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  自然,人們為了找到這些根做了許多努力。就像其它多項式,有時可能對一個四次方程分解出因式;但更多的時候這樣的工作是極困難的,尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個通式解法或運演算法則(就像二次方程那樣, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。經過很多努力之後,人們終於找到了一個可以解出任何四次方程的運演算法則;不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明,這樣的一種方法在五次方程這裡止步了;也就是說,四次方程是次數最高的一種方程,它的解可以通過一個運演算法則,由方程未知數前的係數給出。對於五次方程以上的方程,人們就需要一種更為有效的方法尋找方程的代數解,如同對於五次方程以下的方程所做的那樣。  由於四次方程的複雜性(參見下文),求解公式並不經常被使用。如果只要求求解有理實根,可以通過(對於任意次數的多項式都為真)試錯法,或是使用魯菲尼法則(只要所給的多項式的係數都是有理的)求出。到了計算機時代,通過牛頓法,人們可以使用數值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精確地解出,你可以參見下文關於方法的概述。

  

  如果formula_3,那麼其中一個根為formula_4,其它根可以通過消去四次項,並解產生的三次方程,

  四次方程式中若formula_6 和 formula_7 均為 formula_8者有下列形態:  因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 formula_10,我們的方程式便成為:  這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:  當我們求得 "z" 的值以後,便可以從中得到formula_13 的值:  若任何一個 formula_18 的值為負數或複數,那麼一些 formula_13 的值便是複數。

  開始時,四次方程首先要被轉化為低階的四次方程式。

  要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式,先在等式兩邊分別除以formula_20  第一步:消除 formula_23列。為了做到這一步,先把變數formula_24變成formula_25,其中  將變數替換:formula_27  展開後變成:formula_28  整理後變成以u為變數的表示式  現在改變表示式的係數,為 結果就是我們期望的低階四次方程式,為  如果 formula_34 那麼等式就變成了雙二次方程式,更加容易解決(解釋上面);利用反向替代,我們可以獲得我們要解決的變數 formula_24的值.

  這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的,然而,這種方式曾經被發現過。接下來,利用一個恆等式 從方程 (1)和上式,得出: 結果把 formula_38配成了完全平方式:formula_39。左式中,formula_40 並不出現,但其符號已改變並被移到右邊。  下一步是在方程formula_41 左邊的完全平方中插入變數 formula_42,相應地在右邊插入一項formula_43。根據恆等式 及 與等式(2)相加,得 也就是  現在我們需要尋找一個formula_47值,使得方程formula_51的右邊為完全平方。而這隻要令二次方程的判別式為零。為此,首先展開完全平方式為二次式: 右邊的二次式有三個係數。可以驗證,把第二項係數平方,再減去第一與第三項係數之積的四倍,可得到零:  因此,為了使方程(3)的右邊為完全平方,我們必須解出下列方程: 把二項式與多項式相乘, 這是關於formula_47的三次方程。兩邊除以formula_60,

  方程formula_62是巢狀的三次方程。為了解方程formula_62,我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程: 方程formula_62變為 展開,得 合併同類項,得 這是巢狀的三次方程。  記 則此三次方程變為

  方程formula_72的解(三個解中任何一個都可以)為  從而它可分解因式為: 因此方程formula_51化為 等式formula_82兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。  如果兩平方式相等,則兩平方式的因子也相等,即有下式: 對 formula_25合併同類項,得 方程formula_89是關於formula_25的二次方程。其解為 化簡,得 這就是降低次數的四次方程的解,因此原來的四次方程的解為

  給定一個四次方程 其解可用如下方法求出:  此即所求。  還有解四次方程的其他方法,或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是 它已經化為簡約的形式。它有一對解,可由上面給出的公式得到。

  此四次方程是下列兩個二次方程之積: 以及 由於 因此  設 則方程formula_134 變為 同時有(未知的)變數formula_136和formula_137使方程formula_138 變為 方程formula_140與formula_141 相乘,得 把方程formula_143 與原來的二次方程比較,可知 及 因此 方程formula_141的解為 這兩個解中的一個應是所求的實解。

  寫出式子 formula_153,令 formula_154, 把上式改寫為 formula_155, 再利用係數 formula_156 造出另一式子: formula_157, 求出 formula_158 的三根,並用 formula_159 代表它們。 那麼 formula_160 的四個根就是 formula_161 formula_162 formula_163 formula_164 合併來看 二次方程根的樣式為 formula_165,其中 formula_166 三次方程根的樣式為 formula_167,其中 formula_168 四次方程根的樣式為 formula_169,其中 formula_170 延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。

  

  一個例子可見雙二次方程。
四次方程,是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為: