Can you summarize the following document?
        
  在正則座標formula_1表示中,相空間內兩個函式formula_2的泊松括號具有如下形式:

  哈密頓-雅可比運動方程有一個使用泊松括號的等價表示。這可最直接地用座標系表示。假設formula_4是流形上一個函式,則我們有  然後,取formula_6與formula_7為哈密頓-雅可比方程formula_8與formula_9的解,我們有  從而,辛流形上一個函式"f"的演化可用辛同胚單引數族給出,以時間"t"為引數。丟掉座標系,我們有  運算元formula_12稱為劉維爾運算元。

  一個可積動力系統可能有能量以外的運動常數。這樣的運動常數在泊松括號下將與哈密頓量交換。假設某個函式formula_13是一個運動常數。這意味著如果formula_14是哈密頓運動方程的一條軌跡或解,則沿著軌跡有formula_15。這樣我們有  這裡中間步驟利用運動方程得到。這個方程稱為劉維爾方程。劉維爾定理描述瞭如上給出的一個測度(或相空間上分佈函式)的時間演化。  為了使一個哈密頓系統完全可積,所有的運動常數必須互相對合。

  設"M"是一個辛流形,即流形上帶有一個辛形式(閉的非退化2-形式):formula_17,這就是說formula_18且當其視一個對映formula_19,formula_17有逆對映formula_21。 這裡formula_22是流形"M"上內蘊的外導數運算,而formula_23是內乘或縮並運算,在1-形式formula_24這等價於formula_25。  由外微分的公理,我們由:  這裡formula_27表示光滑向量場的李括號,其性質本質上定義了"M"上流形結構。  如果"v"使得formula_28,我們稱之為formula_17-閉(或稱餘閉)。類似地,如果formula_30對所有函式"f"成立,我們稱"v" formula_17-恰當(或餘恰當)。已知formula_18,上面的表示式蘊含著兩個餘閉向量場總是一個餘恰當向量場,因為當"v"和"w"都餘閉時,表示式中惟一非零項是formula_33。又因為外導數滿足formula_34,所有餘恰當向量場是餘閉的;所以李括號對餘閉向量場空間與其子空間餘恰當向量場都是封閉。用抽象代數的話來說,餘閉向量場組成了"M"上光滑向量場李代數的一個子代數,而餘恰當向量場組成這個子代數的一個代數理想。  假設存在逆對映formula_35,"M"上每個光滑實值函式"f"可以與一個餘恰當向量場相伴formula_36(兩個函式與同一個向量場相伴當且僅當它們的差是"d"的核,即在"M"的任何連通分支上是常數)。這樣我們定義formula_37上的泊松括號,為可微函式上一個雙線性運算,在泊松括號下formula_38(光滑)函式組成一個代數。它由下式給出:  泊松括號的反對稱性由外導數的公理與條件formula_40保證。映為對映formula_35是逐點線性和反對稱的,一些作者將它們和一個雙向量聯絡起來,這不是外微分中常見的物件。這種形式它稱為這個辛流形上泊松雙向量或泊松結構,泊松括號簡單地寫做formula_42。  光滑函式上的泊松括號對應於餘恰當向量場上的李括號並繼承了它的性質。從而它滿足雅可比恆等式:  關於一個特定的數量場"f"的泊松括號formula_44對應於關於formula_36的李導數。從而,它是一個導子,即它滿足萊布尼茲法則:  這是流形的一個基本性質,關於兩個向量場的李導數運算的交換子等價於關於某個向量場的李導數,即它們的李括號。泊松括號中平行的腳色顯然是雅可比恆等式的一個變形:  如果"f"和"g"的泊松括號消失(formula_48),則"f"與"g"稱為互相對合(英語:mutual involution),並有關於"f"和"g"取泊松括號的運算交換。

  泊松括號是反交換的,也滿足雅可比恆等式。這使得辛流形上的光滑函式空間成為無限維的李代數,以泊松括號為李括號。相應的李群是辛流形的辛同胚群(也稱為正則變換)。  給定一個可微切叢上的向量場"X",令formula_49為其共軛動量。這個從場到共軛動量的對映為從泊松括號到李括號的李代數反同態:  這個重要結果值得我們給個簡短證明。記位形空間的"q"點的向量場"X"為  其中formula_52是區域性座標系。"X"的共軛動量的表示式為  這裡formula_54為和座標共軛的動量函式。這樣就有,對相空間的每點formula_55,  以上對所有formula_55成立,證畢。
在數學及經典力學中,泊松括號是哈密頓力學中重要的運算,在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起著中心角色。在更一般的情形,泊松括號用來定義一個泊松代數,而泊松流形是一個特例。它們都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。