# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con inversas


### Objetivos de aprendizaje

1. Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)
2. Evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 (IA 4.6.2)

### Objetivo 1: Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)

Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la denominamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante.


### La práctica hace la perfección


Halle el determinante de las matrices 2 x 2.

### Objetivo 2: Evalúe el determinante de una matriz 3×3 (IA 4.6.2)

Para evaluar el determinante de una matriz 3 × 3, debemos ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante.

El menor de una entrada es el determinante 2×2 que se calcula al eliminar la fila y la columna en el determinante 3×3 que contiene la entrada.

Por ejemplo, hallar el menor de la entrada a1, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la primera fila y la primera columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.

Para calcular el menor de la entrada b2, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.


### Estrategia para evaluar el determinante de una matriz 3 x 3

Para evaluar un determinante 3 × 3 podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna distinta de la primera facilita a veces el trabajo.

Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos.

  

### Expandir por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante 3 x 3.

Para evaluar un determinante 3 × 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón:

NOTA: Podemos evaluar el determinante de una matriz expandiendo los menores a lo largo de cualquier fila o columna. Cuando una fila o una columna tiene una entrada cero, la expansión por esa fila o columna ocasiona menos cálculos.


### La práctica hace la perfección

Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del . Para recibir un rendimiento del  de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema?
Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz.

### Hallar la inversa de una matriz

Sabemos que el multiplicador inverso de un número real 
       es 
       y 
       Por ejemplo, 
       y 
       El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz 
       y su inversa 
       es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante 
       donde 
       representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones. 
La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo, 
      
    
Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades
Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible. Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad, 
       es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si 
       es invertible, entonces 
       es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz 
       y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices 
       y 
 .

### Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices

Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices.

### Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad

Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz 
         se transforma en 
         la matriz aumentada 
         se transforma en 
        
      
Por ejemplo, dado
aumente 
         con la identidad
Realice operaciones de fila con la meta de convertir 
         en la identidad.
1. Cambie la fila 1 y la fila 2.
         
2. Multiplique la fila 2 por 
  y sume a la fila 1.
        
3. Multiplique la fila 1 por 
  y sume a la fila 2.
        
4. Sume la fila 2 a la fila 1.
        
5. Multiplique la fila 2 por 
         

         
La matriz que hemos hallado es 
           

         

### Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula

Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz 
        , podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad.
Si los valores de 
         es una matriz 
        , de forma que
el multiplicador inverso de 
         viene dado por la fórmula
donde 
         Si 
         entonces 
         no tiene inversa.

### Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3

Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz 
         para hallar la inversa de una matriz 
        . En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa.
Dada una matriz 
        
aumente 
         con la matriz identidad
Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y 
         a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz

Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: 
       es la matriz que representa las variables del sistema y 
       es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa, consideremos que 
       representa la matriz de coeficientes, consideremos que 
       representa la matriz variable y que 
       representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema 
       Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones.
A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es
La matriz variable es
Y la matriz constante es

    Luego 
       parece
Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso, 
  Para resolver una sola ecuación lineal 
       por 
       simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de 
       Así,
La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.
Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema 
  y luego pasar a un sistema 
 .

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una matriz identidad tiene la propiedad 
      
      Vea el .
2. Una matriz invertible tiene la propiedad 
      
    Vea el .
3. Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz 
      . Vea el .
4. El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el .
5. Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el .
6. Podemos aumentar una matriz 
       con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el .
7. 	Escriba el sistema de ecuaciones como 
       y multiplique ambos lados por la inversa de 
       Vea el  y el .
8. También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz 
         es la inversa de la matriz 
        
      
En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz 
 .
En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz 
        .

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz.