# Pruebas de hipótesis con dos muestras

## Comparación de las medias de dos poblaciones independientes

La comparación de dos medias poblacionales independientes es muy común y proporciona una forma de probar la hipótesis de que los dos grupos difieren entre sí. ¿Es el turno de noche menos productivo que el de día, las tasas de rendimiento de las inversiones en activos fijos son diferentes a las de las inversiones en acciones ordinarias, etc.? Una diferencia observada entre dos medias muestrales depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas de la muestra. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. El estadístico de prueba tendrá que tener en cuenta este hecho. La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin-Welch ideó la fórmula de los grados de libertad que veremos más adelante.
Cuando desarrollamos la prueba de hipótesis para la media y las proporciones, comenzamos con el teorema del límite central. Reconocemos que la media muestral procede de una distribución de medias muestrales, y las proporciones muestrales proceden de la distribución muestral de las proporciones muestrales. Esto convirtió nuestros parámetros, las medias y las proporciones muestrales, en variables aleatorias. Era importante para nosotros conocer la distribución de la que procedían estas variables aleatorias. El teorema del límite central nos dio la respuesta: la distribución normal. Nuestras estadísticas Z y t provienen de este teorema. Esto nos proporcionó la solución a nuestra pregunta de cómo medir la probabilidad de que la media muestral provenga de una distribución con un valor hipotético particular de la media o proporción. En ambos casos esa era la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la media (o proporción) de nuestros datos muestrales proceda de una distribución poblacional con el valor hipotético que nos interesa? 
Ahora nos interesa saber si dos muestras tienen o no la misma media. Nuestra pregunta no ha cambiado: ¿Proceden estas dos muestras de la misma distribución poblacional? Para abordar este problema creamos una nueva variable aleatoria. Reconocemos que tenemos dos medias muestrales: una de cada conjunto de datos. Así, tenemos dos variables aleatorias, procedentes de dos distribuciones desconocidas. Para resolver el problema creamos una nueva variable aleatoria: la diferencia entre las medias muestrales. Dicha variable también tiene una distribución. Nuevamente, el teorema del límite central nos indica que esta nueva distribución se distribuye normalmente, sin importar las distribuciones subyacentes de los datos originales. Un gráfico despejaría este concepto.  
En la imagen aparecen dos distribuciones de datos, X1 y X2, con medias y desviaciones típicas desconocidas. El segundo panel muestra la distribución muestral de la variable aleatoria recién creada (). Esta es la distribución teórica de muchas medias muestrales de la población 1 menos las medias muestrales de la población 2. El teorema del límite central señala que esta distribución muestral teórica de las diferencias de las medias muestrales se distribuye normalmente, sin importar la distribución de los datos reales de la población que se muestran en el panel superior. Dado que la distribución del muestreo se distribuye normalmente, podemos desarrollar una fórmula de estandarización y calcular las probabilidades a partir de la distribución normal estándar del panel inferior, la distribución Z. Ya hemos visto este mismo análisis en la Figura 7.2 del Capítulo 7.
El teorema del límite central, como antes, nos proporciona la desviación típica de la distribución muestral y, además, que el valor previsto de la media de la distribución de las diferencias de las medias muestrales es igual a las diferencias de las medias poblacionales. Matemáticamente, esto se formula de la siguiente manera:
Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar, de la diferencia de las medias muestrales, 
   – 
  .

Recordemos que la sustitución de la varianza de la muestra por la varianza de la población cuando no teníamos la varianza de la población fue la técnica que utilizamos al construir el intervalo de confianza y el estadístico de prueba para comprobar la hipótesis con respecto a una sola media en Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis con una muestra. El estadístico de prueba (puntuación 
  
El número de grados de libertad ( requiere un cálculo algo complicado. Los df no son siempre un número entero. El anterior estadístico de prueba se calcula aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera:

Cuando los tamaños de las muestras n1 y n2 son de 30 o más, la aproximación de la t de Student es muy buena. Si cada muestra tiene más de 30 observaciones, los grados de libertad pueden calcularse como n1 + n2 - 2. 
El formato de la distribución muestral, las diferencias de medias muestrales, especifica que el formato de las hipótesis nula y alternativa es:
donde δ0 es la diferencia hipotética entre las dos medias. Si la pregunta es simplemente: "¿Hay alguna diferencia entre las medias?", entonces δ0 = 0 y las hipótesis nula y alternativa pasan a ser:
Un ejemplo de cuándo δ0 puede no ser cero es cuando la comparación de los dos grupos requiere una diferencia específica para que la decisión sea significativa. Imagine que está haciendo una inversión de capital. Piensa en cambiar su modelo de máquina actual por otro. La productividad de sus máquinas se mide por la velocidad a la que producen el producto. Puede ser que un contendiente para sustituir al modelo antiguo sea más rápido en términos de rendimiento del producto, pero también es más caro. La segunda máquina también puede tener más costes de mantenimiento, de instalación, etc. La hipótesis nula se establecería de forma que la nueva máquina tendría que ser mejor que la antigua en la medida suficiente para cubrir estos costes adicionales en términos de velocidad y coste de producción. Esta forma de las hipótesis nula y alternativa muestra lo valiosa que puede ser esta comprobación de la hipótesis en particular. Para la mayor parte de nuestro trabajo, comprobaremos hipótesis simples al indagar si hay alguna diferencia entre las dos medias de distribución. 

### Referencias

Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013).
“Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013).
“Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013).
“Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013).
“Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013).

### Repaso del capítulo

Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población.
1. Variable aleatoria: 
  = la diferencia de las medias muestrales
2. Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar).

### Repaso de la fórmula

Error estándar: SE = 
    
    
Estadístico de prueba (puntuación t): t = 
 

Grados de libertad: 
 
donde:
 y  son las desviaciones típicas de la muestra, y  y  son los tamaños de las muestras.

 y 
 son las medias muestrales.
Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para:
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales.
Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas.

### Tarea para la casa

Utilice la información del Conjunto de datos del 
Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales.
Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes.