根據這篇文章寫一篇文章"收集您的數字或模擬繪圖工具. 一個大圓圈. 在原始的內部建立一個較小的圓,與一邊觸角. 繪製一個相同的圓圈"橫跨"較小的內部圓圈. 運用笛卡爾定理來找出下一個圓的大小. 建立一個新的圓圈. 繼續以這種方式繼續增加圓圈. 為了挑戰,試著通過改變第二個圓的尺寸來製造一個非對稱的阿波羅尼亞<unk>.  條款:
通過下面的步驟, 我們將製作我們自己的簡單的阿波羅尼亞<unk>. 通過手繪或電腦繪製阿波羅的<unk>. 無論如何,你都希望能夠畫出完美的圓圈. 這是相當重要的. 由於阿波羅的氣<unk>中的每一個圓都與其旁邊的圓完全觸角, 即使是稍微<unk>形的圓也會"拋棄"你的最終產品. 如果你在電腦上繪製氣<unk>, 你需要一個程式, 讓你從一箇中心點輕鬆繪製半徑固定的圓. 可以使用免費影象編輯程式GIMP的向量繪圖擴充套件程式Gfig,以及各種其他繪圖程式 (參見材料部分的相關連結). 你可能還需要一個計算器應用程式和一個文書處理器文件或一個物理筆記本來記下曲率和半徑. 為了手動繪製"氣<unk>",你需要一臺計算器 (科學或圖形建議),<unk>筆,指南針,繩子 (最好是帶有毫米標記的尺度,圖紙和筆記本. 你的第一個任務很簡單 - - 畫一個大圓圈. 所以儘量在紙張上畫出一圈, 或在繪圖程式的視窗中畫出一圈. 畫出一個比原來的更小,但仍然相當大的圓圈. 第二個圓的確切大小取決於你 - - 沒有正確的尺寸. 為了我們的目的,讓我們畫第二個圓,使它達到我們大外圍圓的正半徑. 換句話說,讓我們畫第二個圓,使它的中心點是大圓半徑的中點. 記住,在阿波羅的封面中,所有觸碰的圓都相互觸角. 如果您使用指南針手動畫圓圈, 通過將指南針的尖端置於大外圓半徑的中點來重現這種效果, 調整<unk>筆以使它只能觸及大圓圈的邊緣, 然後畫您的小內圓. 接下來,讓我們從第一個圓圈畫出另一個圓圈. 這圓應該與大外圓和小內圓<unk>接, 這意味著你的兩個內圓將在大外圓的正中點碰觸. 讓我們暫時停止繪畫. 現在我們有三個圓圈在我們的氣<unk>,我們可以使用笛卡爾定理來找到我們下一個圓的半徑. 請記住,笛卡爾定理是d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)),其中a,b,c是你三個觸角圓的曲率,d是觸角圓的曲率. 所以,為了找到下一個圓的半徑,讓我們找出我們到目前為止的每個圓的曲率,這樣我們就可以找到下一個圓的曲率,然後把它轉換成半徑. 讓我們把外圍圓的半徑定義為1 由於其他圓圈都在這個圓圈內,所以我們處理的是它的內<unk>曲率 (而不是外<unk>曲率),因此,我們知道它的曲率是負的. - 1/r = -1/1 = -1 大圓的曲率是-1 小圓的半徑是大圓半徑的一半,換句話說是1/2. 由於這些圓圈彼此碰觸,以及大圓圈與它們的外邊, 我們正在處理它們的外<unk>曲率, 所以它們的<unk>曲率是正的. 這樣,我們就能得到一個. 小圓的曲率都是2 現在,我們知道a=-1,b=2,c=2對於我們的笛卡爾定理方程. 讓我們為d求解:d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1)) d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + ) -2)) d = -1 + 2 + 2 ± 0 d = -1 + 2 + 2 d = 3. 我們下一個圓的曲率是3. 由於3=1/r,下一個圓的半徑是1/3. 使用你剛剛找到的半徑值來繪製下兩個圓. 記住,這些將與你在笛卡爾定理中使用的 a,b 和 c 的曲率的圓接. 換句話說,它們將與原始和第二個圓<unk>接. 為了使這些圓與所有三個圓相切, 你需要在原始圓的頂部和底部的空隙中畫它們. 記住,這些圓的半徑將等於1/3. 然後畫出你的新圓圈. 它應該與周圍的三個圓<unk>接. 由於它們是分數, 阿波羅的<unk>具是無限複雜的. 這意味著你可以增加越來越小的圓圈, 只有工具的精度 (或者,如果你使用電腦, 每個圓,無論多麼小,都應該與其他三個圓接. 為了在你的氣<unk>中繪製每一個後續的圓, 插入三個圓的曲率它將觸於笛卡爾定理. 然後用你的答案 (即新圓的半徑) 準確地畫出你的新圓. 需要注意的是,我們選擇繪製的氣<unk>是對稱的,所以一個圓的半徑與相應的圓相對應. 然而, 知道不是每一個阿波羅的氣<unk>是對稱的. 讓我們再舉一個例子. 現在我們要畫出與第三組,第二組,和大外圍圓接的圓. 這些圓的曲率分別為3,2和-1. 讓我們把這些數字插入笛卡爾定理,設定 a = -1, b = 2, c = 3: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1 )) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 d = 2, 6. 我們有兩個答案! 然而,因為我們知道我們的新圓將比它觸角的任何一個圓都小,所以只有6的曲率 (因此半徑為1/6) 才有意義. 我們的另一個答案是2,實際上是指在第二個和第三個圓的接觸點的另一邊的假設圓. 這個圓與這兩個圓和大外圓觸角, 但它會與我們已經繪製的圓相交, 所以我們可以忽略它. 所有的阿波羅的<unk>章都以相同的形式開始 - - 一個大大的外圍圓圈作為碎形的邊緣. 但是,沒有理由說你的第二個圓必須是第一個半徑的1/2 - 我們只是選擇在上面做這個,因為它簡單易懂. 試著用另一種尺寸的第二個圓圈開始一個新的氣<unk> - - 這將帶來令人興奮的新的探索途徑. 繪製第二個圓圈後 (不論它的大小如何), 你的下一個動作應該是繪製一個或多個與它和大外圍圓圈觸角的圓圈 - - 這也沒有正確的方法. 在此之後,你可以使用笛卡爾定理來確定任何後續圓的半徑,如上圖所示.