# La distribución F y el anova de una vía

## La distribución F y el cociente F

La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución , inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.
Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F.
Para calcular el cociente  se hacen dos estimaciones de la varianza.
1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.
1. SSentre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
2. SSdentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.
Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MSentre es la varianza entre grupos y MSdentro es la varianza dentro de los grupos.
Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática 
MSentre y MSdentro se pueden escribir como sigue:
1.  
 
2.  
 

La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MSentre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MSdentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MSdentro.
La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MSentre como MSdentro deberían estimar el mismo valor.
El cociente 
 
 

Si MSentre y MSdentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MSentre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MSdentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MSentre será generalmente mayor que MSdentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MSdentro sea mayor en una muestra determinada.
Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:
Fórmula del cociente 
 
 
2. n = el tamaño de la muestra
3.  dfnumerador = k – 1
4.  dfdenominador = n – k
5. s2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
6.  
 = la varianza de las medias muestrales
Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.



La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H.

### Notación

La notación para la distribución F es F ~ F
donde df(num) = dfentre y df(denom) = dfdentro 
La media de la distribución F es 
 

### Referencias

Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante)


### Repaso del capítulo

El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA.


### Revisión de la fórmula


 

 

 
 
dfentre = df(num) = k – 1
dfdentro = df(denom) = n – k 
MSentre = 
 
MSdentro = 
 
F = 
 
1. k = el número de grupos
2. n = el tamaño del grupo j
3. s = la suma de los valores del grupo j
4. n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados
5. x = un valor (una observación) de los datos
6.  
 = la varianza de las medias muestrales
7.  
 = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la  son las ponderaciones de los diferentes grupos.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las datos en la  son los goles por partido de los diferentes equipos.

### Tarea para la casa


Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.

H: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Hα: Al menos dos de las medias de grupo µ1, µ2, …, µ5 no son iguales.