Den amerikanska militären säger att en strejk mot talibanerna i den norra staden Kunduz kan ha orsakat "kollisionella skador".
Med sitt "djupa deltagande" sade Barack Obama att han förväntade sig en "fullständig redovisning av fakta" och sedan skulle göra en definitiv bedömning.
Minst 12 MSF-anställda och sju patienter dödades i incidenten.
FN kallade strejkerna "oförlåtliga och möjligen till och med kriminella", där generalsekreteraren Ban Ki-moon krävde en grundlig och opartisk utredning.
"Internationella och afghanska militära planerare har en skyldighet att alltid respektera och skydda civila, och medicinska anläggningar och personal är föremål för ett särskilt skydd," sade FN: s högkommissarie för mänskliga rättigheter Ra'ad Al Hussein Zeid.
Sjukhuset, som drivs av den medicinska välgörenhet MSF, skadades allvarligt av en serie strejker som varade mer än en timme från 02:00 lokal tid på lördag. Dussintals skadades också i attacken.
MSF:s ordförande Meinie Nicolai beskrev händelsen som "avskyvärd och ett allvarligt brott mot internationell humanitär rätt".
"Alla indikationer pekar för närvarande på bombningen som utförs av internationella koalitionsstyrkor," MSF sade.
En talesman för amerikanska styrkor i Afghanistan, överste Brian Tribus, sade på lördagen att amerikanska styrkor hade genomfört ett flyganfall i Kunduz "mot individer som hotar styrkan" samtidigt.
Han tillade: "Stacken kan ha resulterat i indirekta skador på en närliggande medicinsk anläggning."
President Obama uttryckte sitt "djupa deltagande" över dödsfallen i ett uttalande från Vita huset.
Han tillade: "Försvarsdepartementet har inlett en fullständig utredning, och vi kommer att invänta resultaten av denna undersökning innan vi gör en definitiv bedömning av omständigheterna i denna tragedi."
MSF sjuksköterska Lajos Zoltan Jecs sov på anläggningen när den träffades. "Det var helt skrämmande", sade han.
Han såg en medsjuksköterska "täckt i blod, med sår över hela kroppen", ett uttalande utfärdat av MSF sade.
Mr Jecs och annan personal gick ut när bombningen upphörde.  "Det vi såg var att sjukhuset förstördes. Vi försökte ta en titt i en av de brinnande byggnaderna. Det finns inga ord för hur hemskt det var. På intensivvårdsavdelningen brann sex patienter i sina sängar."
Den afghanska inrikesministern sade att en grupp på 10 till 15 militanter hade gömt sig på sjukhuset.
Talibanerna förnekade att någon av dess stridande fanns där.
I ett uttalande från talibanerna beskrevs de flyganfall som drabbade sjukhuset som "deliberata" och som genomfördes av "de barbariska amerikanska styrkorna".
Det har varit intensiva strider i Kunduz sedan talibankrigare svepte in i norra staden på måndagen.
President Barack Obama säger att USA har inlett en "fullständig utredning" av flyganfall som dödade 19 personer på ett MSF-drivet afghanskt sjukhus på lördag.