# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Ajustar modelos exponenciales a los datos


### Objetivos de aprendizaje

1. Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1)
2. Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4)

### Objetivo 1: Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1)

Un diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados que indica una relación entre las variables de un conjunto de datos.

### La práctica hace la perfección

Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos).

### Objetivo 2: Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4)


Podemos hallar una función lineal que se ajuste a los datos del problema anterior al “meterle el ojo” a una línea que parezca ajustarse. Sin embargo, aunque la estimación de una línea funciona relativamente bien, la tecnología puede ayudarnos a encontrar una línea que se ajuste a los datos de la forma más perfecta posible.

Esta línea se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados o modelo de regresión lineal.
La línea de regresión es aquella que más se aproxima a los datos en el diagrama de dispersión, lo que significa que es el mejor ajuste para los datos.
Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones.

### La práctica hace la perfección

Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones.
En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión, para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión, no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros.
No se deje confundir por la palabra modelo. En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función, ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real.
En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real.

### Construir un modelo exponencial a partir de datos

Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial.
Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma 
  o 
  Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas, 
  Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial 
  (suponiendo que 
  
1.  
  deberá ser mayor que cero y no igual a uno.
2. El valor inicial del modelo es 
  
Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación, etiquetado por la variable 
  o 
  (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la "bondad de ajuste" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de 
  en vez de 
  pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos.

### Construir un modelo logarítmico a partir de datos

Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor.
Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas, 
  Para esta función
1. Todos los valores de entrada, 
  deberán ser mayor que cero.
2. El punto 
  está en el gráfico del modelo.
3. Si los valores de 
  el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.
4. Si los valores de 
  el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo.

### Construir un modelo logístico a partir de datos

Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite. Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes.
Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas:
Recordemos que:
1.  
  es el valor inicial del modelo.
2. cuando 
  el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento, 
  En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior 
  
3.  
  es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga, del modelo.

### Conceptos clave

1. La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero.
2. Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma 
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .
3. La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo.
4. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma 
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .
5. La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante a medida que la función se acerca a un límite superior.
6. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma 
  a un conjunto de puntos de datos. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la  hasta la . Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente.

### Numéricos


### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población 
  en un estanque de carpas koi sobre 
  meses se modela mediante la función 
  
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población 
  en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función 
  donde 
  se da en años.
En los siguientes ejercicios, consulte la .


En los siguientes ejercicios, consulte la .


En los siguientes ejercicios, consulte la .


En los siguientes ejercicios, consulte la .


En los siguientes ejercicios, consulte la .

En los siguientes ejercicios, consulte la .


### Extensiones


### Ejercicios de repaso del capítulo


### Funciones exponenciales


### Gráficos de funciones exponenciales


### Funciones logarítmicas


### Gráficos de funciones logarítmicas


### Propiedades logarítmicas


### Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


### Modelos exponenciales y logarítmicos

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 
  miligramos de un fármaco que decae en un 
  cada hora.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de 
  °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de 
 . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 
  
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación 
  modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de 
  días.
En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica.

### Ajuste de modelos exponenciales a los datos

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.