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  古德斯坦序列是由一種"以"n"為基底的瓜瓞式表示法" 的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制製表示法很像,但一般的進製表示法無法達到古德斯坦定理的目的。 在原本的 n 進製表示法,"n" 是一個大於 1 的自然數,而任一個自然數 "m" 則被改寫為一些由 "n" 的冪次的乘積的相加之和: 其中,每個係數 "a" 滿足,且。如在 2 進位制中, 所以, 35 的二進位制是 100011()。類似地,由 3 進製表示的 100 是 10201:  然而需注意的是,這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 2 和 3 。  將一個 "n" 進製表示轉換為瓜瓞式"n"基底表示法,首先要將每個指數改為 "n" 基底表示法。然後改寫指數中的指數,持續這個動作直到每個數都被改為以"n" 為基底表示法。  譬如, 2 進位制的 35 為 100011,將它改寫成以 "n" 為基底的瓜瓞式表示法為: () 。類似的,以"3"為基底的瓜瓞式表示法的 100 為

  古德斯坦序列 "G"("m") 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 "m" 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法,再將所有的 2 改為 3,再減去 1。更一般地,第 項的 為:  前幾個古德斯坦序列會很快地終止,如 "G"(3) 結束於第 6 步:  之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字,如 "G"(4) 開始如下:  "G"(4) 會一直遞增,直到基底為 formula_6 時,會達到最大值 formula_7,並在這裡停留 formula_6 步後,然後開始遞減。  這個序列到達 0 時,當時的基底為 formula_9。(有趣的是,這是個胡道爾數: formula_10。而且,對於所有起始值大於 4 的數,都是如此。)  不過,"G"(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。"G"(19) 成長更迅速,其開頭幾項如下:  儘管其成長如此迅速,古德斯坦定理說明了無論起始值為何,每個古德斯坦最終會終止於 0。

  古德斯坦定理的證明(需要使用皮亞諾算術以外的技巧)如下: 對於每個給定的古德斯坦序列 "G"("m"),我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 "P"("m"),而且是嚴格遞減和終止。所以"G"("m") 也必將停止,並且它只在達到 0 時才會終止。  對這個證明的常見的誤解在於認 "G"("m") 達到 0 是"因為"它被 "P"("m") 所支配。事實是,"P"("m") 對支配 "G"("m") 毫無作用。其重點在於: "G"("m")("k") 存在當且僅當 "P"("m")("k") 存在。於是,如果 "P"("m") 終止,則 "G"("m") 也如此。而 "G"("m") 只有在到逹 0 時才會終止。  我們可以定義函式 "f"("x"),將 x 改為以為基底的表示法,並將每個 換成第一個無窮序數 ω。 而序列 "P"("m") 中的每一項 "P"("m")("n") 則定義為 "f"("G"("m")("n"),"n+1")。譬如, 和 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。  我們可宣告 formula_11 。在古德斯坦序列中,將 "G"("m")("n") 改換基底後,將其記為 formula_12 。明顯的,formula_13,現在我們套用 "-1" 運算後,因為 formula_14,所以 formula_15。  譬如, formula_16 乃 formula_17,所以 formula_18 和 formula_19 是嚴格變小。需注意的是,若要計算 "f(G(m)(n),n+1)",我們要先將 "G"("m")("n") 改為以 為基底的表示法。所以如 formula_20 等的表示式,既不會是無意義的也非等同 formula_21 。  "P"("m") 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基關係,一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說,每個嚴格遞減的序數序列會停止(不可能無限)。但"P"("m")("n") 是由 "G"("m")("n") 計算出來的。 "G"("m")("n") 也必然停止,這意味著它會達到 0 。  雖然這個證明相當簡單,但"柯比-柏麗斯定理" (證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理)則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的countable nonstandard models。

  假設古德斯坦定理的定義中的「將"b"改為」的這個動作,將它改為,那麼這個序列會終止嗎? 更一般地,讓 "b", "b", "b",... 為任意整數列,然後讓第 項的 變成: 將 "G"("m")("n") 改為 "b" 的表示法,將 "b" 改為 再減 1 。 我們仍可斷言這個序列仍會終止。 擴充套件的證明則將 定義為如下: 將 "G"("m")("n") 改為 "b" 表示法,再將所有的 "b" 改為第一個無限序數 ω。 古德斯坦序列中,從"G"("m")("n")到的"改變基底"的這個運算並不會改變 "f" 的值。 譬如,如果 且, 則 formula_22。因此,序數 formula_23 是 嚴格大於 序數 formula_24。

  古德斯坦函式 formula_25 定義為由 "n" 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止,所以這是一個完全函式。要測定 formula_26 的快速成長,可由多種藉由標準基於序數體系中的函式,如Hardy hierarchy 中的 formula_27 函式,和 Löb and Wainer 的 高成長體系 formula_28 函式。  一些例子如下: (對於阿克曼函式和葛立恆數的界限,請參考 高成長體系。)

  古德斯坦定理可用於構造一個完全的可計算函式,但皮亞諾算術卻不能證明它是完全的。圖靈機可以有效地列舉古德斯坦序列;所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函式。這個圖靈機只需列舉出 "n" 的 古德斯坦序列,並在遇到 0 時結束,並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束,所以這個函式是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止,皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函式。
古德斯坦定理是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述,是在 1944 年由 魯本・古德斯坦所證明。其主要是在說明"古德斯坦序列"最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的(但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明)。這是繼哥德爾不完備定理和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε-induction 不可被證明之後,第三個被證明在皮亞諾算術中是不可證明的。之後的例子是 柏麗斯–哈靈頓定理。