# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Funciones logarítmicas


### Objetivos de aprendizaje

1.  Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1)
2. Evalúe funciones logarítmicas. (IA 10.3.2)

### Objetivo 1: Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1)


### La práctica hace la perfección

Dado que las ecuaciones  y  son equivalentes, podemos ir de un lado a otro entre estas. Este será a menudo el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión entre una y otra, veamos las ecuaciones con detenimiento. Observe las posiciones del exponente y la base.
Si recordamos que el logaritmo es el exponente, se facilita la conversión. Puede repetir: "la base al exponente nos da el número”.

### La práctica hace la perfección


Convierta entre forma exponencial y logarítmica.
Recuerde estas notaciones logarítmicas para completar lo siguiente:  Logaritmo común    Logaritmo natural  

### Objetivo 2: Evaluar funciones logarítmicas (AI 10.3.2).


Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas con la técnica de convertir la ecuación en su forma exponencial equivalente.

### La práctica hace la perfección

En 2010, un gran terremoto azotó Haití y causó estragos en más de 285.000 hogareshttp://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013.. Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, con destrucción y daños a más de 332.000 edificaciones,http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. como las que se muestran en la . Aunque ambos infligieron daños considerables, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el de Haití. ¿Cómo lo sabemos? La magnitud de los movimientos telúricos se mide en lo que se conoce como la escala de Richter. El terremoto de Haití registró una magnitud de 7,0 en la escala de Richter,http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/. Consultado el 4 de marzo de 2013. mientras que el sismo en Japón registró una magnitud de 9,0.http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#details. Consultado el 4 de marzo de 2013.
La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un sismo de magnitud 8 no es dos veces mayor que uno de magnitud 4. Es 
 veces más grande. En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende.

### Convertir de la forma logarítmica a la exponencial

Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es 
 donde 
 representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter. ¿Cómo podríamos resolver 
 
Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver 
 Sabemos que 
 y 
 por lo que está claro que 
 deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que 
 aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la , para estimar mejor la solución.
Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la  pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial 
 es biunívoca, por lo que su inversa, 
 también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la 
 como 
, a la vez que resolvemos para 
 con el fin de dar con la función inversa. Para representar 
 en función de 
 utilizamos una función logarítmica de la forma 
 La base 
 logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar 
 para obtener esa cifra.
Leemos una expresión logarítmica como: "El logaritmo con base 
 de 
 es igual a 
 o, simplificado, la "base logarítmica 
 de 
 es 
 «”. También podemos enunciar: " 
 elevado a la potencia de 
 es 
 porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que 
 podemos escribir 
 Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5".
Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue:
Tenga en cuenta que la base 
 es siempre positiva.
Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es: 
 con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con 
 Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como 
 Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la 
 
Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera:
Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que 
 y de 
 son funciones inversas.

### Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica

Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base 
 exponente 
 y salida 
 Entonces escribimos 
 

### Evaluar logaritmos

Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere 
 Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 
 para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que 
 se deduce que 
 
Ahora, considere resolver 
 y 
 mentalmente.
1. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que 
 Por lo tanto, 


2. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que 
 Por lo tanto, 


Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos 
 mentalmente.
1. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 
 para obtener 
 “. Sabemos que 
 y 
 tal que 
 Por lo tanto, 



### Usar logaritmos comunes

A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión 
 significa 
 Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes.

### Usar logaritmos naturales

La base más utilizada para los logaritmos es 
Los logaritmos con base 
 son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales. El logaritmo con base 
, 
 tiene su propia notación, 
 
La mayoría de los valores de 
 se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, 
 Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla 
, que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de 
 utilizando la propiedad inversa de los logaritmos.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial.
2. Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de logaritmo. Vea el .
3. Las ecuaciones exponenciales pueden escribirse en su forma logarítmica equivalente utilizando la definición de logaritmo. Vea el .
4. Las funciones logarítmicas con base 
 pueden evaluarse mentalmente utilizando el conocimiento previo de las potencias de 
 Vea el  y el .
5. Los logaritmos comunes pueden evaluarse mentalmente utilizando los conocimientos previos de las potencias de 
 Vea el .
6. Cuando los logaritmos comunes no pueden evaluarse mentalmente, se utiliza la calculadora. Vea el .
7. Los problemas exponenciales del mundo real con base 
 pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con la calculadora. Vea el .
8. Los logaritmos naturales se pueden evaluar con la calculadora. .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos 

En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma exponencial.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma logarítmica.
En los siguientes ejercicios, resuelva para 
 al convertir la ecuación logarítmica en forma exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmos comunes y naturales para simplificar.

### Numéricos 

En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica con base 
 sin utilizar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica común sin utilizar la calculadora.
En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica natural sin utilizar la calculadora.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión con la calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

### Extensiones 


### Aplicaciones en el mundo real 
