# Funciones polinómicas y racionales

## Funciones cuadráticas

Las antenas curvas, como las que se muestran en la , se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática.
En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones.

### Reconocer las características de las parábolas 

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran en la . 
La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de 
  en los que 
  

### Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma
donde 
  y 
  son números reales y 
  Si 
  la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de 
  la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.
El eje de simetría está definido por 
  Si utilizamos la fórmula cuadrática, 
  para resolver 
  para las intersecciones en 
 , o ceros, hallamos que el valor de 
  a mitad de camino siempre es 
  la ecuación del eje de simetría.
La  representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como 
  En esta forma, 
  y 
  Dado que 
  la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es 
  Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical 
  divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, 
  La intersección en 
 , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje 
 , se producen en 
  y 
  
La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma
donde 
  es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática.
Al igual que con la forma general, si 
  la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de 
  la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La  representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como 
  Dado que 
  en este ejemplo, 
  En esta forma, 
  y 
  Dado que 
  la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en 
  
La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de 
  La  es el gráfico de esta función básica.
Si los valores de 
  el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si 
  el gráfico se desplaza hacia abajo. En la , 
  por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de 
  el gráfico se desplaza hacia la derecha y si 
  el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la , 
  para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de 
  indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de 
  el punto asociado a un determinado valor de 
  se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si 
  el punto asociado a un determinado valor de 
  se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la , 
  por lo que el gráfico se estrecha.
La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar.
Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales.
Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes:
En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es 
  por lo que 
  

### Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática

Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

### Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas

La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola. Podemos ver los valores máximos y mínimos en la .
Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos.

### Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática

Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en 
  de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en 
  en lugares donde la salida es cero. Observe en la  que el número de intersecciones en 
  puede variar en función de la ubicación del gráfico.

### Reescribir cuadráticas en forma estándar

En el , la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La función polinómica de grado dos se denomina función cuadrática.
2. El gráfico de una función cuadrática es una parábola. La parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en 
 , son los puntos en los que la parábola cruza el eje 
 . La intersección en 
  es el punto en el que la parábola cruza el eje 
 . Vea el , el  y el .
4. Las funciones cuadráticas suelen escribirse en forma general. La forma estándar o de vértice sirve para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las dos formas puede escribirse a partir de un gráfico. Vea el .
5. El vértice se halla a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. Vea el .
6. El dominio de la función cuadrática son todos los números reales. La gama varía según la función. Vea el .
7. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática viene dado por el valor de 
  del vértice.
8. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de la función y para resolver muchos tipos de problemas del mundo real, incluso de área e ingresos. Vea el  y el .
9. Algunas ecuaciones cuadráticas deberán resolverse con la fórmula cuadrática. Vea el .
10. El vértice y las intersecciones pueden identificarse e interpretarse para resolver problemas del mundo real. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice.
En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría.
En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática.
En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos.
En los siguientes ejercicios, utilice el vértice 
  y un punto en el gráfico 
  para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada.

### Aplicaciones en el mundo real
