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  名字來自形成拓撲空間的子集的閉包有這些性質,如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包運算元不由這些性質來刻畫;完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)  另一個典型閉包運算元是: 選取群 "G" 和任何 "G" 的子集 "X",設 "C"("X") 是 "X" 生成的子群,就是說包含 "X" 的 "G" 的最小子群。則 "C" 是在 "G" 的子集的集合上閉包運算元,它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間,域的給定子集生成的子域,甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。  從實數到實數的上取整函式,它對所有實數 "x" 指派不小於 "x" 的最小整數,也是閉包運算元。

  給定閉包運算元 "C","P" 的“閉合元素”是一個元素 "x",它是 "C" 的不動點,或者等價的說,它在 "C" 的像中。如果 "a" 是閉合的並且 "x" 是任意的,則有著 "x" ≤ "a" 當且僅當 "C"("x") ≤ "a"。所以 "C"("x") 是大於或等於 "x" 的最小閉合元素。我們看到 "C" 被唯一的確定自閉合元素的集合。  所有伽羅瓦連線都引發一個閉包運算元(其條目中有解釋)。事實上,所有閉包運算元都以這種方式引發自伽羅瓦連線。伽羅瓦連線不唯一的確定自閉包運算元。引發閉包運算元 "C" 的伽羅瓦連線可以描述如下: 如果 "A" 是關於 "C" 的閉合元素的集合,則 "C" : "P" → "A" 是在 "P" 和 "A" 之間的伽羅瓦連線的下伴隨,帶有上伴隨為把 "A" 嵌入到 "P" 中。進一步的說,所有把某個子集嵌入 "P" 的下伴隨都是閉包運算元。“閉包運算元是嵌入的下伴隨”。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。  任何偏序集合 "P" 都可以被看作範疇,帶有從 "x" 到 "y" 的一個單一態射當且僅當 "x" ≤ "y"。在偏序集合 "P" 上的閉包運算元就是在範疇 "P" 上的 monad。等價的說,閉包運算元可以被單做有額外的冪等和擴充套件性質的 Posets 範疇的 endofunctor。  如果 "P" 是完全格,則 "P" 的子集 "A" 是對某個 "P" 上閉包運算元的閉合元素的集合,當且僅當 "A" 是在 "P" 上的 Moore家族,就是說 "P" 的最大元素在 "A" 中,並且任何 "A" 中非空子集的下確界(交運算)也在 "A" 中。任何這樣的集合 "A" 自身是帶有繼承自 "P" 的次序的完全格(但是上確界(並運算)可能不同於 "P" 的)。在 "P" 上的閉包運算元自身形成一個完全格;在閉包運算元上的次序定義為 "C" ≤ "C" 當且僅當 "C"("x") ≤ "C"("x") 對於所有 "P" 中的 "x"。

  如上面提及的,閉包可以被看作來自伽羅瓦連線。如果把伽羅瓦連線推廣為伴隨函子,閉包的對應是 monad。
在數學中,給定偏序集合 ("P", ≤),在 "P" 上的閉包運算元是函式 "C" : "P" → "P" 帶有如下性質: