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  若formula_6為formula_7的開子集,且formula_8為一個函式。  formula_12  其中,極限取所有趨向formula_11的複數列,並對所有這種序列差的商趨向同一個數formula_18,另外,這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質:它是線性的,並服從乘積,商和鏈式法則。  下面是一個等價的定義:一個複函式全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程。

  

  若formula_21復係數冪級數,且收斂半徑不為零,我們記formula_22為其收斂區域。  函式  formula_23  為全純函式,且任取formula_24.事實上,這個函式在formula_22上無窮可導。  指數函式為整函式,同樣地,三角函式(可通過指數函式使用尤拉公式定義)與雙曲函式同樣為整函式。

  若在一個連通集上的函式formula_26滿足條件:formula_27,則稱其為一個複對數函式。  另有一等價定義,即若全純函式formula_28在formula_29上以formula_30為導數,且存在一點formula_31,使得這一點formula_32,則稱其為一個複對數函式。  在formula_20的任意開子集formula_29上,若有一個複對數formula_28,那麼任取整數formula_36,函式formula_37也為formula_29上的複對數函式。

  在formula_20的任意開子集formula_29上,若有一個複對數formula_28,那麼任取複數formula_3,在formula_29上formula_3階冪函式可以定義為formula_45  特別地,任取整數formula_46,有formula_47,滿足formula_48,我們稱此表示式為formula_29上formula_50階冪的定義式。另外,記formula_51(若對於正實數,這種定義方式可能與其通常含義存在衝突)。

  因為復微分是線性的,並且服從積、商、鏈式法則,所以全純函式的和、積及複合是全純的,而兩個全純函式的商在所有分母非0的地方全純。  每個全純函式在每一點無窮可微。它和它自己的泰勒級數相等,而泰勒級數在每個完全位於定義域"formula_29"內的開圓盤上收斂。泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂;例如,對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂,甚至在復實軸的附近也是如此。證明請參看證明全純函式解析。  若把formula_1和formula_54等同起來,則全純函式和滿足柯西-黎曼方程的雙實變數函式相同,該方程組含有兩個偏微分方程。  在非0導數的點的附近,全純函式是共形的(或稱保角的)。因為他們保持了小圖形的角度和形狀(但尺寸可能改變)。  柯西積分公式表明每個全純函式在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。

  多複變函式的復解析函式定義為在一點全純和解析,如果它區域性可以(在一個多盤,也即中心在該點的圓盤的直積)擴張為收斂的各個變數的冪級數。這個條件比柯西-黎曼方程要強;事實上它可以這樣表述:  一個多復變數函式是全純的當且僅當它滿足柯西-黎曼方程並且區域性平方可積。

  全純函式的概念可以擴充套件到泛函分析中的無窮維空間。Fréchet導數條目介紹了巴拿赫空間上的全純函式的概念。
全純函式(英語:holomorphic function)是複分析研究的中心物件;它們是定義在複平面formula_1的開子集上的,在複平面formula_1中取值的,在每點上皆復可微的函式。這是比實可微強得多的條件,暗示著此函式無窮可微並可以用泰勒級數來描述。