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  整函式是指從複數域formula_1射到複數域,並且在整個複數域上都是全純函式的函式。全純也稱為復可微,是複函式的重要性質。某個函式]formula_3在某點formula_4全純,指在點formula_4以及其鄰域上有定義,並且以下極限: 存在。全純函式是複分析中的中心概念。全純不僅代表著復可微,而且可以證明,全純函式必然無窮可微,是解析函式。  劉維爾定理說明,任何一個整函式formula_3,如果存在一個正數formula_8,使得對於所有的複數formula_9,formula_10的模長都小於等於formula_8: 則該函式必定是常數函式。

  證明用到了整函式和解析函式的關係。整函式必然是解析函式,設有整函式formula_3,考慮它關於formula_14的解析展開:  其中的係數formula_16可以根據柯西積分公式求得:  其中formula_18是以0為圓心,半徑為formula_19的圓。依照函式formula_20有界的條件,可以估計係數formula_16模長的上界:  在以上的估計中,曲線積分為formula_23,其中半徑formula_24的選擇是任意的。當formula_24趨於無窮大時,formula_26趨於0. 因此,讓formula_24趨於無窮大,便可以推出:對所有的"k" ≥ 1,都有"a" = 0。這說明,  即是說formula_20是常數函式。定理得證。

  

  代數基本定理的證明中有一個較為簡明的基於劉維爾定理的證明。

  應用劉維爾定理可以證明,如果一個整函式formula_20總比另一個整函式formula_31小:formula_32,那麼這兩個整函式成比例關係:formula_33,其中formula_34是比例常數。  考慮函式formula_35  formula_32說明,函式formula_37的模長總小於等於1。另一方面,由於formula_32,所以formula_39的奇點都是可去奇點,可以依照上面的方式拓延為整函式formula_37。所以formula_37作為一個有界的整函式,根據劉維爾定理,必然是常數函式。這說明formula_20和formula_31成比例關係。

  次線性函式,指函式值總小於等於定值乘以變數值的函式。設整函式formula_20滿足: 其中formula_8是一個常數係數。考慮formula_20的導函式。根據柯西積分公式, 其中formula_49是以formula_9為圓心,半徑為formula_24的圓; 取formula_53,則formula_54 所以formula_55,因此 因此依據劉維爾定理,formula_57是常數函式。另一方面,formula_58,所以formula_59 綜上可知,次線性整函式formula_20是線性函式。

  劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理。
劉維爾定理是數學中複分析的一個定理,由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函式(即在整個複數域formula_1上都是全純函式)的值域進行了刻畫。它表明,任何有界的整函式都一定是常數。