# Funciones polinómicas y racionales

## Inversas y funciones radicales

Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio.
El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental.
Hemos escrito el volumen 
  en términos de radio 
  Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula
Esta función es la inversa de la fórmula de 
  en términos de 
  
En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso.

### Hallar la inversa de una función polinómica

Dos funciones 
  y 
  son funciones inversas si para cada par de coordenadas en 
  existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, 
  En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas.
Para que una función tenga una inversa, debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa.
Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la . Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua.
Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde 
  se mide horizontalmente, mientras que 
  se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la .
A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma 
  Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento 
 

Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación
Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad 
  la anchura vendrá dada por 
  así que tenemos que resolver la ecuación anterior para 
  y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa.
Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de 
 . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada:
Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de 
 , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos.
Dado que 
  es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será 
  La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces:
Este ejemplo ilustra dos puntos importantes:
1. Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca.
2. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia.
Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación 
 

Advertencia: 
  no es lo mismo que el recíproco de la función 
  Este uso de "–1" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función 
  tendríamos que escribir 
 

Una relación importante entre las funciones inversas es que se "deshacen" entre sí. Si los valores de 
  es la inversa de una función 
  entonces 
  es la inversa de la función 
  En otras palabras, lo que sea que la función 
  haga a 
  
  lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos
y

### Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica

Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa. Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas.

### Resolver aplicaciones de funciones radicales

Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical, tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado.

### 

Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección.

### Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones

Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio.

### Hallar las inversas de las funciones racionales

Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional, especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración.

### Conceptos clave

1. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada.
2. Si los valores de 
  es la inversa de una función 
  entonces 
  es la inversa de la función 
 
Vea el .
3. Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos son invertibles. Vea el .
4. Para hallar la inversa de determinada función, debemos restringirla a un dominio en el que sea biunívoca. Vea el  y el .
5. Cuando hallamos la inversa de una función radical, necesitamos una restricción en el dominio de la respuesta. Vea el  y el .
6. Las funciones inversas y radicales se utilizan para resolver problemas de aplicación. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado.
En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.
En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa.
En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con 
  números reales positivos.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta.