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  瑞士數學家雅各布·伯努利在考慮“當投擲n粒骰子時,加起來點數總和等於m的可能方式的數目”這個問題時首先使用了母函式方法,並得出可能的數目是formula_2的展開式中formula_3項的係數。之後尤拉在研究自然數的分解時也使用了母函式方法並奠定了母函式方法的基礎。1812年,法國數學家拉普拉斯在著作《概率的分析理論》的第一卷中系統地研究了母函式方法及與之有關的理論。

  

  普通母函式就是最常見的母函式。一般來說,序列formula_1的母函式是:  如果formula_6 是某個離散隨機變數的概率質量函式,那麼它的母函式被稱為一個概率母函式。  多重下標的序列也可以有母函式,例如序列formula_7 的母函式是

  序列formula_1的指數母函式是:

  序列formula_1的泊松母函式是:

  序列formula_1的L級數是:  注意這裡的下標 "n" 從1 而不是0 開始。

  關於算術函式 :formula_15 和 formula_16 的貝爾級數是:

  狄利克雷級數經常被用作母函式,儘管實際上狄利克雷級數並不是嚴格意義上的形式冪級數。序列formula_1的狄利克雷級數母函式是:  當 formula_6 是積性函式時狄利克雷級數比較有用,因為這時的母函式可以寫成一系列貝爾級數的尤拉積:  如果 formula_6是狄利克雷特徵,那麼它對應的狄利克雷級數母函式被稱為狄利克雷L函式。

  

  formula_23用於等比數列求和或推導級數formula_24。

  formula_25用於求解一次不定方程的解數,類似隔板法。  對於非負整數formula_26,formula_27有formula_28個解:  對於非負整數formula_26,formula_31有formula_32個解:
在數學中,某個序列formula_1 的母函式(又稱生成函式,英語:Generating function)是一種形式冪級數,其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。