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  若formula_1是集合formula_10,則formula_1的全部子集如下:  因此formula_1的冪集為

  若formula_1是有限集,有formula_32個元素,那麼formula_1的冪集有formula_34個元素。(其實可以——事實上電腦就是這樣做的——將formula_2的元素表示為"n"位二進位制數;第"n"位表示包含或不含formula_1的第"n"個元素。這樣的數總共有formula_37個。)  我們也可以考慮無窮集的冪集。以對角論證法可證明一個集合(不論是否無窮)的冪集的基數總是大於原來集合的基數(粗略的說,集合的冪集必然大於原來集合),詳見康托爾定理。例如正整數集的冪集可以一一對應於實數集(把一個無窮0-1序列對應於那些包含有1出現的指數的集合。例如, formula_38對應於序列formula_39,formula_40對應於序列formula_41 )。  集合formula_1 的冪集,加上並、交和補運算,就得出布林代數的原始例子。事實上,我們可以證明所有有限布林代數都是同構於某有限集的冪集的布林代數。這結果雖然對無窮布林代數不成立,但是所有無窮布林代數都是某個冪集布林代數的子代數。  集合formula_1 的冪集與對稱差運算構成一個阿貝爾群(其中空集為么元,每個集合的逆元為其本身),與交運算一起則構成交換半群。因此這兩個運算跟冪集(透過證明分配律)一起構成一個交換環。

  在集合論中,formula_44是由所有從formula_45到formula_46的函式構成的集合。因為formula_47可以定義為formula_48(見自然數),formula_3這集合包含了所有從formula_1到formula_48的函式。把formula_3內的函式對應於由這函式給出的formula_53的原像,可看出在formula_3和formula_2之間存在雙射,其中每個函式是formula_2中這函式所對應的子集的特徵函式。所以就集合論來說formula_3和formula_2是相同的。
數學上,給定集合 formula_1,其冪集 formula_2(或作formula_3)是以formula_1 的全部子集為元素的集合(注意:空集合也是冪集的元素)。以符號表示即為