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  最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家希羅,他考慮的是平頂金字塔不可能問題。16世紀義大利數學家(請參看塔塔利亞和卡爾達諾)得出一元三次和四次方程式的根的表示式,並發現即使只考慮實數根,仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數,「子虛烏有的數」,表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗及尤拉大力推動複數的接受。1730年,棣莫弗提出棣莫弗公式:  而尤拉則在1748年提出分析學中的尤拉公式:  18世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯已經在"De Algebra tractatus"提出此一觀點。  卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的"Proceedings of the Copenhagen Academy"上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球體,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以formula_8來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,次年他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。  複數吸引了著名數學家的注意,包括庫默爾(1844年)、克羅內克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮科克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如質數,推廣至複數。  費迪南·艾森斯坦研究formula_9,其中formula_10是formula_11的復根。其他如formula_12 (formula_13是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為庫默爾的完美數理論,經由菲利克斯·克萊因(1893年)以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣,解決了五次以上多項式的根不能表達問題。

  

  儘管可以使用其他表示法,複數通常寫為如下形式:  這裡的formula_15和formula_16是實數,而"i"是虛數單位,它有著性質。實數formula_15叫做複數的實部,而實數formula_16叫做複數的虛部。實數可以被認為是虛部為零的複數;就是說實數"formula_15"等價於複數formula_20。實部為零且虛部不為零的複數也被稱作“純虛數”;而實部不為零且虛部也不為零的複數也被稱作“非純虛數”或“雜虛數”。  例如,formula_21是複數,它的實部為3虛部為2。如果formula_22,則實部("formula_15")被指示為formula_24或formula_25,而虛部("formula_16")被指示為formula_27或formula_28。  在某些領域(特別是電子工程,這裡的"i"是電流的符號)中,虛部formula_1被替代寫為formula_10,所以複數有時寫為formula_31。  所有複數的集合通常指示為formula_32,或者用寫為formula_33。實數formula_34可以被當作formula_33的子集,通過把實數的所有成員當作複數:formula_36。

  複數中的虛數是無法比較大小的,即兩個虛數只有相等和不等兩種等量關係。  兩個複數是相等的,當且僅當它們的實部是相等的並且它們的虛部是相等的。就是說,設formula_15,formula_16,formula_39,formula_40為實數,則formula_41當且僅當formula_42並且formula_43。

  通過形式上應用代數的結合律、交換律和分配律,再加上等式,定義複數的加法、減法、乘法和除法:

  複數可定義為實數formula_48組成的有序對,而其相關之和及積為:  複數數系是一個體,複數體常以formula_33來表示。  一個實數formula_15等同於複數formula_53,故實數體為複數體的子體。虛數單位formula_1就是複數formula_55。此外,還有:  複數體亦可定為代數數的拓撲閉包或實數體的代數閉包。

  先把座標軸畫出來,橫的叫實軸,豎的叫虛軸,然後確定0的位置,formula_62可以用二維空間來表示出來。 複數formula_63可以被看作在被稱為阿甘得圖(得名於讓-羅貝爾·阿岡,也叫做高斯平面)的二維笛卡爾座標系內的一個點或位置向量。這個點也就是這個複數"formula_63"可以用笛卡爾(直角)座標指定。複數的笛卡爾座標是實部formula_65和虛部formula_66。複數的笛卡爾座標表示叫做複數的“笛卡爾形式”、“直角形式”或“代數形式”。

  formula_67,則formula_68是formula_63的「絕對值」(「模」、「幅值」)。如果formula_62,則formula_71.  對所有formula_63及formula_73,有  當定義了距離formula_77,複數體便成了度量空間,我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。  formula_22的共軛複數定義為formula_79,記作formula_80或formula_81。如圖所示,formula_80是formula_63關於實數軸的「對稱點」。有  對於所有代數運算formula_94,共軛值是可交換的。這即是說formula_95。一些非代數運算如正弦「formula_96」亦有此性質。這是由於formula_1的不明確選擇——formula_98有二解。可是,共軛值是不可微分的(參見全純函式)。  一複數formula_67的「幅角」或「相位」為formula_100。此值對模formula_101而言是唯一的。  對於乘法和除法分別有:

  考慮一個平面。一個點是原點0。另一個點是單位1。  兩個點"A"和"B"的和是點"X" = "A" + "B"使得頂點0, "A", "B"的三角形和頂點"A", "B", "X"的三角形是全等的。  兩個點"A"和"B"的積是點"X" = "AB"使得頂點0, 1, "A"的三角形和頂點"0", "B", "X"的三角形是相似的。  點"A"的共軛複數是點"X" = "A"使得頂點0, 1, "A"的三角形和頂點0, 1, "X"的三角形相互是映象。

  作為替代,複數formula_63可以用極座標來指定。極座標是由叫做絕對值或模的formula_105和叫做"formula_63"的輻角的formula_107組成。對於formula_108,任何值的formula_109都描述同一個數。要得到唯一的表示,常規的選擇是設定formula_110。對於formula_111輻角formula_109模以formula_101後是唯一的;就是說,如果複數輻角的兩個值只相差精確的formula_101的整數倍數,則它們被認為是等價的。要得到唯一表示,常規的選擇是限制formula_109在區間formula_116內,就是formula_117。複數的極座標表示叫做複數的“極座標形式”。

  前面的公式要求非常繁雜的情況區分。但是很多程式語言提供了經常叫做atan2一個變體的反正切函式來處理這些細節。使用反餘弦函式的公式要求更少的情況區分:

  極座標形式的符號 被叫做“三角形式”。有時使用符號cis φ簡寫cosφ + "i"sinφ。 使用尤拉公式還可以寫為 這叫做“指數形式”。

  在極座標形式下乘法、除法、指數和開方根要比笛卡爾形式下容易許多。  使用三角恆等式得到  和  依據棣莫弗定理做整數冪的指數運算,  任意複數冪的指數運算在條目指數函式中討論。  兩個複數的加法只是兩個向量的向量加法,乘以一個固定複數的可以被看作同時旋轉和伸縮。  乘以formula_1對應於一個逆時針旋轉90 度(formula_129 弧度)。方程formula_130的幾何意義是順序的兩個90度旋轉導致一個180度(formula_131弧度)旋轉。甚至算術中的formula_132都可以被在幾何上被理解為兩個180度旋轉的組合。  任何數的所有方根,實數或複數的,都可以用簡單的演算法找到。formula_133次方根給出為  對於formula_135,這裡的formula_136表示formula_137的主formula_133次方根。

  下表給出任何複數formula_139的加法和乘法的基本性質。

  

  這是個實用價值不大,但具數學意義的表示式,是將複數看作能旋轉及縮放二維位置向量的2×2實數矩陣,即是  其中formula_15及formula_16為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外 即實數1對應著單位矩陣 而虛數單位formula_1對應著  此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉,它的平方就是-1。  複數的絕對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換,其旋轉角度等於複數的徧角,改變比例等於複數的絕對值。複數的軛就是矩陣的轉置。  若矩陣中的formula_15和formula_16本來就是複數,則構成的代數便是四元數。由此,矩陣代表法可看成代數的凱萊-迪克森結構法。

  formula_33可以視作二維實線性空間。不同於實數體,複數體上不可能有與其算術相容的全序:formula_33並非有序體。

  滿足formula_151的複數"z"是多項式formula_152的“根”。代數基本定理指出,所有formula_133次多項式,不管實數係數抑或複數係數的,都剛好有"formula_133"個複數根(formula_13重根按"formula_13"個計算)。這定理等價於複數體是代數閉體。  事實上,複數體是實數體的代數閉包。它是多項式環formula_157經由理想formula_158顯生出的商環:  這是一個體因為formula_160為不可約多項式,而formula_161在商環內對應著虛數單位formula_1。

  複數體formula_33唯一(就體同構來說)的體擁有三項代數特徵:  而然,formula_33包含很多與formula_33同構的子體。

  在formula_33上不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係,即不存在一全序formula_167使得對於任意複數formula_168,有formula_169。

  計算一個實數的複數冪是可以的。formula_170可以定義為formula_171。

  研究複變函式的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果,最自然的證明經常是以複分析的技巧完成(例子可見素數定理)。  複變函式的影象是四維的,所以不像實變函式般可以用平面影象表示。要表示複變函式的影象,可以用有顏色的三維影象表達四維資訊,或者以動畫表示函式對複平面的動態變換。

  

  在系統分析中,系統常常通過拉普拉斯變換從時域變換到頻域。因此可在複平面上分析系統的極點和零點。分析系統穩定性的根軌跡法、奈奎斯特圖法和尼科爾斯圖法都是在複平面上進行的。  無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面,根軌跡法都很重要。如果系統極點  如果穩定系統的全部零點都位於左半平面,則這是個最小相位系統。如果系統的極點和零點關於虛軸對稱,則這是全通系統。

  訊號分析和其他領域使用複數可以方便的表示週期訊號。模值formula_172表示訊號的幅度,輻角formula_173表示給定頻率的正弦波的相位。  利用傅立葉變換可將實訊號表示成一系列周期函式的和。這些周期函式通常用形式如下的複函式的實部表示:  其中formula_175對應角頻率,複數formula_63包含了幅度和相位的資訊。  電路分析中,引入電容、電感與頻率有關的虛部可以方便的將電壓、電流的關係用簡單的線性方程表示並求解。(有時用字母formula_10作為虛數單位,以免與電流符號"i"混淆。)

  在應用層面,複分析常用以計算某些實值的反常積分,藉由復值函式得出。方法有多種,見圍道積分方法。

  量子力學中複數是十分重要的,因其理論是建基於複數體上無限維的希爾伯特空間。

  如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric)方程。

  實際應用中,求解給定差分方程模型的系統,通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有復特徵根"r",再將系統以形為"f"("t")= "e"的基函式的線性組合表示。

  複函式於流體力學中可描述二維勢流。

  一些分形如曼德博集合和茹利亞集(Julia set)是建基於複平面上的點的。

  複數的平方根是可以計算的。其公式為formula_178。
複數,為實數的延伸,它使任一多項式方程都有根。複數當中有個「虛數單位」formula_1,它是formula_2的一個平方根,即。任一複數都可表達為formula_3,其中formula_4及formula_5皆為實數,分別稱為複數之「實部」和「虛部」。