Tja hävdade att bollen hade gått över gränsen när hemväktaren David Mitchell kolliderade med en stolpe medans han höll ett överhitt Scott McDonald kors.
Cammy Kerr satte upp Craig Wighton följde upp för att göra mål efter att väktare Craig Samson blockerade anfallaren skott.
Marcus Haber side-footed hem den andra från anfallaren Wighton's cut-back.
En andra seger i rad lyfter Paul Hartleys sida från botten av det skotska Premiership bordet framför Ross County, som är värd Rangers på söndag, och nivå med besökarna och Hamilton Accies.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Spökmålet kommer att hemsöka matchtjänstemännen hela helgen.
På höger flank, slog McDonald looped i ett kors som var karriär mot övre hörnet.
Mitchell började rasande back-peal när det blev klart att bollen hade ont mot baksidan av nätet.
Målvakten tog tag i bollen, men dess rörelse, plus hans momentum, bar honom och bollen en bra gård över linjen.
Det var förbluffande när tjänstemännen då beslutade att inget mål hade gjorts.
Morväl - spelare, personal och fans - var upprörda, och inte konstigt. Ett avgörande ögonblick som hade en enorm betydelse för denna match som Dundee tog kontroll.
Wighton har varit ett hett tips för unga människor under en tid. Mot Ja, han var utmärkt.
Det var en hel del huff och puff från Dundee i första halvan, men den lilla biten av kvalitet i den sista tredje kom från jinking fötter av 19-åringen.
Den strejkande har fantasi, skicklighet, medvetenhet och en direktion som skrämmer försvarare.
Han skapade båda målen. För det första räddades hans ansträngningar innan Cammy Kerr sköt hem revanschen.
För den andra, Wighton visade skicklighet, styrka och kör innan skära tillbaka för Haber att göra mål sitt första Dundee mål.
Wighton täckte nästan sin fantastiska uppvisning med en stor löpning och skott som räddades väl av Simson. Han förtjänade ett mål för sin allround-show.
Mycket har sagts om hur hårt Premiership är den här säsongen, så länge rymlingar ledare Celtic tas ur ekvationen.
Det var fallet här för stora delar, även om spöket mål incident var avgörande i detta spel.
Dundee var den bättre sidan efter att ha tagit ledningen, men Morwell var den bättre sidan för större delen av första halvan.
De skapade flera chanser - McDonald hade en nära håll header sparad, Lionel Ainsworth hade ett hörn tipsade på baren och ett skott blockeras.
Spökmålet förändrade det här spelet. Därifrån tog Dundee sin chans, fick sitt mål, tog kontroll och - avgörande - fick sig själva från botten av bordet för en stund åtminstone.
Mediauppspelning stöds inte på den här enheten
Dundee manager Paul Hartley: " Säsongens första hemseger. Jag tyckte att vi förtjänade det idag.
"Vi kanske har fått lite av en paus med Morwells så kallade mål, jag har inte riktigt sett det, men det är pauserna som vi inte har haft.
"Jag kände att vi var bekväma idag på det sätt som vi spelade. Andra halvan tyckte jag att vi var utmärkta och vi förtjänade det idag.
"Craig Wighton har varit runt och om truppen från en ung ålder, från 15, en hel del förväntningar läggs på hans axlar, men vi har försökt att underlätta honom där ibland.
"Men nu känner vi att vi har mognat, han har blivit starkare och du har sett i hans föreställning idag och även förra veckan finns det en annan sida av honom nu när det gäller bollen men även utanför bollen i hans defensiva arbete.
"Craig har fått en sådan enastående förmåga och talang och det är den standard han har satt sig själv nu. Jag tror det är hans tid nu."
Morwell manager Mark McGhee: "Jag har sett videon igen, jag såg den på den tiden, jag kunde se tydligt. Pojkens fötter är över gränsen, bollarna framför honom.
"Det råder absolut ingen tvekan om att det är ett mål. Det är ett fullständigt chockerande beslut.
"Jag bad bara [domaren] om en förklaring. Självklart pratar de inte med dig.
"Jag är lika arg på mitt eget lags första halva prestation som jag är med domarens beslut, eller linjemannens beslut.
"Vi fattade dåliga beslut, vi gjorde aldrig de saker vi talade om - att komma ner på sidorna av deras rygg tre. Vi medgav ett mål.
"Målen förändrar spelen och målet vi kan ha gjort i en tid då de verkligen kände sig pressade – vi behövde det målet."
Matchen slutar, Dundee 2, Motherwell 0.
Andra halvlek, Dundee 2, Moderwell 0.
Foul av Paul McGowan (Dundee).
Dom Thomas (Motherwell) vinner en frispark på vänsterflygeln.
Danny Williams (Dundee) visas det gula kortet för farligt spel.
Cameron Kerr (Dundee) vinner en frispark på högerkanten.
Foul av Ross MacLean (Motherwell).
Hörnet, morwell. Förföljd av Danny Williams.
Försöket räddades. Craig Wighton (Dundee) höger fotade skott från utsidan rutan sparas i det övre högra hörnet.
Försöket räddades. Dom Thomas (Motherwell) header från mycket nära håll sparas i mitten av målet.
Försöket räddades. Chris Cadden (Motherwell) höger fotade skott från vänster sida av lådan sparas i det övre högra hörnet.
Försök missade. Stephen McManus (Motherwell) höger fotade skott från mitten av lådan är för hög.
Hörnet, morwell. Förföljd av Cameron Kerr.
Mål!  Dundee 2, modersdotter 0. Marcus Haber (Dundee) höger fotade skott från vänster sida av sex yard box till nedre högra hörnet. Hjälpt av Craig Wighton.
Foul av Kevin Holt (Dundee).
Scott McDonald (Motherwell) vinner en frispark i defensiva halvan.
Darren O'Dea (Dundee) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Scott McDonald (Motherwell).
Danny Williams (Dundee) vinner en frispark i anfallshalvan.
Stöld av Louis Moult (Motherwell).
Foul av Tom Hateley (Dundee).
Richard Tait (Motherwell) vinner en frispark i anfallshalvan.
Försök missade. Craig Wighton (Dundee) höger fotade skott utanför lådan missar till höger.
Försök missade. Kevin Holt (Dundee) vänster fotade skott från mitten av lådan är nära, men missar till höger.
Hörnet, Dundee. Förföljd av Stephen McManus.
Foul av James Vincent (Dundee). - (EN) Herr ordförande!
Richard Tait (Motherwell) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Cameron Kerr (Dundee) vinner en frispark på vänsterflygeln.
Foul av Dom Thomas (Motherwell).
Försök missade. Craig Wighton (Dundee) huvudet från mitten av lådan är nära, men missar till höger.
Hörnet, Dundee. Förföljd av Stephen McManus.
Foul av Danny Williams (Dundee).
Ross MacLean (Motherwell) vinner en frispark på vänsterkanten.
Substitution, Moderwell. Ross MacLean ersätter Keith Lasley.
Substitution, Moderwell. Dom Thomas ersätter Lionel Ainsworth.
Ersättning, Dundee. Danny Williams ersätter Kevin Gomis.
Stephen McManus (Motherwell) visas det gula kortet för en dålig foul.
Kevin Gomis (Dundee) vinner en frispark i den defensiva halvan.
Foul av Stephen McManus (Motherwell).
Försök missade. Kevin Holt (Dundee) höger fotade skott från utsidan lådan är hög och bred till vänster.
Craig Wighton var stjärnan i showen mot Moderwell när Dundee säkrade sin första hem seger för säsongen, men det var en tinged med kontroverser.