Eigenschaften.

Als Zweizustands-Quantensystem ist das Qubit das einfachste nichttriviale Quantensystem überhaupt. Der Begriff „Zweizustandssystem“ bezieht sich dabei nicht etwa auf die Zahl der Zustände, die das System annehmen kann. In der Tat kann jedes nichttriviale quantenmechanische System prinzipiell unendlich viele verschiedene Zustände annehmen. Allerdings kann im Allgemeinen der Zustand eines Quantensystems durch Messung nicht immer sicher bestimmt werden; durch die Messung wird "zufällig" einer der möglichen Messwerte der gemessenen Observablen ausgewählt, wobei die Wahrscheinlichkeit jedes Messwertes durch den vor der Messung vorliegenden Zustand bestimmt wird. Da zudem die Messung in der Regel den Zustand ändert, kann dieses Problem auch nicht durch mehrmaliges Messen am selben System umgangen werden.  Jedoch gibt es zu jeder Messung bestimmte Zustände, bei deren Vorliegen vor der Messung der Messwert mit absoluter Sicherheit vorausgesagt werden kann, die sogenannten Eigenzustände der Messung bzw. der gemessenen Observablen. Dabei gibt es zu jedem möglichen Ergebnis mindestens einen solchen Zustand. Die maximale Anzahl möglicher Messwerte erhält man dabei für Messungen, bei denen es jeweils nur genau einen Zustand gibt, der diesen Messwert sicher liefert. Darüber hinaus liegt nach jeder Messung ein zum erhaltenen Messwert zugehöriger Eigenzustand vor (Kollaps der Wellenfunktion); liegt jedoch bereits vor der Messung ein Eigenzustand der Messung vor, so wird dieser nicht verändert.  Zwei Zustände, die man durch Messung sicher unterscheiden kann, nennt man auch orthogonal zueinander. Die maximale Anzahl der möglichen Messwerte bei einer Messung – und somit auch die maximale Anzahl orthogonaler Zustände – ist eine Eigenschaft des Quantensystems. Beim Qubit als Zweizustandssystem kann man also durch Messung genau zwei verschiedene Zustände sicher unterscheiden. Will man demnach ein Qubit einfach als klassischen Speicher verwenden, so kann man darin genau ein klassisches Bit speichern. Allerdings liegen die Vorteile des Qubits gerade in der Existenz der anderen Zustände.  Ein Beispiel hierfür ist die Polarisation eines Photons („Lichtteilchens“). Die Polarisation von Licht gibt an, in welche Richtung Licht schwingt. Obwohl die Polarisation eigentlich eine Welleneigenschaft ist, kann sie auch für das einzelne Photon definiert werden, und alle Polarisationen (linear in beliebige Richtung, zirkular, elliptisch) sind auch für einzelne Photonen möglich. Lineare Polarisation kann beispielsweise über einen doppelbrechenden Kristall gemessen werden. Wo ein an einer bestimmten Stelle in den Kristall eintretendes Photon herauskommt, hängt davon ab, ob es parallel oder senkrecht zur optischen Achse des Kristalls polarisiert ist. Es gibt also sozusagen zwei „Ausgänge“, einen für parallel und einen für senkrecht polarisierte Photonen. Stellt man an beide Stellen einen Photon-Detektor, dann kann man so feststellen, ob das Photon parallel oder senkrecht zur optischen Achse polarisiert war.  Photonen, die eine andere Polarisation (linear in einem anderen Winkel, zirkular oder elliptisch) aufweisen, kommen aber ebenfalls an diesen „Ausgängen“ heraus. An welchem „Ausgang“ ein solches Photon herauskommt, ist in diesem Fall jedoch nicht voraussagbar; nur die Wahrscheinlichkeit kann vorhergesagt werden. Hinterher hat es jedoch die Polarisation, die zu dem entsprechenden Ausgang gehört, wie man z. B. dadurch nachweisen kann, dass anstatt des Detektors weitere Kristalle (mit parallel ausgerichteter optischer Achse) mit je zwei Detektoren an den „Ausgängen“ angebracht werden: Nur diejenigen Detektoren an den zweiten Kristallen, die zu der jeweils korrekten Polarisation für den Ausgang des ersten Kristalls gehören, registrieren Photonen.  Der Kristall zeichnet damit eine Polarisationsrichtung aus. Welche es jedoch ist, kann man dadurch bestimmen, dass man den Kristall dreht. Zwei linear polarisierte Zustände sind also zueinander orthogonal, wenn die Polarisationsrichtungen zueinander orthogonal sind. Allerdings kann diese Korrespondenz nicht direkt auf andere Polarisationszustände übertragen werden; so sind z. B. der linkszirkulär und der rechtszirkulär polarisierte Zustand ebenfalls zueinander orthogonal.  Wie bei klassischen Bits können auch mehrere Qubits zusammengefasst werden, um größere Werte zu speichern. Ein formula_1-Qubit-System hat dabei genau formula_2 zueinander orthogonale Zustände. In formula_1 Qubits lassen sich somit genau formula_1 klassische Bits so speichern, dass die komplette Information zuverlässig wieder ausgelesen werden kann; beispielsweise kann ein „Quantenbyte“ aus acht Qubits 256 verschiedene zuverlässig wieder auslesbare Werte speichern.  Viel wichtiger für die Verwendung in Quantencomputern ist die Existenz verschränkter Zustände mehrerer Qubits. In solchen Zuständen hat ein einzelnes Qubit "überhaupt keinen" definierten Zustand, die Gesamtheit der Qubits jedoch schon. Dies führt zu nichtlokalen Korrelationen, wie sie beim Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon auftreten.  Die Verschränkung der Qubits hat überraschende Folgen. Beispielsweise kann man in einem Paar verschränkter Qubits zwei klassische Bits so speichern, dass beide Bits getrennt durch Manipulation nur eines der Qubits beliebig manipuliert werden können. Jedoch benötigt man beide Qubits, um die Information auszulesen.  Auch auf der Nichtlokalität der Verschränkung beruht die Quantenteleportation, mit der sich quantenmechanische Zustände durch Übermitteln klassischer Bits übertragen lassen.  Für Quantencomputer wichtig ist die Tatsache, dass durch die Verschränkung eines Satzes von formula_1 Qubits ein beliebiger Satz von Sequenzen formula_1 klassischer Bits "gleichzeitig" dargestellt werden kann. Beispielsweise kann mit vier Qubits ein Zustand hergestellt werden, der genau die Bitfolgen 0000, 0101, 1011 und 1110 enthält und keine anderen. Im Extremfall sind alle möglichen Bitfolgen darin enthalten, z. B. enthält ein entsprechend präpariertes „Quantenbyte“ alle Zahlen von 0 bis 255 gleichzeitig. Führt man nun mit Hilfe quantenmechanischer Operationen Berechnungen auf diesem Zustand aus, so werden diese Berechnungen effektiv auf allen diesen Bitfolgen gleichzeitig ausgeführt. Dieser sogenannte Quantenparallelismus ist der Grund dafür, dass Quantencomputer bestimmte Probleme schneller lösen können als klassische Computer. Allerdings kann man die gespeicherten Bitmuster nicht einzeln auslesen; jede Messung liefert nur einen zufällig ausgewählten der gespeicherten Werte. Um den Quantenparallelismus zu nutzen, müssen daher zusätzlich spezifisch quantenmechanische Transformationen vorgenommen werden, die keine klassischen Äquivalente haben, also Zustände, die genau einem Bitmuster entsprechen, in Überlagerungen mehrerer Bitmuster überführen können und umgekehrt.

Implementierung von Qubits.

Theoretisch kann jedes quantenmechanische Zweizustandssystem als Qubit verwendet werden. In der Praxis jedoch sind viele Systeme ungeeignet, da sie nicht in ausreichendem Maße manipulierbar sind oder zu stark von der Umgebung gestört werden. Zudem ergibt sich das Problem der Skalierbarkeit: Manche Implementierungen, wie z. B. die Verwendung der Kernspinresonanz in Molekülen, eignen sich prinzipbedingt nur für eine sehr beschränkte Zahl von Qubits.  Für die Verwendbarkeit eines Systems als Qubit hat David DiVincenzo sieben Kriterien aufgestellt. Die ersten fünf Kriterien betreffen auch die Verwendung in Quantencomputern, die letzten beiden gelten speziell für die Quantenkommunikation.  Die fünf allgemeinen Kriterien lauten:  Die zwei zusätzlichen Kriterien für Quantenkommunikation lauten:  In der Praxis werden unter anderem die folgenden Systeme untersucht:

Ionen in Ionenfallen.

Ein vielversprechender Ansatz für Quantencomputer ist die Verwendung von Ionen in Ionenfallen. Hierbei werden einzelne Ionen durch elektromagnetische Felder im Vakuum wie an einer Perlenkette aufgereiht.  Die Qubits werden dabei durch jeweils zwei langlebige interne Zustände der einzelnen Ionen, zum Beispiel zwei Hyperfeinniveaus des Grundzustands, gebildet. Die Zahl der Qubits ist identisch mit der Zahl der Ionen in der Falle. Die Manipulation der Qubits erfolgt über Laser, die mit den einzelnen Ionen wechselwirken. Über die Bewegung der Ionen in der Falle lassen sich die Qubits miteinander koppeln und so verschränken.  Mit dieser Technologie konnten bereits bis zu zwanzig Qubits miteinander verschränkt werden.

Elektronen in Quantenpunkten.

Ein weiterer Ansatz ist die Verwendung von Quantenpunkten. Quantenpunkte sind quasi-nulldimensionale Halbleiterstrukturen, in denen Elektronen nur diskrete Zustände einnehmen können; man spricht daher auch oft von Designer-Atomen. Ein Vorteil der Quantenpunkt-Technologie ist, dass bei der Herstellung erprobte Halbleiter-Methoden angewandt werden können. Als Basiszustände des Qubits können zwei Orientierungen des Spins bei fester Elektronenzahl („Spinqubit“) oder zwei verschiedene Ladungskonfigurationen („Ladungsqubit“; z. B. mit einem Elektron entweder im ersten oder zweiten von zwei Quantenpunkten) oder eine Kombination dieser beiden Möglichkeiten verwendet werden. In der Praxis dominieren Spinqubits aufgrund der viel längeren Kohärenzzeiten. Bisher wurde universelle Kontrolle von bis zu zwei Spinqubits demonstriert.

SQUIDs.

Auch mit SQUIDs lassen sich Qubits implementieren. SQUIDs sind Systeme aus Supraleitern, die durch zwei parallele Josephson-Kontakte verbunden sind. Die Manipulation der Qubits erfolgt über die angelegte Spannung und das Magnetfeld. Die Basiszustände können hier über den Wert der relativen Phase, Ladung oder des magnetischen Flusses durch den SQUID bestimmt werden. Quantenprozessoren (mit voller Kontrolle) von bis zu zehn Qubits wurden bisher realisiert. Es wurden noch deutlich größere Josephson-Quantenregister (mit bis zu 72 Qubits) demonstriert, allerdings ohne volle Kontrolle über deren Zustand.

Kernspins in Molekülen und Festkörpern.

Auch die Spins der Atomkerne in Molekülen können Qubits repräsentieren. Sie können über Kernspinresonanz manipuliert und ausgelesen werden. Dies ist eine technisch besonders einfache Methode, die jedoch nicht den oben genannten DiVincenzo-Kriterien entspricht. Insbesondere ist die Methode nicht skalierbar, da die Zahl der Spins pro Molekül beschränkt ist und ihre Adressierung und kontrollierte Kopplung um so schwieriger sind, je mehr Spins adressiert werden müssen. Zudem kann hierbei nicht ein einzelnes System (also ein einzelnes Molekül) gemessen werden, sondern man hat es mit vielen gleichartigen Molekülen auf einmal zu tun. Dagegen kann man mit Kernspins in Festkörpern im Prinzip skalierbare Architekturen realisieren. Besonders vielversprechend sind hier z. B. die Kernspins von Fremdatomen in Silizium oder von Stickstoff-Fehlstellen-Zentren (oder anderen Farbzentren) in Diamant.

Photonen.

Mit Photonen lassen sich besonders gut "bewegliche" Qubits definieren. In der Regel werden als Basiszustände verschiedene Teilchenzahl-Eigenzustände des elektromagnetischen Felds verwendet. Eine häufige Realisierung ist das Polarisationsqubit, das durch zwei orthogonale Polarisationen eines Photons definiert ist. Eine andere wichtige Realisierung ist das Time-Bin-Qubit, das sich über ein Photon entweder im ersten oder zweiten von zwei aufeinanderfolgenden Zeitfenstern definiert. Ferner gibt es auch Qubits, die durch Vielphotonenzustände definiert sind, wie zum Beispiel durch kohärente Zustände entgegengesetzter Phase. Photonische Qubits können per Glasfaser oder durch die Luft problemlos auch über größere Strecken übertragen werden. Experimente zur Quantenkommunikation und Quantenkryptographie verwenden daher nahezu ausschließlich Photonenzustände. Da es dagegen sehr anspruchsvoll ist, Photonen miteinander in Wechselwirkung zu bringen, sind sie für die Realisierung eines Quantencomputers weniger geeignet, auch wenn das im Prinzip möglich ist.

Quantenkodierung.

Ähnlich wie klassische Information lässt sich auch Quanteninformation komprimieren. Hierbei wird angenommen, dass das Signal aus zufällig ausgewählten reinen Zuständen aus einem „Alphabet“ besteht, wobei jedoch diese Zustände nicht notwendigerweise zueinander orthogonal sein müssen, d. h. es muss nicht möglich sein, die Zustände durch Messung sicher zu unterscheiden. Diese Zustände werden in ein System aus Qubits kodiert (dabei wird der Originalzustand notwendigerweise zerstört) und diese an den Empfänger gesandt, der dann aus den gesendeten Qubits eine Näherung des originalen Zustandes rekonstruiert.  Die Genauigkeit "(Fidelity)" einer solchen Kodierung ist definiert durch die zu erwartenden Übereinstimmung des rekonstruierten Zustands mit dem ursprünglichen. Das heißt, angenommen der Empfänger "weiß", welche Zeichen gesendet wurden, und führt an seinem rekonstruierten Zustand jeweils eine Messung aus, für die der ursprüngliche Zustand ein Eigenzustand ist, dann ist die Genauigkeit der Kodierung durch den Anteil der Messungen gegeben, die den gesendeten Zustand ergeben.  Eine ideale Kodierung ist nun analog zur klassischen Informationstheorie eine Übertragung, bei der die minimale Zahl an Qubits übertragen werden muss, um bei einer hinreichend großen Anzahl übertragener Zeichen eine beliebig hohe Übertragungswahrscheinlichkeit zu erreichen.  Es zeigt sich nun, dass die minimale Zahl von Qubits, um einen solchen Zustand zu übertragen, gerade die Von-Neumann-Entropie der durch das „Alphabet“ und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten definierten Dichtematrix ist. Somit kann das Qubit, analog zum klassischen Bit, als Informationseinheit der Quanteninformation betrachtet werden; die Von-Neumann-Entropie eines Quantensystems gibt dann gerade dessen Informationsgehalt in Qubits an.  In der Tat wurde der Begriff Qubit von B. W. Schumacher in diesem Zusammenhang geprägt.

Mathematische Beschreibung.

Beschreibung einzelner Qubits.

Zur Beschreibung eines Qubits nimmt man eine beliebige Messgröße (z. B. im Beispiel mit den Photonen die Polarisation parallel und senkrecht zur optischen Achse eines doppelbrechenden Kristalls) und nennt die zugehörigen Eigenzustände formula_8 und formula_9 (Die Notation formula_10 dient zur Kennzeichnung, dass es sich um einen Quantenzustand handelt, siehe auch Dirac-Notation). Das quantenmechanische Superpositionsprinzip fordert nun, dass es unendlich viele Zustände dieses Systems gibt, die sich formal als schreiben lassen, wobei formula_12 und formula_13 komplexe Zahlen mit sind. Der Zustand lässt sich also als normierter Vektor in einem komplexen Vektorraum, genauer gesagt, einem Hilbertraum, beschreiben. (Im Fall der Photonen handelt es sich gerade um den Jones-Vektor, der die Polarisation beschreibt). Allerdings ist die Beschreibung nicht eindeutig; zwei Vektoren, die sich nur durch einen Faktor der Form formula_15 („Phasenfaktor“) unterscheiden, beschreiben denselben Zustand. Zu beachten ist jedoch, dass ein solcher Phasenfaktor für nur "eine" der Komponenten durchaus einen Unterschied macht: Die Vektoren formula_16 und formula_17 beschreiben generell unterschiedliche Zustände.  Ist das System in diesem Zustand, so ist die Wahrscheinlichkeit, nach der Messung den Zustand formula_8 vorzufinden, gerade formula_19 und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, den Zustand formula_9 vorzufinden, gleich formula_21.  Alternativ lässt sich das Qubit auch über seine Dichtematrix beschreiben. Für das Qubit im Zustand formula_22 ist dies der Projektionsoperator Im Gegensatz zum Zustandsvektor ist die Dichtematrix eindeutig definiert. Mit Hilfe der Dichtematrix lassen sich auch Qubits beschreiben, deren Zustand nicht vollständig bekannt ist (sogenannte „gemischte Zustände“). Allgemein lässt sich die Dichtematrix für ein Qubit angeben durch wobei formula_25 die 2×2-Einheitsmatrix und formula_26 die Pauli-Matrizen sind. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer entsprechenden Messung den Zustand formula_22 zu finden, ist gegeben durch formula_28.

Bloch-Kugel.

Die Zustände eines einzelnen (unverschränkten) Qubits lassen sich als Punkte auf der Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum darstellen. Diese Oberfläche nennt man nach Felix Bloch Bloch-Kugel oder -sphäre. Besonders deutlich sieht man das am Spin-1/2-Teilchen, wo der Punkt auf der Kugel angibt, in welche Richtung man mit Sicherheit Spin up messen wird. Die Äquivalenz gilt aber für alle Zweizustandssysteme. Das Bild rechts zeigt, wie die oben beschriebenen Polarisationszustände auf der Bloch-Kugel angeordnet werden können. Beispielsweise entspricht der „Nordpol“ hier der vertikalen und der „Südpol“ der horizontalen Polarisation. Allgemein entsprechen zueinander orthogonale Zustände einander gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel.  Setzt man den Zustand formula_29 an den „Nordpol“ der Kugel, und sind formula_30 und formula_31 die Winkel des Punktes in Kugelkoordinaten (siehe Bild links), so wird der zugehörige Zustand durch den Vektor beschrieben.  Auch die Punkte im Inneren der Kugel lassen sich interpretieren: Man kann ihnen Qubits zuordnen, über deren Zustand man keine vollständige Information hat. Die kartesischen Koordinaten des Punktes in der Kugel sind dann gerade die Faktoren formula_33 vor den Pauli-Matrizen in der Gleichung (*). Der Mittelpunkt der Kugel entspricht somit einem Qubit, über das man überhaupt nichts weiß; je weiter man sich vom Mittelpunkt entfernt, desto größer wird das Wissen über den Zustand des Qubits. Diese Kugel ist in gewisser Weise das Analogon zum Wahrscheinlichkeits-Intervall <nowiki>[0,1]</nowiki> für das klassische Bit: Die Punkte am Rand geben die möglichen exakten Zustände des Bits (0 oder 1) bzw. des Qubits an (in der Quantenmechanik spricht man auch von „reinen Zuständen“), während die Punkte im Inneren unvollständiges Wissen über das Bit/Qubit repräsentieren (in der Quantenmechanik spricht man hier von „gemischten Zuständen“). Der Punkt in der Mitte repräsentiert in beiden Fällen komplettes Unwissen über das System (beim Bit: Wahrscheinlichkeit 1/2).  Auch der Vorgang des Messens lässt sich anhand der Bloch-Kugel schön darstellen: Im Bild „Kugelkoordinaten“ kennzeichnet der kleine rote Punkt einen möglichen Zustand des Qubits. In diesem Fall sitzt der Punkt außen auf der Kugel, es handelt sich also um einen reinen Zustand; das Verfahren funktioniert aber auch für gemischte Zustände. Da die Eigenzustände der Messung zueinander orthogonal sind, also auf der Bloch-Kugel einander gegenüberliegen, definiert die Messung eine Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel (im Bild durch die blaue Linie gekennzeichnet). Man betrachtet nun entlang dieser Geraden den Durchmesser (im Bild grün/weiß) durch die Kugel und projiziert den Punkt, der das aktuelle Wissen über das Qubit darstellt, senkrecht auf diese Strecke (die Projektion ist hier durch die rote Ebene und die gelbe Linie markiert; der Schnittpunkt der gelben Linie mit dem Durchmesser ist der projizierte Punkt). Diese Strecke lässt sich dann direkt als Wahrscheinlichkeitsintervall für das Messergebnis ansehen. Wenn man das Messergebnis nicht ausliest, dann gibt dieser Punkt innerhalb der Kugel in der Tat auch die neue Beschreibung des Systems an; nach Auslesen des Messergebnisses liegt der Punkt selbstverständlich (wie auch beim normalen Bit) an einem Ende der Strecke. Setzt man z. B. im Bild an den „Nordpol“ der Kugel den Zustand formula_29 und an den „Südpol“ den Zustand formula_35, dann ist das Verhältnis der Länge des weißen Teils des Durchmessers (vom Südpol bis zum Schnittpunkt mit der Ebene) zum Gesamtdurchmesser gerade die Wahrscheinlichkeit, das Qubit nach der Messung im Zustand formula_29 zu finden, wenn der Zustand vorher durch den roten Punkt gegeben war (hinterher sitzt der Zustand in diesem Fall natürlich auf dem Nordpol).  Einige Physiker vermuten in diesem Zusammenhang zwischen Qubits und Punkten im dreidimensionalen Raum den Grund dafür, dass unser Raum dreidimensional ist. Prominenter Vertreter dieser Idee ist die Ur-Theorie von Carl Friedrich von Weizsäcker. Weizsäckers "Ur" ist dabei im Wesentlichen das, was heute Qubit genannt wird.

Beschreibung von Systemen aus mehreren Qubits.

Auch die Zustände eines Systems aus mehreren Qubits bilden aufgrund des Superpositionsprinzips einen Hilbertraum. Dieser ist das Tensorprodukt der Hilberträume der einzelnen Qubits. Das bedeutet, ein System aus formula_1 Qubits wird durch einen formula_2-dimensionalen Hilbertraum beschrieben, dessen Basiszustände als direkte Produkte der Einzel-Qubit-Zustände geschrieben werden können, also z. B. wobei die Indizes angeben, zu welchem Qubit der Zustand jeweils gehört. Jedes direkte Produkt von 1-Qubit-Zuständen ergibt einen formula_1-Qubit-Zustand, z. B. Umgekehrt gilt dies jedoch nicht: Manche formula_1-Qubit-Zustände lassen sich nicht als Produkt von Ein-Qubit-Zuständen schreiben. Ein Beispiel für so einen Zustand ist der 2-Qubit-Zustand formula_43 (einer der Bellzustände). Solche Zustände, die sich nicht als Produkt einzelner Zustände schreiben lassen, nennt man verschränkt. Die Beschreibung eines einzelnen Qubits "in einem verschränkten Zustand" ist nur über eine Dichtematrix möglich, was wiederum die Unkenntnis (bzw. Nichtberücksichtigung) von Information über das Qubit anzeigt: In diesem Fall handelt es sich bei der fehlenden Information gerade um die Verschränkung mit anderen Qubits. Allerdings kann der vollständige Zustand auch nicht beschrieben werden, indem die Dichtematrizen für jedes einzelne Qubit angegeben werden. Die Verschränkung ist vielmehr eine nichtlokale Eigenschaft, die in den Korrelationen zwischen den miteinander verschränkten Qubits zum Ausdruck kommt.

Komplementäre Observablen des Qubits.

Zwei Observablen sind komplementär, wenn die vollständige Kenntnis des Wertes der einen Observablen die vollständige Unkenntnis der anderen impliziert. Da völlige Unkenntnis über den Wert gleichbedeutend ist mit Projektion auf den Mittelpunkt der Bloch-Kugel in der oben angegebenen Beschreibung der Messung, ergibt sich unmittelbar, dass zueinander komplementäre Observablen durch zueinander orthogonale Richtungen in der Bloch-Kugel beschrieben werden. Dementsprechend findet man für ein einzelnes Qubit stets genau drei paarweise zueinander komplementäre Observablen, entsprechend den drei Raumrichtungen.  Hat man viele gleich präparierte Exemplare eines Qubits, so kann der Zustand durch Messen der Wahrscheinlichkeiten eines Satzes dreier paarweise komplementärer Observablen bestimmt werden (wobei jede Messung an einem neuen Exemplar gemacht werden muss, da die Messung den ursprünglichen Zustand zerstört hat). Aus den Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann unmittelbar die Koordinaten des den Zustand beschreibenden Punktes auf der Bloch-Kugel und damit der Zustand.

Fehlerkorrektur.

Wie bei klassischen Bits können auch bei Qubits äußere Einflüsse nicht vollständig eliminiert werden. Deshalb benötigt man auch hier Fehlerkorrekturcodes. Im Gegensatz zu klassischen Fehlerkorrekturcodes gibt es für die Fehlerkorrektur von Qubits jedoch wichtige Einschränkungen: Trotz dieser Einschränkungen ist eine Fehlerkorrektur möglich, weil man zur Korrektur eines Fehlers nicht wirklich dessen Ergebnis braucht, sondern nur wissen muss, "welcher" Fehler aufgetreten ist. Ist z. B. ein sogenannter Bit-Flip aufgetreten, der formula_8 und formula_9 miteinander vertauscht, so ist klar, dass das Problem behoben wird, indem ein weiterer Bit-Flip vorgenommen wird; es ist nicht nötig, den tatsächlichen Zustand des Qubits zu kennen.  Die Einschränkung des No-Cloning-Theorems ist nicht so gravierend, wie es scheint, denn man kann trotzdem ein Qubit durch zwei Zustände eines Systems aus mehreren Qubits darstellen. Nur hat man dann eben im Allgemeinen keine Kopien, sondern einen Satz verschränkter Zustände.  Das Problem der kontinuierlichen Fehler wird durch das Superpositionsprinzip gelöst: Das Ergebnis einer kleinen Störung durch einen bestimmten Fehlertyp lässt sich quantenmechanisch auffassen als Überlagerung zweier Zustände: Einer, in dem dieser Fehler "überhaupt nicht" aufgetreten ist, und einer, in dem dieser Fehler "maximal" aufgetreten ist. Misst man nun, ob der Fehler aufgetreten ist, so sorgt der Kollaps der Wellenfunktion dafür, dass genau einer dieser beiden Fälle vorgefunden wird; man hat es daher nur noch mit einer begrenzten Zahl von diskreten Fehlern zu tun.  Fehlertypen, die bei einem einzelnen Qubit auftreten können, sind  Allgemeine 1-Qubit-Fehler lassen sich durch Linearkombinationen dieser Fehler beschreiben.  Die elementaren formula_1-Qubit-Fehler sind Kombinationen dieser Fehlertypen für jedes einzelne Qubit (also z. B. Qubit 1 ist ohne Fehler, aber Qubit 2 hat einen Bit-Flip gemacht). Wiederum wird ein allgemeiner Fehler durch eine Linearkombination beschrieben; dadurch lassen sich auch so komplizierte Fehlertypen beschreiben wie „Qubit 1 hatte einen Phasenfehler, sofern Qubit 2 formula_9 war“.  Ein einfaches Beispiel ist der Repetition-Code. Hierbei wird die Information einfach symmetrisch auf mehrere Qubits verteilt. Beispielsweise wird bei drei Qubits der Wert formula_16 durch formula_61 codiert. Bei dieser Codierung ist es mit drei Qubits bereits möglich, Bit-Flip-Fehler sicher zu korrigieren. Nutzt man stattdessen zwei Bell-Zustände als Basis, lassen sich Phasenfehler korrigieren. Die Kombination beider Mechanismen führt zum von Peter Shor entwickelten sogenannten Shor-Code, in dem mittels neun Qubits alle drei elementaren Fehlertypen korrigiert werden können. Fehlerkorrektur ist jedoch auch mit weniger Qubits möglich; so hat Andrew Steane einen Fehlerkorrekturcode entwickelt, der mit nur sieben Qubits pro gespeichertem Qubit auskommt.

Ein Qubit (für „Quantenbit“), selten auch Qbit ( oder ), ist ein beliebig manipulierbares Zweizustands-Quantensystem, also ein System, das nur durch die Quantenmechanik korrekt beschrieben wird und das nur zwei, durch Messung sicher unterscheidbare Zustände hat.  Qubits bilden in der Quanteninformatik die Grundlage für Quantencomputer und die Quantenkryptografie. Das Qubit spielt dabei die analoge Rolle zum klassischen Bit bei herkömmlichen Computern: Es dient als kleinstmögliche Speichereinheit und definiert gleichzeitig ein Maß für die Quanteninformation.

In quantum computing, a qubit () or quantum bit (sometimes qbit) is the basic unit of quantum information—the quantum version of the classical binary bit physically realized with a two-state device. A qubit is a two-state (or two-level) quantum-mechanical system, one of the simplest quantum systems displaying the peculiarity of quantum mechanics. Examples include: the spin of the electron in which the two levels can be taken as spin up and spin down; or the polarization of a single photon in which the two states can be taken to be the vertical polarization and the horizontal polarization. In a classical system, a bit would have to be in one state or the other. However, quantum mechanics allows the qubit to be in a coherent superposition of both states simultaneously, a property which is fundamental to quantum mechanics and quantum computing.


Etymologie und Geschichte.

"Feldspat" ist aus den Wörtern "Feld" und "Spat" zusammengesetzt. Als Pluralform ist sowohl "Feldspäte" als auch "Feldspate" in der Fachliteratur zu finden.  Jahrhundertelang sprachen die Bergleute Minerale und Gesteine allgemein als "Spat" an, wenn sie die Eigenschaft besaßen, sich besonders gut ("vollkommen") spalten zu lassen. Die Vollkommenheit der Spaltbarkeit zeigte sich oft schon an den vorhandenen, sichtbaren Spaltrissen und daran, dass sich vom Mineral- bzw. Gesteinskörper beim Anschlagen mit einem Hammer feine Blättchen („Spaten“) ablösten.  Etwa Mitte des 18. Jahrhunderts kam der Begriff Feldspat auf, als man in der Mineralogie lernte, die verschiedenen Mineralarten genauer zu unterscheiden. Zur genauen Herkunft dieses Namens gibt es allerdings verschiedene Theorien. So stellte sich beispielsweise Urban Brückmann 1783 die Frage, ob der Feldspat seinen Namen in Anlehnung an seine charakteristische Art des Vorkommens in Form von Feldern oder Flecken in Granit und anderen Gesteinsarten (nie als ganze Gänge, Felsen oder Gebirge) erhalten haben könnte. René-Just Haüy vermutete dagegen 1804 in seinem Werk "Traité de minéralogie", der Name könnte in Anlehnung an die Tatsache gewählt worden sein, dass oft Feldspat-Bruchstücke auf den Feldern gefunden wurden. Der Feldspat wäre daher als „Spat von den Feldern“ zu verstehen und ein Hinweis darauf, dass Feldspat durch Verwitterung allmählich in Ackererde überging.

Klassifikation.

Ausgehend von den Endgliedern Orthoklas, Albit und Anorthit lassen sich die Feldspate in drei verschiedene Gruppen einteilen:

Alkalifeldspate.

"Alkalifeldspate" sind Mischkristalle der Ab-Or-Mischkristallreihe mit den Endgliedern Albit (NaAlSiO) und Kalifeldspat (KAlSiO) bzw. Orthoklas/Mikroklin. Sie bilden die Mischkristalle Anorthoklas, Na-Sanidin und Sanidin und haben einen hohen Anteil an Kalium und Natrium. Allerdings sind sie nur bei hohen Temperaturen stabil mischbar. Bei der Abkühlung kommt es zu Entmischungen, die sich in natriumreichen Lamellen in Kalifeldspat (Perthit), bzw. in kaliumreichen Lamellen in Albit (Antiperthit) äußern. Den Vorgang selbst bezeichnet man als perthitische Entmischung.

Plagioklase.

"Plagioklase" (auch Kalknatronfeldspate), Kristalle der Ab-An-Mischkristallreihe mit den Endgliedern Albit (NaAlSiO) und Anorthit (CaAlSiO), zeichnen sich dagegen durch einen großen Gehalt an Calcium und Natrium aus. Da man makroskopisch keine Unterschiede erkennt, werden die Mischkristalle nach dem Anteil des Anorthits unterteilt: Albit (0–10 %), Oligoklas (10–30 %), Andesin (30–50 %), Labradorit (50–70 %), Bytownit (70–90 %) und Anorthit (90–100 %). Diese Mischkristallreihe der Plagioklase besitzt ebenfalls temperaturabhängige Entmischungen, die allerdings weniger ausgeprägt sind als bei den Alkalifeldspaten und sich nur in mikroskopisch dünnen Lamellen im Kristall zeigen. Man kennt drei Mischungslücken, die wieder nach dem Anteil des Anorthits unterschieden und als "Peristerit-Entmischung" (2–16 %), "Bøggild-Entmischung" (47–58 %) und "Huttenlocher-Entmischung" (67–90 %) bezeichnet werden.

Ternäre Feldspate.

"Ternäre Feldspate" liegen im inneren des Dreiecks aus Kalifeldspat-Albit-Anorthit mit einer jedoch bei sinkenden Temperaturen zunehmend großen Mischungslücke.

Einzelminerale, Varietäten und Modifikationen.

Die Bezeichnung eines Einzelminerals kann auch mittels Prozentangaben erfolgen: Zum Beispiel stellt man einen An-Ab-Mischkristall aus 60 % Albit und 40 % Anorthit mit AbAn oder auch nur kurz Ab bzw. An dar und bezeichnet ihn aufgrund dieser Zusammensetzung als Andesin.

Bildung und Fundorte.

Feldspate treten meist in Form tafeliger oder säuliger, oft verzwillingter Kristalle auf und finden sich sowohl in magmatischen als auch in metamorphen und Sedimentgesteinen.  Welcher Feldspattyp sich in einem gegebenen magmatischen Gestein findet, hängt von der chemischen Zusammensetzung und der Temperatur der ursprünglichen Schmelze ab: Kalifeldspate bilden sich bei vergleichsweise niedrigen Temperaturen in siliziumdioxidreichen Magmen, die beim Abkühlen die Gesteine Granit und Rhyolith bilden. Ist die Schmelze dagegen eher arm an Siliziumdioxid und kristallisiert bei vergleichsweise hoher Temperatur, so entstehen Plagioklase, die sich dann in Gesteinen wie Gabbro oder Basalt finden.  Durch natürliche Verwitterung entsteht aus Feldspat Ton (Bodenart): Das entstehende formula_2 ist ein Tonmineral.

Verwendung.

Einige Varietäten des Feldspat wie "Labradorit" oder "Orthoklas" finden bei geeigneter Qualität als Schmuckstein Verwendung.  Feldspat ist neben Kaolin und Quarz ein wichtiger Bestandteil bei der Porzellanherstellung.  Besonders reiner Feldspat wird als Ausgangsmaterial für Zahnersatz (Inlays, Veneers) verwendet. Das Mineralgestein wird gemahlen, gereinigt und gebrannt. Chemische Prozesse spielen dabei keine Rolle. Die daraus industriell gefertigte Keramik ist in ihren physikalischen Eigenschaften der natürlichen Zahnsubstanz sehr ähnlich, wodurch sie sich optimal in den Zahn einfügt.  Bei der Herstellung von Steinzeugfliesen und Platten dient Feldspat dazu, die Glasur in einem Arbeitsgang aufzusintern. Bereits vor dem Brennen des Scherben wird die Glasur aufgetragen und im Ofen auf etwa 1350 °C erhitzt. Der im Scherben enthaltene Feldspat schmilzt und sorgt neben Festigkeit und Zusammenhalt des Werkstücks auch für die Anbindung der Glasur auf der fertigen Fliese.

Als Feldspat wird eine große Gruppe sehr häufig vorkommender Silikat-Minerale der allgemeinen chemischen Zusammensetzung (Ba,Ca,Na,K,NH)(Al,B,Si)O bezeichnet. Die in Klammern angegebenen Elemente können sich jeweils gegenseitig vertreten, stehen jedoch immer im selben Mengenverhältnis zu den anderen Bestandteilen des Minerals (Substitution). Feldspate kristallisieren entweder im monoklinen oder im triklinen Kristallsystem, haben eine mittlere Mohshärte von 6 bis 6½ und eine sehr variable Farbe, die von farblos über weiß, rosa, grün, blau bis braun reicht. Die Strichfarbe ist weiß.  Feldspate gelten als die wichtigsten gesteinsbildenden Minerale der Erdkruste. Der Schmelztemperaturbereich liegt bei 1150–1250 °C.

Feldspars (KAlSiO – NaAlSiO – CaAlSiO) are a group of rock-forming tectosilicate minerals that make up about 41% of the Earth's continental crust by weight.  Feldspars crystallize from magma as veins in both intrusive and extrusive igneous rocks and are also present in many types of metamorphic rock. Rock formed almost entirely of calcic plagioclase feldspar is known as anorthosite. Feldspars are also found in many types of sedimentary rocks.


Definition.

Die höchstsymmetrische Punktgruppe (Kristallklasse) eines Kristallsystems wird als so genannte "Holoedrie" („vollflächig“ oder „Vollform“) und der entsprechende Kristallkörper als "Holoeder" („Vollflächner“) bezeichnet. Seine Form weist entsprechend die höchstmögliche Anzahl an Kristallflächen auf und alle in seinem Kristallsystem möglichen Symmetrieelemente sind vorhanden.  Wenn die Punktgruppe eines Kristalls die gleichen Anforderungen an das Gitter stellt wie eine Holoedrie, dann gehört die Kristallstruktur zum betreffenden Kristallsystem. In der Regel ist die Symmetrie der Kristallstruktur niedriger als die Symmetrie des Gitters, und es kann sogar vorkommen, dass der Kristall zu einem niedrigersymmetrischen Kristallsystem gehört als sein Gitter. Zum Beispiel hat ein Kristall mit der Punktgruppe „4“ gezwungenermaßen ein Gitter, das mindestens der Punktgruppe 4/"mmm" entspricht, und deshalb wird er dem tetragonalen Kristallsystem zugeordnet. Diese Zuordnung würde auch zutreffen, wenn der Kristall ein kubisches Gitter hätte.

Koordinatensysteme.

Sinnvollerweise wird bei der Beschreibung von Kristallen und Kristallstrukturen meistens kein kartesisches Koordinatensystem, sondern ein an das Kristallsystem angepasstes Koordinatensystem verwendet. Dadurch werden zum Beispiel alle Rotationsmatrizen der Symmetrieoperationen integrale Matrizen. Diese Koordinatensysteme erfüllen gewisse Bedingungen:  Die gegebenen Bedingungen sind notwendig, aber nicht hinreichend: Es ist möglich, dass die Achsen eines triklinen Kristalls gleich lang sind und jeweils 90° einschließen. Daraus folgt "nicht", dass der Kristall kubisch ist.  Zu beachten ist, dass man durch diese symmetriebezogene Koordinatenaufstellung unter Umständen keine primitive Basis mehr erhält. Es ist daher nötig, zusätzlich zum Kristallsystem noch die Zentrierung anzugeben, wodurch die 14 Bravais-Gitter erhalten werden.

Andere Einteilungen.

Die oben angegebene Einteilung entspricht derjenigen aus den "International Tables for Crystallography". In der Literatur finden sich noch andere: In der amerikanischen und der russischen werden das trigonale und das hexagonale Kristallsystem zu einem zusammengefasst. In der französischen Literatur, und teilweise auch in der deutschen, gibt es mit dem rhomboedrischen ein achtes Kristallsystem. Diesem werden die trigonalen Raumgruppen mit rhomboedrischer Zentrierung zugeordnet. Die Einteilung der "International Tables for Crystallography" ist aber am konsistentesten und setzt sich daher immer mehr durch.

Geschichte.

Kristallsysteme waren zunächst als Achsensysteme definiert. Ende des 18. Jahrhunderts hatte Haüy seine Theorie vom Aufbau der Kristalle aus kleinsten Baueinheiten („molécules constituantes“) veröffentlicht. C. S. Weiss übersetzte die Lehrbücher Haüys. Bereits in der ersten Ausgabe seiner Übersetzung fügte er eine Ergänzung ein, die den Titel "Dynamische Ansichten zur Kristallisation" trug. Seine Ansicht, dass die äußere Gestalt der Kristalle als Ausdruck eines Systems innerer Kräfte verstanden werden sollte, führte zur Idee, das Kräftesystem über eine Analyse der Anordnung besonders auffälliger Richtungen der Kristalle, der "Achsen", mathematisch beschreibbar zu machen. Er definierte eine Achse folgendermaßen:  In dieser „gleichmäßigen Verteilung“ um die Achse deutet sich bereits die Idee der Drehsymmetrie an, die aber erst später von Frankenheim und Hessel konkret formuliert wurde.  Weiss führte die Achsensysteme in die Kristallographie ein. Zunächst unterschied er nach der Anordnung der Achsen vier große „Abteilungen“ der Kristallformen, die er später um drei Unterabteilungen erweiterte, so dass er die Kristallformen insgesamt sechs „Crystallisations Systemen“ zuordnen konnte. Der Begriff der Kristallsysteme war geboren. Mit Hilfe der Achsen konnte Weiss erstmals die Lage aller Kristallflächen durch Zahlen (Indizes) in der Form [ma : nb : pc] charakterisieren. Die Zahlen m, n, p – die „Weissschen Koeffizienten“ – sind die Achsenabschnitte, bei denen die jeweilige Fläche die Achsen schneidet. Er erhielt so folgende Systeme (in Klammern sind die modernen Bezeichnungen der entsprechenden Kristallsysteme angegeben):  Weiss behauptete, dass durch die von ihm vorgeschlagenen rechtwinkligen Kristallsysteme die Lage jeder Fläche und jeder Richtung beschrieben werden könne. Dabei versuchte er, auch schiefwinklige (monokline und trikline) Kristalle in einen rechtwinkligen System zu beschreiben. Trotz der Schwierigkeiten, die sich durch die zunehmende Genauigkeit der Vermessung von Kristallflächen ergaben, hielt Weiss zeitlebens am „Orthogonalitätsdogma“ der Kristallachsen fest.  Friedrich Mohs entwickelte etwa gleichzeitig, aber unabhängig von Weiss, ein Konzept der Kristallsysteme. Nach eigener Angabe hatte Mohs eine Einteilung in vier Systeme ("rhomboedrisch, pyramidal, prismatisch" und "tessular") schon 1812–1814 entwickelt. Das Konzept ließ schiefwinklige Achsen prinzipiell zu, doch machte Mohs lediglich Andeutung in diese Richtung. Erst Mohs’ Schüler Carl Friedrich Naumann sowie Frankenheim und Justus Günther Graßmann etablierten die schiefwinkligen Achsensysteme.  Die Nomenklatur war zunächst alles andere als einheitlich. Traugott Leberecht Hasse gab 1848 einen historischen Überblick über die Kristallsysteme in orthogonaler Beschreibung:  Die hexagonale Kristallfamilie wurde lange als ein System behandelt. William Hallowes Miller unterschied sechs Systeme, die er folgendermaßen definierte:  Das rhomboedrische System verwendete Miller dabei auch zur Beschreibung hexagonaler Kristalle (was ohne weiteres möglich ist). Bis hier dienten die Kristallsysteme ausschließlich zur Beschreibung von Kristallformen, also der Lage von Kristallflächen im Raum. Erst mit der Etablierung des Konzepts der Translationsgitter durch Frankenheim und später Auguste Bravais wurde es sinnvoll, zwischen einem hexagonalen und einem rhomboedrischen Gitter zu unterscheiden.  1866 unterschied Bravais sieben Klassen von Symmetrie-Verbindungen („assemblages symétriques“) – nicht mehr anhand der Achsenverhältnisse, sondern nach den maximal kombinierbaren Drehachsen. Diese Einteilung entspricht genau den sieben modernen Kristallsystemen (in Klammern angegeben):  Dennoch blieb es bis ins 20. Jahrhundert üblich, das trigonale und das hexagonale Kristallsystem zu einem zusammenzufassen. Alle trigonalen und hexagonalen Kristalle lassen sich mit hexagonalen und ebenso mit rhomboedrischen Achsen beschreiben. Friedrich Klockmann lieferte in der 3. Auflage seines "Lehrbuchs der Mineralogie" (1903) den Nachweis, „dass man mit 6 Axenkreuzen bzw. 6 Krystallsystemen auszukommen vermag“ (S. vii). Er gab folgende Definition des Begriffs "Kristallsystem":  Bei der folgenden Herleitung unterschied er zwar sieben Achsensysteme, darunter das rhomboedrische und das hexagonale, erklärte dann aber:  Erst im späteren 20. Jahrhundert wurden die Konzepte strenger voneinander abgegrenzt, so dass es heute eine Unterscheidung zwischen Kristallsystem, Kristallfamilie und Gitter-System gibt, die sich letztlich nur durch die Unterteilung der trigonal/hexagonalen Systeme unterscheiden.

Kristallsysteme bieten ein symmetriebezogenes Klassifizierungsschema für kristalline Festkörper. In der Kristallographie werden Kristalle mit Hilfe des Kristallsystems dreidimensional klassifiziert.  Es können sieben Kristallsysteme unterschieden werden, die sich jeweils auf das gleiche Achsenkreuz beziehen lassen, das den Kristallkörper im Mittelpunkt schneidet: "triklin", "monoklin", "orthorhombisch", "tetragonal", "trigonal", "hexagonal" und "kubisch". Maßgeblich für die Zuordnung einer kristallinen Substanz in eines der Systeme ist dabei die Symmetrie der Substanz, aus der sich wiederum bestimmte Anforderungen an die Länge der Achsen und die Winkel, unter denen sie sich schneiden, ergeben. Die Idee der Kristallsysteme geht zurück auf Christian Samuel Weiss (1780–1856).  Im Gegensatz dazu hat amorphes Material keine geordneten Strukturen und damit kein Kristallsystem, das heißt, dass seine Atome bzw. Moleküle ein unregelmäßiges Muster bilden.  Kristallsysteme finden hauptsächlich Anwendung in der Mineralogie, Festkörperchemie und Festkörperphysik.

In crystallography, the terms crystal system, crystal family, and lattice system each refer to one of several classes of space groups, lattices, point groups, or crystals. Informally, two crystals are in the same crystal system if they have similar symmetries, although there are many exceptions to this.  Crystal systems, crystal families and lattice systems are similar but slightly different, and there is widespread confusion between them: in particular the trigonal crystal system is often confused with the rhombohedral lattice system, and the term "crystal system" is sometimes used to mean "lattice system" or "crystal family".  Space groups and crystals are divided into seven crystal systems according to their point groups, and into seven lattice systems according to their Bravais lattices. Five of the crystal systems are essentially the same as five of the lattice systems, but the hexagonal and trigonal crystal systems differ from the hexagonal and rhombohedral lattice systems. The six crystal families are formed by combining the hexagonal and trigonal crystal systems into one hexagonal family, in order to eliminate this confusion.


Wortgeschichte und -bedeutungen.

Das Wort "Summe" wurde im Mittelhochdeutschen von lateinisch "summa" entlehnt. "Summa" war bis in das 19. Jahrhundert neben "Summe" gebräuchlich und geht auf "summus" zurück, einen der lat. Superlative zu "superus" „oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere“, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste“ bedeuten. „Das Oberste“ deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich“.  In der Alltagssprache bezeichnet "Summe" einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht.

Summe als Ergebnis und Darstellung einer Addition.

In dem mathematischen Term heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term formula_1 wird ebenso wie das Ergebnis 5 als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet.  Man kann eine Summe mit mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel formula_3. Eine häufige Konvention ist dabei, bei Linksklammerung die Klammern einfach wegzulassen, also formula_3 einfach mit formula_5 abzukürzen. Aufgrund der Assoziativität der Addition von natürlichen Zahlen spielt es hier übrigens für das Ergebnis keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt: Mit dem Gleichheitszeichen wird dabei die Gleichheit der Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Terme ausgedrückt.  Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition von natürlichen Zahlen ist auch die Reihenfolge der Summanden irrelevant, zum Beispiel gilt:  Wird formula_8-mal die gleiche Zahl formula_9 addiert, dann kann die Summe auch als Produkt formula_10 geschrieben werden.

Gewichtete Summe.

In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:  Zum Beispiel:  In diesem Fall spricht man von einer gewichteten Summe. Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das gewichtete arithmetische Mittel.

Summe einer Folge, Reihe.

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte ersetzt wurden.  So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie formula_14 zu Buchstabenrechnungen wie formula_15 übergeht, kann man z. B. auch die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel formula_8, die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre formula_17. Da beliebig große formula_8 zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle formula_8 Summanden mit formula_8 verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstabe, z. B. formula_9, gewählt und um einen Index ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte formula_22 an. Die Summanden heißen dementsprechend formula_23. Sie bilden somit eine Zahlenfolge.  Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen formula_8 die Summe der ersten formula_8 Glieder der Zahlenfolge als schreiben. Wenn man für formula_8 verschiedene Werte formula_22 einsetzt, bilden die formula_29 ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.  "Beispiel:" Für die Folge der Quadratzahlen ist formula_30, formula_31, formula_32. Ganz allgemein gilt:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit formula_34, formula_35, formula_36. Eine Summationsformel besagt nun für beliebige formula_8:  Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel "Der kleine Gauß"  finden sich in der Formelsammlung Arithmetik. Der Beweis solcher Formeln kann oft mittels vollständiger Induktion erfolgen.

Notation mit dem Summenzeichen.

Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:  Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma), gefolgt von "einem" Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier formula_41) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft als Laufindex oder Summationsvariable bzw. "Lauf- oder Zählvariable" bezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben formula_42 verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.  Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:  Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die einsteinsche Summenkonvention, der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

Formale Definition.

Sei formula_48 eine (Index-)Menge, formula_49 ein kommutatives Monoid. Für jedes formula_50 sei ein formula_51 gegeben. Dann kann formula_52 zumindest für endliche Indexmengen durch Rekursion definiert werden: Man setzt und ansonsten nach Wahl eines beliebigen Elementes formula_55. Kommutativität und Assoziativität der Addition in formula_49 garantieren, dass dies wohldefiniert ist.  Die Schreibweise formula_57 mit formula_58 ist in diesem Sinne nur eine Abkürzung für formula_59 mit formula_60.  Falls formula_48 unendlich ist, ist formula_62 allgemein nur definiert, falls formula_63 für fast alle formula_64 gilt. In diesem Fall setzt man  Rechts steht nach Voraussetzung eine endliche Indexmenge, also eine wie oben definierte Summe. Sind unendlich viele formula_66 ungleich 0, dann handelt es sich trotz gleichartiger Schreibweise nicht mehr um eine Summe, sondern eine Reihe (siehe unten).

Klammerkonventionen und Rechenregeln.

Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:  Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:  Vorsicht: Allgemein gilt: formula_69

Besondere Summen.

Für formula_70 besteht die Summe aus einem einzigen Summanden formula_71:  Für formula_73 hat man eine sogenannte leere Summe, die gleich 0 ist, da die Indexmenge formula_74 leer ist:  Ist das allgemeine Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen formula_41), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:

Doppelsummen.

Auch über Summen kann wieder summiert werden. Das ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die erste, die „innere“ Summe, einen Index enthält, der als "Laufindex" für die „äußere“ Summe verwendet werden kann. Man schreibt zum Beispiel:  Dabei gilt die Regel: formula_81  In der mathematischen Physik gilt für Doppelsummen zudem folgende Konvention:  Ein Apostroph am Summenzeichen besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen:

Reihe.

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel mit (abzählbar) unendlich vielen Summanden ungleich null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden, um den entsprechenden Grenzwert zu finden, falls er existiert. Eine solche Summe wird "unendliche Reihe" genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol formula_85 für Unendlichkeit.  Wichtige Unterschiede zwischen Reihen und echten Summen sind beispielsweise:  Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die formula_85 als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe  für Primzahlen formula_91 und mit der Ganzzahl-Funktion formula_92 zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor formula_91 in der Primfaktorzerlegung von formula_94 vorkommt.)

Eine Summe bezeichnet in der Mathematik das Ergebnis einer Addition sowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eine Zahl, die durch Zusammenzählen zweier oder mehrerer Zahlen entsteht. Dieser Begriff besitzt viele Verallgemeinerungen. So sprach man früher beispielsweise von summierbaren Funktionen und meinte damit integrierbare Funktionen.

In mathematics, summation is the addition of a sequence of any kind of numbers, called "addends" or "summands"; the result is their "sum" or "total". Beside numbers, other types of values can be summed as well: functions, vectors, matrices, polynomials and, in general, elements of any type of mathematical objects on which an operation denoted "+" is defined.  Summations of infinite sequences are called series. They involve the concept of limit, and are not considered in this article.  The summation of an explicit sequence is denoted as a succession of additions. For example, summation of is denoted , and results in 9, that is, . Because addition is associative and commutative, there is no need of parentheses, and the result does not depend on the order of the summands. Summation of a sequence of only one element results in this element itself. Summation of an empty sequence (a sequence with zero element) results, by convention, in 0.  Very often, the elements of a sequence are defined, through regular pattern, as a function of their place in the sequence. For simple patterns, summation of long sequences may be represented with most summands replaced by ellipses. For example, summation of the first 100 natural numbers may be written . Otherwise, summation is denoted by using Σ notation, where formula_1 is an enlarged capital Greek letter sigma. For example, the sum of the first natural integers is denoted formula_2  For long summations, and summations of variable length (defined with ellipses or Σ notation), it is a common problem to find closed-form expressions for the result. For example,  Although such formulas do not always exist, many summation formulas have been discovered. Some of the most common and elementary ones are listed in this article.


