Can you summarize the following document?
        
  設 是一個 -維 黎曼流形。 記 為 在 點的切空間, 任給切空間 中的一對向量,,Ricci 張量 在 點的值定義為 的線性對映 的跡(trace),也就是說:  右手邊 是所謂黎曼曲率張量,而 是切空間之間的線性對映,所以可以計算這對映的跡。在區域性座標系下有 其中,  已經知道里奇張量 formula_5,現在就可以用裡奇張量來定義裡奇曲率。如果 formula_6 為 formula_7 點的單位向量,則 定義為在點 formula_7, formula_6 方向的裡奇曲率(Ricci curvature),有時會把 formula_11 寫成 formula_12 。也有些人會定義裡奇曲率為 formula_13 這裡 formula_14。

  對於黎曼流形(M,g)裡任意一點p的旁邊可以定義被稱為測地法座標系的區域性座標系。這些通過p的測地線不但都對應著通過原點的直線,而且同時構成了從p的距離和從原點的歐幾里得距離的對應。這個座標系的度量張量是  formula_15。  好處就是,此座標是歐幾里得度量的良好近似。實際上,由於在法座標系的放射測地線產生的雅可比場適用的度量的泰勒展開,  可以得到formula_16。  然後,在這個座標系,在p可以得到以下體積元素的展開。  formula_17  然後,如果裡奇曲率formula_18在向量formula_19的方向是正的,由於在M上從p向formula_19方向的短的測地線收束族掃過的圓錐區域的體積比在歐幾里得空間對應的圓錐區域要小。如此類推,如果裡奇曲率在給定的向量formula_19的方向是負的,流形同樣的圓錐區域的體積比歐幾里得空間對應的圓錐區域要大。  裡奇曲率本質上就是包含formula_19的平面的曲率平均。也就是說最初是圓形(或者是球形)放射狀的圓錐會扭曲未橢圓形狀,沿著主軸的彎曲是相互相反的作用,而且有把體積變為零的可能性。然後裡奇曲率沿著formula_19會變為零。在物理的應用,一定要變零的切斷曲率的存在並不一定是區域性性一定有什麼質量。世界線圓錐最初的圓形的橫切面是,要是變成了後來體積沒變化的橢圓,這個效果就是來自其他位置的質量的潮汐效果。

  在黎曼幾何與廣義相對論中,一個偽黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)formula_24之無跡的裡奇張量(trace-free Ricci tensor)是一個定義如下的張量
在微分幾何中,類似度量張量,裡奇張量也是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。以格雷戈里奧·裡奇-庫爾巴斯托羅(Gregorio Ricci-Curbastro)為名的裡奇張量或裡奇曲率張量(Ricci curvature tensor)。提供了一個資料去描述給定的黎曼度規(Riemannian metric)所決定的體積究竟偏離尋常歐幾里得 "n-" 空間多少的程度。粗略地講,裡奇張量是用來描述「體積扭曲」的一個值;也就是說,它指出了"n-"維流形中給定區域之"n-"維體積,其和歐幾里得"n-"空間中與其相當之區域的體積差異程度。更精確的描述請見下文「直接的幾何意義」段落。