Can you summarize the following document?
        
  設formula_9是一個無窮序列 :formula_10,其前n項的和稱為formula_11的部分和:  formula_9部分和依次構成另一個無窮序列:formula_14  這兩個序列合稱為一個級數,記作formula_11或者formula_6。

  對於級數formula_6,如果當formula_18趨於正無窮大時,formula_19趨向一個有限的極限:formula_20,那麼這個無窮級數就叫做是收斂的,formula_21叫做級數formula_6的和。如果極限不存在,這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和"formula_21"。這時可以定義級數formula_11的餘項和:formula_25。

  如果級數formula_6中的各項可以是正數,負數或零,則級數formula_6稱為任意項級數。 將任意項級數各項formula_28取絕對值,得到正項級數。 formula_29

  定理:如果任意項級數formula_6的各項的絕對值所組成的正項級數formula_31收斂,則級數formula_6收斂。  這兩個級數的斂散性是一樣的。

  將一個函式展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念,對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函式等的泰勒展開,還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。  17世紀,詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數,並發表了若干函式的麥克勞林展開式。1715年,布魯克·泰勒提出了構造一般解析函式的泰勒級數的方法。18世紀時尤拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。

  14世紀時,馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則,後來他的學生將其推廣。  然而在歐洲,審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於尤拉的超幾何級數 的論文,提出了一些簡單的收斂準則,並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。  柯西提出了嚴格的審斂法的重要性,他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的,同時開始研究嚴格的審斂準則。尤拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函式的冪級數展開。  1826年,阿貝爾在他的關於二項式級數 的論文中更正了柯西的若干個結論,並給出了二項式級數的嚴格的求和方法,指出了連續性在收斂問題中的重要性。  柯西提出的審斂法並不是普遍適用的,只能用於判別某些特定函式的斂散性。同時代的其他數學家,比如拉貝(Joseph Ludwig Raabe)的對數判別法,德·摩根的對數判別法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函式失效),以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。  對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始,之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

  1821年,柯西首先開始對一致連續性的研究,但其中有不少錯誤和侷限。這些錯誤最早被阿貝爾指出,但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究,並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而,一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。

  

  幾何級數(或等比級數)是指通項為等比數列的級數,比如:  一般來說,幾何級數formula_56收斂當且僅當formula_57。

  調和級數是指通項為formula_58的級數:  它是發散的。

  "formula_60"-級數是指通項為formula_62的級數:  對於實數值的"formula_60",當formula_65時收斂,當formula_66時發散。這可以由積分比較審斂法得出。  函式formula_67是黎曼ζ函式在實軸大於1的部分的限制,關於黎曼formula_68函式有著名的黎曼猜想。 特別地,當formula_69時,formula_60-級數即為調和級數。

  收斂當且僅當數列formula_72收斂到某個極限formula_73,並且這時級數的和是formula_74。

  泰勒級數是關於一個光滑函式formula_75在一點formula_39附近取值的級數。泰勒函式由函式在點formula_39的各階導數值構成,具體形式為: 這是一個冪級數。如果它在formula_39附近收斂,那麼就稱函式formula_75在點formula_39上是解析的。

  具有以下形式的級數  其中所有的formula_83非負,被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

  形同formula_84的函式項無窮級數稱為formula_85的冪級數。它的收斂與否和係數formula_83有關。

  任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示,稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函式項無窮級數,也就是說每項都是一個函式。傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。  例如,週期為formula_87的周期函式formula_88可以表示為: 其中,formula_90,formula_91,特別的,formula_92

  

  若通項為實數的無窮級數formula_11每一項formula_28都大於等於零,則稱formula_11是一正項級數。  如果無窮級數 formula_11 是正項級數,則部分和formula_97是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則:單調有界數列必有極限。因此,要麼部分和數列"S"有界,這時formula_11收斂,formula_99,要麼部分和數列趨於正無窮,這時級數發散。

  設formula_11 和 formula_101是正項級數。  比如,我們已知級數:formula_117收斂,則級數:formula_118也收斂,因為對任意的formula_18,formula_120。  比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說,我們可以選擇比較簡單的級數:formula_121作為“標準級數”,依此判斷其他函式的斂散性。需要知道的是當formula_122時,formula_123發散,當formula_124時,formula_123收斂。

