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  假設,在一個物理系統裡,哈密頓量是保守的,也就是說,哈密頓量 formula_1 不顯含時間;  其中,formula_3 是運動常數,formula_4 是廣義座標,formula_5 是廣義動量。  採用哈密頓特徵函式 formula_6 為正則變換的第二型生成函式。變換方程式為  其中,formula_9 是新廣義座標,formula_10 是新廣義動量。  新哈密頓量 formula_11 與舊哈密頓量 formula_1 相等:  新廣義動量的哈密頓方程式為  所以,新廣義動量是常數 formula_15 :  假設,這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 formula_17 為完全可分的,則哈密頓特徵函式 formula_6 可以分離為 formula_19 個函式 formula_20 :  哈密頓特徵函式與新舊正則座標的關係是

  假若,粒子的運動是週期性運動,最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動,則可以設計一個新正則座標-作用量-角度座標 formula_24 。定義作用量為  這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。  由於廣義動量 formula_26 只跟 formula_27 、formula_15 有關,經過積分,作用量formula_29 只跟 formula_15 有關。所以,作用量向量 formula_31 只是個常數向量。哈密頓特徵函式可以表達為  雖然是同樣的物理量,函式的引數不同,形式也不同。  定義角度 formula_33 為  由於所有的廣義座標 formula_27 都相互獨立,所有的廣義動量 formula_26 也都相互獨立,所以,所有的作用量 formula_37 都相互獨立,作用量-角度座標可以正確的用為正則座標。這樣,哈密頓特徵函式可以用正則座標作用量-角度座標表達為  新哈密頓量 formula_39 與舊哈密頓量 formula_1 相等:  因為作用量 formula_42 只是常數向量,所以,  新哈密頓量 formula_44,只跟作用量 formula_31 有關,跟角度 formula_33 無關。  角度 formula_47 隨時間的導數 formula_48,可以用哈密頓方程式決定:  每一個 formula_37 都是常數,所以,formula_51 也是常數:  其中,formula_53 是積分常數。

  假設原本廣義座標 formula_54 的振盪或旋轉的運動週期為 formula_55,則其對應的角度變數 formula_56 的改變是 formula_57 。進一步瞭解物理量 formula_48 的性質,猜想 formula_48 與廣義座標 formula_54 週期性運動的頻率有關。可是,因為角度 formula_56 是廣義座標 formula_4 與作用量 formula_31 的函式,無法確定前面的猜想。為了證實這論點,計算週期 formula_55 :  新哈密頓量 formula_66 與舊哈密頓量 formula_1 相等。所以,  假若 formula_69 是個迴圈座標,那麼,其共軛動量 formula_70 必是個常數,可以從作用量的定義積分內提出來:  其中,formula_72 是 formula_69 運動一週期的值。  這樣,  代入週期 formula_55 的公式,  肯定地,formula_48 是廣義座標 formula_27 的頻率。  假若 formula_69 不是迴圈座標,則不能將其共軛動量 formula_70 從作用量的定義積分內提出來,必須採用另外一個方法計算。從角度的定義,可以察覺角度 formula_56 跟廣義座標 formula_4 、作用量 formula_31 有關:  保持作用量不變,角度的虛位移 formula_85 是:  在一個週期性物理系統裡,每一個廣義座標 formula_27 都有它運動的週期 formula_55 。假若,其中有任何廣義座標的週期與別的廣義座標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義座標的週期不同 formula_89 、formula_90 。在做閉路徑積分的時候,就必須使用使用一個新的週期 formula_91,讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點.假若,兩個週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為  其中,formula_93 、formula_94 、formula_95 、formula_96,都是正值的整數。  同樣地,在多重週期性物理系統裡,假若,每一個廣義座標的週期與其它的廣義座標的週期都是互相可通約的,則此係統是完全可通約的,稱此係統為完全可通約系統。那麼,新週期 formula_91 為  其中,formula_99 、formula_100,都是正值的整數。  經過一個週期 formula_91,角度 formula_56 的變化是:  由於作用量 formula_29 是個常數,可以將它從積分內提出:  所以,頻率是  假若,有任何兩個互相不可通約的廣義座標 formula_27 、formula_108,其週期 formula_55 、formula_110 的比例是無理數。那麼,formula_27 不可能與 formula_108 同時回到同一點。雖然如此,有理論證明,formula_113 、formula_113 仍舊分別是 formula_27 、formula_108 的頻率。

  角度 formula_33 是一組互相獨立的廣義座標。所以,一般而言,每一個廣義座標 formula_118 可以用角度的傅立葉級數表示:  其中, formula_120 是傅立葉級數係數。  在大多數實際案例,物理系統的哈密頓-亞可比方程式 formula_17 為完全可分的。那麼,一個原本廣義座標 formula_118 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示:

  一般程式有三個步驟:

  在有些案例,兩個不同的廣義座標會有相同的頻率;也就是說,formula_126 for formula_127 。稱這些案例的運動狀態為簡併。  簡併的運動給出暗示,很可能有更多的保守量。例如,開普勒問題的頻率是簡併的,這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。  簡併的運動還給出暗示,在多於一種座標系統裡,哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如,開普勒問題在球座標系與拋物線座標系,都是完全可分的。
在經典力學裡,作用量-角度座標(action-angle coordinate)是一組正則座標,通常在解析可積分系統 (英語:Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度座標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度座標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式(哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變數。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個座標,粒子依照著角度,卷繞於環面。