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  考慮一個球面,設球面的大圓(假設地球是一個球形,那麼赤道就是大圓)是“直線”,對徑點對是“點”(一對對徑點是通過大圓圓心的直線與大圓相交的兩個點)。容易驗證它們滿足射影平面所需的公理:  這就是實射影平面。  如果我們將球面上每個點與其對徑點等同,則我們得到了實射影平面的一個表示,其中射影空間的“點”確實是點。  射影平面是球面在等價關係~下的商空間,這個等價關係~就是對徑關係,即 x ~ y當且僅當y = −x。這個球面的商空間同構於R中所有通過原點的直線的集合。  所得的曲面是一個2維緊不可定向流形,有一點難以想象,因為它不能無自交地嵌入三維歐幾里得空間中。  從球面到實射影平面的商對映事實上是一個(2對1)覆蓋對映。從而實射影平面的基本群是二階迴圈群,即整數模2群。可以取上圖中的環路"AB"作為生成元。

  射影平面不能嵌入(這要求沒有自交)三維空間,不過可以浸入(區域性鄰域沒有自交點)。伯伊曲面()是浸入的一個例項。  羅馬曲面()是從射影平面到三維空間一個更加退化的對映,包含一個交叉帽()。同樣對具有一個交叉套的球面也成立。  射影平面不能嵌入三維歐幾里得空間,可作如下證明:假設可以嵌入,由廣義若爾當曲線定理它將在三維歐幾里得空間中圍出一個緊區域。向外的單位法向量場將給出邊界流形的一個定向,但邊界流形就是射影平面,它是不可定向的。這是一個矛盾,從而我們所假設的嵌入必定是錯誤的。  實射影平面的一個多面體半形表示是四面半六面體。  從相反的方向來看,立方體半形、十二面體半形以及二十面體半形、抽象正則多面體(),都可以構造成射影平面中的正則圖形。

  平面中的直線集合可以用齊次座標表示。直線"ax"+"by"+"c"=0可以表示為["a":"b":"c"]。這些座標有等價關係,對所有非零"d",["a":"b":"c"] = ["da":"db":"dc"]。從而相同直線的不同表示"dax"+"dby"+"dc"=0有同樣的座標。座標集合["a":"b":1]給出了通常實平面,而座標集合["a":"b":0]定義了一個無窮遠直線。

  射影平面可嵌入一個4維歐幾里得空間。考慮formula_3是2維球面formula_4由對徑關係formula_5得到的商。考慮由formula_6給出的函式formula_7。將這個對映限制在區域formula_8上,因為它是一個二次多項式,故可分解,給出一個對映formula_9,並且這個對映是嵌入。注意到這個嵌入有一個到formula_10的投影,即羅馬曲面。

  基本多邊形一文提供了高階虧格實射影平面的一個描述。
在數學中,實射影平面(英語:real projective plane)是R中所有過原點直線組成的空間,通常記作formula_1,無歧義時也記為formula_2。這是一個不可定向、緊緻、無邊界二維流形(即一個曲面),它在幾何中有基本的應用,但不能無自交地嵌入我們通常的三維歐幾里得空間。它的虧格是1,故尤拉示性數也為1。