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  設formula_2為開圓盤,formula_3為單連通開子集。若formula_4,則存在一對一的全純對映formula_5,使formula_6亦全純。換言之,formula_7與formula_8 雙全純同構。  注意到二維的全純對映不外乎保持定向的共形對映,它保持角度與定向不變。

  黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果,但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奧多裡在1912年發表了第一個完整證明。

  給定formula_18和formula_19,我們希望構造一個函式formula_20,它把formula_18對映到單位圓盤,把formula_19對映到formula_23。在這個證明概要中,我們假設formula_18是有界的,且其邊界是光滑的,就像黎曼所做的那樣。記 其中formula_26是某個(待確定的)全純函式,其實數部分為formula_27,虛數部分為formula_28。於是顯然"z"是"f"的唯一一個零點。我們要求對於formula_18的邊界上的formula_30有formula_31,因此我們需要在邊界上有formula_32。由於formula_27是全純函式的實數部分,我們知道formula_27一定是一個調和函式,也就是說,它滿足拉普拉斯方程。  於是問題變為:存在某個實值調和函式formula_27,對所有的formula_18都有定義,且具有給定的邊界條件嗎?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要確立了"u"的存在,全純函式formula_37的柯西-黎曼方程便允許了我們求出formula_28(這個論證依賴於formula_18是單連通的假設)。一旦構造了formula_27和formula_28,我們還需要驗證所得到的函式formula_20確實滿足所有需要的性質。
在數學中,黎曼對映定理是複分析最深刻的定理之一,此定理分類了formula_1的單連通開子集。