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  一般地,如果隨機變數formula_5服從引數為formula_6和formula_7的二項分佈,我們記formula_8或formula_9。n次試驗中正好得到"k"次成功的概率由概率質量函式給出:  對於"k" = 0, 1, 2,..., "n",其中formula_11  是二項式係數(這就是二項分佈的名稱的由來),又記為"C"("n", "k"),"C",或"C"。該公式可以用以下方法理解:我們希望有"k"次成功("p")和"n" − "k"次失敗(1 − "p")。然而,"k"次成功可以在"n"次試驗的任何地方出現,而把"k"次成功分佈在"n"次試驗中共有C("n", "k")個不同的方法。  在製造二項分佈概率的參考表格時,通常表格中只填上"n"/2個值。這是因為"k" > "n"/2時的概率可以從它的補集計算出:  因此,我們要看另外一個"k"和另外一個"p"(二項分佈一般不是對稱的)。然而,它的表現不是任意的。總存在一個整數"M",滿足:  作為"k"的函式,表示式"ƒ"("k ;" "n", "p")當"k" < "M"時單調遞增,"k" > "M"時單調遞減,只有當("n" + 1)"p"是整數時例外。在這時,有兩個值使"ƒ"達到最大:("n" + 1)"p"和("n" + 1)"p" − 1。"M"是伯努利試驗的最可能的結果,稱為眾數。注意它發生的概率可以很小。

  累積分佈函式可以表示為:  其中formula_15是小於或等於"x"的最大整數。  它也可以用正則化不完全貝塔函式來表示:

  如果"X" ~ "B"("n", "p")(也就是說,"X"是服從二項分佈的隨機變數),那麼"X"的期望值為 方差為  這個事實很容易證明。首先假設有一個伯努利試驗。試驗有兩個可能的結果:1和0,前者發生的概率為"p",後者的概率為1−"p"。該試驗的期望值等於。該試驗的方差也可以類似地計算:.  一般的二項分佈是"n"次獨立的伯努利試驗的和。它的期望值和方差分別等於每次單獨試驗的期望值和方差的和:

  通常二項分佈"B"("n", "p")的眾數等於⌊("n" + 1)"p"⌋,其中 formula_20 是取整函式。然而,當("n" + 1)"p"是整數且"p"不等於0或1時,分佈有兩個眾數:("n" + 1)"p"和("n" + 1)"p" − 1。當"p"等於0或1時,眾數相應地等於0或 "n"。這些情況可以綜述如下:  一般地,沒有一個單一的公式可以求出二項分佈的中位數,甚至中位數可能是不唯一的。然而有幾個特殊的結果:

  如果有兩個服從二項分佈的隨機變數"X"和"Y",我們可以求它們的協方差。利用協方差的定義,當"n" = 1時我們有  第一項僅當"X"和"Y"都等於1時非零,而"μ"和"μ"分別為"X" = 1和"Y" = 1的概率。定義"p"為"X"和"Y"都等於1的概率,便得到  對於"n"次獨立的試驗,我們便有  如果"X"和"Y"是相同的變數,便化為上面的方差公式。

  

  如果"X" ~ B("n", "p")和"Y" ~ B("m", "p"),且"X"和"Y"相互獨立,那麼"X" + "Y"也服從二項分佈;它的分佈為

  伯努利分佈是二項分佈在"n" = 1時的特殊情況。"X" ~ B(1, "p")與"X" ~ Bern("p")的意思是相同的。相反,任何二項分佈B("n","p")都是"n"次獨立伯努利試驗的和,每次試驗成功的概率為"p"。

  二項分佈是泊松二項分佈的一個特殊情況。泊松二項分佈是"n"次獨立、不相同的伯努利試驗("p")的和。如果"X"服從泊松二項分佈,且"p" =... = "p" ="p",那麼"X" ~ B("n", "p")。

  如果"n"足夠大,那麼分佈的偏度就比較小。在這種情況下,如果使用適當的連續性校正,那麼B("n", "p")的一個很好的近似是正態分佈:  "n"越大(至少20),近似越好,當"p"不接近0或1時更好。不同的經驗法則可以用來決定"n"是否足夠大,以及"p"是否距離0或1足夠遠:

  當試驗的次數趨於無窮大,而乘積"np"固定時,二項分佈收斂於泊松分佈。因此引數為"λ" = "np"的泊松分佈可以作為二項分佈B("n", "p")的近似,如果"n"足夠大,而"p"足夠小。

  一個簡單的例子如下:擲一枚骰子十次,那麼擲得4的次數就服從"n" = 10、"p" = 1/6的二項分佈。
\! 在概率論和統計學中,二項分佈(英語:Binomial Distribution)是"n"個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散概率分佈,其中每次試驗的成功概率為"p"。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上,當"n" = 1時,二項分佈就是伯努利分佈。二項分佈是顯著性差異的二項試驗的基礎。