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  歐幾里得在他的著作《幾何原本》(第九卷的定理20)提出了證明,大意如下:  對任何有限素數的集合formula_1。在這裡將會證明最少存在一個集合中沒有的額外素數。令formula_2及formula_3。那麼formula_4是素數或者不是,二者必居其一:  這證明了:對於任何一個有限素數集,總存在一個素數不在其中。所以素數一定是無限的。  很多時候有人會錯誤地指出歐幾里得是用了反證法,他們假設證明起初考慮的是所有自然數的集合,或是集合內含有formula_31個最小的素數,而不是任何任意的素數集合。歐幾里得證明用的不是反證法,而是證明了一個有限集合中沒有任何擁有特殊性質的元素。當中並沒有反論的部分,但集合中的任何元素都不可以整除1。  文獻中存在數個版本的歐幾里得證明,包括以下的:  正整數formula_31的階乘formula_33可被formula_34至formula_31的所有整數整除,這是由於它是這些數全部的乘積。因此formula_36並不能被formula_34至formula_31(包括formula_31)的任何自然數所整除(所得的餘數皆為formula_24)。因此formula_36有兩個可能性:是素數,或者能被大於formula_31所整除。在任一個案中,對所有正整數formula_31而言都存在最小一個比formula_31大的素數。所以結論就是共有無限個素數。

  另一個由瑞士數學家萊昂哈德·尤拉提出的證明,則使用了算術基本定理:每一個自然數都有一組獨一無二的素因子排列。設formula_12為所有素數的集合,尤拉寫下了:  第一條等式是由乘積中每一項的等比數列公式所得。而第二個等式則是用於黎曼ζ函式的尤拉乘積。為了證實此點,可把乘積分配進和裡面:  在這個結果中,每一個素數積都出現了正好一次,因此由算術基本定理可得這個和等於所有自然數的和。  右邊的和是發散的調和級數。因此左邊的和也是發散的。由於乘積內每一個項都是有限的,所以其項數必須為無限;因此得出共有無限個素數。

  埃爾德什·帕爾的第三種證明也是靠算術基本定理的。首先注意每一個自然數formula_31都能被寫成獨一無二的  其中formula_50非平方數,或任何平方數的倍數(設formula_51為能整除formula_31的最大平方數,並使formula_53)。此時假設素數的數量為有限,且其數量為formula_54。由於每個素數只有一個非平方數的因子,所以根據算術基本定理,得出共有非平方數formula_55個。(見組合#在集合中取出k項元素及formula_56)  現在把一個正整數formula_57固定,並考慮1與formula_57之間的自然數。 這些數每一個都能被寫成formula_49,其中formula_50為非平方數,formula_61為平方數,例如:  集合中共有formula_57個不同的數。每一個都是由非方數和比formula_57小的平方陣列成。這樣的平方數共有formula_65(見高斯符號的取底符號)。然後把這些小於formula_57的平方數乘積與其餘所有的非平方數相乘。這樣得出的數一共有formula_67個,各不相同,因此它們包括了所有我們集合裡的數,甚至更多。因此,formula_68。  由於此不等式對足夠大的formula_57並不成立,因此必須存在無限個素數。

  哈里·弗斯滕伯格於1950年代提出了一個使用點集拓撲學的證明。(見弗斯滕伯格對素數無限性的證明)

  

  胡安·帕布洛·皮納西科(Juan Pablo Pinasco)寫下了以下的證明。  設formula_70為最小的formula_57個素數。然後根據容斥原理可得,少於或等如formula_72又同時能被那些素數中其中一個整除的正整數的個數為  把全式除以formula_72,並且讓formula_75,得  上式可被改寫為  若除了formula_70以外不存在其他素數的話,則式(1)與 formula_79相等,而式(2)則等於formula_24,但很明顯地式(3)並不等於formula_24。因此除了formula_70以外必須要存在其他素數。

  俊浩·彼得·黃(Junho Peter Whang)於2010年發表了使用反證法的證明。設formula_54為任何正整數,formula_8為素數。根據勒讓德定理,則可得:  其中  但若只存在有限個素數,則  (上式分子呈單指數增長,但斯特靈公式指出分母的增長速度比分子快),這樣就違反了每一個formula_54的分子要比分母大的這一點。

  菲利浦·塞達克(Filip Saidak)給出了以下的證明,當中沒有用到歸謬法 (而大部分歐幾里得定理的證明都用了,包括歐幾里得自己的證明),而同時不需要用到歐幾里得引理,也就是若素數formula_8整除formula_91則也必能整除formula_92或formula_93。證明如下:  由於每個自然數(formula_94)最少擁有一個素因子,所以兩個相鄰數字formula_31和formula_96必定沒有共同因子,而乘積formula_97則比數字formula_31本身擁有更多因子。因此普洛尼克數的鏈:<br>1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2,3, 7}, 42×43 = 1806 {2,3,7, 43}, 1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·<br>提供了一組素數集合無限增長的數列。

  以尤拉乘積來表示π的萊布尼茨公式可得  乘積的分子為奇數的素數,而每一個分母則是最接近分子的4的倍數。  若存在的素數是有限的話,上式所展示的就是是一個有理數,而分母是所有與素數多1或少1的4的倍數的乘積,而這點違反了實際上是無理數的這一點。

  亞歷山大·沈(音譯,Alexander Shen)與其他人發表了利用不能壓縮性方法的證明:  設只存在formula_54素數(formula_70)。由算術基本定理可得,任何正整數formula_31都能被寫成:  其中非負自然數formula_104與素數的有限集合就足夠重構任何數字。由於所有formula_105都遵守formula_106,因此可得所有\formula_107(其中formula_108代表底數為2的對數)。  由此可得formula_31的編碼大小(使用大O符號):  (其中prime list size為素數集合的大小)這編碼比直接用二進位制代表formula_31要有效得多,二進位制的話需要formula_112位元。無損資料壓縮的一個已被確立的結果指出,一般不可能把formula_57位元的資訊壓縮到少於formula_57位元。由於formula_115,所以當formula_57足夠大時,以上的這個表示不成立。  因此,素數的數量必不能為有限。
歐幾里得定理是數論中的基本定理,定理指出素數的個數是無限的。該定理有許多著名的證明。