Koester studiò medicina a Monaco, Tubinga e Würzburg e conseguì il dottorato a Würzburg nel 1867. Il suo consigliere e mentore fu Friedrich Daniel von Recklinghausen e in seguito lavorò come assistente ad Recklinghausen. Dal 1873 al 1874 fu professore di patologia generale e patologia anatomica presso l'Università di Giessen, dove succedette a Eduard von Rindfleisch come professore di patologia all'Università di Bonn nel 1874.