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  設formula_1是複平面formula_2的一個單連通的開子集。formula_3是一個formula_1上的全純函式。設formula_5是formula_1內的一個簡單閉合的可求長曲線(即連續而不自交併且能定義長度的閉合曲線),那麼函式formula_7在formula_5內部的點formula_9上的值是:  其中的積分為沿著formula_5逆時針方向的積分。  以上公式說明,全純函式必然是無窮次可導的。這是因為假設以上的公式對函式formula_7的"n"階導數成立: 對上式等號右側的積分進行"n"次分部積分變換就可得到對"n"階導數的柯西積分公式: 有時也稱作柯西微分公式。右端是一個復可微的函式。這說明formula_7的"n"階導數仍然是復可微的。所以依據數學歸納法可知formula_7是無窮次可導的,並且柯西微分公式對任意階的導數都成立。  如果函式formula_7僅在formula_5內部是全純函式,在邊界formula_5上僅僅是連續函式,那麼只有函式formula_7的柯西積分公式成立,而微分公式不一定成立。

  選定以formula_9為圓心,在formula_5內部的一個圓盤formula_23,它的邊界是圓formula_24。函式formula_25在閉合區域formula_26上是全純函式,所以根據柯西積分定理,它在邊界上的積分等於0: 其中formula_28的標記表示沿“內邊界”formula_29的積分是順時針方向。所以將這個積分改為沿逆時針方向formula_30後,就能得到: 這個等式與圓盤formula_32的半徑formula_33無關,也就是說無論圓盤多麼小,這個等式都成立。注意到當半徑formula_33趨於0的時候,函式formula_7在圓formula_29上的值基本上等於formula_37。所以 這說明

  考慮函式:formula_40以及閉合區域:|"z"| = 2。這是一個以原點為圓心,半徑為2的圓,以下記作formula_41. 下面使用柯西積分公式計算formula_42沿formula_41的積分。  首先,函式formula_44有兩個極點,分別是方程formula_45的兩個復根:formula_46 formula_47 它們的模長都小於2,所以都在formula_41的內部。函式可以寫成formula_44: formula_44在兩個極點附近趨於無窮。在兩個極點周圍各作一個小圓圈:formula_52和formula_53,應用柯西積分定理可知,所要求的積分 注意到函式formula_55在formula_53內部是全純函式,所以在formula_53上的積分: 同理,函式formula_59在formula_52內部是全純函式,所以 所以
柯西積分公式是數學中複分析的一個重要結論,以十九世紀法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名。柯西積分公式說明了任何一個閉合區域上的全純函式在區域內部的值完全取決於它在區域邊界上的值,並且給出了區域內每一點的任意階導數的積分計算方式。柯西積分公式是複分析中全純函式“微分等同於積分”特性的表現。而在實分析中這樣的結果是完全不可能達到的。