Stoneman, som återupptogs på 83, nådde 111 innan han sprang ut för att lämna besökarna 252-7, fortfarande 13 springer efter.
Paul Coughlin (49) och John Hastings tog dem framåt, men båda föll till Rikki Clarke efter lunch och Keith Barker avslutade innings med sin femte wicket som Durham var alla ute för 327.
Warwickshire förlorade två snabba wickets men Ian Westwood (32no) såg dem till 63-2.
Vinsten, som tjänade hemmasidan högst 24 poäng, såg dem behålla sin obesegrade start på säsongen i Division One, medan Durham har nu förlorat två matcher, men förblir tvåa.
Men matchen kommer att kommas ihåg främst för Barkers ansträngningar med både fladdermus och boll som han trångt missade på att bli den första Warwickshire spelare sedan 1911 att göra mål ett århundrade och ta 10 wickets i en första klass spel - som hans 5-103 gav honom match siffror 9-157.
Återuppta på 189-4, fortfarande behöver 76 körningar för att göra värdarna fladdermus igen, Clarke bort skeppare Paul Collingwood lbw tidigt även om den tidigare England fladdermössen såg från imponerad av beslutet.
Stoneman tog snart upp sitt första århundrade av säsongen från 179 bollar, men Durham var ytterligare i trubbel när den oformiga Phil Mustard kantade Barker till William Porterfield på tredje slip.
Sedan, precis som det såg ut att han skulle ta Durham i ledningen, Stoneman var farsalt sprang ut från non-striker slut som han gick för en singel, men skickades tillbaka av Coughlin och 17-årige substitut fältskytt Aaron Thomason svepte för att skicka bollen tillbaka till Jeetan Patel som piskade av borgen.
Coughlin och Hastings höjde poänggraden före lunch med ett femtiotal stånd, men alla förhoppningar om att rädda spelet släcktes kort efter intervallet när båda var ute till Clarke (3-61) i samma over.
Barker avslutade inningen när han fick Chris Rushworth fångad av Clarke för att avsluta med sin 10: e fem-wicket drag i förstklassig cricket.
Kräver bara 63 för seger, men utan kapten Varun Chopra som träffades på benet medan fielding, fann värdarna snart sig 12-2 efter Porterfield föll tredje bollen och Jonathan Trott sprang ut.
Westwood och Laurie Evans stabiliserade alla nerver för att se sin sida hem i 17.4 overs.
Warwickshire allrounder Keith Barker:
"I dessa två senaste matcher har vi varit mer 'Warwickshire' än vi hade tidigare och förhoppningsvis kan vi fortsätta det.
"Jag tror att vi alltid kommer att vara där uppe eller däromkring i Championship cricket speciellt.
"Det är bara en fråga om att få på en rulle och se till att vi är i strid mot slutet av säsongen."
Durham tränare Jon Lewis:
"Vi var ganska positiva i morse. Vi kände att med sex wickets kvar vi var i med en chans att göra något av dagen.
"Mark spelade riktigt bra men rymningen var inte en bra bit av kommunikation, och tyvärr Mark var offret.
"Det är en hektisk tid på väg upp men vi har visat motståndskraft tidigare. Jag vill inte behöva visa motståndskraft efter nederlag, men det är något vi måste göra."
Warwickshire slog in en åtta-wicket seger över Durham trots ett krigande århundrade från öppnaren Mark Stoneman.