Froome klockade 51 minuter och 18 sekunder för 37,5 km scenen från Bourg-Saint-Andeol till La Caverne du Pont-D'Arc, som Holländaren Tom Dumoulin vann på 50 minuter och 15 sekunder.
Bauke Mollema slutade sexa för att gå tvåa i den totala ställningen.
Det rådde tvivel om att scenen skulle fortsätta efter torsdagens attack i Nice.
Tour tjänstemän beslutade att fortsätta med loppet, med en ökad säkerhet närvaro, efter att minst 84 människor dödades när en lastbil körde genom en publik firar Bastille dag i södra franska staden.
Det fanns en dyster atmosfär vid både start- och mållinjerna på scen 13, där de flesta ryttare inte fick höra nyheten från Nice förrän de vaknade upp på fredag morgon.
"Vi vill att denna dag ska vara en dag av värdighet som en hyllning till offren", sade rasregissören Christian Prudhomme. "Loppet måste fortsätta."
Det hölls en tyst minut innan den första ryttaren gav sig av på kursen, och en annan minuts tystnad iakttogs när jerseyhållarna stod på scenen efter att dagens racing hade avslutats.
Ryttarna, däribland Froome, placerade sina blombuketter på ett tomt podi i en symbolisk hyllning till offren i Nice.
Froome, som bor i Monaco, bara 20 kilometer från Nice, sade: " Detta är definitivt en tid för människor att stå tillsammans. Det sätter definitivt saker i perspektiv för oss.
"Jag är nöjd med hur scenen gick men allas tankar är med människorna i Nice. Det är en speciell plats för mig, nära där jag är baserad, och jag kan inte föreställa mig vad alla går igenom. "
Scenvinnare Dumoulin tillade: "På ena sidan är jag en mycket lycklig man, men på andra sidan är det en mycket sorglig dag.
"Jag vaknade upp till de hemska nyheterna från Nice och det var en fråga om vi skulle tävla. Det var ett rättvist beslut i slutänden att tävla. Det är hemskt vad som hände och det döljer dagen mycket."
På vägen visade det sig vara en avgörande dag för 2013 och 2015 mästare Froome, som han ökade sin ledning på alla sina gula jersey rivaler.
Förra året samlade 31-åringen den gula tröjan på scen sju och gav aldrig upp den.
"Det kommer att finnas en stark breakaway grupp men det kommer förmodligen att komma tillbaka tillsammans och sluta i ett gäng sprint finish"
Läs Geraints förhandsvisning av steg 14
Och efter att ha burit postloten jaune på scen åtta i år, har Team Sky ryttaren fortsatt att sätta mer tid mellan sig själv och de andra utmanarna.
Hans tid rättegång kan ha varit en minut tre sekunder långsammare än Dumoulins fantastiska scen-vinnande tempo, men han var nästan två minuter snabbare än Mollema, som nu är hans närmaste hot om den totala ledningen.
Fellow Briton Adam Yates, 23, föll från andra till tredje, men fortsätter att ha en anmärkningsvärd Tour, avslutar sju sekunder snabbare än den högt ansedda Nairo Quintana.
Colombianska Quintana ser ut att sakna form, har inte kunnat jaga Froome, Mollema och Richie Porte upp Mont Ventoux på torsdag, och nu faller till fjärde och två minuter 59 sekunder utanför ledningen.
Den omfattande scensegern för Dumoulin stärker den allmänt utbredda uppfattningen att 25-åringen har potential att vinna en framtida Grand Tour - som inkluderar Giro d'Italia och La Vuelta.
1. Vad är det för fel på dig?  Tom Dumoulin (Ned/Giant) 50mins 15seks
2 ) och 2.........................................................................................................  Chris Froome (GB/Team Sky)+1min 3sek
3. Vad är det som händer?  Nelson Oliveira (Por/Movistar) +1min 31seks
Fyra.  Jerome Coppel (Fra/IAM Cycling) +1min 35seks
För att uppnå detta mål har kommissionen beslutat att inleda ett förfarande enligt artikel 108.2 i fördraget om Europeiska unionens funktionssätt (nedan kallat EUF-fördraget).  Rohan Dennis (Aus/BMC Racing) +1min 41seks
6. Vad är det som händer?  Bauke Mollema (Ned/Trek) +1min 54sek
7. Vad är det som händer?  Geraint Thomas (GB/Team Sky) +2mins
8. Vad är det som händer?  Jon Izagirre (Spa/Movistar) +2mins 2seks
9. Utövande av delegeringen av befogenhet  Tony Martin (Ger/Etixx - Snabbsteg) +2mins 5seks
- Tio. - Vad är det för fel på dig? Steve Cummings (GB/Dimensionsdata) +2mins 24seks
1. Vad är det för fel på dig?  Chris Froome (GB/Team Sky) 58hrs 2mins 51seks
2 ) och 2.........................................................................................................  Bauke Mollema (Ned/Trek) +1min 47sek
3. Vad är det som händer?  Adam Yates (GB/Orica) +2mins 45seks
Fyra.  Nairo Quintana (Kol/Movistar) +2mins 59seks
För att uppnå detta mål har kommissionen beslutat att inleda ett förfarande enligt artikel 108.2 i fördraget om Europeiska unionens funktionssätt (nedan kallat EUF-fördraget).  Alejandro Valverde (Spa/Movistar) +3mins 17seks
6. Vad är det som händer?  Tejay van Garderen (US/BMC Racing) +3mins 19seks
7. Vad är det som händer?  Romain Bardet (Fra/AG2R) +4mins 4seks
8. Vad är det som händer?  Richie Porte (Aus/BMC Racing) +4mins 27seks
9. Utövande av delegeringen av befogenhet  Daniel Martin (Ire/Etixx - Snabbsteg) +5mins 3seks
- Tio. - Vad är det för fel på dig? Fabio Aru (Ita/Astana) +5mins 16seks
Storbritanniens Chris Froome förlängde sin ledning i Tour de France till en minut och 47 sekunder genom att avsluta andra i scenen 13 tid rättegång.