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  在平面上的一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是formula_4和formula_5,斜邊長度是formula_6,那麼可以用數學語言表達:  餘弦定理是勾股定理的一個推廣。勾股定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一。

  如果formula_6是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度,勾股定理可以寫成:  formula_9  如果formula_4和formula_5知道,formula_6可以這樣寫:  formula_13  如果斜邊的長度formula_6和其中一條邊(formula_4或formula_5)知道,那另一邊的長度可以這樣計算:  或  簡單來說,只要知道直角三角形的其中兩條邊長,便能求出第三條邊長。

  勾股陣列是滿足勾股定理formula_19的正整陣列formula_20,其中的formula_21稱為勾股數。例如formula_1就是一組勾股陣列。  任意一組勾股數formula_20可以表示為如下形式:formula_24,其中formula_25。

  這個定理的歷史可以被分成三個部分:發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

  勾股數的發現時間較早,例如埃及的紙草書裡面就有formula_1這一組勾股數,而巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股陣列是formula_27。後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載。在中國,《周髀算經》中也記述了formula_1這一組勾股數;金朝數學家李冶在《測圓海鏡》中,通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係,建立了系統的天元術,推匯出692條關於勾股形的各邊的公式,其中用到了多組勾股數作為例子。

  巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世,不過在他死後一千年,5世紀的普羅克勒斯給歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派: 普魯塔克和西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯,但沒有任何證據表明畢達哥拉斯證明了勾股定理,以素食聞名的畢達哥拉斯殺牛更是不可思議。  在中國,記載秦朝的算數書並未記載勾股定理,只是記錄了一些勾股數。定理首次載於書面則是在成書於西漢但內容收集整理自公元前一千多年以來的《周髀算經》“榮方問於陳子”一節中: 因此有些人將這個定理稱之為陳子定理。  東漢末年趙爽《周髀算經注》《勾股圓方圖注》記載:  在《九章算術注》中,劉徽反覆利用勾股定理求圓周率,並利用“割補術”做“青朱出入圖”完成勾股定理的幾何圖形證明。  直至現時為止,仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

  畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來,流傳下來書面證明最早見於《幾何原本》第一冊的第47個命題。在中國,東漢末年吳國的趙爽最早給出勾股定理的證明。,巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

  這個定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的"Pythagorean Proposition"一書中總共提到367種證明方式。  有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦和餘弦函式的泰勒級數)來證明勾股定理,但是,因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理,所以不能作為勾股定理的證明(參見迴圈論證)。

  中國三國時期趙爽為證明勾股定理作“勾股圓方圖”即“弦圖”,按其證明思路,其法可涵蓋所有直角三角形,為東方特色勾股定理無字證明法。2002年第24屆國際數學家大會(ICM)在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片,郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。

  中國魏晉時期數學家劉徽依據其“割補術”為證勾股定理另闢蹊徑而作“青朱出入圖”。劉徽描述此圖,“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。”其大意為,一個任意直角三角形,以勾寬作紅色正方形即朱方,以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列,再進行割補—以盈補虛,分割線內不動,線外則“各從其類”,以合成弦的正方形即弦方,弦方開方即為弦長。

  有許多勾股定理的證明方式,都是基於相似三角形中兩邊長的比例。  設formula_29為一直角三角形,直角於formula_30(看右圖)。從點"formula_31"畫上三角形的高,並將此高與formula_32的交叉點稱之為formula_33。此新formula_34和原本的"formula_35"相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有formula_36這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,formula_37和formula_35也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係:  因為  所以  可以寫成  綜合這兩個方程式,我們得到  換句話說:

  在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設formula_35為一直角三角形,其中"A"為直角。從"formula_36"點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。  在定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理: 證明的思路為:把上方的兩個正方形,透過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。  其證明如下: 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的  由於這個定理的證明依賴於平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

  此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為formula_103。把四個相等的三角形移除後,左方餘下面積為formula_104,右方餘下面積為formula_105,兩者相等。證畢。

  勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法,其中formula_106為最長邊: (這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)

  勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

  構造formula_115,使formula_116。  根據勾股定理,formula_117,從而formula_118。  因此,formula_119。

  根據餘弦定理,formula_120。由於formula_107,故formula_122,從而formula_119。

  在formula_32邊上擷取點formula_125使formula_126。  在formula_127與formula_128中,  從而,formula_129,以及formula_130。  另一方面,formula_131,故由formula_132知,formula_133。  因而,formula_134,所以formula_135。

  勾股定理是由歐幾里得幾何的公理推匯出來的,其在非歐幾里得幾何中是不成立的。因為勾股定理的成立涉及到了平行公設。
勾股定理,又稱畢達哥拉斯定理(英語:Pythagoras theorem)、畢氏定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理,是平面幾何中一個基本而重要的定理。勾股定理說明,平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度(古稱勾長、股長)的平方和等於斜邊長(古稱弦長)的平方。反之,若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方,則它是直角三角形(直角所對的邊是第三邊)。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。