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  這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表,但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

  設 "D" 為R × R 的一個開子集,以及一個連續函式:  皮亞諾存在定理:定義在 "D" 上的一個一階線性常微分方程(其中 formula_2) 必然有區域性解。也就是說,必定存在一個關於 formula_5 的鄰域 "I",以及一個函式:

  皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理:皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理,皮卡-林德洛夫定理對函式 formula_8 的要求更嚴格,但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函式 formula_8 區域性地滿足利普希茨條件,也就是說在任意一點 "x" 的附近,都有一個常數 formula_10 和一個鄰域 formula_11,使得對於formula_11中任意的formula_13、formula_14兩點,都有: 這個要求比單純的連續性要高,但是得出的結論也更強了:皮卡-林德洛夫定理說明,在滿足上述要求時,微分方程的區域性解不僅存在而且是唯一的。

  設formula_16為一個常數,考慮函式 根據皮亞諾存在定理,由於函式formula_19在formula_18上連續,微分方程有解。但由於 formula_8 在0處的導數為正無窮,formula_8 在formula_23上不滿足利普希茨條件,於是解不一定是唯一的。事實上:對於任意的formula_24,定義為:當formula_25 時 formula_26,當 formula_27 時 formula_28的函式 formula_29 都是微分方程的解,也就是說解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型:假設有一個漏水的容器,其水面高度(函式formula_29)和時間的關係由以上的微分方程定義的話,那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程,所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態(formula_31)的話,是無法倒過來推測原來的水位有多高的(也就是說沒有唯一解)。
在數學中, 特別是在常微分方程的研究中,皮亞諾存在定理(又稱為皮亞諾定理、柯西-皮亞諾定理)是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一,保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。