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  簡單來說,所謂的一個"集合",就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。 一般來講,集合是具有某種特性的事物的整體,或是一些確認物件的彙集。構成集合的事物或物件稱作元素或是成員。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或數字等。  在數學交流當中為了方便,集合會有一些別名。比如:

  元素通常用formula_4等小寫字母來表示;而集合通常用formula_5等大寫字母來表示。  當元素formula_6屬於集合formula_7時,記作formula_8。  當元素formula_6不屬於集合formula_7時,記作formula_11。  如果formula_12兩個集合所包含的元素完全一樣,則二者相等,寫作formula_13

  無序性:一個集合中,每個元素的地位都是相同的,元素之間是無序的。 互異性:一個集合中,任何兩個元素都認為是不相同的,即每個元素只能出現一次。 確定性:給定一個集合,任給一個元素,該元素或者屬於或者不屬於該集合,二者必居其一,不允許有模稜兩可的情況出現。

  儘管兩個集合有不同的表示,它們仍可能是相同的。比如:上述集合中,formula_22而formula_23,因為它們正好有相同的元素。  元素列出的順序不同,或者元素列表中有重複,都沒有關係。比如:這三個集合formula_24,formula_25和formula_26是相同的,同樣因為它們有相同的元素。

  

  

  集合formula_2、formula_28,若formula_29,有formula_30。則稱formula_2是formula_28的子集,亦稱formula_2包含於formula_28,或formula_28包含formula_2,記作formula_37或formula_38,否則稱formula_2不是formula_28的子集,記作formula_41或formula_42。  若formula_37,且formula_44,則稱formula_2是formula_28的真子集,亦稱formula_2真包含於formula_28,或formula_28真包含formula_2,記作formula_51或formula_52(有時也記作formula_53或formula_54)。

  

  兩個集合可以相"加"。formula_2和formula_28的聯集是將formula_2和formula_28的元素放到一起構成的新集合。

  給定集合formula_2,formula_28,定義運算formula_84如下:formula_85或formula_86。formula_87稱為formula_2和formula_28的聯集。

  作為集合間的二元運算,formula_84運算具有以下性質。

  一個新的集合也可以通過兩個集合"共"有的元素來構造。formula_2和formula_28的交集,寫作formula_115,是既屬於formula_2的、又屬於formula_28的所有元素組成的集合。  若formula_118,則formula_2和formula_28稱作不相交。

  給定集合formula_2、formula_28,定義運算formula_123如下:formula_124且formula_86。formula_115稱為formula_2和formula_28的交集。

  作為集合間的二元運算,formula_123運算具有以下性質。  其它性質還有:

  兩個集合也可以相"減"。formula_2在formula_28中的相對補集,國際上通常寫作 formula_151,中文教材中有時也會寫作formula_152。表示屬於formula_28的、但不屬於formula_2的所有元素組成的集合。  在特定情況下,所討論的所有集合是一個給定的全集formula_155的子集。這樣, formula_156稱作formula_2的絕對補集,或簡稱補集(餘集),寫作formula_158或formula_159。  補集可以看作兩個集合相減,有時也稱作差集。

  給定集合formula_2,formula_28,定義運算-如下:formula_162且formula_163。formula_164稱為formula_28對於formula_2的差集,相對補集或相對餘集。  在上下文確定了全集formula_155時,對於formula_155的某個子集formula_2,一般稱formula_156為formula_2(對於formula_155)的補集或餘集,通常記為formula_158或formula_174,也有記為formula_175, formula_158, formula_177,以及formula_178的。

  作為集合間的二元運算,- 運算有如下基本性質:

  

  給定集合formula_2,formula_28,定義對稱差運算formula_202如下:formula_203。

  作為集合間的二元運算,formula_202運算具有如下基本性質:

  集合的運算除了以上情況之外,集合間還具有以下運算性質:

  上述每一個集合都有確定的元素個數;比如:集合 "A" 有三個元素、而集合 "B" 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種,不同作者及不同書本用不同的寫法: formula_217。  集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集,用 formula_218 或符號formula_70表示。比如:在2004年,集合formula_2是所有住在月球上的人,它沒有元素,則formula_221。在數學上,空集非常重要。更多資訊請參閱空集。  如果集合只含有限個元素,那麼這個集合可以稱為有限集合。  集合也可以有無窮多個元素,這樣的集合稱為無限集合。比如:自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。

  若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”,會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論,數學家提出公理化集合論。在公理集合論中,集合是一個不加定義的概念。

  在更深層的公理化數學中,集合僅僅是一種特殊的類,是“良性類”,是能夠成為其它類的元素的類。  類區分為兩種:一種是可以順利進行類運算的“良性類”,我們把這種“良性類”稱為集合;另一種是要限制運算的“本性類”,對於本性類,類運算並不是都能進行的。  定義 類A如果滿足條件“formula_222”,則稱類A為一個集合(簡稱為集),記為formula_223。否則稱為本性類。  這說明,一個集合可以作為其它類的元素,但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為“本性類是最高層次的類”。
集合(英語:Set,或簡稱集)是基本的數學概念,它是集合論的研究物件,指具有某種特定性質的事物的總體,(在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義,集合就是“一堆東西”。)集合裡的事物(“東西”),叫作元素。若然formula_1是集合formula_2的元素,記作formula_3。