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  在初等數學與微積分中,"多項式"視同"多項式函式",兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之,考慮有限域 formula_5 上的多項式 此多項式代任何值皆零,故給出零函式,但其形式表法非零。  我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函式觀點,多項式函式在域擴張下的行為頗覆雜,上述 formula_7 給出 formula_8 上的零函式,但視為 formula_9 上的多項式函式則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。

  於是我們採取下述定義:令 formula_1 為環。一個單變元 formula_11 的多項式 formula_7 定義為下述形式化的表法: 其中 formula_14 屬於 formula_1,稱作 formula_16 的係數,而 formula_11 視作一個形式符號。兩多項式相等當且僅當每個 formula_16 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數,或者首項係數。  更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 formula_19,使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 formula_11 及其冪次表達。

  以下固定環 formula_1,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

  多項式的加法由係數逐項相加定義,而乘法則由下列法則唯一地確定:  運算的具體表法如下:  當 formula_1 是交換環時,formula_33 是個 formula_1 上的代數。

  設 formula_35 而 formula_36 為另一多項式,則可定義兩者的合成為

  對於任一多項式 formula_35 及 formula_39,我們可考慮 formula_7 對 formula_41 的求值:  固定 formula_39,則得到一個環同態 formula_44,稱作求值同態;此外它還滿足

  在微積分中,多項式的微分由微分法則 formula_46 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:  這種導數依然滿足 formula_49 與 formula_50 等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。

  上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環 formula_51,也可以採下述構造:  先考慮兩個變元 formula_52 的例子,我們可以先構造多項式環 formula_33,其次構造 formula_54。可以證明有自然同構 formula_55,例如多項式 也可以視作  對 formula_58亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

  多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 formula_65構造有限域,或從實數構造複數等等。  弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法系採用多項式的合成而非乘法。
在抽象代數中,多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 formula_1 上的多項式環是由係數在 formula_1 中的多項式構成的環,其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中,當 formula_1 為交換環時,多項式環可以被刻劃為交換 formula_1-代數範疇中的自由物件。