Can you summarize the following document?
        
  狄利克雷L函式下的廣義黎曼猜想最初可能是由皮爾茨(Piltz)於1884年提出的。與原始的黎曼猜想類似,該猜想對研究素數分佈十分重要。  如查一個已知的狄利克雷特徵χ,可以定義如下狄利克雷L函式  其中,"s"為實部大於1的所有複數。這一函式可以解析延拓為整個複平面上的亞純函式。廣義黎曼猜想即是指,狄利克雷L函式L(χ,"s")的所有非平凡零點的實部都為1/2。  當對所有"n"都有χ("n") = 1時,廣義黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。

  假設"K"為數域(有理數域的有限次代數擴張域),O為"K"的整數環,"a"為O的理想,"Na"則為非零理想的絕對範數。於是可以定義"K"上的戴德金ζ函式  其中,"s"為實部大於1的所有複數。求和運算對O的所有非零理想"a"進行。  這一函式也可以解析延宕到整個複平面上。擴充套件黎曼猜想是指,戴德金ζ函式ζ("s")的所有非平凡零點的實部都為1/2。  當數域"K"取有理數域Q,其整數環則為Z時,擴充套件黎曼猜想退化為普通的黎曼猜想。
黎曼猜想是數學中最重要的猜想之一,描述了黎曼ζ函式非平凡零點的分佈規律。而其中黎曼ζ函式可以用各種整體L函式(global L-function)替代,由此得到黎曼猜想不同型別的推廣。這些推廣的猜想描述的是不同L函式非平凡零點分佈的規律。許多數學家相信這些猜想是正確的。不過其中僅有部分函式域情形下的推廣得到了證明。