Warriors ledde 13-6 vid pausen, Zander Fagerson går över för ett försök med Duncan Weir och Leinsters Fergus McFadden sparkar två straff styck.
Luke McGrath och Taqele Naiyaravoro bytte försök i tredje kvartalet.
Med ytter Naiyaravoro sin-bined, Leinster kantade framåt med ett straff försök och McFadden landade ett sent straff.
Besökarna, förstärkt av sex återvändande Skottland internationals och söker en första bort seger över Leinster sedan 2011, bröt dödläget i 13: e minuten, med en flerfas attack som slutade med den 19-åriga prop Fagerson mussling över från nära håll.
Weirs konvertering följdes snabbt av McFaddens första framgångsrika straff.
En andra högersidig spark från yttern stängde gapet till en av 21: a minuten, belöna Aaron Dundon för en välskött ruck straff och exakt line-out kasta i uppbyggnaden.
Weir straffade sedan Leinster för att ha kollapsat en avancerande maul och slagit över en fin 43-metersstrejk.
Han upprepade tricket från den motsatta vänstra flygeln när Mike McCarthy bröt mot en maul sex minuter före intervallet.
Leinster missade en chans att stänga den första halvan med en tredje straff, McFadden vacklar en skada-tid insats brett efter Pat MacArthur såg gul för en "reckless" underarmsled tackling som avslutade Dundons engagemang i spelet.
Hemsidan gjorde sin numeriska fördel räkna med återupptagandet.
Scrum-halv McGrath's blindside switch ledde till Garry Ringrose racing upp rätt touchline och efter en bout av framåt tryck, McFadden sträckt över för McFadden att konvertera.
Leinster var bara nivå i sex minuter, skottarna slår tillbaka med en fantastisk förtrollning av attacker och en power-packed finish till höger om inläggen av stora Fijian Naiyaravoro.
Men värdarna tog ledningen för första gången genom straffförsöket.
Ersättning Isaac Boss utnyttjade en lucka och Isa Nacewas välviktade kick satte upp en fotkapplöpning mellan McFadden och Naiyaravoro. Den senare ansågs avsiktligt ha slagit bollen över ändlinjen som paret lunged för bollen.
Efter samråd med TMO, domare Ian Davies tilldelade straff försöka synd-bined Fijian, med McFaddens omvandling delar sidorna på resultattavlan.
Leo Cullens män såg ut resultatet med McFadden spika hans tredje straff i natten.
Nacewa, Ringrose, Te'o, Reid, McFadden, Marsh, L. McGrath, Bent, Dundon, Moore, Molony, McCarthy, Rudock, van der Flier, Conan.
Ersättningar: Kelleher för Nacewa (75), Boss för L. McGrath (58), Dooley för Bent (50), Tracy för Dundon (40), Furlong för Moore (50), D. Ryan för Rudock (70).
Ej använt: Leavy, R. Byrne.
Glasgow Warriors: Lamont, Naiyaravoro, Vernon, Lyle, Hughes, Weir, Blair; Allan, MacArthur, Fagerson, Swinson, Cummings, Harley, Favaro, Wilson.
Ersättningar: Hart för Blair (69), Yanuyanutawa för Allan (68), K. Bryce för MacArthur (58), Cusack för Fagerson (58), Ashe för Swinson (28), Peterson för Cummings (71), Blake för Favaro (50).
Används ej: Clegg.
Sin bin: MacArthur (40), Naiyaravoro (64).
Att: 14 000
Domare: Ian Davies (WRU)
Leinster producerade en stark finish för att skicka försvarare Glasgow kraschar till en tredje nederlag i sina fem Pro12 matcher den här säsongen.