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  首先定義幾個概念:  集族:指由非空集合組成的集合。  選擇函式:它是一個集族上的函式。它規定:對於所有在集族formula_5中的集合formula_6,formula_7是"formula_6"的一個元素。  那麼,選擇公理表示:  上述可表示為: 或者:  該定理也可表達為:

  第二個版本的選擇公理聲稱:  第三個版本聲稱:  使用這個版本的作者通常談及“在"formula_13"上的選擇函式”,但要注意這裡選擇函式的概念是稍微不同的。它的定義域是"formula_13"的冪集(減去空集),因此對任何集合"formula_13"有意義;至於本文中其他地方用的定義,在“集合的蒐集”上的選擇函式的定義域是這個蒐集,所以只對集合的集合有意義。透過這個變體的定義,選擇公理也可以簡潔的陳述為 它等價於  而選擇公理的否定表達為:

  以下列出了這篇條目中各種與“選擇公理”相關的縮寫:

  直到19世紀晚期,選擇公理的使用一直都沒有得到明確宣告。例如,建立了只包含非空集合的集合formula_5之後,當時的數學家可能會直接說"設對於"formula_5"中所有formula_6有formula_30是"formula_6"的成員之一"。一般來說,要是不用選擇公理,是不可能證明formula_32的存在性的。這一點直到策梅洛之前似乎沒有引起人們的注意。  不是所有的情況都需要選擇公理。選擇公理對於那些沒有可定義的選擇才有必要。值得指出的是,對於有限集合"formula_5",選擇公理的有限版本可以通過其他集合論公理推導得出。在這種情況下,它等價於說我們有多個(有限數目的)盒子,每個包含至少一個物體,則我們可以從每個盒子恰好選擇一個物體。顯然我們可以這麼做:從第一個盒子開始,選擇其中的一個物體;到下一個盒子,選擇一個物體;如此類推。因為盒子數量有限,所以我們的選擇過程最後一定會結束。這裡給出的選擇函式是明確的:第一個盒子對應於第一個選擇的物體,第二個盒子對應於第二個選擇物體;如此類推——此法之所以可行,是因為序對公理的原因。可以通過數學歸納法做出對所有有限集合的形式證明。

  對於特定的無限集合"formula_5",也可以避免使用選擇公理。例如,假設"formula_5"的元素是自然數的集合。每個自然數的非空集合都有一個最小元,所以要指定我們的選擇函式,我們可以簡單的把每個集合對映到這個集合的最小元。這使得我們可以從每個集合明確地選擇元素,以及寫出一個明確的表示式,說明我們的選擇函式如何取值。在能夠指定一個明確選擇方式的時候,選擇公理都是沒有必要的。  當缺乏從每個集合得到元素的直觀選擇方式時,困難就出現了。如果我們不能做明確的選擇,我們如何知道我們的這個集合存在?例如,假設"X"是實數的所有非空子集的集合。首先我們也許想套用有限的情況去處理"formula_5"。如果我們嘗試從每個集合選擇一個元素,那麼,因為實數集合是無限不可數,我們的選擇過程永遠不會結束。亦因如此,我們永遠不能生成對"formula_5"的成員的選擇函式。所以這種方法不能奏效。其次我們可以嘗試給每個集合指定最小元素這種方式。但是某些實數的子集沒有最小元素。例如,開區間formula_38沒有最小元素:如果formula_39在formula_38中,則formula_41也在其中,而formula_41總是嚴格的小於formula_39。所以這種方法也不行。  我們之所以能夠從自然數的非空子集選擇最小元素,是因為自然數上有一個自然良序:所有自然數的非空子集都有一個唯一的最小元素。  因此,我們可以採取這樣的思路,「即使實數的正常排序並非良序,也有可能找到一個排序使得實數是良序的。在這個排序下,總能夠選擇實數非空子集的最小元素。這樣便得到了選擇函式」。問題就變成如何構造這樣的排序。而事實上,“存在一個排序使得所有集合可以是良序的”這一命題成立,當且僅當選擇公理為真。  有必要用到選擇公理的證明總是非構造性的:即使證明給出了一個物件,精確地說出那個物件卻是不可能的。如果我們不能寫出選擇函式的定義,則我們的選擇就不是非常明確的。這是一些數學家不喜歡選擇公理的理由之一。例如,構造主義者論斷說所有涉及存在性的證明都應當是完全明確的;構造任何存在的物件應當是可能的。他們拒絕選擇公理,因為它斷言了不能具體描述是什麼的物件的存在。

  像上面討論的那樣,在ZFC中,選擇公理能為一個不能明確構造出的物件給出“非構造性證明”來證明其存在性。然而,ZFC依然是在經典邏輯下被形式化的。在構造性數學領域,選擇公理仍被深入研究,而當中應用的是非古典邏輯。在構造性數學的不同版本中,選擇公理的狀況也有所差別。  在直覺型別論和高階的Heyting算術中,選擇公理的適當陳述(按照推導方式)可以是作為一個公理,又或者作為一個可證明的定理。埃裡特‧畢夏普認為選擇公理可被視作是構造性的: 但在構造性集合論中,迪亞科內斯庫定理表明選擇公理蘊涵了排中律(在直覺型別論中,選擇公理不蘊涵排中律)。因此選擇公理在構造性集合論中並非普遍被接受。在型別論中的選擇公理與在構造性集合論中的選擇公理的區別是,前者不具有外延性而後者具有。  一些構造性集合論的結果用到了可數選擇公理或相依選擇公理,這兩個公理在構造性集合論內並不蘊涵排中律。儘管可數選擇公理在構造性數學中的應用特別廣泛,它的使用也受到質疑。

  可構造性公理與連續統假設都蘊涵了選擇公理,更準確地說,兩者都嚴格強於選擇公理。在類理論中,如馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論和Morse–Kelley集合論,存在一個叫全域性選擇公理的公理,它比選擇公理要強,因其同時也適用於真類。全域性選擇公理可由大小限制公理推出。

  哥德爾證明了選擇公理與ZF的相對協調性。保羅·寇恩用力迫法證明了選擇公理獨立於ZF。
選擇公理(英語:Axiom of Choice,縮寫AC)是數學中的一條集合論公理。這條公理宣告,對所有非空指標集族formula_1,總存在一個索引族formula_2,對每一個formula_3,均有formula_4。選擇公理最早於1904年,由恩斯特·策梅洛為證明良序定理而公式化完成。