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  費馬平方和定理的表述是:奇質數能表示為兩個平方數之和的充分必要條件是該質數被4除餘1。

  尤拉在1747年證明了費馬平方和定理,當年他四十歲。他在當年5月6日寄給哥德巴赫一封信,講述這個定理的證明。該證明分五步,且用到了無窮遞降法;由於信中沒有把第五步講清楚,因此1749年他再次寄給哥德巴赫一封信,詳細講述第五步的證明。  第一步、“如果兩個整數都能表示為兩個平方數之和,則它們的積也能表示為兩個平方數之和。”  第二步、“如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個能表示為兩個平方數之和的素數整除,則它們的商也能表示為兩個平方數之和。”  第三步、“如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個不能表示為兩個平方數之和的整數整除,則它們的商也必有一個不能表示為兩個平方數之和的因子。”  第四步、“如果formula_29和formula_30互素,則formula_2的所有因子都能表示為兩個平方數之和。”  第五步、“任何形為formula_68的素數都能表示為兩個平方數之和。”
費馬平方和定理是由法國數學家費馬在1640年提出的一個猜想,但他沒有提出有力的數學證明,1747年,瑞士數學家萊昂哈德·尤拉提出證明後成為定理。