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  複變函式,是自變數和應變數皆為複數的函式。更確切的說,複變函式的值域與定義域都是複數平面的子集。在復變分析中,自變數又稱為函式的“宗量”。  對於複變函式,自變數和應變數可分成實部和虛部:  用另一句話說,就是函式formula_5的成分,  可以理解成變數formula_8和formula_9的二元實函式。

  全純函式(英語:holomorphic function)是定義在複數平面formula_10的開子集上的,在複數平面formula_10中取值的,在每點上皆可微的函式。  複變函式為全純函式的充分必要條件是複變函式的實部和虛部同時滿足柯西-黎曼方程:  和  通過上面的這個方程組也可以由全純函式的實部或者虛部之一來求解另一個。

  柯西積分定理指出,如果全純函式的封閉積分路徑沒有包括奇點,那麼其積分值為0;如果包含奇點,則外部閉合路徑正向積分的值等於包圍這個奇點的內環上閉合路徑的正向積分值。

  假設formula_14是複數平面formula_10的一個開子集,formula_16是一個在閉圓盤formula_17上覆可微的方程,並且閉圓盤formula_18是"formula_14"的子集。 設formula_10為formula_17的邊界。則可以推得每個在"formula_17"內部的點formula_23:  其中的積分為逆時針方向沿著formula_10的積分。

  在復變分析中,一個複數平面的開子集formula_17上的亞純函式是一個在formula_17上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函式,那些孤立點稱為該函式的極點。

  複函式的可微性有比實函式的可微性更強的性質。例如:每一個正則函式在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示:  特別地,全純函式都是無限次可微的,性質對實可微函式而言普遍不成立。大部分初等函式(多項式、指數函式、三角函式)都是全純函式。常用的方法有泰勒級數展開等。

  複變函式formula_5的洛朗級數,是冪級數的一種,它不僅包含了正數次數的項,也包含了負數次數的項。有時無法把函式表示為泰勒級數,但可以表示為洛朗級數。

  對於複變函式的孤立奇點,有如下三類。

  複變函式在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果存在無窮個負冪項,那麼這個點稱為“本質奇點”。  對複平面formula_10上的給定的開子集"formula_14",以及"formula_14"中的一點formula_23,亞純函式formula_35在formula_23處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點。

  複變函式在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果存在有限個負冪項,那麼這個點稱為“極點”。  亞純函式的極點是一種特殊的奇點,它的表現如同formula_37時formula_38的奇點。這就是說,如果當formula_39趨於formula_23時,函式formula_5趨於無窮大,那麼formula_5在formula_43處便具有極點。

  複變函式在某孤立奇點鄰域的洛朗級數展開,如果沒有負冪項,那麼這個點稱為“可去奇點”。  如果"formula_14"是複平面formula_10的一個開集,formula_23是"formula_14"中一點,formula_48是一個全純函式,如果存在一個在formula_49與formula_50相等的全純函式formula_51,則formula_23稱為formula_50的一個可去奇點。如果這樣的formula_54存在,我們說formula_50在formula_23是可全純延拓的。

  

  在複分析中,留數是一個複數,描述亞純函式在奇點周圍的路徑積分的表現。  亞純函式formula_50在孤立奇點formula_23的留數,通常記為formula_59,是使 在圓盤formula_61內具有解析原函式的唯一值formula_62

  在複分析中,留數定理是用來計算解析函式沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函式的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。  假設"U"是複平面上的一個單連通開子集,"a"、......、"a"是複平面上有限個點,"f"是定義在"U" \ {"a"、......、"a"}的全純函式。如果γ是一條把"a"、......、"a"包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個"a",並且其起點與終點重合,那麼:  一些難於計算的實函式的積分可以通過轉化為複變函式,然後利用留數定理來進行計算。
複分析是研究複變函式,特別是亞純函式和復變解析函式的數學理論。