# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Forma polar de los números complejos

"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia.
La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre.

### Graficar números complejos en el plano complejo.

Trazar un número complejo 
  es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, 
  y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, 
 


### Hallar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o 
  Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de 
  en la , muestra 
 


### Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo 
  y su distancia desde el origen 
  Dado un número complejo en forma rectangular expresado como 
  utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:
Revisamos estas relaciones en la .
Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto 
  El módulo, entonces, es el mismo que 
  el radio en forma polar. Usamos 
  para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos

### Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular

Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que 
  primero evalúe las funciones trigonométricas 
  y 
  Entonces, multiplique por 
 


### Hallar productos de números complejos en forma polar

Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.

### Hallar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

### Hallar potencias de números complejos en forma polar

El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo 
  se calcula elevando el módulo a 
  potencia y multiplicando el argumento por 
  Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

### Hallar raíces de números complejos en forma polar

Para hallar la raíz  de un número complejo en forma polar, usamos el 
  o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar   de números complejos en forma polar.

### Conceptos clave

1. Números complejos de la forma 
  se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real  y el eje y como eje imaginario. Vea el .
2. El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto: 
  Vea el  y el .
3. Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas 
  y 
  Entonces, 
  Vea el  y el .
4. Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por 
  Vea el  y el .
5. Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el .
6. Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el .
7. Para calcular la potencia de un número complejo 
  eleve 
  a la potencia 
  y multiplique 
  entre 
 
Vea el .
8. Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbal


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado.
En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, calcule 
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule 
  en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana.