Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Australien, söker en fjärde på varandra följande World T20 titel, valde att fladdra och postade 148-5, med Elyse Villani gör den första halvsekel i en final.
Men 18-årige Windies öppnare Hayley Matthews träffade en fantastisk 66 off 45 bollar med tre sexor, i en monter på 120.
The Windies vann med tre bollar att undvara och deras mäns lag senare avslutade en T20 dubbel.
West Indies hade förlorat alla sina åtta tidigare T20-internationaler mot Australien och i sin första final gjorde de en nervös start bowling i de ikoniska Eden Gardens.
Villani (52) grep på någon egensinnig full kasta för att nå hennes femtio från 34 bollar.
Australien skeppare Meg Lanning slog tre på varandra följande fyrar i hennes 52 och elegant Ellyse Perry skickade två härliga raka enheter för sex i en cameo 28.
Efter att ha slagit tillbaka genom att dra bara en enda från finalen över de skållade, Windies gjorde en långsam start på sitt svar, poäng tre från de första två overs.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Men Matthews och skeppare Stafanie Taylor slog 16 från femte över, skålad av Perry, och spelade in sitt århundrade partnerskap i 14: e över.
Matthews fångades med 29 fler körningar krävs från 26 bollar och Taylors 59 slutade med bara fem kvar att göra mål från åtta leveranser.
Tre behövdes från finalen över och segern säkrades efter en rutinmässig utlöpande möjlighet förvandlas till en omstörtning, för att starta sprudlande västindiska firandet, tillsammans med männens team som kom för sin final med England.
Det fortsatte en välkommen återkomst för västindiska cricket, efter Under-19 laget slog Indien för att vinna 50-over VM i februari.
Västindien kapten Stafanie Taylor:
"Jag har väntat länge på detta och det har kommit vid rätt tidpunkt.
"Vi fick inte den start vi ville ha men slagfältet har gjort det för oss.
"Det var fantastiskt att veta att männen var med oss. Sammy skickade ett sms i morse: "Staf ni ska göra det, flickor ni ska göra det."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Australien skeppare Meg Lanning:
"Hela äran för Västindien, de kom ut med fladdermusen, och vi fick inte riktigt det resultat vi ville ha.
"Vi kände att vi var lite korta, 160 skulle ha varit trevligt, men om vi skålade bra skulle vi ha försvarat.
"Det var en riktigt spännande, tuff väg in i VM och jag är stolt över den insats som alla har lagt ner."
Tidigare England smet Ebony Rainford-Brent på BBC Test Match Special:
"The Windies har fört makt till denna turnering.
"Hayley Matthews kör ner Wicket och slå Ellyse Perry för sex var förmodligen tidpunkten för turneringen.
"De har disciplin i sitt spel nu. Om detta lag kan strama upp med bowling och hantera tryck kommer de att vara en farlig kraft framöver. "
West Indies hävdade sin första Women's World Twenty20 med en pulserande åtta-wicket seger över Australien i Kolkata.