Can you summarize the following document?
        
  

  皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義: 根據這五個定義,所有自然數的特性皆可推斷。而數一則以1=S(0)表示。  數系皆擁有等價關係,即:  定義下自然數可進行運算,以下為加法的定義: 〔這暗示S("a") = S("a" + 0) = "a" + S(0) = "a" + 1,所以以下S("x")皆會寫成"x" + 1〕  以下為乘法的定義: 〔"a" × "b"亦可寫成"a" ‧ "b"或是"ab"〕  以下為指數的定義: 〔"a"亦會寫成"a" ^ "b"或是"a" ** "b",特別是當上標不可使用的時候〕

  自然數可以以下方式擴充套件成整數,每一個非零的自然數"a",就會出現一個整數-"a",而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函式亦可以S(-"a") = - S("a" - 1)的法則擴充套件至整數。  加法將以以下方法定義:  減法定義與加法相同,即"a" - "b" = "a" + - "b"。  乘法定義與自然數定義相同,但加入負負得正,負正得負的理念:

  若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。

  若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外,若a+bi中的a等於0,就為純虛數。

  h
在數學,數係指的是數的不同集合。 數系的例子包括:自然數、整數、有理數、無理數、複數等。