Leben.

Herkunft.

Roth wurde im galizischen Schtetl Brody geboren, das damals zur österreichisch-ungarischen Monarchie gehörte. Brody war Grenzstadt zum russischen Wolhynien. Seine Mutter Maria Grübel stammte aus einer in Brody ansässigen jüdischen Kaufmannsfamilie, sein Großvater handelte mit Tuch, seine fünf Onkel mit Hopfen. Roths Vater Nachum Roth stammte aus orthodox-chassidischem Umfeld. Bei der Heirat 1892 war er Getreidehändler im Auftrag einer Hamburger Firma. Als von ihm in Kattowitz eingelagerte Ware veruntreut wurde, musste er zur Regelung der Angelegenheit nach Hamburg reisen. Auf der Rückreise wurde er durch sein Verhalten im Zug auffällig. Er wurde deswegen zunächst in eine Anstalt für Geisteskranke eingewiesen, dann seinen westgalizischen Verwandten übergeben, die ihn der Obhut eines russisch-polnischen Wunderrabbis überließen, an dessen Hof ihn Jahre später einer der Onkel Joseph Roths ausfindig machte. Dieser beschrieb den Vater als sehr schön, unaufhörlich lachend und völlig unzurechnungsfähig.  Joseph Roth hat seine Herkunft zum Gegenstand von Verschleierung und Mystifikation gemacht. Vor allem die Person seines Vaters erschien in mehrfachen schillernden Umgestaltungen: Er sei der außereheliche Sohn eines österreichischen Offiziers, eines polnischen Grafen, eines Wiener Munitionsfabrikanten. Roth behauptete auch, in Szwaby (Schwaby), einem kleinen Dorf in der Nähe von Brody, geboren worden zu sein, dessen Einwohner mehrheitlich deutschstämmig waren, im Gegensatz zur jüdischen Bevölkerungsmehrheit in Brody. Tatsächlich lag Roths Geburtshaus in einem Viertel um den Bahnhof von Brody, das damals bei den Einwohnern den Beinamen „Schwabendorf“ oder „Szwaby“ hatte, weil hier die Familien ehemaliger deutscher Einwanderer wohnten. Roths Geburtshaus wurde im sowjetisch-ukrainischen Krieg 1919/1920 zerstört. Der frühe Vaterverlust und in übertragener Form der Verlust des Vaterlandes, nämlich der österreichischen Monarchie, zieht sich als roter Faden durch Roths Werk.

Kindheit und Jugend in Brody.

Roth berichtete von einer von Armut und Dürftigkeit geprägten Kindheit und Jugend. Demgegenüber weisen Fotografien aus der Zeit und die Berichte seiner Verwandten zwar nicht auf Wohlhabenheit, aber auf durchaus bürgerliche Lebensumstände hin: Seine Mutter hatte ein Dienstmädchen, Joseph erhielt Violinunterricht und besuchte das Gymnasium.  In anderer als materieller Hinsicht war die Lage seiner Mutter allerdings tatsächlich prekär: Sie war nicht Witwe, da ihr Mann noch lebte bzw. als vermisst galt. Scheiden lassen konnte sie sich nicht, da dies einen Scheidebrief ("Get") ihres Mannes erfordert hätte, dazu jedoch hätte dieser bei Sinnen sein müssen. Außerdem galt im orthodoxen Judentum Galiziens Wahnsinn als Fluch Gottes, der auf der ganzen Familie lag und die Heiratsaussichten der Kinder deutlich verschlechterte. Deshalb wurde in der Familie über das Schicksal des Vaters geschwiegen, und man nahm lieber das Gerücht hin, Nachum Roth habe sich erhängt.  Die Mutter lebte zurückgezogen und versorgte den Haushalt des Großvaters bis zu dessen Tod im Jahre 1907. Sie konzentrierte sich auf die Erziehung des Sohnes, der abgeschlossen und behütet aufwuchs.  Ab 1901 besuchte Joseph Roth die Baron-Hirsch-Schule in Brody, eine vom jüdischen Eisenbahnmagnaten und Philanthropen Maurice de Hirsch gegründete Handelsschule, die sich, anders als die Cheder genannten orthodoxen Traditionsschulen, nicht auf den religiösen Unterricht beschränkte, sondern wo über Hebräisch und Thorastudium hinaus auch Deutsch, Polnisch und praktische Fächer unterrichtet wurden. Unterrichtssprache war Deutsch.  Von 1905 bis 1913 besuchte Roth das Kronprinz-Rudolf-Gymnasium in Brody. Es ist nicht ganz klar, ob das Schulgeld von 15 Gulden pro Semester (eine erhebliche Summe; in dieser Zeit war allerdings bereits die Kronenwährung eingeführt) von seinem Vormund und Onkel Siegmund Grübel bezahlt wurde, ob er ein Stipendium hatte oder ihm das Schulgeld erlassen wurde. Er war ein guter Schüler. Das Gymnasium hielt für schon bestehende Klassen bis 1914 an Deutsch als Unterrichtssprache fest. Als einziger Jude seines Jahrgangs legte er 1913 die Matura "sub auspiciis Imperatoris" ab. Auf seine Mitschüler wirkte er teils zurückhaltend, teils arrogant, ein Eindruck, den er auch später bei seinen Kommilitonen an der Wiener Universität hinterließ. In diese Zeit fallen seine ersten schriftstellerischen Arbeiten (Gedichte). Zusammen mit anderen bekannten ehemaligen Schülern wird Roth in einem schuleigenen Museumsraum geehrt.

Studium in Lemberg und Wien.

Nach seiner Matura (Abitur) im Mai 1913 übersiedelte Roth nach Lemberg, in die Hauptstadt Galiziens, wo er sich an der Universität Lemberg immatrikulierte. Unterkunft fand er bei seinem Onkel Siegmund Grübel, doch scheint es zwischen dem nüchternen Kaufmann und dem angehenden Dichter bald zu Spannungen gekommen zu sein. Eine mütterliche Freundin für viele Jahre fand er in der damals 59-jährigen Helene von Szajnoda-Schenk, einer gebrechlichen, aber geistig sehr lebhaften und hochgebildeten Dame, die im Haus des Onkels eine Wohnung gemietet hatte. Auch mit seinen Cousinen Resia und Paula verband ihn bald Freundschaft.  Die Atmosphäre Lembergs war damals geprägt von sich verschärfenden Spannungen, nicht nur zwischen den Nationalitäten (an der Universität kam es zu Kämpfen zwischen polnischen und ruthenischen Studenten), auch innerhalb des Judentums gärte die Auseinandersetzung zwischen Chassidismus, Haskala (Aufklärung) und der immer stärker werdenden zionistischen Bewegung. Inwieweit Roth tatsächlich in Lemberg studiert hat, ist nicht klar. Er hielt sich schon im Herbst 1913 zeitweise in Wien auf, wo er vom 2. bis 9. September 1913 am XI. Zionisten-Kongress teilnahm.  In Brody war Roths Jahrgang der letzte mit Deutsch als Unterrichtssprache gewesen, an der Universität Lemberg war seit 1871 Polnisch die Unterrichtssprache. Dass Roth seine literarische Heimat in der deutschen Literatur sah, war möglicherweise einer der Gründe, Lemberg zu verlassen und sich für das Sommersemester 1914 an der Wiener Universität zu immatrikulieren.  In Wien nahm sich Roth zunächst ein kleines Zimmer im 2. Gemeindebezirk, der Leopoldstadt, wo viele Juden lebten. Im folgenden Semester bezog er mit seiner Mutter, die vor den Wirren des ausbrechenden Ersten Weltkrieges nach Wien geflohen war, eine kleine Wohnung im benachbarten 20. Bezirk, Brigittenau (Wallensteinstraße 14/16). Roth und seine Mutter, später auch die Tante Rebekka (Riebke), lebten in dieser ersten Zeit in recht dürftigen Umständen. Roth war ohne Einkünfte, seine Mutter bezog eine geringe Flüchtlingshilfe. Nach dem Beginn des Ersten Weltkrieges erfolgten die Zuwendungen von Onkel Siegmund wegen der russischen Okkupation nur sporadisch.  Roth begann das Studium der Germanistik. Er legte Wert darauf, in den Prüfungen erfolgreich abzuschneiden und von den Professoren zur Kenntnis genommen zu werden. Im Nachhinein urteilte er negativ über Studenten und Lehrer. Eine Ausnahme bildete Walther Brecht, der Ordinarius für Neuere deutsche Literatur. Heinz Kindermann, Brechts Assistent, wurde zu einer Art Rivale. In der 1916 erschienenen ersten Erzählung Roths, "Der Vorzugsschüler", war Kindermann Vorbild für die Hauptfigur "Anton Wanzl", einen mit einigem Hass und einiger Kenntnis geschilderten Charakter.  Bald besserte sich die materielle Situation. Stipendien und Hauslehrerstellen (unter anderem bei der Gräfin Trautmannsdorff) erlaubten Roth die Anschaffung guter Anzüge. Mit Bügelfalte, Stock und Monokel beschrieben ihn Zeugen der Zeit als Abbild des Wiener „Gigerls“ (Dandys).

Erster Weltkrieg.

Zum wegweisenden Erlebnis wurde für Roth der Erste Weltkrieg und der darauf folgende Zerfall Österreich-Ungarns. Im Gegensatz zu vielen anderen, die bei Kriegsausbruch von nationaler Begeisterung erfasst wurden, vertrat er zunächst eine pazifistische Position und reagierte mit einer Art erschreckten Bedauerns. Doch im Verlauf der Zeit erschien ihm, der als kriegsuntauglich eingestuft worden war, die eigene Haltung als beschämend und peinlich: „Als der Krieg ausbrach, verlor ich meine Lektionen, allmählich, der Reihe nach. Die Rechtsanwälte rückten ein, die Frauen wurden übelgelaunt, patriotisch, zeigten eine deutliche Vorliebe für Verwundete. Ich meldete mich endlich freiwillig zum 21. Jägerbataillon.“  Am 31. Mai 1916 meldete Roth sich zum Militärdienst und begann am 28. August 1916 seine Ausbildung als Einjährig-Freiwilliger. Er und sein Freund Józef Wittlin optierten für das 21. Feldjäger-Bataillon, dessen Einjährigen-Schule sich im 3. Wiener Bezirk befand. Ursprünglich war geplant, das Studium in der Freizeit fortzusetzen.  In die Zeit der Ausbildung fiel der Tod von Kaiser Franz Joseph I. am 21. November 1916. Roth stand im Spalier der Soldaten entlang des Beerdigungszuges: „Der Erschütterung, die aus der Erkenntnis kam, daß ein historischer Tag eben verging, begegnete die zwiespältige Trauer um den Untergang eines Vaterlandes, das selbst zur Opposition seine Söhne erzogen hatte.“ Der Tod des 86-jährigen Kaisers wird zu einem zentralen Symbol für den Untergang des Habsburgerreiches und den Verlust von Heimat und Vaterland mehrfach in Roths Werken, unter anderem in den Romanen "Radetzkymarsch" und "Die Kapuzinergruft".  Roth wurde nach Galizien zur 32. Infanterietruppendivision versetzt. Von 1917 bis wahrscheinlich zum Kriegsende war er dem militärischen Pressedienst im Raum Lemberg zugeteilt. Roths angebliche russische Kriegsgefangenschaft ist nicht nachweisbar, mögliche Akten oder persönliche Briefe dazu sind nicht erhalten.  Nach Kriegsende musste Joseph Roth sein Studium abbrechen und sich auf den Erwerb des Lebensunterhalts konzentrieren. Bei der Rückkehr nach Wien fand er zunächst Unterkunft bei Leopold Weiss, dem Schwager seines Onkels Norbert Grübel. Nach einem Aufenthalt in Brody geriet er auf dem Rückweg in die Auseinandersetzungen zwischen polnischen, tschechoslowakischen und ukrainischen Einheiten, aus denen er nur mit Mühe zurück nach Wien entkam.  Noch während seiner Militärzeit begann Roth, Berichte und Feuilletons für die Zeitschriften "Der Abend" und "Der Friede" zu schreiben. In "Österreichs Illustrierter Zeitung" erschienen Gedichte und Prosa. Im April 1919 wurde er Redakteur bei der Wiener Tageszeitung "Der Neue Tag", die auch Alfred Polgar, Anton Kuh und Egon Erwin Kisch zu ihren Mitarbeitern zählte. In diesem beruflichen Umfeld gehörte es dazu, Stammgast im Café Herrenhof zu sein, wo Roth im Herbst 1919 seine spätere Frau Friederike (Friedl) Reichler kennenlernte.

Journalist in Wien und Berlin.

Ende April 1920 stellte der "Neue Tag" sein Erscheinen ein. Roth zog nach Berlin. Dort hatte er zunächst Schwierigkeiten mit seiner Aufenthaltsgenehmigung wegen der Unklarheiten und Fiktionen in seinen Dokumenten. So hatte beispielsweise ein befreundeter Pfarrer ihm einen Taufschein ausgestellt, in dem als Geburtsort Schwaben in Ungarn eingetragen war. Bald erschienen Beiträge von ihm in verschiedenen Zeitungen, darunter die "Neue Berliner Zeitung". Ab Januar 1921 arbeitete er hauptsächlich für den "Berliner Börsen-Courier".  Im Herbst 1922 kündigte er die Mitarbeit beim "Börsen-Courier" auf. Er schrieb: „Ich kann wahrhaftig nicht mehr die Rücksichten auf ein bürgerliches Publikum teilen und dessen Sonntagsplauderer bleiben, wenn ich nicht täglich meinen Sozialismus verleugnen will. Vielleicht wäre ich trotzdem schwach genug gewesen, für ein reicheres Gehalt meine Überzeugung zurückzudrängen, oder für eine häufigere Anerkennung meiner Arbeit.“ Im gleichen Jahr erkrankte Roths Mutter an Gebärmutterhalskrebs und wurde in Lemberg operiert, wo sie der Sohn kurz vor ihrem Tod zum letzten Mal sah.  Ab Januar 1923 arbeitete er als Feuilletonkorrespondent für die renommierte "Frankfurter Zeitung", in der in den folgenden Jahren ein großer Teil seiner journalistischen Arbeiten erschien. Wegen der Inflation in Deutschland und Österreich und der deshalb abwechselnd relativ schlechteren wirtschaftlichen Lage pendelte Roth in dieser Zeit mehrfach zwischen Wien und Berlin und schrieb außer für die "FZ" auch Artikel für die "Wiener Sonn- und Montags-Zeitung", das "Neue 8-Uhr-Blatt" (Wien), "Der Tag" (Wien) und das "Prager Tagblatt" sowie für den deutschsprachigen "Pester Lloyd" in Budapest. Während dieser Zeit arbeitete er auch an seinem ersten Roman, "Das Spinnennetz", der im Herbst 1923 als Fortsetzungsroman in der Wiener "Arbeiter-Zeitung" abgedruckt wurde, aber unvollendet blieb.  Sein Verhältnis zur "Frankfurter Zeitung" und dem damals für die Feuilletonredaktion zuständigen Benno Reifenberg blieb nicht frei von Reibungen. Roth fühlte sich nicht hinreichend geschätzt und versuchte dies durch Honorarforderungen zu kompensieren. Als er sich von der Zeitung trennen wollte, bot man ihm an, als Korrespondent in Paris weiterzuarbeiten. Roth nahm an, siedelte im Mai 1925 nach Paris über und äußerte sich in seinen ersten Briefen enthusiastisch über die Stadt. Als er ein Jahr später als Korrespondent von Friedrich Sieburg abgelöst wurde, war er schwer enttäuscht. "Sie ahnen nicht, wieviel privat und die litterarische Carrière betreffend mir zerstört wird, wenn ich Paris verlassse," schrieb er am 9. April 1926 an Reifenberg.  Zum Ausgleich verlangte er, von der "FZ" mit großen Reisereportage-Serien beauftragt zu werden. Von August bis Dezember 1926 bereiste er daher die Sowjetunion, von Mai bis Juni 1927 Albanien und Jugoslawien, im Herbst 1927 das Saargebiet, von Mai bis Juli 1928 Polen und im Oktober/November 1928 Italien. Im Juni 1929 kündigte er seine Mitarbeit an der "FZ" auf. Dennoch schrieb Roth auf freier Basis weiterhin für die "FZ", unter anderem umfangreiche Gerichtsreportagen über den Caro-Petschek-Prozess, einem der aufwändigsten Strafprozesse in der .  Roth zeichnete parallel zu seiner "FZ"-Mitarbeit als „Der rote Joseph“ Beiträge für die sozialistische Zeitung "Vorwärts". Er pflegte in seinen Berichten und Feuilletons einen beobachtenden Stil und zog aus den wahrgenommenen Lebensfragmenten und unmittelbaren Äußerungen menschlichen Unglücks Folgerungen soziale Missstände und die politischen Verhältnisse betreffend. Freunde und Kollegen kritisierten ihn heftig, als er 1929 gegen gute Bezahlung für die nationalistischen "Münchner Neuesten Nachrichten" schrieb. In der Zeit vom 18. August 1929 bis zum 1. Mai 1930 verfasste er ca. 30 Beiträge für die "Münchner Neuesten Nachrichten." Sein Vertrag dort sah 2000 Mark monatlich für mindestens zwei zu liefernde Beiträge vor.

Ehe.

Am 5. März 1922 heiratete Roth in Wien die am 12. Mai 1900 geborene Friederike (Friedl) Reichler, die er im Herbst 1919 im Literatencafé «Herrenhof» kennengelernt hatte. Die junge Frau war Angestellte in einer Gemüse- und Obsthandelszentrale und wie er jüdisch-galizischer Herkunft. Der attraktiven und intelligenten Frau entsprach das ruhelose Leben an der Seite eines reisenden Starjournalisten nicht. Roth dagegen zeigte Symptome einer fast pathologischen Eifersucht. 1926 traten erste Symptome einer geistigen Erkrankung Friedls zutage, 1928 wurde ihre Krankheit manifest. Sie wurde zunächst in der Berliner Nervenheilanstalt Westend behandelt, dann wohnte sie, von einer Krankenschwester betreut, eine Zeit lang bei einem Freund ihres Mannes.  Die Krankheit seiner Frau stürzte Roth in eine tiefe Krise. Er war nicht bereit, die Unheilbarkeit der Krankheit zu akzeptieren, hoffte auf ein Wunder, gab sich die Schuld an der Erkrankung: Wahnsinn galt und gilt unter frommen Juden als Strafe Gottes. Eine mögliche Besessenheit durch einen Dibbuk veranlasste ihn zu der (erfolglosen) Konsultation eines chassidischen Wunderrabbis. Während dieser Zeit begann er heftig zu trinken. Auch seine finanzielle Situation verschlechterte sich.  Als auch die Unterbringung bei Friedls Eltern keine Besserung brachte und die Kranke zunehmend in Apathie verfiel und die Nahrung verweigerte, brachte man sie am 23. September 1930 in das private Sanatorium in Rekawinkel bei Wien. Sie hatte ein Körpergewicht von nur noch 32 Kilogramm. Im Dezember 1933 kam sie in die Landes-Heil- und Pflegeanstalt „Am Steinhof“ am Rand Wiens, schließlich im Juni 1935 in die Heil- und Pflegeanstalt Mauer-Öhling in Niederösterreich. Friedls Eltern wanderten 1935 nach Palästina aus. Roth beantragte die Scheidung von seiner entmündigten Frau. Am 3. Juli 1940 wurde Friedl Roth in die Tarnanstalt Niedernhart (heute Landes-Nervenklinik Wagner-Jauregg) bei Linz verlegt, eine sogenannte Zwischenanstalt im Rahmen der Aktion T4, von wo sie weiter in die NS-Tötungsanstalt Hartheim verbracht wurde. Friederike Reichler wurde dort in der Gaskammer getötet. Als ihr Todesdatum gilt der 15. Juli 1940.

Beziehungen.

Die Krankheit seiner Frau blieb für Roth – auch während folgender Beziehungen – eine Quelle von Selbstvorwürfen und Bedrückung. 1929 lernte er Sybil Rares kennen, eine jüdische Schauspielerin aus der Bukowina, die am Frankfurter Schauspielhaus engagiert war, und nahm mit ihr ein kurz andauerndes Verhältnis auf.

Andrea Manga Bell.

Im August 1929 begegnete er Andrea Manga Bell (1902–1985), Tochter der Hamburger Hugenottin Emma Mina Filter und des kubanischen Pianisten Jose Manuel Jimenez Berroa. Sie war verheiratet mit Alexandre Manga Bell, "Prince de Douala et Bonanyo" aus der ehemaligen deutschen Kolonie Kamerun, Sohn des 1914 von den Deutschen exekutierten Douala-Königs Rudolf Manga Bell, der sie jedoch verlassen hatte und nach Kamerun zurückgekehrt war. Als Roth sie kennenlernte, war sie Redakteurin bei der Ullstein-Zeitschrift "Gebrauchsgraphik" und ernährte so ihre zwei Kinder. Roth war von der selbstbewussten und selbstständigen Frau sofort fasziniert. Bald bezog man zusammen mit den Kindern eine gemeinsame Wohnung. Möglicherweise war Andrea Manga Bell das Vorbild für die Figur der Juliette Martens in Klaus Manns Schlüsselroman "Mephisto".  Als Roth emigrieren musste, folgte ihm Andrea Manga Bell mit ihren Kindern. Im Laufe der Zeit kam es zwischen den beiden zu Spannungen, für die Roth die durch die Versorgung der Familie Manga Bells entstehenden finanziellen Probleme verantwortlich machte („Ich muß einen Negerstamm von neun Personen ernähren!“). Andrea Manga Bell schreibt dagegen später über diese Zeit in einem Brief an Karl Retzlaw, sie habe von ihrem Bruder in Hamburg Geld aus ihrem Erbe erhalten. "Das Geld, das er mir mit Lebensgefahr über Holland hat zukommen lassen, hat Roth restlos versoffen. Daher enterbt. Ich habe von früh am Morgen für Roth gearbeitet, auf Spiritus gekocht, auch für seine Freunde, alle Korrespondenz und Manuskripte getippt bis nachts um 2 Uhr." Wahrscheinlichere Ursache für die Streitigkeiten und das endgültige Zerwürfnis Ende 1938 war Roths extreme Eifersucht.

Irmgard Keun.

Anfang Juli 1936 war Roth auf Einladung Stefan Zweigs nach Ostende gereist, wo er der dort seit kurzem in der Emigration lebenden Schriftstellerin Irmgard Keun begegnete. Beide interessierten sich sofort füreinander. Irmgard Keun:  Von 1936 bis 1938 lebten die beiden in Paris zusammen. Egon Erwin Kisch bescheinigte dem Paar einen Hang zum Alkoholexzess: „Die beiden saufen wie die Löcher“. Keun begleitete Roth auf seinen Reisen, unter anderem bei seinem Besuch in Lemberg zu Weihnachten 1936, wo er sie seiner alten Freundin Helene von Szajnoda-Schenk vorstellte. Auch diese Beziehung zerbrach schließlich. Nach Aussage Irmgard Keuns war wiederum Roths Eifersucht die Ursache:

Emigration.

Am 30. Januar 1933, dem Tag von Hitlers Ernennung zum Reichskanzler, verließ Roth Deutschland. In einem Brief an Stefan Zweig urteilte er:  Roths Bücher wurden Opfer der Bücherverbrennungen durch die Nationalsozialisten. Roth wählte als Ort seines Exils zunächst Paris, unternahm aber diverse, teils mehrmonatige Reisen, unter anderem in die Niederlande, nach Österreich und nach Polen. Von Juni 1934 bis Juni 1935 hielt sich Roth, wie viele andere Emigranten, an der französischen Riviera auf. Zusammen mit Hermann Kesten und Heinrich Mann mieteten Roth und Manga Bell ein Haus in Nizza.  Die Reise nach Polen erfolgte im Februar/März 1937; er hielt auf Einladung des polnischen PEN-Klubs eine Reihe von Vorträgen. Er unternahm bei dieser Gelegenheit einen Abstecher ins damals polnische Lemberg, um seine Verwandten zu besuchen, die alle Opfer der Shoa wurden.  Anders als vielen emigrierten Schriftstellern gelang es Roth, nicht nur produktiv zu bleiben, sondern auch Publikationsmöglichkeiten zu finden. Seine Werke erschienen in den niederländischen Exilverlagen "Querido" und "de Lange" sowie in dem christlichen Verlag "De Gemeenschap". Unter anderem deshalb hielt er sich während seines Exils mehrfach in den Niederlanden und Belgien auf (Mai 1935 in Amsterdam und 1936 längere Aufenthalte in Amsterdam und Ostende). Darüber hinaus verfasste er Beiträge für die von Leopold Schwarzschild herausgegebene Exilzeitschrift "Das neue Tage-Buch".

Letzte Lebensjahre.

In den letzten Jahren verschlechterte sich Roths finanzielle und gesundheitliche Situation rapide. Im November 1937 wurde sein Aufenthaltsort für zehn Jahre, das "Hotel Foyot" in der Pariser "Rue de Tournon", wegen Baufälligkeit abgerissen. Er zog vis-a-vis in ein kleines Zimmer über seinem Stammcafe, dem "Café Tournon". Am 23. Mai 1939 wurde Roth in das Armenspital "Hôpital Necker" eingeliefert, nachdem er (angeblich nach Erhalt der Nachricht vom Selbstmord Ernst Tollers) im Café Tournon zusammengebrochen war. Am 27. Mai starb er an einer doppelseitigen Lungenentzündung. Der letale Verlauf der Krankheit wurde durch den abrupten Alkoholentzug (Alkoholdelirium) begünstigt.  Am 30. Mai 1939 wurde Roth auf dem zu Paris gehörenden Cimetière parisien de Thiais in Thiais, südlich der Hauptstadt, beerdigt. Die Beisetzung erfolgte nach „gedämpft-katholischem“ Ritus, da kein Beleg für die Taufe Roths erbracht werden konnte. Bei der Beerdigung kam es beinahe zu Zusammenstößen zwischen den sehr heterogenen Beteiligten der Trauergesellschaft: österreichische Legitimisten, Kommunisten und Juden reklamierten den Toten jeweils als einen der ihren. Das Grab liegt in der katholischen Sektion des Friedhofs („Division 7“). Die Inschrift auf dem Grabstein lautet: "écrivain autrichien – mort à Paris en exil" („österreichischer Schriftsteller – gestorben in Paris im Exil“).

Schriftstellerisches Schaffen und biographische Bezüge.

Einordnung.

Das schriftstellerische Werk Roths kann nicht ohne Weiteres einer bestimmten Richtung oder Gruppierung der zeitgenössischen Literatur zugeordnet werden, am ehesten noch der Neuen Sachlichkeit, vor allem hinsichtlich seiner frühen Romane. So trägt "Die Flucht ohne Ende" den Untertitel "Ein Bericht", und im Vorwort versichert der Autor: „Ich habe nichts erfunden, nichts komponiert. Es handelt sich nicht mehr darum, zu ‚dichten‘. Das wichtigste ist das Beobachtete.“  Roth war seinen Zeitgenossen in erster Linie als Journalist bekannt und journalistische Arbeiten machen gut die Hälfte seines Werkes aus. Am Sprachexperiment des die Literatur der Weimarer Zeit prägenden Expressionismus, deren Gegenbewegung die Neue Sachlichkeit war, nahm Roth nicht teil. Er vertrat die Position des journalistischen „Handwerkers“ und blieb in seinen sprachlichen Mitteln konservativ.  Allerdings erteilte Roth in seiner Schrift "Schluß mit der „Neuen Sachlichkeit“" dieser Richtung 1930 eine Absage. Er kritisierte von einem journalistischen Standpunkt aus die Ungeformtheit einer Literatur, die sich auf „nackte Tatsachen“ beschränken wolle, indem er der "Zeugenaussage" den (geformten) "Bericht" gegenüberstellte: „Das Faktum und das Detail sind der "Inhalt" der Zeugenaussage. Sie sind das "Rohmaterial" des Berichts. Das Ereignis ‚wiederzugeben‘, vermag erst der geformte, also künstlerische Ausdruck, in dem das Rohmaterial enthalten ist wie Erz im Stahl, wie Quecksilber im Spiegel.“ Er wirft der Neuen Sachlichkeit in diesem Text vor, sich die Haltung des naiven Lesers zu eigen zu machen: „Der primitive Leser will entweder ganz in der Wirklichkeit bleiben oder ganz aus ihr fliehen.“ Roth bevorzugt dagegen das angeblich Authentische des ungeformten Augenzeugenberichts. Als Journalist kannte er die Arbeit, die aus Einzelaussagen einen Bericht formt – und konstatiert als Dichter: „… erst das ‚Kunstwerk‘ ist ‚echt wie das Leben‘.“ Programmatisch für sein Werk ist der Satz: „Der Erzähler ist ein Beobachter und ein Sachverständiger. Sein Werk ist niemals von der Realität gelöst, sondern in Wahrheit (durch das Mittel der Sprache) umgewandelte Realität.“

Wahrheit und Mystifikation.

Wahrheit und Gerechtigkeit sind – als göttliche Attribute – zentrale Begriffe der jüdischen Kultur. Roth fühlte sich diesen Werten verbunden. Allerdings arbeitete Roth auch als „Mythomane“ und „Mystifikator“. Beispielsweise erzählte er von den in Kriegsgefangenschaft erlittenen Härten – bis Egon Erwin Kisch ihm hinterherrecherchierte und nachwies, dass Roth nie in Kriegsgefangenschaft war. Doch Franz Tunda in "Flucht ohne Ende" war in Kriegsgefangenschaft und Roth verschmolz hier mit seiner Romanfigur. Roth konstatierte: „Es kommt nicht auf die Wirklichkeit an, sondern auf die innere Wahrheit.“  Weitere veränderte Erzählungen:  Roths dichterische Umgestaltung seiner Biographie verursachte bei seinen damaligen Freunden und Bekannten wie auch bei seinen Biographen Irritationen. Es ist allerdings kein Fall belegt, in dem Roth aus seinen Mystifikationen persönlichen Vorteil gezogen hätte. Vielmehr war er bekannt als über die eigenen Mittel hinaus großzügiger und selbstloser Helfer von in Not Geratenen.

„Roter Joseph“ und österreichischer Legitimist.

Allgemein wird bei Roth um die Jahre 1925/26 eine Wandlung von früheren sozialistischen Positionen zu monarchistischen gesehen. Ein Teil seiner Artikel aus den früheren Jahren sind sozialkritisch geschrieben. Roth beschrieb das Konkrete und bemühte sich um eine sehr genaue Beobachtung. Dabei begab er sich nicht in den Bereich politischer Theorien. Einige Artikel Roths im sozialdemokratischen Vorwärts erschienen unter dem Pseudonym „Der rote Joseph“. Uwe Schweikert (1982) ordnet Roth im Nachhinein als Sozialromantiker ein und beschrieb seine spätere Abkehr von linker Position als typisch für einen nicht genügend durch sozialistische Theorie gefestigten bürgerlichen Intellektuellen. Roth gehörte der Gruppe 1925, einer Vereinigung linker Schriftsteller, an. Er unterzeichnete deren Resolutionen und verfolgte ihre Aktivitäten, nahm aber an den Treffen nicht teil.  Während sich Roth in frühen journalistischen Arbeiten sehr monarchiekritisch zeigte, wandelte sich diese Position später zu einer Idealisierung der Habsburger Monarchie. Er sah zwar die Fehler und Versäumnisse des nicht mehr existierenden österreichischen Kaiserreichs, malte aber gleichzeitig in romantischer Verklärung die Utopie eines Österreich, wie es hätte sein können oder sein sollen. Den Versuch der Transferierung Österreichs ins Mythisch-Utopische unternahm er wie weitere Vertreter dieser spezifischen k. u. k.-Nostalgie, etwa Fritz von Herzmanovsky-Orlando (Tarockanien) und Robert Musil („Kakanien“). Roth war damit mit seiner positiven Bewertung der Habsburger Monarchie in einer Linie mit vielen Schriftstellern und Künstlern seiner Zeit wie Stefan Zweig, Hugo von Hofmannsthal aber auch James Joyce, welcher in der weltoffenen Hafenstadt Triest mit dem Vielvölkerstaat Österreich-Ungarn in Kontakt getreten war und das untergegangene Staatswesen rückblickend mit „They called the Austrian Empire a ramshackle empire, I wish to God there were more such empires“ klassifizierte.  Als sich die Diktatur des Nationalsozialismus abzeichnete und Wirklichkeit wurde, sah Roth in Monarchie und katholischer Kirche die einzigen Kräfte, denen er zutraute, der „braunen Pest“ hinreichenden Widerstand entgegensetzen zu können – wenn sie sich dazu entschließen könnten. Dabei ging es besonders um die Erhaltung des habsburgischen Grundsatzes „Leben und Leben lassen!“ im Gegensatz zur Strenge Preußens. Er verstärkte dabei seine Selbststilisierung als katholischer österreichischer Offizier und unterstützte die Sache der Monarchisten durch Artikel und politische Arbeit. In seinen letzten Jahren suchte er den Kontakt zu legitimistischen Kreisen um den Thronprätendenten Otto von Habsburg und reiste in dessen Auftrag am 24. Februar 1938 (wenige Tage vor dem Anschluss Österreichs) nach Wien mit dem Ziel, den österreichischen Bundeskanzler Kurt Schuschnigg zu einer Abdankung zugunsten Otto von Habsburgs zu überreden. Roth gelang es nicht, mit Schuschnigg zu sprechen, und der Wiener Polizeipräsident Michael Skubl riet ihm, unverzüglich wieder nach Paris zurückzukehren.

Heimat, Heimatverlust und Judentum.

Im Zentrum wichtiger Werke Roths der 1930er Jahre steht der Untergang Österreichs als Metapher für den Verlust von Heimat schlechthin, so in "Radetzkymarsch" (1932) und (an diesen erzählerisch anschließend) "Die Kapuzinergruft" (1938), sowie in der Erzählung "Die Büste des Kaisers" (1934). In seinem Vorwort zum "Radetzkymarsch"-Vorabdruck in der "Frankfurter Zeitung" schreibt er:  Dieses Gefühl von Verlorensein und Entwurzelung wiederholt das Erlebnis des frühen Verlustes des Vaters. Roth gestaltet es darüber hinaus als das Lebensgefühl der galizischen Juden und der Juden überhaupt, etwa in dem Essay "Juden auf Wanderschaft". Als explizit jüdische bzw. sich primär mit jüdischer Thematik befassende Werke gelten die Erzählung "Der Leviathan" und der Roman "Hiob".  Roth transformierte in seinen letzten Lebensjahren die Sehnsucht nach einer Heimkehr in die (auch religiöse) Geborgenheit der jüdischen Kultur des „Schtetl“ ins Katholische, etwa in der "Legende vom Heiligen Trinker", wo der von Wundern und Gottesgnade geradezu verfolgte obdachlose Trinker Andreas Kartak im Tod Erlösung und Heimkehr findet.

Würdigung.

In seinem Vortrag auf einem internationalen Symposium in Stuttgart würdigte Marcel Reich-Ranicki 1989 das Romanwerk Joseph Roths. Insbesondere hob der Redner Roths Abneigung gegen das Monumentale sowie den kindlich-naiv anmutenden Duktus der ruhigen, abgeklärten, formvollendeten Sprache des Romanciers hervor.  In seiner Heimatstadt Brody erinnert eine kleine in Ukrainisch und Deutsch beschriftete Gedenktafel an den Sohn der Stadt. Im Jahr 2001 wurde in Wien-Leopoldstadt (2. Bezirk) die "Joseph-Roth-Gasse" nach ihm benannt.  Unweit ehemaliger Berliner Wirkungsstätten Joseph Roths befindet sich in der Potsdamer Straße die "Joseph-Roth-Diele", eine mit Briefen, Bildern und Büchern des Schriftstellers dekorierte Gaststube.

Werke.

Nachlass.

Roths Teilnachlass liegt im Deutschen Literaturarchiv Marbach. Einzelne Stücke davon sind im Literaturmuseum der Moderne in Marbach in der Dauerausstellung zu sehen, insbesondere das Manuskript zu "Hiob" sowie sein "Radetzkymarsch" im 70 Folgen umfassenden Zeitungsvorabdruck aus der Frankfurter Zeitung.

Moses Joseph Roth (* 2. September 1894 in Brody, Ostgalizien, Österreich-Ungarn; † 27. Mai 1939 in Paris) war ein österreichischer Schriftsteller und Journalist.

Joseph Roth, born Moses Joseph Roth (2 September 1894 – 27 May 1939), was an Austrian journalist and novelist, best known for his family saga "Radetzky March" (1932), about the decline and fall of the Austro-Hungarian Empire, his novel of Jewish life, "Job" (1930), and his seminal essay "Juden auf Wanderschaft" (1927; translated into English in "The Wandering Jews"), a fragmented account of the Jewish migrations from eastern to western Europe in the aftermath of World War I and the Russian Revolution. In the 21st century, publications in English of "Radetzky March" and of collections of his journalism from Berlin and Paris created a revival of interest in Roth.


Definition und Sprachgebrauch.

Unter einem "Gebirge" versteht man im allgemeinen Sprachgebrauch Das Wort „Berg“ hat hingegen eine regional unterschiedliche Wahrnehmung. Erhebungen wie der Wilseder Berg, der mit nur die Umgebung Lüneburgs dominiert, würden in Alpenländern allenfalls als Hügel bezeichnet. Im Allgemeinen bezeichnet „Berg“ einen einzelnen Gipfel oder Kammlinie, und „Gebirge“ eine Häufung von mehr oder minder verbundenen Gipfeln, oder eine Häufung von Einzelgebirgen (Gebirgsgruppen oder -züge). „Hügelland“ steht für Ansammlungen von Kleinerhebungen, ohne dass eine genaue Abgrenzung möglich wäre.  Die Geologie hingegen nimmt bei ihrer Definition auf den „Gebirgsfuß“ Bezug: Der "Gebirgsfuß" bzw. "Rumpf eines Gebirges", wenn er freiliegt, ist das "Grundgebirge", der bei den jüngeren Gebirgen noch vom "Deckgebirge" überlagert ist, und dann oft in große Tiefen gedrückt wird (bis in die Moho). „Gebirge“ steht in letzteren Begriffen schon im geologischen Sinne als „Gesteinseinheit“.  Hochländer, wie beispielsweise Tibet, gelten nicht als Gebirge, da sie nur geringe Höhenunterschiede aufweisen. Im Gegensatz dazu kann manches Gebiet an einer Steilküste trotz relativ geringer Meereshöhe als gebirgig gelten.  "Siehe dazu: die EU-Definition Gebirgsland: Klassifizierung nach Höhenlage und Steilheit"

Gebirgsformen.

Man unterscheidet "Mittelgebirge" und "Hochgebirge" anhand ihrer Höhe; die Unterscheidungsgrenze liegt in Europa bei etwa 1500 m.  Gebirge lassen sich auch nach ihrer generellen geomorphologischen oder orographischen Form klassifizieren. Maß hierzu sind die Reliefenergie, Dominanz und Schartenhöhe der Einzelgipfel und Gebirgsgruppen:  Bezüglich ihrer Entstehung (Gebirgsbildung) und ihrem inneren Aufbau (Gesteinsprofil) unterscheidet man:  In einem Großgebirge können sich verschiedene Gebirgsformen auch mischen. So zeigt die komplexe Faltungs- und Überschiebungsgeschichte der Alpen zahlreiche Kleinformen anderer Gebirgstypen.

Globale Bedeutungen der Gebirge.

Gebirge sind Barrieren und damit haben sie in vielfältiger Weise entscheidende Wirkungen auf die Erde.  Je nach ihrer Höhe und Ausdehnung haben sie großen Einfluss auf Klima und Wettergeschehen. So bleibt beispielsweise Europa durch die von Ost nach West verlaufenden Alpen und Karpaten von den extremen Wetterlagen verschont, die in Nordamerika durch den ungehinderten Luftaustausch zwischen Norden und Süden immer wieder auftreten. In der Westwindzone haben die von Nord nach Süd verlaufenden Gebirge (Rocky Mountains, Anden, Skanden u. a.) erhebliche Auswirkungen auf die Niederschlagsverteilung.  Da die Temperaturen auf der Erde in der Regel mit zunehmender Höhe abnehmen, sind Gebirgsklimate in gewisser Weise ein enorm verkleinertes Abbild der globalen Vegetationszonen zwischen Polen und Äquator. Man spricht dabei von den sogenannten Höhenstufen. Von der „planaren“ Ebene wird das „kolline“ Hügelland unterschieden. Echte Gebirge beginnen bei der zumeist bewaldeten „submontanen“ Mittelgebirgsstufe, in die Höhe folgen weitere „montane“ Stufen bis hin zu den „alpinen“ Stufen, die über der Waldgrenze liegen. Die fast vegetationsfreien Gipfelregionen der Hochgebirge werden als „nivale“ Stufe bezeichnet.  Diese enge Nachbarschaft klimatischer und anderer natürlicher Gegebenheiten macht viele Gebirge zu besonderen Hotspots der Artenvielfalt. Überdies hatten sie immer wieder großen Einfluss auf die Evolution, so zum Beispiel bei der Artenbildung aufgrund räumlicher Trennung oder bei der Auslese speziell angepasster Lebewesen.  Die Verbreitung von Tieren und Pflanzen auf der Erde und damit die Bildung der biogeographischen Regionen wurde maßgeblich durch die Gebirge beeinflusst. So haben etwa die Alpen in Europa nach dem Ende der letzten Eiszeit die Entwicklung einer großen Artenvielfalt in den Wäldern, wie sie in Nordamerika und Ostasien vorkommt, verhindert. Auch die Ausbreitung des Menschen orientierte sich vielfach an Bergzügen. Ähnlich wie bei der Biodiversität konnte sich in den Gebirgen auch eine große kulturelle Vielfalt entwickeln: Kaum anderswo finden sich so viele Sprachen, Ethnien und heterogene Kulturareale auf so engem Raum nebeneinander. Ein gutes Beispiel dafür sind die Papua-Sprachen im gebirgigen Neuguinea.  Seit jeher hat die Vielfalt der Gebirge den Menschen angezogen, der hier aufgrund der besonderen geologischen Gegebenheiten eine Reihe wichtiger Rohstoffe findet: Marmor aus dem Apennin in der Antike, Tannen aus dem Schwarzwald für Schiffsmasten in der frühen Neuzeit oder die sogenannten, heute heiß begehrten Seltenen Erden sind nur drei Beispiele von vielen. Ebenso haben die Besiedler der Berge besondere traditionelle Wirtschaftsformen entwickelt, um die oftmals schwierigen Bedingungen möglichst effizient zu nutzen: etwa die Wander-Viehwirtschaft zwischen Berg und Tal oder die Schaffung der Almen als zusätzliche Weideflächen für das Vieh.

Ausmaße.

Der längste oberirdische Gebirgszug der Erde wird von Anden und Rocky Mountains gebildet und reicht etwa 15.000 km von Alaska im Norden bis nach Feuerland im Süden. Man nennt ihn amerikanische Kordilleren. Auch die Gebirge Eurasiens bilden eine ähnlich lange, allerdings stark gegliederte Gebirgskette, weil sie fast gleichzeitig durch die alpidische Geodynamik entstanden sind.  Hingegen haben die erdähnlichen Planeten Venus und Mars kaum solche Bergketten, sondern eher einzelne Massive – was eine Folge der unterschiedlichen Gebirgsbildung ist.  Daneben gibt es lange Gebirgszüge im Meer, die sogenannten mittelozeanischen Rücken. Beispielsweise liegt der mittelatlantische Rücken an der Grenze der Kontinentalplatten von Amerika einerseits und Europa – Afrika andererseits.

Gebirge weltweit.

Afrika.

Atlas, Hoggar, Kilimandscharo-Massiv, Mount-Kenya-Massiv, Ruwenzori-Gebirge, Brandbergmassiv

Antarktis.

Transantarktisches Gebirge

Australien.

Great Dividing Range, Snowy Mountains (auch "Australische Alpen"), Neuseeländische Alpen

Europa.

Bulgarien.

Balkangebirge, Šar Planina, Pirin, Rila, Rhodopen, Sakar, Strandscha, Ruen  Die Bayerischen Alpen an der Südgrenze Oberbayerns und Schwabens von Bad Reichenhall bis ins Allgäu  Ahrgebirge, Bayerischer Wald, Ebbegebirge, Eggegebirge, Eifel, Elbsandsteingebirge, Elstergebirge, Erzgebirge, Fichtelgebirge, Fränkischer Jura (Altmühlalb), Fränkische Schweiz, Habichtswälder Bergland, Harz, Haßberge, Hunsrück, Kellerwald, Kyffhäuser, Leinebergland, Nordpfälzer Bergland, Odenwald, Rhön, Rothaargebirge, Schwäbische Alb, Schwarzwald, Spessart, Taunus, Teutoburger Wald, Thüringer Wald, Vogelsberg, Weserbergland, Westerwald, Wiehengebirge, Zittauer Gebirge

Südamerika.

Anden (Kordilleren), Bergland von Guayana, Brasilianisches Bergland

Gebirge sind komplexe Landschaftsformen der Erde, die durch eine Massenerhebung, ein Steilrelief, einen Gesteinsaufbau und das (oft ganzjährige) Vorhandensein von Eis und Schnee gekennzeichnet sind. Ein wichtiges Merkmal von Gebirgen sind klimabedingte Vegetationszonen, die zur weiteren Definition und Abgrenzung von Hochgebirgen die Erhebung über die Waldgrenze und die Etablierung einer baumfreien alpinen (Tundren-)Zone voraussetzen. Hochgebirge sind unter den Großlandschaften der Erde dadurch den Bedingungen der freien Atmosphäre am direktesten ausgesetzt. Gebirge sind darüber hinaus durch eine innere variable Gestaltung, die durch Höhenerhebung, Relief und Exposition bestimmt wird, gekennzeichnet. Praktisch alle Gebirge der Erde waren auch stark von Vereisungen im Pleistozän betroffen, daher ist die Gestalt der heutigen Gebirge nicht auf die aktuellen klimatischen Verhältnisse zurückzuführen. Die meisten Gebirge und insbesondere die höchsten unter ihnen gehören auch zu den tektonisch aktiven Zonen der Erde, und Hebungen sind in einigen Fällen größer als Abtragungsraten durch Erosion und Denudation. Allgemein verbreitet sind Gebirge von den Polarregionen bis in die Tropen. Unter den Hochgebirgen werden zwei Grundtypen unterschieden: einen von glazialer Erosion gestalteten und geprägten "Alpen-Typ" mit Hörnern, Karlingen, Trogschultern und Trogtälern und einem mit abgerundeten Formen und von Altflächen dominierten "Rocky-Mountain-Typ", in der glaziale Reliefformen zurücktreten.

A mountain range or hill range is a series of mountains or hills ranged in a line and connected by high ground. A mountain system or mountain belt is a group of mountain ranges with similarity in form, structure, and alignment that have arisen from the same cause, usually an orogeny. Mountain ranges are formed by a variety of geological processes, but most of the significant ones on Earth are the result of plate tectonics. Mountain ranges are also found on many planetary mass objects in the Solar System and are likely a feature of most terrestrial planets.  Mountain ranges are usually segmented by highlands or mountain passes and valleys. Individual mountains within the same mountain range do not necessarily have the same geologic structure or petrology. They may be a mix of different orogenic expressions and terranes, for example thrust sheets, uplifted blocks, fold mountains, and volcanic landforms resulting in a variety of rock types.


Aktuelle Entwicklungstrends.

Als Folge der rapiden Wissensvermehrung in ihren Teilgebieten unterliegt die Innere Medizin einer zunehmenden Subspezialisierung. Dass dabei der klassische, gut ausgebildete allgemeine Internist in vielen Industrienationen mehr und mehr von den Vertretern einzelner Teilgebiete verdrängt wird, stößt auch auf Kritik. So wurde 2007 auf dem 110. Deutschen Ärztetag die Wiedereinführung der Weiterbildung zum Facharzt für Innere Medizin ohne Schwerpunktbezeichnung beschlossen. Die Allgemeinmedizin ist ein eigenständiges Fachgebiet der Medizin und grenzt sich stark von der Inneren Medizin ab, obwohl zwischenzeitlich Tendenzen existierten, die beiden Fachgebiete zu vereinigen.  Neben der fortschreitenden Verselbständigung der organbezogenen Fachgebiete zeichnen sich folgende Trends ab:  Die Bezeichnung ""Facharzt für Innere und Allgemeinmedizin (Hausarzt)"" konnte nach einem Beschluss des 110. Deutschen Ärztetages 2007 zur Förderung der hausarztzentrierten Versorgung in mehreren Bundesländern noch um 2008 erworben werden. Diese Facharztbezeichnung darf jedoch wegen europarechtlicher Bedenken nach einem Beschluss des 113. Bundesärztetages 2010 heute nicht mehr geführt werden. Sie berechtigt aber nach wie vor zur Niederlassung als Vertragsarzt; dann darf man sich nur noch "Arzt" oder aber "Facharzt für Allgemeinmedizin" (nicht jedoch Arzt für Allgemeinmedizin) nennen.

Facharztbezeichnung Internist.

Internisten haben eine ärztliche Weiterbildung im Fachgebiet "Innere Medizin" absolviert und diese mit einer Facharztprüfung abgeschlossen.  Deutschland  Die offizielle Bezeichnung in Deutschland lautet "Facharzt für Innere Medizin" (wahlweise auch "Internist"). Um diese Berufsbezeichnung tragen zu dürfen, muss ein Arzt eine Weiterbildung von mindestens 60 Monaten (5 Jahre) in einer anerkannten Weiterbildungsstätte mit einer von den Landesärztekammern festgelegten Weiterbildungsordnung absolvieren. Darüber hinaus gibt es die Möglichkeit, einen Schwerpunkt zu wählen. Die Weiterbildungszeit beträgt dann mindestens 72 Monate (6 Jahre). Am Ende der Weiterbildung steht in beiden Fällen eine mündliche Prüfung. Die Weiterbildungsordnung kann je nach Kammerbezirk variieren, da die Ausbildungshoheit in Deutschland den jeweiligen Ärztekammern gebietsbezogen unterliegt.  Nach der aktuellen Weiterbildungsordnung gibt es für die Innere Medizin folgende Facharztbezeichnungen:  Neben der Wahl eines Schwerpunkts ist es in Deutschland möglich, verschiedene Zusatzqualifikationen zu erwerben. Dazu gehören beispielsweise die Infektiologie und die Notfallmedizin.

Die Innere Medizin (englisch "internal medicine") befasst sich mit der Vorbeugung, Diagnostik, konservativen und interventionellen Behandlung sowie Rehabilitation und Nachsorge von Gesundheitsstörungen und Krankheiten der Atmungsorgane "(Pneumologie)", des Herzens und Kreislaufs "(Kardiologie)", der Verdauungsorgane "(Gastroenterologie" und "Hepatologie)", der Nieren "(Nephrologie)", des Blutes und der blutbildenden Organe "(Hämatologie)", des Gefäßsystems "(Angiologie)", des Stoffwechsels und der inneren Sekretion "(Endokrinologie" und "Diabetologie)", des Immunsystems "(Immunologie)", des Stütz- und Bindegewebes "(Rheumatologie)" sowie von Infektionskrankheiten "(Infektiologie" und "Tropenmedizin)", Vergiftungen "(Klinische Toxikologie)", soliden Tumoren und hämatologischen Neoplasien "(Onkologie)", der Überwachung und Therapie von Schwerstkranken "(Internistische Intensivmedizin)" und dem Einfluss von Training und Sport auf den gesunden und kranken Menschen "(Internistische Sportheilkunde)".  Die Weiterbildungsordnungen zum Facharzt für Innere Medizin (Internisten) und die Zusatzweiterbildungen in der Inneren Medizin sind in verschiedenen Ländern unterschiedlich.  Entwickelt hatte sich das Fachgebiet im 19. Jahrhundert aus der Generaldisziplin „Specielle Pathologie und Therapie“. Eine auf die Innere Medizin spezialisierte "Medizinische Klinik" gründete bereits 1754 Anton de Haën in Wien.

Internal medicine or general internal medicine (in Commonwealth nations) is the medical specialty dealing with the prevention, diagnosis, and treatment of internal diseases. Physicians specializing in internal medicine are called internists, or physicians (without a modifier) in Commonwealth nations. Internists are skilled in the management of patients who have undifferentiated or multi-system disease processes. Internists care for hospitalized and ambulatory patients and may play a major role in teaching and research. Of note is that internal medicine and family medicine are often confused as equal in the Commonwealth nations (see below).  Because internal medicine patients are often seriously ill or require complex investigations, internists do much of their work in hospitals. Internists often have subspecialty interests in diseases affecting particular organs or organ systems.  Internal medicine is also a specialty within clinical pharmacy and veterinary medicine.