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  考慮常係數的線性齊次微分方程  假設,而指數函式的導數是本身的倍數,,,。因此上式中的每一項都會是的倍數。若為特定值,可以讓的倍數變為0,這樣即可求解齊次微分方程。為了求解,可以將及其導數替換到微分方程中,可以得到 因為不會為零,因此其係數必須為零,可以得到以下的特徵方程式 求解特徵方程式中的,可以求得微分方程的通解。例如,若為3,其通解為,其中為積分常數。

  找到特徵方程式的根,就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是實數或複數,可能都是不同的值,也可能會有相同的值(重根)。若特徵方程式的根有相異的實根,另外有個重根,或是個複數的根,其解分別為, 及,因此通解為

  以下是常係數的線性齊次微分方程 其特徵方程為 將特徵方程因式分解,可得到 可以看到的解有一個單根,以及重根的複數根,因此其通解為 其中有常數。

  根據應用在常係數線性齊次微分方程的疊加原理,若是特定微分方程的個線性無關的解,則也是其解,其中為任意常數。因此,若特徵方程有相異實根,則通解為

  若特徵方程式中有重複次的根,可以確定會是微分方程的解,不過這個解沒有針對其他的根提供線性獨立的解。因為為次重根,可以將微分方程改寫為 因為為其中的一個解,因此可以令通解為以下的形式,其中 是待確認的函式。將代入後可得 其中。上述的式子應用次,可以得到 除以後可得 上述式子當且僅當是次的多項式,因此.。因為,因此通解中對應的解會是

  若二階微分方程有共軛複數根及,其對應的通解為。利用尤拉公式(),可以將通解改寫如下: 其中和是係數,不過可能不是實數,而且隨初始條件而不同(因為是實數,需要是虛數或是零,為實數,為了要讓等號右邊為實數)  例如,若,可以得到特解,另外,若及,可以得到另一個獨立的解。利用重疊原則,有復根的常係數線性齊次微分方程,其通解如下:  上述的分析也可以應用在高階微分方程,其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。
特徵方程式(characteristic equation)或輔助方程式(auxiliary equation)為數學名詞,是對應階微分方程或線性差分方程的多項式的次數代數方程式。只有線性齊次常係數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程,其因變數為,為常數 其特徵方程式如下 根據其解可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程