Can you summarize the following document?
        
  現代的二進位制記數系統由戈特弗裡德·萊布尼茨於1679年設計,在他1703年發表的文章《論只使用符號0和1的二進位制算術,兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義》出現。與二進位制數相關的系統在一些更早的文化中也有出現,包括古埃及、古代中國和古印度。中國的《易經》尤其引起了萊布尼茨的聯想。

  古埃及的計數員使用兩種不同的系統表示分數,一是埃及分數(與二進位制記數系統無關),二是荷魯斯之眼分數(叫這個名字是因為很多數學史家相信這個系統所採用的符號可以排列成荷魯斯之眼,但這一點有爭議)。荷魯斯之眼分數是用來表示分數數量的穀物、液體等的二進位制記數系統,在這一系統下,以赫卡特為單位的分數值表示成1/2、1/4、1/8、1/16、1/32和1/64等二進位制分數的和。 這一系統的早期形式可以在埃及第五王朝(約公元前2400年)的檔案中找到,而發展完備的象形文字形式可追溯到埃及第十九王朝(約公元前1200年)。 古埃及做乘法的方式也與二進位制數密切相關,約公元前1650年的萊因德數學紙草書中就能看到。這一計算方法中,要把1和乘數不斷翻倍,按被乘數的二進位制表示從左列選出相應的2的冪次,並將右列的數相加。

  印度學者平甲拉(公元前兩世紀左右) 通過二進位制方法來研究韻律詩。他的二進位制中用到的是長短音節(一個長音節相當於兩個短音節),有些像摩爾斯電碼。與西方的位置表示法不同,平甲拉的系統中,二進位制是從右往左書寫的。

  1605年,弗朗西斯·培根提出了一套系統,可以把26個字母化為二進位制數。此外他補充道,這個思路可以用於任何事物:“只要這些事物的差異是簡單對立的,比如鈴鐺和喇叭,燈光和手電筒,以及火槍和類似武器的射擊聲”。這對二進位制編碼的一般理論有重要意義。(參見培根密碼)

  萊布尼茨關於二進位制的論文全名是《論只使用符號0和1的二進位制算術,兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義》(1703年)。類似於現代二進位制計數系統,萊布尼茲的系統使用0和1。下面是萊布尼茲的二進位制記數系統的一個例子:  萊布尼茲認為易經中的卦象與二進位制算術密不可分。萊布尼茲解讀了易經中的卦象,並認為這是其作為二進位制算術的證據。作為親華派,萊布尼茲關注易經,並饒有興致地注意到它的卦象與從0到111111的二進位制數字有某種對應,並認為這種對應反映了中國的重大成就中展現的他所崇尚的數學哲學。萊布尼茲首次接觸到易經是在與法國耶穌會傳教士白晉的聯絡中。白晉1685年作為傳教士前往中國。 長期以來,人們對萊布尼茨發明二進位制是否受到了伏羲八卦的影響爭議頗多。認為萊布尼茨未受伏羲八卦影響獨立發明二進位制的理由主要是萊布尼茨在1679年(與白晉首次通訊的二十多年)就撰寫了“二的級數”(De Progressione Dyadica)一文;而目前有學者傾向於認為萊布尼茨二進位制的體系確源於伏羲八卦圖,原因在於1687年萊布尼茨看過柏應理的《這個哲學家孔子》,書中便有伏羲八卦次序圖、方點陣圖和周文王六十四卦圖。此外,萊布尼茨還閱讀過1660年斯比賽爾出版的《中國文史評析》,其中亦有對《易經》和八卦的介紹。 此外,萊布尼茲認為易經的卦象肯定了他所信仰的基督教的共相。一切數都可以用0和1創造出來,在萊布尼茲看來,這正象徵了基督教《聖經》所說的上帝從“無”創造“有”(creatio ex nihilo)。

  1854年,英國數學家喬治·布林發表了一篇里程碑式的論文,其中詳細介紹了一種代數化的邏輯系統,後人稱之為布林代數。他提出的邏輯演算在後來的電子電路設計中起基礎性作用。  1937年,克勞德·夏農在麻省理工大學完成了其電氣工程碩士學位論文,用繼電器和開關實現了布林代數和二進位制算術運算。論文題為《繼電器與開關電路的符號分析》(A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits),其中夏農的理論奠定了數位電路的理論基礎。夏農憑這篇論文於1940年被授予美國阿爾弗雷德·諾貝爾協會美國工程師獎。哈佛大學的哈沃德·加德納稱,夏農的碩士論文“可能是本世紀最重要、最著名的碩士學位論文”。  1937年11月,任職于貝爾實驗室的喬治·斯蒂比茲發明了用繼電器表示二進位制的裝置。它是第一臺二進位制電子計算機。

  

  二進位制的一種特殊的演算法,稱為拈加法。進行拈加法時,與進行加法無異,只是不需進行進位制,在博弈論中被廣泛利用。

  

  整數部分,把十進位制轉成二進位制一直分解至商數為0。讀餘數從下讀到上,即是二進位制的整數部分數字。 小數部分,則用其乘2,取其整數部分的結果,再用計算後的小數部分依此重複計算,算到小數部分全為0為止,之後讀所有計算後整數部分的數字,從上讀到下。將59.25 轉成二進位制: formula_5  也可以公式來計算

  將100101轉換為十進位制形式如下:

  就是十進位制數字3.25。  所有二進分數formula_6都對應一個“有窮”二進位制數字——這一二進位制表示的小數部分位數有限。其他有理數也有二進位制表示,但不是有窮的,而是出現迴圈,即某個有限序列出現無數次。例如  在其他基數的計數系統中,有理數的表示也是有窮或迴圈的。另一相似之處在於,如果我們有一個有窮表示,那麼它還會有其他的表示方式,例如幾何級數2 + 2 + 2 +...的和既是1,也是0.111111...。  無限不迴圈二進位制小數表示的是無理數。例如,
二進位制(binary)在數學和數碼電路中指以2為基數的記數系統,以2為基數代表系統是二進位制的。這一系統中,通常用兩個不同的符號0(代表零)和1(代表一)來表示。數位電子電路中,邏輯閘直接採用了二進位制,因此現代的計算機和依賴計算機的裝置裡都用到二進位制。每個數字稱為一個位元(二進位制位)或位元(Bit,Binary digit 的縮寫)。