# Intervalos de confianza

## Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias

Variables aleatorias continuasNormalmente no tenemos control sobre el tamaño de la muestra de un conjunto de datos. Sin embargo, si podemos fijar el tamaño de la muestra, como en los casos en los que realizamos una encuesta, es muy útil saber cuál debe ser su tamaño para proporcionar la máxima información. El muestreo puede ser muy costoso, tanto en tiempo como en producto. Las simples encuestas telefónicas cuestan aproximadamente 30 dólares cada una, por ejemplo, y algunos muestreos requieren la destrucción del producto.
Si volvemos a nuestra fórmula de normalización de la distribución muestral para las medias, podemos ver que es posible resolverla para n. Si hacemos esto tenemos  en el denominador.
Como aún no hemos tomado una muestra, no conocemos ninguna de las variables de la fórmula, excepto que podemos establecer Zα al nivel de confianza que deseamos, tal como hicimos al determinar los intervalos de confianza. Si establecemos un error aceptable predeterminado, o tolerancia, para la diferencia entre  y μ, denominado e en la fórmula, estamos mucho más lejos en la resolución del tamaño de la muestra n. Todavía no conocemos la desviación típica de la población, σ. En la práctica, se suele hacer una encuesta previa que permite afinar el cuestionario y que da una desviación típica de la muestra que se puede utilizar. En otros casos, se puede utilizar la información previa de otras encuestas para σ en la fórmula. Aunque es rudimentario, este método para determinar el tamaño de la muestra puede ayudar a reducir los costos de forma significativa. Serán los datos reales recogidos los que determinen las inferencias sobre la población, por lo que conviene ser cauteloso con el tamaño de la muestra exigiendo altos niveles de confianza y pequeños errores de muestreo.
Variables aleatorias binariasLo que se hizo en los casos en los que se buscaba la media de una distribución también se puede hacer cuando se hace un muestreo para determinar el parámetro poblacional p de las proporciones. La manipulación de la fórmula de normalización de las proporciones da como resultado:
donde e = (p′-p), y es el error de muestreo aceptable, o tolerancia, para esta aplicación. Esto se medirá en puntos porcentuales.
En este caso el propio objeto de nuestra búsqueda está en la fórmula, p, y por supuesto q porque q =1-p. Este resultado se produce porque la distribución binomial es una distribución de un parámetro. Si conocemos p entonces conocemos la media y la desviación típica. Por lo tanto, p aparece en la desviación típica de la distribución muestral que es de donde sacamos esta fórmula. Si en un exceso de precaución sustituimos p por 0,5, extraeremos el mayor tamaño de muestra necesario que proporcione el nivel de confianza especificado por Zα y la tolerancia que hemos seleccionado. Esto es cierto porque de todas las combinaciones de dos fracciones que suman uno, el mayor múltiplo es cuando cada una es 0,5. Sin ninguna otra información sobre el parámetro poblacional p, esta es la práctica habitual. Esto puede dar lugar a un sobremuestreo, pero ciertamente no a un submuestreo, por lo que se trata de un enfoque prudente. 
Existe un interesante equilibrio entre el nivel de confianza y el tamaño de la muestra que aparece aquí cuando se considera el costo del muestreo. La  muestra el tamaño de la muestra apropiado para diferentes niveles de confianza y diferentes niveles de error aceptable, o tolerancia.
Esta tabla está diseñada para mostrar el tamaño máximo de la muestra requerido en diferentes niveles de confianza dado un supuesto p= 0,5 y q=0,5 como se comentó anteriormente. 
El error aceptable, denominado tolerancia en la tabla, se mide en valores más o menos de la proporción real. Por ejemplo, un error aceptable del 5 % significa que, si la proporción de la muestra es del 26 %, la conclusión sería que la proporción real de la población está entre el 21 % y el 31 % con un nivel de confianza del 90 % si se hubiera tomado una muestra de 271 personas. Asimismo, si el error aceptable se fijara en el 2 %, la proporción de la población se situaría entre el 24 % y el 28 % con un nivel de confianza del 90 %, pero exigiría aumentar el tamaño de la muestra de 271 a 1691. Si quisiéramos un mayor nivel de confianza, necesitaríamos una muestra de mayor tamaño. Pasar de un nivel de confianza del 90 % a un nivel del 95 % con una tolerancia de más o menos el 5 % requiere cambiar el tamaño de la muestra de 271 a 384. Un tamaño de muestra muy común que suele aparecer en las encuestas políticas es de 384. Con los resultados de las encuestas se suele decir que los resultados son buenos con un nivel de "exactitud" de más o menos el 5 %. 

### Repaso del capítulo

A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula del intervalo de confianza correspondiente para n a fin de descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

     
Si la variable aleatoria es binaria, la fórmula para el tamaño de muestra adecuado a fin de que se mantenga un nivel de confianza determinado con un nivel de tolerancia específico viene dada por



### Revisión de la fórmula

n = 
      = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra(n) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado para una variable aleatoria continua

 = la fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra si la variable aleatoria es binaria
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras.
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College.
Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios.

### Tarea para la casa
