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  假設formula_1是複平面上的一個單連通開子集,formula_2是複平面上有限個點,formula_3是定義在formula_4的全純函式。如果formula_5是一條把formula_2包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個formula_7,並且其起點與終點重合,那麼:  如果γ是若爾當曲線,那麼I(γ, "a") = 1,因此:  在這裡,Res("f", "a")表示"f"在點"a"的留數,I(γ, "a")表示γ關於點"a"的卷繞數。卷繞數是一個整數,它描述了曲線γ繞過點"a"的次數。如果γ依逆時針方向繞著"a"移動,卷繞數就是一個正數,如果γ根本不繞過"a",卷繞數就是零。

  以下的積分  在計算柯西分佈的特徵函式時會出現,用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限,積分路徑為沿著實直線從−"a"到"a",然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從"a"到−"a"。取"a"為大於1,使得虛數單位"i"包圍在曲線裡面。路徑積分為:  由於"e"是一個整函式(沒有任何奇點),這個函式僅當分母"z" + 1為零時才具有奇點。由於"z" + 1 = ("z" + "i")("z" − "i"),因此這個函式在"z" = "i"或"z" = −"i"時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。  由於"f"("z")是  "f"("z")在"z" = "i"的留數是:  根據留數定理,我們有:  路徑"C"可以分為一個“直”的部分和一個曲線弧,使得:  因此  如果"t" > 0,那麼當半圓的半徑趨於無窮大時,沿半圓路徑的積分趨於零:  上述結果也可以直接由Jordan%27s_lemma得到,要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要formula_17才能成立,所以如果formula_18就必須考慮下半平面上的半圓弧。  因此,如果"t" > 0,那麼:  類似地,如果曲線是繞過−"i"而不是"i",那麼可以證明如果"t" < 0,則  因此我們有:  (如果"t" = 0,這個積分就可以很快用初等方法算出來,它的值為π。)
在複分析中,留數定理(英語:residue theorem,又叫殘數定理)是用來計算解析函式沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函式的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。