Can you summarize the following document?
        
  素數在自然數中的分佈是不規則的。歐幾里得在他的著作《幾何原本》中首次證明了素數有無窮多個。十九世紀後,素數定理的證明給出了素數在自然數中大致的分佈情況。根據素數定理,在前formula_1個自然數裡,素數的個數大約是formula_2。也就是說前formula_1個自然數裡,素數的比例是formula_4。因此,隨著formula_1增大,前formula_1個自然數裡,素數的比例會越來越小。事實上,給定一個自然數formula_7,那麼連續的formula_8個自然數:  都是合數。  是否越大的素數,兩兩之間就隔得越遠呢?實際上不然。在某些時候,兩個連續的素數之間只相差2。這樣的素數對就是孿生素數。  以下列出了最小的35對孿生素數(1000以內的孿生素數)(及):  即使是大的素數,也有可能成為孿生素數。通過窮舉式的計算髮現:在小於formula_10的29,844,570,422,669個素數中,有1,177,209,242,304對孿生素數,佔了3.94%。而且這些孿生素數並沒有表現出停止在某一個上限的趨勢。  截至2016年9月為止,已知最大的孿生素數為formula_11,,此數有388342位。  素數定理說明了素數在趨於無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數,與素數一樣,也有相同的趨勢,並且這種趨勢比素數更為明顯。直覺上可以作如下的估計:在前formula_1個自然數裡找一個數,它是素數的可能性大約是formula_4;所以在前formula_1個自然數裡找一個數formula_15,formula_15和formula_17都是素數的可能性大約是formula_18。當然,這種推算只能是直覺上的猜測,而不是嚴謹的證明,因為素數的排列是已知的,而不是概率上的事件。

  1921年,英國數學家哈代和李特爾伍德也做出了類似的猜測。他們提出以下的猜想:設formula_19為前"formula_1" 個自然數裡孿生素數的個數。那麼  其中的常數formula_22是所謂的孿生素數常數: 其中的formula_15表示素數。

  哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指“孿生素數有無窮多個”。這個猜想至今仍未被證明。然而,哈代和李特爾伍德的猜測並不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。很多時候,對於無法證明的命題,數學家會嘗試證明比它更強或更為廣泛的命題,從而解決原來的命題。例如數學家安德魯·懷爾斯就是證明了比費馬最後猜想更廣泛的命題,從而完成了費馬最後猜想的證明。  2013年5月14日,《自然》雜誌報道,數學家張益唐證明存在無窮多個素數對相差都小於7000萬。論文已被《數學年刊》(Annals of Mathematics)接受 。, 素數對之差被縮小為formula_25。

  孿生素數猜想也可以用另一種形式表達: 1920年代,通過使用著名的篩理論,基於埃拉託斯特尼篩法的理論),挪威的維果·布朗證明了2能表示成兩個最多有9個素數因子的數的差。這個結論已經有些近似於孿生素數猜想了。可以看到,只要將這個證明中的“最多有9個素數因子的數”改進到“最多有1個素數因子的數”,就可以證明孿生素數猜想了。利用同樣的方法,布朗證明了所有偶數都能表達成兩個最多有9個素數因子的數的和,也就是所謂的“9+9”。這個思路被不少數學家沿用,1966年陳景潤利用篩法證明了“1+2”。基於陳景潤的工作,也可以證明2有無限多種方法表示成一個素數和一個最多有兩個素數因子的數的差。

  布朗的另一個結論,是發現所有孿生素數的倒數之和收斂,即收斂到布朗常數formula_26:  formula_26的值大約在1.9與2之間。與之相對的,所有素數的倒數之和是發散的。由於孿生素數的倒數之和收斂,所以無法依此證明孿生素數有無限個。  布朗還發現了孿生素數數量的一個上限。他證明了:  也就是說,當formula_30足夠大的時候,小於formula_30的孿生素數的數量比起小於formula_30的素數的數量是可以忽略不計的。1987年的一個結果改進了這個上限:  其中formula_34是一個常數。1998年上限中的7.1被改進為6.833。

  孿生素數還必須滿足一些必要的條件,比如:

  統計分析所有小於formula_41的孿生素數,可以得到小於formula_30的素數對的個數是formula_43。當formula_30較小時,formula_45大約為 1.7, 當formula_30較大時大約為 1.3。這個值和formula_47相近。

  孿生素數的概念可以擴充套件到多元組,即由多個間隔為2的素數構成的序列。由於三個相鄰奇數總有一個能被3整除,不可能是素數,因此 (3, 5, 7) 是唯一的孿生素數三元組。而且由於更多元素構成的孿生素數多元組必定包含三元組的結構,因此多於三個元素的孿生素數多元組不存在。

  以下的多項式時由維也納大學數學系教授克里斯多夫·巴薩(Christoph Baxa)提出的,基於丟番圖不定方程理論。 其中有二十六個不定量formula_49。當這二十六個變數取遍所有的自然數的時候,這個多項式的取值中正數的部分就會取遍所有孿生素數對formula_50中的formula_15。

  義大利作家保羅·裘唐諾的小說《質數的孤獨》即是以孿生質數現象,比喻故事中相愛的男女主角牽攣乖隔的處境。
孿生素數(英語:twin prime),也稱為孿生質數、雙生質數,是指一對素數,它們之間相差2。例如3和5,5和7,11和13,10016957和10016959等等都是孿生素數。