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  一個域 formula_5(元素是函式)及相應的運算 formula_6(對函式的導數)構成的代數結構 formula_7 稱為 "微分域"。若對於 formula_8 有  由上式可以得到通常導數的一些性質。  設 formula_7 為某個微分域,稱  為該微分域的常數域。 設 formula_14,"K" 是 "F" 的微分域擴張 formula_15,formula_16 稱為在 formula_5 上基本初等,若以下三種情況任一成立:  微分域的"初等擴張"是指接連進行如上的擴張得到的微分域 formula_40,其中 formula_41 在 formula_42 上基本初等。 一個函式 formula_43 稱為初等函式 若它在微分域 formula_44(有理函式加普通導數)的某個初等擴張中。

  

  以下為劉維爾第一定理(Theorem of Liouville-first statement)。  設 formula_5 為微分域,formula_46 為 formula_5 的初等擴張,且 formula_48,對於 formula_29,存在 formula_50, 使得 formula_51,則  其中 formula_53, formula_54

  以下為劉維爾第二定理(Theorem of Liouville-second statement),又稱強劉維爾定理(Strong Liouville theorem)。  設 formula_5 為微分域,formula_56,若 formula_57 在 formula_5 上初等,且滿足 formula_59,則  其中 formula_61,formula_62, formula_63,formula_64 是 formula_65 的代數閉域. 每個 formula_5 上 formula_67 的自同構交換求和的順序。

  例如複數域上的有理函式域 formula_71 與通常的導數即構成了一個微分域 formula_72(有理函式的導數仍是有理函式),該微分域的常數集即是複數集formula_73。  函式 formula_74 的原函式 formula_75 不屬於微分域 formula_72,但具有如定理所述的對數形式(注意 formula_77)。 類似的,formula_78,其原函式反正切函式可以表達成對數的形式  顯然也有 formula_80。  下面考慮 formula_81 的原函式,顯然這不屬於 formula_82 (formula_83 是 formula_82 上的超越函式)。把 formula_83 新增到 formula_82,形成更大的微分域 formula_87(於是 formula_88)。formula_43 的一個原函式是 formula_90,於是我們再次看到,使用包含 formula_43 的微分域 formula_5 裡的函式的對數,表達出了 formula_43 的原函式。  事實上,Risch 1969 年的論文表明,對於任意複雜的初等函式,總可以找到適當的包含 formula_43 的微分域 formula_5,以及從 formula_71 開始的初等域擴張塔 formula_97。並在此擴張塔的基礎上,基於劉維爾定理找到其初等原函式,或證明不存在這樣的初等原函式(參見 Risch演算法)。

  設想我們想知道形如 formula_98 的函式是否有初等原函式。由劉維爾定理可以得到,這等價於判斷是否存在 formula_99 使得  若存在這樣的 formula_101,那麼其原函式即為 formula_102。  例如對於 formula_103,(即formula_104),應有  如果存在這樣的 formula_101,那麼一定可以作部分分式展開:  其中 formula_108 是 formula_73 上的多項式,formula_110 是 formula_101 分母多項式的根,係數 formula_112 被唯一確定。 代入前式即可證明這樣的 formula_101 不存在(因為 formula_114 會增加多項式的次數,故對照左端項應有 formula_115,而對 formula_116 求導會增加分母的次數,對照左端項得到這一部分也應該是 0,這樣就得到矛盾 1=0)。從而函式 formula_103 不存在初等原函式。  藉助完全類似的方法,我們可以證明 formula_118(對應 formula_119),以及 formula_120 也不存在初等原函式. 更進一步,對 formula_118 換元可以得到 formula_122 或者 formula_123,於是得到後兩個函式也是不存在初等原函式的。
劉維爾定理揭示了具有初等原函式的初等函式的本質特徵。其最早由約瑟夫·劉維爾於十九世紀三四十年代提出,經後人推廣到一般的微分域上,並被進一步推廣運用在常微分方程組初等首次積分的研究上。