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  “張量”一詞最初由威廉·羅恩·哈密頓在1846年引入,但他把這個詞用於指代現在稱為模的物件。該詞的現代意義是沃爾德馬爾·福格特在1899年開始使用的。  這個概念由格雷戈里奧·裡奇-庫爾巴斯托羅在1890年在《絕對微分幾何》的標題下發展出來,隨著1900年列維-奇維塔的經典文章《絕對微分》(義大利文,隨後出版了其他譯本)的出版而為許多數學家所知。隨著1915年左右愛因斯坦的廣義相對論的引入,張量微積分獲得了更廣泛的承認。廣義相對論完全由張量語言表述,愛因斯坦從列維-奇維塔本人那裡學了很多張量語言(其實是Marcel Grossman,他是愛因斯坦在蘇黎世聯邦理工學院的同學,一個幾何學家,也是愛因斯坦在張量語言方面的良師益友 - 參看Abraham Pais所著《上帝是微妙的(Subtle is the Lord)》),並學得很艱苦。但張量也用於其它領域,例如連續力學,譬如應變張量(參看線性彈性)。  注意“張量”一詞經常用作張量場的簡寫,而張量場是對流形的每一點給定一個張量值。要更好的理解張量場,必須首先理解張量的基本思想。

  一個 型的張量 被定義為一個多重線性對映(multilinear map) 其中 "V" 是向量空間,"V" 是其對偶空間。

  有兩種定義張量的方法:  但物理學家和工程師是首先識別出向量和張量作為實體具有物理上的意義的,它超越了它們的分量所被表述的(經常是任意的)座標系。同樣,數學家發現有一些張量關係在座標表示中更容易推導。

  張量可以表述為一個值的序列,用一個向量值的定義域和一個標量值的值域的函式表示。這些定義域中的向量是自然數的向量,而這些數字稱為指標。例如,取一3階張量尺寸為2x5x7。這裡,指標的範圍從<1,1,1>到<2,5,7>。張量可以在指標為<1,1,1>有一個值,在指標為<1,1,2>有另一個值,等等一共70個值。 (類似的,向量可以表示為一個值的序列,用一個標量值的定義域和一個標量值的值域的函式表示,定義域中的數字是自然數,稱為指標,不同的指標的個數有時稱為向量的維度。)  一個張量場是在歐幾里得空間中的每一點都給定一個張量值。這樣不是像上面的例子中簡單的有70個值,對於一個3階張量,維度為<2,5,7>,空間中的每一個點有70個值和它相關。換句話說,張量場表示某個張量值的函式,其定義域為歐幾里得空間。不是所有的函式都行—更多關於這些要求的細節參看張量場。  不是所有自然中的關係都是線性的,但是很多是可微的因而可以區域性的用多線性對映來區域性的逼近。這樣多數物理學中的量都可以用張量表示。  作為一個簡單的例子,考慮水中的船。我們要描述它對受力的反應。力是一個向量,而船的反應是一個加速度,它也是一個向量。通常加速度不是和受力的方向相同,因為船體的特定形狀。但是,這個力和加速之間的關係實際上是線性的。這樣一個關係可以用一個(1,1)型別(也就是說,它把一個向量變成另一個向量)的張量表示。這個張量可以用矩陣表示,當它乘以一個向量時就得到另一個作為結果。座標系改變的時候,表示一個向量的數字會改變,同樣,表示這個張量的矩陣中的數字也會改變。  工程上,剛體或流體內的應力也用一個張量表示;"張量"一詞的拉丁語就表示引起張力的某種拉伸。如果材料內的一個特定的表面元素被選出來,在表面一側的材料會對另一側的施加一個力。通常,該力不和表面正交,但是它將線性的依賴於表面的朝向。這可以精確用(2,0)型別的張量精確的描述,或者更精確地說,是用一個型別為(2,0)的張量"場"來表示,因為張量可能在每一個不同。  另外一些著名的幾何中張量的例子有二次型,以及曲率張量。物理張量的例子有能動張量,慣量和極化張量。  幾何和物理的量可以通過考慮它們的表述內在的自由度來分類。標量是那些可以用一個數表示的 --- 速率,質量,溫度,等等。有一些向量型別的量,例如力,它需要一個數字的列表來表述。最後,像二次型這樣的量需要用多維陣列來表示。後面這些量只能視為張量。  實際上,張量的概念相當廣泛,可以用於上面所有的例子;標量和向量是張量的特殊情況。區別標量和向量以及區別這兩者和更一般的張量的特徵是表示它們的陣列的指標的個數。這個個數稱為張量的階。這樣,標量是0階張量(不需要任何指標),而向量是一階張量。  張量的另外一個例子是廣義相對論中的黎曼曲率張量,它是維度為<4,4,4,4>(3個空間維度 +時間維度 = 4個維度)的4階張量。它可以當作256個分量(256 = 4×4×4×4)的矩陣(或者向量,其實是個4維陣列)。只有20個分量是互相獨立的,這個事實可以大大簡化它的實際表達。

  有幾種想象和操作張量的等價方法;只有熟悉了這個課題,其內容是等價的這個事實才會變得明顯。  最終,同樣的計算內容被表達出來,兩種方式都可以。技術性術語列表請參看張量理論詞彙。

  張量場也可有一個“密度”。密度為"r"的張量和普通張量一樣座標變換,但是它還要乘以雅可比矩陣的行列式值的第"r"次冪。這個的最佳解釋可能是使用向量叢:其中,切叢的行列式叢是一個線叢,可以用來'扭轉'其它叢"r"次。

  其中,a是座標變換的雅可比矩陣。這裡所有的分量假定為共變,反變的張量變換要用a的逆矩陣。注意這裡是用了愛因斯坦記號。  " |a|是a的行列式。
張量(英語:tensor)是一個可用來表示在一些向量、純量和其他張量之間的線性關係的多線性函式,這些線性關係的基本例子有內積、外積、線性對映以及笛卡兒積。其座標在 formula_1 維空間內,有 formula_2個分量的一種量,其中每個分量都是座標的函式,而在座標變換時,這些分量也依照某些規則作線性變換。formula_3稱為該張量的秩或階(與矩陣的秩和階均無關係)。