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  所有偏序集合都是自身的上閉集合。上閉集合的交集還是上閉集合。任何上閉集合的補集都是下閉集合,反之亦然。  給定偏序集合 ("X",≤),用包含關係排序的 "X" 的下閉集合的家族是完全格,下閉集合格 O("X")。  給定有序集合 "X" 的任意子集 "Y",包含 "Y" 的最小的上閉集合使用上箭頭指示為 ↑"Y"。對偶的,包含 "Y" 的最小下閉集合使用下箭頭指示為 ↓"Y"。下閉集合被稱為主要的,如果它有 ↓{"x"} 的形式,這裡的 "x" 是 "X" 的一個元素。一個有限有序集合 "X" 的所有的下閉集合 "Y" 等於包含 "Y" 的所有極大元的最小下閉集合:"Y" = ↓Max("Y"),這裡的 Max("Y") 指示包含 "Y" 的極大元素的集合。  有向下閉集合叫做序理想。  任何上閉集合的極小元形成一個反鏈(antichain)。反過來任何反鏈 "A" 確定一個上閉集合 {"x":對於 "A" 中某個 "y", "x" ≥ "y"}。對於滿足降鏈條件的偏序,在反鏈和上閉集合之間這種對應是一對一的,但對於更一般的偏序這不為真。

  序數通常被當作所有更小序數的集合。所以序數嚴格是序數的下閉集合。
在數學中,上部集合(向上閉合集合)是給定偏序集合 ("X",≤) 的子集 "Y",使得對於所有元素 "x" 和 "y",如果 "x" 小於等於 "y",並且 "x" 是 "Y" 的一個元素,則 "y" 也在 "Y" 中。更加形式的說