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  中國唐朝數學家王孝通在武德九年(626年)前後所著的《緝古算經》中建立了25個三次多項式方程和提出三次方程實根的數值解法。  波斯數學家歐瑪爾·海亞姆(1048年-1123年)通過用圓錐截面與圓相交的方法構建了三次方程的解法。他說明了怎樣用這種幾何方法利用三角法表得到數字式的答案。  中國南宋的數學家秦九韶在他1247年編寫的《數書九章》一書中提出了高次方程的數值解法秦九韶演算法,提出“商常為正,實常為負,從常為正,益常為負”的原則。  在十六世紀早期,義大利數學家費羅找到了能解一種三次方程的方法,也就是形如formula_3的方程。事實上,如果我們允許formula_4是複數,所有的三次方程都能變成這種形式,但在那個時候人們不知道複數。  尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡爾丹諾拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡爾丹諾注意到塔爾塔利亞的方法有時需要他給複數開平方。他甚至在《數學大典》裡包括了這些複數的計算,但他並不真正理解它。拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli)詳細地研究了這個問題,並因此被人們認為是複數的發現者。

  

  紅色字型部分為判別式formula_5。  當formula_6時,方程有一個實根和兩個共軛復根;  當formula_7時,方程有三個實根:當  時,方程有一個三重實根;  當時,方程的三個實根中有兩個相等;  當formula_8時,方程有三個不等的實根。

  formula_1,其中formula_10。  若令formula_11,則  formula_12  formula_13  formula_14

  令formula_15為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根formula_16,然後把方程formula_17除以formula_18,就得到一個二次方程,而我們已會解二次方程。  在一個代數封閉域,所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。  解方程步驟:  接下來,formula_39和formula_53是formula_49和formula_50的立方根,適合formula_56,formula_57,最後得出formula_24。  在域formula_59裡,若formula_60和formula_61是立方根,其它的立方根就是formula_62和formula_63,當然還有formula_64和formula_65,其中formula_66,是1的一個複數立方根。  因為乘積formula_56固定,所以可能的formula_68是formula_69,formula_70和formula_71。因此三次方程的其它根是formula_72和formula_73。

  最先嚐試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉,方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在formula_59裡,就是formula_75的代數閉包。其中差異出現於formula_49和formula_50的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。  可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式formula_78,  注意到實係數三次方程至少有一實根存在,這是因為非常數多項式在formula_90和formula_91的極限是無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因為多項式是連續函式,所以從介值定理可知它在某點的值為0。

  解formula_92。  我們依照上述步驟進行:  該方程的另外兩個根:

  這是一個歷史上的例子,因為它是邦別利考慮的方程。  方程是formula_114。  從函式formula_115算出判別式的值formula_116,知道這方程有三實根,所以比上例更容易找到一個根。  前兩步都不需要做,做第三步:formula_98,formula_44,formula_100。 formula_49和formula_50是formula_124的根。這方程的判別式已算出是負數,所以只有實根。很弔詭地,這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由:複數是解方程必需工具,即使方程或許只有實根。  我們解出formula_125和formula_126。取複數立方根不同於實數,有兩種方法:幾何方法,用到輻角和模(把輻角除以3取模的立方根);代數方法,分開復數的實部和虛部: 現設formula_127。  得到formula_132和formula_133,也就是formula_134,而formula_53是其共軛:formula_136。  歸結得formula_137,可以立時驗證出來。  其它根是formula_138和formula_139,其中formula_140。  當formula_5是負,formula_49和formula_50共軛,故此formula_39和formula_53也是(要適當選取立方根,記得formula_56);所以我們可確保formula_147是實數,還有formula_148和formula_149。

  formula_150,其中係數皆為實數。

  重根判別式:formula_151;  總判別式:formula_152。

  formula_154。

  讓formula_156,得:  formula_157;  formula_158;  formula_159。

  讓formula_161,得:  formula_162;  formula_163。

  讓formula_165,得:  formula_166;  formula_167;  formula_168。

  

  設formula_169  將其微分,可得formula_170

  設formula_171,可得formula_147在formula_173中的極值(極大值或極小值)formula_174滿足:  formula_175  formula_176  將formula_177代入formula_173,可得formula_173的極值formula_180:  formula_181  formula_182

  formula_183  設formula_184,可得formula_173。  formula_186

  由函式取極值的充分條件可知: formula_187,formula_174是formula_189的極大值點; formula_190,formula_174是formula_189的極小值點; formula_193,formula_174是formula_189的拐點。  formula_196可知: formula_197,formula_173的駐點為極大值點; formula_199,formula_173的駐點為極小值點; formula_201,formula_173的駐點為拐點。
三次方程是未知項總次數最高為3的整式方程,一元三次方程一般形式為 其中formula_2是屬於一個域的數字,通常這個域為R或C。