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  在閉區間formula_2和formula_3之間對函式formula_4的積分可以被看作是求formula_4的函式影象下的面積。對於多項式這樣比較常見的函式來說這個定義簡而易懂。但是對於更加稀奇古怪的函式來說它是什麼意思呢?廣義地來說,對於什麼樣的函式“函式影象下的面積”這個概念有意義?這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。  19世紀裡在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢。在這個過程中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義。波恩哈德·黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣的基礎。黎曼積分的出發點是構造一系列容易計算的面積,這些面積最後收斂於給定的函式的積分。這個定義很成功,為許多其它問題提供了有用的答案。  但是在求函式序列的極限的時候黎曼積分的效果不良,這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅立葉級數、傅立葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什麼情況下積分有極限。勒貝格積分所構造出的容易計算的面積與黎曼積分所構造的不同,這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數學家能夠計算更多種類的函式的積分。比如輸入值為無理數時函式值為0,輸入值為有理數時函式值為1的狄利克雷函式沒有黎曼積分,但是有勒貝格積分。

  以下的介紹是遵循最常見的勒貝格積分的介紹進行的。在這個介紹中積分理論分兩部分:

  最初測度理論是用來對歐幾里得空間中直線的長度,以及更廣義地,歐幾里得空間的子集的面積和體積進行仔細分析發展出來的。它尤其可以為formula_6的哪些子集擁有長度這個問題提供一個系統性的回答。後來發展的集合論證明,實際上不可能為formula_6的所有子集都分配一個長度,且保持天然的可加性和平移不變的性質。因此給出一個合適的,可測量的子集類是一個關鍵的前提。  當然,黎曼積分隱含了長度的概念。事實上計算黎曼積分的元素是["a", "b"] × ["c", "d"]所組成的長方形,它的面積為("b"−"a")("d"−"c")。"b"−"a"是這個長方形的寬度,而"d"−"c"則是其高度。黎曼只能用平面的長方形來估算曲線下的面積,因為當時還沒有其它適當的理論來測量更一般的集合。  在大多數現代的教科書中測度和積分都是公理性的。也就是說測度是一個定義在集合formula_8的某些子集組成的集合formula_9上的函式μ,這些子集必須擁有一定的特徵。在許多不同的情況下這些特徵成立。  關於測度理論詳見測度。

  從一個測度空間("E","X",μ)出發,formula_8是一個集合,formula_9是由formula_8的子集構成的σ代數,μ是定義在formula_9上的測度。  比如formula_8可以是一個formula_15維歐幾里得空間R或者它的一個勒貝格可測子集。則formula_9是所有formula_8的勒貝格可測子集構成的σ代數,μ則是勒貝格測度。在討論概率論時,μ是概率空間formula_8中的概率測度,滿足μ(formula_8)=1。  在勒貝格理論中只有對所謂的可測函式才能夠進行積分。一個函式formula_4被稱為是可測的,假如每個區間 formula_21 的的原像是 formula_8 中的可測集合,也就是:  可以證明,這與要求R中每個博雷爾子集的原像屬於formula_9的條件是等價的。我們從現在起直接使用第二個條件。可測函式的集合在函式的代數運算下是封閉的,更重要的是在多種逐點序列極限下它們是封閉的: 是可測的,假如原序列formula_26是由可測函式組成的,其中formula_27英語:N。  我們對formula_8上的可測實數值函式formula_4積分 分步進行構造:  指示函式:與給定的測度μ一致的可測集合formula_31的指示函式的積分唯一可選擇的值為:  簡單函式:指示函式的有限線性組合: 這裡係數 formula_34 是實數,集合 formula_35 是可測集。這樣的函式稱為可測簡單函式(注意:根據這裡的定義,這裡討論的「簡單函式」都是可測函式)。我們現在用線性性質將積分延拓到非負的可測簡單函式上。當 formula_34 非負時,令 在這裡和可能是無限的。一個簡單函式可以通過不同方法的指示函式線性組合形成,但是其積分始終是一致的,這一點可由測度的可加性證明。  假如formula_8是一個可測集合,formula_39 是一個可測簡單函式的話則  非負函式:formula_4 為 formula_8 中的一個非負可測函式,其值可以取 +∞,即 formula_4 的對應域是廣義實數的非負部分。我們定義  我們必須證明這個積分與上面定義在簡單函式集合上的積分相符。此外還有這個積分定義是否與黎曼積分的概念有對應關係的問題。事實上可以證明這兩個問題的答案都是肯定的。  這樣我們定義了 formula_8 中所有非負擴充套件實值可測的函式formula_4的積分。要注意的是這裡定義的函式積分可以是無限大。  帶負數值的函式:為了解決有負數值的函式,我們還需要新增幾個定義。假設可測函式 formula_4 將可測集合formula_8 對映到廣義實數(既實數加上±∞),則有 其中  此外還有這性質  formula_55 與 formula_56 兩者皆是非負可測函式,其勒貝格積分已經剛給出定義。 若 formula_57 與 formula_58 兩個積分中有一個是有限的,則可以定義一般可測函式 formula_4 的勒貝格積分為:  注意函式積分不嚴格限制一定要有限,可以是正無窮大或負無窮大。但如果積分是有限的話,也就是若 formula_61 與 formula_62 都成立的話,  則稱函式 formula_4 為勒貝格可積(Lebesgue integrable)。  兩積分皆有限,這條件等價於:  事實上這個定義給出了具有良好特性的積分。  複數值函式也可以類似地定義積分,只要分別考慮實數部分和虛數部分就可以了。 比如對任意複數函式 "h"="f"+"ig" 其中 "f" 跟 "g" 都是實函式,則函式 "h" 的積分定義為  函式是勒貝格可積的當且僅當其絕對值是勒貝格可積的。

  要直觀地解釋兩種積分的原理,可以假設我們要計算一座山在海平面以上的體積。  黎曼積分是相當於把山分為每塊都是一平方米大的方塊,測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度,因此山的總體積為所有高度的和。  勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖,每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內含有的岩石土壤的體積約等於該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等於所有等高線內面積的和(注意:這裡對勒貝格積分的解釋跟正式的定義「有點」不一樣,雖然經過修正後可能大意差不多,請讀者參看下面比較正式的構造勒貝格積分的方法或勒貝格積分的定義自己思考這種解釋合不合理)。  佛蘭德(英語:Folland)描述黎曼積分跟勒貝格積分的不同,以非負函式 formula_66 這例子來講,黎曼積分是分割 formula_1-軸上的定義域區間 formula_68 為更小的子區間,並計算黎曼和,當子區間越來越小時黎曼和的極限就是黎曼積分;而勒貝格積分則是將 formula_4 在 formula_70-軸上的對應域分割成不相交的區間 formula_71,並用定義域中的子集合 formula_72 來定義趨近 formula_4 的簡單函式 而這簡單函式 formula_39 的積分為:formula_76,當把對應域的分割越來越細時,這簡單函式積分的極限就是勒貝格積分。更簡化講的話就是:黎曼積分是分割定義域來計算積分;勒貝格積分則是用分割對應域來計算積分。  參見簡單函式的性質。

  有理數的指示函式formula_77是一個無處連續的函式。

  傅立葉級數出現後,許多包括積分的分析問題也隨之出現,要解決這些問題需要交換函式的無限求和和積分兩種運算。但是要找到以下兩個積分相等的條件 在黎曼積分的理論中是很難解決的。除此之外黎曼積分還有一些其它的困難。這些困難主要涉及上面已經討論過的求極限的問題。  單調收歛性質不成立:如上所述,有理數的指示函式 formula_77 沒有黎曼積分。尤其是單調收斂定理在這例子不成立。要了解為什麼,設 {formula_34}=formula_85∩[0,1](為可數集合)。令  每個函式 formula_87 除了在限點之外皆為,因此其黎曼積分為 。序列 formula_87 也是非負的,但卻單調遞增到不是黎曼可積的函式 formula_77。  不適宜於無界區間:黎曼積分一般只用來在有界區間內對函式進行積分。雖然可以用以下方式擴充套件 但是這個定義打破了平移不變性:設formula_4和formula_92在區間["a", "b"]外為0,而且是可以黎曼積分的。設對於某formula_93,則formula_94。通過這個瑕積分的定義函式formula_95 假如 formula_96,否則的話-1,formula_97假如formula_98,否則-1。這兩個函式互相之間平移不變,但是瑕積分卻不是平移不變的。

  勒貝格積分不能區分僅在一個μ測度0的集合上有區別的函式。精確地說,函式formula_4和formula_92幾乎處處相等當且僅當  勒貝格積分擁有以下特徵:  線性:設formula_4和formula_92為勒貝格可積的函式,formula_2和formula_3是實數,則formula_118是勒貝格可積的,且  單調性:設formula_120則  單調收斂定理:設formula_122是一個實數值、非負可測函式的序列,且 則  注意:任何積分的值均可以是無窮大。  法圖引理:設formula_125是一個實數值、非負可測函式的序列,則  在這裡所有積分的值也均可以是無窮大。  勒貝格控制收斂定理:設formula_125是一個復可測函式的序列,並擁有逐點極限formula_4,且如果有一個勒貝格可積的函式formula_92(即formula_130),對所有formula_131滿足formula_132,則formula_4是勒貝格可積的,且

  在這裡我們通過證明上面已經提到過的勒貝格單調收斂定理,來說明勒貝格積分理論的證明技巧。  設formula_125是一個非負可測函式的非遞減序列,令  由積分的單調性可以立刻得出: 由於該系列是單調的,因此可以推出右側的極限存在。  我們現在來證明另一個方向的不等式(它也可以通過法圖引理證明),即  由積分的定義可以推出,有一個非負簡單函式的非遞減序列formula_139,幾乎處處逐點收斂於formula_4,使得  因此只需證明對於任何formula_142  我們來證明假如formula_92是一個簡單函式而且幾乎處處 則  將函式formula_92分解為其常數部分,可以化為formula_92是一個集合的指示函式的情況。這樣的話我們只要證明 則  要證明這個結果,令formula_155並定義可測集合的序列為  由積分的單調性可以得出對於任何formula_157,  由於對於足夠大的"n",幾乎所有的"x"都位於formula_159內,我們便有 對於一個測度為0的系列成立。因此根據μ的可數可加性  由於這個結果對於任何正的ε成立,因此定理得證。

  關於勒貝格測度的積分也可以不通過使用整個測度理論引匯出來。一個這樣的方法是使用丹尼爾積分。  使用泛函分析的方法也可以發展出積分的理論。任何定義在formula_162(或一個固定的開子集)上的緊支撐連續函式formula_4都有黎曼積分。從這些積分開始,我們可以建立更一般的函式的積分。設formula_164為formula_165上所有實數值緊支撐連續函式所構成的空間。定義formula_164的範數為  這樣一來formula_164是一個賦範向量空間(特別地,它是一個度量空間)。所有的度量空間都有豪斯多夫完備性,因此令formula_169為其完備空間。這個空間與勒貝格可積分函式餘積分為零的子空間同構。而且黎曼積分∫關於formula_164上的範數是一致連續的泛函,而formula_164在formula_169是稠密的。因此∫是所有formula_169唯一的延伸。這個積分正好就是勒貝格積分。  這個結果可以被廣泛化來建立關於區域性緊空間的拉東測度的積分理論。2004年尼古拉·布林巴基就是使用了這個方法。

  值得指出的是許多拓撲向量空間(比如希爾伯特空間或者巴拿赫空間)中的定理以及其中的極限運算,通過使用勒貝格積分獲得了巨大的簡化。
勒貝格積分(英語:Lebesgue integral)是現代數學中的一個積分概念,它將積分運算擴充套件到任何測度空間中。在最簡單的情況下,對一個非負值的函式的積分可以看作是函式影象與formula_1軸之間的面積。勒貝格積分則將積分運算擴充套件到更廣的函式(可測函式),並且也擴充套件了可以進行積分運算的集合(可測空間)。