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  給定一複數變數formula_1的復值函式formula_2,其中formula_3和formula_4是實值函式。假設此函式formula_5在複數平面上半部可析,且當formula_6趨向無限大時,它在上半平面趨於零的速度比formula_7快或與之相等,那麼formula_5滿足以下關係: 和 其中formula_11表示柯西主值。因此可析函式的實部和虛部並不獨立:函式的一部分可以重建整個函式。

  推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何復面上半可析函式formula_12和實數formula_1函式formula_14在復面上半可析。留數定理得到對任何在復面上半的積分路徑: 選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以復面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和formula_6成正比,因此只要formula_12消失比formula_18快,對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓: 以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式: 分母裡的虛數formula_21意味者這是連繫實部和虛部的公式。把formula_5分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

  可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函式理論。物理上,響應函式formula_23概括系統對在時間formula_24的作用力formula_25在另一時間formula_26的反應formula_27: 因為系統不能在施力前有任何反應因此當formula_29,formula_30。 可以證明這因果關係意味著formula_31的傅立葉變換formula_5在formula_1復面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力,此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應,因此formula_1很大時,formula_5會趨近於0。從這些物理考量,可知物理反應函式formula_5通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。  反應函式formula_5的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係,我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相(不做功)反應,反之亦然。  上述函式的積分路徑是從formula_38到formula_39,其中出現了負頻率。幸運的是,多數系統中,正頻響應決定了負頻響應,這是因為formula_5是實數變數formula_41的傅立葉變換,根據對實數進行傅立葉變換的性質,formula_42,formula_43是頻率formula_1的偶函式,而formula_45是formula_1的奇函式。  根據該性質,積分可以從正負無窮區間約化為formula_47的區間上。考慮實部formula_43的第一個關係,積分函式上下同乘formula_49可得:  由於formula_45為奇函式,第二項為零,剩下的部分為  類似的推導亦可用於虛部:  該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函式上的很有用處。
克喇末-克勒尼希關係式(英語:Kramers–Kronig relations)是數學上連結復面上半可析函式實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函式。物理上因果關係(系統反應必須在施力之後)意味著反應函式必須符合復面上半的可析性。反之,反應函式的可析性意味著相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希和漢斯·克喇末為名。