Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Koeman har gett mittfältaren James McCarthy rådet att inte gå med i Irlands trupp efter att tidigare ha sagt att han hade blivit "massivt överbelastad" av Republiken.
Republikchefen Martin O'Neill sa den här veckan att Koeman "blödde" om saken.
Keane tillade: "Kanske Everton behöver titta på sitt eget träningsprogram."
McCarthy, 25 år, har uteslutits från Republikens VM mot Österrike på lördag på grund av en hamstringskada.
Han har missat större delen av klubbens säsong på grund av skada men spelat i republikens kval vinner över Georgien och Moldavien förra månaden.
Detta retade Everton chefen Koeman, som bara har sett McCarthy spela 33 minuter av konkurrens för Premier League klubben sedan dess.
Keane säger dock att han "inte bryr sig mindre" om Koemans oro - och kritiserade även tidigare Toffees manager Roberto Martinez.
"Everton traditionellt har alltid haft lysande irländska spelare gör bra för fotbollsklubben, så de bör inte vara så snabb att stoppa irländska spelare kommer att spela för Irland," sade den tidigare Manchester United midfielder.
"Vi har haft problem tidigare med Martinez - jag tror att han var lite överst.
"Varje gång, kände vi, Everton spelarna dök upp - och detta är inte en kritik av spelarna, detta är mer från Everton och deras personal - de var alltid bär knackar.
"Jag har alltid känt att Everton spelarna skulle dyka upp på kryckor eller krypa i hotelldörren, och nu ser det ut som vi förmodligen kommer att ha det problemet igen med Koeman. Det hoppas jag inte.
"Kanske Everton som klubb behöver - och det är en lysande fotbollsklubb - kanske deras spelare behöver skärpa sig lite."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Irlands biträdande chef Roy Keane säger att Everton spelare måste "ta igen" i en pågående rad med Goodison boss Ronald Koeman.