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  考慮數formula_1,其中formula_2是實數,而量formula_3不是實數,但formula_4是實數。  選取formula_5,得到一般複數。取formula_6的話,便得到雙曲複數。  定義雙曲複數的加法和乘法如下,使之符合交換律、結合律和分配律:

  對於formula_1,其共軛值formula_10。對於任何雙曲複數formula_11,  可見它是自同構的。  定義內積為 formula_15 。若formula_16,說formula_11(雙曲)正交。  雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):  這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變:formula_19。

  除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。  formula_20  由此可見,雙曲複數可逆當且僅當其平方範數非零。其形式均為formula_21,其中formula_22是實數。

  雙曲複數的冪等元有:  列方程formula_23。有四個解:formula_24。  s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。formula_25 。  若將formula_26表示成formula_27,雙曲複數的乘法可表示成formula_28 。因此,在這個基裡,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。  共軛可表示為formula_29,範數formula_30。

  有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R。正如歐幾里得平面R的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。  在R,對於非零的formula_31,點集 formula_32 是雙曲線。左邊和右邊的會經過formula_31和formula_34。formula_35稱為單位雙曲線。  共軛雙曲線是formula_36,會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 formula_37 分開。  尤拉公式的相應版本是formula_38。

  1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。  20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。
雙曲複數(英語:hyperbolic numbers或英語:Split-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。