# Funciones

## Transformación de funciones

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación.

### Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver.

### Identificación del desplazamiento vertical

Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función 
   la función 
   se desplaza verticalmente 
   unidades. Vea la  a modo de ejemplo.
Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que 
  Por lo tanto, 
  equivale a 
  Cada unidad de 
  se sustituye por 
  por lo que el valor 
  valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de 
  El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo.

### Identificar el desplazamiento horizontal

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la .
Por ejemplo, si 
  entonces 
  es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en 
  

###  Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida ( 
  ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada ( 
  ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda.

### Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y. La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la .
Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y.

### Determinar las funciones pares e impares

Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas 
    o 
    dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y. Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares.
Si los gráficos de 
    o 
    se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la .
Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar.
Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo, 
    no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante 
   
  

### Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad.
Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente.

###  Estiramiento y compresión vertical 

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical. La  muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes.

###  Estiramiento y compresión horizontal 

Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función.
Dada una función 
   la forma 
   da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función 
   Observe la . El gráfico de 
   es el estiramiento horizontal del gráfico de la función 
   por un factor de 2. El gráfico de 
   es la compresión horizontal del gráfico de la función 
   por un factor de .

### Realizar una secuencia de transformaciones

Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero.
Cuando vemos una expresión como 
  ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de 
    multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma.
Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos 
    por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función 
    se relacionan con las entradas a la función 
    Supongamos que sabemos 
    ¿Qué entrada a 
    produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de 
    permitirá 
    Necesitaríamos 
    Para resolver 
    primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal.
Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función.
Exploremos un ejemplo.
Podemos sacar un factor común 2.
Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una función puede desplazarse verticalmente al sumar una constante a la salida. Vea el  y el .
2. Una función puede desplazarse horizontalmente al sumar una constante a la entrada. Vea el , el  y el .
3. Relacionar el desplazamiento con el contexto de un problema permite comparar e interpretar los desplazamientos verticales y horizontales. Vea el .
4. A menudo se combina el desplazamiento vertical con el horizontal. Vea el  y el .
5. La reflexión vertical refleja un gráfico con respecto al eje 
 . Un gráfico puede reflejarse verticalmente al multiplicar la salida por -1.
6. La reflexión horizontal refleja un gráfico con respecto al eje 
 . Un gráfico puede relejarse horizontalmente al multiplicar la entrada por -1.
7. Un gráfico puede reflejarse tanto vertical como horizontalmente. El orden en que se aplican las reflexiones no afecta el gráfico final. Vea el .
8. Una función presentada en forma tabular también puede reflejarse al multiplicar los valores de las filas o columnas de entrada y salida según corresponda. Vea el .
9. La función presentada en forma de ecuación puede reflejarse al aplicar las transformaciones una a la vez. Vea el .
10. Las funciones pares son simétricas con respecto al eje 
 , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen.
11. Las funciones pares satisfacen la condición 
     
 
12. Las funciones impares cumplen la condición 
     
    
13. Una función puede ser impar, par o ninguna de las dos. Vea el .
14. Una función puede comprimirse o estirarse verticalmente al multiplicar la salida por una constante. Vea el , el  y el .
15. Una función puede comprimirse o estirarse horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante. Vea el , el  y el .
16. El orden en el que se apliquen las distintas transformaciones no afecta la función final. Las transformaciones verticales y horizontales deberán aplicarse en el orden indicado. Sin embargo, una transformación vertical puede combinarse con una transformación horizontal en cualquier orden. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original 
  
 
En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de 
   que se muestra en la  para dibujar un gráfico de cada transformación de 
  
 
En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes.
En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original 
  
 
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función 
   que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito.
En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la  para dibujar las transformaciones dadas.