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  給定域 "K" 上的向量空間 "V",集合 "S"(不必有限)的生成空間定義為所有包含 "S" 的線性子空間 "V" 的交集 "W",稱 "W" 為由 "S"(或 "S" 中的向量)生成的子空間。  如果 formula_1 是 "V" 的有限子集,則生成空間為

  "S" 的生成空間也可定義為 "S" 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證:"S" 中向量的有限線性組合的集合是包含 "S" 的一個向量空間,反之任何包含 "S" 的向量空間必然都包含 "S" 中向量的有限組合,故兩個定義是等價的。  如果 "S" 的生成空間是 "V",則 "S" 稱為 "V" 的生成集合(英語:spanning set)。"V" 的一個生成集合不必是 "V" 的一組基,因其不必是線性無關的。但是,對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說,"V" 的生成集合是一組基當且僅當 "V" 的任何向量可以惟一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。  如果 "V" 是無限維向量空間,"S" 是無窮集合,則 "S" 中的無限個向量的線性組合(如果收斂的話)不一定屬於 "S" 的生成空間。

  定理 1:向量空間 "V" 的非空集合 "S" 生成的子空間是 "S" 中向量的所有有限線性組合;  定理 2:設 "V" 是一個有限維向量空間,則 "V" 的任何生成集合 "S" 去掉一些向量(如果必要的話)可以簡化為 "V" 的一組基。

  設formula_10與formula_7是線性空間formula_12的兩個線性包,線性包formula_13稱為formula_10與formula_7的和, formula_16,如果formula_17,則稱formula_18為直和,記為formula_19
在數學分支線性代數之中,向量空間中一個向量集合的線性生成空間(英語:linear span,也稱為線性包 英語:linear hull),是所有包含這個集合的線性子空間的交集,從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。