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  定義 π("x") 為素數計數函式,也就是小於等於"x" 的質數個數。例如 π(10)=4,因為共有 4 個質數小於等於 10,分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為:當 "x" 趨近無限,π("x") 和 formula_4 的比值趨近 1。其數學式寫做  淺白的說,當 "x" 很大的時候,π("x") 差不多等於 formula_4。該定理被認為是質數的漸進分佈定律,以漸進符號可簡化為  注意到,上式並不是說指隨著 "x" 趨近無限,formula_8 與 formula_4的差趨近於 0。而是隨著 "x" 趨近無限,formula_8 與 formula_4的相對誤差趨近於 0。  因此,質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素數的概率:從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數,它是素數的概率大約是formula_12。  質數定理有一個等價數是關於第 n 個素數 formula_13的漸近估計式

  下表比較了π("x"),"x"/ln "x"和Li("x"):

  1797年至1798年間,法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測,formula_8大約等於 formula_16,其中 A、B 是未知的函式。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版,書中他給出更精確的猜測:,。根據高斯自己在1849年的回憶,他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了。1832年,狄利克雷經過跟高斯的交流之後,給出了一個新的逼近函式 li(x),(事實上他是用一個有點不一樣的級數表示式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本,但如果考慮逼近式與 formula_8 的差,而不是比值的話,狄利克雷的式子是準確許多的。  俄國數學家切比雪夫參考了尤拉在1731年的工作,引進了定義在實數軸上黎曼ζ函式,企圖證明質數分佈的漸進式,並將他所得到的結果寫成兩篇論文,分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明,如果formula_18存在且有限,則它一定是1。此外,在沒有假設任何結果之下,他也證明當 x 足夠大,formula_19會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理,但它對 formula_8 已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理:對任何大於 1 的正整數 n,存在一個質數介於 n 和 2n 之間。  1859年,黎曼提交了一篇關於質數分佈的非常重要的報告《》,這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法,將ζ函式的定義解析延拓到整個複數平面,並且將質數的分佈與ζ函式的零點緊密的聯絡起來。因此,這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函式 formula_8。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展,且都使用複分析的工具,其中的關鍵步驟是證明如果複數 s 可以寫成 的形式,且 t>0,則 formula_22。  進入20世紀之後,阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理,定理的其他不同證明也陸陸續續被發現,這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長,又複雜,於是有很多後面發現的證明使用了讓證明變得比較簡短,但卻變得讓人比較難以消化。1980年,美國數學家發現了一個簡潔的證明,這可能是目前已知最簡單的證明。不過,證明中使用了柯西積分公式,因此一般不被視為是為初等的證明。  因為黎曼ζ函式與π("x")關係密切,關於黎曼ζ函式的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為  至於大O項的常數則還未知道。

  素數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。  在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明,顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題,必須引進複數來解決。
在數論中,素數定理描述素數在自然數中分佈的漸進情況,給出隨著數字的增大,質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦·萊普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函式。