Lotto Soudal's Greipel, 34, vann 100,5 mile scenen från Glasgow till Castle Douglas före Australian Caleb Ewan och holländska ryttare Ramon Sinkeldam.
Cavendish, 31, kraschade i ett tätt hörn nära målet, tillsammans med Team Skys Elia Viviani, när han jagade en 11: e etapp seger i loppet.
Sir Bradley Wiggins, 2013 års vinnare, slutade säkert i peloton.
Griepel plockade upp 10 bonus sekunder för scenen seger, medan Dutchman Jasper Bovenhuis (ORI) är andra totalt i den allmänna klassificeringen efter att ha plockat upp nio bonus sekunder efter att ha vunnit tre av de fyra mellanliggande sprints under scenen.
Wiggins och Cavendish tävlar i sina första lopp sedan vinna guld respektive silver medaljer vid de olympiska spelen i augusti.
Cavendish red bort från kraschen, medan italienska Viviani, som slog Manxman till guld på banan i Rio, fick sin cykel bruten i två.
Greipel, som vann sin femte turné i Storbritannien scenen, sade: "Jag har gjort sex veckors träning efter Tour de France och denna tävling är verkligen viktigt mot nästa mål [oktober Road World Championships i Qatar - där en relativt platt rutt förväntas gynna sprinters].
"Storbritanniens turné är en tuff tävling, men det är rätt ögonblick i tävlingskalendern."
Måndagens andra etapp ser ryttare loppet 187,7 km från Carlisle till Kendal.
1. Vad är det för fel på dig? Andre Greipel (Ger/LOT) 3hrs 52mins 40seks
2 ) och 2......................................................................................................... Caleb Ewan (Aus/ORI) samtidigt
3. Vad är det som händer? Ramon Sinkeldam ( Ned/GIA)
Fyra. Maximiliano Richeze (Arg/ETI)
För att uppnå detta mål har kommissionen beslutat att inleda ett förfarande enligt artikel 108.2 i fördraget om Europeiska unionens funktionssätt (nedan kallat EUF-fördraget). Giacomo Nizzolo (Ita/TRE)
6. Vad är det som händer? Nicola Ruffoni (Ita/BAR)
7. Vad är det som händer? Stålvon Hoff (Aus/ONE)
8. Vad är det som händer? Chris Latham (GB/WIG)
9. Utövande av delegeringen av befogenhet Daniel Mclay (GB/FOR)
- Tio. - Vad är det för fel på dig? Jens Debusschere (Bel/LOT)
1 Andre Greipel (Ger/LOT 3hrs 52mins 30seks
2 Jasper Bovenhuis (ned/KT) + 1 sek
3 Caleb Ewan (Aus/OBE) + 4 sekunder
4 Peter Williams (GB/ONE) + 4 sekunder
5 Ramon Sinkeldam ( Ned/TGA) + 6 sek
6 Jonathan McEvoy (GB/NPC) + 8 sekunder
7 Thomas Moses (GB/JLT) + 9 sekunder
8 Ariel Maximiliano Richeze (Arg/EQS) + 10 sekunder
9 Giacomo Nizzolo (Ita/TFS) + 10 sekunder
10 Nicola Ruffoni (Ita/BAR) + 10 sekunder
Tysklands Andre Greipel vann öppningsskedet av turnén i Storbritannien efter att Mark Cavendish kraschade ut.