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  術語“緊緻”是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。  很久以來就認識到了像緊緻性這樣的性質對於證明很多有用的定理是必需的。最初“緊緻”意味著“序列緊緻”(所有序列都有收斂子序列)。這是在研究主要的度量空間的時候。“覆蓋緊緻”定義已經變得更加突出,因為它允許我們考慮更一般的拓撲空間,並且關於度量空間的很多已有結果可以推廣到這種設定。這種推廣在研究函式空間的時候特別有用,它們很多都不是度量空間。  研究緊緻空間的主要原因之一是因為它們以某種方式類似於有限集合:有很多結果易於對有限集合證明,其證明可以通過極小的變動就轉移到緊緻空間上。常說“緊緻性是在有限性之後最好的事情”。例如:  注意如果"A"是無限的,則證明失敗,因為任意多個"x"的鄰域的交集可能不是"x"的鄰域。但這個證明是可以挽救的,如果"A"是緊緻的:我們可以簡單的選取"A"的覆蓋{"V"("a")}的有限子覆蓋。在這種方式下,我們看到在豪斯多夫空間中,任何點都可以通過不包含它的任何緊緻集合的鄰域來分離。事實上,重複這個論證證明了在豪斯多夫空間中任何兩個不相交緊緻集合可以通過領域來分離 -- 注意這正好就是我們在豪斯多夫分離公理中把“點”(就是單元素集合)替代為“緊緻集合”所得到的。涉及緊緻空間的很多論證和結果都服從這個模式。  在度量空間中,所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言,無限集可能不存在最大或最小元素(比如"R"中的(0, 1)),但"R"中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下,對有限整合立的證明可以擴充套件到緊集。一個簡單的例子是對以下性質的證明:定義在緊集上的連續實值函式是一致連續的。

  

  對於歐幾里得空間R的子集,下列四個條件是等價的:  在其他空間中,這些條件等價與否依賴於這個空間的性質。  注意儘管緊緻性是集合自身(和它的拓撲)的性質,閉合性是相對於它所在的空間的;上面的“閉合”是在閉合於R中的意義上使用的。比如閉合在Q中的集合典型的不閉合在R中,因此不是緊緻的。

  上段中的“有限子覆蓋”性質要比“閉集與有界”更加抽象,但是它在用於 R 的子集的子空間拓撲時有明顯的好處,省去了使用度量或周圍(ambient)空間的需要。因此緊緻性是個拓撲性質。閉區間[0,1]在某種意義上是本質上緊緻性的,不論它是如何嵌入R或R中的。  拓撲空間 被定義為緊緻的,如果它的所有開覆蓋都有至少一個有限的子覆蓋。也就是說:  其他緊緻的等價定義利用了有限交集性質,如果拓樸空間 滿足下面這條件則 為緊緻空間:如果 formula_3 為 中任意一個閉子集的集族 且滿足有限交集性質,則集族 formula_3 中所有元素的交集為非空集合。。這個定義對偶於使用開集的定義。  某些作者要求緊緻空間還是豪斯多夫的,並把非豪斯多夫的緊緻性叫做預緊緻。

  在度量空間內,緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合:

  緊集具有以下性質:

  以下概念通常弱於緊集:
在數學中,如果歐幾里得空間 R 的子集是閉集合且是有界的,那麼稱它是緊緻的。例如,在R中,單位區間[0, 1]是緊緻的,但整數集合Z不是(它不是有界的),半開區間[0, 1)也不是(它不是閉合的)。