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  舉例明之,實數域並非代數閉域,因為下列實係數多項式無實根:  同理可證有理數域非代數閉域。此外,有限域也不是代數閉域,因為若formula_5列出formula_1的所有元素,則下列多項式在formula_1中沒有根:  反之,複數域則是代數閉域;這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

  給定一個域formula_1,其代數封閉性與下列每一個性質等價:

  域"F"是代數閉域,當且僅當環"F"["x"]中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。  “一次多項式是不可約的”的斷言對於任何域都是正確的。如果"F"是代數閉域,"p"("x")是"F"["x"]的一個不可約多項式,那麼它有某個根"a",因此"p"("x")是"x" − "a"的一個倍數。由於"p"("x")是不可約的,這意味著對於某個"k" ∈ "F" \ {0},有"p"("x") = "k"("x" − "a")。另一方面,如果"F"不是代數閉域,那麼存在"F"["x"]內的某個非常數多項式"p"("x")在"F"內沒有根。設"q"("x")為"p"("x")的某個不可約因子。由於"p"("x")在"F"內沒有根,因此"q"("x")在"F"內也沒有根。所以,"q"("x")的次數大於一,因為每一個一次多項式在"F"內都有一個根。

  域"F"是代數閉域,當且僅當每一個係數位於次數"F"內的"n" ≥ 1的多項式"p"("x")都可以分解成線性因子。也就是說,存在域"F"的元素"k", "x", "x",......, "x",使得"p"("x") = "k"("x" − "x")("x" − "x") ··· ("x" − "x")。  如果"F"具有這個性質,那麼顯然"F"["x"]內的每一個非常數多項式在"F"內都有根;也就是說,"F"是代數閉域。另一方面,如果"F"是代數閉域,那麼根據前一個性質,以及對於任何域"K",任何"K"["x"]內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積,推出這個性質對"F"成立。

  域"F"是代數閉域,當且僅當對於每一個自然數"n",任何從"F"到它本身的線性對映都有某個特徵向量。  "F"的自同態具有特徵向量,當且僅當它的特徵多項式具有某個根。因此,如果"F"是代數閉域,每一個"F"的自同態都有特徵向量。另一方面,如果每一個"F"的自同態都有特徵向量,設"p"("x")為"F"["x"]的一個元素。除以它的首項係數,我們便得到了另外一個多項式"q"("x"),它有根當且僅當"p"("x")有根。但如果"q"("x") = "x" + "a""x"+ ··· + "a",那麼"q"("x")是以下友矩陣的特徵多項式:

  域"F"是代數閉域,當且僅當每一個係數位於"F"內的一元有理函式都可以寫成一個多項式函式與若干個形為"a"/("x" − "b")的有理函式之和,其中"n"是自然數,"a"和"b"是"F"的元素。  如果"F"是代數閉域,那麼由於"F"["x"]內的不可約多項式都是一次的,根據部分分式分解的定理,以上的性質成立。  而另一方面,假設以上的性質對於域"F"成立。設"p"("x")為"F"["x"]內的一個不可約元素。那麼有理函式1/"p"可以寫成多項式函式"q"與若干個形為"a"/("x" − "b")的有理函式之和。因此,有理表示式 可以寫成兩個多項式的商,其中分母是一次多項式的乘積。由於"p"("x")是不可約的,它一定能整除這個乘積,因此它也一定是一個一次多項式。

  設formula_12為代數擴張,且formula_13是代數閉域,則稱formula_13是formula_1的一個代數閉包。可以視之為包含formula_1的最小的代數閉域。  若我們承認佐恩引理(或其任一等價陳述),則任何域都有代數閉包。設formula_17為任兩個formula_1的代數閉包,則存在環同構formula_19使得formula_20;代數閉包在此意義上是唯一的,通常記作 formula_21 或formula_22。
在數學上,一個域formula_1被稱作代數閉域,當且僅當任何係數屬於formula_1且次數大於零的單變數多項式在formula_1裡至少有一個根。