Proveniente dalla nobile famiglia Caimo, mentre il fratello maggiore Eusebio aveva intrapreso la carriera ecclesiastica, Pompeo si dedicò agli studi di medicina a Padova e seguì le lezioni di Francesco Piccolomini e di Girolamo Mercuriale. Laureatosi in medicina e filosofia il 14 ottobre 1592, fece ritorno ad Udine, dove fu nominato "medico del Comune"; nel contempo perfezionò la conoscenza del greco, fondamentale ed indispensabile per approfondire le conoscenze su Aristotele e sulla medicina antica.