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  形式地說,設開集formula_2,且函式 formula_3,若對任何 formula_4 都存在 formula_5 在 formula_6 中的開鄰域,使得 formula_7 在其內可表為下述收斂冪級數,則此(實)函式稱為formula_6上的(實)解析函式:  其中係數 formula_9 皆為實數。  或者等價地,實解析函式也可以定義為在定義域 formula_6 內每一點formula_5的泰勒級數皆逐點收斂的光滑函式 formula_7,即:  在formula_5的某個鄰域收斂到 formula_15。  集合formula_6上的解析函式全體組成的集合通常記做formula_17。  若函式formula_15在點formula_5的某個鄰域上解析,則稱formula_15在點formula_5處解析。  復解析函式的定義類此,僅須將上式的中的實數線換作複平面,並將實數換作複數即可。一個函式是復解析的,當且僅當這個函式是全純的(即復可微的)。出於這個原因,術語“全純”和“解析”經常可以互換。

  典型的解析函式有:  典型的非解析函式有:

  以下條件等價:  復解析函式與全純函式等價,因此也更容易鑑別。

  事實上,假設所論解析函式皆可在原點附近一開集 formula_39 上表示為冪級數,則上述運算可以形式地操作:  其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。  一個非零多項式的零點數不大於它的次數,解析函式的零點也有類似的限制:若一解析函式的零點集在定義域內有極限點,則函式在包含該點的連通分支上恆為零。此外,若解析函式在一點的各階導數皆為零,則該函式在含該點的連通分支上為常數函式。  這些性質表明:儘管解析函式比多項式有更多的自由度,它仍是一個具有相當「剛性」的數學物件。

  如上所述,實或復解析函式均在實變數的意義上無窮可微(記作光滑函式,或 formula_45)。但是存在光滑卻非解析的函式,典型的例子是 可證明它是光滑的,且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點,故非解析。  復解析函式則不同:凡復解析函式必為全純函式(即復可導,以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程),反之亦然,因此全純函式與解析函式在複分析中是同一類物件。

  實解析與復解析函式有些重要差異,一般而言復解析函式更具剛性。  依據劉維爾定理,定義在整個複平面上的有界解析函式必為常數。此結論對實解析函式不成立,例如:  此外,若一個復解析函式在一個以 formula_5 為中心的開圓盤內有定義,則在 formula_5 的冪級數展開式在該開圓盤內收斂。對實解析函式則不然。上面舉的例子在formula_50處的泰勒展開式為formula_51,在formula_52時發散。  給定實數線上一個區間 formula_53 上的實解析函式 formula_7,則 formula_7 能延拓為複平面上一開集 formula_56 上的復解析函式。然而定義在整個 formula_57 上的實解析函式不一定能延拓到整個 formula_58,如前例之 formula_7,在點formula_60處無定義。這解釋了為何formula_7的泰勒級數在formula_52時發散,收斂半徑為1。

  冪級數可以定義在任意域上,取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函式與復解析函式分別對應到 formula_57 與 formula_58;在數論上也考慮超度量域,如 p進數域 formula_65 或 formula_66。  由於超度量域滿足強三角不等式 formula_67,遂具備許多獨特性質,例如 formula_68 收斂當且僅當formula_69。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀,技術上卻往往簡單得多。

  利用多元冪級數,可將解析函式的定義直接推廣到多變元的情形。它們是區域性上形如  的函式,其中 formula_71 皆為向量,而 formula_53 代表多重指標。  多元解析函式有一些性質和一元解析函式相同。但是,二維以上的解析函式還有一些有趣的新性質,復解析函式的情形尤其特出。例如:
在數學中,解析函式(analytic function)是區域性上由收斂冪級數給出的函式。解析函式可分成實解析函式與復解析函式,兩者有類似之處,同時也有重要的差異。兩種型別的解析函式都是無窮可導的,但復解析函式表現出一些一般實解析函式不成立的性質。此外在超度量域上也可以定義解析函式,這套想法在當代數論與算術代數幾何中有重要應用。一個函式是解析函式當且僅當這個函式在它定義域內的每個點的鄰域內的泰勒級數都收斂。