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  拉普拉斯運算元是 n 維歐幾里得空間中的一個二階微分運算元,其定義為對函式 formula_4 先作梯度運算(formula_5)後,再作散度運算(formula_6)的結果。因此如果 formula_4 是二階可微的實函式,則 formula_4 的拉普拉斯運算元定義為:  formula_4 的拉普拉斯運算元也是笛卡兒座標系 formula_11 中的所有非混合二階偏導數:  作為一個二階微分運算元,對於"k" ≥ 2,拉普拉斯運算元把"C"函式對映到"C"函式。表示式((1)或(2))定義了一個運算元Δ:"C"(R)→ "C"(R),或更一般地,定義了一個運算元Δ:"C"(Ω)→ "C"(Ω),對於任何開集Ω。  函式的拉普拉斯運算元也是該函式的海森矩陣的跡:

  

  在引數方程為formula_19(其中formula_20以及formula_21)的formula_22維球座標系中,拉普拉斯運算元為:  其中formula_24是formula_25維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。我們也可以把formula_26的項寫成formula_27。

  "f"是徑向函式formula_29且"g"是球諧函式formula_30,是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。formula_29的梯度是一個徑向向量,而角函式的梯度與徑向向量相切,因此:  球諧函式還是球座標系中的拉普拉斯運算元的角部分的特徵函式:  因此:

  

  拉普拉斯運算元可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間,這時它就有可能是橢圓型運算元,雙曲型運算元,或超雙曲型運算元。  在閔可夫斯基空間中,拉普拉斯運算元變為達朗貝爾運算元:  達朗貝爾運算元通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號,而在歐幾里德空間中則是正號。因子"c"是需要的,這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量;如果"x"方向用寸來衡量,"y"方向用釐米來衡量,也需要一個類似的因子。

  

  拉普拉斯運算元作用在向量值函式上,其結果被定義為一個向量,這個向量的各個分量分別為向量值函式各個分量的拉普拉斯,即 更一般地,對沒有座標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恆等式的啟發):

  拉普拉斯運算元也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型運算元,稱為拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。達朗貝爾運算元則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型運算元。拉普拉斯–貝爾特拉米運算元還可以推廣為執行於張量場上的運算元(也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米運算元)。  另外一種把拉普拉斯運算元推廣到偽黎曼流形的方法,是通過拉普拉斯–德拉姆運算元,它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米運算元聯絡起來。
在數學以及物理中,拉普拉斯運算元或是拉普拉斯算符(英語:Laplace operator, Laplacian)是由歐幾里得空間中的一個函式的梯度的散度給出的微分運算元,通常寫成 formula_1、formula_2 或 formula_3。