Can you summarize the following document?
        
  假設"R" 是環(ring)且1 ∈ "R",1 是其乘法運算的單位元素,則左"R"-模包括一個交換群,以及一個對映(或運算) (叫做標量乘法或數積,通常把此運算的值 記作 "rx" 或是,"r" ∈ "R" 且 "x" ∈ "M" ),並且滿足以下條件  對所有"r","s" ∈ "R", "x","y" ∈ "M",  有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1,所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件,並把以上的定義稱為"帶單位元(1 )的左模"。  一個左"R"-模"M" 記作"M",類似的右"R"-模"M" 記作"M"。  一個右"R"-模"M"或"M"與左"R"-模的定義相似,只是環的元素在右邊,即其數積是。在左"R"-模的定義中,環的元素"r" 和"s" 是在"M" 的元素"x" 的左邊。若"R" 是可交換的,則左"R"-模與右"R"-模是一樣的,簡稱為"R"-模。  若"R" 是一個域則"R"-模稱為向量空間。模是向量空間的推廣,有很多與向量間相同的性質,但通常沒基底。

  假設"M"是左"R"-模兼"N"是"M"的子集。如果對於所有"n" ∈ "N"及"r" ∈ "R",乘積"rn" ∈ "N"(若是右模,"nr"),則"N"是"M"的子模(或更準確地,"R"-子集)。  若"M"和"N"是左"R"-模,若對映 "f" : "M" -> "N"有對所有"m, n" ∈ "M"及"r, s" ∈ "R","f"("rm" + "sn") = "rf"("m") + "sf"("n"),則稱對映 "f"為"R"-模同態。像其他同態,模同態儲存了模的結構。

  若"M"是左"R"-模,則一個"R"中元素"r"之"作用"定義為對映"M" → "M",它將每個"x"映至"rx"(或者在右模的情況是"xr"),這必然是阿貝爾群("M",+)的群自同態。全體"M"的自同態記作End("M"),它在加法與合成下構成一環,而將"R"的元素"r"映至其作用則給出從"R"至End("M")之同態。  如此的環同態"R" → End("M")稱作"R"在阿貝爾群"M"上的一個"表示"。左"R"-模的另一種等價定義是:一個阿貝爾群"M"配上一個"R"的表示。  一個表示稱作"忠實"的,當且僅當"R" → End("M")是單射。以模論術語來說,這意謂若"r"是"R"的元素,且使得對所有"M"中的"x"都有"rx"=0,則"r"=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環"Z"或其某一商環"Z/nZ"的忠實表示。
在數學的抽象代數中,環上的模(module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣,這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體(field),進而放寬純量可以是環(ring)。