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  ζ函式最早出現於1350年左右,當時的尼克爾·奧里斯姆發現了調和級數發散,即formula_3

  之後的一次進展來自萊昂哈德·尤拉,他給出了調和級數呈對數發散。 除此之外,他還在1735年給出了巴塞爾問題的解答,得到formula_4的結果。尤拉最初的證明可以在巴塞爾問題中看到,然而那是他的第一個證明,因而廣為人知。事實上,那個證明雖有不嚴謹之處,但是尤拉仍然有自己的嚴格證明。 而與的聯絡可以通過莫比烏斯反演公式完成。formula_5然而的表示式過於複雜,如下的切比雪夫函式更為常用。

  第一切比雪夫函式定義為 而更常用的第二切比雪夫函式定義為 其中,如前文定義的 formula_8第二切比雪夫函式與第一切比雪夫函式的關係,可看做“等同於”黎曼素數計數函式與素數計數函式的關係。第二切比雪夫函式與的零點ρ有如下的聯絡 而與的聯絡可以通過阿貝爾求和公式: 其中κ如前文所定義,則由阿貝爾求和公式

  解析延拓之後的ζ函式具有零點,他們分別是分佈有序的平凡零點(所有負偶數),以及臨界帶內的非平凡零點。以表示虛部介於0與T之間的非平凡零點數量,則遵循黎曼 - 馮·曼戈爾特公式:formula_12。

  ζ函式滿足如下函式方程:  對於所有C\{0,1}中的"s"成立。這裡,Γ表示Γ函式。這個公式原來用來構造解析連續性。在"s" = 1,ζ函式有一個簡單極點其留數為1。上述方程中有sin函式,formula_14的零點為偶數"s" = 2"n",這些位置是可能的零點,但s為正偶數時,formula_15為不為零的規則函式,只有s為負偶數時,ζ函式才有零點,稱為平凡零點。

  尤拉計算出ζ("2k"),對於偶整數"2k",使用公式 其中"B"是伯努利數。從這個,我們可以看到ζ(2) = π/6, ζ(4) = π/90, ζ(6) = π/945等等。(OEIS中的序列A046988/A002432)。這些給出了著名的π的無窮級數。奇整數的情況沒有這麼簡單。拉馬努金在這上面做了很多了不起的工作。 formula_17為正偶數時的函式值公式已經由尤拉計算出。但當formula_17為正奇數時,尚未找到封閉式。

  其中γ是尤拉-馬歇羅尼常數=formula_25

  同樣由尤拉發現,ζ函式在負整數點的值是有理數,這在模形式中發揮著重要作用,而且ζ函式在負偶整數點的值為零。  事實上 "B"是白努利數。  因為 "B" =0,故ζ函式在負偶整數點的值為零。

  臨界線上的數值計算可以通過黎曼-西格爾公式完成。與之相關的,林德勒夫猜想:對於任意給定的實數,
黎曼ζ函式 的定義如下: 設一複數 使得,則定義: