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  勒讓德符號formula_1(有時為了印刷上的方便,寫成("a"|"p"))有下列定義:  如果("a"|"p") = 1,"a" 便稱為二次剩餘(mod "p");如果("a"|"p") = −1,則 "a" 稱為二次非剩餘(mod p)。通常把零視為一種特殊的情況。  "a" 等於0、1、2、......時的週期數列("a"|"p"),又稱為勒讓德數列,有時把{0,1,-1}的數值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。

  勒讓德原先把他的符號定義為:  尤拉在之前證明了這個表示式是≡ 1 (mod "p"),如果"a"是二次剩餘(mod "p"),是≡ −1如果"a"是二次非剩餘;這個結論現在稱為尤拉準則。  除了這個基本公式以外,還有許多其它("a"|"p")的表示式,它們當中有許多都在二次互反律的證明中有所使用。  高斯證明了如果formula_3,那麼:  這是他對二次互反律的第四個、第六個,以及許多後續的證明的基礎。參見高斯和。  克羅內克的證明是建立了 然後把"p"和"q"互換。  艾森斯坦的一個證明是從以下等式開始:  把正弦函式用橢圓函式來代替,他也證明了三次和四次互反律。

  斐波那契數1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,......由遞推公式F = F = 1,F = F + F定義。  如果"p"是素數,則:  例如:  這個結果來自盧卡斯數列的理論,在素性測試中有所應用。參見沃爾-孫-孫素數。

  勒讓德符號有許多有用的性質,可以用來加速計算。它們包括:  這個性質稱為二次互反律的第一補充。  這個性質稱為二次互反律的第二補充。一般的二次互反律為:  參見二次互反律和二次互反律的證明。  以下是一些較小的"p"的值的公式:  但一般直接把剩餘和非剩餘列出更簡便:  勒讓德符號("a"|"p")是一個狄利克雷特徵(mod "p")。

  以上的性質,包括二次互反律,可以用來計算任何勒讓德符號。例如:
勒讓德符號,或二次特徵,是一個由阿德里安-馬裡·勒讓德在1798年嘗試證明二次互反律時引入的函式。這個符號是許多高次剩餘符號的原型;其它延伸和推廣包括雅可比符號、克羅內克符號、希爾伯特符號,以及阿廷符號。