# Funciones trigonométricas

## Las otras funciones trigonométricas

Una rampa para sillas de ruedas que cumpla las normas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente sea 
   o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa un cociente, por lo que esto significa que por cada 1 pulgada de subida, la rampa deberá tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos, independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntas forman el conjunto de las seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes.

###  Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente 

Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto 
    correspondiente a un ángulo de 
    como se muestra en la . Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas 
    para hallar las otras funciones.
La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y, y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la , la tangente del ángulo 
    es igual a 
    Debido a que el valor de y es igual al seno de 
    y el valor de x es igual al coseno de 
    la tangente del ángulo 
    también puede definirse como 
  La función tangente se abrevia como 
    Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido.
1. La función secante es la recíproca de la función coseno. En la , la secante del ángulo 
     es igual a 
     La función secante se abrevia como 
    
   
2. La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la , la cotangente del ángulo 
     es igual a 
     La función cotangente se abrevia como 
    
   
3. La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la , la cosecante del ángulo 
     es igual a 
     La función cosecante se abrevia como 
    
   
Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer 
    igual al coseno, así como 
    igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la .

### Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente

Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La  muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.
Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es "A", “ll” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, "Smart”, solo el eno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, "Trig”, solo la angente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, "Class,” (clase) solo el oseno y su función recíproca, la secante, son positivos.

### Usar funciones trigonométricas pares e impares

Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto.
Considere la función 
    que se muestra en la . El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y. A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: 
    
    y así sucesivamente. Así que 
     es una función par, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que 
    
  
Consideremos ahora la función 
    que se muestra en la . El gráfico no es simétrico con respecto al eje y. A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que 
    es una función impar, una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que 
    
Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la . El seno del ángulo positivo es 
    El seno del ángulo negativo es -y. La función seno, entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la .

###  Reconocer y utilizar las identidades fundamentales

Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno.

### Formas alternativas de la identidad pitagórica

Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica, 
     Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre 
    
    
La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre 
    
   
Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica. Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o 
     dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas.
Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de 
     representa el tiempo de duración, medido en años, y 
     representa el número de días en el mes de febrero, entonces 
     Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días.

### Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora

Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo.
 Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente.
Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión 
  para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de 
  podríamos pulsar
o

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La tangente de un ángulo es el cociente del valor de y con el valor de x del punto correspondiente en el círculo unitario.
2. La secante, la cotangente y la cosecante son recíprocas de otras funciones. La secante es la recíproca de la función coseno, la cotangente es la recíproca de la función tangente y la cosecante es la recíproca de la función seno.
3. Las seis funciones trigonométricas se determinan a partir de un punto en el círculo unitario. Vea el .
4. Las funciones trigonométricas también se determinan a partir de un ángulo. Vea el .
5. Las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante se determinan con ángulos de referencia. Vea el .
6. Se dice que una función es par si 
   e impar si 
  
 
7. El coseno y la secante son pares; el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares.
8. Las propiedades pares e impares se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el .
9. La identidad pitagórica permite hallar el coseno a partir del seno o el seno a partir del coseno.
10. Las identidades se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el  y el . 
11. Las identidades fundamentales, como la identidad pitagórica, pueden manipularse algebraicamente para producir nuevas identidades. Vea el .
12. Las funciones trigonométricas se repiten a intervalos regulares.
13. El periodo 
   de una función repetitiva 
   es el intervalo más pequeño, tal que 
   para cualquier valor de 
  
 
14. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales se determinan mediante un análisis matemático.
15. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, podemos utilizar una calculadora o un programa informático. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el ángulo en el círculo unitario para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para evaluar la expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para simplificar la expresión.

### Aplicaciones en el mundo real
