Kanarieöarna var alla utom nere innan kick-off, och Ramseys volley på vinkeln och Carl Jenkinsons opportunistiska strejk förseglade deras öde.
Tidigare var Norwichvakten John Ruddy tvungen att vara alert för att hålla Lukas Podolski och Olivier Giroud borta.
Gunners väktare Lukasz Fabianski förnekade Jamar Loza och Robert Snodgrass.
Det var en dyster avslutning på en katastrofal säsong för Norwich, som bara kunde ha överlevt om de hade vunnit och West Brom hade förlorat till Stoke, tillsammans med en mycket osannolik 17-måls gunga.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Huruvida Neil Adams startar nästa säsong Championship kampanj som är ansvarig är ännu inte att se, efter den tidigare ungdomstränare hade den oavundliga uppgiften att försöka hålla staden uppe efter Chris Hughtons avsked med fem matcher kvar.
Striker Ricky van Wolfswinkel, den £8,5m signering vars enda mål denna säsong kom på öppningsdagen, var iögonfallande genom hans frånvaro från truppen.
Det fanns goda nyheter för England fans dagen innan Roy Hodgson namnger sin VM-trupp som Arsenals Jack Wilshere återvände efter en fotskada för de sista 30 minuterna, medan knäskada offer Abou Diaby också kom på för Gunners i hans första match i 14 månader.
Men det var Ramsey, som också återvände från skada, som lyste för besökarna, rifling i en superb volley från Girouds känsliga chip till baksidan post.
Det var den walesiske mannens 17:e mål av en skada-upplöst säsong, och fans kommer att undra om Arsenal titel utmaning, som såg lovande fram till februari, skulle ha blomstrat om han inte missat så mycket fotboll.
Arsenal gick in i spelet med en Champions League plats redan säkrad och med utsikter till en första trofé för nio år fortfarande kommer i nästa veckas FA Cup final, och en stark Gunners sida sällan behövde stiga över andra växeln på Carrow Road.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Efter Ramseys öppning, tog Jenkinson sitt första Arsenal mål, pouncing på Podolskis avböjda skott från Kieran Gibbs kors.
Norwich vissnade aldrig och debutanten Loza stung Fabianskis fingrar medan den polske vaktmästaren var tvungen att vara snabb på sin linje för att stänga ner Snodgrass.
Men staden står inför en sommar av omvälvningar om de ska få en utmaning att göra en omedelbar återgång till den översta flygningen.
Arsenal boss Arsene Wenger: "Tyvärr är det första gången i Premier League som du avslutar fjärde med 79 poäng och det var mycket tight.
"Vi kan bli frustrerade. Vi har vunnit 11 matcher hemifrån, jag tycker att det är det bästa i ligan och det var vår 17: e rena lakan - som är anmärkningsvärt också.
"Vi ville bara avsluta säsongen bra och vi gjorde det på ett seriöst sätt, så det är en bra grund att förbereda sig för FA Cup-finalen."
Matchen slutar, Norwich City 0, Arsenal 2.
Andra halvlek, Norwich City 0, Arsenal 2.
Hörnet, Arsenal. Förföljd av Russell Martin.
Försöket räddades. Elliott Bennett (Norwich City) höger fotade skott från utsidan boxen sparas i mitten av målet.
Foul av Mikel Arteta (Arsenal).
Jamar Loza (Norwich City) vinner en frispark i defensiva halvan.
Försöket räddades. Yaya Sanogo (Arsenal) vänster fotade skott från mitten av lådan sparas i nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Jack Wilshere.
Försöket räddades. Jack Wilshere (Arsenal) höger fotade skott från mitten av lådan sparas i nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Mesut Özil.
Hörnet, Norwich City. Förföljd av Lukasz Fabianski.
Försöket räddades. Robert Snodgrass (Norwich City) höger fotad skott från mitten av lådan sparas i mitten av målet. Hjälpt av Gary Hooper.
Försök missade. Robert Snodgrass (Norwich City) höger fotade skott från höger sida av lådan är nära, men missar till vänster. Hjälpt av Russell Martin.
Försöket räddades. Mikel Arteta (Arsenal) höger fotade skott från utsidan rutan sparas i nedre vänstra hörnet.
Ryan Bennett (Norwich City) visas det gula kortet för en dålig foul.
Yaya Sanogo (Arsenal) vinner en frispark i anfallshalvan.
Foul av Ryan Bennett (Norwich City).
Försöket räddades. Elliott Bennett (Norwich City) höger fotad skott från mitten av lådan sparas i nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Robert Snodgrass.
Mesut Özil (Arsenal) vinner en frispark på höger flygel.
Foul av Bradley Johnson (Norwich City).
Försöket räddades. Jamar Loza (Norwich City) höger fotade skott från höger sida av lådan sparas i det övre vänstra hörnet. Hjälpt av Gary Hooper.
Substitution, Norwich City. Elliott Bennett ersätter Nathan Redmond.
Substitution, Arsenal. Yaya Sanogo ersätter Olivier Giroud.
Substitution, Arsenal. Vassiriki Abou Diaby ersätter Tomas Rosicky.
Foul av Mesut Özil (Arsenal).
Robert Snodgrass (Norwich City) vinner en frispark i defensiva halvan.
Hörnet, Norwich City. Förföljd av Bacary Sagna.
Substitution, Arsenal. Jack Wilshere ersätter Aaron Ramsey.
Mål!  Norwich City 0 och Arsenal 2. Carl Jenkinson (Arsenal) höger fotade skott från mitten av lådan till nedre vänstra hörnet.
Försök blockerat. Lukas Podolski (Arsenal) vänster fotade skott från mitten av lådan är blockerad. Hjälpt av Kieran Gibbs.
Försök missade. Nathan Redmond (Norwich City) höger fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till höger. Hjälpt av Jonny Howson.
Substitution, Norwich City. Jamar Loza ersätter Alexander Tettey.
Substitution, Norwich City. Gary Hooper ersätter Johan Elmander.
Mål!  Norwich City 0, Arsenal 1. Aaron Ramsey (Arsenal) höger fotade skott från höger sida av lådan till övre vänstra hörnet. Hjälpt av Olivier Giroud med ett kors.
Försök missade. Lukas Podolski (Arsenal) header från mycket nära håll är bara lite för hög. Hjälpt av Bacary Sagna efter ett hörn.
Hörnet, Arsenal. Förföljd av Michael Turner.
Foul av Laurent Koscielny (Arsenal).
Johan Elmander (Norwich City) vinner en frispark i defensiven.
Andra halvan börjar Norwich City 0, Arsenal 0.
Första halvlek, Norwich City 0, Arsenal 0.
Utanför Norwich City. Robert Snodgrass försöker en genom boll, men Johan Elmander fångas offside.
Försök blockerat. Robert Snodgrass (Norwich City) vänster fotade skott utanför lådan är blockerad. Hjälpt av Russell Martin.
Norwich Citys förvisning från Premier League bekräftades som en fantastisk Aaron Ramsey strejk sporrad fjärde plats Arsenal till seger.