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  已知在雙曲幾何上,至少有兩條直線滿足過P點平行直線R。接著在R上取一點B使得PB垂直R於B點,設在所有滿足過P點且不與R相交的直線中,存在一條直線x與PB的逆時針方向夾角比其他直線都來的小,即任何一條直線若與PB的逆時針夾角小於x與PB的逆時針夾角,則必與R相交,並定義x為R的漸近線。同理,若存在另一條直線y與PB的順時針方向夾角比其他直線都來的小,則y為R的另一條漸近線。並且,在所有滿足過P點且不與R相交的直線中,唯有x與y是R的漸近線,其餘的則稱之為R的超平行線。由於滿足小於90°且大於x與PB的夾角θ的角度有無線多個,每個角度皆可引出兩條R的超平行線,因此R有無線多條超平行線。  因此,對於平面上一條直線R以及線外的一點P,恰能引出兩條直線過P且漸近於R,以及無限多條直線過P超平行於R。  此外,漸近線和超平行線的差別還有:不論往線的哪端延伸,兩條超平行線之間的距離皆會趨近於無限;但兩條漸近線之間的距離則會在一端趨近於零,在另一端趨近無限。從而,在雙曲幾何中有一定理超平行線定理:對於任兩條超平行線存在唯一一條線同時垂直於這兩條線。  對雙曲平面上的一條直線R,作線段BP垂直R於B點,且線段BP的長度等於一個給定的值p,則定義兩條R的過P點的漸近線與線段BP的夾角θ為p的漸近角(Angle of parallelism),通常記為Π(p)。因此有  於是,隨著線段長度的縮小,雙曲幾何的性質會越來越像歐幾里得幾何。事實上,對任一個雙曲幾何定義一個定值K=高斯曲率,藉由線段長度與formula_3的比值,由此可知該平面的性質與歐幾里得幾何的相似度。

  在雙曲幾何中,線段長度的定義為兩點的最短距離除以formula_4,K=高斯曲率,正如同在球面幾何中的長度為其圓心角弧度(最短距離除以曲率),有了長度的定義後,便可給出雙曲幾何中的勾股定理:若一直角三角形的兩股長分別為a和b,斜邊為c,則  formula_5  在此,cosh指的是雙曲餘弦函式。  在雙曲幾何中,許多雙曲三角學公式與歐幾里得幾何十分相像,大抵上雙曲幾何中的長度需帶入雙曲函式。例如雙曲幾何中的正弦定律為:  formula_6  不同於歐幾里得幾何,雙曲幾何中三角形的內角和必小於π(180°),故稱其內角和與π的差為該三角形的角虧,則該三角形的面積等於該三角形的角虧乘以 R2,而formula_4。故所有三角形的面積均小於等於πR2,且等號成立當且僅當該三角形為理想三角形。

  以下的圓或球半徑皆為 r,並且 K 代表高斯曲率, R 代表 formula_8  雙曲幾何中圓的周長為formula_9  因為sinh x的泰勒展開式為  formula_10  於是,對所有正實數 x>0,formula_11,推得 formula_12  故圓的周長必大於 formula_13。  圓的面積則是 formula_14。  球的表面積為 formula_15,必大於歐幾里得幾何的 formula_16  球的體積為 formula_17  在n度空間中,定義 Ω_n 是n維立體角,滿足 formula_18  在此,Γ(n)是Γ函式。  則n-1維球面(在n度空間中)的測度是 formula_19  n維球(在n度空間中)的測度則是 formula_20

  羅式幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式一對分散直線在其唯一公垂線兩側無限遠離幾何平行公理用“從直線外一點,至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替,其他公理基本相同。由於平行公理不同,經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。  凡是不涉及到平行公理的幾何命題,在歐式幾何中如果是正確的,在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中,凡涉及到平行公理的命題,在羅式幾何中都不成立,他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明:  從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到,這些命題和大眾所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是,數學家們經過研究,提出可以用大眾習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何,便是正確的。  1868年,義大利數學家貝爾特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面(例如擬球曲面)上實現。這就是說,非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題,如果歐幾里得幾何沒有矛盾,非歐幾何也就自然沒有矛盾。  直到這時,長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究,羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美,他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。
雙曲幾何又名羅氏幾何(羅巴切夫斯基幾何),是非歐幾里德幾何的一種特例。與歐幾里德幾何的差別在於第五條公理(公設)-平行公設。在歐幾里德幾何中,若平面上有一條直線R和線外的一點P,則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交(即R的平行線)。但在雙曲幾何中,至少可以找到兩條相異的直線,且都通過P點,並不與R相交,因此它違反了平行公設。然而,取代歐幾里德幾何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處,仍可以推得一系列屬於它的定理,這也說明了平行公設獨立於前四條公設,換句話說,無法由前四條公設推得平行公設。