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  1736年,尤拉證明了費馬小定理: 然後尤拉予以一般化: 其中 formula_1 即為尤拉總計函式。如果 formula_9 為質數,那麼 formula_15,因此,有高斯的版本:

  formula_22(小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身)。  若"n"是質數"p"的"k"次冪,formula_23,因為除了"p"的倍數外,其他數都跟"n"互質。  尤拉函式是積性函式,即是說若"m","n"互質,formula_24。證明:設"A", "B", "C"是跟"m", "n", "mn"互質的數的集,據中國剩餘定理,formula_25和formula_26可建立雙射(一一對應)的關係。(或者也可以從初等代數角度給出尤拉函式積性的簡單證明) 因此formula_1的值使用算術基本定理便知,  其中formula_30是使得formula_31整除formula_9的最大整數formula_33(這裡formula_34)。  例如formula_35

  "n"的尤拉函式formula_1 也是迴圈群 "C" 的生成元的個數(也是"n"階分圓多項式的次數)。"C" 中每個元素都能生成 "C" 的一個子群,即必然是某個子群的生成元。而且按照定義,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, "C" 的所有子群都具有 "C" 的形式,其中"d"整除"n"(記作"d" | "n")。因此只要考察"n"的所有因數"d",將 "C" 的生成元個數相加,就將得到 "C" 的元素總個數:"n"。也就是說:  其中的"d"為"n"的正約數。  運用默比烏斯反轉公式來“翻轉”這個和,就可以得到另一個關於formula_1的公式:  其中 μ 是所謂的默比烏斯函式,定義在正整數上。  對任何兩個互質的正整數"a", "m"(即 gcd("a","m") = 1),formula_40,有 即尤拉定理。  這個定理可以由群論中的拉格朗日定理得出,因為任意與"m"互質的"a"都屬於環 formula_3 的單位元組成的乘法群formula_43  當"m"是質數"p"時,此式則為: 即費馬小定理。

  以下兩個由尤拉函式生成的級數都是來自於上節所給出的性質:formula_45。  由formula_46("n")生成的狄利克雷級數是:  其中ζ("s")是黎曼ζ函式。推導過程如下:  尤拉函式生成的朗貝級數如下:  其對於滿足 |"q"|<1 的"q"收斂。  推導如下:  後者等價於:

  隨著"n"變大,估計formula_1 的值是一件很難的事。當"n"為質數時,formula_57,但有時formula_1又與"n"差得很遠。 在"n"足夠大時,有估計:  如果考慮比值:  由以上已經提到的公式,可以得到其值等於類似formula_61的項的乘積。因此,使比值小的"n"將是兩兩不同的質數的乘積。由素數定理可以知道,常數 ε 可以被替換為:  formula_46就平均值的意義上來說是與"n"很相近的,因為:  其中的"O"表示大O符號。這個等式也可以說明在集合 {1, 2,..., "n"} 中隨機選取兩個數,則當"n"趨於無窮大時,它們互質的概率趨於 formula_65 。一個相關的結果是比值formula_66的平均值:
在數論中,對正整數"n",尤拉函式formula_1是小於或等於"n"的正整數中與"n"互質的數的數目。此函式以其首名研究者尤拉命名,它又稱為φ函式(由高斯所命名)或是尤拉總計函式(totient function,由西爾維斯特所命名)。