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  布林巴基在集合論的基礎上用公理方法重新構造整個現代數學。布林巴基認為:數學,至少純粹數學,是研究抽象結構的理論。結構,就是以初始概念和公理出發的演繹系統。有三種基本的抽象結構:代數結構,序結構,拓撲結構。他們把全部數學看作按不同結構進行演繹的體系。布林巴基在《數學原本》("")的題名下分卷出版瞭如下專著:  最後的第9卷譜理論執筆始於1983年,出版工程至此告終。只是在20世紀末,增補了交換代數的簇理論。  《數學原本》有七千多頁,是有史以來最大的數學鉅著。徹底追求嚴格性和一般性的敘述方法被稱為“布林巴基風格”。  布林巴基對嚴謹性的強調在當時產生了很大的影響。這與當時儒勒·昂利·龐加萊所強調的數學要依靠自由想像的數學直觀的說法分庭抗禮。布林巴基的影響力隨時間而減弱,一個原因是由於布林巴基的抽象並不顯得比發明者原初的想法更為有用,另一個原因是因為沒有包含像範疇論等重要的現代數學理論。儘管範疇論是由布林巴基的成員艾倫堡所創立,格羅滕迪克所推廣的,但是如果要容納範疇論,就不得不對已經出版的著作進行根本性的改寫。  儘管布林巴基的一部分著作在相應的領域成了標準的參考書,但是那種近於嚴峻的表達方式使其難以成為教科書。布林巴基書籍的鼎盛時期是在1950和1960年之間,那時很少有適合能用於研究生水平的關於純數學的教科書。  布林巴基引入的記號有:formula_1;代表空集,黑板粗體字母表示數集(例如:formula_2表示自然數集,formula_3表示有理數集,formula_4表示實數集,formula_5表示整數集),還發明瞭術語“單射”、“滿射”和“雙射”。  布林巴基講座在戰後立即於巴黎開設,這個講座接連不斷地公開發表了各種綜述性論文,這些論文采用一種固定格式,用謹慎的風格寫成。

  布林巴基的早期成員時多時少。創始者五人全是巴黎高等師範學校出身,他們是安德烈·韋伊,昂利·嘉當,克勞德·謝瓦萊,讓·迪厄多內和讓·戴爾薩特。當時有一個初級會議,會議記錄在布林巴基檔案中有存檔:「欲知初級會議的詳情,請與“數學諮詢組”的利麗安·布利尤接洽」;成立時的其他四名成員是讓·庫朗,夏爾·埃雷斯曼,瑞內·德·波塞爾和佐勒姆·門德勃羅,而讓·勒瑞和保羅·杜布萊依在布林巴基宣佈正式成立之前退出。其他較後參加的有名成員有勞朗·施瓦茨,讓-皮埃爾·塞爾,塞繆爾·艾倫伯格,亞歷山大·格羅滕迪克,塞爾日·蘭和羅傑·戈德門。  布林巴基的最初目標是編撰一本改良的微積分教科書,不久他們就意識到有必要對整個數學進行一種綜合性的統一處理。當時,布林巴基的成員身份是非公開的,團體內情是相當保密的,他們甚至故意提供假訊息為樂。在定期會議上,全體成員對提出的每一部書稿進行逐字逐句的嚴格討論。布林巴基有一條規定,成員到50歲必須退休。  “布林巴基”取名於在普法戰爭中法國敗將的名字;至於成為學派的名字是出於一堂數學課的惡作劇的傳聞,也可能與一座雕像有關。這一名稱還與希臘數學有關,因為名為布林巴基的人具有希臘血統。從字面上也可以解釋這一名字暗示了歐幾里得傳統被移植到1930年代的法國,並對此寄予質變的期望。

  十分明顯,布林巴基的觀點雖然是“百科全書”式的,但卻從來沒有想要保持中立。恰好相反,他們把熱情傾注於整體一致性的展示,例如對希爾伯特的形式主義和公理主義的遺產的處理上。但對現存理論總要施行一種“接納變換”,例如把張量微積分改名成多線性代數,建立獨立於消元理論的交換代數,這在其前身理想理論時已成為主要傾向。希爾伯特在1890年代時已經顯示對非構造性方法的鐘愛,布林巴基的行動使非構造性方法變得更加具體。  在下面例舉的領域裡布林巴基有顯著的偏向:  並且(“這是很自然的” - "cela va sans dire")沒有圖示。  數學家總是喜歡軼事傳奇。布林巴基的數學史並不缺少學術性,而是缺少“英雄史觀”,歷史是由那些經過奮鬥而終於得到清晰公理的獲勝者寫成的。

  對布林巴基思想的公開討論,或者對布林巴基的辯護,一般是由讓·迪厄多內出面代表,他的最初身份是團體的“書記”,他以自己的名字發表文章。 在1977年寫成的“布林巴基的選擇”("")一篇綜述中,他對當時展示分層結構的“重要”數學的進展直言不諱。  他還廣泛地寫書:有微積分,也許是出於對原始目標或原稿的一種遲到的補償;另外還寫了不少關於代數幾何的題材。儘管迪奧多內可以理直氣壯地談論布林巴基的百科全書式傾向和布林巴基的傳統;,例如在布林巴基的例會中,像「安靜點,迪奧多內!」 (原文:)這樣直率的提醒多得數不清,但到底有多少人贊同他關於數學寫作和研究的論點還是一個疑問。尤其是塞爾,他經常批評布林巴基著作的書寫方式,倡導在法國對解題方面賦予最大的關心,特別是在布林巴基主要課題之外的數論研究當中。  迪奧多內在評述中說道,大多數的數學工作者都在打掃地板,為未來的波恩哈德·黎曼的直覺性發現清除視野。他指出公理方法可以作為解題工具,例如像亞歷山大·格羅滕迪克所做的那樣。但也有人認為他與格羅滕迪克關係過於密切,不是一位公正的評論者。帕爾·圖蘭在1970年菲爾茲獎頒獎儀式中對阿蘭·貝克進行的頒獎演說內對於建立理論和解題的評論則被認為是傳統陣營在之後(四年前的1966年,格羅滕迪克在缺席的情況下被授予菲爾茲獎)的一次反擊。

  最終布林巴基宣言還是產生了影響,特別是在純數學的研究生教育上。詳見本百科全書的相關部分。  新數學對初等數學教學幾乎沒有影響。比如說文氏圖的使用,一直可以追溯到19世紀教學法。對微積分和離散數學的分界之爭至今熱狂不減當年。  布林巴基在國際數學界的帶頭作用可能已被1960年代的波恩工作會議計劃所取代。
尼古拉·布林巴基(,法語發音)是20世紀一群法國數學家的筆名。他們由1935年開始撰寫一系列述說對現代高等數學探研所得的書籍。以把整個數學建基於集合論為目的,在過程中,布林巴基致力於做到最極端的嚴謹和泛化,建立了些新術語和概念。