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  作為一維複流形,黎曼曲面可以由兩個圖卡描述,每個的定義域都是複數平面formula_5.令formula_6和formula_7為formula_5上的復座標。將非零複數formula_6和非零複數formula_7用如下轉移對映等同起來: 因為這些變換對映為全純函式,他們定義了一個複流形,稱為黎曼球面。  直觀地來看,這些變換對映表示瞭如何將兩個平面粘合成一個黎曼球面。兩個面用一種"從裡翻出來"的方式粘合,所以他們幾乎處處重合,每個平面(用自己的原點)貢獻對方平面上缺少的一點。換言之,(幾乎)所有黎曼球面上的點既有formula_6值也有formula_7值,而兩個值由formula_15關聯。formula_16處的點應該具有formula_6值 "formula_18";從這個意義上講,formula_7-圖的原點是formula_6-圖上的"formula_21"。對稱地,formula_6-圖的原點對應於formula_7-圖上的formula_21.  拓撲上,最後的結果是從平面到球面的單點緊緻化。但是,黎曼球面不單單是一個拓撲球面。它是具有復結構的拓撲球面,所以球面上的每個點都有一個領域可以通過雙全純函式和formula_5同胚。  另一方面,黎曼曲面分類的的中心結果單值化定理,斷言唯一的單連通一維複流形為複平面、雙曲平面、和黎曼球面。在這三者中,黎曼球面是唯一的閉曲面(無邊界的緊緻曲面)。因此二維球面只有唯一的復結構將它變為一維複流形。

  黎曼球面也可以定義為復射影線。這也就是formula_26的子集,由所有非零複數對formula_27構成,模如下等價關係: 對於所有非零複數formula_29成立。複平面formula_5用座標formula_6,可以對映到復射影線: 另一個formula_5用座標formula_7也對映到復射影線 這兩個復圖覆蓋整個射影線。對於非零formula_7,等同關係: 給出了變換對映formula_15和formula_39,同上文一致。  這個黎曼球面的定義和射影幾何直接相關。例如任何復射影平面上的直線(或者光滑圓錐曲線)雙全純等價於復射影線。這個表達對於研究下文所述的球面的自同構也很方便。

  黎曼球面可以顯示為三維實空間formula_40中的單位球面formula_41.為此,考慮從單位球減去一點formula_42到(赤道)平面formula_43的球極投影,可以將該平面等同於複平面formula_44.在笛卡爾座標系formula_45和球面座標系formula_46中(其中formula_47為天頂角而formula_48為方位角),該投影為 類似的,從formula_50到formula_51平面的球極投影將另一份複平面formula_52等同於赤道平面,記為 (兩份複平面和平面formula_51的對應方式不同。必須使用定向翻轉來保證球面上定向的一致性,實際上複共軛使得變換對映成為全純函式。)formula_6-座標和formula_7-座標之間的變換函式可以通過將其中一個對映和另一個的逆的複合得到。它們就是如上所述的formula_15和formula_39。因此單位球面和黎曼球面微分同胚。  在這個微分同胚下,formula_6-圖中的單位圓,formula_7-圖中的單位圓,以及單位球面的赤道可以等同起來。單位圓盤formula_61和南半球面formula_62,單位圓盤formula_63和北半球面formula_64分別等同。

  黎曼曲面沒有特定的黎曼度量。但是,黎曼曲面的復結構的確在共形等價下確定了唯一的度量。(兩個度量稱為共形等價,如果他們的區別只是一個正光滑函式的因子。)反過來,可定向曲面上的任意度量唯一的決定一個復結構,該結構在共形等價下依賴於該度量。因此可定向曲面的復結構和該曲面上的度量的共形類有一一對應。  給定共形類,可以用共形對稱性找到一個有合適屬性的代表度量。精確地講,每個共形類總是有一個常曲率完備度量。  在黎曼球面的情況,高斯-博內定理表明常曲率度量必須有正的曲率"K"。因而該度量必須通過球極投影等度於formula_40中半徑為formula_66的球面。對於黎曼球面上的formula_6-圖,formula_68度量可以給出如下: 在實座標formula_70中,該公式為: 除了一個常數因子,該度量和復射影空間(黎曼球面就是一個特例)中的富比尼-施圖迪度量一樣。  反過來,令"S"代表(作為微分流形或者拓撲流形的)球面。按照單值化定理,存在唯一的"S"上的復結構。由此可見,"S"上的度量和球面度量共形等價。所有這樣的度量構成一個共形類。因此"圓球"度量不是黎曼球面的內在度量,因為"圓形"並不是共形幾何的不變數。黎曼球面只是一個共形流形而非黎曼流形。但是,如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量,圓形度量是一個很自然的選擇。

  理解數學物件的自同構群有助於對該物件的研究,自同構也就是物件到自身保持其基本結構不變的對映。對於黎曼球面,自同構就是黎曼球面到自身的可逆雙全純對映。唯一可能的這樣的對映只有莫比烏斯變換。這些變換有如下形式: 其中formula_73、formula_74、formula_75、和formula_76為複數,滿足formula_77.莫比烏斯變換的例子包括膨脹,旋轉,平移,和復倒數。事實上,所有莫比烏斯變換可以有這些特例的複合得到。  將莫比烏斯變換視作復射影線上的變換很有益。在射影座標下,變換formula_78可以寫作 這樣,莫比烏斯變換可以表述為行列式非零的formula_80復矩陣;兩個矩陣產生同樣的莫比烏斯變換當且僅當他們只差一個非零常數。這樣莫比烏斯變換恰好對應於射影線性變換formula_81.  如果賦予黎曼球面富比尼-施圖迪度量,則不是所有的莫比烏斯變換是等度的;例如膨脹和平移就不是。等度變換構成formula_81的一個子群,也即formula_83.該子群同構於旋轉群formula_84,它是單位球在formula_40中的等度群。

  複分析中,複平面(或者任何黎曼曲面)上的的亞純函式是兩個全純函式formula_78和formula_87的比值formula_88.作為到複數的對映,任何formula_87為零的地方,它就沒有定義。但是,它引出了一個全純對映formula_90到復射影線,甚至在formula_91處也有定義。這個構造對於研究全純和亞純函式很有用。例如,緊緻黎曼曲面上不存在存在非常數復值全純對映,但是有很多到復射影線上的全純對映。  黎曼球面有很多物理中的應用。量子力學中,復射影線上的點是光子極化態,自旋為1/2的重亞原子粒子和一般二態粒子的的自旋態的自然取值。黎曼球面被推薦為天體球面的廣義相對論模型。弦論中,弦的世介面是黎曼曲面,而黎曼球面作為最簡單的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理論中也很重要。
數學上,黎曼球面是一種將複數平面加上一個無窮遠點的擴張,使得下面這類公式至少在某種意義下有意義 它由19世紀數學家黎曼而得名。也稱為