# Funciones polinómicas y racionales

## Gráfico de funciones polinómicas

Los ingresos en millones de dólares desde 2006 hasta 2013 de una empresa de cable ficticia se muestran en la .
Los ingresos pueden modelarse con la función polinómica
donde 
     representa los ingresos en millones de dólares y 
       representa el año, con 
       correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos de la empresa? ¿En qué intervalos disminuyen los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse al examinar el gráfico de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, que es un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general.

### Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La  muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio.

###  Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas

Recordemos que si 
       es una función polinómica, los valores de 
         en el que 
         se llaman ceros de 
         Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros.
Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en 
  porque en las intersecciones en 
  hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos:
1. El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios.
2. El polinomio se da en forma factorizada.
3. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones.

### Identificar los ceros y sus multiplicidades

Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en 
 . A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota.


Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función
Observe que en la  el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en 
  es diferente.
La intersección en 
  
       es la solución de la ecuación 
         El gráfico pasa directamente por la intersección en 
  en 
  El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función.
La intersección en 
  
       es la solución repetida de la ecuación 
         El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección.
El factor se repite, es decir, el factor 
       aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad. El cero asociado a este factor, 
         tiene multiplicidad 2 porque el factor 
         ocurre dos veces.
La intersección en 
  
       es la solución repetida del factor 
         El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas 
         A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3.
En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje 
 . En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje 
 . Consulte en la  ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3.
Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje 
 .
En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje 
 .

### Determinar el comportamiento final

Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma
al final sube o baja en la medida en que 
       aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que 
         disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000.
Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, 
  es una función potencia par, a medida que 
  aumenta o disminuye sin límites, 
  aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que 
  disminuye sin límites, 
  también disminuye sin límite; a medida que 
  aumenta sin límites, 
  también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La  resume los cuatro casos.

###  Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión

Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica 
  en la . El gráfico tiene tres puntos de inflexión.
Esta función 
  es una función polinómica de 4.º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función.

### Graficar funciones polinómicas

Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas.

### Usar el teorema del valor intermedio

En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x, podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica 
  cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números 
  y 
  en el dominio de 
  si 
  y 
  entonces la función 
  adopta cualquier valor entre 
  y 
  Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua 
  en 
  se encuentra por encima del eje 
  y otro punto en 
  se encuentra por debajo del eje 
 , debe existir un tercer punto entre 
  y 
  donde el gráfico cruza el eje 
 . Llamemos a este punto 
  Esto significa que estamos seguros de que hay una solución 
  donde 
  
En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje 
 . La  revela que hay un cero entre 
  y 
  



###  Escribir fórmulas para funciones polinómicas

Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en 
 , donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en 
  al introducir el correspondiente conjunto de factores.

### Usar los extremos locales y globales

Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico.
Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global. También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función.

### Conceptos clave

1. Las funciones polinómicas de grado 2 o más son fluidas y continuas. Vea el .
2. Para hallar los ceros de una función polinómica, si se puede, factorice la función y lleve a cero cada factor. Vea el , el  y el .
3. Otra forma de hallar las intersecciones en 
  de una función polinómica es graficar la función e identificar los puntos en los que el gráfico cruza el eje 
 . Vea el .
4. La multiplicidad de un cero determina cómo se comporta el gráfico en las intersecciones en 
 . Vea el .
5. El gráfico de un polinomio cruza el eje horizontal en un cero con multiplicidad impar.
6. El gráfico de un polinomio toca el eje horizontal en un cero con multiplicidad par.
7. El comportamiento final de la función polinómica depende del término principal.
8. El gráfico de una función polinómica cambia de dirección en sus puntos de inflexión.
9. Una función polinómica de grado 
  tiene como máximo 
  puntos de inflexión. Vea el .
10. Para graficar funciones polinómicas, halle los ceros y sus multiplicidades, determine el comportamiento final y verifique que el gráfico final tenga como máximo 
  puntos de inflexión. Vea el  y el .
11. Graficar una función polinómica ayuda a estimar los extremos locales y globales. Vea el .
12. El teorema del valor intermedio nos indica que, si 
  tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor 
  entre 
  y 
  para los cuales 
  Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en 
  o las intersecciones en tde las funciones polinómicas.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio para confirmar que el polinomio dado tiene al menos un cero dentro del intervalo dado.
En los siguientes ejercicios, halle los ceros y dé la multiplicidad de cada uno.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas. Tome nota de las intersecciones en 
  y en 
 , la multiplicidad y el comportamiento final.
En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir la fórmula de una función polinómica de grado mínimo.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico para identificar los ceros y la multiplicidad.
En los siguientes ejercicios, disponga de la información dada acerca del gráfico del polinomio para escribir la ecuación.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar los mínimos y máximos locales o el mínimo y el máximo global.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una función polinómica de grado mínimo.

### Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba la función polinómica que modele la situación dada.