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  實數域R上的正交群O("n",R)和特殊正交群SO("n",R)在不會引起誤會時經常記為O("n")和SO("n")。他們是"n"("n"-1)/2 維實緊李群。O("n",R)有兩個連通分支,SO("n",R)是單位分支,即包含單位矩陣的連通分支。  實正交群和特殊正交群有如下的解釋:  O("n",R)是歐幾里得群"E"("n")的子群,"E"("n")是R的等距群;O("n",R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 ("n" = 3)、超球面和所有球面對稱的物件的對稱群。  SO("n",R)是"E"("n")的子群,"E"("n")是“直接”等距,即保持定向的等距;SO("n",R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱物件的旋轉群。  取合適的正交基,等距是  的形式。這裡矩陣"R"...,"R"是2×2旋轉矩陣。  圓的對稱群是O(2,R),也稱為Dih(S),這裡S是模長1複數的乘法群。  SO(2,R) (作為李群)同構於圓S(圓群)。這個同構將複數exp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩陣  群SO(3,R),視為3維空間的旋轉,是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式  在代數拓撲方面,對"n" > 2,SO("n",R)的基本群是2階迴圈,而自旋群Spin("n")是其萬有覆疊。對"n" = 2基本群是無限迴圈而萬有覆疊對應於實數軸(旋量群Spin(2)是惟一的2重複疊)  李群O("n",R)和SO("n",R的李代數由斜對稱實"n"×"n"矩陣組成,李括號由交換子給出。這個李代數經常記為 o("n",R)或so("n",R)。

  保持R原點不動的同構,組成群O("3",R),能分成如下幾類:  特別地指出4階和5階正交群,在更寬泛的意義下6階也是,稱為反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

  作為保持距離的同構,正交變換也保角,從而是共形變換,但是不是所有的共形變換都是正交變換。R的線性共形對映構成的群記作CO("n"),由正交群和收縮的乘積給出。如果"n"是奇數,兩個子群不相交,他們是直積:formula_4;如果"n"是偶數,兩個子群的交是formula_5,所以這不是直積,但這是和正收縮子群的直積:formula_6。  我們可以類似地定義CSO("n"),這時總有formula_7。

  複數域C上,O("n",C)和SO("n",C)是C上"n"("n"-1)/2維的李群,這意味著實維數是"n"("n"-1)。O("n",C)有兩個連通分支,SO("n",C)是包含恆同矩陣的分支。當"n" ≥ 2時,這些群非緊。  和實情形一樣,SO("n",C)不是單連通的,對"n" > 2 SO("n",C)的基本群是2階迴圈群,而SO(2,C)的基本群是無窮迴圈群。  O("n",C)和SO("n",C)的復李代數由斜對稱復"n"×"n"矩陣組成,李括號由交換子給出。

  

  低維實正交群是熟悉的空間:  由於三維旋轉在工程中有重要應用,產生了很多SO(3)上的卡。

  正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關,從而一般是很難計算的。  但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群(也稱為有限正交群),定義為包含序列 的正向極限(因為包含都是閉包含,從而是上纖維化,也能理解成並)。  formula_10是formula_11的齊性空間,從而有如下纖維叢: 可以理解為:正交群formula_11 傳遞地作用於單位球面formula_10上,一點(看作一個單位向量)的穩定子群是其正交補的正交群,這是第一維的正交群。對映formula_15是自然包含。  從而包含formula_15是"(n-1)" -連通的,故同倫群穩定,對formula_17有formula_18,所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。  通過博特週期性定理,formula_19,從而"O"的同倫群以8為週期,即 formula_20,這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。

  通過,穩定空間"O"的同倫群和穩定球面上的向量叢等價(同構的意義下),提高一個維數:formula_22。  設formula_23(使得formula_24滿足週期性),我們得到:

  

  最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。  formula_28得出:

  由李群一般性事實,formula_32總消失,formula_33是自由阿貝爾群。

  從向量叢的觀點來看,formula_34是formula_35上的向量叢,具有兩個點。從而在每個點上,叢是平凡的,這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差,所以

  利用博特週期性中環路空間具體的描述,我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用formula_24、"O",以及"O/U"有兩個分支,formula_38和formula_39有formula_40個分支,其實是連通的。

  一小部分結論:  令formula_45,以及formula_46為射影線formula_47上的重複線叢,formula_48是其K-理論。注意到formula_49,這些得出相應球面上的向量叢,以及:

  正交群也能定義在有限域formula_58上,這裡formula_59是一個質數formula_60的冪。在這樣的域上定義正交群,偶數維時有兩類:formula_61和formula_62;奇數維有一類:formula_63。  如果formula_64是正交群formula_65作用的向量空間,它可以寫成正交直和:  這裡formula_67是雙曲線而formula_68不包含奇異向量。如果formula_69,那麼formula_65是正型別;若formula_71那麼formula_65有偶維數;若formula_68有維數2,則formula_65是負型別。  在"n" = 1的特例,formula_75是階為formula_76的二面體群。  當特徵大於2時,記O("n","q") = { "A" ∈ GL("n","q") : "A"·"A"=I }。關於這些群的階數我們有以下公式  如果formula_78是formula_79中的平方元素

  對偶數維正交群,迪克森不變數是從正交群到"Z"/2"Z"的同態,是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變數和行列式等價:行列式等於−1的迪克森不變數次冪。  在特徵2的域上,行列式總為1,所以迪克森不變數給出了額外的資訊。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變數為0的元素,而不是行列式為1。  迪克森不變數也能對所有維數的克利福德群和Pin群類似地定義。

  特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同:

  旋量模是一個從域"F"上正交群到域"F"的乘法群模去平方元素  的同態,將關於模長為"n"向量的反射映到"F"/"F"中的"n"。  旋量模對實數域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如實數域上不定二次型定義的正交群。

  代數群的伽羅瓦上同調理論,引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值,特別是二次型理論的聯絡; 但就目前所發現的現象而言,大部分都是“馬後炮”。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式(張量)可以與伽羅瓦"H"等同起來。作為一個代數群,正交群一般不是連通或單連通的;第二個觀點是引入自旋現象,但前一個和判別式相聯絡。  一個旋量模的“spin”名字可以用與自旋群(更準確地pin群)的一個聯絡來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦上同調(引入克利福德代數的術語)來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列: 這裡μ是單位根的代數群;在一個特徵非2的域上,粗略地看,和作用平凡的兩元素群相同。  從"H"(就是取值於"F"中點的群"O"("F"))到"H"(μ)的連線同態本質上是spinor模,因為 "H"(μ)同構於域模去平方元素的乘法群。  正交群的"H"到自旋群覆疊的核的"H"也存在連線同態。因上同調是非阿貝爾的,所以,至少用普通定義,這是我們能走得最遠的。

  物理中,特別是在Kaluza-Klein緊化領域,找出正交群的子群非常重要。主要結論如下: 正交群O(n)也是一些李群的重要子群:  群O(10)在超弦理論中非常重要,因為它是10維時空的對稱群。
數學上,數域"F"上的"n"階正交群,記作O("n","F"),是"F"上的"n"×"n" 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL("n","F")的子群,由