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  遞迴可列舉語言定義:設"S" ⊆ Σ為一個語言,"E"是一個列舉器,若"L"("E") = "S",則稱"E" 列舉了語言"S"。若存在這樣 的"E","S"就稱為遞迴可列舉語言。  注意,列舉器"E"可以以任意的順序列舉語言"L"("E"),而且"L"("E") 中的某個串可能會被"E"多次重複地列印。  圖靈可識別語言定義:設formula_1是一臺圖靈機,若在輸入串formula_2上formula_1執行後可進入接受狀態並停機,則稱formula_1接受串formula_2。formula_1所接受的所有字串的集合稱為formula_1所識別的語言,簡稱formula_1的語言,記作formula_9。  設formula_10是一個語言,若存在圖靈機formula_1使得formula_12,則稱圖靈機formula_1 識別formula_14,且formula_14稱為圖靈可識別語言。

  下列定理揭示了遞迴可列舉語言和圖靈可識別語言的聯絡。  定理:一個語言是圖靈可識別的,當且僅當它是遞迴可列舉的。  證明:若有列舉器"E"列舉語言"S",構造一個圖靈機"M"如下:  "M" = 對於輸入ω  注意當ω ∉ "S"時,"M"可能永不停機,但"M"所接受的語 言集合恰好是"S",所以"M"識別了"S"。  假設我們有圖靈機"M"識別語言"S",構造一個列舉器"E"如下:  "E" = 忽略輸入  顯然,這樣構造的列舉器"E"最終輸出的語言恰好就是"S"。注意"S"中的字串並 沒有在"E"中按字典序輸出,而且同一個串可能會被"E"輸出多次,但根據列舉器的定義,這些都是允許的。

  遞迴可列舉語言在下列運算下是閉合的。就是說,如果"L"和"P"是兩個遞迴可列舉語言,則下列語言也是遞迴可列舉的:  注意遞迴可列舉語言不閉合於差集和補集之下。

  注意圖靈可識別語言和圖靈可判定語言的區別:若formula_14是圖靈可識別語言,則只需存在一臺圖靈機formula_1,當formula_1的輸入formula_23時,formula_1一定會停機並進入接受狀態;當formula_1的輸入formula_26時,formula_1可能停機並進入拒絕狀態,或者永不停機。而若formula_14是圖靈可判定語言,則必須存在圖靈機formula_1,使得對於任意輸入串formula_30,formula_1總能停機,並根據formula_2 屬於或不屬於 formula_14分別進入接受或拒絕狀態。  並不是所有的語言都是圖靈可識別的,可以證明存在圖靈不可識別語言。
在數學、邏輯和電腦科學中,遞迴可列舉語言是也叫做部分可判定語言或圖靈可識別語言的形式語言型別。它在形式語言的喬姆斯基層級中叫做型別-0語言。所有遞迴可列舉語言的類叫做RE。