Can you summarize the following document?
        
  首先,因為formula_7在閉區間formula_2上連續,根據極值定理,formula_7在formula_2上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端點formula_11或formula_12處取得,由於formula_4,formula_7顯然是一個常數函式。那麼對於任一點formula_15,我們都有formula_16。  現在假設formula_7在formula_18處取得最大值。我們只需證明formula_7在該點導數為零。  取formula_20,由最大值定義formula_21,那麼formula_22。令formula_23,則formula_24。因為formula_7在formula_26處可導,所以我們有formula_27。  取formula_28,那麼formula_29。這時令formula_30,則有formula_31,所以formula_32。  於是,formula_33。  formula_7在formula_35處取得最小值的情況同理。

  

  考慮函式  (其中"r" > 0。)它的影象是中心位於原點的半圓。這個函式在閉區間[−"r","r"]內連續,在開區間(−"r","r")內可導(但在終點−"r"和"r"處不可導)。由於"f"(−"r") = "f"("r"),因此根據羅爾定理,存在一個導數為零的點。

  如果函式在區間內的某個點不可導,則羅爾定理的結論不一定成立。對於某個"a" > 0,考慮絕對值函式:  那麼"f"(−"a") = "f"("a"),但−"a"和"a"之間不存在導數為零的點。這是因為,函式雖然是連續的,但它在點"x" = 0不可導。注意"f"的導數在"x" = 0從-1變為1,但不取得值0。

  第二個例子表明羅爾定理下面的一般形式:  考慮一個實數,f(x)是在閉區間["a","b"]上的連續函式,並滿足f(a) = f(b).如果對開區間("a","b")內的任意"x",右極限  而左極限  在擴充套件的實數軸[−∞,∞]上存在,那麼開區間("a","b")內就存在"c"使得這兩個極限  formula_40和formula_41  中其中一個≥ 0,另一個≤ 0(在擴充套件的實數軸上)。如果對任何"x"左極限和右極限都相同,那麼它們對"c"也相等,於是在"c"處"f"的導函式存在且等於零。
以法國數學家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理(英語:Rolle's theorem)是微分學中一條重要的定理,是三大微分中值定理之一,敘述如下:如果函式formula_1滿足