Skuggadvokaten bad om ursäkt för meddelandet, som visade ett radhus med tre flaggor i England och en vit skåpbil parkerad utanför.
UKIP sa att hon hade "nereed, och tittade nerför näsan på en vit van i Strood med korset av St George på den".
Labourledare Ed Miliband var "angripen" på henne, berättade en högre person för BBC.
Husets invånare, Dan Ware, sa att Thornberry - MP för Islington South och Finsbury - var en "snobb".
"Jag har ingen aning om vem hon är - men hon är en snobb," sa han till solen. "Vi sätter upp flaggorna för VM (2014) och kommer att fortsätta att flyga dem."
Ware, en bilhandlare, sade att han aldrig skulle rösta på Labour i framtiden och tillade att det inte var "betydelse" som var i regeringen.
"Jag tror att de (arbetar) behöver komma ut ur sina herrgårdar och besöka arbetarklassen. Hon och Ed (Miliband) borde komma och be mig om ursäkt."
Thornberry publicerade bilden på torsdag, medan omröstningen ägde rum i valet i Kent. Vid sidan av bilden skrev hon: "Bild från Rochester."
Labour kom trea i den uppmärksammade undersökningen bakom UKIP, som vann platsen och såg sin andra parlamentsledamot vald till Westminster.
När hon talade utanför sitt hem i London sa Thornberry att hon hade "gjort ett misstag" och bett om ursäkt "om hon hade upprört eller förolämpat någon".
Skugga utrikesminister Douglas Alexander sade Labour ledare Ed Miliband hade "inte hållit tillbaka" i att uttrycka sin bestörtning med MP: s handlingar.
"Den som vill ställa upp i valet och bli framgångsrik nästa maj måste börja med en grundläggande och djup respekt för väljarna", berättade han BBC Radio 4's Today.
"Den ilska Ed (Miliband) kände när han såg att tweet återspeglade hans förståelse att vi måste förtjäna stöd av människor runt om i landet."
BBC:s politiska redaktör Nick Robinson sa att tweeten hade "gett Torypressen en alternativ berättelse" till partiets nederlag i Rochester.
Han sade: "Det är det mest extraordinära självförvållade sår jag har sett ett oppositionsparti tillfoga sig själva på många, många år."
Premiärminister David Cameron sade Labour MP: s handlingar var "helt skrämmande", tyder på att hon var "snegare på människor som arbetar hårt, är patriotiska och älskar sitt land".
Den 54-årige gick in i parlamentet som parlamentsledamot för Islington South och Finsbury 2005 och tjänstgjorde som skuggenergi- och hälsotaleskvinna innan han tillträdde rollen som skuggföredragande 2011.
Dottern till en före detta biträdande generalsekreterare i Förenta nationerna, föddes i Surrey och kallades till baren 1983, specialiserad på straffrätt.
Hon hade en majoritet på 3 569 över den liberaldemokratiska kandidaten vid 2010 års allmänna val.
Rochester och Strood: Vad kommer härnäst för fester?
Hur ovanligt är Rochester och Strood?
Thornberry tros ha haft två samtal med Labourledaren Ed Miliband efter att ha publicerat tweeten, och erbjöd sin avgång under den andra.
I ett uttalande från Labourpartiet sade Thornberry: "Tidigare i dag skickade jag en tweet som har orsakat anstöt för vissa människor.
"Det var aldrig min avsikt och jag har bett om ursäkt. Jag kommer dock inte att låta något distrahera från Labours chans att vinna det kommande allmänna valet."
"Jag har därför i kväll sagt till Ed Miliband att jag avgår från skuggskåpet."
Labour parlamentsledamöter sade att hon hade rätt att avgå, Chris Bryant säger BBC "den första regeln i politik är säkert att du respekterar väljarna".
"Hon var helt fel att twittra vad hon gjorde", sade han. "Allt jag kan säga är, om någon kom in i min valkrets och gjorde det, skulle jag bli rasande."
Och John Mann sa att händelsen var "hemsk" för Labour.
"Det förolämpar människor som jag, det förolämpar de människor jag känner - mina vänner och familj - Labour väljare över hela landet eftersom vita skåpbilar, England flaggor, de är Labour värderingar och faktiskt ganska rutin Labour värderingar för de flesta av oss," sade han idag.
Han berömde Milibands svar och tillade: "Jag tror att detta är en annan strategi än Labourledaren, och hans budskap kom ut mycket, mycket tydligt igår kväll och hon var tvungen att gå, hon har tvingats ut."
Men Farage föreslog att episoden skulle återspegla bredare attityder inom delar av Labourpartiet.
"Labourpartiet hatar begreppet engelska", berättade han för BBC News Channel. "Det har de gjort väldigt länge.
"New Labour står inte ens ut med begreppet patriotism. De tycker att flaggan på något sätt är obehaglig, bakåtblickande och otäck. Människor som Emily Thornberry skulle hellre vilja att vi hade den blå flaggan med 12 stjärnor på som kommer till oss från Bryssel."
Emily Thornberry har avgått från Labours front bänk efter att ha skickat en tweet under Rochester och Strood by-val som var märkt "snobby".