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  可以定義為對應遞降階乘展開式的各項係數,即 formula_1 其中,formula_2(formula_3)即為第一類斯特林數。例如: 則 於是formula_6, formula_7, formula_8, formula_9。  由此可知,formula_2是代數數,或稱為有符號(第一類)斯特林數(英語:signed Stirling numbers of the first kind)。  有符號斯特林數的絕對值formula_11可以看作(或直接定義為)把formula_12個元素排列成formula_13個非空圓圈(迴圈排列)的方法數目。所以formula_11是算術數,或稱為無符號(第一類)斯特林數(英語:unsigned Stirling numbers of the first kind)。無符號斯特林數一般可以記為formula_15或formula_16。例如:把formula_17,formula_18,formula_19三個數排列成formula_20個非空圓圈,顯然有零種方法;排列成formula_17個非空圓圈,有formula_22,formula_23兩種方法;排列成formula_18個非空圓圈,有formula_25formula_26,formula_27formula_28和formula_29formula_30三種方法;排列成formula_19個非空圓圈,有formula_25formula_30formula_28一種方法,所以formula_35formula_36,formula_37,formula_38。可以看到這和前面有符號斯特林數formula_2在formula_40時的結果一致(只是符號差異)。  與有符號斯特林數類似,無符號斯特林數可以定義為對應遞進階乘展開式的各項係數,即 其中,formula_16(formula_3)即為無符號斯特林數。不過要注意,這裡的記號formula_16有時候會用來表示高斯二項式係數。  有符號斯特林數和無符號斯特林數有如下關係:

  無符號斯特林數有更多的應用。例如,將formula_12個元素分成formula_13組,每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號斯特林數formula_16求得。以formula_49為例:  或用有向圖表示如下:

  無符號斯特林數有如下遞推關係式: 其中,formula_51,且初始條件為 formula_52,formula_53(formula_54)。  有符號斯特林數有如下遞推關係式:

  下表其實是一部分無符號斯特林數,要想獲得有符號斯特林數,可以通過它們之間的關係式: 求得。

  觀察前面的“第一類斯特林數表”,我們可以得到一些簡單的性質:  如果formula_60,我們有 或更一般地,如果formula_62,我們有  還有  注:這裡記號formula_69表示組合數。

  

  與第一類斯特林數類似,可以用遞降階乘定義為 其中,formula_71即為第二類斯特林數,也可以記為formula_72。例如: 即 將遞降階乘展開併合並同類項,得 比較等式兩邊係數,得 解得  formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二類斯特林數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分為formula_13個非空子集的方法數目。例如:對於集合formula_83,若拆分為formula_20個非空子集,顯然有零種方法;拆分為formula_17個非空子集,只有formula_83一種方法;拆分為formula_18個非空子集,有formula_88formula_89,formula_90formula_91,formula_92formula_93三種方法;拆分為formula_19個非空子集,有formula_88formula_92formula_91一種方法。於是formula_77,formula_78,formula_79,formula_80。  第二類斯特林數可以使用以下公式進行計算:  取formula_103進行驗算,有 即 於是

  將formula_12個人分成formula_13組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成formula_17組,只能所有人在同一組,因此formula_110;若所有人分成formula_111組,只能每人獨立一組,因此formula_112;若分成formula_18組,可以是甲乙一組、丙丁一組,或甲丙一組、乙丁一組,或甲丁一組、乙丙一組,或其中三人同一組另一人獨立一組,即:  因此formula_114。同理,可以得到formula_115。

  第二類斯特林數有與第一類斯特林數類似的遞推關係式:  其中,formula_51,且初始條件為 formula_118,formula_119(formula_54)。

  下面為部分第二類斯特林數:

  觀察前面的“第二類斯特林數表”,我們可以得到一些簡單的性質:  如果formula_60,我們有 或更一般地,如果formula_62,我們有  還有

  貝爾數和第二類斯特林數有如下關係:

  第一類和第二類斯特林數可以看作互為逆矩陣的關係:  以及  其中,formula_138是克羅內克爾δ。

  

  是由在1954年發現的,因為拉赫數與斯特林數關係密切,所以有時拉赫數也被稱為第三類斯特林數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義為  或  其中, formula_141即為拉赫數。例如:  即  等式兩邊展開併合並同類項,得  比較等式兩邊係數,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  或  即  等式兩邊展開併合並同類項,得  比較等式兩邊係數,得  解得 formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  以上定義的拉赫數是無符號拉赫數(英語: signed Lah numbers),有符號拉赫數(英語:signed Lah numbers)的定義如下:  或  無符號拉赫數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分為formula_13個非空線性有序子集的方法數目。例如:對於集合formula_83,若拆分為formula_20個非空線性有序子集,顯然有零種方法;拆分為formula_17個非空線性有序子集,有formula_165,formula_166,formula_167,formula_168,formula_169,formula_170六種方法;拆分為formula_18個非空線性有序子集,有formula_172formula_173,formula_172formula_175,formula_176formula_177,formula_176formula_179,formula_180formula_181,formula_180formula_183六種方法;拆分為formula_19個非空線性有序子集,有formula_172,formula_176,formula_180一種方法。於是formula_146,formula_147, formula_148,formula_149。  無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算:  有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算:

  無符號拉赫數有如下遞推關係:  或  其中,formula_196,formula_196,formula_198(formula_62),formula_200

  下面為部分無符號拉赫數:

  觀察前面的“拉赫數表”,我們可以得到一些簡單性質:  formula_201, formula_202(formula_54)  如果formula_204,有 formula_201,formula_206  還有

  無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展:  無符號拉赫數與兩類斯特林數都有關係,關係如下:  取formula_216進行驗算,有  即  於是  由無符號拉赫數與兩類斯特林數之間的關係,考慮到兩類斯特林數之間的關係,有  其中,formula_138是克羅內克爾δ。

  三類斯特林數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示:
在數學中,用於解決各種數學分析和組合數學問題,斯特林數是兩組不同的數,均是18世紀由 引入並以其命名,以'和'的稱呼區分。此外,有時候也將稱為第三類斯特林數。