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  最常見地,向量是歐幾里得空間中元素,或 "L" 空間中函式,比如閉區間 ["a", "b"] 上的連續函式(是 "L"(["a", "b"])的子集)。  給定區間 formula_3 上的實值函式 formula_4,格拉姆矩陣formula_5,由函式的標準內積給出:  給定一個實矩陣 "A",矩陣 "A""A" 是 "A" 的列向量的格拉姆矩陣,而矩陣 "AA" 是 "A" 的行向量的格拉姆矩陣。  對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式 "B",我們可對一組向量 formula_1 定義一個格拉姆矩陣 "G" 為 formula_8 。如果雙線性形式 "B" 對稱則該格拉姆矩陣對稱。

  

  格拉姆矩陣是半正定的,反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩陣是單位矩陣。  這個命題無窮維類比是Mercer定理)。

  在一個由可逆矩陣 "P" 表示的基變換下,格拉姆矩陣是用 "P" 做一個矩陣合同變為 "P""GP"。

  格拉姆行列式(英語:Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩陣的行列式:  在幾何上,格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地,這些向量線性無關當且僅當格拉姆行列式不為零(當且僅當格拉姆矩陣非奇異)。
線上性代數中,內積空間中一族向量 formula_1 的格拉姆矩陣(英語:Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian)是內積的埃爾米特矩陣,其元素由 formula_2 給出。