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  複數是由實數加上虛數單位 formula_2 組成,其中  相似地,四元數都是由實數加上三個元素 formula_2、formula_5、formula_6 組成,而且它們有如下的關係:  每個四元數都是 1、formula_2、formula_5 和 formula_6 的線性組合,即是四元數一般可表示為formula_11。  要把兩個四元數相加只需將相類的係數加起來就可以,就像複數一樣。至於乘法則可跟隨以下的乘數表:  四元數的單位元素的乘法構成了八階四元群,formula_12。

  假設:  那麼:

  四元數不像實數或複數那樣,它的乘法是不可交換的,例如:  四元數是除法環的一個例子。除了沒有乘法的交換律外,除法環與域是相類的。特別地,乘法的結合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。 四元數形成一個在實數上的四維結合代數(事實上是除法代數),幷包括複數,但不與複陣列成結合代數。 四元數(以及實數和複數)都只是有限維的實數結合除法代數。  四元數的不可交換性往往導致一些令人意外的結果,例如四元數的 "n"-階多項式能有多於 "n" 個不同的根。 例如方程式 formula_21 就有無數多個解。 只要是符合 formula_22 的實數,那麼 formula_23就是一個解。  一個四元數 formula_24 的共軛值定義為:  formula_25  而它的絕對值則是非負實數,定義為:  formula_26  注意formula_27,一般狀況下不等於formula_28。  四元數的乘逆可以formula_29算得。  透過使用距離函式 formula_30,四元數便可成為同胚於 formula_31 的度量空間, 並且有連續的算術運算。另外,對於所有四元數formula_32和formula_33皆有 formula_34。 若以絕對值為模,則四元數可組成一實數 巴拿赫空間。

  非零四元數的乘法群在R的實部為零的部分上的共軛作用可以實現轉動。單位四元數(絕對值為1的四元數)若實部為cos("t"),它的共軛作用是一個角度為2"t"的轉動,轉軸為虛部的方向。四元數的優點是:  所有單位四元數的集合組成一個三維球"S"和在乘法下的一個群(一個李群)。"S"是行列式為1的實正交3×3正交矩陣的群"SO"(3,R)的雙重複蓋,因為每"兩個"單位四元數通過上述關係對應於一個轉動。群"S"和"SU"(2)同構,"SU"(2)是行列式為1的復酉2×2矩陣的群。令"A"為形為"a" + "bi" + "cj" + "dk"的四元數的集合,其中"a", "b", "c"和"d"或者都是整數或者都是分子為奇數分母為2的有理數。集合"A"是一個環,並且是一個格。該環中存在24個四元數,而它們是施萊夫利符號為{3,4,3}的正二十四胞體的頂點。

  有兩種方法能以矩陣表示四元數,並以矩陣之加法、乘法應用於四元數之加法、乘法。  第一種是以二階複數矩陣表示。四元數的三個元素i、j、k採用矩陣表示法(其中斜體字formula_2為formula_36;"σ"、"σ"、"σ"為泡利矩陣):  則任意四元數"h" = "a" + "bi + "cj + "d"k的矩陣形式為:  這種表示法有如下優點:  第二種則是以四階實數矩陣表示(相當與把上述表示中的複數再換成其矩陣表示):formula_39  其中四元數的共軛等於矩陣的轉置,模的四次方等於矩陣的行列式。

  四元數運算在電動力學與廣義相對論中有廣泛的應用。四元數可以用來取代張量表示。有時候採用帶有複數元素之四元數會比較容易,導得結果不為除法代數之形式。然而亦可結合共軛運算以達到相同的運算結果。  此處僅討論具有實數元素之四元數,並將以兩種形式來描述四元數。其中一種是向量與純量的結合,另一形式兩個建立量(constructor)與雙向量(bivector;i、j與k)的結合。  定義兩個四元數:  其中formula_43表示向量<nowiki></nowiki>,而formula_44表示向量<x, y, z>.

  加法遵循實數和複數的所有交換律和結合律。  formula_46  formula_47  由於四元數乘法的非可換性,pq並不等於qp。格拉斯曼積常用在描述許多其他代數函式。qp乘積的向量部分是:  formula_46  formula_49  點積可以用格拉斯曼積的形式表示:  formula_50  這個積對於從四元數分離出一個元素有用。例如,i項可以從p中這樣提出來:  formula_51  歐幾里得外積並不常用; 然而因為外積和內積的格拉斯曼積形式的相似性.它們總是一同被提及:  formula_52  formula_53  formula_54  四元數偶積也不常用,但是它也會被提到,因為它和奇積的相似性。它是純對稱的積;因此,它是完全可交換的。  formula_55  formula_56  formula_57  四元數叉積也稱為奇積。它和向量叉積等價,並且只返回一個向量值:  formula_58  formula_59  formula_60  四元數的逆通過pp = 1被定義。 它定義在上面的定義一節,位於屬性之下(注意變數記法的差異)。其建構方式相同於復倒數(complex inverse)之構造:  formula_61  一個四元數的自身點積是個純量。四元數除以一個純量等效於乘上此純量的倒數,而使四元數的每個元素皆除以此一除數。  四元數的不可換性導致了 pq 和 qp的不同。 這意味著除非p是一個標量,否則不能使用q/p這一符號。  四元數的標量部分可以用前面所述的點積來分離出來:  formula_62  四元數的向量部分可以用外積提取出來,就象用點積分離標量那樣:  formula_63  四元數的絕對值是四元數到原點的距離。  formula_64  一複數之符號數乃得出單位圓上,一個方向與原複數相同之複數。四元數的符號數亦產生單位四元數:  formula_65  輻角函式可找出一個四元數向量偏離單位純量(即:1)之角度。此函式輸出一個純量角度。  formula_66

  因為四元數有除法,所以冪和對數可以定義。

  將這些被放到最後,是因為需要先定義四元數中的反雙曲三角函式。

  若 "F" 是一個域,且 "a"、"b" 為 "F" 的元素,那麼就可在 "F" 上定義一個四維單一結合代數,而它的產生是由符合 "i" = "a"、"j" = "b" 和 "ij = -ji" 的 "i"、"j" 而起。 這些代數不是與 "F" 的二階矩陣代數同型,就是 "F" 的除法代數。它們稱為「四元數代數」。

  四元數是由哈密頓在1843年愛爾蘭發現的。當時他正研究擴充套件複數到更高的維次(複數可視為平面上的點)。他不能做到三維空間的例子,但四維則造出四元數。根據哈密頓記述,他於10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河(Royal Canal)上散步時突然想到  formula_7  的方程解。之後哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋(Brougham Bridge,現稱為金雀花橋 Broom Bridge)。這條方程放棄了交換律,是當時一個極端的想法(那時還未發展出向量和矩陣)。  不只如此,哈密頓還創造了向量的內外積。他亦把四元數描繪成一個有序的四重實數:一個純量("a")和向量("bi + cj + dk")的組合。若兩個純量部為零的四元數相乘,所得的純量部便是原來的兩個向量部的純量積的負值,而向量部則為向量積的值,但它們的重要性仍有待發掘。  哈密頓之後繼續推廣四元數,並出了幾本書。最後一本《四元數的原理》("Elements of Quaternions")於他死後不久出版,長達八百多頁。

  即使到目前為止四元數在某些領域的用途仍在爭辯之中。一些哈密頓的支持者非常反對奧利弗·黑維塞的向量代數和約西亞·吉布斯的向量分析的發展,以維持四元數的超然地位。對於三維空間這可以討論,但對於更高維四元數就失效了(但可用延伸如八元數和克利福德代數)。而事實上,在20世紀中葉的科學和工程界中,向量幾乎已完全取代四元數的位置。  詹姆斯·克拉克·馬克士威曾經在他的《電磁場動力理論》("A Dynamical Theory of Electromagnetic Field")直接以20條有20個變數的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關係。某些早期的馬克士威方程組使用了四元數來表述,但與後來黑維塞使用四條以向量為基礎的馬克士威方程組表述相比較,使用四元數的表述並沒有流行起來。  事實上,四元數是常被數學家稱為幾何代數的clifford代數的一個子代數,而後者已經得到很好的研究和應用,尤其是在理論物理中。例如可以用幾何代數將狹義相對論和經典電動力學表述為非常優美的形式,量子力學中討論自旋常用的泡利矩陣實際上也是幾何代數的一個子代數的矩陣表示,類似的例子還有對經典力學中剛體的轉動的不可交換性的表述。

  愛爾蘭國家大學梅努斯分校由1989年開始舉辦紀念發現人哈密頓的徒步活動,活動行程由Dunsink天文臺起始,到皇家運河結束,參與者包括數學家蓋爾曼(2002年)和安德魯·懷爾斯(2003年),可惜途中已找不到哈密頓的刻石。

  四元數大量用於電腦繪圖(及相關的影象分析)上表示三維物件的旋轉及方位。四元數亦見於控制論、訊號處理、姿態控制、物理、軌道力學和生物資訊學, 都是用來表示旋轉和方位。  相對於另兩種旋轉表示法(矩陣和尤拉角),四元數具有某些方面的優勢,如速度更快、提供平滑插值、有效避免萬向鎖問題、儲存空間較小等等
四元數是由愛爾蘭數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年創立出的數學概念。通常記為H,或formula_1。