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  最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程formula_4,其中係數formula_5為實數,則它的判別式定義為: 判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為formula_7和formula_8,那麼根據二次方程的求根公式,兩個根可以表示為: 方程的根與判別式的關係為: 兩個根都是實數,當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時,判別式等於零。如果判別式小於零,則兩根是共軛的複數。

  二次多項式formula_17的判別式是formula_18。在一元二次方程的求解中,判別式用來判斷方程根的情況,並出現在根的表示式中。

  對於一般的一個多項式 其判別式等於(差一個係數)以下的formula_34的矩陣的行列式(見西爾維斯特矩陣):  這個矩陣的行列式稱為formula_36和formula_37的結式,記為formula_38。formula_36的判別式formula_40由以下公式給出:  例如,在formula_42的情況下,以上的行列式是:  這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以formula_44。 作為等價條件,多項式的判別式等於:  其中formula_46是多項式formula_36的復根(重根按重數計算):  在這個表示式中可以清楚地看到formula_49有重根當且僅當判別式為零。  多項式的判別式可以在任意的域中定義,定義方式一樣。帶有根formula_50的表示式仍然有效,只是根要在係數域的某個分裂域中取。

  對於以下多項式所定義的圓錐曲線:  它的判別式為:  它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0,則是橢圓或圓。如果判別式等於0,則是一條拋物線。如果大於0,則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形(當這個多項式可以因式分解時)。

  判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域"K"上的二次型"Q"上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和:  其中"L"是"n"個變數的線性組合。這時可以定義"Q"的判別式為所有"a"的乘積。另外一個定義是"Q"所對應的矩陣的行列式。
判別式是代數學中的概念。一個實係數或復係數多項式的判別式是一個與之相關的表示式。判別式等於零當且僅當多項式有重根。