Murray kommer att avgå senare denna månad efter fyra år i rollen.
Gillies, som anslöt sig till Edrington som icke verkställande direktör tidigare i år, har haft ett antal framträdande affärsroller under sin karriär.
Han är fortfarande en icke verkställande direktör för energijätten SSE och Barclays.
Gillies grundade också Stiftelsen Saltire, som bidrar till att utveckla entreprenörsledarskapet i Skottland.
Tillkännagivandet kommer två veckor efter Edrington rapporterade en kraftig ökning av årsintäkter och vinst.
Den Glasgow-baserade destillatörens portfölj omfattar The Famous Grouse, The Macallan och Cutty Sark.
Murray sade: "Jag är mycket glad över att kunna meddela att Crawford kommer att ta över ordförandeskapet i Edrington och veta att hans omfattande internationella affärserfarenhet kommer att vara ovärderlig för företaget och jag önskar honom allt gott.
"Det har varit ett privilegium att arbeta med så många stora människor som har drivit kommersiell framgång och samtidigt främjat de värderingar som skiljer Edrington från varandra.
"Jag är säker på att de kommer att bygga vidare på denna framgång och önska dem fortsatt framgång i sina framtida strävanden."
Tidigare Scottish Enterprise ordförande Crawford Gillies ska ta över vid rodret av spritgruppen Edrington, efter pensioneringen av dess ordförande Norman Murray.