Πεταλούδα του Χόφσταντερ
 Η πρώτη μαθηματική περιγραφή των ηλεκτρονίων σε ένα δισδιάστατο πλέγμα, στο οποίο επιδρά ένα κάθετο ομογενές μαγνητικό πεδίο, μελετήθηκε από τον Ρούντολφ Πάιερλς και τον μαθητή του Ρ. Γ. Χάρπερ τη δεκαετία του 1950. Ο Χόφσταντερ περιέγραψε για πρώτη φορά τη δομή το 1976 σε ένα άρθρο σχετικά με τις ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων Bloch σε κάθετα μαγνητικά πεδία και δίνει μια γραφική αναπαράσταση του φάσματος της εξίσωσης του Χάρπερ σε διάφορες συχνότητες. Μια βασική πτυχή της μαθηματικής δομής αυτού του φάσματος - η διάσπαση των ενεργειακών ζωνών για μια συγκεκριμένη τιμή του μαγνητικού πεδίου, κατά μήκος μιας μόνο διάστασης (της ενέργειας) - είχε ήδη αναφερθεί παρεμπιπτόντως από τον σοβιετικό φυσικό Μαρκ Άζμπελ το 1964 (σε μια εργασία που επικαλείται ο Χόφσταντερ), αλλά ο Χόφσταντερ επέκτεινε σε μεγάλο βαθμό εκείνη την εργασία, σχεδιάζοντας όλες τις τιμές του μαγνητικού πεδίου έναντι όλων των τιμών της ενέργειας, δημιουργώντας το δισδιάστατο διάγραμμα που αποκάλυψε για πρώτη φορά τις μοναδικά αναδρομικές γεωμετρικές ιδιότητες του φάσματος. Η εργασία του γράφτηκε ενώ ο Χόφσταντερ εργαζόταν στο Πανεπιστήμιο του Όρεγκον και άσκησε επιρροή ως προς τη διεξαγωγή περαιτέρω ερευνών. Προέβλεπε με θεωρητικούς λόγους ότι οι επιτρεπόμενες τιμές των ενεργειακών επιπέδων ενός ηλεκτρονίου σε ένα δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγμα, ως συνάρτηση ενός μαγνητικού πεδίου που εφαρμόζεται κάθετα στο σύστημα, σχημάτιζαν αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως σύνολο φράκταλ. Πράγμα που σημαίνει ότι η κατανομή των ενεργειακών επιπέδων για μεταβολές μικρής κλίμακας στο εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο επαναλαμβάνει αναδρομικά μοτίβα που παρατηρούνται στη δομή μεγάλης κλίμακας. Το "Gplot", όπως ονόμασε το σχήμα ο Χόφσταντερ, περιγράφηκε ως αναδρομική δομή στο άρθρο του στο Physical Review B του 1976, το οποίο γράφτηκε πριν εισαχθεί σε αγγλικό κείμενο η πρόσφατα επινοηθείσα λέξη " φράκταλ" του Μπενουά Μάντελμπροτ. Ο Χόφσταντερ συζητά επίσης το σχήμα στο βιβλίο του Γκέντελ, Έσερ, Μπαχ του 1979. Η δομή έγινε γενικά γνωστή ως "πεταλούδα του Χόφσταντερ". Ο Ντέιβιντ Θούλες και η ομάδα του ανακάλυψαν ότι τα φτερά της πεταλούδας χαρακτηρίζονται από ακέραιους αριθμούς Τσερν, οι οποίοι παρέχουν έναν τρόπο υπολογισμού της αγωγιμότητας Hall στο μοντέλο του Χόφσταντερ. Το 1997 η πεταλούδα του Χόφσταντερ αναπαράχθηκε σε πειράματα με οδηγό μικροκυμάτων εξοπλισμένο με συστοιχία σκεδαστών. Η ομοιότητα μεταξύ της μαθηματικής περιγραφής του οδηγού μικροκυμάτων με σκεδαστές και των κυμάτων του Μπλοχ σε μαγνητικό πεδίο επέτρεψε την αναπαραγωγή της πεταλούδας του Χόφσταντερ για περιοδικές ακολουθίες των σκεδαστών. Το 2001, οι Κρίστιαν Άλμπρεχτ, Κλάους φον Κλίτσινγκ και συνεργάτες πραγματοποίησαν μια πειραματική διάταξη για να ελέγξουν τις προβλέψεις των Θούλες κ.ά. για την πεταλούδα του Χόφσταντερ με ένα δισδιάστατο αέριο ηλεκτρονίων σε δυναμικό υπερπλέγματος. Το 2013, τρεις διαφορετικές ομάδες ερευνητών ανέφεραν ανεξάρτητα στοιχεία για το φάσμα πεταλούδας του Χόφσταντερ σε διατάξεις γραφενίου που κατασκευάστηκαν σε υποστρώματα εξαγωνικού νιτριδίου του βορίου. Σε αυτή την περίπτωση, το φάσμα πεταλούδας προκύπτει από την αλληλεπίδραση μεταξύ του εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου και του μοτίβου moiré μεγάλης κλίμακας που αναπτύσσεται όταν το πλέγμα γραφενίου είναι προσανατολισμένο με σχεδόν μηδενική γωνία αναντιστοιχίας με το νιτρίδιο του βορίου. Τον Σεπτέμβριο του 2017, η ομάδα του Τζον Μαρτίνις στη Google, σε συνεργασία με την ομάδα Angelakis στο CQT της Σιγκαπούρης, δημοσίευσε αποτελέσματα από μια προσομοίωση δισδιάστατων ηλεκτρονίων σε κάθετο μαγνητικό πεδίο με τη χρήση αλληλεπιδρώντων φωτονίων σε 9 υπεραγώγιμα qubits. Η προσομοίωση ανέκτησε την πεταλούδα του Χόφσταντερ, όπως αναμενόταν. Το 2021 η πεταλούδα παρατηρήθηκε σε στριμμένο διστρωματικό γραφένιο στη δεύτερη μαγική γωνία. Στην αρχική του εργασία, ο Χόφσταντερ εξετάζει την ακόλουθη παραγώγιση: ένα φορτισμένο κβαντικό σωματίδιο σε ένα δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγμα, με απόσταση πλέγματος a {\displaystyle a} , περιγράφεται από μια περιοδική εξίσωση Σρέντινγκερ, κάτω από ένα στατικό κάθετο ομογενές μαγνητικό πεδίο που περιορίζεται σε μια μόνο ζώνη Bloch. Για ένα δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγμα, η σχέση διασποράς για την ενέργεια στενής δέσμευσης έχει ως εξής W ( k ) = E 0 ( cos ⁡ k x a + cos ⁡ k y a ) = E 0 2 ( e i k x a + e − i k x a + e i k y a + e − i k y a ) {\displaystyle W(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})} ,όπου W ( k ) {\displaystyle W(\mathbf {k} )} είναι η συνάρτηση ενέργειας, k = ( k x , k y ) {\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})} είναι η κρυσταλλική ορμή και E 0 {\displaystyle E_{0}} είναι μια εμπειρική παράμετρος. Το μαγνητικό πεδίο B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } , όπου A {\displaystyle \mathbf {A} } το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό, μπορεί να ληφθεί υπόψη με τη χρήση της αντικατάστασης Peierls, αντικαθιστώντας την κρυσταλλική ορμή με την κανονική ορμή ℏ k → p − q A {\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} } , όπου p = ( p x , p y ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})} είναι ο τελεστής ορμής του σωματιδίου και q {\displaystyle q} είναι το φορτίο του σωματιδίου ( q = − e {\displaystyle q=-e} για το ηλεκτρόνιο, e {\displaystyle e} είναι το στοιχειώδες φορτίο). Για ευκολία επιλέγουμε το μέτρο A = ( 0 , B x , 0 ) {\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)} . Χρησιμοποιώντας ότι e i p j a {\displaystyle e^{ip_{j}a}} } είναι ο τελεστής μετάθεσης, έτσι ώστε e i p j a ψ ( x , y ) = ψ ( x + a , y ) {\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)} , όπου j = x , y , z {\displaystyle j=x,y,z} και ψ ( r ) = ψ ( x , y ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi (x,y)} είναι η δισδιάστατη κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την W ( p − q A ) {\displaystyle W(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )} ως αποτελεσματική Χαμιλτονιανή για να λάβει την ακόλουθη χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Σρέτινγκερ: E ψ ( x , y ) = E 0 2 [ ψ ( x + a , y ) + ψ ( x − a , y ) + ψ ( x , y + a ) e − i q B x a / ℏ + ψ ( x , y − a ) e + i q B x a / ℏ ] . {\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (x-a,y)+\psi (x,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,y-a)e^{+iqBxa/\hbar }\right].} Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σωματίδιο μπορεί να μεταπηδά μόνο μεταξύ σημείων του πλέγματος, σημειώνουμε x = n a , y = m a {\displaystyle x=na,y=ma} , όπου n , m {\displaystyle n,m} είναι ακέραιοι αριθμοί. Ο Χόφσταντερ κάνει την ακόλουθη αντιστοίχιση: ψ ( x , y ) = g n e i ν m {\displaystyle \psi (x,y)=g_{n}e^{i\nu m}} , όπου ν {\displaystyle \nu } εξαρτάται από την ενέργεια, προκειμένου να λάβουμε την εξίσωση του Χάρπερ (γνωστή και ως σχεδόν τελεστής Ματιέ για λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} ): g n + 1 + g n − 1 + 2 cos ⁡ ( 2 π n α − ν ) g n = ϵ g n , {\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},} όπου ϵ = 2 E / E 0 {\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}} και α = ϕ ( B ) / ϕ 0 {\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}} , ϕ ( B ) = B a 2 {\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}} είναι ανάλογο της μαγνητικής ροής μέσω ενός κελιού πλέγματος και ϕ 0 = 2 π ℏ / q {\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q} είναι το κβάντο της μαγνητικής ροής. Ο λόγος ροής α {\displaystyle \alpha } μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το μαγνητικό μήκος l m = ℏ / e B {\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}} , έτσι ώστε α = ( 2 π ) − 1 ( a / l m ) 2 {\textstyle \alpha =(2\pi )^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}} .Η πεταλούδα του Χόφσταντερ είναι η προκύπτουσα γραφική παράσταση του ϵ α {\displaystyle \epsilon _{\alpha }} ως συνάρτηση του λόγου ροής α {\displaystyle \alpha } , όπου ϵ α {\displaystyle \epsilon _{\alpha }} είναι το σύνολο όλων των πιθανών ϵ {\displaystyle \epsilon } που αποτελούν λύση της εξίσωσης του Χάρπερ. Εξαιτίας των ιδιοτήτων της συνάρτησης συνημιτόνου, το μοτίβο είναι περιοδικό στο α {\displaystyle \alpha } με περίοδο 1 (επαναλαμβάνεται για κάθε κβαντική ροή ανά μονάδα κυττάρου). Η γραφική παράσταση στην περιοχή του α {\displaystyle \alpha } μεταξύ 0 και 1 έχει συμμετρία ανάκλασης στις γραμμές α = 1 2 {\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}} και ϵ = 0 {\displaystyle \epsilon =0} .. Σημειώστε ότι το ϵ \epsilon είναι αναγκαστικά περιορισμένο μεταξύ -4 and 4.Η εξίσωση του Χάρπερ έχει την ιδιαίτερη ιδιότητα ότι οι λύσεις εξαρτώνται από την ορθολογικότητα του α {\displaystyle \alpha } . Επιβάλλοντας περιοδικότητα για n {\displaystyle n} , μπορεί κανείς να δείξει ότι αν α = P / Q {\displaystyle \alpha =P/Q} (ένας ρητός αριθμός), όπου P {\displaystyle P} και Q {\displaystyle Q} είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί, υπάρχουν ακριβώς Q {\displaystyle Q} ενεργειακές ζώνες. Για μεγάλο Q ≫ P {\displaystyle Q\gg P} , οι ενεργειακές ζώνες συγκλίνουν σε λεπτές ενεργειακές ζώνες που αντιστοιχούν στα επίπεδα του Λαντώ. Ο Γκρέγκορι Γουάνιερ απέδειξε ότι λαμβάνοντας υπόψη την πυκνότητα των καταστάσεων, μπορεί κανείς να λάβει μια διοφαντική εξίσωση που περιγράφει το σύστημα, ως εξής n n 0 = S + T α {\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha } όπου n = ∫ − 4 ϵ F ρ ( ϵ ) d ϵ ; n 0 = ∫ − 4 4 ρ ( ϵ ) d ϵ {\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon } όπου S {\displaystyle S} και T {\displaystyle T} είναι ακέραιοι αριθμοί και ρ ( ϵ ) {\displaystyle \rho (\epsilon )} είναι η πυκνότητα των καταστάσεων σε ένα δεδομένο α {\displaystyle \alpha } . Εδώ το n {\displaystyle n} μετρά τον αριθμό των καταστάσεων μέχρι την ενέργεια του Φέρμι, και το n 0 {\displaystyle n_{0}} αντιστοιχεί στις στάθμες της πλήρως συμπληρωμένης ζώνης (από ϵ = − 4 {\displaystyle \epsilon =-4} to ϵ = 4 {\displaystyle \epsilon =4} ). Η εξίσωση αυτή χαρακτηρίζει όλες τις λύσεις της εξίσωσης του Χάρπερ. Το πιο σημαντικό, μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι όταν α {\displaystyle \alpha } είναι ένας άρρητος αριθμός, υπάρχουν άπειρες λύσεις για ϵ α {\displaystyle \epsilon _{\alpha }} . Η ένωση όλων των ϵ α {\displaystyle \epsilon _{\alpha }} σχηματίζει ένα αυτοομοιόμορφο φράκταλ που είναι ασυνεχές μεταξύ ορθολογικών και ανορθολογικών τιμών του α {\displaystyle \alpha } . Αυτή η ασυνέχεια είναι μη φυσική και η συνέχεια ανακτάται για πεπερασμένη αβεβαιότητα στο B {\displaystyle B} ή για πλέγματα πεπερασμένου μεγέθους. η κλίμακα στην οποία η πεταλούδα μπορεί να επιλυθεί σε ένα πραγματικό πείραμα εξαρτάται από τις ειδικές συνθήκες του συστήματος. Δέντρο H Καμπύλη που γεμίζει το χώρο Νιφάδα του Κοχ Καμπύλη Χίλμπερτ Καμπύλη του δράκου Σπόγγος του ΜένγκερΣύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Στη φυσική συμπυκνωμένης ύλης, η Πεταλούδα του Χόφσταντερ είναι μια γραφική παράσταση των φασματικών ιδιοτήτων των μη αλληλεπιδρώντων δισδιάστατων ηλεκτρονίων σε ένα κάθετο μαγνητικό πεδίο σε ένα πλέγμα. Η μορφοκλασματική, αυτοομοιόμορφη φύση του φάσματος ανακαλύφθηκε το 1976 στη διδακτορική εργασία του Ντάγκλας Χόφσταντερ και αποτελεί ένα από τα πρώτα παραδείγματα της σύγχρονης οπτικοποίησης επιστημονικών δεδομένων. Το όνομα αντανακλά το γεγονός ότι, όπως έγραψε ο Χόφσταντερ, "τα μεγάλα κενά [στο γράφημα] σχηματίζουν ένα πολύ εντυπωσιακό μοτίβο που μοιάζει κάπως με πεταλούδα". Η πεταλούδα του Χόφσταντερ παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία του ακέραιου κβαντικού φαινομένου Χολ και στη θεωρία των τοπολογικών κβαντικών αριθμών.