# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables


### Objetivos de aprendizaje

1. Graficar una parábola (IA 11.2.1)
2. Graficar un círculo (IA 11.1.4)

### Objetivo 1: Graficar una parábola (IA 11.2.1)

Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.


### La práctica hace la perfección


### Objetivo 2: Graficar un círculo (IA 11.1.4)

Cualquier ecuación de la forma  es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio. A continuación, podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangulares utilizando el centro y el radio.


### La práctica hace la perfección

Grafique un círculo.
El cometa Halley () orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.

### Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución 

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma 
 Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.

###  Intersección de una parábola y una línea

Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.

### Intersección de un círculo y una línea

Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea.

### Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse.

### Graficar una inecuación no lineal

Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal.
Recordemos que cuando la inecuación es mayor que, 
 o menos que, 
 el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a, 
 o menor que o igual a, 
 el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la .

### Graficar un sistema de inecuaciones no lineales

Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible.

### Conceptos clave

1. Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el .
2. Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el .
3. Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo: (1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el .
4. Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el .
5. Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas.