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  設 formula_1 為拓撲空間,formula_2,而 formula_3 為實值函式。若對每個 ε > 0 都存在 formula_4 的開鄰域 formula_5 使得 formula_6,則稱 formula_7 在 formula_4 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述: 若 formula_7 在 formula_1 上的每一點都是上半連續,則稱之為上半連續函式。  下半連續性可以准此定義:若對每個 ε > 0 都存在 formula_4 的開鄰域 formula_5 使得 formula_14,則稱 formula_7 在 formula_4 下半連續。用下極限等價地表述為: 若 formula_7 在 formula_1 上的每一點都是下半連續,則稱之為下半連續函式。  拓撲基 formula_20 賦予實數線 formula_21 較粗的拓撲,上半連續函式可以詮釋為此拓撲下的連續函式。若取基為 formula_22,則得到下半連續函式。

  考慮函式 此函式在 formula_24 上半連續,而非下半連續。  下整數函式 formula_25 處處皆上半連續。同理,上整數函式 formula_26 處處皆下半連續。

  一個函式在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。  若 formula_27 在某一 點上半連續,則 formula_28 亦然;若兩者皆非負,則 formula_29 在該點也是上半連續。若 formula_7 在一點上半連續,則 formula_31 在該點下半連續,反之亦然。  若 formula_1 為緊集(例如閉區間),則其上的上半連續函式必取到極大值,而下半連續函式必取到極小值。  設 formula_33 為下半連續函式序列,而且對所有 formula_34 有 則 formula_7 是下半連續函式。  開集的指示函式為下半連續函式,閉集的指示函式為上半連續函式。
在數學分析中,半連續性是實值函式的一種性質,分成上半連續與下半連續,半連續性較連續性弱。