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  假設停機問題有解,即:存在過程H(P, I)可以判斷對於程式P在輸入I的情況下是否可停機。假設P在輸入I時可停機,H輸出“停機”,反之輸出“死迴圈”,即可匯出矛盾:  顯然,程式本身也是一種資料,因此它可以作為輸入(例如Pascal的編譯器本身就可以用Pascal所寫成,所以程式在自己身上執行自己也是合理的),故H應該可以判定當將P作為P的輸入時,P是否會停機。然後我們定義一個過程U(P),其流程如下:  虛擬碼及其註釋表示如下: 上面把H(P, P)包裝在U(P)內,也就是用U()來模擬H()。H()的輸出可能出現兩種狀況:  因此,H不是總能給出正確答案,故前述的假設不成立,不存在解決停機問題的方法。

  理髮師悖論:村子裡有個理髮師,這個理髮師有條原則是,對於村子裡所有人,當且僅當這個人不自己刮鬍子,理髮師就給這個人刮鬍子。如果這個人自己刮鬍子,理髮師就不給這個人刮鬍子。無法回答的問題是,理髮師給自己刮鬍子麼?  停機測試悖論:計算機裡面有個測試程式,這個測試程式的原則是,對於計算機裡所有程式,當且僅當這個程式不遞迴呼叫自己(輸出停機),測試程式就呼叫它(對應不停機)。如果這個程式遞迴呼叫自己(對應不停機),測試程式就不呼叫它(對應停機)。無法回答的問題是,測試程式遞迴呼叫自己麼?
停機問題()是邏輯數學中可計算性理論的一個問題。通俗地說,停機問題就是判斷任意一個程式是否能在有限的時間之內結束執行的問題。該問題等價於如下的判定問題:是否存在一個程式P,對於任意輸入的程式w,能夠判斷w會在有限時間內結束或者死迴圈。