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  進一步,由上式定義瞭如下的三重線性對映 對映formula_10關於每一個自變數都是formula_11線性的, 故formula_12是formula_13上的formula_14型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間formula_15的曲率張量. 在座標向量場下,formula_12 可以表示為 還可以定義四重線性對映,如下 則對映 formula_10關於每一個自變數都是formula_11 線性的, 故formula_12是黎曼流形formula_22上的 formula_23 型光滑張量場, 稱之為黎曼流形 formula_22 的黎曼曲率張量. 在座標向量場下, formula_12 可以表示為  黎曼曲率張量有如下的對稱性:  最後一個恆等式由裡奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity),因為和下面的比安基恆等式相像。  這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表,也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量,可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有formula_35個獨立分量。  另一個有用的恆等式可以由上面這些匯出:  比安基恆等式(Bianchi identity),經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:  給定流形某點的任一座標表示,上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:  其中方括號表示對下標的反對稱化,分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用,特別是廣義相對論。
在微分幾何中,黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式,更普遍的,它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的,一個仿射聯絡)formula_1(或者叫協變導數)由下式給出: