Wales Under-21 internationella Burns har gjort ett mål i 17 framträdanden för Robins den här säsongen, men har börjat på bara tre matcher.
Den 21-årige har tidigare haft låneformler med Forest Green Rovers, Oxford United och Cheltenham Town.
Burns kunde göra sin Fleetwood debut i League One match mot Scunthorpe United på lördag.
Hitta alla de senaste fotbollsöverföringarna på vår dedikerade sida.
League Ena sidan Fleetwood Town har undertecknat Bristol City-strejkaren Wes Burns på ett ungdomslåneavtal fram till den 8 maj.