Studiò nel Collegio medico di Napoli e si laureò in medicina e chirurgia nel 1857. Partecipò al dibattito culturale che si sviluppò a Napoli negli ultimi anni del Regno borbonico; De Cesare lo ricorda tra i giovani collaboratori della rivista "Il Morgagni". Si dedicò subito agli studi di dermatologia e sifilografia, che erano in quegli anni in fase di rapido sviluppo ed evoluzione, ed estese e perfezionò le sue conoscenze specialistiche frequentando i centri della ricerca europea nel settore; frequentò in particolare i laboratori di Bazin a Parigi, di Virchow (di cui curò l'edizione italiana di un trattato sulla lue) a Berlino e soprattutto centro di Ferdinand von Hebra, il fondatore della moderna dermatologia austriaca, a Vienna. Tanturri maturò in tal modo un patrimonio di conoscenze e di esperienze che poté applicare al lavoro una volta tornato in patria. A Napoli divenne dapprima primario del sifilicomio e nel 1868 ottenne la prima cattedra universitaria di dermatologia e sifilografia, la seconda ad essere stata istituita in Italia dopo quella di Bologna affidata al Gamberini. Fu anche direttore della clinica sifilitica e dermopatica dell'Università.