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  一般認為,尤拉於1736年出版的關於柯尼斯堡七橋問題的論文是圖論領域的第一篇文章。此問題被推廣為著名的尤拉路問題,亦即一筆畫問題。而此論文與範德蒙德的一篇關於騎士周遊問題的文章,則是繼承了萊布尼茨提出的“位置分析”的方法。尤拉提出的關於凸多邊形頂點數、稜數及面數之間的關係的尤拉公式與圖論有密切聯絡,此後又被柯西等人進一步研究推廣,成了拓撲學的起源。1857年,哈密頓發明了“環遊世界遊戲”(icosian game),與此相關的則是另一個廣為人知的圖論問題“哈密頓路徑問題”。  西爾維斯特於1878年發表在《自然》上的一篇論文中首次提出“圖”這一名詞。  尤拉的論文發表後一個多世紀,凱萊研究了在微分學中出現的一種數學分析的特殊形式,而這最終將他引向對一種特殊的被稱為“樹”的圖的研究。由於有機化學中有許多樹狀結構的分子,這些研究對於理論化學有著重要意義,尤其是其中關於具有某一特定性質的圖的計數問題。除凱萊的成果外,波利亞也於1935至1937年發表了一些成果,1959年,De Bruijn做了一些推廣。這些研究成果奠定了圖的計數理論的基礎。凱萊將他關於樹的研究成果與當時有關化合物的研究聯絡起來,而圖論中有一部分術語正是來源於這種將數學與化學相聯絡的做法。  四色問題可謂是圖論研究史上最著名也是產生成果最多的問題之一:“是否任何一幅畫在平面上的地圖都可以用四種顏色染色,使得任意兩個相鄰的區域不同色?”這一問題由Francis Guthrie於1852年提出,而最早的文字記載則出現在德摩根於1852年寫給哈密頓的一封信上。包括凱萊、肯普等在內的許多人都曾給出過錯誤的證明。Peter Guthrie Tait(Peter Guthrie Tait)、希伍德(Percy John Heawood)、拉姆齊和哈德維格(Hugo Hadwiger)對此問題的研究與推廣引發了對嵌入具有不同虧格的曲面的圖的著色問題的研究。一百多年後,四色問題仍未解決。1969年,Heinrich Heesch發表了一個用計算機解決此問題的方法。1976年,阿佩爾(Kenneth Appel)和沃夫岡·哈肯(Wolfgang Haken)藉助計算機給出了一個證明,此方法按某些性質將所有地圖分為1936類並利用計算機一一驗證了它們可以用四種顏色染色。但此方法由於過於複雜,在當時未被廣泛接受。  1860年之1930年間,若當、庫拉托夫斯基和惠特尼從之前獨立於圖論發展的拓撲學中吸取大量內容進入圖論,而現代代數方法的使用更讓圖論與拓撲走上共同發展的道路。其中應用代數較早者如物理學家基爾霍夫於1845年發表的基爾霍夫電路定律。  圖論中概率方法的引入,尤其是埃爾德什和Alfréd Rényi關於隨機圖連通的漸進概率的研究使得圖論產生了新的分支隨機圖論。

  圖論中有許多定義,以下是一些與之相關最基本的定義。

  圖論中,圖是有序對 formula_1,其中 formula_2 是點集;formula_3 是邊集,由所有無序頂點對構成(換句話說,邊連線了頂點對)。對於一個邊 formula_4,頂點 formula_5 被稱作是邊的端點,邊則被稱為連線了此兩個點。  為了避免歧異,上述的定義被更精準地稱作無向簡單圖。  事實上可以推廣為更一般的定義:圖是有序三元組 formula_6,其中 formula_2 是點集;formula_8 是邊集(此時 formula_8 不再如前面限定是該集合的子集);而 formula_10 將每個邊對映到一個無序頂點對(於是邊連線了頂點對)。此時的定義就允許自環、重邊的出現,其中自環是兩端點相同的邊,重邊是兩個或多個連線相同端點的邊。  為了避免歧異,上述的定義被更精準地稱作無向圖。  formula_11 的元素個數通常都是有限的;並且如果個數是無限的,有許多著名的性質都會改變、甚至錯誤他們是無限的。此外,formula_2 通常不被接受是空集合,而 formula_8 則被接受為空集合。以下再給出一些圖論中的定義:圖的階是其頂點個數 formula_14,圖的邊數是 formula_15,頂點的度所有邊的端點中此頂點出現的次數(自環會被算兩次)。

  

  子圖同構問題:給定兩個圖formula_16和formula_17,問formula_16中是否存在一個子圖與formula_17同構。這是一個NP完全問題。  一類相關的常見問題要求在給定圖中尋找符合某些條件的最大子圖,其中有很多是NP完全的,如:  類似地,有些問題要求尋找符合某些條件的最大匯出子圖,如:  平面圖判定:判定給定的圖是否是平面圖(此問題與子圖的關係,參見庫拉托夫斯基定理)  一個尚未解決的與子圖相關的猜想,重構猜想(英語:Reconstruction conjecture):一個"n"階圖是否能夠由其所有"n-1"階匯出子圖唯一確定?

  許多問題與將圖以特定方式染色有關,如:
圖論(英語:Graph theory),是組合數學的一個分支,和其他數學分支,如群論、矩陣論、拓撲學有著密切關係。圖是圖論的主要研究物件。圖是由若干給定的頂點及連線兩頂點的邊所構成的圖形,這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關係。頂點用於代表事物,連線兩頂點的邊則用於表示兩個事物間具有這種關係。