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  Burnside 將其歸功於Jordan,但是 Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應,但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是,Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果,因此比Jordan要提前了16年。

  從初等群論中,知道了對於任何"G"中元素"g"必然有"g"*"G" = "G";並通過消除規則知道了"g"*"x" = "g"*"y"當且僅當"x" = "y"。所以左乘"g"充當了雙射函式"f" : "G" → "G",通過定義"f"("x") = "g"*"x"。所以,"f"是"G"的置換,並因此是Sym("G")的成員。  Sym("G")的子集"K"定義為 是同構於"G"的Sym("G")的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函式"T" : "G" → Sym("G")對於所有"G"中的"g"有著"T"("g") = "f"。(對Sym("G")中的複合使用"·"),"T"是群同態因為: 同態"T"也是單射因為:"T"("g") = id(Sym("G")的單位元)蘊含了對於所有"G"中的"x"有"g*x" = "x",選取"x"為"G"的單位元"e"產生"g" = "g"*"e" = "e"。可替代的,"T"("g")也是單射因為:"g"*"x"="g"*"x' "蘊含"x"="x' "(通過左乘上"g"的逆元,因為"G"是群所以一定存在)。  因此"G"同構於"T"的像,它是子群"K"。  "T"有時叫做"G"的正規表示。

  另一個證明使用了群作用的語言。考慮群formula_1為G-集合,可以證明它有置換表示formula_2。  首先假設formula_3帶有formula_4。則根據G-軌道分類這個群作用是formula_5(也叫做軌道-穩定集定理)。  現在這個表示是忠實的,如果formula_2是單射,就是說,如果formula_2的核是平凡的。假設formula_8 ∈ ker formula_2,則formula_10,通過置換表示和群作用的等價性。但是因為formula_8 ∈ ker formula_2, formula_13並因此ker formula_2是平凡的。則im formula_15並因此利用第一同構定理得出結論。

  單位元對應於恆等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪,小於這個元素的階,每個元素對應於由相同長度的環構成的置換:這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

  Z = {0,1}帶有模2加法,群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (12)。  Z = {0,1,2}帶有模3加法;群元素0對應於恆等置換e,群元素1對應於置換 (123),而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。  Z = {0,1,2,3}帶有模4加法;它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。  克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。  S(6階二面體群)是三個物件的所有置換的群,但也是6個群元素的置換群:
在群論中,凱萊定理,以阿瑟·凱萊命名,聲稱所有群"G" 同構於在"G"上的對稱群的子群。這可以被理解為"G"在"G"的元素上的群作用的一個例子。