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  線性微分方程是一類特殊的微分方程。一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間,因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。線性微分方程的普遍形式為: 其中的formula_2是一個線性的微分運算元,也就是說,設有兩個函式formula_5和formula_6以及兩個常數formula_7和formula_8,那麼: 如果是零函式,那麼給定若干個方程(*)的解函式:formula_10以及同樣多的常數係數:formula_11,線性組合formula_12仍然是方程(*)的解函式。這說明所有方程(*)的解函式構成一個線性空間,稱為方程的解空間。如果不是零函式,那麼考慮相應的齊次線性微分方程: 設formula_14是方程(*)的一個解函式。formula_15方程(**)的任意一個解函式。則它們的和formula_16仍然是(*)的解函式。另一方面,給定方程(*)的兩個解函式:formula_17和formula_18。則它們的差formula_19會是方程(**)的解函式。這說明方程(*)的所有解函式都可以寫成formula_20的形式。其中是方程(**)的解空間。所以方程(*)的所有解函式構成一個仿射空間,並且formula_21。

  一種解線性微分方程的方法是尤拉發現的,他意識到這類方程的解都具有formula_22的形式,其中formula_23是某個複數。因此,對於以下方程:  我們設formula_25,可得:  兩邊除以"e",便得到了一個"n"次方程:  這個方程"F"("z") = 0稱為特徵方程。  一般地,把微分方程中以下的項  換成"z",便可得到特徵方程。這個方程有"n"個解:"z",..., "z"。把任何一個解代入"e",便可以得到微分方程的一個解:"e"。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理,因此這些函式的任意線性組合仍然滿足微分方程。  如果特徵方程的根都不重複,我們便得到了微分方程的"n"個解。可以證明,這些解是線性獨立的。於是,微分方程的通解就是"y" = "C""e" + "C""e" +...... + "C""e",其中"C"、"C"、......、"C"是常數。  以上討論了"n"個根全不相同的情形。如果這"n"個根中有兩個(或多個)相同,用上面的方法就無法得出"n"個線性獨立的解。但是,可以驗證,如果"z"是特徵方程的 "m" 重根,那麼,對於 formula_29,formula_30 就是微分方程的一個解。對每個特徵根 "z",都能得到 "m" 個解,所有這些解的線性組合就是方程的通解。  一般地,如果微分方程的係數"A"都是實數,那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如特徵方程有複數根,那麼它一定是成對的,也就是說,如果"a" + "bi"是特徵方程的根,那麼"a" - "bi"也是一個根。於是,"y" = "e"和"y" = "e"都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解,我們可以把這兩個解相加,再除以2,利用尤拉公式,便得到一個實數形式的解:"y" = "e"cos"bx"。如果把兩個解相減,再除以2i,便得到另一個實數形式的解:"y" = "e"sin"bx"。於是,"y" = "C""e"cos"bx" + "C""e"sin"bx"就是微分方程的通解。

  求微分方程formula_31的通解。特徵方程是formula_32,它的根是2+"i"和2−"i"。於是,formula_33就是微分方程的通解。

  欲得到非齊次線性微分方程的通解,我們首先求出對應的齊次方程的通解,然後用待定係數法或求出非齊次方程本身的一個特解,把它們相加,就是非齊次方程的通解。

  考慮以下的微分方程:  對應的齊次方程是:  它的通解是:  由於非齊次的部分是(formula_37),我們猜測特解的形式是:  把這個函式以及它的導數代入微分方程中,我們可以解出"A":  因此,原微分方程的解是:

  假設有以下的微分方程:  我們首先求出對應的齊次方程的通解formula_46,其中"C"、"C"是常數,"y"、"y"是"x"的函式。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解,方法是把齊次方程的通解中的常數"C"、"C"換成"x"的未知函式"u"、"u",也就是:  兩邊求導數,可得:  我們把函式"u"、"u"加上一條限制:  於是:  兩邊再求導數,可得:  把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中,可得:  整理,得:  由於"y"和"y"都是齊次方程的通解,因此formula_54和formula_55都變為零,故方程化為:  (2)和(5)聯立起來,便得到了一個formula_57和formula_58的方程組,便可得到formula_57和formula_58的表示式;再積分,便可得到formula_61和formula_62的表示式。  這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地,有:  其中W表示朗斯基行列式。

  "n"階的變係數微分方程具有以下形式:  一個例子是柯西-尤拉方程:  變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解,但一階的變係數線性微分方程是例外。設有以下的一階變係數線性微分方程:  這個方程可以用積分因子求解,方法是把兩邊乘以formula_67:  用乘法定則,可以簡化為:  兩邊積分,得:  也就是說,一階線性微分方程formula_72的解是:  其中formula_74是積分常數,且

  考慮以下一階線性微分方程:  "p"("x") = b,"r"("x") = 1,因此微分方程的解為:

  應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。  首先有以下關係:  有如下微分方程:  該方程可變換為:  則:  formula_83  其中 formula_84 是初始條件。  "f"("t") 通過拉普拉斯反變換 formula_85 求得。
線性微分方程是數學中常見的一類微分方程。指以下形式的微分方程: