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  "C"的另一個表達形式為  formula_2,  所以,"C"是一個自然數;這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。(見https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Second_proof。)  遞推關係:  它也滿足 這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。  卡塔蘭數的漸近增長為 它的含義是當"n" → ∞時,左式除以右式的商趨向於1。(這可以用"n"!的斯特靈公式來證明。)  所有的奇卡塔蘭數"C"都滿足formula_6。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。  而且  formula_7

  若明安圖數的母函式是  formula_8  則  formula_9  解是  formula_10

  組合數學中有非常多的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用n=3和n=4舉若干例:  XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY  證明":"令1表示進棧,0表示出棧,則可轉化為求一個"2n"位、含"n"個1、"n"個0的二進位制數,滿足從左往右掃描到任意一位時,經過的0數不多於1數。顯然含"n"個1、"n"個0的"2n"位二進位制數共有formula_11個,下面考慮不滿足要求的數目。  考慮一個含"n"個1、"n"個0的2n位二進位制數,掃描到第"2m+1"位上時有"m+1"個0和"m"個1(容易證明一定存在這樣的情況),則後面的0-1排列中必有"n-m"個1和"n-m-1"個0。將"2m+2"及其以後的部分0變成1、1變成0,則對應一個"n+1"個0和"n-1"個1的二進位制數。反之亦然(相似的思路證明兩者一一對應)。  從而formula_12。證畢。

  無論"n"的取值為多少,"n"×"n"的漢克爾矩陣:formula_13的行列式為1。例如,"n" = 4 時我們有  進一步,無論"n"的取值為多少,如果矩陣被移動成formula_15,它的行列式仍然為1。例如,"n" = 4 時我們有  同時,這兩種情形合在一起唯一定義了卡塔蘭數。
卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭(1814–1894)命名。歷史上,清朝數學家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先發明這種計數方式,遠遠早於卡塔蘭。有中國學者建議將此數命名為“明安圖數”或“明安圖-卡塔蘭數”。