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  可以證明,一個整係數多項式"P"("n"),如果不是常數函式的話,不會是一個素數公式。證明很簡單:假設這樣的一個多項式"P"("n")存在。那麼"P"(1)將是一個素數"p"。接下來考慮formula_1的值。由於formula_2,對於任意整數"k",我們有formula_3,從而formula_1是"p"的倍數,但已然假設formula_5是素數公式,所以formula_6必須是素數,於是它就只能等於formula_7。也就是說,對於任意的"k",formula_8都是多項式"P"("n") - "p"的一個根。但根據代數基本定理,一個非零的整係數多項式不可能有無窮多個根。故此,"P"("n")只能是常數函式。  應用代數數理論,可以證明更強的結果:不存在能夠對幾乎所有自然數輸入,都能產生素數的非常數的多項式"P"("n")。  尤拉在1772年發現,對於小於40的所有自然數,多項式 的值都是素數。對於前幾個自然數"n" = 0, 1, 2, 3...,多項式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。當"n"等於40時,多項式的值是1681=41×41,是一個合數。實際上,當"n"能被41整除的時候,"P"("n")也能被41整除,因而是合數。這個公式和所謂的質數螺旋有關,也和黑格納數formula_10有關。若formula_11時,其對應的多項式也有類似的性質,而formula_12也是黑格納數。 狄利克雷定理證明了,對於互素的"a"和"b", 線性函式formula_13能產生無窮多個質數(儘管不是對於所有的自然數n)。至於是否存在次數大於等於2的多項式,滿足對無窮多個整數,都能取到素數值,目前還沒有結論。  此外,格林-陶定理證明了另一結論:對於每個正整數"k",都存在著整數對"a", "b",使得對於每個0與"k"−1之間的"n",formula_14都是素數。然而,對於比較大的"k",找出"a"和"b"是很困難的。目前最好的結果是對於"k" = 26,

  一個很著名的素數公式是以下的有26個未知數的由14個方程組成的丟番圖方程組Jones et al.(1976):  對於這個方程組的所有正整數解:(a,b...,z),"k" + 2都是素數。可以把這個公式改寫成多項式的形式:將14個等式記作p,p,......,p,那麼可以說,多項式formula_29的輸入值(a,b...,z)是正整數時,其值域的正值部分就是所有素數。  根據尤里·馬季亞謝維奇的一個定理,如果一個集合能夠被定義成一個丟番圖方程的解集,那麼就可以被定義為一個只有9個未知數的丟番圖方程的解集。於是,素數集合可以被定義為一個只含10個變元的多項式的正值解集。然而,這個多項式的次數極大(在10數量級),另一方面,也存在次數不超過4的多項式,未知數個數是58個。

  利用高斯符號formula_30,可以建立一些第"n"個素數的表示式:

  第一個帶高斯函式的素數公式由W. H. Mills在1947年構造。他證明了存在實數"A"使得數列  中的每個數都是素數。最小的"A"稱為米爾斯常數,如果黎曼猜想成立,它的值大約為:formula_32()。 這個素數公式並沒有什麼實際價值,因為人們對"A"的性質所知甚少,甚至不知道"A"是否為有理數。而且,除了用素數值逼近外,沒有其他計算"A"的方法。

  使用威爾遜定理,可以建立一些其他的素數公式。以下的公式也沒有什麼實際價值,大多數的素性測試都比它遠為有效。  我們定義  或者  這兩種定義是等價的。π("m")就是小於"m"的素數個數。於是,我們可以定義第"n"個素數如下:

  這個例子沒有用到階乘和威爾遜定理,但也大量應用了高斯函式(S. M. Ruiz 2000)。首先定義:  然後就有第"n"個素數的表示式:

  另外一個素數公式由以下遞推關係組成的數列,其前後項的差來定義: 其中gcd("x", "y")表示"x"和"y"的最大公因子。這個數列的開始幾項a - a是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 。證明了這個數列只含有一和素數。

  

  其中,素數2出現無限多次,其餘的素數恰好出現一次。實際上,當"n+1"是素數"p"的時候,由威爾遜定理,formula_40等於"p-2",於是formula_41,當"n+1"是合數的時候,formula_42等於0,於是得到2。
質數公式,又稱素數公式,在數學領域中,表示一種能夠僅產生質數(素數)的公式。即是說,這個公式能夠一個不漏地產生所有的質數,並且對每個輸入的值,此公式產生的結果都是質數。由於質數的個數是可數的,因此一般假設輸入的值是自然數集(或整數集及其它可數集)。迄今為止,人們尚未找到易於計算且符合上述條件的質數公式,但對於質數公式應該具備的性質已經有了大量的研究。