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  在討論旋轉的時候理解參照系是重要的。一種觀點來看,你可以保持座標軸固定旋轉向量。而從另一觀點出發,你可以保持向量固定旋轉座標系。  在第一種觀點看來,座標或向量關於原點的逆時針旋轉;或者從第二種觀點看來,平面或軸關於原點的順時針旋轉。這裡的formula_1被旋轉了formula_2並希望知道旋轉後的座標formula_3:  或  平面或軸關於原點的逆時針旋轉,在新平面中的座標將順時針旋轉到舊座標。在這種情況下,如果在舊平面中的座標是formula_1,同一個向量在新平面中的座標是formula_3,則:  或  向量("x", "y")的大小同於向量 ("x"′, "y"′)的大小。

  複數可以看作是在複平面中的二維向量,它的尾部在原點而頭部由這個複數給出。設 是這樣一個複數。它的實部是橫座標而虛部是縱座標。  則"z"可逆時針旋轉角度θ,通過乘以formula_13(參見尤拉公式, §2)。 這可以被看作對應於在§ 1中描述的旋轉。  因為複數的乘法是交換性的,不同於在更高維中的情況,二維旋轉是可交換的。

  在普通三維空間中,座標旋轉可以用尤拉角來定義,或關於要繞其旋轉的向量和一個單一的旋轉角度構成的軸角定義。  關於原點的旋轉最容易使用叫做旋轉矩陣的3×3 矩陣變換來計算。關於其他點的旋轉可以使用表現齊次座標的4×4矩陣來描述。

  表現在三維空間中的旋轉的一種可供選擇的方式是四元數。  四元數提供了表示在三維中旋轉和方向的另一種方式。它們應用與計算機圖形學、控制理論、訊號處理和軌道力學中。例如,在太空船的姿態控制系統中常用四元數來下達指令,還用於測距它們的當前姿態。基本原理是組合很多四元數變換比組合很多矩陣變換在數值上更加穩定。

  

  描述旋轉的所有矩陣的集合"M(v,θ)"加上矩陣乘法運算叫做旋轉群:SO(3)。
旋轉在幾何和線性代數中是描述剛體圍繞一個固定點的運動的在平面或空間中的變換。旋轉不同於沒有固定點的平移,和翻轉變換的形體的反射。旋轉和上面提及的變換是等距的,它們保留在任何兩點之間的距離在變換之後不變。