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  Tijms (2004, p.169) 寫到:

  棣莫佛-拉普拉斯(de Moivre - Laplace)定理是中央極限定理的最初版本,討論了服從二項分佈的隨機變數序列。它指出,引數為"n", "p"的二項分佈以"np"為均值、"np(1-p)"為方差的正態分佈為極限。

  若 formula_1 是 formula_2 次伯努利實驗中事件 "A" 出現的次數,每次試驗成功的機率為 formula_3,且 formula_4,則對任意有限區間 formula_5:  令formula_6,當formula_7時  (i) formula_8  (ii) formula_9,其中formula_10

  棣莫弗-拉普拉斯定理指出二項分佈的極限為正態分佈。高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗,而把從右邊落下算是成功,從左邊落下看作失敗,就有了一次formula_11的伯努利試驗。小球從頂端到底層共需要經過n排釘子,這就相當於一個n次伯努利試驗。小球的高度曲線也就可以看作二項分佈隨機變數的概率密度函式。因此,中央極限定理解釋了高爾頓板小球累積高度曲線為什麼是正態分佈獨有的鐘形曲線。

  林德伯格-列維(Lindeberg-Levy)定理,是棣莫佛-拉普拉斯定理的擴充套件,討論獨立同分布隨機變數序列的中央極限定理。它表明,獨立同分布(iid independent and indentically distributed)、且數學期望和方差有限的隨機變數序列的標準化和以標準正態分佈為極限:

  設隨機變數formula_12獨立同分布, 且具有有限的數學期望和方差formula_13,formula_14。記  formula_15,formula_16,則 formula_17  其中formula_18是標準正態分佈的分佈函式。

  記formula_19的特徵函式為formula_20,根據傅立葉變換,樣本空間中的褶積在特徵函式空間變為乘積,因此formula_21的特徵函式為formula_22.由於formula_23故formula_24因此  formula_25  所以  formula_26  由於formula_27是連續函式,它對應的分佈函式為formula_28,因此由逆極限定理知  formula_29  定理證畢。

  林德伯格-費勒定理,是中心極限定理的高階形式,是對林德伯格-列維定理的擴充套件,討論獨立,但不同分佈的情況下的隨機變數和。它表明,滿足一定條件時,獨立,但不同分佈的隨機變數序列的標準化和依然以標準正態分佈為極限:

  記隨機變數序列formula_30(formula_30獨立但不一定同分布,formula_32且有有限方差)部分和為  formula_33  記  formula_34  formula_35.  如果對每個formula_36,序列滿足  formula_37  則稱它滿足林德伯格(Lindeberg)條件。  滿足此條件的序列趨向於正態分佈,即  formula_38  同時,該條件也是期望為零、方差有限的獨立變數之和趨於正態分佈的必要條件。  與之相關的是李雅普諾夫(Lyapunov)條件:  formula_39  滿足李雅普諾夫條件的序列,必滿足林德伯格條件。

  在此只對較強的李雅普諾夫條件給出證明。  以下證明對每一實數formula_40,特徵函式滿足formula_41。  formula_42  泰勒展開,上式可近似為  formula_43  由李雅普諾夫條件,當formula_44時,第一項收斂於零。  令formula_45,則由李雅普諾夫不等式,  formula_46  因此第二項也收斂於零。  證畢。
中心極限定理是概率論中的一組定理。中心極限定理說明,在適當的條件下,大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分佈收斂於正態分佈。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎,指出了大量隨機變數之和近似服從正態分佈的條件。