Sharaxaad ka bixi aljebrada Lie
Context:Xisaabta, kooxda Lie ee fudud waa koox Lie ah oo aan Abelian ahayn oo isku xiran G oo aan lahayn kooxo hoosaadyo caadi ah oo aan caadi ahayn. Liiska kooxaha fudud ee Lie waxaa loo isticmaali karaa in lagu akhriyo liiska aljebrada fudud ee Lie iyo meelaha simmetric Riemannian.  Marka lagu daro kooxda Lie ee isbedelka ah ee tirooyinka dhabta ah, \mathbb {R}, iyo kuwa unugyada isku dhafan ee isku dhafan, U(1) (wareegga unugyada), kooxaha fudud ee Lie waxay bixiyaan "blocks" atomic ah oo ka kooban dhammaan (cabbirkoodu dhammaaday) kooxaha Lie ee ku xiran iyada oo loo marayo hawlgalka kordhinta kooxda. Kooxo badan oo Lie ah oo sida caadiga ah la kulma waa kuwo fudud ama 'ku dhow' inay noqdaan kuwo fudud: tusaale ahaan, waxa loogu yeero "kooxda khadka tooska ah ee gaarka ah" SL ((n) ee n by n matrices oo leh qeexitaan u dhiganta 1 waa mid fudud dhammaan n > 1.  Kala soocida koowaad ee kooxaha Lie ee fudud waxaa sameeyey Wilhelm Killing, shaqadan waxaa markii dambe dhammaystiray Élie Cartan. Qeybinta ugu dambeysa waxaa badanaa loo yaqaanaa Qeybinta Killing-Cartan.
Nasiib darro, ma jiro qeexitaan guud oo la aqbalo oo ku saabsan koox fudud oo Lie ah. Gaar ahaan, marwalba looma qeexo koox Lie ah oo fudud sida koox macquul ah. Qorayaashu waxay ku kala duwan yihiin in kooxda fudud ee Lie ay tahay in la isku xidho, ama in loo oggol yahay in ay leedahay xarun aan caadi ahayn, ama haddii  Waxaad \mathbb {R} waa koox fudud oo Lie ah.  Qeexitaanka ugu caansan ayaa ah in kooxda Lie ay tahay mid fudud haddii ay isku xidhan tahay, aan ahayn Abelian, iyo koox kasta oo xiran oo ku xiran waa kooxda ama kooxda oo dhan. Gaar ahaan, kooxaha fudud waxaa loo ogol yahay inay yeeshaan xarun aan caadi ahayn, laakiin  Waxaad ma ahan wax sahlan.  Qodobkan waxaa lagu taxay kooxaha Lie ee fudud ee isku xiran oo leh xarun aan muhiim ahayn. Marka la ogaado, kuwa leh xarun aan caadi ahayn way fududahay in lagu qoro sida soo socota. Koox kasta oo fudud oo Lie ah oo leh xarun aan muhiim ahayn waxay leedahay dabool guud, oo xarunteedu tahay kooxda aasaasiga ah ee kooxda fudud ee Lie. Kooxaha Lie ee fudud ee la midka ah ee leh xarun aan caadi ahayn ayaa loo heli karaa inay yihiin qaybaha daboolka guud ee xarunta.  Waxyaabaha kale Qeexitaanka isku midka ah ee kooxda Lie ee fudud waxay ka socotaa iswaafajinta Lie: koox Lie ah oo isku xiran waa mid fudud haddii Lie algebra ay tahay mid fudud. Qodobka muhiimka ah ee farsamada ayaa ah in koox fudud oo Lie ah ay ku jiri karaan kooxo yaryar oo aan caadi ahayn. Sababtan awgeed, qeexitaanka kooxda Lie ee fudud ma ahan mid u dhiganta qeexitaanka kooxda Lie ee fudud sida koox macquul ah.  Kooxaha fudud ee Lie waxaa ka mid ah kooxo badan oo Lie ah oo caadi ah, kuwaas oo bixiya aasaaska aragtida kooxaha ee jiometeriyada kubbadda, jiometeriyada soo-saarka iyo jiometeriyada la xiriirta ee dareenka barnaamijka Erlangen ee Felix Klein. Waxaa soo ifbaxay inta lagu gudajiray kala soocida kooxaha fudud ee Lie in ay jiraan sidoo kale dhowr fursado aan caadi ahayn oo aan u dhigmin jiometeriyada caadiga ah. Kooxahan aan caadiga ahayn waxay ka dhigan yihiin tusaalooyin iyo qaabab badan oo gaar ah oo ku jira laamo kale oo xisaabta ah, iyo sidoo kale fiisikiska teoriga ee casriga ah.  Tusaale ahaan, kooxda guud ee toosan ma aha mid fudud, mana ahan mid fudud. Sababtuna waxay tahay isku dhufashada aqoonsiga waxay sameeyaan koox hoosaad aan caadi ahayn, sidaas darteedna ka fogaanaya qeexitaanka. Si lamid ah, Lie algebra waxay leedahay nooc Killing ah oo xumaaday, sababtoo ah isku dhufashada map identity ee elementka eber ee algebra. Sidaa daraadeed, Lie algebra ma aha mid sahlan ama mid fudud. Tusaale kale oo ka soo horjeeda waa kooxaha orthogonal gaar ah ee xitaa xitaa. Kuwaani waxay leeyihiin matrix -  Waxaad -I dhexda, iyo qeybtaani waxay ku xirantahay habka identity-ka, marka kooxahaasi waxay ka fogaanayaan qeexitaankan. Labaduba waa kooxo yareeya.