Αλγεβρική θεωρία αριθμών
 Τα πρώτα χνάρια της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών εντοπίζονται τον 3ο αιώνα μ.Χ στις διοφαντικές εξισώσεις, οι οποίες πήραν την ονομασία τους από τον Έλληνα μαθηματικό της Αλεξάνδρειας, Διόφαντο, ο οποίος τις μελέτησε και ανέπτυξε μεθόδους επίλυσης για ορισμένα είδη αυτών των εξισώσεων. Ένα σύνηθες πρόβλημα διοφαντικής εξίσωσης είναι να βρεθούν δύο ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε, το άθροισμά τους, και το άθροισμα των τετραγώνων τους να ισούται με δύο δοθέντες αριθμούς Α και Β αντίστοιχα. A = x + y {\displaystyle A=x+y} B = x 2 + y 2 {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}} Οι διοφαντικές εξίσωσεις αποτελούν θέμα μελέτης εδώ και χιλιάδες χρόνια. Για παράδειγμα οι λύσεις της τετραδικής διοφαντικής εξίσωσης x2 + y2 = z2 δίνονται από τις πυθαγόρειες τριάδες, η οποία εξίσωση όμως είχε λυθεί αρχικά από τους Βαβυλώνιους(1800 π.Χ). Λύσεις των γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων, όπως της εξίσωσης 26x + 65y = 13 μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον Ευκλείδιο αλγόριθμο (5ος αιώνας π.Χ).Το σημαντικότερο έργο του Διόφαντου θεωρείται το Αριθμητικά, από το οποίο μόνο ένα μικρό μέρος έχει διασωθεί. Το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποτέλεσε πρώτα εικασία απο τον Πιερ ντε Φερμά το 1637, καθώς μελετούσε μία νέα έκδοση του Αριθμητικά . Ο ίδιος ισχυρίστηκε πως είχε ανακαλύψει μία απόδειξη, η οποία όμως ήταν αρκετά μεγάλη για να χωρέσει στο περιθώριο του βιβλίου. Παρά τις προσπάθειες πολλών μαθηματικών, η πρώτη απόδειξη του θεωρήματος δημοσιεύθηκε το 1995, 358 χρόνια μετά την έμπνευσή της εικασίας. Η προσπάθεια εύρεσης της απόδειξης του θεωρήματος έδωσε κίνητρο για την ανάπτυξη της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών τον 19ο αιώνα και για την απόδειξη της εικασίας των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ τον 20ο αιώνα. Ένα από τα ιδρυτικά έργα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, η Disquisitiones Arithmeticae ( Λατινικά : Αριθμητικές Διερευνήσεις) είναι ένα εγχειρίδιο της θεωρίας αριθμών γραμμένο στα Λατινικά από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1798, όταν ο Γκάους ήταν 21 ετών και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1801, όταν ήταν 24. Σε αυτό το βιβλίο ο Γκάους συγκεντρώνει αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών που λαμβάνονται από μαθηματικούς όπως o Πιερ ντε Φερμά,ο Λέοναρντ Όιλερ,ο Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ και ο Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ και προσθέτει σημαντικά δικά του αποτελέσματα. Πριν δοθεί στη δημοσιότητα η Disquisitiones, η θεωρία αριθμών αποτελείτο από μια συλλογή απομονωμένων θεωρημάτων και εικασιών. Ο Γκάους συγκέντρωσε το έργο των προκατόχων του μαζί με το δικό του πρωτότυπο έργο σε ένα συστηματικό πλαίσιο, συμπλήρωσε κενά, διόρθωσε