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  該方法以數學家卡爾·高斯命名,但最早出現於中國古籍《九章算術》,成書於約公元前150年。

  高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制: formula_1  這個演算法的原理是:  首先,要將formula_2以下的等式中的formula_3消除,然後再將formula_4以下的等式中的formula_5消除。這樣可使整個方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中,就可求出其餘的答案了。  在剛才的例子中,我們將formula_6和formula_4相加,就可以將formula_4中的formula_3消除了。然後再將formula_2和formula_11相加,就可以將formula_11中的formula_3消除。  我們可以這樣寫:  結果就是:  現在將formula_19和formula_11相加,就可將formula_11中的formula_5消除:  其結果是:  這樣就完成了整個演算法的初步,一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。  第二步,就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是:  然後就可以將formula_28代入formula_4中,立即就可得出第二個答案:  之後,將formula_28和formula_5代入formula_2之中,最後一個答案就出來了: 就是這樣,這個方程組就被高斯消去法解決了。  這種演算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式,高斯消去法仍可找出它的解。例如,如果在第一步化簡後,formula_4及formula_11中沒有出現任何formula_5,沒有三角形的格式,照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。這情況之下,這個方程組會有超過一個解,當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定,就會出現一個解。  通常人或電腦在應用高斯消去法的時候,不會直接寫出方程組的等式來消去未知數,反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子:  跟著以上的方法來運算,這個矩陣可以轉變為以下的樣子: 這矩陣叫做「行梯陣式」。  最後,可以利用同樣的演算法產生以下的矩陣,便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來: 最後這矩陣叫做「簡化行梯陣式」,亦是高斯-若爾當消元法指定的步驟。

  

  高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設formula_41為一個formula_42的矩陣,其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個formula_42 單位矩陣放在formula_41的右手邊,形成一個formula_45的分塊矩陣formula_46。經過高斯消去法的計算程式後,矩陣formula_47的左手邊會變成一個單位矩陣formula_48,而逆矩陣formula_49會出現在formula_47的右手邊。  假如高斯消去法不能將formula_41化為三角形的格式,那就代表formula_41是一個不可逆的矩陣。  應用上,高斯消去法極少被用來求出逆矩陣。高斯消去法通常只為線性方程組求解。

  高斯消去法可應用在任何formula_53的矩陣formula_41。在不可減去某數的情況下,我們都只有跳到下一行。以一個formula_55的矩陣作例,它可能可以變化為一個行梯陣式: 而矩陣中的*是一些數字。這個梯陣式的矩陣formula_57會有一些關於formula_41的資訊:

  高斯消去法的演算法複雜度是O("n");這就是說,如果係數矩陣的是"n" × "n",那麼高斯消去法所需要的計算量大約與"n"成比例。  高斯消去法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過,如果有過百萬條等式時,這個演算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用迭代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。  高斯消去法可用在任何域中。  高斯消去法對於一些矩陣來說是穩定的。對於普遍的矩陣來說,高斯消去法在應用上通常也是穩定的,不過亦有例外。

  高斯消去法的其中一種虛擬碼:  這個演算法和之前談到的有點不同,它由絕對值最大的部分開始做起,這樣可以改善演算法的穩定性。本演算法由左至右地計算,每作出以下三個步驟,才跳到下一行和下一列: 所有步驟完成後,這個矩陣會變成一個列梯矩陣,再用代入法就可以求解該方程組。 隨著多核處理器的日益普及,現在的程式設計師可以利用執行緒級並行高斯消元演算法來提高計算的速度。記憶體共享模式(而不是訊息交換模式)的虛擬碼如下所示: void parallel(int num_threads,int matrix_dimension) void *gauss(int thread_id) void barrier(int num_thread, barrier_t * mybarrier)
數學上,高斯消去法(英語:Gaussian Elimination),是線性代數中的一個演算法,可用來為線性方程組求解,求出矩陣的秩,以及求出可逆方陣的逆矩陣。當用於一個矩陣時,高斯消去法會產生出一個行梯陣式。