# Funciones

## Composición de las funciones

Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura promedio diaria y, a su vez, la temperatura promedio diaria depende del día particular del año. Observe que acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día.
Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función 
 da el costo 
 de calentar una casa para una determinada temperatura promedio diaria en 
 grados Celsius. La función 
 da la temperatura promedio diaria en el día 
 del año. Para un día cualquiera, 
 significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costos a la temperatura 
 Por ejemplo, podríamos evaluar 
 para determinar la temperatura media diaria del 5.º día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costos a esa temperatura. Escribiríamos 


Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de las funciones, que es el objetivo de esta sección.

### Combinar funciones mediante operaciones algebraicas

La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.
Supongamos que tenemos que sumar dos columnas de números que representan los ingresos anuales por separado de una pareja durante un periodo de años, y el resultado es el total de los ingresos de la familia. Queremos hacer esto para cada año, añadiendo solo los ingresos de ese año y recogiendo luego todos los datos en una nueva columna. Si los valores de 
 es el ingreso de la esposa y 
 es el ingreso del esposo en el año 
 y queremos que 
 represente los ingresos totales, entonces podemos definir una nueva función.
Si esto es cierto para todos los años, entonces podemos centrarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir
Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y cociente para cualquier par de funciones que tengan el mismo tipo de entradas (no necesariamente números) y también el mismo tipo de salidas (que sí tienen que ser números para que se les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que además deben tener las mismas unidades o ninguna cuando sumamos y restamos). De este modo, podemos pensar en funciones de suma, resta, multiplicación y división.
Para dos funciones 
 y 
 con salidas de números reales, definimos nuevas funciones 
 y 
 por las relaciones

### Crear una función por composición de las funciones

Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones. El resultado se conoce como función compuesta. Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:
Leemos el lado izquierdo como 
  compuesto con 
 a las 
  y el lado derecho como 
  de 
 de 
  Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo del círculo abierto 
 se denomina operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando queremos destacar la relación entre las propias funciones sin referirnos a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de las funciones con la multiplicación porque, como hemos aprendido anteriormente, en la mayoría de los casos 
 

También es importante entender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con los paréntesis, comenzando por los más internos y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la función 
 toma la entrada 
 primero y da una salida 
 Entonces la función 
 toma 
 como entrada y produce una salida 


En general, 
 y 
 son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos 
 para todo 
 También veremos que a veces dos funciones solo pueden componerse en un orden concreto.
Por ejemplo, si 
 y 
 entonces
pero
Estas expresiones no son iguales para todos los valores de 
 por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el único valor de entrada 


Observe que el rango de la función interior (la primera función a evaluar) tiene que estar dentro del dominio de la función exterior. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas.

### Evaluar funciones compuestas

Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

### Evaluar funciones compuestas mediante tablas

Cuando se trabaja con funciones dadas como tablas, se leen los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y se trabaja siempre de adentro hacia fuera. Primero evaluamos la función interior y luego utilizamos la salida de la función interior como entrada de la función exterior.

### Evaluar funciones compuestas mediante gráficos

Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar las funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar las tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, desde los ejes 
 y 
 de los gráficos.

### Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas

Cuando se evalúa una función compuesta en la que hemos creado o nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.
Aunque podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una única fórmula que calcule el resultado de una composición 
 Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función como 
 sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula siempre que veamos la variable de entrada.

### Halle el dominio de una función compuesta

Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como 
 depende del dominio de 
 y el dominio de 
 Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como 
 Supongamos que conocemos los dominios de las funciones 
 y 
 por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada 
 cuando 
 podemos ver de inmediato que 
 debe ser miembro del dominio de 
 para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que 
 debe ser miembro del dominio de 
 de lo contrario la segunda evaluación de la función en 
 no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de 
 se compone únicamente de las entradas en el dominio de 
 que producen resultados de 
 pertenecientes al dominio de 
 Observe que el dominio de 
 compuesto con 
 es el conjunto de todas las 
 tal que 
 está en el dominio de 
 y 
 está en el dominio de 



### Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente.

### Ecuación clave


### Conceptos clave

1. Podemos realizar operaciones algebraicas con funciones. Vea el .
2. Cuando las funciones se combinan, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa).
3. La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Vea el  y el .
4. Al interpretar el significado de las funciones compuestas hay que tener en cuenta el orden de composición de las mismas. Vea el .
5. Se puede evaluar una función compuesta evaluando la función interna utilizando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna.
6. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una tabla. Vea el .
7. Se puede evaluar una función compuesta a partir de un gráfico. Vea el .
8. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una fórmula. Vea el .
9. El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Vea el  y el .
10. Al igual que las funciones pueden combinarse para formar una función compuesta, las funciones compuestas pueden descomponerse en funciones más simples.
11. A menudo, las funciones pueden descomponerse de más de una manera. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular 
 y 
 Simplifique sus respuestas.
En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de funciones para hallar 
 Simplifique sus respuestas.
En los siguientes ejercicios, halle las funciones 
 y 
 para que la función dada pueda expresarse como 



### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de 
 que se muestra en la , y 
 que se muestra en la , para evaluar las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de 
 que se muestra en la , 
 que se muestra en la , y 
 que se muestra en la , para evaluar las expresiones.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para 
 que se muestra la  para evaluar cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para 
 que se muestra en la  para evaluar las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular 
 y 


En los siguientes ejercicios, utilice las funciones 
 y 
 para evaluar o encontrar la función compuesta como se indica.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice 
 y 


En los siguientes ejercicios, supongamos que 
 
 y 


En los siguientes ejercicios, halle la composición cuando 
 para todas las 
 y 



### Aplicaciones en el mundo real
