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  時間演化算符formula_11定義為  其中,右矢formula_13表示時間為formula_2的態向量,formula_11是時間演化算符,從時間formula_2演化到時間formula_1。  這方程式可以做這樣解釋:將時間演化算符formula_11作用於時間是formula_1的態向量formula_20,則會得到時間是formula_2的態向量formula_13。  類似地,也可以用左矢formula_23來定義:  其中,算符formula_25是算符formula_26的厄米共軛。

  

  由於態向量必須滿足歸一條件,態向量的範數不能隨時間而變:  可是,  所以,  其中,formula_30是單位算符。

  時間演化算符formula_31必須是單位算符formula_32,因為,

  從初始時間formula_34到最後時間formula_35的時間演化算符,可以視為從中途時間formula_36到最後時間formula_2的時間演化算符,乘以從初始時間formula_34到中途時間formula_39的時間演化算符:  根據時間演化算符的定義,  所以,  可是,再根據定義,  所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

  為了方便起見,設定formula_46,初始時間formula_34永遠是formula_48,則可忽略時間演化算符的formula_1引數,改寫為formula_50。含時薛定諤方程式為  其中,formula_7是哈密頓量。  從時間演化算符的定義式,可以得到  由於formula_54可以是任意恆定態向量(處於formula_55的態向量),時間演化算符必須遵守方程式  假若哈密頓量不含時,則這方程式的解答為  注意到在時間formula_55,時間演化算符必須約化為單位算符formula_59。由於formula_7是算符,指數函式formula_61必須通過其泰勒級數計算:  按照時間演化算符的定義,在時間formula_2,態向量為  注意到formula_54可以是任意態向量。假設初始態向量formula_54是哈密頓量的本徵態,而本徵值是formula_67,則在時間formula_2,態向量為  這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的流易,只有相位因子在進行演化。  假設,哈密頓量與時間有關,但在不同時間的哈密頓量相互對易,則時間演化算符可以寫為  假設,哈密頓量與時間有關,而在不同時間的哈密頓量不相互對易,則時間演化算符可以寫為  其中,formula_72是時間排序算符。  必須用戴森級數來表示,

  為了便利分析,位於下標的符號formula_74、formula_75、formula_76分別標記海森堡繪景、互動作用繪景、薛定諤繪景。  各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化:
薛定諤繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛定諤而命名。在薛定諤繪景裡,量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。