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  波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表,其最簡形式可表示為:關於位置"x"和時間"t"的標量函式"u"(代表各點偏離平衡位置的距離)滿足:  這裡c通常是一個固定常數,代表波的傳播速率。在常壓、20°C的空氣中"c"為343米/秒(參見音速)。在弦振動問題中,"c"依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環螺旋彈簧(一種玩具,英文商標為Slinky)上,波速可以慢到1米/秒。  其他形式的波動方程還能在量子力學和廣義相對論理論中用到。

  

  一維波動方程可用如下的方式推導:一列質量為"m"的小質點,相鄰質點間用長度"h"的彈簧連線。彈簧的彈性係數(又稱“倔強係數”)為"k":  其中"u"("x")表示位於"x"的質點偏離平衡位置的距離。施加在位於"x+h"處的質點"m"上的力為:

  

  一維標量形式波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的運算元作用形式:  從上面的形式可以看出,若"F"和"G"為任意函式,那麼它們以下形式的組合  必然滿足原方程。上面兩項分別對應兩列行波——"F"表示經過該點("x"點)的右行波,"G"表示經過該點的左行波。為完全確定"F"和"G"的最終形式還需考慮如下初始條件:  經帶入運算,就得到了波動方程著名的達朗貝爾行波解,又稱達朗貝爾公式:  在經典的意義下,如果formula_8並且formula_9則formula_10。但是,行波函式"F"和"G"也可以是廣義函式,比如狄拉克δ函式。在這種情況下,行波解應被視作左行或右行的一個脈衝。  基本波動方程是一個線性微分方程,也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。此外,可以通過將波分離出各個分量來分析,例如傅立葉變換可以把波分解成正弦分量。

  三維波動方程初值問題的解可以通過求解球面波波動方程得到。求解結果可用於推導二維情況的解。

  球面波方程的形式不隨空間座標系統的轉動而變化,所以可以將它寫成僅與距源點距離"r"相關的函式。方程的三維形式為:  將方程變形為:  此時,因變數"ru"滿足一維波動方程,於是可以利用達朗貝爾行波法將解寫成:  其中"F"和"G"為任意函式,可以理解為以速度"c"從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強度隨距點源距離"r"衰減,並且屬於無後效波,可以清晰地搭載訊號。這種波僅在奇數維空間中存在(原因將在下一小節中詳細解釋)。幸運的是,我們生活的空間是三維的,所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波(都屬於球面波)來互相交流。

  上面方程的解裡面,分成了兩部分,一部分表示向外傳播的波,一部分則是向內。很明顯,只要將t換成-t,就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的,任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。  然而,我們所觀察到的實際的波,都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整,我們無法在自然界觀察到向內的波,儘管它們也是波動方程的合法的解。  關於這個現象,引起了不少討論。有人認為,實際上它們即使存在,也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中,則因為沒有光到達我們的眼睛,我們不可能看見這個物體或者發現這個現象(見參考文獻[2])。

  波動方程中"u"是線性函式,並且不隨時間和空間座標的平移而改變。所以我們可以通過平移與疊加球面波獲得方程各種型別的解。令φ(ξ,η,ζ)為任意具有三個自變數的函式,球面波形"F"為狄拉克δ函式(數學語言是:"F"是一個在全空間積分等於1且非零區間收縮至原點的連續函式的弱極限)。設(ξ,η,ζ)位一族球面波的源點,"r"為距源點的徑向距離,即:  可定義  稱為三維波動方程的影響函式,其意義為(ξ,η,ζ)點在"t"=0時刻受到短促脈衝δ函式作用後向空間中傳出的波的影響,係數分母4πc是為方便後續處理而加上的。  若"u"是這一族波函式的加權疊加,且權函式為φ,則  從δ函式的定義可知,"u"還能寫成  式中α、β和γ是單位球面"S"上點的座標,dω為"S"上的面積微元。該結果的意義為:"u"("t","x","y","z")是以("x","y","z")為圓心,"ct"為半徑的球面上φ的平均值的"t"倍:  從上式易得  平均值是關於"t"的偶函式,所以若  那麼  以上得出的便是波動方程初值問題的解。從中可以看出,任意點"P"在"t"時刻受到的波擾動只來自以"P"為圓心,"ct"為半徑的球面上,而這個球的內部點在這一時刻對"P"點的狀態完全沒有影響(因為它們的影響之前就已經傳過"P"點了)。換一個角度分析,假設三維空間中任意點"P' "在"t"=0時刻受到一個脈衝擾動δ,那麼由此發出的球面波在傳過空間中的任意其它點"Q"後,便再也不會對"Q"的運動狀態產生影響,這就是在物理學中也非常著名的惠更斯原理(Huygens' principle),也稱為無後效現象,表示傳過的球面波不會留下任何後續效應。  下面我們便可以解釋上一小節中留下的問題了。事實上,前面所得到的球面波解僅在奇數維空間中存在。偶數維空間中波動方程的解是彌散的,也就是說波陣面掠過區域仍然會受其影響。以下面的二維波動方程(極座標形式,注意和上一小節三維形式的差別)為例:  可以從三維形式的解通過降維法得到二維波動方程的影響函式: 其中 設點"M"("x","y")到點(ξ,η)距離為"d",那麼從影響函式中可以看出,當"t" >"d" /"c"即初始擾動已傳過"M"點後,"M"仍在受到它的影響。二維球面波(柱面波)的這一性質決定了它不能作為傳遞訊號的工具,因為這種波(事實上包括所有偶數維空間中的球面波)經過的點受到的是交織在一起的各個不同時刻的擾動。

  二維波動方程的直角座標形式為:  如前所述,我們可以從三維波動方程的解中將"u"視為與其中一個自變數無關(降維法)來得到二維形式的解。將初始條件改寫為  則三維形式的解就變成  其中α和β是單位球面上點的頭兩個座標分量,dω是球面上的面積微元。此積分可變換為在("x","y")為中心,"ct"為半徑的圓域"D"上的積分:  從這個結果也能得到上一小節最後的結論。  二維波動方程解的一個例子是緊繃的鼓面的運動。

  

  一根自身繃緊,兩端分別固定於"x"="0"和"x"="L"的彈性弦在"t">0時刻,0 < "x" < "L"上運動滿足波動方程。在邊界點處,可以要求"u"滿足各種邊界條件。通常遇到的邊界條件都可歸納成下列形式:  其中"a"、"b"非負。若要弦的兩端固定不動,對應上面式子中"a"、"b"趨於無窮大。求解偏微分方程的分離變數法要求尋找以下形式的解:  將上述假設形式代入原方程中可以得到:  為使邊值問題有非平凡解,本徵值λ須滿足  這是固有值問題的斯圖姆-劉維爾理論的一個特例。若"a"、"b"為正數,則對應的所有本徵值均為正數,方程的解為三角函式。使"u"和"u"滿足平方可積條件的解可以通過適當選取"u"和"u" 三角級數展開來求得。

  一維初始值-邊值理論可以拓展至任意維空間中。考慮"m"維空間(座標簡寫為"x")中的域"D","B"為"D"的邊界。當0<"t"時,位於"D"內的點"x"滿足波動方程。在"D"的邊界上,解"u"須滿足  其中"n"是"B"上指向域外的法向向量,"a"是定義在"B"上的非負函式。要求"u"在"B"上始終為0的邊界條件相當於令"a"趨於無窮。初始條件為  其中"f"和"g"是定義在"D"內的函式。這個問題可以通過將"f"和"g"展開成域"D"內拉普拉斯運算元滿足邊界條件的本徵函式系的疊加來求解(這是分離變數法的一般步驟)。也就是求解在域"D"內滿足  在邊界"B"上滿足  的本徵函式系"v"。  在二維情形下,上述本徵函式系可以理解成繃緊地張在邊界"B"上的鼓面的自由振動模態。若"B"是一個圓,則這些本徵函式是關於極角自變數"θ"的三角函式與關於極軸自變數"r"的整階貝塞爾函式的乘積。更詳細的說明參見英文版條目亥姆霍茲方程。  在三維形式下,若邊界是空間中的球面,那麼本徵函式是關於球座標下兩個極角自變數的球面調和函式,乘以關於徑向自變數"ρ"的半奇數階貝塞爾函式。

  在針對實際問題的波動方程中,一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量,這種處理對應真實物理世界中的色散現象。此時,"c"應該用波的相速度代替:  實際問題中對標準波動方程的另一修正是考慮波速隨振幅的變化,修正後的方程變成下面的非線性波動方程:  另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運動(譬如介質的平動,以氣流中傳播的聲波為例)上的。這種情況下,標量"u"的表示式將包含一個馬赫因子(對沿流動方向傳播的波為正,對反射波為負)。  三維波動方程描述了波在均勻各向同性彈性體中的傳播。絕大多數固體都是彈性體,所以波動方程對地球內部的地震波和用於檢測固體材料中缺陷的超聲波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時,三維波動方程的形式比前面更為複雜,它必須同時考慮固體中的縱波和橫波:  式中:  注意在上述方程中,激振力和位移都是向量,所以該方程也被稱為向量形式的波動方程。
波動方程或稱波方程(英語:wave equation)是一種重要的偏微分方程,主要描述自然界中的各種的波動現象,包括橫波和縱波,例如聲波、光波、無線電波和水波。波動方程抽象自聲學、物理光學、電磁學、電動力學、流體力學等領域。