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  雖然二項式係數在公元10世紀就已經被發現(見帕斯卡三角形),但表示式 formula_6卻是到1826年才由安德烈亞斯·馮·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha寫的印度教典籍《Pingala的計量聖典》(chandaḥśāstra)。約1150年,印度數學家Bhaskaracharya於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。  二項式係數亦有不同的符號表達方式,包括:formula_15、formula_16、formula_17、formula_18、formula_19,其中的 C 代表組合(combinations)或選擇(choices)。很多計算機使用含有 C 的變種記號,使得算式只佔一行的空間,相同理由也發生在置換數 formula_20,例如寫作 P("n", "k")。

  對於非負整數formula_7和formula_8,二項式係數formula_6定義為formula_2的多項式展開式中,formula_3項的係數,即  事實上,若formula_27、formula_28為交換環上的元素,則  此數的另一出處在組合數學,表達了從"formula_7"物中,不計較次序取"formula_8"物有多少方式,亦即從一"formula_7"元素集合中所能組成"formula_8"元素子集的數量。此定義與上述定義相同,理由如下:若將冪formula_34的"formula_7"個因子逐一標記為formula_36(從1至"formula_7"),則任一"formula_8"元素子集則建構成展式中的一個formula_39項,故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此,就任何自然數"formula_7"和"formula_8"而言,formula_6亦為自然數。此外,二項式係數亦見於很多組合問題的解答中,如由"formula_7"個位元(如數字0或1)組成的所有序列中,其和為"formula_8"的數目為formula_6,又如算式formula_46,其中每一formula_47均為非負整數,則有formula_48種寫法。這些例子中,大部分可視作等同於點算"formula_8"個元素的組合的數量。

  除展開二項式或點算組合數量之外,尚有多種方式計算formula_6的值。

  以下遞迴公式可計算二項式係數:  其中特別指定:  此公式可由計算formula_54中的"formula_39"項,或點算集合formula_56的"formula_8"個元素組合中包含"formula_7"與不包含"formula_7"的數量得出。  顯然,如果formula_60,則formula_61。而且對所有"formula_7",formula_63,故此上述遞迴公式可於此等情況下中斷。遞迴公式可用作建構帕斯卡三角形。

  個別二項式係數可用以下公式計算:  上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解:分子為從"formula_7"個元素中取出"formula_8"個元素的序列之數量,當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的"formula_8"個元素可有多少種排序方式。

  二項式係數最簡潔的表示式是階乘:  其中「formula_69」是"formula_7"的階乘,此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以formula_71取得,所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子,否則以此公式進行計算時較率欠佳,尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性:

  若將"formula_7"換成任意數值(負數、實數或複數)formula_73,甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素,則二項式係數可籍乘數公式擴充套件:  此定義能使二項式公式一般化(其中一單項為1),故formula_75仍能相稱地稱作二項式係數:  此公式對任何複數"formula_73"及formula_77,formula_78時成立,故此亦可視作formula_77的冪級數的恆等式,即係數為常數1,任意冪之級數定義,且在此定義下,對於冪的恆等式成立,例如  若"formula_73"是一非負整數"formula_7",則所有formula_60的項為零,此無窮級數變成有限項的和,還原為二項式公式,但對於"formula_73"的其他值,包括負數和有理數,此級數為無窮級數。

  帕斯卡法則是一重要的遞迴等式:  此式可以用於數學歸納法,以證明formula_85對於所有"formula_7"和"formula_8"均為自然數(等同於證明formula_88為所有"formula_8"個連續整數之積的因子),此特性並不易從公式(1)中得出。  帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:  第"formula_7"橫行列出formula_85的formula_92項,其建構方法為在外邊填上1,然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下,此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數,例如從第5橫行可馬上得出  在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值,此乃上述遞迴等式()的延伸意義。

  二項式係數是組合數學中的重要課題,因其可用於眾多常見的點算問題中,例如

  就任就非負整數"formula_8",formula_109可表達為一多項式除以formula_88:  此為帶有理數係數,變數是formula_112的多項式,可對任意實數或複數"formula_112"運算以得出二項式係數,此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。  就任意"formula_8",多項式formula_115可看成是惟一的"formula_8"次多項式formula_117滿足formula_118及formula_119.  其係數可以第一類斯特靈數表示,即: formula_115之導數可以對數微分計算:

  在任何包含Q的域中,最多formula_123階的多項式有惟一的線性組合formula_124。係數formula_125是數列formula_126的第"k"差分,亦即:

  每一多項式formula_115在整數引數時均是整數值(可在"formula_8"上,用帕斯卡法則以歸納法證明)。故此,二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之,()表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言,對於一個特徵0域"formula_8"的任何子環formula_130,在formula_131內的多項式在整數引數時之值均在"formula_130"內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的"formula_130"-線性組合。  整數值多項式formula_134可表達作:  從formula_136時formula_137用帕斯卡矩陣的逆可算出:  這種二項式係數多項式結合朱世傑恆等式應用於等冪求和。

  

  階乘公式能聯絡相鄰的二項式係數,例如在"formula_8"是正整數時,對任意"formula_7"有:  兩個組合數相乘可作變換:
在數學上,二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言,二項式係數由兩個非負整數 "n" 和 "k" 為引數決定,寫作 formula_1,定義為 formula_2的多項式展開式中,formula_3項的係數,因此一定是非負整數。如果將二項式係數 formula_4寫成一行,再依照 formula_5順序由上往下排列,則構成帕斯卡三角形。