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  設 formula_4 為緊緻、負常曲率曲面,這類曲面可以表為上半平面 formula_5 對 formula_6 的某離散子群 formula_3 的商。  考慮 formula_4 上的拉普拉斯運算元 由於 formula_4 為緊曲面,該運算元有離散譜;換言之,下式定義的特徵值 formula_12 至多可數 事實上,更可將其由小至大排列:  對應的特徵函式 formula_15,並滿足以下週期條件: formula_16  行變元代換 formula_17  於是特徵值可依 formula_18 排列。

  塞爾伯格跡公式寫作  formula_19  和式中的 formula_20 取遍所有雙曲共軛類。所取函式 formula_21 須滿足下述性質:  函式 formula_27 是 formula_21 的傅立葉變換:

  為了計算赫克運算元作用於尖點形式上的跡,出現了 Eichler-塞爾伯格跡公式。志村五郎後來採取的方法省去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調也為非緊黎曼曲面與模曲線的尖點問題提供了純粹的代數框架。最後,formula_30 為緊的情形可藉阿蒂亞-辛格指標定理處理,然而,一旦取 formula_3 為算術子群,便不免要處理非緊的情形。  在1960年代,塞爾伯格跡公式由蘇聯的蓋爾芳特學派、普林斯頓大學的 Harish-Chandra(हरीश चन्द्र)、羅伯特·郎蘭茲與日本的窪田富男接手推動。非緊情形的連續譜是郎蘭茲發展艾森斯坦級數理論的動機之一。拉普拉斯運算元與赫克運算元的跡公式表明了賦值向量環之妙用。  亞瑟-塞爾伯格跡公式適用於一般的半單群(或約化群)。此公式的一側稱為譜側,與群的表示相關;另一側稱為幾何側,與函式之軌道積分相關。群表示通常帶有重要的數論資訊,而軌道積分則較容易操作。亞瑟-塞爾伯格跡公式是證明郎蘭茲函子性猜想的重要進路之一。
在數學中,塞爾伯格跡公式是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 formula_1 的函式空間上某類運算元的跡數,其中 formula_2 是李群而 formula_3 是其離散子群。