पहचानने में होती है दिक्कत; इसे याद रखने के 8 तरीके सीखिए
What Are Prime Numbers or Abhajya Sankhyas? Importance and Examples दूसरे शब्दों में “ऐसी संख्याएं जिनके केवल 2 फैक्टर्स (गुणज), 1 और स्वयं संख्या होते हैं, प्राइम नंबर्स या अभाज्य संख्या कहलाती हैं।
यदि मैं आप से पूछूं कि बताएं 323 एक प्राइम नंबर होगा या नहीं, या फिर 437 होगा या नहीं?
क्या आप निश्चित तौर पर इसका उत्तर जल्दी से दे सकते हैं?
वैसे तो कॉम्पिटिटिव एग्जाम में प्राइम नंबर्स आधारित सवाल कई तरीकों से पूछे जा सकते हैं, फिर भी एक साधारण उदाहरण निम्न प्रकार हो सकता है
सवाल: निम्न विकल्पों में दी गई संख्याओं में से कौनसी प्राइम नंबर (केवल एक उत्तर संभव) है? 
विकल्प: 323, 437, 667, 701
क्या आप इसे कर पाएंगे?
करिअर फंडा में स्वागत!
आज हम अभाज्य संख्याओं या प्राइम नंबर्स पर बात करेंगे।
प्राइम नंबर्स 
अभाज्य संख्याएं या प्राइम नंबर्स क्या होते हैं?
ऐसी संख्याएं जो केवल दो अंकों से – पहला 1 और दूसरा स्वयं संख्या से – पूर्णतः विभाजित होती हैं, अभाज्य या प्राइम संख्याएं कहलाती हैं।
दूसरे शब्दों में “ऐसी संख्याएं जिनके केवल 2 फैक्टर्स (गुणज), 1 और स्वयं संख्या होते हैं, प्राइम नंबर्स या अभाज्य संख्या कहलाती हैं।
प्रथम पच्चीस प्राइम्स 
उदाहरण के लिए: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, प्रथम 25 प्राइम नंबर हैं। ये सीरीज ऐसे ही आगे चलती जाएगी।
प्राइम नंबर्स का महत्व
एग्जाम में पूछे जाने के अलावा प्राइम नंबर्स क्रिप्टोग्राफी में सुरक्षित कम्युनिकेशन सुनिश्चित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
1) Public Key encryption algorithm: आरएसए (RSA) जैसे पब्लिक-की एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम बड़ी (सात, आठ, नौ या उससे भी बड़ी) प्राइम नंबर्स का उपयोग करते हैं। इन एल्गोरिदम की सुरक्षा गुणनखंडन की कठिनाई पर टिकी रहती है। इसलिए, यदि पासवर्ड या सुरक्षा संख्या को लंबा और जटिल बनाया जाता है, और दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल, तो इसके पीछे की जानकारी को डिकोड करने के लिए दुनिया के दशकों में सबसे तेज कंप्यूटर ले सकता है। इस प्रकार प्राइम नंबर्स आपकी संवेदनशील जानकारी की सुरक्षा करती है।
2) In Nature: प्राइम नंबर्स नेचर में भी पाए जाते हैं, जैसे कि कई फूलों की पंखुड़ियों की अक्सर प्राइम नंबर्स में होती हैं, इत्यादि।
प्राइम नंबर्स की याद रखने योग्य 8 प्रॉपर्टी
1) प्राइम नंबर्स, नेच्युरल नंबर्स अर्थात प्राकृत संख्याओं का सबसेट (उपसमुच्चय) होते हैं इसलिए वे ऋणात्मक नहीं होते। सभी प्राइम नंबर्स पॉजिटिव अर्थात धनात्मक होते हैं।
2) सबसे छोटा प्राइम नम्बर 2 है। जी हाँ, संख्या 1 प्राइम नंबर नहीं क्योंकि इसके दो अलग-अलग फैक्टर नहीं होते (केवल एक फैक्टर होता है 1).
