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  無限猴子定理是來自埃米爾·博雷爾一本1913年出版談概率的書籍,當中介紹了「打字的猴子」的概念。這個定理是概率論中的柯爾莫哥洛夫的零一律的其中一個命題的例子。不過,當波萊爾在書中提出零一律的這個特例時,柯爾莫哥洛夫的一般敘述並未給出(柯爾莫哥洛夫那本概率論的著作直到1933年才出版)。

  

  關於此定理的敘述為:有無限只猴子用無限的時間會產生特定的文章。其實不必要出現了兩件無限的事物,一隻猴子打字無限次已經足夠打出任何文章,而無限只猴子則能即時產生所有可能的文章。

  其他取代的敘述,可能是用大英博物館或美國國會圖書館取代法國國家圖書館;另一個常見的版本是英語使用者常用的,就是猴子會打出莎士比亞的著作。

  這一典故的出處,喬納森·斯威夫特1782年出版的的《格列佛遊記》,第三部分第五章,教授要其學生通過經常轉動機械把手產生一些隨機的字句,以建立所有科學知識的列表。

  

  兩個獨立事件同時發生的概率等於其中每個事件單獨發生的概率的乘積。比如,在某一天台北下雨的可能性為0.3,舊金山地震的可能性是0.008(這兩個事件可以視為相互獨立的),那麼它們同時發生的概率是0.3×0.008 = 0.0024。  假設一個打字機有50個鍵,想要打出的字是“banana”。隨機的打字時,打出第一個字母“b”的概率是1/50,打出第二個字母“a”的概率也是1/50,因為事件是獨立的,所以一開始就打出單詞“banana”的概率是: 這個概率小於150億分之1。同理,接下來繼續打出“banana”的概率也是1/50。  所以,在給定的六個字母沒有打出“banana”的概率是1−(1/50)。因為每一段(6個字母)文字都是獨立的,連續n段都沒有打出“banana”的概率"X"是:  隨著"n"變大,"X"在變小。當"n"等於100萬時,"X"大約是0.9999(沒有打出“banana”的概率是99.99%);但是當"n"等於100億時"X"大約是0.53(沒有打出“banana”的概率是53%);當"n"等於1000億時"X"大約是0.0017(沒有打出“banana”概率是0.17%);當"n"趨於無窮時"X"趨於零。這就是說,只要使"n"足夠大,"X"可以變得足夠小。  同樣的論證也可以說明在無限多的猴子中有至少一個會打出一段特定的文章。這裡"X" =(1−(1/50)),其中"X"表示在前n個猴子中沒有一個一次打出"banana"的概率。當我們有1000億隻猴子時,這個概率降低到0.17%,並且隨著猴子數量n趨於無窮大,沒有打出“banana”的概率"X"趨於0。  但是,在只有有限的時間和有限只猴子時,結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多,大約10只,每秒鐘打1000個字,持續打100倍於宇宙的生命長度的時間(大約10秒)有猴子能夠打出一本小書的概率也趨近於0。

  以上兩種情況可以擴充套件到所有的字串:  對於第二個定理,設"E"某給定字串出現在第k個字串開頭的事件。有固定的且不為零的概率"p"是這個事件發生,而且"E"是獨立的,所以: 事件"E"發生無窮多次的概率是1(波萊爾-坎泰利引理)。第一個定理可以類似地處理,先將無限長的字串分割,使得每一段的長度和給定字串相同,然後設"E"是第"k"段等於給定字串的事件。

  不算標點符號、空格、大小寫,一個猴子隨機打字打出的第一個字母和《哈姆雷特》中相同的概率是formula_3,前兩個字母相同的概率是formula_4(即formula_5)。因為概率發生了指數爆炸,前20個字母相同的概率是formula_6。而打出的字和《哈姆雷特》的全部文字相同的概率降低到難以想象。整部《哈姆雷特》大約有130,000個字母。雖然有3.4分之一的概率一遍就正確地打出所有文字,在打出正確的文字之前平均需要輸入的字母數量也要3.4,或者包括標點符號,4.4  即使可觀測宇宙中充滿了猴子一直不停地打字,能夠打出一部《哈姆雷特》的概率仍然少於10分之一。

  不過在現實中,猴子打出一篇像樣的文章的概率是更加低。2003年,普利茅斯大學藝術媒體實驗室課程的教師和學生使用2,000英鎊津貼做了這個實驗,結果打出了5張幾乎全是‘S’的紙。最終打出的文字沒能成為一個完整的句子。  程式設計師Jesse使用Hadoop、亞馬遜EC2和Ubuntu,並以 ASCII 形式存在的隨機數成功重現《莎士比亞全集》。
無限猴子定理的表述如下:讓一隻猴子在打字機上隨機地按鍵,當按鍵時間達到無窮時,幾乎必然能夠打出任何給定的文字,比如莎士比亞的全套著作。