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  早於1753年,義大利物理學家喬凡尼·貝卡立亞(英語:Giovanni Beccaria)就在研究物質的導電性質。他在電路里加裝了盛滿了水的玻璃管。當開啟電路後,發現玻璃管的截面面積越大,電流的放電強度越大。 英國物理學家亨利·卡文迪什也曾做過很多實驗,研究電動勢、電流、電阻之間的關係。他使用萊頓瓶為電流源,將電流通過在各種尺寸的玻璃試管裡盛裝的鹽溶液,靠著調整鹽溶液的高度,他可以控制放電強度。卡文迪什把自己身體當作一臺生理檢流計,從親身體驗被電擊後的感覺,來估計電流的放電強度。他又選擇出一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準,然後比較標準放電與試樣放電,按照放電強度的大小來估計它們的電阻。這樣,他可以定量地描述每一種試樣。於1781年1月,他記錄在筆記裡,電流與電動勢成正比。但是,他並沒有將這些珍貴的實驗結果告訴任何科學家。一直到馬克士威於1879年替他編輯註釋為著作《卡文迪什的電學研究》(英語:The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish)後,才見諸世面。注意到卡文迪什使用的儀器相當原始粗陋,靠身體感覺很難做出精準的測量,萊頓瓶並不是穩定電流源。所以,學術界認為這耽擱了近百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。 從1825年到1826年之間,歐姆做了很多關於電阻的實驗。於1827年,他將得到的結果一同發表在著作《直流電路的數學研究》(The galvanic Circuit investigated mathematically)裡。他從傅立葉對於熱傳導的研究得到了相當多的靈感,借用了很多傅立葉的點子來論述自己的結果。 歐姆是一位優秀的實驗者,很會設計與製造實驗裝置,又具有精湛的數學修養與嚴謹的敬業態度。剛開始,他使用伏打電堆為電源,用安裝於扭秤(torsion balance)的磁針來測量電流的磁場力。載流導線的電流所產生的磁場與電流成正比,只要測量在載流導線附近的磁針所感受到的磁場力,就可以知道電流。他將電流通過不同長度的檢驗電線;由於長度不同,電阻也不同。歐姆仔細分析實驗結果,得到經驗方程式  其中,formula_17是檢驗電線造成的電流差值,formula_18是跟實驗引數有關的係數,formula_19是檢驗電線的長度,formula_20是跟固定長度的載流導線有關的常數。  歐姆很快地就覺得這方程式不太對勁。大約三年前,湯瑪斯·澤貝克(英語:Thomas Seebeck)發明使用熱電偶為電源。這種電源比伏打電源穩定。採納《物理與化學年鑑》的總編輯約翰·波根多夫(英語:Johann poggendorff)的建議,歐姆改用熱電偶為電源,將實驗重做一遍,得到經驗方程式: 其中,formula_22是扭秤讀值,formula_20是跟電動勢有關的常數,formula_24是跟內部電阻有關的常數,formula_19是檢驗電線的長度。 仔細詮釋這些變數,將formula_22、formula_20、formula_24、formula_19分別詮釋為電流formula_5、電壓formula_2、內部電阻formula_32、檢驗電阻formula_33,那麼,假定總電阻formula_6為formula_35則經驗方程式變為歐姆定律的現代方程式版本: 歐姆定律可能是早期電學史最重要的定量理論。但是,當歐姆最初發表他的結果時,很多學術界同仁都激烈地批評反對他的理論。德國教育部長指責:「鼓吹這種異端邪說的教授不配教導科學。」物理教授格奧爾格·魄爾(英語:Georg Pohl)這樣批評歐姆的著作:「以崇高眼光仰看這世界的人士,必須遠離這本無可救藥、妄生穿鑿的謬書,其唯一目的乃是徹底詆譭大自然的尊嚴。」。那時候,德國正盛行的黑格爾哲學認為,因為大自然井井有序,而且只要經過合理推論就可獲得科學真理,所以,並不需要靠做實驗來了解大自然。歐姆的實驗方法可能引起了黑格爾門徒的強烈反感。 1839年,法國物理學家,克勞德·普雷特(英語:Claude Pouillet)確定歐姆的實驗結果。同時,歐姆成為柏林科學院的院士。在英國,查爾斯·惠斯通(英語:Charles Wheatstone)又重新核對了歐姆的實驗結果。1841年,歐姆被選為皇家學會的外籍會員。1852年,歐姆榮膺為慕尼黑大學的物理學系主任。 於1920年,物理學家發現,通過理想電阻器的電流會出現統計漲落,雖然當電壓和電阻為常數時,統計漲落會跟溫度有關。這種漲落稱為詹森-奈奎斯特噪音(英語:Johnson–Nyquist noise),是因為電荷的離散秉性而產生的現像。這熱效應意味著,假若取樣的時間間隔足夠短暫,電流或電壓的測值,其比例跟時間平均比例或系綜平均(英語:ensemble average)比例相比較,會出現漲落;也就是說,每一個電阻formula_6的取樣值,跟formula_6的時間平均或系綜平均相比較,會出現漲落。對於普通電阻物質案例,經過平均程式後,歐姆定律仍舊正確無誤。 歐姆對於電阻的研究在馬克士威方程組出現之前很久,那時科學家對於交流電路的頻率相關效應也不瞭解。但是,在適當範圍內,現代電磁理論與現代電路理論並沒有發現任何與歐姆定律相悖之處。

