# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento

## Secuencias geométricas


### Objetivos de aprendizaje

1. Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1).
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica (AI 12.3.2).

### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1)

Se denomina secuencia geométrica si el cociente entre términos consecutivos es siempre igual.

El cociente entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es r, el cociente común, donde n es mayor o igual a dos.


### La práctica hace la perfección


Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común.



### La práctica hace la perfección


### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una sucesión geométrica (AI 12.3.2)

Hallemos la fórmula del término general de una secuencia geométrica.

Escribamos los primeros términos de la secuencia donde el primer término es  y la razón común es . A continuación, buscaremos un patrón.


### La práctica hace la perfección


Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica.

Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera.

### Hallar razones comunes

Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común. La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente.



### Escribir términos de secuencias geométricas

Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es 
  y la razón común es 
  podemos hallar los términos posteriores multiplicando 
  para obtener 
  y luego multiplicar el resultado 
  para obtener 
  y así sucesivamente.
Los cuatro primeros términos son 
 


### Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas

Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial.

### Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas

Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares.
Veamos la secuencia 
  Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es
El gráfico de la secuencia se muestra en la .

### Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas

En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de 
  en vez de 
  En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:

### Ecuaciones clave


### Conceptos clave

1. Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común.
3. La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el .
4. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el  y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común 
  viene dada por 
  para 
 .
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el .
7. Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común 
  viene dada por 
  Vea el .
8. En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por 
 
Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.

### Extensiones 
