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  人們對概率總是有一點觸控不清的感覺,而事實上也有很多看似奇異的結果:  如果每週都買一組不相同的號,一年有52周,則在實驗越多次(一直買直到中獎算一次)之後,平均中獎所花的時間會越接近formula_18。 事實上,即使每週買相同的號,獲得頭獎的概率也是相同的。 但假設每週實際中獎的組合都不重複,268919年的算術推論是正確的,這說明概率和其他數學理論可能匯出不同的結論。 古典概率論說:一樣。 但實際上機械或綵球製造上都有些微小的差異,所以每組概率不一定完全相同,但必須累積多期開獎結果後才看得出來。 不可思議的是,在這23人當中至少有兩個人的生日是在同一天的概率要大於50%。 如果這23人都沒有相同的生日也不違反概率,只是小於50%。 這種判斷也是錯誤的,即出現黑色的概率每次是相等的,因為球本身並沒有「記憶」, 它不會意識到以前都發生了什麼,其概率始終是formula_19。 但輪盤的前後期開獎數字形成時間序列(可能存在自迴歸模型)。 遊戲規則是,參賽者先選取一扇門,但在他開啟之前,主持人在其餘兩扇門中開啟了一扇有山羊的門, 並詢問參賽者是否改變主意選擇另一扇門,以使贏得名車的概率變大。  正確的分析結果是,假如不管開始哪一扇門被選,主持人都開啟其餘兩扇門中有山羊的那一扇並詢問參賽者是否改變主意, 則改變主意會使贏得汽車的概率增加一倍;(「標準」的三門問題情況。) 假如主持人只在有名車那扇門被選中時勸誘參賽者開啟其它門,則改變主意必輸。(資訊不對稱)

  作為數學統計基礎的概率論的創始人分別是法國數學家帕斯卡和費馬,其可追溯到公元17世紀。當時的法國宮廷貴族裡盛行著擲骰子游戲,遊戲規則是玩家連續擲4次骰子,如果其中沒有6點出現,玩家贏,如果出現一次6點,則莊家(相當於現在的賭場)贏。按照這一遊戲規則,從長期來看,莊家扮演贏家的角色,而玩家大部分時間是輸家,因為莊家總是要靠此維生的,而當時人們也接受了這種現象。  後來為了使遊戲更刺激,遊戲規則發生了些許變化,玩家這回用2個骰子連續擲24次,不同時出現2個6點,玩家贏,否則莊家贏。當時人們普遍認為,2次出現6點的概率是一次出現6點的概率的1 / 6,因此6倍於前一種規則的次數,也既是24次贏或輸的概率與以前是相等的。然而事實卻並非如此,從長期來看,這回莊家處於輸家的狀態,於是他們去請教當時的數學家帕斯卡,求助其對這種現象作出解釋。  其他對概率論的發展作出重要貢獻的人還有荷蘭物理、數學家惠更斯,瑞士物理、數學家伯努利,法國數學家棣莫弗,法國數學、天文學家拉普拉斯,德國數學家高斯,法國物理、數學家泊松,義大利數學、醫學家卡爾達諾以及蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫。

  

  在一次隨機試驗中可能發生的不能再細分的結果被稱為基本事件,或者稱為單位事件,用 formula_20 表示。在隨機試驗中可能發生的所有單位事件的集合稱為事件空間,用 formula_21 來表示。例如在一次擲骰子的隨機試驗中,如果用獲得的點數來表示單位事件,那麼一共可能出現 6 個單位事件,則事件空間可以表示為 formula_22。  上面的事件空間是由可數有限單位事件組成,事實上還存在著由可數無限以及不可數單位事件組成的事件空間,比如在一次獲得正面朝上就停止的隨機擲硬幣試驗中,其事件空間由可數無限單位事件組成,表示為:formula_23{ 正,反正,反反正,反反反正,反反反反正,···},注意到在這個例子中"反反反正"是單位事件。將兩根筷子隨意扔向桌面,其靜止後所形成的交角假設為 formula_24,這個隨機試驗的事件空間的組成可以表示為 formula_25。  隨機事件是事件空間 formula_21 的子集,它由事件空間 formula_21 中的單位元素構成,用大寫字母 formula_28 表示。例如在擲兩個骰子的隨機試驗中,設隨機事件 formula_2 = “獲得的點數和大於10”,則 formula_2 可以由下面 3 個單位事件組成:formula_31。  如果在隨機試驗中事件空間中的所有可能的單位事件都發生,這個事件被稱為 必然事件,表示為 formula_32 ;相應的如果事件空間裡不包含任何一個單位事件,則稱為不可能事件,表示為 formula_33 。

  因為事件在一定程度上是以集合的含義定義的,因此可以把集合計算方法直接應用於事件的計算,也就是說,在計算過程中,可以把事件當作集合來對待。  在輪盤遊戲中假設 formula_2 代表事件「球落在紅色區域」,formula_4 代表事件"球落在黑色區域",因為事件 formula_2 和 formula_4 沒有共同的單位事件,因此可表示為  formula_38  注意到事件 formula_2 和 formula_4 並不是互補的關係,因為在整個事件空間 formula_21 中還有一個單位事件「零」,其即不是紅色也不是黑色,而是綠色,因此 formula_42 的補集應該分別表示如下:  formula_43formula_44

  

  傳統概率的定義是由法國數學家拉普拉斯 ( Laplace ) 提出的。如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的,且每個單位事件發生的可能性均相等,則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗。在拉普拉斯試驗中,事件 formula_2 在事件空間 formula_21 中的概率 formula_1 為:  例如,在一次同時擲一個硬幣和一個骰子的隨機試驗中,假設事件 formula_2 為獲得國徽面且點數大於 4,那麼事件 formula_2 的概率應該有如下計算方法:formula_23 { ( 國徽,1 點 ),( 數字,1 點 ),( 國徽,2 點 ),( 數字,2 點 ),( 國徽,3 點 ),( 數字,3 點 ),( 國徽,4 點 ),( 數字,4 點 ),( 國徽,5 點 ),( 數字,5 點 ),( 國徽,6 點 ),( 數字,6 點 ) },formula_2={( 國徽,5 點 ),( 國徽,6 點 )},按照拉普拉斯定義,formula_2 的概率為,  注意到在拉普拉斯試驗中存在著若干的疑問,在現實中是否存在著其單位事件的概率具有精確相同的概率值的試驗? 因為我們不知道,硬幣以及骰子是否完美,即骰子製造的是否均勻,其重心是否位於正中心,以及輪盤是否傾向於某一個數字。 儘管如此,傳統概率在實踐中被廣泛應用於確定事件的概率值,其理論根據是: 如果沒有足夠的論據來證明一個事件的概率大於另一個事件的概率,那麼可以認為這兩個事件的概率值相等。  如果仔細觀察這個定義會發現拉普拉斯用概率解釋了概率,定義中用了相同的可能性 ( 原文是 également possible )一詞,其實指的就是"相同的概率"。這個定義也並沒有說出,到底什麼是概率,以及如何用數字來確定概率。在現實生活中也有一系列問題,無論如何不能用傳統概率定義來解釋,比如,人壽保險公司無法確定一個 50 歲的人在下一年將死去的概率。

  繼傳統概率論之後,英國邏輯學家約翰·維恩和奧地利數學家理查德提出建立在頻率理論基礎上的統計概率。他們認為,獲得一個事件的概率值的唯一方法是通過對該事件進行 100 次,1000 次或者甚至 10000 次的前後相互獨立的 formula_54 次隨機試驗,針對每次試驗均記錄下絕對頻率值formula_55(A)和相對頻率值 formula_56(A),隨著試驗次數 formula_54 的增加,會出現如下事實,即相對頻率值會趨於穩定,它在一個特定的值上下浮動,也即是說存在著一個極限值 formula_1,相對頻率值趨向於這個極限值。這個極限值被稱為統計概率,表示為:  例如,若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得 6 點的概率值可以對其進行 3000 次前後獨立的扔擲試驗,在每一次試驗後記錄下出現 6 點的次數,然後通過計算相對頻率值可以得到趨向於某一個數的統計概率值。  上面提到的這個有關相對頻率的經驗規律是大數定律在現實生活中的反映,大數定律是初等概率論的基礎。統計概率在今天的實踐中依然具有重要意義,特別是在初等概率論及數理統計等學科中。

  與初等概率論相對的,是“現代概率論”。因“測度論”的研究與發展,現代概率論得以建立公理化系統。一些曾經無法用初等概率論解釋的概念因此得以用公理化的語言進行解釋,可以說現代概率論以測度論為理論基礎終於得以完善,完成了其現代化程序。現代概率論由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫於1933年建立公理化。

  如果一個函式formula_60指定給每一個事件空間 formula_21 中的事件 formula_2 一個實數 formula_1,並且其滿足下面的 3 個公理,那麼函式 formula_64 叫做概率函式,相應的 formula_1 叫做事件 formula_2 的概率。

  需要提及的是下面將要介紹的 9 個計算概率的定理與上面已經提及的事件的計算沒有關係,所有關於概率的定理均由概率的 3 個公理得來,同時適用於包括拉普拉斯概率和統計概率在內的所有概率理論。

  與 formula_2 互補事件的概率始終是 <noinclude>  利用互補法則,可以解決下面這個問題,在兩次連續旋轉的輪盤遊戲中,至少有一次是紅色的概率是多少?第一次旋轉紅色不出現的概率是 19/37,按照乘法法則,第二次也不出現紅色的概率是 (19/37) = 0.2637,因此在這裡互補概率就是指在兩次連續旋轉中至少有一次是紅色的概率,formula_69

  不可能事件的概率為零:  <noinclude>

  如果若干事件 formula_71 每兩兩之間是空集關係,那麼這些所有事件集合的概率等於單個事件的概率的和。 注意針對這一定理有效性的決定因素是 formula_73 事件不能同時發生。例如,在一次擲骰子中,得到 5 點或者 6 點的概率是:

  如果事件 formula_2,formula_4 是差集關係,則有, <noinclude>

  對於事件空間 formula_21 中的任意兩個事件 formula_2 和 formula_4,有如下定理: <noinclude>  例如,在由一共 32 張牌構成的斯卡特撲克牌中隨機抽出一張,其或者是"方片"或者是"formula_83"的概率是多少?  事件 formula_2,formula_4 是或者的關係,且可同時發生,就是說抽出的這張牌即可以是"方片",又可以是"formula_83",formula_2 ∩ formula_4 ( 既發生 formula_2 又發生 formula_4 ) 的值是 1 / 32,( 從示意圖上也可以看出,即是方片又是formula_83只有一張,即概率是 1 / 32 ),因此有如下結果:formula_92  注意到公理 3 是定理 5 的特殊情況,即 formula_2,formula_4 不同時發生,相應的 P(A∩B)=0

  事件 formula_2,formula_4 同時發生的概率是:  公式中的 formula_98 是指在 formula_4 條件下 formula_2 發生的概率,又稱作條件概率。回到上面的斯卡特遊戲中,在 32 張牌中隨機抽出一張,即是方片又是formula_83的概率是多少呢?現用 formula_1 代表抽出方片的概率,用 formula_103 代表抽出formula_83的概率,很明顯,formula_2,formula_4 之間有一定聯絡,即 formula_2 裡包含有 formula_4,formula_4 裡又包含有 formula_2,在 formula_2 的條件下發生 formula_4 的概率是 P(B | A)=1/8,則有:  formula_113  或者,formula_114從上面的圖中也可以看出,符合條件的只有一張牌,即方片formula_83。  另一個例子,在 32 張斯卡特牌裡連續抽兩張 ( 第一次抽出的牌不放回去 ),連續得到兩個formula_83的概率是多少呢?設 formula_2,formula_4 分別為連續發生的這兩次事件,我們看到,formula_2,formula_4 之間有一定聯絡,即 formula_4 的概率由於 formula_2 發生了變化,屬於條件概率,按照公式有:formula_123

