Can you summarize the following document?
        
  莫里斯·弗雷歇在1906年於著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中引入了度量空間。

  度量空間是個有序對 ("M","d"),這裡的 "M" 是集合而 "d" 是在 "M" 上的度量(metric),即為函式  使得對於任何在 M 內的 x、y、z,下列條件均成立:  條件 1 可由其他三個條件中匯出。條件 1 做為度量空間的性質更恰當一些,但是很多課本都將其包含於定義之中。  函式 "d" 亦稱為“距離函式”或簡稱“距離”。若依上下文可知道使用的度量為何,通常會省略 d,只寫出 M 為度量空間。  若不考量數學上的細節,對於任何道路系統與地形,兩個位置間之距離可被定義為連線這些位置的最短路徑之長度。度量內不應該存在單行道。三角不等式表示每個彎路都不會是最短路徑。下面的許多例子均可被視為此類一般概念的具體版本。

  每個度量空間都自然地會是個拓撲空間,且因此與一般拓撲空間有關的所有定義及定理也一樣適用於所有的度量空間。  對於度量空間 formula_20 內的任一點 formula_6,可定義中心為 formula_6,半徑為 formula_75(其中,formula_76 為一實數)的開球 這些開球會形成 formula_20 上拓撲的基,使之成為一個拓撲空間。  具體來說,formula_20 的子集 formula_80 稱之為開放的,若對於每個 formula_80 內的 formula_6,存在一個 formula_75,使得 formula_84 包含於 formula_80。開集的補集為閉集。點 formula_6 的鄰域是指 formula_20 內包含中心為 formula_6 的某一開球之任何子集。  拓撲空間若可由某個度量空間形成,則稱之為可度量化空間;更進一步的細節請見烏雷鬆度量化定理。  度量空間 formula_20 內之序列 (formula_90) 稱之為可收斂至極限 formula_91,當且僅當對於每個 formula_92,均存在一個自然數 formula_93,使得 formula_94,對於所有 formula_95。在拓撲空間內也有相對應的收斂之一般定義。  度量空間 formula_20 內的子集 formula_65 是封閉的,當且僅當每個在 formula_65 內的序列若可收斂至 formula_20 內的一極限,則該極限在 formula_65 內。

  

  度量空間 M 稱之為完備的,若每個柯西序列均收斂於 M 內,亦即:若 formula_101,其中 n 與 m 各自趨近於無限大,則存在某個 formula_102,使得 formula_103。  每個歐氏空間都是完備的,而且該空間的每個閉子集也都是完備空間。使用絕對值度量 formula_104 的有理數集合則不是完備的。  每個度量空間都有個在同構意義下唯一的完備化空間。該完備化空間是個完備空間,給定之度量空間為其稠密子集。例如,實數是有理數的完備化空間。  若 X 是空間空間 M 內的完備子集,則 X 在 M 內是封閉的。而實際上,一個空間是完備的,當且僅當該空間在任何包含該空間的度量空間內都是封閉的。  每個完備度量空間都是個貝爾空間。

  度量空間 "M" 被稱為有界的,如果存在某個數 "r",使得對於所有 "M" 中的 "x" 和 "y" 有 "d"("x","y") ≤ "r"。r 最小可能的值稱之為 M 的直徑。空間 "M" 稱之為預緊緻的或完全有界的,如果對於所有 "r" > 0 存在有限多個半徑為 "r" 的開球,其並集覆蓋 "M"。因為這些球為有限個,所以該空間的直徑亦為有限值,從而得出(使用三角不等式)所有完全有界空間都是有界的。但逆命題不成立,因為任何無限集合均可給定其離散度量(上面第一個例子),使得該空間是有界的,但不是完全有界的。  須注意,在討論實數空間的區間及歐氏空間的區域時,有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過,有界性與「有限」之間一般並無關連;有限通常意含著有界,但反之不一定成立。

  度量空間 M 是緊緻的,若每個 M 內的序列均有個子序列,會收斂於 M 內的一點。這稱為序列緊緻性,且在度量空間(但不是一般拓撲空間)裡,這等價於可數緊緻與以開覆蓋定義之緊緻性等拓撲性質。  緊緻度量空間的例子包括具絕對值度量的閉區間 [0,1]、所有具有限多個點的度量空間,以及康托爾集。每個緊緻集合的閉子集亦是緊緻的。  一度量空間為緊緻的,當且僅當該空間是完備的,且為完全有界的。這即是所謂的海涅-博雷爾定理。須注意,緊緻性僅決取於拓撲,而有界性則決取於度量。  勒貝格數引理表示,對於緊緻度量空間 M 內的每個開覆蓋,均存在一個「勒貝格數」δ,使得每個 M 內直徑 < δ 的子集均會被包含於某些覆蓋內。  每個緊緻度量空間均為第二可數,且是康托爾集的連續像。(後者由帕維爾·亞歷山德羅夫與帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷鬆所證得。)

  度量空間"M"稱為區域性緊緻的,如果每一點都有一個緊緻鄰域。歐氏空間為區域性緊紗的,但無限維巴拿赫空間則不是。  度量空間"M"稱為常態(proper)的,如果每個閉球都是緊緻的。常態空間是完備且區域性緊緻的,但區域性緊緻空間未必是常態的。

  度量空間 M 是連通的,若唯一同時開放或封閉的子集只有空集與 M 本身。  度量空間 M 是路徑連通的,若對於 M 內的任兩點 x、y,均存在一個連續對映 formula_105,其中 f(0)=x 且 f(1)=y。每個路徑連通空間都是連通的,但反之通常不成立。  上述性質均有相對的區域性定義:區域性連通空間與區域性路徑連通空間。  單連通空間在某一層面上來說,可說是個沒有「洞」的空間。

  一度量空間稱之為可分空間,若該空間有可數稠密子集。典型的例子為實數或任何一個歐氏空間。對於度量空間(但不包括一般拓撲空間)可分性等價於第二可數,亦等價於林德勒夫性質。

  假設 ("M","d") 與 ("M","d") 為兩個度量空間。

  對映 "f":"M"→"M" 是連續的,若具有下列一個(因此所有)等價性質: 這是在拓撲學裡連續性的一般定義。 這是由愛德華·海涅所提出的序列連續性。 這用到了極限的(ε, δ)定義,由奧古斯丁·路易·柯西所提出。  此外,f 是連續的,當且僅當該函式在 "M" 的每個緊緻子集內都是連續的。  每個緊緻集合在連續函式下的像亦是緊緻的,且每個連通集合在連續函式下的像亦是連通的。

  對映 "ƒ" : "M" → "M" 為一致連續的,若對於每個 ε > 0,均存在 δ > 0,使得  每個一致連續對映 "ƒ" : "M" → "M" 均是連續的。若 "M" 是緊緻的,則反向的陳述亦會成立。(海涅-康托爾定理)  一致連續對映會將 "M" 內的柯西序列轉換成 "M" 內的柯西序列。對於連續對映,該陳述則不一定會成立;例如,一個將開區間 (0,1) 滿射至實數線的連續對映即會將柯西序列轉換成無界的序列。

  給定一數 K > 0,對映 "ƒ" : "M" → "M" 為利普希茨連續,若  每個利普希茨連續對映均是一致連續的,但反之不一定成立。  若 K < 1,則 f 稱之為壓縮對映。令 "M" = "M",且 "M" 是完備的。若 f 是個壓縮對映,則 f 會有個唯一的不動點(巴拿赫不動點定理)。若 "M" 是緊緻的,則條件可稍微放寬一點:f 會有個唯一的不動點,若

  對映 "f":"M"→"M" 稱之為等距同構,若 等距同構總會是單射的;緊緻或完備集合在等距同構下的像仍分別會是緊緻或完備的。不過,若等距同構不是滿射的,則閉(或開)集的像不一定是封閉(或開放)的。

  對映 "f" : "M" → "M" 稱之為擬等距同構,若存在常數 A ≥ 1 與 B ≥ 0,使得  且有一個常數 C ≥ 0,使得 "M" 內的每個點與像 "f"("M") 內的某個點間之距離至多為 C。  須注意,擬等距同構不需要是連續的。擬等距同構比較度量空間的「大尺度結構」;多用於幾何群論內與字度量有關的理論。

  度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函式,可給出不同等價的程度與型別。  給定兩個度量空間 ("M", "d") 和 ("M", "d"):

  度量空間是個仿緊緻豪斯多夫空間,因此是個正規空間(且實際上是個完美正規空間)。度量空間也是個第一可數空間,因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。  依據提策擴充套件定理,每個度量空間都能具有單位分解,且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函式均能擴充套件成整個空間的連續對映。每個定義於度量空間的子集上之實數值利普希茨連續對映亦能擴充套件成整個空間的利普希茨連續對映。  度量空間 M 上的度量拓撲是使得 formula_112 對映至非負實數的度量 d 為連續之最粗糙拓撲。

  構造分離一個點與一個閉集的函式(作為完全正則空間的要求)的簡單方式是考慮點和集合之間的距離。 如果 ("M","d") 是度量空間,"S" 是 "M" 的子集而 "x" 是 "M" 的點,則可定義從 "x" 到 "S" 的距離為  d(x, S) = 0 當且僅當 x 包含於 S 的閉包內。此外,可將三角不等式推廣如下: 其中,可證明對映 formula_116 是連續的。  給定兩個 M 內的子集 S 與 T,可定義豪斯多夫距離為  一般而言,豪斯多夫距離 "d"("S","T") 可以是無限大的。兩個集合的在豪斯多夫距離上會互相靠近,若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。  豪斯多夫距離 "d" 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K(M) 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的,則 K(M) 亦是完備的。(緊緻子集的收斂性亦可由庫拉托夫斯基收斂給出。)  然後,可定義任兩個度量空間之間的格羅莫夫-豪斯多夫距離為這兩個空間的等距同構嵌入版本間之最短豪斯多夫距離。使用此一距離,由所有(等距同構型別的)緊緻度量空間所組成的類本身即會形成一個度量空間。

  如果 formula_119 是度量空間,而 "N" 是在 "R" 上的歐幾里得範數,則 formula_120 亦為度量空間,且積度量定義為  積度量匯出之拓撲等價於積拓撲。依據有限維的範數之等價性,曼哈頓範數、p-範數、最大範數,及其他當座標內的分量增加時不會減少(符合三角不等式)之範數,所給出的度量均為拓撲同構。  同樣的,度量空間的可數積度量可以定義為如下度量:  度量空間的不可數積度量不一定是可度量化的。例如, formula_123 不是第一可數空間,因此不能度量化。

  值得注意的是,在一個空間 formula_124 中,距離對映 formula_125 在上述任何一個積度量 formula_126 下均是一致連續的,且特別是,在 formula_112 下的積拓撲會是連續的。

  若 M 為度量空間,其度量為 d,且 ~ 為 M 上之等價關係,則可在商集合 M/~ 上賦加下面的(偽)度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y],可定義  其中,formula_129、formula_130、formula_131(即取從 [x] 至 [y] 經過所有等價類之路徑的最短長度)。一般來說,這僅能定義出一個偽度量,即 d'([x],[y])=0 不一定蘊涵 [x] = [y]。不過,對於良好的等價關係(如將多面體沿著面膠合),則會是個度量。此外,若 M 是個緊緻空間,則該度量在 M/~ 上匯出之拓撲為商拓撲。  商度量 d 具有下列泛性質:若 formula_132 是個度量空間之間的度量對映(即對於所有 x、y,formula_133),滿足當 formula_134 時,f(x)=f(y) 的條件,則函式 formula_135 定義為 formula_136,亦會是個度量對映 formula_137。  一個拓撲空間是序列的,當且僅當該空間是個度量空間的商空間。

  

  有序集 formula_139 可透過令 formula_140 時恰有一態射 formula_141,否則沒有態射,將之視為一個範疇。使用 + 作為張量積,0 作為單位元,該集合可變成一個麼半範疇 formula_142。每個度量空間 (M, d) 均可被視為 formula_142 上的豐富範疇 formula_144。其步驟如下:
在數學中,度量空間是一個集合及其度量,該度量是一個函式,定義了集合中任兩個成員(通常我們稱為"點")間的距離這一概念。簡略地來說,這個度量滿足了幾個簡單的特性: