# Funciones

## Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/showtext.cfm?t=ptb0524. Consultado el 5 mar 2014. muestra el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina entre los años 2005 a 2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año.
Si solo nos interesara la evolución de los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón ha pasado de 2,31 a 3,68 dólares, lo que supone un aumento de 1,37 dólares. Aunque esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto ha cambiado el precio por año. En esta sección, investigaremos cambios como estos.

### Hallar la tasa media de cambio de una función

La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la  no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada.
La letra griega 
  (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos el cociente como “delta y sobre delta x" o "el cambio en 
    dividido entre el cambio en 
    De vez en cuando escribimos 
  en vez de 
  que sigue representando el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estemos cambiando la función por otra.
En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó 1,37 dólares de 2005 a 2012. A lo largo de 7 años, la tasa de cambio promedio fue
En promedio, el precio de la gasolina aumentó unos 19,6 céntimos cada año.
Otros ejemplos de tasas de cambio son:
1. Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana
2. Un automóvil que viaja a 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia en 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo)
3. Un automóvil que recorre 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón)
4. La corriente que atraviesa un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de aumento de voltaje
5. La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en 4.000 dólares por trimestre

### Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante

Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La  muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función.
Mientras que algunas funciones son crecientes (o decrecientes) en todo su dominio, muchas otras no lo son. Un valor de la entrada en el que una función pasa de ser creciente a decreciente (al ir de izquierda a derecha, es decir, al aumentar la variable de entrada) es la ubicación de un máximo local. El valor de la función en ese punto es el máximo local. Si una función tiene más de uno, decimos que tiene máximos locales. Del mismo modo, un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que la variable de entrada aumenta es la ubicación de un mínimo local. El valor de la función en ese punto es el mínimo local. La forma plural es "mínimos locales". En conjunto, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales, o valores extremos locales, de la función (la forma singular es “extremo”). A menudo, el término local se sustituye por el término relativo. En este texto, utilizaremos el término local.
Es evidente que una función no es creciente ni decreciente en un intervalo en el que es constante. Una función tampoco es creciente ni decreciente en los extremos. Observe que tenemos que hablar de extremos locales, porque cualquier extremo local dado, tal como se define aquí, no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función.
Para la función cuyo gráfico se muestra en la , el máximo local es 16, y se produce en 
  El mínimo local es 
    y se produce en 
   
  
Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Como la cima de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en los puntos cercanos de ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La  ilustra estas ideas para un máximo local.
Estas observaciones nos llevan a una definición formal de los extremos locales.

### Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos 

Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la , la  y la .

###  Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto

Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas 
  (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto, respectivamente.
Para localizar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos en el dominio de la función. Vea la .
No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función de la caja de herramientas 
    es una de esas funciones.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La tasa de cambio relaciona el cambio de una cantidad de salida con el de una cantidad de entrada. La tasa de cambio promedio se determina utilizando solo los datos iniciales y finales. Vea el .
2. La identificación de los puntos que marcan el intervalo en un gráfico puede utilizarse para hallar la tasa de cambio promedio. Vea el .
3. La comparación de pares de valores de entrada y salida en una tabla también puede utilizarse para encontrar la tasa de cambio promedio. Vea el .
4. Una tasa de cambio promedio también se puede calcular determinando los valores de la función en los puntos finales de un intervalo descrito por una fórmula. Vea el  y el .
5. A veces, la tasa de cambio promedio puede determinarse como una expresión. Vea el .
6. Una función es creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando su tasa de cambio es negativa. Vea el .
7. Un máximo local es cuando una función pasa de ser creciente a decreciente y tiene un valor de salida mayor (más positivo o menos negativo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
8. Un mínimo local es cuando la función pasa de ser decreciente a creciente (a medida que aumenta la entrada) y tiene un valor de salida menor (más negativo o menos positivo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
9. Los mínimos y los máximos también se llaman extremos.
10. Podemos encontrar los extremos locales de un gráfico. Vea el  y el .
11. Los puntos más altos y más bajos de un gráfico indican los máximos y los mínimos. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado para los números reales 
     o 
    
   

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de 
     que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de cada función para estimar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
En los siguientes ejercicios, considere el gráfico mostrado en la .
En los siguientes ejercicios, considere el gráfico en la .

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para estimar los extremos locales de cada función y para estimar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

### Extensión


### Aplicaciones en el mundo real
