Can you summarize the following document?
        
  考慮定義在曲面"S"上的實函式 formula_1,計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片,假設函式 formula_1 在每小片的變化不大,且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大,任意取每片中函式 formula_1 的值,然後乘以小片的近似面積,最後全部加起來得到一個值,當這種分割越來越細時,如果這值趨近一個實數,我們稱這實數為實數值函式 formula_1 在曲面 formula_5 上的面積分。  要找到面積分的直接公式,首先需要引數化曲面"S",也即在"S"上建立座標系,就像球面上的經緯度。令引數化為x("s", "t"),其中("s", "t")在某個平面上的區域"T"中變化。則 formula_1 在曲面 formula_5 的面積分為  其中 formula_9 是x("s", "t")的偏導數的外積這向量的長度,而 formula_10 在微分幾何裡又叫作流形 formula_5 的面積元素(Surface element)。  例如,如果要找出某個函式(formula_12)形狀的曲面面積,就有 其中formula_14。所以,formula_15,且formula_16。因此 這就是一般以 formula_18 為引數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量。  注意,因為外積的存在,這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。

  考慮"S"上的向量場v,對於每個"S"上的點x,v(x)是一個向量。想象一個穿過"S"的液體流,使得v(x)決定液體在x的速度。則流量定義為單位時間穿過"S"的液體量。  這個解釋意味著如果向量場和"S"在每點相切,則流量為0,因為液體平行於"S"流動,從而不進不出。這也意味著如果v不僅僅沿著"S"流動,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理,要找出流量,我們必須取v和"S"上每點的單位法向量的點積,這就給出了一個標量場,然後就可以用上述方式積分。公式如下  右手邊的叉積是由引數化所決定的法向量。  該公式"定義"為向量場v在"S"上的面積分。

  令 為定義在曲面"S"上的2階微分形式,並令  為一保定向的在曲面 formula_5 上的引數化,其中formula_23。利用變數變換,則 formula_24 在"S"上的面積分變成  其中 為"S"的法向量。利用微分形式(2-form)的變數變換,我們有  也就是說,對 formula_24 該2-形式的積分和以formula_29、formula_30和formula_31為分量的向量場的面積分相同。

  面積分中很多有用的結果可以用微分幾何和向量微積分匯出,例如散度定理及其推廣斯托克斯定理。

  注意面積分的定義中用到曲面"S"的引數化。而給定曲面可以有多種引數化。例如,如果移動球面上南極和北極的位置,所有球面上的點的經度和緯度都會改變。很自然就有面積分是否依賴於給定引數化的問題。對於標量場的積分,答案很簡單:無論引數化為何,面積分不變。  對於向量場,情況複雜一些,因為積分時涉及到曲面的法向量。如果兩個引數化下法向量的定向相同,則積分值不變。如果法向量定向相反,則積分值相反。因此,不需要規定特定的引數化,但是對於法向量,不同的引數化的定向必須保持一致。  另外一個問題是,有時曲面沒有覆蓋整個曲面的單一引數化;譬如對於有限長的圓柱面就是這樣。一個直接的解決辦法就是將曲面切成幾片,在每一片上求面積分,然後加起來。這就是正確的辦法,但是對向量場積分的時候,必須小心,要讓每個小片的法向量定向和周圍的一致。對於柱面來講,也就是讓所有片的法向量向外指。  最後一個問題是,有些曲面沒有一個一致的法向量(譬如莫比烏斯帶)。對於這樣的曲面,無法找到一致的定向。這樣的曲面稱為不可定向的,在其上無法進行向量場的積分。
數學上,曲面積分(面積分)是在曲面上的定積分(曲面可以是空間中的彎曲子集);它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面,可以在上面對標量場(也就是實數值的函式)進行積分,也可以對向量場(也就是向量值的函式)積分。