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Intérêt](#Intérêt)
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Présentation élémentaire](#Présentation_élémentaire)
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Quelques théorèmes](#Quelques_théorèmes)
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Utilisations](#Utilisations)


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	Anneau](#Anneau)
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	Théorie de Galois](#Théorie_de_Galois)
* [6
Notes et références](#Notes_et_références)
* [7
Bibliographie](#Bibliographie)
* [8
Voir aussi](#Voir_aussi)


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* [Asturianu](https://ast.wikipedia.org/wiki/%C3%81lxebra_llinial "Álxebra llinial – asturien")
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* [Башҡортса](https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%BA%D1%8B%D2%99%D1%8B%D2%A1%D0%BB%D1%8B_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0 "Һыҙыҡлы алгебра – bachkir")
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* [Bosanski](https://bs.wikipedia.org/wiki/Linearna_algebra "Linearna algebra – bosniaque")
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* [മലയാളം](https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B0%E0%B5%87%E0%B4%96%E0%B5%80%E0%B4%AF_%E0%B4%AC%E0%B5%80%E0%B4%9C%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82 "രേഖീയ ബീജഗണിതം – malayalam")
* [Bahasa Melayu](https://ms.wikipedia.org/wiki/Algebra_linear "Algebra linear – malais")
* [Nederlands](https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_algebra "Lineaire algebra – néerlandais")
* [Norsk nynorsk](https://nn.wikipedia.org/wiki/Line%C3%A6r_algebra "Lineær algebra – norvégien nynorsk")
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* [Occitan](https://oc.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bra_lineara "Algèbra lineara – occitan")
* [Polski](https://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra_liniowa "Algebra liniowa – polonais")
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* [Scots](https://sco.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra "Linear algebra – écossais")
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* [Simple English](https://simple.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra "Linear algebra – Simple English")
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* [ไทย](https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99 "พีชคณิตเชิงเส้น – thaï")
* [Tagalog](https://tl.wikipedia.org/wiki/Alhebrang_linyar "Alhebrang linyar – tagalog")
* [Türkçe](https://tr.wikipedia.org/wiki/Lineer_cebir "Lineer cebir – turc")
* [Українська](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0 "Лінійна алгебра – ukrainien")
* [اردو](https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D8%B7%DB%8C_%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%A8%D8%B1%D8%A7 "خطی الجبرا – ourdou")
* [Oʻzbekcha / ўзбекча](https://uz.wikipedia.org/wiki/Chiziqli_algebra "Chiziqli algebra – ouzbek")
* [Tiếng Việt](https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh "Đại số tuyến tính – vietnamien")
* [Winaray](https://war.wikipedia.org/wiki/Alhebra_Linyal "Alhebra Linyal – waray")
* [吴语](https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0 "线性代数 – wu")
* [ייִדיש](https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%A2%D7%90%D7%A8%D7%A2_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%A2%D7%91%D7%A8%D7%A2 "לינעארע אלגעברע – yiddish")
* [Yorùbá](https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%81lj%E1%BA%B9%CC%81br%C3%A0_on%C3%ADgb%E1%BB%8Dr%E1%BB%8D "Áljẹ́brà onígbọrọ – yoruba")
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* [閩南語 / Bân\-lâm\-gú](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2a%E2%81%BF-s%C3%A8ng_t%C4%81i-s%C3%B2%CD%98 "Sòaⁿ-sèng tāi-sò͘ – minnan")
* [粵語](https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8 "線性代數 – cantonais")


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Algèbre linéaire[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/langfr-260px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png)](/w/index.php?title=Fichier:Linear_subspaces_with_shading.svg&lang=fr)[ℝ³](/wiki/%E2%84%9D%C2%B3 "ℝ³") est un espace vectoriel de dimension 3\. Les droites et plans qui passent par l'origine sont des sous\-espaces vectoriels.

| Partie de | [Algèbre](/wiki/Alg%C3%A8bre "Algèbre") |
| --- | --- |
| Objets | [Espace vectoriel](/wiki/Espace_vectoriel "Espace vectoriel")[application linéaire](/wiki/Application_lin%C3%A9aire "Application linéaire")[matrice](/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques) "Matrice (mathématiques)")[Voir et modifier les données sur Wikidata](https://www.wikidata.org/wiki/Q82571?uselang=fr#P2578 "Voir et modifier les données sur Wikidata") |

