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  設函式formula_18在某區間formula_19內有定義。對於formula_19內一點formula_21,當formula_21變動到附近的formula_23(也在此區間內)時,如果函式的增量formula_24可表示為 formula_25(其中formula_26是不依賴於formula_27的常數),而formula_28是比formula_27高階的無窮小,那麼稱函式formula_30在點formula_21是可微的,且formula_32稱作函式在點formula_21相應於自變數增量formula_27的微分,記作formula_35,即formula_36,formula_35是formula_38的線性主部。  通常把自變數formula_39的增量formula_27稱為自變數的微分,記作formula_41,即formula_42。

  微分和導數是兩個不同的概念。但是,對一元函式來說,可微與可導是完全等價的概念。可微的函式,其微分等於導數乘以自變數的微分formula_41,換句話說,函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此,導數也叫做微商。於是函式formula_18的微分又可記作formula_45。

  設formula_27是曲線formula_18上的點formula_48在橫座標上的增量,formula_38是曲線在點formula_48對應formula_27在縱座標上的增量,formula_35是曲線在點formula_48的切線對應formula_27在縱座標上的增量。當formula_55很小時,formula_56比formula_55要小得多(高階無窮小),因此在點formula_48附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

  設有函式formula_59,考慮它從某一點formula_39變到formula_61。這時,函式的改變數formula_62等於: 其中的線性主部:formula_65,高階無窮小是formula_66。 因此函式formula_1在點formula_2處的微分是formula_69。函式的微分與自變數的微分之商formula_70,等於函式的導數。  以下有一例子: 當方程式為formula_74時,就會有以下的微分過程。

  和求導一樣,微分有類似的法則。例如,如果設函式formula_79、formula_80可微,那麼:

  當自變數是多元變數時,導數的概念已經不適用了(儘管可以定義對某個分量的偏導數,但偏導數只對單一自變數微分),但仍然有微分的概念。

  設formula_86是從歐幾里得空間R(或者任意一個內積空間)中的一個開集formula_87射到R的一個函式。對於formula_87中的一點formula_39及其在formula_87中的鄰域formula_91中的點formula_92。如果存線上性對映formula_26使得對任意這樣的formula_92, 那麼稱函式formula_86在點formula_39處可微。線性對映formula_26叫做formula_86在點formula_39處的微分,記作formula_101。  如果formula_86在點formula_39處可微,那麼它在該點處一定連續,而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別,多元函式的微分也叫做全微分或全導數。  當函式在某個區域的每一點formula_39都有微分formula_101時,可以考慮將formula_39對映到formula_101的函式: 這個函式一般稱為微分函式。  具體來說,對於一個改變數:formula_113,微分值:

  函式formula_122是一個從formula_123射到formula_124的函式。它在某一點formula_125的雅可比矩陣為: 微分為:formula_127,也就是:

  如果說微分是導數的一種推廣,那麼微分形式則是對於微分函式的再推廣。微分函式對每個點formula_39給出一個近似描述函式性質的線性對映formula_101,而微分形式對區域formula_131內的每一點給出一個從該點的切空間對映到值域的斜對稱形式:formula_132。在座標記法下,可以寫成: 其中的formula_134是formula_135-射影運算元,也就是說將一個向量formula_80射到它的第formula_135個分量formula_138的對映。而formula_139是滿足: 的"k"-形式。  特別地,當formula_86是一個從R射到R 的函式時,可以將formula_101寫作: 正是上面公式的一個特例。
在數學中,微分是對函式的區域性變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函式自變數的取值作足夠小的改變時,函式的值是怎樣改變的。