Ni baadhi ya matumizi ya vitendo ya lemma ya Burnside katika combinatorics kulingana na kifungu hiki?
Context:Lemma ya Burnside, wakati mwingine pia huitwa theorem ya kuhesabu ya Burnside, lemma ya Cauchy<unk>Frobenius, theorem ya kuhesabu mzunguko, au lemma ambayo sio ya Burnside, ni matokeo katika nadharia ya kikundi ambayo mara nyingi ni muhimu katika kuzingatia ulinganifu wakati wa kuhesabu vitu vya hisabati. Majina yake mbalimbali yanategemea William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, na Ferdinand Georg Frobenius. Matokeo si kutokana na Burnside mwenyewe, ambaye tu quotes ni katika kitabu chake 'On the Theory of Groups of Finite Order', sifa badala yake kwa Frobenius (1887). Burnside's Lemma inahesabu "orbits", ambayo ni sawa na kuhesabu vitu tofauti kwa kuzingatia usawa. Njia nyingine za kusema ni kuhesabu vitu tofauti hadi uhusiano sawa R, au kuhesabu vitu ambavyo viko katika fomu ya kisheria.  Katika yafuatayo, hebu G kuwa na mwisho kundi kwamba vitendo juu ya kuweka X. Kwa kila g katika G, hebu Xg kuonyesha seti ya vipengele katika X kwamba ni fasta na g (pia alisema kuwa kushoto invariant na g), yaani, Xg = { x ∈ X. g.x = x }. Lema ya Burnside inasisitiza formula ifuatayo kwa idadi ya orbits, inayojulikana kama X/G:  Kifaa  /  Kifaa = 1 1 Kifaa  Kifaa <unk>  ∈  Kifaa   Kifaa .. na {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} Hivyo idadi ya orbits (natural idadi au +∞) ni sawa na wastani wa idadi ya pointi fasta na kipengele cha G (ambayo pia ni ya asili idadi au infinity). Kama G ni infinite, mgawanyo kwa G inaweza kuwa vizuri-kufafanuliwa; katika kesi hii yafuatayo taarifa katika cardinal hesabu anashikilia:  Kifaa  Kifaa Kifaa  /  Kifaa = <unk>  ∈  Kifaa   Kifaa .. na {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadX^{g}gadgad.} Mifano ya maombi ya kuhesabu Shanga Kuna 8 uwezekano bit vectors ya urefu 3, lakini tu nne tofauti 2-rangi mikufu ya urefu 3: 000, 001, 011, na 111, kwa sababu 100 na 010 ni sawa na 001 na mzunguko; vivyo hivyo 110 na 101 ni sawa na 011. formula inategemea idadi ya rotations, ambayo katika kesi hii ni 3 (ikiwa ni pamoja na zero rotation), na idadi ya vectors bit kushoto unchanged na kila mzunguko. Wote 8 bit vectors ni unchanged na zero mzunguko, na mbili (000 na 111) ni unchanged na kila mmoja wa wengine wawili mzunguko, kutoa: 4 Kiasi = 1 1 3 (mbili) ( 8 Kiasi + 2 (mbili) + 2 (mbili) ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  Kwa urefu 4, kuna 16 uwezekano wa vectors kidogo; 4 rotations; zero mzunguko majani yote 16 bit vectors unchanged; 1-mzunguko na 3-mzunguko kila majani mbili bit vectors unchanged (0000 na 1111); 2-mzunguko majani 4 bit vectors unchanged (0000, 0101, 1010, na 1111); kutoa: 6 (sura ya 5) = 1 1 4 Kiasi ( 16 + 2 (mbili) + 4 Kiasi + 2 (mbili) ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. Hizi ni: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, na 1111.  Rangi za mchemraba Idadi ya rangi tofauti ya mzunguko wa nyuso za mchemraba kutumia rangi tatu inaweza kuamua kutoka formula hii kama ifuatavyo.  Hebu X kuwa seti ya 36 uwezekano uso mchanganyiko wa rangi ambayo yanaweza kutumika kwa mchemraba katika mwelekeo mmoja maalum, na hebu mzunguko kundi G ya mchemraba kutenda juu ya X kwa njia ya asili. Kisha mambo mawili ya X mali ya mzunguko huo hasa wakati moja ni tu mzunguko wa mwingine. Idadi ya rangi tofauti za mzunguko ni sawa na idadi ya mizunguko na inaweza kupatikana kwa kuhesabu ukubwa wa seti za kudumu kwa vipengele 24 vya G.   Mchemraba wenye nyuso zenye rangi moja kitambulisho kipengele ambayo inaacha wote 36 vipengele ya X unchanged sita 90-digrii uso rotations, kila ambayo inaacha 33 ya vipengele ya X unchanged tatu 180-digrii uso rotations, kila ambayo majani 34 ya vipengele ya X unchanged nane 120-digrii vertex rotations, kila ambayo majani 32 ya vipengele ya X unchanged sita 180-digrii makali rotations, kila ambayo majani 33 ya vipengele ya X unchanged Uchunguzi wa kina wa hizi automorphisms inaweza kupatikana hapa.  Hivyo wastani fix ukubwa ni  1 1 24 na ( 3 (mbili) 6 (sura ya 5) + 6 (sura ya 5) ⋅ 3 (mbili) 3 (mbili) + 3 (mbili) ⋅ 3 (mbili) 4 Kiasi + 8 Kiasi ⋅ 3 (mbili) 2 (mbili) + 6 (sura ya 5) ⋅ 3 (mbili) 3 (mbili) ) = 57. - Ni nini? {frac {1}{24}}\left(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) =57. Kwa hiyo kuna 57 rotationally rangi tofauti ya nyuso ya mchemraba katika rangi tatu. Kwa ujumla, idadi ya rangi tofauti za mzunguko wa nyuso za mchemraba katika rangi n hutolewa na  1 1 24 na (  6 (sura ya 5) + 3 (mbili)  4 Kiasi + 12 (mbili)  3 (mbili) + 8 Kiasi  2 (mbili) ) .. na {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). Mchoro wa Malkia 8 Katika fumbo la malkia nane kuna suluhisho 92, ambazo suluhisho 12 za msingi ni tofauti hadi kuzunguka na kutafakari kwa bodi. Kuna 8 mchanganyiko wa rotations na reflections, ikiwa ni pamoja na hatua tupu. Hatua tupu huacha yote 92 ufumbuzi unchanged. Nne ya 92 ufumbuzi ni symmetrical, unchanged na 180 ° mzunguko. Hiyo inatoa: 12 (mbili) = 1 1 8 Kiasi ( 92 - Maoni ya watu + 4 Kiasi ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* Mkanda kuhesabu tatizo: kuhesabu mzunguko tofauti shanga ya urefu mbalimbali ambapo kila bead inaweza kuwa moja ya rangi mbili. Makala hiyo inataja shanga zenye urefu wa 3 na 4, na jibu ni 4 na 6. * Rangi ya mchemraba tatizo: kuhesabu rotationally rangi tofauti ya nyuso ya mchemraba. Makala hiyo inataja kisa kimoja ambapo rangi 3 zimetumiwa na jibu ni 57. * 8 malkia puzzle: toleo la classic ya tatizo ni kuhesabu njia tofauti ya kuweka 8 malkia chess juu ya bodi 8x8 ili malkia hakuna kushambulia mwingine (jibu ni 92). Kwa matumizi ya lemma ya Burnside makala hiyo inahesabu idadi ya uwekaji tofauti wa malkia hadi kuzunguka na kutafakari, kufikia 12 kama jibu.