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  古希臘數學家歐幾里得是通過formula_1 的表示式發現前四個完全數的。  一個偶數是完美數,當且僅當它具有如下形式:formula_6,其中formula_7是素數,此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由尤拉所證明。  比如,上面的formula_8和formula_9對應著formula_10和formula_11的情況。我們只要找到了一個形如formula_7的素數(即梅森素數),也就知道了一個偶完美數。  儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是formula_13或formula_14的形式,其中formula_15是素數。  首十個完全數是():

  古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設,大部分都是錯誤的。其中的一個假設是:因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個素數,第 5 個完全數應該是第 5 個素數,即當 formula_16 的時候,可是 formula_17 並不是素數。因此 formula_16 不是完全數。另外兩個錯誤假設是:  事實上,第五個完全數 formula_19 是 formula_20 位數。  對於第二個假設,第五個完全數確實是以 formula_8 結尾,但是第六個完全數 formula_22 仍是以 formula_8 結尾,應該說完全數只有以 formula_8 和 formula_20 結尾才對。  對完全數的研究,至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種型別完全數的問題。  每一個梅森素數給出一個偶完全數;反之,每個偶完全數給出一個梅森素數,這結果稱為歐幾里得-尤拉定理。到 2018 年 12 月為止,共發現了 51 個完全數,且都是偶數。最大的已知完全數為 formula_26 共有 formula_27 位數。

  以下是目前已發現的完全數共有的性質。 formula_28 → formula_29 → formula_30 formula_37 formula_41 formula_46 formula_50 formula_53

  用計算機已經證實:在10以下,沒有奇完全數;至今還證明了,如果奇完全數存在,則它至少包含11個不同素數(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3,亦不會是立方數。一般猜測:奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限?至今都不能回答。  Carl Pomerance提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

  這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如formula_67或formula_68。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明,1951年van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。  證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)  引理的證明(甲):  使用反證法,設formula_71為完全數,且formula_81。  formula_82。因為3的二次剩餘只有0,1,故formula_71非平方數,因此其正因子個數為偶數。  formula_71有正因子formula_85,則可得:  因此,formula_90。故formula_91。  但formula_92,矛盾。  故formula_71的形式只可能為formula_94或formula_95。  引理的證明(乙):  使用反證法,設formula_71為完全數,且formula_97。  formula_97。因為4的二次剩餘只有0,1,故formula_71非平方數,因此其正因子個數為偶數。  formula_71有正因子formula_85,則可得:  因此,formula_106。故formula_107。  但formula_108,矛盾。  故formula_71的形式只可能為formula_110。 若formula_111,根據尤拉的結果,formula_112,綜合兩者,得formula_113。  若formula_114,formula_112,得formula_116。若formula_117非3的倍數,3和formula_118互質。  因為formula_70為積性函式,可得formula_120。  但formula_121,出現了矛盾。故知formula_117是3的倍數。代入formula_123,可得formula_124。

  盈完全數的定義為:自己的因子(不含自己)的和減去自己得到的數可以整除自己,前幾個盈完全數為:  虧完全數的定義為:自己減去自己的因子(不含自己)的和得到的數可以整除自己,前幾個虧完全數為:  盈完全數是盈數的子集,虧完全數是虧數的子集。
完全數(Perfect number),又稱完美數或完備數,是一些特殊的自然數:它所有的真因子(即除了自身以外的約數)的和,恰好等於它本身,完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。