Sam Vokes vände Owls kapten Glenn Loovens, squaaring för strejk partner Andre Gray att slå in för besökarna.
Onsdagen utjämnade när Atdhe Nuhiu gick ner Barry Bannan centrum för den onanerande Lee att stoppa hem.
Clarets kunde ha vunnit det men Vokes kunde inte få en ren kontakt på substitut Matt Taylors boll i.
Resultatet lämnar värdarna en punkt utanför Championship play-offs, medan Burnley är tre poäng bakom andra plats Middlesbrough, efter att ha spelat två matcher mer.
Burnley hade det bättre av den första halvan, Kieren Westwood spara utmärkt på sin linje från Vokes "huvud, även om deras Yorkshire motståndare hade ett straff överklagande viftas bort av domare Andy Woolmer efter Daniel Pudil gick ner i lådan.
Owls hotade mer efter intervallet och ny lånesignering Aiden McGeady kom på sin debut i de sista minuterna efter att ha gått med i klubben på transfer deadline dag.
Onsdag har inte förlorat i mästerskapet hemma sedan slutet av augusti, går 12 matcher unbeaten, och är nivå på punkter med Birmingham, som de besöker på lördag.
Sheffield onsdag huvudtränare Carlos Carvalhal:
"Vi försökte hitta det andra målet men vi kunde bara inte. Jag tror att om någon skulle vinna, så var det vi. Vi tar poängen mot ett av de starkaste lagen i tävlingen.
"Andra halvan var närmare vad vi kan göra. En dragning är rätt poäng enligt min åsikt, men om någon skulle vinna så var det vi.
"Det negativa var att vi medgav så tidigt. Det positiva är att vi fick tillbaka in i det med hjälp av våra huvuden och våra hjärtan."
Burnley manager Sean Dyche:
"Jag tror att vi utan tvekan hade den bästa chansen för spelet som vi inte tog, men verkligen båda lagen försökte spela på en riktigt tuff tonhöjd. På det hela taget var det nästan rätt.
"Jag har varit nöjd med spelarna och jag är nöjd igen. Det är svårt att dominera varje match och vi har dominerat en hel del på sistone.
"Vi var verkligen säkra i vår tredje och mitten tredje, jag kände bara att vi inte höll bollen tillräckligt bra i den sista tredje."
Matchen slutar, Sheffield onsdag 1, Burnley 1.
Andra halvlek, Sheffield onsdag 1, Burnley 1.
Försöket räddades. Scott Arfield (Burnley) vänster fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet. Hjälpt av Sam Vokes med ett nyckelkort.
Jack Hunt (Sheffield onsdag) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Sam Vokes (Burnley).
Sam Hutchinson (Sheffield onsdag) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Ben Mee (Burnley).
Hörnet, Burnley. Förföljd av Daniel Pudil.
Foul av Lucas João (Sheffield onsdag).
Ben Mee (Burnley) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Försök missade. David Jones (Burnley) höger fotade skott från utsidan lådan är för hög efter en set bit situation.
Försöket räddades. Scott Arfield (Burnley) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet.
Foul av Jack Hunt (Sheffield onsdag).
Sam Vokes (Burnley) vinner en frispark på vänsterkanten.
Ersättning, Burnley. Rouwen Hennings ersätter Andre Gray.
Substitution, Sheffield onsdag. Aiden McGeady ersätter Ross Wallace.
Foul av Lucas João (Sheffield onsdag).
Ben Mee (Burnley) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Försöket räddades. Ross Wallace (Sheffield onsdag) vänster fotade skott från lång räckvidd till höger sparas i nedre högra hörnet.
Michael Keane (Burnley) visas det gula kortet för en dålig foul.
Fernando Forestieri (Sheffield onsdag) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Michael Keane (Burnley).
Kieran Lee (Sheffield onsdag) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Kieran Lee (Sheffield onsdag).
Joey Barton (Burnley) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Substitution, Sheffield onsdag. Lucas João ersätter Atdhe Nuhiu.
Bortåt, Burnley. Stephen Ward försöker en genom boll, men Scott Arfield fångas offside.
Försök missade. Barry Bannan (Sheffield onsdag) vänster fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till vänster.
Glenn Loovens (Sheffield onsdag) vinner en frispark i defensiva halvan.
Foul av Sam Vokes (Burnley).
Fernando Forestieri (Sheffield onsdag) vinner en frispark på vänsterflygeln.
Foul av David Jones (Burnley).
Kieran Lee (Sheffield onsdag) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Joey Barton (Burnley).
Försök missade. Sam Vokes (Burnley) vänster fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar till vänster. Hjälpt av Matthew Taylor med ett kors.
Försök missade. David Jones (Burnley) vänster fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till vänster.
Foul av Atdhe Nuhiu (Sheffield onsdag).
Matthew Taylor (Burnley) vinner en frispark i anfallshalvan.
Offside, Sheffield onsdag. Sam Hutchinson försöker en genom boll, men Atdhe Nuhiu fångas offside.
Foul av Atdhe Nuhiu (Sheffield onsdag).
Kieran Lees andra hälften-hyvlare tjänade Sheffield onsdag en dragning och stoppade Burnleys laddning mot de automatiska Championship-kampanjerna.