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  對於任何關係 "R","R" 的傳遞閉包總是存在的。傳遞關係的任何家族的交集也是傳遞的。進一步的,至少存在一個包含 "R" 的傳遞關係,也就是平凡的: "X" × "X"。"R" 傳遞閉包給出自包含 "R" 的所有傳遞關係的交集。  我們可以用更具體術語來描述 "R" 的傳遞閉包如下。定義在 "X" 上的一個關係 "T",稱 "xTy" 當且僅當存在有限的元素("x")序列,使得 "x" = "x" 並且  形式上寫為 容易檢查出關係 "T" 是傳遞的並且包含 "R"。進一步地,任何包含 "R" 的傳遞關係也包含 "T",所以 "T" 是 "R" 的傳遞閉包。

  設 "A" 是任何元素的集合。  假定: formula_2"G" 傳遞關係 "R"formula_3"G" formula_4 "T"formula_5"G"。所以 formula_2"(a,b)"formula_7"G"formula_4"(a,b)"formula_9"T". 所以,特定的 "(a,b)"formula_7"R"。  現在通過 "T" 的定義,我們知道了 formula_2"n"formula_12 "(a,b)"formula_9"R"。接著,formula_14"i"formula_12, "i"formula_16"n" formula_17 "e"formula_9"A"。所以,有從 "a" 到 "b" 路徑如下: "aReR...ReRb"。  但是,通過 "G" 在 "R" 上的傳遞性,formula_14"i"formula_12, "i"formula_16"n" formula_17 "(a,e)"formula_9"G",所以,"(a,e)"formula_9"G" formula_4 "(e,b)"formula_9"G",所以通過 "G" 的傳遞性,我們得到了 "(a,b)"formula_9"G"。矛盾於 "(a,b)"formula_7"G"。  因此,formula_14"(a,b)"formula_9"A"formula_31"A", "(a,b)"formula_9"T" formula_17 "(a,b)"formula_9"G"。這意味著 "T"formula_3"G",對於任何包含 "R" 的傳遞的 "G"。所以,"T" 是包含 "R" 的最小傳遞閉包。

  如果 "R" 是傳遞的,則 "R" = "T"。

  注意兩個傳遞關係的並集不必須是傳遞的。為了保持傳遞性,必須採用傳遞閉包。例如,這出現在取兩個等價關係或預序的並的時候。為了獲得新的等價關係或預序,必須選用傳遞閉包(自反性和對稱性 — 在等價關係的情況下 — 是自動的)。  有向無環圖(DAG)的傳遞閉包是 DAG 的可到達性關係和一個嚴格偏序。

  在計算複雜性理論中,複雜度類 NL 嚴格對應於可使用一階邏輯和傳遞閉包表達的邏輯句子的集合。這是因為傳遞閉包性質有密切關係於 NL-完全問題 STCON,找到在一個圖中的有向路徑。類似的,類 L 是一階邏輯帶有交換傳遞閉包。在向二階邏輯增加了傳遞閉包的時候,我們得到 PSPACE。

  計算圖的傳遞閉包的有效演算法可見於 here。最簡單的技術是Floyd-Warshall演算法。
傳遞閉包、即在數學中,在集合 "X" 上的二元關係 "R" 的傳遞閉包是包含 "R" 的 "X" 上的最小的傳遞關係。