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  設formula_1是複平面formula_2的一個單連通的開子集。formula_3是一個formula_1上的全純函式。設formula_5是formula_1內的一個分段可求長的簡單閉曲線(即連續而不自交併且能定義長度的閉合曲線),那麼:

  formula_1是單連通表示formula_1中沒有“洞”,例如任何一個開圓盤formula_10都符合條件,這個條件是很重要的,考慮中央有“洞”的圓盤:formula_11,在其中取逆時針方向的單位圓路徑: 考慮函式formula_13,它在formula_14中是全純函式,但它的路徑積分: 不等於零。這是因為函式formula_16在“洞”中有奇點。如果考慮整個圓盤formula_17,就會發現formula_16在圓盤中央的點上沒有定義,不是全純函式。

  柯西積分定理有若干個等價的敘述。例如: 設formula_1是複平面formula_2的一個開子集。formula_3是一個定義在formula_1上的函式。設formula_23與formula_24是formula_1內的兩條可求長的簡單曲線,它們的起點和終點都重合: 並且函式formula_16在formula_28與formula_29圍成的閉合區域formula_30內是全純函式,那麼函式formula_16沿這兩條曲線的路徑積分相同:

  除了對分段可求長的簡單閉合曲線成立以外,柯西積分定理對於某些更復雜的曲線也適用。設formula_1是複平面formula_2的一個開子集。formula_3是定義在formula_1上的全純函式。無論formula_1內的曲線formula_5是自交還是卷繞數多於1(圍著某一點轉了不止一圈),只要formula_5能夠通過連續形變收縮為formula_1內的一點,就有:

  以下的證明對函式有較為嚴格的要求,但對物理學中的應用來說已經足夠。設formula_1是複平面formula_2的一個開子集。formula_3是定義在formula_1上的全純函式,formula_5是formula_1內的可求長的簡單閉合曲線。假設formula_16的一階偏導數也在formula_1上連續,那麼可以根據格林定理作出證明。具體如下:  為了便於表達,將函式formula_16寫為實部函式和虛部函式:formula_51 由於formula_52,積分 依據格林定理,右端的兩個環路積分都可以變形為formula_5圍成的區域formula_55上的面積分。 另一方面,由於formula_16是全純函式,所以它的實部函式和虛部函式滿足柯西-黎曼方程: 所以以上的兩個積分中的被積函式都是0, 因而積分也是0:

  該定理的一個直接推論,是在單連通域內全純函式的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算:設formula_1是複平面formula_2的一個開子集。formula_3是一個formula_1上的全純函式。函式formula_16在formula_1內的路徑積分,只與積分的起點和終點有關,與中間經歷的路徑無關。假設,起點為,則可以定義一個函式formula_68 其中的formula_70可以是任何以為起點,為終點的分段可求長簡單曲線。函式formula_71被稱為formula_16的(復)原函式或反導數函式。  柯西積分定理與柯西積分公式是等價的。從柯西積分定理可以推匯出柯西積分公式和留數定理。
柯西積分定理(或稱柯西-古薩定理),是一個關於複平面上全純函式的路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明,如果從一點到另一點有兩個不同的路徑,而函式在兩個路徑之間處處是全純的,則函式的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的說法是,單連通閉合區域上的全純函式沿著任何可求長閉合曲線的積分是0.