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  在陳述自由變數和約束變數(或虛變數)的嚴格定義之前,我們會給出一些例子,使這兩個概念比定義看起來更加清楚:  在表示式 中y是自由變數而x是約束變數(或虛變數);因此這個表示式的值依賴於y的值。  在表示式 中x是自由變數而y是約束變數;因此這個表示式的值依賴於x的值。  在表示式 中y是自由變數而x是約束變數;因此這個表示式的值依賴於y的值。  在表示式 中x是自由變數而h是約束變數;因此這個表示式的值依賴於x的值。  在表示式 中z是自由變數而x和y是約束變數;因此這個表示式的真值依賴於z的值。

  下列的  都是變數約束運算元,它們都約束變數x。

  變數約束機制出現在數學、邏輯和電腦科學中的不同情況中,但是在所有情形下它們是其中的表示式和變數的純粹語法性質。本節中我們用葉子節點是變數、函式常量或謂詞常量,而節點是邏輯運算子的樹,識別表示式來總結語法。變數約束的運算子是幾乎出現在所有形式語言中的邏輯運算子。沒有它們的語言實際上要麼是非常缺乏表達能力,要麼非常難於使用。約束的運算子 Q 接受兩個引數:變數v和表示式P,把 Q 應用於它的引數時就會生成新表示式 Q(v, P) 。約束運算子的意義由這個語言的語義提供而不是我們現在關心的。 變數約束有關於三個事情:變數v,這個變數在表示式中的位置a,和形成 Q(v, P) 的節點n。注意: 我們定義在表示式中位置為在這個語法樹中的葉子節點。變數約束在這個位置在節點n之下的時候發生。  舉個數學的例子,考慮定義了一個函式的表示式  這裡的t是一個表示式。t可以包含某些、所有的、或者不包含x,..., x的任意一個,並可以包含其他變數。在這種情況下我們稱函式的定義約束了這些變數 x,..., "x"。  在λ演算中,如果x是項M = λ x. T中的約束變數,而且是T中的自由變數,則我們稱x在M中是約束的,在T中是自由的。如果T包含一個子項 λ x. U,則x在這個項中是再約束的。這種巢狀的、內層的x的約束被稱為外層約束的“陰影”。 x在U中的出現是新x的自由出現。  在程式頂層的變數約束在技術上在它們所約束的項之內是自由變數,但是經常特殊對待,因為它們可以被編譯為固定地址。類似的,約束於遞迴函式的識別符號被稱為在它歸屬的函式體內是自由變數但要特殊對待。  封閉項是不包含自由變數的項。

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在數學和其他涉及形式語言的學科中,包括數理邏輯和電腦科學,自由變數是在表示式中用於表示一個位置或一些位置的符號,某些明確的可以在其中發生,或某些運算(比如總和或量化)可以在其上發生。這個概念有關於佔位符(它是以後會被文字串所替換),或表示未指定符號的萬用字元,但更加深入和複雜。