Den franska midfielder har accepterat en våldsam uppförande anklagelse för händelsen under lördagens mållösa dragning.
Sissoko, 27 år, bad om ursäkt men åtalades av fotbollsförbundet. Spurs kommer inte att överklaga beslutet.
Hans avstängning kommer att omfatta tisdagens EFL Cup slips på Liverpool, plus liga matcher mot Leicester och Arsenal.
FA sa att händelsen missades av matchtjänstemän.
"Jag måste säga armbågen var i ansiktet på Arter och det är klart," Spurs manager Mauricio Pochettino sade på måndag.
"Vi är i en period där vi behöver alla truppen, alla spelare för att tävla. Det är svårt nu eftersom han är en spelare som var i våra planer att spela i morgon, så vi måste ändra lite."
På tal om match dagen efter lördagens match, Arter sade att han var glad att acceptera Sissokos förklaring att kontakten var oavsiktlig.
Han sa: "Jag vill aldrig se en spelare hamna i trubbel om de inte menade det. Sissoko bad om ursäkt. Jag är glad att gå vidare från det."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Tottenhams Moussa Sissoko kommer att förbjudas för tre matcher för att armbåga Bournemouths Harry Arter, som saknar norra Londons derby med Arsenal.