Den England skepparen slog en run-a-ball 92 på Rubrikeley, med James Taylor och Ben Stokes båda poäng 41.
David Willey hade tidigare reducerat Australien till 30-3 med den nya bollen innan de återhämtade sig till post 299-7.
Glenn Maxwell, som släpptes på 6 och 35, toppklassade med 85 av 64 bollar.
Australien allrounder tog också två fantastiska fångster men hans ansträngningar var inte tillräckligt för att förhindra England att revidera en poäng på 300 eller mer för bara fjärde gången i sin endags internationella historia.
Deras tidigare bästa ODI run-chase mot Australien var 270-4 på Lord's 1997.
Det var Englands andra på varandra följande seger, efter att de också vann på Old Trafford på tisdag, och innebär att värdarna fortfarande kan skicka Australien hem besegrade över alla format efter att de vann Ashes 3-2 och ensam 20 internationella med fem körningar.
Morgan förankrade Englands runchase perfekt med sin åttonde poäng på 50 eller mer i sina senaste nio innings.
Jason Roy och Taylor hade delat ett första vekling partnerskap på 72 av 53 bollar men Englands framsteg stannade när båda avfärdades i snabb följd.
Morgan, dock, långsamt återuppbyggde innings när han tog 40 bollar för att göra mål sina första 20 körningar innan långsamt accelerera.
Han slog John Hastings för en rak sexa som landade på taket av den intilliggande rugby stadion som han slog åtta fyror och två maximum innan fångas på baklänges punkt av Maxwells fantastiska enhänt fångst.
Även om Morgan verkade besviken att inte ha avslutat jobbet, hans lysande innings tog England till 238-5 med mer än 10 overs kvar.
Några stora slag från Liam Plunkett och Willey, plus en stadig hand från Moeen Ali, såg England hem med 10 bollar till reserv.
Morgan är den högsta målskytten i serien men bara strax före Taylor, som följde upp sitt århundrade på Old Trafford med en motattack 41 off 42 bollar.
Han slog åtta gränser i sin innings - jämfört med bara fem i sin karriär-bästa 101 i Manchester tidigare i veckan - och visade en annan sida av sitt spel innan jaga en boll ner för benet sidan och vara akrobatiskt fångas av Matthew Wade.
Han tog sig an de snabba bowlarna, han var särskilt stark genom off-sidan när han klippte och körde imponerande för att ta det tidiga initiativet tillbaka från Australien efter den tidiga förlusten av Alex Hales för en två-ball anka.
Före detta England kapten Michael Vaughan tror Taylor har nu gjort tillräckligt för att motivera urval på turnén i Förenade Arabemiraten för att spela Pakistan nästa månad.
"Jag tror att de måste ta honom", sa Vaughan. "Taylor spelar snurrar annorlunda till många England spelare, med hjälp av hans fötter väl.
"Han har inte ställts inför lysande spinn i denna serie, men han har spelat det på ett bra sätt, och han har sett bra ut mot de snabba bowlare. Han läser situationer väl, och det är vad han skulle behöva göra vid fem i Test cricket. "
Willey, som kommer att spela för Yorkshire nästa säsong efter att ha beslutat att lämna Northants i sommar, var utmärkt med den nya bollen i frånvaro av den skadade Chris Woakes och den utvilade Steven Finn.
Vänsterarmören började med att svänga den vita bollen i högerhänta kuddar - avfärda Joe Burns (spelas på) och Steve Smith (lbw) billigt - innan ibland kör den över fladdermössen.
Det skapade tvivel hos Australiens fladdermöss och Aaron Finch var nästa som gick när han kantade bakom Jonny Bairstow.
Willey och Moeen var val av England bowlare, med Australien misslyckas med att göra en run off 50% av den senares leveranser.
Men värdarnas välbekanta problem på baksidan av en innings dök upp igen, med Australien krossa 77 av de sista sex overs.
Både Willey och hans medöppnande bowlare Mark Wood skålade för full, vilket gör att Wade och Hastings att komma under bollen och plundra tillräckligt med gränser för att ta Australien från 215-7 i 42: a över till 299-7 när deras innings stängde.
Det var inte bara Willey som imponerade på Rubrikeley, med en annan hedersman Yorkshireman bländande publiken med några fantastiska cricket.
Maxwell, som kallas The Big Show och har spelat för Yorkshire som en utländsk spelare i sommar, visade några fantastiska omvänd-sweeps med bat samt att lansera Adil Rashid för två enorma sexor.
Men han sparade sitt show-stopp bäst för slutet av Englands kör jakt när han producerade en otrolig gränsfångst för att avsluta Plunketts underhållande sena cameo.
Han fångade bollen med båda fötterna från marken men, medveten om att han skulle kliva över repet, slog bollen upp med sin högra hand och sedan fångade den i sin vänstra när han åter in i spelområdet framför den västra terrassen.
Hans atletiska bästa kunde dock inte förneka England, och det är Morgans sida som har farten på väg tillbaka till Old Trafford på söndag.
Eoin Morgan inspirerade England till deras bästa internationella löpjakt mot Australien när de jämnade ut femmatchsserien för att sätta upp en beslutsfattare på Old Trafford på söndag.