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  考慮一個會變形的物體(假設為連續體),若受到外力(可能是表面力或是物體力),物體的內部就會有力的分佈。物體內部的力會依循尤拉運動定律,正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體,其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。  在工程中(例如結構工程、機械工程或土力工程)會透過應力-應變分析來分析一物體中應力的的分佈,例如隧道中岩石的應力,飛機機翼的應力,或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分佈也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論,(假設為連續體的)物體中任何一點的應力(圖2),可以完全由二階張量種類的張量中的九個應力元素 formula_3完全決定,此二階張量稱為柯西應力張量, formula_4:  若確定了一物體在特定座標系統formula_6下的應力分佈,有可能需要知道特定一點formula_7相對另一個有旋轉的座標系統formula_8下的應力張量,也就是在需要關注的點,在特定角度下的的應力張量。而此座標系統formula_8和原有的座標系統formula_6之間有一個角度差(圖3)。例如,一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力,也需要知道其對應的方向。因此,需要發展一種張量轉換的方式,可以配合座標系統的旋轉得到新座標系統的張量。依照張量的定義,柯西應力張量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西應力張量轉換定律的方式。

  在二維下,一點formula_7相對於垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直座標系統formula_6下,其應力分量為:法嚮應力formula_13及formula_14,以及剪應力formula_15。由於角動量守恆,柯西應力張量會有對稱性,也就是formula_16,因此柯西應力張量可以寫成:  其目的是在另一個通過formula_7點,但存在角度差的座標系統formula_8下,找到應力分量formula_1及formula_2(圖4)。座標系統formula_8和原座標系統formula_6的角度差即為formula_24。

  要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程,先考慮一個位在位置formula_7的二維的無限小方形元素(圖4),和formula_26-formula_27平面平行。  利用無限小元素上的力平衡,正向應力formula_1及剪應力formula_2的大小為:  上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得,這和在formula_1及formula_2方向用力平衡計算是等效的。  這二個方程是莫爾圓的引數式。在方程中,formula_34為引數,而formula_1和formula_2為座標,因此表示若選擇適當的座標系統,使formula_1為橫軸,formula_2縱軸,給定引數formula_24,會給定在莫爾圓上的一點。  若從引數式中消去引數formula_34,可以得到非引數式的莫爾圓方程。可以用重組formula_1及formula_2的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊,二式平方後相加,可得  其中  這就是圓(莫爾圓)的方程  在formula_46座標系統中,其半徑formula_47,圓心在座標formula_48處。

  在使用莫爾圓時,需考慮兩組分別的符號體系,一個是針對實體空間下應力分量的符號體系,另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外,工程力學(結構工程及機械工程)文獻用的體系和地質力學用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系,是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。  上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系,以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

  為了描述柯西應力張量的方便(圖3及圖4),應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面,第二個下標表示應力分量的方向。因此formula_15是作用在以formula_50軸正向為其法向量的平面上,而方向是往formula_26軸的正方向。  在實體空間符號體系,正的正向應力是由作用平面往外(張力),負的正向應力是由作用平面往內(壓縮力)(圖5)。  在實體空間符號體系中,正剪應力在法向量為正的材料元素平面上,其作用方向會往軸的正方向,同樣的,正剪力在法向量為負的材料元素平面上,其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力formula_15和formula_53為正,因為這二個剪應力的作用方向往formula_26軸及formula_50軸的正方向(圖3)。而相對應的作用在負向平面的剪應力formula_15和formula_53,其作用方向往formula_26軸及formula_50軸的負方向,因此這二個剪應力也為正。

  在莫爾圓空間符號體系中,應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同:正的正向應力是由作用平面往外(張力),負的正向應力是由作用平面往內(壓縮力)  不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中,正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉,而負的正的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中,剪應力分量formula_15為正,而formula_53為負。這和實體空間符號體系中formula_15和formula_53符號相同的情形不同。  在繪製莫爾圓時,有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓:  將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時,旋轉方向是順時針旋轉,這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方,這會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時,旋轉方向是逆時針旋轉,類似實體空間符號體系的情形。  為了克服剪應力軸往下才是正向的問題,有另外一種「替代的」符號體系,其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉,而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉(圖5,符號體系#3)。在「替代」體系下,正的剪應力軸往上,而且在莫爾圓上formula_34為正值時,旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5,符號體系#2中的相同,因為正的剪應力formula_64也是會逆時針旋轉的剪應力,也畫在下方。而負的剪應力formula_64也是會順時針旋轉的剪應力,也畫在上方。  此條目在實體空間符號體系中,會依照工程力學的符號體系,而在莫爾圓空間中,會使用「替代的」符號體系(圖5,符號體系#3)。

  假設已知待研究物體上的點formula_7的應力分量formula_13、formula_14及formula_15,如圖4所示。以下方法可以繪製點formula_7的莫爾圓,以表示其應力狀態。

  主要應力的大小是點formula_89和點formula_90(圖6中圓和 formula_91軸的交點)中的橫座標。最大正向應力formula_92的大小恆為這二個橫座標中最大的那一個,而formula_93最小正向應力的大小的大小恆為這二個橫座標中最小的那一個。這二個點的縱座標為0,對應在主要平面上的剪應力為零,主要應力的大小也可以表示為  其中平均正向應力formula_96的大小是圓心formula_86的橫座標,為  其半徑的長度formula_99為

  最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱座標。這二個點是圓和通過圓心formula_86的垂直線的交點。因此,最大和最小剪應力的大小為圓的半徑formula_99

  如前面所述,在二維應力分析後,可以知道在材料某一點formula_7上的應力分量formula_13、formula_14及 formula_15。這些應力分量作用在通過formula_7點的二垂直平面 formula_109 及 formula_82,如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上formula_111的應力分量formula_1及formula_2,事實是作用在formula_111平面上,此平面也通過formula_7點,和formula_82平面有夾角formula_24,計算應力分量有二種方式:倍角法以及平面原點法(origin of planes)

  如圖6所示,若平面formula_111是平面formula_82再逆時針旋轉角度formula_24後的平面,要找到在平面formula_111上的應力分量formula_122,可以在莫爾圓上從已知應力點 formula_80同樣以逆時針旋轉,但旋轉角度 formula_34,旋轉到點formula_125,也就是讓formula_126線和formula_127線之間的夾角是formula_34。  倍角法的作法源自於通過formula_7點的二實際平面之間的夾角formula_24(圖4),是其對應應力點 formula_122在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。  倍角關係是因為莫爾圓的引數式是formula_34的函式。也可以從在材料點 formula_7上的平面formula_81和formula_82夾角是90度,而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出(90度的兩倍)。

  第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點,稱為極點(pole)或是平面原點(origin of planes)。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交,交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量formula_136及formula_137,可以畫一條線通過莫爾圓上的 formula_1和formula_2,且和平面平行,找到莫爾圓上這些線的交點,即為極點。例如,假設有應力狀態如圓7所示,其分量是formula_140, formula_141及formula_142。首先先從formula_82點畫一條線,平行formula_13的作用平面,或是從formula_81點畫一條線,平行formula_14的作用平面,任一條線都會和莫爾圓交會,交會的點即為極點。在找到極點後,若要找到和垂直有formula_147夾角的平面上的應力,可以從極點畫一條平行該平面的線(見圖7)。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。

  最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面(principal planes),可以用莫爾圓中 的∠BOC及∠BOE判斷,然後將二個角度都取一半。因此formula_148和formula_149之間的夾角是角∠BOC,是formula_150(主要平面和平面formula_82夾角)角度的二倍。  而formula_152和formula_153也可以用以下的方程取得  此方程的解會是二個角度,彼此相差formula_155。可以直接用圓的幾何求解此方程,或是用圓的引數式,並且讓formula_64等於零(主要平面上的剪應力為0)。

  若要繪製三維應力下的莫爾圖,需要先量測其主應力的大小formula_157以及方向formula_158。  考慮以主應力軸為座標系統,而不是用formula_159, formula_160, formula_161座標系統,並且假設formula_162,則在一法向量為 formula_163的平面,其應力向量formula_164的應力分量及剪力分量會滿足下式  由於formula_167,可以用高斯消去法求解formula_168, formula_169, formula_170:  因為formula_162及formula_173都不是負值,因此其分子滿足  方程式可以寫成  是三個應力莫爾圓formula_184, formula_185和formula_186的方程,其半徑分別是formula_187, formula_188及formula_189,而其圓心分別在formula_190, formula_191, formula_192。  有了上述三個應力莫爾圓的方程,所有可能的應力點formula_122都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域(見圖10)。應力點formula_122 可能滿足圓formula_184的方程,或是在圓formula_184的外面,可能滿足圓formula_185的方程,或是在圓formula_185的裡面,可能滿足圓formula_186的方程,或是在圓formula_186的外面。
莫爾圓(Mohr's circle)得名自德國土木工程師克里斯汀·奧圖·莫爾,是一種用二維方式表示柯西應力張量轉換關係的圖。