# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Modelos exponenciales y logarítmicos


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3)
2. Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5)

### Objetivo 1: Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3)


### Usar modelos exponenciales

Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si tiene una cuenta de ahorros, habrá experimentado el uso de una función exponencial. Hay dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo de la cuenta cuando se devengan los intereses. Si se invierte un capital, P, a un tipo de interés, r, durante t años, el nuevo saldo, A, dependerá de la frecuencia con que se capitalicen los intereses.

### Crecimiento y decaimiento exponencial

Otros temas que se modelan mediante funciones exponenciales son el crecimiento y el decaimiento. Ambos utilizan también la fórmula  que empleamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y el decaimiento, generalmente utilizamos  como la cantidad original en lugar de llamarla  el capital. Vemos que el crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y el decaimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa.

### La práctica hace la perfección


### Objetivo 2: Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5)


### Nivel de decibelios del sonido


Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de decibelios (dB) del sonido. Los decibelios oscilan entre 0, que apenas es audible, y 160, que puede romper un tímpano. El 10-12 de la fórmula representa la intensidad del sonido apenas audible.

La magnitud  de un terremoto se mide mediante una escala logarítmica, denominada escala de Richter. El modelo es  donde  es la intensidad de la onda de choque. Este modelo mide la intensidad de los terremotos.

### La práctica hace la perfección

Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones.
Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, profundizamos en algunas aplicaciones importantes, incluso los isótopos radiactivos y la ley de enfriamiento de Newton.

### Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial

En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:
donde  es igual al valor en el tiempo cero,  es la constante de Euler, y  es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en las aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como la fauna, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial.
Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma  donde  es el valor inicial, y  es la constante de Euler. Ahora  es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la semivida, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la semivida en las aplicaciones relacionadas con los isótopos radiactivos.
A la hora de elegir una función que sirva de modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recogidos mediante una cuidadosa observación y medición para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer su forma. Los gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial tienen una forma distintiva, como podemos ver en la  y la . Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje x, en realidad están a una distancia mínima por encima del eje x.
El crecimiento y el decaimiento exponencial suelen implicar números muy grandes o muy pequeños. Para describir estas cifras, solemos utilizar órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Próxima Centauri, medida en kilómetros, es de 40.113.497.200.000 kilómetros. Expresado en notación científica, esto es  Así, podríamos describir esta cifra como de orden de magnitud  

### Semivida

Ahora pasemos al decaimiento exponencial. Uno de los términos más comunes que se asocian al decaimiento exponencial, como ya se ha indicado arriba, es la semivida, el tiempo que tarda una cantidad que decae exponencialmente en disminuir hasta la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una semivida, y el proceso que describe el decaimiento exponencial de un isótopo se denomina decaimiento radiactivo.
Para hallar la semivida de una función que describe el decaimiento exponencial, resuelva la siguiente ecuación:
Vemos que la semivida depende solo de la constante  y no en la cantidad inicial  
La fórmula se deriva de la siguiente manera

Dado que  el tiempo, es positivo,  debe, como es de esperar, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la semivida

### Datación por radiocarbono

La fórmula del decaimiento radiactivo es importante en la datación por radiocarbono, que se utiliza para calcular la fecha aproximada de la muerte de una planta o de un animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, que ganó el Premio Nobel por su descubrimiento. Compare la diferencia entre el cociente de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de alrededor del 1 % de error para las plantas o animales que murieron en los últimos 60.000 años.
El carbono 14 es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una semivida de 5.730 años. Se encuentra en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono del aire que respiramos. La mayor parte del carbono de la Tierra es carbono 12, que tiene un peso atómico de 12 y no es radiactivo. Los científicos han determinado el cociente entre el carbono 14 y el carbono 12 en el aire durante los últimos 60.000 años, mediante el empleo de anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la relación ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos.
Mientras una planta o un animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos del carbono en su cuerpo se acerca a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 de su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en una muestra en descomposición con la proporción conocida en la atmósfera, se puede calcular aproximadamente la fecha en que murió la planta o el animal.
Dado que la semivida del carbono 14 es de 5.730 años, la fórmula para la cantidad restante después de  años es

donde


Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:
Para calcular la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para  
Por necesidad, dejamos de lado aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al realizar la datación por carbono 14, y solo nos fijamos en la fórmula básica. La proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en la atmósfera es de aproximadamente 0,0000000001%. Supongamos que  es la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en el artefacto orgánico o fósil sujeto a la datación, determinada por un método que recibe el nombre de centelleo líquido. A partir de la ecuación  sabemos que la relación entre el porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos datando y la cantidad inicial de carbono-14 en el objeto cuando se formó es  Resolvemos esta ecuación para  para obtener

### Calcular el tiempo de duplicación

Para las cantidades en decaimiento, determinamos el tiempo que tarda en decaer la mitad de una sustancia. En el caso de las cantidades crecientes, es posible que queramos averiguar el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Como ya lo hemos mencionado, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse recibe el nombre de tiempo de duplicación.
Dada la ecuación básica de crecimiento exponencial 
el tiempo de duplicación se puede calcular al resolver para cuando la cantidad original se ha duplicado, es decir, al resolver 
 
La fórmula se deriva de la siguiente manera:
Así, el tiempo de duplicación es

### Utilizar la ley de enfriamiento de Newton

El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial. Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton, la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente
Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

### Uso de modelos de crecimiento logístico

El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial, aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite.
El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que la producción se acerca al límite superior del modelo, denominada capacidad de carga. Para las constantes 
 y 
 el crecimiento logístico de una población en el tiempo 
 viene representado por el modelo
El gráfico en la  muestra la evolución de la tasa de crecimiento con el paso del tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento aumenta únicamente hasta que alcanza su punto máximo, momento en el que disminuye.

### Elegir un modelo adecuado para los datos

Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015.
Tres tipos de funciones que suelen ser útiles en los modelos matemáticos son las lineales, las exponenciales y las logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen encontrarse aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal sería lo mejor. Si los datos no son lineales, se suele considerar un modelo exponencial o logarítmico, aunque también se pueden considerar otros modelos, como los cuadráticos.
Al momento de elegir entre un modelo exponencial y uno logarítmico, nos fijamos en la forma en que se curvan los datos. Esto se denomina concavidad. Si trazamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran por encima de esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar que es un cuenco que se dobla hacia abajo y que, por tanto, no puede retener el agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos están por debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un cuenco que se dobla hacia arriba y que, por ende, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente el crecimiento o el decaimiento, siempre es cóncava hacia arriba y se aleja de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre es cóncava respecto a su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el más común, la curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba, a la vez que la curva logarítmica siempre es cóncava hacia abajo.
Una curva logística cambia la concavidad. Comienza por ser cóncava hacia arriba y luego pasa a ser cóncava hacia abajo, más allá de un punto determinado, denominado punto de inflexión.
Después de usar el gráfico para elegir un tipo de función como modelo, sustituimos los puntos y resolvemos para hallar los parámetros. Reducimos el error de redondeo al elegir puntos lo más alejados posible.

### Expresar un modelo exponencial con base  

Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son 
 y 
 En ciencia y matemáticas, la base 
 se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base 
 

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La función exponencial básica es 
 Si 
 tenemos un crecimiento exponencial; si 
 tenemos un decaimiento exponencial.
2. También podemos escribir esta fórmula en términos de crecimiento continuo como 
 donde 
 es el valor inicial. Si los valores de 
 es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial cuando 
 y el decaimiento exponencial cuando 

Vea el .
3. En general, resolvemos los problemas que implican crecimiento o decaimiento exponencial en dos pasos. En primer lugar, establecemos un modelo y lo utilizamos para calcular los parámetros. A continuación, utilizamos la fórmula con estos parámetros para predecir el crecimiento y el decaimiento. Vea el .
4. Podemos calcular la edad, 
 de un artefacto orgánico al medir la cantidad, 
 de carbono 14 que queda en el artefacto y utilizar la fórmula 
 para resolver para 

Vea el .
5. Dado el tiempo de duplicación o el tiempo medio de una sustancia, podemos hallar una función que represente su crecimiento o decaimiento exponencial. Vea el .
6. Podemos utilizar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un objeto en enfriarse hasta alcanzar una temperatura deseada, o para calcular qué temperatura tendrá un objeto después de un tiempo determinado. Vea el .
7. Podemos utilizar las funciones de crecimiento logístico para modelar situaciones del mundo real en las que la tasa de crecimiento cambia con el tiempo, como el crecimiento demográfico, la propagación de enfermedades y la difusión de rumores. Vea el .
8. Podemos utilizar los datos del mundo real, recabados a lo largo del tiempo, para observar las tendencias. El conocimiento de los gráficos lineales, exponenciales, logarítmicos y logísticos permite elaborar los modelos que mejor se ajusten a nuestros datos. Vea el .
9. Cualquier función exponencial con la forma 
 puede reescribirse como una función exponencial equivalente con la forma 
 donde 

Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice el modelo de crecimiento logístico 
 

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla pueden representar una función lineal, exponencial o logarítmica.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica y este escenario: la población de una piscifactoría en 
 años se modela mediante la ecuación 
 

### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 125 miligramos de un fármaco que decae aproximadamente 30 % cada hora.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se inyectan a un tumor 
 gramos de yodo 125, que tiene una tasa de decaimiento de 
  por día.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un biólogo registró un recuento de 
 bacterias presentes en un cultivo después de 5 minutos y 1.000 bacterias presentes después de 20 minutos.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una olla de sopa caliente con una temperatura interna de 
 se sacó de la estufa para enfriar a 
 en una habitación. Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 
 
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un pavo se saca del horno con una temperatura interna de 
 y se deja enfriar a 
 en una habitación. Después de media hora, la temperatura interna del pavo es 
 
En los siguientes ejercicios, halle el valor del número que aparece en cada escala logarítmica. Redondee todas las respuestas a la milésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación 
 modela el número de personas de una ciudad que han escuchado un rumor al cabo de t días.
En el siguiente ejercicio, elija la opción correcta.