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  歷史上首先證明關於整數的裴蜀定理的並不是裴蜀,而是17世紀初的法國數學家。他在於1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》("Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres")第二版中給出了問題的描述和證明。  然而,裴蜀推廣了梅齊里亞克的結論,特別是探討了多項式中的裴蜀等式,並給出了相應的定理和證明。

  對任意兩個整數formula_1、formula_2,設formula_10是它們的最大公約數。那麼關於未知數formula_4和formula_5的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式):  有整數解formula_27 當且僅當"formula_3"是formula_10的整數倍。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。  formula_30時,方程有解當且僅當formula_1、formula_2互質。方程有解時,解的集合是  所有解中,恰有二解("x","y") 滿足formula_36及formula_37,等號只會在formula_1及formula_2其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

  裴蜀方程formula_40 沒有整數解,因為504和651的最大公約數是21。而方程formula_41是有解的。為了求出通解,可以先約掉公約數21,這樣得到方程: 通過擴充套件歐幾里得演算法可以得到一組解formula_43:formula_44。  於是通解為:formula_45,即

  設formula_47為formula_48個整數,formula_10是它們的最大公約數,那麼存在整數formula_50 使得 formula_51。特別來說,如果formula_47互質(不是兩兩互質),那麼存在整數formula_50 使得 formula_54。

  formula_56為域時,對於多項式環formula_55裡的多項式,裴蜀定理也成立。設有一族formula_58裡的多項式formula_59。設formula_60為它們的最大公約式(首項係數為1且次數最高者),那麼存在多項式formula_61使得formula_62。特別來說,如果formula_59互質(不是兩兩互質),那麼存在多項式formula_61使得formula_65。  對於兩個多項式的情況,與整數時一樣可以得到通解。

  裴蜀可以推廣到任意的主理想環上。設環formula_66是主理想環,formula_1和formula_2為環中元素,formula_10是它們的一個最大公約元,那麼存在環中元素formula_4和formula_5使得: formula_72  這是因為在主理想環中,formula_1和formula_2的最大公約元被定義為理想formula_75的生成元。
在數論中,裴蜀等式(英語:Bézout's identity)或貝祖定理(英語:Bézout's lemma)是一個關於最大公約數(或最大公約式)的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀,說明了對任何整數formula_1、formula_2和formula_3,關於未知數formula_4和formula_5的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式):