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  假設formula_1是以formula_2個隨機變數組成的列向量,  並且formula_4是formula_5的期望值,即, formula_6。協方差矩陣的第formula_7項(第formula_7項是一個協方差)被定義為如下形式:  而協方差矩陣為:  矩陣中的第formula_7個元素是formula_5與formula_14的共變異數。這個概念是對於標量隨機變數方差的一般化推廣。

  共變異數矩陣有不同的術語。有些統計學家,沿用了概率學家威廉·費勒的說法,把這個矩陣稱之為隨機向量formula_1的變異數(Variance of random vector X),這是從一維隨機變數方差到高維隨機向量的自然推廣。另外一些則把它稱為共變異數矩陣(Covariance matrix),因為它是隨機向量裡頭每個標量元素的協方差的矩陣。不幸的是,這兩種術語帶來了一定程度上的衝突:  隨機向量formula_1的方差(Variance of random vector X)定義有如下兩種形式:  協方差矩陣(Covariance matrix)定義如下: 第一個記號可以在威廉·費勒的廣受推崇的兩冊概率論及其應用的書中找到。兩個術語除了記法之外並沒有不同。

  formula_19 與formula_20 滿足下邊的基本性質:  其中 formula_35 與formula_36 是隨機formula_37向量, formula_32 是隨機formula_39向量, formula_40 是formula_37 向量, formula_42 與formula_43 是formula_44 矩陣。  儘管共變異數矩陣很簡單,可它卻是很多領域裡的非常有力的工具。它能匯出一個變換矩陣,這個矩陣能使資料完全去相關(decorrelation)。從不同的角度看,也就是說能夠找出一組最佳的基以緊湊的方式來表達資料。(完整的證明請參考瑞利商)。 這個方法在統計學中被稱為主成分分析(principal components analysis),在影象處理中稱為Karhunen-Loève 變換(KL-變換)。

  均值為formula_45的復隨機標量變數的方差定義如下(使用共軛複數):  其中複數formula_47的共軛記為formula_48。  如果formula_49 是一個複列向量,則取其共軛轉置,得到一個方陣:  其中formula_51為共軛轉置, 它對於標量也成立,因為標量的轉置還是標量。

  多元正態分佈的共變異數矩陣的估計的推導非常精緻. 它需要用到譜定義以及為什麼把標量看做formula_52矩陣的跡更好的原因。參見共變異數矩陣的估計。
在統計學與概率論中,協方差矩陣(也稱離差矩陣、方差-協方差矩陣)是一個矩陣,其 "i", "j" 位置的元素是第 "i" 個與第 "j" 個多維隨機變數之間的協方差。這是從標量隨機變數到高維度隨機向量的自然推廣。