# Geometría analítica

## La elipse


### Objetivos de aprendizaje

1. Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)
2. Grafique un círculo. (IA 11.1.4)

### Objetivo 1: Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)

¿Pero qué ocurre si tenemos que resolver una ecuación en la que el trinomio no es un cuadrado perfecto? 
Por ejemplo, ? Para este tipo de ecuaciones, podemos utilizar un proceso llamado completar el cuadrado.
Recuerde .
Podemos utilizar el patrón de los cuadrados binomiales para hacer un cuadrado perfecto. 

### La práctica hace la perfección 

Determine qué número habría que sumar a los términos dados para crear un trinomio cuadrado perfecto. Entonces reescriba como un binomio al cuadrado.

### Objetivo 2: Grafique un círculo. (IA 11.1.4)


Un círculo son todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto determinado del plano. El punto dado recibe el nombre de centro, (h, k) y la distancia fija se denomina radio, r, del círculo.

La forma estándar o gráfica de la ecuación de un círculo con centro, (h, k) y radio, r, es .
La forma general de la ecuación de un círculo es . Si nos dan una ecuación en forma general, podemos cambiarla a la estándar, también llamada forma gráfica, completando los cuadrados de la x y la y. Entonces podemos graficar el círculo usando su centro y su radio. 

### La práctica hace la perfección

¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la , es una de esas salas.Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014. Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.

### Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar

Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la .
Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos 
  en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la .
Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la .
En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y. Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas.
Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos.

### Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen

Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos 
  y 
  La elipse es el conjunto de todos los puntos 
  tal que la suma de las distancias a los focos 
  es constante, como se muestra en la .
Si los valores de 
  es un vértice de la elipse, la distancia desde 
  al 
  es 
  La distancia de 
  al 
  es 
 . La suma de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de 
  es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:
Por la definición de una elipse, 
  es constante para cualquier punto 
  en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es 
  para el vértice 
  Se deduce que 
  para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica.
Así, la ecuación estándar de una elipse es 
  Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de 
  la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si 
  la elipse se estira más en la dirección vertical.

### Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.
Las características clave de la elipse son su centro, vértices, covértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.

### Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse 
  unidades en horizontal y 
  unidades verticalmente, el centro de la elipse será 
  Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con 
  sustituido por 
  y y se sustituye por 
 


###  Graficar elipses centradas en el origen

Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar 
  para las elipses horizontales y 
  para las elipses verticales.

### Graficar elipses no centradas en el origen

Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, 
    utilizamos las formas estándar 
    para las elipses horizontales y 
    para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

### Resolver problemas aplicados con elipses

Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la . En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros. 

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una elipse es el conjunto de todos los puntos 
   en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
2. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el  y el .
3. Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el  y el .
4. Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el  y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.
En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación.

###  Extensiones

En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula 
     
    

###  Aplicaciones en el mundo real
