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  設有矩陣:  formula_8  它的跡是:  formula_9 = 3 + 9 + 4 = 16

  

  給定一個環formula_10,跡是一個從係數在環中的formula_1矩陣的空間formula_12射到環formula_10之上的線性運算元。也就是說,對於任兩個formula_1的矩陣formula_2、formula_16和純量formula_17,都有:  更進一步來說,當formula_10是一個域時,跡數函式formula_21是formula_1矩陣的空間formula_12上的一個線性泛函。  由於一個矩陣formula_2的轉置矩陣formula_25的主對角線元素和原來矩陣的主對角線元素是一樣的,所以任意一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡:

  設"A"是一個formula_27矩陣,"B"是個formula_28矩陣,則:  其中formula_30是一個formula_1矩陣,而formula_32是一個formula_33矩陣。  上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明:  如果formula_2和formula_16都是formula_1的方形矩陣,那麼它們的乘積formula_30和formula_32也會是方形矩陣。因此,利用這個結果,可以推匯出:計算若干個同樣大小的方形矩陣的乘積的跡數時,可以迴圈改變乘積中方形矩陣相乘的順序,而最終的結果不變。例如,有三個方形矩陣formula_2、formula_16和formula_42,則:  但是要注意:  更一般地,乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣,只要某一個迴圈改變後的乘積依然存在,那麼得到的跡數依然會和原來的跡數相同。  另外,如果formula_2、formula_16和formula_42是同樣大小的方陣而且還是對稱矩陣的話,那麼其乘積的跡數不只在迴圈置換下不會改變,而且在所有的置換下都不會改變:

  跡數擁有相似不變性。如果矩陣formula_2和formula_16相似的話,它們會有相同的跡。這一性質可使上面講過的迴圈性質來證明:

  一個formula_1的方形矩陣formula_2的特徵多項式formula_58定義為formula_2減去formula_60倍的單位矩陣後所得到的矩陣的行列式:  formula_61 特徵多項式是一個關於formula_60的n次多項式,它的常數項是formula_2的行列式的值,最高次項是formula_64,而接下來的n-1次項就是formula_65,也就是說:  formula_66

  當係數域是代數閉域時(否則可以將係數域擴充套件到其代數閉包上來看),特徵多項式formula_58有n個根,它可以表達成:  formula_68  其中的formula_69是特徵多項式的不同的根,而formula_70是這些根在特徵多項式裡的重數,稱為代數重數。顯然,所有代數重數加起來等於n。一方面,特徵多項式的根就是矩陣的特徵值,而另一方面,藉由根與多項式係數的關係可以知道:特徵多項式的所有的根加起來等於矩陣的跡數。所以矩陣的跡數是矩陣的所有特徵值(按照代數重數計算)的和。  formula_71  如果將矩陣寫成它的若爾當標準型的話,也可以看出這一點,因為若爾當標準型的特徵多項式的所有的根(包括重根)就是對角線上的所有元素。  如果不區分相同或不同的特徵值的話,上述關係也可以寫成:  formula_72 其中的formula_73是矩陣的特徵值。 而且有:  formula_74

  設係數域為formula_75的formula_76是一個有限維的向量空間,維數是n。給定任一線性對映formula_77,可以定義此一對映的跡數為其變換矩陣的跡,即選定formula_76的一個基底並用對應於此基底的一個方形矩陣描述formula_79,再定義這個方形矩陣的跡數為formula_79的跡數。這個定義下formula_79的跡數和所選取的基無關:只需要注意到不同的基底的選取實際上等價於對變換矩陣做一次相似變換,而兩個相似的矩陣的跡數是一樣的。因此這樣的定義是自洽的。  另外一種定義涉及到行列式的性質。考慮formula_76的一個基底formula_83,以及函式:  formula_84  formula_85  根據行列式理論,這個函式也是一個行列式型的函式,也就是說存在一個只取決於formula_79的量formula_87,使得 formula_88 可以證明,這個純量formula_87就等於之前定義的formula_79的跡數。

  由跡的定義可知跡可以看作是矩陣的實標量函式,所以我們可以通過求實標量函式的梯度來求跡的梯度。
線上性代數中,一個formula_1的矩陣formula_2的跡(或跡數),是指formula_2的主對角線(從左上方至右下方的對角線)上各個元素的總和,一般記作formula_4或formula_5: 其中formula_7代表矩陣的第i行j列上的元素的值。一個矩陣的跡是其特徵值的總和(按代數重數計算)。