# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Identidades de suma y resta

¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias.
Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.
En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno

Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la .
Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la .
En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la . El punto 
       está en ángulo 
       desde el eje x positivo con coordenadas 
       y punto 
       está en un ángulo de 
       desde el eje x positivo con coordenadas 
       Observe la medida del ángulo 
       es 
      
    
Marque dos puntos más: 
       en un ángulo de 
       desde el eje x positivo con coordenadas 
       y punto 
       con coordenadas 
       El triángulo 
       es una rotación del triángulo 
       y, por ende, la distancia de 
       con 
       es la misma que la distancia de 
       hasta 
      
    
Podemos determinar la distancia de 
       con 
       con la fórmula de la distancia. 
Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos.
Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de 
       hasta 
      
    
Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos:
Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos.
Por último, restamos 
       de ambos lados y dividimos ambos lados entre 
      
    
Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno

Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente

Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.
Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde, 
      
    
Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.
Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar.

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones

Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es 
       esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es 
       por lo que también son complementos. En la , observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como 
       entonces el otro ángulo agudo debe marcarse 
      
    
Observe también que 
       opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de 
       es igual a la cofunción del complemento de 
       Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.
A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción.
Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando
podemos escribir

### Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades

Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos.
2. Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el  y el .
3. La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el .
4. Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el .
5. La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el .
6. El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el .
7. Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el .
8. Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el  y el .
9. Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de 
         y 
        
      
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos.
En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en 
         ).

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados.