# Funciones periódicas

## Funciones trigonométricas inversas

Para cualquier triángulo rectángulo, dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.

### Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente

Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la .
Por ejemplo, si 
       entonces escribiríamos 
       Tenga en cuenta que 
       no significa 
       Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:
1. Dado que 
  entonces 
  
2. Dado que 
         entonces 
        
      
3. Dado que 
         entonces 
        
      
En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca, si 
  entonces una función inversa satisfaría 
 

Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La  muestra el gráfico de la función seno limitada a 
  y el gráfico de la función coseno limitada a 
 

La  muestra el gráfico de la función tangente limitada a 
 

Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota.
En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.
1. La función seno inversa 
  significa 
  La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno, y se anota 
 

    
2. La función coseno inversa 
  significa 
  La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno, y se anota 
 

    
3. La función tangente inversa 
  significa 
  La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente, y se anota 
 

    
Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la , la  y la . Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que 
  tiene dominio 
  y rango 
  
  tiene dominio 
  y rango 
  y 
  tiene el dominio de todos los números reales y el rango 
  Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta 
 


### Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente

Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente 
  (30°), 
  (45°) y 
  (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.

### Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN 
 , ARCSIN o ASIN.
En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales.
En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos 
  como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación.

### Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que 
    y 
    son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto 
    y supongamos que 
    y 
    son sus inversos.

### Evaluar composiciones de la forma f(f−1(y)) and f−1(f(x))

Para cualquier función trigonométrica, 
     para todos los 
     en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de 
     se definió como idéntico al dominio de 
     Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma 
    
   

### Evaluar composiciones de la forma f−1(g(x))

Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma 
     Para valores especiales de 
     podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es 
     lo que hace que el otro sea 
     Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la .
Dado que 
     tenemos 
     si 
     Si 
     no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que 
     y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de 
     De la misma manera, 
     por lo que 
     si 
     Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera.

### Evaluar composiciones de la forma f(g−1(x))

Para evaluar composiciones de la forma 
     donde 
     y 
     son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y 
     es cualquier entrada en el dominio de 
     tenemos fórmulas exactas, como 
     Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica, 
     para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas.

### Conceptos clave

1. La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original.
2. Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
3. Para cualquier función trigonométrica 
     si 
     entonces 
     Sin embargo, el que 
     solo implica 
     si 
     está en el dominio restringido de 
    
   Vea el .
4. Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, 
 
Vea el .
5. Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el .
6. Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el .
7. En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo 
    
   Vea el .
8. Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son 
     si 
     y 
     si 
  Vea el  y el .
9. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el .
10. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo 
     en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de 
     con la ayuda de un triángulo de referencia.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle la función si 
 


### Gráficos


### Aplicaciones en el mundo real


### Ejercicios de repaso del capítulo


### Gráficos de las funciones seno y coseno

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

### Gráficos de las demás funciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función 
  donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría.

### Funciones trigonométricas inversas

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora.

### Prueba de práctica del capítulo

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media.
En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas.
En los siguientes ejercicios, supongamos que 
 

En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados.
En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, supongamos 
  Evalúe las siguientes expresiones.

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa.