वो ट्रिक जिससे जल्दी हल होंगे डिविसिबिलिटी और रिमेंडर के सवाल
Quick Maths Tricks: Divisibility Test Trick for Fast Calculations आप इन सवालों को प्लेस वैल्यू सिस्टम, फेस वैल्यू सिस्टम और विभाज्यता के नियमों के बारे में जानकर आसानी से हल कर सकते हैं। विभाज्यता के नियम (Rules for divisibility)
मान लीजिए आपको पता करना है कि संख्या 987654, 4 से विभक्त होगी या नहीं। या यदि विभक्त नहीं होगी तो रिमेंडर क्या होगा? या संख्या 12349876 को 99 से भाग देने पर रिमेंडर (remainder) क्या होगा? 123678987 को 999 से भाग देने पर आने वाले शेषफल निकालने की आसान ट्रिक क्या है?
आप इन सवालों को प्लेस वैल्यू सिस्टम, फेस वैल्यू सिस्टम और विभाज्यता के नियमों के बारे में जानकर आसानी से हल कर सकते हैं।
करिअर फंडा में स्वागत!
हमने पिछले आर्टिकल में प्लेस वैल्यू सिस्टम और फेस वैल्यू सिस्टम के बारे में बात की थी। आज हम जानेंगे 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 के विभाज्यता के नियम, उनके कारण और उनसे सम्बंधित विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के बारे में।
विभाज्यता के नियम (Rules for divisibility)
1) 2 से विभाज्यता का नियम - 
सभी सम संख्याएं (Even Numbers) दो से पूरी तरह विभाजित होती हैं। उदाहरण के लिए, 12, 140, 2310 इत्यादि।
कारण - इसका कारण एकदम आसान है, क्योंकि सम संख्या की परिभाषा ही यह होती है कि ऐसी संख्याएं जो दो से पूर्णतः विभक्त (कम्प्लीटली डिवाइड) होती हैं।
2) 3 और 9 से विभाज्यता का नियम
3 और 9 की विभाज्यता का नियम एक समान है।
विभाज्यता चेक करने वाली संख्या के अंकों का योग 3 या 9 (जिसके लिए भी आप चेक कर रहे हैं) से विभाजित होना चाहिए।
उदाहरण – मान लीजिए कि आप संख्या 235789 को 3 या 9 से विभक्त्तता के लिए चेक करना चाहते हैं तो आप इस संख्या के विभिन्न अंकों के फेस वैल्यू या डिजिट वैल्यू (जातीय मान) को जोड़ लीजिए-
2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9 = 34 = 3 + 4 = 7 आया जो ना तो 3 से विभक्त होता है और ना ही 9 से, तो यह संख्या 3 और 9 दोनों से ही पूरी तरह विभाजित नहीं होगी।
उदाहरण – 21729 पर विचार कीजिए। इसके अंकों का योग 2 + 1 + 7 + 2 + 9 = 21 = 2 + 1 = 3.
यह 3 से विभक्त होगा लेकिन 9 से नहीं इसीलिए संख्या 21729 भी केवल 3 से विभक्त होगी 9 से नहीं।
यदि कोई पूछे कि इन संख्याओं को 3 या 9 से डिवाइड करने पर शेषफल (रिमेंडर) क्या होगा तो आप इसी विधि का प्रयोग कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए पहले मामले में संख्या 235789 के अंकों का अंतिम योग 7 आया था तो इसका अर्थ है कि 235789 को 9 से विभाजित करने पर 7 रिमेंडर आएगा। लेकिन क्योंकि 7 अभी 3 से और आगे विभाजित किया जा सकता है इसलिए इस संख्या को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल के लिए हम 7 को 3 इस डिवाइड करेंगे, हमें 1 रिमेंडर प्राप्त होगा।
कारण – इसका कारण जानने के लिए आइए अलजेब्रा की हेल्प लेते हैं।
मान लीजिए पांच अंकों की एक संख्या abcde है.
तो यहां abcde का वास्तविक मान उसका प्लेस वैल्यू अर्थात 10000a + 1000b + 100c + 10d + e होगा।
जब हम इसको 3 से विभाजित करेंगे तो -
यहां पर गौर करने लायक बात यह है कि यदि a + b + c + d + e, 3 से पूरी तरह से विभाजित हो जाएगा तो पूरा उत्तर इंटीजर (पूर्णांक) हो जाएगा और यदि a + b + c + d + e, 3 से पूरी तरह विभाजित नहीं हुआ तो पूरा उत्तर भी मिक्स्ड फ्रैक्शन में आ जाएगा अर्थात पूरी तरह से विभाजित नहीं हुआ। इसीलिए इसके डिविसिबिलिटी रूल में हम केवल डिजिट के योग अर्थात (a + b + c + d + e) को चेक करते हैं।
इसी प्रकार, जब हम इसको 9 से विभाजित करेंगे तो -
यहां पर गौर करने लायक बात यह है कि यदि a + b + c + d + e, 9 से पूरी तरह से विभाजित हो जाएगा तो पूरा उत्तर इंटीजर (पूर्णांक) हो जाएगा और यदि a + b + c + d + e, 9 से पूरी तरह विभाजित नहीं हुआ तो पूरा उत्तर भी मिक्स्ड फ्रैक्शन में आ जाएगा अर्थात पूरी तरह से विभाजित नहीं हुआ। इसीलिए इसके डिविसिबिलिटी रूल में हम केवल डिजिट के योग अर्थात (a + b + c + d + e) को चेक करते हैं।
नोट - इस विधि का प्रयोग किसी संख्या को 99, 999, 9999 आदि से डिवाइड करने पर आने वाले रिमेंडर्स को निकालने के लिए किया जाता है।
उदाहरण - आपको संख्या 21729 को 99 से डिवाइड करने पर आने वाला रिमेंडर निकालना है तो आप इस संख्या को इकाई अंक की ओर से दो-दो अंकों की संख्या के पेअर में तोड़ लीजिए। हमारे मामले में 02 17 29 होंगी। गौर कीजिए सबसे आखिरी पेअर में हमने 02 लिया है क्योंकि वहां पेअर बनाने के लिए कोई डिजिट नहीं था। अब इनको जोड़ लीजिए 02 + 17 + 29 = 48. बस यही रिमेंडर है।
999 से डिवाइड कर रिमेंडर प्राप्त करने के लिए इकाई अंक की और से तीन अंकों का ग्रुप बनाएं। जैसे हमारे उदाहरण में 021 + 729 = 750। बस यहीं रिमेंडर होगा।
3) 4 और 8 से विभाज्यता का नियम - 
4 और 8 की विभाज्यता का नियम एक समान है।
4 के लिए - संख्या के आखिरी दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित होनी चाहिए।
8 के लिए - संख्या के आखिरी तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाजित होनी चाहिए।
उदाहरण – मान लीजिए कि आप एक संख्या 124678 को 4 से विभक्त्तता के लिए चेक करना चाहते हैं तो आप इस संख्या के आखिरी दो अंकों से बनी संख्या जोकि 78 है को लीजिये और देखिए कि क्या यह संख्या 4 से पूरी तरह डिवाइड होती है, यदि हो रही है, तो पूरी संख्या भी 4 से विभक्त होगी।
78 को 4 से डिवाइड करने पर यह पूरी तरह से डिवाइड नहीं होती और रिमेंडर 2 आता है, यही पूरी संख्या का भी रिमेंडर होगा।
इसी प्रकार 8 से विभक्त्तता को चेक करने के लिए आखिरी तीन अंकों (678) को देखना होगा।
678 को 8 से डिवाइड करने पर 6 रिमाइंडर या शेषफल आता है इसलिए हम कह सकते हैं की संख्या 124678, 8 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती और रिमाइंडर 6 आता है।
कारण - मान लीजिए पांच अंकों की एक संख्या abcde है. तो यहां abcde का वास्तविक मान उसका प्लेस वैल्यू
अर्थात 10000a + 1000b + 100c + 10d + e होगा।
यहां देखिए कि दहाई अंक के ऊपर की सभी टर्म्स 4 से पूरी तरह डिवाइड हो ही जाएंगी। केवल आखिरी दो अंकों से बनी संख्या (10d + e) पर ही यह निर्भर करेगा की पूरी संख्या 4 से डिवाइड होती है या नहीं।
इसी प्रकार 8 से डिवाइड करने पर सैकड़े अंक के ऊपर की सभी के टर्म्स 8 से पूरी तरह डिवाइड हो ही जाएंगी। केवल आखिरी तीन अंकों से बनी संख्या (100c + 10d + e) पर ही यह निर्भर करेगा की पूरी संख्या 8 से डिवाइड होती है या नहीं।
4) 5 से विभाज्यता का नियम - 
संख्या के इकाई अंक में 0 या 5 होना चाहिए। उदाहरण के लिए 115, 40 इत्यादि।
नोट - इस विधि का प्रयोग किसी संख्या को 99, 999, 9999 आदि से डिवाइड करने पर आने वाले रिमेंडर्स को निकालने के लिए किया जाता है।
आगे की संख्याओं की बात करें तो वास्तव में सभी अभाज्य संख्याओं जैसे 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… आदि के भी डिविसिबिलिटी रूल्स है, लेकिन बात आगे कभी।
5) 6 से विभाज्यता का नियम -
संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
2 से विभाज्य होने के लिए, इसका अंतिम अंक सम संख्या होना चाहिए (0, 2, 4, 6 या 8)।
3 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।
उदाहरण – आइए संख्या 216 लें। अंतिम अंक 6 है, जो सम संख्या है, इसलिए यह पहली शर्त को पूरा करता है।
इसके अंकों का योग 2+1+6 = 9 है, जो 3 से विभाज्य है, इसलिए यह दूसरी शर्त को भी पूरा करता है।
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 216, 6 से विभाज्य है।
6) 7 से विभाज्यता का नियम 
संख्या का अंतिम अंक लीजिए। अंतिम अंक को दोगुना करें, और अंतिम अंक के बिना शेष संख्या से घटाएं।
यदि परिणाम 7 (0 सहित) से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 7 से विभाज्य है। अन्यथा, यह नहीं है।
उदाहरण – आइए संख्या 308 लें। अंतिम अंक 8 है।
अंतिम अंक को दोगुना करने पर हमें 16 प्राप्त होता है। फिर, अंतिम अंक के बिना शेष संख्या में से 16 घटाएं, हमें 30-16=14 प्राप्त होता है।
चूंकि 14, 7 से विभाज्य है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 308 भी 7 से विभाज्य है।
आज का करिअर फंडा है कि डिविसिबिलिटी रूल्स को गहराई से समझ कर आप नंबर्स और अलजेब्रा के कई प्रश्नों को आसानी से हल कर सकते हैं।
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