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  採用球座標formula_11,將拉普拉斯運算元formula_13展開:  滿足薛定諤方程式的本徵函式formula_4的形式為:  其中,formula_17,formula_18,formula_19,都是函式。formula_18與formula_19時常會合併為一個函式,稱為球諧函式,formula_22。這樣,本徵函式formula_4的形式變為:

  引數為天頂角formula_9、方位角formula_10的球諧函式formula_27,滿足角部分方程式  其中,非負整數formula_29是角動量的角量子數。formula_30(滿足formula_31)是角動量對於z-軸的(量子化的)投影。不同的formula_29與formula_30給予不同的球諧函式解答formula_27:  其中,formula_36是虛數單位,formula_37是伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為  而formula_39是formula_29階勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為

  將角部分解答代入薛定諤方程式,則可得到一個一維的二階微分方程式:  設定函式formula_43。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算,可以得到  徑向方程式變為  其中,有效位勢formula_46。  這正是函式為formula_47,有效位勢為formula_48的薛定諤方程式。徑向距離formula_6的定義域是從formula_50到formula_51。新加入有效位勢的專案,稱為離心位勢。  為了要更進一步解析方程式(2),必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

  在這裡,有四個很特別、很重要的例項。這些例項都有一個共同點,那就是,它們的位勢都是球對稱的。因此,它們的角部分解答都是球諧函式。這四個例項是:

  思考formula_52的狀況,設定formula_60,在設定無因次的變數 代入方程式(2),定義formula_62,就會得到貝塞爾方程式,一個二階常微分方程式:  貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函式formula_64;而formula_17是第一類球貝塞爾函式(真空解的邊界條件要求原點的函式值有限,因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函式項的係數必須為零):  在真空裡,一個粒子的薛定諤方程(即自由空間中的齊次亥姆霍茲方程)的解,以球座標來表達,是球貝塞爾函式與球諧函式的乘積:  其中,歸一常數formula_68,formula_29是非負整數,formula_30是整數,formula_71,formula_72是實數,formula_73。  這些解答都是角動量確定態的波函式。這些確定態都有明確的角動量。

  波函式的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函式的歸一化條件為  根據球貝塞爾函式的封閉方程式,  其中,formula_76,formula_77為克羅內克δ。  所以,formula_78。取平方根,歸一常數formula_68。

  思考一個球對稱的無限深方形阱,阱內位勢為0,阱外位勢為無限大。用方程式表達:  其中,formula_81是球對稱阱的半徑。  立刻,可以察覺,阱外的波函式是0;而由於阱內的薛定諤方程式與真空狀況的薛定諤方程式相同,波函式是球貝塞爾函式formula_82。為了滿足邊界條件,波函式必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函式,球貝塞爾函式在徑向座標formula_83之處必須等於0:  設定formula_85為formula_29階球貝塞爾函式formula_87的第formula_88個0點,則formula_89。  那麼,離散的能級formula_90為  薛定諤方程式的整個解答是  其中,歸一常數formula_93。

  波函式的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函式的歸一化條件為  將球貝塞爾函式與第一類貝塞爾函式的關係方程式(4)代入積分:  設定變數formula_96,代入積分:  根據貝塞爾函式的正交歸一性方程式,  其中,formula_99,formula_100為克羅內克δ,formula_101表示formula_102的第formula_88個0點。  注意到formula_104的第formula_88個0點formula_85也是formula_107的第formula_88個0點。所以,  取平方根,歸一常數formula_110。

  三維均向諧振子的位勢為  其中,formula_112是角頻率。  用階梯算符的方法,可以證明N維諧振子的能量是  所以,三維均向諧振子的徑向薛定諤方程式是  設定常數formula_115,  回想formula_117,則徑向薛定諤方程式有一個歸一化的解答:  其中,函式formula_119是廣義拉蓋爾多項式,formula_120是歸一化常數:  本徵能級formula_122的本徵函式formula_123,乘以球諧函式formula_124,就是薛定諤方程式的整個解答:  其中formula_126。假若formula_88是偶數,設定formula_128;否則,設定formula_129。

  在這導引裡,徑向方程式會被轉換為廣義拉蓋爾微分方程式。這方程式的解是廣義拉蓋爾多項式。再將廣義拉蓋爾多項式歸一化以後,就是所要的答案。  首先,將徑向座標無因次化,設定變數formula_130;其中,formula_116。則方程式(5)變為 其中,formula_133是新的函式。  當formula_134接近0時,方程式(6)最顯著的專案是  所以,formula_136與formula_137成正比。  又當formula_134無窮遠時,方程式(6)最顯著的專案是  因此,formula_136與formula_141成正比。  為了除去formula_136在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函式的形式的目的,必須使用formula_136的替換方程式:  經過一番運算,這個替換將微分方程式(6)轉換為

  設定變數formula_146,則微分運算元為  代入方程式(7),就可得到廣義拉蓋爾方程式:  其中,函式formula_150。  假若,formula_151是一個非負整數,則廣義拉蓋爾方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式:  因為formula_72是非負整數,要求

  回憶到formula_117,徑向函式可以表達為 其中,formula_120是歸一常數。  formula_161的歸一條件是 設定formula_163。將formula_123與formula_165代入積分方程式:  應用廣義拉蓋爾多項式的正交歸一性,這方程式簡化為  因此,歸一常數可以表達為  應用伽瑪函式的數學特性,同時注意formula_88與formula_29的奇偶性相同,可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函式變為  在這裡用到了雙階乘 (英語:double factorial)的定義。  所以,歸一常數等於

  類氫原子只含有一個原子核與一個電子,是個簡單的二體系統。兩個物體之間,互相作用的位勢遵守庫侖定律:  其中,formula_174是真空電容率,formula_175是原子序,formula_176是單位電荷量,formula_6是電子離原子核的徑向距離。  將位勢代入方程式(1),  這方程式的解答是  其中,formula_180。formula_181近似於波耳半徑formula_182。假若,原子核的質量是無限大的,則formula_183,並且,約化質量等於電子的質量,formula_184。formula_185是廣義拉蓋爾多項式,定義為  其中,formula_187是拉蓋爾多項式,可用羅德里格公式表示為  為了滿足formula_161的邊界條件,formula_88必須是正值整數,能量也離散為能級formula_191。隨著量子數的不同,函式formula_161與formula_27都會有對應的改變。為了要結束廣義拉蓋爾多項式的遞迴關係,必須要求formula_194。  知道徑向函式formula_161與球諧函式formula_27的形式,就可以寫出整個類氫原子量子態的波函式,也就是薛定諤方程式的整個解答:

  為了要簡化薛定諤方程式,設定能量與長度的原子單位 (英語:atomic unit)  將變數formula_200與formula_201代入徑向薛定諤方程式(2):  這方程式有兩類解答:  這條目只講述第(1)類解答。設定正實數formula_206與formula_207。代入方程式(8):  當formula_209接近0時,方程式(9)最顯著的專案是  所以,formula_211與formula_212成正比。  又當formula_209無窮遠時,方程式(9)最顯著的專案是  因此,formula_211與formula_216成正比。  為了除去formula_211在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函式的形式的目的,必須使用formula_211的替換方程式:  經過一番運算,得到formula_220的方程式:  其中,formula_222。  假若,formula_223是個非負整數formula_72,則這方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式  採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是  其中,主量子數formula_227滿足formula_228,或formula_229。  由於formula_230,徑向波函式是  能量是
球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙互動作用的基本位勢,像重力勢、電勢,都是球對稱位勢。這條目只講述,在量子力學裡,運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為,可以用薛定諤方程式表達為