Minnis è nato a Bain Town, New Providence, da Rosalie North e Randolph Minnis. Ha studiato alla scuola elementare di Nostra Signora, Western Junior e St. Augustine College, Nassau e ha anche frequentato l'Università del Minnesota. Dopo aver conseguito il dottorato in medicina presso l'Università delle Indie occidentali e MRCOG (Royal College of Obstetricians and Gynaecologists) di Londra nel 1985, è tornato a casa e ha iniziato a lavorare come medico presso il Princess Margaret Hospital, dove ha lavorato come consulente e capo del dipartimento di ostetricia e ginecologia.