Trump påpekade att under caucus kampanjen Cruz berättade väljare rival Ben Carson planerade att sluta loppet, vilket inte var sant.
Cruz-kampanjen bad Carson om ursäkt och sa att det var ett missförstånd.
Trump citerade också Cruz flygblad som anklagade Iowans för "kränkningar".
Paul Pate, den högste valtjänstemannen i Iowa, fördömde brevbärarna på lördagen och sade att staten inte spårar eller graderar enskilda väljare.
Hans-Gert Pate sade att Cruz mailers "misserepresente Iowa vallag" och att de "inte höll sig i Iowa Caucuses anda", men han slutade inte med någon officiell handling.
"Ted Cruz vann inte Iowa, han stal den. Därför hade alla omröstningar så fel och därför fick han mycket fler röster än väntat. Dåligt!" Mr Trump sade.
Tidigare skrev han på Twitter att Cruz "illegalt" vann caucus, men senare raderade tweeten.
Reaktionen står i kontrast till hans eftergiftstal på måndagskvällen, som sågs som en ödmjuk avvikelse från hans vanliga bombastiska stil.
Mr Trump placerade andra plats i måndags tävling, som han kallade "en långdistans bra finish" i en tidigare tweet.
Cruz läger tar inte anklagelserna på för stort allvar.
"Verkligheten bara slog verkligheten stjärnan - han förlorade Iowa och nu ingen talar om honom, så han dyker upp på Twitter," Mr Cruz kommunikationsdirektör Rick Tyler berättade Politico i ett e-postmeddelande.
"Det finns stödgrupper för Twitterberoende, kanske han ska hitta sitt lokala kapitel."
Det finns inget prejudikat för att göra om en caucus.
De återstående kandidaterna är nu i New Hampshire, nästa stat att hålla en primär omröstning, där Trump leder i opinionsundersökningarna.
Rand Paul, en republikan som representerar Libertarian flygeln på partiet, hoppade av loppet på onsdag efter att ha avslutat femte i Iowa.
Presidentkandidaten Donald Trump har efterlyst ett nytt val i Iowa och anklagat den republikanska vinnaren Ted Cruz för bedrägeri.