# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias y sus notaciones


### Objetivos de aprendizaje

1. Escribir los primeros términos de una secuencia (IA 12.1.1)
2. Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)

### Objetivo 1: Escribir los primeros términos de una secuencia (AI 12.1.1).

Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de esa hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La dosis de 30 mg se toma en el momento t = 1 hora. ¿Qué cantidad de esta dosis queda al cabo de 1 hora? ¿2 horas? ¿3 horas? ¿4 horas?
Esta lista ordenada de números 27, 24,3, 21,87, 19,68, ... es una secuencia. Cada número en la lista es un término.

La secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo. La secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (elipsis) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números que se cuentan, entonces la secuencia es una secuencia infinita.
A menudo, al trabajar con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos  y dijimos que la expresión 2x era la regla que definía los valores en el rango.

Aunque una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En vez de escribir la función como , la escribiríamos como . El  es el , el término en la enésima posición donde n es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el enésimo término de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia.

Los términos de la secuencia general se denotan de la siguiente forma:  

### La práctica hace la perfección


Escriba los primeros términos de una secuencia.


### Objetivo 2: Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)

A veces, tenemos unos cuantos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o . Para hallar el término general, buscamos patrones en los términos. A menudo, los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos.


### La práctica hace la perfección

Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la .
Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas.

### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es
La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término. Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32.
Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia.
Un tipo de fórmula es la fórmula explícita, que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia, donde 
  es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el 
  término.

El primer término de la secuencia es 
  el segundo término es 
  el tercer término es 
  y así sucesivamente. El 
  término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la 
  potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula 
  con el subíndice 
  La fórmula explícita para esta secuencia es
Ahora que tenemos una fórmula para el 
  término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por 
  en la fórmula.
Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá 
  visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales.
Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el 
  término de la secuencia se muestran en la .
Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la  que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.
Por último, podemos escribir esta secuencia particular como
Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita. El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir
Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente.

### Investigar secuencias alternas

A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como 
  aumenta. Veamos la siguiente secuencia.
Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.

### Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes

Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes. Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.

### Hallar una fórmula explícita

Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del 
  término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases.

### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.
Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva, una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores.
Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define 
  según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente: 
Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término.
Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son 
 .
La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores. 
Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que 

### Usar notación factorial

Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos.  , escrito como 
  es el producto de los enteros positivos de 1 a 
  Por ejemplo, 
Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es 
  El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por 
 

El factorial de cualquier número natural 
  es 
  Por lo tanto, también podemos pensar en 
  cuando 
  

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico.
2. Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el , el  y el .
3. Una fórmula explícita para el 
  término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el .
4. Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores.
5. Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia.
6. Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el  y el .
7. Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva.
8. El factorial de 
  es el producto de todos los enteros de 1 a 
 
Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial.
En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.

### En tecnología

Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica:

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia.
Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente.

Utilizando una TI-83, haga lo siguiente.

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario.

### Extensiones
