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  針對以下的格蘭迪級數  一種求和方式是求它的裂項和:  但若調整括號的位置,會得到不同的結果:  用不同的方式為格蘭迪級數加上括號進行求和,其級數和可以得到0或是1的值。  格蘭迪級數為發散幾何級數,若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數,可以得到第三個數值: 可得到formula_5 = formula_10。  依照上述的計算,可以得到以下的二種結論:  上述二個答案都可以精確的證明,但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起,一直到現在嚴謹的數學成型之前,上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。

  

  對於格蘭迪級數formula_12,看似可以用以下的方式處理,得到數值formula_13: 不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數,而formula_14不是收斂級數,因此上述處理都不適用。  由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,...... 以一種簡單模式排列,格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和,再透過解方程得出一數值。暫時假設formula_15這樣的寫法有意義——其中的formula_16為常數,那麼以下的計算將說明formula_17:  因此,formula_19。  再者,有許多的求和方式可以處理髮散級數,並且可以對一些發散級數求和;其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

  恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法,就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法,一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個formula_20,計算前formula_20項的和formula_22的平均,當formula_20趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。  以格蘭迪級數而言,而數列 formula_24的各項分別為 而 因此,格蘭迪級數的切薩羅和為 formula_10。  也可以用廣義的切薩羅和formula_28來計算。

  這個級數的部分和如下: 由此得出另一個無窮序列:  根據無窮級數的定義, 但是formula_32的無窮序列無法收斂到某個固定值(不斷在0和1之間來回變動),所以formula_33發散。  因此formula_34這個級數也發散。

  

  以下的冪級數和格蘭迪級數有關,也是其母函式

  格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現:  若"x" = π,其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · ·,尤拉認為其值符合以下的關係式Σ cos "kx" = −⁄,不過達朗貝爾不同意此關係式,而拉格朗日認為這可以用類似尤拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。  尤拉的宣告推測  針對所有的"x",此級數都發散,不過對於幾乎所有的"x",切薩羅和均為0。不過在"x" = 2π"n"時,其級數發散,而且是狄拉克梳的傅立葉級數。其一般和、切薩羅和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、費耶核及泊松核的極限有關。

  將格蘭迪級數各項乘以1/"n"可以得到以下的狄利克雷級數  上述級數只有在實部大於0的複數"z"才會收斂,若令"z" = 0,即為格蘭迪級數。  不同於幾何級數,狄利克雷級數對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麼幫助。即使在右半平面上,上述的formula_39也無法用初等函式來表示,也沒有直接證據可以證明當z趨近0時,formula_39的極值。  另一方面,若使用其他較強的求和法,則上述的formula_39可定義一個在整個複數平面的函式-狄利克雷η函式,而且此函式為解析函式。若"z"的實部> −1,就可以用切薩羅和進行求和,因此η(0) = ⁄。  狄利克雷η函式和另一個著名的狄利克雷級數及函式有關:  其中ζ為黎曼ζ函式。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式,可以得到ζ(0) = −⁄。參照1 + 1 + 1 + 1 +...。  上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函式可表示為η("z")和(1 − 2)相除的結果,二個函式在整個複數平面均為解析函式,而後者的零點是在"z" = 1的簡單零點,因此可得ζ("z")為亞純函式,只在"z" = 1有一個極點。

  格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現,最典型的是量子化的費米子場,其中同時有正的及負的特徵值,例如手徵口袋模型(chiral bag model)。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中,例如卡西米爾效應。  在光譜非對稱性領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數,而其求和方式是正規化的一部分,例如ζ函式正規化就是其中的一種。
格蘭迪級數(英語:Grandi's series),即formula_1,是由義大利數學家格蘭迪在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·尤拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作: 它是一個發散級數,也因此在一般情況下,這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時,就會有特定的和出現。格蘭迪級數的尤拉和和切薩羅和均為formula_3。