Can you summarize the following document?
        
  複雜度類P即為所有可以由一個確定型圖靈機在多項式表達的時間內解決的問題;類NP由所有可以在多項式時間內驗證它的解是否正確的決定問題組成,或者等效的說,那些可以在非確定型圖靈機上在多項式時間內找出解的問題的集合。很可能,計算理論最大的未解決問題就是關於這兩類的關係的: 在2002年對於100研究者的調查,61人相信答案是否定的,9個相信答案是肯定的,22個不確定,而8個相信該問題可能和現在所接受的公理獨立,所以不可能證明或證否。 對於正確的解答,有一個1,000,000美元的獎勵。  NP-完全問題(或者叫NPC)的集合在這個討論中有重大作用,它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的(確切定義細節請參看NP-完全理論)。電腦科學家現在相信P, NP,和NPC類之間的關係如圖中所示,其中P和NPC類不交。 簡單來說,P = NP問題問道:如果實然問題的正面答案可以很快驗證,其答案是否也可以很快計算?  這裡有一個給你找點這個問題的感覺的例子:  給定一個大數"Y",我們可以問"Y"是否是合數。例如,我們可能問53308290611是否有非平凡的因子。 答案是肯定的,雖然手工找出一個因子很麻煩。從另一個方面講,如果有人聲稱答案是"對,因為224737可以整除53308290611",則我們可以很快用一個除法來驗證。 驗證一個數是除數比找出一個明顯除數來簡單得多。用於驗證一個正面答案所需的資訊也稱為證明。 所以我們的結論是,給定正確的證明,問題的正面答案可以很快地(也就是,在多項式時間內)驗證,而這就是這個問題屬於NP的原因。  雖然這個特定的問題,最近也被證明為在P類中(參看下面的關於"質數在P中"的參考),這一點也不明顯,而且有很多類似的問題相信不屬於類P。  像上面這樣,把問題限制到“是/不是”問題並沒有改變原問題(即沒有降低難度);即使我們允許更復雜的答案,最後的問題(是否FP = FNP)是等價的。

  更正式一些,一個決定問題是一個取一些字串為輸入並要求輸出為是或否的問題。若有一個演算法(譬如圖靈機,或一個LISP或Pascal的程式並有無限的記憶體)能夠在最多n步內對一個串長度為n的輸入給出正確答案,其中k是某個不依賴於輸入串的常數,則我們稱該問題可以在多項式時間內解決,並且將它置入類P。直觀的講,我們將P中的問題視為可以較快解決的問題。  現在假設有一個演算法A(w,C)取兩個引數,一個串w,也就是我們的決定問題的輸入串,而另一個串C是“建議證明”,並且使得A在最多n步之內產生“是/否”答案(其中n是w的長度而k不依賴於w)。進一步假設:w是一個答案為“是”的例子,當且僅當,存在C使得A(w,C)返回“是”。 則我們稱這個問題可以在非決定性多項式時間內解決,且將它放入NP類。我們把演算法A作為一個所建議的證明的檢驗器,它執行足夠快。(注意縮寫NP代表“Non-deterministic(非確定性)Polynomial(多項式)”而不是代表“Non-Polynomial(非多項式)。)

  要解決P = NP問題,NP完全的概念非常有用。不嚴格的講,NP完全問題是NP類中“最難”的問題,也就是說它們是最可能不屬於P類的。這是因為任何NP中的問題可以在多項式時間內變換成為任何特定NP完全問題的一個特例。例如,旅行推銷員問題的判定問題版本是NP完全的。所以NP中的任何問題的任何特例可以在多項式時間內機械地轉換成旅行商問題的一個特例。 所以若旅行商問題被證明為在P內,則P = NP。旅行商問題是很多這樣的NP完全的問題之一。若任何一個NP完全的問題在P內,則可以推出P = NP。不幸的是,很多重要的問題被證明為NP完全,但沒有一個有已知快速的演算法。

