WBC Cruiserweight mästare Bellew, 34, producerade en upprörd för att stoppa David Haye i en tungviktstävling förra månaden.
Men när Bellew tillfrågades om han ville slåss mot WBA och IBF - mästaren Joshua, sade han: " Absolut inte. Jag behöver inte den sortens slagsmål. Han är alldeles för bra för mig."
Hans promotor Eddie Hearn sa att han kunde slåss mot WBO-mästaren Joseph Parker nästa gång.
Nya Zeelands Parker, 25, kommer att försvara sin titel mot rumänska Razvan Cojanu i Auckland nästa helg.
Efter Joshuas 11:e runda stopp för Wladimir Klitschko sade Bellew: "Jag drömmer fortfarande om att vinna tungviktstiteln men en annan del än den AJ har."
Liverpudliern sa att han funderade på att gå i pension efter sin överraskningsseger över Haye förra månaden på sin tungviktsdebut.
Men när han slogs mot Parker, tillade han: "Jag säger att Eddie vet vad han gör."
Arrangör Hearn bekräftade att en all-brittisk Bellew-Josua-match inte fanns på korten.
"Tony och Joshua är goda vänner," sa han BBC Radio 5 live Sportsweek program på söndag morgon.
"Tony Bellew har ögonen på några av de mindre killarna. Fighters som Joshua är jättar och Bellew är inte det, men han är i mixen vi talar om för utmanande för världens tungviktstitlar."
Bellew är inte en naturlig tungviktare, efter att ha klivit upp från kryssningsvikt divisionen för att bekämpa David Haye i mars.
Han vägde i 96,6 kg för den kampen, medan Joshua var på en karriär tyngsta 113 kg mot Klitschko på lördag - en skillnad på nästan 20 kg.
Men även i mixen för Bellew är WBC tungviktsmästare Deontay Wilder - och amerikanen vill ha en enande kamp mot Joshua, om han tar WBO bältet från Parker.
"Mina planer är att få WBO bältet och när jag får det, om jag får en obligatorisk utmanare, få det ur vägen och sätta upp en mega kamp i början av 2018," säger Wilder.
Tony Bellew har fortfarande hopp om att vinna en världshögviktstitel men säger att han inte kommer att slåss mot Briton Anthony Joshua.