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  1742年6月7日,普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數學家萊昂哈德·尤拉的通訊中,提出了以下的猜想:  上述與現今的陳述有所出入,原因是當時的哥德巴赫遵照的是“1也是素數”的約定。現今數學界已經不使用這個約定了。哥德巴赫原初猜想的現代陳述為: 尤拉在6月30日的回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本: 並將此一猜想視為一定理,但他卻無法證明。今日常見的猜想陳述為尤拉的版本,亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”。  從關於偶數的哥德巴赫猜想,可推出: 的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關於奇數的哥德巴赫猜想”。若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的,則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和,也稱為“哥德巴赫-維諾格拉多夫定理”或“三素數定理”。2013年,祕魯數學家哈洛德·賀歐夫各特等人將維諾格拉多夫的結論進一步加強,並驗證了較小的奇質數的情況,宣稱完全證明了弱哥德巴赫猜想。

  

  哥德巴赫猜想相當困難。直至今日,數學家對於哥德巴赫猜想的完整證明沒有任何頭緒。事實上,從1742年這個猜想正式出現,到二十世紀初期,在超過160年的時間裡,儘管許多數學家對這個猜想進行了研究,但沒有取得任何實質性的進展,也沒有獲得任何有效的研究方法。二十世紀以前對哥德巴赫猜想的研究,僅限於做一些數值上的驗證工作,提出一些等價的關係式,或對之做一些進一步的猜測。1900年,希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題,就包括了哥德巴赫猜想和與它類似的孿生素數猜想。希爾伯特的問題引發了數學家的極大興趣,但對於哥德巴赫猜想的研究仍舊毫無進展。1912年第五屆國際數際數學家大會上,德國數論專家愛德蒙·朗道曾經說過,即使要證明每個偶數能夠表示成"K"個質數的和,不管"K"是多少,都是數學家力所不及的。1921年,英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代曾經在哥本哈根數學會議的一次演講中聲稱:“哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比”。

  哈代和朗道做出以上的看法時,對哥德巴赫猜想的研究已經踏在了突破的門檻上。關於哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出現在二十世紀20年代。這次突破與十九世紀至二十世紀初歐洲數學家們在數論與函式論方面取得的輝煌成就是分不開的。尤拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等人的成果為後來的研究提供了強有力的工具和深厚的積累,打下了牢固的基礎。1920年左右,英國數學家哈代和約翰·伊登斯爾·利特爾伍德極大地發展瞭解析數論,建立起了“圓法”等研究數論問題的有力工具。他們在1923年合作發表的論文中使用“圓法”證明了:在假設廣義黎曼猜想成立的前提下,每個充分大的奇數都能表示為三個質數的和以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個質數的和。當然,“幾乎每一個”與“每一個”之間仍然有巨大的技術鴻溝。  大約於此同時,挪威數學家布朗提供了另外一種證明的思路。1919年,他使用推廣後的“篩法”證明了:所有充分大的偶數都能表示成兩個數之和,並且兩個數的質因數個數都不超過9個。這個方法的思路是:如果能將其中的“9個”縮減到“1個”,就證明了哥德巴赫猜想。布朗證明的命題可以被記作“9+9”,以此類推,哥德巴赫猜想就是“1+1”。

  從1920年開始,哈代和利特爾伍德合作陸續發表了七篇總標題為《“整數拆分”的幾個問題》的論文,系統地發展出了堆壘數論中一個新的分析方法。這個新方法的思想在1918年哈代與印度數學家拉瑪努賈合寫的論文《組合分析的漸進公式》中就有表現。應用到哥德巴赫猜想上的話,圓法的思想是:對於非零整數formula_3,沿著單位圓為路徑的環路積分 當且只當整數formula_5的時候,上面的積分才等於1。因此,如果考慮積分式: 其中formula_7,那麼這個積分式實際上等於: 上式中第二項等於0,所以  所以,關於偶數的哥德巴赫猜想其實等於是說對於所有大於等於6的偶數formula_12,單位圓上的環路積分式formula_13。同理,關於奇數的哥德巴赫猜想等價於環路積分式: 因此,研究哥德巴赫猜想可以歸結為研究積分式formula_15 和 formula_16 中以質數為變數的三角多項式formula_17。哈代和利特爾伍德猜測,當變數formula_18接近於分母“比較小”的既約分數時,formula_19的值會“比較大”,而當formula_18接近於分母“比較大”的既約分數時,formula_19的值會“比較小”。也就是說,積分formula_15的主要部分其實是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近的積分,其它的部分上積分則沒那麼重要,可以忽略掉了。因此,可以將整個單位圓分成兩個部分:一部分是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近包括的一些區間,哈代和利特爾伍德稱其為“優弧”(英語:major arc,與平面幾何中的“優弧”不同),其餘的部分則稱為“劣弧”(英語:minor arc)。將整個積分 formula_15 分成優弧上的積分formula_24 與劣弧上積分 formula_25 之和,然後證明 formula_25 相比起 formula_24 可以忽略,而 formula_28,這就是圓法的主要思想。哈代和利特爾伍德在1923年的論文中證明了,如果存在正數formula_29,使得所有的狄利克雷L函式的全體零點都在半平面formula_30上,那麼充分大的奇數formula_31一定滿足formula_32,也就是說能夠表示成三個素數的和。他們還給出了formula_16的漸進式:在formula_31趨於無窮大的時候, 其中 他們還證明了,在假設廣義黎曼猜想成立的情況下,如果用formula_37表示formula_12以內無法寫成兩個質數之和的偶數的個數,那麼對任意的正數formula_39,都有 這說明了,不能寫成兩個質數之和的偶數佔所有偶數的比例是可以忽略的。

  布朗使用的“篩法”,其原型為埃拉託斯特尼篩法,早在公元前250年就出現在古希臘。原始的篩法可以用來尋找一定範圍內(比如說2到100)的質數:先將第一個數2留下,將它的倍數全部劃掉;再將剩餘數中最小的3留下,將它的倍數全部劃掉;繼續將剩餘數中最小的5留下,將它的倍數全部劃掉......以此直至劃無可劃為止。這個過程就好像一遍又一遍的篩掉不需要的數字,故名篩法。布朗用到的推廣篩法也是基於同樣的理念:給定一個需要篩選的集合formula_41,一個用來作為篩選標準的“篩孔”,即一系列質數的集合formula_42,以及一個範圍formula_43。記 那麼可以定義篩函式: 表示集合formula_41裡所有與formula_47互質的數的個數,也就是篩去了formula_48內小於formula_43的質數的所有倍數之後還剩下的數字的個數。  布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“質數”的要求,將它改為所謂的“殆質數”,即“由不太多的質因數相乘得到的合數”,布朗在1919年證明了,每個充分大的偶數都可以寫成兩個數之和,並且這兩個數每個都是不超過九個質因數的乘積。這個命題可以轉變為用篩函式來表達。假設有充分大的偶數formula_12,令集合為formula_51,formula_48為所有素數的集合,formula_53,那麼篩函式formula_54就是滿足 的數對formula_56的個數。其中的formula_57和formula_58都與formula_59互質,也就是說它們的質因數都要大於等於formula_60,因此它們的質因數個數至多有formula_61 個。所以對於formula_62來說篩函式大於0,等價於命題“a+a”成立。如果能證明formula_63的時候篩函式大於0,就等於證明了關於偶數的哥德巴赫猜想。

  這兩種思路都在二十世紀中得到了極大的發展。1933年,蘇聯數學家列夫·傑里科維奇·史尼爾曼同樣基於篩法證明了:存在某個整數,使得每個偶數能夠表示成個質數的和,彌補了朗道的遺憾。史尼爾曼給出的的上限是,不久後羅曼諾夫證明了這個不會超過。1936年,朗道和彼得·希爾克把結果改進到,一年後義大利數學家吉奧凡尼·裡奇又將結果改良為。1956年,Sharpio證明了不超過,1956年尹文霖證明了不超過。1976年,英國數學家羅伯特·查爾斯·沃恩證明了小於等於。  1937年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先,T·艾斯特曼證明了:每個充分大的奇數都可以表示成兩個奇質數和一個不超過兩個質數的乘積的數的和: 同一年,維諾格拉多夫在使用圓法的基礎上,去掉了哈代和利特爾伍德的成果中對於黎曼猜想的依賴。也就是說,維諾格拉多夫證明了:每個充分大的奇數都能表示為三個質數的和,以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個質數的和。維諾格拉多夫的證明使用到了他獨創的方法來對以質數為變數的指數和 formula_66 做出更細緻的估計,也就是說更好地劃分優弧和劣弧並直接估計出劣弧上的積分可以忽略,而不用到廣義黎曼猜想。唯一的不足是:維諾格拉多夫並沒有給出“足夠大”的下限。後來波羅斯特金在1956年給出了一個可計算的下限:formula_67,也就是說大於formula_68的整數都可以寫成三個質數的和。1946年,蘇聯數學家尤里·弗拉基米羅維奇·林尼克沿著哈代和利特爾伍德的道路前進,使用函式論的方法同樣證明了維諾格拉多夫的結果。然而,維諾格拉多夫的定理中的下限對於實際應用來說仍然太大了。formula_69寫出來有位數字,要驗證之前的偶數都能寫成兩個質數的和,計算量仍然太大。1989年陳景潤與王元將這個下限減低到,2001年廖明哲及王天澤進一步將下限降至,但仍然與實際驗證過的範圍()有很大距離。而如果假設廣義黎曼猜想正確的話,讓-馬克·德蘇耶等人在1998年證明了:每個大於等於的奇數都可以寫成三個質數的和(即弱哥德巴赫猜想在廣義黎曼猜想正確的假設下的完全證明)。  1938年,華羅庚證明了弱哥德巴赫猜想的一個推廣:任意給定一個整數,每個充分大的奇數都可以表示的形式。當 = 的時候,就是弱哥德巴赫猜想。  由於維諾格拉多夫估計formula_66 時使用的方法本質上是篩法,所以數學家也希望用類似圓法的分析方法取代它。1945年,林尼克發展出估計狄利克雷L函式零點密度的方法,並用其證明了劣弧上的積分可以忽略,從而用純粹的分析方法證明了弱哥德巴赫猜想。這個證明十分複雜,此後幾位數學家各自提出了更簡化的證明,1975年沃恩提出了首個不依賴估計L函式零點密度的方法,1977年潘承洞得到了僅利用L函式初等性質的簡易證明。  2013年5月13日,法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的數論領域的研究員哈洛德·賀歐夫各特,線上發表了論文《論哥德巴赫定理的優弧》(英語:"Major arcs for Goldbach's theorem")宣佈徹底證明了弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生於1977年,祕魯籍,2003年獲得普林斯頓大學博士學位。2010年開始擔任法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的研究員。2012年5月,賀歐夫各特發表論文《論哥德巴赫問題的劣弧》(英語:"Minor arcs for Goldbach's problem")中給出了劣弧積分估計的一個更優上界。在這個更優估計的基礎上,賀歐夫各特在2013年的論文中將優弧估計的條件放寬,把維諾格拉多夫定理中的下限降低到了左右,賀歐夫各特和同事David Platt用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想,從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

  弱哥德巴赫猜想已經基本得到解決,對於偶數的哥德巴赫猜想,數學家們則主要將希望放在布朗的方法上。而二十世紀中葉,數學家們沿著布朗的思路,得到了不少改進後的成果。1924年漢斯·拉代馬海爾證明了“7+7”,1932年艾斯特曼證明了“6+6”,蘇聯數學家布赫希塔布在1938年和1940年分別證明了 “5+5”與“4+4”。孔恩在1941年提出了“加權篩法”的概念,能在同樣的篩函式上界和下界條件下取得更好的結果,他在1954年證明了“a+b”(a+b<7)。阿特勒·塞爾伯格利用求二次型極值的方法極大地改進了布朗的篩法,對篩函式的上界和下界做出了更精確的估計,從而出現了更優的結果:維諾格拉多夫在1956年證明了“3+3”,王元在1956年證明了“3+4”,並在1957年證明了“3+3”和“a+b”(a+b<6)以及“2+3”。  以上的結果中,沒有能夠證明偶數分拆成的兩個數中一定有一個是質數的。1932年,埃斯特曼證明了,在假設廣義黎曼猜想成立的前提下,“1+6”成立。1948年,倫伊·阿爾弗雷德利用林尼克創造的“大篩法”,證明了“1+"b"”的結果。1956年,王元與維諾格拉多夫則證明了在同樣的假定之下,“1+4”成立。1961年,蘇聯數學家巴爾巴恩證明了一個可以用來代替廣義黎曼猜想的公式的弱化版。1962年,潘承洞也獨立證明了此公式的另一個弱化版本,並得到“1+5”。而王元則指出潘承洞的結果其實可以推出“1+4”。潘承洞在同年用加強的結論得到了“1+4”的簡化的證明,1963年巴爾巴恩也得到了同樣的結果。1965年布赫希塔布則用同樣的版本證明了“1+3”。與此同時,恩里科·邦別裡與維諾格拉多夫也獨立地用更簡潔的方法證明了“1+3”。  使用布朗方法的最好結果是陳景潤得到的。他在1973年發表了“1+2”的證明,其中對篩法作出了重大的改進,提出了一種新的加權篩法。因此“1+2”也被稱作是陳氏定理。現今數學家們普遍認為,陳景潤使用的方法已經將篩法發揮到了極致,以篩法來證明最終的“1+1”的可能性已經很低了。布朗方法似乎在最後的一步上停止了下來。如今數學界的主流意見認為:證明關於偶數的哥德巴赫猜想,還需要新的思路或者新的數學工具,或者在現有的方法上進行重大的改進,也有認為僅僅基於現有的方法上的改進無法證明偶數哥德巴赫猜想。

  對於哥德巴赫猜想的實際驗證表明,至少formula_71以下的偶數都能表示成兩個質數的和。很多時候,偶數表示成兩個質數和的方法還不止一種,比如formula_72,formula_73,等等。設有偶數formula_12,它的哥德巴赫分拆數formula_75定義為它能夠表示成兩個質數相加之和的方法的個數,也就是集合formula_76中元素的個數: 哥德巴赫猜想就等於是說,每個大於等於6的偶數的哥德巴赫分拆數都大於0。如果能夠找到哥德巴赫分拆數的表示式,或者找到它的某個嚴格大於0的下限,就能夠證明哥德巴赫猜想了。因此,有不少關於哥德巴赫分拆數的範圍的猜測。1923年,英國數學家哈代和李特爾伍德猜測:

  與不少數學猜想一樣,數值上的驗證也是哥德巴赫猜想的重要一環。  截至2014年,數學家已經驗證了formula_84以內的偶數,在所有的驗證中,沒有發現偶數哥德巴赫猜想的反例。

  在數論中,有一些類似於哥德巴赫猜想的命題,其中有一些已經被證明,其餘的仍然屬於猜想,如哥德巴赫猜想一樣。
哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)是數論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現在1742年普魯士人克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德·尤拉的通訊中。用現代的數學語言,哥德巴赫猜想可以陳述為: 這個猜想與當時歐洲數論學家討論的整數分拆問題有一定聯絡。整數分拆問題是一類討論“是否能將整數分拆為某些擁有特定性質的數的和”的問題,比如能否將所有整數都分拆為若干個完全平方數之和,或者若干個完全立方數的和等。而將一個給定的偶數分拆成兩個質數之和,則被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如,