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  八元數第一次被描述於1843年,於一封約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。

  八元數可以視為實數的八元組。每一個八元數都是單位八元數{1, "i", "j", "k", "l", "il", "jl", "kl"}的線性組合。也就是說,每一個八元數"x"都可以寫成 其中係數"x"是實數。  八元數的加法是把對應的係數相加,就像複數和四元數一樣。根據線性,八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。

  一個更加系統的定義八元數的方法,是通過凱萊-迪克鬆構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣,八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數("a", "b")和("c", "d")的乘積定義為: 其中formula_4表示四元數"z"的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。

  一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法,由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線(經過"i"、"j"和"k"的圓也是一條直線),稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於Im(O)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上,而每一條直線正好通過三個點。  設("a", "b", "c")為位於一條給定的直線上的三個有序點,其順序由箭頭的方向指定。那麼,乘法由下式給出: 以及它們的迴圈置換。這些規則與 完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了O的一個子代數,與四元數H同構。

  八元數 的共軛為: 共軛是O的一個對合,滿足formula_8(注意次序的變化)。  "x"的實數部分定義為1⁄2("x" + "x") = "x",虛數部分定義為1⁄2("x" - "x")。所有純虛的八元數生成了O的一個七維子空間,記為Im(O)。  八元數"x"的範數定義為: 在這裡,平方根是定義良好的,因為formula_10總是非負實數: 這個範數與R上的標準歐幾里得範數是一致的。  O上範數的存在,意味著O的所有非零元素都存在逆元素。"x" ≠ 0的逆元素為: 它滿足formula_13。

  八元數的乘法既不是交換的: 也不是結合的: 然而,八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說,由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上,我們可以證明,由O的任何兩個元素所生成的子代數都與R、C或H同構,它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性,因此它們沒有矩陣的表示法,與四元數不一樣。  八元數確實保留了R、C和H共同擁有的一個重要的性質:O上的範數滿足 這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊-迪克鬆構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質。它們都有零因子。  這樣,實數域上唯一的賦範可除代數是R、C、H和O。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數。  由於八元數不是結合的,因此O的非零元素不形成一個群。然而,它們形成一個擬群。

  八元數的自同構"A",是O的可逆線性變換,滿足: O的所有自同構的集合組成了一個群,稱為"G"。群"G"是一個單連通、緊緻、14維的實李群。這個群是例外李群中最小的一個。
八元數是四元數的一個非結合推廣,通常記為O,或formula_1。