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  從這個定理可以得出,如果某個一階句子對於特徵值為零的所有域都成立,則存在著一個常量"p",使得這個句子對特徵值大於"p"的所有域都成立。這可以被看作為如下:假定"S"是要考慮的句子。那麼它的否定~"S",和域公理與句子的無限序列1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0,...一起,不能被假定所滿足。所以這些句子的有限子集是不可滿足的,意味著"S"在有足夠大特徵值的這些域中成立。  從這個定理還得出,有一個無限模型的任何理論都有任意大基數的模型。所以,有著帶有不可數多個自然數的皮亞諾算術有非標準模型。非標準分析是出現無限個自然數的另一個例子,是不能被任何公理化所排除的可能事物,也是緊緻性定理的一個推論。

  緊緻性定理可以使用哥德爾完備性定理來證明,它確立了一組句子是可滿足的,當且僅當沒有矛盾可以證明自它們。事實上,緊緻性定理等價於哥得爾完備性定理,並且二者都等價於超濾子引理,它是弱形式的選擇公理。因為證明總是有限的,所以只涉及有限多個給定句子,就得出了緊緻性定理。  哥德爾最初就是以這種方式證明緊緻性定理的,但是後來又找到了緊緻性定理的一些“純語義”證明,就是說提及“真理”但不提及“可證明性”的證明。這些證明倚賴於依仗選擇公理的超乘積:  證明:固定一個一階語言L,並設Σ為L-句子的蒐集,使得所有L-句子的子蒐集"i" ⊆ Σ都有模型formula_1。還設formula_2是這些結構的直接乘積,和"I"是Σ的有限子集的蒐集。對於"I"中每個"i"設A := { "j" ∈ "I" : "j" ⊇ "i"}。所有這些集合A的家族形成一個濾子(filter),所以有一個超濾子(ultrafilter)"U"包含形如A的所有集合。  現在對於Σ中任何公式φ我們有: 使用Łoś定理我們看到φ在超乘積formula_5中成立。所以這個超乘積滿足Σ中所有的公式。

  

  緊緻性定理定義:

  我們對1)的證明如下: 在證明前,我們需要知道如下定義:
緊緻性定理是符號邏輯和模型論中的基本事實,它斷言一階句子的(可能無限的)集合是可滿足的(就是說有一個模型),當且僅當它的所有有限子集是可滿足的。