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  我們對"n" = |"G"|使用數學歸納法。考慮"G"是阿貝爾群,以及"G"不是阿貝爾群的兩個情況。假設"G"是阿貝爾群。如果"G"是單群,那麼它一定是素數階迴圈群,因此顯然含有"p"階的元素。否則存在一個非平凡的正規子群formula_1。如果"p"能整除|"H"|,那麼根據歸納假設,"H"含有一個"p"階的元素,因此"G"也含有"p"階的元素。否則,根據拉格朗日定理,"p"一定能整除指數["G":"H"],因此根據歸納假設,商群"G"/"H"含有一個"p"階的元素;也就是說,在"G"中存在一個"x",使得("Hx") = "Hx" = "H"。那麼在"H"中存在一個元素"h",使得"h""x" = 1——"G"的單位元。容易驗證,對於"H"中的每一個元素"a",都存在"H"中的一個元素"b",使得"b" = "a",因此在"H"中存在"h",使得"h" = "h"。所以"h""x"的階為"p",阿貝爾群的情況得證。  假設"G"不是阿貝爾群,那麼它的中心"Z"是真子群。如果對於某個非中心元素"a"(也就是說,"a"不在"Z"內),"p"能整除中心化子"C"("a")的階,那麼"C"("a")就是一個真子群,因此根據歸納假設,它含有一個"p"階的元素。否則,根據拉格朗日定理,"p"一定能整除指數["G":"C"(a)],對於所有的非中心"a"。利用類方程,可知"p"能整除方程的左端(|"G"|),因此也能整除右端的所有被加數,除了可能不整除|"Z"|以外。然而,經過一番計算就可發現,"p"必須也能整除"Z"的階,因此根據歸納假設,中心子群含有一個"p"階的元素,因為它是真子群,所以它的階嚴格小於"G"的階。證畢。
柯西定理是一個在群論裡的定理,以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若"G"是一個有限群且"p"是一個可整除"G"之階("G"的元素數目)的質數,則"G"會有一個"p"階的元素。亦即,存在一個於"G"內的"x",使得"p"為讓"x"="e"的最小非零整數,其中"e"為單位元素。