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  早在14世紀,尼克爾·奧里斯姆已經證明調和級數發散,但知道的人不多。17世紀時,、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。  調和序列歷來很受建築師重視;這一點在巴洛克時期尤其明顯。當時建築師在建造教堂和宮殿時,運用調和序列為樓面佈置和建築物高度建立比例,並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯絡。

  對剛接觸這個級數的人而言,調和級數是違反直覺的——儘管隨著formula_5不斷增大,formula_6無限接近0,但它卻是一個發散級數。調和級數也因此成為一些佯謬的原型。“橡皮筋上的蠕蟲”就是其中一個例子。假設一條蠕蟲沿著一條1米長的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分鐘勻速伸展1米。如果相對於其所在的橡皮筋,蠕蟲的爬行速度是每分鐘1釐米,那麼它最終會到達橡皮筋的另一頭嗎?與直覺相反,答案是肯定的:formula_5分鐘之後,蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋總長度的比值為:  由於調和級數發散(證明見本條目“發散性”一節),即formula_5趨於無窮大時級數也趨於無窮大,所以這個比值也必定在某個時刻超過1;也就是說,蠕蟲最終一定會到達橡皮筋另一頭。然而,在這個時刻的n的值極其之大,約為formula_10,超過10(1後面有40個零)。這也說明了,儘管調和級數確確實實是發散的,但它發散的速度非常慢。  另一個例子:假設你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它們疊在一起,並使得每個骨牌都突出其下方骨牌外一定長度,最終使得最上層的骨牌完全在最底層骨牌以外甚至更遠。違反直覺的是,只要你的骨牌足夠多,你就可以使最上層的骨牌與最底層骨牌水平距離無窮遠。一個較簡單的證明如下:  設每一塊骨牌的長度為formula_11。再設一疊formula_5個平衡的骨牌的質心與最底層骨牌最右端的距離為formula_13;在只有1個骨牌時,質心就在骨牌的幾何中心(假設骨牌密度均勻),即formula_14。對於一疊剛好平衡的骨牌(即對於任意一層骨牌,在其之上的骨牌的質心恰好落在其邊緣),新骨牌不置於其上方(否則使得質心往右偏移而倒塌),而是墊在整疊骨牌之下,並使得原有骨牌的質心剛好落在新骨牌的最左端(則原來的骨牌不會倒塌);設從上往下第n層骨牌突出其下方骨牌的長度為formula_15,則有:formula_16。根據質心的座標系計算公式,可得到新的骨牌疊的質心為:  則formula_18,即formula_19。  也就是說,理想的擺法是:最頂層骨牌與第二層之間水平距離是骨牌長度的formula_2,第二、三層間水平距離是骨牌長度的formula_4,第三、四層之間水平距離是骨牌長度的formula_22......依此類推。最終,最頂層和最底層骨牌的水平距離是:  因為調和級數發散,所以當骨牌數目formula_5趨於無窮大時,水平距離也趨於無窮大。

  

  因此該級數發散。

  通過將調和級數的和與一個瑕積分作比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列。每個長方形寬1個單位、高formula_6個單位(換句話說,每個長方形的面積都是formula_6),所以所有長方形的總面積就是調和級數的和: 矩形面積和:formula_31 而曲線formula_32以下、從1到正無窮部分的面積由以下瑕積分給出: 曲線下面積:formula_33 由於這一部分面積真包含於(換言之,小於)長方形總面積,長方形的總面積也必定趨於無窮。更準確地說,這證明了:  這個方法的拓展即積分判別法。

  假設調和級數收斂, 則:  formula_35  但與 formula_36 矛盾,故假設不真,即調和級數發散。

  調和級數發散的速度非常緩慢。舉例來說,調和序列前10項的和還不足100。這是因為調和數列的部分和呈對數增長。特別地,  其中formula_38是尤拉-馬歇羅尼常數,而formula_39約等於formula_40,並且隨著formula_41趨於正無窮而趨於formula_42。這個結果由尤拉給出。  當然無論調和級數發散率再怎樣低,其都不是發散率最慢的級數,仍存在發散率比調和級數更低的級數。理論上沒有發散率“最慢”的發散性級數和。

  調和級數的第formula_5個"部分和"為:  也叫作第n個調和數。  第n個調和數與formula_5的自然對數的差值(即formula_46)收斂於尤拉-馬歇羅尼常數。  兩個不同的調和數之間的差值永遠不是整數。  除了formula_47時以外,沒有任何一個調和數是整數。

  

  如下級數: 被稱作交錯調和級數。這個級數可經交錯級數判別法證明收斂。特別地,這個級數的和等於2的自然對數: 這個公式是墨卡託級數(自然對數的泰勒級數形式)的一個特例。  從反正切函式的泰勒展開式可以匯出一個相關級數: 這個級數也被稱作π的萊布尼茨公式。

  廣義調和級數是指有如下形式的級數:  其中formula_52且formula_53為實數。  由比較審斂法可證所有廣義調和級數均發散。

  調和級數廣義化的其中一個結果是formula_54-級數,定義如下:  其中P是任意正實數。當formula_57,formula_54-級數即調和級數。由積分判別法或柯西稠密判定法可知formula_54-級數在formula_60時收斂(此時級數又叫過調和級數(over-harmonic series)),而在formula_61時發散。 當formula_60時,formula_54-級數的和即formula_64,也就是黎曼ζ函式在formula_54的值。

  對一個凸實值函式formula_66,若滿足以下條件: 則級數formula_69收斂。

  隨機調和級數定義如下:  其中formula_71是獨立的、恆等分佈的隨機變數,取值範圍為+1和-1,取這兩個值的概率都是formula_2。阿爾伯塔大學的拜倫·施姆蘭研究此級數的性質,並發現這個級數收斂的概率為1,並發現這個隨機變數有著一些有趣的性質。特別地,這個隨機變數的概率密度函式在+2和-2處的值為,與formula_73只差了不到10。施姆蘭的論文解釋了為什麼這個概率如此接近、但卻不是formula_73。這個概率的精確值是由無窮餘弦乘積積分formula_75除以formula_76而給出的。

  貧化調和級數(肯普納級數)是將調和級數中、分母含有數字9的項去除後所剩的級數。這個級數是收斂的,其和的極限為80。實際上,將包含任意數字串的項從調和級數中去除後,所剩級數都收斂。

  調和級數是柯西發散的,而且很多常用的發散級數求和方法(如博雷爾求和法)對它也不適用。但是,調和級數的拉馬努金求和存在,且為尤拉-馬斯刻若尼常數。
調和級數(英語:Harmonic series)是一個發散的無窮級數,表示式為: