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  儘管橢圓曲線的正式定義需要一定的代數幾何背景,在實數上的橢圓曲線的一些特徵可以使用入門級別的代數與幾何來描繪。  在這種情況下,橢圓曲線是由下列方程定義的平面曲線:  其中"a"和"b"為實數。這類方程被稱為魏爾斯特拉斯方程。  橢圓曲線的定義也要求曲線是非奇異的。幾何上來說,這意味著影象裡面沒有尖點、自相交或孤立點。代數上來說,這成立當且僅當判別式  不等於0。(儘管這裡的因子−16與曲線是否是非奇異的無關,這樣定義判別式在對橢圓曲線進行更深入的研究時有用。)  非奇異橢圓曲線的(實)影象在判別式為正的時候有"兩個"連通分量,在判別式為負時則有"一個"連通分量。例如,在本小節的影象中,第一個曲線的判別式為64,而第二個曲線的判別式為−368。

  定義無窮遠點0為橢圓曲線"E"上的一點。定義 + 運運算元:取"E"上的兩點"P","Q",若兩者相異,"P" + "Q"表示穿過"P"和"Q"的弦和橢圓曲線相交的第三點,再經x軸反射的映象點;若兩者是同一點,"P"+"P"=2"P"表示以"P"為切點和橢圓曲線相交的點再經x軸反射的映象點。若P和Q的弦與y軸平行,P+Q=0(無限遠點)。+定義了一個"E"上的交換群,這個群以0為單位元。  特別地,所有有理點組成了E的子群。  上面的群可以用代數方式定義。給定域formula_5(其中formula_5的特徵值非2或者3)上的曲線formula_7,及非無窮遠點formula_8。先假設formula_9,設formula_10(因formula_5是域,formula_12有定義)。定義formula_13。  因為formula_14共線,令該直線formula_15的方程為formula_16。直線formula_15與曲線formula_18相交,有:  formula_14是兩線的交點,即方程的解。有:  替換系數後可得:  若formula_24:

  橢圓曲線可以被定義在任意域 "K"上;橢圓曲線的正式定義是"K"上的虧格為1的非奇異射影代數曲線,並具有一個定義在"K"特殊的點。  如果"K"的特徵不等於2或3,那麼"K"上每個橢圓曲線都能寫成如下形式  其中"p"和"q"為"K"中的元素,使得右手邊的多項式"x" − "px" − "q"沒有二重根。如果特徵等於2或3,那麼需要保留更多項:在特徵為3的情況下,最一般的方程具有如下形式  這裡常數"b", "b", "b"可以任取,但需滿足使得右手邊的多項式無重根(寫成這個形式有歷史原因)。在特徵為2的情況下,即使是這種形式也不夠,其最一般的方程為  需滿足所定義的簇是非奇異的。
在數學上,橢圓曲線(英語:Elliptic curve,縮寫為EC)為一平面代數曲線,由如下形式的方程定義 且滿足其是無奇點的;亦即,其圖形沒有尖點或自相交。(當係數域的特徵為2或3時,上面的方程不能涵蓋所有非奇異的三次曲線;見下面的#一般域上的橢圓曲線。)