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  根據上述尤拉恆等式或四元數的概念可知如果正整數formula_2和formula_3能表示為4個整數的平方和,則其乘積formula_4也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。  formula_5 必有一組整數解x,y滿足formula_6,formula_7(引理一)  至此,證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後,拉格朗日和尤拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

  根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。  formula_8,因此只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。  根據引理一,奇質數formula_9必有正倍數可以表示成四個整數的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為formula_10。又從引理一可知formula_11。

  設formula_12是偶數,且formula_14。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設formula_15的奇偶性相同,formula_16的奇偶性相同,formula_17均為偶數,可得出公式:  formula_18  formula_19,與formula_12是最小的正整數使得的假設formula_10可以表示成四個整數的平方和不符。

  現在用反證法證明formula_22。設formula_24。  故存在不全為零、絕對值小於formula_32(注意formula_12是奇數在此的重要性)整數的formula_34使得 formula_35。  可得 formula_38,其中formula_39是正整數且小於formula_12。  令formula_42,根據四平方和恆等式可知formula_43是formula_12的倍數,令formula_45,  矛盾。

  將和為formula_49的剩餘兩個一組的分開,可得出formula_50組,分別為formula_51。 將模formula_9的二次剩餘有formula_50個,分別為formula_54。  若formula_55是模formula_9的二次剩餘,選取formula_57使得formula_58,則formula_59,定理得證。  若formula_55不屬於模formula_9的二次剩餘,則剩下formula_55組,分別為formula_63,而模formula_9的二次剩餘仍有formula_50個,由於 formula_66,根據抽屜原理,存在formula_67。
四平方和定理 (英語:Lagrange's four-square theorem) 說明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。