# Pruebas de hipótesis con una muestra

## Resultados y errores de tipo I y II

Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro:
Los cuatro resultados posibles en la tabla son: 
Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades.
α = probabilidad de un error de tipo I =  = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera: rechazar un buen nulo.
β = probabilidad de un error tipo II =  = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. (1 - β) se denomina la potencia de la prueba.
α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. 
La estadística nos permite establecer la probabilidad de que cometamos un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α. Recordemos que los intervalos de confianza en la última unidad se establecían al elegir un valor llamado Zα (o tα) y el valor alfa determinaba el nivel de confianza de la estimación porque era la probabilidad de que el intervalo no captara la verdadera media (o parámetro de proporción p). Esta y aquella alfa son iguales.
La forma más fácil de ver la relación entre el error alfa y el nivel de confianza es con la siguiente figura.
En el centro de la  hay una distribución normal de muestreo, marcada H0. Se trata de una distribución de muestreo de  y por el teorema del límite central se distribuye normalmente. La distribución del centro se marca H y representa la distribución para la hipótesis nula H: µ = 100. Este es el valor que se está probando. Los enunciados formales de las hipótesis nula y alternativa se enumeran debajo de la figura. 
Las distribuciones a ambos lados de la distribución H0 representan las que serían verdaderas si H es falsa, bajo la hipótesis alternativa, indicada como H. No sabemos cuál es la verdad, y nunca lo sabremos. De hecho, hay un número infinito de distribuciones de las que se podrían haber extraído los datos si H es verdadera, pero solo dos de ellas están en la  representando a todas las demás. 
Para comprobar una hipótesis, tomamos una muestra de la población y determinamos si proviene de la distribución hipotética con un nivel de significación aceptable. Este nivel de significación es el error alfa y está marcado en la  como las áreas sombreadas en cada cola de la distribución H. (Cada área es en realidad α/2 porque la distribución es simétrica y la hipótesis alternativa posibilita que el valor sea mayor o menor que el valor hipotético, la llamada prueba de dos colas). 
Si la media muestral está marcada como  está en la cola de la distribución de H, entonces concluimos que la probabilidad de que provenga de la distribución H es menor que alfa. En consecuencia, afirmamos que “la hipótesis nula no puede aceptarse con un nivel de significación (α)”. La verdad puede ser que este  sí provenía de la distribución H, pero del extremo de la cola. Si es así, hemos rechazado falsamente una hipótesis nula verdadera y hemos cometido un error de tipo I. Lo que la estadística ha hecho es proporcionar una estimación sobre lo que sabemos y lo que controlamos, y esa es la probabilidad de que nos equivoquemos, α.   
También observamos en la  que la media muestral sería realmente de una distribución H, pero dentro del límite establecido por el nivel alfa. Este caso está marcado como . Existe la probabilidad de que  en realidad provenga de H pero aparece en el rango de H entre las dos colas. Esta probabilidad es el error beta, la probabilidad de aceptar un falso nulo.
Nuestro problema es que solo podemos fijar el error alfa porque hay un número infinito de distribuciones alternativas de las que podría haber salido la media que no son iguales a H. En consecuencia, el estadístico recae la carga de la prueba en la hipótesis alternativa. Es decir, no rechazaremos una hipótesis nula, a no ser que haya una probabilidad superior al 90 % o al 95 %, e incluso al 99 %, de que la nula sea falsa: la carga de la prueba recae en la hipótesis alternativa. Por eso lo designamos anteriormente como la tiranía del statu quo.
A modo de ejemplo, el sistema judicial estadounidense parte del supuesto de la “presunción de inocencia” del acusado. Este es el statu quo y es la hipótesis nula. El juez dirá al jurado que no puede declarar al acusado culpable, a no ser que las pruebas indiquen la culpabilidad más allá de una “duda razonable”, que se define en los casos penales como un 95 % de certeza de culpabilidad. Si el jurado no puede aceptar la nulidad, la inocencia, entonces se tomarán medidas, tiempo de cárcel. La carga de la prueba siempre recae en la hipótesis alternativa (en los casos civiles, el jurado solo necesita tener más del 50 % de certeza de que se ha cometido un delito para declarar la culpabilidad, lo que se denomina “preponderancia de las pruebas”).
El ejemplo anterior era para una prueba de una media, pero la misma lógica se aplica a las pruebas de hipótesis para todos los parámetros estadísticos que uno quiera probar. 
Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II.

### Repaso del capítulo

En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa.
Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β, para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β, cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia.

### Tarea para la casa
