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  在1920年代與1930年代,理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛定諤等等,他們使用的數學工具是微積分,他們共同建立了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等,使用線性代數,他們建立了矩陣力學。後來,薛定諤證明這兩種方法完全等價。  德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明,每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外,具有這種性質。電子是一種波動,是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性,應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式,這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示,他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究,在其中隱藏了一個奧妙的發現,即在零波長極限,物理光學趨向於幾何光學;也就是說,光波的軌道趨向於明確的路徑,而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為,在零波長極限,波傳播趨向於明確的運動,但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為,而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推匯出薛定諤方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線,得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果,寫為一篇論文,1926年,正式發表於物理學界。從此,量子力學有了一個嶄新的理論平臺。  薛定諤給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函式的量子行為。那時,物理學者尚未能解釋波函式的涵義,薛定諤嘗試用波函式來代表電荷的密度,但遭到失敗。1926年,玻恩提出機率幅的概念,成功地解釋了波函式的物理意義。可是,薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法,和它所伴隨的非連續性波函式塌縮,如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似,薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年,他寫給玻恩的一封信內,薛定諤清楚地表明瞭這意見。  1927年,道格拉斯·哈特里與弗拉基米爾·福克在對於多體波函式的研究踏出了第一步,他們發展出哈特里-福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出,後來福克將之加以改善,能夠符合包立不相容原理的要求。  薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性,無法準確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式,來尋找一個相對論性方程式,並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果,又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象,他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁,先行發表前面提到的非相對論性部分。  1926年,奧斯卡·克萊因和沃爾特·戈爾登將電磁相對作用納入考量,獨立地給出薛定諤先前推匯出的相對論性部分,並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式。  1928年,保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學,他推匯出狄拉克方程式,適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函式是一個旋量,擁有自旋性質。

  

  假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函式表示為 formula_8 ;其中,formula_9 是位置,formula_3 是時間。波函式是復值函式。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的位置 formula_9 在區間 formula_12 (即 formula_13 )的機率formula_14為  其中,formula_3 是對於粒子位置做測量的時間。  換句話說,formula_17 是粒子在位置 formula_9 、時間 formula_3 的機率密度。  這導致歸一化條件:在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%:

  在動量空間,粒子的波函式表示為 formula_21 ;其中,formula_22 是一維動量,值域從 formula_23 至 formula_24 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的動量 formula_22 在區間 formula_12 (即 formula_27 )的機率為  動量空間波函式的歸一化條件也類似:

  位置空間波函式與動量空間波函式彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的資訊相同,任何一種波函式都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函式之間的關係為

  在一維空間裡,運動於位勢 formula_32 的單獨粒子,其波函式滿足含時薛定諤方程式  其中,formula_34 是質量,formula_35 是約化普朗克常數。  不含時薛定諤方程式與時間無關,可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法,猜想 formula_36 的函式形式為  其中,formula_38 是分離常數,稍加推導可以論定 formula_38 就是能量,formula_40 是對應於 formula_38 的本徵函式。  代入這猜想解,經過一番運算,可以推匯出一維不含時薛定諤方程式:

  波函式 formula_1 是概率波。其模的平方 formula_44 代表粒子在該處出現的概率密度,並且具有歸一性,全空間的積分  波函式的另一個重要特性是相干性。兩個波函式疊加,概率的大小取決於兩個波函式的相位差,類似光學中的楊氏雙縫實驗。

  在量子力學中,可觀察量 formula_46 以算符 formula_47 的形式出現。formula_47 代表對於波函式的一種運算。例如,在位置空間裡,動量算符 formula_49 的形式為  可觀察量 formula_46 的本徵方程式為  對應的 formula_53 稱為算符 formula_47 的本徵值,formula_55 稱為算符 formula_47 的本徵態。假設對於 formula_47 的本徵態 formula_55 再測量可觀察量 formula_46,則得到的結果是本徵值 formula_53 。

  假設對於某量子系統測量可觀察量 formula_46,而可觀察量 formula_46 的本徵態 formula_63 、formula_64 分別擁有本徵值 formula_65 、formula_66,則根據薛定諤方程的線性關係,疊加態 formula_67 也可以是這量子系統的量子態:  其中, formula_69 、formula_70 分別為疊加態處於本徵態 formula_63 、formula_64 的機率幅。  假設對這疊加態系統測量可觀察量 formula_46,則測量獲得數值是 formula_74 或 formula_75 的機率分別為 formula_76 、formula_77,期望值為

  在量子力學中,一類基本的問題是哈密頓算符 formula_79 不含時間的情況。對於這問題,應用分離變數法,可以將波函式 formula_1 分離成一個只與位置有關的函式 formula_81 和一個只與時間有關的函式 formula_82 :  將這公式代入薛定諤方程,就會得到  而 formula_85 則滿足本徵能量薛定諤方程式:

  

  3D空間中的自由粒子,其波矢 為, 角頻率 為,其波函式為:

  粒子被限制在和之間的1D空間中,其波函式為:  其中,formula_89是能量本徵值,formula_90是正整數,formula_34是質量。

  在1D情況下,粒子處於如下勢壘中:

  量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體奈米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢(由外部的電極,摻雜,應變,雜質產生),兩種不同半導體材料的介面(例如:在自組量子點中),半導體的表面(例如:半導體奈米晶體),或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函式在空間上位於量子點中,但延伸於數個晶格週期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述,能級位置取決於勢阱寬度。
在量子力學裡,量子系統的量子態可以用波函式(英語:wave function)來描述。薛定諤方程式設定波函式如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看,薛定諤方程式乃是一種波動方程式,因此,波函式具有類似波的性質。這說明了波函式這術語的命名原因。