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  最基本也是最常見的連續函式是定義域為實數集的某個子集、取值也是實數的連續函式。例如前面提到的花的高度,就是屬於這一型別。這類函式的連續性可以用直角座標系中的影象來表示。一個這樣的函式是連續的,如果粗略地說,它的影象為一個單一的不破的曲線,並且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振盪。  嚴格來說,設formula_6是一個從實數集的子集formula_7射到formula_8的函式:formula_9。formula_6在formula_11中的某個點formula_12處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足:  我們稱函式到處連續或處處連續,或者簡單的稱為連續,如果它在其定義域中的任意一點處都連續。更一般地,當一個函式在定義域中的某個子集的每一點處都連續時,就說這個函式在這個子集上是連續的。

  不用極限的概念,也可以用下面所謂的formula_22方法來定義實值函式的連續性。  仍然考慮函式formula_9。假設formula_12是formula_6的定義域中的元素。函式formula_6被稱為是在formula_12點連續當且僅當以下條件成立:  連續性的“formula_22定義”由柯西首先給出。  更直觀地,函式formula_6是連續的當且僅當任意取一個formula_31中的點formula_21的鄰域formula_33,都可以在其定義域formula_11中選取點formula_17的足夠小的鄰域,使得formula_17的鄰域在函式formula_6上的對映下都會落在formula_21的鄰域formula_33之內。  以上是針對單變數函式(定義域在formula_40上的函式)的定義,這個定義在推廣到多變數函式時也是成立的。度量空間以及拓撲空間之間的連續函式定義見下一節。

  如果兩個函式formula_6和formula_42是連續的,formula_43為一個實數,那麼formula_44、formula_45和formula_46都是連續的。所有連續函式的集合構成一個環,也構成一個向量空間(實際上構成一個代數)。如果對於定義域內的所有formula_17,都有formula_48,那麼formula_49也是連續的。  兩個連續函式的複合函式formula_50也是連續函式。  如果實函式formula_6在閉區間formula_52內連續,且formula_53是某個formula_54和formula_55之間的數,那麼存在某個formula_56內的formula_12,使得formula_58。這個定理稱為介值定理。例如,如果一個小孩在五歲到十歲之間身高從1米增長到了1.5米,那麼期間一定有某一個時刻的身高正好是1.3米。  如果formula_6在formula_56內連續,且formula_54和formula_55一正一負,則中間一定有某一個點formula_12,使得formula_64。這是介值定理的一個推論。  如果formula_6在閉區間formula_52內連續,則它一定取得最大值,也就是說,總存在formula_67,使得對於所有的formula_68,有formula_69。同樣地,函式也一定有最小值。這個定理稱為極值定理。(注意如果函式是定義在開區間formula_70內,則它不一定有最大值和最小值,例如定義在開區間(0,1)內的函式formula_71。)  如果一個函式在定義域中的某個點formula_72可微,則它一定在點formula_12連續。反過來不成立;連續的函式不一定可微。例如,絕對值函式在點formula_74連續,但不可微。

  現在考慮從度量空間formula_75到另一個度量空間formula_76的函式formula_6。  這個定義可以用序列與極限的語言重述:  後一個條件可以減弱為:

  如上連續函式的定義可以自然地推廣到一個拓撲空間到另一拓撲空間的函式:對拓撲空間formula_87與formula_98,函式formula_99是連續的當且僅當任何開集formula_100的逆像formula_101是formula_87中開集。

  函式的連續性質在很長時間內被認為是當然的。  第一個比較嚴格的定義歸功於伯納德·波爾查諾。他在1817年用德文寫下的定義是這樣的:函式formula_6在formula_17點是連續的,當且僅當:  然後波爾查諾在證明中值定理時用formula_107來表示所謂“事先給定的量”。  六年以後,柯西在1823年也給了一個定義,但此定義還不如波爾查諾前面給出的定義清楚:  這裡的無窮小指的是:一個量的“絕對值不斷而無止境地減小以至於小於任何一個事先給定的量”。  現代的formula_112定義只要把波爾查諾在其證明裡的寫法中“事先給定的量”用formula_107來代替就可以了。這個現代定義第一次公開發表在刊物上是1874年由魏爾斯特拉斯的一個學生海涅根據魏爾斯特拉斯的講義寫的。
在數學中,連續是函式的一種屬性。直觀上來說,連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函式。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義,則這個函式被稱為是不連續的函式(或者說具有不連續性)。