Stirling (112) och Morgan (103 inte ute) tillade 214 för den tredje wicketen som Middlesex jagade ner 239 med lätthet.
Kent är under par 238-7 skyldig mycket till Sean Dickson (99) och Darren Stevens (61) dela 135 för den tredje Wicket.
Dickson föll plågsamt ett sekel på sin List A debut när han hackade på en leverans från Steven Finn.
Kent var i trubbel tidigt på 12-2 med Finn, utelämnad från Englands sida för andra testet mot Pakistan, tar en spektakulär retur fångst för att avfärda kapten Sam Northeast.
När Dickson och Stevens hade separerats kämpade besökarna för att komma upp på Middlesexs bowlare som Finn (2-31) och Tim Murtagh (2-28) ledde framifrån.
I svar, Middlesex reducerades till 16-2 när Ryan Higgins och Nick Gubbins föll billigt, men Kent tvingades vänta ytterligare 39 overs innan göra ett nytt genombrott.
Morgan och Stirling nådde tre siffror på nästan samma tid. Irland internationella Stirling kom dit först i 118 bollar innan Morgan följde bort 116 bollar.
Stirling och George Bailey var båda avfärdas sent, men Middlesex tredje seger i fem matcher kom med 31 bollar att skona.
Middlesex allrounder Paul Stirling berättade för BBC Radio London:
"Det var trevligt att bygga ett partnerskap och när vi kom in, vi bara fortsatte och fortsatte och landmärkena fortsatte att komma upp.
"Jag har känt mig i ganska bra nick större delen av året och jag är bara glad att gå på och få några körningar.
"Jag har haft en hel del starter, det är något jag alltid försökt arbeta på och tack och lov kom det igång idag. Jag är nöjd med var mitt spel är på minuten."
England en dag kapten Eoin Morgan:
"Kent lyckades få bollen att röra sig lite, så det var lite knepigt till att börja med.
"Det sätt Paul spelar sin innings, han lyckas alltid att utöva press oavsett vad bollen gör.
"För att få ett så omfattande partnerskap när bara jaga 238 verkligen knackar spelet på huvudet."
Århundraden från Paul Stirling och England limited-over kapten Eoin Morgan guidade Middlesex till en sex-wicket One-Day Cup seger mot Kent.