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  超越數是代數數的相反,也即是說若formula_1是一個超越數,那麼對於任何整數formula_2都符合:  (其中formula_4)

  超越數的例子包括:  所有超越數構成的集是一個不可數集,也就是說,幾乎所有的實數和複數都是超越數;儘管如此,現今發現的超越數極少,甚至連formula_27是不是超越數也不知道,因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。  超越數的證明,給數學帶來了大的變革,解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題,即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現,這三大問題被證明為不可能。

  以下數仍待證明為超越數或代數數:  猜想:

  第一個對 自然對數底 "e" 是超越數的證明可以追溯到 1873 年。我們現在跟隨的是大衛·希爾伯特的策略。他給出了夏爾·埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示:  為尋找矛盾,假設formula_47是代數數。那就存在一個有限的整係數集formula_49滿足下列等式:  現在對於一個正整數formula_51,我們定義如下的多項式:  並在上述等式的兩端乘上  於是我們得到等式:  該等式可以寫成這種形式  其中  證明: "P" 的每一項都是整數乘以階乘的和,這可以從以下的關係式得出  對於任何正整數 "j" 成立(考慮Γ函式)。  它是非零的,因為對於每一個滿足 0< "a" ≤ "n" 的 "a", 中的被積函式均為 "e" 乘以一些項的和,在積分中用 "x" - "a" 替換 "x" 後, "x" 的最低冪次是 "k"+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和  其中 "k"+1 ≤ "j",而且它是一個能被 ("k"+1)! 整除的整數。在除以 "k!" 後,我們得到模 ("k"+1) 得 0 的數。不過,我們可以寫成:  於是  通過選擇 "k",使得 "k"+1 是大於 "n" 與 |"c"| 的質數,我們可以得出 formula_65 模 ("k"+1) 為非零,從而該數為非零整數。  引理 2. 對於充分大的 "k", formula_66 。  使用 formula_68 和 formula_69 在區間 [0,"n"] 的上限 G 和 H,我們可以推出 從而  於是有 這點足以完成對引理的證明。 注意可以選擇滿足兩個引理的formula_51,從而我們能得出矛盾。進而得以證明formula_47的超越性。

  在1932年把超越數分為3類,分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

  一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數formula_1,可以使得一次多項式formula_76儘可能小但不精確地等於 0 。這裡的formula_77, formula_78是滿足formula_79, formula_80以正整數formula_81為界的整數。  令formula_82為這些多項式所取的最小非零絕對值,並且令:  formula_85常稱為實數formula_1的無理性度量(measure of irrationality)。對於有理數formula_87,而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

  接下來考慮多項式對於複數formula_1的取值,這些多項式係數為整數,次數至多為formula_41,而且至多為formula_81,此處的formula_41, formula_81是正整數。  令formula_93為以formula_1為變數的上述多項式所取的最小非零值,並且令:  假如對於儘可能小的正整數formula_41,formula_98為無窮大,則這種情況下複數formula_1稱為formula_41次的U數。  現在我們可以定義  formula_102常稱為formula_1的超越性度量(measure of transcendence)。假如formula_98有界,則formula_102有限,formula_1稱為S數。如果formula_98有限而無界,則formula_1稱為T數。formula_1為代數數當且僅當formula_110。  顯然劉維爾數是U數的子集。在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集,從而U數也是。它們的測度為 0 。  T陣列成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當formula_1為任意非零代數數時formula_112均為S數:這點揭示了formula_47是S數且給出了formula_28的超越性證明。對於formula_28我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。  兩個數formula_1, formula_117稱為代數相關,當存在 2 個變數的整係數非零多項式formula_118滿足formula_119。一個有力的定理指出,屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數,例如劉維爾數與formula_47或formula_28的和。  通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

  在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。  考慮用次數formula_122且高formula_123的代數數逼近複數formula_1。令formula_46為該有限集中滿足formula_126取最小正值得代數數。定義formula_127和formula_128如下:  若對於最小的正整數formula_41,formula_128為無窮大,則稱formula_1為formula_41次的U*數。  若formula_128有界且不收斂到 0,則則稱formula_1為S*數,  一個數formula_1被稱為 A*數,當formula_128收斂到 0 。  若所有的formula_128均為有限但無界,則稱 "x" 為T*數,  Koksma和馬勒的分類是等價的,因為它們將超越數以同樣的方式分類。"A*數"就是代數數。

  令  可以證明formula_141(劉維爾數)的formula_41次方根是formula_41次的U數。  此構造可以改進以建立formula_41次U數的不可數個系列。令formula_145為上述formula_141的級數中 10 的冪次的集合。formula_145所有子集的集合是不可數的。在表示formula_141的級數中刪去任意一個formula_145的子集,將產生不可數個顯然的劉維爾數,它們每一個的formula_41次方根都是次數為formula_41的U數。

  數列formula_152的上界稱為型別(type)。幾乎所有實數都是型別為 1 的S數,此型別數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是型別為 1/2 的S數,此型別數在復S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出,於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。
在數論中,超越數(transcendental number)是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根,它即是超越數。最著名的超越數是e以及π。