# Funciones lineales

## Gráficos de funciones lineales

Dos compañías telefónicas de la competencia ofrecen diferentes planes de pago. Los dos planes cobran la misma tarifa por minuto de larga distancia, pero cobran una tarifa plana mensual diferente. Un consumidor quiere determinar si los dos planes costarán alguna vez la misma cantidad para un número determinado de minutos de larga distancia utilizados. El costo total de cada plan de pago puede representarse mediante una función lineal. Para resolver el problema, tendremos que comparar las funciones. En esta sección, consideraremos los métodos de comparación de funciones mediante gráficos.

### Gráficos de funciones lineales

En Funciones lineales, vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características.
Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y, así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad  

### Graficar una función mediante el trazado de puntos

Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función,  podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto  Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto  A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error.

### Graficar una función mediante la intersección en y, además de la pendiente

Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y, que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en , podemos establecer  en la ecuación.
La otra característica de la función lineal es su pendiente  que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales.
Consideremos la función siguiente.
La pendiente es  Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando  El gráfico cruza el eje y en  Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y. Podemos empezar a graficar al trazar el punto  Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido,  De nuestro ejemplo, tenemos  lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y  podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la .

### Graficar una función mediante transformaciones

Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad . Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión.

### Estiramiento o compresión vertical

En la ecuación  el plano  actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando  es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la  al multiplicar la ecuación de  por  estira el gráfico de  por un factor de  unidades si  y comprime el gráfico de  por un factor de  unidades si  Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de  mayor será la pendiente.

### Desplazamiento vertical

En  el plano  actúa como el desplazamiento vertical, al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la  que la adición de un valor de  a la ecuación de  desplaza el gráfico de  un total de  unidades hacia arriba si  es positivo y  unidades hacia abajo si  es negativo.
El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método.

### Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta

Recuerde que en Funciones lineales, escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la . Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto  así que esta es la intersección y.
Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto 
  Para llegar desde este punto hasta la intersección en y, debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser
Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene

### Hallar la intersección en x de una línea

Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y. Una función también puede tener una intersección en , que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x. En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero.
Para hallar la intersección en x, se establece una función  igual a cero y se resuelve para el valor de  Por ejemplo, considere la función indicada.
Iguale la función a 0 y resuelva para  
El gráfico de la función cruza el eje x en el punto  

### Describir líneas horizontales y verticales

Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y. En la , vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos  en la ecuación  la ecuación se simplifica a  En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función  
Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x. Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida.
Observe que una línea vertical, como la que aparece en la , tiene una intersección en x, pero no tiene intersección en y, a menos que sea la línea  Este gráfico representa la línea 



### Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares 

Las dos líneas en la  son líneas paralelas: nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y. Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea.
Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas.
A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la  son perpendiculares.
Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si  y  son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1. 
Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es  y el recíproco de  es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo.
Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares.
El producto de las pendientes es -1.

### Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada

Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada.

### Escribir ecuaciones de líneas paralelas

Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación.
Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es  Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a  Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a  
Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a  y pasa por el punto  Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para  dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección.
Así que  es paralela a  y pasa por el punto  

### Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares

Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función:
La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es  Cualquier función con una pendiente de  será perpendicular a  Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a  
Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a  y pasa por el punto  Ya sabemos que la pendiente es  Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para  
La ecuación de la función con pendiente de  y una intersección en y de 2 es
Así que  es perpendicular a  y pasa por el punto  Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico

Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema.
Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que  En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación.

### Conceptos clave

1. Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y, además de la pendiente. Vea el  y el .
2. Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el .
3. La intersección en y, además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea.
4. La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x. Vea el  y el .
5. Las líneas horizontales se escriben en la forma, Vea el .
6. Las líneas verticales se escriben en la forma, Vea el .
7. Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.
8. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el .
9. Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación  y utilizando el  resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el .
10. Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el  y el .
11. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para  El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x.
12. Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:
En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de cada ecuación.
En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de cada par de líneas que se dan a continuación para calcular las pendientes de la línea 1 y la línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos?

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación lineal dada con su gráfico en la .
En los siguientes ejercicios, dibuje una línea con las características dadas.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada ecuación.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, halle el punto de intersección de cada par de líneas, si existe. Si no existe, indique que no hay punto de intersección.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones  

### Aplicaciones en el mundo real
