कॉम्पिटिटिव एग्जाम में दिलाएगा सफलता, जानिए बिना सॉल्व करें कैसे पता करें 'क्वाड्रेटिक इक्वेशन'
How to Solve Quadratic Equations Quickly and Easily for Competitive Exams इन दो समीकरणों 2x + 3y = 31 तथा 8x - 5y = 5 पर विचार कीजिये। लगभग सभी बोर्ड्स में दसवीं कक्षा तक इन समीकरणों को हल करना सिखा दिया जाता है।
इन दो समीकरणों 2x + 3y = 31 तथा 8x - 5y = 5 पर विचार कीजिये। लगभग सभी बोर्ड्स में दसवीं कक्षा तक इन समीकरणों को हल करना सिखा दिया जाता है।
इन समीकरणों को क्या कहते हैं? 
'लीनियर इक्वेशंस विथ टू वेरिएबल्स' या हिंदी में कहें तो 'दो चरों (या अज्ञात राशियों) के रैखिक समीकरण'।
स्टूडेंट्स को तो याद होगा ही, बाकि लोग थोड़ा याददाश्त पर जोर डालिये, कक्षा दस तक आप इन समीकरणों या इक्वेशंस को चार विधियों से हल करते थे
विलोपन (Elimination)
प्रतिस्थापन (Substitution)
क्रॉस मल्टिप्लिकेशन (Cross Multiplication)
ग्राफिकल मेथड (Graphical Method)
क्या आपको पता है, इन दो अज्ञात राशियों के समीकरणों को 'लीनियर' अर्थात 'रैखिक' समीकरण क्यों कहते हैं?
ऐसा इसलिए क्योंकि, जब आप xy – प्लैन पर इन इक्वेशंस का ग्राफ बनाते हैं, तो हमें हमेशा सीधी लाइंस या रेखाएं प्राप्त होती हैं। क्योंकि, रेखा या लाइन प्राप्त होती है, इसलिए 'रैखिक' या 'लीनियर' इक्वेशंस।
लेकिन जरा एक मिनट रुकिए, क्या इसका मतलब यह है कि मैं किसी लाइन (रेखा) को शब्दों या चिन्हों में लिख सकता हूँ?
जी हाँ, केवल रेखाओं को ही नहीं बल्कि अपने आस-पास के किसी भी जियोमेट्रिकल आकृतियों जैसे, त्रिभुज (Triangle), चतुर्भुज (Quadrilateral), वृत्त (Circle), दीर्घवृत्त (Ecclipse), परवलय (Parabola), अतिपरवलय (Hyperbola) इत्यादि सभी को चिन्हों के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं।
रूप से समीकरण की यात्रा 
हमारे आस-पास के इन प्राकृतिक रूपों को शब्दों, चिन्हों और इक्वेशंस के रूप लिख पाना मनुष्यों के विकास के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण बात थी। इसके बिना मैक्सवेल की इलेक्ट्रोमेग्नेटिक इक्वेशंस तो छोड़ दीजिये न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम भी लिखना समझना असंभव था।
क्या आप जानते हैं वे कौन व्यक्ति हैं, जिनके कारण यह संभव हो पाया? हम बात कर रहे हैं, सत्रहवीं शताब्दी के फ़्रांसिसी फिलोसोफर और मैथेमैटिशियन रेने देकार्त (Rene Descartes) की।
करियर फंडा में स्वागत! 
आज हम जानेंगे फिलॉसफर और मैथेमैटिशियन रेने देकार्त से मिलने वाले ऐसे ही और गणितीय सबकों के बारे में। विभिन्न कॉम्पिटिटिव एग्जाम के लिए तो यह गणित उपयोगी है ही आप अपने इसका दैनिक जीवन में विभिन्न समस्याओं के समाधान के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं।
अलजेब्रा से ज्योमेट्री को जोड़ना
आपने चित्र में दिखाए हुए, xy - प्लेन पर ग्राफ तो जरूर बनाये होंगे, लेकिन क्या आपको पता हैं, इस प्लैन को इसके आविष्कारक (रेने देकार्त) के नाम पर 'कार्टिशियन प्लैन' कहा जाता है?
सत्रहवीं शताब्दी में हुआ यह एक ऐसा आविष्कार था , जिसने गणित की दो शाखाओं एल्जेब्रा (बीजगणित) और जियोमेट्री (ज्यामिति) को जोड़ दिया। इस प्लेन का उपयोग करके आप प्रकृति में पाई जाने वाली किसी भी आकृति को चिन्हों, शब्दों और समीकरणों में लिख सकते थे।
इस जबरदस्त आविष्कार ने ज्यामिति के अध्ययन में क्रांति ला दी और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और कलन की नींव रखी, जिसने मनुष्यों को यूनिवर्स और प्रकृति को और करीब से समझने में मदद की।
देकार्त का साइन चेंज रूल
देकार्त ने किसी पोलिनोमियल इक्वेशन (बहुपद समीकरण) की पॉजिटिव और नेगेटिव रूट्स की संख्या निर्धारित करने के लिए एक नियम तैयार किया।
आप इसे कॉम्पिटिटिव एग्जाम में 'द्विघात अर्थात क्वाड्रेटिक इक्वेशंस' को हल करते वक्त गलत ऑप्शंस को हटाने के लिए कर सकते हैं।
जैसा कि आपको पता ही है कि किसी क्वाड्रटिक इक्वेशन के दो रूट्स अर्थात उत्तर होते हैं।
उदाहरण के लिए, x^2 + 5x + 6 = 0 को लीजिये
इस इक्वेशन में तीन टर्म्स है, पहली x^2, दूसरी 5x और तीसरी 6।
1) अब उलटे हाथ से शुरू कर के, हर क्रमागत रूप से आने वाले टर्म्स इक्वेशन के चिन्ह को देखना है। पहली टर्म (x^2) का चिन्ह + है और उसके पास वाली टर्म (5x) का चिन्ह भी + हैं, अतः हम इसे "चिन्ह में कोई परिवर्तन' नहीं के रूप में मानेंगे। अब दूसरी टर्म (5x) तथा अंतिम टर्म (6) दोनों का चिन्ह भी + हैं अतः हम इसे भी "चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं मानेंगे", क्योंकि चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं है, इसलिए इस इक्वेशन के दोनों रूट्स 'नेगेटिव होंगे'।
2) मान लीजिये इक्वेशन x^2 - 5x + 6 = 0 होती
इस दशा में पहली टर्म (+) से दूसरी टर्म (-) की और आते हुए "चिन्ह परिवर्तन हुआ है"।
इसी तरह दूसरी टर्म (-) से तीसरी टर्म (+) की और जाते हुए भी "चिन्ह परिवर्तन हुआ हैं"।
तो हम यह कह सकते हैं कि उक्त इक्वेशन में दो 'साइन चेंज' हैं। इसलिए इस इक्वेशन के दोनों रूट्स 'पॉज़िटिव होंगे'।
उम्मीद करता हूँ आप समझ गए होंगे।
क्वाड्रेटिक इक्वेशन में पहली टर्म से दूसरी टर्म और दूसरी टर्म से तीसरी टर्म तक जाते हुए जितने 'साइन चेंज' होते हैं, उतने 'पॉज़िटिव रूट्स' होते हैं। एक 'साइन चेंज का अर्थ एक 'पॉज़िटिव रुट' (मतलब दूसरा रुट नेगेटिव होगा), दो साइन चेंज का अर्थ 'दोनो रूट्स पॉज़िटिव' रूट्स और कोई साइन चेंज नहीं का अर्थ यह होगा कि कोई भी रुट पॉज़िटिव नहीं है (अर्थात दोनों रूट्स नेगेटिव हैं)।
देकार्त की सर्कल थ्योरम
थ्योरम के अनुसार यदि चार सर्कल चित्र में बताये अनुसार एक दूसरे को छूते हुए, हैं और काले सर्कल्स की त्रिज्याएँ (Radii) क्रमशः k1, k2, k3 और लाल सर्कल की त्रिज्याएँ k4 है तो इनका आपस में सम्बन्ध निम्न प्रकार होगा:
उम्मीद करता हूँ, आपको आर्टिकल पसंद आया होग!
आज का करियर फंडा यह है कि रेने देकार्त के योगदान ने गणित के क्षेत्र में एक अमिट छाप छोड़ी है। उनके अभिनव विचारों ने गणितीय समस्याओं को हल करने के तरीके को आकार देना जारी रखा है, जिन्हें सीख कर हम कॉम्पिटिटिव एग्जाम में सफलता प्राप्त कर सकते हैं।
कर के दिखाएंगे!