Olympische Spiele der Antike.

Der Ursprung der Olympischen Spiele der Antike liegt vermutlich im 2. Jahrtausend v. Chr. Die Siegerlisten reichen bis ins Jahr 776 v. Chr. zurück und wurden im 4. Jahrhundert v. Chr. rekonstruiert. Die Zählung nach Olympiaden war ein Zeitmaß im gesamten antiken Griechenland. „Olympiade“ ist somit – entgegen einem heute weit verbreiteten Irrtum – nicht synonym mit „Olympische Spiele“, sondern bezeichnet den Zeitraum von vier Jahren, der mit den Spielen beginnt. Die Olympischen Spiele, benannt nach ihrem Austragungsort Olympia im Nordwesten der Halbinsel Peloponnes, waren Teil eines Zyklus, der drei weitere Panhellenische Spiele umfasste: Die Pythischen Spiele in Delphi, die Nemeischen Spiele in Nemea und die Isthmischen Spiele auf dem Isthmus von Korinth.  In der Anfangszeit gab es nur einen Wettlauf über die Distanz des Stadions (192,24 Meter). Die Spiele erhielten mit der Zeit eine immer größere Bedeutung. Sie waren aber keine „Sportveranstaltung“ in unserem heutigen Sinne, sondern ein religiöses Fest zu Ehren des Göttervaters Zeus und des göttlichen Helden Pelops. In ihrer Blütezeit dauerten die Spiele fünf Tage – der erste Tag war bestimmt von kultischen Zeremonien wie Weihehandlungen und dem Einzug der Athleten, Betreuer, Schiedsrichter

Die Olympischen Spiele der Neuzeit.

Vorläufer.

Die olympische Idee ging nicht ganz verloren. So fanden im Westen Englands zu Beginn des 17. Jahrhunderts erstmals die "Cotswold Olympick Games" statt. Ein weiterer Versuch, die Olympischen Spiele wiederzubeleben, waren die "Olympiades de la République", die von 1796 bis 1798 jährlich im revolutionären Frankreich ausgetragen wurden. Auf diese Veranstaltung geht auch die Verwendung des metrischen Systems im Sport zurück. 1850 führte die landwirtschaftliche Lesegesellschaft von Much Wenlock in der englischen Grafschaft Shropshire eine „olympische Klasse“ ein. Daraus entwickelten sich zehn Jahre später die "Wenlock Olympian Games", die bis heute unter der

Wiederbelebung der Spiele.

Nachdem 1766 die Sport- und Tempelanlagen von Olympia wiederentdeckt worden waren, begannen 1875 groß angelegte archäologische Ausgrabungen unter der Leitung des deutschen Archäologen und Althistorikers Ernst Curtius. Um diese Zeit kam in Europa die romantisch-idealistische Antiken-Rezeption immer mehr in Mode; der Wunsch nach einer Wiedererweckung des olympischen Gedankens verbreitete sich. So sagte Baron Pierre de Coubertin damals: "„Deutschland hatte das ausgegraben, was vom alten Olympia noch vorhanden war. Warum sollte Frankreich nicht die alte Herrlichkeit wiederherstellen?“" Nach de Coubertins Meinung war die mangelnde körperliche Ertüchtigung der Soldaten eine der Hauptursachen für die Niederlage Frankreichs im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 gewesen. Er strebte danach, diesen Zustand durch die verbindliche Einführung von Sportunterricht an den Schulen zu verbessern. Gleichzeitig wollte er nationale Egoismen überwinden und zum Frieden und zur internationalen Verständigung beitragen. Die „Jugend der Welt“ sollte sich bei sportlichen Wettkämpfen messen und sich nicht auf den Schlachtfeldern bekämpfen. Die Wiederbelebung der Olympischen Spiele schien in seinen Augen die beste Lösung zu sein, um diese Ziele zu erreichen. Die Wenlock Olympian Games, die de Coubertin 1890 besuchte, bestärkten ihn in der

Weitere Entwicklung.

Die Wintersportart Eiskunstlauf stand 1908 und 1920 auf dem Programm von Sommerspielen, Eishockey 1920. Das IOC wollte diese Liste erweitern, um andere winterliche Aktivitäten abzudecken. Am Olympischen Kongress 1921 in Lausanne fiel der Beschluss, dass die Organisatoren der Sommerspiele 1924 zusätzlich eine „internationale Wintersportwoche“ unter der Schirmherrschaft des IOC veranstalten sollten. Diese „Woche“ (eigentlich waren es elf Tage) in Chamonix erwies sich als großer Erfolg, weshalb das IOC 1925 beschloss, sie rückwirkend als I. Olympische Winterspiele anzuerkennen und weitere Veranstaltungen dieser Art zukünftig im selben Jahr wie die Sommerspiele auszurichten.  1986 beschloss das IOC, beginnend mit 1994 einen separaten Zyklus zu eröffnen und die Winterspiele „im zweiten Kalenderjahr, das jenem folgt, in dem die Spiele der Olympiade abgehalten werden“ auszutragen. Ludwig Guttmann strebte danach, die

Wachstum.

An den ersten Olympischen Spielen der Neuzeit hatten 1896 rund 250 Athleten aus 14 Ländern teilgenommen. Im Laufe der Jahre stiegen die Teilnehmerzahlen ständig. Beispielsweise nahmen an den Sommerspielen 2008 in Peking über 11.000 Athleten aus 204 Ländern an 302 Wettbewerben teil. Die Anzahl der Teilnehmer bei Winterspielen ist im Vergleich dazu bedeutend geringer, bei den Winterspielen 2006 in Turin waren etwas mehr als 2.500

Organisation.

Olympische Bewegung.

Eine Vielzahl nationaler und internationaler Sportorganisationen und -verbände, anerkannte Medienpartner sowie Athleten, Betreuer, Schiedsrichter und jede andere Person oder Organisation, die sich zur Einhaltung der Olympischen Charta verpflichtet hat, bilden zusammen die so genannte olympische Bewegung. Ihre Dachorganisation ist das Internationale Olympische Komitee (IOC) mit Sitz in Lausanne, das seit 2013 von Thomas Bach präsidiert wird. Das IOC hält die Schirmherrschaft über die olympische Bewegung und beansprucht alle Rechte an den olympischen Symbolen sowie

Austragungsorte.

Die Gastgeberstadt von Olympischen Spielen wird sieben Jahre vor der Austragung bestimmt. Der Auswahlprozess umfasst zwei Phasen, die sich über zwei Jahre erstrecken. Eine Stadt bewirbt sich zunächst beim NOK ihres Landes. Falls mehr als eine Stadt im selben Land eine Kandidatur einreicht, führt das NOK eine interne Selektion durch, da dem IOC nur eine Stadt pro Land präsentiert werden darf. Nach Ablauf der Vorschlagsfrist beginnt die erste Phase. Die Organisationskomitees der Städte werden aufgefordert, einen detaillierten Fragebogen zu verschiedenen Schlüsselkriterien in Bezug auf die Organisation von Olympischen Spielen auszufüllen. Die Bewerberstädte müssen versichern, dass sie die Olympische Charta und andere vom Exekutivkomitee des IOC aufgestellte Vorschriften einhalten werden. Ein spezialisierter Ausschuss

Symbole und Zeremonien.

Symbole.

Die olympische Bewegung verwendet mehrere weltweit (in Deutschland durch das Olympiaschutzgesetz) geschützte Symbole, die durch die Olympische Charta festgelegt werden. Das bekannteste ist die olympische Flagge mit den fünf verschiedenfarbigen, verschlungenen Ringen auf weißem Feld. Die sechs Farben Weiß, Rot, Blau, Grün, Gelb und Schwarz wurden deshalb gewählt, weil die Flagge jedes Landes der Welt mindestens eine dieser Farben aufweist. Weiterhin steht die Anzahl der Ringe für die fünf Erdteile (klassische Zählweise). Die Flagge wurde 1914 entworfen und wird seit den Sommerspielen 1920 in Antwerpen gehisst.  Das offizielle Motto der olympischen Bewegung lautet "citius, altius, fortius" (Latein für „schneller, höher, stärker“). De Coubertins Ideale spiegeln sich am besten im olympischen Credo wider: „Das Wichtigste an den Olympischen Spielen ist nicht der Sieg, sondern die Teilnahme, wie auch das Wichtigste im Leben nicht der Sieg, sondern das Streben nach einem Ziel ist. Das Wichtigste ist nicht, erobert zu haben, sondern gut gekämpft zu haben.“ Einige Monate vor den Spielen wird an historischer Stätte in Olympia in einer an antike Rituale angelehnten Zeremonie die olympische Fackel entzündet. Eine als

Eröffnungsfeier.

Die Eröffnungsfeiern der Olympischen Spiele umfassen eine Reihe traditioneller Elemente, die in der Olympischen Charta festgelegt sind. Die Feier beginnt üblicherweise mit dem Hissen der Flagge und dem Abspielen der Nationalhymne des Gastgeberlandes. Es folgen verschiedene künstlerische Darbietungen (Musik, Gesang, Tanz, Theater), die die Kultur des Gastgeberlandes repräsentieren. Deren Größe und Komplexität sind mit den Jahren stetig gewachsen, da jedes Gastgeberland danach strebt, die früheren Feiern zu übertreffen und einen bleibenden Eindruck zu hinterlassen. So betrugen die Kosten der Eröffnungsfeier der Sommerspiele 2008 in Peking über 100 Millionen Dollar.  Anschließend beginnt der Einmarsch der teilnehmenden Athleten ins Stadion, jeweils ein Athlet geht einige Schritte vor dem Rest seiner Mannschaft und trägt dabei die Flagge seines Landes. Seit 1928 marschiert stets die Mannschaft Griechenlands als erste ins Stadion, um an die antike Tradition zu erinnern. Danach folgen

Medaillenverleihungen.

Athleten (oder Mannschaften), die sich in einem olympischen Wettbewerb an erster, zweiter oder dritter Stelle klassieren, erhalten Medaillen als Auszeichnung überreicht. Bei der Verleihung stehen die Sportler auf einem Podest und die Nationalhymne des Siegerlandes wird gespielt.  Der Sieger erhält eine Goldmedaille. Dabei handelt es sich um Silbermedaillen mit einem goldenen Überzug; das IOC schreibt vor, dass die Medaille zu mindestens 92,5 % aus Silber bestehen und sechs Gramm Gold enthalten sein müssen. Der Zweitplatzierte erhält eine Medaille

Schlussfeier.

Die Schlussfeier findet statt, wenn alle sportlichen Wettkämpfe abgeschlossen sind. Seit 1956 sind die Schlussfeiern weit weniger formell und strukturiert als die Eröffnungsfeiern. Erneut marschieren die Athleten ins Stadion ein, diesmal jedoch nicht nach Ländern geordnet, sondern bunt gemischt. Damit wird die Verbundenheit der Athleten nach Ende der Wettkämpfe symbolisiert. Der IOC-Präsident hält eine Rede, in der er den Erfolg der Spiele betont. Danach übergibt er Mitgliedern des Organisationskomitees

Sport.

Olympische Sportarten.

Das aktuelle Programm der Olympischen Spiele umfasst insgesamt 35 Sportarten, davon 28 im Sommer und sieben im Winter. Bei dieser Zählweise des IOC werden die Sportarten nach Sportverbänden zusammengefasst. Werden diese wie üblich aufgeteilt, ergeben sich 41 Sommersportarten und 15 Wintersportarten (siehe olympische Sportarten). Im Programm sämtlicher Sommerspiele enthalten waren Leichtathletik, Schwimmen, Fechten und Kunstturnen. Bei sämtlichen Winterspielen wurden Wettkämpfe im nordischen Skisport, Eisschnelllauf, Eiskunstlauf und Eishockey ausgetragen, die beiden letztgenannten vor 1924 auch bei Sommerspielen. Bis 1992 wurden oft auch Wettkämpfe in so genannten Demonstrationssportarten durchgeführt. Absicht war es, diese Sportarten einem größeren Publikum vorzustellen. Die Gewinner dieser Wettbewerbe gelten nicht als offizielle Olympiasieger. Manche Sportarten waren nur in den jeweiligen Gastgeberländern populär, andere hingegen werden weltweit betrieben. Einige dieser Demonstrationssportarten wie Curling und Taekwondo wurden schließlich ins offizielle Programm aufgenommen.  Reglementiert werden die olympische Sportarten von internationalen Sportverbänden, die das IOC als globale Aufsichtsbehörden anerkennt. Zurzeit sind 35 Sportverbände im IOC vertreten. Darüber hinaus erkennt das IOC aufgrund weltweiter Verbreitung und Einhaltung bestimmter Standards diverse Sportverbände an, die nicht im offiziellen Wettkampfprogramm mit Wettbewerben

Amateurstatus und Profisport.

