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  若"g"在"G"的中心Z("G")內,則formula_2是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言,formula_2的不動點集,正是"g"的中心化子C("g")。  內自同構formula_2的逆元是formula_5。兩個內自同構formula_6的複合是formula_7  由群的中心的基本性質可知,若Inn("G")是迴圈群,則Inn("G")是平凡群。  若Inn("G")=Aut("G")且"G"無中心,則"G"稱為完備群。  若"G"是完滿群且Inn("G")是單群,則"G"稱為擬單群。

  群"G"的內自同構組成內自同構群Inn("G")。內自同構群Inn("G")與群"G"對其中心Z("G")的商群"G"/Z("G")同構。  內自同構群Inn("G")是"G"的自同構群Aut("G")中的正規子群,其對應商群記為Out("G")=Aut("G")/Inn("G"),稱為外自同構群。  上述關係可以用以下兩個短正合列表示:

  群"G"的子群"H"是"G"的正規子群,當"H"在"G"的任一內自同構的作用下不變。這時"G"的內自同構限制到"H"上是"H"的自同構(未必是"H"的內自同構),因而有群同態formula_10。這個群同態的核是"H"在"G"中的中心化子C("H")。  對一般的子群"H",可取其在"G"中的正規化子N("H"),則"H"是N("H")的正規子群,故有群同態formula_11,其核是C("H")。因此N("H")/C("H")可以嵌入到Aut("H")內,即 是單射。
在抽象代數的群論中,內自同構是群的自同構的一種。設"g"為群"G"的一個元素,則"g"對應的內自同構,是以"g"的共軛作用定義如下