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  一個有限擴張"E/F"有本原元,即存在formula_2使得formula_3,當且僅當"E"和"F"之間只有有限箇中間域。

  如果formula_4是有限域,由於formula_5是有限擴張,推得formula_6也是有限域。但是由於有限域的乘法群是迴圈群,任取這個乘法群的一個生成元,formula_6可以由這個生成元生成。所以在formula_4是有限域的情況下,定理左右兩邊恆為真。  如果formula_4是無限域,但是隻有有限箇中間域。 先證明一個引理:假設formula_10並且formula_6和formula_4之間只有有限箇中間域,那麼存在一個formula_13使得formula_14。引理的證明如下:當formula_15取遍formula_4的時候,對於每一個formula_15可以做一箇中間域formula_18。但是由假設,只有有限箇中間域,因此必定存在formula_19使得formula_20。由於formula_21都在這個域裡,推得formula_22也在這個域裡。由於formula_23,推得formula_24在這個域裡,於是formula_2也在這個域裡,因此formula_26,於是formula_27。引理證畢。  由於有限擴張總是有限生成的,推得formula_28(對於formula_29)。利用歸納法以及引理可以得出,如果formula_5之間只有有限箇中間域,那麼formula_6可以由單個元素生成。  而如果formula_3,假設formula_33是formula_2在formula_4上的極小多項式,formula_36是任意一箇中間域,formula_37是formula_2在formula_36上的極小多項式。顯然formula_40。由於域上的多項式環是唯一分解環,formula_41只有有限個因子。而對於每一個formula_40,如果formula_43寫作formula_44,並令formula_45。顯然formula_46是formula_36的一個子域,因此formula_43在formula_46上依然是不可約的。而同時formula_50,因此可以得到formula_51。這樣立即推formula_52,於是任何一箇中間域formula_36對應唯一的一個formula_41的因子formula_55。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的,因此中間域個數有限。證畢。
在數學中,本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張"E/F","E"可以表示為formula_1的形式,即"E"可以由單個元素生成。