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  該原理僅覆蓋集理論,基數,序數和實數。從現實分析,更深層次的定理並沒有包括在內。 幾何的基礎第四卷已在籌劃,但作者在第三卷完成後智力枯竭。

  由於在理論上由庫爾特·哥德爾(下同)的批評指出,不同於形式主義理論,PM的“logicistic”理論有沒有“形式主義的語法明確說明”。另一種看法是,在理論上,(在模型論的意義上)解釋的真值的符號的行為來表述“⊢”(真理斷言),“〜”(邏輯非)和“V”(邏輯或)。  真值:PM嵌入“真”和“假”的概念,“原始命題”的概念。原料(純)形式主義理論所不能提供形成了“原始命題”誠,符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來,通過“價值”的分配,模式將指定什麼公式說的解釋。因此,在正式的克萊尼符號下方設定,“解釋”什麼樣的符號通常是指,並暗示他們如何最終被採用,在括號內,例如,“¬(不)”。但是,這不是一個純粹的形式主義理論。

  下面的形式主義理論是作為對比PM的logicistic理論。一個現代的形式系統將構造如下:  使用的符號:該組是開始集合,其它符號可以出現,而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是Kleene從中匯出的以下一組:邏輯符號“→”(意味著,IF-THEN“⊃”),“&”(和)中,“V”(或),“¬”(不) “∀”(所有),“∃”(存在);謂詞符號“=”(等於);函式符號“+”(算術加法),“∙”(算術乘法),“'”(繼任者);個別符號“0”(零);變數“一”,“B”,“C”等;和括號“(”和“)”。 符號串:該理論將通過串聯(並列)建立這些符號的“弦”. 形成規則:理論指定的語法規則(語法規則),通常為以“0”開頭,並指定如何建立可接受的字串或“合式公式”(Wff)遞迴定義這包括對於所謂的“變數”(相對於其他符號型別)中的符號串的規則對“替代”。 變換規則(S):指定符號和符號序列的行為的公理。 推理,支隊規則,肯定前件:允許理論從“前提”,導致到了“分離”一個“結論”的規則,並隨後放棄“處所”(符號到行的左邊│或符號線之上,如果水平)。如果不是這種情況,那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字串。事實上,假言推理的應用程式後,沒有什麼是離開,但結論,剩下的永遠消失。 當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或“脫離規則”: A,A⊃乙│乙 符號“│”通常寫為水平線,這裡“⊃”是指“意味著”。符號A和B是“替身”的字串;這種形式的符號被稱為“公理模式”(即,有一種特殊形式的符號可以採取可數)。這可以讀取類似的方式IF-THEN但有區別:給定的符號串IF A和A蘊涵B,那麼B(並保留進一步使用僅B)。但符號都沒有“解釋”(例如,沒有“真值表”或“真值”或“真理功能”)和假言推理機制上進行,由單獨的語法。

  PM理論既有相似之處顯著,以及類似的差異,當代形式理論。克林指出,“這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信,或者至少被接受為關於世界的假設合理的。”事實上,PM理論不像形式主義理論,即操縱符號根據語法規則,PM引入了“真值”的概念,即在現實世界意義的真理和謬誤,以及“斷言真相”幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素(PM 1962:4-36):

  卷I有五個新增:
《數學原理》(英語:"Principia Mathematica")是由伯特蘭·羅素與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德合著的一本數學書籍,書籍共分三卷,分別出版於1910年,1912年,1913年。