Australiska Matthews, 25, av Orica-BikeExchange vann en sprint finish före Peter Sagan och Edvald Boasson Hagen för att göra anspråk på sin första Tour seger.
Slovakiska Sagan tog gröna poäng jersey från Briton Mark Cavendish.
Försvara mästare Froome slutade i peloton, nio minuter 39 sekunder bakom Matthews, på 197 km scenen från Escaldes-Engordany till Revel.
Storbritanniens Adam Yates, Matthews 23-åriga lagkamrat, var i samma grupp för att behålla den vita tröjan för bästa unga ryttare.
2013 och 2015 vinnaren Froome och hans främsta rivaler hade en relativt bekväm dag, som började med en stor klättring men tillplattade ut för att passa en utbrytarvinst.
De främsta utmanarna för den gula jersey var glada över att låta en grupp på 15 ryttare - av vilka ingen hotade den totala bly - vågen framåt.
Storbritanniens Steve Cummings, som vann steg sju, var en del av utbrytningen men föll tillbaka när två Orica lagkamrater hjälpte Matthews tjäna en känslomässig seger.
Matthews sa att han var nära att "ge upp" på Tour de France efter att ha brutit fyra revben i en krasch förra året, och missade 2014 loppet efter en olycka.
Men hans seger fortsatte Orica imponerande Tour, med Yates andra i den allmänna klassificeringen ställningar, 16 sekunder bakom Froome.
Medan Yates har producerat några fantastiska soloföreställningar fick Matthews hjälp av lagkamraterna Luke Durbridge och Daryl Impey när de neutraliserade hotet från Tinkoffs världsmästare Sagan.
Durbridges tempo minskade rymningen till sju ryttare innan han hoppade av, och Impey startade flera attacker under de senaste kilometerna.
Matthews väntade tills den sista 200m för att göra sitt drag, omkörning BMC: s Greg van Avermaet och Sagan i den senaste 50m.
"Att ha vunnit en scen efter två riktigt dåliga år i Tour de France, känslorna sjunker bara in", säger Matthews, som också har vunnit etapper på Giro d'Italia och Vuelta en Espana.
"Jag var nära att ge upp detta lopp, tänkte att det kanske inte var för mig, men idag var otroligt.
"Det var aldrig planen att gå i utbrytningen. Vi hoppades på sprint efter den senaste klättringen men vi hade starka killar, och vem som än är uppe vi ger dem 110%. Daryl och Luke gav mig allt."
Sagan övertog Cavendish i den gröna jersey ställningar efter att ha vunnit den mellanliggande sprint och efterbehandling andra till Matthews.
Cavendish, som har vunnit tre etapper i årets lopp, slutade i peloton och nu spårar Sagan med 38 poäng.
Sagan har vunnit den gröna tröjan under vart och ett av de senaste fyra åren, och Manxman Cavendish, 31, sade före årets lopp att han inte kan slå världsmästaren.
Cavendish, vars antal av 29 karriärsteg vinner är bättre endast av Eddy Merckx 34, skulle kunna utmana för en 30: e på en till stor del platt scen 11, som tar ryttare 162.5km (101 miles) från Carcassonne till Montpellier.
1. Vad är det för fel på dig? Michael Matthews (Aus/Orica-BikeExchange) 4hrs 22mins 38seks
2 ) och 2......................................................................................................... Peter Sagan (Svk/Tinkoff) samtidigt
3. Vad är det som händer? Edvald Boasson Hagen (Nor/Dimensionsdata)
Fyra. Greg van Avermaet (Bel/BMC Racing)
För att uppnå detta mål har kommissionen beslutat att inleda ett förfarande enligt artikel 108.2 i fördraget om Europeiska unionens funktionssätt (nedan kallat EUF-fördraget). (Livsmedel – färska, kylda, frysta, frysta, frysta, frysta, frysta, saltade eller i saltlake)
6. Vad är det som händer? Daryl Impey (SA/Orica-BikeExchange) +2seks
7. Vad är det som händer? Luke Durbridge (Aus/Orica-BikeExchange) +1min 10seks
8. Vad är det som händer? Damiano Caruso (Ita/BMC Racing)+3min 1 sek
9. Utövande av delegeringen av befogenhet Gorka Izaguirre (Spa/Movistar) +3min 10 sekunder
- Tio. - Vad är det för fel på dig? TonyGallopin (Fra/Lotto Soudal) samtidigt
1 Chris Froome (GB/Team Sky) 49hrs 8mins 20seks
2 ) och 2......................................................................................................... Adam Yates (GB/Orica-BikeExchange) +16seks
3. Vad är det som händer? Daniel Martin (Ire/Etixx - Snabbsteg) +19seks
Fyra. Nairo Quintana (Kol/Movistar) +23 sek
För att uppnå detta mål har kommissionen beslutat att inleda ett förfarande enligt artikel 108.2 i fördraget om Europeiska unionens funktionssätt (nedan kallat EUF-fördraget). Joaquim Rodriguez (Spa/Katusha) +37seks
6. Vad är det som händer? Bauke Mollema (Ned/Trek-Segafredo) +44seks
7. Vad är det som händer? Romain Bardet (Fra/AG2R La Mondiale) samtidigt
8. Vad är det som händer? Sergio Henao (Kol/Team Sky)
9. Utövande av delegeringen av befogenhet Louis Meintjes (SA/Lampre) +55seks
- Tio. - Vad är det för fel på dig? Alejandro Valverde (Spa/Movistar) +1min 1sek
Michael Matthews vann scen 10 av Tour de France när Storbritanniens Chris Froome behöll den gula tröjan.