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  第一類反常積分是無窮積分,指積分割槽間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的積分。數學定義如下:  設函式 在 上連續且可積。定義無窮積分:  類似的,設函式 在 上連續且可積。定義無窮積分:  當上述極限存在時,稱該積分收斂。當上述極限不存在時,稱該積分發散。  例子如下:

  第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。  設函式 在 上連續且可積。定義無窮積分:  或者取區間上任意一點,分拆寫成:  當上述極限同時存在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。  例子如下:

  在無窮積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。  設函式 在 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值:  若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:  根據定義,若無窮積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。

  

  第二類反常積分是瑕積分,指積分割槽間的上限或下限是被積函式的不連續點。數學定義如下:  設函式 在 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:  類似的,設函式 在 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:  當上述極限存在時,稱該積分收斂。當上述極限不存在時,稱該積分發散。  例子如下:

  第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點,或上限及下限之間含有不連續點的積分。  設函式 在 上連續且可積,但在點 及 不連續。定義瑕積分:  或者取區間上任意一點,分拆寫成:  設函式 在 及 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:  當上述極限存同時在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。  例子如下:

  在瑕積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。  設函式 在 上連續且可積,但在點 及 不連續。定義瑕積分的柯西主值:  設函式 在 及 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分的柯西主值:  若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:  根據定義,若瑕積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。
反常積分(英語:Improper integral)(又叫廣義積分,),是對普通定積分的推廣,分成兩類。第一類反常積分,稱為無窮積分,指積分割槽間的上限或下限為無窮的積分。第二類反常積分,稱為瑕積分,指被積函式在積分割槽間中含有不連續點的積分。