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  因為酉矩陣的行列式是模長1複數,行列式給出了一個群同態 這個同態的核是行列式為單位的酉矩陣集合,這個子群稱為特殊酉群,記作formula_14。我們有李群的短正合列: 這個短正合列分裂,故formula_3可以寫成formula_14與formula_6的半直積。這裡formula_6是formula_3中由formula_21形式的矩陣組成的子群。  酉群formula_3對formula_23是非交換的。formula_3的中心是數量矩陣formula_25,這裡formula_26。這由舒爾引理得來。這樣中心同構於formula_6。因為formula_3的中心是一個1維阿貝爾正規子群,酉群不是半單的。

  酉群formula_3作為formula_30的子集賦予相對拓撲,formula_30是所有formula_2復矩陣集合,本身同構於formula_33維歐幾里得空間。  作為一個拓撲空間,formula_3是緊連通空間。因為formula_3是formula_30的一個有界閉子集,然後海涅-博雷爾定理可知緊性。欲證formula_3是連通的,回憶到任何酉矩陣formula_11能被另一個酉矩陣formula_39對角化。任何對角酉矩陣的對角線上都是絕對值為1的複數。從而我們可以寫成  formula_3中從單位到formula_11的一條道路由  給出。  酉群不是單連通的;對所有formula_1,formula_3的基本群是無限迴圈群  第一個酉群U(1)是一個拓撲圓周,熟知其有同構於formula_47的基本群,包含對映formula_48在formula_49上是同構(其商是斯蒂弗爾流形)。  行列式對映formula_50誘導了基本群的同構,分裂對映formula_51誘導其逆。

  

  酉群是正交群、辛群與複數群的3重交集: 從而一個酉結構可以視為一個正交結構、復結構與辛結構,他們要求是“一致的”(意思是說:復結構與辛形式使用同樣的formula_53,且formula_53是正交的;取定一個formula_53將所有群寫成矩陣群便確保了一致性)。  事實上,它是這三個中任何兩個的交集;從而一個一致的正交與復結構導致了一個辛結構,如此等等。  在方程的層次上,這可以由下面看出 任何兩個方程蘊含第三個。  在形式的層次上,這可從埃爾米特形式分解為實部與虛部看出: 實部是對稱的(或正交),虛部是斜正交(辛)——他們由復結構聯絡(這便是一致性)。在一個殆凱勒流形上,可以將這個分解寫成formula_59,這裡formula_60是埃爾米特形式,formula_61是黎曼度量,formula_62是殆復結構,而formula_63是殆辛結構。  從李群的觀點來看,這可部分地解釋如下: formula_64是formula_65的極大緊子群,而formula_66是formula_67與formula_68的極大緊子群。從而交集formula_69或formula_70是這些群的極大緊子群,即formula_66。從這個觀點來看,意料之外的是交集formula_72。

  就像正交群有子群特殊正交群與商群射影正交群formula_73,以及子商群射影特殊正交群;酉群也有關聯的特殊酉群formula_14,射影酉群formula_75,以及射影特殊酉群formula_76。他們的關係如左所示的交換圖表;特別地,兩個射影群相等:formula_77。  上面對經典酉群成立(複數上),對有限域,可以類似地得到特殊酉群與射影酉群,但是一般地formula_78。

  用G-結構的語言來說,一個具有formula_79-結構的流形是一個殆埃米爾特流形。

  從李群的觀點來看,典型酉群是斯坦伯格群formula_80的實形式,後者是由一般線性群的“圖表自同構”(翻轉 formula_81,對應於轉置逆)與擴張formula_82的域同構(即複共軛)的複合得到的代數群。兩個自同構都是代數群的自同構,階數為2,可交換,酉群作為代數群是乘積自同構的不動點。典型酉群是這個群的實形式,對應於標準埃爾米特形式formula_83,它是正定的。  這可從幾個方面推廣:

  類似於不定正交群,給定一個不必正定(但一般取為非退化)的埃爾米特形式,考慮保持這個形式的變換,我們可以定義不定酉群。這裡我們在復向量空間上考慮問題。  給定復向量空間formula_88上的一個埃爾米特形式formula_83,酉群formula_90是保持這個形式的變換群:變換formula_91使得formula_92,對所有formula_93。寫成矩陣,設這個形式用矩陣formula_94表示,這便是說formula_95。  就像實數上的對稱形式,埃爾米特形式由符號確定,所有都是酉合同於對角線上formula_96個元素為1,formula_97個formula_98的對角矩陣。非退化假設等價於 formula_99。在一組標準基下,這代表二次形式: 作為對稱形式是: 得出的群記為formula_102。

  在formula_103個元素的有限域formula_104上,有一個惟一的2階擴張域 formula_105,帶有2階自同構formula_106(弗羅貝尼烏斯自同構的formula_107次冪)。這使得我們可以定義formula_105上一個向量空間formula_88上的埃爾米特形式,是一個formula_104-雙線性對映formula_111使得formula_112以及formula_113對formula_114。另外,有限域上向量空間的所有非退化埃爾米特形式都酉合同與用恆同矩陣表示的標準形式。這便是說,任何埃爾米特形式酉等價於 這裡formula_116表示formula_117在formula_1-維空間formula_88的某個特定formula_105-基下的座標。  從而我們對擴張formula_121可以定義一個(惟一的)formula_1維酉群,記作formula_123或formula_124(取決於作者的習慣)。酉群中矩陣的行列式為1的子群稱為特殊酉群,記作formula_125或formula_126。為方便起見,本文使用formula_127寫法。formula_127的中心的階數為formula_129由為酉數量矩陣組成,這便是所有矩陣formula_130,這裡formula_131。特殊酉群的中心的階數為formula_132,由那些階數整除formula_1的酉數量矩陣組成。酉群除以中心的商稱為射影酉群,formula_134,特殊酉群除以中心是射影特殊酉群formula_135。在大多數情形(formula_136與formula_137),formula_126是完全群而formula_135是有限單群。

  更一般地,給定一個域formula_140與一個2階可分formula_140-代數formula_142(可能是一個域擴張但也未必),我們可以定義關於這個擴張的酉群。  首先,存在formula_142的惟一formula_140-自同構formula_145是一個對合且恰好不動元為formula_140(formula_147當且僅當formula_148)。這是複共軛與2階有限域擴張共軛的推廣,從而我們可以在它上面的定義埃爾米特形式與酉群。

  定義酉群的方程是一些formula_140上的多項式方程(但不是在formula_140上):對標準形式 formula_151,這些方程由矩陣formula_152給出,這裡formula_153是共軛轉置。給定另外一個形式,它們是formula_154。從而酉群一個代數群,它在一個formula_140-代數formula_156上的點由 給出。  對域擴張formula_82與標準(正定)埃爾米特形式,這得出了具有實點與復點的代數群:

  關於"U"("n")的分類空間在條目U(n)的分類空間中描述。
酉群,又叫么正群,是李群的一種。在群論中,formula_1階酉群(英語:unitary group)是formula_2酉矩陣組成的群,群乘法是矩陣乘法。酉群記作formula_3,是一般線性群formula_4的一個子群。