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  PCA的數學定義是:一個正交化線性變換,把資料變換到一個新的座標系統中,使得這一資料的任何投影的第一大方差在第一個座標(稱為第一主成分)上,第二大方差在第二個座標(第二主成分)上,依次類推。  定義一個"n" × "m"的矩陣, X為去平均值(以平均值為中心移動至原點)的資料,其行為資料樣本,列為資料類別(注意,這裡定義的是X 而不是X)。則X的奇異值分解為X = WΣV,其中"m" × "m"矩陣W是XX的特徵向量矩陣, Σ是"m" × "n"的非負矩形對角矩陣,V是"n" × "n"的XX的特徵向量矩陣。據此,  當 "m" < "n" − 1時,V 在通常情況下不是唯一定義的,而Y 則是唯一定義的。W 是一個正交矩陣,YW=X,且Y的第一列由第一主成分組成,第二列由第二主成分組成,依此類推。  為了得到一種降低資料維度的有效辦法,我們可以利用W把 X 對映到一個只應用前面L個向量的低維空間中去:  其中formula_3,且formula_4為formula_5的單位矩陣。  X 的單向量矩陣W相當於協方差矩陣的特徵向量 C = X X,  在歐幾里得空間給定一組點數,第一主成分對應於通過多維空間平均點的一條線,同時保證各個點到這條直線距離的平方和最小。去除掉第一主成分後,用同樣的方法得到第二主成分。依此類推。在Σ中的奇異值均為矩陣 XX的特徵值的平方根。每一個特徵值都與跟它們相關的方差是成正比的,而且所有特徵值的總和等於所有點到它們的多維空間平均點距離的平方和。PCA提供了一種降低維度的有效辦法,本質上,它利用正交變換將圍繞平均點的點集中儘可能多的變數投影到第一維中去,因此,降低維度必定是失去訊息最少的方法。PCA具有保持子空間擁有最大方差的最優正交變換的特性。然而,當與離散餘弦變換相比時,它需要更大的計算需求代價。非線性降維技術相對於PCA來說則需要更高的計算要求。  PCA對變數的縮放很敏感。如果我們只有兩個變數,而且它們具有相同的樣本方差,並且成正相關,那麼PCA將涉及兩個變數的主成分的旋轉。但是,如果把第一個變數的所有值都乘以100,那麼第一主成分就幾乎和這個變數一樣,另一個變數只提供了很小的貢獻,第二主成分也將和第二個原始變數幾乎一致。這就意味著當不同的變數代表不同的單位(如溫度和質量)時,PCA是一種比較武斷的分析方法。但是在Pearson的題為 "On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space"的原始檔案裡,是假設在歐幾里得空間裡不考慮這些。一種使PCA不那麼武斷的方法是使用變數縮放以得到單位方差。

  通常,為了確保第一主成分描述的是最大方差的方向,我們會使用平均減法進行主成分分析。如果不執行平均減法,第一主成分有可能或多或少的對應於資料的平均值。另外,為了找到近似資料的最小均方誤差,我們必須選取一個零均值。  假設零經驗均值,資料集 X 的主成分"w"可以被定義為:  為了得到第 "k"個主成分,必須先從X中減去前面的 formula_8 個主成分:  然後把求得的第"k"個主成分帶入資料集,得到新的資料集,繼續尋找主成分。  PCA相當於在氣象學中使用的經驗正交函式(EOF),同時也類似於一個線性隱層神經網路。 隱含層 "K" 個神經元的權重向量收斂後,將形成一個由前 "K" 個主成分跨越空間的基礎。但是與PCA不同的是,這種技術並不一定會產生正交向量。  PCA是一種很流行且主要的的模式識別技術。然而,它並不能最優化類別可分離性 。另一種不考慮這一點的方法是線性判別分析。

  如上所述,主成分分析的結果依賴於變數的縮放。  主成分分析的適用性受到由它的派生物產生的某些假設 的限制。

  通過使用降維來儲存大部分資料資訊的主成分分析的觀點是不正確的。確實如此,當沒有任何假設資訊的訊號模型時,主成分分析在降維的同時並不能保證資訊的不丟失,其中資訊是由夏農熵來衡量的。 基於假設得 formula_11 也就是說,向量 "x" 是含有資訊的目標訊號 "s" 和噪聲訊號 "n" 之和,從資訊理論角度考慮主成分分析在降維上是最優的。  特別地,Linsker證明了如果 "s" 是高斯分佈,且 "n" 是 與密度矩陣相應的協方差矩陣的高斯噪聲,

  以下是使用統計方法計算PCA的詳細說明。但是請注意,如果利用奇異值分解(使用標準的軟體)效果會更好。  我們的目標是把一個給定的具有 "M" 維的資料集X 變換成具有較小維度 "L"的資料集Y。現在要求的就是矩陣Y,Y是矩陣X Karhunen–Loève變換。:formula_12

  假設有一組 "M" 個變數的觀察資料,我們的目的是減少資料,使得能夠用"L" 個向量來描述每個觀察值,"L" < "M"。進一步假設,該資料被整理成一組具有"N"個向量的資料集,其中每個向量都代表"M" 個變數的單一觀察資料。

  對於在最大限度地減少近似資料的均方誤差的基礎上找到一個主成分來說,均值減去法是該解決方案的不可或缺的組成部分 。因此,我們繼續如下步驟:  其中h是一個全 1s:的1 × "N" 的行向量

  其中 formula_18為期望值  formula_19是最外層運算子  formula_20是共軛轉置運算子。  請注意,如果B完全由實陣列成,那麼共軛轉置與正常的轉置一樣。
在多元統計分析中,主成分分析(英語:Principal components analysis,英語:PCA)是一種統計分析、簡化資料集的方法。它利用正交變換來對一系列可能相關的變數的觀測值進行線性變換,從而投影為一系列線性不相關變數的值,這些不相關變數稱為主成分(Principal Components)。具體地,主成分可以看做一個線性方程,其包含一系列線性係數來指示投影方向。PCA對原始資料的正則化或預處理敏感(相對縮放)。