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  假設ƒ是一個多元函式。例如:  因為曲面上的每一點都有無窮多條切線,描述這種函式的導數相當困難。偏導數就是選擇其中一條切線,並求出它的斜率。通常,最感興趣的是垂直於"y"軸(平行於xOz平面)的切線,以及垂直於"x"軸(平行於yOz平面)的切線。 一種求出這些切線的好辦法是把其他變數視為常數。例如,欲求出以上的函式在點(1, 1)的與"xOz"平面平行的切線。右圖中顯示了函式的影象以及這個平面。左圖中顯示了函式在平面"y" = 1上是什麼樣的。我們把變數"y"視為常數,通過對方程求導,我們可以發現"ƒ"在點(x, y)的導數,記為:  於是在點(1, 1)的與"xOz"平面平行的切線的斜率是3。  在點(1, 1),或稱“"ƒ"在(1, 1)的關於"x"的偏導數是3”。

  函式"f"可以解釋為"y"為自變數而"x"為常數的函式:  也就是說,每一個"x"的值定義了一個函式,記為"f",它是一個一元函式。也就是說:  一旦選擇了一個"x"的值,例如"a",那麼"f"("x","y")便定義了一個函式"f",把"y"對映到"a" + "ay" + "y":  在這個表示式中,"a"是常數,而不是變數,因此"f"是隻有一個變數的函式,這個變數是"y"。這樣,便可以使用一元函式的導數的定義:  以上的步驟適用於任何"a"的選擇。把這些導數合併起來,便得到了一個函式,它描述了"f"在"y"方向上的變化:  這就是"f"關於"y"的偏導數,在這裡,∂是一個彎曲的"d",稱為偏導數符號。為了把它與字母"d"區分,∂有時讀作“der”、“del”、“dah”或“偏”,而不是“dee”。  一般地,函式"f"("x"...,"x")在點("a"...,"a")關於"x"的偏導數定義為:  在以上的差商中,除了"x"以外的所有變數都是固定的。這個固定值的選擇決定了一個一元函式formula_16,根據定義,  這個表示式說明了偏導數的計算可以化為一元導數的計算。  多變數函式的一個重要的例子,是歐幾里德空間R(例如R或R)上的標量值函式"f"("x"..."x")。在這種情況下,"f"關於每一個變數"x"具有偏導數∂"f"/∂"x"。在點"a",這些偏導數定義了一個向量:  這個向量稱為"f"在點"a"的梯度。如果"f"在定義域中的每一個點都是可微的,那麼梯度便是一個向量值函式∇"f",它把點"a"對映到向量∇"f"("a")。這樣,梯度便決定了一個向量場。  一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R中用單位向量 formula_19來定義Nabla運算元 (∇) 如下: 或者,更一般地,對於"n"維歐幾里得空間R 的座標(x, x, x...,x)和單位向量(formula_21):

  考慮一個圓錐的體積"V";它與高度"h"和半徑"r"有以下的關係:  "V"關於"r"的偏導數為:  "V"關於"h"的偏導數為:  現在考慮"V"關於"r"和"h"的全導數。它們分別是:  以及  現在假設,由於某些原因,高度和半徑的比"k"需要是固定的:  這便給出了關於"r"的全導數:  可以化簡為:  類似地,關於"h"的全導數是:  含有未知函式的偏導數的方程,稱為偏微分方程,它在物理學、工程學,以及其它應用科學中經常會見到。  與關於"r"和"h"二者相關的全導數是由雅可比矩陣給出的,它的形式為梯度向量formula_32。

  在以下的例子中,設"f"為"x"、"y"和"z"的函式。  "f"的一階偏導數為:  二階偏導數為:  二階混合偏導數為:  高階偏導數為:  當處理多變數函式時,有些變數可能互相有關,這樣就需要明確指定哪些變數是固定的。在諸如統計力學的領域中,"f"關於"x"的偏導數,把"y"和"z"視為常數,通常記為:

  像導數一樣,偏導數也是定義為一個極限。設"U"為R的一個開子集,"f" : "U" → R是一個函式。我們定義"f"在點a = ("a",..., "a") ∈ "U"關於第"i"個變數"x"的偏導數為:  即使在某個給定的點"a",所有的偏導數∂"f"/∂"x"("a")都存在,函式仍然不一定在該點連續。然而,如果所有的偏導數在"a"的一個鄰域記憶體在並連續,那麼"f"在該鄰域內完全可微分,且全導數是連續的。在這種情況下,我們稱"f"是一個C函式。  偏導數formula_4可以視為定義在"U"內的另外一個函式,並可以再次求偏導數。如果所有的混合二階偏導數在某個點(或集合)連續,我們便稱"f"為在該點(或集合)的一個C函式;在這種情況下,根據克萊羅定理,偏導數可以互相交換:
在數學中,一個多變數的函式的偏導數(英語:partial derivative)是它關於其中一個變數的導數,而保持其他變數恆定(相對於全導數,在其中所有變數都允許變化)。偏導數的作用與價值在向量分析和微分幾何以及機器學習領域中受到廣泛認可。