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  人們知道,區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更復雜的集合。  我們想構造一個對映,它能將實數集的子集 對映到非負實數,並稱這個數為集合 的測度。最理想的情況下, 應該具有以下性質:  遺憾的是,這樣的對映是不存在的。人們只能退而求其次,尋找滿足其中部分條件的對映。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度,它只滿足可數可加性。

  區間formula_2的長度定義為formula_3。對formula_4,勒貝格外測度定義為  對每一列能覆蓋formula_5的開區間formula_6,作長度和formula_7。所有這些formula_8組成一個有下界的數集,下確界稱為勒貝格外測度,記做formula_9。  勒貝格測度定義在勒貝格σ代數上  formula_10  對勒貝格可測集,其勒貝格測度就等於勒貝格外測度。  不在勒貝格σ代數中的集合不是勒貝格可測的,這樣的集合確實存在,故勒貝格σ代數嚴格包含於formula_11的冪集。

  設集合 與 是在 上的集合。勒貝格測度有如下的性質:  簡要地說,formula_18的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的σ-代數,且 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足formula_36 的測度。  勒貝格測度是σ-有限測度。

  formula_18的子集 "A" 是零測集,如果對於任意formula_23,"A" 都可以用可數多個盒(即 "n" 個區間的乘積)來覆蓋,且其總體積最多為formula_39。所有可數集都是零測集。  如果formula_18的子集的豪斯多夫維數小於formula_41,那麼它是關於"formula_41"維勒貝格測度的零測集。在這裡,豪斯多夫維數是相對於formula_18上的歐幾里得度量(或任何與其利普希茨等價的度量)而言。另一方面,一個集合可能拓撲維數小於formula_41,但具有正的formula_41維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集,它的拓撲維數為0,但1維勒貝格測度為正數。  為了證明某個集合"A"是勒貝格可測的,我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合"B",與"A" 的對稱差是零測集,然後證明"B"可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。

  勒貝格測度的現代構造基於外測度,並應用卡拉西奧多裡擴張定理。  固定formula_46formula_47中的盒子是形如formula_48的集合,其中formula_49,連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為formula_50  對於formula_18的任何子集"A",可以定義它的外測度formula_52  然後定義集合"A"為勒貝格可測的,如果對於所有集合formula_55,都有:  這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。對於任何勒貝格可測的集合"A," 其勒貝格測度定義為formula_57  勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理,存在實數R的一個勒貝格不可測的子集。如果"A"是formula_47的子集,且其測度為正,那麼"A"便有勒貝格不可測的子集。  1970年,Robert M. Solovay證明了,在不帶選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論中,勒貝格不可測集的存在性是不可證的(見Solovay模型)。

  若 "A" 博雷爾可測,則其博雷爾測度與勒貝格測度一致;然而,更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的,但不是完備的。  哈爾測度可以定義在任何區域性緊群上,是勒貝格測度的一個推廣(帶有加法的formula_18是一個區域性緊群)。  豪斯多夫測度(參見豪斯多夫維數)是勒貝格測度的一個推廣,對於測量formula_18的維數比"n"低的子集是很有用的,例如R3上的曲線、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。  可以證明,無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。
在測度論中,勒貝格測度(Lebesgue measure)是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為1,2,3的情況,勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析,特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集;勒貝格可測集 的測度記作 。一般來說,我們允許一個集合的勒貝格測度為,但是即使如此,在假設選擇公理成立時, 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題,它是選擇公理的一個結果。