Antonio Cocchi nacque a Benevento da Giacinto Cocchi, toscano di Borgo San Lorenzo, e da Beatrice Bianco, campana di Baselice, poiché il padre Giacinto, nativo del Mugello, si trovava a Benevento dove era agente dei marchesi Rinuccini di Firenze. Antonio visse gran parte della propria vita a Borgo San Lorenzo, località di origine della famiglia paterna e dove la stessa aveva numerosi possedimenti. Nel 1713 studiò a Pisa poi a Firenze presso i Padri Scolopi e successivamente si laureò in medicina, seguendo l'attività paterna, presso l'Università di Pisa.