# Funciones periódicas

## Gráficos de las funciones seno y coseno

La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris.
Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno.

### Graficar funciones seno y coseno

Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La  enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.
Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la .
Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y 
  que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre 
  y 
  que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la .
Ahora echemos un vistazo a la función coseno. Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La  enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.
Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la .
Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo 
  
En ambos gráficos, la forma se repite después de 
  lo que significa que las funciones son periódicas con un período de 
  La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal, P, da como resultado una función igual a la función original 
  para todos los valores de 
  en el dominio de 
  Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo 
 , que es el periodo de la función. La  muestra varios periodos de las funciones seno y coseno.
Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la , la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque 
  Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.
La  muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y. De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que 
 


### Investigar funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:

### Determinar el periodo de las funciones sinusoidales

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo.
En la fórmula general, 
  se relaciona con el periodo por 
  Si 
  entonces el periodo es menor que 
  y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si 
  entonces el periodo es mayor que 
  y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, 
  
  por lo que el periodo es 
  que ya conocíamos. Si los valores de 
  entonces 
  por lo que el periodo es 
  y el gráfico se comprime. Si los valores de 
  entonces 
  por lo que el periodo es 
  y el gráfico se estira. Observe en la  cómo el periodo se relaciona indirectamente con 
 


### Determinar la amplitud

Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable 
  se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable 
  por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud, o mayor distancia desde el reposo. 
  representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto 
  es la amplitud. El máximo local será una distancia 
  por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea 
  porque 
  en este caso, la línea media, es el eje x. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de 
  la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de 
  es el doble de la amplitud de 
  Si 
  la función se comprime. La  compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.

### Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x

Ahora, que entendemos cómo 
  y 
  se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables 
  y 
  Recordemos la forma general:
El valor 
  para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase, o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno. Si los valores de 
  el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de 
  el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de 
  más se desplazará el gráfico. La  muestra que el gráfico de 
  se desplaza hacia la derecha en 
  unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de 
  que se desplaza hacia la derecha en 
  unidades.
Mientras que 
  se refiere al desplazamiento horizontal, 
  indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la . La función 
  tiene su línea media en 
  
Cualquier valor de 
  distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La  compara 
  con la 
  que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico.

### Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.
En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general
supondremos que 
  y 
  y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.

### Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de 
  
2. La función 
  es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función 
  es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y.
3. El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
4. En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es 
  Vea el .
5. En la fórmula general de una función sinusoidal, 
  representa la amplitud. Si los valores de 
  la función se estira, mientras que si 
  la función se comprime. Vea el .
6. El valor 
  en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el .
7. El valor 
  en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el .
8. Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el .
9. La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el  y el .
10. Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el  y el .
11. Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el .
12. Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para 
  Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.
En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por 
  Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para 
  Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.

### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
 

En los siguientes ejercicios, supongamos que 
 


### En tecnología


### Aplicaciones en el mundo real
