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| Objet | [Structure algébrique](/wiki/Structure_alg%C3%A9brique "Structure algébrique")[Voir et modifier les données sur Wikidata](https://www.wikidata.org/wiki/Q159943?uselang=fr#P2578 "Voir et modifier les données sur Wikidata") |

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L'**[algèbre](/wiki/Alg%C3%A8bre "Algèbre") générale**, ou **algèbre abstraite**, est la branche des [mathématiques](/wiki/Math%C3%A9matiques "Mathématiques") qui porte principalement sur l'étude des [structures algébriques](/wiki/Structure_alg%C3%A9brique "Structure algébrique") et de leurs relations. L'appellation *algèbre générale* s'oppose à celle d'*[algèbre élémentaire](/wiki/Alg%C3%A8bre_(math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires) "Algèbre (mathématiques élémentaires)")* ; cette dernière enseigne le [calcul algébrique](/wiki/Calcul_alg%C3%A9brique "Calcul algébrique"), c'est\-à\-dire les règles de manipulation des [formules](/wiki/%C3%89quation_alg%C3%A9brique "Équation algébrique") et des [expressions algébriques](/wiki/Expressions_alg%C3%A9briques "Expressions algébriques").


Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément. C'est pourquoi l'algèbre générale possède beaucoup de connexions avec toutes les branches des mathématiques.


L'étude des structures algébriques peut être faite de manière abstraite, mais unifiée dans le cadre de l'[algèbre universelle](/wiki/Alg%C3%A8bre_universelle "Algèbre universelle").




## Histoire

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=1 "Modifier la section : Histoire") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=1 "Modifier le code source de la section : Histoire")]
Comme dans d'autres parties des mathématiques, des problèmes et des exemples concrets ont joué un rôle important dans le développement de l'algèbre abstraite. Jusqu'à la fin du XIXe siècle, beaucoup \- ou plus \- de ces problèmes étaient en quelque sorte liés à la théorie des [équations algébriques](/wiki/%C3%89quation_alg%C3%A9brique "Équation algébrique"). Les principaux thèmes sont les suivants:



* Résolution de systèmes d'[équations linéaires](/wiki/%C3%89quation_lin%C3%A9aire "Équation linéaire"), ce qui a conduit à l'[algèbre linéaire](/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "Algèbre linéaire")
* Tentatives de trouver des formules aux solutions d'[équations polynomiales](/wiki/%C3%89quation_polynomiale "Équation polynomiale") générales de degré supérieur qui ont abouti à la découverte de [groupes](/wiki/Groupe_de_Galois "Groupe de Galois") comme des manifestations abstraites de [symétrie](/wiki/Sym%C3%A9trie "Symétrie")
* Études arithmétiques des formes de degré quadratique supérieur et des [équations diophantiennes](/wiki/%C3%89quation_diophantienne "Équation diophantienne"), qui ont produit directement les notions d'un [anneau](/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques) "Anneau (mathématiques)") et [idéal](/wiki/Id%C3%A9al_(math%C3%A9matiques) "Idéal (mathématiques)").


### Algèbre moderne

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=2 "Modifier la section : Algèbre moderne") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=2 "Modifier le code source de la section : Algèbre moderne")]
La fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle a connu un énorme changement dans la méthodologie des mathématiques. L'algèbre abstraite a émergé autour du début du XXe siècle, sous le nom d'*algèbre moderne*. Son étude faisait partie de l'entraînement pour plus de [rigueur intellectuelle](/w/index.php?title=Rigueur_intellectuelle&action=edit&redlink=1 "Rigueur intellectuelle (page inexistante)") en mathématiques. Les définitions officielles de certaines [structures algébriques](/wiki/Structure_alg%C3%A9brique "Structure algébrique") ont émergé au XIXe siècle.



## Applications

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=3 "Modifier la section : Applications") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=3 "Modifier le code source de la section : Applications")]
En raison de sa généralité, l'algèbre abstraite est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science. Par exemple, la [topologie algébrique](/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique "Topologie algébrique") utilise des objets algébriques pour son étude. La [théorie algébrique des nombres](/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres "Théorie algébrique des nombres") étudie divers anneaux numériques qui généralisent l'ensemble des entiers. En utilisant la théorie des nombres algébriques, [Andrew Wiles](/wiki/Andrew_Wiles "Andrew Wiles") a prouvé le [dernier théorème de Fermat](/wiki/Dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat "Dernier théorème de Fermat").



## Bases

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=4 "Modifier la section : Bases") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=4 "Modifier le code source de la section : Bases")]
* [Théorie des ensembles](/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles "Théorie des ensembles")
	+ [Notion d'ensemble](/wiki/Ensemble "Ensemble")
	+ [Sous\-ensemble](/wiki/Sous-ensemble "Sous-ensemble")
	+ [Opérations sur les ensembles](/wiki/Op%C3%A9rations_sur_les_ensembles "Opérations sur les ensembles")
	+ [Produit cartésien](/wiki/Produit_cart%C3%A9sien "Produit cartésien")
* Correspondances et relations
	+ [Relation binaire](/wiki/Relation_binaire "Relation binaire")
	+ [Fonctions et applications](/wiki/Fonction_et_application "Fonction et application")
* [Loi de composition](/wiki/Loi_de_composition "Loi de composition")
	+ [Loi interne](/wiki/Loi_de_composition_interne "Loi de composition interne")


## Structures algébriques

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=5 "Modifier la section : Structures algébriques") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=5 "Modifier le code source de la section : Structures algébriques")]
Article détaillé : [Structure algébrique](/wiki/Structure_alg%C3%A9brique "Structure algébrique").
* [Magmas](/wiki/Magma_(math%C3%A9matiques) "Magma (mathématiques)") :
	+ [Demi\-groupe](/wiki/Demi-groupe "Demi-groupe") (ou semi\-groupe)
	+ [Quasigroupe](/wiki/Quasigroupe "Quasigroupe")
	+ [Monoïde](/wiki/Mono%C3%AFde "Monoïde")
	+ Boucle
	+ [Groupe](/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) "Groupe (mathématiques)")
* Annélides :
	+ [Anneau](/wiki/Anneau_unitaire "Anneau unitaire")
	+ [Corps](/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques) "Corps (mathématiques)")
	+ [Corps commutatif](/wiki/Corps_commutatif "Corps commutatif")
* Moduloïdes :
	+ [Module](/wiki/Module_sur_un_anneau "Module sur un anneau")
	+ [Espace vectoriel](/wiki/Espace_vectoriel "Espace vectoriel") (étudié dans le cadre de l'[algèbre linéaire](/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "Algèbre linéaire"))
* Algèbres :
	+ [Algèbre sur un anneau](/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_anneau "Algèbre sur un anneau")
	+ [Algèbre sur un corps](/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps "Algèbre sur un corps")
* Treillis :
	+ demi\-treillis
	+ treillis
* [Opérade](/wiki/Op%C3%A9rade "Opérade")


## Articles connexes

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&veaction=edit&section=6 "Modifier la section : Articles connexes") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale&action=edit&section=6 "Modifier le code source de la section : Articles connexes")]
* [Évariste Galois](/wiki/%C3%89variste_Galois "Évariste Galois") et [Niels Henrik Abel](/wiki/Niels_Henrik_Abel "Niels Henrik Abel") (mathématiciens ayant fourni un travail majeur pour la construction de l'algèbre)
* [Emmy Noether](/wiki/Emmy_Noether "Emmy Noether")
* [Théorie des codes](/wiki/Th%C3%A9orie_des_codes "Théorie des codes")
* [Théorie des groupes](/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes "Théorie des groupes")




| [v](/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Domaines_des_math%C3%A9matiques "Modèle:Palette Domaines des mathématiques") · [m](https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Domaines_des_math%C3%A9matiques&action=edit)Domaines des [mathématiques](/wiki/Math%C3%A9matiques "Mathématiques") | |
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| * [Algèbre](/wiki/Alg%C3%A8bre "Algèbre") * [Algèbre commutative](/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative "Algèbre commutative") * [Algèbre homologique](/wiki/Homologie_et_cohomologie "Homologie et cohomologie") * [Algèbre linéaire](/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "Algèbre linéaire") * [Analyse](/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques) "Analyse (mathématiques)") * [Analyse réelle](/wiki/Analyse_r%C3%A9elle "Analyse réelle") * [Analyse complexe](/wiki/Analyse_complexe "Analyse complexe") * [Analyse fonctionnelle](/wiki/Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques) "Analyse fonctionnelle (mathématiques)") * [Analyse numérique](/wiki/Analyse_num%C3%A9rique "Analyse numérique") * [Calcul quantique](/wiki/Ordinateur_quantique "Ordinateur quantique") * [Combinatoire](/wiki/Combinatoire "Combinatoire") * [Géométrie](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie "Géométrie") * [Géométrie algébrique](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique "Géométrie algébrique") * [Géométrie différentielle](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle "Géométrie différentielle") * [Géométrie non commutative](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_commutative "Géométrie non commutative") * [Optimisation](/wiki/Optimisation_(math%C3%A9matiques) "Optimisation (mathématiques)") * [Physique mathématique](/wiki/Physique_math%C3%A9matique "Physique mathématique") * [Probabilités](/wiki/Probabilit%C3%A9 "Probabilité") * [Statistiques](/wiki/Statistique "Statistique") * [Systèmes dynamiques](/wiki/Syst%C3%A8mes_dynamiques "Systèmes dynamiques") * [Théorie des nombres](/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres "Théorie des nombres") * [Théorie de Galois](/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois "Théorie de Galois") * [Théorie des groupes](/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes "Théorie des groupes") * [Topologie](/wiki/Topologie "Topologie") * [Topologie algébrique](/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique "Topologie algébrique") | |


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