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  設閉區域 由分段光滑的簡單曲線 圍成,函式 (,)及 (,)在 上有一階連續偏導數,則有  其中L是D的取正向的邊界曲線。  此公式叫做格林公式,它給出了沿著閉曲線"C"的曲線積分與"C"所包圍的區域"D"上的二重積分之間的關係。另見格林恆等式。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

  以下是特殊情況下定理的一個證明,其中"D"是一種I型的區域,"C"和"C"是豎直的直線。對於II型的區域"D",其中"C"和"C"是水平的直線。  如果我們可以證明  以及  那麼就證明了格林公式是正確的。  把右圖中I型的區域"D"定義為:  其中"g"和"g"是區間["a", "b"]內的連續函式。計算(1)式中的二重積分:  現在計算(1)式中的曲線積分。"C"可以寫成四條曲線"C"、"C"、"C"和"C"的並集。  對於"C",使用引數方程:"x" = "x","y" = "g"("x"),"a" ≤ "x" ≤ "b"。那麼:  對於"C",使用引數方程:"x" = "x","y" = "g"("x"),"a" ≤ "x" ≤ "b"。那麼:  沿著"C"的積分是負數,因為它是沿著反方向從"b"到"a"。在"C"和"C"上,"x"是常數,因此:  所以:  (3)和(4)相加,便得到(1)。類似地,也可以得到(2)。

  

  使用格林公式,可以用線積分計算區域的面積。因為區域"D"的面積等於formula_8,所以只要我們選取適當的"L"與"M"使得formula_9,就可以通過formula_10來計算面積。  一種可能的取值是formula_11。
在物理學與數學中,格林定理給出了沿封閉曲線 的線積分與以 為邊界的平面區域 上的雙重積分的聯絡。格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。