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  二項式係數的三角形排列通常被認為是法國數學家布萊茲·帕斯卡的貢獻,他在17世紀描述了這一現象。但早在他之前,就曾有數學家進行類似的研究。例如,古希臘數學家歐幾里得於公元前4世紀提到了指數為2的情況。公元前三世紀,印度數學家青目探討了更高階的情況。帕斯卡三角形的雛形於10世紀由印度數學家大力羅摩發現。在同一時期,波斯數學家卡拉吉(數學家)和數學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆得到了更為普遍的二項式定理的形式。13世紀,中國數學家楊輝也得到了類似的結果。卡拉吉(數學家)用數學歸納法的原始形式給出了二項式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有關證明。艾薩克·牛頓勳爵將二項式定理的係數推廣到有理數。

  根據此定理,可以將formula_14的任意次冪展開成和的形式  其中每個formula_16 為一個稱作二項式係數的特定正整數,其等於formula_17。這個公式也稱二項式公式或二項恆等式。使用求和符號,可以把它寫作  後面的表示式只是將根據formula_19與formula_20的對稱性得出的,通過比較發現公式中的二項式係數也是對稱的。 二項式定理的一個變形是用 1 來代換formula_20得到的,所以它只涉及一個變數。在這種形式中,公式寫作  或者等價地

  對於正值formula_6和formula_3,二項式定理,在formula_26時是在幾何上的明顯事實,邊為formula_27的正方形,可以切割成1個邊為formula_6的正方形,1個邊為formula_3的正方形,和2個邊為formula_6和formula_3的長方形。對於formula_32,定理陳述了邊為formula_27的立方體,可以切割成1個邊為formula_6的立方體,1個邊為formula_3的立方體,3個formula_36長方體,和3個formula_37長方體。  在微積分中,此圖解也給出導數formula_38的幾何證明。設formula_39且formula_40,將formula_3解釋為formula_6的無窮小量改變,則此圖解將無窮小量改變,顯示為formula_7維超立方體 formula_44:  其中(針對formula_46的)線性項的係數是formula_47,將公式代入採用差商的導數定義並取極限,意味著忽略高階項formula_48和更高者,產生公式:formula_38。若再進行積分,這對應於應用微積分基本定理,則得到卡瓦列裡求積公式:formula_50。

  

  當formula_51,  假設二項展開式在 formula_53 時成立。若formula_54,formula_55

  考慮formula_56,共7個括號相乘,從7個括號選出其中的4個括號中的formula_6,再從剩餘的3個括號中選出3個formula_3相乘,便得一組formula_59,而這樣的選法共有formula_60種,故總共有formula_60個formula_59;其他各項同理。  同理,formula_63,共formula_7個括號相乘,從"formula_7"個括號選出其中的formula_66個括號中的formula_6,再從剩餘的formula_68個括號中選出formula_68個formula_3相乘,便得一組formula_71,而這樣的選法共有formula_72種,故總共有formula_72個formula_71;其他各項同理。

  考慮formula_56,每一個括號可以出"formula_6"或出"formula_3",而最後要有4個"formula_6"、3個"formula_3"相乘,這形同formula_80的「不盡相異物排列」,其方法數為formula_81,恰好等於formula_60;其他各項同理。  同理,formula_63,每一個括號可以出"formula_6"或出"formula_3",而最後要有"formula_66"個"formula_6"、formula_68個"formula_3"相乘,這形同formula_90的「不盡相異物排列」,其方法數為formula_91,恰好等於formula_72;其他各項同理。

  通常二項式定理可以直接使用泰勒公式進行證明. 下面的方法不使用泰勒公式 設formula_93, formula_94。注意只有當formula_95時上述兩個函式才收斂  formula_100  formula_101  因為  formula_102  於是  formula_103  因為 formula_104

  牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分 。其在初等數學中應用主要在於一些粗略的分析和估計以及證明恆等式等。

  二項式定理給出的係數可以視為組合數 formula_113 的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。  可以考慮恆等式 formula_115。 展開等式左邊得到: formula_116。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。 同時如果展開等式右邊可以得到 formula_117。 比較兩邊冪次為 formula_118 的項的係數可以得到: formula_119。 令 formula_120,並注意到 formula_121 即可得到所要證明的結論。  因為formula_123  令formula_124,代入上式,得  formula_125

  在複數中,二項式定理可以與棣莫弗公式結合,成為多倍角公式。根據棣莫弗公式: 通過使用二項式定理,右邊的表示式可以擴充套件為 由棣莫弗公式,實部與虛部對應,能夠得出 即二倍角公式。同樣,因為 所以藉棣莫弗公式,能夠得出 整體而言,多倍角恆等式可以寫作 和

  數學常數e的定義為下列極限值:  使用二項式定理能得出  第"k"項之總和為  因為"n" → ∞,右邊的表示式趨近1。因此  這表明e可以表示為

  該定理可以推廣到對任意實數次冪的展開,即所謂的牛頓廣義二項式定理:  formula_138。其中formula_139。

  對於多元形式的多項式展開,可以看做二項式定理的推廣: formula_140.  證明: 數學歸納法。對元數n做歸納: 當formula_141時,原式為二項式定理,成立。 假設對formula_142元成立,則:
二項式定理(英語:Binomial theorem)描述了二項式的冪的代數展開。根據該定理,可以將兩個數之和的整數次冪諸如formula_1展開為類似formula_2項之和的恆等式,其中formula_3、formula_4均為非負整數且formula_5。係數formula_6是依賴於formula_7和formula_3的正整數。當某項的指數為1時,通常略去不寫。例如: