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  要想找到高斯積分的閉合形式,首先定義一個近似函式:  高斯積分可以通過它的極限來運算:  對formula_7取平方獲得  根據富比尼定理,以上的雙重積分可以被看作是直角座標系上一個正方形的面積積分formula_9,其頂點為formula_10。  不論formula_11為任何實數,指數函式formula_12均大於0,所以這個正方形的內切圓的積分必須小於formula_13。同理,正方形的外接圓積分必須大於formula_13。通過從直角座標系轉化到極座標系formula_15, formula_16, formula_17,可以計算出這兩個圓面的積分:  得到  使用夾擠定理獲得高斯積分

  由於被積分的函式是一個偶函式,  通過替代變數它可以變成一個尤拉積分  這裡formula_23是Γ函式。這說明了為什麼一個半整數的階乘是formula_24的倍數。更廣義地,

  

  任一高斯函式的積分都可以用以下的公式計算:  更為廣泛的形式為:  這一公式在計算有關正態分佈的一些連續概率分佈的數學期望值的時候特別有用,例如對數正態分佈。

  令formula_27為一個對稱的、正定的(因而可逆)formula_28 精密矩陣(即協方差矩陣的逆矩陣),則  這裡的積分是對R的。上式被用於研究多元正態分佈。  同樣,  這裡的 σ 表示的是有序集 {1,..., 2"N"} 的不同排列。等式右邊的係數是對 formula_31 個重複的 A 的 {1,..., 2"N"} 中所有的組合的求和(the sum over all combinatorial pairings of {1,..., 2"N"} of "N" copies of "A")。  或者,  以上積分中的 formula_33 是解析函式,且函式值的增長必須滿足某些邊界條件以及另一些特定要求。微分運算元的冪可以理解為冪級數。  雖然泛函積分沒有嚴格的定義,但是我們仍然可以依照有限維的情況“定義”高斯泛函積分。 然而,formula_34 無窮大的問題依然存在,且大部分的泛函行列式也是無窮大的。如果只考慮比例:  則可以解決這個問題。在德維特標記法下,此公式與有限維的情況一致。

  如果A是一個對稱的正定矩陣,則有(假設均為列向量)

  其中,n 為正整數,“!!”表示雙階乘。 這類積分的一種簡單的計算方式是應用萊布尼茲積分規則對引數進行微分:  也可以先分部積分,然後找出遞推關係之後求解。
高斯積分(英語:Gaussian integral),有時也被稱為概率積分,是高斯函式("e")在整個實數線上的積分。它得名於德國數學家兼物理學家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏。