Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Ulster två gånger öppnade en sju-punkts ledning genom försök av vinge Craig Gilroy och full-back Jared Payne.
I en vecka när Welsh Rugby Union meddelade att de avser att ta över regionen, Drakar slog tillbaka med poäng av Rynard Landman och Ollie Griffiths.
Paddy Jacksons kick kantade Ulster före Rodney Ah Du visades ett rött kort och Andrew hävdade nyckeln försök.
Ah Du blev avskedad efter att han dömdes att ha gjort en olaglig skuldra laddning på Dragons full-back Carl Meyer.
Vinsten innebär Ulster stanna fjärde i Pro12 bordet, men deras misslyckande att få en bonus punkt innebär femte-placerade Scarlets har minskat sin kudde till tre poäng med fyra matcher kvar.
Spela för sista gången denna säsong på Rodney Parade, Dragons dominerades i de tidiga stadierna och var sju poäng ner inom 10 minuter tack vare Ruan Pienaar vision och Gilroys fotarbete.
Den sydafrikanska scrum hälften kick i rymden studsade fruktansvärt för försvararna och Gilroy dribblade bollen i rymden och rörde ner nära stolparna.
Den walesiska regionen dominerade ägandet för resten av hälften, i ett skede går genom 32-faser, men aldrig riktigt ser sannolikt att göra ett försök.
O'Briens straff annullerades av Pienaar med Carl Meyers långsiktiga straff utanför målet att lämna Ulster med en sju-punkts halvtid bly.
Ett diskutabelt gult kort för Gilroy gav drakarna ett brohuvud som Landman förvandlade till poäng med en mullrande lineout drive. O'Briens omvandling jämnade ut poängen.
Men innan Ulster flygeln hade återvänt till spelplanen full-back Payne klippte en smart linje för att korsa för sin sidas andra försök.
Drakar, på 10: e plats i bordet, åter slog tillbaka med flanker Griffiths laddning ner ett clearance och ges fördelen av betydande dubbel och tilldelas försöket efter flera TV replays.
Jacksons straff med åtta minuter kvar kantade Ulster tillbaka innan Ah Du är slarvig utmaning minskade hans lag till 14-män med sex minuter kvar.
Ulster rallied och sparkade för hörnet med Andrew hävdar den avgörande försök från driving lineout.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Drakar: Carl Meyer; Adam Hughes, Tyler Morgan, Sam Beard, Tom Prydie; Angus O'Brien, Charlie Davies; Sam Hobbs, Rhys Buckley, Brok Harris, Nick Crosswell, Rynard Landman, Ollie Griffiths, Nic Cudd, Lewis Evans (kapt).
Ersättningar: Darran Harris, Phil Price, Lloyd Fairbrother, Matthew Screech, Harrison Keddie, Sarel Pretorious, Dorian Jones, Adam Warren.
Ulster: Jared Payne; Craig Gilroy, Luke Marshall, Darren Cave, Charles Piutau, Stuart Olding, Ruan Pienaar; Andrew Warwick, Rob Herring (kapt), Wiehan Herbst, Kieran Treadwell, Alan O'Connor, Iain Henderson, Chris Henry, Sean Reidy.
Ersättningar: John Andrew, Callum Black, Rodney Ah Du, Robbie Diack, Clive Ross, Paul Marshall, Paddy Jackson, Jacob Stockdale.
Domare: Mike Adamson (Skottland)
Biträdande domare: Sam Grove-White (Skottland), Dan Jones (Wales)
TMO: Jim Yuille (Skottland)
John Andrews sena försök säkrade 14-man Ulster en avgörande seger mot Newport Gwent Dragons.