# Regresión lineal y correlación

## La ecuación de regresión

Los datos rara vez se ajustan exactamente a una línea recta. Por lo general, hay que conformarse con predicciones aproximadas. Normalmente, se tiene un conjunto de datos cuyo diagrama de dispersión parece "ajustarse" a una línea recta. Esto se llama línea de mejor ajuste o línea de mínimos cuadrados.
La puntuación del tercer examen, x, es la variable independiente y la puntuación del examen final, y, es la variable dependiente. Trazaremos la línea de regresión que mejor se "ajuste" a los datos. Si cada uno de ustedes ajustara una línea "a ojo", trazarían líneas diferentes. Podemos utilizar lo que se llama una línea de regresión por mínimos cuadrados para obtener la línea de mejor ajuste.
Considere el siguiente diagrama. Cada punto de los datos tiene la forma (x, y) y cada punto de la línea de mejor ajuste utilizando la regresión lineal por mínimos cuadrados tiene la forma (x, ŷ).
La ŷ se lee "estimador de , a la vez que es el valor estimado de . Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. Generalmente no es igual a la y de los datos.

El término y0 – ŷ0 = ε0 se denomina "error" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y, además del valor estimado de y. En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea.
Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y. Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y.
En el diagrama de la , y0 - ŷ0 = ε0 es el residual del punto mostrado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo.
ε = la letra griega épsilon
Para cada punto de datos, puede calcular los residuales o errores, yi - ŷi = εi para i = 1, 2, 3, ..., 11.
Cada |ε| es una distancia vertical.
Para el ejemplo de las puntuaciones del tercer examen y del examen final de los 11 estudiantes de Estadística, hay 11 puntos de datos. Por lo tanto, hay 11 valores ε. Si se eleva al cuadrado cada ε y se suma, se obtiene

 
Esto se denomina suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE).
Utilizando el cálculo, puede determinar los valores de a y b que hacen que la SSE sea un mínimo. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación:

donde 
  y 
 .
Las medias muestrales de los valores x y los valores y son 
  y 
 , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto 
 .
La pendiente b puede escribirse como 
  donde s = la desviación típica de los valores de y y s = la desviación típica de los valores x. r es el coeficiente de correlación, que se analiza en la siguiente sección.

### Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste

El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina regresión lineal. La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina  línea de regresión por mínimos cuadrados .

EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL:
El gráfico de la línea de mejor ajuste para el ejemplo del tercer examen o examen final es el siguiente:
La línea de regresión de mínimos cuadrados (línea de mejor ajuste) para el ejemplo del tercer examen o examen final viene dada por la ecuación:

### ENTENDER LA PENDIENTE

La pendiente de la línea, b, describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo.

INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE: La pendiente de la línea de mejor ajuste nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x), en promedio. 
EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINALPendiente: La pendiente de la línea es b = 4,83. Interpretación: Por un aumento de un punto en la puntuación del tercer examen, la puntuación del examen final aumenta en 4,83 puntos, en promedio.


### El coeficiente de correlación r

Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre x y y.
El coeficiente de correlación, , desarrollado por Karl Pearson a principios del siglo XX, es numérico y proporciona una medida de la fuerza y la dirección de la asociación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y.

El coeficiente de correlación se calcula como

donde n = el número de puntos de datos.
Si se sospecha que existe una relación lineal entre x y y, entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal.
Lo que nos dice el VALOR de 


Lo que nos dice el SIGNO de 


La fórmula de r parece formidable. Sin embargo, las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente r. El coeficiente de correlación r es el elemento inferior de las pantallas de salida de LinRegTTest en las calculadoras TI-83, TI-83+ o TI-84+ (vea la sección anterior para las instrucciones).

### El coeficiente de determinación

La variable  coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos:
1. 
, cuando se expresa en porcentaje, representa el porcentaje de variación de la variable dependiente (predicha) y que puede explicarse por la variación de la variable independiente (explicativa) x utilizando la línea de regresión (de mejor ajuste).
2. 1 – , cuando se expresa como porcentaje, representa el porcentaje de variación en y que NO se explica por la variación en x utilizando la línea de regresión. Esto puede verse como la dispersión de los puntos de datos observados en torno a la línea de regresión.
Considere el ejemplo del tercer examen o examen final introducido en la sección anterior 


### Repaso del capítulo

Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados "errores", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y. La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos.
El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y. La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r2, es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r2 representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares).

 



### Tarea para la casa
