Harry Maceachen, från Shrewsbury, föddes med en sällsynt sjukdom och hade den livräddande transplantationen på torsdag.
Hans far Simon donerade en del av sin lever efter att man inte hittat någon lämplig matchning från organdonatorregistret.
Mormor Alison Price, en före detta teatersyster, sade: "Konsultanterna är mycket nöjda med sina framsteg."
Hon sade att det hade varit ett "mycket, mycket svårt 12 månader", tillägger: "Arbetet var tillfredsställande. Allt pågår enligt plan....konsulterna är mycket nöjda med sina framsteg."
Harry föddes med biliär atresia, vilket innebar att han hade blockerat gallgångarna.
Han hade en transplantation innan sin första födelsedag men att levern hade börjat misslyckas, så en andra en krävdes.
Harry genomgick operationen på torsdag på Birmingham Children's Hospital och Mr Maceachen opererades på Queen Elizabeth Hospital i staden.
Hans mormor sade: " Jag brukade ta hand om honom (Harry) tre dagar i veckan när hans mor återvände till undervisningen och han lärde känna mig mycket väl.
"Jag tror att vi har ett speciellt band. Han föddes på min 63:e födelsedag."
Hon sa att Harrys tvåårige bror Sam har uppfört sig fel.
"Det är svårt för honom. Det är första gången han varit borta från sin mamma så länge som det här och han saknar Harry, som vi alla gör."
Hon tillade: " Det är lysande med det stöd (familjen har) haft och det stöd vi har haft som far - och morföräldrar.
"Hela familjen har dragit ihop sig och de har en underbar massa vänner."
Mormodern till en fyraårig pojke som fick en del av sin fars lever har sagt att allt går "enligt plan" efter operationen.