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  牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》("Method of Fluxions",1671年完成,在牛頓去世後於1736年公開發表)中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在"Analysis Aequationum"中提出此方法。

  首先,選擇一個接近函式formula_1零點的formula_4,計算相應的formula_5和切線斜率formula_6(這裡formula_7表示函式formula_8的導數)。然後我們計算穿過點formula_9並且斜率為formula_6的直線和formula_11軸的交點的formula_11座標,也就是求如下方程的解:  我們將新求得的點的formula_11座標命名為formula_15,通常formula_15會比formula_4更接近方程formula_2的解。因此我們現在可以利用formula_15開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示:  已有證明牛頓迭代法的二次收斂必須滿足以下條件:<br> formula_21; 對於所有formula_22,其中formula_23為區間,且formula_4在區間其中formula_23內,即 formula_26 的; <br> 對於所有formula_22,formula_28是連續的; <br> formula_4足夠接近根。<br>

  

  求方程formula_30的根。令formula_31,兩邊求導,得formula_32。由於formula_33,則formula_34,即formula_35,可知方程的根位於formula_36和formula_37之間。我們從formula_38開始。

  牛頓法亦可發揮與泰勒展開式,對於函式展開的功能。  求formula_40的formula_41次方根。  formula_42  設formula_43,formula_44  而a的m次方根,亦是x的解,  以牛頓法來迭代:  formula_20  formula_46  formula_47  (或 formula_48)

  

  牛頓法也被用於求函式的極值。由於函式取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函式的零點,其迭代式為 求拐點的公式以此類推
牛頓法(英語:Newton's method)又稱為牛頓-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函式formula_1的泰勒級數的前面幾項來尋找方程formula_2的根。