Can you summarize the following document?
        
  加法迴圈群 Z = {0, 1, 2, 3} = "G",有子群"H" = {0, 2}(同構於Z)。"H"在"G"中的左陪集為 因此存在兩種不同的陪集"H"本身和1 + "H" = 3 + "H"。注意每個"G"中元素或者在"H"中,或者在1 + "H"中,也即,"H" ∪ (1 + "H" ) = "G",所以"H"在"G"中不同的陪集構成"G"的一個劃分。因為Z是交換群,右陪集和左陪集相同。  另一個陪集的例子來自線性空間中。線性空間的向量在向量加法下組成一個阿貝爾群。可以證明原來的線性空間的子空間是這個群的子群。對於給定的線性空間 "V",子空間 "W" 和 "V" 中的一個固定向量 "a",集合 被稱為“仿射子空間”。它們都是 "W" 的陪集。對於歐幾里得空間,仿射子空間代表與給定的過原點的直線或平面平行的直線或平面。

  "gH" = "H" 當且僅當 "g" 是 "H" 中的元素。  一個子群 "H" 的兩個左(右)陪集要麼相同,要麼不交——即左(右)陪集的集合構成了群 "G" 的一個劃分:群中的每個元素屬於且僅屬於一個左(右)陪集。特別地,單位元只在一個陪集中,即是 "H" 自己。因此 "H" 也是所有左(右)陪集中唯一的子群。這個劃分稱為 "G" 對 "H" 的左(右)陪集分解。  如果定義 "G" 中的等價關係為:"x" ~ "y" ("x" 等價於 "y" )當且僅當"x""y" ∈ "H",那麼 "H" 在 "G" 中的左陪集正是所有不同的等價類。類似的結論對右陪集也成立(當formula_2)。 一個陪集的代表元是建立在上述等價關係上的概念。陪集中的每個元素都可以作為該陪集的代表元。  "H"的所有左(右)陪集的階都是一樣的。"H" 在 "G" 中的左陪集個數和右陪集個數也是一樣的,稱為 "H" 在 "G" 中的指數。記作 formula_3。由陪集的性質很容易得到拉格朗日定理,其說明在 "G" 為有限群時:

  如果 "H" 不是 "G" 的正規子群,那麼它的左陪集和右陪集不相等:存在 "G" 中元素 "a" 使得不存在符合"aH" = "Hb"的元素 "b",或者說 "H" 的左陪集構成的劃分("G" 對 "H" 的左陪集分解)不同於 "H" 的右陪集構成的劃分("G" 對 "H" 的右陪集分解)。  另一方面,子群 "H" 為正規子群當且僅當對 "G" 中所有元素 "g","gH" = "Hg"。這時子群 "H" 所有的陪集構成一個群,稱為"G" 對 "H" 的商群,記作"G" /"H"。其元素間的運算 ∗ 定義為("aH" )∗("bH" ) = "abH"。這個定義自洽當且僅當 "H" 為正規子群。

  無限群"G"可能有具有有限指數的子群"H"(例如,整數群中的偶數)。可以證明,這樣的子群總是包含一個具有有限指數的("G"的)正規子群"N"。事實上,如果"H"具有指數"n",則"N"的指數是"n"!的因子。這一性質可以通過具體的例子來體現:考慮"G"通過乘法在"H"的左陪集上的置換作用(或者,在右陪集上的作用也是同樣的例子) 其中 formula_6 是所有陪集的集合。對 "G" 中任意的 "g", formula_7 都是一個置換。再考慮相應的置換表示:formula_8,這個置換表示的核給出了"G"的一個正規子群"N",而它的象是"G"的一個商群:一個在"n"個元素上的對稱群的子群。  "n" = 2時,上述性質表明指數為2的子群總是一個正規子群,因為 2!=2。
數學上,若"G"為群,"H"為其子群,而"g"為"G"中元素,則 僅當"H"為正規子群時,左右陪集相同,這也是子群正規性的一個定義。