Waa maxay qaar ka mid ah codsiyada wax ku oolka ah ee Burnside's lemma ee isku-darka ku salaysan marinkaas?
Context:Burnside's lemma, oo mararka qaarkood sidoo kale loo yaqaanno Burnside's counting theorem, Cauchy<unk>Frobenius lemma, the orbit-counting theorem, ama lemma oo aan ahayn Burnside's, waa natiijada ka soo baxda aragtida kooxaha oo inta badan faa'iido u leh tixgelinta isku dheelitirka marka la tirinayo walxaha xisaabta. Magacyadeeda kala duwan waxay ku saleysan yihiin William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, iyo Ferdinand Georg Frobenius. Burnside ma ahan qofka keena natiijada, waxa uu kaliya ku soo qaatay buugiisa 'On the Theory of Groups of Finite Order', waxa uu ku tilmaamay Frobenius (1887). Burnside's Lemma waxa uu tirinayaa " Orbits", taasoo la mid ah sida loo tirinayo walxaha kala duwan iyadoo la tixgelinayo simmetry. Habab kale oo loo sheegi karo waa in la tiriyo walxaha kala duwan ilaa xidhiidh u dhigma R, ama in la tiriyo walxaha ku jira qaabka canonical.  Wixii soo socda, G ha noqoto koox dhammaad leh oo ku shaqeeya xarafka X. G kasta oo g ka mid ah, Xg ha u taagan yahay xarafka X ee ku xiran g (sidoo kale waxaa la yiraahdaa waxaa laga tagay invariant by g), taas oo ah, Xg = { x ∈ X. g.x = x }. Burnside's lemma wuxuu sheegayaa qaaciddada soo socota ee tirada wareegga, oo lagu calaamadeeyay <unk> X/G <unk>:  Waxan ku iri:  Waxaad Waxaa la dhahaa  Waxaad Waxan ku iri: = 1 1 oo Waxan ku iri:  Waxaad Waxan ku iri: <unk>  Waxaad ∈ waa  Waxaad Waxan ku iri:  Waxaad  Waxaad Waxan ku iri: Waxaad {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{ Berry Berry}}\sum _{g\in G} Berry X^{g} Berry.} Sidaa daraadeed tirada wareegyada (tirada dabiiciga ah ama +∞) waxay la mid tahay celceliska tirada dhibcaha ay go'aamisay qayb ka mid ah G (taas oo sidoo kale ah tiro dabiici ah ama aan dhammaad lahayn). Haddii G uu yahay mid aan dhammaad lahayn, qaybinta G waxaa laga yaabaa in aan si fiican loo qeexin; xaaladdan oo kale, bayaankan soo socda ee xisaabta cardinalku waa sax:  Waxan ku iri:  Waxaad Waxan ku iri: Waxan ku iri:  Waxaad Waxaa la dhahaa  Waxaad Waxan ku iri: = <unk>  Waxaad ∈ waa  Waxaad Waxan ku iri:  Waxaad  Waxaad Waxan ku iri: Waxaad {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadX^{g}gad.} Tusaalooyinka codsiyada tirinta silsiladaha qoorta Waxaa jira 8 xariiq oo suurtagal ah oo dhererkiisu yahay 3, laakiin kaliya afar silsiladood oo kala duwan oo laba midab leh oo dhererkoodu yahay 3: 000, 001, 011, iyo 111, maxaa yeelay 100 iyo 010 waxay u dhigantaa 001 wareejin; si la mid ah 110 iyo 101 waxay u dhigantaa 011. Qaaciddadu waxay ku saleysan tahay tirada wareegyada, taas oo kiiskan uu yahay 3 (oo ay ku jiraan wareegga eber), iyo tirada feylasha yar yar ee aan la beddelin wareegga kasta. Dhamaan 8da geedi socodka waxoogaa ah isma beddelaan wareegga eber, iyo laba (000 iyo 111) isma beddelaan mid kasta oo ka mid ah labada wareeg ee kale, iyagoo siinaya: 4 ka mid ah = 1 1 oo Saddex ( 8 iyo + iyo 2 iyo + iyo 2 iyo ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  Dhererka 4, waxaa jira 16 dhererka dhererka suurtagalka ah; 4 wareegyo; wareegga null wuxuu ka tagayaa dhammaan 16 dhererka dhererka aan la beddelin; 1-wareegga iyo 3-wareegga mid waliba wuxuu ka tagayaa laba dherer oo dherer ah oo aan la beddelin (0000 iyo 1111); 2-wareegga wuxuu ka tagayaa 4 dherer dherer ah oo aan la beddelin (0000, 0101, 1010, iyo 1111); siinaya: Lix = 1 1 oo 4 ka mid ah ( Lix iyo toban + iyo 2 iyo + iyo 4 ka mid ah + iyo 2 iyo ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. Kuwaasi waa 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, iyo 1111.  Midabaynta kuubka Tirada midabada wareegsan ee ku kala duwan dhinacyada kuubka iyadoo la isticmaalayo saddex midab ayaa lagu go'aamin karaa qaaciddada soo socota.  X ha noqoto 36 isku darka midabada wajiga ee suurtagalka ah ee lagu dabaqi karo kuub ku yaal hal jiheyn gaar ah, oo ha u oggolaato kooxda wareegga G ee kuubku inay u dhaqmaan X qaab dabiici ah. Markaa labo shey oo ka tirsan X waxay leeyihiin isku waddo markay midka kale ku wareegayo. Tirada midabada kala duwan ee wareega waxay la mid tahay tirada wareega waxaana lagu heli karaa iyadoo la tirinayo cabirka noocyada go'an ee 24ka xubnood ee G.   Cube leh wajiyo midab leh hal shey oo isku mid ah oo ka dhigaya dhammaan 36 shey oo ka mid ah X isbeddelin Lix wareeg oo 90 darajo ah oo wejiga ah, mid kasta oo ka mid ahna wuxuu ka tagayaa 33 qaybood oo ka mid ah X isbedel la'aan saddex wareeg oo wejiga ah oo 180 darajo ah, oo mid kastaa ka tago 34 ka mid ah walxaha X oo aan isbeddelin sideed wareeg oo 120 darajo ah, mid kasta oo ka mid ah 32 ka mid ah walxaha X aan la beddelin lix wareeg oo 180 darajo ah, mid walbana wuxuu ka tagayaa 33 qaybood oo ka mid ah X isbedel la'aan Baaritaan faahfaahsan oo ku saabsan automorphisms-ka waxaa laga heli karaa halkan.  Sidaa darteed celceliska xajmiga waa  1 1 oo 24 iyo ( Saddex Lix + iyo Lix ⋅ Saddex Saddex + iyo Saddex ⋅ Saddex 4 ka mid ah + iyo 8 iyo ⋅ Saddex 2 iyo + iyo Lix ⋅ Saddex Saddex ) = 57 jirka {frac {1}{24}}\left}3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) =57. Sidaa daraadeed waxaa jira 57 midab oo kala duwan oo wareeg ah oo wajiyada kuub ah oo leh saddex midab. Guud ahaan, tirada midabada kala duwan ee wajiyada kuubka ee n midab ayaa lagu bixiyaa  1 1 oo 24 iyo (  Waxaad Lix + iyo Saddex  Waxaad 4 ka mid ah + iyo 12 iyo  Waxaad Saddex + iyo 8 iyo  Waxaad 2 iyo ) Waxaad {\frac {1}{24}}\left{n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). waxaa laga yaabaa in ay ku dhacdo 8 Xigashada Boqortooyada Waxaa jira 92 xalka, kuwaas oo 12 xalka aasaasiga ah ay kala duwan yihiin ilaa wareegga iyo ka tarjumida guddiga. Waxaa jira 8 iskudhaf oo wareejin ah iyo dib u eegis, oo ay ku jiraan ficil aan waxba galabsan. Waxqabadka aan waxba ka jirin wuxuu ka tagayaa dhammaan 92 xalka oo aan isbedelin. Afar ka mid ah 92 xalka waa simmetrical, isbedel la'aan by 180 ° wareejin. Taasi waxay ina siinaysaa: 12 iyo = 1 1 oo 8 iyo ( 92 waxay + iyo 4 ka mid ah ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* Dhibaatada tirinta silsiladaha qoorta: tirinta silsiladaha qoorta ee kala duwan ee dhererka kala duwan halkaas oo luul kasta uu noqon karo mid ka mid ah labada midab. Qodobka waxaa lagu tiriyaa silsilado dhererkoodu yahay 3 iyo 4, jawaabtuna waa 4 iyo 6. * Midabaynta kuubka: tirinta midabaynta kuubka. Maqaalkani wuxuu ka hadlayaa xaalad marka 3 midab la isticmaalo jawaabtiina ay tahay 57. * 8 boqorro: qaabka caadiga ah ee dhibaatada ayaa ah tirinta siyaabo kala duwan oo loo dhigo 8 boqorro oo shaashad ah oo ku yaal 8x8 si aan boqorro u weerarin mid kale (jawaabtu waa 92). Iyada oo la adeegsanayo Burnside's lemma, maqaalku wuxuu tirinayaa tirada meelaha kala duwan ee boqoradaha ilaa wareegga iyo milicsiga, isagoo ku soo galaya 12 jawaab ahaan.