# Introducción a Cálculo

## Derivadas

El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo.
Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %.https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/
¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo.

### Hallar la tasa media de cambio de una función

Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos.
Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto.
 representa la función 
  Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva. 
Imaginemos un punto en la curva de la función 
  en 
  como se muestra en la . Las coordenadas del punto son 
  Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de 
  con un valor x incrementado en algún pequeño número real 
  Las coordenadas de este segundo punto son 
  para algún valor positivo 
  
Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos 
  y 
  llamada una línea secante, si aplicamos la fórmula de la pendiente,
 
  
Utilizamos la notación 
  para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos.
La pendiente 
  es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos 
  y 
  

### Comprender la tasa instantánea de cambio

Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos 
  en la  cada vez más pequeño. Luego 
  se acercarán a 
  a medida que 
  se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto 
  se acercará al primer punto, 
  Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en 
  y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en 
  Vea la .
Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en 
  podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función 
  en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio, o la derivada de la función en 
  Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en 
  con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función 
  tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en 
  se escriben como 
  y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha.
La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia.

### Derivadas: interpretaciones y notación

La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función.
1. La derivada de una función 
  en un punto 
  es la pendiente de la línea tangente a la curva 
  en 
  La derivada de 
  en 
  se escribe 
  
2. La derivada 
  mide cómo cambia la curva en el punto 
  
3. La derivada 
  se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función 
  en 
  
4. Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo 
  

### Hallar derivadas de funciones racionales

Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido.

### Hallar derivadas de funciones con raíces

Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado.

### Hallar tasas instantáneas de cambio

Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea. Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por 
  donde 
  se mide en segundos y 
  se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la  como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico s-t".

### Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio

Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en 
  al observar la pendiente de la curva de la función 
  en 
  Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en 
  y al calcular su pendiente.

### Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real

Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en 
  es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función 
  es
Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada.
Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir 
  artículos viene dado por 
  en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de 
  en el dominio de la función. En otras palabras, 
  se interpreta como un costo marginal, el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando 
  artículos se han producido. Por ejemplo, 
  es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos. 
  significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares.

### Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función

Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función 
  tiene una derivada en 
 . Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en 
 . Si se grafica la función 
  es diferenciable, es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad.
Mire el gráfico en la . Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva.
Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función 
  por ejemplo, es continua en 
  pero no diferenciable en 
  A medida que ampliamos en el 0 en la , el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo.
Ampliamos más al estrechar el rango para producir la  y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en 
  
¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función 
  no es diferenciable en 
  
En la , vemos el gráfico de
Observe que, a medida que 
  se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que 
  se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en 
  
En la , vemos el gráfico de 
  Vemos que el gráfico tiene un vértice en 
  
En la , vemos que el gráfico de 
  tiene una cúspide en 
  Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que 
  se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva.
En la , vemos que el gráfico de 
  tiene una tangente vertical en 
  Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí.

### Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función

La ecuación de una línea tangente a una curva de la función 
  en 
  se deriva de la forma punto-pendiente de una línea, 
  La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en 
  y por lo tanto es igual a 
  la derivada de 
  en 
  El par de coordenadas del punto de la línea en 
  es 
  
Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos
La ecuación de la línea tangente es

### Hallar la velocidad instantánea de una partícula

Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como . La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea.
Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el .
2. La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el , el  y el .
3. El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio: 
  
4. Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el .
5. La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el .
6. Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el  y el .
7. Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el .
8. La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el .
9. La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo.
10. El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada 
  para calcular la derivada de cada función. 
En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos.
En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas.
En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado 
  en la curva.
En el siguiente ejercicio, halle 
  de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función 
  y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para estimar la función en un valor dado de 
  o la derivada a un valor determinado de 
  según se indique.

### En tecnología


### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen 
  de un tanque de gasolina, en galones, 
  minutos después del mediodía.
En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura, 
  de un proyectil después de 
  segundos viene dada por 
  
En los siguientes ejercicios, el volumen 
  de una esfera con respecto a su radio 
  viene dado por 
  
En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de 
  artículos vienen dados por 
  
En los siguientes ejercicios, el costo de producción de 
  teléfonos móviles se describe mediante la función 
  

### Extensión

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto 
  
  para hallar la derivada de las funciones.

### Ejercicios de repaso del capítulo


###  Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico

En los siguientes ejercicios, utilice la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que 
  se acerca a 
  Si la función tiene límite a medida que 
  se acerca a 
  indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

### Hallar los límites: propiedades de los límites

En los siguientes ejercicios, halle los límites si 
  y 
  
En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas.

### Continuidad

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en 
  En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en 
  
En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada 
  es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades.

### 
  Derivados
 

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio 
 

En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función.
En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de 
  en la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que 
  se acerca a 
  Si la función tiene un límite a medida que 
  se acerca a 
  indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite
En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada 
  es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en 
  
En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.
En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies, 
  es una función de tiempo 
  en segundos después del lanzamiento y está dada por la función 
  
En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite.
En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la .
En los siguientes ejercicios, utilice la función 
 .
En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición: 
  