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  如果"A"是一個 "m" × "n" 的矩陣,而"B"是一個 "p" × "q" 的矩陣,克羅內克積formula_1則是一個 "mp" × "nq" 的分塊矩陣 更具體地可表示為  我們可以更緊湊地寫為 formula_4

  

  克羅內克積是張量積的特殊形式,因此滿足雙線性與結合律: 其中,"A", "B" 和 "C" 是矩陣,而 "k" 是常量。  克羅內克積不符合交換律:通常,"A" ⊗ "B" 不同於 "B" ⊗ "A"。  "A" ⊗ "B"和"B" ⊗ "A"是排列等價的,也就是說,存在排列矩陣"P"和"Q",使得 如果"A"和"B"是方塊矩陣,則"A" ⊗ "B"和"B" ⊗ "A"甚至是排列相似的,也就是說,我們可以取"P" = "Q"。

  如果A、B、C和D是四個矩陣,且矩陣乘積AC和BD存在,那麼: 這個性質稱為“混合乘積性質”,因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出,A formula_12 B是可逆的當且僅當A和B是可逆的,其逆矩陣為:

  如果A是"n" × "n"矩陣,B是"m" × "m"矩陣,formula_14表示"k" × "k"單位矩陣,那麼我們可以定義克羅內克和formula_15為:

  假設A和B分別是大小為"n"和"q"的方塊矩陣。設λ,......,λ為A的特徵值,μ,......,μ為B的特徵值。那麼A formula_12 B的特徵值為: 於是可以推出,兩個矩陣的克羅內克積的跡和行列式為:

  如果A和B是長方矩陣,那麼我們可以考慮它們的奇異值。假設A有"r"個非零的奇異值,它們是: 類似地,設B的非零奇異值為: 那麼克羅內克積A formula_12 B有"r""r"個非零奇異值,它們是: 由於一個矩陣的秩等於非零奇異值的數目,因此我們有:

  矩陣的克羅內克積對應於線性對映的抽象張量積。特別地,如果向量空間"V"、"W"、"X"和"Y"分別具有基{v,..., v}、 {w,..., w}、{x,..., x}和{y,..., y},且矩陣"A"和"B"分別在恰當的基中表示線性變換"S" : "V" → "X"和"T" : "W" → "Y",那麼矩陣"A" ⊗ "B"表示兩個對映的張量積"S" ⊗ "T" : "V" ⊗ "W" → "X" ⊗ "Y",關於"V" ⊗ "W"的基{v ⊗ w, v ⊗ w,..., v ⊗ w,..., v ⊗ w}和"X" ⊗ "Y"的類似基。

  兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和,則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。參見第96個練習的答案。

  克羅內克積轉置運算子合分配律:

  克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如,考慮方程"AXB" = "C",其中"A"、"B"和"C"是給定的矩陣,"X"是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為 這樣,從克羅內克積的性質可以推出,方程"AXB" = "C"具有唯一的解,當且僅當"A"和"B"是非奇異矩陣。.  在這裡,vec("X")表示矩陣"X"的向量化,它是把"X"的所有列堆起來所形成的列向量。  如果把"X"的行堆起來,形成列向量"x",則formula_27也可以寫為formula_28 。
數學上,克羅內克積(英語:Kronecker product)是兩個任意大小的矩陣間的運算,表示為⊗。克羅內克積是外積從向量到矩陣的推廣,也是張量積在標準基下的矩陣表示。