# Funciones

## Funciones de valor absoluto

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto.
 

### Comprensión del valor absoluto 

Recordemos que en su forma básica 
    la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo.

### Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la .
La  muestra el gráfico de 
  El gráfico de 
  se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en 
    para esta función transformada.

### Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como 
    observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente.
Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto. Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado.
La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

### Resolver una inecuación de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma
donde la expresión 
    (y posiblemente, pero no usualmente 
  ) depende de una variable 
  Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores 
     que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.
Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico.
Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como
Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores 
  tales que la distancia entre 
    y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre 
    y 600 como 
    
  
Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares.
A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva.

### Conceptos clave

1. La función de valor absoluto se utiliza habitualmente para medir las distancias entre los puntos. Vea el .
2. Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se resuelven con la función de valor absoluto. Vea el .
3. El gráfico de la función valor absoluto se parece a una letra V. Tiene un vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Vea el .
4. En una ecuación de valor absoluto, una incógnita de la variable es la entrada de una función de valor absoluto.
5. Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo, espere dos soluciones para la incógnita. Vea el .
6. La ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución. Vea el .
7. La inecuación de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto, pero tiene la forma 
     Se resuelve al delimitar el conjunto de soluciones y luego probar cuáles segmentos están en el conjunto. Vea el .
8. Las inecuaciones de valor absoluto se resuelven gráficamente. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación.

### Aplicaciones en el mundo real
