Grimsby anfallare Bogle såg sin curling, vänster-fotade fri-kick tipsade över crossbaren av Jamie Stephens innan han öppnade poäng efter att han sprack förbi två försvarare och fick sitt skott avböjda Elliot Johnson och in i nätet.
Och han fördubblade ledningen 10 minuter före intervallet när ett misstag av Harry Taylor tillät Bogle att springa fritt och slå Stephens.
The Bees fick sig tillbaka in i spelet i 50: e minuten när Afente sprack in i lådan och togs ner av Josh Gowling. Akinde plockade upp sig själv för att skicka straffet förbi James McKeown.
Akinde planade sedan ut från platsen fem minuter senare efter att Danny Collins sjabblade Curtis Weston.
Ryan Watson slösade sedan två chanser att vinna det för Barnet innan det sena dramat.
Barnet reducerades till 10 män i 90:e minuten när Ali Sesay, som bara hade varit på planen i fem minuter, visades ett rakt rött kort för en utmaning på Scott Vernon.
Grimsby fick sedan en gyllene chans att vinna det två minuter i stopptid när Michael Nelson tog ner Gowling, men Bogle skickade sin spot-kick över baren.
Rapport från Pressföreningen.
Matchen slutar, Grimsby stad 2, Barnet 2.
Andra halvlek, Grimsby stad 2, Barnet 2.
Danny Collins (Grimsby Town) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Danny Collins (Grimsby stad).
John Afente (Barnet) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Straffet missades! Dåligt straff av Omar Bogle (Grimsby Town) vänster fotade skott är bara lite för högt. Omar Bogle borde bli besviken.
Straffet Grimsby Town. Josh Gowling drar ett brott i straffområdet.
Straff medgavs av Michael Nelson (Barnet) efter en foul i straffområdet.
Alie Sesay (Barnet) visas det röda kortet.
Scott Vernon (Grimsby Town) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Alie Sesay (Barnet).
Försök missade. Omar Bogle (Grimsby Town) höger fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till höger.
Scott Vernon (Grimsby Town) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Bira Dembélé (Barnet).
Foul av Omar Bogle (Grimsby stad).
Alie Sesay (Barnet) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Substitution, Barnet. Alie Sesay ersätter Curtis Weston.
Försök missade. Brandon Comley (Grimsby Town) höger fotade skott utanför lådan är för hög.
Zak Mills (Grimsby Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av John Afente (Barnet).
Försök missade. Craig Disley (Grimsby Town) huvudet från mitten av lådan missar till höger.
Hörnet, Grimsby Town. Förföljd av Mauro Vilhete.
Försöket räddades. John Afente (Barnet) header från mitten av rutan sparas i mitten av målet.
Tom Bolarinwa (Grimsby stad) visas det gula kortet.
Foul av Tom Bolarinwa (Grimsby stad).
Sam Muggleton (Barnet) vinner en frispark på höger vinge.
Substitution, Grimsby stad. Scott Vernon ersätter Kayden Jackson.
Försök missade. Zak Mills (Grimsby stad) vänster fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar till höger.
Försök missade. Jean-Louis Akpa-Akpro (Barnet) höger fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar till vänster.
Försök missade. Zak Mills (Grimsby Town) höger fotade skott utanför lådan är nära, men missar till höger.
Tom Champion (Barnet) visas det gula kortet.
Omar Bogle (Grimsby Town) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Mauro Vilhete (Barnet).
Zak Mills (Grimsby Town) vinner en frispark på vänsterkanten.
Foul av Jamal Campbell-Ryce (Barnet).
Försök missade. Ryan Watson (Barnet) höger fotade skott utanför lådan är för hög.
Brandon Comley (Grimsby Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Tom Champion (Barnet).
Försök missade. Ryan Watson (Barnet) höger fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar övre vänstra hörnet.
Försöket räddades. Curtis Weston (Barnet) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet.
Omar Bogle gjorde mål två gånger innan han missade en skada-tid straff mot 10-man Barnet, som Marcus Bignot plockade upp sin första punkt som Grimsby Town manager.