\section*{Вступ}

Досить часто з тих чи інших даних необхідно отримати феноменологічні параметри екстремуму, аби потім їх використовувати для подальшого фізичного аналізу процесу. Й зазвичай найнеобхідніші параметри – це момент та величина цього екстремуму, іноді, уся апроксимація, з відповідними оцінками точності (стандартними похибками).

Ці параметри використовують переважно для дослідження змін періодів затемнюваних подвійних систем та пульсуючих зір  [1-4]. Крейнер та ін. [5] опублікували 6-томну монографію, у якій зібрано 91\,798 моментів мінімумів 1\,138 затемнюваних систем. Чінарова та Андронов [6] визначили 6553 моменти екстремумів для 173 напівправильних зір та опублікували каталог цих та інших характеристик.

У подальшому, такі компіляції публікують на сайтах [7-9] та додатково у окремих статтях (напр. у журналі ``Open European Journal on Variable Stars'' [10])  по мірі накопичення даних. У Американській асоціації спостерігачів змінних зір AAVSO використовують скорочення ToM (`'time of minimum''). Втім, для пульсуючих зір визначають переважно моменти максимумів та не завжди моменти мінімумів, тому правильно було б розшифровувати скорочення ToM також і як (`'time of maximum'').

Історично, до одних з найперших методів відносять графічний метод Пікерінга, коли апроксимацію на міліметровці проводили ``від руки'', ''на око'', а потім проводили на різних рівнях горізонтальні лінії, визначали середини хорд та проводили через них пряму до перетину із апроксимацією. Із розвитком обчислювальної техніки (починаючи із арифмометрів), стали застосовувати апроксимацію параболою (чи, для асиметричних кривих, поліномом третього ступеня). Втім, найбільш популярним методом для (теоретично) симетричних кривих, став метод Кві та ван дер Воердена [11]. Оскільки відповідна тест-функція має багато локальних мінімумів, оцінка точності суттєво занижена, відповідно, вага такого значення неадекватно завищена.

 Андронов [12] використовував не лише поліноми ступеня, що забезпечує найкращу точність визначення моменту, а й поліноміальні сплайни. Апроксимація поліномами оптимального ступеня була реалізована різними авторами (напр., [6, 12, 13].

Сплайни із змінним ступенем були запропоновані [13], які виправляли проблему ''нефізичних'' хвиль на апроксимаціях поліномами. Огляди існуючих методів приведені [15-18].

Для зручності використання різних методів у одній програмі, було створено комп'ютерну програму MAVKA, у яку поступово додавалися різноманітні функції [19-21].

У цій статті, наведено порівняння двох базисних функцій: «асимптотична парабола» (запропонована [14]) та параболічний сплайн дефекту 1.
Обидва методи поділяють наведений інтервал поблизу екстремуму на три частини. Кожен з підінтервалів апроксимується власною функцією, що дозволяє зменшити похибки результатів та краще описати спостереження, врахувати асиметричність чи інші особливості.

Проведено аналіз впливу ширини інтервалу даних (лише екстремуму або й позаекстремальної частини) та асиметрії його меж на якість апроксимації та відповідні похибку визначених характеристик екстремуму. Для цього, обидва методи були застосовані до набору згенерованих даних з нормальним розподілом шуму.
Також  методи було проілюстровано застосуванням до реальних спостереженнях змінної пульсуючої зорі Z UMa із міжнародної бази даних AFOEV [22] із використанням методу статистичного самотворення (bootstrap), та проведено аналіз спостережень цієї зорі методами періодограмного та шкалограмного аналізу.

\section{Опис методів}

\subsection{Асимптотична парабола (Asymptotic Parabola, AP)}

	Цей метод був вперше запропонований у роботі В. І. Марсакової та І. Л. Андронова [14, 16] та показав свою ефективність при визначенні моментів екстремумів блиску змінних зір різних типів. Апроксимація складається з двох прямих ліній «асимптот», які з’єднані параболою між ними. При цьому, сама функція та її перша похідна неперервні. Попередній досвід використання цього методу показав, що цей метод є одним із найкращих для асиметричних максимумів пульсуючих зір.

Точки переходу від прямих на параболу $C_4$ та $C_5$.
\begin{equation}
x_c (t)=\left\{
\begin{array}{ll}
C_1+C_2 (-2 v-D)D+C_3 v,&~~ t < C_4,\\
C_1+C_2 v^2+C_3 v,&~~C_4\le t \le C_5,\\
C_1+C_2 (2 v-D)D+C_3 v,& ~~t > C_5,
\end{array}
\right.
\end{equation}
де $D=(C_5-C_4)/2$, $v=t-(C_5+C_4)/2$.

Із характерного вигляду функції зрозуміло, що дані, які будуть найефективнішими для такого наближення, будуть охоплювати не лише вузький інтервал біля екстремуму (який асимптотично буде співпадати із параболою), а й суттєву частину висхідної та нисхідної гілок кривої блиску, але не "суттєво закруглені" частини біля екстремумів протилежного виду (мінімумів, якщо визначаємо максимум, та навпаки). Вибір початкової та кінцевої точок зазвичай відбувається за допомогою програм OO [23], MCV [24] та також реалізовано у серії послідовно вдосконалених версій MAVKA [19-21].

Хоча метод був запропонований для визначення екстремумів, його можна використовувати й для визначення середнього моменту та характерного часу переходу з однієї асимптоти на іншу, навіть, при відсутності екстремуму. Наприклад, по діаграмі $"O-C"$ для моментів екстремумів (чи відповідних фаз) при порівняно різкій зміні періоду [25].

\subsection{Параболічний сплайн дефекту 1 (Parabolic Spline, PS)}

Поліноміальні сплайни є кусково-заданими функціями, де у кожному інтервалі аргументу (часу, фази обо ін.) задаються поліномом із своїм набором коефіцієнтів. Їх часто використовують для апроксимації даних. Вони характеризуються "порядком"  $n,$ або найвищим ступенем поліному, та "дефектом"  $k,$ який визначається, як найменша величина, для якої похідна порядку $(n-k)$ є неперервною в усіх точках, включаючи межі інтервалів [26-28].

Ця апроксимація також складається з трьох інтервалів, кожен з яких описується власною функцією (параболою). Точки переходу відповідають параметрам $C_6$ та $C_7$.

Параболічний сплайн відрізняється від попереднього методу двома додатковими параметрами, які описують параболічні складники у бічних інтервалах:

\begin{equation}
x_c (t)=\left\{
\begin{array}{ll}
C_1+C_2 t+ C_3 t^2+C_4 (C_6-t)^2,&~~ t < C_6,\\
C_1+C_2 t+ C_3 t^2,&~~C_6\le t \le C_7,\\
C_1+C_2 t+ C_3 t^2+C_5 (t-C_7 )^2,& ~~t > C_7.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Метод  дозволяє розширити ширину інтервалу апроксимації (й, таким чином, збільшити кількість точок, які використовуються) та отримати точність, яка відповідає результатам «асимптотичної параболи» на коротшому інтервалі.

Можливі ситуації, коли поділення інтервалу на три частини є неефективним. Наприклад, екстремум занадто гострий й центральна параболічна частина вироджується. Для такої ситуації, у програмі MAVKA [21] реалізовано зменшення кількості інтервалів (а, отже, й відповідних нелінійних параметрів). Таким чином, апроксимація «асимптотичною параболою» може складатися лише з двох асимптот, параболи та лише однієї асимптоти або взагалі лише параболи.

Так само, «параболічний сплайн», за занадто малих бічних інтервалів, автоматично замінюється на звичайну параболу.

В рамках реалізованого алгоритму, лінійні параметри були визначені методом найменших квадратів, а нелінійні – методом диференційних поправок.
Статистичні похибки параметрів екстремуму визначені за допомогою коваріаційної матриці похибок коефіцієнтів (напр. [30,16]).

\section{Порівняння асимптотичної параболи та параболічного сплайну дефекту 1 на штучних даних зі змінними межами}

Ми застосували обидва методи до набору з 25 штучних інтервалів. Як сигнал, було обрано синусоїду із одиничною півамплітудою. Шум був згенерований з нормальним розподілом випадкової величини із теоретичним середньоквадратичним значенням 0.1.
Ми змінювали межі інтервалів між екстремальними випадками, наведеними на рис.1, для оцінки впливу ширини охоплення даних поза екстремумом на апроксимацію обома функціями.

При зменшенні ширини інтервалів та `'чистому'' сигналі (без шуму), очікується, що усі апроксимації будуть асимптотично сходитися до параболи (чи поліному більшого ступеня, найчастіше, кубічної параболи). Можливість апроксимації поліномом із автоматичним вибором ступеня полінома була реалізована на різних мовах програмування [6, 13,  19, 21], й також присутня й у програм MAVKA.
Але, кількість точок зменшується, та шуми спостережень призводять до появи `'нефізичних'' хвиль на апроксимації, що нагадує ефект Гібса для тригонометричніх поліномів (напр. [35]). Це суттєво погіршує як якість апроксимації, так і може призвести до суттєвого зсуву визначеного моменту екстремуму.

Тому, для аналізу, мінімальна ширина інтервала була обмежена, як показано на рис. 1. Для меншої ширини, розділення інтервала апроксимації на 3 підінтервали стає формальним. Адже парабола може буть однаково представлена, як кубічний сплайн, при будь-якому діленні на підінтервали. Тест-функція стала, як функція двох змінних (границь підінтервалів), отже, матриця нормальних рівнянь у методі диференціальних поправок стає виродженою.
В цьому випадку, апроксимація поводиться квадратною параболою, а не сплайном.

Результати на кожному тестовому інтервалі для відповідного значення меж були усереднені за відхиленнями від ідеального (синусоїди без шуму) значення та оцінками точності для подальшого аналізу.
Як видно на Рис. 2, ''асимптотична парабола'' дуже чутлива до зміни меж апроксимації, на відміну від параболічного сплайну. Останній метод дозволяє проводити точну криву за наявності даних поза сусіднім екстремумом. Однак, коли інтервал звужується, обидва методи дають практично однакові результати, або в рамках відхилення випадково розподіленого шуму. Графіки у верхному рядку Рис. 2. відповідають симетричній зміні меж інтервалу, менша кількість точок відповідає вужчому інтервалу.

Для оцінки впливу асиметричності меж екстремуму, ми зафіксували ліву межу на одному положенні, а праву змінювали покроково. Крайні випадки меж ширини інтервалів для цього аналізу наведені у правому стовбчику Рис. 1. Як і в попередньому випадку, за занадто широкого інтервалу даних, асимптотична парабола програє параболічному сплайну. Однак далі, асимптотична парабола демонструє не гірші, а, часом, й кращі результати. Зі звуженням інтервалу, правий підінтервал апроксимацій вироджується, спричинюючи помилку в роботі та навіть виродження матриці нормальних рівнянь для апроксимації параболічним сплайном.

Метод асимптотичної параболи більш стійкий для таких змін. Для цього методу, реалізовано врахування випадків виродження якогось з підінтервалів. В таких ситуаціях, апроксимація відбувається лише лінійною асимптотою та параболою, або двома асимптотами.

Графіки у нижньому рядку Рис. 2 демонструють залежності параметрів екстремуму для асиметричної зміни меж інтервалу, менша кількість точок відповідає вужчому інтервалу.

Очікуваною є перевага апроксимації параболічним сплайном на широких інтервалах, оскільки кількість спостережень збільшується, а три параболи показують менше систематичне відхилення від сигналу, ніж асимптотична парабола.  Для невеликих інтервалів поблизу екстремума, перевагу має асимптотична парабола.

Загальна рекомендація при розмітці інтервалів для визначення екстремумів: вибирати (при можливості) приблизно однакові за тривалістью ділянки кривої блиску. Для асимптотичної параболи, брати якнайдовші відрізки висхідної та нисхідної гілок кривої блиску, де зміна блиску близька до лінійної.  З попереднього досвіду використання `''асиптотичних парабол'', блиск на границях інтервалу приблизно вдвічи ближчий до сусіднього екстремуму, ніж до апроксимованого.
Звісно, це залежить від конкретного виду кривої блиску. Для автоматизації процесу, й було запропоновано вибір між різними функціями для фіксованого інтервалу даних.

Незважаючи на якісний характер рекомендації, для спостережень із порівняно низьким значенням відношення оцінки точності до амплітуди (що характерно не лише для фотографічних та візуальних спостережень зір з великою амплітудою,  а й для величезної кількості малоамплітудних зір, відкритих із орбітальних обсерваторій), такий візуальний підхід (або різноманітні напівавтоматичні алгоритми) дає значення параметрів, які несуттєво відрізняються при невеликих змінах інтервалу. Але статистична оцінка точності порівняно із дуже широкими, чи, навпаки, вузькими, інтервалами краща на десяткі відсотків, або, навіть, у рази.

\section{Застосування обох методів до спостереженнь Z UMa}

Для подальшого аналізу, було використано 12578 спостережень Z UMa із міжнародної бази даних Французької асоціації спостережень змінних зір
(AFOEV) [22], отриманих у діапазоні юліанських дат 2451630 -- 2458026 (тривалість 17.5 років). Аналіз попередніх даних проведено [6].

Крива блиску пульсуючої зорі Z UMa була попередньо розмічена на інтервали поблизу екстремумів (як максимумів, так і мінімумів). Ми провели апроксимацію кожним методом окремо.

Ми аналізували точність моментів екстремуму, точність зоряної величини екстремуму та середньоквадратичне відхилення для обох методів відповідно до номеру інтервалу. Результати досить схожі, усі інтервали (згідно розмітки) не містили позаекстремальної частини. Іноді відповідну точність для асимптотичної параболи іноді все ж дещо кращі.

Також ми порівняли обидва методи, аби алгоритм програми MAVKA самостійно визначив найкращий метод для кожного конкретного інтервалу. Вибір кращого методу відбувається за меншою оцінкою точності моменту екстремуму.

В результаті, з 94 інтервалів, асимптотична парабола виявилась краща для 68 з них, а параболічний сплайн для 26. Медіана відношення оцінки точності моменту екстремуму для PS та AP трохи менша за одиницю (0.86). Але, для 34 інтервалів із 94, екстремум не попадає у центральний підінтервал апроксимації, і тому відбраковувався, хоча сама апроксимація була достатньо якісна.
З врахуванням цих відбракованих даних, медіана суттєво перевищує одиницю (2.36).

 Це пов'язано з декількома причинами. По-перше, сплайн менш стійкий до шуму в спостереженнях, ніж асимптотична парабола, яка іноді може визначати не глобальний екстремум на інтервалі, а локальну флуктуацію шуму. По-друге, на даний момент, апроксимація параболічним сплайном була реалізована за умови, що момент екстремуму має потрапляти в центральний підінтервал. Однак, можуть бути ситуації, коли апроксимація проведена досить точно, але екстремум знаходиться на одному з бічних підінтервалів, що призводить до вильоту алгоритму при спробі його розрахувати або завеликих та некоректних похибок визначених параметрів.

