Cairns sade att det skulle vara "helt fel" att stanna kvar på EU:s inre marknad, eftersom båda de stora brittiska partierna sade till väljarna att de ville lämna landet.
Men han spelade ner meningsskiljaktigheter med den walesiska regeringen över Brexit.
Den brittiska regeringen är pressad att ändra sin inställning till att lämna EU, vilket kritiker kallar en "hård Brexit".
Cairns företrädare, Stephen Crabb, hävdade att valet hade ändrat villkoren för Brexit-debatten.
Parlamentsledamoten Preseli Pembrokeshire stöder uppmaningar från den skotske Toryledaren Ruth Davidson till Theresa May att anta en mer flexibel strategi som uppnår samförstånd mellan parterna.
Crabb sade till BBC Wales: " Majoriteten av företagens åsikter i Wales och Storbritannien stöder att Storbritannien stannar kvar på den inre marknaden och stannar kvar i tullunionen men fortfarande lämnar Europeiska unionen lagligt.
"Och jag anser att argumentet måste granskas mycket närmare och om vi inte kan uppnå en tillfredsställande överenskommelse baserad på medlemskap i den inre marknaden behöver vi något som ligger ganska nära det om det ska kunna uppnå det samförstånd som det behöver över alla parter."
Wales Office Minister Guto Bebb sade processen att lyssna till decentraliserade regeringar hade börjat.
"Det är nu sju gånger viktigare på grund av resultatet av valet att de decentraliserade länderna har en verklig röst i processen att lämna Europeiska unionen", sade han.
Cairns, som nyligen utnämnts till sin roll, sade att han ville att Brexit-förhandlingarna, som ska inledas nästa vecka, skulle inriktas på rätt resultat med företag som handlar fritt.
"Vi har talat om friktionsfri handel, den walesiska regeringen har talat om ohämmad tillgång. Detta är en och samma saker", sade han.
"Inte ens Labourpartiet vill förbli en del av den inre marknaden, så det skulle vara helt fel att stanna kvar på den inre marknaden när de två största parterna motsätter sig detta."
Men Carmarthen West och South Pembrokeshire parlamentsledamot Simon Hart upprepade Crabbs uppmaning till partiöverskridande konsensus.
Han sa att han inte köpte idén att eftersom Theresa May har haft "en obestridligt svår tid som hon tar en del av skulden" betyder det "det är spelet över".
Welsh Sekreterare Alun Cairns har avvisat uppmaningar om en "mjukare" Brexit efter det allmänna valresultatet ledde till ett hängt parlament.