Can you summarize the following document?
        
  康托爾在1874年-1884年引入最原始的集合論(現稱樸素集合論)時,首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合formula_2和formula_3,它們並非"相同",但有"相同的基數"。驟眼看來,這是顯而易見,但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素?  康托爾的答案,是透過所謂的一一對應,即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到,兩個集合的基數自然相同。這答案,容易理解但卻是革命性的,因為用相同的方法即可比較任意集合的大小,包括無窮集合。  最先被考慮的無窮集合是自然數集formula_4及其無限子集。他把所有與formula_5能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是,原來formula_5的所有無限子集都能與formula_5一一對應。他把formula_5的基數稱為formula_9,是最小的艾禮富數。  康托爾發現,原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初,他嘗試證明是否所有無限集合均是可數,其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證,而在他1891年的論文中,他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數,記作c,代表連續統。  接著康托爾構作一個比一個大的集合,得出一個比一個大的基數,而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論,需要一個新的語言描述,這就是康托爾發明集合論的主因。  康托爾隨後提出連續統假設:c就是第二個超窮基數formula_10,即継formula_9之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的,即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。

  在非正式使用中,基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於formula_12的自然數(就是formula_13)。計數可以形式化地定義為有限基數,而無限基數只出現在高等數學和邏輯中。  更正式地,一個非零的數可以用於兩個目的:描述一個集合的大小,或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列,可以輕易的看出著兩個概念是相符的,因為對於所有描述在序列中的一個位置的數,我們可以構造一個有正好大小的集合,比如3描述了formula_14在序列formula_15中的位置,並且我們可以構造有三個元素的集合formula_16。但是在處理無限集合的時候,在這兩個概念之間的區別是本質的—這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置的方面會引申出序數的概念,而大小則被這裡描述的基數所廣義化。  在基數的形式定義背後的直觀想法是,可以構造一個記號來指明集合的相對大小,而不需理會它有哪些種類的成員。對於有限集合這是容易的;只需簡單的數算一個集合的成員數目。為了比較更大集合的大小,得藉助更加巧妙的概念。  一個集合formula_17至少等大小於(或稱大於等於)一個集合formula_18,如果有從formula_18到formula_17的一個單射(一一對映)。一一對映對集合formula_18的每個元素確定了一個唯一的集合formula_17的元素。通過例子就最易理解了;假設有集合formula_23和formula_24,我們可以注意到有一個對映: 這是一對一的,使用上述的大小概念,我們因此總結出formula_17有大於等於formula_18的勢。注意元素formula_30沒有元素對映到它,但這是允許的,因為我們只要求一一對映,而不必須是一對一併且完全的對映。這個概念的好處是它可以擴充套件到無限集合。  我們可以把這個概念擴充套件到一個類似於等式的關係。兩個集合X和formula_17被稱為有相同的'勢',如果存在formula_18和formula_17之間的雙射。通過Schroeder-Bernstein定理,這等價於有從formula_18到formula_17和從formula_17到formula_18的兩個一一對映。我們接著記之為 formula_38。formula_18的基數自身經常被定義為有著 formula_40 的最小序數formula_41。這叫做馮·諾伊曼基數指派;為使這個定義有意義,必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢;這個陳述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字,討論集合之間相對的勢還是可以的。  一個經典例子是無限旅館悖論,也叫做希爾伯特旅館悖論。假設你是有無限個房間的旅館主人。旅館客滿,而又來了一個新客人。可以讓在房間1的客人轉移到房間2,房間2的客人轉移到房間3,以此類推,騰空房間1的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個對映的一個片段: 在這種方式下我們可以看出集合formula_46和集合formula_47有相同的勢,因為已知這兩個集合之間存在雙射。這便給"無限集合"提供了一個合適的定義,即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合;在上面的例子中formula_47是formula_46的真子集。  當我們考慮這些大物件的時候,我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。事實上是不一致的;通過考慮上面的例子,我們可以看到如果有“比無限大一”的某個物件存在,它必須跟起初的無限集合有一樣的勢。這時候可以使用另一種稱為序數的形式概念,它是建基於計數並依次考慮每個數的想法上。而我們會發現,勢和序(ordinality)的概念對於無限的情況是有分歧的。  可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢。透過對角論證法可以一目瞭然;跟勢相關的經典問題(比如連續統假設)主要關注在某一對無限基數之間是否有別的基數。現時數學家已經在描述更大更大基數的性質。  因為基數是數學中如此常用的概念,有各種各樣的名字指涉它。勢相同有時也叫做等勢、均勢或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此稱有相同勢的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。

  首先,給出集合formula_18和formula_17,我們稱formula_18的勢小於等於formula_17,記作 formula_54,當且僅當存在由formula_18到formula_17的單射;稱formula_18的勢與formula_17相等,記作 formula_38, 當且僅當存在由formula_18到formula_17的雙射(即一一對應)。  康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理指出如果 formula_54 及 formula_63 則 formula_38。  假設選擇公理,所有集合都可良序,且對於所有集合formula_18與formula_17,有 formula_54 或 formula_63。因此,我們可以定義序數,而 集合formula_18的基數則是與formula_18等勢的最小序數formula_71。  (若不接受選擇公理,我們也可對非良序集formula_18定義基數,就是所有與formula_18等勢的集的階中最小者。)

  自然數的一種定義是formula_74。可以見到,與數formula_75等勢的集必有formula_75個元素。如集合formula_77的基數為formula_78。  以下是有限集的三個等價定義:它與某自然數等勢;它只有一個等勢的序數,就是它的基數;它沒有等勢的真子集。

  最小的無限集合是自然數集。formula_79與formula_80基數相同,因為可以讓前一集合的formula_81與後一集合的formula_82一一對應。從這個例子可以看出,對於一個無窮集合來說,它可以和它的一個真子集有相同的基數。  以下是無限集的四個等價定義:它不與任何自然數等勢;它有超過一個等勢的序數;它有至少一個真子集和它等勢;存在由自然數集到它的單射。

  我們可在基數上定義若干算術運算,這是對自然數運算的推廣。  給出集合formula_18與formula_17,定義 formula_85,則基數和是 若formula_18與formula_17不相交,則 formula_89。  基數積是 其中formula_91是formula_18和formula_17的笛卡兒積。  基數指數是 其中formula_95是所有由formula_17到formula_18的函式的集合。  在有限集時,這些運算與自然數無異。一般地,它們亦有普通算術運算的性質:  無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。若formula_18與formula_17皆非空而其中之一為無限集,則

  對每一個基數,存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是formula_9,康托爾稱下一個為formula_10,相類似的,還定義瞭如下一個序列:formula_111。  注意formula_112。連續統假設猜想,就是formula_113。  連續統假設是與一般集論公理(即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理)是獨立的。  更一般的假設,即formula_114。  廣義連續統假設,就是對所有無窮基數formula_115,都不存在介乎formula_116與formula_117之間的基數。
在日常交流中,基數或量數是對應量詞的數,例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對,序數是對應排列的數,例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。