Angiolo Nespoli nacque a Firenze il 25 marzo 1786. Il padre Giuseppe Niccola Luigi Nespoli, figlio dell’aretino Francesco Nespoli, studiò medicina nella prestigiosa città di Arezzo, poi si trasferì a Pisa dove il 23 maggio 1771 conseguì la laurea. Dopo aver ottenuto l’abilitazione all'esercizio della professione medica, si stabilì a Firenze dove incontrò e sposò la signora Tecla, figlia di Giuseppe Vannini; dal loro matrimonio nacque Angiolo Nespoli. Egli compì gli studi scientifici al Collegio degli Scolopi di Firenze; alunno assiduo e diligente, presto si accostò con curiosità e interesse alla medicina, la "sublime scienza".. Tuttavia a quel tempo il privilegio dello studio della medicina era riservato a pochi, in considerazione del fatto che la bolla "Pro Excellenti", emanata il 19 gennaio 1525 da Papa Clemente VII, stabiliva che l’ammissione all'università di Pisa fosse riservato ai soli giovani della città di Arezzo. All'epoca a dare lustro alla città toscana era, tra gli altri, un luminare della medicina, Anton Filippo Ciucci, che nella sua opera "Promptuarium Chirurgicum" del 1679 descrisse un nuovo metodo per operare chirurgicamente i reni (esso prevedeva l’utilizzo di una pinzetta a tre branche chiamata "tenacula" con la quale venivano estratti dalla vescica i calcoli renali dopo la loro triturazione, intervento al quale lo stesso Ciucci decise di sottoporsi). Nespoli, nonostante non risedesse ad Arezzo, domandò di essere inserito fra i concorrenti per ottenere un posto nell'università, poiché nato da padre aretino. Dopo aver concorso assieme a Luigi Goti, Pietro Bellotti, Ferdinando Cittadini, Francesco Pieracini, aretini, e Lorenzo Cipolleschi di Quarata, si distinse e riuscì ad ottenere uno dei due posti disponibili nel Collegio Ferdinando I di Pisa (oggi Scuola superiore di studi universitari e di perfezionamento Sant'Anna), dove studiò medicina per quattro anni per poi ritornare a Firenze.