President Ian Khama berättade för nyhetsbyrån Reuters att han personligen hade beordrat gripandet.
"Vi vill inte ha hatpropaganda i det här landet. Låt honom göra det i sitt eget land", sade han.
Förra veckan hindrade Sydafrika Anderson från att besöka honom på grund av hans kritiska kommentarer om homosexualitet.
Homosexuella handlingar är olagliga i Botswana, liksom i många afrikanska länder.
Efter att hans visum för Sydafrika förkastades hade Anderson skrivit på sin Facebook-sida: "Tack gode Gud att vi fortfarande har en vid öppen dörr i Botswana."
Anderson deltog i en förmiddagsföreställning hos GabzFM-stationen tillsammans med en lokal pastor och en hbtq-aktivist.
Föreställningens presentatör Reginald Richardson berättade för BBC att Mr Anderson uttryckte förakt för homosexuella under showen och sade att de borde dödas.
Botswanas privata mmegitidning rapporterade att säkerhetsagenter grep pastorn efter radioshowen.
"Jag blir inte arresterad. Jag lämnar Botswana frivilligt," Mr Anderson berättade vittnen på radiostationen, Reuters rapporterar.
Onkokame Mosweu, en kommentator för homosexuella och lesbiska affärer, berömde regeringens agerande men sade att pastorn inte borde ha tillåtits in i landet.
Khama sade att pastorn hade satts upp på en viseringslista efter att han hade förbjudits att resa till Sydafrika, men att ordern inte hade meddelats alla tjänstemän som bemannade landets gränser.
Prästen hade kommit till Botswana sent förra veckan och hade hållit en predikan i en lokal kyrka som han hjälpte till att sätta upp, sade Richardson.
Mr Anderson driver den trofasta ordbaptistkyrkan, som säger att homosexualitet är en styggelse som kan bestraffas med dödsstraff.
Hans kyrka är baserad i den amerikanska staten Arizona och beskriver sig själv som en "gammal, oberoende, fundamental, endast King James Bible, själsvinnande baptistkyrka".
Botswana ska deportera den kontroversielle amerikanske pastorn Steven Anderson efter att han på en lokal radio sagt att homosexuella borde "stenas till döds".