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  一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積:  其中,formula_2為磁偶極矩,formula_3為電流,formula_4為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。  處於外磁場的載流迴圈,其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為:  其中,formula_7為力矩,formula_8為磁場,formula_9為勢能。  許多基本粒子,例如電子,都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源,許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋有關,必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的,最小的基本單位,常常稱為「磁子」(英語:magneton)。例如,電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為:  其中,formula_11為電子自旋的磁矩,電子自旋g因子formula_12是一項比例常數,formula_13為波耳磁子,formula_14為電子的自旋,formula_15是約化普朗克常數。

  採用國際單位制,磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法:  CGS單位制又可細分為幾種亞單位制:靜電單位制(英語:electrostatic units),電磁單位制(英語:electromagnetic units)、高斯單位制。 磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分/秒的光速。  在這篇文章內,所有的方程式都採用國際單位制。

  在任何物理系統裡,磁矩最基本的源頭有兩種:  整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如,氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和:  再舉個例子,構成條形磁鐵的物質,其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和,是條形磁鐵的磁矩。

  

  對於最簡單的案例,平面載流迴圈的磁偶極矩formula_2是  其中,formula_3是迴圈所載有的恆定電流,formula_4是平面迴圈的面積向量。  面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出:令四隻手指朝著電流方向彎曲,伸直大拇指,則大拇指所指的方向即是面積向量的方向,也是磁偶極矩的方向。  這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩,像磁四極矩,磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持formula_1不變,則所有更高階的磁矩會趨向於零,這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子,或純磁偶極子。

  對於任意迴路案例,假設迴路載有恆定電流formula_3,則其磁偶極矩為  其中,formula_23是積分曲面,formula_24是formula_23邊緣的閉合迴路,formula_26是微小面積元素,formula_27是微小線元素,formula_28是formula_27的位置。  引用向量恆等式  即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式

  對於最廣義的任意電流分佈案例,磁偶極矩為  其中,formula_33是積分體積,formula_28是源電流位置,formula_35是電流密度,formula_36是微小體積元素。  任意一群移動電荷,像旋轉的帶電固體,都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

  在原子物理學和核子物理學裡,磁矩的大小標記為formula_37,通常測量單位為波耳磁子或核磁子(英語:nuclear magneton)。磁矩關係到粒子的自旋,和/或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩:  欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係,請參閱條目磁化強度。

  載流回路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極專案。但是,隨著距離的增遠,這些多極專案會更快速地減小,因此,在遠距離位置,只有偶極專案是磁場的顯要專案。  思考一個載有恆定電流formula_3的任意局域迴路formula_24,其磁矢勢formula_40為  其中,formula_28是檢驗位置,formula_43是源頭位置,是微小線元素formula_44的位置,formula_45是磁常數。  假設檢驗位置足夠遠,formula_46,則表示式formula_47可以泰勒展開為  其中,formula_49是勒讓德多項式,formula_50是formula_28與formula_43之間的夾角。  所以,磁矢勢展開為  思考formula_54專案,也就是磁單極子專案:  由於閉合迴路的向量線積分等於零,磁單極子專案恆等於零。  再思考formula_56專案,也就是磁偶極子專案:  注意到磁偶極矩為formula_58,偶極磁矢勢可以寫為  偶極磁場formula_60為  由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置(原點formula_62),必須特別小心地計算,才能得到正確答案。更仔細地推導,可以得到磁場為  其中,formula_64是狄拉克δ函式。  偶極磁場的狄拉克δ函式專案造成了原子能級分裂,因而形成了超精細結構(英語:hyperfine structure)。在天文學裡,氫原子的超精細結構給出了21公分譜線,在電磁輻射的無線電波範圍,是除了3K背景輻射以外,宇宙瀰漫最廣闊的電磁輻射。從複合紀元(英語:recombination)至再電離紀元(英語:reionization)之間的天文學研究,只能依靠觀測21公分譜線無線電波。  給予幾個磁偶極矩,則按照疊加原理,其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

  

  如圖右,假設載有電流formula_3的一個方形迴圈處於外磁場formula_66。方形迴圈四個邊的邊長為formula_67,其中兩個與formula_68平行的邊垂直於外磁場,另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為formula_69。  垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為  另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 formula_71。所以,這迴圈感受到的磁力矩為  令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大,同時保持formula_1不變,則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以,處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。  當磁偶極矩垂直於磁場時,磁力矩的大小是最大值formula_74;當磁偶極矩與磁場平行時,磁力矩等於零。

  將載流迴圈從角弧formula_75扭轉到角弧formula_76,磁場所做的機械功formula_77為  注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向,而formula_79是朝著順時針方向遞增,所以必須新增一個負號。設定formula_80,則  對抗這磁場的磁力矩,將載流迴圈從角弧formula_82扭轉到角弧formula_76,所做的機械功formula_84為  定義載流迴圈的勢能formula_9等於這機械功formula_84,以方程式表示為  與前段所述同理,磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時,勢能等於零;當磁偶極矩與磁場呈相同方向時,勢能是最小值formula_89;當磁偶極矩與磁場呈相反方向時,勢能是最大值formula_74。

  假設外磁場為均勻磁場,則作用於載流回路formula_91的磁場力等於零:  假設外磁場為非均勻的,則會有一股磁場力,作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同,求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」,則一個磁偶極子所感受到的磁場力為  另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型,計算出的磁場力為  兩者之間的差別為  假設,電流等於零,電場不含時間,則根據馬克士威-安培方程式,  兩種模型計算出來的磁場力相等。可是,假設電流不等於零,或電場為含時電場,則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年,兩個不同的實驗,研究中子的散射於鐵磁性物質,分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。

  

  一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如,載有1安培電流,半徑formula_97為0.05米的單匝圓形載流迴圈,其磁偶極矩為:  磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩,可以用來建立以下幾點論據:

  一個多匝線圈(或螺線管)的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝(單層卷繞),只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數,就可得到總磁矩。然後,這總磁矩可以用來計算磁場,力矩,和儲存能量,方法與使用單匝線圈計算的方法相同。  假設螺線管的匝數為formula_111,每一匝線圈面積為formula_112,通過電流為formula_3,則其磁矩為

  假設,一個點電荷formula_115以等速formula_116繞著z-軸,移動於半徑為formula_99的平面圓形路徑,則其電流為  其磁矩為  其角動量formula_35為  其中,formula_122是載電粒子的質量。  所以,磁矩與角動量的經典關係為  對於電子,這經典關係為  其中,formula_125是電子的質量,formula_126是電子的絕對電量。  假設,這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力,  其中,formula_128是電常數。  現在施加外磁場formula_129於此氫原子,則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變(這只是一個粗略計算),只有電子的速度改變為formula_130,則  所以,  假設,兩個速度的差別formula_133超小,則  所以,由於施加外磁場formula_8,磁矩的變化為  注意到formula_137與formula_8呈相反方向,因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是,抗磁性是一種量子現像,經典解釋並不正確。  為了簡略計算,使用半經典方法,可以求出磁矩的變化為  其中,formula_140是半徑平方的期望值。

  電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性,涉及到量子力學。詳盡細節,請參閱條目電子磁偶極矩(英語:electron magnetic dipole moment)。微觀的內稟磁矩集聚起來,形成了巨觀的磁效應和其它物理現象,例如電子自旋共振。  電子的磁矩是  其中,formula_142是電子的朗德g因子,formula_143是波耳磁子,formula_14是電子的自旋角動量。  按照前面計算的經典結果,formula_145;但是,在狄拉克力學裡,formula_146;更準確地,由於量子電動力學效應,它的實際値稍微大些,formula_147。  請注意,由於這方程式內的負號,電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為,經典電磁學的解釋為:假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷,這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向,這種載流回路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理,帶有正電荷的正子(電子的反粒子),其磁矩與自旋呈相同方向。

  在原子內部,可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算,必須先將每一個電子的自旋總和,得到總自旋,再將每一個電子的軌角動量總和,得到總軌角動量,最後用角動量耦合(英語:angular momentum coupling)方法將總自旋和總軌角動量總和,即可得到原子的總角動量。原子的磁矩formula_37與總角動量formula_35的關係為  其中,formula_151是原子獨特的朗德g因子。  磁矩對於磁場方向的分量formula_152是  其中,formula_154是總角動量對於磁場方向的分量,formula_155是磁量子數,可以取2J+1個整數値,-J、 -J+1、...、J-1、J,之中的任意一個整數值。  因為電子帶有負電荷,所以formula_152是負值。  處於磁場的磁偶極子的動力學,不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子,迫使它依著磁場線排列。但是,力矩是角動量對於時間的導數。所以,會產生自旋進動,也就是說,自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為  其中,formula_158是迴轉磁比率(英語:gyromagnetic ratio),formula_159是磁場。  注意到這方程式的左手邊專案是角動量對於時間的導數,而右手邊專案是力矩。磁場又可分為兩部分:  其中,formula_161是有效磁場(外磁場加上任何自身場),formula_162是阻尼係數。  這樣,可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式(英語:Landau–Lifshitz–Gilbert equation):  方程式右邊第一個專案描述磁偶極子繞著有效磁場的進動,第二個專案是阻尼專案,會使得進動漸漸減弱,最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

  核子系統是一種由核子(質子和中子)組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關,從核磁矩的測量資料,更明確地,從核磁偶極矩的測量資料,可以研究這些量子性質。  雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長,大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩,其大小是一個常數,通過細心設計的實驗,可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值,就可以揭示核子波函式的內涵。現今,有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值,也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

  任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言,一個分子的磁矩是下列貢獻的總和,按照典型強度從大至小列出:
磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵,會感受到力矩,促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極,磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩,載流回路、電子、分子或行星等等,都具有磁矩。