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  阿貝爾群的群運算子合交換律,因此阿貝爾群也被稱為交換群。它由自身的集合"G"和二元運算* 構成。它除了滿足一般的群公理,即運算的結合律、"G"有單位元、所有"G"的元素都有逆元之外,還滿足交換律公理  因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律,群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。  而群運算不滿足交換律的群被稱為“非阿貝爾群”,或“非交換群”。

  阿貝爾群有兩種主要運算子號—加法和乘法。  一般地說,乘法符號是群的常用符號,而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時,加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

  驗證有限群是阿貝爾群,可以構造類似乘法表的一種表格(矩陣),它稱為凱萊表。如果群"G" = {"g" = "e", "g",..., "g"}在運算⋅下,則這個表的第("i", "j")個表項包含乘積"g" ⋅ "g"。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的(就是說這個矩陣是對稱矩陣)。  這是成立的因為如果它是於阿貝爾群,則"g" ⋅ "g" = "g" ⋅ "g"。這蘊含了第("i", "j")個表項等於第("j", "i")個表項,就是說這個表示關於主對角線對稱的。

  矩陣即使是可逆矩陣,一般不形成在乘法下的阿貝爾群,因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是2x2 旋轉矩陣的群。

  阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名的,他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯絡的重要性。

  如果"n"是自然數而"x"是使用加號的阿貝爾群"G"的一個元素,則"nx"可以定義為"x" + "x" +... + "x"("n"個數相加)並且(−"n")"x" = −("nx")。以這種方式,"G"變成在整數的環Z上的模。事實上,在Z上的模都可以被識別為阿貝爾群。  關於阿貝爾群(比如在主理想整環Z上的模)的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下,這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如Z/"p"Z對於素數"p"的有限多個群的直和,而後者是有限多個Z的複本的直和。  如果"f", "g" : "G" → "H"是在阿貝爾群之間的兩個群同態,則它們的和"f" + "g",定義為("f" + "g")("x") = "f"("x") + "g"("x"),也是阿貝爾同態。(如果"H"是非阿貝爾群則這就不成立。)所有從"G"到"H"的群同態的集合Hom("G", "H")因此是自身方式下的阿貝爾群。  某種程度上類似於向量空間的維度,所有阿貝爾群都有秩。它定義為群的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩1。

  整數模以"n"的迴圈群Z/"n"Z是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限迴圈群的直和,並且這些階數是唯一確定的,形成了一個不變數(invariant)的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變數來直接描述。有關理論最初發展自費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文,後來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模,形成了線性代數的一個重要組成部分。

  有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群"G"都可以表達為素冪(prime-power)階的迴圈子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在"G"有零秩時的特殊情況。  "mn"階的迴圈群formula_2同構於formula_3與formula_4的直和,當且僅當"m"與"n"是互素的。可推出任何有限阿貝爾群"G"同構於如下形式的直和  以任何下列規範方式:  例如,formula_6可以被表達為3階和5階的兩個迴圈群的直和:formula_7。對於任何15階的阿貝爾群這也成立,導致了所有15階阿貝爾群都是同構的的顯著結論。  另一個例子,所有8階段阿貝爾群都同構於要麼formula_8(整數0到7在模8加法下),formula_9(奇數1到15在模16乘法下),要麼formula_10。  小於等於16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。

  可以應用基本定理去計數(有時確定)給定有限阿貝爾群"G"的自同構。要這麼做,可利用如果"G"分解為互素階的子群的直和"H" formula_11 "K",則Aut("H" formula_11 "K") formula_13 Aut("H") formula_11 Aut("K")的事實(這裡就不證明了)。  基本定理證明了要計算"G"的自同構群,分別計算西羅"p"子群的自同構群就足夠了(也就是所有的迴圈子群的直和,每個都有"p"的冪的階)。固定一個素數"p"並假設西羅"p"子群的迴圈因子的指數"e"是按遞增次序安排的:  對於某個"n" > 0。需要找到  的自同構。一個特殊情況是在"n" = 1的時候,此時在西羅"p"-子群"P"中只有唯一一個迴圈素數冪因子。在這個情況下可以使用有限迴圈群的自同構的理論。另一個特殊情況是在"n"為任意的但"e" = 1對於1 ≤ "i" ≤ "n"的時候。這裡考慮"P"為有著形式  所以這個子群的元素可以被看作構成了在"p"元素的有限域formula_18上的"n"維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換,因此  它早先證明了有階  在最一般情況下,這裡的"e"和"n"是任意的,自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義  並且  則有著特別的"d" ≥ "k", "c" ≤ "k",並且  可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階(參見[Hillar,Rhea])。
阿貝爾群(Abelian group)也稱為交換群(commutative group)或可交換群,它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序(交換律公理)的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名。