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  可以把生日悖論理解成一個盲射打靶的問題。對於一個23人的房間,先考慮問題的補集:23人生日兩兩不同的概率是多少?為此,可以讓23個人依次進入,那麼每個人生日都與其他人不同的概率依次是1,364/365,363/365,362/365,361/365,等等。先進入房間的這些人生日兩兩不同的概率是很大的,比如說前面5個是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而對於最後進入房間的幾個人情況就完全不同。最後幾個人進入房間並且找不到同生日者的概率是... 345/365,344/365,343/365。可以把這種概率看成對一張靶的盲射:靶上有365個小格,其中有17個左右是黑格,其餘是白格。假設每槍必中靶並且分佈符合幾何概型的話,那麼連續射12槍左右任何一發都沒有擊中黑格的概率(投射於房間裡的人生日都兩兩不同)是多少呢?想必大家立即會感覺到這個概率十分微小。  理解生日悖論的關鍵,在於考慮上述“依次進入房間”模型中最後幾個進入房間的人“全部都沒碰到相同生日的人”概率有多大這件事情。  簡而言之,大多數人之所以會認為23人中有2人生日相同的概率應該遠遠小於50%,是因為將問題理解為“其他22人與你的生日相同的概率”,而非問題本意“23人之中兩兩之間存在生日相同”。如果考慮到這一點,直覺上會將原來的概率乘以23"(注意:此演算法並不正確)",則會意識到概率很大了。

  假設有"n"個人在同一房間內,如果要計算有兩個人在同一日出生的機率,在不考慮特殊因素的前提下,例如閏年、雙胞胎,假設一年365日出生概率是平均分佈的(現實生活中,出生機率不是平均分佈的)。  計算概率的方法是,首先找出p"("n")"表示"n"個人中,每個人的生日日期都不同的概率。假如"n" > 365,根據鴿巢原理其概率為0,假設"n" ≤ 365,則概率為  因為第二個人不能跟第一個人有相同的生日(概率是364/365),第三個人不能跟前兩個人生日相同(概率為363/365),依此類推。用階乘可以寫成如下形式  "p"("n")表示"n"個人中至少2人生日相同的概率  "n"≤365,根據鴿巢原理,"n"大於365時概率為1。  當"n"=23發生的概率大約是0.507。其他數字的概率用上面的演算法可以近似的得出來:  注意所有人都是隨機選出的:作為對比,"q"("n")表示房間中有"n+1"個人,當中與特定人(比如你)有相同生日的概率:  當"n" = 22時概率只有大約0.059,約高於十七分之一。如果"n"個人中有50%概率存在某人跟你有相同生日,"n"至少要達到253。注意這個數字大大高於365/2 = 182.5;究其原因是因為房間內可能有些人生日相同。

  在保羅·哈爾莫斯的自傳中,他認為生日悖論僅通過數值上的計算來解釋是一種悲哀。為此,哈爾莫斯給出了一種概念數學方法的解釋,下面就是這種方法(儘管這個方法包含一定的誤差)。乘積  等於1-"p"("n"),因此關注第一個"n",欲使乘積小於1/2。由平均數不等式可以得知:  再利用已知的1到"n"-1所有整數和等於"n"("n"-1)/2,然後利用不等式1-"x" < "e",可以得到:  如果僅當  最後一個表示式的值會小於0.5。其中"log"表示自然對數。這個數略微小於506,如果取"n"-"n"=506,就得到"n"=23。  在推導中,哈爾莫斯寫道:  然而哈爾莫斯的推導只顯示至少超過23人就能保證平等機會下的生日匹配。因為不知道給出的不等式有多強(嚴格、清晰),因此從這個計算過程中無法確定當n=22時是否就能讓機率超過0.5。相反的,當代任何人都可以運用個人計算機程式如Microsoft Excel,幾分鐘就可以把整個機率分佈圖形畫出來,對問題答案很快就有個通盤的掌握,一目瞭然。

  生日悖論可以推廣一下:假設有"n"個人,每一個人都隨機地從"N"個特定的數中選擇出來一個數(N可能是365或者其他的大於0的整數)。  "p"("n")表示有兩個人選擇了同樣的數字,這個概率有多大?  下面的逼近公式可以回答這個問題

  下面泛化生日問題:給定從符合離散均勻分佈的區間[1,"d"]隨機取出"n"個整數,至少2個數字相同的概率"p"("n";"d")有多大?  類似的結果可以根據上面的推導得出。

  反算問題可能是:  對這個問題有如下逼近公式:

  注意:某些值被著色,說明逼近不總是正確。

  生日悖論可以用計算機程式碼經驗性模擬  生日悖論也可以用Microsoft Excel Spreadsheet模擬, 其中A列表示人數,B列表示人數對應的生日相同的概率. 當你行數達到23(即人數)時,你可以看到概率結果開始大於50%.

  生日悖論普遍的應用於檢測雜湊函式:"N"-位長度的雜湊表可能發生碰撞測試次數不是2次而是隻有2次。這一結論被應用到破解密碼學雜湊函式的生日攻擊中。  生日問題所隱含的理論已經在[Schnabel 1938]名字叫做捉放法(capture-recapture)的統計試驗得到應用,來估計湖裡魚的數量。

  就像上面提到的,真實世界的人口出生日期並不是平均分佈的。這種非均衡生日概率問題也已經被解決。

  此問題的另外一個泛化是求在個人中有兩個人的生日同在日曆天內的概率。假設有個同等可能的出生日。  能找到兩個人生日相差天或更少的概率高於50%所需要的人數:  只需要隨機抽取7個人,找到兩個人生日相差一週以內的概率就會超過50%。
生日問題是指,如果在一個房間要多少人,則兩個人的生日相同的概率要大於50%? 答案是23人。 這就意味著在一個典型的標準小學班級(30人)中,存在兩人生日相同的可能性更高。對於60或者更多的人,這種概率要大於99%。這個問題有時也被稱做生日悖論,但從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論,它被稱作悖論只是因為這個數學事實與一般直覺相牴觸而已。大多數人會認為,23人中有2人生日相同的概率應該遠遠小於50%。計算與此相關的概率被稱為生日問題,在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法:生日攻擊。