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  一個的實對稱矩陣formula_1是正定的,當且僅當對於所有的非零實係數向量,都有。其中"z"表示"z"的轉置。  對於複數的情況,定義則為:一個的埃爾米特矩陣(或厄米矩陣)formula_1是正定的當且僅當對於每個非零的復向量"z",都有"z"formula_1"z" > 0。其中"z"表示"z"的共軛轉置。由於formula_1是埃爾米特矩陣,經計算可知,對於任意的復向量"z","z""formula_1z"必然是實數,從而可以與0比較大小。因此這個定義是自洽的。

  對的埃爾米特矩陣formula_1,下列性質與“formula_1為正定矩陣”等價: 對於實對稱矩陣,只需將上述性質中的formula_8改為formula_9,將“共軛轉置”改為“轉置”就可以了。

  由以上的第二個等價條件,可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件:用formula_10代表formula_11或formula_12,設formula_13是formula_10上的一個向量空間。一個埃爾米特型:  是一個雙線性對映,使得"B"("x", "y")總是"B"("y", "x")的共軛。這樣的一個對映"B"是正定的當且僅當對formula_13中所有的非零向量"x",都有"B"("x", "x") > 0。

  與正定矩陣相對應的,一個的埃爾米特矩陣formula_1是負定矩陣(英語:negative definite matrix)當且僅當對所有不為零的formula_18(或formula_19),都有:  formula_1是半正定矩陣(英語:positive semi-definite matrix)當且僅當對所有不為零的formula_18(或formula_19),都有:  formula_1是半負定矩陣(英語:negative semi-definite matrix)當且僅當對所有不為零的formula_18(或formula_19),都有:  如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的,那麼稱其為不定矩陣(英語:indefinite matrix)。  可以看出,上一節中正定陣的等價性質1只需略作相應改動,就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當M是半正定時,相應的Gram矩陣不必由線性無關的向量組成。對任意矩陣formula_29,"A""A"必然是半正定的,並有rank(formula_29) = rank("A""A",兩者的秩相等)。反過來,任意的半正定矩陣都可以寫作M = "A""A",這就是Cholesky分解。  一個埃爾米特矩陣"M"是負定矩陣當且僅當M的所有奇數階順序主子式小於0,所有偶數階順序主子式大於0。當M是負定矩陣時,M的逆矩陣也是負定的。

  若formula_31為半正定陣,可以寫作formula_32。如果formula_31是正定陣,可以寫作formula_34。這個記法來自泛函分析,其中的正定陣定義了正運算元。  對於一般的埃爾米特矩陣,formula_1、formula_36,formula_37當且僅當formula_38。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地,可以定義formula_39。

  一個實矩陣M可能滿足對所有的非零實向量"x","x"M"x" > 0而並不是對稱矩陣。舉例來說,矩陣  就滿足這個條件。對formula_41並且formula_42,  一般來說,一個實係數矩陣M滿足對所有非零實向量"x",有"x"M"x" > 0,當且僅當對稱矩陣 (M + M) / 2是正定矩陣。  對於復係數矩陣,情況可能不太一樣。主要看的是怎樣擴充套件"z"Mz" > 0這一性質。要使"z"Mz"總為實數,矩陣M必須是埃爾米特矩陣。因此,若"z"Mz"總是正實數,M必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將"z"Mz" > 0擴充套件為Re("z"M"z") > 0,則等價於(M+M) / 2為正定陣。
線上性代數裡,正定矩陣(英語:positive-definite matrix)是埃爾米特矩陣的一種,有時會簡稱為正定陣。線上性代數中,正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式(復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式)。