Åtminstone ett dussin republikaner har sagt att de inte kommer att rösta på honom, eftersom kommentarerna kom fram på fredag.
Mr Trump säger att han aldrig kommer att hoppa av loppet att bli president och kommer aldrig att svika sina anhängare.
Han har varit under press efter ett band från 2005 av honom skryta om groping och kyssa kvinnor sändes.
De senaste att dra tillbaka sitt stöd är före detta republikanska presidentkandidaten John McCain och f.d. utrikesminister Condoleezza Rice.
John McCain sade att Trumps kommentarer "gör det omöjligt att fortsätta att erbjuda även villkorligt stöd för sin kandidatur", medan Rice sade: "Det räcker! Donald Trump borde inte vara president. Han borde dra sig tillbaka."
New Hampshire Senator Kelly Ayotte sade i ett uttalande: "Jag kan inte och kommer inte att stödja en kandidat till president som skryter om förnedrande och överfall kvinnor," sade hon
Ayotte - som står inför ett tävlingslopp för omval - sade att hon inte skulle rösta på Clinton utan i stället skulle "skriva in" Mike Pence, Trumps vice ordförandelandspartner, på sin röstsedel.
Flera andra republikaner sade också att de skulle rösta på Pence.
Trump själv betonade att det fanns "noll chans att jag slutar", tillägger att han fick "otroligt" stöd.
Och i en tweet sa den republikanska kandidaten "media och etablissemanget vill så gärna ha bort mig från loppet".
Trumps fru Melania gjorde ett uttalande på lördagen där han sade: "De ord min man använde är oacceptabla och kränkande för mig."
Hon sa att hennes man hade "en ledares hjärta och sinne".
Pence sade att han var "förföljd" av Trumps video, men tacksam att han hade uttryckt ånger och bett det amerikanska folket om ursäkt.
"Vi ber för hans familj", sade han i ett uttalande.
House talman Paul Ryan hade ursprungligen bjudit Mr Trump att delta i en kampanj händelse i Wisconsin denna helg men återkallade sin inbjudan, säger han var "försämrad" av vad han hade hört. Mr Pence skulle gå in i sin löpande partners ställe, men vägrade att vara med.
Under tiden kallade Hillary Clinton, Trumps demokratiska valrival, hans kommentarer i bandet "oroligt".
I de inspelade kommentarerna, som går tillbaka till 2005 när Mr Trump dök upp som gäst på en tvål, säger han "du kan göra vad som helst" till kvinnor "när du är en stjärna" och hörs säga "grip dem av fittan".
Kandidaten släppte en video uttalande ber om ursäkt för kommentarerna.
Trumps kommentarer från 2005, som publicerades av Washington Post, överskuggade utgivningen av utskrifter av Clintons anföranden till privata evenemang, av Wikileaks webbplats med visselpipor.
Kandidaten hade gift sig med sin tredje fru Melania några månader före inspelningen. Hon sade på lördagen: "Jag hoppas att folk kommer att acceptera hans ursäkt, som jag har gjort, och fokusera på de viktiga frågor som vår nation och världen står inför."
Vem ligger före i opinionsundersökningarna?
49 %
Hillary Clinton Ordförande
45%
Donald Trump Ordförande
Senast uppdaterad 3 oktober 2016
Den andra TV-debatten mellan Trump och Clinton kommer att äga rum på söndag kväll i St Louis.
Trump sade nyligen att han inte skulle ta upp historier om Bill Clintons otrohet i debatten, efter att tidigare ha hotat med det.
Men i sin video ursäkt, han attackerade den tidigare presidenten direkt:
Bill Clinton har faktiskt misshandlat kvinnor, och Hillary har mobbat, attackerat och skämmat ut sina offer.
"Vi kommer att diskutera detta under de kommande dagarna", sade han. "Vi ses på debatten på söndag."
Dagen efter en video dök upp där han föreslog att han kunde ha vilken kvinna han vill eftersom han är en stjärna och så kunde bara ta dem av fittan, Mr Trump är i en hel ocean av varmt politiskt vatten.
Tillräckligt för att minska hans chanser att vinna Vita huset.
Det finns ett våld i fraserna "grip dem av fittan" och "du kan göra vad som helst" som alla offer för övergrepp skulle känna igen och som de flesta kvinnor skulle tycka är äcklande.
Men bandet förolämpar inte bara kvinnor, att döma av reaktionen i det republikanska partiet. Det har förolämpat många män också. Om dessa män nu kommer att dra tillbaka sitt stöd för honom återstår ännu att se.
Läs mer från Katty
Fler seniora republikaner har dragit tillbaka stödet för USA: s presidentkandidat Donald Trump efter hans obscena uttalanden om kvinnor blev offentliga.