Δέντρο του Πυθαγόρα (φράκταλ)
 Ένα τετράγωνο κατασκευάζεται από μια γραμμή βάσης. Πάνω σε αυτό το βασικό στοιχείο (κορμός), σχεδιάζεται ένας κύκλος του Θαλή στην επάνω πλευρά και διαιρείται όπως απαιτείται. Το σημείο που προκύπτει συνδέεται με το στοιχείο βάσης (εικόνα 1) για να σχηματιστεί ορθογώνιο τρίγωνο. Ξεκινώντας από τις δύο πλευρές του τριγώνου, κατασκευάζεται και πάλι ένα τετράγωνο (εικόνα 2), σχεδιάζεται ένας κύκλος του Θαλή, διαιρείται, κατασκευάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο (εικόνα 3) και επεκτείνεται και πάλι για να σχηματιστεί ένα τετράγωνο (εικόνα 4). Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται όσες φορές χρειάζεται. Στα παρακάτω, έστω ότι το μήκος πλευράς του πρώτου τετράγωνοου (ο "κορμός") είναι ίσο με a {\displaystyle a} . Αν οι εσωτερικές γωνίες του πρώτου ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσες με 45°, 45° και 90°, οπότε τα μήκη των πλευρών είναι ίσα με 2 2 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a} , 2 2 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a} και a {\displaystyle a} , το Πυθαγόρειο δέντρο είναι συμμετρικό. Ο άξονας συμμετρίας είναι η μέση κάθετος της υποτείνουσας του πρώτου ορθογώνιο τρίγωνο και του ισοσκελές τρίγωνο. Το ύψος του πρώτου κλαδιού είναι 2 ⋅ a {\displaystyle 2\cdot a} (βλέπε εικόνα). Για να καθοριστεί το μέγιστο ύψος, απλά τοποθετούμε κλαδιά του σχήματος που φαίνεται στην εικόνα το ένα πάνω στο άλλο. Κάθε κλαδί έχει τη μισή βάση του προηγούμενου κλαδιού. Έτσι, το ύψος του δεύτερου κλάδου είναι a {\displaystyle a} , του τρίτου a 2 {\displaystyle {\tfrac {a}{2}}} , και ούτω καθεξής. Το συνολικό ύψος h {\displaystyle h} είναι επομένως : h = 2 ⋅ a + a + a 2 + a 4 + a 8 + … = 2 ⋅ a ( 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + … ) {\displaystyle h=2\cdot a+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{8}}+\ldots =2\cdot a\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots \right)} .Έτσι, χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική σειρά, έχουμε: h = 2 ⋅ a ⋅ ∑ i = 0 ∞ ( 1 2 ) i = 2 ⋅ a ⋅ 1 1 − 1 2 = 4 ⋅ a {\displaystyle h=2\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}=2\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=4\cdot a} Το αριστερό κλαδί αντιστοιχεί σε ένα εγκάρσιο δέντρο με βάση a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} . Ομοίως και το δεξί κλαδί. Στη μέση παραμένει ένας κορμός με πλάτος a {\displaystyle a} και οι δύο κύριοι κλάδοι ο καθένας με πλάτος a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} . Το πλάτος είναι επομένως h 2 ⏟ Ύψος αριστερά querliegender Baum + h 2 ⏟ Ύψος δεξιά querliegender Baum + a + a 2 + a 2 = 4 ⋅ a 2 + 4 ⋅ a 2 + a + a 2 + a 2 = 6 ⋅ a {\displaystyle \underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Ύψος αριστερά}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+\underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Ύψος δεξιά}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}={\frac {4\cdot a}{2}}+{\frac {4\cdot a}{2}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}=6\cdot a} Για τον υπολογισμό του μήκους του κορμού (δείτε τις κόκκινες γραμμές στο σχήμα), πρέπει να προστεθούν τα μήκη των πλευρών των τετραγώνων: τετράγωνο: ( 2 2 ) 0 ⋅ a = a {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{0}\cdot a=a} . τετράγωνο: ( 2 2 ) 1 ⋅ a = 2 2 ⋅ a {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{1}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a} Τετράγωνο: ( 2 2 ) 2 ⋅ a = 1 2 ⋅ a {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot a} Τετράγωνο: ( 2 2 ) 3 ⋅ a = 2 4 ⋅ a {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a} usw Ο παράγοντας 2 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} προστίθεται πάντα. Αν ξεκινήσετε την αρίθμηση από το 0, το μήκος πλευράς του i {\displaystyle i} -οστού τετραγώνου είναι ίσο με ( 2 2 ) i ⋅ a {\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}})^{i}\cdot a} . Επομένως, το συνολικό μήκος των κόκκινων γραμμών είναι: a ⋅ ∑ i = 0 ∞ ( 2 2 ) i = a ⋅ 1 1 − 2 2 = 2 ⋅ a 2 − 2 = a ⋅ ( 2 + 2 ) ≈ 3,414 ⋅ a {\displaystyle a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}=a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}={\frac {2\cdot a}{2-{\sqrt {2}}}}=a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)\approx 3{,}414\cdot a} Για να υπολογιστεί το μήκος της κορυφής του δέντρου (βλ. μπλε γραμμές στο σχήμα), πρέπει πρώτα να εξεταστούν τα εξής: Μπορούμε να φτάσουμε στις γωνίες του δέντρου προχωρώντας κατά μήκος των κλαδιών εναλλάξ αριστερά και δεξιά. Για να υπολογιστεί το μήκος της άνω οριζόντιας γραμμής, υπολογίζουμε πρώτα την απόκλιση από την κεντρική γραμμή του κορμού που προκαλείται από την ανάπτυξη ενός κλαδιού δεξιά-αριστερά. Η μέγιστη απόσταση της τελευταίας κορυφής από την πρώτη κεντρική γραμμή είναι τότε το άθροισμα των επιμέρους αποστάσεων: ∑ i = 0 ∞ 3 4 ⋅ ( 1 2 ) i ⋅ a = 3 4 ⋅ a ⋅ ∑ i = 0 ∞ ( 1 2 ) i = 3 4 ⋅ a ⋅ 1 1 − 1 2 = 3 2 ⋅ a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {3}{2}}\cdot a} Επομένως, ένα αριστερό-δεξιό κλαδί έχει τη μέγιστη απόσταση 3 2 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a} από την πρώτη κεντρική γραμμή. Το ίδιο ισχύει και για τον κατοπτρικό δεξιό-αριστερό κλαδί. Οι δύο άνω γωνίες της έχουν επομένως τη μέγιστη απόσταση 2 ⋅ 3 2 ⋅ a = 3 ⋅ a {\displaystyle 2\cdot {\tfrac {3}{2}}\cdot a=3\cdot a} . Αυτό είναι το μήκος της άνω οριζόντιας μπλε γραμμής. Τα μήκη των άλλων μπλε γραμμών μπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Η δεύτερη μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην ανώτερη οριζόντια γραμμή του κύριου δέντρου κ.ο.κ. Κάθε μπλε γραμμή είναι τρεις φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη κόκκινη γραμμή. Έτσι, το συνολικό μήκος της μπλε γραμμής είναι επίσης τριπλάσιο του μήκους της κόκκινης γραμμής: 3 ⋅ a ⋅ ( 2 + 2 ) {\displaystyle 3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} Εάν θέλουμε να περάσουμε μία φορά γύρω από το δέντρο, πρέπει να περάσουμε δύο φορές κατά μήκος της μπλε γραμμής και δύο φορές κατά μήκος της κόκκινης γραμμής και της γραμμής στην οποία στέκεται το δέντρο. Η πάνω μπλε γραμμή είναι διπλή, οπότε πρέπει να την αφαιρούμε μία φορά: 2 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ ( 2 + 2 ) ⏟ μπλε − 3 ⋅ a ⏟ διπλή καταμέτρηση άνω οριζόντια Γραμμή κορυφής + 2 ⋅ a ⋅ ( 2 + 2 ) ⏟ κόκκινη + a ⏟ Βασική γραμμή = 2 ⋅ a ⋅ ( 7 + 4 2 ) ≈ 25,313 ⋅ a {\displaystyle 2\cdot \underbrace {3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{μπλε}}}\underbrace {-3\cdot a} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{διπλή καταμέτρηση}}\\\scriptstyle {\text{άνω οριζόντια}}\\\scriptstyle {\text{Γραμμή κορυφής}}\end{array}}+2\cdot \underbrace {a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{κόκκινη}}}\underbrace {+a} _{\scriptstyle {\text{Βασική γραμμή}}}=2\cdot a\cdot \left(7+4{\sqrt {2}}\right)\approx 25{,}313\cdot a} Για να φτάσει το χλοοκοπτικό μέχρι τον κορμό, πρέπει να έχετε υπόψην σας πόσο μεγάλο είναι το ύψος του δέντρου κάτω από το φύλλωμά του. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ των πρώτων φύλλων και του γκαζόν; Για μια πλευρά βάσης a {\displaystyle a} , το συνολικό πλάτος είναι 6 ⋅ a {\displaystyle 6\cdot a} . Έτσι, η μία πλευρά του δέντρου είναι 5 2 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot a} πέρα από τον κορμό (βλέπε πράσινη γραμμή στο σχήμα). Για να υπολογίσουμε το ύψος της απομάκρυνσης που ψάχνουμε, θεωρούμε το τρίτο κλαδί, το πρώτο οριζόντια αναπτυσσόμενο κλαδί (το τρίτο τετράγωνο). Η βασική πλευρά αυτού του του υποδέντρου είναι: a 2 {\displaystyle {\tfrac {a}{2}}} . Το πλάτος αυτού του μερικού κλαδιού είναι επομένως 6 ⋅ a 2 = 3 ⋅ a {\displaystyle 6\cdot {\tfrac {a}{2}}=3\cdot a} . Η κορυφή αυτού του κλαδιού προεξέχει επίσης κατά έναν παράγοντα 5 2 {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}} , επομένως: 5 2 ⋅ a 2 = 5 4 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {a}{2}}={\tfrac {5}{4}}\cdot a} . Αυτός το τρίτο κλαδί έχει απόσταση από το γρασίδι 3 2 ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a} . Το καθαρό ύψος είναι τότε η διαφορά: 3 2 ⋅ a − 5 4 ⋅ a = a 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a-{\tfrac {5}{4}}\cdot a={\tfrac {a}{4}}} Στο γενικό Πυθαγόρειο δέντρο, όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, εκτός από τα συζυγή, τοποθετούνται σε κάθε ένα από τα τετράγωνα. Στην συνέχεια, έννοείται ότι το μήκος της υποτείνουσας του πρώτου τετραγώνου του γενικού είναι ίσο με a {\displaystyle a} , τα μήκη των καθέτων ίσα με a 1 {\displaystyle a_{1}} και a 2 {\displaystyle a_{2}} και οι απέναντι γωνίες ίσες με α {\displaystyle \alpha } , α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} και α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} . Το εμβαδόν των τετραγώνων που προστίθενται στο Πυθαγόρειο δέντρο σε κάθε βήμα επανάληψης είναι ίσο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το συνολικό εμβαδόν του Πυθαγόρειου δέντρου, συμπεριλαμβανομένων των επικαλύψεων, είναι επομένως άπειρο. Το πλάτος και το ύψος του Πυθαγόρειου δέντρου είναι πεπερασμένα επειδή η απόσταση κάθε τετραγώνου από το προηγούμενο τετράγωνο μειώνεται κατά έναν σταθερό παράγοντα. Η περιοχή που καλύπτεται χωρίς επικαλύψεις είναι επομένως επίσης πεπερασμένη. Αν U {\displaystyle U} είναι η περιφέρεια του Πυθαγόρειου δέντρου, U 1 {\displaystyle U_{1}} η περίμετρος του δεξιού υποδέντρου και U 2 {\displaystyle U_{2}} η περίμετρος του αριστερού υποδέντρου - σε κάθε περίπτωση χωρίς την κάτω πλευρά του πρώτου τετράγωνοου, τότε U 1 + U 2 + 2 ⋅ a = U {\displaystyle U_{1}+U_{2}+2\cdot a=U} , επειδή η περίμετρος αποτελείται από την περίμετρο του δεξιού και του αριστερού υποδέντρου και το μήκος της δεξιάς και της αριστερής πλευράς του πρώτου τετραγώνου. Επειδή το Πυθαγόρειο δέντρο είναι ομοιότητα με το δεξί και το αριστερό υποδέντρο, U 1 = a 1 ⋅ U a {\displaystyle U_{1}={\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}} και U 2 = a 2 ⋅ U a {\displaystyle U_{2}={\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}} . Προκύπτει ότι a 1 ⋅ U a + a 2 ⋅ U a + 2 ⋅ a = U {\displaystyle {\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}+{\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}+2\cdot a=U} , οπότε ( a 1 + a 2 ) ⋅ U + 2 ⋅ a 2 = a ⋅ U {\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot U+2\cdot a^{2}=a\cdot U} . Λόγω της τριγωνικής ανισότητας a 1 + a 2 > a {\displaystyle a_{1}+a_{2}>a} και 