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  給定集合formula_1,一族拓撲空間formula_4,與一族對映  formula_5  formula_1上的初拓撲formula_7,是使得  formula_8  均為連續的最粗糙拓撲。 <br>  更精確地說,初拓撲可以描述為由formula_9為子基生成的拓撲,這裡的formula_10是formula_11中的開集。集合formula_9通常也被叫做「圓柱集合」,如果指標集formula_13只包含一個元素,那麼formula_14的全體開集都是圓柱集合。

  

  給出任意拓撲空間formula_15,X上的初拓撲依照上面所給的定義。則有以下性質成立:<br>從formula_15到formula_1的對映formula_18是連續的,當且僅當 formula_19 是連續的。<br>

  稱formula_5從閉集分離點,如果formula_1中任意閉集formula_22,與任意不屬於formula_22的點formula_24,formula_25,使得<br>formula_26 <br>這裡的"cl"是閉包運算元。<br>  關於初拓撲有如下定理:<br>一族連續對映從閉集分離點,當且僅當the cylinder sets構成集合formula_1的一個基。<br>  從這個定理可以得到,如果formula_1上有一族連續對映從閉集分離點,那麼關於這族對映就存在一個初拓撲。反之是不成立的,因為初拓撲是由formula_29為子基生成的拓撲,在這個定理中要求the cylinder sets是集合formula_1的一個基。<br
在一般拓撲學與數學的相關領域中,給定集合formula_1與formula_1上的一族函式,其初拓撲(the initial topology)是使得這一族函式連續的最粗糙拓撲。