# Otras aplicaciones de la Trigonometría

## Ecuaciones paramétricas

Considere la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la . En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del Sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver una variable a la vez.
En esta sección consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por 
  y 
  donde 
  es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en un número de aplicaciones cuando buscamos no solo una posición concreta, sino también la dirección del movimiento. Al trazar los valores sucesivos de 
  la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas: podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego, aprenderemos a eliminar el parámetro, a trasladar las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares.

### Parametrizar una curva

Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea— en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y. Sin embargo, ambos 
  y 
  varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro, del que tanto 
  y 
  son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo, 
  La intersección en 
  posición de la luna en el tiempo, 
  se representa como la función 
  y la intersección 
  posición de la luna en el tiempo, 
  se representa como la función 
  Juntos, 
  y 
  se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado 
  Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.
Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo 
  y 
  en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables, 
  y 
  Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo.
Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de 
  y de 
  Hay formas que no se pueden representar en la forma 
  lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como 
  Al resolver 
  da como resultado 
  o dos ecuaciones: 
  y 
  Si graficamos 
  y 
  juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la . Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función.
Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos.

### Eliminar el parámetro

En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo 
  y 
  La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro 
  a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.

### Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas

Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para 
  Sustituimos la expresión resultante por 
  en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en 
  y 
 


### Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas

Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras.
Primero, usamos las identidades:
Resolvemos para 
  y 
  tenemos
Entonces, usamos el teorema de Pitágoras:
La sustitución da como resultado

### Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente

Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo 
  En este caso, 
  puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.
Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir 
  por 
  Así, la ecuación cartesiana es 
 


### Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar 
  y luego sustituirlo en la ecuación 
 , y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para 
  como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes.

### Conceptos clave

1. Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables, 
  y 
  en dos ecuaciones en tres variables, x, y y t. A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el , el  y el .
2. A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar 
  el resultado es una ecuación en 
  y 
 .
3. Para eliminar 
  se resuelve una de las ecuaciones para 
  y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el , el , el  y el .
4. Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para 
  en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el .
5. Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular.
6. Halle una expresión para 
  de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro 
  para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana y construya una tabla de 
 .
En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana y establezca 
  o establezca 
 

En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana utilizando 
  y 
  Identifique la curva.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la función de tabla de la calculadora gráfica para determinar si los gráficos se intersecan.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para completar la tabla de valores de cada conjunto de ecuaciones paramétricas.

### Extensiones
