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  有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如,如果 "U" 和 "V" 是秩分別為 "n" 和 "m" 的兩個協變張量,則它們的張量積的分量給出為  所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。  注意在張量積中,因子 "U" 消耗第一個 rank("U") 指標,而因子 "V" 消耗下一個 rank("V") 指標,所以

  設 U 是型別 (1,1) 的張量,帶有分量 "U";並設 V 是型別 (1,0) 的張量,帶有分量 "V"。則 而  張量積繼承它的因子的所有指標。

  對於矩陣這個運算通常叫做克羅內克積,用來明確結果有特定塊結構在其上,其中第一個矩陣的每個元素被替代為這個元素與第二個矩陣的積。對於矩陣 formula_7 和 formula_8:

  給定多重線性對映 formula_10 和 formula_11 它們的張量積是多重線性函式

  在域 formula_13 上的兩個向量空間 "V" 和 "W" 的張量積 formula_14 有通過“生成元和關係”的方法的形式定義。在這些 formula_15 的關係下的等價類被叫做“張量”並指示為 formula_16。通過構造,可以證明在張量之間的多個恆等式並形成張量的代數。  要構造 formula_14,採用在 formula_13 之上帶有基 formula_19 的向量空間,並應用(因子化所生成的子空間)下列多線性關係:  這裡的 formula_23 是來自適當空間的向量,而 formula_24 來自底層域 formula_13。  我們可以推出恆等式  零在 formula_14 中。  結果的張量積 formula_14 自身是向量空間,它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定 "V" 和 "W" 基 formula_29 和 formula_30,形如 formula_31 的張量形成 formula_14 的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積;例如 formula_33 有維數 formula_34。

  張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性對映 "φ" 把笛卡爾積 "V" × "W" 嵌入到向量空間 "X" 的問題。張量積構造 "V" ⊗ "W" 與給出自  的自然嵌入對映 "φ" : "V" × "W" → "V" ⊗ "W" 一起是這個問題在如下意義上的“泛”解。對於任何其他這種對("X", "ψ"),這裡的 "X" 是向量空間,而 ψ 是雙線性對映 "V" × "W" → "X",則存在一個唯一的線性對映  使得  假定這個泛性質,張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。  直接推論是從 "V" × "W" 到 "X" 的雙線性對映  和線性對映  的同一性。它是 "ψ" 到 "T" 的自然同構對映。

  兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間,其定義如下。

  設 formula_40 和 formula_41 是兩個希爾伯特空間,分別帶有內積 formula_42 和 formula_43。構造 "H" 和"H" 的張量積formula_44如下:  考慮他們的作為線性空間的張量積formula_45。formula_40 和 formula_41上的內積自然地擴充套件到formula_48上:  由內積的雙線性(Bilinearity),只需定義 其中 formula_50 和 formula_51 即可。  現在formula_48是一未必完備的內積空間。將formula_48完備化,得到希爾伯特空間formula_44,這就是 "H" 和 "H"作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中,formula_44具有如前所述的泛性質,即它是二者在該範疇內的乘積。

  如果 "H" 和 "H" 分別有正交基 {φ} 和 {ψ},則 {φ ⊗ ψ} 是 "H" ⊗ "H" 的正交基。

  在泛性質的討論中,替代 "X" 為 "V" 和 "W" 的底層標量域生成空間 formula_56(formula_14 的對偶空間,包含在那個空間上的所有線性泛函),它自然的同一於在 formula_19 上所有雙線性函式的空間。換句或說,所有雙線性泛函是在張量積上的泛函,反之亦然。  只要 formula_8 和 formula_60 是有限維的,在 formula_61 和 formula_62 之間有一個自然的同構,而對於任意維的向量空間我們只有一個包含 formula_63。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法,把雙線性泛函看做張量積自身。
在數學中,張量積,記為 formula_1,可以應用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數、拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的:最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。