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  設formula_1為一個群,若存在一內的元素,使得formula_2,則稱關於運算“ · ”形成一個迴圈群。由群內的任意一個元素所生成的群也都是迴圈群,而且是的子群。

  設有迴圈群formula_3。如果存在不相等的兩個整數和,使得,那麼正整數 ||滿足。所以對任意整數,,其中是除以得到的餘數,是一個介乎0與1之間的整數。這說明是有限群。設是所有這樣的正整數中最小的一個,則可以表示為: 可以證明它同構於模的加法群formula_5。事實上,對每一個正整數,都存在唯一一個(在同構的意義上)階為此正整數的迴圈群。而所有的階迴圈群都和模的同餘類構成的加法群formula_6同構。如果一個迴圈群的階是無限的,那麼它同構於整數關於加法構成的群formula_7。因此,迴圈群已被完全分類,是最簡單的一種群。  例如,若formula_8,則為迴圈群。同構於模 6 的加法群:formula_9。只需考慮對映: 可以證明其為群同態,而且是雙射,因此是群同構。

  由於迴圈群必然是阿貝爾群,且與加法群formula_12或整數的加法群formula_13同構,它的運算常常會以加法寫出,且被標記為formula_14。然而數論中一般會避免使用這種標記,因為它和進整數構成的環或群的區域性化的標記相沖突,容易混淆。因此,數論中一般直接記作formula_12,或以乘法寫出,標記為formula_16。

  每一個迴圈群要麼同構於整數模的加法群:formula_17,要麼同構於整數的加法群formula_13。因此要研究迴圈群的性質,只需要研究formula_14和formula_13作為加法群的性質即可。設是一個階的迴圈群,是中一個元素,則:

  在二維和三維空間裡,"n"折旋轉對稱的對稱群為"C",屬Z抽象群型別。在三維裡,亦存在其他代數地相同的對稱群,詳見三維點群。  需留意的是,圓的所有旋轉所組成之群"S"(圓群)不是迴圈的,甚至不是可數的。

  有限迴圈群的環圖全是有著其元素在各個角上的"n"邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素,而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連線著單位元之元素的接續之次方。

  所有迴圈群的子群及商群都是迴圈的。特別地,Z的子群為"mZ的形式,其中"m"為非負整數。對於不同的 m,"mZ 形式的子群是不同的,且除了當然群("m"=0)外都同構於Z。Z的子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的,除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個"n"的正因子"d",群Z/"n"Z恰好有一個"d"目的子群,它由"n"/"d"的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之"n"的因子所組成的集合。  其中有一個很特別的:一個迴圈群是簡單的當且僅當其目(元素數目)為質數。  舉一個實際的問題,給定一個"n"目之有限子群"C",其生成元為"g",並要求求得以某一整數"k"之"g"所生成的子群之大小"m"。這裡,"m"會是能使"mk"能被"n"整除之最小正整數。因此其為"n"/"t",其中"t"為"k"和"n"的最大公因子。換句話說,由"g"產生之子群之指標為"t"。其理由在數論中被稱為指標計算演算法。

  阿貝爾群Z的自同態環會同構於此阿貝爾群,且使其構成一個環。在此同構之下,數字"r"會對應於將每個元素對映至其"n"次乘積之值上之Z的自同態。此一自同態只有在"r"和"n"互質時會是個雙射函式,所以Z的自同構群會同構於群Z(見上面)。Z的自同構群有時會被稱為Z的特徵群,且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。  相似地,加法群Z的自同態環會同構於環Z,且其自同構群會同構於環Z的單位群,即{−1, +1} formula_32 Z。

  一個群稱為逼肖迴圈(virtually cyclic)的,如果這個群包含一個有限指數的迴圈子群。換言之,一個逼肖迴圈群的任何元素,都可表示為這個迴圈子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖迴圈的,當且僅當這個群是有限生成並且正好有兩個端。逼肖迴圈群的一個簡單例子是Z/"n"和Z的直積,因子Z有有限指數"n"。任何格羅莫夫雙曲群的阿貝爾子群都是逼肖迴圈群。
在群論中,迴圈群(英文:cyclic group),是指能由單個元素所生成的群。有限迴圈群同構於整數同餘加法群Z/"n"Z,無限迴圈群則同構於整數加法群。每個迴圈群都是阿貝爾群,亦即其運算是可交換的。在群論中,迴圈群的性質已經被研究的較為透徹,是更為複雜的代數研究中常用到的基礎工具。