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  表示理論早期是藉矩陣的語言描述的,具體定義如下:  形式地說,一個群formula_1的表示乃一同態 formula_2,其中formula_3為給定的有限維向量空間,係數佈於一個域formula_4,通常取formula_5,但在一般域(如區域性域或有限域)上的表示也有重要應用。formula_6表從formula_3上的自同構,或對一給定的基底來說,是formula_8階可逆方陣的集合。若formula_9是平凡的,則稱此表現是忠實的。  若所考慮的群formula_1帶有額外的結構(如拓撲群、李群或群概形),我們通常要求formula_11滿足相應的條件(如連續性、可微性或者要求它是概形間的態射);在有限群及緊緻群以外的情況,通常也須考慮無窮維表示。  一個群formula_1的所有有限維表示構成一個張量範疇,記為formula_13;其態射定義如下:  formula_14  它等價於有限維formula_15-模所構成的範疇。不難驗證表示間的同構確由矩陣的相似變換給出。一個表示被稱作不可約的,當且僅當它沒有在formula_1的作用下不變的非平凡子空間。若一個表示能表成不可約表示的直和,則稱之為完全可約的。若取formula_17,則緊緻群的表示均為完全可約的,對於一般的李群及群概形則複雜得多,完全可約與否通常與半單性有關。

  給定formula_1的一個表示,可以得到一個特徵標formula_19,它是個類函式。特徵標理論在有限群分類中佔關鍵地位;在緊緻群上,特徵標滿足舒爾正交關係,又根據彼得-外爾定理,不可約表現的特徵標相對於 formula_20 範數在類函式中稠密。請參見特徵標理論。

  設formula_21為formula_1之子群,formula_23。以下將定義兩個函子formula_24(限制)與formula_25(誘導)。  誘導表示亦可用矩陣直接計算,或定義為某個主齊性空間的截面;後者可推廣至李群與群概形的表示,此時誘導表示的性狀與formula_34的幾何構造密切相關。  弗羅貝尼烏斯互反定理言明:若formula_35分別為formula_36的表示,則有自然的同構formula_37。換言之:formula_38為一對伴隨函子。  若以特徵標表之,上述同構化為一個較弱但較具體的等式:formula_39。

  迄今已知的物理定律通常在某個李群的作用下保持不變,如空間的旋轉群formula_47或其覆蓋formula_48,其不可約表示關係到角動量的量子化。進一步的例子是:任何與狹義相對論相容的量子力學系統都帶有formula_49(半直積)的酉表示,其中formula_50是時空的平移而formula_21是 勞侖茲變換群,藉著研究formula_1的不可約酉表示,可分類粒子的質量和自旋。
在群論中,群表示論(group representation theory)是一個非常重要的理論。它包含了(區域性)緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支,近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。