# Regresión lineal y correlación

## Valores atípicos

En algunos conjuntos de datos, hay valores (puntos de datos observados), llamados valores atípicos. Los valores atípicos son puntos de datos observados que se alejan de la línea de mínimos cuadrados. Tienen grandes "errores", donde el "error" o residual es la distancia vertical de la línea al punto. 
Los valores atípicos deben examinarse de cerca. A veces, por una u otra razón, no deben incluirse en el análisis de los datos. Es posible que un valor atípico sea el resultado de datos erróneos. Otras veces, un valor atípico puede contener información valiosa sobre la población estudiada y debe seguir incluyéndose en los datos. La clave está en examinar cuidadosamente las causas de que un punto de datos sea un valor atípico.
Además de los valores atípicos, una muestra puede contener uno o varios puntos que se denominan puntos influyentes. Se trata de puntos de datos observados que están alejados de los demás en la dirección horizontal. Estos puntos pueden tener un gran efecto en la pendiente de la línea de regresión. Para empezar a identificar un punto influyente, puede eliminarlo del conjunto de datos y ver si la pendiente de la línea de regresión cambia significativamente.
Se pueden utilizar computadoras y muchas calculadoras para identificar los valores atípicos de los datos. Los resultados de computadoras del análisis de regresión identifican tanto los valores atípicos como los puntos influyentes para que pueda examinarlos.

### Identificar los valores atípicos

Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico.  Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste. La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores.
Podemos hacerlo visualmente en el diagrama de dispersión al dibujar un par de líneas adicionales que estén dos desviaciones típicas por encima y por debajo de la línea de mejor ajuste. Todos los puntos de datos que se encuentren fuera de este par de líneas adicionales se marcan como posibles valores atípicos. Alternativamente, podemos hacerlo numéricamente, al calcular cada residual y compararlo con el doble de la desviación típica. En la TI-83, 83+ u 84+, el enfoque gráfico es más fácil. En primer lugar se muestra el procedimiento gráfico, seguido de los cálculos numéricos. Por lo general, solo tendrá que utilizar uno de estos métodos.

### Identificación numérica de los valores atípicos

En la , las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores ŷ predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: ŷ = -173,5 + 4,83x. Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor y observado - valor y predicho = y - ŷ.
s es la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε donde n = el número total de puntos de datos. Si se calcula cada residual, se eleva al cuadrado y se suman los resultados, se obtiene la suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE). La desviación típica de los residuales se calcula a partir de la SSE como:

 
En vez de calcular el valor de s nosotros mismos, podemos calcular s con la computadora o la calculadora. Para este ejemplo, la función de la calculadora LinRegTTest calculó s = 16,4 como la desviación típica de los residuales .
Buscamos todos los puntos de datos cuyo residual sea mayor que 2s = 2(16,4) = 32,8 o menor que –32.8. Compare estos valores con los residuales de la cuarta columna de la tabla. El único dato de este tipo es el del estudiante que tuvo una nota de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; el residual de este estudiante es 35.

### ¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste?

Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje.
Calcule una nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación con los diez puntos restantes:
En las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+, elimine el valor atípico de L1 y L2. Con la función LinRegTTest, la nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121
La nueva línea con r = 0,9121 es una correlación más fuerte que la original (r = 0,6631) porque r = 0,9121 está más cerca de uno. Esto significa que la nueva línea se ajusta mejor a los diez valores de datos restantes. La línea puede predecir mejor la puntuación del examen final, dada la puntuación del tercer examen.

### Identificación numérica de valores atípicos: Calcular s y buscar valores atípicos manualmente

Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente.  Primero, eleve al cuadrado cada |
Las potencias al cuadrado son: 


A continuación, añada (sume) todos los términos | mediante la fórmula:

  (Recordemos que yi – ŷi = εi).
= 352 + 172 + 162 + 62 + 192 + 92 + 32 + 12 + 102 + 92 + 12
 = 2440 = SSE. El resultado, SSE, es la suma de errores al cuadrado.
A continuación, calcule 
El cálculo es .
Para el problema del tercer examen o examen final: .
A continuación, multiplique s por 2: (2)(16,47) = 32,94 32,94 está 2 desviaciones típicas lejos de la media de los valores y - ŷ.
Si midiéramos la distancia vertical desde cualquier punto de datos hasta el punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera de al menos 2s, entonces consideraríamos que el punto de datos está "demasiado lejos" de la línea de mejor ajuste. A ese punto lo llamamos un potencial valor atípico.
Para el ejemplo, si alguno de los valores de y – ŷ| es al menos 32,94, el punto de datos correspondiente (x, y) es un posible valor atípico.
Para el problema del tercer examen o examen final, todos los |y – ŷ| son menores que 31,29, excepto el primero que es 35.
35 > 31,29 Es decir, |y – ŷ| ≥ (2)(s)
El punto que corresponde a |y – ŷ| = 35 es (65, 175). Por lo tanto, el punto de datos (65, 175) es un potencial valor atípico. Para este ejemplo, lo borraremos. (Recuerde que no siempre eliminamos un valor atípico).
El siguiente paso es calcular una nueva línea de mejor ajuste con los diez puntos restantes. La nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121

### Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra


### Referencias

Datos de la Comisión de Medios y Arbitrios de la Cámara de Representantes, el Departamento de Salud y Servicios Humanos.
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.
Datos del Manual de Médico, 1990.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.

### Repaso del capítulo


Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones: 
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69.

### Tarea para la casa


### Resúmalo todo.

Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El costo de un detergente líquido líder en el mercado en diferentes tamaños se indica en la .