# Regresión lineal y correlación

## Predicción con una ecuación de regresión


Un valor importante de una ecuación de regresión estimada es su capacidad para predecir los efectos sobre Y de un cambio en uno o más valores de las variables independientes. El valor de esto es evidente. No se puede hacer ninguna política cuidadosa sin estimar los efectos que pueda tener. De hecho, es el deseo de obtener resultados concretos lo que impulsa la formación de la mayoría de las políticas. Los modelos de regresión pueden ser, y han sido, una ayuda inestimable para la elaboración de estas políticas.  

El teorema de Gauss-Markov nos asegura que la estimación puntual del impacto sobre la variable dependiente derivada de poner en la ecuación los valores hipotéticos de las variables independientes que se desea simular dará como resultado una estimación de la variable dependiente que es de varianza mínima e imparcial. Es decir, de esta ecuación sale la mejor estimación puntual imparcial de la y, dados los valores de la x.
Recuerde que las estimaciones puntuales no conllevan un determinado nivel de probabilidad, o nivel de confianza, porque los puntos no tienen un "ancho" por encima del cual haya un área que medir. Por eso hemos desarrollado antes intervalos de confianza para la media y la proporción. Aquí también surge la misma preocupación. En realidad, existen dos enfoques diferentes para la elaboración de estimaciones de los cambios de la variable o variables independientes sobre la variable dependiente. El primer enfoque desea medir el valor medio esperado de y a partir de un cambio específico en el valor de la x: este valor específico implica el valor esperado. En este caso, la pregunta es: ¿Cuál es el impacto medio en la y que resultaría de múltiples experimentos hipotéticos en la y a este valor específico de la x? Recuerde que existe una varianza en torno al parámetro estimado de la x; así, cada experimento dará lugar a una estimación un poco diferente del valor predicho de la y. 
El segundo enfoque para estimar el efecto de un valor específico de la x en la y trata el evento como un solo experimento: se elige la x y se multiplica por el coeficiente; eso proporciona una única estimación de la y. Dado que este enfoque actúa como si hubiera un solo experimento, la varianza que existe en la estimación de los parámetros es mayor que la asociada al enfoque del valor esperado. 
La conclusión es que tenemos dos formas diferentes de predecir el efecto de los valores de la o las variables independientes sobre la variable dependiente; así, tenemos dos intervalos diferentes. Ambas son respuestas correctas a la pregunta planteada, pero con dos preguntas diferentes. Para evitar confusiones, el primer caso en el que pedimos el valor esperado de la media de la y estimada, se denomina intervalo de confianza, tal y como hemos nombrado este concepto anteriormente. El segundo caso, en el que se pide la estimación del impacto sobre la variable dependiente y de un solo experimento utilizando un valor de x, se denomina intervalo de predicción. Las estadísticas de la prueba para estas dos medidas de intervalo dentro de las cuales caerá el valor estimado de la y son:

Donde se es la desviación típica del término de error y sx es la desviación típica de la variable x. 
Los cálculos matemáticos de estas dos estadísticas de la prueba son complejos. Varios paquetes de software ofrecen programas dentro de las funciones de regresión que dan respuestas a las preguntas acerca de los valores estimados de predicción de la y, dados diversos valores elegidos para las variables x. Es importante saber qué intervalo se está probando en el paquete computarizado porque la diferencia en el tamaño de las desviaciones típicas cambiará el tamaño del intervalo estimado. Esto se muestra en la .
La  muestra visualmente la diferencia que supone la desviación típica en el tamaño de los intervalos estimados. El intervalo de confianza, que mide el valor esperado de la variable dependiente, es menor que el intervalo de predicción para el mismo nivel de confianza. El método del valor esperado supone que el experimento se realiza varias veces y no solo una, como en el otro método. La lógica aquí es similar, aunque no idéntica, a la analizada cuando se desarrolla la relación entre el tamaño de la muestra y el intervalo de confianza mediante el teorema del límite central. Allí, a medida que aumentaba el número de experimentos, la distribución se estrechaba y el intervalo de confianza se acortaba más en torno al valor esperado de la media.
También es importante señalar que los intervalos en torno a una estimación puntual dependen en gran medida del rango de datos utilizado para estimar la ecuación, sin importar el enfoque que se utilice para la predicción. Recuerde que todas las ecuaciones de regresión pasan por el punto de las medias, es decir, el valor medio de la y, así como los valores medios de todas las variables independientes de la ecuación. A medida que el valor de la x que se elige para estimar el valor asociado de la y se aleja del punto de las medias, el ancho del intervalo estimado alrededor de la estimación puntual aumenta. La elección de valores de la x más allá del intervalo de los datos utilizados para estimar la ecuación plantea el peligro aun mayor de crear estimaciones de poca utilidad, intervalos muy grandes y riesgo de error. La  muestra esta relación. 
La  demuestra la preocupación por la calidad del intervalo estimado, ya sea uno de predicción o de confianza. A medida que el valor que se elige para predecir la y, Xp en el gráfico, se aleja del peso central de los datos, , observamos que el intervalo se expande, a la vez que se mantiene constante el nivel de confianza. Esto demuestra que la precisión de cualquier estimación disminuirá a medida que se intente predecir más allá del mayor peso de los datos y, con toda seguridad, se degradará rápidamente con respecto a las predicciones más allá del rango de los datos. Desgraciadamente, justo aquí es donde se desea la mayoría de las predicciones. Se pueden hacer, pero la amplitud del intervalo de confianza puede ser tan grande que haga inútil la predicción. Sin embargo, solo el cálculo real y la aplicación concreta pueden determinarlo.