# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Probabilidad


### Objetivos de aprendizaje

1. Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.


### Objetivo 1: Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.


Muchos acontecimientos de la vida son intrínsecamente inciertos: ¿va a nevar mañana? ¿Voy a sacar una ‘A’ en este curso? Ninguna de estas preguntas puede responderse con certeza. Sin embargo, diríamos que algunas son improbables y otras más probables.


La probabilidad de un evento es una descripción de la probabilidad de que un evento ocurra. La probabilidad es un número entre 0 y 1 (es decir, entre el 0 % y el 100 %), donde las probabilidades más cercanas al 100 % son muy probables, y las más cercanas al 0 % son muy improbables. La probabilidad del 0 % significa que el suceso es imposible, y la probabilidad del 100 % significa que el evento ocurrirá con seguridad.

Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Se define por su espacio muestral, los sucesos dentro del espacio muestral y las probabilidades asociadas a cada evento.

El espacio muestral S de un modelo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para lanzar un dado es el conjunto 1,2,3,4,5,6. Esta notación se denomina notación de lista.

El suceso A es un subconjunto del espacio muestral S. Por ejemplo, el suceso: "Sacar un número par", es el subconjunto 2,4,6.

Para calcular la probabilidad de un evento, dividimos el número de resultados posibles del evento entre el número de resultados posibles del espacio muestral.

Es importante señalar que para utilizar esta fórmula, todos los resultados deben tener la misma probabilidad de ocurrir.

Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par con un dado estándar es:


### La práctica hace la perfección

Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la . Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones.

### Construir modelos de probabilidades

Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento, o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados, de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es  Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.
La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad. La probabilidad de un evento 
 es un número que siempre satisface 
  donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la .
La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %.

### Calcular probabilidades de resultados igualmente probables

Supongamos que 
 es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de 
 Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en 
 Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en 
 por lo que la probabilidad del evento es 
 

### Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos

A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos 
  es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos.
Supongamos que se hace girar la ruleta de la . Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a 
  
Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es 
  Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una 
 Así que la probabilidad de girar a 
 es 
  Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y 
 dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a 
 tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y 
 
La probabilidad de girar a anaranjado o a 
 es 
 

### Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la , pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a 
 No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una 
 por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es
Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de 
 y 
 es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es 
 y la probabilidad de girar a 
 es 
 Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a 
 simplemente al sumar las dos probabilidades.
La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a 
 es 
 

### Usar la regla del complemento para calcular probabilidades

Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento 
 denotado 
  es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en 
 Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento 
 es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento 
 es que el caballo pierda la carrera.
Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1.
La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es 
 la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente

### Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo

Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños.
Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay 
 maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay 
 maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es:

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro.
2. Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el .
3. Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el .
4. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el .
5. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el .
6. La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el .
7. En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Numéricos

En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la  para calcular las probabilidades indicadas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas.
En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de 
  cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados.
En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene 
  azules, 
  marrones, 
  anaranjados, 
  amarillos, 
  rojos y 
  M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M.

### Extensiones

Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de 
  números de los números del 
  al 
  Después de que el jugador haga sus selecciones, 
  números ganadores se seleccionan al azar entre los números del 
  al 
  Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente 
  o 
  de los 
  números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana).

### Aplicaciones en el mundo real

Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años).Oficina del Censo de Estados Unidos. http://www.census.gov

### Ejercicios de repaso del capítulo


### Secuencias y su notación


### Secuencias aritméticas


### Secuencias geométricas


### Las series y su notación


### Principios de conteo


### Teorema del binomio


### Probabilidad

En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados.
En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana).

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice la ruleta de la .