Sin dal 1956 iniziò a portare i suoi pazienti ai Giochi internazionali di Stoke Mandeville, competizione per atleti in carrozzina organizzati da Guttmann, direttore del più importante centro di riabilitazione motoria inglese. Nel 1958, Maglio convinse Guttmann a portare le competizioni di Stoke Mandeville del 1960 a Roma, sostenendo che avrebbe persuaso le maggiori autorità politiche e sportive italiane ad organizzarli negli stessi impianti ed alloggi che, poco prima, avrebbero dovuto ospitare le gare olimpiche.