Spelet fick klartecken efter flera pitch inspektioner, och Justin Tipurics fina försök sätta Ospreys 7-0 upp på halvtid.
De gyttjade förhållandena hindrade båda sidor men det var besökarna som anpassade sig bäst och gjorde några få misstag.
Dan Biggars sena straff förseglade segern för besökarna.
Som domare Ian Davies genomfört sin förmatch pitch inspektion, Ospreys spelare och tränare verkade missnöjd med utsikten att spela på en sådan sodd yta - på vilken fotbollslaget Newport County hade spelat mindre än 24 timmar tidigare.
Men efter att ha vunnit sina sista sex matcher i alla tävlingar, kom besökarna in i denna fixtur med tillförsikt och bosatte sig i ett tidigt spår med sina framåt bärande flitigt och full-back Sam Davies dominerar sparka utbyten.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Det var en lös Dragons kick som ledde till öppningen poäng, som Tom Habberfield tände en Ospreys motattack och, via en offload från den imponerande blindsidan flanker Olly Cracknell, frigjorde openside Tipuric att sprinta klart för första försöket.
Cracknell och resten av Ospreys flock verkade njuta av gammaldags betsle i leran, hålla saker enkelt med bollen i handen och begränsa Dragons till bara ett skott på mål - en missad Angus O'Brien straff - under en tight första halvlek.
Den andra följde i samma anda, med besökarnas pragmatiska och väl utförda spelplan i motsats till den av de alltmer fel-strewn Dragons.
Värdarna var skyldiga till att sparka bollen direkt i beröring vid ett antal tillfällen, och deras oförmåga att hålla innehav såg dem fast i sin egen hälft under långa perioder.
En annan Dragons misstag - Ollie Griffiths in i en ruck från sidan - sedan presenterade Biggar med en enkel straff för att försegla Ospreys seger och förneka sina motståndare en förlorande bonus punkt.
Ospreys har nu vunnit 28 av de 30 walesiska derbies de har deltagit i.
Ospreys huvudtränare Steve Tandy berättade för BBC Wales Sport: "Vi är nöjda med att vinna. Förhållandena var fruktansvärda.
"Vi hittade ett sätt att vinna. Det var bara 10-0 men jag tycker att det var ganska bekvämt."
Dragons huvudtränare Kingsley Jones berättade för BBC Wales Sport: "Det är ett besviken omklädningsrum. Frustrationen är att vi gjorde bra ifrån oss i många aspekter av spelet.
"Jag trodde i andra halvan av Ospreys sparkade en hel del men de kom hit för att göra ett jobb. Det var ett kliniskt jobb av dem och tyvärr var vi inte riktigt lika kliniska.
"Skillnaden i att vinna och förlora high-level spel tvingar fel men tyvärr gjorde vi fyra eller fem för många otvingade fel."
Drakar: Carl Meyer, Pat Howard, Tyler Morgan, Sam Beard, Ashton Hewitt, Angus O'Brien, Tavis Knoyle; Phil Price, Elliot Dee, Brok Harris, Nick Crosswell, Cory Hill, Lewis Evans (c), Ollie Griffiths, Ed Jackson.
Ersättningar: Rhys Buckley, Sam Hobbs, Lloyd Fairbrother, Matthew Screech, Rynard Landman, Sarel Pretorius, Dorian Jones, Adam Warren.
Ospreys: Sam Davies, Hanno Dirksen, Kieron Fonotia, Josh Matavesi, Dan Evans, Dan Biggar, Tom Habberfield, Paul James, Scott Baldwin, Ma'afu Fia, Lloyd Ashley, Alun Wyn Jones (c), Olly Cracknell, Justin Tipuric, James King.
Ersättningar: Sam Parry, Nicky Smith, Rhodri Jones, Rory Thornton, Rob McCusker, Sam Underhill, Brendon Leonard, Jonathan Spratt.
Domare: Ian Davies (WRU).
Biträdande domare: Simon Rees (WRU), Gwyn Morris (WRU).
TMO: Neil Hennessy (WRU).
Ospreys malde ut en gritty seger över Newport Gwent Dragons i en Pro12 derby spelade på en fruktansvärd Rodney Parade tonhöjd.