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  為定義康威函式 formula_1 首先將自變數 formula_2 在十三進位制下展開,並忽略展式中出現的正負號或小數點. (為保證唯一性,不妨令非零 formula_2 的展式中含有無窮項且不以 formula_4 結尾,並規定 formula_5;對於有限項展式則利用 formula_6 將其化為無窮項.)設十三進位制所使用的13個字元為 formula_7 為方便起見,稱其中的 formula_8 為"數碼,"而 formula_9 為"字母." 康威函式的取值規則如下:  簡言之,對於 formula_2 的無窮十三進位制展式,忽略小數點和正負號,若從右往左數第一個字母為 formula_32 將其變為小數點,後面照抄;再從那一位開始往左數,遇到的第一個 formula_36 或 formula_37 變為相應的正負號,中間照抄;再左側的全部刪去. 所得的不包含字母的字串可視為一個十進位制數,即為 formula_38 其他情況下 formula_39.  例如:

  如上定義的康威函式 formula_46 無處連續,卻和連續函式一樣滿足介值性. 具體地說,對任何閉區間 formula_47 formula_21 在 formula_49 上可以取到介於 formula_50 和 formula_51 之間的任何值. 事實上 formula_46 還滿足更強的性質——強達布性質,即 formula_46 在 formula_54 的每個非退化區間(左端點小於右端點的區間)上值域均為 formula_54;或等價地說,對每個 formula_56 formula_46 的水平集formula_58 在實軸上稠密. 顯然,強達布性質蘊含介值性和無處連續性(因函式在連續點的某個鄰域內有界).  對強達布性質的證明,關鍵在於康威函式的定義本質上只與自變數十三進位制展式的尾部有關. 詳言之,對任意 formula_59 首先寫出 formula_60 的唯一無限十進位制展式,之後將其小數點變為 formula_32 正負號分別變為 formula_36 或 formula_63 然後在其頭部(即左側)新增任意一個位數有限的十三進位制字串formula_64,再隨意新增一個小數點和一個正負號,可得一個新的十三進位制數. 根據康威函式的構造,按此法所得的新的十三進位制數均在 formula_65 中,反之亦然(此時要求 formula_66). 事實上這正是康威函式的非零水平集(除零點集之外的其他水平集)之刻畫:以 formula_67 為例,formula_68 由所有十三進位制展式中(忽略小數點)尾部為 formula_69 的實陣列成,例如formula_70 若 formula_71,formula_72 由所有十三進位制展式中尾部為 formula_73 的實陣列成.  因此,對任何非退化區間 formula_74 設其長度formula_75 並記 formula_76 為 formula_77 的中點. 對於 formula_76 的十三進位制展式,保持其整數部分和小數點後 formula_79 位不動,將其右側修改為任意的十三進位制字串 formula_80 其中 formula_81 為數碼,則 formula_82 只由 formula_83 決定, 且所得的新十三進位制數 formula_84 與 formula_76 的整數部分和小數部分前 formula_79 位都相同,故 formula_87 即 formula_88 可見只要適當選取 formula_89 formula_90 跑遍所有實數,即 formula_46 滿足強達布性質,換言之 formula_46 的所有水平集都稠密.  從水平集的可數性角度考慮,康威函式 formula_46 在 formula_54 上的所有非零水平集均可數,而其零點集 formula_95 不可數. 前一論斷是因為非零水平集的十三進位制展式尾部須固定,而其左側僅有有限項;後一論斷是因為 formula_95 包含所有十三進位制展式僅由數碼構成(不包含字母)的實數,此類數構成的集合到 formula_97 中實數的小數部分有一個自然的滿射,故不可數(因 formula_97 不可數),從而 formula_95 亦不可數.  康威函式 formula_46 是幾乎處處為0的可測函式,事實上其零點集的補集 formula_101 是稠密且不可數的零測集(注意,康威函式的每個非零水平集都可數,但它們的並集不可數). 由 formula_46 的強達布性質, formula_103 的稠密性顯然,不可數性亦為其推論:formula_46 的每一個水平集都非空,而不可數個非空集合之並必定不可數. formula_103 的零測性蘊含於下述兩個事實:第一, formula_103 中每點的十三進位制展式中僅有有限個字母;第二,對於任何一個字元,例如 formula_107 十三進位制展式中僅包含有限個 formula_36 的實數全體為零測集. (後一個事實的證明類似於康託三分集為零測集的證明.)

  康威函式 formula_46 的任一非零水平集雖稠密但可數. 一個自然的問題是:是否存在一個函式,其所有水平集不但稠密而且不可數. 答案是肯定的,並可由康威函式稍加改造而說明. 具體地講,在康威函式的定義中,將 formula_21 的十進位制小數部分由 formula_111 變為 formula_112 其他一律照舊,所構造的新函式稱為 formula_113 則 formula_114 的任一水平集為不可數稠密集.  證明亦類似. 因 formula_115 故 formula_114 的零點集為不可數稠密集. 對於 formula_114 的非零水平集 formula_118,不妨設 formula_119 則 formula_118 恰為十三進位制展式形如formula_121 的實陣列成的集合(忽略正負號和小數點),其中 formula_64 取遍位數有限的十三進位制字串,formula_123 取遍由數碼組成的無窮序列. 由 formula_64 的任意性,formula_125 稠密;其不可數性源於 formula_126 為不可數集.
康威十三進位制函式,或簡稱為康威函式,是由英國數學家約翰·康威構造的一個實函式(實變實值). 康威函式滿足強達布性質:它限制在任一非空開區間上的值域都是全體實數. 作為推論,康威函式在實軸上無處連續,但和連續函式一樣也滿足介值性. 因此,康威函式可用來說明介值定理的逆命題不真,即一個函式的介值性並不蘊含它的連續性.