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  艾狄胥證明:對於任意正整數formula_6,存在正整數formula_9使得對於所有formula_10,formula_11和formula_12之間有formula_6個質數。  他又證明formula_14、formula_15時,而且有,其中兩個質數分別是4的倍數加1,4的倍數減1。  根據質數定理,formula_11和formula_12之間的質數數目是formula_18。

  證明的方法是運用反證法,反設定理不成立,然後用兩種方法估計formula_19的上下界,得出矛盾的不等式  注:下面的證明中,都假設formula_2屬於質數集。

  這條不等式是關於formula_19的下界的。  證明 :

  證明: 注意到所有大於 k+1 而小於 2k+1 的質數都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k! 中,於是formula_30 是formula_31的因子。

  這個定理和formula_19的上界有關。  數學歸納法:  當formula_38,2 < 16,成立。  假設對於所有少於formula_11的整數,敘述都成立。  顯然,若n>2且n是偶數,formula_40。對於奇數的n,設"n=2k+1"。  從引理1和歸納假設可得:  formula_41

  首先的定理:  下面這些系理和formula_19的上界有關。  若formula_2為質數,設formula_49是最大的整數使得 formula_50 整除 formula_19,則:  於是得到三個上界:

  假設存在大於1的正整數formula_11,使得沒有質數formula_2符合formula_62  再根據系理1.1和定理1: formula_63 上式最右方 formula_64  結合之前關於formula_65的下界的不等式1:  兩邊取2的對數,並設formula_69:  顯然formula_71,即formula_72時,此式不成立,得出矛盾。 因此formula_72時,伯特蘭—切比雪夫定理成立。  再在formula_74時驗證這個假設即可。
伯特蘭-切比雪夫定理說明:若整數formula_1,則至少存在一個質數formula_2,符合formula_3,存在一個質數formula_2,符合formula_5個大於formula_6的連續整數之積,是一個大於formula_6的質數的倍數。