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  在敘述三等分問題前,首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的“直尺和圓規畫圖可能性”問題抽象出來的數學問題,將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定,研究的是能不能在若干個具體限制之下,在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中,直尺和圓規的定義是: 定義了直尺和圓規的特性後,所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟,稱為作圖公法: 尺規作圖研究的,就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複,達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是:“給定某某條件,能否用尺規作出某某物件?”比如:“給定一個圓,能否用尺規作出這個圓的圓心?”等等。

  三等分角問題的完整敘述是:  關於這個敘述中的用詞和術語,需要一一作出定義。“角”可以有兩種等價的定義:一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合,也可以是由三點和連線它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義,用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角指的是由三點以及線段和構成的集合,也可以直接用一個希臘字母如表示。兩個角和相等,指的是以下條件:如果將線段沿點延長為射線,在上面作一點使得 formula_1,同時將線段沿點延長為射線,在上面作一點使得 formula_1,則 formula_1 。  一個角等於另一個角的三分之一,指的是角等於角的三倍。而一個角等於角的倍(為自然數),指的是可以找到點等,使得個角都等於,並且點就是點。

  與三等分角問題相比,用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟,也能夠將任意角四等分、八等分......但直到十九世紀,隨著群論和伽羅瓦理論的出現,數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中,更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道,尺規作圖的方法不但不能三等分任意角,也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

  1837年,法國數學家汪策爾證明了,三等分角問題是沒有辦法完成的。  三等分角問題提出後,有許多基於平面幾何的論證和嘗試,但在十九世紀以前,一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法,但開始懷疑其可能性的人之中,也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後,伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法,人們才認識到三等分角問題的本質。

  在研究各種尺規作圖問題的時候,數學家們留意到,能否用尺規作出特定的圖形或目標,本質是能否作出符合的長度。引進直角座標系和解析幾何以後,又可以將長度解釋為座標。比如說,作出一個圓,實際上是作出圓心的位置(座標)和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線,實際上是找出它們的座標、斜率和截距。為此,數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點和,以為單位長度,射線為-軸正向可以為平面建立一個標準直角座標系,平面中的點可以用橫座標和縱座標表示,整個平面可以等價於formula_4。  設是formula_4的一個非空子集。如果某直線formula_6經過中不同的兩點,就說formula_6是-尺規可作的,簡稱-可作。同樣地,如果某個圓formula_8的圓心和圓上的某個點是中的元素,就說formula_8是-可作的。進一步地說,如果formula_4裡的某個點是某兩個-可作的直線或圓的交點(直線-直線、直線-圓以及圓-圓),就說點是-可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的,包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有-尺規可作的點的集合記作,那麼當中包含超過兩個點的時候,肯定是的真子集。從某個點集開始,經過一步能作出的點構成集合 formula_1,經過兩步能作出的點就是 formula_1,......以此類推,經過步能作出的點集就是 formula_1 。而所有從能尺規作出的點集就是:  另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設是從集合 formula_1 {(0,0), (0,1)}開始,尺規可作點的集合: formula_1,那麼規矩數定義為中的點的橫座標和縱座標表示的數。  可以證明,有理數集formula_17是所有規矩數構成的集合的子集,而又是實數集formula_18的子集。另外,為了在複數集formula_19內討論問題,也會將平面formula_4看作複平面formula_19,同時定義一個複數是(復)規矩數當且僅當點是中的一個點。所有復規矩數構成的集合也包含formula_17作為子集,並且是複數集formula_19的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數,三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。

  以集合的觀念來說,與formula_17、formula_19之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說,可以證明是有理數域formula_17的擴域,是實數域formula_19的子域。記作formula_28。域是抽象代數中的概念,是能夠進行“加減乘除”運算的集合。從單位長度出發,很容易得到任何有理數長度的線段,所以直線(也就是實數軸)上所有的有理數座標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點(對應複數),那麼也能做出任意的點,甚至於任何形如: 的點(其中和是兩個多項式)。有理數域formula_17和所有因為而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域,稱為formula_17關於的擴張,記作formula_32。然而,formula_32中的元素並沒有表面上那麼“多”。一般來說,如果有一個多項式使得=0,那麼formula_32中的元素都可以寫成的形式,其中是的階數。這樣的情況稱為域formula_17的有限擴張,因為formula_32可以看成關於formula_17的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數,需要為它找一個基底,也就是一個線性無關的最小生成集。為此,尋找使得 formula_1 0的多項式中階數最小的,並稱是最小多項式。在最小多項式確定後,便可確定是formula_32的一個基底,formula_32是一個維的formula_17-線性空間(是的階數)。這時候也稱是域擴張formula_42的階數,記作:

