# Geometría analítica

## La parábola


### Objetivos de aprendizaje

1. Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)
2. Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)

### Objetivo 1: Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)

Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.

Anteriormente, aprendimos a graficar parábolas verticales a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Estos métodos también funcionan aquí.

### La práctica hace la perfección


Representar gráficamente las parábolas verticales.


### Objetivo 2: Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)


Nuestro trabajo hasta ahora solo se ha ocupado de parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones de las parábolas abiertas a la izquierda o a la derecha.


### La práctica hace la perfección

Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: "Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar".
El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética.

### Graficar parábolas con vértices en el origen

En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola. Vea la .
Al igual que la elipse y la hipérbola, la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos 
       en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
En Funciones cuadráticas, aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la . Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco.
El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum. Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia 
  del foco a cualquier punto 
  en la parábola es igual a la distancia de 
     a la directriz.
Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero.
Supongamos que 
     sea un punto de la parábola con vértice 
     foco 
     y directriz 
  como se muestra en la . La distancia 
  desde el punto 
     al punto 
  en la directriz es la diferencia de los valores y: 
     La distancia del foco 
  al punto 
     también es igual a 
    , y se puede expresar mediante la fórmula de distancia.
Establezca las dos expresiones para 
     iguales entre sí y resuelva para 
     para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de 
     al 
     es igual a la distancia de 
     al 
 


A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares.
Las ecuaciones de las parábolas con vértice 
     son 
     cuando el eje x es el eje de simetría y 
     cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.
Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la . Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola.
Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la .

###  Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar

En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales.

### Graficar parábolas con vértices que no están en el origen

Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola 
       unidades en horizontal y 
       unidades en vertical, el vértice será 
       Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con 
       sustituido por 
       y de 
       sustituido por 
      
    
Para graficar parábolas con un vértice 
       que no sea el origen, utilizamos la forma estándar 
       para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y 
       para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.

### Resolver problemas aplicados con parábolas 

Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la . Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.
Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una parábola es el conjunto de todos los puntos 
         en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
2. La forma estándar de una parábola con vértice 
         y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de 
         la parábola se abre a la derecha. Si los valores de 
         la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
3. La forma estándar de una parábola con vértice 
         y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de 
         la parábola se abre. Si los valores de 
         la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
4. Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el .
5. La forma estándar de una parábola con vértice 
         y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de 
         la parábola se abre a la derecha. Si los valores de 
         la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
6. La forma estándar de una parábola con vértice 
         y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de 
         la parábola se abre. Si los valores de 
         la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
7. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


###  Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice 
         foco 
         y directriz 
  de la parábola.
      

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico.
En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación.

###  Aplicaciones en el mundo real
