Unger ha studiato medicina all'Università di Vienna, dove si è laureato nel 1971. Dopo la laurea, ha lavorato alla Clinica Università per la Cardiologia e alla Clinica Universitaria Chirurgica di Vienna e, nel 1975 come ricercatore nel campo della medicina cardiovascolare a Houston, Cleveland e Salt Lake City negli USA. Nel 1978 diventa professore associato e più tardi professore di chirurgia. Sempre nel 1978, ottiene il dottorato a Salt Lake City e inventa l'Ellipsoidherz che in seguito userà per il primo trapianto di cuore artificiale in Europa nel 1986. Nel 1990 fonda col Cardinale König e il prof. Nikolaus Lobkowicz l'Accademia Europea delle Scienze e delle Arti, che conta attualmente 1500 membri. Tra il 1985 e il 2011 dirice la chirurgia cardiaca della Clinica Universitaria di Salisburgo. Dal 2001 è anche il presidente dell'European Institute of Health.