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  我們通常希望:任給一個性質,滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論:  羅素悖論:設有一性質formula_1(例如:"年滿三十歲"就是一個性質),並立以一性質函式:formula_2,且其中的自變數formula_3有此特性:formula_4,  現假設由性質formula_5能夠確定一個滿足性質formula_1的集合formula_7——也就是說 formula_8。那麼現在的問題是formula_9是否成立?  首先,若formula_9,則formula_7是formula_7的元素,那麼formula_7具有性質formula_1,由性質函式formula_1可以得知formula_16;  其次,若formula_16,根據定義,formula_7是由所有滿足性質formula_1的類組成,也就是說,formula_7具有性質formula_5,所以formula_9。  羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。  羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

  理髮師悖論和羅素悖論是等價的:  因為,如果把每個人看成一個集合,這個集合的元素被定義成這個人刮臉的物件。那麼,理髮師宣稱,他的元素,都是城裡不屬於自身的那些集合,並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己?這樣就由理髮師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的。  另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的書的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科,第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:若把所有第二類的書做個總目錄,它應不應該含有它自己的條目?
羅素悖論(英語:Russell's paradox),也稱為理髮師悖論,是英國哲學家羅素於1901年提出的悖論,一個關於類的內涵問題。