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  這個法則是萊布尼茲發現的,以下是他的證明:設"u"("x")和"v"("x")為"x"的兩個可導函式。那麼,"uv"的微分是:  由於"du"·"dv"可以忽略不計,因此有:  兩邊除以"dx",便得:  或

  假設  且"f"和"g"在"x"點可導。那麼:  現在,以下的差  是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。  這個區域可以分割為兩個矩形,它們面積的和為:  因此,(1)的表示式等於:  如果(5)式中的四個極限都存在,則(4)的表示式等於:  現在:  因為當"w" → "x"時,"f"("x")不變;  因為"g"在"x"點可導;  因為"f"在"x"點可導;以及  因為"g"在"x"點連續(可導的函式一定連續)。  現在可以得出結論,(5)的表示式等於:

  設"f" = "uv",並假設"u"和"v"是正數。那麼:  兩邊求導,得:  把等式的左邊乘以"f",右邊乘以"uv",即得:

  設 formula_9  且"f"和"g"在"x"點可導。那麼:  formula_24

  其中formula_37是二項式係數。

  乘積法則的一個應用是證明以下公式:  其中"n"是一個正整數(該公式即使當"n"不是正整數時也是成立的,但證明需要用到其它方法)。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果"n" = 1,formula_39  假設公式對於某個特定的"k"成立,那麼對於"k" + 1,我們有:  因此公式對於"k" + 1也成立。
乘積法則,也稱積定則、萊布尼茲法則,是數學中關於兩個函式的積的導數的一個計演算法則。