# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Funciones exponenciales


### Objetivos de aprendizaje

1. Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3)
2. Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1)

### Objetivo 1: Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3)


### La práctica hace la perfección

Halle el valor de una función exponencial.

### Objetivo 2: Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1)


### La práctica hace la perfección


Graficar las funciones exponenciales.

El número e, e ≈ 2,718281827, es como el número π en el sentido de que utilizamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional e se denomina base natural o número de Euler en honor al matemático suizo Leonhard Euler.
La función exponencial cuya base es e,  se denomina función exponencial natural.

### La práctica hace la perfección

La India es el segundo país más poblado del mundo, con unos 
 mil millones de habitantes en 2021. La población crece a un ritmo de aproximadamente 
 cada añohttp://www.worldometers.info/world-population/. Consultado el 24 de febrero de 2014.. Si este ritmo continúa, la población de la India superará a la de China en el año 
 Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es "exponencial", lo que significa que algo asciende muy rápidamente. Sin embargo, para un matemático, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a las funciones exponenciales, que modelan este tipo de crecimiento rápido.

### Identificación de funciones exponenciales

Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación 
 la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio porcentual por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas.

### Definir una función exponencial

Un estudio reveló que el porcentaje de la población que es vegana en Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, el 2,5 % de la población era vegana, tras adherirse a una dieta que no incluye ningún producto de origen animal: sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si este ritmo continúa, los veganos representarán el 10 % de la población estadounidense en 2015, el 40 % en 2019 y el 80 % en 2021.
¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el porcentaje de aumento? La gente usa estas palabras erróneamente. ¿Se utilizan correctamente estas palabras? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios de comunicación. 

Para entender claramente el crecimiento exponencial, contrastémoslo con el crecimiento lineal. Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Duplicaremos las correspondientes salidas consecutivas. La segunda función es lineal. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Sumaremos 2 a las salidas consecutivas correspondientes. Vea la .
A partir de la , podemos deducir que, en lo que respecta a estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece al crecimiento lineal.
1. El crecimiento exponencial se refiere a que el valor original a partir del rango aumenta en el mismo porcentaje en incrementos iguales, hallados en el dominio.
2. El crecimiento lineal se refiere a que el valor original a partir del rango se incrementa en la misma cantidad en incrementos iguales, hallados en el dominio.
Aparentemente, la diferencia entre "el mismo porcentaje" y "la misma cantidad" es bastante significativa. En el caso del crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante daba como resultado la duplicación de la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. En el caso del crecimiento lineal, la tasa de cambio sumatoria constante sobre incrementos iguales daba como resultado la suma de 2 a la salida cada vez que la entrada se incrementaba en uno.
La forma general de la función exponencial es 
 donde 
 es cualquier número distinto a cero, 
 es un número real positivo, que no sea igual a 1.
1. Si los valores de 
 la función crece a un ritmo proporcional a su tamaño.
2. Si los valores de 
 la función decae a un ritmo proporcional a su tamaño.
Veamos la función 
 de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla () para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de 

 con 



Examinemos el gráfico de 
 al trazar los pares ordenados que observamos en la tabla en la , y luego hagamos algunas observaciones.
Definamos el comportamiento del gráfico de la función exponencial 
 y destaquemos algunas de sus características principales.
1. el dominio es 
 
2. el rango es 
 
3. a medida que 
 
4. a medida que 
 
5.  
 es siempre creciente,
6. el gráfico de 
 nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero.
7.  
 es la asíntota horizontal.
8. la intersección en y es 1.

### Evaluar funciones exponenciales

Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a 
 ¿Por qué limitamos la base 
 a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva:
1. Supongamos que 
 y 
 Entonces 
 que no es un número real.
¿Por qué limitamos la base a valores positivos que no sean 
 Porque la base 
 da como resultado la función constante. Observe lo que ocurre si la base es 
 
1. Supongamos que 
 Entonces 
 para cualquier valor de 
 
Para evaluar una función exponencial con la forma 
 simplemente sustituimos 
 con el valor dado, y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo:
Supongamos que 
 ¿Qué es 
 
Para evaluar una función exponencial con una forma distinta a la básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo:
Supongamos que 
 ¿Qué es 
 
Observe que, de no seguirse el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto:

### Definir el crecimiento exponencial

Dado que el resultado de las funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término "crecimiento exponencial" se utiliza a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial puede definirse con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela un crecimiento exponencial.
En términos generales, tenemos una función exponencial, en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene 100 tiendas y se expande con la inauguración de 50 tiendas al año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función 
 La empresa B tiene 100 tiendas y se expande al aumentar el número de tiendas en un 50 % cada año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función 
 
Algunos años de crecimiento de estas empresas se ilustran en la .
Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa en el lapso de cinco años se muestran en la . Podemos ver que, con el crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal.
Observe que el dominio de ambas funciones es 
 y el rango en ambas funciones es 
 Después del año 1, la empresa B siempre tiene más tiendas que la empresa A.
Ahora, nos centraremos en la función que representa el número de tiendas de la empresa B, 
 En esta función exponencial, 100 representa el número inicial de tiendas, 0,50 representa la tasa de crecimiento y 
 representa el factor de crecimiento. En términos más generales, podemos escribir esta función como 
 donde 100 es el valor inicial, 
 se denomina la base, y 
 se denomina el exponente.

### Hallar ecuaciones de funciones exponenciales

En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes 
 y 
 y evaluar la función.

### Aplicar la fórmula del interés compuesto

Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto. El término compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta.
La tasa anual equivalente (TAE) de una cuenta, también llamada tasa nominal, es el tipo de interés anual que devenga una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce un número de veces distinto de una vez al año. De hecho, cuando se capitalizan los intereses más de una vez al año, ¡el tipo de interés efectivo acaba siendo mayor que el nominal! Se trata de una poderosa herramienta para invertir.
Podemos calcular el interés compuesto con la fórmula del interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo 
 capital 
 TAE 
 y el número de periodos de capitalización en un año 
 
Por ejemplo, observe la , que muestra el resultado de invertir 1.000 dólares al 10 % durante un año. Observe cómo el valor de la cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de la capitalización.

### Evaluar funciones con base e

Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La  muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará.
Examine el valor de 1 dólar invertido al 100 % de interés durante 1 año, capitalizado a diversas frecuencias, que figuran en la .
Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que 
 aumenta sin límites. De hecho, como 
 aumenta cada vez más, la expresión 
 se acerca a un número utilizado con tanta frecuencia en matemáticas que hasta tiene su propio nombre: la letra 
 Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal se eterniza sin repetirse. A continuación, se muestra su aproximación con seis decimales.

### Investigar el crecimiento continuo

Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza e como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan 
 como base se denominan modelos de crecimiento o decaimiento continuo. Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La función exponencial se define como aquella con una constante positiva distinta de 
 elevado a un exponente variable. Vea el .
2. Una función se evalúa al resolver en un valor específico. Vea el  y el .
3. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Vea el .
4. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Vea el .
5. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico del modelo. Vea el .
6. Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Vea el .
7. El valor de una cuenta en cualquier momento 
 puede calcularse mediante la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el importe de capital, el tipo de interés anual y los periodos de capitalización. Vea el .
8. La inversión inicial de una cuenta puede hallarse con la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, el tipo de interés anual, los periodos de capitalización y la duración de la cuenta. Vea el .
9. El número 
 es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decaimiento exponencial en el mundo real. Su aproximación decimal es 
 
10. Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave 
 o 
 para calcular las potencias de 
 Vea el .
11. Los modelos de crecimiento o decaimiento continuo son modelos exponenciales que utilizan 
 como base. Los modelos de crecimiento y decaimiento continuo pueden encontrarse cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o decaimiento. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos 

En los siguientes ejercicios, identifique si el enunciado representa una función exponencial. Explique.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Por cada año 
 la población de un bosque de árboles viene representada por la función 
 En un bosque vecino, la población del mismo tipo de árbol viene representada por la función 
 (Redondee las respuestas al número entero más cercano).
En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa crecimiento exponencial, decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique.
En los siguientes ejercicios, halle la fórmula de una función exponencial que pase por los dos puntos dados.
En los siguientes ejercicios, determine si la tabla puede representar una función lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula del interés compuesto, 
 
En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos. Explique.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe cada función. Redondee las respuestas a cuatro decimales, si es necesario.

### En tecnología 

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación de una función exponencial dados los puntos en la curva.

### Extensiones 


### Aplicaciones en el mundo real
