Figlio di Giovanni Battista Borri, socio della Società Anonima Edificatrice, e di Ida Cantagalli, studiò inizialmente all'Università di Bologna e poi all'Istituto di Studi Superiori di Firenze, dove si laureò nel 1887 in medicina; l'anno successivo diventò assistente di Giuseppe Corradi presso la clinica chirurgica dell'ateneo fiorentino, ma lasciò presto l'incarico per via delle ristrettezze economiche della famiglia, divenendo medico condotto dal giugno all'ottobre 1888 a Cutigliano e fino alla fine del 1890 a Montopoli in Val d'Arno.