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  設為一至少階可微的函式,,則<br> formula_1 <br> 其中

  證明使用數學歸納法以及黎曼-斯蒂爾傑斯積分,下文中假設的可微次數足夠大,。<br> 為了方便,將原式的各項用不同顏色表示:<br> formula_3 <br>

  容易算出<br> formula_4<br> formula_5 <br> 其中橙色的項通過分部積分可化為<br> formula_6

  formula_7

  formula_8

  formula_9 <br> 得到想要的結果。

  尤拉-麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨著的增加而增加,相反地,如果相當大,則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前100項時用Mathematica算出不同的對應的積分項的絕對值:  <br>

  通過尤拉-麥克勞林求和公式可以給出黎曼ζ函式的漸進式:<br> formula_10<br> 其中<br> formula_11

  尤拉-麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式:<br> formula_12<br> 這是尤拉給出的原始形式。
尤拉-麥克勞林求和公式在1735年由萊昂哈德·尤拉與科林·麥克勞林分別獨立發現,該公式提供了一個聯絡積分與求和的方法,由此可以匯出一些漸進展開式。