Salmon nacque presso Mount Olive. Il padre di Salmon, Daniel L. Salmon, morì nel 1851 e sua madre, Eleanor Flock Salmon, morì nel 1859, lasciandolo orfano all'età di 8 anni. Fu poi cresciuto dal suo cugino di secondo grado, Aaron Howell Salmon e passò il tempo a lavorare sia nella fattoria del cugino Aaron che come impiegato in un negozio di campagna. La sua educazione fu alla Mount Olive District School, al Chester Institute e all'Eastman Business College. Proseguì quindi gli studi alla Cornell University e si laureò in medicina veterinaria nel 1872. Dopo altri quattro anni di studi in medicina veterinaria e in scienze, nel 1876 ottenne il titolo di dottore in medicina veterinaria, il primo dottorato in medicina veterinaria rilasciato negli Stati Uniti. Verso la fine dei suoi studi alla Cornell, studiò alla Scuola Veterinaria di Alfort a Parigi.