Yọ àwọn ohun-ìní méjì tí ó tó láti fi hàn wípé àwùjọ-ìpín kan ti àyè Euclidean jẹ kókópọ. Fi àwọn ohun ìní wọ̀nyí hàn nínú àkọsílẹ̀ tí a tò sókè sódò.
Context:Onírúurú ìtumọ̀ ti compactness le lo, ti o da lori ipele ti generality. A máa ń pe apá kan àyè Euclidean ní compact bí ó bá ti dí pa àti tí ó bá ní ààlà. Èyí túmọ̀ sí, nípa ìlànà Bolzano-Weierstrass, wípé gbogbo ìsọ̀rí tí kò lópin láti inú àwùjọ náà ní ìsọ̀rí tí ó máa ń sún mọ́ ibi kan nínú àwùjọ náà. Onírúurú èrò tí ó bá dọ́gba nípa bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó, irú bí bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó nígbà tó bá ń tẹ̀ lé ara rẹ̀ àti bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó nígbà tó bá dé ibi tí ó yẹ kó dé, a lè gbé wọn kalẹ̀ nínú àwọn àyè tí wọ́n ń pè ní metric space.  Ni idakeji, awọn ero oriṣiriṣi ti compactness kii ṣe deede ni awọn aaye topological gbogbogbo, ati imọran ti o wulo julọ ti compactness <unk> ni akọkọ ti a pe ni bicompactness <unk> ni a ṣalaye nipa lilo awọn ideri ti o ni awọn ṣeto ṣiṣi (wo Itumọ ideri ṣiṣi ni isalẹ). Àkọsílẹ̀ tí a mọ̀ sí Heine<unk>Borel Theorem ni wípé oríṣi ìdìpọ̀ yìí wà fún àwọn ìdìpọ̀-ìpín-ìpín tí ó ti dí àti tí ó ti dè ní Euclidean space. Ìpínpọ̀, nígbàtí a bá ṣàpèjúwe rẹ̀ ní ọ̀nà yìí, ó sábà máa ń jẹ́ kí ẹnìkan gba ìsọfúnni tí a mọ̀ ní àdúgbò <unk> ní àdúgbò kan ti àyè kọ̀ọ̀kan <unk> kí ó sì mú un lọ sí ìsọfúnni tí ó wà ní àgbáyé ní gbogbo àyè náà. Àpẹẹrẹ ìṣẹ̀lẹ̀ yìí ni àbá Dirichlet, tí Heine fi sílò ní ìpilẹ̀ṣẹ̀, pé iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó wà ní àlàfo kan jẹ́ iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó bá wà ní àlàfo kan; níbí, iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan jẹ́ iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan, àti iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan jẹ́ iṣẹ́ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó bá wà ní àlàfo kan.
Gegebi ọrọ-ọrọ Heine-Borel awọn ohun-ini wọnyi to lati fi han pe ipin kan ti aaye Euclidean jẹ iwapọ: - Àwòrán náà ti pa - Àwòrán náà ti yí pa dà