Can you summarize the following document?
        
  鞅的原名 martingale 原指一類於18世紀流行於法國的投注策略,稱為加倍賭注法。這類策略中最簡單的一種策略是為博弈設計的。在博弈中,賭徒會擲硬幣,若硬幣正面向上,賭徒會贏得賭本,若硬幣反面向上,賭徒會輸掉賭本。這一策略使賭徒在輸錢後加倍賭金投注,為的是在初次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢,同時又能另外贏得與最初賭本等值的收益。當賭徒的財產和可用時間同時接近無窮時,他擲硬幣後硬幣正面向上的概率會接近1,由此看來,加倍賭注法似乎是一種必然能贏錢的策略。然而,賭金的指數增長最終會導致使用這一策略的賭徒破產。  鞅的概念首先是由保羅·皮埃爾·萊維於 1934 年提出的,但他只提出了離散時間的版本,而且沒有給予命名。直到 1939 年,將此概念推廣到連續時間的情況,並且首次提出 martingale 這個名稱。約瑟夫·利奧·杜布(Joseph Leo Doob)等人在鞅的相關理論的初期發展做出重大貢獻,而完成這些工作的部分動機是為了表明成功的投注策略不可能存在。此外,伊藤清在分析應用方面作出了重要的貢獻。從 1970 年代開始,鞅論就在純粹數學和應用數學的很多領域中有廣泛的應用,特別是在數學物理和金融數學中。

  

  離散時間鞅是對於所有 n 都滿足  的時間離散的隨機過程 X,X,X,...,也就是說,已知之前所有觀測值,若下一次觀測值的條件期望等於本次觀測值,則稱這一隨機過程(即隨機變數序列)是離散時間鞅。

  相對來說更為一般的定義如下:若對於所有 n 都滿足  則稱隨機過程 Y,Y,Y,...是關於另一隨機過程 X,X,X,...的鞅。

  與離散時間鞅的定義相似,連續時 間鞅的定義為:若對於所有 t 都滿足  則稱關於隨機過程 X 的連續時間鞅是隨機過程 Y 。  上述定義表達了鞅的性質,即在 s ≤ t 的條件下,已知時刻 s 以及之前所有時刻的觀測值,若時刻 t 的觀測值的條件期望等於時刻 s 的觀測值,則隨機過程是鞅。

  更為一般性的定義如下:若隨機過程 formula_7滿足如下性質,則稱 Y 是一個關於濾鏈 Σ和概率測度 P 的鞅。  要注意的重點是鞅成立的性質與濾鏈以及關於選定期望的概率測度都有關。Y 可能是某一測度的鞅,但不是另一測度的鞅;而要說明某一伊藤過程是鞅,則可以利用吉爾薩諾夫定理找出相關的測度。

  (離散時間)下鞅(submartingale,又稱亞鞅)是滿足  的可積隨機過程 X,X,X,...。  類似地,(離散時間)上鞅(supermartingale,又稱超鞅)是滿足  的可積隨機過程 X,X,X,...。  下鞅或上鞅的定義都可由前述的離散時間和連續時間鞅的更為一般的定義轉換得到,只需將條件期望的等式代換成不等式即可。  這裡給出一個區分下鞅和上鞅的記憶方法:“生活是一個上鞅:隨著時間的推進,期望降低。”

  關於隨機過程 X,X,X,... 的停時是隨機變數 τ,這一隨機變數具有如下性質:對於每一個時間,事件 τ = t 的發生與否僅取決於 X,X,X,...,X 的取值。從定義中可以感受到的直覺是在任一特定時刻 t,我們都可以知道在這一時刻隨機過程是否到了停時。現實生活中停時的例子如賭徒離開賭桌的時刻,這一時刻可能是賭徒以前贏得錢財的函式(例如,僅當他沒有錢時,他才可能離開賭桌),但是他不可能根據還未完成的博弈的結果來選擇離開還是留下。  上述停時定義滿足強條件,下面給出一個弱條件的停時定義:若事件 τ = t 的發生與否統計獨立於 X,X,... 但並不是完全決定於時刻 t 以及之前的過程歷史,則隨機變數 τ 是停時。雖然這是一個弱條件,但在需要用到停時的證明中的一些情況也算是足夠強的條件。  鞅的一個基本性質是若formula_18是下\上鞅且 formula_19是停時,由 formula_20定義的對應停止過程 formula_21也是下\上鞅。  停時鞅的概念引出了一系列定理,例如可選停止定理(又稱可選抽樣定理):在特定條件下,停時的鞅的期望值等於其初始值。利用這一定理,我們可以證明對於一個壽命有限且房產有限的賭徒,成功的投注策略不可能存在。
在概率論中,鞅(英語:martingale)是滿足下述條件的隨機過程:已知過去某一 時刻 s 以及之前所有時刻的觀測值,若某一時刻 t 的觀測值的條件期望等於過去某一時刻 s 的觀測值,則稱這一隨機過程是鞅。而於博弈論中,鞅經常用來作為公平博弈的數學模型。