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  如果存在一個實數 "k",使得對於所有 "S" 中的 "s" 有 "k" ≥ " s",實數集合 "S" 被稱為“上有界”的,這個數 "k" 被稱為 "S" 的上界。可用類似的定義術語“下有界”和下界。  如果集合 "S" 有上界和下界二者,則它是有界的。所以,如果一個實數集合包含在有限區間內,則它是有界的。

  度量空間 ("M", "d") 的子集 "S" 是有界的,如果它包含在有限半徑的球內,就是說如果對於所有 "S" 中的 "s",存在 "M" 中的 "x" 並且 "r" > 0,使得 d("x", "s") < "r"。"M" 是有界度量空間(或 "d" 是有界度量),如果 "M" 作為自身的子集是有界的。

  在拓撲向量空間中,存在一個有界集合的不同定義,通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導,如度量是由賦範向量空間的範數所誘導的情況,則這兩個定義是一致的。

  一個實數集合是有界的,當且僅當它有上界和下界。這個定義可擴充套件到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應於“大小”的概念。  偏序集合 "P" 的子集 "S" 叫做上有界的,如果對於所有 "S" 中的 "s",有 "P" 中一個元素 "k" 使得 "k" ≥ "s"。元素 "k" 叫做 "S" 的上界。可類似的定義下有界和下界。(參見上界和下界。)  偏序集合 "P" 的子集 "S" 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等價的說,它被包含在一個區間內。注意這不是集合 "S" 自己的一個性質,而是集合 "S" 作為 "P" 的子集的性質。  有界偏序集合 "P"(就是說自身就是有界而不是作為子集)是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關,有界偏序集合 "P" 的子集 "S" 在 "P" 的次序(的限制)下也不必然是有界偏序集合。  R 的子集 "S" 是關於歐幾里得距離有界的,當且僅當它在乘積序下作為 R 的子集是有界的。但是,"S" 可以是在字典序下有界,而不關於歐幾里得距離有界。  序數的類被稱為是無界的,或共尾的,在給定任何序數的時候,總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下,“無界”不意味著自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。
在數學分析和有關的數學領域中,一個集合被稱為有界的,如果它在某種意義上有有限大小。反過來說,不是有界的集合就叫做無界。