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  我們來證明"f"的上界和最大值的存在。把這個結果應用於函式–"f",也可推出"f"的下界和最小值的存在。  我們首先證明有界性定理,它是證明極值定理中的一個步驟。證明極值定理的基本步驟為:

  假設函式"f"在區間["a","b"]內連續且沒有上界。那麼,根據實數的阿基米德公理,對於每一個自然數"n",都存在["a","b"]內的一個"x",使得"f"("x") > "n"。這便定義了一個序列{"x"}。由於["a","b"]是有界的,根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可推出存在{"x"}的一個收斂的子序列{formula_5}。把它的極限記為"x"。由於["a","b"]是閉區間,它一定含有"x"。因為"f"在"x"處連續,我們知道{"f"(formula_5)}收斂於實數"f"("x")。但對於所有的"k",都有"f"(formula_5) > "n" ≥ "k",這意味著{"f"(formula_5)}發散於無窮大。得出矛盾。因此,"f"在["a","b"]內有上界。證畢。

  我們現在證明函式"f"在區間["a","b"]內有最大值。根據有界性定理,"f"有上界,因此,根據實數的戴德金完備性,"f"的最小上界"M"存在。我們需要尋找["a","b"]內的一個"d",使得"M" = "f"("d")。設"n"為一個自然數。由於"M"是最小上界,"M" – 1/"n"就不是"f"的上界。因此,存在["a","b"]內的"d",使得"M" – 1/"n" < "f"("d")。這便定義了一個序列{"d"}。由於"M"是"f"的一個上界,我們便有"M" – 1/"n" < "f"("d") ≤ "M",對於所有的"n"。因此,序列{"f"("d")}收斂於"M"。  根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可知存在一個子序列{formula_9},它收斂於某個"d",且由於["a","b"]是閉區間,"d"位於["a","b"]內。因為"f"在"d"處連續,所以序列{"f"(formula_9)}收斂於"f"("d")。但{"f"(formula_9)}是{"f"("d")}的一個子序列,收斂於"M",因此"M" = "f"("d")。所以,"f"在"d"處取得最小上界"M"。證畢。

  以下的例子說明了為什麼函式的定義域需要是封閉和有界的。

  如果把"f"的連續性減弱為半連續,則有界性定理和極值定理的對應的一半仍然成立,且擴充套件的實數軸上的值–∞和+∞也可以允許為可能的值。更加精確地:  定理:如果函式"f" : ["a","b"] → [–∞,∞)是上半連續的,也就是說,對於["a","b"]內的所有"x",都有:  那麼"f"有上界,且取得最小上界。  "證明:"如果對於["a","b"]內的所有"x",都有"f"("x") = –∞,那麼最小上界也是–∞,於是定理成立。在任何其它情況下,只需把上面的證明稍加修改便可。在有界性定理的證明中,"f"在"x"處的半連續性只意味著子序列{"f"(formula_5)}的上極限有上界"f"("x") < ∞,但這已足以得到矛盾。在極值定理的證明中,"f"在"d"處的半連續性意味著子序列{"f"(formula_9)}的上極限有上界"f"("d"),但這已足以推出"f"("d") = "M"的結論。證畢。  把這個結果應用於−"f",可得:  定理:如果函式"f" : ["a","b"] → (–∞,∞]是下半連續的,也就是說,對於["a","b"]內的所有"x",都有:  那麼"f"有下界,且取得最大下界。  一個實函式是上半連續且下半連續的,當且僅當它是連續的。因此,從這兩個定理就可以推出有界性定理和極值定理。
在微積分中,極值定理說明如果實函式"f"在閉區間["a","b"]上是連續函式,則它一定取得最大值和最小值,至少一次。也就是說,存在["a","b"]內的"c"和"d",使得: