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  上圖中標有相同字母的兩條邊,沿著箭頭方向粘合。

  對標準對稱形狀,多邊形的邊可以理解為一個群的生成元。然後這個多邊形,寫成群元素形式,成為由這些邊生成的自由群上一個約束,給出有一個約束的群呈示。  因此,例如給定歐幾里得平面formula_9,設群元素formula_10在這個平面上有作用formula_11而formula_12。則formula_13生成格formula_14,而環面由商空間給出(一個齊性空間)formula_15。更一般地,兩個生成元formula_13可用來生成一個基本平行四邊形的平行四邊形鑲嵌。  對環面,在兩個字母的自由群上的約束由formula_17給出。這個約束平凡地包含在如上給出的平面上的作用中。另外,平面可用六邊形鋪滿,六邊形的中心形成一個六邊形格。將六邊形的相對等同,又得到了環面。這一回約束是formula_18,刻劃了六邊形格生成元在平面上的作用。  在實際中,大部分有趣的情形是具有負曲率的曲面,由群formula_19中一個離散格作用在上半平面實現。這樣的格稱為富克斯群()。

  虧格"n"可定向閉曲面有如下標準基本多邊形:  (不可定向)虧格"n"的不可定向閉曲面有如下標準基本多邊形:  或者,不可定向曲面能由兩種形式給出,虧格"n" 克萊因瓶與虧格"n" 實射影平面。虧格2"n"克萊因瓶由一個4"n"邊形給出  (注意最後的formula_23沒有上標 -1;與可定向情形比較,這個翻轉是不可定向性的緣故)。虧格2"n"+1射影平面由一個4"n"+2邊形給出  最後兩類情形窮盡了所有可能的不可定向曲面,這是昂利·龐加萊證明的。

  一個(雙曲)緊黎曼曲面的基本多邊形有許多重要的性質,將曲面與它的富克斯模型()聯絡起來。即一個雙曲緊黎曼曲面可以上半平面做為萬有覆疊,從而可以表示為一個商流形H/Γ,這裡 Γ是一個非阿貝爾群同構於曲面的甲板變換群(英語:deck transformation group)。商空間的陪集有標準多邊形做為代表元素。在下面,注意所有黎曼曲面都是可定向的。

  給定上半平面H中一點formula_25,以及PSL(2,R)一個離散子群Γ 自由不連續作用在上半平面,則我們可定義度量基本多邊形(英語:metric fundamental polygon)為點集  這裡"d"是上半平面的雙曲度量。度量基本多邊形有時也稱為狄裡克雷區域(英語:Dirichlet region)或沃羅諾伊多邊形()。

  給定任何度量基本多邊形"F",用有限步可以構造另一個基本多邊形,標準基本多邊形(英語:standard fundamental polygon),它具有額外一組值得注意的性質:  上面的構造足夠保證多邊形的每條邊在流形H/Γ中是一個閉(非平凡)環路。就其本身而言,每條邊可以為基本群formula_32中一個元素。特別地,基本群formula_32有2"n"個生成元素formula_34,由一個約束定義,  所得流形H/Γ的虧格是"n"。

  度量基本多邊形與標準多邊形通常有不同的邊數。比如,環面的標準基本多邊形是一個基本平行四邊形()。相比而言,度量基本多邊形有六條邊,是一個六邊形。只需注意到六邊形的邊垂直平分平行四邊形的邊就可以看出來。這就是,取格中一點,然後考慮連線這點與鄰點的直線之集合。每個這樣的線被另一條垂直線平分,被這樣的第二個線集合圍住的最小的空間是一個六邊形。  事實後,上一個構造一般都可行:取一點"x",然後對Γ中"g",考慮"x"與"gx"之間的測地線。平分這些測地線是另一個曲線集合,這些點的軌跡與"x"和"gx"距離相等。由第二個線集合圍住的最小區域是度量基本多邊形。

  標準基本多邊形的面積是formula_36,這裡"n"是黎曼曲面的虧格(等價於4"n"是多邊形的邊數)。由於標準多邊形是H/Γ的一個代表,黎曼曲面的整個面積等於標準多邊形的面積。這個面積公式由高斯-博內定理得出,在某種意義下黎曼-赫爾維茨公式()是其推廣。

  對標準多邊形可以給出具體表示式。一個更有用的形式是使用與這個標準多邊形關聯的群formula_37。對一個虧格"n"定向曲面,群可由2"n"格生成元formula_38給出。這些生成元由下列分式線性變換作用在上半平面給出。  對formula_39:  引數由  和 以及 給出。可以驗證這些生成元服從約束  這給出整個群呈示。

  在高維,基本多變形的想法體現為齊性空間。
在數學上,每個閉曲面在幾何拓撲的意義下,可以由一個偶數條邊的有向多邊形,把它的邊成對地粘合構造出來,這樣的多邊形稱之為基本多邊形(英語:fundamental polygon)。