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  代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算(通常稱之為“加法”、“乘法”)的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律,完全可逆,同時乘法對加法滿足分配律(詳細定義參見域)。域的一個重要的例子是有理數域formula_1。  域的擴張研究各類域之間的關係,最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域中加入不屬於此域的元素(一般以集合紀錄),規定相互間的運演算法則後,“最小的”將它們都包含在內的域稱為“(新增中元素得到)的擴域”。稱是的子域。一般將“到的域擴張”記作⊂或/。  另一個基礎概念是向量空間。向量空間,特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣(具體定義參見向量空間條目)。以某個域為係數域的向量空間(通常稱作上的向量空間或向量空間),其中的向量除了可以相加減,還可以乘以中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件,稱為空間的基。選定了空間的基以後,空間裡的任何向量都可以表達為以中元素組成的有序陣列:formula_4。其中的是基中向量的個數,也稱為空間的維數。  設是域的一個擴域。將中的元素看作向量,以作為係數域,可以證明是一個向量空間。如果這個向量空間是有限維的,就稱是的有限擴張。作為向量空間的維數,稱為擴張的次數,記作 : 。

  若域是有理數域formula_1的有限擴張,則稱之為代數數域。

  最小最基本的代數數域是有理數域formula_1。因為formula_1自身是formula_1向量空間,維數是1。因此formula_1是formula_1自身的域擴張,formula_11  高斯有理數formula_12(為虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子,它是所有形同: 的數構成的集合。可以證明,formula_12是域,而且是formula_1向量空間,以formula_16為基,空間維數是2。所以formula_12是formula_1的二次擴張,formula_19  給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數,二次域formula_20在formula_1中新增的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似,可以證明formula_20是formula_1向量空間,以formula_24為基,空間維數是2,即formula_25  考慮多項式方程formula_26的個復根formula_27,它們被稱做次單位根,具體可以寫作: 在formula_1中新增formula_27得到的擴域稱為次分圓域,記作formula_31。可以證明formula_31是有限維formula_1向量空間,維數為formula_34(formula_35是數論中的尤拉函式),即formula_36  實數域formula_37、複數域formula_38和進數域formula_39都不是formula_1的有限擴張,因此都不是代數數域。任何有限域都不是formula_1的擴域,因此也不是代數數域。  全體規矩數構成的域formula_42和全體代數數構成的域formula_43(有時也被簡稱為代數數域,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是formula_1的有限擴張,因此都不是代數數域。

  代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式(不是零多項式)的根的數。顯然所有的有理數都是代數數。給定一個代數數域,依定義,域擴張formula_45是有限擴張。設其次數為正整數。將看作是維formula_1向量空間,在中任意選一個不屬於formula_1的數,它可以被看作是維formula_1向量空間中的一個(非零)向量。考慮以下的 + 1個向量: 它們都屬於。根據向量空間的性質,它們是線性相關的。即存在不全為零的 + 1個有理數:formula_50,使得: 考慮非零多項式formula_52,formula_53,即是多項式formula_54的根。所以是代數數。由上可知,任一代數數域的元素都是代數數。

  代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數都是一次整係數多項式的根,因此是代數整數。給定代數數域,中所有代數整數構成一個環,稱作中的(代數)整數環,也稱為整數環,記作formula_55。例如formula_1上的代數整數環就是formula_57,因此在代數數域研究中formula_57也被稱作“有理整數”(有理數域中的整數),以區別於其餘的代數整數。  代數數域中的整數環formula_55與formula_57有不同的代數性質。formula_55不一定是唯一分解整環。舉例來說,設formula_62,中的整數環是formula_63。formula_64都是formula_55中的“素數”。正整數6,作為formula_55中的元素,它的素因數分解有兩種方式: 有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補,由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是:formula_55的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積,即為戴德金整環。這種“理想的唯一素分解”可部分彌補“代數整數一般不能唯一素因子分解”的不足,在歷史上使代數數論發展起來。

  

  設為次代數數域,的整數基是任一由個整陣列成的集合: 使得任一個整數都能唯一地表示為這個整數的整線性組合,即: 換句話說,整數基是formula_55作為自由formula_57模的基。給定的一組整數基,可以證明,所有中元素都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合,即: 這說明是作為維formula_1向量空間的一組基。而且由於中元素都是整數,故名為整數基。此外可以證明,是整數當且僅當所有formula_77都是有理整數。

  設為次代數數域。作為維formula_1向量空間,包含如下形式的基: 其中每個元素都是某個特定的數的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理,這樣的一定存在,稱為域擴張formula_80的本原元。如果不僅是本原元,還是整數,那麼這時也是整數基,稱作乘冪整數基,稱為單衍域(英語:monogenic field)。
代數數域是數學中代數數論的基本概念,數域的一類,有時也被簡稱為數域,指有理數域formula_1的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作formula_1上的有限維向量空間。