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  若V是一拓撲向量空間,所有連續線性泛函的集稱為連續對偶,有時也簡稱為對偶空間。若formula_1是巴拿赫空間,其對偶空間也是。為了把普通的對偶空間與連續對偶空間區別,有時把前一個稱為"代數對偶"。在有限維空間中,每一個線性泛函都是連續的,因此連續對偶與代數對偶相同;但在無限維空間的情況下,連續對偶是代數對偶的真子空間。

  

  假設實座標空間R內的向量用列向量來表示:  那麼這些座標中的任何線性泛函都可以用以下形式的和來表示:  這僅僅是行向量["a"... "a"]與列向量formula_16的矩陣乘積:

  線性泛函首先出現在泛函分析——函式的向量空間的研究中。線性泛函的一個典型的例子是積分:由黎曼積分所定義的線性變換  是由formula_19(在formula_20上定義的連續函式)的向量空間對映到formula_21線性泛函。"I"(ƒ)的線性可以從積分的基本事實推出:

  以 formula_26 表示定義在區間 formula_20 上的不超過formula_28 次的實值多項式。 若formula_29,則設計值泛函(英語:evaluation functional)formula_30:  對映ƒ → ƒ("c")是線性的,因為:  若 formula_34 是formula_20 上的不同點,那麼formula_36 是formula_26 對偶空間的一個基。(以拉格朗日插值法證明此。)

  以上定義的積分泛函"I"定義了次數不超過"n"的多項式的子空間"P"上的線性泛函。如果"x",......,"x"是["a","b"]內"n"+1個不同的點,那麼存在係數"a",......,"a",使得對於所有的ƒ formula_38 "P",都有: 這形成了數值積分理論的基礎。  這可以從以上定義的線性泛函"P"的對偶空間的基的事實推出。

  線性泛函在量子力學中特別重要。量子力學系統以跟其對偶空間共軛同構的希爾伯特空間表示。系統的一個態可以一線性泛函表示。詳見狄拉克符號。

  在廣義函式的理論,分佈可以視為測試函式空間的線性泛函。

  從有限維空間內的每一個非退化的雙線性形式,都可以得到一個從"V"到"V"*的同構。特別地,把"V"內的雙線性形式記為⟨, ⟩ (例如在歐幾里得空間中,⟨"v","w"⟩ = "v"·"w"是"v"和"w"的數量積),那麼存在一個自然同構formula_40,由下式給出:  逆同構由formula_42給出,其中ƒ*是"V"的唯一元素,使得對於所有的"w" ∈ "V",都有:  以上定義的向量"v"* ∈ "V"*稱為"v" ∈ "V"的對偶向量。  根據里斯表示定理,在無窮維希爾伯特空間中,類似的結果也成立。存在一個從"V" → "V"*到"連續對偶空間" "V"*的對映。然而,這個對映不是線性的,而是反線性的。

  在有限維空間內,一個線性泛函可以用其水平集來表示。例如在三維空間,一個線性泛函的水平集是互相平行的平面的族。在高維空間,它們就是平行的超平面。這種觀點可以在一些廣義相對論的文獻找到,如。

  

  以V*表示V的對偶空間,對於一有限維向量空間V,V與V*同構。  設V有基formula_44,......,formula_45,不一定正交。那麼,V*具有一個基(稱為對偶基)formula_46,..., formula_47,可以這樣構作:  其中δ是克羅內克函式。此處的上標並非冪而是反變。  屬於對偶空間formula_49的線性泛函formula_50可以表示為基泛函的線性組合,其係數(“分量”)為"u": 於是,把泛函formula_50應用於基向量"e",得: 這是由於泛函的標量倍數的線性,以及泛函的和的逐點線性。那麼: 也就是說: 最後一個方程說明了線性泛函的各個分量可以通過把泛函應用於對應的基向量來獲取。

  當空間"V"帶有內積時,可以明確寫出給定基的對偶基的一個公式。設"V"具有(不一定正交的)基formula_56。在三維空間內("n" = 3),對偶基可以明確寫成: 對於"i"=1,2,3,其中formula_58是列維-奇維塔符號,formula_59是"V"上的內積(或數量積)。  在高維空間中,可以推廣如下: 其中formula_61是霍奇星運算元。  如果有度規結構formula_62,就會產生一個"V"到"V*"的同構對映formula_63. 當基向量formula_44,......,formula_45是在度規formula_62下的標準正交基的時候, formula_67 來充當對偶基。 當是正交基的時候用formula_68來充當對偶基。 正是因為有度規產生的同構存在就沒有必要再提對偶空間了。
線上性代數中,線性泛函(英語:linear functional)是指由向量空間到對應純量域的線性對映。在 R中,向量空間的向量以列向量表示;線性泛函則會以行向量表示,在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地,如果 formula_1 是域 formula_2 上的向量空間,線性泛函 formula_3 是一個從 formula_1 到 formula_2 的函式,它有以下的線性特性: