Sir Martin Moore-Bick skickade brevet sent på torsdag efter veckor av diskussioner med överlevande.
Det har varit kontroverser om Sir Martins lämplighet för rollen och de områden som utredningen kommer att täcka.
Premiärministern kommer att fastställa mandaten för processen under de kommande veckorna.
Downing Street sa: "Premiärministern har fått brevet och kommer att överväga det och svara inom kort."
Hur långt utredningen kan gå har varit en källa till kontroverser sedan Sir Martins utnämning tillkännagavs.
Han förargade de överlevande på sin första dag i arbetet genom att ange undersökningen skulle vara "pretty väl begränsad" till att undersöka orsaken till branden, hur den spred sig och hur man kan förhindra framtida incidenter.
Men han lovade senare att överväga en "bred uppsättning bevis" som kunde inkludera varför invånarnas varningar om brandsäkerhet påstods ignoreras av myndigheterna.
Överlevande, sörjande familjer och andra berörda parter ägnade veckor åt att ta ställning till vilka frågor undersökningen skulle besvara.
Mer än 400 inlagor mottogs under samrådsperioden.
Kampanjen "Justice 4 Grenfell" sade tidigare denna månad att man ville ha en undersökning av den lokala och nationella politiken för subventionerade bostäder och om den "ökade riskerna för invånarna".
I efterdyningarna av katastrofen ställdes frågor om den beklädnad som används på Grenfell och andra byggnader. Mer än 100 byggnader har misslyckats med de senaste brandsäkerhetsproven efter branden.
Sir Martin har tidigare ställts inför samtal om att avgå från invånare, medan Labour MP David Lammy sade att han var en "vit, övre medelklass man" som hade "aldrig" besökt ett torn kvarter bostäder och borde inte ha utsetts.
Utredningen ska inledas i september. Sir Martin har tidigare sagt att en interimsrapport kan tas fram inom ett år.
Premiärministern kommer att fastställa mandaten för processen under de kommande veckorna.
Domaren som leder utredningen av Grenfell Tower branden har skrivit till premiärministern med rekommendationer för dess mandat.