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  延森不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

  假設formula_2是集合formula_3的正測度,使得formula_4。若formula_5是勒貝格可積的實值函式,而formula_6是在formula_5的值域上定義的凸函式,則

  以概率論的名詞,formula_2是個概率測度。函式formula_5換作實值隨機變數formula_11(就純數學而言,兩者沒有分別)。在formula_3空間上,任何函式相對於概率測度formula_2的積分就成了期望值。這不等式就說,若formula_6是任一凸函式,則

  

  假設formula_3是實數軸上的可測子集,而formula_17是非負函式,使得  以概率論的語言,formula_19是個機率密度函式。  延森不等式變成以下關於凸積分的命題:  若formula_5是任一實值可測函式,formula_21在formula_5的值域中是凸函式,則  若formula_24,則這形式的不等式簡化成一個常用特例:

  若formula_3是有限集合formula_27,而formula_2是formula_3上的正規計數測度,則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示:  其中formula_31。  若formula_21是凹函式,只需把不等式符號調轉。  假設formula_33是正實數,formula_24,formula_35及formula_36。上述和式便成了  兩邊取自然指數就得出熟悉的均值不等式:  這不等式也有無限項的離散形式。

  統計物理學中,若凸函式是指數函式,延森不等式特別重要:  其中方括號表示期望值,是以隨機變數"X"的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單(參見Chandler, Sec. 5.5):在以下等式的第三個指數函式  套用不等式  即得出所求的不等式。

  延森不等式是哥本哈根大學的數學系圖徽。
琴生不等式(Jensen's inequality)以丹麥數學家約翰·延森(Johan Jensen)命名。它給出積分的凸函式值和凸函式的積分值間的關係。延森不等式有以下推論:過一個凸函式上任意兩點所作割線一定在這兩點間的函式圖象的上方,即: