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  魏爾施特拉斯的原作中給出的構造是:  其中formula_2為正的奇數,使得:  這個函式以及它處處連續而又處處不可導的證明首次出現在魏爾施特拉斯於1872年7月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中。  證明這個函式處處連續並不困難。由於無窮級數的每一個函式項formula_4的絕對值都小於常數formula_5,而正項級數formula_6是收斂的。由比較審斂法可以知道原級數一致收斂。因此,由於每一個函式項formula_4都是formula_8上的連續函式,級數和formula_9也是formula_8上的連續函式。  下面證明函式處處不可導:對一個給定的點formula_11,證明的思路是找出趨於formula_12的兩組不同的數列formula_13和formula_14,使得  這與函式可導的定義矛盾,於是證明完畢。  一般人會直覺上認為連續的函式必然是近乎可導的。即使不可導,所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分。根據魏爾施特拉斯在他的論文中所描述,早期的許多數學家,包括高斯,都曾經假定連續函式不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想象一個連續但在不可數個點上不可導的函式是很困難的事。當我們繪製函式的影象時,總會畫出較為規則的圖形,例如滿足利普希茨條件的函式影象。  魏爾施特拉斯函式可以被視為第一個分形函式,儘管這個名詞當時還不存在。將魏爾施特拉斯函式在任一點放大,所得到的區域性圖都和整體圖形相似。因此,無論如何放大,函式影象都不會顯得更加光滑,也不存在單調的區間。

  分析學的成果表明,魏爾施特拉斯函式並不是連續函式中的少數幾個特例之一。儘管它是“病態”函式的一種,但可以證明,這種病態的函式事實上不在“少數”,甚至比那些“規則”的函式“多得多”。
數學中,魏爾施特拉斯函式(英語:Weierstrass function)是一類處處連續而處處不可導的實值病態函式,得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾施特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。