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  我們通過一個抽象問題來引入伽遼金方法,將問題表示成在一個希爾伯特空間formula_1上的弱形式,也就是,求解formula_2使得對於所有formula_3  成立。這裡,formula_5是一個雙線性型表示式,即formula_6,formula_7是一個formula_1上的線性形表示式。

  選取一個"n" 維子空間formula_9,然後求解問題在子空間中的投影:求formula_10使得對於所有formula_11  我們稱這個方程為伽遼金方程。注意方程形式沒有改變,但是求解域改變了。

  這是使得伽遼金方法非常有效的關鍵性質。因為formula_9,我們可以取formula_14為原方程的一個試向量。帶入並相減,便得到誤差的伽遼金正交性關係  這裡formula_16是真實解formula_17和伽遼金方程的解formula_18之間的誤差。

  因為伽遼金方法的目標是將問題簡化為線性方程組,我們來構造它的矩陣形式,以便利用計算機進行數值求解。  令formula_19為formula_20空間中的一組基。則顯然依次選取這些基向量作為伽遼金方程的試向量是"充分的",也即:求解formula_21使得  用上述基向量表示出formula_23:formula_24,將其代入上面的方程得到  這樣我們就得到了上面這組formula_26型的線性方程組,式中

  由於矩陣項的定義,伽遼金方程的係數矩陣是對稱矩陣的充要條件是雙線性型表示式formula_5是對稱的。

  這裡,我們只討論對稱雙線性型,也即 雖然伽遼金方法並不要求一定對稱,但這一限制使得標準理論的應用變得簡單的多。而且,非對稱情形的分析可能需要用到彼得羅夫-伽遼金方法。  下面我們分兩步分析上述方法。第一步,論證伽遼金方程在哈達瑪意義下是適定的,因此存在唯一解。第二步,討論伽遼金解formula_23的誤差大小。  分析過程主要依據雙線性型的兩個性質: 根據Lax-Milgram定理(參看弱形式),這兩條性質保證了原問題的弱形式的適定性。下面章節中的所有範數都是使得上面的不等式成立的範數(這些範數通常稱為能量範數)。

  因為formula_9,雙線性型的有界性和橢圓性對於formula_20也成立。因此,伽遼金問題的適定性實際上繼承自其原問題的適定性。

  真實解和伽遼金解之間的誤差formula_16有如下估計  上式翻譯成文字語言就是:伽遼金解formula_23的誤差(和真實解formula_17的差)能控制在formula_41中最優解向量的誤差的formula_42倍以下(在量級上)。特別有用的是,從此對誤差的估計可以只在空間formula_20中進行考慮,而完全不用回到求解的方程。

  因為證明非常簡單,並且是各種伽遼金法的基本原理依據,因此簡單介紹如下: 根據雙線性型的橢圓性和有界性(下式中的兩個不等號),以及伽遼金法的正交性(下式中間的等號),我們對於任意formula_11有:  全式除以formula_46並對所有可能的formula_47取下確界得到該引理。

  通常,伽遼金法不是文獻的單獨主題。它們和它們的應用同時討論。 因此,讀者可以參考有限元方法的教科書。  譬如  在這個框架下的Krylov空間法的分析可以在這裡找到:
伽遼金方法(Galerkin method)是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈裡耶維奇·伽遼金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題(通過方程所對應泛函的變分原理)簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維(多變數)的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化,從而達到求解微分方程的目的。