Super League-sidan har spelat på marken, som ägs av Bank of Ireland sedan 1895.
Deras arrende löper ut i slutet av december.
"Den nuvarande hyran och kostnaden för reparationer är förlamande klubben," Carter berättade BBC Radio Leeds.
"Vi gjorde ett rimligt erbjudande om vad vi hade råd med under de kommande 18 månaderna men fick aldrig ett svar och onsdag var tidsfristen som vi var tvungna att ge sex månaders uppsägningstid.
"Ballen är i deras domstol nu och det kan vara att vi inte får något svar och de är glada att ta tillbaka ägandet av marken. Jag kan inte prata å deras vägnar."
Wildcats hoppades kunna flytta till en specialbyggd stadion i början av säsongen 2015, men arbetet har aldrig påbörjats.
Carter säger att han har pratat med flera olika klubbar om möjliga markaktier för 2016.
Han tillade: " Vi har redan tittat på alternativ, eftersom det inte är bra att vi säger att vi har sex månader på oss att få något sorterat - realistiskt måste man ha något på plats långt innan dess.
"Vi har haft ett antal diskussioner med andra skäl vid denna tid, som kommer att förbli konfidentiella."
Wakefield Trinity Wildcats ordförande Michael Carter säger att klubben kan tvingas lämna sin Belle Vue hem efter att ha meddelat administratörerna av markens hyresavtal.