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  群"G"的子群"N"是正規子群,如果它在共軛變換下不變;就是說對於每個"N"中元素"n"和每個"G"中的元素"g",元素"gng"仍在"N"中。我們寫為  下列條件等價於子群"N"在"G"中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:  注意條件(1)邏輯上弱於條件(2),條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此,條件(1)和條件(3)經常用來證明"N"在"G"中是正規子群,而條件(2)和(4)用來證明"N"在"G"中是正規子群的推論。

  給定一個群G,以及G的一個子群H,G的一個元素a,集合:  類似地,可以定義H關於a的右陪集:  可以證明:對於G中的兩個元素a、b,formula_6。因此aH和bH只有兩種關係:相等,或交集為空,即formula_7或者formula_8。  於是群G可以被分解成:  這個分解稱作群G的左陪集分解。類似地有群G的右陪集分解:  進一步地,可以證明由formula_11所定義的關係是一個等價關係,集合中的每個等價關係都可確定一個等價類,因此每個formula_12是一個等價類。每個formula_12中含有的元素個數是相等的。  此外,群G的左陪集分解與群G的右陪集分解間存在同構:  因此H的左陪集個數和右陪集個數是相等的,叫做H對G的指數。  對於一般的H,集合formula_15關於子集的積並不是一個群。對於G中的元素a、b,子集的積formula_16,但對於formula_17,不一定有formula_18。群G的正規子群或不變子群H使得formula_15關於子集的積是這個群的子群。這時H的左陪集和右陪集是一樣的,統稱陪集。陪集組成的群叫做G關於H的商群,記作formula_20。商群的目數等於H對G的指數。
在抽象代數中,正規子群或不變子群指一類特殊的子群。由正規子群,可以引匯出商群的概念。