Can you summarize the following document?
        
  此節使用置換的傳統定義。從formula_1個相異元素中取出formula_2個元素,formula_2個元素的排列數量為: 其中P意為Permutation(排列),!表示階乘運算。  以賽馬為例,有8匹馬參加比賽,玩家需要在彩票上填入前三勝出的馬匹的號碼,從8匹馬中取出3匹馬來排前3名,排列數量為:  因為一共存在336種可能性,因此玩家在一次填入中中獎的概率應該是:  不過,中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作formula_7或formula_8(A代表Arrangement,即排列)。

  上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。  從formula_1個元素中取出formula_2個元素,formula_2個元素可以重複出現,這排列數量為:  以四星彩為例,10個數字取4個數字,因可能重複所以排列數量為:  這時的一次性添入中獎的概率就應該是:

  在集合論與抽象代數等領域中,「置換」一詞被保留為集合(通常是有限集)到自身的雙射的一個稱呼。例如對於從一到十的數字構成的集合,其置換將是從集合 formula_15 到自身的雙射。因此,置換是擁有相同定義域與上域的函式,且其為雙射的。一個集合上的置換在函式合成運算下構成一個群,稱為對稱群或置換群。

  以下僅考慮有限集上的置換(視為雙射),由於 formula_1 個元素的有限集可以一一對應到集合 formula_17,有限集的置換可以化約到形如 {1,..., n} 的集合之置換。此時有兩種表示法。  第一,利用矩陣符號將"自然"排序寫在第一列,而將置換後的排序寫在第二列。例如: 表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置換 formula_19。  第二,藉由置換的相繼作用描述,這被稱為「輪換分解」。分解方式如下:固定置換 formula_20。對任一元素 formula_21,由於集合有限而 formula_20 是雙射,必存在正整數 formula_23 使得 formula_24,故可將置換 formula_20 對 formula_21 的相繼作用表成 formula_27,其中 formula_28 是滿足 formula_29 的最小正整數。  稱上述表法為 formula_21 在 formula_20 下的輪換, formula_28 稱為輪換的長度。我們在此將輪換視作環狀排列,例如 是同一個輪換。由此可知 formula_21 在 formula_20 下的輪換隻決定於 formula_21 在 formula_20 作用下的軌道,於是,任兩個元素 formula_39 或給出同一個輪換,或給出不交的輪換。  我們將輪換 formula_40 理解為一類特殊的置換:僅須定義置換 formula_20 為 formula_42,而在其它元素上定義為恆等對映。不交的輪換在函式合成的意義下可相交換。  因此我們可以將集合 {1,..., n} 對一置換分解成不交輪換的合成,此分解若不計順序則是唯一的。例如前一個例子的 formula_20 就對應到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。

  輪換一是種特殊的置換。  如果給定formula_44是formula_45上的一個置換,formula_46為formula_45上的一個子集。  若有  formula_48  formula_49  則稱formula_50 為一個輪換。formula_51 為輪換的長度。

  在上節的輪換表法中,長度等於二的輪換稱為換位,這種輪換 formula_52 不外是將元素 formula_39 交換,並保持其它元素不變。對稱群可以由換位生成。  由於輪換長度為formula_51的輪換formula_55可分解為最少formula_56個換位,若formula_2為偶數,則formula_55為偶輪換,否則C為奇輪換。即輪換的長度為奇數,該輪換為偶輪換;輪換的長度為偶數,該輪換為奇輪換。  由此可定義任一置換的奇偶性,並可證明:一個置換是偶置換的充要條件是它可以由偶數個換位生成。偶輪換在置換群中構成一個正規子群,稱為交錯群。

  某些舊課本將置換視為變數值的"賦值"。在電腦科學中,這就是將值 賦予變數 的賦值運運算元,並要求每個值只能賦予一個變數。  賦值/代入的差別表明函數語言程式設計與指令式程式設計之差異。純粹的函數語言程式設計並不提供賦值機制。現今數學的慣例是將置換看作函式,其間運算看作函式合成,函數語言程式設計也類似。就賦值語言的觀點,一個代入是將給定的值「同時」重排,這是個有名的問題。

  取一個無向圖"G",將圖"G"的"n"個頂點標記"v"...,"v",對應一個置換( s(1) s(2)... s("n") ),當且僅當s("i") < s("j") 而 "i" > "j",則圖的"v"和"v"相連,這樣的圖稱為置換圖。  置換圖的補圖必是置換圖。

  多數計算機都有個計算置換數的 "nPr" 鍵。然而此鍵在一些最先進的桌上型機種中卻被隱藏了。例如:在 TI-83 中,按 MATH、三次右鍵、再按二。在卡西歐的圖形計算機中,按 OPTN,一次右鍵(F6)、PROB(F3)、nPr(F2)。

  多數試算表軟體都有函式 PERMUT("Number","Number chosen"),用以計算置換。"Number" 是描述物件數量的一個整數,"Number chosen" 是描述每個置換中所取物件數的整數。
排列(英語:Permutation)是將相異物件或符號根據確定的順序重排。每個順序都稱作一個排列。例如,從一到六的數字有720種排列,對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列,例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 與"1, 3, 5, 2, 4, 6"。