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  對於特定的隨機變數 formula_5,其分佈函式formula_6是單調不減及右連續,而且formula_7,formula_8。這些性質反過來也描述了所有可能成為分佈函式的函式:

  設 formula_12 為概率測度,formula_13 為隨機變數,則函式 formula_14 稱為 formula_13 的概率分佈函式。如果將 formula_13 看成是數軸上的隨機點的座標,那麼,分佈函式 formula_17 在 formula_18 處的函式值就表示 formula_13 落在區間 formula_20 上的概率。  例如,設隨機變數 formula_13 為擲兩次骰子所得的點數差,而整個樣本空間由 36 個元素組成。 其分佈函式是:

  上面所列舉的例子屬於離散分佈,即分佈函式的值域是離散的,比如只取整數值的隨機變數就是屬於離散分佈的。formula_23表示隨機變數formula_24的概率值。如果"X"的取值只有formula_25,則:

  二項分佈是最重要的離散概率分佈之一,由瑞士數學家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)所發展,一般用二項分佈來計算概率的前提是,每次抽出樣品後再放回去,並且只能有兩種試驗結果,比如黑球或紅球,正品或次品等。二項分佈指出,隨機一次試驗出現的概率如果為formula_28,那麼在formula_29次試驗中出現formula_30次的概率為: 例如,在擲3次骰子中,不出現6點的概率是:formula_32在連續兩次的輪盤遊戲中,至少出現一次紅色的概率為:formula_33  二項分佈在formula_34時表現出影象的對稱性,而在formula_28取其它值時是非對稱的。另外二項分佈的期望值formula_36,以及方差formula_37

  作為離散概率分佈的超幾何分佈尤其指在抽樣試驗時抽出的樣品不再放回去的分佈情況。在一個容器中一共有formula_38個球,其中formula_39個黑球,formula_40個紅球,通過下面的超幾何分佈公式可以計算出,從容器中抽出的formula_29個球中(抽出的球不放回去)有formula_30個黑球的概率是多少: 例如,容器中一共10個球,其中6個黑色,4個白色,一共抽5次(抽出的球不放回去),在這5個球中有3個黑球的概率是: formula_44

  和二項分佈不同的是,在超幾何分佈中,特別強調的是抽出的樣品在下一次抽取前不再放回去,但是如果抽取的次數formula_29和總共樣品數formula_38相比很小(大約formula_47),這時在計算上二項分佈和超幾何分佈相互間則沒有主要的區別,此時人們更願意採用二項分佈的方法,因為在數學計算上二項分佈要簡單一些。

  泊松近似是二項分佈的一種極限形式。其強調如下的試驗前提:一次抽樣的概率值formula_28相對很小,而抽取次數formula_29值又相對很大。因此泊松分佈又被稱之為罕有事件分佈。泊松分佈指出,如果隨機一次試驗出現的概率為formula_28,那麼在formula_29次試驗中出現formula_30次的概率按照泊松分佈應該為: 其中,數學常數formula_54(自然對數的底數)例如,某工廠在生產零件時,每200個成品中會有1個次品,那麼在100個零件中最多出現2個次品的概率按照泊松分佈應該是:formula_55  在實踐中如果遇到formula_29值很大導致二項分佈難於計算時,可以考慮使用泊松分佈,但前提是formula_57必須趨於一個有限極限。是:

  設formula_13是具有分佈函式formula_61的連續隨機變數,且"F"的一階導數處處存在,則其導函式 稱為formula_13的機率密度函式。每個機率密度函式都有如下性質: 第一個性質表明,機率密度函式與formula_18軸形成的區域的面積等於1,第二個性質表明,連續隨機變數在區間formula_67的概率值等於密度函式在區間formula_67上的積分,也即是與formula_13軸在formula_67內形成的區域的面積。因為formula_71,且formula_72是formula_17的導數,因此按照積分原理不難推出上面兩個公式。  正態分佈、指數分佈、formula_74-分佈,formula_61-分佈以及formula_76-分佈都是連續分佈。

  連續隨機變數的機率密度函式如果是如下形式, 那麼這個連續分佈被稱之為正態分佈,或者高斯分佈。其密度函式的曲線呈對稱鐘形,因此又被稱之為鐘形曲線,其中formula_78是平均值,formula_79是標準差。正態分佈是一種理想分佈,許多典型的分佈,比如成年人的身高,汽車輪胎的運轉狀態,人類的智商值(IQ),都屬於或者說至少接近正態分佈。同樣按照連續分佈的定義,常態機率密度函式具有和普通機率密度函式類似的性質: 如果給出一個正態分佈的平均值formula_78以及標準差formula_79,可以根據上面的第二個公式計算出任一區間的概率分佈情況。但是如上的計算量是相當龐大的,沒有計算機的輔助基本是不可能的,解決這一問題的方法是藉助formula_84-變換以及標準正態分佈表格(formula_84-表格)。  中間值formula_86以及標準差formula_87的正態分佈被稱之為標準正態分佈,其累積分佈函式是 將普通形式的正態分佈變換到標準正態分佈的方法是 例如,已知一正態分佈的formula_90,formula_91,求區間概率值formula_92計算過程如下, 其中formula_96值通過查formula_84-表格獲得。

  在離散分佈中如果試驗次數formula_29值非常大,而且單次試驗的概率formula_28值又不是很小的情況下,正態分佈可以用來近似的代替二項分佈。一個粗略的使用正態分佈的近似規則是:formula_100。從二項分佈中獲得formula_78和formula_79值的方法是  如果formula_105,則必須採用下面的近似修正方法:  上(下)臨界值分別增加(減少)修正值0.5的目的是在formula_79值很大時獲得更精確的近似值,只有formula_79很小時,修正值0.5可以不被考慮。  例如,隨機試驗為連續64次擲硬幣,獲得的國徽數位於32和42之間的概率是多少?用正態分佈計算如下, formula_111,符合近似規則,應用formula_84-變換:  在運用formula_84-表格時注意到利用密度函式的對稱性來求出formula_84為負值時的區域面積。
概率分佈(;英語:probability distribution)或簡稱分佈,是概率論的一個概念。使用時可以有以下兩種含義: