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  朗斯基行列式可以用來確定一組函式在給定區間上的線性相關性。  對於 "n" 個"n-1" 次連續可微函式 "f"、...、"f",它們的朗斯基行列式 "W(f,..., f)" :  定理:  也就是說,如果在某些點上 "W(f,..., f)" 不等於零,則 "f"、...、"f" 線性無關  注意,若 "W(f,..., f)" 在區間 ["a","b"] 上恆等於零,函式組不一定線性相關。

  考慮 "n" 階線性微分方程:  其中formula_4是區間 ["a","b"] 上的連續函式。並考慮formula_5,即 "n" 階齊次線性微分方程的情形:  對於一組給定的初始值:  方程 (1) 有唯一解formula_8。如果初始值不定的話,(2) 的任一解加上formula_8仍然是 (1) 的解。而對於 (2),任意"k"個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集構成一個線性空間,稱為 (2) 的解空間。

  如果 "f"、...、"f" 在一個區間 ["a","b"] 上線性相關,則存在不全為零的係數formula_10使得對區間 ["a","b"] 上的任意 "t",  因為“微分”是線性運算元,所以這個等式可以“延伸”到n-1階導數。故有以下方程組:  將formula_10看作變數,則上式變為一個 "n" 元齊次線性方程組,由於這個方程有非零解,係數矩陣的行列式 "W(f,..., f)" = 0。  進一步可以證明, "W(f,..., f)" 要麼在區間 ["a","b"] 上恆等於零,要麼處處不為零(沒有零根)。於是可以證明 (2) 有 "n" 個線性無關的解,並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以, (2) 的解空間是一個 "n" 維線性空間。 (2) 一組 "n" 個線性無關的解稱作它的一個基本解組。

  1. 考慮三個函式:1、"x"和"x",在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:  不等於零,因此,這三個函式在任一個區間上都是線性無關的。  2.考慮另三個函式:1、"x"和2"x"+3,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:  事實上三者線性相關。  3.上面已經提到,朗斯基行列式等於零的函式組不一定線性相關。下面是一個反例:考慮兩個函式,"x"和|"x"|,即"x"的絕對值。計算兩者的朗斯基行列式  他們的朗斯基行列式恆等於零,但兩者顯然線性無關。
在數學中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波蘭數學家約瑟夫·侯恩·朗斯基,是用於計算微分方程的解空間的函式。