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  很多時候,函式是描述某個物件的性質的手段。傳統的函式是將輸入值和輸出值建立對應關係的對映,是從本質上描述物件性質的方法。分佈的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論,特別是不確定性原理的發現,使物理學家拋棄了從本質上確定地表述物件的想法,而是將物件的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得“某個粒子的位置”的資訊,是因為使用了某種測量的工具。物件的性質通過測量才得以表現。分佈理論發展了這種概念,通過觀察某個函式formula_1與其它函式的“相互作用”來刻畫這個函式。具體來說,我們觀察formula_1和一群“測量函式”formula_3之乘積的積分:formula_4。之所以使用積分作為“觀察”的方式,一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間,(區域性)可積分的函式比(區域性)可導的函式要“多得多”;另一方面,則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候,我們往往不要求(也無法做到)知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值,而只能通過多次測量,知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度,這種平均值才是測量和使用函式的最常見方式。而積分則是這種“平均值”的數學表現形式。  分佈理論的目的在於建立一種比一般的函式更廣泛的“廣義函式”,稱為分佈,並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函式上去。也就是說,分佈理論建立的分佈應當滿足幾個基本的要求:  對每一個實數值的“測試函式”formula_3,將它對映到積分formula_4,就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為formula_1對應的分佈。積分formula_4的存在性取決於函式formula_1與formula_3的乘積,所以對formula_3要求越高,就能對越多的formula_1定義對應的分佈。分佈理論中選取的“測試函式”的集合是緊支撐的函式空間D(R),也就是滿足以下兩個條件的R射到R函式的集合: 一般來說,一個分佈就定義為 D(R) 射到R的連續線性泛函。一個分佈formula_13(作用在“測試函式”formula_3上)的值一般使用類似內積的符號記為formula_15。當“測試函式”空間選為D(R)的時候,只要 formula_1區域性可積,就能定義它對應的分佈。一個函式對應的分佈通常記為formula_17,以和formula_1 區分,而它的值就是:  對於概率分佈函式formula_20,也可以將它定義為分佈formula_21。對給定的一個測試函式formula_22,可以定義分佈formula_21作用在formula_22上的值是:formula_25 這樣定義下的formula_21是線性的泛函,所以滿足分佈的定義。  除了對普通的函式可以定義分佈,對一些普通意義上無法定義的“函式”也能定義出相應的分佈。例如0點上的狄拉克δ函式就能用分佈方式定義為: 也就是說它對每一個函式的“效果”是取其0點上的值。

  接下來,我們定義R中開集U上的實值分佈。在細微的調整之後,我們可以定義相應的復值分佈,也可以將 R 替換為任何(仿緊)光滑流形。  首先需要定義U上的檢驗函式空間 D(U) (即所謂的“測試函式”),定義其上的拓撲和極限。D(U)上的所有連續線性泛函構成的空間就是分佈空間。

  函式formula_3: U → R具有緊支撐集,當且僅當存在U的緊子集K,使得對任意 U\K 中的元素formula_29,都有formula_30。  定義D(U)為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函式(也就是所謂的隆起函式)的集合,則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以通過定義序列的極限而定義。具體如下:  在如此定義下的拓撲中,D(U)是一個完備、區域性凸的拓撲向量空間,且滿足海涅-博雷爾定理,但不是可度量的空間(不同胚於任何的度量空間)。而D(U)上的泛函formula_39連續,當且僅當對任意收斂到零的formula_31,都有formula_41

  U上的分佈定義為D(U)上的連續線性泛函。也就是說,如果一個實線性泛函formula_42(或複線性泛函formula_43)滿足連續性,即對D(U)中任意的收斂函式列formula_31,都有 那麼就稱此泛函為U上的一個分佈。  另一個更具可操作性的定義是,如果D(U)上的一個實線性泛函formula_42(或複線性泛函formula_43)滿足以下的條件: 就稱之為U上的一個分佈。如果存在的正整數formula_54使得對任意的formula_48,都有formula_56,那麼最小的這樣的formula_54稱為這個分佈的階數(order),稱formula_58為一個formula_54階分佈。  U上的分佈集合記為D'(U),是D(U)的拓撲對偶空間。D'(U)中的元素formula_60和D(U)中的元素formula_3之間的對偶關係可以用尖括號表示:  在弱*拓撲下,D'(U)為一個區域性凸的拓撲向量空間。其中,弱*收斂的定義為:D'(U)中序列formula_63弱*收斂到formula_60當且僅當對於任意的檢驗函式formula_3,有

  一個區域性可積函式formula_67是指在U的任意緊子集上都勒貝格可積的函式。區域性可積函式包括了所有的連續函式和所有的L可積函式。在以上定義的D(U)的拓撲中,每個區域性可積的函式都對應著一個D(U)上的連續線性泛函,也就是D'(U)中的一個元素,記作formula_17。線性泛函formula_17作用在D(U)中任一個檢驗函式formula_3上的取值是: 一般約定,在不至於引起混淆的時候,可以將formula_17和formula_1等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作: 可以證明,兩個區域性可積函式formula_1和formula_76對應的分佈相同,當且僅當它們幾乎處處相等。與函式的分佈類似,U上的每個Radon測度formula_77都有一個對應的分佈formula_78,定義為: 與函式的對應分佈一樣,測度對應的分佈在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來,比如將上式寫成formula_80。  可以注意到,檢驗函式也是區域性可積的,所以也有對應的分佈。這些分佈在D'(U)上是稠密的(對於以上定義的拓撲來說)。也就是說,任意一個分佈formula_81都是某個檢驗函式(分佈)序列formula_31收斂的極限。對任意的檢驗函式formula_83,都有:
數學分析中的分佈是廣義函式的一種,由法國數學家洛朗·施瓦茨首先於二十世紀五十年代引入。分佈推廣了普通意義上的函式概念。對於普通意義上不可導甚至不連續的函式,可以具備分佈意義上的導數。事實上,任意區域性可積的函式都有分佈意義上的弱導數。在偏微分方程的研究中,常常使用分佈來表示方程的廣義解函式,因為很多時候傳統意義上的解函式不存在或難以求出。分佈理論在物理學和工程學中都十分有用,因為在應用中常會出現解或初始條件是分佈的微分方程,例如初始條件可能是一個狄拉克δ分佈。