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  阿波羅尼奧斯圓是線段定義的,標記此線段為 formula_1 。

  第一族中的每一個都由一個正實數 "r" 確定,這些圓定義為滿足下列條件的點 "X" 的軌跡: 即 "X" 到 "C" 的距離與 "X" 到 "D" 的距離之比值為 "r".  當 "r" 很接近零時,相應的圓會靠近 "C" 的一側,而對接近 ∞ 的 "r", 相應的圓則靠近 "D" 的一側。至於當"r" = 1 時,該圓會退化為線段 "CD" 之中垂線。

  第二族中的每個圓都由角 "θ" 確定, 這些圓定義為滿足下列條件的點 "X" 的軌跡: 其中formula_4 表示 "CXD" 的有向角。  當 "θ" 取遍 0 到 "π" 之所有值時,上式生成所有經過 "C" 和 "D" 的圓。

  不一樣圓圈的固定比例 formula_5 必不一樣。圓與圓之間互不同心,互不相交。  每一個藍圓與每一個紅圓以直角相交,可以簡易地解釋如下:關於一個圓心為點 C 的圓 Q,一族的藍阿波羅尼奧斯圓的反演像,形成了一組同心圓,其圓心在點 D<nowiki>'</nowiki> 。點 D 關於圓 Q 的反演是點 D<nowiki>'</nowiki> 。同樣的變換把一族的紅圓反演為一組從點 D<nowiki>'</nowiki> 放射出來的直線。這樣,反演將雙極座標變換為極座標。在極座標裡,每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換,所以,每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。
阿波羅尼奧斯圓是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極座標系的基。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯 (古希臘語:"") 發現的。