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  二次項係數具有一定的對稱性: 證明:這個等式可以視為兩個集合的元素個數。考慮以下"n"個元素的集合:formula_2,那麼以下兩個集合: 集合A的元素個數是formula_4,集合B的元素個數是formula_5. 現在構造一個從集合A到集合B的對映: 對A中的每個元素C(包含集合S中的formula_7個元素),對映"f"把C對映到它在S中的補集(有S中的formula_8個元素),因此在集合B中。可以驗證,這個對映是雙射。所以集合A的元素個數等於B的元素個數。也就是說

  對一個大於2的自然數n,首先考慮將它寫成若干個1和2的和,和項順序不同認為是不同的寫法,所有的方法數記作formula_10,例如當n=4的時候,所有的寫法是: 所以formula_12. 再考慮將它寫成若干個大於等於2的自然數的和,和項順序不同認為是不同的寫法,所有的方法數記作formula_13。則有formula_14 這個性質也可以用雙射法證明:  證明:考慮集合 對集合formula_17中的一個元素formula_18,假設其中有至少一個數為2,令formula_19(其中的下標formula_20),其餘的等於1。如果formula_21,那麼下面設formula_22個數: 如果formula_24則formula_25。如果 formula_26,那麼設formula_27。  那麼由於各個y元素的和必然是formula_28,所以將formula_18對映到 formula_30的對映"f"是一個從formula_17到formula_32的對映。從構造方式可以看出,"f"是一個單射。  對於formula_32中每一個元素formula_34,將其中的每一個formula_35換成formula_36個1和一個2,然後刪去最後一個2,就得到formula_17中的一個元素,所以"f"也是一個滿射。  也就是說,"f"是一個雙射。這就證明了 formula_14
雙射法是組合數學中的一種重要的證明方法,用來證明兩個有限集合A和B的元素數目相等。證明的思路是構造一個雙射對映"f" : "A" → "B",於是根據雙射的性質,A和B的元素數目就是相等的。這個證明是構造法證明的一種。由於雙射法是給出具體的對映構造,而不是分別點算兩個集合,所以不需要知道兩個集合的元素個數。這種證明可以用於難以直接對兩個集合或其中一個集合進行計數的情況。此外,雙射法也可以用來計算一個集合(難以直接計算時),方法是將它對映到一個可以拆分或比較容易計算的集合。而作為構造性證明,雙射法用到的"f"也許可以用來更深刻地分析集合本身的性質。