Can you summarize the following document?
        
  "n" 階的阿達馬矩陣 "H" 滿足下面的式子 這裡 "I" 是 "n" × "n" 的單位矩陣。  假設 "M" 是一個 "n" 階的實矩陣,它的每個元素都是有界的  則存在阿達馬不等式:  當且僅當"M"是阿達馬矩陣式上式取等號。  阿達馬矩陣的階數必須是1、2,或者是4的倍數。

  阿達馬矩陣最初的構造的例子是由詹姆斯·西爾維斯特給出的。假設"H"是一個"n"階的阿達馬矩陣,則下面的矩陣 給出一個2"n"階的阿達馬矩陣。連續使用這個方法,我們可以給出下面的一系列矩陣: 利用這種方法,西爾維斯特成功地構造了任何2 階阿達馬矩陣,其中"k"為非負整數。  西爾維斯特給出的矩陣有些特殊的性質。他們都是對稱矩陣,並且這些矩陣的跡都是0。第一行和第一列的元素都是+1,其他各行各列的元素都是一半+1,一半-1。這些矩陣和Walsh函式有密切的關係。

  在阿達馬矩陣理論最重要的開放性問題(即尚且無法判斷對錯的問題)是存在性的問題。  即阿達馬猜想: 對於每個4的倍數 "n" = 4"k","k" 為自然數,都存在 "n" 階的阿達馬矩陣。  西爾維斯特構造法給出了階數為1, 2, 4, 8, 16, 32 等等的阿達馬矩陣,之後阿達馬本人給出了階數為12和20的阿達馬矩陣。雷蒙·巴雷隨後給出了任何"q"+1 階的阿達馬矩陣的方法,其中q 是任何模4為3的質數任意次冪。他也給出了形式為2("q"+1)的阿達馬矩陣的方法,其中q 是任何模4為1的質數任意次冪。他使用了有限域的辦法得出了這些結論。阿達馬猜想很可能就是Paley提出的。現在有了更多的構造阿達馬矩陣的辦法。  2004年6月21日,Hadi Kharaghani和Behruz Tayfeh-Rezaie宣佈構造出了428階的阿達馬矩陣。現在最小的尚未被構造出來的4k階阿達馬矩陣是668階。
在數學中,阿達馬矩陣(英語:Hadamard matrix)是一個方陣,每個元素都是 +1 或 −1,每行都是互相正交的。阿達馬矩陣常用於糾錯碼,如Reed-Muller碼。阿達馬矩陣的命名來自於法國數學家雅克·阿達馬。