Can you summarize the following document?
        
  參與變換的小波函式(wavelet function)也叫母小波(mother wavelet)。:  (1): formula_7  (2) :formula_8  (3): formula_9  因此,由上圖我們可以歸納出幾個重點:  (1):  formula_10 (2):  formula_13

  scaling function,以下為尺度函式的簡易圖示:  (1): formula_16  (2): formula_17  (3): formula_9

  (1)簡單(Simple)  (2)快速演算法(Fast algorithm)  (3)正交(Orthogonal)→可逆(reversible)  (4)結構緊湊(Compact),實(real),奇(odd)  (5)消失矩(Vanish moment)

  哈爾小波具有如下的特性: (1)任一函式都可以由formula_19以及它們的位移函式所組成  (2)任一函式都可以由常函式,formula_20以及它們的位移函式所組成  (3)正交性(Orthogonal)  (4)不同寬度的(不同m)的wavelet/scaling functions之間會有一個關係  formula_24 formula_25  formula_27 formula_28  (5)可以用m+1的 係數來計算m的係數  若formula_29  formula_30  若formula_31  formula_32  圖示如下:

  上圖為哈爾小波轉換的快速演算簡易圖示,此為多重解析結構(multiresolution analysis)。

  哈爾變換最早是由數學家阿爾弗雷德·哈爾在1910年的論文《論正交函式系理論》()中所提出,是一種最簡單又可以反應出時變頻譜(time-variant spectrum)的表示方法。其觀念與傅立葉變換相近。傅立葉變換的原理是利用正弦波與餘弦波來對訊號進行調變;而哈爾變換則是利用哈爾函式來對訊號進行調變。哈爾函式也含有正弦函式系和餘弦函式系所擁有的正交性,也就是說不同的哈爾函式是互相正交的,其內積為零。  以下面的哈爾轉換矩陣為例,我們取第1行和第2行來做內積,得到的結果為零;取第二行和第三行來做內積,得到的結果也是零。依序下去,我們可以發現在哈爾轉換矩陣任取兩行來進行內積的運算,所得到的內積皆為零。  在此前提下,利用傅立葉變換的觀念,假設所要分析的訊號可以使用多個頻率與位移不同的哈爾函式來組合而成。進行哈爾變換時,因為哈爾函式的正交性,便可求出訊號在不同哈爾函式(不同頻率)的情況下所佔有的比例。  哈爾變換有以下幾點特性:  對一矩陣formula_39做哈爾小波轉換的公式為formula_40,其中formula_39為一formula_42的區塊且formula_43為formula_44點的哈爾小波轉換。而反哈爾小波轉換為formula_45。以下為formula_43在2、4及8點時的值:
哈爾小波轉換(英語:Haar wavelet)是由數學家阿爾弗雷德·哈爾於1909年所提出的函式變換理論,也是小波轉換中最簡單的一種轉換,也是最早提出的小波轉換。他是多貝西小波的於N=2的特例,可稱之為D2