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  設 "V" 和 "W" 是向量空間並設 "T" 是從 "V" 到 "W" 的線性變換。如果0 是 "W" 的零向量,則 "T" 的核是單元素集合 {0} 的前像;就是說 "V" 的由被 "T" 對映到元素 0 的那些 "V" 的元素構成的子集。核通常指示為“ker "T"”,或者:  因為線性變換保持零向量,"V" 的零向量0 必須屬於核。變換 "T" 是單射的,當且僅當它的核只是單元素集合 {0}。  ker "T" 顯然總是 "V" 的子空間。因此,它使談論商空間 "V"/(ker "T") 有意義。對向量空間的第一同構定理聲稱這個商空間自然同構於 "T" 的像(它是 "W" 的子空間)。作為結論,"V" 的維度等於核的維度加上像的維度。  如果 "V" 和 "W" 是有限維的向量空間,並且基已經選擇好了,則 "T" 可以用矩陣 "M" 描述,而這個核可以通過解齊次線性方程組 "M"v = 0 來計算。在這種表示中,核對應於 "M" 的零空間。零空間的維度叫做 "M" 的零化度(nullity)由 "M" 的縱列數減去 "M" 的秩得到,這是秩-零化度定理的結論。  解齊次微分方程經常涉及計算特定微分運算元的核。例如,為了找到從實數軸到自身的所有二次可微函式 "f" 使得 設 "V" 是二次可微函式的空間,設 "W" 是所有函式的空間,定義從 "V" 到 "W" 的線性運算元 "T" 為 對於在 "V" 中的 "f" 而 "x" 是任意實數。這個微分方程的所有解都在 ker "T" 中。  你可以用類似方式定義在環之上的模之間的同態的核。這包括了在阿貝爾群之間的同態的核作為特殊情況。這個例子捕捉了在一般阿貝爾範疇內的核的本質;參見核 (範疇論)。

  設 "G" 和 "H" 是群並設 "f" 是從 "G" 到 "H" 的群同態。如果 "e" 是 "H" 的單位元,則 "f" 的核是單元素集合 {"e"} 的前像;就是說,"G" 的由被 "f" 對映到元素 "e" 的所有 "G" 的元素構成的子集。核通常指示為“ker "f"”。或者:  因為群同態保持單位元素,"G" 的單位元素 "e" 必須屬於這個核。同態 "f" 是單射,當且僅當它的核只是單元素集合{"e"}。  ker "f" 明顯不只是 "G" 的子群,實際上還是正規子群。因此它使談論商群 "G"/(ker "f") 有意義。群的第一同構定理聲稱這個商群自然同構於 "f" 的像(它是 "H" 的子群)。  在阿貝爾群的特殊情況下,這以同前面章節的完全同樣的方式工作。
在歸入線性代數的各種數學分支中,同態的核測量同態不及於單射的程度。