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  假設formula_2和是實數,而且是的函式,也就是說,針對每一個,都有一個對應的。兩者的關係可以表示為。若是直線的方程式(稱為一次方程),則會存在兩個實數和使得。在這個「斜率-截距式」中,是斜率,可以用下式來求得:  其中符號(是希臘大寫字母Δ)表示「變化」。以下的式子會成立:.  一般的函式不是直線,因此沒有斜率。在幾何上來看,函式在的導數就是函式在點切線的斜率(如圖)。常會表示為 或。因為導數是在點線性近似的斜率,因此導數(以及函式在點的值)是函式在點附近最佳的線性化近似。  若在函式定義域中的每一點都有導數,則存在一函式可以將每一點對應到函式在點的導數。例如,若函式,則其導數函式。  另一個有關的表示法是函式的微分。若和是實數變數,函式在點的導數為函式在點切線的斜率。因為的引數及輸出都是純量,因此的導數也是實數。若和是向量,則圖形的最佳線性近似會和函式在不同方向的變化有關。找到在單一方向的最佳近似,也就決定了偏微分,一般會表示為。若找到了函式在所有方向的線性化近似,則稱為全微分。

  若以切線來看,微分的概念很早以前就出現了,像希臘幾何學家歐幾里得(約300 BC)、阿基米德(約287–212 BC)及阿波羅尼奧斯(約262–190 BC)。阿基米德也引進了無窮小量的使用,不過最早是用在面積及體積上的研究,而不是在導數及切線上,參考阿基米德使用的無窮小量。  在印度數學家的研究中有看到用無窮小量來探討量的變化,最早也許可以推到公元500年,當時天文學家及數學家阿耶波多用無窮小量來研究月球軌道。在印度數學家婆什迦羅第二(1114–1185)時,用無窮小量來計算量變化的研究有顯著的進展,也有人提到在他的著作中已提到許多微分學的重要概念,例如羅爾定理。  伊斯蘭數學家納色阿爾圖斯(1135年–1213年)在其著作《Treatise on Equations》中說明了部分三次方程有解的條件,是透過找適當三次多項式的最大值來求得。他證明了三次多項式的最大值出現在,並且得到結論:方程式在時恰有一正值的解,若會有二個正值的解。科學歷史學家Roshdi Rashed認為阿爾圖斯一定是用到了三次多項式的導數才得到此一結果。不過也有其他學者質疑Rashed的想法,他們認為Rashed也可能用了其他不用導數概念的作法。  普遍認為近代微積分的發展是因為艾薩克·牛頓(1643年–1727年)及戈特弗裡德·萊布尼茨(1646年–1716年)同時但獨立個別的研究,並且整合了有關微分及導數的作法。不過其中關鍵的概念(也是後來認定微積分是由他們兩人創始的原因)是結合微分以及積分的微積分基本定理,這也讓以往計算面積及體積,自從海什木(Alhazen)以來沒有大幅進步的的方式變的過時。有關牛頓和萊布尼茨在微分上的想法,都是以早期數學家的貢獻為基礎,例如皮埃爾·德·費馬(1607年-1665年)、伊薩克·巴羅(1630年–1677年)、勒內·笛卡爾(1596年–1650年)、克里斯蒂安·惠更斯(1629年–1695年)、布萊茲·帕斯卡(1623年–1662年)及約翰·沃利斯 (1616年–1703年)。有關費馬的影響,牛頓曾在一封信中提到:「我從費馬畫切線的方式得到有關(通量)方法的暗示,將其用在抽象的方程......,我擴充套件了這個概念(directly and invertedly, I made it general.)。一般會將導數早期的發展歸功於伊薩克·巴羅,不過牛頓和萊布尼茨仍在微分學的歷史上有重要的貢獻,其中也包括了牛頓將微分用在理論物理學中,而萊布尼茨發展的符號到現今仍在普遍使用。  自從17世紀起,許多數學家都對微分學有所貢獻。在19世紀時,在奧古斯丁·路易·柯西(1789年–1857年)、波恩哈德·黎曼(1826年–1866年)及卡爾·魏爾斯特拉斯(1815年–1897年)等數學家的貢獻下,微分學已更加的嚴謹。微分學也在此一時期擴充套件到歐幾里得空間及複平面。

  

  若是在(或是其他開區間)內的可微函式,而是有區域性最小值或是區域性最大值的位置,則在處的導數為零。滿足的點稱為臨界點或是駐點(則在處的值稱為臨界值)。若沒有處處可微的特性,則不可微的點也稱為臨界點。  若是二次可微,則的臨界點可以用在的二次導數來分析:  上述作法稱為二次導數測試。一次導數測試是另一種分析方式,考慮在臨界點前後的符號變化。  取導數,並且求解臨界點是要找區域性最小值或最大值的最簡單作法,常應用在最優化中。根據極值定理,連續函式在閉區間內至少會有一次區域性最小值及區域性最大值。若函式可微,其區域性最小值及區域性最大值只會出現在臨界點或是端點上。  取區域性最小值及區域性最大值也可以在函式圖形的繪製上:只要找到可微分函式的區域性最小值、區域性最大值以及位,可以根據觀察函式在各臨界點之間的趨勢來繪製簡圖。  在高維度的空間中,標量函式的臨界點是其梯度為0的點。仍然可以用二次導數測試來分析臨界點,作法是考慮函式在臨界點上二階導數形成海森矩陣的特徵值。若所有特徵值都為正,此點為區域性最小值;若所有特徵值都為負,此點為區域性最大值;若部分為正,部分為負,表示臨界點為鞍點;不過若有部分特徵值為零,則無法以此方式判斷。

  最佳化問題的一個例子是:找到在一曲面上,通過曲面上二點的最短路徑。若是在平面上,其最短路徑是直線。不過若曲面是較複雜的形狀(例如蛋形),最短路問題的解就不是那麼直觀了,此路徑稱為測地線,而這也是最佳化問題中最簡單的問題之一。另一個例子是:找到可以填充空間中封閉曲線的最小面積曲面,此曲面稱為極小曲面,也可以透過變分法求得。

  微分在物理學上格外重要:許多物理的現象都是用有關微分的方程式來描述,這類方程稱為微分方程。物理學格外關注物理量隨時間的變化,而時間導數是物理量隨時間的變化率,是許多重要概念精準定義的基礎。尤其在牛頓力學中,很重視一物體位置的時間導數:  例如:若物體在一直線上的位置可以用下式表示  則其速度為  而加速度為  此時加速度已為定值。

  微分方程是指一函式和其微分之間的關係。常微分方程會描述單變數函式和其微分之間的關係。而偏微分方程則是多變數函式和其偏微分之間的關係。在自然科學、數學建模,甚至是數學領域中都常常會出現微分方程。例如,牛頓第二定律描述力和加速度的關係,可以表示為以下的常微分方程  一維空間下的熱傳導方程式描述熱在一杆狀物上如何傳遞,其偏微分方程如下  此處為桿狀物時間時,在位置的溫度,而為一常數,和熱在桿狀物上傳遞的速度成正比。

  均值定理提供了函式的導數和其原始值之間的關係。若是實值函式,而 和是實數,且,則根據均值定理(配合少許的假設),兩點和之間的斜率會等於在和中間某一點的切線斜率。換句話說 實際上,均值定理是以其導數的方式來控制一個函式。例如,假設有導數,在每一點均為0,這表示其每一點的切線都是水平線,因此其函式應該也就是水平線。均值定理證明這是對的:圖上二點之間的斜率必須等於中的某一條切線。而所有的切線斜率都是0,因此從函式上任二點之的直線斜率也是0。這表示函式不會上升也不會下降,因此是水平線。若是導數的條件比較複雜,所產生的原函式資訊會比較不準確,但仍然有用。

  一函式的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似,不過這和實際的函式可能有很大的差異。改善近似的一個方式就是進行二次近似。也就是說,實值函式在點的線性化是線性多項式,若考慮一個二次多項式,可能會有更好的近似結果。若二次多項式改為三次多項式,近似效果會更好一些,此概念可以擴充套件到任意多次的高次多項式。針對一個多項式,都應該會有一個最佳的係數、、、......的組合,讓近似的效果最好。  在的鄰域,對來說,最理想的數值一定是,對來說,最理想的數值一定是,對For 、及更高階的係數來說,其係數最理想的數值是由更高階的導數決定。最理想的數值一定是,and 最理想的數值一定是。利用這些係數,可以得到的泰勒多項式。次的泰勒多項式是對可以有最佳近似的次多項式,其係數可以用上述公式推廣而得。泰勒公式提供近似程度的精確範圍。若函式是次數小於等於的多項式。則此函式的次泰勒多項式即為函式。  泰勒多項式的極限是無窮級數,稱為泰勒級數。多半來說泰勒級數是原函式非常理想的近似。一函式若都各點等於其泰勒級數,稱為解析函式。若函式有不連續點或是斜率不連續的尖角,此函式不會是解析函式,不過相反的,存在一些函式是光滑函式(無窮階可導的函式),卻不是解析函式(非解析的光滑函式)。

  有些幾何圖形(例如圓)無法用函式圖形來表示。例如若,其圓即為所有使的點 的集合。這個集合稱為的零集。這和本身的圖形(拋物面)不同。隱函式定理可以將之類的關係轉換為函式。其中提到,若是連續可微函式,的零集中大部分都可以表示為函式圖形「貼上」的組合。零集上的個點是否滿足上述條件,可以用一個和微分有關的方式來確認。例如圓可以表示成二個函式圖形±「貼上」後的結果。圓上除了和二點之外,在其餘每一個點的鄰域上,上述二個函式中都有一個的圖形和圓的圖形類似。(上述二個函式其實剛好也通過和,不過這不是隱函式定理中提到的內容)  隱函式定理和反函式定理有密切的關係。反函式定理提到一函式在一點的開區域內具有反函式的充分條件。
微分學(英語:differential calculus)是微積分的一部分,是通過導數和微分來研究曲線斜率、加速度、最大值和最小值的一門學科,也是探討特定數量變化速率的學科。微分學是微積分的二個主要分支之一,另一個分支則是積分學,探討曲線下的面積。