Dopo aver assolto gli obblighi di leva ed esser stato confermato nell’organico dell’Istituto fiorentino come medico interno, nel biennio 1924-1925 si perfezionò presso l'"Ospedale universitario della Charité" di Berlino. Durante l’esperienza biennale in Germania si dedicò allo studio della chimica fisiologica guidato dal Professor Paul Rona; svolse un periodo di apprendistato anche presso il professor Leonor Michaelis in merito soprattutto a emoblastosi e ipertensione. Ritornato a Firenze, gli venne assegnato il ruolo di Assistente del Professor Frugoni, presso l’Istituto di Patologia Medica; nel 1927 si trasferì insieme a quest'ultimo presso la Clinica Medica generale di Padova e nel 1931 in quella di Roma. Durante questi anni Melli ricoprì numerosi incarichi, tra i quali: aiuto ospedaliero, assistente universitario e aiuto universitario; si impegnò anche nella ricerca in tutti gli ambiti della medicina, con particolare attenzione agli studi allergologici. Divenuto socio fondatore della Società italiana di allergologia, nel 1935 intraprese il ruolo di Professore straordinario presso la Clinica medica generale dell'Università degli Studi di Parma, assumendone inoltre la direzione. Nel 1938, dopo aver assunto la carica di ordinario, venne allontanato di lì a poco dalla sua mansione in quanto il 5 settembre entrò in vigore il decreto legge n.1390, che prevedeva l'allontanamento di tutti gli studenti e i docenti ebrei dalle scuole italiane.