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  設formula_1為鞅(或上鞅),且formula_2幾乎必然成立。則對任意正整數formula_3與正實數formula_4,  formula_5  當formula_1是下鞅時,對稱地有:  formula_7  若formula_1是鞅,同時使用以上兩個不等式並利用布林不等式可得:  formula_9  對Doob鞅使用吾妻不等式得到McDiarmid不等式,常見於隨機演算法的分析中。

  設formula_10是一列獨立且同分布的隨機變數,代表了拋硬幣的結果(+1代表正面,-1代表反面,正反面出現的概率相等)。  定義formula_11,這是一個鞅,而且滿足formula_12,允許使用吾妻不等式。具體來說,我們得到  formula_13  如果令formula_4正比於formula_15,則這個不等式告訴我們,儘管formula_16的最大可能值隨formula_15線性增大,但是概率隨formula_15指數衰減。  如果令formula_19,得到:  formula_20  這意味著超過formula_21的概率隨formula_22而趨於0。

  謝爾蓋·伯恩施坦於1937年證明了一個類似的但條件更弱的不等式。見伯恩施坦不等式。  Hoeffding對獨立變數證明了這個結果,而不是鞅的差,並且也注意到做一些小調整,這個結果對鞅的差也是成立的。
在概率論中,吾妻不等式(Azuma's inequality)是關於差有界的鞅的不等式,給出了值的集中情況,以吾妻一興(Azuma Kazuoki)命名。