Den East Antrim MP hade funderat på att lägga fram sitt namn efter att Nigel Dodds uteslutit sig själv.
Finansminister Arlene Foster är den enda person som hittills deklarerat intresse och har stöd av en majoritet av partiets mest högt uppsatta valda företrädare.
Nomineringar för att bli nästa ledare för DUP stänger senare på onsdag.
Peter Robinson meddelade i november att han avstod som partiledare.
I tisdags sade Foster att hon var "mycket ödmjuk" av det stöd hon fått från partikolleger.
Wilson tänkte länge och hårt på sitt beslut och talade med bland annat partikollegerna Foster och Dodds.
Till slut ansåg han att det skulle vara i partiets bästa intresse att han inte lade fram sitt namn.
Han kände att han ville se till att det blev en smidig övergång och det innebär nästan säkert nu att Arlene Foster kommer att bli den nya DUP-ledaren och den nya första ministern på Stormont.
Hon sa att hon såg fram emot att leda DUP, om det var partiets önskan.
Foster sade att hon hade hoppats på att få arbeta tillsammans med Dodds som ett team.
"Vi kommer fortfarande förhoppningsvis att arbeta tillsammans som ett team och det är verkligen min önskan för framtiden", sade hon.
I en tweet i måndags kväll sade Robinson att han hade fått "en giltig nominering" från Foster för tjänsten som DUP-ledare.
"Arlenes nominering lämnades in med stöd av över 75 % av de röstberättigade i valakademin", tillade han.
Sammy Wilson har sagt att han inte tänker ställa upp i DUP-ledningen.