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  納維-斯托克斯方程在大多數實際情況下是非線性的偏微分方程。在某些情況下,一維流和斯托克斯流(或蠕動流)方程可以簡化為線性方程組。非線性使得很多的問題很難或者沒法解決,但是它卻是動盪方程組模型的重要影響因素。非線性是由於對流加速(與點速度變化相關聯的加速度),因此,任何對流無論湍流與否都會涉及非線性。

  湍流是時變的無序行為,這種行為常見於許多流體流動中。人們普遍認為,這是由於慣性流體被看作為一個整體而產生的:時間依賴性和對流加速度;因此慣性的影響很小的流體往往是層流(雷諾數量化了流所受慣性的大小)。雖然不完全確定,但一般相信納維-斯托克斯方程能夠合理地描述湍流。 納維-斯托克斯方程關於湍流的數值解是非常難得到的,而且由於湍流的顯著不同的混合長度的尺度,需要精細解析度的穩定解的計算時間變得不可行(見直接數值模擬)。嘗試使用層流來解決湍流問題的方法通常會導致時間不穩定的解,它不能夠適當收斂。為了解決這個問題,時間平均方程,如雷諾平均納維-斯托克斯方程(RANS),再輔以湍流模型,被用作實際的計算流體動力學模擬湍流時(CFD)的應用程式。例如Spalart-Allmaras湍流,K-ω湍流,k-ε湍流和SST模型。另一種方法解決數值的納維-斯托克斯方程是大渦模擬(LES)。這種方法在計算上是比RANS方法更昂貴(在時間和計算機儲存器上),但因為較大的湍流尺度被明確地解決所以會產生更好的結果。

  補充方程(例如,質量守恆定律)和良好的邊界條件,使納維-斯托克斯方程似乎可以進行流體運動的精確建模;甚至湍流(平均而言)也符合實際觀察結果。納維-斯托克斯方程假定所研究的流體是連續(它是無限可分的,而不是由粒子組成),並且是相對靜止的。在非常小的尺度或極端條件下,由離散分子組成的真實流體將產生與由納維-斯托克斯方程建模的連續流體不同的結果。根據Knudsen數的問題,統計力學甚至分子動力學可能是一個更合適的方法。另一個限制是方程的複雜性。對於普遍流體家族的公式是存在的,但納維-斯托克斯方程對不常見流系的應用,往往會導致非常複雜的構成,而且該配方是目前研究的一個領域。出於這個原因,這些方程通常用於描述牛頓流體。研究這種液體是“簡單”的,因為粘度模型最終被線性化;真正描述其他型別流體(如血液)的普遍的模型截至2012年還不存在。

  在解釋納維-斯托克斯方程的細節之前,我們必須首先對流體的性質作幾個假設。第一個假設是流體是連續的。這強調它不包含形成內部的空隙,例如,溶解的氣體的氣泡,而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個必要的假設是所有涉及到的場,全部是可微的,例如壓強,速度,密度,溫度,等等。  該方程從質量,動量,和能量的守恆的基本原理匯出。對此,有時必須考慮一個有限的任意體積,稱為控制體積,在其上這些原理很容易應用。該有限體積記為formula_1,而其表面記為formula_2。該控制體積可以在空間中固定,也可能隨著流體運動。這會導致一些特殊的結果,我們將在下節看到。

  運動流體的屬性的變化,譬如大氣中的風速的變化,可以有兩種不同的方法來測量。可以用氣象站或者氣象氣球上的風速儀來測量。顯然,第一種情況下風速儀測量的速度是所有運動的粒子經過一個固定點的速度,而第二種情況下,儀器在測量它隨著流體運動時速度的變化。同樣的論證對於密度、溫度、等等的測量也是成立的。因此,當作微分時必須區分兩種情況。第一種情況稱為"空間導數"或者"尤拉導數"。第二種情況稱為"實質"或"拉格朗日"導數。  隨質導數定義為運算元(operator):  其中formula_4是流體的速度。方程右邊的第一項是普通的尤拉導數(也就是在靜止參照系中的導數)而第二項表示由於流體的運動帶來的變化。這個效應稱為移流(advection)。  L的守恆定律在一個控制體積上的積分形式是:  因為Ω是共動的,它隨著時間而改變,所以我們不能將時間導數和積分簡單的交換。  因為這個表示式對於所有formula_1成立,它可以簡化為:  對於不是密度的量(因而它不必在空間中積分),formula_9給出了正確的共動時間導數。

  NS方程可以從守恆定律通過上述變換匯出,並且需要用狀態定律來閉合。  在控制體積上,使用上述變換,下列的量視為守恆:

  質量的守恆寫作:  其中  在不可壓縮流體的情況 formula_11不是時間或空間的函式。方程簡化為:

  動量守恆寫作:  注意formula_15是一個張量,formula_16代表張量積。  我們可以進一步簡化,利用連續性方程,這成為:  我們可以認出這就是通常的F=ma。

  

  

  納維-斯托克斯方程的一般形式是:  關於動量守恆。張量formula_19代表施加在一個流體粒子上的表面力(應力張量)。除非流體是由象旋渦這樣的旋轉自由度組成,formula_19是一個對稱張量。一般來講,我們有如下形式:  其中formula_22是法向約束,而formula_23是切向約束。  跡formula_24在流體處於平衡態時為0。這等價於流體粒子上的法向力的積分為0。  我們再加上連續性方程:  對於"處於平衡"的液體,formula_19的跡是3"p"。  其中  最後,我們得到:  其中formula_28是formula_19的非對角線部分。

  這些方程是不完整的。要對它們進行完備化,必須對formula_19的形式作一些假設。例如在理想流體的情況formula_23分量為0。用於完備方程組的方程是狀態方程。  再如,壓強可以主要是密度和溫度的函式。  要求解的變數是速度的各個分量,流體密度,靜壓力,和溫度。流場假定為可微並連續,使得這些平衡得以用偏微分方程表達。這些方程可以轉化為渦度和流函式這些次變數的威爾金森方程組。解依賴於流體的性質(例如粘滯度、比熱、和熱導率),並且依賴於所研究的區域的邊界條件。  formula_19的分量是流體的一個無窮小元上面的約束。它們代表垂直和剪下約束。formula_19是對稱的,除非存在非零的自旋密度。  所謂非牛頓流體就是其中該張量沒有特殊性質使得方程的特殊解出現的流體

  這些是問題的特定的常見簡化,有時解是已知的。

  在牛頓流體中,如下假設成立:  其中  其中為簡化書寫,對腳標使用了愛因斯坦求和約定。  不採用簡化書寫的完整形式非常繁瑣,分別為:  動量守恆:  質量守恆:  因為"密度"是一個未知數,我們需要另一個方程。  能量守恆:  其中:  假設一個理想氣體:  上面是一共6個方程6個未知數的系統。(u,v,w,T,e以及 formula_11)。

  在賓漢流體中,我們有稍微不同的假設:  那些流體在開始流動之前能夠承受一定的剪下。牙膏是一個例子。

  這是一種理想化的流體,其剪下應力,formula_23,由下式給出  該形式對於模擬各種一般流體有用。

  其納維-斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)分為動量守恆公式 和質量守恆公式  其中,對不可壓縮牛頓流體來說,只有對流項(convective terms)為非線性形式。對流加速度(convective acceleration)來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變,例如:當流體通過一個漸縮噴嘴(convergent nozzle)時,流體產生加速之情況。由於此項的存在,對於暫態運動中的流體來說,其流場速度變化不再單是時間的函式,亦與空間有關。  另外一個重要的觀察重點,在於黏滯力(viscosity)在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中,黏滯力為動量擴散(diffusion of momentum),與熱擴散方程式非常類似。  若formula_35在整個流體上均勻,動量方程簡化為  (若formula_56這個方程稱為尤拉方程;那裡的重點是可壓縮流和衝擊波)。  如果現在再有formula_11為常數,我們得到如下系統:  連續性方程(假設不可壓縮性):  注意納維-斯托克斯方程僅可近似描述液體流,而且在非常小的尺度或極端條件下,由離散的分子和其他物質(例如懸浮粒子和溶解的氣體)的混合體組成的真實流體,會產生和納維-斯托克斯方程所描述的連續並且齊性的液體不同的結果。依賴於問題的納森數,統計力學可能是一個更合適的方法。但是,納維-斯托克斯方程對於很大範圍的實際問題是有效的,只要記住他們的缺陷是天生的就可以了。
納維爾-斯托克斯方程(英語:Navier-Stokes equations),以克勞德-路易·納維(Claude-Louis Navier)和喬治·斯托克斯命名,是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(力)和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似於摩擦力)以及重力之間的關係。這些粘滯力產生於分子的相互作用,能告訴我們液體有多粘。這樣,納維-斯托克斯方程描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡。