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  讓函式 formula_1 為定義在區間 的非負函式,我們想要計算 formula_2所代表的曲線與 formula_3座標軸跟兩條垂直線 formula_4 跟 formula_5 所夾圖形的面積(既右圖區域 的面積),可將區域 的面積以下面符號表示:  黎曼積分的基本概念就是對 "x"-軸的分割越來越細,則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 的面積(參考右方第二張圖)。同時請注意,如函式為負函式, formula_7,則其面積亦為負值。

  

  一個閉區間formula_8的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列formula_9。每個閉區間formula_10叫做一個子區間。定義formula_11為這些子區間長度的最大值:formula_12,其中formula_13。  再定義取樣分割。一個閉區間formula_8的一個取樣分割是指在進行分割formula_9後,於每一個子區間中formula_10取出一點formula_17。formula_11的定義同上。  精細化分割:設formula_19以及formula_20構成了閉區間formula_8的一個取樣分割,formula_22和formula_23是另一個分割。如果對於任意formula_24,都存在formula_25使得formula_26,並存在formula_27使得formula_28,那麼就把分割:formula_22、formula_23稱作分割formula_19、formula_20的一個精細化分割。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上新增一些分點和標記。  於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更“精細”。

  對一個在閉區間formula_8有定義的實值函式formula_1,formula_1關於取樣分割formula_19、formula_20的黎曼和(積分和)定義為以下和式:  和式中的每一項是子區間長度formula_39與在formula_40處的函式值formula_41的乘積。直觀地說,就是以標記點formula_40到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。

  不太嚴格地來說,黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候,黎曼和趨向的極限。下面的證明中,會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。  要使得“越來越‘精細’”有效,需要把formula_11趨於0。如此formula_10中的函式值才會與formula_41接近,矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上,這就是黎曼積分定義的大概描述。  嚴格定義如下:formula_46是函式formula_1在閉區間formula_8上的黎曼積分,當且僅當對於任意的formula_49,都存在formula_50,使得對於任意的取樣分割formula_19、formula_20,只要它的子區間長度最大值formula_53,就有:  也就是說,對於一個函式formula_1,如果在閉區間formula_8上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函式formula_1的黎曼和都會趨向於一個確定的值,那麼formula_1在閉區間formula_8上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限,這時候稱函式formula_1為黎曼可積的。  這個定義的缺陷是沒有可操作性,因為要檢驗所有formula_53的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義,然後證明它們是等價的。  另一個定義: formula_46是函式formula_1在閉區間formula_8上的黎曼積分,當且僅當對於任意的formula_49,都存在一個取樣分割formula_19、formula_20,使得對於任何比其“精細”的分割formula_22 and formula_23,都有:  這兩個定義是等價的。如果有一個formula_46滿足了其中一個定義,那麼它也滿足另一個。首先,如果有一個formula_46滿足第一個定義,那麼只需要在子區間長度最大值formula_53的分割中任取一個。對於比其精細的分割,子區間長度最大值顯然也會小於formula_74,於是滿足  其次證明滿足第二個定義的formula_46也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念,第二個定義和達布積分的定義是等價的,具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割formula_19使得它的上達布和與下達布和都與formula_46相差不超過formula_79。令formula_80等於formula_81,其中formula_82和formula_83是formula_1在formula_85上的上確界和下確界。再令formula_74是formula_87和formula_88中的較小者。可以看出,當一個分割的子區間長度最大值小於formula_74時,formula_1關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差formula_79,所以和formula_46至多相差formula_93。  由於以上原因,黎曼積分通常被定義為達布積分(即第二個定義),因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。

  由於一個函式的黎曼積分是一個實數,因此在固定了一個區間formula_8後,將一個黎曼可積的函式設到其黎曼積分的對映formula_101是所有黎曼可積的函式空間上的一個線性泛函。  無論"a"、"b"、"c"之間的大小關係如何,以上關係式都成立。

  黎曼積分可推廣到值屬於formula_123維空間formula_124的函式。積分是線性定義的,即如果formula_125,則formula_126。特別地,由於複數是實數向量空間,故值為複數的函式也可定義積分。  黎曼積分只定義在有界區間上,擴充套件到無界區間並不方便。可能最簡單的擴充套件是通過極限來定義積分,即如同反常積分(improper integral)一樣。我們可以令  不幸的是,這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函式向左或向右平移,它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。例如,令formula_128若formula_129,formula_130,formula_131若formula_132。則對所有formula_3  但如果我們將formula_2向右平移一個單位得到formula_136,則對所有formula_137,我們得到  由於這是不可接受的,我們可以嘗試定義:  此時,如果嘗試對上面的formula_1積分,我們得到formula_141,因為我們先使用了極限formula_142。如果使用相反的極限順序,我們得到formula_143。  這同樣也是不可接受的,我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足,依然不是我們想要的,因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如,令formula_144在formula_145上,其它域上等於0。對所有formula_123,formula_147。但formula_148一致收斂於0,因此formula_149的積分是0。因此formula_150。即使這是正確的值,可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。  一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴充套件這點看上去並不是顯而易見,但不難證明每個黎曼可積函式都是勒貝格可積的,並且當二者都有定義時積分值也是一致的。  事實上黎曼積分的一個直接擴充套件是Henstock–Kurzweil積分。  擴充套件黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子formula_151,粗略地說,這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。
在實分析中,由黎曼創立的黎曼積分(英語:Riemann integral)首次對函式在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼-斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。