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  耶魯大學的巴比倫藏品是一塊泥板,製作於前1800年到前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形,標註了formula_13的十六進位制數字 1;24,51,10。十六進位制的 1;24,51,10 即十進位制的 1.41421296,精確到了小數點後5位(1.41421356...)。  萊因德數學紙草書大約成書於前1650年,內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。  古印度的《繩法經》大約成書於前800年到前500年之間,書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。  古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年,書中還闡述瞭如果正整數不是完全平方數,那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個正數的比值表示的數(無法寫作"m/n",其中"m"和"n"是整數)。  中國的《書》成書於漢朝(約前202年到前186年之間),書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。  古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。  拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母“L”受不少中世紀的歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作"Arithmetica Logarithmica"則用橫線當成latus的簡寫,在要被開方的數下畫一線。  最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在"Practica geometriae"使用大寫R(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);formula_14(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書"Coss"首次使用,據說是小寫r的變型;後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的(即“√ ̄”),因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而形成了現在人們熟知的開方運算子號formula_15。

  formula_1的平方根亦可用指數表示,如:  formula_1的絕對值可用formula_19的算數平方根表示:

  若正整數formula_1是平方數,則其平方根是整數。若正整數formula_1不是平方數,則其平方根是無理數。  對於正數formula_1、formula_2,以下式成立:

  負數的平方根在複數範圍內同樣有定義。  負數有兩個平方根,它們為一對共軛的純虛數。  以虛數單位formula_26可將負數formula_1的平方根表示為  例如-5的平方根有兩個,它們分別為formula_30和formula_31。  對於負數formula_1、formula_2,以下式成立:

  正數和負數的平方都是正數,0的平方是0,因此負數沒有實數平方根。然而,我們可以把我們所使用的數字集合擴大,加入負數的平方根,這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字,記作formula_35(也可以記作formula_36,比如電學場景中formula_35一般表示電流),稱之為虛數單位,定義即為formula_38,故formula_35是-1的平方根,而且formula_40,所以formula_41也是-1的平方根。通常稱-1的算術平方根是formula_35,如果formula_1是任意非負實數,則formula_44的算術平方根就是:  之所以等式右側(包括其對應的負值)是formula_44的算術平方根,是因為:  對於任何一個非零的複數formula_48都存在兩個複數formula_49使得formula_50。

  虛數formula_35的算術平方根可以根據以下公式計算:  這個公式可以通過用代數方法推導,只需找到特定的實數formula_53和formula_54,滿足  就可以得到方程組  的解:  其中,算術平方根即為  這個公式還可以通過棣莫弗公式得到,設  就可以推出

  首先,我們將複數formula_61 看作是平面上的點,即笛卡爾座標系中的formula_62點。這個點也可以寫作極座標的formula_63,其中formula_64,是該點到座標原點的距離,formula_65則是從原點到該點的直線與實數座標軸(formula_1軸)的夾角。複分析中,通常把該點記作formula_67。如果  那麼我們將formula_48的算術平方根定義為:  因此,平方根函式除了在非正實數軸上以外是處處全純的。formula_71的泰勒級數也適用於複數formula_72。  上面的公式還可以用三角函式的形式表達:

  如果使用笛卡爾座標的形式表達複數 "z",其算術平方根可以使用如下公式:  例子:求formula_77至6位有效數字。 因此formula_84.

  平方根可以簡便地用連分數的形式表示,關於連分數請見連分數,其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為: formula_85 formula_86 formula_87 formula_88 formula_89 formula_90 formula_91 formula_92 formula_93 formula_94 formula_95 formula_96 formula_97 formula_98 formula_99 formula_100 formula_101 formula_102 formula_103 formula_104  連分數部分均迴圈,省略號前為2或4個迴圈節。

  巴比倫求平方根的演算法實際上很簡單:(假設要求一個數N的平方根)

  這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。

  

  給定線段"AB"和1,求一條長為formula_111的線段。

  將整個過程搬到直角座標上,已知"AC"=1,設  另也可參見射影定理。
在數學中,一個數formula_1的平方根formula_2指的是滿足formula_3的數,即平方結果等於formula_1的數。例如,4和-4都是16的平方根,因為formula_5。