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  簡諧振子沒有驅動力,也沒有摩擦(阻尼),所以淨力單純為:  利用牛頓第二定律  則加速度formula_8等於是formula_2的二次微分導數:  若定義formula_11,則方程式可以寫為如下:  可以觀察到: 然後代回原式得到 積分可得 其中"K"是積分常數,設"K" = ("A" "ω") 經過積分,結果(包括積分常數φ)為  並有一般解  其中振幅formula_22以及相位formula_23可透過初始條件來決定。  另外也可以將一般解寫成  其中formula_23的值與前面形式相比,偏移了formula_26;  又可以寫作  其中formula_22與formula_29為透過初始條件決定的常數,以替代前面形式的formula_22與formula_23。  振動頻率則為  動能為  以及勢能(位能)為  所以系統總能為定值:

  一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程  其中formula_37是驅動振幅而formula_38是驅動頻率,針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC(電感L-電容C)電路以及理想化的彈簧系統(沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力)。

  一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程  其中formula_40是由實驗決定的阻尼常數,滿足關係式formula_41。遵守此方程式的系統,其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring),若假設水所施的阻尼力與速度formula_42呈線性比例關係。  阻尼諧振子的頻率為 其中

  受驅阻尼振子滿足方程式  其一般解為兩個解的和,一為暫態解(無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解),與初始條件相關;另一為穩態解(非齊次常微分方程式之特殊解),與初始條件無關,只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。  穩態解為  其中  為阻抗(impedance)或線性響應函式(linear response function)之絕對值  而 為相對於驅動力(相位定為0)的振動相位。  可以觀察到,當在某特定驅動頻率formula_50時,振子振動之振幅(相對於一給定之formula_51)達到最大。這發生在頻率為 之時,而此現象稱之為(位移上的)共振。  總結來說,在穩態時,振動頻率等同於驅動力的頻率,但振動與驅動力在相位上有偏移;且振幅大小與驅動頻率相關,當驅動頻率與振動系統偏好(共振)頻率相同時,振幅達到最大。  例子:RLC電路;電阻類比於阻尼。

  多數諧振子,至少近似上地說,是在解以下的微分方程式:  其中"t"是時間,"b"是阻尼常數,ω是本徵角頻率,而"A"cos(ω"t")代表驅動系統的某種事物,其振幅"A"而角頻率ω。"x"是進行振盪的被測量量;可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率"f"有關,關係式為
古典力學中,一個諧振子(英語:harmonic oscillator)乃一個系統,當其從平衡位置位移,會感受到一個恢復力formula_1正比於位移formula_2,並遵守虎克定律: 其中formula_4是一個正值常數。