\section{Rules}

\begin{enumerate}

\item
Existence of parameter directions $ {\hat \lambda }_i$, $i=1,\ldots$;

\item
The directions $ {\hat \lambda }_i$ are chosen independently and are distributed uniformly over the unit sphere (circle);

\item
Two measurement directions ${\hat a}$ and ${\hat b}$

\item
dichotomic observables ``-1'' and ``+1'' at two spatially separated locations

\item
The direction ${\hat a}$ is unknown to an observer measuring ${\hat b}$ and {\it vice versa}.

\end{enumerate}

\section{Classical correlations without communication}

\begin{enumerate}

\item
Planar problem

\item
One direction $ {\hat \lambda }=\cdot {\hat \lambda }_1$

\item
$o_1 = {\rm sgn} ({\hat a} \cdot \cdot {\hat \lambda } )$
and
$o_2 = {\rm sgn} ({\hat b} \cdot \cdot {\hat \lambda } )$

\item
$E({\hat a} ,{\hat b} ) =E(\vert {\hat a} -{\hat b} \vert )=1-{2\vert {\hat a} -{\hat b} \vert \over \pi}$

\end{enumerate}

\begin{figure}
\begin{tabular}{ccc}
\unitlength 0.7mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(60.00,65.67)
\put(30.00,60.00){\line(1,0){1.61}}
\multiput(31.61,59.96)(0.80,-0.06){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(33.22,59.83)(0.80,-0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(34.81,59.61)(0.53,-0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(36.39,59.31)(0.39,-0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(37.96,58.93)(0.39,-0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(39.50,58.46)(0.30,-0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(41.01,57.91)(0.25,-0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(42.50,57.27)(0.24,-0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(43.94,56.56)(0.20,-0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(45.35,55.78)(0.17,-0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(46.71,54.92)(0.16,-0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(48.02,53.98)(0.14,-0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(49.28,52.98)(0.13,-0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(50.49,51.91)(0.11,-0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(51.64,50.78)(0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(52.72,49.59)(0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.74,48.34)(0.12,-0.16){8}{\line(0,-1){0.16}}
\multiput(54.69,47.04)(0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.57,45.69)(0.12,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(56.37,44.30)(0.10,-0.21){7}{\line(0,-1){0.21}}
\multiput(57.10,42.86)(0.11,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.75,41.39)(0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.33,39.88)(0.10,-0.31){5}{\line(0,-1){0.31}}
\multiput(58.82,38.35)(0.10,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.22,36.79)(0.11,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.54,35.21)(0.12,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.78,33.62)(0.08,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\put(59.93,32.01){\line(0,-1){1.61}}
\put(60.00,30.40){\line(0,-1){1.61}}
\put(59.98,28.79){\line(0,-1){1.61}}
\multiput(59.87,27.18)(-0.10,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.67,25.59)(-0.09,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.39,24.00)(-0.09,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.03,22.43)(-0.11,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(58.58,20.88)(-0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.05,19.36)(-0.10,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.44,17.87)(-0.12,-0.24){6}{\line(0,-1){0.24}}
\multiput(56.75,16.42)(-0.11,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(55.98,15.00)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.14,13.63)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(54.22,12.30)(-0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.24,11.03)(-0.12,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(52.19,9.81)(-0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(51.07,8.64)(-0.12,-0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(49.89,7.54)(-0.14,-0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(48.66,6.51)(-0.14,-0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(47.37,5.54)(-0.17,-0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(46.03,4.64)(-0.20,-0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(44.65,3.82)(-0.20,-0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(43.22,3.07)(-0.24,-0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(41.76,2.40)(-0.30,-0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(40.26,1.81)(-0.31,-0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(38.73,1.30)(-0.39,-0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(37.18,0.87)(-0.52,-0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(35.61,0.53)(-0.53,-0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(34.02,0.27)(-0.80,-0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\put(32.41,0.10){\line(-1,0){1.61}}
\put(30.81,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\put(29.19,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\multiput(27.59,0.10)(-0.80,0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\multiput(25.98,0.27)(-0.53,0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(24.39,0.53)(-0.52,0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(22.82,0.87)(-0.39,0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(21.27,1.30)(-0.31,0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(19.74,1.81)(-0.30,0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(18.24,2.40)(-0.24,0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(16.78,3.07)(-0.20,0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(15.35,3.82)(-0.20,0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(13.97,4.64)(-0.17,0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(12.63,5.54)(-0.14,0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(11.34,6.51)(-0.14,0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(10.11,7.54)(-0.12,0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(8.93,8.64)(-0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(7.81,9.81)(-0.12,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(6.76,11.03)(-0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(5.78,12.30)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.86,13.63)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.02,15.00)(-0.11,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(3.25,16.42)(-0.12,0.24){6}{\line(0,1){0.24}}
\multiput(2.56,17.87)(-0.10,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(1.95,19.36)(-0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(1.42,20.88)(-0.11,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.97,22.43)(-0.09,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.61,24.00)(-0.09,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.33,25.59)(-0.10,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\put(0.13,27.18){\line(0,1){1.61}}
\put(0.02,28.79){\line(0,1){1.61}}
\put(0.00,30.40){\line(0,1){1.61}}
\multiput(0.07,32.01)(0.08,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.22,33.62)(0.12,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.46,35.21)(0.11,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.78,36.79)(0.10,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(1.18,38.35)(0.10,0.31){5}{\line(0,1){0.31}}
\multiput(1.67,39.88)(0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(2.25,41.39)(0.11,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(2.90,42.86)(0.10,0.21){7}{\line(0,1){0.21}}
\multiput(3.63,44.30)(0.12,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(4.43,45.69)(0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(5.31,47.04)(0.12,0.16){8}{\line(0,1){0.16}}
\multiput(6.26,48.34)(0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(7.28,49.59)(0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(8.36,50.78)(0.11,0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(9.51,51.91)(0.13,0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(10.72,52.98)(0.14,0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(11.98,53.98)(0.16,0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(13.29,54.92)(0.17,0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(14.65,55.78)(0.20,0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(16.06,56.56)(0.24,0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(17.50,57.27)(0.25,0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(18.99,57.91)(0.30,0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(20.50,58.46)(0.39,0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(22.04,58.93)(0.39,0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(23.61,59.31)(0.53,0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(25.19,59.61)(0.80,0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(26.78,59.83)(1.61,0.09){2}{\line(1,0){1.61}}
\put(30.00,30.00){\vector(1,2){13.17}}
\put(57.00,16.50){\line(-2,1){54.00}}
\put(46.67,65.67){\makebox(0,0)[cc]{${\hat a}$}}
\put(30.33,48.00){\makebox(0,0)[cc]{$+1$}}
\put(46.33,14.67){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}}
\end{picture}
$\quad$
&
$\quad$
\unitlength 0.70mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(64.00,60.00)
\put(30.00,60.00){\line(1,0){1.61}}
\multiput(31.61,59.96)(0.80,-0.06){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(33.22,59.83)(0.80,-0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(34.81,59.61)(0.53,-0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(36.39,59.31)(0.39,-0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(37.96,58.93)(0.39,-0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(39.50,58.46)(0.30,-0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(41.01,57.91)(0.25,-0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(42.50,57.27)(0.24,-0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(43.94,56.56)(0.20,-0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(45.35,55.78)(0.17,-0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(46.71,54.92)(0.16,-0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(48.02,53.98)(0.14,-0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(49.28,52.98)(0.13,-0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(50.49,51.91)(0.11,-0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(51.64,50.78)(0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(52.72,49.59)(0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.74,48.34)(0.12,-0.16){8}{\line(0,-1){0.16}}
\multiput(54.69,47.04)(0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.57,45.69)(0.12,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(56.37,44.30)(0.10,-0.21){7}{\line(0,-1){0.21}}
\multiput(57.10,42.86)(0.11,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.75,41.39)(0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.33,39.88)(0.10,-0.31){5}{\line(0,-1){0.31}}
\multiput(58.82,38.35)(0.10,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.22,36.79)(0.11,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.54,35.21)(0.12,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.78,33.62)(0.08,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\put(59.93,32.01){\line(0,-1){1.61}}
\put(60.00,30.40){\line(0,-1){1.61}}
\put(59.98,28.79){\line(0,-1){1.61}}
\multiput(59.87,27.18)(-0.10,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.67,25.59)(-0.09,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.39,24.00)(-0.09,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.03,22.43)(-0.11,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(58.58,20.88)(-0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.05,19.36)(-0.10,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.44,17.87)(-0.12,-0.24){6}{\line(0,-1){0.24}}
\multiput(56.75,16.42)(-0.11,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(55.98,15.00)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.14,13.63)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(54.22,12.30)(-0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.24,11.03)(-0.12,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(52.19,9.81)(-0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(51.07,8.64)(-0.12,-0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(49.89,7.54)(-0.14,-0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(48.66,6.51)(-0.14,-0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(47.37,5.54)(-0.17,-0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(46.03,4.64)(-0.20,-0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(44.65,3.82)(-0.20,-0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(43.22,3.07)(-0.24,-0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(41.76,2.40)(-0.30,-0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(40.26,1.81)(-0.31,-0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(38.73,1.30)(-0.39,-0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(37.18,0.87)(-0.52,-0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(35.61,0.53)(-0.53,-0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(34.02,0.27)(-0.80,-0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\put(32.41,0.10){\line(-1,0){1.61}}
\put(30.81,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\put(29.19,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\multiput(27.59,0.10)(-0.80,0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\multiput(25.98,0.27)(-0.53,0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(24.39,0.53)(-0.52,0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(22.82,0.87)(-0.39,0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(21.27,1.30)(-0.31,0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(19.74,1.81)(-0.30,0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(18.24,2.40)(-0.24,0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(16.78,3.07)(-0.20,0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(15.35,3.82)(-0.20,0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(13.97,4.64)(-0.17,0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(12.63,5.54)(-0.14,0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(11.34,6.51)(-0.14,0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(10.11,7.54)(-0.12,0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(8.93,8.64)(-0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(7.81,9.81)(-0.12,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(6.76,11.03)(-0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(5.78,12.30)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.86,13.63)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.02,15.00)(-0.11,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(3.25,16.42)(-0.12,0.24){6}{\line(0,1){0.24}}
\multiput(2.56,17.87)(-0.10,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(1.95,19.36)(-0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(1.42,20.88)(-0.11,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.97,22.43)(-0.09,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.61,24.00)(-0.09,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.33,25.59)(-0.10,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\put(0.13,27.18){\line(0,1){1.61}}
\put(0.02,28.79){\line(0,1){1.61}}
\put(0.00,30.40){\line(0,1){1.61}}
\multiput(0.07,32.01)(0.08,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.22,33.62)(0.12,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.46,35.21)(0.11,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.78,36.79)(0.10,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(1.18,38.35)(0.10,0.31){5}{\line(0,1){0.31}}
\multiput(1.67,39.88)(0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(2.25,41.39)(0.11,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(2.90,42.86)(0.10,0.21){7}{\line(0,1){0.21}}
\multiput(3.63,44.30)(0.12,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(4.43,45.69)(0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(5.31,47.04)(0.12,0.16){8}{\line(0,1){0.16}}
\multiput(6.26,48.34)(0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(7.28,49.59)(0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(8.36,50.78)(0.11,0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(9.51,51.91)(0.13,0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(10.72,52.98)(0.14,0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(11.98,53.98)(0.16,0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(13.29,54.92)(0.17,0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(14.65,55.78)(0.20,0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(16.06,56.56)(0.24,0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(17.50,57.27)(0.25,0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(18.99,57.91)(0.30,0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(20.50,58.46)(0.39,0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(22.04,58.93)(0.39,0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(23.61,59.31)(0.53,0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(25.19,59.61)(0.80,0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(26.78,59.83)(1.61,0.09){2}{\line(1,0){1.61}}
\put(30.00,30.00){\vector(2,1){26.33}}
\put(16.50,57.00){\line(1,-2){26.83}}
\put(64.00,48.67){\makebox(0,0)[cc]{${\hat b}$}}
\put(30.33,48.00){\makebox(0,0)[cc]{$+1$}}
\put(12.67,45.67){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}}
\end{picture}
$\quad$
&
$\quad$
\unitlength 0.7mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(64.00,65.67)
\put(30.00,60.00){\line(1,0){1.61}}
\multiput(31.61,59.96)(0.80,-0.06){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(33.22,59.83)(0.80,-0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(34.81,59.61)(0.53,-0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(36.39,59.31)(0.39,-0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(37.96,58.93)(0.39,-0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(39.50,58.46)(0.30,-0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(41.01,57.91)(0.25,-0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(42.50,57.27)(0.24,-0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(43.94,56.56)(0.20,-0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(45.35,55.78)(0.17,-0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(46.71,54.92)(0.16,-0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(48.02,53.98)(0.14,-0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(49.28,52.98)(0.13,-0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(50.49,51.91)(0.11,-0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(51.64,50.78)(0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(52.72,49.59)(0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.74,48.34)(0.12,-0.16){8}{\line(0,-1){0.16}}
\multiput(54.69,47.04)(0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.57,45.69)(0.12,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(56.37,44.30)(0.10,-0.21){7}{\line(0,-1){0.21}}
\multiput(57.10,42.86)(0.11,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.75,41.39)(0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.33,39.88)(0.10,-0.31){5}{\line(0,-1){0.31}}
\multiput(58.82,38.35)(0.10,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.22,36.79)(0.11,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.54,35.21)(0.12,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.78,33.62)(0.08,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\put(59.93,32.01){\line(0,-1){1.61}}
\put(60.00,30.40){\line(0,-1){1.61}}
\put(59.98,28.79){\line(0,-1){1.61}}
\multiput(59.87,27.18)(-0.10,-0.80){2}{\line(0,-1){0.80}}
\multiput(59.67,25.59)(-0.09,-0.53){3}{\line(0,-1){0.53}}
\multiput(59.39,24.00)(-0.09,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(59.03,22.43)(-0.11,-0.39){4}{\line(0,-1){0.39}}
\multiput(58.58,20.88)(-0.11,-0.30){5}{\line(0,-1){0.30}}
\multiput(58.05,19.36)(-0.10,-0.25){6}{\line(0,-1){0.25}}
\multiput(57.44,17.87)(-0.12,-0.24){6}{\line(0,-1){0.24}}
\multiput(56.75,16.42)(-0.11,-0.20){7}{\line(0,-1){0.20}}
\multiput(55.98,15.00)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(55.14,13.63)(-0.11,-0.17){8}{\line(0,-1){0.17}}
\multiput(54.22,12.30)(-0.11,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(53.24,11.03)(-0.12,-0.14){9}{\line(0,-1){0.14}}
\multiput(52.19,9.81)(-0.11,-0.12){10}{\line(0,-1){0.12}}
\multiput(51.07,8.64)(-0.12,-0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(49.89,7.54)(-0.14,-0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(48.66,6.51)(-0.14,-0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(47.37,5.54)(-0.17,-0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(46.03,4.64)(-0.20,-0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(44.65,3.82)(-0.20,-0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(43.22,3.07)(-0.24,-0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(41.76,2.40)(-0.30,-0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(40.26,1.81)(-0.31,-0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(38.73,1.30)(-0.39,-0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(37.18,0.87)(-0.52,-0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(35.61,0.53)(-0.53,-0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(34.02,0.27)(-0.80,-0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\put(32.41,0.10){\line(-1,0){1.61}}
\put(30.81,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\put(29.19,0.01){\line(-1,0){1.61}}
\multiput(27.59,0.10)(-0.80,0.09){2}{\line(-1,0){0.80}}
\multiput(25.98,0.27)(-0.53,0.09){3}{\line(-1,0){0.53}}
\multiput(24.39,0.53)(-0.52,0.11){3}{\line(-1,0){0.52}}
\multiput(22.82,0.87)(-0.39,0.11){4}{\line(-1,0){0.39}}
\multiput(21.27,1.30)(-0.31,0.10){5}{\line(-1,0){0.31}}
\multiput(19.74,1.81)(-0.30,0.12){5}{\line(-1,0){0.30}}
\multiput(18.24,2.40)(-0.24,0.11){6}{\line(-1,0){0.24}}
\multiput(16.78,3.07)(-0.20,0.11){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(15.35,3.82)(-0.20,0.12){7}{\line(-1,0){0.20}}
\multiput(13.97,4.64)(-0.17,0.11){8}{\line(-1,0){0.17}}
\multiput(12.63,5.54)(-0.14,0.11){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(11.34,6.51)(-0.14,0.12){9}{\line(-1,0){0.14}}
\multiput(10.11,7.54)(-0.12,0.11){10}{\line(-1,0){0.12}}
\multiput(8.93,8.64)(-0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(7.81,9.81)(-0.12,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(6.76,11.03)(-0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(5.78,12.30)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.86,13.63)(-0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(4.02,15.00)(-0.11,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(3.25,16.42)(-0.12,0.24){6}{\line(0,1){0.24}}
\multiput(2.56,17.87)(-0.10,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(1.95,19.36)(-0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(1.42,20.88)(-0.11,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.97,22.43)(-0.09,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(0.61,24.00)(-0.09,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.33,25.59)(-0.10,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\put(0.13,27.18){\line(0,1){1.61}}
\put(0.02,28.79){\line(0,1){1.61}}
\put(0.00,30.40){\line(0,1){1.61}}
\multiput(0.07,32.01)(0.08,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.22,33.62)(0.12,0.80){2}{\line(0,1){0.80}}
\multiput(0.46,35.21)(0.11,0.53){3}{\line(0,1){0.53}}
\multiput(0.78,36.79)(0.10,0.39){4}{\line(0,1){0.39}}
\multiput(1.18,38.35)(0.10,0.31){5}{\line(0,1){0.31}}
\multiput(1.67,39.88)(0.11,0.30){5}{\line(0,1){0.30}}
\multiput(2.25,41.39)(0.11,0.25){6}{\line(0,1){0.25}}
\multiput(2.90,42.86)(0.10,0.21){7}{\line(0,1){0.21}}
\multiput(3.63,44.30)(0.12,0.20){7}{\line(0,1){0.20}}
\multiput(4.43,45.69)(0.11,0.17){8}{\line(0,1){0.17}}
\multiput(5.31,47.04)(0.12,0.16){8}{\line(0,1){0.16}}
\multiput(6.26,48.34)(0.11,0.14){9}{\line(0,1){0.14}}
\multiput(7.28,49.59)(0.11,0.12){10}{\line(0,1){0.12}}
\multiput(8.36,50.78)(0.11,0.11){10}{\line(1,0){0.11}}
\multiput(9.51,51.91)(0.13,0.12){9}{\line(1,0){0.13}}
\multiput(10.72,52.98)(0.14,0.11){9}{\line(1,0){0.14}}
\multiput(11.98,53.98)(0.16,0.12){8}{\line(1,0){0.16}}
\multiput(13.29,54.92)(0.17,0.11){8}{\line(1,0){0.17}}
\multiput(14.65,55.78)(0.20,0.11){7}{\line(1,0){0.20}}
\multiput(16.06,56.56)(0.24,0.12){6}{\line(1,0){0.24}}
\multiput(17.50,57.27)(0.25,0.11){6}{\line(1,0){0.25}}
\multiput(18.99,57.91)(0.30,0.11){5}{\line(1,0){0.30}}
\multiput(20.50,58.46)(0.39,0.12){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(22.04,58.93)(0.39,0.10){4}{\line(1,0){0.39}}
\multiput(23.61,59.31)(0.53,0.10){3}{\line(1,0){0.53}}
\multiput(25.19,59.61)(0.80,0.11){2}{\line(1,0){0.80}}
\multiput(26.78,59.83)(1.61,0.09){2}{\line(1,0){1.61}}
\put(30.00,30.00){\vector(1,2){13.17}}
\put(30.00,30.00){\vector(2,1){26.33}}
\put(16.50,57.00){\line(1,-2){26.83}}
\put(57.00,16.50){\line(-2,1){54.00}}
\put(46.67,65.67){\makebox(0,0)[cc]{${\hat a}$}}
\put(64.00,48.67){\makebox(0,0)[cc]{${\hat b}$}}
\put(2.33,56.00){\makebox(0,0)[cc]{$\vert {\hat a} -{\hat b} \vert$}}
\put(30.33,48.00){\makebox(0,0)[cc]{$+1$}}
\put(12.67,45.67){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}}
\put(46.33,14.67){\makebox(0,0)[cc]{$-1$}}
\put(17.00,17.00){\makebox(0,0)[cc]{$+1$}}
\put(59.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{$\vert {\hat a} -{\hat b} \vert $}}
\end{picture}
\\
a)
&
b)
&
c)
\end{tabular}
\end{figure}

\section{Strategies towards breaking the Bell barrier}

Locate ${\hat a}$, then rotate system such that measurement of ${\hat b}$ yields the desired correlations.

Successive partitions of the unit circle by introducing more directions $ {\hat \lambda }_i$.

\section{Ultimate goal: stronger than quantum correlations without information transfer}
brainteaser

(*********** linear ***********)

nn = 300;(*precision*)
Plot[(*theta = 2.0;*)
  vecbob = {Cos[theta + 10], Sin[theta + 10]};
  vecalice = {Cos[10], Sin[10]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec = {Cos[tlambda], Sin[tlambda]};
      iaux += N[Sign[vecbob.tvec]]*N[Sign[vecalice.tvec]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(*********** 1/2 Heaviside ***********)
nn = 20;(*precision*)
vecalice = {1, 0};
Plot[(*theta = 2.0;*)
  vecbob = {Cos[theta], Sin[theta]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec = {Cos[tlambda], Sin[tlambda]};
      signaux = Sign[vecalice.tvec];
      tvecast = {Cos[tlambda - signaux*(tlambda)],
          Sin[tlambda - signaux*(tlambda)]};
      iiaux = iaux + N[Sign[vecbob.tvecast]]*N[Sign[vecalice.tvec]];
      iaux = iiaux}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(***********  Heaviside ***********)
nn = 20;(*precision*)
Plot[(*theta = 2.0;*)
  vecbob = {Cos[theta], Sin[theta]};
  vecalice = {Cos[0], Sin[0]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec = {Cos[tlambda], Sin[tlambda]};
      If[Sign[vecbob.tvec] >= 0,
        If[Sign[vecalice.tvec] >= 0, shift = theta - tlambda,
          shift = theta - tlambda + Pi],
        If[Sign[vecalice.tvec] >= 0, shift = theta - tlambda + Pi,
          shift = theta - tlambda]];
      tvecast = {Cos[tlambda + shift], Sin[tlambda + shift]};
      iaux += N[Sign[vecbob.tvecast]]*N[Sign[vecalice.tvec]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(**************************************)
nn = 40;(*precision*)
Plot[{
    vecbob = {Cos[theta], Sin[theta]};
    alice = 0;
    vecalice = {Cos[alice], Sin[alice]};
    iaux = 0;
    Do[{tlambda = Random[Real, {0, 2*Pi}];
        tvec = {Cos[tlambda], Sin[tlambda]};
        (* If[Sign[vecbob.vecalice] >= 0, shift = alice,
              shift = alice + Pi]; *)
        If[Sign[vecalice.tvec] >= 0,
          If[Sign[tvec.vecbob] >= 0, shift = tlambda, shift = tlambda + Pi],
          If[Sign[tvec.vecbob] < 0, shift = tlambda, shift = tlambda + Pi]
          ];
        iaux +=
          N[Sign[tvec.{Cos[shift], Sin[shift]}]]*
            N[Sign[vecalice.tvec]]}, {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

(********* Toner & Bacon original 2 dim ****************************)

nn = 100;(*precision*)
Plot[
  vecbob = {Cos[theta], Sin[theta]};
  vecalice = {Cos[0], Sin[0]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
        tlambda2 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
      tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
      cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];
      iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec1 + cc*tvec2)]]*
          N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(********* Toner & Bacon original 3 dim ****************************)
nn = 10000;(*precision*)Plot[{-Cos[theta],
    vecbob = {Cos[theta], Sin[theta], 0};
    vecalice = {Cos[0], Sin[0], 0};
    iaux = 0;
    Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
        tlambda2 = Random[Real, {0, 2Pi}];
        tphi1 = Random[Real, {0, Pi}];
        tphi2 = Random[Real, {0, Pi}];
        tvec1 = {Cos[tlambda1] Sin[tphi1], Sin[tlambda1] Sin[tphi1],
            Cos[tphi1]};
        tvec2 = {Cos[tlambda2] Sin[tphi2], Sin[tlambda2]  Sin[tphi2],
            Cos[tphi2]};
        cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];
        iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec1 + cc*tvec2)]]*
            N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

(********* Toner & Bacon Eq.(2) ****************************)

nn = 400;(*precision*)
Plot[
  vecbob = {Cos[theta], Sin[theta]};
  vecalice = {Cos[0], Sin[0]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
        tlambda2 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
      tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
      iaux +=
        2*N[Sign[vecbob.(tvec2 - tvec1)]]*N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(********* two orthogonal directions ****************************)
nn = 200;(*precision*)Plot[vecbob = {Cos[theta + 10], Sin[theta + 10]};
  vecalice = {Cos[0 + 10], Sin[0 + 10]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tlambda2 = tlambda1 + Pi/2 ;
      tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
      tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
      cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];
      iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec1 + cc*tvec2)]]*
          N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(********* two arbitrary directions ****************************)
nn = 2000;(*precision*)
Plot3D[vecbob = {Cos[theta + 10], Sin[theta + 10]};
  vecalice = {Cos[0 + 10], Sin[0 + 10]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tlambda2 = tlambda1 + delta;
      tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
      tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
      cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];
      iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec1 + cc*tvec2)]]*
          N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}, {delta, 0, Pi},
  AxesLabel -> {\[Theta], \[Delta], E} ]

(********* two  directions ****************************)
nn = 10000;(*precision*)
mm = 5;
Show[Table[ Plot[ delta = N[Pi * idelta  / (2*mm)];
      vecbob = {Cos[theta + 10], Sin[theta + 10]};
      vecalice = {Cos[0 + 10], Sin[0 + 10]};
      iaux = 0;
      Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
          tlambda2 = tlambda1 + delta;
          tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
          tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
          cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];

          iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec1 + cc*tvec2)]]*
              N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
      iaux/nn, {theta, 0, Pi}], {idelta, 0, mm}]]

or

\!\(nn = 1000000;  (*precision*) mm = 5;\[IndentingNewLine]
  Show[Table[
      Plot[delta =
          N[Pi*idelta/\((2*mm)\)]; \[IndentingNewLine]vecbob = {Cos[
              theta + 10],
            Sin[theta + 10]}; \[IndentingNewLine]vecalice = {Cos[0 + 10],
            Sin[0 + 10]}; \[IndentingNewLine]iaux =
          0; \[IndentingNewLine]Do[{tlambda1 =
              Random[Real, {0, 2  Pi}]; \[IndentingNewLine]tlambda2 =
              tlambda1 + delta; \[IndentingNewLine]tvec1 = {Cos[tlambda1],
                Sin[tlambda1]}; \[IndentingNewLine]tvec2 = {Cos[tlambda2],
                Sin[tlambda2]}; \[IndentingNewLine]cc =
              Sign[vecalice . tvec1]*
                Sign[vecalice . tvec2]; \[IndentingNewLine]iaux += \(-N[
                    Sign[vecbob . \((tvec1 + cc*tvec2)\)]]\)*
                N[Sign[vecalice . tvec1]]}, {nn}]; \[IndentingNewLine]iaux/
          nn, {theta, 0,
          Pi}, \[IndentingNewLine]FrameTicks -> {{{0.0001, "\<0\>"}, \
\[Pi]\/4, \[Pi]\/2, \(3  \[Pi]\)\/4, \[Pi]}, {\(-1\), {0.0001, "\<0\>"}, 1},
            None, None}, Frame -> True, DefaultFont -> {"\<Times\>", 24},
        FrameLabel -> {"\<\[Theta] [rad]\>", "\<E(\[Theta],\[Delta])\>"},
        AspectRatio -> 1,
        PlotStyle -> {{Hue[\((mm - idelta)\)/\((mm + 3)\), 1, 1],
              Thickness[0.004]}}], {idelta, 0, mm}]]\)

Export["c:/mytex/2004-brainteaser-f2a.eps", Out[39], "EPS", ImageSize -> 500]

(********* more heaviside, but shift ****************************)
nn = 20;(*precision*)Plot[vecbob = {Cos[theta + 10], Sin[theta + 10]};
  vecalice = {Cos[10], Sin[10]};
  iaux = 0;
  Do[{tlambda1 = Random[Real, {0, Pi/16}];
      tlambda2 = Random[Real, {0, Pi/16}];
      tvec1 = {Cos[tlambda1], Sin[tlambda1]};
      tvec2 = {Cos[tlambda2], Sin[tlambda2]};
      cc = Sign[vecalice.tvec1]*Sign[vecalice.tvec2];
      iaux += -N[Sign[vecbob.(tvec2 + cc*tvec1)]]*
          N[Sign[vecalice.tvec1]]}, {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}, PlotRange -> {{0, Pi}, {-1, 1}}]

(********* FIRST INTEGRAL OVER l2 ****************************)

nn = 100;(*precision*)Plot[
  vecbob = {0, 1};
  iaux = 0;
  Do[tlambda2 = Random[Real, {0, 2Pi}];
    tvec2 = {Sin[tlambda2], Cos[tlambda2]};
    tvec1 = {Sin[theta], Cos[theta]};
    iaux += N[Sign[vecbob.(tvec2 - tvec1)]], {nn}];
  iaux/nn, {theta, 0, Pi}]

(********* Second INTEGRAL OVER l1 ****************************)

nn = 100;(*precision*)Plot[{2*(theta)/Pi - 1,
    vecalice = {0, 1};
    vecbob = {Sin[theta], Cos[theta]};
    iaux = 0;
    Do[tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec1 = {Sin[tlambda1], Cos[tlambda1]};
      iaux +=
        2*N[Sign[vecalice.tvec1]]*(2*(ArcCos[vecbob.tvec1])/Pi - 1), {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

or

nn = 100;(*precision*)Plot[{2*(theta)/Pi - 1,
    vecalice = {0, 1};
    vecbob = {Sin[theta], Cos[theta]};
    iaux = 0;
    Do[tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec1 = {Sin[tlambda1], Cos[tlambda1]};
      iaux +=
        2*N[Sign[Cos[tlambda1]]]*(2*(ArcCos[Cos[(theta - tlambda1)]])/Pi -
              1), {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

or

nn = 100;(*precision*)Plot[{2*(theta)/Pi - 1,
    vecalice = {0, 1};
    vecbob = {Sin[theta], Cos[theta]};
    iaux = 0;
    Do[tlambda1 = Random[Real, {0, 2Pi}];
      tvec1 = {Sin[tlambda1], Cos[tlambda1]};
      iaux +=
        2*N[Sign[Cos[tlambda1]]]*(2*(ArcCos[Cos[(theta - tlambda1)]])/Pi), {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

or

nn = 1000;(*precision*)Plot[{2*(theta)/Pi - 1, vecalice = {0, 1};
    vecbob = {Sin[theta], Cos[theta]};
    iaux = 0;
    Do[tlambda1 = Random[Real, {0, Pi}];
      tvec1 = {Sin[tlambda1], Cos[tlambda1]};
      iaux +=
        2*N[Sign[Cos[tlambda1]]]*(2*(Abs[(theta - tlambda1)])/Pi), {nn}];
    iaux/nn}, {theta, 0, Pi}]

or

Plot[(4/Pi^2) *
      UnitStep[Pi/2 - x]*  (x*x - x*Pi/2 +
          Pi^2/8 - (3 Pi^2/8 - (Pi/2)x)) + (4/Pi^2) *
      UnitStep[x - Pi/2]*(Pi/2  x -
          Pi^2/8 - (x^2 - (3*Pi/2)*x + 5Pi^2/8)), {x, 0, Pi}]

or

\!\(Plot[\((4/Pi^2)\)*
        UnitStep[Pi/2 - x]*\((x*x - Pi^2/4)\) - \((4/Pi^2)\)\ \((1/4)\)*
        UnitStep[x - Pi/2]*\((\((Pi - 2*x)\)*\((3*Pi - 2*x)\))\), {x,
      0, \ \[Pi]}, \[IndentingNewLine]PlotStyle -> {{Thickness[0.009]}, {Hue[
            0.2, 1, 0.5], Thickness[0.015]}, {Hue[0.65, 1, 0.7],
          Thickness[0.006]}, {Hue[0.85, 1, 0.8], Thickness[0.015]}},
    FrameTicks -> {{{0.0001, "\<0\>"}, \[Pi]\/4, \[Pi]\/2, \(3  \[Pi]\)\/4, \
\[Pi]}, {\(-1\), {0.0001, "\<0\>"}, 1}, None, None}, Frame -> True,
    DefaultFont -> {"\<Times\>", 24},
    FrameLabel -> {"\<\[Theta] [rad]\>", "\<E(\[Theta])\>"},
    AspectRatio -> 1]\)

Export["c:/mytex/2004-brainteaser-f3.eps", Out[58], "EPS", ImageSize -> 500]

(****************** alternative Route *******************)

ff[t_] = Integrate[-1*UnitStep[(d/2) - t] + (-1 + 2/Pi(t - (d/2)))*
          UnitStep[t - (d/2)]*UnitStep[Pi/2 - (d/2) - t] + (-2 + 4/Pi t)*
          UnitStep[t - (Pi/2 - (d/2))]*
          UnitStep[Pi/2 + (d/2) - t] + (1 + 2/Pi (t - Pi + (d/2)))UnitStep[
            t - (Pi/2 + (d/2))]*UnitStep[Pi - (d/2) - t] +
        UnitStep[t - (Pi - (d/2))], {d, 0, Pi/2}] // FullSimplify

Plot[(4/Pi)*ff[t], {t, 0, Pi}]

(**************************)
Plot[UnitStep[t - 3 Pi/4] - UnitStep[Pi/4 - t] -
    2(1 - 2 t/Pi)UnitStep[t - Pi/4]UnitStep[3 Pi/4 - t], {t, 0, Pi}]

(**************************)

Plot[4/Pi^2((t^2 - Pi^2/4) - 2UnitStep[t - Pi/2](t - Pi/2)^2),
  {t, 0, Pi}]

(*********** theta-delta plane ***************)

Plot[{0, d/2, Pi/2 - d/2, Pi/2 + d/2, Pi - d/2, Pi}, {d, 0, Pi/2},
  AspectRatio -> 1, Frame -> True]

Show[Plot[{t*2, Pi - t*2, -Pi + 2 t, 2 Pi - t*2}, {t, 0, \[Pi]},
    FrameTicks -> {{{0.0001, "0"}, \[Pi]/4, \[Pi]/2,
          3 \[Pi]/4, \[Pi]}, {{0.0001, "0"}, \[Pi]/4, \[Pi]/2}, None, None},
    PlotRange -> {{0, Pi}, {0, Pi/2}}, Frame -> True,
    DefaultFont -> {"Times", 24},
    PlotStyle -> {{Hue[0, 1, 0.9], Thickness[0.015]}, {Hue[0.2, 1, 0.5],
          Thickness[0.015]}, {Hue[0.65, 1, 0.7],
          Thickness[0.015]}, {Hue[0.85, 1, 0.8], Thickness[0.015]}},
    FrameLabel -> {"\[Theta] [rad]", "\[Delta] [rad]"}, AspectRatio -> 0.5],
  Graphics[{Text[
        StyleForm["1", FontSize -> 34, FontWeight -> "Bold"], {Pi/12,
          3 Pi/8}]}, AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Thickness[0.01], Circle[{Pi/12, 3 Pi/8 + 0.025}, 0.2]},
    AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Text[
        StyleForm["2", FontSize -> 34, FontWeight -> "Bold"], {Pi/4, Pi/8}]},
    AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Thickness[0.01], Circle[{Pi/4, Pi/8 + 0.025}, 0.2]},
    AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Text[
        StyleForm["3", FontSize -> 34, FontWeight -> "Bold"], {Pi/2,
          3 Pi/8}]}, AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Thickness[0.01], Circle[{Pi/2, 3 Pi/8 + 0.025}, 0.2]},
    AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Text[
        StyleForm["4", FontSize -> 34, FontWeight -> "Bold"], {3Pi/4, Pi/8}]},
     AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Thickness[0.01], Circle[{3Pi/4, Pi/8 + 0.025}, 0.2]},
    AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Text[
        StyleForm["5", FontSize -> 34, FontWeight -> "Bold"], {Pi - Pi/12,
          3 Pi/8}]}, AspectRatio -> 1],
  Graphics[{Thickness[0.01], Circle[{Pi - Pi/12, 3 Pi/8 + 0.025}, 0.2]},
    AspectRatio -> 1]]
]

Export["c:/mytex/2004-brainteaser-f2b.eps",Out[111],"EPS",ImageSize\[Rule]500]

Abstract: Correlations in an Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm experiment can be made
stronger than quantum correlations by allowing a single bit of classical
communication between the two sides of the experiment.


\section{Введение}
Рассмотрим следующую задачу.
\newline

\begin{minipage}{15em}

\end{minipage}
$~~~$
\begin{minipage}{15cm}
\normalsize{
	Пусть у нас есть некоторое множество шахматистов, и мы хотим провести турнир, в котором каждый игрок сыграет с каждым ровно по одному разу, но так,
чтобы не было подмножества из $k$ человек, попарно знающих друг друга (чтобы избежать большого количества договорных партий). Тогда если известно, что можно удалить $n$ игроков, чтобы условие выполнялось, то можно удалить не более $kn$ игроков, чтобы условие выполнялось, но <<честно>>
--- то есть множество удаляемых игроков должно быть инвариантно относительно автоморфизмов на <<графе дружбы>>.
}
\end{minipage}
$~~~$
\newline
$~~~$
\newline
$~~~$
\newline
Более общий подход к данной задаче, заключён в следующей теореме (фактически именно это было доказано в [KlLu21], но для удобства читателя мы повторим доказательство в последнем разделе).
\newline
~~~~~
\newline
\textbf{Теорема 1.1 }[KlLu21]\textbf{.}
\textit{
Пусть группа $G$ действует на множестве $U$ и ${\cal F}~-~G$-инвариантное семейство
конечных подмножеств множества $U$, мощности которых ограничены в
совокупности, а $X$ в $U$ --- конечная система представителей для этого
семейства (то есть $X \cap F \neq \varnothing$, для всех $F \in {\cal F}$). Тогда найдётся
$G$-инвариантная система представителей Y такая, что $|Y|  \leqslant |X|\max\limits_{F\in {\cal F}}|F|.$
При этом в качестве $Y$ можно взять следующее множество:
$
Y=\left\{y\in U\;\Bigm|\;
|Gy\cap X| \geqslant {1\over \max\limits_{F\in{\cal F}}|F|}|Gy|\right\}
$.
}

Слово \textit{семейство} здесь понимается как неупорядоченное
семейство, то есть ${\cal F}$ --- это просто некоторое множество подмножеств
множества $U$. Инвариантность семейства ${\cal F}$ следует понимать
естественным образом:
${gF\:=\{gf\;|\; f\in F\}\in{\cal F}}$ для всех $g\in G$ и $F\in{\cal F}$.

Из теоремы 1.1 несложно получается наш случай для графов.
\newline
~~~~~
\newline
\textbf{Следствие 1.1 }[KlLu21]\textbf{.}
\textit{
Пусть $\Gamma$ --- граф и $G$ --- конечный граф. Тогда, если в графе $\Gamma$ можно выбрать конечное множество вершин $X$ так,
чтобы каждый подграф графа $\Gamma$, изоморфный графу $G$, имел хоть одну
вершину из $X$, то
в графе $\Gamma$ можно выбрать конечное множество вершин $Y$, инвариантное
относительно всех автоморфизмов графа~$\Gamma$, так, чтобы опять
каждый подграф графа~$\Gamma$, изоморфный графу $G$, имел хоть одну
вершину из $Y$, причём
$|Y| \leqslant |X|\cdot(\hbox{\rm число вершин графа $G$})$.
}
\newline

Здесь слово \textit{граф} мы понимаем как неориентированный граф. Граф может иметь кратные рёбра и петли, или не иметь.

Как несложно убедиться, оценка в данном следствии может являться равентсвом. Например, если $\Gamma \simeq K_{|V(G)|}$, где $V(G)$ --- это множество вершин в графе $G$, а $K_n$ --- это полный граф на $n$ вершинах.

Несмотря на полученную оценку, логично задаться вопросом, нельзя ли её улучшить, скажем, на больших графах? Так мы приходим к определениям.

\textit{Вершинной представительностью} называют [KlLu21]  $\Upsilon_{\rm v}(K,\Gamma)$
графа $K$ в графе $\Gamma$ минимальное число $n$ такое, что в
графе~$\Gamma$ найдётся множество вершин $X$ мощности $n$,
удовлетворяющее следующему условию:
$$
\hbox{\sl каждый подграф графа $\Gamma$, изоморфный $K$, содержит вершину
из $X$.}
\eqno{(*)}
$$

\textit{Симметричной вершинной представительностью} называют [KlLu21]
$\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(K,\Gamma)$ графа $K$ в графе $\Gamma$ минимальное
число $n$ такое, что в графе $\Gamma$ найдётся инвариантное относительно
всех автоморфизмов множество вершин $X$ мощности $n$ с условием $(*)$.
\newline

Граф $K$ называют [KlLu21]
\textit{вершинно дорогим}, если
$$
\hbox{
$\forall m \in Z$ найдётся граф
$\Gamma_m$ такой, что
}
\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(K,\Gamma_m)=
\Upsilon_{\rm v}(K,\Gamma_m)\cdot(\hbox{|V($K$)|}) \geqslant m.
\eqno{(**)}
$$

Но даже так, на больших графах оценка будет неулучшаема, что легко понять, рассмотрев дизъюнктное объединение $m$ полных графов $K_{|V(G)|}$.

Однако иногда логично наложить ограничение на исходный граф. Например, в задаче про шахматистов можно предположить, что мир шахмат тесен, и наш <<граф дружбы>>$~$связен.

Вершинно дорогой граф $K$ называют [KlLu21]\textit{\(вершинно\) дорогим в классе
графов $\cal K$}, если графы $\Gamma_m$ в $(**)$
могут выбраны из класса~$\cal K$.

Таким образом, мы приходим к основному вопросу, которому посвящена данная работа.
\newline
~~~~~
\newline
\textbf{Вопрос 1} [KlLu21]\textbf{.}
Верно ли, что любой конечный связный граф является дорогим в классе
связных графов?
\newline

В работе [KlLu21] доказано, что любой связный граф без висячих вершин является вершинно дорогим в классе связных графов.
Также доказано, что все связные графы с менее чем пятью вершинами являются вершинно дорогими в классе связных графов.

Так мы получаем, что самый маленький по количеству вершин претендент на роль вершинно недорогого связного графа это $D_5$.

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(36.00,29.00)
\put(5.00,8.00){\line(1,1){10.00}}
\put(15.00,18.00){\line(1,0){20.00}}
\put(15.00,18.00){\circle*{2.00}}
\put(25.00,18.00){\circle*{2.00}}
\put(35.00,18.00){\circle*{2.00}}
\put(5.00,8.00){\circle*{2.00}}
\put(5.00,28.00){\line(1,-1){10.00}}
\put(5.00,28.00){\circle*{2.00}}
\put(20.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{$D_5$}}
\put(20.00,-1.00){\makebox(0,0)[cc]{Рис. 1}}

\end{picture}
\newline

Для этого графа была доказана теорема 1.2.
\newline
~~~~~
\newline
\textbf{Теорема 1.2 }[KlLu21]\textbf{.}
\textit{
Граф $D_5$ не является дорогим в классе вершинно
транзитивных связных графов.
Более точно,
если $\Gamma\supseteq D_5$ --- вершинно транзитивный неориентированный
связный граф,
имеющий больше пяти вершин, и представительность
$\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)$ конечна, то $\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma) < 5 \Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)$.
}
\newline

Мы ответим на Вопрос 1 отрицательно, доказав  более сильный факт (см. Теорему 2.2), из которого
легко будет следовать следующая теорема.
\newline
~~~~~
\newline
\textbf{Теорема 1.3.}
Граф $D_5$ не является вершинно дорогим в классе связных графов.
\newline
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$
\newline
Выражаю благодарность А.А. Клячко и А.Л. Таламбуце за ценные замечания.
\section{Доказательство теоремы 1.3}

\textit{Орбитой вершины v} графа $\Gamma = (V,E)$ назовём множество вершин $V_1(v) =
\left\{g(v)\Bigm|~g\in Aut(\Gamma) \right\}$.
\newline
Очевидно, что множество вершин графа распадается на орбиты: $V(\Gamma) = V_1 \sqcup...\sqcup V_k$.

В каждом графе $\Gamma$ выберем множество вершин $M(\Gamma)$ так, чтобы каждый подграф, изоморфный графу
$D_5$, содержащийся в $ \Gamma$, имел хотя бы одну вершину из множества $M(\Gamma)$ при этом $|M(\Gamma)|=\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma).$ Скажем, что множество $M(\Gamma)$ \textit{отмечено} в графе
$\Gamma$.
В каждом графе $\Gamma$ выберем множество вершин $M_{sym}(\Gamma)$ так, чтобы каждый подграф, изоморфный графу
$D_5$, содержащийся в $ \Gamma$, имел хотя бы одну вершину из множества $M_{sym}(\Gamma)$ при этом $|M_{sym}(\Gamma)|=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)$, а также $M_{sym}(\Gamma)$ являлось инвариантным множеством, относительно $Aut(\Gamma)$. Скажем, что множество  $M_{sym}(\Gamma)$
\textit{симметрично отмечено} в графе $\Gamma$. Будем считать, что $M_{sym}(\Gamma)$ выбирается, исходя из применения теоремы 1.1 к множеству $M(\Gamma)$.

\utv
Пусть связный граф $\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$ такой, что $5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)>0$. Тогда
в графе есть хотя бы две орбиты.
\proof
Для одной орбиты мы получаем вершинно транзитивный связный граф, содержащий подграф, изоморфный графу $D_5$. В этом случае по теореме 1.2 выполнено неравенство $\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma) < 5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)$.
\endproof
Будем говорить, что орбита $A$ \textit{пересекается} с $D_5$, если граф $\Gamma$ содержит подграф, изоморфный графу
$D_5$, у которого хотя бы одна вершина лежит в $A$.
\newline

\begin{lemma}

Пусть связный граф $\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$ такой, что $5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)>0$. Тогда для каждой орбиты $A$ верно, что
$|A \cap M(\Gamma)| \in \{0,\frac{1}{5}|A|\}.$ При этом, если орбита не пересекает
$D_5$, то $|A \cap M(\Gamma)| = 0$, а если орбита $A$
пересекает $D_5$, то
$|A \cap M(\Gamma)|=\frac{1}{5}|A|$.

\proof
Из теоремы 1.1, применённой к семейству ${\cal F} = \{$ все подграфы в  $\Gamma$, изоморфные графу $D_5 \},~X=M(\Gamma)$ и $G=Aut(\Gamma)$, сразу же вытекает, что для любой орбиты A графа $\Gamma$ либо $|A\cap M(\Gamma)|=\frac{1}{5}|A|$ и $A \subseteq M_{sym}(\Gamma)$
, либо $A\cap M(\Gamma) = \varnothing = A\cap M_{sym}(\Gamma)$.
\newline
Теперь остаётся понять, почему орбита $A$, пересекающая $D_5$, содержит отмеченную вершину.
Если орбита содержит подграф, изоморфный графу $D_5$, то доказывать нечего. Допустим, что нет.
Тогда применяя Теорему 1.1 к
\newline
$$U = V(\Gamma) \setminus A,~{\cal F} = \{V(H)\setminus A~|~H \simeq D_5,~H \cap A \neq \varnothing \},~X=M(\Gamma)~\text{и}~ G=Aut(\Gamma),$$
\newline
мы получаем, что симметричное множество представителей $Y$ пусто (поскольку в каждой орбите меньше четверти вершин лежит в $X$),
что является очевидным противоречием.
\endproof
\end{lemma}

\begin{lemma}
Пусть между некоторыми орбитами $A$ и $B$ есть хотя бы одно ребро, и
$ S_1 \subseteq A$ --- некоторое подмножество вершин. Тогда для множества вершин $ S_2 \subseteq B$, связанных хотя бы одним ребром с множеством $S_1$, выполнено неравенство $|S_2| \geqslant |S_1|\frac{|B|}{|A|}$.
\proof
Обозначим $\frac{|S_1|}{|A|}$ за $c$.
Пусть из каждой вершины в $A$, рёбер, ведущих в орбиту $B$, ровно $k$ штук. Тогда из каждой вершины в $B$ ведёт $k \frac{|A|}{|B|}$ рёбер в орбиту $A$.
Теперь предположим, что все рёбра ведущие из множества $S_1$ в орбиту $B$ ведут в подмножество $S_2$. Тогда рёбер, ведущих из $S_1$ в $S_2$, ровно $ck|A|$, значит степень каждой вершины в $S_2$ хотя бы $\frac{c k|A|}{|S_2|}$, но степень каждой вершины из $S_2$ равна
$k \frac{|A|}{|B|}$, значит $\frac{c k|A|}{|S_2|} \leqslant k \frac{|A|}{|B|}$, следовательно
$|S_2| \geqslant c|B|=|S_1|\frac{|B|}{|A|}$.
\endproof
\end{lemma}

\begin{lemma}
Пусть связный граф $~\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$ такой, что
$5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)>0$. Тогда никакая орбита графа $\Gamma$ не содержит подграф, изоморфный графу $D_5$.
\newline
\proof
Сначала заметим, что компоненты связности в одной орбите между собой изоморфны.
В самом деле, переведя автоморфизмом вершину из одной связной компоненты в другую компоненту, связная компонента перейдёт в связную комоненту и установит изоморфизм между компонентами.
Теперь будем рассуждать от противного. Предположим, что некоторая орбита $A$ графа$~\Gamma$ содержит подграф, изоморфный графу $D_5$. Рассмотрим 2 случая:
\newline
1) Cвязная компонента орбиты $A$ не изоморфна $K_5$.

Тогда по теореме 1.2 для каждой связной компоненты $A_i$ орбиты $A$ выполнено неравенство
\newline
$|M(\Gamma)\cap V(A_i)|>\frac{1}{5}|V(A_i)|$, следовательно
$|M(\Gamma)\cap V(A)|>\frac{1}{5}|V(A)|$, но по лемме 2.1 в орбите $A$ отмечено не более $\frac{1}{5}|V(A)|$ вершин.
\newline
2) Cвязная компонента орбиты $A$ изоморфна $K_5$.

Тогда чтобы каждый подграф, изоморфный графу $D_5$, имел вершину из
$M(\Gamma)$, в каждой компоненте изоморфной $K_5$ должна быть хотя бы одна вершина из $M(\Gamma)$. А значит, ровно одна, в силу
леммы 2.1.
Теперь рассмотрим орбиту $B$ из которой есть ребро в орбиту $A$.
По лемме 2.2 хотя бы $\frac{4}{5}|B|$ вершин
имеют общее ребро хотя бы с одной из $\frac{4}{5}|A|$ неотмеченных вершин в $A$. Каждая вершина из $B$, связанная с неотмеченной вершиной из орбиты $A$ принадлежит подграфу, изоморфному графу $D_5$, в котором все остальные вершины неотмечены (рис. 2).
Значит, все вершины из $B$, которые имеют общее ребро с неотмеченной вершиной из $A$ должны быть отмечены в $\Gamma$. Но по лемме 2.1 в орбите $B$ отмечено не более $\frac{1}{5}|B|$ вершин.
\newline
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(116.00,50.00)

\put(50.00,10.00){\circle{2.00}}
\put(70.00,10.00){\circle{2.00}}
\put(60.00,40.75){\circle*{2.00}}
\put(43.80,29.00){\circle{2.00}}
\put(76.20,29.00){\circle{2.00}}
\put(97.00,29.00){\circle*{2.00}}

\put(45.00,29.00){\line(1,0){30.0}}
\put(77.00,28.90){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.00){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.20){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.10){\line(1,0){19.0}}

\put(44.70,29.00){\line(5,4){14.2}}

\put(44.80,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(45.10,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(44.60,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(45.0,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(44.90,28.60){\line(4,-3){24.0}}

\put(51.00,10.00){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.10){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.20){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.30){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.40){\line(1,0){18.0}}

\put(49.58,10.93){\line(1,3){9.67}}
\put(70.42,10.93){\line(-1,3){9.67}}
\put(75.20,29.00){\line(-5,4){14.2}}

\put(49.50,10.9){\line(-1,3){5.7}}

\put(70.10,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(69.90,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(70.00,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(70.20,11.00){\line(1,3){5.7}}

\put(97.00,32.00){\makebox(0,0)[cc]{$b$}}
\put(46.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$a_4$}}
\put(56.00,42.75){\makebox(0,0)[cc]{$a_2$}}
\put(40.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$a_3$}}
\put(76.00,32.00){\makebox(0,0)[cc]{$a_1$}}
\put(74.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$a_5$}}

 \put(84.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{Рис. 2}}

\end{picture}
\newline
На рисунке вершины $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ принадлежат орбите $A$
при этом $a_2\in M(\Gamma)$.
\newline
Вершина $b$ принадлежит
орбите $B$, и пересекается с $D_5$, а значит является отмеченной.
\end{lemma}
\begin{corollary}
Пусть связный граф $\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$ такой, что $5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)>0$. Тогда $\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)<$ $|V(\Gamma)|$.
\proof Пусть $A~-$ некоторая орбита. Тогда по лемме 2.3,
любой подграф, изоморфный графу $D_5$, имеет хотя бы вершину из
$\Gamma \setminus A$, следовательно $\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)\leqslant |V(\Gamma\setminus A)|<|V(\Gamma)|$.
\endproof

\end{corollary}
\begin{definition}
Орбиту $A$ назовём отмеченной, если $A\subseteq M_{sym}(\Gamma)$ и неотмеченной если $A \cap M_{sym}(\Gamma) = \varnothing$.
\end{definition}
Любая орбита либо отмеченная, либо неотмеченная.

\begin{lemma}
Пусть связный граф $\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$ такой, что $5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)>0$. Тогда $M(\Gamma) \subseteq M_{sym}(\Gamma)$.
\proof
Любая отмеченная орбита $A$ пересекается с $D_5$(иначе её можно было бы не отмечать), значит по лемме 2.1
\newline
$|A \cap M(\Gamma)|=\frac{1}{5}|A|$, следовательно, в силу равенства
$5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)=\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)$, в неотмеченных орбитах мы не можем отмечать вершины.
\endproof
\end{lemma}
\begin{lemma}
Для связных графов $\Gamma_1,\Gamma_2,...,\Gamma_k$
выполнено равенство
$|M_{sym}(\Gamma_1 \sqcup \Gamma_2 \sqcup ...\sqcup \Gamma_k)| =$
\newline
$=|M_{sym}(\Gamma_1)|+|M_{sym}(\Gamma_2)|+...+|M_{sym}(\Gamma_k)|$.
\proof
Нетрудно понять, что достаточно доказать утверждение для случая, когда
$\Gamma_1 \simeq \Gamma_2 \simeq ...\simeq \Gamma_k $.
Пусть $V(\Gamma_1)=V_{11}\sqcup\ldots \sqcup V_{1s}$, где
$V_{1r}~-$ орбиты графа $\Gamma_1$. Тогда в силу
$\Gamma_1 \simeq \Gamma_i$, можно считать что
$V(\Gamma_i)=V_{i1}\sqcup\ldots \sqcup V_{is}$ при этом для
любого изоморфизма $\alpha:\Gamma_1\rightarrow\Gamma_i$
верно что $\alpha(V_{1r})=V_{ir}$. Предположим теперь,
что $M_{sym}(\Gamma_1)=V_{11}\sqcup\ldots V_{1j}$.
Тогда в качестве $M_{sym}(\Gamma_1 \sqcup \Gamma_2 \sqcup ...\sqcup \Gamma_k)$ подойдёт множество
$V_{11}\sqcup\ldots V_{1j} \sqcup\ldots\sqcup V_{k1}\sqcup\ldots V_{kj}$.
\endproof
\end{lemma}

\theorem
Для любого связного графа $\Gamma$ $\not\simeq$ $K_5$, содержащего
подграф, изоморфный графу $D_5$, выполнено неравенство: $5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)$ $>\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma)$.
\proof

Предположим, утверждение теоремы 2.2 неверно, тогда рассмотрим контрпример, минимальный по количеству вершин.
По следствию 2.1 в $\Gamma$ есть неотмеченная орбита.
\newline
Рассмотрим неотмеченную орбиту $A$, которая соединена ребром
 с отмеченной орбитой $B$.
По лемме 2.4 имеем $|A\cap M(\Gamma)|=0$, значит по лемме 2.1 получаем, что орбита $A$ не пересекается с $D_5$. Теперь выбросим орбиту $A$.
Далее докажем цепочку неравенств
$$ \Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma) \stackrel{(1)}{\leqslant} \Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma\backslash A)  \stackrel{(2)}{\leqslant} 5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma\backslash A)  \stackrel{(3)}{=}5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma)\stackrel{(4)}{=}\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma).$$

Неравенство $(1)$ выполнено в силу того, что
инвариантное множество вершин относительно
 $Aut(\Gamma\backslash A)$ является инвариантным относительно $Aut(\Gamma)$ и того, что вершины из орбиты $A$ не отмечены.

Неравенство $(2)$ выполнено в силу следствия 1.1.

Равенство $(3)$ выполнено в силу того, что
$D_5$ не пересекает $A$.

Равенство $(4)$ выполнено в силу того, что
$\Gamma$ -- гипотетический контрпример к теореме 2.2.

Так мы получаем, что неравенство (2) является равенством.
\newline
Обозначим компоненты связности $\Gamma\backslash A$ как
$\Gamma_1,\Gamma_2,...,\Gamma_k$, тогда по лемме 2.5 и следствию 1.1. выполнено
\newline
 $$\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma\backslash A) =
 \Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma_1)+...+\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma_k) \leqslant 5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma_1)+...+5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma_k)= 5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma\backslash A).$$ Значит, для всех $\Gamma_i$ выполнено равенство
$\Upsilon_{\rm v}^{\rm sym}(D_5,\Gamma_i)=5\Upsilon_{\rm v}(D_5,\Gamma_i)$, откуда в силу минимальности контрпримера следует, что либо $\Gamma_i$ не содержит подграфа изоморфного $D_5$, либо $\Gamma_i \simeq K_5$.
Но так как ни один $D_5$ не пострадал при удалении орбиты $A$, то вершины из орбиты $B$ по-прежнему будут пересекаться с $D_5$, значит вершины из орбиты $B$ будут принадлежать компоненте изоморфной $K_5$.
В этом случае орбита $A$ пересекается с $D_5$ (рис. 3), следовательно по лемме 2.1, $|A \cap M(\Gamma)|=\frac{1}{5}|A|$, но в то же время по лемме 2.4 выполнено
$M(\Gamma) \subseteq M_{sym}(\Gamma)$ и по нашему предположению
орбита $A$ является неотмеченной, то есть $A \cap M_{sym}(\Gamma) = \varnothing$.
\endproof

\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(116.00,50.00)

\put(50.00,10.00){\circle{2.00}}
\put(70.00,10.00){\circle{2.00}}
\put(60.00,40.75){\circle{2.00}}
\put(43.80,29.00){\circle{2.00}}
\put(76.20,29.00){\circle{2.00}}
\put(97.00,29.00){\circle{2.00}}

\put(45.00,29.00){\line(1,0){30.0}}
\put(77.00,28.90){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.00){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.20){\line(1,0){19.0}}
\put(77.00,29.10){\line(1,0){19.0}}

\put(44.70,29.00){\line(5,4){14.2}}

\put(44.80,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(45.10,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(44.60,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(45.0,28.60){\line(4,-3){24.0}}
\put(44.90,28.60){\line(4,-3){24.0}}

\put(51.00,10.00){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.10){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.20){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.30){\line(1,0){18.0}}
\put(51.00,10.40){\line(1,0){18.0}}

\put(49.58,10.93){\line(1,3){9.67}}
\put(70.42,10.93){\line(-1,3){9.67}}
\put(75.20,29.00){\line(-5,4){14.2}}

\put(49.50,10.9){\line(-1,3){5.7}}

\put(70.10,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(69.90,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(70.00,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(70.20,11.00){\line(1,3){5.7}}
\put(101.00,32.00){\makebox(0,0)[cc]{$a\in A$}}
\put(80.00,32.00){\makebox(0,0)[cc]{$b\in B$}}
\put(76.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{Рис. 3}}

\end{picture}
\newline
На рисунке жирным отмечены рёбра $D_5$, пересекающего орбиту $A$.
\newline
Из теоремы 2.2 легко вытекает теорема 1.3.
\newline

\section{Доказательство теоремы 1.1}
\textit{Доказательство} {[KlLu21].}
Положим $m=\max\limits_{F\in{\cal F}}|F|$ и рассмотрим следующее множество

$
Y=\left\{y\in U\;\Bigm|\;
|Gy\cap X| \geqslant {1\over m}|Gy|\right\}
$
(в частности, $Y$ не содержит точек с бесконечной орбитой).
Ясно, что это множество $G$-инвариантно. Ясно также, что
$|Y| \leqslant m|X|$ (поскольку для каждой орбиты $Gu$ имеет место
неравенство $|Gu\cap Y| \leqslant m|Gu\cap X|$).

Осталось показать, что $Y$ является системой представителей для ${\cal F}$.
Возьмём какое-то множество $F\in{\cal F}$.
Каждое множество $gF$ (где $g\in G$) принадлежит ${\cal F}$ в силу
инвариантности семейства ${\cal F}$ и, следовательно, пересекается с $X$.
Значит,
$$
G=\bigcup_{f\in F}\{g\in G\;|\;gf\in X\}.
$$
Каждое из множеств $\{g\in G\;|\;gf\in X\}$ является
либо пустым, либо объединением конечного числа левых смежных
классов группы $G$ по стабилизатору $St(f)$ точки $f$:
$$
\{g\in G\;|\;gf\in X\}=
\bigcup_{x\in X}\{g\in G\;|\;gf=x\}=$$

$$=\bigcup_{x\in X\cap Gf}g_x\cdot St(f),~
\{\text{где } g_x\in G \text{ фиксированы так, что } g_xf=x\}.
$$
Таким образом, мы получили разложение группы~$G$ в конечное объединение
левых смежных классов по некоторым подгруппам.
Воспользуемся теперь теоремой Б.~Неймана [Neu54] (утверждение~4.5):
если группа $G$ покрывается конечным числом смежных классов по некоторым
\(необязательно разным\) подгруппам: $G=g_1G_1\cup\dots\cup g_sG_s$,
то
\
$\displaystyle\sum {1\over|G:G_i|} \geqslant 1$
\(где обратный к бесконечному кардиналу
считается нулём\).
Следовательно, (учитывая то, что индекс стабилизатора равен длине орбиты)
мы получаем
$$
1 \leqslant \sum_{f\in F}{1\over|G: St(f)|}\cdot|Gf\cap X|=
\sum_{f\in F}{|Gf\cap X|\over|Gf|}.
$$
Поскольку число слагаемых в этой сумме равно $|F|\leqslant m$, по крайней мере
одно из слагаемых должно быть не меньше чем $1/m$, то есть
${|Gf\cap X|/|Gf|} \geqslant 1/m$, что означает $f\in Y$ (по определению
множества $Y$) и завершает доказательство.
\endproof

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
\newline
[KlLu21]	~~~A. A. Klyachko, N. M. Luneva, Invariant systems of representatives, or The cost of symmetry,
Discrete Mathematics, 344:6 (2021), 112361. См. также arXiv:1908.03315.
\newline
[Neu54]		~~~~~~B.H. Neumann, Groups covered by
permutable subsets, J. London Math. Soc., s1-29:2 (1954), 236-248.

\end{document}

\large

Abstract: The paper answers the question posed in a joint paper by A. A. Klyachko and
N. M. Luneva about the optimality of the estimate for the cost of symmetry in
graphs. The original estimate says that if n vertices can be removed from a
connected graph so that there is no connected subgraph of isomorphic $\Gamma$
left in it, then at most $n|V(\Gamma)|$ vertices that form a set invariant
under all automorphisms of the graph so that the graph does not contain a
subgraph isomorphic to $\Gamma$. We will prove that there exists a graph
$\Gamma$ for which this estimate is not optimal.