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  研究範疇就是試圖以「公理化」的方法抓住在各種相關連的「數學結構」中的共同特性,並以結構間的「結構保持函式」將這些結構相關起來。因此,對範疇論系統化的研究將允許任何一個此類數學結構的普遍結論由範疇的公理中證出。  考慮下面的例子:由群組成的類Grp 包含了所有具有「群結構」的物件。要證明有關群的定理,即可由此套公理進行邏輯的推導。例如,由公理中可立即證明出,群的單位元素是唯一的。  不是隻專注在有特定結構的個別物件(如群)上,範疇論會著重在這些物件的態射(結構保持對映)上;經由研究這些態射,可以學到更多關於這些物件的結構。以群為例,其態射為群同態。兩個群間的群同態會嚴格地「保持群的結構」,這是個以將一個群中有關結構的訊息運到另一個群的方法,使這個群可以看做是另一個群的「過程」。因此,對群同態的研究提供了一個得以研究群的普遍特性及群公理的推論的工具。  類似的研究也出現在其他許多的數學理論中,如在拓撲學中對拓撲空間的連續對映的研究(相關範疇稱為Top),及對流形的光滑函式的研究等。

  再抽象化一次,範疇自身亦為數學結構的一種,因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」;此一過程即稱之為函子。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來,並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。  實際上,即是定義了一個「範疇和函子」的範疇,其元件為範疇,(範疇間的)態射為函子。  經由研究範疇和函子,不只是學習了一類數學結構,及在其之間的態射;還學習了「在不同型別的數學結構之間的關係」。此一基本概念首次出現於代數拓撲之中。不同的「拓撲」問題可以轉換至通常較易解答的「代數」問題之上。在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構,可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子,而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。

  再抽象化一次,架構通常會「自然地相關連」,這個第一眼會覺得很曖昧的概念,產生了自然變換(將一個函子對映至另一函子的方法)此一清楚的概念。許多數學上的重要架構可以從此一角度來研究。

  範疇、函子和自然變換是由塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在1945年引進的。這些概念最初出現在拓撲學,尤其是代數拓撲學裡,在同態(具有幾何直觀)轉化成同調論(公理化方法)的過程中起了重要作用。烏拉姆說,在1930年代的後期,波蘭學派中曾出現類似的想法。  艾倫堡和麥克蘭說,他們的目的在於理解自然對映;為此,必須定義函子;為了定義函子,就自然地要引進範疇。  同調代數由於計算上的需要而使用範疇論,這對範疇論起到了推進作用;此後範疇論又在代數幾何的公理化過程中得到發展。代數幾何與羅素-懷特海德的關於數學統一性基礎的觀點相牴觸。廣義範疇論隨後產生,且更容納了語意靈活性和高階邏輯等多種新特徵的泛代數,現在被運用到數學的所有分支。  特殊範疇拓撲斯甚至可以代替公理集合論作為數學的基礎。然而範疇論對這些範圍廣泛的基礎應用還是有爭議的;但作為構造性數學的基礎或註釋,範疇論被研究的相當透徹。儘管如此,公理集合論至今仍然是數學家們的通用語言,並沒有被範疇論的註釋所取代。將範疇論引入大學程度的教學(在《伯克霍夫-麥克蘭》和《麥克蘭-伯克霍夫》這兩本抽象代數的教科書的區別上可以印證)還是遭到了相當的反對。  範疇邏輯是直覺邏輯中型別論的一個被明確定義的分支,在計算機學科的函數語言程式設計和域理論中均有應用,並且都是在笛卡爾閉範疇中對λ演算的非句法性描述。至少,用範疇論可以精確地描述在這些相關的領域裡什麼是共同的(在抽象的意義上)。

  一個“範疇” formula_1 是由如下3個數學實體所組成的:  由以上公理可證得,每個物件都只存在一個單位態射。有些作者將物件本身用單位態射來定義,這在本質上是相同的。  如果物件的類確實是個集合,那麼這種範疇就被稱為“小范疇”。許多重要的範疇不是小范疇。  範疇中的態射有時又稱為“箭號”,這種叫法來自於交換圖。

  每一範疇都由其物件,態射,和複合態射來表述。為了方便起見,以下的“函式”即是指態射,不再一一說明。

  態射 formula_61稱為  對映之間的關係(比如formula_74)在大多數情形下可用更直觀的交換圖來表示,在此圖中物件被表示成頂點,態射被表示為箭頭。

  函子是範疇之間保持結構的對映。它們可以被看成以所有(小)範疇為成員的範疇中的態射。  一個從範疇formula_51到範疇formula_55的(協變)函子formula_77被定義為:  並使下列性質成立:  一個從範疇formula_51到範疇formula_55的反變函子formula_77不同於函子的地方僅在於將formula_55中的對映箭頭倒過來。比如說formula_83是formula_51中任一態射,則有formula_99。定義反變函子的最簡捷的方法是作為formula_51的反範疇formula_52到formula_55上的函子。  有關函子的具體例子和性質請詳見函子條目。

  詳細請見自然變換條目。  一個“自然變換”是兩個函子之間的一個關係。函子通常用來描述“自然構造”,而自然變換則用來描述兩個構造之間的“自然同態”。有時候,兩個截然不同的構造具有“相同的”結果;這正可以用兩個函子之間的自然關係來表述。

  如果formula_77和formula_104是從範疇formula_51到範疇formula_55的(協變)函子,則從formula_77到formula_104的一個自然變換對於formula_51中的任何物件formula_79,都有一個formula_55中相應的態射formula_112,使得對formula_51中的任何態射formula_83,都有formula_115;這也就是說下列圖表是可交換的:  兩個函子formula_77和formula_104稱為“自然同構”,如果存在一從formula_77到formula_104的自然變換,使得對所有formula_51中的物件formula_79,formula_122是一個同構。

  設formula_35是體,formula_124是formula_35上的任意向量空間,則有從向量空間到其二重對偶的一個“自然”內射型線性對映formula_126 。這些對映在以下意義上是“自然”的:二重對偶運算是一個函子,這些對映正好構成了從恆等函子到二重對偶函子的自然變換。如果向量空間的維數是有限的,我們就得到一個自然同構;因為“有限向量空間自然同構於其二重對偶”。  考慮阿貝爾群及其同態構成的範疇formula_127。對任意阿貝爾群formula_79、formula_129和formula_130,我們得到群同構  這些同構是“自然”的,因為它們定義了兩個函子間的一種自然變換:formula_132。

  運用範疇論的語言,許多數學研究領域都可以歸結成一些恰當的範疇,例如所有集合的範疇,所有群的範疇,所有拓撲的範疇,等等。這些範疇裡的確有一些“特殊的”物件,例如空集或者兩個拓撲的直積。然而,在範疇的定義裡,物件是原子性的,那就是說,我們無法知道一個物件到底是集合,是拓撲,還是其它抽象概念。有必要定義特殊物件而不涉及物件的內在結構,這是一個挑戰。那麼到底怎樣不用元素而定義空集,不用開集而定義拓撲積呢?  解決這個問題的途徑是借用物件和物件之間的關係,而這些關係由相應範疇中的態射給出。現在問題轉化為尋找泛性質,這些泛性質可以唯一地決定我們所感興趣的物件。事實上,為數眾多的重要結構都可用純範疇論的方法來描述。在定義泛性質時,我們要用到一個非常關鍵的概念:範疇性“極限”和其“上極限”。

  人們很自然地要問,在什麼樣的情形下,兩個範疇“在本質上是相同”的,換一句話來說,對其中一個範疇成立的定理,可以既定地轉換成另一個範疇的定理。用來描述這種情形的主要方法是“範疇的等價性”,由函子給出。範疇的等價性在數學中有很多的應用。

  範疇和函子的定義只是範疇代數中最基本的部分。除此之外的重要部分如下列所述。基本上是以閱讀順序排列,儘管它們彼此之間有著內在的聯絡。
範疇論是數學的一門學科,以抽象的方法來處理數學概念,將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化成範疇,並且使用範疇論,令在這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論可以比沒有使用範疇還會更容易敘述及證明。