Eleza Lie Algebra
Context:Katika hisabati, kikundi rahisi cha Lie ni kikundi kilichounganishwa kisicho cha Abelian cha Lie G ambacho hakina vikundi vidogo vilivyounganishwa vya kawaida. Orodha ya rahisi Lie makundi inaweza kutumika kusoma mbali orodha ya rahisi Lie algebras na Riemannian symmetric spaces.  Pamoja na commutative Lie kundi la idadi halisi, \mathbb {R}, na ile ya idadi unit-magnitude complex, U(1) (unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension. Makundi mengi ya kawaida yanayokutana na Lie ni rahisi au 'karibu' kuwa rahisi: kwa mfano, kile kinachoitwa "kikundi maalum cha mstari" SL ((n) ya n na n matrices na determinant sawa na 1 ni rahisi kwa wote n > 1.  Uainishaji wa kwanza wa makundi ya Lie rahisi ulifanywa na Wilhelm Killing, na kazi hii baadaye ilifanywa kuwa kamilifu na Élie Cartan. Mara nyingi uainishaji wa mwisho huitwa uainishaji wa Killing-Cartan.
Kwa bahati mbaya, hakuna ufafanuzi uliokubaliwa na wote wa kundi rahisi la uongo. Hasa, si mara zote hufafanuliwa kama kundi la uongo ambayo ni rahisi kama kundi abstract. Waandishi wana tofauti juu ya kama kikundi rahisi cha Lie lazima kiunganishwe, au ikiwa inaruhusiwa kuwa na kituo kisicho cha kawaida, au ikiwa  \mathbb {R} ni rahisi Lie kundi.  Ufafanuzi wa kawaida ni kwamba kundi la Lie ni rahisi kama ni kushikamana, yasiyo ya Abelian, na kila kufungwa kushikamana kawaida subgroup ni ama utambulisho au kundi nzima. Hasa, makundi rahisi wanaruhusiwa kuwa na kituo cha si trivial, lakini  si rahisi.  Katika makala hii zilizounganishwa rahisi Lie makundi na kituo trivial ni waliotajwa. Mara baada ya haya yanajulikana, wale walio na kituo cha non-trivial ni rahisi kuorodhesha kama ifuatavyo. Kundi lolote rahisi la Lie lenye kituo cha trivial lina kifuniko cha ulimwengu, ambacho kituo chake ni kikundi cha msingi cha kundi rahisi la Lie. Sawa rahisi Lie makundi na yasiyo ya trivial kituo inaweza kupatikana kama quotients ya hii cover wote kwa subgroup ya kituo.  Njia mbadala Ufafanuzi sawa wa kundi rahisi la Lie unafuata kutoka kwa mawasiliano ya Lie: Kikundi cha Lie kilichounganishwa ni rahisi ikiwa algebra yake ya Lie ni rahisi. Jambo muhimu la kiufundi ni kwamba kundi rahisi la Lie linaweza kuwa na vikundi vidogo vya kawaida. Kwa sababu hii, ufafanuzi wa kikundi rahisi cha Lie si sawa na ufafanuzi wa kundi la Lie ambalo ni rahisi kama kikundi cha abstract.  Makundi rahisi ya Lie ni pamoja na makundi mengi ya kawaida ya Lie, ambayo hutoa msingi wa nadharia ya kikundi cha jiometri ya spherical, jiometri ya projective na jiometri zinazohusiana kwa maana ya programu ya Felix Klein ya Erlangen. Ilitokea katika mchakato wa uainishaji wa makundi rahisi ya Lie kwamba kuna pia uwezekano kadhaa wa kipekee ambao haulingani na jiometri yoyote inayojulikana. Makundi haya ya kipekee yana mifano na miundo mingi ya kipekee katika matawi mengine ya hisabati, pamoja na fizikia ya kinadharia ya kisasa.  Kama counterexample, jumla linear kundi ni wala rahisi, wala semisimple. Hii ni kwa sababu multiples ya utambulisho fomu nontrivial kawaida subgroup, hivyo evading ufafanuzi. Vivyo hivyo, sawa Lie algebra ina degenerate Killing fomu, kwa sababu multiples ya ramani utambulisho kwa zero kipengele cha algebra. Hivyo, algebra ya Lie inayolingana nayo pia si rahisi wala nusu rahisi. Mfano mwingine ni makundi maalum ya orthogonal katika hata dimension. Hizi zina matrix -  -I katikati, na kipengele hiki ni njia ya kushikamana na kipengele kitambulisho, na hivyo makundi haya evade ufafanuzi. Hizi zote mbili ni makundi ya kupunguza.