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  拓撲空間是一個集合 formula_1 和其上定義的拓撲結構formula_2組成的二元組formula_3。formula_1 的元素 formula_5 通常稱為拓撲空間 formula_3的點。而拓撲結構formula_2一詞涵蓋了開集,閉集,鄰域,開核,閉包,導集,濾子等若干概念。從這些概念出發,可以給拓撲空間formula_3作出若干種等價的定義。在教科書中最常見的定義是從開集開始的。

  formula_1 的子集的集合族formula_10稱為開集系(其中的元素稱為開集),當且僅當其滿足如下開集公理:  從開集出發定義其它各概念:

  formula_1的子集的集合族formula_31稱為閉集系(其中的元素稱為閉集),當且僅當其滿足如下閉集公理:  (顯然,閉集是開集的對偶概念)。  從閉集出發定義其它各概念:

  formula_1的對映formula_46(formula_47指formula_1的冪集的冪集)。這樣formula_49將formula_1的每個點formula_5對映至formula_1的子集族formula_53。formula_53稱為formula_5的鄰域系(formula_53的元素稱為formula_5的鄰域),當且僅當對任意的formula_58,formula_53滿足如下鄰域公理:  從鄰域出發定義其它概念:

  formula_1的冪集formula_84上的一元運算formula_85(即將formula_1的子集A對映為formula_1的子集formula_88)稱為閉包運算(像稱為原像的閉包)。當且僅當運算formula_89滿足下述的閉包公理:  集合formula_19的閉包通常記為formula_44。  從閉包出發定義其它概念:

  formula_1的冪集formula_84上的一元運算formula_108(即將formula_1的子集A對映為formula_1的子集formula_111)稱為開核運算(像稱為原像的開核或內部)。當且僅當運算formula_112滿足如下開核公理:  集合formula_19的開核通常記為formula_28。 (顯然,開核運算是閉包運算的對偶概念)。  從開核出發定義其它概念:

  formula_1的冪集formula_130上的一元運算formula_131(即將formula_1的子集formula_19對映為formula_1的子集formula_135)稱為導集運算(像稱為原像的導集),當且僅當formula_136滿足以下導集公理:  從導集出發定義其它概念:

  同一個全集可以擁有不同的拓撲,有些是有用的,有些是平庸的,這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲formula_144的每一個開集都是拓撲formula_145的開集時,稱拓撲formula_145比拓撲formula_144更細,或稱拓撲formula_144比拓撲formula_145更粗。  僅依賴於特定開集的存在而成立的結論,在更細的拓撲上依然成立;類似的,僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論,在更粗的拓撲上也依然成立。  最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲,最細的拓撲是離散拓撲,這兩個拓撲都是平庸的。  在有些文獻中,我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

  類似定義拓撲空間,連續對映也有基於開集,閉集,開核,閉包和鄰域等概念的等價定義。  拓撲空間上的一個對映formula_150稱為連續對映,當且僅當它滿足以下條件之一:  同胚對映是一個連續的雙射,並且它的逆對映也連續。兩個拓撲空間之間存在同胚對映,則稱這兩個空間是同胚的。從拓撲學的觀點上來講,同胚的空間是等同的。

  拓撲空間作為物件,連續對映作為態射,構成了拓撲空間範疇,它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法,激發和產生了整個領域的研究工作,包括同倫論、同調論和K-理論。

  

  給定拓撲空間(X,τ),A是X的子集,有以下概念(繼續使用上面的符號):

  網的目的在推廣序列及極限,網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集formula_164。  空間formula_1上的一個網formula_166是從有向集合formula_19映至formula_1的對映。  若存在formula_58,使得對每個formula_5的鄰域formula_22都存在formula_172,使得formula_173,則稱網formula_166收斂至formula_5。  幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性,請參閱主條目網

  

  3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類,具體如下:

  依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。  以下假設X為一個拓撲空間。

  詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式,請參照分離公理的歷史。

  (詳細資料請參照緊集)

  可度量性意味著可賦予空間一個度量,使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可匯出任何第二可數的流形皆可度量化。

  對於任一類代數結構,我們都可以考慮其上的拓撲結構,並要求相關的代數運算是連續對映。例如,一個拓撲群formula_179乃是一個拓撲空間配上連續對映formula_180(群乘法)及formula_181(反元素),使之具備群結構。  同樣地,可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間,使得加法與純量乘法是連續對映,這是泛函分析的主題;我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。  結合拓撲與代數結構,往往可以引出相當豐富而實用的理論,例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中,人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論,並得到較簡明的陳述;如數論中的區域性域(一種拓撲域),伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲(一種特別的拓撲群),以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲(一種拓撲環)等等。

  拓撲空間也可能擁有自然的序結構,例子包括:

  參見拓撲學。

  n個元素的集上總拓撲數規律
拓撲空間是一種數學結構,可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用,是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值,研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。