Den dåvarande premiärministern kallade den tyska ledaren dagarna före EU:s folkomröstning, eftersom opinionsundersökningarna verkade visa att väljarna flyttade till Leave-lägret.
Men senare övergav han tanken på att få henne och andra EU-ledare att göra ett uttalande om att bevilja eftergifter.
Nr 10 beslutade att det skulle kunna beskrivas som ett tecken på svaghet genom omröstningsledigheten.
Newsnight har fått veta att David Cameron ringde den tyske kanslern för att fråga om hon skulle vara villig att göra ett uttalande med EU-ledare som beviljade Förenade kungarikets eftergifter i fråga om fri rörlighet.
Enligt planen skulle Frankrikes president Francois Hollande, Europeiska rådets ordförande Donald Tusk och Europeiska kommissionens ordförande Jean-Claude Juncker alla sätta sina namn på EU:s ledares gemensamma uttalande.
Den tidigare premiärministern närmade sig sin tyska motsvarighet efter Voice Leave hade dominerat kampanjen i kölvattnet av publiceringen av officiell migrationsstatistik i slutet av maj. Dessa visade att regeringen ännu en gång hade misslyckats med att uppnå sitt mål för nettoinvandringen.
Tanken på ett gemensamt uttalande av EU:s ledare lades till slut på hyllan.
Newsnight förstår att den tyske kanslern vid ett EU-toppmöte efter EU-omröstningen klargjorde för David Cameron att det inte kunde finnas någon kompromiss för EU-medlemmar om regler för den fria rörligheten för personer.
David Camerons vädjan till Angela Merkel följde en diskussion bland senior Downing Street aides som sade att premiärministern borde återuppväcka framgången för "Vow" i den skotska självständighetsomröstningen.
David Cameron och de andra huvudpartierna i Westminster hade flyttat för att stärka den pro-brittiska omröstningen i slutskedet av denna kampanj 2014 genom att förbinda sig att delegera ytterligare befogenheter till det skotska parlamentet.
Det drag som premiärministern tog upp och som Newsnight avslöjade i en undersökning av EU:s folkomröstningskampanj visar att Downing Street var nära att riva upp en viktig del av sin strategi i slutskedet.
Detta skulle inriktas på de ekonomiska riskerna med Brexit och undvika att diskutera invandring på grund av att omröstningsledighet alltid skulle säga att Storbritannien aldrig skulle kunna kontrollera sina gränser medan det förblev medlem i EU.
Till slut fortsatte Downing Street att fokusera på ekonomin. Lord Cooper of Windrush, den konservativa kamrat som var den främsta opinionsbildaren för kampanjen Britannien Stronger i Europa, berättade för Newsnight att den EU-vänliga sidans underlåtenhet att ta itu med oron över invandringen hade varit en svaghet.
Han sade: "De människor som är mycket, mycket oroade över invandringen, vad de ville var helt enkelt att Storbritannien skulle kunna ha total kontroll över sina gränser och total kontroll över flödet av människor in i detta land. Och vi hade inget argument som kunde konkurrera med det.
"Det innebar att vi inte riktigt kunde engagera oss i kampanjen i denna viktiga fråga. Vi hade inte mycket annat val än att fortsätta försöka gå tillbaka till de ekonomiska riskerna."
En källa från Downing Street sade till Newsnight: " Man ställde helt enkelt en fråga till den brittiska allmänheten - skulle du vara villig att vara lite fattigare för att få kontroll över invandringen? Vi satsade våra marker på att alla skulle säga: "Jag vill inte vara fattigare." De satsade sina marker på att alla skulle, "Jag vill kontrollera invandringen", och de vann."
Lord Cooper berättade också för Newsnight att den EU-vänliga sidan tvingades att "humant" fasa ut ett påstående från George Osborne om att en brittisk utresa från EU skulle kosta genomsnittshushållet 4300 pund, eftersom väljarna inte trodde det.
Lord Cooper sade: " Problemet med den siffran - 4300 pund - var först det lät osannolikt stort för de flesta människors öron. För det andra lät det märkligt specifikt... Figuren var lite av humant fasas ut eftersom vi fann när vi testade reaktionen i fokusgrupper, fann vi människor bara avvisat det. De trodde inte på det."
Matthew Elliott, verkställande direktör för Voice Leave, sade att han fruktade att döden av Labour MP Jo Cox en vecka innan valdagen kunde ha avslutat sin kampanj, när nyheten bröt strax efter UKIP-ledaren Nigel Farage hade lanserat en kontroversiell affisch om invandring.
Men Elliott sade att UKIP-affischen inte hade någon större inverkan på kampanjen för att han hade distanserat den officiella kampanjen för ledighet från UKIP.
Nicholas Watt rapporterade för Brexit Britannien - en BBC Newsnight special en månad efter resultatet av folkomröstningen.
En dag av diskussion och debatt hålls i samarbete med Intelligence Squared på Royal Geographical Society i London, från 13:00 BST lördagen den 23 juli, följt av ett särskilt program på BBC Two klockan 18:00 BST och därefter på iPlayer.
Hashtaggen för evenemanget är #BrexitBritain.
David Cameron gjorde en sen vädjan till Tysklands Angela Merkel om begränsningar av den fria rörligheten för personer om Storbritannien röstade kvar, har BBC Newsnight lärt sig.