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  這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯絡:如果底域是實數,兩者是等距同構;如果域是複數,兩者是等距反同構。如下所述,(反)同構是特別自然的。  設 formula_1 是一個希爾伯特空間,令 formula_2 表示它的對偶空間,由從 formula_1 到域 formula_4 或 formula_5 的所有連續線性泛函。如果 formula_6 是 formula_1 中一個元素,則函式 formula_8 定義為  是 formula_2 的一個元素,這裡 formula_11 表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言 formula_2 中任何元素都能惟一地寫成這種形式。  定理:對映  是一個等距(反)同構,這就是說:  formula_14 的逆對映可以描述為: 給定 formula_2 中一個元素 formula_30,核 formula_30 的正交補是 formula_32 的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素 formula_33,令 formula_34。則 Φ("x") = φ。  歷史上,通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現(見參考文獻)。格雷(英語:Gray)在評論從他認為是原型的里斯(1909)一文到里斯表示定理的發展時說:“給定運算 formula_35,可以構造有界變差函式 formula_36,使得無論連續函式formula_37 是什麼,都有 formula_38.”  在量子力學的數學處理中,這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時,每個右括號 formula_39 有一個相應的左括號 formula_40,對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間,比如核空間(英語:Nuclear space),里斯表示定理不成立,在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。

  下面的定理表示出 C("X") 上的正線性泛函,緊支集連續復值函式空間。下面所說的波萊爾集表示由開集生成的 σ-代數。  區域性緊豪斯多夫空間 "X" 上一個非負可數可加波萊爾測度 μ 是正規的當且僅當  成立只要 "E" 是開集和 "E" 是波萊爾集且 μ(E) < ∞。  定理:設 "X" 是一個區域性緊豪斯多夫空間。對 C("X") 上任何正線性泛函 ψ,在 "X" 上存在惟一的波萊爾正則測度 μ 使得 對所有 "f" ∈ C("X")。  進入測度論的一個途徑是從拉東測度開始,定義為 C("X") 上一個正線性泛函。這種方式由布林巴基採取;這裡顯然假設 "X" 首先是一個拓撲空間,而不僅是一個集合。對區域性緊空間,重新得到了一個積分理論。

  下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理,給出了 C("X") 的對偶空間的一個具體實現,"X" 上在無窮遠趨於零的連續函式。定理陳述中的波萊爾集合同樣指由開集生成的 σ-代數。結論與上一節類似,但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性註釋。  如果 μ 是一個復值可數可加波萊爾測度,μ 是正則的當且僅當非負可數可加測度 |μ| 正則(上一節所定義的)。  定理:設 "X" 是一個區域性緊豪斯多夫空間。對 C 上任何連續線性泛函 ψ,存在 "X" 上惟一正則可數可加波萊爾測度 μ 使得 對所有 "f"∈ C("X")。ψ 的範數作為線性泛函是 μ 的全變差(英語:total variation),即 最後,ψ 是正的當且僅當測度 μ 是非負的。  注:C("X") 上任何有界線性泛函惟一延拓為 C("X") 上有界線性泛函,因為後一個空間是前者的閉包。但是 C("X") 上一個無界正線性泛函不能延拓為 C("X") 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。
在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理(英語:Riesz representation theorem),它們是為了紀念匈牙利數學家弗裡傑什·里斯。