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  雅可比生於一個阿什肯納茲猶太家庭,父親西蒙·雅可比是銀行家。卡爾是四個子女中的第二子,其長兄莫里茲·馮·雅可比之後同樣因成為工程師和物理學家而出名。最初,雅可比在家接受其叔叔的家庭教育,學習了簡單的數學和語言。在1816年,12歲的雅可比進入波茨坦文理中學(預科學校)學習經典語言,德語,以及數學。緣於叔叔對他的良好基礎教育,以及自身的傑出能力,在不到半年的時間內雅可比就跳級到了高年級,儘管年齡還未達到標準。然而,因為大學並不招收16歲以下的學生,因此,雅可比直到1821年才能從學校畢業。在這段時間裡,雅可比顯示出了對很多專業的興趣,包括拉丁語,希臘語,哲學,歷史,以及數學。在這段時間中,雅可比第一次嘗試尋找五次方程的根式。  1821年,雅可比進入柏林大學就讀,並於1825年於柏林大學獲博士學位。一開始,他將自己的精力同時放到哲學和數學兩個領域。在哲學上,他參加了奧古斯特·伯克的研討會,因他的才華而受到教授的注意。在數學上,雅可比並沒有在大學註冊很多課程,因為當時德國的數學課程對他來說太過基礎。與此同時,他繼續自學著尤拉、拉格朗日,和拉普拉斯的研究成果。在1823年,他認識到需要在他喜愛的數學和哲學當中做一個抉擇,並最終選擇將所有的精力投入到數學當中。同年,它滿足了成為中學教師的資格,並收到柏林的約阿希姆斯塔爾中學(Joachimsthal Gymnasium)的邀請。但是,雅可比決定繼續追求大學教職。在1825年,雅可比通過有理函式的部分分式分解這樣一篇博士論文獲得了博士學位。與此同時,雅可比皈依基督教,並獲得了特許任教許可,並在1825/1826學年教授曲線與曲面理論。  1827年,雅可比正式成為教授,後於1829年擔任哥尼斯堡大學數學系終身教授直至1842年。1836年,他被選為瑞典皇家科學院的外籍成員。  1843年時因工作過度而導致健康極度惡化,後前往義大利休養。回來時,雅可比搬到了柏林,同時開始領取養老金。在1848年革命期間,雅可比捲入了政治鬥爭並代表自由黨派選舉議會候選人失敗。這個行為導致當革命被鎮壓後雅可比的皇家補助金被取消,但因為他的名氣和聲譽,很快補助金被恢復。

  雅可比最傑出的成就之一是他對橢圓函式的理論以及其與橢圓Θ函式的關係,並發表在他著名的論文《"Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum"》(1829)以及後發表在《"Crelle's Journal"》的文章。Θ函式在數學物理上有非常重要的地位,緣於其在週期流(period flow )與類週期流(quasi-period flow) 的逆問題中扮演的角色。利用雅可比橢圓函式,一些特殊的運動方程變為可積方程,其中包括鐘擺,尤拉陀螺(Euler top),重力場中對稱的拉格朗日陀螺(Lagrange top),以及開普勒問題(中心重力場中的行星運動)。  雅可比在微分方程和經典力學上的研究,尤其是哈密頓-雅可比方程,對該領域做出了根本性的貢獻。  雅可比最主要的影響通過他於1826年起在《Crelle’s Journal》發表的大量文章反映在代數領域以及其他一些數學領域。他的其中一條格言:“逆轉,總是應該逆轉”('man muss immer umkehren')表達了他認為大量的困難問題,都可以用逆轉這種重新表達的方式來求解。  在1835年的一篇文章當中,雅可比對分類週期性函式(包括橢圓函式)的基本結果進行了證明:"如果一個單變數單值方程是一個多週期方程,那麼這個方程不會超過兩個週期,同時,週期的比值不可以是實數。"雅可比發現了許多Θ函式的基礎性質,包括方程等式和雅可比三重積公式,以及許多在Q階乘冪和超幾何函式方面的結果。  1854年,魏爾斯特拉斯所解出的,雅可比反演問題在超橢圓Abel map(hyperelliptic Abel map)上的解,引入了超橢圓Θ函式以及廣義黎曼Θ函式的概念。"(The solution of the Jacobi inversion problem for the hyperelliptic Abel map by Weierstrass in 1854 required the introduction of the hyperelliptic theta function and later the general Riemann theta function for algebraic curves of arbitrary genus. The complex torus associated to a genus algebraic curve, obtained by quotienting by the lattice of periods is referred to as the Jacobian variety. This method of inversion, and its subsequent extension by Weierstrass and Riemann to arbitrary algebraic curves, may be seen as a higher genus generalization of the relation between elliptic integrals and the Jacobi, or Weierstrass elliptic functions)(這一段落相關概念太過專業,請專業人員予以更加準確翻譯)(摘自對應英文維基百科頁面)"  雅可比是第一個將橢圓方程應用到數論上的人,例如證明費馬平方和定理、拉格朗日四平方和定理,以及類似的六、八平方和。他在數論上的其他成果延續了高斯的工作:二次互反律的新證明,雅可比符號的引入,對高次互反律的貢獻,對連分數的研究,雅可比和的發明。  雅可比同時也是最早的行列式發明者之一,特別是,他發明了雅可比行列式(詳細介紹見該詞條)。這個行列式在分析數學中有非常重要的地位。在1841年,雅可比重新定義了勒讓德的偏微分符號∂,其後成為標準用法。  在學習向量場和李代數的時候經常會用到作為雅可比恆等式,這一恆等式是對李氏括號進行的結合律操作的一種類比。  行星理論以及其他運動學問題會不時地引起雅可比的注意。在對天體力學做出貢獻的同時,他引入了為恆星座標系的雅可比積分(1836)
卡爾·古斯塔夫·雅各布·雅可比(,1804年-12月10日-1851年-2月18日)是一位普魯士數學家,被廣泛的認為是歷史上最傑出的數學家之一。