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  μ-遞迴函式(或偏μ-遞迴函式)是接受自然數的有限元組並並返回一個單一自然數的偏函式。它們是包括初始函式並閉合在複合、原始遞迴和μ運算元下的最小的偏函式類。  包括初始函式並閉合在複合和原始遞迴下的(就是說使用前五個函式定義的)最小的函式類是原始遞迴函式類。所有原始遞迴函式都是全函式。需要第六個或"μ運算元"是因為不是所有全函式都可以只用五個原始遞迴函式來計算(比如阿克曼函式)。在這些例項中μ運算元終止運算。它充當無界查詢運算元,無界但仍然(通過全函式定義)被某種方式(比如歸納證明)證明為最終生成一個數並終止運算。  但是,如果無界μ運算元自身是偏函式 -- 就是說存在某個數它不能為其返回一個數 -- 使用它的函式將也是偏函式 -- 對某些數沒有定義。在這些例項中,因為它是無界的,μ運算元將永遠查詢,永不通過生成一個數而終止運算。(某些演算法可以採用可以生成指示“不可判定”的符號"u"並以此終止運算的u-運算元(cf Kleene(1952)pp. 328ff))。換句話說:使用偏μ運算元的偏μ-遞迴函式可能不是全函式。全μ-遞迴函式的集合是全函式的偏μ-遞迴函式的子集。  前三個函式叫做"初始"或"基本"函式:(Kleene (1952) p. 219):  強等於運算元formula_18被用來比較偏μ-遞迴函式。這是對所有偏函式"f"和"g"定義的所以 成立,當且僅當對於引數的任何選擇要麼兩個函式都有定義並且它們的值相等要麼兩個函式都是未定義的。

  在可計算性模型的等價中在對特定輸入不終止的圖靈機和對這個輸入得到未定義結果的相應偏遞迴函式之間是平行/並列的。無界查詢運算是不能通過原始遞迴的規則定義的,因為它們不提供"無限迴圈"(未定義值)的機制。

  正規化定理源於Kleene聲稱對於每個"k"有原始遞迴函式formula_20和formula_21使得對於任何"k"個自由變數的μ-遞迴函式formula_22有一個"e"使得 數"e"被叫做函式"f"的索引或哥德爾數。這個結果的一個結論是任何μ-遞迴函式都可以使用把μ運算元應用於(全)原始遞迴函式的一個單一例項來定義。  Minsky (1967)(同樣Boolos-Burgess-Jeffrey (2002) pp. 94-95)觀察到上面定義的U在本質上是通用圖靈機的μ-遞迴等價物:
在數理邏輯和電腦科學中,遞迴函式或μ-遞迴函式是一類從自然數到自然數的函式。直覺上遞迴函式是"可計算的"。事實上在可計算性理論中已經證明了它確實是圖靈機的可計算函式。遞迴函式與原始遞迴函式相關,而且遞迴函式的歸納定義(見下)建立在原始遞迴函式之上。但不是所有遞迴函式都是原始遞迴函式——其中最著名的是阿克曼函式。