Den tidigare Liverpool, Swansea City, Reading och Watford chefen har undertecknat ett 12-månaders rullande kontrakt för att ersätta Ronny Deila, som avgick skotska mästare i slutet av säsongen.
Rodgers, 43 år, lämnade Anfield i oktober efter mer än tre år.
"Jag kommer att ge allt jag har och göra allt jag kan för att ge våra supportrar spännande, underhållande och vinnande fotboll," sade nordirländaren.
Rodgers kan ge Celtic hopp - Sutton
"Klubben har varit i magnifik form under de senaste åren och har samlat silver regelbundet under denna tid.
"Mitt mål nu är naturligtvis att fortsätta detta arbete, att hålla oss på topp och återigen göra vår prägel i Europa."
På tal om BBC tidigare i veckan, Celtics största enskilda aktieägare Dermot Desmond beskrev Rodgers som "en stor manager", tillägger att den skotska Premiership Club hade intervjuat "över sex" kandidater,
Det visade sig också att Rodgers träffade klubbrepresentanter i flera timmar på onsdag.
"Brendan är en mycket efterfrågad chef och vi är glada att vi har kunnat föra en så hög kaliber individ till Celtic", säger verkställande Peter Lawwell.
"Jag vet att Brendan känner sig privilegierad som Celtic manager och han kommer att ge stor erfarenhet, kunskap och förmåga till rollen.
"Vi ville ta med ett av de största och bästa namnen till klubben för att matcha våra egna och våra anhängares ambitioner - vi tror, genom att utse Brendan, att vi har gjort detta.
"Vi har utsett en särskild chef och vi är säkra på att han kan ta några speciella tider till Celtic."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Rodgers flyttade in i ledningen med Watford och hade därefter en trollformel som ansvarade för Läsning innan han ledde Swansea City till befordran till Premier League.
En övergång till Liverpool följde och Rodgers kom nära titeln 2013-2014, avslutar två punkter bakom Manchester City. Men han lämnade Anfield utan att vinna en trofé.
Rodgers kommer att möta Rangers manager Mark Warburton nästa säsong, med de två män som har arbetat tillsammans på coaching personal på Watford.
"Han är mycket erfaren, välorganiserad, en bra drivkraft, en bra man-manager," Warburton sade denna vecka. "Han är en chef av högsta kvalitet."
John Hartson, en f.d. keltisk strejkare är också ett fan av Rodgers och tror att hans utnämning kommer att välkomnas varmt av de keltiska supportrarna.
"Jag tror att de har fått sig en riktig chef av högsta aktning," den tidigare Wales International sade.
"Jag tror att han kommer att göra mycket, mycket bra. Det är en stor möjlighet för Brendan och jag tror att fansen kommer att omfamna hans möte. "
"Rodgers måste inte låtsas att återuppfinna fotboll som han gjorde i Liverpool"
Före detta Celtic manager John Barnes är inte förvånad över att klubben har lyckats lura Rodgers.
"Han kommer inte att se det som ett steg ner, trots vad andra kommer att tänka", sade han. "Celtic är en enorm klubb. De är i Champions League och jag är säker på att Brendan skulle vilja sätta sitt förstånd mot de stora sidorna där.
– Fansen kan förvänta sig ett mycket spännande fotbollsmärke. När det gäller att spela det keltiska sättet, kunde de inte välja en bättre man för jobbet. "
BBC Skottlands Richard Wilson
"För Celtic har den mest jämförbara trollformeln varit Rodgers tid på Swansea - en aspirationsklubb, med en väldefinierad budget, och en känsla av drivkraft.
"Norra Irländaren omfamnade klubbens förflutna, men också omdefinierade sina horisonter, tog dem till Premier League och sedan till 11: e plats.
"Han undertecknade listigt, söker begåvade spelare som inte hade eftertraktats av större klubbar eller ännu inte var redo för den scenen, och forma dem till en sida som spelade attraktiv, engagerande och konstfull fotboll."
"Rodgers" Swansea modell kan vara en framgång på Celtic"
Celtic har utsett Brendan Rodgers till ny chef.