Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Den Briton, 30, vann 6-2 4-6 6-1 7-5 efter två timmar och 39 minuter, med matchpunkt clinched på 20:57 BST.
Fognini, den 29: e fröet, hade fem poäng för att tvinga en femte uppsättning men Murray vann fem matcher i rad för att försegla en plats i den sista 16 för 11: e gången.
Murray kommer att spela fransman Benoit Paire i den fjärde omgången på måndag.
Fellow Briton Johanna Konta nådde tidigare den andra veckan för första gången med en 6-4 6-1 seger över Maria Sakkari av Grekland.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
"Slutet på matchen var spänt. Det var en upp och ner match. Jag kände inte att det var den bästa tennisen ibland men jag lyckades ta mig igenom," Murray berättade BBC.
"Det började bli mörkt mot slutet och jag tänkte nog lite på det.
"Vi skulle ha varit tvungna att gå av för taket att gå på, så det skulle ha inneburit en förändring i förhållandena. Jag är glad att få av om fyra."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Murray såg ut som att undvika en lång, utdragen tävling när han flyttade framåt tidigt i den tredje uppsättningen men en fredag kväll dramat skulle utvecklas när ljuset bleknade.
Fognini, 30 år, visade både sina begåvade och temperamentsfulla sidor när han kom inom synhåll för en femte uppsättning, vilket skulle ha krävt att taket skulle föras över eller båda männen att återvända på lördagen.
Italienaren, som nyligen slog Murray på lera i Rom, såg bra ut när han dubbel-felade två gånger i rad för att förlora den första uppsättningen, men han började hävda sig i den andra.
Fognini bröt för en andra gång att leda 3-2 och gick vidare till nivå på en uppsättning alla, innan avfyra hans 13: e baslinje vinnare till bara en för Murray i början av den tredje uppsättningen.
Vid 30-30, Murray var på defensiven och ser allt mer sårbara, men han klängde sig fast med en andra serve och skriket av lättnad skakade honom och Centre Court publiken till liv.
Över nätet, Fogninis utmaning var tydligen blekning, en fotled skada inte hjälper som felen flödade och uppsättningen halkade bort.
En gripande fjärde uppsättning utspelade sig, med passioner stiger på och utanför domstol som Fognini straffas en punkt för en synlig obscenitet efter en gest, och Murray klagar till umpiren att den italienska tog för lång tid mellan punkterna.
Det var Fognini som tog kontroll efter Murray dubbel-felade i spel sex, men från 5-2 ner Murray visade alla sina fightingkvaliteter för att spara poäng i tre på varandra följande matcher.
De 15.000 åskådare på Centre Court var på deras fötter som Briton jämnas med 5-5, och Fognini kunde inte stoppa Murrays drivkraft som mästare tjänade sin väg till seger.
"Jag mår bra", tillade Murray. "Jag kände inte att jag flyttade så bra som de första matcherna men jag har ett par dagars paus nu och kan jobba på det och förhoppningsvis få mig själv i en bra rytm och spela lite bra tennis på måndag.
"Jag är glad att ta mig igenom första veckan och allt kan hända från och med nu."
Försvarsmästare Andy Murray vann en spännande tredje-round tävling mot Italiens Fabio Fognini på Wimbledon när mörkret föll runt Centre Court.