# Introducción a Cálculo

## Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

Intuitivamente, sabemos lo que es un límite. Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in.https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es.
Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites.

### Comprender la notación de límites

Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia
se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función 
  entonces a medida que la entrada 
  se acerca cada vez más a 
  la coordenada y de salida se acerca cada vez más a 
  Decimos que la salida "se acerca a" 
  
La  proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada 
  se acerca a 
  el valor de salida 
  se acerca a 
  
Escribimos la ecuación de un límite como
Esta notación indica que a medida que 
  se acerca a 
  tanto desde la izquierda de 
  y desde la derecha de 
  el valor de salida se acerca a 
  
Considere la función
Podemos factorizar la función como se muestra.
Observe que 
  no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición, 
  para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la .
Lo que sucede en 
  es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a 
  a cada lado. La notación
indica que a medida que la entrada 
  se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7. 
¿Qué sucede en 
  Cuando 
  no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como
Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como
Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando 
  no está definida en 
  Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que 
  se acerca a 
  aunque la salida en 
  no existe.

### Comprender los límites izquierdo y derecho

Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La  muestra los valores de
como se han descrito anteriormente y se han representado en la .
Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la  son 
  
  y 
  Las salidas correspondientes son 
  y 
  Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de 
  cuando 
  se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función 
  a medida que 
  se acerca a 7.
Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la  son 
  
  y 
  Las salidas correspondientes son 
  
  y 
  Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de 
  cuando 
  se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función 
  a medida que 
  se acerca a 7.
La  muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de 
  dentro del intervalo 
  para producir un valor de salida de 
  dentro del intervalo 
  
También vemos que podemos obtener valores de salida de 
  sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados.
La  proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de 
  observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a 
  a medida que 
  se acerca a 7 por la izquierda y a medida que 
  se acerca a 7 por la derecha.
Para indicar el límite izquierdo, escribimos
Para indicar el límite derecho, escribimos

### Comprender los límites laterales

En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que 
  se acerca a 
  son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función 
  tiene un límites laterales a medida que 
  se acerca a 
  Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe.

### Hallar un límite utilizando un gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que 
  se acerca a 
  observamos el gráfico de la función cuando 
  está muy cerca de 
  En la  observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de 
  
Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de 
  pero cerca de 
  Aquí es donde 
  Vemos que las salidas se acercan a algún número real 
  por lo que hay un límite izquierdo.
Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de 
  pero cerca de 
  Aquí es donde 
  Vemos que las salidas se acercan a algún número real 
  por lo que hay un límite derecho.
Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la , entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado.
Por último, podemos buscar un valor de salida para la función 
  cuando el valor de entrada 
  es igual a 
  El par de coordenadas del punto sería 
  Si ese punto existe, entonces 
  tiene un valor. Si el punto no existe, como en la , entonces decimos que 
  no existe.

### Hallar un límite utilizando una tabla

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de 
  se acercan a 
  de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite 
  
Veamos un ejemplo con la siguiente función:
Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a 
  Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la . Los valores de la tabla muestran que cuando 
  pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando 
  pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75.
Dado que
entonces
Recuerde que 
  no existe.

### Conceptos clave

1. Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor 
  a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad 
  Vea el .
2. Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma 
  que indica que a medida que 
  se acerca a 
  tanto desde la izquierda de 
  y desde la derecha de 
  el valor de salida se acerca a 
  
3. Una función tiene un límite izquierdo si 
  se acerca a 
  a medida que 
  se acerca a 
  donde 
  Una función tiene un límite derecho si 
  se acerca a 
  a medida que 
  se acerca a 
  donde 
  
4. Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales.
5. Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función.
6. Si la función tiene un límite a medida que 
  se acerca a 
  las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada 
  cerca de 
  desde la izquierda y desde la derecha. Vea el .
7. Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a 
  desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el .
8. También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función 
  proporcionado en la .
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que 
  se acerca a 0.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que 
  se acerca a 
  Si la función tiene un límite a medida que 
  se acerca a 
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en 
  En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de 
  Redondee las respuestas a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que 
  se acerca al valor dado.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que 
  se acerca a 
  Si la función tiene un límite a medida que 
  se acerca a 
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Extensiones
