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  formula_1函式可以通過尤拉(Euler)第二類積分定義: 對複數formula_8,我們要求formula_9。  formula_10函式還可以通過對formula_11做泰勒展開,解析延拓到整個複平面: formula_12  這樣定義的formula_10函式在全平面除了formula_14以外的地方解析。  formula_10函式也可以用無窮乘積的方式表示:  這說明formula_17是亞純函式,而formula_18是全純函式

  formula_19函式可以用無窮乘積表示: 其中formula_22是尤拉-馬歇羅尼常數。

  formula_25

  formula_26函式的遞推公式為: formula_27,  對於正整數formula_28,有 可以說formula_26函式是階乘的推廣。

  formula_31  我們用分部積分法來計算這個積分:  formula_32  當formula_33時,formula_34。當formula_35趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:  formula_36。  因此第一項formula_37變成了零,所以:  formula_38  等式的右面正好是formula_39。因此,遞推公式為:  此式可用來協助計算t分佈機率密度函式、卡方分佈機率密度函式、F分佈機率密度函式等的累計機率。 對任何實數α

  

  斯特靈公式能用以估計formula_17函式的增長速度。公式為: 其中e約等於。

  對任何複數"z",滿足 "Re(z) > 0",有

  注意到在formula_10函式的積分定義中若取formula_61為實部大於零之複數、則積分存在,而且在右半複平面上定義一個全純函式。利用函式方程 並注意到函式formula_63在整個複平面上有解析延拓,我們可以在formula_64時設 從而將formula_1函式延拓為整個複平面上的亞純函式,它在formula_67有單極點,留數為

  許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函式或對數的Γ函式,例如EXCEL。而對數的Γ函式還要再取一次自然指數才能獲得Γ函式值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函式,再用codice_1,即可求得任意實數的伽瑪函式的值。 而在沒有提供Γ函式的程式環境中,也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十進位制可獲得有效數字八位數的精確度,已足以填滿單精度浮點數的二進位制有效數字24位:
在數學中,formula_1函式,也叫做伽瑪函式(Gamma函式),是階乘函式在實數與複數域上的擴充套件。如果formula_2為正整數,則: