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  4可以用5種方法寫成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 formula_7。  定義 formula_8,若n為負數則 formula_9。  此函式應用於對稱多項式及對稱群的表示理論等。  分割函式p(n),n從0開始:

  每種分割方法都可用Ferrers圖示表示。  Ferrers圖示是將第1行放formula_10個方格,第2行放formula_11個方格......第formula_4行放formula_13個方格,來表示整數分割的其中一個方法。  藉助Ferrers圖示,可以推匯出許多恆等式:  證明:將表示前者其中一個陣列的Ferrers圖示沿對角線反射,便得到後者的一個陣列。即兩者一一對應,因此其數目相同。  例如 k=3,n=6:  此外,  例如formula_23:

  formula_29的生成函式是  當|x|<1,右邊可寫成:  formula_29生成函式的倒數為尤拉函式,利用五邊形數定理可得到以下的展開式:  將formula_29生成函式配合五邊形數定理,可以得到以下的遞迴關係式  其中formula_36是第formula_37個廣義五邊形數。

  一個楊氏矩陣與一個整數分拆一一對應,也就是說整數分拆的個數等於相應的楊氏矩陣的個數。如圖表示一個10=5+4+1的分拆。利用楊氏矩陣來表示的 分拆更具有直觀性,和可處理性,下面是幾個例子。

  整數分拆(10=5+4+1)對應的楊氏矩陣沿x=y軸翻轉得到新的楊氏矩陣。它對應分拆為10=3+2+2+2+1。

  漸近式:  這式子是1918年哈代和拉馬努金,以及1920年J. V. Uspensky獨立發現的。  1937年,Hans Rademacher得出一個更佳的結果:  其中  formula_41表示formula_42互質時才計算那項。formula_43表示戴德金和。這條公式的證明用上了和戴德金η函式、福特圓、法裡數列、模群。

  在將formula_1表示成正整數之和的所有和式之中,任意正整數formula_45作為和項出現在這些式子內的次數,跟每條和式中出現formula_45次或以上的正整數數目,相同。  當formula_47時,此定理又稱為Stanley定理。  以formula_48為例:

  以下敘述帶有附加條件的分拆。

  考慮滿足下面條件分拆 及分拆的每個數都不相等。  生成函式是

  考慮滿足下面條件分拆 生成函式是

  差分拆的個數與奇分拆的個數是一樣多的。  可以通過楊表證明。

  當限定將formula_1表示成剛好formula_4個正整數之和時,可以表示為formula_60。顯然,formula_61。

  不少數學家亦有研究按以下方式分拆的方法數目:
一個正整數可以寫成一些正整數的和。在數論上,跟這些和式有關的問題稱為整數拆分、整數剖分、整數分割、分割數或切割數(英語:Integer partition)。其中最常見的問題就是給定正整數formula_1,求不同陣列formula_2的數目,符合下面的條件: