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  笛卡爾座標系是由法國數學家勒內·笛卡爾建立的。1637年,笛卡爾發表了鉅作《方法論》。這本專門研究與討論西方治學方法的書,提供了許多正確的見解與良好的建議,對於後來的西方學術發展,有很大的貢獻。為了顯示新方法的優點與果效,以及對他個人在科學研究方面的幫助,在《方法論》的附錄中,他增添了另外一本書《幾何》("La Géométrie")。有關笛卡爾座標系的研究,就是出現於《幾何》這本書內。笛卡爾在座標系這方面的研究結合了代數與歐幾里得幾何,對於後來解析幾何、微積分、與地圖學的建樹,具有關鍵的開導力。

  

  二維的直角座標系通常由兩個互相垂直的座標軸設定,通常分別稱為x-軸和 y-軸;兩個座標軸的相交點,稱為原點,通常標記為O,既有「零」的意思,又是英語「Origin」的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的座標軸,決定了一個平面,稱為xy-平面,又稱為笛卡爾平面。通常兩個座標軸只要互相垂直,其指向何方對於分析問題是沒有影響的,但習慣性地,x-軸被水平擺放,稱為橫軸,通常指向右方;y-軸被豎直襬放而稱為縱軸,通常指向上方。兩個座標軸這樣的位置關係,稱為二維的右手座標系,或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上,則在平面內無論怎樣旋轉它,所得到的都叫做右手系;但如果把紙片翻轉,其背面看到的座標系則稱為「左手系」。這和照鏡子時左右對調的性質有關。  為了要知道座標軸的任何一點,離原點的距離。假設,我們可以刻畫數值於座標軸。那麼,從原點開始,往座標軸所指的方向,每隔一個單位長度,就刻畫數值於座標軸。這數值是刻畫的次數,也是離原點的正值整數距離;同樣地,揹著座標軸所指的方向,我們也可以刻畫出離原點的負值整數距離。稱x-軸刻畫的數值為x-座標,又稱橫座標,稱y-軸刻畫的數值為y-座標,又稱縱座標。雖然,在這裡,這兩個座標都是整數,對應於座標軸特定的點。按照比例,我們可以推廣至實數座標和其所對應的座標軸的每一個點。這兩個座標就是直角座標系的直角座標,標記為formula_6。  任何一個點P在平面的位置,可以用直角座標來獨特表達。只要從點P畫一條垂直於x-軸的直線。從這條直線與x-軸的相交點,可以找到點P的x-座標。同樣地,可以找到點P的y-座標。這樣,我們可以得到點P的直角座標。

  直角座標系也可以推廣至三維空間與高維空間 (higher dimension)。在原本的二維直角座標系,再新增一個垂直於x-軸,y-軸的座標軸,稱為z-軸。假若,這三個座標軸滿足右手定則,則可得到三維的直角座標系。這z-軸與x-軸,y-軸相互正交於原點。在三維空間的任何一點P,可以用直角座標formula_7來表達其位置。

  平面直角座標系的兩個座標軸將平面分成了四個部分,稱為象限,分別用羅馬數字編號為formula_8,formula_9,formula_10,formula_11。依照慣例,象限formula_12的兩個座標都是正值;象限formula_13的x-座標是負值,y-座標是正值;象限formula_14的兩個座標都是負值的;象限formula_15的x-座標是正值,y-座標是負值。所以,象限的編號是按照逆時針方向,從象限formula_12編到象限formula_15。  三維直角座標系的三個平面,xy-平面,yz-平面,xz-平面,將三維空間分成了八個部分,稱為卦限 (octant)。與二維空間的四個象限不同,只有一個卦限有編號。第一號卦限的每一個點的三個座標都是正值的。

  

  在平面上笛卡爾座標為formula_18和formula_19的兩個點之間的歐幾里得距離是:  這是畢達哥拉斯定理的笛卡爾座標版本。在三維空間中,在點formula_21和formula_22之間的距離是:  它可用畢達哥拉斯定理的兩次連貫應用而得到。

  歐幾里得變換或歐幾里得移動是歐幾里得平面的點集到同一平面上點集的(雙射)對映,它保持諸點之間的距離。這種對映(也叫等距對映)有四種型別:平移、旋轉、反射和滑移反射。

  平移平面上的一個點集,保持在它們之間的距離,等價於在點集中所有的笛卡爾座標上增加固定的一對數值。就是說,如果所有點的初始座標是,在平移之後它們的座標將是:

  要繞原點逆時針旋轉一個圖形formula_25度,等價於將所有點的座標為("x","y")替代為座標("x<nowiki>'</nowiki>","y<nowiki>'</nowiki>"),這裡有:  因此:  formula_28

  設一個點的笛卡爾座標是,則是它跨第二座標軸(y軸)的反射的座標,如同這個線是個鏡子。類似的,是它的跨第一個座標軸(x軸)的反射的座標。一般的說,跨過原點與x軸夾角為formula_25的直線的反射,等價於將所有點的座標替代為座標,這裡有:  因此:  formula_32

  滑移反射是跨一個直線的反射和隨後在這個直線方向上的平移的複合。可以看出這些運算的次序是無關緊要的(也可以先平移後反射)。

  這些平面的歐幾里得變換可以使用矩陣以一致的方式來描述。對一個點formula_33應用歐幾里得變換的結果formula_34給出為公式:  這裡的"A"是一個2×2正交矩陣,而是任意的數值有序對;也就是:  這裡的  將是正交的,矩陣"A"必須有正交的有歐幾里得長度1的行,就是:  並且:  這等價於說"A"乘以它的轉置矩陣必須是單位矩陣。如果這些條件不成立,則公式描述的是這個平面的更一般的仿射變換,假如"A"的行列式不是零的話。  公式定義了平移,當且僅當"A"是單位矩陣。變換是繞某個點的旋轉,當且僅當"A"是旋轉矩陣,這意味著:  要得到反射或滑移反射需要:  假定不使用平移,變換可以通過簡單將有關的變換矩陣相乘來組合起來。

  表示笛卡爾座標的座標變換的另一種方式是通過仿射變換。在仿射變換中,增加了一個額外維度而所有點對這個額外維度給出數值1。這麼做的好處是點平移可以在矩陣"A"的最後列中指定。在這種方式下,所有歐幾里得變換都可處理成矩陣點乘法。仿射變換給出為:  使用仿射變換,多個包括平移的不同歐幾里得變換,可以簡單的通過把它們對應的矩陣相乘而組合起來。

  仿射變換的不是歐幾里得移動的一個例子是縮放。要使一個圖形變大或變小,等價於對所有點的笛卡爾座標乘以同一個正數"m"。如果最初圖形的點的笛卡爾座標是,縮放後的圖形的對應點有座標:  如果"m"大於1,圖形變大;如果"m"在0與1之間,圖形變小。

  錯切變換將平壓矩形的對邊從而形成平行四邊形。水平錯切定義為:  垂直錯切定義為:

  

  直角座標系的x-軸與y-軸必須相互垂直。稱包含y-軸的直線為y-線。在二維空間裡,當我們設定了x-軸的位置與方向的同時,我們也設定了y-線的方向。可是,我們仍舊必須選擇,在y-線的以原點為共同點的兩條半線中,哪一條半線的點的座標是正值的,哪一條是負值的?任何一種選擇決定了xy-平面的取向。  通常,我們選擇的取向是,正值的x-軸橫地指向右方,正值的y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向、標準取向或右手取向。  右手定則是一種常用的記憶方法,專門用來辨認正值取向:將一隻半握拳的右手放在平面上,大拇指往上指,那麼,其它的手指都從x-軸指向y-軸。  另外一種取向,採用左手定則,專門用來辨認負值取向或左手取向:將一隻半握拳的左手放在xy-平面上,大拇指往上指,那麼,其它的手指都從y-軸指向x-軸。  不論座標軸是何種取向,將座標系統做任何角度的旋轉,取向仍舊會保持不變。

  直角座標系的x-軸、y-軸與z-軸必須相互垂直。稱包含z-軸的直線為z-線。在三維空間裡,當我們設定了x-軸、y-軸的位置與方向的同時,我們也設定了z-線的方向。可是,我們仍舊必須選擇,在z-線以原點為共同點的兩條半線中,哪一條半線的點的座標是正值的,哪一條是負值的?這兩種不同的座標系統,稱為右手座標系與左手座標系。右手座標系又稱為標準座標系或正值座標系。  右手座標系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直,然後將中指指向往手掌的掌面半空間,與食指呈直角關係。再將大拇指往上指去,與中指、食指都呈直角關係。則大拇指、食指與中指分別表示了右手座標系的x-軸、y-軸與z-軸。同樣地,用左手也可以表示出左手座標系。  左側示意圖展示出一個左手座標系與一個右手座標系。因為我們用二維畫面來展示三維物體,會造成扭曲或模稜兩可的圖形。指向下方與右方的軸,也有指向讀者的意思;而位置居於中間的軸,也有指向讀者正在看的方向的意思。平行於xy-平面的紅色圓形曲箭,其紅色箭頭從z-軸前面經過,表示從x-軸往y-軸的旋轉方向。

  採用直角座標系,在三維空間裡,任何一點P都可以用向量來表示。我們可以想像向量為一支羽箭,其箭尾在原點,箭鋒在點P。假若點P的向量是formula_47,直角座標是formula_48。那麼,  其中,單位向量formula_50,formula_51與formula_52分別指向x-軸,y-軸,與z-軸指向的正無窮值方向。
笛卡爾座標系(,也稱直角座標系)在數學中是一種正交座標系,由法國數學家勒內·笛卡爾引入而有此名。二維的直角座標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數線構成的。在平面內,任何一點的座標是根據數軸上對應的點的座標設定的。在平面內,任何一點與座標的對應關係,類似於數軸上點與座標的對應關係。