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  容易驗證模 "n" 互質同餘類在乘法運算下滿足阿貝爾群的公理。

  整數模 "n" 環記作 formula_1 或 formula_2(即整數環模去理想 "n"Z = ("n"),由 "n" 的倍陣列成)或 formula_3 因作者所喜,它的單位群可能記為 formula_4 formula_5 formula_6 或類似的記號,本文采用 formula_7

  

  模 2 只有一個互質同餘類 1,所以 formula_8 平凡。  模 4 有兩個互質同餘類,1 和 3,所以 formula_9 兩元迴圈群。  模 8 有四個互質同餘類,1, 3, 5 和 7,每個平方都是 1,所以 formula_10 Klein 四元群。  模 16 有八個互質同餘類,1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。formula_11 為 2-扭子群(即每個元素的平方為 1),所以 formula_12 不是迴圈群。3的冪次:formula_13 是一個 4 階子群,5 的冪次也是,formula_14。所以 formula_15。  以上 8 和 16 的討論對高階冪次 2, "k" > 2 也成立: formula_16 是 2-扭子群(所以 formula_17 不是迴圈)而 3 的冪次是一個2 子群,所以 formula_18。

  對奇質數的冪 "p",此群是迴圈群: formula_19

  中國剩餘定理 說明如果formula_20 那麼環 formula_1 每個質數冪因子相應的環的直積:  類似地,formula_23 的單位群是每個質數冪因子相應群的直積:

  群的階數由尤拉函式給出:formula_25 這是直積中各迴圈階數的乘積。

  指數為卡邁克爾函式formula_26,,即這些迴圈群的階數的最小公倍數。這意味著如果 "a" 和 "n" 互質,formula_27

  formula_23 是迴圈群當且僅當 formula_29 這在 "n" 為奇質數的冪次、奇質數冪次 2 倍、2 和 4 成立,此時也稱一個生成元為模 n 的原根。  因為所有 formula_5 "n" = 1, 2,..., 7 是迴圈群,上述結論的另一種說法是:如果 "n" < 8 那麼 formula_31 有原根;如果 "n" ≥ 8,且不能被 4 或者兩個不同的奇質數整除,formula_31 有原根。( = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50,... )  一般情形每個直積因子迴圈有一個生成元。

  這個表列出了較小 "n" formula_23 的結構和生成元。生成元不是惟一(mod "n")的,比如 (mod 16) 時 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直積因子相同的順序列出。  以 "n"=20 為例。formula_34 意味著 formula_35 的階數是 8(即有 8 個小於 20 的正整數與其互質);formula_36 說明任何和20互質的數的 4 次冪≡ 1(mod 20);至於生成元,19 的指數為2,3 的指數為 4,而任何formula_35 中元素都是 19 × 3 的形式,這裡 "a" 為 0 或 1,"b" 為 0, 1, 2, 或 3。  19 的冪是 {±1},3 的冪為 {3, 9, 7, 1}。後者和他們的負數 (mod 20),{17, 11, 13, 19} 是所有小於 20 且與其互質的數。19 的指數為 2 而 3 的指數為 4 意味著任何 formula_38 中數的 4 次冪 ≡ 1 (mod 20)。

  Lenstra 橢圓曲線分解(, 給出的基於橢圓曲線的整數因子分解演算法)
在同餘理論中,模 "n" 的互質同餘類組成一個乘法群,稱為整數模 n 乘法群,也稱為模 n 既約剩餘類。在環理論中,一個抽象代數的分支,也稱這個群為整數模 n 的環的單位群(單位是指乘法可逆元)。