Sri Lanka gjorde 248-9 efter halvcenturier från Kusal Mendis (53), Dinesh Chandimal (62) och kapten Angelo Mathews (56), som Liam Plunkett tog 3-46.
Regn fördröjde starten på löpjakten och England var 16-1 då vädret tvingade övergivandet på 17:30 BST.
England leder femmatchsserien 1-0.
Alex Hales, som gjorde 133 inte ute i den andra ODI, var ute för en gyllene anka till den tredje bollen i löpjakten, lämnar medöppnaren Jason Roy och Joe Root vid vecket när spelet slutade.
Plunkett tog kontroll över Bristol med nyckeltjuvarna Kusal Perera, Mendis och Seekkuge Prasanna efter att David Willey hade avlägsnat Danushka Gunathilaka i första omgången.
Chandimal topp gjorde för besökarna och höll partnerskap på 56 och 80 med Mendis respektive Mathews.
Chris Woakes (3-34) hjälpte till att kväva Sri Lankas innings mot slutet, och avslutade med wickets i på varandra följande 49-th-over leveranser.
Nästa ODI äger rum på Ovala rummet på onsdag.
Plunkett verkar komma in i sitt spår mot Sri Lankanerna, efter att ha återvänt till ODI cricket i juni 2015 efter mer än fyra år ut.
Den Yorkshire bowlaren har sju wickets hittills i serien, även om höjdpunkten hittills kom med fladdermusen när han slog en sex av den sista bollen av öppnaren vid Trent Bridge för att förtjäna England en slips.
I Bristol visade Plunkett sin förmåga över trollformler och avfärdade Perera i sin första omgång, innan han stod för halvcenturion Mendis just när Sri Lanka letade efter en produktiv återhämtning.
Han följde upp det genom att ta bort den farliga Prasanna för två i sin tredje förtrollning, vilket lämnar Woakes uppgiften att hjälpa till att moppa upp svansen.
Plunkett s wickets tog hans ODI stämmer till 52, och säkerställde Sri Lanka inte kunde montera en allvarlig utmaning med fladdermusen.
Besökarna, som redan rullade från fredagens 10-wicket nederlag, behandlades en skada slag på söndagen när Lahiru Thirimanne flögs tillbaka hem med en lägre rygg stam och ersattes av Niroshan Dikwella.
Kapten Mathews och vice kapten Chandimal är också ammande hamstring niggles men spelas på.
Och Farveez Maharof slogs med ett brutet finger på sin vänstra hand och blev ett av Woakes offer sent.
Sammantaget målar det en oroande bild för Sri Lanka, som ännu inte har vunnit ett spel på sin England turné, även om Mathews och Chandimal gör halvcenturier skulle ha varit en positiv.
England kapten Eoin Morgan på Sky Sports: "Vi bygger en hel del fart mot där vi vill vara. Vi är hårda mot oss själva och vill vara de bästa.
"Jag tror att bowlarna har klarat sig bra hittills. Jag har inte känt mig lätt, och det är mycket användbart att ha Joe Root också. Han är mer än en bowlare på deltid.
"Jag tyckte att våra discipliner var mycket bättre idag och att reducera dem till 248 var en bra prestation."
England bowlaren Liam Plunkett berättade för BBC Sport: "Vi kände att vi skålade bra och höll dem till ett gettable mål så vi är besvikna att vi inte avslutade spelet eftersom vi var i en stark position. Men vi går till Ovala rummet med andarna höga.
"Jag känner mig på en bra plats, jag är säker på alla aspekter och om jag får nickning i Test cricket jag kommer tillbaka mig själv att göra bra.
"Jag bara njuta av det nu, att ha en chans att vinna ett spel för England är vad varje barn vill och jag tror att det tog mig ett tag att inse att du faktiskt kan göra det. När jag var yngre var jag glad att få ihop siffrorna men nu vill jag bli matchvinnare."
England och Sri Lanka omintetgjordes i den tredje en dag internationella vid Bristol som regn tillät bara fyra overs av värdarnas kör jakt.