# Identidades trigonométricas y ecuaciones

## Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la ) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser 
     de manera que 
     El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta.

### Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos

En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde 
       La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,
Supongamos que 
       entonces tenemos
La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma, 
       y suponiendo que 
       tenemos
Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es:
La segunda interpretación es:
Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir 
       en la fórmula de la suma da

### Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades

El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.

### Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión

Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.
Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con 
       Resuelva para 
      
    
A continuación, utilizamos la fórmula 
       Resuelva para 
      
    
La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno:

###  Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos 

El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos 
       con la 
       la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para 
       Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo 
       Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que 
       termina.
La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue:
Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos
Para la identidad tangente, tenemos

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el , el , el  y el .
2. Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el  y el .
3. Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el , el  y el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) 
         b) 
         y c) 
         sin resolver para 
        
      
En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas.
En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio.
En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) 
         b) 
         y c) 
         sin resolver para 
         cuando 
         
En los siguientes ejercicios, utilice la  para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados.
En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada.
En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente.
En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de 
         o 
         y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades.