Can you summarize the following document?
        
  假設X是拓撲空間。設x和y是X中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”,如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的(U ∩ V = ∅),且 X 中的任意兩個不同的點都可以由這樣的鄰域分離,那麼稱 X 是豪斯多夫空間。這也是豪斯多夫空間叫做 T空間或分離空間的原因。  X 是預正則空間,如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R空間。  在這些條件之間的聯絡如下。拓撲空間是豪斯多夫空間,當且僅當它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間,當且僅當它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

  對於拓撲空間X,以下論述等價:

  在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間;最重要的實數是豪斯多夫空間。更一般的說,所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實上,在分析中用到的很多空間,比如拓撲群和拓撲流形在其定義中明確的宣告瞭豪斯多夫條件。  最簡單的是 T空間而非 T 空間的拓撲的例子是餘有限空間。  偽度量空間典型的不是豪斯多夫空間,但是它們是預正則的,並且它們在分析中通常只用於構造豪斯多夫 gauge空間。實際上,在分析家處理非豪斯多夫空間的時候,它至少要是預正則的,他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。  相反的,在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間,特別是作為在代數簇或交換環譜上的扎里斯基拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中:所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數,但是這個空間不需要是預正則的,更少見豪斯多夫空間。

  豪斯多夫空間的子空間和乘積是豪斯多夫空間,但是豪斯多夫空間的商空間不必須是豪斯多夫空間。事實上,所有拓撲空間都可以實現為某個豪斯多夫空間的商。  豪斯多夫空間是T空間,這意味著所有單元素集合是閉集。類似的,預正則空間是 R空間。  豪斯多夫空間另一個美好的性質是緊緻集合總是閉集。這對於非豪斯多夫空間就可能失效(例如有其失效的T空間的例子)。  豪斯多夫空間的定義聲稱點可以由鄰域分離。它蘊涵了表象上更強的東西:在豪斯多夫空間中所有成對的不相交的緊緻集合都可以由鄰域分離。這是緊緻集合經常表現得如同點的一般規則的一個例子。  緊緻性條件與預正則一起經常蘊涵了更強的分離公理。例如,任何區域性緊緻預正則空間都是完全正則空間。緊緻預正則空間是正規空間,意味著它們滿足烏雷鬆引理和蒂茨擴張定理,並且有服從區域性有限開覆蓋的單位劃分。這些陳述的豪斯多夫版本是:所有區域性緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間,而所有緊緻豪斯多夫空間是正規豪斯多夫空間。  下列結果是關於來或到豪斯多夫空間的對映 (連續函式和其他) 的技術上的性質。  設 f : X → Y 是連續函式且 Y 是豪斯多夫空間。則 f 的圖象formula_4是 formula_5中的閉子集。  設 f : X → Y 是函式並設formula_6是作為 formula_3的子空間的它的核。  如果 f,g : X → Y 是連續對映而 Y 是豪斯多夫空間,則均衡子formula_8在 X 中是閉集。因此如果一致於 f 和 g 在某個 X 的稠密子集上有相同的值,則 f 和 g 在整個 X 上都是相同的,已就是 f=g。換句話說,若 f 是對映到豪斯多夫空間的連續函式,則函式 f 會被它在稠密子集上的值唯一決定。  設 f : X → Y 是閉滿射且對於所有 y ∈ Y,有 f(y) 是緊緻的。則若 X 是豪斯多夫空間會推得 Y 也是。  設 X 是緊緻豪斯多夫空間、 f : X → Y 是商對映,則下列是等價的

  所有正則空間都是預正則空間,也都是豪斯多夫空間。有很多拓撲空間的結果對正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數時候這些結果對於所有預正則空間也成立;它們對正則空間和豪斯多夫空間要分開列出,因為預正則空間的概念要更晚。在另一方面,這些對於正則性為真的結果一般不適用於非正則豪斯多夫空間。  有很多情況拓撲空間的其他條件(比如仿緊緻性或區域性緊緻性)也蘊涵正則性,如果它滿足預正則性的話。這種條件經常有兩個版本:正則版本和豪斯多夫版本。儘管豪斯多夫空間一般不是正則性的,區域性緊緻的豪斯多夫空間是正則性的,因為任何豪斯多夫空間都是預正則性的。因此從特定角度來看,在有關這些情況的時候它實際是預正則性的,而非正則性的。但是,定義仍依據正則性來措辭,因為這些條件比預正則性更周知。  更詳細細節請參見分離公理的歷史。

  術語“豪斯多夫”、“分離”和“預正則”還可以用於在拓撲空間上的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。在所有這些例子中統一的概念特徵是網或濾子(在它們存在的時候)的極限是唯一的(對於分離空間)或在拓撲同構意義下唯一的(對於預正則空間)。  這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是預正則的,所有在這些情況下豪斯多夫條件簡約為T條件。還有完備性在其中有意義的空間,豪斯多夫性在這些情況下是完備性的自然夥伴。特別是,一個空間是完備的,當且僅當所有柯西網有至少一個極限,而一個空間是豪斯多夫的,當且僅當所有柯西網都有最多一個極限(因為只有柯西網可以首先有極限)。
在拓撲學和相關的數學分支中,豪斯多夫空間、分離空間或T空間(Hausdorff space, separated space or T2 space)是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中,“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。直觀地講,這個條件可用個雙關語來形容:如果某空間中任兩點可用開集合將彼此“豪斯多夫”開來,該空間就是“豪斯多夫”的。