Pierre de Coubertin war maßgeblich vom Ethos der Aristokratie beeinflusst, das an englischen Privatschulen vorgelebt wurde. Ihrer Ansicht nach bildete Sport einen wichtigen Teil der Erziehung; eine Haltung, die in der Redewendung "mens sana in corpore sano" (lat.: „ein gesunder Geist in einem gesunden Körper“) zum Ausdruck kommt. Gemäß diesem Ethos war ein Gentleman eine Person, die vieles gut kann, nicht jedoch der beste auf einem bestimmten Gebiet sei. Vorherrschend war auch das Konzept der Fairness, das Üben oder Training mit Betrug gleichsetzte. Profisportler hatten somit den Ruf, sich gegenüber Amateuren einen unfairen Vorteil zu verschaffen. Der Ausschluss von Profis von der Teilnahme an Olympischen Spielen hatte zur Folge, dass es immer wieder zu Kontroversen und aufsehenerregenden Konflikten um die Ausgrenzung oder Zulassung von Sportlern kam. Beispielsweise wurde Jim Thorpe, der Olympiasieger von 1912 im Fünfkampf und im Zehnkampf, disqualifiziert, nachdem bekannt geworden war, dass er zuvor halbprofessionell Baseball gespielt hatte; erst 1983 rehabilitierte ihn das IOC. Skiläufer aus der Schweiz und Österreich blieben den Winterspielen 1936

Wirtschaftliche Bedeutung.

Das IOC wehrte sich ursprünglich gegen die Finanzierung durch Sponsoren. Erst nach dem Rücktritt des als sehr prinzipientreu geltenden Avery Brundage im Jahr 1972 begann das IOC, das Potenzial des Mediums Fernsehen und den damit verbundenen lukrativen Werbemarkt auszuloten. Unter der Präsidentschaft von Juan Antonio Samaranch passte sich das IOC immer mehr den Bedürfnissen internationaler Sponsoren an, die ihre Produkte mit den olympischen Namen- und Markenzeichen bewerben wollten.  Die Vermarktung der olympischen Markenzeichen ist umstritten. Hauptkritikpunkt ist, dass die Olympischen Spiele nicht mehr von anderen kommerzialisierten Sportspektakeln unterschieden werden können. Das IOC wurde kritisiert, dass insbesondere während der Sommerspiele 1996 und 2000 eine Marktsättigung eingetreten sei und die Gastgeberstädte von Unternehmen und Händlern überflutet worden seien, die ihre Olympiaprodukte verkaufen wollten. Das IOC versprach, in Zukunft der Übervermarktung entgegenzuwirken. Eine weitere Kritik spricht die Tatsache an, dass Olympische Spiele von den Gastgeberstädten und den Regierungen der entsprechenden Staaten finanziert werden. Das IOC kommt nicht für die Kosten auf, kontrolliert aber alle Rechte, profitiert von den olympischen Symbolen und beansprucht einen Anteil an allen Sponsoren- und Medieneinnahmen. Städte bewerben sich aber weiterhin um das Recht, Olympische Spiele auszutragen, obschon sie keine Gewissheit haben, dass ihre Kosten gedeckt sein werden. Wichtig ist ihnen vor allem die weltweite Ausstrahlungskraft.

Budget.

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts verfügte das IOC nur über ein kleines Budget. Avery Brundage lehnte jegliche Versuche ab, die Olympischen Spiele mit kommerziellen Interessen zu verbinden. Er war davon überzeugt, die Interessen der Unternehmen würden unannehmbare Auswirkungen auf die Entscheidungen des IOC haben. Brundages Ablehnung dieser Einnahmequelle bedeutete, dass die Organisationskomitees einzelner Spiele selbst Sponsorenverträge aushandelten. Als er 1972 zurücktrat, hatte das IOC ein Vermögen von 2 Millionen USD. Acht Jahre später war

Medien.

Für die Gastgeberstädte und -länder bieten die Olympischen Spiele eine prestigeträchtige Gelegenheit sich der Welt zu präsentieren und für sich zu werben. Die Sommerspiele 1936 in Berlin waren die ersten, die im Fernsehen übertragen wurden, die Reichweite über den Fernsehsender Paul Nipkow war jedoch gering. Als erste erreichten die Winterspiele 1956 in Cortina d’Ampezzo ein internationales Publikum und 1960 bezahlten Fernsehsender erstmals für die Übertragungsrechte. In den folgenden Jahrzehnten entwickelten sich die Olympischen Spiele zu einer ideologischen Front im Kalten Krieg. Durch die Konkurrenz der politischen Systeme auf sportlicher Ebene stieg das Medieninteresse, wovon das IOC wiederum profitierte. Der Verkauf von Übertragungsrechten ermöglichte es ihm, die Olympischen Spiele bekannter zu machen und dadurch noch mehr Interesse zu generieren. Dies wiederum war attraktiv

Politische Bedeutung.

Entgegen Pierre de Coubertins Hoffnungen verhinderten die Olympischen Spiele nicht den Ausbruch von Kriegen. Tatsächlich konnten mehrere Veranstaltungen nicht ausgetragen werden: Die Sommerspiele 1916 entfielen wegen des Ersten Weltkriegs, die Sommer- und Winterspiele von 1940 und 1944 wegen des Zweiten Weltkriegs. Die Nationalsozialisten benutzten erfolgreich die Winterspiele 1936 in Garmisch-Partenkirchen und die Sommerspiele 1936 in Berlin als Propagandaforum, um das Ansehen Deutschlands im Ausland zu verbessern und um guten Willen und Friedensbereitschaft vorzutäuschen. Auch sollte die angebliche Überlegenheit der „arischen Rasse“ demonstriert werden, was angesichts der Erfolge von Jesse Owens jedoch nicht gelang. Antisemitische Parolen wurden vorübergehend entfernt und das Hetzblatt "Der Stürmer" durfte für die Dauer der Spiele nicht öffentlich in Kiosken ausliegen.  Die Sowjetunion nahm bis 1952 nicht an Olympischen Spielen teil. Hingegen organisierte sie ab 1928 Spartakiaden. Während der Zwischenkriegszeit fanden mehrmals Arbeiterolympiaden statt. Diese Veranstaltungen waren Alternativen zu den Olympischen Spielen, die als kapitalistisch und aristokratisch galten. Mehrere kürzlich unabhängig gewordene (meist sozialistische) Staaten veranstalteten in den 1960er Jahren vom IOC nie anerkannte Gegenveranstaltungen. Sie trugen den Namen GANEFO ("Games of the New Emerging Forces", dt.: „Spiele der neu aufstrebenden Kräfte“) und fanden 1963 in Jakarta sowie 1966 in Phnom Penh statt. Die chinesische Kulturrevolution verhinderte die dritte Austragung 1969.  Zehn Tage vor der Eröffnung der Sommerspiele 1968 in Mexiko-Stadt kam es zum Massaker von Tlatelolco, als bei der brutalen Niederschlagung von Studentenprotesten zwischen 300 und 500 Studenten getötet wurden. Ein demgegenüber vergleichsweise kleinerer politischer Zwischenfall ereignete sich bei diesen Spielen, als die zwei US-amerikanischen Leichtathleten Tommie Smith und John Carlos während der Siegerehrung des 200-Meter-Laufs ihre Fäuste mit schwarzen Handschuhen in die Höhe streckten. Es handelte sich dabei um das Symbol der Bewegung Black Power, die sich gegen die Diskriminierung der afroamerikanischen Bevölkerung in den USA richtete. Das IOC stellte das Olympische Komitee der USA (USOC) vor die Wahl, entweder die beiden Athleten nach Hause zu schicken oder die ganze Leichtathletikmannschaft zurückzuziehen. Das USOC entschied sich für ersteres. Während der Sommerspiele 1972 in München nahm die palästinensische Terrororganisation "Schwarzer September" elf Mitglieder der israelischen Mannschaft gefangen, wovon zwei gleich von den Terroristen ermordet wurden. Eine missglückte Befreiungsaktion auf dem Flugplatz Fürstenfeldbruck führte zum Tod aller Geiseln sowie von fünf Terroristen und einem Polizeibeamten. Die Geiselnahme von München blieb weltweit als „München-Massaker“ in Erinnerung. IOC-Präsident Avery Brundage setzte sich für die Fortführung der Spiele ein, berühmt geworden ist sein Ausspruch "„The games must go on“" („Die Spiele müssen weitergehen“). Das tragische Ereignis wurde mehrmals verfilmt, beispielsweise durch Kevin Macdonald ("Ein Tag im September", 1999) und Steven Spielberg ("München", 2005).  Die Sowjetunion versuchte die Sommerspiele 1984 in Los Angeles zu sabotieren. Sie schickte den Nationalen Olympischen Komitees von elf asiatischen und afrikanischen Nationen Drohbriefe, die angeblich vom Ku-Klux-Klan stammen sollten und den Athleten, besonders den Dunkelhäutigen, mit Erschießung und Lynchmord drohten. Dass die Briefe gefälscht waren, konnte jedoch schnell nachgewiesen werden.  Im Centennial Olympic Park von Atlanta explodierte während der Sommerspiele 1996 eine Bombe. Dabei starben zwei Menschen und 111 wurden verletzt. Die Bombe war von Eric Rudolph gelegt worden, der der rassistischen Christian-Identity-Bewegung nahesteht. Nach einer fast siebenjährigen Flucht konnte er 2003 verhaftet werden. Zunächst war der Wachmann Richard Jewell beschuldigt und in einer beispiellosen Medienkampagne vorverurteilt worden.  Der Kaukasuskrieg zwischen Georgien und Russland brach am Eröffnungstag der Sommerspiele 2008 in Peking aus. Beim Luftpistolenschießen der Frauen gewann die Russin Natalja Paderina die Silber- und die Georgierin Nino Salukwadse die Bronzemedaille. Beide Frauen umarmten und küssten sich demonstrativ auf dem Siegerpodest und setzten so ein viel beachtetes Zeichen gegen den Krieg.

Betrugsfälle.

Korruption.

Das stetige Wachstum und die zunehmende internationale Bedeutung der Olympischen Spiele führte auch zu zahlreichen zwischenstaatlichen Problemen. So geriet in der Vergangenheit das IOC verstärkt unter Druck. Es wurde als unbewegliche, unflexible, kommerzielle und intransparente Organisation kritisiert. Besonders kontrovers waren die Präsidentschaften von Avery Brundage und Juan Antonio Samaranch. Brundage musste sich die Kritik gefallen lassen, er sei rassistisch und antisemitisch. Unter Samaranch galt das IOC als autokratisch und korrupt. Auch seine engen Beziehungen zum Franco-Regime und seine lange Amtszeit von 21 Jahren (er trat erst im Alter von 81 Jahren zurück) gaben Anlass zur Kritik. Ebenfalls Anlass zu Kritik gab

Doping.

Eines der Hauptprobleme bei Olympischen Spielen (und im Sport im Allgemeinen) ist die unerlaubte Leistungssteigerung durch Doping. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts begannen zahlreiche Athleten Drogen zu sich zu nehmen; so war die Verwendung von Kokain weit verbreitet. Thomas Hicks, Gewinner des Marathonlaufs der Sommerspiele 1904, erhielt von seinem Trainer während des Rennens Brandy, der mit Strychnin angereichert war. Als Athleten und Betreuer zu immer extremeren Mitteln griffen, wurde den Verantwortlichen allmählich bewusst, dass diese Methoden nicht mehr mit dem Ideal von „Gesundheit durch Sport“ zu vereinbaren waren. Der erste (und bisher einzige bekannte) durch Doping verursachte Todesfall bei Olympischen Spielen ereignete sich 1960 in Rom, als der dänische Radsportler Knud Enemark Jensen von seinem Fahrrad fiel und später starb. Eine Autopsie ergab, dass er mit Amphetaminen gedopt gewesen war.  Nicht zuletzt aufgrund dieses Vorfalls begannen mehrere Sportverbände Mitte der 1960er Jahre mit Dopingtests, das IOC folgte 1967 diesem Beispiel. Der erste positiv auf verbotene Substanzen getestete Athlet war 1968 der Schwede Hans-Gunnar Liljenwall, der seine Bronzemedaille im modernen Fünfkampf wegen der Einnahme von Alkohol zurückgeben musste. Seither wurden Dutzende Athleten überführt, darunter mehrere Medaillengewinner. Für den größten Skandal sorgte der Kanadier Ben Johnson: Er war 1988 mit

Olympiasieger und Medaillengewinner.

Die Olympischen Spiele bieten zuvor weniger bekannten Athleten die Möglichkeit, national und international zu viel beachteten Sportlern aufzusteigen. Weil die Olympischen Spiele nur alle vier Jahre ausgetragen werden, genießen sie bei Zuschauern und Athleten ein höheres Prestige als Weltmeisterschaften, die oft im jährlichen oder zweijährigen Rhythmus stattfinden. Viele Athleten wurden nach einem Olympiasieg zu Prominenten in ihren jeweiligen Ländern, manche sogar weltweit. Ein Vergleich der Leistungen von Athleten in verschiedenen Sportarten und zu verschiedenen Zeiten ist von begrenzter Aussagekraft. Legt man jedoch die Anzahl der Goldmedaillen zugrunde, so können die folgenden Athleten als die erfolgreichsten angesehen werden (die Olympischen Zwischenspiele 1906 werden dabei nicht mitberücksichtigt):

Olympische Spiele (von "ta Olýmpia" „die Olympischen Spiele“ "olymbiakí agónes" „olympische Wettkämpfe“) ist die Sammelbezeichnung für regelmäßig ausgetragene Sportwettkampfveranstaltungen, die „Olympischen Spiele“ und „Olympischen Winterspiele“. Bei diesen treten Athleten und Mannschaften in verschiedenen Sportarten gegeneinander an. Organisiert werden sie vom Internationalen Olympischen Komitee (IOC). Der Zeitraum zwischen den Spielen wird als „Olympiade“ (von ) bezeichnet.

奥林匹克运动会(、、英语:Olympic Games),简称奥运会、奥运,是国际目前最高等级的综合型体育赛事,由国际奥林匹克委员会主办;后因有别冬季奥林匹克运动会,又称「夏季奥林匹克运动会」,每4年举行一次(从1987年起,冬季奥运会和夏季奥运会分开,每两年交替举行)。奥林匹克运动会最早起源于古希腊,是当时各城邦之间的公开较量,因为举办地在奥林匹亚而得名;但由于信奉基督教的罗马皇帝狄奥多西一世禁止奥运竞技,于是奥运在举办超过一千年后于四世纪末停办,奥运这一次停办持续了近1,500年,直到19世纪末才由后人发现遗迹,后来在近代由法国的顾拜旦男爵创立了有真正奥运精神的现代奥林匹克运动会。从此,自1896年始每4年举办一次,只有在2次世界大战期间中断过三次(分别是在1916年、1940年和1944年),以及在2019冠状病毒病疫情期间延期过一次,更确立了会期不超过16日的传统。奥林匹克运动会现在已经成为了全世界和平与友谊的象征。


Philosophische Tradition.

In der Philosophie wurden Paradoxa, ebenso wie Sophismata seit der Antike diskutiert. Teilweise wurden sie eingesetzt, um bestimmte Positionen in der Kosmologie oder der Theologie zu stützen oder zu widerlegen und waren bereits früh Gegenstand logischer Untersuchungen. Bekannt sind die Paradoxien des Zenon von Elea, oder etwa das Allmachtsparadoxon. Bis in die Moderne waren Paradoxien der Selbstreferenz von besonderem Interesse: Dazu zählen das Lügner-Paradoxon, das Paradoxon des Epimenides und das bekannte Barbier-Paradoxon –, schließlich das durch die Russellsche Antinomie hervorgerufene Mengenparadoxon und die Grelling-Nelson-Antinomie. Auch in der modernen Wissenschaftstheorie stellen Paradoxien, einmal formuliert, eine wichtige Herausforderung dar, da sie Anforderungen an Theorien und Paradigma deutlich machen, die bisher nicht erfüllt wurden, so etwa Hempels Paradox oder Goodmans neues Rätsel der Induktion.

Als ästhetisches Motiv in der Wissenschaft.

Eine Betrachtung von Paradoxien in den verschiedenen Wissenschaften belegt, dass das Erkennen und Lösen von Paradoxien ein bedeutendes Motiv wissenschaftlicher Arbeit sein kann. Der Mathematiker Roger Penrose drückte es so aus:  Der wissenschafts-ästhetische Reiz von Paradoxien zeigt sich auch daran, dass sich Künstler wie M. C. Escher von den Paradoxien in der Mathematik und Physik inspirieren ließen. So gab es zeitweise einen engen Austausch zwischen ihm und Penrose, der sich als Mathematiker mit geometrisch „unmöglichen“ Formen befasste. Von ihm stammt unter anderem das berühmte Penrose-Dreieck. Escher wiederum hat diese in seinen Grafiken umgesetzt. Auch für andere Wissenschaftler und Denker wie Bertrand Russell, Gregory Bateson oder Arthur Koestler waren Paradoxien in ihren unterschiedlichen Facetten ein zentrales Thema.

Formen.

Es werden verschiedene Formen von Paradoxa unterschieden:  Gemeinsam ist allen Paradoxa der Widerspruch zwischen dem Behaupteten einerseits und den Erwartungen und Beurteilungen andererseits, die sich aus vertrauten Denkheuristiken, Vorurteilen, Gemeinplätzen, Mehrdeutigkeiten oder begrenzten Perspektiven als alltägliche Meinung ("doxa") ergeben. Auch scheinbare Widersprüche, die sich durch genauere Analyse vollständig auflösen lassen, wirken daher im ersten Moment paradox oder galten im Laufe der Geistesgeschichte als unlösbare Paradoxa oder Aporien. Auflösbare Paradoxien sind wahre Aussagen, deren Untersuchung – beispielsweise im Rahmen eines Gedankenexperiments – zu wichtigen Erkenntnisfortschritten in Wissenschaft, Philosophie und Mathematik führen kann, die für das Alltagsverständnis aber unerwartet oder überraschend sind. Der Widerspruch besteht hier oft nur zwischen der erwarteten und der tatsächlichen Lösung. Ein Beispiel aus der Mathematik ist das Ziegenproblem, das logisch und mathematisch exakt lösbar ist, aber der Erwartung vieler Menschen widerspricht.  Nach Willard Van Orman Quine lassen sich lediglich der Intuition, herrschenden Meinung oder Erwartung widersprechende, aber korrekte Beantwortungen eines Problems von auf Fehlschlüssen beruhenden Paradoxa und solchen, die tatsächlich ein sich selbst widersprechendes Resultat des Schlussfolgens darstellen, das eine Antinomie oder auf eine (verborgenerweise) inkonsistente Begriffsbestimmung oder falsche Regelannahme verweisen.

Abgrenzung nach Penrose.

Der britische Mathematiker und Physiker Roger Penrose schlug für die Physik die Unterscheidung von Paradoxien von "Puzzles" vor. Bei Puzzles handele es sich um „verblüffende, aber experimentell unmittelbar belegbare Quantenwahrheiten über die Welt, in der wir leben.“ Dazu gehöre unter anderem das sogenannte Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon, das keinen echten Widerspruch, sondern lediglich eine zwar unanschauliche, aber doch belegbare physikalische Wahrheit sei. Die Paradoxien oder „X-Rätsel“, wie Penrose sie auch nennt, seien zwar quantenphysikalisch ebenso ein „wahrer Bestandteil dieser Welt, erscheinen aber so unplausibel und paradox, dass wir uns sträuben, sie als ‚wirklich‘ wahr hinzunehmen“. Das bekannteste X-Rätsel sei das Paradoxon von Schrödingers Katze.

Psychologie.

In der Psychologie werden als Paradoxa starke Widersprüche in den Anforderungen an das individuelle Denken und Verhalten untersucht. Dazu gehört die sogenannte „Sei-spontan-Paradoxie“, wie es häufig in Beziehungen zum Ausdruck kommt: Die Erwartung, dass mein Gegenüber seine Entscheidungen gefälligst frei und selbständig treffen soll – und genau damit seine Unselbständigkeit unter Beweis stellen würde. Der Wunsch „Sag mir doch öfter mal spontan, dass du mich liebst!“ ist, sobald ausgesprochen, nicht mehr erfüllbar. In den sogenannten paradoxen Interventionen werden psychische Paradoxien wiederum gezielt eingesetzt, insbesondere dann, wenn das Gegenüber (ein Kind zum Beispiel) ein trotziges Verhalten zeigt und auf Aufforderungen bewusst mit dem Gegenteil reagiert. Entsprechend wird in der paradoxen Intervention eine Erwartung geäußert, deren Gegenteil eigentlich erreicht werden soll.  Ein weiteres Beispiel für psychische Paradoxien sind Double-Bind-Kommunikationsstrukturen.

Paradoxien in der Populärkultur.

In "Das Leben des Brian" von Monty Python wird Brian gegen seinen Willen für den Messias gehalten und fordert in der „Balkonszene“ seine Anhänger auf, Individuen zu sein:

Ein Paradoxon (sächlich; Plural "Paradoxa"; auch das Paradox oder die Paradoxie, Plural "Paradoxe" bzw. "Paradoxien"; vom altgriechischen Adjektiv "parádoxos" „wider Erwarten, wider die gewöhnliche Meinung, unerwartet, unglaublich“) ist ein Befund, eine Aussage oder Erscheinung, die dem allgemein Erwarteten, der herrschenden Meinung oder Ähnlichem auf unerwartete Weise zuwiderläuft oder beim üblichen Verständnis der betroffenen Gegenstände bzw. Begriffe zu einem Widerspruch führt. Die Analyse von Paradoxien kann zu einem tieferen Verständnis der betreffenden Gegenstände bzw. Begriffe oder Situationen führen, was den Widerspruch im besten Fall auflöst. Einzelne Paradoxa sind in der Liste von Paradoxa zu finden.

悖论(英语:Paradox),亦称为佯谬或诡局,是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论,似非而是称为佯谬;有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文英语:paradox一词,来自希腊语,,意思是“未预料到的”、“奇怪的”。 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。


Primfaktorzerlegung.

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen nennt man die "Primfaktoren" der Zahl. Die Eins wird dabei als leeres Produkt dargestellt.  Weil sich jede natürliche Zahl größer null durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein, sie „erzeugen“ gewissermaßen alle anderen natürlichen Zahlen. Alexander K. Dewdney bezeichnete sie als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.  Daraus wird auch klar, warum es unzweckmäßig ist, die Eins als Primzahl zu definieren: Sie ist das neutrale Element der Multiplikation und kann somit multiplikativ keine weiteren Zahlen erzeugen. Sie wird für die Darstellung der Zahlen als Produkt von Primfaktoren nicht benötigt. Würde man die 1 zu den Primzahlen zählen, verlöre sich darüber hinaus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, weil man an jede Zerlegung beliebig viele Einsen anhängen kann, ohne den Wert der Zahl zu ändern.  Man hat eine Reihe von Faktorisierungsverfahren entwickelt, um die Primfaktoren von allgemeinen Zahlen oder auch solchen von spezieller Form möglichst schnell zu bestimmen. Man kennt aber bisher keine Methode, um beliebige Zahlen effizient zu faktorisieren, d. h. in einer Zeit, die höchstens polynomiell mit der Länge der gegebenen Zahl wächst. Die "Faktorisierungsannahme" besagt, dass es eine solche Methode auch nicht gibt.

Eigenschaften von Primzahlen.

Die Primzahlen sind innerhalb der Menge formula_7 der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.  Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen formula_8 ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form formula_9 mit einer natürlichen Zahl formula_10.  Jede Primzahl formula_11 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form formula_12“ oder „Primzahl der Form formula_13“ zuordnen, wobei formula_10 eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl formula_15 die Form formula_16 oder formula_17, wobei formula_10 eine natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.  Jede natürliche Zahl der Form formula_19 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl formula_20 enthält mindestens einen Primfaktor der Form formula_13. Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form formula_22 oder Primfaktoren der Form formula_12 ist nicht möglich.  Eine Primzahl formula_24 lässt sich genau dann in der Form formula_25 mit ganzen Zahlen formula_26 schreiben, wenn formula_8 die Form formula_12 hat. In diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d. h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von formula_26. Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung  im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.  Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form formula_12 und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der Form formula_13.

Der kleine Satz von Fermat.

Es sei formula_8 eine Primzahl. Für jede ganze Zahl formula_34, die nicht durch formula_8 teilbar ist, gilt (für die Notation siehe Kongruenz):  Für nicht durch formula_8 teilbare Zahlen formula_34 ist die folgende Formulierung äquivalent:  Es gibt Zahlen formula_40, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch zu einer Basis formula_34 wie Primzahlen verhalten, d. h. es ist formula_42. Solche formula_40 nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis formula_34. Ein formula_40, das fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich "aller" zu ihm teilerfremden Basen formula_34 ist, nennt man Carmichael-Zahl.  In diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik fermatscher Pseudoprimzahlen: sie werden von einem Primzahltest, der den kleinen Satz von Fermat nutzt (Fermatscher Primzahltest), fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden.

Euler und das Legendre-Symbol.

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl formula_8 und jede ganze Zahl formula_34, die nicht durch formula_8 teilbar ist, gilt entweder  oder  Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine Quadratzahl formula_52 gibt, die kongruent zu formula_34 modulo formula_8 ist, "siehe" Legendre-Symbol.

Binomialkoeffizient.

Für Primzahlen formula_8 und formula_56 gilt  zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus  Für ganze Zahlen formula_59 folgt diese Aussage auch direkt aus dem kleinen fermatschen Satz, aber sie ist beispielsweise auch für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten anwendbar; im allgemeinen Kontext entspricht sie der Tatsache, dass die Abbildung formula_60 in Ringen der Charakteristik formula_8 ein Homomorphismus ist, der sogenannte Frobenius-Homomorphismus.  Aus dem Satz von Wilson (formula_8 ist genau dann eine Primzahl, wenn formula_63 ist) folgt, dass für jede Primzahl formula_8 und jede natürliche Zahl formula_40 die Kongruenz  erfüllt ist.  Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl formula_24 diese Kongruenz gilt:  Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl formula_69 die folgende Kongruenz gilt:

Giuga.

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl formula_8 gilt:  Beispiel formula_73:  Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Lineare Rekursionen.

Den kleinen fermatschen Satz kann man auch in der Form lesen: In der Folge formula_75 ist das formula_8-te Folgenglied für eine Primzahl formula_8 stets durch formula_8 teilbar. Ähnliche Eigenschaften besitzen auch andere Folgen von exponentiellem Charakter, wie die Lucas-Folge (formula_79) und die Perrin-Folge (formula_80). Für andere lineare Rekursionen gelten analoge, aber kompliziertere Aussagen, beispielsweise für die Fibonacci-Folge formula_81: Ist formula_8 eine Primzahl, so ist formula_83 durch formula_8 teilbar; dabei ist  das Legendre-Symbol.

Divergenz der Summe der Kehrwerte.

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:  Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die durch formula_87 definierte Folge keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum bedeutet, dass sich für ein genügend groß gewähltes formula_40 jede erdenkliche reelle Zahl übertreffen lässt. Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.

Primzahltests.

Ob eine beliebige natürliche Zahl prim ist, kann mit einem Primzahltest herausgefunden werden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, die sich auf besondere Eigenschaften von Primzahlen stützen. In der Praxis wird der Miller-Rabin-Test am häufigsten verwendet, der eine extrem kurze Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert. Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich, über die Primalität ohne Gefahr eines Irrtums in polynomieller Laufzeit zu entscheiden. Allerdings ist er in der Praxis deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test.

Primzahlzertifikat.

Herauszufinden, ob eine natürliche Zahl prim ist oder nicht, kann sehr aufwändig sein. Zu jeder Primzahl lässt sich aber eine Kette von Behauptungen angeben, die alle unmittelbar nachvollziehbar sind, zusammen die Primalität belegen und deren Gesamtlänge höchstens proportional ist zum Quadrat der Länge der Primzahl. Ein solcher Beleg wird "Zertifikat" (engl. "primality certificate") genannt.  Bei der Zusammengesetztheit (Nichtprimalität) einer Zahl ist der Unterschied zwischen Beleg und Finden eines Belegs noch augenfälliger: Als Beleg genügen zwei Faktoren, deren Produkt die zusammengesetzte Zahl ergibt; das Finden eines echten Teilers kann aber sehr viel Aufwand bedeuten.

Größte bekannte Primzahl.

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als "Satz von Euklid" bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes ("Elemente," Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl konstruieren, die eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat oder selbst eine Primzahl ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.  Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils "größte bekannte" Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit (Stand: Dezember 2018) ist es formula_89 eine Zahl mit 24.862.048 (dezimalen) Stellen, die am 7. Dezember 2018 berechnet wurde. Für den Entdecker Patrick Laroche gab es für den Fund 3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das Mersenne-Primzahlen mittels verteiltem Rechnen sucht.  Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form formula_90 da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.

Verteilung und Wachstum.

Pi-Funktion und Primzahlsatz.

Zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen betrachtet man unter anderem die Funktion  die die Anzahl der Primzahlen formula_92 angibt und auch "Primzahlzählfunktion" genannt wird. Zum Beispiel ist  Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebter Forschungsgegenstand in der Zahlentheorie. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.  Der Primzahlsatz besagt, dass  gilt, das heißt, dass der Quotient von linker und rechter Seite für formula_95 gegen 1 strebt:  Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei formula_20 eine natürliche Zahl. Ist formula_34 eine ganze Zahl, die zu formula_20 nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge  höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von formula_34 und formula_20 teilbar sind. Ist formula_34 aber teilerfremd zu formula_20, so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form formula_12 und unendlich viele der Form formula_13 (formula_10 durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen).  Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt  dabei ist formula_109 die eulersche Phi-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes formula_20 in den Restklassen formula_111 mit formula_112 jeweils „gleich viele“ Primzahlen.

Schranken.

Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren Primzahlen (ab der fünften Primzahl).  Nach der (unbewiesenen) Andricaschen Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der formula_40-ten und der formula_114-ten Primzahl kleiner als 1.

Primzahllücken.

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und es gibt Primzahllücken beliebiger Größe. Es gibt aber auch Beschränkungen für die Lückengröße in Abhängigkeit von ihrer Lage:  Der Satz von Bertrand sichert die Existenz einer Primzahl zwischen jeder natürlichen Zahl formula_40 und ihrem Doppelten formula_116.  Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets mindestens eine Primzahl zwischen formula_117 und formula_118.

Abschätzungen zu Primzahlen und Folgerungen aus dem Primzahlsatz.

Im Folgenden sei die Folge der Primzahlen mit formula_119 bezeichnet.

Abschätzungen.

Für Indizes formula_120 gelten folgende Abschätzungen:

Folgerungen aus dem Primzahlsatz.

Mit dem Primzahlsatz ergeben sich folgende Resultate:  Für jede positive reelle Zahl formula_132 existiert eine Folge formula_133 von Primzahlen mit  Die Menge der aus allen Primzahlen gebildeten Quotienten ist eine dichte Teilmenge der Menge aller positiven reellen Zahlen. D. h.: Für beliebige positive reelle Zahlen formula_59 mit formula_136 existieren stets Primzahlen formula_137, sodass  erfüllt ist.

Generierung von Primzahlen.

Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen.

Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der.

Verallgemeinerung.

In der Ringtheorie wird das Konzept der "Primzahl" auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind "Primelement" und "irreduzibles Element."  Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe "Primelement" und "irreduzibles Element" zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.  Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Primzahlen in der Informatik.

Bei der Informationssicherheit und insbesondere bei der Verschlüsselung von Nachrichten (siehe Kryptographie) spielen Primzahlen eine wichtige Rolle. Sie werden oft in asymmetrischen Kryptosystemen wie etwa Public-Key-Verschlüsselungsverfahren eingesetzt. Wichtige Beispiele sind der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, das RSA-Kryptosystem, das unter anderem bei OpenPGP zum Einsatz kommt, das Elgamal-Kryptosystem und das Rabin-Kryptosystem. Dabei werden die Schlüssel aus großen, zufällig erzeugten Primzahlen berechnet, die geheim bleiben müssen.  Solche Algorithmen basieren auf Einwegfunktionen, die schnell ausführbar sind, deren Umkehrung aber mit der aktuell bekannten Technologie praktisch unmöglich zu berechnen ist. Neue Informationstechnologien, zum Beispiel Quantencomputer, könnten das aber ändern. Das ungelöste P-NP-Problem steht damit in Zusammenhang.

Primzahlen in der Natur.

Manche Tier- und Pflanzenarten (z. B. bestimmte Zikaden oder Fichten) vermehren sich in Zyklen von Primzahlen (etwa alle 11, 13 oder 17 Jahre) besonders stark, um es Fressfeinden zu erschweren, sich auf das massenhafte Auftreten einzustellen.

Warum 1 keine Primzahl ist.

Seit hunderten von Jahren diskutieren Mathematiker, ob die Zahl formula_139 eine Primzahl ist oder nicht. Der bedeutende Mathematiker Godfrey Harold Hardy bezeichnete zum Beispiel noch im Jahr 1908 die Zahl 1 als Primzahl, aber spätestens im Jahr 1929 nicht mehr. Generell gilt seit dem 20. Jahrhundert unter den allermeisten Mathematikern die Übereinkunft, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu zählen.  Das Argument dafür, dass 1 eine Primzahl ist, ist das folgende:  Argumente dagegen, dass also 1 "keine" Primzahl ist, sind die folgenden: Es gibt noch weitere mathematische Sätze über Primzahlen, die man ebenfalls umformulieren müsste, wäre die Zahl formula_139 eine Primzahl.  Die Beispiele zeigen, dass man die Menge der Primzahlen ohne eine 1 dringend braucht – dringender als den Begriff der die 1 einschließenden Primzahlen. Da es bei Definitionen immer Freiheitsgrade gibt, hat man um der Ökonomie der Begriffe willen sich dafür entschieden, (neben der 0) die 1 (und etwas allgemeiner alle Einheiten) von den Primzahlen (resp. Primelementen) auszuschließen.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Das Wort „Primzahl“ leitet sich ab von, wobei speziell ‚Anfang, das Erste (der Dinge)‘ bedeutet, sodass eine ‚Anfangszahl‘ gemeint ist, die aus keiner anderen (vorhergehenden) Zahl konstruiert werden kann.

质数(英语:Prime number),又称素数,指在大于1的自然数中,除了1和该数自身外,无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数)。大于1的自然数若不是质数,则称之为合数(也称为合成数)。例如,5是个质数,因为其正因子只有1与5。而6则是个合数,因为除了1与6外,2与3也是其正因子。算术基本定理确立了质数于数论里的核心地位:任何大于1的整数均可被表示成一串唯一质数之乘积。为了确保该定理的唯一性,1被定义为不是质数,因为在因式分解中可以有任意多个1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因子分解)。


Geschichtliche Entwicklung.

Die Neue Religiöse Bewegung wurde im Dezember 1973 von Claude Vorilhon (* 1946) alias Raël, gegründet, der eine Begegnung mit einem aus einem UFO entstiegenen Vertreter einer außerirdischen Zivilisation gehabt haben will. Bei seiner ersten angeblichen Begegnung am 13. Dezember 1973 mit den Außerirdischen soll Claude Vorilhon eine Botschaft für die Menschheit erhalten haben, die besage, dass die "Elohim" vor 25.000 Jahren das erste Mal auf die Erde kamen und hier dank ihrer Beherrschung der DNA das Leben wissenschaftlich erschufen. Die Besucher sollen ihm den Namen Rael („der das Licht der Elohim bringt“) gegeben haben. Angeblich sei er der Halbbruder von Jesus Christus, da seine Mutter ohne ihr Wissen in einem UFO entführt und Vorilhon dort durch JHWH, den ältesten der Elohim, am 25. Dezember 1945 gezeugt worden sein soll.  Vorilhon verfasste darauf "Das Buch, das die Wahrheit sagt" und trat im Fernsehen auf, um seine Lehre zu verbreiten. Die dadurch erreichte Popularität führte zur Gründung der „MADECH“. Nach zwei Jahren verfügte Vorilhon über etwa 700 Anhänger. Am 7. Oktober 1975 besuchte Vorilhon angeblich den Planeten der Außerirdischen und erhielt die in seinem Buch "Die Außerirdischen haben mich auf ihren Planeten mitgenommen" veröffentlichten Lebensregeln.  Es folgte eine Ausbreitung der Bewegung über den französischen Sprachraum, die eine Umbenennung, zuerst (1977) in „Rael-Bewegung“ ("Mouvement Raëlien") und 1998 in „Raelistische Religion“, nach sich zog.  Im Jahr 2002 hatte die Bewegung nach eigenen Angaben weltweit etwa 40.000 Mitglieder. Andere Quellen gehen von 22.000 bis 55.000 Mitgliedern aus. Sie verkündete auf der Internationalen Bio-Expo in Tokio im Juli 2002, dass sie in der Lage sei, Menschen zu klonen.

Symbol.

Das Symbol des Raelismus ist ein Hexagramm mit Swastika. Es wird von Raelianern als Anhänger getragen. Nach Protesten von Juden gegen die Kombination aus Davidstern und Hakenkreuz wurde letzteres durch eine stilisierte Gänseblümchenblüte ersetzt. Das alte Symbol bleibt jedoch weiterhin gültig, da die Raelianer nach wie vor auf eine weltweite Akzeptanz der Swastika hoffen. Zu diesem Zweck erklärte Raël 2009 den 23. Juni zum „Swastika-Rehabilitations-Tag“.

Glaubensvorstellungen und Leben.

Das Glaubenskonzept des Raëlismus verbindet wissenschaftliche Vorstellungen mit biblischen Überlieferungen. Diese werden allerdings aus einer technologischen Sicht neu dargestellt. Die Lehre gibt sich dabei als völlig rational ohne Bezüge zum Übernatürlichen. Typisch ist der weitgehende Verzicht auf mystische Ansätze. Durch die Verbindung von wissenschaftlicher Sichtweise und religiösen Gesichtspunkten ist das Konzept erfolgreich. Dazu ist die Bewegung nicht gegen Sinnlichkeit gerichtet und propagiert diese sogar.  Die Raëlisten (auch Raëlianer oder Raeliens genannt) glauben, dass wissenschaftlich weit fortgeschrittene, menschenähnliche Wesen („"Elohim"“), die man früher für Götter gehalten habe, für die Schöpfungsgeschichte verantwortlich waren. Diese These wird als Prä-Astronautik auch von Erich von Däniken vertreten. Die Schöpfung – so postuliert Raël – sei ein Produkt dieser Wesen, die durch überlegene Technik dazu in der Lage seien, Landschaften zu formen, Atmosphären zu schaffen und durch Klontechnologie Menschen (nach ihrem Abbild) zu schaffen. Vor etwa 22.000 Jahren sei so die Erde geschaffen worden. Die Menschen sollen sich hiernach entwickelt haben, wobei gemäß der philosemitischen Einstellung Raels die Juden das am besten gelungene menschliche Volk sind. Als ihr technischer Fortschritt den "Elohim" gefährlich wurde, vernichteten diese daraufhin mit Kernwaffen das Leben auf der Erde mit Ausnahme von Noach, der sich und eine Zelle jeder Art in einer Rakete retten konnte.  Eines der Ziele der Raëlisten ist, ein Botschaftsgebäude auf neutralem Territorium zu bauen, in dem die "Elohim" empfangen werden können. Das Gebäude soll bis 2025 errichtet sein. Bevorzugtes Territorium wäre Israel. Sollte es sich jedoch wieder dem Willen der "Elohim" widersetzen, dann würde erneut der Zorn Gottes über es hinbrechen. Mit der Rückkehr der "Elohim" breche dann das "Zeitalter der Apokalyptik" an, in dem Religionen von der Wissenschaft abgelöst würden. Es soll dann zur Kommunion der Menschen mit ihren Schöpfern kommen. Durch wissenschaftlichen Fortschritt und einen Fortschritt des Bewusstseins – erreichbar auch durch die Angaben zum Beispiel in den „Schlüsseln“ in den Büchern Raëls, durch Meditation – mit der Vervollkommnung des Klonens und schließlich des Mind uploading würden die Menschen irdische Unsterblichkeit und paradiesische Zustände erreichen können. In der Folge würden die Auserwählten ein göttergleiches Leben führen und ihrerseits Planeten mit Klonen bevölkern können.  Die Entsprechung für das Leben nach dem Tod ist bei den Raëlisten die Kombination von sofortigem Ganzkörperklonen (per Biotechnologie oder Nanotechnologie?) und „Uploading“ in diesen aus der eigenen DNA neu geschaffenen jungen Körper oder auch eine zwischenzeitliche Weiterexistenz in einem fortgeschrittenen Computer. Regelmäßige Meditationen gehören zur religiösen Praxis. Hierbei soll nach raëlianischer Vorstellung durch die Haare, die als Antennen dienen sollen, telepathisch Kontakt zu den "Elohim" aufgenommen werden. Mindestens einmal im Leben sollen sich die Anhänger durch Raël oder eine von ihm hierzu beauftragte Person die Hand auflegen lassen. Dies soll dem überwachenden Computer der "Elohim" den Bauplan der Körper übermitteln. Hierdurch werde eine Wiederherstellung nach dem Tode ermöglicht. Diesem Gedanken, dass der Mensch durch Klonen wiederhergestellt würde, wird entgegengehalten, dass der Mensch erst durch seine Entwicklung im Leben zu dem würde, was er ist. Letztlich würde der Mensch durch diese Gedanken auf seine reinen Erbanlagen reduziert.

Die Raëlisten und das Klonen.

In der Glaubensvorstellung der religiösen Gruppierung soll das Klonen von Menschen der erste Schritt zur Unsterblichkeit ihrer Mitglieder sein. Die der Raël-Bewegung nahestehende Firma "Clonaid" behauptet, mehrere Menschen geklont zu haben. Es gab von ihnen bereits einige Schlagzeilen, ihnen sei das Klonen gelungen. Jedoch ist die Firma laut Zeugenaussagen recht klein und unmodern, sodass die Klonerfolge von seriösen Wissenschaftlern bezweifelt werden.  Im März 2001 kam es zu einer Anhörung vor einem Ausschuss des Repräsentantenhauses der Vereinigten Staaten, in welcher die Raëlisten bekräftigten, das Klonen von Menschen anzustreben. 2001 bemühte sich die Bewegung, durch eine Klage in den Vereinigten Staaten durchzusetzen, dass das Klonen von Menschen dort legal werden solle. Laut einer führenden Raelistin, Brigitte Boisselier, soll es Clonaid 2002 gelungen sein, die technischen Grundlagen des Klonens von Menschen zu schaffen. Im Dezember 2002 soll nach Angaben Boiselliers dann „Eve“ als erster geklonter Mensch geboren worden sein. Diese Behauptung wird von wissenschaftlicher Seite bezweifelt. Bis 2003 lagen keine wissenschaftlichen Beweise für eine genetische Identität von Mutter und Tochter vor. Clonaid behauptete zwar, dass eine Untersuchung durch neutrale Dritte möglich sei, wollte aber weder den Namen der Eltern, noch den von hierzu bereiten Wissenschaftlern nennen. Teilweise wird angenommen, dass die Bekanntgabe des Klonerfolges eine reine Werbemaßnahme ohne realen Grund gewesen sei. Es wurde nach der Bekanntgabe der Geburt „Eves“ vor einem Gericht in Florida Klage wegen der Bestellung eines Vormundes eingereicht. Nachdem Brigitte Boisselier unter Eid versichert hatte, das Kind habe sich nie in den USA aufgehalten, erklärte sich das Gericht für unzuständig. Die Food and Drug Administration (FDA) ermittelte ab 2002 im Falle „Eve“ wegen nicht genehmigter Genversuche.  Wegen der mit Klonen verbundenen ethischen Bedenken geriet die Gruppe in die Kritik. Kritisch wird hierbei die Quote von nur 2 bis 20 % bei erfolgreichen Klonversuchen bei Säugetieren angeführt. Die nicht erfolgreichen Versuche führen zum Tod im Mutterleib oder zu schweren Missbildungen. Claude Vorilhon alias Raël als Führer der Gruppe glaubt, dass die Kritik am Klonen auf religiösen Vorurteilen, insbesondere von Seiten der katholischen Kirche beruhe.

Rezeption.

Michel Houellebecq beschreibt in seinem Roman "Die Möglichkeit einer Insel" und seiner Erzählung "Lanzarote" die Gruppe der "Elohimiten" bzw. "Azraëlisten", deren Lehren denen des Raelismus sehr ähnlich sind. Houellebecq zeigt offen seine Sympathie für den Raelismus und ist mit Rael selbst befreundet. Gleichwohl zeigen die beiden Geschichten auch einen gewissen Abstand. So verlässt in "Die Möglichkeit einer Insel" der Protagonist Daniel25, dessen „Urahn“ Daniel1 den "Elohimiten" einst beitrat, 2000 Jahre später deren geordnetes Leben aus Klonen, Kontemplation und Studieren, um auf der Insel Lanzarote eine neue Form des Lebens zu finden. Auch wenn er dieses Ziel nicht erreicht und seine Klonlinie wie bei allen „Abtrünnigen“ für immer beendet wird, ist er am Ende nicht unglücklich.

Die Rael-Bewegung, auch Raelismus oder Raelistische Religion genannt, bis 1976 auch MADECH (mouvement pour l’accueil des extraterrestres, créateurs de l’humanité, dt.: "Bewegung für den Empfang der Außerirdischen, Schöpfer der Menschheit"), ist eine Neue Religiöse Bewegung, die einen Ufoglauben verfolgt. Sie ist dafür bekannt, dass sie das Klonen von Menschen ermöglichen will.

雷尔运动(Raëlian Movement)是由雷尔于公元1974年所创立的一个无神论及外星宗教组织,主张地球生命是由拥有高科技与高度智慧的外星生命所造,名为耶洛因(英语:Elohim),耶洛因要求雷尔将「讯息」传播给全世界,并建立「耶洛因大使馆」,届时耶洛因将传授领先人类2万5千年的文明。


Tätigkeit des Regisseurs.

Die Inszenierung eines Regisseurs stellt ein eigenständiges künstlerisches Werk dar. Er besitzt einen erheblichen Anteil des Urheberrechts am entstandenen Werks. In der Regel ist das allgemeine oder sogar das ausschließliche Nutzungsrecht durch vertragliche Vereinbarungen bereits im Vorfeld an das Theater bzw. den Produzenten abgetreten. Beim Film hat der Regisseur mehrere Mit-Urheber: Den Kameramann (der im Englischen zutreffender als "Director of Photography", also als "Bildregisseur" bezeichnet wird), den Filmeditor, und die Schöpfer vorbestehender Werke, wie Drehbuchautor und Filmkomponist. Zu den Aufgaben des Regisseurs gehört die Interpretation eines Drehbuchs, Theaterstücks, eines Musiktheaterwerks bzw. eines Produktionsmanuskriptes (Hörspiel, Feature). Oft hat er auch – in Rücksprache mit dem Autor und dem Dramaturgen – entscheidenden Anteil an der Ausarbeitung oder Überarbeitung eines Stücks.  Die Anpassung des künstlerischen Entwurfes an die ökonomisch-organisatorischen Möglichkeiten wird vom Regisseur in Zusammenarbeit mit dem Produzenten (siehe Theaterproduzent oder Filmproduzent) bzw. der Theaterleitung sowie anderen Verantwortlichen vorgenommen. Außerdem wird vom Regisseur (Film) in Rücksprache mit dem Besetzungsbüro die Auswahl der Darsteller und manchmal auch des Weiteren technisch-künstlerischen Stabes vorgenommen. Im Bereich Theater, insbesondere an subventionierten Häusern mit festem Ensemble, ist die Mitwirkung des Regisseurs bei der Besetzung der Rollen, insbesondere an kleineren und mittleren Häusern, eingeschränkt und obliegt in erster Linie der künstlerischen Leitung des jeweiligen Theaters.  Bei der Umsetzung des Projektes unterscheiden sich die Aufgaben eines Regisseurs je nach Medium. Unabhängig davon bleibt eine zentrale Aufgabe des Regisseurs die Anleitung und Unterstützung der Darsteller bei der Ausgestaltung ihrer Charaktere.  Theaterregisseure sind in der Regel freischaffend. Eine Ausnahme bilden Oberspielleiter und Schauspieldirektoren sowie Hausregisseure, die im Festengagement an einem Theater arbeiten. Durchschnittlich inszenieren Regisseure 3–5 Stücke pro Spielzeit (an einer Produktion wird zirka 6–8 Wochen gearbeitet). Die Gage ist frei verhandelbar; sie richtet sich nach der Erfahrung, den vorzuweisenden Erfolgen und dem Image des Regisseurs, die zusammen genommen seinen „Marktwert“ ausmachen. Weniger erfolgreiche Regisseure bekommen entsprechend weniger Inszenierungsangebote und geringere Gagen.

Voraussetzungen.

Voraussetzungen für die Regietätigkeit ist eine Kombination aus vielen verschiedenen Fähigkeiten. Die Fähigkeit, künstlerische und technische Mitarbeiter zu motivieren, zu leiten und koordinieren zählt ebenso dazu wie dramaturgische, darstellerische, sprachliche, musikalische und visuelle Elemente zu einem Filmwerk bzw. zu einem Theater-/Opernabend zusammenzufügen. Erfahrungen als Assistent, Darsteller oder in einem fachnahen Beruf sind ebenso hilfreiche Voraussetzungen wie die Möglichkeit häufiger Theaterbesuche sowie Kenntnisse des Bühnenrepertoires sowie neuer Stücke. Eine fachspezifische Ausbildung ist nicht vorgeschrieben.  Der Ausbildungsgang ist nicht einheitlich geregelt; Filmregie kann in Deutschland an verschiedenen Filmhochschulen studiert werden. Theaterregisseure werden an vergleichbaren Instituten ausgebildet (zum Beispiel an der Hochschule für Schauspielkunst „Ernst Busch“ Berlin, an der Akademie für Darstellende Kunst Baden-Württemberg und der Hochschule für Musik und Darstellende Kunst Frankfurt am Main). Die Zugangsvoraussetzungen sind von Hochschule zu Hochschule unterschiedlich; eine Aufnahmeprüfung ist meist vorgeschrieben. An vielen Hochschulen gibt es ein Mindestalter, das zwischen 17 und 21 Jahren liegt. Vorherige Praxiserfahrung, zum Beispiel als Regiepraktikant oder Regieassistent, ist zumeist erwünscht und erhöht die Aufnahmechancen.

Kritik.

Die Rolle des Regisseurs besteht heute weniger darin, ein Stück lediglich inszenatorisch „umzusetzen“, sondern vielmehr eine eigene (notwendig subjektive) Interpretation zu erarbeiten und der Inszenierung eine unverwechselbare ästhetische Prägung zu verleihen. Das ist einerseits Ausdruck einer Emanzipation dieses Berufes vom bloßen Nachschöpfen, andererseits birgt es die Gefahr einer Originalitätssucht in sich. Um unter den Gesetzen des Marktes interessant zu bleiben, kultivieren manche Regisseure ihre Regiehandschrift heute regelrecht zum Markenzeichen, das auf den ersten Blick wiedererkennbar sein soll. Dies hat die zum Teil erbittert geführte Debatte um das sogenannte „Regietheater“ hervorgerufen.

Geschlechterunterschied.

An deutschen Theatern stammen 30 % der Regiearbeiten von Frauen (Stand 2018).

Ein Regisseur (von, ‚leiten‘), auch "Spielleiter" genannt, führt Regie und ist damit traditionell neben dem Schauspieler die entscheidende Person bei der Aufführung von Werken der darstellenden Kunst. Als Alternative zur Zentralgewalt des Regisseurs wurden verschiedene Ansätze von (mehr oder weniger) gleichberechtigten Regieteams entwickelt.

导演,狭义指在戏剧演出、影视制作团队中,整合全部艺术元素的艺术生产负责人。


Wissenschaftstheoretische Einordnung der Rechtswissenschaft.

Die Rechtswissenschaft zählt zu den Geisteswissenschaften und ist eine hermeneutische Disziplin (Textwissenschaft). Die durch die Philosophie der Hermeneutik gewonnene Erkenntnis über die Bedingungen der Möglichkeit von Sinnverstehen wendet sie als juristische Methode auf die Auslegung juristischer Texte an.  Ihre Sonderstellung gegenüber den übrigen Geisteswissenschaften leitet sie, soweit sie sich mit dem geltenden Recht beschäftigt, aus der Allgemeinverbindlichkeit von Gesetzestexten ab, welche sie in Bezug auf konkrete Lebenssachverhalte in der Rechtsprechung anzuwenden hat. Unter diesem Blickwinkel lässt sich die Rechtswissenschaft im Idealfall auch als Erforschung von Modellen für die Vermeidung und Lösung gesellschaftlicher und zwischenmenschlicher Konflikte verstehen.  Die hermeneutische Methode unterscheidet sie anderseits von den empirischen Wissenschaften, wie der Naturwissenschaft, der Medizin, der Wirtschafts- und Sozialwissenschaft, deren Ziel nicht das Verstehen von Texten ist, sondern die Erforschung von natürlichen oder sozialen Regelmäßigkeiten, welche durch Erfahrung, Beobachtung und Wissenschaftliche Methodik überprüfbar und widerlegbar sind.  Die Rechtswissenschaft beschäftigt sich wie die anderen hermeneutischen Textwissenschaften (Philologie, Theologie) nicht mit objektiven Erkenntnissen über sinnlich erfahrbare Erscheinungen. Dies bleibt Nebenzweigen der Rechtswissenschaft vorbehalten, wie etwa der Rechtsphilosophie, der Rechtssoziologie und der Kriminologie.

Disziplinen.

Die Teilgebiete der Rechtswissenschaft lassen sich zusammenfassen zu den exegetischen Fächern und den nicht-exegetischen Fächern (historische, philosophische oder empirische Fächer). Bei den exegetischen Fächern steht die Rechtsdogmatik ganz im Vordergrund. Bei den exegetischen nicht-dogmatischen Fächern werden insbesondere die Digestenexegese und die Exegese deutschrechtlicher Quellen betrieben. Selten werden z. B. keilschriftrechtliche Quellen (Codex Hammurapi) ausgelegt.  Die nichtexegetischen juristischen Grundlagenfächer sind oft zugleich Disziplinen von Nachbarwissenschaften, so etwa die Rechtsphilosophie, die Rechtsgeschichte und die Rechtssoziologie.  In neuerer Zeit beschäftigt sich die Rechtswissenschaft viel mit der rechtlichen Methodik und der Lehre von der Gesetzesauslegung. Weil für die juristische Exegese eine "juristische Methodenlehre" von Bedeutung ist, wird diese oftmals gesondert gelehrt.  Dabei hat insbesondere die Rechtsphilosophie in der Rechtswissenschaft und im Rechtsstudium, im Vergleich zu Hochmittelalter und Renaissance, erheblich an Stellenwert verloren. Die Kriminologie, welche sich unter anderem mit empirischer Forschung beschäftigt, hat an den Hochschulen ebenfalls einen eher geringen Stellenwert.  Ein Überblick über die wichtigsten Rechtsgebiete ist im Artikel "Recht" enthalten.

Geschichte der Rechtswissenschaft.

Die Rechtsgeschichte beschäftigt sich nicht nur mit der historischen Entwicklung des Rechts selbst, sondern auch mit der Reflexion über dasselbe in historischer Perspektive. In diesem Sinne ist die Rechtsgeschichte auch eine Rechtswissenschaftsgeschichte. Entsprechende Fragen sind für verschiedene Epochen unterschiedlich gut erforscht.  Gemeinhin gilt die Römische Rechtswissenschaft als älteste historisch belegte Rechtswissenschaft, die in der Klassik zu einem ersten Höhepunkt gelangt war. Für frühere Entwicklungen, etwa das Rechtssystem Mesopotamiens oder Ägyptens sowie das antike griechische Recht geht man nach derzeitigem Forschungsstand aus, dass man auch dort über Recht reflektierte, dies aber nicht die Schwelle zur Rechtswissenschaft überschritten habe. Selbst in Griechenland reflektierte man zwar ausgiebig das Problem der Gerechtigkeit, unternahm jedoch nicht den Versuch, das geltende Recht systematisch zu durchdringen.  Die Frage, was Recht ist, wurde über die Jahrhunderte immer wieder unterschiedlich beantwortet. Anfangs wurde Recht gleichgesetzt mit den herrschenden Moralvorstellungen (vgl. auch Naturrecht). Später dominierte die Vorstellung, als Recht könne nur eine Regel verstanden werden, die von einem staatlichen Souverän (i. d. R. dem „Herrscher“) erlassen wurde, die auch die Autorität zu ihrem Erlass und zur Durchsetzung hatte (Rechtspositivismus). Die historische Rechtsschule betonte demgegenüber zu Anfang des 19. Jahrhunderts wieder die gesellschaftliche und geschichtliche Verankerung des Rechts. Aus diesen und anderen Vorstellungen haben sich die heute üblichen Rechtssysteme entwickelt.  Die moderne Rechtswissenschaft nahm ihren Ausgangspunkt dann an der Universität von Bologna. Am Ende des 11. Jahrhunderts begann man dort Juristen im überlieferten römischen Recht auszubilden, das man mit den Methoden der Scholastik zu durchdringen suchte. Mit unterschiedlichen Strömungen kam dieses Projekt in Deutschland erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts zum vorläufigen Abschluss.  Hier sind wiederum vor allem zwei Arten von Rechtssystemen zu unterscheiden, nämlich die des kodifizierten, abstrakt definierten Rechts, und die des Fallrechts (Common Law).  Das "kodifizierte Recht" hat sich im Wesentlichen aus dem römischen Recht entwickelt. So war es Kaiser Justinian, der als Erster das römische Recht in seiner gültigen Gesamtheit im später so genannten Corpus Iuris Civilis (CIC, erstmals im Jahre 529 veröffentlicht) zusammengestellt und damit zugleich im gesamten Römischen Reich vereinheitlicht hatte. Auch wenn im kodifizierten Recht frühere Entscheidungen berücksichtigt wurden, hatte letztlich immer das Gesetzbuch und der Gesetzestext – gegebenenfalls auch Gewohnheitsrecht – die höchste Autorität.  Die ersten Fakultäten entstanden im 11. Jahrhundert in Italien, in denen Adelssöhne in Kirchenrecht, weltlichem Recht und Medizin Bildung erhielten. Die Rechtsschule zu Bologna 1088 war eine der ersten Universitäten. Von da aus gab es eine Verbreitung des Römischen Rechts (CIC) in ganz Kontinentaleuropa, jedoch nicht bis nach Skandinavien und nicht auf die britischen Inseln. Das Römische Recht wurde dann konsequent im christlich-abendländischen, kontinentaleuropäischen Rechtsraum bei Pogromen gegen Juden, den Inquisitionen und der Hexenverfolgung, besonders hinsichtlich Verfolgung Andersgläubiger, Scheiterhaufen und Folter, als legale Grundlage benutzt.  Der wichtige Bereich des Zivilrechts wurde von Napoleon überarbeitet und 1804 im Code civil neu kodifiziert. Dieser ist seitdem im französischsprachigen Raum, den ehemaligen französischen Kolonien und weiteren Ländern verbreitet.  Daneben steht die deutsche Rechtstradition. Sie entstand auf dem Boden des gemeinen Rechts, eine Mischung aus römischem, kanonischem und ortsüblichem Recht. Nach der Gründung des Deutschen Reiches 1871, wurde das Bürgerliche Gesetzbuch kodifiziert und 1896 veröffentlicht, es trat am 1. Januar 1900 in Kraft. Heute strahlt es über Deutschland hinaus, besonders ist hier die Umweltschutz-Gesetzgebung zu nennen. Das deutsche „geltende Recht“ besteht heute neben den von der Rechtswissenschaft gewonnenen Erkenntnissen zu einem wesentlichen Teil aus den von der Rechtsprechung entwickelten Fallrechtsgrundsätzen, dem Richterrecht.  Im Gegensatz dazu steht die Entwicklung der englischen Rechtstradition des "Common Law". Das Recht ist hier im Grundsatz nicht kodifiziert, sondern wird von der Rechtsprechung auf Grund von Präjudizien weiterentwickelt. Dieses Rechtssystem wurde auch in den USA und anderen ehemaligen britischen Kolonien übernommen und weiterentwickelt. So gibt es in den USA eine Schule des "legal realism", nach der allein das Recht ist, was die Gerichte als Recht anwenden und vollstrecken werden. Eine andere Besonderheit des US-amerikanischen Rechts ist die große Bedeutung der Schwurgerichte (vgl. Jury).  Stattdessen hat die Rechtswissenschaft beispielsweise in Deutschland eine eigenständige Funktion im Verhältnis zu Rechtsprechung. Die rechtswissenschaftliche Literatur ist ein (wirksamer und anerkannter) „Rechtsbildungsfaktor“ (zumindest im Arbeitsrecht). Dies kann auch aus den Worten des Bundesverfassungsgerichtes, dass „[d]ie Gerichte [...] bei unzureichenden gesetzlichen Vorgaben das materielle Recht mit den anerkannten Methoden der Rechtsfindung aus den allgemeinen Rechtsgrundlagen ableiten [müssen], die für das betreffende Rechtsverhältnis maßgeblich sind“, geschlossen werden.  War die Rechtswissenschaft in Mitteleuropa bis zum Ende des 19. Jahrhunderts vorwiegend Privatrechtswissenschaft, hat sie sich seitdem deutlich ausdifferenziert. Aus den Erfordernissen der Verwaltung entwickelte sich zusehends eine Verwaltungswissenschaft, die sich recht früh schon zur wissenschaftlichen Beschäftigung mit öffentlichem Recht ausweitete.

Studium und Juristenausbildung.

Zentraler Bestandteil der juristischen Ausbildung ist in vielen Rechtskreisen das Studium der Rechtswissenschaft an einer Hochschule.  In Österreich und der Schweiz wird das rechtswissenschaftliche Studium "Jus" genannt, da das kanonische Recht keinen verpflichtenden Inhalt des Studiums mehr darstellt.  Der Begriff "Rechtswissenschaft" bezeichnet die Wissenschaft eines Rechts (weltlich oder kirchlich). Rechtswissenschaften bedeutet hingegen, die Wissenschaft oder das Studium beider Rechte; des kanonischen und weltlichen Rechts. Der in Deutschland umgangssprachlich gebrauchte Begriff "Jura" für das Studium der Rechtswissenschaft ist – akademisch betrachtet – irreführend: Jura kommt von lat. "iura", dem Plural von "ius". Also auch hier wieder die Unterscheidung zwischen einem und beiden Rechten. Somit müsste „Rechtswissenschaft“ in Deutschland – wie in Österreich und der Schweiz richtigerweise als „Jus“ bezeichnet werden und die Rechtswissenschaften inklusive des kanonischen Rechts als Jura, wobei auch diese Theorie nicht der Realität entspricht, da „Rechtswissenschaften“ als Synonym für die breitgefächerte Materie – und unabhängig vom kanonischen Recht – verwendet wird.

Grenzen, Defizite und Prinzipien der Rechtswissenschaft.

Versteht man die Rechtswissenschaft als Wissenschaft vom geltenden Recht, so konzentriert sie sich dabei im Wesentlichen auf die Interpretation von Gesetzen und der aus den Gesetzen abgeleiteten Rechtsprechung und will daraus eine Erkenntnis über das geltende Recht gewinnen. Dies findet seine Grenzen zum einen in der Menge der Rechtsnormen und zum anderen in der fehlenden Kenntnis der tatsächlichen Wirkungen der Rechtsnormen.  In einem modernen, hochkomplexen Staat gibt es jedoch eine nicht mehr überschaubare Menge von Rechtsnormen. Es gibt in Deutschland mehr als 5000 Gesetze und Verordnungen des Bundes, zu denen die Gesetze und Verordnungen der 16 Bundesländer und die Rechtsverordnungen und Satzungen der Bezirke, Kreise, Verwaltungsgemeinschaften und Gemeinden hinzukommen. Hinzu kommen eine große Anzahl von Verwaltungsrichtlinien (wie z. B. die TA Luft, die TA Lärm) und von Ausschüssen und Verbänden geschaffene Normen, die faktisch ebenfalls Gesetzeskraft haben (wie z. B. die VOB, die DIN-Normen, die zahlreichen Richtlinien und Empfehlungen der Bundesanstalt für Straßenwesen (BASt) und der Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (FGSV) für den Straßenbau, die LAGA usw.). Da viele dieser Normen sehr spezifische und hochtechnische Sachverhalte regeln, sind sie zum Teil nur von Spezialisten vollständig verständlich. Das steht in einem Spannungsfeld zum grundsätzlichen Ziel der Rechtswissenschaft, wonach es einem jeden möglich sein soll, sein Handeln an ihm verständlichen Rechtsnormen auszurichten.  Alle Rechtsnormen müssen einigen grundlegenden Prinzipien genügen. Dazu gehören etwa das Prinzip „Keine Strafe ohne Gesetz“ "(nulla poena sine lege)", „Keine Strafe ohne Schuld“ "(nulla poena sine culpa)" sowie die Grundsätze der "Verhältnismäßigkeit" oder der "Einhaltung von Treu und Glauben". Zu den "rechtsstaatlichen Grundsätzen" (siehe auch Rechtsstaatsbegriff) gehört ferner das "Verbot der Rückwirkung zum Nachteil des Bürgers", wenngleich von diesem Prinzip Durchbrechungen anerkannt sind.  Kritisiert wird, dass die Rechtswissenschaft die Auswirkungen der Rechtsnormen in der Realität nur durch die Sicht der staatlichen Rechtsprechung erkennt, da sie so gut wie keinerlei rechtstatsächliche Forschungen betreibt. Da nur ein vergleichsweise winziger Teil der alltäglichen Rechtsanwendung zu Auseinandersetzungen vor Gericht führt, gelangt ein großer Teil des rechtlich relevanten menschlichen Verhaltens nicht zur Aufmerksamkeit der Rechtswissenschaft, auch wenn das Verhalten nicht mit der juristischen Theorie übereinstimmen sollte. Nicht zur Kenntnis der öffentlichen Gerichtsbarkeit gelangen ferner die Streitigkeiten, die aufgrund der wirtschaftlichen oder sozialen Machtverhältnisse außergerichtlich geregelt werden sowie solche Bereiche insbesondere der Wirtschaft, in denen Streitigkeiten bewusst von staatlichen Gerichten ferngehalten und allenfalls von Schiedsgerichten entschieden werden, die weder ihre Verfahren noch ihre Entscheidungen publik machen. Das Studium der Rechtsprechung vermittelt somit nur einen winzigen Ausschnitt aus der Wirklichkeit der Rechtsanwendung.  Versteht man unter dem geltenden Recht nicht nur die Summe der Normen, die das menschliche Verhalten in einem bestimmten Gebiet zu regeln beabsichtigen, sondern auch ihre Rechtsfolgen, also die tatsächlichen Auswirkungen dieser Normen bzw. die Art und Weise, wie diese Normen von den Betroffenen verstanden und angewendet werden, muss man zu dem Ergebnis kommen, dass die Rechtswissenschaft nur die Oberfläche des geltenden Rechts zu erkennen vermag und gelegentlich auch falsche Schlüsse daraus zieht.

Teildisziplinen.

Die Rechtswissenschaft umfasst mehrere Teildisziplinen, die manchmal auch mit dem Plural "Rechtswissenschaften" zusammenfassend bezeichnet sind. Die wichtigsten Teildisziplinen sind:

Die Rechtswissenschaft oder Jurisprudenz (von, „genaue Kenntnis des Rechts“), veraltet, umgangssprachlich abwertend und/oder scherzhaft auch Juristerei, befasst sich mit der Auslegung, der systematischen und begrifflichen Durchdringung gegenwärtiger und geschichtlicher juristischer Texte und sonstiger rechtlicher Quellen. Eine sachgerechte Deutung juristischer Texte schließt eine geisteswissenschaftliche Beschäftigung mit der Entstehung und der Anwendung von Rechtsquellen und Normen ein. Grundlegend für diese Arbeit ist ein Verständnis der Rechtsgeschichte, Rechtsphilosophie, Rechtstheorie, Rechtspolitik und Rechtssoziologie. Die vorgenannten Disziplinen werden zusammen mit der Rechtsdogmatik und Methodenlehre auch insgesamt im Plural als Rechtswissenschaften bezeichnet.

法学(jurisprudence、legal theory)是社会科学中一门特殊的学科,研究法律此一特定社会现象及其本质与规律。所有的秩序都可以说是一种「法律」,例如自然规律、伦常、逻辑法则或美学,而法学就是研究法律的法则。虽然许多法学家,例如菲特烈·封·洛高、基尔希曼,认定法学没有学术性质,然而法学演进至今仍包含有法律哲学、法律史学以及法律科学等三大部门。此外,又因为研究对象都是社会上的现象,因此法学与政治学、经济学、财政学、社会学和心理学等社会科学有相当程度的密切关连。


Einteilung der reellen Zahlen.

Zur Bezeichnung der Menge aller reellen Zahlen wird das Symbol formula_1 (Unicode U+211D: R, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) oder auch formula_2 verwendet. Die reellen Zahlen umfassen:  Die rationalen Zahlen sind diejenigen Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie reell, aber nicht rational ist. Die ersten Beweise, dass die Zahlengerade irrationale Zahlen enthält, wurden von den Pythagoräern geführt. Irrationale Zahlen sind beispielsweise die nicht ganzzahligen Wurzeln aus ganzen Zahlen wie formula_12 oder formula_13.  Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Diese Menge umfasst unter anderem sämtliche reellen formula_14-ten Wurzeln aus rationalen Zahlen für formula_15 und deren endliche Summen, aber nicht nur diese (z. B. Lösungen geeigneter Gleichungen 5. Grades). Ihr Komplement ist die Menge der (reellen) transzendenten Zahlen. Eine transzendente Zahl ist demnach stets irrational. Transzendent sind zum Beispiel die Kreiszahl formula_16 (Pi) und die Eulersche Zahl formula_17. Alle bisher genannten Beispiele sind berechenbar, im Gegensatz zum Grenzwert einer Specker-Folge.

Notation für häufig verwendete Teilmengen der reellen Zahlen.

Ist formula_18, dann bezeichnet

Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen.

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen war im 19. Jahrhundert ein wichtiger Schritt, um die Analysis auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen. Die erste exakte Konstruktion geht wohl auf Karl Weierstraß zurück, der die reellen Zahlen über beschränkte Reihen mit positiven Gliedern definierte.  Heute gebräuchliche Konstruktionen der reellen Zahlen:  Die vier genannten Konstruktionsmethoden „vervollständigen“ (komplettieren) alle die rationalen Zahlen und führen zur (bis auf Isomorphie) gleichen Struktur, dem Körper der reellen Zahlen. Jede der Methoden beleuchtet eine andere Eigenschaft der rationalen und reellen Zahlen und ihrer Beziehung zueinander:

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen.

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen wird in der Literatur oft in vier Schritten vorgenommen: Von der Mengenlehre über die natürlichen, die ganzen, die rationalen schließlich zu den reellen Zahlen wie oben beschrieben. Eine direkte Möglichkeit, die reellen Zahlen mathematisch zu erfassen, ist, sie durch Axiome zu beschreiben. Dazu benötigt man drei Gruppen von Axiomen – die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.  Wenn man die reellen Zahlen axiomatisch einführt, dann ist die Konstruktion als Zahlbereichserweiterung eine Möglichkeit für den Beweis ihrer Existenz, genauer: Die Konstruktion in vier Schritten aus der Mengenlehre beweist, dass ein Modell für die durch die Axiome beschriebene Struktur in der Mengenlehre, von der die Konstruktion ausging, vorhanden ist. Außerdem kann gezeigt werden, dass durch die angegebenen Axiome der Körper der reellen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Dies folgt im Wesentlichen daraus, dass ein Modell der reellen Zahlen außer der Identität keinen weiteren Automorphismus zulässt.  Statt der oben genannten Axiome gibt es weitere Möglichkeiten, die reellen Zahlen axiomatisch zu charakterisieren. Besonders das Axiom der Vollständigkeit kann unterschiedlich formuliert werden. So gibt es insbesondere für die oben beschriebenen Konstruktionsmöglichkeiten auch unterschiedliche Möglichkeiten, die Vollständigkeit auszudrücken, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Zum Supremumsaxiom gleichwertige Axiome.

Alternativ zum Supremumsaxiom kann gefordert werden:  Außerdem gibt es die Möglichkeit, die Vollständigkeit durch stetige Funktionen zu beschreiben, indem man bestimmte "Eigenschaften" stetiger Funktionen zu Axiomen erhebt. Etwa:

Mächtigkeiten.

Die Mächtigkeit von formula_1 wird mit formula_54 ("Mächtigkeit des Kontinuums") bezeichnet. Sie ist "größer" als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen, die als kleinste unendliche Mächtigkeit formula_55 heißt. Die Menge der reellen Zahlen ist deshalb überabzählbar. Ein Beweis für ihre Überabzählbarkeit ist Cantors zweites Diagonalargument. Informell bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass jede Liste formula_56 reeller Zahlen unvollständig ist. Da die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig zu der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist, gibt man ihre Mächtigkeit auch mit formula_57 an.  Die eingangs genannten "weniger umfassenden" Erweiterungen der Menge der natürlichen Zahlen sind dagegen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, also "abzählbar". Für die Menge der rationalen Zahlen lässt sich dies durch Cantors erstes Diagonalargument beweisen. Selbst die Menge der algebraischen Zahlen und allgemeiner die Menge der berechenbaren Zahlen sind abzählbar. Die Überabzählbarkeit entsteht also erst durch die Hinzunahme der nicht-berechenbaren transzendenten Zahlen.  In der Mengenlehre wurde nach Cantors Entdeckungen die Frage untersucht: „Gibt es eine Mächtigkeit zwischen „abzählbar“ und der Mächtigkeit der reellen Zahlen, zwischen formula_55 und formula_54?“ – Oder, für die reellen Zahlen formuliert: „Ist jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen?“ Die Vermutung, dass die Antwort auf die erste Frage „Nein!“ und auf die zweite Frage „Ja“ lautet, wird als Kontinuumhypothese (CH) bezeichnet, kurz formuliert als formula_60 = formula_54 und formula_62. Es konnte gezeigt werden, dass die Kontinuumhypothese unabhängig ist von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) d. h., sie kann im Rahmen dieser Systeme weder bewiesen noch widerlegt werden.

Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen.

Die übliche Topologie, mit der die reellen Zahlen versehen werden, ist diejenige, die aus der Basis der offenen Intervalle erzeugt wird. In dieser Form geschrieben ist es die Ordnungstopologie. Offene Intervalle in den reellen Zahlen lassen sich aber auch durch Mittelpunkt formula_65 und Radius formula_66 darstellen: formula_67 also als offene Kugeln bezüglich der durch die Betragsfunktion definierten Metrik formula_69 Die von den offenen Intervallen erzeugte Topologie ist also gleichzeitig die Topologie dieses metrischen Raums. Da die rationalen Zahlen in dieser Topologie dicht liegen, reicht es, sich bei den Intervallgrenzen bzw. den Mittelpunkten und Radien der Bälle, die die Topologie definieren, auf rationale Zahlen formula_70 zu beschränken, die Topologie genügt daher beiden Abzählbarkeitsaxiomen.  Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen ein lokalkompakter Raum; zu jeder reellen Zahl formula_71 lässt sich also eine offene Umgebung angeben, deren Abschluss kompakt ist. So eine offene Umgebung ist einfach zu finden; jede beschränkte, offene Menge formula_72 mit formula_73 leistet das Gewünschte: nach dem Satz von Heine-Borel ist formula_74 kompakt.  Der reelle Zahlenkörper ist nur "lokalkompakt", aber nicht "kompakt". Eine verbreitete Kompaktifizierung sind die sogenannten "erweiterten reellen Zahlen" formula_75 wobei die Umgebungen von formula_76 durch die Umgebungsbasis und die Umgebungen von formula_79 durch die Umgebungsbasis definiert werden. Diese Topologie genügt weiterhin beiden Abzählbarkeitsaxiomen. formula_82 ist homöomorph zum abgeschlossenen Intervall [0,1], beispielsweise ist die Abbildung formula_83 ein Homöomorphismus formula_84 und alle kompakten Intervalle sind mittels affin-linearer Funktionen homöomorph. Bestimmt divergente Folgen sind in der Topologie der erweiterten reellen Zahlen konvergent, beispielsweise handelt die Aussage in dieser Topologie von einem echten Grenzwert.  Mit formula_86 für alle formula_87 sind die erweiterten reellen Zahlen weiterhin totalgeordnet. Es ist allerdings nicht möglich, die Körperstruktur der reellen Zahlen auf die erweiterten reellen Zahlen zu übertragen, beispielsweise hat die Gleichung formula_88 keine eindeutige Lösung.

Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich. Er ist eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit die Maßzahlen der Messwerte für übliche physikalische Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur oder Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.

在数学中,实数是有理数和无理数的总称,前者如formula_1、formula_2、formula_3;后者如formula_4、formula_5等。实数可以直观地看作小数(有限或无限的),它们能把数轴「填满」。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全体。实数和虚数共同构成复数。


Geschichte der sprachwissenschaftlichen Einordnung der romanischen Sprachen.

Zu den ersten, die die romanischen und weitere europäische Sprachen klassifizierten und darüber schrieben, gehörte Rodrigo Jiménez de Rada mit seiner Geschichte der Iberischen Halbinsel von 1243 "De rebus Hispaniae". De Rada unterschied drei große Gruppierungen, die er in die romanische, slawische und germanische Sprachen aufteilte; zusätzlich erwähnte er weitere Sprachen, etwa das Ungarische und Baskische. In der spanischen Renaissance schrieb Andrés de Poza (1587) eine erste Klassifikation der romanischen Sprachen nieder. Es war eine Übersicht der romanischen Sprachen, welche auch das Rumänisch mit einschloss und bis in das 18. Jahrhundert ihre Bedeutung behielt.  Die allgemeine Entwicklung, die im 16. Jahrhundert begann, schritt weiter voran. Joseph Justus Scaliger ordnete Sprachen in eine romanische, griechische, germanische und slawische Familie, Georg Stiernhielm präzisierte und erweiterte diese Einteilung. Sebastian Münster erkannte eine Verwandtschaft zwischen Ungarisch, Finnisch und Samisch. Claudius Salmasius zeigte Ähnlichkeiten zwischen dem Griechischen und Latein sowie dem iranischen und indischen Sprachen auf.  In Deutschland gilt Friedrich Christian Diez mit seiner „Grammatik der romanischen Sprachen“ von 1836 als Begründer der wissenschaftlichen Romanistik. Diez verfasste wissenschaftliche Arbeiten zur provenzalischen Literaturgeschichte, so „Die Poesie der Troubadours“ (1826), „Leben und Werke der Troubadours“ (1829). In seiner vergleichenden Grammatik der romanischen Sprachen – als dreibändiges Werk in der Zeit zwischen 1836 und 1844 erschienen – führte er auf, dass alle romanischen Sprachen auf das Vulgärlatein zurückgehen. Zu seinen Schülern in Bonn gehörten u. a. Hugo Schuchardt, Gaston Paris und Adolf Tobler. Mit dem Jahre 1876 folgte ihm an der Universität Bonn als Nachfolger Wendelin Foerster. Er begründete im Jahre 1878 das „Königliche romanische Seminar“ als das erste Universitätsinstitut für diese Disziplin. Auch er widmete sich der Erforschung der Sprachen, die sich aus dem Lateinischen entwickelt haben.

Geschichte der romanischen Sprachen.

Im Gegensatz zu den meisten anderen Sprachgruppen ist die Ursprache des Romanischen gut bezeugt: Es handelt sich um das "gesprochene" Latein der Spätantike (Volkslatein oder Vulgärlatein). Das Lateinische selbst gilt nicht als romanische Sprache, sondern wird zusammen mit der oskisch-umbrischen Sprache zu den italischen Sprachen gerechnet, von denen nur das Lateinische heute noch „Nachkommen“ hat, nämlich die romanischen Sprachen.  Die Romanisierung begann als Ausbreitung der lateinischen Sprache in den durch das Römische Reich verwalteten Gebieten. Diese räumliche Ausweitung erreichte um 200 n. Chr. einen Höhepunkt.  Die Gebiete, in denen nur noch Relikte oder indirekte Zeugnisse des Lateinischen wie Ortsnamen vorhanden sind, nennt man "Romania submersa" („untergetauchte Romania“); im Zusammenhang mit dem noch heute romanischsprachigen Teil Europas wird von der "Romania continua" gesprochen. Mit "Romania nova" („neue Romania“) wird dasjenige Gebiet bezeichnet, in welches eine romanische Sprache erst durch die neuzeitliche Kolonisation gelangt ist.  Waren die sich aus der indogermanischen Ursprache entwickelnden altindogermanischen Sprachen, so das Sanskrit und dann in abnehmendem Grade das Griechische sowie das Latein, von einem synthetischen Sprachbau, kam es über die Entwicklung vulgärlateinischer Dialekte und Sprachen verstärkt zu einem analytischen Sprachbau. Diese Veränderung hatte weitreichende Folgen. Während bei mehr oder weniger reinen synthetischen Sprachen die Wortstellung frei ist und dadurch einen flexiblen Ausdruck gewährleistet, müssen in den analytischen Sprachen die Beziehungen durch Wortstellungen ausgedrückt werden. Hierzu schufen die Sprecher im Zuge dieser Hinwendung zum analytischen Sprachaufbau der romanischen Sprachen nunmehr Artikel vor den Substantiven, Personalpronomina vor den Verben, führten Hilfsverben in die Konjugation ein, ließen Präpositionen die Kasus ersetzen und führten Adverbien zur Komparation der Adjektive ein und vieles andere mehr.  Morphologisch haben die romanischen Verben in vieler Hinsicht die Verwendung von Wortformen bewahrt, zeigen aber auch an vielen Stellen eine Tendenz zu analytischen Bildungen. In der Morphologie der Nomen aber war die Entwicklung eine andere, es kam zu einem weitreichenden Verlust der Kasus – eine Entwicklung, die schon im Vulgärlatein nachweisbar ist, wo lateinische Kasusendungen regelmäßig durch Präpositionen ersetzt wurden.  Diese Entwicklung hin zu den romanischen Sprachen ergab eine völlig andere Syntax. Obgleich die Verbformen noch stark markiert sind, das Prädikat also seine kompakte Stellung behielt, wurden die syntaktischen Beziehungen zwischen den Satzgliedern nicht mehr durch die Kasus, sondern durch Präpositionen und die starrere Wortstellung ausgedrückt. Für den Sprecher wurden dadurch die Satzstellungsregeln einfacher, denn syntaktisch zusammengehörende Einheiten bleiben nebeneinander stehen.

Heutige Standardsprachen.

Die heutigen romanischen Standardsprachen sind:

Romanische Sprachen nach Untergruppen.

Die romanischen Sprachen lassen sich nach teilweise systemlinguistischen, teilweise geographischen Kriterien in mehrere Untergruppen einteilen. Bei der folgenden Liste der romanischen Sprachen ist zu beachten, dass bei vielen romanischen Idiomen die Aufzählung schwierig ist, da sie je nach Quelle mal als eigenständige Sprachen, mal als Dialekte geführt werden. Das hängt damit zusammen, dass sie nicht über "eine" einheitliche Standardsprache verfügen, sondern überwiegend neben einer anderen Standardsprache vor allem in informellen Kontexten verwendet werden (Diglossie).  Mit Ausnahme des Sephardischen und des Anglonormannischen handelt es sich bei den hier aufgezählten um Sprachformen, die sich direkt und in ungebrochener zeitlicher Kontinuität aus dem gesprochenen Latein entwickelt haben. Sie bilden in Europa mit Ausnahme des Rumänischen auch ein räumliches Kontinuum. Man spricht aufgrund der zeitlichen und räumlichen Kontinuität auch von der "Romania continua".  Die wichtigste Unterscheidung unter den romanischen Sprachen auf dem Gebiet der historischen Lautlehre und Morphologie ist die zwischen ost- und westromanischen Sprachen. Zum Westromanischen werden das gesamte Iberoromanische und Galloromanische sowie die norditalienischen Varietäten und die "rätoromanischen Sprachen" (Bündnerromanisch, Ladinisch und Furlanisch) gerechnet; zum Ostromanischen das Italienische (mit Ausnahme der norditalienischen Varietäten) und das Balkanromanische. Das Sardische wird meist ganz von dieser Unterscheidung ausgenommen, da es keiner der beiden Gruppen klar zugeordnet werden kann.

Iberoromanische Sprachen.

Zum Iberoromanischen gehören die spanische, die portugiesische und die galicische Standardsprache (letztere werden manchmal zu einem Diasystem zusammengefasst). Die Stellung des im Nordosten der Iberischen Halbinsel gesprochenen Katalanischen (einschließlich des Valencianischen) ist umstritten, es nimmt eine Übergangsstellung zwischen dem Iberoromanischen und dem Galloromanischen ein. Außerdem gehören zu den iberoromanischen Sprachen:

Galloromanische Sprachen.

Auf fast dem gesamten Gebiet der galloromanischen Sprachen wird heute die französische Standardsprache verwendet. Nach systemlinguistischen Kriterien kann man die galloromanischen Sprachen in drei Gruppen unterteilen:  Die Abgrenzung des Galloromanischen zum Iberoromanischen und zum Italoromanischen innerhalb des romanischen Dialektkontinuums ist nicht eindeutig. Das Katalanische nimmt eine Übergangsstellung zwischen Galloromanisch und Iberoromanisch ein, die "galloitalienischen" Varietäten haben rein systemlinguistisch betrachtet mehr mit dem Galloromanischen gemeinsam als mit dem übrigen Italoromanischen, zu dem sie aus geographischen und kulturgeschichtlichen Gründen meist gezählt werden. Die enge Verzahnung mit dem Romanischen des heutigen Frankreichs wird aber beispielsweise in den gallischen/keltischen Reliktwörtern des "Galloitalienischen" deutlich, die zum größten Teil auch im keltischen Reliktwortschatz der Transalpina zu finden sind.

Rätoromanische Sprachen.

Unter der Bezeichnung alpenromanische oder rätoromanische Sprachen werden oft das Furlanische, das Bündnerromanische und das Ladinische zusammengefasst. Sie wurden von den galloitalienischen Idiomen gleichsam isoliert, als sich deren Sprecher zunehmend an den zentralitalienischen Mundarten orientierten.

Italoromanische Sprachen.

Die einzige italoromanische Standardsprache ist das Italienische. Die übrigen italoromanischen Sprachen gehören mit Ausnahme des Korsischen und des Monegassischen alle zum Geltungsbereich der italienischen Standardsprache und werden deshalb oft auch als „italienische Dialekte“ klassifiziert. Sie lassen sich in drei Untergruppen einteilen, zwischen denen große Unterschiede bestehen:

Sardisch.

Das Sardische auf Sardinien lässt sich keiner der Untergruppen zuordnen. Es besitzt derzeit keine einheitliche Standardsprache, muss jedoch aufgrund seines Systemabstandes zu den übrigen romanischen Sprachen auf alle Fälle als eigenständige Sprache klassifiziert werden. Aufgrund der kulturellen und linguistischen Italianisierung der Sarden seit dem späten 18. Jahrhundert ist nichtsdestotrotz die Sprache sehr gefährdet.

Balkanromanische Sprachen.

Zur balkanromanischen Sprachgruppe gehört als einzige Standardsprache das Rumänische (die von der rumänischen Schriftsprache überdachten Dialekte werden auch als Dakorumänisch zusammengefasst). Auch in der Republik Moldau ist nach einer Verfassungsänderung die Amtssprache wieder Rumänisch anstelle von Moldauisch.  Zur Gruppe der Balkanromania gehören zudem mehrere in Südosteuropa gesprochene Kleinsprachen:

Ausgestorbene romanische Sprachen.

Heute ausgestorbene romanische Sprachen ("Romania submersa", untergegangene Romania) sind:

Kreolsprachen auf romanischer Grundlage.

Manche Linguisten rechnen auch die romanisch-basierten Pidgins und Kreolsprachen zu den romanischen Sprachen. Diese „neuromanischen Sprachen“ "(Romania nova)" lassen sich einteilen in:

Sprachvergleich.

Grammatische und Wortähnlichkeiten innerhalb der romanischen Sprachen bzw. zwischen diesen und dem Latein zeigen die folgenden Beispielsätze:  Auch die folgende Übersicht macht Ähnlichkeiten, aber auch Unterschiede im Wortschatz anhand einiger Beispielwörter deutlich.

Plansprachen auf teilweise romanischer Grundlage.

Die allermeisten Plansprachen sind eine reformierte romanische Sprache oder eine Synthese aus mehreren romanischen Sprachen. Unter der sogenannten naturalistischen Richtung versteht man eben solche Plansprachen. Das bekannteste und wichtigste Beispiel ist die Latino sine flexione von 1903 oder die spätere Interlingua von 1951. Aber auch das Esperanto der sogenannten autonomen Richtung hat seinen Wortschatz zu mehr als drei Vierteln aus dem Lateinischen und romanischen Sprachen, vor allem dem Französischen.

Die romanischen Sprachen gehören zum (modernen) italischen Zweig der indogermanischen Sprachen. Die Gruppe der romanischen Sprachen bietet insofern eine Besonderheit, als es sich um eine Sprachfamilie handelt, deren gemeinsame Vorläufersprache das Latein (bzw. das Vulgärlatein) war, das in seiner Geschichte und schriftlichen Überlieferungen belegbar ist. Es gibt etwa 15 romanische Sprachen mit rund 700 Mio. Muttersprachlern, 850 Mio. inklusive Zweitsprechern. Die sprecherreichsten romanischen Sprachen sind Spanisch, Portugiesisch, Französisch, Italienisch und Rumänisch.

罗马语族(又称罗曼语族、拉丁语族),属于印欧语系,是从意大利语族衍生出来的现代语族,主要包括从拉丁语演化而来的现代诸语言。操罗马语族语言的人主要包括传统意义上的“欧洲拉丁人”。罗马帝国瓦解之后,原本统一的拉丁语也随地域的不同而产生各类方言。这些方言就是今日罗马诸语言的雏形。