# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Gráficos de funciones logarítmicas


### Objetivos de aprendizaje

1. Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1)
2. Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3)

### Objetivo 1: Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1)


### La práctica hace la perfección 


Hallar el dominio y el rango de una relación y una función.


### Objetivo 2: Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3)

Para graficar una función logarítmica , lo más fácil es convertir la ecuación en su forma exponencial, . Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para el gráfico de una función, solemos elegir un valor x y luego determinar su correspondiente valor y. En este caso, puede resultarle más fácil elegir los valores de y, para luego determinar su correspondiente valor de x.

### La práctica hace la perfección 


Graficar funciones logarítmicas
En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto.
Para ilustrarlo, supongamos que invertimos 
 dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de 
 calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año 
 se determina con la ecuación 
 
Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La  muestra este punto en el gráfico logarítmico.
En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas.

### Hallar el dominio de una función logarítmica

Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica.
Recordemos que la función exponencial se define como 
 para cualquier número real 
 y constante 
 
 donde
1. El dominio de 
 es 
 
2. El rango de 
 es 
 
En la última sección aprendimos que la función logarítmica 
 es la inversa de la función exponencial 
 Entonces, como funciones inversas:
1. El dominio de 
 es el rango de 
 
 
2. El rango de 
 es el dominio de 
 
 
Las transformaciones de la función matriz 
 se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma.
En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de 
 Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz 
 podemos cambiar el dominio. Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos. Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero.
Por ejemplo, considere 
 Esta función se define para cualquier valor de 
 de manera que el argumento, en este caso 
 es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para 
 
En notación de intervalo, el dominio de 
 es 
 

### Graficar funciones logarítmicas

Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz 
 junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión.
Comenzamos con la función matriz 
 Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma 
 sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea 
 Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de 
 y su equivalente 
 en la .
Utilizando las entradas y salidas de la , podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas 
 y 
 Vea la .
Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La  muestra el gráfico de 
 y 
 
Observe lo siguiente a partir del gráfico:
1.  
 tiene una intersección en y en 
 y 
 tiene una intersección en x en 
 
2. El dominio de 
 
 es el mismo que el rango de 
 
3. El rango de 
 
 es el mismo que el dominio de 
 

### Graficar transformaciones de funciones logarítmicas

Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz 
 sin perder la forma.

### Graficar un desplazamiento horizontal de f(x) = log(x)

Cuando una constante 
 se suma a la entrada de la función matriz 
 el resultado es un desplazamiento horizontal 
 unidades en la dirección opuesta al signo en 
 Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz 
 y para 
 junto al desplazamiento hacia la izquierda, 
 y el desplazamiento a la derecha, 
 Vea la .

### Graficar un desplazamiento vertical de y = log(x)

Cuando una constante 
 se suma a la función matriz 
 el resultado es un desplazamiento vertical 
 unidades en la dirección del signo en 
 Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz 
 junto con el desplazamiento hacia arriba, 
 y el desplazamiento hacia abajo, 
 Vea la .

### Graficar estiramiento y compresión de y = log(x)

Cuando la función matriz 
 se multiplica por una constante 
 el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos 
 y observe que el gráfico general de la función matriz 
 junto al estiramiento vertical, 
 y la compresión vertical, 
 Vea la .

### Graficar reflexiones de f(x) = log(x)

Cuando la función matriz 
 se multiplica por 
 el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por 
 el resultado es una reflexión alrededor del eje y. Para visualizar las reflexiones, restringimos 
 y observamos el gráfico general de la función matriz 
 junto a la reflexión alrededor del eje x, 
 y la reflexión en torno al eje y, 
 

### Resumir las traslaciones de la función logarítmica

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la  para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Para hallar el dominio de una función logarítmica, establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero, y resuelva para 
 Vea el  y el 
2. El gráfico de la función matriz 
 tiene una intersección en x en 
 dominio 
 rango 
 asíntota vertical 
 y 
Vea el .

3. La ecuación 
 desplaza la función matriz 
 horizontalmente 

Vea el .
4. La ecuación 
 desplaza la función matriz 
 verticalmente 
Vea el .
5. Para cualquier constante 
 la ecuación 
 
 Vea el  y el .

6. Cuando la función matriz 
 se multiplica por 
 el resultado es una reflexión alrededor del eje x. Cuando la entrada se multiplica por 
 el resultado es una reflexión alrededor del eje y. 
 Vea el . 

7. Todas las traslaciones de la función logarítmica se pueden resumir en la ecuación general 
 Vea la .
8. Dada una ecuación con la forma general 
 podemos identificar la asíntota vertical 
 para la transformación. Vea el .
9. Utilizando la ecuación general 
 podemos escribir la ecuación de una función logarítmica dado su gráfico. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función.
En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y, si existen. Si no existen, escriba DNE.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje.
En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la  con la letra correspondiente a su gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada.
En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación.

### Extensiones
