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  關孝和出身武士家庭。父親內山永明,本姓安間,與養父同為駿河大納言德川忠長屬下任職。1632年,大納言被幽禁在上野國高崎,內山永明也到上野國隱居。1639年,又被召到江戶供職,全家移居江戶。關孝和原來姓內山,後來被過繼到一個叫做關五郎左衛門的武士家中,因而改姓。關孝和在孩童時候就表現出超人的數學天賦,被稱為神童。長大後,他繼承關氏家業,曾在甲府宰相德川綱重與其子德川綱豐家做過勘定吟味床役(相當於會計檢查官),掌管財賦。1704年12月,德川綱豐成為第五代幕府將軍德川綱吉的養子而進江戶城的西之丸,孝和也因此成為幕府直屬的武士,官至御納戶組頭,直到1706年11月退休。  1708年10月24日,關孝和病逝,葬於江戶的牛込七軒寺町淨輪寺.諡號法行院宗達日心居士。

  關孝和的數學著作有近二十本,但大都在1685年之前寫成。他生前發表的著作只有一部《發微演算法》。他的學術成就主要有“傍書法”、演段術、行列式、“零約術”、圓理等。

  關孝和在他的《三部抄》中闡述了“傍書法”和演段術。“傍書法”是用來表示方程的方法。關孝和把未知數用甲乙來表示,把係數和加減乘除運算標在未知數的旁邊。這樣可以簡潔地表示方程或方程組。以“傍書法”為基礎,關孝和介紹了一系列解方程和方程組的演算法,並稱之為“天元演段術”,之後又歸納為“歸原整法”。後來的“關流”弟子稱這種方法為“點竄法”。

  在《三部抄》的最後一部《解伏題之法》中,關孝和研究了各類代數方程與方程組的解法。他使用將方程組中不同方程乘以不同的係數或算式後相減的方法來消去未知數,得到一元的(高次)方程,然後求數值解。其中主要有略、省、約、縮、疊、括六種方法。“略”是指將一個方程乘以一個算式後從另一方程中減去;“省”是指將一個方程的各項中的公因式約去;“約”是指將一個方程的各項中的公因子約去;“縮”則是指當兩個方程中都只有未知數formula_1的偶數次冪時,用未知數的平方formula_1代替formula_3,得到次數較低的方程式的方法;“疊”是指將兩個方程分別乘以一個算式再相減以消去某些項;“括”是把未知數的相同冪次的係數合起來,即合併同類項。做這樣的消元法時,關孝和只將方程的係數縱橫寫成方陣的形式,實際上就是行列式。關孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法:逐式交乘法和交式斜乘法。

  關孝和創立的求曲線長度、曲邊圖形面積或立體體積的方法被後來的和算家稱為圓理。其研究主要記載在《括要演算法》的第四卷中。其中包括“求圓周率術”、“求弧矢弦率術”和“求立圓積率術”。關孝和曾經求得圓周率的小數點後11位小數,但他無法確定其準確度。求弧長時關孝和建立了類似牛頓插值公式的方法,可以說是和牛頓差不多時間發現了這一公式。此外,他還通過“増約術”求得球體的體積公式。

  關孝和是一個傑出的教育家,曾經師從於他的有數百人。其中,最突出的有荒木村英及建部賢弘、建部賢明兩兄弟。關孝和的弟子構成了一個龐大的數學流派——關流。
關孝和(1642年-1708年-12月5日),又名新助,字子豹,號自由亭,是日本江戶時代的數學家。關孝和在日本數學史上有重要地位,是數學流派“關流”的開山鼻祖,被日本人稱為“算聖”。他的主要貢獻包括髮展了筆算代數“傍書法”,提出方程組求解理論並發展出行列式、判別式等概念,建立有關圓弧和球的幾何問題的理論(後來被稱為“圓理”)等等。主要著作有《發微演算法》、《括要演算法》(死後由弟子出版)、《三部抄》、《七部書》(弟子間祕密流傳)等等。