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  任意一個三角形的三條高線交於一點,稱為該三角形的垂心。證明如下:  設有三角形ABC。過頂點A做BC的高線交BC於點D,過頂點B做AC的高線交AC於點E;直線AD和BE交於點H(如右圖)。只需證明直線CH垂直於AB,就證明了CH是過C點的高線,即三條高線相交於一點H。因為歐氏幾何中,給定一點與一直線,只存在一條直線過這個定點並與給定的直線垂直。  下證CH垂直於AB。設CH和AB的交點為F。由於角AEB和角ADB(右圖中藍色角)都是直角,A、B、D、E四點共圓,同理,C、D、H、E四點共圓。所以角DCH等於角DEH,角DEH等於角DEB等於角DAB(紅色角相等)。  然而角DAB與角ABD(綠色角)的和是90度,所以角DCH與角ABD的和也是90度,即角FCB與角FBC的和是90度。因此三角形BCF是直角三角形,角BFC(紫色角)是直角。也就是說CH垂直於AB。因此三角形的三條高線交於一點H。證畢。  垂心座標為formula_1  其中formula_4為某一條邊的邊長,formula_5為所對的頂點的高。

  過平面上一點"P" 分別做垂直於三角形每條邊的垂線,與這條邊相交於一點(垂足)。這三個點連成的三角形稱為點"P" 的垂足三角形。垂心"H" 的垂足三角形是HHH。"H" 是三角形HHH的內心,而三角形AAA的三個頂點是三角形HHH的三個旁心。  銳角三角形AAA的所有內接三角形中,有最小周長的是垂心"H" 的垂足三角形HHH。如果一束光從三角形的某一個高線垂足H、H或H出發沿著三角形HHH的邊的方向射出,那麼它的光路將是閉合的,也就是三角形HHH。這個性質僅對於垂心的垂足三角形成立:如果從三角形某一邊某一點出發的光線經過反射能形成一個三角形的閉合光路,那麼這個光路必然是三角形HHH。  垂心"H" 的垂足三角形的各個邊分別平行於三角形的外接圓在各個頂點處的切線。  在三角形AAA中,三角形AHH、三角形HAH和三角形HHA的外接圓交於一點,這點就是AAA的垂心"H"。

  過三角形某一頂點的高線的長度稱為過這點的高或這一點上的高。三角形ABC的三個頂點A、B、C上的高通常分別記作formula_5、formula_7、formula_8。它們可以用三角形三邊的邊長formula_4、formula_10、formula_11(分別是頂點A、B、C的對邊:BC、CA和AB的長度)來表示: 其中s是三角形的半周長:formula_15。這三個關係式可以通過海龍公式: 以及三角形的面積公式:formula_3推出來。

  三角形內切圓的半徑r與三個頂點上的高formula_5、formula_7、formula_8有如下的關係: formula_21 而三角形的三個旁切圓的半徑也和高有類似的關係:  formula_23 其中的formula_25、formula_26、formula_27分別指圓心在三個頂點A、B、C射出的內角平分線上的旁切圓formula_28、formula_29、formula_30的半徑。

  如果設formula_31,那麼有以下類似於海龍公式的三角形面積公式:
在數學中,三角形的高線(或稱高、垂線)是指過它的一個頂點並垂直於對邊的直線,或這條直線上從頂點到與對邊所在直線的交點之間的線段。高線與對邊的交點稱為垂足。過一個頂點的高線的長度被稱為三角形在這個頂點上的高,而對應的對邊稱為底邊,其長度稱為底。