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  formula_6 formula_7

  利用若爾當標準形,我們可以證明每一個實方陣都可以寫成兩個實對稱矩陣的乘積,而每一個複方陣都可以寫成兩個復對稱矩陣的乘積。  每一個實非奇異矩陣都可以唯一分解成一個正交矩陣和一個對稱正定矩陣的乘積,這稱為極分解。奇異矩陣也可以分解,但不是唯一的。  Cholesky分解說明每一個實正定對稱矩陣都是一個上三角矩陣和它的轉置的乘積。

  實對稱矩陣是一個元素都為實數的對稱矩陣,用<,>表示formula_19上的內積。formula_20的實矩陣formula_10是對稱的,當且僅當對於所有formula_22,  實對稱矩陣有以下的性質:

  實對稱"n" × "n"矩陣出現在二階連續可微的"n"元函式的黑塞矩陣之中。  R上的每一個二次型"q"都可以唯一寫成"q"(x) = x"A"x的形式,其中"A"是對稱的"n" × "n"矩陣。於是,根據譜定理,可以說每一個二次型,不考慮R的正交基的選擇,“看起來像”: 其中λ是實數。這大大簡化了二次型的研究,以及水平集{x : "q"(x) = 1}的研究,它們是圓錐曲線的推廣。  這是很重要的,部分是由於每一個光滑的多元函式的二階表現,都由屬於該函式的黑塞矩陣的二次型描述;這是泰勒定理的一個結果。

  矩陣A稱為可對稱化的,如果存在一個可逆對角矩陣D和一個對稱矩陣S,使得:  可對稱化矩陣的轉置也是可對稱化的,因為formula_25,而formula_26是對稱的。 當且僅當formula_27滿足以下的條件時,矩陣可對稱化:

  對稱陣 Z 分解為3行3列: 當且僅當 時, 存在 formula_34, 使得 成立。
線上性代數中,對稱矩陣(英語:symmetric matrix)是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身相等。