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  其過程如下:給定物件formula_1,首先定義"鏈復形",它包含了formula_1的資訊。一個鏈復形是一個由群同態聯絡起來的可換群或者模formula_3的序列,群同態formula_4滿足任何兩個相連的同態的複合為0: formula_5對於所有"n"成立。這意味著第"n"+1個對映的像包含在第"n"個對映的核中,我們定義"X"的第"n"階同調群為商群(商模)  鏈復形稱為"正合"的,如果("n" + 1)階對映的像總是等於"n"階對映的核。因此formula_1的同調群是formula_1所關聯的鏈復形和正合有“多遠”的衡量。

  非正式地,拓撲空間"X"的同調是"X"的拓撲不變數的集合,用其"同調群"來表示  其中第k個同調群formula_10描繪了"X"中的"k"維洞。0維洞即為兩個連通分支的間隔,因此formula_11描繪了"X"中的路徑連通分支。  一維球面 formula_12是一個圓。它有單個連通分支和一個一維洞,但沒有更高維洞。其對應的同調群由下式給出  其中formula_14為整數群,formula_15為平凡群。群formula_16表示一個有限生成阿貝爾群,其唯一的生成元表示圓中包含的一維洞。  二維球面formula_17擁有1個連通分支,0個一維洞,1個二維洞,無更高維的洞。其對應的同調群為  一般地,對"n"維球面"S",其同調群為  二維球"B"是一個實心盤。 它具有單個路徑連通的分支,但與圓不同的是,它沒有一維或更高維的洞。其對應的同調群除了formula_20以外均為平凡群。  環面被定義為兩個圓formula_21的笛卡爾積。環面具有一個路徑連通的分支,兩個獨立的一維洞(在圖中以紅圈和藍圈分別標出),以及一個二維洞(環面的內部)。其對應的同調群為  兩個獨立的一維洞組成了一個有限生成阿貝爾群的獨立生成元,表示為笛卡爾積群formula_23.

  導致引入這個概念的例子是代數拓撲:單純復形formula_1的單純同調。formula_25在這裡就是formula_1中的"n"維可定向單純形所生成的自由可換群或者模。這些對映稱為"邊界對映",它將單純形  對映為如下的和  如果我們將模取在一個域上,則formula_1的"n"階同調的維數就是formula_1中"n"維的洞的個數。  仿照這個例子,可以定義任何拓撲空間formula_1的奇異同調。我們定義formula_1的上同調的鏈復形中的空間為formula_25為自由可換群(或者自由模),其生成元為所有從"n"為單純形到formula_1的連續函式。同態formula_35從單純形的邊界對映得到。  抽象代數中,同呼叫於定義匯出函子,例如,Tor函子。這裡,我們可以從某個可加協變函子formula_36和某個模formula_1開始。formula_1的鏈復形定義如下:首先找到一個自由模formula_39和一個滿同態formula_40。然後找到一個自由模formula_41和一個滿同態formula_42。以該方式繼續,得到一個自由模formula_43和同態formula_44的序列。將函子formula_36應用於這個序列,得到一個鏈復形;這個復形的同調formula_46僅依賴於formula_36和formula_1,並且按定義就是formula_36作用於formula_1的"n"階匯出函子。

  鏈復形構成一個範疇:從鏈復形formula_51到鏈復形formula_52的態射是一個同態的序列formula_53,滿足formula_54對於所有"n"成立。"n"階同調 formula_46可以視為一個從鏈復形的範疇到可換群(或者模)的範疇的協變函子。  若鏈復形以協變的方式依賴於物件formula_1(也就是任何態射formula_57誘匯出一個從formula_1的鏈復形到formula_59的鏈復形的態射),則formula_46是從formula_1所屬的範疇到可換群(或模)的範疇的函子。  同調和上同調的唯一區別是上同調中的鏈復形以"逆變"方式依賴於formula_1,因此其同調群(在這個情況下稱為"上同調群"並記為formula_63)構成從formula_1所屬的範疇到可換群或者模的範疇的"逆變"函子。

  若formula_51是鏈復形,滿足出有限個formula_25外所有項都是零,而非零的都是有限生成可換群(或者有限維向量空間),則可以定義"尤拉示性數"  (可換群採用階而向量空間的情況採用哈默爾維數)。事實上在同調的層次上也可以計算:  並且,特別是在代數拓撲中,這提供了兩個計算產生鏈復形的物件formula_1的重要的不變數formula_70.  每個鏈復形的短正合序列  導致一個同調群的長正合序列  所有這個長正合序列中的對映由鏈復形間的對映匯出,除了對映formula_73之外。後者稱為 "連線同態",有蛇引理給出。
數學上(特別是代數拓撲和抽象代數),同調 (homology,在希臘語中"homos" = 同)是一類將一個可換群或者模的序列和特定數學物件(例如拓撲空間或者群)聯絡起來的過程。背景知識請參看同調論。