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  埃爾米特多項式有兩種常見定義。  第一種是概率論中較為常用的形式(又記作:formula_1):  另一種是物理學中較為常用的形式(又記作:formula_3):  formula_5  這兩種定義並不是完全等價的。它們之間的關係是:  概率論中常用第一種定義,因為formula_7是標準正態分佈函式(數學期望等於0,標準差等於1)的概率密度函式。

  多項式"H" 是一個"n"次的多項式。概率論的埃爾米特多項式是首一多項式(最高次項係數等於1),而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於2。

  多項式"H" 的次數與序號"n" 相同,所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的權函式 "w",埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。  也就是說,當"m" ≠ "n" 時:  除此之外,還有:  其中formula_13是克羅內克函式。  從上式可以看到,概率論中的埃爾米特多項式與標準正態分佈正交。

  在所有滿足  的函式所構成的完備空間中,埃爾米特多項式序列構成一組基。其中的內積定義如下:

  概率論中的埃爾米特多項式是以下微分方程的解:  方程的的邊界條件為:formula_17應在無窮遠處有界。  其中formula_18是這個方程的本徵值,是一個常數。要滿足上述邊界條件,應取formula_18∈formula_20。對於一個特定的本徵值formula_18,對應著一個特定的本徵函式解,即formula_22。  而物理學中的埃爾米特多項式則是以下微分方程的解:  其本徵值同樣為formula_18∈formula_20,對應的本徵函式解為formula_26。  以上兩個微分方程都稱為埃爾米特方程。
在數學中,埃爾米特多項式是一種經典的正交多項式族,得名於法國數學家夏爾·埃爾米特。概率論裡的埃奇沃斯級數的表示式中就要用到埃爾米特多項式。在組合數學中,埃爾米特多項式是阿佩爾方程的解。物理學中,埃爾米特多項式給出了量子諧振子的本徵態。