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  外代數有很多種等價的定義,下面的定義是最簡潔的一個。  定義: 設 formula_1是域 formula_39上的一個向量空間,讓formula_40則定義 令 formula_27為 formula_1的張量代數的理想(即雙邊理想),該理想是由所有形如formula_44的張量生成的(其中formula_45任意),則將formula_1上的外代數formula_47定義為商代數formula_48,即  並且把formula_50的等價類 formula_51記為formula_52,其中 formula_53。設formula_54 稱  為formula_1的formula_18-階外冪(formula_18th exterior power of formula_1),稱formula_60中的元素為formula_18-向量(formula_18-multivector)。  注:  運算律 將上面的注中的內容用formula_106寫出,則分別給出  (1) formula_107, formula_108  證明如下: 作為等價類,我們從formula_109中任意挑選一個代表元formula_110,則formula_95而且formula_112。根據商代數的定義,  類似地,可以證明formula_114  (2) 根據注3.1中的內容,顯然有formula_115.  (3) 根據注3.2中的內容,對任意formula_116成立著  注:即使formula_39的特徵為2,這個公式也是對的,只不過此時有formula_119而已。  (4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質,運算formula_120滿足結合律和分配律:  其中formula_124都是任意的。  以前兩條性質為例,其證明如下:設張量formula_125分別是formula_126中的代表元,即formula_127, formula_128, formula_129, 則  (5) 根據上面的(3)和(4),用數學歸納法可以證明:formula_132 證明從略。

  若formula_1的維數是formula_135而formula_136是"formula_1"的基,則集合  是formula_18階外冪formula_23的一個基。理由如下:給定任何如下形式的楔積  則每個向量formula_142可以記為基向量formula_143的一個線性組合;利用楔積的雙線性性質,這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0;任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序,在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講,最後基formula_18-向量前的係數可以用通過積"formula_143"來描述"formula_142"的矩陣的子式來計算。  數一下基元素,我們可以看到formula_23的維數是"n" 取 "k"。特別的有, formula_148對於formula_149.  外代數是一個分級代數,是如下直和  其維數等於二項式係數之和,也就是formula_151.

  考慮空間formula_152,其基為formula_153。一對向量 的楔積為  其中formula_157是三維空間formula_158的基底。  再加一個向量 這三個向量的楔積是  其中formula_161是一維空間formula_162的基底。  空間formula_163是formula_152, 而空間formula_165是formula_166。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間formula_167,這是八維向量空間  那麼,給定一對8維向量formula_169和formula_170, 其中formula_169如上給出,而  formula_169和formula_170的楔積如下(用列向量表達),  容易驗證8維楔積以向量formula_176為乘法么元。也可以驗證該formula_167代數的楔積是結合的(也是雙線性的):  所以該代數是有單位且結合的。

  對三維歐幾里得空間formula_179可以建立一個線性同構formula_180如下:任取formula_179的右手的標準正交基formula_182,formula_183,formula_184,規定formula_185把formula_186,formula_187,formula_188分別對映為formula_184,formula_182,formula_183,則formula_185的定義與右手的標準正交基如何選取無關。  不難看出,對任意向量formula_193和formula_194,這個線性同構把formula_195對映為formula_196。這就是叉乘(向量積)的實質。例如,formula_179中平行四邊形formula_198的面積向量可以表示為formula_199,推廣之後,高維黎曼流形formula_200中的緊的二維曲面formula_201的面積用  來計算(其中formula_203是度規張量場formula_204在formula_201上的誘導度規 formula_206 的座標分量),由此可以看到外積和叉乘的淵源關係。  物理學中經常要區分的向量(極向量)與贗向量(軸向量)這兩個概念,現在就容易理解了:從根本上說,向量是formula_179中的元素,所以在空間反演變換下不會改變方向;而贗向量其實是formula_208中的元素,故在空間反演變換下會改變方向。  類似地,藉助於右手的標準正交基,可以把formula_209中的元素formula_210對映為“標量"formula_211。但是,在空間反演變換下它就會原形畢露,所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的,而贗標量在空間反演下會改變符號。  把 2-向量formula_195對映為向量formula_196以及把 3-向量formula_210對映為一個實數formula_169的對映實際上是一個叫做霍奇對偶的線性對映。

  令formula_1為一個域formula_39(在多數應用中,也就是實數域)上的向量空間。formula_218是“最一般”的包含formula_1的並有一個交替乘法在"formula_1"上由單位的結合"formula_39"-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達:  要構造最一般的包含"formula_1"的代數,而且其乘法是在"formula_1"上交替的,很自然可以從包含"formula_1"的最一般的代數開始,也就是張量代數formula_225,然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取formula_225中由所有形為formula_227的元素生成的雙邊理想formula_27,其中formula_33屬於"formula_1",並定義formula_218為商  (並且使用formula_5為formula_218中的乘法的代號)。然後可以直接證明formula_218包含"formula_1"並且滿足上述泛性質。  如果不是先定義formula_218然後把外冪formula_23等同為特定的子空間,我們也可以先定義空間formula_23然後把它們合併成為一個代數formula_218。這個方法在微分集合中常常用到,並在下節中有描述。

  給定兩個向量空間"formula_1"和formula_242,一個從formula_243到"formula_242"的"反對稱運算元"是一個多線性對映  使得只要formula_16是"formula_1"中線性相關的向量,則  最著名的例子是行列式值,從formula_249到formula_39的反對稱線形運算元。  對映  它關聯"formula_1"中的formula_18個向量到他們的楔積,也就是它們相應的"formula_18"-向量,這也是反對稱的。事實上,這個對映是定義在"formula_243"上的“最一般”的反對稱運算元:給定任何其它反對稱運算元formula_245,存在一個唯一的線性對映formula_257。這個泛性質表述了空間formula_23並且可以作為它的定義。  所有從"formula_243"到基域"formula_39"的反對稱對映組成一個向量空間,因為兩個這樣的對映的和、或者這樣一個對映和一個標量的乘積也是反對稱的。若"formula_1"是有限維的,維數formula_135,則該空間可以認同為formula_263,其中formula_264表示"formula_1"的對偶空間。特別的有,從"formula_243"到"formula_39"的反對稱對映的空間是formula_135取"formula_18"維的。  在這個等同關係下,若基域是formula_270或者formula_271,楔積有一個具體的形式:它從兩個給定的反對稱對映得到一個新的反對稱對映。設formula_272和formula_273為兩個反對稱對映。和在多線性對映的張量積的情況一樣,楔積的變數數是每個對映的變數數之和。它定義如下:  其中多線性對映的交替formula_275定義為其變數的所有排列的帶符號平均:  注意: 有一些書中楔積定義為

  在主要由物理學家使用的指標記法中

  令formula_279為一個微分流形。一個微分"k"-形式formula_280是formula_281(formula_279的餘切叢的formula_18階外冪)的一個截面。等價的有:formula_280是formula_279的光滑函式,對於formula_279的每個點formula_287給定一個formula_288的元素。大致來講,微分形式是餘切向量的全域性版本。微分形式是微分幾何的重要工具,其中,它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大-斯潘尼爾上同調。

  給定一個交換環formula_270和一個"formula_270"-模"formula_279",我們可以定義和上文一樣的外代數formula_292,它是張量代數formula_293適當的商。它會滿足類似的泛性質。

  格拉斯曼代數在物理中有重要應用,它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。  "參看":超空間,超代數,超群
外代數(英語:Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代數(Grassmann algebra),以紀念赫爾曼·格拉斯曼。