# Funciones periódicas

## Gráficos de las otras funciones trigonométricas

Sabemos que la función tangente puede utilizarse para calcular distancias, como la altura de un edificio, de una montaña o de un asta de bandera. Sin embargo, ¿qué pasa si queremos medir repeticiones de la distancia? Imagine, por ejemplo, un camión de bomberos estacionado junto a un almacén. La luz giratoria del camión recorría la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente puede utilizarse para calcular aproximadamente esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz de luz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, se extiende eternamente. El gráfico de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas.

### Analizar el gráfico de y = tan x

Comenzaremos con el gráfico de la función tangente, al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que
El periodo de la función tangente es 
  porque el gráfico se repite en intervalos de 
  donde 
  es una constante. Si graficamos la función tangente en 
  con 
  podemos ver el comportamiento del gráfico en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten.
Podemos determinar si la tangente es una función par o impar mediante la definición de tangente.
Por lo tanto, la tangente es una función impar. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se indica en la .
Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero tenemos que determinar cómo se comporta el gráfico donde es indefinido. Si nos fijamos más en los valores cuando 
  podemos utilizar una tabla para determinar una tendencia. Dado que 
  y 
  evaluaremos 
  en las medidas del radián 
  como se muestra en la .
A medida que 
  se aproxima a 
  las salidas de la función aumentan cada vez más. Dado que 
  es una función impar, vemos la correspondiente tabla de valores negativos en la .
Podemos ver que, a medida que 
  se acerca a 
  las salidas son cada vez menores. Recuerde que hay algunos valores de 
  para los cuales 
  Por ejemplo, 
  y 
  En estos valores, la función tangente es indefinida, por lo que el gráfico de 
  tiene discontinuidades en 
  En estos valores, el gráfico de la tangente tiene asíntotas verticales. La  representa el gráfico de 
  La tangente es positiva desde 0 hasta 
  y de 
  con 
  correspondientes a los cuadrantes I y III del círculo unitario.

### Graficar las variaciones de y = tan x

Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general.
Podemos identificar el estiramiento y la compresión horizontal y vertical con los valores de 
  y 
  El estiramiento horizontal se determina normalmente a partir del periodo del gráfico. En el caso de los gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar el estiramiento vertical con un punto del gráfico.
Ddao que no hay valores máximos ni mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como en el caso de las funciones seno y coseno. En su lugar, utilizaremos la expresión factor de estiramiento/compresión cuando nos refiramos a la constante 
  

### Graficar el período de una función tangente estirada o comprimida

Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las propiedades de la función tangente para trazar rápidamente el gráfico de cualquier función tangente estirada o comprimida de la forma 
  Nos centramos en un único periodo de la función que incluye el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función, si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es entonces el intervalo 
  y el gráfico tiene asíntotas verticales en 
  donde 
  En 
  el gráfico saldrá de la asíntota izquierda en 
  pasará por el origen y seguirá aumentando a medida que se acerque a la asíntota de la derecha en 
  Para que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también tenemos que establecer la escala vertical al evaluar realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos utilizar
porque 
  

### Graficar un periodo de una función tangente desplazada 

Ahora, que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, añadiremos un desplazamiento vertical u horizontal (o de fase). En este caso, añadimos 
  y 
  a la forma general de la función tangente.
El gráfico de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica 
  de varias maneras:

### Analizar los gráficos de y = sec x y de y = cscx

La secante fue definida por la identidad recíproca 
  Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en 
  
  etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar 
  al observar el gráfico de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja punteada para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función coseno disminuye, el de la función secante aumenta. Donde el gráfico de la función coseno aumenta, el de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante es indefinida.
El gráfico de la secante tiene asíntotas verticales en cada valor de 
  donde el gráfico del coseno cruza el eje x; esto lo mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que impliquen la secante y la cosecante.
Observe que, debido a que el coseno es una función par, la secante también lo es. Eso es, 
  
Al igual que en el caso de la función tangente, volveremos a referirnos a la constante 
  como el factor de estiramiento, no la amplitud.
Al igual que la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca 
  Observe que la función es indefinida cuando el seno es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 
  
  etc. Dedo que el seno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la cosecante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar 
  al observar el gráfico de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función seno disminuye, el gráfico de la función cosecante aumenta. Donde el gráfico de la función seno aumenta, el gráfico de la función cosecante disminuye.
El gráfico de la cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de 
  donde el gráfico del seno cruza el eje x; los mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas.
Observe que, debido a que el seno es una función impar, la función cosecante también lo es. Eso es, 
  
El gráfico de la cosecante, que se muestra en la , es similar al gráfico de la secante.

### Graficar las variaciones de y = sec x y de y=csc x

En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes.

### Analizar el gráfico de y = cot x

La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente. La cotangente se define por la identidad recíproca 
    Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 
    etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales.
Podemos graficar 
    al observar el gráfico de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . Donde el gráfico de la función tangente disminuye, el gráfico de la función cotangente aumenta. Donde el gráfico de la función tangente aumenta, el gráfico de la función cotangente disminuye.
El gráfico de la cotangente tiene asíntotas verticales en cada valor de 
    donde 
    los mostramos en el siguiente gráfico con líneas discontinuas. Dado que la cotangente es la recíproca de la tangente, 
    tiene asíntotas verticales en todos los valores de 
    donde 
    y 
    en todos los valores de 
    donde 
    tiene sus asíntotas verticales.

### Graficar las variaciones de y = cot x

Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente.

### Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real

Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La función tangente tiene periodo 
  	  
  	 
2.  
  	   es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el , el  y el .
3. La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de 
  	   
  	   da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el  y el .
4.  
  	   da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el  y el .
5. La función cotangente tiene periodo 
  	   y asíntotas verticales en 
  	  
  	 
6. El rango de la cotangente es 
  	   y la función es decreciente en cada punto de su rango.
7. La cotangente es cero en 
  	  
  	 
8.  
  es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el  y el .
9. Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, coteje cada función trigonométrica con uno de los siguientes gráficos.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión de forma que el argumento 
     es positivo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace dos periodos del gráfico de cada una de las siguientes funciones. Identifique el factor de estiramiento, el período y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle y grafique dos periodos de la función periódica con el factor de estiramiento dado, 
     periodo, y desplazamiento de fase.
En los siguientes ejercicios, halle una ecuación para el gráfico de cada función.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: La mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón de cosecante; por lo tanto, tendrá que introducir 
     cuando 
    
   

### Aplicaciones en el mundo real
