Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Kerber, som nådde förra årets final, har kämpat för form 2017 och förlorade i den första omgången av Franska Öppna.
Även om inte som bäst mot världsnummer 247 Falconi, kom den 29-årige tysken igenom 6-4 6-4.
Kerber kommer att spela Belgiens Kirsten Flipkens för en plats i omgång tre.
"Den första omgången här är alltid tuff", säger Kerber.
"Det var en bra match från oss båda och det är alltid bra att ha en svår match i första omgången. Hon hade inget att förlora; hon kom från genom kvalificeringarna."
Kerber vann Australian Open och US Open 2016 och nådde finalen i Wimbledon, där hon förlorade 7-5 6-3 till Serena Williams.
Hon visade först glimtar av sin bästa form när hon återvände till Centre Court på tisdag, racing i en 3-0 ledning i den första uppsättningen.
Men 15 obetvingade fel och en imponerande uppvisning av Falconi innebar att Kerber var tvungen att arbeta för sin plats i den andra omgången.
Nio gånger Wimbledon singlar mästare Martina Navratilova
Kerber sa att minnena från förra årets final kom tillbaka. Hon kom ut och spelade som förra året i finalen.
Hon behöver komma in i det tänkandet mer om hon vill komma in i finalen igen.
Det var definitivt en mycket bättre prestation än vi har sett hittills i år. Hon behöver fortfarande vara mer aggressiv, men det var ett steg i rätt riktning.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Kerber kommer att förlora sin första ranking om hon inte når finalen och en av dem som kan ta den från henne, Karolina Pliskova, brisade in i den andra omgången.
Världs nummer tre Pliskova slog Caroline Wozniacki för att vinna Aegon International på Eastbourne förra veckan och fortsatte hennes goda form med en 6-1 6-4 seger mot Evgeniya Rodina av Ryssland på tisdag.
Samtidigt krävdes det Wozniacki tre uppsättningar för att se av utmaningen av ungerska Tímea Babos.
Tidigare värld nummer ett Wozniacki, för närvarande sjätte i rankingen, vann 6-4 4-6 6-1.
Pliskova kommer att spela slovakiska världsnummer 87 Magdalena Rybarikova i omgång två medan Wozniacki tar på Bulgariens Tsvetana Pironkova för en plats i omgång tre.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Ryska Anastasia Pavlyuchenkova, den 16:e fröet, blev den högst rankade kvinnan att bli knockad när hon förlorade 3-6 7-6 (8-6) 9-7 mot australiensisk kvalificerare Arina Rodionova.
Seger för Rodionova, som rankas på 166:e plats, var hennes första singlars seger på Grand Slam.
Agnieszka Radwanska, finalist i Wimbledon 2012, såg bort utmaningen av tidigare värld nummer ett Jelena Jankovic att nå den andra omgången.
Den nionde fröet från Polen kantade den första uppsättningen på slips-break innan blåsning genom den andra för att vinna 7-6 (7-3) 6-0.
Frankrikes Kristina Mladenovic, sådd 12th, besegrade landsman Pauline Parmentier 6-1 6-3 medan Spaniens 23-åriga Garbine Muguruza, frö 14th, slog Ekaterina Alexandrova av Ryssland 6-2 6-4 till framsteg.
Tidigare världsmästare Victoria Azarenka, som nyligen har blivit mamma, har klagat på det "tuffa" schemat på Wimbledon efter att ha fått vänta på All England Club hela dagen på måndagen för sin första omgången match.
Azarenka, som nådde Wimbledon semifinal 2011 och 2012, spelade på måndag för bara tredje gången sedan hon födde sin son Leo i december.
Hennes match var inte planerad till en specifik domstol på spelordern, inlämnad under "kommer att tillkännages".
"Jag var tvungen att vara här hela dagen, vilket, för en ny mamma, är lite tufft", sade hon.
"Förhoppningsvis ska jag inte spela så här igen."
Första världen Angelique Kerber undvek en tidig upprörd när hon övervann den uppblåsta amerikanska kvalet Irina Falconi för att nå den andra omgången av Wimbledon.