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  我們要試著解決的問題是:給定一個合成數formula_1,找到整數formula_8在formula_9和formula_1之間且不包含formula_9和formula_1,並且formula_1整除於formula_8。  秀爾演算法包含兩個部分:

  這個演算法使用的量子線路是為了在給定一個固定常數 formula_1 以及一個任意常數 formula_16 之下,找出formula_17 所設定的。給定 formula_1,找出 formula_19 = 2且合乎formula_20(這同時表示formula_21)。輸入和輸出量子位元暫存器需要儲存從0到 formula_19 -1所有值的疊加態,因此分別需要 formula_23 個量子位元。這裡使用看起來比所需的數量還要更多一倍的量子位元,保證了即使週期 formula_24 的大小逼近 formula_1 /2,也至少有 formula_1 個不同的 formula_27 會產生相同的 formula_28 。  程式如下:

  此演算法包含兩個部分。演算法的第一部分是將因子分解問題轉成尋找一個函式的週期,而且這部分可以用傳統方式實作。第二部分則是使用量子傅立葉變換來搜尋這個函式的週期,而且這一部分是量子加速這整個演算法的理由。

  小於"N"且互質於"N"的整陣列成一個有限大,且對乘法同餘"N"的群。在步驟3之後,我們有一個屬於這個群的整數"a"。既然這個群是有限的,"a"必有一個有限大的階"r",也就是最小的正整數令  因此可知,"N"是"a" − 1的因子。先假設我們有能力獲得"r",而且"r"是偶數。則  "r"是令"a" ≡ 1"最小的"正整數,所以("a" − 1)必定不能整除於"N"。若("a" + 1)也不整除於"N"的話,則"N"必定與("a" − 1)或者("a" + 1)有一個非顯然的公因子。  證明:為了簡化,我們分別用"u"和"v"表示("a" − 1)和("a" + 1)。"N" | "uv",故"kN" = "uv"(k是某個整數)。假設gcd("v", "N") = 1:則必定存在某個整數"m"和"n"令"mv" + "nN" = 1 (這是最大公因子的一個性質)。兩邊同乘以"u",我們得到"mkN" + "nuN" = "u", 所以 "N" | "u",從而產生矛盾(前文提到("a" − 1)必定不能整除於"N")。故假設不成立,即gcd("v", "N") ≠ 1。用類似的方法,可以得知若("a" + 1)不能整除於"N", gcd("u", "N") ≠ 1。故得證u和v不同時與"N"互質。  這給予我們一個"N"的因子分解。若"N"是兩個質數的乘積,則這是"唯一"可能的分解。

  秀爾的週期尋找演算法非常倚賴量子計算機同時計算許多狀態的能力。物理學家稱呼這個特性為這一些狀態的"疊加"。在計算函式"f"的週期時,我們會同時估計這個函式的所有點。  不過,量子物理不允許我們直接取得這一些資訊。測量會令觀測結果塌陷到其中一個可能的結果,並摧毀其他可能性的存在。但是根據不可克隆原理,我們可以先測量"f"("x")而非測量"x",再製造幾個結果態的拷貝(將會是多個有著同樣的"f"("x")的態的疊加)。對這些態上的"x"的測量將會給出能給出相同"f"("x")的不同的"x",由此推匯出週期來。因為我們不能複製完全相同的量子狀態,這個方法行不通。因此在這裡我們需要小心的將疊加態轉變成我們有辦法以很高的正確機率回答答案的狀態。在這裡我們使用量子傅立葉變換來達成。  因此秀爾在這裡必須解決三個"實作"的問題。這一些問題都必須要有很快的實作,或者說他們可以用formula_3的多項式個數這麼多量子閘來實作。 在這一些變換之後,測量會逼近於週期"r"的近似值。為簡明起見,假設存在"y"令"yr/Q"是整數,則測量到"y"的機率是1(理論上)。要推匯出這個,我們首先注意到對任何整數"b",  Note:另一種解釋秀爾演算法的方式是將之視為是喬裝過後的量子相位估計演算法。

  有反對者認為,秀爾演算法的量子部分與傳統部分在執行中傳遞了什麼資訊無法解釋清楚。
秀爾演算法(),以數學家彼得·秀爾命名,是一個在1994年發現的,針對整數分解這題目的的量子演算法(在量子計算機上面運作的演算法)。比較不正式地說,它解決題目如下:給定一個整數 formula_1,找出他的質因子。 在一個量子計算機上面,要分解整數formula_1,秀爾演算法的運作需要多項式時間(時間是 formula_3的某個多項式這麼長,formula_3 在這裡的意義是輸入的檔案長度)。更精確地說,這個演算法花費 formula_5 的時間,展示出質因子分解問題可以使用量子計算機以多項式時間解出,因此在複雜度類BQP裡面。這比起傳統已知最快的因子分解演算法,普通數域篩選法,其花費次指數時間——大約 formula_6,還要快了一個指數的差異。