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  函式的線性化為線性函式。針對函式formula_1,若要用在任意點formula_2下的值及其圖形斜率來進行近似時,假設formula_3在formula_4(或formula_5)區間內可微,且b鄰近a,線性化是可以有效近似的方法。簡單來說,線性化就是在formula_2點附近,以直線來近似函式的值。例如formula_7,那麼針對formula_8,利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。  針對任意函式formula_1,formula_3在已知可微分點附近的位置,都可以被近似。最基本的要求是formula_11,其中formula_12是formula_3在formula_2的線性化。一次方程的圖形會形成直線,例如通過點 formula_15,斜率為formula_16為直線。方程式的一般形為formula_17。  若是配合點formula_18,formula_12即變成formula_20。因為可微分函式是區域性線性,該點的斜率可以用formula_3在點formula_2切線的斜率來代替。  函式區域性線性的意思也表示函式圖形上的點可以任意接近點formula_2,相對來說比較接近的點,其線性近似的效果也會比較好。斜率formula_16最準確的值會是在formula_2點的切線斜率。 旁邊的圖可以說明formula_3在點formula_27的切線。在formula_28位置,其中formula_29是小的正值或是負值,formula_28非常接近formula_31點的切線。  函式在點formula_2線性化的最終方程為:  formula_33  針對formula_2,formula_35。函式formula_3的導數為formula_37,而函式formula_3在點formula_39的斜率為formula_40。

  若要找formula_41,可以用formula_7的資訊。函式formula_43在點formula_2的線性化為formula_45,因為函式formula_46定義了函式formula_43在點formula_27的斜率。  代入formula_49,其線性化結果為formula_50。  針對formula_51的例子,可得formula_41近似formula_53。其實際值為2.00024998,非常接近,此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

  函式formula_54在點formula_55線性化的方程式為:  formula_56  多變數函式formula_57在點formula_58線性化的通式為  formula_59  其中formula_60是變數向量,而formula_58是要線性化的點。

  配合線性化的技術,可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函式在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數的一階展開。針對以下的系統  其線性化系統為  其中formula_64是要觀測的特定點,而formula_65是formula_66在點formula_64所計算的雅可比矩陣。

  在自治系統的穩定性分析中,可以用在雙曲平衡點計算雅可比矩陣的特徵值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論的內容。若是時變系統,其線性化需要考量其他的因素。

  在微觀經濟學中,決策規則可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析,效用最大化的尤拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。

  在最優化中,成本函式以及非線性成分都可以線性化,以使用一些線性的求解方式(例如單純形法)。最佳化的結果可以更有效率的產生,而且是決定性的全域極值。

  在多物理場系統(系統中有多個不同物理領域的模型,彼此互相影響)中,可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統,可以用monolithic的迭代來求解(例如牛頓法)。這類的例子包括MRI scanner系統,包括了電磁系統、力學系統及聲學系統
數學上的線性化(linearization)是找函式在特定點的線性近似,也就是函式在該點的一階泰勒級數。在動力系統研究中,線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統,在特定平衡點區域性穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程學、物理學、經濟學及生態學的應用中。