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  設"A"和"B"是歐幾里得空間的兩個子集。如果它們可以分為有限個不相交子集的並集,形如formula_1和formula_2,且對任意i,子集formula_3全等於formula_4,那麼這兩個子集稱為等度分解的(equidecomposable)。於是,這個悖論可以如下敘述:  對球來說,五塊就足夠做到這點了,但少於五塊卻不行。這個悖論甚至有個更強的版本:  換句話說,一塊大理石可以分成有限塊然後重新組合成一個行星,或者一部電話機可以變形之後藏進水百合花裡面。在現實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限小,數量不是無限大,但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內部點一一對映到另一個的方法,也許這個悖論看上去就不那麼怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集(例如一個球)。同樣我們還可以使一個球對映到一個大點或者小點的球,只要根據半徑放大係數即可將一個點對映到另一個。然而,這些變換一般來說不能保積,或者需要將幾何體分割成不可數無限塊。巴拿赫 - 塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行旋轉和平移就能完成變換。  使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術上,這是不可測的,因此它們不具有“合理的”範圍或者平常說的“體積”。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的,因為它們只能分割出可測集合。這個純粹存在性的數學定理指出在多數人熟悉的可測集合之外,還有更多更多的不可測集合。  對於三維以上的情形這個悖論依然成立。但對於歐幾里得平面它不成立。(以上敘述不適用於三維空間的二維子集,因為這個子集可能具有空的內部。)同時,也有一些悖論性的分解組合在平面上成立:一個圓盤可以分割成有限塊並重新拼成一個面積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。  這個悖論表明如果等度分解的子集被認為具有相同體積的話,就無法對歐幾里得空間的有界子集定義什麼叫做“體積”。  證明是基於費利克斯·豪斯多夫早些時候的工作。他10年前發現一個類似的悖論,事實上,巴拿赫 - 塔斯基悖論正是豪斯多夫所用技術的一個推廣應用。  邏輯學家常常對邏輯上不一致的命題使用“悖論”一詞,例如說謊者悖論或者羅素悖論。巴拿赫 - 塔斯基悖論並非這種意義上的悖論,它是一個已證明的定理,只因為違反直覺才被稱為悖論。由於其證明明確地用到選擇公理,這種反常的結論被用作反對使用該公理的理據。  馮紐曼研究這個悖論時,創出了可均群的概念。他發現三維以上情形之所以產生悖論,和這些空間的旋轉群的非可均性有關。

  基本上,尋找這個分球的奇怪方法可以分為4個步驟:  每個步驟的詳情如下:  第一步,具有兩個生成元"a"和"b"的自由群由所有含有"a"、"b"、"a"和"b"這些符號的有限字串組成,其中沒有"a"緊挨著"a"或者"b"緊挨著"b"這種現象。兩個這樣的字串可以連線在一起,只要將緊挨著的"a"和"a"抵銷掉(對b一樣)。例如"abab""a"連線到"abab""a"得到"abab""a""abab""a",並可化簡為"abaab""a"。我們可以驗證這些字串在這個操作下構成一個群,其單位元是空串formula_5。我們稱這個群為formula_6。  群formula_6可被進行如下特殊分割:令"S"("a")為所有以"a"開頭的字串,同理定義"S"("a")、"S"("b")和"S"("b")。很明顯  並且  ("a"<nowiki></nowiki>"S"("a")表示從"S"("a")取出所有字串,並在左邊連線上一個"a",之後所得的所有字串)證明的關鍵就在這裡了。簡而言之,現在我們已經將formula_6這個群分成了四塊(formula_5忽略也沒有問題),然後通過乘上一個"a"或者"b"來“旋轉”它們,其中兩個“重新組合”成formula_6,另外兩個重新組合成另一個formula_6。這樣的事情,放在球體上就是我們想要證明的東西了。  第二步,為了尋找三維空間旋轉群類似於formula_6那樣的行為,我們取兩條座標軸並設"A"是繞第一條軸旋轉arccos(1/3)弧度而"B"是繞另一條軸旋轉arccos(1/3)弧度。(這一步驟可在二維上完成。)有些瑣碎但不太難的是證明這兩種旋轉的行為正如formula_6中"a"和"b"兩個元素的行為一樣,這裡就略去。由"A"和"B"所生成的這個旋轉群命名為H。當然,我們可以按照第一步所述方法對H進行分割。  第三步,單位球面"S"可被群H中的操作分成一些軌道:兩個點屬於同一個軌道當且僅當H中某個旋轉將第一個點移到第二個。我們可以利用選擇公理在每個軌道中選出來一個點。將這些點合起來組成集合"M"。現在"S"中(幾乎)所有點都可以通過H中合適的元素相應的轉動移到"M"中。因此,H的分割也就可以應用到"S"上面去。  第四步,最後,將每個"S"的點連到原點,對"S"的分割便可以應用到實心單位球上去。(球心處會有些特殊,但這個簡要證明中忽略它。)  總結,這個簡要證明到此結束。H中有些旋轉會剛好對應於剛好一些特殊的軸線,這時需要加以特殊處理。但一方面,這些情況的總數是可數的因此沒有影響,另一方面,即使相關的這些點也是可以加以修正以符合定理的。對球心點這個特殊點以上同樣適用。
巴拿赫-塔斯基定理(Banach–Tarski paradox,或稱豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理,又名“分球怪論”),是一條數學定理。1924年,斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基首次提出這一定理,指出在選擇公理成立的情況下,可以將一個三維實心球分成有限(不可測的)部分,然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合,就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。