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  在任何包含0的區間上,除了formula_18,formula_19均有定義。  對於實數值,正弦函式的絕對值不大於1,因此formula_13的絕對值也不大於formula_21。設formula_22, formula_23:  formula_27,根據夾擠定理  (注:這個問題不可以用洛必達法則解決。)

  首先用幾何方法證明:若formula_30,formula_31。  稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。formula_32在formula_33上,使得formula_34垂直formula_33。過formula_36作單位圓的切線,與formula_33的延長線交於formula_38。  由定義可得formula_39,formula_40。  因為formula_47,根據夾擠定理  另一邊的極限可用這個結果求出。

  高斯函式的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函式的積分是formula_49,現在要求的是formula_50。  被積函式對於y軸是對稱的,因此formula_51是被積函式對於所有實數的積分的一半。  formula_52  這個二重積分在一個formula_53的正方形內。它比其內切圓大,比外接圓小。這些可用極座標表示:

  

  若formula_59,formula_60,而且formula_61。  設formula_62,根據函式的極限的定義,存在formula_63使得:若formula_64,則formula_65。  由於 formula_66,故formula_67。  若 formula_68,則formula_69。於是,formula_70。

  formula_26  formula_72  當formula_73:
夾擠定理,又稱夾逼定理、三明治定理,是有關函式極限的定理。它指出若有兩個函式在某點的極限相同,且有第三個函式的值在這兩個函式之間,則第三個函式在該點的極限也相同。