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  一個可微實函式formula_1的臨界點formula_11是一個在formula_1的定義域中導數為0的點:formula_13,臨界值是臨界點在formula_1之下的像,這些概念可以藉由formula_1的函式圖形來具象化:函式圖形在臨界點的位置會有水平切線而且函式的導數為0。雖然臨界點可以藉由函式圖形來具現化,但函式臨界點的概念和曲線在某些方向上的臨界點的概念並不能混為一談。如果formula_16是一個兩變數可微函式,formula_17則是一個曲線的隱式方程,這樣的曲線對於平行 y 軸的投影(對映formula_18)的臨界點,是曲線上滿足formula_19的點,也就是說在那個點,曲線的切線會平行y軸,而且 g 不能定義成一個從 x 對映到 y 的隱函式(參考隱函式定理)。如果formula_20是臨界點,formula_11則是對應的臨界值。這樣的臨界點也可以被稱為歧點,而且當x變動時,在formula_11的一側有兩個曲線的分支而另一側沒有。  如果formula_23有臨界點formula_11和對應的臨界值formula_25,當且僅當formula_20是formula_1的函式圖形平行x軸投影的臨界點,且對應的臨界值是formula_25。  例如,方程式 formula_29定義出單位圓,將單位圓平行 y 軸投影到 x 軸的臨界點是 (0, 1) 和 (0, -1);將單位圓平行 x 軸投影到 y 軸的臨界點是 (1, 0) 和 (-1, 0)。上半圓是 formula_30的函式圖形,formula_1有唯一一個臨界點 0,其臨界值是 1。單位圓平行 y 軸的投影的臨界值則是對應到 formula_1的導數不存在的點。  有些作者會將函式 formula_1的臨界點定義為formula_1的函式圖形平行 x 軸和 y 軸的投影的臨界點,以上述的上半圓的例子,-1、0、1 都是formula_1的臨界點。然而,此定義大多隻出現在基礎的課本,而且在定義的前面章節時候並未提到函式圖形以外的曲線,並且只限於單變數的情形,因為該定義不能推廣到多變數。

  根據高斯-盧卡斯定理,在複平面上所有多項式函式的臨界點會落在函式的根所構成的凸包內。所以對於一個只有實數解的多項式函式,所有的臨界點會是實數且落在最大的根和最小的根之間。  聲稱,在複平面上如果一個函式所有的根都落在單位圓中,那麼對於任意給定的根,至少有一個臨界點與其的距離不超過1。

  在由隱函式定義出的平面曲線的研究上,臨界點扮演重要的角色,特別是在描繪曲線與決定拓樸結構方面。在本節中,臨界點定義由以下段落給出,它可能看起來與前面的定義完全不同,但事實上,它是前面定義的一個特殊情形。我們考慮一個落在二維平面上的曲線 formula_5,曲線上點的笛卡爾座標滿足由雙變數可微函式 formula_1定義的隱式方程 formula_6。設formula_60、formula_61分別是將曲線 C 投影到x、y軸上的標準投影,也就是formula_62和formula_63,formula_60、formula_61分別被稱作平行y軸方向和平行x軸方向的投影。  如果 C 在某個點上的切線存在,並且平行y軸,則稱該點是formula_61的一個臨界點。此時,整條切線,包含該點,在formula_61下的像都是同樣的值,稱為臨界值。所以formula_61的臨界點就是座標滿足方程組formula_69的點,下面將說明為何上述定義是原本定義的特殊情況。  類似的,我們有formula_60的臨界點的定義,因此,如果 C 是 formula_71的函式圖形,則formula_72是formula_60的臨界點當且僅當formula_74是formula_75的臨界點,而且他們有相同的臨界值。  有些作者將平面曲線 C 的臨界點定義為formula_60和formula_61的臨界點,但是要注意到這個定義會依賴於座標軸的選取。也有一些作者會將曲線的奇點也定義做臨界點,其中奇點是那些滿足方程式  的點。在這個定義之下,formula_61的臨界點就是那些不適用隱函式定理的點。

  如果一個曲線formula_5是代數的,也就是它可以被一個雙變數多項式函式 f 所定義,這時候判別式會是一個計算臨界點的有用工具。

  給定一個從R送到R的可微分函式 f,則 f 的臨界點是那些滿足 f 的雅可比矩陣的秩小於 n 的點。而臨界點在 f 之下所對應到的像稱為臨界值。如果一個點,位於所有臨界值所形成的集合的補集之中,便稱之為正則值。根據,一個光滑函式的臨界值所形成的集合是零測集。特別在 n = 1 時,在每個有界的區間中有有限個臨界值。  這個定義可以延伸到微分流形上的可微函式。

  臨界點是微分流形的拓樸結構與相關研究的基礎,特別的,它是莫爾斯理論和中的基本工具。  臨界點與拓樸學的關係在非常具體的情形終究可以體現出來。例如,令formula_81是formula_82中的子流形,formula_83是formula_81外面的一點,formula_85是一個光滑函式將formula_81中的點對映到與formula_83的距離平方,很明顯的,formula_1在formula_81的每個連通部分都至少有一個臨界點,就是距離最近的點。因此formula_1的臨界點個數是formula_81的連通部分個數的上界。  在實代數幾何,上述觀察變成多項式的次數是由它所定義出來的代數簇的聯通部分個數的上界。
在數學上,一個可微的實函式或複函式formula_1的臨界點是指在formula_1的定義域中導數為 0 的點 。有些作者會把臨界點的定義包括一般實或複函式的定義域中導數為 0 的點和不可微的點。對於一個而言,臨界點是在定義域中所有偏導數為 0 的點。一個函式的臨界點的函式值稱為臨界值。