# Geometría analítica

## Secciones cónicas en coordenadas polares

La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas.
En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.

### Identificar una sección cónica en forma polar.

Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola 
       que se muestra en la .
En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco 
       en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
Si los valores de 
       es un punto fijo, el foco, y 
       es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que 
       sea un número fijo positivo, llamado excentricidad, que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos 
       de manera que 
       es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos 
       con la propiedad de que la relación de la distancia de 
       con 
       con la distancia de 
       con 
       es igual a la constante 
      
    
Para una cónica con excentricidad 
      
    
1. si 
     la cónica es una elipse
2. si 
     la cónica es una parábola
3. si 
     la cónica es una hipérbola
Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, 
       la excentricidad 
       y el ángulo 
       Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar, una ecuación escrita en términos de 
       y 
      
    

###  Graficar las ecuaciones polares de las cónicas

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar 
       y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de 
       y resolver para 
       para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que 
       igual a 
       y 
       proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.

###  Definir cónicas en términos de un foco y una directriz

Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

### Conceptos clave

1. Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco 
         en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
2. Una cónica es el conjunto de todos los puntos 
         donde la excentricidad 
         es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el .
3. Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el , el  y el .
4. Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el  y el .
5. Podemos utilizar las identidades 
  y 
  para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


###  Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas.

###  Extensiones

Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término 
         han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con 
         en función de 
        
      

### Ejercicios de repaso del capítulo


### La elipse

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse.

### La hipérbola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola.

### La parábola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

### Rotación de ejes

En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo 
         que eliminará el término 
        , y escriba la ecuación correspondiente sin el término 
        .
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema 
         en el que la ecuación no tiene el término 
        .

### Secciones cónicas en coordenadas polares

En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo 
       que eliminará el término 
      .
En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema 
       sin el término 
      , y exprese el gráfico rotado.
En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.