Can you summarize the following document?
        
  架構中的第formula_10層(formula_11 stage)

  以下根據上述2-D DWT的步驟,對一張影像作二維離散小波轉換(2D Discrete Wavelet Transform)

  在討論複雜度之前,先做一些定義,當x[n]*y[n]時,x[n]之長度為N,y[n]之長度為L: formula_24  其中,  formula_25為(N+L-1)點離散傅立葉反轉換(inverse discrete Fourier transform)  formula_26為(N+L-1)點離散傅立葉轉換(discrete Fourier transform)  (1)一維離散小波轉換之複雜度(沒有分段卷積(sectioned convolution)):  formula_27  (2)當 N »> L 時,使用 “分段卷積(sectioned convolution)”的技巧:  將x[n]切成很多段,每段長度為formula_28,總共會有formula_29段,其中formula_30。  則  formula_31  formula_32  複雜度為:  formula_33  在這裡要注意的是,當N»L時,一維離散小波轉換之複雜度是呈線性的(隨N),formula_34。  (3)多層(Multiple stages )的情況下:  1.若formula_35不再分解時:  formula_36  2.若formula_35也細分時:  formula_38  (4)二維離散小波轉換之複雜度(沒有分段卷積(sectioned convolution)): formula_39  上式中,第一部分需要M個一維離散小波轉換並且每個一維離散小波轉換的輸入有N個點;第二部分需要N+L-1個一維離散小波轉換並且每個一維離散小波轉換的輸入有M個點。  formula_40  (5)二維離散小波轉換之複雜度,使用 “分段卷積(sectioned convolution)”的技巧:  假設原始尺寸為formula_41,則每一小部分的尺寸為formula_42  formula_43  所以若是使用分段折積,則二維離散小波轉換之複雜度是呈線性的(隨MN),formula_44。  (6)多層(Multiple stages )與二維的情況下:  首先x[m,n]的尺寸為formula_41,  1.若formula_46不細分,只細分formula_47時,總複雜度為:  formula_48  2.若formula_46也細分時,總複雜度為:  formula_50

  使用離散小波轉換,將訊號個別通過一個低通濾波器和一個高通濾波器,得到訊號的高低頻成分,而在重建(Reconstruction)原始訊號的過程,也就是離散小波的逆轉換(Inverse Discrete Wavelet Transform. IDWT),直觀而言,我們僅是需要將離散小波轉換做重建濾波即可得到原始輸入訊號,以下將推導重建濾波器,也就是IDWT高低通濾波器的構成要件,以及如何來重建原始訊號。

  使用Z轉換:  formula_64  formula_67  若要完整重建,則formula_69  因此,在設計高低通重建濾波器時,需要考慮上述條件,寫成矩陣形式如下:

  

  1.DWT通濾波器 formula_52,formula_54必須要是有限長度。  2.滿足formula_54是高通濾波器(high pass filter),formula_52是低通濾波器(low pass filter)。  3.滿足完整重建要條件,formula_72,其中 formula_73  4.若formula_52,formula_54為有限長度,則formula_82,且 formula_83 為奇數。

  1.Quadrature Mirror Filter(QMF) formula_85 formula_86 formula_85 formula_89 formula_85 formula_92  formula_93,且 formula_83 為奇數。  2.Orthonormal Wavelet formula_85 formula_97 formula_85 formula_100 formula_85 formula_103  formula_93,且 formula_83 為奇數。  多數的wavelet屬於orthonormal wavelet。

  壓縮、去除噪聲:使用低通濾波器,將小波轉換的高頻濾掉,即保留formula_106而將其他部分捨棄。
離散小波變換(Discrete Wavelet Transform)在數值分析和時頻分析中很有用。第一個離散小波變換由匈牙利數學家發明,離散小波轉換顧名思義就是離散的輸入以及離散的輸出,但是這裡並沒有一個簡單而明確的公式來表示輸入及輸出的關係,只能以階層式架構來表示。