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  最簡單和常見的數學歸納法是證明當"n"等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步:  這種方法的原理在於:首先證明在某個起點值時命題成立,然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明,那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推匯出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如:你有一列很長的直立著的多米諾骨牌,如果你可以: 那麼便可以下結論:所有的骨牌都會倒下。

  假設我們要證明下面這個公式(命題):  formula_1  其中"n"為任意自然數。這是用於計算前"n"個自然數的和的簡單公式。證明這個公式成立的步驟如下。

  

  第一步是驗證這個公式在"n = 1"時成立。我們有左邊 = "1",而右邊 =formula_2,所以這個公式在"n" = "1"時成立。第一步完成。

  第二步我們需要證明如果假設"n" = "m"時公式成立,那麼可以推匯出"n" = "m"+1時公式也成立。證明步驟如下。  我們先假設"n" = "m"時公式成立。即  formula_3(等式1)  然後在等式等號兩邊分別加上"m" + 1得到  formula_4(等式2)  這就是"n" = "m"+1時的等式。我們現在需要根據等式1證明等式2成立。通過因式分解合併,等式2的右手邊  formula_5  也就是說  formula_6  這樣便證明了從P("m") 成立可以推匯出P("m"+1) 也成立。證明至此完成,結論:對於任意自然數"n",P("n") 均成立。

  在這個證明中,歸納推理的過程如下:

  在應用中,數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。

  第一種情況: 如果欲證明的命題並不是針對全部自然數,而只是針對所有大於等於某個數字"b"的自然數,那麼證明的步驟需要做如下修改:  用這個方法可以證明諸如“當"n" ≥ 3時,"n" > 2"n"”這一類命題。  第二種情況: 如果欲證明的命題針對全部自然數,但僅當大於等於某個數字"b"時比較容易證明,則可參考如下步驟:  用這種方法可以證明一些需要通過放縮來證明的不等式。

  如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數,而只是針對所有奇數或偶數,那麼證明的步驟需要做如下修改:  奇數方面:  偶數方面:

  數學歸納法並不是只能應用於形如“對任意的"n"”這樣的命題。對於形如“對任意的"n"=0,1,2...,m”這樣的命題,如果對一般的"n"比較複雜,而"n"="m"比較容易驗證,並且我們可以實現從"k"到"k"-"1"的遞推,"k"="1"...,"m"的話,我們就能應用歸納法得到對於任意的"n"=0,1,2...,m,原命題均成立。

  另一個一般化的方法叫完整歸納法(也稱第二數學歸納法或強歸納法),在第二步中我們假定式子不僅當"n" = "m"時成立,當"n"小於或等於"m"時也成立.這樣可以設計出這樣兩步:  例如,這種方法被用來證明:  其中"fib"("n") 是第n個斐波納契數和Φ = (1 + 5) / 2 (即黃金分割).如果我們可以假設式子已經在當"n" = "m"和"n" = "m" − 1時成立,從"fib"("m" + 1) = "fib"("m") + "fib"("m" − 1)之後可以直截了當地證明當"n"="m" + 1時式子成立.  這種方法也是第一種形式的特殊化: 結論:"P"("n")對一切自然數"n"成立。

  最後兩步可以用這樣一步表示:  實際上這是數學歸納法的大多數通式,可以知道他不僅對錶達自然數的式子有效,而且對於任何在良基集(也就是一個偏序的集合,包括有限降鏈) 中元素的式子也有效(這裡"<"被定義為"a" < "b" 當且僅當"a" ≤ "b"和"a" ≠ "b").  這種形式的歸納法當運用到序數(以有序的和一些的良基類的形式)時被稱為"超限歸納法".它在集合論,拓撲學和其他領域是一種重要的方法.  要區別用超限歸納法證明的命題的三種情況:  參見數學歸納法的三種形式。

  

  二階邏輯可捕捉數學歸納法這概念,表達成如下邏輯式: "P"(.) 是容納一自然數的述詞變元,遍歷所有述詞而非個別數字,為二階量詞(是故此式與二階邏輯有關),"k" 與 "n" 則是自然數變元,遍歷所有自然數。  白話解釋此式,此式說:起始步驟 "P"(0) 與推遞步驟(即歸納假設,"P"("k") 蘊涵 "P"("k" + 1)) 兩步成立會匯出對任一自然數 "n", "P"("n") 成立之結論。通常,我們為了證明第二步,會假設"P"("n")成立(歸納假設),再進一步證明"P"("n+1")。此牽涉到條件證法,將條件句之前件作為假設,假定其正確以便於證明。

  若用一階邏輯將數學歸納法公設化,則須採用公設模式,替每一個可能存在的述詞設下針對其的獨立公設。舉例而言,我們僅允許三個一階述詞存在,分別名為 P、P、P,則原先以二階邏輯描述的公設可改寫為: 。然而其強度與以二階邏輯描述之邏輯式不同,前者較後者弱。理由為一階邏輯述詞之數量為可數,而二階邏輯量限所迭代的集合為不可數。  此外,二階邏輯所表示的歸納公設綜合其它皮亞諾公設為同疇(categorical),且所得之自然數模型無限大。根據勒文海姆-斯科倫定理,用一階邏輯表達的理論若有可數無限大的模型,則其有不可數大的模型,是故無法前頭將所述的模型公設化。亦即,用二階邏輯表達的公設僅允許一群模型彼此同構,而一階邏輯模型則因前述定理,並非每個模型都同構。

  一階ZFC集合論不允許述詞被遍歷, 但我們可以藉由遍歷集合,繞過一階邏輯之限制,描述歸納法: formula_13 本身是集合,但可視作命題——只要命題在這數下成立,數字就會收入集合。別於皮亞諾公設,將數學歸納法定為公設,ZFC集合論直接定義自然數,使得歸納法本身是定理而非公設。

  皮亞諾公理視數學歸納法不證自明,設作公設,而於ZFC集合論,數學歸納法可從良序定理(well-ordering principle)推匯出來。
數學歸納法(Mathematical Induction、MI、ID)是一種數學證明方法,通常被用於證明某個給定命題在整個(或者區域性)自然數範圍內成立。除了自然數以外,廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構,例如:集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和電腦科學領域,稱作結構歸納法。