Can you summarize the following document?
        
  首先,讓我們考慮二維環面(或者可以想象成甜甜圈的表面)的例子作為熱身,固定其上一點formula_1。  從此點出發,則可以建構環路(即:從formula_1出發的並回到formula_1的閉曲線)。設想環路如橡皮筋可自由變形與拉長,只要起點與終點仍是formula_1 且環路仍處在環面上即可。這種變形叫做同倫,若一環路可以從另一環路藉此變形而得到,則稱兩者同倫等價。我們只探討環路的同倫類。二維環面的基本群由環路的同倫類組成。  在上圖中,formula_5與formula_6並非同倫等價:無法連續地從一者變換到另一者而不將環路「扯斷」,它們代表基本群中的不同元素。藉著增加環繞圈數,可以獲得更多的同倫類。  顧名思義,基本群不只是一個集合,它帶還有群結構:二元運算由環路的銜接給出,即先走完第一條環路,再走第二條環路,使得兩段環路上的速率相同。基本群中的單位元素formula_7由靜止在formula_1點的環路代表,逆元由環路的逆行代表之,即:若一元素由環路formula_9代表,則其逆元由formula_10代表,其中formula_11。

  設formula_12為拓撲空間,formula_1為其中定點。一條連續道路是一個連續對映formula_14,而一個以formula_1為基點的環路是一條滿足formula_16的連續道路。以下若不另外說明,則環路皆以formula_1為基點。  對兩條環路formula_18,如果存在一個連續函式(保持基點的同倫)formula_19使得  則稱兩者同倫等價。不難驗證此關係確為等價關係。因此我們可考慮環路對此關係的等價類,以formula_23表一環路formula_24隸屬的等價類,亦稱同倫類。  現在定兩條環路formula_25的銜接為: formula_26  直觀地說,此環路是先走formula_27再走formula_28,每一段都將速度加倍,以在單位時間內走完全程。可證明formula_29決定於formula_30,因此可在環路的同倫類上定義二元運算「*」。不難看出此運算滿足結合律。  令單位元formula_7為環路formula_32(即靜止於formula_1點的環路),並令環路formula_34之逆為formula_35(即formula_27逆行)。可證明formula_37在同倫類上有明確定義,且同倫類在此運算下成為一個群。  此群稱為formula_12在基點formula_1的基本群,記為formula_40。

  事實上,可以證明對任何群formula_56皆存在一個拓撲空間,使其基本群同構於formula_56(此空間可以用二維CW復形構造,當群為有限展示時則能以四維流形構造)。

  

  以下設formula_12為道路連通空間。formula_59,則formula_40同構於formula_61。這是因為存在一條從formula_1到formula_63的道路formula_24,依之定義對映  此對映給出從formula_61至formula_40的同構,其逆則為  由此可談論空間本身的基本群(頂多差一個同構),記為formula_69。基本廣群理論也'可以簡練地解釋基本群對基點的獨立性。

  設formula_27為空間formula_71的同倫等價,則formula_72為同構。  推論.同胚的空間有相同的基本群。

  formula_73

  道路連通空間的第一個同調群是基本群的交換化。這是Hurwitz定理的特例。

  

  基本群一般不易計算,因為須證明某些環路非同倫等價。當空間可分割為較單純的空間,而其基本群已知時,範坎彭定理(或塞弗特-範坎彭(Seifert-van Kampen)定理)可以將基本群表為一個歸納極限。

  對一個拓撲空間formula_12,定義其「錐」formula_75,其中formula_76表閉區間formula_77。當formula_78時,formula_79同胚於圓錐。  道路連通空間的錐是單連通的,我們也有自然包含對映formula_80。  設formula_81為連續對映,定義對映錐為  例子:設formula_27為formula_84到自身的對映formula_85,此時formula_86。  錐定理斷言formula_87的基本群同構於formula_88對formula_89的正規化的商  應用:實射影空間之基本群同構於formula_90。

  基本群的子群的共軛類一一對應於空間的覆疊的同構類,在此對應下,正規子群對應於伽羅瓦覆疊。  在覆疊空間理論中,業已證明了如果空間有單連通的覆疊空間(例如對區域性單連通空間),則基本群同構於萬有覆疊空間的自同構群。

  

  如果一個小范疇(即:物件與全體態射構成一集合)的所有態射皆可逆,則稱之為一個廣群。所有廣群與其間的函子構成一個範疇。群是隻有一個物件的廣群。  設formula_56為一廣群,對其物件定義下述等價關係: 得到的商集記作formula_98(或曰連通分支),這是從廣群範疇到集合範疇的函子。  對每個拓撲空間,以下述方式函子地構造一廣群formula_99:  設formula_12為拓撲空間,令formula_99的物件為formula_12的點,從點formula_103至formula_104的態射是從formula_103到formula_104的道路的同倫類。同倫等價關係相容於道路的頭尾相接,故定義了一個廣群formula_99,稱為formula_12的基本廣群。  Van Kampen定理在廣群的框架下有簡練的表述。  設formula_56為廣群,而formula_103為其物件(也稱作formula_56的點)。formula_112在態射合成下成為一個群,記之為formula_113。注:由於基點選取問題,formula_114並不能定義一個從廣群範疇到群範疇的函子。  一個拓撲空間的基本群可以用基本廣群定義為formula_115。

  基本群實則是第一個同倫群,這是符號formula_116中「1」的由來。

  基本群亦可抽象地定義為纖維函子的自同構群,此纖維函子對每個帶基點的覆疊對映formula_117給出纖維formula_118。  此定義可以推廣到代數幾何,而之前給出的環路定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆疊對映代為平展態射,拓撲空間的基點代為概形上的一個幾何點formula_103,而纖維函子formula_120對一平展覆疊formula_121給出幾何纖維formula_122。此推廣源出格羅滕迪克與夏瓦雷。  這套理論可以解釋函式域的伽羅瓦理論與黎曼曲面的覆疊理論之聯絡。
在代數拓撲中,基本群(或稱龐加萊群)是一個重要的同倫不變數。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類,群運算由環路的銜接給出。