# Funciones lineales

## Modelado con funciones lineales

Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal.

### Identificar los pasos para modelar y resolver problemas

Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante, solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente:
1. Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas.
2. Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
3. Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar.
4. A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema.
5. Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
6. Resuelva o evalúe la función con la fórmula.
7. Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático.
8. Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario.

### Construir modelos lineales

Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.
1. Salida: 
 dinero restante, en dólares
2. Entrada: 
 tiempo, en semanas
Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: 
 
También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.
1. Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de 
 
2. Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente.
Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana.
La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal 
 Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado.
Para calcular la intersección en 
 llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada.
Las intersecciones en 
 es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas.
Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en 
, a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es: 
 
En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal.

### Utilizar una intersección dada para construir un modelo

Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en 
, que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en 
, la intersección en 
 puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en 
 es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal.
Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para 
 para hallar la intersección en 
.
Las intersecciones en 
  es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en 
  es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo.

###  Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo

Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.

### Utilizar un diagrama para modelar un problema

En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura.

### Construir sistemas de modelos lineales

Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la .
1. Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función.
2. Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y. Vea el .
3. Dibuje un diagrama, si procede. Vea el  y el .
4. Compruebe si la respuesta es razonable.
5. Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y.
6. La intersección en x se halla al establecer 
  que iguala la expresión 
  a 0.
7. El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el .
8. Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea.

### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, 
  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, 
  donde 
  representa el número de años desde 1980.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, 
  en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, 
  donde 
  representa el número de años desde 1980.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.
En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

### Aplicaciones en el mundo real
