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  考慮任意一個偏序集合("L",≤),如果對集合L中的任意元素a,b,使得a,b在L中存在一個最大下界,和最小上界,則("L",≤)是一個格。  這裡對於取a,b的最大下界的操作用formula_1表示;  對於取a,b的最小上界操作用 formula_2表示。  有界格有一個最大元素和一個最小元素,按慣例分別指示為1和0(也叫做頂和底)。任何格都可以通過增加一個最大元素和最小元素而轉換成有界格。  使用容易的歸納論證,你可以演繹出任何格的所有非空有限子集的上確界(並)和下確界(交)的存在。一個很重要的格的種類是完全格。一個格是完全的,如果它的所有子集都有一個交和一個並,這對比於上述格的定義,這裡只要求所有非空有限子集的交和並的存在。

  另一種定義格的方式是將格定義為一種代數結構。一個格是一個代數結構formula_3,其中formula_4和formula_5是定義在集合formula_6上的二元運算,且對於所有的formula_7滿足: 從上述三個公理恆等式可以得出重要的:  這些公理斷言了("L",formula_4)和("L",formula_5)都是半格。吸收律是唯一交和並都出現了的公理,把格同一對半格區別開來並確保這兩個半格正確的互動。特別是,每個半格都是另一個半格的對偶。“有界格”要求交和並都有一個零(neutral)元素,分別習慣叫做1和0。參見半格條目。  格與廣群家族有一些聯絡。因為交和並都符合交換律和結合律。格可以看作由有相同的承載者的兩個交換半群組成的。如果格是有界的,這些半群也是交換么半群。吸收律是特定於格理論的唯一定義恆等式。  "L" 閉包於交和並之下,通過歸納,蘊涵了"L"的任何有限子集的交和並的存在性,有著一個例外:空集的交和並分別是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的條件下包含所有有限(包含空)交和並。為此有些作者定義格的時候要求0和1是"L"的成員。而以這種方式定義格不損失一般性,因為任何格都可以被嵌入一個有界格中,這裡不接受這種定義。  格的代數解釋在泛代數中扮演根本性角色。

  格的代數定義蘊涵了序理論的定義,反之亦然。  明顯的,序理論的格引發了兩個二元運算formula_4和formula_5。容易看出這些運算使("L", formula_4, formula_5)變成代數意義上的格。反之亦真:考慮代數定義的格("M", formula_4, formula_5)。現在定義在"M"上的偏序≤如下,對於"M"中的元素"x"和"y"  或等價的  吸收律確保了兩個定義實際上是等價的。你現在可以檢查以這種方式介入的關係≤定義了在其中二元交和並是通過最初運算formula_4和formula_5而給出的一個偏序。反過來,由得出自上述序理論公式的代數定義的格("L", formula_4, formula_5)引發的次序一致於"L"的最初次序。  因為格的兩個定義是等價的,你可以隨意呼叫任何定義的適合你用的方面。

  在兩個格之間的適當的態射概念可以輕易的同上述代數定義得出。給定兩個格("L", formula_4, formula_5)和("M", formula_24, formula_25),"格的同態"是一個函式"f" : "L" → "M"使得  所以"f"是兩個底層半格的同態。當考慮帶有更多結構的格的時候,這個態射也應當注意這個額外結構。所以在兩個有界格"L"和"M"之間的態射"f"還有下列性質:  在序理論公式中,這些條件只聲稱格的同態是保持二元交和並的一個函式。對於有界格,最小和最大元素的保持只是空集的並和交的保持。  格的任何同態必然關於相關的次序關係是單調的;參見極限的保持。反過來當然不是真的:單調性決不蘊涵要求的保持性質。  假定同構作為可逆態射的標準定義,格的同構就是雙射格同態。格和它們的態射形成了一個範疇。

  格"L"的子格是"L"的非空子集,它是帶有同"L"一樣的交和並運算的格。就是說,如果"L"是一個格,而"M"formula_30是"L"的子集使得對於"M"中的所有元素對"a", "b"有"a"formula_5"b"和"a"formula_4"b"在"M"中,則"M"是"L"的子格。  格"L"的子格"M"是"L"的凸子格,如果"x ≤ z ≤ y"和"x", "y"在"M"中蘊涵了"z"屬於"M",對於在"L"中的所有元素"x, y, z"。

  設formula_33是含有格中的元素以及符號formula_34的邏輯命題,令formula_35是將formula_33中的formula_37替換為formula_38,將formula_38替換為formula_37,將formula_4替換為formula_5,將formula_5替換為formula_4後所得到的命題。則稱formula_35是formula_33的對偶命題。  設formula_33是含有格中的元素以及符號formula_34的邏輯命題,若formula_33對於一切格為真,則formula_33的對偶命題formula_35也對於一切格為真。

  可線上免費獲得的專著:  Elementary texts recommended for those with limited mathematical maturity:  The standard contemporary introductory text:  The classic advanced monograph:  Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory:  The standard textbook on free lattices:
在數學中,格是其非空有限子集都有一個上確界(稱為並)和一個下確界(稱為交)的偏序集合(poset)。格也可以特徵化為滿足特定公理恆等式的代數結構。因為兩個定義是等價的,格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格,依次包括海廷代數和布林代數。這些"格樣式"的結構都允許序理論和抽象代數的描述。