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  設("X", "d")為非空的完備度量空間。設"T" : "X" → "X"為"X"上的一個壓縮對映,也就是說,存在一個非負的實數"q" < 1,使得對於所有"X"內的"x"和"y",都有: 那麼對映"T"在"X"內有且只有一個不動點"x"(這就是說,"Tx" = "x")。更進一步,這個不動點可以用以下的方法來求出:從"X"內的任意一個元素"x"開始,定義一個迭代序列"x" = "Tx",其中"n" = 1,2,3,......。那麼,這個序列收斂,極限為"x"。以下的不等式描述了收斂的速率:  等價地:  且  滿足以上不等式的最小的"q"有時稱為利普希茨常數。  注意對於所有不同的"x"和"y"都有d("Tx", "Ty") < d("x", "y")的要求,一般來說是不足以保證不動點的存在的,例如對映"T" : <nowiki>[1,∞) → [1,∞)</nowiki>,"T"("x") = "x" + 1/"x",就沒有不動點。但是,如果空間"X"是緊的,則這個較弱的假設也能保證不動點的存在。  當實際應用這個定理時,最艱難的部分通常是如何恰當地定義"X",使"T"把元素從"X"對映到"X",即"Tx"總是"X"的一個元素。

  選擇任何formula_5。如果formula_6,則不必證明;以下設formula_7。對於每一個formula_8,定義formula_9。我們聲稱對於所有的formula_10,以下等式都成立:  我們用數學歸納法來證明。對於formula_12的情況,命題是成立的,這是因為:  假設命題對於某個formula_14是成立的。那麼,我們有:  從第三行到第四行,我們用到了歸納假設。根據數學歸納法原理,對於所有的formula_15,以上的命題都成立。  設formula_16。由於formula_17,我們便可以找出一個較大的formula_18,使得:  利用以上的命題,我們便有對於任何formula_20,formula_21以及formula_22,都有:  第一行的不等式可以從三角不等式推出;第四行的級數是一個幾何級數,其中formula_17,因此它收斂。以上表明formula_24是formula_25內的一個柯西序列,所以根據完備性,它是收斂的。因此設formula_26。我們作出兩個宣告:第一,formula_27是formula_28的一個不動點,也就是說,formula_29;第二,formula_27是formula_28在formula_25中的唯一的不動點。  為了證明第一個命題,我們注意到對於任何的formula_21,都有:  由於當formula_35時,formula_36,因此根據夾擠定理,可知formula_37。這表明當formula_35時,formula_39。但當formula_35時,formula_41,且極限是唯一的;因此,一定是formula_42的情況。  為了證明第二個命題,我們假設formula_43也滿足formula_44。那麼:  由於formula_17,因此上式意味著formula_47,這表明formula_48,於是根據正定性,formula_49,定理得證。

  巴拿赫不動點定理有許多逆定理,以下的一個是Czesław Bessaga在1959年發現的:  設formula_50為一個抽象集合的對映,使得每一個迭代"f"都有一個唯一的不動點。設"q"為一個實數,0 < q < 1。那麼存在"X"上的一個完備度量,使得"f"是壓縮對映,且"q"是壓縮常數。

  一個有趣的事實是,若把某國的地圖縮小後印在該國領土內部,那麼在地圖上有且僅有這樣一個點,它在地圖中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。證明如下:  關於巴拿赫不動點定理的推廣,請參見無窮維空間中的不動點定理。
巴拿赫不動點定理,又稱為壓縮對映定理或壓縮對映原理,是度量空間理論的一個重要工具。它保證了度量空間的一定自對映的不動點的存在性和唯一性,並提供了求出這些不動點的構造性方法。這個定理是以斯特凡·巴拿赫命名的,他在1922年提出了這個定理。