Efter att ha återupptagit 397-9, på-lån Nottinghamshire allrounder Will Gidman (75*) och Mitch Claydon (46) förlängde sitt sista vekeet partnerskap till 75.
När besökarna slog igen, 240 bakom, George Rhodes (55) nådde sin jungfru första klass halv-talet.
Men Gidman tog två wickets för att hjälpa till att reducera Worcestershire till 213-6.
De spårar fortfarande Kent med 27 kör med fyra wickets kvar och, med undantag för dåligt väder, Steve Rhodes sida titta på kursen för endast deras andra Championship nederlag för säsongen.
Den enda trösten för Rhodos var formen av hans 22-årige son George, på bara hans andra första klass framträdande.
Spela som en nödöppnare i frånvaro av skadade nya England Lions internationella Brett D'Oliveira, gjorde han 55 i en öppningsmonter på 94 med skeppare Daryl Mitchell (43).
Men Gidman tog bort båda öppningarna i snabb följd och trots 32 från Tom Fell, efter förlusten av Ross Whiteley till James Tredwell i dagens final över, besökarnas smala överlevnad hoppas nu till stor del i händerna på natten inte ut fladdermössen Ben Cox (35*).
Kent off-spinner James Tredwell berättade för BBC Radio Kent:
"Det har varit en foglig typ av tonhöjd men det har bara börjat vända lite. Du får dina belöningar om du håller dig till din linje och längd tillräckligt länge.
"Det är ett tålamod pitch där du måste försöka dra ett misstag ur fladdermössen. Det är lite tufft, så jag försökte uppmuntra den enstaka körningen när det inte är något på gång.
"Vi är fortfarande 30 lopp till det goda och vi backar upp oss själva för att avsluta jobbet på den sista dagen."
Worcestershire allrounder George Rhodes berättade för BBC Hereford & Worcester:
"Det var en fantastisk känsla och det skulle vara ännu bättre om vi inte hade förlorat sex wickets i slutet. Jag njöt verkligen av utmaningen och är så glad att jag lyckades ta tillfället i akt.
"Jag visste på vägen ner till Kent att jag skulle gå in högst upp när Mitch sa till mig "få ditt huvud runt öppna".
"Det har varit en stor upplevelse mot några ganska anständiga bowlare. Det är en torr pitch och de är väldigt mycket bowling Wicket-to-wicket så det är svårt att göra mål flytande nu."
Worcestershire slutade den tredje dagen i Canterbury i fara för en innings nederlag av County Championship Division Två befordran rivaler Kent.