Efter att ha återupptagit 41 bakom på 322-7, Bears "hoppen om att rädda spelet ganska mycket vilade på Jonathan Trott.
Men Tom Curran bröt igenom, fånga Jeetan Patel lbw - och Trott lagt bara 10 till sin poäng innan holo ut från Mark Footitt för 151.
Chris Wright skålades då av Curran som Warwickshire var alla ute för 362.
Det var en bra andrainnings ansträngning av björnarna, byggd runt 41: a århundradet av Trott första klass karriär.
Men de stirrade alltid på nederlag efter att ha bowlats ut för 91, båda sidor av te på lördag, att följa-på 363 körningar i efterskott - och de tar bara en enda punkt från matchen.
Det var kanske passande att Footitt avslutade Trotts episka knackning, på åttonde över morgonen, efter att den före detta England fladdermössen hade siktat ett översnitt på en kort boll från vänster-arm paceman, bara för att se det ballong i Dom Sibleys händer på tredje man.
Det gav Footitt en match drag av åtta wickets att fortsätta England hoppfull fin form sedan nå full kondition igen i slutet av förra säsongen.
I Surreys tre senaste hemmamästerskapsmatcher som går tillbaka till förra säsongen, av en möjlig 50 wickets, Footitt har tagit 22 av dem.
Efter att ha öppnat upp med en 23-punkt drag, Surrey nästa match är också hemma mot Lancashire, börjar på långfredagen, när Warwickshire är också tillbaka i strid, värd Yorkshire på Edgbaston.
Överfallskapten Gareth Batty sa till BBC Radio London:
"Vi är jätteglada. Både Mark Footitt och Mark Stoneman kommer att få beröm för sina första inningsföreställningar, men vi kan bli bättre. Det här är bara en seger.
"Det faktum att vi kunde utelämna två England spelare (Stuart Meaker och Zafar Ansari, plus Jason Roy, som spelar i IPL) är ett stort uttalande. Men vi är inte ett 11-mannalag. Allt handlar om gruppen. Det kan vara jag som sitter ut nästa match eftersom folk kommer att behöva vila och vi kommer alltid att välja rätt lag för ytan.
"Det finns några riktigt bra team i den här divisionen. Vi har nu världens bästa inhemska cricket i första klass. Den cricket jag har sett spelas de senaste två eller tre åren har varit den bästa av min tid i spelet.
"Full kredit till Trotty, som fortfarande är en av de bästa spelarna i landet. Det var en mycket bra läxa för våra bowlare att se hur någon så bra går till väga."
Warwickshire bowlingtränaren Alan Richardson sa till BBC WM:
"Du kan helt enkelt inte ge sidorna den typ av start vi gav dem de första dagarna.
"Vi är glada att vi visade lite kamp efter det, och Trotty var superb, men detta spel är en väckarklocka för oss.
"Vi skålade bra den andra dagen också, men totalt sett är vi besvikna. Vi har talat om hur vi behöver studsa tillbaka."
Surrey tog mindre än en timme på den sista morgonen på Oval för att avsluta en säsong-öppnande seger över Warwickshire med en innings och en körning.