# Funciones

## Funciones inversas

Una bomba de calor reversible es un sistema de climatización que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo aparato. Si funciona en una dirección, bombea el calor de una casa para proporcionar refrigeración. Funcionando a la inversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en tiempo frío, para proporcionar calefacción. La bomba de calor es varias veces más eficiente que la calefacción por resistencia eléctrica convencional.
Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las "máquinas" de funciones que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La  ofrece una representación visual de esta cuestión. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

###  Comprobar que dos funciones son inversas

Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius. Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula
y sustituye 75 por 
 para calcular
Sabiendo que una temperatura agradable de 75 grados Fahrenheit equivale a unos 24 grados Celsius, Betty obtiene la previsión meteorológica de la semana a partir de la  para Milán, y quiere convertir todas las temperaturas a grados Fahrenheit.
Al principio, Betty se plantea utilizar la fórmula que ya ha encontrado para efectuar las conversiones. Después de todo, conoce el álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para 
 después de sustituir un valor por 
 Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir
Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Se percata de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener otra fórmula, que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit.
La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de función inversa, que es aquella para la que la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.
Dada una función 
 representamos su inversa como 
 que se lee como 
 inversa de 
 El elevado 
 forma parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de 
. En otras palabras, 
 no significa 
 porque 
 es el recíproco de 
 y no la inversa.
La notación "exponencial" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que 
 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número no nulo 
 por lo que 
 es igual a la función de identidad, es decir:
Esto es válido para todos los valores 
 en el dominio de 
 Informalmente, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, así como el cero no tiene recíproco, algunas funciones no tienen inversa.
Dada una función 
 podemos verificar si alguna otra función 
 es la inversa de 
 al comprobar si 
 o 
 es verdadera. Podemos probar cualquier ecuación que sea más conveniente, porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra).
Por ejemplo, 
 y 
 son funciones inversas.
y
Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función 
 son (-2, -8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función 
 son (-8, -2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa.

### Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas

Las salidas de la función 
 son las entradas a 
 por lo que el rango de 
 es también el dominio de 
 Asimismo, dado que las entradas a 
 son las salidas de 
 el dominio de 
 es el rango de 
 Podemos visualizar la situación como en la .
Cuando una función no tenga inversa, es posible crear una función en un dominio limitado donde sí la tenga. Por ejemplo, la inversa de 
 es 
 porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es apenas la inversa de la raíz cuadrada en el dominio 
 ya que ese es el rango de 


Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática de la caja de herramientas) 
 Si queremos construir la inversa de esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y -3. Sin embargo, la salida de una función es la entrada para su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la "inversa" no es una función en absoluto! Por decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función biunívoca; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene ninguna función inversa. Para que tenga una inversa, deberá ser una función biunívoca.
En muchos casos, si la función no es biunívoca, podemos restringirla a una parte de su dominio en la que lo sea. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada 
 con su dominio limitado a 
 que es una función biunívoca (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada).
Si los valores de 
 en 
 entonces la función inversa es 


1. El dominio de 
 = rango de 
 = 


2. El dominio de 
 = rango de 
 = 



###  Hallar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

### Invertir funciones tabulares

Supongamos que queremos hallar la inversa de una función representada en forma tabular. Recuerde que el dominio de la función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Así que tenemos que intercambiar el dominio y el rango.
Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas de la función inversa. Del mismo modo, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa.

### Evaluación de la inversa de una función, dado el gráfico de la función original

Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función puede leerse a partir de la extensión horizontal de su gráfico. Hallamos el dominio de la función inversa observando la extensión vertical del gráfico de la función original, ya que esta corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. Del mismo modo, hallamos el rango de la función inversa a partir de la extensión horizontal del gráfico de la función original, ya que es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, hallamos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original.

### Hallar las inversas de las funciones representadas por fórmulas

A veces necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para algunos. Si la función original viene dada como una fórmula —por ejemplo, 
 en función de 
 a menudo podemos hallar la función inversa al resolver para obtener 
  en función de 



### Hallar funciones inversas y sus gráficos

Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática 
 restringida al dominio 
 en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la .
Restringir el dominio a 
 hace que la función sea biunívoca (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido.
Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática de la caja de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir, 
 ¿Qué sucede si graficamos tanto 
 y 
 en el mismo conjunto de ejes, donde utilizamos el eje 
 para la entrada, tanto para 


Observamos una clara relación: el gráfico de 
 es el gráfico de 
 reflejado sobre la línea diagonal 
 que llamaremos línea de identidad, y que se indica en la .
Esta relación se observará en todas las funciones biunívocas, porque es el resultado de que la función y su inversa intercambien entradas y salidas. Esto equivale a intercambiar los papeles de los ejes vertical y horizontal.

### Conceptos clave

1. Si los valores de 
 es la inversa de 
 entonces 
 Vea el , el  y el .
2. Cada una de las funciones de la caja de herramientas tiene una inversa. Vea el .
3. Para que una función tenga una inversa, deberá ser biunívoca (pasar la prueba de la línea horizontal).
4. Aquella función que no sea biunívoca en todo su dominio puede serlo en parte de su dominio.
5. Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa. Vea el .
6. La inversa de la función puede determinarse en puntos específicos en su gráfico. Vea el .
7. Para hallar la inversa de una fórmula, resuelva la ecuación 
 para 
 en función de 
 A continuación, intercambie las etiquetas 
 y 
 Vea el , el  y el .
8. El gráfico de una función inversa es la reflexión del gráfico de la función original a través de la línea 

Vea el .

### Ejercicios de la sección


### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, calcule 
 por cada función.
En los siguientes ejercicios, halle un dominio en el que cada función 
 sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de 
 restringida a ese dominio.
En los siguientes ejercicios, utilice la composición de funciones para verificar que 
 y 
 son funciones inversas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico representa una función biunívoca.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de 
 que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función biunívoca que se muestra en la .

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe o resuelva, suponiendo que la función 
 es biunívoca.
En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la  para evaluar o resolver.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle la función inversa. A continuación, grafique la función y su inversa.

### Aplicaciones en el mundo real


### Ejercicios de repaso del capítulo


### Funciones y notación de funciones

En los siguientes ejercicios, determine si la relación es una función.
En los siguientes ejercicios, evalúe la función en los valores indicados: 
 

En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son biunívocas.
En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si la relación cuyo gráfico se proporciona es una función.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la  para estimar los valores.
En los siguientes ejercicios, utilice la función 
 para estimar los valores.

### Dominio y rango

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función, y exprese las respuestas utilizando la notación intervalo.

### Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa promedio de cambio de las funciones a partir de 


En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para determinar los intervalos en los que las funciones son crecientes, decrecientes o constantes.

### Composición de las funciones

En los siguientes ejercicios, calcule 
 y 
  por cada par de funciones.
En los siguientes ejercicios, calcule 
 y el dominio para 
 por cada par de funciones.
En los siguientes ejercicios, exprese cada función 
 como una composición de dos funciones 
 y 
 donde 



### Transformación de funciones

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función dada.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función 
 si el gráfico de la función 
 se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, anote la ecuación de la función estándar representada por cada uno de los gráficos que aparecen a continuación.
En los siguientes ejercicios, determine si cada función de abajo es par, impar o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, analice el gráfico y determine si la función graficada es par, impar o ninguna de las dos.

### Funciones de valor absoluto

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para la transformación de 


En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto.
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de valor absoluto.
En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación y exprese la solución con la notación de intervalo.

### Funciones inversas

En los siguientes ejercicios, calcule 
  por cada función.
En el siguiente ejercicio, halle un dominio en el que la función 
  sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de 
  restringida a ese dominio.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.

### Prueba de práctica

En los siguientes ejercicios, determine si cada una de las siguientes relaciones es una función.
En los siguientes ejercicios, evalúe la función 
 en la entrada dada.
En los siguientes ejercicios, utilice las funciones 
 para hallar las funciones compuestas.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones al trasladar, estirar o comprimir una función de la caja de herramientas.
En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son pares, impares o ninguna de las dos.
En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de 
 que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función definida por partes que se muestra en la .
En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la .