Femfaldig världsmästare O'Sullivan tog de första tre ramar och vann 4-1 efter White hade slagit Ryan Day utan att förlora en ram.
Hem favorit Higgins slog landsman Scott Donaldson och kollega Scot Stephen Maguire besegrade Fergal O'Brien.
Neil Robertson och Judd Trump var bland onsdagens andra vinnare.
Robertson övervann Gary Wilson, medan Marco Fu slog Liam Highfield och Trump besegrade Igor Figueiredo, med Ali Carter förlora till Chris Wakelin.
Scots Graeme Dott och Anthony McGill förlorade mot Mark Davis respektive Mitchell Mann.
Mei Xi Wen eliminerade Peter Ebdon och kommer att spela fyra gånger världsmästare Higgins på torsdag.
Trump kommer att möta Noppon Saengkham och Robertson tar på Joe Swail.
Den senaste händelsen i Home Nations Series, turneringen är den första World Snooker ranking händelse som hålls i Skottland sedan World Open 2010.
Ronnie O'Sullivan slog Adam Stefanow för att sätta upp en tredje-runda slips mot Jimmy White på Scottish Open, som John Higgins också gjorde i Glasgow.