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  泊松方程式為  在這裡formula_2代表的是拉普拉斯運算元,而formula_3和formula_4可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯運算元通常表示為formula_5,因此泊松方程通常寫成  在三維直角座標系,可以寫成  如果有formula_8恆等於0,這個方程式就會變成一個齊次方程,這個方程稱作“拉普拉斯方程”。  泊松方程可以用格林函式來求解;如何利用格林函式來解泊松方程可以參考遮蔽泊松方程。現在也發展出很多種數值解,如鬆弛法(一種迭代法)。

  通常泊松方程式表示為  這裡formula_2代表拉普拉斯運算元,formula_3為已知函式,而formula_4為未知函式。當formula_14 時,這個方程被稱為拉普拉斯方程。  為了解泊松方程我們需要更多的資訊,比如狄利克雷邊界條件: 其中 formula_16 為有界開集。  這種情況下利用基礎函式構建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基礎函式為: 其中formula_18為n維歐幾里得空間中單位球面的體積,此時可通過卷積formula_19得到 formula_20的解。  為了使方程滿足上述邊界條件,我們使用格林函式 formula_22 為一個校正函式,它滿足  通常情況下formula_22是依賴於formula_25。  通過 formula_26可以給出上述邊界條件的解 其中formula_28 表示formula_29上的曲面測度。  此方程的解也可通過變分法得到。

  在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的"f"找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制(SI)中:  此formula_31代表電勢(單位為伏特),formula_32是體電荷密度(單位為庫侖/立方米),而formula_33是真空電容率(單位為法拉/米)。  如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則  此方程式就變成拉普拉斯方程:

  如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 formula_36:  此處,"Q"代表總電荷  此泊松方程式:formula_30 的解Φ("r")則為  erf("x")代表的是誤差函式.  注意:如果"r"遠大於σ,erf("x")趨近於1,而電場Φ("r")趨近點電荷電場 formula_40;正如我們所預期的。
泊松方程()是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式,因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。