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  同調代數是一門相對年輕的學科,其源頭可追溯到代數拓撲(單純形同調)與抽象代數(合沖模)在十九世紀末的發展,這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。  同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來,同調代數是(上)同調函子及其代數結構的研究。「同調」與「上同調」是一對對偶的概念,它們滿足的範疇論性質相反(即:箭頭反向)。數學很大一部分的內在構造可藉鏈復形理解,其性質則以同調與上同調的面貌展現,同調代數能萃取這些鏈復形蘊含的資訊,並表之為拓撲空間、層、群、環、李代數與C*-代數等等「具體」物件的(上)同調不變數。譜序列是計算這些量的有力工具。  同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大,目前已遍及交換代數、代數幾何、代數數論、表示理論、運算元代數、偏微分方程與非交換幾何。K-理論是一門獨立的學科,它也採用同調代數的辦法。

  同調代數領域的基本物件是一個鏈復形formula_1。這是一個由交換群、模或更廣義地說是由一個阿貝爾範疇的物件組成的序列"A", "A", "A"......。它們通過一系列同態"d" : "A"→"A"相連,使得每兩個連線的對映的合成 為零:對所有"n"有"d" o "d" = 0(有時逕寫作formula_2)  鏈復形的同調群定義為:  鏈復形概念的一個對偶版本是"上鍊復形"。一個上鍊復形formula_9是個序列"A", "A", "A"......。它們由一系列同態"d" : "A"→"A"相連,使得任何兩個接連的對映的合成為零:對所有"n"有"d" o "d" = 0:  關於鏈復形的種種定義可以照搬至上鍊復形;實質上,我們僅須將原定義中的所有箭頭反轉。例如上鍊復形的上同調群定義為:  形式地說,同調代數可定義為鏈復形與上鍊復形的抽象研究。以下我們將看到它的具體根源。

  

  同調代數的根源之一在代數拓撲,而後者的歷史則可上溯至十九世紀中。早在黎曼關於阿貝爾簇的工作中,就已考慮過黎曼曲面上的閉曲線是否為一塊區域的邊界的問題;根據斯托克斯定理,閉形式在這類閉曲線上的積分恆為零,而這類曲線的多寡顯然牽涉到曲面的拓撲性狀。黎曼依此定義了「連通數」——用現代的語言表述即是formula_12,此量關係到黎曼曲面的虧格,直觀地理解便是曲面上有幾個「洞」。  龐加萊在1895年的經典論文"Analysis Situs"及其後續工作真正奠定了代數拓撲學的基礎。他考慮的物件是後來所謂的單純復形,這類空間在同胚的意義下可剖分為多面體,它包含了微分拓撲中處理的大多數有限維空間。龐加萊考慮一個單純復形formula_13中各種維度的單純形(零維的點、一維的線、二維的三角形、三維的四面體等等)的整係數線性組合,稱之為鏈,它們構成一系列的阿貝爾群formula_14,其中下標代表維度。龐加萊還定義了一個邊界對映formula_15,它在單純形上的作用是將formula_16維單純形的formula_17維邊界取適當正負號後作線性組合;彼此差個邊界的鏈在拓撲上稱作同調的,這也是同調代數的詞源。龐加萊證明formula_18,於是我們有以下鏈復形  定義formula_13的貝蒂數與尤拉示性數: 這兩個量都與空間formula_13的剖分方式無關,僅決定於空間的倫型。起初龐加萊只考慮數值不變數;在1925年,埃米·諾特於一份只有14行的報告中指出:根本的不變數是阿貝爾群formula_24,而不僅僅是它派生的非負整數formula_25;群結構能給出更細的拓撲資訊,而空間的連續對映能匯出同調群的同態。代數拓撲的風貌從此遂徹底改變。  循此脈絡,L. Mayer在1929年定義了抽象的鏈復形及其同調群。同調理論自此有了純代數的框架。  隨後十年間,數學家們為各種空間定義了形形色色的同調與上同調,例如在德拉姆上同調中,我們設formula_26為光滑流形formula_27上的formula_16次微分形式,同態formula_29定義為外微分。無論哪種理論,對同一空間總是給出相同的同調群;塞繆爾·艾倫伯格與諾曼·斯廷羅德在1945年以公理化方法梳理拓撲空間的(上)同調理論,從而證明先前種種理論只是同一個物件的不同面貌。此時同調代數儼然已自成一格了。  此後拓撲學仍不斷為同調代數注入動力,例子包括了:

  同調代數的另一條線索可以追溯到十九世紀的顯學不變數理論與大衛·希爾伯特。希爾伯特為了研究不變數本身、不變數間的關係、以及關係間的關係......,而考慮自由分解的問題:設formula_33為諾特環,formula_27為有限生成的formula_33-模,  希爾伯特基底定理(1888年)。存在正整數formula_36及滿態射formula_37。  設formula_38,則formula_39是formula_27的一個"有限展示";formula_41稱作第一個合沖模(syzygy)。  另一方面,formula_41也是有限生成的,於是存在另一個有限展示 formula_44稱作第二個合沖模。反覆操作遂得到一個formula_33-模的鏈復形: 其中每個同態的核都是前一個同態的像;用現代語言來說,這乃是formula_27的一個自由分解,長度最短的自由分解稱作極小分解。自由分解的好處在於:自由模的不變數很容易計算,而透過自由分解又能適當地拼合各個formula_48上的資訊,從而推出formula_27的代數性質。這是同調代數的基本技術之一。  希爾伯特合衝定理(1890年)。上述分解在有限步之內停止;換言之,存在夠大的formula_50使得第formula_50個合沖模formula_52是自由模。當formula_53是域而formula_54時,極小分解的長度不大於formula_55。  希爾伯特藉著一個分次版的合衝定理證明了:在同樣條件下,一個有限生成分次模的希爾伯特函式是個多項式;他藉此闡明瞭不變數的個數對次數的關係。希爾伯特考慮的自由分解是投射分解的特例;在現代的同調代數理論中,投射分解及內射分解是定義導函子的基礎。  當formula_33是區域性環時,極小分解的長度稱作formula_27的投射維度,它相當於使下式成立的最小整數formula_55:  對所有formula_33-模的投射維度取極大值,得到的數稱為同調維度;同調維度等於formula_61當且僅當formula_33是正則區域性環;在這個意義下,可以說極小分解反映了幾何性質。合沖模也是計算代數幾何中的重要方法。

  昂利·嘉當與塞繆爾·艾倫伯格在1956年出版的著作"Homological Algebra"標示了同調代數的成熟。書中的概念與工具影響之深廣,成為各領域數學家們不可須臾離的生活資料。以下舉出數點例子:  一直到1970年代,嘉當與艾倫伯格的著作都是同調代數的聖經,同時期受歡迎的教本還有麥克蘭恩的"Homology",格羅滕迪克的《代數幾何基礎》與東北論文。  嘉當在1980年接受牛津大學榮譽博士時,曾用拉丁文寫下這麼一段話:

  亞歷山大·格羅滕迪克在1955年左右對韋伊猜想發生興趣,而真正勾動他的是此猜想的上同調表述;格羅滕迪克為此開始研習同調代數,當時嘉當-艾倫伯格的書尚未出版。嘉當與艾倫伯格僅考慮模構成的範疇。格羅滕迪克在1956年一封給塞爾的信中寫道:  這封信鋪陳了後來所謂"東北論文"的梗概。空間的上同調係指層上同調,當時是以Čech上同調或細層分解定義的;而所謂細層是一類帶有單位分解的層,因此只在仿緊空間(當時稱作可分空間)上有細層分解;這對微分幾何與復幾何不成問題,但對一般的代數簇則是致命缺陷。塞爾回覆道:  格羅滕迪克遂著手重寫同調代數的基礎。  這條思路在他於1957年發表於《東北數學雜誌》的論文"Sur quelques points d'algèbre homologique"中開花結果。原本區區數頁的簡單定義變為102頁的範疇論論證,謠傳他因此花了兩年才找到地方刊登;但後續發展證明他的努力與收穫是相稱的。論文提出的重要觀念如下:  格羅滕迪克藉此將層上同調化為導函子的特例,阿貝爾範疇也成為同調代數的標準語言。

  格羅滕迪克在1961年左右面臨一個技術瓶頸:為了為任意概形上的凝聚層建立對偶定理,必須為同調代數發展新工具。這個任務由他的學生讓-路易·韋迪耶()完成了。  Verdier在1967年的博士論文"Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes"中引入了三角範疇與導範疇的觀念。約略地說,三角範疇是一種能製造長正合序列與上同調函子的範疇;一個阿貝爾範疇formula_67上的鏈復形範疇formula_68便是一例。其次,我們等同formula_68中同倫等價的態射,從而得到商範疇formula_70,它仍然具備三角範疇的結構;最後,建構formula_70對擬同構的區域性化以獲得導範疇formula_72,換言之即是為所有擬同構新增逆態射。  假設formula_67有夠多內射元,則在導範疇裡同樣可以定義左正合函子formula_74的右導函子formula_75,它與古典定義formula_76的關係由下式給出:  假設左正合函子formula_78將內射物件映至formula_74的非迴圈物件,此時格羅滕迪克譜序列化作格外簡明的形式:  對右正合函子也有相應的結果。儘管譜序列在導範疇的進路中不是那麼根本,但在具體計算時仍佔一席之地。  Verdier藉這套語言證明了Verdier對偶定理,這是龐加萊對偶定理的深遠推廣,適用於任何區域性緊有限維拓撲空間。導範疇的應用仍在不斷擴大中;在代數幾何之外,導範疇理論的最大成功之一是證明了任意維度的黎曼-希爾伯特對應。  Verdier的博士論文直到1996年才出版,此前導範疇的第一手資料是由他執筆的"SGA 41⁄2"末章:"Catégories dérivées (état 0)"。

  龐加萊研究拓撲的方法是將空間剖分為多面體,這時空間的拓撲性質完全決定於這些點、線、面......等等[「單純形」及其間的相交關係。將這套方法抽象化,便可對任何範疇formula_67定義單純形物件(及其對偶上單純形物件)。在formula_67為集合範疇的情形特別有用,此時的單純形物件稱為單純形集合(及其對偶上單純形集合)。對單純形集合可定義其幾何實現,這是一個CW-復形。對於來自一個源自拓撲空間的單純形集合,幾何實現不外是將空間「拼回去」;而對源於代數構造的單純形集,幾何實現則能用以構造分類空間。在單純形集合上可以抽象地開展同倫論的研究。  另一方面,若取formula_67為一阿貝爾範疇,對任一單純形物件formula_33皆可定義一個鏈復形formula_85。此時單純形物件與鏈復形的關係由以下定理闡明:  Dold-Kan對應定理(1957年)。函子formula_50給出範疇間的等價  透過這個對應,單純形集合理論可助同調代數一臂之力,例如我們可藉此定義更廣義的導函子,或得到某類物件的典範分解。

  源於同調論的古典同調代數只給出「可交換」的資訊。對於空間formula_13上的非交換群層formula_78,古典方法只能定義第一個上同調formula_94;這個集合分類了formula_13上的扭子。數學家們嘗試定義高階的非交換上同調,這方面的理論常牽涉到同倫理論、單純形集合,或者高階的範疇論(如疊論)。

  就模型範疇的觀點,同調代數可被視為同倫理論的一支。這是Daniel Quillen將模型範疇理論稱作同倫代數的原因
同調代數是數學的一個分支,它研究同調與上同調技術的一般框架。