USA har sagt att bombningen, som ägde rum i den afghanska staden Kunduz, var ett misstag och att den försökte slå till mot talibanerna.
MSF vill att bombningen ska utredas som krigsbrott.
Barack Obama har också bett Afghanistans president om ursäkt.
"Om det är nödvändigt att hålla individer ansvariga, som kommer att göras", sade Vita huset talesman Josh Earnest.
Barack Obama " uttryckte sitt deltagande" till MSF:s ordförande Joanne Liu, sade Earnest.
"I USA när vi gör misstag, vi är ärliga om det. Vi äger upp till det, sa han.
Herr Earnest antydde också möjligheten att betala offer och deras familjer, en Department of Defense policy.
Han sade att han inte kunde säga juridiskt om bombningen var en krigsförbrytelse, utan att USA "har gjort stora ansträngningar för att begränsa förlusten av människoliv" för civila.
I ett uttalande sade MSF att de fick ursäkten men det var fortfarande kräver International Humanitarian Fact-Finding Commission (IHFFC) undersöka.
MSF har sagt att det inte skulle lita på interna militära undersökningar av bombningen.
IHFFC inrättades 1991 enligt Genèvekonventionerna.
MSF säger att samordnarna på sjukhuset var välkända och dess bombning kunde inte ha varit ett misstag.
Ett antal undersökningar har beställts - av den amerikanska rättsavdelningen, Pentagon, Nato och ett amerikansk-afghanskt team.
USA:s president Barack Obama har bett presidenten för biståndsbyrån Medecins San Frontieres (MSF) om ursäkt för en bombning som dödade minst 22.