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  微積分中最常見的問題之一是求一個函式的極大極小值(極值)。但是很多時候找到極值函式的顯式表達是很困難的,特別是當函式有先決條件或約束時。拉格朗日乘數則提供了一個非常便利方法來解決這類問題,而避開顯式地引入約束和求解外部變數。  先看一個三維的例子:假設有函式:formula_6,要求其極值(最大值/最小值),且滿足條件  "c"為常數。對不同formula_8的值,不難想像出  的等高線。而方程formula_10的可行集所構成的線正好是formula_11。想像我們沿著formula_12的可行集走;因為大部分情況下formula_13的等高線和formula_10的可行集線不會重合,但在有解的情況下,這兩條線會相交。想像此時我們移動formula_12上的點,因為formula_13是連續的方程,我們因此能走到formula_9更高或更低的等高線上,也就是說formula_8可以變大或變小。只有當formula_12和formula_9相切,也就是說,此時,我們正同時沿著formula_12和formula_9走。這種情況下,會出現極值或鞍點。  氣象圖中就很常出現這樣的例子,當溫度和氣壓兩列等高線同時出現的時候,切點就意味著約束極值的存在。  用向量的形式來表達的話,我們說相切的性質在此意味著formula_13和formula_10的切線在某點上平行,同時也意味著兩者的梯度向量有如下關係(引入一個未知標量formula_3):  即:  一旦求出formula_3的值,將其套入下式,易求在無約束條件下的極值和對應的極值點。  新方程formula_31在達到極值時與formula_32相等,因為formula_31達到極值時formula_34總等於零。

  設函式formula_32在formula_36點處有極值formula_37,且在formula_36點的鄰域內連續。則在formula_36點處有  另有一常值函式  兩函式在formula_36點處的全微分為  由於formula_45和formula_46是任取的無窮小量,故該線性方程組的係數成比例,有  即  將上二式分別乘以formula_45和formula_46,再相加並積分,得到一新函式  那麼,求原函式極值的問題就轉化為求該函式極值的問題。  類似地,這種求極值的方法也可以推廣到多維函式formula_53。

  如"f"定義為在R上的方程,約束為"g"(x)= "c"(或將約束左移得到"g"(x) − "c" = "0")。定義拉格朗日"Λ"為  注意極值的條件和約束現在就都被記錄到一個式子裡了:  和  拉格朗日乘數常被用作表達最大增長值。原因是從式子:  中我們可以看出"λ"是當方程在被約束條件下,能夠達到的最大增長率。拉格朗日力學就使用到這個原理。  拉格朗日乘數法在卡羅需-庫恩-塔克條件被推廣。

  

  求此方程的最小值:  同時未知數滿足  因為只有一個未知數的限制條件,我們只需要用一個乘數formula_3.  將所有formula_63方程的偏微分設為零,得到一個方程組,最小值是以下方程組的解中的一個:

  求此離散分佈的最大熵:  所有概率的總和是1,因此我們得到的約束是"g"(p)= 1即  可以使用拉格朗日乘數找到最高熵(概率的函式)。對於所有的"k"從1到"n",要求  由此得到  計算出這"n"個等式的微分,我們得到:  這說明"p"都相等(因為它們都只是λ的函式)。解出約束∑ "p" = 1,得到  因此,使用均勻分佈可得到最大熵的值。

  約束最優化在經濟學佔有很重要的地位。例如一個消費者的選擇問題可以被視為一個求效用方程在預算約束下的最大值問題。拉格朗日乘數在經濟學中被解釋為影子價格,設定在某種約束下,在這裡即收入的邊際效用。  拉格朗日乘數就是效用函式在最優解處對收入的偏導數,也就是在最優解處增加一個單位收入帶來的效用增加,或者說在最優解處有效用衡量收入的價值,稱之為收入的邊際效用。  在企業生產問題中,拉格朗日乘數用來衡量要素投入變動所帶來的收入變動,du/dm=λ,u表示效用函式或生產函式,m表示收入或要素投入。  在具體數學推導中還可以運用包絡定理的內容。

  參考拉格朗日原作或方法的命名:  更深入的介紹和互動applet:
在數學中的最優化問題中,拉格朗日乘數法(以數學家約瑟夫·拉格朗日命名)是一種尋找多元函式在其變數受到一個或多個條件的約束時的極值的方法。這種方法可以將一個有"n"個變數與"k"個約束條件的最優化問題轉換為一個解有"n" + "k"個變數的方程組的解的問題。這種方法中引入了一個或一組新的未知數,即拉格朗日乘數,又稱拉格朗日乘子,或拉氏乘子,它們是在轉換後的方程,即約束方程中作為梯度(gradient)的線性組合中各個向量的係數。