Can you summarize the following document?
        
  一筆畫問題是柯尼斯堡問題經抽象化後的推廣,是圖遍歷問題的一種。在柯尼斯堡問題中,如果將橋所連線的地區視為點,將每座橋視為一條邊,那麼問題將變成:對於一個有著四個頂點和七條邊的連通圖 formula_1,能否找到一個恰好包含了所有的邊,並且沒有重複的路徑。尤拉將這個問題推廣為:對於一個給定的圖,怎樣判斷是否存在著一個恰好包含了所有的邊,並且沒有重複的路徑?這就是一筆畫問題。用圖論的術語來說,就是判斷這個圖是否是一個能夠遍歷完所有的邊而沒有重複。這樣的圖現稱為尤拉圖。這時遍歷的路徑稱作尤拉路徑(一個環或者一條鏈),如果路徑閉合(一個圈),則稱為尤拉回路。  一筆畫問題的推廣是多筆畫問題,即對於不能一筆畫的圖,探討最少能用多少筆來畫成。

  對於一筆畫問題,有兩個判斷的準則,它們都由尤拉提出並證明。

  連通的無向圖 formula_2 有尤拉路徑的充要條件是:formula_2中奇頂點(連線的邊數量為奇數的頂點)的數目等於0或者2。  連通的無向圖 formula_2 是尤拉環(存在尤拉回路)的充要條件是:formula_2中每個頂點的度都是偶數。。  連通無向圖有尤拉路徑的充要條件也可以寫作“圖中奇頂點數目不多於2個”,這是因為奇頂點數目不可能是1個。實際上,連通無向圖中,奇頂點的數目總是偶數。  對於不連通的無向圖,如果有兩個互不連通的部分都包含至少一條邊,那麼顯然不能一筆畫。只有當此圖的邊全都在某一個連通部分中(即其它的連通部分都是一個個孤立的頂點,度數為0),並滿足連通無向圖關於一筆畫的充要條件,而該圖才能一筆畫。也即是說,可以一筆畫的(無向)圖如果不是連通圖,就必定是一個可以一筆畫的連通圖與若干個孤立頂點的組合。  除了用頂點的度數作為判定的充要條件,還可以用圖中邊的特性來作為尤拉回路存在的判定準則。連通的無向圖 formula_2中存在尤拉回路,等價於圖formula_2所有的邊可以劃分為若干個環的不交併。具體來說,等價於存在一系列的環formula_8,使得圖formula_2裡的每一條邊都恰好屬於某一個環。

  如果連通無向圖 formula_2 有 formula_11 個奇頂點,那麼它可以用 formula_12 筆畫成,並且至少要用 formula_12 筆畫成。

  對有向圖來說,一筆畫不僅指遍歷所有邊,而且要遵循正確的方向。嚴謹地說,一個連通有向圖formula_2有尤拉路徑,指存在一個頂點,從它出發,沿著有向邊的方向,可以不重複地遍歷圖中所有的邊。有向圖的尤拉回路則是指可以從某一頂點開始,沿有向邊的方向不重複地遍歷所有邊,然後回到原來出發的頂點。用類似於定理一中證明的思路,可以得到有向圖一筆畫的判定準則:

  

  圖一是七橋問題抽象化後得到的模型,由四個頂點和七條邊組成。注意到四個頂點全是奇頂點,由定理一可知無法一筆畫成。

  圖二是中文“串”字。由於只有最上方和最下方的頂點是奇頂點,由定理一知它可以一筆畫成,圖片內給出了一個例子。  圖三的六角星因每個頂點都是偶頂點,如上,由定理一得知,不論是由哪個點出發,它都可以一筆畫成。  圖四(和圖五)的圖只有最左下方和最右下方的頂點是奇頂點,由定理一知它可以一筆畫成,由其中一個奇頂點畫到另一個奇頂點。

  一筆畫問題討論的是能否不重複地遍歷一個圖的所有邊,至於其中有否頂點的遍歷或重複經過則沒有要求。哈密頓問題討論的則是頂點的遍歷:能否不重複地遍歷一個圖的所有頂點?哈密頓問題由哈密頓在1856年首次提出,至今尚未完全解決。
一筆畫問題(Eulerian graph)是圖論中一個著名的問題。一筆畫問題起源於柯尼斯堡七橋問題。數學家尤拉在他1736年發表的論文《柯尼斯堡的七橋》中不僅解決了七橋問題,也提出了一筆畫定理,順帶解決了一筆畫問題。一般認為,尤拉的研究是圖論的開端。