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  么半群是一個帶有二元運算 *: "M" × "M" → "M" 的集合 "M",其符合下列公理: 通常也會多加上另一個公理: 但這不是必要的,因為在二元運算中即內含了此一公理。  另外,么半群也可以說是帶有單位元的半群。  么半群除了沒有逆元素之外,滿足其他所有群的公理。因此,一個帶有逆元素的么半群和群是一樣的。

  么半群 "M" 的 子么半群是指一個在 "M" 內包含著單位元且具封閉性(即若"x","y"∈"N",則 "x"*"y"∈"N" )的子集 "N"。很明顯地, "N" 自身會是個么半群,在導自 "M" 的二元運算之下。等價地說,子么半群是一個子集 "N",其中 "N"="N",且上標 * 為克萊尼星號。對任一於 "M" 內的子集 "N" 而言,子么半群 "N" 會是包含著 "N" 的最小么半群。  子集 "N" 被稱之為 "M" 的生成元,當且僅當 "M"="N"。若 "N" 是有限的, "M" 即被稱為是有限生成的。

  運算為可交換的么半群稱之為可交換么半群(或稱為阿貝爾么半群)。可交換么半群經常會將運算寫成加號。每個可交換么半群都自然會有一個它自身的代數預序 ≤,定義為下: "x ≤ y" 當且僅當存在 "z" 使得 "x+z=y" 。可交換么半群 "M" 的序單位是一個在 "M" 內的元素 "u",其中對任一在 "M" 內的元素 "x" 而言,總會存在一個正整數 "n" 使得 "x ≤ nu"。這經常用在 "M" 是偏序阿貝爾群 "G" 的正錐體的情況,在這種情況下我們稱 "u" 是 "G" 的序-單位。有接受任何交換么半群,並把它變成全資格阿貝爾群的代數構造;這個構造叫做格羅滕迪克群。

  運算只對某些元素而不是所有元素是交換性的的么半群是跡么半群;跡么半群通常出現在併發計算理論中。  某些固定字母Σ的有限字串所組成的集合,會是個以字串串接為運算的么半群。空字串當成單位元。這個么半群標記為Σ,並稱為在Σ內的自由么半群。

  此外,"f"也可以想成在點formula_4上的函式,給定如下  或等價地表示成  formula_7元素間的乘法即由複合函式給定。  注意當formula_8時,函式"f"是formula_9的置換,並給出個數為"n"的唯一迴圈群。

  在一么半群內,可以定義一元素"x"的正整數冪:"x"="x" 及 "x"="x"*...*"x" (乘上"n"次),其中"n">1。冪的規則"x"="x"*"x"則是很明顯的。  由定義可以證明其單位元"e"是唯一的。然後,對任一"x",可以設"x"為"e",則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。  "逆元素":一元素"x"稱為可逆,若存在一元素"y",使得"x"*"y" = "e"且"y"*"x" = "e"。此一元素"y"便稱做"x"的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。  若 "y"是"x"的逆元素,則可以定義"x"的負冪,以"x"="y"及 "x"="y"*...*"y" (乘上"n"次),其中"n">1。如此冪的規則在所有整數就都成立了,這也是為什麼"x"的逆元素通常會寫做"x"。所有在么半群"M"內的可逆元素,和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下,每個么半群都含有一個群。  但並不是每個么半群都包含在一個群內的。例如,絕對可能有一個么半群,其兩個元素"a"和"b"會有"a"*"b"="a"的關係,即使"b"不是單位元。如此的么半群是不可能包含於一個群內的, 因為在群裡,兩邊一同乘"a"的逆元素,就會得到"b" = "e"的結果,但這不是真的。一個么半群(M,*)若具有消去性,即表示對任何在"M"內的"a"、"b"、"c","a"*"b" = "a"*"c"永遠意指"b" = "c"且"b"*"a" = "c"*"a"也永遠意指"b" = "c"。一具有消去性的可交換么半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換么半群)建立。但一具有消去性的不可交換么半群則一定不可能包含於一個群之中。  若一么半群有消去性且是有限的,它會是一個群。  一可逆么半群為一么半群,其任一在"M"內的"a",總存在一唯一在"M"內的a,使得a=aaa且a=aaa。  一么半群"G"的子么半群是"G"的子集"H",其包含有單位元,且若"x"、"y"屬於"H",則"xy"屬於"H"。很清楚地,"H"本身也是個么半群,在"G"的二元運算之下。

  運算元么半群是一作用在集合"X"上的么半群"M"。亦即,存在一運算$ : "M" × "X" → "X"符合么半群的運算。  運運算元么半群也叫做作用(因為它們類似於群作用), 轉移系統, 半自動機或變換半群。

  兩個么半群("M", *)和("M"′, @)之間的同態是一個函式"f" : "M" → "M"′,會有如下兩個性質: 其中"e"和"e"′分別是"M"和"M"′的單位元。  不是每一個群胚同態都會是個么半群同態,因為它不一定會維持單位元。和上述不同,群同態的情況則會成立:群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於么半群,這不是永遠成立的,而必須有另外的要求。  雙射么半群同態稱做么半群同構。

  么半群同餘是相容於么半群乘積的等價關係。就是說它是子集  使得它是自反的、對稱的和傳遞的(如同所有等價關係必須的那樣),還要有如果 formula_11 且 formula_12 對於所有 "M" 中的 formula_13 和 formula_14,則有 formula_15 的性質。  么半群同餘引發同餘類  而么半群運算 * 引發在同餘類上的二元運算 formula_17:  它是么半群同態。它明顯的也是結合的,所以所有同餘類的集合也是么半群。這個么半群叫做商么半群,可以寫為  一些額外的符號是公用的。給定子集 formula_20,寫  對於引發自 "L" 的同餘類的集合。在這個表示法中,明顯的 formula_22。但是一般的說,formula_23 不是么半群。走相反的方向,如果 formula_24 是商么半群的子集,寫  當然這只是 "X" 的成員的並集。一般的說,formula_26 不是么半群。  明顯的有 formula_27 且 formula_28。

  么半群可視之為一類特殊的範疇。么半群運算滿足的公理同於範疇中從一個物件到自身的態射。換言之:  精確地說,給定一個么半群 ("M",*),可構造一個只有單個物件的小范疇,使得其態射由 "M" 的元素給出,而其合成則由 么半群的運算 * 給出。  同理,么半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說,範疇論可視為是么半群概念的延伸。許多關於么半群的定義及定理皆可推廣至小范疇。  么半群一如其它代數結構,本身也形成一個範疇,記作 Mon,其物件是么半群而態射是么半群的同態。  範疇論中也有麼半物件的概念,它抽象地定義了何謂一個範疇中的么半群。
在抽象代數此一數學分支中,么半群(英語:monoid,又稱為單群、亞群、具么半群或四分之三群)是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。