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  在各種Runge-Kutta法當中有一個方法十分常用,以至於經常被稱為“RK4”或者就是“Runge-Kutta法”。該方法主要是在已知方程導數和初始值資訊,利用計算機模擬時應用,省去求解微分方程的複雜過程。  令初值問題表述如下。  則,對於該問題的RK4由如下方程給出:  其中  這樣,下一個值("y")由現在的值("y")加上時間間隔("h")和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權平均:  當四個斜率取平均時,中點的斜率有更大的權值:  RK4法是四階方法,也就是說每步的誤差是"h"階,而總積累誤差為"h"階。  注意上述公式對於標量或者向量函式("y"可以是向量)都適用。

  顯式Runge-Kutta法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出 其中 (注意:上述方程在不同著述中有不同但卻等價的定義)。  要給定一個特定的方法,必須提供整數"s"(級數),以及係數 "a"(對於1 ≤ "j" < "i" ≤ "s"), "b"(對於"i" = 1, 2,..., "s")和"c"(對於"i" = 2, 3,..., "s")。這些資料通常排列在一個助記工具中,稱為"Butcher tableau"(得名自John C. Butcher):  Runge-Kutta法是自洽的,如果 如果要求方法的精度為"p"階,即截斷誤差為O("h")的,則還有相應的條件。這些可以從截斷誤差本身的定義中匯出。例如,一個2級2階方法要求"b" + "b" = 1, "b""c" = 1/2, 以及"b""a" = 1/2。

  RK4法處於這個框架之內。其表為:  然而,最簡單的Runge-Kutta法是(更早發現的)尤拉方法,其公式為formula_15。這是唯一自洽的一級顯式Runge-Kutta方法。相應的表為:

  以上提及的顯式Runge-Kutta法一般來講不適用於求解剛性方程。這是因為顯式Runge-Kutta方法的穩定區域被侷限在一個特定的區域裡。顯式Runge-Kutta方法的這種缺陷使得人們開始研究隱式Runge-Kutta方法,一般而言,隱式Runge-Kutta方法具有以下形式:  其中  在顯式Runge-Kutta方法的框架裡,定義引數formula_18的矩陣是一個下三角矩陣,而隱式Runge-Kutta方法並沒有這個性質,這是兩個方法最直觀的區別:  需要注意的是,與顯式Runge-Kutta方法不同,隱式Runge-Kutta方法在每一步的計算裡需要求解一個線性方程組,這相應的增加了計算的成本。
數值分析中,Runge-Kutta法(Runge-Kutta methods)是用於非線性常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔於1900年左右發明。