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  在古典的(即格羅滕迪克尚未於約 1960 年提出概形概念前)代數幾何,扎里斯基拓撲是定義在代數簇上的。 扎里斯基拓撲定義該代數簇的代數子集為閉集。由於最簡單的代數簇就是仿射簇和射影簇,有必要先明確給出其上扎里斯基拓撲的詳細定義。以下取定 "k" 為一個代數閉域(古典代數幾何的 "k" 幾乎總是複數域)。

  首先定義仿射空間 formula_1(即 "k" 上的 "n" 維向量空間)上的拓撲。這個拓撲是通過指定其閉集,而非指定其開集來定義的。其所有閉集就是 其中 "S" 是 "k" 上任意的若干個 "n" 元多項式的集合。 可以驗證: 因此,形如 "V"("S") 的集合,其有限並和任意交亦將具有此種形式,從而以該些集合為閉集,可以定義一個拓撲結構。(這等價於,它們的補集就是該拓撲的所有開集。記 "V(S) "的補集為 "D"("S"),稱為"主開集 ")此謂之Z <math />  若 "X" 是一個仿射代數集(不論可約與否),則可將 "X" 視為某 formula_1 的子空間,並定義 "X" 上的扎里斯基拓撲為 formula_1 的扎里斯基拓撲的子空間拓撲。等價地,可以驗證: 的元素作用在 "X" 上,正如 formula_8 的元素作用在 formula_9 等於 "X" 與 "V(S) "的交。  這就說明可以在任意仿射簇上定義一個扎里斯基拓撲。

  在 formula_11 中,視任兩個相差 "k" 中的標量倍的點為等同,這樣得到的等價類的集合稱為 "n" 維射影空間 formula_12 多項式環 formula_13 中的元素不都是 formula_14 上的函式,因為即使是同一點,也能以不同的座標表示,而代入一個多項式時便會得到不同的值;但是卻可以確定一個齊次多項式在某點是否為零,因為如果一點能以兩組座標表示,則一組為另一組的標量倍,而該標量可以在齊次多項式各項中提取出來。所以若 "S" 為若干個齊次多項式的集合,則可定義 上一節的幾個結論,把「理想」一詞換成本節的「齊次理想」之後,將繼續適用。於是,對任意的齊次多項式集 "S, "以 "V"("S") 為閉集,可以定義 formula_12 同樣以 "D"("S") 表示 "V(S)" 的補集,但當可能引起誤會時,改為用 "D′"("S").  要定義射影代數集上的射影扎里斯基拓撲,正如定義仿射代數集上的仿射扎里斯基拓撲,將之定義為相應的射影空間的子空間拓撲即可。又或者,這個拓撲是射影座標環內蘊的:根據仿射簇一節的等式,可以僅用座標環的子集定義出一個射影代數集上的扎里斯基拓撲。

  此種拓撲都具有一組基,該組基由對應每個多項式(對於射影簇,則為齊次多項式)"f" 的 "D"("f") 組成。要證明這些形式的元素組成一組基,可以考慮 ("S") 的各生成元所生成的主理想,並反覆運用兩個閉集的交的公式。這些" D(f) "稱為 "特異 "(英語:distinguished) 開集或 "基 "(英語:basic) 開集。  由希爾伯特基定理和諾特環的基本性質,每個仿射或射影座標環都是諾特環。於是,具有扎里斯基拓撲的仿射或射影空間都是諾特拓撲空間,故其中每一個閉集都是緊的。  然而,除了有限代數集,並無代數集是豪斯多夫空間。某些舊文獻要求緊空間必須是豪斯多夫的,而代數幾何通常沿用這個定義。於是,現今較常見的「緊」的意思,在代數幾何學表達為「擬緊」(英語:quasicompact) 。不過因為每個點 ("a",..., "a") 都是多項式 "x" - "a",..., "x" - "a" 的零點集的唯一元素,單點集是閉集,所以每個簇都滿足"T" 公理。  簇之間的正則對映相對其上的扎里斯基拓撲是連續的。而且,假如要求單點集均為閉集,又要保持正則對映的連續性,則扎里斯基拓撲是最弱(最少開集)而仍滿足要求的拓撲。原因是,扎里斯基拓撲的閉集就是若干個多項式函式對 {0} 的原像的交,而多項式函式可視為映到formula_17 的正則函式。

  現代代數幾何裡,一個代數簇經常用其對應的概形表示。這是一種區域性同胚於一個環的譜的拓撲空間(此外還具有其他結構)。 交換環"A" 的 "譜 "記為 Spec("A"),是配備了扎里斯基拓撲的 "A" 的素理想集,其中閉集具有形式 當中 "I" 是一個理想。  這個定義與古典的定義有很大關係。根據希爾伯特零點定理,"V"("S") (按舊定義)有點 ("a",..., "a") 當且僅當理想 ("x" - "a",..., "x" - "a") 包含 "S";此外,由「弱」零點定理可知,該些理想均為極大理想,且任何仿射座標環中的極大理想均具有此種形式。所以,"V"("S") 與包含 "S "的所有極大理想的集合是一樣的。格羅滕迪克定義 Spec 的創新之處,是他將極大理想換成素理想。這樣也可自然地定義環的譜上的閉集。  另一個詮釋現代定義的方法更貼近舊有的。以下將給出一種方法,使 "A" 的元素可以作為 "A "的素理想集上的函式,因此也是 Spec "A "上的函式。注意每個素理想 "P" 都對應一個剩餘域,即整環" A"/"P "的分式域。此外,"P" 的元素正是那些映到 "A"/"P" 會變成 0 的元素,所以對應 "A" 的每個元素 "a",可以定義以下對映: (「對 "a" 求值」),其將每個素理想映到 "a" 在該素理想的剩餘域的像。如此,定義了 Spec "A" 上的函式(儘管其取值不都在同一個域上),且有 一般來說, 對任意的理想 "I"," V"("I")是使 "I" 中所有「函式」都取零值的點的集合,與古典的定義具有同樣形式。若 "A" 為代數閉域 "k "上的多項式環,則 "A" 中的極大理想與 "k "的元素的 "n" 元組一一對應,且其剩餘域就是 "k", 而「求值」運算正是將該 "n" 元組代入多項式中求值。從而本段的定義與古典的定義一致,即古典定義就是隻考慮極大理想的現代定義,而當現代定義和古典定義兩者皆適用時,也可將現代定義理解成「若干函式的零點集」。  正如 Spec 取代了仿射簇,Proj構造在現代代數幾何中取代了射影簇。如同古典的情況,從仿射到射影,只須把理想皆換成齊次理想即可,不過此時要額外考慮無關極大理想(英語:irrelevant maximal ideal) 帶來的特殊情況。

  新的扎里斯裡拓撲跟古典的最大分別在於,新拓撲中的點無須為閉點。格羅滕迪克引入了泛點,以擴充套件此定義。泛點即有最大閉包的點,其對應包含零理想的最小素理想。而閉點則對應 "A "的極大理想。不過注意,譜和射影譜也是" T" 空間,因為給定任意兩點 "P", "Q", 其對應 "A" 中的兩個互異的素理想,故必一個不包含另一個,假設 "P" 不包含 "Q", 則 "D "("Q") 包含 "P",但不包含" Q".  正如在古典代數幾何所見,任何譜或射影譜都是(擬)緊的,且若該環為諾特環,則其譜是諾特空間。但是,這與一般直覺有所牴觸。平常若一個開集是緊的,則其為空間的某個連通分支,而對仿射空間(例如歐幾里得空間)來說,整個空間並非緊的。可見扎里斯基拓撲在幾何上有其不當之處。格羅滕迪克引入了正常性的概念,用來描述概形和概形間的態射,使得緊的概念回覆直觀。其中 Proj 是正常的,但 Spec 不是。
在代數幾何和交換代數中,扎里斯基拓撲是定義在代數簇上的拓撲。其由奧斯卡·扎里斯基首先提出,及後用作給出一般交換環的素理想集的拓撲結構,稱為環的譜。