  雖然是否P=NP還是未知的,在P之外的問題是已經知道存在的。尋找國際象棋或圍棋最佳走法(在"n"乘"n"棋盤上)是NP困難的。因為可以證明P ≠ EXPTIME(指數時間),這些問題位於P之外,所以需要比多項式時間更多的時間。判定皮爾斯伯格算術中的命題是否為真的問題更加困難。Fischer和Rabin於1974年證明每個決定Presburger命題的真偽性的演算法有最少2的執行時間,"c"為某個常數。這裡,"n"是Presburger命題的長度。因此,該命題已知需要比指數時間更多的執行時間。不可判定問題是更加困難的,例如停機問題。它們無法在任何給定時間內解決。

  上面所有的討論,假設了P表示“容易”而“不在P中”表示“困難”。這是一個在複雜度理論中常見而且有一定準確性的假設,它在實踐中卻不總是真的,原因包括如下幾點:

  多數電腦科學家相信P≠NP。該信念的一個關鍵原因是經過數十年對這些問題的研究,沒有人能夠發現一個NP完全問題的多項式時間演算法。而且,人們早在NP完全的概念出現前就開始尋求這些演算法了(Karp的21個NP完全問題,在最早發現的一批中,有所有著名的已經存在的問題)。進一步地,P = NP這樣的結果會導致很多驚人的結果,那些結果現在被相信是不成立的,例如NP = 反NP和P = PH。  也有這樣論證的:問題較難求解(P)但容易驗證(NP),這和我們日常經驗是相符的。  從另一方面講,某些研究者認為我們過於相信P ≠ NP,而應該也去尋找P = NP的證明。例如,2002年中有這樣的宣告:

  雖然百萬美元的獎金和投入巨大卻沒有實質性結果的大量研究足以顯示該問題是困難的,但是還有一些形式化的結果證明為什麼該問題可能很難解決。  最常被引用的結果之一是設計神諭。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題,例如判定一個給定的數是否為質數,可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是,若我們被允許任意利用這個機器,是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題?結果是,依賴於機器能解決的問題,P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論帶來的後果是,任何可以通過修改神諭來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是,幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改(我們稱它們在相對化)。  如果這還不算太糟的話,1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明,給定一個特定的可信的假設,在某種意義下“自然”的證明不能解決P = NP問題。 這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類定理得到證明,該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規避。  這實際上也是為什麼NP完全問題有用的原因-若對於NP完全問題存在有一個多項式時間演算法,或者沒有一個這樣的演算法,這將能用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。

  沒人知道多項式時間演算法對於NP完全問題是否存在。但是如果這樣的演算法存在,我們已經知道其中的一些了!例如下面的演算法正確地接受了一個NP完全語言,但是沒人知道通常它需要多久執行。它是一個多項式時間演算法當且僅當P = NP。  若P = NP,則這是一個接受一個NP完全語言的多項式時間演算法。“接受”表示它在多項式時間內給出“是”的答案,但允許在答案是“否”的時候永遠執行。  可能我們想要“解決”子集和問題,而不是僅僅“接受”子集和語言。這表示我們想要它總是停機並返回一個“是”或“否”的答案。是否存在任何可能在多項式時間內解決這個問題的演算法?沒有人知道。但是如果這樣的演算法存在,那麼我們已經知道其中的一些了!只要將上面的演算法中的IF語句替換成下面的語句:

  P=NP問題可以用邏輯命題的特定類的可表達性的術語來重新表述。所有P中的語言可以用一階邏輯加上最小不動點操作(實際上,這允許了遞迴函式的定義)來表達。類似地,NP是可以用存在性二階邏輯來表達—也就是,在關係、函式、和子集上排除了全稱量詞的二階邏輯。多項式等級,PH中的語言對應與所有的二階邏輯。這樣,“P是NP的真子集嗎”這樣的問題可以表述為“是否存在性二階邏輯能夠表達帶最小不動點操作的一階邏輯的所不能表達的語言?”

  普林斯頓大學計算機系樓將二進位制程式碼表述的“P=NP?”問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP,磚頭可以很方便的換成表示“P=NP!”。 康奈爾大學的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等於NP的證明:
英語:P/NP問題是一個在理論資訊學中計算複雜度理論領域裡至今未被解決的問題,也是克雷數學研究所七個千禧年大獎難題之一。P/NP問題中包含了複雜度類P與NP的關係。1971年史提芬·古克(Stephen A. Cook)和Leonid Levin相對獨立地提出了下面的問題,即複雜度類P和NP是否是等價的(P=NP?)。