# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Teorema del binomio


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)


### Objetivo 1: Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)

El triángulo de Pascal nos ayuda a calcular los coeficientes de los términos en la expansión de un binomio.

Para hallar los coeficientes de los términos, escribimos de nuevo nuestra expansión centrándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes. La matriz de la derecha se llama triángulo de Pascal.

Observe que en cada expansión las potencias de a en cada término disminuyen de n a 0, y las potencias de b aumentan de 0 a n.

Observe que cada número de la matriz es la suma de los dos números más cercanos de la fila anterior. Podemos hallar la siguiente fila empezando y terminando con uno y luego se suman dos números adyacentes.

Para calcular los coeficientes de la expansión del binomio , vaya a la fila que tiene el valor n como segunda entrada.


### La práctica hace la perfección


Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio.


Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular 
  sin multiplicar el binomio por sí mismo 
  veces.

### Identificación de coeficientes binomiales

En la sección Principios de conteo, estudiamos las combinaciones. En el atajo para calcular 
  necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación 
  en vez de 
  pero se puede calcular de la misma manera. Así que
La combinación 
  se llama coeficiente binomial. Un ejemplo de coeficiente binomial es 
 


### Usar el teorema del binomio

Cuando expandimos 
  multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir 
  podríamos multiplicar 
  por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.
Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de 
  disminuye y el exponente de 
  aumenta. La suma de los dos exponentes es 
  para cada término.
A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:
Estos patrones nos llevan al teorema del binomio, que se puede usar para expandir cualquier binomio.
Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, 
  a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4.
¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio 
  
Vea la , que ilustra lo siguiente:
1. Hay 
  términos en la expansión de 
  
2. El grado (o suma de los exponentes) de cada término es 
  
3. Las potencias en 
  comienzan con 
  y disminuyen a 0.
4. Las potencias en 
  comienzan con 0 y aumentan hasta 
  
5. Los coeficientes son simétricos.
Para determinar la expansión en 
  vemos que 
  por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de 
  el patrón es el siguiente:
1. Introduzca 
  y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en 
  por 1 hasta que 
  se alcance.
2. Introduzca 
  y luego aumente el exponente en 
  por 1 hasta que 
  se alcance.


La siguiente expansión sería
¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal, se muestra en la . Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad.
Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3.a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume 
  para hallar el número del medio, el 2. En la 
  fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.
Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general.

### Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Expandir un binomio con un exponente alto como 
  puede ser un proceso largo.
A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico.
Observe el patrón de coeficientes en la expansión de 
  
El segundo término es 
  El tercer término es 
  Podemos generalizar este resultado.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1.  
  se llama coeficiente binomial y es igual a 
  Vea el .
2. El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el .
3. Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales 


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio.
En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio 
  Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes.

### Extensiones
