Pro-Kremlin parti A Bara Ryssland lade fram båda räkningar, och kopplade dem direkt till situationen i Ukraina.
Separatistiska och proryska känslor är starka i Ukrainas Krim-region, som nu står i fokus för krisen.
Ryska parlamentsledamöter säger att en folkomröstning eller en vädjan från ett territoriums ledare skulle räcka för att utlösa de nya bestämmelserna.
Det finns redan många ryska medborgare i Krim.
I Sevastopol, den ryska Svartahavsflottans bas, innehar en majoritet ryska pass.
Enligt Rysslands gällande lag måste en grannstat underteckna ett avtal med Ryssland för att en del av landets territorium ska kunna bli ett nytt "ämne" för Ryska federationen.
Men Michail Jemeljanov, vice ledare för A Just Ryssland, sade att lagen hade utarbetats för fredliga tider, och gick inte tillräckligt långt för situationer där en stat föll sönder.
"Under förhållanden där en grannstat håller på att upplösas tycker jag inte att Ryska federationen bör begränsas i sin förmåga att acceptera ett territorium vars folk har uttryckt en tydlig vilja och önskan att vara i Ryssland", sade han.
Sedan Rysslands krig med Georgien 2008, har de utbrytande georgiska territorierna Abchazien och Sydossetien stått under Moskvas kontroll.
Ryssland hällde trupper i båda regionerna för att hjälpa proryska separatister som inte erkände Georgiens auktoritet.
Den andra lagförslaget som skall behandlas av Duman - Rysslands lägre hus - skulle påskynda förfarandena för att utfärda ryska pass.
Passsökande skulle inte behöva betala någon statlig skatt, och tidigare bosättning i Ryssland skulle inte längre krävas.
Dessutom skulle de inte behöva ha tillräckliga medel för att försörja sig själva och inte behöva ge upp sitt ukrainska medborgarskap.
Lagförslagets ingress säger att det syftar till att "stödja det broderliga folket i Ukraina, särskilt de rysktalande, som är försvarslösa inför det "bruna hotet", en hänvisning till två fascister under andra världskriget som bar bruna uniformer.
Lagförslaget skulle tillåta ukrainare att ansöka om ryska pass vid ryska diplomatiska beskickningar före den 1 augusti, och de skulle kunna bli medborgare efter två månader, i stället för att vänta ett år, som för närvarande är normen.
Planen att införa ett nytt snabbförfarande för utfärdande av ryska pass tillkännagavs i Sevastopol på torsdag av en ledare för just Ryssland Sergei Mironov.
Flera ryska parlamentsledamöter har också gått till Krim, inklusive ryska kändisar - före detta olympiska skridskomästare Irina Rodnina, före detta kosmonaut Valentina Tereshkova och tungvikts boxare Nikolai Valuev.
Ryska parlamentsledamöter har föreslagit nya lagar som skulle göra det lättare för Ryssland att införliva delar av Ukraina och göra det möjligt för ryskt medborgarskap att påskyndas.