Bielik, 17, som genomgick sin medicin på Arsenal förra veckan, undertecknade för Legia från deras polska rivaler Lech Poznan i juli och har gjort sex framträdanden i alla tävlingar denna säsong.
Arsenal säger att affären "är föremål för slutförande av regleringsprocesser".
Polen Under 17 internationella kan spela både i en midfield roll och i midfield-back.
Han sade: " Jag har bestämt mig för att flytta till Arsenal, och även om jag inte kan vara säker på vad som kommer att hända i framtiden, åker jag till London för att uppfylla mina drömmar.
"Jag är tacksam mot mina lagkamrater och manager Henning Berg för att ha litat på en så ung spelare och gett mig en chans att spela för det första laget. Det är mest tack vare honom som jag kan flytta till Arsenal."
Berg sa: "Krystian är en mycket begåvad spelare, som kommer att uppnå stor framgång i fotboll i framtiden."
För varje position, välj om du tror Arsenal sorteras, eller om en spelare behövs.
Arsenal har undertecknat tonårige midfielder Krystian Bielik från Legia Warszawa för en rapporterad £ 2,4m.