Turnbull, som var kommunikationsminister under Abbott, är den fjärde premiärministern sedan 2013.
Efter att ha avlagt ämbetseden närvarade Turnbull vid sin första frågestund i parlamentet som premiärminister.
Abbott sade i tisdags att hans bortförande var "tufft" men lovade att inte undergräva den nya regeringen.
I sina första offentliga kommentarer sedan han togs bort av det liberala partiet sent på måndagen sade Abbott att det hade varit "en tuff dag, men när du går med i spelet, du accepterar reglerna".
Han sade att han var stolt över vad hans regering hade åstadkommit, samtidigt som han tog sig an partimedlemmar som hade läckt ut till media och utfört "ett surt, bittert karaktärsmord".
Han sade inte om han skulle stanna kvar på backbenchen eller så småningom avgå från politiken.
Mr Abbotts avlägsnande följde veckor av mumlande opinionssiffror och spekulationer om en utmaning för hans ledarskap.
I ett förslag som leddes av Turnbull och hans vice och utrikesminister Julie Bishop röstades Abbott bort av det liberala partiet med 54 röster mot 44.
Under sin första frågestund i parlamentet hyllade Turnbull Abbott och sade att detta är "de mest spännande tiderna att vara australiensare".
"Framtiden är en med stora möjligheter och det kräver förtroende och ledarskap och det kommer att gå förlorat om vi omfamnar politiken av rädsla och panik."
Han sade att politiken skulle "ändras mot bakgrund av ändrade förhållanden", men inte signalerade några omedelbara ändringar av tvistefrågor, inklusive äktenskap mellan kvinnor och män och klimatpolitik.
Oppositionsledare Bill Shorten sade att Mr Abbott hade varit "en formidabel kämpe" i ämbetet, och lovordade hans "generösa och personliga" natur.
Turnbull förväntas inte tillkännage en ny uppställning av kabinettet förrän i slutet av veckan.
Men efter hans hårda kritik av Mr Abbotts ekonomiska ledarskap, har det förekommit spekulationer om att Joe Hockey kan förlora finansportföljen.
Biskop, som har behållit sin roll som ställföreträdare, sade att Abbott hade "gjort ett fantastiskt jobb med att vinna 2013 års val" men att "ett antal människor ansåg att han inte hade uppfyllt deras förväntningar".
Efter att ha överlevt en ny ledarskapsutmaning i februari hade Abbott bett om sex månader för att vända det liberala partiets valförhoppningar, sade hon.
"Nu sju månader senare har majoriteten beslutat att de ville ha en förändring av ledare och att han hade förlorat deras förtroende."
Men hon sade att Abbot var "uppenbarligen mycket skadad".
Herr Turnbull sade på måndag kväll regeringen skulle tjäna en hel mandatperiod, vilket innebär att ett allmänt val är sannolikt i mitten av 2016.
Det första riktiga testet av hur allmänheten har tagit nyheten kommer att vara på lördag i ett val för sätet för Canning i västra Australien.
Det liberala partiet har sitt säte. I omröstningen före måndagskvällen föreslogs att liberalerna skulle behålla sin plats, men med reducerad majoritet.
Malcolm Turnbull har svurits in som Australiens nya premiärminister, efter Tony Abbott blev utkastad av sitt parti i en ledarskapsutmaning.