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  亞純函式formula_2在孤立奇點formula_3的留數,通常記為formula_4或formula_5,是使formula_6在穿孔圓盤formula_7內具有解析原函式的唯一值formula_8。  另外,留數也可以通過求出洛朗級數展開式來計算,並且可以將留數定義為洛朗級數的係數"a"  留數的定義可以拓展到任意黎曼曲面上。

  作為例子,考慮以下的路徑積分:  其中C是圍繞原點的任意(正向)簡單閉曲線。  我們來計算這個積分,不用任何標準的積分定理。現在,"e"的泰勒級數是眾所周知的,我們可以把這個級數代入被積表示式中。則積分變為:  我們把1/"z"的項代進級數中,便得到:  現在,積分便化為更簡單的形式。由於:  因此任何不是"cz"形式的項都變成了零,那麼積分變為:  1/4!就是"e"/"z"在"z" = 0的留數,記為:

  設複平面內有一穿孔圓盤"D" = {"z" : 0 < |"z" − "c"| < "R"},"f"是定義在"D"內的一個全純函式。"f"在"c"的留數Res("f", "c")是羅朗級數展開式的("z" − "c")項的係數"a"。計算留數的值的方法有很多,具體採用那種方法取決於題目中的函式,以及奇點的性質。  根據柯西積分公式,我們有:  其中γ是逆時針繞著"c"的一條閉曲線。我們可以選擇γ為繞著"c"的一個圓,它的半徑可以任意地小。

  如果函式"f"在整個圓盤{ |"z" − "c"| < "R" }內可以延拓為全純函式,則Res("f", "c") = 0。反過來不總成立。

  在一階極點,留數由以下公式給出:  設"g"和"h"在"c"的一個鄰域內是全純函式,"h(c)" = 0而"g(c)" ≠ 0,那麼函式"f"("z")="g"("z")/"h"("z")在極點"c"的留數為:

  更一般地,"f"在"z" = "c"的留數,其中"c"是"n"階極點,由以下公式給出:  以上的公式對於計算低階極點的留數是十分有用的。對於較高階的極點,則級數展開式更加容易一些。

  一般地,無窮遠點的留數是指: 如果滿足下面的條件: 則可以用下面的公式計算無窮遠點的留數: 如果不滿足,即 則無窮遠點的留數為:

  如果函式的一部分或全部可以展開為泰勒級數或洛朗級數,則留數的計算比用其它的方法要容易得多。  1. 第一個例子,計算以下函式在奇點的留數:  它可以用來計算一定的路徑積分。這個函式表面上在"z" = 0處具有奇點,但如果把分母因式分解,而把函式寫成:  則顯然"z" = 0是可去奇點,因此"z" = 0處的留數為零。  唯一一個另外的奇點是"z" = 1。函式"g"("z")在"z" = "a"的泰勒級數為:  因此,對於"g"("z") = sin "z"和"a" = 1,我們有:  對於"g"("z") = 1/"z"和"a" = 1,我們有:  把兩個級數相乘,併除以("z" − 1),便得:  因此"f"("z")在"z" = 1的留數為sin 1。  2. 接下來的例子展示了運用級數展開來求留數,拉格朗日反演定理在這裡發揮了重要作用。令  為一個整函式,並令
在複分析中,留數是一個正比於一個亞純函式某一奇點周圍的路徑積分的複數。(更一般地,對於任何除去離散點集{"a"}之外全純的函式formula_1都可以計算其留數,即便是離散點集中含有本質奇點)留數可以是很容易計算的,一旦知道了留數,就可以通過留數定理來計算更復雜的路徑積分。