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  將訊號做傅立葉變換後得到的結果,並不能給予關於訊號頻率隨時間改變的任何資訊。以下的例子作為說明:  傅立葉變換後的頻譜和短時距傅立葉轉換後的結果如下: 由上圖可發現,傅立葉轉換隻提供了有哪些頻率成分的資訊,卻沒有提供時間資訊;而短時傅立葉轉換則清楚的提供這兩種資訊。這種時頻分析的方法有利於頻率會隨著時間改變的訊號,如音樂訊號和語音訊號等分析。

  

  簡單來說,在連續時間的例子,一個函式可以先乘上僅在一段時間不為零的窗函式再進行一維的傅立葉變換。再將這個窗函式沿著時間軸挪移,所得到一系列的傅立葉變換結果排開則成為二維表象。數學上,這樣的操作可寫為: 另外也可用角頻率來表示: 其中formula_4是窗函式,窗函式種類有很多種,會在稍後再做仔細討論。formula_5是待變換的訊號。formula_6是formula_7的傅立葉變換。 隨著formula_8的改變,窗函式在時間軸上會有位移。經formula_7後,訊號只留下了窗函式擷取的部分做最後的傅立葉轉換,所得到的結果為一複數函式,代表著訊號隨時間與頻率變化的大小與相位。

  在離散時間的例子,資料會被切割成數個大量的幀,而每組幀通常會互相重疊,避免因切割方式造成邊界的誤差。而每組幀在各自進行傅立葉轉換後所得的複數結果會再進行相加,可得到每個點時間與頻率變化的大小與相位。數學上,這樣的操作可寫為:  formula_10  相同地,其中formula_11是窗函式,formula_12是待變換的訊號。在這個例子裡,m是離散的且ω是連續的,但大部分實際的應用當中,短時距傅立葉轉換在電腦中都是以快速傅立葉轉換進行計算(見實現方法的快速傅立葉變換),而此時這兩個引數都是離散且被量化的。

  當只想要得知特定少數的ω,或是短時距傅立葉轉換每次窗函式移動m的值,則短時距傅立葉轉換可以利用sliding DFT演算法更有效地計算出來。

  短時距傅立葉轉換是可逆的,也就是說原本的訊號可以藉由反短時距傅立葉轉換將短時距傅立葉轉換後的訊號還原。  其中最廣為接受的反短時距傅立葉轉換方法是重疊-相加之折積法,此方法也促成了更多樣的訊號處理方法。  反短時距傅立葉轉換,其數學類似傅立葉轉換,但須消除窗函式的作用,首先必須先將窗函式的總面積規模化使得  而從上也可輕易地得出  和  連續傅立葉轉換公式如下:  將formula_5進行上述的替換:  將積分順序進行交換:  因此傅立葉轉換可以視為某種將formula_5所有的短時距傅立葉轉換的相位同調部分進行相加。  而反傅立葉轉換公式如下:  因此 formula_5可以從formula_26被複原  formula_27  或  與上面所列的窗函式的式子進行比較,可得  對反傅立葉轉換公式中的formula_26來說formula_31是不變的

  窗函式通常滿足下列特性:  常見的窗函式有:方形、三角形、高斯函式等,而短時距傅立葉轉換也因窗函式的不同而有不同的名稱。而加伯轉換,即為窗函式是高斯函式的短時距傅立葉轉換,通常沒有特別說明的短時距傅立葉轉換,即為加伯轉換。

  當在特殊應用時,窗函式特性的第一點可以不滿足,如下圖的非對稱窗函式formula_38,其中formula_39。左圖為窗函式原本的圖形,而在計算短時距傅立葉變換時,需將窗函式轉到formula_31軸上得出formula_41,換言之,欲得到的短時距傅立葉變換的結果需在formula_42的時間點才能算出,因此若formula_43愈小,即可愈快得結果,此種非對稱窗函式可應用在地震波、碰撞偵測...等,需要即時處理的應用。

  

  右圖即為方形窗函式的一個例子,其數學定義: formula_44  可以隨要分析的訊號,來調整B的大小(即調整方形窗函式的寬度)。至於B的選擇,將會在下面探討。  短時傅立葉轉換可以簡化為 反短時傅立葉轉換可簡化為

  其大部分的特性都與傅立葉轉換的特性相對應

  結果如右圖所示,B越大則在頻率變化處(t = 10, 20)附近的頻率越不準確,即可能會有多個頻率成分出現。但同時,其他時間點的能量則較集中;沒有如B較小時,頻率散開或模糊的情形。  上述也是其中一個小波轉換及多解析度分析作為改進的方向,其中多解析度分析能在高頻時有較好的時間軸解析,而在低頻時能有較好的頻率軸解析,此種組合較契合許多實際的應用。  時間軸與頻率軸的解析度無法同時提升也與海森堡不確定性原理有關,即時間與頻率的標準差乘積有所限制,而高斯函式恰好能符合不確定性原理的極值,也就是兩者同時達到最好的解析度,而應用高斯函式的時頻分析方法即為加伯轉換,而在經過修改及多解析度分析後,成為了莫萊小波。

  當Nyquist頻率是能被有意義分析的頻率最大值的限制,而瑞利頻率則是能被有限頻寬頻的窗函式解析的頻率最小值的限制。若給定一窗函式的長度是T秒,最低能被解析的頻率即為1/T Hz。  瑞利頻率在短時距傅立葉變化的應用中扮演重要的腳色,像是在分析神經訊號時。

  Spectrogram即短時傅立葉轉換後結果的絕對值平方,兩者本質上是相同的,在文獻上也常出現spectrogram這個名詞。

  從連續短時距傅立葉變化的定義出發  令 formula_78,則上述式子時域可從連續轉為離散  formula_79  若當formula_80  上式可改寫為

  

  (1)要滿足Nyquist criterion

  formula_83  轉換到離散形式(formula_84)  formula_85  則 formula_86 for formula_87  formula_88

  formula_89

  

  (1)要滿足Nyquist criterion  (2)formula_91  (3) formula_92

  formula_93  令formula_94  formula_95  其中 formula_96

  利用FFT計算formula_97,其中每次FFT的時間複雜度為 formula_98  總時間複雜度為formula_99

  

  (1)要滿足Nyquist criterion  (2)formula_91  (3)formula_92  (4)需為方形窗函式的短時距傅立葉轉換

  當 formula_103  formula_104 (1)以FFT計算formula_105  (2)利用遞迴關係式計算算formula_107

  (1)FFT計算一次 formula_105  (2)利用遞迴關係,計算formula_110時的數值  總時間複雜度 formula_111

  

  (1)要滿足Nyquist criterion

  formula_113  formula_114  formula_115

  當n為定值時  (1)formula_116 相乘時間複雜度為2Q+1  (2)formula_117 convolution時間複雜度為 formula_118  (3)formula_119相乘時間複雜度為 F  總時間複雜度為formula_120 雖然此實現方法和使用FFT計算的時間複雜度相同,但因為convolution相當於做三次FFT,因此實際操作時運算時間約為使用FFT計算的2~3倍

  將直接法和快速傅立葉轉換方法做修正

  formula_83  修正後 :formula_122  其中, formula_123  (假設formula_124 for formula_125), formula_126  注:formula_127(輸入訊號的取樣間隔)  formula_128(在t軸上的輸出訊號的取樣間隔)  然而,formula_129是整數會是比較好的。

  

  (1) formula_130  (3) formula_133,formula_134的頻寬是 formula_135  i.e. formula_136,當 formula_137

  formula_138  令 formula_139  formula_140 for formula_141  formula_142 for formula_143  修正後:formula_144

  (1) 先用比較大的formula_128  (2) 如果發現formula_147 和 formula_148 之間有很大的差異,則在formula_149,formula_150 之間選用比較小的取樣區間formula_151  再用Unbalanced Sampling for STFT and WDF 中修正後的快速傅立葉轉換方法算出 formula_155,formula_156formula_157  (3) 以此類推,如果 formula_158的差距還是太大,則再選用更小的取樣間隔formula_159
短時距傅立葉變換是傅立葉變換的一種變形,也稱作windowed Fourier transform或time-dependent Fourier transform,用於決定隨時間變化的訊號區域性部分的正弦頻率和相位。實際上,計算短時距傅立葉變換(STFT)的過程是將長時間訊號分成數個較短的等長訊號,然後再分別計算每個較短段的傅立葉轉換。通常拿來描繪頻域與時域上的變化,為時頻分析中其中一個重要的工具。