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  下表列出了1至25對2至25的二次剩餘。

  從17世紀到18世紀,費馬、尤拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究,證明了一些定理並作出了一些相關的猜想,但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》("Disquisitiones Arithmeticae",1801年)中首次引入了術語“二次剩餘”與“二次非剩餘”,並宣告在不至於導致混淆的行文中,可以省略“二次”兩字。  為了得到關於一個整數formula_14的所有二次剩餘(在一個完全剩餘系中),我們可以直接計算0, 1,..., "n" − 1的平方模formula_14的餘數。但只要注意到"a" ≡("n" − "a")(mod "n"),我們就可以減少一半的計算量,只算到"n"/2了。於是,關於formula_14的二次剩餘的個數不可能超過"n"/2 + 1("n"為偶數)或("n" + 1)/2("n"為奇數)。  兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。

  

  對於質數2,每個整數都是它的二次剩餘。  以下討論formula_2是奇質數的情況:  對於formula_1,formula_7而言,能滿足「formula_8是模formula_2的二次剩餘」的formula_8共有formula_23個(剩餘類),分別為:  formula_24(0計算在內)  此外是formula_25個二次非剩餘。但在很多情況下,我們只考慮乘法群Z/"p"Z,因此不將0包括在內。這樣,每個二次剩餘的乘法逆元仍然是二次剩餘;二次非剩餘的乘法逆元仍然是二次非剩餘。二次剩餘的個數與二次非剩餘的個數相等,都是formula_25。此外,兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘,二次剩餘和二次非剩餘的乘積是二次非剩餘。  應用二次互反律可以知道,當formula_2模4餘1時,-1是formula_2的二次剩餘;如果formula_2模4餘3,那麼,-1是formula_2的二次非剩餘。  要知道d是否為模p的二次剩餘,可以運用尤拉判別法(或叫尤拉準則)。

  每個奇數的平方都模8餘1,因此模4也餘1。設"a"是一個奇數。"m"為8,16或2的更高次方,那麼"a"是關於"m"的二次剩餘當且僅當"a" ≡ 1(mod 8)。  比如說,在模32時,所有的奇數的平方分別是:  模8都餘1。而偶數的二次剩餘是:  可以看出,關於8,16或2的更高次方的二次剩餘是具有4(8"n" + 1)形式的所有數,其中formula_31、formula_14為整數。  對於奇質數formula_2以及與formula_2 互質的整數formula_35,formula_35是關於formula_2的若干次乘方的剩餘當且僅當它是關於formula_2的剩餘。  設模的是"p"(n次乘方),  當"k" < "n"併為偶數時,

  首先可以看出,  對於模合數的情況,兩個剩餘的乘積仍然是剩餘,剩餘和非剩餘的乘積必為非剩餘,但是兩個非剩餘的乘積則可能是剩餘、非剩餘或0。 比如,對於模15的情況 <br> <br> 兩個二次非剩餘2和8的乘積是二次剩餘1,但另外兩個二次非剩餘2和7的乘積是二次非剩餘14。

  高斯使用R和N來分別表示二次剩餘及二次非剩餘。例如:2 R 7,5 N 7,並且1 R 8,3,5,7 N 8。儘管這種記號在某些方面來說十分簡潔,但現今最常用的是勒讓德符號,或稱二次特徵(見狄利克雷特徵)。對於整數"a"及奇質數"p",  之所以將0另分一類有兩個原因。首先,這使公式和定理敘述方便。其次,二次特徵是一個從乘法群Z/pZ射到複數域的群同態,formula_43可以將這個同態擴張到整數構成的乘法半群。  相比高斯的記號,勒讓德符號的優勢在於可以寫在公式裡(作為一個數字值)。此外勒讓德符號可以推廣到三次以至高次剩餘。  勒讓德符號中的分母只限奇質數,對於一般的奇合數,有推廣的雅可比符號。雅可比符號的性質比前者複雜。如果"a" R "m"那麼formula_44,如果formula_45那麼"a" N "m"。但如果formula_44,我們不能知道"a" R "m"還是"a" N "m"。

  二次剩餘的推廣叫做高次剩餘,是研究任意formula_1,formula_48中formula_8是否為模formula_2的formula_14次剩餘的問題。
在數論中,特別在同餘理論裡,一個整數formula_1對另一個整數formula_2的二次剩餘(英語:Quadratic residue)指formula_1的平方formula_4除以formula_2得到的餘數。