Enligt en informell roterande princip bör den nionde generalsekreteraren vara östeuropé. Men regionen riskerar att förlora den chansen på grund av ljummet stöd för nationella kandidater hemma, och ett regionalt misslyckande att dra samman för att stödja en individ.
Ett informellt urvalsförfarande, som har blivit öppnare i år genom öppna utfrågningar, har hittills gett upphov till elva kandidater, varav åtta från Östeuropa.
De tidigare eller nuvarande utrikesministrarna i Moldavien, Makedonien, Montenegro, Kroatien, Serbien och Slovakien samt Sloveniens tidigare president är alla med i loppet.
Bulgarien har föreslagit Irina Bokova, nuvarande chef för Unesco, FN:s kulturella och pedagogiska flygel.
Den andra New York loppet
Helen Clark kandiderar till FN:s toppjobb
Nära observatörer i FN säger att kandidaterna riskerar att tränga ut varandra - vilket lämnar vägen öppen för andra starka kandidater, däribland Susana Malcorra från Argentina, Helen Clark från Nya Zeeland, eller den hårdnackade tidigare UNHCR-chefen, Antonio Guterres från Portugal.
I juli bör en opinionsundersökning bland de 15 medlemmarna i säkerhetsrådet ge en tydligare bild av stödet, eller bristen på stöd, för var och en av dem.
Ännu fler kandidater skulle också kunna träda fram under de kommande veckorna. En annan bulgarisk statskvinna, Kristalena Georgieva, sägs allmänt vara på gränsen till att tillkännage sin kandidatur.
"Jag tittar uppenbarligen noga på loppet. Många människor uppmanar mig att komma in. Låt oss se vad som händer, "Hon berättade för BBC. Bakom kulisserna sägs flera länder överväga att nominera henne.
Vladimíra Bokova var en tidig föregångare och fick ett avgörande ryskt stöd. Men hennes chanser har skadats av en fördömande utredning av Unescos inre verksamhet under de senaste månaderna, och av hennes stöd för palestinskt statsskick - som den amerikanska regeringen har ogillat.
Nästan hälften av Unescos budget går för närvarande till personallöner.
Anna Georgieva har däremot goda meriter som administratör på Världsbanken och som tidigare EU-kommissionär med ansvar för humanitära frågor och nuvarande kommissionsledamot med ansvar för budgetfrågor.
Under de senaste månaderna ledde hon teamet som övervakade en ny plan för FN:s humanitära insatser som drog slutsatsen att 710 miljoner dollar per år kunde sparas genom att rikta medel direkt till de behövande.
Mer information om kandidaterna och urvalsförfarandet finns på FN:s webbplats
"Insiders säger att antingen Kristalena Georgieva eller Antonio Guterres kan ge FN den typ av kick upp baksidan det behöver", säger Richard Gowan, en FN-expert vid Europeiska rådet om utländska relationer.
Det råder enighet om att nästa ledare för FN bör vara en bra chef med erfarenhet av att driva internationella organisationer. Ett brett internationellt stöd för tanken att nästa FN-generalsekreterare bör vara en kvinna, plus ryskt insisterande på att hon eller han talar ryska, skulle kunna luta loppet in i en strid mellan de två bulgarerna.
"Detta är en sådan lös process, att om det blev tydligt att Anna Georgieva hade stöd av de fem permanenta medlemmarna, det finns ett sätt att få henne tillbaka i drift," sade Richard Gowan.
Ett slutligt beslut om nästa generalsekreterare väntas i oktober, då Ryssland leder säkerhetsrådet.
Kommer Östeuropa att slösa bort sitt historiska tillfälle att ge nästa generalsekreterare från Förenta nationerna, när Ban Ki-Moons mandat löper ut i slutet av detta år?