# Introducción a Cálculo

## Hallar los límites: propiedades de los límites

Considere la función racional
La función se puede factorizar de la siguiente manera:
¿Esto significa que la función 
  es lo mismo que la función 
  
La respuesta es no. La función 
  no tiene 
  en su dominio, pero 
  sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de 
  en 
  como se muestra en la  y no hay tal agujero en el gráfico de 
  como se muestra en la .
Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que 
  se acerca a 7?
No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que 
  se acerca a 
  lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a 
  La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando 
  es igual a 
  
Mire de nuevo la  y la . Observe que en ambos gráficos, a medida que 
  se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que
Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de 
  no en 
  En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición.

### Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.
Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples.

### Hallar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que 
  se acerca a 
  equivale a evaluar simplemente la función para 
 .

### Hallar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

### Hallar el límite de un cociente

Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

### Conceptos clave

1. Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el .
2. El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el  y el .
3. El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el .
4. El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función.
5. Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el .
6. Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el .
7. Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el .
8. Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el .
9. Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente.
Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites: 
  
 .
En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites.
En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio 
  

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la .

### Aplicaciones en el mundo real
