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  朗道量子化可以通過準經典的方法部分匯出。這裡採用量子力學的方法進行推導:  考慮一個帶電粒子組成的二維繫統。這些粒子無內部相互作用,所帶電荷為,自旋量子數為,並被限制在平面內一個面積的區域內。  對這一系統施加一個沿軸的均勻磁場formula_1。由於自旋對於這個二維繫統沒有影響,因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下,這個系統的哈密頓算符為: 式中formula_3為正則動量算符,formula_4為磁場的磁矢勢,與磁感應強度的關係為:  給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當formula_4被新增一個標量場的梯度時,波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化,但由於哈密頓算符具有規範不變性,系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算,這裡選擇朗道規範: 式中=|B|,"x"為位置算符方向上的分量。  在這一規範下,系統的哈密頓算符為: 算符formula_9與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時,算符formula_10被忽略掉了,因而算符formula_9可被它的本徵值替代。  如果設定迴旋頻率,那麼可以得出此時哈密頓算符為: 這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致,但勢能的最小值需要在位置表象中移動。  注意到諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量,也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致: 由於能量與量子數無關,因而會存在一定的簡併態。  由於formula_9與哈密頓算符是對易的,因而系統的波函式可以表示為方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢formula_15的乘積,但formula_15也需要在方向上移動,即:  總之,電子的狀態可以通過與這兩個量子數表徵。

  朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值,即時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低,外磁場較強。  每個朗道能級都具有一定的簡併度,因為量子數的取值情況為: 式中為整數。所允許的取值受到振子的運動中心座標的影響。振子的運動必須在系統範圍內,也就是說。這給出了的取值範圍:  對於帶電量的粒子來說,的上限可以表記為磁通量的比值: 式中為磁通量的基本量子,是系統的磁通量,面積。  因而對於自旋為的粒子,每個朗道能級的簡併度的最大值為:  上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果,嚴格來說,諧振子解只對在方向上不受限的系統有效,如果系統尺度是有限的,那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上,兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。  一般來說,朗道能級可以在電子系統中被觀察到,其中=1,=1/2。隨著磁場增強,越來越多的電子會佔據朗道能級。最高的朗道能級的佔據情況會導致多種電子性質振盪,如德哈斯-範阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。  如果考慮到塞曼效應的話,那麼每個朗道能級都會分裂為一對能級:一個為自旋向上的電子佔據的能級,一個是自旋向下的電子佔據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率: = 。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的:。然而在多個能級被佔滿時,系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的,因為塞曼效應造成的影響,在這些能級相加時會被抵消掉。

  在上面的推導過程中,與似乎並不對稱。然而,考慮到系統的對稱性,並沒有物理量能表徵這兩個座標的區別。在對與進行適當的內部變換後,可以得到相同的結果。  此外,上述推導中電子在方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在,如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在方向上可以自由移動,那麼波函式還需要乘以一個因子exp(),能量對應地需要加上。這一項會“填入”能級間隙,從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面-上的運動仍是量子化的。

  選定對稱規範:  對於哈密頓算符進行去量綱化:  實際值可以通過引入formula_24、formula_25、formula_26、formula_27及formula_28等常數得出。  引入算符  這些算符的對易關係為:  哈密頓算符可記為:  朗道能級序數formula_35是formula_36的本徵值。  角動量方向上的分量為:  利用其與哈密頓算符可對易,即formula_38,我們選定formula_39的本徵值formula_40為使formula_41與 formula_39對角化的本徵函式。易見,在第formula_35個朗道能級上存在formula_44。然而formula_45的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。  使用formula_46可以使formula_45減小一個單位同時使formula_35保持不變,而formula_49則可以使formula_35增大一個單位,同時令formula_45減小一個單位。類比量子諧振子,可以得到:  在朗道規範與對稱規範下,每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數及formula_45表徵,每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。  可以證明選定下面這個波函式時,也可以得到上面得到的結果:  式中formula_57。  特別地,對於最低的朗道能級,即formula_58時,波函式為任意一個解析函式與高斯函式的乘積:formula_59。

  進行這樣的規範變換:  運動學動量的定義為:  式中formula_62為正則動量。哈密頓算符是規範不變的,因而formula_63與formula_64也會在規範變換後保持不變,但formula_65會受到規範變換的影響。  為了考察規範變換帶來的影響,設磁矢勢為formula_66與formula_67時的量子態為formula_68與formula_69。  由於formula_64和formula_63是規範不變的,可以得到:  設算符formula_75會使formula_76,則:  綜上所述:
朗道量子化是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值,形成朗道能級。朗道能級是簡併的,每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。