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  任何"n+1"點集的非空子集的凸包定義了一個n-單純形,稱為該n-單純形的面。面本身也是單純形。("n+1"點)的"m+1"子集的凸包是一個m-單純形,稱為n-單純形的"m"-面。 0-面(也即,一個點構成的面)稱為頂點,而1-面稱為邊,("n" − 1)-面稱為面片,而"n"-面就是"n"-單純形本身。一般來講,"m"-面的個數等於二項式係數 "C"("n" + 1, "m" + 1)。因此,"n"-單純形的"m"-面的個數可以在楊輝三角形的第("n"+1)行和第("m"+1)列找到。"面"和"面片"在描述單純復形中的單純形的型別時可能有不同的含義。參看單純復形#定義。  正單純形族是三族正多胞體的第一組,Coxeter將之記為"α",其它兩類為正軸體,記為"β",和超立方體,記為"γ"。第四組,超立方體的無窮分割被記為"δ"。

  標準"n"-單純形(或稱單位"n"-單純形)是R的子集: 單純形Δ位於仿射超平面(該超平面可以通過將上面"t" ≥ 0的條件去掉而得到)。標準單純形顯然是正單純形。  標準"n"-單純形的頂點為 存在從標準"n"-單純形到頂點為("v",..., "v")的任意"n"-單純形的標準對映 係數"t"稱為點在"n"-單純形中的重心座標。這樣的一般單純形常常被稱為仿射"n"-單純形,以強調該標準對映是仿射變換。它有時也稱為定向放射"n"-單純形以強調標準對映可以是保定向或者是反定向的。

  在"n"維空間中的頂點為("v",..., "v")的"n"-單純形的定向體積是  其中"n" × "n"行列式的每列是代表兩個頂點的向量之差。去掉1/"n"!的公式是"n"-平行多面體的體積。理解1/"n"!因子的一個方法如下:在單位"n"維盒子的取任意一點,將其座標分量和0一起排序,然後將相鄰數取差值,得到的陣列構成原點和與其最近的"n"個頂點構成的"n"-單純形中的一點的座標;取差值的變換是一個保體積的變換,而排序則將點的個數減少到1/"n"!。  標準"n"-單純形下的體積(也即,R中的原點和單純形之間的體積)是  單位邊長的正"n"-單純形的體積是  這個結果可以匯出如下:將上一個公式乘以"x",得到作為頂點離原點距離(所有頂點和原點等距)的函式的"n"-單純形下的體積;對"x"微分,取導數在formula_7 的值(因為這個位置"n"-單純形邊長為1),這個導數需要除以formula_8,因為增量formula_9(垂直於"n"-單純形的法向)的長度為formula_8。

  這裡的直角表示存在一個頂點,其所有相鄰超平面兩兩垂直。這樣的單純形是直角三角形的一個推廣,對於它們存在著一個n維的畢達哥拉斯定理:  所有和直角相鄰的n維超面的體積平方之和等於對面的n維體積的平方。 其中 formula_12是兩兩垂直但不垂直於formula_13的超面,而formula_14是直角的對面。  對於2-單純形,這個定理就是畢達哥拉斯定理,而對於3-單純形這個是適用於帶立方角四面體的德古阿定理。

  拓撲上,"n"-單純形是拓撲等價於"n"-球體的。每個"n"-單純形是"n"維帶邊界流形。  代數拓撲上,單純形是用於構建一類稱為單純復形的常用拓撲空間的基本元素。這些空間可以通過將單純形用組合方式粘合在一起來構造。單純復形用於定義特定的一類同調,稱為單純同調。  嵌入到R的開子集中的"k"-單純形的有限集稱為仿射"k"-鏈。在鏈中的單純形不必唯一;它們可以重複出現。通常不採用集合的記法來標識仿射鏈,而是採用加號將它們連起來。若有些單純形有相反的定向,它們可以用減號。如果有些單純形出現多次,可以放一個整數在前面表示出現次數。這樣,仿射鏈可以用整係數的線性組合表示。  注意"n"-單純形的每個面是一個仿射"n-1"-單純形,因此"n"-單純形的邊界可以用一個仿射"n-1"-鏈來表示。如果定義一個正定向的單純形  其中 formula_16 代表頂點,則其邊界 formula_17 是如下鏈  更一般的,單純形(以及鏈)可以通過光滑可微對映嵌入到流形中:formula_19。這個情況下,加法表示和邊界運算元都和嵌入可交換。也即  其中 formula_21 是標識定向和重次的整數。對於邊界運算元 formula_22,有  其中 φ 為鏈。邊界運算元和對映可交換,是因為,鏈基本就是一個集合,而集合操作和對映是可交換的(按照對映的定義)。  到拓撲空間"X"中的連續對映 formula_24 常常被稱為奇異"n"-單純形。因為f可以有奇點。

  (也稱單純形採點) 有兩種在單位"K-1"-單純形中產生有效產生均勻分佈的取樣方法。  第一種方法基於從"K-1"維單位單純形取樣等價於從引數"α" = ("α",..., "α")都等於1的狄利克雷分佈中取樣的事實。確切的流程為:  第二個方法是基於單位區間上的均勻分佈的順序統計量(參看Devroye, p.568)。演算法如下:

  有時需要在單純形中進行均勻隨機漫遊而不是取一點。這樣的隨機漫遊在蒙特卡羅法中經常用到,譬如單純形域中的馬爾可夫鏈蒙特卡羅。  可以從單位化"K"個指數分佈隨機向量來得到單純形中的均勻分佈來衍生出漫遊的有效演算法。首先定義一個單變數函式在正實直線上"漫遊",其取樣點的靜態分佈為單位指數分佈。該函式利用Metropolis-Hastings演算法從舊點得到新點。這個函式虛擬碼如下,其中"h"是相對步長:  codice_1 然後在單純形中隨機漫遊: "t"限制在單純形中,並會以均勻的靜態分佈密度來反覆遍歷整個區域。注意不要每一步都單位化"x";那樣會得到非均勻的靜態分佈。實際上,應該把"x" 視為"隱"引數,而"t"才給出單純形中的座標。
幾何學上,單純形或者"n"-單純形是和三角形類似的"n"維幾何體。精確的講,單純形是某個n維以上的歐幾里得空間中的("n"+1)個仿射無關(也就是沒有"m-1"維平面包含"m"+1個點;這樣的點集被稱為處於一般位置)的點的集合的凸包。