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  設 formula_1 為群,如果其內的正規子群只有 formula_2 本身與單位元formula_3組成的群(平凡群)formula_4,則稱之為單群。

  

  迴圈群 = Z/3Z,即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單群。這是因為,若是這個群的一個子群,則它的階一定是群的階3的約數,因為3是素數,所以只能是或者平凡群。另一方面,群=Z/12Z就不是單群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群,且12為合數,故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如,由模12餘0,4,8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地,整數集 Z 與加法運算組成的群也不是單群,由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群。  按照上面的方法可以證明,阿貝爾單群只有素數階迴圈群。最小的非阿貝爾單群是交錯群 formula_5,它的階是60,而且可以證明每一個階為60的單群都與 formula_5 同構。第二小的非阿貝爾單群是射影特殊線性群 formula_7,它的階是168。可以證明,階為168的單群都與 formula_7 同構。  formula_7是有限域上的典型群的一個例子,它也是一個有限階李群。除了素數階迴圈群、交錯群和有限階李群(包括典型群和例外或纏繞李群)之外的有限單群統稱為散在群,詳見有限單群分類。

  無限階交錯群,即由整數的所有偶置換組成的群formula_10是單群。另一個無限階單群的例子是域formula_11上的射影特殊線性群formula_12,其中 formula_13。  相比之下,要構造有限生成的無限階單群就困難得多,最早的例子由格雷厄姆·希格曼提出,它是希格曼群的子群。 其它的例子包括湯普森群 "T" 和 "V"。有限表現無撓(torsion-free)的無限單群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。

  到目前為止,未有對一般單群進行分類的方法。

  有限單群是很重要的,因為在一定意義上,它們是所有有限群的“基本組成部分”,有點類似於質數是整數的基本組成部分。

  法伊特-湯普森定理聲稱,所有的奇數階群都是可解群。 因此,除素數階迴圈群外,所有有限單群的階都是偶數。

  西羅測試:設為一正合數,是它的一個素因子。 若在的所有約數中只有 1 模同餘於 1,則不存在階為的單群。  證明:如為一素數冪,則階數為的群有非平凡的中心,因而不是單群。若不是素數冪,則階數為的群的每一個西羅子群都是真子群,由西羅第三定理可知, 階數為的群的西羅-子群的個數模同餘於1且為的約數。但由上面的假設,這樣的數只有1,這表明該群只有一個西羅-子群,因此,根據西羅定理,該西羅子群是正規子群。根據上面的討論,它又是一個真子群,從而它是階數為的群的一個非平凡正規子群,所以階數為的群不是單群。  另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態對映,因為對於一個群formula_2而言,其子群formula_15是正規子群,當且僅當formula_15是某個關於formula_2的同態對映的核。

  「單群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群,因為正規子群 formula_15 可以對將 formula_2 的一部分研究化約為對商群 formula_20 與 formula_15 的研究,而對單群無法行此化約。  有限單群之於有限群論,一如素數之於整數論;它們可以被視為有限群的基本構件。
數學上的單群(英語:Simple group)是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單群,都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群,若爾當-赫爾德定理表明,這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列(最多相差一個置換)。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。