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  劉維爾方程描述了相空間分佈函式(儘管數學中準確術語是測度,物理學家一般稱為分佈)的時間演變。考慮一個動力系統具有正則座標 formula_1 與共軛動量 formula_2,這裡formula_3。則相空間分佈 formula_4 確定了系統在無窮小相空間體積 formula_5 中出現的概率 formula_6。劉維爾方程(英語:Liouville equation)決定了 formula_7 關於時間 formula_8 的演化:  時間導數用點標記,根據這個系統的哈密頓方程求值。這個方程說明了相空間中密度的守恆性(該定理得名於約西亞·吉布斯)。劉維爾定理斷言  這個定理的一個簡單證明是觀察到 formula_10 的演化由連續性方程清晰地給出:  即 formula_12 是一個守恆流。注意到此式與劉維爾方程的差是  這裡 formula_14 是哈密頓量,並利用了哈密頓方程。這就是說,若將相空間中的運動視為系統點的一個流體,注意到相空間中的速度場 formula_15 的散度為零(由哈密頓方程得出),由連續性方程得出密度 formula_16 的隨流導數等於零的定理。  另一個證明是考慮通過相空間中的一朵“點雲”的軌跡。直接證明這朵雲沿著一個座標方向拉伸比如 formula_2,則在對應的 formula_18 方向收縮,從而乘積 formula_19 保持不變。  等價地,由諾特定理,守恆流的存在意味著有一個對稱。對稱在時間轉換下不變,而這個對稱的生成元(或諾特荷)是哈密頓量。

  所期望的粒子總數是分佈在相空間上的積分: 習慣上相空間測度有一個正規化因子,但此處將其忽略。在簡單情形,一個非相對論粒子在力場 formula_21 下在歐幾里得空間運動,具有座標 formula_22 與動量 formula_23,劉維爾定理可以寫成  這不同於符拉索夫方程,或有時天體力學中的玻爾茲曼方程。後者有六維相空間,用於描述大量無碰撞粒子在重力或電磁場的影響下的運動。  在經典統計力學中,粒子數 formula_25 非常大(譬如:對一個實驗室規模系統為阿伏伽德羅常數數量級)。令 formula_26 給出了這個系統的穩定狀態的一個方程,可用來尋找在一個給定的統計系綜中可達到的微觀態。穩定狀態方程由 formula_10 等於哈密頓量 formula_14 的任何函式滿足:特別地,它由麥克斯韋-玻爾茲曼分佈 formula_29 滿足,這裡 formula_30 是溫度 formula_31 是玻爾茲曼常數。  另見正則系綜與微正則系綜。

  

  此定理經常用泊松括號表述為  或利用劉維爾運算元(英語:Liouville operator 或 Liouvillian)  寫成

  在遍歷論與動力系統中,由目前給出的物理考慮啟發,有相應的結果也稱為劉維爾定理。在哈密頓力學中,相空間是一個自然賦有一個光滑測度的光滑流形(區域性這個測度是 6"n"-維勒貝格測度)。該定理說這個光滑測度在哈密頓流下不變。更一般地,我們可以描述一個光滑測度在一個流下不變的充分必要條件。哈密頓力學情形便是一個推論。

  在辛幾何方面,此定理斷言辛結構(2-形式,由 formula_35 與 formula_36 的楔積之和組成)的 d 次冪在其哈密頓演化下的李導數為零。辛結構的 d 次冪就是相空間中上面所說的測度。  事實上,辛結構自身(不僅是 d 次冪)也不變。因此,在這種情形下,辛結構也稱為龐加萊不變數。從而關於龐加萊不變數的定理是劉維爾定理的推廣。  還可以進一步推廣。在不變哈密頓形式化的框架下,不變相空間中的辛結構的存在性定理是關於龐加萊不變數定理的一個深入推廣。

  劉維爾方程在量子力學中的類比描述了一個混合態的時間演化。正則量子化得出這個定理的一個量子力學版本。這個過程利用哈密頓力學描述經典系統,經常用於產生經典系統的量子類比。經典變數重新解釋為量子運算元,而泊松括號用交換子代替。在這種情形,所得方程是  這裡 ρ 是密度矩陣。  將其應用到一個可觀測量的期望值,相應的方程由埃倫費斯特定理給出,具有形式  這裡 formula_39 是一個可觀測量。注意符號不同,這由運算元的穩定性與狀態時間相關之假設得出。
在物理學中,劉維爾定理(英語:Liouville's theorem)是經典統計力學與哈密頓力學中的關鍵定理。該定理斷言相空間的分佈函式沿著系統的軌跡是常數——即給定一個系統點,在相空間遊歷過程中,該點鄰近的系統點的密度關於時間是常數。