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  克萊因-戈爾登方程為  很多時候會用自然單位("c"="ħ"=1)寫成  由於平面波為此方程已知的一組解,所以方程形式由它決定:  遵從狹義相對論的能量動量關係式  跟薛定諤方式不同,每一個"k"在此都對應著兩個formula_5,只有通過把頻率的正負部分分開,才能讓方程描述到整個相對論形式的波函式。若方程在時間流逝下不變,則其形式為

  自由粒子的薛定諤方程式是非相對論量子力學的最基本方程式: 其中formula_8是動量算符。  薛定諤方程式並非相對論協變的,意味著它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。  利用狹義相對論中四維動量的不變性匯出的相對論動量能量關係,相對論能量  替換薛定諤方程式左邊自由粒子的動能formula_10,  並最終得到它的協變形式  其中formula_12  達朗貝爾算符formula_13  從相對論量子力學的觀點來看,達朗貝爾算符的出現意味著克萊因-戈爾登方程式是一個量子力學的波方程。

  場論中,對於自旋為零的場(標量場),拉格朗日量被寫成  這裡依照量子場論的習慣選取了自然單位,將光速formula_15和普朗克常數formula_16都取作1。  代入尤拉-拉格朗日方程formula_17可直接得到克萊因-戈爾登方程。  從量子場論的觀點來看,以上推導過程都在經典場論的範圍之內,因此克萊因-戈爾登方程式只是一個經典場的場方程式。

  相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念,但形如克萊因-戈爾登方程式這樣的波方程仍然具有形式上的平面波解: 其中formula_19  從克萊因-戈爾登方程式得出的能量本徵值為 因而克萊因-戈爾登方程式的解包含了負能量。同時,由這個解匯出相應的概率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊因-戈爾登方程在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的.英國物理學家保羅·狄拉克為了確保概率密度具有物理意義建立了狄拉克方程,但這個方程仍然沒有避免出現負能量。從那時起物理學家們逐漸意識到負能量的出現實際上意味著反粒子的存在。

  克萊因-戈爾登方程有行波解
克萊因-戈爾登方程式(Klein-Gordon equation)是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程式,它是薛定諤方程式的狹義相對論形式,用於描述自旋為零的粒子。克萊因-戈爾登方程式是由瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊因和德國人沃爾特·戈爾登於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出的。