Premier League håller huffed och puffed innan Divock Origi stal bakom Leeds försvar för att sopa i Trent Alexander-Arnolds höger kors från nära håll.
De säkrade en plats i de senaste fyra när Wales Under-19 internationella Bänk, 17 år och 45 dagar, sköt i den andra för att slå Owen rekord med 98 dagar.
Liverpool slog ett inlägg genom Georginio Wijnaldum strax före öppningen, men mållinjen var något hård på Yorkshire sidan.
Leeds ytter Kemar Roofe böjd mot insidan av en stolpe kort efter halvtid.
Hadi Sacko undvek ett bra tillfälle för besökarna i öppningen 10 minuter, och Kyle Bartley nickade en fri rubrik bred efter pausen.
Liverpool kommer att ta reda på vem de spelar i semifinalen när dragningen görs efter onsdagens matcher.
Liverpool boss Jurgen Klopp kan ha hävdat sitt lag har "oavslutade affärer" i EFL Cup, men denna tävling är uppenbarligen inte den tyska prioritet denna säsong som de röda jagar Premier League titel och en Champions League återkomst.
Och det har varit tydligt av hans team val.
Klopp, som han gjorde i de tidigare rundorna, roterade sitt lag genom att föra in fransspelare och en handfull ungdomar, men det tvingades delvis av avsaknaden av Philippe Coutinho, Roberto Firmino, Daniel Sturridge och Adam Lallana genom skada.
Utan att attackera hot, hemmasidan saknade fluens och potens i den sista tredje tills de klickade i den sista 15 minuter för att nå en rekord 17th League Cup semi-final.
Men en ansträngd natt sattes på spel när Bunten - på som en andra hälften substitut efter att ha gjort sin debut på lördagen mot Sunderland - slog Owens rekord med 98 dagar.
Det var ett speciellt ögonblick för ungen framför Kop och före detta England-strejkaren Owen, som tittade från huvudbåset.
Alla i teamet kom för att fira det historiska ögonblicket när Anfield hälsade sin senaste stjärna.
Matcher mellan dessa två klubbar kan vara sällsynta i modern tid - men detta är en fixtur brant i historien.
En rivalitet som föddes på Bill Shankly och Don Revies tid, återuppstånden under Kenny Dalglishs och Howard Wilkinsons epoker, försänd till längre minnen efter Gerard Houllier och David O'Leary.
Och det lockade fantasin hos båda uppsättningar av fans, Leeds tar nästan 5.500 till en kapacitetspublik på 53.000.
Även om denna slips inte hade lockelsen av en titel-swinging ligan match eller Wembley cup final av tidigare epoker, det gav en möjlighet för Leeds att testa sig själva igen på högsta nivå.
Efter en turbulent några säsonger under italienska ägaren Massimo Cellino, finns det en försiktig optimism bland Whites fans att deras klubb kan - äntligen - driva för befordran tillbaka till Premier League den här säsongen.
Manager Garry Monk har gett en lugn vägledning sällan sett - eller tillåtet - under Cellinos kontroll, flytta klubben upp till femte i mästerskapet efter fyra segrar i sina senaste fem matcher.
Oddsen var staplade kraftigt till förmån för hemmasidan innan kick-off, men besökarna skapade flera anständiga möjligheter mot en casual Reds försvar.
Till slut förlorade de med ett slagsmål. Men mottagningen som ges av bort fans till sina spelare i finalvisslan tyder på att de är optimistiska en 13-årig frånvaro från Premier League kan komma till ett slut inom en snar framtid.
Leeds Förenade chef Garry Monk:
"Jag bad dem att spela på något annat sätt än det vi har gjort taktiskt, vilket vi var tvungna att göra mot en mycket bra sida
"Vi följde den till en tee. Det saknades bara att vi tog en av flera möjligheter. Vi hade de bästa chanserna.
"Det behövde lite mer lugn, det är det enda negativa. Bättre beslutsfattande i den sista tredjedelen och vi skulle ha haft ett par mål. På det hela taget var jag rensad för spelarna.
"Som en föreställning för en ung, oerfaren team denna typ av nätter sätter en markör för dig. Vi växer. Vi är besvikna men de kommer att se tillbaka i tiden och tror att vi har satt på en bra prestation
"Jag tänker inte kritisera mitt team - de var utmärkta."
Tillbaka till en Premier League titel push för Liverpool. De röda, som är en punkt bakom ledare Chelsea, reser till 12: e plats Bournemouth på söndag klockan 13:30 GMT.
Leeds återvänder också till ligan action, värd en rebell Aston Villa på Elland Road på lördag (17:30 GMT).
Matchen slutar, Liverpool 2, Leeds United 0.
Andra halvlek, Liverpool 2, Leeds United 0.
Offside, Leeds United. Charlie Taylor försöker en genom boll, men Chris Wood fångas offside.
Foul av Emre Can (Liverpool).
Hadi Sacko (Leeds United) vinner en frispark på högerkanten.
Försök missade. Souleymane Doukara (Leeds United) höger fotade skott från vänster sida av lådan är för hög. Hjälpt av Chris Wood med ett nyckelkort.
Ersättning, Liverpool. Marko Grujic ersätter Divock Origi.
Divock Origi (Liverpool) visas det gula kortet.
Divock Origi (Liverpool) vinner en frispark på höger vinge.
Foul av Souleymane Doukara (Leeds United).
Försök missade. Kalvin Phillips (Leeds United) höger fotade skott utifrån lådan är för hög från en direkt frispark.
Foul av Lucas Leiva (Liverpool).
Hadi Sacko (Leeds United) vinner en frispark i anfallshalvan.
Sadio Mané (Liverpool) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Ronaldo Vieira (Leeds United).
Försöket räddades. Chris Wood (Leeds United) huvud från mitten av rutan sparas i nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Charlie Taylor med ett kors.
Offside, Liverpool. Simon Mignolet försöker en genom boll, men Divock Origi fångas offside.
Försök missade. Hadi Sacko (Leeds United) höger fotade skott från höger sida av lådan är för hög. Hjälpt av Souleymane Doukara.
Offside, Leeds United. Kalvin Phillips försöker en genom boll, men Souleymane Doukara fångas offside.
Ersättning, Liverpool. James Milner ersätter Ovie Ejaria.
Mål!  Liverpool 2, Leeds United 0. Ben Funce (Liverpool) höger fotade skott från mitten av lådan till övre vänstra hörnet. Hjälpt av Georginio Wijnaldum.
Försening över. De är redo att fortsätta.
Försening i tändsticka Divock Origi (Liverpool) på grund av en skada.
Mål!  Liverpool 1, Leeds United 0. Divock Origi (Liverpool) höger fotade skott från mycket nära håll till nedre högra hörnet. Hjälpt av Trent Alexander-Arnold med ett kors.
Försök missade. Ben Funce (Liverpool) höger fotade skott från vänster sida av lådan missar till höger. Hjälpt av Divock Origi.
Försök blockerat. Ben Funce (Liverpool) höger fotade skott från mitten av lådan är blockerad. Hjälpt av Sadio Mané.
Georginio Wijnaldum (Liverpool) träffar vänster stolpe med ett högerfotat skott från höger sida av lådan. Hjälpt av Sadio Mané med en genomgångsboll.
Hörnet, Liverpool. Förföljd av Luke Ayling.
Sadio Mané (Liverpool) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Ronaldo Vieira (Leeds United).
Försök blockerat. Souleymane Doukara (Leeds United) höger fotade skott utanför lådan är blockerad. Hjälpt av Kemar Roofe.
Ersättning, Liverpool. Ben 2006 ersätter Kevin Stewart på grund av en skada.
Försöket räddades. Kemar Roofe (Leeds United) höger fotade skott från höger sida av lådan sparas i nedre vänstra hörnet. Hjälpt av Ronaldo Vieira.
Försök missade. Kyle Bartley (Leeds United) huvudet från mitten av lådan missar till vänster. Hjälpt av Charlie Taylor med ett kors som följer ett hörn.
Hörnet, Leeds United. Förföljd av Ragnar Klavan.
Försening över. De är redo att fortsätta.
Försening i match Kevin Stewart (Liverpool) på grund av en skada.
Substitution, Leeds United. Chris Wood ersätter Stuart Dallas.
Försöket räddades. Emre Can (Liverpool) vänster fotade skott från mitten av lådan sparas i mitten av målet. Hjälpt av Lucas Leiva.
Kevin Stewart (Liverpool) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Teenager Ben Braskamin överskuggade Michael Owen som Liverpools yngsta målskytt som Reds kantade förbi Championship sida Leeds United i EFL Cup kvartsfinal på Anfield.