Men de skotska konservativa hävdar att ett uppsving i deras stöd har "supit" ett fall för en andra indy undersökning, enligt The Herald.
Scotsman säger att de lokala valresultaten har fastställt "stridslinjerna" för det kommande allmänna valet.
"Resultatet sätter nu upp en Westminster undersökning den 8 juni där självständighet kommer att vara den främsta frågan", tillägger tidningen.
Den skotska Daily Mail hävdar att det var de konservativas bästa någonsin valresultat i Skottland, medan SNP "såg sin röst rasa jämfört med nyligen val".
Men den skotska solen säger att det ökade stödet för de konservativa kom på bekostnad av rösterna för labourpartiet, som "ledde ett krossande... nederlag". Trots Tory comeback, SNP var fortfarande "runaway vinnare", det tillade.
Skottlands "konstitutionella besatthet" utlöste Tories väckelse, enligt Daily Record. Den konstaterar att "Thatchers parti" till och med vann ett rådssäte i Ravenscraig, "25 år efter att hon lät dödsstöten för Moderwells stålverk".
Under tiden rapporterar Aberdeen-utgåvan av The Press and Journal att SNP är redo att ta över kontrollen över kommunfullmäktige efter att stödet för Labour föll.
I Dundee förlorade SNP sin totala majoritet, enligt The Courier, men SNP-gruppens ledare är fortfarande sannolikt att leda rådet, antingen som chef för en minoritetsförvaltning eller en koalition.
Nationalen hyllar SNP:s seger i de lokala valen "emfatisk", tillägger att det ger ett slag mot Theresa Mays försök att stoppa en andra självständighet folkomröstning.