Utredningen av Nordirlands polistjänst (PSNI) följer på en 2013 års utredning av BBC Panorama om den militära forskningsstyrkan, eller MRF.
Daniel Rooney var 18 år när han och en vän sköts av MRF-soldater som sköt från en omärkt bil, medan ungdomarna stod på ett gathörn i St James-området i västra Belfast.
Armén hävdade att männen var beväpnade. Ögonvittnen bestrider detta, i enlighet med rättsmedicinska tester på Rooney och hans vän som föreslog att ingen av ungdomarna var beväpnad.
Mr Rooney begravdes utan en obduktion. Men medan en medicinsk rapport visade ett skottsår, nämndes inget om ett utgångshål.
PSNI vill se om kulan kan hämtas från Rooneys kvarlevor, förutsatt att den var instängd i hans kropp. Det kan då vara möjligt att avgöra om kulan kom från ett militärt vapen.
År 1972 var det mest våldsamma av den 30-åriga nordirländska konflikten. Totalt 497 personer dog, främst civila dödades i bombningar eller sköts av den provisoriska IRA och 151 soldater och poliser dödades också.
Panorama visade att mellan maj och september 1972 förekom flera oprovocerade "drive-by"-attacker mot obeväpnade civila av MRF-soldater liknande den som dödade Rooney.
På den tiden antog lokalbefolkningen att skyttarna var lojala. En attack påstås ha föregåtts av en vänlig våg från föraren innan en maskinpistol sticker ut från ett bakfönster och hugger ner tre obeväpnade män som chattar i en taxiklass.
Vid detta tillfälle var MRF-soldaterna beväpnade med ett vapen, som vanligen användes av IRA, känd som "Chicago-kvarnen".
Detta var en Thompson undermaskinspistol som också gynnades av 1920-talets gangster Al Capone.
Panorama visade hur MRF-soldaterna i varje omtvistad skottlossning hävdade att de hade blivit beskjutna. Ändå fanns det inga oberoende bevis för att någon av de döda eller sårade var beväpnad, eller att de provocerade attackerna, eller ens att de var medlemmar av IRA.
Två månader efter att Daniel Rooney blev skjuten, beslöt militären att MRF skulle äventyra arméns redan skadade rykte. Avklassificerade dokument visar att en översyn av MRF fann att det inte fanns "inga bestämmelser om detaljerad ledning och kontroll". MRF avvecklades efter bara 14 månader.
När premiärminister Edward Heath fick höra att MRF skulle ersättas med den särskilda underrättelseenheten (SRU) sände han ett budskap till armén där han betonade att "särskild försiktighet bör iakttas" för att se till att SRU skulle "arbeta inom lagen".
Det Ch Insp Neil McGuinness i PSNI: s Legacy Investigation Branch sade: "Varje ansträngning har gjorts för att slutföra" Rooneys exhumation "så känsligt och professionellt som möjligt".
Förra året grävdes resterna av en far till 12 Joseph Murphy, som sköts av armén under omtvistade omständigheter, upp.
Efter att ha blivit skjuten en gång, fördes Mr Murphy till en armébas där han hävdade att en soldat sköt honom igen på den plats där han tidigare hade blivit sårad. Han dog senare på sjukhus. En kula hittades från hans grav när hans kvarlevor grävdes upp.
Kvarlevorna av en Belfast ungdom grävdes upp i måndags som en del av en polisutredning om hans skottlossning av en experimentell brittisk armé under täckmantel enhet 1972.