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  給定域,上的向量空間是一個集合,其上定義了兩種二元運算:  中的元素稱為向量,相對地,中的元素稱為標量。  而集合公理才構成一個向量空間(對中的任意元素、以及中的任意元素、、都成立):  前四個公理說明裝備了向量加法的是交換群,餘下的四個公理應用於標量乘法。需要注意的是向量之間的加法“”和標量之間的加法“”是不一樣的,標量與向量之間的標量乘法和兩個標量之間的乘法(域中自帶的乘法)也是不一樣的。  簡而言之,向量空間是一個模。

  以下是一些可以從向量空間的公理直接推出的性質:

  對一般域,記為-向量空間。若是實數域,則稱為實數向量空間;若是複數域,則稱為複數向量空間;若是有限域,則稱為有限域向量空間。  最簡單的-向量空間是自身。只要定義向量加法為域中元素的加法,標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當是實數域時,可以驗證對任意實數、以及任意實數、、,都有:  更為常見的例子是給定了直角座標系的平面:平面上的每一點formula_1都有一個座標formula_2,並對應著一個向量formula_3。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間,記作R2,因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序陣列formula_3。可以驗證,對於普通意義上的向量加法和標量乘法,R2滿足向量空間的所有公理。實際上,向量空間是R2的推廣。  同樣地,高維的歐幾里得空間R也是向量空間的例子。其中的向量表示為formula_5,其中的formula_6都是實數。定義向量的加法和標量乘法是: formula_7, formula_8 formula_9 可以驗證這也是一個向量空間。  再考慮所有係數為實數的多項式的集合formula_10。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法,formula_10也構成一個向量空間。更廣泛地,所有從實數域射到實數域的連續函式的集合formula_12也是向量空間,因為兩個連續函式的和或差以及連續函式的若干倍都還是連續函式。

  向量空間的另一種例子是齊次線性方程組(常數項都是0的線性方程組)的解的集合。例如下面的方程組: 如果formula_15和formula_16都是解,那麼可以驗證它們的“和”formula_17也是一組解,因為: 同樣,將一組解乘以一個常數後,仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的“向量加法”和“標量乘法”滿足向量空間的公理,因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。  一般來說,當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時,方程組有無限多組解,並且這些解組成一個向量空間。  對於齊次線性微分方程,解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程: 出於和上面類似的理由,方程的兩個解formula_21和formula_22的和函式formula_23也滿足方程。可以驗證,這個方程的所有解構成一個向量空間。

  如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉(也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中),那麼將W稱為V的線性子空間(簡稱子空間)。V的子空間中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空間formula_24。  給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也稱線性包絡,記作span(B)。  給出一個向量集合B,若它的生成子空間就是向量空間V,則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。  可以生成一個向量空間V的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若V={0},約定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V“最小”的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列:formula_25,那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現:  這種表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是說,向量空間的基提供了一個座標系。  可以證明,一個向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時,任何一組基中的元素個數都是定值,等於空間的維度。例如,各種實數向量空間:R0, R1, R2, R3,..., R,...中, R的維度就是"n"。在一個有限維的向量空間(維度是n)中,確定一組基formula_27,那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說,如果某個向量v表示為: formula_28  那麼v可以用陣列formula_29來表示。這種表示方式稱為向量的座標表示。按照這種表示方法,基中元素表示為: formula_30 formula_31 formula_32 可以證明,存在從任意一個n維的formula_33-向量空間到空間formula_34的雙射。這種關係稱為同構。

  給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換(或稱線性對映)為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函式f: formula_35 formula_36 所有線性變換的集合記為formula_37,這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後,formula_37中的線性變換可以通過矩陣來表示。  如果兩個向量空間V和W之間的一個線性對映是一一對映,那麼這個線性對映稱為(線性)同構,表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構formula_35,那麼其逆對映formula_40也存在,並且對所有的formula_41,都有: formula_42

  研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
向量空間是現代數學中的一個基本概念。是線性代數研究的基本物件。