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  formula_4為一向量空間formula_5(附於體formula_6)的子集合。  如果存在有限多個向量屬於formula_4,和對應的純量formula_8屬於formula_6,使得formula_10,則稱formula_11是formula_4的線性組合。  規定:formula_13向量是空集合的線性組合。

  "S" 為域 "F" 上向量空間 "V" 的子集合。  所有 "S" 的有限線性組合構成的集合,稱為 "S" 所生成的空間,記作 span(S)。  任何 "S" 所生成的空間必有以下的性質:  1. 是一個 "V" 的子空間(所以包含0向量)  2. 幾何上是直的,沒有彎曲(即,任兩個 span(S) 上的點連線延伸,所經過的點必也在 span(S) 上)

  對於一個向量集 S ={"v"...,"v"}, 若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合, 另一種表述方式是,如果將它們相減 (formula_15),得到一個純量不全等於零的線性組合,而它的值為零:  那麼"v"...,"v" 稱為“線性相關”;否則它們為線性無關。  若"S"是線性無關,而S的生成空間等於"V",那麼"S"是"V"的基。

  仿射組合,錐組合和凸組合對線性組合的係數有一定的限制。  因為這些組合的限制更加嚴格,所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此,仿射子集,凸錐,和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間,凸錐,也是凸集,但凸集不一定是向量子空間,仿射子空間,或凸錐。  這些概念的產生是由於對於一些特定的數學物件,人們可以採用某些線性組合,但並非任何線性組合:例如,概率分佈在凸組合下是閉合的,並且它們形成一個凸集;但在錐組合,仿射組合,或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的,但在仿射或線性組合下不是。因此,我們將有符號測度定義為它的線性閉包。  線性和仿射組合可以在任何域或環上定義,但錐組合和凸組合需要“正數”的概念,因此只能在有序域或有序環上定義,最常見的例子是實數。  如果僅允許乘以標量而不允許相加,則我們得到一個(不一定是凸的)圓錐;通常來說,定義中只允許乘以正標量。  所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集,而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外,因為仿射空間也可以看作“沒有原點的向量空間”。
線性組合(英語:Linear combination)是線性代數中具有如下形式的表示式。其中formula_1為任意型別的項,formula_2為標量。這些純量稱為線性組合的係數或權。