# Funciones trigonométricas

## Ángulos

Un golfista se balancea para golpear una bola por encima de una trampa de arena y llegar al green. Un piloto de aerolínea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. ¿Qué tienen todos ellos en común? Todos ellos trabajan con ángulos, al igual que todos nosotros en un momento u otro. A veces es necesario medir los ángulos con exactitud mediante instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a ojo. En cualquier caso, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos.

### Dibujar ángulos en posición estándar 

Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la  puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo 
  
Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice, mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la  se forma a partir de 
    y 
  Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF, o en forma de símbolo 
    
Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La  es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la .
La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial, y la raya rotada es el lado terminal. Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la .
Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es 
     de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad "grados" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º.
Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y. Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x. Vea la .
Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo. Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo.
Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x. Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que 
     Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que 
     Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x. En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la .
Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular. Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la .

### Convertir entre grados y radianes

Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo.
La circunferencia de un círculo es 
    Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre 
     creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es 
     independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es 
     veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la .
Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a 
    veces el radio, una rotación circular completa es 
    radianes. Así que
Vea la . Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan.

### Relacionar las longitudes de los arcos con los radios

La longitud de arco 
     es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud.
Este cociente, denominado medición de radián, es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco 
     al radio 
     Vea la . 
Si los valores de 
     entonces 
    
   
Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es 
 donde 
 es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia 
 y el más grande tiene circunferencia 
 Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la .
Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo.
Dado que ambos ratios son 
     las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes.


### Usar radianes

Dado que la medición de radián es el cociente de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en la , supongamos que el radio fuera de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco fuera también de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida del radián del ángulo, las "pulgadas" se cancelan, y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta "radianes" después de una medición de radián, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con "grados" o el símbolo de grado, podemos asumir que es una medición de radián.
Considerando el caso más básico, el círculo unitario (un círculo de radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360°. También podemos seguir una rotación alrededor de un círculo al calcular la circunferencia, 
     y para el círculo unitario 
     Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una manera de convertir de grados a radianes.

### Identificar ángulos especiales, medidos en radianes

Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la . Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos.
Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la , y que se muestran en la . Verifique cada una de estas medidas.

### Convertir radianes y grados

Dado que tanto los grados como los radianes miden ángulos, tenemos que ser capaces de convertirlos. Podemos hacerlo fácilmente utilizando una proporción.
Esta proporción muestra que la medida del ángulo 
     en grados dividido entre 180 es igual a la medida del ángulo 
     en radianes dividido entre 
     Dicho de otra manera, los grados son a 180 como los radianes son a 
      

### Calcular ángulos coterminales

La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a 
     Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.
Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la . El ángulo de 140° es un ángulo positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo, medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales. Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango.
Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas.
El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo 
    formado por el lado terminal del ángulo 
    y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la  los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.

### Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes

 Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas.

### Determinar la longitud de un arco

Recordemos que la medición de radián 
    de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco 
     de un arco circular al radio 
     del círculo, 
     A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.

### Calcular el área de un sector de un círculo

Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo. Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio 
    se puede hallar con la fórmula 
    Si los dos radios forman un ángulo de 
    medido en radianes, entonces 
    es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción 
    multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si 
     está en radianes).

### Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular

Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La  velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o 
   pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es 
   in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde 
   es la velocidad lineal, 
   es el desplazamiento, y 
   es el tiempo.
La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como 
   90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde 
   (leído como omega) es la velocidad angular, 
   es el ángulo recorrido, y 
   es el tiempo.

Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco, 
   hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para 
   lo que arroja 
   Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene:
Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene:

Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Un ángulo se forma a partir de la unión de dos rayas, al mantener fijo el lado inicial y rotar el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo.
2. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje positivo x. Un ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido de las agujas del reloj.
3. Para dibujar un ángulo en posición estándar, dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x y luego coloque el lado terminal de acuerdo con la fracción de una rotación completa que el ángulo representa. Vea el .
4. Además de en grados, la medida de un ángulo puede describirse en radianes. Vea el .
5. Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción 
     Vea el  y el .
6. Dos ángulos que tienen el mismo lado terminal reciben el nombre de ángulos coterminales.
7. Podemos hallar ángulos coterminales si sumamos o restamos 360° o 
     Vea el  y el .
8. Los ángulos coterminales se pueden hallar mediante el empleo de radianes, al igual que se hace con los grados. Vea el .
9. La longitud de un arco de círculo es una fracción de la circunferencia del círculo completo. Vea el .
10. El área del sector es una fracción del área del círculo completo. Vea el .
11. Un objeto que se mueve en una trayectoria circular tiene tanto velocidad lineal como angular.
12. La velocidad angular de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular es la medida del ángulo por el que gira en una unidad de tiempo. Vea el .
13. La velocidad lineal de un objeto que recorre una trayectoria circular es la distancia que recorre en una unidad de tiempo. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales 


###  Gráficos

En los siguientes ejercicios, dibuje un ángulo en posición estándar con la medida dada.
En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales.

### Algebraicos 

En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en radianes a grados.
En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en grados a radianes.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar la longitud de un arco de un círculo. Redondee a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para calcular el área del sector. Redondee a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal al ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 
   en radianes que es coterminal al ángulo dado.

### Aplicaciones en el mundo real 


###  Extensiones 
