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  設formula_1為一個環,記formula_2為formula_1上以formula_4為變數的的多項式組成的環。大衛·希爾伯特證明了只要formula_1不是“太大”——即formula_1為諾特環——那麼formula_2也具有相同性質。形式上,  希爾伯特基定理. 如果formula_1是諾特環,那麼formula_2也是諾特環。  推論. 如果formula_1是諾特環,那麼formula_11也是諾特環。  定理可以如下翻譯成代數幾何的語言:域上的每個代數集都可以描述成有限多個多項式方程的公共根的集合。 在他對不變數環的有限生成的證明中,證明了希爾伯特基定理(在域上的多項式環這一特例)。  希爾伯特應用數學歸納法給出了一個創新的反證:他的證明並沒有提供對於任一理想生成對應的有限多個多項式方程的演算法;相反,它只說明了這些多項式方程存在。通過Gröbner基的方法,我們可以確定給定理想的基多項式。。

  設formula_1為諾特交換環。希爾伯特基定理有下列直接推論:

  Mizar計劃已經完全形式化並自動檢查完畢希爾伯特基定理的證明;見HILBASIS file。
希爾伯特基定理是數學、尤其是交換代數中的定理。它宣告諾特環上的多項式環也是諾特環。