# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables


### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) 
2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)

### Objetivo: Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) 

Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo,

es un sistema de ecuaciones lineales

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par ordenado x,y que es una solución para cada ecuación del sistema.


### La práctica hace la perfección

Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.

 en  y  

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)


### La práctica hace la perfección

Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares.

### Introducción a los sistemas de ecuaciones

Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe.
Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y. En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente, que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema.

###  Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.

### Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.

### Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma

Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.

### Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables

Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección 
 . Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como 
 


### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables 

Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como 
 


###  Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias

Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación 
  donde 
  cantidad y 
  precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la .
La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la . El eje 
  representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares.
El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio. Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero.
La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como 
  Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios.

### Conceptos clave

1. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente.
2. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el .
3. Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
4. Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el .
5. Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el .
6. Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el .
7. A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el , el  y el .
8. Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el .
9. La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el .
10. Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de 
  y 
  donde 
  son números distintos de cero. Observe que 
  y 
 


### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada.
En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver.