Redmond, en England Under-21 internationell, har kommit överens om ett femårigt kontrakt med Saints.
Norwich, som förvisades från Premier League i maj, undertecknade 22-åringen från Birmingham City för £3.2m i juli 2013.
"De gillar att spela attackerande fotboll och det är en stil jag känner att jag verkligen kan passa in bra med," Redmond sade.
"När Southampton sa att de var intresserade, kändes det som rätt drag för mig. Jag kan utveckla mitt spel här."
Birmingham-födde Redmond gjorde 122 framträdanden och gjorde 13 mål under sin treåriga trollformel med Norwich.
Redmond har spelat på varje ungdomsnivå för England, spelar tillsammans med Saints trio James Ward-Prowse, Jack Stephens och Matt Target för England Under-21s på Toulon Tournament tidigare i sommar.
Southampton saknar en manager efter Ronald Koemans avresa till Everton.
Southampton har undertecknat Norwich City ytter Nathan Redmond för oanmäld avgift som tros vara värd 10 miljoner pund.