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  定理的最一般的表述需要一些準備。給定標量體formula_1(實數域或複數域)上的一個向量空間formula_2,一個函式formula_3稱為"次線性"的,如果:  可以很容易證明,formula_2上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函式也可以是很有用的。  哈恩-巴拿赫定理說明,如果formula_3是一個次線性函式,formula_7是formula_2的子空間formula_9上的一個線性泛函,滿足:  那麼存在"φ"到整個空間formula_2的一個線性擴張formula_12,也就是說,存在一個線性泛函"ψ",使得:  以及:  擴張"ψ"一般不是由"φ"唯一指定的,定理的證明也沒有給出任何求出"ψ"的方法:在無窮維空間formula_2的情形中,它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。  我們可以把formula_16的次線性條件稍微減弱,只需要:  根據(Reed and Simon, 1980)。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯絡。

  這個定理有一些重要的結果,其中有些也有時稱為“哈恩-巴拿赫定理”:

  哈恩-巴拿赫定理的另外一種形式,稱為哈恩-巴拿赫分離定理。它在凸幾何中有許多用途。  定理:設formula_2為 formula_19或formula_20上的一個拓撲向量空間,"formula_21"和"formula_22" 是 "formula_2"的非空凸子集。假設formula_24。那麼:

  前面已經提到,從選擇公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而,反過來不成立。注意超濾子引理比選擇公理更弱,但從它也可以推出哈恩-巴拿赫定理(反過來則不行)。實際上,哈恩-巴拿赫定理還可以用比超濾子引理更弱的假設來證明。對於可分巴拿赫空間,Brown和Simpson證明了哈恩-巴拿赫定理可以從WKL——一個二階算術的弱子系統推出。
在泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性運算元擴張到整個空間,並說明了存在“足夠”的連續線性泛函,定義在每一個賦範向量空間,使對偶空間的研究變得有趣味。這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名,他們在1920年獨立證明了這個定理。