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  關於可對角化對映和矩陣的基本事實可表達為如下:  另一個特徵化: 矩陣或線性對映在域 "F" 上可對角化的,當且僅當它的極小多項式在 "F" 上有不同的線性因子。  下列充分(但非必要)條件經常是有用的。  作為經驗規則,在複數域 C 上幾乎所有矩陣都是可對角化的。更精確地說: 在 C 上不可對角化的複數 "n" × "n" 矩陣的集合被當作 C 的子集,它是關於勒貝格測度的零集。也可以說可對角化矩陣形成了關於 扎里斯基拓撲的稠密子集 : 補位於特徵多項式的判別式變為零的集合內,後者是超平面。從中得出的還有在平常的(強拓撲)中密度由範數給出。  對於 R 域就不是這樣了。隨著 "n" 增長,隨機選擇的實數矩陣是在 R 上可對角化的可能性越來越小。

  

  某些矩陣在任何域上都是不可對角化的,最著名的是冪零矩陣。如果特徵值的幾何重次和代數重次不一致,這會更一般的出現。例如考慮 這個矩陣是不可對角化的: 沒有矩陣 "U" 使得 formula_3 是對角矩陣。實際上,"C" 有一個特徵值(就是零)而這個特徵值有代數重次 2 和幾何重次 1。  某些實數矩陣在實數上是不可對角化的。例如考慮 矩陣 "B" 沒有任何實數特徵值,所以沒有實數矩陣 "Q" 使得 formula_5 是對角矩陣。但是如果允許複數的話,formula_6仍可以對角化。實際上,如果我們取 則 formula_5 是對角的。

  考慮矩陣  這個矩陣有特徵值 所以 "A" 是有三個不同特徵值的 3 × 3 矩陣,所以它是可對角化的。  如果我們要對角化 "A",我們需要計算對應的特徵向量。它們是 我們可以輕易的驗證 formula_12。  現在,設 "P" 是由這些特徵向量作為縱列的矩陣: 則 "P" 對角化了 "A",簡單的計算可驗證: 注意特徵值 formula_15 出現在對角矩陣中。

  對角化可被用來有效的計算矩陣 "A" 的冪,假如矩陣是可對角化的。比如我們找到了  是對角矩陣,因為矩陣的積是結合的,  而後者容易計算,因為它只涉及對角矩陣的冪。  在找到線性遞迴序列比如斐波那契數列的項的閉合形式的表達中這是非常有用的。

  例如,考慮下列矩陣: 計算 "M" 個各次冪揭示了一個驚人的模式:  上面的現象可以通過對角化 "M" 來解釋。要如此我們需要由 "M" 的特徵向量組成的 R 的基。一個這樣的特徵向量基給出自 這裡的 e 指示 R 的標準基。 逆的基變更給出自  直接計算證實 所以,"a" 和 "b" 是分別是對應於 u 和 v 的特徵值。 根據矩陣乘法的線性,我們有 切換回標準基,我們有 前面的關係用矩陣形式表達為 因此解釋了上述現象。
可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣 "A" 相似於對角矩陣,也就是說,如果存在一個可逆矩陣 "P" 使得 "P""AP" 是對角矩陣,則它就被稱為可對角化的。如果 "V" 是有限維度的向量空間,則線性對映 "T" : "V" → "V" 被稱為可對角化的,如果存在 "V" 的一個基,"T" 關於它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或對映的相應對角矩陣的過程。