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  變分法可能是從約翰·伯努利(1696)提出最速曲線(brachistochrone curve)問題開始出現的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必達(Marquis de l'Hôpital)的注意。但尤拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於1733年,他的《變分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了這門科學這個名字。尤拉對這個理論的貢獻非常大。  勒讓德(1786)確定了一種方法,但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓和萊布尼茨也是在早期關注這一學科,對於這兩者的區別Vincenzo Brunacci(1810)、高斯(1829)、泊松(1831)、Mikhail Ostrogradsky(1834)、和雅可比(1837)都曾做出過貢獻。Sarrus(1842)的由柯西(1844)濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch(1849)、Jellett(1850)、Otto Hesse(1857)、Alfred Clebsch(1858)、和Carll(1885)寫了一些其他有價值的論文和研究報告,但可能那個世紀最重要的成果是Weierstrass所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的,並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900年希爾伯特發表的23個問題中的第20和23個問題促進了其更深遠的發展。  在20世紀希爾伯特、埃米·諾特、Leonida Tonelli、昂利·勒貝格和雅克·阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。

  在理想情形下,一函式的極大值及極小值會出現在其導數為formula_1的地方。同樣地,求解變分問題時也可以先求解相關的尤拉-拉格朗日方程。以下以尋找連線平面上兩點formula_2和formula_3最短曲線的例子,說明求解的過程。曲線的長度為  其中  函式formula_8至少需為一階可微的函式。若formula_9是一個區域性最小值,而formula_10是一個在端點formula_11及formula_12取值為零並且至少有一階導數的函式,則可得到以下的式子  其中formula_14為任意接近formula_1的數字。  因此formula_16對formula_17的導數(A的一階導數)在formula_18時必為formula_1:  formula_20  此條件可視為在可微分函式的空間中,formula_21在各方向的導數均為formula_1。若假設formula_9二階可微(或至少弱微分存在),則利用分部積分法可得  其中formula_10為在兩端點皆為0的任意二階可微函式。這是變分法基本引理的一個特例:  其中formula_10為在兩端點皆為formula_1的任意可微函式。  若存在formula_29使formula_30,則在formula_31周圍有一區間的H也是正值。可以選擇formula_10在此區間外為formula_1,在此區間內為非負值,因此formula_34,和前提不合。若存在formula_29使formula_36,也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論:  由結論可推得下式:  因此兩點間最短曲線為一直線。  在一般情形下,則需考慮以下的計算式  其中"f"需有二階連續的導函式。在這種情形下,拉格朗日量L在極值formula_9處滿足尤拉-拉格朗日方程  不過在此處,尤拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件,並不是充分條件。

  費馬原理指出:光會沿著兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設formula_42為光的路徑,則光程可以下式表示:  其中折射率formula_44依材料特性而定。  若選擇formula_45,則formula_46的一階導數(formula_46對formula_14的微分)為:  將括號中的第一項用分部積分處理,可得尤拉-拉格朗日方程  光線的路徑可由上述的積分式而得。

  當光進入或離開透鏡面時,折射率會有不連續的變化。考慮  其中formula_53和formula_54是常數。在"x"<0或"x">0的區域,尤拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值,在二個區域光都以直線前進。而在"x"=0的位置,"f"必須連續,不過"f' "可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解尤拉-拉格朗日方程,則其變分量為  和formula_53相乘的係數是入射角的正弦值,和formula_54相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律,上述二項的乘積相等,因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

  費馬原理可以用向量的形式表示:令formula_58,而"t"為其引數,formula_59是曲線"C"引數化的表示,而令formula_60為其法線向量。因此在曲線上的光程長為  上述積分和t無關,因此也和"C"的參數列示方式無關。使曲線最短的尤拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式  其中  依P的定義可得下式  因此上述積分可改為下式  依照上式,若可以找到一個函式ψ,其梯度為"P",則以上的積分"A"就可以由在積分端點上ψ的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和ψ的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函式ψ,需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

  最優控制的理論是變分法的一個推廣。
變分法是處理泛函的數學領域,和處理函式的普通微積分相對。譬如,這樣的泛函可以通過未知函式的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函式:它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達:一個例子是最速降線,在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表示式。