Can you summarize the following document?
        
  下文中的標量域formula_1是指實數域formula_2或複數域formula_3。  正式地,一個內積空間是域formula_1上的向量空間formula_5與一個"內積"(即一個對映)構成的。formula_5上的一個內積定義為正定、非退化的共軛雙線性形式(formula_7時,內積是一個正定、對稱、非退化的雙線性形式),記為formula_8  它滿足以下設定:  如果formula_1是實數域formula_2那麼共軛對稱性質就等價於對稱性:formula_21,也就是說,共軛雙線性變成了一般的雙線性。

  多數數學家要求內積在第一個引數上是線性的而在第二個引數上是共軛線性的,下文中也接受這種約定。很多物理學家接受相反的約定。這種改變是非實質性的,但是相反的定義提供了與量子力學中的狄拉克符號更平滑的連線,現在也偶爾被數學家使用。某些作者接受約定formula_22的寫法表示在第一個分量是線性的而formula_23的寫法表示在第二個分量上是線性的,儘管這種約定並不普遍。  選擇formula_2或formula_3作為內積空間的標量域是有原因的。首先,這個域要包含一個有全序關係的子域,否則就無法談論“非負性”,因此它的特徵必須是零。(因為任何有序域都有這樣的特徵值)這樣就排除了所有的有限域。這個標量域需要有其他的結構,例如眾所周知的同構。更一般地,formula_2或formula_3二次封閉的子域會滿足這樣的假設,例如代數數;擔當它是一個真子域時(既非formula_2也非formula_3),甚至有限維內積空間也不會度量完備。相反,formula_2或formula_3上的所有有限維內積空間,如在量子計算中所使用的,自動是度量上完備的,因此是希爾伯特空間。  在某些情況下,必須考慮非負半定半雙線性形式。這意味著只要求formula_32非負。

  注意到共軛對稱表明對所有formula_33,formula_34都是實數,因為我們有formula_35  此外,半雙線性(參見下文)表明formula_36  共軛對稱和第一個變數的線性給出  所以內積是一個半雙線性形式。共軛對稱也叫埃爾米特對稱,而一個共軛半雙線性形式叫做一個"埃爾米特形式"。儘管上面的公理在數學上更加便捷,內積的一個簡潔文字定義是"正定Hermitian形式"。  在formula_39的情形中,共軛對稱退化為對稱,而半雙線性退化為雙線性。因而,一個實向量空間上的內積是一個"正定對稱雙線性形式"。  由線性性質可以匯出formula_40能推出formula_41然而從正定性公理我們得到其逆命題, formula_42能推出formula_40。結合這兩個,我們有性質formula_42當且僅當formula_45  結合內積第一個變數的線性和共軛對稱給出下面熟悉的平方展開的重要推廣: 假設基礎域是formula_47,內積對稱,我們得到 或者相似地,  一個內積空間formula_50的"可加性":

  

  內積的一個簡單的例子是實數的乘法:formula_53。如果將實數域看成一維的實向量空間,那麼可以驗證:實數乘法滿足內積的各種性質。

  歐幾里德空間formula_54和點積: 構成一個內積空間。復空間formula_56中,內積的一般形式是: formula_57 其中formula_58是一個任意的正定埃爾米特矩陣,formula_59是formula_33的共軛轉置。根據譜定理,矩陣必然可以酉對角化。也就是說,存在一組標準正交基,在這組正交基下來看,內積formula_61表現為加權(每個分量有不同的正權重)的點積。

  在希爾伯特空間的文章中有一些內積空間的例子,其中引出自內積的度量誘導一個完備的度量空間。然而也存在誘導不完備度量空間的內積,比如在區間formula_63上連續複數值函式的空間formula_64上。內積是 formula_65  這個空間是不完備的;比如考慮對於區間formula_66,考慮函式序列formula_67,其中 每個formula_69都是連續函式,但formula_67在上面的內積誘導的拓撲中是不收斂於任何一個連續函式的柯西序列,因為它的極限不是連續的函式。

  內積空間有多種良好的性質,是刻畫、分析並解決數學中不少問題的工具。  從內積空間的內積可以很自然地定義一個範數:formula_71由內積的性質可以證明它滿足作為範數的要求。這個範數就是formula_33在內積空間中的“長度”。這個範數和內積滿足柯西不等式:對formula_5中元素formula_33、formula_75, 由柯西不等式的證明,可以看出內積的幾何解釋:不等式中的等號只在兩個向量formula_33、formula_75線性相關的時候才成立。以歐幾里德空間為例來說,就是說等號僅當兩個向量方向相同或相反的時候才成立。可以定義兩個非零向量的夾角為 夾角的取值在區間formula_80上。這與常見的歐幾里德空間的情況相似。從角度的定義出發,可以定義正交:兩個不為零的向量正交當且僅當他們的內積為零(夾角為formula_81)。  可以看到範數formula_82的定義使得formula_5成為一個賦範向量空間,因此也是一個度量空間。最重要的內積空間是對於這個度量完備的空間,叫做希爾伯特空間。每個內積空間formula_5都是某個希爾伯特空間的稠密子集。這個希爾伯特空間可在將formula_5完備化時唯一確定(同構意義下)。  從內積的性質可以推出範數的一些基本性質。這些性質可以看作是歐幾里德空間中一些幾何性質的推廣:  只要注意到formula_93是formula_94到formula_95的連續函式,我們可以進一步將勾股定理推廣為: 這裡假定左側的無窮級數是收斂的。這時候空間formula_5的完備性保證了等式的右側向量級數也有意義,因為容易證明部分和序列formula_101是收斂的柯西序列。  從內積可以定義範數,而反過來也一樣,從範數可以定義內積。定義的公式被稱為“極化公式”。復向量空間的情況下公式為: formula_102 實向量空間的情況下則是: formula_103 極化公式說明,定義了向量空間裡的一個範數formula_104以後,可以用如上的公式定義一個內積formula_105。

  內積允許我們定義向量空間中的角度,因此像平面幾何和立體幾何中在二維和三維歐幾里德空間裡建立直角座標系一樣,我們可以在內積空間裡建立類似直角座標的結構,以方便討論一般向量空間裡的類似數學問題。在內積空間中,數學家們使用“正交”來代替“垂直”的說法。兩個向量正交,如果它們的內積等於0.在裝備了點積作為內積的二維和三維空間裡,正交和垂直是等價的。兩個(三個)相互垂直,長度為1的向量構成了二維和三維歐幾里德空間的座標系。而在更一般的內積空間中,我們使用“正交基”來作為類似直角座標的架構的稱呼。一個有限維(formula_106維的)內積空間formula_5的一組正交基是一組向量:formula_108,使得任何兩個向量都正交: 如果這些向量的範數都是1(formula_110),就稱formula_111是一組標準正交基。給定任意一組基,都可以通過格拉姆-施密特正交化方法得到一組標準正交基。  如果formula_5是無窮維空間,那麼需要對正交基進行重新定義。首先,一組向量formula_113是formula_5的一組基,如果formula_111中所有有限線性組合所生成的子空間在formula_5中稠密(對於內積誘導的拓撲來說)。而如果formula_111任何兩個向量都正交,任何向量範數都是1,那麼就稱之為formula_5的一組標準正交基。用類似格拉姆-施密特正交化的方法可以證明:  使用豪斯多夫最大原理(佐恩引理的一個等價版本)並且注意到完備的內積空間裡對子空間的投影總是良好定義的事實,可以得到另一個結論:  然而,不是所有的內積空間都有標準正交基的。可以構造出不含有標準正交基的內積空間。
內積空間是數學中的線性代數裡的基本概念,是增添了一個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做內積或標量積。內積將一對向量與一個標量連線起來,允許我們嚴格地談論向量的“夾角”和“長度”,並進一步談論向量的正交性。內積空間由歐幾里得空間抽象而來(內積是點積的抽象),這是泛函分析討論的課題。