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  向量u的沿著向量v的共變導數 formula_1 (也寫作D)是一個定義第三個稱為formula_2 (也作 Du)的向量的規則,它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何物件,和所選基(座標系統)無關。固定一個座標系之後,這個導數和向量基自身的變換規則相同(共變變換),所以有這個名字。  在歐幾里得空間的情形,如果有一個標準正交座標系,一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。  在這樣的系統中,平移其中一個向量到另一個的原點,保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的共變導數可以取每個分量的導數。  但是在一般情況,我們必須把座標系的變化考慮在內。在彎曲空間中,例如地球表面(作為一個球面),平移沒有嚴謹的定義,而和它相似的概念,平行移動,依賴於向量被平移的路徑。例如,在二維歐幾里得平面極座標中,導數包含了額外的項用於表述座標格點自身如何“轉動”。在其他的情況下,還有額外的項描述座標格點如何擴張,收縮,扭轉,交織,等等。  這是一個二維歐氏空間中的極座標中的曲線的一個例子。在曲線引數 "t" 的向量(比如說加速度,不在圖中)可以表達在座標系formula_3中,其中formula_4 和 formula_5是極座標中的單位切向量,用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後,極座標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的共變導數(克里斯托費爾符號可以表達這個變化)。  (可能最好不要把t看作時間引數,至少在廣義相對論的應用中不要這樣。它只是一個任意引數沿著路徑光滑而單調的變化。) 另一個例子:向量e在球上位於赤道上的一點Q,方向朝北。假設我們首先沿著赤道平行移動該向量直到P(然後保持它和自己平行))著子午線把它拖到北極N然後(保持方向)繼續沿著另一條子午線移動它回到Q。然後我們注意到沿著封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量;它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生,它發生的原因是球的曲面上的"曲率"。如果我們沿著無窮小閉曲面依次沿著兩個不同方向然後返回,我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。

  定義中的向量 u 和 v 是定義在同一點 "p" 的。而且共變導數formula_6也是 "p" 的一個向量。  共變導數的定義不用空間的度量。但是,一個給定的度量唯一的確定了一個特殊的共變導數,稱為列維-奇維塔聯絡。  導數的性質暗示者formula_2依賴於"p"周圍的情況,就像標量函式在一點"p"沿著曲線的導數依賴於"p"點周圍一樣。  共變導數在一個固定的座標圖中,可以用張量描述,但是它不是一個張量,因為它不是在座標變換下不變的。  在共變導數中關於點 "p" 圍的資訊可以用來定義向量的平行移動。而且曲率,撓率和測地線也可以只用共變導數來定義。  偶爾,術語“共變導數”指一個一般向量叢沿著基空間的一個切向量的截面的導數;參看“聯絡形式”中的“向量叢”的有關章節。

  

  給定一個函式formula_8, 共變導數formula_9和實函式在向量v方向的通常導數相同,通常記為formula_10 或者 formula_11。

  向量場formula_12 在向量formula_13方向的共變導數 formula_1記為formula_2 對任意向量場 u, v, w 和標量函式"f"和"g"由下列性質定義:  注意formula_2在點"p"依賴於v在"p"點的值以及u在"p"的一個鄰域的值,因為最有一個性質乘積法則的要求。這表示共變導數不是一個張量。

  給定餘向量場(或者說1-形式) formula_26,其共變導數 formula_27 可以用下邊的對於所有向量場u都滿足的恆等式來定義 餘向量場沿著一個向量場v的共變導數還是一個餘向量場。

  一旦定義了向量和餘向量場的共變導數,它就可以定義到任一張量場上,這要用如下的恆等式,其中formula_29和formula_30是任意兩個張量: 並且,若formula_29和formula_30是同一個張量叢的張量場,則 沿著向量場v的共變導數也還是同型別的張量場。

  給定座標函式formula_35,任何切向量都可以用它的在基formula_36中的分量表示。 共變導數是一個向量,所以可以表示為基向量的線性組合Γe,其中Γ 是分量(參看愛因斯坦記號)。 要給定共變導數,給定每個基向量場e 沿著e的共變導數就可以了 係數Γ稱為克里斯托費爾符號。 然後使用定義中的規則,我們發現對於一般的向量場 formula_38 and formula_39 可以得到 這個公式的第一項代表了座標系對於共變導數的"扭轉",而第二項代表了向量場"u"的分量的變化。特別的有 用語言描述的話: 共變導數是一般的沿著座標的導數加上關於座標改變的校正項。在物理教科書中,共變導數有時只用這個方程中的分量形式表述。  一個常用的記法是,用一個分號表示共變導數,而用一個逗號表示普通導數。在這個記號下,我們把同樣的公式寫作:: 這再次表明了向量場的共變導數不僅僅是從沿著座標的微分中得到 formula_43,而且是通過formula_44依賴於向量v本身的。
數學上,共變導數或稱協變導數是在流形上定義沿著向量場的導數的方法之一。