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  隨機變數在不同的條件下由於偶然因素影響,其可能取各種隨機變數不同的值,具有不確定性和隨機性,但這些取值落在某個範圍的概率是一定的,此種變數稱為隨機變數。隨機變數可以是離散型的,也可以是連續型的。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機變數,被測定量的取值可能在某一範圍內隨機變化,具體取什麼值在測定之前是無法確定的,但測定的結果是確定的,多次重複測定所得到的測定值具有統計規律性。隨機變數與模糊變數的不確定性的本質差別在於,後者的測定結果仍具有不確定性,即模糊性。

  簡單地說,隨機變數是指隨機事件的數量表現。某地若干名男性健康成人中,每人血紅蛋白量的測定值;等等。另有一些現象並不直接表現為數量,例如人口的男女性別、試驗結果的陽性或陰性等,但我們可以規定男性為1,女性為0,則非數量標誌也可以用數量來表示。這些例子中所提到的量,儘管它們的具體內容是各式各樣的,但從數學觀點來看,它們表現了同一種情況,這就是每個變數都可以隨機地取得不同的數值,而在進行試驗或測量之前,我們要預言這個變數將取得某個確定的數值是不可能的。 按照隨機變數可能取得的值,可以把它們分為兩種基本型別:

  即在一定區間內變數取值為有限個,或數值可以一一列舉出來。例如某地區某年人口的出生數、死亡數,某藥治療某病病人的有效數、無效數等

  即在一定區間內變數取值有無限個,或數值無法一一列舉出來。例如某地區男性健康成人的身長值、體重值,一批傳染性肝炎患者的血清轉氨酶測定值等。

  

  隨機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數,電話交換臺在一定時間內收到的呼叫次數,隨機抽查的一個人的身高,懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移,等等,都是隨機變數的例項。 一個隨機試驗的可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。隨機變數x是定義於Ω上的函式,即對每一基本事件ω∈Ω,有一數值x(ω)與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例,它的所有可能結果見,共6個,分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時,Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變數x,就是Ω上的函式x(ωk)=k,k=1,2,...,6。又如設Ω={ω1,ω2,...,ωn}是要進行抽查的n個人的全體,那麼隨意抽查其中一人的身高和體重,就構成兩個隨機變數x和Y,它們分別是Ω上的函式:x(ωk)=“ωk的身高”,Y(ωk)=“ωk的體重”,k=1,2,...,n。一般說來,一個隨機變數所取的值可以是離散的(如擲一顆骰子的點數只取1到6的整數,電話臺收到的呼叫次數只取非負整數),也可以充滿一個數值區間,或整個實數軸(如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移)。

  在研究隨機變數的性質時,確定和計算它取某個數值或落入某個數值區間內的概率是特別重要的。因此,隨機變數取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合,應當屬於所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法,利用概率論公理化的語言,取實數值的隨機變數的數學定義可確切地表述如下:概率空間(Ω,F,p)上的隨機變數x是定義於Ω上的實值可測函式,即對任意ω∈Ω,x(ω)為實數,且對任意實數x,使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件,也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常簡記作{x≤x},並稱函式F(x)=p(x≤x),-∞<x<∞,為x的分佈函式。 設x,Y是概率空間(Ω,F,p)上的兩個隨機變數,如果除去一個零概率事件外,x(ω)與Y(ω)相同,則稱x=Y以概率1成立,也記作p(X=Y)=1或X=Y,α.s.(α.s.意即幾乎必然)。  有些隨機現象需要同時用多個隨機變數來描述。例如對地面目標射擊,彈著點的位置需要兩個座標才能確定,因此研究它要同時考慮兩個隨機變數,一般稱同一概率空間(Ω,F,p)上的n個隨機變數構成的n維向量X=(x1,x2,...,xn)為n維隨機向量。隨機變數可以看作一維隨機向量。稱n元x1,x2,...,xn的函式為X的(聯合)分佈函式。又如果(x1,x2)為二維隨機向量,則稱x1+ix2(i2=-1)為復隨機變數。 隨機變數的獨立性 獨立性是概率論所獨有的一個重要概念。設x1,x2,...,xn是n個隨機變數,如果對任何n個實數x1,x2,...,xn都有 即它們的聯合分佈函式F(x1,x2,...,xn)等於它們各自的分佈函式F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)的乘積。則稱x1,x2,...,xn是獨立的。這一定義可以直接推廣到每一xk(k=1,2,...,n)是隨機向量的情形。獨立性的直觀意義是:x1,x2,...,xn中的任何一個取值的概率規律,並不隨其中的其他隨機變數取什麼值而改變。在實際問題中通常用它來表徵多個獨立操作的隨機試驗結果或多種有獨立來源的隨機因素的概率特性,因此它對於概率統計的應用是十分重要的。  從隨機變數(或向量)x1,x2,...,xn的獨立性還可以推出:設Bk是xk取值的空間中的任意波萊爾集,k=1,2,...,n。設x1,x2,...,xn是獨立的,則它們中的任意個都是獨立的。但逆之即使其中任何n-1個是獨立的,也不保證x1,x2,...,xn是獨立的。又如果ƒj(x),i=1,2,...,n,是n個連續函式或初等函式(或更一般的波萊爾可測函式),則從x1,x2,...,xn的獨立性可推出ƒ1(x1),ƒ2(x2),...,ƒn(xn)也獨立。如果隨機變數(隨機向量)序列x1,x2,...,xn,...中任何有限個都獨立,則稱之為獨立隨機變數(隨機向量)序列。 關於隨機變數的矩、特徵函式、母函式及半不變數,分別見數學期望、方差、矩及概率分佈。

  一個新的隨機變數能被博雷爾 (Borel) 可測函式定義 formula_33 來產生一個隨機變數"X". "Y"的累積分佈函式是: 如果博雷爾函式可逆: 得到它的概率密度函式:

  定義"X"為實數,在連續性隨機變數裡,讓 "Y" = "X" 如果"y" < 0,那麼 P("X" ≤ "y") = 0 如果"y" ≥ 0 可以得到:
給定樣本空間formula_1,如果其上的實值函式 formula_2是formula_3 (實值)可測函式,則稱formula_4為(實值)隨機變數。初等概率論中通常不涉及到可測性的概念,而直接把任何formula_2的函式稱為隨機變數。