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  在物理學上,流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關,而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映,就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題,尤其是該陳述特別簡潔並推匯出了萊恩-埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似,但它的假設通常是受到限制。

  

  考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況,就可使用以下連續性方程式:  這裡 formula_10 是 formula_18 的函式。流體靜力平衡的公式成為:  formula_20 也是 formula_18 的公式。再一次求導數可得:  這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 formula_23,並將帶有 formula_9 的導數的項置於左側,方程式成為:  方程式兩側除以 formula_23,在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外,如果我們以多變方程 formula_27 和 formula_28 代入,可得到:  將常數聚集並以 formula_30 取代:  最後得到萊恩-埃姆登方程:

  同樣地,也可以使用泊松方程進行推導:  我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度:  最後也可以得到萊恩-埃姆登方程。

  

  formula_35 只在3個值時有解析解

  如果 formula_36,方程式成為:  重新整理並進行一次積分後的公式成為:  公式兩側都除以 formula_40,並且再積分一次後得到:  邊界條件 formula_12 和 formula_13 暗示積分常數是 formula_44 和 formula_45。

  當 formula_46,方程式可展開如下:  兩端都乘以 formula_40 可得到 formula_50 和 formula_36 的球貝索函式。套用了邊界條件以後的解將是:

  在經過一連串取代的步驟後,方程式可以有進一步的解:  當 formula_53,方程式的解將是循著徑向的無限大值。

  一般情形下萊恩-埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示,例如:  在這裡 formula_58 被視為無因次質量,而質量可使用 formula_59 表示。相關的邊界條件是 formula_60 和 formula_12。第一個方程式表現了流體靜力平衡,而第二個方程式則表示質量守恆。

  

  已知如果 formula_62 是萊恩-埃姆登方程的解,那麼完整的解方程式將是 formula_63。和這方式相關的解則稱為「同調」,而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性,就可以將萊恩-埃姆登方程降一階計算。  而這類可選擇的變數有多個,一個適當的選擇是:  和  我們可以將相對於 formula_2 的變數的對數微分,得到:  和  最後,我們將以上兩個方程式相除以消去應變數 formula_2,留下:  以上即為單一一階方程式。

  同調性不變的方程式可被視為自主對方程式:  和  這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點(當 formula_73)和雅可比矩陣的特徵值、特徵向量如下表所示:
萊恩-埃姆登方程(Lane–Emden equation)是天文物理中一個表現自重力位能,球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 formula_1 時的壓力與密度,方程式中並有重構徑向變數 formula_2 和重構溫度變數 formula_3: