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  "n"維歐氏空間中,單位球面是所有滿足如下方程的點formula_1的集合  而閉單位球是所有滿足如下不等式的點的集合

  "n"-維歐氏空間的單位球體積,和單位球面的面積,出現在很多數學分析的公式中。"n"維空間中的單位球面的表面積,經常記為formula_4,可以用Γ函式表示。它是  單位球的體積則是formula_6.

  精確一點的說,賦範向量空間formula_7中的開單位球,設範數為formula_8,由下式表示  它位於("V",||·||)中的閉單位球的內部,  後者是前者和它們的公共邊界("V",||·||)的單位球面的不交併集,

  單位球的"形狀"完全取決於所選的範數;它可能有"角",例如它可以看起來象[−1,1],也就是在選取"R"中的範數"l"的情況。"圓球"可以理解為一般的希爾伯特空間範數的情況,在有限維的情況中依賴於歐氏距離;它的邊界就是通常所指的單位球面。

  

  上面的三個定義都可以直接推廣到度量空間中相對於某個原點的相應概念。但是,拓撲上的考慮(內部,閉包,邊界)不一定可以同樣的推廣(例如,在超度量空間,所有三者同時是即開且閉集合),而單位球在某些度量空間甚至可能是空集。

  若"V"是有實二次型"F":"V" → R的線性空間,則{ x ∈ "V" : "F"(x) = 1 }有時稱為V的單位球面。二維的例子有雙曲複數和對偶數。當"F"可以取負值時,則{x ∈ "V": "F"(x) = − 1}稱為反球面。
數學上,單位球面是到固定中心點距離為1的點的集合,其中距離可以是任何推廣了的距離概念。單位球是單位球面所包圍的區域。通常一個特定的點被表示為所研究的空間的原點,並且單位球面或單位球通常以該點為中心。因此通常單位球或者單位球面就是指以原點為中心的單位球或球面。