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  設 formula_1 為 formula_9 矩陣。若 formula_1 至少有一個 formula_11 階非零子式,而其所有 formula_12 階子式全為零,則稱 formula_11 為 formula_1 的秩。

  對於 formula_15 維線性空間 formula_16 中的一個向量組 formula_17,若 formula_18 中的 formula_11 個向量線性無關,且若 formula_20,formula_21 中 formula_12 個向量都線性相關,則稱 formula_23 為 formula_24 的極大線性無關組,formula_11 為 formula_24 的秩。可以證明 formula_27 的秩等於向量組 formula_27 生成的子空間的維數。 矩陣 formula_1 的列秩定義為 formula_1 的列向量組的秩,也即矩陣的列空間的維數。類似地,矩陣的行秩定義為 formula_1 的行向量組的秩,即矩陣的行空間的維數。

  考慮線性對映:  對於每個矩陣 formula_1,formula_35 都是一個線性對映,同時,對每個 formula_36 的 線性對映 formula_37,都存在矩陣 formula_38使得 formula_39。也就是說,對映  是一個同構對映。所以一個矩陣 formula_1 的秩還可定義為 formula_35 的像的維度(像與核的討論參見線性對映)。矩陣 formula_1 稱為 formula_35 的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣,因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 formula_46 的核的維度;秩-零化度定理聲稱它等於 formula_37 的像的維度。

  矩陣的行秩與列秩相等,是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是,矩陣可以看作線性對映的變換矩陣,列秩為像空間的維度,行秩為非零原像空間的維度,因此列秩與行秩相等,即像空間的維度與非零原像空間的維度相等(這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間:原像空間)。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。  給出這一結果的兩種證明. 第一個證明是簡短的,僅用到向量的線性組合的基本性質. 第二個證明利用了正交性. 第一個證明利用了列空間的基, 第二個證明利用了行向量空間的基. 第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣,第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間,也都易於修改去證明當A是線性變換的情形.

  令 formula_1 是一個 formula_9 的矩陣,其列秩為 formula_11. 因此矩陣 formula_1 的列空間的維度是 formula_11. 令 formula_53 是 formula_1 的列空間的一組基,構成 formula_55 矩陣 formula_56的列向量 formula_57,並使得 formula_1 的每個列向量是 formula_56的formula_11 個列向量的線性組合. 由矩陣乘法的定義,存在一個 formula_61 矩陣 formula_62, 使得 formula_63. (formula_1 的 formula_65 元素是 formula_66 與 formula_62 的第 formula_68 個行向量的點積.)  現在,由於 formula_63, formula_1 的每個行向量是 formula_62 的行向量的線性組合,這意味著 formula_1 的行向量空間被包含於 formula_62 的行向量空間之中. 因此 formula_1 的行秩 ≤ formula_62的行秩. 但formula_62僅有formula_11行, 所以formula_62的行秩 ≤ formula_11 = formula_1的列秩. 這就證明了formula_1的行秩 ≤ formula_1的列秩.  把上述證明過程中的“行”與“列”交換,利用對偶性質同樣可證formula_1的列秩 ≤ formula_1的行秩。更簡單的方法是考慮formula_1的轉置矩陣formula_86,則formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86的列秩 = formula_1的行秩. 這證明了formula_1的列秩等於formula_1的行秩. 證畢.

  令formula_1是formula_9矩陣,其行秩是formula_11. 因此formula_1的行向量空間的維度是formula_11,設formula_98是formula_1的行向量空間的一組基. 如果把這組基當作原像列向量看待,則向量集formula_100是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數formula_53,如果: 其中formula_103. 則可以推出有兩個事實: (a) formula_104是formula_1行向量空間的線性組合, 即formula_104屬於formula_1的行向量空間;(b) 由於formula_108 = 0, formula_104正交於formula_1的所有行向量,從而正交於formula_1的行向量空間的所有向量. 事實(a)與(b)結合起來,則formula_104正交於自身,這意味著formula_104 = 0. 由formula_104的定義: 再由formula_116是formula_1的行向量空間的一組線性獨立的基,可知formula_118. formula_100因而是線性獨立的.  formula_120是formula_1的列空間中的向量. 因此formula_100是formula_1的列空間中formula_11個線性獨立的向量. 所以formula_1的列向量空間的維數(formula_1的列秩)必然不小於formula_11. 這證明了formula_1的行秩r ≤ formula_1的列秩. 把這一結果應用於formula_1的轉置矩陣可以得到: formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86列秩 = formula_1的行秩. 這證明了formula_1的列秩等於formula_1的行秩,證畢.  最後, 還可以證明rk("A") = rk("A"), 其中"A"是"A"的共軛轉置或稱施密特轉置. 當"A"的元素都是實數, 這一結果變為rk("A") = rk("A"). 然而對於復係數矩陣,rk("A") = rk("A")並不等價於行秩等於列秩, 需要用到上述兩個證明.

  令"A"是一個"m"×"n"矩陣. 定義rk(A)為"A"的列秩,"A"為"A"的共軛轉置或稱施密特轉置. 首先可知"A""Ax" = 0當且僅當"Ax" = 0. 其中‖·‖是歐氏範數. 這說明"A"的零空間與"A""A"的零空間相同. 由秩-零化度定理, 可得rk("A") = rk("A""A"). "A""A"的每一個列向量是"A"的列向量的線性組合. 所以"A""A"的列空間是"A"的列空間的子空間. 從而rk("A""A") ≤ rk("A"). 即: rk("A") = rk("A""A") ≤ rk("A"). 應用這一結果於"A"可獲得不等式: 由於("A") = "A", 可寫作rk("A") ≤ rk(("A")) = rk("A"). 這證明了rk("A") = rk("A"). 證畢.

  我們假定"A"是在域"F"上的"m" × "n"矩陣並描述了上述線性對映。

  將formula_15個formula_154維列向量排列成formula_155的矩陣"A",這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。  原向量組線性相關的充分必要條件為:  如果  則向量組線性無關。另外,不存在  特殊的,若向量的個數formula_15大於向量的維數formula_154,則根據:  這個向量組必然線性相關。

  計算矩陣"A"的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣,由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,因此"A"的行梯陣形式有同"A"一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。  例如考慮4 × 4矩陣  我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍,而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的,所以"A"的秩是2。這可以用高斯演算法驗證。它生成下列"A"的行梯陣形式:  它有兩個非零的橫行。  在應用在計算機上的浮點數的時候,基本高斯消去(LU分解)可能是不穩定的,應當使用秩啟示(revealing)分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD),但還有更少代價的選擇,比如有支點(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據,實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

  計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩,則該方程組有解。在這種情況下,如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩,則方程組是不一致(Inconsistent)的。  在控制論中,矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的,或可觀察的。
線上性代數中,一個矩陣 formula_1 的列秩是 formula_1 的線性無關的縱列的極大數目。類似地,行秩是 formula_1 的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣 formula_1 的秩。通常表示為 formula_5,formula_6 或formula_7。