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  "線性"字眼的意思是序列的每一專案是被定義為前一項的一種線性函式。係數和常數可能視n而定,甚至是非線性地。  一種特別的情況是當係數並不依照n而定。  齊次意思為關係的常數項為零。  為了要得到線性遞迴唯一的解,必須有一些起始條件,就是序列的第一個數字無法依照該序列的其他數字而定時,且必須設定為某些數值。

  遞迴關係式的解通常是由系統的方法中找出來,通常藉由使用生成函式(形式冪級數)或藉由觀察"r"是一種對"r"的特定數值之解的事實。  二階遞迴關係式的形式:  我們擁有解為"r":  兩邊除以formula_30我們可以得到:  這就是遞迴關係式的"特徵方程"。解出"r"可獲得兩個根(roots)formula_33,且如果兩個根是不同的,我們可得到解為  而如果兩個根是相同的(當"A"+4"B"=0),我們得到  "C"和"D"都是常數。  換句話說,將這種formula_36形式的方程式,用2代入n後,就得到上述的formula_37。常數"C"和"D"可以從"邊界條件(side conditions)"中得到,通常會像是「已知formula_38, formula_39」。

  斐波那契數是使用一種線性遞迴關係式來定義:  設若:formula_43當n趨於無限大之極限值存在,則其值為formula_44 formula_45恰為黃金分割值,1.618...,另一值則為0.618...,兩值互為倒數,也就是說1.618...分之1=0.618...,反之亦然。  起始條件為:  因此,斐波那契數的序列為:

  對於常係數非齊次線性遞推關係,我們可以用待定係數法來求出它的一個特解,而它的通解就是這個特解與對應的齊次遞推關係的通解的和。也可以使用迭代法求解,但只能得到確切的數值解,不能直接以解析式作答,該方法可利用計算機求解。

  一般情況下,常係數線性差分方程可以寫作:  則對應的齊次方程形式為:  則特徵方程為:  當特徵根非重根時,齊次解為:  當特徵根為重根時,若formula_53為特徵方程的formula_54重根,齊次解為:  特解formula_56的形式由激勵函式formula_57的形式決定。  一般情況,當激勵函式x(n)代入方程。  方程右方出現formula_58的形式,則特解選擇  當方程右方出現formula_60的形式,則特解選擇  當a不是特徵根時  當a是特徵根時  當a為r重根時  將特解帶入原方程,求出待定係數。根據邊界條件,可求出齊次節待定係數。

  我們用待定係數法來解以下的常係數非齊次線性遞推關係:  對應的齊次遞推關係  的齊次解是:  我們猜測特解的形式為:  代入原遞推關係中,我們便得到:  比較等式兩端的formula_69項的係數,可得:  比較等式兩端的formula_72項的係數,可得:  比較等式兩端的常數項,可得:  因此原遞推關係的通解為:

  數值求解常微分方程時,經常會遇到遞迴關係。例如,求解如下初值問題時  如採用尤拉法和步長"h",可以通過如下遞迴關係計算formula_79, formula_80 formula_81  線性一階微分方程組可以用離散化條目中介紹的方法解析地精確離散化。
在數學上,遞推關係(recurrence relation),也就是差分方程(difference equation),是一種遞推地定義一個序列的方程式:序列的每一專案是定義為前一項的函式。