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  設 "M" 是歐幾里得空間中一個曲面,第二基本形式為 "II"("X","Y")。固定一點 "p"∈"M",以及在 "p" 點切空間的一個標準正交基 "X"、"X"。則主曲率是如下對稱矩陣的本徵值  如果選取 "X" 與 "X" 使得矩陣 ["II"] 是一個對角矩陣,則它們稱為主方向。如果曲面已定向,則通常要求 ("X", "X") 與給定的定向相同。  若沒有一個特定的標準正交基,主曲率是形運算元的本徵值,而主方向是本徵向量。

  對高維歐幾里得空間中超曲面,主曲率可類似地定義。主曲率是第二基本形式在一個標準正交基下矩陣 "II"("X","X") 的本徵值,主方向是對應的本徵向量。  類似地,如果 "M" 是黎曼流形 "N" 中一個超曲面,則主曲率是其第二基本形式的本徵值。如果 "k",..., "k" 是點 "p" ∈ "M" 的 "n" 個主曲率而 "X",..., "X" 是對應的標準正交本徵向量(主方向),則 "M" 在 "p" 的截面曲率為

  曲率線(英語:lines of curvature 或 curvature lines)是總與一個主方向相切的曲線,它們是主方向場的積分曲線。過每個非臍點有兩條曲率線,它們相交成直角。  在一個臍點附近曲率線有三類佈局:星形(英語:star)、檸檬形(英語:lemon)以及檬星形(英語:monstar,源於 "lemon-star")。為了紀念達布,這些點也稱為達布臍點,他最先在他1896年的課程(Vol. 4, p455)中做了系統性研究。  在這些佈局中,紅色曲線是一類主方向的曲率線,而藍色曲線是另一類的。  當一條曲率線對同一個主曲率有一個區域性極值,則此曲線有一個脊點(英語:ridge point)。曲面上曲線的脊點稱為脊。脊曲線經過臍點。對星形佈局有 3 條或 1 條脊線經過臍點,對 monstar 與 lemon 只有一條脊線經過。
在微分幾何中,在曲面給定點的兩個主曲率(英語:principal curvatures)衡量了在給定點一個曲面在這一點的不同方向怎樣不同彎曲的程度。