Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Wales har kvalificerat sig som vinnare av grupp B tack vare sin 3-0 seger över Ryssland som utan tvekan beskrivs som deras största prestation någonsin.
De kommer att spela antingen Nordirland, Turkiet eller Albanien i Paris på lördag.
"Nu när vi har kvalificerat oss vill vi se vart vi kan ta vägen, och vad som helst kan hända nu i dessa spel. Vi försöker ta oss igenom, sa Ramsey.
"Vårt huvudmål var att komma ut ur gruppen, och att avsluta toppen av gruppen är en fantastisk känsla. Det betyder så mycket. Jag tror att vi har gjort fansen stolta."
Ramseys fantastiska uppvisning mot Ryssland såg honom vinna Uefa mannen av match utmärkelsen, poäng första målet innan Neil Taylor och Gareth Bale lagt glans till en härlig kväll för walesiska fotboll.
Wales spelar i en första stor turnering för första gången sedan 1958 års VM.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Defender James Chester säger Wales kommer att testa någon på Euro 2016 om de reproducerar formen som såg dem clinch top plats i Grupp B.
"Om vi presterar som vi gjorde mot Ryssland och håller rena lakan, vilket är en annan bonus, då är vi övertygade om att vi kan göra det svårt för vem som helst", sade han.
"Det sätt vi grävde in för spelet och att förlora så sent mot England var en stor spark i magen.
"Men vi visste att resultatet inte skulle definiera gruppen.
"Jag sa efter England spelet från vad vi hade sett av Ryssland jag var säker på att vi kunde få något från spelet och det visade sig vara korrekt."
Den walesiske kaptenen Ashley Williams höll med om detta.
"Vem vi än får är vi inte alltför krångliga, du behöver bara spela den som är framför dig och vi har spelat tre mycket bra lag hittills i denna turnering, så vem det än är vi kommer att förbereda för dem," sade han BBC Radio Wales Sport.
"Jag är säker på att de walesiska fansen kommer att komma igen i sitt antal och göra en hel del oväsen. Vi är bara glada att vi kom över gruppen. Vem vi än får, kommer vi att försöka göra framsteg så mycket vi kan."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Chester säger att Wales är skyldig Bale en skuld.
Världens dyraste spelare gjorde sju poäng i 10 kval och har nu tre i själva turneringen.
Bale mål mot Ryssland tog honom till gemensam fjärde på Wales "all-time scoring lista med 22, sex bakom rekord målgörare Ian Rush.
"Jag är inte säker på att det finns en bättre spelare individuellt än Gareth i turneringen," sade Chester.
"Vi vet hur lyckligt lottade vi är med honom i vårt team och om vi kan hålla rena lakan då vet vi att vi ger oss själva en riktigt bra chans.
"Jag kan inte tala för någon av de andra toppspelare i turneringen - jag vet inte dem - men Gareth är mycket passionerad för att spela för landslaget.
"Han dyker upp ganska mycket varje gång vi har ett spel, som några av de bästa spelarna kanske inte gör.
"Jag tycker att det är en miljö som han verkligen tycker om och vi kommer alla riktigt bra överens.
"Han är en stor superstjärna, men han är fortfarande en av grabbarna."
Välj den XI som du tror kan ta Wales långt på Euro 2016 - och sedan dela den med dina vänner med hjälp av vår teamväljare.
Aaron Ramsey och hans Wales lagkamrater säger att de inte är oroliga för vem de kan möta i de senaste 16 på Euro 2016.