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  若自然數集的子集 "A" 滿足  則稱 "A" 具有正的"上密度"。塞邁雷迪定理斷言,若自然數集的一個子集具有正的上密度,則對任意的正整數 "k", 該子集都包含無窮多個長為 "k" 的(公差不為 0) 的等差數列。  定理另有一個等價的有限性敍述(即不牽涉「無窮」的):對任意的正整數 "k" 和實數 formula_2都存在正整數  使得 {1, 2,..., "N"} 的每個至少 "δN" 元的子集,都包含長為 "k" 的等差數列。  定義 "r"("N") 為 {1, 2,..., "N"} 的子集當中,不包含長為 "k" 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界  換言之,"r"("N") 隨 "N" 的增長慢於線性。

  範德瓦爾登定理是塞邁雷迪定理的先驅,其於 1927 年獲證。  塞邁雷迪定理中, "k" = 1 和 "k" = 2 的情況顯然成立。 "k" = 3 的結論關乎(不包含 3 項等差數列的整數子集)的大小。1953 年,克勞斯·羅特 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法,證明了 "k" = 3 的結論。1969 年,塞邁雷迪·安德烈利用組合學方法證明了 "k" = 4 的情況。在 1972 年,羅特利用類似自己證明 "k" = 3 的情況的方法,給出了 "k" = 4 的情況的另證。  塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 "k" 的證明。 他巧妙地擴充套件了自己先前對 "k" = 4 的情況的組合論證,艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他證明,較重要的有:1977 年希勒爾·菲爾斯滕貝格利用遍歷理論給出的證明,以及 2001 年高爾斯結合傅立葉分析和組合數學給出的證明。陶哲軒稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」,因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。

  "r"("N") 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為  其中 formula_6歐布萊恩(Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界,其證明建基於貝哈連德(Felix Behrend)、,以及埃爾金(Michael Elkin) 先前的成果。上界由高爾斯證出。  對於較小的 "k," 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 "k" = 3 時,布林甘、希思-布朗 (Roger Heath-Brown)、塞邁雷迪,以及依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為  兩邊的界限分別由歐布萊恩 和布魯姆(Thomas Bloom) 給出。  當 "k" = 4 時,和陶哲軒 證明了存在 "c" > 0 使得

  希勒爾·菲爾斯滕貝格和利用遍歷理論整明瞭塞邁雷迪定理的高維推廣。 高爾斯、和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan),以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和,和陶哲軒給出了各自的組合學證明。  亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和 給出定理對多項式列的推廣:若 formula_9的上密度為正,且 formula_10為滿足 formula_11的,則存在無窮多組 formula_12使得對formula_13都有 formula_14 萊布門和別爾格爾鬆的結果同樣適用於高維的情況。  塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上,例如有限域上的向量空間。 定理在有限域上的類比,是有助理解原定理(在正整數集上)的模型。 所謂問題,就是要找出向量空間 formula_15所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小,即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。  格林-陶定理斷言,存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出,因為質數集的密度為 0. 和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」() 的塞邁雷迪定理,該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集(允許密度為 0)。,和趙宇飛 (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。  埃爾德什等差數列猜想可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。
在中,塞邁雷迪定理是個關於自然數集子集中的等差數列的結論。1936年,艾狄胥和猜想:若整數集 "A" 具有正的自然密度,則對任意的正整數 "k," 都可以在 "A" 中找出一個 "k" 項的等差數列。塞邁雷迪·安德烈於 1975 年證明了此結論。