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  如果存在從formula_1到自然數集合formula_2存在單射函式,則"formula_1"稱為可數集。  如果"formula_1"還是滿射,則同樣是雙射,則稱formula_1是無限可數集。  換句話說,一個集合要想是無限可數集,它要和自然數集formula_6有一一對應關係。  如上所述,這個術語不普遍:一些作者在這裡使用可數來表示被稱為“無限可數”,並沒有包括有限集。

  由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的,因為我們可以將所有的formula_7都對應到formula_8,如此就完成了一一對應。類似地,不難證明所有整數構成的集合formula_9、所有有理數構成的集合formula_10、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。  並非所有的無窮集都可數。喬治·康託首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合formula_11是不可列的,即formula_11與formula_13之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數,因為剛才已經說過代數數是可列的;於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。

  由定義,如果存在從"formula_1"到自然數集合formula_15存在單射函式formula_16,則"formula_1"稱為可數集。  這似乎自然地把集合劃分為不同類別:把所有包含一個元素的集合放在一起;包含兩個元素的集合在一起...最後,把所有無限集合放在一起,並認為它們具有相同的大小。然而,在大小的自然定義下,這種觀點是不確切的。  為了闡述這一點,我們需要一個雙射的概念。雖然雙射看起來比數更加高深,但原本數學發展中集論定義函式要先於數字。因為它們都是基於更簡單的集合。這就引出了雙射的概念:  由於formula_19的每個元素都可以和formula_20中"準確的一個"配對,"並且"反過來也同樣,這就定義了一個雙射。  我們將這個情境一般化,定義當且僅當它們之間存在雙射,兩個集合的大小相同。對於有限集,這裡給出了“大小相同”的常用定義。那麼對於無限集呢?  考慮集合formula_21(正整數集),和formula_22(正偶數集)。我們說,在我們的定義下,這些集合有相同的大小,並且因此"B"是無限可數集。我們需要證明它們之間存在雙射。但這是很簡單的,運用formula_23,那麼  正如前面的例子,formula_25的每個元素都已和formula_26中"準確的一個"配對,"並且"反過來也同樣。因而它們大小相同。這給出了一個集合與其一個合適的子集大小相同的例子,這種情形在有限集中是不可能的。  同樣,自然數的有序對的集合是無限可數集,可以沿著圖中的一種路徑:配對結果就像這樣:  顯然這個對映可以覆蓋所有這些有序對。  自然數集合的笛卡爾積 formula_28是可數的,這是因為可以定義一個從自然數集合的笛卡爾積 formula_28到自然數集合formula_6的單射函式formula_31之故;而利用數學歸納法,可知在n是個有限的自然數時,自然數集合的n-元笛卡爾積 formula_32是可數的。另外,可數無限多個可數集的聯集是可數的,這是因為可以定義一個單射函式,將可數無限多個可數集的聯集給映至自然數集合的笛卡爾積 formula_28之故。  不過可數無限多個自然數集合的笛卡爾積不是可數的,這可以透過康託的對角論證法證明。
在數學上,可數集,或稱可列集,是與自然數集的某個子集具有相同基數(等勢)的集合。在這個意義下,可數集由有限可數集和可數無窮集組成。不是可數集的無窮集稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素,正如其名,是“可以計數”的:儘管計數有可能永遠無法終止,集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。