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  若"k"個隨機變數"formula_11"、......、"formula_12"是相互獨立,符合標準正態分佈的隨機變數(數學期望為0、方差為1),則隨機變數"Z"的平方和 被稱為服從自由度為 "k" 的卡方分佈,記作

  可以在文章右上角的表中看到更多卡方分佈的性質。

  卡方分佈的概率密度函式為: 其中x≥0,當x≤0時formula_17。這裡Γ代表Gamma函式。

  卡方分佈的累積分佈函式為: 其中γ(k,z)為不完全Γ函式  在大多數涉及卡方分佈的書中都會提供它的累積分佈函式的對照表。此外許多表格計算軟體如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分佈函式。  自由度為"k"的卡方變數的平均值是"k",方差是"2k"。 卡方分佈是伽瑪分佈的一個特例,它的熵為:  其中formula_20是雙伽瑪函式。

  當Gamma變數 頻率(λ)為1/2時,α的2倍為卡方變數之自由度。 即:  卡方變數之期望值=自由度 卡方變數之方差=兩倍自由度

  由定義可得,獨立卡方變數之和同樣服從卡方分佈。特別地,若formula_24分別獨立服從自由度為formula_25的卡方分佈,那麼它們的和formula_26服從自由度為formula_27的卡方分佈。

  若"k"個隨機變數"formula_11"、......、"formula_12"是相互獨立,符合標準正態分佈的隨機變數,則它們與均值之間偏差的平方和  formula_30  其中均值  formula_31  它的平方正比於自由度為1的卡方分佈,即  formula_32

  p-value = 1- p_CDF.  χ2越大,p-value越小,則可信度越高。通常用p=0.05作為閾值,即95%的可信度。  常用的χ2與p-value表如下:
\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{21} e^{-\frac{x}{2}}\,