Det är förstått att det nya erbjudandet var en grundläggande £ 35.5m, som skulle ha stigit till närmare £ 40m när olika extramaterial lades till.
De röda värderar 20-åringen, som också har kopplats till Arsenal och Real Madrid, till £50m.
Förra veckan tackade Liverpool nej till ett bud på 25 miljoner pund, plus tillägg, från Premier League rivaler City.
Sterling gick med i Liverpool från QPR 2010 och är under kontrakt fram till 2017, men har avvisat erbjudandet om en ny £100 000-per vecka affär.
Liverpool manager Brendan Rodgers sa förra månaden att han förväntade sig att Sterling skulle stanna på Anfield för resten av sin nuvarande affär.
Hitta alla de senaste fotbollsöverföringarna på vår dedikerade sida.
Liverpool har formellt avvisat ett andra bud från Manchester City för England framåt Raheem Sterling.