Baggies tog ledningen innan pausen när Saido Berahino slutade bra, innan Craig Dawson fördubblade ledningen i 54: e minuten med en rubrik.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
En minut senare steg Lukaku till nick i Gerard Deulofeus kors, och satte sedan upp Arouna Kone som sköt in till nivå.
Den belgiske strejkaren Lukaku grep vinnaren med en nära förestående strejk från en annan utmärkt Deulofeu leverans.
Resultatet flyttar Everton upp till femte på 12 punkter, medan West Brom, som ännu inte har vunnit hemma, sjunker till 15: e med åtta poäng.
Det var verkligen ett spel av två halvor, efter en hemsk öppning 40 minuter, men Lukaku själv hade en kontrasterande 90 minuter.
Den 6ft 3i 22-åringen har varit tvungen att bära bördan av en £ 28m prislapp ända sedan han skrev på en permanent affär för Toffees i juli 2014, efter en framgångsrik säsong på lån 2013-14.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Och trots att göra poäng 20 mål förra säsongen, var hans föreställningar blandade, vilket fick manager Roberto Martinez att försvara honom.
Everton fans måste ha undrat vilken Lukaku de skulle se på Hawthorns. De såg båda.
Den vänstra sidan av grafiken nedan visar att Lukaku befann sig i djupa positioner i den första halvan när han försökte komma in i spelet.
Men när Everton jagade matchen efter pausen, gick han vidare och blev mer av ett hot i och runt området. Tjänsten förbättrades också från Spaniard Deulofeu, som levererade två fantastiska kors för Belgiens mål.
För ett lag som kom in i spelet efter att ha medgett endast sex mål i sex matcher, skulle leverans tre mål i en halv skulle vara en överraskning för den avslappnade observatören.
Men två skador orsakade att baggies tighta försvar blev flagnande.
Den första inträffade när Gareth McAuley skadades i träningen före matchen, och den andra när Jonas Olsson gick av i 28:e minuten med vad som verkade vara ett ljumskeproblem.
Evertons försvar såg också sprött ut i första halvan, vilket återigen kan tillskrivas skador, med John Stones, Seamus Coleman och Leighton Baines saknas. Lyckligtvis för oerfarna backline, lagets betoning fokuserade på attack som de jagade spelet efter pausen.
West Brom boss Tony Pulis: "Det första målet dödar oss. Vi borde ta itu med det. De andra två målen är dåliga mål - den andra ser offside, linjemannen ser fel sida. Det är ett dåligt beslut.
"Det är verkligen, verkligen besvikelse eftersom innan vi gjorde det andra målet vi hade några goda chanser. Vi stängde av och Everton kommer att straffa dig."
Everton manager Roberto Martinez: "Vi var mycket besvikna på den första halvan. Vi var borta, varenda individ.
"Det berg vi var tvungna att klättra, det skulle ha varit lätt att förlora fokus men vi fick tre mål mot den bästa defensiva strukturen i Premier League.
"Var tredje poäng är enorm men det känns extra bra. Deulofeu tog extra ansvar, han ville ha bollen hela natten och det var en riktigt mogen föreställning."
BBC Radio 5 bor Steve Claridge på Hawthorns: "Everton såg mycket mer bekväm när de kastade bojorna och gick för det. Att gå 2-0 ner var det bästa som kunde hända dem."
En lysande seger sätter Roberto Martinez Everton upp fint för söndagens Merseyside derby på Goodison Park, med Liverpool bara en punkt bakom dem i bordet. När det gäller West Brom, är de borta på sjunde plats Crystal Palace på lördag.
Romelu Lukaku gjorde mål två gånger när han ledde en fantastisk comeback av Everton, som kämpade från 2-0 ner för att vinna på West Brom.