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  二次型是"n"個變數上的二次齊次多項式。下面給出一個、兩個、和三個變數的二次形式: 其中"a",..., "f"是係數。 注意一般的二次函式和二次方程不是二次形式的例子,因為它們不總是齊次的。  任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式視覺化為圓錐曲線。  術語二次型也經常用來提及二次空間,它是有序對("V","q"),這裡的"V"是在域"k"上的向量空間,而"q":"V" → "k"是在"V"上的二次形式。例如,在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以採用涉及六個變數的二次形式的平方根來找到,它們是這兩個點的各自的三個座標。

  設"V"是在交換環"R"上的模;"R"經常是域比如實數,在這種情況下"V"是向量空間。  對映"Q" : "V" → "R"被稱為在"V"上的二次形式,如果  這裡的"B"被稱為相伴雙線性形式;它是對稱雙線性形式。儘管這是非常一般性的定義,經常假定這個環"R"是一個域,它的特徵不是2。  "V"的兩個元素"u"和"v"被稱為正交的,如果"B"("u", "v")=0。  雙線性形式"B"的核由正交於"V"的所有元素組成,而二次形式"Q"的核由"B"的核中的有"Q"("u")=0的所有元素"u"組成。 如果2是可逆的,則"Q"和它的相伴雙線性形式"B"有同樣的核。  雙線性形式"B"被稱為非奇異的,如果它的核是0;二次形式"Q"被稱為非奇異的,如果它的核是0。  非奇異二次形式"Q"的正交群是保持二次形式"Q"的"V"的自同構的群。  二次形式"Q"被稱為迷向的,如果有"V"中的非零的"v"使得formula_8。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果formula_9則formula_10被稱為完全奇異的。

  二次形式的一些其他性質:

  在低層的域的特徵不是2的時候,二次形式等價於對稱雙線性形式。  二次形式總是生成對稱雙線性形式(通過極化恆等式),而反過來要求除以2。  注意對於任何向量"u" ∈ "V"  所以如果2在"R"中是可逆的(在"R"是一個域的時候這同於有不是2的特徵),則我們可以從對稱雙線性形式"B"恢復二次形式,通過 當2是可逆的時候,這給出在"V"上的二次形式和"V"上的雙線性形式之間的一一對映。如果"B"是任何對稱雙線性形式,則"B"("u","u")總是二次形式。所以在2是可逆的時候,這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的,對稱雙線性形式和二次形式是不同的:某些二次形式不能寫為形式"B"("u","u")。  我們在二維情況下描述這種等價。任何2維二次形式可以被寫為  我們對在這個向量空間的任何向量寫x =("x","y")。二次形式"F"可以表達為矩陣,如果我們設"M"是2×2矩陣:  接著矩陣乘法給我們下列等式:  這裡的有上標的x指示轉置矩陣。主要我們已經用了特徵不是2,因為我們除以2來定義"M"。所以我們看到了在2維二次形式"F"和對應於對稱雙線性形式的2×2 對稱矩陣"M"之間的對應。  這個觀察迅速推廣到"n"個變數和"n"×"n"矩陣的形式中。例如,在實數值二次形式中,實數的特徵是0,所以實數二次形式和實數對稱雙線性形式是來自不同觀點的同樣的東西。  如果"V"是"n"維的,我們寫雙線性形式"B"為相對於"V"的某個基{"e"}的對稱矩陣B。B的分量給出自formula_15。如果2是可逆的,二次形式"Q"給出自 這裡"u"是在這個基下的"u"的分量。

  假定formula_10是定義在實數向量空間上的二次形式。  設formula_27是如上那樣關聯於formula_10的實數對稱矩陣,所以對於任何列向量formula_23,  成立。接著,formula_10是正(半)定的,負(半)定的,不定的,當且僅當矩陣formula_27有同樣的性質(參見正定矩陣)。最終,這些性質可以用formula_27的特徵值來刻畫。
在數學中,二次型是一些變數上的二次齊次多項式。例如 是關於變數x和y的二次型。