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  給定一個向量空間formula_1。formula_1的一組基formula_3是指formula_1裡面的可線性生成formula_1的一個線性無關子集。formula_3的元素稱為基向量。  更詳細來說,設formula_13是在係數域formula_14(比如實數域formula_15或複數域formula_16)上的向量空間formula_1的有限子集。如果formula_3滿足下列條件: 就說formula_3是向量空間formula_1的一組基。第二個條件中,將一個向量formula_22表示成formula_28的形式,稱為向量formula_29在基底formula_3下的分解。formula_31稱為向量formula_29在基底formula_3下的分量表示。  有有限基的向量空間叫做有限維的空間。要處理無限維的空間,必須把上述基的定義推廣為包括無限的基集合。如果向量空間formula_1的一個子集 (有限或無限)formula_3滿足: 就稱formula_3是無限維空間formula_1的一組基。  沒有裝備拓撲結構的向量空間的結構不足以談論向量的無限和,因此上述定義只包括對有限個向量求和。

  設formula_3是向量空間formula_1的子集。則formula_3是基,當且僅當滿足了下列任一條件:  如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物,那麼作為推論,可以證明任何的向量空間都擁有一組基。(證明:良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢(元素個數),叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理,它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

  如上所述,一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合,同時也是極小的生成集合。可以證明,如果向量空間擁有一組基,那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基(也稱為基的擴充定理),每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地,在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說:如果formula_57是在向量空間formula_1中的一個線性無關集合而集合formula_59是一個包含formula_57而且能夠生成formula_1的集合,則存在formula_1的一組基formula_3,它包含了formula_57而且是formula_59的子集:formula_66。  以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度,證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的,而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度(有限維),那麼這個集合的元素個數必須等於維數,才可能是它的基。在兩者相等時,只需要證明這個集合線性無關,或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基;而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數,需要新增的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理,能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集;但假如這個子集是真子集,那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數,也就是基的元素個數,這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

  基底是作為向量空間的子集定義的,其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論,通常會將基向量進行排列。比如說將:formula_67寫成有序向量組:formula_68。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中,都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用確定的陣列表示,稱為向量的座標。例如,在使用向量的座標表示的時候習慣談論“第一個”或“第二個”座標,這隻在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下,有序基可以看作是向量空間的座標架。  設formula_1是在域formula_14上的"n"維向量空間。在formula_1上確定一個有序基等價於確定一個從座標空間formula_72到formula_1的一個選定線性同構formula_74。  "證明":這個證明利用了formula_72的標準基是有序基的事實。  首先假設 其中的formula_80是formula_72的標準基。  反過來說,給定一個有序基,考慮如下定義的對映 這裡的"x" = "x"e + "x"e +... + "x"e是F的一個元素。不難檢查出"φ"是線性同構。  這兩個構造明顯互逆。所以"V"的有序基一一對應於線性同構F → "V"。  確定自有序基{"v"}線性對映"φ"的逆對映為"V"裝備了座標:如果對於向量"v" ∈ "V", "φ"("v") = ("a", "a"...,"a") ∈ F,則"a" = "a"("v")的分量是"v"的座標,在"v" = "a"("v") "v" + "a"("v") "v" +... + "a"("v") "v"的意義上。  從向量"v"到分量"a"("v")的對映是從"V"到F的線性對映,因為"φ"是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成"V"的對偶空間的基,叫做對偶基。

  有時使用術語Hamel基(或代數基)來稱呼上文定義的基,這裡線上性組合"a""v" +... + "a""v"中項的數目總是有限的。  在希爾伯特空間和其他巴拿赫空間中,需要處理無限多向量的線性組合。在無限維的希爾伯特空間中,相互正交的向量的集合可能永不能通過有限線性組合擴充套件出整個空間。所謂的正交基是通過有時無限的線性組合擴充套件出這個空間的相互正交的單位向量的集合。除了在有限維情況之外,這個概念不純粹是代數的,而區別於Hamel基;它也是更一般性有用的。“無限維希爾伯特空間的正交基因此不是Hamel基”。  在拓撲向量空間中,一般的說,可以定義為無窮級數並表達這個空間的元素為其他特定元素的“無限線性組合”。其中的有限和無限組合的基,前者被叫做“Hamel基”而後者被叫做“”,對應的維度叫做Hamel維度和“Schauder維度”。

  在傅立葉級數的研究中,函式{1} ∪ { sin("nx"), cos("nx") : "n" = 1, 2, 3,... }是所有的在區間[0, 2π]上為平方可積分的(實數或複數值)的函式的(實數或複數)向量空間的“正交基”,這種函式"f"滿足  函式{1} ∪ { sin("nx"), cos("nx") : "n" = 1, 2, 3,... }是線性無關的,所有在[0, 2π]上平方可積分的函式"f"是它們的“無限線性組合”,在如下意義上  對於適合的(實數或複數)係數"a", "b"。但是多數平方可積分函式不能表達為這些基函式的有限線性組合,因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函式的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值,而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。
線上性代數中,基(basis)(也稱為基底)是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集,基的元素稱為基向量。向量空間中任意一個元素,都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限,就稱向量空間為有限維向量空間,將元素的個數稱作向量空間的維數。