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  在數學上,對於一個在實數或複數formula_1鄰域上,以實數作為變數或以複數作為變數的函式,並且是無窮可微的函式formula_2,它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數:  這裡,formula_4表示formula_5的階乘,而formula_6表示函式formula_7在點formula_1處的formula_5階導數。如果formula_10,也可以把這個級數稱為麥克勞林級數。

  如果泰勒級數對於區間formula_11中的所有formula_12都收斂並且級數的和等於formula_2,那麼我們就稱函式formula_2為解析形的函式(analytic)。一個函式當且僅當(簡單地說,“只有在”)能夠被表示為冪級數的形式時,才是解析形的函式。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項,這樣就能夠確定級數是否收斂於formula_2。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。  以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的:  對於一些無窮的可以被微分函式formula_2,雖然它們的展開式會收斂,但是並不等於formula_2。例如,分段函式formula_18,如果formula_19並且formula_20,則formula_21時所有的導數都為零,所以這個formula_2的泰勒級數為零,且其收斂半徑為無窮大,不過函式formula_2僅在formula_21處為零。但是,在以複數作為變數的函式中這個問題並不存在,因為當formula_25沿虛軸趨於零,formula_26並不趨於零。  如果一個函式在某處引發一個奇點,它就無法被展開為泰勒級數,不過如果變數formula_12是負指數冪的話,我們仍然可以將其展開為一個級數。例如,雖然在formula_21的時候,formula_18會引發奇點,但仍然能夠把這個函式展開為一個洛朗級數。  最近,專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程的方法——。用皮卡反覆運算便可以推匯出這個方法。

  下面我們給出了幾個重要的泰勒級數。當變數formula_12是複數時,這些等式依然成立。

  幾何級數

  以formula_35為底數的指數函式的麥克勞林序列是  以formula_35為底數的自然對數的麥克勞林序列是

  常用的三角函式可以被展開為以下的麥克勞林序列:

  雙曲函式

  朗伯W函式

  泰勒級數可以推廣到有多個變數的函式: formula_50

  希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題,得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來,亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁,但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究,此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分,得到了有限的結果。.幾個世紀之後,中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。  進入14世紀,最早使用了泰勒級數以及相關的方法。儘管他的數學著作沒有流傳下來,但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數,這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函式等等。之後,在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近,這些工作一直持續到16世紀。  到了17世紀,詹姆斯·格雷果裡同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到1715年,布魯克·泰勒 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函式的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 麥克勞林級數是泰勒級數的特例,是愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授在18世紀發表的,並以其名字命名。

  牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果裡於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

  對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差,對"x"值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分,前向差分的定義為:

  牛頓前向差分插值公式為:  這成立於任何多項式函式和大多數但非全部解析函式。

  牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了formula_53的無窮級數,在1666年得出了formula_54和formula_55的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了formula_56、formula_57、formula_54和formula_59的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了formula_56、formula_57和formula_55的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了有限差分方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果裡在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。  他對牛頓的均差分的步長取趨於formula_63的極限,得出:
在數學中,泰勒級數(英語:Taylor series)用無限項連加式——級數來表示一個函式,這些相加的項由函式在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒(英語:Sir Brook Taylor)來命名的。通過函式在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。