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  formula_3. 其中 formula_4 而且 formula_5 是一個質數,formula_6.  這種表示的方法存在,而且是唯一的。

  算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說,歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題:若質數formula_7,則不是 formula_8,就是formula_9。然而,在歐幾里得的時代,並沒有發展出冪運算和指數的寫法,甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的,所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

  用反證法:假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積,把最小的那個稱為n。  自然數可以根據其可除性(是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積)分成3類:質數、合數和1。首先,按照定義,formula_10大於1。其次,formula_10不是質數,因為質數formula_12可以寫成質數乘積:formula_13,這與假設不相符合。因此formula_10只能是合數,但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設formula_15,其中formula_16和formula_17都是介於1和formula_10之間的自然數,因此,按照formula_10的定義,由於n是大於1的自然數而不能寫成質數的乘積中最小的數,formula_16和formula_17都可以寫成質數的乘積。從而formula_15 也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

  歐幾里得引理:若質數formula_7,則不是 formula_8,就是formula_9。  引理的證明:若formula_26 則證明完畢。若formula_27,那麼兩者的最大公約數為1。根據貝祖定理,存在formula_28 使得formula_29。於是formula_30。 由於formula_7,上式右邊兩項都可以被"p"整除。所以formula_9。  再用反證法:假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積,那麼假設formula_10是最小的一個。  首先formula_10不是質數。將formula_10用兩種方法寫出:formula_36 。根據引理,質數formula_37,所以formula_38 中有一個能被formula_39整除,不妨設為formula_40。但formula_40也是質數,因此formula_42 。所以,比formula_10小的正整數formula_44也可以寫成formula_45 。這與"formula_10" 的最小性矛盾!  因此唯一性得證。

  在一般的數域中,並不存在相應的定理;事實上,在虛二次域 formula_47 之中,只有少數幾個能滿足,最大的一個 formula_48 是 formula_49。例如,formula_50可以以兩種方式在 formula_51 中表成整數乘積:formula_52 和 formula_53。同樣的,在分圓整數中一般也不存在唯一分解性,而這恰恰是人們在證明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。  歐幾里得在普通整數 formula_54 中證明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積,高斯則在復整數 formula_55 中得出並證明,只要不計四個可逆元素 formula_56 之作用,那麼這個唯一分解定理在 formula_55 也成立。高斯還指出,包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

  對於二次方程:formula_58,它的根可以表示為: formula_59  因為負數不能開平方,formula_60的符號就很重要,如果為正,有兩個根;如果為0,只有一個根;如果為負,沒有實根。尤拉的素數公式:formula_61 formula_62 兩個複數解為: formula_63  formula_64哪個formula_65值可以得到唯一分解定理? formula_66皆可得到定理,但當formula_67時不能。因為在這個數系中6這個數有兩種形式的因子分解(分解至不可分約的情形)。 formula_68;formula_69。在高斯時代,已知有9個formula_65使得formula_64所產生的數有唯一因子分解(formula_16,formula_17如上面指出那樣取值)。 formula_74高斯認為formula_65的數量不會超過10個,但是沒有人能夠證明。 1952年,業餘數學家,退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納(Kurt Heegner)發表了他的證明,聲稱第10個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之後才知道這個定理:麻省理工學院的斯塔克(Harold Stark)和劍橋大學的阿蘭貝克(AlanBaker)獨立用不同方法證明了第10個formula_65值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作,發現他的證明是正確的。 為了紀念長期被忽視的希格內爾,上述的9個數被稱為黑格納數,一些曲線上的點被命名為希格內爾點。 參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。
算術基本定理,又稱為正整數的唯一分解定理,即:每個大於1的自然數,要麼本身就是質數,要麼可以寫為2個或以上的質數的積,而且這些質因子按大小排列之後,寫法僅有一種方式。