Alberto Paloschi gav besökarna ledningen efter Angel Rangel skott föll till honom via lagkamrat Jack Cork.
Swansea målvakt Lukasz Fabianski gjorde en serie fantastiska räddningar, innan Nacer Chadli avböjde i Kyle Walkers skott för att utjämna med 20 minuter kvar.
Danny Rose körde sedan i vinnaren efter Swansea misslyckades med att rensa ett hörn.
Hoppen har växt på White Hart Lane av en första ligan titel sedan 1961, men trycket var på att slå kämpande Swansea efter Leicester öppnade upp en fem-punkts ledning med en seger över Norwich på lördag.
Mauricio Pochettino sida var helt dominerande - hantera 34 skott på mål till Swanseas 10 - men var frustrerad av beslutsam försvar och lysande målvakt.
Spurs kunde ha förlåtit för att tro att det inte skulle bli deras dag, särskilt när den enastående Fabianski dök akrobatiskt till sin rätt att klösa ut Christian Eriksens frikick tidigt i andra halvlek.
Fabianski hade tidigare gjort ett utmärkt stopp för att förneka Harry Kane från nära håll, men blev slutligen slagen som substitut Chadli slog och Rose lade till sitt första mål för säsongen.
För Pochettino var det ett tecken på att hans spelare har karaktären att tvinga segrar när förmögenheten verkar vara emot dem.
Poccettinos sida säkrade en sjätte på varandra följande ligaseger för att hålla trycket på Leicester - en dag då grannarna Arsenal förlorade mark med ett nederlag i Manchester United.
Oron för Tottenhams manager är att hans huvudaktörer håller sig borta från skador som försök att jonglera inhemska krav med Europa League.
England framåt Kane lappades ihop för att spela i en ansiktsmask efter att ha missat torsdagens seger över Fiorentina med en bruten näsa.
Det fanns också oro innan kick-off som mittfälter Dele Alli, en inspirerande figur för dem denna säsong, vände sin fotled i uppvärmningen.
Alli kunde spela hela spelet, men tittade inte på hans bästa. Pochettino måste hoppas att mittfältaren är i bättre form för onsdagens resa till West Ham.
Francesco Guidolin kommer att ha muntrats med den anda hans sida visade - vilket bara var den pick-me-up som Swansea chefen behövde när han kämpar mot en bröstinfektion.
Hans sida visade attackerar list på deras enstaka avbrott framåt, medan Paloschi tog sitt mål smart för att göra mål för första gången sedan hans drag från Chievo i januari.
Det kom efter Tottenham djurhållare Hugo Lloris gjorde en superb tidig räddning för att tippa över Gylfi Sigurdsson skott från sex meter, och Frankrike international var alert för sent i spelet för att slå ut en annan Paloschi skott.
Guidolin, men kommer att känna en känsla av frustration att hans team inte kunde få något från spelet efter att leda med 20 minuter kvar.
Det innebär att efter fyra ligamatcher utan seger, Swansea förblir bara tre punkter ovanför nedflyttningszonen. Matcher mot Norwich, Bournemouth och Aston Villa i mars kommer att gå långt för att avgöra deras öde.
Tottenham huvudtränare Mauricio Pochettino: "Fabianski var jättebra. Han var en av tändstickorna. Ibland är fotboll svårt. Du spelar bra men har svårt att göra mål. Det som är bra är att laget slåss. Det är en fantastisk seger.
"Vår mentalitet är att titta på nästa match och gå steg för steg. Nu måste vi fokusera igen. Vi har en stark trupp och vi ska försöka hantera den på rätt sätt."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Swansea första lag tränare Alan Curtis: "Fabianski gjorde några fantastiska räddningar. Vi tänkte att det kanske skulle bli en sån där dag när vi skulle rida vår tur. Lukasz höll oss kvar i spelet länge.
"Vi kom fram och skapade ett par anständiga möjligheter men trycket var obevekligt. Vi fick nästan något, men det räckte inte."
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Båda sidor är i Premier League aktion på onsdag; Swansea kommer att stanna i norra London för att förbereda sin resa till Arsenal, medan Tottenham korsar huvudstaden för att besöka West Ham.
Tottenham flyttade tillbaka till två punkter av Premier League ledare Leicester efter att slåss tillbaka bakifrån för att slå en envis Swansea sida.