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  formula_2 次分圓域是多項式 formula_7 的分裂域,因此是有理數域的伽羅瓦擴域。這個擴張的次數:formula_8 等於 formula_9,其中formula_10 是尤拉函式。formula_3 的所有伽羅瓦共軛是formula_12,其中 a 遍歷模 n的簡化剩餘系(所有與 n 互質的剩餘類)。同樣地,formula_2 次分圓域的伽羅瓦群同構於模 n 的乘法群 formula_14,其元素為

  高斯最早在研究尺規作正多邊形問題時涉及到了分圓域的理論。這個幾何問題實際上可以被轉化為伽羅瓦理論下的敘述:對什麼樣的"n","n"次分圓域可以通過若干次的二次擴張得到?高斯發現正十七邊形是可以用尺規作出的。更一般地說,對於一個素數 "p",正"p"邊形可以用尺規作出當且僅當 "p" 為費馬素數。

  研究費馬最後定理時,一個很自然的思路是將 formula_16 分解為 formula_17 的形式,其中的"n" 是一個奇素數。這樣得到的一次因式都是 "n" 次分圓域中的代數整數。如果在 "n" 次分圓域中算術基本定理成立,代數整數的素數分解是唯一的,那麼可以通過它來確定方程是否有非平凡解。  然而,對於一般的 "n",這個結論是錯誤的。但是,庫默爾找到了一個繞過這個困難的辦法。他引進了“理想數”的概念,作為對素數概念的改良。他將代數整數的素數分解不唯一的概念量化為類數:"h",並證明了如果 "h" 不能被 "p" 整除(這樣的 "p" 被稱為正規素數),那麼費馬的猜想對於 "n" = "p" 是成立的。此外,他給出了庫默爾準則來判斷素數是否是正規的。運用這個準則,庫默爾檢驗了100以下的素數,除了三個“不正規”的:37、59和67。  二十世紀後,庫默爾關於分圓域的類數的同餘理論被日本數學家巖澤健吉推廣為巖澤理論。
在數論中,分圓域是在有理數域 formula_1 中新增複數單位根進行擴張而得到的數域。將 formula_2 次單位根 formula_3 加入而得到的分圓域稱為 formula_2 次分圓域,記作 formula_5 。