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  同樣地可立刻看出這條件當formula_20是formula_4的內點時成立。易證逆命題在有限維時成立:簡潔做法是看到formula_7既是有限值和處處定義的凸函式,因而formula_7連續,故此formula_24包含在formula_4內且是formula_20的鄰域。  當formula_20是在formula_4的內部時,可以想像這樣一幅圖畫:函式取值1的點正好是凸集formula_4的邊界,其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點,函式在該點取值為formula_20。  最後再補充一點。在實向量空間時,formula_4相對formula_20點對稱,其度規函式避開formula_33值,這度規函式便是半範數;在復向量空間也有同樣結論,只需把對稱的定義,修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

  從定義看出度規函式在原點外一點formula_34取 formula_20值,當且僅當從原點過formula_34的射線包含在凸集內。  因此立刻可知在賦範向量空間內,有界凸集的度規函式不在原點外取 formula_20值。  逆命題對有限維空間內的閉凸整合立,用半徑為1的球面的緊緻性證明。

  Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, "Fundamentals of convex analysis", coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130
度規函式是數學凸分析的一個重要函式。設formula_1為formula_2或formula_3上的向量空間,有需要時可以假設為拓撲向量空間。設formula_4為在formula_1內的凸集,且包含原點。那麼formula_4的度規函式formula_7是從formula_1到formula_9的函式,定義為 如果formula_4為空集,定義formula_12。