Can you summarize the following document?
        
  

  亨利·龐加萊在1905年至1906年間發現當將時間作為一個虛座標(其中為光速,是虛數單位)並與三個表示空間的實座標共同組成四維時空時,洛倫茲變換就可以看作是這一時空中的座標旋轉。狹義相對論可以保證這個量:  注:此處及以下公式使用了幾何單位制,即令c=1的單位制,所以在這種單位制下t和x,y,z量綱相同。  在兩個慣性系間的座標變換,也就是洛倫茲變換,前後保持不變。這裡對於光速依照龐加萊的做法做了歸一處理。在由他提出的空間中,座標空間是通過構造的。洛倫茲變換在座標空間中作為普通的旋轉變換保證  不變。後一種表述可以讓前面的表述更為容易理解,但兩式中所表示的意義不同(前者表示的慣性系中測得的固有時間本身,後者表示的時間座標)也可能會造成混淆。  無論是在座標空間還是在實際的時空中,在由兩個空間單位向量確定的平面中的旋轉就是通常意義上的旋轉。不過當那個平面是由一個時間單位向量以及一個空間單位向量確定的時候,其中的“旋轉”稱作洛倫茲遞升,與歐幾里德旋轉就不那麼相似了。  赫爾曼·閔可夫斯基基於這一構想在四維空間中重新闡釋了麥克斯韋方程組,並展示了其在洛倫茲變換前後的不變性。他又進一步在四維空間中重新表述了愛因斯坦的狹義相對論,由此總結出時間與空間應該做相同的處理,並提出了事件是在一個統一的四維時空連續統中發生的概念。

  1908年,在有關“空間與時間”的講座中,閔可夫斯基又利用另一種方式來闡釋這種四維時空。他將虛的時間座標替換為實的時間座標,並利用一個四維實向量空間來表述時空的四個自變數。這個空間中的點與時空中的事件一一對應。在這個時空中還有一個特別的光錐。空間中不在光錐上的點可以依據它們與光錐的關係劃分為“類空”或“類時”。這與現今對時空的認知基本一致。不過那種將時間作為虛座標的做法由於某些原因仍在狹義相對論以及量子場論有所應用。將時間作為實座標的閔可夫斯基空間與將時間作為虛座標的四維歐幾里德空間之間的轉換叫作威克轉動。  在閔可夫斯基的論文中,下面定義的閔可夫斯基度規叫作“線元素”,涉及特定向量正交性(他本人叫作“正規性”)的閔可夫斯基內積沒有被命名,而閔可夫斯基範數平方則叫作“和”。  閔可夫斯基圖是閔可夫斯基使用的一項重要的工具。他利用這一工具來定義概念並展示了洛倫茲變換的一些性質(比如固有時間和長度收縮),並提供了牛頓力學推廣到相對論力學的幾何解釋。有關這些話題請參看相關條目。下面主要展示的主要是利用由時空流形上的時空間隔不變性得到的閔可夫斯基空間的數學結構(閔可夫斯基度規、由它推匯出的量以及作為時空對稱群的龐加萊群),不包括其具體應用以及時空間隔不變性的推導。這個數學結構提供了目前廣義相對論以外所有相對論理論的背景。對於廣義相對論,閔可夫斯基時空仍可作為區域性平坦的彎曲時空的出發點。  閔可夫斯基本人對於他的這種重新闡釋方法有著這樣的評價: 更進一步的歷史方面的資訊,請參閱, and 。

  下文中,時空將被賦以對應某個慣性系的座標系。這樣就可以得到一個的原點。這個原點在把時空構造為向量空間的過程中很重要。儘管從物理意義來說這樣的一個正則原點(時空的“中心”事件)並不需要存在。人們可以構造具有更簡單結構的時空,比如仿射空間,但這會新增不必要的討論,並且不能反映平坦空間目前是如何從數學上處理的。  總體而言,閔可夫斯基空間是一個四維實向量空間。時空中每個點的切空間上具有非退化對稱雙線性形式,這裡稱作“閔可夫斯基內積”,度規符號差為或。每個事件的切空間是一個具有與時空相同維度的四維向量空間。

  切空間在實際應用中可能並不會涉及。閔可夫斯基空間的切空間的性質可以讓人們擁有利用閔可夫斯基空間本體裡的向量標示切空間中向量的規範方法。例子請參見。標識的過程通常是利用數學方法完成的。它們可以在直角座標系中表示為:  其中切空間的基矢定義為:  這裡的和是任意的兩個事件,後一種標示叫作平行移動。第一種標示是利用空間本體中的向量來表示切空間中向量的規範方法。切空間的基矢會出現一階微分符號就是因為這種標示方式。這種標示方式得益於幾何切向量可以與一組平滑函式的方向導數一一對應。這使得流形中的切向量的定義不必基於。這種定義切向量方式並不是唯一的。通過普通的元向量也可以定義切向量。  在直角座標系(對應於慣性系),點處的切向量可以定義為的列向量。它通過洛倫茲變換依照在慣性系間變換,與座標的變換方式相同。具體來說,就是: 這種定義在標準同構下與上文給出的定義等價。 點處的切向量有時還會以點處的“位移向量”表示,與上面規範標示方法基本相通。上述基於數學背景介紹的向量表示方法可以在找到它們物理的或是更為具體的幾何背景。

  閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合("e", "e", "e", "e") 使得 這些條件可以更簡要地寫成如下形式: 其中μ與ν涵蓋的數值有{0, 1, 2, 3},矩陣η稱為閔可夫斯基度規,數值為  相對於一組標準基底,一向量formula_9 的分量可以寫作formula_10,並且我們使用愛因斯坦標記來寫formula_11。分量formula_12稱作formula_9 的「類時分量」(timelike component),而其他三個分量則稱作「類空分量」(spatial components)。  以分量來寫,兩個向量formula_9與formula_15間的內積可寫成 而一向量formula_9的範數(norm)平方值為

  四維向量依據它們(閔可夫斯基)內積的正負號來區分。四維向量formula_19、formula_9與formula_15可分類如下:  這樣的術語源自於相對論中對於閔可夫斯基時空的使用。閔可夫斯基時空中一事件所有零向量的集合構成了該事件的光錐(light cone)。注意到這些標記的使用與參考系無關。  向量場被稱作是類時、類空或零,是看場定義所在的各點,其所對應的向量是類時、類空或零。  關於零向量一個有用的結果:「若兩個零向量formula_28、formula_29正交(即:零內積值formula_30),則它們必定是呈比例關係formula_31(formula_32為常數)。」  一旦時間方向選定了,類時向量與零向量可以再分為各種類別。以類時向量(timelike vector)來說,我們有  以零向量(null vector)來說,可分為三種類別: 加上類空向量,全部共有六種類別。  閔可夫斯基時空中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底來做運算,則可有其他的向量組合。例如:可以輕鬆建構一種(非正交歸一)基底,整個是由零向量所組成,稱之為「零基底」(null basis)。
在數學物理學中,閔可夫斯基空間(或稱閔考斯基時空)是指由三維歐幾里德空間與時間組成的四維流形,其中任意兩個事件之間的時空間隔與所依照的慣性系無關。儘管赫爾曼·閔可夫斯基一開始是為了電磁理論的麥克斯韋方程組而發展這一理論,但閔可夫斯基時空的結構卻可以從狹義相對論的公設直接推出。