Can you summarize the following document?
        
  表示式的證明  如右圖,設最低點formula_11處受水平向左的拉力formula_12,右懸掛點處表示為formula_13點,在formula_14弧線區段任意取一段設為formula_15點,則formula_16受一個斜向上的拉力formula_17,設formula_17和水平方向夾角為formula_19,繩子的質量為formula_20,受力分析有:  formula_21;  formula_22,  formula_23,  formula_24, 其中formula_25是右段formula_16繩子的長度,formula_27是繩子線重量密度,formula_28為切線方向,記formula_29, 代入得微分方程formula_30;  利用弧長公式formula_31;  所以formula_32;  再把formula_25代入微分方程得formula_34  對於formula_35設formula_36微分處理  得 formula_37  其中formula_38;  對(2)分離常量求積分  formula_39  得formula_40,即formula_41  其中formula_42為反雙曲函式;  當formula_43時,formula_44;  帶入得formula_45;  整理得formula_46.

  懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應用,formula_3稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法,會給工程應用帶來很大幫助,公式及影象如下: 還有以下幾個公式,可能也有用: 其中formula_52是曲線中某點到0點的鏈索長度,formula_53是該點的正切角,formula_54是0點處的水平張力,formula_55是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。
懸鏈線是一種常用曲線,物理上用於描繪懸在水平兩點間的因均勻引力作用下的軟繩的形狀,因此而得名。它的公式為: