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  15世紀時,法國數學家許凱和德國數學家施蒂費爾在開展研究工作時產生了發展對數的思想,他們,尤其是後者,對等差數列和等比數列的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。  一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒的助手,因此會經常接觸到複雜的天文計算,他也因此產生了化簡數值計算的想法。比爾吉受到了施蒂費爾相關工作的影響,他對等差數列和等比數列的關係作出了進一步的研究並於1610年前後發明了對數,但直到10年後(1620年),他才在《等差數列和等比數列表》中對外發布了他的思想。納皮爾是一位蘇格蘭貴族,對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角計算的方法,他也產生了發展對數的想法。1614年,他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》上釋出了自己的對數表,相較比爾吉早了6年。納皮爾發明的納皮爾算籌用加減法代替了乘除法,成功簡化了乘除法的運算,他的對數被後人稱為納皮爾對數,記法為Nap·logx。  1624年,英國數學家布里格斯的書籍《對數算術》成功出版,書中寫有14位常用對數表。布里格斯率先採用了以10為底的常用對數,而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商弗拉克在布里格斯的基礎上加以改進,他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。  17世紀中葉(清朝初年),中國數學家薛鳳祚和波蘭傳教士穆尼閣合作完成了中國最早的對數著作《比例對數表》(又名《歷學會通》),對數自此傳入中國。此書稱真數為“原數”,對數為“比例數”。而《數理精蘊》中則稱作對數比例:“對數比例乃西士若往·納白爾所作,以借數與真數對列成表,故名對數表。”中國後來普遍稱之為“對數”。  對數對科學的進步有所貢獻,特別是對天文學,使某些繁難的計算成為可能。在計算器和計算機發明之前,它持久的用於測量、航海、和其他實用數學分支中。

  對數符號formula_13出自拉丁文logarithm,最早由1632年義大利數學家卡瓦列裡所使用。納皮爾在表示對數時套用logarithm整個詞,並未作簡化。1624年,開普勒才把對數符號簡化為Log,奧特雷得在1647年也用簡化了的Log。1893年,皮亞諾用formula_14x及Log"x"分別表示以formula_8為底的對數和以10為底的對數。1902年,施托爾茨等人以formula_16表示以formula_17為底的formula_18的對數。20世紀初,形成了對數的現代表示formula_19。為了使用方便,人們逐漸把以10為底的常用對數及以無理數formula_8為底的自然對數分別記作formula_21和formula_22。

  函式formula_23依賴於formula_24和formula_5二者,但是術語對數函式在標準用法中用來稱呼形如formula_23的函式,在其中底數formula_24是固定的而只有一個引數"formula_24"。所以對每個基formula_29的值(不得是負數、0或1)只有唯一的對數函式。從這個角度看,底數formula_24的對數函式是指數函式formula_31的反函式。詞語“對數”經常用來稱呼對數函式自身和這個函式的1個特定值。  對數函式影象和指數函式影象關於直線formula_32對稱,互為逆函式。  對數函式的性質有:

  如果formula_47是自然數,formula_48表示等於formula_3的formula_47個因子的乘積:  但是,如果formula_3是不等於1的正實數,這個定義可以擴充套件到在一個域中的任何實數formula_47(參見冪)。類似的,對數函式可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數formula_3,有一個對數函式和一個指數函式,它們互為反函式。  對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。所以,在發明電子計算機之前,對數對進行冗長的數值運算是很有用的,它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。

  最常用做底數的是"e"、10和2。 在數學分析中,以formula_8為底對數很常見。另一方面,以10為底對數在十進位制表示法中,手工計算很容易:  所以formula_57表示正整數formula_5的位數:數字的十進位制位數是嚴格大於formula_57的最小的整數。例如formula_60,下一個整數是4,即1430的位數。  以2為底的對數常用於電腦科學,因為計算機中二進位制很普及。當然上面的演算法也可推廣到二進位制:嚴格大於formula_61的最小整數是formula_5在二進位制下的位數。事實上經由簡單推導即可得知,floor(logx)+1 得到formula_5在formula_64進位制下的位數:若formula_5在formula_64進位制下有formula_47位,則<math>p^{n-1}\leq x ;而formula_64是不小於 2 的正整數導致以其為底的formula_69是增函式,故三邊取對數得formula_70,取下整正好得到formula_71。  下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫formula_72來代替formula_73,而formula_18的值根據前後文可以確定。記號formula_75也出現過。“ISO表示法”()一列指定了ISO推薦的表示方法。

  儘管有很多有用的恆等式,對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是formula_76和formula_77)的其他底數的對數。要使用其他底數formula_3找到底數formula_24的對數: 此外,這個結果蘊涵了所有對數函式(任意底數)都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:

  對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數,所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函式中的一個。在等式formula_82中,formula_18可以從formula_5的formula_47次方根,"formula_47"從formula_5的"formula_18"底數的對數,"formula_5"從"formula_18"的"formula_47"次的冪來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函式的一些規則。

  對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數,就會使特定運算更容易: 這些關係使在兩個數上的這種運算更快,

  從純數學的觀點來看,恆等式: formula_92, 在兩種意義上是基本的。首先,其他3個算術性質可以從它得出。進一步的,它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。  對數函式是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。

  複對數計算公式:

  自然對數函式的導數是  通過應用換底規則,其他底數的導數是  自然對數formula_97的不定積分是  而其他底數對數的不定積分是

  有一些級數用來計算自然對數。最簡單和低效的是: 下做推導:  由 在兩邊積分得到 設formula_105並因此formula_106,得到 更有效率的級數是基於反雙曲函式的 對帶有正實部的formula_109。  推導:代換formula_110為formula_5,得到 做減法,得到 設formula_114並因此formula_115,得到  例如,應用這個級數於 得到 並因此  在這裡我們在第一行的總和中提出了因數formula_122。  對於任何其他底數formula_3,我們使用

  多數計算機語言把formula_125用做自然對數,而常用對數典型的指示為log10(x)。引數和返回值典型的是浮點資料型別。  因為引數是浮點數,可以有用的做如下考慮:  浮點數值formula_5被表示為尾數formula_127和指數formula_47所形成的  因此  所以,替代計算formula_131,我們計算對某個formula_127的formula_133使得formula_134。有在這個範圍內的"formula_127"意味著值formula_136總是在範圍formula_137內。某些機器使用在範圍formula_138內的尾數,並且在這個情況下formula_139的值將在範圍formula_140內。在任何一種情況下,這個級數都是更容易計算的。

  普通的正實數的對數一般化為負數和複數引數,儘管它是多值函式,需要終止在分支點0上的分支切割,來製作一個普通函式或主分支。複數formula_109的(底數formula_8)的對數是複數formula_143,這裡的formula_144是"formula_109"的模,formula_146是輻角,而formula_147是虛單位;詳情參見複對數。  離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程formula_82,這裡的formula_18和formula_5是這個群的元素,而formula_47是指定在群運算上的冪。對於某些有限群,據信離散對數是非常難計算的,而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開金鑰加密。  矩陣對數是矩陣指數的反函式。  對於不等於1的每個正數formula_18,函式formula_153是從在乘法下的正實數的群到在加法下(所有)實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函式可以擴充套件為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。

  在發明計算器之前,使用對數意味著查對數表,它必須手工建立。
在數學中,對數是冪運算的逆運算。亦即是說,假如formula_1,則有