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  最簡單的方程為一元一次方程,它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如:  其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除,以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了,等式的另一邊即是此變數的值。例如,將上面式子兩邊同時減去4: 簡化後即為  再同時除以2: 再簡化後即為答案:  一般的情形 也可以依同樣的方式得出答案來: 【這就是一元一次方程簡單的說明】

  一元二次方程可以表現成formula_66在這formula_3不等於零(假如"formula_3"等於零,則此方式為一次方程式而非二次方程式)。二次方程式必須保持二次的形態,如 formula_69,二次方程式可以通過因式分解求解(多項式展開的逆過程),或者一般地使用二次方程公式。因式分解的舉例:  這相當於: 0和-3是它的解,因為把formula_1置為0或-3便使上述等式成立。 所有二次方程式在複數體系中都有兩個解,但是在實數系統中卻不一定,例如: 沒有實數解,因為沒有實數的平方是-1。 有時一個二次方程式會有2重根,例如: 在這個方程中,-1是2重根。

  線上性方程組內,如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話,通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。  下面為線性方程組的一個例子,有兩個求解的方法:

  將第2個等式的左右項各乘以2,  再將兩式相加,  上式可化簡為  因為已知formula_81,於是就可以由兩式中的任意一個推斷出formula_82。所以這個問題的完整解為  注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;formula_2也可以在formula_1之前求得。

  另一種求解的方法為替代。  "formula_2"的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程:  由方程的兩邊減去formula_89: 再乘上 -1:  將此"formula_2"值放入原方程組的第一個方程式:  在方程的兩端加上 "2": 此可簡化成  將此值代回兩個方程式中的一個,可求得和上一個方法所求得的相同解答。 注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;在這個方法裡也是一樣的,formula_2也可以在formula_1之前求得。
初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數,教導物件為還沒有數學算術方面正規知識的學生們。當在算術中只有數字和其運算(如:加、減、乘、除)出現時,在代數中也會使用符號(如:formula_1、formula_2或formula_3、formula_4)來表示數字,這些符號稱做變數。這是很有用的,因為: 這三個是基本代數的主要組成部分,以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。