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  蘇格蘭科學家、造船工程師約翰·史考特·羅素(1808–1882)於1834年8月在英國格拉斯哥運河旁騎馬時發現了自然界中的孤波——水面上滾動的水柱以每小時8-9英里 的速度向前滾動,持續超過一英里。10年後,他在英國科學促進協會第14屆會議上,發表論文《論水波》也稱為羅素水波。

  孤波解是一類特殊的非線性偏微分方程的行波解。KdV方程、mKdV方程、非線性薛定諤方程式、Sine-Gordon方程 和高次Boer-Kraup系統 都有孤波解。

  孤波有如下幾種型別:鍾型孤波、反鐘形孤波、扭型孤波、反扭型孤波,呼吸子等。 孤子按照形狀和相位的角度可以分為亮孤子和暗孤子,暗孤子又可以分為黑孤子和灰孤子。亮孤子的波峰向上,相位是一個常數。而暗孤子有一個下凹的峰,在最底部的相位有π角度的突變,而灰孤子的幅值相對較小,且相位連續變化。另外還新發現了只能存在於週期系統的能隙亮孤子。  根據產生時抵消平衡的是衍射還是色散,光學中的孤子分為兩類,時間孤子和空間孤子。非線性效應與色散效應導致平衡時,形成時間孤子。空間孤子的形成是由於自聚焦效應導致的光束緊縮與衍射作用下的光束擴散相抵消造成的。  其它常見分類

  孤波應用於從量子力學到光資訊傳輸到蛋白質和DNA中的低頻集體運動結構等諸多領域。

  光學中,單一光波束稱為孤波。理論上傳輸穩定,不失真,被實驗於光纖通訊領域。  光孤立子(光孤子),是一種脈衝,當色散被非線性效應抵銷時則此脈衝將傳輸一段距離而不會失真。

  A. Sergyeyev, New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys. 108 (2018), no. 2, 359-376,
孤波(英語:soliton或solitary wave)又稱孤子波、孤立子、孤立波,是非線性科學三大分支之一,應用於物理、數學等諸多領域。