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  黎曼1859年在他的論文《""》中提及了這個著名的猜想,但它並非該論文的中心目的,他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函式的不平凡零點對稱地分佈在直線formula_9上,以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域formula_10中。  1896年,雅克·阿達馬和分別獨立地證明了在直線formula_11上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明了的其他特性,這顯示了所有不平凡零點一定處於區域formula_12上。這是質數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。  1900年,大衛·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中,與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎難題的。希爾伯特曾說,如果他在沉睡1000年後醒來,他將問的第一個問題便是:黎曼猜想得到證明了嗎?  1914年,高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線formula_13上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其它地方(而且有可能是最主要的零點)。後來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作(臨界線定理)也就是計算零點在臨界線formula_13上的平均密度。  近年來的工作主要集中於清楚的計算大量零點的位置(希望藉此能找到一個反例)以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界(希望能把上界降至零)。

  黎曼猜想傳統的表示式隠藏了這個猜想的真正重要性。黎曼ζ函式與質數的分佈有著深厚的連結。Helge von Koch在1901年證明了黎曼猜想等價於質數定理一個可觀的強化:給出任何formula_15,我們有  式中formula_17為質數計數函式,formula_18為formula_19 的自然對數,以及右手邊用上了大O符號。一個由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本,表示黎曼猜想等價於:formula_20。  黎曼ζ函式的零點與質數滿足一個稱為明確公式的對偶性,這表明了:在調和分析的意義下,黎曼ζ函式的零點可視為質數分佈的諧波。  將黎曼ζ函式代為更一般的L-函式,此時仍有相應的猜想:整體L-函式的非平凡零點的實部必等於formula_21。這被稱為廣義黎曼猜想。函式域上的廣義黎曼猜想已被證明,數域的情形仍懸而未決。

  黎曼猜想的實際用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被證明為真的命題,當中有些更被證明了跟黎曼猜想等價。其中一個就是以上素數定理誤差項的增長率。

  其中一個命題牽涉了默比烏斯函式formula_22。命題「等式  在formula_24的實部大於formula_4的時候成立,而且右邊項的和收斂」就等價於黎曼猜想。由此我們能夠總結出假如Mertens函式的定義為  那黎曼猜想就等價於對任何formula_15都有 這將會對於formula_29的增長給出了一個更緊的限制,因為即使沒有黎曼猜想我們也能得出  (關於這些符號的意思,見大O符號。)

  黎曼猜想等價於一些除formula_31以外一些積性函式增長率的猜想。例如,因子函式formula_32由下式給出:  那在formula_34的時候,  這名為Robin定理並在1984年以Guy Robin命名。另一個有關的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出,他證明了黎曼猜想等價於命題「對於任意自然數formula_36,  而formula_38為第formula_36個調和數formula_40。

  里斯判準由里斯在1916年給出,它斷言黎曼猜想等價於下式對所有formula_41成立 哈代稍後於1918年以波萊爾求和法及梅林變換證明了下式的積分表法。 其它相關的積性函式的增長率也具有與黎曼猜想等價的表述。  考慮二項式係數和 Báez-Duarte與Flajolet、Brigitte Vallée證明了黎曼猜想等價於對所有的formula_41下式成立  類似的還有以下級數 對此。Flajolet與Vepstas證明了黎曼猜想等價於對所有的formula_41下式成立 其中的formula_50是依賴於formula_51的某個常數。

  韋伊判準斷言某些函式的正定性等價於廣義黎曼猜想。與此相似的還有李判準,這斷言某些數列的正性等價於黎曼猜想。

  另外兩個跟黎曼猜想等價的命題牽涉了法裡數列。假如formula_52是法裡數列中的第formula_36項,由formula_54開始而終於formula_55,那命題「給出任何formula_56  」等價於黎曼猜想。在這裡formula_58是法裡數列中formula_36階項的數目。類似地等價於黎曼猜想的命題是「給出任何formula_60.

  黎曼猜想等價於群論中的一些猜想。舉例說,formula_62,是對稱群formula_63的所有元素的秩之中,最大的一個,也就是蘭道函式,則黎曼猜想等價於:對夠大的formula_36,下式成立:

  黎曼猜想等價於命題「formula_66的導函式formula_67在區域 上無零點。」 函式ζ在臨界線上只有單零點的充要條件是其導函式在臨界線上非零。所以若黎曼猜想成立,命題中的非零區域可以延伸為formula_69。這條進路帶來了一些成果。Norman Levinson將此條件加細,從而得到了較強的臨界線定理。

  一些比黎曼猜想強的猜想曾被提出,但它們有被否證的趨勢。Paul Turan證明了假如級數 當formula_71時沒有零點,則黎曼猜想成立,但Hugh Montgomery證明了這前提並不成立。另一個更強的默滕斯猜想也同樣被否證。

  

  黎曼猜想有各種比較弱的結果;其中一個是關於ζ函式於臨界線上的增長速度的林道夫猜想,表明了給出任意的formula_72,當formula_6趨向無限,  記第formula_36個素數為formula_76,一個由Albert Ingham得出的結果顯示,恩斯特·倫納德·林道夫(Ernst Leonard Lindelöf)猜想將推匯出「給出任意formula_72,對足夠大的formula_36有  不過這個結果比大素數間隙猜想弱,詳如下述。

  另一個猜想是大質數間隙猜想。哈拉爾德·克拉梅爾證明了:假設黎曼猜想成立,質數formula_80與其後繼者之間的間隙將會為formula_81。平均來說,該間隙的階僅為formula_82,而根據數值計算結果,它的增長率並不似黎曼猜想所預測的那麼大。

  過去的一百多年,許多數學家聲稱證明了黎曼猜想。截至2015年為止,尚有一些證明還未被驗證;但它們都被數學社群所質疑,多數專家並不相信它們是正確的。艾希特大學的Matthew R. Watkins為這些或是嚴肅或是荒唐的證明編輯了一份列表。其他一些證明可在arXiv資料庫中找到。  2018年9月24日邁克爾·阿蒂亞爵士聲稱證明黎曼猜想。他用精細結構常數作為一個主要成分用以證明,然而由於一個物理觀測數字能否用於純數學領域證明題產生爭議,而精細結構常數本身的由來理由還是謎團,且該數字是否全宇宙永恆不變有重大疑問,阿蒂亞爵士則主張「數學是物理學的理想化版本」所以兩領域之間的學問可以共通共享。導致本次證明以疑慮和失敗論點者居多無法使大部分數學家信服。

  由於黎曼猜想是有關二維變數(臨界線(critical line)上的虛數解和黎曼ζ函式中的自然數變數formula_36)的問題,故不但要考慮在二維變數下的情況,似乎還可以從更高維數(例如三或四維甚至更高維)變數的情況下來考慮問題。  另外,由於黎曼猜想從本質上來說是證明一個方程的非平凡的複數解必然是formula_84的形式(formula_85是實數,formula_7是虛數單位),因此應該與代數學是密不可分的;就是說,代數幾何、代數數論甚至代數拓撲等學科的知識是不可缺少的。如果能從上述幾個分支學科之間找到新的聯絡,以及對這些分支學科有進一步的新發現,那可能可以為證明黎曼猜想打下基礎,或為黎曼猜想的證明做好準備。

  長久以來,人們猜測黎曼猜想的「正解」是找到一個適當的自伴算符,再由實特徵值的判準匯出formula_66零點實部的資訊。在此方向上已有許多工作,卻仍未有決定性的進展。  黎曼ζ函式的統計學性質與隨機矩陣的特徵值有許多相似處。這為希爾伯特-波利亞猜想提供了一些支援。  在1999年,Michael Berry與Jon Keating猜想經典哈密頓函式formula_88有某個未知的量子化formula_89,使得下式成立 更奇特的是,黎曼ζ函式的零點與運算元formula_91的譜相同。正則量子化的情形則相反:正則量子化引致海森堡測不準原理formula_92,並使量子諧振子的譜為自然數。重點在於,所求的哈密頓算符應當是個閉自伴算符,方能滿足希爾伯特-波利亞猜想之要求。

  關於電腦計算上找尋ζ函式零點越多越好的嘗試,已經有一段很長的歷史了。其中一個出名的嘗試乃ZetaGrid,一個分散式計算的計劃,一天可檢查上十億個零點。這計劃在2005年11月終止。直至2006年沒有計算計劃成功找到黎曼猜想的一個反例,這一型類窮盡法的結果再次吻合了眾多科學家在「直覺」上認知黎曼猜想為真的傾向,但不能成為最終數學證明。  2004年,Xavier Gourdon與Patrick Demichel透過Odlyzko-Schönhage algorithm驗證了黎曼猜想的頭十兆個非平凡零點。而Michael Rubinstein給了公眾一個演算法去算出零點。
黎曼猜想(英語:Riemann hypothesis,RH)由德國數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題,有「猜想界皇冠」之稱,多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為: