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  不定方程是指含任意數量變元的整係數多項式方程  這裡formula_3都是正整數、負整數或零,而變元formula_4的定義域是自然數或整數。若能找到整數formula_5,使得  則稱此不定方程具有整數解。例如:  則(3,4,5)、(5,12,13)等都是它的整數解。事實上可找出它所有的整數解:formula_8,其中formula_9。這是著名的勾股定理或稱畢式定理。  著名的費馬最後定理,是說當formula_10時,方程式  沒有非零整數解。

  自然數,自然數對(或具有自然數的n-元組)的有丟番圖定義的集合被稱為"丟番圖集"。丟番圖定義可以由方程組或單個方程給出,因為方程組  等價於單個方程:  遞迴可列舉集可以被描述為一個集合,對其存在一種演算法,對這個演算法,當集合的一個成員被輸入時最終會停機,但一個非成員被輸入時會不確定的繼續。是可計算性理論(亦即遞迴論)給出了演算法可計算性的直覺符號的精確解釋,因而使得遞迴可列舉性的符號具有完美的嚴格性。顯然,丟番圖集是遞迴可列舉的。因為可以排列所有可能的未知數的值的多元組為一個序列,然後對於一個給定的引數值,一個接一個的測試這些多元組,看他們是否是相應方程的解。希爾伯特第十問題的不可解性源於令人驚訝的事實──其逆命題成立: "每個遞迴可列舉集都是丟番圖集。" 這一結果即馬季亞謝維奇定理(由他提供的完成證明的關鍵步驟)和MRDP定理(即尤里·馬季亞謝維奇(Yuri Matiyasevich),朱莉婭·羅賓遜(Julia Robinson),馬丁·戴維斯(Martin Davis)和赫拉里·普特南(Hilary Putnam)各人姓氏的首字母縮寫)。因為“存在一個遞迴可列舉集是不可計算的”,希爾伯特第十問題的不可解性是其直接後果。實際上,還有更多的結論:有一個多項式 有整數係數使對於方程 有自然數解的formula_16的值的集合不可計算。因此,不僅沒有一般的演算法測試丟番圖方程可解性,甚至也沒有演算法來測試單一引數家族的方程。

  第十問題的解決是眾人集體的智慧結晶。其中美國數學家馬丁·戴維斯(Martin Davis)、赫拉里·普特南(Hilary Putnam)和朱莉婭·羅賓遜(Julia Robinson)做出了突出的貢獻。而最終的結果,是由俄國數學家尤里·馬季亞謝維奇(Yuri Matiyasevich)於1970年所完成的。
希爾伯特的第十個問題,就是不定方程(又稱為丟番圖方程)的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中,所提出的23個重要數學問題的第十題。