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  最常用的微分運算元是取導數自身。這個運算元的常用記號包括:  一階導數如上所示,但當取更高階"n"-次導數時,下列替代性記號是有用的:  記號"D"的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽,他在研究微分方程中考慮瞭如下形式的微分運算元  另一個最常見的微分運算元是拉普拉斯運算元,定義為  另一個微分運算元是Θ運算元,定義為  有時候這也稱為齊次運算元,因為它的本徵函式是關於"z"的單項式:  在"n"個變數中齊次運算元由  給出。與單變數一樣,Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

  給定一個線性微分運算元"T" 這個運算元的伴隨定義為運算元formula_13使得 這裡記號formula_15表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

  在平方可積函式空間中,數量積定義為  如果另外增添要求"f"或"g"當formula_17與formula_18等於零,我們也可定義"T"的伴隨為  此公式不明顯地取決於數量積的定義,故有時作為伴隨運算元的一個定義。當formula_13用這個公式定義時,它稱為"T"的形式伴隨。  一個(形式)自伴運算元是與它的(形式)伴隨相等的運算元。

  如果Ω是R中一個區域,而"P"是Ω上一個微分運算元,則"P"在"L"(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義:  對所有光滑"L"函式"f"與"g"。因為光滑函式在"L"中是稠密的,這在"L"的一個稠密子集上定義了伴隨:: P是一個稠定運算元。

  施圖姆-劉維爾運算元是形式自伴運算元一個熟知的例子。這個二階微分運算元"L"可以寫成如下形式  這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。  這個運算元在施圖姆-劉維爾理論(英語:Sturm–Liouville theory) 中的關鍵,其中考慮了這個運算元本徵函式(類比於本徵向量)。

  微分是線性的,即  這裡"f"和"g"是函式,而"a"是一個常數。  任何以函式為係數之"D"的多項式也是一個微分運算元。我們也可以通過法則  複合微分運算元。需要一些注意:首先運算元"D"中的任何函式係數必須具有"D"所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環,我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二,這個環不是交換的:一個運算元"gD"一般與"Dg"不同。事實上我們有例,如在量子力學中的基本關係:  但這些運算元的子環:"D"的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫:它由平移不變運算元組成。  微分運算元也服從移位定理(英語:shift theorem)。

  同樣的構造可對偏導數也成立,關於不同的變數微分給出可交換的運算元(參見二階導數的對稱性)。

  在微分幾何與代數幾何中,通常習慣於對兩個向量叢之間的微分運算元有一個座標無關描述。設formula_28與formula_29是流形formula_30上兩個向量叢。截面的一個formula_31-線性對映formula_32稱為一個"k"-階微分運算元,如果它分解穿過節叢formula_33。換句話說,存在一個向量叢的線性對映  使得  這裡formula_36表示由formula_37,在截面上誘導的對映,而formula_38,是典範(或通用)"k"-階微分運算元。  這恰好意味著對一個給定的截面formula_39 of formula_28,formula_41在一個點formula_42的值完全由formula_39在formula_44的"k"-階無窮小行為決定。特別地這蘊含著formula_45由formula_39在formula_44的芽決定,這說明了微分運算元是區域性的。一個基本的結果是皮特定理(英語:Peetre theorem)證明了逆命題也是正確的:任何區域性運算元是微分。  線性微分運算元的一個等價的,但純代數的描述如下: 一個formula_31-線性對映formula_49是一個"k"-階微分運算元,如果對任何("k" + 1)階光滑函式formula_50我們有  這裡括號formula_52定義為交換子  線性運算元的這個刻畫說明,它們是一個交換代數上的模之間的一個特殊對映,使這個概念可視為交換代數的一部分。
在數學中,微分運算元是定義為微分運算之函式的運算元。首先在記號上,將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的,它接受一個函式得到另一個函式(以電腦科學中高階函式的方式)。