# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones potencia y funciones polinómicas

Supongamos que una determinada especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la .
La población puede estimarse mediante la función 
     donde 
       representa la población de aves de la isla 
       años después de 2009. Podemos utilizar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo se producirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos utilizar para estimar y predecir este tipo de cambios.

### Identificar las funciones potencia

Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La función potencia es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente).
    Como ejemplo, considere las funciones para el área o el volumen. La función para el área de un círculo con radio 
       se
    
    y la función para el volumen de una esfera con radio 
       se 
Ambas son ejemplos de funciones potencia porque constan de un coeficiente, 
  o 
  multiplicado por una variable 
  elevado a una potencia.

### Identificar el comportamiento final de las funciones potencia

La  muestra los gráficos de 
  y 
  que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.
Para describir el comportamiento a medida que aumentan los números, utilizamos la idea del infinito. Utilizamos el símbolo 
  para el infinito positivo y 
  para el infinito negativo. Cuando decimos que " 
  se acerca al infinito", que puede escribirse simbólicamente como 
  describimos un comportamiento; decimos que 
  aumenta sin límites.
Con la función potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Por equivalencia, podríamos describir este comportamiento al afirmar que, a medida que 
  se acerca al infinito positivo o negativo, los valores 
  aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir 
La  muestra los gráficos de 
  que son todas funciones potencia con potencias de números impares y enteros. Observe que estos gráficos son semejantes a los de la función cúbica en la caja de herramientas. De nuevo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo.
Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma 
  revelan simetría de un tipo u otro. En primer lugar, en la  observamos que incluso las funciones de la forma 
  son simétricas con respecto al eje 
 . En la  observamos que las funciones impares de la forma 
  son simétricas respecto al origen.
En estas funciones potencia con números impares, a medida que 
  se acerca al infinito negativo, 
  disminuye sin límites. A medida que 
  se acerca al infinito positivo, 
  aumenta sin límites. En forma simbólica escribimos
El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada disminuyen ( 
  ) y aumentan mucho ( 
  ) se denomina comportamiento final de la función. Podemos utilizar palabras o símbolos para describir el comportamiento final.
La  muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma 
  donde 
  es un número entero no negativo que depende de la potencia y de la constante.

### Identificar funciones polinómicas

Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio 
  del derrame de petróleo depende del número de semanas 
  que han pasado. Esta relación es lineal.
Podemos combinar esto con la fórmula del área 
  de un círculo.
Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas.
Multiplicando se obtiene la fórmula.
Esta fórmula es un ejemplo de función polinómica. Una función polinómica se compone de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es el producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a la potencia de un número entero no negativo.

### Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica

Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

### Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas

Conocer el grado de una función polinómica nos sirve para predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, preste atención al término principal de la función polinómica. Dado que la potencia del término principal es la más alta, ese término crecerá mucho más rápido que los demás términos, a medida que 
  aumenta o disminuye mucho, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. En cualquier polinomio, su comportamiento final coincidirá con el del término del grado más alto. Vea el .

### Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas

Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también nos interesa lo que ocurre en el "medio" de la función. En particular, nos interesan los lugares donde cambia el comportamiento del gráfico. El punto de inflexión es aquel donde los valores de la función pasan de ser crecientes a decrecientes o de decrecientes a crecientes.
También nos interesan las intersecciones. Al igual que en todas las funciones, la intersección en y es el punto en el que el gráfico se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas donde el valor de entrada es cero. Ya que el polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que únicamente puede haber una intersección en y 
  Las intersecciones en x se producen en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Puede haber más de una intersección en x. Vea la .

### Comparar gráficos suaves y continuos

El grado de una función polinómica nos permite determinar el número de intersecciones en 
  y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de grado 
  es el producto de 
  factores, por lo que tendrá como máximo 
  raíces o ceros, o bien intersecciones en 
 . El gráfico de la función polinómica de grado 
  deberá tener como máximo 
  puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores.
La función continua no tiene interrupciones en su gráfico, el cual puede dibujarse sin levantar el bolígrafo del papel. La curva suave es un gráfico que no tiene aristas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave deberán producirse siempre en curvas redondeadas. Los gráficos de las funciones polinómicas son continuos y suaves.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La función potencia es una base variable elevada a una potencia numérica. Vea el .
2. El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye más allá del límite y aumenta más allá del límite se denomina comportamiento final.
3. El comportamiento final depende de que la potencia sea par o impar. Vea el  y el .
4. La función polinómica es la suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una función potencia transformada con número entero positivo. Vea el .
5. El grado de una función polinómica es la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio. El término que contiene la potencia más elevada de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal. Vea el .
6. El comportamiento final de una función polinómica es el mismo que el de la función potencia representada por el término principal de la función. Vea el  y el .
7. Un polinomio de grado 
  tendrá como máximo 
  intersecciones en x y a lo sumo 
  puntos de inflexión. Vea el , el , el , el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la función como función potencia, función polinómica o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, halle el grado y el coeficiente principal del polinomio dado.
En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el menor grado posible de la función polinómica indicada.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico de la función proporcionada es la de una función polinómica. Si es así, determine el número de puntos de inflexión y el menor grado posible para la función.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, construya una tabla para confirmar el comportamiento final de la función.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas con la ayuda de la calculadora. A partir del gráfico, determine las intersecciones y el comportamiento final.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, disponga de la información acerca del gráfico de una función polinómica para determinar la función. Supongamos que el coeficiente principal es 1 o -1. Puede haber más de una respuesta correcta.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice los enunciados escritos para construir una función polinómica que represente la información requerida.