<p>You are given a <strong>0-indexed</strong> 2D matrix <code>grid</code> of size <code>n x n</code>, where <code>(r, c)</code> represents:</p>

<ul>
	<li>A cell containing a thief if <code>grid[r][c] = 1</code></li>
	<li>An empty cell if <code>grid[r][c] = 0</code></li>
</ul>

<p>You are initially positioned at cell <code>(0, 0)</code>. In one move, you can move to any adjacent cell in the grid, including cells containing thieves.</p>

<p>The <strong>safeness factor</strong> of a path on the grid is defined as the <strong>minimum</strong> manhattan distance from any cell in the path to any thief in the grid.</p>

<p>Return <em>the <strong>maximum safeness factor</strong> of all paths leading to cell </em><code>(n - 1, n - 1)</code><em>.</em></p>

<p>An <strong>adjacent</strong> cell of cell <code>(r, c)</code>, is one of the cells <code>(r, c + 1)</code>, <code>(r, c - 1)</code>, <code>(r + 1, c)</code> and <code>(r - 1, c)</code> if it exists.</p>

<p>The <strong>Manhattan distance</strong> between two cells <code>(a, b)</code> and <code>(x, y)</code> is equal to <code>|a - x| + |b - y|</code>, where <code>|val|</code> denotes the absolute value of val.</p>

<p>&nbsp;</p>
<p><strong class="example">Example 1:</strong></p>
<img alt="" src="https://assets.leetcode.com/uploads/2023/07/02/example1.png" style="width: 362px; height: 242px;" />
<pre>
<strong>Input:</strong> grid = [[1,0,0],[0,0,0],[0,0,1]]
<strong>Output:</strong> 0
<strong>Explanation:</strong> All paths from (0, 0) to (n - 1, n - 1) go through the thieves in cells (0, 0) and (n - 1, n - 1).
</pre>

<p><strong class="example">Example 2:</strong></p>
<img alt="" src="https://assets.leetcode.com/uploads/2023/07/02/example2.png" style="width: 362px; height: 242px;" />
<pre>
<strong>Input:</strong> grid = [[0,0,1],[0,0,0],[0,0,0]]
<strong>Output:</strong> 2
<strong>Explanation:</strong> The path depicted in the picture above has a safeness factor of 2 since:
- The closest cell of the path to the thief at cell (0, 2) is cell (0, 0). The distance between them is | 0 - 0 | + | 0 - 2 | = 2.
It can be shown that there are no other paths with a higher safeness factor.
</pre>

<p><strong class="example">Example 3:</strong></p>
<img alt="" src="https://assets.leetcode.com/uploads/2023/07/02/example3.png" style="width: 362px; height: 242px;" />
<pre>
<strong>Input:</strong> grid = [[0,0,0,1],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[1,0,0,0]]
<strong>Output:</strong> 2
<strong>Explanation:</strong> The path depicted in the picture above has a safeness factor of 2 since:
- The closest cell of the path to the thief at cell (0, 3) is cell (1, 2). The distance between them is | 0 - 1 | + | 3 - 2 | = 2.
- The closest cell of the path to the thief at cell (3, 0) is cell (3, 2). The distance between them is | 3 - 3 | + | 0 - 2 | = 2.
It can be shown that there are no other paths with a higher safeness factor.
</pre>

<p>&nbsp;</p>
<p><strong>Constraints:</strong></p>

<ul>
	<li><code>1 &lt;= grid.length == n &lt;= 400</code></li>
	<li><code>grid[i].length == n</code></li>
	<li><code>grid[i][j]</code> is either <code>0</code> or <code>1</code>.</li>
	<li>There is at least one thief in the <code>grid</code>.</li>
</ul>

'''
这个算法分为两个主要部分：

广度优先搜索 (BFS) 计算每个格子到最近小偷的最短距离:

首先，遍历整个网格，找到所有的小偷位置，并初始化这些位置的距离为0。
然后，利用BFS从所有小偷的位置同时开始扩散，计算每个格子到最近的小偷的最短曼哈顿距离。
这个过程的结果是一个距离矩阵 dis，其中 dis[i][j] 表示从格子 (i, j) 到最近的小偷的最短距离。
使用Dijkstra算法在距离矩阵上找路径:

在构建的距离矩阵上使用Dijkstra算法，从起点 (0, 0) 开始，找出到终点 (n-1, n-1) 的所有可能路径中，最安全的那条。
在这里，我们使用最大堆来优先选择当前路径的最小安全系数最大的路径进行扩展。
时间复杂度分析
BFS 部分:

由于我们要遍历所有的小偷节点，并对整个网格进行一次广度优先搜索，所以时间复杂度是 O(n^2)。
Dijkstra 部分:

在最坏的情况下，每个节点可能会被访问多次，因此Dijkstra部分的时间复杂度是 O(n^2 log n)，其中 log n 是由于堆操作的开销。
综上所述，整体时间复杂度为 O(n^2 log n)，空间复杂度则为 O(n^2)，因为我们需要额外的矩阵来存储距离和访问标记。
'''
class Solution:
    def maximumSafenessFactor(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        # 获取网格的大小 n x n
        n = len(grid)
        
        # 初始化一个距离矩阵 dis，初始值为正无穷大，用于记录到达每个位置的最小曼哈顿距离
        dis = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        
        # 创建一个队列，用于广度优先搜索（BFS）
        q = deque()
        
        # 遍历整个网格，找到所有小偷的位置
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if grid[i][j] == 1:  # 如果当前位置有小偷
                    dis[i][j] = 0  # 小偷所在位置的距离初始化为0
                    q.append([i, j])  # 将小偷的位置加入队列
        
        # 如果起点 (0, 0) 或终点 (n-1, n-1) 有小偷，则直接返回0
        if dis[0][0] == 0 or dis[n-1][n-1] == 0:
            return 0
        
        # 定义四个方向，分别是右、左、下、上，用于探索邻居节点
        directions = [[0, 1], [0, -1], [1, 0], [-1, 0]]
        
        # 使用BFS计算每个格子到最近的小偷的最短距离
        while q:
            for _ in range(len(q)):
                i, j = q.popleft()  # 从队列中取出当前格子的位置
                for x, y in directions:  # 遍历四个方向
                    ni, nj = i + x, j + y  # 计算邻居节点的位置
                    # 判断邻居节点是否在网格内，并且计算到邻居节点的新距离是否更小
                    if 0 <= ni < n and 0 <= nj < n and dis[i][j] + 1 < dis[ni][nj]:
                        dis[ni][nj] = dis[i][j] + 1  # 更新邻居节点的距离
                        q.append([ni, nj])  # 将更新后的邻居节点加入队列
        
        # 使用最大堆来进行Dijkstra算法，从起点开始找路径
        import heapq
        h = []
        # 将起点的距离（取负值以构建最大堆）和位置压入堆中
        heapq.heappush(h, [-dis[0][0], 0, 0])
        res = dis[0][0]  # 初始化结果为起点的安全系数
        
        # 创建一个访问矩阵，记录已经访问过的节点
        visited = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        
        # 开始Dijkstra算法，寻找到达终点的最安全路径
        while h:
            sf, i, j = heapq.heappop(h)  # 取出当前最优路径的安全系数和位置
            res = min(res, -sf)  # 更新全局最小的安全系数
            visited[i][j] = 1  # 标记当前节点为已访问
            
            # 如果到达终点，返回结果
            if i == n-1 and j == n-1:
                return res

            # 遍历四个方向的邻居节点
            for x, y in directions:
                ni, nj = i + x, j + y
                # 检查邻居节点是否在网格内，且未被访问过
                if 0 <= ni < n and 0 <= nj < n and visited[ni][nj] == 0:
                    visited[ni][nj] = 1  # 标记邻居节点为已访问
                    heapq.heappush(h, [-dis[ni][nj], ni, nj])  # 将邻居节点的距离和位置压入堆中


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