Nato a Bristol, Gloucestershire, era il terzo figlio di Sarah, donna dalle notevoli qualità e di grande spirito, e Richard Bright Sr., ricco mercante e banchiere nonché uomo di ingegno. Bright trascorse i primi anni della sua vita immerso nella quiete della villa che il padre ereditò dalla madre, Sarah Meyler, presso Ham Green. Questo luogo offriva piacevoli occasioni di svago e spensieratezza per Richard Jr. e i suoi fratelli Henry e Phoebe, tra cui lunghe passeggiate per collezionare farfalle, per scrutare la bellezza di quei luoghi, per cogliere fiori da osservare meticolosamente. Nel settembre 1795, all'età di sei anni, Bright iniziò la sua esperienza scolastica a Bristol, seguendo le lezioni in casa del Dr. Estlin riguardanti le scienze, la matematica, la botanica e la geografia, senza trascurare la storia antica, il greco ed il latino. Venivano conciliate sia le attività di studio vero e proprio sia iniziative fuori porta, durante le quali gli studenti potevano coltivare liberamente i loro interessi; ciononostante, il giovane Bright, che si distinse assai presto per la sua notevole capacità d'osservazione, fu in questo periodo malinconico ed infelice. La sua tristezza ebbe fine all'arrivo a scuola di Henry Holland, figlio del Dr. Peter: tra i due si instaurò una grande complicità di interessi ed una profonda e sincera amicizia che venne favorita anche da Richard Sr. per le buone maniere del giovane e per la sua gentilezza. Quando Henry si trasferì a Liverpool nel 1804, Bright accusò il colpo, cadendo in depressione ed in un vero e proprio torpore mentale e fisico che sfocerà, nel Natale di quell'anno, in una mononucleosi. Il medico di famiglia, il Dr. Lovell, gli consigliò allora, una volta guarito, di trasferirsi ad Exeter, un luogo più salubre e tranquillo di Bristol. Giunto in città all'inizio del 1805, venne accolto dalla famiglia Carpenter, che si dimostrò disponibile con il giovane Bright, ma che, allo stesso tempo, gli impose uno stile di vita molto rigido: preghiere mattutine, discussione a colazione di questioni politiche, la mattina dedicata alle lezioni scolastiche, il pomeriggio allo studio, la sera alla stesura di saggi e, dopo cena, alla lettura della Bibbia, degli inni e delle "Considerazioni sul carattere di Cristo". Il Dr. Carpenter, essendosi accorto della molteplicità di interessi del giovane e del suo eclettismo, gli affidò una posizione di rilievo all'interno della scuola: sei alunni cui impartire lezioni di francese e Nuovo Testamento (un ruolo molto simile al moderno tutor). Nonostante Bright soffrisse ancora degli strascichi della malattia e della lontananza dalla sua città natale, rimase felice ed entusiasta per questo incarico ed è proprio in questo periodo che, progressivamente, egli maturò la scelta di diventare un medico. Richard Sr., che si era nel frattempo ammalato di gotta, sebbene fosse titubante sulle reali possibilità del figlio di emergere in un campo così competitivo, condivise il suo interesse per la scienza, incoraggiandolo a considerarla come una futura carriera. Finita la sua esperienza scolastica in casa Carpenter nel giugno 1808, Richard Jr. tornò non ad Ham Green, interessata da un progetto di espansione urbanistica, ma a Worcestershire, dove la famiglia si era trasferita per vivere la tranquillità del paesaggio. Fu proprio il contatto stretto con la natura ad inaugurare quella che viene definita come la fase romantica di Bright, durante la quale egli si dedicò alla sua passione poetica, alla stesura di poemetti ed ad un'intensa riflessione che lo portò a migliorare alcuni lati del suo carattere timido ed introverso e ad affrontare con maggior spirito gli studi universitari.