Bedene, 27, blev brittisk medborgare 2015 men har inte kunnat upphäva ett förbud som hindrar honom från att representera Storbritannien i Davis Cup.
För att gå till OS måste en spelare ha varit tillgänglig för Davis Cup.
"Det är en dröm för varje idrottare", sade Bedene efter att ha slagit Ryan Harrison för att nå den franska öppna andra ronden.
Bedene representerade Slovenien i tre Davis Cup band innan han blev brittisk medborgare - och regler infördes kort efter hans byte spärra spelare från att representera mer än en nation.
"Jag måste se vad som kan göras", tillade han. "För tillfället företräder jag Storbritannien, men jag vill spela OS."
Bedene flyttade till Storbritannien 2008 men Dan Evans sade tidigare denna månad att han fortfarande ansåg sig vara den brittiska nummer tre trots att bli överkörd av Bedene i rankingen.
"För tillfället, för lersäsongen, tillbringade jag en hel del tid i Slovenien", sade Bedene på måndag.
"Min fästmö sa att hon vill flytta tillbaka. Hon vill ha sin karriär där.
"Jag reser mycket, så det är inte lätt - men jag vill tillbringa så mycket tid som möjligt med henne.
"Jag har fortfarande ett hus i England. Mitt hem är kvar. Jag har alltid varit känd som Slovenien-född - men jag älskar Storbritannien.
"Jag känner mig slovensk och brittisk."
BBC tennis korrespondent Russell Fuller
Bedene skulle behöva spela tre Davis Cup band för Slovenien mellan nu och Tokyo OS för att vara berättigade till 2020 spel, och så realistiskt skulle behöva byta tillbaka i tid till 2019 års tävling.
Han har ett slovenskt pass, men måste också vara i "god ställning" med landets olympiska kommitté och skulle behöva bygga upp relationer som bröts när han började spela under den brittiska flaggan.
I mars bekräftade en skiljedomsförhandling Internationella tennisförbundets utslag att spelare inte längre kan representera mer än ett land, men uttryckte förhoppningen att det styrande organet en dag skulle kunna övertygas om att Bedene är värd ett undantag.
Det verkar en lång chans i den tid som finns tillgänglig, och varje byte tillbaka till Slovenien kommer sannolikt att gå mycket dåligt ner med dem på Lawn Tennis Association som har spenderat så mycket tid och resurser på sitt fall.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Tidigare på måndagen vann Bedene 6-4 6-0 3-6 6-1 mot American Harrison - en spelare rankad 10 platser högre på 42 i världen.
Efteråt anklagade han sin motståndare för att "tanka", säger amerikanen faktiskt gav upp den andra uppsättningen för att hjälpa honom att vinna den tredje
"Det är på sätt och vis en taktik, och det fungerade", berättade Bedene BBC Sport. "Det var hans beslut. Jag gör inte det.
"Det är aldrig lätt att starta det tredje setet efter någons tankning."
Bedene har nu vunnit 21 av 24 matcher på lera i år, vinna två titlar på den näst bästa Challenger kretsen och nå en ATP Tour final i Ungern.
Han kommer att möta tjeckiska spelare Jiri Vesely i den andra omgången, med Rafael Nadal av Spanien en potentiell fjärde-round motståndare.
Fellow Britons Andy Murray, Kyle Edmund och Johanna Konta startar sin utmaning på tisdag, men Dan Evans förlorade på söndagen.
Brittiska nummer tre Aljaz Bedene överväger att byta sin lojalitet tillbaka till Slovenien för att tävla vid OS.