Wales vinge Hallam Amos gjorde två fina försök i andra halvan medan Dorian Jones sparkade fem poäng för värdarna.
Men Hamish Watsons touchdown, plus åtta poäng från Sam Hidalgo-Clyne och ett straff från Blair Kinghorn, visade sig tillräckligt för besökarna.
Edinburgh flytta till inom fyra punkter av rivaler Glasgow i sjätte, även om Warriors har ett spel i handen.
Drakarna hade 20-åriga Wales centrum Tyler Morgan och flyga halva Dorian Jones tillbaka från långsiktiga skador, medan Taulupe Faletau återvände från Wales arbetsuppgifter.
Edinburgh scrum-halv Hidalgo-Clyne gjorde sitt 50: e framträdande medan besökarna också parad deras Skottland front rad.
På en lerig yta, den första halvan producerade endast straff, med två från Hidalgo-Clyne och en från Kinghorn på mål för besökarna, medan Jones sparkade en för Drakarna.
Flanker Watson slösade bort en gyllene chans för skottarna efter 24 minuter som han gick för linjen snarare än att använda männen gratis utanför.
Drakarna började den andra halvan med ett högre tempo och efter knappt en minut, Amos sprintade genom ett gap för att göra mål med Jones konvertering ger dem ledningen.
Men Edinburgh slog tillbaka i sin nästa attack när Watson brottades sig över från en line-out drive och Hidalgo-Clyne satte över den vinklade spark.
Amos producerade sedan en superb finish från 30 meter ut när det fick en överlappning från man-of-the-matchen Faletaus pass.
Men det okonverterade resultatet efter 53 minuter visade sig vara det sista av matchen.
Edinburgh höll Dragons fast i sin egen hälft i det sista kvartalet men Hidalgo-Clyne var utanför målet med ytterligare två straffförsök eftersom de misslyckades med att få sina påtryckningar att löna sig.
Det var den walesiska sidans nionde förlorande bonuspunkt för säsongen, inklusive fem i de senaste sex matcherna.
Dragons värd Ospreys på fredag i sin sista match på Rodney Parade denna säsong, innan deras europeiska Challenge Cup kvartsfinal på Gloucester den 9 april, medan Edinburgh värd Zebre på fredag.
Newport Gwent Dragons: Carl Meyer; Ashton Hewitt, Tyler Morgan, Adam Warren, Hallam Amos; Dorian Jones, Sarel Pretorius; Phil Price, Thomas Rhys Thomas (kapt), Brok Harris, Cory Hill, Rynard Landman, Lewis Evans, Nic Cudd, Taulupe Faletau.
Ersättningar: Hugh Gustafson, Boris Stankovich, Lloyd Fairbrother, Matthew Screech, Ed Jackson, Charlie Davies, Angus O'Brien, Adam Hughes.
Edinburgh: Blair Kinghorn, Damien Hoyland, Michael Allen, Sam Beard, Tom Brown; Phil Burleigh, Sam Hidalgo-Clyne; Alasdair Dickinson, Ross Ford (kapt), WP Nel, Anton Bresler, Ben Toolis, Jamie Ritchie, Hamish Watson, Cornell Du Preez.
Ersättningar: Stuart McInally, Rory Sutherland, John Andress, Alex Toolis, Magnus Bradbury, Sean Kennedy, Chris Dean, Dougie Fife.
Domare: George Clancy (IRFU)
Biträdande domare: Sean Brickell, Simon Rees (båda WRU)
Citeringskommissionär: Aurwel Morgan (WRU)
TMO: Tim Hayes (WRU)
Edinburgh flyttade upp till sjunde plats i Pro12 med en hårdnackad seger på Newport Gwent Dragons.