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  若formula_1是奇質數且formula_1不能整除formula_3,則:  以勒讓德符號表示,即為: formula_10

  

  令"a" = 17。對於怎樣的質數"p",17是模"p"的二次剩餘呢?  根據判別法裡給出的準則,我們可以從小的質數開始檢驗。  首先測試"p" = 3。我們有:17 = 17 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3),因此17不是模3的二次剩餘。  再來測試"p" = 13。我們有:17 = 17 ≡ 1 (mod 13),因此17是模13的二次剩餘。實際上我們有:17 ≡ 4 (mod 13),而2 = 4.  運用同餘性質和勒讓德符號可以加快檢驗速度。繼續算下去,可以得到:

  哪些數是模17的二次剩餘?  我們可以手工計算: 於是得到:所有模17的二次剩餘的集合是formula_13。要注意的是我們只需要算到8,因為9=17-8,9的平方與8的平方模17是同餘的:9 = (−8) = 8 ≡ 13 (mod 17).(同理不需計算比9大的數)。  但是對於驗證一個數是不是模17的二次剩餘,就不必將所有模17的二次剩餘全部算出。比如說要檢驗數字3是否是模17的二次剩餘,只需要計算3 = 3 ≡ 81 ≡ ( − 4) ≡ − 1 (mod 17),然後由尤拉準則判定3不是模17的二次剩餘。  尤拉準則與高斯引理以及二次互反律有關,並且在定義尤拉-雅可比偽素數(見偽素數)時會用到。

  首先,由於formula_1是一個奇素數,由費馬小定理,formula_15。但是formula_16是一個偶數,所以有  formula_1是一個素數,所以formula_19和formula_20中必有一個是formula_1的倍數。因此formula_22模formula_1的餘數必然是1或-1。  若formula_3是模formula_1的二次剩餘,則存在formula_29,formula_1跟formula_31互質。根據費馬小定理得:  formula_1是一個奇素數,所以關於formula_1的原根存在。設formula_38是formula_1的一個原根,則存在formula_40使得formula_41。於是  formula_38是formula_1的一個原根,因此formula_38模formula_1的指數是formula_16,於是formula_16整除formula_49。這說明formula_50是一個偶數。令formula_51,就有formula_52。formula_3是模formula_1的二次剩餘。
在數論中,二次剩餘的尤拉判別法(又稱尤拉準則)是用來判定給定的整數是否是一個質數的二次剩餘。