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  詹姆斯·格里高利首先發表了該定理基本形式的幾何證明,艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式 。巴羅的學生艾薩克·牛頓使微積分的相關理論得以完善。萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今微積分符號,

  微積分基本定理有兩個部分,第一部分是關於原函式的導數,第二部分描述了原函式和定積分之間的關係。

  設 formula_6,formula_7為連續函式,對所有的 formula_8,定義函式 "F" 如下: 則 "F" 在閉區間 ["a","b"] 連續,並在開區間 可微, 且對所有在開區間 中的 "x",有

  假設有兩函式,formula_11,若滿足以下條件: 則有:  常簡記為

  

  假設有  設"x"和"x" + Δ"x"為區間["a", "b"]中的兩個數。我們有 和  兩式相減,得  可以證明 整理,得  把上式代入(1),得  根據:積分第一中值定理,在區間("x", "x" + Δ"x")存在一個"c",使得  把上式代入(2),得  兩邊除以Δ"x",得  兩邊取Δ"x" → 0的極限,  左邊的表示式是"F"在"x"處的導數的定義。  我們用夾擠定理來求另一個極限。"c"在區間["x", "x" + Δ"x"]內,因此"x" ≤ "c" ≤ "x" + Δ"x"。  另外formula_27 and formula_28  所以,根據夾擠定理,  代入(3),可得  函式"f"在"c"處連續,所以極限可以在函式裡面進行。因此,我們有 證明完畢。

  設"f"在區間["a", "b"]上連續,並設"F"為"f"的原函式。我們從以下表示式開始  設有數  使得  可得  我們加上"F"("x")及其相反數,這樣等式仍成立:  以上表示式可用以下的和表示:  我們將使用均值定理。就是:  設"F"在閉區間["a", "b"]連續,在開區間("a", "b")可導,則開區間("a", "b")內一定存在"c"使得  可得  函式"F"在區間["a", "b"]可導,所以在每一個區間"x"也是可導和連續的。因此,根據均值定理,  把上式代入(1),得  根據第一部分的結論,我們有formula_41。另外,formula_42可表示為第formula_43個小區間的formula_4。  注意到我們正在描述矩形的面積(長度乘以寬度),並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到,formula_46並不需要對於任何formula_43都是相同的,換句話說,矩形的長度可以變化。我們要做的,是要用formula_48個矩形來近似代替曲線。現在,當n增加而每一個矩形越來越小時,它的面積就越來越接近曲線的真實面積。  當矩形的寬度趨近於零時取極限,便得出黎曼積分。也就是說,我們取最寬的矩形趨於零,而矩形的數目趨於無窮大時的極限。  所以,我們把(2)式的兩邊取極限,得  "F"("b")和"F"("a")都不依賴於||Δ||,所以左面的極限仍然是"F"("b") - "F"("a")。  右邊的表示式定義了"f"從"a"到"b"的積分。這樣,我們有 證明完畢。

  計算以下積分: 在這裡,formula_54,formula_55是一個原函式。因此:

  我們不需要假設 "f" 在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明:如果 "f" 是區間["a", "b"]內的任何一個勒貝格可積的函式,"x"是["a", "b"]內的一個數,使得 "f" 在 "x"連續,則  在"x" = "x"是可導的,且"F<nowiki>'</nowiki>"("x") = "f"("x")。我們可以把"f"的條件進一步降低,假設它僅僅是可積的。這種情況下,我們便得出結論:"F"幾乎處處可導,且"F<nowiki>'</nowiki>"("x")幾乎處處等於"f"("x")。這有時稱為勒貝格微分定理。  定理的第一部分對於任何具有原函式"F"的勒貝格可積函式"f"都是正確的(不是所有可積的函式都有原函式)。  泰勒定理中把誤差項表示成一個積分的形式,可以視為微積分基本定理的一個推廣。  對於複數函式,也有一個類似的形式:假設"U"是C的一個開集,"f": "U" → C是一個在"U"處具有全純原函式"F"的函式。那麼對於所有曲線γ: ["a", "b"] → "U",曲線積分可以用下式來計算:  微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分,也可以推廣到流形。  這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理:設 "M" 為一個可定向分段光滑"n"維流形,並設formula_59為"n"−1階"M"上的C類緊支撐微分形式。如果∂"M"表示"M"的邊界,並以"M"的方向誘導的方向為邊界的方向,則  這裡formula_61是外導數,它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調和奇異鏈的同調聯絡起來。
微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。