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  考慮集合{1,2,3,4,5}的置換σ,它將初始排列12345變為34521。可以通過三個對換得到:首先交換1和3的位置,然後交換2和4,最後交換1和5。這證明了給定的置換σ是奇的。利用置換一文中的記號,我們可寫成 formula_18。  有無窮種方式將σ寫成換位的複合,例如  但是不可能將其寫為偶數個換位的複合。

  恆同置換是偶置換。一個偶置換可以由恆同置換通過偶數次兩個元素互換(稱為對換)得到,而一個奇置換可由奇數次對換得到。  由整數加法相應的法則馬上得到下列性質: 由此得到  考慮集合{1...,"n"}的所有置換之對稱群"S",我們可總結為對映 將每個置換映為其符號是一個群同態。  進一步,我們見到偶置換組成"S"的一個子群。這就是"n"個字母上的交錯群,記作"A"。它是符號同態的核。奇置換不能組成一個子群,因為兩個奇置換的複合是偶置換,但它們是"A"(在"S"中)的一個陪集。  如果"n">1,則"S"中偶置換與奇置換一樣多;從而"A"包含"n"!/2個置換。(原因:如果σ是偶的,則 (12)σ是奇的;如果σ是奇的,則 (12)σ是偶的;這兩個對映互逆。)  一個輪換是偶的當且僅當它的長度是奇的。這得自如下類似公式 特別地,為了確定給定的置換是偶的還是奇的,將它寫成不交輪換的乘積。這個置換是奇的當且僅當這個分解包含奇數個偶長度的輪換。  每個奇數階置換必須是偶的;反之一般不成立。

  

  任意置換可以由一列對換產生:對第一個對換我們將置換的第一個元素放到它恰當的位置,第二個對換放第二個元素,等等。給定一個置換σ,我們可用無數種方式將其寫成對換之積。我們要證明所有這樣一個分解,要麼都有偶數個對換,要麼有奇數個對換。  假設我們有兩個這樣的分解: 我們要證明k'與m'要麼都是偶的,要麼都是奇的。  每個對換可以寫成奇數個相鄰元素的對換之乘積,例如 如果我們將上面的T'1...T'k'與Q'1...Q'm'中每個對換作這樣的分解,我們得到一個新的分解: 這裡所有"T"1..."Tk" "Q"1..."Qk"是相鄰對換,"k" − "k"<nowiki>'</nowiki>是偶數,"m" − "m"<nowiki>'</nowiki>是偶數。  現在將T1的逆與σ複合。"T"1是兩個相鄰數 ("i", "i" + 1)的對換,所以與σ相比,新置換σ("i", "i" + 1)恰好少一個(若 ("i","i" + 1)是σ的反向對)或多一個反向對(若 ("i","i" + 1)不是σ的反向對)。然後以相同的方法應用到"T"2, "T"3,... "Tk"的逆,“消解”了置換σ。最後我們得到了恆同置換,它的"N"是零,這意味著首先的"N"(σ)減去"k"是偶數。  對另一個置換"Q"1..."Qm"我們對同樣的事情,從而首先的"N"(σ)減去m是偶數  這樣"m" − "k"是偶數,這就是我們要證明的。  現在我們可以定義置換σ是偶的,如果"N"(σ)是偶數;是奇的,如果"N"(σ)是奇數。這與首先給出的定義相同,但現在清晰地看到每個置換不是偶的就是奇的。

  另一個證明利用多項式  例如在"n" = 3的情形,我們有  現在對{1...,"n"}的一個給定置換σ,我們定義  因為多項式formula_24與formula_25除了符號之外它們的因子相同,從而sgn(σ)不是 +1就是−1。從而如果σ與τ是兩個置換,我們有  有此定義之後,顯然任何兩個相鄰元素的對換有符號−1,這樣我們事實上重新得到了早先定義的符號。

  第三個證明利用群"S"一個呈示,使用生成元為formula_29,關係為  這裡生成元formula_33表示對換 ("i", "i" + 1)。所有的關係將一個詞的長度保持或改變2。從一個偶數長詞開始使用這些關係後總得到偶數長詞,對奇數長詞也類似。從而可以毫無歧義地稱"S"中由偶數長詞表示的元素是偶的,由奇數長詞表示的元素是奇的。
在數學中,當"X"是一個至少有兩個元素的有限集合時,"X"的置換(即從"X"到"X"的雙射)可分為大小相同的兩類:奇置換與偶置換。如果"X"固定了任何一個全序,"X"的一個置換formula_1的奇偶性可以定義為formula_1中反向對個數的奇偶性。所謂反向對即"X"中二元組formula_3使得formula_4且formula_5。這裡formula_6為置換formula_1中第formula_8位的元素。