Apparteneva a una famiglia borghese: era figlio di Ernst Delbrück (1814-1892), di professione medico, e della moglie Anna Klenze (1826-1879); suo fratello Clemens sarà un importante politico. Anton Delbrück studiò medicina all'Università di Lipsia ottenendo la laurea nel 1886. Dal 1886 al 1889 fu assistente presso l'"Irrenanstalt Altscherbitz", l'ospedale psichiatrico di Altscherbitz (nei pressi di Lipsia), da cui passò all'"Irrenanstalt Friedrichsberg" di Amburgo. Nel 1890 divenne assistente di Auguste Forel alla "Psychiatrische Universitätsklinik Zürich", il famoso istituto universitario di psichiatria noto anche col nome di "Burghölzli". Qui Delbrück si interessò soprattutto delle patologie legate all'alcolismo; nel 1891 descrisse la "pseudologia fantastica", caratterizzata dal ricorso abituale alle bugie. Nel 1899 ritornò in Germania e divenne direttore della clinica psichiatrica "St. Jürgen-Asyl" di Brema, dove rimase fino al 1927, anno del suo pensionamento.