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  簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。  例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。  表述“相差k個標準差”,即在 的樣本(Sample)範圍內考量。  標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。  標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。

  

  formula_2為平均值(formula_3)。  簡易口訣:離均差平方的平均取正平方根;方均根。

  上述公式可以如下代換而簡化:  所以:  根號裡面,亦即變異數(formula_8)的簡易口訣為:「平方和的平均」減去「平均的平方」。

  一隨機變數formula_9的標準差定義為:  須注意並非所有隨機變數都具有標準差,因為有些隨機變數不存在期望值。 如果隨機變數formula_9為formula_12具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。

  若formula_9是由實數formula_14構成的離散隨機變數(),且每個值的機率相等,則formula_9的標準差定義為:  換成用formula_18來寫,就成為:  目前為止,與母體標準差的基本公式一致。  然而若每個formula_21可以有不同機率formula_22,則formula_9的標準差定義為:  這裡,formula_2為formula_9的數學期望。

  若formula_9為概率密度formula_29的連續隨機變數(),則formula_9的標準差定義為:  其中formula_2為formula_9的數學期望:

  對於常數formula_35和隨機變數formula_9和formula_37:

  在真實世界中,找到一個總體的真實的標準差並不實際。大多數情況下,總體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。  從一大組數值formula_49當中取出一樣本數值組合formula_50,常定義其樣本標準差:  樣本方差formula_52是對總體方差formula_8的無偏估計。之所以formula_54中的分母要用formula_55而不是像總體樣本差那樣用formula_56,是因為formula_57的自由度為formula_58,這是由於存在約束條件formula_59。

  這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }:

  在實際應用上,常考慮一組資料具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確,則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

  一組資料的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說,如果用平均值來考量數值的中心的話,則標準差也就是對統計的分散度的一個“自然”的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。較確切的敘述為:設formula_49為實數,定義函式:  使用微積分或者通過配方法,不難算出formula_86在下面情況下具有唯一最小值:

  從幾何學的角度出發,標準差可以理解為一個從formula_56維空間的一個點到一條直線的距離的函式。舉一個簡單的例子,一組資料中有3個值,formula_89。它們可以在3維空間中確定一個點formula_90。想像一條通過原點的直線formula_91。如果這組資料中的3個值都相等,則點formula_92就是直線formula_93上的一個點,formula_92到formula_93的距離為0,所以標準差也為0。若這3個值不都相等,過點formula_92作垂線formula_97垂直於formula_93,formula_97交formula_93於點formula_101,則formula_101的座標為這3個值的平均數:  運用一些代數知識,不難發現點formula_92與點formula_101之間的距離(也就是點formula_92到直線formula_93的距離)是formula_108。在formula_56維空間中,這個規律同樣適用,把formula_110換成formula_56就可以了。
標準差(又稱標準偏差、均方差,,縮寫英語:SD),數學符號(sigma),在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義:為方差開算術平方根,反映組內個體間的離散程度;標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果,原則上具有兩種性質: