Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Jack Duggans sena vinnare säkrade en 1-0 seger på tisdag och satte upp en tredje rond slips på Wycombe i januari.
Stourbridge hade gått ut i rond två under tre av de föregående fem säsongerna.
"Detta måste vara den största (uppnåelse) slå en League En sida hemma," Hackett berättade BBC WM 95.6.
"Det här är vad FA Cup handlar om."
Hackett, som har varit chef för sin hemstadsklubb sedan 2004, fortsatte: "Jag tyckte att vi var enastående. Vi hade inte tur, vi var det bättre laget.
"Det är en av dessa speciella nätter och det är ett bra tillfälle för alla som har anknytning till fotbollsklubben.
"Alla som är knutna till den här fotbollsklubben är hjältar. Jag talade med en gentleman som kommer på coachen varje vecka och aldrig missar ett spel hem eller bort - Jag sa till honom "dessa nätter är för dig".
"Hugh (Clark, Stourbridge president) har varit här 50 år och upplevt några tuffa tider på denna fotbollsklubb, så han blir belönad. Det gör vi alla."
Northampton, som är 13:e i League One, startade matchen fyra divisioner och 89 liga platser ovanför Stourbridge - som började dagen åttonde i Northern Premier League - i den engelska fotbollspyramiden.
Chef Rob Page berättade för BBC Radio Northampton: "Det bättre laget vann och det sårar mig att säga det, men kredit måste gå till dem.
"Det är svårt att ta och jag skäms just nu. Vi tar all kritik vi får och vi förtjänar allt vi får för detta."
Den tidigare världsförsvararen i Wales tillade: " Jag ber om ursäkt för den föreställningen, jag förväntade mig inte det alls. Stourbridge förtjänade sin seger, vi gratulerar dem och önskar dem allt gott, men vi är alla sårade."
Chef Gary Hackett sade Stourbridge var "utstående" i sin chock FA Cup andra omgången nederlag av League One Northampton som den sjunde-tier sidan nådde runda tre för första gången.