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  在古典代數幾何中,主要的研究物件是一組多項式的公共零點集,即同時滿足一個或多個多項式方程的所有點組成的集合。 例如,在三維歐幾里德空間formula_1中的單位球面被定義為滿足方程  的所有點formula_3的集合。  一個 "傾斜的" 圓周在三維歐幾里德空間formula_1中可以被定義為同時滿足如下兩個方程  的所有點formula_3的集合。

  現在我們開始進入稍微抽象的領域。考慮一個數域 formula_8,在古典代數幾何中這個域通常是複數域formula_9,現在我們把它推廣為一個代數封閉的數域。我們定義數域formula_8上的formula_11維仿射空間formula_12,簡單講來,它只是一些點的集合,以下為方便我們簡記為formula_13。  如果函式 可以被寫為多項式,即如果有多項式formula_15在 對formula_13上的每個點 都有 formula_11維仿射空間的正則函式正是數域formula_8上formula_11個變數的多項式。我們將formula_13上的正則函式記為 formula_24。

  拓撲場論是數學物理中對sigma 模型(sigma model)的場做路徑積分量子化的理論。  sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的對映,再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中對映部分被稱為玻色場(boson field),截面部分被稱為費米場(fermi field)。該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函式 (partition function)。  在一些特殊情況下,可以用區域性化方法把配分函式原在無限維空間的積分化簡為在有限維空間的積分。對不同的作用量(action)而言,這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論,包括:  IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

  經典教科書,先於概形:  不使用概形的語言的現代教科書:  關於概形的教科書和參考書:  網際網路上的資料:
代數幾何(英語:algebraic geometry)是數學的一個分支,經典代數幾何研究多項式方程的零點。現代代數幾何將抽象代數,尤其是交換代數,同幾何學的語言和問題結合起來。