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  一個在兩個仿射空間之間的仿射變換,是在向量上呈現線性之座標點的變換(即為空間中點與點之間的向量)。以符號表示的話,"formula_6'使得 "formula_7",決定任一對點的線性變換: formula_8:  或者 formula_10.

  我們可以將此定義繼續延伸: 假設選定一原點, formula_11且 formula_12表示其影象formula_13, 如此即代表對任何向量 formula_14: formula_15 假設選定一原點formula_16,此即可以拆解成一仿射變換formula_17 使得 formula_18, 特定而言  總結即,很直觀的, formula_6包含了一個變換與線性座標。 給定同一場中的兩個仿射空間formula_21 與 formula_22, 一函式formula_23 為一仿射對映當且僅當對任一加權點的集合 formula_24 of weighted points in formula_21於 such that  我們得到  此定義等價於 formula_6 保留了 質心.

  如上所示,仿射變換為兩函式的複合:平移及線性對映。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性對映, 用向量加法表示平移。正式言之,於有限維度之例中,假如該線性對映被表示為一矩陣「A」,平移被表示為向量 formula_28,一仿射對映 formula_6可被表示為

  使用一 增廣矩陣 與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性對映是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長 “1”且所有矩陣都於底部新增一排零,右邊擴長一列轉換向量,及右下角新增一個 “1”。  等價於  以上所言之擴長矩陣被稱為 “仿射變換矩陣”,又或稱為 “投射變換矩陣” (其可應用於 投影轉換).  此表示法以 "K"之半直積 與 GL("n", "k")展示了 所有可逆 仿射變換的集合。 此為一個於眾函式集結下進行的一個 群, 被稱為 仿射群  普通矩陣向量乘法總將原點對映至原點,因此無法呈現平移(原點必須對映至其他點)。藉由於所有向量上擴增一座標 “1”,我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中,原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。 因此原空間的原點可在(0,0,... 0, 1). 原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成(即為錯切變換)。在高維度中的座標即為 齊次座標的一例。 假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間.  使用齊次座標的優點為,藉由相對應矩陣之乘積,可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於 計算機圖形, 計算機視覺 與機器人學。

  仿射變換保留了:  仿射變換為可逆的當且僅當formula_38為可逆的。用矩陣表示,其逆元為:  formula_39  可逆仿射變換組成仿射群,其中包含具n階的一般線性群為子群,且自身亦為一 formula_40 階的一般線性群之子群。 當A為常數乘以正交矩陣時,此子集合構成一子群,稱之為相似變換。舉例而言,假如仿射變換於一平面上且假如 formula_38 之行列式為 formula_42 或 formula_43,那麼該變換即為等面積變換。此類變換組成被稱為"等仿射群"的子群。一同時為等面積變換與相似變換的變換,即為一平面上保持歐幾里德距離不變的保距對映。  這些群都有一保留了原定向的子群,也就是其對應之 formula_38 的行列式大於零。最後一個例子,即三維空間中剛體的運動組成的群(旋轉和平移),剛體的運動在機器人學中尤為常用。  如果有一固定點,我們可以將其當成原點,則仿射變換被縮還到一線性變換。這使得變換更易於分類與理解。舉例而言,將一變換敘述為特定軸的旋轉,相較於將其形容為平移與旋轉的結合,更能提供變換行為清楚的解釋。只是,這取決於應用與內容。

  

  函式,,其中"m"與"c"為常數,此即為一般之仿射變換。

  以下等式表示了有限體(2)中的仿射變換:  此處[M]為矩陣 且 {v} 為向量 : 舉例來講,將以大端序二進位制表示的元素{a} = "y" + "y" + "y" + "y" = {11001010}轉換成大端序十六進位制,計算如下: 於是, {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED}。

  在 R,左方所示之變換即為以下對映:  將原紅色三角形之三個頂點作變換後給出了新藍色三角形的三個頂點。事實上,所有三角形皆可由仿射變換來達成,所有平行四邊形也可以,但一般四邊形不行。
仿射變換,又稱仿射對映,是指在幾何中,對一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移,變換為另一個向量空間。