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  設為一個完備的有限維賦範向量空間(即一個巴拿赫空間),為一個取值在上的函式:  其中為中的一個開集,是formula_1中的一個區間。考慮以下的一階非線性微分方程:  如果關於連續,並在中滿足利普希茨條件,也就是說,  那麼對於任一給定的初始條件: formula_2,其中 formula_3、formula_4,微分方程(1)存在一個解 formula_5,其中 formula_6 是一個包含 formula_7 的區間,formula_8 是一個從 formula_9 射到 formula_10 的函式,滿足初始條件和微分方程(1)。  區域性唯一性:在包含點formula_7的足夠小的formula_12區間上,微分方程(1)的解是唯一的(或者說,方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的)。  這個定理有點像物理學中的決定論思想:當我們知道了一個系統的特性(微分方程)和在某一時刻系統的情況(formula_2)時,下一刻的情況是唯一確定的。

  一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函式遞迴序列formula_14,使得formula_15,這樣,如果這個序列有一個收斂點 formula_16,那麼formula_16為函式formula_18的不動點,這時就有formula_19,於是我們構造出了一個解formula_16。為此,我們從常數函式  這樣構造出來的函式列formula_23中的每個函式都滿足初始條件。並且由於 formula_24 在 formula_10 中滿足利普希茨條件,當區間足夠小的時候,formula_18成為一個收縮對映。根據完備空間的不動點存在定理,存在關於formula_18的穩定不動點,於是可知微分方程(1)的解存在。  由於收縮對映的區域性穩定不動點只有一個,因此在足夠小的區間內解是唯一的。

  區域性的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上,對於微分方程(1)的任意解formula_28、formula_29,定義一個序關係:formula_28小於formula_29當且僅當 formula_32,並且formula_33在formula_34上的值與formula_35一樣。在這個定義之下,柯西-利普希茨定理斷言,微分方程的最大解是唯一存在的。

  解的唯一性:假設有兩個不同的最大解,那麼由區域性柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同,將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上,則會得到一個更“大”的解(只需驗證它滿足微分方程),矛盾。因此解唯一。  解的存在性:證明需要用到佐恩引理,構造所有解的並集。

  對於一元的高階常微分方程  只需構造向量formula_37和相應的對映formula_38,就可以使得(2)變為formula_39。這時的初始條件為formula_40,即

  對於偏微分方程,有柯西-利普希茨定理的擴充套件形式:柯西-克瓦列夫斯基定理,保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
在數學中,柯西-利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz Theorem),又稱皮卡-林德勒夫定理(Picard-Lindelöf Theorem),保證了一階常微分方程的區域性解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西於1820年發表,但直到1868年,才由魯道夫·利普希茨給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理,得名於數學家埃米爾·皮卡和恩斯特·林德勒夫。