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  在一個交換環 "R" 上 "n" × "n" 矩陣集合 "M"("n","n") 在矩陣加法與乘法下自身是一個環。 "M"("n","n") 的單位群稱為在環 "R" 上 "n" × "n" 矩陣的一般線性群,記作 "GL"("R") 或 "GL"("n","R")。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

  某些特別有趣的矩陣群是所謂的典型群。當矩陣群的係數環是實數,這些群是典型李群。當底環是一個有限域,典型群是李型群。這些群在有限單群分類中起著重要的作用。

  任何有限群同構於某個矩陣群。這類似於凱萊定理說每個有限群同構於某個置換群。因為同構性質是傳遞的,我們只需考慮怎樣從一個置換群構造一個矩陣群。  令 "G" 是在 "n"點 (Ω = {1,2,...,n}) 上的置換群,設 {"g"...,"g"} 是 "G" 的一個生成集合。複數上 "n"×"n" 矩陣的一般線性群 "GL"(C) 自然作用在向量空間 C 上。設 "B"={"b",...,"b"} 是 C 的標準基。對每個 "g" 令 "M" 屬於 "GL"(C) 是將每個 "b" 送到 "b" 的一個矩陣。這就是如果置換 "g" 將點 "j" 送到 "k" 則 "M" 將基向量 "b" 送到 "b"。 令 "M" 是 "GL"(C) 中由 {"M",...,"M"} 生成的子群。"G" 在 Ω 上的作用恰好與 "M" 在 "B" 上的作用相同。可以證明將每個 "g" 送到 "M" 的函式擴張成一個同構,這樣每個置換群同構於一個子群。  注意到域(上面用的是 C)是無關的,因為 "M" 包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意域可做同樣的構造,因為元素 0 和 1 在每個域中。  舉一例,令 "G" = "S",3 個點的對稱群。設 "g" = (1,2,3) 和 "g" = (1,2),則  注意到 "M""b" = "b","M""b" = "b" 以及 "M""b" = "b"。類似地,"M""b" = "b","M""b" = "b" 以及 "M""b" = "b"。

  線性變換與矩陣(一般地說)在數學中已被充分理解,在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態與特徵標理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個域的同態。
在數學中,一個矩陣群(英語:matrix group)"G" 由某個域 "K"(通常為了方便是固定的)上可逆方塊矩陣組成,群運算分別為矩陣乘法與逆運算。更一般地,我們可考慮一個交換環 "R" 上 "n" × "n" 矩陣(矩陣的大小限制為有限,因任何群可表示為任何域上一個無限矩陣群)。線性群(英語:linear group)是同構於一個域 "K" 上矩陣群的抽象群,換句話說,在 "K" 上有一個忠實有限維表示。