Kí ni àwọn ohun èlò tí ó wúlò fún ìlànà Burnside nínú àwọn àpapọ̀ èrò orí tí ó dá lórí àyọkà yìí?
Context:Lémà Burnside, tí wọ́n tún máa ń pè ní theorem counting Burnside, lemà Cauchy<unk>Frobenius, theorem counting orbit, tàbí lemà tí kì í ṣe ti Burnside, jẹ́ àbájáde nínú ẹ̀kọ́ àwùjọ tí ó máa ń wúlò nínú gbígbé àròpọ̀ kalẹ̀ nígbà tí wọ́n bá ń ka àwọn ohun ìṣirò. Orúkọ oríṣiríṣi tí wọ́n ń pè é ni William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, àti Ferdinand Georg Frobenius. Ìyọrísí náà kò jẹ́ ti Burnside fúnra rẹ̀, ẹni tí ó wulẹ̀ tọ́ka sí i nínú ìwé rẹ̀ 'On the Theory of Groups of Finite Order', tí ó ní dípò Frobenius (1887). Lemma Burnside ka "orbit", eyi ti o jẹ ohun kanna bi kika awọn ohun ti o yatọ si gbigba iṣiro ti symmetry kan. Àwọn ọ̀nà míràn láti sọ ọ́ ni kíka àwọn ohun tó yàtọ̀ síra títí dé ìjùmọ̀ ìjùmọ̀ R, tàbí kíka àwọn ohun tí ó wà ní oríṣiríṣi ọ̀nà.  Ninu nkan to n bọ, jẹ ki G jẹ ẹgbẹ to lopin ti o ṣiṣẹ lori ṣeto X. Fun g kọọkan ni G, jẹ ki Xg ṣe afihan ṣeto ti awọn eroja ni X ti o wa titiipa nipasẹ g (tun sọ pe a fi silẹ invariant nipasẹ g), eyini ni, Xg = { x ∈ X │ g.x = x }. Lémà Burnside sọ̀rọ̀ nípa ọ̀nà tí ó tẹ̀lé fún iye àwọn ìyípo, tí a fi àmì X/G hàn:  Ó ṣe tán,  ì /  ì Ó ṣe tán, = 1 ì ì Ó ṣe tán,  ì Ó ṣe tán, <unk>  ì ∈ ì  ì Ó ṣe tán,  ì  ì Ó ṣe tán, ó ṣe tán. {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{BerryG Berry}}\sum _{g\in G} Berry X^{g} Berry.} Nítorí náà, iye àwọn orbit (nọ́mbà àbínibí tàbí +∞) jẹ́ dọ́gba pẹ̀lú iye apapọ àwọn ìlà tí ó dúró fún ohun kan nínú G (èyí tí ó tún jẹ́ nọ́mbà àbínibí tàbí àìlópin). Ti G ba jẹ ailopin, pipin nipasẹ G le ma ṣe apejuwe daradara; ninu ọran yii gbólóhùn atẹle ni iṣiro cardinal waye:  Ó ṣe tán,  ì Ó ṣe tán, Ó ṣe tán,  ì /  ì Ó ṣe tán, = <unk>  ì ∈ ì  ì Ó ṣe tán,  ì  ì Ó ṣe tán, ó ṣe tán. {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} Àpẹẹrẹ àwọn ohun èlò láti ṣe àkójọ Àwọn òrùka ọrùn O wa 8 ti o ṣeeṣe bit vectors ti ipari 3, ṣugbọn nikan mẹrin ọtọtọ 2-awọ necklaces ti ipari 3: 000, 001, 011, ati 111, nitori 100 ati 010 jẹ deede si 001 nipa iyipo; bakanna 110 ati 101 jẹ deede si 011. Àlàfo náà dá lórí iye ìyípadà, èyí tí ó jẹ́ 3 nínú ọ̀ràn yìí (pẹ̀lú ìyípadà tí kò ní ìyípadà), àti iye àwọn ìyípadà tí kò yí padà nínú ìyípadà kọ̀ọ̀kan. Gbogbo àwọn ẹ̀yà 8 bit kò yí padà nípa ìyípadà òfo, àti méjì (000 àti 111) kò yí padà nípa ìyípadà méjì yòókù, tí ó fún wa ní: 4 ì ì = 1 ì ì 3 ì ì (ì ì ì 8 àwọn + ì ì Ì2 + ì ì Ì2 ) ì ì {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  Fun gigun 4, awọn vetori bit 16 ti o ṣeeṣe wa; awọn iyipo mẹrin; iyipo null fi gbogbo awọn vetori bit 16 silẹ laiyipada; iyipo 1-ati iyipo 3-kọọkan fi awọn vetori bit meji silẹ laiyipada (0000 ati 1111); iyipo 2-fi awọn vetori bit 4 silẹ laiyipada (0000, 0101, 1010, ati 1111); fifun: 6 ì °ì = 1 ì ì 4 ì ì (ì ì ì 16 ì ì + ì ì Ì2 + ì ì 4 ì ì + ì ì Ì2 ) ì ì {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. Àwọn ni: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, àti 1111.  Àwọn àwọ̀ tí wọ́n fi ń ṣe kọ́bù Nọmba ti awọn awọ ti o yatọ ti awọn oju ti onigun kan nipa lilo awọn awọ mẹta ni a le pinnu lati inu agbekalẹ yii bi atẹle.  