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  公元400年左右,中國南朝數學家何承天提出世界歷史上最早有記載的十二平均律數列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450(原文:......黃鐘長九寸,太簇長八寸二釐,林鐘長六寸一釐,應鐘長四寸七分九釐強)。  義大利的物理學家伽利略·伽利萊的父親溫琴佐·伽利萊曾試圖解決十二平均率問題,但他用的倍率是18:17而不是formula_2,因此自乘12次後只得1.98556,不是2,他的系統只可算近似十二音階平均律。  1605年荷蘭數學家西蒙·斯特芬在一篇未完成的手稿“Van de Spiegheling der singconst”提出用formula_3 計算十二平均律,但因計算精度不夠,他算出的弦長數字,有些偏離正確數字一至二單位之多。  西蒙·斯特芬的弦長表: 西蒙·斯特芬的頻率比,每音一率,且各不相同,這是不正確的。

  中國明代音樂家朱載<unk>於萬曆十二年(1584年)首次提出「新法密率」(見《律呂精義》、《樂律全書》),推算出以比率 formula_2 將八度音等分為十二等分的演算法,並製造出十二平均律律管及律準,是世界上最早的十二平均律樂器。他用九九八十一位算盤計算出來準確到25位數字新法密率為:

  朱載<unk>為了驗證所創的十二平均律理論,計算出所需的長度和律管內徑,特選用上等竹子,按資料擷取所需的長度,按資料<unk>出內徑,分別創制世界上最早的十二平均律律管36根, 分別為新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根。選上好竹子製造,金門竹、班竹或紫竹都可,但最上乘的當推江南出產的筆管竹。竹管不塗油漆,取天然之質。如沒有合適的內周徑,則需加工,經過加工的竹管,不得已而塗漆;宜用黑漆如同古琴,忌塗紅漆,太俗氣。  倍率黃鐘管的內徑取為五寸,下一根竹管的內徑為上根竹管的直徑除以formula_5:

  倍率黃鐘管的內徑取為五寸,下一根竹管的內徑為上根竹管的直徑除以formula_5。

  朱載<unk>依他對十二平均律所發明的新法密率理論,創制一種律準。用桐木製作,琴身厚四分,張琴絃12根,琴底藏一根黃鐘律管,用來定黃鐘。

  歐洲的十二平均律是否由中國傳入目前並沒有定論。 16世紀末葉中外交通方興未艾,1580年開始,明朝廣東承宣布政使司每兩年在廣州舉辦一次為時數週的交易會,屆時東西商人和傳教士交流貨物和思想;朱載<unk>刊行十二平均律學說之時,正值耶穌會義大利傳教士利馬竇來華之時,利馬竇在其私人日記裡提到朱載<unk>的歷法新理論,利馬竇本人又是精通天文學和數學,很可能知道朱載<unk>用formula_7來解決春分與夏至三個月之間的比率:無獨有偶,利馬竇還是法國位居高位的科學家馬蘭·梅森 (Pere Marin Mersenne)的朋友,他們有共同的學術興趣,因此卓仁祥認為,在他們交往過程中,利馬竇將朱載<unk>獲得的formula_7=1.059463094359295264561825 傳達給梅森。1638年梅森出版《和諧音概論》,書中在西方世界第一次出現1.059463 這個數字,在此之前西方無人知道這個數字。因此現今世界樂壇通行的十二平均律,其發明權非朱載<unk>莫屬。  十九世紀德國物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲在所著的論音感一書中寫道:“中國有一位王子名叫載<unk>,力排眾議,創導七聲音階。而將八度分成十二個半音的方法,也是這個富有天才和智巧的國家發明的”。1890年布魯塞爾皇家音樂博物館館長 Victor Charles Mahillon 按朱載<unk>十二平均律律管資料,複製了一套律管,經過測試之後,他寫道:“關於樂管的管徑,我們毫無所知,中國人比我們知道的多得多。我們按王子載<unk>的資料複製了一套律管,測試結果表明他的理論的準確性”。  德國作曲家巴赫於1722年發表的《平均律鍵盤曲集》(Das Wohltemperierten Klavier,中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」),有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur,而不是Wohltemprierte。平均律的英文是Equal Temperament,Temperament是Temper(調律)的動詞,因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律,故現在習慣以Temperament表示十二平均律。  James Murray Barbour (1897, 3, 31 - 1970, 1, 04) 研究「調律技術演進史」,認為1842年由英國樂器製造廠Broadwood找到十二平均律的調律法,十二平均律才能普及。 巴赫的鍵盤樂器則是使用他的學生,音樂理論家Johann Philipp Kirnberger綜合中庸全音律與五度相生律的原理,所發明的調律法。

  朱載<unk>顯然是歷史上最先獲得準確的100音分半音十二平均律的人;半世紀之後德國數學家Johann Faulhaber也獲得了準確的100音分。

  將主音設為a1(440Hz),來計算所有音的頻率,結果如下 "(為計算過程更清晰,分數不進行約分)": 其中formula_1
十二平均律,又稱十二等程律,是一種音樂的定律方法,將一個八度平均分成十二等份,每等分稱為半音,是最主要的調音法。音高八度音指的是頻率加倍(即二倍頻率)。八度音的頻率分為十二等分,即是分為十二項的等比數列,也就是每個音的頻率為前一個音的2的12次方根: