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  如果垂直轉軸切開圓柱體,設formula_1為半徑,可以得到橫切面面積為formula_2的圓形。根據祖𣈶原理,圓柱體的體積相等於底面積相等於圓面積formula_2、高為formula_4的長方體,所以半徑為formula_1和高為formula_4的圓柱體體積是formula_7。

  從其中一層以垂直表面的高formula_4橫切半徑為formula_1的半球體,根據勾股定理,半徑為: 所以橫切面面積是: 對照立體是一個擁有與半球體相同橫切面積和高的立體,中間有一個圓錐體。高formula_4的對照立體環形切面有內圓周formula_1以及外圓周formula_4,其面積如下: 因此兩個立體都滿足祖𣈶原理並且有相同體積。對照立體的體積便是圓柱體和圓錐體體積之差,所以 成功利用這條有名的方程計算出半球體體積,從而匯出球體體積公式。

  祖𣈶原理背後的概念經常出現在微積分中。作為維度的一個例子,因此兩條方程式在兩個交點間的面積可以利用以下方程獲得: 實質上表示了函式圖形formula_18和formula_19之間的formula_20面積與函式圖形formula_21下的formula_22相同,而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學中的積分和麵積的互相關係,而體積可以通過微分計算,使祖𣈶原理變得更為少用。
祖原理,又名等冪等積定理,是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體,其體積也必然相等的定理。祖𣈶之《綴術》有云:「緣冪勢既同,則積不容異。」