# Introducción a Cálculo

## Continuidad

Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta 
  y bajar solo rápidamente a 
  La  muestra la función 
  donde la salida de 
  es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada 
  es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano.
Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones.

### Determinar si una función es continua en un número

Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la  indica que a las 2 a. m. la temperatura era 
 . A las 2 p. m., la temperatura había subido a 
  y para las 4 p. m. era de 
  En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente 
  De hecho, cualquier temperatura entre 
  y 
  se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre 
  y 
  se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,
Mire de nuevo la . No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua. La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua.
Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función 
  donde 
  es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por 
  número de horas. Vea la .
Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares.
Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada. Esta función es un ejemplo.
Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua. La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua.
Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función 
  representada en la  como ejemplo.
Condición 1 Según la condición 1, la función 
  definida en 
  debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en 
  como en la .
Condición 2 Según la condición 2, en 
  el límite, escrito 
  debe existir. Esto significa que en 
  el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de 
  en la  se acerca a 
  desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y. Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en 
 .
Condición 3 Según la condición 3, la coordenada 
  coordenadas en 
  rellena el agujero en el gráfico de 
  Esto se escribe 
  
El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la , por lo que la función es continua, ya que 
  
De la  a la  se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en 
  y la condición o condiciones que fallan.

### Identificar una discontinuidad de salto

La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en 
 . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto.
Como ejemplo, mire el gráfico de la función 
  en la . Observe como 
  se acerca a 
  cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha.

### Identificar discontinuidad removible

Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función 
  representada por el gráfico en la . La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en 
 . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada 
  y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en 
 .

### Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de 
  cuando 
  se acerca a 
  es el mismo que el valor de 
  cuando 
  Así que 
  Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.

### Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.
Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes.

### Cómo determinar si una función es continua

Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.

### Conceptos clave

1. Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones.
2. Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua.
3. Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones: 


4. Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico "salte".
5. Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el .
6. Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el  y el .
7. Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine por qué la función 
  es discontinua en un punto determinado 
  en el gráfico. Indique cuál condición falla.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada 
  es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la . Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de 
  determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en 
  y cuáles no.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función 
  como en la . Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad.
En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la .