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  希爾伯特空間以大衛·希爾伯特的名字命名,他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關於無界自伴運算元的著作中,最早使用了“希爾伯特空間”這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一,他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮·諾伊曼與希爾伯特和朗道展開,隨後由尤金·維格納(英語:Eugene Wigner)繼續深入。“希爾伯特空間”這個名字迅速被其他科學家所接受,例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學的理論》(英語:The Theory of Groups and Quantum Mechanics)中就使用了這一名詞。  一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中,它可能代表了一列複數或是一個函式。例如在量子力學中,一個物理系統可以表示為一個復希爾伯特空間,其中的向量是描述系統可能狀態的波函式。詳細的資料可以參考量子力學的數學表述相關的內容。量子力學中由平面波和束縛態所構成的希爾伯特空間,一般被稱為裝備希爾伯特空間(rigged Hilbert space)。

  完備的內積空間稱為希爾伯特空間(Hilbert space)。  這裡的完備指:內積空間稱為完備的(complete),若其中任意一個柯西序列都收斂。  任何。但從實際應用角度來看,無窮維的希爾伯特空間更有價值,例如  內積可以幫助人們從“幾何的”觀點來研究希爾伯特空間,並使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓撲向量空間中,希爾伯特空間性質最好,也最接近有限維空間的情形。  傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函式表示成一族給定的基底函式的和(可能是無窮和)。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為:任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基,而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數的和。

  在以下例子中,假設所有的希爾伯特空間都是複數,儘管實際應用中大多是實數。

  formula_1及其上的內積 構成了一個希爾伯特空間,其中短橫線表示一個複數的複共軛。

  更一般的希爾伯特空間都是無窮維的,假設formula_3是一個任意集合,可以定義其上的formula_4序列空間,記為  此空間在定義如下內積後,成為一個希爾伯特空間: 其中formula_7和formula_8是formula_9中的任意元素。在這個定義中,formula_3並非一定要是可數的,在formula_3不可數之情形下,formula_9不是可分(separable)的。在下面更具體的例子中,所有的希爾伯特空間在選定適當的formula_3的情況下,都可以表示成為formula_9的一個同構空間。特別地,當formula_15的時候,可以將其簡單記為formula_4。

  勒貝格空間( 這裡指 formula_17 空間 )是指定義在測度空間formula_18 上的函式空間,其中formula_19 代表函式的定義域,formula_20 的元素是 formula_19上的子集族,為 一個 formula_22 代數,一般把 formula_20 稱作可測空間(measurable space),而 formula_24 是 formula_20 上的測度。  更仔細的說,formula_26( 簡寫做 formula_17 ) 表示 formula_19 上所有平方可積(square-integrable)的複數值的可測函式的集合。平方可積表示該函式的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 formula_17 空間裡,對於幾乎處處( almost everywhere )相同的函式,也就是說如果兩函式只在一個測度為0的集合上不相等,我們把這兩函式當做在 formula_17 中相同的元素。  此時兩個函式formula_31和formula_32的內積定義為  但需要證明的是:  這個證明可以在相關的書籍中找到,與此例相關的內容可以參看關於formula_35空間的著作。

  索伯列夫空間一般表示為formula_36或者formula_37是希爾伯特空間的另一個重要例項,它多被應用於偏微分方程的研究。

  給定任意兩個(或更多)希爾伯特空間,利用直和或張量積的方式,可以給出一個更大的希爾伯特空間。

  

  在希爾伯特空間 中,若兩支向量 和 滿足,則稱它們正交,記為. 更一般地,若 是 的子集,則 表示 與 的每個元素都正交。  當 和 正交時,就有  對 使用數學歸納法,上式可以推廣到對任意 支正交向量 成立,即  畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立,但希爾伯特空間具有完備性,故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 "正交" 向量組成的級數 在 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂,且此時 此外,正交向量的級數和與求和順序無關。

  由定義,每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。 而在每個希爾伯特空間中,以下平行四邊形恆等式成立: 反之,若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式,則其亦為希爾伯特空間,因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。 對實希爾伯特空間,極化恆等式是 而對復希爾伯特空間,其為 由平行四邊形恆等式,可以推出任何希爾伯特空間都是一致凸巴拿赫空間。

  根據希爾伯特射影定理,若 是希爾伯特空間 的非空閉凸子集,為 的任一點,則存在唯一的 使其到 的距離是各個 中的點到 的距離中最小的,即  此等價於經平移的凸集 中有範數最小的元素。欲證之,可先證明對每個序列,若各項範數趨向於中範數的下確界,則其為柯西序列(利用平行四邊形恆等式),故由完備性知其收斂到 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。  當對 的閉子空間 應用此結論時,可以證明最靠近 的點 滿足  該點 稱為 到 上的 "正交射影",而這給出的對映 是線性的。此結論於應用數學有用,而數值分析尤甚,因這結論是最小二乘法的基礎。  特別到,當 不等於 時,可找到一支非零向量 與 正交(選 並考慮 )。由此得到一個有用的判定條件:

  對偶空間 是所有由 到其係數域的連續線性函式組成的空間。 其具有一個自然的範數,由下式給出:  這滿足平行四邊形恆等式,故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的,所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。  里斯表示定理 描述了這個對偶空間。 對每個 的元素, 中有唯一的 滿足  則 是從 到 的反線性對映。里斯表示定理說此對映是個反線性同構。 所以對每個 的元素,都存在唯一的 使得  對任意 都成立。 對偶空間 上的內積滿足  注意右邊的次序反轉了,才使 的反線性變回上述內積對 的線性。當 是實希爾伯特空間時,從 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構,所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。  表示 的向量 可藉下列方法找到。 當 時, 核 是 的閉子空間,且不等於,故存在非零向量 與 正交。 取向量 為 的純量倍,於是條件 給出  物理學上廣泛應用的狄拉克符號正利用了 的對應關係。 物理學家通常約定,內積 對右邊的運算元線性,即  於是 可以視為線性泛函 (稱為 "左矢" )作用在向量 (稱為 "右矢" )的結果。  里斯表示定理要求空間的完備性。事實上,從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論, 希爾伯特空間 是 自反空間, 即由 到其對偶之對偶的自然對映是同構。

  在希爾伯特空間 中,若序列 滿足對任意的, 都有  則稱該序列到向量  例如,任何正交序列 都弱收斂到 0. 此為貝塞爾不等式的結果。根據一致有界原理,每個弱收斂序列 都有界。  反之,希爾伯特空間中的每個有界序列,都有一個弱收斂子序列,此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性,正如波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理適用於 上的連續函式。一個較簡單的結果是:  此個結論(並其若干推廣)是變分法中直接法的基礎。更抽象地說,凸泛函的最小值存在,也是因為希爾伯特空間 上的閉有界凸集均為弱緊集(因為 是自反空間)。弱收斂子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem 的特殊情況。

  希爾伯特空間的一箇中間概念是標準正交基,即其上的一族函式formula_53滿足:  有時也使用"標準正交列"或"標準正交集"指代。  標準正交基的一些例項:
在數學裡,希爾伯特空間(英語:Hilbert space)即完備的內積空間,也就是說一個帶有內積的完備向量空間。希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間的一個推廣,使之不侷限於實數的情形和有限的維數,但又不失完備性(而不像一般的非歐幾里得空間那樣破壞了完備性)。與歐幾里得空間相仿,希爾伯特空間也是一個內積空間,其上有距離和角的概念(及由此引申而來的正交性與垂直性的概念)。此外,希爾伯特空間還是一個完備的空間,其上所有的柯西序列會收斂到此空間裡的一點,從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。