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  傳說九連環源於中國古代民間,一說發明於戰國時代,另一說發明於三國時期,但能確認就是九連環的記載是明代楊慎(1488-1559,號升庵)的《丹鉛總錄》(見《升庵集》卷六十八)。

  九連環背後的數學結構是一種二進位制系統,因為其九個環有固定的順序,且每個環都有位於上方和下方兩種狀態,因此若將環的兩種狀態分別給予代號1和0,則九連環某時刻的狀態011010010,可以被給予代號formula_1,本段將討論各不同狀態間的轉換和可能性。

  九連環有且只有兩種操作方法,本段中將最右端的數碼定為九連環的刀尖末端的環。  例如:formula_3  例如:formula_5

  定義描述方式:  formula_6  的意涵為:  當處於formula_7狀態之九連環向式子右方進行了formula_2操作後會轉換至formula_9的狀態,該formula_9狀態再繼續向右方進行了formula_4操作後會轉換至formula_12的狀態。 因為操作之可逆性,因此也可以解讀成當處於formula_12狀態之九連環向式子左方進行了formula_4操作後會轉換至formula_9的狀態,該formula_9狀態再繼續向左方進行了formula_2操作後會轉換至formula_7的狀態。  操作的可逆性可以表示為:  formula_19  formula_20  也就是說,相同的操作做兩次,會回到原狀態,是對於解開九連環沒有幫助的,因此可以得到該系統的結構是:  formula_21  所示之兩種操作交替進行的。

  formula_2操作可以進行於所有的狀態formula_1,但有兩個狀態是無法做formula_4操作的,命名為formula_25和formula_26  其中  formula_25 = formula_28 可以看出formula_25是我們需要的解  formula_26 = formula_31  由於formula_25和formula_26無法作formula_4操作,且因formula_35兩種操作的可逆性,因此該數學結構會是 formula_36  此處並沒有作嚴密的數學證明,因為此情形將於接續的討論而變得顯而易見。

  此數學結構和葛雷碼的編碼結構完全相同,n位數葛雷碼的建構方式可由右圖中的鏡射方法所看出,由建構方法可以看到葛雷碼含有所有的位元資訊,因此九連環二位元系統可以達到九位數二位元所有的狀態。

  不斷重複formula_38的盲目操作,即可以讓狀態在數學的數列結構中向左或向右移動至終點,且這也是唯一的方式。此性質和魔術方塊是很不同的。對於沒有受過近代數學分析訓練者可能會花上較多時間處理此問題,但一般皆稍受提點即可快速上手,此性質也是和魔術方塊很不同。  操作過程中若是移動方向錯誤,則會遇到端點狀態,使操作折返即可。經提點後的操作者剩下的智力活動空間剩下對於判斷半完成品的接續操作應該由formula_2還是formula_4開始才能夠以最快的方式解決。  雖然在瞭解解決方法之後,九連環做為玩具的耐玩性會大幅下降,但就九連環背後的數學結構和實踐其數學結構的機械設計巧思,九連環仍是一個非常巧妙的發明。

  上述之討論不限於九連環或九位數的二位元系統,較多或較少位元都是擁有相同結構的。市面上有一款英文名稱為spin-out的益智玩具,數學結構和九連環完全相同,但採用七位數設計,較為省時簡易。

  操作次數可由上述討論的鏡射法推演而出,對於n環的需要操作次數所組成的formula_41有遞迴的性質, 以下列出formula_41的數值。  可於資料庫中找到formula_41詳細的遞迴性質和各種formula_41的表示方法。 例如:  n = 環數  次數=formula_45  約略為formula_48 種。

  粗體為其中較享負盛名的遊戲。
九連環是一種源於中國的傳統智力遊戲,韓國稱為留客珠、留客環,這種古老玩具以往在民間極為普及。它包含著九個相同的圓環及一把「劍」,遊戲目標是把九個圓環全套上或卸下。