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  大致來說,向量分析中的曲線積分可以看成在某一場中沿特定路徑的累積效果。更具體地說,如果曲線formula_2,標量場的曲線積分可以想成某個曲線(不是formula_3)向下切割出的面積,這可以通過建立函式"z" = "f"("x","y")和"x"-"y"平面內的曲線"C"來想像這個曲面,可以把formula_4平面上的曲線formula_5想成屏風的底座,formula_6代表在該點屏風的高度(這裡假設formula_7),則formula_6的曲線積分就是該“屏風”的面積,也就是前面所說曲線formula_9向下切割的面積,其中formula_10是曲線formula_3的引數化。

  

  設有標量場:F : "U" ⊆ R formula_12 R,則對於路徑"C" ⊂ "U",F的曲線積分是:  其中,r: [a, b] formula_12 "C" 是一個一一對應的引數方程,並且r("a")和r("b")分別是路徑曲線"C"的兩個端點。  "f"稱為積分函式,"C"是積分路徑。不嚴格地說,"ds"可以被看作積分路徑上的一段很小的“弧長”。曲線積分的結果不依賴於參量化函式r。  幾何上,當標量場"f"定義在一個平面("n"=2)上時,它的影象是空間中一個曲面"z"="f"("x","y"),曲線積分就是以曲線"C"為界的有符號的截面面積。參見動畫演示。

  對於標量場上的曲線積分,

  設有向量場:F : "U" ⊆ R formula_12 R,則其在路徑"C" ⊂ "U"上關於方向r的曲線積分是:  其中,r: [a, b] formula_12 "C" 是一個一一的參量化函式,並且r("a")和r("b")分別是路徑曲線"C"的兩個端點。這時曲線積分值的絕對值與參量化函式r無關,但其方向與參量化函式r的選擇有關。特別地,當方向相反時,積分值也相反。

  如果向量場F是一個標量場G的梯度,即:  那麼,由G和r組成的複合函式的導數是:  於是對路徑C就有:  用文字表示,就是說若F是一個梯度場,那麼F的曲線積分與所取的路徑無關,而只與路徑的起點和終點的選取有關。

  在各種保守力的場都是路徑無關的,一個常見的例子就是重力場或電場。在計算這種場的做功時,可以選擇適當的路徑進行積分,使得計算變得簡單。

  如果將複數看作二維的向量,那麼二維向量場的曲線積分就是相應複函式的共軛函式在同樣路徑上的積分值的實部。  根據柯西-黎曼方程,一個全純函式的共軛函式所對應的向量場的旋度是0。

  在複分析中,曲線積分是通過複數的加法和乘法定義的。令"U"為複數集 C 的一個開子集,"f" : "U" formula_12 C是一個函式,formula_22是一個引數為formula_23的可求長曲線,其中formula_24。則曲線積分:  可以通過將區間["a", "b"]分劃為"a" = "t" < "t" <... < "t" = "b"來定義。考慮下式:  曲線積分是區間分劃的長度趨於零時這個黎曼和的極限。  當formula_27連續可微時,曲線積分可以用一個實變函式的積分表示:  當formula_29為閉合曲線時,積分的起點和終點重合,這時"f"沿formula_29的曲線積分通常記作  對於共軛微分運算元formula_32的曲線積分定義為  複函式的曲線積分有很多技巧。將複函式分作實部和虛部,可以將問題簡化為兩個實值函式的曲線積分。其它情況下可以用柯西積分公式。如果積分路徑是閉合的,並且積分函式在區域中是解析的且沒有奇點,那麼它的曲線積分是零,這是柯西積分定理的推論。根據留數定理,可以用複平面上的圍道積分計算實值函式在實區間上的積分。

  考慮複函式"f"("z")=1/"z",設積分路徑"L"為單位圓(模長為1的複數的集合)。我們使用γ("t")="e"來將路徑引數化,其中"t"在[0, 2π]內。代入積分式就得到:  formula_34  用柯西積分定理也可以得到結果。

  量子力學中的“曲線積分形式”和曲線積分並不相同,因為曲線積分形式中所用的積分是函式空間上的泛函積分,即關於空間中每個路徑的概率函式進行積分。然而,曲線積分在量子力學中仍有重要作用,比如說復圍道積分常常用來計算量子散射理論中的概率振幅。
在數學中,曲線積分(英語:curve integral或英語:curvilinear integral)或路徑積分(英語:path integral或contour integral【留數定理】)是積分的一種。積分函式的取值沿的不是區間,而是特定的曲線,稱為積分路徑。曲線積分有很多種類,當積分路徑為閉合曲線時,稱為環路積分或圍道積分。