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  最早的根號“√”源於字母「L」的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示“邊長”),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而,形成了我們現在所熟悉的開方運算子號formula_8。  由於在計算機中的輸入問題,我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

  帶有根號的運算由如下公式給出:  這裡的"a"和"b"是正數。  對於所有的非零複數formula_2,有"n"個不同的複數formula_1使得formula_4,所以符號formula_9不能無歧義的使用(通常這樣寫是取formula_3個值當中主幅角最小的)。"n"次單位根是特別重要的。  當一個數從根號形式被變換到冪形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是  例如:  若要做加法或減法,應當注意下列概念是重要的。  若已可以簡化根式表示式,則加法和減法簡單的是群的“同類項”問題。  例如

  經常簡單的留著數的"n"次方根不解(就是留著根號)。這些未解的表示式叫做“不盡根數”(surd),它們可以接著被處理為更簡單的形式或被安排相互除。  如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

  方根可以表示為無窮級數:

  任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式formula_44(參見尤拉公式)。接著所有的"n"次方根給出為: 對於formula_46,這裡的formula_9表示formula_2的主formula_3次方根。

  所有formula_50或formula_2的formula_3次方根,這裡的"formula_2"是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:  對於formula_46,這裡的formula_9表示"formula_2"的主"formula_3"次方根。

  曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程 的解不能用根號表達。  要解任何"n"次方程,參見根發現演算法。

  對於正數formula_60,可以通過以下演算法求得formula_61的值:

  求formula_61之值,亦即求方程formula_69的根。  設formula_70,其導函式即formula_71。  以牛頓法作迭代,便得

  設formula_76為迭代值,formula_77為誤差值。  令formula_78(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:formula_79  調項得formula_80  將以上結果代回(*),得遞迴公式formula_81
在數學中,若一個數formula_1為數formula_2的formula_3次方根,則formula_4。當提及實數formula_2的formula_3次方根的時候,假定想要的是這個數的主formula_3次方根,那麼它就可以用根號(formula_8)表示成formula_9。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作formula_10。當formula_11時,則formula_3可以省略。定義實數formula_2的主formula_3次方根為formula_2的formula_3次方根,且具有與formula_2相同的正負號的唯一實數formula_1。如果formula_3是偶數,那麼負數將沒有主formula_3次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根。