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  在一維諧振子問題中,一個質量為"m"的粒子,受到一位勢formula_1。此粒子的哈密頓算符為  其中"x"為位置算符,而"p"為動量算符formula_3。第一項代表粒子動能,而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定態薛定諤方程式」:  在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數方法。可以見到有一族的解:  前8個解("n" = 0到5)如右圖。函式formula_7為埃爾米特多項式:  注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作"H"。相應的能階為  值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即formula_10乘以1/2, 3/2, 5/2......等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當"n" = 0)不為零,而是formula_11,被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的,不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。  注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

  前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更復雜的問題,尤其是在量子場論中。跟從此方法,定義算符"a"與其伴隨算符(adjoint)"a":  算符"a"並非厄米算符(Hermitian),以其與伴隨算符"a"並不相同。  算符"a"與"a"有如下性質:  在推導"a"形式的過程中,已用到算符"x"與"p"(代表可觀測量)為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:  利用上面關係,可以證明如下等式:  現在,讓formula_17代表帶有能量"E"的能量本徵態。任何右括向量(ket)與自身的內積必須是非負值,因此  將"a""a"以哈密頓算符表示:  因此formula_20。注意到當(formula_21)為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而formula_22。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態("n" = 0)。  利用上面等式,可以指出"a"及"a"與"H"的對易關係:  因此要是(formula_21)並非零右括向量,  類似地,也可以指出  換句話說,"a"作用在能量為"E"的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 formula_27的本徵態,而"a"作用在能量為"E"的本徵態,產生出另一個能量為formula_28的本徵態。因為這樣,"a"稱作降算符而"a"稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中,"a"與"a"也分別稱作消滅算符與創生算符,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。  給定任何能量本徵態,可以拿降算符"a"作用在其上,產生了另一個能量少了formula_29的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到"E" = −∞。不過這樣就就與早先的要求formula_20相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作formula_31(勿與零右括向量混淆),使得  在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了  最後,透過將升算符作用在formula_31上,並且乘上適當的歸一化因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合formula_36使得  這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函式。只要將消滅算符作用於基態,formula_38變為  所以,  這個方程式的解為,經過歸一化,

  量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以formula_29為單位來測量能量,以及formula_43為單位來測量距離,則薛定諤方程式變成:  且能量本徵態與本徵值變成  為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。

  在雙原子分子中,自然頻率可以發現為: 其中

  一維諧振子很容易地推廣到formula_50維。在一維中,粒子的位置是由單一座標"x"來指定的。在formula_50維中,這由formula_50個位置座標所取代,以formula_53標示。對應每個位置座標有個動量,標示為"p",..., "p"。這些算符之間的正則對易關係為  系統的哈密頓算符為  從這個哈密頓量的形式,可以發覺,formula_50維諧振子明確地可比擬為formula_50個質量相同,彈性常數相同,獨立的一維諧振子。在這案例裡,變數formula_53是formula_50個粒子的位置座標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性,允許位勢被分離為formula_50個專案,每一個專案只跟一個位置座標有關。  這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數formula_61,一個formula_50維諧振子的能量本徵函式formula_63等於formula_50個一維本徵函式formula_65的乘積:  採用階梯算符方法,定義formula_50組階梯算符,  類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個formula_70與formula_71算符將能量分別降低或升高formula_10。哈密頓量是  這量子系統的能階formula_74是  其中,正整數formula_76是formula_77的量子數。  如同一維案例,能量是量子化的。formula_50維基態能階是一維基態能階的formula_50倍。只有一點不同,在一維案例裡,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在formula_50維案例裡,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併的,都對應於多個量子態。  簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定formula_81。每一個formula_82相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予formula_82,首先選擇一個formula_84。那麼,formula_85,有formula_86個值,從formula_87到formula_88,可以選擇為formula_89的值。formula_90的值自動的設定為formula_91。因此,簡併度是  對於formula_50維案例,

  球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裡的方法,只有球對稱位勢不一樣:  其中,formula_96是這問題的質量。由於formula_97會被用來標記磁量子數,所以,用formula_96來標記質量。  這問題的薛定諤方程式為  薛定諤方程式的全部解答寫為 其中,  能量本徵值是  能量通常可以用一個量子數formula_82來描述:  由於formula_104是個正整數,假若formula_82是偶數,那麼,角量子數也是偶數:  假若formula_82是奇數,那麼,角量子數也是奇數:  磁量子數formula_97滿足不等式  對於每一個formula_82與formula_119,存在formula_120個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數formula_97。因此,formula_82的兼併度是  其中,總和的指數formula_119的初始值是formula_125。  這結果與先前的方程式相同。

  設想formula_50個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為formula_53(也就是說,假若一個質點formula_104位於其平衡點,則formula_129)。整個系統的哈密頓量是  其中,formula_131。  這個問題可以用座標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裡,這方面的理論對於許多現象的研究與瞭解是非常重要的。
在量子力學裡,量子諧振子(英語:quantum harmonic oscillator)是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者,因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。