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  在 formula_8 的情況,設: formula_9, 那麼 可見formula_11。

  歷史上,算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。formula_12的情況很早就為人所知,但對於一般的 formula_2,不等式並不容易證明。1729年,英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明,用的是調整法,然而這個證明並不嚴謹,是錯誤的。

  1821年,法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明:

  使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托(George Chrystal)在其著作《代數論》("Algebra")的第二卷中給出的:  於是完成了從 formula_2 到 formula_15 的證明。  此外還有更簡潔的歸納法證明:

  注意到幾何平均數formula_16 實際上等於 formula_17,因此算術-幾何平均不等式等價於: 由於對數函式是一個凹函式,由琴生不等式可知上式成立。

  令 formula_19,於是有 formula_20,再作代換 formula_21,運用排序不等式得到: 於是得到 formula_23,即原不等式成立。  此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函式求導和加強命題的證明。

  算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

  不僅“均勻”的算術平均數和幾何平均數之間有不等式,加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 formula_24 和 formula_25 為正實數,並且 formula_26,那麼:  加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

  算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣,一樣有類似的不等式: 對於係數都是正實數的矩陣 formula_28  設 formula_29,formula_30,那麼有: 也就是說:對 formula_32 個縱列取算術平均數,它們的幾何平均小於等於對 formula_2 個橫行取的 formula_2 個幾何平均數的算術平均。

  也稱為積分形式:對任意在區間formula_35上可積的正值函式 formula_36,都有 這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 formula_38 後,將兩邊的黎曼和中的 formula_2 趨於無窮大後得到的形式。

  若再規定formula_1的調和平均數 formula_41  則有 formula_42 且等號依舊成立當且僅當 formula_7 。  證明由算數-幾何平均值不等式知  formula_44  故  formula_45  即  formula_46  且等號成立於  formula_47  即  formula_48
算術-幾何平均值不等式,簡稱算幾不等式,是一個常見而基本的不等式,表現算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關係。設formula_1為 formula_2 個正實數,它們的算術平均數是formula_3,它們的幾何平均數是 formula_4。算術-幾何平均值不等式表明,對任意的正實數formula_5,總有: formula_6