# Variables aleatorias continuas

## La distribución exponencial

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.
Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.
Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.

### La falta de memoria de la distribución exponencial

En el  recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que
P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0
Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.
P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = 
 ≈ 0,6065.
Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.
La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (X ~ Exp(0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.

### Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ, entonces 
. Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)*…3*2*1)

### Repaso del capítulo

Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m = 
, y escribimos X ∼ Exp(m) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me (o equivalentemente 
 . La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = 1 – e–.
La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria, que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P(X > x + k|X > x) = P(X > k).
Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp(λ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ. La función de densidad de probabilidad de X es . Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf(λ, k). La función de distribución acumulativa P(X ≤ k) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf(λ, k).

### Revisión de la fórmula

Exponencial: X ~ Exp(m) donde m = el parámetro de decaimiento
1. pdf: f(x) = me(– donde x ≥ 0 y m > 0
2. cdf: P(X ≤ x) = 1 – e(–
3. media µ = 


4. desviación típica σ = µ
5. percentil k: k = 
 

6. Además 

7. Propiedad de falta de memoria: P(X > x + k|X > x) = P (X > k)
8. Probabilidad de Poisson: 
 con media λ
9. k! = k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*…3*2*1

### Referencias

Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013).
“No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013).
Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013).
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp(0,2)
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp(0,75).
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14.

### Tarea para la casa

Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial.