Can you summarize the following document?
        
  下面是證明:  證明: 令  並令  對任意的 "a"∈"A" 定義對映  如果"a"不在集合"C"中,那麼"a"不在集合"C"中。因此由"C"的定義可知"a" ∈ "g"<nowiki>[</nowiki>"B"<nowiki>]</nowiki>。由於"g"是單射,其逆對映"g"("a")存在。  接下來驗證 "h" : "A" → "B" 就是想要的雙射。  注意這個 "h" 的定義是非構造性的,在這個意義下:不存在一般性方法在有限步驟內判定,對於任何給定集合 "A" 和 "B" 與單射 "f" 和 "g",是否 "A" 的一個元素 "x" 不位於 "C" 中。對於特殊集合和對映這當然是可能的。

  "h" 的定義可透過以下示意圖展示。  顯示的是部分的(不相交)集合 "A" 和 "B",以及對映 "f" 和 "g"的一部分。如果集合 "A" ∪ "B",與兩個對映一起,被詮釋為一個有向圖,則這個雙向圖有多個連線起來的構件(component)。  這些可以分成四個型別:無限擴充套件到兩個方向的路徑,偶數長度的有限圈(環),開始於集合 "A" 中的無限路徑,和開始於集合 "B" 中的無限路徑(在圖中通過元素 "a" 的路徑是在兩個方向上無限的,所以這個圖包含每個型別的一個路徑)。一般的說,不可能在有限步驟內判定 "A" 或 "B" 的一個給定元素屬於那種型別的路徑。  上面定義的集合 "C" 恰好包含了那些開始在 "A" 中的無限路徑所經過的 "A" 的元素。對映 "h" 接著被按如下方式定義,對於所有路徑它生成一個雙射,把在路徑中 "A" 的每個元素,對映到在路徑中直接前於或後於它的 "B" 的一個元素。對於在兩個方向上都是無限的路徑,和對於有限圈,我們選擇對映所有元素到它在路徑中的前驅。

  康托爾的早先證明有效的依賴於選擇公理,通過推匯出良序定理的推論。上面給出的證明證實了可以證明這個結果而不使用選擇公理。  這個定理也叫做 Schroeder-Bernstein 定理,但一般會加上康托爾的名字,畢竟他貢獻了最初的版本。它也叫做 Cantor-Bernstein 定理。
施羅德-伯恩斯坦定理(英語:Schröder–Bernstein theorem),又稱康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理(英語:Cantor-Bernstein-Schroeder theorem)是集合論中的一個基本定理,得名於康托爾、伯恩斯坦和 施羅德。該定理陳述說:如果在集合 "A" 和 "B" 之間存在單射 "f" : "A" → "B" 和 "g" : "B" → "A",則存在一個雙射 "h" : "A" → "B"。從勢的角度來看, 這意味著如果 |"A"| ≤ |"B"| 並且 |"B"| ≤ |"A"|,則 |"A"| = |"B"|,即"A"與"B"等勢。顯然,這是在基數排序中非常有用的特徵。