# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Matrices y operaciones con matrices


### Objetivos de aprendizaje

1. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)
2. Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar

### Objetivo 1: Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)

Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión m×n.

Cada número de la matriz se llama elemento o entrada de la matriz.

La matriz de la izquierda de abajo tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene orden 2×3. Decimos que es una matriz 2 por 3.

Utilizaremos una matriz para representar sistemas de ecuaciones.

Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes.

Una línea vertical sustituye los signos de igual.

Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.


### La práctica hace la perfección


Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada


### Objetivo 2: Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar

Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.

Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3, pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán su correspondiente entrada en la otra matriz.

La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.


### La práctica hace la perfección 


Realice las operaciones indicadas

Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La  muestra las necesidades de ambos equipos.
Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento.

### Hallar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas 
 y 
  se muestran a continuación.

###  Descripción de matrices

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones: 
  indicando 
     filas y 
     columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz 
     identificada como 
     buscamos la entrada en la fila 
     columna 
     En la matriz 
     que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es 
    
  
Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones 
  lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz 
     La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada.
Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones 
 
  
Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones 
 
  
Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas.

###  Suma y resta de matrices

Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.
Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz 
  y otra matriz 
 , pero no podemos sumar o restar una matriz 
  y una matriz 
  porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

### Hallar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.
Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la .
Al convertir los datos en una matriz, tenemos
Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz 
       por 0,15.
Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es
Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.
Esto significa que
Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.

### Calcular la multiplicación de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de 
       es una matriz 
  y 
       es una matriz 
 , entonces la matriz producto 
       es una matriz 
 . Por ejemplo, el producto 
       es posible porque el número de columnas en 
       es el mismo que el número de filas en 
       Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.
Multiplicamos las entradas de 
       con entradas de 
       de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales.
Para obtener las entradas de la fila 
       de 
       multiplicamos las entradas de la fila 
       de 
       por columna 
       en 
       y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices 
       y 
       donde las dimensiones de 
       son 
       y las dimensiones de 
       son 
       el producto de 
       será una matriz 
      .
Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto 
      
    
1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de 
         multiplique la primera fila de 
         por la primera columna de 
         y sumamos.
        
2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de 
         multiplique la primera fila de 
         por la segunda columna de 
         y sumamos.
        
3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de 
         multiplique la primera fila de 
         por la tercera columna de 
         y sumamos.
        
Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de 
       En otras palabras, la fila 2 de 
       por la columna 1 de 
       fila 2 de 
       por la columna 2 de 
       fila 2 de 
       por la columna 3 de 
       Cuando se haya culminado, la matriz producto será

### Conceptos clave

1. Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
2. Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de 
  matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el .
3. Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el , el , el  y el .
4. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el .
5. La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el .
6. La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
7. La multiplicación de dos matrices, 
  y 
  se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de 
  por cada entrada de la columna 1 de 
  y multiplicar cada entrada de la fila 1 de 
  por cada entrada en las columnas 2 de 
  y así sucesivamente. Vea el  y el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el .
9. Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: 
  )
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: 
  )

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada.