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  曼德博集合可以用復二次多項式來定義:  其中 formula_2 是一個複數引數。  從 formula_3 開始對 formula_4 進行迭代:  每次迭代的值依序如以下序列所示:  formula_9  不同的引數 formula_2 可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。  曼德博集合 formula_11 就是使序列不延伸至無限大的所有複數 formula_2 的集合。

  

  若 formula_13,則 formula_14

  假設 formula_13 為真  則formula_16

  當 formula_17 時  因為 formula_13  由以上可得知 formula_21

  假設 formula_22 成立  由上式可得知 formula_24  由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2...),formula_25 皆比 formula_26 小。  當n趨近無限大時 formula_25 依然沒有發散,所以 formula_14,故得證。

  若 formula_14,則 formula_30

  假設 formula_31  則 formula_32

  當 formula_17 時  由 formula_31,左右同乘 formula_36 再減去 formula_36 可得到下式  由以上可得知 formula_39

  假設 formula_40 成立,則 formula_41  因為 formula_40  由 formula_41,左右同乘 formula_46 再減去 formula_46 可得到下式  由以上可得知 formula_49  由數學歸納法可得知 formula_50,可看出隨著迭代次數增加 formula_25 逐漸遞增併發散。  假如formula_25不發散,則收斂於某個常數formula_53,  由formula_54 再取極限得 formula_55 即 formula_56。  又 formula_57,矛盾,故formula_25發散。 所以若 formula_31,則 formula_60,故得證。

  若 formula_14,則 formula_62

  要證明若 formula_63,則 formula_60  首先分別探討 formula_31 與 formula_66 兩種情形  由定理二可知道 formula_63 且 formula_31 時, formula_60。  接著要證明 formula_66 時的情況:  假設 formula_41,因為 formula_66,所以 formula_40,而  因為 formula_40  由 formula_41,左右同乘 formula_46 再減去 formula_46 可得到下式  由以上可得知 formula_49  由數學歸納法可得知 formula_82,可看出隨著迭代次數增加 formula_25 逐漸遞增併發散。  所以在 formula_63 且 formula_66 的情況下也是 formula_60。  綜合上述可得知不論 formula_36為多少  若 formula_63,則 formula_60,故得證。  利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 formula_25是否會發散。

  曼德博集合一般用計算機程式計算。對於大多數的分形軟體,例如Ultra fractal,內部已經有了比較成熟的例子。下面的程式是一段虛擬碼,表達了曼德博集合的計算思路。
曼德博集合(Mandelbrot set,或譯為曼德布洛特複數集合)是一種在複平面上組成分形的點的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方,例如使用相同的復二次多項式來進行迭代。