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  無窮小量對應英語的Infinitesimals(此詞源於十七世紀的現代拉丁語新造詞"infinitesimus",本來是指一個序列的「第無窮個」元素),用於表達一種極其微小的物件,人們根本無從看見它們或者量度它們。在日常生活中,"Infinitesimal"作為形容詞可以指「非常小」,但不一定是「無窮的小」。而中文的「無窮小量」僅是技術用語。  「無窮小的量」這個概念最初在埃利亞學派有所討論。阿基米德在他的《機械原理方法論》(英語:The Method of Mechanical Theorems)初次提出過一種和無窮量有關的邏輯上嚴密的敍述。不過在古希臘的數學系統裡,實數並沒有獨立的存在地位,而是用幾何上的長度來表示:1是代表某條線段的規定長度,用來給出測量所需的長度單位,數的加減法用線段的延長和截短來表示。阿基米德所說的是:對任意兩個長度不等(無論長度相差多少)的線段,在長線段裡不斷截去短線段的長度,在有限次之後就不能再截下去,因為那些短線段長度的「和」超過了原本較長的那一條。如果把線段長度理解成數的話,則反映了實數集的阿基米德性質:沒有任何實數"x"可以滿足條件|"x"|>1,|"x"|>1+1,|"x"|>1+1+1......,也就是說,無窮大的實數並不存在。儘管如此,阿基米德還是把無窮大量和無窮小量用於啟發式的論證中,但在完整的數學證明裡則拒絕使用它們,而致力於使用「窮竭法」, 類似於現在的「ε-δ語言」。  牛頓和萊布尼茲發展微積分學時使用過無窮小量,但這樣的不嚴格使用引來一些批評者的攻擊。貝克萊主教就是其中之一。儘管數學家、科學家、工程師等不斷使用無窮小量來得到正確的結果,微積分卻一直到十九世紀後半葉才等到了更嚴謹的,使用了ε-δ語言和集合論描述的形式,這項工作由奧古斯丁·路易·柯西,伯納德·波爾查諾、卡爾·魏爾施特拉斯、格奧爾格·康托爾、理查德·戴德金等人完成。隨著數學的發展及康託、戴德金、魏爾施特拉斯等人及他們的追隨者的探索,他們的哲學家好友伯特蘭·羅素、魯道夫·卡爾納普等人認為無窮小事實上是偽概念;但同時,赫爾曼·科恩等新康德主義者希望能找到一個保留無窮小的邏輯系統。在二十世紀,無窮小量才得到了嚴格的處理,成為一種「數」。以上任何一種處理辦法都不是錯誤的——如果正確地使用的話。  在一份HPM(數學史與數學教學,History and Pedagogy of Mathematics)的研究中,對無窮小量在一些數學家眼裡的認識有一個總結:  就目前所知,在十九世紀以前沒有任何形式上定義好的數學概念是直接把無窮小量當作「正常」的數來處理的,但很多想法其實已經出現。微積分的奠基人——牛頓、萊布尼茲、尤拉,以及很多其他人——以一種不嚴格的方式使用無窮小量,卻也能得到正確而深刻的結果(類似地,實數在當時也沒有正式的定義)。

  

  設formula_1,formula_11為兩個序列,而且都是formula_8時的無窮小量。雖然它們在formula_13趨於無窮時都趨於零,但趨於零的速度是有區別的。可以用如下方式比較它們的速度:  在formula_5時總是成立,則稱formula_18是formula_19的高階無窮小,記作  其中的formula_8有時也被省略不寫。  在上述定義中,也可以說無窮小量formula_7的階要比formula_23的要高,或者說formula_7比formula_23更快地趨於零,儘管在此時「階」或者「速度」本身其實都沒有明確的定義。

  設"F"為有序域,"a"為"F"中的一個非零元素。若對"F"中任意正整數"n","a" < 1/"n"和-"a" > -1/"n"都成立(換句話說,即"a"的絕對值小於1/"n"),則稱"a"為無窮小量。

  在把擴充實數系使其能包含無窮大量和無窮小量時,人們希望能夠儘量保持原系統的各種基本的性質(當然不包括阿基米德性質--無窮量本身不允許它成立),這樣的好處是,那些使用基本性質證明過的命題能夠在新的系統裡自動成立。這裡的「基本」通常是指不對集合使用量詞,但可以對集合的元素使用(有限次),比如以下公理「對任意的"x","x"+0="x"」仍然應該成立;使用兩次也行:「對任意的"x"和"y","xy"="yx"」,而如果出現「對任意集合"S"」則不能算基本性質,在新系統中可能不成立,比如「任何形如{"k"∈Z|"xk">"y"}都不是空集」就是一例(其實這就是阿基米德性質)。對命題量詞的這種限制,叫做一階邏輯。類似於阿基米德性質,實數集的完備性也不能在新的系統裡成立,因為實數集是唯一的完備有序域。
無窮小量是數學分析中的一個概念,用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中,無窮小量通常它以函式、序列等形式出現,例如,一個序列formula_1若滿足如下性質: