Can you summarize the following document?
        
  根據高德納(Donald Ervin Knuth)的《計算機程式設計藝術》("The Art of Computer Programming"),1150年印度數學家Gopala和金月在研究箱子包裝物件長寬剛好為1和2的可行方法數目時,首先描述這個數列。在西方,最先研究這個數列的人是比薩的列奧那多(義大利人斐波那契Leonardo Fibonacci),他描述兔子生長的數目時用上了這數列:  假設在n月有兔子總共a對,n+1月總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對:因為在n+2月的時候,前一月(n+1月)的b對兔子可以存留至第n+2月(在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育)。而新生育出的兔子對數等於所有在n月就已存在的a對  斐波納契數也是帕斯卡三角形的每一條紅色對角線上數字的和。

  為求得斐波那契數列的一般表示式,可以藉助線性代數的方法。高中的初等數學知識也能求出。

  已知

  設formula_7化簡得formula_8 比較係數可得: formula_9 不妨設formula_10 解得:  formula_11  又因為有formula_7, 即formula_13為等比數列。

  由以上可得: formula_15  變形得: formula_16。 令formula_17

  formula_20 設formula_21,解得formula_22。 故數列formula_23為等比數列 即formula_24。而formula_25, 故有formula_26 又有formula_11 和formula_17 可得formula_29  得出formula_30表示式  formula_29

  formula_32  formula_33

  設J為第n個月有生育能力的兔子數量,A為這一月份的兔子數量。  上式表達了兩個月之間,兔子數目之間的關係。而要求的是,A的表示式。

  行列式:formula_36  當行列式的值為0,解得formula_37=formula_38或formula_39=formula_40

  將兩個特徵值代入  求特徵向量formula_42得  formula_43=formula_44  formula_45=formula_46

  第一個月的情況是兔子一對,新生0對。  將它分解為用特徵向量表示。

  從  可得到

  將(4) 代入 (5)  根據3

  現在在6的基礎上,可以很快求出A的表示式,將兩個特徵值代入6中  (7)即為A的表示式

  實際上,如果將斐波那契數列的通項公式寫成formula_57,即可利用解二階線性齊次遞迴關係式的方法,寫出其特徵多項式formula_58(該式和表達斐波那契數列的矩陣的特徵多項式一致),然後解出formula_37=formula_38,formula_39=formula_40,即有formula_63,其中formula_64為常數。我們知道formula_65,因此formula_66,解得formula_67。

  formula_68

  可通過程式設計觀察斐波那契數列。分為兩類問題,一種已知數列中的某一項,求序數。第二種是已知序數,求該項的值。  可通過遞迴遞推的演算法解決此兩個問題。 事實上當n相當巨大的時候,O(n)的遞推/遞迴非常慢......這時候要用到矩陣快速冪這一技巧,可以使遞迴加速到O(logn)。

  開普勒發現數列前、後兩項之比1/2,2/3, 3/5,5/8,8/13,13/21,21/34...,也組成了一個數列,會趨近黃金分割:  斐波那契數亦可以用連分數來表示:  formula_72  formula_73  而黃金分割數亦可以用無限連分數表示: 而黃金分割數也可以用無限多重根號表示:

  斐波那契數列中,只有3個平方數:0、1、144。

  </math>

  證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。 不失一般性,我們假設formula_79,formula_80是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1,有formula_76種方法來完成對formula_82的計算;若第一個被加數是2,有formula_83來完成對formula_84的計算。因此,共有formula_85種方法來計算n的值。 計算用多個1和多個2相加令其和等於formula_87的方法的數目,同時至少一個加數是2的情況。  如前所述,當formula_88,有formula_89種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2,就即formula_90 (formula_87項),於是我們從formula_89減去1。  若該數式包含2為被加數,2的首次出現位置必然在第1和formula_87的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後,得出formula_100為要求的數目。

  特別地,當"m" = "n"時,

  費波那西數列是費波那西n步數列步數為2的特殊情況,也和盧卡斯數列有關。

  反費波那西數列的遞迴公式如下:  如果它以1,-1,之後的數是:1,-1,2,-3,5,-8,...  即是formula_113。  反費波那西數列兩項之間的比會趨近formula_114。

  費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現,巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現,它有formula_115的關係。

  佩爾數列的遞迴公式為formula_116,前幾項為0,1,2,5,12,29,70,169,408...

  1970年,尤里·馬季亞謝維奇指出了偶角標的斐波那契函式 正是滿足Julia Robison假設的丟番圖函式,因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。

  斐波那契數列中是否存在無窮多個質數?  在斐波那契數列中,有質數: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917...... 目前已知最大質數是第81839個斐波那契數,一共有17103位數。

  JavaScript迭代版 C語言通項公式版 c++通項公式版 using namespace std; int main() Python語言通項公式版  def fib(n): # write Fibonacci series up to n  def fib2(n): # return Fibonacci series up to n  Common Lisp Go  遞迴版,時間複雜度為 O(2^n): 通用版,時間複雜度為 O(n): Java語言通項公式版: Java語言快捷版:  C語言陣列版:  Python Lambda 遞迴版:
斐波那契數列(義大利語:Successione di Fibonacci),又譯為菲波拿契數列、菲波那西數列、斐氏數列、黃金分割數列。