# Funciones exponenciales y logarítmicas

## Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


### Objetivos de aprendizaje

1. Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2)
2. Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4)

### Objetivo 1: Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2)


Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial  se denominan ecuaciones exponenciales. Hay dos tipos de ecuaciones exponenciales: las que tienen la base común en cada lado y las que no tienen base común.

Tipo 1: Posible base común en cada lado: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado con una base común. Utilice la propiedad base-exponente para igualar los exponentes y resolver para x.
Tipo 2: No hay base común posible: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado en términos de una expresión exponencial. Tome el logaritmo o ln de cada lado y utilice la regla de la potencia para bajar la potencia. Resuelva la ecuación restante para x.


### La práctica hace la perfección

Resuelva. Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales.

### Objetivo 2: Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4)


Hay dos tipos de ecuaciones logarítmicas: las que tienen términos logarítmicos en un solo lado de la ecuación o las que tienen términos logarítmicos en cada lado de la ecuación. Ya que el dominio de las funciones logarítmicas consiste únicamente en números positivos, compruebe bien las soluciones.
Tipo 1: Términos logarítmicos en un lado de la ecuación: Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir un lado con un solo término logarítmico. Convierta a notación exponencial y resuelva para x.
Si los valores de  entonces .
Tipo 2: Términos logarítmicos en ambos lados de la ecuación: En primer lugar, utilice las propiedades del logaritmo para reescribir cada lado en términos de una única expresión logarítmica, si es necesario. Utilice la propiedad biunívoca de la igualdad logarítmica para que los argumentos sean iguales entre sí. Resuelva la ecuación resultante para x.

### La práctica hace la perfección


No olvide comprobar sus soluciones.

En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.

### Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales

La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales 
 
 y 
 donde 
 
 si y solo si 
 
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.
Por ejemplo, considere la ecuación 
 Para resolver 
 utilizamos la propiedad de división de los exponentes con el objeto de reescribir el lado derecho, de manera que ambos lados tengan la base común, 
 A continuación, aplicamos la propiedad biunívoca de los exponentes al igualarlos y resolver para 
:

### Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base

A veces la base común de una ecuación exponencial no es explícita. En estos casos, simplemente reescribimos los términos de la ecuación como potencias con base común y resolvemos con la propiedad biunívoca.
Por ejemplo, considere la ecuación 
 Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como potencia de 
 Entonces aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad biunívoca, para resolver 
 

### Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que 
 equivale a 
 podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial.

### Ecuaciones que contienen e

Un tipo común de ecuaciones exponenciales son las de base 
 Esta constante se repite una y otra vez en la naturaleza, en las matemáticas, en la ciencia, en la ingeniería y en las finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base 
 en cualquier lado, podemos utilizar el logaritmo natural para resolverla.

### Soluciones extrañas

A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña, que es una solución correcta desde el punto de vista algebraico pero que no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de estas situaciones surge al resolver cuando se toma el logaritmo en ambos lados de la ecuación. En estos casos, recuerde que el argumento del logaritmo deberá ser positivo. Si el número que evaluamos en una función de logaritmo es negativo, no hay salida.

### Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica 
 es equivalente a la ecuación exponencial 
 Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica.
Por ejemplo, considere la ecuación 
 Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de logaritmos para resolver 
 

### Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real 
 
 
 y cualquier número real positivo 
 donde 
 
Por ejemplo,
Por lo tanto, si 
 entonces podemos resolver para 
 y obtenemos 
 Para comprobarlo, podemos sustituir 
 en la ecuación original: 
 En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se da una ecuación con logaritmos de la misma base en cada lado, podemos utilizar las reglas de los logaritmos para reescribir cada lado como un único logaritmo. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones logarítmicas son biunívocas para igualar los argumentos y resolver la incógnita.
Por ejemplo, considere la ecuación 
 Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad biunívoca para resolver 
 
Para comprobar el resultado, sustituya 
 en 
 

### Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo.
Una de estas aplicaciones se encuentra en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda en decaer la mitad del material inestable de la muestra de una sustancia radiactiva, lo que se denomina su semivida. La  enumera la semivida de varias de las sustancias radiactivas más comunes.
Podemos ver lo mucho que varían las semividas de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad que queda después de un tiempo determinado. Podemos emplear la fórmula para el decaimiento radiactivo:
donde
1.  
 es la cantidad inicial presente
2.  
 es la semivida de la sustancia
3.  
 es el tiempo en el que se estudia la sustancia
4.  
 es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo 
 

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita.
2. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases se muestran explícitamente iguales, igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el .
3. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases no se muestran explícitamente iguales, reescribimos cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el , el  y el .
4. Cuando una ecuación exponencial no pueda reescribirse con una base común, resuélvela al tomar el logaritmo de cada lado. Vea el .
5. Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base 
 al aplicar el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Vea el  y el .
6. Después de resolver una ecuación exponencial, compruebe cada solución en la ecuación original para detectar y eliminar cualquier solución extraña. Vea el .
7. Cuando se da una ecuación de la forma 
 donde 
 es una expresión algebraica, podemos utilizar la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como la ecuación exponencial equivalente 
 y resolver la incógnita. Vea el  y el .
8. También podemos utilizar la representación gráfica para resolver ecuaciones con la forma 
 Graficamos ambas ecuaciones 
 y de 
 en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor de x del punto de intersección. Vea el .
9. Cuando se da una ecuación de la forma 
 donde 
 y 
 son expresiones algebraicas, podemos utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver la ecuación 
 para la incógnita. Vea el .
10. Al combinar las habilidades aprendidas en esta sección y en las anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice bases semejantes para resolver la ecuación exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice logaritmos para resolver.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como exponencial.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para resolver la ecuación.
En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para 
 

### Gráficos 

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación para 
 si hay una solución. A continuación, grafique ambos lados de la ecuación y preste atención al punto de intersección (si existe) para verificar la solución.
En los siguientes ejercicios, resuelva el valor indicado y grafique la situación mostrando el punto de solución.

### En tecnología 

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación al reescribir la expresión exponencial con el logaritmo indicado. A continuación, utilice la calculadora para estimar la variable a 3 decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver la ecuación. A menos que se indique lo contrario, redondee todas las respuestas a la diezmilésima más cercana.

### Extensiones 
