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  對於有限CW-復形(CW-Complex)包括有限單純復形(simplicial complex),尤拉示性數可以定義為交錯和  其中formula_5表示formula_6維胞腔的個數。  然後,可以把流形的尤拉示性數定義為一個和它同胚的單純復形的尤拉示性數。例如,圓圈和環面其尤拉示性數為0而實心球尤拉示性數為1。  閉可定向曲面的尤拉示性數可以通過它們的虧格"g"來計算  閉不可定向曲面的尤拉示性數可以用下式通過它們的(不可定向)虧格"k"來計算  尤拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用於到任意多邊形的分解。  對於圓盤,我們有formula_9,對於平面我們有formula_10,數的時候把外面作為一個面。  對於閉流形,尤拉示性數和尤拉數,也就是其切叢的在流形的基本類上計算的尤拉類。  對於閉黎曼曲面,尤拉示性數也可以通過曲率的積分得到—參看對於二維情況的高斯-博內定理(Gauss-Bonnet)和對於一般情況的廣義高斯-博內定理。高斯-博內定理的離散情況的對應是笛卡兒定理,它表明多面體用完整圓圈測量的“總虧量”,是多面體的尤拉示性數;參看虧量。  更一般的,對於所有拓撲空間,我們可以定義第"n"個貝蒂數formula_11作為第"n"個同調群的階。尤拉示性數可以定義為如下交換和  這個定義在貝蒂數全都有限並且在一個特定指標formula_13以外為0時有意義。  兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群,所以有相同的尤拉示性數。  從這個定義和龐加萊對偶性,可以得到所有閉合奇數維流形的尤拉數為0的結論。  如果"M"和"N"是拓撲空間,則它們的積空間"M" × "N"的尤拉示性數為

  有界偏序集(partially ordered set,簡稱poset)的尤拉示性數的概念是另一種推廣,在組合論中很重要。一個偏序集“有界”,如果它有最小和最大元素,我們把它們叫作0和1。這樣一個偏序集的尤拉示性數是μ(0,1),其中μ是在偏序集的相交代數(incidence algebra)中的默比烏斯函式。

  第一個尤拉公式的嚴格證明,由20歲的柯西給出,大致如下:  從多面體去掉一面,通過把去掉的面的邊互相拉遠,把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性,可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是,點,邊和麵的個數保持不變,和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)  重複一系列可以簡化網路卻不改變其尤拉數(也是尤拉示性數)"F" − "E" + "V"的額外變換。  重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形"F" = 2(把外部數在內),"E" = 3,"V" = 3。所以"F" − "E" + "V" = 2。證畢。
在代數拓撲中,尤拉示性數(英語:Euler characteristic)是一個拓撲不變數(事實上,是同倫不變數),對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作formula_1。