Geschichte.

Gründung.

Ihre Wurzeln haben die Vereinten Nationen in den Haager Friedenskonferenzen und im Völkerbund, der nach dem Ersten Weltkrieg mit dem Ziel gegründet wurde, den Frieden in der Welt dauerhaft zu sichern. Allerdings erhielt der Völkerbund durch mangelndes Beitrittsinteresse (so waren etwa die USA aus innenpolitischen Gründen kein Mitglied im Völkerbund) nicht den nötigen Einfluss, um seine Ziele durchsetzen zu können, und war mit Ausbruch des Zweiten Weltkrieges praktisch gescheitert.  US-Präsident Franklin D. Roosevelt unternahm nach dem Scheitern des Völkerbundes noch während des Zweiten Weltkrieges einen zweiten Versuch, eine Organisation zur Sicherung des Friedens zu schaffen, und erarbeitete zusammen mit dem britischen Premierminister Winston Churchill die Atlantik-Charta. Am 1. Januar 1942 beriefen sich 26 Staaten in der Deklaration der Vereinten Nationen auf die Prinzipien der Atlantik-Charta.  Durch die Mitarbeit der Sowjetunion und der Republik China an der neuen Friedensordnung kam es am 30. Oktober 1943 zur Moskauer Deklaration der Vier Mächte, die auf eine schnellstmögliche Schaffung einer allgemeinen, auf dem Prinzip der souveränen Gleichheit aller friedliebenden Staaten aufbauenden Organisation zur Aufrechterhaltung des Friedens und der internationalen Sicherheit zielte. Bei der Konferenz von Dumbarton Oaks wurde weiter über die Gründung der UN beraten.  Nach Einbeziehung Frankreichs in den Kreis der hauptverantwortlichen Mächte konnte die Charta der Vereinten Nationen 1945 auf der Konferenz von Jalta fertiggestellt werden. Sie wurde am 26. Juni 1945 auf der Konferenz von San Francisco von 50 Staaten unterzeichnet. Als erster Staat ratifizierten die Vereinigten Staaten die Charta und boten den Vereinten Nationen als Sitz New York an. Polen unterzeichnete die Charta erst später, zählt aber zu den 51 Gründungsmitgliedern. Die Charta trat am 24. Oktober 1945 in Kraft, nachdem die Republik China, Frankreich, die Sowjetunion, das Vereinigte Königreich, die Vereinigten Staaten von Amerika und die Mehrheit der Gründungsstaaten die Charta ratifiziert hatten. Bis zum Jahr 1960 gehörten 91 und bis 1990 154 Staaten den Vereinten Nationen an.  Seit 2011 hat die UNO 193 Mitglieder.

Erfolge.

Der UN werden mehrere beachtliche Erfolge zugesprochen, unter anderem:  Sie sicherten direkt den Frieden unter anderem in  Viele Ziele haben die Vereinten Nationen bereits erreicht:  Die Tätigkeitsfelder liegen damit hauptsächlich bei der Friedenssicherung, Menschenrechtspolitik und Entwicklungszusammenarbeit.

Aufgaben und Ziele.

Nach Artikel 1 der Charta der Vereinten Nationen sind die Hauptaufgaben der UNO:

Allgemeine Erklärung der Menschenrechte.

Am 10. Dezember 1948 wurde die Charta um die Allgemeine Erklärung der Menschenrechte ergänzt. Darin verkündeten erstmals alle Staaten gemeinsam grundlegende Menschenrechte, die für jeden Menschen gleichermaßen gelten. Auch wenn diese Erklärung keinen bindenden Charakter für die Mitgliedsstaaten hat, ist sie ein Meilenstein in der Geschichte der Menschenrechte und ein wichtiges Rechtsdokument für internationale Politik. Auf sie folgten diverse weitere Menschenrechtsabkommen, die heute teilweise sogar bindend sind.

Millennium-Entwicklungsziele.

2001 wurden von der UNO, der Weltbank, dem IWF und dem Development Assistance Committee der OECD die sogenannten Millennium-Entwicklungsziele postuliert. Dies sind folgende acht Entwicklungsziele, die bis zum Jahre 2015 erreicht werden sollten und deren oberstes Ziel die globale Zukunftssicherung ist:

Friedenssicherung.

Die Friedenssicherung ist eine der Hauptaufgaben der Vereinten Nationen. Sie sind der Vermeidung und Beendigung internationaler Konflikte zentral verpflichtet. Der hohe Stellenwert wird dadurch deutlich, dass bereits im ersten Artikel der UN-Charta das Ziel formuliert wird, Die Vereinten Nationen haben durch die freiwillige Einbindung ihrer Mitgliedstaaten ein "System kollektiver Sicherheit" geschaffen. Kern dieses kollektiven Sicherheitssystems ist das allgemeine Gewaltverbot: Trotz des allgemeinen Gewaltverbots schließt die Charta die Gewaltanwendung nicht völlig aus. Sie ist neben dem individuellen Selbstverteidigungsrecht jedes Landes auf den Sicherheitsrat konzentriert: kollektive Maßnahmen gegen Friedensstörer unter Beachtung des Kapitels VII, wie wirtschaftliche, kommunikative und sonstige nichtmilitärische Sanktionen bis erforderlichenfalls hin zur Gewaltanwendung. Der Sicherheitsrat wird dadurch zum Träger des „Gewaltmonopols“. Bevor der Sicherheitsrat entsprechende Maßnahmen beschließen kann, muss er zunächst eine Bedrohung oder einen Bruch des Friedens oder eine Angriffshandlung feststellen. Sollte dies der Fall sein, so hat er grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Er kann sowohl Empfehlungen an die UN-Mitglieder als auch Zwangsmaßnahmen gegenüber dem Friedensstörer selbst sowie gegenüber allen anderen Mitgliedstaaten aussprechen.  Bei Zwangsmaßnahmen sind sowohl nichtmilitärische Sanktionen als auch ein direktes militärisches Eingreifen durch die UN selbst oder durch entsprechend mandatierte Mitglieder möglich. Das Aufstellen von Truppen unter dem direkten Kommando der UN ist in der Charta zwar vorgesehen, kam jedoch nie zustande. Zu den nichtmilitärischen Sanktionen gehören die.  Eine Skulptur auf der Visitor’s Plaza vor dem UN-Gebäude in New York versinnbildlicht das Ziel der Friedenssicherung durch die Darstellung eines Revolvers mit zugeknotetem Lauf. Die Skulptur wurde vom schwedischen Künstler Carl Fredrik Reuterswärd geschaffen und trägt den Namen „Non-Violence“ ("Gewaltlosigkeit"). Sie ist ein Geschenk der Regierung Luxemburgs an die Organisation.  Blauhelme Die "Blauhelme" sind die Friedenssoldaten der UN. Sie waren als Mittel der passiven Friedenssicherung nicht in der Charta vorgesehen. Doch Dag Hammarskjöld und Lester Pearson entwarfen die Idee der Friedenssoldaten in Krisensituationen. Blauhelmsoldaten tragen zur leichteren Erkennbarkeit neben der Uniform ihres Landes entweder einen blauen Helm oder ein blaues Barett mit einem UN-Abzeichen. Die getragenen Waffen sollen aber nur der Selbstverteidigung dienen. Ein Mandat zur Entsendung von Blauhelmen kann nur der UN-Sicherheitsrat erteilen, doch die Regierung jedes Landes darf selbst entscheiden, ob sie Soldaten zu einem solchen Einsatz entsendet. Bis 1990 haben die UN bereits 500.000 Soldaten und Zivilpersonen zu Maßnahmen zur Erhaltung des Friedens eingesetzt – nicht aber zur Friedensherstellung.

Organe.

Gemäß Artikel 7 der UN-Charta setzen sich die Vereinten Nationen aus sechs Hauptorganen zusammen, die für die Entscheidungsprozesse maßgeblich sind. Neben den Hauptorganen gehören eine Reihe von Nebenorganen und Sonderorganisationen zum System der Vereinten Nationen, die mit der Wahrnehmung spezifischer Aufgaben befasst sind.

Nebenorgane.

Nebenorgane der UN können von der Generalversammlung nach Artikel 22 der Charta und vom Sicherheitsrat nach Artikel 29 der Charta eingesetzt werden. Sie berichten zumeist ihren einsetzenden Hauptorganen, teils dem Wirtschafts- und Sozialrat. Obwohl sie gegenüber Partnern außerhalb der UN vielmals autonom auftreten, verfügen sie über keinen eigenen völkerrechtlichen Status.  Ihre Aufgaben lassen sich in folgende Bereiche aufschlüsseln:

Sonderorganisationen.

Die Sonderorganisationen sind rechtlich, organisatorisch und finanziell selbstständige Organisationen, die durch nach Artikel 63 der Charta geschlossene völkerrechtliche Abkommen mit den UN verbunden sind. Dies sind derzeit (2017) 17 Organisationen. Ihre Zusammenarbeit mit den UN und untereinander wird durch den Wirtschafts- und Sozialrat koordiniert.

Generalsekretäre.

Der Generalsekretär der Vereinten Nationen ist der Vorsitzende des UN-Sekretariats und somit höchster Verwaltungsbeamter der UNO. Außerdem repräsentiert er die UNO nach außen und ist somit meist das bekannteste Gesicht der Organisation.

Organisation.

Mitglieder.

Derzeit sind 193 Staaten Mitglieder der Vereinten Nationen.  Die 51 Gründungsmitglieder der UN im Jahre 1945 waren:  Ägypten, Äthiopien, Argentinien, Australien, Belgien, Bolivien, Brasilien, Chile, Republik China (heute die Volksrepublik China), Costa Rica, Dänemark, Dominikanische Republik, Ecuador, El Salvador, Frankreich, Griechenland, Guatemala, Haiti, Honduras, Indien, Irak, Iran, Jugoslawien, Kanada, Kolumbien, Kuba, Libanon, Liberia, Luxemburg, Mexiko, Neuseeland, Nicaragua, Niederlande, Norwegen, Panama, Paraguay, Peru, Philippinen, Polen, Saudi-Arabien, Sowjetunion, Südafrika, Syrien, Tschechoslowakei, Türkei, Ukrainische Sozialistische Sowjetrepublik, Vereinigte Staaten, Vereinigtes Königreich, Uruguay, Venezuela und Weißrussische Sozialistische Sowjetrepublik.  1955 traten unter anderem Italien und Österreich den Vereinten Nationen bei. 1973 folgten nach dem Grundlagenvertrag die Deutsche Demokratische Republik als 133. und die Bundesrepublik Deutschland als 134. Mitglied. Liechtenstein schließlich 1990, die Schweiz nach einer Volksinitiative 2002.  Weißrussland und Ukraine waren neben der Sowjetunion gleichberechtigte Gründungsmitglieder, wobei sich die Mitgliedschaft der Sowjetunion auf die gesamte UdSSR unter Einbeziehung von Weißrussland und der Ukraine erstreckte. Damit war die Sowjetunion faktisch mit drei Stimmen in den Vereinten Nationen vertreten. Seit der Auflösung der UdSSR im Dezember 1991 wird die sowjetische Mitgliedschaft von der Russischen Föderation wahrgenommen; die übrigen ehemaligen Sowjetrepubliken haben sich teilweise bereits kurz vor und teilweise nach der Auflösung erfolgreich um eine eigenständige Mitgliedschaft beworben.  Keine Mitglieder sind unter anderem die Vatikanstadt (deren völkerrechtliche Vertretung, der Heilige Stuhl, jedoch Beobachterstatus hat) und die nicht von allen Ländern anerkannten Staaten Palästina (seit 29. November 2012 ebenfalls mit Beobachterstatus), (West-)Sahara (Demokratische Arabische Republik Sahara) und Kosovo sowie die Türkische Republik Nordzypern (TRNZ), die kaukasischen Republiken Abchasien und Südossetien, die Cookinseln und die Republik China (Taiwan). Die Republik China nimmt hier jedoch eine Sonderstellung ein, da sie von 1945 bis 1971 das Gründungsmitglied China innerhalb der Vereinten Nationen repräsentierte und damit den chinesischen Sitz im UN-Sicherheitsrat innehatte. Im Jahr 1971 wurde auf eine Resolution der Generalversammlung hin die Vertretung Chinas dergestalt geändert, dass China seitdem nur noch von Delegierten der Volksrepublik China repräsentiert wird. Faktisch führte dies zu einem Ausscheiden Taiwans aus den Vereinten Nationen; eine eigene Mitgliedschaft ist aufgrund der Ein-China-Politik der Volksrepublik China nicht zu erwarten.

Charta.

Die Charta ist die „Verfassung“ und Rechtsgrundlage für die Vereinten Nationen und wurde am 26. Juni 1945 im Theatersaal des Veterans War Memorial Building in San Francisco unterzeichnet. In Kraft trat die Charta am 24. Oktober 1945. Polen, das 51. Gründungsmitglied, hatte an der Konferenz nicht teilnehmen können und unterschrieb später. Die Charta ist ein zeitlich nicht begrenzter völkerrechtlicher Vertrag und wurde seit ihrer Gründung an nur vier Stellen geändert, nämlich die Artikel 23, 27, 61 und 109. Sie besteht aus einer Präambel und 19 Kapiteln mit 111 Artikeln. (Im Gegensatz dazu hatte die Satzung des Völkerbundes nur 26 Artikel.) Die Kapitel beschäftigen sich unter anderem mit den verschiedenen Hauptorganen der UN, der friedlichen Beilegung von Streitigkeiten, den Maßnahmen bei Bedrohung oder Bruch des Friedens und bei Angriffshandlungen sowie ihren Zielen und Grundsätzen.

Sitz.

Die Vereinten Nationen haben ihren Hauptsitz in New York und drei weitere Sitze in Genf (Büro der Vereinten Nationen in Genf), Nairobi (Büro der Vereinten Nationen in Nairobi) und Wien (Büro der Vereinten Nationen in Wien). Dabei ist Genf wegen seiner zahlreichen UN-Organisationen der größte UN-Standort mit dem meisten Personal. In Den Haag befindet sich der Internationale Gerichtshof. Die UN-Sitze befinden sich nach offiziellem Sprachgebrauch nicht in dem jeweiligen Staat, sondern sind nur von diesen Staaten umgeben. In den UN gelten Regeln eigener Art, und die Staatsmacht des jeweiligen Sitzlandes darf dort keine Zwangsmaßnahmen ausüben, wodurch ihre Souveränität insoweit nicht infrage steht. Dass Einrichtungen der UN eine Art „internationales Territorium“ darstellen würden, ist völkerrechtlich nicht anerkannt. Jedoch genießen ihre Einrichtungen völkerrechtliche Immunität, ähnlich wie Botschaften.

Amtssprachen.

Obwohl die Vereinten Nationen eine Weltorganisation sind, werden schon aus praktischen Gründen nicht alle Sprachen der Welt offiziell benutzt. Tatsächlich beschränkt man sich auf sechs Amtssprachen: Arabisch, Chinesisch, Englisch, Französisch, Russisch und Spanisch. Von diesen sechs sind zwei – Englisch und Französisch – Arbeitssprachen. Dies ist in der Resolution 2 festgelegt, die von der Generalversammlung im Jahr 1946 angenommen wurde.  Amtssprache bedeutet, dass in jeder offiziellen Sitzung eine Übersetzung nach und aus diesen Sprachen zu erfolgen hat und dass alle sitzungsvorbereitenden Dokumente, alle Resolutionsentwürfe und alle Protokolle und Berichte in angemessenem zeitlichen Rahmen in diesen Sprachen zur Verfügung stehen müssen. Für die Arbeitssprachen gilt, dass alle organisationsinternen Arbeitsabläufe (mündlich und schriftlich) in diesen beiden Sprachen ablaufen können. Im Umgang mit dem Sekretariat der Vereinten Nationen hat jeder Delegierte das Recht, sich mündlich und schriftlich in der Arbeitssprache seiner Wahl auszudrücken. Auch müssen alle offiziellen Äußerungen des Sekretariats in den beiden Arbeitssprachen ablaufen (Anzeigen, Beschilderungen, etwa das bekannte „Security Council/Conseil de sécurité“ in New York, Broschüren, Führungen usw.). Dieses Regelwerk schließt einsprachige Auftritte prinzipiell aus. Der Deutsche Übersetzungsdienst der Vereinten Nationen, gemeinsam finanziert von Deutschland, Österreich, der Schweiz und Liechtenstein, bietet die wichtigsten Dokumente zeitnah in deutscher Sprache an.  Einige interessante Einzelheiten waren in dem populären Film "Die Dolmetscherin" – einem Thriller aus dem Jahre 2005 von Sydney Pollack – zu sehen, für welchen erstmals die Erlaubnis erteilt wurde, im Hauptsitz der UN zu filmen.

Budget und Finanzierung.

Die UN finanzieren sich hauptsächlich aus Beiträgen ihrer Mitgliedstaaten. Man unterscheidet Pflichtbeiträge, Pflicht-Beitragsumlagen und freiwillige Beitragsleistungen.  Die "Pflichtbeiträge" der einzelnen Mitgliedstaaten dienen der Finanzierung des ordentlichen Haushaltes der Organisation sowie teilweise der Verwaltungsaufgaben ihrer Nebenorgane. Die Höhe der prozentualen Pflichtanteile aller Mitgliedstaaten wird mit Hilfe eines Beitragsschlüssels berechnet. Dieser wird alle drei Jahre auf Empfehlung eines Beitragsausschusses neu von der Generalversammlung festgelegt. Die letzte und derzeit gültige Änderung des Berechnungsschlüssels wurde im Dezember 2000 beschlossen und trat am 1. Januar 2001 in Kraft. Die Höhe der Beiträge wird seitdem auf Grundlage des Bruttoinlandproduktes eines Landes im Durchschnitt der letzten viereinhalb Jahre (davor sechs Jahre) sowie in Abhängigkeit von der Schuldenbelastung, des Pro-Kopf-Einkommens und der Währungsschwankungen berechnet. Dabei ist festgelegt, dass jedes Land mindestens 0,001 % zum ordentlichen Haushalt beitragen muss und höchstens 22 % des Haushalts tragen darf. Staaten wie Südkorea, Singapur und Brasilien mussten nach einer Übergangsphase ab 2004 einen höheren Prozentanteil des UN-Haushaltes übernehmen. Japan konnte aufgrund seiner rückläufigen Wirtschaftsentwicklung mit einer leichten Beitragssenkung rechnen. Die Beiträge der USA wurden reduziert, der Anteil Deutschlands blieb in etwa gleich. Einnahmeverluste, die infolge der dreijährigen Übergangsphase entstanden, wurden durch eine Privatspende des Medienunternehmers Ted Turner (CNN) in Höhe von 34 Mio. US-Dollar ausgeglichen. Die größten Finanzierer in den Beitragsjahren 2004–2006 sind die USA mit 22 %, Japan mit 19,5 %, Deutschland mit 8,7 %, Vereinigtes Königreich mit 6,1 % und Frankreich mit 6 %. Alle anderen Länder tragen weniger als 5 % bei, etwa die Hälfte bezahlt nur den Mindestbeitrag von 0,001 %. Der Stichtag zur Begleichung der Beiträge der einzelnen Mitgliedstaaten ist der 31. Januar des jeweiligen Jahres. Das Zweijahresbudget (nur Pflichtbeiträge) der UN für 1998/1999 betrug 2,8 Mrd. US-Dollar. Die regulären Budgeteinnahmen der UN sanken jedoch von 405 Mio. US-Dollar 1997 auf nur noch 279 Mio. US-Dollar 1998. Zum Stichtag im Jahre 1998 hatten lediglich 27 von 185 Mitgliedstaaten ihre Beiträge in voller Höhe gezahlt. Circa 75 % der Rückstände am regulären Budget und circa 50 % der Beiträge beim waren zu diesem Zeitpunkt auf die Beitragseinbehaltung der USA zurückzuführen.  Bei den "Pflichtbeitragsumlagen" handelt es sich ebenfalls um von den Mitgliedstaaten zu zahlende Pflichtbeiträge. Diese dienen jedoch ausschließlich der Finanzierung von Friedensoperationen. Die derzeit gültigen Beitragssätze für die Pflicht-Beitragsumlagen wurden 1973 von der Generalversammlung festgelegt. Die wirtschaftlich am wenigsten entwickelten UN-Staaten zahlen demnach nur 10 % ihres Pflichtbeitrags am ordentlichen UN-Haushalt, also 0,0001 %. Die übrigen Entwicklungsländer müssen Mittel in Höhe von 20 % ihres Pflichtbeitrags entrichten. Die Industrieländer bezahlen einen Betrag in Höhe ihres vollen Pflichtbeitrags. Die fünf ständigen Mitglieder des Sicherheitsrates entrichten Beträge in Höhe ihrer Pflichtbeiträge zuzüglich der infolge der Entlastung der Entwicklungsländer entstandenen Mindereinnahmen. Letztere werden nach dem Verhältnis der Höhe der einzelnen Pflichtbeiträge gewichtet umgelegt. Für die Pflicht-Beitragsumlagen werden vom ordentlichen Haushalt getrennte Konten verwendet.  "Freiwillige Beitragsleistungen" werden für die Finanzierung von Nebenorganen der UN wie zum Beispiel dem UNDP (Entwicklungsprogramm der Vereinten Nationen), UNICEF (Kinderhilfswerk), UNFPA (Bevölkerungsfonds der Vereinten Nationen), UNHCR (Amt des Hohen Kommissars der Vereinten Nationen für Flüchtlinge) und WFP (Welternährungsprogramm) verwendet. Staaten können durch die freie Entscheidung der Höhe ihrer freiwilligen Leistungen erheblichen Einfluss auf die Schwerpunkte der Tätigkeiten der UN geltend machen.  Mit Beginn der Regierungszeit Reagans (1981–1989) begannen die USA, einen zunehmenden Teil ihrer Pflichtbeiträge zum UN-Haushalt sowie zum Friedenssicherungsbudget der UN zurückzubehalten. Diesen Verstoß gegen die Vereinbarungen begründeten die USA anfangs mit politischer Kritik an einigen UN-Programmen, seit Ende der 1980er Jahre unter Präsident George Bush warfen sie den UN Ineffizienz und Geldverschwendung vor. Bis 1992 war der Schuldenbetrag der USA an die Vereinten Nationen auf 1,5 Mrd. US-Dollar angewachsen. Der US-Kongress bezifferte den Schuldenbetrag 1997 unter Verweis auf angeblich erbrachte nichtgeldliche Leistungen an UN-Friedenssicherungseinsätze auf 926 Mio. US-Dollar und setzte die Zahlung als Druckmittel zur Reduzierung des prozentualen Pflichtanteiles der USA ein. Zudem nutzten sie die Zurückhaltung ihres Budgetbeitrages wie im Falle des ehemaligen Generaldirektors der Organisation für das Verbot chemischer Waffen José Maurício Bustani, des Generalsekretärs Boutros Boutros-Ghali oder im Falle der Besetzung von UN-Kommissionen im Jahre 2001 als Druckmittel, um personelle Änderungen innerhalb der Vereinten Nationen zu erzwingen. Die US-Regierung unter Bill Clinton handelte am 10. Juni 1997 im sogenannten Helms-Biden-Abkommen eine Senkung des US-Beitrages zum regulären UN-Budget von 25 % auf 20 % und eine Senkung des US-Beitrages für Friedenssicherungseinsätze von 31 % auf 25 % aus.

Medienarbeit.

Seit 1946 werden durch das "United Nations Radio" international Hörfunksendungen ausgestrahlt. Die Sendungen können über WRN Broadcast täglich empfangen werden. Ein Internet-Audio-Live-Stream wird ebenfalls täglich ausgestrahlt.  Im Sommer 2019 pflanzte die UN einen Anne-Frank-Baum zum 90. Geburtstag und in Erinnerung an Anne Frank.

Kritik.

Sicherheitsrat.

Kritiker bemängeln die Zusammensetzung und Organisation des Sicherheitsrats. Die fünf ständigen Mitglieder des Sicherheitsrats machten in der Vergangenheit regen Gebrauch von ihrem Vetorecht, um Verurteilungen und Sanktionen gegen sich selbst oder befreundete Staaten abzuwenden. Von 1946 bis 1964 legte die Sowjetunion 103 Mal ein Veto gegen im Übrigen einstimmige Mehrheiten ein. Bei 69 Konventionen zu Israel legten die USA in 20 Fällen ein Veto ein. Unter anderem der Angriffskrieg auf den Irak durch die USA im Jahre 2003 (siehe Irakkrieg) hatte durch deren Veto keinerlei juristische Konsequenzen.

