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  函式的複合總是可結合的—這個性質來自於複合關係。 也就是說,如果,, 適當選擇定義域和到達域,就會有,其中括號表示優先進行復合。由於括號如何放置沒有分別,因此可以不用括號,也不會引起任何歧義。  嚴格來說,只有當 的到達域等於 的定義域時,才可以構造複合 ;更寬泛地說,只要前者是後者的子集就足夠了。 此外,通常很容易通過限制 的定義域,使得 產生的值都在n 的定義域內;例如,函式 定義為,函式 定義為 複合而成的,可以把定義域限制在區間 上。 當 時,我們會說 和 是可交換的。可交換性是一個特殊的性質,只有特定函式具有,而且通常是在特定的情況下滿足。例如,僅當 時 。上圖也是一個說明可交換性例子。  一一對應函式的複合函式總是一一對應的。同樣,兩個滿射函式的複合也總是滿射的。因此,兩個雙射的複合也還是雙射。複合函式的反函式(假定函式可逆)具有性質 。  涉及到可導函式的複合函式的導數,可以用鏈式法則求得。Faà di Bruno公式給出了複合函式的高階導數的表示式。

  假設我們有兩個(或多個)函式,定義域與到達域相同;這些函式一般稱作變換。於是,我們可以構造多個變換複合而成的鏈,比如 。這種鏈具有么半群的代數結構,稱作變換么半群或者複合么半群。通常,變換么半群可以具有非常複雜的結構。一個很有名的例子是德拉姆曲線。所有函式 的集合稱作 上的全變換半群或對稱半群。(我們其實可以定義兩個半群,這取決於定義半群運算為函式左複合和右複合的方式。) 如果變換是雙射(也就可逆),則這些函式所有可能的組合就構成了一個變換群;可以說這個群是由這些函式生成的。這就引出了群論裡面的凱萊定理從本質上表明,(在同構意義下)任何群都是某一置換群的子群。  所有雙射函式 (稱作置換)的集合構成了一個關於複合運算元的群。這就是對稱群,有時稱作複合群。  在(所有變換的)對稱半群中,我們還可以發現一個較弱的、非唯一的逆變換(稱作偽逆),因為對稱子群是一個正則半群。

  如果,則 有可能可以與自身複合;這有時候記作 。即:  更一般地,對於 的自然數, 次函式冪可以歸納定義為. 這種函式與自身的反覆複合稱作迭代函式。  注意:若 在一個環內取值(特別是對於實值或復值),存在混淆的風險,因為 也可以表示 的 次乘積,比如. 對於三角函式,通常會使用後者的含義,至少對於正指數是這樣。例如,在三角學中,使用三角函式 的時候,這個上標記號表示標準的指數運算。不過,對於負指數(特別是 −1),則通常指的是反函式,例如,.  在一些情況下,對於給定函式,方程 只有一個解 的時候,該函式可以定義為 的函式平方根,記作.  更一般地,當 只有唯一解時(自然數 ),可以定義為.  在額外的限制下,這個想法還可以推廣,使得迭代函式可以是一個連續的引數;在此情形下,這樣的系統稱作流,由施羅德方程定義。迭代函式和流很自然地出現在分形和動力系統的研究中。  為避免混淆,有些數學家把 的 "n" 次迭代寫作.

  許多數學家,特別是群論方面的數學家,省去複合符號,把 寫作.  在20世紀中葉,一些數學家認為用“”來表示“首先施加,然後施加 ”太令人困惑,於是決定改變記法。他們用“”來代表“”,用“”來代表“”。 這在某些領域會比函式寫在左面更加自然和簡便—比如線上性代數中,當 為行向量, 和 表示矩陣,而複合是通過矩陣乘法完成的時候。這種替代記法稱作字尾表示法。順序很重要,因為函式複合不一定是可交換的(比如矩陣乘法)。向右進行施加函式和複合的寫法複合從左到右的閱讀順序。  使用字尾表示法的數學家可能會寫“”,表示先施加 再施加,這樣就能與字尾表示法中的符號的順序保持一致,不過這就會讓“”這個記號有歧義了。電腦科學家可能用 來表示 [1],這樣就能區分出複合的順序了。要把左複合運算元和文字分好區分開來,在Z表示法(Z notation)中 <unk> 字元用於左關係複合。 由於所有函式都是二元關係,在函式複合中也應該用[粗]分號(參見 關係複合條目瞭解此記法的詳細內容)。

  給定函式,複合運算元 定義為使得  的從函式對映到函式的運算元。在運算元理論領域會研究複合運算元。

  對於多元函式來說,部分複合是有可能的。當函式 的部分引數 由 換掉後得到的結果在一些計算機工程文獻中,記作  當 是一個常數 時,複合退化為一個(部分)求值,其結果就會是限制或者輔因子。  通常,多元函式的複合可能涉及若干其他函式作為引數,如原始遞迴函式的定義。給定,一個 元函式, 個 元函式, 與 的複合是 元函式  這有時稱作 "f" 與 的廣義複合。 在這個一般化的情形中,可以通過把所有這些用作引數的函式合適地選為射影函式,只保留一個引數函式,就能得到前面提到的只有一個引數部分複合的函式。還要注意,在這個一般化情形中, 可以看作是單個向量或元組值函式,這樣理解的話,這就是複合函式的標準定義。  某些基本集 "X" 上的一些有限性運算稱作克隆,它們需要包含所有射影,並且在廣義複合下封閉。請注意,克隆通常包含各種元數(arity)的運算。 交換的概念在多元情形中葉有一個有意思的推廣:如果元數 "n"的函式 "f" 是保持 "g" 的同態函式("g" 的元數為 "m"),則可以說 "f"與 "g" 是可交換的,反之亦然。例如:  一元運算總是與自己可交換,但二元(或者更多元)運算不一定如此。與自身可交換的二元(或更多元)運算稱為medial或entropic。

  複合可以推廣到任意二元關係。若 與 是兩個二元關係,則它們的複合 是定義為. 考慮二元關係的一個特殊情形(函式關係),複合函式滿足關係複合的定義。  偏函式的複合可是用相同方式定義的定義,有一個類似凱萊定理(Cayley's theorem)的定理叫做Wagner-Preston定理。  具有態射函式的集合範疇叫做原型範疇(prototypical category)。範疇的公理實際上受到了複合函式的性質(和定義)啟發。 由複合形成的結構在範疇論中被公理化和推廣,函式的概念換成了範疇論中的態射。公式 中的反序複合,同樣適用於使用逆關係的關係複合,因此在群論中也適用。這些結構形成了dagger範疇。

  複合運算元 編碼為。參見Degree symbol條目中外觀類似的Unicode字元。在TeX中,寫作codice_1。
在數學中,複合函式(英語:function composition)是指逐點地把一個函式作用於另一個函式的結果,所得到的第三個函式。例如,函式 和 可以複合,得到從 中的 對映到 中 的函式。直觀來說,如果 是 的函式, 是 的函式,那麼 是 的函式。得到的複合函式記作,定義為對 中的所有,。 直觀地說,複合兩個函式是把兩個函式連結在一起的過程,內函式的輸出就是外函式的輸入。