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  欲計算"a" = 24和"g" = 6的算術-幾何平均數,首先算出它們的算術平均數和幾何平均數:  然後進行迭代:  繼續計算,可得出以下的值:  24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限,大約為13.45817148173。

  M("x", "y")是一個介於"x"和"y"的算術平均數和幾何平均數之間的數。  如果"r" > 0,則M("rx", "ry") = "r" M("x", "y")。  M("x","y")還可以寫為如下形式:  其中"K"("x")是第一類完全橢圓積分。  1和formula_10的算術-幾何平均數的倒數,稱為高斯常數。

  由算術幾何不等式可得  因此  這意味著 formula_14 是不降序列。同時,因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間,又可以得到該序列是有上界的(formula_15 中的較大者)。根據單調收斂定理,存在 formula_16 使得:  然而,我們又有:  從而:  證畢。

  該證明由高斯首次提出。 令  將積分變數替換為 formula_21, 其中  於是可得  因此,我們有  最後一個等式可由 formula_25 推出。  於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表示式:
兩個正實數"x"和"y"的算術-幾何平均數定義如下: