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  投影的嚴格定義是:一個從向量空間V射到它自身的線性變換 "P" 是投影,當且僅當formula_4。另外一個定義則較為直觀:"P" 是投影,當且僅當存在V的一個子空間W,使得 "P" 將所有V中的元素都對映到W中,而且 "P" 在W上是恆等變換。用數學的語言描述,就是:

  在現實生活中,陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿著同一個方向(比如說垂直於地面的角度)照射而來,大地是嚴格的平面,那麼,對於任意一個物體(比如說一隻正在飛行的鳥),它的位置可以用向量 ("x", "y", "z") 來表示,而這隻鳥在陽光下對應著一個影子,也就是 ("x", "y", 0)。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量 ("x", "y", "z") 到對映到向量 ("x", "y", 0) 。這是在 "x"-"y" 平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為  因為對任意一個向量 ("x", "y", "z"),這個矩陣的作用是:  注意到如果一個向量原來就是表示地面上的一點的話(也就是說它的"z"分量等於0),那麼經過變換 "P" 後不會有改變。也就是說這個變換在子空間 "x"-"y" 平面上是恆等變換,這證明了 "P" 的確是一個投影。  另外, 所以 "P" = "P",這也證明 "P" 的確是投影。

  這裡假定投影所在的向量空間W是有限維的(因此不需要考慮如投影的連續性之類的問題)。假設子空間U與V分別為 "P" 的像空間與零空間(也叫做核)。那麼按照定義,有如下的基本性質:  用抽象代數的術語來說,投影 "P" 是冪等的線性變換("P" = "P")。因此它的極小多項式是formula_22。因式分解後可以看到,這個多項式只有相異的單根(沒有多重根),因此 "P" 是可對角化矩陣。極小多項式也顯示出了投影的特性: 像空間與零空間分別是是對應於特徵值1和0的特徵空間,並給出了整個空間的一個直和分解。  正如日常生活中陽光沿著一定的方向將影子投射到地面上,一般的投影變換也可以稱為是沿著W到U上的投影。由於向量空間分解成直和的方式一般不是唯一的(陽光可以順著不同的方向照射),給定一個子空間 "V"(地面),一般的說有很多到"V" 的投影(沿不同的W)。

  如果向量空間被賦予了內積,那麼就可以定義正交和其它相關的概念(比如線性運算元的自伴隨性)了。在內積空間(賦予了內積的向量空間)中,有正交投影的概念。具體來說,正交投影是指像空間U和零空間W相互正交子空間的投影。也就是說,任意formula_23,formula_24,它們的內積formula_25都等於0。 一個投影是正交投影,當且僅當它是自伴隨的變換,這意味著正交投影的矩陣有特殊的性質。如果投影是在實向量空間中,那麼它對應的矩陣是對稱矩陣: formula_26。如果投影是在虛向量空間中,那麼它的矩陣則是埃爾米特矩陣:formula_27。實際上,如果投影 formula_28 是自伴運算元,那麼 所以 formula_28 是正交投影。反過來如果 formula_28 是正交投影,那麼 formula_36, 鑑於 formula_40 是任取的,必然有 formula_41。所以 formula_42 是一個自伴運算元,因此 formula_28 也是自伴運算元。

  正交投影的最簡單的情況是到(過原點)直線上的正交投影。如果 "u" 是這條直線的單位方向向量,則投影給出為 這個運算元保留 "u" 不變(formula_45),並且它作用在所有正交於 "u" 的向量上都是0(如果formula_46,那麼 formula_47),證明它的確是到包含 "u" 的直線上的正交投影。  這個公式可以推廣至到在任意維的子空間上的正交投影。設 "u",..., "u" 是子空間 "U" 的一組正交基,並設 "A" 為一個"n"×"k" 的矩陣,它的列向量是 "u",..., "u"。那麼投影:  也是正交的。矩陣 "A" 是在 "U" 的正交補變為零的偏等距同構,而 "A" 是把 "U" 嵌入底層向量空間的等距同構。"P" 的值域因此是 "A" 的“終空間”(final space)。"A""A" 是在 "U" 上的恆等運算元也是明顯的。  正交條件也可以去除。如果 "u",..., "u" 是(不必須正交)基,而 "A" 是有這些向量作為列的矩陣,則投影是  矩陣 "A" 仍把 "U" 嵌入到低層向量空間中但一般不再是等距的。矩陣 ("A""A") 是恢復規範的“規範化因子”。例如,秩-1 運算元 "uu" 不是投影,如果 ||"u"|| ≠ 1。在除以 "u""u" = \|"u"\| 之後,我們得獲得了到 "u" 所生成的子空間的投影 "u"("u""u")"u"。  所有這些公式對於複數內積空間也成立,假如用共軛轉置替代轉置。

  術語斜投影有時用來提及非正交投影。這些投影也用來在二維繪圖中表示空間圖形(參見斜投影),儘管不如正交投影常用。  斜投影用它們的值域和零空間來定義。有給定值域和零空間的投影的矩陣表示的公式可如下這樣找到。設向量 "u",..., "u" 形成了投影的值域的基,並把這些向量組合到 "n"×"k" 矩陣 "A" 中。值域和零空間是互補空間,所以零空間有維度 "n" − "k"。它推出零空間的正交補有維度 "k"。設 "v",..., "v" 形成這個投影的零空間的正交補的基,並把這些向量組合到矩陣 "B" 中。則投影定義為 這個表示式一般化上面給出的正交投影公式。

  當底層向量空間 "X" 是(不必需有限維)賦範向量空間,需要考慮無關於有限維情況的分析問題,假定現在 "X" 是巴拿赫空間。  上面討論的多數代數概念轉移到這個上下文後倖存下來了。給定的 "X" 的直和分解成補子空間仍指定一個投影,反之亦然。如果 "X" 是直和 "X" = "U" ⊕ "V",則定義自 "P"("u" + "v") = "u" 的運算元仍是有值域 "U" 和核 "V" 的投影。明顯的也 "P" = "P"。反過來說,如果 "P" 是在 "X" 上的投影,就是說 "P" = "P",則很容易驗證 ("I" − "P") = ("I" − "P")。換句話說,("I" − "P") 也是投影。關係 "I" = "P" + ("I" − "P") 蘊涵了 "X" 是直和 Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。  但是相對於有限維情況,投影一般不必須是連續的。如果 "X" 的子空間 "U" 在規範拓撲下不閉合,則到 "U" 上的投影是不連續的。換句話說,連續投影 "P" 的值域一定是閉合子空間。進一步的,連續投影(事實上,一般的連續線性運算元)的核是閉合的。所以連續投影 "P" 把 "X" 分解成兩個互補的閉合子空間: "X" = Ran("P") ⊕ Ker("P") = Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。  反命題在有額外假定條件下也成立。假設 "U" 是 "X" 的閉合子空間。如果存在一個閉合子空間 "V" 使得 "X" = "U" ⊕ "V",則有值域 "U" 和核 "V" 的投影 "P" 是連續的。這是從閉合圖定理推出的。假定 "x" → "x" 而 "Px" → "y"。需要證明 "Px" = "y"。因為 "U" 是閉合的且 {"Px"} ⊂ "U", "y" 位於 "U" 中,就是說 "Py" = "y"。還有 "x" − "Px" = ("I" − "P")"x" → "x" − "y"。因為 "V" 是閉合的且 {("I" − "P")"x"} ⊂ "V",我們有了 "x" − "y" ∈ "V",就是說 "P"("x" − "y") = "Px" − "Py" = "Px" − "y" = 0,這證明了這個斷言。  上述論證利用 "U" 和 "V" 都是閉合的假定。一般的說,給定一個閉合子空間 "U", 不需要存在一個互補的閉合子空間 "V",儘管對於希爾伯特空間總是可以採取正交補得到。對於巴拿赫空間,一維子空間總是有閉合的補子空間。這是 哈恩-巴拿赫定理的直接推論。設 "U" 是 "u" 的線性擴張。通過哈恩-巴拿赫定理,存在一個有界線性泛函 "φ",使得 "φ"("u") = 1。運算元 "P"("x") = "φ"("x")"u" 滿足 "P" = "P",就是說它是個投影。"φ" 的有界性蘊涵了 "P" 的連續性,因此 Ker("P") = Ran("I" − "P") 是 "U" 的閉合補子空間。

  投影(正交與非正交投影)在演算法領域和特定線性代數問題中有重要應用。
線上性代數和泛函分析中,投影是從向量空間對映到自身的一種線性變換formula_1,滿足formula_2,也就是說,當formula_1兩次作用於某個值,與作用一次得到的結果相同(冪等)。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同現實中陽光將事物投影到地面上一樣,投影變換將整個向量空間對映到它的其中一個子空間,並且在這個子空間中是恆等變換。