Demokratische Legitimation.

Die UNO ist eine internationale Regierungsorganisation und teilt daher auch die demokratischen Schwächen dieser Organisationsform. Als Zusammenschluss von Staaten, die jeweils durch ihre Regierungen vertreten werden, ist die UNO nur indirekt demokratisch legitimiert. Eine Volksabstimmung zum UNO-Beitritt gab es in der Regel keine, eine Ausnahme bildet hier die Schweiz. Auch die Mitglieder der Organe der UNO werden von den Regierungen der jeweiligen Staaten bestellt. So können zwar die Delegierten aus den demokratischen Staaten als mittelbar vom Volk gewählt angesehen werden, die Vertreter der diktatorischen und autoritären Staaten in der UNO sind jedoch genauso wenig demokratisch legitimiert wie die Regierungen dieser Staaten. Aus diesem Grund ist es nicht korrekt, die UN-Generalversammlung als Parlament zu bezeichnen, da sie weder demokratisch gewählt wird, noch tatsächlich bindende, wenn auch weitreichende Entscheidungen treffen kann. Vielmehr ist sie ein Verhandlungsforum für Diplomaten aus aller Welt sowie richtungsweisend bei der Aushandlung internationaler Verträge und der Thematisierung von weltpolitischem Geschehen. Da an der Generalversammlung nur Vertreter der jeweiligen Regierungen teilnehmen, werden die Auffassungen der Oppositionsparteien im UN-System gegenwärtig nicht berücksichtigt. Jedoch machen sich Organisationen, wie das Komitee für eine demokratische UNO, das Europäische Parlament oder das Pan-Afrikanische Parlament, seit langem stark für eine Parlamentarische Versammlung bei den Vereinten Nationen, die aus demokratisch gewählten Mitgliedern bestehen soll. Eine vergleichbare, bereits bestehende Institution – jedoch ohne jegliche politische Kompetenzen – ist die Interparlamentarische Union.  Ebenfalls kritisiert wird die Stimmverteilung in den Organen der UNO, insbesondere in der UN-Generalversammlung und im UN-Sicherheitsrat. Die Abstimmungen in der UN-Generalversammlung folgen dem völkerrechtlichen Prinzip „ein Land – eine Stimme“. Dieses Prinzip steht jedoch in einem Konflikt zu dem demokratischen Prinzip „eine Person – eine Stimme“. So hat Nauru mit einer Einwohnerzahl von 10.000 genau so viel Stimmen wie China mit 1.358.100.000 Bürgern (nämlich eine). Im mächtigsten Organ der UNO, dem Sicherheitsrat, haben überdies fünf Staaten das Recht auf eine ständige Mitgliedschaft, während die übrigen Mitgliedstaaten nur mittelbar jeweils für zwei Jahre Vertreter in dieses Gremium wählen können. Dies wird dadurch verstärkt, dass diese Staaten durch ein Vetorecht jede Mehrheitsentscheidung blockieren können.

Kompetenzen.

Ein zentrales Problem der Vereinten Nationen sind und bleiben die kaum vorhandenen Kompetenzen. Es gelang den Vereinten Nationen vor allem deshalb nahezu alle Staaten der Welt unter einem Dach zu vereinen, weil die Charta an entscheidenden Stellen so flexibel interpretierbar ist, dass sie von praktisch allen kulturellen Überzeugungen und politischen Ideologien – auch wenn diese sich z. T. gegenseitig ausschließen – in deren Sinne und zu deren Gunsten entsprechend der Situation ausgelegt werden kann. Damit das Konzept einer handlungsfähigen Weltorganisation vollständig aufgehen kann, wäre eine massive Abgabe nationalstaatlicher Kompetenzen an diese Organisation in allen drei Bereichen staatlicher Gewalt (Exekutive, Legislative und Judikative) notwendig. Dazu ist zum gegenwärtigen Zeitpunkt aber kaum ein Staat bereit.  Letztlich vereiteln nationale Alleingänge die meisten Ansätze, zu mehr Verbindlichkeit innerhalb der UN zu gelangen. Dies betrifft insbesondere die fünf ständigen Sicherheitsrats-Mitglieder (in der jüngeren Vergangenheit vor allem die USA), die oftmals einen Willen zur Unterwerfung unter das völkerrechtliche Gewaltmonopol des Sicherheitsrats vermissen lassen und stattdessen im Alleingang oder mit Koalitionen unter ihrer Führung ihre militärischen Interessen durchzusetzen versuchen. Zugleich hat sich bislang gezeigt, dass die Vereinten Nationen kaum – oder gar nicht – in der Lage sind, eigene Politiken zu betreiben, die den Interessen der USA entgegenlaufen, da sie mit ihnen finanziell, personell und historisch stark verwoben sind.  Wenngleich es den UN nur auf einer sehr rudimentären Ebene gelang, einheitliche kulturelle und politische Vorstellungen der Menschheit zu definieren, waren doch einige UN-Missionen durchaus erfolgreich, und ob die zwischenstaatliche Konfliktbewältigung ohne die UN-Vermittlung besser abliefe, darf ebenfalls bezweifelt werden.

Sexuelle Ausbeutung und Missbrauch durch UN-Mitarbeiter.

Menschenrechtsorganisationen sehen in der Stationierung von Friedenstruppen der Vereinten Nationen die Ursache für stark steigenden Frauenhandel und Zwangsprostitution in den jeweiligen Regionen. So stieg zum Beispiel während der UN-Mission in Kambodscha 1992/93 die Zahl der Prostituierten von 6000 auf 25.000. Der Kosovo wurde nach der Entsendung von internationalen friedenserhaltenden Kräften (KFOR) und Einrichtung der Übergangsverwaltungsmission der Vereinten Nationen im Kosovo (UNMIK) zum Hauptziel für Frauen- und Mädchenhandel.  2002 ergab ein Untersuchungsbericht des Hohen Flüchtlingskommissars der Vereinten Nationen (UNHCR), dass in Flüchtlingslagern in Sierra Leone, Liberia und Guinea Mitarbeiter des UNHCR junge Frauen und Kinder sexuell missbraucht haben. So wurde etwa Sex als Gegenleistung für Lebensmittel und Geld verlangt. Blauhelmsoldaten haben auch bei ihrem Einsatz in Haiti immer wieder Frauen und Kinder vergewaltigt, missbraucht und sexuell ausgebeutet. Laut einer 2008 veröffentlichte Studie der Kinderrechtsorganisation Save the Children waren in Haiti sowie Elfenbeinküste und Südsudan Mitglieder des UN Departments of Peacekeeping Operations (DPKO) an Vergewaltigungen, Menschenhandel, Zwangs- und Kinderprostitution, verbaler sexueller Gewalt und Kinderpornographie beteiligt. Auch bei der 2014 in der Zentralafrikanischen Republik begonnenen Friedensmission MINUSCA gibt es Berichte über Vergewaltigungen und sexuelle Ausbeutung durch UN-Personal. Viele der Opfer sind Minderjährige. Die Vorwürfe betrafen Einheiten aus Äquatorialguinea, Gabun, Georgien, Marokko, Frankreich, Tschad und dem Kongo. 2016 wurden von der MONUSCO in der Demokratische Republik Kongo Ermittlungen gegen Blauhelm-Soldaten aus Tansania wegen des Verdachts des sexuellen Missbrauchs Minderjähriger eingeleitet.  Die wenigsten der mutmaßlichen Täter müssen ein Gerichtsverfahren befürchten, denn sie sind unter UN-Flagge weltweit durch Immunität geschützt. Zivile Mitarbeiter können vor Ort nur angeklagt werden, wenn die Immunität von den Vereinten Nationen aufgehoben wird, was allerdings nur in Ausnahmefällen geschieht. Bei Blauhelmen sind die jeweiligen Heimatländer für die Strafverfolgung zuständig, die jedoch selten Interesse an einer Aufarbeitung und Strafverfolgung der Beschuldigten haben.  Der Weltverband der Gesellschaften für die Vereinten Nationen (WFUNA) berichtet für die jüngere Vergangenheit von 850 dokumentierten Beschuldigungen gegen UN-Personal und einer Dunkelziffer, die deutlich höher liege. Die Politikwissenschaftlerin Gisela Hirschmann weist darauf hin, dass die offiziellen Statistiken der UN, die einen stetigen Rückgang der Missbrauchsfälle bei Friedenseinsätzen verzeichnen, geschönt seien, und spricht von einer „Kultur des Wegsehens und Verdrängens“. Menschenrechtsaktivisten beklagen, dass Straffreiheit und Schweigen die Regel sei.

Kunstwerke.

Im Juli 2019 fertigte der deutsche Künstler Roland Eugen Beiküfner für die Ausstellung „Wellen und Gedanken“ ein Kunst-Objekt mit dem Titel „UNO-ROLLER“ mit einem blauen Kinderhelm, einem weißen angestrichenen Holzroller, einer Kinder-Flagge der Vereinte Nationen, einem Mini-Globus, einer Dose mit der Aufschrift „Recht auf Faulheit“ auf einer schwarzen Steinfliese mit dem Hinweis „In Gedenken an Ruanda und Srebrenica“.

Reform.

Aus den im Abschnitt „Kritik“ genannten Gründen streben viele Organisationen und Staaten (darunter vor allem die benachteiligten Dritte-Welt-Länder, aber auch Industriestaaten wie Deutschland) eine Reform der Vereinten Nationen an, die teilweise eine Neustrukturierung des Sicherheitsrates, teilweise aber auch die Einrichtung einer Parlamentarischen Versammlung bei den Vereinten Nationen vorsieht.

Die Vereinten Nationen (kurz "VN";, kurz UN), häufig auch UNO (kurz für, ), sind ein zwischenstaatlicher Zusammenschluss von 193 Staaten und als globale internationale Organisation ein uneingeschränkt anerkanntes Völkerrechtssubjekt.

L’Organisation des Nations unies (ONU) est une organisation internationale regroupant. La Charte des Nations unies est adoptée le par, en remplacement de la Société des Nations. Elle entre officiellement en vigueur le.


Grundannahmen.

Die Urknalltheorien basieren auf zwei Grundannahmen: Die erste Annahme ist, dass die Naturgesetze universell sind und sich also das Universum mit den Naturgesetzen beschreiben lässt, die heute nahe der Erde gelten. Die zweite Annahme lautet, dass das Universum an jedem Ort (aber nicht zu jeder Zeit) in alle Richtungen für große Entfernungen gleich aussieht. Diese Annahme wird als Kopernikanisches Prinzip oder kosmologisches Prinzip bezeichnet. Im Folgenden werden diese Annahmen und grundlegende Folgerungen daraus erläutert.

Universalität der Naturgesetze.

Um das gesamte Universum in jedem seiner Entwicklungsstadien auf der Grundlage der uns bekannten Naturgesetze beschreiben zu können, ist die Annahme unabdingbar, dass diese Naturgesetze universell und konstant (zeitunabhängig) gelten. Es gibt keine Beobachtungen der Astronomie (etwa 13.5 Mrd. Jahre zurückblickend) oder der Paläogeologie (4 Mrd. Jahre zurück), die diese Annahme in Frage stellen.  Aus der angenommenen Konstanz und Universalität der derzeit bekannten Naturgesetze folgt, dass sich die Entwicklung des Universums als Ganzes mittels der allgemeinen Relativitätstheorie und die darin ablaufenden Prozesse mit dem Standardmodell der Elementarteilchenphysik beschreiben lassen. Im extremen Fall großer Materiedichte und gleichzeitig großer Raumzeitkrümmung werden zur Beschreibung eigentlich gleichzeitig die dem Standardmodell zugrundeliegenden Quantenfeldtheorien "und" die allgemeine Relativitätstheorie benötigt. Die Vereinigung stößt jedoch auf fundamentale Schwierigkeiten, so dass zur Zeit die ersten paar Mikrosekunden der Geschichte des Universums nicht konsistent beschrieben werden können.

Kosmologisches Prinzip.

Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Weltall zur selben Zeit an jedem Raumpunkt und auch in alle Richtungen für große Entfernungen gleich aussieht, und wird auch (räumliche) "Homogenität" genannt; die Annahme, dass es in jeder Richtung gleich aussehe, heißt (räumliche) "Isotropie". Ein Blick zum Sternenhimmel mit bloßem Auge zeigt sofort, dass das Universum in der näheren Umgebung der Erde nicht homogen und isotrop ist, denn die Verteilung der Sterne ist unregelmäßig. Auf größerer Skala bilden die Sterne Galaxien, die ihrerseits teilweise Galaxienhaufen bilden, ansonsten in einer wabenartigen Struktur verteilt sind, die aus sogenannten Filamenten und Voids besteht. Auf noch größerer Skala ist keine Struktur mehr erkennbar. Dies und die hochgradige Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung rechtfertigen die Beschreibung des Universums als Ganzes durch das kosmologische Prinzip.  Wendet man das kosmologische Prinzip auf die allgemeine Relativitätstheorie an, vereinfachen sich die einsteinschen Feldgleichungen zu den sogenannten Friedmann-Gleichungen. Diese beschreiben ein homogenes, isotropes Universum. Zur Lösung der Gleichungen geht man vom heutigen Zustand des Universums aus und verfolgt die Entwicklung rückwärts in der Zeit. Die exakte Lösung hängt insbesondere von den gemessenen Werten der Hubble-Konstante sowie diverser Dichteparameter ab, die den Masse- und Energieinhalt des Universums beschreiben. Man findet dann, dass das Universum früher kleiner war (Expansion des Universums); gleichzeitig war es heißer und dichter. Formal führt die Lösung auf einen Zeitpunkt, zu dem der Wert des Skalenfaktors verschwindet, also das Universum keine Ausdehnung hatte und die Temperatur und Dichte unendlich groß werden. Dieser Zeitpunkt wird als „Urknall“ bezeichnet. Er ist eine formale Singularität der Lösung der Friedmann-Gleichungen. Damit wird allerdings keine Aussage über die physikalische Realität einer derartigen Anfangssingularität gemacht, da die Gleichungen der klassischen Physik nur einen begrenzten Gültigkeitsbereich haben und nicht mehr anwendbar sind, wenn Quanteneffekte eine Rolle spielen, wie das im sehr frühen, heißen und dichten Universum angenommen wird. Zur Beschreibung der Entwicklung des Universums zu sehr frühen Zeiten ist eine Theorie der Quantengravitation erforderlich.

Frühes Universum.

Den Friedmann-Gleichungen zufolge war die Energiedichte des Universums in seiner Frühphase sehr hoch. Das bedeutet, dass auch die Energien der Teilchen im Mittel sehr hoch waren. Die sehr frühe Phase des Universums ist daher Gegenstand von Theorien, die nicht mit Laborexperimenten überprüft werden können.

Planck-Ära.

Die Planck-Ära bezeichnet den Zeitraum nach dem Urknall bis zur kleinsten physikalisch sinnvollen Zeitangabe, der Planck-Zeit mit etwa 10 Sekunden. Die Temperatur zu diesem Zeitpunkt entspricht der Planck-Temperatur, etwa 10 Kelvin. Bis zu diesem Zeitpunkt gab es nach Meinung der Wissenschaftler nur eine fundamentale Kraft, die Urkraft. Bis heute gibt es keine allgemein akzeptierte Theorie für die Planck-Ära. Als mögliche Kandidaten gelten die M-Theorie und die Schleifenquantengravitation.

GUT-Ära.

In der Kosmologie wird allgemein angenommen, dass sich an die Planck-Ära die GUT-Ära bzw. Baryogenese nach einer spontanen Symmetriebrechung anschloss. Dabei spaltete sich die Urkraft in die X-Kraft oder GUT-Kraft und die Gravitation auf. GUT steht für "Grand Unified Theories", zu deutsch Große vereinheitlichte Theorie. Diese würde die starke Kernkraft, die schwache Kernkraft und die elektromagnetische Kraft vereinigen. Hochenergie-Experimente an Teilchenbeschleunigern deuten darauf hin, dass bei einer Energie von etwa 2·10 GeV die drei genannten Kräfte nicht mehr voneinander unterscheidbar sind. Oberhalb dieser Energie gäbe es daher nur eine Kraft, die als GUT-Kraft bezeichnet wird. Dies wäre ein Zustand höherer Symmetrie. Bei Energien unter diesem Wert bricht diese Symmetrie auf und die drei genannten Kräfte würden sichtbar. Allerdings kann derzeit die nötige Energiedichte in Laborexperimenten nicht erreicht werden, um solche Theorien ausreichend zu prüfen.

Kosmische Inflation.

Die Inflation wird zeitlich in der GUT-Ära angesiedelt. Während dieser sogenannten Inflation dehnte sich das Universum innerhalb von 10 bis 10 Sekunden um einen Faktor zwischen 10 und 10 aus. Diese überlichtschnelle Ausdehnung des Universums steht nicht im Widerspruch zur Relativitätstheorie, da diese nur eine überlichtschnelle Bewegung "im Raum", nicht jedoch eine überlichtschnelle Ausdehnung "des Raumes selbst" verbietet. Der Bereich, der dem heute beobachtbaren Universum entspricht, hätte dabei der Theorie zufolge von einem Durchmesser, der den eines Protons weit unterschreitet, auf etwa 10 cm expandieren müssen.  Die genauen Details der Inflation sind unbekannt, allerdings gelten die Messungen der Temperaturschwankungen der kosmischen Hintergrundstrahlung durch den WMAP-Satelliten als starkes Indiz dafür, dass eine Inflation mit bestimmten Eigenschaften stattgefunden hat. Mittels der Messergebnisse des Planck-Weltraumteleskops könnte es möglich werden, genauere Erkenntnisse über die Inflationsepoche zu gewinnen. Die ursprüngliche Inflationstheorie geht auf eine Arbeit von Alan Guth aus dem Jahr 1981 zurück und wurde von Andrei Dmitrijewitsch Linde und anderen seither weiter bearbeitet. In dieser Theorie werden eine oder mehrere Skalarfelder verwendet, die als Inflatonfelder bezeichnet werden.  Ebenfalls unklar ist die Ursache für das Ende der Inflation. Eine mögliche Erklärung hierfür sollen Slow-Roll-Modelle bieten, in denen das Inflatonfeld ein energetisches Minimum erreicht und die Inflation deshalb endet; eine Alternative ist das bereits beschriebene GUT-Modell, in dem das Ende der Inflation durch Brechung der GUT-Symmetrie erklärt wird.  Eine Inflationsphase kann mehrere kosmologische Beobachtungen erklären:  Das Inflationsmodell versagt jedoch bei der Erklärung der Kosmologischen Konstante. Einsteins formula_1 wäre demnach nicht konstant, sondern abhängig von der Zeit, eine Annahme, die in Quintessenz-Modellen verwendet wird. Weitergehende Modelle halten die Kosmologische Konstante konstant.

Entwicklung des Universums.

Die Zeit nach der Inflation und der spekulativen Brechung einer möglichen GUT-Symmetrie sowie der elektroschwachen Symmetrie kann mit den bekannten physikalischen Theorien beschrieben werden. Das Verhalten des Universums ab dieser Phase ist durch Beobachtungen relativ weitgehend klar und unterscheidet sich in den verschiedenen Urknall-Modellen kaum.

Primordiale Nukleosynthese.

Als primordiale Nukleosynthese wird die Entstehung von Atomkernen im frühen Universum bezeichnet. Nach Ende der Inflation, also nach etwa 10 s, sank die Temperatur auf 10 K ab. Es bildeten sich Quarks und Anti-Quarks, die Bausteine der heutigen schweren Teilchen (Baryogenese). Die Temperatur war aber so hoch und die Zeiten zwischen zwei Teilchenstößen so kurz, dass sich noch keine stabilen Protonen oder Neutronen bildeten, sondern ein so genanntes Quark-Gluonen-Plasma aus annähernd freien Teilchen entstand. Die Zeit bis zur Bildung stabiler Hadronen wird auch "Quark-Ära" genannt.  Nach 10 s lag eine Temperatur von 10 K vor. Quarks konnten nicht mehr als freie Teilchen existieren, sondern vereinigten sich zu Hadronen, d. h. Protonen, Neutronen und schwerere Verwandte. Nach 10 s war die Temperatur auf 10 K gesunken, so dass keine Proton-Antiproton- oder Neutron-Antineutron-Paare mehr gebildet wurden. Die meisten Protonen und Neutronen wurden bei Stößen mit ihren Antiteilchen vernichtet – bis auf einen kleinen Überschuss von einem Milliardstel. Die Dichte sank auf 10 g/cm. Mit abnehmender Temperatur zerfielen die schwereren Hadronen, und es blieben schließlich Protonen und Neutronen sowie ihre Antiteilchen übrig. Durch ständige Umwandlungen von Protonen in Neutronen und umgekehrt entstand auch eine große Zahl von Neutrinos. In dieser sogenannten "Hadronen-Ära" gab es gleich viele Protonen wie Neutronen, da sie aufgrund ausreichend verfügbarer Energie beliebig ineinander umgewandelt werden konnten. Nach 1 s war eine Temperatur von 10 K erreicht. Unterhalb dieser Temperatur konnten lediglich Neutronen zu Protonen zerfallen, aber Neutronen nicht mehr nachgebildet werden.  Erst nach 10 Sekunden, bei Temperaturen unterhalb von 10 K, vereinigten sich Protonen und verbleibende Neutronen durch Kernfusion zu ersten Deuterium-Atomkernen. Soweit diese nicht wieder zerfielen, verschmolzen sie paarweise zu Helium-4-Kernen. Nach etwa 3 Minuten hatte die Temperatur und Dichte der Materie so weit abgenommen, dass die Kernfusion zum Erliegen kam. Die übriggebliebenen freien Neutronen waren nicht stabil und zerfielen im Verlauf der nächsten Minuten in Protonen und Elektronen. Insgesamt bildeten sich in den ersten drei Minuten zu 25 % Helium-4 (He) und 0,001 % Deuterium sowie Spuren von Helium-3 (He), Lithium und Beryllium. Die restlichen 75 % stellten Protonen, die späteren Wasserstoffatomkerne.  Alle schwereren Elemente entstanden erst später im Inneren von Sternen. Die Temperatur war immer noch so hoch, dass die Materie als Plasma vorlag, einem Gemisch aus freien Atomkernen, Protonen und Elektronen, mit thermischer Strahlung im Röntgenbereich.  Neben Elementarteilchen und Strahlung entstanden auch primordiale Magnetfelder. Dies wird auf den Harrison-Effekt zurückgeführt. Man geht davon aus, dass das Plasma im heißen und dichten Universum Wirbel bildete. Die hierdurch hervorgerufene Reibung an dem sehr starken Strahlungsfeld führte zur Erzeugung elektrischer Ströme, die durch Induktion Magnetfelder bewirkten.

Stark gekoppeltes Plasma.

Für Neutrinos, die kaum mit anderen Teilchen wechselwirken, war die Dichte nach 10 s niedrig genug – sie befanden sich nicht mehr im thermischen Gleichgewicht mit den anderen Teilchen, das heißt, sie "entkoppelten". Nach 1 s war eine Temperatur von 10 K erreicht. Jetzt vernichteten sich auch Elektronen und Positronen – bis auf den Überschuss von einem Milliardstel an Elektronen. Damit war die Bildung der Bausteine der Materie, aus der sich der Kosmos auch heute noch zusammensetzt, weitgehend abgeschlossen. Das Universum war nun gefüllt mit einem stark wechselwirkenden Plasma aus Elektronen, Photonen („Lichtteilchen“) und Atomkernen, vor allem Protonen. Außerdem gab es Neutrinos, die vor allem durch die Gravitation mit dem heißen Plasma wechselwirkten. Außerdem wird im Rahmen des kosmologischen Standardmodells angenommen, dass es eine große Menge dunkler Materie gab, die ebenfalls nur durch die Gravitation mit dem Plasma wechselwirkte.  Es dauerte etwa 400.000 Jahre, bis die Temperatur ausreichend abgesunken war, dass sich stabile Atome bildeten (Rekombinationsepoche) und Licht große Distanzen zurücklegen konnte, ohne absorbiert zu werden. Die "mittlere freie Weglänge" von Photonen vergrößerte sich extrem, das Universum wurde also durchsichtig, genauer gesagt nahm seine "optische Dichte" sehr rapide ab. Diese Entkopplung des Lichts dauerte etwa 100.000 Jahre. In dieser Zeitspanne waren einige Regionen des Universums bereits soweit abgekühlt, dass sie durchsichtig waren, während in anderen Regionen noch heißes Plasma vorherrschte. Da es zur Zeit der Entkopplung sehr viel mehr Photonen als Protonen im Universum gab, lag die Temperatur des Universums deutlich niedriger als die Ionisationsenergie des Wasserstoffs formula_2, wobei formula_3 die Boltzmann-Konstante ist, nämlich bei etwa formula_4, was einer Temperatur von etwa 4000 K entspricht. Das bedeutet, dass das Maximum der Strahlungsintensität zu dieser Zeit im sichtbaren Spektrum lag. Diese Strahlung ist noch heute als kosmische Hintergrundstrahlung messbar. Allerdings ist sie aufgrund der kosmologischen Rotverschiebung inzwischen sehr viel langwelligere Mikrowellenstrahlung und entspricht einer Temperatur von 2,73 K.  Die Dynamik des Plasmas ist entscheidend für die Entstehung der Temperaturfluktuationen der Hintergrundstrahlung und der Bildung von Materiestrukturen. Das Verhalten des plasmagefüllten Universums kann im Rahmen der kosmologischen Störungstheorie mittels der Boltzmann-Gleichung beschrieben werden. Damit lassen sich gewisse Grundcharakteristika des Spektrums der Temperaturfluktuationen erklären. Insbesondere kommt es in dem Plasma zu Druckwellen, also gewissermaßen Schallwellen, die bestimmte charakteristische Peaks im Spektrum der Temperaturfluktuationen verursachen. Dass diese Peaks von den Raumsonden WMAP und Planck mit großer Genauigkeit gemessen werden konnten, ist ein unterstützendes Indiz für diese Theorien. Die Entstehung großräumiger Strukturen wird qualitativ damit erklärt, dass sich Dunkle Materie an Orten sammelt, wo auch das Plasma dichter ist und damit Dichteungleichgewichte so sehr verstärkt, dass sich die Materie schließlich fast ausschließlich in relativ kleinen Bereichen des Universums sammelt.

Strahlungs-Ära und Materie-Ära.

Die Friedmann-Gleichungen basieren auf dem Materiemodell des perfekten Fluids. In diesem Modell wird die Materie durch zwei Zustandsgrößen, nämlich Energiedichte formula_5 und Druck formula_6 beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Energie und Druck wird durch eine Zustandsgleichung formula_7 beschrieben. Die wichtigsten Fälle für die üblichen Modelle des Universums sind Strahlung mit formula_8, massive Teilchen, oft als „Staub“ bezeichnet, mit formula_9 und eine kosmologische Konstante mit formula_10. Für die verschiedenen Arten der Materie ist die Abhängigkeit der Energiedichte vom Skalenfaktor formula_11 sehr unterschiedlich, nämlich formula_12. Die unterschiedliche Zeitabhängigkeit bei Strahlung und massiven Teilchen lässt sich auch anschaulich verstehen; bei Strahlung nimmt zusätzlich zum Abfallen der Anzahldichte der Photonen (infolge der Expansion des Raumes) die Wellenlänge der einzelnen Photonen durch die kosmologische Rotverschiebung zu. Dies sorgt dafür, dass die Energiedichte der Strahlung schneller abnimmt als die der massiven Materie. Deshalb wird ein Universum, das zu Beginn strahlungsdominiert war, nach einiger Zeit durch massive Teilchen dominiert, bis zuletzt eine eventuelle kosmologische Konstante vorherrschen würde.  Den Urknall-Modellen zufolge stellte (elektromagnetische) Strahlung nach der Inflation den Hauptanteil der Energiedichte im Kosmos. Zu einem Zeitpunkt von etwa 70.000 Jahren nach dem Urknall waren die Energiedichten von Strahlung und Materie gleich, danach bestimmte die massive Materie die Dynamik des Universums. Man spricht vom Ende der strahlungsdominierten Ära und dem Beginn der materiedominierten Ära.

Vorhersagen der Urknall-Modelle.

Die Urknall-Modelle mit den oben beschriebenen Charakteristika sind die anerkanntesten Modelle zur Erklärung des heutigen Zustandes des Universums. Der Grund dafür ist, dass sie einige zentrale Vorhersagen machen, die sich gut mit dem beobachteten Zustand des Universums decken. Die wichtigsten Vorhersagen sind die Expansion des Universums, die kosmische Hintergrundstrahlung und die Elementverteilung, insbesondere der Anteil an Helium an der Gesamtmasse der baryonischen Materie. Auch die wichtigsten Eigenschaften der Temperaturfluktuationen der kosmischen Hintergrundstrahlung werden im Rahmen der Urknall-Modelle mittels kosmologischer Störungstheorie sehr erfolgreich erklärt. Die Theorie der Temperaturfluktuationen bietet außerdem ein Modell zur Entstehung großräumiger Strukturen, nämlich der Filamente und Voids, die die zuvor beschriebene Wabenstruktur bilden.

Expansion des Universums.

Die Expansion des Universums wurde 1929 von Edwin Hubble erstmals beobachtet. Er entdeckte, dass die Entfernung von Galaxien von der Milchstraße und ihre Rotverschiebung proportional sind. Die Rotverschiebung erklärt man dadurch, dass sich die Galaxien vom Beobachter entfernen, Hubbles Beobachtung war die Proportionalität von Entfernung und Fluchtgeschwindigkeit. Es war spätestens seit der Arbeit von Georges Lemaître 1927 bekannt, dass eine solche Proportionalität aus den Friedmann-Gleichungen folgt, die auch den Urknall beinhalten. Diese Beobachtung war damit die erste Bestätigung der Urknall-Modelle. Heute ist das Hubble-Gesetz durch Messungen an sehr vielen Galaxien gut bestätigt. Allerdings gilt eine näherungsweise Proportionalität, wie von den Friedmann-Gleichungen für ein Universum mit massiver Materie vorhergesagt, nur für vergleichsweise nahe Galaxien. Sehr ferne Galaxien haben allerdings Fluchtgeschwindigkeiten, die größer sind, als in einem materiedominierten Universum zu erwarten ist. Dies wird als Hinweis auf eine kosmologische Konstante oder Dunkle Energie gedeutet.

Häufigkeit der Elemente.

Der größte Teil der leichten Atomkerne entstand in den ersten Minuten des Universums während der primordialen Nukleosynthese. Die Beschreibung dieses Prozesses im Rahmen des Urknallmodells geht auf Ralph Alpher und George Gamow zurück, die die Alpher-Bethe-Gamow-Theorie entwickelten. Insbesondere der Massenanteil des Heliums von etwa 25 % der gewöhnlichen Materie (ohne Dunkle Materie) wird von den Urknallmodellen übereinstimmend in sehr guter Übereinstimmung mit der beobachteten Häufigkeit vorhergesagt. Durch die Messung der Häufigkeit von selteneren Kernen wie Deuterium, Helium-3 und Lithium-7 kann auf die Dichte gewöhnlicher Materie im Universum geschlossen werden. Die gemessenen Häufigkeiten dieser Elemente sind im Rahmen der existierenden Modelle miteinander und mit anderen Messungen der Materiedichte konsistent.

Kosmische Hintergrundstrahlung.

Die kosmische Hintergrundstrahlung wurde 1948 von Ralph Alpher, George Gamow und Robert Herman vorhergesagt. Sie sagten in der Folge verschiedene Temperaturen im Bereich von etwa 5 bis 50 K vorher. Erst 1964 wurde die Hintergrundstrahlung von Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson erstmals als realer Effekt identifiziert, nachdem zuvor mehrere Astronomen Messungen des Signals für Antennenfehler gehalten hatten. Die gemessene Temperatur wurde mit 3 K angegeben, heutige Messungen ergeben eine Temperatur von 2,725 K. Die Hintergrundstrahlung ist in sehr guter Näherung isotrop, das heißt sie hat in jeder Richtung übereinstimmende Temperatur und Intensität. Abweichungen in Höhe von 1 % ergeben sich durch den Doppler-Effekt aufgrund der Bewegung der Erde. Auch die Milchstraße ist als deutliche Störung erkennbar.  Rainer K. Sachs und Arthur M. Wolfe sagten 1967 vorher, dass es sehr kleine Temperaturfluktuationen der Hintergrundstrahlung gebe. Der von ihnen vorhergesagte Effekt wurde zu ihren Ehren Sachs-Wolfe-Effekt genannt. Im Jahr 1993 entdeckte der Satellit COBE tatsächlich Fluktuationen von 0,001 % in der Temperatur der Hintergrundstrahlung, wobei der Satellit WMAP diese Beobachtung, ebenso wie den Sachs-Wolfe-Effekt bestätigte. Weitere bedeutende Charakteristika des Spektrums der Temperaturanisotropien sind die Silk-Dämpfung und Baryonische akustische Oszillationen.

Bildung großräumiger Strukturen.

Durch die Entkopplung der Strahlung geriet die Materie nun stärker unter den Einfluss der Gravitation. Ausgehend von räumlichen Dichteschwankungen, die möglicherweise bereits in der inflationären Phase durch Quantenfluktuationen entstanden sind, bildeten sich nach 1 Million Jahren großräumige Strukturen im Kosmos. Dabei begann die Materie in den Raumgebieten mit höherer Massedichte als Folge gravitativer Instabilität zu kollabieren und Masseansammlungen zu bilden. Es bildeten sich zuerst sogenannte Halos aus Dunkler Materie, die als Gravitationssenken wirkten, in denen sich später die für uns sichtbare Materie sammelte. Die dem Strahlungsdruck unterliegende baryonische Materie hatte keine ausreichende Dichte, um ohne Hilfe der Dunklen Materie so früh zu großräumigen Strukturen zu verklumpen, dass sich die daraus resultierenden Temperaturschwankungen heute noch in der Hintergrundstrahlung beobachten lässt. Ohne Dunkle Materie würde die Entstehung großräumiger Strukturen, wie der Wabenstruktur aus Voids und Filamenten, ebenso wie die Entstehung eher kleinerer Strukturen, wie Galaxien, viel länger dauern als das Alter des Universums, das sich aus den Urknall-Modellen ergibt.  Zur Untersuchung der Eigenschaften der Dunklen Materie wurde versucht, durch Simulationen den Prozess der Strukturbildung nachzubilden. Dabei wurden verschiedene Szenarien durchgespielt, und einige konnten mit Hilfe solcher Simulationen als gänzlich unrealistisch ausgeschlossen werden. Als realistisch erscheinen heute sogenannte formula_13CDM-Szenarien, wobei das formula_1 die Kosmologische Konstante der Einsteinschen Feldgleichungen ist, und CDM für kalte Dunkle Materie (engl.: cold dark matter) steht. Welche Art von Teilchen die Dunkle Materie bildet, ist derzeit noch unbekannt.  Die kollabierenden Gaswolken hatten sich inzwischen soweit verdichtet, dass sich die ersten Sterne bildeten. Diese waren wesentlich massenreicher als unsere Sonne, so dass sie sehr heiß wurden und hohe Drücke bildeten. Infolgedessen wurden auch schwerere Elemente wie Kohlenstoff, Sauerstoff und Eisen durch Kernfusion erzeugt. Wegen ihrer großen Masse war die Lebensdauer dieser Sterne mit 3–10 Millionen Jahren relativ kurz, sie explodierten in einer Supernova. Während der Explosion wurden durch Neutroneneinfang Elemente schwerer als Eisen gebildet (z. B. Uran) und gelangten in den interstellaren Raum. Der Explosionsdruck verdichtete angrenzende Gaswolken, die dadurch schneller neue Sterne hervorbringen konnten. Da die mit Metallen angereicherten Gaswolken schneller auskühlten, entstanden massenärmere und kleinere Sterne mit schwächerer Leuchtkraft, aber von längerer Lebensdauer.  Es bildeten sich die ersten Kugelsternhaufen aus diesen Sternen, und schließlich die ersten Galaxien aus ihren Vorläufern.

Weitergehende Modelle.

Es gibt verschiedene Modelle, die ab einer Zeit von etwa 10 s mit den Urknall-Modellen übereinstimmen und das Ziel verfolgen, das sehr frühe Universum ohne Singularitäten zu erklären. Solche Modelle können in einigen Fällen zusätzliche Vorhersagen gegenüber den gewöhnlichen Urknall-Modellen machen oder in den Vorhersagen geringfügig abweichen, sofern diese Abweichungen nicht durch die Messgenauigkeit widerlegt sind. Derartige Modelle stehen meist im Zusammenhang mit den Theorien der Quantengravitation und der Schleifenquantengravitation "(Loop-Quantengravitation)" als "Schleifen-Quantenkosmologie".

Branenkosmologie.

Die Branenkosmologie ist eine Theorie, die in enger Verbindung zur Stringtheorie steht und Konzepte dieser Theorie verwendet. Modelle der Branenkosmologie beschreiben eine mindestens fünfdimensionale Raumzeit, in die die vierdimensionale Raumzeit als „Brane“ (das Wort ist von „Membran“ abgeleitet) eingebettet ist. Die moderne Behandlung dieser Theorie ging vom 1999 entwickelten Randall-Sundrum-Modell aus. In diesem soll eine Brane das beobachtbare Universum modellieren. Es liefert ein Erklärungsmodell dafür, warum die Gravitation viel schwächer ist als die anderen Grundkräfte, beschreibt aber keine Evolution des Universums. Es enthält also keine Expansion des Universums und daher auch weder Rotverschiebung noch Hintergrundstrahlung. Es ist damit kein realistisches Modell des beobachtbaren Universums.  Ein weiterentwickeltes Modell der Branenkosmologie ist das zyklische ekpyrotische Universum von Paul Steinhardt und Neil Turok, das ebenfalls auf der Stringtheorie basiert und 2002 entwickelt wurde. In diesem Modell kollidieren zwei vierdimensionale Branen in einer fünfdimensionalen Raumzeit periodisch, wobei sie jedes Mal einen Zustand erzeugen, wie er nach dem Urknallmodell im sehr frühen Universum geherrscht hat. Sie bilden insbesondere eine Alternative zur Inflationstheorie, indem sie im Rahmen der heutigen Messgenauigkeit dieselben Vorhersagen machen. Allerdings macht das ekpyrotische Modell abweichende Vorhersagen zur Polarisierung der Fluktuationen der Hintergrundstrahlung, dadurch ist es durch zukünftige Messungen im Prinzip möglich, eines der beiden Modelle zu falsifizieren.

Schleifenquantenkosmologie.

Die Schleifenquantenkosmologie ist eine Theorie, die sich aus der Schleifenquantengravitation entwickelt hat (unter anderem durch Martin Bojowald). Da in dieser Theorie das kosmologische Prinzip als Annahme vorausgesetzt wird, ist noch nicht geklärt, inwiefern sie mit der Schleifenquantengravitation selbst kompatibel ist. Die Loop Quantum Cosmology gibt eine Erklärung für die kosmische Inflation und bietet mit dem Big Bounce ein kosmologisches Modell ohne Urknallsingularität. In diesem Modell kollabiert ein Vorgänger-Universum in einem Big Crunch, allerdings sorgen Effekte der Quantengravitation dafür, dass es nicht zu einer Singularität kollabiert, sondern nur bis zu einer maximalen Dichte. Dann setzt wieder eine Expansion ein, aus der das heutige Universum hervorgeht. Dieses Modell ist aktuell Forschungsgegenstand und viele Fragen sind noch ungeklärt. Unter anderem ist nicht klar, ob sich die Geschichte des zyklischen Universums bei jedem Durchlauf identisch wiederholt oder variiert. Eine Weiterentwicklung des Modells ergibt ein zyklisches Universum, das immer im Wechsel bis zu einer maximalen Ausdehnung expandiert und zu einer minimalen Ausdehnung kollabiert.

Chaotische Inflation.

Die Theorie der chaotischen Inflation wurde 1986 von Andrei Linde vorgeschlagen und ist nicht mit einer bestimmten Quantengravitationstheorie verknüpft. Sie besagt, dass der Großteil des Universums ewig inflationär expandiert und nur innerhalb verschiedener Blasen die Inflation zum Erliegen kommt, so dass sich eine Vielzahl von Teiluniversen bildet. Dem Modell zufolge sorgen die Quantenfluktuationen des Inflatonfelds dafür, dass der Großteil des Universums ewig in der inflationären Phase bleibt. Nicht-inflationäre Blasen entstehen, wenn die Quantenfluktuationen des Inflatonfeldes lokal kleiner werden. Obwohl die Wahrscheinlichkeit für die Entstehung dieser Blasen sehr hoch ist, sorgt die hohe Geschwindigkeit der Inflation dafür, dass sie gegenüber dem Rest des Universums sehr schnell sehr viel kleiner werden, dadurch nur sehr selten kollidieren und der Großteil des Universums durch ewige Inflation geprägt ist.  Die verschiedenen Teiluniversen können unterschiedliche Werte der Naturkonstanten und damit unterschiedliche physikalische Gesetze enthalten, wenn es mehrere stabile Zustände des Feldes gibt. Die Theorie wird manchmal auch als Multiversumstheorie aufgefasst (zum Beispiel Alexander Vilenkin), da viele Teiluniversen existieren, die nie miteinander in Kontakt treten können. Das inflationäre Multiversum wird auch als Quantenschaum bezeichnet, da es in seinen Eigenschaften nicht mit dem beobachtbaren Universum übereinstimmt. So enthält es der Theorie zufolge weder Materie noch Strahlung, sondern ausschließlich das Inflatonfeld.

Forschungsgeschichte.

In der Antike hatten vor allem die heute verlorenen vorsokratischen Naturphilosophen Vorstellungen eines Urknalls entwickelt, die in Grundzügen modernen Erkenntnissen bereits nahekamen. Insbesondere die Lehren zur Entstehung des Universums von Anaxagoras im 5. Jahrhundert v. Chr., laut dem das Weltall expandiert, werden in der modernen Forschung häufig in Zusammenhang mit dem "Big Bang" gebracht.  Als Begründer der Urknalltheorie gilt der belgische Theologe und Physiker Georges Lemaître, der 1931 für den heißen Anfangszustand des Universums die Ausdrücke „primordiales Atom“ oder „Uratom“, später auch „kosmisches Ei“ verwendete. Die englische Bezeichnung "Big Bang" (wörtlich ‚Großer Knall‘) wurde von Fred Hoyle geprägt. Hoyle vertrat die Steady-State-Theorie und wollte mit der Wortwahl "Big Bang" das Bild eines expandierenden Universums, das scheinbar aus dem Nichts entsteht, unglaubwürdig erscheinen lassen. Die Steady-State-Theorie verlor in den 1960er Jahren an Zustimmung, als die Urknalltheorie durch astronomische Beobachtungen zunehmend bestätigt wurde.  Die Voraussetzung für die moderne Kosmologie und damit auch für die Urknall-Modelle bildet die 1915 von Albert Einstein publizierte allgemeine Relativitätstheorie. 1922 legte Alexander Friedmann mit seiner Beschreibung des expandierenden Universums den Grundstein für die Urknall-Modelle. Obwohl Einstein anerkannte, dass sein Modell mit den Feldgleichungen verträglich war, wurde Friedmanns Arbeit zunächst kaum diskutiert, da keine astronomischen Beobachtungen auf eine Expansion des Universums hindeuteten und daher statische kosmologische Modelle bevorzugt wurden, auch von Einstein selbst. Lemaître entwickelte 1927 Friedmanns Modell unabhängig von diesem erneut und führte es weiter zu einer ersten Urknalltheorie, der zufolge das Universum aus einem einzigen Teilchen, dem „Uratom“ hervorgegangen sei. Er leitete als Folge der Expansion des Universums bereits eine Proportionalität von Entfernung und Fluchtgeschwindigkeit stellarer Objekte her. Allerdings wurde auch diese Arbeit wenig beachtet.  1929 entdeckte Edwin Hubble durch Entfernungsmessungen an Cepheiden in Galaxien außerhalb der Milchstraße, dass die Rotverschiebung der Galaxien zu ihrer Entfernung proportional ist. Diesen Befund, der heute Hubble-Gesetz genannt wird, erklärte er durch den Dopplereffekt als Folge einer Expansion des Universums. Hubble bestätigte damit Lemaîtres Vorhersage, allerdings war ihm diese nicht bekannt und er bezieht sich in seinen Schriften nicht darauf. 1935 bewiesen Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker schließlich, dass die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metriken unabhängig vom Materiemodell die einzigen Metriken sind, die mit dem kosmologischen Prinzip verträglich sind.  1948 entwickelten Ralph Alpher, George Gamow und Robert Herman eine Theorie von der Entstehung des Kosmos aus einem heißen Anfangszustand. Im Rahmen dieser Theorie sagten sie sowohl die Häufigkeit von Helium im frühen Universum als auch die Existenz einer kosmischen Hintergrundstrahlung mit Schwarzkörperspektrum vorher. Für die heutige Temperatur der Hintergrundstrahlung gaben sie verschiedene Schätzungen im Bereich von 5 K bis 50 K. Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson entdeckten 1964 unbeabsichtigt die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung. Da sie nur auf zwei Frequenzen maßen, konnten sie nicht feststellen, dass die Strahlung ein Schwarzkörperspektrum hat. Dies wurde durch weitere Messungen in den folgenden Jahren bestätigt und die Temperatur wurde mit 3 K gemessen. 1967 sagten Rainer K. Sachs und Arthur M. Wolfe Temperaturfluktuationen der kosmischen Hintergrundstrahlung vorher. Dieser Effekt wird nach ihnen als Sachs-Wolfe-Effekt bezeichnet.  Stephen Hawking und Roger Penrose zeigten 1965 bis 1969 mathematisch, dass sich die immer noch bezweifelten ultra-dichten Zustände am Beginn der Zeit unter den Voraussetzungen „Gültigkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie“ und „expandierendes Universum“ zwingend ergeben.  Um den extrem homogenen und isotropen Anfangszustand des beobachtbaren Universums zu erklären, der aus der Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung gefolgert wird, schlug Roger Penrose 1979 die Weylkrümmungshypothese vor. Diese Hypothese liefert auch eine Erklärung für den Ursprung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Als konkurrierende Hypothese zur Erklärung der Homogenität und Isotropie des frühen Universums und zur Lösung des Horizont-Problems entwickelte Alan Guth 1981 die Theorie des inflationären Universums, die eine Phase sehr schneller Expansion in der Frühphase des Universums postuliert. Die Theorie des inflationären Universums wurde später von Andrei Linde und anderen weiter entwickelt und konnte sich schließlich als Erklärungsmodell durchsetzen.  Valerie de Lapparent, Margaret Geller und John Huchra entdeckten 1986 die Anordnung von Galaxienhaufen in wandartigen Strukturen, die wiederum großskalige, blasenartige Leerräume ("Voids") umschließen. Durch die Satelliten COBE (1989–1993), WMAP (2001–2010) und Planck (2009–2013) wurde die kosmische Hintergrundstrahlung mit erheblicher Genauigkeit vermessen. Dabei wurden die Fluktuationen der Hintergrundstrahlung entdeckt und ihr Spektrum vermessen, womit die Vorhersage von Sachs und Wolfe bestätigt wurde. Die Messergebnisse dieser Satelliten in Verbindung mit Entfernungsmessungen gestatteten eine genauere Bestimmung kosmologischer Parameter, die Hinweise auf ein beschleunigt expandierendes Universum ergeben.

Literatur.

„Vor“ dem Urknall  Ab dem Urknall

Verkehr (abgekürzt: Verk.) ist die Ortsveränderung von Personen und materiellen Gütern sowie von Nachrichten, Informationen, Energie und Wasser. Bestimmte Verkehrsarten legen die Form der Bewegung (Transport), der Objekte (Entitäten) und des Verkehrssystems fest, z. B. Straßenverkehr, Personenverkehr, Güterverkehr, Nachrichtenverkehr, Individualverkehr, Verkehrsmittel oder Verkehrsweg.

Le transport est le déplacement d'objets, de marchandises, ou d'individus (humains ou animaux) d'un endroit à un autre. Les modes de transport incluent l'aviation, le chemin de fer, le transport routier, le transport maritime, le transport par câble, l'acheminement par pipeline et le transport spatial. Le mode dépend également du type de véhicule ou d'infrastructure utilisé. Les moyens de transport peuvent inclure les véhicules à propulsion humaine, l'automobile, la moto, le scooter, le bus, le métro, le tramway, le train, le camion, la marche à pied, l'ascenseur, l'hélicoptère, le bateau ou l'avion Le type de transport peut se caractériser par son appartenance au secteur public ou privé.


Geschichte.

Der Satz wurde erstmals 1852 von Francis Guthrie als Vermutung aufgestellt, als er in einer Karte die Grafschaften von England färben wollte. Es war offensichtlich, dass drei Farben nicht ausreichten und man fünf in keinem konstruierten Beispiel brauchte. In einem Brief des Londoner Mathematikprofessors Augustus De Morgan vom 23. Oktober 1852 an den irischen Kollegen William Rowan Hamilton wurde die Vermutung erstmals diskutiert und veröffentlicht: „Genügen vier oder weniger Farben, um die Länder einer Karte so zu färben, dass benachbarte Länder verschiedene Farben tragen?“  Der englische Mathematiker Arthur Cayley stellte das Problem 1878 der mathematischen Gesellschaft Londons vor. Innerhalb nur eines Jahres fand Alfred Kempe einen scheinbaren Beweis für den Satz. Elf Jahre später, 1890, zeigte Percy Heawood, dass Kempes Beweisversuch fehlerhaft war. Ein zweiter fehlerhafter Beweisversuch, 1880 von Peter Guthrie Tait veröffentlicht, konnte ebenfalls elf Jahre lang nicht widerlegt werden. Erst 1891 zeigte Julius Petersen, dass auch Taits Ansatz nicht korrekt war. Heawood gab im Jahre 1890 mit der Widerlegung von Kempes „Vier-Farben-Beweis“ zusätzlich einen Beweis für den Fünf-Farben-Satz an, womit eine obere Grenze für die Färbung von planaren Graphen zum ersten Mal fehlerfrei bewiesen wurde. In Kempes fehlerhaftem Versuch steckten bereits grundlegende Ideen, die zum späteren Beweis durch Appel und Haken führten. Heinrich Heesch entwickelte in den 1960er und 1970er Jahren einen ersten Entwurf eines Computerbeweises, der aber mangels verfügbarer Rechenzeit nicht verwirklicht wurde. Dieser konnte von Kenneth Appel und Wolfgang Haken an der University of Illinois 1976 verbessert werden. Der Beweis reduzierte die Anzahl der problematischen Fälle von Unendlich auf 1936 (eine spätere Version sogar 1476), die durch einen Computer einzeln geprüft wurden. Nach Kritiken an diesem Beweis veröffentlichten Appel und Haken 1989 eine ausführliche Beschreibung mit einem 400-seitigen Anhang auf Mikrofilm.  1996 konnten Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour und Robin Thomas einen modifizierten Computerbeweis finden, der die Fälle auf 633 reduzierte. Auch diese mussten per Computer geprüft werden.  2005 haben Georges Gonthier und Benjamin Werner einen formalen Beweis des Satzes in dem Beweisassistenten Coq konstruiert.

Kritik.

Der Vier-Farben-Satz war das erste große mathematische Problem, das mit Hilfe von Computern gelöst wurde. Deshalb wurde der Beweis von einigen Mathematikern nicht anerkannt, da er nicht direkt durch einen Menschen nachvollzogen werden kann und da man sich auf die Korrektheit des Compilers und der Hardware verlassen muss. Auch der Mangel an mathematischer Eleganz des Beweises wurde kritisiert. So äußerte schon im Jahre 1989 der Graphentheoretiker Horst Sachs explizit die Meinung, dass "die endgültige Lösung des Vierfarbenproblems noch aussteht". Die Kritik besteht auch in neuerer Zeit weiter und wurde etwa von dem britischen Mathematiker Ian Stewart bekräftigt.

Fehlerhafte Gegenbeweise.

Wie viele offene Probleme der Mathematik hat der Vier-Farben-Satz eine Menge fehlerhafter Beweise und Gegenbeweise provoziert. Manche hielten der öffentlichen Prüfung über Jahrzehnte stand, bis sie als falsch erkannt wurden. Viele andere, hauptsächlich von Amateuren entwickelte, sind niemals veröffentlicht worden.  Häufig enthalten die einfachsten „Gegenbeispiele“ eine Region, welche alle anderen Regionen berührt. Dies erzwingt, um mit vier Farben auszukommen, die restlichen Regionen mit nur drei Farben auszufüllen. Die Gegenbeispiele übersehen dabei, dass durch Umfärbung des inneren Bereiches ebendieses erreicht werden kann, da sie sich zu sehr auf das äußere Gebiet stürzen.  Dieser Trick kann verallgemeinert werden; es ist leicht, Karten zu konstruieren, auf denen es unmöglich ist, mit vier Farben auszukommen, wenn die Farben einiger Regionen im Voraus festgelegt wurden. Ein oberflächlicher Überprüfer des Gegenbeispiels wird oft nicht daran denken, diese Regionen umzufärben.  Andere falsche Gegenbeweise verletzen die Annahmen des Satzes, wie zum Beispiel durch Verwendung von Regionen, die aus mehreren getrennten Bereichen bestehen, oder durch Verbieten von gleichfarbigen Regionen, die sich nur an einem Punkt berühren.

Formalisierung.

Formal lässt sich das Problem am einfachsten mit Hilfe der Graphentheorie beschreiben. Man fragt, ob die Knoten jedes planaren Graphen mit maximal vier Farben so gefärbt werden können, dass keine benachbarten Knoten die gleiche Farbe tragen. Oder kürzer: „Ist jeder planare Graph 4-färbbar?“ Dabei wird jedem Land der Karte genau ein Knoten zugewiesen; die Knoten angrenzender Länder werden miteinander verbunden.

Abwandlungen und Verallgemeinerungen.

Das Vier-Farben-Problem ist ein Spezialfall der Heawood-Vermutung. Das klassische Vier-Farben-Problem betrifft Landkarten, die auf einer Ebene oder Kugeloberfläche liegen. Die Heawood-Vermutung stellt die analoge Frage für allgemeine Oberflächen, etwa die Kleinsche Flasche (6 Farben), das Möbiusband (6 Farben), die Projektive Ebene (6 Farben) und den Torus (7 Farben). Interessanterweise ist die Verallgemeinerung – abgesehen vom Spezialfall für Ebenen oder Kugeloberflächen – wesentlich leichter zu beweisen als der Vier-Farben-Satz und kommt ohne Computerhilfe aus. J. W. Ted Youngs und Gerhard Ringel konnten im Jahr 1968 erstmals die Heawood-Vermutung für alle anderen Fälle beweisen (Satz von Ringel-Youngs). Der Vier-Farben-Satz wird also nicht durch diesen Beweis verifiziert, sondern muss gesondert behandelt werden. Erweitert man die Aufgabenstellung des Vier-Farben-Satzes von Oberflächen auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, dann gibt es keine Obergrenze für die Anzahl der Farben. Anstelle der „Länder“ treten dreidimensionale Gebiete („Körper“) auf, die unterschiedliche Farben haben sollen, wenn sie eine gemeinsame Grenzfläche besitzen. Für jede Zahl formula_1 lässt sich ein Beispiel konstruieren (Heinrich Tietze), das mindestens formula_1 Farben benötigt. Man denke sich formula_1 „lange“ kongruente Quader („Riegel“) nebeneinanderliegend, die zusammen einen Quader quadratischer Grundfläche bilden. Darauf liegen noch einmal formula_1 zu den ersten kongruente Quader nebeneinander, aber senkrecht zu den unteren, so dass alle unteren Quader alle oberen Quader berühren. Nun sei jeder der unteren mit genau einem der oberen verbunden, so dass beide gemeinsam kreuzweise "einen" Körper bilden. Jeder dieser Körper berührt jeden anderen; man braucht also formula_1 Farben und formula_1 war beliebig.

Bemerkung.

Wenn (so wie in der Realität häufig der Fall) ein Land auf mehrere nicht-angrenzende Gebiete verteilt ist (Kolonien, Exklaven,...), dann ist der zugehörige Graph nicht notwendigerweise planar und es sind möglicherweise mehr als vier Farben zur Färbung notwendig. Auf Planarität kann man gegebene Graphen sehr schnell testen. Nach dem Satz von Kuratowski gibt es bestimmte Untergraphen, die die Planarität von Graphen verhindern. Es sind dies genau zwei Grundformen, die sogenannten Kuratowski-Minoren formula_7 und formula_8, und darüber hinaus ihre Unterteilungen. Durch eine geschickte Wahl der Datenstrukturen kann man diese „Untergraphen“ finden bzw. feststellen, dass es sie nicht gibt, indem man jeden Knoten und jede Kante nur konstant oft betrachtet.  Die kleinste mögliche Färbung in allgemeinen Graphen formula_9 zu finden, mit anderen Worten die sogenannte "Chromatische Zahl" formula_10 zu bestimmen, ist eine sehr aufwändige Aufgabe (genauer: in ihrer Entscheidungsvariante NP-vollständig). Nach den Aussagen von Tutte wäre sie gelöst, wenn man im Dualgraphen formula_11 eine kleinste Gruppe gefunden hat, sodass eine gruppenwertige Strömung (das ist ein „Fluss ohne Anfang und Ende“), die nirgends das Nullelement annimmt, existiert. Diese Gruppenordnung heißt "Flusszahl" formula_12 und es ist für beliebige Graphen formula_13. Die Lösbarkeit dieses nach wie vor NP-vollständigen Problems ist unabhängig von der Struktur der vorgegebenen Gruppe und hängt nur von der Gruppenordnung ab.  Es gibt weitere Zusammenhänge des Vier-Farben-Problems mit Problemen der Diskreten Mathematik, sodass man auch Methoden der Algebraischen Topologie anwenden kann.

Zeitkomplexität.

Eine 4-Färbung zu berechnen, ist für planare Graphen mit formula_1 Knoten in Zeit formula_15 möglich. Dagegen ist die Entscheidung der Frage, ob auch drei Farben ausreichen, NP-vollständig.

Sonstiges.

Einige bekannte Mathematiker haben sich an dem Beweis versucht. So berichtet Max Born, dass Hermann Minkowski (1864–1909) über mehrere Wochen einen Beweisversuch in einer Einführungsvorlesung für Topologie unternahm (mit den einführenden Worten, dies würde sich gut als Einführung in die Topologie eignen und daran hätten sich bisher nur Mathematiker dritten Ranges versucht), bis er schließlich aufgab. Born erinnert sich, dass damals ein Gewitter herrschte und Minkowski halb scherzhaft meinte, der Himmel würde über seine Vermessenheit zürnen.  Auch Ernst Witt versuchte sich in den 1930er Jahre als Student an dem Beweis und präsentierte ihn Richard Courant; sein Freund Heinrich Heesch fand aber einen Fehler, was der Beginn seiner eigenen Beschäftigung mit dem Problem war.  Andere Mathematiker, die sich mit dem Problem beschäftigten und bedeutende Teilresultate erzielten, waren Øystein Ore (der die Mindestanzahl der Gebiete, die mit vier Farben einfärbbar sind, auf 40 erhöhte) und Hassler Whitney (in seiner Dissertation aus 1932).  Es gibt auch algebraisch äquivalente Formulierungen (Howard Levi, Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, M. Mnuk, Noga Alon).

Der Vier-Farben-Satz (auch Vier-Farben-Theorem, früher auch als Vier-Farben-Vermutung oder Vier-Farben-Problem bekannt) ist ein mathematischer Satz und besagt, dass vier Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte in der euklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen. Der Satz findet Anwendung in der Graphentheorie, Topologie und Kartografie.

Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorier n'importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions "adjacentes" (ou "limitrophes"), c'est-à-dire ayant toute une frontière (et non simplement un point) en commun reçoivent toujours deux couleurs distinctes. L'énoncé peut varier et concerner, de manière tout à fait équivalente, la coloration des faces d'un polyèdre, ou des sommets d'un graphe planaire.


Definition.

Es seien formula_3 eine Menge, formula_4 ein Körper, formula_5 eine innere zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und formula_6 eine äußere zweistellige Verknüpfung, genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann formula_7 einen "Vektorraum über dem Körper formula_8" oder kurz "formula_8-Vektorraum," wenn für alle formula_10 und formula_11 die folgenden Eigenschaften gelten:  Vektoraddition:  Skalarmultiplikation:  Anmerkungen

Erste Eigenschaften.

Für alle formula_48 und formula_49 gelten folgende Aussagen:

Beispiele.

Euklidische Ebene.

Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale Euklidische Ebene formula_55 (in rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystemen) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt:  Der Nullvektor formula_59 entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung.  Durch die Streckung der Verschiebung formula_60 mit einem Skalar formula_61 aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:  Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt auch in der reellen affinen Ebene.

Koordinatenraum.

Ist formula_8 ein Körper und formula_64 eine natürliche Zahl, so bildet das formula_64-fache kartesische Produkt die Menge aller formula_64-Tupel mit Einträgen in formula_8, einen Vektorraum über formula_8. Die Addition und die skalare Multiplikation werden komponentenweise definiert; für formula_70, formula_48 setzt man: und Häufig werden die formula_64-Tupel auch als Spaltenvektoren notiert, das heißt, ihre Einträge werden untereinander geschrieben. Die Vektorräume formula_75 bilden gewissermaßen die Standardbeispiele für endlichdimensionale Vektorräume. Jeder formula_64-dimensionale formula_8-Vektorraum ist isomorph zum Vektorraum formula_75. Mit Hilfe einer Basis kann jedes Element eines Vektorraums eindeutig durch ein Element des formula_75 als Koordinatentupel dargestellt werden.

Funktionenräume.

Grundsätzliches und Definition.

Ist formula_8 ein Körper, formula_3 ein formula_8-Vektorraum und formula_83 eine beliebige Menge, so kann auf der Menge formula_84 aller Funktionen formula_85 eine Addition und eine skalare Multiplikation punktweise definiert werden: Für formula_86 und formula_48 sind die Funktionen formula_88 und formula_89 definiert durch Mit dieser Addition und skalaren Multiplikation ist formula_84 ein formula_8-Vektorraum. Insbesondere gilt dies für formula_96, wenn also als Zielraum der Körper formula_8 selbst gewählt wird. Weitere Beispiele für Vektorräume erhält man als Untervektorräume dieser Funktionenräume.  In vielen Anwendungen ist formula_98, der Körper der reellen Zahlen, oder formula_99, der Körper der komplexen Zahlen, und formula_83 ist eine Teilmenge von formula_1, formula_102, formula_2 oder formula_104. Beispiele sind etwa der Vektorraum aller Funktionen von formula_1 nach formula_1 und die Unterräume formula_107 aller stetigen Funktionen und formula_108 aller formula_109-mal stetig differenzierbaren Funktionen von formula_1 nach formula_1.

Raum der linearen Funktionen.

Ein einfaches Beispiel für einen Funktionenraum ist der zweidimensionale Raum der reellen linearen Funktionen, das heißt der Funktionen der Form mit reellen Zahlen formula_113 und formula_114. Dies sind diejenigen Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. Die Menge dieser Funktionen ist ein Untervektorraum des Raums aller reellen Funktionen, denn die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder linear, und ein Vielfaches einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion.  Zum Beispiel ist die Summe der beiden linearen Funktionen formula_115 und formula_116 mit die Funktion formula_119 mit Das 3fache der linearen Funktion formula_115 ist die lineare Funktion formula_122 mit

Polynomräume.

Die Menge formula_124 der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper formula_8 bildet, mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement, einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Die Menge der Monome formula_126 ist eine Basis dieses Vektorraums. Die Menge der Polynome, deren Grad durch ein formula_127 nach oben beschränkt ist, bildet einen Untervektorraum der Dimension formula_128. Beispielsweise bildet die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4, also aller Polynome der Form einen 5-dimensionalen Vektorraum mit der Basis formula_130.  Bei unendlichen Körpern formula_8 kann man die (abstrakten) Polynome mit den zugehörigen Polynomfunktionen identifizieren. Bei dieser Betrachtungsweise entsprechen die Polynomräume Unterräumen des Raums aller Funktionen von formula_8 nach formula_8. Zum Beispiel entspricht der Raum aller reellen Polynome vom Grad formula_134 dem Raum der linearen Funktionen.

Körpererweiterungen.

Ist formula_135 ein Oberkörper von formula_8, so ist formula_135 mit seiner Addition und der eingeschränkten Multiplikation formula_138 als skalare Multiplikation ein formula_8-Vektorraum. Die dazu nachzuweisenden Regeln ergeben sich unmittelbar aus den Körperaxiomen für formula_135. Diese Beobachtung spielt eine wichtige Rolle in der Körpertheorie.  Beispielsweise ist formula_2 auf diese Weise ein zweidimensionaler formula_1-Vektorraum; eine Basis ist formula_143. Ebenso ist formula_1 ein unendlichdimensionaler formula_145-Vektorraum, bei dem eine Basis jedoch nicht konkret angegeben werden kann.

Lineare Abbildungen.

Lineare Abbildungen sind die Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, die die Struktur des Vektorraums erhalten. Sie sind die Homomorphismen zwischen Vektorräumen im Sinne der universellen Algebra. Eine Funktion formula_146 zwischen zwei Vektorräumen formula_147 und formula_3 über demselben Körper formula_8 heißt genau dann "linear," wenn für alle formula_150 und alle formula_151 erfüllt sind. Das heißt, formula_115 ist kompatibel mit den Strukturen, die den Vektorraum konstituieren: der Addition und der Skalarmultiplikation. Zwei Vektorräume heißen "isomorph," wenn es eine lineare Abbildung zwischen ihnen gibt, die bijektiv ist, also eine Umkehrfunktion besitzt. Diese Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls linear. Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Struktur als Vektorraum.

Basis eines Vektorraums.

Für endlich viele formula_155 und formula_156 bezeichnet man die Summe  als Linearkombination der Vektoren formula_158. Dabei ist formula_159 selbst wieder ein Vektor aus dem Vektorraum formula_3.  Ist formula_161 eine Teilmenge von formula_3, so wird die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus formula_161 die lineare Hülle von formula_161 genannt. Sie ist ein Untervektorraum von formula_3, und zwar der kleinste Untervektorraum, der formula_161 enthält.  Eine Teilmenge formula_161 eines Vektorraums formula_3 heißt linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nicht-triviale Weise als eine Linearkombination von Vektoren formula_169 ausdrücken lässt. „Nicht-trivial“ bedeutet, dass mindestens ein Skalar (ein Koeffizient der Linearkombination) von null verschieden ist. Andernfalls heißt formula_161 linear unabhängig.  Eine Teilmenge formula_171 eines Vektorraums formula_3 ist eine Basis von formula_3, wenn formula_171 linear unabhängig ist und die lineare Hülle von formula_171 der ganze Vektorraum ist.  Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms lässt sich mittels des Lemmas von Zorn beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (er ist "frei"), wobei diese Aussage im Rahmen von Zermelo Fraenkel äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Dies hat weitreichende Konsequenzen für die Struktur eines jeden Vektorraums: Zunächst einmal lässt sich zeigen, dass je zwei Basen eines Vektorraums dieselbe Kardinalität haben, sodass die Kardinalität einer beliebigen Basis eines Vektorraums eine eindeutige Kardinalzahl ist, die man als "Dimension" des Vektorraums bezeichnet. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind nun genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben, denn aufgrund der Gleichmächtigkeit zweier Basen von zwei Vektorräumen existiert eine Bijektion zwischen ihnen. Diese lässt sich zu einer bijektiven linearen Abbildung, also einem Isomorphismus der beiden Vektorräume, fortsetzen. Ebenso lässt sich zeigen, dass beliebige lineare Abbildungen durch die Bilder von Elementen einer Basis festgelegt sind. Dies ermöglicht die Darstellung jedweder linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix. Dies lässt sich auf unendlichdimensionale Vektorräume übertragen, wobei jedoch sichergestellt werden muss, dass jede verallgemeinerte „Spalte“ nur endlich viele von Null verschiedene Einträge enthält, damit jeder Basisvektor auf eine Linearkombinationen von Basisvektoren im Zielraum abgebildet wird.  Mittels des Basisbegriffs hat sich das Problem, ein "Skelett" in der Kategorie aller Vektorräume über einem gegebenen Körper zu finden, darauf reduziert, ein Skelett in der Kategorie der Mengen zu finden, das durch die Klasse der Kardinalzahlen gegeben ist. Ein jeder formula_176-dimensionale Vektorraum lässt sich auch als die formula_176-fache direkte Summe des zugrunde liegenden Körpers auffassen. Die direkten Summen eines Körpers bilden also ein Skelett der Kategorie der Vektorräume über ihm.  Die Linearfaktoren der Darstellung eines Vektors in den Basisvektoren heißen Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis und sind Elemente des zugrunde liegenden Körpers. Erst durch Einführung einer Basis werden jedem Vektor seine Koordinaten bezüglich der gewählten Basis zugeordnet. Dadurch wird das Rechnen erleichtert, insbesondere wenn man statt Vektoren in „abstrakten“ Vektorräumen ihre zugeordneten „anschaulichen“ Koordinatenvektoren verwenden kann.

Untervektorraum.

Ein "Untervektorraum" (auch "linearer Unterraum") ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum über demselben Körper ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt. Ist formula_3 ein Vektorraum über einem Körper formula_8, so bildet eine Teilmenge formula_180 genau dann einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:  Die Menge formula_147 muss also abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation sein. Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den Nullvektorraum formula_188, der nur aus dem Nullvektor besteht. Jeder Unterraum ist Bild eines anderen Vektorraums unter einer linearen Abbildung in den Raum und Kern einer linearen Abbildung in einen anderen Vektorraum. Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den "Quotientenraum" oder "Faktorraum," bilden, was maßgeblich mit der Eigenschaft eines Unterraums zusammenhängt, ein Kern zu sein, siehe auch Homomorphiesatz.

Verknüpfung von Vektorräumen.

Zwei oder mehrere Vektorräume können auf verschiedene Weisen miteinander verknüpft werden, sodass ein neuer Vektorraum entsteht.

Direkte Summe.

Die direkte Summe zweier Vektorräume formula_189 über dem gleichen Körper besteht aus allen geordneten Paaren von Vektoren, von denen die erste Komponente aus dem ersten Raum und die zweite Komponente aus dem zweiten Raum stammt:  Auf dieser Menge von Paaren wird dann die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation komponentenweise definiert, wodurch wiederum ein Vektorraum entsteht. Die Dimension von formula_191 ist dann gleich der Summe der Dimensionen von formula_3 und formula_193. Häufig werden die Elemente von formula_191 statt als Paar formula_195 auch als Summe formula_196 geschrieben. Die direkte Summe kann auch auf die Summe endlich vieler und sogar unendlich vieler Vektorräume verallgemeinert werden, wobei im letzteren Fall nur endlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein dürfen.

Direktes Produkt.

Das direkte Produkt zweier Vektorräume formula_189 über dem gleichen Körper besteht, wie die direkte Summe, aus allen geordneten Paaren von Vektoren der Form  Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation werden wieder komponentenweise definiert und die Dimension von formula_199 ist wieder gleich der Summe der Dimensionen von formula_3 und formula_193. Bei dem direkten Produkt unendlich vieler Vektorräume dürfen jedoch auch unendlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein, wodurch es sich in diesem Fall von der direkten Summe unterscheidet.

Tensorprodukt.

Das Tensorprodukt zweier Vektorräume formula_189 über dem gleichen Körper wird durch  notiert. Die Elemente des Tensorproduktraums haben dabei die bilineare Darstellung  wobei formula_205 Skalare sind, formula_206 eine Basis von formula_3 ist und formula_208 eine Basis von formula_193 ist. Ist formula_3 oder formula_193 unendlichdimensional, dürfen hierbei wieder nur endlich viele Summanden ungleich null sein. Die Dimension von formula_203 ist dann gleich dem Produkt der Dimensionen von formula_3 und formula_193. Auch das Tensorprodukt kann auf mehrere Vektorräume verallgemeinert werden.

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur.

In vielen Anwendungsbereichen in der Mathematik, etwa der Geometrie oder Analysis, ist die Struktur eines Vektorraums nicht ausreichend, etwa erlauben Vektorräume an sich keine Grenzwertprozesse, und man betrachtet daher Vektorräume mit bestimmten zusätzlich auf ihnen definierten Strukturen, die mit der Vektorraumstruktur in gewissen Sinnen kompatibel sind. Beispiele:  Bei all diesen Beispielen handelt es sich um topologische Vektorräume. In topologischen Vektorräumen sind die analytischen Konzepte der Konvergenz, der gleichmäßigen Konvergenz und der Vollständigkeit anwendbar. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbertraum.

Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen "Vektoren." Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind.

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou alors pris dans n'importe quel corps.