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  一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數(不需要收斂)formula_1:  一般地,對於實數和複數,柯西乘積定義為如下的離散卷積形式:  “形式”是指我們對級數運算時不考慮是否收斂,參見形式冪級數。  人們希望,通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推,得到無窮級數  等於如下乘積:  就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。  在充分良態()的情況下,上述式子成立。而更重要的一點,儘管這兩個無窮級數可能不收斂,它們的柯西乘積仍可能存在。

  

  對於formula_10、formula_11,有formula_12,formula_13 即為有窮級數,則formula_14和 formula_15 柯西乘積可以展開為formula_16,因此可以直接計算乘積。 形式上, formula_21,formula_22,我們已表明formula_23。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積,(見下面的證明),因此我們就可證明這個表示式對於 formula_17有formula_25

  令"x", "y"為實數數列,弗蘭茲·梅爾滕斯(Franz Mertens)提出,如果級數formula_15收斂到"Y",且級數formula_32絕對收斂到"X",則他們的柯西乘積 formula_33收斂到"XY"。  對於兩個級數為條件收斂時,結論未必成立。如下例所示:

  考慮下述兩交錯級數:  它們都是收斂的(其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散)。其柯西乘積的項由下式給出:  其中整數 。因為對於所有 } 我們都有不等式 及,故對分母中的根式有 。因此,由於共有 個被加項,故對於所有的整數 有  因此, 在 時並不趨於 0,級數 發散(項測試)。

  令formula_37,formula_38,formula_39,重排後formula_40。  則formula_41,對任意給定的 ε > 0,因為formula_32絕對收斂,formula_15收斂,因此存在一個整數"N",對於任意"n" ≥ "N" formula_44,和存在一個正整數"M",對於所有 formula_45,有formula_46(由級數收斂,則式子收斂到0),同樣的,存在一個整數"L",如果有 formula_47,則 formula_48。  因此,對於所有"n"大於"N", "M", "L",有:  根據收斂的定義,即:formula_50

  如果"x","y"是實數數列,且formula_51,formula_52,則有:

  所有上述證明也可推廣到formula_54複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積的歐式空間formula_55上。這種情況下,如果兩組數列絕對收斂,則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積

  我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列,視為formula_56上的函式。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如:常數級數1和其本身的柯西乘積,formula_57。  有的有一些配對,比如任何級數與一個有限級數的乘積,formula_58的乘積,這與L空間有關。
在數學上,以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積,是指兩組數列formula_1的離散卷積。