Tiffney sågs senast lämna sitt hem i Edinburghs Dean Village i maj 2002.
En mordåtal mot hennes son Sean Flynn hittades inte bevisad av en jury vid Högsta domstolen i Perth 2005.
Kvarlevorna hittades i ett område utanför A198, nära ingången till Gosford House i Longnidddry.
En cyklist ringde räddningstjänsten när de gjorde upptäckten vid 18:30 på söndag.
Det är 40 poliser som jobbar på fyndet.
Man tror att Tiffney mördades och att hennes kropp avyttrades i Gosford House-området.
Benen är fortfarande på plats och det är förstått att det kommer att ta några dagar att återställa dem.
Det Supt Pat Campbell från polisen i Skottland sade: " Återhämtningen kommer att bli en mödosam process.
"Vi samråder med ett antal experter för att se till att resterna återvinns på ett känsligt och försiktigt sätt och inga bevis som hjälper oss att fastställa vad som hände skadas eller saknas.
"Jag förstår oron hos dem som kanske väntar på nyheter om en saknad älskad, men medan identiteten på kvarlevorna är okänd kan vi inte spekulera."
Han tillade: "Döden behandlas som oförklarad och när kvarlevorna har återvunnits kommer det att krävas omfattande, detaljerad kriminalteknisk analys för att fastställa dödsorsaken och om något brott har begåtts."
Polisen som utreder upptäckten av mänskliga kvarlevor i East Lothian har talat med den saknade kvinnan Louise Tiffneys familj.