  對任何一個尺規可作點,都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的,而其中生成新點(也就是新座標)的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻,已知的所有尺規可作點構成的域是,那麼生成新點時的直線和圓的係數都在裡面。 無論是兩個(1)類方程,兩個(2)類方程,還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解,得到的和值都會是形同 的數值。所以復規矩數 formula_1 滿足一個二次方程: 其中的、以及都是中的元素。這意味著,域擴張的階數最多是2(最小多項式的階數至多是2)。這又說明,從開始,經過一系列(次)基本步驟得到的尺規可作點,代表了次域擴張: 而每次域擴張的階數:都不超過2。因此,如果從基本的有理數域出發的話,就能得到如下的定理:  其中的是某個小於的自然數(是已知所有有理數座標點時,作出對應的點要經過的基本步驟數目)。

  上文已經說明,任何可以用尺規作圖作出的點,其座標對應一個復規矩數,它的最小多項式次數為formula_50。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分,代表對任意角度是formula_51的角,均可以由尺規作圖得到 角度為formula_52的角。這等價於說在已知單位長度和formula_53的時候能做出formula_54的長度。設是包含了formula_53和單位長度1的域。用尺規作圖可以得到formula_56,說明域擴張的階數是2的冪次: 然而根據三倍角公式: 運用多項式的知識可以證明,formula_59在中的最小多項式的階數必定不大於3,也就是說是1,2或者3。比如說當角度formula_60時,就是formula_17(formula_62)三倍角公式變成: 這個多項式不可約,所以這個方程的解不屬於有理數集formula_17,所以可以證明formula_66。然而3不是2的冪次,這和之前的結論矛盾。如此便說明,無法用尺規作圖將任意角三等分。formula_67

  以上的證明通過一個反例:formula_60說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角(比如說直角)仍然是可行的。事實上,從證明中可以看出,尺規三等分某個角formula_51等價於說formula_70。要注意的是,這個條件與formula_53本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上,有的角度formula_51即便本身無法用尺規作圖法作出,但如果已知角formula_51作為條件,是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度formula_74就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出,但如果給定一個formula_74的角,它的五倍角就是formula_76,等於將圓周繞過一圈後的formula_77,這正是formula_74的三分之一。可以證明,角度formula_79可以用尺規三等分,當且僅當自然數本身無法被三整除。  從證明中還可看出,只要自然數只含有2以外的質因子,根據倍角公式得到的階多項式就說明formula_80的最小多項式階數整除,所以不是2的冪次,從而無法用尺規作圖等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的(formula_79可以五等分,當且僅當不是5的倍數;而不管是多少,formula_79都不能七等分,因為正七邊形本身就不能尺規作圖了)。

  用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制,或允許使用另外的工具,那麼三等分任意角仍舊是可能的。

  尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話,可以利用 這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為formula_51的角。已知尺規二等分角是可行的,所以重複兩次就能夠四等分一個角formula_51,得到formula_86。同樣地,可以作出formula_87、formula_88等所有形同formula_89的角。將它們逐次相加,就能夠在無限次(可數次)操作後用尺規作圖得到

  如果允許使用有刻度的直尺(二刻尺),則三等分任意角是可行的。右圖為把角三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出。  首先,在直尺上有兩個刻度,相距。把角上的直線延長,並作一個半徑為的圓。  把直尺的一點固定在,並將直尺繞著點移動,直到其中一個刻度位於點,另一個刻度位於點,也就是說, formula_1 。這時,角就是角的三分之一。  要證明formula_92,我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line),三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。  證明: 所以,formula_101,或formula_92。證畢。  或者,可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。  formula_103  formula_104  formula_105  formula_106  同樣也可證明。

  尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派,他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上,如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀,那麼三等分任意角是可行的。例如:已知角,做其角平分線。以直線為準線,點為焦點,作一雙曲線;同時以為圓心,為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角內側的交點為,那麼角等於角的三分之一。此外,麥克勞林、利馬鬆等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線(等角螺線)也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極座標中,阿基米德螺線的方程是: 其中的formula_108是極徑(離原點的距離),formula_51是幅角。由於極徑和幅角成正比,所以要尋找等於給定角度三分之一的角度,只需要確定原角度對應的極徑長度formula_110,然後對比找出formula_111對應的角度即可。
三等分角是古希臘平面幾何裡尺規作圖領域中的著名問題,與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一,是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化,研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是:“能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分?”