Can you summarize the following document?
        
  給定一個字母集 (alphabet) formula_1 以及其生成的語言 (language) formula_2,我們先來定義兩個字串 formula_3 之間彼此的關係:如果對於所有的後接字串 formula_4 (注意!formula_5 可以是空字串) 都會讓 formula_6 和 formula_7 同時屬於或不屬於 formula_8,那麼我們說 formula_9 和 formula_10 不可區分 (indistinguishable);相反地如果存在某個後接字串 formula_4 讓 formula_6 和 formula_7 其中一個屬於而另外一個不屬於 formula_8,則我們說 formula_9 和 formula_10 是可區分的 (distinguishable)。如果 formula_9 和 formula_10 不可區分,我們說它們滿足關係 (relation) formula_19,數學式子寫成 formula_20。我們也很容易證明這種關係是種等價關係 (equivalence relation),因此它可以把 formula_21 劃分成一個或多個等價類 (equivalence class)。  Myhill–Nerode 定理聲稱一套語言 formula_8 是正規的「當且僅當」formula_21 被 formula_19 所切分出的等價類數目是有限的,此外這個等價類數量又恰好是可辨識 formula_8 的最小 DFA 的狀態數量。在詳細的證明中「一個等價類會恰好對應到最小 DFA 裡的一個狀態」,如果先給定一個自動機,則任意兩個能驅使它走到同一個狀態的字串 formula_9 和 formula_10 必在同一個等價類中;如果先給定一個等價類劃分,那可以輕易地構造出一個自動機使其狀態恰好對應到等價類。

  

  這個方向比較簡單,我們只要證明一個引理 (lemma):可辨識 formula_8 的 DFA 狀態數量必須不小於等價類數目即可,而這可以使用反證法 (鴿籠原理) 說明。如果 DFA 狀態數量少於等價類數量,那代表必定有兩個不屬於同一個等價類的字串 formula_9 和 formula_10 會引導 DFA 到同一個狀態,如果它們又繼續有後接字串 formula_5,就會讓 formula_6 和 formula_7 也走到同一個狀態,如此一來根據定義,formula_9 和 formula_10 應該要屬於同一個等價類,造成矛盾,因此 DFA 狀態數量必須不小於等價類數目。由這個結論可以推得,當等價類數目無限多時,這個 DFA 的狀態數量也必須是無限多,和「有限」狀態機的定義矛盾,換句話說我們找不到一臺 DFA 可辨識 formula_8,因此 formula_8 不正規。

  我們先構造出一臺 DFA,先假設它的每一個狀態都剛好代表一個等價類 (也就是一個狀態承裝一個等價類裡的所有字串,從起點開始輸入該字串務必到達該狀態),而轉移函式的決定方式就是從一個狀態隨意抓取一個代表字串,看看它吃了一個字母之後的字串會落在哪個狀態裡面,就讓它走去那裡。這個走向會唯一,理由很簡單可以自己想。對於每個狀態和每個轉移字母都窮舉一遍,最後再觀察哪些狀態包含了被接受的字串,直接讓它們變成終點態 (final state)。一個等價類裡如果有一個字串被接受,那同一個類裡的所有其他字串也會通通被接受,因為根據定義,後接字串可以是空字串。到目前為止,我們有了一定數量的狀態 (圓圈圈)、所有的轉移函式、一個唯一的起點 (看空字串在哪裡即可)、所有的終點,是一臺合法的 DFA。現在的問題是,要怎麼證明這臺 DFA 能確實辨識 formula_8,也就是說對於任意字串輸入都能驅使 DFA 走到我們當初賦予每個狀態必須各自代表一個等價類的任務?  這必須對字串輸入的長度作數學歸納法才能證明。如果字串輸入長度為 0,也就是空字串,那它必須留在起點,而我們起點的取法就剛好是看空字串的位置,所以輸入為空字串時的狀態落點正確;如果對於所有長度不超過 formula_45 的字串輸入,它們的狀態落點皆正確,那麼對於任何長度為 formula_46 的字串輸入 formula_47,皆可分解為 formula_48,其中 formula_49 的長度為 formula_45 而 formula_51 的長度為 formula_52 (字元),走完 formula_49 之後的落點根據假設是正確的,剩下的一個字元 formula_51 根據我們上述決定轉移函式的方式,自然也會繼續走向我們當初所期望的落點;如此依序遞迴下去,就能說明對於任意字串輸入,這臺 DFA 確實能妥善的把 formula_21 裡的每個字串分到正確的類別,並決定接受與否。於是乎我們根據這個 formula_19 創造了一臺能辨識 formula_8 的 DFA,而且這臺 DFA 的狀態數量剛好就是 formula_21 被 formula_19 所切分出的等價類數量。

  Myhill–Nerode 定理的一個結論是語言 "L" 是正則的(就是說可被有限狀態機接受),當且僅當 "R" 的等價類的數目是有限的。  直接推論是如果一個語言定義等價類的無限集合,它就不是正則的。這個推論經常被用來證明一個語言不是正則的。  例如,由可以被 3 整除的二進位制陣列成的語言是正則的。有三個等價類 3 - 被 3 除的時候餘數是 0, 1 和 2 的數。接受這個語言的極小自動機有對應於等價類的三個狀態。  再給一例,我們想說明 formula_60 不是正規的。原因是,給定任意兩個不同長度的 formula_61 字串,我們都能接上一個後接字串將這兩個字串分辨開來,舉例來說,給定 formula_62 和 formula_63,我們就能接上 formula_64 讓 formula_65 合法而 formula_66 不合法。所以有無限多個字串 formula_61、formula_68、formula_62、formula_70、... 等彼此之間都是不可分辨的,這意味著需要無限多個狀態的自動機才能辨識這個語言,和正規語言定義矛盾,因此 formula_71 不是正規語言。
在形式語言理論中,Myhill–Nerode 定理提供了一個語言是正則語言的必要和充分條件。它近乎專門的被用來證明一個給定語言不是正則的。