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  一個初值問題涉及微分方程式  與在 formula_4 的定義域內的一點  這在 formula_4 的定義域內的點 formula_7 稱為初始條件。

  對於許多的初值問題,解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。  若ƒ在一個包括"t"及"y"的區間內連續,且對變數"y"滿足利普希茨連續的條件.則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括"t"的區間有唯一解。  此定理的證明需將問題變成等價的積分方程,積分可視為將一個函式對映為另一個函式的運運算元,因此其解為運運算元的不動點,再利用巴拿赫不動點定理證明有一個唯一的不動點.即為初值問題的解。  較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函式的數列,最終會收斂到積分方程的解,也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」,是巴拿赫不動點定理的一個特例。  日本數學家找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件,其條件是要證實系統的李亞普諾夫函式存在。  有些情形,函式ƒ不是光滑函式,甚至不是利普希茨連續,因此一般可確認區域性唯一解的方式無法適用。皮亞諾存在性定理可以在函式ƒ僅僅為連續函式的情形,證明存在區域性解。不過此時無法證明解的唯一性。卡拉特歐多存在性定理可適用的範圍更廣,可以在ƒ是一些特定不連續函式的情形下證明區域性解是否存在。  一個簡單的範例是求解formula_14及formula_15,要求出一個formula_16滿足上述二式。

  由於formula_17,因此  接下來重新整理方程式,使formula_19在等式左邊,formula_20在等式右邊  再將等式二邊積分,會引入未知常數formula_22  消去formula_24  令formula_26為一個新的未知常數,formula_27,因此  現在需要找出formula_26的數值。利用formula_15的啟始條件,將formula_20代入0,formula_19代入19  因此可得其解為formula_35.  利用拉普拉斯變換  利用部分分式分解  拉普拉斯逆變換
在數學裡,初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題;這初始條件是微分方程式的未知函式在某些點的設定值。