Mourinho har fått klartecken för att ha gjort diskriminerande kommentarer till Carneiro, som sedan dess har lämnat klubben.
Men Dyke, i ett brev till FA:s medlemmar, sade den 52-årige portugisiskan "gjorde ett misstag".
FA har kritiserats av en av sina styrelseledamöter - Heather Rabbatts - för sin handläggning av ärendet.
Rabbatts, chef för FA:s rådgivande nämnd för inkludering, sade att den styrande myndighetens reaktion hade varit "allvarligt nedslående".
"Jag har stor oro över det sätt på vilket disciplinprocessen har genomförts", tillade hon.
FA utredde efter en offentlig medlem klagade på Mourinhos språk mot Carneiro under Chelseas 2-2 dragning med Swansea den 8 augusti.
Carneiro och huvudfysio Jon Fearn hade behandlat Eden Hazard för en skada efter att ha kallats till planen av domaren, vilket innebar att spelaren var tvungen att lämna fältet.
Det innebar att Chelsea reducerades till nio män, och målvakten Thibaut Courtois skickades iväg, och Mourinho kritiserade paret i en nyhetskonferens efter matchen.
Carneiro, 42 år, fick sin roll nedgraderad innan hon bestämde sig för att lämna klubben.
"Jag tror inte att Mourinho kommer bra ur hela sagan - han gjorde tydligt ett misstag i värmen av ett spel, och borde ha sagt det och bett om ursäkt," sade FA ordförande Dyke.
"I stället har han sagt väldigt lite och miss Carneiro har förlorat sitt jobb.
"Vår regulatoriska grupp har undersökt detta och även om Mourinho inte har brutit mot några regler, var det uppenbarligen ett misslyckande för hans personliga omdöme och offentliga beteende."
Kampanjgruppen Women in Football sade att dess språkexpert är säker på att Mourinho använde kränkande språk, tvärtemot FA: s valda expert.
Men FA sade att man hade utsett en oberoende akademisk expert på portugisiska lingvistik för att studera bilderna av händelsen, som inkluderade ljudinspelningen.
"Vi har anlitat en expert på hög kaliber för att ta itu med en så viktig fråga som diskriminerande språk, som vi tar mycket allvarligt", sade en talesperson.
Rabbatts sade att FA hade misslyckats med att agera tidigare över sexistiska och kränkande mässande mot Carneiro av fans på arenor.
Chelsea manager Jose Mourinho borde ha bett om ursäkt till ex-club doktor Eva Carneiro för hans kritik av henne, säger Football Association chefen Greg Dyke.