# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

## Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)
2. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)

### Objetivo 1: Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)

En la última sección, aprendimos a escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones.

Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada, resolveremos por eliminación realizando operaciones sobre las filas que nos lleven a la solución. Nuestro objetivo será obtener 1 en la diagonal de la matriz y todas las entradas por debajo de la diagonal deben ser ceros.


### Operaciones de fila

En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones en cualquier fila, y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.

1. Intercambie dos filas cualesquiera.
2. Multiplique una fila por cualquier número real excepto 0.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.
Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.


### La práctica hace la perfección


### Objetivo 2: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada por filas mediante operaciones de fila. En un sistema de ecuaciones consistente e independiente, la matriz aumentada está en forma escalonada por filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.


Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma escalonada por filas, podemos escribir el sistema de ecuaciones equivalente y resolver al menos una variable. A continuación, sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo las demás variables.


### La práctica hace la perfección

Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados.
La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices.

### Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 
  dado.
Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:
También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes.
Un sistema de ecuaciones de tres por tres como
tiene una matriz de coeficientes
y está representada por la matriz aumentada
Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar 
  para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0.

### Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

### Realizar operaciones de fila en una matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas.
Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas, en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra.
Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas.
1. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder.
2. Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz.
3. Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior.
4. Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución.
1. Filas de intercambio (notación: 
  ).
2. Multiplique una fila por una constante (notación: 
  ).
3. Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación: 
  
Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes.

### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas. Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.

### Conceptos clave

1. Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el .
3. Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas.
4. Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el , el  y el .
5. Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el .
6. Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el  y el .
7. Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal.
En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada.