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  設formula_1是可測函式,對任何formula_2,都存在緊緻集formula_3,使得formula_4,而且"f"限制到"E"上是連續函式。此處formula_5是勒貝格測度。

  因為"f"可測,所以在一個測度任意小的開集以外,"f"是有界函式。在開集上重定義"f"為0,那麼"f"在["a","b"]上有界,因而是可積函式。因為連續函式在可積函式的空間formula_6中稠密,存在連續函式序列formula_7依L範數收斂至"f",即formula_8。故此有子序列formula_9幾乎處處收斂至"f"。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外,formula_9一致收斂至"f"。因為連續函式的一致收斂極限仍是連續的,故此"f"在此開集外連續。取"E"為以上兩個開集的並集在["a","b"]中的補集,那麼原本的"f"在"E"上連續。

  設formula_11是formula_12上的正則博雷爾測度,formula_13是formula_11可測函式。"X"是formula_12中的formula_11可測集,而且formula_17,那麼對任意formula_2,"X"中存在緊緻集"K",使得formula_19,而且"f"限制到"K"上是連續函式。 首先,對每個正整數"i",構造緊緻集formula_20和在其上的連續函式formula_7,使得 且在formula_20上有  構造方法如下:  將formula_25分成兩兩不交的博雷爾集formula_26,使得每個集的直徑都小於1/"i"。函式"f"可測,所以每個集的原像formula_27是可測集。令formula_28,則formula_29將"X"分成兩兩不交的可測集。  由於formula_11是博雷爾正則測度,且formula_31,於是formula_11限制到"X"上是拉東測度。由拉東測度的內正則性,在formula_29中存在緊緻子集formula_34,使得 所以全部子集formula_36的不交併集的測度  因為formula_38,可以取足夠大的"N"使得  令formula_40。有限個緊緻集的並集是緊緻集,所以formula_20緊緻。因此formula_20滿足要求。  對"j"=1..., "N",在formula_43中任取一點formula_44,並在formula_34上定義formula_46。  因為在formula_34上,"f"的值包含在formula_43中,故此"f"和formula_7相差小於1/"i"。而formula_34是兩兩不交的緊緻集,故兩兩間的距離都是正數,所以formula_7在formula_20上是連續函式。因此formula_7滿足要求。  取formula_54,"K"是緊緻集,並有 函式列formula_7在"K"上一致收斂到"f"。一致收斂保持函式的連續性,所以"f"在"K"上連續。
盧津()定理是實分析的定理。約略來說,這定理指可測函式差不多是連續函式。