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  康威使用遞迴構造了超現實數,其中每個數都是兩個數集構成的序對,記為 formula_1。這兩個集合要求 formula_2 裡的每個元素都嚴格小於每個 formula_3 裡的元素。不同的序對可能表達同樣的數字:formula_4。

  讓我們先來看幾個簡單的例子。  因此整數都是超現實數。(以上幾行是定義而非等式。)  至此我們可以通過超現實數定義二進分數(分母為2的冪次的分數)。

  為了定義更多的實數,我們可以將使用無限的左右集合:formula_13,formula_14,事實上可以同樣地使用二進位制展開的方法定義出所有實數。

  根據歸納法,我們可以構造出 formula_15,formula_16 等無窮大的數,formula_17 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

  我們定義 formula_18。  若 formula_19 且 formula_20,那麼 formula_21,這在直觀上等階於“formula_22是在第formula_23天中出生的”。  那麼我們可以觀察發現:  我們將超現實數集合稱作 formula_31。

  給定 formula_32,我們(遞迴地)定義 formula_33 當且僅當以下兩命題同時成立:  那麼可以自然地定義 formula_38。可以證明,這樣的二元關係是一個全序關係。  我們分別將 formula_39 稱為 formula_22 負、 formula_22 正、 formula_22 非正、 formula_22 非負。  我們定義 formula_44 表示 formula_33 與 formula_46 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在,但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

  

  我們定義超現實數之間的加法為 formula_47,其中 formula_48。

  我們定義負號(加法逆元)為 formula_49,其中 formula_50。  可以驗證這兩個運算構成了(真類上的)阿貝爾群。

  我們定義乘法運算為formula_51,其中 formula_52。

  我們定義(正數的)乘法逆元為formula_53,這樣除法就是 formula_54。我們可以發現這個定義是遞迴的,但是實際上這個數字是良定義的:我們取formula_55 那麼 formula_56 會有一個 formula_57 作為左項,導致了formula_58 會是一個右項。這又意味著 formula_59 作為左項、formula_60 作為右項,以此類推,所以我們有formula_61 (考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 formula_62,因此是相容的)。  對於負數,我們定義 formula_63。

  有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。

  所有二進分數都可以定義為超現實數,而所有分數都可以表示為兩個整數之比,因此所有有理數都可以表示為超現實數。

  在定義出了有理數之後,使用戴德金分割可以立刻將實數對映到超現實數中。  假設formula_64,其中 formula_65,那麼立刻可知存在 formula_66 是 formula_22 的一個超現實數表示,其中 formula_68 是有理數到超現實數的域同態。

  我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合。所有序數的全體記為formula_69,那麼我們有:  這樣的同態可以保持序關係的結構,但是並不能保證算術的一一對應,比如 formula_71 這一式子的值在序數中的結果是 formula_72,而在超現實數中則是 formula_73.

  如果去除超現實數定義中對所有 formula_74 的約定,那麼這樣(遞迴)定義出來的真類被稱做遊戲。對其仍然可以(一模一樣的)定義加法、加法逆元以及比較。  顯然,所有的超現實數都是遊戲,但並非所有遊戲都是超現實數,例如 formula_75 就不是,其滿足 formula_76。  可以發現,所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲,其中左集合表示第一位玩家(下稱左玩家)可以走到的局面,右集合則表示第二位玩家(下稱右玩家)的選擇,不能操作者負。  兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲,而每個玩家選擇其中一個進行操作,不能操作者負。  我們可以發現,這個遊戲的勝負取決於 formula_77 和 formula_78 的相對關係。  有以下這些特殊的遊戲:  可以發現,關於他們有這麼幾個性質:  可以用於分析複雜的遊戲。
在數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮大(小)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域、實數域、有理函式域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。