Serving papers - also called service of process - means having someone (not the petitioner) deliver a copy of the papers filed with the court to start a case to the person(s) on the other side. (It is like "notificación" in the Mexican judicial system.)
La entrega formal de documentos, también denominada notificación judicial, es cuando una persona (no el demandante) le entrega una copia de los documentos presentados en el tribunal al comienzo del caso a la(s) persona(s) de la otra parte (lo que se denomina una “notificación” en el sistema judicial mexicano).