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  在隨後的討論中,我們將使用在"G"的子集上的二元運算:如果給出"G"的兩個子集"S"和"T",我們定義它們的乘積為"ST" = { "st" : "s"∈"S"並且"t"∈"T" }。這個運算是符合結合律的並有單位元為單元素集合{"e"},這裡的"e"是"G"的單位元。因此,"G"的所有子集的集合形成了在這個運算下的么半群。  憑藉這個運算我們可以首先解釋商群是什麼,並接著解釋正規子群是什麼:  它完全由包含"e"的子集所確定。"G"的正規子群是在任何這種劃分中包含"e"的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。  群"G"的子群"N"是正規子群,當且僅當陪集等式"aN" = "Na"對於所有"G"中的"a"都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算,"G"的正規子群是交換於"G"的所有子集的子群,並指示為"N" ⊲ "G"。置換於"G"的所有子群的子群叫做可置換子群。

  設"N"是群"G"的正規子群。我們定義集合"G"/"N"是"N"在"G"中的所有左陪集的集合,就是說"G"/"N" = { "aN" : "a"∈"G" }。在"G"/"N"上的群運算定義如上。換句話說,對於每個"G"/"N"中"aN"和"bN","aN"和"bN"的乘積是 ("aN")("bN")。這個運算是閉合的,因為 ("aN")("bN")實際上是左陪集:  "N"的正規性被用在了這個等式中。因為"N"的正規性,"N"在"G"中的左陪集和右陪集是相等的,所以"G"/"N"也可以定義為"N"在"G"中所有的右陪集的集合。因為運算是從"G"的子集的乘積得出的,這個運算是良好定義的(不依賴於表示的特定選擇),符合結合律的,並有單位元"N"。"G"/"N"的元素"aN"的逆元是"a""N"。

  "G"/"N"叫做商群的理由來自整數的除法。在12除以3的時候得到答案4是因為我們可以把12個物件重新分組為3個物件的4個子蒐集。商群出於同樣想法,但用一個群作為最終答案而非一個數,因為群要比物件的隨機蒐集要更有結構。  更細緻的說,在檢視"G"/"N"而"N"是"G"的正規子群的時候,這個群結構形成一種自然“重新分組”。它們是"N"在"G"中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的(正常除法所產生的)數目要更多的資訊,這裡得到了一個群結構自身。

  商群"G" / "G" 同構於平凡群(只有一個元素的群),而"G" / {"e"}同構於"G"。  "G / N"的階定義為等於["G" : "N"],它是"N"在"G"中的子群的指標(index)。如果"G"是有限的,這個指標還等於"G"的階除以"N"的階。注意"G / N"可以在"G"和"N"二者是無限的時候是有限的(比如Z "/" 2Z)。  有一個“自然”滿射群同態"π" : "G" → "G" / "N",把每個"G"的元素"g"對映到"g"所屬於的"N"的陪集上,也就是:"π"("g") = "gN"。對映"π"有時叫做“G到G / N上的規範投影”。它的核是"N"。  在包含"N"的"G"的子群和"G" / "N"的子群之間有一個雙射對映;如果"H"是包含"N"的"G"的子群,則對應的"G / N"的子群是"π"("H")。這個對映對於"G"的正規子群和"G" / "N"也成立,並在格定理中形式化。  商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。  如果"G"是阿貝爾群、冪零群或可解群,則"G" / "N"也是。  如果"G"是迴圈群或有限生成群,則"G" / "N"也是。  如果"N"被包含在"G"的中心內,則"G"也叫做這個商群的中心擴張。  如果"H"是在有限群"G"中的子群,並且"H"的階是"G"的階的一半,則"H"保證是正規子群,因此"G" / "H"存在並同構於"C"。這個結果還可以陳述為“任何指標為2的子群都是正規子群”,並且它的這種形式還適用於無限群。  所有群都同構於一個自由群的商。  有時但非必然的,群"G"可以從"G" / "N"和"N"重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z / { 0, 2 }同構於Z,並且還同構於{ 0, 2 },但是唯一的半直積是直積,因為Z只有一個平凡的自同構。所以Z不同於Z × Z,它不能被重構。
在數學中,商群或因子群是通過保持群結構的等價關係來把較大群中的類似元素聚類而產生的群。 給定一個群"G"和"G"的正規子群"N","G"在"N"上的商群或因子群,在直覺上是把正規子群"N"“萎縮”為單位元的群。商群寫為"G"/"N"並唸作"G" mod "N"("mod"是模的簡寫)。如果"N"不是正規子群,商仍可得到,但結果將不是群,而是齊次空間。