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  讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學,而引入層的概念,從而面臨計算層上同調的問題。為此,勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法,它聯絡了一個層的上同調群與其正像的上同調群。  人們很快就發現:勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題;更抽象地說,對合成函子取導函子也會得到譜序列,稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡煉的框架,譜序列仍是最有效的計算工具。  由於譜序列包含大量的項,實際計算時往往會陷入帶(至少)三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中,譜序列最後會「塌陷」,此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷,則須靠一些竅門取得有用的資訊。

  以下固定一個阿貝爾範疇 formula_1,常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 formula_2 及下述資料:  通常省去 formula_7 與 formula_8 的同構,而寫成等式。  最基本的例子是鏈復形 formula_11,它帶有一個微分 formula_12。取 formula_13,並令 formula_14,於是必有 formula_15;這個新鏈復形上的微分只有一個自然的選擇,就是零對映。於是有 formula_16。綜之,我們得到一個鏈復形範疇上的譜序列:  由於只有 formula_19 時微分對映才可能非零,此序列在第一步後就不含任何新資訊。  較常見的是雙分次模(或層)範疇上的譜序列,表作 formula_20,此時的微分對映次數與 formula_21 有關:對於上同調譜序列,formula_5 的次數是 formula_23。對於同調譜序列,通常將各項寫成 formula_4,微分對映 formula_25 的次數是 formula_26。  譜序列之間的態射 formula_27 定義為一族態射 formula_28,使之與同構 formula_29 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

  交換代數中大部分的譜序列來自鏈復形,而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見,此時對於許多譜序列,正合偶是唯一已知的構造法。事實上,正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。  同樣固定一個阿貝爾範疇(通常取一個環上的雙分次模)formula_1,一個正合偶是:  使之滿足下述正合條件:  將這組資料簡記為 formula_35。正合偶通常以三角形表示。formula_36 對應到譜序列的 formula_37 項,而 formula_38 是一些輔助資料。  為了得到譜序列的後續項,以下將構造匯出偶。令:  現在可以驗證 formula_54 構成正合偶。formula_52 對應到譜序列的 formula_56 項。續行此法,可以得到一族正合偶 formula_57。相應的譜序列定義為 formula_58,formula_59。

  一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊,不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 formula_60。對每個 formula_21,設想有一張方格紙,分別讓 formula_62 對應於橫、縱軸。每一個格子點 formula_63 對應到物件 formula_20。微分 formula_65 的次數為 formula_66,方向如圖所示。

  在第一個簡單的例子中,譜序列在 formula_67 後的微分對映皆為零,故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 formula_68。對於一般的譜序列,也往往存在一個極限,極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。  定義:若譜序列 formula_20 對每個 formula_63 都存在 formula_71,使得當 formula_72 時,formula_73 及 formula_74 皆為零,則稱 formula_20 之極限項為 formula_76(取充分大的 formula_21)。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列,此時極限項恆存在。  其中的指標 formula_78 指涉過濾結構。  若存在物件 formula_79、過濾結構 formula_80,及一族同構 formula_81,滿足 formula_82(這種過濾稱為「正則過濾」),則稱 formula_20 收斂到 formula_79,通常表為下述符號:  習慣上,人們也常將左式寫成 formula_86,因為譜序列中最重要的頁往往是 formula_86。  最簡單的收斂特例是退化:  定義:固定 formula_88,若對每個 formula_89,微分對映 formula_90 都是零,則稱該譜序列在第 formula_21 頁退化。  退化性保證了 formula_92,此時 formula_4 即其極限。如果一個雙分次譜序列 formula_20 的非零項集中於某一條水平或垂直線上,則必在 formula_95 時退化。

  

  最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的物件,通常是鏈復形或上鍊復形。這是一個物件 formula_36 及微分對映 formula_97,使之滿足 formula_98,以及  同調群上也有相應的過濾  對此,定義相應的分次物件  取微分對映為零,可視之為復形。  以下式定義譜序列:  此時有 formula_106,且譜序列收斂: 通常也寫成 formula_108。  取 formula_1 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鍊復形範疇。此時的物件 formula_36 是個上鍊復形 formula_111,formula_12 是上鍊復形的微分對映。上述譜序列帶有三個指標 formula_113,並可進一步化成下述形式:

  以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙復形,即一組物件 formula_117,及兩組微分對映 formula_118 及 formula_119,滿足  對一個雙復形,可定義其全復形 formula_122(也記為 formula_123 或 formula_124) 為  formula_36 上有兩組過濾,分別是:  它們給出兩個譜序列 formula_130 與 formula_131。首先計算 formula_132 項:  同理可計算 formula_136:  這兩個譜序列通常是不同的,但隨著 formula_21 增大,它們都收斂到 formula_141,由此可以得到一些有趣的比較定理。

  

  利用譜序列,可以迅速匯出Tor函子的交換性,即一自然同構:  取定平坦分解 formula_143 及 formula_144。視之為集中於正項的復形,其微分對映分別記為 formula_145。考慮雙復形 formula_146,其微分對映定義為 formula_147(以使微分對映滿足反交換性)。取其譜序列,遂得到:  由於復形 formula_150 是平坦分解,其同調群只集中在零次項,此時其表示式為:  故 formula_153 只在 formula_154 上有非零項,而 formula_155 只在 formula_156 上有非零項,這保證了譜序列在第二頁退化,由此匯出同構:  當 formula_159 時,上述等式的右項同構(雖然其分次結構不同),由此得到 Tor 的交換性。

  運用譜序列時,通常會假設某些項為零,或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分對映一無所知,仍可從譜序列中萃取資訊,最簡單的例子是示性數:固定一個阿貝爾範疇 formula_1 及一個交換群 formula_36,所謂示性數是一個函式 formula_162,滿足: 例如:取 formula_1 為某個域 formula_166 上的有限維向量空間範疇,則 formula_167 是一個示性數。  對任一 formula_1 上的有限復形 formula_169,定義  容易證明 formula_171。考慮任一在 formula_1 上的收斂譜序列 formula_173,由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調,遂得到 然而 於是得到
在同調代數中,譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術,由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。