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  敘述:設H是有限群G的子群,則H的階整除G的階。  定理的證明是運用H在G中的左陪集。H在G中的每個左陪集都是一個等價類。將G作左陪集分解,由於每個等價類的元素個數都相等,都等於H的元素個數(H是H關於e的左陪集),因此H的階(元素個數)整除G的階,商是H在G中的左陪集個數,叫做H對G的指數,記作[G:H]。

  定義二元關係formula_1:formula_2。下面證明它是一個等價關係。  可以證明,formula_10。因此左陪集是由等價關係formula_1確定的等價類。  拉格朗日定理說明,如果商群"G" / "H"存在,那麼它的階等於H對G的指數[G:H]。  formula_12  上述寫法在G為無限群時也成立。

  1. 由拉格朗日定理可立即得到:由有限群G中一個元素a的階數整除群G的階(考慮由a生成的迴圈群)。  2. 如果formula_13是質數,那麼所有階數為formula_13的群都同構(因為素數只有1和它本身為約數)。  3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。

  拉格朗日定理的逆命題並不成立。給定一個有限群"G"和一個整除"G"的階的整數"d","G"並不一定有階數為 "d"的子群。最簡單的例子是4次交替群"A",它的階是12,但對於12的因數6,"A"沒有6階的子群。對於這樣的子群的存在性,柯西定理和西洛定理給出了一個部分的回答。
拉格朗日定理是群論的定理,利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因子值。