Suo padre, Nikolaj M. Aničkov (1844-1916), era un rappresentante dell'antica nobiltà russa e ricopriva la carica di viceministro della Pubblica Istruzione dell'impero russo. Sua madre, L.I. Vasiliyeva (1859-1924), era figlia di un sacerdote che era stato fondatore della chiesa ortodossa Alexander Nevsky in Rue Daru, Parigi. Aničkov è stato sposato due volte. Aveva un figlio, Mily (1920-1991), che divenne professore di chirurgia e colonnello del Corpo Sanitario. Suo nipote Nikolaj M. Aničkov (nato nel 1941) è Professore di Patologia, membro dell'Accademia Russa di Scienze Mediche, Vicepresidente della Società russa di Patologia.