  歐姆定律可以用水力學類比(英語:hydraulic analogy)來描述。測量單位為帕斯卡的水壓,可以類比為電壓。在一根水管裡,由於任意兩點之間的水壓差會造成水流,水的流速(單位是升每秒),可以類比為電流(單位是庫侖每秒)。「流量限制器」是安裝於水管與水管之間控制流量的閥門,可以類比為電阻器。通過流量限制器的水流流量,跟流量限制器兩端的水壓成正比,類似地,通過電阻器的電荷流量(電流),跟電阻器兩端的電壓成正比。這正是歐姆定律的論述。 流體流動網路的流量和流壓可以用水力學類比方法來計算。這方法可以應用於穩定流和暫態流(英語:transient flow)。對於線性層流,泊肅葉定律(英語:Poiseuille's law)描述水管的水阻,但是對於湍流,流壓-流量關係變為非線性。

  設定導電體的電導率與兩端的電壓,歐姆定律可以預測出通過這導電體的電流密度。類似地,設定導熱體的熱導率與兩端的溫差,約瑟夫·傅立葉的熱傳導定律可以預測通過這導熱體的熱流。同樣的方程式形式可以描述這兩種現象。對於每一種案例,方程式的變數有不同的意義。具體而言,歐姆定律的方程式為: 而熱傳導定律的方程式為: 其中,formula_41是熱通量(英語:heat flux),formula_42是導熱體的熱導率,formula_43是溫度。 思考引數為溫度、熱導率與熱通量的熱傳導問體,和引數為電壓、電導率與電流密度的電傳導問體。這兩個問題相互等價。假若能夠解析一個熱傳導問體,則也能夠解析電傳導問題;反之亦然。

  在電路學裡,電阻器(歐姆電阻器)是一種電路元件,其電阻與電壓、電流無關。電阻器可以按照歐姆定律阻抗電荷的通過。每一個電阻器都有其設計製成的電阻formula_6。更嚴格地說,電阻器是在某操作域內遵守歐姆定律的電路元件;歐姆定律和唯一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。

  串聯電阻的總電阻等於各個電阻之和,以方程式表示, 其中,formula_46是第formula_47個電阻,formula_48是總電阻。 假設在電路兩端的電壓為formula_2,則通過的電流為formula_50。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律,則這電路是電阻為formula_48的歐姆電路。

  相互並聯的電阻,其總電阻的倒數等於其每個電阻的倒數和,以方程式表示: 假設在電路兩端的電壓為formula_2,則通過的電流為formula_50。假設每一個電阻器都遵守歐姆定律,則這電路是電阻為formula_48的歐姆電路。

  電容器、電感器、傳輸線等等,都是電路的電抗元件。假設施加週期性電壓或週期性電流於含有電抗元件的電路,則電壓與電流之間的關係式變成微分方程式。因為歐姆定律的方程式只涉及實值的電阻,不涉及可能含有電容或電感的復值阻抗,所以,前面闡述的歐姆定律不能直接應用於這狀況。 最基本的週期性激發,像正弦激發或餘弦激發,都可以用指數函式來表達: 其中,formula_58是虛數單位,formula_59是實值角頻率,formula_60是時間。 假設週期性激發為單頻率正弦激發,其角頻率為formula_59。電阻為formula_6的電阻器,其阻抗formula_63為: 電感為formula_65的電感器,其阻抗為: 電容為formula_67的電容器,其阻抗為: 電壓formula_69與電流formula_70的關係式為: 注意到將阻抗formula_63替代電阻formula_6,就可以得到這歐姆定律方程式的推廣。只有formula_63的實值部分會造成熱能的耗散。 對於這系統,電流和電壓的復值波形式分別為: 電流和電壓的實值部分formula_77、formula_78分別描述這電路的真實正弦電流和正弦電壓。由於formula_79、formula_80都是不同的復值純量,電流和電壓的相位可能會不一樣。 週期性激發可以傅立葉分解為不同角頻率的正弦函式激發。對於每一個角頻率的正弦函式激發,可以使用上述方法來計算響應。然後,將所有響應總和起來,就可以得到解答。

  歐姆定律是電路分析(英語:circuit analysis)使用的幾個基本方程式之一。它可以應用於金屬導電體或特別為這行為所製備的電阻器。在電機工程學裡,這些東西無所不在。遵守歐姆定律的物質或元件稱為「歐姆物質」或「歐姆元件」。理論上,不論施加的電壓或電流、不論是直流或交流、不論是正極或負極,它們的電阻都不變。 但是,有些電路元件不遵守歐姆定律,它們的電壓與電流之間的關係(V-I線)乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示,隨著二極體兩端電壓的遞增,電流並沒有線性遞增。給定外電壓,可以用V-I線來估計電流,而不能用歐姆定律來計算電流,因為電阻會因為電壓的不同而改變。另外,只有當外電壓為正值時,電流才會顯著地遞增;當施加的電壓為負值時,電流等於零。對於這類元件,V-I線的斜率formula_81,稱為「小訊號電阻」(英語:small-signal resistance)、「增量電阻」(英語:incremental resistance)或「動態電阻」(英語:dynamic resistance),定義為 單位也是歐姆,是很重要的電阻量,適用於計算非歐姆元件的電性。

  詹姆斯·馬克士威詮釋歐姆定律為,處於某狀態的導電體,其電動勢與產生的電流成正比。因此,電動勢與電流的比例,即電阻,不會隨著電流而改變。在這裡,電動勢就是導電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文,修飾語「處於某狀態」,詮釋為處於常溫狀態,這是因為物質的電阻率通常跟溫度有關。根據焦耳定律,導電體的焦耳加熱(英語:Joule heating)與電流有關,當傳導電流於導電體時,導電體的溫度會改變。電阻對於溫度的相關性,使得在典型實驗裡,電阻跟電流有關,從而很不容易直接核對這形式的歐姆定律。於1876年,馬克士威與同事,共同設計出幾種測試歐姆定律的實驗方法,能夠特別凸顯出導電體對於加熱效應的響應。

  在電機工程學和電子工程學裡,歐姆定律妙用無窮,因為它能夠在巨集觀層次表達電壓與電流之間的關係,即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關係。在物理學裡,對於物質的微觀層次電性質研究,會使用到的歐姆定律,以向量方程式表達為:  在導體內任意兩點g、h,定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h,電場力所需做的機械功: 其中,formula_86是電壓,formula_87是機械功,formula_88是電荷量,formula_89是微小線元素。 假設,沿著積分路徑,電流密度formula_90為均勻電流密度,並且平行於微小線元素: 其中,formula_92是積分路徑的單位向量。 那麼,可以得到電壓: 其中,formula_94是積分路徑的徑長。 假設導體具有均勻的電阻率,則通過導體的電流密度也是均勻的: 其中,formula_20是導體的截面面積。 電壓formula_86簡寫為formula_2。電壓與電流成正比: 總結,電阻與電阻率的關係為: 假設formula_101,則formula_102;將單位電荷從點g移動到點h,電場力需要作的機械功formula_103。所以,點g的電勢比點h的電勢高,從點g到點h的電勢差為formula_104。從點g到點h,電壓降是formula_2;從點h到點g,電壓升是formula_2。 給予一個具有完美晶格的晶體,移動於這晶體的電子,其運動等價於移動於自由空間的具有有效質量(英語:effective mass)的電子的運動。所以,假設熱運動足夠微小,週期性結構沒有偏差,則這晶體的電阻等於零。但是,真實晶體並不完美,時常會出現晶體缺陷(英語:crystallographic defect),有些晶格點的原子可能不存在,可能會被雜質侵佔。這樣,晶格的週期性會被擾動,因而電子會發生散射。另外,假設溫度大於絕對溫度,則處於晶格點的原子會發生熱震動,會有熱震動的粒子,即聲子,移動於晶體。溫度越高,聲子越多。聲子會與電子發生碰撞,這過程稱為晶格散射(英語:lattice scattering)。主要由於上述兩種散射,自由電子的流動會被阻礙,晶體因此具有有限電阻。 凝聚態物理學研究物質的性質,特別是其電子結構。在凝聚態物理學裡,歐姆定律更復雜、更廣義的方程式非常重要,屬於本構方程式(英語:constitutive equation)與運輸係數理論(英語:theory of transport coefficients)的範圍。

  當施加外電場於導電體時,電流密度的響應,基本上是屬於量子力學性質。詳盡細節,請參閱經典與量子電導率(英語:classical and quantum conductivity)。保羅·德魯德於1900年研究出的德魯德模型,可以用經典物理解釋歐姆定律,描述自由電子移動於金屬導電體的物理行為 在德魯德模型裡,自由電子會不停地移動碰撞於固定不動、組成整個金屬導電體晶格的正價離子之間。金屬裡的每一個自由電子,感受到電場力的作用,會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞,其動能會遭受損失,以熱能的形式將能量釋放給離子,所以,電子的平均移動速度是漂移速度,其漂移速度的方向與電場方向相反。 電子感受到的平均電場力formula_107為: 其中,formula_109是平均電場,formula_110是單位電荷量。 德魯德計算出漂移速度formula_111為: 其中,formula_113是平均自由時間(英語:mean free time),是碰撞之間的平均時間間隔,formula_18是電子的質量。 在金屬裡,電荷載子為電子,所以電流密度與漂移速度的關係為: 其中,formula_47是電子密度。 假設電場是均勻電場,formula_117,設定電阻率為: 則電場與電流密度的關係為: 注意到漂移速率formula_120超小於熱速率formula_121, 其中,formula_123是波茲曼常數,formula_43是溫度。 因此,平均自由時間與熱速率有關,與漂移速率無關,所以平均自由時間也與電流密度、電場無關。質量、電子密度、單位電荷,都與電流密度、電場無關。總結,電阻率與電流密度、電場無關。

  前面得到的答案只成立於導電體的參考系。在經典電磁學裡,假設處於磁場formula_125的導電體,以相對速度formula_126移動於磁場的參考系formula_127,則電子感受到的平均勞侖茲力formula_107為: 漂移速度formula_111為: 電場與電流密度的關係為: 所以,歐姆定律的形式推廣為:
在電路學裡,歐姆定律(英語:Ohm's law)表明,導電體兩端的電壓與通過導電體的電流成正比,以方程式表示, 其中,formula_2是電壓(也可以標記為formula_3,方程式表示為formula_4),formula_5是電流,比例常數formula_6是電阻。 雖然導電體是由導電物質組成,導電體也具有微小的電阻。對於任意導電體、電阻器、電路元件、電路等等,電阻的定義方程式為: 不論電流、電壓為何,電阻定義為電壓除以電流。在歐姆定律裡,電阻與電流、電壓無關。並不是每一種元件都遵守歐姆定律。歐姆定律是經過多次實驗而推斷的法則,只有在理想狀況下,才會成立。凡是遵守歐姆定律的元件或電路都稱為「歐姆元件」或「歐姆電路」或「歐姆式導體」,其電阻與電流、電壓無關;不遵守歐姆定律的元件或電路稱為「非歐姆元件」或「非歐姆電路」或「非歐姆式導體」,其電阻可能會與電流、電壓有關。 歐姆定律是因德國物理學家格奧爾格·歐姆命名。於1827年,在他發表的一本通論《直流電路的數學研究》(The galvanic Circuit investigated mathematically)裡,他詳細的論述簡單電路兩端的電壓與流動於電路的電流之間的關係。他所論述的關係比較複雜,稍後會有更詳細說明。上述方程式乃是歐姆定律的現代版本。 對於電阻物質或導電物質,歐姆定律可以推廣為: 其中,formula_10是電場,formula_11是物質的電流密度,formula_12是物質的電阻率,formula_13是物質的電導率。 遵守歐姆定律的物質,稱為「歐姆物質」,其電阻率formula_12和電導率formula_15與電流密度、電場無關。