GB Taekwondo har förbisett världen nummer ett tre gånger till förmån för Muhammad, rankad 59: e i världen.
Flyttningen har undersökts av BOA och även om de känner sig valda agerade de på rätt sätt, blev de besvikna över hur frågan har hanterats.
"Det finns två idrottare i världsklass som direkt påverkas av denna nominering," läsa ett uttalande utfärdat av BOA.
"Vår panel skulle ha föredragit att se urvalsprocessen hanteras på ett sätt som skulle ha varit till mycket större nytta för båda idrottarna.
Att upphäva det urval som gjorts av en nationell federation skulle ha varit ett aldrig tidigare skådat beslut för BOA. De bad GB Taekwondo att ompröva sitt val av Lutalo Muhammad och det styrande organet återvände med samma namn, och, nöjd med att korrekt urvalsförfaranden hade följts, BOA hade inte mycket val. Det betyder inte att de är lyckliga. De säger att de kan återkomma om den internationella federationens utredning för fram nya frågor. De är medvetna om den press detta har satt på båda idrottare och har kritiserat den uppenbara bristen på insyn som har gjort GB Taekwondo beslut att utelämna världen nummer ett svårt att förstå.
"Med detta sagt, efter en grundlig granskning, är juryn nu tillräckligt nöjd med att de överenskomna urvalsförfarandena har följts, och det är på den grunden vi ratificerar nomineringen."
GB Taekwondo välkomnade BOA-beslutet.
Prestandachef Gary Hall sade: " Detta har varit en lång och svår process för alla inblandade, för juryns medlemmar och särskilt för de två idrottare som berörs. Båda är framstående kandidater och verkligen världsklass, båda kan vinna medaljer i London. Detta har varit det svåraste urvalsbeslutet."
Cooks läger överväger nu om vi ska inleda rättsliga åtgärder.
"Aaron är naturligtvis otroligt besviken på BOA-beslutet", sade hans agent Jamie Cunningham.
"Han borde tävla i 2012 års spel. Det är en absolut skam att en brittisk värld nummer ett inte har valts ut för OS i London av vare sig hans styrande organ eller Olympic Association.
"Han är världsledande, europeisk mästare och har slagit 10 av de 15 bästa idrottarna i OS-rankningen i sina senaste matcher. Vad mer kunde Aaron ha gjort?
"Vi uppmanar World Taekwondo Federation att överväga konsekvenserna av detta bristfälliga beslut. Aaron kommer att överväga om han vill fortsätta en laglig väg för att bestrida detta beslut under helgen."
Bob Mitchell, advokat på Harbottle & Lewis som representerar Aaron Cook, tillade: " Alla är oerhört besvikna över resultatet i dag. Vi har behållit en ledande sport QC och kommer att besluta under helgen vad det bästa sättet är att gå vidare för Aaron ur ett juridiskt och sportperspektiv. Ytterligare ett uttalande kommer sannolikt att göras tidigt nästa vecka."
BOA:s panel för olympiska kvalificeringsstandarder kan bara acceptera eller avvisa nomineringar av idrottare - det ligger inte inom dess behörighetsområde att välja enskilda idrottare. BOA noterade dock vikten av att samarbeta närmare med nationella styrande organ när det gäller urvalspolitiken för framtida spel.
Panelen tillade att den förbehåller sig rätten att ompröva nomineringen under förutsättning att en pågående undersökning görs av World Taekwondo Federation.
Den brittiska olympiska föreningen har ratificerat Lutalo Muhammeds nominering till London 2012 före Aaron Cook.