Ke mekhoa efe e meng e sebetsang ea molao-motheo oa Burnside ho combinatorics e thehiloeng temaneng ee?
Context:Burnside's lemma, eo ka linako tse ling e boetse e bitsoa Burnside's counting theorem, Cauchy<unk>Frobenius lemma, the orbit-counting theorem, kapa lemma eo eseng ea Burnside, ke sephetho sa thuto ea sehlopha eo hangata e leng molemo ho ela hloko symmetry ha ho baloa lintho tsa lipalo. Mabitso a eona a fapa-fapaneng a thehiloe ho William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy le Ferdinand Georg Frobenius. Sephetho ha se bakoe ke Burnside ka boeena, ea mpa a e qotsa bukeng ea hae 'On the Theory of Groups of Finite Order', ho e-na le hoo a e beha ho Frobenius (1887). Burnside's Lemma e bala "libaka", e leng ntho e tšoanang le ho bala lintho tse fapaneng ho nahanoa ka ho tšoana. Litsela tse ling tsa ho e bolela ke ho bala lintho tse arohaneng ho fihlela ho kamano ea ho lekana R, kapa ho bala lintho tse ka sebopeho sa molao.  Ka mor'a moo, a re ke re G e be sehlopha se fokolang se sebetsang ka seteng X. Bakeng sa g ka 'ngoe ho G, a re Xg e bontše sehlopha sa likarolo tsa X tse tsitsitseng ka g (hape ho thoe li siiloe li sa fetohe ke g), ke hore, Xg = { x ∈ X │ g.x = x }. Burnside's lemma e bolela foromo e latelang bakeng sa palo ea li-orbit, e bontšitsoeng ka X/G:  E ne e le:  /  E ne e le: = 1 ea 1 E ne e le:  E ne e le: <unk>  ∈ Ho  E ne e le:   E ne e le: . ho {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} Ka hona palo ea lipotoloho (palo ea tlhaho kapa +∞) e lekana le palo e tloaelehileng ea lintlha tse behiloeng ke karolo ea G (eo hape e leng palo ea tlhaho kapa e sa feleng). Haeba G e sa feleng, karohano ka G e ka 'na ea se ke ea hlalosoa hantle; tabeng ena polelo e latelang ka lipalo tsa cardinal e nepahetse:  E ne e le:  E ne e le: E ne e le:  /  E ne e le: = <unk>  ∈ Ho  E ne e le:   E ne e le: . ho {\displaystyle \GgadgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} Mehlala ea likopo tsa ho bala Lifaha Ho na le li-vector tse 8 tse ka khonehang tsa bolelele ba 3, empa ke lifaha tse 'nè feela tse fapaneng tsa mebala e 2 tsa bolelele ba 3: 000, 001, 011 le 111, hobane 100 le 010 li lekana le 001 ka ho potoloha; ka ho tšoanang 110 le 101 li lekana le 011. Foromo e thehiloe palo ea rotations, e leng tabeng ena ke 3 (ho akarelletsa le zero rotation),'me palo ea batla a vectors setseng sa fetohe ke e mong le e rotation. Li-vector tsohle tse 8 ha li fetohe ka ho potoloha ha zero,'me tse peli (000 le 111) ha li fetohe ka ho potoloha ha tse ling tse peli, ho fana ka: 4 ho isa ho = 1 ea 1 3 ea ( 8 ea + 2 ea 2 + 2 ea 2 ) Ho {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  Bakeng sa bolelele 4, ho na le 16 ho khoneha hanyenyane vectors; 4 chenchana; le null chenchana siea tsohle 16 hanyenyane vectors sa fetoheng; le 1-cheka le 3-cheka mong siea tse peli hanyenyane vectors sa fetoheng (0000 le 1111); le 2-cheka siea 4 hanyenyane vectors sa fetoheng (0000, 0101, 1010, le 1111); ho fana ka: 6 ea = 1 ea 1 4 ho isa ho ( Lilemo tse 16 + 2 ea 2 + 4 ho isa ho + 2 ea 2 ) Ho {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. Tsena ke: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, le 1111.  Mebala ea sekotwana Palo ea mebala e fapaneng ka ho potoloha ea mahlakore a sekwere a sebelisang mebala e meraro e ka khethoa ho tsoa foromong ena ka tsela e latelang.  E re X e be motsoako oa mebala e 36 e ka sebelisoang ho sekotwana ka tsela e itseng,'me sehlopha sa ho potoloha G sa sekotwana se sebetse ho X ka tsela ea tlhaho. Joale likarolo tse peli tsa X li sebakeng se le seng hantle ha e 'ngoe e le ho potoloha ha e 'ngoe. Ka hona palo ea mebala e sa tšoaneng ea potoloho e tšoana le palo ea lipotoloho'me e ka fumanoa ka ho bala boholo ba lihlopha tse sa fetoheng bakeng sa likarolo tse 24 tsa G.   Cube e nang le mahlakore a mebala karolo e le 'ngoe ea boitsebiso e sieang likarolo tsohle tse 36 tsa X li sa fetohe ho potoloha ha sefahleho ka likhato tse 90, e 'ngoe le e' ngoe e siea likarolo tse 33 tsa X li sa fetohe ho potoloha ha sefahleho ka likhato tse tharo tse 180, e 'ngoe le e' ngoe e siea likarolo tse 34 tsa X li sa fetohe ho potoloha ha litlhōrō tse robeli ka likhato tse 120, e 'ngoe le e 'ngoe e siea likarolo tse 32 tsa X li sa fetohe ho potoloha ha likhato tse tšeletseng tse 180 ho e 'ngoe le e' ngoe ea tsona ho siea likarolo tse 33 tsa X li sa fetohe Tlhahlobo e qaqileng ea li-automorphism tsena e ka fumanoa mona.  Ka hona, boholo bo tloaelehileng bo tsitsitseng ke  1 ea 1 Lilemo tse 24 ( 3 ea 6 ea + 6 ea ⋅ 3 ea 3 ea + 3 ea ⋅ 3 ea 4 ho isa ho + 8 ea ⋅ 3 ea 2 ea 2 + 6 ea ⋅ 3 ea 3 ea ) Ho = 57. Ho na le ho hong. {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. Kahoo ho na le mebala e 57 e fapaneng ka ho potoloha ea mahlakore a sekotoana ka mebala e meraro. Ka kakaretso, palo ea mebala e sa tšoaneng ea ho potoloha ha lifahleho tsa cube ka mebala e n e fanoa ke  1 ea 1 Lilemo tse 24 (  6 ea + 3 ea  4 ho isa ho + Lilemo tse 12  3 ea + 8 ea  2 ea 2 ) Ho . ho {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). Lipapali Tsa Marena a 8 Ho na le likarabo tse 92, tseo ho tsona likarabo tse 12 tsa motheo li sa tšoaneng ho fihlela ho potoloha le ho hlahella ha boto. Ho na le mekhoa e robeli ea ho potoloha le ho khantša, ho kopanyelletsa le ketso e se nang letho. Ketso e se nang thuso e siea likarabo tsohle tse 92 li sa fetohe. Litharollo tse 'nè ho tse 92 li leka-lekane, ha li fetohe ha li potoloha ka likhato tse 180. Seo se fana ka: Lilemo tse 12 = 1 ea 1 8 ea ( Lilemo tse 92 + 4 ho isa ho ) Ho {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* Bothata ba ho bala lifaha: ho bala lifaha tse arohaneng ka ho potoloha tsa bolelele bo fapaneng moo sefaha ka seng e ka bang'mala o le mong ho e' meli. Sehlooho sena se bala lifaha tsa bolelele ba 3 le 4,'me karabo ke 4 le 6. * Mebala ea sekotwana sa bothata: bala mebala e fapaneng ka ho potoloha ea lifahleho tsa sekotwana sa bothata. Sehlooho sena se tšohla taba ea ha ho sebelisoa mebala e meraro' me karabo e le 57. * puzzle ea mafumahali a robeli: phetolelo ea khale ea bothata ke ho bala litsela tse fapaneng tsa ho beha mafumahali a robeli a chess ka boto ea 8x8 e le hore ho se be le mofumahali ea hlaselang e mong (karabo ke 92). Ha ho sebelisoa lemma ea Burnside, sehlooho sena se bala palo ea libaka tse fapaneng tseo mafumahali a behiloeng ho tsona ho fihlela ho potoloha le ho nahanisisa, ho fihla ho 12 e le karabo.