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  給定一個論域formula_1,那麼從formula_1到單位區間formula_3的一個對映 formula_4 稱為formula_1上的一個模糊集,或formula_1的一個模糊子集,

  模糊集可以記為formula_7。對映(函式)formula_8或簡記為formula_9叫做模糊集formula_7的隸屬函式。 對於每個formula_11, formula_12叫做元素formula_13對模糊集formula_7的隸屬度。  模糊集的常用表示法有下述幾種:

  和傳統的集合一樣,模糊集也有它的元素,但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度,其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德(1965)所引進的,是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中,所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合(因此模糊集不是集合);可以說,每個元素對每個集合的歸屬性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函式(membership function),其值允許取閉區間formula_3(單位區間)中的任何實數,用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集formula_7的歸屬函式為formula_20,而formula_21、formula_22、formula_23為三個元素;如果formula_24,formula_25,formula_26,則可以說 「formula_21完全屬於formula_7」,「formula_22完全不屬於formula_7」,「formula_23對formula_7的歸屬度為formula_33」(注意沒有說「"formula_23"有一半屬於"formula_7"」,因為尚未規定formula_33的歸屬度具有什麼特殊含義)。作為特例,當歸屬函式的值只能取 0 或 1 時,就得到了傳統集合論常用的指示函式(indicator function)。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」(crisp set)。

  設 formula_7為 formula_1上的模糊集(記作 formula_39),任取 formula_40,則  稱formula_42為formula_7的formula_44截集,而formula_44稱為閾值或置信水平。將上式中的formula_46替換為formula_47,記為formula_48,稱為強截集。  截集和強截集都是經典集合。此外,顯然formula_49為formula_7的核,即formula_51;如果formula_52,則稱formula_7為正規模糊集,否則稱為非正規模糊集。  截積是數與模糊集的積:<br> 設formula_54,formula_55,則formula_56,formula_44與formula_7的截積(或稱為formula_44截集的數乘,記為formula_60)定義為:  根據定義,截積仍是formula_1上的模糊集合。

  分解定理:<br> 設formula_55,則<br>  即任一模糊集formula_7都可以表達為一族簡單模糊集formula_66的並。也即,一個模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。  表現定理:<br> 設formula_67為formula_1上的任何一個集合套,則<br>  是formula_1上的一個模糊集,且formula_71,有<br> (1)formula_72<br> (2)formula_73<br> 即任一集合套都能拼成一個模糊集。

  一個模糊集formula_7的模糊度衡量、反映了 "A" 的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:  設對映formula_75滿足下述5條性質:  則稱formula_88是定義在formula_89上的模糊度函式,而formula_90為模糊集formula_7的模糊度。  可以證明符合上述定義的模糊度是存在的,一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是 formula_92 其中formula_93是引數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當formula_94的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當formula_95的時候稱為 Euclid 模糊度。

  formula_96是輿集formula_97的一種。  用formula_98函式定義formula_96,包含下列3項特性稱為模糊測度:  1formula_100  ---formula_98函式代0值,表示沒有值為空值,用數學0來表示。formula_98函式代formula_103表示輿集全部帶進去了塞滿了,用1表示塞滿。  2若formula_104和formula_105, 則formula_106.  ---formula_107是屬於formula_96的一部分,formula_7在formula_110裡面也可能跟formula_110一樣大,則formula_106  3If formula_113∈formula_96, formula_49⊆formula_116⊆...,then formula_117  ---當formula_113屬於formula_96同時formula_49包含於formula_121,則將formula_122代入formula_98函式趨小所得的值等同於先趨小formula_122再代入formula_98函式所求得的值。  formula_128  formula_129  formula_130  formula_131  formula_133  formula_135  formula_138  formula_140

  

  參見集合代數和布林代數。  主要運算元的性質對比表如下(codice_1表示不滿足,codice_2表示未驗證):  線性補償是指: formula_141

  

  可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上,我們需要在模糊冪集formula_89上建立一個度量,此外,我們還可能需要將此度量標準化,也即對映到formula_3區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離:<br>

  另一種是使用貼近度概念。在某種意義上,貼近度就是 1 - "距離"(這裡的距離是上述標準化意義上的距離)。而之所以應用這個變換,是考慮到“度”的概念的直覺反映——距離越近,貼近的程度顯然越“高”,因此它恰為距離的反數。  除了距離外,還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。
模糊集是模糊數學上的一個基本概念,是數學上普通集合的擴充套件。