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  序理論中理想的最一般的定義如下:  偏序集合(P,≤)的非空子集I稱為一個理想,若I滿足:  理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下: 格(P,≤)的非空子集I是理想,當且僅當:

  一種特殊情況的理想是它的集合論補集是濾子的那些理想,濾子就是逆序的理想。這種理想叫做素理想。還要注意,因為我們要求理想和濾子非空,所有素理想都是真理想。對於格,素理想可以特徵化為如下:  格(P,≤)的真理想I是素理想,當且僅當:∀x, y ∈ P,有x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I或y ∈ I。  很容易發現這個定義實際上等價於聲稱P - I是濾子(它是在對偶意義上的素濾子)。  對於完全格有完全素理想的概念。它定義為帶有額外性質的真理想"I",只要某個任意集合"A"的交(下確界)在"I"中,"A"的某個元素也在"I"中。所以它是擴充套件上述條件到無窮交的特殊素理想。  素理想的存在一般是不明顯的,並且在Zermelo-Fraenkel集合論中經常不能得出滿意數量的素理想。這個問題在各種素理想定理中討論,它們對於很多需要素理想的應用是必須的。

  一個理想"I"是極大理想,如果它是真理想並且沒有真理想"J"是嚴格大於"I"的集合。類似的,濾子"F"是極大濾子,如果它是真濾子並且沒有嚴格大於它的真濾子。  當一個偏序集合是分配格的時候,極大理想和濾子必然是素的,而這個陳述的逆命題一般為假。  極大濾子有時叫做超濾子,但是這個術語經常保留給布林代數,這裡的極大濾子(理想)是對於每個布林代數的元素a,精確的包含元素{"a", ¬"a"}中的一個的濾子(理想)。在布林代數中,術語“素理想”和“極大理想”是一致的,術語“素濾子”和“極大濾子”也是一致的。  還有另一個有趣的理想的極大性概念:考慮一個理想"I"和一個濾子"F",使得"I"不相交於"F"。我們感興趣於在所有包含 "I"並且不相交於"F"的所有理想中極大的一個理想"M"。在分配格的情況下,這樣的一個"M"總是素理想。這個陳述的證明如下。  但是,一般而言是否存在這個意義上極大的任何理想"M"。然而如果我們在我們的集合論中假定選擇公理,那麼可以正式對於所有不相交的濾子-理想-對的"M"的存在。在要考慮的次序是布林代數的特殊情況下,這個定理叫做布林素理想定理。它嚴格的弱於選擇公理,而理想的很多集合論應用不需要更多的東西了。

  理想和濾子的構造在序理論的很多應用中是非常重要的工具。

  理想由Marshall H. Stone首先介入,它的名字起源自抽象代數的環理想。這個術語源於如下事實,利用布林代數和布林環的範疇同構,這兩個概念實際是一致的。

  理想和濾子是序理論的最基本概念。參見序理論和格理論,和布林素理想定理中的介紹。  一個線上免費專著:
在數學分支序理論中,理想是偏序集合的一個特殊子集。儘管這個術語最初演化自抽象代數中環理想概念,它後來被一般化為一個不同的概念。理想對於序理論和格理論中的很多構造是非常重要的。