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  從直覺上來說一個集合的維數是描述這個集合中一點所需的獨立引數的個數。比如要描述一個平面裡的一點我們需要兩個座標"x"和"y",那麼平面的維數便是2。最接近這個想法的數學模型是拓撲維度。可以預見拓撲維度必然是一個自然數。但是拓撲維度在描述某些不規則的集合比如分形的時候遭遇到了困難,而豪斯多夫維數則是一個描述該種集合的恰當工具。  設想有一個由三維空間內具有有限大小的點組成的集合,"N"是用來覆蓋這個集合內所有點所需的半徑為R的球體的最少個數,則這個最小數"N"是"R"的一個函式,記作"N"("R")。顯然"R"越小則"N"越大,假設"N"("R")和"R"之間存在一個反比的關係,我們把這個關係記作 當"R"趨向於0時,我們得到  在這裡除了球體以外也可以使用正方體或其它類似的物體來覆蓋集合內的點。如果是在一個二維平面內則應該使用圓而非球體。總之在一個"n"維空間則應該使用相應的"n"維物體。對於一條有限長度的曲線來說所需的“球體”的個數和它的半徑成反比,那麼曲線的豪斯多夫維數為1。對於一個平面而言,所需的“球體”的個數明顯和它的半徑的平方成反比,那麼這個平面的豪斯多夫維數則為2。  考察一個特殊的幾何物體,這個物體由"n"個大小一致且互不重疊的小物體組成,這些小物體的形狀和這個物體本身相同。若這些小物體和大物體的大小比例為1:"m",那麼這個幾何物體的豪斯多夫維數為formula_3。若這些小物體的大小不同,設每個小物體與大物體的大小比例為formula_4,那麼有formula_5。這裡我們稱其為相似維度。下面是兩個例子: 實際上豪斯多夫維數的計算並不像上面的例子那樣簡單,甚至可以說很不容易。請參看本條目的『計算』部分。

  豪斯多夫外測度: 令(,)為一個度量空間,為的一個子集,定義 並且能被集族formula_9所覆蓋。 則的豪斯多夫外測度被定義為: 豪斯多夫維數: 豪斯多夫維數被定義為豪斯多夫外測度從零變為非零值跳躍點對應的值。嚴格的定義為:

  

  設formula_12可數個集合的聯集,則  此結果可以直接利用定義驗證。  如果formula_14是兩個非空度量空間,那麼其積的郝斯多夫維度滿足  上式的嚴格不等號是可能成立的,例如可以找到兩個維度是0的集合,其積的維度是1 。  在另一個方向,有個著名的結果是如果formula_16是博雷爾集,則其積的郝斯多夫維度有上界:formula_17的郝斯多夫維度加上formula_18的上填充維度,此結果在Mattila (1995)討論.

  豪斯多夫維數是不容易直接計算的,一般的可以通過計盒維數(Box-counting dimension)估計到它的一個上界,而且可以通過區域性維數(點維數,Local dimension)估計到它的一個下界。

  對於需多由自相似條件定義的碎形,其郝斯多夫維數可以依據以下的理論得出。其中一集合formula_19是自相似的如果存在壓縮對映  使得  事實上,如果formula_23都是壓縮對映,那麼存在唯一的非空緊緻集合formula_24滿足上上式。這個定理可將巴拿赫的巴拿赫不動點定理應用在完備度量空間(formula_25的非空緊緻子集和郝斯多夫距離)。

  為了計算某些特定情況時的郝斯多夫維數,我們需要定義開集條件(open set condition 簡稱 OSC):我們說對映formula_26滿足開集條件如果非空有界開集formula_27使得  其中上式聯集的formula_29個集合兩兩不相交。  開集條件是為了確保formula_27沒有「太小」時,formula_31不要重疊「太多」,從而formula_32不要重疊「太多」(其中formula_33)。接著我們給出計算維數的定理:  定理. 假設壓縮對映formula_26滿足開集條件,並且其縮放比例分別為formula_35。則對於唯一滿足formula_33的集合,其郝斯多夫維數formula_37滿足  利用此定理,我們就可以簡單的算出一些集合的郝斯多夫維數,例如康托爾集的郝斯多夫維數formula_37滿足  從而formula_41。
豪斯多夫維數又稱作豪斯多夫-貝塞科維奇維數(英語:Hausdorff-Besicovitch Dimension)或分形維數,它是由德國數學家豪斯多夫()於1918年引入的。通過豪斯多夫維數可以定義任意度量空間的子集之維數,包括像是分形(英語:Fractal)等複雜的集合。對於簡單的幾何形狀比如線、長方形、長方體等豪斯多夫維數等同於它們通常的幾何維度或者說拓撲維度。通常來說一個物體的豪斯多夫維數不像拓撲維度一樣總是一個自然數而可能會是一個非整的有理數或者無理數。