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  使用多項式插值,對給定資料集進行插值的"n"階多項式就被給定資料點所唯一地定義出來。但是,對同樣的資料進行插值的"n"階樣條並不是唯一的,為了構建一個唯一的樣條插值式它還必須滿足另外"n"-1個自由度。

  線性樣條插值是最簡單的樣條插值。資料點使用直線進行連線,結果樣條是一個多邊形。  從代數的角度來看,每個"S"都是一個如下 的線性函式。 樣條在每個資料點都必須連續,即  我們很容易得到 所以以上論述成立。

  二次樣條插值可以構建為  通過選擇formula_6,然後用遞推關係就可以得到係數:

  對於"n"+1個給定點的資料集{"x"},我們可以用"n"段三次多項式在資料點之間構建一個三次樣條。如果 表示對函式"f"進行插值的樣條函式,那麼需要:  由於每個三次多項式需要四個條件才能確定曲線形狀,所以對於組成"S"的"n"個三次多項式來說,這就意味著需要4"n"個條件才能確定這些多項式。但是,插值特性只給出了"n" + 1個條件,內部資料點給出"n" + 1 − 2 = "n" − 1個條件,總計是4"n" − 2個條件。我們還需要另外兩個條件,根據不同的因素我們可以使用不同的條件。  其中一項選擇條件可以得到給定"u"與"v"的"鉗位"三次樣條,  另外,我們可以設  這樣就得到"自然"三次樣條。自然三次樣條几乎等同於樣條裝置生成的曲線。  在這些所有的二次連續可導函式中,鉗位與自然三次樣條可以得到相對於待插值函式"f"的最小震盪。  如果選擇另外一些條件, 可以得到"週期性"的三次樣條。  如果選擇, 可以得到"complete"三次樣條。

  三次樣條有另外一個非常重要的解釋,實際上它是在索伯列夫空間formula_18最小化泛函 的函式。  泛函formula_20包含對於函式formula_21全部曲率formula_22的近似,樣條是formula_21最小曲率的近似。  由於彈性條的總體能量與曲率成比例,所以樣條是受到formula_24個點約束的彈性條的最小能量形狀。樣條也是基於彈性條設計的工具。

  它可以定義為  以及  通過解下面的方程可以得到它的係數。

  

  假設要為帶有節點 的函式 找一個線性樣條。直接代入樣條公式,我們得到如下樣條:  樣條函式(藍線)以及所近似的函式(紅點)如下圖所示:

  下圖是一個"k"=4的樣條函式(藍線)與所近似的函式(紅線)的例子:
在數值分析這個數學分支中,樣條插值是使用一種名為樣條的特殊分段多項式進行插值的形式。由於樣條插值可以使用低階多項式樣條實現較小的插值誤差,這樣就避免了使用高階多項式所出現的龍格現象,所以樣條插值得到了流行。