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  二次域formula_6裡的整數環formula_7定義為該域中的代數整數。當formula_8時,整數環可描述為formula_9,否則為formula_10。當formula_11時,這些整數稱為高斯整數,當formula_12時,稱為艾森斯坦整數。  根據上述描述,formula_13的判別式不難計算:當formula_8時判別式為formula_3,否則則為formula_16。

  設formula_6,formula_18為素數。數論關注的問題是formula_19如何在formula_7中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論,應考慮以下情形:  根據之前對判別式的計算,可知formula_21分歧當且僅當formula_21整除formula_13的判別式(formula_3或formula_16,取決於formula_35);對其餘無窮多個素數,前兩個情形皆會發生,而且其機率在某種意義上相等。

  分圓域素p(p>2)次根群所產生二次子域,也是伽羅瓦理論(埃瓦里斯特·伽羅瓦)的一個結論,在有理域上有惟一指數2Galois子群,,二次域特例d=-1時成稱高斯整環,有判別式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解,高斯整環分歧條件叫高斯週期(Gaussian period)。

  如果一個分圓域,他們有額外的2-扭伽羅瓦群,那麼就至少包含三個二次域。一般通過分圓域二次子域的判別式D的可以得到D次單位根組成的子域(D-th roots of unity)。這表示一個事實,即二次域的前導子(conductor) 是判別式D的絕對賦值 (value) 。
在代數數論中,二次域是在有理數域formula_1上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成formula_2,其中formula_3無平方數因子。若formula_4,稱之為實二次域;否則稱為虛二次域或復二次域。虛實之分在於formula_5是否為全實域