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  祖家歷代都對天文曆法素有研究,祖沖之從小就有機會接觸天文、數學知識。祖沖之青年時,就得到博學多才的名譽,宋孝武帝聽說後,派他到“華林學省”做研究工作。461年,他在南徐州(今江蘇鎮江)刺史府裡擔任從事,先後任南徐州從事史、公府參軍。公元464年他調至婁縣(今江蘇崑山東北)任縣令。在此期間他編制了《大明曆》,計算了圓周率。劉宋末年,祖沖之回到建康任謁者僕射,此後直到劉宋滅亡一段時間後,他花了較大精力來研究機械製造。494年到498年之間,他在南齊朝廷擔任長水校尉一職,受四品俸祿。

  在數學上,祖沖之研究過《九章算術》和劉徽所做的註解,給劉徽的《重差》作過註解。他還著有《綴術》一書,彙集了祖沖之父子的數學研究成果。這本書內容深奧,以至“學官莫能究其深奧,故廢而不理”。《綴術》在唐代被收入《算經十書》,成為唐代國子監算學課本,當時學習《綴術》需要四年的時間,可見《綴術》的艱深。《綴術》曾經傳至朝鮮和日本,但到北宋時這部書就已軼失。人們只能通過其他文獻了解祖沖之的部分工作:在《隋書·律曆志》中留有小段祖沖之關於圓周率工作的記載;唐代李淳風在《九章算術》註文中記載了祖沖之和兒子祖<unk>求球體積的方法。祖沖之還研究過“開差冪”和“開差立”問題,涉及二次方程和三次方程的求根問題。遺留下來的祖沖之的數學貢獻主要有他對圓周率的計算結果和球體體積的計算公式。

  據《隋書·律曆志》記載,祖沖之以「以直徑一億為一丈,圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽,<unk>數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽,正數在盈<unk>二限之間。密率,圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率,圓徑七,週二十二。」,以此為直徑求圓周率,求得盈數(即過剩的近似值)為formula_1;<unk>數(即不足的近似值)為formula_2,圓周率的真值介於盈<unk>兩數之間。《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什麼方法計算出盈<unk>兩數的。一般認為,祖沖之採用的是劉徽割圓術分割到24576邊形,又用劉徽圓周率不等式得祖沖之著名的圓周率不等式: formula_3。祖沖之的這一結果精確到小數點後第7位,直到一千多年後才由15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西以17位有效數字打破此記錄。  按照當時計算使用分數的習慣,祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率:“約率”formula_4(或稱之為“疏率”)以及“密率”formula_5。在分母<16600的所有整分數中,密率的比值最接近圓周率。祖沖之可能利用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率。數學家華羅庚曾認為密率的求得,說明祖沖之可能已經掌握了連分數的概念。日本數學家三上義夫說,“約率formula_6,無非是幾百年前希臘數學家阿基米德已經得到的數值,但是formula_7 這個分數,卻是翻遍古希臘,古印度和阿拉伯的數學文獻都找不到的分數,希臘人肯定不知道它;在歐洲直到1586年才由荷蘭人安託尼斯宗(Adriaan Anthoniszoon)求出了formula_8這個比值。因此,中國人掌握這個非凡的圓周率分數比歐洲早出整整一千年之久”。為紀念這位偉大的中國古代數學家,三上義夫要求把formula_9稱為“祖率”。

  祖沖之還和兒子祖<unk>之一起,用巧妙的方法解決了球體體積的計算問題。  《九章算術》中認為,球體的外切圓柱體積與球體體積之比等於正方形與其內切圓面積之比,劉徽在他為《九章算術》作的註釋中指出,原書的說法是不正確的,只有“牟合方蓋”(垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積)與球體積之比,才正好等於正方形與其內切圓的面積之比。但劉徽沒有給出“牟合方蓋”的體積公式,所以也就得不出球體的體積公式。  祖沖之父子採用“冪勢既同,則積不容異。”(即“等高處橫截面積常相等的兩個立體,其體積也必然相等”)這一原理,求出了“牟合方蓋”的體積,而球體體積等於formula_10乘以“牟合方蓋”體積,從而最終算出球體積為formula_11(formula_12為球直徑)。  祖沖之父子所採用的“冪勢既同,則積不容異”這一原理,在歐洲由義大利數學家卡瓦列裡於17世紀重新發現,所以西文文獻一般稱該原理為卡瓦列裡原理。為了紀念祖沖之父子發現這一原理的重大貢獻,人們也稱該原理為“祖<unk>原理”。

  祖沖之在天文曆法方面的成就,大都包含在他所編制的《大明曆》及為《大明曆》所寫的《駁議》中。  在祖沖之之前,人們使用的歷法是天文學家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經過多年的觀測和推算,發現《元嘉歷》存在很大的差誤。於是祖沖之著手製定新的歷法,宋孝武帝大明六年(公元462年)他編製成了《大明曆》。大明曆在祖沖之生前始終沒能採用,直到梁武帝天監九年(公元510年)才正式頒佈施行。《大明曆》的主要成就如下:

  祖沖之還曾設計製造過許多精巧的機械,在文獻《南齊書·祖沖之傳》和《南史·祖沖之傳》中有所記載。他曾經設計製造過利用水力、磨面的水碓磨;重新鑄造了當時已經失傳了的指南車,隨便車子怎樣轉彎,車上的銅人總是指著南方;製造了"千里船",在新亭江(在今南京市西南)上試航過,一天可以航行一百多裡。他還設計製造過計時儀器漏壺和<unk>器。

  《隋書·經籍志》錄有《長水校尉祖沖之集》五十一卷,但現已佚。  散見於各種史籍記載的還有以下著作:

  為紀念祖沖之:  此外還有祖沖之郵票,祖沖之紀念銀幣等紀念品。
祖沖之(429年-500年),字文遠,范陽郡<unk>縣(今河北省保定市淶水縣)人,劉宋時代傑出的數學家、天文學家。祖沖之的主要成就在數學、天文曆法和機械製造三個領域。祖沖之的兒子祖<unk>也是數學家。