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  攝動理論的標準闡述主要是以微擾的階數來分辨:一階攝動理論或二階攝動理論。再來就是以微擾的簡併度來分辨:無簡併或有簡併。有簡併的攝動,又稱為奇異攝動(英語:singular perturbation),比較難解,必須用到更進階的理論。

  本段落講述微分方程的一階微擾理論。為了簡單易解,假設零微擾系統的解答是不簡併的。

  許多常微分方程或偏微分方程可以表達為  其中,formula_7是某特定微分運算元,formula_8是其本徵值。  假設微分運算元可以寫為  其中,formula_5是微小的度量。  又假設我們已知道formula_11的解答的完備集formula_12;其中,解答formula_13是formula_11的本徵值為formula_15的本徵函式。用方程表達,  還有,這一集合的解答formula_12形成一個正交歸一集:  其中,formula_19是克羅內克函式。  取至零階,完全解formula_20應該相當接近集合裡一個零微擾解。設定這零微擾解為formula_21。用方程表達,  其中,formula_23採用大O符號來描述函式的漸近行為。  完全解的本徵值也可近似為  將完全解formula_20寫為零微擾解的線性組合,  其中,除了formula_27以外,所有的常數formula_28的值是formula_29;只有formula_27的值是formula_31。  將公式 (2)代入公式 (1),乘以formula_32,利用正交歸一性,可以得到  這可以很容易地改變為一個簡單的線性代數問題,一個尋找矩陣的本徵值的問題:給予 formula_34,求formula_8;其中,formula_36是矩陣元素:  我們並不需要解析整個矩陣。注意到線性方程裡的每一個formula_38都是formula_29;只有formula_27的值是formula_31。所以,取至formula_5一階,線性方程可以很容易地解析為  這就是一階攝動理論的本徵值解答。一階本徵值數修正是

  取至一階,函式formula_20可以用類似的推理求得。設定  那麼,公式 (1)變為  取至一階,展開這方程。經過一番運算,可以得到  由於formula_12是一個完備集,formula_50可以寫為  請注意,這方程右手邊的總和表示式,並不含有formula_52專案。任何formula_52的貢獻,可以與公式 (4)的零階專案相合並。  將公式 (6)代入公式 (5),可以得到  將這方乘式兩邊都乘以formula_55,再隨著formula_56積分,利用正交歸一性,可以得到  稍加編排,改變下標formula_58為formula_59。那麼,一階本徵函式修正formula_50可以寫為
攝動理論使用一些特別的數學方法來對於很多不具精確解的問題給出近似解,這些方法從相關的較簡單問題的精確解開始入手。攝動理論將原本問題分為具有精確解的較簡單部分與不具精確解的微擾部分。攝動理論適用的問題通常具有以下性質:通過加入一個微擾項於較簡單部分的數學表述,可以計算出整個問題的近似解。