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  古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。  7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。  11世紀阿拉伯的花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作"Liber embadorum"中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。  據說施裡德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):  將其轉化為數學語言:解關於formula_10的方程 formula_11  在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍,即formula_12,得formula_13 在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方,即formula_14,得formula_15 然後在方程的兩邊同時開二次方,得formula_16

  阿貝爾指出,任意一元二次方程都可以根據formula_17、formula_18、formula_7三個係數,通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。  一般來說,一元二次方程有兩個解,答案需提供兩個不同的數值,只要符合formula_8的原則就可以了。

  把一個一元二次方程變形成一般形式formula_21後,如果formula_21能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積,則一般用因式分解來解這個一元二次方程。  將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後(一般可用十字相乘法),分別令每一個因式等於零,可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程,得到的兩個解都是原方程的解。  如果一元二次方程formula_21存在兩個實根formula_24,那麼它可以因式分解為formula_25。  例如,解一元二次方程formula_26時,可將原方程左邊分解成formula_27所以formula_28可解得formula_29

  對於formula_30,它的根可以表示為:formula_31有些時候也寫成formula_32

  公式解可以由配方法得出。  首先先將一元二次方程的一般形式formula_21除以formula_17(formula_17在一元二次方程中不為零),將會得到formula_36即formula_37現在可以開始配方了。為了配方,必須要加上一個常數(在這個例子裡,它是指一個不隨formula_10而變的量)到等式的左邊,使等式左邊有完全平方formula_39的樣子。  當formula_40時得到formula_41亦即當式子的兩邊加上formula_42將得到:formula_43式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是formula_44的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數,因此式子變成了:formula_45接下來,對式子的兩邊開根號:formula_46最後,式子兩邊同時減去formula_47  公式解終於出現了:formula_48

  一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。  一元二次方程中的判別式formula_49應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為formula_50的數當中任何一個」。在某些數域中,有些數值沒有平方根。

  對於實係數一元二次方程formula_51,formula_52稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式,一元二次方程的根有三種可能的情況:

  即係數為非實數時的一元二次方程,將係數擴充套件到複數域內,此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程。

  根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。formula_60formula_61

  一元二次方程formula_21的根的幾何意義是二次函式formula_63的影象(為一條拋物線)與formula_10軸交點的x座標。  另外一種解法是把一元二次方程formula_21化為formula_66 的形式。  則方程formula_21的根,就是函式formula_68和formula_69交點的X座標。  通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。

  在使用計算機解一元二次方程時,跟人手工計算相似,大部分情況下也是根據下面的公式去解formula_31可以進行符號運算的程式,比如Mathematica,可以給出準確的解析表示式。而大部分程式則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)
一元二次方程式是隻含有一個未知數,並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。