Περιβάλλουσα
 Έστω ότι κάθε καμπύλη Ct στην οικογένεια δίνεται από ft(x, y)=0, όπου t είναι μία παράμετρος. Γράφουμε F(t, x, y)=ft(x, y) και υποθέτουμε ότι η F είναι παραγωγίσιμη. Η περιβάλλουσα της οικογένειας Ct ορίζεται τότε ως το σύνολο των σημείων για τα οποία F ( t , x , y ) = ∂ F ∂ t ( t , x , y ) = 0 {\displaystyle F(t,x,y)={\partial F \over \partial t}(t,x,y)=0} για κάποια τιμή του t, όπου ∂ F / ∂ t {\displaystyle \partial F/\partial t} είναι η μερική παράγωγος της F ως προς το t. Να σημειωθεί ότι αν t καιu, t≠u είναι δυο τιμές της παραμέτρου τότε η τομή των καμπυλών Ct και Cu δίνεται από F ( t , x , y ) = F ( u , x , y ) = 0 {\displaystyle F(t,x,y)=F(u,x,y)=0\,} η ισάξια F ( t , x , y ) = F ( u , x , y ) − F ( t , x , y ) u − t = 0. {\displaystyle F(t,x,y)={\frac {F(u,x,y)-F(t,x,y)}{u-t}}=0.} Έχοντας u→t παίρνουμε τον παραπάνω ορισμό. Μια σημαντική ειδική περίπτωση συμβαίνει όταν η F(t, x, y) είναι ένα πολυώνυμο στο t. Αυτό περιλαμβάνει με την απαλοιφή των παρονομαστών, την περίπτωση που F(t, x, y) είναι μια ρητή συνάρτηση στο t. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός ισοδυναμεί με το t να είναι η διπλή ρίζα της F(t, x, y), ώστε η εξίσωση της περιβάλλουσας μπορεί να βρεθεί θέτοντας τη διακρίνουσα της F στο 0. Για παράδειγμα, έστω ότι Ct είναι η ευθεία της οποίας οι τομές με x και y είναι t και 1−t, αυτό φαίνεται από την εικόνα επάνω. Η εξίσωση της Ct είναι x t + y 1 − t = 1 {\displaystyle {\frac {x}{t}}+{\frac {y}{1-t}}=1} ή, απαλείφοντας τα κλάσματα x ( 1 − t ) + y t − t ( 1 − t ) = t 2 + ( − x + y − 1 ) t + x = 0. {\displaystyle x(1-t)+yt-t(1-t)=t^{2}+(-x+y-1)t+x=0.\,} Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι τότε ( − x + y − 1 ) 2 − 4 x = ( x − y ) 2 − 2 ( x + y ) + 1 = 0. {\displaystyle (-x+y-1)^{2}-4x=(x-y)^{2}-2(x+y)+1=0.\,} Συχνά όταν η F δεν είναι ρητή συνάρτηση της παραμέτρου μπορεί να περιοριστεί σε αυτή την περίπτωση από μία κατάλληλη αντικατάσταση. Για παράδειγμα αν η οικογένεια δίνεται από τον τύπο Cθ με μια εξίσωση της μορφής u(x, y)cosθ+v(x, y)sinθ=w(x, y), μετά θέτοντας t=eiθ, cosθ=(t+1/t)/2, sinθ=(t-1/t)/2i αλλάζουμε την εξίσωση της καμπύλης σε u 1 2 ( t + 1 t ) + v 1 2 i ( t − 1 t ) = w {\displaystyle u{1 \over 2}(t+{1 \over t})+v{1 \over 2i}(t-{1 \over t})=w} ή ( u − i v ) t 2 − 2 w t + ( u + i v ) = 0. {\displaystyle (u-iv)t^{2}-2wt+(u+iv)=0.\,} Η εξίσωση της περιβάλλουσας δίνεται τότε με το να θέσουμε τη διακρίνουσα ίση με 0: ( u − i v ) ( u + i v ) − w 2 = 0 {\displaystyle (u-iv)(u+iv)-w^{2}=0\,} ή u 2 + v 2 = w 2 . {\displaystyle u^{2}+v^{2}=w^{2}.\,}
Στα μαθηματικά, περιβάλλουσα ονομάζεται η καμπύλη ή η επιφάνεια που περιβάλλει όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές. Στη γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο. Κλασικά ένα σημείο πάνω στην περιβάλλουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή δύο "γειτονικών" καμπυλών, εννοώντας το όριο των τομών των κοντινών καμπυλών. Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε μια περιβάλλουσα των επιπέδων στο χώρο κοκ σε μεγαλύτερες διαστάσεις.