Kongo behövde en dragning till framsteg och gick vidare när Thierry Bifouma svepte hem Ferebory Dores kors.
Burkina Faso krävde en vinst och erbjöd lite fram till de senaste 10 minuterna när Aristide Bance gjorde mål på långt inlägg.
Kongo vann den i 87: e minuten när målvakt Germain Sanou slog bollen på axeln av Fabrice Ondama och det lurade in i nätet.
Kongo kvalificering lagt till den anmärkningsvärda rekordet av manager Claude LeRoy, som nu har uppnått sju kvartsfinaler i åtta framträdanden på turneringen med fem olika länder.
Kongo hade den bästa chansen att en mycket besviken första halvan i 21: a minuten när Delvin N'Dinga spelade i Bifouma på vänster sida av straffområdet, men strejkaren drog bollen bred av den avlägsna posten.
Burkina Faso, som nådde finalen i den senaste turneringen 2013, vaknade slutligen upp när matchen närmade sig halvtid.
Först satte Jonathan Pitroipa upp Prejuce Nakoulma, som inte kunde kontrollera bollen och Kongos målvakt Christoffer Mafoumbi rusade ut för att rensa.
Sedan fick Pitroipa ett passerkort inne i området, kvaddade ner det men skickade sitt skott högt över baren.
Den andra halvan började på ett mycket mer händelserikt sätt med Dore på väg en god chans förbi nära inlägget från ett 47: e-minuters hörn.
Burkina Faso tog nästan ledningen på anmärkningsvärt sätt tre minuter senare.
Goalkeeper Sanou rensade bollen från väl inne i sitt eget straffområde och det nådde det motsatta området där det studsade över sin motsvarighet Mafoumbi och rullade strax förbi posten.
Bifouma satte Kongo i fronten en minut senare från nära håll från ett högerkors av Dore, som verkade vara tydligt offside när han tog emot bollen.
Burkina Faso behövde göra mål två gånger för att ha ett hopp om att gå in i de sista åtta men såg sällan troligt att göra det.
Kongo lade nästan till sin ledning med en 72:a minuts frikick, men N'Dingas kraftfulla skott räddades av Sanou.
Burkina Faso hittade äntligen nätet i 81:a minuten när Mafoumbi spillde en Alain Traore frikick, men ersätta Issiaka Ouedraogo slut uteslöts för offside.
Bance gav Burkina Fasos fans hopp när han gjorde mål från Ouedraogos kors, men 90 sekunder senare var det över när bollen gick in utanför Ondama som Kongo säkrade seger.
Kongo tränare Claude LeRoy:
"Det är otroligt. Jag känner en hel del känslor och otrolig lycka.
"Vi medgav ett mål som inte borde ha stått eftersom det fanns en foul på Bissiki i början av flytten, men även om en 1-1 dragning skulle ha varit tillräckligt, slog vi tillbaka direkt.
"Vi har kommit från ingenstans. Vi slog ut Nigeria, de regerande mästarna, och nu har vi slagit Burkina Faso, som var tvåa sist. Allt som händer från och med nu är en bonus."
Burkina Faso tränare Paul Put:
"Lyckan var inte på vår sida."
Kongo nådde kvartsfinalen av Afrika Cup of Nations för första gången sedan 1992 genom topping grupp A.