Figlio di Giuseppe Franchini e Irene Palenzona, la famiglia si trasferì presto dalla provincia di Alessandria a Genova; laureatosi con lode in medicina e chirurgia il 3 dicembre 1935 all'Università degli Studi di Genova, nel febbraio del 1937 Franchini fu nominato assistente all'Istituto di medicina legale dell'ateneo genovese, dove fu allievo di Amedeo Dalla Volta prima e Domenico Macaggi poi, dedicandosi all'approfondimento delle conoscenze nel campo delle malattie mentali.