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  一個拓撲向量空間 "X" 是佈於一個拓撲域 "K" (通常取實數或複數域)上的向量空間,其上帶有拓撲結構使得向量加法 "X" × "X" → "X" 與純量乘法 "K" × "X" → "X" 為連續對映。  注:某些作者也要求 "X" 是豪斯多夫空間,更有要求其為區域性凸空間者(例如 Fréchet 空間)。一個拓撲向量空間是豪斯多夫空間的充分條件是該空間為 formula_1 空間。  佈於 "K" 上的拓撲向量空間範疇通常記為 TVS 或 TVect,其物件為佈於 "K" 上的拓撲向量空間,態射則為連續的 "K"-線性對映。拓撲向量空間的同構是既是同胚也是線性的對映。

  所有賦範向量空間都是拓撲向量空間的例子。因此所有巴拿赫空間及希爾伯特空間也是這些例子。

  在數學分析中應用的拓撲向量空間主要是函式空間。較常見的例子有:

  當賦予乘積空間後,拓撲向量空間的家族的笛卡兒乘積都是拓撲向量空間.例如,"X"是"f" : R → R函式的集合. "X"可以被乘積空間R來確定的,並帶有自然的乘積空間.有了這個拓撲,"X"成了拓撲向量空間,稱呼為逐點收斂的空間.命名的原因是如果("f") 是"X"集合內元素的序列而對於所有實數"x" "f"("x")都有一個極限 "f"("x"),那麼"f"在"X"集合內有一個極限"f".這個空間就是完整但不能賦範.

  向量空間對加法構成阿貝爾群,拓撲向量空間的加法逆運算 formula_17 是連續的(因為 formula_18),因此拓撲向量空間可視為可交換的拓撲群。  特別是:拓撲向量空間是一致空間,因此可以談論完備性、一致收斂與一致連續。向量運算(加法與純量積)是一致連續的,因此拓撲向量空間的完備化仍為拓撲向量空間,原空間在其中是個稠密的線性子空間。  向量運算不只連續,實則還是同胚,因此我們可以從原點附近的一組區域性基重構整個空間的拓撲。區域性基可由以下兩種開集組成:  一個拓撲向量空間可度量化的充要條件是:(一)它是豪斯多夫空間(二)原點有一組可數的區域性基。  拓撲向量空間之間的線性函式若在某一點連續,則在整個定義域上連續。一個線性泛函連續的充要條件是其核為閉子空間。  有限維向量空間有唯一的豪斯多夫拓撲,因此任何有限維拓撲向量空間都同構於 formula_21(帶上確界範數:formula_22)。對於豪斯多夫拓撲向量空間,有限維等價於區域性緊。

  在應用中,我們常考慮具有一些附帶拓撲性質的空間,以下是一些常見的種類,大致以其性質之「良好」與否排序。

  拓撲向量空間 formula_25 的連續對偶空間定義為所有連續線性泛函構成的空間 formula_26,其拓撲可定義為使對偶配對 formula_27 為連續對映的最粗拓撲(稱為弱-*拓撲)。當 formula_25 為巴拿赫空間時, 可以藉運算元範數在 formula_26 上定義更細的拓撲,然而弱-*拓撲具有一些緊緻性定理(巴拿赫-阿勞格魯定理),因而在應用中仍相當重要。
拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。