# Regresión lineal y correlación

## Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación, r, nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre la x y la y. Sin embargo, la fiabilidad del modelo lineal también depende del número de puntos de datos observados en la muestra. Tenemos que observar tanto el valor del coeficiente de correlación r como el tamaño de la muestra n, conjuntamente.
Realizamos una prueba de hipótesis de la "significación del coeficiente de correlación" para decidir si la relación lineal en los datos de la muestra es lo suficientemente fuerte como para utilizarla para modelar la relación en la población.
Los datos de la muestra se utilizan para calcular r, el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r, es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido.
1. El símbolo del coeficiente de correlación de la población es ρ, la letra griega "rho".
2. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido)
3. r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra)
La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n.
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo".

Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”.


### COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS

1.  Hipótesis nula: 
2. Hipótesis alternativa: 
SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS:
1. Hipótesis nula  El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población.
2. Hipótesis alternativa  El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población.
SACAR UNA CONCLUSIÓN:Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.
1. Método 1: Utilizar el valor 
2. Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos
En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05

### MÉTODO 1: Utilizar un valor p para tomar una decisión

2. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
3. Conclusión: "Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero".
2. Decisión: NO RECHAZAR la hipótesis nula.
3. Conclusión: "No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación NO es significativamente diferente de cero".
2. Utilizará la tecnología para calcular el valor p. A continuación se describen los cálculos para estimar los estadísticos de prueba y el valor p:
3. El valor p se calcula mediante una distribución t con n – 2 grados de libertad.
4.   La fórmula para el estadístico de prueba es 
 . El valor del estadístico de prueba, t, se muestra en la salida de la computadora o de la calculadora junto con el valor p. El estadístico de prueba t tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación r.
5. El valor p es el área combinada en ambas colas.
Otra manera de calcular el valor p (p) dado por LinRegTTest es el comando 2*tcdf(abs(t),10^99, n-2) en 2nd DISTR.
2. Considere el ejemplo del tercer examen/examen final.
3. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos.
4. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor 
H: ρ = 0
H: ρ ≠ 0
α = 0,05
1. El valor p es de 0,026 (a partir de la prueba LinRegTT en su calculadora o del software).
2. El valor p, 0,026, es inferior al nivel de significación de α = 0,05.
3. Decisión: Rechazar la hipótesis nula H
4. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la nota del tercer examen (x) y la nota del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero.
Como 

### MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión.

Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de . Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción.

### EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico

Considere el ejemplo del tercer examen/examen final. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (

1. H: ρ = 0
2.  H: ρ ≠ 0 
3. α = 0,05
1. Utilice la tabla del "valor crítico al 95 %" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9.
2. Los valores críticos son -0,602 y +0,602
3. Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo.
4. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
5. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen (x) y la calificación del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero.
Como 

### Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación

La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población.
La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite
2. Existe una relación lineal en la población que modela el valor promedio de la y para valores variables de la x. En otras palabras, el valor esperado de la y para cada valor en particular se encuentra en una línea recta en la población. (No conocemos la ecuación para la línea en la población. Nuestra línea de regresión de la muestra es nuestra mejor estimación de esta línea en la población).
3.  Los valores de la y para cualquier valor en particular de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea. Esto implica que hay más valores de la y dispersos cerca de la línea que los que están más lejos. El supuesto (1) implica que estas distribuciones normales están centradas en la línea: las medias de estas distribuciones normales de los valores de la y se encuentran en la línea.
4.  Las desviaciones típicas de los valores de la y de la población en torno a la línea son iguales para cada valor de la x. En otras palabras, cada una de estas distribuciones normales de los valores de la y tiene la misma forma y dispersión sobre la línea.
5. Los errores residuales son mutuamente independientes (sin patrón).
6. Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.

### Repaso del capítulo

La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son:
1. Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x.
2. Independiente Se supone que los residuales son independientes.
3. Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x.
4. Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x.
5. Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.
La pendiente  y la intersección  de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y, σ, utilice la desviación típica de los residuales, s. 
 . La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H0: ρ = valor hipotetizado, utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H0: ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest).

### Revisión de la fórmula

Línea de mínimos cuadrados o línea de mejor ajuste: 

 
donde 
a = intersección en y
b = pendiente
Desviación típica de los residuales: 

 
donde
SSE = suma de errores al cuadrado
n = el número de puntos de datos