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  假設有一個房間,房間內所有點的溫度由一個標量場formula_7給出的,即點formula_8的溫度是formula_9。假設溫度不隨時間改變。然後,在房間的每一點,該點的梯度將顯示變熱最快的方向。梯度的大小將表示在該方向上變熱的速率。  考慮一座高度在formula_10點是formula_11的山。formula_12這一點的梯度是在該點坡度(或者說斜度)最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。  梯度也可以告訴我們一個數量在不是最快變化方向的其他方向的變化速度。再次考慮山坡的例子。可以有條直接上山的路其坡度是最大的,則其坡度是梯度的大小。也可以有一條和上坡方向成一個角度的路,例如投影與水平面上的夾角為60°。則,若最陡的坡度是40%,這條路的坡度小一點,是20%,也就是40%乘以60°的餘弦。  這個現象可以如下數學的表示。山的高度函式formula_12的梯度點積一個單位向量給出了表面在該向量的方向上的斜率。這稱為方向導數。

  純量函式 formula_14的梯度表示為:formula_15 或formula_16,其中 formula_17(nabla)表示向量微分運算元。  函式 formula_1的梯度,formula_15, 為向量場且對任意單位向量 滿足下列方程式:

  formula_15在三維直角座標系中表示為 ,, 為標準的單位向量,分別指向, 跟 座標的方向。 ("參看偏導數和向量。")  雖然使用座標表達,但結果是在正交變換下不變,從幾何的觀點來看,這是應該的。  舉例來講,函式formula_23的梯度為:

  在圓柱座標系中,formula_1 的梯度為: , 跟 為單位向量,指向座標的方向。

  在球座標系中:  其中為極角,方位角。

  相對於n×1向量x的梯度運算元記作formula_29,定義為

  以n×1實向量x為變元的實標量函式f(x)相對於x的梯度為一n×1列向量x,定義為 m維行向量函式formula_32相對於n維實向量x的梯度為一n×m矩陣,定義為

  實標量函式formula_34相對於m×n實矩陣A的梯度為一m×n矩陣,簡稱梯度矩陣,定義為

  以下法則適用於實標量函式對向量的梯度以及對矩陣的梯度。

  一個黎曼流形formula_49上的對於任意可微函式formula_1的梯度formula_15是一個向量場,使得對於每個向量 formula_52, 其中formula_54代表formula_49上的內積(度量)而 formula_56是formula_1在點formula_58,方向為formula_59的方向導數。換句話說,如果formula_60為formula_58附近的區域性座標,在此座標下有formula_62,則formula_63將成為:  函式的梯度和外微分相關,因為formula_65,實際上內積容許我們可以用一種標準的方式將1-形式formula_66和向量場formula_15建立聯絡。由formula_15的定義,formula_69,這樣formula_1的梯度可以"等同"於0-形式的外微分formula_66,這裡"等同"意味著:兩集合formula_72和formula_73之間有1對1的滿射。  由定義可算流形上formula_15的區域性座標表示式為:  請注意這是流形上對黎曼度量 formula_76的公式,跟formula_77 裡直角座標的公式不同。常常我們寫時會省略求和formula_78符號,不過為了避免混淆,在這裡的公式還是加上去了。
在向量微積分中,梯度(gradient)是一種關於多元導數的概括。平常的一元(單變數)函式的導數是標量值函式,而多元函式的梯度是向量值函式。多元可微函式formula_1在點formula_2上的梯度,是以formula_1在formula_2上的偏導數為分量的向量。