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  這個公式是亞伯拉罕·棣莫弗首先發現的,形式為: 斯特靈 (數學家)證明了公式中formula_5,約為。更加精確的形式是雅克·比內發現的。

  這個公式,以及誤差的估計,可以推導如下。首先不直接估計"n"!,而是考慮它的自然對數:  即:  這個方程的右面是積分formula_8的近似值(利用梯形法則),而它的誤差由尤拉-麥克勞林公式給出:  其中"B"是伯努利數,"R"是尤拉-麥克勞林公式中的餘項。取極限,可得:  把這個極限記為"y"。由於尤拉-麥克勞林公式中的餘項"R"滿足:  其中用到了大O符號,與以上的方程結合,便得出對數形式的近似公式:  兩邊取指數,並選擇任何正整數"m",便得到了一個含有未知數"e"的公式。當"m"="1"時,公式為:  將上述表示式代入沃利斯乘積公式,並令"n"趨於無窮,便可以得出"e"(formula_14)。因此,我們便得出斯特靈公式:  這個公式也可以反覆使用分部積分法來得出,首項可以通過最速下降法得到。把以下的和  用積分近似代替,可以得出不含formula_17的因子的斯特靈公式(這個因子通常在實際應用中無關):

  更加精確的近似公式為:  其中:  斯特靈公式實際上是以下級數(現在稱為斯特靈級數)的第一個近似值:  當formula_22時,截斷級數的誤差等於第一個省略掉的項。這是漸近展開式的一個例子。它不是一個收斂級數;對於任何特殊值"n",級數的準確性只在取有限個項時達到最大,如果再取更多的項,則準確性將變得越來越差。  階乘的對數的漸近展開式也稱為斯特靈級數:  在這種情況下,級數的誤差總是與第一個省略掉的項異號,且最多同大小。

  對於所有正整數,有:  然而,伽瑪函式與階乘不一樣,它對於所有複數都有定義。儘管如此,斯特靈公式仍然適用。如果formula_25,那麼:  反覆使用分部積分法,可得以下漸近展開式:  其中"B"是第n個伯努利數。當formula_28,其中ε是正數時,這個公式對於絕對值足夠大的"z"是適用的,當使用了最初"m"個項時,誤差項為formula_29。對應的近似值可以寫為:

  欲得出斯特靈公式的一個收斂形式,我們必須計算:  一種方法是利用含有上升階乘冪的級數。如果formula_32,那麼:  其中:  從中可以得出斯特靈級數的一個收斂形式:  它在formula_37時收斂。

  以下的近似值  或  可以通過把斯特靈公式整理,並注意到它的冪級數與雙曲正弦函式的泰勒級數展開式的相似性來得出。當"z"的實數部分大於8時,這個近似值精確到小數點後8位。2002年,Robert H. Windschitl建議計算器用這個公式來計算伽瑪函式。  Gergő Nemes在2007年提出了一個近似公式,它的精確度與Windschitl的公式相等,但更加簡單:  或
斯特靈公式(Stirling's formula)是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說,當n很大的時候,n階乘的計算量十分大,所以斯特靈公式十分好用;而且,即使在n很小的時候,斯特靈公式的取值已經十分準確。