# Funciones

## Dominio y rango

Las películas de terror y de suspenso son populares y, muy a menudo, muy rentables. Cuando se incluyen actores de gran presupuesto, lugares de rodaje y efectos especiales, los estudios cuentan con una audiencia aún mayor para tener éxito. Consideremos cinco grandes obras de suspenso/terror de principios del siglo XXI: Soy Leyenda, Hannibal, El Aro, La Maldición y El Conjuro. La  muestra la cantidad en dólares que recaudó cada una de esas películas cuando se estrenaron, así como la venta de entradas para las películas de terror en general por año. Observe que podemos utilizar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o el total de ventas de entradas de todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables dependientes e independientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas.

### Hallar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, se introdujeron los conceptos de dominio y rango. En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0.
Podemos visualizar el dominio como una "zona de espera" que contiene "materias primas" para una "máquina funcional" y el rango como otra "zona de espera" para los productos de la máquina. Vea la .
Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo, que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir 
 Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo.
Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo.
Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo:
1. El término más pequeño del intervalo se escribe primero.
2. El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma.
3. Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo.
4. Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo.
Vea la  para conocer un resumen de la notación intervalo.

### Usar notaciones para especificar el dominio y el rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, 
 describe el comportamiento de 
 en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves 
 se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos 
 como "el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que 
 y 
 es menos de 30”.
La  compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos.
Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión, 
 para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos 
 y 
 es el conjunto 
 Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es

### Hallar el dominio y el rango de los gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la .
Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde 
 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es 
 La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango 
  y por debajo, por lo que el rango es 
 Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango.

### Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una.

### Graficar funciones definidas por partes

A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto 
 Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud, o módulo, de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0.
Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada.
Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada.
Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio.
Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos "límites". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total 
 sería 
 si 
  y 
  si 
  

### Conceptos clave

1. El dominio de una función incluye todos los valores reales de entrada que no nos harían intentar una operación matemática indefinida, como dividir entre cero o sacar la raíz cuadrada de un número negativo.
2. El dominio de una función puede determinarse enumerando los valores de entrada de un conjunto de pares ordenados. Vea el .
3. El dominio de una función también puede determinarse identificando los valores de entrada de una función escrita como una ecuación. Vea el , el  y el .
4. Los valores de los intervalos representados en una recta numérica pueden describirse utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Vea el .
5. Para muchas funciones, el dominio y el rango se pueden determinar a partir de un gráfico. Vea el  y el .
6. La comprensión de las funciones de la caja de herramientas puede utilizarse para encontrar el dominio y el rango de las funciones relacionadas. Vea el , el  y el .
7. Una función definida por partes se describe con más de una fórmula. Vea el  y el .
8. Una función definida por partes se puede graficar utilizando cada fórmula algebraica en su subdominio asignado. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función utilizando la notación intervalo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, escriba el dominio y el rango de cada función utilizando la notación intervalo.
En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función definida por partes. Escriba el dominio en notación intervalo.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, dada cada función 
 evaluar 
 y 


En los siguientes ejercicios, dada cada función 
 evaluar 
 y 


En los siguientes ejercicios, escriba el dominio de la función definida por partes en notación intervalo.

### En tecnología


###  Extensión


###  Aplicaciones en el mundo real
