Carter studiò alla "Grammar School" di Hull e, in seguito, per motivi economici abbandonò gli studi medici veri e propri e si dedicò alla farmacia – chirurgia (attività allora praticamente complementari). Tuttavia nel 1848 Carter espresse ai genitori il suo disagio verso l'ambiente sociale e accademico in cui si trovava, così venne trasferito a Londra, sotto la guida del chirurgo John Sawyer e seguendo, nel frattempo, (e con risultati eccellenti) anche i corsi di medicina alla "St George's Mediacal School" dall'età di 17 anni.