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  假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 formula_20 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如,假設一個量子系統處於純態 formula_2 、formula_3 的機率都為50%,則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態,不管是純態,還是混合態,都可以用密度矩陣表示。  混合態與疊加態的概念不同,幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如,formula_23 是個純態。

  光子的兩種圓偏振態,右旋圓偏振態與左旋圓偏振態,分別以態向量 formula_24 、formula_25 標記。光子也可能處於疊加態,例如,垂直偏振態與水平偏振態分別為 formula_26 、formula_27 。更一般地,光子偏振所處於的疊加態可以表示為 formula_28 ;其中,formula_29 、formula_30 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。  假若讓處於疊加態 formula_26 的光子通過左旋圓偏振器,則出射的光子處於左旋圓偏振態 formula_25 ;假若通過右旋圓偏振器,則出射的光子處於右旋圓偏振態 formula_24 。對於這兩種圓偏振模,光子強度都會減半,貌似意味著疊加態 formula_26 的一半光子處於量子態 formula_24,另一半處於量子態 formula_25,但這種解釋並不正確,處於量子態 formula_24 與 formula_25 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收,但是處於量子態 formula_26 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。  從白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子,不能用疊加態 formula_28 來描述。特別而言,與平面偏振態光子不同,它通過任何偏振器後都會失去50%強度,與圓偏振態光子不同,使用波片(waveplate)不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為,處於 formula_41 的機率是50%,處於 formula_42 的機率是50%。它也可以描述為,處於垂值偏振態的機率是50%,處於水平偏振態的機率是50%。  非偏振態光子的量子態不是純態,而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成,或者,它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分,因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料,足夠計算任何關於混合態的可測量性質。  混合態到底源自何處?試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統,這系統擁有很多個微觀態(microstate),伴隨每一個微觀態都有其發生的機率(波茲曼因子),它們會因熱力學漲落(thermal fluctuation)從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程式,例如,將光束通過表面粗糙的雙折射晶體,使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制,有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開,這糾纏系統的量子態為 formula_43,整個系統是處於純態,但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子,從分析光子子系統的約化密度算符,可以得到這結論。  一般而言,混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合(例如熱力學平衡)、製備程式的不確定性(例如光子可能移動於稍微不同路徑)、包含在糾纏系統內的子系統(例如EPR機制)。

  

  假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 formula_20,對應的密度算符定義為  從密度算符的形式,可以推論密度算符是自伴算符:  假設,物理量 formula_15 是這量子系統的可觀察量,其本徵值為 formula_48 的本徵態 formula_49 形成一個規範正交基 formula_50,則對可觀察量 formula_15 做測量得到 formula_48 的機率 formula_53為  其中,formula_55 是對應於本徵態 formula_56 的投影算符,formula_57 是跡數。  做實驗測量可觀察量 formula_15 獲得的期望值為  這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則(trace rule)。對於不同的規範正交基,跡數是個不變數。採用任何規範正交基,都可以計算出同樣跡數。另外,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這是很優良的性質,這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。  由於 formula_20 被歸一化, 密度算符的跡數為1:  對於任意歸一化量子態 formula_62,  所以,密度算符是非負算符(nonnegative operator)。

  將先前純態密度算符的定義式加以延伸,假設在一個量子系統處於純態 formula_2 、formula_3 、formula_4 、......的機率分別為 formula_5 、formula_6 、formula_7 、......,則這混合態量子系統的密度算符 formula_8 為  每一個機率都是非負實值,所有機率的總和為1:  按照「無知詮釋」,這種量子系統確定是處於某個純態formula_74,但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」(proper mixture),否則,稱為「瑕混合物」(improper mixture)。  回想在純態段落裡,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這意味著對於混合態的密度算符,這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符,也具有先前純態的密度算符所擁有的性質:  由於密度算符 formula_8 是自伴算符,它具有譜表示  其中,formula_85 是本徵值為 formula_86 的本徵態,所有 formula_85 形成一個規範正交基。  按照自伴算符的定義,每一個本徵值 formula_86 是它自己的共軛:  由於密度算符 formula_8 是非負算符,每一個本徵值 formula_86 都是非負值。  由於密度算符 formula_8 的跡數為1,  給定一個量子系統,其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 formula_94 屬於這凸集,則 formula_95 也屬於這凸集;其中,formula_96 是係數,formula_97 。

  由於純態的密度算符定義式為  所以純態的密度算符具有特徵  否則,非純態的密度算符遵守關係式  另外,將純態的密度矩陣 formula_12 對角化後,只能有一個對角元素等於1,其它對角元素都等於0,例如,一種形式為  量子態的純度formula_104 定義為  純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態,其對角元素的數值為formula_106 、非對角元素的數值為0,其純度為formula_106 。  馮諾伊曼熵是另一種描述量子態混合程度的量度。

  位置是一種連續性可觀察量,具有連續性本徵值譜,用這種可觀察量的連續性本徵態為基底,密度矩陣 formula_12 含有兩個位置引數 formula_109 、formula_110 :  可觀察量 formula_15 的期望值為

  假設密度算符為 formula_114 的複合系統是由兩個子系統 formula_15 、formula_116 組成,這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符(reduced density operator) formula_117 、formula_118 描述:  其中,formula_121 、formula_122 分別是對於子系統formula_116 、formula_15 的偏跡數(partial trace)。  這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯(沒有任何量子關聯或經典關聯),當且僅當 formula_8 是 formula_126 與 formula_127 的張量積:

  約化密度算符最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設兩個希爾伯特空間formula_129、formula_130的規範正交基分別為formula_131、formula_132,分別在這兩個希爾伯特空間formula_129、formula_130的兩個子系統formula_15、formula_116所組成的複合系統,其量子態為純態formula_137,其密度算符formula_8為  取密度算符formula_8對於子系統formula_116的偏跡數,可以得到子系統formula_15的約化密度算符formula_117:  例如,糾纏態formula_145,其子系統formula_15的約化密度算符formula_117為  如同預想,這公式演示出,子系統formula_15的約化密度算符formula_117為混合態。

  如右圖所示,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量 formula_151 分裂成兩道,一道的 formula_151 為上旋,標記為 formula_153,另一道的 formula_151 為下旋,標記為 formula_155 。

  完全隨機粒子束的量子態不是純態,它可以由50% formula_168 純態與50% formula_169 純態組成:  它也可以由50% formula_171 純態與50% formula_172 純態組成:  另外,它還可以由50% formula_174 純態與50% formula_175 純態組成,因此可見,不同的組合仍可得到同樣的混合態。  一般而言,完全隨機粒子束的 formula_176 密度矩陣 formula_12,經過對角化之後,可以寫為

  薛定諤方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化,馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言,這兩種方程式等價,因為它們彼此都可以推匯出對方。假設,在時間 formula_179,量子系統的密度算符為  其中,量子系統在時間 formula_179 處於純態 formula_182 的機率是 formula_19  假若不攪擾這量子系統,則機率 formula_19 跟時間無關。在時間 formula_185,純態 formula_186 遵守含時薛定諤方程式  其中,formula_188 是約化普朗克常數,formula_189 是哈密頓算符。  所以,馮諾伊曼方程式表示為  其中,方括號代表對易算符。  注意到只有當採用薛定諤繪景時(必須採用薛定諤繪景來計算密度算符)這方程式才成立,雖然這方程式看起來很像海森堡繪景的海森堡方程式,唯一差別是關鍵的正負號:  其中,formula_192 是某種採用海森堡繪景的算符。  在海森堡繪景裡,密度算符與時間無關,正負號差別確使期望值 formula_193 對於時間的導數會得到與薛定諤繪景相同的結果。  假若哈密頓算符不含時,則可從馮諾伊曼方程式推匯出

  在量子統計力學(quantum statistical mechanics)裡,馮諾伊曼熵(von Neumann entropy)是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於密度矩陣為 formula_12 的混合態,馮諾伊曼熵定義為  這公式涉及到矩陣對數(logarithm of a matrix),似乎很難計算,但密度算符 formula_8 是自伴算符,具有譜表示  其中,formula_85 是本徵值為 formula_86 的本徵態,所有 formula_85 形成一個規範正交基。  因此,可以將密度矩陣 formula_12 對角化,將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 formula_12 定義為  馮諾伊曼熵 formula_205 又可以寫為  從這形式,可以推論馮諾伊曼熵與經典資訊理論裡的夏農熵(Shannon entropy)相關。  在這裡,可以視每一個本徵值 formula_48 為處於本徵態 formula_85 的機率。假若某事件的發生機率為零,則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言,以下極限為零:  因此,可以採用約定  純態的馮諾伊曼熵為零,因為其密度矩陣對角化之後,只有一個元素為1,其它均為0。即所有對角元素 formula_86 必定滿足 formula_212 或 formula_213 。  完全隨機混合態的 formula_176 密度矩陣,其馮諾伊曼熵 formula_205 為  假若,將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度,則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 formula_217,而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 formula_218 。  每一次做投影測量,馮諾伊曼熵都會增加,永遠不會減少,但是,對於廣義測量(generalized measurement),馮諾伊曼熵可能會減少。混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此,純態可以通過投影測量改變為混合態,但是,非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變,如同波函式塌縮。實際而言,相當反直覺地,投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容,請參閱條目量子退相干。  一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態,但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加,就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵,冰箱熱交換器外的空氣會變暖,而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容,請參閱條目熱力學第二定律。
在量子力學裡,密度算符(英語:density operator)與其對應的密度矩陣(英語:density matrix)專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 formula_1 來描述的量子態,混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 formula_2 、formula_3 、formula_4 、......的機率分別為 formula_5 、formula_6 、formula_7 、......,則這混合態量子系統的密度算符 formula_8 為