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  在1900年,龐加萊曾聲稱,用他基於恩里科·貝蒂的工作而發展出的同調論,可以判定一個三維流形是否三維球面。不過,他在1904年發表的一篇論文中,舉出了一個反例,現在稱為龐加萊同調球面,與三維球面有相同的同調群。他引進了一個新的拓撲不變數,稱為基本群,並且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群,也就是說是單連通的。他提出以下猜想: 上述簡單來說就是:每一個沒有破洞的封閉三維物體,都拓撲等價於三維的球面。粗淺的比喻即為:如果我們伸縮圍繞一個柳橙表面的橡皮筋,那麼我們可以既不扯斷它,也不讓它離開表面,使它慢慢移動收縮為一個點;另一方面,如果我們想象同樣的橡皮筋以適當的方向被伸縮在一個甜甜圈表面上,那麼不扯斷橡皮筋或者甜甜圈,是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說,柳橙表面是“單連通的”,而甜甜圈表面則不是。  該猜想是一個屬於代數拓撲學領域的具有基本意義的命題,對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識,甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響,對於一維與二維的情形,此猜想是對的,現在已經知道,它對於任何維數都是對的。

  這個問題曾經被擱置了很長時間,直到1930年懷特海首先宣佈已經證明然而又收回,才再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形例項,其原型現在稱為懷特海流形。  1950和1960年代,又包括R·H·賓(R. H. Bing)、沃夫岡·哈肯、愛德華·摩斯(Edwin E. Moise)和Christos Papakyriakopoulos聲稱得到了證明,但最終都發現證明存在致命缺陷。1961年,美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況,證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓撲的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名,但是證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數學家麥克·傅利曼證明了四維猜想,至此廣義龐加萊猜想得到了證明。

  在2002年11月和2003年7月之間,俄羅斯的數學家格里戈裡·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本,並聲稱證明了幾何化猜想。  在佩雷爾曼之後,先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密歇根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特;哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛;以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。  2006年8月,第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎,但佩雷爾曼拒絕接受該獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。  2010年3月18日,克雷數學研究所對外公佈,俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼因為破解龐加萊猜想而榮膺千禧年大獎。但佩雷爾曼拒絕領獎,理由是克雷所的決定“不公平”。

  2006年6月3日,曹懷東和朱熹平給出了“完整證明的第一個文字記錄”(first written account of a complete proof),於《亞洲數學期刊》發表論文。據報道,丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平才是第一個給出了龐加萊猜想的完全證明。  2006年8月28日出版的《紐約客》雜誌發表西爾維亞·娜莎和大衛·格魯伯的長文《流形的命運——傳奇問題以及誰是破解者之爭》。該文介紹了佩雷爾曼等人的工作並描畫了“一個令人厭惡的丘成桐的形象,暗示他為他的學生曹懷東和他支援的朱熹平的工作宣傳了過多的功勞。”文章指出朱熹平等人“填補上了那些佩雷爾曼的證明裡沒寫下的關鍵細節(key missing details of Perelman’s proof)”。因曹懷東與朱熹平的論文未經同行評審,丘成桐被質疑以期刊主編的身份,發表有利於他們研究團隊的論文成果,對此丘成桐作出了迴應:曾邀請包括佩雷爾曼在內的幾位數學家審稿,但沒有被接受,丘成桐自己審稿。此文發表後,引發了很大爭議。丘成桐表示可能採取法律行動,由律師發出信函,要求雜誌更正,包括漢彌爾頓在內的多名數學家發表宣告表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價,有的甚至是“歪曲(distorted)”。  一名加州理工學院的研究者指出曹、朱論文中引理7.1.2與克萊納和洛特2003年發表的成果幾乎完全相同。據此,洛特指責曹和朱兩人有剽竊的行為。此後,曹懷東和朱熹平在原刊發表糾錯宣告,確認了此引理是克萊納和洛特的成果,解釋沒有指明出處是由於編輯上的差錯,併為此向兩位原作者致歉。在12月發表的修正論文《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓-佩雷爾曼證明》(Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture)中,曹懷東與朱熹平在定理7.1.1的第二步特別說明使用並修改了克萊納和洛特的方法,而這一步其實只是佩雷爾曼第一篇文章定理12.1中一個結果的弱版。
龐加萊猜想()最早是由法國數學家儒勒·昂利·龐加萊提出的一個猜想,是克雷數學研究所懸賞的數學方面七大千禧年難題之一。2006年確認由俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼完成最終證明,他也因此在同年獲得菲爾茲獎,但並未現身領獎。