  在比較判別法中,如果取幾何級數為比較的標準級數,可得:  這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

  這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。

  具有以下形式的級數  其中所有的formula_83非負,被稱作交錯級數。

  在上述的級數formula_82中,如果當formula_18趨於無窮時, 數列formula_83的極限存在且等於 0,並且每個formula_83小於formula_148(即, 數列formula_83是單調遞減的),那麼級數收斂。

  對於通項為任意實數的無窮級數formula_11,將級數formula_151稱為它的絕對值級數。可以證明,如果formula_151收斂,那麼 formula_11也收斂,這時稱 formula_11絕對收斂。如果formula_11收斂,但是formula_151發散,則稱formula_11條件收斂。比如說,級數formula_158絕對收斂,因為前面已經證明 formula_159收斂。而級數formula_160是條件收斂的。它自身收斂到formula_161,但是它的絕對值級數formula_162是發散的。  黎曼級數定理說明,如果一個無窮級數formula_11條件收斂,那麼對於任意的實數formula_164,存在一個正整數到正整數的雙射formula_165,使得級數formula_166收斂到 formula_164。對於正負無窮大,上述雙射也存在。

  設formula_168為定義在區間formula_169上的函式列,則表示式:formula_170稱為函式項級數,簡記為formula_171。對函式項級數的主要研究是:

  對區間formula_169上的每個 formula_176,級數 formula_177是常數項級數。若 formula_177收斂,則稱formula_176是formula_171的一個收斂點,formula_171全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 formula_177發散,則稱formula_176是formula_171的一個發散點,formula_171全體發散點的集合稱為它的發散域。formula_171在其收斂域的每一點上都有定義,因此定義了一個函式,稱為formula_171的和函式,記為formula_188。按照定義,formula_189,其中formula_190為函式項級數在formula_176點上的部分和。

  函式項級數的取值可以在它的收斂域上用和函式定義,但和函式的性質可能會和級數的每一項不同。比如說,當函式項級數formula_171中的每一項formula_193在收斂域上都是連續函式時,和函式未必會是連續函式。以下是一個例子:  然而,如果函式項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話,可以證明級數的和函式的規則性將會等於每一項函式的規則性,這就是所謂的一致收斂性質。和函式列的一致收斂性質一樣,函式項級數formula_171在某個區間formula_169內(關於某個範數formula_212)一致收斂的定義是它的部分和函式formula_97 在區間formula_169上一致收斂到和函式formula_215,  可以證明: 進一步的,如果導函式級數的每一項都是formula_218函式(formula_60階連續可微函式),並且各階導函式級數formula_220在區間formula_169內都一致收斂,那麼級數和函式formula_222 也是formula_218函式,並且:

  函式項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間formula_169和範數formula_227,函式項級數formula_171在區間formula_169內絕對收斂,當且僅當常數級數formula_230收斂。  絕對收斂的(連續?)函式在每一點都收斂,並且在區間formula_169內一致收斂。

  形同formula_84的函式項無窮級數稱為formula_85的冪級數。一般只需討論形同formula_234的冪級數。

  根據阿貝爾定理,它的收斂域是一個關於零對稱的區間,即為formula_235(可開可閉)的形式。這個正數formula_236(可以是無窮大)叫做冪級數的收斂半徑。並有定理:  設冪級數formula_234滿足formula_238,則:

  求解冪級數的和函式有時需要利用先對各項積分(或求導)以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式,在求和後在對各項求導(或積分)。

  漸進級數是用來對某些函式的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的,它的部分和趨於無窮大,因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函式。但要注意的是,漸進級數提供的逼近是相對的,即只是比值趨於一致,與函式值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說,漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差,之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。

  發散級數的部分和沒有極限,但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義,比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及尤拉求和。

  級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義,常用的是在一個巴拿赫空間(比如實數或複數空間)中。
在數學中,一個有窮或無窮的序列formula_1的和formula_2稱為級數。如果序列是有窮序列,其和稱為有窮級數;反之,稱為無窮級數(一般簡稱為級數)。序列formula_3中的項稱作級數的通項(或一般項)。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量,也可以是關於其他變數的函式,不一定是一個數。一般的,如果級數的通項是常量,則稱之為常數項級數,如果級數的通項是函式,則稱之為函式項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。