Värdarna stängde på 152-3, en ledning på 128, efter 10 wickets föll på dagen.
Mehedi Hasan Miraz (6-82) reducerade England till 144-8 men Chris Woakes och Adil Rashid satte på 99 för att ge England en första-innings ledning av 24.
Men Imrul Kayes slog en obesegrad 59 och Mohammad Mahmudullah gjorde 47 när Bangladesh återfick initiativet.
Mahmudullah skålades av Englands debutant Zafar Ansari med dagens sista bal efter att vänsterarmssnurren tidigare hade avfärdat Tamim Iqbal för sin första internationella wicket.
Bangladeshs enda segrar sedan deras första test 2000 har kommit mot Zimbabwe och Västindien.
BBC cricketkorrespondent Jonathan Agnew
En annan fluktuerande test ser England på den bakre foten och Bangladesh än en gång överväger seger.
Englands bowlare skapade lite tryck och det är inte omedelbart uppenbart vem som kommer att stiga upp i morgon bitti för att bowla ut Bangladesh. Vad som är säkert är att 250 skulle ta lite att få och Bangladesh är på god väg för att sätta England en verklig utmaning.
Mehedi, 19, plågade England i det första testet i Chittagong och blev bara den tredje spinnaren att ta fem wickets i de första innings av var och en av sina första två Test matcher.
Efter att ha tagit två wickets på dag ett för att reducera England till 50-3, off-spinner Mehedi skålade Moeen Ali i den tredje över dagen, med England allrounder spelar en illa tilltänkta svep.
Ben Stokes var ute i följande over, fångade från Taijul Islam, föra Jonny Bairstow till vecket.
Han satte på 45 med Joe Root för att stabilisera besökarna efter att de hade halkat till 69-5, men Mehedi återvände för att fånga Bairstow lbw för 24 med sin första boll av en ny trollformel - och sedan fick Ansari fångas på Gully för sin femte wicket av innings.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Root slog bra för att göra hans 23: e Test halv-talet, men när Taijul tog hans Wicket England gungade på 144-8.
Woakes (46) och Rashid (44) utmärkte sig som Bangladesh kapten Mushfiqur Rahim roterade sina bowlare, deras partnerskap av 224 bollar och 127 minuter tar England från ett underskott av 76 i ledningen.
Stället var Englands högsta för den nionde korgen i Asien och stod i skarp kontrast till Bangladeshinnings, där de föll från 171-1 till 220 alla ut.
Partnerskapet borde kanske ha avbrutits.
Woakes, på 38 på den tiden, slog en hög full kast från Sabbir Rahman direkt till mitten vekeet fältåkare, men han fick en reprieve när TV umpire Chris Gaffaney bedömde att bollen hade nått fladdermössen över midjan höjd och gav en no-ball, trots senare replays tyder Wicket borde ha stått.
Woakes var så småningom ute när Mehedi återvände med den nya bollen och hävdade sin sjätte wicket, medan Steven Finn var den sista mannen ute för 0 av bowling av Taijul.
Bangladeshs öppningar Tamim och Kayes slogs positivt under den sista sessionen för att utplåna Englands ledning och nådde 65 innan Ansari avfärdade Tamim för att göra anspråk på sin första Test Wicket.
England kapten Alastair Cook då fångade Mominul Haque på glid av Stokes i nästa över och turisterna verkade ha farten.
Men Kayes och Mahmudullah spelade fritt för att sätta på 86 innan Mahmudullah spelade en lös attack skott och var skålade av Ansari med vad som visade sig vara den sista bollen för dagen.
Bangladesh gjorde på nästan fem körningar per över i slutsessionen som Finn och Rashid, båda wicketless i den första innings, gick på sex körningar per over, medan Woakes medgav 14 från hans två overs.
England allrounder Chris Woakes på BBC Test Match Special: "Den Wicket i slutet ger oss lite hopp går in i morgon. Jag tror att vi har haft en ganska bra dag.
"Vi skulle ha velat ha några fler körningar tidigt i morse, men samarbetet mellan mig och Rash fick oss att gå före dem.
"Jag tror inte att planen kommer att bli bättre - det kommer bara att bli värre, om något. Vi har en lång line-up men vi vill inte jaga för många.
"Det är viktigt när vi kommer ut imorgon vi försöker först att hålla hastigheten nere så att de inte kommer bort från oss, men också se till att ta Wickets. Det är svårt att göra.
"Om vi kan plocka upp några tidiga, vi vet att de kan rulla lätt."
England står inför en kamp för att förhindra Bangladesh att tjäna sin mest kända Test seger efter en absorberande andra dagen av det andra testet i Dhaka.