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  設 "V" 是一個實向量空間,"b" 和 "b" 是 "V" 的兩個有序基。線性代數中一個標準結論說存在惟一一個線性變換 "A" : "V" → "V",將 "b" 變為 "b"。如果 "A" 的行列式為正,則稱基 "b" 與 "b" 有相同定向(或一致定向);不然它們有相反的定向。有相同定向的性質在 "V" 的所有有序基上定義了一個等價關係。如果 "V" 非零,恰好存在兩個由這個等價關係決定的等價類。"V" 上一個定向是將其中一類置為 +1 而另一類為 -1 的一個規定。  每個有序基在一個等價類之中。故選取 "V" 的一個有序基決定了一個定向:選取的這個基的定向類規定為正的。例如:R 上的標準基在 R 上給出了一個標準定向。"V" 與 R 之間選取一個線性同構可給出 "V" 的一個定向。  基中元素的順序是關鍵。順序不同的兩個基可差某個置換。它們可能有相同或相反的定向,取決於這個置換的符號 ±1。這是因為置換矩陣的行列式等於相應置換的符號。

  上面定義的定向概念對零維向量空間只有一個定向(因為空矩陣的行列式是 1)。但是對一個點規定不同的定向可能是有用的(例如,定向一維流形的邊界)。定向的另一個與維數無關的定義如下:"V" 的一個定向是從 "V" 的有序基集合到集合 formula_1 的對映,使得在正行列式基變更下不變而在負行列式基變更下給變符號(關於同態 formula_2 等變)。零維向量空間的有序基有一個元素(空集),從而從這個集合到 formula_1 有兩個對映。  一個微妙之處在於零維向量空間是自然定向的,所以我們可以談論一個定向是正的(與典範定向相同)或負的(不同)。一個應用是將微積分基本定理理解為斯托克斯定理的一個特例。  對此的兩種看法是:

  

  對任意 "n"-維實向量空間 "V",我們可構造 "V" 的 "k"-次外冪,記作 Λ"V"。這是一個維數為 ("n","k") 的向量空間。故向量空間 Λ"V" (稱為最高外冪)的維數為 1。即 Λ"V" 就是實直線。這條直線上沒有先天的選取哪個方向是正的。一個定向就是這樣一個選取。任何非零線性形式 ω on Λ"V" 決定了 "V" 的一個定向,當 ω("x") > 0 時規定 "x" 是正定向的。為了與基本的看法聯絡起來,我們說正定向基是那些 ω 取正數的(因為 ω 是一個 "n"-形式,我們可在 "n" 個向量的有序基上取值,給出 R 中一個元素)。形式 ω 稱為一個定向形式(英語:orientation form)。如果 {"e"} 是 "V" 先給定的基而 {"e"} 是對偶基,則給出標準定向的定向形式是 "e"∧"e"∧...∧"e"。  這與行列式觀點的聯絡是:一個自同構 formula_7 的行列式可解釋為在最高外冪上的誘導作用。

  設 "B" 是 "V" 的所有有序基集合。則一般線性群 GL("V") 自由傳遞作用在 "B" 上(花哨的語言,"B" 是一個 GL("V")-torsor)。這意味著作為一個流形 "B" (非典範地)同構於 GL("V")。注意到群 GL("V") 不是連通的,而有兩個連通分支,對於於變換的行列式的正負號(除了 GL,這是平凡群故只有一個連通分支;這對應於一個零維向量空間的典範定向)。GL("V") 的單位分支記作 GL("V"),由所有正行列式的變換組成。GL("V") 在 "B" 上的作用不是傳遞的:有兩個軌道,分別對應於 "B" 的連通分支。這兩個軌道恰是上面所說的等價類。因為 "B" 沒有特定的元素(即一個特別的基),故沒有自然選取哪個分支是正的。將其與 GL("V") 對比,後者有一個特別的分支:單位分支。"B" 與 GL("V") 之間選取一個特別的同胚等價於選取一個特別的基,從而決定了一個定向。  更形式地:formula_8,formula_9 中 "n"-標架的斯蒂弗爾流形()是一個 formula_10-torsor,所以 formula_11 是 formula_1 上一個 torsor,即它是兩個點,選取其中一個便是一個定向。

  我們也可以討論流形上的定向。"n"-維可微流形 "M" 上每一點 "p" 有一個切空間 "T""M",這是一個 "n"-維實向量空間。每個這樣的向量空間可規定一個定向。但是我們想知道是否可以選取定向使得它們從點到點“光滑變化”。由於某些拓撲限制,當在某些情形是可能的。在切空間上存在一個光滑定向的流形稱為可定向的。關於流形的定向,參見可定向性一文。
數學中,實向量空間的一個定向(英語:Orientation)是對哪些有序基是“正”定向以及哪些是“負”定向的一個選取。在三維歐幾里得空間中,兩個可能的基本定向分別稱為右手系與左手系。但是定向的選取與基的手徵性是獨立的(儘管右手基典型地選為正定向,但它們也可規定為負定向)。