Nipe ushahidi kwamba mzizi mraba wa 2 ni irrational
Hapa ni uthibitisho kwa utata kwamba mzizi mraba wa 2 ni irrational. Kwanza, kumbuka kwamba namba zisizo na sababu ni namba ambazo haziwezi kuandikwa kama p / q kwa integers p na q. Fikiria kwa utata kwamba mzizi wa mraba wa 2 ni rational, ambayo ingemaanisha kuwa sqrt(2) = p / q kwa baadhi ya integers p na q. Zaidi kudhani bila kupoteza generality kwamba hii sehemu ni katika fomu iliyopunguzwa, maana kwamba p na q kushiriki hakuna sababu ya kawaida. Tunaweza kudhani hii kwa sababu yoyote integer fraction inaweza kuandikwa katika namna hiyo iliyopunguzwa, hivyo kuwepo kwa yoyote uwakilishi wa kimakosa kwa sqrt ((2) bila maana kuwepo kwa moja katika fomu iliyopunguzwa. Sasa sisi mraba pande zote mbili za juu equation, kutoa  2 = p ^ 2 / q ^ 2  kwa baadhi ya integers p na q si kushiriki yoyote ya kawaida sababu. Sasa kuzidisha kwa q ^ 2 kupata  2 * q ^ 2 = p ^ 2  Kumbuka kwamba upande wa kushoto ni hata kutokana na sababu ya 2, hivyo upande wa kulia p ^ 2 ni hata kama vizuri. Hii ina maana kwamba p lazima hata kama vizuri, vinginevyo p ^ 2 isingekuwa hata. Hivyo p inaweza kuandikwa kama 2 * x kwa baadhi ya integer x. Kuweka hii katika usawa hapo juu, sisi kupata  2 * q ^ 2 = (2 * x) ^ 2 = 2 ^ 2 * x ^ 2  Kumbuka kwamba pande zote mbili za equation kuwa na sababu ya 2 tunaweza kufuta. Kwa kufanya hivyo, tunapata  q ^ 2 = 2 * x ^ 2  Kwa hoja sawa na ile ya hapo juu, tunaweza kuhitimisha kwamba q ni hata. Hata hivyo hii inapingana dhana yetu kwamba p na q alishiriki hakuna sababu ya kawaida. Kwa hiyo dhana yetu ya awali kwamba sqrt ((2) ni ya busara ilikuwa ya uongo, ambayo ni nini sisi kuweka nje ya kuthibitisha.