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  序列formula_2的上極限定義是  或者  同樣的,序列formula_5的下極限定義是  或者  這些定義在任意的偏序集都適用,只需要上確界和下確界存在。 在完全格里,上確界和下確界總是存在,所以其中的序列一定有上極限和下極限。  每當formula_8和formula_9都存在,那麼  上極限和下極限也記為formula_11和formula_12。

  實數集 R 的數列對微積分很重要。R 不是完備格,但可以加入正負無窮以得到完備全序集 formula_13,形成完備格。那麼在 formula_13 中數列 formula_2 收斂當且僅當 formula_16,而這時 formula_17 等於上面的共同值。(注意當只是考慮 R 時,收斂至 formula_18 或 formula_19 並不當作收斂,而是視作極限不存在。)  若實數數列 formula_2 的上極限為實數(即為有限,不是 formula_21 ),那麼上極限是最小的實數 "a",使得對任意小的正實數 formula_22,都存在足夠大的正整數 "N",使得對所有 formula_23,都有 formula_24。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在 "N" 使得這實數是數列 formula_25 的上界。  若實數數列 formula_2 的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數 "b",使得對任意小的正實數 formula_22,都存在足夠大的正整數 "N",使得對所有 formula_23,都有 formula_29。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在 "N" 使得這實數是數列 formula_25的下界。  設 formula_2 是整數數列。若其上極限為實數 "a",由於 formula_32 也符合上述條件,故此 "a" 必是整數。(formula_32 是不大於 "a" 的最大整數。)在條件中取 formula_34,得出 "a" 是最小的實數,使得存在正整數 "N",對所有 formula_23,都有 formula_36。因此 "a" 是最大的整數,使得有無限個 formula_37。同樣地,若其下極限為實數 "b",則 "b" 是最小的整數,使得有無限個 formula_38。  若 formula_39 和 formula_40,那麼區間 formula_41 不一定包含任何的 formula_5,但是輕微擴大了的 [I-ε,S+ε] 對任意小的ε > 0都會包含除了有限項外所有的 "x"。區間 ["I", "S"] 是適合這個性質的最小閉區間。

  集合"X"的冪集"P"("X")是完備格。對於"P"("X")中的序列,也就是"X"的子集的序列,其上下極限也有用處。  若formula_55是這樣的序列,那麼"X"的元素"a"屬於formula_56,當且僅當存在自然數formula_57使得對於所有formula_58,"a"在formula_55裡。元素"a"屬於formula_60,當且僅當對所有自然數formula_57,都存在一個指數formula_58使得"a"在formula_55裡。換句話說,formula_60包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有無限多個"n",使得它在集合formula_55裡;而formula_56包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有除了有限多個外的所有"n",使得它在formula_55裡。  以集合論的標準語言來說,一個集合序列的下確界是這些集合的可數交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:  令formula_69為自formula_55起的集合的下確界。那麼序列formula_69非遞減,因為formula_72。所以,第1至"n"個下確界的並集就是第"n"個下確界。下極限就是這序列的極限:  上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合,也就是它們的可數並:  上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交(其中每個上確界都包含在前一個裡面)。  例子或應用可見波萊爾-坎泰利引理,柯西-阿達馬公式(Cauchy-Hadamard Formula)。
上極限(limit superior)跟下極限(limit inferior)是數學中的概念,數列的上極限和下極限可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說,數列 formula_1 的上極限為 1,下極限為 -1。 函式的上極限和下極限可以用類似方式考慮。(參見函式的極限)。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點的上確界和下確界。