Negli anni Trenta Murray faceva parte di una squadra di ricercatori di Toronto, di cui faceva parte Charles Herbert Best, scopritore dell'Insulina. Definì le procedure per l'uso corretto dell'eparina, farmaco anticoagulante da poco scoperto, per trattare l'embolia polmonare e per eseguire gli interventi di chirurgia vascolare. Dopo aver accumulato una certa esperienza nel campo della chirurgia vascolare, nel 1946 Murray tentò di operare alcune bambine con malformazioni cardiache. Quindi fu impegnato a sviluppare le prime valvole cardiache e i bypass coronarici. Continuò anche ad operare al cuore, tanto che tra il 1946 e il 1951 eseguì circa seicento interventi al cuore. Nel frattempo Murray acquisì una certa fama, venendo soprannominato "blue baby doctor".