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  函式 formula_5 是函式 formula_6 的一個反導函式,但實際上 formula_7 的反導函式有無窮多個。與formula_8 相差一個常數的函式都是 formula_7 的反導函式,這是因為常數函式的導數為零,例如:formula_10 都為函式 formula_11 的反導函式。函式族 formula_12 是 formula_13 的所有可能的反導函式的集合,其中 formula_14 叫做積分常數。從影象上來看,這是 formula_15 向上或向下平移後得到的一組函式,由定義可知它們在 formula_16 軸同一點的斜率都是一樣的。

  反導函式存在定理:若函式f(x)在區間上連續,則f(x)在區間上存在反導函式。

  不定積分的一個重要應用是計算定積分,微積分基本定理建立了兩者間的關係。  微積分基本定理:如果函式 formula_17是閉區間 formula_18 上的連續函式,formula_19 是 formula_1 在 formula_21 上的一個反導函式,那麼有  證明:取區間formula_23的一個分割:formula_24,又設formula_25,根據均值定理有 formula_26, 使得  所以  formula_1 在閉區間 formula_23 上連續,故黎曼可積,讓 formula_31 於是當 formula_32,也就是分割越來越細時有 <br>  於是有  formula_17 的每個反導函式都可以叫做 formula_1 的不定積分,簡寫作formula_38,因為在計算定積分時,積分常數在相減時消掉了。如果 formula_19 定義在幾個不同的區間上,那麼每個區間上的積分常數可以互不相同。例如  就是函式 formula_41 的不定積分的一般形式。其定義域為 formula_42。

  什麼樣的函式具有反導函式是微積分基本定理中的基本問題。首先,每個連續函式都有反導函式,並且由上面可知,任一函式的反導函式如果存在的話會有無限多個。其次,由微分基本性質可知,對於一個有反導函式的函式,其反導函式在某點取某特定值的只有一個。要證明存在性,假設函式 formula_1 的反導函式在 formula_44 點為零,則它可以表示為如下的由積分定義的函式: 且formula_46。  下面給出這函式是 formula_1 的反導函式的證明:  證明:  進一步可知:formula_1 的反導函式中在點 formula_57上取值為 formula_58 的只有一個,就是formula_59。  這也可以看作是微積分基本定理另一個表達形式。  不連續的函式也可以有反導函式,例如考慮函式formula_60:  這個函式在0上不連續,但可以驗證函式:formula_64(formula_61時),formula_66 是 formula_67 的反導函式。  許多看似很“簡單”的函式的反導函式是無法用初等函式(指數函式、對數函式、代數函式、三角函式、反三角函式以及它們的有限次加減乘除開根號組合)來表達的(但它們一樣存在!),比如說如下幾個不定積分: 它們的積分分別為:  其中erf函式為誤差函式,Si函式為三角積分,Li函式為對數積分。  關於什麼時候反導函式可以用初等函式表達,可參見劉維爾定理。

  求初等函式的不定積分比求它們的導數要困難得多。如上面所看到的,有些初等函式的反導函式無法用初等函式來表達。以下是求不定積分的一些技巧。

  微積分基本定理要求 formula_1 為連續函式,但是,對於不連續的函式,我們仍然可以考慮求不定積分。對於什麼函式有反導函式,現在仍存在著未解決的問題。如今已知的結論有:
在微積分中,函式 formula_1 的不定積分(或稱反導函式或原函式),是一個可微函式 formula_2 且其微分等於原來的函式 formula_1,即 formula_4。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理聯絡起來。 透過微積分基本定理,函式的定積分的計算就可以簡單地通過求不定積分來進行。