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  在三角形ABC中,這個式子用標量可以寫作formula_1。  當該式取不等號時,可以由歐幾里得第五公設匯出;歐幾里得給出的證明記載於《幾何原本》第一卷命題20:(證明所用的輔助影象見右)  現在,我們有三角形ABC。延長AB至點D,並使BD=BC,聯結DC。  那麼,三角形BCD為等腰三角形,所以formula_2。記它們均為formula_3。  根據歐幾里得第五公設,角formula_4也就是formula_5大於角formula_3(formula_7,也就是formula_8);  由於角formula_4對應邊AD,角formula_3對應邊AC,因此AD>AC(大角對大邊,命題19)。  又由於DB=BC,所以AD=AB+BD=AB+BC>AC,即證。  如果我們將該式左右各減去BC,便能得到AB>AC-BC,這便是三角不等式的另一種表達方法:三角形的兩邊之差小於第三邊。  當該式取等號的時候,其已經不屬於歐氏幾何的範疇,這種情況只有可能在球面三角形中出現,此時formula_11,而a, b, c為三角形三邊的長。

  用向量的寫法,這個不等式可以寫成:  上式和標量的寫法明顯是等價的。  考慮到formula_13,該式也可以寫成:formula_14,這種情況的形式和下方實數中的形式是一致的。  如果根據向量構建平面直角座標系,則可以用代數的方式予以證明。  還是以右圖中的三角形為例子。假設在座標系中,向量formula_15的方向向量為formula_16,向量formula_17的方向向量為formula_18,  那麼因為formula_13,得向量formula_20的方向向量為formula_21。  因此,formula_22,formula_23。  所以,formula_24。  而formula_25,formula_26,  兩者相減再配方,得到formula_27,該式實際上是formula_28的值。  當且僅當formula_29時,該式的值為0,而此時我們可以推出formula_30,這說明formula_31和formula_32、formula_33和formula_34都是平行的。而由於formula_31,也就是向量formula_15的終點和formula_32,也就是向量formula_17的起點是相同的,顯然formula_15和formula_17共線。這種情況在歐氏幾何中是不可能的,只有在非歐幾何的情況下才能成立。用formula_33和formula_34平行也一樣能夠推出formula_15和formula_17共線。  其他任何情況,也就是formula_45時,該式取到不等號,適用於歐氏幾何。  將向量形式的三角不等式兩邊減去相同的向量,同樣能夠推出三角形的兩邊之差小於第三邊。

  在實數中,此式依然成立:formula_46。  證明如下:  考慮到實數的平方必然是非負數,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:  對於formula_49(即a, b彼此異號),formula_50;  對於formula_51(即a, b彼此同號),formula_52。  像幾何中的情況一樣,該式的推論為:formula_53。

  在閔可夫斯基空間,三角不等式是反方向的:  這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。
三角不等式是數學上的一個不等式,表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。