistema como um todo. Ou, alternativamente, poder-se-ia alterar esse parâmetro para refletir a reposição de animais apenas em propriedades de cria e ciclo completo, por exemplo. Tais alterações não foram realizadas, visto não ser objetivo deste projeto avaliar esta probabilidade com tamanha precisão.
\par O método, portanto, deveria valorizar partições nas quais os animais possuam maior probabilidade de permanecer em uma comunidade do que sair desta. A única ressalva é que, como pode ser observado na equação~\ref{eq:qlr}, maior será a contribuição ao valor da modularidade da designação de dois nós a mesma comunidade quanto maior for a diferença entre o LinkRank ($L_{ij}$) e o produto de seus PageRanks ($\pi_i \pi_j$). Trabalha-se com a premissa, portanto, de que é esperado que nós de elevado PageRank estejam conectados uns aos outros. Essa característica traz importantes implicações. Em primeiro lugar, se dois nós $i$ e $j$ de elevado PageRank não possuírem um alto valor nas células correspondentes da matriz de passeio aleatório $G_{ij}$ e $G_{ji}$ (o que indica uma fraca conexão entre eles) esses nós provavelmente serão designados a comunidades diferentes, pois sua contribuição à $Q^{lr}$ será negativa (já que, de acordo com a equação~\ref{eq:gqlr}, se $G_{ij} < \pi_j$ então $Q^{lr}<0$). Com isso, nós que tendem a acumular grande parte do PageRank da rede, como municípios que possuam frigoríficos ou grandes comerciantes de gado, serão designados a comunidades diferentes a não ser que possuam elevado comércio entre si. Desta maneira, é mais provável que os municípios com os maiores valores de PageRank da rede formem comunidades que orbitem em volta deles, agregando municípios de valores mais baixos de PageRank mas com os quais possuam elevados valores nas células da matriz Google.
\par Em segundo lugar, um par de municípios com baixo valor de PageRank será designado à mesma comunidade se possuir internamente uma fração representativa do seu comércio $G_{ij}$ e $G_{ji}$. Por último, caso um município de baixo valor de PageRank $i$ possua um comércio modesto com um município de alto valor de PageRank $j$ (representado por um valor médio em $G_{ij}$, mas de modo que $G_{ij} < \pi_j$) sua contribuição à $Q^{lr}$ será negativa. Obviamente, essas deduções atuam de maneira conjunta para os 141 municípios estudados, e o método de maximização utilizado busca a melhor combinação de municípios em grupos, de modo que se a contribuição de dois nós à modularidade for negativa ($Q^{lr}_{ij}~<~0$), mas superada pela agregação de ambos à mesma comunidade de um terceiro ($Q^{lr}_{im}~>>~0; Q^{lr}_{jm}~>>~0$), ambos serão designados ao mesmo grupo.
\par Dessa maneira, valoriza-se ligações fortes com nós de baixo PageRank, o que implica em descontar o efeito agregador que municípios de alto PageRank exercem na rede. Ainda, o método praticamente ignora o comércio feito de maneira ocasional (onde $G_{ij}$ é baixo), o que é desejável para uma técnica exploratória desta natureza, haja vista que o objetivo principal é realçar os grandes padrões de movimentação e reduzir a sobrecarga decorrente do excesso de informações causado por movimentos não-significativos.
\par Outro método possível de ser utilizado, projetado para redes direcionadas, é o método de \citet{Leicht2008b}, o qual utiliza a seguinte equação para o cálculo de modularidade:
\begin{equation} \label{eq:leicht}
Q = \frac{1}{m} \sum_{ij} [ A_{ij} - \frac{k_i^{in} k_j^{out}}{m}]\delta_{g_i,g_j} .
\end{equation}
Como pode ser visto na equação~\ref{eq:leicht}, o método de \citet{Leicht2008b} considera o número de ligações de cada nó, e pode ser adaptado para uma rede ponderada, alterando  a matriz de adjacência $A$ pela matriz contendo o peso das arestas $W$, e alterando os termos de grau $k_i^{in}$ e $k_j^{out}$ pelos graus ponderados $kw_i^{in}$ e $kw_j^{out}$. No entanto, o método não utiliza em seus cálculos a topologia da rede como um todo, apenas dados dos nós individualmente, como grau de entrada e grau de saída. Embora o método de \citet{Kim2010} também utilize características individuais de nós e arestas, como PageRank e LinkRank, esses são fruto de um cálculo que leva em consideração a topologia da rede estudada, sendo portanto influenciados por ligações indiretas a estes, como por exemplo o fluxo encadeado de animais entre vários municípios.
\par Embora a técnica de arrefecimento simulado tenha encontrado várias partições distintas, esses resultados mostram uma notória similaridade entre si, concordando na alocação em comunidades da maioria dos municípios, o que é evidenciado pela figura~\ref{fig:surface}, onde nota-se que as partições encontradas possuem baixa Variação de Informação entre si. É possível notar, na figura~\ref{fig:supmods}, que as partições obtidas também possuem valores muito similares de modularidade (entre 0,22 e 0,23).
\par Redes que possuem mais de uma partição com alto valor de modularidade são comuns e esperadas. Isso apresenta um obstáculo para escolher, dentre várias partições, qual seria a correta. No entanto, é possível perceber essa característica como uma vantagem, dado que possibilita a escolha da partição que melhor atenda às necessidades de um pesquisador ou tomador de decisão, mantendo a definição escolhida de comunidades.
\par Extrair as concordâncias entre as diferentes partições é uma maneira útil de obter grupos pequenos que podem ser posteriormente aglomerados de maneira a atender os objetivos específicos de um estudo sem violar a definição de comunidade escolhida.
\par Nota-se na figura~\ref{fig:surface} a baixa Variação de Informação entre a partição final, obtida através do produto Hadamard, e as partições encontradas pelo algoritmo de Arrefecimento Simulado. Isto evidencia que grande parte da informação contida nas 24 partições encontradas foi conservada após a operação que deu origem à solução final.
\par A figura~\ref{fig:counties} mostra que a partição obtida reflete um claro padrão comercial, no qual apenas três municípios foram designados a uma comunidade com a qual não possuem contato geográfico. Seria necessário verificar individualmente a razão deste fato curioso. Um deles, o município de Ipiranga do Norte, foi criado em 2005, desmembrado do município de Tapurah, que por sua vez foi designado a uma comunidade adjacente, mantendo o padrão encontrado no restante do estado. Uma possível explicação seria a de que, em 2007, o sistema do INDEA se encontrasse em fase de adequação à existência do município, atualizando dados cadastrais dos produtores da região.
\par Na figura~\ref{fig:pagerank} nota-se que muitas comunidades possuem um ou dois municípios com alto valor de PageRank. Na comunidade de cor laranja, no sudoeste do estado, o município de Tangará da Serra é o que se destaca com maior valor de PageRank. Na comunidade de cor azul clara, no centro sul do estado, os municípios são Cuiabá (a capital do estado) e Várzea Grande (situado na região metropolitana de Cuiabá). Na comunidade vermelha, na região leste do estado, o município de destaque é Barra do Garças. Na comunidade azul escura, no sudeste do estado, destacam-se os municípios de Rondonópolis e Pedra Preta. Na comunidade de cor verde clara, no centro leste do estado, nota-se o município de Paranatinga. Na comunidade verde escura, no centro norte do estado, destacam-se, de maneira mais modesta, os municípios de Sinop e Colider. Todos os municípios mencionados são conhecidos por conterem um ou mais frigoríficos em seus territórios, o que corrobora a hipótese de que nós no fim da cadeia produtiva concentram grande parte do PageRank da rede e de suas respectivas comunidades.
\par Nota-se, através das tabelas~\ref{outgoing} e~\ref{ingoing}, que essa solução final é consistente com a ideia de circuitos pecuários, visto que um animal vai mais provavelmente permanecer em sua comunidade de origem, ao invés de ser transferido para outra comunidade qualquer. A única exceção à essa regra é a comunidade 3. Como pode ser visualizado na figura~\ref{fig:mapa}, esta comunidade é formada por apenas três municípios da região central do estado, todos com baixo valor de PageRank (figura~\ref{fig:pagerank}), indicando, possivelmente, a ausência de frigoríficos na região. Na tabela~\ref{ingoing} vemos que esta é a comunidade que menos comprou animais (cerca de 80.000), e que a mesma adquire animais prioritariamente da comunidade 6 (45,79\% dos animais comprados), situada imediatamente ao norte desta. Na tabela~\ref{outgoing} vemos que esta é a comunidade que menos vende animais (cerca de 90.000), prioritariamente para as comunidades 2 (10,54\%), 5 (23,73\%), 6 (10,69\%) e 7 (14,72\%). À exceção da comunidade 6, todas essas se situam ao sul da comunidade 3 (figura~\ref{fig:flow}), caracterizando a mesma como uma ponte entre municípios do norte (comunidade 6) e municípios do sul (comunidades 2, 5 e 7).
\par Esse padrão de movimentação, caracterizado pelo fluxo de animais no sentido norte-sul, pode ser observado em outras regiões do estado, com o auxílio da figura~\ref{fig:flow} e da tabela~\ref{outgoing}. Começando pela região nordeste, por exemplo, vemos que a comunidade 10 envia 15,18\% de seus animais vendidos para a comunidade 1, que por sua vez envia 3,68\% de seus animais vendidos para a comunidade 5, que por sua vez envia animais para as comunidades 7 (8,78\%) e 8 (10,57\%). Já na região noroeste, nota-se a existência de dois fluxos distintos. Um no sentido oeste-leste, começando pela comunidade 4, que envia animais para a comunidade 11 (5,8\%), que por sua vez envia animais para a comunidade 6 (16,66\%). E outro no sentido norte-sul, começando também pela comunidade 4, enviando animais para as comunidades 2 (6,53\%) e 7 (7,04\%). Paralelamente, a comunidade 11 envia animais para as comunidades 2 (4,1\%) e 7 (5,52\%), e a comunidade 6 envia animais para as comunidades 2 (1,11\%), 3 (1,07\%) e 7 (1,74\%). Esse fluxo pode ser causado pela concentração da população humana na região sul do estado, ao redor da capital Cuiabá, ou pela proximidade desta região com o estado de São Paulo, onde localiza-se grande mercado consumidor de carnes.
\par Fica evidenciado que após uma análise da estrutura da indústria pecuária em um estado, é possível fornecer informações importantes para aplicações diversas na área de defesa sanitária, principalmente na vigilância e no controle de enfermidades. Ao obter uma partição na qual animais possuam a tendência de permanecer em suas regiões, um estudo de circulação viral pode levar em conta as diferentes comunidades encontradas na sua estratificação, buscando assim dividir a área estudada em diferentes zonas de produção. Considerando a relação entre os circuitos pecuários, seria possível, na ocasião de erradicação de uma doença específica, atuar sequencialmente nessas diferentes zonas de produção, começando por aquelas que possuam menor probabilidade de reinfecção, ou que dependam menos, do ponto de vista econômico, do ingresso de animais de outras regiões, na eventual possibilidade de criar zonas com diferentes status sanitário com restrição de comércio.
\par Uma possível análise seria agregar as informações dos fluxos de animais com a infraestrutura do estado para locomoção de animais e suas particularidades ambientais, como grandes estradas e rotas de trânsito que são bloqueadas na estação de chuvas, a fim de estudar como o fluxo de animais é influenciado por estes. Nota-se, por exemplo, na figura~\ref{fig:communitynetwork} que na região nordeste do estado há uma extensão no sentido norte-sul entre as comunidades 6, 5, 1 e 10 (figura~\ref{fig:flow}) com baixa densidade de ligações. Esta extensão corresponde à área do Parque Indígena do Xingú, criado em 1961, que possui aproximadamente 27.000 km$^2$.
\par A solução final apresenta um padrão geográfico e comercial claro, característica crucial para aplicações em medicina veterinária preventiva, além de possuir uma interpretação clara e útil em redes de comércio onde ligações emergem das escolhas de nós comerciantes, e esses últimos são fortemente influenciados pelos ``hubs" (nós com alto valor de PageRank), os quais normalmente apresentam alta competitividade quando comparados com outros nós da rede. A solução final também é consistente do ponto de vista de informação, dada a baixa Variação de Informação entre esta e as partições encontradas pelo Arrefecimento Simulado. A técnica apresentada permite extrair informações relevantes acerca do fluxo de uma rede de trânsito animal, permitindo um melhor entendimento da relação existente entre suas zonas de produção.

\chapter*{5 CONCLUSÕES}
\addcontentsline{toc}{chapter}{5 CONCLUSÕES}\stepcounter{chapter}
Vimos que o método descrito nessa tese pode revelar a estrutura comunitária de uma rede direcionada de trânsito animal. Acreditamos que essa abordagem é apropriada para redes de trânsito animal e circuitos pecuários, assim como outras redes onde o caminho percorrido por um passeador aleatório (ou as escolhas dos nós em estabelecer ligações com outros nós) está incluída na definição de comunidade.
Essa abordagem pode ser utilizada para melhor compreender o fluxo interno de uma rede, ajudar no planejamento de um sistema de vigilância baseado em risco, melhorar modelos preditivos, guiar uma amostra estratificada, determinar áreas alvos para programas sanitários e definir zonas para restrição de movimentação.
\end{doublespace}

\newpage
\addcontentsline{toc}{chapter}{REFERÊNCIAS}\stepcounter{chapter}
\bibliographystyle{teste}
\raggedright

Abstract: A network is a set of nodes that are linked together by a set of edges.
Networks can represent any set of objects that have relations among themselves.
Communities are sets of nodes that are related in an important way, probably
sharing common properties and/or playing similar roles within a network. When
network analysis is applied to study the livestock movement patterns, the
epidemiological units of interest (farm premises, counties, states, countries,
etc.) are represented as nodes, and animal movements between the nodes are
represented as the edges of a network. Unraveling a network structure, and
hence the trade preferences and pathways, could be very useful to a researcher
or a decision-maker. We implemented a community detection algorithm to find
livestock communities that is consistent with the definition of a livestock
production zone, assuming that a community is a group of farm premises in which
an animal is more likely to stay during its life time than expected by chance.
We applied this algorithm to the network of within animal movements made inside
the State of Mato Grosso, for the year of 2007. This database holds information
about 87,899 premises and 521,431 movements throughout the year, totalizing
15,844,779 animals moved. The community detection algorithm achieved a network
partition that shows a clear geographical and commercial pattern, two crucial
features to preventive veterinary medicine applications, and also has a
meaningful interpretation in trade networks where links emerge from the choice
of trader nodes.


\section{Giriş}
Güneş’ten başka bir yıldızın etrafında dolanan gezegenlere ötegezegen (exoplanet) adı verilmektedir. İlk ötegezegen 1992 yılında, bir atarca olan PSR 1257+12’nin çevresinde bulunmuştur \citep{1992Natur.355..145W}. Ayrıca çevresinde bir ötegezegen olduğu belirlenen ilk anakol yıldızı ise güneş benzeri bir yıldız olan 51 Pegasi’dir \citep{1995Natur.378..355M}. Bu keşiflerden sonra ötegezegen araştırmaları astronomi alanında çok çalışılan konular arasında yer almıştır. Teknolojik gelişmelerin katkısıyla günümüzde keşfedilen ötegezegen sayısı her geçen gün artış göstermektedir. Ötegezegen keşifleri farklı yöntemlerle yapılabilmektedir. Bugüne kadar sayıları 4311’i bulan ötegezegenlerden, 1’i astrometri (astrometry), 106’sı kütleçekimsel mercek (gravitational microlensing), 51’i doğrudan görüntüleme (direct imaging), 829’u dikine hız (radial velocity, RV), 3322’si geçiş (transit) yöntemiyle keşfedilmiştir\footnote{\url{https://exoplanets.nasa.gov/alien-worlds/ways-to-find-a-planet/}}. Yaygın olarak kullanılan geçiş yönteminde hem ötegezegen hem de barınak (host) yıldızın özellikleri hakkında bilgi edinilir. Geçiş yapan bir ötegezegen Kepleryan olduğu varsayılan bir yörüngede eşit zaman aralıklarında, dönemli olarak barınak yıldızının önünden geçer. Sistemde ikinci bir gezegen varsa yörüngeleri Kepleryan yörüngelere benzemez ve geçişler eşit aralıklı olmaz \citep{2005MNRAS.359..567A}, yani gözlenen dönem değişir. Geçiş zamanı değişimi (TTV; Transit Timing Variations) yöntemi, bilinen ötegezegenlerin geçiş zamanındaki değişikliklerin izlenmesine dayanır \citep{2009ApJ...701.1116N}. Gözlenen minimum ışık zamanı (O), hesaplanan minimum ışık zamanı (C) olmak üzere O-C diyagramları çift yıldızların dönem değişimlerini çalışmak için uzun zamandır kullanılmaktadır. Günümüzde ötegezegen araştırmalarında da O-C diyagramları yaygın olarak kullanılmaktadır. Hassas ölçümlerden elde edilmiş çok sayıda döneme ait geçiş ortası zamanları kullanılarak oluşturulan O-C diyagramları, TTV analizinin standart veri setini oluşturur. Geçiş zamanı değişimleri ilk olarak geçiş yöntemiyle aynı yıldız etrafında keşfedilen Kepler-9b ve Kepler-9c ötegezegenlerinin geçişlerinde gözlenmiştir \citep{2010Sci...330...51H}. Bu yöntemle keşfedilen ilk gezegen ise Kepler-19c dir \citep{2011ApJ...743..200B}. Yapılan TTV analizlerinde dönem bulabilmek için yaygın olarak Lomb-Scargle (LS) periyodogramları kullanılmaktadır. \cite{1976Ap&SS..39..447L} ve \cite{1982ApJ...263..835S} O-C diyagramında çevrimsel bir değişimin varlığını araştırmak için O-C artıklarından (residual) LS periyodogramları elde etmişlerdir. LS metodu, eş zaman aralıklı olmayan veride, zayıf periyodik sinyalleri bulmanın ve bunların önemini test etmede izlenen bir yoldur \citep{1989ApJ...338..277P}.

TTV yöntemiyle HAT-P-16b ve TrES-3b ötegezegenlerinin geçiş zamanları değişimini analiz etmek üzere yapılan bu çalışma için UZAYMER Gözlemevi’nde bulunan UZAYMER Teleskobu (UT50) ile geçiş gözlemleri yapılmıştır. Sistem parametrelerinin belirlenmesinde UT50’den alınan geçiş verilerine ek olarak T100 (TUG; TUBİTAK Ulusal Gözlemevinde), IST60 (İstanbul Üniversitesi Gözlemevi Uygulama ve Araştırma Merkezine ait) ve ATA50 (Atatürk Üniversitesi Astrofizik Uygulama ve Araştırma Merkezinde) teleskoplarından veriler alınmıştır. Ayrıca TESS (Transiting Exoplanet Survey Satellite, \citealp{2009AAS...21340301R}) verileri de çalışmamızda kullanılmıştır. TTV analizlerinde sistem parametrelerinin belirlenmesinde kullanılan ışık eğrilerinden ölçülen geçiş ortası zamanlarının yanı sıra Exoplanet Transit Database (ETD, \citealp{2010NewA...15..297P}) ve literatürde yayınlanan geçiş ışık eğrilerinin yeniden modellenmesiyle ölçülen geçiş ortası zamanları kullanılarak O-C ışık eğrileri oluşturulmuştur. TTV analizlerinde dönem bulabilmek için LS periyodogramlarından yararlanılmıştır.

\textbf{HAT-P-16b} \\
HAT-P-16b ötegezegeni 2009 yılında yapılan gözlemlerle, geçiş yöntemi kullanılarak keşfedilmiştir \citep{2010ApJ...720.1118B}. Bu ötegezegen, parlaklığı $m_V$=10.8 kadir değerine sahip, F8 tayfsal tipteki barınak yıldızının etrafında ${\sim}$2.8 günlük yörünge döneminde dolanmaktadır ve yıldızının önünden geçiş süresi 183.7$\pm$1.9 dakikadır. Gezegen kütlesi M$_{P}{\sim}$4M$_{J}$ ve yarıçapı R$_{P}{\sim}$1.2 R$_{J}$ olarak belirlenmiştir.
\cite{2011A&A...533A.113M}'nın HAT-P-16b ile ilgili yaptıkları çalışmada, Haute-Provence Gözlemevi'nde 1.93 m teleskop üzerinde bağlı SOPHIE tayfçekeri ile yapılan tayfsal gözlemlerden elde edilen Rossiter-McLaughlin Etkisi \citep{2005ApJ...622.1118O}'nin (RME) büyüklük ve şekline dayanarak, HAT-P-16b ötegezegeninin yörünge düzlemiyle barınak yıldızın dönme ekseni arasındaki açının gökyüzü düzlemine izdüşüm açısını (sky-projected spin-orbit alignment angle) $\lambda = -10^{\circ}\pm16^{\circ}$ ve yıldızın dönme hızını $\upsilon.sini_{*}$=3.9$\pm$0.8 km.s$^{-1}$ olarak hesaplamışlardır.
\cite{2012MNRAS.422.3151H}, yıldızlarına yakın gezegenlerin yörüngesel evrimlerini incelemek için bilinen geçiş ötegezegenlerinin dikine hız ölçümlerini analiz etmiştir ve HAT-P-16b’ nin dış merkezliğini e=0.034$\pm$0.003 olarak belirlemişlerdir. Sıfır olmayan bu dış merkezlik değeri, yörüngeyi tedirgin eden, gözlenmemiş ancak sisteme kütle çekimle bağlı olabilecek bir gezegenin varlığına bağlanabilir. HAT-P-16b ile ilgili başka bir çalışmada \cite{2013A&A...557A..30C}, eşzamanlı olarak iki orta sınıf teleskoptan odak dışı gözlem (defocusing) tekniğiyle \citep{2009MNRAS.394..272S, 2015ASPC..496..370B} HAT-P-16b’nin geçiş gözlemlerini yapmıştır. TTV analizi sonucunda sistemde 3. cismin varlığına dair herhangi bir kanıt bulamamışlardır. Bu ötegezegen hakkında yapılan çalışmaların az olması, bu çalışmada seçtiğimiz kaynaklardan biri olmasının önemli bir nedenidir.

\textbf{TrES-3b}\\
TrES-3b ötegezegeni 2007 yılında yapılan gözlemlerle, geçiş yöntemi kullanılarak keşfedilmiştir \citep{2007ApJ...663L..37O}. Kaynak, parlaklığı $m_V$=12.4 kadir değerine sahip, G tayf türünden barınak yıldızının etrafında ${\sim}$1.3 gün yörünge döneminde dolanmaktadır ve geçiş süresi 77.9$\pm$1.9 \citep{2012PASP..124..212S} dakikadır. Gezegen M$_{P}{\sim}$1.9 M$_{J}$ kütleye ve R$_{P}{\sim}$1.3 R$_{J}$ yarıçapa sahiptir. Bu ötegezegenin geçiş ışık eğrisi ile ilgili en çarpıcı özellik, yüksek etki parametresi nedeniyle (b=0.83) geçiş sinyalinin {\textquotedblleft}V{\textquotedblright} şeklindeki yapısıdır. Bu yapı geçiş ortası zamanının hassas belirlenmesine ve bu nedenle geçiş zamanlarının değişiminin çalışılmasına yardımcı olmaktadır. TrES-3b ile ilgili yapılan diğer bir çalışmada \cite{2009ApJ...700.1078G}, TrES-3 sisteminde varsayımsal ikinci gezegen varlığını TTV yöntemiyle araştırmak için, Liverpool Teleskoptaki RISE cihazı ile yaptıkları gözlem verilerini ve önceki gözlem verilerini kullanmışlardır. İstatistiksel olarak anlamlı bir TTV sinyali belirlenememesine rağmen, TrES-3b geçişlerinden elde edilen O-C grafiğinden hareketle, sistemde varsayımsal ikinci bir gezegenin dönem oranının fonksiyonu olarak üst kütle sınırları belirlenmiştir. Ayrıca \cite{2011PASJ...63..301L}, SOAO (Sobaeksan Optical Astronomy Observatory) ve LOAO (Lemmon Optical Astronomy Observatory) gözlemevlerinden alınan gözlem verileriyle TrES-3b'nin geçiş ışık eğrilerinin analizlerini yapmışlardır. Çalışmada, TTV analizi sonucunda 1.97 gün dönemli frekans bulunarak bunun, yıldız lekesi gibi manyetik aktiviteye bağlı bir yüzey parlaklık düzensizliğinden kaynaklandığı belirtilmiştir.

\cite{2017NewA...55...39P} TrES-3b ile ilgili yaptıkları çalışmada, Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Gözlemevi'nde (ÇOMUO) kurulu olan T122 ve T60 teleskopları ile T100 (TUG) teleskobunu kullanarak geçiş gözlemi verilerinin analizlerinden sistem parametrelerini güncellemiş ve TTV ölçümü yapmışlardır.  TTV analizinde TrES-3b için önemli bir sinyal belirlenmemiştir, 84.79$\pm$0.35 günlük bir TTV dönemine karşılık gelen 0.0154$\pm$0.0001 çevrim/dönem frekans bulunmuştur. \cite{2020AJ....160...47M}'nın TrES-3b ile ilgili yaptıkları çalışmada, 2012-2018 yılları arasında elde edilen 12 geçiş ışık eğrisi ile birlikte önceki çalışmalardan 71 geçiş ışık eğrisi verilerinin, geçiş ortası zamanlarını kullanarak yeni doğrusal efemerisler türetmiş ve TTV analizinde sistemde 3. cisim olasılığını güçlendiren sonuçlar elde etmişlerdir. Bununla birlikte, frekans analizi ile olası TTV’nin periyodik olma ihtimalinin belirlenen istatistiksel anlamlılık seviyesinin düşük olmasından dolayı sistemde ek cismin varlığının zayıf bir olasılık olduğunu değerlendirmişler ve daha çok gözlem için sistemin takibini önermişlerdir. TrES-3b’nin genelleştirilmiş LS periyodogramında istatistiksel olarak en anlamlı pik değerini 0.043867 çevrim/dönem (29.78 gün) bulmuşlardır. Yıldızın belirlenen dönme dönemi (27.43) bu döneme yakındır. Bu durum, daha önce \cite{2017A&A...608A..26M} tarafından manyetik etkinlik kökenli lekelerin zamanlamaya etkili olmayabileceği şeklindeki önerilerin de tartışmaya açık olduğunu göstermektedir. Zira bu dönemlilik, leke kaynaklı ışık eğrisi asimetrilerinin geçiş zamanı değişimlerine neden olmasından kaynaklanabilir. Sistem, olası TTV için defalarca çalışılmışsa da bu çalışmalar eksik, güncel olmayan veriler üzerinden farklı araştırmacıların farklı yöntemlerle yaptığı geçiş zamanı ölçümlerine dayanmaktadır. Bu ötegezegen, sistemde olası bir 3. cismin tedirginlik etkisinden kaynaklanabilecek, sıfırdan farklı bir dış merkezlilik değerine sahip olması ve {\textquotedblleft}V{\textquotedblright} şeklindeki geçiş sinyalinin bu olgunun tespitinde önemli bir avantaj oluşturacak olması nedeniyle seçilmiştir.

\section{Gözlemler ve Veri Analizi}
Bu çalışmada incelenen ötegezegenler için gözlem verileri Çukurova Üniversitesi Uzay Bilimleri ve Güneş Enerjisi Araştırma ve Uygulama Merkezi’nde (UZAYMER) konuşlandırılmış 50 cm ayna çaplı f/8 odak oranına sahip Ritchey Chretien (RC) tipi UZAYMER Teleskobu (UT50) ile alınmıştır. UZAYMER'in teknik altyapısı, astrometeorolojik ve gözlem şartları ayrıntılı olarak araştırılmıştır \citep{tjaa874400}.
Kaynaklarının UT50 gözlem bilgileri Tablo \ref{T:ut50_obs}’de gösterildiği gibidir. TTV ölçümünde UT50 geçiş gözlemi verilerine ek olarak, Tablo \ref{T:obs}’de optik sınıfı RC olan, 100 cm ayna çaplı f/10 odak oranına sahip T100\footnote{\url{https://tug.tubitak.gov.tr/tr/teleskoplar/t100}} ile  odak oranları f/8 olan 60 cm ayna çaplı IST60\footnote{\url{https://arlab.istanbul.edu.tr/arlab/front/browse_lab.html?labid=185}} ve 50 cm ayna çaplı ATA50\footnote{\url{hhttps://ata50.atauni.edu.tr/}} teleskoplarından alınan veriler sunulmuştur. Ayrıca çalışmamızda kullanın literatür, TESS ve ETD verileri de Tablo \ref{T:obs}’de verilmektedir . ETD’den alınan geçiş zamanlarından çalışmaya dahil edilenler DQ (Data Quality) değerleri 1-3 aralığında olan verilerdir.

\begin{table}
	\centering
	\caption{HAT-P-16b ve TrES-3b UT50 gözlem bilgileri.}
	\begin{tabular}{ l c c c l }
	\hline\hline
	{Ötegezegen} & {Gözlem Tarihi} & {Filtre} & {Poz Süresi (s)} & {Binning}  \\
	\hline
	HAT-P-16b & 09.11.2019 & Rc & 90 & 2x2 \\
	HAT-P-16b & 23.11.2019 & Rc & 60 & 2x2 \\
	HAT-P-16b & 18.12.2019 & Rc & 60 & 2x2 \\
	HAT-P-16b & 21.10.2020 & Rc & 60 & 2x2 \\
	TrES-3b & 17.04.2020 & Clear & 120 & 2x2 \\
	TrES-3b & 17.05.2020 & Clear & 120 & 2x2 \\
	TrES-3b & 21.05.2020 & Clear & 90 & 2x2 \\
	TrES-3b & 07.06.2020 & Clear & 90 & 2x2 \\
	TrES-3b & 24.06.2020 & Clear & 80 & 2x2 \\
	TrES-3b & 03.07.2020 & Clear & 60 & 2x2 \\
	TrES-3b & 28.07.2020 & Clear & 90 & 2x2 \\
	TrES-3b & 04.10.2020 & Clear & 90 & 2x2 \\
	TrES-3b & 21.10.2020 & Clear & 90 & 2x2 \\
	\hline\hline
	\label{T:ut50_obs}
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{TESS, ETD, IST60, T100, ATA50 ve önceki çalışmalardan alınan geçiş gözlemi verileri.}
	\begin{tabular}{ l l l }
	\hline\hline
	{Ötegezegen} & {Veri Kaynağı} & {Veri seti Sayısı}  \\
	\hline
	HAT-P-16b & ETD & 36 \\
	HAT-P-16b & ATA50 & 1 \\
	HAT-P-16b & \cite{2010ApJ...720.1118B} & 2 \\
	HAT-P-16b & \cite{2013yCat..35570030C} & 4 \\
	HAT-P-16b & TESS & 7 \\
	TrES-3b & T100 (TUG) & 2 \\
	TrES-3b & IST60 & 1 \\
	TrES-3b & ETD & 182 \\
	TrES-3b &  \cite{2013MNRAS.428..678T} & 7 \\
	TrES-3b &  \cite{Jiang_2013} & 5 \\
	TrES-3b &  \cite{2019...628A.115V}  & 1 \\
	TrES-3b &  \cite{2009ApJ...691.1145S} & 8 \\
	TrES-3b &  \cite{2010MNRAS.408.1494C} & 1 \\
	TrES-3b &  \cite{Kundurthy_2013} & 10 \\
	TrES-3b &  \cite{2013MNRAS.432..944V} & 14 \\
	TrES-3b &  \cite{2011PASJ...63..301L} & 4 \\
	TrES-3b &  \cite{Ricci_2017} & 6 \\
	TrES-3b & TESS & 36 \\
	\hline\hline
	\label{T:obs}
	\end{tabular}
\end{table}

 Geçiş tarihleri ETD’den takip edilerek gözlem planı yapılmış ve uygun hava koşullarında gözlemler gerçekleştirilmiştir. Kaynakların gözlenebilirliği ilgili web sayfasındaki gözlenebilirlik araçları\footnote{\url{ http://catserver.ing.iac.es/staralt/}} kullanılarak kontrol edilmiştir. Yapılan gözlemlerde teleskobun doğru kaynağa yöneldiğinden emin olmak için ilk alınan veri astrometry.net \citep{2009PhDT.......235L} yazılımının web sayfasına\footnote{\url{ http://nova.astrometry.net/upload}} yüklenmiş, oluşturulan yeni dosya SAOImage DS9 \citep{2000ascl.soft03002S} programında açılıp, kaynağın sağ açıklık (RA) ve dik açıklık (DEC) değerleri kontrol edilmiştir.

HAT-P-16b ve TrES-3b gözlemlerinin AstroImageJ (AIJ, \citealp{2013ascl.soft09001C}) programı kullanılarak aletsel etkilerden arındırılan (bias-dark-flat düzeltmesi),  Barycentric Julian Date (BJD-TDB) zamanına dönüştürülen, belirlenen bir grup mukayese yıldıza göre diferansiyel parlaklıkları elde edildikten sonra hava kütlesi etkisinden arındırılan ve geçiş dışı parlaklığa normalize edilerek oluşturulan geçiş ışık eğrileri EXOFAST (versiyon 1.7) \citep{2013PASP..125...83E} ile modellenmiştir.

Geçiş ışık eğrilerini modellemek üzere EXOFAST-v1'in web sürümü\footnote{\url{https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/cgi-bin/ExoFAST/nph-exofast}} kullanılarak  sisteme ilişkin parametreler (i, Teff , Fe/H, P ve e) için başlangıç değerleri ve belirsizlikleri literatürden (HAT-P-16 \citealp{2010ApJ...720.1118B}, TrES-3 için \citealp{2009ApJ...691.1145S}) alınıp, yine aynı web arayüzü ile sağlanan gözlemsel veri Nelder-Mead optimizasyon tekniğiyle \citep{1988SPIE..880..187D} uyumlandı (fit edildi) ve sonuç olarak bu parametrelerin en optimize değerleri elde edildi. Uyumlamalar sırasında kenar kararma katsayıları serbest bırakıldı, ancak filtre bilgisi girildi. Ayrıca yıldızın sıcaklığı da fit parametreleri arasında olduğundan kenar kararma katsayılarının başlangıç değerleri EXOFAST-v1 tarafından, \cite{2011A&A...529A..75C} çalışmasındaki tablolardan ilgili sıcaklık için ara değer hesabı yapılarak (interpolasyon) belirlendi. Yörünge dönemi, referans yayından çekilen değer başlangıç parametresi yapılarak uyumlanırken, ana amaç olarak belirlenmesi istenen geçiş ortası zamanı başlangıç değeri olmaksızın serbest bırakıldı. Uyumlandırmanın başarısı indirgenmiş ki-kare istatistiği ve RMS (Root Mean Square) bağlamında değerlendirilirken, bulunan parametrelerin ve geçiş ortası zamanının "doğruluğu" ise geçiş süresi ve geçiş derinliğinin literatürle uyumu bağlamında değerlendirildi. Ayrıca EXOFAST sonuç dosyasından elde edilen parametrelerin Microsoft Excel programında  ağırlıklı ortalama ve standart sapmalarının hesaplanmasıyla sistem parametreleri belirlenmiştir. Elde edilen kütle, yarıçap ve yörünge eğimi gibi sistem parametreleri incelenen sistemin keşif makalesindeki (\citealp{2010ApJ...720.1118B, 2007ApJ...663L..37O}) değerlerle karşılaştırılmıştır (Tablo \ref{T:both_res}).
Veriler EXOFAST-v1 ile modellendikten sonra, geçiş ortası zamanları ve belirsizlikleri elde edildi (Aladağ 2021). Gözlenen bu geçiş zamanları (O) ile referans efemeris parametreleri ($T_0$ ve P) kullanılarak hesaplanan geçiş ortası zamanları (C) arasındaki farklar (O-C) hesaplandı. Bu farklara \textbf{\textit{emcee}} paketi fonksiyonlarına \citep{2013PASP..125..306F} dayanan bir Python kodu ile birer doğru ve parabol uyumlaması yapıldı. Uyumlamlanan fonksiyonların katsayıları, en küçük kareler yöntemiyle yapılan uyumlamalardan elde edilen en iyi değerleri merkez, parametre hatalarını ise standart sapma olarak kabul eden normal dağılımlardan rastgele seçildi. Bu seçim için 50 rastgele yürüyüşün (random walk) 5000 adım boyunca parametre uzayını taramasıyla her bir parametre setinin ardıl olasılık dağılımları hesaplandı. Bu dağılımların medyan (ortanca) değeri uyumlanan fonksiyonun ilgili katsayısının değeri, \%16 ve \%84 yüzdelik değerleri ise belirsizliklerinin alt ve üst limitleri olarak belirlendi.
O-C değerlerinin çevrime karşı çizdirilmesiyle elde edilen TTV diyagramlarındaki olası dönemlilikleri araştırmak üzere Lomb-Scargle (LS) periyodogramları  kullanıldı. Bu amaçla \textit{astropy} \citep{2018zndo...2556700T} paketinin LS modülü \citep{2018ApJS..236...16V} kullanıldı.

UT50, IST60, T100, ATA50 teleskoplarından ve TESS uydusundan alınan geçiş gözlemi verilerinin analizleri ile birlikte bu analizlerin sonuçları verilmiştir. Geçiş ışık eğrileri modelleri ile birlikte çizdirilmiştir. Sistem parametreleri, geçiş ışık eğrilerinin modellenmesiyle elde edilen parametrelerin ağırlıklı ortalaması alınarak hesaplanmıştır ve önceki çalışmalardaki değerleri ile karşılaştırmalı olarak sunulmuştur.

\subsection{HAT-P-16b Ötegezegeninin Geçiş Işık Eğrileri}
HAT-P-16b ötegezegeninin geçiş ışık eğrileri yörünge dönemine evrelendirilerek Şekil \ref{F:h16}'de verilmiştir. TESS gözlem verileri 120 s poz süresinde 8 Ekim 2019 tarihinde alınmaya başlanmıştır. Web sayfasından\footnote{\url{https://exo.mast.stsci.edu/}.} indirilen, TESS yazılımı tarafından (pipeline) kırmızı gürültüden arındırılmış ışık eğrileri (dvt uzantılı dosyalardaki LC-DETREND sütunundaki akılar) yaklaşık 27 günlük gözlemleri içermektedir (Sektör-17). Geçiş öncesini ve geçiş sonrasını içerecek şekilde evre aralığı seçilerek oluşturulan ışık eğrileri Şekil \ref{F:htesss}'de verilmiştir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/hatp16-UT-LC.png}
		\caption{HAT-P-16b’nin UT50 geçiş gözlemleriyle elde edilen ışık eğrileri, hataları, modelleri ve artıkları. Hepsinde geçiş dışı göreli akı 1'e normalizedir. Orjinal veriler ve artıkları kırmızı, modeller mavi renk ile gösterilmiştir.}
		\label{F:h16}
	\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/hatp-tess.png}
		\caption{HAT-P-16b’nin TESS ışık eğrileri, hataları, modelleri ve artıkları (Sektör 17). Hepsinde geçiş dışı göreli akı 1'e normalizedir. Orjinal veriler ve artıkları kırmızı, modeller mavi renk ile gösterilmiştir.}
		\label{F:htesss}
	\end{center}
\end{figure}

\subsection{TrES-3b Ötegezegeninin Geçiş Işık Eğrileri}
TrES-3b ötegezegeninin UT50 geçiş ışık eğrileri yörünge dönemine evrelendirilerek Şekil \ref{F:tress}'te verilmiştir. TESS gözlem verileri 120 s poz süresinde Sektör-25’ten 14 Mayıs 2020 tarihinde, Sektör-26’dan 9 Haziran 2020 tarihinde alınmaya başlanmıştır. Geçiş öncesini ve geçiş sonrasını içerecek şekilde evre aralığı seçilerek oluşturulan ışık eğrileri (Şekil \ref{F:TTESS25}) her sektör için 18 geçiş olmak üzere toplam 36 geçiş içermektedir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/tres3_UT50.png}
		\caption{TrES-3b’nin UT50 geçiş ışık eğrileri, hataları, modelleri ve artıkları. Hepsinde geçiş dışı göreli akı 1'e normalizedir. Orjinal veriler ve artıkları kırmızı, modeller mavi renk ile gösterilmiştir.}
		\label{F:tress}
	\end{center}
\end{figure}

\begin{figure*}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\textwidth]{images/TrES-TESSS.png}
	         \caption{TrES-3b’nin TESS ışık eğrileri, hataları, modelleri ve artıkları. Işık eğrileri 3 lü paneller olarak sırasıyla sol (Sektör 25) ve sağ (sektör 26) gösterilmiştir. Tüm eğrilerde geçiş dışı göreli akı 1'e normalizedir. Orjinal veriler ve artıkları kırmızı, modeller mavi renk ile gösterilmiştir.}
		\label{F:TTESS25}
	\end{center}
\end{figure*}

\subsection{HAT-P-16 ve TrES-3 Sistemlerinin Parametreleri}
UT50, T100, IST60 ve ATA50 ile yapılan geçiş gözlemi verileri ile birlikte TESS uydusundan sağlanan verilerin temel analiz adımlarından sonra elde edilen ışık eğrileri EXOFAST ile modellenmiştir \citep{2013PASP..125...83E}. Modellenen verilerden belirlenen sistem parametrelerinin ağırlıklı ortalamaları ve standart sapmaları Excel programında hesaplanarak sistem parametreleri güncellenmiştir. Her iki kaynağın geçiş ışık eğrilerinden elde edilen yıldız ve gezegen parametreleri, önceki çalışmalarda belirlenen parametrelerin hata sınırları içerisinde yer almaktadır. Tablo \ref{T:both_res}’te HAT-P-16b ve TrES-3b sistem parametrelerinin çalışmamızdan elde edilen değerleri ve literatürde verilen değerleri gösterilmektedir. EXOFAST modellemesinde gezegen kütlesi hesaplanmadığı için, hesaplamalarda (\ref{eq1}) denkleminde kütle oranı q değeri;

\begin{equation}
    \begin{split}
    q & = \frac{M_*}{M_P}
    \end{split}
    \label{eq1}
\end{equation}

olarak değişmez kabul edilmiştir. q’yu hesaplamada HAT-P-16 ve TrES-3 sistemleri için sırasıyla \cite{2010ApJ...720.1118B} ve \cite{2008IAUS..249..261S} çalışmalarındaki parametreler referans alınmıştır. q hesapladıktan sonra bu çalışmada hesaplanan yıldız kütlesi (\ref{eq1}) denkleminde yerine yazılarak ötegezegen kütlesi ve (\ref{eq2}) denklemi \citep{1992drea.book.....B} ile hatası hesaplanmıştır.
$a = b.c$ ya da  $a = \frac {b}{c}$ ise hata;
\begin{equation}
    \begin{split}
  (\frac {\Delta a} {a})^2 & = (\frac{\Delta b} {b})^2 + (\frac {\Delta c} {c})^2
    \end{split}
    \label{eq2}
\end{equation}
ile hesaplanır.
\begin{table*}
	\caption{HAT-P-16 ve TrES-3 sistem parametrelerinin bu çalışma ve önceki çalışmalardaki değerleri. Kütleçekim odaklama parametresi olarak tanımlanan Safronov sayısı (\ref{eq3}) denklemi ve hatası (\ref{eq2}) ile hesaplanmıştır.}
	\begin{tabular}{lllllll}

	\hline\hline
	{Parametre} & {Birimi} & \multicolumn{2}{c}{HAT-P-16} & &  \multicolumn{2}{c}{TrES-3} \\
	\cline{3-4} \cline{6-7} \\
    &	& {Bu Çalışma} & {\cite{2010ApJ...720.1118B}} & & {Bu Çalışma} & {\cite{2007ApJ...663L..37O}} \\
	\hline
    $a/R_*$ 	&	 - 	&	 7.192$\pm$0.002 	&	 7.17$\pm$ 0.28	& &	 6.066$\pm$0.490 	&	 6.06$\pm$0.10 \\
    Etki parametresi ($b$) 	&	 -	&	 0.1002$\pm$0.1533 	&	 0.439$\pm$0.065	& &	 0.789$\pm$0.070 	&	 0.828$\pm$0.010\\
    Delta (geçiş derinliği) 	&	 - 	&	 0.012$\pm$0.002 	& 	 - 	& &	 0.0276$\pm$0.0053 	&	 - \\
    Yıldız yoğunluğu ($\rho$) 	&	 cgs 	&	 0.9141$\pm$0.0007	&	 2.42$\pm$ 0.35	& &	 2.523$\pm$0.667 	&	2.30$\pm$ 0.06$^c$ \\
    Demir bolluğu [Fe/H] 	&	 dex 	&	 0.165$\pm$0.006 	&	 0.17$\pm$0.08	& &	 -0.190$\pm$0.001 	&	-0.19$\pm$0.08$^c$ \\
    Dış merkezlik($e$) 	&	 - 	&	 0.079$\pm$0.027 	&	 0.036$\pm$0.004	& &	 0.0016$\pm$0.0092 	&	 - \\
    Eğim (i) 	&	 Derece 	&	 89.19$\pm$1.21 	&	 86.6$\pm$0.7	& &	 82.28$\pm$1.06 	&	 82.15$\pm$0.21 \\
    Periyod ($P$) 	&	 Gün 	&	 2.7760 Sabit 	&	 2.7760$\pm$3.$10^{-6}$	& &	 1.3062 Sabit 	&	 1.3062$\pm$1.10$^{-5}$ \\
    Yarı-büyük eksen ($a$)	&	 AU 	&	 0.0412$\pm$2.$10^{-5}$ 	&	 0.0413$\pm$ 0.0004	& &	 0.0229$\pm$4.10$^{-5}$ 	&	 0.0226$\pm$ 0.0013 \\
    Yarıçap ($R_p$) 	&	 $R_J$ 	&	 1.31$\pm$0.11 	&	 1.29$\pm$0.07	& &	 1.32$\pm$0.17 	&	 1.30$\pm$0.08 \\
    Kütle ($M_p$) 	&	 $M_J$ 	&	 $4.172^a\pm0.163^b$ 	&	 4.193$\pm$0.094	& &	 1.959$^a\pm0.111^b$ 	&	 1.920$\pm$0.23 \\
    Denge sıcaklığı($T_{eq}$) 	&	Kelvin 	&	 1625$\pm$3	&	 1626$\pm$40	& &	 1626$\pm$61 	&	 1623$\pm$26$^d$ \\
    Safronov sayısı ($\Theta$) 	&	 - 	&	 0.221$\pm$0.011 	&	 0.220$\pm$0.011	& &	 0.073$\pm$0.058 &	 0.038$\pm$0.003$^d$ \\
	\hline\hline
	\label{T:both_res}
	\end{tabular}
	\\ \footnotesize{$^a$ ve $^b$ ile gösterilen parametreler (\ref{eq1}) ve (\ref{eq2}) denklemleri ile hesaplanmıştır. Hata yerine hataların standart sapması kullanılmıştır.\\ $^c$ ve $^d$ ile gösterilen parametreler sırasıyla \cite{2009ApJ...691.1145S} ve \cite{2008ApJ...677.1324T}'nın  çalışmalarından alınmıştır. }
\end{table*}

\begin{equation}
    \begin{split}
    \Theta & = (\frac {1} {2})(\frac {v_k} {v_y})^2 = \frac {a M_P} {R_P M_*}
    \end{split}
    \label{eq3}
\end{equation}

Burada, $v_k$; kaçış hızı ve $v_y$; yörünge hızını ifade eder. Denklem (\ref{eq3})'ten Safronov sayısı HAT-P-16b ve TrES-3b için sırasıyla 0.22115 ve 0.07338 olarak hesaplanmıştır.

Ağırlıklı ortalamalardan hesaplanan parametre değerleri, (\ref{eq1}) denkleminden elde edilen $M_P$, HAT-P-16b için \cite{2010ApJ...720.1118B} çalışması, TrES-3b için \cite{2007ApJ...663L..37O} çalışmasında belirtilen değerler ile uyumludur.
{\textquotedblleft}Foton gürültüsü{\textquotedblright}  ya da {\textquotedblleft}Johnson gürültüsü{\textquotedblright}  olarak da adlandırılan beyaz gürültü, CCD’nin algılama empedansının neden olduğu termal gürültüdür \citep{6109069}. Fotometri gürültü oranı (PNR) ile sayısallaştırılan beyaz gürültünün, ışık eğrisinin kalitesini değerlendirmek için hesaplanması gerekir. Bunun yanı sıra model parametreleri gezegen-yıldız yarıçap oranı ve yörünge eğimi, PNR değeri büyüdükçe olumsuz etkilenir. \cite{Fulton_2011} bu gürültüyü şu şekilde tanımlanmıştır:

\begin{equation}
    \begin{split}
    PNR & = \frac {rms} {\surd \tau}
    \end{split}
    \label{eq4}
\end{equation}

Burada rms, ışık eğrisi artıklarının standart sapması olup dakika başına ortalama pozlama sayısıdır (okuma süresi dâhil), $\tau$ (tau) parametresi ise geçişin başlama zamanın bitiş zamanına bölümünü ifade eder. Bu çalışmada PNR Microsoft Excel programında denklem (\ref{eq4}) ile hesaplanmıştır.
Beta parametresi ile tanımlanan kırmızı gürültü, atmosferik koşullar, hava kütlesi, astrofizik kaynaklı yıldız değişkenliği ve teleskop takibi gibi sistematik hataların neden olduğu gürültüdür. Kırmızı gürültü geçiş derinliğini (dolayısıyla yıldız-gezegen yarıçap oranını) etkiler. Kırmızı gürültü;

\begin{equation}
    \begin{split}
    \beta & = \frac {\sigma _r} {\sigma _N}
    \end{split}
    \label{eq5}
\end{equation}

formülü ile hesaplanır \citep{2008ApJ...675.1531W}. Burada $\sigma_r$, artıkların N noktasının M bin’e ortalaması alınarak ve binlenmiş artıkların standart sapmasının hesaplanmasıyla elde edilir. $\sigma_N$ beklenen standart sapmadır. Kırmızı gürültünün yokluğunda $\beta=1$ olduğundan, hemen hemen tüm geçişlerde beyaz gürültü baskın olur \citep{2015MNRAS.446.1389P}. Bu çalışmada $\beta$ değerleri Python programında yazılan kodlar ile hesaplanmıştır. Geçiş ışık eğrilerinin kalitesinin değerlendirilmesinde $\beta$ değeri 2.5 üzerinde olan veriler çalışmadan çıkarılmıştır.

