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  設formula_1和formula_2是在相同域formula_3上的向量空間。法則formula_4被稱為是線性對映,如果對於"formula_1"中任何兩個向量formula_6和formula_7與"formula_3"中任何標量formula_9,滿足下列兩個條件:  這等價於要求對於任何向量formula_10和標量formula_11,方程 成立。  偶爾地,"formula_1"和"formula_2"可被看作在不同域上的向量空間。那麼必須指定哪些基礎域要被用在“線性”的定義中。如果"formula_1"和"formula_2"被看作前面的域"formula_3"上的空間,我們談論的就是"formula_3"-線性對映。例如,複數的共軛是formula_19-線性對映formula_20,而不是formula_21-線性對映。  從向量空間"formula_1"到數域"K"的線性對映有一個特別的名字,叫做“線性泛函”。線性泛函分析就是將空間維度增加到無窮維(包括不可數無窮維)的高等線性代數。線性泛函分析是泛函分析最成熟的分支,但泛函分析最早研究的是有關向量空間"formula_1"上的實值函式(它們一般是非線性對映)的變分學問題。  從定義立即得出formula_24。因此線性對映有時叫做均勻線性對映(參見線性泛函)。

  “線性變換”和“線性運算元”是與“線性對映”有關的名稱。但不同作者會按個人喜好對“線性變換”和“線性運算元”下不同的定義。這導致這2個概念與“線性對映”的關係比較亂,沒有統一的標準。  從向量空間formula_25內的向量對映到同一個空間formula_25內的線性對映是一類重要的線性對映,而且是一種自同態。是否給它一個特殊的術語作為名稱就導致了不同作者做法的分歧。比如Axler的書將“線性對映”和“線性變換”當做同義詞,但“線性運算元”則用於定義這種線性對映中特殊的自同態對映。龔升的書也將“線性運算元”定義為線性的自同態對映。李尚志的書則將線性自同態對映稱為“線性變換”。而泛函分析教材中一般將“線性變換”和“線性運算元”都當做“線性對映”的別稱,彼此不加區別。  為避免詞義混亂,本條目暫將“線性運算元”視作在同一空間內的“線性對映”(即認為二者存在區別),並將“線性變換”當做“線性對映”的同義詞。認定“線性運算元”僅指從向量空間formula_25內的向量對映到同一個空間formula_25內的線性對映。即“線性運算元”只是“線性對映”的其中一種。“線性運算元”是從向量空間到其自身的線性對映(自同態),而“線性對映”則只是一般的同態(不一定是自同態)。

  如果"formula_1"和"formula_2"是有限維的,並且在這些空間中有選擇好的基,則從"formula_1"到"formula_2"的所有線性對映可以被表示為矩陣。反過來說,矩陣生成線性對映的例子:如果"formula_25"是實數的formula_34矩陣,則規定formula_62描述一個線性對映formula_63(參見歐幾里得空間)。  設formula_64是"formula_1"的一個基。則在"formula_1"中所有向量formula_67是唯一的由在  的係數formula_69確定的。如果formula_4是線性對映,  這蘊涵了這個函式formula_72是完全由 的值確定的。  現在設formula_74是"formula_2"的基。則可以表示每個formula_76的值為  如果把這些值放置到formula_34矩陣formula_81中,則可以方便的使用它來計算"formula_72"對在"formula_1"中任何向量的值。如果我放置formula_69的值到formula_85矩陣formula_21,我們有formula_87。  一個單一的線性對映可以由很多矩陣表示。這是因為矩陣的元素的值依賴於選擇的基。

  二維空間formula_93的線性變換的一些特殊情況有:

  兩個線性對映的複合對映是線性的:如果formula_4和formula_103是線性的,則formula_104也是線性的。  若線性對映可逆,則該線性對映的逆也是線性對映。  如果formula_105和formula_106是線性的,則它們的和formula_107也是線性的(這是由formula_108定義的)。  如果formula_4是線性的,而"a"是基礎域"K"的一個元素,則定義自 ("af")("x") = "a" ("f"("x"))的對映"af"也是線性的。  所以從formula_1到formula_2的線性對映的集合formula_112自身形成在formula_3上的向量空間,有時指示為formula_114。進一步的說,在formula_115的情況中,這個向量空間(指示為formula_116)是在對映覆合下的結合代數,因為兩個線性對映的複合再次是線性對映,所以對映的複合總是結合律的。  給定有限維的情況,如果基已經選擇好了,則線性對映的複合對應於矩陣乘法,線性對映的加法對應於矩陣加法,而線性對映與標量的乘法對應於矩陣與標量的乘法。

  自同態的線性對映在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定,我們用“線性運算元”來簡稱它。(注意泛函分析中所說的“線性運算元”不一定是自同態(endomorphism)對映,但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便,暫用“線性運算元”來稱呼這種自同態。)

  線性運算元formula_117是"formula_1"的自同態;所有這種自同態的集合formula_116與如上定義的加法、複合和標量乘法一起形成一個結合代數,帶有在域formula_3上的單位元(特別是一個環)。這個代數的乘法單位元是恆等對映formula_121。  若"formula_1"的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的複合再次是自同構,所以"formula_1"的所有的自同構的集合形成一個群,"formula_1"的自同構群可表為formula_125或formula_126。因為自同構正好是那些在複合運算下擁有逆元的自同態,所以formula_125也就是在環formula_116中的可逆元群。  如果"formula_1"之維度formula_91有限formula_116同構於帶有在"formula_3"中元素的所有formula_133矩陣構成的結合代數,且"formula_1"的自同態群同構於帶有在"formula_3"中元素的所有formula_133可逆矩陣構成的一般線性群formula_137。

  如果formula_4是線性的,我們定義formula_72的核和像(或稱值域)為  formula_142是"formula_1"的子空間,而formula_144是"formula_2"的子空間。下面的叫做秩-零化度定理的維度公式經常是有用的:  formula_147的數也叫做“formula_72的秩”(rank)並寫為formula_149,有時寫為formula_150;formula_151的數也叫做“formula_72的零化度”(nullity)並寫為formula_153。如果"formula_1"和"formula_2"是有限維的,基已經選擇好並且"formula_72"被表示為矩陣"formula_25",則"formula_72"的秩和零化度分別等於矩陣"formula_25"的秩和零化度。

  多重線性對映是線性對映最重要的推廣,它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性對映。
在數學中,線性對映(有的書上將“線性變換”作為其同義詞,有的則不然)是在兩個向量空間(包括由函式構成的抽象的向量空間)之間的一種保持向量加法和標量乘法的特殊對映。線性對映從抽象代數角度看是向量空間的同態,從範疇論角度看是在給定的域上的向量空間所構成的範疇中的態射。