Klein lavorò come istruttore in istologia e patologia dal 1945 al 1947 all'Università Pázmány Péter; mentre lavorava lì, nel luglio 1947, incontrò la sua futura moglie Eva Fischer. Poco dopo averla incontrata, lui e un gruppo di studenti furono invitati da un club studentesco ebreo in Svezia per visitare Stoccolma e Göteborg, dove Klein fu presentato all'Istituto Karolinska. Dopo aver parlato con Torbjörn Caspersson, gli fu offerto un lavoro come assistente di ricerca. Tornò a Budapest nel settembre del 1947 e sposò Eva, che lo raggiunse a Stoccolma nel marzo del 1948, poco prima della nascita della Repubblica Popolare d'Ungheria.