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  第一次提到常數formula_1,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把formula_1看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:  已知的第一次用到常數formula_1,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通訊,以formula_7表示。1727年尤拉開始用formula_1來表示這常數;而formula_1第一次在出版物用到,是1736年尤拉的《力學》(英語:"Mechanica")。雖然往後年日有研究者用字母formula_10表示,但formula_1較常用,終於成為標準。  用formula_1表示的原因確實不明,但可能因為formula_1是「指數」(英語:exponential)一字的首字母。另一看法則稱formula_14有其他經常用途,而formula_1是第一個可用字母。

  就像圓周率formula_16和虛數單位,formula_1是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。  這些定義可證明是等價的,請參見文章。

  很多增長或衰減過程都可以用指數函式模擬。指數函式formula_31的重要性,在於它是唯一的函式(零多項式函式除外)與自身導數相等(乘以常數,最一般的函式形式為formula_32,formula_33為任意常數)。即:  formula_26為複數時依然成立,因此根據formula_39及formula_40的泰勒級數,得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式:  當formula_42的特例是尤拉恆等式:  此式被理查德·費曼稱為「尤拉的寶石」。  即棣莫弗公式。  就像以下的展開式:

  

  證明formula_1是無理數可以用反證法。假設formula_1是有理數,則可以表示成formula_53,其中formula_54為正整數。以formula_1的無窮級數展開式可以得出矛盾。  考慮數字  以下將推匯出formula_26是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證formula_1是無理數。  但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出formula_1為無理數。

  視formula_24為存在的數值,所以用二項式定理可證出:
formula_1,作為數學常數,是自然對數函式的底數。有時被稱為尤拉數(英語:Euler's number),以瑞士數學家尤拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不迴圈小數,數值約是(小數點後20位,):