Can you summarize the following document?
        
  因為抽象代數研究帶有能產生有意義的集合上的結構或者屬性的運算的集合,最有意義的函式就是能夠保持這些運算不變的那些。它們被稱為同態。  例如,考慮帶加法運算的自然數。保持加法不變的函式有如下性質:"f"("a" + "b") = "f"("a") + "f"("b").例如"f"("x") = 3"x"就是這樣的一個同態,因為"f"("a" + "b") = 3("a" + "b") = 3"a" + 3"b" = "f"("a") + "f"("b")。注意這個同態從自然數對映回自然數。  同態不必從集合對映到帶相同運算的集合。例如,存在保持運算的從帶加法的實數集到帶乘法的正實數集。保持運算的函式滿足:"f"("a" + "b") = "f"("a") * "f"("b"),因為加法是第一個集合的運算而乘法是第二個集合的運算。指數定律表明"f"("x") = e滿足如下條件 : 2 + 3 = 5變為e * e = e.  同態的一個特別重要的屬性是如果么元存在,它將被保持,也即,被對映為另一個集合中的么元。注意第一個例子中"f"(0) = 0,而零是加法么元。第二個例子中,"f"(0) = 1,因為0是加法么元,而1是乘法么元。  若考慮集合上的多個運算,則保持所有運算的函式可以視為同態。雖然集合相同,相同的函式可以是群論(只考慮帶一個運算的集合)中的同態,而非環論(帶兩個相關運算的集合)中的同態,因為它可能不保持環論中需要的另外那個運算。

  同態是從一個代數結構到同類代數結構的對映,它保持所有相關的結構不變;也即,所有諸如么元、逆元、和二元運算之類的屬性不變。  例如,考慮兩個有單一二元運算的集合formula_1和formula_2(稱為群胚的代數結構),同態就是對映formula_3使得 其中formula_5是formula_1上的運算而formula_7是formula_2上的運算。  每類代數結構有它的同態。特定的定義參看:  同態的概念在研究所有代數結構共有的思想的泛代數中可以給一個形式化的定義。這個情況下,同態formula_9是兩個同類代數結構之間的對映,使得 對於所有"n"元運算formula_11和所有formula_12中的formula_13成立。

  上面的術語也適用於範疇論。但是範疇論中的定義更微妙一些:細節參看態射條目。  注意在保結構對映的意義下,定義同構為雙同態是不夠的。必須要求逆也是同類的態射。在代數意義上(至少在泛代數的意義下)這個額外的條件是自動滿足的。

  任意同態 "f" : "X" → "Y" 都定義了一個 "X" 上的等價關係 ~ 。 "X" 中元素 "a" ~ "b" 當且僅當 "f"("a") = "f"("b")。等價關係被稱為 "f" 的核。這個關係也是 "X" 上的一個同餘關係,因此在其商集 "X"/~ 上也可以自然地定義一個結構:["x"] * ["y"] = ["x" * "y"]。這時,"X" 通過同態 "f" 在 "Y" 中的像必然同構於 "X"/~。這就是所謂的同構基本定理之一。注意到在有些情況下(比如說在群結構或環結構時),僅僅一個等價類 "K" 就可以決定商集的結構,因此這時我們可以將它記作 "X"/"K"(一般讀作 "X" 模 "K" )。在這種情況下,一般將 "K",而不是 ~,稱作 "f" 的核(參見正規子群和理想)。

  模型論中,代數的結構推廣到同時涉及運算和關係的結構上。令"L"為由函式和關係符號組成的標識,而"A","B"為兩個"L"-結構。則從"A"到"B"的同態是對映"h":從"A"的域到"B"的域,使得 在只有一個二元關係的特殊情況,這就是圖同態的概念。

  同態也被用於形式語言的研究中。給定字母表formula_14和formula_15,函式"h" : formula_16 → formula_17使得formula_18對於所有formula_16中的"u"和"v"成立,則稱為formula_16上的"同態".令"e"表示空詞。若"h"為formula_16上同態,formula_22對於formula_16上所有formula_24成立,則"h"成為無么元同態("e-free homomorphism")。
抽象代數中,同態是兩個代數結構(例如群、環、或者向量空間)之間的保持結構不變的對映。英文的同態("homomorphism")來自希臘語:" (homos)"表示"相同"而" (morphe)"表示"形態"。注意相似的詞根" (homoios)"表示"相似"出現在另一個數學概念同胚的英文(homeomorphism)中。