# Funciones

## Funciones y notación de funciones

Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones.

### Determinar si una relación representa una función

La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango. Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero.
El dominio es 
  El rango es 
 

  
Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada, o variable independiente, y se suele marcar con la letra minúscula 
    Cada valor del rango se conoce también como valor de salida, o variable dependiente, y se suele marcar con letra minúscula 
   
  
Una función 
  es una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio. Es decir, no se repiten los valores x. Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio, 
  está emparejado con exactamente un elemento del rango, 
 

  
Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos "par" e "impar" con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como
  
Observe que cada elemento en el dominio, 
  no está emparejado con exactamente un elemento en el rango, 
  Por ejemplo, el término "impar" corresponde a tres valores del rango, 
  y el término "par" corresponde a dos valores del rango, 
  Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función.
La  compara las relaciones que son funciones y las que no lo son. 

### Uso de la notación de función

Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones.
Para representar "la altura es una función de la edad", empezamos por identificar las variables descriptivas 
  para la altura y 
  para la edad. Las letras 
  y 
  se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos 
  y 
  para representar números y 
  y 
  para representar conjuntos.
 
Recuerde que podemos utilizar cualquier letra para designar la función; la notación 
   nos muestra que 
   depende de 
  El valor 
   debe introducirse en la función 
   para obtener un resultado. Los paréntesis indican que la edad es la entrada en la función; no indican la multiplicación.
También podemos dar una expresión algebraica como entrada a una función. Por ejemplo 
   significa “primero se suman a y b, y el resultado es la entrada para la función f”. Las operaciones deben realizarse en este orden para obtener el resultado correcto.

### Representación de funciones mediante tablas

Un método habitual para representar las funciones es en forma de tabla. Las filas o columnas de la tabla muestran los valores de entrada y salida correspondientes. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación; otras veces, la tabla ofrece algunos ejemplos seleccionados de una relación más completa.
La  indica el número de entrada de cada mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) y el valor de salida del número de días de ese mes. Esta información representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (que no es bisiesto). Observe que, en esta tabla, definimos una función de días al mes 
   donde 
   identifica los meses por un número entero en lugar de por su nombre.
La  define una función 
   Recuerde que esta notación nos dice que 
   es el nombre de la función que toma la entrada 
   y da como salida 
   
La  muestra la edad de los niños en años y sus correspondientes alturas. Esta tabla muestra solo algunos de los datos disponibles sobre la altura y la edad de los niños. Observamos enseguida que esta tabla no representa una función porque el mismo valor de entrada, 5 años, tiene dos valores de salida diferentes, 40 in y 42 in.

### Hallar los valores de entrada y salida de una función 

Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, evaluamos la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida.
Cuando conocemos un valor de salida y queremos determinar los valores de entrada que producirían ese valor de salida, establecemos la salida igual a la fórmula de la función y resolvemos la entrada. La resolución puede producir más de una solución porque diferentes valores de entrada pueden producir el mismo valor de salida.

### Evaluación de funciones en formas algebraicas

Cuando tenemos una función en forma de fórmula, suele ser sencillo evaluar la función. Por ejemplo, la función 
     se puede evaluar elevando al cuadrado el valor de entrada, multiplicando por 3 y restando el producto de 5.

### Evaluación de funciones expresadas en fórmulas

Algunas funciones se definen mediante reglas o procedimientos matemáticos expresados en forma de ecuación. Si es posible expresar la salida de la función con una fórmula que implique la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función en forma algebraica. Por ejemplo, la ecuación 
     expresa una relación funcional entre 
     y 
  Podemos reescribirlo para decidir si 
      es una función de 
  

### Evaluación de una función dada en forma de tabla

Como hemos visto anteriormente, podemos representar funciones en tablas. A la inversa, podemos utilizar la información de las tablas para escribir funciones, y podemos evaluar funciones utilizando las tablas. Por ejemplo, ¿qué tan bien recuerdan nuestras mascotas los buenos recuerdos que compartimos con ellas? Hay una leyenda urbana que dice que un pez dorado tiene una memoria de 3 segundos, pero esto es solo un mito. El pez dorado puede recordar hasta 3 meses, mientras que el pez betta tiene una memoria de hasta 5 meses. Y mientras que la capacidad de memoria de un cachorro no supera los 30 segundos, el perro adulto puede recordar durante 5 minutos. Esto es escaso comparado con un gato, cuya memoria dura 16 horas.
La función que relaciona el tipo de mascota con la duración de su memoria se visualiza más fácilmente con el uso de una tabla. Vea la .http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. Consultado el 24 mar 2014.
A veces, evaluar una función en forma de tabla puede ser más útil que utilizar ecuaciones. Llamemos aquí a la función 
  El dominio de la función es el tipo de mascota y el rango es un número real que representa el número de horas que dura la memoria de la mascota. Evaluamos la función 
     en el valor de entrada de “pez dorado”. Escribiríamos 
  Observe que, para evaluar la función en forma de tabla, identificamos el valor de entrada y el correspondiente valor de salida de la fila pertinente de la tabla. La forma de tabla de la función 
     parece ideal para esta función, más que escribirla en forma de párrafo o función.

### Hallar los valores de una función a partir de un gráfico 

Evaluar una función mediante un gráfico también requiere encontrar el valor de salida correspondiente para un valor de entrada dado, solo que en este caso, encontramos el valor de salida mirando el gráfico. La resolución de una ecuación de función mediante un gráfico requiere encontrar todos los casos del valor de salida dados en el gráfico y observar el valor o valores de entrada correspondientes.

### Cómo determinar si una función es biunívoca 

Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares.
Sin embargo, algunas funciones solo tienen un valor de entrada para cada valor de salida, así como solo tienen una salida para cada entrada. A estas funciones las llamamos funciones biunívocas. A modo de ejemplo, considere una escuela que solo utiliza calificaciones con letras y equivalentes decimales, como se indica en la .
Este sistema de calificación representa una función biunívoca, ya que cada letra de entrada produce un promedio de calificación particular como salida y cada promedio de calificación corresponde a una letra de entrada.
Para visualizar este concepto, veamos de nuevo las dos funciones simples esbozadas en la (a) y la (b). La función de la parte (a) muestra una relación que no es una función biunívoca porque las entradas 
    y 
    producen una salida 
    La función de la parte (b) muestra una relación que es una función biunívoca porque cada entrada está asociada a una única salida.

### Uso de la prueba de la línea vertical

Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical.
Los gráficos más comunes nombran el valor de entrada 
    y el valor de salida 
    y decimos 
    es una función de 
    o 
    cuando la función se llama 
    El gráfico de la función es el conjunto de todos los puntos 
    en el plano que satisface la ecuación 
    Si la función está definida solo para unos pocos valores de entrada, entonces el gráfico de la función son solo unos pocos puntos, donde la coordenada x de cada punto es un valor de entrada y la coordenada y de cada punto es el valor de salida correspondiente. Por ejemplo, los puntos negros del gráfico de la  nos indican que 
    y 
    Sin embargo, el conjunto de todos los puntos 
    lo que cumple con 
    es una curva. La curva mostrada incluye 
    y 
    porque la curva pasa por esos puntos.
La prueba de la línea vertical puede utilizarse para determinar si un gráfico representa una función. Si podemos dibujar cualquier línea vertical que cruce un gráfico más de una vez, entonces el gráfico no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada valor de entrada. Vea la .

###  Utilizar la prueba de la línea horizontal

Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal. Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca.

### Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas

En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos "funciones de la caja de herramientas", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos 
    como variable de entrada y 
    como variable de salida.
A lo largo de este libro veremos con frecuencia estas funciones de la caja de herramientas, sus combinaciones de funciones, sus gráficos y sus transformaciones. Será muy útil si podemos reconocer rápidamente estas funciones de la caja de herramientas y sus características por su nombre, fórmula, gráfico y propiedades básicas de la tabla. Los gráficos y los valores de la tabla de muestra se incluyen con cada función mostrada en la .

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo específico de relación en la que cada valor de dominio, o entrada, conduce exactamente a un valor de rango, o salida. Vea el  y el .
2. La notación de función es un método abreviado para relacionar la entrada con la salida de la forma 
     Vea el  y el .
3. En forma de tabla, una función puede representarse mediante filas o columnas que se refieren a los valores de entrada y salida. Vea el .
4. Para evaluar una función, determinamos un valor de salida para un valor de entrada correspondiente. Las formas algebraicas de una función se pueden evaluar sustituyendo la variable de entrada por un valor determinado. Vea el  y el .
5. Para resolver el valor de una función específica, determinamos los valores de entrada que producen el valor de salida específico. Vea el .
6. La forma algebraica de una función puede escribirse a partir de una ecuación. Vea el  y el .
7. Los valores de entrada y salida de una función pueden identificarse a partir de una tabla. Vea el .
8. Relacionar los valores de entrada con los de salida en un gráfico es otra forma de evaluar una función. Vea el .
9. Una función es biunívoca si cada valor de salida corresponde a un solo valor de entrada. Vea el .
10. Un gráfico representa una función si cualquier línea vertical dibujada en él lo interseca en no más de un punto. Vea el .
11. El gráfico de una función biunívoca pasa la prueba de la línea horizontal. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.
En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa a 
   en función de 
 
 
En los siguientes ejercicios, evalúe 
   a los valores indicados 
 


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar qué gráficos muestran relaciones que son funciones.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico dado es una función biunívoca.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.
En los siguientes ejercicios, determine si la relación representada en forma de tabla representa 
   en función de 
  
 
En los siguientes ejercicios, utilice la función 
   representada en la .
En los siguientes ejercicios, evalúe la función 
   en los valores 
   y 
  

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones, dadas las funciones 
   y 
  
 
1.  
 

2.  
 

3.  
 


### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique 
  en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique 
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique 
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, grafique 
   en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

###  Aplicaciones en el mundo real
