# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Triángulos no rectángulos: ley de senos

Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la  que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos.

### Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos

En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.
Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:
1. ALA (ángulo-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la .

    
2. AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la .

    
3. LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la .
    
Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la .
Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que 
  y 
  Resolviendo ambas ecuaciones para 
       da dos expresiones diferentes para 
      
    
A continuación, igualamos las expresiones.
Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes.
En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos.
Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo 
       (alfa) es el lado opuesto 
       el ángulo 
       (beta) es el lado opuesto 
       y el ángulo 
       (gamma) es el lado opuesto 
       Vea la .
Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.

### Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA

Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.

###  Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno

Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por 
       donde 
       es la base y 
       es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar 
       antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la , uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica 
  para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos 
       o 
       Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base 
       para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es 
       o 
      
      
Por lo tanto,
De la misma manera,

###  Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos

Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos.
2. Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto.
3. Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el .
4. El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados.
5. Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el  y el .
6. La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el .
7. La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el .
8. Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
     es el lado opuesto 
     es el lado opuesto 
     y 
     es el lado opuesto 
     Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo 
     es el lado opuesto 
     el ángulo 
     es el lado opuesto 
     y el ángulo 
     es el lado opuesto 
    
  
En los siguientes ejercicios, supongamos que 
     es el lado opuesto 
     es el lado opuesto 
     y 
     es el lado opuesto 
     Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado 
     Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo 
  si es posible. Redondee a la décima más cercana.
En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real
