# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la  representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.

### Expresar el producto como suma

Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.

### Expresar productos como sumas para el coseno

Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:
A continuación, dividimos entre 
         para aislar el producto de los cosenos:

### Expresar el producto del seno y el coseno como suma

A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno. Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno:

### Expresar el producto del seno en términos de coseno

Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno:
De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.

### Expresar suma como producto

Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que 
       y 
      
    
Entonces,
Así, al sustituir 
       y 
       en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos:
Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno.
2. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el , el  y el .
3. También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución.
4. Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el .
5. Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el .
6. Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora.
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.