# Estadística descriptiva

## Medidas de la dispersión de los datos

Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media.

### La desviación típica

1. proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y
2. se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media.

### La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos

La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación.
Supongamos que estudiamos el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B. El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A, la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B, la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos.
Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B. En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio.

### La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.

Supongamos que Rosa y Binh compran en el supermercado A. Rosa espera en la caja siete minutos y Binh espera un minuto. En el supermercado A, el tiempo medio de espera es de cinco minutos y la desviación típica es de dos minutos. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.
Rosa espera siete minutos:
1. Siete son dos minutos más que el promedio de cinco; dos minutos equivalen a una desviación típica.
2. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, es dos minutos más largo que el promedio de cinco minutos.
3. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, está una desviación típica por encima del promedio de cinco minutos.
Binh espera un minuto.
1. Uno es cuatro minutos menos que el promedio de cinco; cuatro minutos equivalen a dos desviaciones típicas.
2. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, es cuatro minutos menos que el promedio de cinco minutos.
3. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, está dos desviaciones típicas por debajo del promedio de cinco minutos.
4. Un valor de los datos que está a dos desviaciones típicas del promedio está justo en el límite de lo que muchos estadísticos considerarían alejado del promedio. Plantearse que los datos están lejos de la media si están a más de dos desviaciones típicas es más una "regla general" aproximada que una regla rígida. En general, la forma de la distribución de los datos afecta a la cantidad de datos que se encuentran más allá de dos desviaciones típicas. (En los capítulos siguientes aprenderá más sobre este punto).
La recta numérica puede ayudarlo a entender la desviación típica. Si ponemos el cinco y el siete en una recta numérica, el siete está a la derecha del cinco. Decimos, entonces, que siete está una desviación típica a la derecha de cinco porque 5 + (1)(2) = 7.
Si el número uno también formara parte del conjunto de datos, entonces estaría dos desviaciones típicas a la izquierda de cinco porque 5 + (-2)(2) = 1.
1. En general, un valor = media + (n.º de STDEV) (número de STandard DEViation, o desviación típica)
2. donde n.º de STDEV = el número de desviaciones típicas
3. El n.º de STDEV no tiene que ser un número entero
4. Uno es dos desviaciones típicas menos que la media de cinco porque: 1 = 5 + (-2)(2).
La ecuación valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) puede expresarse para una muestra y para una población.  La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población.   El símbolo
  
  es la media muestral y el símbolo griego  es la media de la población.

### Cálculo de la desviación típica

Si x es un número, la diferencia "x – media" se llama su desviación. En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ. Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – 
 .
El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ.
Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – 
  para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones.
Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N, el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre , uno menos que el número de elementos de la muestra.

### Fórmulas para la desviación típica de la muestra

1.  
  o 
 
    
2.  Para la desviación típica de la muestra, el denominador es , es decir, el tamaño de la muestra MENOS 1.

### Fórmulas para la desviación típica de la población

1. 

  o 
 
2. Para la desviación típica de la población el denominador es N, el número de elementos de la población.
En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres.

### Variabilidad muestral de una estadística

La estadística de una distribución muestral se trató en Estadística descriptiva: medidas del centro de los datos. El grado de variación de la estadística de una muestra a otra se conoce como variabilidad muestral de una estadística. Normalmente se mide la variabilidad muestral de una estadística por su error estándar. El error estándar de la media es un ejemplo de error estándar. Es una desviación típica especial y se conoce como la desviación típica de la distribución muestral de la media. El error estándar de la media se tratará en el capítulo El teorema del límite central en otro momento. La notación para el error estándar de la media es 
  donde σ es la desviación típica de la población y n es el tamaño de la muestra.

### Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla

Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado.
La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos.
Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra, se divide entre el tamaño de la muestra menos uno (n – 1). ¿Por qué no dividir entre n? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre (n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población.
La desviación típica, s o σ, es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes.
La desviación típica, cuando se presenta por primera vez, puede parecer poco clara. Al graficar los datos, puede tener una mejor "percepción" de las desviaciones y la desviación típica. Encontrará que en las distribuciones simétricas la desviación típica puede ser muy útil, pero en las distribuciones sesgadas, es posible que la desviación típica no sea de mucha ayuda. La razón es que los dos lados de una distribución sesgada tienen diferentes márgenes. En una distribución sesgada, es mejor fijarse en el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, el valor más pequeño y el valor más grande. Como los números pueden ser confusos, siempre hay que hacer un gráfico de los datos. Visualice sus datos en un histograma o un diagrama de caja y bigotes.

### Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas

Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula  donde 
   frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo.
Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media.

### Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos

La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa.
1. Calcule cuántas desviaciones típicas se alejan de su media para cada valor de los datos.
2. Utilice la fórmula: valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica); resuelva para n.º de STDEVs.
3. 
 
4. Compare los resultados de este cálculo.
N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z”; podemos utilizar el símbolo z. En símbolos, las fórmulas se convierten en:
Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos.
2. Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
3. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla de Chebyshev.
2. Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media.
3. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
4. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla empírica.
6. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores.

### Referencias

Datos de Microsoft Bookshelf.
King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013).

### Repaso del capítulo

La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población. 
1. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos.
2. s = 
  o s = 
  es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ, y la fórmula σ = 
  o σ = 
 .

### Revisión de la fórmula

 donde 

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150
Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84.

### Tarea para la casa

 Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005.
1. μ = 1.000 FTES
2. mediana = 1.014 FTES
3. σ = 474 FTES
4. primer cuartil = 528,5 FTES
5. tercer cuartil = 1.447,5 FTES
6. n = 29 años

### Resúmalo todo

 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio.