# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Vectores

Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la . ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión?
La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores.

### Visión geométrica de los vectores 

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:
1. Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo  

2. Dado el punto inicial 
  y punto terminal 
  un vector se puede representar como 
  La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido.
3. Dado un punto inicial de 
  y punto terminal 
  un vector se puede representar como 
  
Este último símbolo 
  tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial 
  y un punto terminal 
  Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y. Por lo tanto, si el punto inicial de un vector 
  es 
  y el punto terminal es 
  entonces el vector de posición se halla calculando
En la  vemos el vector original 
  y el vector de posición 
 


### Hallar la magnitud y la dirección 

Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.

### Realizar suma de vectores y multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector   
  como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto 
  los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores  y , o suma de vectores, produce un tercer vector + , el vector resultante.
Para calcular  + , primero dibujamos el vector , y desde el punto terminal de , dibujamos el vector . Es decir, tenemos que el punto inicial de  se encuentra con el punto terminal de . Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma  +  es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de  hasta el final de  en una trayectoria recta, como se muestra en .
La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar  − , véalo como  + (−). Para sumar - se invierte el sentido de  sumarlo al extremo de . El nuevo vector comienza en el inicio de  y se detiene en el punto final de -. Ver  para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos.

### Multiplicar por un escalar

Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.

### Hallar la forma en componentes

En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección 
  y el componente vertical es la dirección 
 . Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la  que el vector de posición 
  resulta de sumar los vectores 1 y 2. Tenemos 1 con punto inicial 
  y punto terminal 
  
También tenemos 2 con punto inicial 
  y punto terminal 
  
Por lo tanto, el vector de posición es
Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de 1 es 2, y la magnitud de 2 es 3. Para hallar la magnitud de , utilice la fórmula con el vector de posición.
La magnitud de  es 
  Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente 
 

Así, la magnitud de es 
  y la dirección es 
  de la horizontal.

### Hallar el vector unitario en la dirección de v

Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.
Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como   
  y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como  
  y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la .

### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j 

Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de  y .


### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Cuando los vectores se escriben en términos de y podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.

### Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección 

Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando 
  Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.
El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con sustituyendo a 


### Calcular el producto punto de dos vectores 

Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.
El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar.

### Conceptos clave

1. El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el .
2. Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el .
3. Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el .
4. Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el .
5. La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el .
6. La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el  y el .
7. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el .
8. El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud.
9. La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es 
  Ver el .
10. En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de   y   donde representa el componente horizontal y representa el componente vertical. Entonces,  = a + b es un múltiplo escalar de por números reales 
  Vea el  y el .
11. Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j. Vea el .
12.  Un vector v = a + b se escribe en términos de magnitud y dirección como 
 
Vea el .
13. El producto punto de dos vectores es el producto de los términos  más el producto de los términos . Vea el .
14. Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores.  y .
15. Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores y son iguales, donde tiene un punto inicial 
  y un punto terminal 
  y   tiene un punto inicial 
  y un punto terminal 
 .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores  =  + 5,  = −2− 3, y  = 4 − .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular  + ,  −  y 2 − 3.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector, 
 


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, dados dibuje 3 y 
  
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo  + ,  −  y 2.

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2 + .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar  − 3.
En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente.

### Aplicaciones en el mundo real


### Ejercicios de repaso del capítulo


### Triángulos no rectos: ley de senos

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
  es el lado opuesto 
  es el lado opuesto 
  y 
  es el lado opuesto 
  Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.

### Triángulos no rectos: ley de cosenos


### Coordenadas polares

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.

### Coordenadas polares: gráficos

En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.

### Forma polar de números complejos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.
Escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, halle el producto 
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, halle el cociente 
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.
En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

### Ecuaciones paramétricas

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro 
  para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.

### Ecuaciones paramétricas: gráficos

En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.

### Vectores

En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, y son iguales, donde tiene un punto inicial 
  y un punto terminal 
  y tiene un punto inicial 
  y un punto terminal 
 

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores y para evaluar la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.
En los siguientes ejercicios, calcule 


### Prueba de práctica

Dados 
  y 
  evalúe cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores  =  − 3 y  = 2 + 3.