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  角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裡,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裡,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函式,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的物件都是以波函式或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(英語:deterministic)行為。

  在經典力學裡,角動量 formula_1 定義為位置 formula_2 與動量 formula_3 的叉積:  在量子力學裡,對應的角動量算符 formula_5 定義為位置算符 formula_6 與動量算符 formula_7 的叉積:  由於動量算符的形式為  角動量算符的形式為  其中,formula_11 是梯度算符。

  在量子力學裡,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量 formula_12 :  其伴隨算符 formula_14 為 由於 formula_16 、formula_17 、formula_18 、formula_19,都是厄米算符,  由於 formula_19 與 formula_16 之間、formula_18 與 formula_17 之間分別相互對易,所以,  因此,formula_12 是一個厄米算符。類似地,formula_27 與 formula_28 都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。  再思考 formula_29 算符,  其伴隨算符 formula_31 為  由於 formula_33 算符、formula_34 算符、formula_35 算符,都是厄米算符,  所以,formula_29 算符是厄米算符。

  兩個算符 formula_38 與 formula_39 的交換算符 formula_40,表示出它們之間的對易關係。

  思考 formula_12 與 formula_27 的交換算符,  由於兩者的對易關係不等於 0, formula_44 與 formula_45 彼此是不相容可觀察量。formula_12 與 formula_27 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,formula_12 的本徵態與 formula_27 的本徵態不同。  給予一個量子系統,量子態為 formula_50 。對於可觀察量算符 formula_12,所有本徵值為 formula_52 的本徵態 formula_53,形成了一組基底量子態。量子態 formula_50 可以表達為這基底量子態的線性組合:formula_55 。對於可觀察量算符 formula_27,所有本徵值為 formula_57 的本徵態 formula_58,形成了另外一組基底量子態。量子態 formula_50 可以表達為這基底量子態的線性組合:formula_60 。  根據哥本哈根詮釋,量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量 formula_44,得到的測量值為其本徵值 formula_52,則量子態機率地塌縮為本徵態 formula_63 。假若,我們立刻再測量可觀察量 formula_44,得到的答案必定是 formula_52,量子態仍舊處於 formula_63 。可是,假若,我們改為測量可觀察量 formula_45,則量子態不會停留於本徵態 formula_63,而會塌縮為 formula_27 的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值 formula_70,則量子態機率地塌縮為本徵態 formula_71 。  根據不確定性原理,  formula_44 的不確定性與 formula_45 的不確定性的乘積 formula_75,必定大於或等於 formula_76 。  formula_44 與 formula_78 之間,formula_45 與 formula_78 之間,也有類似的特性。

  思考 formula_29 與 formula_28 的交換算符,  formula_84 與 formula_28 是對易的,formula_86 與 formula_78 彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 formula_86 與 formula_78 的本徵值。  類似地,  formula_29 與 formula_12 之間、formula_29 與 formula_27 之間,都分別擁有類似的物理特性。

  思考哈密頓算符 formula_96 與 formula_28 的交換算符,  formula_96 與 formula_28 是對易的,formula_101 與 formula_78 彼此是相容可觀察量,兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 formula_101 與 formula_78 的同樣的本徵值。  類似地,  formula_96 與 formula_12 之間,formula_96 與 formula_27 之間,都分別擁有類似的物理特性。

  在經典力學裡,角動量算符也遵守類似的對易關係:  其中,formula_112 是帕鬆括號,formula_113 是列維-奇維塔符號,formula_114 、formula_115 、formula_116,代表直角座標 formula_117 。

  採用球座標。展開角動量算符的方程式:  其中,formula_119 、formula_120 、formula_121,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。  轉換回直角座標,  其中,formula_123 、formula_124 、formula_125,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。  所以,formula_12 、formula_27 、formula_28 分別是  角動量平方算符是  其中,  經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式  滿足算符 formula_29 的本徵函式是球諧函式 formula_140 :  其中,本徵值 formula_142 是正整數。  球諧函式也是滿足算符 formula_28 微分方程式的本徵函式:  其中,本徵值 formula_145 是整數,formula_146 。  因為這兩個算符的正則對易關係是 0,它們可以有共同的本徵函式。  球諧函式 formula_140 表達為  其中,formula_114 是虛數單位,formula_150 是伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為  而 formula_152 是 formula_153 階勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:  球諧函式滿足正交歸一性:  這樣,角動量算符的本徵函式,形成一組單範正交基。任意波函式 formula_156 都可以表達為這單範正交基的線性組合:  其中,formula_158 。
在量子力學裡,角動量算符(英語:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性(英語:rotational symmetry)的理論裡,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性。