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  令 formula_1 是一個 |"G"| 階(即 "G" 有 |"G"| 個元素)有限群 formula_2 的一個不可約矩陣表示 formula_3 的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示,我們假設 formula_3 是酉的: 這裡 formula_6 是表示 formula_3 的(有限)維數。  正交關係,只對不可約表示的矩陣元素成立,是  這裡 formula_9 是 formula_10 的複共軛,求和遍及 "G" 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示 formula_11,則克羅內克函式 formula_12 是單位;如果 formula_3 與 formula_14 不等價則formula_12為零。其他兩個克羅內克函式則要求行與列的指標必須相等(formula_16 和 formula_17)才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理。  每個群有一個單位表示(所有群元素映為實數 1),這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出 對 formula_19,此式對任何不等於單位表示的不可約表示 formula_20成立。

  三個物件的 3! 個置換組成一個 6 階群,通常記作 formula_21(對稱群)。這個群同構於點群 formula_22,由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示("l" = 2)。在 formula_21 情形,通常將這個不可約表示利用楊氏表(楊氏矩陣)記作 formula_24 而在 formula_22 情形通常寫成 formula_26。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成,每個代表一個群元素 元素 (1,1) 的正規化為: 同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性: 類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立,如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零,因為給定表示與恆等表示的正交性。

  矩陣的跡是對角矩陣元素之和,  所有跡的集合 formula_31 是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成 formula_32  利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式:  這可以用來檢驗一個表示是否是可約的(這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量)。以及  這幫助我們確認不可約表示 formula_3 在具有特徵標 formula_37 的可約表示 formula_38 中包含的次數。  例如,如果  這個群的階是  則 formula_41 在給定“可約”表示 formula_38 中包含的次數是  關於群特徵表參見特徵標理論。

  有限群的正交關係推廣為緊群(包含緊李群,比如 SO(3))本質上是簡單的:只要將在群上的求和換成在群上的積分。  每個緊群 formula_44 有惟一一個雙不變哈爾測度,使得群的體積是 1。將這個測度記成 formula_45。設 formula_46 是 formula_44 的不可約表示的一個完備集合,設 formula_48 是表示 formula_49 的矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分 1) 如果 formula_50 則: 2)如果 formula_52 是表示空間 formula_49 的一個正交規範基,則: 這裡 formula_55 是 formula_49 的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

  一個三引數群的例子是矩陣群 SO(3),有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的引數化是利用尤拉角: formula_58。界限是 formula_59 以及 formula_60。  體積元素 formula_61 的計算不僅取決於引數的選取,也取決於最終結果,即加權函式(測度) formula_62 的解析形式。  例如,SO(3) 的尤拉角引數化給出權重 formula_63,而 n, ψ 引數化給出權重t formula_64,其中 formula_65。  可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的: 簡記成 正交關係具有形式 群的體積是 我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣(英語:Wigner D-matrix)formula_70,它們的維數是 formula_71。故 它們滿足

  任何以物理或化學為目的的群表示論書籍中都會提到正交關係。下面更高等的書籍給出了證明:
舒爾正交關係(英語:Schur orthogonality relations)描述了有限群表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群,特別是緊李群,比如旋轉群 "SO"(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。