Paret dök upp framför tusentals fans vid en nyhetskonferens i Los Angeles - den första av fyra evenemang kallas för att främja Las Vegas kamp.
"Rörelsen, makt, vildsinthet - han har inte upplevt detta", sade UFC lättviktsmästare McGregor, 28.
Mayweather svarade: "Jag garanterar att du går ut på ansiktet eller ryggen."
Den tidigare fem-vikts världsmästaren, 40, sade att han var en "gammal man" men "fortfarande hade tillräckligt" för att slå McGregor, som aldrig har boxats professionellt.
Han retade McGregor, hävdade att han "bara gjorde $3m i sin sista match" och hänvisade till irländarens underkastelse nederlag av Nate Diaz 2016, hans enda förlust sedan han gick med i UFC tre år tidigare.
"Vi vet 'Mr Tap Out' gillar att sluta och du kommer att vifta med den vita flaggan," tillade Mayweather.
McGregors kostym för händelsen innehöll pin-stripes som bestod av en offensiv tvåordsförolämpning.
Han var först med att bryta tystnaden när paret stirrade på varandra efter långa promenader till scenen. Han började dansa framför Mayweather innan båda tilltalade publiken med utsvävande tal.
"Hans små ben, lilla kärna, lilla huvudet, jag kommer att slå ut honom inuti fyra rundor, markera mina ord," sade McGregor. "Jag är en ung, självsäker, lycklig man som har arbetat extremt hårt för detta."
Dublin-född McGregor sade boxningsmatchen erbjöd "en begränsad uppsättning regler" och pekade på krav han säger Mayweathers team har gjort för att gå med på en kamp som enligt uppgift kommer att tjäna varje man runt $ 100m (78,5 miljoner pund)
Han tillade: " Alla dessa regler och restriktioner - handskarna måste vara 10oz, ge honom handskarna, inga problem. Inga mexikanska handskar, inga problem. Inga handskar gjorda av hästhår, bra. Allt jag behöver är en tuggummi sköld, rada upp mig till ringen och jag är redo att gå."
Kampen har dragit kritik från vissa inom boxning med tanke på McGregors brist på rekord inom sporten.
Som båda män tog till scenen, var deras utseende den främsta trenden globalt på Twitter.
Mayweather drog sig tillbaka från boxningen efter att ha tagit sitt rekord till 49 matcher obesegrade med seger över Andre Berto 2015.
Han har hållit 11 stora världstitlar men har inte stoppat en motståndare inne i avståndet sedan 2011, en punkt McGregor refereras på scenen.
De två männen kommer att närvara vid ytterligare reklamevenemang i Toronto i Canada på onsdag, Brooklyn i New York på torsdag och London på fredag.
Conor McGregor lovade att slå ut Floyd Mayweather inom fyra ronder när de möttes av för första gången för att främja sin 26 Augusti bout.