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  在 線性代數和其他數學相關領域, 一個線性子空間 (或 向量子空間) U是給定域formula_1向量空間 V的一個 子集,並且它還是V的加法子群,同時,在純量乘下回到自身,那麼,V上運算在U上的限制匯出U的向量空間結構,我們把U稱為V上的向量(或線性)子空間。

  設 "V" 是在域 "K" 上的向量空間,並設 "W" 是 "V" 的子集。則 "W" 是個子空間,當且僅當它滿足下列三個條件:

  例子 I: 設域 "K" 是實數的集合 R,並設向量空間 "V" 是歐幾里得空間 R。 取 "W" 為最後的分量是 0 的 "V" 中所有向量的集合。則 "W" 是 "V" 的子空間。  "證明:"  例子 II: 設域是 R,設向量空間是歐幾里得幾何 R。取 "W" 為 R 的使得 "x" = "y" 的所有點 ("x","y") 的集合。則 "W" 是 R 的子空間。  "證明:"  一般的說,歐幾里得空間 R 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說,這些子空間是穿過點0 的一些點、直線、平面。

  給定向量空間 "V"的子空間 "U" 和 "W",則它們的交集 "U" ∩ "W" := {v∈"V": v ∈ "U" 且 v ∈ "W"} 也是 "V" 的子空間。  "證明:"  進一步的,和 是一個 "V" 的子空間。"U" ∩ "W" 和 "U" + "W" 的維度滿足
線性子空間(或向量子空間)線上性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為“子空間”。