# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones racionales

Supongamos que sabemos que el costo de fabricación de un producto depende del número de artículos, 
  producidos. Esto viene dado por la ecuación 
  Si queremos saber el costo promedio de producir 
  artículos, dividiríamos la función de costo entre el número de artículos, 
  
La función de costo promedio, que arroja el costo promedio por artículo para 
  artículos producidos, es
Muchos otros problemas de aplicación requieren hallar un valor promedio de forma similar, para darnos variables en el denominador. Esta función, escrita sin ninguna variable en el denominador, contendrá una potencia entera negativa.
En las últimas secciones, hemos trabajado con funciones polinómicas, que son funciones con enteros no negativos para los exponentes. En esta sección, exploramos las funciones racionales, que tienen variables en el denominador.

### Usar la notación de flechas 

Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la , y observe algunas de sus características.
Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de 
  
1. En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x 
  
2. A medida que el gráfico se acerca a 
  desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube.
3. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x 
  
Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que 
  o 
  se acerca a un valor determinado. Vea la .

### Comportamiento local de 
  

Empecemos por ver la función recíproca, 
  No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en 
  por lo que el cero no está en el dominio. A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la .
Escribimos en la notación de flechas
A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la .
Escribimos en la notación de flechas
Vea la .
Este comportamiento crea una asíntota vertical, que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical 
  a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la .

### Comportamiento final de 
  

Dado que los valores de 
  se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de 
  se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la . Simbólicamente, mediante la notación de flechas
 
  
Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal, una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal 
  Vea la .

### Resolver problemas aplicados con funciones racionales

En el , hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función 
  Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales.

### Hallar los dominios de las funciones racionales

La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero.

### Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales

Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación.

### Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores.

### Discontinuidades removibles

En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible.
Por ejemplo, la función 
  puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador.
Observe que 
  es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor, 
  es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que 
  no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor, 
  es la asíntota vertical. Vea la .

### Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales

Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador.
Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales:
Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en 
  
En este caso, el comportamiento final es 
  Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función 
  y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en 
  Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.
Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua.
En este caso, el comportamiento final es 
  Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función 
  A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de 
  parece una línea diagonal, y dado que 
  se comportará de forma similar a 
  se aproximará a una línea cercana a 
  Esta línea es una asíntota oblicua.
Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida 
  El cociente es 
  y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta 
  Vea la .
Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en 
  donde 
  y 
  son los coeficientes principales de 
  como 
  por 
  
En este caso, el comportamiento final es 
  Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función 
  que es una línea horizontal. Dado que 
  lo que da lugar a una asíntota horizontal en 
  Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal.
Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical, el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua).
Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función
con comportamiento final
el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo.

### Graficar funciones racionales

En el , vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios.
Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la .
Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la .
Por ejemplo, el gráfico de 
  se muestra en la .
1. En la intersección en x 
  correspondiente al factor 
  del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor.
2. En la intersección en x 
  correspondiente al factor 
  del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal.
3. En la asíntota vertical 
  correspondiente al factor 
  del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función 
  
4. En la asíntota vertical 
  correspondiente al factor 
  del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho.

### Escribir funciones racionales

Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x, donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x, al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Podemos utilizar la notación de flecha para describir el comportamiento local y el comportamiento final de las funciones de la caja de herramientas 
  y 
 
Vea el .
2. Una función que se nivela en un valor horizontal tiene una asíntota horizontal. Una función puede tener más de una asíntota vertical. Vea el .
3. Los problemas de aplicación que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Vea el .
4. El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que igualan el denominador a cero. Vea el .
5. Las asíntotas verticales de una función racional se darán cuando el denominador de la función sea igual a cero y el numerador sea distinto a cero. Vea el .
6. Puede producirse una discontinuidad removible en el gráfico de una función racional si una entrada hace que tanto el numerador como el denominador sean cero. Vea el .
7. El comportamiento final de una función racional reflejará el de la relación de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Vea el , el , el  y el .
8. Grafique funciones racionales al hallar las intersecciones, el comportamiento en las intersecciones y las asíntotas, así como el comportamiento final. Vea el .
9. Si una función racional tiene intersecciones en x en 
  asíntotas verticales en 
  y ninguna 
  entonces la función se puede escribir de la forma
Vea el 


### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de las funciones racionales.
En los siguientes ejercicios, halle el dominio, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de las funciones.
En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento local y final de las funciones.
En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua de las funciones.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación dada para graficar la función. Observe las asíntotas verticales y horizontales.
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones horizontales, la intersección vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal u oblicua de las funciones. Dibuje un gráfico con esta información.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para una función racional con las características dadas.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una ecuación de la función.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, haga tablas que muestren el comportamiento de la función cerca de la asíntota vertical y que reflejen la asíntota horizontal

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar 
  Utilice el gráfico para resolver 
  

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, identifique la discontinuidad removible.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, exprese una función racional que describa la situación.
En los siguientes ejercicios, utilice la función racional dada para responder la pregunta.
En los siguientes ejercicios, construya una función racional para resolver el problema. A continuación, utilice una calculadora para responder la pregunta.