# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica.
En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas.

### Verificar las identidades trigonométricas fundamentales 

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.
Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.
Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la ), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades.
La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad 
 se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.
 Compruebe: 
 
De la misma manera, 
 se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la ).
Recordemos que la función impar es aquella en la que 
 para todo 
 en el dominio de 
 La función seno es una función impar porque 
 El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de 
 y 
 La salida de 
 es opuesta a la salida de 
 Así,
Esto se muestra en la .
Recordemos que la función par es aquella en la que
El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. La función coseno es una función par porque 
 Por ejemplo, considere las entradas correspondientes 
 y 
 La salida de 
 es la misma que la salida de 
 Por lo tanto,
Vea la .
Para todos 
 en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente:
1. Dado que 
 seno es una función impar.
2. Dado que, 
 coseno es una función par.
Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente, 
 Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como 
 La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que 
 para todos los 
 en el dominio de la función tangente.
La identidad cotangente, 
 también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como 
 La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que 
 para todos los 
 en el dominio de la función cotangente.
La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como 
 La función cosecante es, por tanto, impar.
Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como 
 La función secante es, por tanto, par. 
En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares.
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la .
El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la .
Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.

### Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.
Por ejemplo, la ecuación 
 se parece a la ecuación 
 que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas.
Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, 
 que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema.
2. El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el .
3. Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el  y el .
4. El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el .
5. Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el .
6. La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el  y el .
7. Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión.
En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión.
En los siguientes ejercicios, verifique la identidad.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad.
En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada.