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  對任意實數formula_7,定義formula_8,擴充套件的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質,就是其所有子集都有上確界和下確界:這是一個完備格。全序關係在formula_6上引入了拓撲。在這個拓撲中,集合formula_10是formula_2的鄰域,當且僅當它包含集合formula_12,這裡formula_7是某個實數。formula_3的鄰域類似。formula_6是個緊緻的豪斯多夫空間,與單位區間formula_16同胚。  formula_1上的算術運算可以部分地擴充套件到formula_6,如下:  通常不定義formula_20。同時formula_21也不定義為formula_2(因為這樣忽視了formula_3),這些規則是根據無窮極限的性質確定的。  注意在這些定義下,formula_6不是域,也不是環。

  經過上述定義,擴充套件的實數軸仍有很多實數的性質: 通常只要表示式都有定義,所有算術性質在formula_6上都成立。  使用極限,一些函式可以自然地擴充套件到formula_6。例如可以定義formula_46等。
擴充套件實數線又稱廣義實數,(英語:extended real number),由實數線 formula_1加上formula_2 和 formula_3 得到(注意 formula_2 和 formula_3 並不是實數),寫作 formula_6、 或 。在不會混淆時,符號 常簡寫成 。擴充套件的實數線在研究數學分析,特別是積分時非常有用。