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  代數拓撲的幾個主要分支如下:

  在數學中,同倫群是一個用於分類拓撲空間。基本群是同倫群最簡單的例子,記錄了空間中環結的資訊。直觀上來說,同倫群記錄了拓撲空間中的基本形狀,即“孔洞”的資訊。

  在代數拓撲和抽象代數中,同調(homology,名稱部分來源於希臘語ὁμός "homos" = "同")是一類將一個阿貝爾群或模的序列聯絡到一個給定數學物件(如拓撲空間、群等)的過程

  在同調論中,上同調是對一個在上鍊復形(co-chain)上定義一個阿貝爾群的序列的過程的統稱。換言之,上同調是對“上鍊”、餘圈(cocycle)和上邊緣(coboundary)的抽象研究。上同調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變數的方法,但其代數結構比同調更為精煉。上同調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講,上鍊的基本意義是為同調的鏈賦予某種“量”。

  流形是區域性上近似於歐幾里得空間的拓撲空間。更精確的說,"n"-流形上的每一點都有一個同胚於"n"維歐式空間的鄰域。舉例來說,直線和圓都是一維流形,但數字"8"則不是。二維流形也稱作曲面。二維流形的例子有平面、球面和環面等可看作三維空間中的物體的物件,但也包括克萊因瓶和實射影平面等不可看作三維空間裡的物體,而必須看作四維空間裡的物體的物件。

  紐結理論"是對(數學意義上的)紐結的研究。雖然紐結的概念是受現實生活中的繩結啟發,對數學家而言“繩結”的兩端是粘連在一起的,因而不能解開。在數學上,紐結的精確定義為圓在三維歐幾里得空間R的嵌入。若一個紐結能由另一個紐結通過對R"'變形而得到(亦稱環境同痕),我們就將其視為同一個紐結。這樣的對環境的變換相當於對一個線圈進行連續操作,但避免剪開線圈或使線圈穿過自身。

  單純復形是拓撲空間的一類,由點、線段、三角形等單純形“粘合”而成。單純復形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。單純形在組合學中對應於抽象單純形。  CW復形是一種拓撲空間,由J.H.C.懷特海德為迎合同倫論的需要而引入。這類空間比單純形有更良好的範疇學性質,且仍舊保留其組合學的本質,因此計算方面的考慮沒有被忽略。

  這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲,蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過函子,把空間對映到相應的代數範疇上。例如,通過一種保持空間的同胚關係的方式對映到群上。  實現這個目標的主要方法是通過基本群,或者更一般的同倫論,和同調及上同調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本資訊,但它們經常是非交換的,可能很難使用。(有限)單純復形的基本群的確有有限表示。  另一方面來講,同調和上同調群是交換群,並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類,並且特別易於使用。

  通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單純復形的"n"-階同調群的自由階等於"n"-階貝蒂數(Betti number),所以可以直接使用單純復形的同調群來計算它的尤拉示性數。作為另外一個例子,閉流形的最高維的積分上同調群可以探測可定向性:該群同構於整數或者0,分別在流形可定向和不可定向時。這樣,很多拓撲資訊可以在給定拓撲空間的同調中找到。  在只定義在單純復形的單純同調之上,還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆上同調或Čech上同調或層上同調來研究定義在流形上的微分方程的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的,並且對於閉可定向流形,通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆上同調匯出的是一樣的。

  一般來講,所有代數幾何的構造都是函子式的:概念範疇,函子和自然變換起源於此。基本群,同調和上同調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變數;而且空間的連續對映可以匯出所相關的群的一個群同態,而這些同態可以用於證明對映的不存在性(或者,更深入的,存在性)。

  代數拓撲的經典應用包括:  代數拓撲中最著名的問題之一是龐加萊猜想,它已經由俄國數學家格里戈裡·佩雷爾曼於2003年解決。同倫論領域包含了很多懸疑,如表述球面的同倫群的正確方式等。
代數拓撲()是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。