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  積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中,有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長 × 寬 × 高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀,就需要用積分來求出容積。物理學中,常常需要知道一個物理量(比如位移)對另一個物理量(比如力)的累積效果,這時也需要用到積分。  我們以下面這個問題作為介紹積分概念的開始: 問題中的“下方”面積,是指函式formula_22的圖象與x軸之間的部分的面積formula_23(見右圖)。我們把這個面積稱為函式formula_18在區間[0,1]上的積分,寫作: 其中的formula_26稱為積分變數,表示要求面積的範圍是用座標軸橫軸的刻度計算;formula_27則表示從0開始算起,到1為止,稱為積分範圍或積分域,其中0稱為積分下界,1稱為積分上界,formula_28叫做積分號,是從拉長的字母S(拉丁文中的summa (summa):求和的首字母)演變過來的。函式formula_29寫在中間,稱為被積函式。  由於函式下方的形狀並不是多邊形或圓形這樣的規則圖形,並沒有簡單的公式來求出面積formula_23。最初計算積分的數學家們採取的方法是估算出formula_23的取值可能會在的範圍,然後不斷縮小範圍,最後求得精確的數值。首先,formula_23一定小於整個方框的面積,也就是1。然而這樣的估計太過粗略了,因為方框左邊明顯要比函式影象要高。  改進的方法是用更多的小方框來將函式圖象“覆蓋”,如右圖中的做法,就是將座標軸橫軸[0,1]等分成5個部分:[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1],然後每一部分上放一個黃色的長方形(見右圖■)。這5個長方形的高度分別是函式在每個部分的極大值(也就是最右側的值):formula_33、formula_34、formula_35、formula_36、formula_37。這樣函式下方的部分就被5個黃色長方形覆蓋了,所以面積formula_23小於5個黃色長方形面積之和:  求出了formula_23的上限之後,用類似的方法可以求formula_23的下限。同樣是將座標軸等分成若干部分,然後在每個部分放上長方形,不過這時候長方形的高度需要是函式在這個部分的最小值,也就是最左側的值。比如,如果將橫軸等分成12個部分,然後按照以上的方法放上綠色長方形(如右圖■),那麼從圖中可以看出,formula_23必定大於綠色長方形面積之和:  於是,面積formula_23的取值介於0.6203和0.7497之間。要取得更加精確的估計,可以將橫軸細分成更多的部分,並按照同樣的方法放置長方形,計算長方形的面積之和。隨著長方形越來越多,每個長方形越來越“細”,計算出的formula_23的範圍會越來越窄,最後得出formula_23的精確值。  以上的方法可能出現的“漏洞”,是所謂的“取值範圍”不一定會越來越小,最後聚集到同一個值上。雖然直觀上來說,由於函式下方的圖形面積是確定的,只要不斷地用相似的形狀“逼近”,最後總會趨向函式下方圖形的真實面積。然而,對於某些“病態”的函式,以上的方法是無法得到確定的數值的。十九世紀的數學家波恩哈德·黎曼證明了,對於滿足某些條件的“好函式”,以上的方法一定能求出函式下方的面積。現代的數學家將這種方法求出的面積稱為黎曼積分,並給出了嚴格的定義(見#嚴格定義一節)。對於那些無法用黎曼的方法定義“函式下方圖形面積”的函式,黎曼之後的數學家發展出了一些更寬泛的定義,讓這些函式也能定義積分。

  如果一個函式的積分存在,並且有限,就說這個函式是可積的。一般來說,被積函式不一定只有一個變數,積分域也可以是不同維度的空間,甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。如同上面介紹的,對於只有一個變數 formula_10的實值函式 formula_18, formula_18在閉區間 formula_50上的積分記作  其中的formula_26除了表示formula_10是formula_18 中要進行積分的那個變數(積分變數)之外,還可以表示不同的含義。在黎曼積分中,formula_26表示分割區間的標記;在勒貝格積分中,表示一個測度;或僅僅表示一個獨立的量(微分形式)。一般的區間或者積分範圍formula_56,formula_57上的積分可以記作formula_58  如果變數不只一個,比如說在二重積分中,函式formula_59 在區域D上的積分記作 其中 formula_62 與區域D對應,是相應積分域中的微分元。

  定義積分的方法不止一種,各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函式:在某些積分的定義下這些函式不可積分,但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分和勒貝格積分。

  黎曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼,建立在函式在區間取樣分割後的黎曼和之上。設有閉區間formula_50,那麼formula_50的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列formula_65。每個閉區間formula_66叫做一個子區間。定義formula_67 為這些子區間長度的最大值:formula_68,其中formula_69。而閉區間formula_50上的一個取樣分割是指在進行分割formula_65後,於每一個子區間中formula_66取出一點 formula_73。  對一個在閉區間formula_50有定義的實值函式formula_18,formula_18關於取樣分割formula_77 、formula_78的黎曼和定義為以下和式:  formula_79  和式中的每一項是子區間長度formula_80與在formula_81處的函式值formula_82的乘積。直觀地說,就是以標記點formula_81到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。  最簡單的取樣分割方法是將區間均勻地分成若干個長度相等的子區間,然後在每個子區間上按相同的準則取得標記點。例如取每個子區間右端formula_84(見左圖左上角)或者取每個子區間上函式的極大值對應的formula_81(左圖左下角)等等。不同的取樣分割方式得到的黎曼和一般都不相同,而如果當formula_67足夠小的時候,所有的黎曼和都趨於某個極限,那麼這個極限就叫做函式formula_18在閉區間formula_50上的黎曼積分。即,formula_23是函式formula_18在閉區間formula_50上的黎曼積分,當且僅當對於任意的formula_92,都存在formula_93,使得對於任意的取樣分割formula_77、formula_78,只要它的子區間長度最大值formula_96,就有:  formula_97  也就是說,對於一個函式formula_18,如果在閉區間formula_50上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函式formula_18的黎曼和都會趨向於一個確定的值formula_23,那麼formula_18在閉區間formula_50上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限formula_23。這時候稱函式formula_18為黎曼可積的。將formula_18在閉區間formula_50上的黎曼積分記作: formula_108

  勒貝格積分的出現源於概率論等理論中對更為不規則的函式的處理需要。黎曼積分無法處理這些函式的積分問題。因此,需要更為廣義上的積分概念,使得更多的函式能夠定義積分。同時,對於黎曼可積的函式,新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函式和分段連續的函式定義了積分的概念,勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間裡。  勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣,將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函式曲線下方的圖形,而每個矩形的面積是長乘寬,或者說是兩個區間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念,從而能夠“測量”更不規則的函式曲線下方圖形的面積,從而定義積分。在一維實空間中,一個區間 "A "= ["a", "b"] 的勒貝格測度μ("A")是區間的右端值減去左端值, "b" − "a"。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相相容。在更復雜的情況下,積分的集合可以更加複雜,不再是區間,甚至不再是區間的交集或並集,其“長度”則由測度來給出。  給定一個集合formula_109上的formula_110代數formula_111以及formula_111上的一個測度formula_113,那麼對於formula_111中的一個元素formula_115,定義指示函式formula_116關於測度formula_113的積分為: 再定義可測的非負簡單函式formula_119(其中 formula_120)的積分為:  對於一般的函式formula_122,如果對每個區間formula_123,都滿足 formula_124,那麼測度論中定義formula_125是可測函式。對於一個非負的可測函式formula_125,它的積分定義為: 這個積分可以用以下的方式逼近: 直觀上,這種逼近方式是將formula_18的值域分割成等寬的區段,再考察每段的“長度”,用其測度表示,再乘以區段所在的高度。其覆蓋之處如右圖中的紅色區域所示。佛蘭德(英語:Folland)總結說,“黎曼積分是把定義域區間["a", "b"]劃分為子區間”,而勒貝格積分則是“劃分formula_18的值域”。  至於一般的(有正有負的)可測函式formula_18,它的積分是函式曲線在x軸上方“圍出”的面積,減去曲線在x軸下方“圍出”的面積。嚴格定義需要引進“正部函式”和“負部函式”的概念: 可以驗證,總有formula_142 而formula_18的積分定義為:formula_144  以上定義有意義僅當formula_145和formula_146中至少有一個的值是有限的(否則會出現無窮大減無窮大的情況),這時稱formula_18的勒貝格積分存在或積分有意義。如果formula_145和formula_146都是有限的,那麼稱formula_18可積。  給定一個可測集合formula_151,可以定義可積函式在formula_151上的積分為:

  除了黎曼積分和勒貝格積分以外,還有若干不同的積分定義,適用於不同種類的函式。

  通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的formula_157在黎曼積分意義上表示一個區間,在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。

  積分是線性的。如果一個函式formula_18可積,那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函式formula_18和formula_160可積,那麼它們的和與差也可積。 所有在formula_157上可積的函式構成了一個線性空間。黎曼積分的意義上,所有區間["a", "b"]上黎曼可積的函式formula_18和formula_160都滿足: 所有在可測集合formula_157上勒貝格可積的函式formula_18和formula_160都滿足:  在積分割槽域上,積分有可加性。黎曼積分意義上,如果一個函式formula_18在某區間上黎曼可積,那麼對於區間內的三個實數a, b, c,有 如果函式formula_18在兩個不相交的可測集formula_157和formula_174上勒貝格可積,那麼  如果函式formula_18勒貝格可積,那麼對任意formula_92,都存在formula_178,使得formula_111中任意的元素formula_151,只要formula_181,就有formula_182

  如果一個函式formula_18在某個區間上黎曼可積,並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果formula_18勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零,那麼它的勒貝格積分也大於等於零。作為推論,如果兩個formula_157上的可積函式formula_18和formula_160相比, formula_18(幾乎)總是小於等於formula_160,那麼formula_18的(勒貝格)積分也小於等於formula_160的(勒貝格)積分。  如果黎曼可積的非負函式formula_18在formula_157上的積分等於0,那麼除了有限個點以外,formula_194。如果勒貝格可積的非負函式formula_18在formula_157上的積分等於0,那麼formula_18幾乎處處為0。如果formula_111中元素formula_151的測度formula_200等於0,那麼任何可積函式在formula_151上的積分等於0。  函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質,改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式,改變有限個點的取值,其積分不變。對於勒貝格可積的函式,某個測度為0的集合上的函式值改變,不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同,那麼它們的積分相同。如果對formula_111中任意元素formula_151,可積函式formula_18在formula_151上的積分總等於(大於等於)可積函式formula_160在formula_151上的積分,那麼formula_18幾乎處處等於(大於等於)formula_160。

  如果formula_18在formula_157上可積, formula_212和formula_213分別是formula_18在formula_157上的最大值和最小值,那麼: 其中的formula_217在黎曼積分中表示區間formula_157的長度,在勒貝格積分中表示formula_157的測度。

  積分的絕對連續性表明,如果函式在某區間或集合上可積,那麼當積分割槽域是近乎全區域的時候,積分的值也會逼近在全區域上的積分值。如果函式formula_18在某區間formula_157上黎曼可積,那麼對於滿足formula_222,formula_223的區間序列formula_224,有

  涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。如柯西不等式的積分版本:假如有函式formula_18和formula_160使得formula_228、formula_229、formula_230都在區間formula_157上黎曼可積,那麼 而更廣泛的赫爾德不等式也有積分版本。設有正實數formula_233和formula_234,其倒數和為1:formula_235,則對黎曼可積函式formula_18和formula_160,有以下不等關係(在下式各項有意義的時候): 可以看出柯西不等式是赫爾德不等式在formula_239的時候的特例。  此外閔可夫斯基不等式也有積分版本。設有正實數formula_240,則對黎曼可積函式formula_18和formula_160,有以下不等關係:  對於勒貝格可積的函式,類似的不等式可以幫助構建formula_244空間。  一個函式formula_18可積當且僅當函式formula_246可積,並且formula_18的積分的絕對值,小於等於其絕對值的積分:formula_248。如果函式formula_18勒貝格可積,那麼formula_246幾乎處處有限。

  微積分基本定理是將微分運算(求導運算)和積分運算(原函式)聯絡在一起的基本定理。從基本定理可以看出微分和積分運算之間的互逆關係。定理敘述如下:  微積分基本定理的一個實用的直接推論,也被稱為微積分第二基本定理:

  

  狹義的黎曼積分中,被積函式是定義在閉區間(長度有限)上的函式,因此取值也是在有限區間中。反常積分也稱為廣義積分,是對更一般區間上的函式定義的積分,研究在狹義黎曼積分的被積函式條件沒有滿足時,是否能夠有積分的定義。一個基本的情形是,被積函式在半開區間["a", "b")上有定義,然而在自變數趨向開區間的某一端(比如說"b")時,函式有“瑕點”(函式值趨向無窮或沒有極限)。這時候,考察被積函式在閉區間["a", "b" - ε]上的積分值formula_251,如果當其中的正實數 ε 趨向於0的時候,積分值formula_251趨於一個極限formula_253,那麼就稱被積函式在["a", "b")上廣義可積,並且稱其為瑕積分formula_253。這個定義也可以簡單地記作:  另一個基本的情形是區間長度為無限大的情形,稱為無窮限廣義積分。比如說被積函式在在閉區間["a", ∞)上有定義。考慮被積函式在閉區間["a", "b"]上的積分值formula_256,如果當"b"趨向正無窮大的時候,積分值formula_256趨於一個極限formula_253,那麼就稱被積函式在["a", ∞)上廣義可積,並且稱為無窮限積分formula_253。這個定義也可以簡單地記作: 其餘更加複雜的情形包括瑕點在區間內部,或者同時包含了無窮限的情形等等。這些情形都可以拆分為基本情形的組合,然後使用以上的方法探討廣義積分的存在性。比如,考慮函式formula_261在正實數區間(0到正無窮)上的積分(如右圖所示)。這是一個雙重廣義積分。一方面函式在0處有瑕點(在0附近趨向正無窮),另一方面函式積分割槽域是無窮限(直到正無窮大)。這時候可以將這個積分分割為兩個部分來考察。比如說以1為界限,左右分割為0到1的積分和1到正無窮大的積分。  首先考察1到正無窮大的部分,依據上述方法,可以首先考察formula_11在閉區間[1, "t"]上的積分: 當實數"t"趨於無窮大的時候,上述積分值的極限為formula_264 所以formula_11從1到正無窮大的積分可以定義為: 同樣地,考察從0到1的部分,可以首先考察formula_11在閉區間["s", 1]上的積分: 當正實數"s"趨於0的時候,上述積分值的極限為formula_269 所以formula_11從0到1的積分可以定義為: 因此可以定義formula_261在正實數區間(0到正無窮)上的積分為這兩部分的和:

  狹義積分的積分範圍是實數的一個區間或者可測子集。多重積分將積分範圍擴充套件到多維空間中的區域或可測子集。比如說二重積分的積分範圍是平面上的一個區域。這時候積分formula_274中的變數formula_10可以是(賦予了拓撲結構的)向量空間裡面的一個向量。富比尼定理證明,在一定條件下,多重積分可以轉換為累次積分。也就是說,在多維空間上的積分可以通過轉化為多個巢狀的一重積分來計算。通常的方法是將多重的積分變數轉變為各個座標指標上的積分變數。例如,考慮以下二重積分: 其中的formula_277是一個半徑為1的圓盤。這個二重積分可以轉變成:

  路徑積分也稱曲線積分,可以看作是區間上積分的推廣。積分的範圍不是區間(直線段),而是高維空間中的有向曲線。後者稱為積分路徑。路徑積分有很多種類,當積分路徑為閉合曲線時,稱為環路積分或圍道積分。路徑積分的被積函式可以是標量函式(標量場)或向量函式(向量場)。如果被積函式是一個梯度場,那麼的曲線積分與所取的路徑無關,而只與路徑的起點和終點的選取有關。與路徑積分類似,平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的(有向)曲面上進行積分,稱為曲面積分。路徑積分和曲面積分是物理學中很重要的工具,例如計算電場或重力場中的做功、量子力學中計算粒子出現的概率,會用到路徑積分。流體力學中計算流體的流量、電力學中使用高斯定律計算電場和電荷分佈時,會用到曲面積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說,對於一個給定的正實值函式formula_1,formula_1在一個實數區間formula_3上的定積分