Mittfältaren försökte sin tur från 40 yards ut efter att ha sett Lawrence Vigouroux från sin linje för att göra mål sitt sjätte mål för säsongen innan han tog sin sjunde i andra halvan.
Swindon's Darnell Furlong gav bort bollen till Oztumer i 17: e minuten och 25-åringen tog initiativet och seglade bollen över en hjälplös Vigouroux.
Hemsidan kunde ha utjämnats på halvtid efter Yaser Kasims perfekt viktade pass hittade Nathan Delfouneso i området men han misslyckades med att få ett skott bort.
Andreas Makris borde ha gjort det 2-0 till Walsall i 46: e minuten efter att han presenterades med ett tomt mål men han slog crossbaren från nära håll.
Oztumer hävdade sin andra i 51: a minuten, kontrollera en lång boll över toppen innan volleying in i baksidan av nätet för att säkra punkterna för Saddlers.
Rapport från pressorganisationen
Matchen slutar, Swindon Town 0, Walsall 2.
Andra halvlek, Swindon Town 0, Walsall 2.
Foul av Yaser Kasim (Swindon Town).
Joe Edwards (Walsall) vinner en frispark i anfallshalvan.
Försöket räddades. Bradley Barry (Swindon Town) vänster fotade skott från en svår vinkel till vänster sparas i mitten av målet.
Bradley Barry (Swindon Town) vinner en frispark på högerkanten.
Amadou Bakayoko (Walsall) visas det gula kortet.
Foul av Amadou Bakayoko (Walsall).
Hörnet, Walsall. Förföljd av Bradley Barry.
Foul av John Goddard (Swindon Town).
Franck Moussa (Walsall) vinner en frispark i defensiva halvan.
Hörnet, Walsall. Förföljd av Darnell Furlong.
Försöket räddades. Erhun Oztumer (Walsall) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i toppen av målet.
Substitution, Walsall. Josh Ginnelly ersätter Kieron Morris.
Joe Edwards (Walsall) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Luke Norris (Swindon Town).
Conor Thomas (Swindon Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Amadou Bakayoko (Walsall).
Försök missade. Kieron Morris (Walsall) vänster fotade skott utanför lådan är nära, men missar till höger.
Conor Thomas (Swindon Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Amadou Bakayoko (Walsall).
Conor Thomas (Swindon Town) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Amadou Bakayoko (Walsall).
Försök missade. John Goddard (Swindon Town) höger fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till vänster.
Försök blockerat. John Goddard (Swindon Town) höger fotade skott från utsidan lådan är blockerad.
Yaser Kasim (Swindon Town) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Jason McCarthy (Walsall).
Försöket räddades. Anton Rodgers (Swindon Town) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet.
Försök missade. Nathan Delfouneso (Swindon Town) höger fotade skott från höger sida av sex yard box är hög och bred till höger.
Foul av Yaser Kasim (Swindon Town).
Franck Moussa (Walsall) vinner en frispark i anfallshalvan.
Substitution, Swindon Town. Luke Norris ersätter Ellis Iandolo.
Försök missade. Kieron Morris (Walsall) vänster fotade skott från mitten av lådan är för hög.
Substitution, Walsall. Amadou Bakayoko ersätter Andreas Makris.
Nathan Delfouneso (Swindon Town) vinner en frispark på högerkanten.
Kevin Toner (Walsall) visas det gula kortet för en dålig foul.
Foul av Kevin Toner (Walsall).
Foul av Yaser Kasim (Swindon Town).
Andreas Makris (Walsall) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Mål!  Swindon Town 0 och Walsall 2. Erhun Oztumer (Walsall) vänster fotade skott från mitten av lådan till nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Kevin Toner.
Erhun Oztumers djärva lob satte Walsall på kurs mot seger när de slog Swindon i League One.