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  卷積是數學分析中一種重要的運算。設:formula_1、formula_2是formula_3上的兩個可積函式,作積分: 可以證明,關於幾乎所有的formula_5,上述積分是存在的。這樣,隨著formula_6的不同取值,這個積分就定義了一個新函式formula_7,稱為函式formula_8與formula_9的卷積,記為formula_10。我們可以輕易驗證:formula_11,並且formula_12仍為可積函式。這就是說,把卷積代替乘法,formula_13空間是一個代數,甚至是巴拿赫代數。雖然這裡為了方便我們假設 formula_14,不過卷積只是運算子號,理論上並不需要對函式 formula_15 有特別的限制,雖然常常要求 formula_15 至少是可測函式(measurable function)(如果不是可測函式的話,積分可能根本沒有意義),至於生成的卷積函式性質會在運算之後討論。  卷積與傅立葉變換有著密切的關係。例如兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換,利用此一性質,能簡化傅立葉分析中的許多問題。  由卷積得到的函式formula_17一般要比formula_8和formula_9都光滑。特別當formula_9為具有緊支集的光滑函式,formula_8為區域性可積時,它們的卷積formula_22也是光滑函式。利用這一性質,對於任意的可積函式formula_8,都可以簡單地構造出一列逼近於formula_8的光滑函式列formula_25,這種方法稱為函式的光滑化或正則化。  卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函式上去。

  函式 formula_15 是定義在 formula_27 上的可測函式(measurable function),formula_8與formula_9的卷積記作formula_22,它是其中一個函式翻轉,並平移後,與另一個函式的乘積的積分,是一個對平移量的函式,也就是:  如果函式不是定義在 formula_27 上,可以把函式定義域以外的值都規定成零,這樣就變成一個定義在 formula_27 上的函式。

  對於定義在整數 formula_34 上的函式 formula_35,卷積定義為 這裡一樣把函式定義域以外的值當成零,所以可以擴充套件函式到所有整數上(如果本來不是的話)。  當formula_38 的支撐集(support)為有限長度formula_39,上式會變成有限和:

  計算卷積formula_41有三種主要的方法,分別為 方法1是直接利用定義來計算卷積,而方法2和3都是用到了FFT來快速計算卷積。也有不需要用到FFT的作法,如使用數論轉換。  分段卷積: Overlap-Add

  欲做formula_90的分段卷積分,formula_91 長度為 formula_92,formula_93 長度為 formula_94,  Step 1: 將formula_91每 formula_66 分成一段  Step 2: 再每段 formula_66 點後面新增 formula_98 個零,變成長度 formula_99  Step 3: 把 formula_93 新增 formula_101個零,變成長度 formula_99的 formula_103  Step 4: 把每個 formula_91 的小段和 formula_103 做快速卷積,也就是<math> IDFT_{L+M-1}\
在泛函分析中,卷積(又稱疊積(convolution)、褶積或旋積),是透過兩個函式 "f" 和 "g" 生成第三個函式的一種數學運算元,表徵函式 "f" 與經過翻轉和平移的 "g" 的乘積函式所圍成的曲邊梯形的面積。如果將參加卷積的一個函式看作區間的指示函式,卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。