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  有限。此時 絕對收斂且不依賴於標準正交基的選擇。這個值被稱為"A"的跡。當"H"是有限維空間時,每個線性運算元都是跡類的,並且A的跡的定義與矩陣的跡的定義一致。  如果A是非負自伴運算元,我們也可以通過可能發散的求和將A的跡定義為擴充套件實數

  

  令formula_4是可分希爾伯特空間formula_5中的跡類運算元,並且令formula_6 formula_7為formula_4的特徵值。 假設formula_9在計數時考慮了代數重數(即如果formula_10的代數重數為formula_11,則formula_10在計數時被重複formula_11次如formula_14)。Lidskii定理(以Victor Borisovich Lidskii命名)指出 注意到由於外爾不等式,左側的數列絕對收斂 在特徵值formula_17和緊運算元formula_4的奇異值formula_19之間。參見例如

  通過將跡類運算元作為序列空間"l"(N)的非交換類比,可以將某些類的有界運算元視為經典序列空間的非交換類比。  實際上,可以應用譜定理證明可分希爾伯特空間上的每個正規跡類運算元可以以某種方式視作"l"序列,通過對一對希爾伯特基底的某種選擇來實現。 同樣,有界運算元是"l"(N)的非交換類比,緊運算元對應"c"(序列收斂到0),希爾伯特-施密特運算元對應於"l"(N),有限秩運算元對應只有有限多非零項的序列。 在某種程度上,這些類的運算元之間的關係類似於它們的可交換類比之間的關係。  希爾伯特空間上的每個緊運算元"T"都有如下標準型 對於某組標準正交基{"u"}和{"v"}。為了使上述啟發式評論更精確,如果序列∑"α"收斂,則有"T"是跡類的;如果∑"α"收斂,"T"是希爾伯特-施密特運算元;如果序列{"α"}只有有限多非零項,"T"是有限秩的。  上述描述可以得到一些事實,將這些類運算元聯絡起來。例如下述包含關係成立(包括"H"是無限維空間的情形):{有限秩運算元}⊂{跡類運算元}⊂{希爾伯特-施密特運算元}⊂{緊運算元}。  跡類運算元賦有跡範數||"T"||=Tr[("T*T")]=∑"α"。範數對應的希爾伯特-施密特內積是||"T"||=(Tr"T*T")=(∑"α")。一般的運算元範數是||"T"|| = sup("α")。利用序列的經典不等式, 對於適當的"T"。  清楚的是,有限秩運算元在跡類運算元空間和希爾伯特-施密特運算元空間中在它們各自範數意義下稠密。

  "c"的對偶空間是"l"(N)。類似的,緊運算元的對偶空間記作"K"("H")*,是跡類運算元,記作"C"下面的陳述與序列空間相對應。令"f"∈"K"("H")*,給出"f"的等價形式運算元"T"定義如下 其中"S"是秩為1的運算元,如下給定 這一等式成立因為有限秩運算元在"K"("H")中的範數意義下稠密。在"T"是正運算元的情況下,對於任意標準正交基"u",有 其中"I"是恆等運算元 這意味著"T"是跡類的。利用極分解可以將上述討論拓展到一般情形,"T"不需要是正運算元。  通過對有限秩運算元取極限可以證明||"T"||=||"f"||。因此"K"("H")*等距同構到"C"。

  "l"(N)的對偶是"l"(N)。跡類運算元"C"的對偶是有界運算元B("H")。更準確地說,集合"C"是B("H")中的雙邊理想。因此,給定B("H")中任意運算元"T",可以通過φ("A")=Tr("AT")定義formula_26上連續線性泛函φ。有界線性運算元和formula_26的對偶空間中的元素φ的對應關係是一個等距同構。因此,B("H")是formula_26的對偶空間。這可以用於定義B("H")上的弱-*拓撲。
在數學中,跡類運算元(英語:Trace class)是一個滿足如下條件的緊運算元,可以為其定義跡,使得跡有限且與基底的選擇無關。跡類運算元本質上與核型運算元相同,但是許多作者將希爾伯特空間上的核型運算元這一特殊情況稱為“跡類運算元”,而將“核型運算元”用於更一般的巴拿赫空間。