# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Coordenadas polares

A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la ). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas.

### Trazar puntos mediante coordenadas polares

Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares 
  en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados 
  y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.
La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada 
  es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo 
  medido en radianes, indica la dirección de 
  Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de 
  y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud 
  en dirección a 
  Aunque midamos 
  primero y luego 
  el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto 
  nos trasladaríamos 
  unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la .

### Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables 
  y 
  
La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la . Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en 
  como el lado adyacente sobre la hipotenusa y 
  como el lado opuesto sobre la hipotenusa.

### Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.

### Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares

Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.

###  Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares

Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen.
2. Para trazar un punto en la forma 
  se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de 
  y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de 
  en dirección a 
  Si 
  es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de 
  en dirección a 
 
Vea el .
3. Si los valores de 
  es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a 
 
Vea el .
4. Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas 
  y 
  Vea el  y el .
5. Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas 
  y 
 
Vea el .
6. La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el , el  y el .
7. El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine 
  para el punto.
En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con 
  Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto.
En los siguientes ejercicios, trace los puntos.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular.

### En tecnología


### Extensiones

En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar.