Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Avgiften är i regionen £25-30m med affären tros vara fram till 2019, med möjlighet till ett annat år.
Under förutsättning att 21-åringen passerar sin läkare nästa vecka, kommer han att gå med United när överföringsfönstret öppnas i juni.
Depay, som har gjort 21 mål som PSV vann säsongens holländska titel, tweetade: "Tid att sätta mina mål igen på vinnande troféer med Manchester United."
Han tillade: " Jag säger alltid; dröm, tro, uppnå. Jag drömde och trodde på att bli mästare i Eredivisie med PSV och vi uppnådde det.
"Jag är oerhört tacksam mot PSV och alla fans för att de tror på mig."
Depay, som spelade under United manager Louis van Gaal under sin tid som Nederländerna chef, hade lockat intresse från ett antal klubbar över hela Europa, med Paris St-Germain och Liverpool uppges vara angelägna att underteckna honom.
Tottenham hade enligt uppgift ett bud på spelaren som tackade nej förra året.
Han har tillbringat hela sin karriär hittills med PSV, för vilken han har gjort 42 mål i 104 framträdanden.
"Vi är mycket stolta över denna kommande överföring, som kom i en enorm fart," PSV sportregissören Marcel Brands berättade den holländska klubbens officiella hemsida.
"Memphis har gått igenom alla lagen i PSV ungdomsakademin och har spelat en viktig roll i den nationella titeln i år.
"Han är en underbar exponent av vår träning och kommer att göra en trevlig övergång till en magnifik klubb i en vacker tävling.
"Vi förlorar uppenbarligen en fantastisk spelare, vilket är av stort värde för laget. Men PSV ger honom detta underbara steg."
Depay spelade på 2014 VM i Brasilien som Nederländerna slutade tredje innan Van Gaal slutade som huvudtränare för att ta över på Manchester United.
Han gjorde sin internationella debut den 15 oktober 2013, kommer på i sista minuten av Nederländernas 2-0 VM kvalvinst i Turkiet.
Manchester United har kommit överens om ett avtal om att underteckna Dutch framåt Memphis Depay från PSV Eindhoven.