# Geometría analítica

## Rotación de ejes


### Objetivos de aprendizaje

1. Uso de fórmulas de rotación de ejes.
2. Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)

### Objetivo 1: Uso de fórmulas de rotación de ejes.

Si un punto 
 en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo 
 del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son 


Las siguientes fórmulas de rotación de ejes definen la relación entre (x,y) y (x’,y’):

### La práctica hace la perfección

Uso de fórmulas de rotación de ejes:

### Objetivo 2: Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)


Podemos identificar una sección cónica a partir de sus ecuaciones al observar los signos y coeficientes de las variables que se elevan al cuadrado.


### La práctica hace la perfección


Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones.

Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono. La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la .
Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas, en contraste con las secciones cónicas degeneradas, que se muestran en la . La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan. 

### Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general

En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación. 
donde 
    y 
    no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada.
Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término 
    que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término 
    rota la sección cónica siempre que 
  no sea igual a cero. 

### Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado

Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término 
     que alinee los gráficos con los ejes x y y. Cuando añadimos un término 
    , rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo 
     entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones: 
     en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y 
  en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y'. Vea la .
Hallaremos las relaciones entre 
     y 
     en el plano cartesiano con 
     y 
     en el nuevo plano rotado. Vea la .
Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios 
     y 
     Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios 
     y 
     El ángulo 
     se conoce como el ángulo de rotación. Vea la . Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales.
Considere un vector en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas.
Debido a que 
     tenemos representaciones de 
     y 
     en términos del nuevo sistema de coordenadas.

### Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar

Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma 
    en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de 
    y 
    sin 
   , rotando los ejes en una medida de 
    que satisfaga
Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado
donde 
    y 
    no son todos cero. Sin embargo, si 
    entonces tenemos un término 
    que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo 
    donde 
    

###  Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación

Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es
Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma
Se puede demostrar que 
    La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante. El discriminante, 
    es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola.
2. Una sección cónica no degenerada tiene la forma general 
  	   donde 
  	   y 
  	   no son todos cero. Los valores de 
  	   y 
  	   determinan el tipo de sección cónica. Vea el .
3. Las ecuaciones de secciones cónicas con un término 
  	   se han girado alrededor del origen. Vea el .
4. La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas 
  	   y 
  	   sin 
  	  . Vea el  y el .
5. Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada.
En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo 
     que eliminará el término 
     y escriba la ecuación correspondiente sin el término 
    .

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema 
     en el que la ecuación no tiene el término 
    .
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término 
    . A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de 
     con base en la ecuación dada.