# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Ecuaciones paramétricas: gráficos

Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente 
  de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles.

### Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.

### Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.
Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de 
           a la horizontal, con una velocidad inicial de 
           y a una altura 
           sobre la horizontal.
La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de 
             a la horizontal, con rapidez inicial 
  y a una altura 
             sobre la horizontal, viene dada por
donde 
             tiene en cuenta los efectos de la gravedad y 
             es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice 
  o 
  La ecuación para 
             da la distancia horizontal, y la ecuación para 
             da la distancia vertical.

### Conceptos clave

1. Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que 
           y 
           dependen.
2. Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas 
           y 
           Elija los valores para 
           en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para 
           y 
           Vea el  y el .
3. Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el  y el .
4. Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el .
5. El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas 
  y 
  La velocidad inicial se simboliza como 
  representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y 
           representa la altura a la que se impulsa el objeto.

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b:
En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana 
     entre 
     en el dominio 
     para los siguientes valores de 
     y 
     e incluya la orientación.
  


### En tecnología

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma 
  Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de 
             y 
             para lograr cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas. 
          

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento 
             Ignore la resistencia del aire.
En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado.