Det skrevs till författaren Betty Shew av den 21-åriga prinsessan 1947, månader före hennes äktenskap.
Den tvåsidiga noten beskriver hur paret träffades, jagades av en fotograf i Prins Philips sportbil och dansade på nattklubbar i London.
Det fick en pre-auction uppskattning på £ 800 till £ 1.200 men såldes för £14.400.
Richard Edmonds från Chippenham Auktionsrum i Wiltshire beskrev det som ett "fantastiskt resultat" och sade: "Det var en ära att kunna sälja ett så viktigt dokument, särskilt som landet firar drottningens 90-årsdag.
Budgivningen var både online och över åtta telefonlinjer. Det var ganska snabbt och rasande. Ibland såg vår internetuppkoppling ut att lysa upp."
Köparens identitet har inte avslöjats.
Därefter gick Prinsessan Elizabeth med på att dela med sig av detaljerna i sitt förhållande till Philip, för att en kunglig bröllopssouvenirbok skulle skrivas av fru Shew.
I brevet, skrivet med bläck på vitt papper smyckat med det kungliga krönet, minns prinsessan hur hon träffade prins Philip vid 13 års ålder beskriver hans kärlek till snabba bilar och hur paret dansade på nattklubbarna Ciro's och Quaglino's i London.
Framtidens drottning skriver också om sin vigselring, som hon säger ska vara gjord av walesiskt guld.
Hon och Prins Philip gifte sig i november 1947 vid Westminster Abbey, samma plats som hennes kröning i juni 1953.
Ett brev skrivet av Drottningen som avslöjade hur hon och Prins Philip först blev förälskade lockade till sig "hissiga" bud när det krossade beräkningar före auktionen.