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  誤差函式來自測度論,後來與測量誤差無關的其他領域也用到這一函式,但仍然使用誤差函式這一名字。  誤差函式與標準正態分佈的積分累積分佈函式formula_5的關係為

  誤差函式是奇函式:  對於任何 複數 "z":  其中 formula_9 表示 "z"的 複共軛。  複平面上,函式 "ƒ" = exp(−"z") 和 "ƒ" = erf("z") 如圖所示。粗綠線表示 Im("ƒ") = 0,粗紅線表示 Im("ƒ") < 0, 粗藍線為 Im("ƒ") > 0。細綠線表示 Im("ƒ") = constant,細紅線表示 Re("ƒ") = constant<0,細藍線表示 Re("ƒ") = constant>0。 在實軸上, "z" → ∞時,erf("z") 趨於1,"z" → −∞時,erf("z") 趨於−1 。在虛軸上, erf("z") 趨於 ±i∞。

  誤差函式是整函式,沒有奇點(無窮遠處除外),泰勒展開收斂。  誤差函式泰勒級數:  對每個複數 "z"均成立。 上式可以用迭代形式表示:  誤差函式的導數:  誤差函式的 不定積分為:

  逆誤差函式 可由 麥克勞林級數表示:  其中, "c" = 1,  即:  逆互補誤差函式定義為:

  互補誤差函式的漸近展開,  其中 (2"n" – 1)!! 為 雙階乘,"x"為實數,該級數對有限 "x"發散。對於formula_19,有 其中餘項用以 大O符號表示為 餘項的精確形式為:  對於比較大的 x, 只需漸近展開中開始的幾項就可以得到 erfc("x")很好的近似值。(對於不太大的 "x",上文泰勒展開在0處可以快速收斂。)。

  互補誤差函式的連分式展開形式:

  其中, "a" = 0.278393, "a" = 0.230389, "a" = 0.000972, "a" = 0.078108  其中, "p" = 0.47047, "a" = 0.3480242, "a" = −0.0958798, "a" = 0.7478556  其中, "a" = 0.0705230784, "a" = 0.0422820123, "a" = 0.0092705272, "a" = 0.0001520143, "a" = 0.0002765672, "a" = 0.0000430638  其中, "p" = 0.3275911, "a" = 0.254829592, "a" = −0.284496736, "a" = 1.421413741, "a" = −1.453152027, "a" = 1.061405429  以上所有近似式適用範圍是: "x" ≥ 0. 對於負的 "x", 誤差函式是奇函式這一性質得到誤差函式的值, erf("x") = −erf(−"x").  另有近似式:  其中,  該近似式在0或無窮的鄰域非常準確,"x"整個定義域上,近似式最大誤差小於0.00035,取 "a" ≈ 0.147,最大誤差可減小到0.00012。  逆誤差函式近似式:

  下式在整個定義域上,最大誤差可低至 formula_32: 其中,

  誤差函式本質上與標準正態累積分佈函式formula_5是等價的,  可整理為如下形式:  formula_5的逆函式為正態分位函式,即概率單位函式,  誤差函式為標準正態分佈的尾概率Q函式的關係為,  誤差函式是米塔-列夫勒函式的特例,可以表示為合流超幾何函式,  誤差函式用正則Γ函式P和 不完全Γ函式表示為  formula_44 為 符號函式.

  廣義誤差函式為:  其中,"E"("x")為通過原點的直線, formula_46。"E"("x") 即為誤差函式 erf("x")。  "x" > 0時,廣義誤差函式可以用Γ函式和 不完全Γ函式表示,  因此,誤差函式可以用不完全Γ函式表示為:

  互補誤差函式的迭代積分定義為:  可以展開成冪級數:  滿足如下對稱性質:  和
在數學中,誤差函式(也稱之為高斯誤差函式)是一個特殊函式(即不是初等函式),其在概率論,統計學以及偏微分方程中都有廣泛的應用。它的定義如下: