Labourledaren har varnat för att mandaten, som ännu inte har offentliggjorts, kan vara alltför "smala" och att invånarna inte har rådfrågats ordentligt.
Han vill ha en interimsrapport om orsaken till branden i september, följt av en bredare undersökning av byggnadsbestämmelser, rådets finansiering och andra frågor.
Den förmodade dödssiffran ligger på 80.
Polisen har varnat för att den slutliga siffran inte kommer att vara känd förrän i slutet av året.
Ledaren för Kensington och Chelsea Council, Nick Paget-Brown, som kritiserades för sin reaktion på katastrofen den 14 juni, slutade på fredag.
Pensionerad tidigare hovrättsdomare Sir Martin Moore-Bick utsågs till chef för utredningen på onsdag. Den kommer att sitta offentligt och ha makt att tvinga vittnen och få bevis.
Sir Martin, som besökte platsen för branden på torsdag, sade att han trodde sonden och dess rekommendationer skulle vara "pretty väl begränsad" till vad som hade orsakat branden och dess snabba spridning.
Han framhöll sin ambition att utarbeta en rapport inom ett år och sade att han var medveten om att människor i området vill ha en bredare utredning, men han var inte säker på att hans undersökning skulle vara rätt inställning.
Premiärministern har sagt att hon förväntar sig att en interimsrapport ska göras tillgänglig så snart som möjligt och att överlevande och boende ska rådfrågas om mandaten.
Men Corbyn sade att han ville ha en garanti för att de första resultaten skulle offentliggöras i slutet av sommaren.
I ett brev till fru May sade han att undersökningen bäst skulle tjänas genom att delas upp i två delar för att säkerställa att "tidighet inte skulle behöva offras för stränghet".
Medan han förstod hur branden startade var av yttersta vikt, sade han att överlevande och andra invånare hade en mängd andra frågor om hur deras säkerhet hade kommit att äventyras och vad som kunde ha gjorts för att förhindra katastrofen.
"Det är också tydligt att Grenfell branden har mycket större konsekvenser för nationella politiska frågor," sade han.
Han sade att de frågor som måste tas upp var följande:
"En undersökning inom snäva referensramar riskerar att misslyckas med att dra alla lärdomar av denna tragedi."
Statsministern har sagt att den omedelbara prioriteringen är att fastställa fakta om vad som hände i Grenfell Tower och att vidta nödvändiga åtgärder för att förhindra att en liknande tragedi händer igen.
Men hon har sagt att de "bredare lärdomarna" måste läras av både denna katastrof, och inspektioner av andra byggnader runt om i landet som följde den.
Den offentliga utredningen av Grenfell Tower branden måste delas i två steg för att se till att alla lärdomar är fullt lärt, Jeremy Corbyn har sagt.