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  令 "S" 為歐幾里得空間的子集。若存在以 "x" 為中心的開球被包含於 "S",則 "x" 是 "S" 的內點。  這個定義可以推廣到度量空間 "X" 的任意子集 "S"。具體地說,對具有度量 "d" 的度量空間 "X","x" 是 "S" 的內點,若對任意不屬於"S"或在"S"邊界上的"y",都有"d"("x", "y") >0。  這個定義也可以推廣到拓撲空間,只需要用鄰域替代“開球”。 設 "S" 是拓撲空間 "X" 的子集,則 "x" 是 "S" 的內點,若存在 "x" 鄰域被包含於 "S"。注意,這個定義並不要求鄰域是開的。

  集合 "S" 的內部是 "S" 的所有內點組成的集合。"S" 的內部寫作 int("S")、Int("S") 或 "S"。集合的內部滿足下列性質:  有時候,上述第二或第三條性質會被作為拓撲內部的"定義"。

  設集合X及其冪集P(X),對映i: P(X)→P(X)稱為內部運算元,當且僅當其滿足以下內部公理:  其中對於X的子集A,i(A)稱為A的內部,i(A)中的點稱為A的內點。  從內部運算元出發可以定義拓撲,這和從開集,閉集,閉包,鄰域,導集,基等概念出發定義拓撲的方式是等價的。

  除了上述定義提到的,以下是一些常用的其它結論。

  在實數集上,除了標準拓撲,還可以使用其他的拓撲結構。  上述示例中集合的內部取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

  內部運算元 是閉包運算元 的對偶,在如下意義上  還有  這裡的 "X" 是包含"S" 的拓撲空間,反斜槓指示補集。  因此,通過把集合替代為它的補集,閉包運算元和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論可以輕易的轉換到使用內部運算元的語言中。
內部(英語:interior,又稱開核,英語:open kernel),是點集拓樸中的術語。拓撲空間內子集合 "S" 的「內部」定義為:所有 "S" 的開子集的聯集。直觀上可以想成「不在 "S" 的邊界上」的"S" 的點組成。"S" 的內部中的點稱為 "S" 的內點(英語:interior point)。