  兩個不相關聯的事件 formula_2,formula_4 同時發生的概率是: 注意到這個定理實際上是定理 6 (乘法法則) 的特殊情況,如果事件 formula_2,formula_4 沒有聯絡,則有 P(A|B)=P(A),以及 P(B|A)=P(B)。現在觀察一下輪盤遊戲中兩次連續的旋轉過程,formula_129 代表第一次出現紅色的概率,formula_130 代表第二次出現紅色的概率,可以看出,formula_2 與 formula_4 沒有關聯,利用上面提到的公式,連續兩次出現紅色的概率為:  formula_133  忽視這一定理是造成許多玩家失敗的根源,普遍認為,經過連續出現若干次紅色後,黑色出現的概率會越來越大,事實上兩種顏色每次出現的概率是相等的,之前出現的紅色與之後出現的黑色之間沒有任何聯絡,因為球本身並沒有「記憶」,它並不「知道」以前都發生了什麼。同理,連續 10 次出現紅色的概率為 P=(18/37) =0.0007

  formula_54 個事件 formula_135 互相間獨立,且共同組成整個事件空間 formula_21,即 formula_137,formula_138 以及 formula_139 這時 formula_2 的概率可以表示為, <noinclude> 例如,一個隨機試驗工具由一個骰子和一個櫃子中的三個抽屜組成,抽屜 1 裡有 14 個白球和 6 個黑球,抽屜 2 裡有 2 個白球和 8 個黑球,抽屜 3 裡有 3 個白球和 7 個黑球,試驗規則是首先擲骰子,如果獲得小於 4 點,則抽屜 1 被選擇,如果獲得 4 點或者 5 點,則抽屜 2 被選擇,其他情況選擇抽屜 3 。然後在選擇的抽屜裡隨機抽出一個球,最後抽出的這個球是白球的概率是:  P(白)=P(白|抽1)·P(抽1)+P(白|抽2)·P(抽2)+P(白|抽3)·P(抽3)  從例子中可看出,完全概率特別適合於分析具有多層結構的隨機試驗的情況。

  貝葉斯定理由英國數學家托馬斯·貝葉斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 發展,用來描述兩個條件概率之間的關係,比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照定理 6 的乘法法則,P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B),可以立刻匯出貝葉斯定理: 例如:一座別墅在過去的 20 年裡一共發生過 2 次被盜,別墅的主人有一條狗,狗平均每週晚上叫 3 次,在盜賊入侵時狗叫的概率被估計為 0.9,問題是:在狗叫的時候發生入侵的概率是多少?我們假設 formula_2 事件為狗在晚上叫,formula_4 為盜賊入侵,則 formula_145,formula_146=2/(20·365.25)=2/7305,P(A | B) = 0.9,按照公式很容易得出結果:formula_147  另一個例子,現分別有 formula_2,formula_4 兩個容器,在容器 formula_2 裡分別有 7 個紅球和 3 個白球,在容器 formula_4 裡有 1 個紅球和 9 個白球,現已知從這兩個容器裡任意抽出了一個球,且是紅球,問這個紅球是來自容器 formula_2 的概率是多少?  假設已經抽出紅球為事件 formula_4,從容器 formula_2 裡抽出球為事件 formula_2,則有:formula_130 = 8 / 20,formula_129 = 1 / 2,formula_158 = 7 / 10,按照公式,則有:formula_159

  雖然概率論最早產生於17世紀,然而其公理體系只在20世紀的20至30年代才建立起來並得到迅速發展,在過去的半個世紀裡概率論在越來越多的新興領域顯示了它的應用性和實用性,例如:物理、化學、生物、醫學、心理學、社會學、政治學、教育學,經濟學以及幾乎所有的工程學等領域。特別值得一提的是,概率論是今天數理統計的基礎,其結果被用做問卷調查的分析資料或者對經濟前景進行預測。
概率論(英語:Probability theory)是集中研究概率及隨機現象的數學分支,是研究隨機性或不確定性等現象的數學。概率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。對於隨機事件是不可能準確預測其結果的,然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等,會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律,兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數定律和中心極限定理。