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  多項式可以看做係數從某一項開始全是零的冪級數,例如多項式formula_10可以寫成標準形式的冪級數: 也可以寫成(formula_12): 實際上,多項式可以寫成在任意"c"附近展開的冪級數。就這個意義上說,冪級數是多項式的推廣。  等比級數的公式給出了對formula_14,有 以及正弦函式(對所有實數x成立):  這些冪級數都屬於泰勒級數。  冪級數裡不包括負的冪次。例如formula_18就不是冪級數(它是一個洛朗級數)。同樣的,冪次為分數的級數也不是冪級數。係數formula_19必須是和"x"無關,比如formula_20就不是一個冪級數。

  作為級數的一種,冪級數的斂散性也是研究冪級數的重點之一。對同一個冪級數,當變數"x"在複數中變化時,冪級數可能收斂,也可能發散。作為判斷的依據,有:  按照引理,使得冪級數formula_6收斂的複數的集合總是某個以原點為中心的圓(不包括邊界),稱為收斂圓盤,其邊界稱為收斂圓。具體來說,就是:  這個可以用來辨別冪級數是否收斂的常數formula_28被稱為冪級數的收斂半徑,當屬於第一種情況時,規定收斂半徑為零。  按照定義,對一個冪級數formula_6,當formula_35(在收斂圓盤內)時(如果有的話),冪級數必然收斂;而當formula_31時(如果有的話),冪級數必然發散。但是如果formula_37(在收斂圓上)的話,這時冪級數的斂散性是無從判斷的,只能具體分析。  根據達朗貝爾審斂法,收斂半徑formula_28滿足:如果冪級數formula_39滿足formula_40,則:  根據根值審斂法,則有柯西-阿達馬公式:

  形式上,冪級數的加減法運算是將相應係數進行加減。  兩個冪級數的乘積基於所謂的柯西乘積:  各種運算後,得到的冪級數的收斂半徑是兩個冪級數中的較小者。

  對一個收斂半徑為"R"的冪級數formula_47,可以證明,冪級數在收斂圓盤上一致收斂。這個性質稱為內閉一致收斂。因此,考慮冪級數函式  它在收斂區間(-R,R)上是連續函式。

  可以證明,冪級數函式"f"在收斂區間上無窮次可導,並且可積。此外,由於冪級數函式"f"在收斂圓盤內一致收斂,可以進行逐項求導和積分,而且其導函式和積分函式都是在收斂區間上連續的冪級數函式。它們的收斂半徑等於formula_47的收斂半徑"R"。具體形式為:

  鑑於冪級數函式的良好分析性質以及對之深入的研究,如能將要研究的函式以冪級數形式來表示,將有助於對其性質的研究。然而,不是所有的函式都能展開為冪級數。一個函式在一點"c"附近可展(可以展開為冪級數),當且僅當存在正實數"R">0,使得在複平面中以"c"為圓心以"R"為半徑的圓"D"("c","R")內(不包括邊界)有: 其中formula_19為確定的常數。  如果一個函式在某處可展,那麼它在這點無窮可導(formula_55),並且在這點附近的展開式是唯一的。 即是在這點的泰勒展開的第"n"項的值。這時展開得到的冪級數稱為函式"f"在"c"點的泰勒級數。

  對於一般的無窮可導函式formula_57,也可以寫出冪級數formula_58,但即使這個冪級數收斂,其值也不一定等於formula_57。例如函式formula_57: 可以證明formula_57無窮可導,並且在0處的每階導數都是零,因此相應的冪級數formula_65恆等於0,不等於formula_57。  函式可以展開成冪級數的充要條件是其泰勒展開的餘項趨於零: formula_67,  一個更常用到的充分條件是: 如果存在正實數"r",使得formula_57在區間formula_69上無窮可導,並且存在正數"M"使得對任意的"n",任意的formula_70都有

  以下是一些常見函式的冪級數展開。運用這些展開可以得到一些重要的恆等式。

  區域性上由收斂冪級數給出的函式叫做解析函式。解析函式可分成實解析函式與復解析函式。所有的冪級數函式在其收斂圓盤內都是解析函式,並且在所有點上都可展。根據"零點孤立原理",解析函式的零點必然是孤立點。在複分析中,所有的全純函式(即復可微函式)都是無窮可微函式,並是復解析函式,這在實分析中則不然。

  在抽象代數中,冪級數研究的重點是其作為一個半環的代數性質。冪級數的係數域是實數或複數或其它的域不再重要,斂散性也不再討論。這樣抽離出的代數概念被稱為形式冪級數。形式冪級數在組合代數有重要用處,例如作為母函式而運用在許多組合恆等式的推導中。

  冪級數概念在多元微積分學中的一個推廣是多元冪級數:  其中"j" = ("j",..., "j")是一個係數為非負整數的向量。係數"a"通常是實數或複數。"c" = ("c",..., "c")和變數"x" = ("x",..., "x")是實數或複數係數的向量。在多重下標的表示法中,則有
在數學中,冪級數(power series)是一類形式簡單而應用廣泛的函式級數,變數可以是一個或多個(見“多元冪級數”一節)。單變數的冪級數形式為: 其中的"c"和formula_3是常數。formula_3稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函式,冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式,在很多方面有類似的性質,可以被看成是“無窮次的多項式”。