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  對於序列(sequence)formula_1隨著n的增大,formula_2從0的右側越來越接近0,於是可以認為0是這個序列的極限(雖然這個結論是正確的,但是它仍需要證明)。  柯西(Cauchy)在19世紀給出了極限的嚴格定義: 設formula_3,對於任意的正實數formula_4,存在自然數formula_5,使得當formula_6時,有formula_7,用符號來表示即 formula_8  則稱數列formula_9收斂於formula_10,記作formula_11。  直觀地說,這就說明序列的元素(element)隨著n的增大越來越靠近formula_10,因為上面的絕對值也可以用來刻畫距離。當然這並不是說每一項都比前一項更為靠近。而且更一般地說,不是所有的序列都有極限的。如果一個序列是有極限的,我們稱這個序列收斂,否則稱其為發散。可以證明,如果一個序列是收斂的,那麼它有且僅有一個極限。  序列的極限和函式(function)的極限之間的關係是相當密切的。一方面,序列的極限可以直接理解為一個定義在自然數集合上的函式趨於無窮時候的極限。另一方面,一個函式在formula_13處的極限(如果存在),與序列formula_14的極限是相同的。

  假設formula_15是一個實函式,formula_16是一個實數,那麼  表示formula_15可以任意地靠近formula_19,只要我們讓formula_13充分靠近formula_21。此時,我們說當formula_13趨向formula_21時,函式formula_15的極限是formula_19。值得特別指出的是,這個定義在formula_26的時候同樣是成立的。事實上,即使formula_15在formula_21點沒有定義,我們仍然可以定義上述的極限。  以下兩個例子或許對理解這個概念有所幫助:  考慮函式formula_29在formula_13趨向formula_31的時候的性質,此時formula_15在formula_33這點是有定義的,因為formula_34。  當formula_13趨向formula_31的時候,函式值趨向formula_37,因此我們有極限formula_38。在這種情況下,即函式在某一點的取值和當formula_13趨向這一點的極限值相同的時候,我們稱formula_40在formula_41這一點是連續的。  當然,這是相當特殊的情況,考慮  那麼當formula_13趨於formula_31的時候,formula_45的極限與前面的formula_15相同,都是formula_37。但是請注意formula_48,這就是說,formula_45在formula_33是不連續。  或者考慮這樣一個例子,使得formula_15在formula_52時沒有定義:  當formula_13=formula_55時,formula_15是沒有定義的,但極限存在,即formula_57:  在formula_58的情況下,formula_13可以任意靠近formula_55,從而formula_15的極限為formula_31。

  形式上講,極限可以這樣定義:  命formula_40是一個定義於包含formula_21的開區間(或此開區間剔除formula_21)上的實值函式,命formula_19是一個實數,那麼  表示對於任意的formula_68,都存在一個對應的formula_69使得:當formula_13滿足formula_71時總有formula_72成立。

  與函式趨於某個給定值時的極限概念相關的是函式在無窮遠處的概念。這個概念不能從字面上直接理解為:formula_13距離無窮遠越來越小的狀態,因為無窮不是一個給定的數,也不能比較距離無窮的遠近。因此,我們用formula_13越來越大(如果討論正無窮時)來替代。  例如考慮formula_75.  當formula_13非常大的時候,formula_15的值會趨於formula_31。事實上,formula_15與formula_31之間的距離可以變得任意小,只要我們選取一個足夠大的formula_13就可以了。此時,我們稱formula_15趨向於(正)無窮時的極限是formula_31。可以寫為  形式上,我們可以這樣定義:  類似地,我們也可以定義:  如果考慮將formula_40的定義域推廣到擴充套件的實數軸,那麼函式在無窮遠的極限也可以看作在給定點的極限的特例。

  以下規則只有當等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立

  在引入網的概念下,上述的定義可以毫無障礙地推廣到任何拓撲空間。事實上,現代數學中的極限概念就是定義在拓撲空間上的,上述的例子都是拓撲空間的具體化。

  極限的符號為lim,它出自拉丁文limit(界限)的前三個字母。  在1786年出版的德國人瀏伊連(S. L'Huilier)的書中,第一次使用這個符號。不過,“"x"趨於"a"”當時都記作“"x"="a"”,直到20世紀人們才逐漸用“→”替代“=”。  英國近代數學家哈代是第一個使用現代極限符號的人。
極限是現代數學特別是分析學中的基礎概念之一。極限可以用來描述一個序列的指標愈來愈大時,序列中元素的性質變化的趨勢。極限也可以描述函式的自變數接近某一個值的時候,相對應的函式值變化的趨勢。作為微積分和數學分析的其他分支最基本的概念之一,連續和導數的概念都是通過極限來定義的。