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  如圖formula_1分別是formula_2的垂心,重心,外心。  設formula_3為直線formula_4和formula_2外接圓的交點,並連結formula_6。  由於formula_7是直徑,因此formula_8和formula_9。  又由於formula_10是垂心,因此formula_11和formula_12。  於是formula_13,formula_14。  於是formula_15為平行四邊形。  formula_16  formula_17分別是formula_18的中點,  formula_19,  formula_20  作formula_21邊上的中線formula_22連結formula_23  設formula_24交formula_25於點formula_26  formula_27,  formula_28,  formula_29即formula_30的重心formula_31  formula_32的垂心formula_33重心formula_34外心formula_35三點共線formula_36直線formula_37即尤拉線

  九點圓的圓心也在尤拉線上,且在垂心到外心的線段的中點  如圖,H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三邊中點I,三高的垂足H,和頂點到垂心的三條線段的中點J  令HΩ和JI的交點為K,∵BΩ=CΩ,BI=CI,∴ΩI⊥BC,又∵AH⊥BC,∴ΩI∥AH。  ∵∠GΩI=∠AHG,∠GAH=∠GIΩ,∴△AGH∽△GΩI。∵AG=2GI,∴AH=2ΩI,即ΩI=JH。  ∵ΩI∥AH, JH=ΩI ∴JK=KI, HK = KΩ。  同理JK=KI, JK=KI。 可知K為九點圓圓心。  ∵點K在HΩ上,HK = KΩ  ∴九點圓圓心在尤拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。
在平面幾何中,尤拉線,或稱尤拉線(圖中的紅線)是指過三角形的垂心(藍)、外心(綠)、重心(黃)和九點圓圓心(紅點)的一條直線。萊昂哈德·尤拉也稱尤拉證明了在任意三角形中,以上四點共線。尤拉線上的四點中,九點圓圓心到垂心和外心的距離相等,而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在尤拉線上,除了等腰三角形外。