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  定義在某個開區間"C"內的凸函式"f"在"C"內連續,且在除可數個點之外的所有點可微。如果"C"是閉區間,那麼"f"有可能在"C"的端點不連續。  一元可微函式在某個區間上是凸的,當且僅當它的導數在該區間上單調不減。  一元連續可微函式在區間上是凸的,當且僅當函式位於所有它的切線的上方:對於區間內的所有"x"和"y",都有"f"("y") ≥ "f"("x") + "f" '("x") ("y" − "x")。特別地,如果"f" '("c") = "0",那麼"f(c)"是"f"("x")的最小值。  一元二階可微的函式在區間上是凸的,當且僅當它的二階導數是非負的;這可以用來判斷某個函式是不是凸函式。如果它的二階導數是正數,那麼函式就是嚴格凸的,但反過來不成立。例如,"f"("x") = "x"的二階導數是"f" "("x") = 12 "x",當"x" = 0時為零,但"x"是嚴格凸的。  更一般地,多元二次可微的連續函式在凸集上是凸的,當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是半正定的。  凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。  對於凸函式"f",水平子集{"x" | "f"("x") < "a"}和{"x" | "f"("x") ≤ "a"}("a" ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函式不一定是凸函式;這樣的函式稱為"擬凸函式"。  延森不等式對於每一個凸函式"f"都成立。如果formula_14是一個隨機變數,在"f"的定義域內取值,那麼formula_15(在這裡,formula_16表示數學期望。)  注意:中國大陸數學界某些機構關於函式凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函式。Concave Function指凸函式。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中,凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的,也就是和數學教材是反的。舉個例子,同濟大學高等數學教材對函式的凹凸性定義與本條目相反,本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集,而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集,兩者定義正好相反。 另外,也有些教材會把凸定義為上凸,凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。
凸函式是具有如下特性的一個定義在某個向量空間的凸子集formula_1(區間)上的實值函式formula_2:對其定義域formula_1上的任意兩點formula_4,總有formula_5。