La procedura per valutare la legge di probabilità che governa una data variabile si basa sull'istogrammazione dei dati di un suo campione e sul successivo confronto con una data distribuzione di probabilità. L'importanza di questo confronto nasce dal fatto che per fare previsioni su elementi della popolazione non campionati occorre sapere la distribuzione di probabilità che rappresenta l'andamento della variabile. Ad esempio, la probabilità di avere eventi che superano il valor medio di una deviazione standard è diversa se la distribuzione della variabile è di tipo esponenziale (p ≈ 0.37), oppure gaussiana (p ≈ 0.18). La conoscenza del tipo di distribuzione di probabilità che meglio approssima quella sperimentale è inoltre necessaria quando i dati appartengono a campioni diversi che si vogliono confrontare fra di loro con un test di significatività parametrico (come quello di Student).Per il confronto dell'istogramma dei dati sperimentali con un dato modello di distribuzione probabilistica f(x) si calcola, per ognuno degli n intervalli ∆x di istogrammazione, il numero teorico di eventi N i,t atteso secondo la funzione di probabilità prescelta, usando per i parametri di quest'ultima (valor medio ed eventualmente deviazione standard) i valori sperimentali del campione:Si costruisce quindi l'indice statistico:(19) χ 2 = ∑ i =1 n (N i -N i,t ) 2 N i,tche viene usato per misurare la discrepanza fra gli n valori osservati e quelli teorici predetti dalla distribuzione di probabilità con cui si effettua il confronto. Il calcolo della probabilità P(ν, ≥χ 2 ) viene svolto usando come . numero di gradi di libertà ν = n -n v -1, dove n v è il numero dei parametri della funzione di densità teorica: per le distribuzioni poissoniane ed esponenziali, caratterizzate dal solo valor medio, n v = 1; per la distribuzione gaussiana, caratterizzata da valor medio e deviazione standard, n v = 2. Ovviamente, un grande valore di χ 2 indica che l'ipotesi nulla (cioè che i valori sperimentali N i siano effettivamente tratti dalla popolazione rappresentata dai N i,t ) è altamente improbabile. Un valore di soglia abbastanza "conservativa" per un fit accettabile è χ 2 ≈ ν, corrispondente a P(ν, ≥χ 2 ) ≈ 0.40 (questo valore aumenta tendendo a 0.50 al crescere del numero dei gradi di libertà). In effetti anche valori fino a χ 2 *≈ 1.5-2ν, corrispondenti a P(ν, ≥χ 2 ) ≈ 0.10-0.05, possono ancora essere accettati; i modelli di distribuzione veramente sballati danno valori di probabilità di parecchi ordini di grandezza più bassi. Quando si usano le distribuzioni di frequenza sperimentali N i /N tot e quelle teoriche f(x), il valore di χ 2 ottenuto con l'eq. ( 19) deve essere moltiplicato per il numero di eventi totale N tot .