Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Adam Lallana och Jordan Henderson gjorde mål för att säkra en första Premier League seger för laget sedan slutet av augusti.
Innan segern över West Brom, förra årets Premier League löpare-up hade vunnit bara två av sex liga matcher.
"Det var tillfredsställande. Vi var tvungna att visa karaktär och motståndskraften hos spelarna var fantastisk, "sade Rodgers.
Norra irländaren berömde Anfield publiken för att ha gett sitt team "lyft" efter besökarna utjämnas genom en kontroversiell Saido Berahino straff.
Rodgers förutspådde också hans teams form skulle förbättras, med Daniel Sturridge, Joe Allen och Emre Kan förväntas återvända från skada efter den kommande två veckor internationella paus.
Liverpools nästa match kommer att vara mot nederst på bordet QPR den 19 oktober.
"Självklart från och med nu, han kommer att ha kursen i den internationella pausen för att göra sig redo, och han kommer att vara bra för QPR," Rodgers sade om Sturridge, som har missat sju matcher sedan skada låret medan han är i internationell tjänst med England
Den sista Liverpool match Sturridge presenterade i var 3-0 seger över Tottenham i augusti - deras sista liga seger innan segern över Baggies.
"Vi visade stor potential mot Tottenham och när vi får alla spelare tillbaka och vi kan rotera gruppen lite bättre som kommer att hjälpa oss," tillade Rodgers.
Innan matchen hade den tidigare Swansea manager medgett att hans team var oigenkännlig från förra säsongens titel utmanare.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Det var långt ifrån en polerad föreställning mot West Brom, men 41-åringen sade att de tre punkterna var allt som spelade roll.
"När vi arbetar mer tillsammans kommer kvaliteten på vårt spel att förbättras och prestandan kommer att förbättras men du måste hitta ett sätt att vinna och vi gjorde det", sade han.
"Det var emot ett lag som kom in med gott självförtroende efter att ha vunnit 4-0 förra veckan (mot Burnley).
"De håller rena lakan, de är svåra att slå och vi hittade ett sätt att bryta igenom det motståndet och vinna. Det var viktigt för oss före den internationella pausen."
Rodgers ifrågasatte också Michael Olivers beslut att ge besökarna ett straff när Dejan Lovren verkade foul Berahino på kanten av lådan.
"Det var aldrig ett straff", sade Rodgers. "Tack och lov fortsatte vi och kanske hade ett straff själva men lyckligtvis för Michael vi gjorde."
Liverpool manager Brendan Rodgers beskrev sitt lags 2-1 seger mot West Brom som en "stor seger" efter en stamning start på säsongen.