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  卡爾曼濾波的一個典型例項是從一組有限的,包含噪聲的,通過對物體位置的觀察序列(可能有偏差)預測出物體的位置的座標及速度。在很多工程應用(如雷達、電腦視覺)中都可以找到它的身影。同時,卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統工程中的一個重要課題。  例如,對於雷達來說,人們感興趣的是其能夠跟蹤目標。但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態資訊,設法去掉噪聲的影響,得到一個關於目標位置的好的估計。這個估計可以是對當前目標位置的估計(濾波),也可以是對於將來位置的估計(預測),也可以是對過去位置的估計(插值或平滑)。

  這種濾波方法以它的發明者魯道夫.E.卡爾曼(Rudolph E. Kalman)命名,但是根據文獻可知實際上Peter Swerling在更早之前就提出了一種類似的演算法。  斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次實現了卡爾曼濾波器。卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時,發現他的方法對於解決阿波羅計劃的軌道預測很有用,後來阿波羅飛船的導航電腦便使用了這種濾波器。關於這種濾波器的論文由Swerling(1958)、Kalman (1960)與Kalman and Bucy(1961)發表。  目前,卡爾曼濾波已經有很多不同的實現。卡爾曼最初提出的形式現在一般稱為"簡單"卡爾曼濾波器。除此以外,還有施密特擴充套件濾波器、資訊濾波器以及很多Bierman, Thornton開發的平方根濾波器的變種。也許最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環,它在收音機、計算機和幾乎任何視訊或通訊裝置中廣泛存在。 以下的討論需要線性代數以及概率論的一般知識。

  卡爾曼濾波建立線上性代數和隱馬爾可夫模型(hidden Markov model)上。其基本動態系統可以用一個馬爾可夫連結串列示,該馬爾可夫鏈建立在一個被高斯噪聲(即正態分佈的噪聲)干擾的線性運算元上的。系統的狀態可以用一個元素為實數的向量表示。隨著離散時間的每一個增加,這個線性運算元就會作用在當前狀態上,產生一個新的狀態,並也會帶入一些噪聲,同時系統的一些已知的控制器的控制資訊也會被加入。同時,另一個受噪聲干擾的線性運算元產生出這些隱含狀態的可見輸出。  為了從一系列有噪聲的觀察資料中用卡爾曼濾波器估計出被觀察過程的內部狀態,必須把這個過程在卡爾曼濾波的框架下建立模型。也就是說對於每一步"k",定義矩陣F, H, Q, R,有時也需要定義B,如下。  卡爾曼濾波模型假設"k"時刻的真實狀態是從("k" − 1)時刻的狀態演化而來,符合下式:  其中  時刻"k",對真實狀態x的一個測量z滿足下式:  其中H是觀測模型,它把真實狀態空間對映成觀測空間,v是觀測噪聲,其均值為零,協方差矩陣為R,且服從正態分佈。  初始狀態以及每一時刻的噪聲{x, w,..., w, v... v}都認為是互相獨立的。  實際上,很多真實世界的動態系統都並不確切的符合這個模型;但是由於卡爾曼濾波器被設計在有噪聲的情況下工作,一個近似的符合已經可以使這個濾波器非常有用了。更多其它更復雜的卡爾曼濾波器的變種,在下邊討論中有描述。

  卡爾曼濾波是一種遞迴的估計,即只要獲知上一時刻狀態的估計值以及當前狀態的觀測值就可以計算出當前狀態的估計值,因此不需要記錄觀測或者估計的歷史資訊。卡爾曼濾波器與大多數濾波器不同之處,在於它是一種純粹的時域濾波器,它不需要像低通濾波器等頻域濾波器那樣,需要在頻域設計再轉換到時域實現。  卡爾曼濾波器的狀態由以下兩個變數表示:  卡爾曼濾波器的操作包括兩個階段:預測與更新。在預測階段,濾波器使用上一狀態的估計,做出對當前狀態的估計。在更新階段,濾波器利用對當前狀態的觀測值優化在預測階段獲得的預測值,以獲得一個更精確的新估計值。

  可參考:http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf  可參考:http://web.mit.edu/kirtley/kirtley/binlustuff/literature/control/Kalman%20filter.pdf

  首先要算出以下三個量: 然後用它們來更新濾波器變數x與P:  使用上述公式計算formula_14僅在最優卡爾曼增益的時候有效。使用其他增益的話,公式要複雜一些,請參見推導。

  如果模型準確,而且formula_15與formula_16的值準確的反映了最初狀態的分佈,那麼以下不變數就保持不變:所有估計的誤差均值為零 且協方差矩陣準確的反映了估計的協方差:  請注意,其中formula_22表示formula_23的期望值, formula_24。

  考慮在無摩擦的、無限長的直軌道上的一輛車。該車最初停在位置0處,但時不時受到隨機的衝擊。每隔"Δt"秒即測量車的位置,但是這個測量是非精確的;想建立一個關於其位置以及速度的模型。來看如何推匯出這個模型以及如何從這個模型得到卡爾曼濾波器。  因為車上無動力,所以可以忽略掉B和u。由於F、H、R和Q是常數,所以時間下標可以去掉。  車的位置以及速度(或者更加一般的,一個粒子的運動狀態)可以被線性狀態空間描述如下:  其中formula_26是速度,也就是位置對於時間的導數。  假設在("k" − 1)時刻與"k"時刻之間,車受到"a"的加速度,其符合均值為0,標準差為"σ"的正態分佈。根據牛頓運動定律,可以推出  其中  且  可以發現  在每一時刻,對其位置進行測量,測量受到噪聲干擾。假設噪聲服從正態分佈,均值為0,標準差為"σ"。  其中  且  如果知道足夠精確的車最初的位置,那麼可以初始化  並且,若讓濾波器知道確切的初始位置,可給出一個協方差矩陣:  如果不確切的知道最初的位置與速度,那麼協方差矩陣可以初始化為一個對角線元素是"B"的矩陣,"B"取一個合適的比較大的數。  此時,與使用模型中已有資訊相比,濾波器更傾向於使用初次測量值的資訊。

  

  按照上邊的定義,從誤差協方差formula_6開始推導如下:  代入formula_5  再代入 formula_41 與formula_43  整理誤差向量,得  因為測量誤差v與其他項是非相關的,因此有 利用協方差矩陣的性質,此式可以寫作 使用不變數P以及R的定義這一項可以寫作  formula_48  這一公式對於任何卡爾曼增益K都成立。如果K是最優卡爾曼增益,則可以進一步簡化,請見下文。

  卡爾曼濾波器是一個最小均方誤差估計器,後驗狀態誤差估計(英文:"a posteriori" state estimate)是  最小化這個向量幅度平方的期望值,formula_50,這等同於最小化後驗估計協方差矩陣P的跡(trace)。將上面方程中的項展開、抵消,得到:  當矩陣導數是0的時候得到P的跡(trace)的最小值:  此處須用到一個常用的式子,如下:  從這個方程解出卡爾曼增益K:  這個增益稱為"最優卡爾曼增益",在使用時得到最小均方誤差。

  在卡爾曼增益等於上面匯出的最優值時,計算後驗協方差的公式可以進行簡化。在卡爾曼增益公式兩側的右邊都乘以SK得到  根據上面後驗誤差協方差展開公式, 最後兩項可以抵消,得到  這個公式的計算比較簡單,所以實際中總是使用這個公式,但是需注意這公式僅在使用最優卡爾曼增益的時候它才成立。如果算術精度總是很低而導致數值穩定性出現問題,或者特意使用非最優卡爾曼增益,那麼就不能使用這個簡化;必須使用上面匯出的後驗誤差協方差公式。

  假設真正的狀態是無法觀察的馬爾可夫過程,測量結果是從隱性馬爾可夫模型觀察到的狀態。  根據馬爾可夫假設,真正的狀態僅受最近一個狀態影響而與其它以前狀態無關。  與此類似,在時刻"k"測量只與當前狀態有關而與其它狀態無關。  根據這些假設,隱性馬爾可夫模型所有狀態的概率分佈可以簡化為:  然而,當卡爾曼濾波器用來估計狀態x時,感興趣的機率分佈,是基於目前為止所有個測量值來得到的當前狀態之機率分佈

  基本卡爾曼濾波器(The basic Kalman filter)是限制線上性的假設之下。然而,大部分非平凡的(non-trivial)的系統都是非線性系統。其中的「非線性性質」(non-linearity)可能是伴隨存在過程模型(process model)中或觀測模型(observation model)中,或者兩者兼有之。

  在擴充套件卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter,簡稱EKF)中狀態轉換和觀測模型不需要是狀態的線性函式,可替換為(可微的)函式。  函式"f"可以用來從過去的估計值中計算預測的狀態,相似的,函式"h"可以用來以預測的狀態計算預測的測量值。然而"f"和"h"不能直接的應用在協方差中,取而代之的是計算偏導矩陣(Jacobian)。  在每一步中使用當前的估計狀態計算Jacobian矩陣,這幾個矩陣可以用在卡爾曼濾波器的方程中。這個過程,實質上將非線性的函式在當前估計值處線性化了。  這樣一來,卡爾曼濾波器的等式為:  預測  使用Jacobians矩陣更新模型  更新  預測  如同擴充套件卡爾曼濾波器(EKF)一樣, UKF的預測過程可以獨立於UKF的更新過程之外,與一個線性的(或者確實是擴充套件卡爾曼濾波器的)更新過程合併來使用;或者,UKF的預測過程與更新過程在上述中地位互換亦可。
卡爾曼濾波(Kalman filter)是一種高效率的遞迴濾波器(自迴歸濾波器),它能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中,估計動態系統的狀態。卡爾曼濾波會根據各測量量在不同時間下的值,考慮各時間下的聯合分佈,再產生對未知變數的估計,因此會比只以單一測量量為基礎的估計方式要準。卡爾曼濾波得名自主要貢獻者之一的魯道夫·卡爾曼。