3) संख्या 2 को छोड़ कर बाकि सभी प्राइम नंबर ऑड अर्थात विषम संख्याएं होती हैं। इसे इस प्रकार भी कह सकते हैं कि 2 एकमात्र सम, प्राइम नंबर है।
4) 3 से बड़े सभी प्राइम नंबर्स 6k ± 1 के फॉर्म में हैं, जहां k एक प्राकृत या नेच्युरल नंबर है। उदाहरण के लिए 5 = 6×1 - 1, 7 = 6×1 + 1 इत्यादि।
5) लेकिन उपरोक्त नियम उलटी दिशा में सत्य नहीं है, अर्थात 3 से बड़ी कोई भी प्राइम नंबर तो 6k ± 1 के फॉर्म में होंगी लेकिन यह नहीं कहा जा सकता कि 6k ± 1 के फॉर्म वाली सभी नंबर्स प्राइम हैं। उदाहरण के लिए 25, 35 इत्यादि।
6) 50 तक, कुल पंद्रह प्राइम नंबर्स हैं जो हैं – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
7) 100 तक, कुल पच्चीस प्राइम नंबर्स हैं जो हैं – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
8) इसी प्रकार, 1000 तक आने वाले कुल प्राइम नंबर्स की संख्या 168 होती है।
कोई संख्या प्राइम है या नहीं यह निश्चित रूप से कैसे पता करें
विभिन्न विधियों का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की पहचान की जा सकती है।
सबसे सरल तरीका दी गई संख्या के वर्गमूल (स्क्वायर रुट) तक संख्याओं की विभाज्यता की जांच करना है। यदि उस सीमा के भीतर कोई विभाजक नहीं मिलता है, तो संख्या अभाज्य है।
एक छात्र को स्क्वायर की सीरीज याद होनी चाहिए – 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, ...
उदाहरण के लिए ऊपर दिए प्रश्न को हल करते हैं
सवाल: निम्न विकल्पों में दी गई संख्याओं में से कौनसी प्राइम नंबर (केवल एक उत्तर संभव) है? 
विकल्प: 323, 437, 667, 701
पहले विकल्प में दी गई संख्या 323 – 323 के बिलकुल पीछे आने वाली पूर्ण वर्ग संख्या (कम्प्लीट स्क्वेयर नंबर) = 289 (17^2) – हमें 323 को 17 तक विभाजित (डिवाइड) करके देखना है – यदि यह 17 तक किसी भी संख्या से डिवाइड हो जाता है तो फिर यह प्राइम नहीं होगा – चूंकि 323, 17 (से 19 बार) विभक्त हो जाता है इसलिए यह प्राईम नंबर नहीं है।
दूसरा विकल्प: 437 – 437 के बिलकुल पीछे आने वाली पूर्ण वर्ग संख्या (कम्प्लीट स्क्वेयर नंबर) = 400 (20 ^2) - चूंकि 437, 19 से (23 बार) विभक्त हो जाता है इसलिए यह प्राइम नंबर नहीं है।
तीसरा विकल्प:  667 – 667 के बिलकुल पीछे आने वाली पूर्ण वर्ग संख्या (कम्प्लीट स्क्वेयर नंबर) = 625 (25 ^2) - चूंकि 667, 23 से (29 बार) विभक्त हो जाता है इसलिए यह प्राइम नंबर नहीं है।
अंतिम विकल्प: 701 – 701 के बिलकुल पीछे आने वाली पूर्ण वर्ग संख्या (कम्प्लीट स्क्वेयर नंबर) = 676 (26 ^2) - चूंकि 701, 26 तक आने वाली किसी भी संख्या से पूर्णतः विभक्त नहीं होता है इसलिए यह प्राइम नंबर है।
उम्मीद करता हूं, मेथड समझ में आ गया होगा। आज के लिए इतना ही!
आज का करिअर फंडा यह है कि प्राइम नंबर्स प्रकृति में तो बड़ा रोल प्ले करते ही हैं, लेकिन परीक्षाओं में भी इनपर अनेकों प्रश्न आते हैं, इसलिए अपनी पकड़ बना कर रखें।
कर के दिखाएंगे!