Histoire des déterminants.

Les déterminants furent introduits en Occident à partir du, soit bien avant les matrices, qui n'apparaissent qu'au. Il convient de rappeler que les Chinois furent les premiers à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un algorithme maintenant connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.

Premiers calculs de déterminants.

Dans son sens originel, le déterminant "détermine" l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il fut introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son "Ars Magna", sous forme d'une "règle" pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues. Cette première formule porte le nom de "regula de modo".  L'apparition des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Curieusement, alors que le Japon est coupé du monde extérieur, le Japonais Seki Kōwa et l'Allemand Leibniz en donnèrent les premiers exemples presque simultanément.  Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi "ij" pour "a". En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes près. Leibniz ne publie pas ses travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.  À la même période, Seki Kōwa publie un manuscrit sur les déterminants, où il énonce une formulation générale difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.

Déterminants de taille quelconque.

En 1748, un traité d'algèbre posthume de Maclaurin relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un système de quatre équations et quatre inconnues.  En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de résoudre un système de "n" équations et "n" inconnues, mais sans en donner la démonstration. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de signature d'une permutation.  Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelle ; c'est un exemple célèbre d'application de la loi de Stigler). En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien entre le calcul des déterminants et celui des volumes.  Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant », dans les "Disquisitiones arithmeticae" en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant d'une forme quadratique binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produit.

Mise en place de la notion moderne de déterminant.

Cauchy emploie le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse de plus de quatre-vingts pages sur cette question :  Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit. Binet propose également une démonstration cette même année.  En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable notoriété à la notion. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du jacobien.  De 1832 à 1844, les travaux de Grassmann, fondent l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général aux déterminants au travers de la représentation des grassmanniennes.  Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse.  La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie particulières et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.  En 1867, Lewis Carroll publie ', dans lequel il énonce dix-sept propriétés dont sept sont, d'après lui, originales.

Premiers exemples : aires et volumes.

Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaissent comme des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des déterminants permet une approche plus géométrique de leurs propriétés.

Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien.

Soit "P" le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs formula_1 et formula_2 est donné par l'expression analytique ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique dans laquelle formula_5 est l'angle orienté formé par les vecteurs formula_1 et formula_2.

Propriétés.

Cette annulation apparaît comme un test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.  La figure 4, dans le plan, illustre un cas particulier de cette formule. Elle représente deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs u et v (en vert), l'autre par les vecteurs u' et v (en bleu). L'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u+u' et v (en gris) est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes précédents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se correspondant par translation. La formule suivante est vérifiée :  Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en saisir le contenu géométrique.

Généralisation.

Il est possible de définir la notion de déterminant dans un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormale directe "B", en utilisant les coordonnées des vecteurs dans cette base. Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul.

Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien.

Soit "E" l'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le déterminant de trois vecteurs de "E" est donné par  Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte en dimension 3 ; un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu sous le nom de règle de Sarrus.

Propriétés.

Une illustration géométrique de cette propriété est donnée dans la figure 5, par deux parallélépipèdes adjacents, c'est-à-dire possédant une face commune.

Interprétation du signe du déterminant : orientation.

Dans le plan, le signe du déterminant s'interprète comme le signe de l'angle orienté.  Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède non plat possède un déterminant positif s'il est possible de l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir, le cube unité.  Le déterminant est au contraire négatif s'il est nécessaire d'appliquer en plus une symétrie, c’est-à-dire si le cube unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation dans un miroir.

Approche intuitive du déterminant d'une application linéaire.

Une application linéaire est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire. Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application est linéaire si les coordonnées x, y et z d'un vecteur ont pour image x', y' et z' avec : formula_19 où "a", "b", "c", "d", "e", "f", "g", "h" et "i" sont des nombres. La figure 7 illustre deux cas de telles applications linéaires. Dans le premier cas, le cube jaune est transformé en un parallélépipède illustré en vert. Dans le deuxième cas, le cube jaune est transformé en un volume aplati, un carré rouge (c'est-à-dire que certains des sommets du cube initial ont la même image par l'application linéaire). Ces deux cas correspondent à des situations différentes en mathématiques. La première fonction du déterminant est de fournir un moyen de séparer ces cas.  Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume 1, alors le volume de l'image du cube vert est la valeur absolue du déterminant de la première application. La deuxième application a un déterminant nul, ce qui correspond à un aplatissement des volumes.  Le déterminant est positif s'il est possible de déformer continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au contraire négatif s'il est nécessaire d'y appliquer en plus une symétrie.  En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant.  Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un espace dans lui-même dans le cas de toutes les dimensions finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée : ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur 2 dans un espace euclidien de dimension "n" aurait un déterminant (sorte d'« hypervolume ») de 2. En revanche, si l'espace est de dimension infinie, alors le déterminant n'a plus de sens.

Cadre d'utilisation.

Déterminant et équations linéaires.

Il existe un cas de calcul numérique très fréquent pour les ingénieurs, les physiciens ou les économistes. Il s'agit de la résolution d'un système d'équations linéaires. Si le système possède autant d'équations que de variables, on peut espérer avoir l'existence et l'unicité d'une solution. Mais ce n'est pas toujours le cas, par exemple en cas de répétition de la même équation, plusieurs solutions conviendront.  Plus précisément, à un système de "n" équations et "n" inconnues peut être associé un déterminant. L'existence et l'unicité de la solution est obtenue si et seulement si le déterminant est différent de 0. Ce problème est l'origine historique de l'introduction des déterminants.  Il est possible, non seulement de garantir l'existence et l'unicité de la solution, mais la règle de Cramer fournit un calcul exact de la solution à l'aide de déterminants. Cette méthode n'est ni la plus rapide, ni la plus simple, elle est peu pratiquée pour les calculs explicites, elle est néanmoins utile pour établir certains résultats théoriques, tels que la dépendance par rapport aux paramètres.

Lien avec l'aplatissement des volumes.

Un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues peut être mis sous forme d'une équation linéaire "u"("X") = "B" où "X" = ("x", "y", "z") est un vecteur dont les composantes sont les inconnues du système, "u" une application linéaire de l'espace et "B" un vecteur. La résolution du système peut être formulée de façon géométrique : le vecteur "B" est-il l'image d'un certain vecteur "X" par "u"? Ce dernier est-il unique? Le déterminant de "u" apporte la réponse : l'existence et l'unicité sont obtenues si et seulement s'il est non nul.  La figure 7 permet une approche intuitive de ce résultat. Il suffit de considérer un pavage de l'espace par le cube jaune et ses images par des translations selon les trois directions. Une famille de cubes jaunes adjacents remplit alors tout l'espace.  Plus généralement, pour un système de n équations et n inconnues, le déterminant indique si les images par "u" remplissent l'espace entier ou seulement un sous-espace.

Déterminant et réduction.

Les applications linéaires apparaissent non seulement en géométrie élémentaire mais aussi dans de nombreux domaines avancés comme certaines résolutions d'équations différentielles, la définition d'algorithmes rapides ou la résolution de problèmes théoriques. Il est important de comprendre leur comportement.  Un outil d'analyse fécond consiste à répertorier les axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre et les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres.  Le phénomène d'aplatissement des volumes peut être mesuré par un déterminant. Il correspond au cas où, selon une certaine direction, les vecteurs sont multipliés par un rapport de dilatation égal à 0 (valeur propre nulle). Plus généralement, toutes les valeurs propres peuvent être obtenues par le calcul d'un déterminant à paramètre, appelé polynôme caractéristique.

Déterminant et intégrale multiple.

Ainsi que le montre l'approche intuitive, le déterminant caractérise la modification de volume d'un parallélépipède par un endomorphisme. L'intégrale multiple est un outil de détermination des volumes dans le cas général. Elle utilise la notion de déterminant dans le cadre du changement de variables. Il prend alors le nom de jacobien. Il peut être imaginé comme le "rapport des volumes élémentaires" avant et après changement de variables, en usant de la terminologie des éléments différentiels.  Plus précisément, le comportement d'une application différentiable au voisinage d'un point est, au premier ordre, analogue en termes de modification de volume à une application linéaire ayant comme déterminant le jacobien.

Déterminant et amortissement dans les équations différentielles.

En physique, notamment en mécanique du point, l'équation différentielle linéaire d'ordre deux est fréquente. Elle se présente sous la forme formula_20, dans laquelle formula_21, formula_22, formula_23 peuvent être des coefficients constants ou plus généralement des fonctions (par exemple du temps). Le terme formula_21 est appelé facteur d'amortissement.  Cette équation différentielle est associée à un déterminant, appelé wronskien. Il s'interprète comme une aire dans le plan (y, y') appelé espace des phases par les physiciens. Cette aire reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif. S'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite, le wronskien est toujours calculable.  Le wronskien peut être généralisé à toutes les équations différentielles linéaires.

Définition du déterminant.

Généralisation à une dimension quelconque.

Les notions de parallélogramme et de parallélépipède sont généralisées à un espace vectoriel "E" de dimension finie "n" sur R. À "n" vecteurs "x",..., "x" de "E" est associé un parallélotope. Il est défini comme la partie de "E" formée par l'ensemble des combinaisons des "x" à coefficients compris entre 0 et 1 Il convient de voir dans ce parallélotope une sorte de "pavé oblique".  Lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire, il est possible de définir le volume de ce parallélotope, parfois appelé son hypervolume pour souligner que la dimension de l'espace concerné n'est pas forcément 3. Il vérifie les propriétés suivantes :  Un changement de produit scalaire sur l'espace "E" modifie les mesures de longueurs, angles, et par conséquent de volumes. Cependant la théorie des déterminants montrera qu'à une constante multiplicative près, il n'existe qu'une unique méthode de calcul des volumes dans un espace vectoriel de dimension "n".  En reprenant un espace vectoriel "sans structure particulière", la notion de déterminant a pour objectif de donner un sens intrinsèque au « volume » du parallélotope, sans référence à un produit scalaire par exemple, c'est-à-dire de construire une fonction "f", qui à "x",..., "x" associe un réel, et vérifie les propriétés précédentes. Une telle application est appelée une forme "n"-linéaire alternée.

Formes "n"-linéaires alternées.

La notion de forme "n"-linéaire alternée généralise les propriétés précédentes. Elle se définit comme une application de "E" dans R, qui est :  L'article détaillé procède à l'étude systématique des formes "n"-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension "n".  Le résultat principal est la possibilité de ramener le calcul de l'image de formula_28 à celui d'images des vecteurs de base par "n"-linéarité. En outre le caractère alterné permet de changer l'ordre des vecteurs, de sorte qu'il suffit de connaître l'image formula_29 des vecteurs d'une base, pris dans l'ordre, pour connaître "f". Remettre les vecteurs dans l'ordre fait intervenir la notion de permutation.

Déterminant d'une famille de "n" vecteurs dans une base.

Définition  On suppose "E" muni d'une base formula_30. On peut se représenter cette quantité comme une sorte de volume de pavé, relativement à la base "B".  Formule de Leibniz Soient "x",..., "x" des vecteurs de "E". Il est possible de représenter ces "n" vecteurs par "n" matrices colonnes, formant par juxtaposition une matrice carrée "X".  Le déterminant de "x",..., "x" relativement à la base "B" vaut alors  Cette formule porte parfois le nom de Leibniz. Elle présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet d'établir plusieurs résultats théoriques.  En physique, on rencontre souvent la formule de Leibniz exprimée à l'aide du symbole de Levi-Civita, en utilisant la convention d'Einstein pour la sommation des indices :  Formule de changement de base  Si "B" et "B" sont deux bases de "E", les applications déterminants correspondantes sont proportionnelles (avec un rapport non nul)  Ce résultat est conforme à l'interprétation en termes de volume relatif.

Déterminant d'une matrice.

Soit une matrice "A" = ("a") carrée d’ordre "n" à coefficients réels. Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel R. Ce dernier est muni d'une base canonique.  Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice "A" comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique. Il est noté det("A") puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence.  Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut 1. Enfin il vérifie la formule de Leibniz :  Ce déterminant se note fréquemment avec des barres verticales :  La présentation matricielle apporte une propriété essentielle : une matrice a le même déterminant que sa transposée  ce qui signifie que le déterminant de "A" se voit aussi comme le déterminant du système des vecteurs lignes, relativement à la base canonique.

Déterminant d'un endomorphisme.

Soit "u" un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les matrices représentatives de "u" ont le même déterminant. Cette valeur commune est appelée déterminant de "u".  Le déterminant de "u" est la valeur par laquelle "u" multiplie les déterminants de vecteurs  Notamment, les endomorphismes de déterminant 1 conservent le déterminant des familles de vecteurs. Dans le groupe GL("E"), ils forment un sous-groupe, noté SL("E") et appelé groupe spécial linéaire. Dans un espace réel de dimension 2, ils se conçoivent comme les applications linéaires conservant les aires orientées, en dimension trois les volumes orientés.  On démontre que ce groupe est engendré par les transvections, dont la matrice dans une base adaptée est de la forme  Par construction même du déterminant des endomorphismes, deux matrices semblables ont même déterminant.

Propriétés.

Quitte à effectuer le choix d'une base, il est possible d'énoncer ces propriétés dans le cadre matriciel.

Caractère "n"-linéaire alterné.

L'application déterminant sur les familles de vecteurs est une forme multilinéaire alternée. Utiliser cette propriété sur une matrice demande d'exprimer le système de vecteurs colonnes, ou de vecteurs lignes.  Par exemple si la matrice "A" admet pour colonnes "C"..., "C" avec "C" de la forme "C = aC'+ C''"  Voici l'effet des opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice :  Notamment, si toutes les colonnes sont multipliées par "a", le résultat est une multiplication par "a" du déterminant  En revanche, il n'existe "pas de formule simple exprimant le déterminant de la somme A + B de deux matrices". En effet, appliquer la multilinéarité par rapport aux colonnes demande d'écrire les colonnes de la somme comme "A + B", puis d'appliquer "n" fois la propriété de linéarité. Finalement, le déterminant de "A + B" se scinde en une somme de 2"" déterminants hybrides det("A", "A", "B", "A"..., "B"), formés d'un certain nombre de colonnes de "A" et de "B". Cependant, cette somme peut s'écrire assez simplement à l'aide des mineurs de "A" et de "B".  Il est possible d'effectuer également des opérations élémentaires sur les lignes, qui ont les mêmes propriétés que les opérations sur les colonnes. Opérer sur les lignes suivant la technique du pivot de Gauss fournit une méthode systématique de calcul des déterminants ; c'est la méthode la plus efficace en règle générale, et on montre que son temps de calcul est de l'ordre de O("n"), c'est-à-dire en gros proportionnelle au cube du nombre de lignes de la matrice.

Propriétés de morphisme et d'annulation.

Cas d'annulation des déterminants  Ces propriétés expliquent le rôle essentiel que peuvent jouer les déterminants en algèbre linéaire. Ils constituent un outil fondamental pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base.  Propriété de morphisme Ainsi, le déterminant est un morphisme de groupes de GL(R) dans (R*, ×). En particulier, si formula_40 est inversible alors formula_41.  Il existe une généralisation de la formule de déterminant d'un produit pour le cas de deux matrices rectangulaires : c'est la formule de Binet-Cauchy.

Cofacteurs et formule de récurrence.

La comatrice d'une matrice carrée de taille est la matrice carrée de même taille, notée formula_42, définie par :  Formules de Laplace On peut calculer le déterminant d'une matrice carrée en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant de taille à celui de déterminants de taille. Le déterminant de la matrice vide est égal à.  Formules de développement :  Comatrice et calcul de l'inverse  La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :  La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de. Notamment si formula_47, alors est inversible et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire. Ce résultat, d'intérêt principalement théorique, ne nécessite « que » des calculs de déterminants :

Variations de la fonction déterminant.

La formule de Leibniz montre que le déterminant d'une matrice "A" s'exprime comme somme et produit de composantes de "A". Il n'est donc pas étonnant que le déterminant ait de bonnes propriétés de régularité.

Déterminant dépendant d'un paramètre.

Si formula_49 est une fonction de classe C à valeurs dans les matrices carrées d'ordre "n", alors formula_50 est également de classe C.  La formule de dérivation s'obtient en faisant intervenir les colonnes de "A"

En mathématiques, le déterminant fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples.

Determinant je zobrazení v lineární algebře, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A. Determinantem čtvercové matice řádu formula_1 nazýváme součet všech součinů formula_1 prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.


Géographie.

Novossibirsk est située dans le Sud-Ouest du district fédéral sibérien. La ville s’étend dans la plaine de Sibérie occidentale et est construite sur les deux rives de l' venant de l’Altaï.  Le climat est fortement continental, avec des hivers froids (, mais pouvant atteindre ) et neigeux et des étés tièdes et humides par moments (c’est la période de l’année où il y a les plus grosses précipitations).

Histoire.

Novossibirsk fut fondée en 1893 près du pont du chemin de fer Transsibérien enjambant le fleuve. De 1893 jusqu’en 1925, elle est nommée Novonikolaïevsk (), d’après Nicolas II de Russie. La cathédrale Saint-Alexandre-Nevski est le premier bâtiment en pierre et en briques à être construit en ville en 1896-1899.  C'est à partir de 1957 que fut construite à l'initiative de l'académicien Mikhaïl Lavrentiev la grande cité académique d'Akademgorodok, à du centre-ville.

Urbanisme.

Les deux monuments phares sont la gare du Transsibérien et le théâtre d'opéra et de ballet de Novossibirsk, le plus grand de Russie, qui marque le centre de la ville à proximité de "Krasny Prospekt" (Avenue rouge), l’artère principale de la ville. La gare ferroviaire "Novossibirsk glavniy" est une des plus grandes du pays et est desservie par le Transsibérien. Selon ses concepteurs, le bâtiment reproduirait la forme d'une ancienne locomotive. La ville s'est grandement développée dans les années 1930 et certains édifices de cette époque sont classés au patrimoine national, comme l'immeuble des cent-appartements.  Le métro de Novossibirsk comprend deux lignes, dont l’une traverse l’Ob sur un pont couvert (c'était le plus long pont de métro lors de sa construction). La longueur totale du réseau est de et comporte. Le système de transport en commun comporte également de tramway ( de lignes ) et de trolleybus ( en 2017).  Par ailleurs, Akademgorodok (la « cité des Académiciens »), a été prévue pour accueillir dans un cadre agréable et loin des frontières les scientifiques de toutes disciplines de l’Union soviétique. L’ensemble, avec ses maisons individuelles harmonieuses présente un aspect pavillonnaire cossu rare dans

Activités économiques.

Les industries principales sont la métallurgie, la fabrication de machines et le nucléaire (usine de concentrés chimiques de Novossibirsk). Par ailleurs, l’important trafic de marchandises entre l’est et l’ouest sur la ligne du Transsibérien qui mène jusqu’en Chine en fait un nœud de transport, de logistique et de négoce important ainsi qu’un centre bancaire.  Elle abrite également un marché d’automobiles japonaises, où la majeure partie des voitures japonaises d’occasion de Russie sont importées et échangées.

Transports.

La ville est desservie par l'aéroport Tolmachevo.  La gare centrale de Novossibirsk est un point d'arrêt important du Transsibérien.

Enseignement et recherche.

La ville abrite l’une des meilleures universités du pays (l’université d'État de Novossibirsk), plusieurs instituts et des centres de recherche scientifique (situés pour l’essentiel à Akademgorodok, un quartier à ).  Depuis 1980, après que les services de santé publique ont officiellement détruit les différent échantillons de la variole à travers le monde, l'Organisation mondiale de la Santé a séparé les derniers échantillons restant dans deux laboratoires: un à Atlanta dans le "CDC lab" et l'autre dans un laboratoire Russe à Novosibirsk.

Culture.

La vie culturelle est très présente, avec notamment la troupe d’opéra, le corps de ballet, l’art plastique et l’artisanat sibérien. Le théâtre d'opéra et de ballet de Novossibirsk est le plus grand théâtre de Russie. La ville contient aussi le Théâtre «"Le Flambeau Rouge"», dirigé depuis 2015 par Timofeï Kouliabine. La ville accueille par ailleurs une Alliance française.  Le Musée du Soleil se trouve à Akademgorodok, cité scientifique de Novossibirsk. Ce musée est le premier au monde et unique en Russie.

Jumelages.

La ville de Novossibirsk est jumelée avec :

Novossibirsk (en, ) est une ville de Russie, en Sibérie occidentale, et la capitale administrative de l’oblast de Novossibirsk. Elle est située à à l'ouest-nord-ouest d'Irkoutsk et à à l’est-nord-est de Moscou. Avec une population de en 2016, Novossibirsk est la troisième plus grande commune de Russie et la principale métropole russe à l'est de l'Oural ainsi que la capitale du district fédéral sibérien.

Novosibirsk (, do roku 1925 Novonikolajevsk) je ruské město na řece Ob v jihovýchodní části Západosibiřské roviny, administrativní centrum Sibiřského federálního okruhu a Novosibirské oblasti. Žije zde obyvatel.


Biographie.

Jeunesse.

Hamilton est né à Dublin, son père est Archibald Hamilton. Une des branches de la famille écossaise à laquelle il appartient s'était installée dans le nord de l'Irlande au temps de Jacques I d'Écosse, ce qui a parfois donné l'impression que Hamilton était écossais. Hamilton est éduqué par James Hamilton, un prêtre anglican qui était son oncle.  Enfant prodige, son génie se révéla tout d'abord dans sa capacité à apprendre les langues. À l'âge de 7 ans, il a déjà fait des progrès considérables en hébreu et, à l'âge de 13 ans, sous la direction de son oncle qui est linguiste, il a déjà acquis autant de langues qu'il a d'années.  Ces langues étaient, outre les langues européennes classiques et modernes, le persan, l'arabe, l'hindousthânî, le sanskrit et le malais. Bien que jusqu'à la fin de sa vie il ait retenu beaucoup de son apprentissage singulier du persan et de l'arabe, qu'il lit dans le texte entre deux tâches plus ardues, il a depuis longtemps abandonné leur étude, et les pratique simplement pour se relaxer.  Hamilton fait partie d'une petite mais brillante école de mathématiciens associée au Trinity College de Dublin, où il passa toute sa vie. Il étudie les classiques et les sciences et est nommé professeur d'astronomie en 1827, avant même d'être diplômé.