\section{Sonuçlar ve Öneriler}
Bu çalışmada HAT-P-16b ve TrES-3b ötegezegenlerinin TTV yöntemi ile incelenmesi amaçlanmıştır. Bunun için UT50, T100, IST60 ve ATA50 teleskoplarından alınan geçiş verileri ile birlikte, ETD, TESS ve literatür verileri AIJ programı ile düzenlendikten sonra EXOFAST ile modellenmiştir. Sistem parametreleri hesaplanırken geçiş ışık eğrisi verilerinin ağırlıklı ortalaması kullanılmıştır. Denklem (\ref{eq3}) kullanılarak elde edilen Safronov sayısı, HAT-P-16b için 0.22115 ve TrES-3b için 0.07338 olarak hesaplanmıştır. TrES-3b için hesaplanan bu değer, \cite{2007ApJ...671..861H} tarafından önerilen sınıflamaya göre I. Safronov sınıfını işaret etmekte, HAT-P-16b ise her iki sınıflamaya da girmemektedir. Şekil \ref{F:ytep}.’da  1 Şubat 2021 tarihinde alınan TEPcat\footnote{\url{https://www.astro.keele.ac.uk/jkt/tepcat/}} verilerinden oluşturulan kütle-yarıçap dağılım grafiği gösterilmiştir. Benzer şekilde, \cite{2012MNRAS.426.1291S} çalışmasında ötegezegenlerin Safronov numaralarına göre iki sınıfa ayrılmasının için belirleyici olmadığını göstermiştir. Dahası, \cite{2009A&A...504..605F}’nın oluşturdukları modeller Safronov sayılarının sürekli bir dağılıma sahip olduğunu göstererek bu bulguları desteklemektedir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/tepcat-new.png}
		\caption{TEPcat verilerinden oluşturulmuş kütle-yarıçap dağılımı}
		\label{F:ytep}
	\end{center}
\end{figure}

TTV analizleri sonrasında O-C grafikleri elde edilmiştir. O-C hesaplarında, HAT-P-16b’nin $T_0$ değeri ($T_0$=2456204.604209$\pm$0.000318) \cite{2013yCat..35570030C} çalışmasından ve dönemi ETD'den (P=2.77596), TrES-3b’nin $T_0$ değeri ve dönemi ($T_0$=2454552.948971$\pm$0.000147, P=1.30618581$\pm$0.00000051) \cite{2009ApJ...691.1145S} çalışmasından referans olarak alınmıştır. Şekil \ref{F:hoc}’de HAT-P-16b’nin ve Şekil \ref{F:toc}’de TrES-3b’nin TTV grafikleri verilmiştir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/hatp16_ttv2-new.png}
		\caption{HAT-P-16b'nin 54 geçiş ortası zamanı kullanılarak elde edilen TTV grafiği (üst panel) ve lineer modelden (kırmızı doğru ve belirsizliği gri taralı alan ile gösterilmiştir) artıklar (alt panel)}
		\label{F:hoc}
	\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/tres3_ttv2-new.png}
		\caption{TrES-3b'nin 285 geçiş ortası zamanı kullanılarak elde edilen TTV grafiği (üst panel) ve lineer modelden (kırmızı doğru ve belirsizliği gri taralı alan ile gösterilmiştir) artıklar (alt panel).}
		\label{F:toc}
	\end{center}
\end{figure}

O-C analizlerinden elde edilen TTV grafiklerine lineer fit uygulanmış, $T_0$ ve P düzeltmesi yapılmıştır. HAT-P-16b‘nin yeni efemerisi;
$T_0$=2456204.604148$\pm$0.000069 ; P=2.77596735$\pm$0.00000011 ve
TrES-3b‘nin yeni efemerisi;
$T_0$=2454552.949831$\pm$0.00107; P=1.30618581$\pm$0.00000051 olarak güncellenmiştir.
Tablo \ref{T:5}'te HAT-P-16b'nin, Tablo \ref{T:6}'te TrES-3b'nin geçiş ortası zamanları ve O-C değerleri gösterilmiştir. Veri seti sayısı çok olduğu için tablolarda Türkiye'de yapılan geçiş gözlemi verileri ve TESS verilerine yer verilmiştir. Çalışmada kullanılan tüm veri setlerinin $T_0$ ve O-C değerleri \cite{Aladag2021} çalışmasında verilmiştir.

\begin{table}
    \begin{center}
	\caption{HAT-P-16b geçiş ortası zamanları ve O-C değerleri (Tabloda UT50, ATA50 ve TESS verilerine yer verilmiştir)}
	\begin{tabular}{lccr}
	\hline\hline
	\centering
	{Teleskop} & {$T_0$} & {$T_0$ err} & {O-C} \\
	\hline
	UT50 & 2458797.358617 & 0.001027 & 0.00096642 \\
    UT50 & 2458811.243992 & 0.001467 & 0.00650461 \\
    UT50 & 2458836.226094 & 0.001233 & 0.00490035 \\
    UT50 & 2459144.346886 & 0.000759 & -0.00668483 \\
    ATA50 & 2459130.474612 & 0.000521 & 0.00087798 \\
    TESS & 2458766.821569 & 0.000287 & -0.00044060 \\
    TESS & 2458769.598131 & 0.000263 & 0.00015404 \\
    TESS & 2458772.373761 & 0.000279 & -0.00018332 \\
    TESS & 2458777.925386 & 0.000288 & -0.00049305 \\
    TESS & 2458780.702133 & 0.000263 & 0.00028659 \\
    TESS & 2458783.477647 & 0.000266 & -0.00016677 \\
    TESS & 2458786.254065 & 0.000263 & 0.00028387 \\
	\hline\hline
	\label{T:5}
	\end{tabular}
	\end{center}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{TrES-3b geçiş ortası zamanları ve O-C değerleri (Tabloda UT50, T100, IST60 ve TESS verilerine yer verilmiştir)}
	\begin{tabular}{ l c c r }
	\hline\hline
	{Teleskop} &\ {$T_0$} &\ {$T_0$ err} &\ {O-C} \\
	\hline
	UT50 & 2458790.226088 & 0.001233 & 0.00096642 \\
    UT50 & 2458957.409090 & 0.000922 & 0.00650461 \\
    UT50 & 2458987.449195 & 0.000684 & 0.00490035 \\
    UT50 & 2458991.366991 & 0.000806 & -0.00668483 \\
    UT50 & 2459008.348329 & 0.000989 & 0.00096642 \\
    UT50 & 2459025.333177 & 0.000578 & 0.00650461 \\
    UT50 & 2459034.475602 & 0.000507 & 0.00490035 \\
    UT50 & 2459059.294972 & 0.000735 & -0.00668483 \\
    UT50 & 2459127.214106 & 0.000514 & 0.00096642 \\
    UT50 & 2459144.192784 & 0.000684 & 0.00650461 \\
    T100 & 2459017.494626 & 0.000226 & 0.00490035 \\
    T100 & 2459064.518055 & 0.000348 & -0.00668483 \\
    IST60 & 2459106.315072 & 0.000576 & 0.00087798 \\
    TESS & 2458984.839284 & 0.000404 & 0.00000052 \\
    TESS & 2458986.145895 & 0.000512 & -0.00174075 \\
    TESS & 2458987.452491 & 0.000491 & -0.00021302 \\
    TESS & 2458988.758491 & 0.000474 & 0.00043270 \\
    TESS & 2458990.064886 & 0.000388 & -0.00061657 \\
    TESS & 2458991.370023 & 0.000558 & 0.00003288 \\
    TESS & 2458992.677261 & 0.000433 & 0.00043861 \\
    TESS & 2458993.983045 & 0.000654 & 0.00052506 \\
    TESS & 2458995.289637 & 0.000406 & -0.00073321 \\
    TESS & 2458997.902096 & 0.000413 & 0.00058051 \\
    TESS & 2458999.207024 & 0.000634 & -0.00110576 \\
    TESS & 2459000.514524 & 0.000444 & -0.00065403 \\
    TESS & 2459001.819024 & 0.000403 & -0.00021531 \\
    TESS & 2459003.125662 & 0.000468 & -0.00087358 \\
    TESS & 2459004.432287 & 0.000423 & 0.00001615 \\
    TESS & 2459005.737815 & 0.000447 & -0.00273213 \\
    TESS & 2459007.044891 & 0.000557 & -0.00016513 \\
    TESS & 2459008.350896 & 0.000450 & 0.00017505 \\
    TESS & 2459010.964055 & 0.000470 & 0.00114978 \\
    TESS & 2459012.269795 & 0.000455 & 0.00028650 \\
    TESS & 2459013.576956 & 0.000397 & 0.00015523 \\
    TESS & 2459014.882279 & 0.000539 & 0.00026096 \\
    TESS & 2459016.188334 & 0.000510 & 0.00019296 \\
    TESS & 2459017.494558 & 0.000409 & 0.00104041 \\
    TESS & 2459018.800075 & 0.004290 & 0.00027113 \\
    TESS & 2459020.107778 & 0.000605 & -0.00023841 \\
    TESS & 2459021.413195 & 0.000418 & 0.00169431 \\
    TESS & 2459024.025058 & 0.000394 & 0.00053031 \\
    TESS & 2459025.332013 & 0.000454 & -0.00035823 \\
    TESS & 2459026.637203 & 0.000465 & -0.00019251 \\
    TESS & 2459027.943497 & 0.000424 & 0.00005422 \\
    TESS & 2459029.249849 & 0.000413 & -0.00031205 \\
    TESS & 2459030.556282 & 0.000400 & -0.00065333 \\
    TESS & 2459031.862102 & 0.000496 & 0.00081540 \\
    TESS & 2459033.167947 & 0.000437 & 0.00004240 \\
    TESS & 2459034.474829 & 0.000579 & -0.00043142 \\
	\hline\hline
	\label{T:6}
	\end{tabular}
\end{table}

HAT-P-16b’nin frekans analizinde 54 veri setinden oluşturulan O-C artıkları kullanılarak LS periyodogramı elde edilmiştir. Şekil \ref{F:httv}’da HAT-P-16b’nin LS periyodogramı gösterilmiştir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/hatp16_LS.png}
		\caption{HAT-P-16b’nin LS periyodogramı.}
		\label{F:httv}
	\end{center}
\end{figure}

HAT-P-16b’nin frekans analizinde bulunan 64.63 günlük dönem, FAP değeri çok yüksek (\% 99.6) olduğundan istatistiksel olarak anlamlı değildir. Önceki çalışmalarda da belirgin TTV bulgusuna rastlanılmamıştır. Bu kaynak ile ilgili dönem değişiminin izlenebilmesi için daha fazla veriye ihtiyaç vardır.

