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  傳說中,這問題的來源,可追溯到公元前429年。一場瘟疫襲擊了希臘提洛島(Delos),造成四分之一的人口死亡。島民們去神廟請示阿波羅的旨意,神諭說:要想遏止瘟疫,得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍,結果體積當然就變成了8倍,瘟疫依舊蔓延;接著人們又試著把體積改成原來的2倍,但形狀卻變為一個長方體......第羅斯島人在萬般無奈的情況下,只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。  開始,柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗,覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形,使它的面積等於已知正方形的2倍,那麼作一個正方體,使它的體積等於已知正方體體積的2倍,還會難嗎?

  在敘述倍立方問題前,首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的“直尺和圓規畫圖可能性”問題抽象出來的數學問題,將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定,研究的是能不能在若干個具體限制之下,在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中,直尺和圓規的定義是: 定義了直尺和圓規的特性後,所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟,稱為作圖公法: 尺規作圖研究的,就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複,達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是:“給定某某條件,能否用尺規作出某某物件?”比如:“給定一個圓,能否用尺規作出這個圓的圓心?”,等等。

  倍立方問題的完整敘述是:  如果將給定線段的長度定為單位長度,則倍立方問題實質上就是要作出長度為單位長度的formula_1倍的線段。

  與倍立方問題相比,倍平方問題要簡單得多。給定一個單位長度的線段,只需做一個以它為邊長的正方形,以正方形的對角線為邊長的正方形,面積就是2. 也即是說,尺規作圖可以作出長度為單位長度的formula_4倍的線段。然而,formula_1和formula_4雖然形狀相近,卻有本質性的區別。數學家們直到十九世紀後,才從群論和域論的工具中瞭解了這個區別。

  \mathrm{E}_n.</math>  另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設是從集合={(0,0), (0,1)}開始,尺規可作點的集合:formula_7 那麼規矩數定義為中的點的橫座標和縱座標表示的數。  可以證明,有理數集formula_8是所有規矩數構成的集合的子集,而又是實數集formula_9的子集。另外,為了在複數集formula_10內討論問題,也會將平面formula_11看作複平面formula_10,同時定義一個複數是(復)規矩數當且僅當點是中的一個點。所有復規矩數構成的集合也包含formula_8作為子集,並且是複數集formula_10的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數,尺規作圖問題從幾何問題轉成了代數的問題。

  以集合的觀念來說,與formula_8、formula_10之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說,可以證明是有理數域formula_8的擴域,是實數域formula_10的子域。記作formula_19。域是抽象代數中的概念,是能夠進行“加減乘除”運算的集合。從單位長度出發,很容易得到任何有理數長度的線段,所以直線(也就是實數軸)上所有的有理數座標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點(對應複數),那麼也能做出任意的點,甚至於任何形如: 的點(其中和是兩個多項式)。有理數域formula_8和所有因為而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域,稱為formula_8關於的擴張,記作formula_23。然而,formula_23中的元素並沒有表面上那麼“多”。一般來說,如果有一個多項式使得=0,那麼formula_23中的元素都可以寫成的形式,其中是的階數。這樣的情況稱為域formula_8的有限擴張,因為formula_23可以看成關於formula_8的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數,需要為它找一個基底,也就是一個線性無關的最小生成集。為此,尋找使得=0的多項式中階數最小的,並稱是最小多項式。在最小多項式確定後,便可確定是formula_23的一個基底,formula_23是一個維的formula_8-線性空間(是的階數)。這時候也稱是域擴張formula_32的階數,記作:

  對任何一個尺規可作點,都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的,而其中生成新點(也就是新座標)的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻,已知的所有尺規可作點構成的域是,那麼生成新點時的直線和圓的係數都在裡面。 無論是兩個(1)類方程,兩個(2)類方程,還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解,得到的和值都會是形同 的數值。所以復規矩數=滿足一個二次方程: 其中的、以及都是中的元素。這意味著,域擴張的階數最多是2(最小多項式的階數至多是2)。這又說明,從開始,經過一系列(次)基本步驟得到的尺規可作點,代表了次域擴張: 而每次域擴張的階數:都不超過2。因此,如果從基本的有理數域出發的話,就能得到如下的定理:  其中的是某個小於的自然數(是已知所有有理數座標點時,作出對應的點要經過的基本步驟數目)。

  證明使用反證法。倍立方問題是指已知單位長度1,要作出formula_1的長度。反設formula_1可以作出,說明它是一個規矩數。所以域擴張的階數formula_41應該是2的冪次。然而,formula_42的最小多項式是: 這說明域擴張formula_44的階數是3,不是2的冪次,這與先前的結論矛盾。所以,用尺規方法無法作出一個立方體,使得它的體積是已知立方體的兩倍。

  如果使用有刻度的直尺(二刻尺),則倍立方是有可能的:

  由 formula_46  得  又根據餘弦定理  formula_48  現在設formula_49,則formula_50由孟氏定理  可得 兩邊平方後整理  此方程式有唯一正實根
倍立方是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的著名問題,和三等分角、化圓為方問題被並列為古希臘尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一,是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化,研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。倍立方問題的內容是: