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  1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,證明了此線是擺線,並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論,即正確的答案應該是擺線的一段。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

  

  費馬原理說明,兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·伯努利利用該原理,對此問題進行解決。  運用機械能守恆定律,可以匯出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足 式中y表示物體在豎直方向上下落的距離,g為重力加速度。通過機械能守恆可知,經不同的曲線下落,物體的速度與水平方向的位移無關。 通過假設光在光速v在滿足:formula_1的介質中運動形成的軌跡來匯出最速降線。 約翰·伯努利注意到,根據折射定律,一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數  式中v為常數(可認為為真空中光速c,θ為軌跡與豎直方向的夾角,dx為水平方向路徑微分,ds為運動方向路徑微分。  通過上述方程,我們可以得到兩條結論:  為了簡化過程,我們假設質點(或光束)相對於原點(0,0)有座標(x,y),且當下落了豎直距離"D"後達到了最大速度,則  整理折射定律式中的各項並平方得到  可以解得"dx"對"dy"有  代入v和v的表示式得到  這是一個由直徑為"D"的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程。

  約翰的哥哥雅各布·伯努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。 如果我們從最短時間路徑發生微小移動,那麼形成三角形滿足  "dy"不變求微分,得到  最後整理得到  最後的部分即二階微分下距離的改變數與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑,中間的水平間隔為"dx"。對新舊兩條路徑,改變數為  對於最短時間的路徑,兩個時間相等,故得到  因此最短時間的情況為

  在垂直平面上,自原點formula_15至目的地formula_16的最速降線具有以下數學形式:  這裡的formula_18座標軸方向向下,且formula_19;formula_20為此擺線參數列達式的引數,原點處formula_21。  物體自原點沿最速降線滑至formula_22處所需的時間可由以下積分式給出:  利用formula_24以及formula_1,並以formula_20作為引數,整理後得  自此擺線的引數式中易知formula_18的最大值為formula_30,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑formula_31,因此  現假設終點與原點直線距離formula_34,且終點對原點的俯角為formula_35。利用此擺線的引數式,可知  利用formula_38的關係式求出formula_39,並代回下滑時間中,得  綜合上述,討論在formula_34已知的情況下,下滑時間formula_42與俯角formula_35的關係為
最速降線問題,又稱最短時間問題、最速落徑問題,是探討在重力作用而忽略摩擦力的情況下,一個質點在一點A以速率為零開始,沿某條曲線,去到一點不高於A的B,該以何種曲線行進才能令所需的時間最短。在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brochistos)和「時間」(chronos)。這條線段就是擺線,可以用變分學證明。