# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Principios de conteo


### Objetivos de aprendizaje

1. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.
2. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.

### Objetivo 1: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.

En la teoría de la probabilidad, el resultado es un posible resultado de un experimento o prueba.

En la teoría de la probabilidad, un evento es un conjunto de resultados de un experimento.

Los eventos inconexos no pueden ocurrir al mismo tiempo. En otras palabras, son mutuamente excluyentes.

El principio de adición se aplica cuando hacemos una sola selección.


### La práctica hace la perfección


Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.



### Objetivo 2: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.

El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección.


### La práctica hace la perfección


Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.


Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto!
Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas.

### Utilizar el principio de adición

La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la .

### Utilización del principio de multiplicación

El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la .
Las opciones posibles son:
1. sopa, pollo, pastel
2. sopa, pollo, pudín
3. sopa, pescado, pastel
4. sopa, pescado, pudín
5. sopa, filete, pastel
6. sopa, filete, pudín
7. ensalada, pollo, pastel
8. ensalada, pollo, pudín
9. ensalada, pescado, pastel
10. ensalada, pescado, pudín
11. ensalada, filete, pastel
12. ensalada, filete, pudín
También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación.
También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación.

### Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos

El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación

Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared.



Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea.



Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea.



Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto.



Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros.
Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula

Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de 
  objetos y queremos elegir 
  objetos del conjunto en orden, escribimos 
  Otra forma de escribir esto es 
  una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular 
  comenzamos por hallar 
  el número de maneras de alinear todos los 
  objetos. A continuación, dividimos entre 
  para anular los elementos 
  que no deseamos alinear.
Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es 
  Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado.
Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente.
Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los 
  objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre 
  o 
  que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de 
  objetos tomados 
  a la vez es 
  o simplemente 
  
Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente.

### Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula

Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones. Una selección de 
  objetos de un conjunto de 
  objetos en los que no importa el orden se puede escribir como 
  Al igual que con las permutaciones, 
  también puede escribirse como 
  En este caso, la fórmula general es la siguiente.
En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 
  maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 
  o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros.

### Hallar el número de subconjuntos de un conjunto

Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente 
  objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?
Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay 
  maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay 
  maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos
Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a 
  
Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los 
  objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho 
  elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de 
  posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir "no" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir "sí" cada vez.

### Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos

Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría  maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las 
  permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.
En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay 
  maneras de ordenar las estrellas y 
  maneras de ordenar las lunas.
Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Si un evento puede ocurrir en 
  maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en 
  maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de 
  maneras. Vea el .
2. Si un evento puede ocurrir en 
  maneras y un segundo evento puede ocurrir en 
  maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en 
  maneras. Vea el .
3. Una permutación es una ordenación de 
  objetos.
4. Si tenemos un conjunto de 
  objetos y queremos elegir 
  objetos del conjunto en orden, escribimos 
  
5. Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de 
  Vea el  y el .
6. Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación.
7. Dados 
  objetos distintos, el número de maneras de seleccionar 
  objetos del conjunto es 
  y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el .
8. Un conjunto que contiene 
  objetos distintos tiene 
  subconjuntos. Vea el .
9. Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales

En los siguientes ejercicios, suponga que hay 
  maneras en las que un evento 
  puede ocurrir, 
  maneras en las que un evento 
  puede ocurrir, y que 
  no se superponen.
Responda las siguientes preguntas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión.
En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones.

### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real
