Can you summarize the following document?
        
  一個維納過程(也稱為標準布朗運動)formula_1可以用三個性質刻畫 第三條中,formula_7表示期望為formula_8,方差為formula_9的正態分佈隨機變數。獨立增量函式的定義是,如果隨機抽取兩段不重疊的時間段 formula_10,formula_11和formula_12是互相獨立的隨機變數,並且對更多的不重疊時間段的情況也是如此  另一個等價的刻畫方式是以法國數學家保羅·利維命名的“利維刻畫”:維納過程是幾乎處處路徑連續的零期望連續鞅,並且滿足二次變差:formula_13,也就是說formula_14仍然是連續鞅。  1923年,維納首次證明維納過程存在。維納過程可以用隨機漫步或任意擁有平穩獨立增量的離散隨機過程的尺度極限來構造。這個構造方法基於Donsker定理。與隨機漫步一樣,一維和二維的維納過程是常返的,也就是說幾乎一定會回到起始的原點,或者說幾乎一定會無限次跌入原點附近的任意鄰域。當維度高於或等於三維時,維納過程不再是常返的。與隨機漫步不同的是,維納過程擁有尺度不變性。如果formula_1是一個隨機過程,那麼對所有的正實數formula_16, 也是一個維納過程。

  

  對任意的正實數formula_18,一維維納過程在formula_18時刻是一個隨機變數,它的概率密度函式是:formula_20  這是因為按照維納過程的定義,當formula_21時,可以推出formula_22的分佈:  它的數學期望是零:formula_24 它的方差是formula_18:formula_26  在維納過程的獨立增量定義中,令formula_27,formula_28,formula_29,那麼formula_30和formula_31是相互獨立的隨機變數,並且 所以兩個不同時刻formula_33,formula_34與formula_35的協方差和相關係數是:

  維納過程中的即時最大值formula_37與formula_38的聯合概率分佈是:  而即時最大值的分佈formula_40是對formula_41的積分:  即時最大值的數學期望是: 由於維納過程上下對稱,即時最小值顯然是即時最大值的相反數。

  維納過程具有馬爾可夫性質,也就是說,在任意一點之後的走勢僅僅和這一點的取值相關,而與之前的取值無關。也就是說,對任何的有界連續函式formula_51,  因此維納過程具有時間平移不變性:隨機過程formula_53也是一個維納過程。不僅如此,維納過程還滿足強馬爾可夫性質:對任意的有限停時formula_54,隨機變數formula_55獨立於濾波formula_56。也就是說,對任何的有界連續函式formula_51,  維納過程的強馬爾可夫性質,說明即便給定的時間不是定時而是一個停時,維納過程在停時之後的走勢仍然與之前無關。所以,將停時之後的維納過程上下反轉,仍然會是一個維納過程。用數學語言來說,就是:給定一個停時formula_54之後,隨機變數:formula_60也是一個維納過程。這個性質也稱為維納過程的反射原理。  作為推論,可以建立即時最大值formula_37與formula_38的另一種關係。設有正實數formula_63停時formula_64,那麼formula_65。運用反射原理可以證明,formula_66。更一般地,設有 formula_67,則formula_68。
數學中,維納過程(英語:Wiener process)是一種連續時間隨機過程,得名於諾伯特·維納。由於與物理學中的布朗運動有密切關係,也常被稱為“布朗運動過程”或簡稱為布朗運動。維納過程是萊維過程(指左極限右連續的平穩獨立增量隨機過程)中最有名的一類,在純數學、應用數學、經濟學與物理學中都有重要應用。