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  如果"V"是n維向量空間,設formula_4是"V"的一組基。定義formula_5 階的矩陣"A"使得formula_6。當formula_7 的矩陣"x"和"y"表示向量"u"及"v"時,雙線性形式"B"可表示為: 考慮另一組基 formula_9,其中"S"是一個可逆的formula_5 階矩陣(基底轉換矩陣),則雙線性形式在formula_11下的矩陣formula_12的形式為:

  V的每一個雙線性形式"B"都定義了一對由"V"射到它的對偶空間"V"*的線性函式。 定義formula_14 :  常常記作:  這裡的(–)是放變數的位置。  如果 "V"是有限維空間的話,"V"和它的雙對偶空間"V"**是同構的,這時"B"是"B" 的轉置對映(如果"V"是無限維空間,"B"限制在"V"在"V"**的像下的部分是"B" 的轉置對映)。 定義"B"的轉置對映為雙線性形式:  如果 "V"是有限維空間,"B" 及"B" 的秩相等。如果他們的秩等於"V"的維數的話,"B" 和 "B" 就是由"V"到"V"*的同構對映(顯然"B"是同構當且僅當"B" 是同構),此時,"B"是非退化的。實際上在有限維空間裡,這常常作為非退化的定義:"B"是非退化的當且僅當

  雙線性形式 "B" : "V" × "V" → "F" 是映象對稱的當且僅當:  當A是非奇異矩陣,即當"B"是非退化時,根都是零子空間{0}。  設W是一個子空間,定義formula_25。  當"B"是非退化時,對映formula_26是雙射,所以formula_27的維數等於dim("V")-dim("W")。  可以證明,雙線性形式"B"是映象對稱的當且僅當它是以下兩者之一:  每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)(或稱反對稱(antisymmetric))的,只要展開  當"F"的特徵不為2時,逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而,當char("F")=2時,斜對稱就是對稱,因此不全是交替的。  一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)當且僅當它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的當且僅當它對應的矩陣是反對稱的,且主對角線上都是零。(在"F"的特徵不為2時的情況下)  一個雙線性形式是對稱的當且僅當formula_14 相等,是旋鈕對稱的當且僅當formula_33。char("F") ≠ 2 時,一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解: 其中"B"* 是"B" 的轉置對映。

  這套理論有很大一部分可推廣到雙線性對映的情形:  此時仍有從 "V" 到 "W" 的對偶、及從 "W" 到 "V" 的對偶的對映。當 "V", "W" 皆有限維,則只要其中之一是同構,另一個對映也是同構。在此情況下 "B" 稱作完美配對。

  由張量積的泛性質,formula_35 上的雙線性形式一一對映至線性對映 formula_36:若 formula_37 是 formula_35 上的雙線性形,則相應的對映由下式給出 所有從 formula_40 到 formula_41 的線性對映構成 formula_40 的對偶空間,此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素: 同理,對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 "S""V"* 的元素,而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ"V"* 的元素。
在域 "F" 中,向量空間 "V" 的雙線性形式指的是一個"V" × "V" → "F" 上的線性函式 "B", 滿足: 都是線性的。這個定義也適用於"交換環"的模,這時線性函式要改為模同態。