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  舉例明之,考慮下述方陣:  其特徵多項式為  此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理:  此式可以簡化高次冪的運算,關鍵在於下述關係:  例如,為了計算formula_14,可以反覆利用上述關係式:  或是,如果要計算formula_18,也可以假設:  然後,依照前面的特徵多項式formula_20之兩解formula_21,代入後可以得到  然後解方程後求出formula_24,便可得formula_18。  此外,凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。  注:一般而言,若formula_2矩陣formula_1可逆(即:formula_28),則formula_29可以寫成formula_1的冪次和:特徵多項式有如下形式  將方程式formula_32同乘以formula_29,便得到

  以下考慮佈於域formula_35上的矩陣。  凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若formula_36是formula_2矩陣,而formula_38表其伴隨矩陣,則  取formula_40,便得到formula_41。此式對所有formula_42皆成立,由於實數或複數域有無窮多元素,上式等式在多項式環formula_43內成立。  設formula_44,矩陣formula_1賦予formula_46一個formula_43-模結構:formula_48。考慮formula_43-模formula_50,我們有formula_43-模之間的「求值態射」:  固定formula_53,對formula_54中的等式  右側取formula_56後得到formula_57,左側取formula_56後得到formula_59。明所欲證。  另外一個簡單的證明: 令: 由: 得: 因兩多項式,他們的對應項係數相等得: 在等式兩邊t的i次項係數分別乘以"A", 並將等式左右兩邊分別相加併合項得: 得證。

  前述證明用到係數在formula_43的矩陣的克萊姆法則,事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此,凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環formula_68上的任何有限生成自由模formula_46(向量空間是特例)。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。
線上性代數中,凱萊–哈密頓定理()(以數學家阿瑟·凱萊與威廉·盧雲·哈密頓命名)表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。