Can you summarize the following document?
        
  傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年),他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非周期函式的三角級數展開,而認定一個函式有三角級數展開之後,通過積分方法計算其係數的公式,尤拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現,傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。  傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程,其最初論文雖經4=拉克爾華、加斯帕爾·蒙日同意,但在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版,他的現在被稱為的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》(熱的傳播,,)中。將周期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法,可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。  傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

  在這一節中,formula_1 表示實變數 "formula_2" 的一個函式,且 formula_3 在 formula_4上可積, formula_5 和 formula_6 為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函式的無窮和或級數來表示該區間內的 formula_3 。在區間外,級數以 formula_6 為週期(頻率為 formula_9 )。若 formula_3 也具有該性質,則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和(或"部分和")開始,以下星號表示共軛複數:  formula_12 為週期為 P 的周期函式。運用恆等式:  我們還可以用這些等價形式書寫這個函式:  其中:  當係數(即傅立葉係數)以下面方式計算時:  formula_12 在 formula_17 近似了 formula_18,該近似程度會隨著 "N" → ∞ 逐漸改善。這個無窮和 formula_19 叫做 formula_20 的傅立葉級數表示。在工程應用中,一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂,原因是工程上遇到的函式比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地,傅立葉級數絕對收斂且一致收斂於 "s"("x"),只要在 "s"("x") 的導數(或許不會處處存在)是平方可積的。 如果一個函式在區間 [x, x+P]上是平方可積的,那麼此傅立葉級數在"幾乎所有"點都收斂於該函式。傅立葉級數的收斂性取決於函式有限數量的極大值和極小值,這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性之一。對於廣義函式或分佈也可以用範數或弱收斂定義傅立葉係數.

  我們現在用上面的公式給出一個簡單函式的傅立葉級數展開式。考慮一個鋸齒波 在這種情況下,傅立葉級數為 可以證明,當 "s" 可微時,傅立葉級數在每個點 "x" 都收斂於 "s"("x"),於是: 當 "x" = π 時,傅立葉級數收斂於 0,為在 "x" = π 處 "s" 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理的特例。 這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。

  例1中我們的函式的傅立葉級數展開式看起來不比 "s"("x") = "x/π" 簡單,因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用,我們舉用傅立葉誘導解熱方程式的例子。考慮邊長為 "π" 米的方形金屬版,座標為 ("x", "y") ∈ [0, "π"] × [0, "π"]。如果板內沒有熱源,並且四個邊中三個都保持在 0 攝氏度,而第四條邊 "y" = π,對於 "x" 屬於 (0, "π"),保持在溫度梯度 "T"("x", "π") = "x" 攝氏度,於是可以證明穩態熱分佈(或者說在很長一段時間過去後的熱分佈)為 這裡,sinh 為雙曲正弦函式。熱方程的這個解是通過將 的每一項乘以 sinh("ny")/sinh("n"π) 得到的。我們示例的函式 "s"("x") 的傅立葉級數似乎很複雜,熱分佈 "T"("x", "y") 是非平凡的。函式 "T" 不能寫成解析解。用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分佈問題。

  

  所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。  在希爾伯特空間釋義下,函式的集合{"e" = "e"; "n" ∈ Z}是[−π, π]平方可積函式"L"([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素"f"和"g"的如下內積: 三角函式族的正交性用公式表示出來就是: (這裡的δ是克羅內克函式),而

  至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件,但是對於實際問題中出現的函式,有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下: 滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂,且:  1966年,里納特·卡爾鬆證明了勒貝格二次可積函式的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的,即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。  吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t),那麼X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。
在數學中,傅立葉級數(Fourier series,)是把類似波的函式表示成簡單正弦波的方式。更正式地說,它能將任何周期函式或週期訊號分解成一個(可能由無窮個元素組成的)簡單振盪函式的集合,即正弦函式和餘弦函式(或者,等價地使用復指數)。離散時間傅立葉變換是一個周期函式,通常用定義傅立葉級數的項進行定義。另一個應用的例子是Z變換,將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅立葉級數也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。