# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Propiedades logarítmicas


### Objetivos de aprendizaje

1. Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. (IA 5.2.1)
2. Utilizar las propiedades de los logaritmos. (IA 10.4.1)

### Objetivo 1: Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes (AI 5.2.1)


### La propiedad del producto

Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes.
Para multiplicar potencias con la misma base necesitamos ________ exponentes 
Esto nos lleva a la propiedad del producto  

### La propiedad del cociente

Simplifique  
Para dividir potencias con la misma base necesitamos __________ exponentes.
Esto nos lleva a la propiedad del cociente  

### La propiedad de la potencia

Simplifique  
Para elevar una potencia a otra potencia necesitamos __________ exponentes 
Esto nos lleva a la propiedad de la potencia .
También utilizaremos estas otras propiedades:


### La práctica hace la perfección

Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes.

### Objetivo 2: Utilizar las propiedades de los logaritmos (AI 10.4.1).


### La práctica hace la perfección

En química, el pH se utiliza para medir la acidez o alcalinidad de una sustancia. La escala de pH va de 0 a 14. Las sustancias con un pH inferior a 7 se consideran ácidas, y las sustancias con un pH superior a 7 se consideran básicas. Nuestro organismo, por ejemplo, debe mantener un pH cercano a 7,35 para que las enzimas funcionen correctamente. Para hacerse una idea de lo que es ácido y lo que es básico, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes:
1. Ácido de batería: 0,8
2. Acidez estomacal: 2,7
3. Zumo de naranja: 3,3
4. Agua pura: 7 (a 25° C)
5. Sangre humana: 7,35
6. Coco fresco: 7,8
7. Hidróxido de sodio (lejía): 14
Para determinar si una solución es ácida o básica, buscamos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno positivos activos en la solución. El pH se define mediante la siguiente fórmula, donde 
 es la concentración de iones de hidrógeno en la solución
La equivalencia de 
 y 
 es una de las propiedades del logaritmo que examinaremos en esta sección.

### Uso de la regla del producto para los logaritmos

Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se "deshacen" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar.
Por ejemplo, 
 dado que 
 Y 
 dado que 
 
A continuación, tenemos la propiedad inversa.
Por ejemplo, para evaluar 
 podemos reescribir el logaritmo como 
 y luego aplicar la propiedad inversa 
 para obtener 
 
Para evaluar 
 podemos reescribir el logaritmo como 
 y luego aplicar la propiedad inversa 
 para obtener 
 
Por último, tenemos la propiedad biunívoca.
Podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver la ecuación 
 para 
 Debido a que las bases son iguales, podemos aplicar la propiedad biunívoca al igualar los argumentos y resolver para 
 
¿Qué pasa con la ecuación 
 La propiedad biunívoca no nos sirve en este caso. Antes de poder resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar los términos del lado izquierdo de la ecuación.
Recordemos que utilizamos la regla de multiplicación de exponentes para combinar el producto de potencias sumando exponentes: 
 Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, denominada regla del producto de los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Ya que los logaritmos son exponentes, y multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Utilizaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto, a continuación.
Dado un número real cualquiera 
 y números reales positivos 
 y 
 donde 
 mostraremos
Supongamos que 
 y 
 En forma exponencial, estas ecuaciones son 
 y 
 Se deduce que
Observe que la aplicación repetida de la regla del producto para los logaritmos nos permite simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere 
 Con la regla del producto para los logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de sus factores:

### Uso de la regla del cociente para los logaritmos

En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes al restar: 
 La regla del cociente para los logaritmos establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.
Dado un número real cualquiera 
 y números reales positivos 
 
 y 
 donde 
 mostraremos
Supongamos que 
 y 
 En forma exponencial, estas ecuaciones son 
 y 
 Se deduce que
Por ejemplo, para expandir 
 debemos expresar primero el cociente en términos mínimos. Al factorizar y cancelar obtenemos,
A continuación, aplicamos la regla del cociente al restar el logaritmo del denominador al del numerador. Luego aplicamos la regla del producto.

### Usar la regla de la potencia para los logaritmos

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como 
 Un método es el siguiente:
Observe que hemos utilizado la regla del producto para los logaritmos con el fin de hallar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de la potencia para los logaritmos, la cual establece que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada de un logaritmo no se escriba como una potencia, podemos cambiarla por una potencia. Por ejemplo,

### Expandir expresiones logarítmicas

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse "leyes de los logaritmos". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:
Podemos utilizar la regla de la potencia para expandir expresiones logarítmicas que incluyan exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para los logaritmos, por el hecho de que un recíproco es una potencia negativa:
También podemos aplicar la regla del producto para expresar la suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto.
Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, al escribir la respuesta final. Recordemos, sin embargo, que solo podemos hacerlo con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo.

### Condensar expresiones logarítmicas

Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar.

### Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos

La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o 
 utilizamos la fórmula de cambio de base, donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales.
Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad biunívoca y la regla de la potencia para los logaritmos.
Dados cualesquiera números reales positivos 
 y 
 donde 
 como de 
 demostramos
Supongamos que 
Potenciando ambos lados con base 
, llegamos a una forma exponencial, a saber 
 Se deduce que
Por ejemplo, para evaluar 
 con una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como el cociente de logaritmos comunes o naturales. Utilizaremos el logaritmo común.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Podemos utilizar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un producto como la suma de logaritmos. Vea el .
2. Podemos utilizar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un cociente como la diferencia de logaritmos. Vea el .
3. Podemos utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del exponente y el logaritmo de su base. Vea el , el  y el .
4. Podemos utilizar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el , el  y el .
5. Las reglas de los logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base como un solo logaritmo. Vea el , el , el  y el .
6. Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base mediante la fórmula de cambio de base. Vea el .
7. La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y 
 como el cociente de los logaritmos naturales o comunes. De esta manera se puede utilizar la calculadora para evaluar. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, expanda cada logaritmo lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.
En los siguientes ejercicios, condense a un solo logaritmo si es posible.
En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cada uno lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos.
En los siguientes ejercicios, condense cada expresión a un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión como un cociente equivalente de logaritmos con la base indicada.
En los siguientes ejercicios, supongamos 
 y 
 Utilice la fórmula de cambio de base junto con las propiedades de los logaritmos para reescribir cada expresión en términos de 
 y 
 Muestre los pasos para resolver.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar sin usar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base para evaluar cada expresión como cociente de logaritmos naturales. Utilice la calculadora para aproximar cada uno de ellos a cinco decimales.

### Extensiones
