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  標量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到點積,其結果是個贗標量。  設formula_1、formula_2、formula_3為三個向量,則標量三重積的定義為

  設 formula_5、formula_6、formula_7,則有  "證明"  formula_10 利用行列式的特性,可知順序置換向量的位置不影響標量三重積的值: 任意對換兩個向量的位置,標量三重積與原來相差一個負號: 若任意兩個向量相等,則標量三重積等於零:

  有時候,純量三重積會以括號表示:

  幾何上,由三個向量定義的平行六面體,其體積等於三個標量標量三重積的絕對值:  "證明"  以 formula_2 和 formula_3 來表示底面的邊,則根據叉積的定義,底面的面積 formula_20 為 其中 formula_22 是 formula_2 與 formula_3 之間的角,而高 formula_25 為 其中 formula_27 是 formula_1 與 formula_25 之間的角。  從圖中我們可以看到, formula_27 的大小限定為 formula_31 。而向量 formula_32 與 formula_1 之間的角 formula_34 則有可能大於90°(formula_35)。也就是說,由於 formula_32 與 formula_25 平行, formula_34 的值要麼等於 formula_27,要麼等於 formula_40 。因此 且 我們得出結論: 於是,根據點積的定義,它等於 formula_44 的絕對值,即 證畢。

  向量三重積是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到的叉積,其結果是個向量。

  對於三個向量formula_1、formula_2、formula_3,向量三重積的定義為  值得注意的是,一般來說,

  以下恆等式,稱作三重積展開或拉格朗日公式,對於任意向量formula_1、formula_2、formula_3均成立:  英文中有對於第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB,後面的計程車),但是不容易記住第一式跟第二式的變化,很容易搞混。 觀察兩個公式,可得到以下三點:

  我們可以由叉積的定義計算formula_58的formula_59分量:  類推至formula_61和formula_62分量,可得:  所以 利用上述恆等式,可得以下結果:  在向量分析中,有以下與梯度相關的一條恆等式: 這是一個拉普拉斯-德拉姆運算元formula_68的特殊情形。
三重積,又稱混合積,是三個向量相乘的結果。向量空間中,有兩種方法將三個向量相乘,得到三重積,分別稱作標量三重積和向量三重積。