Can you summarize the following document?
        
  皮埃爾·德·費馬於1636年發現了這個定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的書寫方式。在他的信中費馬還提出a是一個素數(質數)的要求。  1736年,尤拉出版了一本名為“一些與素數(質數)有關的定理的證明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”的論文集,其中第一次給出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。 有些數學家獨立提出相關的假說(有時也被錯誤地稱為中國的假說),當formula_6成立時,p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而,這一假說的前設是錯的:例如,formula_7,而341=11×31是一個偽素數(質數)。所有的偽素數(質數)都是此假說的反例。

  如上所述,中國猜測僅有一半是正確的。符合中國猜測但不是素數(質數)的數被稱為偽素數(質數)。  更極端的反例是卡邁克爾數: 假設formula_1與561互質,則formula_9被561除都餘1。這樣的數被稱為卡邁克爾數,561是最小的卡邁克爾數。Korselt在1899年就給出了卡邁克爾數的等價定義,但直到1910年才由卡邁克爾(Robert Daniel Carmichael)發現第一個卡邁克爾數:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance證明了卡邁克爾數有無窮多個。

  

  若n不能整除formula_10,formula_11,formula_12,則n也不能整除formula_13。取整數集formula_14為所有小於formula_2的集(formula_14構成formula_2的完全剩餘系,即formula_14中不存在兩個數同餘formula_2),formula_20是formula_14中所有的元素乘以a組成的集合。因為formula_14中的任何兩個元素之差都不能被p整除,所以B中的任何兩個元素之差也不能被p整除。  換句話說,formula_23,考慮formula_24共formula_25個數,將它們分別除以p,餘數分別為formula_26,則集合{r,r,r...,r}為集合{1,2,3...,(p-1)}的重新排列,即1,2,3...,(p-1)在餘數中恰好各出現一次;這是因為對於任兩個相異k*a而言(k=1,2,3...(p-1)),其差不是p的倍數(所以不會有相同餘數),且任一個k*a亦不為p的倍數(所以餘數不為0)。因此 即 在這裡"W"=1·2·3·...·("p"-1),且(W, p) = 1,因此將整個公式除以"W"即得到:

  考慮二項式係數formula_30,n不為p或0,由於分子有質數p,但分母不含p,故分子的p能保留,不被約分而除去,即formula_31恆為p的倍數。  再考慮(b+1)的二項式展開,模p,則  因此 令b=a-1,即得formula_4。

  在抽象代數教科書中,費馬小定理常作為教授拉格朗日定理時的一個簡單例子。顯然只需考慮 formula_43 情形。此時模 formula_2 所有非零的餘數,在同餘意義下對乘法構成一個群,這個群的階是 formula_45。考慮群中的任何一個元素 formula_46,根據拉格朗日定理,formula_46 的階必整除群的階。證畢。  故餘數為3。

  

  費馬小定理是尤拉定理的一個特殊情況:如果 formula_56,那麼 這裡 formula_58 是尤拉函式。尤拉函式的值是所有小於或等於 formula_59 的正整數中與 formula_59 互質的數的個數。假如 formula_59 是一個素數(質數),則 formula_62,即費馬小定理。  證明 上面證明費馬小定理的群論方法,可以同理地證明尤拉定理。考慮所有與 formula_59 互素的數,這些數模 formula_59 的餘數所構成的集合,記為 formula_65,並將群乘法定義為相乘後模 formula_59 的同餘。顯然 formula_65 是一個群,因為它對群乘法封閉(若 formula_56 和 formula_69 則 formula_70),含么元(即“1”),且任何一個元素 formula_1 的逆元素也在集合中(因為若 formula_72 則由群乘法封閉性任何formula_1 的冪次都在 formula_65 中,所以 formula_75 是 formula_65 這個有限集的子集)。根據定義, formula_65 的階是 formula_58,於是根據拉格朗日定理, formula_65 中任何一個元素的階必整除 formula_58。證畢。

  卡邁克爾函式比尤拉函式更小。費馬小定理也是它的特殊情況。

  formula_82  除式:formula_83  餘式:formula_84  n=0時為除式,用數學歸納法證明餘式。  formula_86  formula_87

  »> n =221 »>a = 38 »>pow(a,n -1,n) 1  """221 may be a prime number."""  import random def isprime(n,k=128):
費馬小定理是數論中的一個定理:假如formula_1是一個整數,formula_2是一個質數,那麼formula_3是p的倍數,可以表示為