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  定義冪級數"f"為:formula_1。其中常數"a"是收斂圓盤的中心,"c"為第"n"個復係數,"z"為變數。  收斂半徑"r"是一個非負的實數或無窮大(formula_2),使得在formula_3時冪級數收斂,在formula_4時冪級數發散。  具體來說,當"z"和"a"足夠接近時,冪級數就會收斂,反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |"z" - "a"| = "r"的收斂圓上,冪級數的斂散性是不確定的:對某些"z"可能收斂,對其它的則發散。如果冪級數對所有複數"z"都收斂,那麼說收斂半徑是無窮大。

  根據達朗貝爾審斂法,收斂半徑formula_5滿足:如果冪級數formula_6滿足formula_7,則:  根據根值審斂法,則有柯西-阿達馬公式:

  將一個收斂半徑是正數的冪級數的變數取為複數,就可以定義一個全純函式。收斂半徑可以被如下定理刻畫:  最近點的取法是在整個複平面中,而不僅僅是在實軸上,即使中心和係數都是實數時也是如此。例如:函式 沒有復根。它在零處的泰勒展開為: 運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的,函式formula_12在±i存在奇點,其與原點0的距離是1。

  三角函式中的反正切函式可以被表達成冪級數:  運用審斂法可以知道收斂半徑為1。

  考慮如下冪級數展開:  其中有理數"B"是所謂的伯努利數。對於上述冪級數,很難運用審斂法來計算收斂半徑,但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果:當"z"=0時,函式沒有奇性,因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值,即使得 的複數"z"。設"z" = "x" + "iy",那麼  要使之等於1,則虛部必須為零。於是有formula_17,其中formula_18。同時得到formula_19。回代後發現formula_20只能為偶數,於是使得分母為零的"z"為formula_21的形式,其中formula_18。  離原點最近距離為formula_23,於是收斂半徑為formula_23。

  如果冪級數在"a"附近可展,並且收斂半徑為"r",那麼所有滿足 |"z" − "a"| = "r"的點的集合(收斂圓盤的邊界)是一個圓,稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂,也不一定絕對收斂。 例1:函式ƒ("z") = (1 − "z")在"z" = 0處展開的冪級數收斂半徑為1,並在收斂圓上的所有點處發散。  例2:函式"g"("z") = ln(1 − "z")在"z" = 0處展開的冪級數收斂半徑為1,在"z" = 1處發散但除此之外,在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函式ƒ("z")是 -"g"("z")的復導數。  例3:冪級數  的收斂半徑是1並在整個收斂圓上收斂。設"h"("z")是這個級數對應的函式,那麼"h"("z")是例2中的"g"("z")除以"z"後的導數。"h"("z")是雙對數函式。  例4:冪級數 的收斂半徑是1並在整個收斂圓上一致收斂,但是並不在收斂圓上絕對收斂。

  將下列函式在"x" = 0處展開:  可以看到收斂半徑為formula_28,也就是說冪級數對所有的複數變數值收斂。但是,在實際操作中,人們常常更關心函式值的精確度。展開的項數和展開點與變數的取值都會影響結果的準確度。例如,要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效數字,只需要計算級數的前兩項。然而,在"x" = 1時,要得到相同的精確度,就要計算前5項。對於ƒ(10),需要18項,對於ƒ(100)則需要141項。 可以看出,越靠近中心,收斂的速度就越快,反之則收斂速率降低。

  考慮函式1/("z" + 1),對應的影象見右。函式在"z" = formula_29"i"處有極點。  與上面的例子類似,由於最近的奇點與原點距離為1,收斂半徑為1。函式在"z" = 0處的泰勒級數收斂當且僅當 |"z"| < 1。

  與收斂半徑類似的一個概念是狄利克雷級數的收斂度規,也就是使得級數formula_30收斂的最小的"s",其只依賴於數列"a"。
收斂半徑是數學中與冪級數有關的概念。一個冪級數的收斂半徑是一個非負的擴充套件實數(包括無窮大)。收斂半徑表示冪級數收斂的範圍。在收斂半徑內的緊集上,冪級數對應的函式一致收斂,並且冪級數就是此函式展開得到的泰勒級數。但是在收斂半徑上冪級數的斂散性是不確定的。