Nacque in Ungheria, appartenente all'epoca all'Impero austriaco, in una famiglia povera di religione israelita. Riuscì a studiare medicina all'Università di Vienna, laureandosi nel 1861 con Ferdinand von Hebra, il fondatore della moderna dermatologia. Si convertì al cattolicesimo cambiando il primitivo cognome «Kohn» con «Kaposi», un cognome che ricordava la città natale. Lavorò dal 1862 al 1867 con Hebra, di cui successivamente sposerà la figlia Martha.