# Intervalos de confianza

## Una proporción de la población

Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03).
Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.
El procedimiento para calcular el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes.
¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial. (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción, tome X, la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (lea "P primo") es esa proporción,
  

   
 
(a veces, la variable aleatoria se denota como 
  , que se lee “estimador de P”).
Cuando n es grande y p no se acerca a cero o a uno, podemos utilizar la distribución normal para aproximar la binomial.

 
Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación típica por n, obtenemos una distribución normal de proporciones con P′, llamada proporción estimada, como variable aleatoria (recordemos que una proporción es el número de aciertos dividido por n).

 
Uso del álgebra para simplificar: 
  
 
: 
 
El intervalo de confianza tiene la forma (p′ - EBP, p′ + EBP). EBP es el límite de error para la proporción.
p′ = 
 
 
p′ = la proporción estimada de aciertos (p′ es una estimación puntual de p, la proporción verdadera).
x = el número de aciertos
n = el tamaño de la muestra
El límite de error para una proporción es

  
  donde q′ = 1 - p′
Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la "desviación típica apropiada" es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación típica de la población, la desviación típica adecuada que utilizamos es 
. Para una proporción, la desviación típica adecuada es 
.
Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos 
  como la desviación típica, en lugar de 
.
En la fórmula del límite de error, las  proporciones muestrales . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de aciertos, y q′ es la proporción estimada de fallos.
El intervalo de confianza solo puede utilizarse si el número de aciertos np′ y el número de fallos nq′ son ambos superiores a cinco.

### Intervalo de confianza "más cuatro" para p

En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea.
Afortunadamente, existe un sencillo ajuste que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son aciertos y dos son fallos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de aciertos es x + 2. 
Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90 % y el tamaño de la muestra es de al menos diez.

### Cálculo del tamaño de la muestra n


Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.

La fórmula del límite de error para una proporción de población es

1. 
 
 
2. Al resolver n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra.
3. 
 
 


### Referencias

Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
“52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013).

### Repaso del capítulo

Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.
Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:
(límite inferior, límite superior) 
 

El método "más cuatro" para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción de la población cuando se calcula la desviación típica de la distribución de muestreo. Imaginemos simplemente cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son aciertos y dos son fallos. Calcule 
 , y proceder a calcular el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes.

### Revisión de la fórmula

p′ = x / n donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población.
q′ = 1 – p′

  La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí.
EBP = el límite de error para una proporción = 
  
Intervalo de confianza para una proporción:
(límite inferior, límite superior) 
 

  proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción de la población con confianza 1 - α y margen de error EBP.
Utilice la distribución normal para una proporción de población única 
  

  
El intervalo de confianza tiene el formato (p′ – EBP, p′ + EBP).

  es una estimación puntual de μ
p′ es una estimación puntual de ρ
s es una estimación puntual de σ
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos.

Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante.
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.

### Tarea para la casa




Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no.