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  賦範向量空間是拓撲向量空間中的基本種類。通過賦予向量空間(線性空間)以範數,建立拓撲結構。考慮係數域formula_1(formula_1可以是實數域formula_3或複數域formula_4等)上的所有formula_5矩陣所構成的向量空間formula_6。這是一個有formula_7維的formula_1-向量空間。可以如同對其他的有限維formula_1-向量空間一樣,為矩陣空間formula_6裝備範數。這樣的範數稱為formula_6上的一個矩陣範數。  依照範數的定義,一個從formula_6對映到非負實數的函式formula_13滿足以下的條件:  此外,某些定義在方塊矩陣組成空間formula_23上的矩陣範數滿足一個或多個以下與的條件:  一致性特性(英語:consistency property)也稱為次可乘性(英語:sub-multiplicative property)。某些書籍中,矩陣範數特指滿足一致性條件的範數。

  滿足以上設定的矩陣範數可以有多種。由於它們都是定義在formula_6這個有限維向量空間上的範數,所以實質上是等價的。常見的矩陣範數通常是在矩陣的應用中自然定義或誘導的範數。

  考慮從向量空間formula_29對映到formula_30的所有線性對映的構成的空間:formula_31。設formula_32和formula_33中分別裝備了兩個向量範數formula_34和formula_35,則可以定義formula_31上的運算元範數formula_37:  而給定了基底後,每個從formula_32對映到formula_33的線性對映都可以用一個formula_41的矩陣來表示,所以同樣地可以定義formula_6上的非負對映formula_43:  可以驗證,formula_43滿足矩陣範數的定義,因此是一個矩陣範數。這個矩陣範數被稱為是由向量空間範數誘導的矩陣範數,可以看作是運算元範數在由有限維向量空間之間線性對映組成的空間上的特例。如果formula_46,所對應的矩陣空間就是formula_47階方塊矩陣空間formula_23。這時可以驗證,誘導範數formula_43滿足一致性條件。

  當formula_32和formula_33中裝備的向量範數都是formula_52-範數的時候,誘導的矩陣範數也稱為矩陣的誘導formula_52-範數。具體來說就是:  在formula_55和formula_56的情況下,其範數可以以下方式計算:  這些與矩陣的Schatten "p"-範數不同,也可以用formula_58。來表示。  當"p" = 2(歐幾里德範數)時,誘導的矩陣範數就是譜範數。矩陣"A"的譜範數是"A"最大的奇異值或半正定矩陣"A""A"的最大特徵值的平方根: 其中"A"代表"A"的共軛轉置。  任何誘導的矩陣範數都滿足此不等式 其中ρ("A")是"A"的譜半徑。事實上,可以證明ρ("A")是"A"的所有誘導範數的下界。  此外,我們有

  這些向量範數將矩陣視為formula_41向量,並使用類似的向量範數。  舉例說明,使用向量的"p"-範數,我們得到:  注:不要把矩陣元p-範數與誘導p-範數混淆。

  對"p" = 2,這稱為弗羅貝尼烏斯範數(Frobenius norm)或希爾伯特-施密特範數(Hilbert–Schmidt norm),不過後面這個術語通常只用於希爾伯特空間。這個範數可用不同的方式定義:  這裡"A"表示"A"的共軛轉置,"σ"是"A"的奇異值,並使用了跡函式。弗羅貝尼烏斯範數與"K"上歐幾里得範數非常類似,來自所有矩陣的空間上一個內積。  弗羅貝尼烏斯範數是服從乘法的且在數值線性代數中非常有用。這個範數通常比誘導範數容易計算。

  極大值範數是"p"=∞的元素範數,

  Schatten範數出現於當p-範數應用於一個矩陣的奇異值向量時。如果奇異值記做"σ",則Schatten "p"-範數定義為 這個範數與誘導、元素"p"-範數使用了同樣的記號,但它們是不同的。  所有Schatten範數服從乘法。它們也都是酉不變的,這就是說||"A"|| = ||"UAV"|| 對所有矩陣"A"與所有酉矩陣"U"和"V"。  最常見的情形是"p" = 1, 2, ∞。"p" = 2得出弗羅貝尼烏斯範數,前面已經介紹過了。"p" = ∞得出譜範數,這是由向量2-範數誘導的矩陣範數(見下)。最後,"p" = 1得出跡範數(核範數),定義為

  一個formula_68上矩陣範數formula_69稱為與formula_70上向量範數formula_71以及formula_72上向量範數formula_73一致,如果 對所有formula_75。根據定義,所有誘導範數是一致範數。

  對任何兩個向量範數||·|| and ||·||,我們有  對某個正數"r"與"s",formula_68中所有矩陣"A"成立。換句話說,它們是等價的範數;它們在formula_68上誘導了相同的拓撲。  此外,當formula_79,則對任何向量範數  一個矩陣範數||·||稱為“極小的”,如果不存在其它矩陣範數||·||滿足||·||≤||·||。

  對矩陣formula_80如下不等式成立:  這裡,||·||表示由向量"p"-範數誘導的矩陣範數。  向量範數之間另一個有用的不等式是
矩陣範數(英語:matrix norm)亦譯矩陣模是數學中矩陣論、線性代數、泛函分析等領域中常見的基本概念,是將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現,這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。