Informelle Beschreibung.

Die Turingmaschine hat ein Steuerwerk, in dem sich das Programm befindet, und besteht außerdem aus  Eine Berechnung für ein Eingabewort startet mit dem Eingabewort auf dem Band und dem Lese- und Schreibkopf auf dem ersten Symbol des Eingabeworts. Die Turingmaschine verarbeitet dann die Eingabe auf dem Band schrittweise nach dem festgelegten Programm.  Mit jedem Schritt liest der Lese-Schreib-Kopf das aktuelle Zeichen, überschreibt dieses mit einem anderen (oder dem gleichen) Zeichen und bewegt sich dann ein Feld nach links oder rechts oder bleibt stehen. Welches Zeichen geschrieben wird und welche Bewegung ausgeführt wird, hängt von dem an der aktuellen Position vorgefundenen Zeichen sowie dem Zustand ab, in dem sich die Turingmaschine gerade befindet. Dies wird durch eine zu der Turingmaschine gehörende Überführungsfunktion definiert. Zu Beginn befindet sich die Turingmaschine in einem vorgegebenen Startzustand und geht bei jedem Schritt in einen neuen Zustand über. Die Anzahl der Zustände, in denen sich die Turingmaschine befinden kann, ist endlich. Ein Zustand kann mehrere Male durchlaufen werden, er sagt nichts über die auf dem Band vorliegenden Zeichen aus.  Eine Turingmaschine stoppt, wenn für den aktuellen Zustand und das gelesene Bandsymbol keine Überführung zu einem neuen Zustand definiert ist. Es hängt also im Allgemeinen von der Kombination aus Zustand und Symbol ab, ob die Turingmaschine weiter rechnet oder stoppt. Zustände, in denen die Turingmaschine unabhängig von dem gelesenen Bandsymbol anhält, bezeichnet man als Endzustände. Es gibt aber auch Turingmaschinen, die für gewisse Eingaben niemals stoppen.  Neben der Berechnung von Funktionen wird die Turingmaschine – wie viele andere Automaten – auch für Entscheidungsprobleme eingesetzt, also für Fragen, die mit „ja“ oder „nein“ zu beantworten sind. Bestimmte Endzustände werden als „akzeptierend“, andere als „nicht akzeptierend“ definiert. Die Eingabe wird genau dann akzeptiert, wenn die Turingmaschine in einem akzeptierenden Endzustand endet.

Bedeutung.

Der Mathematiker Alan Turing stellte die Turingmaschine 1936 im Rahmen des von David Hilbert im Jahr 1920 formulierten Hilbertprogramms speziell zur Lösung des so genannten Entscheidungsproblems in der Schrift "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem" vor.  Das von Hilbert aufgestellte Entscheidungsproblem fragt, ob eine gegebene Formel der Prädikatenlogik allgemeingültig ist, also ob die Formel unter jeder Interpretation wahr ist. Hilbert stellte die Frage, ob dieses Problem automatisch gelöst werden kann. Die Methode, die für eine prädikatenlogische Formel bestimmt, ob sie allgemeingültig ist, soll also von einer „Maschine“ durchgeführt werden können. Vor der Erfindung des Computers bedeutete dies, dass ein Mensch nach festen Regeln – einem Algorithmus – eine Berechnung durchführt.  Turing definierte mit seinem Modell die Begriffe des Algorithmus und der Berechenbarkeit als formale, mathematische Begriffe. Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass die Turing-Berechenbarkeit das intuitive Verständnis von Berechenbarkeit trifft, diese Aussage ist als Church-Turing-These bekannt. Ihr wohnt eine starke Plausibilität inne, u. a. durch die mathematische Äquivalenz des Begriffs der Turing-Berechenbarkeit mit anderen Berechenbarkeits-Begriffen (wie zum Beispiel der Ausdrückbarkeit im Lambda-Kalkül oder als partiell-rekursive Funktion, sowie die Berechenbarkeit durch Registermaschinen, welche strukturell heute verwendeten Computern nachempfunden sind). Das Besondere an einer Turingmaschine ist dabei ihre strukturelle Einfachheit. Sie benötigt nur drei Operationen (Lesen, Schreiben und Schreib-Lese-Kopf bewegen), um alle Operationen der üblichen Computerprogramme zu simulieren. Im Rahmen der theoretischen Informatik eignet sie sich deshalb besonders gut zum Beweis von Eigenschaften formaler Probleme, wie sie von der Komplexitäts- und Berechenbarkeitstheorie betrachtet werden.  Die Komplexität (etwa Laufzeit- und Speicherkomplexität) von Algorithmen wird in Bezug auf bestimmte Maschinenmodelle definiert. Auf Turingmaschinen ist etwa die asymptotische Anzahl der Zustandsübergänge in Abhängigkeit von der Eingabelänge ein mögliches Laufzeitkomplexitätsmaß eines Algorithmus. Auf anderen Modellen werden oftmals Komplexitätsmaße definiert, die einen wahlfreien Zugriff auf jede Speicherzelle oder die Ausführung arithmetischer Operationen als einzelne Schritte definieren. Diese Maße eignen sich im beschränkten Rahmen (kleiner Datenmengen bzw. kleiner Zahlen) besonders gut, um die Laufzeit vieler Algorithmen auf realen Computern abzuschätzen und sind dementsprechend oft (insbesondere unspezifiziert) anzutreffen. Auf Grund der sequentiellen Struktur von Turingmaschinen ist daher die Laufzeitkomplexität im Sinne der asymptotischen Anzahl der Zustandsübergänge für viele Algorithmen verglichen mit Definitionen für Registermaschinen höher. Die Komplexitätstheorie befasst sich mit der Frage, für welche Probleme Algorithmen mit welcher Komplexität existieren, etwa in welchen Komplexitätsklassen Probleme liegen bzw. nicht liegen. Sofern es bei der Untersuchung der Laufzeitkomplexität nicht auf Faktoren polynomiell in der Eingabelänge ankommt, sind Turingmaschinen hier recht allgemein einsetzbar, da die Simulation vieler Registermaschinen in vielen Komplexitätsmaßen nur polynomiellen Mehraufwand bedeutet.  Nicht alle mathematischen Funktionen können von einer Turingmaschine berechnet werden, selbst wenn man sich auf wohldefinierte Funktionen mit endlicher Ein- und Ausgabe beschränkt (etwa lassen sich Funktionen zwischen beliebigen reellen Zahlen nicht durch Funktionen mit endlicher Ein- und Ausgabe repräsentieren, da die reellen Zahlen überabzählbar sind, und es gibt formal gesehen Funktionen, die sich überhaupt nicht spezifizieren lassen). So konnte Turing zeigen, dass eine Turingmaschine das Hilbertsche Entscheidungsproblem nicht lösen kann, genau so wenig wie das Halteproblem.  Ebenfalls unentscheidbar ist nach dem Satz von Rice jedwede nicht-triviale Eigenschaft eines Programms in einer turingmächtigen Programmiersprache. Selbst wenn man sich auf terminierende Turingmaschinen beschränkt, ist es unentscheidbar, ob zwei terminierende Turingmaschinen dieselbe Sprache akzeptieren. Die Berechenbarkeitstheorie beschäftigt sich mit der Frage, welche Probleme von welchen Maschinenmodellen berechenbar bzw. nicht berechenbar sind.  Systeme, Computer und Programmiersprachen, die unter Ausblendung der Beschränktheit des Speichers und damit verbundener Eigenschaften eine Turingmaschine emulieren könnten, werden als "turingvollständig" bezeichnet.

Formale Definition.

Formal kann eine deterministische Turingmaschine als 7-Tupel formula_1 dargestellt werden ("siehe auch" nichtdeterministische Turingmaschine).  Die partielle Überführungsfunktion formula_10 liefert zu einem Zustand und einem gelesenen Bandsymbol (i) den nächsten Zustand, (ii) ein Bandsymbol das in das aktuelle Feld geschrieben wird, und (iii) die Bewegungsrichtung des Lese-Schreib-Kopf (L.. ein Feld nach links, N.. nicht bewegen, R.. ein Feld nach rechts). Da in akzeptierenden Endzuständen die Berechnung auf jeden Fall anhält, sind diese in der Definition der Überführungsfunktion ausgenommen.

Konfigurationen.

Die Konfiguration einer Turingmaschine beschreibt nicht nur den ihr eigenen momentanen Zustand formula_11, sondern auch die Position des Lese-Schreib-Kopfes und die gerade auf dem Band vorhandenen Symbole. Die Symbole befinden sich in einem endlichen Bereich des Bandes, der von unendlich vielen leeren Symbolen umgeben ist. Es genügt deshalb, diesen endlichen Bereich zu betrachten.  Formal besteht eine Konfiguration aus dem aktuellen Zustand formula_11, einem endlichen Wort formula_13, das den Inhalt des Bands links des Lese-Schreib-Kopfes enthält und einem endlichen Wort formula_14, das den Inhalt des Bandes ab der aktuellen Position des Lese-Schreib-Kopfes enthält. Eine Konfiguration ist also ein Tripel formula_15 mit formula_11, formula_13, formula_14, wobei das Band durch formula_19 gegeben ist und der Lese-Schreib-Kopf auf dem ersten Zeichen von formula_20 steht.  Oft werden Konfiguration auch durch eine Folge formula_21, mit formula_22 beschrieben, bei der der aktuelle Zustand formula_23 an der aktuellen Position des Lese-Schreibkopfes in das Wort, das den Bandinhalt wiedergibt, eingefügt wird. formula_24 ist das am weitesten links stehende, nicht-leere Bandsymbol, formula_25 das am weitesten rechts stehende, nicht-leere Bandsymbol, und formula_26 das Symbol über dem sich der Lese-Schreibkopf befindet. Bewegt sich der Lese-Schreib-Kopf über den Rand hinaus, sind der Konfiguration noch weitere formula_27-Symbole hinzuzufügen.  Durch eine Startkonfiguration wird das Eingabewort festgelegt. Eine übliche Startkonfiguration ist formula_28 mit Startzustand formula_29 und Eingabewort formula_30. Diese entspricht dem Tripel formula_31, wobei formula_32 das leere Wort ist.

Berechnung.

Die Überführungsfunktion formula_10 gibt zu einer Startkonfiguration den Ablauf einer Turingmaschine vor. Sie wechselt in einem Schritt von der aktuellen Konfiguration in die Nachfolgekonfiguration. Ein solcher Schritt von Konfiguration formula_34 zu Konfiguration formula_35 kann als formula_36 dargestellt werden.  Schreibt die Überführungsfunktion für einen Zustand formula_23 und das Eingabesymbol formula_38 zum Beispiel vor, dass formula_39 geschrieben wird, der Lese-Schreibkopf sich nach links bewegt und der Nachfolgezustand formula_40 ist, so bedeutet dies folgenden Schritt: formula_41.  Die Berechnung einer Turingmaschine ist eine endliche oder unendliche Folge von Konfigurationsschritten. Eine Turingmaschine akzeptiert ein durch die Startkonfiguration gegebenes Wort, wenn die Berechnung in dieser Startkonfiguration beginnt und in einer Konfiguration endet, in der die Turingmaschine in einem akzeptierenden Endzustand formula_42 ist. Endet die Berechnung in einer anderen Konfiguration, verwirft die Turingmaschine das Eingabewort. Ist die Berechnung der Turingmaschine unendlich, wird das Wort weder akzeptiert noch verworfen.

Intuition.

Die Turingmaschine führt eine Berechnung aus, indem sie schrittweise eine Eingabe in eine Ausgabe umwandelt. Ein-, Ausgabe und Zwischenergebnisse werden auf dem unendlich langen Band gespeichert.  Zu Beginn steht ein Wort als Eingabe auf dem Band (pro Bandfeld ein Zeichen des Eingabewortes), der Rest des Bandes besteht aus leeren Feldern formula_27. Der Lese-Schreib-Kopf steht auf dem ersten Zeichen der Eingabe und die Turingmaschine befindet sich im Startzustand formula_29.  Die Überführungsfunktion gibt an, wie die Turingmaschine schrittweise den Bandinhalt liest und beschreibt, ihren Zustand wechselt und die Position des Lese-Schreib-Kopfes ändert. Diese Funktion nimmt als Argument den aktuellen Zustand und das Zeichen, das sich in der aktuellen Konfiguration unter dem Lese-Schreib-Kopf befindet. Als Ergebnis liefert sie dann: Damit hat die Turingmaschine einen Schritt ihres Arbeitszyklus durchlaufen und steht für einen weiteren bereit.  Da die Überführungsfunktion partiell ist, muss sie nicht für jeden Zustand und jedes Eingabezeichen einen Übergang definieren. Der Endzustand hat beispielsweise für kein Eingabezeichen einen Nachfolgezustand. Erreicht die Turingmaschine einen Endzustand formula_42, kann die Turingmaschine deshalb keine weiteren Aktionen durchführen, und die Berechnung ist beendet. Die Ausgabe ist dann der Inhalt des Bandes.

Beispiel.

Die folgende deterministische Ein-Band-Turingmaschine formula_46 erwartet eine Folge von Einsen als Eingabe auf dem Band. Sie verdoppelt die Anzahl der Einsen, wobei ein Leersymbol in der Mitte stehen bleibt. Aus „11“ wird beispielsweise die Zeichenfolge „11011“. Der Schreib-/Lesekopf befindet sich initial auf der ersten Eins. Der Anfangszustand ist formula_47, der Endzustand formula_48. Die Null steht für das leere Feld formula_27 und das Band besteht bis auf die darauf geschriebenen Einsen aus leeren Feldern.  formula_50  Die Überführungsfunktion formula_10 ist wie folgt definiert:  formula_46 durchläuft im oben erwähnten Beispiel, also bei der Eingabe „11“, folgende Zustände, wobei die aktuelle Kopfposition fett gedruckt ist:  Die Berechnung beginnt im Anfangszustand formula_47. Hier wird die erste Eins durch ein leeres Feld ersetzt, der Schreib-Lese-Kopf bewegt sich nach rechts und neuer Zustand wird formula_57. Der Kopf wandert nun solange nach rechts, bis ein leeres Feld gelesen wird. Danach gelangt die Turingmaschine in den Zustand formula_58 und überliest alle weiteren Einsen, bis sie erneut ein leeres Feld findet. Dieses wird dann durch eine Eins ersetzt. Im Zustand formula_59 bewegt sich der Kopf zurück, überliest wieder alle Einsen, bis er auf ein leeres Feld trifft, Zustandswechsel auf formula_60. Der Kopf bewegt sich nun solange nach links, bis das ursprünglich in Zustand formula_47 geschriebene leere Feld gefunden wird. Dieses wird wieder durch eine Eins ersetzt, der Kopf bewegt sich ein Feld nach rechts und die Turingmaschine gelangt wieder in den Zustand formula_47. Hier beginnt ein neuer Rechenzyklus. Wird im Zustand formula_47 ein leeres Feld gelesen, so gelangt die Turingmaschine formula_46 in den Endzustand formula_48, woraufhin die Berechnung beendet wird.

Äquivalente Varianten der Turingmaschine.

In der Literatur findet man zahlreiche unterschiedliche Definitionen und Varianten der Turingmaschine, die sich jeweils in einigen Details unterscheiden. Diese sind äquivalent in dem Sinne, dass Turingmaschinen einer Definition leicht in Turingmaschinen der anderen Definitionen umgewandelt werden können, sodass diese die gleichen Berechnungen durchführen. Häufige Abweichungen von der obigen Definition sind:  Zudem gibt es Erweiterungen, die ebenfalls hinsichtlich der Berechenbarkeit äquivalent zu Turingmaschinen sind. Selbst komplexitätstheoretisch sind die Unterschiede zwischen vielen der Varianten weitgehend zu vernachlässigen. Insgesamt führen sehr viele Varianten zu nicht mehr als polynomialen Aufwandsunterschieden (wobei Aufwand hier eine beliebige Ressource meint) und sind daher für viele komplexitätstheoretische Untersuchungen vernachlässigbar. Man passt in Abhängigkeit von den Zielen der jeweiligen Analyse das verwendete Modell so an, dass die Analyse möglichst einfach durchgeführt werden kann. Es gibt jedoch auch hinsichtlich der Berechenbarkeit, nicht aber der Komplexität (im Sinne von „bis auf polynomiellen Mehraufwand“), äquivalente Erweiterungen der Turingmaschine, wie zum Beispiel nichtdeterministische Turingmaschinen und bestimmte Orakel-Turingmaschinen.

Überführungsfunktion δ als Ganzzahl.

In seinem ursprünglichen Artikel zu Hilberts Entscheidungsproblem beschreibt Alan Turing eine Möglichkeit, die Überführungsfunktion, die man meistens grafisch abbildet oder in einer Tabelle aufschreibt, mithilfe einer einzigen Zahl zu definieren. Dazu überführt er die Tabelle zuerst in eine Normalform und ersetzt dann die einzelnen Zustände, Buchstaben und Anweisungen durch Zahlen, die dann zu einer langen Zahl zusammengefasst werden.

Universelle Turingmaschine.

In der obigen Definition ist das Programm fest in die Maschine eingebaut und kann nicht verändert werden. Kodiert man die Beschreibung einer Turingmaschine als hinreichend einfache Zeichenkette, so kann man eine sogenannte "universelle Turingmaschine" – selbst eine Turingmaschine – konstruieren, welche eine solche Kodierung einer beliebigen Turingmaschine als Teil ihrer Eingabe nimmt und das Verhalten der kodierten Turingmaschine auf der ebenfalls gegebenen Eingabe simuliert. Aus der Existenz einer solchen universellen Turingmaschine folgt zum Beispiel die Unentscheidbarkeit des Halteproblems. Eine ähnliche Idee, bei der das Programm als ein Teil der veränderbaren Eingabedaten betrachtet wird, liegt auch fast allen heutigen Rechnerarchitekturen zugrunde (Von-Neumann-Architektur).  Formal ist eine universelle Turingmaschine eine Maschine formula_71, die eine Eingabe formula_72 liest. Das Wort formula_73 ist hierbei eine hinreichend einfache Beschreibung einer Maschine formula_74, die zu einer bestimmten Funktion mit Eingabe formula_75 die Ausgabe berechnet. formula_76 ist ein Trennzeichen zwischen Programmbeschreibung und Eingabe. formula_71 simuliert also das Verhalten von formula_74 mit Hilfe der Funktionsbeschreibung formula_73 und der Eingabe formula_75. Der Index formula_81 in formula_71 zeigt an, dass es nicht nur eine einzige universelle Turingmaschine gibt. So könnten z. B. formula_83 und formula_84 verschiedene Wörter verstehen. Das Wort formula_73 muss dabei in einer Sprache codiert sein, die die formula_71 versteht.

Bekannte Turingmaschinen.

Fleißiger Biber.

Als "Fleißige Biber" (engl. "Busy Beaver") werden die deterministischen Turingmaschinen bezeichnet, die bezogen auf alle terminierenden, deterministischen Turingmaschinen mit derselben Anzahl von Zuständen und Symbolen die maximale Anzahl eines bestimmten Symbols auf das Band schreiben und dann anhalten. Es existiert keine berechenbare Funktion, die einer gegebenen Anzahl von Symbolen und Zuständen einen entsprechenden Fleißigen Biber, die Anzahl der von ihm am Ende geschriebenen Symbole (die sogenannte "Radó-Funktion") oder die Anzahl der Schritte zuordnet, die er braucht, um zu terminieren.

Ameise.

Chris Langtons "Ameise" ist eine Turingmaschine mit zweidimensionalem Band (eigentlich eine Fläche) und sehr einfachen Regeln, dessen Bandinhalt als zweidimensionales Bild zunächst chaotisch aussieht, jedoch nach über 10.000 Schritten eine gewisse sichtbare Struktur herausbildet.

An Turingmaschinen angelehnte Maschinenmodelle.

Nichtdeterministische Turingmaschine.

Eine nichtdeterministische Turingmaschine verwendet anstatt der Übergangsfunktion formula_10 eine Übergangsrelation. In der Konfiguration dieser nichtdeterministischen Turingmaschine kann es daher mehrere Möglichkeiten für den nächsten Berechnungsschritt geben. Die Maschine akzeptiert ein Wort, wenn eine der möglichen Berechnungen, die mit dem Wort als Eingabe starten, einen zu akzeptierenden Endzustand erreicht.

Alternierende Turingmaschine.

Eine alternierende Turingmaschine ist eine nichtdeterministische Turingmaschine, welche die Regeln für die Akzeptanz einer Eingabe erweitert. Dabei werden existentielle und universelle Zustände der Maschine unterschieden. Erstere akzeptieren eine Eingabe, wenn es eine mögliche Berechnung gibt, die akzeptiert, während die zweiten Zustände Eingaben nur dann akzeptieren, wenn alle möglichen Berechnung akzeptiert werden.

Orakel-Turingmaschine.

Orakel-Turingmaschinen sind Verallgemeinerungen der Turingmaschine, bei der die Turingmaschine in einem Schritt bestimmte zusätzliche Operationen durchführen kann, etwa die Lösung unentscheidbarer oder nur mit hohem Aufwand entscheidbarer Probleme. Somit erlauben Orakel-Turingmaschinen eine weitere Kategorisierung unentscheidbarer Probleme, siehe hierzu Turinggrad, oder auch die Definition zusätzlicher Komplexitätsklassen.

Probabilistische Turingmaschine.

Probabilistische Turingmaschinen erlauben für jeden Zustand und jede Eingabe zwei (oder äquivalent dazu endlich viele) mögliche Übergänge, von denen bei der Ausführung – intuitiv ausgedrückt – einer "zufällig" ausgewählt wird, und dienen der theoretischen Beschreibung randomisierter Algorithmen.

Quanten-Turingmaschine.

Quanten-Turingmaschinen dienen in der Quanteninformatik als abstrakte Maschinenmodelle zur theoretischen Beschreibung der Möglichkeiten von Quantencomputern. Quantenschaltungen sind in diesem Kontext als anderes verbreitetes Modell zu nennen.

Persistente Turingmaschine.

Um interaktive Modelle (im Sinne von „Modellen mit Gedächtnis“) durch eine Turingmaschine darzustellen, ist eine Erweiterung derselben um ebendieses Gedächtnis notwendig.  Laut Definition ist eine "Persistente Turingmaschine" (PTM) eine nichtdeterministische 3-Band-Turingmaschine mit einem Eingabe-, einem Arbeits- und einem Ausgabeband. Die Eingabe wird auf dem Arbeitsband verarbeitet, und erst nach vollständiger Bearbeitung gelangen die Ergebnisse auf dem Ausgabeband zurück in die „Umwelt“. Danach kann eine erneute Eingabe aus der Umwelt verarbeitet werden. Zwischen zwei Arbeitsschritten bleiben die Inhalte des Arbeitsbandes als „Gedächtnis“ erhalten.

Zenomaschine.

Die Zenomaschine ist eine in geometrischer Reihe beschleunigt immer schneller rechnende Turingmaschine. Sie stellt ein fiktives Modell jenseits der Turing-Berechenbarkeit dar.

Beziehung zwischen einer Turingmaschine und einer formalen Sprache.

Akzeptierte Sprache.

Eine Turingmaschine akzeptiert eine Sprache formula_88, wenn sie bei Eingabe eines jeden Wortes formula_89 nach endlich vielen Schritten in einem zu akzeptierenden Zustand hält und bei Eingabe eines jeden Wortes formula_90 in einem nicht akzeptierenden Zustand oder überhaupt nicht hält.  Eine Sprache formula_91 heißt genau dann rekursiv aufzählbar bzw. semientscheidbar (Typ 0 der Chomsky-Hierarchie), wenn es eine Turingmaschine gibt, die formula_88 akzeptiert.

Entscheidbare Sprache.

Akzeptiert eine Turingmaschine eine Sprache und hält sie zusätzlich bei allen Eingaben, die nicht zu dieser Sprache gehören, so entscheidet die Turingmaschine diese Sprache.  Eine Sprache formula_91 heißt rekursiv oder entscheidbar genau dann, wenn es eine Turingmaschine gibt, die formula_88 entscheidet.

Eine Turingmaschine ist ein wichtiges Rechnermodell der theoretischen Informatik. Eine Turingmaschine modelliert die Arbeitsweise eines Computers auf besonders einfache und mathematisch gut zu analysierende Weise. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Alan Turing, der sie 1936 einführte.

图灵机(),又称确定型图灵机,是英国数学家艾伦·图灵于1936年提出的一种将人的计算行为抽象化的数学逻辑机,其更抽象的意义为一种计算模型,可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器。


Forschungsgeschichte.

Die ersten Ausgrabungen fanden 1863 bis 1869 durch den Engländer John Turtle Wood statt. Im Zuge der Arbeiten im Stadtgelände von Ephesos nimmt das Österreichische Archäologische Institut seit 1895 immer wieder Grabungen auf dem Gelände des Artemisions vor. Gefundene Architekturfragmente und andere Fundgegenstände sowie mehrere Kopien der Artemisstatue, die im Stadtgebiet gefunden wurden, sind im "Saal der Artemis" im Ephesos-Museum in Selçuk ausgestellt, Funde aus den älteren Grabungen befinden sich im Ephesos Museum in Wien.

Baugeschichte.

Im Zuge der österreichischen Ausgrabungen seit 1895 sind mehrere Nutzungsphasen des Heiligtums und Bauphasen des Artemistempels nachgewiesen worden. Bereits ab der Bronzezeit wurde das Areal, durch das damals die Küste verlief, in die beim späteren Artemision ein Fluss mündete, genutzt. Ob es in der Späten Bronzezeit – vorhandene ältere Schichten konnten aufgrund des niedrigen Grundwasserspielgels bisher nicht erforscht werden – bereits ein Kultort war, ist ungeklärt; Mauerreste aus jener Zeit wurden jedenfalls bisher nicht entdeckt. Vom 10. bis zum 7. Jahrhundert v. Chr. wurde die Fläche des niedrigen Hügels, auf dem später der Artemistempel errichtet wurde, mehrmals durch Terrassierungen erweitert. In den Aufschüttungen wurden zahlreiche Gefäßfragmente entdeckt, die ältesten noch aus dem späten 11. Jahrhundert stammend (Früh-Protogeometrische Keramik). Im Gegensatz zu den Keramikfunden aus der Bronzezeit handelt es sich ganz überwiegend um griechische Keramik. Die oft frischen Bruchkanten offenbaren, dass die Gefäße vor Ort zerbrochen wurden, was, wie auch gefundene Kleingefäße und Tierstatuetten aus Ton, auf kultische Handlungen hindeutet. Die ersten, einfachen Kultbauten, das Kultbild bergende Naiskoi, entstanden in mittelgeometrischer Zeit. Im 8. Jahrhundert v. Chr. errichtete man mit den Tempeln „A“ und „B“, z. T. als Holzkonstruktionen, die frühesten Peripteraltempel Kleinasiens. Angeblich unter dem kaum bekannten Tyrannen Pythagoras wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. der archaische Tempel „C“ errichtet, der noch vor Fertigstellung durch Überschwemmung zerstört wurde.

Der Tempel des 6. Jahrhunderts v. Chr..

Der Nachfolgetempel „D“ wurde um 550 v. Chr. begonnen. Architekten waren Chersiphron von Knossos und sein Sohn Metagenes. Die Bauarbeiten an diesem Tempel, für den auch der lydische König Kroisos einige Säulen stiftete, dauerten mit 120 Jahren für antike Verhältnisse ungewöhnlich lang. Die Konstruktion war äußerst schwierig, da das Gebäude auf einem Sumpfgelände errichtet wurde. Erdverfärbungen, die bei Tiefgrabungen beobachtet werden konnten, bestätigen die antiken Nachrichten, nach denen bei der Geländevorbereitung für den Tempelbau Holzkohle und Lederabdeckungen zur Sicherung des moorigen Untergrunds eingebracht wurden. Der Architekt Theodoros von Samos, der schon am Rhoikos-Tempel in Samos mitgewirkt hatte, soll an den Fundamentarbeiten beteiligt gewesen sein. Die auffallenden Ähnlichkeiten zwischen dem Artemistempel und dem Heraion von Samos lassen vermuten, dass seine Mitwirkung nicht allein auf die Fundamentarbeiten beschränkt war.  Vitruv schildert einige neue technische Erfindungen von Chersiphron und seinem Sohn, die beim Bau des Artemistempels zum Einsatz kamen. Die Säulenschäfte wurden nicht auf Ochsenkarren transportiert, da die Wege von den 8 Meilen entfernten Steinbrüchen zu weichen Untergrund hatten. Stattdessen wurden Eisenschäfte in den Enden angebracht und die Säulen gerollt, ebenso die Teile des Architravs, wofür um die rechteckigen Enden an beiden Seiten ein Holzrad umgelegt wurde. Um bei 18 m hohen Säulen die Architrav-Bausteine aufzusetzen wurde eine Rampe aus Sandsäcken gebaut. War der Stein in Position auf der Rampe, wurde der Sand aus den untersten Säcken abgelassen und der Stein so gesenkt. Bei einem Stein gelang das nicht ganz und Chersiphron dachte nach Vitruv schon an Selbstmord. In einem Traum habe Artemis ihn aber beruhigt und am nächsten Morgen hatte sich der Stein durch sein Eigengewicht in die korrekte Endlage versetzt.  Der aus einem weiß-bläulichen Marmor der Gegend errichtete archaische Tempel „D“ erhob sich auf einem 111,7 Meter × 57,3 Meter großen, nur zweistufigen Unterbau und vereinte eine dipterale äußere Anlage mit einem hypäthralen, das heißt offenen Sekos. 106 ionische Marmorsäulen von rund 19 Metern Höhe umgaben den Sekos. Die Säulenbasen vom ephesischen Typ standen auf etwa 2,30 Meter breiten Plinthen. Der abschließende Torus der Basen unterlag keiner einheitlichen Gestaltung, sondern wies neben einfacher Riefelung auch weich überfallende Blattreihen auf. Ebenso variierte die Gestaltung der Kanneluren, deren Anzahl mal 40 oder 44, aber auch 48 betragen konnte und mal gleich breit von feinen Graten getrennt wurden, mal im Wechsel breite und schmale Kanneluren aufwiesen. Ein Anthemion schmückte den Säulenhals. An Front- und Rückseite waren die Säulen zwei bzw. drei Reihen tief gestaffelt. Die Säulenschäfte im Eingangsbereich waren als "columnae caelatae" mit Reliefs oberhalb der Basen geschmückt. Die wohl ersten Marmorarchitrave der griechischen Baukunst spannten sich von Säule zu Säule und erreichten die größte je von Griechen erreichte Spannweite. Der Mittelarchitrav der Front wog hierbei etwa 24 Tonnen und musste auf die fast 20 Meter hohen Säulen zentimetergenau verlegt werden. Die rund 86 Zentimeter hohe Sima zeigte mythische Kämpfe in flachem Relief, das als endloses Band Darstellungen von Kriegern, Pferden und Wagen aneinander reihte.  Die Rückseite des Tempels wies wahrscheinlich ein geschlossenes Adyton anstelle eines Opisthodoms auf. Die zwei Meter hohe Artemis-Statue im offenen Sekos war aus Rebholz gefertigt und mit Gold und Silber verkleidet. Das Dach der Peristasis war aus Zedernholz gefertigt. Heraklit weihte sein Buch über den Logos im Tempel auf dem Altar der Artemis.  Der Tempel fiel am 21. Juli 356 v. Chr. einer Brandstiftung durch Herostratos zum Opfer. Er beging die Tat aus Geltungssucht – sein Vorhaben, durch das Niederbrennen des Weltwunders berühmt und somit unsterblich zu werden, ist ihm gelungen. Der Sage nach soll in der Nacht des Brandes Alexander der Große, der später auch große finanzielle Hilfe zum Wiederaufbau des Tempels leistete, geboren worden sein, weswegen Artemis, die dessen Geburt in Pella überwachte, ihr eigenes Heiligtum nicht schützen konnte.

Der Tempel des 4. Jahrhunderts v. Chr..

Der spätklassische Neubau (Tempel „E“), mit dem man schon bald darauf begann, wurde durch Cheirokrates oder Deinokrates als bauleitenden Architekten ausgeführt. Es sollte der alte Tempel getreulich wiederhergestellt werden, doch kam es zu einigen Änderungen. So wurde auf der Schuttmasse des Vorgängerbaus ein bereits bei Strabon vermerktes größeres Areal – nun 125,67 Meter × 65,05 Meter, 2,7 Meter Höhe – als Unterbau des neuen Tempels angelegt und der Sockel mit seiner nun zehnstufigen Krepis beträchtlich erhöht. Der Artemistempel „E“ hatte laut Plinius 127 Säulen mit einer Höhe von rund 18 Metern und verfügte über ein Steindach. Nach dem Bericht des Plinius soll er über 36 mit Reliefs verzierte Säulen, "columnae caelatae", verfügt haben. Eines dieser Reliefs soll Skopas gearbeitet haben.  Auch bei diesem Tempel dauerte die Bauzeit mit rund hundert Jahren relativ lang. Gleichwohl kamen bei diesem Tempel alle Bauteile dort zu stehen, wo sie bereits der Vorgänger besaß. Säule saß über Säule und Wand saß über Wand. Die Säulen wiesen nun einheitlich 24, durch Stege voneinander abgesetzte Kanneluren auf. Einige der "columnae caelatae" saßen auf großen kubischen, ebenfalls mit Relief verzierten Sockeln, ohne dass man deren Position am Bau genauer bestimmen könnte. Dem Gebälk fehlt wie seinem Vorgänger der in Kleinasien unübliche Fries. Laut Ausweis von Münzdarstellungen müssen nun riesige Giebel, die drei für kultische Zwecke genutzte Türen aufwiesen, die Fronten geschmückt haben.  Die Bauarbeiten wurden anscheinend nach 250 v. Chr. eingestellt, obwohl einige Bauglieder in Rohform belassen wurden. Antipatros von Sidon beschreibt den Tempel in seinen Epigrammen über die Sieben Weltwunder:

Römische Zeit.

In den Blick der Weltgeschichte geriet der Tempel wieder, als etwa 46 v. Chr. Arsinoë IV., die jüngere Schwester Kleopatra VII., ins Exil in den Tempel kam. Da sie jedoch als Blutsverwandte eine potentielle Bedrohung für den Machtanspruch ihrer Schwester darstellte, wurde sie auf deren Initiative und auf Befehl Marcus Antonius’ schon 41 v. Chr. wohl auf den Stufen des Tempels selbst hingerichtet; der Hohepriester, der sie bei ihrer Ankunft als „Königin“ tituliert hatte, wurde nur auf Gnadenersuchen verschont. Das Asylrecht kassierte im Übrigen bald darauf Augustus auch de jure.  Als der Apostel Paulus um das Jahr 55 n. Chr. nach Ephesos kam, hatte er angeblich so großen Zulauf, dass viele Anwohner um den Artemiskult und um ihre wirtschaftliche Existenz fürchteten. Der „Aufruhr des Demetrios“ – eines Silberschmieds und Herstellers von Devotionalien – ist im 19. Kapitel der Apostelgeschichte beschrieben und von Goethe im Gedicht „Groß ist die Diana der Epheser“ vom gegenteiligen Standpunkt aus umgedeutet worden.  Während der Regierungszeit des römischen Kaisers Gallienus wurde der Prachtbau im Jahr 268 n. Chr. von den Goten auf einem Kriegszug zerstört, die Reste von den Einwohnern als Baumaterial verwendet. Die Ephesier gaben den Artemiskult jedoch erst im 4. Jahrhundert auf. Heute zeugt eine wiederaufgerichtete Säule von dem einstigen Weltwunder.

Die Amazonen von Ephesos.

Um 430 v. Chr. schrieb Ephesos einen Wettbewerb aus, für das Heiligtum eine Statue einer Amazone zu schaffen:  Neben weiteren aufzählenden Nennungen der Statuen in der antiken Literatur werden noch zwei Details zu ihnen überliefert: Die Amazone des Kresilas war verwundet "(Kresilas fecit... Amazonam volneratam)", und die Amazone des Phidias stützte sich auf eine Lanze und war vorbildlich in der Form ihres Mundes und schönen Nackens. Die Originale sind verloren, allerdings vermitteln römische Kopien einen guten Eindruck von dreien der genannten Amazonen. Denn unter den erhaltenen Statuentypen gehen die Amazonen vom Typ Sosikles, „Mattei“ und „Sciarra“ auf den Wettbewerb zurück. Umstritten ist bis heute die Zuweisung der Amazonentypen an einzelne Künstler, zumal alle drei Typen die Amazone als verwundet darstellen.

Der Tempel der Artemis in Ephesos oder kurz das Artemision von Ephesos war der olympischen Gottheit Artemis (Göttin der Jagd, des Waldes und Hüterin der Frauen und Kinder) in ihrer Sonderform als Artemis Ephesia gewidmet. Er soll von der Amazonenkönigin Otrere gegründet worden sein und gehörte als größter Tempelbau zu den „Sieben Weltwundern“ der Antike. Die antike griechische Stadt Ephesos beim heutigen Selçuk an der Südwestküste der heutigen Türkei war für ihren Reichtum berühmt und später als Hauptstadt der römischen Provinz Asia eine der größten Städte der Antike.

阿提蜜丝神殿()是希腊神话中女神阿提蜜丝的神殿(《圣经》翻作亚底米,即罗马神话的月亮女神狄安娜,故也有资料称之为狄安娜神庙),位列古代世界七大奇迹之一。神庙位于希腊人在小亚细亚建立的城镇以弗所(今土耳其塞尔丘克附近)。公元前7世纪,原地旧有的建筑毁于洪水。大约于公元前550年由吕底亚王国的克罗索斯发动重建,大约一百余年后在波斯的阿契美尼德帝国时完成。


Begriffsgeschichte.

Das Wort "Tensor" (abgeleitet vom Partizip Perfekt von ) wurde in den 1840er Jahren von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also keinen Tensor im modernen Sinn. James Clerk Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.  In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort "Tensor" erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch "Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung" (Leipzig, 1898) eingeführt.  Unter dem Titel "absolute Differentialgeometrie" entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch "Calcolo differenziale assoluto" zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Albert Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff "Tensoranalysis" und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

Arten von Tensoren.

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ formula_1, Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ formula_2 und Kovektoren (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ formula_3. Tensoren höherer Stufe definiert man als multilineare Abbildungen mit Tensoren geringerer Stufe als Argumente und Abbildungswerte. So kann etwa ein Tensor vom Typ formula_4 als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.  Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines Körpers aus. Als Tensor vom Typ formula_5 aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.  Bezüglich einer fest gewählten Vektorraumbasis erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren: Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des formula_6 als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das Levi-Civita-Symbol formula_7 repräsentiert.

Ko- und Kontravarianz von Vektoren.

Die Begriffe "ko-" und "kontravariant" beziehen sich auf die Koordinatendarstellungen von Vektoren, Linearformen und werden auch wie später im Artikel beschrieben auf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.  Legt man in einem formula_8-dimensionalen Vektorraum formula_9 eine Basis formula_10 fest, so kann jeder Vektor formula_11 dieses Raumes durch ein Zahlentupel formula_12 – seine Koordinaten – mittels formula_13 dargestellt werden. Geht man zu einer anderen Basis von formula_9 über, so ändert sich der Vektor selbst nicht, aber die Koordinaten bezüglich der neuen Basis werden andere sein. Ist also die neue Basis durch formula_15 in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in also formula_17 oder  Dreht man zum Beispiel eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum formula_9 um formula_20 um die formula_21-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im Koordinatenraum formula_22 ebenfalls um die formula_21-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung um formula_24. Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man "kontravariant." Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.  Eine Linearform oder ein "Kovektor" formula_25 ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung formula_26 auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, formula_27, zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als weshalb man dieses Transformationsverhalten "kovariant" nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.  Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der formula_29-Tensoren erklärt.

Definition.

("r","s")-Tensorraum.

Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional. Mit formula_30 bezeichne man die Menge aller Linearformen aus dem formula_31-Vektorraum formula_32 in den Körper formula_31. Sind formula_34 Vektorräume über formula_31, so werde der Vektorraum der Multilinearformen formula_36 mit formula_37 bezeichnet.  Ist formula_32 ein formula_31-Vektorraum, so wird mit formula_40 sein Dualraum bezeichnet. Dann ist formula_41 isomorph zum Tensorprodukt  Setze nun für einen fixierten Vektorraum formula_32 mit Dualraum formula_40 mit formula_46 Einträgen von formula_40 und formula_48 Einträgen von formula_32. Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe formula_46 und kovariant der Stufe formula_48. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ formula_29. Die Summe formula_54 heißt "Stufe" oder "Rang" des Tensors.  Es gibt natürliche Isomorphismen der folgenden Art: Das heißt, man kann Tensoren der Stufe formula_56 auch induktiv als multilineare Abbildungen zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.  In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z. B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d. h., die Vektorräume bis auf einen skalaren Faktor miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs formula_29 entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit Skalarprodukt mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z. B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

Äußeres Tensorprodukt.

Als (äußeres) "Tensorprodukt" oder "Tensormultiplikation" bezeichnet man eine Verknüpfung formula_58 zwischen zwei Tensoren. Sei formula_32 ein Vektorraum und seien formula_60 und formula_61 Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von formula_62 und formula_63 ist der Tensor formula_64, der durch definiert ist. Hierbei sind die formula_66 und die formula_67.

Beispiele von ("r","s")-Tensoren.

Im Folgenden seien formula_32 und formula_69 endlichdimensionale Vektorräume.

Basis.

Basis und Dimension.

Sei formula_32 wie oben ein Vektorraum, dann sind die Räume formula_103 ebenfalls Vektorräume. Weiterhin sei formula_32 nun endlichdimensional mit der Basis formula_105. Die duale Basis wird mit formula_106 bezeichnet. Der Raum formula_103 der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element formula_109 kann durch dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist formula_111. Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.  Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oft die einsteinsche Summenkonvention verwendet. In diesem Fall schreibt man also Die Koeffizienten formula_113 werden Komponenten des Tensors bezüglich der Basis formula_106 genannt. Oft identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter Tensordarstellungen der Physik nach.

Basiswechsel und Koordinatentransformation.

Seien formula_115 und formula_116 jeweils unterschiedliche Basen der Vektorräume formula_117. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor formula_118 kann als Linearkombination der Basisvektoren formula_119 dargestellt werden. Der Basisvektor formula_120 werde dargestellt durch  Die Größen formula_122 bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen formula_123 und formula_124. Das gilt für alle formula_125. Dieses Verfahren wird Basiswechsel genannt.  Ferner seien formula_126 die Komponenten des Tensors formula_127 bezüglich der Basis formula_128. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten die Gleichung  Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors formula_130 und der Transformationsmatrix formula_131 unterschieden. Die Transformationsmatrix formula_132 ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z. B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren.

Beispiel.

Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor formula_127 mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem formula_134 wie folgt als Matrix dargestellt werden:  Dadurch lässt sich der Wert formula_136 im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der Matrixmultiplikation berechnen:  Betrachtet man nun konkret den Trägheitstensor formula_138, so kann mit ihm bezüglich eines gewählten Koordinatensystems die Rotationsenergie formula_139 eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit formula_140 wie folgt berechnet werden:

Operationen auf Tensoren.

Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

Inneres Produkt.

Das innere Produkt eines Vektors formula_142 (bzw. eines (Ko-)Vektors formula_143) mit einem Tensor formula_144 ist der formula_145 (bzw. formula_146)-Tensor, der durch bzw. durch definiert ist. Dies bedeutet, dass der formula_29-Tensor formula_150 an einem festen Vektor formula_95 bzw. festen Kovektor formula_152 ausgewertet wird.

Tensorverjüngung.

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor sowie formula_153 und formula_154. Die Tensorverjüngung formula_155 bildet den Tensor auf den Tensor ab. Dieser Vorgang heißt Tensorverjüngung oder "Spurbildung." Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung unter der Identifizierung formula_159 der Spur eines Endomorphismus.  Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise formula_160 die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors formula_127 bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt formula_162 nur die Koeffizienten formula_163. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit formula_163 ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck formula_165 ist hingegen nicht definiert, weil nur über gleiche Indizes summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also formula_166 ein Tensor erster Stufe.

Pull-Back (Rücktransport).

Sei formula_167 eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von formula_168 sei eine Abbildung formula_169, die durch definiert ist. Dabei ist formula_171 und formula_172.

Push-Forward.

Sei formula_173 ein Vektorraumisomorphismus. Definiere den Push-Forward von formula_168 durch formula_175 mit Dabei ist formula_177, formula_178 und formula_179. Mit formula_180 wird der Rücktransport der Linearform formula_181 notiert. Konkret heißt dies formula_182. Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von formula_168 verzichten und diese Operation nur für formula_184-Tensoren definieren.

Tensoralgebra.

Sei formula_32 ein Vektorraum über einem Körper formula_31. Dann ist durch die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird formula_188 zu einer unitären assoziativen Algebra.

Tensorproduktraum.

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert. Diese werden typischerweise in der Algebra betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

Die universelle Eigenschaft.

Es seien formula_9 und formula_190 Vektorräume über dem Körper formula_31. Sind formula_192 weitere formula_31-Vektorräume, formula_194 eine beliebige bilineare Abbildung und formula_195 eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung formula_196 eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Die Frage, die sich ergibt, ist, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, "alle" bilinearen Abbildungen auf formula_197 (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d. h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von formula_9 und formula_190 bezeichnet.  Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume formula_9 und formula_190, wird jeder formula_31-Vektorraum formula_203 bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung formula_204 gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:  Gibt es einen solchen Vektorraum formula_203, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig. Man schreibt formula_212 und formula_213. Die universelle Eigenschaft kann also als formula_214 geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.

Tensor als Element des Tensorproduktes.

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.  Es sei formula_31 ein Körper und es seien formula_216 Vektorräume über dem Körper formula_31.  Das "Tensorprodukt" formula_218 von formula_219 ist ein formula_31-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:  Die Tensoren der Form formula_224 heißen "elementar." Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.  Ist formula_225 eine Basis von formula_226 (für formula_227; formula_228), so ist eine Basis von formula_230 Die Dimension von formula_231 ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume formula_232

Tensorprodukte und Multilinearformen.

Der Dualraum von formula_231 kann mit dem Raum der formula_48-Multilinearformen identifiziert werden:  Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man miteinander identifizieren, d. h., Elemente von formula_244 entsprechen formula_48-Multilinearformen auf formula_246

Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe.

Als Invarianten eines ein- oder zweistufigen Tensors bezeichnet man Skalare, die sich unter orthogonalen Koordinatentransformationen des Tensors nicht ändern. Für Tensoren erster Stufe führt die Bildung der vom Skalarprodukt induzierten Norm zu einer Invarianten wobei hier und im Folgenden wieder die einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich im Allgemeinen sechs irreduzible Invarianten (das heißt Invarianten, die nicht durch andere Invarianten ausgedrückt werden können) finden: Im Falle von symmetrischen Tensoren 2. Stufe (z. B. dem Verzerrungstensor) fallen die Invarianten formula_249 und formula_250 zusammen. Außerdem lässt sich formula_251 über die anderen 3 Invarianten darstellen (ist also nicht mehr irreduzibel). Die Determinante ist auch eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für formula_252-Matrizen über die irreduziblen Invarianten formula_253, formula_254 und formula_255 darstellen als Für antisymmetrische Tensoren gilt formula_257, formula_258, formula_259 und formula_251 lässt sich wieder auf formula_254 zurückführen. Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren 2. Stufe drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren 2. Stufe eine irreduzible Invariante.

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie.

Man kann das Tensorprodukt formula_262 eines Vektorraumes formula_9 mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten formula_264 die Faktoren zu vertauschen: Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, folgt, dass für die Eigenwerte nur die Werte formula_266 in Frage kommen.  Mittels formula_275 können Tensorpotenzen von formula_9 beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen formula_277 und formula_278 auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen:

Injektives und projektives Tensorprodukt.

Falls die Vektorräume, die man miteinander tensorieren will, eine Topologie besitzen, so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten, eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.

Tensoranalysis.

Ursprünglich wurde der Tensorkalkül nicht in dem modernen hier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht. Der Tensorkalkül entstand aus Überlegungen zur Differentialgeometrie. Insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro und sein Schüler Tullio Levi-Civita haben ihn entwickelt. Man nennt den Tensorkalkül daher auch Ricci-Kalkül. Albert Einstein griff diesen Kalkül in seiner Relativitätstheorie auf, was ihm große Bekanntheit in der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden heute als Tensorfelder bezeichnet und spielen in der Differentialgeometrie auch heute noch eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt des zugrundeliegenden (oft gekrümmten) Raums einen Tensor zuordnen.

Ein Tensor ist eine mathematische Funktion, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Zahlenwert abbildet. Er ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra, das besonders im Bereich der Differentialgeometrie Anwendung findet. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert.

张量(英语:tensor)是一个可用来表示在一些向量、纯量和其他张量之间的线性关系的多线性函数,这些线性关系的基本例子有内积、外积、线性映射以及笛卡儿积。其坐标在 formula_1 维空间内,有 formula_2个分量的一种量,其中每个分量都是坐标的函数,而在坐标变换时,这些分量也依照某些规则作线性变换。formula_3称为该张量的秩或阶(与矩阵的秩和阶均无关系)。


Grundannahmen.

Die Urknalltheorien basieren auf zwei Grundannahmen: Die erste Annahme ist, dass die Naturgesetze universell sind und sich also das Universum mit den Naturgesetzen beschreiben lässt, die heute nahe der Erde gelten. Die zweite Annahme lautet, dass das Universum an jedem Ort (aber nicht zu jeder Zeit) in alle Richtungen für große Entfernungen gleich aussieht. Diese Annahme wird als Kopernikanisches Prinzip oder kosmologisches Prinzip bezeichnet. Im Folgenden werden diese Annahmen und grundlegende Folgerungen daraus erläutert.

Universalität der Naturgesetze.

Um das gesamte Universum in jedem seiner Entwicklungsstadien auf der Grundlage der uns bekannten Naturgesetze beschreiben zu können, ist die Annahme unabdingbar, dass diese Naturgesetze universell und konstant (zeitunabhängig) gelten. Es gibt keine Beobachtungen der Astronomie (etwa 13.5 Mrd. Jahre zurückblickend) oder der Paläogeologie (4 Mrd. Jahre zurück), die diese Annahme in Frage stellen.  Aus der angenommenen Konstanz und Universalität der derzeit bekannten Naturgesetze folgt, dass sich die Entwicklung des Universums als Ganzes mittels der allgemeinen Relativitätstheorie und die darin ablaufenden Prozesse mit dem Standardmodell der Elementarteilchenphysik beschreiben lassen. Im extremen Fall großer Materiedichte und gleichzeitig großer Raumzeitkrümmung werden zur Beschreibung eigentlich gleichzeitig die dem Standardmodell zugrundeliegenden Quantenfeldtheorien "und" die allgemeine Relativitätstheorie benötigt. Die Vereinigung stößt jedoch auf fundamentale Schwierigkeiten, so dass zur Zeit die ersten paar Mikrosekunden der Geschichte des Universums nicht konsistent beschrieben werden können.

Kosmologisches Prinzip.

Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Weltall zur selben Zeit an jedem Raumpunkt und auch in alle Richtungen für große Entfernungen gleich aussieht, und wird auch (räumliche) "Homogenität" genannt; die Annahme, dass es in jeder Richtung gleich aussehe, heißt (räumliche) "Isotropie". Ein Blick zum Sternenhimmel mit bloßem Auge zeigt sofort, dass das Universum in der näheren Umgebung der Erde nicht homogen und isotrop ist, denn die Verteilung der Sterne ist unregelmäßig. Auf größerer Skala bilden die Sterne Galaxien, die ihrerseits teilweise Galaxienhaufen bilden, ansonsten in einer wabenartigen Struktur verteilt sind, die aus sogenannten Filamenten und Voids besteht. Auf noch größerer Skala ist keine Struktur mehr erkennbar. Dies und die hochgradige Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung rechtfertigen die Beschreibung des Universums als Ganzes durch das kosmologische Prinzip.  Wendet man das kosmologische Prinzip auf die allgemeine Relativitätstheorie an, vereinfachen sich die einsteinschen Feldgleichungen zu den sogenannten Friedmann-Gleichungen. Diese beschreiben ein homogenes, isotropes Universum. Zur Lösung der Gleichungen geht man vom heutigen Zustand des Universums aus und verfolgt die Entwicklung rückwärts in der Zeit. Die exakte Lösung hängt insbesondere von den gemessenen Werten der Hubble-Konstante sowie diverser Dichteparameter ab, die den Masse- und Energieinhalt des Universums beschreiben. Man findet dann, dass das Universum früher kleiner war (Expansion des Universums); gleichzeitig war es heißer und dichter. Formal führt die Lösung auf einen Zeitpunkt, zu dem der Wert des Skalenfaktors verschwindet, also das Universum keine Ausdehnung hatte und die Temperatur und Dichte unendlich groß werden. Dieser Zeitpunkt wird als „Urknall“ bezeichnet. Er ist eine formale Singularität der Lösung der Friedmann-Gleichungen. Damit wird allerdings keine Aussage über die physikalische Realität einer derartigen Anfangssingularität gemacht, da die Gleichungen der klassischen Physik nur einen begrenzten Gültigkeitsbereich haben und nicht mehr anwendbar sind, wenn Quanteneffekte eine Rolle spielen, wie das im sehr frühen, heißen und dichten Universum angenommen wird. Zur Beschreibung der Entwicklung des Universums zu sehr frühen Zeiten ist eine Theorie der Quantengravitation erforderlich.

Frühes Universum.

Den Friedmann-Gleichungen zufolge war die Energiedichte des Universums in seiner Frühphase sehr hoch. Das bedeutet, dass auch die Energien der Teilchen im Mittel sehr hoch waren. Die sehr frühe Phase des Universums ist daher Gegenstand von Theorien, die nicht mit Laborexperimenten überprüft werden können.

Planck-Ära.

Die Planck-Ära bezeichnet den Zeitraum nach dem Urknall bis zur kleinsten physikalisch sinnvollen Zeitangabe, der Planck-Zeit mit etwa 10 Sekunden. Die Temperatur zu diesem Zeitpunkt entspricht der Planck-Temperatur, etwa 10 Kelvin. Bis zu diesem Zeitpunkt gab es nach Meinung der Wissenschaftler nur eine fundamentale Kraft, die Urkraft. Bis heute gibt es keine allgemein akzeptierte Theorie für die Planck-Ära. Als mögliche Kandidaten gelten die M-Theorie und die Schleifenquantengravitation.

GUT-Ära.

In der Kosmologie wird allgemein angenommen, dass sich an die Planck-Ära die GUT-Ära bzw. Baryogenese nach einer spontanen Symmetriebrechung anschloss. Dabei spaltete sich die Urkraft in die X-Kraft oder GUT-Kraft und die Gravitation auf. GUT steht für "Grand Unified Theories", zu deutsch Große vereinheitlichte Theorie. Diese würde die starke Kernkraft, die schwache Kernkraft und die elektromagnetische Kraft vereinigen. Hochenergie-Experimente an Teilchenbeschleunigern deuten darauf hin, dass bei einer Energie von etwa 2·10 GeV die drei genannten Kräfte nicht mehr voneinander unterscheidbar sind. Oberhalb dieser Energie gäbe es daher nur eine Kraft, die als GUT-Kraft bezeichnet wird. Dies wäre ein Zustand höherer Symmetrie. Bei Energien unter diesem Wert bricht diese Symmetrie auf und die drei genannten Kräfte würden sichtbar. Allerdings kann derzeit die nötige Energiedichte in Laborexperimenten nicht erreicht werden, um solche Theorien ausreichend zu prüfen.

Kosmische Inflation.

Die Inflation wird zeitlich in der GUT-Ära angesiedelt. Während dieser sogenannten Inflation dehnte sich das Universum innerhalb von 10 bis 10 Sekunden um einen Faktor zwischen 10 und 10 aus. Diese überlichtschnelle Ausdehnung des Universums steht nicht im Widerspruch zur Relativitätstheorie, da diese nur eine überlichtschnelle Bewegung "im Raum", nicht jedoch eine überlichtschnelle Ausdehnung "des Raumes selbst" verbietet. Der Bereich, der dem heute beobachtbaren Universum entspricht, hätte dabei der Theorie zufolge von einem Durchmesser, der den eines Protons weit unterschreitet, auf etwa 10 cm expandieren müssen.  Die genauen Details der Inflation sind unbekannt, allerdings gelten die Messungen der Temperaturschwankungen der kosmischen Hintergrundstrahlung durch den WMAP-Satelliten als starkes Indiz dafür, dass eine Inflation mit bestimmten Eigenschaften stattgefunden hat. Mittels der Messergebnisse des Planck-Weltraumteleskops könnte es möglich werden, genauere Erkenntnisse über die Inflationsepoche zu gewinnen. Die ursprüngliche Inflationstheorie geht auf eine Arbeit von Alan Guth aus dem Jahr 1981 zurück und wurde von Andrei Dmitrijewitsch Linde und anderen seither weiter bearbeitet. In dieser Theorie werden eine oder mehrere Skalarfelder verwendet, die als Inflatonfelder bezeichnet werden.  Ebenfalls unklar ist die Ursache für das Ende der Inflation. Eine mögliche Erklärung hierfür sollen Slow-Roll-Modelle bieten, in denen das Inflatonfeld ein energetisches Minimum erreicht und die Inflation deshalb endet; eine Alternative ist das bereits beschriebene GUT-Modell, in dem das Ende der Inflation durch Brechung der GUT-Symmetrie erklärt wird.  Eine Inflationsphase kann mehrere kosmologische Beobachtungen erklären:  Das Inflationsmodell versagt jedoch bei der Erklärung der Kosmologischen Konstante. Einsteins formula_1 wäre demnach nicht konstant, sondern abhängig von der Zeit, eine Annahme, die in Quintessenz-Modellen verwendet wird. Weitergehende Modelle halten die Kosmologische Konstante konstant.

Entwicklung des Universums.

Die Zeit nach der Inflation und der spekulativen Brechung einer möglichen GUT-Symmetrie sowie der elektroschwachen Symmetrie kann mit den bekannten physikalischen Theorien beschrieben werden. Das Verhalten des Universums ab dieser Phase ist durch Beobachtungen relativ weitgehend klar und unterscheidet sich in den verschiedenen Urknall-Modellen kaum.

Primordiale Nukleosynthese.

Als primordiale Nukleosynthese wird die Entstehung von Atomkernen im frühen Universum bezeichnet. Nach Ende der Inflation, also nach etwa 10 s, sank die Temperatur auf 10 K ab. Es bildeten sich Quarks und Anti-Quarks, die Bausteine der heutigen schweren Teilchen (Baryogenese). Die Temperatur war aber so hoch und die Zeiten zwischen zwei Teilchenstößen so kurz, dass sich noch keine stabilen Protonen oder Neutronen bildeten, sondern ein so genanntes Quark-Gluonen-Plasma aus annähernd freien Teilchen entstand. Die Zeit bis zur Bildung stabiler Hadronen wird auch "Quark-Ära" genannt.  Nach 10 s lag eine Temperatur von 10 K vor. Quarks konnten nicht mehr als freie Teilchen existieren, sondern vereinigten sich zu Hadronen, d. h. Protonen, Neutronen und schwerere Verwandte. Nach 10 s war die Temperatur auf 10 K gesunken, so dass keine Proton-Antiproton- oder Neutron-Antineutron-Paare mehr gebildet wurden. Die meisten Protonen und Neutronen wurden bei Stößen mit ihren Antiteilchen vernichtet – bis auf einen kleinen Überschuss von einem Milliardstel. Die Dichte sank auf 10 g/cm. Mit abnehmender Temperatur zerfielen die schwereren Hadronen, und es blieben schließlich Protonen und Neutronen sowie ihre Antiteilchen übrig. Durch ständige Umwandlungen von Protonen in Neutronen und umgekehrt entstand auch eine große Zahl von Neutrinos. In dieser sogenannten "Hadronen-Ära" gab es gleich viele Protonen wie Neutronen, da sie aufgrund ausreichend verfügbarer Energie beliebig ineinander umgewandelt werden konnten. Nach 1 s war eine Temperatur von 10 K erreicht. Unterhalb dieser Temperatur konnten lediglich Neutronen zu Protonen zerfallen, aber Neutronen nicht mehr nachgebildet werden.  Erst nach 10 Sekunden, bei Temperaturen unterhalb von 10 K, vereinigten sich Protonen und verbleibende Neutronen durch Kernfusion zu ersten Deuterium-Atomkernen. Soweit diese nicht wieder zerfielen, verschmolzen sie paarweise zu Helium-4-Kernen. Nach etwa 3 Minuten hatte die Temperatur und Dichte der Materie so weit abgenommen, dass die Kernfusion zum Erliegen kam. Die übriggebliebenen freien Neutronen waren nicht stabil und zerfielen im Verlauf der nächsten Minuten in Protonen und Elektronen. Insgesamt bildeten sich in den ersten drei Minuten zu 25 % Helium-4 (He) und 0,001 % Deuterium sowie Spuren von Helium-3 (He), Lithium und Beryllium. Die restlichen 75 % stellten Protonen, die späteren Wasserstoffatomkerne.  Alle schwereren Elemente entstanden erst später im Inneren von Sternen. Die Temperatur war immer noch so hoch, dass die Materie als Plasma vorlag, einem Gemisch aus freien Atomkernen, Protonen und Elektronen, mit thermischer Strahlung im Röntgenbereich.  Neben Elementarteilchen und Strahlung entstanden auch primordiale Magnetfelder. Dies wird auf den Harrison-Effekt zurückgeführt. Man geht davon aus, dass das Plasma im heißen und dichten Universum Wirbel bildete. Die hierdurch hervorgerufene Reibung an dem sehr starken Strahlungsfeld führte zur Erzeugung elektrischer Ströme, die durch Induktion Magnetfelder bewirkten.

Stark gekoppeltes Plasma.

Für Neutrinos, die kaum mit anderen Teilchen wechselwirken, war die Dichte nach 10 s niedrig genug – sie befanden sich nicht mehr im thermischen Gleichgewicht mit den anderen Teilchen, das heißt, sie "entkoppelten". Nach 1 s war eine Temperatur von 10 K erreicht. Jetzt vernichteten sich auch Elektronen und Positronen – bis auf den Überschuss von einem Milliardstel an Elektronen. Damit war die Bildung der Bausteine der Materie, aus der sich der Kosmos auch heute noch zusammensetzt, weitgehend abgeschlossen. Das Universum war nun gefüllt mit einem stark wechselwirkenden Plasma aus Elektronen, Photonen („Lichtteilchen“) und Atomkernen, vor allem Protonen. Außerdem gab es Neutrinos, die vor allem durch die Gravitation mit dem heißen Plasma wechselwirkten. Außerdem wird im Rahmen des kosmologischen Standardmodells angenommen, dass es eine große Menge dunkler Materie gab, die ebenfalls nur durch die Gravitation mit dem Plasma wechselwirkte.  Es dauerte etwa 400.000 Jahre, bis die Temperatur ausreichend abgesunken war, dass sich stabile Atome bildeten (Rekombinationsepoche) und Licht große Distanzen zurücklegen konnte, ohne absorbiert zu werden. Die "mittlere freie Weglänge" von Photonen vergrößerte sich extrem, das Universum wurde also durchsichtig, genauer gesagt nahm seine "optische Dichte" sehr rapide ab. Diese Entkopplung des Lichts dauerte etwa 100.000 Jahre. In dieser Zeitspanne waren einige Regionen des Universums bereits soweit abgekühlt, dass sie durchsichtig waren, während in anderen Regionen noch heißes Plasma vorherrschte. Da es zur Zeit der Entkopplung sehr viel mehr Photonen als Protonen im Universum gab, lag die Temperatur des Universums deutlich niedriger als die Ionisationsenergie des Wasserstoffs formula_2, wobei formula_3 die Boltzmann-Konstante ist, nämlich bei etwa formula_4, was einer Temperatur von etwa 4000 K entspricht. Das bedeutet, dass das Maximum der Strahlungsintensität zu dieser Zeit im sichtbaren Spektrum lag. Diese Strahlung ist noch heute als kosmische Hintergrundstrahlung messbar. Allerdings ist sie aufgrund der kosmologischen Rotverschiebung inzwischen sehr viel langwelligere Mikrowellenstrahlung und entspricht einer Temperatur von 2,73 K.  Die Dynamik des Plasmas ist entscheidend für die Entstehung der Temperaturfluktuationen der Hintergrundstrahlung und der Bildung von Materiestrukturen. Das Verhalten des plasmagefüllten Universums kann im Rahmen der kosmologischen Störungstheorie mittels der Boltzmann-Gleichung beschrieben werden. Damit lassen sich gewisse Grundcharakteristika des Spektrums der Temperaturfluktuationen erklären. Insbesondere kommt es in dem Plasma zu Druckwellen, also gewissermaßen Schallwellen, die bestimmte charakteristische Peaks im Spektrum der Temperaturfluktuationen verursachen. Dass diese Peaks von den Raumsonden WMAP und Planck mit großer Genauigkeit gemessen werden konnten, ist ein unterstützendes Indiz für diese Theorien. Die Entstehung großräumiger Strukturen wird qualitativ damit erklärt, dass sich Dunkle Materie an Orten sammelt, wo auch das Plasma dichter ist und damit Dichteungleichgewichte so sehr verstärkt, dass sich die Materie schließlich fast ausschließlich in relativ kleinen Bereichen des Universums sammelt.

Strahlungs-Ära und Materie-Ära.

Die Friedmann-Gleichungen basieren auf dem Materiemodell des perfekten Fluids. In diesem Modell wird die Materie durch zwei Zustandsgrößen, nämlich Energiedichte formula_5 und Druck formula_6 beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Energie und Druck wird durch eine Zustandsgleichung formula_7 beschrieben. Die wichtigsten Fälle für die üblichen Modelle des Universums sind Strahlung mit formula_8, massive Teilchen, oft als „Staub“ bezeichnet, mit formula_9 und eine kosmologische Konstante mit formula_10. Für die verschiedenen Arten der Materie ist die Abhängigkeit der Energiedichte vom Skalenfaktor formula_11 sehr unterschiedlich, nämlich formula_12. Die unterschiedliche Zeitabhängigkeit bei Strahlung und massiven Teilchen lässt sich auch anschaulich verstehen; bei Strahlung nimmt zusätzlich zum Abfallen der Anzahldichte der Photonen (infolge der Expansion des Raumes) die Wellenlänge der einzelnen Photonen durch die kosmologische Rotverschiebung zu. Dies sorgt dafür, dass die Energiedichte der Strahlung schneller abnimmt als die der massiven Materie. Deshalb wird ein Universum, das zu Beginn strahlungsdominiert war, nach einiger Zeit durch massive Teilchen dominiert, bis zuletzt eine eventuelle kosmologische Konstante vorherrschen würde.  Den Urknall-Modellen zufolge stellte (elektromagnetische) Strahlung nach der Inflation den Hauptanteil der Energiedichte im Kosmos. Zu einem Zeitpunkt von etwa 70.000 Jahren nach dem Urknall waren die Energiedichten von Strahlung und Materie gleich, danach bestimmte die massive Materie die Dynamik des Universums. Man spricht vom Ende der strahlungsdominierten Ära und dem Beginn der materiedominierten Ära.

Vorhersagen der Urknall-Modelle.

Die Urknall-Modelle mit den oben beschriebenen Charakteristika sind die anerkanntesten Modelle zur Erklärung des heutigen Zustandes des Universums. Der Grund dafür ist, dass sie einige zentrale Vorhersagen machen, die sich gut mit dem beobachteten Zustand des Universums decken. Die wichtigsten Vorhersagen sind die Expansion des Universums, die kosmische Hintergrundstrahlung und die Elementverteilung, insbesondere der Anteil an Helium an der Gesamtmasse der baryonischen Materie. Auch die wichtigsten Eigenschaften der Temperaturfluktuationen der kosmischen Hintergrundstrahlung werden im Rahmen der Urknall-Modelle mittels kosmologischer Störungstheorie sehr erfolgreich erklärt. Die Theorie der Temperaturfluktuationen bietet außerdem ein Modell zur Entstehung großräumiger Strukturen, nämlich der Filamente und Voids, die die zuvor beschriebene Wabenstruktur bilden.

Expansion des Universums.

Die Expansion des Universums wurde 1929 von Edwin Hubble erstmals beobachtet. Er entdeckte, dass die Entfernung von Galaxien von der Milchstraße und ihre Rotverschiebung proportional sind. Die Rotverschiebung erklärt man dadurch, dass sich die Galaxien vom Beobachter entfernen, Hubbles Beobachtung war die Proportionalität von Entfernung und Fluchtgeschwindigkeit. Es war spätestens seit der Arbeit von Georges Lemaître 1927 bekannt, dass eine solche Proportionalität aus den Friedmann-Gleichungen folgt, die auch den Urknall beinhalten. Diese Beobachtung war damit die erste Bestätigung der Urknall-Modelle. Heute ist das Hubble-Gesetz durch Messungen an sehr vielen Galaxien gut bestätigt. Allerdings gilt eine näherungsweise Proportionalität, wie von den Friedmann-Gleichungen für ein Universum mit massiver Materie vorhergesagt, nur für vergleichsweise nahe Galaxien. Sehr ferne Galaxien haben allerdings Fluchtgeschwindigkeiten, die größer sind, als in einem materiedominierten Universum zu erwarten ist. Dies wird als Hinweis auf eine kosmologische Konstante oder Dunkle Energie gedeutet.

Häufigkeit der Elemente.

Der größte Teil der leichten Atomkerne entstand in den ersten Minuten des Universums während der primordialen Nukleosynthese. Die Beschreibung dieses Prozesses im Rahmen des Urknallmodells geht auf Ralph Alpher und George Gamow zurück, die die Alpher-Bethe-Gamow-Theorie entwickelten. Insbesondere der Massenanteil des Heliums von etwa 25 % der gewöhnlichen Materie (ohne Dunkle Materie) wird von den Urknallmodellen übereinstimmend in sehr guter Übereinstimmung mit der beobachteten Häufigkeit vorhergesagt. Durch die Messung der Häufigkeit von selteneren Kernen wie Deuterium, Helium-3 und Lithium-7 kann auf die Dichte gewöhnlicher Materie im Universum geschlossen werden. Die gemessenen Häufigkeiten dieser Elemente sind im Rahmen der existierenden Modelle miteinander und mit anderen Messungen der Materiedichte konsistent.

Kosmische Hintergrundstrahlung.

Die kosmische Hintergrundstrahlung wurde 1948 von Ralph Alpher, George Gamow und Robert Herman vorhergesagt. Sie sagten in der Folge verschiedene Temperaturen im Bereich von etwa 5 bis 50 K vorher. Erst 1964 wurde die Hintergrundstrahlung von Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson erstmals als realer Effekt identifiziert, nachdem zuvor mehrere Astronomen Messungen des Signals für Antennenfehler gehalten hatten. Die gemessene Temperatur wurde mit 3 K angegeben, heutige Messungen ergeben eine Temperatur von 2,725 K. Die Hintergrundstrahlung ist in sehr guter Näherung isotrop, das heißt sie hat in jeder Richtung übereinstimmende Temperatur und Intensität. Abweichungen in Höhe von 1 % ergeben sich durch den Doppler-Effekt aufgrund der Bewegung der Erde. Auch die Milchstraße ist als deutliche Störung erkennbar.  Rainer K. Sachs und Arthur M. Wolfe sagten 1967 vorher, dass es sehr kleine Temperaturfluktuationen der Hintergrundstrahlung gebe. Der von ihnen vorhergesagte Effekt wurde zu ihren Ehren Sachs-Wolfe-Effekt genannt. Im Jahr 1993 entdeckte der Satellit COBE tatsächlich Fluktuationen von 0,001 % in der Temperatur der Hintergrundstrahlung, wobei der Satellit WMAP diese Beobachtung, ebenso wie den Sachs-Wolfe-Effekt bestätigte. Weitere bedeutende Charakteristika des Spektrums der Temperaturanisotropien sind die Silk-Dämpfung und Baryonische akustische Oszillationen.

Bildung großräumiger Strukturen.

Durch die Entkopplung der Strahlung geriet die Materie nun stärker unter den Einfluss der Gravitation. Ausgehend von räumlichen Dichteschwankungen, die möglicherweise bereits in der inflationären Phase durch Quantenfluktuationen entstanden sind, bildeten sich nach 1 Million Jahren großräumige Strukturen im Kosmos. Dabei begann die Materie in den Raumgebieten mit höherer Massedichte als Folge gravitativer Instabilität zu kollabieren und Masseansammlungen zu bilden. Es bildeten sich zuerst sogenannte Halos aus Dunkler Materie, die als Gravitationssenken wirkten, in denen sich später die für uns sichtbare Materie sammelte. Die dem Strahlungsdruck unterliegende baryonische Materie hatte keine ausreichende Dichte, um ohne Hilfe der Dunklen Materie so früh zu großräumigen Strukturen zu verklumpen, dass sich die daraus resultierenden Temperaturschwankungen heute noch in der Hintergrundstrahlung beobachten lässt. Ohne Dunkle Materie würde die Entstehung großräumiger Strukturen, wie der Wabenstruktur aus Voids und Filamenten, ebenso wie die Entstehung eher kleinerer Strukturen, wie Galaxien, viel länger dauern als das Alter des Universums, das sich aus den Urknall-Modellen ergibt.  Zur Untersuchung der Eigenschaften der Dunklen Materie wurde versucht, durch Simulationen den Prozess der Strukturbildung nachzubilden. Dabei wurden verschiedene Szenarien durchgespielt, und einige konnten mit Hilfe solcher Simulationen als gänzlich unrealistisch ausgeschlossen werden. Als realistisch erscheinen heute sogenannte formula_13CDM-Szenarien, wobei das formula_1 die Kosmologische Konstante der Einsteinschen Feldgleichungen ist, und CDM für kalte Dunkle Materie (engl.: cold dark matter) steht. Welche Art von Teilchen die Dunkle Materie bildet, ist derzeit noch unbekannt.  Die kollabierenden Gaswolken hatten sich inzwischen soweit verdichtet, dass sich die ersten Sterne bildeten. Diese waren wesentlich massenreicher als unsere Sonne, so dass sie sehr heiß wurden und hohe Drücke bildeten. Infolgedessen wurden auch schwerere Elemente wie Kohlenstoff, Sauerstoff und Eisen durch Kernfusion erzeugt. Wegen ihrer großen Masse war die Lebensdauer dieser Sterne mit 3–10 Millionen Jahren relativ kurz, sie explodierten in einer Supernova. Während der Explosion wurden durch Neutroneneinfang Elemente schwerer als Eisen gebildet (z. B. Uran) und gelangten in den interstellaren Raum. Der Explosionsdruck verdichtete angrenzende Gaswolken, die dadurch schneller neue Sterne hervorbringen konnten. Da die mit Metallen angereicherten Gaswolken schneller auskühlten, entstanden massenärmere und kleinere Sterne mit schwächerer Leuchtkraft, aber von längerer Lebensdauer.  Es bildeten sich die ersten Kugelsternhaufen aus diesen Sternen, und schließlich die ersten Galaxien aus ihren Vorläufern.

Weitergehende Modelle.

Es gibt verschiedene Modelle, die ab einer Zeit von etwa 10 s mit den Urknall-Modellen übereinstimmen und das Ziel verfolgen, das sehr frühe Universum ohne Singularitäten zu erklären. Solche Modelle können in einigen Fällen zusätzliche Vorhersagen gegenüber den gewöhnlichen Urknall-Modellen machen oder in den Vorhersagen geringfügig abweichen, sofern diese Abweichungen nicht durch die Messgenauigkeit widerlegt sind. Derartige Modelle stehen meist im Zusammenhang mit den Theorien der Quantengravitation und der Schleifenquantengravitation "(Loop-Quantengravitation)" als "Schleifen-Quantenkosmologie".

Branenkosmologie.

Die Branenkosmologie ist eine Theorie, die in enger Verbindung zur Stringtheorie steht und Konzepte dieser Theorie verwendet. Modelle der Branenkosmologie beschreiben eine mindestens fünfdimensionale Raumzeit, in die die vierdimensionale Raumzeit als „Brane“ (das Wort ist von „Membran“ abgeleitet) eingebettet ist. Die moderne Behandlung dieser Theorie ging vom 1999 entwickelten Randall-Sundrum-Modell aus. In diesem soll eine Brane das beobachtbare Universum modellieren. Es liefert ein Erklärungsmodell dafür, warum die Gravitation viel schwächer ist als die anderen Grundkräfte, beschreibt aber keine Evolution des Universums. Es enthält also keine Expansion des Universums und daher auch weder Rotverschiebung noch Hintergrundstrahlung. Es ist damit kein realistisches Modell des beobachtbaren Universums.  Ein weiterentwickeltes Modell der Branenkosmologie ist das zyklische ekpyrotische Universum von Paul Steinhardt und Neil Turok, das ebenfalls auf der Stringtheorie basiert und 2002 entwickelt wurde. In diesem Modell kollidieren zwei vierdimensionale Branen in einer fünfdimensionalen Raumzeit periodisch, wobei sie jedes Mal einen Zustand erzeugen, wie er nach dem Urknallmodell im sehr frühen Universum geherrscht hat. Sie bilden insbesondere eine Alternative zur Inflationstheorie, indem sie im Rahmen der heutigen Messgenauigkeit dieselben Vorhersagen machen. Allerdings macht das ekpyrotische Modell abweichende Vorhersagen zur Polarisierung der Fluktuationen der Hintergrundstrahlung, dadurch ist es durch zukünftige Messungen im Prinzip möglich, eines der beiden Modelle zu falsifizieren.

Schleifenquantenkosmologie.

Die Schleifenquantenkosmologie ist eine Theorie, die sich aus der Schleifenquantengravitation entwickelt hat (unter anderem durch Martin Bojowald). Da in dieser Theorie das kosmologische Prinzip als Annahme vorausgesetzt wird, ist noch nicht geklärt, inwiefern sie mit der Schleifenquantengravitation selbst kompatibel ist. Die Loop Quantum Cosmology gibt eine Erklärung für die kosmische Inflation und bietet mit dem Big Bounce ein kosmologisches Modell ohne Urknallsingularität. In diesem Modell kollabiert ein Vorgänger-Universum in einem Big Crunch, allerdings sorgen Effekte der Quantengravitation dafür, dass es nicht zu einer Singularität kollabiert, sondern nur bis zu einer maximalen Dichte. Dann setzt wieder eine Expansion ein, aus der das heutige Universum hervorgeht. Dieses Modell ist aktuell Forschungsgegenstand und viele Fragen sind noch ungeklärt. Unter anderem ist nicht klar, ob sich die Geschichte des zyklischen Universums bei jedem Durchlauf identisch wiederholt oder variiert. Eine Weiterentwicklung des Modells ergibt ein zyklisches Universum, das immer im Wechsel bis zu einer maximalen Ausdehnung expandiert und zu einer minimalen Ausdehnung kollabiert.

Chaotische Inflation.

Die Theorie der chaotischen Inflation wurde 1986 von Andrei Linde vorgeschlagen und ist nicht mit einer bestimmten Quantengravitationstheorie verknüpft. Sie besagt, dass der Großteil des Universums ewig inflationär expandiert und nur innerhalb verschiedener Blasen die Inflation zum Erliegen kommt, so dass sich eine Vielzahl von Teiluniversen bildet. Dem Modell zufolge sorgen die Quantenfluktuationen des Inflatonfelds dafür, dass der Großteil des Universums ewig in der inflationären Phase bleibt. Nicht-inflationäre Blasen entstehen, wenn die Quantenfluktuationen des Inflatonfeldes lokal kleiner werden. Obwohl die Wahrscheinlichkeit für die Entstehung dieser Blasen sehr hoch ist, sorgt die hohe Geschwindigkeit der Inflation dafür, dass sie gegenüber dem Rest des Universums sehr schnell sehr viel kleiner werden, dadurch nur sehr selten kollidieren und der Großteil des Universums durch ewige Inflation geprägt ist.  Die verschiedenen Teiluniversen können unterschiedliche Werte der Naturkonstanten und damit unterschiedliche physikalische Gesetze enthalten, wenn es mehrere stabile Zustände des Feldes gibt. Die Theorie wird manchmal auch als Multiversumstheorie aufgefasst (zum Beispiel Alexander Vilenkin), da viele Teiluniversen existieren, die nie miteinander in Kontakt treten können. Das inflationäre Multiversum wird auch als Quantenschaum bezeichnet, da es in seinen Eigenschaften nicht mit dem beobachtbaren Universum übereinstimmt. So enthält es der Theorie zufolge weder Materie noch Strahlung, sondern ausschließlich das Inflatonfeld.

Forschungsgeschichte.

In der Antike hatten vor allem die heute verlorenen vorsokratischen Naturphilosophen Vorstellungen eines Urknalls entwickelt, die in Grundzügen modernen Erkenntnissen bereits nahekamen. Insbesondere die Lehren zur Entstehung des Universums von Anaxagoras im 5. Jahrhundert v. Chr., laut dem das Weltall expandiert, werden in der modernen Forschung häufig in Zusammenhang mit dem "Big Bang" gebracht.  Als Begründer der Urknalltheorie gilt der belgische Theologe und Physiker Georges Lemaître, der 1931 für den heißen Anfangszustand des Universums die Ausdrücke „primordiales Atom“ oder „Uratom“, später auch „kosmisches Ei“ verwendete. Die englische Bezeichnung "Big Bang" (wörtlich ‚Großer Knall‘) wurde von Fred Hoyle geprägt. Hoyle vertrat die Steady-State-Theorie und wollte mit der Wortwahl "Big Bang" das Bild eines expandierenden Universums, das scheinbar aus dem Nichts entsteht, unglaubwürdig erscheinen lassen. Die Steady-State-Theorie verlor in den 1960er Jahren an Zustimmung, als die Urknalltheorie durch astronomische Beobachtungen zunehmend bestätigt wurde.  Die Voraussetzung für die moderne Kosmologie und damit auch für die Urknall-Modelle bildet die 1915 von Albert Einstein publizierte allgemeine Relativitätstheorie. 1922 legte Alexander Friedmann mit seiner Beschreibung des expandierenden Universums den Grundstein für die Urknall-Modelle. Obwohl Einstein anerkannte, dass sein Modell mit den Feldgleichungen verträglich war, wurde Friedmanns Arbeit zunächst kaum diskutiert, da keine astronomischen Beobachtungen auf eine Expansion des Universums hindeuteten und daher statische kosmologische Modelle bevorzugt wurden, auch von Einstein selbst. Lemaître entwickelte 1927 Friedmanns Modell unabhängig von diesem erneut und führte es weiter zu einer ersten Urknalltheorie, der zufolge das Universum aus einem einzigen Teilchen, dem „Uratom“ hervorgegangen sei. Er leitete als Folge der Expansion des Universums bereits eine Proportionalität von Entfernung und Fluchtgeschwindigkeit stellarer Objekte her. Allerdings wurde auch diese Arbeit wenig beachtet.  1929 entdeckte Edwin Hubble durch Entfernungsmessungen an Cepheiden in Galaxien außerhalb der Milchstraße, dass die Rotverschiebung der Galaxien zu ihrer Entfernung proportional ist. Diesen Befund, der heute Hubble-Gesetz genannt wird, erklärte er durch den Dopplereffekt als Folge einer Expansion des Universums. Hubble bestätigte damit Lemaîtres Vorhersage, allerdings war ihm diese nicht bekannt und er bezieht sich in seinen Schriften nicht darauf. 1935 bewiesen Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker schließlich, dass die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metriken unabhängig vom Materiemodell die einzigen Metriken sind, die mit dem kosmologischen Prinzip verträglich sind.  1948 entwickelten Ralph Alpher, George Gamow und Robert Herman eine Theorie von der Entstehung des Kosmos aus einem heißen Anfangszustand. Im Rahmen dieser Theorie sagten sie sowohl die Häufigkeit von Helium im frühen Universum als auch die Existenz einer kosmischen Hintergrundstrahlung mit Schwarzkörperspektrum vorher. Für die heutige Temperatur der Hintergrundstrahlung gaben sie verschiedene Schätzungen im Bereich von 5 K bis 50 K. Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson entdeckten 1964 unbeabsichtigt die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung. Da sie nur auf zwei Frequenzen maßen, konnten sie nicht feststellen, dass die Strahlung ein Schwarzkörperspektrum hat. Dies wurde durch weitere Messungen in den folgenden Jahren bestätigt und die Temperatur wurde mit 3 K gemessen. 1967 sagten Rainer K. Sachs und Arthur M. Wolfe Temperaturfluktuationen der kosmischen Hintergrundstrahlung vorher. Dieser Effekt wird nach ihnen als Sachs-Wolfe-Effekt bezeichnet.  Stephen Hawking und Roger Penrose zeigten 1965 bis 1969 mathematisch, dass sich die immer noch bezweifelten ultra-dichten Zustände am Beginn der Zeit unter den Voraussetzungen „Gültigkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie“ und „expandierendes Universum“ zwingend ergeben.  Um den extrem homogenen und isotropen Anfangszustand des beobachtbaren Universums zu erklären, der aus der Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung gefolgert wird, schlug Roger Penrose 1979 die Weylkrümmungshypothese vor. Diese Hypothese liefert auch eine Erklärung für den Ursprung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Als konkurrierende Hypothese zur Erklärung der Homogenität und Isotropie des frühen Universums und zur Lösung des Horizont-Problems entwickelte Alan Guth 1981 die Theorie des inflationären Universums, die eine Phase sehr schneller Expansion in der Frühphase des Universums postuliert. Die Theorie des inflationären Universums wurde später von Andrei Linde und anderen weiter entwickelt und konnte sich schließlich als Erklärungsmodell durchsetzen.  Valerie de Lapparent, Margaret Geller und John Huchra entdeckten 1986 die Anordnung von Galaxienhaufen in wandartigen Strukturen, die wiederum großskalige, blasenartige Leerräume ("Voids") umschließen. Durch die Satelliten COBE (1989–1993), WMAP (2001–2010) und Planck (2009–2013) wurde die kosmische Hintergrundstrahlung mit erheblicher Genauigkeit vermessen. Dabei wurden die Fluktuationen der Hintergrundstrahlung entdeckt und ihr Spektrum vermessen, womit die Vorhersage von Sachs und Wolfe bestätigt wurde. Die Messergebnisse dieser Satelliten in Verbindung mit Entfernungsmessungen gestatteten eine genauere Bestimmung kosmologischer Parameter, die Hinweise auf ein beschleunigt expandierendes Universum ergeben.

Literatur.

„Vor“ dem Urknall  Ab dem Urknall

Als Urknall wird in der Kosmologie der Beginn des Universums, also der Anfangspunkt der Entstehung von Materie, Raum und Zeit bezeichnet. Nach dem kosmologischen Standardmodell ereignete sich der Urknall vor etwa 13,8 Milliarden Jahren. Urknalltheorien beschreiben nicht den Urknall selbst, sondern das frühe Universum in seiner zeitlichen Entwicklung nach dem Urknall.

大爆炸又称大霹雳(英语:Big Bang),是描述宇宙的源起与演化的宇宙学模型,这一模型得到了当今科学研究和观测最广泛且最精确的支持。宇宙学家通常所指的大爆炸观点为:宇宙是在过去有限的时间之前,由一个密度极大且温度极高的太初状态演变而来的。根据2015年普朗克卫星所得到的最佳观测结果,宇宙大爆炸距今137.99 ± 0.21亿年,并经过不断的空间的度规膨胀到达今天的状态。