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  假設"V"是域"F"上的向量空間;"V"的半範數是一個函式formula_2,滿足:  formula_3,  範數是一個半範數加上額外性質:  如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數匯出,這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

  

  是在由實數或虛數構成的一維向量空間中的範數。  絕對值範數是曼哈頓範數的特殊形式。

  在"n"維歐幾里德空間formula_12上,向量formula_13的最符合直覺的長度由以下公式給出 根據勾股定理,它給出了從原點到點formula_15之間的(通常意義下的)距離。歐幾里德範數是formula_12上最常用的範數,但正如下面舉出的,formula_12上也可以定義其他的範數。然而,以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構,因此它們在某種意義上都是等價的。  在一個"n"維複數空間formula_18中,最常見的範數是:  以上兩者又可以以向量與其自身的內積的平方根表示: 其中x是一個列向量(formula_21),而formula_22表示其共軛轉置。  以上公式適用於任何內積空間,包括歐式空間和復空間。在歐幾里得空間裡,內積等價於點積,因此公式可以寫成以下形式:  特別地,formula_24中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個"n"維球面。

  如果將複平面看作歐幾里得平面formula_25,那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值(又稱為模)。這樣,我們可把formula_26視為歐幾里得平面上的一個向量,由此,這個向量的歐幾里得範數即為formula_27(最初由尤拉提出)。
範數(英語:norm),是具有“長度”概念的函式。線上性代數、泛函分析及相關的數學領域,是一個函式,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面,半範數(英語:seminorm)可以為非零的向量賦予零長度。