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  formula_6、formula_7等,事實上,對於任何非零整數formula_8及formula_9,不知道formula_10是否無理數。  無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有formula_11、formula_12等除外。  我們亦不知道formula_13、formula_14、formula_15、尤拉-馬歇羅尼常數formula_16或卡塔蘭常數formula_17是否無理數。

  無理數集是不可數集(因有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是個不完備的拓撲空間,它是與所有正數數列的集拓撲同構的,當中的同構對映是無理數的連分數開展。因而貝爾綱定理可以應用在無數間的拓撲空間上。

  選取一個正的實數formula_19使得 經由遞迴處理

  

  證: 假設formula_1是有理數,並且令formula_24,formula_25是最簡分數。  兩邊平方,得到formula_26。將此式改寫為formula_27,可見formula_28為偶數。  因為平方運算保持奇偶性,所以formula_29只能為偶數。設formula_30,其中formula_31為整數。  代入可得formula_32。同理可得formula_33亦為偶數。  這與formula_25為最簡分數的假設矛盾, 所以formula_1是有理數的假設不成立。

  證:  假設formula_37是有理數,兩邊平方得到  formula_38  其中因為formula_29是有理數,所以formula_40也是有理數。  透過證明formula_41為無理數的方法,其中formula_42為一非完全平方數  可以證明formula_43是無理數  同樣也推出formula_40是無理數  但這又和formula_40是有理數互相矛盾  所以formula_12是一無理數

  證:  同樣,假設formula_48是有理數,兩邊平方後得到  formula_49,  於是formula_50是有理數。兩邊再次平方,得:  formula_51,  於是formula_52  由於formula_50是有理數,所以  formula_54  formula_55  透過證明形如formula_56的數是無理數的方法,得出formula_57也是一無理數  但這結果明顯和formula_58與formula_59皆為有理數出現矛盾,故formula_47為無理數  另一種證明:  同樣假設formula_48是有理數,  formula_48  formula_63,兩邊平方:  formula_64  formula_65  formula_66  透過證明形如formula_56的數是無理數的方法,得出formula_68是一無理數  也是矛盾的。

  證:  formula_70  formula_71,兩邊平方得到:  formula_72  formula_73,得到formula_74為一有理數  formula_75,兩邊繼續平方:  formula_76  formula_77  formula_78  formula_79  formula_80  由於formula_74,formula_29皆為有理數  設formula_83,formula_33亦為有理數  透過證明形如formula_85的數是無理數的方法,可知formula_86為無理數  這和formula_33是有理數衝突  所以得證formula_69為一無理數
無理數是指除有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩個整數的比來說明一個無理數。