Leben.

Kindheit und Jugend.

Bebel wurde in ärmlichen Verhältnissen als Sohn des Unteroffiziers Johann Gottlob Bebel und dessen Frau Wilhelmine Johanna Bebel (geb. Simon) in den Kasematten der Festung Deutz geboren. Nach dem frühen Tod seines Vaters, der 1844 mit 35 Jahren einer Lungentuberkulose erlag, heiratete seine Mutter dessen Zwillingsbruder, der als Aufseher in der Provinzial-Korrektionsanstalt (Arbeitshaus) in Brauweiler arbeitete. Der Stiefvater verstarb jedoch ebenfalls nach zwei Jahren. Da die verwitwete Mutter keine Pensionsansprüche hatte, übersiedelte sie verarmt zu ihrer Familie nach Wetzlar, wo August die Volksschule besuchte. Er war begabt und wurde von einem Lehrer außerhalb der Schule in Mathematik unterrichtet.  Die Mutter starb 1853. Sie hinterließ ihren Kindern einige kleine verstreut liegende Parzellen rund um Wetzlar. Die beiden noch lebenden Brüder kamen zu Verwandten der Mutter. Um den Lebensunterhalt

Anfänge politischen Handelns.

Vom Bürgerlichen Vereinswesen zum Arbeiterverein.

In Leipzig fand er rasch Arbeit in einer größeren Werkstatt. Wegen schlechter Verköstigung überredete er die anderen Gesellen zu protestieren. Weil der Meister einlenkte, kam es nicht zum geplanten Streik.  Die Stadt war damals ein Mittelpunkt des Vereinswesens der Arbeiter und Handwerker. Liberale und demokratische bürgerliche Kreise unterstützten deren Bildungsbestrebungen. Sie wollten einerseits die beruflichen Möglichkeiten der Arbeiter und Handwerker steigern, andererseits ging es darum, diese Gruppen an den Liberalismus zu binden. Im Februar 1861 wurde auf Anregung der Polytechnischen Gesellschaft und einiger Liberaler der Gewerbliche Bildungsverein gegründet, dem auch Bebel im selben Jahr beitrat. Aus diesem Verein ging eine Reihe von Persönlichkeiten der frühen Arbeiterbewegung hervor. Neben Bebel gehörten dazu Friedrich Wilhelm Fritzsche, Otto Dammer oder Julius Vahlteich. Im Jahr 1862 war Bebel Zweiter und von 1865 bis 1872 Erster Vorsitzender des Gewerblichen Bildungsvereins. Noch verstand sich Bebel als Handwerker und strebte die Position eines Meisters an. Dieses Ziel hatte er 1864 mit der Eröffnung einer eigenen Werkstatt im Hof des Hauses Drei Könige in der Petersstraße erreicht, wo er auch wohnte. Das nötige Kapital brachte er durch den Verkauf des kleinen Besitzes der Familie in

Hinwendung zum Sozialismus.

Bei Bebel begann sich ein politischer Richtungswechsel zu vollziehen. Er blieb zwar entschiedener Gegner Lassalles, begann aber dessen Schriften intensiv zu lesen und sich allmählich dem Marxismus anzunähern.  Soziale Konflikte stärkten bei Bebel ebenfalls Zweifel daran, ob die enge Bindung der Arbeiter an den Liberalismus weiterhin sinnvoll sei. Eine Rolle spielte dabei der Kontakt mit dem Philosophen und Sozialpolitiker Friedrich Albert Lange in der Führung des VDAV. Bebel war in einem Buchdruckerstreik Vermittler und an der Gründung einer Bergarbeitergewerkschaft beteiligt. Zusammen mit Anhängern Lassalles war die Organisation an einem Streik beteiligt.  Die Abwendung von der bürgerlichen Demokratie, hin zum Sozialismus, kostete Bebel nach seiner Darstellung keine „großen

Sächsische Volkspartei.

Von Liebknecht übernahm Bebel auch dessen antipreußische Haltung. Als 1866 der Deutsche Krieg bevorstand, kritisierte Bebel auf einer großen Volksversammlung die kleindeutsche Politik Otto von Bismarcks und sprach sich für die großdeutsche Seite aus.  Am 19. August 1866 gründete er zusammen mit Wilhelm Liebknecht die radikaldemokratische Sächsische Volkspartei. Trotz seiner inzwischen stark sozialistischen Haltung ging es Bebel und Liebknecht darum, gegen die preußische Vorherrschaft im entstehenden Norddeutschen Bund ein Bündnis aus Arbeitern und großdeutsch und arbeiterfreundlich gesinnten bürgerlichen Kräften zu Stande zu bringen.  Im selben Jahr heiratete August Bebel die Putzmacherin Julie Otto. Sie unterstützte ihn bei seiner verstärkten Zuwendung zur Politik, obwohl er in dieser Zeit weiterhin als Handwerksmeister arbeiten musste. Neben seinen Aufgaben im Vereinswesen und der Partei übernahm er nun auch journalistische Tätigkeiten. Er schrieb für die Deutsche Arbeiterhalle, ein Blatt des VDAV, sowie für das von Liebknecht herausgegebene Demokratische Wochenblatt, das Organ der Sächsischen beziehungsweise der Deutschen Volkspartei (DtVP).

Von Eisenach nach Gotha.

Gründung der Sozialdemokratischen Arbeiterpartei (SDAP).

Im Jahr 1866 war Bebel der sozialistischen Internationalen Arbeiterassoziation (IAA) beigetreten, die zwei Jahre zuvor in London gegründet worden war. Die spätere Geschichtsschreibung sprach auch von der Ersten Internationale. Innerhalb der Arbeitervereine warb Bebel für die Zielsetzungen und die Organisationsvorstellungen der IAA. Auf dem VDAV-Verbandstag 1867 in Gera konnte er an Stelle des ständigen Ausschusses einen regelrechten Vorstand durchsetzen. Bei der Wahl des Vorsitzenden errang er mehr Stimmen als sein Kontrahent Max Hirsch. Bebel war von 1867 bis 1869 Präsident des VDAV. Auf dem VDAV-Verbandstag in

Reichstagsmitglied.

Bebel wurde im Februar 1867 in den konstituierenden Reichstag gewählt. Im sächsischen Wahlkreis Glauchau-Meerane obsiegte er gegen den Lassalleaner Friedrich Wilhelm Fritzsche. Bebel gehörte auch dem ersten ordentlichen Reichstag sowie den späteren Reichstagen an, bis zum Jahr 1881, dann wieder von 1883 bis zu seinem Tod im Jahr 1913. Den Wahlkreis 17 des Königreichs Sachsen (Glauchau, Meerane, Hohenstein-Ernstthal) vertrat er bis 1877. Danach vertrat er bis 1881 einen Dresdner Wahlkreis, von 1883 bis 1893 den Wahlkreis Hamburg I (Neustadt, St. Pauli), von 1893 bis 1898 den Wahlkreis 8 von Elsaß-Lothringen (Straßburg-Stadt) und von 1898 bis zu seinem Tod wieder den Wahlkreis Hamburg I.  Bei allen Gemeinsamkeiten gab es in dieser Zeit zwischen Bebel und Liebknecht erhebliche Unterschiede in der Bewertung der parlamentarischen Arbeit. Liebknecht lehnte es ab, zu „paktieren und parlamenteln“. Er betrachtete das Parlament lediglich als politisches Propagandamittel. Bebel dagegen sah im Reichstag auch ein Instrument zur Verbesserung der Lage der Arbeiter. Insbesondere in Fragen des Arbeiterschutzes und bei Beratungen über Frauenarbeit

Haltung zum Deutsch-Französischen Krieg.

Der Beginn des Deutsch-Französischen Krieges 1870 führte zu einer innerparteilichen Krise. Auslöser war die Haltung Liebknechts und Bebels zu der Frage, ob man mit Blick auch auf die allgemeine Kriegsbegeisterung die Kriegskredite bewilligen sollte oder nicht. Bebel gab dazu im Reichstag des Norddeutschen Bundes eine Erklärung ab. Seiner Auffassung nach war dies ein dynastischer Krieg im Interesse der Dynastie Bonaparte. Geldmittel könnten er und Liebknecht nicht bewilligen, weil dies ein Vertrauensvotum für die preußische Regierung wäre, die selbst durch den Krieg von 1866 diese Situation vorbereitet hätte. Aber er wollte die Mittel auch nicht verweigern, denn dies könnte als Zustimmung zu „der frevelhaften und verbrecherischen Politik Bonapartes aufgefasst werden. Als prinzipielle Gegner jedes dynastischen Krieges [...] können wir uns weder direkt oder indirekt für den gegenwärtigen Krieg erklären und enthalten uns daher der Stimme“.  Der "Parteiausschuss" in Braunschweig als oberstes Parteigremium der SDAP betrachtete den Krieg dagegen als Verteidigungskrieg, kritisierte die Haltung seiner beiden Parlamentsvertreter und griff sie im Parteiorgan "Der Volksstaat" scharf an.  Die französische Niederlage in der Schlacht bei Sedan und das Ende des Französischen Kaiserreiches brachten ein Ende des innerparteilichen Streits.

Leipziger Hochverratsprozess.

Bereits 1870 wurde gegen Bebel, Liebknecht und den Redakteur des "Volksstaats" Adolf Hepner wegen Hochverrats ermittelt. Nach 102 Tagen in Untersuchungshaft wurden die drei Angeklagten aus Mangel an Beweisen freigelassen, da die Behörden bei Durchsuchungen nichts Belastendes gefunden hatten. Im Jahr 1872 wurde allen dreien dann doch noch der Prozess gemacht. Der Leipziger Hochverratsprozess war ein Schauprozess auf der Basis von nicht belastbarem Beweismaterial. Die Angeklagten konnten sich dabei öffentlichkeitswirksam verteidigen. Bebel widersprach dem Vorwurf, die SDAP wolle ihre Ziele mit Gewalt erreichen.  Im weiteren Verlauf berief er sich auf Lassalle und argumentierte, dass die Arbeiterpartei die Revolution als Umgestaltung der öffentlichen Zustände nur im friedlichen Sinn meine. Über die Art und Weise sei in der Partei noch nie diskutiert worden. „Das haben wir der Zukunft überlassen; wir wollen abwarten wie die

Weg zur vereinigten Arbeiterpartei.

Auf den Einigungsprozess versuchten auch Karl Marx und Friedrich Engels Einfluss zu nehmen, um bei der neuen Partei die Ideen Ferdinand Lassalles zurückzudrängen. Der inzwischen aus der Haft entlassene Wilhelm Liebknecht war im Interesse der Einheit zu ideologischen Zugeständnissen bereit. August Bebel wurde im Gefängnis durch den Marxisten Wilhelm Bracke von den unterschiedlichen Positionen unterrichtet. Er überbrachte Bebel einen zwischen Vertretern des ADAV und der SDAP ausgehandelten Programmentwurf, der weit von marxistischen Positionen entfernt war. Bebels marxistischen Gegenentwurf stellte Bracke jedoch in den Einigungsverhandlungen nicht zur Diskussion, da er

Bekenntnis zum Marxismus.

Nicht zuletzt infolge der Gründerkrise stieg die Zahl der sozialdemokratischen Wähler und Parteimitglieder an. Bei den Reichstagswahlen von 1877 zogen zwölf Abgeordnete der Sozialdemokraten in den Reichstag ein. Daraufhin nahm die Zahl der staatlichen Repressionsmaßnahmen zu. Im Jahr 1877 wurde Bebel zu neun Monaten Haft verurteilt. Anlass war, dass er in einer Broschüre die Höhe des Militärbudgets dem der Volksschulerziehung gegenübergestellt und argumentiert hatte, dass in Preußen auf einen Lehrer 85 Schüler, in der Armee aber 6 Soldaten auf einen Unteroffizier kämen.  Parlamentarisch brachte er zusammen mit Fritzsche einen Entwurf zur Gleichberechtigung der Frauen ein. Außerdem forderte er unter anderem eine Regelung der Gefängnisarbeit, das Verbot von Sonntags- und Nachtarbeit und einen besseren Arbeitsschutz für Frauen und Lehrlinge.  In dieser Zeit bekannte er sich deutlich zu der von Engels später ausgearbeiteten Theorie des "Wissenschaftlichen Sozialismus." Diese stellte für ihn fortab die Grundlage der Parteiarbeit dar:  Auch wenn Bebel in grundsätzlichen Fragen insbesondere mit Engels übereinstimmte, wurden seine Positionen weniger durch die marxsche Theorie als vielmehr durch die Erfahrungen der praktischen politischen Arbeit bestimmt.

Fabrikant und Privatleben.

1863 lernte er in Leipzig die Putzmacherin Julie Otto kennen, drei Jahre später war die Hochzeit. Aus der Ehe ging weitere drei Jahre später die Tochter Bertha Friederike hervor. Julie Bebel unterstützte ihren Mann tatkräftig auch in den knapp fünf Jahren seiner wiederholten Inhaftierung. Ein Zeugnis dafür ist der umfangreiche Briefwechsel zwischen beiden. Beruflich hatte Bebel sich auf die Herstellung von Tür- und Fensterklinken aus Büffelhorn konzentriert. Durch den Gründerboom konnte er sein Geschäft ausbauen. Die Belegschaft umfasste einen Werkführer, sechs Gehilfen und zwei Lehrlinge. Über seine Motivation, sich als Unternehmer zu betätigen, äußerte sich Bebel in einem Brief an Engels, der aus ähnlichen Gründen selbst über lange Jahre ein erfolgreicher Großkaufmann war, „denn gelingt es mir, eine unabhängige Stellung in geschäftlicher Beziehung zu schaffen, kann ich um so ungehinderter auch für die Partei

Unter dem Sozialistengesetz.

Sozialistengesetz.

Die beiden Attentate auf Kaiser Wilhelm I. im Jahr 1878, das erste am 11. Mai 1878, das zweite am 2. Juni 1878, lastete Reichskanzler Otto von Bismarck erfolgreich den Sozialdemokraten an. Der Umsatz der Firma Bebels ging daraufhin zurück, und die Sozialdemokratie büßte bei den Reichstagswahlen am 30. Juli 1878 Stimmen und Mandate ein. Der neue Reichstag beschloss am 19. Oktober 1878 mit dem Sozialistengesetz ein weitreichendes anti-sozialdemokratisches Ausnahmegesetz. Die Partei und Nebenorganisationen wie Gewerkschaften sowie Zeitschriften wurden verboten, führende Parteiangehörige aus Berlin ausgewiesen. Durch sein Mandat geschützt, leistete Bebel einen Großteil der Arbeit, um das Überleben der Partei zu sichern. Notgedrungen übernahm er das Amt des Kassierers der Partei und sorgte für Geldsammlungen zugunsten der durch das Gesetz in Not geratenen Mitglieder. Daneben war er als Redner und als Organisator tätig. Unterstützt wurde

Zwischen Kompromiss und Fundamentalopposition.

Bebels Haltung gegenüber der parlamentarischen Arbeit veränderte sich während der Gültigkeit des Sozialistengesetzes. Obwohl er eine zentrale Position in der Reichstagsfraktion einnahm, verstand er sich doch eher als Partei- und weniger als Parlamentspolitiker. Mit der Mehrheit der Parteimitglieder lehnte er Kompromisse im Parlament ab. Vielen der anderen sozialdemokratischen Reichstagsabgeordneten wie Wilhelm Blos, Johann Heinrich Wilhelm Dietz oder Wilhelm Hasenclever warf er vor, sich als „Halbgötter“ zu wähnen, ihre proletarische Herkunft vergessen zu haben und die „Parlamentskomödie“ zu ernst zu nehmen. Anders als nach 1890 gibt es aus dieser Zeit eine Reihe von antiparlamentarischen Äußerungen Bebels: „Mir fängt an, vor dem Parlamentarismus zu grauen“, schrieb er 1885 an Liebknecht. Auch innerhalb der Partei wandte er sich gegen diejenigen, die sich kompromissbereit zeigten. In einem Brief an Ignaz Auer formulierte er 1882:  Allerdings teilten in der Reichstagsfraktion nicht alle Mitglieder diese Auffassung, und es kam zu teils heftigen Auseinandersetzungen, beispielsweise 1884 in einer Debatte um die Subventionierung von Dampferlinien nach Übersee. Während die Fraktionsmehrheit in dieser Frage lediglich ein Sachproblem der Verkehrspolitik sah, handelte es sich für Bebel um eine Grundsatzfrage. „Eine Vertretung der Arbeiterschaft kann unmöglich der Bourgeoisie Subventionen bewilligen.“ Damit teilte er in dieser Frage die Meinung eines beträchtlichen Teils der Parteimitglieder. Nach eigener Aussage behielt er jedoch aus Pflichtgefühl gegenüber der Partei sein Mandat.  1882 setzte er sich auf der innerparteilichen Konferenz in Zürich erneut gegen Vertreter einer Kompromisspolitik durch. Auf dem illegalen Parteitag in Kopenhagen 1883 wurde auf Bebels Drängen die bismarcksche Sozialgesetzgebung als taktisches Manöver deklariert, das die Arbeiter der Partei entfremden sollte.  Zurückgekehrt aus Kopenhagen,

Weg zur Massenpartei und Flügelkämpfe.

Parteivorsitzender und großer Redner.

Sowohl am Gründungskongress der Sozialistischen Internationale 1889 als auch an der Erarbeitung des Erfurter Programms 1891 war Bebel stark beteiligt. Der schließlich klar marxistische Entwurf stammte im Kern von Karl Kautsky. Im Jahr 1892 wurde Bebels führende Rolle in der Partei, die sich nunmehr SPD nannte, durch seine Wahl zu einem der Vorsitzenden deutlich. Dieses Amt behielt er bis zu seinem Tod. Neben ihm bekleideten Paul Singer und ab 1911 Hugo Haase die Position des Vorsitzenden. Beide standen allerdings im Schatten Bebels. Bebels Einfluss auf die Entwicklung der sozialdemokratischen Arbeiterbewegung war größer als die jedes anderen Politikers seiner Generation. Er war hauptverantwortlich für die Organisation der Partei und prägte weitgehend ihren Kurs und ihr Bild in der Öffentlichkeit. Seine Ehrlichkeit und Geradlinigkeit machten ihn zum Idol der sozialdemokratischen Anhänger. Durch sein rhetorisches Talent wurden seine Reden zu Erlebnissen für seine Zuhörer. Er erschien ihnen als Sprachrohr ihrer Wünsche und Ziele. Wo

Innere Konflikte seit dem Erfurter Programm.

Auch wenn die Partei seit dem Erfurter Programm klar marxistisch orientiert war, kam es schon bald zu neuen internen Debatten um den richtigen Weg. Dabei spielte Bebel als führende Persönlichkeit der Parteiführung eine zentrale Rolle. Die erste Herausforderung kam von den sogenannten "Jungen". Sprecher der Opposition waren Bruno Wille und Paul Ernst. Diese kritisierten die Parteiführung als autoritär, befürchteten die Entwicklung der SPD zur Reformpartei, lehnten die Beteiligung an der Parlamentsarbeit ab und vertraten mit Hinweis auf Lassalles ehernes Lohngesetz die Ansicht, dass Lohnerhöhungen im kapitalistischen System sinnlos seien. Die "Jungen" waren keine Anarchisten, sondern revolutionäre Sozialisten. Bebel fürchtete, dass ein radikaler Kurs neue antisozialdemokratische Gesetze geradezu herausfordern würde. Außerdem setzte er darauf, die politische Macht durch das stetige Wachstum von Anhängern und Wählern ohne Gewalt erringen zu können. Für ihn und die übrigen Mitglieder der Parteiführung war es nicht schwer, die kleine Oppositionsgruppe zu isolieren und die "Jungen" aus der Partei zu

Agrarprogramm und Revisionismusstreit.

Das Problem, einen Mittelweg zwischen dem Festhalten an den marxistischen Grundsätzen und praktischer Politik zu finden, bestimmte trotz Absage an den "süddeutschen Reformismus" weiterhin Bebels politisches Handeln.  Die Hoffnung Bebels, nach dem Ende des Sozialistengesetzes eine parlamentarische Mehrheit zu erreichen, erfüllte sich nicht. Insbesondere scheiterten Versuche, die Landbevölkerung zu erreichen. Daher wurde ein Agrarprogramm zum Schutz der bäuerlichen Betriebe entworfen. Der Parteitag von 1895 lehnte dieses auf Betreiben Kautskys ab, weil es zu weit von marxistischen Prinzipien entfernt sei. Bei aller Hochachtung der Theorie ging dies Bebel entschieden zu weit. Gegenüber Victor Adler äußerte er:  In der politischen Praxis war Bebel durchaus bereit, vom

Massenstreikdebatte und Budgetbewilligung.

Nach der russischen Revolution 1905 und der dortigen Bildung von Arbeiterräten nahm in der deutschen Sozialdemokratie die Bedeutung des linken Flügels zu. Dessen informelle Führung lag bei Rosa Luxemburg. Unterstützt wurde sie unter anderem von Karl Liebknecht und Clara Zetkin. Besonders das Eintreten der Linken für den politischen Massenstreik führte zu innerparteilichen Konflikten. Hauptgegner Luxemburgs in dieser Frage war der überwiegend auf Reformen setzende („reformistische“) Gewerkschaftsflügel der Partei. Auf dem Parteitag in Jena 1905 prallten die Meinungen aufeinander. Bebel versuchte zwischen den Lagern zu vermitteln. In bestimmten Fällen hielt er den Massenstreik für legitim und notwendig. Dies galt insbesondere für die Verteidigung des demokratischen Wahlrechts auf Reichsebene

Politik im Reichstag.

Seinem Reichstagsmandat widmete Bebel einen Großteil seiner Zeit. Philipp Scheidemann berichtete eindringlich über die große Bedeutung, die das Parlament für Bebel einnahm.  Bebel nahm seine parlamentarischen Verpflichtungen sehr ernst und war im Reichstag des Kaiserreiches derjenige sozialdemokratische Redner, der die größte Aufmerksamkeit auf sich zog. Er war nicht nur einer der besten Redner, sondern auch einer der fleißigsten Antragsteller. Nicht zuletzt seine zunehmend positivere Haltung gegenüber dem Parlamentarismus führte dazu, dass Rosa Luxemburg Bebel immer kritischer gegenüberstand.  Die Kritik war nicht ganz berechtigt, denn Bebel versuchte nicht auf andere Parteien zuzugehen und Kompromisse zu schließen, um Mehrheiten zu gewinnen. Er blieb stets bei seiner Grundposition. Mit Unverständnis betrachtete er daher das Vorgehen des Zentrumsführers Ludwig Windthorst, der zu Bündnissen mit den verschiedensten Parteien bereit war.  Trotz ihrer zahlenmäßigen Stärke waren die Sozialdemokraten im Reichstag noch immer Außenseiter. Als 1912 Reichskanzler Theobald von Bethmann Hollweg sich bei Bebel nach seinem Befinden erkundigte, war dies für ihn ein bemerkenswertes Ereignis.  Im Jahr 1894 versuchte Wilhelm II. mit der Umsturzvorlage erneut ein antisozialdemokratisches Sondergesetz durchzubringen. Engels forderte daraufhin die SPD zu Massenprotesten auf. Bebel lehnte ab, weil ihm klar war, dass das Gesetz im Parlament mit Hilfe der Zentrumspartei zu Fall gebracht werden würde. Kaum anders erging es der Zuchthausvorlage von 1898. Bebel äußerte im Parlament:  Bebel beteiligte sich an zahlreichen politischen Auseinandersetzungen. Auch außerhalb des Reichstages wandte er sich gegen die Germanisierungspolitik im Osten Deutschlands. Den Antisemitismus lehnte er als reaktionär ab. Er betrachtete ihn als ein Übergangsphänomen der Mittelschichten und hoffte, auch Antisemiten für den Sozialismus gewinnen zu können. Der Ausspruch „der Antisemitismus ist der Sozialismus der dummen Kerls“, wurde ihm fälschlicherweise zugeschrieben. Bebel selbst nennt als Quelle den österreichischen Politiker Ferdinand Kronawetter. Seine diesbezügliche Haltung stellte er auf dem Parteitag 1893 in dem einen Grundsatzreferat dar, das unter dem Titel „Antisemitismus und Sozialdemokratie“ in Broschürenform erschien.  Besonders wichtig war ihm die Militärgesetzgebung. Immer wieder bekämpfte er die preußische Heeresorganisation und trat für eine Milizarmee ein. Er prangerte wiederholt die Schikanen von Offizieren und Unteroffizieren an. Dem Reichstag legte er 1892 eine

Schriftstellerische Tätigkeit.

August Bebel verstand sich selbst nie als sozialistischer Theoretiker. Tatsächlich war er jedoch für die Entwicklung der Partei auch als Autor von Agitationsschriften, tagespolitischen Zeitungs- und Zeitschriftenartikeln, aber auch von wirkungsmächtigen größeren Schriften und Büchern wichtig.  Er schrieb in den Zeitungen "Arbeiterhalle", "Demokratisches Wochenblatt", "Volksstaat" oder Vorwärts. Auch für Die Neue Zeit arbeitete er häufig. Von seinen direkt parteipolitischen Schriften war die vielfach neu aufgelegte Broschüre "Unsere Ziele" (1870) besonders wirkungsvoll.  Daneben publizierte er über historische Themen. Im Zwickauer Gefängnis Schloss Osterstein entstand 1874/75 seine Arbeit über den Bauernkrieg von 1525. Sie war weniger bedeutend als die Studie von Friedrich

Letzte Jahre und Tod.

Im Mai 1888 erkrankte seine Tochter Bertha Friederike (Frieda). Ab 1889 studierte Frieda Bebel (1869–1948) in Zürich Medizin, ein Entschluss, bei dem sie ihr Vater bestärkt hatte. Seit den späten 1890er Jahren hielt sich Bebel meist in Zürich auf. Dort lebte seine Tochter mit ihrem Mann Ferdinand Simon (1864–1912). Die Ehe der beiden war, dem Zeitzeugen Heinrich Lux zufolge „überaus glücklich“. 1894 wurde Bebels einziger Enkel Werner (1894–1916) geboren. 1897 ließ sich Bebel in Küsnacht an der Seestraße 176 eine Zehn-Zimmer-Villa, die „Villa Julie“, mit eigenem Bootssteg zum Zürichsee bauen. Er und seine Ehefrau wohnten im Dachgeschoss, der Rest des Hauses wurde vermietet. Das Haus hat er später verkauft und lebte schließlich in einer Wohnung in Zürich.  Geistig blieb Bebel bis an sein Lebensende unbeeinträchtigt. Er litt aber seit langem an seiner schwachen körperlichen Verfassung. Seit 1907 kam ein schweres Herzleiden dazu. Den Rat seiner Ärzte, jede parlamentarische und agitatorische Tätigkeit aufzugeben, ignorierte er.  In seinen letzten Jahren musste er eine Reihe persönlicher Schicksalsschläge hinnehmen. Seine Ehefrau Julie starb 1910. Sein Schwiegersohn, der

Postume Rezeption.

Arbeiterbewegung.

Eduard Bernstein bezeichnete 1913 ihn in seinem Nachruf als „Verkörperung der Partei“ und als „Dolmetscher“ ihres Denkens und Empfindens. Sein Auftreten mochte diktatorisch erscheinen, doch stehe seine demokratische Gesinnung außer Zweifel.  1947 gründeten sozialdemokratische Verleger aus Berlin das

Frauenbewegung.

Bebel gilt als einer der wichtigsten Exponenten der marxistischen Frauenemanzipationstheorie, sein Buch "Die Frau und der Sozialismus" war für die zeitgenössische Frauenbewegung von großer Bedeutung und wurde europaweit intensiv rezipiert. Belegt ist dies u. a. von Bertrand Russells Frau Alys Russel, Ottilie Baader, Marie Juchacz, Agnes Robmann und Betty Farbstein sowie bei Auguste Fickert, die Bebels Überzeugung teilte, Geschlechtergerechtigkeit sei im Kapitalismus nicht zu verwirklichen. Die im radikalen Flügel der bürgerlichen Frauenbewegung engagierte Pazifistin Lida Gustava Heymann hatte bereits als Achtzehnjährige "Die Frau" von Bebel erstanden. In ihren im Zürcher Exil aufgeschriebenen Lebenserinnerungen fasst sie zusammen: Die Behandlung der Frauenfrage durch Bebel als sog. Nebenwiderspruch (im Gegensatz zum Hauptwiderspruch, nämlich dem Klassenkampf) stieß in Kreisen der Frauenbewegung auch

Bebel-Rezeption in der Schweiz.

Auch in der Schweiz galt er als prägende Figur der Arbeiterbewegung und der Sozialdemokratie, weshalb ihm zu Ehren im Friedhof Sihlfeld, Zürich, anlässlich seines 100-jährigen Todesjahres im Sommer 2013 eine Ausstellung gezeigt wurde, kuratiert von Willi Wottreng.  Der Schweizer Schriftsteller und Publizist Hans Peter Gansner verfasste zum Anlass des 100-jährigen Todes von

August-Bebel-Preis.

Die 2010 von Günter Grass gegründete August-Bebel-Stiftung soll Menschen, die sich ähnlich wie Bebel um die deutsche

Literatur.

Zeitgenössisches und Quellen  Bibliographien und Literaturüberblicke  Biographien und biographische Artikel (chronologisch, älteste zuerst)

Ferdinand August Bebel (* 22. Februar 1840 in Deutz bei Köln; † 13. August 1913 in Passugg, Schweiz) war ein sozialistischer deutscher Politiker und Publizist. Er war einer der Begründer der deutschen Sozialdemokratie und gilt bis in die Gegenwart als eine ihrer herausragenden historischen Persönlichkeiten. Er wirkte als einer der bedeutendsten Parlamentarier in der Zeit des Deutschen Kaiserreichs und trat auch als einflussreicher Autor hervor. Seine Popularität spiegelte sich in den volkstümlichen Bezeichnungen „Kaiser Bebel“, „Gegenkaiser“ oder „Arbeiterkaiser“ wider.

Ferdinand August Bebel, né à Deutz (près de Cologne) le et mort le dans un sanatorium près de Coire en Suisse, est un artisan allemand devenu homme politique socialiste et féministe.


Notwendigkeit.

Die internationale Vereinheitlichung des Einheitensystems verhindert Missverständnisse im Umgang mit Größen und Einheiten und macht Größenwerte unmittelbar exakt vergleichbar. Bedeutend ist dies sowohl für Wissenschaft und Technik als auch für Industrie und Handel.  Sowohl für den internationalen als auch den heimischen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Austausch ist ein einheitliches und in sich geschlossenes, also konsistentes Einheitensystem von großem Nutzen, zum Beispiel, um fehlerträchtige Umrechnungen und Missverständnisse durch mehrdeutige Angaben zu vermeiden. So existierten auf dem Gebiet des späteren Deutschen Reiches bis 1870 noch etwa 300 unterschiedliche Flächenmaße. Auch Einheiten gleichen Namens waren bzw. sind unterschiedlich. Beispielsweise ist die deutsche Pferdestärke (PS) nicht gleich der britischen "horsepower" (HP), und für eine Meile existierten über Jahrhunderte hinweg unterschiedliche Definitionen in den verschiedenen Anwendungsbereichen und Regionen. Für die Temperaturmessung wurden verschiedene Skalen genutzt.  Auf die Vorteile eines einheitlichen Maßsystems wies die Stuttgarter Zeitung bereits im Jahr 1871 in Bezug auf damalige Gesetzesänderungen hin. Dem Artikel zufolge sei das metrische Maß- und Gewichtssystem „ein in sich abgeschlossenes, natürlich gegliedertes Ganzes. Der Meter ist der Stamm, aus dem sich in schöner Symmetrie gleich Ästen und Zweigen alle Längen-, Flächen-, Körper-, Hohl- und Gewichtsmaße entwickeln, und er selbst wurzelt wieder in den Maßverhältnissen der Erde.“

Geschichte.

In China und Teilen Indiens gab es Dezimalmaßsysteme schon im Altertum. Vorschläge, ein rein dezimales Maßsystem zu schaffen, gab es im Europa der Neuzeit schon seit etwa Ende des 16. Jahrhunderts. Doch bevorzugte man bis Ende des 18. Jahrhunderts die auf hochzusammengesetzte Zahlen hin orientierten alten Maßsysteme. Diese waren aber weder international noch Stellenwertsysteme. Die moderne Ökonomie und Verwaltung ließ beides jedoch zur Effizienzsteigerung als wünschenswert erscheinen. Deshalb führte man im revolutionären Frankreich unter der bürgerlichen Terrorherrschaft das dezimalmetrische System am 1. August 1793 im Nationalkonvent auch ein.  Im 19. Jahrhundert wurden z. B. im Rheinbund nur Vorbereitungen zur Einführung des französischen Dezimalsystems unternommen, etwa durch Dezimalisierung des jeweiligen lokalen bzw. Einführung eines runden, z. B. 30-cm-Fußmaßes. Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts setzte sich das dezimalmetrische System allmählich auch international durch. So wurde am 20. Mai 1875 in Paris die Meterkonvention unterzeichnet, ein diplomatischer Vertrag unter den 17 führenden Industrienationen, die sich darin auf einheitliche Normale für die wichtigsten Größen einigten. Ohne diese Maßnahme wäre die weitere Entwicklung der industrialisierten Welt vielleicht unmöglich gewesen, weil national unterschiedliche Einheiten den internationalen Handel sowie wissenschaftlichen und technischen Austausch enorm erschwert hätten. Die Meterkonvention ist weiterhin gültig und ist Grundlage des Internationalen Einheitensystems (SI). Mit der Pflege des in der Meterkonvention festgelegten Standards wurde die internationale Organisation „Bureau International des Poids et Mesures“ (BIPM) beauftragt.  1874 wurde in Großbritannien das kohärente CGS-System mit drei Basiseinheiten, abgeleiteten Einheiten und den Präfixen „Micro“ bis „Mega“ festgelegt. Da sich die bisherigen Einheiten als zu kompliziert erwiesen hatten, wurden 1880 für die Gebiete der Elektrizität und des Magnetismus zusätzlich „praktische Einheiten“ eingeführt, darunter Ohm, Volt und Ampere.  Auf der ersten „Conférence Générale des Poids et Mesures“ (CGPM) 1889 wurden Meter, Kilogramm und Sekunde als internationale Basiseinheiten festgelegt ("MKS-System"). Die neuen Prototypen für den Meter und das Kilogramm wurden genehmigt und an die Mitgliedstaaten verteilt. Dabei ersetzte der sogenannte Internationale Meterprototyp den Urmeter von 1799 und behielt seine Gültigkeit bis zum 19. Mai 2019. Beide werden in einem Tresor des BIPM in Sèvres bei Paris aufbewahrt.  Der Internationale Elektrische Kongress führte 1893 in Chicago „international“ genannte Einheiten für Spannung und Widerstand ein. Die Internationale Konferenz 1908 in London bestätigte die „internationalen“ Einheiten Volt und Ohm.  1946 kam das Ampere schließlich als weitere Basiseinheit hinzu ("MKSA-System"), und 1954 folgten Kelvin und Candela. 1971 wurde als vorerst letzte Basiseinheit das Mol beschlossen.  Das Meter wurde seit 1960 über eine Lichtwellenlänge definiert und die Sekunde seit 1967 über die Frequenz eines Atomübergangs. In den 1980er Jahren konnte die Lichtgeschwindigkeit genauer gemessen werden als das Meter nach damaliger Definition. Daher wurde 1983 die Lichtgeschwindigkeit auf einen festen Wert festgelegt und das Meter über die Lichtgeschwindigkeit und die Sekunde neu definiert.  2019 kam es zu einer grundlegenden Neudefinition der Einheiten Kilogramm, Kelvin, Ampere, Candela und Mol. Hierbei bekamen vier weitere Naturkonstanten fixierte Werte.

Verbreitung des metrischen Systems.

Die Einführung des metrischen Systems begann in Frankreich. 1799 wurde der Meter in Paris gesetzlich eingeführt. Die Einführung wurde zeitweise auch wieder rückgängig gemacht. Die radikale Umstellung der Uhrzeiten und des Kalenders auf ein Dezimalsystem setzte sich jedoch nicht durch (u. a. sollte eine Woche aus zehn Tagen bestehen).  Im 19. Jahrhundert wurde das metrische System in den meisten europäischen Staaten eingeführt: in Teilen Deutschlands während der französischen Besatzung vor 1815 (beispielsweise der Pfalz, dort blieb es auch nach der Niederlage Napoleons bestehen), in den Niederlanden, Belgien und Luxemburg 1820, in Spanien in den 1850ern, in Italien 1861, in Deutschland 1872 (Gesetz vom 17. August 1868 für den Norddeutschen Bund, 29. April 1869 für die süddeutschen Länder), in Österreich 1876 (verbindlich, Gesetzesveröffentlichung 1871), in der Schweiz 1877 (legalisiert 1868, durch Bundesgesetz von 1875 verbindlich erklärt; kantonal allerdings zum Teil schon in napoleonischer Zeit eingeführt) und schließlich 1907 in Dänemark. Als letztes europäisches Land befindet sich das Vereinigte Königreich in der Umstellung, in Irland wurde sie am 20. Januar 2005 mit der Umstellung der Verkehrsschilder (km statt Meilen) abgeschlossen. Im englischsprachigen Raum wird die Einführung als „Metrication“ oder „Metrification“ bezeichnet.  Heute wird das metrische System in fast allen Ländern verwendet. Nur die USA sowie Myanmar und Liberia haben es noch nicht verbindlich eingeführt, wobei es jedoch in der Praxis von den beiden letztgenannten genutzt wird. Myanmar beschloss im Jahr 2013 den Übergang zum metrischen System. In den USA sind metrische Einheiten seit einem Parlamentsbeschluss 1866 und einem Regierungsdekret 1894 anerkannte Einheiten.<ref name="NZZ02/05">Andrea Böhm: "Einer gegen 290 Millionen." In: "NZZ Folio." 02/05.</ref> Am 23. Dezember 1975 wurde zwar in den Vereinigten Staaten von Präsident Gerald Ford der vom US-Kongress gebilligte Metric Conversion Act unterzeichnet, doch wird weithin am althergebrachten System festgehalten.  Widerstand gegen die Einführung, meist aus traditionellen oder ästhetischen Gründen, gab oder gibt es besonders in den USA, dem Vereinigten Königreich, Kanada (außer Québec) und Japan. Relikte alter Systeme finden sich in vielen Ländern, z. T. in Form umdefinierter („metrifizierter“) Einheiten (z. B. Pfund zu 500 g) und teilweise durch den Einfluss der US-Wirtschaft (Zoll, z. B. bei Bildschirmgrößenangaben). Dieses Vorgehen ist zwar verbreitet, widerspricht jedoch der Rechtslage. Daher verlangen US-Bundesbehörden in der Regel die Verwendung des metrischen Systems bei Auftragsvergaben (wenn z. B. bei Ausschreibungen technische Unterlagen eingereicht werden müssen).

Ein metrisches Einheitensystem, kurz metrisches System, ist ein Einheitensystem mit dem Meter als Basiseinheit für die Länge einer Strecke. Anders als bei vielen anderen Einheitensystemen mit unhandlich großen oder kleinen Angaben werden im metrischen Einheitensystem alle Werte strikt als dezimale Vielfache oder dezimale Bruchteile angegeben. Dazu dient ein System von Vorsätzen für Maßeinheiten.

Le système métrique est un système de mesure décimal adopté internationalement. Il est largement utilisé et, lorsqu'il est utilisé, c'est le seul ou le plus commun des systèmes de poids et de mesures. Il est maintenant connu sous le nom de système international d'unités (SI). Il est utilisé pour mesurer les choses quotidiennes telles que la masse d'un sac de farine, la taille d'une personne, la vitesse d'une voiture, et le volume de carburant dans son réservoir. Il est également utilisé dans la science, l'industrie et le commerce.


Grundton einer Tonleiter.

Der Grundton einer Tonleiter ist der für die Tonart namensgebende Ton, wie zum Beispiel C-Dur oder a-Moll. Meist wird die Tonleiter (Skala) von ihrem Grundton an aufsteigend angegeben. Eine Ausnahme bilden die plagalen Kirchentonarten (z. B. Hypodorisch), bei denen sich der Grundton nicht am Beginn, sondern in der Mitte der Skala befindet.  Beim Gregorianischen Choral war der Grundton mit dem Schlusston einer Melodie identisch und wurde deshalb auch als „Finalis“ bezeichnet.

Grundton eines Intervalls.

In älterer Literatur wird bei einem Intervall unter dessen Grundton einfach der tiefere der beiden beteiligten Töne verstanden. Intervallgrundtöne im eigentlichen Sinne, nämlich eines dominierenden Haupttons wurden erst von Paul Hindemith in seiner 1937 erschienenen Unterweisung im Tonsatz in die Musiktheorie eingeführt. Hindemith stützt sich dabei auf das Phänomen der Kombinationstöne, die in bestimmten Fällen dafür sorgen, dass einer der beiden Intervalltöne klanglich verstärkt wird und somit den anderen an Gewicht übertrifft. So wird etwa bei einer Quinte der untere, bei einer Quarte der obere Ton verstärkt. Entsprechend erweist sich bei der großen Terz der untere, bei der kleinen Sexte der obere Ton als Grundton. Bei den übrigen Intervallen ergeben die Kombinationstöne allerdings kein klares Ergebnis, da sie nicht mehr mit einem der beiden Intervalltöne zusammenfallen. Hier nimmt Hindemith die Zuweisung der Intervallgrundtöne nach eher pragmatischen Kriterien vor.

Grundton eines Akkords.

Im Generalbass und teils auch in der Harmonielehre gilt als Grundton eines Akkords der tiefste Ton seiner Grundstellung, in welcher er aus aufeinandergeschichteten Terzen besteht. Während bei der Grundstellung Grund- und Basston identisch sind, ändert sich letzterer bei Umkehrung des Akkords, wogegen der Grundton gleich bleibt.

Stufen- und Funktionstheorie.

Die Gleichsetzung des Grundtons mit dem Basston der Grundstellung gilt uneingeschränkt nur in der Stufentheorie. In der später entwickelten Funktionstheorie versteht man unter dem Grundton eines Akkords denjenigen, der seiner harmonischen Funktion entspricht, wodurch sich Abweichungen zur Stufentheorie ergeben können. So schreibt man z. B. dem Akkord h-d'-f' in C-Dur wegen seines Auflösungsbestreben in die Tonika eine dominantische Funktion zu. Man betrachtet ihn als verkürzten Dominantseptakkord und weist ihm den Grundton g zu, obwohl dieser gar nicht erklingt. Während stufentheoretisch der Akkord zur VII. Stufe gehört, ordnet ihn die Funktionstheorie der V. Stufe (Dominante) zu.  Ein weiteres Beispiel für die unterschiedliche Interpretation eines Akkords ist der Sixte-ajoutée-Akkord f-a-c'-d'. Die Stufentheorie deutet ihn als erste Umkehrung des Septakkords der II. Stufe mit Grundton d, die Funktionstheorie als subdominantischen Klang mit Grundton f.

Grundtonbestimmung nach Hindemith.

Da die traditionelle Harmonielehre Probleme mit der Deutung von Akkorden hat, die sich nicht auf das Terzenbauprinzip zurückführen lassen, empfindet Hindemith sie als ein zu enges System der Klangbestimmung und entwickelt eine neue Akkordlehre, die auf alle denkbaren Klänge gleichermaßen anwendbar ist. Hiernach wird der Grundton eines Akkords mit dem Grundton des „besten“ in ihm enthaltenen Intervalls identifiziert. Das „beste“ Intervall ist dasjenige mit dem höchsten Konsonanzgrad, also das in der Reihe der nach abnehmendem Klangwert angeordneten Intervalle (Quinte, Quarte, große Terz, kleine Sext...) am weitesten vorne stehende. Wenn also im Akkord eine Quinte enthalten ist, was häufig der Fall ist, so ist deren unterster Ton Grundton; kommen zwei Quinten im Akkord vor, so bestimmt wegen ihres größeren Gewichts die tiefer liegende Quinte den Grundton.  In einfachen Fällen liefern Stufentheorie, Funktionstheorie und Hindemiths Verfahren das gleiche Ergebnis. Alle drei sehen z. B. beim C-Dur-Dreiklang das c als Grundton. In anderen Fällen können jedoch Unterschiede in der Deutung auftreten. So wird etwa in C-Dur der halbverminderte Septakkord h-d'-f'-a' von der Stufentheorie als Septakkord der VII. Stufe (Grundton h) gedeutet, von der Funktionstheorie als verkürzter Dominantseptnonakkord (Grundton g), und nach Hindemith bestimmt sich der Grundton aus der Quinte d'-a' zu d'.

Grundton eines Klangs.

Ein einzelner Ton ist im akustischen Sinne in der Regel kein Sinuston, sondern ein aus solchen zusammengesetzter komplexer Klang. Dessen Grundfrequenz wird auch "Grundton" genannt und entspricht in den meisten Fällen der wahrgenommenen eigentlichen Tonhöhe. Seltener gibt es das akustische Phänomen, dass die Grundfrequenz bei einem Klang ganz fehlt und dieser trotzdem in Höhe der fehlenden Grundfrequenz wahrgenommen wird ('Missing Fundamental', Residualton).  Die Obertonreihe eines Grundtones bestimmt generell nicht nur die Klangfarbe, sondern hat aufgrund ihrer Zusammensetzung (etwa bezüglich der Unterschiede in der Stärke der einzelnen Obertöne) auch direkten Einfluss auf die Klangfarbe des wahrgenommenen Tones.  Sind die Obertöne eher gering ausgeprägt, spricht man von einem „grundtönigen“ Klang. Die Zweierpotenzen der Grundfrequenz (diese entsprechen den Partialtönen 2, 4, 8 und 16) eines Tones ergeben stets deren Oktavierungen.

Grundton bei Musikinstrumenten.

Der Grundton eines Blechblasinstruments ist der tiefste Naturton, den das Instrument (ohne Benutzung von Ventilen oder Zügen) erzeugen kann. Er bestimmt die Grundstimmung des Instruments. Bei transponierenden Instrumenten wird dieser Ton als "c" notiert.  Bei manchen Holzblasinstrumenten, zum Beispiel fast allen Blockflöten, bezeichnet Grundton den tiefsten spielbaren Ton. Bei ihm sind alle Tonlöcher geschlossen, die schwingende Luftsäule hat also etwa die Länge des ganzen Instruments.  Bei Saiteninstrumenten mit Griffbrett (z. B. Violine, Gitarre) wird manchmal der Ton einer „leeren“ (ungegriffenen) Saite als deren Grundton bezeichnet.

Als Grundton bezeichnet man den fundamentalen Ton einer Tonleiter, eines Intervalls, eines Akkords, eines akustischen Klangs oder der Stimmung eines Musikinstruments. Auf tonale musikalische Abschnitte oder Musikstücke bezogen ist "Grundton" sinnverwandt mit den Bezeichnungen Tonika oder tonales Zentrum, z. B. das c bei C-Dur.

En harmonie tonale, la note fondamentale ou fondamentale est la note de base sur laquelle est construit un accord. Par exemple, un accord de trois notes "do" - "mi" - "sol" est construit sur la fondamentale "do" et prend le nom de cette fondamentale : c'est un accord de "do" majeur.


Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Definition.

Ist formula_1 ein Vektorraum über einem Körper formula_2 (in Anwendungen meist der Körper formula_3 der reellen Zahlen oder der Körper formula_4 der komplexen Zahlen) und formula_5 eine lineare Abbildung von formula_1 in sich selbst (Endomorphismus), so bezeichnet man als "Eigenvektor" einen Vektor formula_7, der durch formula_8 auf ein Vielfaches formula_9 von sich selbst mit formula_10 abgebildet wird: Den Faktor formula_12 nennt man dann den zugehörigen "Eigenwert."  Anders formuliert: Hat für ein formula_10 die Gleichung eine Lösung formula_7 (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt formula_12 "Eigenwert" von formula_17 Jede Lösung formula_7 heißt "Eigenvektor" von formula_8 zum Eigenwert formula_20  Hat der Vektorraum eine endliche Dimension formula_21 so kann jeder Endomorphismus formula_8 durch eine quadratische formula_23-Matrix formula_24 beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung schreiben, wobei formula_26 hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung formula_27 Eigenvektor und formula_12 Eigenwert der Matrix formula_29  Diese Gleichung kann man auch in der Form schreiben, wobei formula_31 die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu oder umformen.

Berechnung der Eigenwerte.

Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen.

Symbolische Berechnung.

Die Gleichung definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Da formula_35 vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn gilt. Diese Determinante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um ein normiertes Polynom formula_37-ten Grades in formula_20 Seine Nullstellen, also die Lösungen der Gleichung über formula_2, sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad formula_37 höchstens formula_37 Nullstellen hat, gibt es auch höchstens formula_37 Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau formula_37 Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad formula_37 eine ungerade Zahl und gilt formula_46, dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell.

Eigenraum zum Eigenwert.

Ist formula_12 ein Eigenwert der linearen Abbildung formula_5, dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert formula_12. Der Eigenraum ist durch definiert. Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert formula_12 gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert "entartet." Die Dimension des Eigenraums formula_52 wird als geometrische Vielfachheit von formula_12 bezeichnet.  Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum.

Spektrum und Vielfachheiten.

Für den Rest dieses Abschnittes sei formula_54 Dann besitzt jede formula_55 genau formula_37 Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung formula_57 der "verschiedenen" Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten formula_58 Dabei ist formula_59 und formula_60  Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit formula_61 werden als einfacher Eigenwert bezeichnet.  Die Menge der Eigenwerte wird "Spektrum" genannt und formula_62 geschrieben, sodass also gilt. Als Spektralradius bezeichnet man den größten Betrag aller Eigenwerte.  Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.  Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Beispiel.

Es sei die quadratische Matrix gegeben. Subtraktion der mit formula_12 multiplizierten Einheitsmatrix von formula_24 ergibt: Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus) liefert: Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms, man erhält: Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Numerische Berechnung.

Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen als auch Methoden für dünnbesetzte große Matrizen wie Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. B. mithilfe die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.

Berechnung der Eigenvektoren.

Algorithmus.

Für einen Eigenwert formula_12 lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung bestimmen. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als "geometrische Vielfachheit" des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert formula_12 der geometrischen Vielfachheit formula_73 lassen sich also formula_73 linear unabhängige Eigenvektoren formula_75 finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu formula_12 gleich der Menge der Linearkombinationen von formula_75 ist. Die Menge formula_78 heißt dann eine "Basis aus Eigenvektoren" des zum Eigenwert formula_12 gehörenden Eigenraumes.  Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.  Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Beispiel.

Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix Die Eigenwerte formula_81 wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert formula_82 berechnet: Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen: Bringt man die Matrix auf obere Dreiecksform, so erhält man: Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors formula_86 (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).  Obwohl der Eigenwert formula_82 eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert "nur ein" linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist "ein"dimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in die Jordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren.  Für den Eigenwert formula_88 geht man genauso vor: Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform: Hier ist die Lösung der Vektor formula_91 wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.

Eigenschaften.

Speziell für reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrizen gilt:

Eigenvektoren kommutierender Matrizen.

Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein System gemeinsamer Eigenvektoren zu finden:  Kommutieren zwei Matrizen formula_24 und formula_124 (gilt also formula_125) und ist formula_12 ein nichtentarteter Eigenwert (d. h., der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von formula_24 mit Eigenvektor formula_128 so gilt Auch formula_130 ist also ein Eigenvektor von formula_24 zum Eigenwert formula_20 Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss formula_130 ein Vielfaches von formula_134 sein. Das bedeutet, dass formula_134 auch ein Eigenvektor der Matrix formula_124 ist.  Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind.  Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden. Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d. h. mit einer Basistransformation für alle Matrizen) diagonalisiert werden.

Linkseigenvektoren und verallgemeinertes Eigenwertproblem.

Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als "Rechtseigenvektor" und definiert dann entsprechend den Begriff des "Linkseigenvektors" durch die Gleichung Linkseigenvektoren finden sich z. B. in der Stochastik bei der Berechnung von stationären Verteilungen von Markow-Ketten mittels einer Übergangsmatrix.  Wegen formula_138 sind die Linkseigenvektoren von formula_24 gerade die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix formula_140 Bei normalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen.  Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen formula_24 und formula_124 und die Gleichung untersuchen. Dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet.

Spektraltheorie in der Funktionalanalysis.

Eigenwerte und Eigenfunktionen.

In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei formula_1 ein Vektorraum über einem Körper formula_2 mit formula_146 und formula_24 ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man formula_24 ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen formula_149 für die der Operator formula_150 nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur formula_151 verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung formula_152 für ein formula_35 lösen, nennt man wie in der linearen Algebra "Eigenwerte." Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man das "Punktspektrum" von formula_29 Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.

Beispiel.

Sei formula_155 offen. Dann besitzt der Ableitungsoperator formula_156 ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet man nämlich für alle formula_157 die Gleichung und wählt formula_159 dann sieht man, dass die Gleichung formula_160 für alle formula_161 erfüllt ist. Also ist jedes formula_162 ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion formula_163

Praktische Beispiele.

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.  Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert.

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.


Einsatzbereiche.

Das MIDI-Protokoll wurde ursprünglich zur Kommunikation von Synthesizern unterschiedlicher Hersteller entwickelt. Der eigentliche Sinn war, von einer Tastatur eines Synthesizers aus weitere Synthesizer anzusteuern. Davor konnten Synthesizer nur analog und mit großem Verkabelungsaufwand verbunden werden.  Zu der damaligen Zeit hatten die Synthesizer nur wenige Stimmen, d. h., sie konnten meist nur 4–8 Töne gleichzeitig erzeugen. Trotz einer gewissen Soundauswahl konnte kein Gerät mehr als einen Sound gleichzeitig erzeugen. Wollte man also zwei oder mehrere Sounds mit einem Tastendruck spielen, musste man zwei Geräte mit einer Tastatur verkoppeln. So konnte man unterschiedliche Sounds übereinanderlegen, um z. B. einen „dickeren“ Synthesizerstreicherklang zu bekommen oder Synthesizerstreicher mit Synthesizerbläsern zu kombinieren.  Das war nun mit der Verbindung über ein einzelnes MIDI-Kabel möglich, indem der MIDI-Out des Hauptgerätes mit dem MIDI-In des angesteuerten Gerätes per 5-poligem MIDI-Kabel verbunden wurde (wobei nur zwei Pole genutzt werden). Da die Audiosignale der verschiedenen Synthesizer keine MIDI-Steuerdaten sind, müssen diese über zusätzliche Leitungen einem Mischpult zugeführt werden.  MIDI trennte auch gleichzeitig die Tastatur eines Synthesizers von seiner Klangerzeugung, was natürlich die Einsatzmöglichkeiten eines Instrumentes massiv erhöhte: Denn so war es auch möglich, eine Tastatur aufzuteilen (splitten) und die Tastaturbereiche auf verschiedene Synthesizer zu verteilen. So konnte der Keyboarder z. B. mit dem linken Tastaturbereich einen Streicherklang mit einem angesteuerten Synthesizer und mit der rechten Hand einen Solo-Synthesizerklang mit dem

Funktionsweise.

Spielt man auf einem Keyboard eine Taste, werden digitale Informationen über Tonhöhe und Anschlagstärke am MIDI-Ausgang des Keyboards ausgegeben und lassen sich an den MIDI-Eingang eines Computers übermitteln oder zur Steuerung der Klangerzeuger in elektronischen Instrumenten und Soundkarten verwenden. Solche Befehle sind beispielsweise "Note-on" („Taste für Note x wurde gedrückt“) und "Note-off" („Taste für Note x wurde wieder losgelassen“).  Ein vollständiger 3-Byte-Datensatz für einen Spielbefehl für eine Note könnte beispielsweise wie folgt aussehen:  Diesen Ton spielt ein angesteuerter Klangerzeuger so lange, bis dieser den 3-Byte-Befehl mit einem "Note aus"-Byte anstelle des "Note ein"-Byte empfängt. Welchen Sound der Klangerzeuger spielt, wird entweder zuvor am Klangerzeuger oder mit weiteren

Technik.

MIDI verwendet ein unidirektionales Protokoll zur seriellen Datenübertragung ohne Datenflusskontrolle. Die Übertragungsgeschwindigkeit beträgt 31250 Bit/s (exakt 32 μs pro Bit). Zu jedem Byte, bestehend aus 8 Bit, kommt ein Start- sowie ein Stopp-Bit, sodass die komplette Übertragung eines Datensatzes bestehend aus 30 Bits 960 μs dauert. Bis auf das Fehlen des Parity-Bits entspricht es damit dem Protokoll bei PC-UARTs.  Im Unterschied zu pegelgesteuerten Schnittstellen wird bei MIDI jedoch eine 5-mA-Stromschleife verwendet. Physisch sind die Anschlüsse als fünfpolige DIN-Buchsen (DIN 5/180° – früher Diodenbuchse/-stecker) realisiert. Die Pins 4 und 5 werden als Datenleitung benutzt. Dabei liegt gemäß der MIDI-Spezifikation Pin 4 über einen 220-Ohm-Widerstand an +5 V. Pin 5 kann über 220 Ohm mit 0 V verbunden werden. Ist am anderen Ende ein MIDI-In-Port angeschlossen (nochmals 220 Ohm in Reihe mit einem Optokoppler), fließt ein Strom über die Leitung, dieser Zustand ist als logische „0“ definiert. Wird Pin 5 nicht verbunden, fließt kein Strom, was als logische „1“ gilt und auch den Ruhezustand darstellt.  Laut einer nachträglichen Erweiterung der MIDI-Spezifikation sind nun auch MIDI-Ausgänge möglich, die auf einer 3,3 V-Versorgungsspannung beruhen. In diesem Fall werden Serienwiderstände von 33 Ohm und 10 Ohm an Pin 4 bzw. an Pin 5 eingesetzt.  Durch den Optokoppler in der Empfangsleitung ergibt sich eine galvanische Trennung der einzelnen MIDI-Geräte untereinander, die Masseleitung (Pin 2 und Kabelabschirmung) darf an der MIDI-In-Schnittstelle nicht angeschlossen werden, um Masseschleifen zu vermeiden.  In manchen Ausnahmen (z. B. bei der MIDI-Interface-Karte „Roland MPU-401 AT“ als ISA-Karte) sind die Anschlüsse auch als 6-polige Mini-DIN-Buchsen ausgelegt. In solchen Fällen hilft ein Anschlussadapter, der baugleich zu einem Tastaturadapter „Mini-DIN-Stecker zu DIN-Buchse“ (PS/2 auf AT) ist.

Anschlüsse.

Es existieren drei verschiedene Arten von MIDI-Anschlüssen, "MIDI-In", "MIDI-Out" und "MIDI-Thru".  MIDI arbeitet nach dem Master-Slave-Prinzip. Will man mit einem Keyboard einen Synthesizer steuern, verbindet man die MIDI-Out-Buchse des Keyboards (Master) mit der MIDI-In-Buchse des Synthesizers (Slave). Sollen mit einem Keyboard (Master) zwei Soundmodule als Slave A und B angesteuert werden, verbindet man die MIDI-Out-Buchse des Masters mit der MIDI-In-Buchse des Slave A sowie die MIDI-Thru-Buchse des Slave A

Eingabegeräte.

Ein Masterkeyboard erzeugt Noteninformationen im MIDI-Format und dient ausschließlich der Steuerung von Expandern, Software-Synthesizern oder zur Aufzeichnung der Tastenbewegung beim Einspielen von Musik in Sequenzer. Es enthält keine eigene Klangerzeugung. Die Klangsteuerung an den Geräten kann über gerätespezifische Steuerfunktionen wie Bankumschaltung geschehen.  Dem gegenüber stehen die reinen MIDI-Controller. Dabei handelt es sich um Geräte ohne Tastatur, die lediglich Knöpfe und Drehregler besitzen, mit denen eingehende Daten modifiziert oder dem Datenstrom neue Daten auf anderen Kanälen hinzugefügt werden. Sie werden zwischen ein Masterkeyboard und einen Empfänger – oder parallel dazu

Rechner als Speichermedien.

Signal-Konverter.

Um mit einem Computer über MIDI zu kommunizieren, muss ein "Signal-Konverter" zwischengeschaltet werden, der gewöhnlich als MIDI-Interface bezeichnet

Commodore 64.

Eine Pionierrolle spielte der Commodore 64, auf dem insbesondere die deutschen Softwareautoren

Atari ST.

Der kommerzielle Durchbruch für MIDI als Plattform für professionelle Musikproduktion ist eng mit dem Atari ST

Commodore Amiga.

Auf dem Commodore Amiga prägte die Softwarefirma Blue Ribbon Inc. mit "Bars & Pipes Professional" ein neues Sequenzer-Software-Prinzip, das durch seine frei programmierbare Plugin-Schnittstelle in seinen Funktionen fast beliebig erweiterbar ist. Die meisten MIDI-Interfaces

IBM-PC.

Hier handelte es sich ursprünglich um eine 8-Bit-ISA-Steckkarte des Herstellers Roland. Viele für MS-DOS-PCs erhältliche Computerspiele zwischen 1988 und 1995 unterstützen diese MIDI-Schnittstelle zur Ansteuerung von Klangerzeugern wie z. B. der internen Roland LAPC-I oder dem externen MT-32. Andere Hersteller wie bspw. Creative Labs unterstützten den MPU-401-Modus nur eingeschränkt im sogenannten Dumb-Mode "(UART)", während der "Intelligent-Mode", der genaues Timing durch Hardwareunterstützung garantierte, nur von Rolands eigenen Produkten beherrscht wurde.  Die standardmäßigen DIN-Buchsen für MIDI sind zu groß, um direkt in die Rückplatte einer PC-Steckkarte eingebaut zu werden. Lange Zeit war die übliche Vorgehensweise, die MIDI-Signale, die an einem kombinierten

Allgemeines.

Softwareseitig war die Hardware meistens MPU-401-kompatibel. Vorher waren auch MIDI-Interfaces für die serielle (COM) und parallele (Druckerport) Schnittstelle im Gebrauch. Professionelle MIDI-Geräte für PCs benutzen oft proprietäre (herstellerspezifische) Buchsen zwischen Steckkarte und dem externen Gerät. Inzwischen gibt es jedoch viele MIDI-Interface-Geräte für USB, FireWire (mLAN) und LAN.

Expander (Soundmodul).

Ein "Expander" ist ein externer Klangerzeuger ohne eigene Tastatur. Er empfängt Noten ausschließlich per MIDI. Nur Parameter, die sich am Expander einstellen lassen, werden zurück übertragen und können aufgezeichnet werden. Ein Expandermodul erweitert die Möglichkeiten eines Tastatur-Synthesizers oder Keyboards. Wie ihre Pendants mit Tastatur können Expander viele Formen der Klangerzeugung zur Verfügung stellen. Wegen ihres geringen Platzbedarfs sind sie von ihrer Bedeutung her mindestens ebenso relevant wie die Tastaturversionen für die Entwicklung und Verbreitung von MIDI.  Die Expandertechnik bietet die Möglichkeit, in relativ kleinen Geräten eine Vielfalt von Klängen zu erzeugen. Ohne sie hätte sich Midi sicher weniger schnell und weniger weit verbreitet, denn andere Verfahren verbieten sich vielerorts wegen ihres Platzbedarfs und ihrer Kosten.  Die Klangerzeugungsverfahren von Expandermodulen kann man in zwei Grundklassen aufteilen:

Samplebasierte Klangerzeugermodule.

Synthesizermodule mit generischer Klangerzeugung.

Diese Geräteklasse ist ähnlich umfassend, wie die der samplebasierten Synthesizer, wobei die Klangerzeugung rein "synthetisch" geschieht. Sie reicht von modularen, analogen Schrankwänden, beispielsweise von Doepfer, bis hin zu digitalen Kleinstmodulen in Halbzollgröße.  Viel verwendete Syntheseverfahren sind (kleine Auswahl):  Virtuelle Simulationen sind die modernste Art der Synthese, sie bilden akustische, mechanische, elektrische und elektronische Bauweisen

Steuermöglichkeiten der Expander.

Unterschiedliche Synthesetechniken erfordern unterschiedliche Bearbeitungsweisen. Mittlerweile sind viele Expandermodule mit Steuerelementen wie Reglern, Fadern und Schaltern ausgestattet, die MIDI-Signale senden können. So können beispielsweise Regelverläufe

Bauweise.

Expandermodule werden normalerweise in genormter 19-Zoll-Bauweise hergestellt. Es gab und gibt immer wieder Ausnahmen. In den Anfangszeiten von MIDI gab es noch häufiger Geräte, die nicht dieser Norm entsprachen.

Sequenzer.

Der "Hardware-Sequenzer" dient der Aufzeichnung der MIDI-Daten und dem Arrangement eines Musikstückes. MIDI-Sequenzer erlauben das Programmieren, die Aufzeichnung sowie die Wiedergabe von aufgezeichneten oder programmierten MIDI-Informationen wie Notenwerten, Anschlagsstärke oder weiteren Steuerungsbefehlen wie z. B. Modulation. Für den Live-Einsatz erfreuen sich auch die in Keyboards oder Groove-Boxes integrierten Sequenzer großer Beliebtheit. Eine Kombination aus Klangerzeuger und Synthesizer, Masterkeyboard und Hardware-Sequenzer wird als Workstation bezeichnet.  "Softwaresequenzer" haben im Bereich der Komposition große Bedeutung,

Zusätzliche Hardware.

Zahlreiche digitale Effektgeräte und Mischpulte sind heute ebenfalls über MIDI-Controller-Befehle steuerbar. Auf diese Weise können Aktivitäten am Pult mit einem Sequenzer oder

Protokoll.

Das Protokoll wurde 1981 von Dave Smith für die Audio Engineering Society entwickelt und von der MIDI Manufacturers Association erstmals 1983 auf der NAMM-Show in Anaheim, USA, vorgestellt. Der MIDI-Standard wird von der MMA (MIDI Manufacturers Association) festgelegt.  Der folgende Abschnitt erfordert das Verständnis des Hexadezimalsystems. Ein Byte ist aus zwei Hexadezimalziffern zwischen 0 und 15 aufgebaut, wobei die Zahlen ab 10 mit A bis F notiert werden. Eine 2-stellige Hex-Zahl besitzt damit einen Zahlenbereich von 0 bis 255.  Die meisten MIDI-Befehle enthalten neben ihrer Befehlskennung und den Befehlsdaten auch eine Kanalnummer. Die Kanalnummer ist 4 Bit groß, so dass sich 2, also 16 Kanäle ansteuern lassen. Jeder Kanal steuert ein spezielles Instrument, auch „Programm“ genannt.

Nachrichtentypen.

Das Statusbyte ist das erste Byte eines Befehls. Außerdem enthält das Statusbyte den betreffenden MIDI-Kanal "n". Dieser reicht von 0 bis 15. In vielen Programmen wird bei der Darstellung der Kanalnummer die tatsächliche Kanalnummer um 1 erhöht dargestellt, also von 1 bis 16 statt von 0

Controller.

Zweck eines MIDI-Controllers (Continuous Controller = CC, vordefinierter, festgelegter Controller) ist es, dem Anwender für sein Instrument die typischen Spielhilfen bereitstellen zu können, so z. B. dem Klavierspieler ein Haltepedal (CC064) oder dem Orgelspieler einen Lautstärkeregler (CC007 bzw. CC011) und einen Lesliegeschwindigkeitsumschalter (z. B. CC004, CC006).  Dem Synthesizerspieler beispielsweise stehen eine ganze Reihe weiterer Beeinflussungsregler für sein Spiel zur Verfügung, z. B. ein Modulationsrad (CC001), Pitch-Bending-Hebel, diverse Pedale und Fußschalter, weitere Schiebe- und Druckregler und -schalter, Blaswandler (CC002) oder Steuerungen per Licht für die Hände. Es gibt

Herstellerspezifische Erweiterungen.

Die allgemeinen (RPN – Registered Parameter Number) und die herstellerspezifischen (NRPN – Non Registered Parameter Number) Controller dienen dazu, Parameter zu steuern, die im normalen Controller-Bereich keinen Platz finden. Es können Parameter mit einem Index zwischen

Systemexklusive Meldungen.

"Systemexklusive Meldungen" (SysEx) sind Bestandteil des MIDI-Übertragungsprotokolles.  Während die übrigen MIDI-Befehle weitgehend als ein Standard festgelegt sind, wurde speziell durch die systemexklusiven Meldungen sichergestellt, dass die Hersteller von Hard- und Software auch Informationen übertragen können, die im MIDI-Protokoll nicht vorgesehen sind. So kann zum Beispiel der Speicherinhalt eines Gerätes zur Datensicherung an einen Rechner gesendet werden. Auch können Modellbezeichnungen zwischen den Geräten ausgetauscht werden. Das MIDI-Protokoll garantiert, dass systemexklusive Meldungen nicht durch andere Befehle unterbrochen werden. Daher werden systemexklusive Meldungen in Pausen

Erweiterung des Standards durch MPE.

Ein Kritikpunkt an MIDI ist, dass die Controller in der Regel nur monophon übertragen werden, also auf alle gespielten Noten eines Programms gleich wirken (Ausnahme: der selten anzutreffende polyphone Aftertouch).  Um größere Expressivität erreichen zu können, wurde 2017 MPE als abwärtskompatible Erweiterung

Synchronisation.

Synchronisation ist immer dann nötig, wenn zwei oder mehrere MIDI- bzw. Audiogeräte zu einem System zusammengeschlossen werden müssen.  Dazu gibt es zwei MIDI-Protokolle: Die ältere und tendenziell unpräzisere MC (Midi-Clock), die auf das Grundtempo eines Songs referenziert und eher für den musikalischen Einsatz vorgesehen ist, und den neueren MTC (Midi-Time-Code), der auf ein absolutes Zeitsystem referenziert und für Aufnahmesysteme relevant ist.  Jeder Systemverbund hat genau einen "Master", alle anderen Geräte sind "Slaves", die dem Master folgen müssen.  Synchronisation ist in vielen Bereichen notwendig. Dabei kann man zwei grundsätzlich verschiedene Einsatzzwecke feststellen, aus denen sich diverse Mischformen ergeben:

1. Synchronisation von Systemen.

Hier werden verschiedene Aufnahme-, Wiedergabe- und Bearbeitungssysteme zu einer Systemeinheit verbunden. Sie sollen also gleichzeitig und synchron starten, stoppen und mitlaufen und natürlich auch nicht während des Musikstücks auseinanderlaufen, was passieren würde, wenn man die einzelnen Systeme manuell gleichzeitig starten würde. Genau das übernimmt der MTC und verhindert derartige Probleme.  Einige Synchronisierungsbeispiele aus der Praxis (MTC):  Bei (analogen) Bandmaschinen muss vor einer Aufnahme der Timecode auf das Band aufgespielt werden. Dabei wird ein SMPTE-Timecode auf die letzte Spur (8-Spur auf Spur 8, 16-Spur auf Spur 16 usw.) der Maschine aufgenommen, der von einem SMPTE-Generator erzeugt wird. Ein SMPTE-Code stört durch Übersprechen daneben liegende Kanäle, weshalb

2. Synchronisation von Synthesizerfunktionen und Effektgeräten.

Hier werden Sequencer und Synthesizer bzw. Effektgeräte miteinander gleichgeschaltet, um musikalisch wichtige Ereignisse auszulösen.  Einige Synchronisierungs-Beispiele aus der Praxis (MC):  Die Möglichkeiten für den Einsatz von MC ist nur begrenzt

MIDI-Clock und Song Position Pointer.

Durch diese Signale starten alle Sequenzer gleichzeitig, folgen dem gegebenen Tempo und stoppen auch wieder gleichzeitig.  Während MC im Grunde lediglich Clock-Ticks sendet, ist SPP dafür zuständig, die Position im Song zu übermitteln. Er wird jede Sechzehntelnote übertragen und

MIDI-Time-Code.

Der "MIDI timecode" (MTC) ist eine Umsetzung des SMPTE-Timecodes auf das MIDI-Format. Im Gegensatz zur MIDI-Clock ist der MTC eine reine Zeitinformation, eine Umrechnung auf Lied, Position innerhalb des Liedes und Abspieltempo muss

Dateiformate.

Für das Speichern von MIDI-Befehlen in "Standard-MIDI-Files" (kurz: SMF) gibt es drei Dateiformate:  Die standardisierte Dateiendung für MIDI-Dateien ist codice_25. Daneben finden noch codice_26 Verwendung. Diese sogenannten Karaoke-Dateien enthalten den gesamten Liedtext. Das Dateiformat ist exakt dasselbe wie bei codice_25. Viele Programme erkennen Dateien mit der Endung codice_26 jedoch nicht als

Alternative Übertragungswege.

USB und FireWire.

Da MIDI im Wesentlichen ein Datenprotokoll zur Steuerung von elektronischen Musikinstrumenten darstellt, ist es prinzipiell unerheblich, über welche Hardware die Daten übertragen werden. Um eine kostengünstige, plattformübergreifende und vor allem schnelle Anbindung externer MIDI-Interfaces an einen Rechner zu erreichen, statten immer mehr Hersteller ihre Geräte neben den klassischen MIDI-Anschlüssen mit USB- oder FireWire-Anschluss (IEEE1394) aus. Dabei werden die MIDI-Befehle über USB bzw. FireWire getunnelt. Auf diese Art lassen sich mehrere virtuelle MIDI-Verbindungen realisieren, wodurch die Begrenzung auf 16 pro Verbindung praktisch keine Rolle mehr spielt. Diese Art von MIDI-Interfaces stellt die im Vergleich zum PC-Gameport deutlich zuverlässigere Variante zum Anschluss von MIDI-Geräten an den Rechner dar, da die verwendeten Treiber von den Herstellern dieser verhältnismäßig teuren Geräte zumeist

Wireless MIDI.

Dem Trend hin zur drahtlosen Datenübertragung folgend werden auch Geräte angeboten, mit denen sich MIDI-Daten per Funk übertragen lassen. Die Geräte

IP-basierende Netzwerke.

Seit einiger Zeit gibt es eine Reihe von virtuellen Gerätetreibern, die es erlauben, MIDI-Daten über IP-basierende Netzwerke zu übermitteln. Während die meisten dieser Produkte auf proprietärer Basis die MIDI-Daten per TCP oder UDP über das Netzwerk übertragen, gibt es mittlerweile auch

Klinkenstecker.

Am 26. Juli 2018 wurde die Spezifikation auf 2,5-mm- und 3,5-mm-Klinkenstecker erweitert. Die dreipolige Form solcher Stecker bietet sich an, da

Andere.

Bis vor Kurzem gab es Bemühungen, den von Yamaha entwickelten mLAN-Standard als Verknüpfung von MIDI- und Audiodaten auf

Kritik.

Vor- und Nachteile gegenüber digitaler Audioaufzeichnung.

Bevor MIDI entstand, war digitale Audioaufzeichnung noch extrem teuer und damit wenigen Produktionen vorbehalten. Somit eröffnete das technisch nicht sehr aufwendige MIDI mit seiner enormen Leistungsfähigkeit mittels Aufzeichnung reiner Steuersignale Anfang der 1980er Jahre einer breiten Masse von Musikschaffenden plötzlich neue Horizonte. Dank MIDI können auch Amateurmusiker mit entsprechenden Kenntnissen komplexere musikalische Strukturen kreieren. Beispielsweise können Streicher und Bläser synthetisch imitiert werden, während man Schlagzeug, Gitarre und Gesang über Audiospuren einspielt.  MIDI-Signale enthalten lediglich Steuerdaten. Digitale „Audiosignale“ hingegen sind

Latenz.

Die Geschwindigkeit der MIDI-Schnittstelle ist vom technischen Standpunkt überholt. Da für das Auslösen eines Tons bis zu 3 Bytes übertragen werden müssen, was 0,960 ms in Anspruch nimmt, kommt es bei mehreren Events, die eigentlich gleichzeitig gesendet werden sollen, zu Verzögerungen, die bei Instrumenten mit deutlichem Anschlag auch hörbar werden können. Eine deutlich hörbare, durch MIDI verursachte Verzögerung tritt normalerweise auf, wenn zu viele MIDI-Daten auf einmal übertragen werden sollen, wie in den folgenden Beispielszenarien:  Bei Studioarbeit werden dagegen mehrere Maßnahmen ergriffen: Bei Live-Anwendungen sind diese Maßnahmen allerdings oft nicht möglich. Ein Masterkeyboard hat üblicherweise nur ein MIDI-Out, das heißt, alles, was dort an Noten und Controllern ausgelöst wird, muss über diese eine Schnittstelle.  Wenn ausschließlich Notenwerte in schneller Folge übertragen werden und anstatt des expliziten Note-Off-Kommandos ein Note-On-Kommando mit Anschlagsdynamikwert 0 verwendet wird,

Stimmungen und Skalen.

Schwerer wiegen die Einschränkungen musikalischer Art: MIDI wurde für die Steuerung von Synthesizern konzipiert, die überwiegend in derselben temperierten Stimmung betrieben werden. Für nicht-temperierte Stimmungen oder andere Skalen müssen die Notenwerte

Auflösung.

Alle analogen und kontinuierlichen Aspekte wie die Anschlagdynamik, das Verhalten des Klangs während des Drückens (after touch) und nach dem Loslassen der Taste sowie die Echtzeitmodifikationen der Amplitude, der Frequenz etc. sind in den 128 Stufen des MIDI-Formats aufgelöst. Das schafft unweigerlich eine verfälschende Vergröberung des manuellen Spiels schon bei der Aufnahme und verhindert eine stufenlose Änderung, was vor allen bei der Lautstärke und dem Spieltempo problematisch ist. Zwar werden in vielen modernen Keyboards, Klangerzeugern und Synthesizern die ankommenden Controllerwerte geglättet und sanft auf neue Werte übergegangen, dennoch hat damit der Musiker nur eine eingeschränkte Kontrolle über den Klang.  Ein reales Instrument verfügt über keinerlei Abstufung in Tonhöhe oder Lautstärke. Selbst bei der Steuerung von künstlichen Klangparametern bei Synthesizern, wie

MIDI 2.0.

Um die Schwächen des in die Jahre gekommenen MIDI-Standards zu beheben, haben die im Branchenverband MMA organisierten Hersteller die Spezifikation für einen neuen MIDI-Standard erarbeitet. Er soll folgende Eckdaten aufweisen:  MIDI 2.0 ist abwärtskompatibel, d. h. herkömmliche MIDI-Geräte sollen weiter angebunden werden können, können allerdings die erweiterten Möglichkeiten von MIDI 2.0 nicht nutzen. Auch die Hardware-Verbindung über DIN-Buchse bzw. USB-Verbindungen soll bestehen bleiben.  Der neue Standard wurde von der MIDI Manufacturers Association auf der US-Musikmesse NAMM im Januar 2020 einstimmig verabschiedet.  Erste Geräte sollen 2020 den Markt erreichen; so stellte Roland auf der NAMM 2020 ein MIDI-2.0-fähiges Masterkeyboard vor.

Musical Instrument Digital Interface, [], (engl. „digitale Schnittstelle für Musikinstrumente“), kurz: MIDI [] ist ein Industriestandard für den Austausch musikalischer Steuerinformationen zwischen elektronischen Instrumenten, wie z. B. Keyboards oder Synthesizern. Dieser Standard umfasst sowohl die genaue Beschaffenheit der erforderlichen Hardware als auch das Kommunikationsprotokoll für die zu übermittelnden Daten. MIDI 1.0 wurde im August 1982 eingeführt und ist inzwischen mehrmals erweitert worden. Entwickelt wurde MIDI von Dave Smith in Kooperation mit Ikutaro Kakehashi von der Roland Corporation, wofür beide im Jahr 2013 mit dem technischen Grammy ausgezeichnet wurden.

Le ou MIDI est un protocole de communication et un format de fichier dédiés à la musique, et utilisés pour la communication entre instruments électroniques, contrôleurs, séquenceurs, et logiciels de musique.


Herkunft.

Im Gegensatz zu den Stabsoffizieren, die aus dem Ritterstand oder Senatorenstand kommen mussten, stiegen Centurionen immer aus dem Mannschaftsdienstgrad auf; damit konnte theoretisch jeder römische Bürger Centurio werden. In der Anfangsphase der Legion wurde der Centurio von seinen Soldaten gewählt, später durch den Legaten, den Legionskommandeur, ernannt. Dabei bedurfte in der Kaiserzeit die Ernennung der Bestätigung durch den Kaiser. Der Zenturionenstand bildete das Rückgrat der römischen Armee und war für die Disziplin und Ordnung der Truppen von entscheidender Bedeutung. Es gibt eine Vielzahl von Berichten über die Härte, aber auch Tapferkeit der Centurionen. Wie hart eine Schlacht für die römische Seite war, wurde deshalb oft (auch) an der Zahl gefallener Centurionen festgestellt. Im Gegensatz zu den Mannschaften und „Unteroffizieren“ wurden viele Centurionen nach Ablauf ihrer Dienstzeit nicht entlassen, sondern blieben bis zu ihrem Tod bei der Armee.

Aufgabe.

Der Centurio war als Vorgesetzter für die Ausbildung und die Ausrüstung seiner Legionäre verantwortlich. Er hatte das Recht, seine Leute auszuzeichnen und zu bestrafen; für Letzteres wurde auch vielfach der Weinstock ("vitis") eingesetzt, den er als Zeichen seines Ranges bei sich trug. Außerdem unterschieden sich Ausrüstung und Uniformierung der Centurionen von denen der Mannschaften, am auffälligsten durch den quer getragenen Helmbusch ("crista" "transversa"), die Beinschienen und das auf der linken Seite getragene Schwert. Er erhielt abhängig von der Stellung einen höheren Sold; im 2. Jahrhundert betrug er ungefähr das Zwanzigfache des Solds eines Legionärs.  Neben einer eigenen Stube im Unterkunftsgebäude stand ihm ein eigenes Zelt und Reitpferd sowie Tragtier zu. Die Rüstung und die Auszeichnungen eines Centurios finden sich vielfach auf Grabsteinen verstorbener Offiziere dargestellt.  Unterstützt wurde der Centurio durch einen Optio als Stellvertreter und weitere Principales wie den Signifer und den Tesserarius.

Untergliederung.

Centurio war kein einheitlicher Rang. Zwar standen Centurionen mit wenigen Ausnahmen alle einer Centurie vor, der eigentliche Rang ergab sich dabei jedoch aus der Stellung dieser Centurie innerhalb der Legion, die sich in zusätzlichen Bezeichnungen ausdrückte. Dabei wurde zunächst unterschieden zwischen den Centurionen der verschiedenen Manipel (in aufsteigender Bedeutung) Hastaten, Principes und Triarier (Letztere oft als "Pili" bezeichnet). Innerhalb eines Manipels stand der Kommandeur der ersten Centuria ("prior") über dem der zweiten ("posterior"). Also sah die Rangfolge so aus (absteigend):  Dabei bestand jedoch nur zwischen dem Prior und Posterior des gleichen Manipels ein echtes Vorgesetztenverhältnis. Wurde eine Kohorte selbstständig eingesetzt und war kein Tribun für das Kommando bestimmt, so führte sie der ranghöchste Centurio der Kohorte, der "Pilus Prior".  Vom Rang her, aber nicht im Sinne einer Befehlsgewalt, allen anderen übergeordnet waren die Centurionen der ersten Kohorte, in der das Feldzeichen geführt wurde. Dies waren die Centurionen des "Primus ordo", der ersten Ordnung.  Ganz besonders hervorgehoben war der Primus Pilus. Er führte die erste Centuria, welche während einiger Zeit des römischen Reiches die doppelte Mannstärke der übrigen Centurien hatte und den Legionsadler führte. In der Legion war der Primus Pilus nur dem Legaten, den sechs Tribunen und dem Praefectus Castrorum unterstellt. Aus dieser Stellung leiten sich drei Bezeichnungen ab: Für die Kaiser stellten die Primipilares ein Reservoir fähiger Führer dar, die nicht in die Strukturen der etablierten Machteliten Roms verstrickt waren.  Außerhalb der Kohortenstruktur konnten Centurionen noch eingesetzt werden als: Durch diese starke Untergliederung fällt es schwer, den Centurio mit modernen Dienstgraden zu vergleichen. In seiner Funktion als Führer einer 80 bis 100 Mann starken Infanterieeinheit entspricht er am ehesten einem Hauptmann. Ein Primus Pilus wäre dagegen vielleicht mit einem Oberst vergleichbar und hatte ein erhebliches gesellschaftliches Prestige.

Centurio oder auch Zenturio („Hundertschaftsführer“, von lateinisch "centum" = hundert), in altgriechischen Quellen auch als Hekatontarch (griechisch "ἑκατόνταρχος", Hekatóntarchos) bezeichnet, war die Bezeichnung für einen Offizier des Römischen Reiches, der normalerweise eine "Centuria" („Hundertschaft“) der römischen Legion oder eine vergleichbare Einheit der Auxiliartruppen (Hilfstruppen) befehligte. Es gab jedoch vielfältige Abstufungen innerhalb des Ranges. Der Name deutet zwar auf „hundert“ hin, jedoch bestand eine reguläre Centuria schon in der frühen Republik nur aus etwa 80 Legionären.

Le centurion (en latin : "centurio" ; en grec : εκατονταρχος "hekatontarchos") était un des degrés de la chaîne de commandement de l'armée romaine. Il s'agit d'un officier qui peut (mais pas forcément) commander une centurie dans la légion romaine. Il y en avait 60 dans chaque légion. Celui de la, qui était le premier après les tribuns, s'appelait le centurion primipile. Le symbole de la dignité des centurions était un cep de vigne.


Leben.

John Horton Conway interessierte sich schon als Kind für Mathematik und konnte mit vier Jahren nach den Erinnerungen seiner Mutter die Potenzen von 2 aufzählen. Er studierte Mathematik am Gonville and Caius College der Universität Cambridge und schloss 1959 mit dem Bachelor-Grad ab. Danach forschte er unter Harold Davenport über additive Zahlentheorie, wobei er im Waringschen Problem formula_1 bewies. Die Arbeit sollte eigentlich seine Dissertation werden, aber da Conway zu lange mit der Veröffentlichung zögerte, kam ihm Chen Jingrun, der den Satz gleichzeitig bewies, mit der Veröffentlichung zuvor. 1964 wurde Conway Fellow seines College und Lecturer. 1967 wurde er bei Davenport promoviert, allerdings mit einer Arbeit über Logik und Mengenlehre "(Homogeneous ordered sets)," womit er sich nach anfänglichen Forschungen in der Zahlentheorie eine Zeit lang beschäftigt hatte, bevor er sich noch in den 1960er Jahren der Gruppentheorie zuwandte. Mit der Veröffentlichung des "Atlas of finite groups" 1984 fand Conways Beschäftigung mit diesem Thema einen gewissen Abschluss. Danach wechselte er zur Geometrie, speziell zu Kugelpackungen, über die er mit Neil Sloane eine Monographie schrieb, die 1988 erschien. Conway blieb bis 1986 in Cambridge, bis er zum „John von Neumann Professor“ an die Princeton University berufen wurde. Nachdem er seit einem schweren Schlaganfall seine letzten zwei Jahre in einem Pflegeheim verbracht hatte, starb er 2020 in New Brunswick an den Folgen einer SARS-CoV-2-Infektion.  Er war dreimal verheiratet und hatte sieben Kinder. Die Coxeter-Biographin Siobhan Roberts verfasste seine Biographie, die unter dem Titel "Genius at Play" im August 2015 im Verlag Bloomsbury Publishing erschienen ist.

Wirken.

Conway war bekannt für seine Arbeiten zur kombinatorischen Spieltheorie, wozu er unter anderem die Bücher "Über Zahlen und Spiele" (Original: "On Numbers and Games"), "Zahlenzauber (The Book of Number)" und als Hauptwerk "Gewinnen: Strategien für mathematische Spiele" ("Winning Ways for Your Mathematical Plays," zusammen mit Elwyn Berlekamp und Richard Kenneth Guy) veröffentlicht hat. Er kreierte zahlreiche mathematische Spiele, darunter das berühmte Game of Life und das Spiel Sprouts. Er entdeckte die surrealen Zahlen (so der Titel eines Buches, in dem Donald Knuth diese Arbeiten popularisierte), eine Zahldefinition in Analogie zum Dedekind-Schnitt, die auch Spiele und unendliche Kardinalzahlen umfasst.  Seine Theorie surrealer Zahlen entstand aus seinem Interesse für Nim-artige Spiele (Impartial Games), worüber er Ende der 1960er Jahre an einem Buch mit Berlekamp und Guy arbeitete, und auch privat spielte er in Cambridge zum Beispiel Go, auch wenn er nach eigenen Worten nicht sehr gut darin war. 1970 präsentierte er seine Auffassung von kombinatorischen Spielen als Zahlen am Caltech und veröffentlichte darüber 1972 ein Research Paper der University of Calgary "(All numbers great and small)." Er schrieb darüber sein Buch "On numbers and games" (1976), das er in einer Woche intensiver Arbeit im Wesentlichen fertigstellte, das aber auch zur vorübergehenden Verstimmung mit seinem Kollegen Berlekamp führte, der meinte, Conway habe damit Arbeit an ihrem gemeinsamen Buchprojekt mit Guy separat ohne Abstimmung veröffentlicht, und der mit rechtlichen Schritten drohte. Später befreundeten sie sich wieder, und Conway schrieb mit Berlekamp und Guy (der einer älteren Generation als Conway angehörte und den er ursprünglich über dessen Sohn Michael Guy, einen mit Conway befreundeten Mathematikerkollegen in Cambridge, kennenlernte) das Buch "Winning Ways." Donald Knuth erfuhr von Conway anlässlich einer Konferenz von seiner Theorie und schrieb ebenfalls in einer Woche in einem Hotelzimmer in Norwegen das populärwissenschaftliche Buch "On surreal numbers," in dem die Theorie erstmals einer größeren Öffentlichkeit präsentiert wurde.  Conway hat die „Unterhaltungsmathematik“ im weitesten Sinn um zahlreiche weitere originelle Beiträge bereichert. Beispielsweise hat er die Doomsday-Methode zur einfachen Berechnung des Wochentages, die nach ihm benannte Conway-Folge und eine „Primzahlmaschine“ (Formel, die alle Primzahlen und nur diese als Lösung hat) erfunden (siehe FRACTRAN). Von ihm stammt auch die LUX-Methode zur Erzeugung magischer Quadrate.  Conway entdeckte Ende der 1960er Jahre drei neue sporadische endliche einfache Gruppen, die nach ihm benannten Conwaygruppen, als er sich mit dem Leech-Gitter beschäftigte. Er vereinfachte auch die Konstruktion der letzten und größten gefundenen sporadischen Gruppe, des „Monsters“ (vom Entdecker aber lieber „friendly giant“ genannt). In einer berühmten Arbeit mit seinem Doktoranden Simon Norton vom Ende der 1970er Jahre wies er auf Zusammenhänge der (Dimensionen der irreduziblen) Darstellungen des Monsters mit den Entwicklungskoeffizienten der elliptischen Modulfunktion hin, nach dem Titel ihres Aufsatzes „monstrous moonshine“ genannt (sie folgten dabei einer Beobachtung von John McKay). Viele der vermuteten Zusammenhänge wurden später von Conways Doktorand Richard Borcherds bewiesen, der dafür die Fields-Medaille erhielt. Mit seiner Forschungsgruppe in Cambridge gab Conway den "Atlas of Finite Groups" heraus.  Mit Neil Sloane veröffentlichte er 1988 das monumentale Werk "Sphere packings, lattices and groups" in der Springer-Reihe "Grundlehren der mathematischen Wissenschaften" (3. Auflage, 1999), in der auch viele originäre eigene Forschungsbeiträge zur Theorie der Gitter und Kugelpackungen und damit zusammenhängend zur Codierungstheorie zusammengefasst sind.  Er beschäftigte sich auch mit transfiniten Zahlen, Automatentheorie, Knotentheorie, Polytopen, kristallographischen Raumgruppen und Parkettierungen.  Mit Richard Kenneth Guy veröffentlichte Conway das "Book of numbers," in dem halbpopulär viele Ergebnisse der Zahlentheorie (und auch viele Spiele) diskutiert werden. Er schrieb auch Bücher über quadratische Formen "(The sensual (quadratic) form)" und Algebren "(Quaternions and octonions)."  Ein Beispiel für Probleme, für die er einen Preis aussetzte, ist die Konstruktion der von ihm "Holyhedron" genannten Polyedern (jede Seite hat mindestens ein Loch, die Ränder der Löcher dürfen keinen gemeinsamen Punkt haben und auch keinen mit den Rändern der Holyhedron-Seiten). Conway lobte 10.000 Dollar für eine Lösung aus, allerdings geteilt durch die Anzahl der Seiten des Holyhedrons. Die erste Lösung von Jade P. Vindon von 1999 hatte 78.585.627 Seiten und das Preisgeld war damit vernachlässigbar. 2003 fand der Computergraphiker Don Hatch ein Holyhedron mit 492 Seiten.  Nach seinen bedeutendsten Leistungen gefragt, hob er 2013 seine Entdeckung surrealer Zahlen hervor und seinen Beweis des "Free Will Theorems" in der Quantenmechanik mit Simon Kochen und weniger seine Arbeiten in Gruppentheorie, für die er vor allem bekannt war. Das "Free Will Theorem" wurde von Conway und Kochen 2004 bewiesen und besagt, dass, falls beim Experimentator Entscheidungsfreiheit ("freier Wille," Möglichkeit nicht vorherbestimmten Verhaltens) vorhanden ist, dies (unter schwachen Voraussetzungen) in gewissem Sinne auch für alle Elementarteilchen gilt.

Ehrungen.

Conways Arbeit wurde mit zahlreichen mathematischen Auszeichnungen gewürdigt. 1987 erhielt er den Pólya-Preis der London Mathematical Society, 1971 den Berwick-Preis, 1998 den Nemmers-Preis für Mathematik und 2000 den Leroy P. Steele Prize der American Mathematical Society. 1981 wurde er Fellow der Royal Society, 1992 wurde er in die American Academy of Arts and Sciences gewählt. 1994 hielt er einen Plenarvortrag auf dem ICM in Zürich (mit dem Titel "Sphere Packings, Lattices, Codes and Greed"). Er war Invited Speaker auf dem ICM 1978 in Helsinki "(Arithmetical operations on transfinite numbers)" und 1970 in Nizza "(The subgroup structure of the exceptional simple groups)."

Sonstiges.

Da er 1979 mit Paul Erdős (und Hallard T. Croft sowie Michael J. T. Guy) die Arbeit "On the distribution of values of angles determined by coplanar points" veröffentlichte, hat er die Erdős-Zahl 1.

Schriften.

Monographien  Aufsätze

John Horton Conway (* 26. Dezember 1937 in Liverpool, Vereinigtes Königreich; † 11. April 2020 in New Brunswick, New Jersey, Vereinigte Staaten)<ref name="DOI10.1126/science.abc5331">Matt Baker: "John Horton Conway (1937–2020)." In: "Science." 368, 2020, S. 831,. war ein britischer Mathematiker.

John Horton Conway, né le à Liverpool et mort le à New Brunswick, N.J., est un mathématicien britannique. Extrêmement prolifique, il s'est penché sur les théories des groupes finis, des nœuds, des nombres, des jeux et du codage. Il est professeur émérite de mathématiques à l'université de Princeton.