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  一個複數序列  被稱為柯西列,如果對於任何正實數formula_2,存在一個正整數formula_3使得對於所有的整數formula_4,都有  其中的豎線表示絕對值或模。  類似地,我們可以定義實數的柯西列。

  為了將柯西列的定義推廣到一般的度量空間,必須將絕對值替換為該度量空間中的距離。  形式上說,給定任何一個度量空間formula_6,一個序列  被稱為柯西列,如果對於任何正實數formula_2,存在一個正整數formula_3使得對於所有的整數formula_10,都有  其中formula_12表示formula_13和formula_14之間的距離。  直觀上說,一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限,而事實上在某些情況下這個結論是不對的。

  這個數列趨於 formula_18,但formula_18不屬於formula_15,因此這個數列不收斂。

  一個度量空間formula_25中的所有柯西數列都會收斂到 formula_25 中的一點,那麼formula_25被稱為是一個完備空間。  實數是完備的,而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。  有理數formula_28在通常定義的距離意義下不是完備的:  存在某個由有理陣列成的序列,收斂到某個無理數,所以這數列在有理數這空間是不收斂的。  例如:

  任何收斂數列必然是柯西列,任何柯西列必然是有界序列。  如果formula_35是一個由度量空間formula_36到度量空間formula_3的一致連續的對映,並且formula_38是formula_36中的柯西列,那麼formula_40也必然是formula_3中的柯西列。  如果formula_38和formula_43是有理數、實數或複數構成的柯西列,那麼formula_44和formula_45也是柯西列。

  

  在一個拓撲向量空間formula_25中同樣可以定義一個柯西列:在formula_25選擇一個formula_48區域性基formula_49,如果對於formula_49中的任何元素formula_51,存在一個正整數formula_3使得對於任意的formula_10而言,序列formula_54滿足formula_55,那麼這個序列就稱為一個柯西列。  如果這個拓撲向量空間formula_25上有恰好可以引入一個平移不變度量formula_57,那麼上述方法定義的柯西列和利用這個度量formula_57定義的柯西列是等價的。

  在一個群中,同樣可以定義柯西列:  命formula_59表示一列有限指標的遞減的formula_60的正規子群,那麼群formula_60中一個序列formula_38稱為柯西列(對於上述formula_63而言),當且僅當對於任意的formula_64,存在正整數formula_3使得對於任意的formula_66,都有formula_67。  如果用formula_68表示所有的這樣定義的柯西列組成的集合,那麼formula_68在序列點點相乘的意義下構成一個新的群。而且formula_70,即所有空序列(對於任意formula_64,存在formula_3使得對於任意formula_73,都有formula_74)構成了formula_68的正規子群。而商群formula_76稱為formula_60相對於formula_63的完備化(。  可以證明,這個完備化同構與序列formula_79的逆向極限同構。  如果formula_63是個共尾序列(即任何有限的正規子群均包含某個formula_81),那麼這個完備化在與formula_82的逆極限同構的意義下是規範的,這裡的formula_63跑遍所有有限的正規子群。
在數學中,柯西序列、柯西列、柯西數列或基本列是指這樣一個數列,它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說,在去掉有限個元素後,可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正數。柯西列是以數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名的。