# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Triángulos no rectángulos: ley de cosenos

Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la . ¿A qué distancia del puerto está el barco?
Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado), o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos.

### Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos

La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático.
Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras, que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo 
       se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice 
       en el origen, el lado 
       dibujado a lo largo del eje x, y el vértice 
       situado en algún punto 
       en el plano, como se ilustra en la . Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica.
Podemos dejar caer una perpendicular desde 
       al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que
En términos de 
  y 
  El punto 
       situado en 
       tiene coordenadas 
          Al utilizar el lado 
       como cateto de un triángulo rectángulo, además de 
       como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa 
       con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto,
La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar.
Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema.

### Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos

Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos.

### Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo

Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos.
2. El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el  y el .
3. La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el  y el .
4. La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
         es el lado opuesto 
         es el lado opuesto 
         y 
         es el lado opuesto 
         Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado 
  Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo 
        
      
En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
         representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo.

### Aplicaciones en el mundo real
