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  拓撲群 "G" 是拓撲空間和群使得群運算 和 是連續函式。這裡的 "G" × "G" 被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。  儘管我們這裡沒有做其他要求,很多作者要求在 "G" 上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後,這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。  使用範疇論的語言,拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群物件,如同普通的群是集合範疇的群物件一樣。

  在兩個拓撲群 "G" 和 "H" 之間的同態就是連續群同態 "G" → "H"。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強,因其逆函式必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上,任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是(另一個)拓撲群。底層的群是一樣的(同構),但兩個拓撲群並非同構。  拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇。

  每個群可以平凡地變成一個拓撲群,這是通過給它一個離散拓撲達成地;這樣的群稱為離散群。在這個意義下,拓撲群的理論包含了普通群的理論。  實數 R,以及加法操作和它的普通拓撲構成一個拓撲群。更一般的,歐幾里得空間R連同加法和標準的拓撲構成拓撲群。更一般的,所有拓撲向量空間(譬如巴拿赫空間和希爾伯特空間)的加法群是拓撲群。  上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群(是拓撲群也是流形)。例如,一般線性群GL("n",R)由所有可逆"n"×"n"實係數矩陣組成,可以視為拓撲群,其拓撲定義為將GL("n",R)作為歐幾里得空間R的子空間得到的子空間拓撲。所有李群是區域性緊的。  不是李群的拓撲群的一個例子是有理數Q其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子,可以考慮R的旋轉群由繞不同軸作2π的無理數倍的兩個旋轉所生成的子群。  在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中,可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲群。

  拓撲群的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如,在任何拓撲群中單位分支(也就是包含單位的連通分支)是一個閉正規子群。  拓撲群"G"上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣,若a是G的任意元素,則a的左乘和右乘產生"G" → "G"的一個同胚。  每個拓撲群可以兩種方式視為一個一致空間;“左一致性”將所有左乘變成一個一致連續對映,而“右一致性”將所有右乘變為一致連續對映。若"G"非交換,則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲群上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。  作為一個一致空間,每個拓撲群是一個完全正則空間。因而,若一個拓撲群是T(也就是柯爾莫果洛夫空間),則它也是T (也即豪斯多夫空間)。  兩個拓撲群之間的最自然的同態概念是一個連續的群同態。拓撲群,和作為態射的連續群同態一起,構成一個範疇。  每個拓撲群的子群本身也是一個拓撲群,只要取子空間拓撲便可。若"H"是G的一個子群,所有左或右陪集"G"/"H"是一個拓撲空間,只要取商拓撲便可("G"/"H"上使得自然投影"q" : "G" → "G"/"H"連續的最細拓撲)。可以證明商對映"q" : "G" → "G"/"H"總是開對映。  若"H"是一個G的正規子群,則因子群,"G"/"H"成為一個拓撲群,而從普通群理論來的同構基本定理在這個範圍中也是成立的。但是,若"H"不是G的拓撲下的閉集,則"G"/"H"不是T的,即使"G"是。因此很自然可以要求限制到只考慮T拓撲群的範疇,並且限制定義中的正規到正規且閉。  若"H"是G的子群,則H的閉包也是一個子群。同樣,若H是一個正規子群,則H的閉包也是正規的。

  對於調和分析有特殊重要性的是區域性緊拓撲群,因為它們承認一個自然的測度和積分的概念,由哈爾測度給出。在很多方面,區域性緊拓撲群是可數群的一個推廣,而緊拓撲群可以視為有限群的一個推廣。群表示理論對於有限群和緊拓撲群幾乎是完全一樣的。
在數學中,拓撲群是群 "G" 和與之一起的 "G" 上的拓撲,使得這個群的二元運算和這個群的取逆函式是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。