Newry firman hade drivits av sin grundare Lord Ballyedmond, tills hans död i en helikopter krasch i mars.
Nagle är för närvarande ordförande i den Dublinbaserade Sisk-koncernen, ett av de största privatägda företagen i Irland.
Sisk är främst en byggverksamhet men har också en betydande tillverkningsavdelning.
Mr Nagle är en erfaren företagsledare, som har haft ledande roller på företag som Intel och Nortel.
Han gick med i Sisk 2005 som chef för dess icke-byggnadshandelsverksamhet och ledde utvecklingen av en strategi för att diversifiera verksamheten.
Sisk gick in i hälso- och sjukvårdssektorn och förvärvade inledningsvis ett antal företag i Irland och Storbritannien.
Norbrook ordförande Sir Roy McNulty sade Mr Nagle "bringar ett brett utbud av kompetens och erfarenhet som kommer att vara till stor nytta för laget i Norbrook".
Det nordirländska läkemedelsföretaget Norbrook har utsett Liam Nagle till ny chef.