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  勒讓德多項式的一個重要性質是其在區間 −1 ≤ "x" ≤ 1 關於L內積滿足正交性,即:  其中 δ 為克羅內克δ記號,當"m" = "n" 時為1,否則為0。 事實上,推導勒讓德多項式的另一種方法便是關於前述內積空間對多項式{1, "x", "x",...}進行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因為如前所述,勒讓德微分方程可化為標準的Sturm-Liouville問題:  其中本徵值 λ 對應於原方程中的 "n"("n"+1)。

  下表列出了頭11階("n" 從0到10)勒讓德多項式的表示式:  頭6階("n" 從0到5)勒讓德多項式的曲線如下圖所示:

  在求解三維空間中的球對稱問題,譬如計算點電荷在空間中激發的電勢時,常常要用到勒讓德多項式作如下形式的級數展開:  其中formula_7和formula_8分別為位置向量formula_9和formula_10 的長度(其中formula_7和formula_8分別為對位置向量formula_9和formula_10 的長度進行測量的結果),formula_15為兩向量的夾角(formula_15為對兩向量的夾角展開估計的結果)。當formula_17時上式成立。該式計算了在formula_18處的點電荷激發的電場在formula_9點引起的電勢大小。在對空間中連續分佈的電荷引起的電勢大小進行計算時(當計算由連續分佈之電荷所產生的電位時),將涉及對上式進行積分(需積分上式中間項)。這時,上式右邊的勒讓德多項式展開將對此積分的計算帶來很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解,此級數之第一項叫做電單極矩,第二項叫做電偶極矩,第三項叫做電四極矩)。  靜電場中具有軸對稱邊界條件的問題可以歸結為在球座標系中用分離變數法求解關於電勢函式的拉普拉斯方程formula_20(與和對稱軸的夾角無關)。若設formula_21為對稱軸,formula_22為觀測者位置向量和formula_21軸的夾角,則勢函式的解可表示為:  其中formula_25和formula_26由具體邊界條件確定。

  

  當階數"k" 為偶數時,formula_27為偶函式;當階數"k" 為奇數時,formula_27為奇函式,即:

  相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關係式:  另外,考慮微分後還有以下遞推關係:  其中最後一個式子在計算勒讓德多項式的積分中較為有用。  使用C++語言,利用遞迴方法求n階勒讓德多項式的值:

  移位勒讓德多項式formula_33的正交區間定義在[0,1]上,即:  其顯式表示式為:  相應的羅德里格公式為:  下表列出了頭4階移位勒讓德多項式:

  分數階勒讓德多項式通過將分數階微分(定義參見分數微積分理論)和通過Γ函式定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。  令大q雅可比多項式中的formula_37,即勒讓德多項式

  令連續q勒讓德多項式 q->1得勒讓德多項式  formula_38  小q勒讓德多項式→勒讓德多項式  formula_39
數學上,勒讓德函式指以下勒讓德微分方程的解: 為求解方便一般也寫成如下施圖姆-劉維爾形式: