# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Fracciones parciales


### Objetivos de aprendizaje

1. Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)
2. Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)

### Objetivo 1: Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)

Una expresión racional es una expresión de la forma  donde p y q son polinomios y .
  son ejemplos de expresiones racionales.

### La práctica hace la perfección


Calcule el mínimo común denominador de los siguientes racionales:



### Objetivo 2: Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)


### Descomposición parcial de fracciones

Cuando sumamos expresiones racionales con denominadores distintos como  y , primero tenemos que hallar el mínimo común denominador, luego reescribir cada fracción con el denominador común y finalmente sumar los dos numeradores.

Ahora queremos hacer lo contrario.

Dada una expresión racional como  queremos reescribirla como una suma de dos expresiones racionales más simples  y . Nuestra meta es hallar los valores de A y B de manera que 



En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.
Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.

### Descomponer   donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos

Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.
Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:
Primero tendríamos que hallar un denominador común, 


A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.
La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.
Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.
Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de 
 son 
 los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.

### Descomposición de    donde Q(x) tiene factores lineales repetidos

Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

### Descomposición de     donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores 
   o 
   que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como 
   etc.

### Descomposición de      cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

### Conceptos clave

1. Descomponer 
  al escribir las fracciones parciales como 
  Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. La descomposición de 
  con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el .
3. La descomposición de 
  con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en 
 
Vea el .
4. En la descomposición de 
  donde 
  tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como 
Vea el .
    

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial.
En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial.