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  費馬數滿足以下的遞迴關係:  其中"n" ≥ 2。這些等式都可以用數學歸納法推出。從最後一個等式中,我們可以推出哥德巴赫定理:任何兩個費馬數都沒有大於1的公因子。要推出這個,我們需要假設 0 ≤ "i" < "j" 且 "F" 和 "F" 有一個公因子 "a" > 1。那麼 "a" 能把  和"F"都整除;則"a"能整除它們相減的差。因為"a" > 1,這使得"a" = 2。造成矛盾。因為所有的費馬數顯然是奇數。作為一個推論,我們得到素數個數無窮的又一個證明。  其他性質:

  最小的12個費馬數為: 其中前八個來源於。  只有最小的12個費馬數被完全分解了。

  1640年,費馬提出了一個猜想,認為所有的費馬數都是素數。這一猜想對最小的5個費馬數成立,於是費馬宣稱他找到了表示素數的公式。然而,尤拉在1732年否定了這一猜想,他給出了分解式:  尤拉證明費馬數的因子皆可表成"k"2 + 1,之後盧卡斯證明費馬數的因子皆可表成"k"2 + 1。

  設formula_8為第"n"個費馬數。如果"n"不等於零,那麼:

  假設以下等式成立: 那麼formula_12,因此滿足3=1(modformula_9)的最小整數k一定整除formula_14,它是2的冪。另一方面,k不能整除formula_15,因此它一定等於formula_16。特別地,存在至少formula_16個小於formula_9且與formula_9互素的數,這只能在formula_9是素數時才能發生。  假設formula_9是素數。根據尤拉準則,有: 其中formula_23是勒讓德符號。利用重複平方,我們可以發現formula_24,因此formula_25,以及formula_26。因為formula_27,根據二次互反律,我們便可以得出結論formula_28。
費馬數是以數學家費馬命名一組自然數,具有形式: