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  自1860年以來,許多科學家都在研究此種現象,後來發現布朗運動有下列的主要特性:

  值得注意的是,布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動,而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。  一般而言,花粉之直徑分佈於30～50μm、最小亦有10μm之譜,相較之下,水分子直徑約0.3nm(非球形,故依部位而有些許差異。),略為花粉的十萬分之一。因此,花粉難以產生不規則振動,事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時,時常受到誤解,以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下,在大眾一般觀念中,此誤會已然根深蒂固。 在日本,以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴,巖波書店『巖波理科辭典』、花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、阪田昌一『物理學原論(上)』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』,甚至日本的理科課本等等,皆呈現錯誤之敘述。  直到1973年橫浜市立大學名譽教授植物學者巖波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中,點出此誤謬之前,鮮少有人注意。國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與制作巖波電影『回動粒子』(1970年)時,實際攝影漂浮在水中之花粉,卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月,以「外行人與專家之間」為題,解說有關布朗運動之誤會。

  在1905年,愛因斯坦提出了相關理論。他的理論有兩個部分:第一部分定義布朗粒子擴散方程式,其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關,而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式,愛因斯坦可決定原子的大小,一莫耳有多少原子,或氣體的克分子量。根據阿伏伽德羅定律,所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升,其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德羅常數」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德羅常數等同原子量。  愛因斯坦論證的第一部分是,確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。 經典力學無法確定這個距離,因為布朗粒子將會受到大量的撞擊,每秒大約發生 10 次撞擊。 因此,愛因斯坦將之簡化,即討論一個布朗粒子團的運動。  他把粒子在一個的空間中,把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值(formula_1 或者 "x,"並對其座標進行變換,讓原點成為粒子運動的初始位置)並給出概率密度函式 formula_2。另外,他假設粒子的數量有限,並擴大了密度(單位體積內粒子數量),展開成泰勒級數 。 第一行中的第二個等式是被 formula_4 這個函式定義的。第一項中的積分等於一個由概率定義函式,第二項和其他偶數項(即第一項和其他奇數項)由於空間對稱性而消失。化簡可以得到以下關係關係: 拉普拉斯運算元之前的係數,是下一刻的隨機位移量 formula_1,讓 D 為質量擴散係數: 那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程: 假設在初始時刻t = 0時,所有的粒子從原點開始運動,擴散方程的解

  

  滿足下列條件的鞅我們稱之為布朗運動  formula_10是一個布朗運動當且僅當formula_10為鞅,且formula_12也為鞅.

  一維的定義  一維布朗運動formula_13是關於時間"t"的一個隨機過程,他滿足 :  等價定義  一維布朗運動formula_13是關於時間"t"的一個隨機過程,他滿足 :  高維定義  換句話說,"d"維布朗運動 取值於formula_29,而它在formula_30空間上的投影均為布朗運動。  Wiener測度的定義  設formula_31為從formula_32到formula_33的連續函式空間,formula_34為概率空間。布朗運動為對映 Wiener測度 (或稱為布朗運動的分佈)設為formula_37,是對映"B"關於formula_38的圖測度。  換句話說, "W"是formula_31上的一個概率測度,滿足對於任何formula_40,有  備忘

  

  設formula_59為formula_60空間中一列實值函式。設:  formula_61  這列函式滿足:  formula_62,任意的formula_63,矩陣formula_64為對稱半正定的。  利用Kolmogorov一致性定理,我們可以構造高斯過程formula_65,它的均值formula_66任意, 協方差為上面定義的formula_67。  當formula_68,formula_69為不依賴於t的常數,formula_70為formula_71上的示性函式。則:  formula_72  在這個情況下,矩陣formula_64是對稱且正定的。  我們稱一個高斯過程為 布朗運動當且僅當均值為0,協方差為s。formula_74,當formula_75時, 稱之為 標準的布朗運動.

  Donsker定理(1951)證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。 其中("U", "n" ≥ 1) 獨立同分布, 均值為0,方差為"σ"的隨機變數序列。

  設2列獨立的正態formula_77隨機變數序列formula_78和formula_79。定義formula_80: 為布朗運動。  https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion
布朗運動(Brownian motion)是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種正態分佈的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為:布朗運動W(t)是期望為0、方差為t(時間)的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s,W(t)-W(s)獨立於的W(r),且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。