# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con la regla de Cramer


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)

### Objetivo 1: Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)

La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones.



### La práctica hace la perfección


### La práctica hace la perfección

Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por varios métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss-Jordan, utilizando la inversa de una matriz y mediante gráficos. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más adecuados en determinadas situaciones. En esta sección estudiaremos otras dos estrategias para resolver sistemas de ecuaciones.

### Evaluar el determinante de una matriz 2×2

El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección.

### Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables

Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer, esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en  Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”.. La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación.
Para entender la regla de Cramer, vamos a ver de cerca cómo resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones básicas de fila. Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables.
Eliminamos una variable mediante operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para 
  Si la ecuación (2) se multiplica por el contrario del coeficiente de 
  en la ecuación (1), la ecuación (1) se multiplica por el coeficiente de 
  en la ecuación (2) y sumamos las dos ecuaciones, la variable 
  será eliminada.
Ahora, resuelva para 
 

Del mismo modo, resuelva para 
  eliminaremos 
 

Resuelva para 
  da como resultado
Observe que el denominador de ambos 
  y 
  es el determinante de la matriz de coeficientes.
Podemos utilizar estas fórmulas para resolver 
  y 
  pero la regla de Cramer también introduce una nueva notación:
1.  
  determinante de la matriz de coeficientes
2.  
  determinante del numerador en la solución de 
  
3.  
  determinante del numerador en la solución de 
 


La clave de la regla de Cramer es sustituir la columna variable de interés por la columna constante y calcular los determinantes. Podemos entonces expresar 
  y 
  como cociente de dos determinantes.

### Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3

Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas hacia arriba de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo.
Halle el determinante de la matriz 3×3.
1. Aumente 
  con las dos primeras columnas.
  
2. De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: multiplique las entradas por la primera diagonal. Sume el resultado al producto de las entradas de la segunda diagonal. Sume este resultado al producto de las entradas de la tercera diagonal.
3. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas de la primera diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la segunda diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la tercera diagonal.
El álgebra es la siguiente:

### Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables

Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables. La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos.
Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no da ninguna indicación de si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que hacer una eliminación en el sistema.
Considere un sistema de ecuaciones 3 × 3.
donde
Si escribimos el determinante 
  sustituimos la columna 
  con la columna constante. Si escribimos el determinante 
  sustituimos la columna 
  con la columna constante. Si escribimos el determinante 
  sustituimos la columna 
  con la columna constante. Compruebe siempre la respuesta.

### Comprender las propiedades de los determinantes

Hay muchas propiedades de los determinantes. A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz.

### Conceptos clave

1. El determinante para 
  es 
  Vea el .
2. La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son 
 
Vea el .
3. Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el .
4. Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada 
 
Vea el .
5. La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el  y el .
6. Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo: 



### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función determinante en una herramienta gráfica.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. Luego, calcule el determinante. ¿Habrá una solución única? Si es así, halle la solución única.
En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. A continuación, resuelva el sistema para todas las soluciones mediante la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una compañía preocupada por la salud decide hacer una mezcla de frutos secos con almendras, arándanos secos y anacardos cubiertos de chocolate. La información nutricional de estos artículos se muestra en la .

### Ejercicios de repaso


### Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

### Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

###  Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones.

### Fracciones parciales

En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales.

### Matrices y operaciones con matrices

En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas.

### Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única.
En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan.

### Resolver sistemas con inversos

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.

### Resolver sistemas con la regla de Cramer

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones.

### Prueba de práctica

¿El siguiente par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones?
En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución.
En los siguientes ejercicios, grafique las siguientes inecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba la descomposición parcial de fracciones.
En los siguientes ejercicios, realice las operaciones con matrices dadas.
En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva mediante un sistema de ecuaciones lineales.