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  勒維連續定理說明,假設formula_5為一個隨機變數序列,其中每一個formula_6都有特徵函式formula_7,那麼它依分佈收斂於某個隨機變數formula_8: 如果 且formula_13在formula_14處連續,formula_15是formula_8的特徵函式。  勒維連續定理可以用來證明弱大數定律。

  在累積概率分佈函式與特徵函式之間存在雙射。也就是說,兩個不同的概率分佈不能有相同的特徵函式。  給定一個特徵函式φ,可以用以下公式求得對應的累積概率分佈函式"F":  一般地,這是一個廣義積分;被積分的函式可能只是條件可積而不是勒貝格可積的,也就是說,它的絕對值的積分可能是無窮大。

  任意一個函式formula_18是對應於某個概率律formula_19的特徵函式,當且僅當滿足以下三個條件:

  特徵函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如,如果"X"、"X"、......、"X"是一個獨立(不一定同分布)的隨機變數的序列,且  其中"a"是常數,那麼"S"的特徵函式為:  特別地,formula_26。這是因為:  注意我們需要formula_8和formula_29的獨立性來確立第三和第四個表示式的相等性。  另外一個特殊情況,是formula_30且formula_31為樣本平均值。在這個情況下,用formula_32表示平均值,我們便有:

  </math> Oberhettinger (1973) 提供的特徵函式表.

  由於連續定理,特徵函式被用於中心極限定理的最常見的證明中。

  特徵函式還可以用來求出某個隨機變數的矩。只要第"n"個矩存在,特徵函式就可以微分"n"次,得到:  例如,假設formula_8具有標準柯西分佈。那麼formula_40。它在formula_41處不可微,說明柯西分佈沒有期望值。另外,注意到formula_42個獨立的觀測的樣本平均值formula_32具有特徵函式formula_44,利用前一節的結果。這就是標準柯西分佈的特徵函式;因此,樣本平均值與總體本身具有相同的分佈。  特徵函式的對數是一個累積量母函式,它對於求出累積量是十分有用的;注意有時定義累積量母函式為矩母函式的對數,而把特徵函式的對數稱為"第二"累積量母函式。

  具有尺度引數"θ"和形狀引數"k"的伽瑪分佈的特徵函式為: 現在假設我們有: 其中"X"和"Y"相互獨立,我們想要知道"X" + "Y"的分佈是什麼。"X"和"Y"特徵函式分別為: 根據獨立性和特徵函式的基本性質,可得: 這就是尺度引數為"θ"、形狀引數為"k" + "k"的伽瑪分佈的特徵函式,因此我們得出結論: 這個結果可以推廣到"n"個獨立、具有相同尺度引數的伽瑪隨機變數:

  如果formula_8是一個多元隨機變數,那麼它的特徵函式定義為:  這裡的點表示向量的點積,而向量formula_54位於formula_8的對偶空間內。用更加常見的矩陣表示法,就是:

  如果formula_57是一個平均值為零的多元高斯隨機變數,那麼:  其中formula_59表示正定矩陣 Σ的行列式。

  如果formula_8是一個矩陣值隨機變數,那麼它的特徵函式為:  在這裡,formula_62是跡函式,formula_63表示formula_64與formula_8的矩陣乘積。由於矩陣"XT"一定有跡,因此矩陣"X"必須與矩陣"T"的轉置的大小相同;因此,如果"X"是"m" × "n"矩陣,那麼"T"必須是"n" × "m"矩陣。  注意乘法的順序不重要(formula_66但formula_67)。  矩陣值隨機變數的例子包括威沙特分佈和矩陣正態分佈。

  相關概念有矩母函式和概率母函式。特徵函式對於所有概率分佈都存在,但矩母函式不是這樣。  特徵函式與傅立葉變換有密切的關係:一個概率密度函式formula_68的特徵函式是formula_68的連續傅立葉變換的共軛複數(按照通常的慣例)。  其中formula_71表示概率密度函式formula_68的連續傅立葉變換。類似地,從formula_73可以通過傅立葉逆變換求出formula_68:  確實,即使當隨機變數沒有密度時,特徵函式仍然可以視為對應於該隨機變數的測度的傅立葉變換。
在概率論中,任何隨機變數的特徵函式(縮寫:ch.f,複數形式:ch.f's)完全定義了它的概率分佈。在實直線上,它由以下公式給出,其中"X"是任何具有該分佈的隨機變數: