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  前幾個拉蓋爾多項式的表示式與函式影象如下:

  拉蓋爾多項式也可以通過遞迴的方式進行定義。首先,規定前兩個拉蓋爾多項式為: 然後運用下面的遞推關係得到更高階的多項式。

  上面提到的拉蓋爾多項式的正交性,也可以用另外一種方式表達。即:如果"X"是一個服從指數分佈的隨機變數(即,概率密度函式如下式): 那麼: 指數分佈不是唯一的伽瑪分佈,對於任意的伽瑪分佈(概率密度函式如下,"α" > −1,參見Γ函式) 相應的正交多項式為形如下式的廣義拉蓋爾多項式(可以通過羅德里格公式得到): 有時也將上面的多項式稱為連帶(聯屬,伴隨)拉蓋爾多項式。當取α = 0時,就回到拉蓋爾多項式: function LaguerreL(n, alpha, x) {

  LaguerreL:= 1; bin:= 1

  拉蓋爾多項式滿足以下的遞推關係: 特別地,有 還有 運用以上式子可以得到以下四條關係式: 將它們組合在一起,就得到了最常用的遞推關係式: 當formula_45與formula_17均為整數時,拉蓋爾多項式有以下的有趣性質: 進一步可以得到部分分式分解:

  將拉蓋爾多項式對自變數"x"求導"k"次,得到: 進一步有: 運用柯西多重積分公式可以得到: 將拉蓋爾多項式對參變數formula_25求導,得到下面的有意思的結果: 廣義拉蓋爾多項式滿足下面的微分方程: 可以與拉蓋爾多項式的k階導數所滿足的微分方程作一比較。 僅在此式中,formula_56(後面這個符號又有了新的含義)。  於是,當formula_57時,廣義拉蓋爾多項式可以用拉蓋爾多項式的導數表示: formula_58 式中的上標(k)容易與求導k次混淆。

  伴隨拉蓋爾多項式在區間<nowiki>[</nowiki>0, ∞<nowiki>)</nowiki>上以權函式"x" "e"正交: 這可由下式得到: 伴隨對稱核多項式可以用拉蓋爾多項式表示為: 也有下面的遞推關係: 進一步地,在伴"L"<nowiki>[</nowiki>0, ∞<nowiki>)</nowiki>空間上,有: 在氫原子的量子力學處理中用到了下面的公式:

  設一個函式具有以下的級數展開形式: 則展開式的係數由下式給出 這個級數在Lp空間formula_67上收斂,當且僅當 一個相關的展開式為: 特別地 這可由下式得到: 還有,當formula_72時, 這個結果可以由下式匯出,

  冪函式可以展開為: 二項式可以展開為: 進一步可以得到: 更一般地 對於非負的整數formula_80,可以化簡為: 當formula_82時,可以化簡為: 雅可比Theta 函式有下面的表示: 隨意選定參量t,貝塞爾函式可以表示為: formula_86 Γ函式可以展開為: 低階不完全伽瑪函式可展開為: 於是,高階不完全伽瑪函式就是: formula_91表示超幾何函式。

  拉蓋爾多項式可以用圍道積分表示,如下式所示: 積分方向逆時針繞原點一週。

  廣義拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式有下列關係: 以及 這裡的"H"表示乘上了exp(−"x")的埃爾米特多項式(所謂的“物理學家形式”)。 正因為這樣,廣義拉蓋爾多項式也在量子諧振子的量子力學處理中出現。

  拉蓋爾多項式可以用超幾何函式來定義,具體地說,是用合流超幾何函式定義: formula_96是階乘冪,這裡表示升階乘。

  拉蓋爾多項式與變形貝塞爾函式之間有以下關係: 進一步有:
在數學中,以法國數學家埃德蒙·拉蓋爾命名的拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程的標準解。 這是一個二階線性微分方程。