Messi, som inte hade gjort mål i Barcas första två ligamatcher, började på bänken efter att sakna träning på fredag för att vara med sin nya pojke Mateo.
Atletico gick framåt sex minuter efter pausen när Fernando Torres rullade i ett skott, men Neymar utjämnade.
Messi tog sedan vinnaren efter att ha satts upp av Luis Suarez.
Det var Argentinas internationella 287:e La Liga mål för Barcelona, utökar sin ledning som tävlingens all-time bästa målskytt.
Hans mål kom den dag som Real Madrid framåt Cristiano Ronaldo blev hans klubb rekordliga målskytt - och flyttade upp till fjärde i den totala ställningar med 230 mål - genom att göra fem i en 6-0 seger på Espanyol.
Messi hade gjort mål i Argentinas 2-2 mitten av veckan drag med Mexiko men sökte sin första La Liga mål för säsongen innan lördagens match.
Han såg Suarez träffa baren i en fattig första halv, innan Atletico tog ledningen tidigt i den andra när Torres avslutade en fin motattack.
Leden varade bara fyra minuter, medan Neymar rullade i en fantastisk frikick från 20 meter.
Barcelona fick ett straff överklagande avvisat när Atletico försvarare Diego Godin verkade hantera bollen, men Messi vann matchen med en snygg, låg finish.
Lionel Messi firade födelsen av sin andra son med ett vinnande mål som Barcelona gick toppen av La Liga med en 2-1 seger på Atlantico Madrid.