# El teorema del límite central

## El teorema del límite central para las sumas

Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos que:
1. μ = la media de Χ
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que aumenta n, la variable aleatoria ΣX formada por sumas tiende a distribuirse normalmente y ΣΧ ~ N((n)(μ), (
 )(σ)).
El teorema del límite central para las sumas indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calcula la suma de cada muestra, estas sumas tienden a seguir una distribución normal. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación típica igual a la desviación típica original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
La variable aleatoria ΣX tiene asociada la siguiente puntuación z:
1. Σx es una suma.
2. 
  


### Referencias

Farago, Peter. The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences [La verdad sobre los gatos y los perros: Diferencias entre el uso de smartphones vs tabletas]. The Flurry Blog, 2013. Publicado el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).

### Repaso del capítulo

El teorema del límite central nos indica que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En otras palabras, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse a una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Además, si la población original tiene una media de μ y una desviación típica de σ, la media de las sumas es nμ y la desviación típica es 
 (σ) donde n es el tamaño de la muestra.

### Revisión de la fórmula

El teorema del límite central para las sumas: ∑X ~ N[(n)(μ),(
 )(σ)]
Media de las sumas (∑X): (n)(μ)
Teorema del límite central para las sumas de puntuación z y desviación típica para las sumas: 
 
Desviación típica para las sumas (∑X): 
 (σ)
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 80 y una desviación típica de 12. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 95 de la población.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La distribución de los resultados de una prueba de colesterol tiene una media de 180 y una desviación típica de 20. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 40.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un investigador mide la cantidad de azúcar en varias latas del mismo refresco. La media es de 39,01 con una desviación típica de 0,5. El investigador selecciona aleatoriamente una muestra de 100.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 12 y una desviación típica de uno. Se toma una muestra de tamaño 25. Supongamos que X = el objeto de interés.
 Un investigador de mercado analiza cuántos aparatos electrónicos compran los clientes en una sola compra. La distribución tiene una media de tres con una desviación típica de 0,7. Tome muestras de 400 clientes.
 Una distribución desconocida tiene una media de 100, una desviación típica de 100 y un tamaño de muestra de 100. Supongamos que X = un objeto de interés.

### Tarea para la casa
