# Funciones trigonométricas

## Círculo unitario: funciones seno y coseno

¿Busca emociones? Entonces considere un paseo en el Ain Dubai, la rueda de la fortuna más alta del mundo. Ubicada en Dubai, la ciudad más poblada y el centro financiero y turístico de los Emiratos Árabes Unidos, la rueda de la fortuna se eleva a 820 pies, unas 1,5 décimas de milla. Descrita como una rueda de observación, los pasajeros disfrutan de unas vistas espectaculares del Burj Khalifa (el edificio más alto del mundo) y de Palm Jumeirah (un archipiélago construido por el hombre que alberga más de 10.000 personas y 20 complejos turísticos) mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, tenemos que definir primero el tipo de círculo y, a continuación, situar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos hablar del movimiento circular en términos de los pares de coordenadas.

###  Hallar los valores de la función para el seno y el coseno

Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la . El ángulo (en radianes) que 
    interseca forma un arco de longitud 
    Si utilizamos la fórmula 
    y en el entendido de que 
    vemos que, para un círculo unitario, 
     
Recordemos que los ejes de la x y de la y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Marcamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barrería un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes se denominan I, II, III y IV.
Para cualquier ángulo 
    podemos marcar la intersección del lado terminal y el círculo unitario por sus coordenadas, 
    Las coordenadas de la 
    como 
    serán las salidas de las funciones trigonométricas 
  y 
  respectivamente. Esto significa que 
  y 
 
  

### Definir las funciones seno y coseno

Ahora, que tenemos marcado nuestro círculo unitario, podemos aprender cómo las coordenadas 
 se relacionan con la longitud del arco y el ángulo. La función seno relaciona un número real 
 con la coordenada de la y en el punto donde el ángulo correspondiente interseca el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo 
 es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud 
 En la , el seno es igual a 
  Al igual que en todas las funciones, la función seno tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada de la y en el punto correspondiente en el círculo unitario.
La función coseno de un ángulo 
 equivale al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud 
 En la , el coseno es igual a 

   
En el entendido de que el seno y el coseno son funciones, no es necesario escribirlas siempre con paréntesis: 
  es lo mismo que 
 y 
  es lo mismo que 
 Igualmente, 
 es una notación abreviada de uso común para 
 Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación abreviada. En caso de duda, utilice los paréntesis adicionales cuando introduzca los cálculos en una calculadora o una computadora.

### Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje

En los ángulos cuadrangulares, el punto correspondiente en el círculo unitario cae en el eje x o en el eje y. En ese caso, podemos calcular fácilmente el coseno y el seno a partir de los valores de 
 como 

   

### La identidad pitagórica

Ahora que podemos definir el seno y el coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación del círculo unitario es 
 Dado que 
  y 
  podemos sustituir por 
 como 
 para obtener 
 Esta ecuación, 
 se conoce como la identidad pitagórica. Vea la .
Podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, y viceversa. Sin embargo, ya que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos conocer más acerca del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde se encuentra el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta.

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales

Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos.

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45°

En primer lugar, examinaremos los ángulos de 
 o 
 como se muestra en la . Un triángulo de 
 es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales.
A 
, que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular. Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea 
 Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea 
 tiene lados 
 como 
 y un radio = 1. Vea la 
A partir del teorema de Pitágoras obtenemos
Al sustituir 
 obtenemos
Al combinar términos similares obtenemos
Asimismo, al resolver para 
 obtenemos
En el cuadrante I, 
 
   
En 
 o 45 grados,
   
Si entonces racionalizamos los denominadores, obtenemos
Por lo tanto, las coordenadas 
 de un punto en un círculo de radio 
 en un ángulo de 
 son 

    

### Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º 

A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de 
 o 
. En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de 
 y otro lado en un ángulo de 
 como se muestra en la . Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán 
 como se muestra en la .
Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud 
 y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que 
 o 
 Dado que 
,
Además, ya que 
 en nuestro círculo unitario,
Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno.
Las coordenadas 
 para el punto en un círculo con radio 
 en un ángulo de 
 son 
 En 
  (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, 
 como se muestra en la . El ángulo 
 tiene medida 
 En el punto 
 dibujamos un ángulo 
 con medida de 
 Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 
 por lo que la medida del ángulo 
 también es 
 Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero 
 tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1.
La medida del ángulo 
 es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo 
 es de 60°. 
 es la bisectriz perpendicular de 
 por lo que corta 
 por la mitad. Esto significa que 
 es 
 del radio, o 
 Observe que 
 es la coordenada de la x en el punto 
 que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo 
 con hipotenusa de 1 y lado 
 de longitud 

  
A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos
Sustituyendo 
 obtenemos
Resuelva para 
 obtenemos
Dado que 
 tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos 
 el valor positivo.
A 
 (60°), las coordenadas 
 para el punto en un círculo con radio 
 en un ángulo de 
 son 
 para que hallemos el seno y el coseno.
Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La  resume estos valores.
La  muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.

### Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno

Para hallar el coseno y el seno de otros ángulos que no sean los ángulos especiales, recurrimos a la computadora o a la calculadora. Tenga en cuenta: La mayoría de las calculadoras pueden ponerse en modo "grados" o "radianes", lo que le indica las unidades del valor de entrada. Cuando evaluamos 
 en la calculadora, esta lo evaluará como el coseno de 30 grados si está en modo "grados", o el coseno de 30 radianes si está en modo "radianes".

### Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno

Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que 
    pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de 
  y 
  no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x, y puede ser cualquier número real.
¿Cuál es el rango de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de su salida? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario, como se muestra en la . Los límites de la coordenada de la x son 
    Los límites de la coordenada de la y también son 
    Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es 
     

### Hallar ángulos de referencia

Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y, pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo.
Asimismo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x, pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor del seno será el opuesto al valor del seno del ángulo original.
Como se muestra en la , el ángulo 
    tiene el mismo valor del seno que el ángulo 
    los valores del coseno son opuestos. El ángulo 
    tiene el mismo valor del coseno que el ángulo 
    los valores del seno son opuestos.
Recordemos que el ángulo de referencia es el ángulo agudo, 
    formado por el lado terminal del ángulo 
    y el eje horizontal. El ángulo de referencia es siempre un ángulo entre 
    y 
    o 
    y 
    radianes. Como podemos observar en la , para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I.

### Usar ángulos de referencia 

Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo. Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas 
    para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.

### Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas

Podemos hallar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y del seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de y en ese cuadrante.

### Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas

Ahora que hemos aprendido a calcular los valores del coseno y del seno para los ángulos especiales del primer cuadrante, podemos utilizar la simetría y los ángulos de referencia para completar los valores del coseno y del seno en el resto de los ángulos especiales del círculo unitario. Se muestran en la . Tómese su tiempo para aprender las coordenadas 
 de todos los ángulos mayores en el primer cuadrante.
Además de aprender los valores de los ángulos especiales, podemos utilizar los ángulos de referencia para hallar coordenadas 
 en cualquier punto del círculo unitario, con lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades
Primero, hallamos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. A continuación, tomamos los valores del seno y del coseno del ángulo de referencia y les atribuimos los signos correspondientes a los valores de y y de x del cuadrante.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La búsqueda de los valores de las funciones del seno y del coseno comienza al dibujar un circulo unitario, centrado en el origen y con un radio de 1 unidad.
2. Utilizando el círculo unitario, el seno de un ángulo 
  es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud 
  mientras que el coseno de un ángulo 
  es igual al valor x del punto final. Vea el .
3. Los valores del seno y del coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente del círculo unitario cae sobre un eje. Vea el .
4. Cuando se conoce el seno o el coseno, podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el otro. La identidad pitagórica también sirve para determinar el seno y coseno de ángulos especiales. Vea el .
5. Las calculadoras y los programas de gráficos son útiles para hallar el seno y el coseno si se conoce el procedimiento adecuado para introducir la información. Vea el .
6. El dominio de las funciones seno y coseno son todos los números reales.
7. El rango de las funciones seno y coseno es 
 
    
8. El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia.
9. Los signos del seno y del coseno se determinan a partir de los valores de x y de y en el cuadrante del ángulo original.
10. El ángulo de referencia es el ángulo de tamaño, 
  formado por el lado terminal del ángulo 
   y el eje horizontal. Vea el .
11. Los ángulos de referencia pueden utilizarse para hallar el seno y el coseno del ángulo original. Vea el .
12. Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en un círculo. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el signo dado de las funciones seno y coseno para hallar el cuadrante en el que se asienta el punto terminal determinado por .
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada función trigonométrica.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno y coseno de cada ángulo. Si el ángulo no es uno de los ángulos especiales del círculo unitario, utilice la calculadora y redondee a tres decimales.
En los siguientes ejercicios, halle el valor solicitado.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el punto dado en el circulo unitario para hallar el valor del seno y el coseno de 
 


### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un niño se sube a un carrusel que tarda un minuto en dar una vuelta. El niño entra en el punto 
   es decir, en la posición hacia el norte. Supongamos que el carrusel gira en sentido contrario a las agujas del reloj.