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  李群是光滑可微流形,因而可以用微分學來研究,這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉“全域性”的物件,也即群本身,而代之以其“區域性”或線性化的版本。這個區域性版本被索菲斯·李本人稱為該李群的“無窮小群”,而後來以“李代數”為人熟知。  李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯·克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為,可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的變換群來考察各種“幾何”。例如,歐氏幾何對應於歐式空間R中保距變換構成的歐幾里得群E(3);共形幾何對應於把群擴大到共形群;而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為G-結構的概念,其中"G"是流形"區域性"對稱性形成的李群。  李群(以及與之關聯的李代數)在現代物理學中起到了重要作用,並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裡,李群表示或相應的李代數表示尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3)(或其雙覆蓋特殊酉群SU(2)),特殊酉群SU(3)以及龐加萊群。

  實李群是一個滿足下列條件的群:它也是一個有限維實光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑對映。 群乘法的光滑性  意味著"formula_5"是一個從積流形"formula_6"到"formula_1"的光滑對映。這兩個條件可以合併成一條,即對映  是一個從積流形"formula_6"到"formula_1"的光滑對映。

  現在我們給出一個群的例子,它擁有不可數的元素,並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群:  其中formula_23是一個"固定的"無理數。這是一個環面 formula_24 的子群,它在子空間拓撲下不是李群。 比如說,如果我們取formula_25中的一個點formula_26的任意小鄰域formula_27,那麼formula_25在 formula_27中的部分是不連通的。群formula_25在環面上反覆纏繞,形成了一個formula_24的稠密子群。 另一方面,我們可以給群formula_25指定另一個拓撲,使得兩點formula_33之間的距離被定義為"群H中"連結 formula_34和formula_35的最短路徑長度。在這個拓撲下,formula_25通過其元素中對應的formula_37與實直線同胚。在這種拓撲下,formula_25僅僅是加法意義下的實數群,因此也是李群。  群formula_25是李群的一個非閉"李子群"的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

  用表示複數域上的可逆矩陣。的任何閉子群也是一個李群;這類李群被稱為矩陣李群。 由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現,一些教科書把注意力限制在這類李群上,包括Hall以及 Rossmann等,這樣可以簡化李代數和指數對映的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例: 以上列舉的群均為經典群。

  與實李群相對應,復李群是在複流形上定義的(例如)。類似地,使用一種Q的度量完備化我們可以在 "p"-進數上定義"p"-進數李群,一種滿足每個點都有一個"p"-進數鄰域的拓撲群。

  李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群或代數群(大部分情況下)是由矩陣構成的群(例如正交群和辛群),而這些也是李群最常見的例子。

  一維情況下唯二的連通李群是實直線formula_44 (其群操作為加法)和由絕對值為1的複陣列成的圓群 formula_45 (其群操作為乘法)。 formula_45也常被記作formula_47,即formula_48酉群。

  在二維情況下,如果我們只考慮簡單連通群,那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類,那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是formula_49(其群操作為向量加法)以及一維仿射群(在前面的小節"初步的樣例"中有介紹)。

  部分書籍在定義李群時假設了解析性,本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑(簡記為formula_50)流形,並具有光滑的群二元運算與逆元運算。解析條件看似較強,實則兩者等價:  定理.任意formula_50李群上具有唯一的實解析流形結構,使得群二元運算及逆元運算皆為解析對映。此時指數對映亦為解析對映。

  formula_52均為李群,二者之間的一個同態:formula_53為群同態並且是解析對映(事實上,可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可)。顯然,兩個同態的複合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。 兩個李群之間存在一個雙射,這個雙射及其逆射均為同態,就稱之為同構。

  李代數刻劃了李群在單位元附近的區域性性狀;藉助指數對映或源自李代數的葉狀結構,可以將李代數的性質提升到李群的層次。  設formula_1為李群,其李代數formula_55定義為formula_1在單位元的切空間。formula_55自然具備了向量空間結構,formula_55上的李括積formula_59定義如下:  不難驗證formula_69滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質,例如:連通李群formula_1是交換群當且僅當formula_55是交換李代數。  李括積也可以用左不變向量場及泊松括號定義,或者取定區域性座標,用群乘法對映在原點的泰勒級數定義。

  若formula_1是李群,formula_73是其子群,並帶有李群結構,使得包含對映formula_74為浸入(不一定是閉的),則可得到子李代數formula_75。反之,任意子李代數formula_76透過左平移定義了formula_1上的葉狀結構,取含單位元的極大積分流形,便得到滿足前述條件的子群formula_73。此子群未必是閉子群,它可能是formula_1的稠密子集(考慮環面的例子)。  李代數的對映formula_80未必能提升至李群的對映formula_81,但可提升至對映formula_82,其中formula_83是formula_84的萬有覆疊空間。

  對於任意向量formula_85,根據常微分方程式的基本理論,存在formula_1中的單引數子群formula_87使得formula_88。由此得到的對映 稱為指數對映。它總是解析對映。  若formula_1為formula_92的子群,則formula_93,這是指數對映一詞的緣由。  當formula_1連通且非交換時,指數對映formula_95並非同態;區域性上,formula_96可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

  在任意體、環乃至於概形上,都可以定義群概形;這是概形範疇中的群物件。群概形具有深刻的幾何與數論意義,然而李群未必是代數簇。  另一方面,若域formula_97對某個絕對值是完備域,其特徵為零,則可照搬解析李群的定義以定義體formula_97上的李群、李代數與指數對映。較常見的例子是formula_99;至於數論方面,特別涉及自守表示的研究上,則須用到formula_97為p進數體的情形。
李群(英語:Lie group,)是一個數學概念,指具有群結構的光滑微分流形,其群作用與微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏,以其為連續變換群奠定基礎。1893年,法文名詞"groupes de Lie"首次出現在李的學生Arthur Tresse的論文第三頁中。