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  若 G 是一個有 n 點的圖,而且完全圖 K 不是 G 的子圖,則 G 最多有formula_1條邊。此外,如果 G 有formula_2條邊,則 G 一定是圖蘭圖 formula_3。

  

  圖蘭圖 formula_3 的定義為一個特殊的具有 n 點的完全r-分圖,其中各部分的頂點數的差不超過1,或者說,r 個部分分別有formula_5個頂點。

  在所有具有 n 點的 r-分圖中,圖蘭圖 formula_3是唯一一個邊數最多的圖。  證明  假設 K 是一個邊數最多的 r-分圖,那麼很明顯的,K 是一個完全 r-分圖。  假設 K 的 r 個部分的點集中,有 U、V 兩部分滿足 formula_7,定義 K' 為取出 K 中 U 的一個點 x,移動到 V 之中,並且刪除所有原本 x 與 V 中的點的連邊,然後將 x 與所有 U 中的點連邊,於是,K' 仍然是一個完全 r-分圖,且經過此操作,有 formula_8。因此,K' 比 K 有更多的邊,產生矛盾。因此,r-分圖 K 的各部分點集的頂點數至多差 1,即 K 是圖蘭圖 formula_3。

  對於 r 做數學歸納法,當 r=0,不存在 K 子圖,即沒有邊,因此 G 一定是「完全一分圖」,G 的頂點集形成一個獨立集。  對一般的正整數 r,若 G 是一個有 n 點的圖,而且完全圖 K 不是 G 的子圖,則考慮 G 中度數最大的點 x,設 formula_10為 x 的所有鄰居所形成的集合,設 G' 為formula_10的匯出子圖,因此 K 不是 G' 的子圖,否則該 K 加上點 x 是 G 的一個 K 子圖。  由歸納法假設,G' 的邊數不超過圖蘭圖formula_12的邊數,定義 H 是一個完全 r-分圖,包含 H' 和另外 |G|-|G'| 個點,這些點互相不相鄰,並和所有 H' 中的點相鄰。於是有  formula_13  其中,第一個不等號成立是因為其右邊將兩端點都在 V(G)-V(G') 的邊算了兩次,其餘的邊算了一次。故圖蘭圖是所有滿足條件的圖中邊數最多的之一。  最後,當等式成立時,G 在 V(G)-V(G') 中沒有邊,且 G' 與圖蘭圖 H' 有一樣多的邊,尤歸納法假設知道,G' 同構於 H'。因此 G 是一個 r-分圖,V(G)-V(G') 是其中的一部分。由於圖蘭圖是多分圖中唯一邊數最多的,因此 G 是圖蘭圖 formula_14,得證。
圖蘭定理是一個圖論中的定理,關於 K 免除圖的邊數。簡而言之,在所有 n 點且不包(r+1)-點團的圖中,邊數最多的圖是圖蘭圖,而且只有圖蘭圖達到邊數的最大值。圖蘭圖是將 n 點分成大小差不多的r 部分,兩點再向一部分若且惟若兩點之間有連邊。