# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias aritméticas


### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1) 
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)

### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1)

La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma.

La diferencia entre términos consecutivos, d, y se denomina diferencia común, para n mayor o igual a dos.

    

### La práctica hace la perfección 

Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común.


### La práctica hace la perfección


### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)

En la sección pasada hallamos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos hallar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.
Escribamos los primeros términos de una secuencia donde el primer término es  y la diferencia común es d. A continuación, buscaremos un patrón.
Al buscar un patrón vemos que cada término comienza con .
El primer término suma 0d a , el segundo término suma 1d, el tercer término suma 2d, el cuarto término suma 3d y el quinto término suma 4d. El número de d que se sumaron a  es uno menos que el número del término. Tenemos entonces la fórmula del término general de una secuencia aritmética.

### La práctica hace la perfección


Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética.

Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.
Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.

### Hallar diferencias comunes

Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400.
La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente.

### Escribir términos de secuencias aritméticas

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de 
 y 
 en la siguiente fórmula.

### Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término.

### Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.
Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.



La diferencia común es 
, por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de 
. Para calcular la intersección en 
, restamos 
 a partir de 
 . También puede calcular la intersección 
 al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la .
Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es 
  Cuando se trata de secuencias, utilizamos 
  en vez de 
  y 
  en vez de 
  Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por 
  y 
  en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir 
  para la pendiente y 
  para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:
No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es 
, que se simplifica en 
 


### Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita

Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia.

### Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas

En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de 
 en vez de 
 En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula:

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común.
3. La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el .
4. Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el  y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común 
  viene dada por 
 
Vea el .
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia.
7. Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común 
  viene dada por 
 
Vea el .
8. Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el .
9. En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por 
 
Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética 
  utilizando una calculadora gráfica:


En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética 
  utilizando una calculadora gráfica.

### Extensiones
