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  1920年代後期,數學家大衛·希爾伯特的學生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼,當時正研究計算的基礎。Sudan發明了一個遞迴卻非原始遞迴的Sudan函式。1928年,阿克曼又獨立想出了另一個遞迴卻非原始遞迴的函式。  他最初的念頭是一個三個變數的函式A("m","n","p"),使用康威鏈式箭號表示法是"m"→"n"→"p"。阿克曼證明了它是遞迴函式。希爾伯特在"On the Infinite"猜想這個函式不是原始遞迴函式。阿克曼在"On Hilbert's Construction of the Real Numbers"證明了這點。  後來Rózsa Péter和拉斐爾·米切爾·羅賓遜定義了一個類似的函式,但只用兩個變數。

  以下是阿克曼函式的虛擬碼:  Haskell 語言能生成更精確的定義:  遞迴是有界的,因為在每次應用遞迴時,要麼 "m" 遞減,要麼 "m" 保持不變而 "n" 遞減。每次 "n" 達到零,"m" 遞減,所以 "m" 最終可以達到零。(較技術性的表達:在每種情況下,有序對("m", "n")按字典次序遞減,它保持了非負整數的良序關係)。但是,在 "m" 遞減的時候, "n" 的增加沒有上界,而且增加的幅度比較大。  這個函式亦可用康威鏈式箭號表示法來作一個非遞迴性的定義: 即是  使用hyper運算子就是  使用高德納箭號表示法則為

  ! "m"\"n"! 0! 1! 2! 3! 4! n! 0! 1! 2! 3! 4
阿克曼函式是非原始遞迴函式的例子;它需要兩個自然數作為輸入值,輸出一個自然數。它的輸出值增長速度非常高。