Can you summarize the following document?
        
  在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化,包括古代印第安人,使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。  在公元前8000年至前3500年間,蘇美爾人發明了使用粘土保留數字資訊。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始,粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上,然後燒製而成的。大約前3100年,數字符號與被計數的事物分離,成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間,圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代,這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似,並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進位制系統。這個系統是一種位置數值記數法,只使用豎向的楔形和人形兩種符號,而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期(大約前1950年)得到了充分的發展,併成為巴比倫尼亞的標準。  上述六十進位制系統是一種混合進位制系統,它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業,同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出,並傳遍了美索不達米亞,包括希臘,羅馬和埃及。今天,我們仍然用它來計算時間(1小時=60分鐘)和角度(1度=60分)。  中國古代採用算籌記數,個位百位萬位等奇數位用縱籌,偶數位用橫籌,零用空位表示。有時,軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌,並按照模算術運算。(參看:大衍求一術,中國剩餘定理)。模算術的好處在於,儘管其加法相對困難,但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代,同樣的模算術有時用於數字訊號處理。  羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符,大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用,直到1500年代進位制開始流行。  中美洲的瑪雅數字採用20或18為基數的系統,可能繼承自奧爾梅克文明,它包含了位置數值記數法和零這樣的高階屬性。他們將此用於高階的天文計算,包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。  印加帝國採用奇普,一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄,並因此失傳。今天,簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。  有些權威認為數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年,零已被中國數學家正確地表述了,並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。  在印度,現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起,這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論,參看阿拉伯數字和印度數字。  從印度出發,伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此係統推廣到十進位制分數。在9世紀,花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版,該系統傳入歐洲。在歐洲,完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。  二進位制系統由萊布尼茲在17世紀傳播,萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念,並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用,二進位制系統在20世紀變得更加普遍。

  

  基數為2的系統(二進位制)的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數,也代表只有兩種變化:不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成,只有兩種狀態:開(1)及關(0),並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進位制亦普遍使用於數碼影音系統中。

  基數8的系統(八進位制)是北加利福尼亞的Yuki部落設計的,他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人(多數歐洲和印度語言來源於此)可能用基數10的系統取代了基數8系統(或者一個只能數到8的系統)。證據是代表9的詞,"newm",根據一些歷史學家推測來源於“新”('new', "newo-"),這表示數字9是當時最近發明的,所以稱為‘新數’('new number') (Mallory & Adams 1997年)。

  涅涅茨語曾經使用基數9的系統(九進位制),但在俄語的影響下轉變為十進位制。"yúq"一詞最初表示9,但在俄語影響下變成了10的意思;所以在現在的涅涅茨,9現在是"xasu-yúq",也就是“涅涅茨"yúq"”,而10就是"yúq",但在東部方言中也作"lúca-yúq", 也就是“俄語"yúq"”。

  十進位制是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。

  基數12的系統(十二進位制)曾經很流行,因為乘法和除法比十進位制方便,而加法同樣簡單。12很有用,因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞“打”("dozen"),並且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進位制可能來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數,它們曾被用來記數。

  基數為16的系統(十六進位制)曾經在中國的重量單位上使用過,比如,規定16兩為一斤。現在的16進位制則普遍應用在電腦領域,這是因為將二進位制數字轉化為十六進位制數字非常容易,用十六進位制表達數字比用二進位制方便。1位元組(一個8個位的二進位制數字)可以很方便的表示成一個兩個位的16進位制數字。

  瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進位制、因努伊特的因努伊特數字,可能是源於人的手指和腳趾總數。

  基數為60的系統(六十進位制)是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的,今天還在我們的計時系統中存在(所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒)。60也有大量因子,包括前六個自然數。六十進位制系統被認為是因為十進位制和十二進位制合併過程中產生的。中國曆法中,六十進位制的甲子系統用於表示年,每個60年迴圈中的年用兩個符號代表,第一個符號是十進位制的天干,第二個符號是十二進位制的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一,這樣同樣的組合在60年後再現。該系統的第二個符號也和12個動物的生肖系統對應。

  在基數"b"的位置記數系統(其中"b"是一個正自然數,叫做基數),"b"個基本符號(或者叫數字)對應於包括0的最小"b"個自然數。 要產生其他的數,符號在數中的位置要被用到。最後一位的符號用它本身的值,向左一位其值乘以"b"。  例如,在十進位制系統中(基數10),數4327表示(4×10) + (3×10) + (2×10) + (7×10),注意10 = 1。  一般來講,若"b"是基底,我們在"b"進位制系統中的數表示為"a""b" + "a""b" + "a""b" +... + "a""b"的形式,並按次序寫下數字"a""a""a"... "a"。這些數字是0到"b"-1的自然數。  若一段文字(譬如這段文字)討論多個基數,若有歧義時,基數(本身用十進位制表示)用下標方式寫在數的右邊。除非有上下文說明,沒有下標的數字視為十進位制。 通過使用一點(小數點)來將數字分成兩組,就可以用位置系統來表示小數。例如,基數-2系統10.11表示1×2+ 0×2 +1×2 +1×2 = 2.75。  一般來講,"b"進位制系統中的數有如下形式:  數b和b是相應數字的 比重。  注意有一個數有一個終止或者迴圈當且僅當它是有理數;這不依賴於基數的選擇。在一個進位制中終止的數可以在另外一個有迴圈小數(thus 0.3 = 0.0100110011001...)。一個無理數在所有進位制中不迴圈(無窮位不迴圈數字)。這樣,例如二進位制中,π = 3.1415926...可以寫作不迴圈的11.001001000011111...。  若"b"="p"是一個質數,可以定義其向左的擴充套件不停止的"p"進位制數字;這些數字稱為p進數(p-adic)。

  轉換正整數的進位制的有一個簡單演算法,就是通過用目標基數作長除法;餘數給出從最低位開始的“數字”。例如,1020304從10進位制轉到7進位制:  再如,10110111 從2進位制到5進位制: 轉換一個“十進位制”小數,可以用重複乘法,將整數部分作為“數字”。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數,例如0.1A4C從16進位制轉換到9進位制:

  更一般化的有一種記法(這裡寫作小頭式),例如"a""a""a" 用作"a" + "a""b" + "a""b""b", etc.
記數系統,或稱記數法或數制(numeral system、system of numeration),是使用一組數字符號來表示數的體系。