εσφαλμένες αποδείξεις και επέκτεινε το θέμα με πολλούς τρόπους. Η Disquisitiones ήταν το σημείο εκκίνησης για την έρευνα και άλλων μαθηματικών του δέκατου ένατου αιώνα από την Ευρώπη, συμπεριλαμβανομένων των Έρνστ Κούμερ, Πέτερ Γκουστάφ Λεζέν Ντίριχλετ και Ρίχαρντ Ντέντεκιντ. Πολλοί από τους σχολιασμούς που δόθηκαν από τον Γκάους είναι αποτέλεσμα ανακοινώσεων της περαιτέρω έρευνας του, μερικές από τις οποίες παρέμειναν αδημοσίευτες. Πρέπει να έχουν φανεί ιδιαίτερα αινιγματικές στους σύγχρονούς του: εμείς μπορούμε τώρα να τις αναγνωρίζουμε ειδικότερα.ως βάση των θεωριών L-συνάρτησεις και Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός. Σε μερικά άρθρα του το 1838 και το 1839 ο Πέτερ Γκουστάφ Λεζέν Ντίριχλετ απέδειξε την πρώτη Φόρμουλα αριθμού των κλάσεων για Τετραγωνικές Μορφές (αργότερα τελειοποιήθηκε από τον μαθητή του Κρόνεκερ). Ο τύπος, τον οποίο ο Γιακόμπι απέδωσε ως "αγγίζοντας το άκρο του ανθρώπινου δαιμόνιου», άνοιξε το δρόμο για παρόμοια αποτελέσματα όσον αφορά το γενικότερο Σώμα Αριθμών. Με βάση την έρευνά του για τη δομή της Θεωρία του δακτυλίου για Τετραγωνικές Μορφές, απέδειξε το Θεώρημα δακτυλίων του Ντίριχλετ, ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.Ο ίδιος χρησιμοποίησε για πρώτη φορά την Αρχή του περιστερώνα, ένα βασικό επιχείρημα καταμέτρησης, στην απόδειξη του θεωρήματος της Προσέγγισης του Διόφαντου, που αργότερα πήρε το όνομά του ως Θεώρημα προσεγγίσεως του Ντίριχλετ. Έχει συνεισφέρει σημαντικά στο Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, όπου απέδειξε τις περιπτώσεις για n = 5 και n = 14, και στον Νόμο της τεταρτοβάθμιας αμοιβαιότητας. Το Πρόβλημα Διαιρετότητας του Ντίριχλετ, για το οποίο βρήκε τα πρώτα αποτελέσματα, εξακολουθεί να είναι άλυτο πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών, παρά τις τελευταίες συνεισφορές άλλων ερευνητών. Η μελέτη του Ρίχαρντ Ντέντεκιντ στην εργασία του Λεζέν Ντίριχλετ ήταν αυτό που τον οδήγησε σε μεταγενέστερη μελέτη των Σωμάτων αριθμών και των Ιδεωδών. Το 1863, δημοσίευσε διαλέξεις του Λεζέν Ντίριχλετ στην Θεωρία αριθμών ως Vorlesungen über Zahlentheorie ("Διαλέξεις για την Θεωρία Αριθμών") για τις οποίες έχει γραφτεί ότι: "Παρά το γεγονός ότι το βιβλίο σίγουρα βασίζεται στις διαλέξεις του Ντίριχλετ, και παρόλο που ο Ντέντεκιντ καθ'όλη τη διάρκεια της ζωής του ανέφερε πως το βιβλίο ανήκει στον Ντίριχλετ, αυτό συντάχθηκε εξ ολοκλήρου από τον Ντέντεκιντ, ως επί το πλείστον μετά το θάνατο του Ντίριχλετ." (Εντουαρντς 1983)Στις εκδόσεις των Διαλέξεων το 1879 και το 1894 συμπεριλαμβάνονται συμπληρώματα, εισάγοντας την έννοια ενός ιδεώδους, θεμελιώδους σημασίας για την Θεωρία του δακτυλίου. (Η λέξη "Δακτύλιος", η οποία εισήχθη αργότερα από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ , δεν εμφανίζεται στο έργο του Ντέντεκιντ.) Ο Ντέντεκιντ ορίζει ένα ιδεώδες ως ένα υποσύνολο ενός συνόλου αριθμών, που αποτελείται από αλγεβρικούς ακεραίους που ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές. Η έννοια υποβλήθηκε σε περαιτέρω ανάπτυξη στα χέρια του Χίλμπερτ και ιδιαίτερα, της Έμμυ Ναίτερ. Τα ιδεώδη γενικεύτηκαν από τους ιδεώδεις αριθμούς του Έρνστ Έντουαρντ Κούμερ, σχεδιασμένα ως μέρος της προσπάθειας του Κούμερ το 1843 να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ ένωσε τον τομέα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών με την πραγματεία του Εργασία στους αριθμούς το 1897 (κυριολεκτικά «έκθεση σχετικά με τους αριθμούς»). Επέλυσε επίσης ένα μοναδικό στην θεωρία αριθμών πρόβλημα, το πρόβλημα του Waring το 1770 . Όπως και με την Αλγεβρική θεωρία αριθμών , χρησιμοποίησε μια απόδειξη ύπαρξης που δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν λύσεις για το πρόβλημα αντί να παρέχεται ένας μηχανισμός για να παράγει τις απαντήσεις. Έπειτα δεν κατείχε μεγάλο υλικό προς δημοσίευση πάνω στο θέμα, όμως η εμφάνιση της Φόρμας Μέτρου Χίλμπερτ στην διατριβή ενός φοιτητή, δείχνει ότι το όνομα και η έρευνά του συνδέθηκε περαιτέρω με έναν μεγάλο κλάδο των μαθηματικών. Έκανε μια σειρά εικασιών για την Θεωρία πεδίων κλάσεων. Οι έννοιες είχαν μεγάλη επιρροή, και η σημαντική του συνεισφορά διακρίνεται στην ονομασία των Πεδίων κλάσεων Χιλμπερτ και του Σύμβολου Χίλμπερτ στην Τοπική θεωρία πεδίων κλάσεων. Τα αποτελέσματα ως επί το πλείστον αποδείχτηκαν μέχρι το 1930, μετά από την εργασία του Τείχι Τακάγκι. Ο Εμίλ Άρτιν καθιέρωσε τον Νόμο αμοιβαιότητας Άρτιν σε μια σειρά εγγράφων (1924,1927,1930). Αυτός ο νόμος είναι ένα γενικό θεώρημα της Θεωρία αριθμών που αποτελεί κεντρικό τμήμα της παγκόσμιας Θεωρίας των πεδίων κλάσεων. Ο όρος Νόμος της αμοιβαιότητας αναφέρεται σε μια μακρά σειρά από θεμελιώδης πολυάριθμες θεωρητικές δηλώσεις στις οποίες γενικεύτηκε, από τον Νόμο τεταρτοβάθμιας αμοιβαιότητας και τους νόμους της αμοιβαιότητας των Αϊζενστάιν και Έρνστ Κούμερ μέχρι και το μέτρο γινόμενου του Ντάβιντ Χίλμπερτ για το Σύμβολο Χίλμπερτ. Τα αποτελέσματα του Άρτιν έδωσαν μια μερική λύση για το Ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ. Γύρω στο 1955, οι ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμιούρα και Γιουτάκα Τανιγιάμα παρατήρησαν μια πιθανή σχέση ανάμεσα σε δύο φαινομενικά εντελώς διαφορετικούς τομείς μαθηματικών, στην Ελλειπτική καμπύλη και στην Modular form. Το προκύπτον Θεώρημα Επεκτασιμότητας (το τότε γνωστό ως εικασία Τάνιγιαμα-Σιμιούρα) αναφέρει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι Σπονδυλωτή, που σημαίνει ότι μπορεί να σχετίζεται με μια μοναδική Modular form. Αρχικά είχε απορριφθεί ως απίθανο ή πολύ υποθετικό, και ελήφθη πιο σοβαρά όταν o Όντρι Βέιγι, γνώστης της θεωρίας αριθμών, βρήκε στοιχεία που να υποστηρίζουν την εικασία χωρίς όμως κάποα απόδειξη, με αποτέλεσμα η "εκπληκτική" εικασία να ήταν συχνά γνωστή ως η εικασία των Τάνιγιαμα-Σιμιούρα-Βέιγι. Έγινε μέρος του Πρόγραμματος Laglands, έναν κατάλογο σημαντικών εικασιών που χρειάζονται απόδειξη ή διάψευση. Το 1993-1994, ο Άντριου Γουάιλς παρείχε μια Μαθηματική απόδειξη του Θεώρηματος Επεκτασιμότητας για την Ημιευσταθής ελλειπτική καμπύλη, η οποία μαζί με τo Θεώρημα Ribet, παρέχουν μια απόδειξη για το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά και το θεώρημα επεκτασιμότητας θεωρούνταν σχεδόν απρόσιτα για απόδειξη από τους σύγχρονους μαθηματικούς (αδύνατο ή σχεδόν αδύνατο να αποδειχθεί με βάση τις τρέχουσες γνώσεις). Ο Γουάιλ αρχικά ανακοίνωσε την απόδειξη του τον Ιούνιο του 1993 σε μια έκδοση που σύντομα αναγνωρίσθηκε ότι είχε σοβαρά κενά σε βασικά σημεία. Η απόδειξη διορθώθηκε από τον Γουάιλς, εν μέρει μέσω συνεργασίας του με τον Ρίχαρντ Τέιλορ, και η τελική, ευρέως αποδεκτή απόδειξη κυκλοφόρησε το Σεπτέμβριο του 1994 και δημοσιεύτηκε επίσημα το 1995. Η απόδειξη χρησιμοποιεί πολλές τεχνικές από την αλγεβρική γεωμετρία και την θεωρία αριθμών και έχει σημαντικό αντίκτυπο σε αυτούς τους κλάδους των μαθηματικών. Επίσης, χρησιμοποιεί τυποποιημένες κατασκευές της μοντέρνας αλγεβρικής γεωμετρίας, όπως την κατηγοριοποίηση διατάξεων και την θεωρία του Iwasawa όπως και άλλες τεχνικές του 20ου αιώνα, μη διαθέσιμες στον Φερμά. Μια από τις κυριότερες ιδιότητες του Ζ που δεν ισχύει στον δακτύλιο των ακεραίων Ο σε ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών Κ , είναι η μοναδική παραγοντοποίηση των ακεραίων σε γινόμενο πρώτων αριθμών . Οι πρώτοι αριθμοί στο Ζ γενικεύονται σε ανάγωγα στοιχεία στον δακτύλιο των ακεραίων Ο και παρόλο που η παραγοντοποίηση των στοιχείων του Ο σε ανάγωγα στοιχεία μπορεί να ισχύει σε ορισμένες περιπτώσεις (όπως στους ακέραιους μιγαδικούς αριθμούς Ζ [ i ] {\displaystyle [i]} ), μπορεί και να αποτύχει όπως στην περίπτωση του Ζ [ − 5 ] {\displaystyle [{\sqrt {-5}}]} , όπου 6 = 3 ⋅ 2 = ( 1 + − 5 ) ⋅ ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=3\cdot 2=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})} . Η ομάδα των κλάσεων των ιδεωδών του δακτυλίου Ο υπολογίζει κατά πόσο η μοναδική παραγοντοποίηση των στοιχείων αποτυγχάνει, συγκεκριμένα, η ομάδα των κλάσεων των ιδεωδών είναι τετριμμένη, αν και μόνο αν, ο δακτύλιος Ο είναι περιοχή μονοσήμαντης παραγοντοποίησης. Η μοναδική παραγοντοποίηση μπορεί να ανακτηθεί εν μέρει στον Ο, υπό την έννοια ότι έχει την ιδιότητα την μοναδικής παραγοντοποίησης των ιδεωδών σε πρώτα ιδεώδη (όπως η τομή Ντέντεκιντ ). Αυτό κάνει την μελέτη των πρώτων ιδεωδών στον Ο ιδιαίτερα σημαντική. Αυτός είναι ένας άλλος τομέας όπου τα πράγματα αλλάζουν από τους Ζ στον Ο: οι πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι παράγουν τα πρώτα ιδεώδη του Ζ, (στην πραγματικότητα κάθε πρώτος αριθμός είναι της μορφής (p)=:pZ για κάποιον πρώτο αριθμό p), δεν μπορούν πλέον να παράγουν πρώτα ιδεώδη στον Ο. Για παράδειγμα στον δακτύλιο των ακεραίων του Γκάους(ακέραιοι μιγαδικοί αριθμοί), το ιδεώδες 2Ζ[i] δεν είναι πλέον πρώτο ιδεώδες. Ειδικότερα, 2 Z [ i ] = ( ( 1 + i ) Z [ i ] ) 2 {\displaystyle 2Z[i]=((1+i)Z[i])^{2}} Από την άλλη πλευρά, το ιδεώδες 3Z[i] είναι ένα πρώτο ιδεώδες. Η ολοκληρωμένη απάντηση για τους ακέραιους του Γκάους λαμβάνεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Φερμά, καταλήγοντας στο αποτέλεσμα ότι για έναν περιττό πρώτο αριθμό p ισχύει p Z [ i ] {\displaystyle pZ[i]} είναι πρώτο ιδεώδες αν p ≡ 3 ( m o d 4 ) {\displaystyle p\equiv 3(mod4)} p Z [ i ] {\displaystyle pZ[i]} δεν είναι πρώτο ιδεώδες αν p ≡ 1 ( m o d 4 ) {\displaystyle p\equiv 1(mod4)} Γενικεύοντας αυτό το απλό αποτέλεσμα σε δακτυλίους ακεραίων είναι ένα βασικό πρόβλημα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Η θεωρία των πεδίων των κλάσεων επιλύει αυτό το πρόβλημα όταν ένα σώμα αριθμών Κ είναι η αβελιανή επέκταση του Q (δηλαδή η επέκταση Γκαλουά με αβελιανές ομάδες Γκαλουά) . Μία σημαντική γενίκευση της έννοιας των πρώτων ιδεωδών στον Ο επιτυγχάνεται με το πέρασμα από την ιδανική-θεωρητική προσέγγιση στην λεγόμενη εκτιμητική-θεωρητική προσέγγιση . Η σχέση μεταξύ των δύο προσεγγίσεων προκύπτει ως εξής. Εκτός από τη λειτουργία της συνήθης απόλυτης τιμής | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} :Q → {\displaystyle \rightarrow } R, υπάρχουν απόλυτες τιμές (συναρτήσεις) | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} :Q → {\displaystyle \rightarrow } R που ορίζονται για κάθε πρώτο αριθμό p στον Ζ και ονομάζονται p-αδικες απόλυτες τιμές. Το θεώρημα του Οστρόφσκι αναφέρει ότι αυτές είναι όλες οι πιθανές απόλυτες τιμές (συναρτήσεις) στον Q (ως ισοδυναμίες). Αυτό υποδηλώνει ότι η συνήθης απόλυτη τιμή θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένας άλλος πρώτος. Γενικότερα, πρώτος σε ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών Κ (επίσης καλείται και θέση) είναι μια κλάση ισοδυναμίας των απόλυτων τιμών στο Κ. Οι πρώτοι αριθμοί στο Κ είναι δύο ειδών: p-αδικές απόλυτες τιμές | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} μια για κάθε πρώτο ιδεώδες του Ο και η απόλυτη τιμή | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} που ορίζεται θεωρώντας το Κ ως ένα υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών με διάφορους πιθανούς τρόπους και χρησιμοποιώντας την απόλυτη τιμή |·| : C → R. Ένας πρώτος αριθμός της πρώτης περίπτωσης καλείται πεπερασμένος πρώτος (ή πεπερασμένη θέση) και ένας πρώτος της δεύτερης περίπτωσης καλείται άπειρος πρώτος (ή άπειρη θέση). Έτσι, το σύνολο των πρώτων αριθμών του Q γενικά συμβολίζεται ως { 2 , 3 , 5 , 7 , ..., ∞ } και η συνήθης απόλυτη τιμή στον Q συχνά συμβολίζεται ως | · | ∞. Το σύνολο των άπειρων πρώτων αριθμών του Κ μπορεί να περιγραφεί ρητά υπό τους όρους των εμβυθίσεων K → C (το μη-μηδενικό δακτύλιο ομομορφισμού από το Κ στο C). Συγκεκριμένα, το σύνολο των εμβυθίσεων μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα υποσύνολα, εκείνων που η εικόνα τους ανήκει στο R, και των υπολοίπων. Για κάθε εμβύθιση σ : K → R, αντιστοιχεί ένας μοναδικός πρώτος του Κ που προέρχεται από την απόλυτη τιμή που λαμβάνεται από τη σύνθεση της σ με τη συνήθη απόλυτη τιμή στον R. 'Ενας πρώτος που προκύπτει κατά αυτόν τον τρόπο ονομάζονται πραγματικος πρώτος (ή πραγματική θέση). Σε μία εμβύθιση τ : K → C της οποίας η εικόνα δεν περιέχεται στο R, μπορεί κανείς να κατασκευάσει μία ξεχωριστή εμβύθιση τ ¯ {\displaystyle {\overline {\tau }}} , που ονομάζεται συζυγής εμβύθιση, συνθέτοντας την τ με την μιγαδική απεικόνιση C → C. Λαμβάνοντας υπόψη ένα τέτοιο ζεύγος εμβυθίσεων τ {\displaystyle \tau } και τ ¯ {\displaystyle {\overline {\tau }}} , για ακόμα μία φορά υπάρχει μοναδική αντιστοιχία πρώτων του Κ που λαμβάνεται με την σύνθεση της τ με τη συνήθη απόλυτη τιμή (αντιθέτως συνθέτοντας με την τ ¯ {\displaystyle {\overline {\tau }}} παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα με την απόλυτη τιμή, δεδομένου ότι | z | = | z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} | για κάθε μιγαδικό αριθμό z ,όπου το z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} συμβολίζει το συζυγή μιγαδικό του z). Ένας τέτοιος πρώτος ονομάζεται μιγαδικός πρώτος (ή μιγαδική θέση). Η περιγραφή του συνόλου των απείρων πρώτων αριθμών γίνεται ως εξής: κάθε άπειρος πρώτος αριθμός αντιστοιχεί σε μία μοναδική εμβύθιση σ : K → R , ή σε ένα ζεύγος συζυγών εμβυθίσεων τ {\displaystyle \tau } , τ ¯ {\displaystyle {\overline {\tau }}} : K → C. Ο πλήθος των πραγματικών (αντίστοιχα μιγαδικών) πρώτων συχνά συμβολίζεται με r 1 {\displaystyle r_{1}} (αντίστοιχα r 2 {\displaystyle r_{2}} ). Στην συνέχεια ο συνολικός αριθμός των εμβυθίσεων K → C είναι r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r_{1}+2r_{2}} (που στην πραγματικότητα ισούται με τον βαθμό της επέκτασης Κ/Q). Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής περιγράφει την πολλαπλασιαστική δομή του Ζ. Σύμφωνα με το θεώρημα, κάθε μη μηδενικός ακέραιος μπορεί να γραφεί, με μοναδικό τρόπο, ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και των ακεραίων ±1. Η περιγραφή του θεωρήματος ισχύει εν μέρει για την μοναδική παραγοντοποίηση των ιδεωδών σε έναν δακτύλιο Ο, διότι δεν εφαρμόζεται για τους παράγοντες ±1. Οι ακέραιοι +1 και -1 είναι τα αντίστροφα στοιχεία (μοναδιαία στοιχεία) του Ζ. Γενικότερα τα αντίστροφα στοιχεία του Ο, αποτελούν ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό που ονομάζεται μοναδιαία ομάδα του Ο και συμβολίζεται με O×. Αυτή η ομάδα μπορεί να είναι αρκετά μεγαλύτερη της κυκλικής ομάδας τάξης 2 που σχηματίζεται από τα μοναδιαία στοιχεία του Ζ. Το θεώρημα του Πέτερ Γκουστάφ Λεζέν Ντίριχλετ για τις μοναδιαίες ομάδες περιγράφει την αφηρημένη δομή της μοναδιαίας ομάδας ως αβελιανής ομάδας. Μια πιο ακριβής περιγραφή είναι δυνατόν να επιτευχθεί, θεωρώντας την δομή του O× ⊗Z Q ως Γκαλουά module για την ομάδα Γκαλουά του K/Q. Τέλος, το μέγεθος της μοναδιαίας ομάδας και η δικτυωτή δομή της παρέχουν σημαντικές αριθμητικές πληροφορίες για τον δακτύλιο Ο, όπως μπορεί να φανεί από την φόρμουλα αριθμού των κλάσεων. Κύριο άρθρο: Τοπικά σώματα Η ολοκλήρωση ενός αριθμητικού σώματος Κ σε μία θέση w δίνει ένα πλήρη σώμα. Εάν έχουμε αρχιμήδεια αποτίμηση, παίρνουμε τον R ή τον C. Εάν δεν έχουμε αρχιμήδεια αποτίμηση και κείται σε έναν πρώτο αριθμό p των ρητών, παίρνουμε πεπερασμένη επέκταση K w / Q p {\displaystyle K_{w}/Q_{p}} : ένα πλήρες διακεκριμένο σώμα με πεπερασμένο ολοκληρωτικό υπόλοιπο. Αυτή η διαδικασία απλοποιεί την αριθμητική του πεδίου και επιτρέπει την τοπική μελέτη των προβλημάτων. Για παράδειγμα το θεώρημα του Κρονεκερ-Γουεμπερ μπορεί εύκολα να συναχθεί από την ανάλογη τοπική αναφορά. Η φιλοσοφία πίσω από την μελέτη των τοπικών πεδίων έχει ως κύριο κίνητρο τις γεωμετρικές μεθόδους. Στην αλγεβρική γεωμετρία, είναι συνηθισμένο να μελετάται τοπικά ένα σημείο με βάση το μέγιστο ιδεώδες. Παγκόσμιες πληροφορίες μπορούν στη συνέχεια να ανακτηθούν συγκεντρώνοντας μαζί τα τοπικά δεδομένα. Αυτό η μέθοδος υιοθετείται και στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών. Παίρνοντας έναν πρώτο αριθμό στον αλγεβρικό δακτύλιο των ακεραίων σε ένα αριθμητικό σώμα, είναι εφικτό να μελετήσουμε τοπικά το σώμα, σύμφωνα με τον πρώτο αυτόν αριθμό. Ως εκ τούτου εντοπίζεται ο δακτύλιος των αλγεβρικών ακεραίων σε αυτόν τον πρώτο αριθμό και στη συνέχεια συμπληρώνεται το κλασματικό πεδίο σύμφωνα με γεωμετρικές προσεγγίσεις. Ένα από τα βασικά αποτελέσματα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών είναι το γεγονός ότι η ομάδα των κλάσεων των ιδεωδών σε ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα Κ, είναι πεπερασμένη. Η τάξη της ομάδας των κλάσεων ονομάζεται Αριθμός κλάσεων και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα h. Κύριο άρθρο:Το θεώρημα του Ντίριχλετ για τις μοναδιαίες ομάδες Το θεώρημα του Ντίριχλετ δίνει μια περιγραφή της δομής της πολλαπλασιαστικής μοναδιαίας ομάδας O× του δακτυλίου των ακεραίων Ο. Πιο συγκεκριμένα περιγράφει ότι το O× είναι ισόμορφο με το G × Zr, όπου G είναι η πεπερασμένη κυκλική ομάδα που περιέχει όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που όταν υψωθούν σε μία ακέραια δύναμη δίνουν ως αποτέλεσμα την μονάδα (μοναδιαίες ρίζες) και ότι r = r1 + r2 - 1 όπου τα r1 και r2 αποτελούν τον αριθμό των πραγματικών και τον αριθμό των ζευγαριών συζυγών (μη πραγματικών) μέσα στο Κ. Με άλλα λόγια, η O× είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα τάξης r1 + r2 - 1 που περιέχει όλους εκείνους τους μιγαδικούς αριθμούς που όταν υψωθούν σε μία ακέραια δίνουν ως αποτέλεσμα την μονάδα. Κύριο άρθρο: Νόμος αμοιβαιότητας Ως προς το σύμβολο του Λετζέντρε (τετραγωνικά υπόλοιπα), ο νόμος της αμοιβαιότητας για θετικούς περιττούς πρώτους δηλώνει ότι ( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.} Ο νόμος της αμοιβαιότητας είναι μία γενίκευση του τετραγωνικού νόμου της αμοιβαιότητας. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι διατύπωσης του νόμου της αμοιβαιότητας. Οι πρώτοι νόμοι, που ανακαλύφθηκαν τον 19ο αιώνα εκφράζονταν ως προς το σύμβολο ν-οστού υπολοίπου (p/q), γενικεύοντας το σύμβολο του τετραγωνικού υπολοίπου, όταν δηλαδή ένας πρώτος αριθμός είναι η ν-οστή δύναμη ενός υπολοίπου modulo ενός άλλου πρώτου, και έδινε την σχέση μεταξύ των (p/q) και (q/p). Ο Χίλμπερτ αναδιατύπωσε τους νόμους της αμοιβαιότητας ισχυρίζοντας ότι ένα γινόμενο ως προς p του συμβόλου Χίλμπερτ (a,b/p) που παίρνει τιμές μοναδιαίων ριζών, ισούται με 1. Ο Έμιλ Άρτιν επίσης αναδιατύπωσε τους νόμους της αμοιβαιότητας δηλώνοντας πως το σύμβολο του Άρτιν από ιδεώδη προς τα στοιχεία μίας ομάδας Γκαλουά είναι τετριμμένο σε συγκεκριμένες υποομάδες. Διάφορες πιο πρόσφατες γενικεύσεις εκφράζουν τους νόμους της αμοιβαιότητας χρησιμοποιώντας ομάδες συνομολογίας, ομάδες adelic ή αλγεβρικές Κ-ομάδες ενώ η σχέση αυτών με τον τετραγωνικό νόμο αμοιβαιότητας, μπορεί δύσκολα να βρεθεί. Δείτε ακόμη: Νόμος τετραγωνικής αμοιβαιότητας Νόμος κυβικής αμοιβαιότητας Νόμος τεταρτοβάθμιας αμοιβαιότητας Νόμος αμοιβαιότητας του Άρτιν Κύριο άρθρο: Φόρμουλα αριθμού των κλάσεων Η φόρμουλα αριθμού των κλάσεων συνδέει πολλές σημαντικές αναλλοίωτες ενός αριθμητικού σώματος σε μία ειδική τιμή της ζήτα συνάρτησης του Ντέντεκιντ. Η αλγεβρική θεωρία αριθμών επιδρά με πολλούς διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών. Χρησιμοποιεί εργαλεία της ομολογικής άλγεβρας. Όσον αφορά την αναλογίας μεταξύ σωμάτων συναρτήσεων και αριθμητικών σωμάτων βασίζεται σε τεχνικές και ιδέες από την αλγεβρική γεωμετρία. Ακόμα, η μελέτη διατάξεων σε μεγαλύτερες διαστάσεις πάνω στον Ζ παραπέμπει στην αριθμητική γεωμετρία. Τέλος, η αλγεβρική θεωρία αριθμών χρησιμοποιείται στην μελέτη αριθμητικών υπερβολικών 3-πολλαπλοτήτων. Αριθμητική αλγεβρική γεωμετρία Θεωρία πεδίων των κλάσεων Θεωρία Κάμμερ Ομάδα κλάσης ιδεωδών
Η Αλγεβρική θεωρία αριθμών αποτελεί ένα σημαντικό τομέα της θεωρίας αριθμών που μελετάει αλγεβρικές δομές, οι οποίες σχετίζονται με αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτό επιτυγχάνεται θεωρώντας έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων O πάνω σε ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα K/Q και μελετώντας αλγεβρικές ιδιότητες όπως παραγοντοποίηση, την συμπεριφορά ιδεωδών και την επέκταση σωμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ορισμένες ιδιότητες και χαρακτηριστικά των ακεραίων - όπως η μοναδική παραγοντοποίηση - δεν ισχύουν απαραίτητα. Η εφαρμογή διάφορων θεωριών και μαθηματικών εργαλείων όπως θεωρία Γκαλουά, Ομάδες Συνομολογίας, Ομάδες Αναπαραστάσεων και L-συνάρτησεις επιτρέπουν την αντιμετώπιση νέων προβλημάτων, φαινομένων και εν μέρει την αποκατάσταση της συμπεριφοράς των ακεραίων αριθμών.