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  在數論中,素數計數函式的增長率引起了很大的興趣。在18世紀末,高斯和勒讓德曾猜想這個函式大約為:  也就是  這就是素數定理。一個等價的表述,是:  其中formula_5是對數積分函式。這個定理在1896年得到證明。證明用到了黎曼ζ函式的性質。  目前已知formula_6還有更精確的估計,例如:  其中"O"是大O符號。1948年,阿特勒·塞爾伯格和保羅·埃爾德什不使用函式或複分析證明了素數定理。  另外一個關於素數計數函式的增長率的猜想,是:

  如果formula_9不太大,一個簡單的計算formula_1的方法就是使用埃拉託斯特尼篩法。  一個比較複雜的計算formula_1的方法是勒讓德發現的:給定formula_9,如果formula_13、 formula_14、......、 formula_15是不同的素數,則小於formula_9且不能被任何一個formula_17整除的整數個數是:  (其中formula_19是取整函式)。因此這個數等於:  其中formula_21是小於或等於formula_9的平方根的素數的個數。  恩斯特·梅塞爾()在1870年和1885年發表的一系列文章中,描述並使用了一個計算formula_1的組合方法。設formula_13, formula_14,..., formula_26是最初formula_27個素數,不大於formula_28且不能整除任何一個formula_17的自然數個數記為formula_30,那麼:  給定一個自然數formula_28,如果formula_33且formula_34,那麼:  利用這種方法,梅塞爾計算了formula_9等於5×10、10、10以及10時formula_1的值。  1959年,德里克·亨利·勒梅爾()推廣並簡化了梅塞爾的方法。對於實數formula_28和自然數formula_27和formula_40,定義formula_41為不大於"m"且正好有"k"個大於formula_26的素因子的整數個數。更進一步,設定formula_43。那麼:  這個和實際上只有有限個非零的項。設formula_45為一個整數,使得formula_46,並設formula_47。那麼當formula_40 ≥ 3時,formula_49且formula_50。因此:  formula_52的計算可以用這種方法來獲得:  另一方面,formula_30的計算可以用以下規則來完成:  利用這種方法,勒梅爾計算了formula_56。

  我們也使用其它的素數計數函式,因為它們更方便。其中一個是黎曼的素數計數函式,通常記為formula_57。這個函式在自變數為素數的冪"p"時突然增加了"1/n",而該點的值則是兩邊的平均值。我們可以用以下公式來定義formula_57:  其中"p"是素數。  也可以寫成以下公式:  其中Λ("n")是馮·曼戈爾特函式,  利用默比烏斯反演公式,可得:  知道了黎曼ζ函式的對數與馮·曼戈爾特函式formula_63之間的關係,並利用Perron公式,可得:

  這裡有一些π("x")的有用的不等式。  這裡有一些關於第"n"個素數"p"的不等式。 左面的不等式當n ≥ 1時成立,右面的不等式當n ≥ 6時成立。  第"n"個素數的一個估計是:
在數學中,素數計數函式是一個用來表示小於或等於某個實數"x"的素數的個數的函式,記為formula_1。