Can you summarize the following document?
        
  

  數學中,反例常被用於證明之中。有許多數學猜想或命題的敘述是全稱命題,聲稱所有的一類事物都有某種性質,或者是隻要滿足某個條件,就會得出某種結果。當證明這樣的數學猜想遇到困難時,數學家會趨向於尋找一個反例,以說明這個猜想是錯誤的。  此外,某些反例可以幫助人們更好地理解一些數學概念的性質。這是因為反例的存在表示著:由某些事物A滿足條件P,但沒有性質Q。這樣可以避免使用全稱推斷造成的錯誤結果。一個著名的例子是命題:“所有級數都是收斂的。”這樣一個命題。在18世紀以前,幾乎所有的數學家都認為這是毋庸置疑的。這造成了許多荒謬的結果,例如尤拉“證明”了級數:  他的證明是:這個級數必然有一個和(因為收斂)。設這個和是S,那麼:  所以formula_3,從而formula_4。他自己也承認這是一個悖論,因為整數的求和不可能等於分數。事實上,上面的級數就是一個反例,說明級數不總是(在傳統意義上)收斂的。  另一個著名的例子是“所有的函式都是幾乎處處連續可導(甚至光滑)的”,這也是一個早期數學中預設的想法。然而後來找到了處處不連續或者連續但處處不可導的函式,作為反例。這些反例包含的資訊是:函式的影象可以是比人類想象的還要複雜得多。

  在哲學中,大部分的結論和推斷都是較為廣泛而無法象數學中一樣嚴格證明的,因此構造反例主要是為了說明某個哲學理論或論斷無法適用於某種特殊情況。一個有名的例子是葛梯爾問題。長期以來西方哲學中對於知識的概念可以概括為所謂JTB理論,即得到辯護的真信念(英語:justified true belief)。1960年代,蓋梯爾發表了一篇論文,其中提出對這種定義的質疑,並舉出了反例,使得對何謂知識的定義重新成為哲學界探討的話題。  “JTB理論”的內涵是:某個人A“知道”某個事實B,是指:  這樣的情況下,我們說A掌握了關於B的知識。這樣獲得的知識是真實可靠的。JTB理論中的每一點都是必要的。比如說,某人買了彩票後弄丟了,然後他認為自己也沒有中彩票。雖然事實上他也沒中,但由於他的相信是無理由的(未經辯護),所以不能稱作是知識:他並不知道自己的確沒中彩票。然而,蓋梯爾對這樣的定義提出了質疑,認為即使滿足了這三點,也未必能夠稱為知識。他舉的反例如下:  史密斯被告知瓊斯有一輛福特車,他因此相信這件事,並同時也有理由相信:“或者瓊斯有一輛福特車,或者布朗在巴塞羅那”,雖然他根本不知道布朗在哪裡。事實上,瓊斯並沒有福特車,但是布朗的確在巴塞羅那,所以史密斯相信的事情是真的(真信念),並且是得到辯護了的,但並不是知識。  一開始,哲學家們認為很快就可以找到一個簡單的解決辦法。然而,更多的“蓋梯爾式”的反例被製造出來,使得附加了各種額外要求的JTB理論仍然無法準確地描述“知道”這個概念。這是因為蓋梯爾問題的解決涉及到認識論的根本問題,如何為可靠的辯護,何謂真理等等。
在邏輯學中,反例是相對於某個全稱命題的概念。反例在數學、哲學和自然科學中都有重要的應用。舉例來說,對一個命題:所有的天鵝都是白色的。這是一個全稱命題,宣告對於某類事物全體(所有的天鵝),都有某個性質(是白色的)。為了說明這個命題不是真的,只需要舉出一個例子,其物件屬於這類事物,但不具有命題中聲稱的性質就可以了。這樣的例子稱為反例:一隻不是白色的天鵝就是這個命題的反例。