Hlalosa Lie Algebra
Context:Ka thuto ea lipalo, sehlopha sa Lie se bonolo ke sehlopha sa Lie se hokahaneng se seng sa Abelian G se se nang li-subgroups tse tloaelehileng tse hokahaneng. Lethathamo la lihlopha tse bonolo tsa Lie le ka sebelisoa ho bala lethathamo la li-algebra tse bonolo tsa Lie le libaka tsa symmetric tsa Riemannian.  Hammoho le sehlopha sa Lie sa linomoro tsa sebele, \mathbb {R}, le ea linomoro tse rarahaneng tsa boholo ba yuniti, U(1) (selikalikoe sa yuniti), lihlopha tse bonolo tsa Lie li fana ka "li-block" tsa athomo tse etsang lihlopha tsohle tsa Lie tse hokahaneng (tse nang le litekanyo tse fokolang) ka ts'ebetso ea katoloso ea sehlopha. Lihlopha tse ngata tsa Lie tse atisang ho fumanoa li bonolo kapa 'li haufi' le ho ba bonolo: ka mohlala, seo ho thoeng ke "sehlopha se khethehileng sa linear" SL ((n) sa n ka li-matrix tsa n tse nang le determinant e lekanang le 1 e bonolo bakeng sa bohle n > 1.  Sehlopha sa pele sa lihlopha tse bonolo tsa Lie se ile sa thehoa ke Wilhelm Killing,'me hamorao mosebetsi ona o ile oa ntlafatsoa ke Élie Cartan. Ho aroloa ha qetello hangata ho bitsoa ho aroloa ha Killing-Cartan.
Ka bomalimabe, ha ho na tlhaloso e amoheloang hohle ea sehlopha se bonolo sa Lie. Haholo-holo, ha se kamehla e hlalosoang e le sehlopha sa Lie se bonolo joalo ka sehlopha se ikhethileng. Bangoli ba fapana ka hore na sehlopha se bonolo sa Lie se tlameha ho hokahanngoa, kapa hore na se lumelloa ho ba le setsi se seng sa bohlokoa, kapa hore na  Ke sehlopha se bonolo sa Lie.  Tlhaloso e tloaelehileng haholo ke ea hore sehlopha sa Lie se bonolo haeba se hokahane, eseng sa Abelian,'me sehlopha se seng le se seng se koetsoeng se hokahaneng se tloaelehileng ke boitsebiso kapa sehlopha sohle. Ka ho khetheha, lihlopha tse bonolo li lumelloa ho ba le setsi se seng sa bohlokoa, empa  Ha ho bonolo.  Sehloohong sena ho thathamisitsoe lihlopha tse bonolo tsa Lie tse hokahaneng tse nang le setsi se sa reng letho. Hang ha tsena li tsejoa, ho bonolo ho thathamisa tse nang le setsi se seng sa bohlokoa ka tsela e latelang. Sehlopha se seng le se seng sa Lie se nang le setsi se se nang thuso se na le sekoahelo sa bokahohleng, seo setsi sa sona e leng sehlopha sa motheo sa sehlopha se bonolo sa Lie. Lihlopha tsa Lie tse bonolo tse tsamaisanang le tsona tse nang le setsi se seng sa bohlokoa li ka fumanoa e le li-quotient tsa sekoahelo sena sa bokahohleng ke sehlopha se ka tlase sa setsi.  Mekhoa e meng Tlhaloso e lekanang ea sehlopha se bonolo sa Lie e latela ho tsoa ho ngollano ea Lie: Sehlopha se hokahaneng sa Lie se bonolo haeba algebra ea sona ea Lie e le bonolo. Ntlha ea bohlokoa ea theknoloji ke hore sehlopha se bonolo sa Lie se ka ba le lihlopha tse ka tlaase tse tloaelehileng. Ka lebaka lena, tlhaloso ea sehlopha se bonolo sa Lie ha e tšoane le tlhaloso ea sehlopha sa Lie se bonolo joaloka sehlopha se sa hlaloseheng.  Lihlopha tse bonolo tsa Lie li kenyelletsa lihlopha tse ngata tsa khale tsa Lie, tse fanang ka motheo oa thuto ea sehlopha bakeng sa geometry ea spherical, geometry ea projective le li-geometry tse amanang le eona ka kutloisiso ea lenaneo la Felix Klein la Erlangen. Ho ile ha hlaha nakong ea tlhophiso ea lihlopha tse bonolo tsa Lie hore ho boetse ho na le menyetla e'maloa e sa tloaelehang e sa lumellaneng le jiometri leha e le efe e tloaelehileng. Lihlopha tsena tse sa tloaelehang li na le mehlala e mengata e ikhethang le litlhophiso makaleng a mang a lipalo, hammoho le fisiks ea mehleng ena.  E le mohlala o hanyetsanang, sehlopha se akaretsang se otlolohileng ha se bonolo ebile ha se bonolo. Lebaka la sena ke hobane li-multiples tsa boitsebiso li etsa sehlopha se ka tlaase se tloaelehileng, ka hona se qoba tlhaloso. Ka tsela e tšoanang, algebra ea Lie e tsamaisanang le eona e na le mofuta o senyehileng oa Killing, hobane li-multiples tsa'mapa oa boitsebiso ho karolo ea zero ea algebra. Kahoo, algebra ea Lie e tsamaisanang le eona ha e bonolo ebile ha e bonolo. Mohlala o mong o hanyetsanang le ona ke lihlopha tse khethehileng tsa orthogonal ka tekanyo e lekanang. Tsena li na le matrix - ho se sebetse hantle  -I e bohareng,'me karolo ena e hokahane le karolo ea boitsebiso,'me ka hona lihlopha tsena li qoba tlhaloso. Ka bobeli ke lihlopha tse fokotsang.