Études mathématiques.

Il semble que Hamilton étudie les mathématiques sans aucune sorte d'assistance et ses recherches ne font donc partie d'aucune "école", à moins qu'on ne considère qu'elles ne forment à elles seules une école.  À l'âge de douze ans Hamilton rencontre le jeune prodige américain et ils testent mutuellement leur habileté arithmétique lors de compétitions. Il semble que cela pousse Hamilton à accroître ses connaissances en mathématiques.  Deux ans auparavant, il était tombé accidentellement sur une copie des "Éléments" d'Euclide qu'il dévora avidement. Il entreprit alors l'étude de l"'Arithmetica Universalis" de Newton qui est son introduction à l'analyse mathématique moderne.  Rapidement, il se lança dans la lecture des "Principia" et à seize ans il en maîtrisait une grande partie ainsi que celle de quelques œuvres plus modernes sur la géométrie analytique et le calcul différentiel.  Durant cette période, Hamilton est engagé en vue de son entrée au Trinity College de Dublin et doit donc consacrer une partie de son temps aux classiques. Lors de l'été 1822, alors âgé de dix-sept ans, il commence une étude systématique de la "Mécanique Céleste" de Laplace. Rien ne peut mieux convenir pour faire appel à des capacités mathématiques comme celles de Hamilton ; en effet cette grande œuvre de Laplace est riche en procédés analytiques variés mais aussi nouveaux et requiert une étude soignée et souvent laborieuse.  C'est dans ce fructueux effort pour ouvrir cette "boîte aux trésors" que l'esprit de Hamilton reçoit sa trempe finale.  À partir de cette époque, Hamilton semble se consacrer presque entièrement à la recherche en mathématiques, bien qu'il se tienne parfaitement au courant des progrès de la science, en Grande Bretagne et à l'étranger. Lorsqu'il détecte une erreur importante dans une des démonstrations de Laplace, un ami le pousse à écrire ses remarques, qui pourraient être signalées à John Brinkley alors le premier "Astronomer Royal" pour l'Irlande et mathématicien accompli. Brinkley semble discerner immédiatement les talents du jeune Hamilton et l'encourage de la façon la plus aimable.  La carrière de Hamilton à l'université est exceptionnelle. Parmi un certain nombre de concurrents aux mérites plus qu'ordinaires, il est premier dans chaque sujet et à chaque examen. Par exemple, il réalise la rare prouesse d'obtenir la note maximale à la fois en grec et en physique.  Il était attendu que Hamilton gagne les deux médailles d'or à l'examen final mais sa carrière d'étudiant fut abrégée par un événement sans précédent, sa nomination comme "" d'Irlande, poste devenu vacant à la suite de la nomination de Brinkley à l'épiscopat, ainsi que sa nomination peu de temps après au poste de professeur d'astronomie de Trinity College.  Le poste ne lui a pas été exactement offert, comme cela a parfois été affirmé, mais les électeurs, s'étaient réunis, avaient abordé le sujet, et avaient autorisé l'un d'entre eux, qui était l'ami personnel de Hamilton, de l'inviter à se porter candidat ; une initiative que la modestie de Hamilton l'avait empêché de prendre.  À vingt-deux ans et encore sans diplôme, Hamilton s'établit à l'observatoire Dunsink, près de Dublin. Hamilton ne convient pas spécialement à ce poste car, bien qu'ayant une connaissance approfondie de l', il n'a porté que peu d'attention au travail normal d'un astronome.  Comme son temps est mieux utilisé pour des recherches originales qu'à effectuer des observations, même avec le meilleur des instruments, les autorités de l'université qui l'avaient choisi veulent qu'il consacre son temps au mieux pour l'avancement de la science, sans être attaché une branche particulière. Si Hamilton avait voulu se consacrer à l'astronomie pratique, nul doute que l'université de Dublin lui aurait fourni des instruments et une équipe d'assistants adéquate.  En 1835, alors secrétaire de la réunion de la British Association qui se tient cette année-là à Dublin, il est anobli par le Lord Lieutenant. Cette même année, il est lauréat de la Royal Medal. Mais des honneurs bien plus importants se succèdent rapidement, parmi lesquels son élection en 1837 à la place de président de la Royal Irish Academy, et la rare distinction d'être membre correspondant de l'Académie des sciences de Russie.

Travaux.

Optique et dynamique.

William R.Hamilton a apporté d'importantes contributions en physique mathématique, surtout en optique et en dynamique.  Sa première découverte paraît dans un des premiers écrits qu'il communique au Dr Brinkley en 1823 et qui sous le titre de "Caustics" (caustique) est présenté en 1824 à la Royal Irish Academy. L'article est, comme d'habitude, soumis à un comité de lecture. Leur rapport, bien que reconnaissant la nouveauté et la valeur de son contenu, recommande qu'avant publication, l'article soit d'abord développé et simplifié.  Entre 1825 et 1828, l'article prend une ampleur considérable, principalement par l'ajout de détails demandés par le comité ; mais il est aussi rendu beaucoup plus compréhensible et les particularités de la nouvelle méthode deviennent parfaitement apparentes.  En 1827, il présente la théorie d'une unique fonction qui unifiait mécanique, optique et mathématiques et qui aida à établir la théorie ondulatoire de la lumière. L'article est finalement nommé "Theory of Systems of Rays" (, "Théorie des systèmes de rayons") et la première partie est publiée en 1828 dans les "Transactions of the Royal Irish Academy". Le principe variationnel, aussi appelé "principe de Hamilton", est l'élément essentiel de ces articles. Ce principe, reformulé par Jacobi, aboutit à une formulation alternative de la mécanique classique ; elle est actuellement connue sous le nom de "mécanique hamiltonienne".  Cette formulation, comme la mécanique lagrangienne sur laquelle elle est fondée, est très mathématique et n'apporte rien de nouveau à la physique mais fournit une méthode plus puissante pour résoudre les équations du mouvement. Les mécaniques lagrangienne et hamiltonienne ont été développées pour décrire le mouvement de systèmes discrets ; elles furent étendues aux systèmes continus utilisant des champs. Sous cette forme, elles sont utilisées en électromagnétisme et en mécanique quantique ou relativiste.

Quaternions.

L'autre grande contribution de Hamilton, en mathématique pure cette fois, est l'invention des quaternions. Il les découvre en 1843 alors qu'il cherche une façon d'étendre les nombres complexes à des dimensions supérieures à 2.  Il ne trouve rien en dimension 3, mais la dimension 4 le conduit aux quaternions. Selon l'histoire racontée par Hamilton, le, alors qu'il se promène avec son épouse le long du "Royal Canal" à Dublin, la solution lui vint soudainement à l'esprit: formula_1 ; il s'empresse alors de graver cette équation sur le "Brougham Bridge" (actuellement "Broom Bridge").  Depuis 1989, la "National University of Ireland, Maynooth" organise un pèlerinage où des mathématiciens (notamment Murray Gell-Mann en 2002 et Andrew Wiles en 2003) parcourent le chemin depuis l'observatoire de Dunsink jusqu'au pont, où on ne peut plus voir trace de cette inscription.  L'introduction des quaternions a une conséquence, considérée comme essentielle à l'époque : l'abandon de la commutativité. Avec les quaternions, Hamilton invente aussi le mot "vecteur" : en effet, il décrit les quaternions comme une suite ordonnée de 4 nombres réels et appelle le premier "la partie scalaire" et les trois autres "la partie vecteur".  Ses résultats sur les quaternions sont exposés dans "Lectures on Quaternions" (Dublin, 1852) mais Hamilton essaya aussi de populariser ceux-ci dans plusieurs ouvrages, dont le dernier, "Elements of Quaternions", comporte 800 pages et fut publié peu après sa mort.  Hamilton pensait que les quaternions auraient une grande influence comme instrument de recherche et Peter Guthrie Tait, parmi d'autres, plaide pour leur utilisation. Certains des partisans de Hamilton s'opposent à l'algèbre vectorielle, développée notamment par Oliver Heaviside et Willard Gibbs, car les quaternions, selon eux, offrent une meilleure notation. Les quaternions ne peuvent être utilisés dans un nombre quelconque de dimensions (bien que des extensions, comme les octonions ou les algèbres de Clifford existent).  Aussi, bien que les quaternions permettent certaines démonstrations élégantes et concises, les quaternions sont rarement utilisés par les mathématiciens du ; la notation vectorielle ayant remplacé les quaternions en sciences et en ingénierie durant la moitié du. Les quaternions unitaires font l'objet d'un usage intensif dans des branches comme la synthèse d'image et l'animation, le traitement du signal et la mécanique orbitale, principalement dans la manipulation des rotations ou des orientations.

Divers.

Hamilton avait l'habitude de laisser mûrir ses idées avant de les coucher sur papier. Les découvertes, articles et ouvrages mentionnés précédemment auraient déjà suffi à remplir une longue et laborieuse vie. Mais même sans mentionner son énorme quantité de volumes se trouvant maintenant au Trinity College de Dublin, ces travaux ne constituent qu'une partie de ceux qu'il a publiés.  Hamilton étudia longuement ce qui concerne les solutions algébriques des équations du cinquième degré. Les résultats de ces recherches, utilisés entre autres par Niels Abel et George Jerrard, sont une autre de ses contributions à la science. Il étudia aussi en profondeur les solutions (notamment par approximation numérique) de certaines classes d'équations différentielles dont seulement quelques éléments furent publiés, par intervalles, dans le "Philosophical Magazine". On lui doit aussi l'invention très ingénieuse de l'hodographe.  Hamilton a entretenu aussi une correspondance très volumineuse. Souvent, une seule de ses lettres occupait cinquante ou cent pages à l'écriture serrée, toutes consacrées aux considérations minutieuses de chaque détail d'un problème particulier. C'était, en effet, une des caractéristiques de son esprit de ne pouvoir se satisfaire de la compréhension générale d'une question ; il n'abandonnait jamais un problème tant qu'il ne l'avait pas étudié dans ses moindres détails. Hamilton était aussi très courtois pour répondre à des demandes d'aide concernant l'étude de ses travaux, et cela même quand ça lui prenait une grande partie de son temps. Il était aussi extrêmement précis et difficile à satisfaire en ce qui concernait le soin apporté à la finition de ses travaux pour publication et c'est probablement pour cette raison qu'il ne publia que si peu en comparaison de l'étendue de ses recherches.  Hamilton garda ses facultés intactes jusqu'à la fin et, à un ou deux jours de sa mort, il poursuivait encore assidûment le développement de ses "Elements of Quaternions", tâche qui avait occupé les six dernières années de sa vie.

Sir William Rowan Hamilton ( - ) est un mathématicien, physicien et astronome irlandais (né et mort à Dublin). Il est connu pour sa découverte des quaternions, mais il contribua aussi au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre. Ses recherches se révélèrent importantes pour le développement de la mécanique quantique.

Sir William Rowan Hamilton (4. srpna 1805, Dublin – 2. září 1865, Dublin) byl irský matematik, fyzik a astronom. Je znám především tím, že jako první popsal kvaterniony, ale přispěl i k rozvoji optiky, dynamiky, a algebry.


Athènes.

On l'attribue traditionnellement à Clisthène, mais le premier vote d'ostracisme n'eut lieu qu'en 488 av. J.-C., si l'on en croit Aristote. Il n'y a pas lieu, cependant, de rejeter le témoignage unanime des Anciens. Après les expulsions en masse qui eurent lieu au, et qui frappaient collectivement des "genè", des familles entières, on décida de proscrire seulement les tyrans et leurs fils, en prévenant les autres membres des Pisistratides que s'ils venaient à troubler l'ordre public, ils seraient expulsés pour dix ans. Ils se tinrent cois longtemps.  Après la première guerre médique, cependant, ils furent suspectés d'intelligence avec le tyran Hippias, et on châtia les amis des tyrans (487 av.J.-C.). L'ostracisme fut décrété contre Hipparque, fils de Charmos, devenu le chef de la famille, en 486, contre l'Alcméonide Mégaclès le Jeune, fils d'Hippocrate, et en 485 av. J.-C. contre Alcibiade l'Ancien.

La procédure.

Elle se déroulait en deux temps. Chaque année, durant la sixième prytanie entre janvier et février, période où les citoyens pouvaient se rendre en masse à la ville, les récoltes étant engrangées, l’"ecclésia" votait d'abord pour savoir si l'on devait procéder à un ostracisme. Le vote s'effectuait à main levée, il n'y avait pas de débats et les noms des suspects n'étaient pas révélés.  Si l'accord se faisait sur le principe de l'ostracisme, l'assemblée du peuple se réunissait ensuite une deuxième fois au cours de la prytanie suivante, en assemblée solennelle et plénière (catecclésia). Le quorum était de, mais selon Plutarque, il s'agissait de six mille suffrages exprimés, et selon Philochore, de six mille suffrages réunis sur le même nom. Cette seconde hypothèse est la plus probable. Cette procédure n'avait de sens qu'avant les élections, lesquelles se tenaient chaque année de la septième à la neuvième prytanie. Au cours de cette séance décisive d’"ostracophorie", chaque citoyen qui souhaitait voter inscrivait sur un tesson de céramique ou éventuellement une coquille d'huître (d'où le mot "ostracon") le nom de la personne dont le bannissement hors d'Athènes lui semblait nécessaire au bien public. Il n'y avait encore une fois pas de débat. Le bureau était constitué par les neuf archontes entourés de la Boulè au complet. Les citoyens portaient ensuite leur tesson. Les magistrats comptaient alors le nombre des tessons. Le résultat du scrutin était proclamé sur la Pnyx. Si la majorité des six mille suffrages s'était dégagée sur un nom lors du vote, la personne devait quitter la cité dans les dix jours et pour dix ans ; cette peine demeurait souvent théorique, car beaucoup d'ostracisés étaient rappelés par anticipation. À l'origine, l'ostracisé pouvait s'établir où il voulait hors de l'Attique, mais en 480, il lui fut interdit de le faire en deçà du cap Géraistos (Eubée) et du cap Skyllaion, à l'est de l'Argolide, car on craignait qu'un homme influent ne puisse continuer à peser sur la vie publique d'Athènes s'il restait trop près du territoire de la cité.

Utilité de l'ostracisme.

Au plan de la politique extérieure d'Athènes, quand la situation présentait un danger, l'intérêt supérieur de la cité commandait d'empêcher que s'installe un dissentiment continuel sur la question de la défense nationale : ce fut le cas face au danger perse. Au fur et à mesure que Thémistocle faisait prévaloir ses vues concernant la nécessité d'une grande flotte capable de résister à celle de Xerxès Ier, ses adversaires, Xanthippos et Aristide le Juste furent ostracisés respectivement en 484 et 483. L'ostracisme rendait ainsi service à Athènes en mettant fin aux luttes des factions qui risquaient d'entraver le fonctionnement de l'État. L'union sacrée se forma de nouveau en 481, quand un décret d'amnistie annula ces mesures d'ostracisme.  Au plan de la politique intérieure, l'ostracisme fut surtout utilisé comme arme politique dans les rivalités entre hétairies (factions aristocratiques) dans le premier quart du Après la disparition des tyrans et la défaite des Mèdes, l'ostracisme ne servit plus aux factions qu'à se décapiter réciproquement : Thémistocle fut ostracisé par les partisans de Cimon en 472, et Cimon, en 461 par les partisans d’Éphialtès. Périclès vit son ami Damon ostracisé avant de faire frapper d'ostracisme à son tour, en 443, son principal adversaire, Thucydide, fils de Mélèsias. L'ostracisme employé hors de propos est alors un outil émoussé. L'analyse graphologique des centaines d'ostraca retrouvés lors des fouilles de l'agora a montré que pour un vote donné seule une dizaine de mains différentes avaient inscrit les noms sur les tessons : ce serait la preuve que ces tessons étaient faits à l'avance et distribués par les responsables de ces factions à leur clientèle, dont le vote était ainsi dirigé. La littérature antique apporte en outre l'exemple d'une entente entre adversaires pour échapper à l'ostracisme qui les menaçait : ainsi Plutarque rapporte comment Hyperbolos fut ostracisé en 417 grâce à une entente entre Nicias et Alcibiade, qui devaient être les protagonistes de l’"ostracophorie" cette année-là ; au dernier moment leurs partisans à tous les deux prirent peur et s'unirent en votant contre un misérable politicien. Ce fut la fin de l'ostracisme.  Plutarque, dans la "Vie d'Aristide", évoque l'ostracisme d'Aristide le Juste par une anecdote intéressante : alors qu'on votait à Athènes pour son ostracisme, un paysan illettré demanda à un homme distingué de l'aider à inscrire sur son tesson ("ostrakon") le nom d'Aristide. L'homme lui demanda ce qu'il reprochait à Aristide. « Rien » répondit le paysan.. À la suite de cela, Aristide écrivit honnêtement sur le tesson le nom qu'on lui demandait.  La disparition de l'ostracisme s'explique par la possibilité d'utiliser d'autres méthodes, moins lourdes (sans nécessité de quorum), pour écarter des adversaires politiques : la plus importante d'entre elles est l’"isangélie", procédure de mise en accusation d'un magistrat devant l'assemblée.

Pétalisme.

Après la tentative échouée de reprise du pouvoir par les tyrans à Syracuse s’appuyant sur les pauvres menés par Tyndaridès, les démocrates instituent le pétalisme, à l’imitation de l’ostracisme athénien. À Athènes comme à Syracuse, l'institution s'appelle « pétalisme », car on écrivait les noms sur des feuilles d'olivier ( / "petalon"). La durée du bannissement était de cinq ans. Diodore de Sicile ne date pas précisément l'époque où cette procédure fut en vigueur. Il précise qu'elle est postérieure à la condamnation à mort en 454 de Tyndaridès, qui aspirait à la tyrannie, et qu'elle fut abrogée peu de temps après sa promulgation, car jugée contre-productive, dissuadant des citoyens valables de participer aux affaires publiques. Hermocrate en 411 et Dioclès en 408 furent bannis de Syracuse, sans qu'on sache quelle fut la procédure utilisée.

Argos.

On sait par Aristote que l'ostracisme était pratiqué à Argos comme à Athènes.

Éphèse.

Hermodore, ami d'Héraclite, fut exilé par les Éphésiens en ces termes : « Qu’il n’y ait personne qui soit meilleur que nous ; s’il y en a un, qu’il aille vivre avec d’autres gens ». Cette simple indication, qui ne renseigne ni sur la durée de la peine ni sur la procédure utilisée, ne permet pas d'établir une similitude avec l'ostracisme athénien au-delà du caractère anti-aristocratique de la formule.

L’ostracisme (en grec ancien ) était un vote par lequel l’"Ecclésia" (l'assemblée des citoyens) prononçait le bannissement de l'un de ses citoyens, dont le nom était inscrit sur un tesson de céramique désigné par le terme ostrakon, signifiant coquille d'huître. Durant la période de bannissement, l’"Ecclésia" conservait ces tessons, "ostraca", où figuraient les noms des exilés. Athènes et quelques autres cités, au, ont instauré une institution qui permettait de bannir pendant dix ans un citoyen, sans que celui-ci perdît ses biens. C'était une mesure d'éloignement politique, un simple vote de défiance à l'égard d'un citoyen influent soupçonné d'aspirer au pouvoir personnel : ce n'était pas une peine judiciaire, cette sanction n'étant pas une condamnation pénale : elle ne s'accompagnait pas de peine pécuniaire, et les droits civiques étaient conservés. Cette importante institution apparaît donc marquée d'un esprit d'humanité tant dans la procédure suivie que dans la peine prononcée.

Ostrakismos je v původní formě takzvané "střepinové hlasování" o vypovězení občana ze starověkých Athén, podle řeckého názvu pro střep "ostrakon". V současné době se pojem, obvykle v polatinštěné podobě ostrakismus, používá obecně, ostrakizovat znamená vyloučit jedince z kolektivu.


Étymologie et histoire.

Le terme de "général" résulte d'une substantivation remontant à la fin du de l'adjectif "général" utilisé pour caractériser le rôle d'un officier militaire, tel que le capitaine général et le lieutenant général. Le général est donc le chef militaire situé au sommet de la hiérarchie.  Le terme est couramment employé pour désigner les chefs militaires de différentes époques et sociétés, y compris celles dans lesquelles le concept d'officier militaire n'existe pas, comme l'armée romaine ou les armées grecques de l'Antiquité.

Hiérarchie des généraux par pays.

: dans certains pays, le grade de « brigadier » se situe au même niveau que le général de brigade, mais il peut ne pas être considéré comme un grade de général.

Algérie.

En Algérie, les trois grades d'officiers généraux sont communs à toutes les armées qui composent l'Armée nationale populaire (ANP) ; ces grades sont les suivants, dans l'ordre hiérarchique ascendant :

Allemagne.

Lorsqu'il est employé seul, suivi ou non d’un complément de nom, "General" est un grade militaire de l’Armée allemande.  Utilisé depuis le, le rang de classement de ce grade, parmi les officiers généraux, dépend de la période concernée.  Avant la création de la Bundeswehr en 1955, il correspondait au grade de général de corps d'armée tel qu'il se présente dans la hiérarchie militaire française actuelle.  Depuis 1955, il correspond au grade de général d'armée de la hiérarchie militaire française.

Belgique.

Généralité.

En Belgique, les quatre grades d'officiers généraux sont les suivants, dans l'ordre ascendant :  Les grades sont identiques dans l'Armée de l'air, même si les insignes diffèrent.

Rang supérieur : général.

En Belgique, le général est le quatrième et plus haut grade des officiers généraux dans les composantes « terre » et « air ». Il est donc supérieur au grade de lieutenant-général dans ces composantes.  L'insigne du général est constitué d'une épaulette à quatre molettes dans la composante « terre », de deux larges galons accompagnés de quatre galons plus fins, dans les composantes « air » et « médicale ».  Dans la composante « marine », le grade correspondant est celui d’Amiral.  On s'adresse à un général en disant. On s'adresse à un amiral en disant.

Brésil.

Dans l'Armée de terre brésilienne, il y a trois titres de généraux: Général de brigade (deux étoiles), Général de division (trois étoiles) et Général d'armée (quatre étoiles). Le seul rang qui soit supérieur est celui de Maréchal (cinq étoiles), qui n'est attribuable qu'en temps de guerre.

Canada.

Dans l'Armée canadienne et l'Aviation royale canadienne des Forces armées canadiennes, il y a quatre grades d'officiers généraux. Ces grades sont dans l'ordre ascendant : le brigadier-général, le major-général, le lieutenant-général et le général.  Dans l'Armée canadienne, les militaires ayant ces grades portent sur l'épaulette, en plus de deux épées croisées, un nombre variable de feuille (de une à quatre comme les anglo-saxons) et de couronnes.  Dans l'Aviation royale canadienne, les généraux portent une grande bande et un nombre variable de petite bandes sur les manches qui correspond à leur grade et un nombre variable de feuilles d'érable sur les épaulettes qui va de un à quatre en plus de deux épées croisées surmontées d'une couronne.  Il n'y a qu'un général dans les Forces armées canadiennes et il occupe la position de chef d'État-Major de la Défense. Cependant, les anciens chefs d'État-Major qui accèdent à d'autres fonctions peuvent continuer à porter leur grade : cela a été notamment le cas avec le général Raymond Hénault qui est devenu le président du Comité militaire de l'OTAN ; cela a aussi été le cas et avec le général Maurice Baril qui est devenu le président de la commission d'enquête sur le décès de quatre soldats canadiens en Afghanistan.

États-Unis.

Les États-Unis ont cinq grades de général au sein de leurs forces armées : brigadier général, major général, lieutenant général, général et "General of the Army", ce dernier grade étant réservé à des périodes de guerre.  Il existe également un grade spécial de général, intitulé "General of the Armies", qui est considéré comme étant le plus haut grade de toute l'Armée de terre américaine, bien qu'il ne fasse pas officiellement partie des grades de l'US Army.

France.

Les généraux.

Il existe en France quatre titres de généraux. À chaque titre correspond un certain nombre d'étoiles, une de plus que dans la majorité des autres armées mondiales, puisqu'il n'existe pas de général « une étoile » en France. Les appellations et signes distinctifs sont : Officiellement il n'existe que deux grades dans le corps des généraux, celui de et celui de. Les généraux de division accèdent aux rangs supérieurs en étant de puis de.

La dignité de maréchal de France.

Le maréchal de France porte sept étoiles d'argent. Le maréchalat n'est pas un grade ou un rang mais une. Autrefois conférée à un général ayant commandé en chef devant l'ennemi, cette dignité ne peut aujourd'hui être attribuée qu'à un officier général victorieux.

Historique.

Le terme date du. Il est d'abord employé par opposition au terme qui désigne les propriétaires d'unités.

Effectifs des généraux en activité.

En 2007, on comptait généraux en activité dans les armées dont 202 pour l’Armée de terre, 120 pour la direction générale de l'Armement, 81 pour l’Armée de l’air, 80 pour le contrôle général des armées, 65 pour la Marine nationale, 54 pour la Gendarmerie nationale, 3 pour le Service des essences des armées.  Au, on ne comptait plus que en activité dont 173 pour l'Armée de terre, 74 pour l'Armée de l'air et 52 pour la Marine, soit plus de 20 % en moins comparativement à 2007.

Japon.

Dans la force terrestre d'autodéfense japonaise. Dans la force aérienne d'autodéfense japonaise.

Pologne.

<gallery perrow="2" caption=" / général de brigade"> Fichier:Gbrygady m.png Fichier:Naramiennik Generał brygady land.png </gallery><gallery perrow="2" caption=" / général de division"> Fichier:Generał dywizji m.PNG Fichier:Naramiennik Generał dywizji land.png </gallery><gallery perrow="2" caption=" / général des armes"> Fichier:Gbroni m.png Fichier:Naramiennik Generał broni land.png </gallery><gallery perrow="2" caption="generał / général d'armée"> Fichier:General m.png Fichier:Naramiennik General.svg </gallery>

Royaume-Uni.

Le Royaume-Uni a trois grades de général, dans l'ordre hiérarchique ascendant : major général (en anglais : "major general") ; lieutenant général (en anglais : "lieutenant general") ; général (en anglais : "general"). En effet, le grade de "brigadier", bien qu'il soit équivalent à celui d'un général de brigade, peut être considéré comme un grade d'officier supérieur, qui serait intermédiaire entre ceux de "colonel" et de "major general".

Russie/Union Soviétique.

La Russie, tout comme l'Union Soviétique, compte quatre grades d'officiers généraux, dans l'ordre ascendant :

Suisse.

En Suisse, les officiers généraux correspondent aux grades suivants :  En temps normal, l'officier qui se trouve à la tête de l'armée suisse revêt le grade de commandant de corps et la fonction de chef de l'Armée. Le général de l'Armée suisse en temps de guerre doit être élu par l'Assemblée fédérale.

Un général est un chef militaire de haut rang commandant une grande unité militaire interarmes (gendarmerie, infanterie, cavalerie, génie, marine, aviation) longtemps appelée armée.

Generál je vojenská hodnost, která je v mnoha státech v hierarchii armády hodností nejvyšší. U některých dalších národů existuje (existovala) ještě vyšší hodnost maršál, někdy je však spíše čestná, bez nějakých dalších pravomocí. Hodnost generál je používána pozemními a některými vzdušnými ozbrojenými silami, v některých státech se objevuje i u policejních a dalších státních hierarchizovaných složek. V námořních ozbrojených silách je obvykle jejím ekvivalentem hodnost admirála. Ve většině armád slovo generál neoznačuje jednu konkrétní hodnost, ale soubor tzv. generálských hodností. Výjimečně však může označovat něco jiného, např. funkci vrchního velitele. Generál také může znamenat pouze obecně významného vojenského velitele, zejména pokud působil samostatně a jde o starověkou nebo středověkou osobnost.


Historique.

Les octonions ont été découverts en 1843 par, un ami de William Hamilton, qui les appela "octaves". Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés "octaves de Cayley" ou "algèbre de Cayley".

Définition.

Structure d'espace vectoriel.

L'espace O des octonions est un espace vectoriel réel de dimension 8 rapporté à une base notée (en anticipant légèrement la définition de la multiplication).  Autrement dit : chaque octonion s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire à coefficients réels de ces huit éléments : formula_1 et les deux opérations d'espace vectoriel (addition de deux octonions et multiplication à gauche d'un octonion par un réel) se font coordonnée par coordonnée.

Multiplication.

La multiplication des octonions est alors définie comme l'unique application bilinéaire, c'est-à-dire vérifiant formula_2 et dont les valeurs sur les vecteurs de base sont données par la table de multiplication ci-dessous :  On remarque immédiatement que :  Le choix initial de comme base est bien sûr arbitraire : comme on le verra plus loin, il y a bien d'autres choix pour et tels que, en posant et en choisissant convenablement, on obtienne la même table. Par ailleurs, étant donné un tel choix, une autre base est par exemple : la table est alors modifiée par des changements de signes.

Plan mnémotechnique de Fano.

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des "octonions unitaires" est donné par le diagramme ci-contre.  Ce diagramme à sept points et sept « cercles » (sur la figure plane, les segments joignant 3 points sont considérés comme des cercles en les prolongeant à l'infini de chaque côté où ils se rejoignent) est appelé le "plan de Fano" (il s'agit en fait du plan projectif construit sur le corps à deux éléments Z/2Z). Les cercles sont orientés dans ce diagramme. Les sept points correspondent aux sept éléments non réels de la base de O. Chaque paire de points se trouve sur un cercle unique, et chaque cercle traverse exactement trois points.  La même figure peut aussi être retracée (ou imaginée tracée) pour la plaquer sur une sphère où les 7 cercles seront plus évidents (tels les cercles gravés sur une boule de pétanque). Dans le "plan de Fano" toutefois, les cercles sont désignés comme des « droites ».  Soit un triplet ordonné de points situés sur un des cercles donné avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par : avec des permutations circulaires conservant l'ordre relatif donné par la direction du cercle :  Les multiplications opèrent avec la huitième dimension (réelle) de la manière suivante : Chacun des sept cercles engendre une sous-algèbre de O isomorphe aux quaternions H.

Conjugué.

Le "conjugué" d'un octonion formula_1 est donné par formula_4  La "conjugaison" est une involution de O et satisfait formula_5 (noter le changement dans l’ordre de succession).

Parties réelle et imaginaire.

La "partie réelle" de l’octonion est définie comme suit et sa "partie imaginaire" de sorte que pour tout octonion,  L’ensemble de tous les octonions "purement imaginaires" (dont la "partie réelle" est nulle) forme un R-sous-espace vectoriel de O de dimension 7, donc isomorphe à R. Ce n'est pas une sous-algèbre : par exemple, le carré d'un octonion purement imaginaire non nul est un réel strictement négatif.  L’ensemble de tous les octonions "purement réels" (dont la "partie imaginaire" est nulle) forme une sous-algèbre à une dimension de O, isomorphe à R.

Norme.

La "norme" d’un octonion "x" est définie comme la racine carrée d'un nombre réel positif : Cette "norme" correspond à la norme euclidienne sur R.

Inverse.

L’existence d’une norme sur O implique l’existence d’un inverse pour chaque élément non nul dans O. L’inverse de tout "x" non nul est donné par : formula_13

Construction de Cayley-Dickson.

À l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.  Le R-espace vectoriel produit H × H des couples de quaternions est par construction isomorphe à O, via l'application (définie en identifiant naturellement H à une sous-algèbre de O) : formula_14  Via cet isomorphisme, la multiplication dans O se transcrit dans H × H en : formula_15 où désigne le conjugué du quaternion.  L'espace H, muni de cette multiplication, forme donc une R-algèbre isomorphe à O (attention : O n'est pas une H-algèbre ni même un C-espace vectoriel).

Construction des octonions avec l'aide du corps à 8 éléments.

La construction de Cayley-Dickson rend ardue la vérification de certaines propriétés des octonions de la base canonique, soit celle ci-dessus, notamment de symétrie, (anti-) commutativité et (anti-) associativité, si on veut éviter de nombreux calculs fastidieux: par exemple, trouver quand (a,b,c étant des éléments de base) le signe correct dans (ab)c = +/– a(bc) est + ou – nécessite à priori 512 calculs (le cube de 8, nombre d'éléments de la base)... on peut certes simplifier ça un peu par diverses astuces, mais de meilleures possibilités existent, dont celle qui suit est intéressante en elle-même et surtout assez élégante. Il s'agit d'un détour par une autre construction des octonions rendant facile les propriétés en cause, après quoi on prouve aisément l'équivalence (à isomorphisme près) avec le résultat du processus de Cayley-Dickson appliqué aux quaternions. Quelques notions de la théorie des corps finis et de celle des extensions de corps commutatifs (jusqu'à la partie basique de la théorie de Galois) sont utilisées.

Propriétés.

De même que les quaternions (définis en munissant d'une multiplication l'espace vectoriel de base ) forment une R-algèbre engendrée par et, les octonions (définis en munissant d'une multiplication l'espace vectoriel de base ) forment une R-algèbre engendrée par, et.  La multiplication des octonions n'est  Elle satisfait une propriété plus faible que l’associativité : l'alternativité, c'est-à-dire que deux éléments quelconques et vérifient : formula_16  En effet, il suffit évidemment pour cela que toute sous-algèbre engendrée par deux éléments soit associative (d'après un théorème d'Artin c'est même équivalent), or on peut montrer que dans O, toute sous-algèbre engendrée par deux éléments est isomorphe à une sous-algèbre de H, qui est associative.  La multiplication des octonions est en outre associative des puissances, c’est-à-dire que les puissances sont univoquement définies.  Les octonions partagent une propriété importante avec R, C et H : la "norme" sur O qui satisfait formula_17 Cela implique que les octonions forment une algèbre normée à division. Les algèbres de plus haute dimension définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.  D'après un théorème de Hurwitz, les seules R-algèbres normées à division sont R, C, H et O. Un autre théorème, dû à Zorn, établit que ces quatre algèbres forment aussi les seules R-algèbres à division alternatives de dimension finie.  La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments non nuls de O ne forment pas un groupe mais seulement une boucle de Moufang.

Automorphismes.

Un automorphisme de l'algèbre des octonions est un automorphisme d'espace vectoriel de O qui vérifie de plus formula_18  Le groupe des automorphismes de O est le groupe "G". C'est un groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des cinq groupes de Lie exceptionnels.

Sous-algèbres particulières.

Par restrictions de l'inclusion des quaternions dans les octonions, on a les morphismes injectifs suivants de R-algèbres : formula_19

En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps R des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée O.

V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly, nejstarší známý příklad neasociativního okruhu.


Biographie.

Après être sorti diplômé de l'Université Washington à Saint-Louis, Missouri, en 1971, Dan Simmons a travaillé dans l'éducation jusqu'en 1989. Il a commencé par écrire des nouvelles et c'est en participant à un atelier d'écriture dirigé par Harlan Ellison que celui-ci, impressionné par la qualité de la nouvelle "Le Styx coule à l'envers", le pousse à s'inscrire au concours de "Twilight Zone Magazine" (concours où la nouvelle de Dan Simmons remporta le premier prix) et à se consacrer pleinement à l'écriture. "Le Styx coule à l'envers" paraît en 1982 et son premier roman, "Le Chant de Kali", est publié en 1985.  Il vit à Longmont, près de Denver, dans le Colorado, avec sa femme Karen et sa fille. Son lieu de prédilection pour écrire est sa maison secondaire, située en pleine montagne à Windwalker dans le sud du Parc national de "Rocky Mountain". Près de la maison, une sculpture de représentant le fameux Gritche des "Cantos d'Hypérion" monte la garde.  Il a reçu le prix Hugo du meilleur roman 1990 et le prix Locus du meilleur roman de science-fiction 1990 pour "Hypérion" qui forme avec "La Chute d'Hypérion" le début du récit "Les Cantos d'Hypérion". "Endymion" et "L'Éveil d'Endymion" constituent une suite du diptyque "Hypérion". Les titres de ces livres sont un hommage au poète John Keats qu'il admire.  Son livre "Terreur", paru en 2007 aux États-Unis, est un roman d'horreur retraçant l'expédition de John Franklin dans l'Arctique en 1845 avec deux bâtiments — le "HMS Erebus" et le "HMS Terror" — conçus pour l’exploration polaire où ils ont été piégés dans les glaces près de l'île du Roi-Guillaume et furent abandonnés en 1848.  "Drood", paru en 2009, est basé sur les dernières années de la vie de Charles Dickens menant à l'écriture du roman "Le Mystère d'Edwin Drood", que Charles Dickens avait partiellement terminé au moment de sa mort.

Dan Simmons, né le à Peoria (Illinois), est un écrivain américain connu principalement pour ses romans de science-fiction, d'horreur et policiers. Ses livres sont publiés dans 27 pays.

Dan Simmons (* 4. dubna 1948, Peoria, Illinois) je americký spisovatel science fiction a hororu známý zejména svým románem "Hyperion" a jeho pokračováními "Pád Hyperionu", "Endymion" a "Vzestup Endymionu". Od konce 90. let napsal také několik mainstreamových a detektivních románů.


Survol.

Décrire pourquoi les atomes des molécules ou des cristaux demeurent au contact est l'objet de l'étude de la liaison chimique. Si les liaisons chimiques n'existaient pas (ou quand elles ne sont pas assez solides par rapport à l'énergie de température), les atomes ne resteraient pas au contact. C'est l'état liquide, voire gazeux. Comprendre ce qu'est une liaison chimique permet d'interpréter la réaction chimique. En effet, une réaction chimique n'est autre que la transformation des liaisons chimiques.  Il existe un grand nombre de façons de décrire les liaisons chimiques. D'une part, chaque type de liaison fait appel à un modèle différent : etc.  D'autre part, pour un type de liaison donnée, il existe plusieurs modèles : etc.  L'intérêt d'avoir plusieurs modèles pour un même type de liaison relève souvent de l'histoire des sciences. Par exemple, le modèle de Lewis est venu très tôt (1916) alors que le modèle des orbitales moléculaires (par exemple LCAO-MO, ce qui signifie "Linear Combinaison of Atomic Orbitale [pour faire des] Molecular Orbitals") a été introduit plus récemment. Il est bien plus complexe à utiliser mais il fournit de nombreuses informations sur la liaison covalente que ne fournit pas le modèle de Lewis, par exemple il permet de prévoir, par le calcul, l'énergie de la liaison ou la prévision du spectre électronique. Quand de telles informations ne sont pas utiles, le modèle de Lewis suffit et est utilisé bien que moins performant et plus ancien.  Le développement théorique le plus abouti, utilisé pour décrire une liaison chimique, est la théorie des orbitales moléculaires. Celle-ci décrit les atomes par des fonctions appelées orbitales atomiques. Des combinaisons linéaires de ces fonctions constituent les orbitales moléculaires qui décrivent les molécules. Ces orbitales moléculaires peuvent être :  La liaison ionique s'interprète différemment. Elle se rencontre dans un cristal et maintient les anions (négatifs) et les cations (positifs) au contact. Des forces électrostatiques maintiennent les ions de signes opposés aux contact alors que des forces de même nature entre les ions de même signes tendent à faire "éclater" le cristal. Il se trouve que la somme des forces attractives est plus grande que la somme des forces répulsives ; le cristal peut ainsi exister.  Pour les modèles qui donnent accès à l'énergie des atomes et des molécules, les liaisons se forment (et donc les édifices qu'elles constituent existent) si l'énergie de l'édifice (molécule, cristal) est inférieure à l'énergie des atomes ou des ions pris séparément. Ainsi, l'énergie de la molécule H est inférieure à l'énergie de deux atomes H. La molécule H existe donc. En revanche, l'énergie de la molécule He est supérieure à l'énergie de deux atomes d'hélium pris séparément. Ceci explique que la molécule He n'existe pas.

Histoire.

Expliquer comment les atomes sont unis est aussi ancien que la notion d'atome elle-même. Les philosophes et les alchimistes ont évoqué la notion d'atomes crochus (pour qu'ils s'accrochent entre eux), au même titre que l'acidité était expliquée par des atomes piquants et l’alcalinité par la présence d'atomes râpeux.  D'autres interprétations de la liaison chimique, dès le début du, supposaient que certains types d'espèces chimiques étaient liés par certains types d'affinité chimique. Quelques siècles plus tard, le physicien anglais Isaac Newton posait la question des forces qui assemblent les atomes dans la célèbre "question 31" de son traité Opticks. Ainsi écrit-il : "Les particules s'attirent les unes les autres par des forces qui, à leur proximité sont fortes et permettent les opérations chimiques".  Antoine Lavoisier, Claude Louis Berthollet et surtout Pierre-Simon de Laplace ont précisé la notion d'affinité chimique en la basant sur l'existence de forces de même nature que les forces de gravitation (ce en quoi l'avenir ne leur donnera pas raison). Ce sont les découvertes sur l'électricité et les premières électrolyses de Humphry Davy qui permirent d'orienter la réflexion vers des interactions de nature électrique (et non gravitationnelle). Pour Davy, l'affinité entre atomes résultait de charges électriques opposées, ce que généralisa Jöns Jacob Berzelius en 1812. Il fallut attendre plus d'un siècle pour que cette piste se concrétise, mais pas dans la direction envisagée par ses auteurs. En effet, leur théorie ne pouvait expliquer la liaison entre deux atomes identiques comme dans H, Cl, O etc. Ainsi en vint-on à distinguer des composés polaires comme NaCl et des composés non polaires comme CH, avec toutes sortes de composés intermédiaires mal définis, par exemple HCl.  Au milieu du, Edward Frankland, F.A. Kekule, A.S. Couper, A.M. Boutlerov et Hermann Kolbe, construisant la théorie des radicaux, développèrent la théorie des valences, appelée au départ "pouvoir de combiner" dans laquelle les composés étaient liés grâce à l'attraction de pôles positif et négatif.  En 1916, le chimiste Gilbert Lewis développa l'idée de la liaison par mise en commun d'électrons. Cette paire d'électrons constitue un lien chimique représenté par un trait.  Walter Heitler et Fritz London sont les auteurs de la première explication par la mécanique quantique de la liaison chimique, spécialement celle de l'hydrogène moléculaire, en 1927, utilisant la théorie de liaisons de valence. En 1930, la première description quantique de la liaison chimique simple fut développée dans la thèse de doctorat de Edward Teller.  En 1931, le chimiste Linus Pauling publia ce qui est parfois considéré comme le texte le plus important de l'histoire de la chimie : “On the Nature of the Chemical Bond”. Dans cet article basé sur les travaux de Lewis, Heitler et London, et sur son propre travail, il présente six règles pour la liaison avec électrons partagés ; les trois premières étaient généralement connues :  Ses trois autres règles étaient nouvelles :

Calcul de l'énergie de la liaison de la molécule de dihydrogène.

Le premier calcul de l'énergie d'une liaison chimique, fondateur de la Chimie quantique est celui de la molécule la plus simple, celle de l'hydrogène par Bohr en 1913. C'est sans doute le seul calcul de liaison chimique accessible à un non-spécialiste.  Il consiste à appliquer le modèle de Bohr de l'atome à une molécule. On fait l'hypothèse que les électrons ont un mouvement circulaire de rayon formula_1 autour de l'axe des protons p+p+, supposés immobiles et distants de R. La distance électron-proton e-p+ est formula_2. En utilisant la formule du modèle de Bohr de l'atome pour l’état fondamental : où p=mv est la quantité de mouvement et formula_4 la constante de Planck réduite, l'énergie cinétique des électrons s'écrit : Le potentiel V est attractif entre électrons et protons et se compose des quatre liaisons électron-proton. Il y a répulsion entre les électrons distants de formula_6 et les protons distants de R. L'énergie potentielle s'écrit:  L'énergie totale est: Dans un atome d’hydrogène, l’égalité entre la force électrostatique et la force centrifuge peut s’écrire : où formula_10 est la constante de Rydberg, formula_11 Å le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène et formula_12 la constante diélectrique.  En y retranchant l’énergie de liaison formula_13 de deux atomes d’hydrogène isolés, l’énergie totale de la molécule devient : où formula_15 et formula_16.  Cette équation se résout graphiquement en faisant varier x de telle façon que l'énergie du minimum soit minimale. On obtient ainsi x = 1,15 et y = 2,7 ce qui donne les valeurs trouvées par Bohr en 1913 de pour l’énergie de liaison et de pour l'écartement des protons. La précision du calcul est certes médiocre puisque les valeurs expérimentales sont, respectivement de et de. On trouvera des méthodes plus perfectionnées basées sur les orbitales moléculaires.

Liaisons dans les formules chimiques.

Comme les atomes, les molécules et leurs orbitales sont tridimensionnels, il est difficile d'utiliser des techniques simples pour les représenter. Dans les formules moléculaires, la liaison chimique (orbitale liante) entre deux atomes est indiquée de différentes manières selon les nécessités.  Parfois, elle est totalement ignorée. Par exemple, en chimie organique, les chimistes sont parfois intéressés par le groupe fonctionnel de la molécule. Ainsi, selon la nécessité, la formule moléculaire de l'éthanol peut être écrite sur le papier  Parfois, même le nuage d'électrons non-liant est indiqué. (avec les directions en 2 dimensions approximative. Par exemple le carbone élémentaire:: C Certains chimistes indiquent aussi les orbitales ; par exemple, l'hypothétique anion ethane (C=C ) indiquant la possibilité de formation de liaison.

Les liaisons chimiques fortes.

Ces liaisons chimiques sont des forces intramoléculaires qui maintiennent les atomes ensemble dans les molécules et les solides. Ces liaisons peuvent être simples, doubles ou triples c'est-à-dire que le nombre d'électrons participants (ou contenus dans l'orbitale de liaison) est de deux, quatre ou six. Un nombre pair d'électrons est habituel parce que les électrons appariés ont une énergie inférieure. En fait, des théories plus avancées sur les liaisons montrent que les liens ne sont pas toujours provoqués par un nombre entier d'électrons et, ce, dépendant de la distribution de ceux-ci dans chaque atome concerné dans la liaison. Par exemple, les carbones dans le benzène sont liés l'un à l'autre par environ 1,5 liaisons et les deux atomes dans l'oxyde nitrique NO sont connectés par environ 2,5 liaisons. Des liaisons quadruples ne sont pas impossibles mais sont très rares.  Le type de liaison dépend de la différence d'électronégativité et de la distribution des orbitales possibles dans les atomes liés. Plus l'électronégativité est importante, plus l'électron est attiré par un atome particulier et plus la liaison a un caractère ionique. Si l'électronégativité est faible, la liaison est covalente.

Liaison covalente.

La liaison covalente est l'interaction entre les atomes d'une molécule. Cette liaison peut être non polarisée, si les atomes ont pratiquement la même électronégativité, ou polarisée si la différence entre leurs électronégativités reste inférieure à 1,7 (valeur conventionnelle). Au-delà de cette valeur, l'interaction est dite ionique. Une liaison covalente (polarisée ou non) peut être simple, double ou triple.  Voir les articles Liaison σ et Liaison π pour l'explication CLOA habituelle des liaisons non-polaires.

Liaison covalente coordinative.

La liaison covalente coordinative est une liaison spéciale dans laquelle les électrons de liaison proviennent d'un seul des atomes, mais sont approximativement partagés également par les deux dans une orbitale. Cette configuration est différente d'une liaison ionique avec faible différence d'électronégativité.

Liaisons chimiques délocalisées.

Il existe différentes situations pour lesquelles le modèle de Lewis avec mise en commun d'un doublet d'électron n'est pas pertinent. C'est le cas des molécules possédant des électrons délocalisés ou encore le cas de la liaison métallique.

Formes de résonance.

Certaines molécules et certains ions sont mal représentées par une formule de Lewis, et leurs propriétés ne sont pas celles attendues au regard de la formule de Lewis. C'est le cas, en chimie organique, du butadiène CH=CH-CH=CH pour lequel les longueurs de liaisons C-C et C=C ne correspondent pas à ces mêmes liaisons dans l'éthane et dans l'éthylène. C'est aussi le cas, en chimie inorganique, de l'ion sulfate SO qui contient deux liaisons S=O et deux liaisons S-O alors que les quatre liaisons s'avèrent être identiques.

Liaison aromatique.

Dans le cas de molécules respectant la règle de Hückel (molécule cyclique possédant 4n + 2 électrons délocalisés sur tout le cycle), la structure présente non seulement une stabilité correspondant à l'existence de plusieurs formes de résonance, mais aussi une stabilité supplémentaire appelée aromaticité.  C'est le cas du benzène, possédant 6 électrons délocalisés sur tout le cycle. Il s'agit des 6 électrons représentés par les trois doubles liaisons du modèle de Lewis. Les 6 liaisons du cycle ont même longueur alors que la formule de Lewis prévoit que les 3 liaisons C-C sont plus longues que les trois liaisons C=C. Historiquement, les chimistes ont pu constater ce phénomène avec les dichlorobenzène. En considérant la formule de Lewis, il devrait exister deux ortho-dichlorobenzène (les deux atomes de chlore étant portés soit par une liaison C=C, soit par une liaison C-C) alors qu'expérimentalement, un seul ortho-dichlorobenzène avait été observé.  Dans le cas de composé aromatique hétérocyclique et de benzène substitué, les différences d'électronégativité des parties de l'anneau influencent le comportement chimique qui sinon serait équivalent.

Liaison métallique.

Le maintien en contact des atomes au sein d'un métal s'interprète suivant plusieurs modèles. Cette théorie explique non seulement la stabilité du cristal métallique, mais également le pouvoir conducteur électrique du métal, les électrons se déplaçant dans les bandes délocalisés sur tout le cristal.

Liaisons intermoléculaires.

Ces liaisons sont aussi connues sous les noms de liaisons faibles ou de liaisons secondaires.

Liaison hydrogène.

La liaison hydrogène (HB) ou pont hydrogène est une liaison de faible intensité qui relie les molécules. Elle implique un atome d'hydrogène et un atome assez électronégatif (comme l'oxygène par exemple).

Liaisons ioniques.

La liaison ionique est une interaction électrostatique entre ions, par exemple Na et Cl au sein d'un cristal ionique. La différence d'électronégativité entre les atomes correspondant est supérieure à 1,7 (cette limite est conventionnelle ; pour cet exemple, χ(Na) = 0,93 et χ(Cl) = 3,16). Cette interaction est considérée comme forte, les températures de fusion de ces cristaux sont en général élevées.  Des interactions entre ions polyatomiques peuvent également s'exercer. L'électronégativité de ces ions résulte d'une définition plus élaborée que celle des atomes, mais le principe de leurs interactions au sein d'un cristal ionique est la même.

Liaison halogène.

La liaison halogène (XB) est une liaison de faible intensité qui peut se former entre un atome d'halogène déficient en densité électronique (acide de Lewis)(I > Br > Cl > F)et un autre atome riche en électron (O = N > S) (base de Lewis). On trouve un grand nombre d'exemples de liaisons halogènes dans les systèmes biologiques. Par exemple, l'interaction entre la thyroxine et son récepteur est du type liaison halogène.

Liaison de van der Waals.

La liaison de van der Waals est une interaction de faible intensité entre atomes, molécules, ou une molécule et un cristal. Elle est due aux interactions entre les moments dipolaires électriques des deux atomes mis en jeu. Aucun électron n'est mis en commun entre les deux atomes.

Électrons dans les liaisons chimiques.

Il existe trois types de liaisons chimiques : ce sont les liaisons simples, les liaisons doubles et les liaisons triples. En effet, Le type d'une liaison chimique dépend du nombre d'électrons partagé entre les atomes liés : Ce nombre d'électrons partagés entre les atomes dépend de la structure électronique de ces atomes et donc, des règles de l'octet et du duet.

Une liaison chimique est une interaction entre plusieurs atomes, ions ou molécules, à une distance permettant la stabilisation du système et la formation d'un agrégat ou d'une substance chimique. Cette notion paraît simple mais cache en réalité une très grande diversité de phénomènes façonnant la matière. Ainsi, la liaison chimique peut être covalente (normale ou de coordination), ionique, métallique, banane, (a)polaire, (dé)localisée, (non) directionnelle, faible, forte, simple, double, triple, σ, π, δ, φ, à un électron, à trois centres (avec deux électrons ou quatre électrons), à quatre centres, hydrogène, halogène, π-π, cation-π, anion-π, de van der Waals, etc. Cette variété amène le double problème de la classification et de la description difficiles et non uniformisées des liaisons chimiques. La notion de liaison chimique est, par conséquent, particulièrement compliquée à aborder dans sa globalité et génère de nombreuses préconceptions fausses chez les élèves, lors de leur apprentissage.

Chemická vazba je silová interakce poutající navzájem sloučené atomy, která je energeticky stabilizuje a vede ke vzniku molekuly. Vzniklá molekula má potom nižší energii, než měly původní atomy před sloučením. Základ všech vazeb spočívá ve společném sdílení nebo předávání vazebných elektronů příslušnými částicemi.


Premières années.

Son père, le pasteur Pavol Štefánik, élève ses enfants dans la ferveur des idéaux patriotiques et slavophiles slovaques. Il grandit dans un environnement purement slovaque, où le sentiment national est profondément ancré.  Il fait ses études aux lycées de Presbourg (Lycée évangélique), de Sopron et de Sarvas. Puis, il choisit d'étudier à Prague plutôt qu'à Budapest.  Il y commence, à 18 ans, pour respecter le désir de son père, des études d'ingénieur du bâtiment. Il préfère vite les cours d'astronomie et de mathématiques de l'université Charles de Prague. Son intelligence extraordinaire et sa personnalité attachante lui facilitent l'accès au monde de la science et de la culture tchèques. Membre et président de "Detvan", l'association des étudiants slovaques de Prague, il collabore à plusieurs revues culturelles slovaques et tchèques et fait connaître au public tchèque la Slovaquie, les Slovaques, leur culture et leur vie politique. Il s'engage avec ferveur contre la politique de « magyarisation » qui régnait alors mais aussi contre la passivité des hommes politiques slovaques de l'époque. Il est persuadé de la nécessité d'une co-opération slovaco-tchèque pour libérer les deux nations du pouvoir étranger et accéder à l'indépendance. C'est à cette époque qu'il est influencé par l'universitaire Tomáš Masaryk, qui définit alors les peuples tchèque et slovaque comme « deux particules d'une même nation ».

Voyageur infatigable.

Son doctorat en poche, Štefánik arrive à Paris en 1904 pour poursuivre ses études d'astronomie. Il devient l'assistant du professeur Jules Janssen à l'observatoire de Meudon. Sous son influence, Štefánik consacrera dix ans à l'astronomie. Il publie, dès ses débuts, douze traités scientifiques et organise, pendant sept années consécutives, des expéditions d'observation astronomique sur le sommet du Mont Blanc. Il voyage en Espagne puis au Turkestan et visite aussi l'Algérie, le Maroc, la Tunisie, le Sénégal, l'Italie, la Suisse, la Roumanie, la Russie, les États-Unis, le Brésil, l'Équateur, Tahiti (à l'occasion du passage de la comète de Halley en 1910), la Nouvelle-Zélande, les îles Fidji, l'Australie etc. Il s'établit, en 1909, au de la rue Leclerc dans le de Paris où il vivra jusqu'en 1919.  Après 1908, Štefánik voyage au service du gouvernement français pour lequel il accomplit d'importantes missions diplomatiques. En effet, un groupe de députés propose la mise en place d'une chaîne de stations radio-télégraphiques qui relierait toutes les colonies françaises. Štefánik s'avère être l'homme idoine pour la réalisation de ce projet. Ses dernières expéditions à Tahiti et en Équateur (1913), en tant que citoyen français, lui valent la Légion d'honneur mais aggravent la maladie d'estomac dont il souffre déjà. Il subit, sans succès, une première opération et une deuxième en 1915, qui n'apportera pas d'amélioration à son état. Il supportera alors des douleurs fréquentes, qui ne le quitteront plus.

Aviateur pendant la Première Guerre mondiale.

Les aspirations scientifiques de Štefánik se briseront avec la Première Guerre mondiale. Il demande à être incorporé dans l'Armée de l'air française, débute sa formation de pilote en à l'école d'aviation militaire de Chartres, réputée (future base aérienne 122 Chartres-Champhol).  Il participe très vite aux combats dans l'escadre aérienne MF-54 aux environs d'Arras.  Sa rapide montée en grade s'explique par sa capacité à adapter ses connaissances scientifiques aux besoins militaires. Il est chargé de la création du service météorologique de l'Armée française. Il est blessé en 1915.

Création de la Tchécoslovaquie.

Dès 1915, il organise une escadrille formée de volontaires slovaques et tchèques. Par la suite, son escadre est affectée en Serbie, mais Štefánik, gravement malade, doit être transporté d'urgence à Rome. Une nouvelle étape de sa vie s'amorce alors. Il consacrera dorénavant son activité à la création d'un État libre et indépendant pour les Tchèques et les Slovaques. Dès que son état de santé le lui permet, il repart pour Paris, où il rencontre Edvard Beneš et Masaryk. C'est ici que naît le dicton :.  C'est lui qui convainc le gouvernement français de soutenir la cause de la Tchéco-Slovaquie. Il est de ceux qui fondent le Conseil national tchécoslovaque (dont il deviendra plus tard le vice-président) et c'est lui qui se charge de l'organisation de l'armée tchéco-slovaque indépendante. Avec Beneš, il obtient des promesses du gouvernement français pour l'armement de ses unités. Štefánik recrute des soldats en Roumanie dans les camps de prisonniers. Il part aussi aux États-Unis, où l'enrôlement est un succès ( volontaires s'engagent et d'importantes sommes d'argent sont versées à la cause).  Štefánik comprend que la politique visant à la création de la future Tchécoslovaquie doit être soutenue par une force armée réelle. À son retour à Paris, il prend part à la rédaction du "Décret de constitution de l'armée tchécoslovaque en France", proclamé le. Il continue à former des Légions tchécoslovaques en Italie () et en Russie (). À son arrivée en Sibérie en, il est général et, après les négociations d'octobre à Genève, il est nommé ministre de la Guerre du nouveau gouvernement tchécoslovaque.  Dans sa nouvelle fonction, Štefánik propose de replier les Légions tchécoslovaques à l'arrière du front et de les acheminer vers leur patrie nouvellement constituée. Dans ce cadre, il entreprend un voyage vers la Tchécoslovaquie indépendante. Malgré les avertissements de ses amis, il décide de prendre l'avion car il a reçu un appel télégraphique du ministre qui l'appelle d'urgence à Bratislava à cause de l'avancée de l'Armée rouge hongroise.

Mort.

Le, son appareil (un Caproni 11495) s'écrase près de Bratislava, juste avant l'atterrissage. On ne dénombrera aucun survivant. Aujourd'hui encore, les circonstances de l'accident n'ont pas été éclaircies. Officiellement, la cause en est une panne de moteur.  Il apparaît cependant que l'arrivée de Štefánik en Tchécoslovaquie ne se serait pas passée sans changements politiques notables. Štefánik avait en effet plusieurs projets d'organisation destinés, avant tout, à la Slovaquie mais aussi dans plusieurs autres domaines. Son intervention aurait, semble-t-il, mieux pris en compte certaines aspirations du peuple slovaque.  Sur sa tombe, Ferdinand Foch déclara : « C'était un cœur rare, une âme noble, un esprit extraordinaire qui s'est entièrement dévoué pour notre cause dès que les circonstances l'exigeaient. Il mérite la reconnaissance de l'humanité entière. Sa présence va nous manquer. Son souvenir va vivre dans les cœurs de nous tous. »

Milan Rastislav Štefánik, né le à Kosaras en Hongrie (aujourd'hui Košariská en Slovaquie), sous la montagne de Bradlo, au nord de Bratislava, alors Presbourg () et mort le à Ivanka pri Dunaji en Tchécoslovaquie, est un astronome, homme politique, général et diplomate slovaque. Il fut l'un des cofondateurs de la République tchécoslovaque.

Milan Rastislav Štefánik (21. července 1880 Košariská – 4. května 1919 Ivanka pri Dunaji) byl slovenský politik, generál francouzské armády a astronom.


Étymologie, représentation et attributs.

Son nom viendrait de la racine "*perh- " signifiant « frapper », "-oun" étant un suffixe d'agent. A la « foudre » "perun" en russe, "perun" en tchèque, "piorun" en polonais répondent les théonymes, Perún, Perun et Pierunie/Piorun.  Il est souvent représenté comme un personnage athlétique d'âge mûr, au regard farouche et aux cheveux noirs ou argentés, portant barbe et moustache cuivrées et/ou dorées.  On le représente parfois se déplaçant à cheval ou montant un char tiré par des chevaux ailés. Péroun fait partie du Triglav de Svarog.  Parmi ses attributs figurent la hache, la massue, l'arc et les flèches-éclairs. Le coq est son emblème animal, le chêne son emblème végétal. Chez les Slaves du Sud, l'iris est traditionnellement appelé "perunika" (la plante de Péroun), ou "bogicha" (la plante divine), et on croyait qu'il poussait là où le sol avait été frappé par la foudre. Le jeudi (en allemand : "Donnerstag", jour du tonnerre) est le jour de Péroun.  Originellement, il était considéré comme le protecteur des agriculteurs. La plus ancienne allusion à Péroun figure dans le "De bello gothico" écrit au par Procope de Césarée, qui mentionne un dieu du tonnerre adoré par les Antes et auquel étaient offerts des sacrifices d'animaux, sans le nommer toutefois. Son équivalent germanique est Thor.  Selon Boris Rybakov, qui s'appuie sur le "Sermon sur les idoles" et sur la "Chronique des temps passés", Péroun aurait pu être à l'origine un dieu parmi d'autres, et ce n'est qu'en 980 qu'il aurait acquis une place prééminente au panthéon de la Rus' de Kiev (il aurait remplacé Rod au ). Selon l'historien et folkloriste Anitchkov, le culte de Péroun était le culte de la caste militaire des descendants des Varègues, et Péroun pourrait donc être un dieu d'origine scandinave.  L'une des faces latérales de l'idole du Zbroutch, découverte au, pourrait représenter Péroun.

Attestations dans les traités.

Péroun était invoqué, au même titre que Volos, comme garant des traités conclus entre les Russes d'une part, les Byzantins et les Grecs d'autre part. Ainsi dans un traité passé en 945, il est dit (le dieu des chrétiens et celui des païens étant invoqués à égalité). Un autre traité conclu par Sviatoslav I avec les Grecs en 971 dit

La christianisation.

En 980, lorsque le prince Vladimir I le Grand monte sur le trône de Kiev, il fait ériger les statues en bois de cinq dieux païens en face de son palais. Péroun, le plus important d'entre eux, est représenté avec une chevelure argentée et une barbe dorée. L'oncle de Vladimir, Dobrinia, a aussi un sanctuaire dédié à Péroun dans sa ville de Novgorod.  Dès 988 (ou 989) toutefois, Vladimir se convertit au christianisme et fait détruire les idoles. Celle de Péroun est attachée à la queue d'un cheval et est traînée jusqu'au Dniepr, tandis que douze hommes la frappent avec des bâtons et que les païens « pleurent sur lui ». À Novgorod, c'est l'évêque Akim qui détruit les lieux de sacrifices et traite de la même manière la statue de Péroun, frappée, traînée dans la boue et jetée dans le fleuve Volkhov, la statue échouera à un endroit appelé aujourd'hui "grève de Péroun" : le culte officiel de Péroun, comme des autres dieux pré-chrétiens, semble donc avoir été très bref. Un monastère est ensuite construit à cet endroit, mais il gardera le nom de monastère de Péroun : ceci est signalé par le voyageur Adam Olearius, qui visita la région en 1634, et qui précise qu'on entretenait dans ce monastère un feu perpétuel.  Péroun semble avoir dans une certaine mesure survécu dans la mémoire populaire sous les traits du prophète Élie ("Ilia" en russe) qui, selon la légende, fut enlevé au ciel dans un tourbillon et sur un chariot de feu ; parfois, l'image du Dieu chrétien lui-même a pu se substituer à lui. De même que, selon Procope de Césarée, les Antes sacrifiaient des taureaux à leur dieu de l'orage, les paysans russes du faisaient encore de même chaque, jour de la fête d'Ilia (Saint Élie).  Comme les autres divinités slaves anciennes, Péroun fait de nos jours l'objet d'un regain d'intérêt de la part de groupes professant un néo-paganisme slave (rodnoverie), et des statues lui sont parfois à nouveau érigées.

Dans la culture.

Ce dieu a inspiré le super-héros Perun (transcription anglophone du russe), de l'univers de Marvel Comics.  Au, une monnaie appelée le perun (Перунъ en cyrillique de l'époque), ainsi nommée en référence à Péroun, avait été projetée par le prince-évêque Petar II Petrović-Njegoš au Monténégro, mais elle ne vit jamais le jour.  Péroun a donné son nom à un astéroïde découvert en 1984, (4250) Péroun.

Péroun, également orthographié Péroune ou Perun (en ), est, dans la mythologie slave, le dieu de l'orage et du tonnerre, ainsi que des guerriers. Il a aussi été appelé Piorun (en polonais). Dodola, déesse de la pluie, est parfois considérée comme son épouse. Il est le correspondant de Perkun (Perkūnas dans la mythologie lituanienne).

Perun je slovanský bůh bouře, hromu a blesku. Ačkoliv písemné zprávy o tomto božstvu pochází až na výjimky z východoslovanského prostředí, tak byl pravděpodobně ctěn všemi Slovany. Po christianizaci Slovanů splynul jeho kult v pravoslavném prostředí s kultem proroka Elijáše.