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  貝塞爾函式的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了,當時引起了數學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利,尤拉、拉格朗日等數學大師對貝塞爾函式的研究作出過重要貢獻。1817年,德國數學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統的運動問題時,第一次系統地提出了貝塞爾函式的總體理論框架,後人以他的名字來命名了這種函式 。

  貝塞爾方程是在圓柱座標或球座標下使用分離變數法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的(在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = "n";在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α = "n"+1⁄2),因此貝塞爾函式在波的傳播問題以及各種涉及有勢場的問題中佔有非常重要的地位,最典型的問題有:  在其他一些領域,貝塞爾函式也相當有用。譬如在訊號處理中的調頻合成(FM synthesis)或凱澤窗(Kaiser window)的定義中,都要用到貝塞爾函式。

  貝塞爾方程是一個二階常微分方程,必然存在兩個線性無關的解。針對各種具體情況,人們提出了表示這些解的不同形式。下面分別介紹這些不同型別的貝塞爾函式。

  第一類貝塞爾函式(英語:Bessel function of the first kind),又稱貝塞爾函式(英語:Bessel function),下文中有時會簡稱為J函式,記作"J"。  第一類α階貝塞爾函式"J"("x")是貝塞爾方程當α為整數或α非負時的解,須滿足在"x" = 0 時有限。這樣選取和處理"J"的原因見本主題下面的性質介紹;另一種定義方法是通過它在"x" = 0 點的泰勒級數展開(或者更一般地通過冪級數展開,這適用於α為非整數):  上式中formula_7為Γ函式(它可視為階乘函式向非整型自變數的推廣)。第一類貝塞爾函式的形狀大致與按formula_8速率衰減的正弦或餘弦函式類似(參見本頁下面對它們漸進形式的介紹),但它們的零點並不是週期性的,另外隨著"x"的增加,零點的間隔會越來越接近週期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函式formula_9的曲線(formula_10)。  如果α不為整數,則formula_9和formula_12線性無關,可以構成微分方程的一個解系。反之若formula_13是整數,那麼上面兩個函式之間滿足如下關係:  於是兩函式之間已不滿足線性無關條件。為尋找在此情況下微分方程與formula_9線性無關的另一解,需要定義第二類貝塞爾函式,定義過程將在後面的小節中給出。

  formula_13為整數時貝塞爾函式的另一種定義方法由下面的積分給出:  (formula_13為任意實數時的表示式見參考文獻[2]第360頁)  這個積分式就是貝塞爾當年提出的定義,而且他還從該定義中推出了函式的一些性質。另一種積分表示式為:

  貝塞爾函式可以用超幾何級數表示成下面的形式:  ɑ為整數。由於函式線性相關的特性(用了一個就少了一個,所以要再構造一個),才需定義如下詳細介紹的第二類貝塞爾函式。

  第二類貝塞爾函式(英語:Bessel function of the second kind),又稱諾伊曼函式(英語:Neumann function),下文中有時會簡稱為Y函式,記作"Y"。  第二類貝塞爾函式也許比第一類更為常用。 這種函式通常用"Y"("x")表示,它們是貝塞爾方程的另一類解。"x" = 0 點是第二類貝塞爾函式的(無窮)奇點。  "Y"("x")又被稱為諾依曼函式(Neumann function),有時也記作"N"("x")。它和"J"("x")存在如下關係:  若α為整數(此時上式是formula_22型未定式)則取右端的極限值。  從前面對"J"("x")的定義可以知道,若α不為整數時,定義"Y"是多餘的(因為貝塞爾方程的兩個線性無關解都已經用J函式表示出來了)。另一方面,若α為整數,"Y"便可以和"J"構成貝塞爾方程的一個解系。與J函式類似,Y函式正負整數階之間也存在如下關係:  "J"("x")和"Y"("x")均為沿負實半軸割開的複平面內關於"x"的全純函式。當α為整數時,複平面內不存在貝塞爾函式的支點,所以"J" 和"Y" 均為"x" 的整函式。若將"x" 固定,則貝塞爾函式是α的整函式。圖3所示為0階、1階和2階第二類貝塞爾函式formula_24的曲線(formula_10):

  第三類貝塞爾函式(英語:Bessel function of the third kind),又稱漢克爾函式(英語:Hankel function)。  貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關解稱為漢克爾函式(Hankel functions)"H"("x")和"H"("x"),分別定義為:  其中"i" 為虛數單位formula_28。以上的線性組合也成為第三類貝塞爾函式;它們描述了二維波動方程的外向行柱面波解和內向行柱面波解("行"與在"行動"中同音)。  利用前面推出的關係可將漢克爾函式表示成:  若α為整數,則須對等號右邊取極限值。另外,無論α是不是整數,下面的關係都成立:

  貝塞爾函式當變數"x" 為複數時同樣成立,並且當"x" 為純虛數時能得到一類重要情形——它們被稱為第一類修正貝塞爾函式(英語:modified Bessel function of the first kind)和第二類修正貝塞爾函式(英語:modified Bessel function of the second kind),或虛變數的貝塞爾函式(有時還稱為雙曲型貝塞爾函式),定義為:  以上形式保證了當變數"x" 為實數時,函式值亦為實數。這兩個函式構成了下列修正貝塞爾方程(與一般貝塞爾方程的差別僅在兩個正負號)的一個相互線性無關的解系:  修正貝塞爾函式與一般貝塞爾函式的差別在於:一般貝塞爾函式隨實變數是振盪型的,而修正貝塞爾函式"I" 和"K"則分別是指數增長和指數衰減型的。和第一類貝塞爾函式"J"一樣,函式"I"當α > 0 時在"x"=0 點等於0,當α=0時在"x"=0 點趨於有限值。類似地,"K"在"x"=0 點發散(趨於無窮)。  "複數變數的貝塞爾函式之零值":formula_36的解在α≥-1的情況下都是實數;階數-2>α>-1的情況下,除了實數之外還有且僅有一對共軛的純虛數解(G.N Watson 參考文獻[5])。  第二類修正貝塞爾函式有時候被稱為第三類修正貝塞爾函式(英語:modified Bessel function of the third kind)。

  若使用分離變數法求解球座標下的三維亥姆霍茲方程,則可得到如下形式關於徑向("r" 方向)分量的常微分方程:  關於上述方程的一對線性無關解稱為球貝塞爾函式,分別用"j"和"y"表示(有時也記為"n")。這兩個函式與一般貝塞爾函式"J"和"Y" 存在關係:  球貝塞爾函式也可寫成:  0階第一類球貝塞爾函式formula_42又稱為sinc函式。頭幾階整階球貝塞爾函式的表示式分別為:  第一類:  第二類:  還可以依照前面構造漢克爾函式相同的步驟構造所謂 球漢克爾函式:  事實上,所有半奇數階貝塞爾函式都可以寫成由三角函式組成的封閉形式的表示式,球貝塞爾函式也同樣可以。特別地,對所有非負整數"n",存在:  而對實自變數"x","h"是上面"h"的複共軛(!! 表示雙階乘)。由此我們可以通過得到"h",再分離實部虛部,求出相應階"j" 和"h" 的表示式,譬如"j"("x") = sin("x")/"x","y"("x") = -cos("x")/"x",等等。

  黎卡提-貝塞爾函式(Riccati-Bessel functions)和球貝塞爾函式比較類似:  該函式滿足方程:  這個方程以及相應的黎卡提-貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫·米(Gustav Mie)於1908年研究電磁波在球狀顆粒表面散射問題時提出的,後人將這種散射稱為米氏散射(Mie scattering)。這個問題近幾年的進展可參見文獻 Du (2004)。  後人有時會遵從德拜(Debye)在1909年的論文中的記法,用formula_56 代替前面的formula_57。

  貝塞爾函式在α非負時具有下面的漸近形式。當自變數"x" 為小量,即formula_58時,有:  式中γ為尤拉-馬歇羅尼常數(也叫尤拉常數,等於 0.5772156649...),Γ為Γ函式。對於很大的"x",即formula_61時,漸近形式為:  (α=1/2 時漸近號兩邊嚴格相等;參見前面對球貝塞爾函式的介紹)。其他形式貝塞爾函式的漸近形式可以從上面的式子直接推得。譬如,對大自變數formula_61,修正貝塞爾函式的漸近形式為:  對小自變數formula_58:

  整階(α = "n")第一類貝塞爾函式"J"常通過對其母函式("generating function")的羅朗級數(Laurent series)展開來定義:  上式得左邊即為整階第一類貝塞爾函式的母函式,這是丹麥天文學家漢森於1843年提出的。(這種定義也可以通過路徑積分或其他方法推廣到非整數階)。整階函式的另一個重要性質是下列雅可比-安格爾恆等式("Jacobi-Anger identity"):  利用這一等式可以將平面波展開成一系列柱面波的疊加,或者將調頻訊號分解成傅立葉級數的疊加。  函式"J"、"Y"、"H"和"H"均滿足遞推關係:  其中"Z"代表"J", "Y", "H"或"H"。(常將這兩個恆等式聯立推出其他關係)。從這組遞推關係可以通過低階貝塞爾函式(或它們的低階導數)計算高階貝塞爾函式(或它們的高階導數)。特別地,有:  由於貝塞爾方程對應的作用算符除以"x" 後便是一個(自伴隨的)厄米算符(Hermitian),所以它的解在適當的邊界條件下須滿足正交性關係。特別地,可推得:  其中α > -1,δ為克羅內克δ,"u"表示"J"("x")的第"m" 級零點。這個正交性關係可用於計算傅立葉-貝塞爾級數中各項的係數,以利用該級數將任意函式寫成α固定、"m" 變化的函式"J"("x" "u")的無窮疊加形式。(可以立即得到球貝塞爾函式相應的關係)。  另一個正交性關係是下列在α > -1/2時成立的“封閉方程”("closure equation"):  其中δ為狄拉克δ函式。球貝塞爾函式的正交性條件為(當α > 0):  貝塞爾方程的另一個重要性質與其朗斯基行列式(Wronskian)相關,由阿貝爾恆等式(Abel's identity)得到:  其中"A" 和"B"是貝塞爾方程的任意兩個解,"C"是與"x" 無關的常數(由α和貝塞爾函式的種類決定)。譬如,若"A" = "J"、"B" = "Y",則"C" is 2/π。該性質在修正貝塞爾函式中同樣適用,譬如,若"A" = "I"、"B" = "K",則"C"為-1。
貝塞爾函式(英語:Bessel functions),是數學上的一類特殊函式的總稱。通常單說的貝塞爾函式指第一類貝塞爾函式(英語:Bessel function of the first kind)。一般貝塞爾函式是下列常微分方程(一般稱為貝塞爾方程)的標準解函式formula_1: