Conseguita la laurea presso la Scuola medica salernitana nel 1756, incominciò ad impartire lezioni private di medicina, prima di tentare dei concorsi per l'insegnamento universitario, in particolare presso l'ateneo di Napoli. Qui, nel 1758, fu associato alla cattedra di notomia (anatomia descrittiva e patologica), della quale più tardi, appena trentenne, nel 1766, ottenne la titolarità. Ciò avvenne un anno dopo il suo viaggio, di circa tre mesi, per l'Italia. Del viaggio ha lasciato testimonianza nell'"Iter Italicum Patavinum", che non è un insieme di considerazioni scientifiche ma un diario fatto di descrizioni paesaggistiche e vicende umane toccanti. Nell'opera non compaiono i motivi della sua peregrinazione, che però possono essere facilmente intuiti: il desiderio di conoscere nuove realtà geografiche e culturali, di lasciare la capitale dopo l'epidemia del 1764 a cui Cotugno aveva partecipato di persona e di incontrare gli scienziati che avevano discusso le sue teorie. A Roma visitò i principali monumenti con un accompagnatore, l'anatomista Natale Saliceti, dal quale volle sapere i particolari della vita di Giovanni Maria Lancisi. In effetti le caratteristiche delineate da Saliceti rappresentavano la figura ideale di medico professata da Cotugno: stare nelle grazie del Principe, occuparsi di studi difficili, essere amato da tutti ma, al contempo, non amare nessuno.