Tykes slogs ut ur FA Cup i den första omgången på lördagen av National League sida Altrincham.
De har också förlorat sina sista sju ligamatcher, och 34-årige Johnson medgav att det hade varit en "shoking run".
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Han sade till BBC Radio Sheffield: " Jag förstår att folk vill ha bort mig. Om jag stannar - och jag vill och tror att jag kommer - vet jag vad vi behöver."
Johnson fortsatte: " Jag måste ta fullt ansvar, och det gör jag. Det är min sak att göra förändringar, vare sig det handlar om att byta personal eller att samla trupperna.
"Vi måste sätta folk där ute som vi tror kommer att spela för brickan på framsidan och inte namnet på baksidan."
Den tidigare Oldham chefen gick Barnsley i februari på en tre och ett halvt år kontrakt, men de röda har kämpat för att göra en effekt denna säsong.
De har bara vunnit fyra av sina 16 matcher och lämnat dem på 22:a plats i League One.
"Hela klubben måste bedöma hur man går vidare eftersom det är för många förlorar mentalitet karaktärer runt om," tillade han.
"Under 18-talet får sällan en vinst, under 21-talet har inte tillräckligt med vinster och vi har inte tillräckligt med vinster. Något måste ha en ren svepning av tankesättet och förändringen."
Barnsley manager Lee Johnson har bett om tid att ändra en "förlorande mentalitet" på den kämpande League One klubben.