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  舒爾分解定理表明,如果A是"n"階的複方陣,則存在"n"階麼正矩陣Q,"n"階上三角矩陣U,使得:  即任何一個"n"階複方陣A酉相似於一個"n"階上三角矩陣U。因為A,U相似,所以兩者有相同的特徵值,且相同特徵值的代數重數也相同。又因U是上三角矩陣,所以U的對角元素實際上是A的所有特徵值。  該定理表明,存在C的一個線性子空間序列{0} = "V" ⊂ "V" ⊂... ⊂ "V" = C,使得其中的每一個都是A(看成線性變換)的不變子空間。且存在C(指定標準內積)的一組單位酉正交基,使得前i個基向量張成上述序列中第i個子空間。

  

  把矩陣A看成是有限維酉空間C上的線性變換,它有特徵值"λ",所對應的特徵子空間為"V",令"V" 為它的正交補空間。分別取兩個空間的一組單位正交基(Z,Z),它們構成原空間的一組單位正交基,則線性變換A在這組基下的矩陣表出為:  而A又可以看成是"V"上的線性變換,又可以重複上述過程。(本質上,A是A在商空間C\"V"上引入的線性變換。)所以最終可以找到C的一組基,使得A在這組基下的矩陣為上三角矩陣。

  上述證明過程也可以用矩陣的語言複述。對"n"階矩陣採用數學歸納法:

  給定矩陣的舒爾分解可以用QR計演算法求出。換言之,為求解矩陣的舒爾分解,並沒有必要求解其特徵多項式的根。另一方面,通過求解一個多項式的伴隨矩陣的舒爾分解,可以計算出它的所有根。類似地,通過舒爾分解,也可以計算給定矩陣的特徵值。

  給定矩陣A和B,則存在酉矩陣Q、Z,上三角矩陣S、T,使得formula_8和formula_9同時成立。這被稱為廣義舒爾分解,有時也被稱為QZ分解。  廣義特徵值問題formula_10的解是S、T對應的對角元的比值,即formula_11。
線上性代數中,舒爾分解或舒爾上三角化是一種矩陣分解方法,得名於德國數學家伊沙海·舒爾。