Fi ẹ̀rí hàn mí wípé gbòǹgbò orí ẹ̀ẹ̀kan nínú 2 jẹ́ irational
Àrídájú nípa àríyànjiyàn rèé pé gbòǹgbò orí ẹ̀ẹ̀kẹta nínú méjì kì í ṣe ọ̀rọ̀ tó bọ́gbọ́n mu. Lákọ̀ọ́kọ́ ná, ẹ rántí pé àwọn iye tí kò ṣeé ṣe láti kọ bí p/q fún àwọn iye p àti q. Jẹ ki a ro pe square root ti 2 jẹ rational, eyi ti yoo tumọ si pe sqrt(2) = p / q fun diẹ ninu awọn nọmba p ati q. Ní àfikún sí èyí, ká gbà pé àlàfo yìí wà ní oríṣi tí ó dín kù, èyí tí ó túmọ̀ sí pé p àti q kò ní àwọn èròjà tó jọra. A le ro yi nitori eyikeyi odidi odidi le ti wa ni kọ ni iru a dinku fọọmu, ki awọn aye ti eyikeyi rational ifihan fun sqrt ((2) yoo tumo si awọn aye ti ọkan ni a dinku fọọmu. Ní báyìí, a ó fi ìhà méjèèjì ti àpapọ̀ yìí sí àyè kejì, a ó rí  2 = p2 / q2  fún àwọn àpapọ̀ iye p àti q tí kò ní àwọn àpapọ̀ ìdíwọ́. Ní báyìí, a ó fi q2 kún un láti rí  2 * q2 = p2  Rántí wípé apá òsì jẹ paati nítorí kókó 2, nítorí náà apá ọ̀tún p2 jẹ paati pẹ̀lú. Èyí túmọ̀ sí pé p ní láti jẹ́ paati pẹ̀lú, bí bẹ́ẹ̀ kọ́ p2 kò ní jẹ́ paati. Nítorí náà, a lè kọ p gẹ́gẹ́ bíi 2 * x fún iye kan tí ó pé x. Tí a bá fi èyí sínú àpapọ̀ yìí, a ó rí  2 * q^2 = (2 * x) ^2 = 2^2 * x^2  Kíyèsí wípé àwọn ìhà méjèèjì nínú àpapọ̀ náà ní ìdíje 2 tí a lè fagídí. Ṣíṣe èyí, a gba  q2 = 2 * x2  Nípasẹ̀ àríyànjiyàn kan tó jọ èyí tó wà lókè yìí, a lè parí èrò sí pé q jẹ́ paapa. Àmọ́, èyí ta ko àròsọ wa pé p àti q kò ní àwọn ohun tó jọra. Nítorí náà, àbá wa àkọ́kọ́ pé sqrt(2) jẹ́ ọ̀nà àbáyọ jẹ́ àṣìṣe, èyí tí a fẹ́ fi hàn.