Besökarna tävlade i en tre-mål första-halva bly på Hampden.
Weatherson öppnade poäng med en ostoppbar 15: e-minuten fri-kick, och han gjorde det 2-0 i 27: e minuten.
Matt Flynn gjorde det 3-0 sex minuter senare med en fin finish.
Queen har dragit ett tröst mål tillbaka i stopptid genom John Carter.
Peter Weatherson fick en tandställning när Annan spelade in sin andra seger i åtta matcher.