# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Series y sus notaciones


### Objetivos de aprendizaje

1. Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)
2. Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)

### Objetivo 1: Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)

Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, 1 + 6 + 11+ 16 + 21 + 26 + 31 es la suma de los siete primeros términos de la secuencia aritmética con término general,  
Escribimos una serie utilizando la notación de sumatoria. Para escribir esa sumatoria, tenemos que dar con el término general de nuestra secuencia y la sumatoria se verá así:

Para la serie 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + .... la notación de sumatoria es  

### La práctica hace la perfección


Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma.


### Objetivo 2: Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)


### La práctica hace la perfección

Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos.

### Usar la notación de sumatoria

Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie. Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente.
La  suma parcial a la  de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación 
 representa la suma parcial.
La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma, 
  para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria. El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria, que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria, es el número utilizado para generar el último término de una serie.
Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie 
  para 
  hasta 
  Podemos empezar con la sustitución de los términos de 
 y enumerar los términos de esta serie.
Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos:

### Usar la fórmula de la serie aritmética

Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común, 
 La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. Podemos escribir la suma de los primeros 
 términos de una serie aritmética como:
También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como
Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros 
  términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros 
  términos de cualquier serie aritmética.
Debido a que hay 
 términos en la serie, podemos simplificar esta suma a
Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros 
  términos de una serie aritmética.
Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética.

### Usar la fórmula de la serie geométrica

Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común, 
  Podemos escribir la suma de los primeros 
  términos de una serie geométrica como
Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros 
  términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por 
  
Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.
Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para 
 divida ambos lados entre 
 
Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica.

### Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita

Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros 
. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es 
 
Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como 
 donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge.

### Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida

Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0.
La razón común 
  A medida que 
  se hace muy grande, los valores de 
 se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con 
 se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando 
 
Determine si la suma de la serie infinita está definida.

### Calcular sumas de series infinitas

Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros 
 términos de una serie geométrica.
Examinaremos una serie infinita con 
 ¿Qué pasa con 
  a medida que 
  aumenta?
El valor de 
  disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de 
 
A medida que 
  se hace muy grande, 
 se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que 
  aumenta sin límites, 
 se acerca a 0. A medida que 
  se acerca a 0, 
 se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a 
  Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.
Calcule la suma, si existe.

### Solución para problemas de anualidades

Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses.
Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con 
 y 
 Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos.
Podemos calcular el valor de la anualidad después de 
 depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros 
 términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que 
 Podemos sustituir 
 en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años.
Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de 
  Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario.

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. La suma de los términos de una secuencia se llama serie.
2. Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el .
3. La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética.
4. La suma de los primeros 
 términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el  y el .
5. La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica.
6. La suma de los primeros 
 términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el  y el .
7. La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con 
 
8. Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el , el  y el .
9. Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros 
 términos de cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros 
  términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior.
En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica 
  

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros  términos de una serie aritmética para calcular la suma.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros 
  términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial.
En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés.

### Extensiones


### Aplicaciones en el mundo real
