Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Måndagens 3-0 nederlag av Wales, som följde en 1-1 dragning med England och ett 2-1 nederlag av Slovakien, innebar Ryssland avslutade botten av Grupp B.
Uefa hade hotat att diskvalificera Ryssland efter våld från fans.
"Efter en typ av turnering som denna, du behöver någon annan att ta ansvar för den nationella sidan för stora tävlingar," Slutsky sade.
Den 45-åriga CSKA Moskva chefen efterträdde Fabio Capello som Ryssland tränare i juli, men hade bara ett kontrakt fram till slutet av Euro 2016.
Han fick veta av Football Union of Russia att han skulle behöva välja mellan det nationella laget och CSKA i slutet av turneringen.
VM 2018 kommer att hållas i Ryssland, som automatiskt kvalificerar sig som värdar.
Skapa ligor och spela mot dina vänner i BBC Sports nya Euro 2016 Predictor spel
Ryssland coach Leonid Slutsky erbjöd sin avgång efter hans sida slogs ut av Euro 2016 på gruppstadiet.