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  正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言,選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子formula_8的波函式或消防水管的噴水,也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合,從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧,專門用來將一個複雜的formula_9維問題變為formula_9個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程,這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13個正交座標系中分離(本文列出的14箇中圓環座標系除外),而亥姆霍茲方程可以在11個正交座標系中分離。

  正交座標的度規張量絕對沒有非對角專案。換句話說,無窮小距離的平方formula_11,可以寫為無窮小座標位移的平方和:  其中,formula_9是維數,標度因子formula_14是度規張量的對角元素formula_15的平方根:  這些標度因子可以用來計算一個正交座標系的微分運算元。例如,梯度、拉普拉斯運算元、散度、或旋度。  在數學裡,存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系formula_17的共形對映方法,可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數formula_18的任何全純函式formula_19,其復值的導數,如果不等於零,則會造成一個共形對映。如果答案可以表達為formula_20,則formula_21與formula_22的等值曲線以直角相交,就如同原本的formula_5與formula_6的等值曲線以直角相交。  三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成,只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射(形成類似圓柱座標系的座標系),或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是,也有一些三維正交座標系,例如橢球座標系,則不能夠用上述方法得到。更一般的正交座標可以從一些必要的座標曲面/曲線起步並通過考慮它們的而得到。

  在正交座標系裡,內積的公式仍舊不變:

  從前面的距離公式,可以觀察出,一個正交座標formula_26的無窮小改變formula_27,其相伴的長度是formula_28。因此,一個位移向量的全微分formula_29等於  其中,formula_31是垂直於formula_26等值曲面的單位向量,指向著formula_26增值最快的方向,這些單位向量形成了一個區域性直角座標系的座標軸。  因此,向量formula_34沿著周線formula_35的線積分等於  其中,formula_37是向量formula_34在單位向量formula_31方向的分量:  類似地,一個無窮小面積元素是  一個無窮小體積元素是  例如,向量formula_34對於一個曲面formula_44的曲面積分是

  直角座標formula_4與球座標formula_47的變換方程式為  直角座標的全微分是  所以,無窮小距離的平方是  標度因子是  向量formula_34沿著周線formula_35的線積分等於  向量formula_34對於一個曲面formula_44的曲面積分是

  上面表示式可以使用列維-奇維塔符號formula_64的更簡潔形式書寫,定義formula_65,並使用愛因斯坦記號,即在同時出現上標和下標的專案上求此項所有可能的總和:

  除了直角座標系之外,下表列出其他常見的正交座標系,為了簡明性在座標列中使用了區間符號。

  

  一個函式formula_66的梯度朝某個方向formula_67的分量,等於方向導數 formula_68朝formula_67方向的值:  其中,formula_71是朝formula_67方向的無窮小位移。  假若,這formula_67與正交座標軸formula_74同方向。那麼,formula_75。所以,函式formula_66的梯度朝formula_74的分量是formula_78;也就是說,

  取右手邊第一個專案,  應用向量恆等式formula_82與formula_83,可以得到  總合所有專案,

  取右手邊第一個專案,  應用向量恆等式formula_88,  應用向量恆等式formula_90,  總合所有專案,
在數學裡,一個正交座標系定義為一組正交座標formula_1,其座標曲面都以直角相交(注意:很多作者採用愛因斯坦記號對座標標號使用上標並非表示指數)。座標曲面定義為特定座標formula_2的等值曲面,即formula_2為常數的曲線、曲面或超曲面。例如,三維直角座標formula_4是一種正交座標系,它的formula_5為常數,formula_6為常數,formula_7為常數的座標曲面,都是互相以直角相交的平面,都互相垂直。正交座標系是曲線座標系的特殊的但極其常見的形式。