Quartogenito di Sir Alfred Baring Garrod, medico noto per la scoperta della correlazione esistente tra metabolismo abnorme dell'acido urico e gotta, Archibald affrontò gli studi presso il Marlborough College e Christ Church, Università di Oxford, conseguendo con onore la laurea in scienze naturali nel 1880. Ricevette ulteriore formazione medica al St. Bartholomew's Hospital di Londra e trascorse diversi mesi di specializzazione all'Allgemeines Krankenhaus di Vienna fra il 1884 e il 1885. Nel 1885 ottenne il titolo di dottore in medicina e Master of Arts da Oxford, divenendo membro del Royal College of Physicians di Londra.