[modifier](https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=0) \- [modifier le code](https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=0) \- [modifier Wikidata](https://www.wikidata.org/wiki/Q82571 "d:Q82571")[![Documentation du modèle](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png)](/wiki/Mod%C3%A8le:Infobox_Discipline "Documentation du modèle")


L’**algèbre linéaire** est la branche des [mathématiques](/wiki/Math%C3%A9matiques "Mathématiques") qui s'intéresse aux [espaces vectoriels](/wiki/Espace_vectoriel "Espace vectoriel") et aux [transformations linéaires](/wiki/Application_lin%C3%A9aire "Application linéaire"), formalisation générale des théories des [systèmes d'équations linéaires](/wiki/Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quations_lin%C3%A9aires "Système d'équations linéaires").




## Histoire

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=1 "Modifier la section : Histoire") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=1 "Modifier le code source de la section : Histoire")]
L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse [Al\-Khwârizmî](/wiki/Al-Khw%C3%A2rizm%C3%AE "Al-Khwârizmî") qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant[\[1]](#cite_note-1). Elle a été reprise par [René Descartes](/wiki/Ren%C3%A9_Descartes "René Descartes") qui pose des problèmes de [géométrie](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie "Géométrie"), comme la détermination de l'intersection de deux [droites](/wiki/Droite_(math%C3%A9matiques) "Droite (mathématiques)"), en termes d'[équation linéaire](/wiki/%C3%89quation_lin%C3%A9aire "Équation linéaire"), établissant dès lors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'alors séparées : l'[algèbre](/wiki/Alg%C3%A8bre "Algèbre") et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qu'est celle d'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès, et cette utilisation naturelle des aspects linéaires des équations manipulées demeurera utilisée de manière *ad hoc*, fondée essentiellement sur les idées géométriques sous\-jacentes. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des [déterminants](/wiki/D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques) "Déterminant (mathématiques)") par [Jean d'Alembert](/wiki/Jean_Le_Rond_d%27Alembert "Jean Le Rond d'Alembert").


Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. [Carl Friedrich Gauss](/wiki/Carl_Friedrich_Gauss "Carl Friedrich Gauss") trouve [une méthode générique](/wiki/%C3%89limination_de_Gauss-Jordan "Élimination de Gauss-Jordan") pour la résolution des systèmes d'équations linéaires et [Camille Jordan](/wiki/Camille_Jordan_(math%C3%A9maticien) "Camille Jordan (mathématicien)") résout définitivement le problème de la [réduction d'endomorphisme](/wiki/R%C3%A9duction_d%27endomorphisme "Réduction d'endomorphisme"). En 1843, [William Rowan Hamilton](/wiki/William_Rowan_Hamilton "William Rowan Hamilton") (inventeur du terme *vector*) découvre les [quaternions](/wiki/Quaternion "Quaternion") ([extension](/wiki/Alg%C3%A8bre_simple "Algèbre simple") de degré 4 du [corps](/wiki/Corps_commutatif "Corps commutatif") des [nombres réels](/wiki/Nombre_r%C3%A9el "Nombre réel")). En 1844, [Hermann Grassmann](/wiki/Hermann_G%C3%BCnther_Grassmann "Hermann Günther Grassmann") publie son traité *Die lineale Ausdehnungslehre*, *La théorie de l'extension linéaire*, qui est la première tentative de formalisation générale de la notion d'espace vectoriel. Si son œuvre reste grandement inaperçue, elle contient l'essentiel des idées modernes de l'algèbre linéaire, et cette étape fondamentale dans le développement de l'algèbre linéaire est reconnue comme telle tant par Hamilton que par [Giuseppe Peano](/wiki/Giuseppe_Peano "Giuseppe Peano"), qui axiomatise entièrement la théorie en 1888\. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omniprésente dans presque tous les domaines mathématiques, notamment en [analyse](/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques) "Analyse (mathématiques)") ([espaces de fonctions](/wiki/Espace_fonctionnel "Espace fonctionnel")).



