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  假設有一實值函式formula_1,如果 formula_2的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續,那麼函式formula_2的黑塞矩陣為  或使用下標記號表示為  顯然黑塞矩陣 formula_6是一個formula_7方陣。黑塞矩陣的行列式被稱為黑塞式(英語:英語:Hessian),而英語環境下使用Hessian一詞時可能指上述矩陣也可能指上述矩陣的行列式。

  由高等數學知識可知,若一元函式formula_8在formula_9點的某個鄰域內具有任意階導數,則函式formula_8在formula_9點處的泰勒展開式為  其中,formula_13。  同理,二元函式formula_14在formula_15點處的泰勒展開式為  其中,formula_17,formula_18,formula_19,formula_20,formula_21,formula_22,formula_23。  將上述展開式寫成矩陣形式,則有  其中,formula_25,formula_26是formula_27的轉置,formula_28是函式formula_14在formula_15的梯度,矩陣  即函式formula_14在formula_15點處的formula_34黑塞矩陣。它是由函式formula_35在formula_36點處的所有二階偏導數所組成的方陣。  由函式的二次連續性,有  所以,黑塞矩陣formula_38為對稱矩陣。  將二元函式的泰勒展開式推廣到多元函式,函式formula_39在formula_40點處的泰勒展開式為  其中,formula_42 為函式formula_43在formula_40點的梯度,  為函式formula_8在formula_40點的formula_7黑塞矩陣。若函式有formula_49次連續性,則函式的formula_7黑塞矩陣是對稱矩陣。  說明:在優化設計領域中,黑塞矩陣常用formula_51表示,且梯度有時用formula_52表示。  函式formula_2的黑塞矩陣和雅可比矩陣有如下關係:  即函式formula_2的黑塞矩陣等於其梯度的雅可比矩陣。  與梯度類似,藉助Nabla運算元可以將函式formula_2的黑塞矩陣表示為<br>formula_57

  

  對於一元函式formula_8,在給定區間內某formula_9點處可導,並在formula_9點處取得極值,其必要條件是  即函式formula_8的極值必定在駐點處取得,或者說可導函式formula_8的極值點必定是駐點;但反過來,函式的駐點不一定是極值點。檢驗駐點是否為極值點,可以採用二階導數的正負號來判斷。根據函式formula_8在formula_9點處的泰勒展開式,考慮到上述極值必要條件,有  若formula_8在formula_9點處取得極小值,則要求在formula_9某一鄰域內一切點formula_70都必須滿足  即要求  亦即要求  formula_8在formula_9點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件:  設一元函式formula_8在formula_9點處具有二階導數,且formula_78,formula_79,則  而當formula_86時,無法直接判斷,還需要逐次檢驗其更高階導數的正負號。由此有一個規律:若其開始不為零的導數階數為偶數,則駐點是極值點;若為奇數,則為拐點,而不是極值點。  對於二元函式formula_14,在給定區域內某formula_88點處可導,並在formula_88點處取得極值,其必要條件是  即  同樣,這只是必要條件,要進一步判斷formula_88是否為極值點需要找到取得極值的充分條件。根據函式formula_14在formula_15點處的泰勒展開式,考慮到上述極值必要條件,有  設formula_96,formula_97,formula_98,則  或  若formula_14在formula_15點處取得極小值,則要求在formula_15某一鄰域內一切點formula_70都必須滿足  即要求  亦即要求formula_107,formula_108  即<br>formula_109 <br>formula_110  此條件反映了formula_14在formula_15點處的黑塞矩陣formula_38的各階主子式都大於零,即對於  要求 <br>formula_109  <br>formula_116  formula_117在formula_15點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件:  設二元函式formula_14在formula_15點的鄰域內連續且具有一階和二階連續偏導數,又有formula_121,同時令formula_96,formula_97,formula_98,則  此外可以判斷,當formula_133時,函式formula_14在formula_15點處沒有極值,此點稱為鞍點。而當formula_136時,無法直接判斷,對此,補充一個規律:當formula_136時,如果有formula_138,那麼函式formula_14在formula_15有極值,且當formula_141有極小值,當formula_142有極大值。  由線性代數的知識可知,若矩陣formula_38滿足<br>formula_109  則矩陣formula_38是正定矩陣,或者說矩陣formula_38正定。  若矩陣formula_38滿足<br>formula_149  則矩陣formula_38是負定矩陣,或者說矩陣formula_38負定。  於是,二元函式formula_14在formula_15點處取得極值的條件表述為:二元函式formula_14在formula_15點處的黑塞矩陣正定,則取得極小值;在formula_15點處的黑塞矩陣負定,則取得極大值。  對於多元函式formula_39,若在formula_40點處取得極值,則極值存在的必要條件為  formula_160  取得極小值的充分條件為  正定,即要求formula_38的各階主子式都大於零,即 <br>formula_109  <br>formula_145 <br>formula_165 <br>formula_166 取得極大值的充分條件為  負定。
黑塞矩陣(德語:Hesse-Matrix;英語:英語:Hessian matrix 或 英語:Hessian),又譯作海森矩陣、海塞矩陣或海瑟矩陣等,是一個由多變數實值函式的所有二階偏導陣列成的方塊矩陣,由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。