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  設formula_8 是formula_7的連分數表示:formula_10的漸近分數列,由連分數理論知存在formula_11使得("p","q")為佩爾方程的解。取其中最小的formula_11,將對應的 ("p","q")稱為佩爾方程的基本解,或最小解,記作("x","y"),則所有的解("x","y")可表示成如下形式:  或者由以下的遞迴關係式得到:

  

  首先根據根號7的漸進連分數表示,找出前幾項,察看(分子,分母)是否是一組解。

  例如formula_29有解(3,1)。  formula_30時,有formula_31  (r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213)...  (x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311)...  例如formula_34有解(1,1)。  設formula_35,formula_36  formula_37時,有formula_38  (r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830)...  (z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669)...  (x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669)...

  佩爾方程與代數數理論有緊密聯絡,因為公式formula_39給出了環formula_40(即二次域formula_41)上的範數。因此("x","y")是佩爾方程的解當且僅formula_42的範數是一,即是域上的一個單元。根據狄利克雷單位定理,formula_40的所有單元都可以表示為同一個基本單元的乘方形式。這就是說一個佩爾方程的所有的解都是一個基本解的乘方。單元總可以通過解一個類似佩爾方程而得到,但這時的基本解並不一定就是基本單元。

  佩爾方程和切比雪夫多項式有內在的聯絡:若"T" ("x")和"U" ("x")分別是第一類和第二類切比雪夫多項式的相應項,那麼它們是佩爾形式方程formula_44的解。於是第一類和第二類切比雪夫多項式可以通過展開基本解的乘方得到。  進一步有:如果("x","y")是佩爾方程的第"i"個解,那麼
若一個丟番圖方程具有以下的形式: 且formula_2為正整數,則稱此二元二次不定方程為佩爾方程(英文:Pell's equation德文:Pellsche Gleichung)。