# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Modelado con funciones trigonométricas

Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica.
Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año.
Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos.

### Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.

Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es 
  En otras palabras, para cualquier valor de 
  

### Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales

Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan 
  del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función 
  Sabemos que el periodo es 
  por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.
Comenzando por 
  calculamos el primer valor de y, sumamos la longitud del intervalo 
  a 0, y calculamos el segundo valor de y. Luego sumamos 
  varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la , podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la .

### Modelar el comportamiento periódico

Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.

### Modelar las funciones del movimiento armónico

El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.

### Movimiento armónico simple

El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando 
  
 

### Movimiento armónico amortiguado

En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado. La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento.
En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado.

### Delimitar curvas en movimiento armónico

Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el  y el .
2. Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el .
3. Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el , el , el  y el .
4. Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el .
5. El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el , el , el , el  y el .
6. Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos 

En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación.

### En tecnología

En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados.
En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una  calculadora.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma 
  que se ajusta a los datos dados.
En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma 
   que se ajusta a los datos dados.

### Ejercicios de repaso del capítulo


### Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo 
    
   
En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión.
En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes.

### Identidades de suma y resta

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

### Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para determinar las cantidades deseadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia.

### Fórmulas de suma a producto y de producto a suma

En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto.

### Resolver ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo 
    
   
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo 
    
   
En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo 
     Redondee a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo 
    
   

### Modelar con ecuaciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada.
En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas.
En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en 
   
  
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.