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  和數學家們相比,分形一詞對大眾來說含義不盡相同。相對於數學概念來說,大眾可能更熟悉分形藝術。即使是對數學家來說分形也很難定義,但只要一點點數學背景就可以理解分形的核心特徵。  分形的“自我相似”的特徵很容易通過類比來理解,就像用鏡頭或其他裝置放大數字影象,從而發現以前不可見的、更精細的新結構。如果你放大一個分形的影象,則不會出現新的細節;影象沒什麼變化,相似的圖案一遍又一遍的重複出現。對於有些分形幾乎完全一樣的影象會不斷地重複。 自我相似的特徵並非反直覺的。人們在生活中也能看到自我相似的現象,例如:兩面平行的鏡子間的無限重複、山上廟裡老和尚的故事裡的山...分形的不同之處在於重複的圖案一定有詳細的細節。  細節性的概念和分形的另一個特徵——分形維數有關。分形維數不需要數學背景,也很容易理解:分形的分形維數大於它的拓撲維數,通過將分形尺度與普通的幾何形狀相比較,我們便能感受到他們的差別。舉個例子,通常認為直線是是一維的,如果直線被分為三部分,每部分都是原來的 1/3 長,你會得到相等的三部分。相比之下,科赫雪花的拓撲維數是 1,和普通的直線一樣,但它的分形維數大於 1,因為它有很多的細節。雪花曲線被分為原長的 1/3,得到的是 4 條原始雪花曲線重組組合的結果。這種與眾不同的關係是分形維數的基礎。  這也引出了第三個特徵:分形在數學上是處處不可微的。具體的說,這意味著分形不能用傳統的方法測量。測量非分型曲線,如波浪曲線的長度,只要放大到足夠大,總能用直線擬合一小段曲線,然後就能用捲尺測量這段直線的長度,再將各段直線長度相加,就可以得出波浪的長度。這樣做實質上是把曲線看作數學上的函式,在一小段範圍內取一階泰勒展開,近似為直線,然後求和總長度。但分型曲線是處處不可微的,如果嘗試使用直線去擬合分形曲線,如科赫雪花曲線,縮放的過程永遠不會停止,因為曲線圖案的重複模式總會不斷地出現,每次縮放,都需要使用更小的捲尺來貼合曲線。

  分形的歷史可以從主要理論的研究追溯到現代計算機圖形學中的應用,在這個過程中有幾個著名的人物對典型的分形形式做出了貢獻。 根據 Pickover 的說法,17 世紀時,數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似,碎形的數學從那時開始漸漸地成形(雖然他誤認只有直線會自相似)。 在他的著作中萊布尼茨使用了“分形指數”這個術語,但遺憾的是“幾何”還不知道它們。 的確,根據不同史書的記載,在這之後,很少再有數學家嘗試解決這些問題。已有的工作也模糊不清,主要的原因是人們對不熟悉新興概念的牴觸,這些概念有時被稱為數學“怪物”。  因此直到兩個世紀之後,1872年7月18日卡爾·魏爾斯特拉斯才在皇家普魯士科學院給出分形的第一個定義:分形是一種具有處處連續,但又處處不可微等反直覺性質的函式圖形。另外,隨著求和計算值的增加,函式的導數變得任意大。 不久之後,1883年,參加過魏爾施特拉斯課程的格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的例子:實直線上的子集——康托爾集,現在也被認為是碎形。同樣的,在那個世紀的末尾,菲利克斯·克萊因和儒勒·昂利·龐加萊也提出了一種稱為“自逆”分形的分形。  分形發展的一個里程碑在 1904 年,當時海里格·馮·科赫不滿意魏爾施特拉斯那抽象和基於分析的定義,它擴充套件了龐加萊的定義,給出了更加幾何化的定義並附上了一個類似函式的手繪圖形,今天稱之為科赫雪花。 另一個里程碑在十年之後, 1905 年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基構造出了謝爾賓斯基三角形;隔年,又造出了謝爾賓斯基地毯。1918 年,兩名法國數學家皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞通過各自獨立的工作,基本上同時得出了描述複數對映以及函式迭代相關分形行為的結果,並由此引出了之後關於奇異吸引子的想法。吸引子理論之後在分形理論中佔有十分重要的地位 。 在這項鞏固走發表之後不久,1918年3月,費利克斯·豪斯多夫擴充套件了“維數”的定義,允許幾何具有非整數維數,這對分型定義的發展意義重大。 1938年,保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《平面、空間曲線和由與整體自相似部件組成的曲面》中將自相似曲線的概念更進一步地推進,他在文中描述了一個新的碎形曲線-萊維C形曲線。  1960年代,本華·曼德博開始研究自相似,且在路易斯·弗萊·理查德森之前工作的基礎上,寫下一篇論文《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》。 最終,曼德博在1975年提出了「碎形」一詞,來標記一個豪斯多夫-貝西科維奇維數大於拓撲維數的物件。曼德博以顯著的電腦繪製影象來描繪此一數學定義,這些影象征服了大眾的想像;它們中許多都基於遞迴,導致了大眾對術語「碎形」的通俗理解。  不同的研究者推測,由於缺乏現代計算機圖形學的幫助,早期的研究人員受限於工具,只能手繪圖形。因此缺乏視覺化分形之美的手段,也無法欣賞它們發現的許多分形模式的含義。如茱莉亞集,通過幾次迭代,只能視覺化為非常簡單的圖形。 這種情況在20世紀60年代得到了改觀,當時本華·曼德博正開始寫他基於劉易斯·弗萊·理查森早期工作的論文:《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》。 1975年,曼德博將數百年來關於分形的構思與發展固化在“分形”一詞上,並用高超的計算機視覺化構造來說明他的數學定義。這些影象,包括他定義的曼德博集合,抓住了大眾的想象力。其中的很多圖形都是基於遞迴的,這也讓“分形”一詞具有了現在的含義。  1980 年,洛倫·卡彭特在計算機圖形學頂級年會SIGGRAPH上發表了一次演講,演講中他介紹了他基於分形理論開發的用於產生風景的軟體。

  碎形一般有以下特質:  因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的(以不嚴謹的用詞來說)。自然界裡一定程度上類似碎形的事物有云、山脈、閃電、海岸線、雪片、植物根、多種蔬菜(如花椰菜和西蘭花)和動物的毛皮的圖案等等。但是,並不是所有自相似的東西都是碎形,如實直線雖然在形式上是自相似的,但卻不符合碎形的其他特質,比如說它能被傳統的歐氏幾何語言所描述。  碎形的影象可以用碎形生成軟體作出。儘管用此類軟體生成的影象並不具備上述碎形的特徵,比如說存在放大後無上述特徵的區域性區域,但是這些影象通常仍然被稱為碎形。而且這些影象可能含有由計算或顯示造成的人為偏差——一些不屬於碎形的特徵。

  一類碎形的典型例子有:康托爾集、謝爾賓斯基三角形和地毯、門格海綿、龍形曲線、皮亞諾曲線和科赫曲線。其他的例子包括李亞普諾夫碎形及克萊因群的極限集。碎形可以是確定性的,如上述所有的碎形;也可以是隨機的(即非確定性的)。比如說,平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。  混沌動力系統有時候會和碎形聯絡起來。動力系統的相空間中的物件可以是碎形(參見吸引子),一族系統的引數空間中的物件也可以是碎形。一個有意思的例子就是曼德博集。這個集合包含很多完整的圓盤,所以它的豪斯多夫維數等於它的拓撲維數2;但是真正令人驚訝的是,曼德博集的邊界的豪斯多夫維數也是2(而拓撲維數是1),這個結果由宍倉光廣(Mitsuhiro Shishikura)在1991年證明。一個與曼德博集緊密相關的碎形是朱利亞集。

  四個製造碎形的一般技術如下: Haferman 地毯、康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、皮亞諾曲線、科赫雪花、龍形曲線、T-方形分形、門格海綿等都是此類碎形的一些例子。

  碎形也可以依據其自相似來分類,有如下三種:

  如上所述,隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括:
分形(英語:fractal,源自,有「零碎」、「破裂」之意),又稱碎形、殘形,通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都(至少近似地)是整體縮小後的形狀」,即具有自相似的性質。 分形在數學中是一種抽象的物體,用於描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大後能展現出相似的形狀。 分形也被稱為擴充套件對稱或展開對稱。如果在每次放大後,形狀的重複是完全相同的,這被稱為自相似。自相似的一個例子是門格海綿。 分形在不同的縮放級別上可以是近似相似的。曼德博集合的放大影象中顯示了這種模式。 分形也包有影象的細節重複自身的意味。