Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
En rapport in i påståenden om mobbning sade British Cycling "bristade god styrning" på styrelsenivå.
Cookson, som ledde organisationen i 17 år innan han blev UCI-president, sade: "Om det saknas, tror jag att vi alla delar detta ansvar."
Han tillade att British Cycling hade granskats av UK Sport.
Han frågade om han "skylde skulden" på finansiären och sade: "Som jag förstår det var de nära involverade i hur saker och ting hanterades och övervakades.
"Jag försöker inte undvika något av mitt ansvar. Vad jag säger är att det fanns andra människor med ansvar också. "
Phelps rapporterar in kulturen i Storbritanniens cykelteam kritiserade tidigare teknisk direktör Shane Sutton och UK Sport, och noterade en "kultur av rädsla" fanns inom laget, enligt många anställda.
"Jag accepterar inte att det fanns en kultur av rädsla och jag tillbringade en hel del tid på National Cycling Centre," sade Cookson, som söker omval efter att ha gått med i UCI 2013.
Han sade dock att Sutton borde ha flyttats efter rekommendationer från King Review 2012.
"En av rekommendationerna var att Shane flyttas ut från direkt coaching med idrottare," sade han.
"Såvitt jag förstod under första halvåret 2013 var det en av de åtgärdsplan delar som genomfördes och det var efter att i mitten av 2013 blev jag en kandidat och sedan valdes till UCI-ordförandeskapet."
Australiska Sutton stannade kvar innan han avgick förra året bland anspråk på sexism och befanns senare ha använt sexistiskt språk mot cyklisten Jess Varnish, även om han friades från åtta av de nio anklagelserna mot honom.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Cookson försvarade sitt rekord i British Cycling och sade: " Jag kommer inte med några ursäkter för mitt beteende. Jag tycker att vi har gjort otroliga framsteg och gjort stora framsteg.
"Vi hade ingen respekt för idrottarnas välfärd. Förhållandet mellan idrottare och tränare var något som vi då och då oroade oss för. Åtgärder vidtogs."
Och han håller inte med MP Damian Collins, som har begärt att styrelsemedlemmar från den period som omfattas av utredningen ska avgå.
"Mina tidigare kollegor på British Cycling har varit engagerade i sin sport under många år. Många av dem är bra människor som har arbetat mycket hårt, säger Cookson.
UK Anti-Doping undersöker också anklagelser om oegentligheter mot Team Sky och British Cycling, vilket båda förnekar.
"De ryktesproblem som har funnits runt det laget under de senaste månaderna har inte varit till hjälp. Jag vill vänta på resultatet av UK Anti-Doping förfrågningar," sade han.
Cookson sade att cykling hade gjort betydande framsteg i kampen mot fusk under hans anställning på UCI.
"Vi betraktades tidigare som paria i antidoparvärlden. Nu har vi en av han bästa rykte inom sport, tror jag, "tillade han.
BBC Radio 5 live sport nyheter korrespondent Richard Conway
Brian Cookson vill bli omvald senare i år för en andra mandatperiod som ordförande för cykelvärldens styrande organ, och ser ett nytt mandat som hans framtid.
Men hans förflutna kommer ifatt honom.
Efter en 17-årsperiod som president för British Cycling många tror att det är under hans upplåtelse som rötan sätter in inom organisationen, ett faktum som tas upp och kritiseras i den senaste Phelps översyn.
Cookson undandrar sig inte ansvaret för några av de stora välfärdsfrågor som har inträffat inom British Cycling. Men det som är slående är att han vägrar att ta på sig hela skulden.
I min intervju med honom pekar han fast fingret på UK Sport, säger att en av deras tjänstemän var inbäddad i världsklass cykelprogram på Manchester velodrome och var involverad i förvaltning och övervakning.
Alla "bristande" måste delas, tror han. Hans budskap är i själva verket: "Varför skulle skulden bara falla på mina axlar?"
Shane Sutton, enligt 2012 King rapporten, borde ha flyttats bort från direkt coaching med idrottare. Vi vet nu att han kallade rörelsehindrade cyklister för "gimps and wobblies" utöver sin roll i Jess Varnishs avgång från det brittiska laget.
Men Cookson pekar på det faktum att han flyttade 2013 till att vara president för UCI och, i hans frånvaro, Sutton fortsatte att arbeta med cyklister utan hinder och med allvarliga konsekvenser.
Återigen är Cooksons övergripande budskap tydligt: inget med mig att göra.
Brian Cookson, chef för cykelvärldens styrande organ, säger att skulden för brittiska Cyclings misslyckanden inte bara bör vila på honom.