# Funciones polinómicas y racionales

## Números complejos

El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como
Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él.

### Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i

Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario 
  se define como la raíz cuadrada de 1 negativo.
Entonces, con las propiedades de los radicales,
Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de 
  Considere la raíz cuadrada de –25.
Utilizamos 
  y no 
  porque la raíz principal de 
  es la raíz positiva.
Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe 
  donde 
  es la parte real y 
  es la parte imaginaria. Por ejemplo, 
  es un número complejo. También lo es 
  
Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

### Trazar un número complejo en el plano complejo

No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo, que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados 
  donde 
  representa la coordenada del eje horizontal y 
  representa la coordenada del eje vertical.
Consideremos el número 
  La parte real del número complejo es 
  y la parte imaginaria es 
  Trazamos el par ordenado 
  para representar el número complejo 
  como se muestra en la .

### Sumar y restar números complejos

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

### Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado.

### Multiplicar un número complejo por un número real

Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo,

### Multiplicar números complejos juntos

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos
Ya que 
  tenemos
Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias.

### Dividir números complejos

La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de 
  es 
  
Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de 
  es 
  y el conjugado complejo de 
  es 
  Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí.
Supongamos que queremos dividir 
  entre 
  donde ni 
  ni 
  son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos.
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
Aplicamos la propiedad distributiva.
Simplificamos, recordando que 
  

### Simplificar las potencias de i

Las potencias de 
  son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos 
  a potencias crecientes.
Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de 
  es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando 
  por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de 
  

### Conceptos clave

1. La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como múltiplo de 
 
Vea el .
2. Para representar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Vea el .
3. Los números complejos se pueden sumar y restar al combinar las partes reales y las partes imaginarias. Vea el .
4. Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.
5. Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Vea el , el  y el .
6. Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Vea el , el  y el .
7. Las potencias de 
  son cíclicas, pues se repiten cada cuatro. Vea el .

### Verbales


### Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas.

### Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada.
En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo.

### Numéricos

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado.

### En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas.

### Extensiones

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado.