# Funciones lineales

## Ajuste de modelos lineales a los datos

Un profesor intenta identificar las tendencias entre las puntuaciones de los exámenes finales. En su clase hay una mezcla de alumnos, por lo que se pregunta si hay alguna relación entre la edad y las notas de los exámenes finales. Una forma de analizar las puntuaciones es crear un diagrama que relacione la edad de cada alumno con la puntuación recibida en el examen. En esta sección, examinaremos uno de estos diagramas, el cual se conoce como diagrama de dispersión.

### Dibujar e interpretar gráficos de dispersión

El diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados capaz de mostrar una relación entre dos conjuntos de datos. Si la relación procede de un modelo lineal, o de un modelo casi lineal, el profesor puede sacar conclusiones por medio de su conocimiento acerca de funciones lineales. La  muestra un ejemplo de gráfico de dispersión.
Observe que este gráfico de dispersión no indica ninguna relación lineal. Los puntos no parecen seguir ninguna tendencia. En otras palabras, no parece haber ninguna relación entre la edad del estudiante y la puntuación en el examen final.

### Hallar la línea de mejor ajuste

Una vez que reconocemos la necesidad de una función lineal para modelar esos datos, la pregunta obvia que sigue es "¿cuál es esa función lineal?”. Una forma de aproximar nuestra función lineal es trazar la línea que parezca ajustarse mejor a los datos. Entonces podemos extender la línea hasta que podamos verificar la intersección en y. Podemos calcular la pendiente de la línea al extenderla hasta que podamos estimar la  

### Reconocer la interpolación o la extrapolación

Aunque los datos de la mayoría de los ejemplos no caen perfectamente sobre la línea, la ecuación es nuestra mejor conjetura sobre cómo se comportará la relación fuera de los valores para los que tenemos datos. Utilizamos un proceso conocido como interpolación cuando predecimos un valor dentro del dominio y el rango de los datos. La extrapolación se utiliza cuando predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos.
La  compara los dos procesos para los datos del chirrido de los grillos que se abordan en el . Podemos ver que la interpolación se produciría si utilizamos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos están entre 18,5 y 44. La extrapolación se produciría si utilizáramos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos fueran inferiores a 18,5 o superiores a 44.
Hay una diferencia entre hacer predicciones dentro del dominio y del rango de valores para los que tenemos datos y fuera de ese dominio y rango. Predecir un valor fuera del dominio y del rango tiene sus limitaciones. Cuando nuestro modelo deja de ser válido a partir de cierto momento, a veces se denomina ruptura del modelo. Por ejemplo, la predicción de una función de costos para un periodo de dos años implicaría el examen de los datos en los que la entrada es el tiempo en años y la salida es el costo. Sin embargo, si intentamos extrapolar un costo cuando  que es dentro de 50 años, el modelo no se aplicaría porque no podríamos contabilizar factores a la vuelta de cincuenta años.

### Hallar la línea de mejor ajuste con una herramienta gráfica 

Si bien es cierto que la observación de una línea funciona razonablemente bien, existen técnicas estadísticas para ajustar una línea a los datos que minimizan las diferencias entre la línea y los valores de los datosTécnicamente, el método minimiza la suma de las diferencias al cuadrado en la dirección vertical entre la línea y los valores de los datos.. Una de estas técnicas se denomina regresión de mínimos cuadrados y puede estimarse con muchas calculadoras gráficos, programas de hojas de cálculo, programas estadísticos y muchas calculadoras en líneaPor ejemplo, http://www.shodor.org/unchem/math/lls/leastsq.html. La regresión de mínimos cuadrados es un medio para determinar la línea que mejor se ajusta a los datos, y aquí nos referiremos a este método como regresión lineal.

### Distinguir entre modelos lineales y no lineales

Como hemos visto anteriormente con el modelo de grillo-chirrido, algunos datos muestran fuertes tendencias lineales. Sin embargo, otros datos, como las puntuaciones de los exámenes finales representadas por la edad, son claramente no lineales. La mayoría de las calculadoras y los programas informáticos también pueden proporcionarnos el coeficiente de correlación, que es una medida del grado de ajuste de la línea a los datos. Muchas calculadoras gráficas requieren que el usuario active una selección de "diagnóstico" para determinar el coeficiente de correlación, que los matemáticos denominan  El coeficiente de correlación es una forma sencilla de hacerse una idea de lo cerca que están los datos de una línea.
Deberíamos calcular el coeficiente de correlación únicamente para los datos que siguen un patrón lineal o para determinar el grado en que un conjunto de datos es lineal. Si los datos presentan un patrón no lineal, el coeficiente de correlación de una regresión lineal no tiene sentido. Para tener una idea de la relación entre el valor de  y el gráfico de los datos, la  muestra algunos grandes conjuntos de datos con sus coeficientes de correlación. Recuerde que, en todos los gráficos, el eje horizontal muestra la entrada y el eje vertical la salida.

### Predecir con la línea de regresión 

Una vez que determinamos que un conjunto de datos es lineal utilizando el coeficiente de correlación, podemos utilizar la línea de regresión para hacer predicciones. Como hemos aprendido anteriormente, la línea de regresión es la que más se acerca a los datos en el gráfico de dispersión, lo que significa que solo una de esas líneas es la que mejor se ajusta a los datos.

### Conceptos clave

1. Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el .
2. Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales.
3. La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el .
4. La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el .
5. El coeficiente de correlación,  indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el .
6. La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el .
7. La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de dispersión para los datos proporcionados. ¿Parece que los datos están relacionados linealmente?

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, haga coincidir cada gráfico de dispersión con una de las cuatro correlaciones especificadas en la  y la .
En los siguientes ejercicios, dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados.

### Numéricos


### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de datos para determinar la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación con una precisión de 3 decimales.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas, así como el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:
 .

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año a lo largo de los diez años, (población, año) para determinados años registrados:
 
  
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa aumentó de forma constante durante un período de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:
 .
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles de durante el período de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados:
 
 


### Ejercicios de repaso del capítulo


### Funciones lineales


### Gráficos de funciones lineales

En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de la ecuación dada
En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de los pares de líneas para hallar las pendientes de la Línea 1 y la Línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos?

### Modelado con funciones lineales

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la  que muestra el beneficio,  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado,  donde  representa los años desde 1980.


En el siguiente ejercicio, considere esta situación: En 2004, la población escolar era de 1.700 personas. En 2012 la población había crecido hasta las 2.500 personas.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: En el año 2000, la población de alces en el parque se midió en 6.500 ejemplares. En 2010, la población se contabilizó en 12.500 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La mediana de los valores de las viviendas en las subdivisiones Pima Central y East Valley (ajustados a la inflación) se muestra en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

### Ajuste de modelos lineales a los datos

En los siguientes ejercicios, considere los datos en la , donde se muestra el porcentaje de desempleados en una ciudad de residentes mayores de 25 años de edad que son graduados universitarios, y que se ofrece a continuación, por año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año en un período de diez años (población, año) para determinados años registrados:
 
 


### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, , donde  representa los años desde 1980. 
En los siguientes ejercicios, utilice la , que muestra el porcentaje de desempleados mayores de 25 años que son graduados universitarios en una ciudad en particular, por año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población (en centenas) y el año en el lapso de diez años, (población, año) para determinados años registrados:
 
  