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  柯西-施瓦茨不等式敘述,對於一個內積空間所有向量"x"和"y",  其中formula_2表示內積,也叫點積。等價地,將兩邊開方,引用向量的範數,不等式可寫為  另外,等式成立當且僅當"x"和"y"線性相關(或者在幾何上,它們是平行的,或其中一個向量的模為0)。  若formula_4和formula_5有虛部,內積即為標準內積,用拔標記共軛複數那麼這個不等式可以更明確的表述為  柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果,是內積為連續函式,甚至是滿足1階利普希茨條件的函式。  等式成立時:

  也可以表示成  formula_9  證明則須考慮一個關於formula_10的一個一元二次方程式 formula_11  很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式formula_12  注意到  formula_13  ⇒formula_14  則  formula_15  即  formula_9  formula_11  formula_9  而等號成立於判別式formula_19時  也就是此時方程式有重根,故  formula_8  這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

  設formula_24為列向量,則formula_25  設formula_32為formula_33Hermite陣,且formula_34,則formula_35  設formula_32為formula_33Hermite陣,且formula_45,則formula_46  若formula_54,則formula_55

  設 formula_56在區域D及其邊界上解析,formula_57 為D內一點,以formula_57為圓心做圓周 formula_59,只要formula_60及其內部G均被D包含,則有:  formula_61  其中,M是formula_62的最大值,formula_63

  formula_64  formula_65
數學上,柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式;例如線性代數的向量,數學分析的無窮級數和乘積的積分,和概率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣,如赫爾德不等式。