Lancashires förlust till Warwickshire innebar att Hampshire behövde vinna för att överleva.
De förklarade på 245-9 att lämna Durham 296 från minst 78 overs för seger, som de nådde för att avsluta värdarnas två-års vistelse i topp nivå.
Mark Stoneman (137) och Scott Borthwick (88) utmärkte sig i sina sista innings för Durham innan de gick med i Surrey 2017.
England allrounder Ben Stokes (23 inte ute) slog de vinnande körningar för besökarna.
Hampshire hade valt att slå på under morgonsessionen för att förlänga sin ledning nära 300 och, med Lancashire kämpar vid Edgbaston, blev det snart klart att endast en seger skulle vara tillräckligt för överlevnad.
Ryan Pringle's 7-107 indikerade att Hampshires spinnare skulle vara deras bästa hopp om framgång, men en andra-wicket stand på 162 mellan Stoneman och Borthwick slutade sina chanser att uppnå säkerhet.
Hampshire förvisades från County Championship Division One efter att ha lidit av ett sex-vek hem nederlag av Durham i säsongens sista match.