Ṣàpèjúwe Lie Algebra
Context:Nínú ìṣirò, àwùjọ Lie tí ó rọrùn jẹ àwùjọ Lie tí kò ní Abelian G tí kò ní àwọn àwùjọ abẹ́lé tí ó jẹ́ ti kòṣeémánìí. Àtòjọ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn ni a lè lò láti ka àwọn àtòjọ àwọn algebra Lie tí ó rọrùn àti àwọn àyè Riemannian tí ó bára mu.  Paapọ pẹlu ẹgbẹ Lie commutative ti awọn nọmba gidi, \mathbb {R}, àti ti àwọn nọ́ńbà dídíjú tí ó jẹ́ ẹ̀yà-ọ̀kan, U(1) (àyíká ẹ̀yà-ọ̀kan), àwọn ẹgbẹ́ Lie díẹ̀ fúnni ní àwọn "ìdìpọ̀" atomiki tí ó ṣe gbogbo àwọn ẹgbẹ́ Lie tí ó so pọ̀ (tí ó ní ìpele tí ó ní àlàfo) nípasẹ̀ iṣẹ́ ìmúgbòòrò ẹgbẹ́. Ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ẹgbẹ́ Lie tí a máa ń rí ni ó jẹ́ èyí tí ó rọrùn tàbí tí ó súnmọ́ dídi èyí tí ó rọrùn: fún àpẹrẹ, ohun tí a ń pè ní "àkànṣe ẹgbẹ́ ìlà" SL ((n) ti n by n matrices with determinant equal to 1 jẹ́ èyí tí ó rọrùn fún gbogbo n > 1.  Wilhelm Killing ni ó kọ́kọ́ ṣe àkójọ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn, Élie Cartan sì ṣe àtúnṣe sí iṣẹ́ yìí nígbà tó yá. Àkójọ tí a ṣe níkẹyìn ni a sábà máa ń pè ní Àkójọ Killing-Cartan.
Ó bani nínú jẹ́ pé kò sí àlàyé tí gbogbo ènìyàn gbà nípa àwùjọ Lie tí ó rọrùn. Ní pàtàkì, a kì í sábà ṣàpèjúwe rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí ẹgbẹ́ Lie tí ó rọrùn gẹ́gẹ́ bí ẹgbẹ́ tí a kò lè mọ̀. Àwọn òǹkọ̀wé ní èrò tó yàtọ̀ lórí bóyá ó yẹ kí àwùjọ Lie díẹ̀ wà ní ìsopọ̀, tàbí bóyá ó yẹ kí ó ní àárín tí kò ṣe pàtàkì, tàbí bóyá  ì \mathbb {R} jẹ́ àwùjọ Lie tí ó rọrùn.  Ìtumọ̀ tí ó wọ́pọ̀ jùlọ ni wípé ẹgbẹ́ Lie jẹ́ èyí tí ó rọrùn tí ó bá so pọ̀, tí kò bá jẹ́ ti Abelian, àti gbogbo ẹgbẹ́ abẹ́lé tí ó so pọ̀ tí ó sì ti dí ni ìjùmọ̀ tàbí gbogbo ẹgbẹ́ náà. Ni pataki, awọn ẹgbẹ ti o rọrun ni a gba laaye lati ni aarin ti ko ṣe pataki, ṣugbọn  ì kì í ṣe ohun tó rọrùn.  Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ṣe àkójọ àwọn àwùjọ Lie tí a so pọ̀ pẹ̀lú àárín-òpó tí kò ṣe pàtàkì. Lọgan ti a ba mọ awọn wọnyi, awọn ti o ni aarin ti ko ṣe pataki ni o rọrun lati ṣe akojọ bi atẹle. Ẹgbẹ Lie ti o rọrun eyikeyi pẹlu aarin ti ko ṣe pataki ni ideri gbogbo agbaye, ti aarin rẹ jẹ ẹgbẹ ipilẹ ti ẹgbẹ Lie ti o rọrun. A lè rí àwọn àwùjọ Lie tí ó bára mu pẹ̀lú ààrin tí kò ṣe pàtàkì bí àwọn ìpín ti ìbòjú àgbáyé yìí nípa àwùjọ abẹ́ ààrin.  Àwọn àtúnṣe Ìtumọ̀ kan tí ó bára mu ti àwùjọ Lie tí ó rọrùn ni ó tẹ̀lé láti inú ìjápọ̀ Lie: Ẹgbẹ́ Lie tí ó so pọ̀ jẹ́ èyí tí ó rọrùn bí algebra Lie rẹ̀ bá jẹ́ èyí tí ó rọrùn. Àkọlé pàtàkì kan ni wípé àwùjọ Lie lè ní àwọn àwùjọ abẹ́ àwùjọ abẹ́ àwùjọ abẹ́ àwùjọ. Nítorí ìdí èyí, ìtumọ̀ àwùjọ Lie tí ó rọrùn kò bá ìtumọ̀ àwùjọ Lie tí ó rọrùn gẹ́gẹ́ bí àwùjọ tí a kò lè mọ̀.  Àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn ní àwọn àwùjọ Lie tí ó jẹ́ ti ìgbà àtijọ́, èyí tí ó fúnni ní ẹ̀rí-ọ̀rọ̀ àwùjọ tí ó jẹ́ ìpìlẹ̀ fún ìṣirò onímọ̀ nípa àgbáyé, ìṣirò onímọ̀ nípa àgbáyé àti àwọn ìṣirò onímọ̀ nípa àgbáyé tí ó jẹ́ ti ìgbà àtijọ́ ní ìtumọ̀ ètò Erlangen ti Felix Klein. Ó fara hàn nínú ètò ìdánilẹ́kọ̀ọ́ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn pé àwọn àrà òdì bíi mélòó kan tún wà tí kò bára mu pẹ̀lú àwọn ẹ̀yà-ìṣírò tí a mọ̀. Àwọn àwùjọ àrà ọ̀tọ̀ wọ̀nyí ní àwọn àpẹẹrẹ àrà ọ̀tọ̀ àti àwọn ìtòlẹ́sẹẹsẹ nínú àwọn ẹ̀ka mìíràn ti ìṣirò, àti nínú ìmọ̀-ìjìnlẹ̀ físíìsì òde òní.  Bí àpẹẹrẹ, àwùjọ ìlà kan kò rọrùn rárá, kò sì rọrùn rárá. Èyí jẹ́ nítorí wípé àwọn ìlọ́po-ìlọ́po ti ìdánimọ̀ náà dá àwùjọ-alábẹ́-àpapọ̀ tí kò ṣe pàtàkì, nípa bẹ́ẹ̀ wọn ń yẹra fún ìtumọ̀ náà. Bákan náà, algebra Lie tí ó bá a mu ní oríṣi Killing tí ó bàjẹ́, nítorí pé ọ̀pọ̀lọpọ̀ ti àwòrán ìṣọ̀kan náà sí eroja òfo ti algebra. Nítorí náà, Lie algebra tí ó bá a mu kò rọrùn rárá tàbí kó má rọrùn rárá. Àpẹẹrẹ mìíràn ni àwọn àwùjọ orthogonal àkànṣe tí ó wà ní ìyí tó bá dọ́gba. Àwọn wọ̀nyí ní matrix - ì í ì  ì -I ni aarin, ati pe eroja yii ni ọna asopọ si eroja idanimọ, ati nitorinaa awọn ẹgbẹ wọnyi yago fun itumọ naa. Àwọn méjèèjì yìí jẹ́ àwùjọ tí a lè dín kù.