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  代數數可以定義為“有理係數多項式的復根”或“整係數多項式的復根”。第一個定義可以具體描述為:  這個定義中,由於formula_11可以推出formula_12,其中整數formula_13分別等於formula_14,formula_15是formula_6個有理數formula_7分母的最小公倍數。所以“存在有理係數多項式使得formula_4是其復根”可以推出“存在整係數多項式使得formula_4是其復根”。另一方面,由於整數集合是有理數集合的子集,所以“存在整係數多項式使得formula_4是其復根”也可以推出“存在有理係數多項式使得formula_4是其復根”。這說明兩個定義是等價的。

  任何有理數formula_22都是多項式formula_23的根,因此每個有理數都是代數數。所有形同formula_24的無理數也是代數數,因為它是多項式formula_25的根。例如formula_26和formula_27是代數數,因為它們分別是方程formula_28和formula_29的根。  黃金比率formula_30是代數數,因為它是formula_31的根。二次無理數,也就是二次方程formula_32的根,是代數數。虛數單位formula_33也是代數數,因為是formula_34的根。次單位根,顧名思義,是formula_35的根,因此是代數數。高斯整數也是代數數,例如高斯整數formula_36是多項式formula_37的根。  所有規矩數(即可以從單位長度的線段出發,通過尺規作圖法做出的線段的長度數值)都是代數數。因為建立直角座標系後可以證明,標準的尺規作圖步驟的每一步都相當於計算一個次數不超過2的多項式方程,因此能夠通過有限步做出的線段長度必然是有限個有理係數多項式迭代後得到的多項式的根,從而是代數數。  自然對數的底formula_38和圓周率formula_39都不是代數數。

  代數數不一定是實數,實數也不一定是代數數。代數數的集合是可數的。證明的方法是將所有整係數的多項式歸類。首先定義formula_40為所有formula_5次整係數多項式的集合。其次定義formula_42為係數絕對值的和等於formula_43的formula_5次整係數多項式的集合:  formula_42中多項式的任何係數至多有formula_47個可能性,最高次項係數至多有formula_48個可能性,因此這樣的多項式個數不超過formula_49。每個多項式至多有formula_5個根。如果將所有formula_42中多項式的根的集合記為formula_52,則formula_52的元素個數不超過formula_54,即為有限集。  整係數多項式的集合formula_55可以寫為常數多項式和formula_42的並集: 而常數多項式沒有根。所以,任一代數數必然是某個formula_42中的多項式的根,即屬於formula_52。反之任何formula_52中的元素按定義必然是代數數。因此代數數的集合formula_1也可以寫為所有formula_52的並集: 而formula_64是可數集。集合formula_1是可數個有限集的並集,因此是可數的。  由於代數數的集合formula_1是可數集,因此在複平面上,代數數集合的勒貝格測度為零。在此意義上,可以說“幾乎所有”的複數都不是代數數。  給定一個代數數,在所有以formula_4為根的有理係數多項式中,存在唯一的一個首一多項式,其次數小於等於任何其他以formula_4為根的多項式。這個多項式稱為極小多項式。如果極小多項式的次數為formula_5,則稱該代數數為formula_5次代數數。一次的代數數就是有理數。  所有的代數數都是可計算數,因此是可定義數。

  兩個代數數的和、差、積與商(約定除數不為零)也是代數數。可以驗證,裝備了有理數的加法、乘法運算的代數數集合formula_1構成一個域,有時也記為formula_2。每一個係數為代數數的多項式方程的根也是代數數。因此,代數數域是代數封閉域。實際上,它是含有有理數域的最小的代數封閉域,稱為有理數域的代數閉包。

  任何可以從整數或有理數通過有限次四則運算和正整數次開方運算得到的數都是代數數。反之則不成立:有些代數數不能用這種方法得出。所有這些代數數都是次數不小於5的多項式的根。這是伽羅瓦理論的一個結果(參見五次方程和阿貝爾-魯菲尼定理)。一個例子是formula_73的唯一的實根(大約為formula_74)。

  代數整數是任何整係數首一多項式的根。顯然代數整數是代數數的一部分,但代數數不全是代數整數。所有整數都是代數整數,其餘的有理數則不是代數整數。代數整數的集合記作formula_75,是代數數的子集。在某些上下文中,為了與代數整數區別,整數也被稱作有理整數。  兩個代數整數的和、差與積也是代數整數,這就是說,裝備了整數的加法、乘法運算的代數整數集合構成了一個環,因此formula_75代數中也被稱為代數整數環。
代數數是代數與數論中的重要概念,指任何整係數多項式的復根。