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  設"U"、"V"是兩個向量空間。 從"U"到"V"的任意對映被稱為運算元。 令"V"是域"K"上的向量空間。我們可以定義包含所有從"U"到"V"運算元的集合上的向量空間結構("A"和"B"是運算元): 對所有"A, B: U→V,"xformula_3"U"和"αformula_3"K"。  從一個向量空間到自身的運算元構成一個辛結合代數: 單位元是恆等對映(通常記為"E"、"I或"id)。

  令"U"和"V"是同一有序域(例如formula_6)上的兩個賦範向量空間。從"U"到"V"的線性運算元被稱為有界,如果存在"C>0"滿足 對所有xformula_3"U"。  有界運算元構成一個向量空間。在這個向量空間上,我們可以引入一個與"U"和"V"的範數相容的範數: 對於從"U"到自身的運算元有 任何具有這一性質的辛賦範代數被稱為Banach代數。 可以將譜理論推廣到這樣的代數上。 C*-代數是具有一些附加結構的Banach代數,在量子力學中起重要作用。

  

  泛函是將向量空間對映到其底域的運算元。 廣義函式理論和變分法是泛函的重要應用。 兩者對理論物理都非常重要。

  線性運算元是最常見的運算元。設"U"和"V"是域"K"上的向量空間。運算元"A":"U"→"V"被稱為線性,如果 對所有x、yformula_3"U"和"α、β"formula_3"K"。  線性運算元的重要性在於它是向量空間之間的態射。  在有限維情形下,線性運算元可以以下面的方式由矩陣表示。 設formula_14是一個域,formula_15和formula_16是formula_14上有限維向量空間。選擇一組基formula_18formula_15上和一組基formula_20在formula_16上。令formula_22為formula_15上的任意向量(假設有愛因斯坦求和約定),且有formula_24是線性運算元。則有 所以有formula_26是運算元formula_27在固定基底下的矩陣表示。formula_28不依賴於formula_29的選取,且有formula_30當且僅當formula_31。因此在固定基底下的n×m矩陣一一對映到從formula_15到formula_16的線性運算元。  與有限維向量空間之間的運算元直接相關的重要概念包括秩、行列式、逆運算元和特徵空間。  線性運算元在無限維情形也起著重要作用。秩和行列式的概念不能擴充套件到無限維矩陣。 這就是為什麼在無限維情況下研究線性運算元(和一般的運算元)時採用非常不同的技術的原因。 在無限維情況下的對線性運算元的研究被稱為泛函分析。  實數序列(或更一般地任意向量空間中的向量序列)的空間本身構成無限維向量空間。 最重要的情形是實數或複數序列,這些空間與線性子空間一起被稱為序列空間。 這些空間上的運算元被稱為序列變換。  巴拿赫空間上的有界線性運算元在標準運算元範數意義下構成Banach代數。 Banach代數理論將特徵空間理論推廣到更一般的譜的概念。

  

  在幾何中,有時研究向量空間上的附加結構。 在這些研究中,將這些向量空間一一對映到自身的運算元非常有用,它們通過構造自然地構成群。  例如保持向量空間結構的雙射運算元正是可逆線性運算元。 它們構成了一般線性群。 它們運算元加法下不是向量空間,例如, "id"和-"id"都是可逆的(雙射),但它們的和為0,不可逆。  在這樣的空間上保持歐幾里得度量的運算元構成等度群,保持原型不變的子群被稱為正交群。正交群中的保角運算元構成特殊正交群。

  概率論中也涉及到運算元,如期望、方差、協方差、階乘等。

  從泛函分析的角度來說,微積分是研究兩個線性運算元:微分運算元formula_34和不定積分運算元formula_35。

  傅立葉變換在應用數學特別是物理學和訊號處理中都是有用的工具。 它是另一種積分運算元; 它的意義主要在於它以一種有效的可逆的方式將一個時域上的函式轉換為頻域上的函式。 因為是一個可逆變換運算元,所以沒有資訊損失。 在周期函式這一簡單情況下,該結果是基於定理任何連續周期函式可以表示為一系列正弦波和餘弦波的和:  "(a, a, b, a, b,...)"實際上是無限維向量空間l的元素,因此傅立葉級數是線性運算元。  當處理R → C的一般函式時,變換採用積分形式:

  拉普拉斯變換是另一種積分運算元,用於簡化求解微分方程的過程。  對於"f" = "f"("s"),拉普拉斯變換定義如下:

  三個運算元是向量微積分的關鍵: 作為從向量微積分運算元到物理、工程和張量空間的延伸,梯度、散度和旋度運算元也經常與張量微積分相關聯。
運算元(英語:Operator)是將一個元素在向量空間(或模)中轉換為另一個元素的對映。 運算元對於線性代數和泛函分析都至關重要,它在純數學和應用數學的許多其他領域中都有應用。 例如,在經典力學中,導數的使用無處不在,而在量子力學中,可觀察量由埃爾米特運算元表示。 各種運算元可以具有包括線性、連續性和有界性等的重要性質。