# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Gráficos de funciones exponenciales


### Objetivos de aprendizaje

1. Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1).
2. Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones (CA 3.5.1-3.5.5).

### Objetivo 1: Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1).


### La práctica hace la perfección 


### Objetivo 2: Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. (CA 3.5.1-3.5.5)

Desplazamientos verticales y horizontales: Dada una función , una nueva función  donde  es una constante, es un desplazamiento vertical de la función . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo. 
Dada una función , una nueva función , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función . Si h es positivo, el gráfico se desplazará hacia la derecha. Si h es negativo, el gráfico se desplazará hacia la izquierda. 

### La práctica hace la perfección

Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones.
Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones en el mundo real, como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias naturales. Trabajar con una ecuación que describe una situación en el mundo real nos brinda un método para hacer predicciones. Sin embargo, la mayoría de las veces la ecuación no es suficiente. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y es precisamente por tal motivo que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa más de conocimiento para predecir acontecimientos futuros.

### Graficar funciones exponenciales

Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma 
 cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función 
 Observe cómo cambian los valores de salida en la  cuando la entrada aumenta en 
 
Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, 
 Designamos la base 
 el cociente constante. De hecho, para cualquier función exponencial con la forma 
 
 es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de 
 
Observe en la tabla que
1. los valores de salida son positivos para todos los valores de 
 
2. a medida que 
 aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y
3. a medida que 
 disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero.
La  muestra la función de crecimiento exponencial 
 
El dominio de 
 son todos números reales, el rango es 
 y la asíntota horizontal es 
 
Para tener una idea del comportamiento del decaimiento exponencial, podemos crear una tabla de valores para una función de la forma 
 cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función 
 Observe cómo cambian los valores de salida en la  cuando la entrada aumenta en 
 
De nuevo, debido a que la entrada se incrementa en 1, cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la relación constante 
 
Observe en la tabla que
1. los valores de salida son positivos para todos los valores de 
 
2. a medida que 
 aumenta, los valores de salida se reducen, para acercarse a cero, y
3. a medida que 
 disminuye, los valores de salida crecen sin límite.
La  muestra la función de decaimiento exponencial, 
 
El dominio de 
 son todos números reales, el rango es 
 y la asíntota horizontal es 
 

### Graficar transformaciones de funciones exponenciales

Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz 
 sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas.

### Graficar un desplazamiento vertical

La primera transformación se produce cuando añadimos una constante 
 a la función matriz 
 que nos da un desplazamiento vertical de 
 unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar una función matriz, 
 podemos entonces graficar dos desplazamientos verticales junto a ella, mediante 
 el desplazamiento hacia arriba, 
 y el desplazamiento hacia abajo, 
 Ambos desplazamientos verticales se muestran en la .
Observe los resultados del desplazamiento 
 verticalmente:
1. El dominio, 
 se mantiene sin cambios.
2. Cuando la función se desplaza hacia arriba 
 unidades a 
 


3. Cuando la función se desplaza hacia abajo 
 unidades a 
 



### Graficar un desplazamiento horizontal

La siguiente transformación se produce cuando añadimos una constante 
 a la entrada de la función matriz 
 lo que nos da un desplazamiento horizontal 
 unidades en la dirección opuesta al signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz 
 podemos entonces graficar dos desplazamientos horizontales junto a esta, mediante 
 el desplazamiento a la izquierda, 
 y el desplazamiento a la derecha, 
 Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la .
Observe los resultados del desplazamiento 
 horizontalmente:
1. El dominio, 
 se mantiene sin cambios.
2. La asíntota, 
 se mantiene sin cambios.
3. La intersección en y se desplaza de tal manera que: 

### Graficar un estiramiento o una compresión

Mientras que los desplazamientos horizontales y verticales implican la adición de constantes a la entrada o a la propia función, se produce estiramiento o compresión cuando multiplicamos la función matriz 
 por una constante 
 Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz 
 podemos entonces graficar el estiramiento, mediante 
 para obtener 
 como se muestra a la izquierda en la , y la compresión, mediante 
 para obtener 
 como se muestra a la derecha en la .

### Graficar reflexiones

Además de desplazar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y. Cuando multiplicamos la función matriz 
 entre 
 obtenemos una reflexión sobre el eje x. Cuando multiplicamos la entrada por 
 obtenemos una reflexión sobre el eje y. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz 
 podemos entonces graficar las dos reflexiones junto a esta. La reflexión sobre el eje x, 
 se muestra en el lado izquierdo de la , y la reflexión en torno al eje y 
 se muestra en el lado derecho de la .

### Resumir las traslaciones de la función exponencial

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función exponencial, podemos resumirlas en la  para llegar a la ecuación general de traslación de funciones exponenciales.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. El gráfico de la función 
 tiene una intersección en y en 
 dominio 
 rango 
 y asíntota horizontal 

Vea el .
2. Si los valores de 
 la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota 
 y la cola derecha aumentará sin límite.
3. Si los valores de 
 la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota 
 
4. La ecuación 
 representa el desplazamiento vertical de la función matriz 
 
5. La ecuación 
 representa el desplazamiento horizontal de la función matriz 

Vea el .
6. Las soluciones aproximadas de la ecuación 
 se pueden encontrar con una calculadora gráfica. Vea el .
7. La ecuación 
 donde 
 representa estiramiento vertical, si 
 o compresión, si 
 de la función matriz 

Vea el .
8. Cuando la función matriz 
 se multiplica por 
 el resultado, 
 es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por 
 el resultado, 
 es una reflexión alrededor del eje y. Vea la .
9. Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir en la ecuación general 

Vea la .
10. Utilizando la ecuación general 
 podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos 


### Gráficos 

En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje y en los mismos ejes, y obtenga la intersección en y.
En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de funciones en los mismos ejes.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función con una de los gráficos en la .
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos que se indican en la . Todos tienen la forma 
 
En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje x en los mismos ejes.
En los siguientes ejercicios, grafique la transformación de 
 Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango.
En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento final de los gráficos de las funciones.
En los siguientes ejercicios, comience con el gráfico de 
 Luego escriba una función que resulte de la transformación dada.
En los siguientes ejercicios, cada gráfico es la transformación de 
  Escriba una ecuación que describa la transformación.
En los siguientes ejercicios, halle una ecuación exponencial para el gráfico.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales para el valor indicado de 
 

### En tecnología 

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar las soluciones de la ecuación. Redondee a la milésima más cercana.

### Extensiones 
