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  其中:

  使用伯努利定律必須符合以下假設,方可使用;如沒完全符合以下假設,所求的解也是近似值。

  考慮一符合上述假設的流體,如圖所示:  流體因受壓力的推動而得之能量:  流體因重力做功所損失的能量:  流體所得的動能可以改寫為:  根據能量守恆定律,流體因受力所得的能量+流體因重力做功所損失的能量=流體所得的動能。  由連續方程式可知:  令formula_16 從等式兩邊除以formula_17 及formula_18可得:  或

  考慮沿流線運動的微小流體質點,其質量以formula_21表示,δy代表寬度,流體質點運動以速度向量V表示,流線座標可表示為與某參考點的距離s=s(t)及流線區域性曲率半徑formula_22,沿著流線的座標為s;垂直流線的座標為 n。  在垂直流線的方向n̂上,由於存在向心加速度formula_23,故質點所受淨力為:  formula_24,其中formula_25為微小流體質點體積,formula_26為流體密度。  而質點所受重力為:  formula_27,其中formula_28。  如圖所示的質點中央壓力為p,垂直流線的兩端平均壓力分別為formula_29及formula_30,可用泰勒級數展開求壓力差異formula_31。  formula_32為質點於垂直方向上所受淨壓  formula_33  故  formula_34  因為沿著垂直流線方向 formula_35,可得到垂直流線方向之運動方程式  formula_36  此式意味著,壓力跟重力會造成彎曲的流線。 若考慮在垂直流線方向,忽略重力因素的情形,即流體在水平面上流動,則formula_37,得到formula_38,這意味著,壓力隨著遠離曲率中心的距離而增大(正n的方向,指向彎曲的流線內部,與徑向相反),當formula_39是負的時候,formula_40是正的,因此在龍捲風之外的的壓力(平常的大氣壓力)遠大於中心處(低氣壓,可能會產生部分真空),而這些壓力差是為了平衡曲率運動所需的向心力。 當S為定值的情況下  formula_41  沿n的方向積分可得  formula_42  對於不可壓縮流  formula_43  由推導方程式所需的基本假設:穩定、無黏性 及不可壓縮流,可以得到結論  1.跨過流線的運動方程式 formula_36  formula_43 2.沿著流線的運動方程式 上述做法依此類推,可得沿著流線方向之運動方程式  formula_46  以及伯努利定律  formula_47  需要注意的是,在跨過流線的情形下,如果流體在計算的位置發生旋轉或彎曲,這時使用伯努力定律就會因為在跨過流線的運動方程式中,含有伯努力定律裡沒有的項formula_48,導致計算結果出現嚴重錯誤。

  當液體因受到地心吸力的作用而流出時,其速度等於formula_49,其中formula_50為重力加速度,formula_51為開口的中心和液體最高面的距離。這個速度剛好等於液體從離地formula_51的地方以自由落體的方式下落時,著地前的速度(但實際上因為有空氣阻力,所以實際情形一般不會以自由落體的方式下落)。

  簡易噴霧器,以大吸管固定兩隻小吸管使之夾角略小於直角,因從吸管吹出之氣體流速較快,壓力較一大氣壓力為低,因此能夠將水經由下端吸管中吸起,並於開口處加速破碎成霧滴,模型製作用噴槍以及工業用噴漆噴槍多為此種設計。  不過因為伯努利定律是假設流體沿著流線流動,探討同一流線上二點的速度及壓力變化。因此有些現象和伯努利定律無關,例如懸浮保麗龍球,將可折彎的吸管一端向上穩定吹出氣體,將一直徑約3公分之保麗龍球放置於氣柱上,保麗龍球能夠懸浮晃動於一定區域中,因為保麗龍球上方和下方的氣流不是同一流線,這和伯努利定律無關,是康達效應的結果。

  伯努利從觀察液體的行為中推匯出伯努利方程式,但他的方程是隻能應用在不可壓縮的流體,以及雖然可壓縮但流速非常慢的流體(也許可以到1/3的聲速)。利用基本物理原理,可以發展出類似的方程式,以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似於伯努力定律,能應用在不同領域方程式。它們的推導只運用了像是牛頓第二定律和熱力學第一定律的基本物理定律。

  對於可壓縮的流體,在保守力的作用之下,所得到的守恆式為 其中: 在工程領域,在海拔比較高的地方,其壓力會比地表來的小,而且流體流動的時間通常是相當的小,如同絕熱系統般。在這種情形下,上述的方程即 其中:  在可壓縮流體可以應用的地方,因為高度變化與其他變因相比小的很多,故gz項可以省略,所以較常用的方程式為  其中:

  另一個適合使用在熱力學的公式是  其中:  請注意formula_70,其中formula_71為熱力學單位質量的能量,即比內能(specific internal energy);formula_72為壓力;formula_26為密度。  公式右側的常數通常被稱為伯努力常數,常被寫為formula_74。當在絕熱非黏滯性的流動,沒有能量的流進或流出時,formula_74在任何曲線都是常數。  當formula_76變化可以忽略,一個非常有用的形式的方程式是:  其中formula_78是焓的總量。
伯努利原理(英語:Bernoulli's principle),又稱伯努利定律或柏努利定律(英語:Bernoulli's Law),是流體力學中的一個定律,由瑞士流體物理學家丹尼爾·伯努利於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》,描述流體沿著一條穩定、非黏性、不可壓縮的流線移動行為。