Inizialmente, Rosbash era interessato alla matematica, ma un corso di biologia alla California Institute of Technology (Caltech) e un'estate di lavoro nel laboratorio di Norman Davidson lo diressero verso la ricerca biologica. Si laureò presso il Caltech nel 1965 con una laurea in chimica, trascorse un anno presso l'Institut de Biologie Physico-Chimique a Parigi e ottenne la laurea in biofisica nel 1970 dal Massachusetts Institute of Technology. Dopo aver trascorso tre anni come post-dottorando presso l'Università di Edimburgo, Rosbash si iscrisse alla Brandeis University nel 1974. È sposato con una collega scienziata, Nadja Abovich, e ha una figliastra di 38 anni, di nome Paula, e una figlia di 27 anni, di nome Tanya.