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  如果"a"和"d"是兩個自然數,"d"非0,可以證明存在兩個唯一的整數"q"和"r",滿足"a" = "qd" + "r" 且0 ≤ "r" < "d"。其中,"q"被稱為商, "r"被稱為餘數。帶餘除法是一個關於如何計算餘數的演算法,其中提供了對此結果的證明。

  如果"a" 與"d" 是整數,"d" 非零,那麼餘數"r" 滿足這樣的關係:  當這樣定義時,可能導致兩種可能的餘數。例如,除法式子(−42) / (−5)的可以表達為  或  即餘數可能是3或−2。  這種對餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題,對於處理關鍵任務的系統,錯誤的選擇會導致嚴重的後果。在一些組合語言系統中,會有特殊的除法指令,設定餘數和被除數同號。  在上面的例子,負餘數為正餘數減5得來,5即是除數"d".通常,當除以"d" 時,如果正餘數為"r",負餘數為"r",那麼  Python2.7語言定義的除法中,不能整除的情況下,餘數與除數同號,例如 (−42) / (−5) 表達為  而 42 / (-5) 則表達為

  當"a" 和"d" 是實數,且"d" 非零, "a" 除以"d" 會得到另一個實數(商),沒有所謂的"剩餘的數".但如果要求商為一個整數,則餘數的概念還是有必要的。可以證明:存在唯一的整數商"q" 和唯一的實數"r" 使得: "a" = "qd" + "r", 0≤ "r" < |"d"|.在整數除法裡,餘數可以要求為負,即滿足關係: -|"d"| < "r" ≤ 0.  如上在實數範圍內擴充套件餘數的定義在數學理論中並不重要;儘管如此,很多程式語言都實現了這個定義—參同餘.
在算術中,當兩個整數相除的結果不能以整數商表示時,餘數便是其“餘留下的量”。當餘數為零時,被稱為整除。