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  現在所知的Z變換的基本思想,拉普拉斯就已瞭解,而1947年維托爾德·胡列維茨用作求解常係數差分方程的一種容易處理的方式。 後來由1952年哥倫比亞大學的取樣控制組的雷加基尼和查德稱其為“Z變換”。  E. I. Jury後來發展並推廣了改進或高階Z變換。  Z變換中包含的思想在數學裡稱作母函式方法,該方法可以追溯到1730年的時候,棣莫弗與概率論結合將其引入。 從數學的角度,當把數字序列視為解析函式的(洛朗)展開時,Z變換也可以看成是洛朗級數。

  像很多積分變換一樣,Z變換可以有單邊和雙邊定義。

  "雙邊"Z轉換把離散時域訊號 "x[n]" 轉為形式冪級數 "X(Z)"。  當中 formula_2 是整數,formula_3 是複數變數,其表示方式為 其中 "A" 為 "z" 的模,"j" 為虛數單位,而 ɸ 為"幅角"(也叫"相位角"),用弧度表示。

  另外,只對 "n" ≥ 0 定義的 "x[n]","單邊"Z變換定義為  在訊號處理中,這個定義可以用來計算離散時間因果系統的單位衝激響應。  單邊Z變換的一個重要例子是概率母函式,其中 "x[n]" 部分是離散隨機變數取 "n" 值時的概率,而函式 "X(z)" 通常寫作 "X(s)",用 "s" = "z" 表示。Z變換的性質(在下面)在概率論背景下有很多有用的解釋。

  地球物理中的Z變換,通常的定義是 "z" 的冪級數而非 "z" 的。例如,Robinson、Treitel和Kanasewich都使用這個慣例。 地球物理定義為:  這兩個定義是等價的;但差分結果會有一些不同。例如,零點和極點的位置移動在單位圓內使用一個定義,在單位圓外用另一個定義。 因此,需要注意特定作者使用的定義。

  "逆"Z變換為  其中 "C" 是完全處於收斂域(ROC)內的包圍原點的一個逆時針閉合路徑。在 ROC 是因果的情況下(參見例2),這意味著路徑 "C" 必須包圍 "X(z)" 的所有極點。  這個曲線積分的一個特殊情形出現在 "C" 是單位圓的時候(可以在ROC包含單位圓的時候使用,總能保證 "X(z)" 是穩定的,即所有極點都在單位圓內)。逆Z變換可以化簡為逆離散傅立葉變換:  有限範圍 "n" 和有限數量的均勻間隔的 "z" 值的Z變換可以用Bluestein的FFT演算法方便地計算。離散時間傅立葉變換 (DTFT)—不要與離散傅立葉變換(DFT)混淆—是通過將 "z" 限制在位於單位圓上而得到的一種Z變換的特殊情況。

  收斂域(ROC)是指Z變換的求和收斂的複平面上的點集。

  令 "x[n]" = (0.5)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 "x[n]" 成為  觀察上面的和  因此,沒有一個 "z" 值可以滿足這個條件。

  令 formula_12(其中 "u" 是單位階躍函式)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 "x[n]" 得到  觀察這個和  最後一個等式來自無窮幾何級數,而等式僅在 |0.5"z"| < 1 時成立,可以以 "z" 為變數寫成 |"z"| > 0.5。因此,收斂域為 |"z"| > 0.5。在這種情況下,收斂域為複平面“挖掉”原點為中心的半徑為 0.5 的圓盤。

  令 formula_15(其中 "u" 是單位階躍函式)。在區間 (−∞, ∞) 上展開 "x[n]" 得到  觀察這個和  再次使用無窮幾何級數,此等式只在 |0.5"z"| < 1 時成立,可以用 "z" 為變數寫成 |"z"| < 0.5。因此,收斂域為 |"z"| < 0.5。在這種情況下,收斂域為中心在原點的半徑為 0.5 的圓盤。  本例與上例的不同之處"僅在"收斂域上。這是意圖展示只有變換結果是不夠的。

  例項2和3清楚地表明,當且僅當指定收斂域時,"x[n]" 的Z變換 "X(z)" 才是唯一的。畫因果和非因果情形的零極點圖表明,在這兩種情況下收斂域都不包含極點位於 0.5 的情形。這可以拓展到多個極點的情形:收斂域"永遠不會"包含極點。  在例2中,因果系統產生一個包含 |"z"| = ∞ 的收斂域,而例3中的非因果系統產生包含 |"z"| = 0 的收斂域。 在有多個極點的系統中,收斂域可以既不包含 |"z"| = ∞ 也不包含 |"z"| = 0。畫出的收斂域與一個圓形帶。例如,  的極點為 0.5 與 0.75。收斂域會是 0.5 < |"z"| < 0.75,不包含原點和無窮大。這樣的系統稱為混合因果系統,因為它包含一個因果項 (0.5)"u"["n"] 和一個非因果項 −(0.75)"u"[−"n"−1]。  一個系統的穩定性可以只通過了解收斂域來確定。如果收斂域包含單位圓(即 |"z"| = 1),那麼系統是穩定的。在上述系統中因果系統(例2)是穩定的,因為 |"z"| > 0.5 包含單位圓。  如果給定一個沒有收斂域的Z變換(即模糊的 "x[n]"),可以確定一個唯一的 "x[n]" 滿足下列:  如果你要穩定性,收斂域必須包含單位圓;如果你需要一個因果系統,收斂域必須包含無窮大,並且系統函式應為一個右邊序列。如果你需要一個非因果系統,那麼收斂域必須包含原點,且系統函式為左邊序列。如果你既要穩定性,也要因果性,系統函式的所有極點都必須在單位圓內。  可以找到唯一的 "x[n]"。

  帕塞瓦爾定理  初值定理:如果 "x"["n"] 為因果的,那麼  終值定理:如果 ("z"−1)"X"("z") 的極點在單位圓內,則

  這裡:  是單位階躍函式而  是離散時間單位衝激函式。兩者通常都不認為是真正的函式,但由於它們的不連續性把它們看成是分佈(它們在 "n" = 0 處的值通常無關緊要,除非在處理離散時間的時候,它們會變成衰減離散級數;在本章節中對連續和離散時間域,都在 "n" = 0 處取 1,否則不能使用下表中收斂域一欄的內容)。同時列出兩個“函式”,使得(在連續時間域)單位階躍函式是單位衝激函式的積分,或(在離散時間域)單位階躍函式是單位衝激函式的求和,因此要令他們的值在 "n" = 0 處為 1。

  對於區域 |z|=1(稱為單位圓)內的 z 值,我們可以通過定義 z=e 來用單一實變數的函式來表示該變換。於是雙邊變換就簡化為了傅立葉級數:  也被稱作 x[n] 序列的離散時間傅立葉變換(DTFT)。這個以 2π 為週期的函式是傅立葉變換的週期性求和,這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點,令 X(f) 為任意函式 x(t) 的傅立葉變換,該函式以某個間隔 T 取樣就與 x[n] 序列相等。於是 x[n] 序列的DTFT可以寫作:  若T的單位是秒,formula_25的單位即為赫茲。比較兩個數列可得 formula_26 為標準化頻率,單位是radians per sample。數值ω=2π對應formula_27 Hz.,而且在替換 formula_28後, 可以表示為傅立葉變換X(•):  若數列x(nT)表示線性時不變系統的衝激響應,這些函式也稱為頻率響應,當x(nT)是週期性數列,其DTFT在一或多個共振頻率發散,在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率,振幅可變的狄拉克δ函式表示。因為其週期性,只會有有限個振幅,可以用較簡單許多的離散傅立葉變換來計算。(參照離散傅立葉變換#週期性)

  

  雙線性變換可以用在連續時間濾波器(用拉氏域表示)和離散時間濾波器(用Z域表示)之間的轉換,其轉換關係如下:  將一個拉氏域的函式formula_31轉換為Z域下的formula_32,或是  從Z域轉換到拉氏域。藉由雙線性變換,複數的s平面(拉氏變換)可以對映到複數的z平面(Z轉換)。這個轉換是非線性的,可以將S平面的整個"j"Ω軸對映到Z平面的單位圓內。因此,傅立葉變換(在"j"Ω axis計算的拉氏變換)變成離散時間傅立葉變換,前提是假設其傅立葉變換存在,也就是拉氏變換的收斂區域包括"j"Ω軸。

  線性常係數差分(LCCD)方程是基於自迴歸滑動平均的線性系統表達形式。  上面等式兩邊可以同時除以 α,如果非零,正規化 α = 1,LCCD方程可以寫成  LCCD方程的這種形式有利於更加明確“當前”輸出 "y[n]" 是過去輸出 "y[n−p]"、當前輸入 "x[n]" 與之前輸入 "x[n−q]" 的一個函式。

  對上述方程去Z變換(使用線性和時移法則)得到  整理結果

  由代數基本定理得知分子有 "M" 個根(對應於 H 的零點)和分母有 N 個根(對應於極點)。用極點和零點重新整理傳遞函式為  其中 "q" 為 "k" 階零點,"p" 為 "k" 階極點。零點和極點通常是複數,當在複平面(z平面)作圖時稱為零極點圖。  此外,在 "z" = 0 和 "z" = ∞ 也可能存在零點和極點。如果我們把這些極點和零點以及高階零點和極點考慮在內的話,零點和極點的數目總會相等。  通過對分母因式分解,可以使用部分分式分解可以轉換回時域。這樣做會匯出系統的衝激響應和線性常係數差分方程。

  如果一個系統 "H(z)" 由訊號 "X(z)" 驅動,那麼輸出為 "Y(z)" = "H(z)X(z)"。通過對 "Y(z)" 部分分式分解並取逆Z變換可以得到輸出 "y[n]"。在實際運用中,在分式分解 formula_39 之後再乘 "z" 產生 "Y(z)" 的一個形式(含有很容易計算逆Z變換的項)往往很有用。
在數學和訊號處理中,Z轉換(英語:Z-transform)把一連串離散的實數或複數訊號,從時域轉為複頻域表示。