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  我們從R中的開集的情形開始。一個0-形式(0-form)定義為一個光滑函式"f". 當我們在R的"m"-維子空間"S"上對函式"f"積分時,我們將積分寫作:  把"dx",..., "dx"當作形式化的物件,而非讓積分看起來像個黎曼和的標記。我們把這些和他們的負−"dx",..., −"dx"叫做基本1-形式。  我們再在其上定義一種乘法規則楔積,這種乘法只需滿足反交換的條件: 對所有"i","j" 注意這意味著  我們把這些乘積的集合叫做"基本"2-"形式",類似的我們定義乘積 的集合為"基本'3"-形式,這裡假定"n"至少為3。現在定義一個"單項式'k"-形式為一個0-形式乘以一個基本的"k"-形式,定義"k"-形式為一些單項式"k"-形式的和。  楔積可以推廣到這些和上: 等等,這裡"dx"和類似的項表示"k"-形式。換句話說,和的積就是所有可能的積的和。  現在,我們來定義光滑流形上的"k"-形式。為此,我們假設有一個開座標覆蓋。我們可以在每個座標鄰域上定義一個"k"-形式;一個全域性的"k"-形式就是一組座標領域上的"k"-形式,他們在座標鄰域的交集上一致。這種"一致"的精確定義,見流形。

  若"f", "g","w"為任意微分形式,則  若"f"為"k"-形式,"g"為"l"-形式:

  在微分幾何中,"k"階微分k-形式是一個流形的餘切叢的"k"階外冪(exterior power)的光滑截面。在流形的每一點"p",一個"k"-形式給出一個從切空間的"k"階笛卡兒冪(cartesian power)到R的多線性對映。  例如,光滑函式(0-形式)的微分就是一個1-形式。  1-形式在張量的座標無關表示中是一個很有用的基本概念。在這個上下文中,他們可以定義為向量的的實值函式,並可以看成他們所對應的向量空間的對偶空間。1-形式的一箇舊稱就是"協變向量"。

  "k"階微分形式可以在"k"維鏈(chain)上積分。若"k" = 0,這就是函式在點上的取值。其他的"k" = 1, 2, 3,...對應於線積分,曲面積分,體積分等等。  設 為一微分形式,設"S"為一個我們想在其上積分的集合,其中"S"有引數化形式 u屬於引數域"D"。則[Rudin, 1976]定義"S"上微分形式的積分為  其中  是雅可比矩陣的行列式。  參見斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。

  一個流形上所有"k"-形式的集合是一個向量空間。而且,其上有三類操作:楔積, 外微分(用"d"表示),和李導數。"d" = 0,細節請見德拉姆上同調。  外導數和積分的基本關係由推廣的斯托克斯定理給出,它也同時給出了德拉姆上同調和鏈的同調的對偶性。
微分形式是多變數微積分,微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積(wedge product)和外微分結構形成外代數的想法,都是由法國數學家埃裡·嘉當引入的。