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  連分數常用於無理數的逼近,例如:  formula_4 由此得到formula_5的漸近分數formula_6、formula_7、formula_8、formula_9、...  formula_10 由此得到黃金分割的漸近分數formula_6、formula_12、formula_13、formula_14、formula_15、formula_16、......  formula_17 由此得到圓周率的漸近分數formula_18、formula_19(約率)、formula_20、formula_21(密率)、formula_22、......  數學上可以證明,由(狹義)連分數得到的漸近分數,在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中,其值是最接近精確值的近似值。

  研究連分數的動機源於想要有實數在“數學上純粹”的表示。  多數人熟悉實數的小數表示:  這裡的formula_2可以是任意整數,其它formula_25都是formula_26的一個元素。在這種表示中,例如數formula_27被表示為整數序列formula_28。  這種小數表示有些問題。例如,在這種情況下使用常數10是因為我們使用了10進位制系統。我們還可以使用8進位制或2進位制系統。另一個問題是很多有理數在這個系統內缺乏有限表示。例如,數formula_29被表示為無限序列formula_30。  連分數表示法是避免了實數表示的這兩個問題。讓我們考慮如何描述一個數如formula_31,約為4.4624。近似為4,而實際上比4多一點,約為formula_32。但是在分母中的2是不準確的;更準確的分母是比2多一點,約為formula_33,所以formula_31近似為formula_35。但是在分母中的6是不準確的;更準確分母是比6多一點,實際是formula_36。所以formula_31實際上是formula_38。這樣才準確。  去掉表示式formula_38中的冗餘部分可得到簡略記號formula_40。  實數的連分數表示可以用這種方式定義。它有一些可取的性質:  最後一個性質非常重要,且傳統的小數點表示就不能如此。數的截斷小數表示產生這個數的有理數逼近,但通常不是非常好的逼近。例如,截斷formula_42在各種位置上產生逼近比,如formula_43、formula_44和formula_45。但是明顯的最佳有理數逼近是「formula_46」自身。formula_27的截斷小數表示產生逼近比,如formula_48和formula_49。formula_27的連分數表示開始於formula_51。截斷這個表示產生極佳的有理數逼近3、formula_19、formula_20、formula_21、formula_55、...。formula_49和formula_20的分母相當接近,但近似值formula_49的誤差是遠高於formula_20的19倍。作為對formula_27的逼近,formula_61比3.1416精確100倍。

  考慮實數formula_62。設formula_63是"formula_62"的整數部分,而formula_65是它的小數部分。則"r"的連分數表示是formula_66,這裡的「...」是formula_67的連分數表示。習慣上用分號取代第一個逗號。  要計算實數"formula_62"的連分數表示,首先寫下"formula_62"的整數部分(下取整),然後從"formula_62"減去這個整數部分。如果差為0則停止;否則找到這個差的倒數並重復。這個過程將終止,當且僅當"formula_62"是有理數。 數3.245還可以表示為連分數展開formula_72;參見下面的有限連分數。  這個演算法適合於實數,但如果用浮點數實現的話,可能導致數值災難。作為替代,任何浮點數是一個精確的有理數(在現代計算機上分母通常是2的冪,在電子計算器上通常是10的冪),所以歐幾里得演算法的變體可以用來給出精確的結果。

  可以把連分數簡寫作:  或者,用Pringsheim的記法寫作:  還有一個有關的記法:  有時使用尖括號,如:  在使用尖括號的時候,分號是可選的。  還可以定義無限簡單連分數為極限:  對於正整數"a", "a", "a"...的任意選擇,皆存在此一極限。  或者可以用高斯的記法

  所有有限連分數都表示一個有理數,而所有有理數都可以按兩種不同的方式表示為有限連分數。這兩種表示除了最終項之外都是一致的。在較長的連分數表示,其最終項是1;較短的表示去掉了最後的1,而向新的終項加1。在短表示中的最終項因此大於1,如果短表示至少有兩項的話。其符號表示:  例如:

  有理數的連分數表示和它的倒數除了依據這個數小於或大於1而分別左移或右移一位以外是相同的。換句話說,formula_82和formula_83互為倒數。這是因為如果formula_84是整數,接著如果formula_85,則formula_86且formula_87,而且如果formula_88,則formula_89且formula_90帶有最後的數生成對formula_91和它的倒數是同樣的的連分數的餘數。  例如:

  所有無限連分數都是無理數,而所有無理數可用一種精確的方式表示為無限連分數。  無理數的無限連分數表示是非常有用的,因為它的初始段提供了對這個數的優異的有理數逼近。這些有理數可以叫做這個連分數的收斂(convergent,也譯為“漸進”)。所有偶數編號的收斂都小於最初的數,而奇數編號的收斂都大於它。  對於連分數formula_94,前四個收斂(編號formula_95到formula_96)是  用普通語言來說,第3個收斂的分子是藉由第3個商(formula_98)乘上第2個收斂的分子,並加上第1個收斂的分子而成。分母的形成也很類似。  如果找到連續的收斂,帶有分子formula_99和分母formula_100,則相關的遞迴關係是:  formula_101  連續的收斂由如下公式給出

  如果formula_103是正整數的無限序列,遞迴的定義序列formula_104和formula_105:

  對於任何正數formula_106

  formula_108的收斂以  給出。

  如果對連分數的第"n"個收斂是formula_110,則  推論1:每個收斂都在它的最低的那些項中(如果formula_104和formula_105有不尋常的公約數,則它可除formula_114,這當然是不可能的)。  推論2:在連續的收斂之間的差是單位分數:  推論3:連分數等價於交替(alternating)項的級數:  推論4:矩陣 的行列式值為正1或負1,因此屬於2x2 么模矩陣formula_118的群。

  每個(第formula_119個)都比任何前面(第formula_62個)收斂更接近於後續的(第formula_121個)收斂。用符號來說,如果第"formula_121"個收斂是formula_123,則  對於所有<math>r。  推論1:奇數收斂(在第"formula_121"個之前)持續遞增而總是小於formula_126。  推論2:偶數收斂(在第"formula_121"個之前)持續遞減而總是大於"formula_126"。

  推論1:任何收斂都比其分母小於這個收斂的分母的任何其他分數更接近於這個連分數。  推論2:立即前導於一個大商的任何收斂都是對這個連分數的接近逼近。

  如果formula_130和formula_131是連續的收斂,則如下形式的任何分數 這裡的formula_133是非負整數,而分子和分母在formula_121和formula_135項(包含它們)之間,叫做“半收斂”、次收斂或中間分數。這個術語經常意味著排除了是收斂的可能性,而不是收斂是一種半收斂。  對實數formula_136的連分數展開的半收斂包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理數逼近。另一個有用的性質是連續的半收斂formula_137和formula_138有著formula_139。

  連分數理論在丟番圖逼近領域起基礎性的作用,可以解決實數的最佳逼近問題,具體可參閱相應主頁面。事實上,最初發展連分數理論的動機正是為了解決實數的最佳逼近問題。
在數學中,連分數或繁分數即如下表示式: