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  所有的證明都包含了一些數學分析,至少是實數或複數函式的連續性概念。有些證明也用到了可微函式,甚至是解析函式。  定理的某些證明僅僅證明了任何實係數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式,這是因為,給定復係數多項式"p"("z"),以下的多項式 就是一個實係數多項式,如果"z"是"q"("z")的根,那麼"z"或它的共軛複數就是"p"("z")的根。  許多非代數證明都用到了“增長引理”:當|"z"|足夠大時,首係數為1的"n"次多項式函式"p"("z")的表現如同"z"。一個更確切的表述是:存在某個正實數"R",使得當|"z"| > "R"時,就有:

  

  尋找一箇中心為原點,半徑為"r"的閉圓盤"D",使得當|"z"| ≥ "r"時,就有|"p"("z")| > |"p"(0)|。因此,|"p"("z")|在"D"內的最小值(一定存在,因為"D"是緊緻的),是在"D"的內部的某個點"z"取得,但不能在邊界上取得。於是,根據最小模原理,"p"("z") = 0。也就是說,"z"是"p"("z")的一個零點(根)。

  由於在"D"之外,有|"p"("z")| > |"p"(0)|,因此在整個複平面上,|"p"("z")|的最小值在"z"取得。如果|"p"("z")| > 0,那麼1/"p"在整個複平面上是有界的全純函式,這是因為對於每一個複數"z",都有|1/"p"("z")| ≤ |1/"p"("z")|。利用劉維爾定理(有界的整函式一定是常數),可知1/"p"是常數,因此"p"是常數。於是得出矛盾,所以"p"("z") = 0。

  這個證明用到了輻角原理。設"R"為足夠大的正實數,使得"p"("z")的每一個根的絕對值都小於"R";這個數一定存在,因為"n"次多項式函式最多有"n"個根。對於每一個"r" > "R",考慮以下的數:  其中"c"("r")是中心為0,半徑為"r"的逆時針方向的圓;於是輻角原理表明,這個數是"p"("z")在中心為0、半徑為"r"的開圓盤內的零點的數目"N",由於"r" > "R",所以它也是"p"("z")的零點的總數目。另一方面,"n"/"z"沿著"c"("r")的積分除以2π"i",等於"n"。但這兩個數的差為:  被積分的有理表示式中的分子,次數最多是"n" − 1,而分母的次數是"n" + 1。因此,當"r"趨於+∞時,以上的數趨於0。但這個數也等於"N" − "n",因此有"N" = "n"。

  這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個"n" > 0次復係數多項式都有一個根,只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特徵值。證明用到了反證法。  設"A"為大小"n" > 0的方塊矩陣,並設"I"為相同大小的單位矩陣。假設"A"沒有特徵值。考慮預解函式  它在複平面上是亞純函式,它的值位於矩陣的向量空間內。"A"的特徵值正好是"R(z)"的極點。根據假設,"A"沒有特徵值,因此函式"R(z)"是整函式,根據柯西積分定理可知:  另一方面,把"R(z)"展開為幾何級數,可得:  這個公式在半徑為||"A"||的閉圓盤的外部("A"的運算元範數)成立。設"r" > ||"A"||。那麼:  (僅當"k" = 0時,積分才不等於零)。於是得出矛盾,因此"A"一定有一個特徵值。

  設"z" ∈ C為使|"p"("z")|在"z"取得最小值的數; 從用到劉維爾定理的證明中,可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把"p"("z")寫成"z" − "z"的多項式:存在某個自然數"k"和一些複數"c"、"c"、...、"c",使得"c" ≠ 0,以及:  可推出如果"a"是("p"("z")-"p"("z"))/"c"的一個"k"重根,且"t"是足夠小的正數,那麼|"p"("z" + "ta")| < |"p"("z")|,這是不可能的,因為|"p"("z")|是|"p"|在"D"內的最小值。  對於另外一個用到反證法的拓撲學證明,假設"p"("z")沒有根。選擇一個足夠大的正數"R",使得對於|"z"| = "R","p"("z")的第一項"z"大於所有其它的項的和;也就是說,|"z"| > |"a""z" + ··· + "a"|。當"z"依逆時針方向繞過方程為|"z"| = "R"的圓一次時,"p"("z"),像"z"那樣,依逆時針方向繞過零"n"次。在另外一個極端,|"z"| = 0時,“曲線” "p"("z")僅僅是一個(非零的)點"p"(0),它的卷繞數顯然是0。如果"z"所經過的迴路在這兩個極端中被連續變形,那麼"p"("z")的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為formula_10,其中"t"大於或等於0,而小於或等於1。如果我們把變數"t"視為時間,那麼在時間為零時,曲線為"p(z)",時間為1時,曲線為"p(0)"。顯然在每一個點"t",根據原先的假設"p(z)"都不能是零,因此在變形的過程中,曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於0的繞數應該不變。然而,由於繞數在一開始是"n",結束時是0,因此得出矛盾。所以,"p"("z")至少有一個根。

  這個證明需要依賴實數集的如下事實:正實數在formula_11上有實平方根,以及任何奇次多項式在formula_11上有一個根(這可以用介值定理證明)。  首先formula_13。經過簡單的計算可以證明formula_14在開平方運算下是封閉的(利用事實1)。結合formula_15。得出formula_14不存在二階擴張。  由於formula_17,於是任何formula_11的擴張都是可分的,從而任何formula_11的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設formula_20、formula_21都是伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群formula_22的西羅2-子群"H"。那麼formula_23是奇數。由本原元定理得出,"K"存在本原元formula_24,它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實2,任何奇次數多項式在實數上有一個根,不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是formula_25是2的冪次。  假設formula_26並且"r>0",再次利用西羅定理,"G"存在一個階為"2"的子群"N"。這時formula_27。這和先前formula_14不存在二階擴張矛盾。因此formula_14的任何代數擴張都是formula_14本身,代數基本定理得證。

  由於代數基本定理可以視為複數域是代數封閉的,可推出任何關於代數封閉域的定理在複數域都是適用的。這個定理有一些推論,要麼是關於實數域的,要麼是關於實數域與複數域之間的關係的:

  韋達公式把多項式的係數formula_31與它的根formula_32的和與積聯絡起來。 這可以直接從以下等式的展開式推出: formula_33
代數基本定理說明,任何一個一元復係數方程式都至少有一個複數根。也就是說,複數域是代數封閉的。