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  開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為formula_1 的一個圓formula_2,圓內又有四個圓formula_3 內切於圓formula_2(如右圖)。如果將圓formula_5 的外公切線的長度設為formula_6,那麼開世定理聲稱,有下列等式成立。 可以注意到,如果四個內切的圓都退化成點的話,就會變成圓formula_2 上的四個點,而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。

  設大圓的圓心是點formula_2;四個圓的圓心分別是點formula_3,半徑分別是formula_11。每個圓與大圓formula_2 的切點分別是formula_13。  首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的"i" 和"j",都有 接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用formula_15 來表示。  考慮三角形formula_16,根據三角形的餘弦定理:  由於每個圓formula_18 都和大圓相切,所以:  設點formula_20 為大圓formula_2 上的任意一點,根據三角形的正弦定理,在三角形formula_22之中,有:  所以,餘弦式  將以上formula_25 與formula_26 代入式子formula_27中,就可以得到:  再代入式子formula_32中,就得到formula_33的表示式:  以上等式對所有的"i" 和"j" 都成立,因此只要注意到四邊形 formula_35 是圓內接四邊形,那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理:  證明完畢。

  可以用類似的方法證明,只要當圓formula_3 與大圓formula_2 相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明,對任意的"i" 和"j": 另一個特點是:這定理的逆定理也成立。也就是說,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。

  在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。
在幾何學中,開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理,可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。