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  高斯整數形成了一個唯一分解整環,其可逆元為formula_5。  高斯整數formula_9是素數當且僅當:  或  以下給出這些條件的證明。  必要條件的證明為:僅當高斯整數的範數是素數,或素數的平方時,它才是高斯素數。這是因為對於任何高斯整數formula_15,formula_16。現在,formula_17是整數,因此根據算術基本定理,它可以分解為素數formula_18的乘積。根據素數的定義,如果formula_15是素數,則它可以整除formula_20,對於某個formula_21。另外,formula_22可以整除formula_23,因此formula_24。於是現在只有兩種選擇:要麼formula_15的範數是素數,要麼是素數的平方。  如果實際上對於某個素數formula_26,有formula_27,那麼formula_15和formula_22都能整除formula_30。它們都不能是可逆元,因此formula_31,以及formula_32,其中formula_33是可逆元。這就是說,要麼formula_34,要麼formula_35,其中formula_36。  然而,不是每一個素數formula_26都是高斯素數。formula_38就不是高斯素數,因為formula_39。高斯素數不能是formula_40的形式,因為根據費馬平方和定理,它們可以寫成formula_14的形式,其中formula_42和formula_43是整數,且formula_44。剩下的就只有形為formula_11的素數了。  形為formula_11的素數也是高斯素數。假設formula_47,其中formula_48是素數,且可以分解為formula_49。那麼formula_50。如果這個分解是非平凡的,那麼formula_51。但是,任何兩個平方數的和都不能寫成formula_11的形式。因此分解一定是平凡的,所以formula_15是高斯素數。  類似地,formula_21乘以一個形為formula_11的素數也是高斯素數,但formula_21乘以形為formula_40的素數則不是。  如果formula_15是範數為素數的高斯整數,那麼formula_15是高斯素數。這是因為如果formula_49,那麼formula_61。由於formula_17是素數,因此formula_63或formula_64一定是1,所以formula_65或formula_66一定是可逆元。

  高斯整數環是formula_67在高斯有理數域中的整閉包,由實數部分和虛數部分都是有理數的複陣列成。

  在圖中很容易看到,每一個複數與最近的高斯整數的距離最多為formula_68個單位。因此,formula_1是一個歐幾里德環,其中formula_70。

  高斯圓問題是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點的問題。它本身並不是關於高斯整數的,但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。  關於高斯整數,還有一些猜想和未解決的問題,例如:  實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯素數formula_71。在複平面上,還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯素數嗎?特別地,實數部分為formula_6的直線上存在無窮多個高斯素數嗎?  在高斯素數上行走,步伐小於某個給定的值,可以走到無窮遠嗎?
高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整陣列成了一個整域,寫作formula_1,是個不可以轉成有序環的歐幾里得整環。