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  皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明:光傳播的正確路徑,所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性,現今,一個物理系統的運動擁有了展望與目標。  戈特弗裡德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論:光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑;更精確地說,阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題,如果要符合實驗的結果,玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙;但是,玻璃的密度大於空氣,應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散;因此,光被約束在一個很窄的路徑內。假若,河道變窄,水的流速會增加;同樣地,光的路徑變窄,所以光的速度變快了。  1744年,皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,發表了最小作用量原理:光選擇的傳播路徑,作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理,他證明了費馬原理:光傳播的正確路徑,所需的時間是極值;他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年,莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中,應用這原理於碰撞,正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞;這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。  萊昂哈德·尤拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律,而這物理量是formula_1。應用這理論,尤拉成功的計算出,當粒子受到連心力作用時,正確的拋射體運動。  在此以後,許多物理學家,包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等,對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

  微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出,隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化,一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變,再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值,就能求得物理變數在任何點的數值。  作用量方法是一種全然不同的方法,它能夠描述物理系統的運動,而且只需要設定物理變數在兩點的數值,稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算,可以得到,此變數在這兩點之間任何點的數值。而且,作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。 哈密頓原理闡明瞭這兩種方法在物理學價位的等價:描述物理系統運動的微分方程式,也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場,這描述都是正確的。更加地,哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。  用變分法數學語言來描述,求解一個物理系統作用量的平穩值(通常是最小值),可以得到這系統隨時間的演化(就是說,系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態)。更廣義地,系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

  在經典物理裡,作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

  最常見的作用量是一個泛函formula_2,輸入是引數為時間與空間的函式,輸出是一個純量。在經典力學裡,輸入函式是物理系統在兩個時間點formula_3,formula_4之間廣義座標formula_5的演變。  作用量formula_2定義為,在兩個時間點之間,系統的拉格朗日量formula_7對於時間的積分:  根據哈密頓原理,正確的演化formula_9要求平穩的作用量formula_2(最小值、最大值、鞍值)。經過運算,結果就是拉格朗日方程式。

  簡略作用量也是一個泛函,通常標記為formula_11。這裡,輸入函式是物理系統移動的一條路徑,完全不考慮時間引數。舉例而言,一個行星軌道的路徑是個橢圓,一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線;在這兩種狀況,路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量formula_11定義為廣義動量formula_13延著路徑的積分:  其中,formula_15是廣義座標.根據莫佩爾蒂原理,正確路徑的簡略作用量formula_11是平穩的。

  哈密頓主函式是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函式formula_17與泛涵formula_2有密切的關係。固定住初始時間formula_3和其對應的座標點formula_20;而准許時間上限formula_4和其對應的座標點formula_22的改變。取formula_4和formula_22為函式formula_17的引數。換句話說,作用量函式formula_17是拉格朗日量對於時間的不定積分:  更加地,可以證明formula_28是某常數向量formula_29。所以,

  假若,哈密頓量formula_31是守恆的;  其中,formula_33是常數。  設定哈密頓特徵函式formula_34為  則哈密頓特徵函式formula_34是一個作用量。  更加地,  對於時間積分:  這正是簡略作用量的方程式。

  哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若,哈密頓-雅可比方程式是完全可分的;則哈密頓主函式formula_39分出的每一個專案formula_40也稱為"作用量"。

  這變數formula_41稱為廣義座標formula_44的作用量;相應的正則座標是角度formula_45。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量;這裡,只有一個純量變數formula_44被用來積分。作用量formula_41等於,隨著formula_44沿著閉路徑,formula_49的改變。應用於幾個有趣的物理系統,formula_41或者是常數,或者改變非常地慢。因此,formula_41時常應用於微擾理論與緩漸不變數的研究。

  參閱重言1形式。

  哈密頓原理闡明,如果一個物理系統在兩個時間點formula_3、formula_4的運動是正確運動,則作用量泛函formula_2的一次變分formula_55為零。用數學方程式表示,定義作用量為  其中,formula_57是系統的拉格朗日函式,廣義座標formula_58是時間的函式。  假若,formula_5乃系統的正確運動,則formula_60。  從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式.假設formula_5是系統的正確運動,讓formula_62成為一個微擾formula_63;微擾在軌道兩個端點的值是零:  取至formula_62的一階微擾,作用量泛函的一次變分為  這裡,將拉格朗日量formula_7展開至formula_62的一階微擾。  應用分部積分法於最右邊專案,  邊界條件formula_70使第一個專案歸零。所以,  要求作用量泛函formula_2平穩。這意味著,對於正確運動的任意微擾formula_62,一次變分formula_74必須等於零:  請注意,還沒有對廣義座標formula_5做任何要求。現在,要求所有的廣義座標都互相無關(完整限制)。這樣,根據變分法基本引理,可以得到拉格朗日方程式:  在各個物理學領域,拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式,能夠用來精確地理論分析許多物理系統。  對應於廣義座標formula_44的廣義動量formula_79,又稱為共軛動量,定義為  假設formula_7不顯性地跟廣義座標formula_44有關,  則廣義動量formula_84是常數。在此種狀況,座標formula_44稱為迴圈座標。舉例而言,如果用極座標系formula_86來描述一個粒子的平面運動,而formula_7與formula_88無關,則廣義動量是守恆的角動量。
在物理學裡,作用量(英語:action)是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同,作用量也可以被用來分析物理系統的運動,所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態,初始狀態與最終狀態,然後,經過求解作用量的平穩值,就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。