# Funciones polinómicas y racionales

## Dividir polinomios

El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto.Servicio de Parques Nacionales. "Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014 Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental.
Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos 
    Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura.
Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 
    La longitud del sólido viene dada por 
  la anchura viene dada por 
     Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección.

### Usar la división larga para dividir polinomios

Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga.
Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental.
Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo.
La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos 
     entre 
      mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así:

 
     
Hemos calculado
o
Podemos identificar el dividendo, el divisor, el cociente y el restante.
Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división.

### Usar la división sintética para dividir polinomios

Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1.
Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección.
Divida 
  entre 
  con el algoritmo de la división larga.
La forma final del proceso lucía así:

     
Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema.
La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del "divisor" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal.
A continuación, lo multiplicamos por el "divisor" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es 
  y el restante es 
  El proceso se aclarará en el .

### Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación

La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La división larga de polinomios se utiliza para dividir un polinomio entre cualquier polinomio de grado igual o inferior. Vea el  y el .
2. El algoritmo de la división nos señala que un dividendo polinómico se puede escribir como el producto del divisor y el cociente sumado al restante.
3. La división sintética es un atajo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio en la forma 
  Vea el , el  y el .
4. La división polinómica se utiliza para resolver problemas de aplicación, como el área y el volumen. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos 

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente.
En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura.
En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura.