Den nya regeln kommer från Irans högsta råd i cyberrymden och företag har fått ett år på sig att följa.
Kampanjgruppen Privacy International beskrev det som "extremt oroande" men sade att det kunde visa sig svårt att genomdriva.
Irans mest populära meddelande app är Berlin-baserad tjänst Telegram, tros användas av en av fyra iranier.
Meddelanden som delas via Telegram, som är gratis att använda, krypteras och kan ses av många användare samtidigt.
Telegram kunde inte nås för kommentarer, men rapporter som cirkulerar på sociala nätverk som man har beslutat sig för att följa anses vara felaktiga.
De flesta sociala nätverk är officiellt blockerade av staten men många människor kan få tillgång till dem via tjänster som Virtual Private Networks (VPNs), som döljer en webbläsares geografiska plats.
Landets president Hassan Rouhani har aktiva Twitter-konton på engelska och persiska.
Enligt min mening har Telegram ett tufft arbete framför sig när det gäller att besluta om man ska gå vidare med vad regeringen vill.
Folk är oroliga för att förlora den, men de säger också att de kommer att sluta använda den om byrån följer den nya lagen.
Detta är en stor sak för människor i Iran. De är mycket känsliga när det gäller säkerhet.
Om Telegram gör vad som krävs, då kommer regeringen att ha kontroll över innehållet, den kan övervaka vem som säger vad, och den kan arrestera människor.
Appen stängdes av kort förra året för att vägra att följa regeringen - och det ökade dess popularitet.
Nyligen BBC Persiska berättade om gymnasieelever som protesterade mot sina prov - de skapade en Telegram grupp för att mobilisera och informera andra studenter om protesten.
Gruppen fick 20 000 prenumeranter och protesten gick bra. Men så fort media fick täckning sa regeringen till gruppadministratörerna att stänga ner den.
På kort tid minskade antalet abonnenter till bara 300.
Snabbmeddelanden apps måste lagra data om iranska användare inne i landet, Iran har beställt.