Can you summarize the following document?
        
  常態分佈是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分佈。儘管這些現象的根本原因經常是未知的,理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變數,那麼這個變數服從常態分佈(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明)。常態分佈出現在許多區域統計:例如,取樣分佈均值是近似地常態的,即使被取樣的樣本的原始群體分佈並不服從常態分佈。另外,常態分佈資訊熵在所有的已知均值及方差的分佈中最大,這使得它作為一種均值以及方差已知的分佈的自然選擇。常態分佈是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分佈。在概率論,常態分佈是幾種連續以及離散分佈的極限分佈。

  常態分佈最早是棣莫弗在1718年著作的書籍的(英語:Doctrine of Change),及1734年發表的一篇關於二項分佈文章中提出的,當二項隨機變數的位置引數n很大及形狀引數p為1/2時,則所推匯出二項分佈的近似分佈函式就是常態分佈。拉普拉斯在1812年發表的《分析概率論》()中對棣莫佛的結論作了擴充套件到二項分佈的位置引數為n及形狀引數為1>p>0時。現在這一結論通常被稱為棣莫佛-拉普拉斯定理。  拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了常態分佈。勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法;而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法,並通過假設誤差服從常態分佈給出了嚴格的證明。  「鐘形曲線」這個名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出這個術語「鐘形曲面」,用來指代二元常態分佈(bivariate normal)。正態分佈這個名字還被Charles S. Peirce、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分別獨立地使用。這個術語是不幸的,因為它反映和鼓勵了一種謬誤,即很多概率分佈都是常態的。(請參考下面的「例項」)  這個分佈被稱為「常態」或者「高斯」正好是Stigler名字由來法則的一個例子,這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。

  有幾種不同的方法用來說明一個隨機變數。最直觀的方法是概率密度函式,這種方法能夠表示隨機變數每個取值有多大的可能性。累積分佈函式是一種概率上更加清楚的方法,請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法,例如cumulant、特徵函式、動差生成函式以及cumulant-生成函式。這些方法中有一些對於理論工作非常有用,但是不夠直觀。請參考關於概率分佈的討論。

  常態分佈的概率密度函式均值為formula_2 方差為formula_5 (或標準差formula_11)是高斯函式的一個例項:  如果一個隨機變數formula_9服從這個分佈,我們寫作 formula_9 ~ formula_26. 如果formula_17並且formula_28,這個分佈被稱為標準正態分佈,這個分佈能夠簡化為  右邊是給出了不同引數的正態分佈的函式圖。  正態分佈中一些值得注意的量:

  累積分佈函式是指隨機變數formula_9小於或等於formula_34的機率,用機率密度函式表示為  常態分佈的累積分佈函式能夠由一個叫做誤差函式的特殊函式表示:  標準常態分佈的累積分佈函式習慣上記為formula_37,它僅僅是指formula_38,formula_39時的值,  將一般常態分佈用誤差函式表示的公式簡化,可得:  它的反函式被稱為反誤差函式,為:  該分位數函式有時也被稱為probit函式。probit函式已被證明沒有初等原函式。  常態分佈的分佈函式formula_43沒有解析表示式,它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。

  

  動差生成函式或矩生成函式或動差產生函式被定義為formula_44的期望值。  常態分佈的動差產生函式如下: 可以通過在指數函式內配平方得到。

  特徵函式被定義為formula_45的期望值,其中formula_46是虛數單位. 對於一個常態分佈來講,特徵函式是: 把矩生成函式中的formula_47換成formula_48就能得到特徵函式。

  常態分佈的一些性質:

  一些常態分佈的一階動差如下: 標準常態的所有二階以上的累積量為零。

  常態分佈有一個非常重要的性質:在特定條件下,大量統計獨立的隨機變數的平均值的分佈趨於正態分佈,這就是中心極限定理。中心極限定理的重要意義在於,根據這一定理的結論,其他概率分佈可以用正態分佈作為近似。  近似正態分佈平均數為formula_74且方差為formula_75.  近似正態分佈平均數為formula_78且方差為formula_79.  這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求

  正態分佈是無限可分的概率分佈。

  正態分佈是嚴格穩定的概率分佈。

  在實際應用上,常考慮一組資料具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確,則約68.3%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95.4%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」或「經驗法則」。

  

  

  多元正態分佈的協方差矩陣的估計的推導是比較難於理解的。它需要了解譜原理(spectral theorem)以及為什麼把一個標量看做一個1×1矩陣(matrix)的跡(trace)而不僅僅是一個標量更合理的原因。請參考協方差矩陣的估計(estimation of covariance matrices).

  

  

  某飲料公司裝瓶流程嚴謹,每罐飲料裝填量符合平均600毫升,標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐,求(1)容量超過605毫升的機率;(2)容量小於590毫升的機率。  容量超過605毫升的機率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475  容量小於590毫升的機率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004  6-標準差(6-sigma或6-σ)的品質管制標準  6-標準差(6-sigma或6-σ),是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下,一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外,只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是說,這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準,而每罐飲料裝填量符合平均600毫升,標準差3毫升的常態分配。那麼預期裝填容量的範圍應該多少?  6-標準差的範圍 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609) 因此,預期裝填容量應該介於591至609毫升之間。

  

  假設某校入學新生的智力測驗平均分數與標準差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生,他們智力測驗平均分數大於105的機率?小於90的機率?  本例沒有常態分配的假設,還好中央極限定理提供一個可行解,那就是當隨機樣本長度超過30,樣本平均數formula_98近似於一個常態變數,  因此標準常態變數formula_99。  平均分數大於105的機率 formula_100  平均分數小於90的機率 formula_101

  

  在計算機模擬中,經常需要生成正態分佈的數值。最基本的一個方法是使用標準的正態累積分佈函式的反函式。除此之外還有其他更加高效的方法,Box-Muller變換就是其中之一。另一個更加快捷的方法是ziggurat演算法。下面將介紹這兩種方法。一個簡單可行的並且容易程式設計的方法是:求12個在(0,1)上均勻分佈的和,然後減6(12的一半)。這種方法可以用在很多應用中。這12個數的和是Irwin-Hall分佈;選擇一個方差12。這個隨即推導的結果限制在(-6,6)之間,並且密度為12,是用11次多項式估計正態分佈。  Box-Muller方法是以兩組獨立的隨機數U和V,這兩組數在(0,1]上均勻分佈,用U和V生成兩組獨立的標準常態分佈隨機變數X和Y:  這個方程的提出是因為二自由度的卡方分佈(見性質4)很容易由指數隨機變數(方程中的lnU)生成。因而通過隨機變數V可以選擇一個均勻環繞圓圈的角度,用指數分佈選擇半徑然後變換成(正態分佈的)x,y座標。
\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!