I en artikel som publicerades på fredag, MacKenzie jämförde Everton midfielder Ross Barkley, som har en farfar född i Nigeria, med en "gorilla".
Han sa att män med liknande "betalpaket" i Liverpool var "narkomaner".
Merseyside Polisen undersöker om hans kommentarer utgör ett "rasiskt hatbrott".
Sun bad om ursäkt för "det brott som orsakades" och tillade att det var "omedveten om Barkleys arv".
I ett eget uttalande upprepade MacKenzie den senare känslan och tillade att det var "bortom parodi" att beskriva kolumnen som "rasistisk".
I artikeln, som sedan dess har tagits bort från tidningens webbplats, sade den tidigare redaktören MacKenzie:
Vid sidan av artikeln publicerade Sun angränsande bilder av Barkley och en gorilla på deras hemsida med rubriken "Could Evertons Ross Barkley representerar den saknade länken mellan människa och djur?" Bilden togs senare bort.
Barkley, 23, slogs i en Liverpool bar förra helgen i vad hans advokat beskrev som en "oprovocerad attack".
Polisen bekräftade att de undersökte "fullständiga omständigheter".
Liverpool borgmästare Joe Anderson sade att han hade anmält artikeln till polisen för en "ras slur".
Anderson talade till BBC Sport och sade: "Inte bara är det rasistiskt i en bemärkelse att han är av blandad ras härkomst, lika mycket är det en rasstereotyp av Liverpool. Det är rasistiskt och förhistoriskt."
Anderson twittrade senare för att säga att han hade gett ett uttalande till Merseyside Police och rapporterade artikeln till Independent Press Standards Organisation.
Och i ytterligare en tweet sade han att "oavsikt helt enkelt inte kan användas som försvar" och att ursäkt är "enkelt inte tillräckligt".
Dessutom kritiserade han Everton för deras underlåtenhet att svara genom att förbjuda Sun-journalister från Goodison Park och kalla det "ett slag i ansiktet på vår stad".
Och han bad fans på lördagens Premier League möte med Burnley att vända ryggen på planen på 15:06 BST i protest.
MacKenzie var redaktör för Sun när den publicerade en förstasidesartikel med rubriken "Hillsborough: Sanningen" efter katastrofen 1989 på Sheffield onsdagens fotbollsstadion.
Artikeln hävdade att Liverpools fans var ansvariga för tragedin, där 96 människor dog. MacKenzie bad om ursäkt 2012.
Förra årets landmärke Hillsborough förfrågningar inspelade att 96 fans dödades olagligt och att Liverpool supportrar vid FA Cup semifinal hade spelat någon roll för att orsaka tragedin.
Lördagen den 15 april är det 28 år sedan katastrofen inträffade.
Burnley Midfielder Joey Barton, som var en Everton-ungdomsspelare, twittrade: "De här kommentarerna om Ross Barkley, en ung arbetarklasspojke, är vidriga. Lägg sedan till det faktum att han är blandad ras! Det blir skandalöst."
Före detta Liverpool-strejkaren Stan Collymore twittrade: "Förolämpade rasismen när den var som bäst."
Fotbollens jämställdhets- och integrationsorganisation Kick It Out sa att de hade fått klagomål om de "intelligenta och offensiva" kommentarerna.
"Vi kommer att kontakta Everton och PFA om deras svar för att ge stöd till Ross och hans familj," sade de.
BBC Sport har kontaktat Everton och Barkleys representanter för kommentarer.
Kolumnisten Kelvin MacKenzie har blivit avstängd av solen efter att han uttryckt "fel" och "olyckliga" åsikter om folket i Liverpool.