I ett e-postmeddelande som tackade hans kampanjteam efter att ha röstat stängt, Mr Burnham sade att komma så här långt var "en verklig prestation".
BBC:s politiska redaktör Laura Kuenssberg sade att detta sågs av några av hans anhängare som en eftergift för nederlag.
Men en kampanjkälla sade att detta var "kategoriskt inte" fallet.
Vinnaren av ledarskapsvalet tillkännages på lördag.
Mr Burnham är emot Jeremy Corbyn, Liz Kendall och Yvette Cooper i tävlingen.
I sin e-post berättade han för supportrar kampanjen hade "testat oss alla på varje nivå".
Han sade: "Men vi har klarat av de oundvikliga upp- och nedgångarna med god humor och drivit en stark, positiv och professionell kampanj som ni alla kan vara mycket stolta över.
"Det viktigaste är att vi har hållit fast vid våra värderingar och konkurrenskraft ända till slutet av loppet.
"Vi avslutar det med en utomhus men realistisk chans att vinna. Detta är en verklig prestation."
Burnham tillade att "tusentals vanliga, anständiga partimedlemmar nu oroar sig för vart vi är på väg".
Corbyn tog sig till valurnorna i sista minuten när nomineringarna slutfördes i juni, men har blivit bookmakerns favorit.
På Twitter sa han att det hade varit "en inspirerande sommar" oavsett valresultatet.
Här är det. Den sista minuten telefonbanker, panik över saknade röster, slutliga vädjan från kandidaterna är klar.
Omröstningen är över och nu börjar Labours väntan. Före resultatet verkar det som om partiet redan har förändrats, möjligen för alltid av dessa extraordinära månader.
En oväntad kandidat har gjort det oväntade och Jeremy Corbyn har satt sig själv i den mest sannolika positionen att vinna tävlingen. Det strider mot det bättre omdömet hos nästan alla högre tjänstemän i Labourpartiet, och på ett avgörande sätt nästan alla dess parlamentsledamöter.
Läs hela Lauras blogg
En av Corbyns anhängare, Leeds östra parlamentsledamot Richard Burgon, sade att många människor skulle bli "trevligt överraskade" över hans ledarskapsstil om han vann.
"Det kommer att bli en mer kollegial och en mer kollektivistisk ledning som kommer att inkludera människor", sade han. "Det kommer att inkludera parlamentsledamöter som inte håller med om några av Jeremys politik."
När han talade till BBC vid Corbyns sista möte i sin valkrets i Islington North, sade Unite General Secretary Len McCluskey att vänsterpartiets parlamentsledamot redan hade vunnit i hans ögon.
Han sade att Mr Corbyn "upplyste vår rörelse på ett sätt som jag inte trodde var möjligt" efter det allmänna valet och tillade: "Det är en seger i sig själv."
"Jeremy, på det lugna sättet verkar ha rört vid en puls, och den pulsen handlar om att folk förkastar det konstant nedslagna åtstramningsbudskapet som har kommit ut ur politiken i trettiofem år", tillade McCluskey.
Angela Eagle, som är ordförande för Labours vice ledning, sade till BBC att hon skulle tjäna vilken ledare som helst som väljs, och tillade att partiet behövde kapitalisera på "entusiasm för politik" och "hoppa" att tävlingen hade genererat.
Tävlingen har plågats av interna rader över Labours riktning och oro över att icke-partianhängare har försökt påverka resultatet.
Labour har sagt att ansträngningarna för att rensa bort icke-partianhängare skulle fortsätta fram till resultatdagen.
I det avslutande anförandet av hennes kampanj sade Kendall - som har betonat att Labour måste vädja till en bredare del av väljarkåren - att hon ibland kan ha varit "för trubbig".
Hon tillade: "Men min åsikt är att i politiken, som i livet, kan man inte hantera problem genom att ignorera eller undvika dem."
Vissa har också hävdat att de inte fick sina röstsedlar i tid för att rösta.
London borgmästare hoppfull David Lammy sade 20% av supportrar som hans team talade med hade fått ingenting.
Labour sa att röstsedlar hade mejlats och postats korrekt till alla röstberättigade.
Partiet sa att alla som inte hade röstat eller sagt att de inte hade en omröstning hade fått en sista e-post påminnelse på tisdag.
Labours nya vice ledare kommer också att avtäckas vid ledarskapskonferensen på lördag, och dess borgmästarkandidat i London kommer att tillkännages på fredag.
Labour leadership utmanaren Andy Burnham har berättat för supportrar att han har en "utanför men realistisk chans" att vinna tävlingen.