TrES-3b’nin frekans analizinde 285 veri setinden oluşturulan O-C artıkları kullanılarak LS periyodogramı elde edilmiştir. Şekil \ref{F:tttv}’da TrES-3b’nin LS periyodogramı gösterilmiştir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/Tres_LS.png}
		\caption{TrES-3b’nin LS periyodogramı.}
		\label{F:tttv}
	\end{center}
\end{figure}

TrES-3b'nin frekans analizinde elde edilen LS periyodogramı sonucunda 32.38 günlük bir baskın dönem (FAP=\% 3.41) ve 41.07 günlük ikincil dönem (FAP=\% 1.88) tespit edilmiştir. Şekil \ref{F:evre}’de her iki döneme göre evrelendirilmiş O-C grafiği verilmiştir.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{images/ETV-PHASE.png}
		\caption{Bu çalışmada elde edilen birincil (32.38 gün) ve ikincil (41.07 gün) döneme göre evrelendirilmiş O-C grafiği (noktaların rengi sahip oldukları hatanın büyüklüğüne göre mavi ile kırmızı arasında değişmektedir).}
		\label{F:evre}
	\end{center}
\end{figure}

Bu iki dönemden ilki \cite{2020AJ....160...47M} çalışmasında verilen 29.78 günlük değişime çok yakın olup bu değişim olası lekenin dönme modülasyonundan kaynaklı olduğuna işaret etmektedir. Bu değişim, soğuk yıldız lekelerinin geçiş ışık eğrisinde oluşturdukları asimetrilerden dolayı geçiş ortası zamanının doğru belirlenememesine neden olabilir.
Barınak yıldız kabaca Güneş benzeri (T=5720$\pm$150 K) ve 3 milyar yıl yaşında bir anakol yıldızıdır \citep{2007ApJ...663L..37O}. Bu tür yıldızlarda manyetik aktivitenin neden olduğu böyle bir dönme döneminin beklendiği farklı çalışmalarda sunulmuştur \citep{2010A&A...512A..38L}. Leke sinyali, geçiş eğrileri üzerinde görülmese de neden oldukları asimetriler bu dönemi doğurmuş olabilir. Bunun bir üçüncü bileşen kaynaklı sinyal olduğunu iddia etmek için elimizde yeterince veri bulunmamaktadır.

Çift yıldızların dönem değişimi çalışmalarından bilindiği; \cite{2013ApJS..208...16M, 2018A&A...615A..79V} çalışmalarında da görüldüğü üzere O-C bulguları; veri kalitesi, veri sayısı ve minimum zamanı belirleme yöntemine çok bağlıdır. \cite{2020AJ....160...47M} çalışmasında verilerin bir kısmını yeniden modellemeden, yayınlanmış başka çalışmalardan aldıkları $T_0$ değerlerini kullandıkları için \% 26 FAP'la ${\sim}$30 gün civarında dönemlilik bulmuşlardır. Bizim bu dönemliliği TESS verisi kullanarak ve tüm verileri yeniden modelleyerek ${\sim}$32 gün civarında ve ${\sim}$\% 4 FAP'la bulmuş olmamız önemli bir bulgudur.

Şekil \ref{F:evre}’de kullanılan verilerin gözlem hassasiyeti gereği saçılması çok olduğundan bu dönemlere göre evrelendirilmiş grafiklerde değişim çok belirgin görülmemektedir. Ancak birinci dönem (32.38 gün) değişimin yıldızın dönmesi kaynaklı olduğunu düşünmekteyiz. Bunun nedeni, \cite{2013MNRAS.432..944V} çalışmalarında bu yıldızın dönme dönemi ${\sim}$28 gün olarak belirlenmiştir. İkincisi (41.07 gün) hakkında yorum yapmak için henüz erkendir ve sinyal istatistiksel olarak yeterince anlamlı değildir. FAP=\%1.88 değeri, istatistiksel olarak daha anlamlı olan 32.38 günlük dönemlilik çıkarılmadan hesaplandığı için yanıltıcı olmamalıdır. Her iki dönemlilikten de emin olmak için daha çok veriye ihtiyaç vardır. TrES-3 Haziran ve Temmuz 2021 döneminde TESS tarafından tekrar gözlenecektir ve bu süre içerisinde toplanacak verilerle birlikte sistem incelediğinde bu dönemlilikler konusunda daha anlamlı yorumlar yapılabilir.

\section{Teşekkür}
Bu çalışmada kullanılan Python kodları Doç. Dr. Özgür Baştürk yürütücülüğündeki 118F042 numara ve ''Zamanlama Yöntemiyle Ötegezegen Keşfi'' başlıklı TÜBİTAK 1001 projesi kapsamında geliştirilmiştir. Kendisine bu kodları kullanıma açtığı için teşekkür ederiz. 16BT100-1034 ve 17BT100-1196 numaralı gözlem projeleri kapsamında T100'ün kullanımına izin veren TÜBİTAK'a teşekkür ederiz. ATA50 teleskobu Atatürk Üniversitesi (P.No. BAP-2010/40), CCD kamera ise Erciyes Üniversitesi (P.No. FBA-11-3283) Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinatörlüğü Birimi (BAP) tarafından finanse edilmiştir. ATA50'nin kullanımına izin veren Atatürk Üniversitesi Astrofizik Araştırma ve Uygulama Merkezine (ATASAM) teşekkür ederiz. İST60 Teleskobu Türkiye Cumhuriyeti Cumhurbaşkanlığı Strateji ve Bütçe Başkanlığı’nın 2016K12137 numaralı, İstanbul Üniversitesi’nin BAP-3685 ve FBG-2017-23943 numaralı projeleri tarafından desteklenmiştir. İST60'ın kullanımına izin veren Istanbul Üniversitesi Gözlemevi Uygulama ve Arastırma Merkezine (İUGUAM) teşekkür ederiz. UZAYMER'e CCD sağlanmasındaki desteği için TÜBİTAK Ulusal Gözlemevi'ne teşekkür ederiz.

\bibliographystyle{tjaa}

Abstract: In this study, the transit observations of HAT-P-16b and TrES-3b exoplanets
were carried out at \c{C}\"U UZAYMER Observatory with a 50 cm Ritchey Chretien
type telescope. By analyzing the light curves of both exoplanets, system
parameters have been obtained with acceptable models. Some of these parameters
for HAT-P-16 systems were found to be: M$_{P}$=4.172$\pm$0.163 M$_{J}$,
R$_{P}$=1.309$\pm$0.111 R$_{J}$, a/R$_{*}$=7.1922$\pm$0.0017 and
b=0.1003$\pm$0.1533 which are consistent with the values given in
\cite{2010ApJ...720.1118B}. Also, for the TrES-3 system, the same parameters
were calculated as M$_{P}$=1.959$\pm$0.111 M$_{J}$, R$_{P}$=1.320$\pm$0.169
R$_{J}$, a/R$_{*}$=6.0656$\pm$ 0.4899 and b=0.7892$\pm$0.0700. These values are
also consistent with the values given in \cite{2007ApJ...663L..37O}. No
significant Transit Timing Variations (TTV) was found as a result of the
Lomb-Scargle (LS) periodogram for HAT-P-16b by using the transit times obtained
from the transit light curves (False Alarm Probabilities -- FAP) = \%96).
However, a significant periodicity was found at 32.38 days and a secondary
periodicity was found at 41.07 days were determined as a result of the LS
periodogram obtained from the TrES-3b data. We interpret that these periods
with FAP of 3.41 \% and 1.88 \%, respectively, are close to the rotation period
of the host star. Therefore, these periods could be due to the modulation of
spot-induced light variations.