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  設和是兩個域。如果存在從到的域同態,則稱(,)是的一個域擴張,記作或⊆、⊂。稱為域擴張的基域,稱為的擴域。如果某個域既是的擴域,又是的子域,則稱域擴張是域擴張的子擴張,稱(域擴張的)中間域。  域擴張的記法只是形式上的標記,不表示存在任何商環或商群等代數結構。有些文獻中也會將域擴張記為:。  另外,因為是域同態,所以是單射。由於是域,所以()是一個的同構於的子域。很多時候也直接省略,直接將視為的一個子域。為了記敘方便,下文中將依情況使用這種省略方式。  設有域擴張,給定一個由中不屬於()的元素組成的集合,考慮中所有同時包含()和的子域,其中有一個“最小的”,稱為“在中新增(集合)生成的擴域”,記作()。它是所有同時包含()和的域的子域。如果集合只有一個元素,則稱域擴張()為單擴張,對應的擴域一般簡記作()。稱為這個域擴張的本原元。  每個域擴張中,擴域可以看作是以基域為係數域的向量空間。設有域擴張,將中元素看作向量,中元素看作係數,可以定義中的域加法運算作為向量的加法運算,同時可以定義中元素作為係數與中元素的數乘運算。可以驗證,在這樣定義下,是一個向量空間。它的維數稱為域擴張的次數或度數,一般記作[:]。次數為1的擴張,擴域和基域同構,稱為平凡擴張。次數有限的域擴張稱為有限擴張,否則稱為無限擴張。

  複數域formula_1是實數域formula_2的擴域,而formula_2則是有理數域formula_4的擴域。這樣,顯然formula_5也是一個域擴張。實數到複數的域擴張次數:formula_6。因為formula_1可以看作是以formula_8為基的實向量空間。故擴張formula_5是有限擴張。formula_10,所以這個擴張是單擴張。  集合formula_11是在formula_4中新增formula_13生成的擴域,顯然也是一個單擴張。它的次數是2,因為formula_14可作為一個基。formula_4的有限擴張也稱為代數數域,在代數數論有重要地位。  有理數的另一個擴張域是關於一個素數的進數域formula_16。它與formula_2類似,是有理數域完備化得到的數域。但由於使用的拓撲不同,所以與formula_2有著截然不同的性質。  對任何的素數和正整數,都存在一個元素個數為的有限域,記作。它是有限域(即formula_19)的擴域。  給定域和以中元素為係數的不可約多項式,為上的多項式環[]的元素。生成的理想是極大理想,因此[]是域,而且是的擴域。其中不定元是多項式的根。  給定域,考慮所有以中元素為係數的有理函式,即可以表示為兩個以中元素為係數的多項式、之比:的函式。它們構成一個域,記作(),是多項式環[]的分式域。它是域的擴域,次數為無限大。

  設有域擴張,則擴域與有相同的加法和乘法單位元。加法群 (, +) 是 (,+) 的一個子群,乘法群 (, ·) 是 (, ·) 的一個子群。因此,與有相同的特徵。  設有域擴張及某個中間域,則域擴張和的次數乘積等於的次數:

  給定域擴張,如果中一個元素是某個以中元素為係數的(非零)多項式(以下簡稱為多項式)的根,則稱是上的一個代數元,否則稱其為超越元。如果中每個元素都是上的代數元,就稱域擴張為代數擴張,否則稱其為超越擴張。例如formula_13和formula_22都是formula_4上的代數元,而與都是formula_4上的超越元。formula_4上的代數元和超越元分別叫做代數數與超越數。  每個有限擴張都是代數擴張,反之則不然。超越擴張必然是無限擴張。給定域擴張,如果中元素要麼屬於,要麼是上的超越元,則稱是的純超越擴張。一個單擴張如果由新增代數元生成則是有限擴張,如果由新增超越元生成則是純超越擴張。

  給定域擴張,如果中一個元素是上的代數元,那麼在所有使得 0的首一多項式中,存在一個次數最小的,稱為在上的極小多項式,記為。設為次多項式,則中間域等於所有以為不定元的多項式的集合。更具體地說,等於所有以為不定元的、次數嚴格小於的多項式的集合:。這說明中任何元素都可以寫成formula_26的形式。其中formula_27是個中元素。由於是極小多項式,所以可推出:formula_28是中間域作為向量空間的基。擴張的次數是.

  分裂域是將某個多項式的根全部新增到其係數域中生成的域擴張,將多項式轉化為域擴張進行研究。給定域擴張,稱一個多項式在中分裂,如果可以寫成: 的形式,即的每個根都是中的元素。如果在中分裂,但不在的任何一個包含的真子域中分裂(也就是說是令在其中分裂的“最小”的域擴張),就稱是在上的分裂域。  給定域,如果所有多項式在分裂,則稱為代數閉域。給定代數擴張,如果是代數閉域,則稱其為的代數閉包,一般記作。給定,則它所有的代數閉包都是同構的。

  除了將擴域看作基域上的向量空間外,另一個研究域擴張的角度是考察域擴張的自同構群。給定域擴張,上的一個自同構被稱為自同構,當且僅當限制在上的部分是平凡的(即為恆等對映): 所有的自同構組成一個群,稱為域擴張的自同構群,記作()。這些自同構描繪了“以外”的元素可以怎樣相互變換而保持域的域結構不變。

  伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理,在此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域之間建立了一一對應的關係,從而給出了中間域的清晰描述。  一般定義伽羅瓦擴張是正規且可分的域擴張。一個域擴張稱為正規擴張,如果對任何一個以中元素為係數的不可約多項式,只要它有一個根在中,則它的所有根都在中,也就是說可以分解為上一次因式的乘積。正規擴張也叫做準伽羅瓦擴張,它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張稱為可分擴張,如果中每個元素在上的極小多項式是可分的,即(在 的一個代數閉包中)沒有重根。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出:一個域擴張是伽羅瓦擴張,當且僅當它是某個以中元素為係數的可分多項式的分裂域。  伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群,記作()。它的階數(群中元素個數)等於伽羅瓦擴張的次數:[:]。伽羅瓦理論基本定理說明,當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候,給定()的任一個子群,唯一存在一箇中間域⊂⊂與之對應,這個域恰好是中對所有的中的自同構固定的元素的集合: 這種對應關係被稱作伽羅瓦對應。給定()的子群,被稱為的對應域。伽羅瓦對應建立了特定條件下域擴張與群論之間轉化的紐帶,通過研究特定群的結構,可以給出域擴張的仔細刻畫。
域擴張(英語:field extensions)是數學分支抽象代數之域論中的主要研究物件,基本想法是從一個基域開始以某種方式構造包含它的“更大”的域。域擴張可以推廣為環擴張。