# El teorema del límite central

## Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos:
1. μ = la media de X
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que n aumenta, la variable aleatoria 
 que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y

 ~ N
.
El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n. La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento.
Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, la distribución de la variable aleatoria 
, que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media. La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n, el tamaño de la muestra. 
La variable aleatoria 
 tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X. La media 
 es el valor de 
 en una muestra.
μ es el promedio de X y 
.

 = desviación típica de 
 y se denomina error estándar de la media.

### Referencias

Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

### Repaso del capítulo

En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño (n) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (n).

### Revisión de la fórmula

El teorema del límite central para las medias muestrales: 
 ~ N

La media 
 : μ
Teorema del límite central para las medias muestrales con puntuación z y error estándar de la media: 

Error estándar de la media (desviación típica (
 )): 
 
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Yoonie es administrador de personal en una gran empresa. Cada mes debe revisar a 16 de los empleados. Por experiencia, ha comprobado que las revisiones le llevan aproximadamente cuatro horas cada una, con una desviación típica de la población de 1,2 horas. Supongamos que Χ sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda en completar una revisión. Supongamos que Χ se distribuye normalmente. Supongamos que 
 es la variable aleatoria que representa la media de tiempo para completar las 16 revisiones. Supongamos que las 16 opiniones representan un conjunto aleatorio de opiniones.

### Tarea para la casa
