# Funciones trigonométricas

## Trigonometría de triángulos rectángulos

Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:
En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos.

### Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de 
  es su valor en 
  radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La  muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto 
  al eje x, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud 
  y cuyo lado horizontal tiene una longitud 
  Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.
Sabemos que
Asimismo, sabemos que
Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas 
 . Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de 
  llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado 
  (Adyacente significa “junto a”). En lugar de 
  llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo 
  Finalmente, en lugar de 
  llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la .

### Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 
 

Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de "Seno es opuesto sobre la hipotenusa, Coseno es adyacente sobre la hipotenusa, Tangente es opuesto sobre el adyacente”.

### Relacionar los ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la . El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.
Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente.

### Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados

Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de 
  
  y 
  sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre 
 

Supongamos que tenemos un triángulo de 
 , que también puede describirse como un triángulo de 
 . Los lados tienen longitudes en la relación 
  Los lados de un triángulo de 
 , que también puede describirse como un triángulo de 
 , tienen longitudes en la relación 
  Estas relaciones se muestran en la .
A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales.

### Usar la cofunción igual de los complementos 

Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de 
  y 
  vemos que el seno de 
  a saber 
  es también el coseno de 
  mientras que el seno de 
  a saber 
  es también el coseno de 
 

Vea la 
Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la , el lado opuesto al ángulo de 
  es también el lado adyacente a 
  por lo que 
  y 
  son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados, 
  y 
  De la misma manera, 
  y 
  también son la misma proporción con los mismos dos lados, 
  y 
 

La interrelación entre el seno y el coseno de 
  y 
  también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman 
  y el ángulo rectángulo es 
  los dos ángulos restantes también deberán sumar 
  Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen 
 ; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción: Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la .
Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de 
  es igual al coseno de 
  y que el seno de 
  es igual al coseno de 
  También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo 
  
  entonces 
  también.

### Usar las funciones trigonométricas

En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados.

### Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la .

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el .
2. Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el .
3. Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el .
4. Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
5. Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el .
6. Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas.
7. Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el .
8. La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
9. La altura o distancia desconocida se determina  al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios.
En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado 
  es el ángulo opuesto 
  el lado 
  es el ángulo opuesto 
  y el lado 
  es la hipotenusa.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica del ángulo 
 

En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica de ángulo 
 

En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales.

### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real


### Ejercicios de repaso


### Ángulos

En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en grados.
En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en radianes.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 
  en radianes, que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, dibuje el ángulo proporcionado en posición estándar en el plano cartesiano.

### Círculo unitario: funciones seno y coseno


### Las otras funciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión dada.

### Trigonometría de triángulos rectángulos

En los siguientes ejercicios, utilice las longitudes laterales para evaluar.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para medir las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para evaluar cada función trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.

### Prueba de práctica
