Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Premier League-sidan ledde när Calum Chambers utmärkt böjde sig in från 18 yards med utsidan av hans fot.
Championship sida Burnley slog tillbaka som Sam Vokes på väg i Tendayi Darikwa kors och en Alex Iwobi avlyssning förnekade Andre Gray efter pausen.
Sanchez - att göra sin första start sedan november - slutade lugnt för att vinna den.
Den chilenska internationalen - som bara har gjort ett substitut sedan den drabbades av en hamstringskada i november - var livlig hela tiden och vände sig i Alex Oxlade-Chamberlains kors efter att Darikwa hade fördrivits i mitten av fältet.
Det kan inte råda något tvivel om att innehavarna förtjänade en plats i söndagens dragning när de njöt av lejonets andel av innehav och chanser, även om Burnley skapade en nervavslutning.
Den imponerande Gray fångade synen av mål sent men kunde inte få meningsfull makt i sitt skott och som besökarna kastade kroppar framåt, ersätta Theo Walcott missade en härlig chans att lägga till en tredjedel på pausen som han misslyckades med att runda Tom Heaton.
Arsenals matchprogram presenterade FA Cup-trofén på framsidan tillsammans med orden "Att ha och hålla".
De flyttar ett steg närmare att efterlikna Blackburn Rovers sida av 1886 genom att vinna en tredje FA Cup i rad, även om detta var långt ifrån vintage.
De gjorde nio ändringar på sidan slagen av Chelsea förra helgen men fortfarande avfyrade 23 skott på Burnley mål som Arsene Wenger upprätthöll sitt rekord av att bara förlora till lägre-league opposition en gång i 41 FA Cup band.
Solida framträdanden från liken Chambers och Iwobi visar att han har en grupp som kan behålla en utmaning i denna tävling, men de oroliga ögonblicken - särskilt med bollen i luften i deras låda - kommer att fortsätta att väcka viss oro.
Mohamed Elneny såg mer av bollen än någon annan spelare - med 100 touchs - på sin första utflykt sedan gå för £ 5m från Basel tidigare denna månad.
Hans slutförande av 96% av hans pass var imponerande men som en djup midfielder, fann han ofta sig själv med gott om tid på bollen, vilket innebär att det kommer att bli hårdare tester framöver.
"Jag kände att han började lite försiktigt, spelade lite säkert", sade Wenger av Elneny. "Han blev mer äventyrlig. Det kommer att ta honom lite tid att anpassa sig till makt sidan av vårt spel här, men intelligensen, rörligheten och den tekniska nivån är bra."
Medan Elneny stod stadigt mellan straffområdena, var Sanchez avgörande inne i lådan.
Han bröt inte steg för att slå hem sitt mål, skapade öppnaren för Chambers och såg livlig hela. Hans återkomst kan vara avgörande inför en nyckel februari när Arsenal spelar liknande ledare Leicester, Barcelona och Manchester United.
Liksom Arsenal, Burnley sitter tredje i deras respektive bord och deras erbjudande på Emirates visar att de har gruset som behövs för att vinna befordran tillbaka till den översta nivån vid första gången man frågar.
Gray missade en tidig en-mot-en chans och såg inställd på att sätta sin sida 2-1 upp efter omstart men för Iwobi sista-ditch intervention.
Hans manager Sean Dyche var djärv i att göra bara två förändringar med en liga fixtur på Sheffield onsdag för att komma på tisdag.
Men Clarets såg sammanhållna och mer avslutande av kvaliteten Vokes visade kunde ha ställt tuffa frågor av Premier League-sidan.
De verkar utan tvekan kunna hålla tempot i den andra nivån.
Arsenal manager Arsene Wenger: "Burnley är en bra sida. Under de första 20 minuterna vi såg ganska i kontroll men när de utjämnade plötsligt kunde du se, energi, engagemang, och vi var tvungna att gräva djupt för att vinna spelet. Varje frispark du oroar dig för Sam Vokes är mycket stark i luften och han gjorde sitt mål - de är starka på set bitar och vi behövde vara alerta."
Burnley manager Sean Dyche: "Det var en närmare affär i år, och vi hade några goda chanser. Jag är verkligen nöjd med tillväxten mina spelare har visat under det året, men vi inte riktigt har tillräckligt och till slut besvikelsen är att vi inte har gått igenom. "
Arsenal värd Southampton på tisdag - där de kunde gå toppen av Premier League - och Burnley resa till Sheffield onsdag på samma kväll som de försöker att stänga en fyrpunkts gap till automatisk befordran platser.
Matchen slutar, Arsenal 2, Burnley 1.
Andra halvlek, Arsenal 2, Burnley 1.
Foul av Mikel Arteta (Arsenal).
Joey Barton (Burnley) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Försök missade. Mohamed Elneny (Arsenal) höger fotade skott från utsidan lådan är nära, men missar till vänster.
Olivier Giroud (Arsenal) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Fredrik Ulvestad (Burnley).
Försening över. De är redo att fortsätta.
Försening i Kieran Gibbs (Arsenal) på grund av en skada.
Försening i matchen (Burnley).
Försök missade. Andre Gray (Burnley) vänster fotade skott från vänster sida av lådan är nära, men missar till vänster. Hjälpt av Joey Barton.
Försök missade. Michael Kightly (Burnley) höger fotade skott utanför lådan är för hög. Hjälpt av Rouwen Hennings efter en viss situation.
Foul av Olivier Giroud (Arsenal).
Joey Barton (Burnley) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Mikel Arteta (Arsenal) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Ben Mee (Burnley).
Offside, Arsenal. Alex Oxlade-Chamberlain försöker en genom boll, men Theo Walcott fångas offside.
Försening över. De är redo att fortsätta.
Försening i match Stephen Ward (Burnley) på grund av en skada.
Försök missade. Alex Oxlade-Chamberlain (Arsenal) höger fotade skott från mitten av lådan är för hög. Hjälpt av Tomas Rosicky.
Bortåt, Burnley. Stephen Ward försöker en genom boll, men Michael Kightly fångas offside.
Mikel Arteta (Arsenal) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Rouwen Hennings (Burnley).
Ersättning, Burnley. Michael Kightly ersätter George Boyd.
Substitution, Arsenal. Theo Walcott ersätter Alexis Sánchez.
Försök missade. Scott Arfield (Burnley) höger fotade skott från mitten av lådan är för hög efter ett hörn.
Hörnet, Burnley. Översatt av Mikel Arteta.
Ersättning, Burnley. Rouwen Hennings ersätter Sam Vokes.
Olivier Giroud (Arsenal) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Stephen Ward (Burnley).
Laurent Koscielny (Arsenal) visas det gula kortet för handboll.
Handboll av Laurent Koscielny (Arsenal).
Försöket räddades. Alexis Sánchez (Arsenal) höger fotade skott från utsidan rutan sparas i det övre vänstra hörnet.
Substitution, Arsenal. Mikel Arteta ersätter Francis Coquelin.
Substitution, Arsenal. Tomas Rosicky ersätter Alex Iwobi.
Alexis Sánchez (Arsenal) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Michael Keane (Burnley).
Francis Coquelin (Arsenal) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av George Boyd (Burnley).
Ersättning, Burnley. Joey Barton ersätter David Jones.
Arsenal upprätthöll förhoppningar om att vinna FA Cup för en tredje säsong i rad som Alexis Sanchez mål bar dem förbi Burnley och in i omgång fem.