Sunday Times säger att missilen gick ur kurs under ett prov i juni förra året - veckor innan Commons röstade för att spendera 40 miljarder pund på att förnya Trident.
I en fråga från Andrew Marr vägrade statsministern att säga fyra gånger om hon hade vetat om provet inför omröstningen.
SNP:s Nicola Sturgeon krävde ett "fullständigt avslöjande" av vad som hände.
Enligt Sunday Times avgick en obeväpnad trident II D5-robot i fel riktning mot USA - istället för mot Afrika - när den avfyrades från en brittisk ubåt utanför Floridas kust.
I juli - dagar efter det att May hade blivit premiärminister - röstade parlamentsledamöter med överväldigande majoritet för att ersätta Trident.
Under debatten sade May till parlamentsledamöterna att det skulle vara "en handling av grov oansvarighet" för Förenade kungariket att överge sina kärnvapen.
Parlamentsledamöterna stödde förnyelsen med 472 röster mot 117. Alla 52 SNP-parlamentariker röstade dock emot det - liksom Labourledaren Jeremy Corbyn.
När fru May tillfrågades på BBC:s Andrew Marr Show om hon hade vetat då att en feltändning hade inträffat, sade hon: "Jag har absolut förtroende för våra treuddiga missiler.
"När jag höll det talet i underhuset var det vi talade om om huruvida vi skulle förnya vår Trident."
Hon blev tillfrågad ytterligare tre gånger - men svarade inte på frågorna.
Försvarsministeriet gav inga detaljer om testprocessen, men sade att det hade varit en framgång.
Scottish First Minister, fru Sturgeon - en gammal motståndare till Trident, vars ubåtar är baserade vid Faslane, vid floden Clyde - sade att den uppenbara feltändningen var en "mycket allvarlig fråga".
Hon twittrade: "Det borde vara fullt avslöjande av vad som hände, vem visste vad/när, och varför underhuset inte fick veta."
Under tiden sade Corbyn att man i betänkandena efterlyste "en seriös diskussion".
Han sa till Sky News: "Det är ett ganska katastrofalt misstag när en missil går i fel riktning, och även om den inte var beväpnad, gud vet vilka konsekvenserna av det kunde ha varit."
Nia Griffith, skuggförsvarets sekreterare, sade att det var "helt oacceptabelt" att May hade "sidotrappat" frågor.
Hon uppmanade premiärministern att ge parlamentet en "fullständig förklaring" på måndagen.
Amiral Lord West, Labour-kollegan och före detta marinofficer, sa att det var "bizarre och dum" att inte berätta för någon om testet.
Kampanjen för kärnvapennedrustning (CND) beskrev rapporter om feltändning som ett "mycket allvarligt misslyckande".
"Det råder absolut ingen tvekan om att detta skulle ha påverkat debatten i parlamentet om Trident ersättare," dess generalsekreterare Kate Hudson sade.
Ett uttalande utfärdat av både Downing Street och MoD sade kapaciteten och effektiviteten av Trident var "odiskutabel".
"I juni genomförde Royal Navy en rutin, obeväpnad Trident missil test avfyrning från HMS Vengeance, som en del av en operation som är utformad för att certifiera ubåten och dess besättning.
"Vengeance och hennes besättning testades framgångsrikt och certifierades, vilket gjorde det möjligt för Vengeance att återvända i tjänst. Vi har absolut förtroende för vår oberoende kärnvapenavskräckning."
Sunday Times säger att branden avfyrades från HMS Vengeance.
Det säger Trident II D5-roboten var avsedd att avfyras 9.012 km till ett havsmål utanför Afrikas västkust men avled mot USA.
Orsaken är fortfarande topphemlig, säger tidningen, men den citerar en överordnad marin källa som säger att missilen drabbades av ett fel under flygning efter avfyrandet ur vattnet.
HMS Vengeance, en av Förenade kungarikets fyra ubåtar i Vanguard-klassen, återvände till havet för försök i december 2015 efter en £350m ombyggnad, som inkluderade installation av ny utrustning för uppskjutning av robotar och uppgraderade datorsystem.
Enligt Sunday Times förväntas försvarsminister Michael Fallon kallas till underhuset för att svara på frågor från parlamentsledamöter.
BBC försvarskorrespondent Jonathan Beale sade medan MoD har beskrivit testet som en framgång för besättningen och båten, det har inte förnekat rapporten att själva missilen kan ha avlidit ur kurs.
Tidigare har MoD utfärdat ett pressmeddelande och video av framgångsrika tester men dess tystnad vid detta tillfälle har väckt frågor om huruvida något fel avsiktligt hölls tyst inför nyckelomröstningen, vår korrespondent tillade.
Trident-systemet förvärvades av Thatcher-regeringen i början av 1980-talet som en ersättning för Polaris missilsystem, som Storbritannien hade haft sedan 1960-talet.
Trident började användas på 1990-talet. Det finns tre delar - ubåtar, missiler och stridsspetsar. Även om varje komponent har år kvar av användning, kan de inte pågå i all oändlighet.
Den nuvarande generationen av fyra ubåtar skulle börja avsluta sitt arbetsliv någon gång i slutet av 2020.
En guide till Tridentdebatten
Theresa May kommer att utsättas för påtryckningar för att säga om hon kände till ett rapporterat missfall av Förenade kungarikets kärnvapensystem före en avgörande omröstning i Commons.