Fineschi, laureatosi in medicina e chirurgia, fu sicuramente il più prestigioso allievo della Scuola Ortopedica Fiorentina fondata dal professor Oscar Scaglietti. Fino al 1966 lavorò come assistente all'Istituto Ortopedico Toscano. Nel 1967, poco più che quarantenne, ricoprì la cattedra di Ortopedia dell'Università Cattolica del Sacro Cuore a Roma, dove fondò e diresse l'Istituto di Clinica Ortopedica. Cattedra che mantenne per 27 anni, svolgendo attività didattica nel corso di laurea e nella Scuola di Specializzazione in Ortopedia e Traumatologia.Fino al 1998, anno del suo pensionamento, è stato direttore dell'Istituto di chirurgia ortopedica del Policlinico Gemelli di Roma. Dopo la pensione, fino al 2009 è stato consulente di Villa Stuart a Roma.