Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Sidan, 25, slogs till guld med 0.425 poäng när Kanadas Rosannagh MacLennan vann en andra på varandra följande OS-titel med en poäng på 56.465.
Världsmästare Li Dan av Kina tog brons, medan en annan Briton, Katherine Driscoll, kom sjätte.
"Jag kan inte fatta att jag har vunnit en OS-medalj", sa Page, från Jaktdon. "Jag är bara så lycklig."
Ta reda på hur du kommer in i gymnastiken med vår specialguide.
"Jag hade ingen aning om att det var en medalj men min föreställning var det bästa jag kunde ha gjort. Det var därför jag var så glad, att all träning och hårt arbete hade lönat sig.
"Jag är så glad att jag fick dela finalen med Kat."
Innan du vann OS-silvret var Pages högsta karriär i ett internationellt evenemang femte på 2015 års VM i Danmark.
Trampolin gjorde sin olympiska debut år 2000 och detta är första gången brittiska kvinnor har nått finalen.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Prenumerera på BBC Sport nyhetsbrev för att få vårt tips på nyheter, funktioner och video skickas till din inkorg.
Bryony Page blev den första brittiska kvinnan att vinna en olympisk studsmatta medalj genom att göra anspråk på silver i Rio.