# Geometría analítica

## La hipérbola


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)
2. Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)


### Objetivo 1: Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)


### La práctica hace la perfección

Utilizar la fórmula de distancia.

### Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)

La hipérbola son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos recibe el nombre de foco de la hipérbola.
La línea que pasa por los focos se denomina eje transversal. Los dos puntos donde el eje transversal interseca a la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se denomina eje conjugado. Cada parte del gráfico se llama rama de la hipérbola.
Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de  no siempre es  y el denominador de  no siempre es . 
Observe que cuando el término  es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término  es positivo, el eje transversal está en el eje y. 

### La práctica hace la perfección


 Graficar una hipérbola con centro en (0,0).

¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la .
La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica.

### Localización de los vértices y focos de una hipérbola

En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la .
Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos 
  en un plano tal que la diferencia de las distancias entre 
  y los focos es una constante positiva.
Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.
Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la .
En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y. Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen.

### Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen

Supongamos que 
  y 
  son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos 
  de manera que la diferencia de las distancias de 
  a los focos es constante. Vea la .
Si los valores de 
  es un vértice de la hipérbola, la distancia de 
  al 
  es 
  La distancia de 
  al 
  es 
  La diferencia de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de 
  es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables:
Por definición de una hipérbola, 
  es constante para cualquier punto 
  en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es 
  para el vértice 
  Se deduce que 
  para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses.
Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices 
  y covértices 
 


### Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar

Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen.

### Hipérbolas centradas en el origen

Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en 
  vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación 
  Observe que esta ecuación también se puede reescribir como 
  Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices.

### Hipérbolas no centradas en el origen 

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola 
  unidades en horizontal y 
  unidades en vertical, el centro de la hipérbola será 
  Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con 
  sustituido por 
  y de 
  sustituido por 
 

Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto 
  tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación 
  Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos.

###  Graficar hipérbolas centradas en el origen

Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar 
  para las hipérbolas horizontales y la forma estándar 
  para las hipérbolas verticales.

###  Graficar hipérbolas no centradas en el origen

Graficar hipérbolas centradas en un punto 
  distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar 
  para las hipérbolas horizontales y 
  para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.

### Resolver problemas aplicados con hipérbolas

Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la . Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho!
Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el  utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos 
  en un plano tal que la diferencia de las distancias entre 
  y los focos es una constante positiva.
2. La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el .
3. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el  y el .
4. Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el  y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con 
  en función de 
  Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes.

###  Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada.