Can you summarize the following document?
        
  設formula_2,以及formula_3在formula_4中連續,並設泛函  若formula_6使得泛函formula_7取得區域性平穩值,則對於所有的formula_8,  推廣到多維的情況,記  若formula_13使得泛函formula_14取得區域性平穩值,則在區間formula_15內對於所有的formula_16,皆有

  設formula_2,及formula_3在formula_4中連續,若formula_6使得泛函formula_5取得區域性平穩值,則存在一常數formula_23,使得

  

  設formula_25及formula_15為直角座標上的兩個固定點,欲求連線兩點之間的最短曲線。設formula_27,並且  這裡,formula_29為連線兩點之間的曲線。則曲線的弧長為  現設  取偏微分,則  若formula_36使得formula_37取得區域性平穩值,則formula_36符合第一方程:  因此,  隨formula_43積分,  這裡,formula_46為常數。重新編排,  再積分,  代入初始條件  即可解得formula_53,是連線兩點的一條線段。  另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得formula_37取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

  另一個例子同樣是求定義在區間["a", "b"]上的實值函式"y"滿足"y"("a") = "c"與"y"("b") = "d",並且沿著"y"所定義的曲線的道路長度最短。  被積函式為  "L"的偏導數為  以及  把上面兩式代入尤拉-拉格朗日方程,可以得到 也就是說,該函式的一階導數必須為常值,因此其影象為直線。
尤拉-拉格朗日方程(英語:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程。它是一個二階偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函式,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函式空間而不是 formula_1。