Kampanjen Pass Wide och Slow Wales har samlat 1300 underskrifter på församlingens e-petition webbplats.
Man vill ha en årlig trafiksäkerhetskampanj som förklarar för bilister hur man reagerar kring hästar.
British Horse Society fann att det sedan 2010 har skett 2 000 trafikolyckor i Storbritannien, med 1 500 på grund av att bilar passerar för nära.
Till följd av dessa har 180 hästar och 36 ryttare dött.
Medvetenhetsfärder planerades för Penarth, Vale of Glamorgan, Swansea, Neyland i Pembrokeshire, Machynlleth, Powys, Flintshire och Porthmadog i Gwynedd.
Varje framställning med över 50 underskrifter behandlas av ett utskott som skall debatteras i plenarförsamlingen.
Medvetenhet rider äger rum för att försöka minska antalet människor på hästryggen skadade eller dödade på vägarna.