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  證明的方法基於線性空間的基和同構。  設formula_7是一個有限維線性空間,其維度formula_18。對一個從formula_7射到formula_1的線性變換formula_11,它的核formula_22是formula_7的一個子空間。設 formula_24是formula_22的一組基(formula_26)。根據基擴充定理,formula_27可以被擴充為formula_7的一組基:formula_29。除了formula_27的formula_31個向量以外,另外的formula_32個向量formula_33是一組線性無關的向量。設formula_34是它們張成的子空間,那麼formula_7是子空間formula_22與formula_34的直和: 所以,按照直和的性質,有formula_39,並且這兩個子空間的交集為formula_40。同時,formula_41 都可以寫成formula_42的形式,其中formula_43。考慮formula_11限制在formula_34上到formula_46的線性變換formula_47:  下證formula_47是一個同構。首先由於formula_11是線性對映,所以formula_47是線性對映。只需證明它也是雙射:  既然formula_47是一個formula_34到formula_46的同構,那麼

  正合列  秩-零化度定理是抽象代數中的同態基本定理線上性空間上的表現形式。如果用更現代的語言,定理可以表示為:如果  在有限維的情況下,上式可以作進一步推廣。如果  在有限維線性空間中,秩-零化度定理還可以用線性變換的指標(index)描述。線性變換的指標指的是,對於線性變換"T" : "V" → "W":  這時秩-零化度定理表述為:  可以看到,在這種表述下,我們可以很容易地得到 "T" 的指標,而不必對 "T" 作深入研究。更深入的結果可以參見阿蒂亞-辛格指標定理。阿蒂亞-辛格指標定理說明某些微分運算元的指標可以通過涉及的空間的幾何性質得到。
秩-零化度定理是線性代數中的一個定理,給出了一個線性變換或一個矩陣的秩和它的零化度之間的關係。對一個元素在域formula_1中的formula_2矩陣formula_3,秩-零化度定理說明,它的秩(rank A)和零化度(nullity A)之和等於formula_4: