# Funciones polinómicas y racionales

## Modelado mediante la variación

Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión.

### Resolver problemas de variación directa

En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula 
 nos cuenta sus ganancias, 
 provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la .
 Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Cada variable en este tipo de relación varía directamente  con la otra.
La  representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula 
 se utiliza para la variación directa. El valor 
 es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación. En este caso, 
 y 
 


### Resolver problemas de variación inversa

La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula 
 nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F.
Si creamos la , observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye.
Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas.
Para nuestro ejemplo, la  representa la variación inversa. Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula 
 para la variación inversa en este caso utiliza 



### Resolver problemas que implican una variación conjunta

Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable 
  costo, varía junto con el número de estudiantes, 
  y la distancia, 



### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Vea el .
2. Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante.
3. La relación en la que una cantidad es una constante dividida entre otra cantidad se denomina variación inversa. Vea el .
4. Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Vea el .
5. En muchos problemas, la variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Este tipo de relación recibe el nombre de variación conjunta. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo, 
 que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media, 
 que el planeta es del Sol.

###  Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas.

### Ejercicios de repaso del capítulo

Ha llegado al final del capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales. Repasemos algunos de los términos, conceptos y ecuaciones clave que aprendió.

### Números complejos

Realice la operación indicada con números complejos.
Resuelva las siguientes ecuaciones sobre el sistema de números complejos.

### Funciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios, escriba la función cuadrática en forma estándar. A continuación, dé los vértices y las intersecciones de los ejes. Por último, grafique la función.
En los siguientes problemas, halle la ecuación de la función cuadrática con la información dada.
Responda las siguientes preguntas.

### Funciones de potencia y funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, determine si la función es polinómica y, de ser así, dé el grado y el coeficiente principal.
En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de la función polinómica.

### Gráfico de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, halle todos los ceros de la función polinómica; tome nota de las multiplicidades.
En los siguientes ejercicios, a partir del gráfico dado, determine los ceros de la función y tome nota de la multiplicidad.

### Dividir polinomios

En los siguientes ejercicios, utilice la división larga para hallar el cociente y el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. Si el divisor es un factor, entonces escriba la forma factorizada.

### Ceros de funciones polinómicas

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para resolver la ecuación polinómica.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de los signos de Descartes para calcular el número posible de soluciones positivas y negativas.

### Funciones racionales

En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas verticales y horizontales, y luego úsales para trazar un gráfico.
En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua.

### Funciones inversas y radicales

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función con el dominio dado.

### Modelado mediante la variación

En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la incógnita.
En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de aplicación.

### Examen del capítulo

Realice la operación indicada o resuelva la ecuación.
Diga el grado y el coeficiente principal de la siguiente función polinómica.
Determine el comportamiento final de la función polinómica.
Escriba la función cuadrática en forma estándar. Determine el vértice y las intersecciones de los ejes y grafique la función.
Dada la información acerca del gráfico de una función cuadrática, halle su ecuación.
Resuelva el siguiente problema de aplicación.
Halle todos los ceros de las siguientes funciones polinómicas; tome nota de las multiplicidades.
A partir del gráfico, determine los ceros de la función y las multiplicidades.
Utilice la división larga para hallar el cociente.
Utilice la división sintética para hallar el cociente. Si el divisor es un factor, escriba la forma factorizada.
Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros de las funciones polinómicas.
Dada la siguiente información en torno a una función polinómica, halle la función.
Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas.
En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas horizontales y verticales, y trace un gráfico.
Halle la asíntota oblicua de la función racional.
Halle la inversa de la función.
Calcule el valor de la incógnita.
Resuelva el siguiente problema de aplicación.