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  三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達:  其中是克羅內克"δ"函式。當"a"="b"時,其值為1;當"a"≠"b"時,其值為0。

  這些矩陣是對合的:  其中"I"是單位矩陣。  此外,包立矩陣的行列式和它們的跡分別為:  故從上述關係可以推得每個包立矩陣"σ"的本徵值分別為±1。  每個包立矩陣有兩個本徵值,+1和−1,其對應的歸一化本徵向量為:

  包立向量定義為:  這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制 相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外:

  包立矩陣有以下的對易關係:  以及以下的反對易關係。  其中"ε"是列維-奇維塔符號,"δ"是克羅內克函式,是"I"是2 ×2的單位矩陣。而一樣的,上面使用了愛因斯坦求和約定。

  將包立矩陣的對易和反對易相加得:  因此可得:  為了避免符號重複,將"a", "b", "c"改成"p", "q", "r",然後把上式和三維向量"a"和"b"內積,可得:  將它轉換成向量積的表示式:

  令formula_15,而且formula_16對於偶數"n"可得:  另外加上之前求得在"n" = 1的情況可在"n"為奇數的情況:  利用矩陣指數的概念,加上正弦和餘弦的泰勒級數展開式,可得:  第一項的總和為formula_20,第二項括號裡的總和是formula_21,於是:  這可以看做是尤拉公式的類比。

  另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標,用不同的來代表不同的包立矩陣,而下標則代表不同的矩陣元素。因此第個包立矩陣的第行第列的元素可表示為  利用這種表示方法,包立矩陣的完備性關係可寫作:  有時習慣上將2×2單位舉寫成"σ",也就是,"σ" = "δ"。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成:

  令算符為換位算符(或稱為置換算符)。對於兩個在張量積空間中的自旋和該算符有:  的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示:  該算符有兩個本徵值,分別1和-1,這個算符可以用於代表某些哈密頓量的互動作用項,產生對稱和反對稱的本徵態分裂的效果。

  

  的實數張成與四元數的實代數同構,可透過下列對映得到對應關係(注意到包立矩陣的負號):  另外一種方式的對映為將包立矩陣的次序反轉  既然單位四元數與為群同構,此亦代表包立矩陣也可用來描述。從到的2對1同態性,也可以用包立矩陣來表述。  四元數構成可除代數——所有非零元素皆有反元素,然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版,參見復四元數,其共有8個實維度。
在數學和數學物理中,包立矩陣是一組三個2×2的麼正厄米復矩陣,一般都以希臘字母σ來表示,但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時,會被寫成τ。他們在包立表像(σ表像)可以寫成: