United tog ledningen på natten och i slipsen när Henrikh Mkhitaryan borrade i en låg finish i 10: e minuten men Anderlecht utjämnade när Sofiane Hanni gjorde efter 32 minuter.
United var minuter bort från en straff shootout innan Rashford fick det vinnande målet efter 107 minuter med en lysande tur och finish.
Det betyder att Mourinhos män vann 3-2 totalt över båda benen i kvartsfinalen.
Att vinna Europa League är mycket viktigt för United och manager Jose Mourinho eftersom det erbjuder en annan väg in i Champions League, europeiska klubben fotboll största tävling.
De andra sidorna i semifinalen är Ajax, Lyon och Celta Vigo med dragningen som äger rum vid middagstid på fredag.
Marcus Rashfords extra-time mål skickade Manchester United in i Europa League semi-final slå Anderlecht 2-1 på en nervös natt på Old Trafford.