Murray, originario dall'Ontario occidentale, era quinto di sette figli. La sua famiglia era possidente di una tenuta. Si immatricolò alla facoltà di Medicina e Chirurgia all'Università di Toronto nel 1914, ma dovette interrompere gli studi perché venne arruolato nell'esercito canadese per combattere in Europa. Si laureò nel 1921 e si trasferì a Londra per formarsi in chirurgia. Si assicurò il posto di assistente medico al West End Hospital e nei successivi tre anni cambiò incarichi in diversi ospedali della capitale britannica, tra cui il Saint John Clinic, Hampstead General Hospital, all'All Saints' Hospital, al London Hospital, al Saint Mary's Hospital, al National Orthopedic Hospital e al Saint Bartholomew's Hospital. Quindi per Murray fu una formazione molto ricca, trovandosi a trattare diversi casi clinici. Nel 1926 superò l'esame di specializzazione in chirurgia al Royal College of Surgeons. Sempre nel 1926 Murray fece ritorno in Nordamerica e, dopo un breve soggiorno negli Stati Uniti, iniziò ad operare al Toronto General Hospital dove rimase per il resto della sua carriera.