Медіана відношення середньоквадратичних відхилень спостережень від апроксимацій PS та AP становить 0.986, що лише несуттєво менше одиниці.

Асимптотична парабола є стійкішою до таких випадків, й дозволяє коректно визначити характеристики екстремуму для будь-якого екстремуму.
Тому ці методи не замінюють один одного на усіх інтервалах даних, а доповнюють, тобто, для кожного окремого інтервалу, потрібно вибрати оптимальний метод.

\section{Метод статистичного самотворення та порівняння методів апроксимації на спостереженнях Z UMa}

З метою порівняння оцінок точності, нами було проведено аналіз методу ''статистичного самотворення''. Іноді його називають калькою з англійської ''бутстреп'' (bootstrap). Сервіс перекладу Google дає `'завантажувач'', що відповідає вживанню терміну в іншому комп'ютерному значенні - при завантаженні операційної системи.

Суть методу полягає в тому, щоб з наявного набору даних сформувати досить велику кількість вибірок, розмір кожної з яких збігається з вихідним інтервалом. Такі вибірки складаються з випадкових комбінацій початкових даних (''самотворення''), а вибір кожного елементу відбувається із можливістью повернення, на відміну від ''перемішування'', при якому усі елементи використовуються один раз у випадковому порядку.

Термін ''bootstrap'' запропонував Ефрон [30], його теорії та застосуванню присвячені монографії, напр. [31-33].

Таким чином, деякі елементи можуть зустрічатися декілька разів, а інші – не зустрічатись взагалі. Для кожної отриманої вибірки визначають значення аналізованих статистичних характеристик з метою вивчити їх розкид, стійкість, розподіл.  Цей метод є вдосконаленою модифікацією метода ''складного ножа'' (jackknife) [30], згідно якого, $n$ нових вибірок даних отримують з початкової видаленням лише однієї точки, послідовно змінюючи номер цієї видаленої точки.

Метод ''bootstrap'' є стандартним для оцінювання точності визначення моментів мінімумів затемнюваних подвійних систем на сайті Секції змінних зір та екзопланет Чеського астрономічного товариства [7] з використанням наближення для повного інтервалу затемнення [34]. Після визначення моменту мінімуму для серії ``самостворених'' рядів даних, визначаються перцентілі 0.025 та 0.975, як границі довірчого інтервалу для ймовірності 95\%. На відміну від стандартного визначення точності, як оцінки середньоквадратичного відхилення $\sigma,$ у [34] задають $\sigma_-$ та $\sigma_+,$ що відповідають приведеним перцентілям.

Використання $\sigma_-$ та/або $\sigma_+$ замість стандартного середньоквадратичного відхилення $\sigma$ призводить до суттєвого зменшення статистичної ваги цієї величини $w={\rm const}/sigma^2.$ У припущенні неперервного нормального (гаусовського) розподілу [35, 36], $\sigma_-=\sigma_+=1.96\sigma$ для цієї ймовірності 95\%. Тобто, зменшення статистичної ваги у $1.96^2\approx3.84\approx4$ рази. Тому потрібно перетворювати два значення на одне, знаходячи середнєквадратичне значення
$\sigma\approx((\sigma_-^2+\sigma_+^2)/2)^{1/2}/1.96;$ значення, що відповідає середній вазі $\sigma\approx((\sigma_-^{-2}+\sigma_+^{-2})/2)^{-1/2}/1.96,$ або інтерперцентильному інтервалу $\sigma\approx(\sigma_-+\sigma_+)/2/1.96.$ При незначном відхиленні $\sigma_-/\sigma_+$ від одиниці, усі три перелічені наближення практично не відрізняються. Суттєве відхилення показує негаусівський характер розподілу похибок, і повинно бути проаналізовано додатково.

Отже, можна рекомендувати використовувати $\sigma$ замість пар $(\sigma_-,\sigma_+).$

Середнєквадратичне значення відхилення для неперервного нормального розподілу, якщо враховувати 95\% середніх значень,  становить $\sigma_{0.95}=0.871\sigma$, отже, при викиданні 5\%
та обчисленні $\sigma,$ потрібно враховувати даний коефіціент.

Для ілюстрації, з кривої блиску пульсуючої зорі Z UMa був виділений початковий ряд поблизу одного з 94 екстремумів (JD 2455999-2456172, $n=351).$
Спостереження отримані із міжнародної бази даних Французької асоціації спостережень змінних зір (AFOEV) [22].

У якості критерію вибору меж інтервалу, було обрано частину від попереднього до наступного інтервалу, бо ширші інтервали, очевидно, будуть краще апроксимовані сплайном, ніж асимптотичною параболою, де висхідна та низхідна гілки апроксимовані прямими. Квадратичний сплайн враховує можливу кривизну кривої блиску у крайніх підінтервалах та тим самим дозволяє використовувати більші інтервали із більшою кількістю точок.

Було створено 2000 рядів з використанням  генератору випадкових чисел. До них були застосовані ті самі апроксимації, що й для початкового ряду. Апроксимації для початкового ряду з $\pm 1\sigma$ коридором похибок  показані на Рис. 3. Для випадкових рядів показане накладання апроксимацій. Як видно, більшість кривих лежать у порівняно вузькому інтервалі. Але кілька кривих сильно відрізняються. Це є наслідком вибіркової надмірної концентрації даних у окремих точках та відповідного зменшення впливу інших точок.

Для ілюстрації, на рис 3 приведено лише 200 апроксимацій з 2000.
Основна частина апроксимацій є у порівняно вузькому диапазоні.
Апроксимації проведено від початку до кінця згенерованого інтервалу, тому видно, що апроксимації, які суттєво відрізняються від основної смуги, відповідають коротшим інтервалам.

На рис. 4 показана залежність оцінок моментів від номеру (рейтингу по величині) після сортування у порядку збільшення величини, для 2000 ''самостворених'' рядів. Транспонована залежність $i/200$ від $t_e$ називається ''кумулятою''.
Для даної вибірки,  по 2.5\% з обох сторін як раз співпадають із суттєвим надлишком кількості ''викидів'' порівняно із нормальним розподілом, який показано окремою лінією для вибіркового середнього та середньоквадратичного значення відхилення.

Отже, кількість таких ''викидів'' у обидві сторони суттєво менша за 5\%,  тому ''перцентільний'' підхід до оцінки точності $\sigma$ ефективний.

\section{Інші методи аналізу спостережень пульсуючої зорі Z UMa}

У попередніх розділах, були розглянуті методи аналізу даних у інтервалах навколо екстремумів, які не враховують більш віддалені точки.

Втім, найбільш поширеним методом є періодограмний аналіз із застосуванням не ''локальної'', а ''глобальної апроксимації''.
Тест - функція $S(f)=\sigma_C^2/\sigma_O^2=1-\sigma_{O-C}^2/\sigma_O^2=r^2,$ де $\sigma_O^2,$ $\sigma_C^2$ та $\sigma_{O-C}^2$ є, відповідно, дисперсіями даних $''O''$, апроксимованих значень $''C''$, нев'язок (відхилень) $''O-C''$, а $r-$ коефіцієнт кореляції між $''O''$ та $''C''$ (34). Для апроксимації методом найменших квадратів $m_C(t)$, використовується гармонійна функція
\begin{equation}
m_C(t)=C_1-R\cdot\cos(2\pi f\cdot(t-T_0)),
\end{equation}
де $C_1 -$ середнє за період значення (яке, у загальному випадку, не співпадає із вибірковим середнім), $R -$ півам	плітуда, $f=1/P -$ частота, $P -$ період, $T_0 -$ початкова епоха максимуму блиску (тобто, мінімуму зоряної величини $m_C$). На відміну від спрощених алгоритмів, принаймні 6 з яких їх автори називають ''перетворенням Фур'є'' чи ''дискретним перетворенням Фур'є'', у випадку спостережень, нерівномірних у часі, саме метод найменших квадратів є статистично оптимальним та забезпечує незміщеність оцінок параметрів [36, 37, 16].

На рис. 5 показана періодограма у діапазоні частот 0.0001-0.0125 c/d (період от $406^d$ до $10000^d$). Найбільше виділяються чотири піки. Періоди, які їм відповідають, приведені на рисунку. Можна зробити висновок про наявність двох близьких періодів $198.0^d$ та $188.7^d$, а права пара піків відповідають їх гармонікам (подвоєним частотам). Подібна наявність двох близьких періодів ($179.1^d\pm0.3^d$ та $162.4^d\pm0.8^d)$ спостерігалася у іншої системи RX Boo [38]. Огляди зір цього типу приведені, напр. [39-41].

Тому, у програмі MCV, нами було обчислено параметри комбінованої моделі із $s=4$ частотами, дві з яких є подвійними двох перших:
\begin{equation}
m_C(t)= C_1 - \sum_{j=1}^s R_j\cdot\cos(2\pi f_j\cdot(t-T_{0j})).
\end{equation}
Періоди було скореговано методом диференціальних поправок: $P_1=188.88(3),$ $P_2=197.89(4).$ У дужках приведено точність у одиницях останього знаку. Для гармонік, $P_3=P_1/2,$  $P_4=P_2/2.$ Відповідні півамплітуди дорівнюють $0.585^m,$ $0.092^m,$ $0.186^m,$ $0.216^m$ із практично однаковою точністью трохи менше $0.005^m.$ Початкові епохи
2454008.6(3), 2453925.2(8), 2453893.4(8), 2453987.5(3). $C_1=7.898(3).$
Малі оцінки похибок пов'язані із великою загальною кількістью спостережень. Середньоквадратична точність апроксимації у моменти спостережень $\sigma[x_c]=0.010^m.$ Втім, $\sigma[O-C]=0.377^m,$ що значно більше значень $\sigma_{O-C}=0.12^m ... 0.25^m$ (медіанне значення $0.19^m$). Таким чином, індивідуальні цикли пульсацій, хоч і показують цикли биття, мають суттєву аперіодичну складову змінності.

Для довгоперіодичних зір із моноперіодичними та порівняно стабільними кривими блиску, оптимальною апроксимацією є тригонометричний поліном (кінцева сума ряду Фур'є)  із статистично значимим ступенем [42,43]. Для виявлення повільних змін періоду та амплітуди, часто використовують вейвлет-аналіз (wavelet analysis) [44-46], який іноді називають `'спалах-аналіз'' та його модифікацію - ''ковзаючі синуси'' (Running Sine, RS) [47].  Комбінація тригонометричного полінома із локальним профілем затемнення [48-50] теж не ефективна для розглянутого типу коливань, як і визначення ''характерних точок'', як перетину постійного рівня [51-52].

У випадку Z UMa, це не дуже ефективно, тому що ''подвоєння'' частоти пов'язано із ''биттям'' двох коливань із близькими частотами та їх гармоніками.
Тому, більш ефективним буде застосування ''шкалограмного аналізу'' методом ''ковзаючих парабол'' (''running parabola'', RP) [53]. Основна ідея методу полягає у дослідженні систематичних зсувів апроксимації від даних, що дозволяє визначити період та пів-амплітуду для гармонійного сигналу, або їх ефективні значення у випадку квази-періодичних колиівнь (QPO). Із застосуванням $``\Lambda``$ - шкалограмного аналізу [37], було визначено $P_{\Lambda}=190.7^d$ із ефективною півамплітудою $R_{\Lambda}=0.66^m.$
Шкалограми із використанням різних взаємодоповнюючих функцій показані на Рис. 6.
Очікувано, цей метод не дозволяє розрізнити дві близькі частоти, тому період є проміжним, а півамплітуда відповідає сумарним коливанням, а не окремій хвилі.

Ефективна ширина інтервалу згладжування $\Delta t=60^d$ відповідає $\sigma[O-C]=0.22^m.$ Відповідна крива блиску показана на Рис. 7. Добре помітно, що амплітуда коливань при домінуванні швидкої змінності, суттєво занижена. Тому було обрано менше значення $\Delta t=40^d.$ Ця крива показує коливання значно краще.

Також показані локальні апроксимації алгоритмами ''асимптотичної параболи'' (AP) та ''параболічного сплайна'', які були нами реалізовані у програмі MAVKA.
Хоча візуальний вибір інтервалів проводився не лише по індивідуальних точках, а й з врахуванням ''ковзаючих парабол'', використання інтервалів із змінною шириною покращує якість апроксимації.

\section*{Висновки}

Використання взаємодоповнюючих методів апроксимації дозволяє аналізувати сигнали та виявляти різні компоненти періодичної, квазиперіодичної та аперіодичної змінності. Розглянуто різні методи, ефективні для різних типів змінності.

У створеній програмі MAVKA, реалізовано застосування 11 видів апроксимуючих функцій, загалом 21 різна функція, якщо враховувати різні ступені поліномів та симетричних поліномів. Проводяться вдосконалення програми MAVKA та тестування нових методів (включаючи описані у даній статті). У подальшому, сайт програми планується за адресою http://uavso.org.ua/mavka

Використання кусково-заданих функцій дає виграш у часі обчислень порівняно із аналітичними функціями, які потребують обчислення через ряди.

Використання для кусково-заданих функцій інтервалів із межами, що є додатковими параметрами, на відміну від класичних сплайнів, дозволяє зменшити загальну кількість параметрів та покращити якість апроксимації

Реалізовано можливість автоматичного вибору статистично оптимальної апроксимації із обраних користувачем.

Реалізовано можливість автоматичного перебору інтервалів даних із розмічених користувачем.

Досліджено ефективність різних апроксимацій в залежності від ширини інтервалу та розташування його меж.
Дано рекомендації по розмітці інтервалів.
Показана ефективність локальних наближень із інтерактивно визначеною шириною інтервалу.

Проведено дослідження статистичних властивостей параметрів моделі та апроксимацій методом статистичного самотворення (bootstrap) для тестових та реальних даних. Для додаткової функції ваги, порівняння розподілу
оцінок коефіціентів із нормальним розподілом проведено [54].

Для реальних спостережень із великими сезонними перервами у спостереженнях, рекомендації можуть бути враховані лише частково.

Досліджено змінність напівправильної пульсуючої подвійної зорі Z UMa.
Показано наявність багатокомпонентної змінності об'єкта, в тому числі, чотирьох періодичних коливань та суттєвої змінності амплітуд та фаз окремих коливань.

Розроблені методи забезпечують статистично оптимальну апроксимацію, що відповідає найкращій точності визначення модельного параметра.

\section*{Подяки}
Дослідження виконано,
 як частина міжнародної програми ``Між-Довготна Астрономія'' (Inter-Longitude Astronomy [55]) та проектів ``Українська віртуальна обсерваторія'' [56,57] та ``Aстроінформатика" [58]. Дякуємо Французській асоціації спостерігачів змінних зір (AFOEV) [22] за спостереження Z UMa та В.І.Марсаковій, Д.Є.Твардовському, Pavol Dubovsky та рецензентам за обговорення.

REFERENCES

Abstract: Advanced MAVKA software for the approximation of extrema observations is used
to analyze the variability of the brightness of pulsating and eclipsing stars,
but may be useful in analyzing signals of any nature. A new algorithm using a
parabolic (quadratic) spline is proposed. In contrast to the traditional
definition of a spline as a piecewise-defined function at fixed intervals, a
spline is proposed to be divided into three intervals, but the positions of the
boundaries between the intervals are additional parameters. The spline defect
is 1, that is, the function and its first derivative are continuous and the
second derivative can be discontinuous at the boundaries. Such a function is an
enhancement of the "asymptotic parabola" (Marsakova and Andronov 1996). The
dependence of the fixed signal approximation accuracy on the location of the
boundaries of the interval is considered. The parameter accuracy estimates
using the least squares method and bootstrap are compared. The variability of
the semi-regular pulsating star Z UMa is analyzed. The presence of
multicomponent variability of an object, including, four periodic oscillations
and significant variability of the amplitudes and phases of individual
oscillations is shown.


\section{INTRODUÇÃO}

Os chamados modelos epidêmicos referem-se a um conjunto de dinâmicas onde um indivíduo saudável pode se tornar infectado quando em contato com outros indivíduos infectados. Além desses dois estados, há vários outros que podem ser incluídos no modelo de forma a deixar a dinâmica mais sofisticada como: morto, recuperado, latente, exposto, etc \citep{Grassberger1983,Hethcote2000}. Modelos epidêmicos tem sido amplamente estudados em diversas aplicações nas suas diversas variações \citep{Barthelemy2005,Silva2015,Miranda2020,Reia2022}. Estes modelos apresentam uma fase absorvente a partir da qual o sistema não consegui sair, como também uma fase ativa onde as densidades dos parâmetros de ordme não variam com o tempo \cite{Hinrichsen2000,Vilela2020}. Neste trabalho utilizamos o modelo epidêmico SIS para descrever a dinâmica entre indivíduos vivos e zumbis em um apocalipse zumbi.

\section{FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA}

\subsection{Modelo SIS} \label{sismodel}

O modelo epidêmico SIS considera apenas dois estados para os indivíduos: saudável (susceptible) e infectado (infected). Um indivíduo saudável pode se tornar infectado quando em contato com outros indivíduos infectados. Já um indivíduo infectado pode se tornar saudável com uma chance constante ao longo do tempo, sem a necessidade de ter contato com indivíduos vivos. Esse modelo descreve bem por exemplo uma gripe comum.

Neste trabalho usaremos os estados vivo e zumbi no lugar de saudável e infectado. Seja $N$ o número total de indivíduos do sistema dos quais $V$ refere-se ao número de indivíduos vivos e $Z$ o número de zumbis. As respectivas densidades serão $v = V/N$ e $z=Z/N$. Neste trabalho iremos analisar o sistema no chamado estado estacionário, no qual as densidades não se alteram mais com o tempo. Este estado é obtido após um certo intervalo de tempo.

A equação diferencial que descreve o modelo SIS no estado estacionário é \citep{Newman2010}:
\begin{equation}
    \frac{dv}{dt} = c z - bvz, \qquad \qquad \frac{dz}{dt} = bvz - c z, \nonumber
\end{equation}
onde $b$ e $c$ são as chances de conversões de vivo para zumbi e vice-versa. Estas equações referem-se a aproximação de campo médio na qual cada indivíduo interage com todos os outros. Veja que se $z=0$ os vivos continuam vivos, já os zumbis sempre se tornam zumbis após algum tempo, independente da existência de indivíduos vivos. Como temos que $v+z = 1.0$, podemos combinar essas duas equações em uma:
\begin{equation}
    \frac{dz}{dt} = (b - cb - bz)z. \label{slkejriuuuu}
\end{equation}
A solução é:
\begin{equation}
    z(t) = (1- c/b) \frac{De^{(b-c)t}}{1+De^{(b-c)t}}, \label{solcampomedio}
\end{equation}
onde $D = bz_0/(b-c-bz_0)$ e $z_0$ é a concentração inicial de zumbis. Se $b>c$ temos a chamada fase ativa na qual há uma conversão de vivo para zumbi e vice-versa. Além disso a taxa dessas duas conversões é idêntica de forma que as densidades não mais se alteram com o tempo (havendo apenas a flutuação estatística). Apesar de que o conjunto de indivíduos vivos e zumbi estão se alterando continuamente.

Por outro lado se $b < c$, a taxa de conversão de zumbi para vivo é maior de forma que o número de zumbis cai para zero e todos os indivíduos se mantém vivos. Esta é a chamada fase absorvente pois uma vez havendo apenas vivos não há chance de alguém se tornar zumbi (é necessário contato com algum zumbi para um vivo se tornar zumbi). Uma vez nessa fase, o sistema não mais sai dela, daí o nome de fase absorvente. A condição $b=c$ é exatamente a transição entre essas duas fases.

\subsection{Rede Erdös-Rényi e domínios}

A dinâmica é definida pelo modelo em questão: modelo epidêmico SIS neste trabalho. Ela define o que acontece quando um indivíduo interage com outro. Também é necessário definir o padrão de comunicação entre os indivíduos: quem interage com quem. Todos interagirem com todos é a suposição mais simples possível, chamada de hipótese de mistura homogênea (do inglês \textit{homogeneous mixing hypothesis}) \cite{Barthelemy2005}. Em casos mais realistas essa hipótese não ocorre, sendo necessário a definição de algum tipo de conectividade entre os agentes. Esta conectividade pode ser alterada por diferentes critérios considerando a distância entre os indivíduos em um plano cartesiano em duas dimensões \cite{Juhasz2015}. Ou pode ser definida utilizando uma rede (ou grafo).

Tradicionalmente a rede quadrada (veja figura \ref{figura1}(a)) tem sido utilizada em simulações numéricas de Monte Carlo devido a sua fácil implementação computacional \cite{Silva2015}. Uma rede que utiliza o critério espacial em sua definição e tem sido usada em Dinâmica Social é a chamada rede aleatória geométrica, ou RGG na sigla em inglês \cite{Gomes2019,Vilela2020}. Neste trabalho escolhemos utilizar uma rede aleatória que permite alterar sua topologia: a chamada rede aleatória do tipo Erdös-Rényi (RER) \citep{Solomonoff1561,Erdos1959,Erdos1960}. Sua definição é: cada dupla de vértices tem uma chance $p$ de possuir uma aresta (ou seja, de ser conectada). Os parâmetros $N$ e $p$ são os chamados parâmetros de controle da rede. O grau $k_i$ de um vértice $i$ é o número de conexões (arestas) que ele tem com os outros vértices. Já o grau médio da rede é a média de $k_i$ entre todos os vértices da rede: $\mu = (1/N)\sum_i^N k_i$. No caso da RER temos que $\mu = p(N-1)$ \citep{Barabasi2016}, de forma que podemos utilizar $\mu$ ao invés de $p$ como o parâmetro de controle, por ter um significado mais intuitivo. Uma vez definido $\mu$, basta fazer $p = \mu / (N-1)$ no algoritmo.

Uma segunda característica importante de redes é a sua distribuição de componentes. Uma componente é um aglomerado conectado de vértices, e o seu tamanho é o número de vértices contidos \cite{Newman2010}. Um vértice isolado é uma componente de tamanho 1. Seja $N_c$ e $S_c$ o número de componentes e o tamanho (número de vértices) da maior componente de uma rede. Uma rede conectada tem apenas uma componente, logo: $N_c = 1$ e $S_c=N$. Além das componentes, podemos definir também os domínios: grupo de vértices conectados dentro de uma componente tendo o mesmo estado \cite{Reia2019a,Reia2020a,Gomes2022}. Seja $N_d$ e $S_d$ o número de domínios e o tamanho do maior domínio de uma dada rede. Este conceito é apenas aplicado em redes nas quais os vértices tem estados diferentes, como em disseminação cultural \cite{Reia2016,Axelrod1997,Saberi2015,Klemm2005} e modelos epidêmicos. A figura \ref{figura0} mostra uma ilustração desses conceitos em uma rede fictícia. Nas análise utilizamos as densidades desses parâmetros:
\begin{eqnarray}
n_c &=& \frac{N_c}{N}, \qquad \qquad s_c = \frac{S_c}{N}, \nonumber \\
n_d &=& \frac{N_d}{N}, \qquad \qquad s_d = \frac{S_d}{N}. \nonumber
\end{eqnarray}

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5] {dominios_componentes_v3.pdf}
\caption{Ilustração de componentes e domínio. Os contornos pretos indicam componentes e os contornos verdes indicam domínios. A cor dos vértices (azul ou vermelho) indica o estado deles. Nesta rede temos: $N = 18$, $N_c = 3$, $S_c = 8$, $N_d=10$ e $S_d=5$.}
\label{figura0}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.1] {modelo_zumbi_4.png}
\caption{Ilustração das mudanças de estados e suas probabilidades.}
\label{figura0a}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure*}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{rede_quadrada_g6.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq51_zombies_g7.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq51_zombies_g8.pdf}
\caption{(a) Topologia da rede quadrada:  $\mu = 4.0$, $N_c=1$ e $S_c=N$. (b) e (c) Exemplos aletórios da topologia da rede Erdos-Renyi com $N=16^2$. As maiores componentes ficam no centro enquanto os vértices isolados ficam na parte externa. Os vértices da maior componente estão em vermelho para facilitar a visualização. (b) $\mu = 1.0$, $N_c=139$ e $S_c=37$. (c) $\mu = 5.0$, $N_c=1$ e $S_c=N$.}
\label{figura1}
\end{center}
\end{figure*}

\section{METODOLOGIA}

\begin{table}
\centering
 \begin{tabular}{c|c}
 \hline
 \hline
 Símbolo & Definição \tabularnewline
 \hline
 \hline $b$  & taxa de infecção \tabularnewline
 \hline  $c$  & taxa de recuperação dos zumbis \tabularnewline
 \hline $f$  & fração de exterminadores \tabularnewline
 \hline  $k_i$ & grau do indivíduo $i$ \tabularnewline
 \hline  $m$ & densidade de mortos \tabularnewline
 \hline  $\mu$  & grau médio da RER \tabularnewline
 \hline  $N$  & número total de indivíduos  \tabularnewline
  \hline $N_c$ & número de componentes \tabularnewline
 \hline $n_d$ & densidade do número de componentes \tabularnewline
  \hline $N_d$ & número de domínios \tabularnewline
 \hline $n_d$ & densidade do número de domínios \tabularnewline
 \hline $p$  & chance de conexão da RER \tabularnewline
 \hline  $Q$ & tempo para atingir o estado estacionário \tabularnewline
 \hline $S_1$ e $S_2$ & número de amostras \tabularnewline
  \hline $S_c$ & tamanho da maior componente \tabularnewline
 \hline $s_c$ & densidade do tamanho da maior componente \tabularnewline
 \hline $S_d$ & tamanho do maior domínio \tabularnewline
 \hline $s_d$ & densidade do tamanho do maior domínio \tabularnewline
 \hline $v$ & densidade de vivos \tabularnewline
 \hline $z$ & densidade de zumbis \tabularnewline
 \hline $z_0$ & $z(t)$ no instante inicial \tabularnewline
 \hline
 \hline
 \end{tabular}
\caption{Definição de todos os parâmetros utilizados no modelo.}
 \label{tabelaparametros}
 \end{table}

Nosso modelo é uma adaptação do modelo SIS e utilizamos os estados vivo e zumbi no lugar dos estados saudável e infectado. A dinâmica entre esses estados é exatamente a do modelo SIS descrita acima. Todos os parâmetros estão definidos na Tabela \ref{tabelaparametros} para facilitar o entendimento. A seguir descrevemos os passos de uma análise, na qual $\Gamma$ é um número aleatório entre 0.0 e 1.0.
\begin{itemize}
\item Um indivíduo $i$ aleatório é selecionado: $i=1+I(\Gamma N)$, inde $I(a)$ é a função inteiro, que retorna a parte inteira de $a$.
    \item Se o indivíduo selecionado é zumbi, ele pode se tornar vivo com uma chance $c$. Se $\Gamma < c$, esse indivíduo passa de zumbi para vivo.
    \item Se o indivíduo $i$ selecionado é vivo, ele pode se tornar um zumbi com chance $bz_i/k_i$, onde $b$ é a taxa de infecção, $z_i$ é o número de vizinhos zumbi e $k_i$ é o número total de vizinhos do indivíduo $i$. Se $\Gamma < bz_i/k_i$, o indivíduo passa de vivo para zumbi.
    \item Se $\Gamma > bz_i/k_i$ e esse indivíduo vivo também for exterminador, um vizinho zumbi aleatório passa para o estado morto.
\end{itemize}
Os 3 passos anteriores constituem uma análise.  Uma ilustração dessas conversões está na figura \ref{figura0a}. Se não houver zumbis no sistema, ou se o indivíduo vivo selecionado para a análise não tiver vizinhos zumbis, nada acontece na análise (mas ela é contabilizada). Um passo de Monte Carlo é definido como $N$ análises. Na média todos os indivíduos são analisados, mas em um dado passo pode haver indivíduos não analisados e outros analisados mais de uma vez. A termalização constitui de $Q$ passos de Monte Carlo (uma calibração é feita para se obter o valor adequado desse parâmetro).

Os exterminadores perfazem uma fração aleatória $f$ da população de vivos definidos no instante inicial. Quando um vivo exterminador se torna zumbi e eventualmente se torna vivo novamente, ele não volta como exterminador. Assim a população de exterminadores diminui com o tempo até desaparecer. Após esse instante a densidade de mortos fica constante no tempo.

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.55]{fig_seq52_g8.pdf}
\caption{Número de componentes $n_c$ e tamanho da maior componente $s_c$ (normalizados) em função do grau médio $\mu$ para a RER. O eixo horizontal está em escala log. A linha vertical tracejada indica a transição de fase em $\mu = \mu_c$. Fase não percolada: $\mu < \mu_c$. Fase percolada: $\mu > \mu_c$.}
\label{figura1d}
\end{center}
\end{figure}

O modelo foi implementado em linguagem Fortran para a geração dos dados enquanto sua análise e todos os gráficos foram feitos em Python. Os seguintes pacotes em Python foram utilizados: Numpy \citep{Harris2020}, Matplotlib \citep{Hunter2007}, NetworkX \citep{Hagberg2008} e Pandas \citep{McKinney2010}. Todos os dados e códigos estão disponíveis mediante solicitação.

\section{RESULTADOS}

Na figura \ref{figura1}(a) está uma ilustração de uma rede quadrada (RQ) na qual pode-se ver que cada vértice está ligado com os seus 4 primeiros vizinhos. A RQ é uma rede dita conectada pois há somente uma componente: $N_c=1$. Assim o tamanho da maior (única) componente é exatamente $S_c=N$. Já na figura \ref{figura1}(b) está uma instância aleatória da RER com $\mu=1.0$. Repare que a maior componente tem $S_c=37$ vértices (em vermelho) enquanto que há $N_c=139$ componentes no total (cada vértice isolado é uma componente de tamanho 1.0). A medida que $\mu$ aumenta, a rede se torna mais conectada: $N_c$ diminui e $S_c$ aumenta. Na figura \ref{figura1}(c) está uma instância da RER gerada com $\mu = 5.0$, na qual a rede já está conectada: $N_c=1$ e $S_c=N$. A figura \ref{figura1d} mostra a variação de $n_c = N_c/N$ e $s_c=S_c/N$ em função de $\mu$ ao longo de 5 ordens de grandeza. No limite $\mu$ muito pequeno a rede está fragmentada contendo apenas vértices isolados: $n_c=1.0$ e $s_c = 1/N$. Já no limite de $\mu$ muito grande a rede se torna conectada: $n_c=1/N$ e $s_c = 1$. Assim a rede apresenta as fases não percolada e percolada sendo que a transição é em torno de $\mu = 1.0$ \cite{Newman2010,Vilela2020}. Todos os resultados mostrados a seguir são na rede percolada: $\mu \geq 1.0$

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_ver18_g4.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_ver19_g10.pdf}
\caption{Evolução temporal das densidades. Parâmetros: $N=32^2 = 1024$, $b=0.9$, $c=0.1$, $S=100$. A condição inicial para esses resultados é $z_0=z(0)=1/N$, ou seja, no instante inicial havia apenas um zumbi no sistema. (a) Densidades de vivos $v$ e zumbis $z$ vs. tempo de evolução. O sub-índice $c$ indica aproximação de campo médio (Eq. \ref{solcampomedio}) e o sub-índice $m$ Método de Monte Carlo com $\mu = N-1$, o que configura uma rede totalmente conectada. O estado estacionário começa quando as densidades não variam mais com o tempo, neste gráfico, após $t=15$ aproximadamente. As densidades no estado estacionário dependem das taxas $b$ e $c$, sendo a linha tracejada o valor $z_c=(b-c)/b$ na aproximação de campo médio. (b) Densidade de zumbis vs. tempo para diferentes graus médio $\mu$ na RER obtido com Método de Monte Carlo.}
\label{figura2}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Termalização}

Para evidenciar o efeito do uso de uma rede arbitrária, apresentamos uma comparação dos resultados utilizando aproximação de campo médio e Método de Monte Carlo na figura \ref{figura2}(a). Mesmo utilizando $\mu = N-1$ (rede totalmente conectada), o resultado da evolução temporal não é idêntico ao do campo médio. Esta variação temporal também serve para calibrar o tempo mínimo $Q$ para se obter o estado estacionário. Já na figura \ref{figura2}(b) podemos ver como a topologia da rede influencia na evolução temporal da densidade de zumbis. O caso totalmente conectado refere-se a curva $\mu = 1023$, que está bem próxima da curva com $\mu = 50$. Ou seja, para redes densamente conectadas há pouca variação na densidade. Já para $\mu = 4$ e valores menores há uma variação drástica até que em $\mu = 1$ a densidade não apresenta uma evolução significativa. Ou seja, neste caso, como cada indivíduo só tem um vizinho, o zumbi inicial único não foi suficiente para infectar outros zumbis, não houve a formação de um apocalipse.

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq37b_g16.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq39v2_g31.pdf} \caption{Densidades em função da taxa de infecção $b$ no estado estacionário considerando uma rede totalmente conectada: $\mu = N-1$. Parâmetros: $N=32^2 = 1024$, $c=0.1$, $S_1=100$ e $Q=500$. Condição inicial: $z_0 = 1/2$, ou seja, metade da população é zumbi no instante inicial $t=0$. (a) Modelo SIS original contendo apenas vivos e zumbis como estados possíveis. $S_2=100$. (b) Modelo SIS modificado contendo os exterminadores e mortos como estados adicionais. $S_2=20$ e $f=0.1$.}
\label{figura3}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Diagrama de fases}

Vamos agora analisar as fases em função do parâmetro de controle $b$. A figura \ref{figura3}(a) apresenta o diagrama de fases do modelo SIS original. A fase absorvente é quando não há zumbis ($z=0$), pois nesse casos os vivos continuam vivos e nada acontece. Essa fase ocorre para valores baixos de $b$. Já para valores maiores a densidade de zumbis é maior que zero e a taxa de conversão de zumbis para vivos é igual a taxa de vivos para zumbi, de forma que ambas as densidades permanecem constantes (a menos da flutuação estatística) em função do tempo. Esta é a fase ativa. De modo geral a transição será em torno de $b=c$.

A figura \ref{figura3}(b) apresenta o diagrama de fases modificado com a inclusão dos exterminadores (um grupo dos indivíduos vivos). No instante inicial uma fração $f$ aleatória dos $v(0)$ indivíduos vivos é escolhido como exterminadores também. Agora há um terceiro estado possível: mortos (triângulos em verde). A fase absorvente agora é maior sendo que a transição de fase ocorre para $b$ um pouco maior que 0.2. Neste mesmo valor há um máximo da densidade de mortos. A densidade de zumbis tem aproximadamente a mesma forma que no caso SIS original, enquanto a densidade de vivos é bastante alterada

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq39v2_g26.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq39v2_g27.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq39v2_g28.pdf}
\caption{Densidades em função da taxa de infecção $b$ para diferentes valores do grau médio $\mu$. Parâmetros: $N=32^2 = 1024$, $c=0.1$, $f=0.1$, $S_1=100$ e $S_2=20$. (a) Densidade de zumbis $z$. (b) Densidade de mortos $m$. (c) Densidade de vivos $v$. A legenda de cores da parte (a) vale para as partes (b) e (c). }
\label{figura4}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.6]{fig_seq46_g10.pdf}
\caption{Gráfico 2D da densidade de zumbi $z$ no plano $b,\mu$. A fase absorvente ($z=0.0$) é a região preta. Parâmetros: $N=16^2 = 1024$, $c=0.1$, $f=0.1$, $S_1=100$ e $S_2=280$. Os espaçamentos são $\Delta b = 0.004$ no eixo horizontal e $\Delta \mu = 0.1$ no eixo vertical. Q quantidade total de pontos é $201 \times 101 = 20301$.}
\label{figura4d}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Influência da topologia da rede}

Vamos analisar em mais detalhes a influência da topologia da rede, na figura do seu grau médio $\mu$. Como foi observado na figura \ref{figura2}(b) que valores altos de $\mu$ não criam grandes alterações, vamos focar agora em valores mais baixos. Da figura \ref{figura4}(a) podemos observar que o grau médio $\mu$ não altera significativamente a transição de fase. Com exceção de $\mu=1.0$, a transição ocorre para valores de $b$ um pouco antes de 0.2. Lembrando que a fase absorvente ocorre para $z=0$. Já a densidade de mortos na figura \ref{figura4}(b) apresenta um máximo para um $\mu$ maior e um pouco acima de $b=0.2$. Na figura \ref{figura4}(c) podemos observar que a densidade de vivos cai rapidamente na fase ativa a medida que aumenta a taxa $b$. Na figura \ref{figura4d} está o diagrama de fases 2D no plano $(b,\mu)$. Observa-se que a fase absorvente ocorre para $b$ ou $\mu$ pequenos.

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq41_g8.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq47_g11.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq48_g9.pdf}
\caption{Densidades de zumbi em função da taxa de infecção $b$. Parâmetros: $\mu = 5.0$, $Q=500$, $S_1=100$ e $S_2=300$. (a) Variando o tamanho $N$ do sistema. (c) Variando a fração $f$ de exterminadores. (c) Variando a chance de recuperação $c$.}
\label{figura5}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Outros parâmetros}

O diagrama de fase é pensado nos parâmetros $b$ e $\mu$, porém os outros parâmetros do modelo também tem um efeito. Na figura \ref{figura5}(a) está mostrado a influência do tamanho $N$ do sistema. O objetivo é identificar a partir de qual valor a densidade de zumbis não varia mais com $N$. A partir deste resultado observa-se que para $N \geq 16^2$ é adequado. Já a fração $f$ de exterminadores pode inibir a fase ativa, já que um alto valor aumenta a densidade de mortos e diminui a de zumbis (veja figura \ref{figura5}(b)). De fato para $f=1.0$ todos os vivos são exterminadores também e quando analisados eles ou se tornam um zumbi ou matam um deles. Já na figura \ref{figura5}(c) apresentamos a influência da taxa $c$, a chance de um zumbi voltar a ser vivo. O efeito desse parâmetro é semelhante ao de $f$: ambos inibem a fase ativa.

\begin{figure}[!htbp]
\vspace{-2pt}
\begin{center}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq49g2_g13.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq49g2_g30.pdf}
\includegraphics[scale = 0.5]{fig_seq49g3_g11.pdf}
\caption{Densidades $v$, $z$, $m$, $n_d$ e $s_d$. Parâmetros: $N = 16^2=256$, $z_0=1/2$, $Q=500$, $c=0.1$, $f=0.1$, $S_1=100$ e $S_2=50$. (a) Em função de $b$ com $\mu = 2.0$. (b) Em função de $b$ com $\mu = 10.0$. (c) Em função de $\mu$ com $b=0.22$.}
\label{figura6}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Domínios}

Os domínios também trazem informações que contribuem para o entendimento das fases do sistema. Os domínios são limitados pela topologia da rede e são definidos em última instância pela dinâmica do modelo. Como as unidades são as mesmas, podemos fazer uma comparação numérica entre os domínios e as densidades. Por exemplo: se o maior domínio $s_d$ for igual a densidade de vivos (ou mortos ou zumbis), podemos concluir que todos os vivos estão no maior domínio. Da mesma forma se por exemplo $z>s_d$, podemos concluir que esse maior domínio só contém zumbis.

A figura \ref{figura6}(a) apresenta as variações das densidades de indivíduos e de domínios em função de $b$ para $\mu = 2.0$. De imediato é possível notar a grande variação dos domínios, especialmente no intervalo $0.2<b<0.4$. Na fase absorvente ($b<0.2$) o maior domínio é composto por vivos ($v>s_d$) mas sofre uma queda brusca na transição de fase $b \sim 0.2$. Até $b = 0.6$ não é possível identificar o tipo de indivíduo que compõe o maior domínio, já que $v$ e $z$ são maiores que $s_d$. A medida que o maior domínio cai o número de domínios $n_d$ aumenta. Para $b$ grande, maior que 0.6, o maior domínio fica ocupado todo por zumbis pois $z>s_d$. Já na figura \ref{figura6}(b) temos as mesmas densidades mas para $\mu=10.0$. A primeira diferença é que devido ao grau médio maior há um menor número de componentes $n_d$. De fato, aumentando a conectividade as componentes aumentam de tamanho possibilitando os domínios aumentarem também. Na fase absorvente quase a totalidade dos vivos estão no maior domínio: $v$ um pouco maior que $s_d$. Já na fase ativa a partir de $b \sim 0.4$ todos os zumbis estão na maior componente: $z = s_d$.

Na figura \ref{figura6}(c) está mostrado os mesmos parâmetros porém em função do grau médio $\mu$ para $b=0.22$. O interessante neste resultado é que o tamanho do maior domínio $s_d$ é aproximadamente constante no intervalo $3<\mu < 20$ apesar do número de domínios $n_d$ diminuir consideravelmente. Isso significa que os domínios menores estão se juntando entre si enquanto o maior domínio se mantém inalterado. Como $v>s_d$ podemos afirmar que o maior domínio é formado inteiramente por indivíduos vivos. Além disso a densidade de mortos aumenta enquanto a de zumbis diminui. Isso nos permite concluir que os domínios pequenos estão se juntando pois indivíduos zumbis que separam esses domínios de mortos estão se convertendo em mortos, o que agrega os domínios.

\section{CONCLUSÕES}

Neste trabalho aplicamos uma variação do modelo epidêmico SIS para descrever um apocalipse zumbi no qual indivíduos vivos podem se tornar zumbis quando em contato com os mesmos. Além disso imaginamos que o estado zumbi seja temporário de forma que há uma chance constante de um zumbi se tornar novamente vivo. Essa volta faz com que o sistema apresente tanto a fase absorvente (todos os indivíduos são vivos) como também a fase ativa. Nesta última, no estado estacionário, a taxa de conversão de vivo para zumbi é igual a taxa contrária, de forma que ambas as densidades fiquem constantes ao longo do tempo. Além desses estados, adicionamos também um terceiro estado (morto) que pode ocorrer quando um zumbi entra em contato com um exterminador, que perfaz um pequeno grupo dos indivíduos vivos. Utilizamos como padrão de comunicação uma rede do tipo Erdös-Rényi (RER) e analisamos a influência do grau médio desta no diagrama de fases do sistema. Observamos que um baixo valor deste parâmetro dificulta o sistema a atingir a fase ativa, favorecendo o aumento da população dos indivíduos vivos. Além disso há um máximo na densidade de mortos para uma baixa taxa de infecção e alto valor de grau médio, já que assim a chance de um exterminador matar um zumbi aumenta. Utilizamos também a distribuição de domínios e componentes da rede para descrever em detalhes a população no estado estacionário.

Este estudo mostra que a topologia de uma rede complexa pode influenciar a dinâmica de um modelo, alterando suas propriedades. Como perspectiva, pode-se acoplar a dinâmica com a topologia de forma que um altera o outro criando tanto uma transição de fases no modelo quanto na topologia da rede.

\section{\textit{Agradecimentos}}

G. V. Sousa agradece o suporte financeiro de Rafael Grisotto e Souza e do Programa de Iniciação Científica da Universidade Federal de Jataí. P. F. Gomes agradece o auxílio financeiro da Fapeg (\url{http://www.fapeg.go.gov.br/}) e do CNPq (\url{www.cnpq.br}, processo 405508/2021-2). As simulações numéricas foram realizadas no LAMCAD / UFG (\url{https://lamcad.ufg.br/}).

Abstract: In this work we study the dynamics in an apocalypse where the individuals can
temporarily become zombies, returning to the living state again or die. We
describe this dynamics using a modified version of the epidemic SIS model. The
zombies can die when in contact with a terminator, which is part of the living
people. To define the possible interactions we use an Erd\"{o}s-R\`{e}nyi
network and we calculate how the absorbing and active phase of the original SIS
model is influenced by the average network degree. We also use the component
and domain distribution of the network to understand how this influence occurs.