Tweeters har använt #NoToSocialMediaBill för att kampanja mot förslaget.
Den föreslår upp till ett sjuårigt straff eller $25,000 (15,000 pund) böter för alla som befunnits skicka "övervåldsbudskap".
Human Rights Watch fördömer flytten som ett försök att tysta ner yttrandefriheten.
Miljontals användare av sociala medier i Nigeria, såväl som de som sänder textmeddelanden, skulle kunna påverkas, sägs det i ett uttalande.
I lagförslaget definieras inte "övergreppsförklaring eller meddelanden".
Det kommer att hållas en offentlig utfrågning på lagförslaget innan det kan godkännas.
Aktivister ser lagförslaget som ett försök att rikta kritiker mot lagstiftare och politiker.
BBC: s Nasidi Adamu Yahya i huvudstaden, Abuja, säger nigerianska parlamentsledamöter ofta kommer under medias uppmärksamhet på grund av de enorma pengar de tjänar.
Men senator Bala Ibn Na'allah av den styrande All Progressive Congress, som sponsrade lagförslaget, sade att publiceringen av falska berättelser höll på att bli rasande i landet.
"Du kan inte skriva falska historier bara för att det är sociala medier," sa han BBC Hausa tjänsten.
De brott som lagförslaget syftar till att kriminalisera finns redan enligt nigerianska lagar, inklusive de som gäller förräderi, förtal och ärekränkning, säger vår reporter.
Nigeria har ett levande civilt samhälle med många aktivister som använder sociala medier för sina kampanjer. Den har det största antalet mobiltelefonanvändare i Afrika.
Nigerianer har reagerat ilsket på ett lagförslag som diskuteras i senaten som syftar till att straffa alla som "förfalskar falsk information" i elektroniska medier.