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  元型例子是模算術:對於一個正整數"n",如果"a" − "b"整除於"n"(還有一個等價的條件是它們除以"n"得出同樣的餘數),則兩個整數"a"和"b"被稱為同餘模"n"。  例如,5和11同餘模3: 因為11 − 5得出6,它整除於3。或者等價的說,這兩個數除以3得到相同的餘數:  如果formula_1並且formula_2,則formula_3並且formula_4。這把同餘(mod "n")變成了在所有整數的環上的一個等價。

  兩個實數矩陣"A"和"B"被稱為合同的,如果存在可逆實數矩陣"P"使得  對稱矩陣有實數特徵值。對稱矩陣的“慣性”是由正特徵值的數目、零特徵值的數目和負特徵值的數目組成的三元組。Sylvester慣性定律聲稱兩個對稱實數矩陣是合同的,當且僅當它們有相同的慣性。所以,全等變換可以改變矩陣的特徵值但不能改變特徵值的符號。  對於複數矩陣,必須區分“合同”("A"和"B"是合同,如果有可逆矩陣"P"使得"P""AP" = "B")和“*合同”("A"和"B"是*合同,如果有可逆矩陣"P"使得"P"*"AP" = "B")。

  想法是推廣到泛代數中:代數"A"上的同餘關係是直積"A"×"A"的子集,它既是在"A"上的等價關係又是"A"×"A"的子代數。  同態的核總是同餘。實際上,所有同餘引起自核。對於給定在"A"上的同餘~,等價類的集合"A"/~可以自然的方式給出自代數的結構商代數。對映所有"A"的元素到它的等價類的函式是同態,這個同態的核是~。  在一個代數上的所有同餘關係的格是代數格。

  在群的特殊情況下,同餘關係可以用基本術語描述為:如果"G"是群(帶有單位元"e")並且~是在"G"上的二元關係,則~是同餘只要:  條件1, 2和3聲稱~是等價關係。  同餘~完全確定自"G"的同餘於單位元的那些元素的集合{"a" ∈ "G" : "a" ~ "e"},而這個集合是正規子群。特別是,"a" ~ "b"當且僅當"b" * "a" ~ "e"。所以替代談論在群上同餘,人們通常以正規子群的方式談論它們;事實上,所有同餘都唯一的對應於"G"的某個正規子群。

  類似的技巧允許談論環中的核為理想來替代同餘關係,在模理論中為子模來替代同餘關係。  這個技巧不適用於么半群,所以同餘關係的研究在么半群理論扮演更中心的角色。
在數學特別是抽象代數中,同餘關係或簡稱同餘是相容於某個代數運算的等價關係。