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  判斷正多面體的依據有三條  這三個條件都必須同時滿足,否則就不是正多面體,比如五角十二面體,雖然和正十二面體一樣是由十二個五角形圍成的,但是由於它的各個頂角並不等價因此不是正多面體。  正多面體具有很高的對稱形,每個正多面體是相似多面體所屬點群中對稱性最高的,對正多面體加以變化就會導致對稱性下降,如正十二面體屬於Ih點群,當它變化為五角十二面體的時候對稱性也隨之下降為Td群。

  凸正多面體共有五個,均由古希臘人發現:(表中a為正多面體的邊長)

  因為正多面體的形狀的骰子會較公平,所以正多面體骰子經常出現於角色扮演遊戲。  正四面體、立方體和正八面體,亦會自然出現於結晶體的結構。  正多面體經過削角操作可以得到其他對稱性類似的結構,比如著名的球狀分子碳六十空間結構就是正二十面體經過削角操作得到的,稱為截角二十面體。因此可以知道,碳六十分子所屬的對稱性群也是與正十二面體相同的Ih群。  由於正多面體和由正多面體衍生的削角正多面體大多有很好的空間堆積性質,即可以在空間中緊密堆積,因此常常選擇正多面體形或者削角正多面體形的盒子作為分子模擬計算的週期邊界條件。  除了上面提到的正十二面體,還有一種由五邊形(其中四條邊等長)構成的多面體——五角十二面體,五角十二面體是黃鐵礦的一種可能的晶體外形,儘管五角十二面體是由五邊形構成的,但並不是柏拉圖體,它所屬的對稱性群也不是正十二面體的Ih群而是與黃鐵礦內部結構一致的Th群。

  柏拉圖視“四古典元素”為元素,其形狀如正多面體中的其中四個。  剩下沒有用的正多面體——正十二面體,柏拉圖以不清晰的語調寫:「神使用正十二面體以整理整個天空的星座。」柏拉圖的學生亞里士多德新增了第五個元素——以太(希臘文:,拉丁轉寫:;拉丁文:),並認為天空是用此組成,但他沒有將以太和正十二面體連繫。  約翰內斯·開普勒依隨文藝復興建立數學對應的傳統,將五個正多面體對應五個行星——水星、金星、火星、木星和土星,同時它們本身亦對應了五個古典元素。

  所有正多面體的相關於頂點數 "V"、稜數 "E" 和麵數 "F" 的性質都可以由每個面上的邊(稜)的數目 "p" 和每個頂點出發的稜的數目 "q" 給出。由於每條稜有兩個頂點又在兩個面上,我們有 另一個關係是尤拉公式: (這個不顯然的事實可以通過多種途徑證明。在幾何拓撲中,這是因為球面的尤拉示性數是 2。) 上面三個等式可以解出 "V", "E"和 "F": 注意交換 "p" 和 "q" 會交換 "F" 和 "V" 但 "E" 不變。  正多面體只有五種這個定理是一個經典結果。下面給出了兩個證明。注意這兩個證明都只證明了正多面體至多有五種,這五種的存在性需要靠構造給出。

  下面的幾何討論和歐幾里得在幾何原本中給出的證明非常相似:

  純粹的拓撲證明可以只利用正多面體的性質.關鍵在於 formula_4 和 formula_5.綜合上面等式,我們有 於是 由於 formula_8, 注意到 "p" 和 "q" 必須大於等於 3,我們可以容易地找到所有五組 ("p", "q"):
在幾何學中,凸正多面體,又稱為柏拉圖立體,是指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體,是一種三維的正幾何形狀,符合這種特性的立體總共只有5種。在漢語文化中,正多面體通常是指只有5種的凸正多面體,然而在只討論每面全等、每個個角等角且每條邊等長的情況下,亦有其他多種幾何結構存在,也稱為正多面體。