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  加法和乘法存在交換律,比如:formula_32,formula_33,但是冪的運算不存在交換律,formula_34,但是formula_35。  同樣,加法和乘法存在結合律,比如:formula_36,formula_37,儘管formula_38,但是formula_39。

  整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。

  表示式formula_40被稱作formula_41的平方,因為邊長為"formula_41"的正方形面積是formula_43。  表示式formula_44被稱作"formula_41"的立方,因為邊長為"formula_41"的正方體體積是formula_47。  所以formula_48讀作"3的平方",formula_49讀作"2的立方"。  指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如formula_50,指數是5,底數是3,表示3反覆相乘5次。  或者,整數指數冪可以遞迴地定義成:

  注意formula_52表示僅僅1個3的乘積,就等於3。  注意formula_53,formula_54,formula_55,formula_56,  繼續,得到formula_57,所以formula_58  另一個得到此結論的方法是:通過運演算法則formula_59  當formula_60時,formula_61

  formula_62 其實還並未被數學家完整的定義,但部分看法是formula_64,在程式語言中(python) formula_65  英版wiki之零的零次方字條(Zero to the power of zero)  在這裡給出這一種極限的看法  formula_66 於是,可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值,如圖

  我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。  對於非零formula_41定義  而formula_70時分母為 0 沒有意義。  證法一:  根據定義formula_71,當formula_72時 得formula_74, 所以formula_75。  證法二:  通過運演算法則formula_76  當formula_77時,可得formula_78  負數指數formula_79還可以表示成1連續除以formula_3個formula_41。比如:

  

  在十進位制的計數系統中,10的冪寫成1後面跟著很多個0。例如:formula_83  因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如:299,792,458(真空中光速,單位是米每秒),可以寫成 formula_84,近似值 formula_85 或 formula_86.  國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字,比如:詞頭“千”就是 formula_87,詞頭“毫”就是 formula_88

  1的任何次冪都為1

  0的正數冪都等於0。  0的負數冪沒有定義。  任何非0之數的0次方都是1;而0的0次方是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。

  -1的奇數冪等於-1  -1的偶數冪等於1

  一個大於1的數的冪趨於無窮大,一個小於-1的數的冪趨於負無窮大 一個絕對值小於1的數的冪趨於0 1的冪永遠都是1  如果數"a"趨於1而它的冪趨於無窮,那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是: 參見e的冪  其他指數的極限參見冪的極限

  一個正實數的實數冪可以通過兩種方法實現。

  一個數formula_41的formula_3次方根是formula_105,"formula_105"使formula_107。  如果"formula_41"是一個正實數,"formula_3"是正整數,那麼方程formula_107只有一個正實數根。 這個根被稱為"formula_41"的"formula_3"次方根,記作:formula_113,其中formula_114叫做根號。或者,"formula_41"的"formula_3"次方根也可以寫成formula_117. 例如formula_118  當指數是formula_119時根號上的2可以省略,如:formula_120

  有理數指數通常可以理解成

  這個重要的數學常數"e",有時叫做尤拉數,近似2.718,是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。 它是從以下極限定義的:  指數函式的定義是:  可以很簡單地證明"e"的正整數"k"次方formula_124是:

  因為所有實數可以近似地表示為有理數,任意實數指數"x"可以定義成:  例如: 於是  實數指數冪通常使用對數來定義,而不是近似有理數。  自然對數formula_133是指數函式formula_134的反函式。 它的定義是:對於任意formula_135,滿足 根據對數和指數運算的規則: 這就是實數指數冪的定義:  實數指數冪formula_139的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數,這種定義更加常用。

  如果formula_41是負數且formula_3是偶數,那麼formula_142是正數。 如果"formula_41"是負數且"formula_3"是奇數,那麼formula_142是負數。  使用對數和有理數指數都不能將formula_146(其中"formula_41"是負實數,formula_148實數)定義成實數。在一些特殊情況下,給出一個定義是可行的:負指數的整數指數冪是實數,有理數指數冪對於formula_149(formula_3是奇數)可以使用"formula_3"次方根來計算,但是因為沒有實數formula_105使formula_153,對於formula_149("formula_3"是偶數)時必須使用虛數單位formula_156。  使用對數的方法不能定義formula_157時的formula_146為實數。實際上,formula_134對於任何實數"formula_105"都是正的,所以formula_161對於負數沒有意義。  使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數formula_41因為它依賴於連續性。函式formula_163對於任何正的有理數formula_41是連續的,但是對於負數"formula_41",函式formula_166在有些有理數formula_167上甚至不是連續的。  例如:當formula_168,它的奇數次根等於-1。所以如果"formula_3"是正奇數整數,formula_170當formula_21是奇數,formula_172當"formula_21"是偶數。雖然有理數formula_174使formula_175的集合是稠密集,但是有理數formula_174使formula_177的集合也是。所以函式formula_178在有理數域不是連續的。

  

  複數運算的幾何意義和"e"的冪可以幫助我們理解formula_179("formula_105"是實數),即純虛數指數函式。想象一個直角三角形formula_181(括號內是複數平面內三角形的三個頂點),對於足夠大的formula_3,這個三角形可以看作一個扇形,這個扇形的中心角就等於formula_183弧度。對於所有formula_148,三角形formula_185互為相似三角形。所以當"formula_3"足夠大時formula_187的極限是複數平面上的單位圓上formula_105弧度的點。這個點的極座標是formula_189,直角座標是formula_190。所以formula_191,而這個函式可以稱為純虛數指數函式。這就是尤拉公式,它通過複數的意義將代數學和三角學聯絡起來了。  等式formula_192的解是一個整數乘以formula_193:  更一般地,如果formula_195,那麼formula_196的每一個解都可以通過將formula_193的整數倍加上formula_2得到:  這個復指數函式是一個有周期formula_193的周期函式。  更簡單的:formula_201。

  根據尤拉公式,三角函式餘弦和正弦是:  歷史上,在複數發明之前,餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函式的求和公式轉換成了簡單的指數方程 使用了複數指數冪之後,很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。

  formula_204可以分解成formula_205。其中formula_134是formula_204的模,formula_208決定了formula_204的方向

  如果formula_41是一個正實數,formula_211是任何複數,formula_212定義成formula_213,其中formula_214是方程formula_215的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。  例如:

  

  讓我們從一個簡單的例子開始:計算formula_220。  formula_221  其中formula_222的得法參見上文正實數的複數冪

  類似地,在計算虛數的虛數冪時,我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算formula_223:  formula_224

  當函式名後有上標的數(即函式的指數),一般指要重複它的運算。例如formula_225即formula_226。特別地,formula_227指formula_228的反函式。  但三角函式的情況有所不同,一個正指數應用於函式的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時則表示其反函式。例如:formula_229表示formula_230。因此在三角函式時,使用formula_231來表示formula_232的反函式formula_233。

  最快的方式計算formula_235,當formula_3是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的,和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。  虛擬碼:  在C/C++語言中,你可以寫如下演算法:  此演算法的時間複雜度為formula_238,比普通演算法快(a自乘100次,時間複雜度為formula_239),在formula_3較大的時候更為顯著。  例如計算formula_241,普通演算法需要算100次,上述演算法則只需要算7次。若要計算formula_242可先以上述演算法計算formula_243,再作倒數。
冪運算(英語:Exponentiation),又稱指數運算,是數學運算,表示式為formula_1,讀作“formula_2的formula_3次方”或「formula_2的formula_3次冪」。其中,formula_2稱為底數,而formula_3稱為指數,通常指數寫成上標,放在底數的右邊。當不能用上標時,例如在程式語言或電子郵件中,formula_1通常寫成b^n或b**n;也可視為超運算,記為b[3]n;亦可以用高德納箭號表示法,寫成b↑n。