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  橢圓曲線密碼學的許多形式有稍微的不同,所有的都依賴於被廣泛承認的解決橢圓曲線離散對數問題的困難性上,對應有限域上橢圓曲線的群。

  對橢圓曲線來說最流行的有限域是以素數為模的整數域(參見模運算)formula_1,或是特徵為2的伽羅瓦域 GF(2)。後者在專門的硬體實現上計算更為有效,而前者通常在通用處理器上更為有效。專利的問題也是相關的。一些其他素數的伽羅瓦域的大小和能力也已經提出了,但被密碼專家認為有一點問題。  給定一條橢圓曲線E以及一個域formula_2,我們考慮具有formula_3形式有理數點formula_4的阿貝爾群,其中x和y都在formula_2中並且定義在這條曲線上的群運算"+"(運算"+"在文章橢圓曲線中描述)。我們然後定義第二個運算"*" | Z×formula_6:如果P是formula_4上的某個點,那麼我們定義formula_8等等。注意給定整數j和k,formula_9。橢圓曲線離散對數問題(ECDLP)就是給定點P和Q,確定整數k使formula_10。 一般認為在一個有限域乘法群上的離散對數問題(DLP)和橢圓曲線上的離散對數問題(ECDLP)並不等價;ECDLP比DLP要困難的多。  在密碼的使用上,曲線formula_4和其中一個特定的基點G一起被選擇和公佈。一個私鑰k被作為隨機整數來選擇;值formula_12被作為公鑰來公佈(注意假設的ECDLP困難性意味著k很難從P中確定)。如果Alice和Bob有私鑰"k"和"k",公鑰是"P"和"P",那麼Alice能計算"k*P=(k*k)*G";Bob能計算同樣的值"k*P=(k*k)*G"。  這允許一個“祕密”值的建立,這樣Alice和Bob能很容易地計算出,但任何的第三方卻很難得到。另外,Bob在處理期間不會獲得任何關於"k"的新知識,因此Alice的私鑰仍然是私有的。

  基於這個祕密值,用來對Alice和Bob之間的報文進行加密的實際方法是適應以前的,最初是在其他組中描述使用的離散對數密碼系統。這些系統包括: 對於ECC系統來說,完成執行系統所必須的群操作比同樣大小的因數分解系統或模整數離散對數系統要慢。不過,ECC系統的擁護者相信ECDLP問題比DLP或因數分解問題要難的多,並且因此使用ECC能用小的多的金鑰長度來提供同等的安全,在這方面來說它確實比例如RSA之類的更快。到目前為止已經公佈的結果趨於支援這個結論,不過一些專家表示懷疑。  ECC被廣泛認為是在給定金鑰長度的情況下,最強大的非對稱演算法,因此在對頻寬要求十分緊的連線中會十分有用。

  美國國家標準與技術局和ANSI X9已經設定了最小金鑰長度的要求,RSA和DSA是最小2048位,ECC是最小224位,相應的對稱金鑰加密的金鑰長度是最小128位,這樣的組合在2030年以前是安全的。  Certicom是ECC的主要商業支持者,擁有超過130項專利,並且已經以2千5百萬美元的交易獲得了美國國家安全域性(NSA)的技術許可。他們也已經發起了許多對ECC演算法的挑戰。已經被解決的最複雜的是109位的金鑰,是在2003年初由一個研究團隊破解的。破解金鑰的這個團隊使用了基於生日攻擊的大塊並行攻擊,用超過10,000臺奔騰級的PC機連續執行了540天以上。對於ECC推薦的最小金鑰長度163位來說,當前估計需要的計算資源是109位問題的10倍。  在2005年2月16日,NSA宣佈決定採用橢圓曲線密碼的戰略作為美國政府標準的一部分,用來保護敏感但不保密的資訊。NSA推薦了一組被稱為Suit B的演算法,包括用來金鑰交換的橢圓曲線Menezes-Qu-Vanstone(ECMQV)和橢圓曲線Diffie-Hellman(ECDH),用來數字簽名的橢圓曲線數字簽名演算法。這一組中也包括AES和SHA。

  如果攻擊者擁有大型量子計算機,那麼他可以使用秀爾演算法解決離散對數問題,從而破解私鑰和共享祕密。目前的估算認為:破解256位素數域上的橢圓曲線,需要2330個量子位元與1260億個託佛利門。相比之下,使用秀爾演算法破解2048位的RSA則需要4098個量子位元與5.2萬億個託佛利門。因此,橢圓曲線會更先遭到量子計算機的破解。目前還不存在建造如此大型量子計算機的科學技術,因此橢圓曲線密碼學至少在未來十年(或更久)依然是安全的。但是密碼學家已經積極展開了後量子密碼學的研究。其中,超奇異橢圓曲線同源金鑰交換(SIDH)有望取代當前的常規橢圓曲線金鑰交換(ECDH)。
橢圓曲線密碼學(,縮寫:英語:ECC)是一種基於橢圓曲線數學的公開金鑰加密演算法。橢圓曲線在密碼學中的使用是在1985年由和分別獨立提出的。