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  更加精確地,該定理說明如果從R的一個開集U到R的連續可微函式"F"的全微分在點"p"可逆(也就是說,"F"在點"p"的雅可比行列式不為零),那麼F在點"p"的附近具有反函式。也就是說,在"F"("p")的某個鄰域內,"F"的反函式存在。而且,反函式"F"也是連續可微的。在無窮維的情況中,需要弗雷歇導數在"p"附近具有有界的反函式。  最後,定理說明:  其中formula_2表示逆矩陣,而formula_3是函式"G"在點"q"的雅可比矩陣。  這個公式還可以從鏈式法則推出。鏈式法則說明,如果"G"和"H"是兩個函式,分別在"H(p)"和"p"具有全導數,那麼:  設"G"為"F","H"為"F",formula_5就是恆等函式,其雅可比矩陣也是單位矩陣。在這個特殊的情況中,上面的公式可以對formula_6求解。注意鏈式法則假設了函式"H"的全導數存在,而反函式定理則證明了"F"在點"p"具有全導數。  "F"的反函式存在,等於是說方程組"y" = "F"("x"...,"x")可以對"x",......,"x"求解,如果我們把"x"和"y"分別限制在"p"和"F(p)"的足夠小的鄰域內。

  考慮從R到R的向量值函式,定義為:  那麼雅可比矩陣為:  其行列式為:  行列式e處處不為零。根據反函式定理,對於R中的任意點"p",都存在"p"的一個鄰域,使得在這個鄰域內"F"具有反函式。

  作為一個重要的結果,反函式定理已經有許多證明。在教科書中最常見的證明依靠了壓縮對映原理,又稱為巴拿赫不動點定理。(這個定理還可以用於證明常微分方程的存在性和唯一性)。由於這個定理在無窮維(巴拿赫空間)的情形也適用,因此它可以用來證明反函式定理的無窮維形式(參見下面的“推廣”)。  另外一個證明(只在有限維有效)用到了緊集上的函式的極值定理。  還有一個證明用到了牛頓法,它的好處是提供了定理的一個有效的形式。也就是說,給定函式的導數的特定界限,就可以估計函式可逆的鄰域的大小。

  

  反函式定理可以推廣到可微流形之間的可微對映。在這個情形中,定理說明對於可微對映"F" : "M" → "N",如果"F"的導數  在"M"內的某個點"p"是線性同構,那麼存在"p"的一個開鄰域"U",使得:  是微分同胚。注意這意味著"M"和"N"的維數必須相同。  如果"F"的導數在"M"內的所有點"p"都是同構,那麼對映"F"就是區域性微分同胚。

  反函式定理還可以推廣到巴拿赫空間之間的可微對映。設"X"和"Y"為巴拿赫空間,"U"是"X"內的原點的一個開鄰域。設"F" : "U" → "Y"連續可微,並假設"F"在點0的導數(d"F") : "X" → "Y"是從"X"到"Y"的有界線性同構。那麼在"Y"記憶體在"F"(0)的一個開鄰域"V",以及一個連續可微的對映"G" : "V" → "X",使得對於"V"內的所有"y",都有"F"("G"("y")) = "y"。而且,"G"("y")是方程"F"("x") = "y"的唯一足夠小的解"x"。  在函式是"X"和"Y"之間的雙射的簡單情況中,函式具有連續的反函式。這可以從開對映定理立即推出。

  在巴拿赫流形的反函式定理中,可以把上面的兩個推廣結合起來。

  反函式定理(以及隱函式定理)可以視為常秩定理的特殊情況,它說明在某個點區域性常秩的光滑對映可以化為該點附近的特定的正規形式。當"F"的導數在點"p"可逆時,它在"p"的鄰域也可逆,因此導數的秩是常數,故可以使用常秩定理。
在數學中,反函式定理給出了向量值函式在含有定義域中一點的開區域內具有反函式的充分條件。該定理還說明了反函式的全導數存在,並給出了一個公式。反函式定理可以推廣到定義在流形上、以及定義在無窮維巴拿赫空間(和巴拿赫流形)上的對映。大致地說,"C"函式"F"在點"p"可逆,如果它的雅可比矩陣"J(p)"是可逆的。