## Intérêt

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=2 "Modifier la section : Intérêt") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=2 "Modifier le code source de la section : Intérêt")]
Sous leur forme la plus simple, les applications linéaires dans les [espaces vectoriels](/wiki/Espace_vectoriel "Espace vectoriel") représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la [droite](/wiki/Droite_(math%C3%A9matiques) "Droite (mathématiques)"), le [plan](/wiki/Plan_(math%C3%A9matiques) "Plan (mathématiques)") ou notre [espace](/wiki/Espace_(notion)#Physique "Espace (notion)") physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite par [Euclide](/wiki/Euclide "Euclide") au [IIIe siècle av. J.\-C.](/wiki/IIIe_si%C3%A8cle_av._J.-C. "IIIe siècle av. J.-C.") La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des [dimensions](/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel "Dimension d'un espace vectoriel") quelconques.


L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en [mécanique](/wiki/M%C3%A9canique_(science) "Mécanique (science)"), mais aussi dans de nombreuses autres branches comme les [sciences naturelles](/wiki/Science_de_la_nature "Science de la nature") ou les [sciences sociales](/wiki/Sciences_sociales "Sciences sociales").


Les espaces vectoriels forment aussi un outil fondamental pour les [sciences de l'ingénieur](/wiki/Sciences_de_l%27ing%C3%A9nieur "Sciences de l'ingénieur") et servent de base à de nombreux domaines dans la [recherche opérationnelle](/wiki/Recherche_op%C3%A9rationnelle "Recherche opérationnelle").


Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques dans des domaines aussi divers que la [théorie des groupes](/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes "Théorie des groupes"), [des anneaux](/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux "Théorie des anneaux") ou [des corps](/wiki/Corps_commutatif "Corps commutatif"), l'[analyse fonctionnelle](/wiki/Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques) "Analyse fonctionnelle (mathématiques)"), la [géométrie différentielle](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle "Géométrie différentielle") ou la [théorie des nombres](/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres "Théorie des nombres").



## Présentation élémentaire

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=3 "Modifier la section : Présentation élémentaire") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=3 "Modifier le code source de la section : Présentation élémentaire")]
L'algèbre linéaire commence par l'étude de [vecteurs](/wiki/Vecteur "Vecteur") dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3\. Un vecteur, ici, est une [classe d'équivalence](/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence "Relation d'équivalence") de bipoints qui unifie les segments de droite caractérisés à la fois par leur longueur (ou *norme*), leur direction et leur sens : deux bipoints représentent un même vecteur si le quadrilatère formé sur les quatre points est un [parallélogramme](/wiki/Parall%C3%A9logramme "Parallélogramme"). Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés entre eux ou encore multipliés par des scalaires (*nombres*), formant ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.


L'algèbre linéaire moderne s'intéresse beaucoup aux espaces de [dimension arbitraire, éventuellement infinie](/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel "Dimension d'un espace vectoriel"). La plupart des résultats obtenus en dimension 2 ou 3 peuvent être étendus aux dimensions finies supérieures, ce qui permet une interprétation géométrique de listes de nombres (une liste de *n* nombres s'interprétant comme un vecteur d'un espace à *n* dimensions).



## Quelques théorèmes

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=4 "Modifier la section : Quelques théorèmes") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=4 "Modifier le code source de la section : Quelques théorèmes")]
* [Théorème de la base incomplète](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_incompl%C3%A8te "Théorème de la base incomplète")[\[2]](#cite_note-2) : soient *E* un espace vectoriel, *G* une [famille génératrice](/wiki/Famille_g%C3%A9n%C3%A9ratrice "Famille génératrice") de *E* et *L* une [famille libre](/wiki/Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire "Indépendance linéaire") de vecteurs de *E*. Alors il existe au moins une [base](/wiki/Base_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire) "Base (algèbre linéaire)") de *E* formée en prenant la réunion de *L* et d'une partie de *G*.
* En particulier, tout espace vectoriel possède au moins une base.
* Toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même [cardinal](/wiki/Cardinalit%C3%A9_(math%C3%A9matiques) "Cardinalité (mathématiques)").
* Tout espace vectoriel A possède un [espace dual](/wiki/Espace_dual "Espace dual") A\* ; si A est [de dimension finie](/wiki/Espace_vectoriel_de_dimension_finie "Espace vectoriel de dimension finie"), A\* est de même dimension.
* [Formule de Grassmann](/wiki/Formule_de_Grassmann "Formule de Grassmann") : Soient 



F


{\\displaystyle F}

![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57) et 



G


{\\displaystyle G}

![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) deux [sous\-espaces vectoriels](/wiki/Sous-espace_vectoriel "Sous-espace vectoriel") d'un même espace vectoriel. On a alors :



dim
⁡
(
F
)
\+
dim
⁡
(
G
)
\=
dim
⁡
(
F
\+
G
)
\+
dim
⁡
(
F
∩
G
)
.


{\\displaystyle \\dim(F)\+\\dim(G)\=\\dim(F\+G)\+\\dim(F\\cap G).}

![{\displaystyle \dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b838c8ae8399ffb58cf54e16fee8b32ff8970da4)


D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de [matrices](/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques) "Matrice (mathématiques)") de divers types :



* [matrice diagonale](/wiki/Matrice_diagonale "Matrice diagonale") ;
* [matrice triangulaire](/wiki/Matrice_triangulaire "Matrice triangulaire") ;
* [matrice à diagonale dominante](/wiki/Matrice_%C3%A0_diagonale_dominante "Matrice à diagonale dominante").


Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous\-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices (*cf*. l’article [Matrice par blocs](/wiki/Matrice_par_blocs "Matrice par blocs")). Avec les mémoires actuelles de plusieurs [gigaoctets](/wiki/Octet "Octet"), cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en [théorie des nombres](/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres "Théorie des nombres"), pour la [décomposition en produit de facteurs premiers](/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers "Décomposition en produit de facteurs premiers") avec le [crible général de corps de nombres](/wiki/Crible_alg%C3%A9brique "Crible algébrique") (*[algorithme de Lanczos](/wiki/Algorithme_de_Lanczos "Algorithme de Lanczos")*).



## Utilisations

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=5 "Modifier la section : Utilisations") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=5 "Modifier le code source de la section : Utilisations")]
Les espaces vectoriels forment le support et le fondement de l'algèbre linéaire. Ils sont aussi présents dans de nombreux domaines distincts. S'il n'est pas possible d'indiquer ici tous les cas d'utilisation, on peut tout de même citer pour les principales structures objet de théories, des exemples significatifs. Leurs rôles dans de vastes théories ne traitant pas d'une structure particulière, comme celles des [nombres algébriques](/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres "Théorie algébrique des nombres") ou de [Galois](/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois "Théorie de Galois") peuvent aussi être évoqués.


Les espaces vectoriels utilisés sont d'une grande diversité. On y trouve les classiques espaces vectoriels de dimension 2 ou 3 sur les [nombres réels](/wiki/Nombre_r%C3%A9el "Nombre réel"), cependant la dimension peut être quelconque, même infinie. Les nombres complexes sont aussi très utilisés, ainsi que les [rationnels](/wiki/Nombre_rationnel "Nombre rationnel"). Il n'est pas rare qu'une partie des nombres réels ou complexes soit considéré comme un espace vectoriel rationnel. Le corps de base peut aussi contenir un nombre fini d'éléments, définissant parfois un [espace vectoriel fini](/wiki/Espace_vectoriel_fini "Espace vectoriel fini").


Les propriétés géométriques de la structure permettent la démonstration de nombreux théorèmes. Elles ne se limitent pas aux cas où l'espace est réel, même dans le cas de corps plus insolites comme les [corps finis](/wiki/Corps_fini "Corps fini") ou les [extensions finies](/wiki/Extension_finie "Extension finie") des rationnels, les propriétés géométriques s'avèrent parfois essentielles.



### Groupe fini

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=6 "Modifier la section : Groupe fini") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=6 "Modifier le code source de la section : Groupe fini")]
Article détaillé : [Représentations d'un groupe fini](/wiki/Repr%C3%A9sentations_d%27un_groupe_fini "Représentations d'un groupe fini").
[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Rotations_du_cube.jpg/220px-Rotations_du_cube.jpg)](/wiki/Fichier:Rotations_du_cube.jpg)

[Représentation du groupe symétrique d'indice 4](/wiki/Repr%C3%A9sentations_du_groupe_sym%C3%A9trique "Représentations du groupe symétrique") comme groupe des rotations du cube dans un espace vectoriel de dimension 3\.


La [classification des groupes finis](/wiki/Groupe_fini#Classification_des_groupes_finis "Groupe fini") est une vaste question, encore objet de recherche. Si le groupe contient un petit nombre d'éléments, les [théorèmes de Sylow](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_Sylow "Théorèmes de Sylow") peuvent suffire pour en déterminer la structure. Une méthode beaucoup plus puissante est nécessaire dans le cas général.


[Georg Frobenius](/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius "Ferdinand Georg Frobenius"), à la suite de travaux de [Richard Dedekind](/wiki/Richard_Dedekind "Richard Dedekind"), développe une nouvelle théorie[\[3]](#cite_note-3) en [1896](/wiki/1896_en_science "1896 en science"). Elle se fonde sur l'idée que l'ensemble des « [symétries](/wiki/Sym%C3%A9trie "Symétrie") » (au sens : [automorphismes](/wiki/Application_lin%C3%A9aire#Cas_particuliers "Application linéaire")) d'un espace vectoriel possède une structure de groupe. Il est toujours possible de *représenter* un groupe fini par des « symétries » bien choisies sur un espace vectoriel de dimension suffisante. Un groupe est ainsi incarné par des [transformations géométriques](/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique "Transformation géométrique") simples. Une telle incarnation prend le nom de *représentation d'un groupe*.


Les espaces vectoriels choisis sont de dimension finie, en général sur le corps des complexes[\[4]](#cite_note-4), cependant pour disposer de bonnes propriétés arithmétiques le corps peut être celui des [rationnels](/wiki/Nombre_rationnel "Nombre rationnel")[\[5]](#cite_note-5) ou encore utiliser des [entiers algébriques](/wiki/Entier_alg%C3%A9brique "Entier algébrique") comme pour la démonstration du [théorème de Burnside sur les groupes résolubles](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Burnside_(groupe_r%C3%A9soluble) "Théorème de Burnside (groupe résoluble)")[\[6]](#cite_note-6). [Richard Brauer](/wiki/Richard_Brauer "Richard Brauer") étudie un cas très abstrait, celui des représentations sur un espace vectoriel construit à l'aide d'un [corps fini](/wiki/Corps_fini "Corps fini")[\[7]](#cite_note-7).


Un exemple relativement simple d'utilisation de cette théorie est donné par Burnside, avec [son théorème](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Burnside_(probl%C3%A8me_de_1902) "Théorème de Burnside (problème de 1902)") sur les [sous\-groupes](/wiki/Sous-groupe "Sous-groupe") d'[exposant](/wiki/Exposant_d%27un_groupe "Exposant d'un groupe") fini du [groupe](/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) "Groupe (mathématiques)") [linéaire](/wiki/Groupe_g%C3%A9n%C3%A9ral_lin%C3%A9aire "Groupe général linéaire") GL(*n*, [ℂ](/wiki/Nombre_complexe "Nombre complexe")).



### Anneau

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=7 "Modifier la section : Anneau") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=7 "Modifier le code source de la section : Anneau")]
Article détaillé : [Théorie des anneaux](/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux "Théorie des anneaux").
[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Noether.jpg/220px-Noether.jpg)](/wiki/Fichier:Noether.jpg)

[Emmy Noether](/wiki/Emmy_Noether "Emmy Noether") utilise la notion d'espace vectoriel pour étudier les [anneaux](/wiki/Anneau_noeth%C3%A9rien "Anneau noethérien") portant maintenant son nom.


Un exemple célèbre d'anneau disposant aussi d'une structure d'espace vectoriel est celui des [polynômes](/wiki/Polyn%C3%B4me_formel "Polynôme formel") à coefficients dans un corps. Cet espace vectoriel, de dimension infinie, est largement utilisé en algèbre linéaire, à travers par exemple le [polynôme minimal](/wiki/Polyn%C3%B4me_minimal_d%27un_endomorphisme "Polynôme minimal d'un endomorphisme") ou [caractéristique](/wiki/Polyn%C3%B4me_caract%C3%A9ristique "Polynôme caractéristique"). Le [morphisme canonique](/wiki/Polyn%C3%B4me_d%27endomorphisme "Polynôme d'endomorphisme") entre les polynômes et les applications linéaires d'un espace vectoriel est à l'origine d'une structure d'algèbre qui est un anneau, si la multiplication externe est *oubliée*.


Cette méthode permet d'élucider la structure de certains anneaux. Tout anneau est un espace vectoriel sur ceux de ses sous\-anneaux qui sont des corps. L'espace vectoriel ressemble à la structure développée par Grassman. Cette remarque est utilisée au début du XXe siècle, en particulier par [Emil Artin](/wiki/Emil_Artin "Emil Artin") et [Emmy Noether](/wiki/Emmy_Noether "Emmy Noether"), pour élucider cette structure dans le cas des anneaux artiniens et [noethériens](/wiki/Anneau_noeth%C3%A9rien "Anneau noethérien"), qui sont des copies de sous\-algèbres sur un espace vectoriel construit sur [sous\-anneau](/wiki/Sous-anneau "Sous-anneau") qui s'avère être un corps.


Un exemple est la généralisation d'un théorème de [Wedderburn](/wiki/Joseph_Wedderburn "Joseph Wedderburn") par Artin et portant maintenant le nom de [théorème d'Artin\-Wedderburn](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Artin-Wedderburn "Théorème d'Artin-Wedderburn"). Il est important en [algèbre non commutative](/wiki/Th%C3%A9orie_des_anneaux "Théorie des anneaux").


[Un lemme élémentaire](/wiki/Anneau_oppos%C3%A9 "Anneau opposé") permet par ailleurs d'interpréter le corps des [quaternions](/wiki/Quaternion "Quaternion") comme l'algèbre des [endomorphismes](/wiki/Repr%C3%A9sentation_de_groupe#Définitions "Représentation de groupe") d'[une représentation réelle de degré 4](/wiki/Quaternion#Représentation_des_quaternions_comme_matrices_4x4_de_nombres_réels "Quaternion") du [groupe associé](/wiki/Groupe_des_quaternions "Groupe des quaternions").



### Théorie de Galois

\[[modifier](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&veaction=edit&section=8 "Modifier la section : Théorie de Galois") \| [modifier le code](/w/index.php?title=Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit&section=8 "Modifier le code source de la section : Théorie de Galois")]
Article détaillé : [Théorie de Galois](/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois "Théorie de Galois").
[![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Pentagone_construit.png/220px-Pentagone_construit.png)](/wiki/Fichier:Pentagone_construit.png)

La théorie de Galois permet de déterminer quels polygones réguliers sont constructibles à la règle et au compas. [Le pentagone en fait partie](/wiki/Construction_du_pentagone_r%C3%A9gulier_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas "Construction du pentagone régulier à la règle et au compas").


La théorie de Galois contient de nombreux exemples d'espaces vectoriels. Elle consiste à étudier un corps comme un espace vectoriel sur un sous\-corps. Ainsi chaque sous\-corps permet de considérer la structure initiale comme un espace vectoriel particulier.


Un exemple d'application est celui des figures [constructible à la règle et au compas](/wiki/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas "Construction à la règle et au compas"). Ces points forment un corps disposant d'une structure d'espace vectoriel sur les nombres rationnels. Il est de dimension infinie et, pour chaque point, le plus petit sous\-corps le contenant est de dimension finie égale à une [puissance de 2](/wiki/Puissance_de_deux "Puissance de deux"). Un tel sous\-corps est appelé une [tour d'extensions quadratiques](/wiki/Tour_d%27extensions_quadratiques "Tour d'extensions quadratiques"). Cette propriété de ces espaces vectoriels permet de résoudre d'antiques conjectures comme la [duplication du cube](/wiki/Duplication_du_cube "Duplication du cube"), la [trisection de l'angle](/wiki/Trisection_de_l%27angle "Trisection de l'angle") ou la construction d'un [polygone régulier](/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier "Polygone régulier").


L'exemple historique de la théorie est celui de la résolution d'une [équation polynomiale](/wiki/%C3%89quation_polynomiale "Équation polynomiale"). Le [théorème d'Abel](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Abel_(alg%C3%A8bre) "Théorème d'Abel (algèbre)") donne une [condition nécessaire et suffisante](/wiki/%C3%89quivalence_logique "Équivalence logique") de résolution par [radicaux](/wiki/Racine_d%27un_nombre#Racines_d'un_complexe "Racine d'un nombre"). Les espaces vectoriels utilisés ont pour éléments ceux du plus petit corps *L* contenant tous les coefficients du polynôme ainsi que ses racines et le corps sous\-jacent est un sous\-corps *K* du premier contenant tous les coefficients. Le [groupe de Galois](/wiki/Groupe_de_Galois "Groupe de Galois") est composé des automorphismes du corps *L* qui laissent invariant le corps *K*. Ces automorphismes sont en nombre fini et sont des [automorphismes du *K*\-espace vectoriel](/wiki/Application_lin%C3%A9aire#Cas_particuliers "Application linéaire") *L*. L'élément clé de [la démonstration](/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Abel_(alg%C3%A8bre)#Démonstration_du_théorème_de_Galois "Théorème d'Abel (algèbre)") montre que l'équation est résoluble seulement si ces automorphismes sont [diagonalisables](/wiki/Diagonalisation "Diagonalisation").



## Notes et références

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1. [↑](#cite_ref-1) [Roshdi Rashed](/wiki/Roshdi_Rashed "Roshdi Rashed"), *D'Al Khwarizmi à Descartes, Étude sur l'histoire des mathématiques classiques*, Hermann, 2011
2. [↑](#cite_ref-2) Dans le cas où *G* est infinie, ce théorème utilise l'[axiome du choix](/wiki/Axiome_du_choix "Axiome du choix"), qui intervient de même dans les énoncés suivants en dimension infinie.
3. [↑](#cite_ref-3) (en) [C. W. Curtis](/wiki/Charles_W._Curtis "Charles W. Curtis"), « Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer », dans *[Math. Intelligencer](/wiki/The_Mathematical_Intelligencer "The Mathematical Intelligencer")*, 1992, p. 48\-57
4. [↑](#cite_ref-4) Les 11 premiers chapitres de [Jean\-Pierre Serre](/wiki/Jean-Pierre_Serre "Jean-Pierre Serre"), Représentations linéaires des groupes finis \[[détail des éditions](/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Repr%C3%A9sentations_de_groupes_(Serre) "Référence:Représentations de groupes (Serre)")] ne concernent que les espaces vectoriels complexes.
5. [↑](#cite_ref-5) (en) [Walter Feit](/wiki/Walter_Feit "Walter Feit"), *Characters of finite groups*, Benjamin, 1967
6. [↑](#cite_ref-6) (en) [William Burnside](/wiki/William_Burnside "William Burnside"), *Theory of Groups of Finite Order*, Dover, 2004
7. [↑](#cite_ref-7) (de) [Richard Brauer](/wiki/Richard_Brauer "Richard Brauer"), « Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern », dans *[Act. Sci. Ind.](/wiki/Hermann_(%C3%A9ditions)#1876-1956 "Hermann (éditions)")*, vol. 195, 1935


## Bibliographie

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* Vincent Blanloeil, *Une introduction moderne à l’algèbre linéaire*, Ellipses, 2012
* Roger Mansuy et Rached Mneimné, *Algèbre linéaire \- Réduction des endomorphismes*, Vuibert, 2012


## Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :


* [Algèbre linéaire](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Linear_algebra?uselang=fr), sur Wikimedia Commons
* [algèbre linéaire](https://fr.wiktionary.org/wiki/alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "wikt:algèbre linéaire"), sur le Wiktionnaire
* [Algèbre linéaire](https://fr.wikiversity.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "v:Algèbre linéaire"), sur Wikiversity
* [Algèbre linéaire](https://fr.wikibooks.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "b:Algèbre linéaire"), sur Wikibooks



### Articles connexes

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* [Propriétés métriques des droites et plans](/wiki/Propri%C3%A9t%C3%A9s_m%C3%A9triques_des_droites_et_plans "Propriétés métriques des droites et plans")
* [Algèbre générale](/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale "Algèbre générale")
* [Algèbre multilinéaire](/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9aire "Algèbre multilinéaire")
* [Loi d'inertie de Sylvester](/wiki/Loi_d%27inertie_de_Sylvester "Loi d'inertie de Sylvester")
* [Optimisation linéaire](/wiki/Optimisation_lin%C3%A9aire "Optimisation linéaire")
* [Algorithme de Bartels\-Stewart](/wiki/Algorithme_de_Bartels-Stewart "Algorithme de Bartels-Stewart")


### Liens externes

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* (en) [Linear Algebra](http://www.egwald.com/linearalgebra/index.php) par Elmer G. Wiens
* [Les cours du ROSO, dont de l'Algèbre linéaire](https://web.archive.org/web/20101108172830/http://roso.epfl.ch/teaching.html)
* [Braise : la base raisonnée d'exercices de mathématiques et son chapitre sur l'Algèbre linéaire](http://braise.univ-rennes1.fr/)
* (en) 3Blue1Brown, « [Essence of linear algebra](https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab) », sur YouTube (consulté le 12 juin 2018) chaîne dont le but est « d'animer les intuitions géométriques soustendant de nombreux sujets enseignés dans les cours habituels d'algèbre linéaire. »





| [v](/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire "Modèle:Palette Algèbre linéaire") · [m](https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire&action=edit)Algèbre linéaire générale | | |
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| * [Vecteur](/wiki/Vecteur "Vecteur") * [Scalaire](/wiki/Scalaire_(math%C3%A9matiques) "Scalaire (mathématiques)") * [Combinaison linéaire](/wiki/Combinaison_lin%C3%A9aire "Combinaison linéaire") * [Espace vectoriel](/wiki/Espace_vectoriel "Espace vectoriel") * [Matrice](/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques) "Matrice (mathématiques)") | | |
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| * [Algèbre](/wiki/Alg%C3%A8bre "Algèbre") * [Algèbre commutative](/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative "Algèbre commutative") * [Algèbre homologique](/wiki/Homologie_et_cohomologie "Homologie et cohomologie") * Algèbre linéaire * [Analyse](/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques) "Analyse (mathématiques)") * [Analyse réelle](/wiki/Analyse_r%C3%A9elle "Analyse réelle") * [Analyse complexe](/wiki/Analyse_complexe "Analyse complexe") * [Analyse fonctionnelle](/wiki/Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques) "Analyse fonctionnelle (mathématiques)") * [Analyse numérique](/wiki/Analyse_num%C3%A9rique "Analyse numérique") * [Calcul quantique](/wiki/Ordinateur_quantique "Ordinateur quantique") * [Combinatoire](/wiki/Combinatoire "Combinatoire") * [Géométrie](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie "Géométrie") * [Géométrie algébrique](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique "Géométrie algébrique") * [Géométrie différentielle](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle "Géométrie différentielle") * [Géométrie non commutative](/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_commutative "Géométrie non commutative") * [Optimisation](/wiki/Optimisation_(math%C3%A9matiques) "Optimisation (mathématiques)") * [Physique mathématique](/wiki/Physique_math%C3%A9matique "Physique mathématique") * [Probabilités](/wiki/Probabilit%C3%A9 "Probabilité") * [Statistiques](/wiki/Statistique "Statistique") * [Systèmes dynamiques](/wiki/Syst%C3%A8mes_dynamiques "Systèmes dynamiques") * [Théorie des nombres](/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres "Théorie des nombres") * [Théorie de Galois](/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois "Théorie de Galois") * [Théorie des groupes](/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes "Théorie des groupes") * [Topologie](/wiki/Topologie "Topologie") * [Topologie algébrique](/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique "Topologie algébrique") | |



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