BBC Wales Sport förstår Gills gjort en förfrågan för Byrne, innan Edinburgh ändrade sig över en spelare han tog till Rodney Parade.
Edinburgh valde att avsluta jakten av respekt för sin gamla klubb, som han lyckades från 2011-2015, för att inte försvaga deras kamp mot nedflyttning.
De är för närvarande 20:e i League Two, sju punkter ovanför nedflyttningszonen.
Samtidigt har Newport bekräftat frigivningen av försvararen Matt Taylor.
Den 34-åriga gick med från Cheltenham på sommaren men gjorde bara fem framträdanden för södra Wales klubb.
"Förutom de senaste diskussionerna kan vi bekräfta att Matt Taylor kommer att lämna klubben med omedelbar verkan efter att ömsesidigt ha gått med på att säga upp sitt kontrakt," ett uttalande från klubben läst.
Taylor är ett mål för Torquay United.
Newport midfielder Mark Byrne var ett transfermål för Gillingham innan en U-sväng från chef Justin Edinburgh.