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  從一開始到19世紀中葉,微分幾何是從外在觀點來進行研究的:曲線和曲面是被放在更高維度的歐幾里得空間中來考慮的(譬如曲面被放在三維的背景空間中)。其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。內在觀點開始於黎曼的工作,在那裡因為幾何物件被認為是獨立的給出的,所以不能說移到外面來考慮這個物件。  內在的觀點更加靈活,例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。但用內在的觀點,曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些,所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。  這兩種觀點也是可以融通的,即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。(見納什嵌入定理)

  微分幾何的工具也就是流形上的微積分:包括對於流形,切叢,餘切叢,微分形式,外微分,formula_1-形式在formula_1維子流形上的積分以及斯托克斯定理,楔積,和李導數的研究。這些都和多變數微積分相關;但對於幾何上的應用來講,必須發展一種在某種意義上和特定座標系無關的方法。微分幾何的特殊概念可以說是那些體現幾何本質的二階導數:曲率的很多表現方式。  可微流形是一個拓撲空間,它有一個開覆蓋,其中的每個開集同胚於formula_3中的一個開單位球。並且,如果formula_4,formula_5是其中兩個同胚對映,則函式formula_6無限可微。我們稱一個函式無限可微,如果它和每個同胚的複合是從開球到formula_7的無限可微函式。  在流形的每一點,有一個該點的切空間,它由每個從該點離開進行運動的所有可能的速度(方向和大小)所組成。對一個n維流形,每點的切空間是一個n維向量空間,或者說是一個R。切空間有多種定義。其中一個是作為所有在該點取值為0的函式組成的線性空間的對偶空間,除以 所有取值為0並且一階導數為0的函式空間(所得到的餘空間)。導數為0可以定義為“和任何可微的從實數到該流形的函式的複合的導數為0”,因而只需要用到可微性。  向量場是從流形到它的切空間的並集(切叢)的函式,在每一點所取的值是該點的切空間的一個元素。這樣的對映稱為纖維叢的截面。 向量場可微,如果該向量場應用到每個可微函式都得到一個可微函式。向量場可以看作是時不變的微分方程組。從實數到流形的可微函式是流形上的曲線。這給了一個從實數到切空間的函式:曲線上每點的速度。一條曲線稱為一個向量場的一個解,如果曲線每點的速度和向量場在該點的值相等。  交錯k維線性形式是向量空間V的對偶空間V的反對稱k階向量積的一個元素。k微分形式就是在流形的每一點選取一個這樣的交錯k形式--V在這裡就是該點的切空間。如果它作用在k個可微向量場上的結果是流形上的一個可微函式,則稱它可微。體積形式是維數和流形相同的微分形式。  黎曼幾何以黎曼流形為主要研究物件— 有額外結構的光滑流形,他們因此"無窮小"得看起來像歐幾里得空間。這使得歐幾里得幾何的諸如函式的梯度,散度,曲線的長度等概念得到了推廣;而無須假設空間"整體"上有這麼對稱。  研究的物件是"複流形"。這是一類有著可積的近復結構的微分流形。因為非奇異的復代數簇自然的是複流形,因此與復代數幾何有著緊密的聯絡。  這是研究"辛流形"的學科。一個辛流形是帶有辛形式(也就是,一個閉的非退化2-形式)的微分流形。  這是辛幾何在奇數維上的對應物。大致來說,在(2"n"+1)微流形上的切觸結構是一個1-形式formula_8使得formula_9處處非退化。  芬斯勒幾何以芬斯勒流形為主要研究物件— 這是一個有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空間被賦予了巴拿赫範數。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的結構。
微分幾何研究微分流形的幾何性質,是現代數學中一主流;是廣義相對論的基礎,與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。