Jẹ́ kí X jẹ́ àpapọ̀ àwọn àpapọ̀ 36 tí ó ṣeé ṣe láti fi àwọ̀ ojú ṣe tí a lè lò sí kóbù ní ìtọ́jú kan pàtó, kí àwùjọ ìyípo G ti kóbù náà sì ṣiṣẹ́ lórí X ní ọ̀nà àbínibí. Lẹhinna awọn eroja meji ti X jẹ ti iyipo kanna gangan nigbati ọkan ba jẹ iyipo ti ekeji. Nọ́mbà àwọn àwọ̀ tó yàtọ̀ síra nípasẹ̀ ìyípadà jẹ́ bákan náà pẹ̀lú nọ́mbà àwọn ìyípo, a sì lè rí i nípa kíka àwọn ìyípo tí ó wà fún àwọn èròjà mẹ́rìnlélógún ti G.   Kúbù pẹ̀lú ojú tí ó ní àwọ̀ ohun kan ti o jẹ idanimọ ti o fi gbogbo awọn eroja 36 ti X silẹ laisi iyipada ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo mẹ́sàn-án, tí ìyípo ìyípo kọ̀ọ̀kan fi 33 nínú àwọn èròjà ti X sílẹ̀ láìyípadà ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìyípo ìlà 120-ìyípo ìlà mẹ́jọ, tí ìyípo ìlà kọ̀ọ̀kan fi 32 nínú àwọn èròjà X sílẹ̀ láìyípadà ìyípo ẹ̀ka mẹ́fà tó ní ìyípo 180-degree, tí ìyípo kọ̀ọ̀kan fi 33 lára àwọn ohun tó wà nínú X sílẹ̀ láìyípadà A lè rí àyẹ̀wò tó kún rẹ́rẹ́ nípa àwọn automorphisms wọ̀nyí níbí.  Iwọn apapọ ti o ṣatunṣe jẹ nitorinaa  1 ì ì 24 àwọn (ì ì ì 3 ì ì 6 ì °ì + ì ì 6 ì °ì ⋅ ì ì 3 ì ì 3 ì ì + ì ì 3 ì ì ⋅ ì ì 3 ì ì 4 ì ì + ì ì 8 àwọn ⋅ ì ì 3 ì ì Ì2 + ì ì 6 ì °ì ⋅ ì ì 3 ì ì 3 ì ì ) ì ì = 57 ọdún. {frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right}=57. Nítorí náà, ó jẹ́ pé àwọ̀ tí ó yàtọ̀ síra ní ìyípadà ni ó jẹ́ 57 ti ojú kúpù kan ní àwọ̀ mẹ́ta. Ni gbogbogbo, iye awọn awọ ti o yatọ ni iyipo ti awọn oju ti onigun ni awọn awọ n ni a fun nipasẹ  1 ì ì 24 àwọn (ì ì ì  ì 6 ì °ì + ì ì 3 ì ì  ì 4 ì ì + ì ì 12 ì ì  ì 3 ì ì + ì ì 8 àwọn  ì Ì2 ) ì ì ó ṣe tán. {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). ì í ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì Àdììtú Àwọn Ọbabìnrin Mẹ́jọ Nínú àdììtú àwọn ayaba mẹ́jọ, àwọn ojútùú méjìléláàádọ́rùn-ún (92) ló wà, nínú èyí tí àwọn ojútùú pàtàkì méjìlá ti fara hàn kedere títí dé yípadà àti àgbéyọ àga náà. Àwọn àpapọ̀ ìyípo àti àgbéyọ mẹ́jọ ló wà, títí kan ìyípo tí kò ní ìyípo. Ìṣe tí kò ní ìmúṣẹ kò yí gbogbo ìdáhùn méjìléláàádọ́rùn-ún padà. Mẹrin ninu awọn solusan 92 jẹ symmetrical, ko yipada nipasẹ iyipo 180 °. Èyí fi hàn pé: 12 ì ì = 1 ì ì 8 àwọn (ì ì ì 92 ì ì + ì ì 4 ì ì ) ì ì {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
* Ìṣòro dídán iye ọrùn: dídán iye ọrùn tí ó yàtọ̀ síra tí ó ní gígùn tí ó yàtọ̀ síra níbi tí òrùka kọ̀ọ̀kan ti lè jẹ́ ọ̀kan nínú àwọ̀ méjì. Ohun tí wọ́n kà ni òrùka ọrùn tó gùn tó mẹ́ta àti mẹ́rin, ìdáhùn náà sì jẹ́ mẹ́rin àti mẹ́fà. * Àwòrán àwòkọ ti kóbù Ìṣòro: Ka àwòrán àwòkọ tí ó yàtọ̀ síra nípa yípadà ti ojú kóbù. Àpilẹ̀kọ náà sọ nípa bí wọ́n ṣe máa ń lo àwọ̀ mẹ́ta tí ìdáhùn wọn sì jẹ́ 57. * 8 queens puzzle: a classic version of the problem is counting different ways to place 8 chess queens on a 8x8 board so that no queen attacks another (the answer is 92). * 8 queens puzzle: a classical version of the problem is counting different ways to place 8 chess queens on a 8x8 board so that no queen attacks another (the answer is 92). Pẹlu ohun elo lemma Burnside, nkan naa ka nọmba awọn ipo oriṣiriṣi ti awọn ayaba titi di iyipo ati isonu, de ọdọ 12 bi idahun.