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  設formula_1為一概率空間,另設集合"T"為一指標集合。如果對於所有formula_2,均有一隨機變數formula_3定義於概率空間formula_1,則集合formula_5為一隨機過程。  通常,指標集合"T"代表時間,以實數或整數表示。以實數形式表示時,隨機過程稱為連續隨機過程;以整數表示時,則為離散隨機過程。隨機過程中的引數formula_6只為分辨同類隨機過程中的不同例項,如在上文下中不構成誤會,通常略去。例如表達單次元布朗運動時,常以formula_7表達,但若考慮兩同時進行布朗運動的粒子,則會分別以formula_8和formula_9(或作formula_10和formula_11)表示。

  為了瞭解金融市場和研究布朗運動,在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家Thorvald N. Thiele。 他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後,在1900年, Louis Bachelier的博士論文“投機理論” 提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦(在他1905年的一篇論文中)和瑪麗安·一維Smoluchowski(1906年)從物理界的角度出發,把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。  從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理:  "它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程,只要這些的時間間隔不是非常小"  "我們引入一時間間隔formula_12蛋白考慮,相對來說這是非常小的,但是我們可觀察到的時間間隔,仍然過大,在兩個連續時間間隔formula_12蛋白,由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。

  在概率論的測量理論中,需要解決一個問題。如何構造一個Σ-代數的所有功能空間的衡量子集,然後把它有限化。為了解決這個問題,採用了 Kolmogorov擴充套件方法。  假定所有函式f的空間概率測度: formula_14 存在,那麼它可以被用來指定有限維隨機變數 formula_15.的聯合概率分佈。現在從這個n維概率分佈,我們可以推斷出第(n - 1)維邊緣概率為formula_16。但是需要注意的是相容性狀態,即這種邊際概率分佈是在相同的類作為1從完全成熟的隨機過程衍生。例如,如果該隨機過程是一個Wiener過程(在這種情況下,邊緣是指數類的所有高斯分佈),但不是在一般對所有的隨機過程。這種方程稱為查普曼-洛夫方程。  柯爾莫哥洛夫擴充套件定理保證了隨機過程的有限維概率分佈滿足查普曼 - 柯爾莫哥洛夫的相容性條件的存在..  回想一下,在洛夫公理化中存在對於概率問題有還是沒有的不確定性。柯爾莫哥洛夫擴充套件首先宣告是可衡量的功能,其中有限多個座標formula_17被限制在formula_18中可測量的子集所有集合。如果一個是/否有關的問題都可以通過觀察至多有限多個座標的值回答,那麼它有一個概率的答案。  在測度理論,如果我們有一個可數無限集合測集,所有的人都那麼的聯合和交集是可測集。對於我們而言,這意味著是/否依賴於可數個座標的問題有一個概率的答案。

  給定一個概率空間formula_19, 過濾是一個弱增長對 σ-代數 在 formula_20, formula_21集合一些全序集T,上界由formula_22決定。即對於 "s","t" formula_23 且 "s" < "t", 有

  給定一個隨機過程 formula_25。在這個過程中,需要過濾這裡的 formula_26.這個通過 formula_27和時間"s" = "t"產生。舉個例子,formula_28 一個隨機過程總是適應其自然過濾。
在概率論概念中,隨機過程是隨機變數的集合。若一隨機系統的樣本點是隨機函式,則稱此函式為樣本函式,這一隨機系統全部樣本函式的集合是一個隨機過程。實際應用中,樣本函式的一般定義在時間域或者空間域。隨機過程的例項如股票和匯率的波動、語音訊號、視訊訊號、體溫的變化,隨機運動如布朗運動、隨機徘徊等等。