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  假設某函式從, 從 對映到 向量, 其雅可比矩陣是一 的矩陣,換句話講也就是從 到 的線性對映,其重要意義在於它表現了一個多變數向量函式的最佳線性逼近。因此,雅可比矩陣類似於單變數函式的導數。  此函式 的雅可比矩陣 為 的矩陣,一般由以下方式定義:  矩陣的分量可表示成:  雅可比矩陣的其他常用符號還有:  此矩陣的第 formula_7行是由函式 formula_8 的梯度函式所表示的,formula_9。  如果 formula_10是formula_11 中的一點,formula_12在 formula_10點可微分,根據數學分析, formula_14是在這點的導數。在此情況下,formula_14這個線性對映即 formula_12 在點 formula_10附近的最優線性逼近,也就是說當 formula_18足夠靠近點 formula_10時,我們有 講更詳細點也就是:  其中, 代表小o符號, 為 與 之間的距離。

  

  由球座標系到直角座標系的轉化由 函式給出,其分量為:  此座標變換的雅可比矩陣是  其雅可比行列式為,由於,如果做變數變換的話其體積元(Volume element),,會變成:。

  ,其各分量為  其雅可比矩陣為: 此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

  考慮形為 formula_29的動力系統,formula_30。如果 formula_31,那麼 formula_32是一個臨界點。系統接近臨界點時的行為跟 formula_33的特徵值相關。

  如果,那麼 是從 對映到 的函式,且它的雅可比矩陣是一個方陣。於是我們可以取它的行列式,稱為雅可比行列式。  在某個給定點的雅可比行列式提供了 在接近該點時的表現的重要資訊。例如,如果連續可微函式 在 點的Jacobi行列式不等於零,那麼它在該點附近有 的反函式。這稱為反函式定理。更進一步,如果 點的Jacobi行列式是正數,則 在 點保持定向(preserves orientation);如果是負數,則 逆轉定向(reverses orientation)。而從Jacobi行列式的絕對值,就可以知道函式 在 點附近是放大或縮小體積;這就是它出現在換元積分法中的原因。

  設有函式,其分量為:  則它的Jacobi行列式為:  從中我們可以看到,當 和 同號時, 逆轉定向;該函式處處具有反函式,除了在 或 的點。

  根據反函式定理,一個"可逆函式"(存在反函式的函式)的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函式的"反函式"的雅可比矩陣。即,若函式 formula_30在點 formula_39的雅可比矩陣是連續且可逆的,則 formula_40在點 formula_10的某一鄰域內也是可逆的,且有 成立。相反,倘若雅可比行列式在某一個點不為零,那麼該函式在這個點的某一鄰域內"可逆"(存在反函式)。  一個多項式函式的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言,如果函式的雅可比行列式為一個非零實數(相當於其不存在復零點),則該函式可逆且其反函式也為一個多項式。
在向量分析中,雅可比矩陣(也稱作Jacobi矩陣,英語:Jacobian matrix)是函式的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。