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  群論中的指導思想之一,是研究群 formula_1 及其表示的關係。群 formula_1 的表示是 formula_1-模的特例:一個 formula_1-模是一個阿貝爾群 formula_5 配上 formula_1 在 formula_5 上的群作用 formula_8。等價的說法是:formula_5 是群環 formula_10 上的模。通常將 formula_1 的作用寫成乘法 formula_12。全體 formula_1-模自然地構成一個阿貝爾範疇。  對給定的 formula_1-模 formula_5,最重要的子群之一是其 formula_1-不變子群  若 formula_18 是一個 formula_1-子模(即:是 formula_5 的子群,且在 formula_1 的作用下不變),則 formula_22 上賦有自然的 formula_1-模結構,formula_24,但是未必有 formula_25。第一個群上同調群 formula_26 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言,可以定義一族函子 formula_27,其間關係可以由長正合序列表示。

  以下假設 formula_1 為有限群,全體 formula_1-模構成阿貝爾範疇,其間的態射 formula_30 定義為滿足 formula_31 的群同態 formula_32。由於此範疇等價於 formula_10-模範疇,故有充足的內射物件。  函子 formula_34 是從 formula_1-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 formula_36 為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:  在上述定義中,若固定一個域 formula_41,並以 formula_42 代替 formula_10,得到的上同調群依然同構。

  匯出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到 formula_44,其中 formula_45 被賦予平凡的 formula_1 作用:formula_47,故群上同調可以用Ext函子表達為 另一方面,formula_1-模範疇中也有充足的射影物件,若取一 formula_45 的射影分解 formula_51,則有自然的同構 formula_52。最自然的分解是標準分解  而 formula_56 由 formula_57 給出。  定義 formula_58,其元素為形如 formula_59 的函式,並滿足 formula_60,稱之為齊次上鍊。根據 formula_1 在 formula_62 上的作用,這種 formula_63 由它在形如 formula_64 的元素上的取值確定。藉此,可將上鍊復形 formula_65 描述為  其中的元素稱為非齊次上鍊。  綜上所述,得到 formula_69。

  較常用的上同調是 formula_70 與 formula_71。從標準分解可匯出以下的描述: 准此要領,亦有

  上述理論有一對偶版本:對於任一 formula_1-模 formula_5,定義 formula_76 為形如 formula_77 的元素生成之子模。考慮從 formula_1-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子  這是一個右正合函子,其匯出函子稱為為群同調 formula_80。群同調可以藉Tor函子描述為  對於有限群,群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

  將上述定義中的 formula_1-模 formula_5 改成一般的群 formula_84(未必交換),並帶有 formula_1 的作用 formula_86(稱之為 formula_1-群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調: 須留意 formula_90 並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自 formula_84 的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。  若 formula_92 是 formula_1-群的短正合序列,則有長正合序列 若 formula_84落在 formula_96 的中心,此序列右端可再加一項 formula_97。

  

  若 formula_98 為群同態,則可將任一 formula_1-模透過 formula_63 視為 formula_101-模,此運算匯出上同調之間的對映 此對映與群上同調的長正合序列相容。當 formula_101 是 formula_1 的子群而 formula_63 是包含對映,匯出的對映稱為限制對映,記為 Res。  由於我們假設 formula_1 為有限群,必有 formula_107,此時對映 匯出一個上限制對映 formula_109。

  若 formula_5 是平凡的 formula_1 模(即 formula_113),則 formula_114 中的元素一一對應於 formula_1 對 formula_5 的中心擴張的等價類  中心擴張意謂:formula_118 是群擴張,而且 formula_5 落在 formula_120 的中心內。  具體描述方法是:任取一對映 formula_121。formula_122 不一定是群同態,但存在函式 formula_123 使得 formula_124。formula_122 及 formula_63 刻劃了 formula_120 的群結構。不難驗證 formula_128 滿足 formula_129,而 formula_122 的選取對應於 formula_131,所以 formula_132 僅決定於唯一的一箇中心擴張。反之,任一 formula_132 都來自於某個中心擴張,證畢。

  若 formula_134 是 formula_1 的正規子群,則有下述譜序列  對於射影有限群,此式依然成立。
在同調代數中,群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲,在代數數論上也有重要應用;它是現代類域論的基本構件之一。