# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables


### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1)

2. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)

### Objetivo 1: Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1) 

Una ecuación lineal con tres variables donde a, b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma . El gráfico de una ecuación lineal con tres variables es un plano.

Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es un conjunto de ecuaciones lineales con tres variables. Por ejemplo,

es un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. La solución está representada por un triple ordenado (x,y,z).


### La práctica hace la perfección


Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.



### Objetivo 2: Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenemos muchas soluciones posibles.

Las soluciones se resumen en la siguiente tabla.


### La práctica hace la perfección

Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo?
Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización.

### Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución 
  lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:
La tercera ecuación se puede resolver para 
  y luego volvemos a sustituir para hallar 
  y 
  Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:
1. Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
2. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.
El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado 
  Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.

### Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo 
  o alguna otra contradicción.

### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables

Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.

### Conceptos clave

1. Un conjunto de soluciones es un triple ordenado 
  que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el .
2. Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el .
3. Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el .
4. Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el .
5. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar.
6. Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el .
7. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea.

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para 
  y 
 


### Aplicaciones en el mundo real
