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  假設"M"是一個"m×n"階矩陣,其中的元素全部屬於域"K",也就是實數域或複數域。如此則存在一個分解使得 其中"U"是"m×m"階酉矩陣;Σ是"m×n"階非負實數對角矩陣;而"V*",即"V"的共軛轉置,是"n×n"階酉矩陣。這樣的分解就稱作"M"的奇異值分解。Σ對角線上的元素Σ即為"M"的奇異值。  常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此Σ便能由"M"唯一確定了。(雖然"U"和"V"仍然不能確定。)

  在矩陣"M"的奇異值分解中

  一個非負實數σ是"M"的一個奇異值僅當存在"K"的單位向量"u"和"K"的單位向量"v"如下: 其中向量"u"和"v"分別為σ的左奇異向量和右奇異向量。  對於任意的奇異值分解 矩陣Σ的對角線上的元素等於"M"的奇異值. "U"和"V"的列分別是奇異值中的左、右奇異向量。因此,上述定理表明:  如果對於一個奇異值,可以找到兩組線性無關的左(右)奇異向量,則該奇異值稱為簡併的(或退化的)。  非退化的奇異值在最多相差一個相位因子formula_11(若討論限定在實數域內,則最多相差一個正負號)的意義下具有唯一的左、右奇異向量。因此,如果"M"的所有奇異值都是非退化且非零,則除去一個可以同時乘在formula_12上的任意的相位因子外,formula_13的奇異值分解唯一。  根據定義,退化的奇異值具有不唯一的奇異向量。因為,如果"u"和"u"為奇異值σ的兩個左奇異向量,則它們的任意歸一化線性組合也是奇異值σ一個左奇異向量,右奇異向量也具有類似的性質。因此,如果"M"具有退化的奇異值,則它的奇異值分解是不唯一的。

  觀察一個4×5的矩陣  M矩陣的奇異值分解如下formula_15  注意矩陣formula_17的所有非對角元為0。矩陣formula_18和formula_19都是酉矩陣,它們乘上各自的共軛轉置都得到單位矩陣。如下所示。在這個例子中,由於formula_18和formula_19都是實矩陣,故它們都是正交矩陣。  由於formula_17有一個對角元是零,故這個奇異值分解值不是唯一的。例如,選擇formula_25使得 能得到formula_13的另一個奇異值分解。

  奇異值分解能夠用於任意formula_28矩陣,而特徵分解只能適用於特定型別的方陣,故奇異值分解的適用範圍更廣。不過,這兩個分解之間是有關聯的。給定一個"M"的奇異值分解,根據上面的論述,兩者的關係式如下:  關係式的右邊描述了關係式左邊的特徵值分解。於是:  特殊情況下,當"M"是一個正規矩陣(因而必須是方陣)根據譜定理,"M"可以被一組特徵向量酉對角化,所以它可以表為: 其中"U"為一個酉矩陣,"D"為一個對角陣。如果"M"是半正定的,formula_38的分解也是一個奇異值分解。  然而,一般矩陣的特徵分解跟奇異值分解不同。特徵分解如下: 其中"U"是不需要是酉的,"D"也不需要是半正定的。而奇異值分解如下: 其中formula_17是對角半正定矩陣,"U"和"V"是酉矩陣,兩者除了通過矩陣"M"沒有必然的聯絡。

  因為"U"和"V"都是酉的,我們知道"U"的列向量"u"...,"u"組成了"K"空間的一組標準正交基。同樣,"V"的列向量"v"...,"v"也組成了"K"空間的一組標準正交基(根據向量空間的標準點積法則)。  矩陣formula_13代表從formula_44到formula_45的一個線性對映formula_46:formula_47。通過這些標準正交基,這個變換可以用很簡單的方式進行描述:formula_48,其中formula_49是formula_17中的第"i"個對角元。當formula_51時,formula_52。  這樣,SVD分解的幾何意義就可以做如下的歸納:對於每一個線性對映formula_53,formula_46的奇異值分解在原空間與像空間中分別找到一組標準正交基,使得formula_46把formula_44的第formula_57個基向量對映為formula_45的第formula_57個基向量的非負倍數,並將formula_44中餘下的基向量對映為零向量。換句話說,線性變換formula_46在這兩組選定的基上的矩陣表示為所有對角元均為非負數的對角矩陣。

  

  奇異值分解可以被用來計算矩陣的廣義逆陣(偽逆)。若矩陣"M"的奇異值分解為formula_62,那麼"M"的偽逆為  其中formula_64是formula_17的偽逆,是將formula_17主對角線上每個非零元素都求倒數之後再轉置得到的。求偽逆通常可以用來求解最小二乘法問題。

  奇異值分解的另一個應用是給出矩陣的列空間、零空間和秩的表示。對角矩陣formula_17的非零對角元素的個數對應於矩陣formula_13的秩。與零奇異值對應的右奇異向量生成矩陣formula_13的零空間,與非零奇異值對應的左奇異向量則生成矩陣formula_13的列空間。線上性代數數值計算中奇異值分解一般用於確定矩陣的有效秩,這是因為,由於舍入誤差,秩虧矩陣的零奇異值可能會表現為很接近零的非零值。

  奇異值分解在統計中的主要應用為主成分分析(PCA)。資料集的特徵值(在SVD中用奇異值表徵)按照重要性排列,降維的過程就是捨棄不重要的特徵向量的過程,而剩下的特徵向量張成空間為降維後的空間。
奇異值分解(singular value decomposition)是線性代數中一種重要的矩陣分解,在訊號處理、統計學等領域有重要應用。奇異值分解在某些方面與對稱矩陣或厄米矩陣基於特徵向量的對角化類似。然而這兩種矩陣分解儘管有其相關性,但還是有明顯的不同。對稱陣特徵向量分解的基礎是譜分析,而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。