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  在復係數矩陣中,所有的酉矩陣、埃爾米特矩陣和斜埃爾米特矩陣都是正規的。同理,在實係數矩陣中,所有的正交矩陣、對稱矩陣和斜對稱矩陣都是正規的。  但是正規矩陣並非只包括上述幾類,例如下面的 是正規矩陣,因為: 矩陣formula_5既不是酉矩陣,也不是埃爾米特矩陣或斜埃爾米特矩陣。  兩個正規矩陣的乘積也不一定是正規矩陣。  如果formula_5同時既是三角矩陣又是正規矩陣,那麼formula_5是對角矩陣,這點可以由比較formula_16和formula_17的相應係數得到。

  正規矩陣的概念十分重要,因為它們正是能使譜定理成立的物件:矩陣formula_5正規當且僅當它可以被寫成formula_19的形式。其中的formula_20為對角矩陣,formula_21為酉矩陣:  矩陣Λ對角線上的元素是"A"的特徵值,而組成"U"的列向量則是"A"相應的特徵向量。  譜定理的一種陳述,是說正規矩陣正好是能在formula_23的某個正交基下變成對角矩陣的那些矩陣(這裡將矩陣同於formula_23上的線性變換,並使用常用的內積)。另外一種說法為:矩陣是正規的當且僅當其特徵向量能張成整個formula_23,並且兩兩正交。 一般來說,兩個正規矩陣"A"和"B"的乘積不是正規矩陣,但是,如果"A"和"B"兩者可以交換,那麼它們的乘積與和就仍然是正規的。這是因為它們可以“同時”(通過同一個相似變換矩陣)被對角化: 於是,formula_28、formula_29都是正規矩陣。  任何方陣"A"都可以通過極分解寫成"A" = "UP"。其中"U"是酉矩陣、"P"是某個半正定矩陣。如果"A"可逆,那麼"U"和"P"都是唯一的。而如果"A"是正規矩陣,那麼"UP" = "PU"(其逆命題只在有限維的情況下成立)。

  正規矩陣的概念可以被推廣為無窮維希爾伯特空間中的正規運算元和C*-代數中的正規元素。

  不同種類的正規矩陣可以與各種複數建立對應的類比關係。比如:
在數學中,正規矩陣(英語:normal matrix)formula_1是與自己的共軛轉置滿足交換律的復係數方塊矩陣,也就是說,formula_1滿足