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  佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環formula_17必然有極大理想。用formula_7來表示formula_17的所有真理想(即formula_17的所有雙邊理想,且該理想是formula_17的真子集)。在formula_7中引入一個偏序,定義為集合的包含關係,那麼formula_7中必然有一個極大元素,並且這個元素是formula_17的真子集,從而formula_17有一個極大理想。  為了應用佐恩引理,需要證明formula_7的任何一個全序子集formula_2都有一個上界,即存在一個理想formula_28滿足formula_29並且formula_28比formula_2中任何一個元素都大。現取formula_28為formula_2中所有理想的並。可以證明,formula_28是一個理想:如果formula_35和formula_36是formula_28中的兩個元素,那麼必然存在formula_2中兩個理想formula_39滿足formula_40。注意formula_2是一個全序集,所以必然有formula_42或者formula_43,從而有formula_44或formula_45。無論是哪種情況,均有formula_46。而且,對於任何formula_47都可以證明formula_48。由此,formula_28是formula_17的一個理想。  現在考慮證明的核心部分:利用formula_51充要於formula_52,可以證明formula_28一定是formula_17的真子集。因為如果formula_52,那麼必然有某個formula_56滿足formula_57,這意味著formula_58。但formula_59,從而formula_60,矛盾。  這樣,利用佐恩引理,formula_7必然包含一個極大元,而這個元素就是formula_17的一個極大理想。  注意這個結論只在formula_17是單位環的時候成立,在formula_17不是單位環的情形下,一般而言這個結論是不成立的。

  假設佐恩引理不成立,那麼存在一個非空的偏序集formula_65,使得它的任何一個全序子集都有上界,但formula_7中任何元素都不是極大元素。然後,對於任何一個全序子集formula_2,可以定義一個相對應的元素formula_68,使其嚴格大於formula_2的任意元素,因為formula_2有一個上界,formula_7中又必然存在一個元素嚴格大於這個上界。為了確實地定義函式formula_36,我們需要用到選擇公理。  利用函式formula_36,可以構造formula_7的一個全序子集formula_75,這裡作為下標的指標集不僅可以是自然數,也可以是序數。事實上,所有序陣列成一個真類,粗略地說,可以認為序數的數目大於任何集合的基數,formula_7也不例外。所以這個序列終會窮盡,這樣就匯出了矛盾。  上述的序列可以利用超限歸納法構造:formula_77可以選擇為formula_7中任意元素,而對於任意一個序數formula_79,定義formula_80,注意formula_81是全序的,所以formula_82的定義是合理的。  事實上這個證明的結論略強於佐恩引理: 如果formula_7是一個偏序集,並且它的任何一個良序子集都有上界,那麼對於formula_7的任意元素formula_85而言,formula_7中有一個大於等於formula_85的極大元。換言之,存在一個可以與formula_85比較的極大元。 我們也可以直接應用選擇公理證明佐恩引理:  根據選擇公理,對於一個偏序集formula_7的所有非空子集formula_90在存在一個選擇函式formula_91使得formula_92。從formula_7本身開始:考慮formula_94,如果formula_95是極大元素則終止,否則構造formula_96,這裡formula_97,如果formula_98是極大元素則終止,否則用相同的技術構造formula_99。  於是我們獲得了formula_7一個全序子集:  formula_101 根據假設上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素則終止,否則繼續上述步驟,最終總能夠窮盡formula_7  不過需要說明的是上述證明並沒有闡明為何最終能夠窮盡formula_7,是一個不夠嚴格的證明。見於 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一書。

  佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現,1935年佐恩亦獨立地發現此結論。
佐恩引理(英語:Zorn's Lemma)也被稱為庫拉托夫斯基-佐恩(Kuratowski-Zorn)引理,是集合論中一個重要的定理,其陳述為: 在任何一非空的偏序集中,若任何鏈(即全序的子集)都有上界,則此偏序集內必然存在(至少一枚)極大元。 佐恩引理是以數學家馬克斯·佐恩的名字命名的。