Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Toffees betalar cirka 5 miljoner pund för den 53-årige holländaren, som lämnar Saints efter två år.
Everton har varit utan manager sedan de sparkade Roberto Martinez strax före slutet av säsongen 2015-16.
Koemans utnämning väntas vara bekräftad på fredag.
Lyssna: Saints fans känner sig svikna av Koeman
BBC Radio 5 lives Fotboll Daglig podcast
Koeman, som har blivit headhuntad av Evertons nya ägare Farhad Moshiri, kommer att skriva under ett avtal som rapporteras vara värt cirka 6 miljoner pund per år.
Den tidigare Nederländerna internationella, som är på semester, kommer att ta bror Erwin och fitness tränare Jan Kluitenberg med honom till Goodison Park.
Saints har avslutat sjunde och sjätte under Koeman - deras bästa Premier League kampanjer.
Martinez lovade Champions League kval när han utsågs men Everton slutade 11:e 2015-16, hans tredje år på klubben.
I april sa Saints ordförande Ralph Krueger att diskussioner med Koeman om en ny affär gick framåt "i en mycket bra riktning", men tillade klubben var "inte i någon riktig brådska".
Förra månaden sa den före detta Ajax, PSV Eindhoven och Barcelonaförsvararen att han förväntade sig att stanna hos helgonen under det sista året av sitt kontrakt.
Koeman gjorde mer än 763 framträdanden som spelare, poäng 253 mål, och vann 1988 EM med Nederländerna.
Han vann Europacupen - nu Champions League - med PSV Eindhoven 1988 och Barcelona 1992, poäng vinnaren för den senare mot Sampdoria på Wembley.
Han vann också fyra inhemska ligatitlar per styck i Nederländerna och Spanien.
Koeman har sedan dess lett Vitesse Arnhem, Ajax, Benfica, PSV, Valencia, AZ Alkmaar, Feyenoord och Southampton.
Han har vunnit den holländska ligan med både Ajax och PSV.
Reaktion
Tidigare Southampton och England framåt Matt le Tissier sade att han var "besviken" och "quite överraskade" på Koemans beslut att lämna, särskilt med Saints spelar i Europa League nästa säsong.
"Han kanske tycker att han har en bättre chans att vinna troféer på Everton. Jag skulle vara av en något annorlunda åsikt," Le Tissier berättade BBC Sport. "Jag förstår att de har en ny ägare och vill stänka lite pengar, men det kanske inte är så lätt ett jobb som han tror.
"De flesta klubbar i Premier League är ganska rika nu och kan konkurrera på överföringsmarknaden. Vi måste bara gå vidare och se till att nästa man tar oss framåt igen.
"Spelarnas lojalitet ligger hos fotbollsklubben och förhoppningsvis kommer de att sparka oss igen nästa säsong."
Everton har kommit överens om ett avtal med Premier League rivaler Southampton som banar väg för Ronald Koeman att bli deras nya manager.