45-åringen ledde Cumbrian sida till sjunde i National League den här säsongen, sju poäng från play-offs.
Pools försvarare Matthew Bates hade varit i vårdare ledning av sidan efter Dave Jones lämnade i april.
Barrow ägare Paul Casson har sagt Cox har en betydande buy-out klausul.
Hartlepools nedflyttning på säsongens sista dag innebar att de hoppade av fotbollsligan för första gången på 96 år.
Delegerad League Två sidor Hartlepool United har fått tillstånd att tala med Barrow manager Paul Cox om deras lediga chefsposition, rapporterar BBC Radio Cumbria.