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  集合formula_1與集合formula_2上的二元關係是formula_3,當中formula_4,稱為formula_5的圖,是笛卡兒積formula_6的子集。若formula_7則稱formula_8與formula_9有關係formula_5,並記作formula_11或formula_12。  但經常地我們把關係與其圖等價起來,即若formula_13則formula_5是一個關係。  例子:有四件物件{球,糖,車,槍}及四個人{甲,乙,丙,丁}。若甲擁有球, 乙擁有糖,及丁擁有車-即無人有槍及丙一無所有-則二元關係為「......擁有......」便是  其中formula_5的首項是物件的集合,次項是人的集合,而末項是由有序對(物件,主人) 組成的集合。比如有序對(球,甲)以formula_5表示, 代表球為甲擁有。  不同的關係可以有相同的圖。以下的關係  中人人皆是物主,所以與formula_5不同,但兩者有相同的圖。  話雖如此,我們很多時候索性把formula_5定義為formula_4而“有序對formula_21”亦即是“formula_22”。  二元關係可看作成二元函式,這種二元函式把輸入元formula_23及formula_24視為獨立變數並求真偽值(包括「有序對formula_25是或非二元關係中的一元」此一問題)。  若formula_26,則稱formula_5為formula_1上的關係。

  設formula_29是一個集合,則

  設formula_36及formula_37,formula_5是formula_1 formula_40上的關係,令 則0,1矩陣 稱為formula_5的關係矩陣,記作formula_44。

  設formula_45,formula_5是formula_29上的關係,令圖formula_48,其中頂點集合formula_49,邊集合為formula_50,且對於任意的formula_51,滿足formula_52當且僅當formula_53。則稱圖formula_54是關係formula_5的關係圖,記作formula_56。

  關係的基本運算有以下幾種:

  關係的性質主要有以下五種:  設formula_5為集合formula_29上的關係,下面給出formula_5的五種性質成立的充要條件:

  設formula_5是非空集合formula_29上的關係,formula_5的自反(對稱或傳遞)閉包是formula_29上的關係formula_136,滿足  一般將formula_5的自反閉包記作formula_144,對稱閉包記作formula_145,傳遞閉包記作formula_146。  下列三個定理給出了構造閉包的方法:  對於有限集合formula_29上的關係formula_5,存在一個正整數formula_152,使得  求傳遞閉包是圖論中一個非常重要的問題,例如給定了一個城市的交通地圖,可利用求傳遞閉包的方法獲知任意兩個地點之間是否有路相連通。可以直接利用關係矩陣相乘來求傳遞閉包,但那樣做複雜度比較高;好一點的辦法是在計算矩陣相乘的時候用分治法降低時間複雜度;但最好的方法是利用基於動態規劃的Floyd-Warshall演算法來求傳遞閉包。
數學上,二元關係(英語:Binary relation,或簡稱關係)用於討論兩種物件的連繫。諸如算術中的「大於」及「等於」、幾何學中的「相似」或集合論中的「為......之元素」、「為......之子集」。