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  泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函式在某點周圍的情況。比如說,指數函式formula_1在formula_2的附近可以用以下多項式來近似地表示:  稱為指數函式在0處的formula_4階泰勒展開公式。這個公式只對formula_5附近的formula_6有用,formula_6離formula_5越遠,這個公式就越不準確。實際函式值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。

  對於一般的函式,泰勒公式的係數的選擇依賴於函式在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函式在一點附近的最佳線性近似: 也就是說formula_12,或formula_13。  注意到formula_14 和formula_15 在"a" 處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函式,如果一個多項式在"a" 處的前"n" 次導數值都與函式在"a" 處的前"n" 次導數值重合,那麼這個多項式應該能很好地近似描述函式在"a" 附近的情況。以下定理說明這是正確的:  formula_16 的表達形式有若干種,分別以不同的數學家命名。  帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式說明了多項式和函式的接近程度:  也就是說,當"x" 無限趨近"a" 時,餘項formula_16 將會是formula_18 的高階無窮小,或者說多項式和函式的誤差將遠小於formula_18。這個結論可以由下面更強的結論推出。  帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣: 即formula_20,其中formula_21。  帶有積分型餘項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣:

  拉格朗日型餘項或積分型餘項可以幫助估計泰勒展開式和函式在一定區間之內的誤差。設函式在區間 上"n" 次連續可微並且在區間 上 次可導。如果存在正實數"M" 使得區間 裡的任意"x" 都有 formula_23,那麼: 其中formula_24。這個上界估計對區間 裡的任意"x" 都成立,是一個一致估計。  如果當"n" 趨向於無窮大時,還有formula_25,那麼可以推出 formula_26,"f" 是區間 上解析函式。"f" 在區間 上任一點的值都等於在這一點的泰勒展開式的極限。

  對於多元函式,也有類似的泰勒公式。設B("a", "r" ) 是歐幾里得空間R 中的開球,ƒ 是定義在B("a", "r" ) 的閉包上的實值函式,並在每一點都存在所有的"n"+1 次偏導數。這時的泰勒公式為:  其中的餘項也滿足不等式:  特別地,多元形式的泰勒公式可表示為: 在應用上述公式時,特別重要的是展開式的前三項,即:
在數學中,泰勒公式(英語:Taylor's Formula)是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理(英語:Taylor's theorem),泰勒定理描述了一個可微函式,如果函式足夠光滑的話,在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值,這個多項式稱為泰勒多項式(英語:Taylor polynomial)。泰勒公式還給出了餘項即這個多項式和實際的函式值之間的偏差。泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信裡首次敘述了這個公式,儘管1671年詹姆斯·格雷高裡已經發現了它的特例。拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。