Περιοδικός αριθμός
 Ενώ υπάρχουν πολλοί συμβατικοί συμβολισμοί για την αντιπροσώπευση της επανάληψης δεκαδικών ψηφίων, κανένας από αυτούς δεν είναι ομόφωνα δεκτός. Στις Ηνωμένες Πολιτείες, η σύμβαση είναι σε γενικές γραμμές να δείχνουν ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό με μια οριζόντια γραμμή (δεσμός) πάνω από το repetend ( 1 3 = 0. 3 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.{\bar {3}}} ). Στην ηπειρωτική Κίνα, η σύμβαση είναι να τοποθετούνται κουκκίδες πάνω από τις εξόχως απόκεντρους αριθμούς του repetend ( 1 3 = 0. 3 ˙ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.{\dot {3}}} ). Ένας άλλος συμβολισμός που χρησιμοποιείται μερικές φορές στην Ευρώπη είναι να επισυνάψουν το repetend σε παρένθεση ( 1 3 = 0. ( 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.(3)} ). Επανάληψη δεκαδικών μπορεί επίσης να εκπροσωπείται από τρεις περιόδους (για ένα ελλειπτικό, π.χ., 0.333 ...), αν και αυτή η μέθοδος εισάγει αβεβαιότητα ως προς τα ποια ψηφία θα πρέπει να επαναλαμβάνονται ή ακόμα και αν η επανάληψη συμβαίνει σε όλα, δεδομένου ότι οι εν λόγω ελλείψεις χρησιμοποιούνται επίσης για τους άρρητους δεκαδικούς όπως 3,14159 ... Στα αγγλικά, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να διαβάσετε την επανάληψη δεκαδικών ψηφίων δυνατά. Μερικά κοινά από αυτά (για ⅓) περιλαμβάνουν «σημείο μηδέν τρία επαναλαμβάνοντας», «σημείο μηδέν τρεις επαναλαμβανόμενες», «σημείο μηδέν τρεις επαναλαμβανόμενες», και «σημείο μηδέν τρία σε άπειρο». Η αναφορά του αρχικού μηδέν μπορεί επίσης να παραλειφθεί. Για να μετατρέψετε ένα πραγματικό αριθμό που απεικονίζεται ως ένα κλάσμα σε δεκαδική μορφή, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη διαίρεση. Για παράδειγμα, σκεφτείτε τον πραγματικό αριθμό 5/74: . . 0.0675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500 κλπ. Παρατηρήστε ότι σε κάθε βήμα έχουμε ένα υπόλοιπο, τα διαδοχικά υπόλοιπα που εμφανίζονται παραπάνω είναι 56, 42, 50. Όταν φτάνουμε στο 50 σαν υπόλοιπο, και μειωθεί στο "0", βρισκόμαστε να διαιρούμε το 500 με το 74, το οποίο είναι το ίδιο πρόβλημα που ξεκίνησε με. Ως εκ τούτου, οι δεκαδικές επαναλήψεις: 0,0675 675 675 .... Για οποιονδήποτε διαιρέτη, μπορούμε να έχουμε μόνο πεπερασμένο πλήθος διαφορετικών υπολοίπων. Στο παραπάνω παράδειγμα, τα 74 πιθανά υπόλοιπα είναι 0,1,2,...,73. Εάν σε οποιοδήποτε σημείο της διαίρεσης το υπόλοιπο είναι μηδέν, η επέκταση τερματίζει σε εκείνο το σημείο. Αν το μηδέν δεν εμφανιστεί σαν υπόλοιπο, τότε η διαδικασία της διαίρεσης συνεχίζεται για πάντα, και τελικά το κάθε υπόλοιπο θα εμφανίζεται όπως εμφανιζόταν και πριν. Το επόμενο βήμα στη διαίρεση θα δώσει το ίδιο νέο ψηφίο στο πηλίκο, και το ίδιο νέο υπόλοιπο, όπως και στο περασμένο χρονικό διάστημα το υπόλοιπο ήταν το ίδιο. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη διαίρεση θα επαναλάβει τα ίδια αποτελέσματα. Κάθε επανάληψη δεκαδικού αριθμού ικανοποιεί μια γραμμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές, με μοναδική λύση της έναν ρητό αριθμό. Για να αφομοιωθεί καλύτερα το τελευταίο σημείο, ο αριθμός α = 5.8144144144… ικανοποιεί την εξίσωση 10000α − 10α = 58144.144144… − 58.144144… = 58086, της οποίας η λύση είναι α = 58086/9990 = 3227/555. Η διαδικασία για το πως είναι εφικτό να βρεθούν αυτοί οι ακέραιοι συντελεστές περιγράφεται παρακάτω. Ένα κλάσμα σε χαμηλότερο επίπεδο με παρονομαστή πρώτο αριθμό, εκτός από 2 ή 5 (δηλαδή coprime 10) παράγει πάντα ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό. Το μήκος του repetend (περίοδος του επαναλαμβανόμενου δεκαδικού) του 1 / p είναι ίσο με τη σειρά του 10 modulo p. Αν το 10 είναι μία πρώτη ρίζα modulo p, το μήκος repetend είναι ίσο με p - 1. Αν όχι, το μήκος repetend είναι ένας παράγοντας p - 1. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να συναχθεί από το μικρό θεώρημα του Fermat, το οποίο αναφέρει ότι 10 p − 1 {\displaystyle 10^{p-1}} = 1 (mod p) .Το repetend με βάση το 10 του αντίστροφου κάθε πρώτου αριθμού μεγαλύτερου από 5 διαιρείται με το 9.Αν το μήκος repetend του p για p πρώτο αριθμό είναι ίσο με p-1, τότε η repetend, που εκφράζεται ως ακέραιος αριθμός, ονομάζεται κυκλικός αριθμός. Η διάρκεια περιόδου 1 / n είναι 0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (ακολουθία A051626 στην OEIS)Το περιοδικό μέρος 1 / n είναι\frac{1}{p 0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (ακολουθία A036275 στην OEIS)Η διάρκεια της περιόδου από 1 / (ν-οστή πρώτος) είναι 0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (ακολουθία A002371 στην OEIS)Το τουλάχιστον πρώτο p που 1/p με το μήκος της περιόδου n είναι 3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (ακολουθία A007138 στην OEIS)Το τουλάχιστον πρώτο p που k/p έχει n διαφορετικούς κύκλους (1≤k≤p-1) είναι 7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (ακολουθία A054471 στην OEIS) Παραδείγματα κλασμάτων που ανήκουν σε αυτήν την κατηγορία είναι: 1/7 = 0.142857 , 6 επαναλαμβανόμενα ψηφία 1/17 = 0.05882352 94117647 , 16 επαναλαμβανόμενα ψηφία 1/19 = 0.052631578 947368421 , 18 επαναλαμβανόμενα ψηφία 1/23 = 0.04347826086 95652173913 , 22 επαναλαμβανόμενα ψηφία 1/29 = 0.0344827 5862068 9655172 4137931 , 28 επαναλαμβανόμενα ψηφία 1/97 = 0.01030927 83505154 63917525 77319587 62886597 93814432 98969072 16494845 36082474 22680412 37113402 06185567 , 96 επαναλαμβανόμενα ψηφίαΗ λίστα μπορεί να συνεχιστεί για να συμπεριλάβει τα κλάσματα 1/47, 1/59, 1/61, 1/109, 1/131, 1/149, κλπ. (ακολουθία A001913 στην OEIS) Κάθε κατάλληλο πολλαπλάσιο ενός κυκλικού αριθμoύ (δηλαδή, ένα πολλαπλάσιο που έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων) είναι μια περιστροφή. 1/7 = 1 × 0.142857… = 0.142857… 3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571… 2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714… 6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142… 4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428… 5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…Ο λόγος για την κυκλική συμπεριφορά προκύπτει από μια αριθμητική άσκηση της μακράς διαίρεσης του 1/7: τα διαδοχικά υπόλοιπα είναι η κυκλική ακολουθία {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Διαβάστε επίσης το άρθρο 142857 για περισσότερες ιδιότητες αυτού του κυκλικού αριθμού. Ένας κατάλληλος πρώτος είναι ένας πρώτος p ο οποίος καταλήγει στο ψηφίο 1 στην βάση του 10 και των οποίων το αντίστροφο στη βάση του 10 έχει repetend με μήκος p-1. Σε τέτοιους πρώτους αριθμούς, κάθε ψηφίο 0, 1, ..., 9 εμφανίζεται στην επαναλαμβανόμενη αλληλουχία τον ίδιο αριθμό φορών, όπως το κάνει κάθε άλλο ψηφίο (δηλαδή, (p-1) / 10 φορές). Ο μικρότερος κατάλληλος πρώτος είναι το 61. (ακολουθία A073761 στην OEIS) Κάποιοι αντίστροφοι πρώτων αριθμών που δεν παράγουν κυκλικούς αριθμούς: 1/3 = 0,333…που έχει περίοδο 1. 1/11 = 0,090909…που έχει περίοδο 2. 1/13 = 0,076923… που έχει περίοδο 6. 1/37 = 0,027… που έχει περίοδο 3. 1/41 = 0,02439… που έχει περίοδο 5.Ο λόγος είναι ότι το 3 είναι διαιρέτης του 9, 11 είναι ένας διαιρέτης του 99, 41 είναι ένας διαιρέτης του 99999, κ.λ.π. Για να βρούμε την περίοδο 1 / p, μπορούμε να ελέγξουμε αν ο πρώτος p διαιρεί κάποιο αριθμό 99 ... 9, του οποίου ο αριθμός των ψηφίων διαιρεί το p - 1. Δεδομένου ότι η περίοδος δεν είναι ποτέ μεγαλύτερη από p - 1, μπορούμε να πάρουμε αυτό από τον υπολογισμό για παράδειγμα, 10 p − 1 − 1 p . {\displaystyle {\frac {10^{p-1}-1}{p}}.} Για παράδειγμα για 11 παίρνουμε 10 11 − 1 − 1 11 = 909090909 {\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909} και στη συνέχεια με την επιθεώρηση βρείτε το repetend 09 και την περίοδο 2. Αυτοί οι αντίστροφοι των πρώτων αριθμών μπορούν να συσχετιστούν με διάφορες ακολουθίες των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του 1/13 μπορούν να διαιρεθούν σε δύο σύνολα, με διαφορετικές ακολουθίες των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών αριθμών. Η πρώτη σειρά είναι: 1/13 = 0,076923… 10/13 = 0.769230… 9/13 = 0,692307… 12/13 = 0,923076… 3/13 = 0,230769… 4/13 = 0,307692…όπου η ακολουθία των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών κάθε κλάσματος είναι μια κυκλική αναδιάταξη του 076923. Η δεύτερη σειρά είναι η εξής: 2/13 = 0,153846… 7/13 = 0,538461… 5/13 = 0,384615… 11/13 = 0,846153… 6/13 = 0,461538… 8/13 = 0,615384όπου η ακολουθία των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών κάθε κλάσματος είναι μια κυκλική αναδιάταξη των 153846. Γενικά, το σύνολο των κατάλληλων πολλαπλασίων των αντίστροφων πρώτων αριθμών p αποτελείται από n υποσύνολα, το καθένα με μήκος ακολουθίας k, όπου nk = p - 1. Για ένα αυθαίρετο ακέραιο n το μήκος λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} της ακολουθίας επαναλαμβανόμενων δεκαδικών 1 / n διαιρεί ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} , όπου ϕ {\displaystyle \phi } είναι μια συνάρτηση totient. Το μήκος του είναι ίσο με το αν και μόνο αν το 10 είναι μια πρώτη ρίζα modulo n.Ειδικότερα, συνάγεται ότι λ ( p ) = p − 1 {\displaystyle \lambda (p)=p-1} αν και μόνο αν p είναι πρώτος και 10 είναι μια πρώτη ρίζα modulo p. Στη συνέχεια, οι επεκτάσεις των δεκαδικών n / p για n = 1, 2, ..., p - 1, έχουν όλες περιόδους μήκους p - 1 και διαφέρουν μόνο κατά μια κυκλική μετάθεση. Τέτοιοι αριθμοί p καλούνται πλήρη repetend πρώτοι. Αν p είναι πρώτος, εκτός από 2 ή 5, η δεκαδική αναπαράσταση του κλάσματος 1 p 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}}} επαναλαμβάνεται, π.χ. 1/49 = 0,0204081 6326530 6122448 9795918 3673469 3877551Η περίοδος (μήκος ακολουθίας επαναλαμβανόμενων δεκαδικών) πρέπει να είναι ένας παράγοντας του λ (49) = 42, όπου λ(n) είναι γνωστή ως συνάρτηση Carmichael. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Carmichael, το οποίο ορίζει ότι: αν n είναι ένας θετικός ακέραιος τότε λ (n) είναι ο μικρότερος ακέραιος m τέτοιο ώστε a m ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}} για κάθε ακέραιο που είναι πρώτος με το n. Η περίοδος του 1 p 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}}} είναι συνήθως pTp όπου Tp είναι η περίοδος του 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}} . Υπάρχουν τρεις γνωστοί πρώτοι αριθμοί για τους οποίους δεν ισχύει αυτό και για τους οποίους η περίοδος του 1 p 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}}}} είναι ίδια με την περίοδο του 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}} , γιατί p2 διαιρεί το 10p−1−1. Αυτοί οι τρεις πρώτοι αριθμοί είναι 3, 487 και 56.598.313 (ακολουθία A045616 στην OEIS).Ομοίως,η περίοδος του 1 p k {\displaystyle {\tfrac {1}{p^{k}}}} είναι συνήθως pk−1Tp Αν p and q είναι πρώτοι διάφοροι του 2 ή του 5, η δεκαδική αναπαράσταση του 1 p q {\displaystyle {\tfrac {1}{p\ q}}} επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα 1/119: 119 = 7 × 17 λ(7 × 17) = ΕΚΠ(λ(7), λ(17)) = ΕΚΠ(6, 16) = 48όπου ΕΚΠ δηλώνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Η περίοδος T του 1 p q {\displaystyle {\tfrac {1}{p\ q}}} είναι παράγοντας του λ(pq) και συμβαίνει να είναι 48 σε αυτήν την περίπτωση : 1/119 = 0,00840336 13445378 15126050 42016806 72268907 56302521Η περίοδος του T of 1 p q {\displaystyle {\tfrac {1}{p\ q}}} είναι (Tp, Tq) όπου Tp είναι περίοδος του 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}} και Tq είναι περίοδος του 1 q {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}} . Αν p , q, r κτλ. είναι πρώτοι διάφοροι του 2 αν 5, και k , ℓ, m κτλ. είναι θετικοί ακέραιοι, τότε 1 p k q ℓ r m ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}} είναι ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός με περίοδο του L C M ( T p k , T q ℓ , T r m , … ) {\displaystyle \mathrm {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )} όπου T p k , T q ℓ , T r m {\displaystyle T_{p^{k}},\ T_{q^{\ell }},\ T_{r^{m}}} , κτλ είναι αντίστοιχα η περίοδος των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών 1 p k , 1 q ℓ , 1 r m , {\displaystyle {\frac {1}{p^{k}}},\ {\frac {1}{q^{\ell }}},\ {\frac {1}{r^{m}}},\ } κτλ. όπως ορίζεται παραπάνω. Ένας ακέραιος που δεν είναι πρώτος με το 10, αλλά έχει έναν πρώτο παράγοντα, εκτός από 2 ή 5 έχει αντίστροφο που είναι τελικά περιοδικός, αλλά με μια μη επαναλαμβανόμενη σειρά των ψηφίων που προηγούνται του επαναληπτικού μέρους. Ο αντίστροφος μπορεί να εκφραστεί ως: 1 2 a 5 b p k q ℓ ⋯ , {\displaystyle {\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} όπου a και b δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν. Αυτό το κλάσμα μπορεί επίσης να εκφραστεί ως: 5 a − b 10 a p k q ℓ ⋯ , {\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} αν a > b, ή 2 b − a 10 b p k q ℓ ⋯ , {\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} αν b > a, ή 1 10 a p k q ℓ ⋯ , {\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} αν a = b. Αυτός ο δεκαδικός έχει: Μια αρχική παροδική του max(a, b) ψηφία μετά την υποδιαστολή. Ορισμένα ή όλα τα ψηφία στο παροδικό μπορεί να είναι μηδενικά. Μια επακόλουθη ακολουθία επαναλαμβανόμενων δεκαδικών η οποία είναι η ίδια με εκείνη για το κλάσμα 1 p k q ℓ ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }\cdots }}} .Για παράδειγμα 1/28 = 0,03571428571428…: τα αρχικά μη-επαναλαμβανόμενα ψηφία είναι 03, και τα επόμενα επαναλαμβανόμενα ψηφία είναι 571428. Λαμβάνοντας υπόψη ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό, είναι δυνατόν να υπολογιστεί το κλάσμα που το παρήγαγε. Για παράδειγμα: x = 0 , 333333 … 10 x = 3 , 333333 … 9 x = 3 x = 3 / 9 = 1 / 3 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,333333\ldots \\10x&=3,333333\ldots \\9x&=3\ \\x&=3/9=1/3\end{aligned}}} Ένα άλλο παράδειγμα: x = 0 , 836363636 … 10 x = 8 , 3636363636 … 1000 x = 836 , 36363636 … 990 x = 836 , 36363636 … − 8 , 36363636 … = 828 x = 828 990 = 18 × 46 18 × 55 = 46 55 . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,836363636\ldots \\10x&=8,3636363636\ldots \\1000x&=836,36363636\ldots \\990x&=836,36363636\ldots -8,36363636\ldots =828\ \\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{aligned}}} Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί, ιδίως εάν η επανάληψη έχει n ψηφία, τα οποία είναι όλα μηδέν, εκτός από το τελευταίο, το οποίο είναι 1.Για παράδειγμα, για n=7: x = 0 , 000000100000010000001 … 10 7 x = 1 , 000000100000010000001 … ( 10 7 − 1 ) x = 9999999 x = 1 x = 1 10 7 − 1 = 1 9999999 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1,000000100000010000001\ldots \\(10^{7}-1)x=9999999x&=1\\x&={1 \over 10^{7}-1}={1 \over 9999999}\end{aligned}}} Έτσι, αυτός ο συγκεκριμένος επαναλαμβανόμενος δεκαδικός αντιστοιχεί στο κλάσμα 1 / (10n - 1), όπου ο παρονομαστής είναι ο αριθμός γραμμένος ως n φορές το ψηφίο 9.Γνωρίζοντας αυτό, μια γενική επανάληψη δεκαδικών μπορεί να εκφραστεί ως ένα κλάσμα, χωρίς να λύσουμε μια εξίσωση.Για παράδειγμα, ένας λόγος θα μπορούσε: 7 , 48181818 … = 7.3 + 0 , 18181818 … = 73 10 + 18 99 = 73 10 + 9 × 2 9 × 11 = 73 10 + 2 11 = 11 × 73 + 10 × 2 10 × 11 = 823 110 {\displaystyle {\begin{aligned}7,48181818\ldots &=7.3+0,18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}} Είναι δυνατόν να πάρετε μια γενική φόρμουλα που εκφράζει έναν επαναλαμβανόμενο δεκαδικό με n ψηφίο της περιόδου (μήκος επαναλήψεων), που αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, ως κλάσμα: x = 0. a 1 a 2 ⋯ a n ¯ 10 n x = a 1 a 2 ⋯ a n . a 1 a 2 ⋯ a n ¯ ( 10 n − 1 ) x = 99 ⋯ 99 x = a 1 a 2 ⋯ a n x = a 1 a 2 ⋯ a n 10 n − 1 = a 1 a 2 ⋯ a n 99 ⋯ 99 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}} Πιο αναλυτικά το ένα παίρνει τις ακόλουθες περιπτώσεις. Εάν ο επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι μεταξύ 0 και 1 και η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι n φορές μεγάλη, το πρώτο που συμβαίνει αμέσως μετά το δεκαδικό σημείο, τότε το κλάσμα (δεν μειώνεται απαραιτήτως) θα είναι ο ακέραιος αριθμός που αντιπροσωπεύεται από τη n-ψηφίων ομάδα διαιρούμενη από έναν εκπροσωπούμενο από n φορές το ψηφίο 9. Για παράδειγμα, 0,444444… = 4/9 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 4 (1-ψήφια ομάδα), 0,565656… = 56/99 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 56 (2-ψήφια ομάδα), 0,012012… = 12/999 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 012 (μία 3-ψήφια ομάδα), και αυτό μειώνεται περαιτέρω στο 4/333. 0,9999999… = 9/9 = 1, δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 9 (επίσης 1-ψήφια ομάδα)Αν ο επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι όπως παραπάνω, εκτός από το ότι υπάρχουν k (έξτρα) ψηφία, 0 μεταξύ υποδιαστολής και η επαναλαμβανόμενη n - ψήφια ομάδα, τότε μπορεί κανείς απλά να προσθέσει k ψηφία, 0 μετά τον n φορές του ψηφίου 9 του παρονομαστή (και όπως πριν το κλάσμα ίσως απλοποιηθεί στη συνέχεια). Για παράδειγμα, 0,000444… = 4/9000 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 4 και αυτή προηγείται κατά 3 μηδενικά, 0,005656… = 56/9900 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 56 και προηγείται από 2 μηδενικά, 0,00012012… = 12/99900 = 2/16650 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 012 και προηγείται από 2 μηδενικά (!).Κάθε επαναλαμβανόμενος δεκαδικός, όχι της μορφής που περιγράφεται ανωτέρω, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ενός δεκαδικού απόληξης και ενός επαναλαμβανόμενου δεκαδικού ενός εκ των δύο ανωτέρω τύπων (στην πραγματικότητα ο πρώτος τύπος αρκεί, αλλά θα μπορούσε να απαιτήσει από τον δεκαδικό απόληξης να είναι αρνητικό). Για παράδειγμα, 1,23444… = 1,23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900 ή εναλλακτικά 1.23444… = 0.79 + 0.44444… = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900 0,3789789… = 0.3 + 0,0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665 ή εναλλακτικά 0,3789789… = −0.6 + 0.9789789… = −6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665Επομένως, ο ενδεχόμενος επαναλαμβανόμενος δεκαδικός με περίοδο n , και k ψηφία μετά την υποδιαστολή, τα οποία δεν ανήκουν στο επαναληπτικό μέρος, μπορεί να γραφεί ως (όχι κατ 'ανάγκη μειωμένο) κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι (10n − 1)10k. Αντίθετα, η περίοδος του επαναλαμβανόμενου δεκαδικού ενός κλάσματος c/d θα είναι (το πολύ) ο μικρότερος αριθμός n έτσι ώστε 10n − 1 διαιρούμενο με d. Για παράδειγμα, το κλάσμα 2/7 έχει d= 7, και το μικρότερο k που κάνει 10k − 1 διαιρούμενο με 7 είναι k = 6, επειδή 999,999 = 7 × 142857. Η περίοδος του κλάσματος 2/7 είναι επομένως 6. Ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ψηφίο μπορεί επίσης να εκφραστεί ως μια άπειρη σειρά. Δηλαδή, ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού των ρητών αριθμών. Για να πάρετε το πιο απλό παράδειγμα, ∑ n = 1 ∞ 1 10 n = 1 10 + 1 100 + 1 1000 + ⋯ = 0. 1 ¯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}={1 \over 10}+{1 \over 100}+{1 \over 1000}+\cdots =0.{\overline {1}}} Η παραπάνω σειρά είναι μια γεωμετρική σειρά με τον πρώτο όρο ως 1/10 και το κοινό παράγοντα 1/10. Επειδή η απόλυτη τιμή του κοινού παράγοντα είναι μικρότερη από 1, μπορούμε να πούμε ότι η γεωμετρική σειρά συγκλίνει και βρίσκει την ακριβή τιμή με τη μορφή ενός κλάσματος με τη χρήση του ακόλουθου τύπου όπου ο a είναι ο πρώτος όρος της σειράς και r είναι ο κοινός παράγοντας. a 1 − r = 1 10 1 − 1 10 = 1 9 = 0 , 1 ¯ {\displaystyle \ {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}} Η κυκλική συμπεριφορά των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών σε πολλαπλασιασμό οδηγεί επίσης στην κατασκευή των ακεραίων που είναι κυκλικά Μετατεθειμένο όταν πολλαπλασιάζεται με συγκεκριμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, 102564 x 4 = 410256. Σημειώνεται ότι 102.564 είναι η repetend της 4/39 και 410.256 το repetend της 16/39. Οι διάφορες ιδιότητες των μηκών repetend (περιόδους) δίνεται από τον Μίτσελ [7] και τον Dickson. [8] Η περίοδος 1 / k για k ακέραιος είναι πάντα ≤ k - 1. Αν p είναι πρώτος, το χρονικό διάστημα από 1 / p διαιρεί ομοιόμορφα σε p - 1. Αν k είναι σύνθετο, το διάστημα 1 / k είναι αυστηρά μικρότερο από k - 1. Η περίοδος του c / k, για το c coprime έως k, ισούται με την περίοδο 1 / k. Αν k =2^{a}5^{b}n όταν n> 1 και το n δεν είναι διαιρετό από το 2 ή το 5, τότε το μήκος της παροδικής του 1/k είναι max (a, b), και οι ισούται με περίοδος r, όπου r είναι ο μικρότερος ακέραιος τέτοιος ώστε 10^r\equiv1\pmodn. Αν p, p ', σ ", ... είναι διαφορετικοί πρώτοι, τότε η περίοδος 1/(pp'p" ...) ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/p, 1/σ, 1/σ ",.... Αν k και k' δεν έχουν κοινούς τους πρώτους παράγοντες, εκτός από το 2 ή/και το 5, τότε, η περίοδος της 1/kk' ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/k και1/k'. για έναν πρώτο p, αν period(1/p)=period(1/p^2)=...=period(1/p^m) αλλά period(1/p^m)=/period(1/p^m+1)τότε για c>=0 έχουμε period(1/p^m+c)=(p^c) * period(1/p) Εάν το p είναι ένας κατάλληλος πρώτος που καταλήγει σε 1-δηλαδή, εάν ο repetend του 1 / p είναι ένας κυκλικός αριθμός μήκους p - 1 και ρ = 10h + 1 για κάποιο h - τότε κάθε ψηφίο 0, 1, ..., 9 εμφανίζεται στην repetend ακριβώς h =(p-1)/10 φορές. Για ορισμένες άλλες ιδιότητες της repetends, βλέπε επίσης. [9] Διάφορα χαρακτηριστικά των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών επεκτείνει την εκπροσώπηση των αριθμών σε όλες τις άλλες βάσεις ακεραίων, όχι μόνο με βάση το 10: Κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συστατικό ακεραίου που ακολουθείται από ένα σημείο radix (η γενίκευση της υποδιαστολής στα συστήματα μη-ψηφία) που ακολουθείται από ένα πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό ψηφίων. Ένας ρητός αριθμός έχει μια σειρά τερματισμού μετά το σημείο radix αν όλοι οι πρώτοι παράγοντες του παρονομαστή είναι σε πλήρως μειωμένη κλασματική μορφή και είναι επίσης παράγοντες της βάσης. Αυτή η αναπαράσταση τερματισμού είναι ισοδύναμη με μια παράσταση με μια επαναλαμβανόμενη ακολουθία που μπορεί να κατασκευαστεί από τη μορφή τερματισμού μειώνοντας το τελευταίο ψηφίο από 1 και προσαρτώντας μια άπειρη αλληλουχία ενός ψηφίου που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που είναι ένα λιγότερο από τη βάση. Ένας ρητός αριθμός έχει απείρως επαναλαμβανόμενη ακολουθία πεπερασμένου μήκους μικρότερη από την αξία του πλήρως μειωμένου παρονομαστή του κλάσματος εάν ο παρονομαστής του κλάσματος μειώνεται περιέχει έναν πρώτο παράγοντα που δεν είναι ένας παράγοντας της βάσης. Η επαναλαμβανόμενη ακολουθία προηγείται μετά το σημείο radix από μία παροδική πεπερασμένου μήκους αν το μειωμένο κλάσμα συμμερίζεται επίσης έναν πρώτο παράγοντα με τη βάση. Ένας άρρητος αριθμός έχει μια αναπαράσταση του άπειρου μήκους που ποτέ δεν επαναλαμβάνεται. Επαναλαμβάνοντας δεκαδικά ψηφία (που ονομάζονται επίσης δεκαδικές ακολουθίες) έχουν βρεθεί κρυπτογραφήσεις και διορθώσεις σφαλμάτων κωδικοποίησης εφαρμογών.[10] Στις εφαρμογές αυτές επαναλαμβάνονται δεκαδικοί στην βάση 2 τα οποία χρησιμοποιούνται γενικά όπου δίνεται αφορμή για δυαδικές ακολουθίες. Το μέγιστο μήκος δυαδικής ακολουθίας για 1/p (όταν 2 είναι μια πρωτόγονη ρίζα του p) δίνεται από: [11] α(i)=(2^i)*modp*mod2. Αυτές οι αλληλουχίες της περιόδου ρ-1 έχουν μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που έχει μια αρνητική κορυφή -1 για μετατόπιση του (ρ-1)/2. Η τυχαιότητα των σειρών αυτών έχει εξεταστεί από τις αδιάλλακτες δοκιμές Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1996: p. 67 . Beswick, Kim (2004), "Why Does 0.999... = 1?: A Perennial Question and Number Sense", Australian Mathematics Teacher 60 (4): 7–9 Gray, Alexander J., "Digital roots and reciprocals of primes," Mathematical Gazette 84.09, March 2000, 86. Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Publishing Co., 1952. William E. Heal Some Properties of Repetends Annals of Mathematics, Vol. 3, No. 4 (Aug., 1887), pp. 97–103 Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, p 79 Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62. Dickson, Leonard E., History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chelsea Publ. Co., 1952 (orig. 1918), 164–173. Armstrong, N. J., and Armstrong, R. J., "Some properties of repetends," Mathematical Gazette 87, November 2003, 437–443. Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences." IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981. Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences." IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803–809, 1985. Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing." 2013. arXiv:1312.3618 "Repeating Decimal" (Αγγλικά) solutOnline fractions calculator with detailedion (Αγγλικά)
Ο περιοδικός ή επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι ένας τρόπος παρουσίασης πραγματικών αριθμών με βάση δεκαψήφια αριθμητική. Η δεκαδική αναπαράσταση αριθμών λέγεται ότι είναι επαναλαμβανόμενη όταν γίνεται περιοδική ( επαναλαμβάνοντας τις αξίες της σε τακτά χρονικά διαστήματα) και το απείρως-επαναλαμβανόμενο τμήμα δεν είναι μηδέν. Για παράδειγμα, η δεκαδική παρουσίαση του ⅓ γίνεται περιοδική αμέσως μετά την υποδιαστολή επαναλαμβάνοντας το απλό ψηφίο 3 συνέχεια, π.χ 0,333..... Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα είναι το 3227/555, τέτοιοι δεκαδικοί δίνονται περιοδικοί μετά το δεύτερο ψηφίο που ακολουθείται από την υποδιαστολή και τότε επαναλαμβάνει την ακολουθία 144 για πάντα, π.χ. 5,8144144144144..... Επί του παρόντος δεν υπάρχει κανένας παγκοσμίως αποδεκτός συμβολισμός ή διατύπωση για τους επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς. Η απείρως επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων ονομάζεται repetend ή reptend. Εάν η repetend είναι μηδέν, αυτή η δεκαδική αναπαράσταση ονομάζεται δεκαδικός τερματισμού παρά ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός, δεδομένου ότι τα μηδενικά μπορεί να παραλείπονται και ο δεκαδικός τερματίζεται πριν από αυτά τα μηδενικά. Κάθε αναπαράσταση ενός δεκαδικού τερματισμού μπορεί να γραφεί ως δεκαδικό κλάσμα, ένα κλάσμα του οποίου ο διαιρέτης είναι μια δύναμη του 10 (π.χ. 1,585 = 1585 1000 {\displaystyle {\tfrac {1585}{1000}}} ); μπορεί επίσης να γραφεί ως αναλογία της μορφής k 2 n 5 m {\displaystyle {\frac {k}{2^{n}5^{m}}}} (π.χ. 1,585 = 317 2 2 5 3 {\displaystyle {\tfrac {317}{2^{2}5^{3}}}} ). Ωστόσο, κάθε αριθμός με αναπαράσταση ενός δεκαδικού τερματισμού, αμφίβολα έχει επίσης μία δεύτερη, εναλλακτική αναπαράσταση ως ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός του οποίου repetend είναι το ψηφίο 9. Αυτό επιτυγχάνεται μειώνοντας το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο σε ένα και προσαρτώντας ένα repetend 9, γεγονός ότι κάποιοι βρίσκουν δυσκολονόητο. 1,000... = 0,999... και 1,585000 ... = 1,584999 ... είναι δύο παραδείγματα. (Αυτό το είδος της επαναλαμβανόμενων δεκαδικών μπορεί να ληφθεί με μακρά διαίρεση αν κάποιος χρησιμοποιεί μια τροποποιημένη μορφή της συνήθους διαίρεσης αλγορίθμου). Οποιοσδήποτε αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων λέγεται άρρητος. Η δεκαδική αναπαράστασή τους δεν τελειώνει ούτε επαναλαμβάνεται άπειρα, αλλά επεκτείνεται για πάντα χωρίς τακτική επανάληψη. Παραδείγματα τέτοιων άρρητων αριθμών είναι η τετραγωνική ρίζα του 2 και π.