# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Coordenadas polares: gráficos

Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la . Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares, representadas como 
  Interpretamos 
  como la distancia al Sol y 
  como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares.

### Probar la simetría de las ecuaciones polares

Al igual que una ecuación rectangular como 
  describe la relación entre 
  y 
  en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre 
  y 
  en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas 
  indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de 
  y extiende un rayo desde el polo (origen) de 
  unidades en la dirección de 
  Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.
La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de 
  para determinar el gráfico de una ecuación polar.
En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea 
  (eje y). Reemplazamos 
  con la 
  para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación 
 

Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea 
 

En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje 
 ). Reemplazamos 
  con la 
  o 
  para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación 
  
El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar.
En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos 
  con la 
  para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación 
  
La ecuación no ha superado la prueba de simetría, pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea 
  el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta.

### Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos

Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de 
  y 
 . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores 
  y 
 . Introducimos valores de 
  en una ecuación polar y calculamos 
  Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de 
  y 
  significa que se necesitarán menos cálculos.

### Hallar ceros y máximos

Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de 
  que resultan en 
  Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para 
  Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca 
  y resuelva para 
 

Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de 
  en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que 
  la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando 
  por lo que nuestra ecuación polar es 
  y el valor 
  producirá el máximo 
 

Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando 
  y si nuestra ecuación polar es 
  el valor 
  producirá el máximo 
  Podemos hallar información adicional calculando los valores de 
  cuando 
  Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar.

### Investigar sobre círculos

Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares.
Existen cinco curvas polares clásicas: cardioides, caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes. Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones.

### Investigar las cardioides

Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola.

### Investigar sobre caracoles de Pascal

La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo, a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando 
  y caracoles de Pascal convexos cuando 
  
Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno, recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer(1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing. Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió.

### Investigar las lemniscatas

La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito 
  o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición.

###  Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea) 

El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón.

### Investigar sobre la espiral de Arquímedes

La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica.

### Resumen de curvas

En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La  y la  resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.

### Conceptos clave

1. Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea 
  el eje polar, o el polo.
2. Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el .
3. Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para 
  y 
 

4. El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor 
  que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica.
5. Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer 
  y resolver 
 
Vea el .
6. Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por 
  y 
 
Vea el .
7. Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por 
  y 
  por 
   y 
 
Vea el .
8. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por 
  y 
  por 
 
Vea el .
9. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por 
  y 
  por 
   y 
 
Vea el .
10. Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por 
  y 
  donde 
 
Vea el .
11. Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por 
  y 
  donde 
  si 
  es par, hay 
  pétalos, y si 
  es impar, hay 
  pétalos. Vea el  y el .
12. La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por 
   Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de 
  y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección.