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  設"X"和"Y"為"n"×"n"的複數矩陣,並設"a"和"b"為任意的複數。我們把"n"×"n"的單位矩陣記為"I",把零矩陣記為0。  我們可以從指數級數的定義直接得到矩陣指數的如下性質:  接下來是一個關鍵性質:  由此匯出的推論有:

  矩陣指數的一個重要性,是它可以用來解微分方程。從(1)可知,以下微分方程 其中"A"是矩陣,具有解 矩陣指數也可以用來解非齊次方程: 參見以下的例子。  當"A"不是常數時,以下形式的微分方程沒有閉式解: 但馬格努斯級數可以給出無窮級數形式的解。

  根據雅可比公式,對任意復矩陣,下列跡等式成立: 除了提供一種額外的計算工具,這個等式還表明矩陣指數總是可逆矩陣。這點可以如下證明:因為上述等式的右邊恆不等於0,所以左邊,從而必可逆。

  我們知道,對於任何實數(標量)"x"和"y",指數函式都滿足公式"e" = "e""e"。類似的等式對於可交換矩陣也成立:如果矩陣"X"和"Y"是可交換的(即"XY" = "YX"),則:  但是,如果它們不是可交換的,則以上的等式不一定成立。  這個命題反過來不成立:"e"="e""e"並不一定就意味著"X"和"Y"是可交換的。但是,如果"X"和"Y"只含有代數數,而且它們的大小至少為2×2,則反過來也成立。  "X"和"Y"不可交換的情況可以用以下方法計算:

  即使formula_9和formula_10不可交換,formula_11可以用李乘積公式來計算

  從另一個方向講,如果formula_9和formula_10是元素足夠小(但不一定可交換)的矩陣,我們有: 其中formula_16可以通過formula_9和formula_10的交換子的級數(貝克爾-坎貝爾-豪斯多夫公式)來計算: 其中餘項均為與formula_9和formula_10相關的迭代交換子。

  注意矩陣的指數總是非奇異方陣。"e"的逆矩陣由"e"給出。這與複數的指數總是非零的事實類似。這樣,矩陣指數就給出了一個對映: 這是從所有"n"×"n"矩陣的空間到一般線性群(所有非奇異方陣所組成的群)的對映。實際上,這個對映是滿射,就是說每一個非奇異方陣都可以寫成某個矩陣的指數。矩陣對數就是這個對映的逆對映。  對於任何兩個矩陣"X"和"Y",我們有:  其中|| · ||表示任意的矩陣範數。從中可以推出,指數對映在"M"(C)的緊子集內是連續和利普希茨連續的。  以下的對映  定義了一般線性群中的一條光滑曲線,當"t" = 0時穿過單位元。實際上,這給出了一般線性群的一個單引數子群,這是由於:  這條曲線在點"t"的導數(或切向量)由以下等式給出:  "t" = 0時的導數就是矩陣"X",所以我們可以說,"X"是這個單引數子群的推廣。  更加一般地:

  尋找計算矩陣指數的可靠和準確的方法是困難的,目前在數學和數值分析領域中仍然是一個正在研究的話題。有些方法列舉如下。

  如果矩陣是對角的:  則把主對角線上的所有元素取指數,就是原矩陣的指數:  這也允許了我們計算可對角化矩陣的指數。如果formula_30,且"D"是對角矩陣,則formula_31。用西爾維斯特公式,也可以得到相同的結果。

  如果對於某個整數"q",有"N" = 0,則矩陣"N"稱為冪零矩陣。在這種情況下,矩陣指數"e"可以直接從級數展開式來計算,這是因為級數在有限個項後就終止了:

  當矩陣"X"的最小多項式可以分解為一次多項式的積時,它就可以表示為以下的和: 其中: 這稱為Dunford分解。  這就是說,我們可以通過化為前兩種情況,來計算"X"的指數: 注意為了讓最後一步成立, "A"和"N"必須是可交換的。  另外一個密切相關的方法,是利用"X"的若爾當標準型。假設"X" = "PJP",其中"J"是"X"的若爾當標準型。那麼:  另外,由於  因此,我們只需要知道怎樣計算若爾當塊的矩陣指數。但是,每一個若爾當塊都具有形式 其中"N"是冪零矩陣。則這個區塊的矩陣指數由下式給出:

  假設我們想要計算以下矩陣的指數。  它的若爾當型為:  其中矩陣"P"由下式給出:  我們首先來計算exp("J")。我們有:  1×1矩陣的指數僅僅是該矩陣的元素的指數,因此exp("J"(4)) = ["e"]。formula_44的指數可以用以上提到的公式exp(λformula_45+"N"</sup>) = "e" exp("N")來算出:  因此,原矩陣"B"的指數為:

  

  矩陣指數在解線性微分方程時十分有用。前面曾提到,以下形式的微分方程  具有解"e""y(0)"。如果我們考慮以下向量  我們就可以把線性微分方程表示為:  如果我們作一個猜想,把兩邊乘以一個積分因子 "e",便得到:  如果我們可以計算"e",那麼就得到了微分方程的解。

  假設我們有以下的微分方程組:  相關的矩陣為:  在以上的例子中,我們計算了矩陣指數  因此微分方程組的通解為:  也就是說,

  對於非齊次的情況,我們可以用積分因子的方法(類似於引數變換的方法)。我們找到形為y("t") = exp("tA")z("t")一個特解:  為了讓y為方程的解,必須有:  因此,  其中c由問題的初始條件決定。

  假設我們有以下的微分方程組:  那麼我們有  以及  用前面的方法,我們可以得出齊次微分方程的解。由於齊次方程的通解與非齊次方程的特解的和就是非齊次方程的通解,因此我們只需要找到一個特解(用引數變換法)。  我們有:  進一步簡化,就可以得到原方程的特解。
矩陣指數是方塊矩陣的一種矩陣函式,與指數函式類似。矩陣指數給出了矩陣李代數與對應的李群之間的關係。