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  早期對於三角函式的研究可以追溯到古代。例如古埃及數學家在鑑別尼羅河氾濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同,都使用了三角術,只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法,將圓周分為360等份(即圓周的弧度為360度,與現代的弧度制不同)。對於給定的弧度,他給出了對應的弦的長度數值,這個記法和現代的正弦函式是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函式數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰,托勒密在《數學彙編》(英語:"Syntaxis Mathematica")中計算了36度角和72度角的正弦值,還給出了計算和角公式和半形公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。  希臘文化傳播到古印度後,印度人對三角術進行了進一步的研究。公元5世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦,這個做法被後來的古印度數學家使用,和現代的正弦定義一致了。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位,重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度(3.75°)的三角函式值表。然而古印度的數學與當時的中國一樣,停留在計算方面,缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義,但他們的三角學是直接繼承於古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切和餘切、正割和餘割的概念,並計算了間隔10分(10′)的正弦和正切數值表。到了公元14世紀,阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化(古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式)的努力為後來三角學從天文學中獨立出來,成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。  進入15世紀後,阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業的興盛,航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時,歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函式值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯製作了間隔10秒(10′′)的正弦表,有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義,原來稱弧對應的弦長是正弦,瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後,數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。  18世紀開始,隨著解析幾何等分析學工具的引進,數學家們開始對三角函式進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函式的無窮級數表示。英語:Collins將牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高裡,後者進一步給出了正切等三角函式的無窮級數。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結果。尤拉的《無窮小量分析引論》(英語:"Introductio in Analysin Infinitorum",1748年)對建立三角函式的分析處理做了最主要的貢獻,他定義三角函式為無窮級數,並表述了尤拉公式,還有使用接近現代的簡寫英語:"sin."、英語:"cos."、英語:"tang."、英語:"cot."、英語:"sec."和英語:"cosec."。  1631年徐光啟與鄧玉函、湯若望合撰《大測》首次將三角函式引入中國並確立了正弦、餘弦等譯名。

  

  在直角三角形中僅有銳角(大小在0到90度之間的角)三角函式的定義。給定一個銳角formula_9,可以做出一個直角三角形,使得其中的一個內角是formula_9。設這個三角形中,formula_9的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是formula_12,那麼

  設formula_13是平面直角座標系formula_14中的一個點,formula_9是橫軸正向formula_16逆時針旋轉到formula_17方向所形成的角,formula_18是formula_19到原點formula_20的距離,則formula_9的六個三角函式定義為:  這樣可以對0到360度的角度定義三角函式。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當formula_22 的時候,formula_23和formula_24都沒有意義,這說明對於90度角和270度角,正切和正割沒有定義。同樣地,對於0度角和180度角,餘切和餘割沒有定義。

  三角函式也可以依據直角座標系formula_14中半徑為1,圓心為原點formula_20的單位圓來定義。給定一個角度formula_9,設formula_28為起始點,如果formula_29則將formula_30逆時針轉動,如果formula_31則順時針移動,直到轉過的角度等於formula_9為止。設最終點轉到的位置為formula_13,那麼: 這個定義和座標系的定義類似,但角度可以是任何的數值。對於大於360°或小於-360°的角度,可以認為是逆時針(順時針)旋轉了不止一圈。而多轉或少轉了整數圈不會影響三角函式的取值。如果按弧度制的方式記錄角度,將弧長作為三角函式的輸入值(360°等於formula_34),那麼三角函式就是取值為全體實數R,週期為formula_34的周期函式。比如:  周期函式的最小正週期叫做這個函式的基本週期。正弦、餘弦、正割或餘割的基本週期是formula_34弧度或360°;正切或餘切的基本週期是formula_39弧度或180°。

  從幾何定義中可以推匯出很多三角函式的性質。比如說,正弦函式、正切函式、餘切函式和餘割函式是奇函式,餘弦函式和正割函式是偶函式。正弦和餘弦函式的影象形狀一樣(見右圖),可以看作是沿座標橫軸平移得到的兩個函式。正弦和餘弦函式關於formula_40軸對稱。正切函式和餘切函式、正割函式和餘割函式也分別如此。

  不同的三角函式之間存在很多對任意的角度取值都成立的等式,被稱為三角恆等式。其中最著名的是畢達哥拉斯恆等式,它說明對於任何角,正弦的平方加上餘弦的平方總是1。這可從斜邊為1的直角三角形應用勾股定理得出。用符號形式表示,畢達哥拉斯恆等式為: 因此可推匯出:  另一個關鍵的聯絡是和差公式,它根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦。它們可以用幾何的方法使用托勒密的論證方法推匯出來;還可以用代數方法使用尤拉公式得出。  當兩個角相同的時候,和角公式簡化為更簡單的等式,稱為二倍角公式(或倍角公式)。  這些等式還可以用來推導積化和差恆等式,以前曾用它把兩個數的積變換成兩個數的和而像對數那樣使運算更加快速。(利用制好的三角函式表)

  三角函式的積分和導數可參見導數表、積分表和三角函式積分表。下面是六個基本三角函式的導數和積分的列表。

  

  幾何學中,三角函式的定義是建立在幾何直觀上的,只用幾何和極限的性質,就可直接獲知正弦和餘弦的導數。分析學中,三角函式是解析函式,數學家用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義: 可以證明以上的無窮級數對任意實數formula_50都是收斂的,所以很好地定義了正弦和餘弦函式。  三角函式的級數定義經常被用做三角函式的嚴格處理和應用的起點(比如,在傅立葉級數中),因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發展而來,不需要任何幾何方面的考慮。這樣,這些函式的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。  其他三角函式的級數定義: 其中formula_55是伯努利數,formula_56是尤拉數。  這些定義也可以看作是每個三角函式作為實函式的泰勒級數。從複分析的一個定理得出,這個實函式到複數有一個唯一的解析擴充套件。它們有同樣的泰勒級數,所以複數上的三角函式是使用上述級數來定義的。

  可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函式分別是復指數函式在它的自變數為純虛數時候的虛數和實數部分:  這個關係式首先被尤拉注意到,因此叫做尤拉公式 。從中可推出,對實數, 進一步還可以定義對復自變數的三角函式:

  除了上述六個基本函式,歷史上還有下列幾個較少見的三角函式:

  三角函式在物理學中是研究振動和波的不可或缺的工具。例如簡諧振動滿足以下微分方程,正弦和餘弦函式都滿足  就是說,它們加上自己的二階導數都等於0函式。在由所有這個方程的解的二維向量空間formula_65中,正弦函式是滿足初始條件formula_66和formula_67的唯一解,而餘弦函式是滿足初始條件formula_68和formula_69的唯一解。因為正弦和餘弦函式是線性無關的,它們在一起形成了formula_65的基。這種定義正弦和餘弦函式的方法本質上等價於使用尤拉公式。(參見線性微分方程)。很明顯這個微分方程不只用來定義正弦和餘弦函式,還可用來證明正弦和餘弦函式的三角恆等式。進一步的,觀察到正弦和餘弦函式滿足formula_71,這意味著它們是二階導數運算元的特徵函式。  正切函式是非線性微分方程  滿足初始條件formula_66的唯一解。有一個非常有趣的形象證明,證明了正切函式滿足這個微分方程;參見英語:Needham的"Visual Complex Analysis"。

  弧度通過測量沿著單位圓的路徑的長度而指定一個角,並構成正弦和餘弦函式的特定輻角。特別是,只有對映弧度到比率的那些正弦和餘弦函式才滿足描述它們的經典微分方程。如果正弦和餘弦函式的弧度輻角是正比於頻率的 則導數將正比於“振幅”。  這裡的"k"是表示在單位之間對映的常數。如果"x"是度,則  如果"x"是圈(轉,formula_34弧度,formula_78度),則  這意味著使用度(或圈)的正弦的二階導數不滿足微分方程 但滿足 對餘弦也是類似的。  這意味著這些正弦和餘弦是不同的函式,因此只有它的輻角是弧度的條件下,正弦的四階導數才再次是正弦。因為凡是作為函式意義上的正弦、餘弦、正切,都只用弧度定義,而不用360度的角度定義。

  在數學分析中,可以利用基於和差公式這樣的性質的函式方程來定義三角函式。例如,取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式,可以證明只有兩個實函式滿足這些條件。即存在唯一的一對實函式formula_1和formula_2使得對於所有實數formula_50和formula_85,下列方程成立: 並滿足附加條件 從其他函式方程開始的推導也是可能的,這種推導可以擴充套件到複數。作為例子,這個推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學。

  三角函式的計算是個複雜的主題,由於計算機和提供對任何角度的內建三角函式的科學計算器的廣泛使用,現在大多數人都不需要了。本節中將描述它在三個重要背景下的計算詳情:歷史上三角函式表的使用,計算機使用的現代技術,以及容易找到簡單精確值的一些“重要”角度。(下面只考慮一個角度小範圍,比如0到formula_90,因為通過三角函式的週期性和對稱性,所有其他角度可以化簡到這個範圍內。) 有計算機之前,人們通常通過對計算到多個有效數字的三角函式表的內插來計算三角函式的值。這種表格在人們剛剛產生三角函式的概念的時候就已經有了,它們通常是通過從已知值(比如formula_91)開始並重復應用半形和和差公式而生成。  現代計算機使用了各種技術。一個常見的方式,特別是在有浮點單元的高階處理器上,是組合多項式或有理式逼近(比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近,和典型用於更高或可變精度的泰勒級數和羅朗級數)和範圍簡約與表查詢—首先在一個較小的表中查詢最接近的角度,然後使用多項式來計算修正。在缺乏硬體乘法器的簡單裝置上,有叫做CORDIC演算法的一個更有效演算法(和相關技術),因為它只用了移位和加法。出於效能的原因,所有這些方法通常都用硬體來實現。  對於非常高精度的運算,在級數展開收斂變得太慢的時候,可以用算術幾何平均來逼近三角函式,它自身通過複數橢圓積分來逼近三角函式。

  對於一些簡單的角度,使用畢達哥拉斯定理(也就是勾股定理)可以很容易手工計算三角函式的值。事實上,formula_92 弧度(3°)的任何整數倍的正弦、餘弦和正切都可以手工計算。以下是一些常用的特殊函式值。 注:有時候formula_93會被寫作無定義(不存在)。

  由於三角函式屬於周期函式,而不是單射函式,所以嚴格來說並沒有反函式。因此要定義其反函式必須先限制三角函式的定義域,使得三角函式成為雙射函式。基本的反三角函式定義為:  對於反三角函式,符號formula_94和formula_95經常用於formula_96和formula_97。使用這種符號的時候,反函式可能跟三角函式的倒數混淆。使用“formula_98”字首的符號避免了這種混淆,儘管“formula_99”可能偶爾跟“arcsecond”混淆。  正如正弦和餘弦那樣,反三角函式也可以根據無窮級數來定義。例如, 這些函式也可以通過證明它們是其他函式的原函式來定義。例如反正弦函式,可以寫為如下積分: 可以在反三角函式條目中找到類似的公式。使用複對數,可以把這些函式推廣到複數輻角上:

  三角函式,正如其名稱那樣,在三角學中是十分重要的。在三角學研究中,數學家們發現了許多利用三角函式來刻畫三角形、圓形或多邊形的定理。

  正弦定理聲稱對於邊長為formula_105, formula_106和formula_107而相應角為formula_108, formula_109和formula_110的三角形,有: 其中formula_112是三角形的外接圓半徑。正弦定理用於在一個三角形的兩個角和一個邊已知時計算未知邊的長度。這是三角測量中常見情況。

  餘弦定理(也叫做餘弦公式)是托勒密定理的推廣: 也可表示為:

  還有一個正切定理:

  formula_116  其中 formula_117為三角形的內切圓半徑, formula_118為三角形的半周長。

  三角函式在物理中也是重要的。例如,正弦和餘弦函式被用來描述簡諧運動,它描述了很多自然現象,比如附著在彈簧上的物體的振動,掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和餘弦函式是圓周運動的一維投影。  三角函式在一般周期函式的研究中也很有用。這些函式有作為影象的特徵波模式,在描述迴圈現象比如聲波或光波的時候是很有用的。每一個訊號都可以記為不同頻率的正弦和餘弦函式的(通常是無限的)和;這是傅立葉分析的基礎想法,這裡的三角級數可以用來解微分方程的各種邊值問題。例如,方波可以寫為傅立葉級數  在右邊的動畫中,可以看到只用少數的項就已經形成了非常準確的估計。
三角函式(英語:Trigonometric functions)是數學中常見的一類關於角度的函式。三角函式將直角三角形的內角和它的兩個邊的比值相關聯,也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函式在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用,也是研究振動、波、天體運動以及各種週期性現象的基礎數學工具。在數學分析中,三角函式也被定義為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們的取值擴充套件到任意實數值,甚至是複數值。 常見的三角函式包括正弦函式(formula_1)、餘弦函式(formula_2)和正切函式(formula_3或者formula_4);在航海學、測繪學、工程學等其他學科中,還會用到如餘切函式(formula_5或者formula_6)、正割函式(formula_7)、餘割函式(formula_8)、正矢函式、半正矢函式等其他的三角函式。不同的三角函式之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恆等式。