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  貝葉斯定理是關於隨機事件A和B的條件概率的一則定理。  其中formula_1以及formula_2為隨機事件,且formula_3不為零。formula_4是指在事件formula_2發生的情況下事件formula_1發生的概率。  在貝葉斯定理中,每個名詞都有約定俗成的名稱:  按這些術語,貝葉斯定理可表述為:  也就是說,後驗概率與先驗概率和相似度的乘積成正比。  另外,比例formula_22也有時被稱作標準似然度(英語:standardised likelihood),貝葉斯定理可表述為:

  根據條件概率的定義。在事件"B"發生的條件下事件"A"發生的概率是:  其中 "A"與"B"的聯合概率表示為formula_24或者formula_25或者formula_26。  同樣地,在事件"A"發生的條件下事件"B"發生的概率  整理與合併這兩個方程式,我們可以得到  這個引理有時稱作概率乘法規則。上式兩邊同除以P("B"),若P("B")是非零的,我們可以得到貝葉斯定理:

  貝氏定理通常可以再寫成下面的形式:  其中"A"是A的補集(即非A)。故上式亦可寫成:  在更一般化的情況,假設{"A"}是事件集合裡的部分集合,對於任意的"A",貝氏定理可用下式表示:

  貝氏定理亦可由相似率Λ和可能性"O"表示:  其中  定義為B發生時,A發生的可能性(英語:odds);  則是A發生的可能性。相似率(Likelihood ratio)則定義為:

  貝氏定理亦可用於連續機率分佈。由於概率密度函式嚴格上並非機率,由機率密度函式匯出貝氏定理觀念上較為困難(詳細推導參閱)。貝氏定理與機率密度的關係是由求極限的方式建立:  全機率定理則有類似的論述:  如同離散的情況,公式中的每項均有名稱。 "f"("x", "y")是"X"和"Y"的聯合分佈; "f"("x"|"y")是給定"Y"="y"後,"X"的後驗分佈; "f"("y"|"x")= "L"("x"|"y")是"Y"="y"後,"X"的相似度函式(為"x"的函式); "f"("x")和"f"("y")則是"X"和"Y"的邊際分佈; "f"("x")則是"X"的先驗分佈。 為了方便起見,這裡的"f"在這些專有名詞中代表不同的函式(可以由引數的不同判斷之)。

  對於變數有二個以上的情況,貝氏定理亦成立。例如:  這個式子可以由套用多次二個變數的貝式定理及條件機率的定義匯出:  一般化的方法則是利用聯合機率去分解待求的條件機率,並對不加以探討的變數積分(意即對欲探討的變數計算邊緣機率)。取決於不同的分解形式,可以證明某些積分必為1,因此分解形式可被簡化。利用這個性質,貝氏定理的計算量可能可以大幅下降。貝氏網路為此方法的一個例子,貝氏網路指定數個變數的聯合機率分佈的分解型式,該機率分佈滿足下述條件:當其他變數的條件機率給定時,該變數的條件機率為一簡單型式。

  

  下面展示貝葉斯定理在檢測吸毒者時的應用。假設一個常規的檢測結果的靈敏度和特異度均為99%,即吸毒者每次檢測呈陽性(+)的概率為99%。而不吸毒者每次檢測呈陰性(-)的概率為99%。從檢測結果的概率來看,檢測結果是比較準確的,但是貝葉斯定理卻可以揭示一個潛在的問題。假設某公司對全體僱員進行吸毒檢測,已知0.5%的僱員吸毒。請問每位檢測結果呈陽性的僱員吸毒的概率有多高?  令“D”為僱員吸毒事件,“N”為僱員不吸毒事件,“+”為檢測呈陽性事件。可得  根據上述描述,我們可以計算某人檢測呈陽性時確實吸毒的條件概率P(D|+):  儘管吸毒檢測的準確率高達99%,但貝葉斯定理告訴我們:如果某人檢測呈陽性,其吸毒的概率只有大約33%,不吸毒的可能性比較大。假陽性高,則檢測的結果不可靠。這是因為該公司不吸毒的人數遠遠大於吸毒人數,所以即使不吸毒者被誤檢為陽性的概率僅為1%,其實際被誤檢人數還是很龐大。舉例來說,若該公司總共有1000人(其中5人吸毒,995人不吸),不吸毒的人被檢測出陽性的人數有大約10人(1% x 995),而吸毒被驗出陽性的人數有5人(99% x 5),總共15人被驗出陽性(10 + 5)。在這15人裡面,只有約33%的人是真正有吸毒。所以貝氏定理可以揭露出此檢測在這個案例中的不可靠。  同時,也因為不可靠的主因是不吸毒卻被誤檢陽性的人數遠多於吸毒被檢測出來的人數(上述例子中10人 > 5 人),所以即使陽性檢測靈敏度能到100%(即只要吸毒一定驗出陽性),檢測結果陽性的員工,真正吸毒的概率formula_44也只會提高到約33.4%。但如果靈敏度仍然是99%,而特異度卻提高到99.5%(即不吸毒的人中,約0.5%會被誤檢為陽性),則檢測結果陽性的員工,真正吸毒的概率可以提高到49.9%。

  基於貝葉斯定理:即使100%的胰腺癌症患者都有某症狀,而某人有同樣的症狀,絕對不代表該人有100%的概率得胰腺癌,還需要考慮先驗概率,假設胰腺癌的發病率是十萬分之一,而全球有同樣症狀的人有萬分之一,則此人得胰腺癌的概率只有十分之一,90%的可能是是假陽性。

  基於貝葉斯定理:假設100%的不良種子都表現A性狀,而種子表現A性狀,並不代表此種子100%是不良種子,還需要考慮先驗概率,假設一共有6萬顆不良種子,在種子中的比例是十萬分之一(假設總共有60億顆種子),假設所有種子中有1/3表現A性狀(即20億顆種子表現A性狀),則此種子為不良種子的概率只有十萬分之三。
貝葉斯定理(英語:Bayes' theorem)是概率論中的一個定理,描述在已知一些條件下,某事件的發生機率。比如,如果已知某癌症與壽命有關,使用貝葉斯定理則可以通過得知某人年齡,來更加準確地計算出他罹患癌症的機率。