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  愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量:  通常會將這寫為求和公式形式:  在基底變換之下,純量保持不變。當基底改變時,一個向量的線性變換可以用矩陣來描述,而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證,不論基底為何,伴隨餘向量的線性函式(即上述總和)保持不變。由於只有總和不變,而總和所涉及的每一個專案都有可能會改變,所以,愛因斯坦提出了這標記法,重複標號表示總和,不需要用到求和符號:  採用愛因斯坦標記法,餘向量都是以下標來標記,而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起,大多數涉及的方程式都是線性,不超過變數的一次方。在方程式裡,單獨專案內的標號變數最多隻會出現兩次,假若多於兩次,或出現任何其它例外,則都必須特別加以說明,才不會造成含意混淆不清。

  線上性代數裡,採用愛因斯坦標記法,可以很容易的分辨向量和餘向量(又稱為1-形式)。向量的分量是用上標來標明,例如,formula_15。給予一個formula_16維向量空間formula_17和其任意基底formula_18(可能不是標準正交基),那麼,向量formula_19表示為  餘向量的分量是用下標來標明,例如,formula_21。給予formula_17的對偶空間formula_23和其任意基底formula_24(可能不是標準正交基),那麼,餘向量formula_25表示為  採用向量的共變和反變術語,上標表示反變向量(向量)。對於基底的改變,從formula_27改變為formula_28,反變向量會變換為  其中,formula_30是改變基底後的向量的分量,formula_31是改變基底後的座標,formula_32是原先的座標,  下標表示共變向量(餘向量)。對於基底的改變,從formula_33改變為formula_34,共變向量會會變換為

  矩陣formula_36的第formula_37橫排,第 formula_16豎排的元素,以前標記為formula_39;現在改標記為formula_40。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下:

  給予向量formula_19和餘向量formula_25,其向量和餘向量的內積為純量:

  給予矩陣formula_36和向量formula_19,它們的乘積是向量formula_46:  類似地,矩陣formula_36的轉置矩陣formula_49,其與餘向量formula_25的乘積是餘向量formula_51:

  矩陣乘法表示為  這公式等價於較冗長的普通標記法:

  給予一個方塊矩陣formula_55,總和所有上標與下標相同的元素formula_56,可以得到這矩陣的跡formula_57:

  M維向量formula_19和N維餘向量formula_25的外積是一個M×N矩陣formula_36:  採用愛因斯坦標記式,上述方程式可以表示為  由於formula_64和formula_65代表兩個不同的標號,在這案例,值域分別為M和N,外積不會除去這兩個標號,而使這兩個標號變成了新矩陣formula_36的標號。

  一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量formula_67、formula_68及formula_69來描述三維空間的向量。  把直角座標系的基底向量formula_67、formula_68及formula_69寫成formula_74、formula_75及formula_76,所以一個向量可以寫成:  根據愛因斯坦求和約定,若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標,則此項代表著所有可能值之總和:  由於基底是標準正交基,formula_79的每一個分量formula_80,所以,  兩個向量formula_79與formula_83的內積是  由於基底是標準正交基,基底向量相互正交歸一:  其中,formula_86就是克羅內克函式。當formula_87時,則formula_88,否則formula_89。  邏輯上,在方程式內的任意專案,若遇到了克羅內克函式formula_86,就可以把方程式中的標號formula_64轉為formula_65或者把標號formula_65轉為formula_64。所以,

  採用同樣的標準正交基formula_74、formula_75及formula_76,兩個向量formula_79與formula_83的叉積,以方程式表示為  注意到  其中,張量formula_104是列維-奇維塔符號,定義為 所以,  設定formula_106,那麼,  所以,

  在歐幾里得空間formula_17裡,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有向量formula_46,通過下述方程式,向量formula_19唯一地確定了餘向量formula_25:  逆過來,通過上述方程式,每一個餘向量formula_114唯一地確定了向量formula_19。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。  給予formula_17的一個基底formula_117,則必存在一個唯一的對偶基底formula_118,滿足  其中,張量formula_120是克羅內克函式。  以這兩種基底,任意向量formula_19可以寫為兩種形式  其中,formula_123是向量formula_19對於基底formula_125的反變分量,formula_126是向量formula_83對於基底formula_125的共變分量,

  在歐幾里得空間formula_129裡,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底,其基底向量為formula_130、formula_131、formula_132,就可以計算其對偶基底的基底向量:  其中,formula_134是基底向量formula_130、formula_131、formula_132共同形成的平行六面體的體積。  反過來計算,  其中,formula_139是基底向量formula_140、formula_141、formula_142共同形成的平行六面體的體積。  雖然formula_143與formula_144並不相互標準正交,它們相互對偶:  雖然formula_146與formula_147並不相互標準正交,它們相互對偶:  這樣,任意向量formula_19的反變分量為  類似地,共變分量為  這樣,formula_19可以表示為 或者,  綜合上述關係式,  向量formula_19的共變分量為  其中,formula_158是度規張量。  向量formula_19的反變分量為  其中,formula_161是共軛度規張量。  共變分量的標號是下標,反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變分量和反變分量,所有的標號都可以用下標來標記。

  思考維度為formula_16的向量空間formula_17。給予一個可能不是標準正交基的基底formula_164。那麼,在formula_17內的向量formula_83,對於這基底,其分量為formula_167、formula_168、...formula_169。以方程式表示,  在這方程式右手邊,標號formula_64在同一專案出現了兩次,一次是上標,一次是下標,因此,從formula_64等於formula_173到formula_16,這專案的每一個可能值都必須總和在一起。  愛因斯坦約定的優點是,它可以應用於從formula_17用張量積和對偶性建立的向量空間。例如,formula_176,formula_17與自己的張量積,擁有由形式為formula_178的張量組成的基底。任意在formula_176內的張量formula_180可以寫為  向量空間formula_17的對偶空間formula_23擁有基底formula_184,遵守規則  其中,formula_186是克羅內克函式。

  為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定,在這裡給出幾個簡單的例子。
在數學裡,特別是將線性代數套用到物理時,愛因斯坦求和約定(英語:Einstein summation convention)是一種標記的約定,又稱為愛因斯坦標記法(英語:Einstein notation),在處理關於座標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來,愛因斯坦與友人半開玩笑地說:「這是數學史上的一大發現,若不信的話,可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」