# Funciones polinómicas y racionales

## Ceros de funciones polinómicas

Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde?
Este problema se resuelve al escribir una función cúbica y resolver una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, abordaremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas.

### Evaluar un polinomio con el teorema del resto

En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto. Si el polinomio se divide entre 
    el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en 
     es decir, 
     Repasemos la demostración del teorema.
Recordemos que el algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico 
    y un divisor polinómico distinto de cero 
     donde el grado de 
  es menor o igual que el grado de 
     existen polinomios únicos 
     y 
     tal que
Si el divisor, 
    es 
     esto asume la forma
Dado que el divisor 
    es lineal, el resto será una constante, 
     Si evaluamos esto para 
     tenemos
En otras palabras, 
    es el resto que se obtiene al dividir 
     entre 
    
  

### Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica

El teorema del factor es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que
Si los valores de 
    es un cero, entonces el restante 
     es 
     y 
     o 
    
  
Observe que, escrito en esta forma, 
    es un factor de 
     Podemos concluir que, si 
     es un cero de 
     entonces 
     es un factor de 
    
  
Del mismo modo, si 
    es un factor de 
     entonces el restante del algoritmo de la división 
     es 0. Esto nos dice que 
     es un cero.
Este par de implicaciones constituye el teorema del factor. Como veremos más adelante, un polinomio de grado 
    en el sistema de números complejos tendrá 
     ceros. Podemos utilizar el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de 
     factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, podemos determinar fácilmente los ceros.

### Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales

Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio.
Consideremos una función cuadrática con dos ceros, 
    y 
     Según el teorema del factor, estos ceros tienen factores asociados. Supongamos que cada factor es igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original sin su factor de estiramiento.


Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. Del mismo modo, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4.
Podemos deducir que los numeradores de las raíces racionales serán siempre factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del teorema del cero racional; es un medio para darnos un conjunto de posibles ceros racionales.

### Hallar los ceros de las funciones polinómicas

El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica.

### Usar el teorema fundamental del álgebra

Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El teorema fundamental del álgebra nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas.
Supongamos que 
    es una función polinómica de grado cuatro, y 
     El teorema fundamental del álgebra establece que existe al menos una solución compleja, llámese 
     Por el teorema del factor, podemos escribir 
     como producto de 
     y un cociente polinómico. Dado que 
     es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el teorema fundamental del álgebra al cociente del polinomio de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámese 
     Así que podemos escribir el cociente de polinomios como un producto de 
     y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continúe aplicando el teorema fundamental del álgebra hasta hallar todos los ceros. Serán cuatro y cada uno de ellos arrojará un factor de 
    
  

### Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados

Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra, como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado 
    tendrá 
     ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en 
     factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma 
     donde 
     es un número complejo.
Supongamos que 
    es una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos que 
     es un cero de 
     Entonces, según el teorema del factor, 
     es un factor de 
     Para que 
     tenga coeficientes reales, 
     también deberá ser un factor de 
     Esto es así porque cualquier factor que no sea 
     cuando se multiplica por 
     dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará lugar a coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica 
     con coeficientes reales tiene un cero complejo 
     entonces el conjugado complejo 
     también será un cero de 
     Esto se denomina el teorema del conjugado complejo.

### Usar la regla de los signos de Descartes

Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, la regla de los signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en 
    y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo.
Esto nos indica que la función tendrá 1 cero real positivo.
Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en 
    y el número de ceros reales negativos.
En este caso, 
    tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que 
     puede tener 3 o 1 ceros reales negativos.

### Resolver aplicaciones del mundo real 

Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección.

### Conceptos clave

1. Para hallar 
      determine el restante del polinomio 
       cuando se divide entre 
       Vea el .
2.  
      es un cero de 
       si y solo si 
       es un factor de 
       Vea el .
3. Cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido entre un factor del coeficiente principal. Vea el  y el .
4. Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.
5. La división sintética puede utilizarse para hallar los ceros de una función polinómica. Vea el .
6. Según el teorema fundamental, toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Vea el .
7. Toda función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo.
8. Teniendo en cuenta las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor tendrá la forma 
      donde 
       es un número complejo. Vea el .
9. El número de ceros reales positivos de una función polinómica es o bien el número de cambios de signo de la función o bien menor que el número de cambios de signo en un número entero par.
10. El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo de 
      o menos que el número de cambios de signo por un número entero par. Vea el .
11. Las ecuaciones polinómicas modelan muchas situaciones en el mundo real. La resolución de las ecuaciones es más fácil de realizar mediante la división sintética. Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del resto para hallar el restante.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del factor para hallar todos los ceros reales de la función polinómica dada y un factor.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para hallar todos los ceros reales.
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones complejas (reales y no reales).

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. A continuación, trace un gráfico para confirmar cuál de esas posibilidades es la combinación real.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, enumere todos los posibles ceros racionales de las funciones.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función polinómica. A partir del gráfico, halle los ceros racionales. Todas las soluciones reales son racionales.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, construya una función polinómica del menor grado posible con la información dada.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones de la caja descrita.
En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones del cilindro circular descrito.