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  設formula_3為 在域formula_4上的向量空間,定義其對偶空間formula_5為由"formula_3"到"formula_4"的所有線性函式的集合。 即是"formula_3"的標量線性變換。formula_5本身是formula_4的向量空間,並且對所有formula_5中的formula_12及formula_13、所有"formula_4"中的formula_15、所有"formula_3"中的formula_17滿足以下加法及標量乘法:  在張量的語言中,"formula_3"的元素被稱為反變或逆變(contravariant)向量而"V"的元素被稱為共變或協變(covariant)向量、「餘向量」或「同向量」(co-vectors),「線性型」或「一形」(one-form)。

  如果"formula_3"是有限維的,formula_5的維度和V的維度便相等; 如果formula_23是"formula_3"的基,formula_5便應該有相對基formula_26,記作:  如果"formula_3"是平面幾何向量的空間,formula_5便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。  如果"formula_3"是無限維度,formula_31不能產生formula_5的基;而formula_5的維度比"formula_3"的大。  例如空間formula_35的元素是實數列,其擁有很多非零數字。formula_36的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列formula_37被用於元素formula_38而產生formula_39。

  設formula_40是線性對映。 formula_41的"轉置"formula_42定義為  對任何向量空間formula_43,定義formula_44為所有從formula_3到formula_46的線性對映組成的向量空間。formula_47產生從formula_48至formula_49的單射;這是個同構當且僅當formula_46是有限維的。  若 線性對映"f"表示作其對formula_43的基之矩陣formula_52,則formula_53表示作其對formula_54的對偶基之轉置矩陣。 若formula_55是另一線性對映,則formula_56。  在範疇論的語言裡,"為任何向量空間取對偶"及"為任何線性對映取轉置"都是向量空間範疇的逆變函子。

  正如所見,如果formula_3擁有有限維度,formula_3跟formula_5是同構的,但是該同構並不自然;它是依賴於我們開始所用的formula_3的基。事實上,任意同構formula_61在formula_3上定義了一個唯一的非退化的雙線性型:  相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以產生由formula_3對映到formula_5的同構。

  存在一個由formula_3到其雙對偶formula_67的自然對映formula_13,定義為  formula_69  formula_13常是單射;當且僅當formula_3的維數有限時,formula_13是個同構。

  處理拓撲向量空間時,我們一般僅對該空間射到其基域的連續線性泛函感興趣。由此導致連續對偶空間之概念,此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間"formula_3"之連續對偶記作"formula_3"′。此脈絡下可逕稱連續對偶為"對偶"。  線性賦範向量空間"formula_3"(如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間)之連續對偶"formula_3"產生一線性賦範向量空間。對一"formula_3"上之連續線性泛函,其範數formula_78定義為  此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間,實為巴拿赫空間。

  對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間,正如歐幾里得空間,其連續與代數對偶不二。  令formula_80構成之巴拿赫空間"l",使其範數  有限。以formula_82定義formula_83,formula_84其連續對偶遂自然等同於formula_85:給定一元素formula_86,formula_85中相應元素為序列 formula_88,其中formula_89謂第formula_90項為1且餘項皆0之序列。反之,給定一元素formula_91,formula_84上相應之連續線性泛函formula_12定為formula_94(對一切formula_95,見Hölder不等式)。  准此,formula_96之連續對偶亦自然同構於formula_97。再者,巴拿赫空間formula_98(賦以上確界範數之全體收斂序列)及formula_99("formula_98"中收斂至零者)之連續對偶皆自然同構於formula_96。

  若"formula_3"為希爾伯特空間,則其連續對偶亦然,並反同構於"formula_3";此蓋黎茲表示定理所明,物理學人賴以描述量子力學之狄拉克符號肇端乎是。  類似雙重代數對偶,對連續線性運算元亦有連續單射formula_104,此對映實為等距同構,即 formula_105對一切"formula_3"中formula_17皆真。使formula_13為雙射之空間稱自反空間。  連續對偶賦"formula_3"以一新拓撲,名弱拓撲。  若"V"之對偶可分,則"formula_3"亦可分。反之則不然;試取空間formula_111,其對偶formula_112不可分。
在數學裡,任何向量空間"V"都有其對應的對偶向量空間(或簡稱為對偶空間),由"V"的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構,像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下,由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。