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  目前李括號有下列三種概念性的微分等價定義:

  在流形"M"上的每個平滑向量場"X" 能被視為作用在"C"("M")的平滑函式 微分運算元。而確實,每個向量場 "X" 可成為在"C"("M") 上的微分運算元(導子),使我們可定義 "X"("f") 的函式,計算他在方向"X"("p")上點"p"的"f"值方向導數,更進一步並可論道任意於"C"("M")的微導是由唯一平滑向量場"X"所致。  一般來說,任意兩微導 formula_2 與formula_3的 交換子 formula_4 亦是微導,當中 formula_5 為運算元之組合,對任意formula_6能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號:

  令formula_8 為關乎向量場 "X" 的流 及 D 表示前推,那麼在點的 "X" 與"Y" 的李括號能被定為 L李微導:  這也測量了連續方向的流動失敗 formula_10 至點 "x":

  雖上述李括號的定義為 本質出發 (基於流形"M"上座標的選擇獨立性),尤其人們常會想以括號運算替代特定座標系formula_12。我們替切線束的相關區域性基底寫下formula_13,使得對平滑函式formula_14而言,一般向量場能寫成 formula_15與 formula_16。如此李括號則由以下方式計算:  若 "M" 是R的某開子集,那麼向量場'X" 與 "Y" 能被寫成由平滑函式formula_18 與formula_19形式,且李括號formula_20 由以下給定:" formula_21  此處之 formula_22 與 formula_23 是為 "n×n" 雅可比矩陣 乘上 "n×"1 欄向量 "X" 與 "Y"。

  向量場的李括號等同於所有在"M" (i.e.,切線束的平滑截 formula_24) 上實向量空間formula_25有一李代數的結構,表 [ •, • ] 為具以下之 formula_26的對映:  第二性質可馬上推得對任意 formula_29具formula_30的結果。  更進一步說,李括號具有 "乘法規則"。 給定一平滑 (純量值) 函式 "f" 與在"M"上的向量場,由每點的純量乘向量"Y"後我們得到一個新的向量場"fY",如此:  此處我們用向量場"Y"乘上純量函式 "X"("f"),及向量場與純量函式 "f" 如此引匯出一具李括號的向量場至 李代數。  "X" 與"Y"的李括號為零,表示這些方向的流定了一以"X" 與"Y"作為座標向量場而內嵌入於"M"之曲面:  定理: formula_32 若且為若"X" 與 "Y"的流區域性交換,此指對所有且足夠小的"s", "t",formula_33。  而這為弗羅貝尼烏斯定理的特例。

  李群 "G"相關的 李代數 formula_34 為在麼上的切空間formula_35,是由在 "G" 的左不變向量場定之向量空間。而兩左不變向量場的李括號亦是左不變,而此定義 Jacobi–李運算元formula_36.  李群矩陣的元素為 formula_37,切空間能被重現為矩陣: formula_38, 此處 formula_39 表矩陣乘法,且 "I" 為單位矩陣,關乎formula_40的不變向量場是由formula_41給定,計算更顯示formula_42 上的李括號與矩陣 交換子 一致:

  在證明控制仿射無漂系統(driftless affine control system)的小時間區域性可控制性(small-time local controllability、STLC)時,李氏括號是其中重要的一部分。

  如上所述,李導數可被視為廣義的李括號。其他可視為是(向量值微分形式)廣義李括號的有弗勒利歇爾-奈恩黑斯括號(Frölicher–Nijenhuis bracket)
向量場中的李括號於微分拓樸的數學領域下,以Jacobi–李括號 或 向量場的交換子所廣知,是於某微分流形 "M"的任意兩 向量場 X" 與 "Y" 所決定之運算元所形成的第三向量場,以標示。