2 ⋅ a 2 > 0 {\displaystyle 2\cdot a^{2}>0} αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει για πεπερασμένο U {\displaystyle U} . Η περιφέρεια του πυθαγόρειου δέντρου είναι επομένως άπειρο. Οι γωνίες των τετραγώνων του δεξιού και του αριστερού κλαδιού βρίσκονται σε μια λογαριθμική σπείρα. Το τελικό σημείο του δεξιού κλαδιού έχει την απόσταση a {\displaystyle a} από το γρασίδι και την απόσταση a 1 a 2 ⋅ a = tan ⁡ ( α 1 ) ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot a=\tan(\alpha _{1})\cdot a} από τον κορμό. Το τελικό σημείο του αριστερού κλαδιού έχει απόσταση a {\displaystyle a} από το γρασίδι και απόσταση a 2 a 1 ⋅ a = tan ⁡ ( α 2 ) ⋅ a {\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot a=\tan(\alpha _{2})\cdot a} από τον κορμό. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το ύψος και το πλάτος του Πυθαγόρειου δέντρου και την απόσταση των πρώτων φύλλων του δεξιού και του αριστερού υποδέντρου από το γκαζόν (βλέπε απόσταση από το γρασίδι) για ορισμένες εσωτερικές γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου: Όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά των εσωτερικών γωνιών α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} και α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} , τόσο μεγαλύτερο είναι το ύψος και το πλάτος, τόσο μεγαλύτερη η απόσταση του δεξιού υποδένδρου και τόσο μικρότερη η απόσταση του αριστερού υποδένδρου. Το Πυθαγόρειο δέντρο κατασκευάστηκε για πρώτη φορά από τον Άλμπερτ Ε. Μπόσμαν (1891-1961), έναν Ολλανδό καθηγητή Μαθηματικών, το 1942. Δεδομένου ότι ένα τέτοιο δέντρο, το οποίο δημιουργήθηκε αυστηρά σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, φαίνεται πολύ αφύσικο, είναι φυσικά δυνατό να αποκλίνει από την αρχική μορφή. Το Πυθαγόρειο δέντρο μπορεί να υλοποιηθεί αναδρομικά με απλό τρόπο. Το ακόλουθο παράδειγμα δείχνει μια υλοποίηση στη γλώσσα προγραμματισμού C#[6].. Carleson, Lennart· Gamelin, Theodore W. (1993). Complex Dynamics. Springer. Douady, Adrien; Hubbard, John H. (1984). «Etude dynamique des polynômes complexes». Prépublications mathémathiques d'Orsay 2; [op.cit.]. 4. 1985. Milnor, J.W. (2006) [1990]. Dynamics in One Complex Variable. Annals of Mathematics Studies. 160 (Third έκδοση). Princeton University Press; First appeared in as a «Stony Brook IMS Preprint». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 24 Απριλίου 2006. available as Milnor, John W. (1990). «Dynamics in one complex variable: Introductory lectures». arXiv:math.DS/9201272. Bogomolny, Alexander. «Mandelbrot Set and Indexing of Julia Sets». cut-the-knot. Algebra curriculum. Demidov, Evgeny (2003). «The Mandelbrot and Julia sets' anatomy». Beardon, Alan F. (1991). Iteration of Rational Functions. Springer. ISBN 0-387-95151-2. Σύνολο Μάντελμπροτ Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Το Δέντρο του Πυθαγόρα είναι ένας συγκεκριμένος τύπος φράκταλ. Η αρχική μέθοδος δημιουργίας ενός Πυθαγόρειου δέντρου βασίζεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα, στο οποίο δύο άλλα μικρότερα τετράγωνα τοποθετούνται σε ορθή γωνία με ένα τετράγωνο. Καλώντας αναδρομικά αυτόν τον κανόνα κατασκευής, δημιουργούμε ένα φράκταλ που, στο τέλος, μοιάζει με το σχήμα ενός δέντρου. Χάρη στην ορθή γωνία του περιεχόμενου τριγώνου, το συνολικό εμβαδόν κάθε επιπέδου παραμένει το ίδιο, γι' αυτό και το εμβαδόν του βασικού στοιχείου (κορμός) είναι ακριβώς τόσο μεγάλο όσο το άθροισμα των εμβαδών όλων των εξωτερικών στοιχείων (φύλλα).