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  "δ"函式的圖形通常可以視為整條"x"軸和正"y"軸。雖然稱為函式,但"δ"函式並非真正的函式,至少它的值域不在實數以內。例如,和這兩個數學物件除了在以外都有相同的值,但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論,若"f"和"g"為函式,使得幾乎處處成立,則"f"可積當且僅當"g"可積且"f"和"g"的積分相同。要嚴謹處理"δ"函式,須用到測度論或分佈。  "δ"函式可以代表一個既高又窄的尖峰函式(脈衝),用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說,要描述球杆擊球的動力學問題,可以用"δ"函式描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化,而且只需球杆傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動,而不須考慮球杆向球傳遞能量的複雜具體情況。  在應用數學中,"δ"函式往往能看作是某函式序列的極限(弱極限),該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰,例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。

  約瑟夫·傅立葉在他的《熱分析理論》()中呈現了以下的方程式,今天稱為傅立葉積分定理:  這相當於以這種方式引入了"δ"函式:  之後,奧古斯丁·路易·柯西用指數函式表達了這一定理:  柯西指出,在某些情況下,積分的計算順序會影響計算結果。  分佈理論允許重新排列柯西方程式,使它更接近以上傅立葉的方程式:  其中"δ"函式可表達為:  在接下來的幾個世紀,數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義,以及方程式中的函式"f"所需的條件。用舊有的數學觀念來理解,會有以下的問題:  之後,米歇爾·普朗歇爾(Michel Plancherel)開創性的"L"理論(1910年)、諾伯特·維納和薩洛蒙·博赫納(Salomon Bochner)的貢獻(1930年前後)以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論(1945年)進一步推廣了傅立葉積分,並建立了狄拉克"δ"函式的嚴格定義。  1827年,柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函式(柯西分佈的無限小版本)。西莫恩·德尼·帕鬆和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候,考慮過這一函式。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限,這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末,奧利弗·黑維塞利用形式上的傅立葉級數對單位脈衝進行操作。1930年,保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了"δ"函式作為一種「方便的記號」,故此該函式今天以他命名。

  籠統地來說,"δ"函式是在實數線上的一個函式,在原點上無限,在所有其他點上為零,  並同時滿足以下條件  這只是一個概略的表述:"δ"函式並不是一個嚴格意義上的函式,沒有任何定義在實數線上的函式能滿足以上的條件。更嚴謹地來說,"δ"函式可以定義為分佈或測度。

  測度是其中一種嚴謹定義"δ"函式的方法。作為一個測度,"δ"函式取一個實線R的子集"A",當時輸出,否則。如果把"δ"函式想象成位於0的一個理想化的質點,則"δ"("A")代表集合"A"所包含的質量。一個函式相對於"δ"的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函式"f",這一積分滿足:  測度"δ"相對於勒貝格測度不絕對連續,它其實是一個奇異測度。因此,它並不具有拉東-尼科迪姆導數,也就是不存在滿足以下條件的函式"δ":  雖然這種寫法仍非常常見,但是它實際上只是一種方便的記號,而不是任何有良好定義的(黎曼或勒貝格)積分。  作為R上的概率測度,狄拉克測度可以通過它的累積分佈函式──單位階躍函式──來定義:  換句話說,"H"("x")是積累指示函式相對於測度"δ"的積分:  "δ"函式相對於一個連續函式的積分可以通過黎曼-斯蒂爾傑斯積分嚴格定義:  "δ"函式的所有更高矩都是零。其特徵函式和矩母函式都等於1。

  在分佈理論中,一個廣義函式並不像普通函式一樣直接定義,而是在它相對其他函式積分的時候,以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路,只須定義"δ"函式相對某個足夠「良好」的測試函式的「積分」就足夠了。如果"δ"函式已經定義為測度,則這種積分可以是測試函式相對於這"δ"測度的勒貝格積分。  測試函式空間一般可包括所有R上的緊支撐光滑函式。作為一個分佈,"δ"函式是在測試函式空間上的線性泛函,定義為  對於所有測試函式"φ"。  若要使"δ"成為一個正式的分佈,它必須要在測試函式空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函式空間上的線性泛函"S"要能夠良好定義一個分佈,其必要和充分條件是,對於每個正整數"N",有整數"M"和常數"C",使得對每個測試函式"φ",以下不等式都成立:  當"S"就是"δ"分佈時,,對於所有"N",就能滿足這條不等式。因此,"δ"是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈,其支撐集是{0}。  δ分佈有幾種等價的定義。例如,它是黑維塞階躍函式的分佈導數,也就是說,對於任何測試函式"φ",  直觀而言,如果允許分部積分法,以上的積分就會簡化為  斯蒂爾傑斯積分的確有一種分部積分法,可如下表示:  在測度論中,狄拉克測度通過積分產生分佈。相反,公式()在所有緊支撐連續函式"φ"空間上定義了一個Daniell積分,且根據里斯表示定理,該積分可以表示為"φ"相對於某拉東測度的勒貝格積分。  當講到「狄拉克"δ"函式」時,一般指的是分佈,而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克"δ"分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。

  在"n"維歐幾里得空間R中,狄拉克"δ"函式可以定義為一個測度,使得對於所有緊支撐連續函式"f",滿足  作為一個測度,"n"維"δ"函式是每個獨立變數的1維"δ"函式的積測度。也就是說,若,則  上文的1維"δ"分佈也存在"n"維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛,公式()還是必須小心使用,因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。  狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設"X"是集合,,Σ為"X"子集上的任何σ-代數,則對每個集合可以定義測度:  這就是單位質量集中在"x"處的狄拉克測度。  "δ"函式也可以推廣至微分流形,由於具有微分結構,因此能保留它作為分佈的一些性質。流形"M"上以為中心的"δ"函式可定義為以下分佈:  對於所有"M"上的緊支撐光滑實數值函式"φ"。一個常見的特殊情況是,"M"是歐幾里得空間R中的一個開集。  在區域性緊豪斯多夫空間"X"中,集中在點"x"的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函式"φ"的Daniell積分()的拉東測度。推廣到這一層次,已經無法進行普通的微積分,不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如,對映formula_19是把"X"嵌入到包含所有在"X"上的有限拉東測度的空間(具有淡拓撲)的一個連續函式。而且,"X"在這一嵌入下的值域的凸包,在在"X"上的概率測度空間中是一個稠密集。

  

  對非零純量"α","δ"函式有以下縮放性質:  要取得"δ",對相對球體測度dω積分,再對積分施用拉普拉斯運算元的冪,其中"ξ"屬於單位球面"S":  此處的拉普拉斯運算元理解為弱導數,所以上式的意思是,對於任何測試函式"φ",  這一結果來自牛頓位勢公式(牛頓位勢是帕鬆方程的基本解)。這實際上是拉東變換的逆轉公式,因為它能夠從"φ"("x")在超曲面上的積分取回"φ"("x")的值。例如,若"n"是奇數,而,則右邊的積分等於  其中是"φ"的拉動變換:  平面波分解的另一個等價表示式是()  對於偶數"n",且  對於奇數"n"。

  在對傅立葉級數的研究當中,一個重要的問題是須要判斷,和某周期函式相關的傅立葉級數是否收斂到該函式,以及從何種意義上收斂。週期為2π的函式"f"的傅立葉級數的第"n"部分和,定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積:  因此  其中  傅立葉級數的一個基礎結果說明,當,狄利克雷核趨向於"δ"函式的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂,即  對於一切緊支撐光滑函式"f"。從而,在區間[−π,π]上有  儘管如此,但這並不對所有緊支撐連續函式成立,換言之,"D"從測度意義上並不弱收斂。鑑於傅立葉級數無法收斂,因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核  費耶核從一種更強的意義向"δ"函式收斂:  對於一切緊支撐連續函式"f"。結果是,所有連續函式的傅立葉級數在每一點上都是切薩羅可和的,且和的值等於該函式的值。

  狄拉克"δ"分佈是在包含所有平方可積函式的希爾伯特空間L上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函式在"L"中是一個稠密集,且"δ"分佈對於緊支撐光滑函式有良好定義。在許多應用中,可以對"L"的某個子空間賦予更強的拓撲,使得"δ"函式能夠定義一個有界線性運算元。  索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時,意味著任何平方可積函式"f",只要滿足  就必定是連續的,而且滿足  從而"δ"是一個在索伯列夫空間"H"上的有界線性泛函。另一個等價的說法是,"δ"是"H"的連續對偶空間"H"的元素。更一般地說,在"n"維中,有,條件是。

  在複分析中,"δ"函式出現在柯西積分公式中,公式說明,若"D"是複數平面上一個具有光滑邊緣的域,則  對於一切在"D"的閉包內連續的全純函式。從而,對於此類全純函式,"δ"函式"δ"可以以柯西積分表示:  更一般地來說,設"H"(∂"D")是一個哈代空間,它是所有在"D"中直到"D"的邊緣都是連續的全純函式,在"L"(∂"D")中的凸包。"H"(∂"D")中的函式可以唯一地延續成"D"上的全純函式,而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於,"δ"函式"δ"是一個"H"(∂"D")上的連續線性泛函。這是多複數變數函式中的特殊情況:對於光滑域"D",Szegő核代替了柯西積分的角色。

  在可分希爾伯特空間中,給定一個由函式{"φ"}組成的標準正交基(如一個緊自伴運算元的歸一化特徵向量),那麼任何向量"f"都可以表達成:  係數{α}可以如下得出:  也可以寫為  這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下,"f"以並矢方式展開:  設"I"是該希爾伯特空間上的恆等運算元,則表示式  稱為單位分解。當希爾伯特空間是"L"("D"),包含所有在域"D"上的平方可積函式,那麼  就是一個積分運算元,而"f"可以重新表達為:  右邊的級數是在"L"當中向"f"收斂。就算"f"是連續函式,點收斂極限也不一定存在。儘管如此,往往可以濫用符號,寫  如此來表示"δ"函式:  在適當的裝備希爾伯特空間中,其中包含所有緊支撐光滑函式,視乎基"φ"的性質,上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下,標準正交基來自於某個積分或微分運算元,這時候級數會從分佈的意義上收斂。

  1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函式時,用到了一個無限小數"α",使得函式"δ"滿足  formula_47  他(以及拉扎爾·卡諾)把無限小數定義為一個趨向於零的序列。  非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言,狄拉克"δ"函式可以用含有無限小數的延伸實數來表達,詳見論文所列出的相關書目。這樣定義的"δ"函式是真正意義上的函式,使得對於每個實函式"F",都有  formula_48  結果與傅立葉和柯西用別的語言所表達的一樣。

  由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做狄拉克梳子,亦稱Shah分佈,是一個取樣函式,常用在數字訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個"δ"函式的無限和,和的極限是分佈意義上的極限:  這可以理解為,在每個整數處都有一個單位質點。  狄拉克梳子是其自身的傅立葉變換(或乘以某個歸一常數)。其重要性在於,若"f"是速降函式,則"f"在週期化後的結果以以下卷積表示:  特別有,  這正是帕鬆求和公式。

  索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理,它把"δ"函式和分佈p.v.1/"x"聯絡起來,後者是函式1/"x"的柯西主值,定義是  索霍茨基公式說明,  此處的極限是分佈意義上的極限,就是說對於一切緊支撐光滑函式"f",

  克羅內克"δ"函式"δ"的定義是,  對於所有整數"i"、"j"。它滿足以下的篩選性質:若formula_56是一個兩頭無限的序列,則  這和狄拉克"δ"函式的篩選性質十分相似:對於任何R上的實函式或複函式"f",有  也就是說,克羅內克"δ"函式可以看作是與狄拉克"δ"函式對應的離散函式。

  

  在概率論和統計學中,狄拉克函式往往以概率密度函式的身份,來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈(概率密度函式一般只用作描述完全連續分佈)。例如,設一組點x = {"x",..., "x"},對應概率為"p",..., "p";由這些點所組成的離散分佈的概率密度函式可以寫作  又舉一例,設一個分佈,其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈,而十分之四的情況下輸出單個數值3.5,這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函式是  也可以以完全不同的方法,用"δ"函式表示擴散過程(如布朗運動)中的區域性時。一個隨機過程的區域性時的表示式為  這代表了該過程在某特定區間內,在點"x"所花的時間。更準確地說,當只有一個維度時,上面的積分可以寫成  其中是區間的指示函式。

  以下舉一個例子,展示"δ"函式如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函式所給出的,是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函式假定屬於希爾伯特空間"L"(平方可積函式空間),且粒子在某空間範圍內出現的總概率,等於波函式的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函式{"φ"}叫做標準正交,如果  其中"δ"指的是克羅內克"δ"函式,而不是狄拉克"δ"函式。一組標準正交波函式叫做在平方可積函式空間中完備,如果任何波函式"ψ"都可以表達為一些"φ"的線性組合:  其中formula_65。量子力學中的哈密頓算符量度的是(束縛態的)能級,而算符的所有本徵函式正正就組成了波函式完備標準正交系統,每個本徵函式所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號(如上),上式所表達的就是單位分解:  此處,特徵值都是離散的,但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的,就如位置算符。位置(在一維當中)的光譜是整條實數線,所以稱作連續光譜。不過,和哈密頓算符不同的是,位置算符並沒有正式的本徵函式。為了解決這一困局,通常會擴大所允許使用的函式,從普通的函式到所有分佈。換言之,量子力學的希爾伯特空間要由合適的裝備希爾伯特空間取代。這樣一來,位置算符就有了一套完備的本徵分佈,對應於實數線上的每個點"y":  位置的本徵函式(分佈)用狄拉克符號記作formula_68,亦稱為位置本徵態。  這種處理方法同樣可以應用於動量算符,以及一切希爾伯特空間上的自伴無界運算元"P",前提是"P"具有連續光譜,且不存在退化特徵值。更確切地說,有一個實數的子集Ω(即運算元的光譜)和一組分佈"φ",對應於Ω的每個元素"y",使得  也就是說,"φ"是"P"的特徵向量(本徵分佈)。如果這些特徵向量(作為分佈)都滿足歸一化條件:  那麼對於一切測試函式ψ,就有  其中  此處所得出的單位分解和離散的情況比較,有相似之處:  其中以運算元為值的積分同樣理解為弱積分。若"P"的光譜同時含有連續和離散部分,則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和,再加上跑遍所有連續態的積分。  "δ"函式在量子力學中還有眾多特殊應用,例如"δ"位勢阱。

  在結構力學中,"δ"函式可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在"t"=0時突然受到衝量為"I"的力的衝擊,其演變可以如下描述:  其中"m"是質量,ξ是撓度,而"k"是彈簧常數。  根據尤拉-伯努力理論,一條細長的樑的靜力負荷撓度是  其中"EI"是樑的彎曲剛度,"w"是撓度,"x"是空間座標,而"q"("x")則是負荷分佈。如果棟樑在"x" = "x"處受到點力"F"的負荷,那麼負荷分佈可以寫作  由於"δ"函式的積分是黑維塞階躍函式,因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度,可以用一組分段多項式來表示。  "δ"函式還可以描述作用在一條樑上的點彎矩。設兩個相距"d"的相反方向的點力"F",它們在棟樑上所產生的彎矩為"M" = "Fd"。在保持"M"不變的情況下,使"d"趨向於零。假設所產生的彎矩位於"x" = 0,方向是順時針,那麼對棟樑的負荷分佈就是  因此點彎矩可以用"δ"函式的導數來描述。對棟樑方程積分,得出的撓度一樣是分段多項式。
在科學和數學中,狄拉克函式或簡稱函式(譯名德爾塔函式、得耳他函式)是在實數線上定義的一個廣義函式或分佈。它在除零以外的點上都等於零,且其在整個定義域上的積分等於1。函式有時可看作是在原點處無限高、無限細,但是總面積為1的一個尖峰,在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。