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  兩個向量 formula_2 和 formula_3 的叉積僅在三維空間中有定義,寫作 formula_4。在物理學中,叉積有時也被寫成formula_12,但在數學中 formula_12 是外代數中的外積。  叉積 formula_4 是與 formula_2 和 formula_3 都垂直的向量 formula_17。其方向由右手定則決定,模長等於以兩個向量為邊的平行四邊形的面積。  叉積可以定義為:  其中 formula_19 表示 formula_2 和 formula_3 在它們所定義的平面上的夾角(formula_22)。formula_23 和 formula_24 是向量 formula_2 和 formula_3 的模長,而 formula_27 則是一個與 formula_2、formula_3 所構成的平面垂直的單位向量,方向由右手定則決定。根據上述公式,當 formula_2 與 formula_3 平行(即 formula_19 為 0° 或 180°)時,它們的叉積為零向量 formula_33。  按照慣例,向量 formula_27 的方向由右手定則決定:將右手食指指向 formula_2 的方向、中指指向 formula_3 的方向,則此時拇指的方向即為 formula_27 的方向。使用這一定則意味著叉積滿足反交換律,formula_38:將右手食指指向 formula_3、中指指向 formula_2,那麼拇指就必定指向相反方向,即翻轉了叉積的符號。  由此可以看出,使用叉積需要考慮座標系的利手性(英語:Handedness),如果使用的是左手座標系,向量 formula_27 的方向需要使用左手定則決定,與右手座標系中的方向相反。  這樣就會帶來一個問題:參照系的變換不應該影響 formula_27 的方向(例如從右手座標系到左手座標系的映象變換)。因此,兩個向量的叉積並不是(真)向量,而是偽向量。

  

  右手座標系中,基向量 formula_43、formula_44、formula_45 滿足以下等式:  根據反交換律可以得出:  根據叉積的定義可以得出:  根據以上等式,結合叉積的分配律和線性關係,就可以確定任意向量的叉積。  向量 formula_49 和 formula_50 可以定義為平行於基向量的三個正交元素之和:  兩者的叉積 formula_52 可以根據分配律展開:  即把 formula_52 分解為九個僅涉及 formula_43、formula_44、formula_45 的簡單叉積之和。九個叉積各自所涉及的向量,要麼相互平行、要麼相互正交。將最前面所述的幾個等式帶入其中,然後合併同類項,可以得到:  即結果向量 formula_59 的三個標量元素為:  也可以記作列向量的形式:

  叉積可以表達為這樣的行列式:  這個行列式可以使用薩呂法則或拉普拉斯展開計算。使用薩呂法則可以展開為:  使用拉普拉斯展開可以沿第一行展開為: 都可以直接得到結果向量。

  

  對於任意三個向量 formula_2、formula_3、formula_17,  一般來說,向量叉積不遵守約簡律,即 formula_77 不表示 formula_78。此外,formula_79 不表示 formula_80 或 formula_81。  但對於兩個非零向量 formula_2 和 formula_3,

  如果以向量 formula_2 和 formula_3 為邊構成一個平行四邊形,那麼這兩個向量叉積的模長與這個平行四邊形的正面積相等(如圖1):  同時,如果以向量 formula_2、formula_3、formula_17 為稜構成一個平行六面體,那麼這個平行六面體的體積 formula_93 也可以通過叉積和點積的組合得到,這種積稱作標量三重積(如圖2):  因為標量三重積可能為負,平行六面體的體積需要取其絕對值:  因為叉積的模長與其引數夾角的正弦有關,可以認為叉積是「垂直度」的度量,正如點積是「平行度」的度量一樣。對於任意兩個單位向量,叉積為1意味著它們互相垂直,叉積為0意味著它們互相平行。點積則相反:點積為0意味著它們互相垂直。  單位向量還能帶來兩個特性:兩個單位向量的點積是它們夾角的餘弦(可正可負);它們叉積的模長則為夾角的正弦(始終為正)。

  對於實數 formula_96 和兩個向量值函式 formula_97、formula_98,乘積法則成立:

  給定直角座標系的單位向量formula_43,formula_44,formula_45滿足下列等式:  通過這些規則,兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設  則  叉積也可以用四元數來表示。注意到上述 formula_43、formula_44、formula_45 之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量["a", "a", "a"]表示成四元數"a""i" + "a""j" + "a""k",兩個向量的叉積可以這樣計算:計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉。

  七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。  七維叉積具有與三維叉積相似的性質:

  另外,在物理學力學、電磁學、光學和計算機圖形學等理工學科中,叉積應用十分廣泛。例如力矩、角動量、洛倫茲力等向量都可以由向量的叉積求解。在進行這些物理量的計算時,往往可以藉助右手定則輔助判斷方向。
在數學和向量代數領域,叉積(英語:Cross product)又稱向量積(英語:Vector product),是對三維空間中的兩個向量的二元運算,使用符號 formula_1。與點積不同,它的運算結果是向量。對於線性無關的兩個向量 formula_2 和 formula_3,它們的叉積寫作 formula_4,是 formula_2 和 formula_3 所在平面的法線向量,與 formula_2 和 formula_3 都垂直。叉積被廣泛運用於數學、物理、工程學、電腦科學領域。