# Funciones lineales

## Funciones lineales

Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai (). Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos.http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm
Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado.

### Representar funciones lineales

La función que describe el movimiento del tren es una función lineal, la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método.

### Representar una función lineal en forma verbal

Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones.
1. La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo (entrada) aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente (salida) aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación.

### Representar una función lineal en notación de funciones

Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde 
 es el valor de entrada, 
 es la tasa de cambio y 
 es el valor inicial de la variable dependiente.
En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación 
 en la que la distancia total 
 es una función del tiempo 
  La tasa, 
 es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente 
 es la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren.

### Representar una función lineal en forma tabular

Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la . En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo.

### Representar una función lineal de forma gráfica

Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba, 
 para dibujar un gráfico, representado en la . Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta.
La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en , de la línea. Podemos ver en el gráfico de la  que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es 
 y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea 
 Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto.

### Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante

Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente, como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en (a). En el caso de una función decreciente, la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la (b). Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la (c).

### Calcular e interpretar la pendiente

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada, 
  y 
  y dos valores correspondientes para la salida, 
 y 
, que puede representarse mediante un conjunto de puntos, 
 y 
, podemos calcular la pendiente 
 como sigue
donde  es el desplazamiento vertical y   es el desplazamiento horizontal. Observe en la notación de la función dos valores correspondientes a la salida  y  para la función 
   y  por lo que podríamos escribir de forma equivalente
la  indica cómo se calcula la pendiente de la línea entre los puntos, 
 y 
. Recordemos que la pendiente mide la inclinación. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más pronunciada será la línea.

### Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal

Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente.
La forma punto-pendiente se deriva de la fórmula de la pendiente.
Tenga presente que la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente pueden utilizarse para describir la misma función. Podemos pasar de una forma a otra con el álgebra básica. Por ejemplo, supongamos que nos dan una ecuación en forma de punto-pendiente, 
. Podemos convertirla a la forma pendiente-intersección, como se indica.
Por lo tanto, la misma línea puede describirse en forma de pendiente-intersección como 



### Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente

La forma punto-pendiente es especialmente útil si conocemos un punto y la pendiente de una línea. Supongamos, por ejemplo, que nos dicen que una línea tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto 
 Sabemos que 
 y que 
 y 
 Podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente.
Si quisiéramos reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, aplicaríamos técnicas algebraicas.
Ambas ecuaciones, 
 y 
 describen la misma línea. Vea la .

### Escribir la ecuación de una línea con dos puntos 

La forma punto-pendiente de una ecuación también sirve si conocemos dos puntos cualesquiera por los que pasa una línea. Supongamos, por ejemplo, que sabemos que una línea pasa por los puntos 
 y 
 Podemos utilizar las coordenadas de los dos puntos para calcular la pendiente.
Ahora podemos utilizar la pendiente que hemos calculado y las coordenadas de uno de los puntos para hallar la ecuación de la línea. Utilicemos (0, 1) para nuestro punto.
Como antes, podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección.
Ambas ecuaciones describen la línea mostrada en la .

### Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal

Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función 
 en la .
No se nos da la pendiente de la línea, pero podemos elegir dos puntos cualesquiera para determinar la pendiente. Elijamos 
 y 
 Podemos utilizar estos puntos para calcular la pendiente.
Ahora podemos sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente.
Si queremos reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección, hallaríamos
Si quisiéramos determinar la forma pendiente-intersección sin escribir primero la forma punto-pendiente, podríamos haber reconocido que la línea cruza el eje y cuando el valor de salida es 7. Por lo tanto,  Ahora tenemos el valor inicial  y la pendiente  por lo que podemos sustituir  y  en la forma pendiente-intersección de una línea.
Así que la función es 
 y la ecuación lineal sería 



### Modelar problemas del mundo real con funciones lineales

En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea.
2. Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el .
3. La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente.
4. Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función.
5. El valor inicial, o intersección en y, es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y.
6. La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva.
7. La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa.
8. La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal.
9. El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el .
10. La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el  y el .
11. La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea.
12. Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación.
13. La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el .
14. La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el .
15. La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente  y el valor inicial  son conocidas. Vea el , el , y el .
16. La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el  y el .
17. La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse como una función lineal.
En los siguientes ejercicios, determine si cada función es creciente o decreciente.
En los siguientes ejercicios, calcule la pendiente de la línea que pasa por los dos puntos dados.
En los siguientes ejercicios, dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de las líneas graficadas.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para las líneas graficadas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, ¿cuál de las tablas podría representar una función lineal? Para cada uno de los que podrían ser lineales, halle una ecuación lineal que modele los datos.

### En tecnología


### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real
