Κύκλος του Ρίμαν
 Η διάμετρος του κύκλου του Ρίμαν είναι π, σε αντίθεση με τη συνήθη τιμή 2 για την Ευκλείδεια διάμετρο του μοναδιαίου κύκλου. Η συμπερίληψη του κύκλου του Ρίμαν ως ισημερινού (ή οποιουδήποτε μεγάλου κύκλου) της 2-σφαίρας σταθερής καμπυλότητας του Γκάους +1, είναι μια ισομετρική ενσωμάτωση με την έννοια των μετρικών χώρων (δεν υπάρχει ισομετρική εμπλοκή του κύκλου του Ρίμαν στο χώρο του Χίλμπερτ με αυτή την έννοια). Ένα μακροχρόνιο ανοιχτό πρόβλημα, που θέτει ο Μιχαήλ Γκρόμοφ, αφορά τον υπολογισμό του εμβαδού του κύκλου του Ρίμαν. Το εμβαδόν υποτίθεται ότι είναι 2π, μια τιμή που επιτυγχάνεται από το ημισφαίριο της σταθερής καμπυλότητας του Γκάους +1. Gromov, M .: "Filling Riemannian multipolds", Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1 – 147.
Στη θεωρία του μετρικού χώρου και τη γεωμετρία του Ρίμαν, ο κύκλος του Ρίμαν είναι ένας μεγάλος κύκλος εξοπλισμένος με την ορθοδρομία του μεγάλου κύκλου. Είναι ο κύκλος εξοπλισμένος με την εγγενή της μετρικής του Ρίμαν μιας συμπαγούς μονοδιάστατης πολλαπλής συνολικού μήκους 2π, ή την εξωτερική μέτρηση που λαμβάνεται με περιορισμό της εσωτερικής μετρικής στη σφαίρα, σε αντίθεση με την εξωτερική μετρική που λαμβάνεται με περιορισμό της Ευκλείδειας μετρικής στον μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο. Έτσι, η απόσταση μεταξύ ενός ζεύγους σημείων ορίζεται ως το μήκος του μικρότερου από τα δύο τόξα στα οποία ο κύκλος χωρίζεται από αυτά τα δύο σημεία.