Le procedure statistiche del t-test e dell'analisi della varianza sono adatte solo per analizzare risultati di esperimenti nei quali la variabile in studio è misurata sulle cosiddette scale ad intervalli. Nel caso in cui si voglia procedere al confronto dei risultati di due campioni espressi in scala nominale per stabilire se essi appartengano alla medesima popolazione di base oppure no, cioè si vuole presentare un insieme di dati classificati secondo due criteri diversi, è uso ricorrere alle cosiddette tabelle di contingenza, ove un criterio di classificazione viene seguito lungo le righe ed un altro lungo le colonne (ad esempio, per indagare l'efficienza di un vaccino contro un morbo letale, dato un gruppo di N individui, le righe distinguono fra quelli vaccinati A e quelli non vaccinati B, mentre le colonne distinguono fra quelli vivi A' e quelli morti B'). La motivazione per presentare i dati in tabelle di contingenza è stabilire se esiste una relazione fra i due criteri di classificazione (la mortalità è più bassa fra gli individui vaccinati che fra quelli non vaccinati, cioè il vaccino ha fatto effetto), o se essi sono invece indipendenti (la mortalità è uguale sia per gli individui vaccinati che per quelli non vaccinati, cioè il vaccino non ha fatto effetto) .Nel caso più semplice le tabelle sono formate da due righe e da due colonne, e vengono pertanto definite 2x2.Lo strumento statistico più adatto per stimare la precisione con cui le percentuali ottenute da campioni limitati sono una stima di quelle realmente esistenti all'interno di una popolazione è il test del χ 2 , una procedura non-parametrica in quanto non fondata su alcun presupposto circa la popolazione che fa da base ai campioni esaminati. Si può vedere che, anche se il numero di dati presentati nella tabella è 4 (e cioè: a, b, c, d), il numero di misure indipendenti, cioè di gradi di libertà, è 1, in quanto si sono imposti 3 vincoli fissando il numero totale N, e le relazioni N = A + B = A' + B'. In generale, nel caso di tabelle con un numero qualsiasi di righe j e di colonne k, il numero di gradi di libertà è ν = (j -1)(k-1).Nella flowchart dei tests di significatività, la tabella di contingenza con i dati sperimentali prende il posto del primo campione; il secondo campione è costituito dalla tabella analoga a quella sperimentale, ma costituita dai valori attesi per il set (α, β, χ , δ), calcolati nell'ipotesi di indipendenza dai criteri di classificazione (nell'esempio del vaccino, considerando la proporzione fra vivi e morti uguale sia per gli individui vaccinati che per quelli non vaccinati). La domanda di partenza: " esiste una diversità reale fra i due campioni?" diventa: "vi è una dipendenza dai criteri di classificazione?" L'entità delle differenze fra la tabella dei dati e quella dei valori attesi secondo l'ipotesi di indipendenza dei due criteri di classificazione, viene "misurata" tramite il calcolo del parametro: In effetti, si dimostra che la formula ( 27) tende sempre a sovrastimare il valore di χ 2 , favorendo di conseguenza l'ipotesi di una discordanza fra i due campioni anche quando tale differenza non esiste in realtà. Questo fatto può essere superato applicando la correzione di Yates, cioè sostituendo ∆ 2 con (∆-1/2) 2 .Per rispondere alla domanda sulla diversità dei due campioni occorre, come negli altri tests, calcolare la probabilità P(ν, χ 2 ≥χ 2 calc ) di avere per effetto del caso, in un sistema caratterizzato da ν gradi di libertà, un valore di χ 2 maggiore od uguale a quello calcolato. Il calcolo si basa sulla funzione di distribuzione f(ν, χ 2 ); questa ha la forma di una collinetta situata alla destra dell'origine (in quanto χ 2 è sempre positiva) tendente a zero per χ 2 che tende ad infinito, con valor medio il numero di gradi di libertà ν. Il valore di P(ν, χ 2 >χ 2 calc ), cioè l'area della coda della distribuzione oltre il valore di χ 2 calc è il livello di significatività (la probabilità di un falso positivo) con cui viene data la risposta: "si, vi è una dipendenza dai criteri di classificazioni" (equivalente alla risposta del test di Student e della varianza: "si, i due campioni sono diversi").   