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  設 為質數冪, 為多項式 於質數域 上的分裂域。換言之, 是最低階的有限域,使得 在 內有 個互異的根(注意 的形式導數為 formula_6,因此 無重根)。  利用二項式定理,可證恆等式 在特徵為 的域上成立。此恆等式說明 任兩根之和或積仍為 的根。同時, 的根的乘法逆元仍是根,因此 的根構成一個 階的域。由 的最小性,可知此域即為 。  由於分裂域在同構意義下唯一, 階域也在同構意義下唯一(已證其為 formula_5 的分裂域)。而且,若域 有一個階為 formula_9 的子域,則其元素恰為 formula_10 的 個根,所以 不能包含另一個階為 的子域。  E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理,可作為本節的總結:  由此可知, 有同構於 的子域當且僅當 整除 ;該情況下,僅有唯一的子域與 同構。多項式 整除 也是當且僅當 整除

  設 為質數, 為質數冪。  在 中,恆等式 說明對映 是 上 -線性的域自同構,其保持子域 的元素。該對映稱為弗羅貝尼烏斯自同構,得名於費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯。  記 為 的 次迭代,則 此前已證明 為恆同對映。若, 則自同構 並非恆同對映,否則多項式 就有多於 個根,矛盾。  此外 並無其他 -自同構。換言之, 恰有 個 -自同構,其為  以伽羅瓦理論觀之, 是 的伽羅瓦擴充套件,且其伽羅瓦群為迴圈群。  弗羅貝尼烏斯對映為滿射,因此任意一個有限域都是完美域。

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在數學中,有限域(英語:finite field)或伽羅瓦域(英語:Galois field,為紀念埃瓦里斯特·伽羅瓦命名)是包含有限個元素的域。與其他域一樣,有限域是進行加減乘除運算都有定義並且滿足特定規則的集合。有限域最常見的例子是當 為素數時,整數對 取模。