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  一個實向量叢要包含下列空間跟對映:  且這些空間跟對映要滿足以下相容性條件:對 "X" 中的每一點有一個開鄰域 formula_5 包含這點,一個自然數 "n",和一個同胚  使得對所有"x" ∈ "U",:  開鄰域"U"和同胚φ合起來叫做叢的區域性平凡化。這表示對映π在區域性看起來"像" "U" × R到"U" 上的投影.  向量叢 "X" × R 稱為平凡,如果賦予這空間一個投影對映 "X" × R → "X",也就是 "E"="X" × R 整體上是 "X" 的乘積空間 。  每個纖維π("x")是一個有限維實向量空間,所以有在點 "x" 有一個維數"d",由區域性平凡化的性質可知函式 formula_9 在區域性上是常數,也就是它在"X" 的每個連通的部分上為常數。如果它在"X"上是常數的話,我們把這個維數叫做向量叢的"階"。一階向量叢也叫線叢。

  一個從向量叢π : "E" → "X"到向量叢π : "E" → "X"的態射(morphism)是一對連續對映"f" : "E" → "E"和"g" : "X" → "X"使得  所有向量叢的類和叢的射組成了一個範疇。限制到光滑流形和光滑叢射,我們就有了光滑向量叢的範疇。  我們可以考慮有一個固定基空間"X"的所有向量叢組成的範疇。我們取那些在基空間"X"上為恆等對映(identity map)的射作為在這個範疇中的射. 也就是說,叢射滿足下面的交換圖:  (注意這個範疇不是可交換的;向量叢的射的核通常不能很自然的成為一個向量叢。)

  給定一個向量叢 π : "E" → "X", 和 "X" 的開子集 "U",我們可以考慮這個向量叢 在 "U" 上的截面,也就是連續函式 "s" : "U" → "E" 滿足 。本質上,截面在 "U" 的每一點指定一個向量,且這向量屬於在該點的"纖維",即,並且要求這種指定要有連續性(或可微性,依討論空間而有所不同)。  例如,微分流形的切叢的截面就是流形上的向量場("微分"流形上一般會要求向量場可微)。  令 "F"("U") 為"U"上所有截面的集合. "F"("U")中至少有個元素 "s",稱作零截面(zero section),這個截面函式 "s" 會把 "U" 的每一點 "x" 都對映到向量空間π("x")中的零向量。使用每點的加法和數乘,"F"("U")本身也構成了向量空間。這些向量空間的總和就是 "X" 上的向量空間的層(shelf)。  若 "s" 屬於"F"("U") 而 α : "U" → R是 "U" 上的連續函式,則α"s" 依然屬於集合 "F"("U")。我們可以看到 "F"("U") 是一個 "U" 上的連續實值函式的環上的模,進一步講,若O表示"X"上連續函式的層結構,則"F"是O-模的一個層.  不是O-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的:只有區域性自由層可以從這種方法得到。(理由:區域性的,我們要找一個投影"U" × R → "U"的一個截面,這些恰好是連續函式"U" → R,並且這一函式是連續函式"U" → R"n"-元組.)  更進一步講:"X"上的實向量叢的範疇是等價於O-模的區域性自由和有限生成的層的。  所以我們可以將向量叢視為位於O-模的層的範疇內;而後者是可交換的,所以我們可以計算向量叢的射的核。

  兩個"X"上的在同一個域上的向量叢,有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣,"纖維"向量積和對偶空間叢也可以這樣引入。

  向量叢是纖維叢的特例。  光滑向量叢定義為滿足"E"和"X"是光滑流形,π : "E" → "X"是光滑對映,而區域性平凡化對映φ是微分同胚的向量叢。  把實向量空間換成復向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間),就得到了復向量叢(complex vector bundle)。這是結構群的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間,但相對比較少見。  除了有限維的向量空間以外,如果"纖維"是某個巴拿赫空間(而不僅是R),就可以得到巴拿赫叢.
向量叢(vector bundle)也翻譯成向量束,是數學,特別是幾何學,上的一種幾何結構,在空間 "X"("X" 可以是拓撲空間、流形或代數簇)的每一點指定(或"黏上")一個向量空間(比如 formula_1),而這些向量空間“粘起來”又構成一個新的拓撲空間(或流形,或代數簇)。 在 "X" 之上的向量叢最簡單的例子是,"X"×formula_1,另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切叢(tangent bundle):對流形的每一點"黏"上流形在該點的切空間。 另一個例子是法叢:給定一個平面上的光滑曲線,可在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線;這就是曲線的"法叢"。