Can you summarize the following document?
        
  在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉,即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量,且具有可加性。  1910年,弗拉基米爾·瓦里卡克和E. T. 惠特克提出用此引數來取代速度的觀念。而這個引數被阿爾弗雷德·羅伯 (1911)命名為快度,並隨後被許多筆者所採用,如盧迪威格·席柏斯坦 (1914),愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

  雙曲函式xy=1的求積法,是由格雷瓜爾·德·聖-文森特提出的,他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積,可以用自然對數描述。 在時空理論中,類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“(絕對)過去”、“(絕對)未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上,一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸,向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線"x" = "y"。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線"xy" = 1來表示,其中速度為零的點對應到點formula_1。任何一個雙曲線上的點都能以點formula_2 表示,其中的即為快度,同時也是從點formula_1 到點formula_2與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時,會使用單位雙曲線formula_5,將快度作為引數曲線的引數。而此時的座標可以用時鐘和米尺來測量,並選用更加常見的基準,這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲引數,這樣的描述是參考了十七世紀時超越函式理論的發展,以及閔考斯基圖。

  快度出現在勞倫茲變換的線性表示法中,此時勞倫茲變換被表示為向量-矩陣乘積  矩陣為formula_7的形式,其中和滿足關係,因此將會落在單位雙曲線上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1),伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數,顯示出快度是這個李代數上的座標,這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中,可以被表示為formula_8,其中是單位反對角矩陣  不難證明 這顯現出了快度實用的求和性質:若,和 為參考座標系,則 其中 表示了參考座標系相對於參考座標系的快度。與速度加成式相比,這個式子更為簡潔。  我們可以從上述的勞倫茲轉換看出,勞倫茲因子等同於  因此快度作為一個雙曲角,隱含在勞倫茲轉換中的和β中。我們將快度與速度加成式聯絡在一起  藉由  從而得到  和的乘積時常出現,從先前的討論可知  固有加速度(一個加速物體實質感受到的加速度)是快度對於固有時間(一個加速物體本身所量測到的時間)的變化率。假想在物體的運動過程中,與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系,若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度,則計算結果將是這個物體的快度。

  由上述的表示式可以得到  因此  或是更加清楚地表示為  相對論性都普勒效應因子與快度的關係為formula_20。

  相對論性速度formula_21與快度formula_22為下列關係所聯絡  其中的向量formula_24是勞侖茲群對應的李代數formula_25中,由三個推進生成元formula_26張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的formula_27。因為光速formula_28是速度量值的上限(選用單位使得formula_29),所以速度符合條件formula_30,因此速度空間可以用一個半徑為formula_31的開球formula_32表示。  一般性的快度求和公式為  其中formula_34對應到速度加成式,formula_35是formula_21方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為formula_37的快度formula_38之和的模formula_39(歐氏空間中的長度)由余弦的雙曲關係給出  快度空間上的幾何結構,透過對應的對映繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地,這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此,二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像,其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間,可以透過同樣的方法,與雙曲面模型建立保距同構。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。  兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值,整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量formula_41來引數化的旋轉,兩者組合而成。  這裡使用到了物理學家慣用的指數對映。 這是交換法則所致的結果  其中formula_44是旋轉群的生成元,formula_45,這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於引數formula_41的計算方法。

  一個非零(靜止)質量粒子的能量以及動量的大小 為: 透過快度的定義 並且 能量和動量大小可以被表示為 所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出:  然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義 其中是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度,相關的概念可以參考條目贗快度。
在相對論中,快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上,快度可以被定義成一個雙曲角,這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之間的差異——它們的時空座標為洛侖茲變換所聯絡。