Can you summarize the following document?
        
  一般情況下,若「傅立葉變換」一詞不加任何限定語,則指的是「連續傅立葉變換」(連續函式的傅立葉變換)。定義傅立葉變換有許多不同的方式。本文中採用如下的定義:(連續)傅立葉變換將可積函式formula_10表示成復指數函式的積分或級數形式。  自變數"x"表示"時間"(以秒為單位),變換變數"ξ"表示頻率(以赫茲為單位)。在適當條件下,formula_1可由逆變換(inverse Fourier transform)由下式確定formula_2:  傅立葉逆定理提出formula_2可由formula_1確定,傅立葉在其1822年出版的著作《熱分析理論》()中首次引入這個定理。雖然現在標準下的證明直到很久以後才出現。formula_2和formula_18常常被稱為"傅立葉積分對" 或"傅立葉變換對"。

  傅立葉變換源自對傅立葉級數的研究。在對傅立葉級數的研究中,複雜的周期函式可以用一系列簡單的正弦、餘弦波之和表示。傅立葉變換是對傅立葉級數的擴充套件,由它表示的函式的週期趨近於無窮。

  英語:Fourier transform或中文較常用的翻譯名稱有傅立葉變換、傅立葉轉換等。為方便起見,本文統一寫作傅立葉變換。

  傅立葉變換在醫學、資料科學、物理學、聲學、光學、結構動力學、量子力學、數論、組合數學、概率論、統計學、訊號處理、密碼學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。例如在訊號處理中,傅立葉變換的典型用途是將訊號分解成振幅分量和頻率分量。

  

  兩函式之和的傅立葉變換等於各自變換之和。數學描述是:若函式formula_19和formula_20的傅立葉變換formula_21和formula_22都存在,formula_23和formula_24為任意常係數,則formula_25;傅立葉變換算符formula_26可經歸一化成為么正算符。

  若函式formula_19存在傅立葉變換,則對任意實數formula_28,函式formula_29也存在傅立葉變換,且有formula_30。式中花體formula_26是傅立葉變換的作用運算元,平體formula_32表示變換的結果(複函式),formula_33為自然對數的底,formula_34為虛數單位formula_35。

  若函式formula_19當formula_37時的極限為0,而其導函式formula_38的傅立葉變換存在,則有formula_39,即導函式的傅立葉變換等於原函式的傅立葉變換乘以因子formula_40。更一般地,若formula_41,且formula_42存在,則formula_43,即"k"階導數的傅立葉變換等於原函式的傅立葉變換乘以因子formula_44。

  若函式formula_19及formula_46都在formula_47上絕對可積,則卷積函式formula_48(或者formula_49)的傅立葉變換存在,且formula_50。卷積性質的逆形式為formula_51,即兩個函式卷積的傅立葉逆變換等於它們各自的傅立葉逆變換的乘積乘以formula_52。

  若函式formula_19可積且平方可積,則formula_54。其中formula_55是formula_56的傅立葉變換。  更一般化而言,若函式formula_19和formula_46皆為平方可積函式,則formula_59。其中formula_55和formula_61分別是formula_56和formula_63的傅立葉變換, formula_64代表複共軛。

  傅立葉變換也可以寫成角頻率形式: 其單位是弧度每秒。  應用ξ=ω/(2π)到上述公式會成為下面的形式:  根據這一形式,(傅立葉)逆變換變為:  若不按照本文中使用的,而像這樣定義傅立葉變換,那它將不再是"L"(R)上的一個麼正變換 。另外這樣的定義也使傅立葉變換與其逆變換顯得不太對稱。  另一個形式是把(2"π")均勻地分開給傅立葉變換和逆變換,即定義為:  根據這一形式,傅立葉變換是再次成為"L"(R)上的一個么正變換。它也恢復了傅立葉變換和逆變換之間的對稱。  所有三種形式的變化可以通過對正向和反向變換的復指數核取共軛來實現。核函式的符號必須是相反的。除此之外,選擇是習慣問題。  如上所討論的,一個隨機變數的特徵函式是相同的傅立葉變換斯蒂爾切斯其分佈的測量,但在這種情況下它是典型採取不同的慣例為常數。通常情況下特徵函式的定義formula_69  在上面“非統一角頻率”形式的情況下,存在的2π無因子出現在任一積分的,或在指數。不同於任何約定的上面出現的,本公約採取的指數符號相反。

  連續形式的傅立葉變換其實是傅立葉級數(Fourier series)的推廣,因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於周期函式,其傅立葉級數是存在的:  其中formula_71為復振幅。對於實值函式,函式的傅立葉級數可以寫成:  其中"a"和"b"是實頻率分量的振幅。  傅立葉分析最初是研究週期性現象,即傅立葉級數的,後來通過傅立葉變換將其推廣到了非週期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非週期性現象視為週期性現象的一個特例,即其週期為無限長。

  離散傅立葉變換是離散時間傅立葉變換(DTFT)的特例(有時作為後者的近似)。DTFT在時域上離散,在頻域上則是週期的。DTFT可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。

  為了在科學計算和數字訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉變換,必須將函式"x"定義在"離散"點而非連續域內,且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下,使用離散傅立葉變換,將函式"x"表示為下面的求和形式:  其中formula_74是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度為formula_75,而快速傅立葉變換(FFT)可以將複雜度改進為formula_76。計算複雜度的降低以及數位電路計算能力的發展使得DFT成為在訊號處理領域十分實用且重要的方法。

  以上各種傅立葉變換可以被更統一的表述成任意區域性緊緻的阿貝爾群上的傅立葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中,一個變換從一個群變換到它的對偶群(dual group)。此外,將傅立葉變換與卷積相聯絡的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅立葉變換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性(Pontryagin duality)中的介紹。

  小波變換,chirplet轉換和分數傅立葉變換試圖得到時間訊號的頻率資訊。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。

  主條目:傅立葉變換家族中的關係  下表列出了傅立葉變換家族的成員。容易發現,函式在時(頻)域的離散對應於其像函式在頻(時)域的週期性.反之連續則意味著在對應域的訊號的非週期性.

  下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函式"f"("x"), "g"("x")和"h"("x"),它們的傅立葉變換分別表示為formula_18, formula_78 和formula_79。只包含了三種最常見的形式。注意條目105給出了一個函式的傅立葉變換與其原函式,這可以看作是傅立葉變換及其逆變換的關係。

  下表列出的常用的傅立葉變換對可以在或中找到。

  \,</math> formula_93 formula_95

  e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}</math>  "400:" 變數"ξ"、"ξ"、"ω"、"ω"、"ν"和"ν"為實數。 對整個平面積分。  "401:" 這兩個函式都是高斯分佈,而且可能不具有單位體積。  "402:" 此圓有單位半徑,如果把circ(t)認作階梯函式u(1-t); Airy分佈用J(1階第一類貝塞爾函式)表達。
傅立葉變換(、英語:Fourier transform)是一種線性積分變換,用於訊號在時域(或空域)和頻域之間的變換,在物理學和工程學中有許多應用。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅立葉系統地提出,所以以其名字來命名以示紀念。實際上傅立葉變換就像化學分析,確定物質的基本成分;訊號來自自然界,也可對其進行分析,確定其基本成分。