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  給定一個群formula_8,formula_2為formula_3的子集,則有formula_2為formula_3的子群當且僅當formula_13。  若formula_2為formula_3的子群可表示為formula_16,則以上表述可表示為  formula_17  證明:  formula_18:  因為formula_16,對於任意formula_20,formula_21,另有formula_22,由於formula_2為一個群,所以formula_24。  formula_25:  假設formula_26,令formula_27,可得formula_28,即formula_2存在單位元。  對於formula_30,令formula_31,formula_32,可得formula_33,即對於任意formula_30,存在formula_35。  對於formula_36,令formula_37,formula_38,可得formula_39,即對於任意formula_36,formula_41。  因此formula_17成立。

  

  formula_44 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表為  此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群:formula_45 和 formula_46,其中 formula_47 亦是 formula_2 的子群。formula_2 的凱萊表是 formula_3 的凱萊表之左上半部。 formula_3 群是迴圈的,而其子群亦為。一般而言,迴圈群的子群亦為迴圈的。

  如果formula_52,則 formula_53是一個子群

  我們設formula_54一個群G的子集,包含了所有與群G中其他元素可交換的元素,也就是說  formula_55,此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心,記作formula_54。  設A為G的任意子集,則A在G中的中心化子為集合formula_57,此集合的定義為:  formula_58,此集合也是群G的子群。  至於A在G中的正規化子則為集合formula_59,此集合定義為:  formula_60,此集合也是群G的子群。

  給定一子群"H"和"G"內的某一元素"a",則可定義出一個左陪集 "aH"={"ah";"h"∈"H"}。因為"a"為可逆的,由φ("h") = "ah"給出之對映φ : "H" → "aH"為一個雙射。更甚地,每一個"G"內的元素都包含在恰好一個"H"的左陪集中;其左陪集為對應於一等價關係的等價類,其等價關係"a" ~ "a"當且僅當"a""a"會在"H"內。"H"的左陪集之數目稱之為"H"在"G"內的「指數」,並標記為["G":"H"]。  拉格朗日定理敘述著對一個有限群"G"和一個子群"H"而言, 其中o("G")和o("H")分別為"G"和"H"的階。特別地是,每一個"G"的子群的階(和每一個"G"內元素的階)都必須為o("G")的因子。 右陪集為相類比之定義:"Ha" = {"ha" : "h"∈"H"}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類,且其個數亦會相等於["G":"H"]。  若對於每個在"G"內的"a","aH"="Ha",則"H"稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的:左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。
假設formula_1是一個群,若 formula_2 是 formula_3 的一個非空子集且同時 formula_2 與相同的二元運算 formula_5 亦構成一個群,則 formula_6 稱為 formula_1 的一個子群。參閱群論。