Trott slog 175 när Warwickshire uppgick till 413 i Taunton, uppbackade av halvcenturier från Tim Ambrose (63) och Rikki Clarke (57).
Unga paceman Grant Thornton tog sedan två av de fyra Somerset Wickets att falla på hans Championship debut.
Men Marcus Trescothick var fortfarande där vid slutet på 41, av 94-4.
Efter två dåligt regnavbrutna dagar. Dragningen är fortfarande det mest sannolika resultatet.
Men Bears, så svårt slagna av en innings i deras inledande två matcher, har åtminstone gett sig själva en chans att tvinga seger, även om det skulle ta 16 wickets på dagen att göra det - och få Trescothick ut två gånger.
Nedre klubben Somersets mål på dag fyra kommer helt enkelt att vara att undvika uppföljning - och de behöver ytterligare 170 för att göra det.
Somersets Marcus Trescothick berättade för BBC Radio Bristol:
"En av kontorspersonalen berättade för mig för ungefär 10 dagar sedan hur nära jag var 25.000 körningar och jag har svettats på det sedan dess.
"Jag visste när jag gick in att jag var 29 bort. Det blev lite spänt när jag kom närmare.
"Det är en prestation jag är stolt över men det finns fortfarande ett stort jobb för mig att göra i detta spel.
"Det var ingen bra dag för oss och vi måste koncentrera oss hårt i morgon för att se till att vi kommer undan med en dragning."
Warwickshires Jonathan Trott berättade för BBC Coventry & Warwickshire:
"Det är bra att Marcus fortfarande spelar county cricket och föregår med gott exempel för de unga spelarna i sitt omklädningsrum och oppositionslag.
"Det finns ingen chans att jag fortfarande kommer att spela på 41. Det är bara fånigt! Hans kommer att bli en stor wicket för oss i morgon.
"Jag hade precis kommit över 100 när den nya bollen togs så det var viktigt att jag hängde kvar längre om vi skulle få en anständig poäng. Jag började tänka i termer av 400 när Rikki Clarke kom in och spelade så bra.
"Det är lite tur eftersom det är en begagnad tonhöjd. Med så mycket regn har det tagit längre tid att forma skorpan, men förhoppningsvis kan Jeetan Patel orsaka dem några problem."
Warwickshire tog befälet över slaget vid Division Ones botten två efter att Jonathan Trott hade nått 42:a första klass århundradet av sin karriär.